09404515 pro aula06 principio fundamental da contagem ... · ora, uma vez escolhida as duas...
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MATEMÁTICA IIIAULA 06: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO)EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL
VOLUME 2
OSG.: 094045/15
01. Para respondermos este problema, devemos tomar sete decisões, a saber:
Decisão 1 Decisão 4 Decisão 5 Decisão 6 Decisão 7· · · ·· ·Decisão 2 Decisão 3Escolher uma letra diferente
de y e z.
Escolher um algarismo
diferente de7, 8 e 9.
Escolher um algarismo
sucessor doescolhido naDecisão 4.
Escolher um algarismo
sucessor doescolhido naDecisão 5.
Escolher um algarismo
sucessor doescolhido naDecisão 6.
Escolher a letra do
alfabeto queaparece depois.
da escolhidana Decisão 1.
Escolher a letra do
alfabeto queaparece depois.
da escolhidana Decisão 2.
Ora, sabemos que o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 1 é igual a 24. Nesse caso, é claro que o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 2 e 3 são, ambos, iguais a 1. Além disso, o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 4 é igual a 7. Logo, o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 5, 6 e 7 são, ambos, iguais a 1. Assim, pelo princípio multiplicativo, concluímos que o número de placas distintas nas condições do problema é:
24 1 1 7 1 1 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 168
Resposta: B
02. Para calcularmos o número máximo x de tentativas de modo que a 1ª senha seja descoberta, é necessário tomar 4 decisões, a saber:
Decisão 1 · · ·Escolher o1º dígito
Escolher o2º dígito
Escolher o3º dígito
Escolher o4º dígito
Decisão 2 Decisão 3 Decisão 4
Nesse caso, como os dígitos são escolhidos entre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, temos que o número de maneiras de
tomarmos qualquer uma das decisões acima é igual a 10. Portanto, pelo princípio multiplicativo, concluímos que
x = 10000.
Por um argumento análogo ao tomado acima, temos que o número máximo y de tentativas, de modo que a 2ª senha seja descoberta,
é igual a 1000.
Assim, é claro que, no máximo, devemos testar 11000 vezes para descobrirmos a senha.
Resposta: C
03. Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 23 · 23 · 23 · 23 = 234 códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 23 letras do alfabeto.
Por outro lado, o número de códigos em que fi guram apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 5 · 5 · 5 · 5 = 54.
Em consequência, o resultado pedido é igual a 234 – 54.
Resposta: D
04. Note que, para respondermos este problema, devemos escolher um cetáceo, um primata e um roedor. Assim, como o número de
maneiras de efetuarmos as escolhas acima é, respectivamente, dado por 2, 20 e 33, então, pelo princípio multiplicativo, segue que:
Cetáceo Primata Roedor2
· · = 132020 33
Resposta: A
05. Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para tentar identifi car, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados.
4 · 3 = 12
Resposta: C
OSG.: 094045/15
Resolução – Matemática III
06. Para esse problema, temos:• 1ª mala:
1
5
2
8 9
8
3
º
º º
d gito
par
d gito
de e
d
í
í í
Algarismo
Algarismo distinto
⋅ ⋅
ggito
Sucessor do
d gito
d gito
Sucessor do
d gito
d g
2
1
4
3
1
5
º
º
º
º
í
í
í
í
⋅ ⋅
iito
A arismo parlg
55 82= ⋅
• 2ª mala:
1
9
2
1
3
8
4
7
5
º º.
º º
º
d gito d gito d gito dígito
d gito
í í í
í
í⋅ ⋅ ⋅
Algarismo mmpar
52520=
Nota: Observe que, caso ela esqueça apenas os três dígitos consecutivos da mala 1, é claro que o número de tentativas que ela necessita para abrir a mala é igual a 8.
Resposta: C
07. Como, para este problema, há uma imposição em que a terceira letra do referido cartão seja L, bem como o penúltimo algarismo do mesmo seja nº 1 e o último seja 0, sem contar que as três letras são distintas e os quatro algarismos também, temos as seguintes decisões a tomar:
Decis o
Escolher uma
letra diferente
de
Decis o
Escolheruma
l
ã
L
ã4 5
.
⋅
eetra diferente
daquelas duas
j escolhidas
Decis o
Escolher a
le
á
ã⋅
1
ttra
Decis o
Escolher um
a arismos
diferente de
e
Decis o
L
ã ã
. lg
⋅ ⋅6
1 0
7
EEscolher um
a arismo
difetentes dos
j escolhidos
Decis o
Esc
lg
3
2
á
ã⋅
oolher o
Decis o
Escolher o
a arismoalgarismo 1
3
0. lg .
⋅ã
Assim, uma vez que o número de maneiras em que podemos tomar as decisões 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são, respectivamente, iguais a 1, 1, 1, 25, 24, 8 e 7, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 1 · 1 · 1 · 25 · 24 · 8 · 7 = 33600.
Resposta: A
08. Neste problema, queremos calcular o número n de capicuas formadas com cinco algarismos, não necessariamente distintos, de modo que o algarismo 0 não ocupe a 1ª posição. Para tanto, é necessário tomarmos cinco decisões, a saber:
Decis o
Escolher um
diferente de
Decis o
Escolher q
ã ã1
0
3
algarismo
.
⋅uualquer
Decis o
Escolher qualquer
Decis
algarismo
⋅ ⋅ã ã5
algarismo
oo
Escolher o
escolhido na
decisão
Decis o
Escolher o
4
3
2
algarismo⋅
ã
aalgarismo
escolhido na
decisão 3
Neste caso, uma vez que o número de maneiras em que podemos tomar as decisões 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 9, 1, 10, 1 e 10, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 9 · 1 · 10 · 1 · 10 = 900.
Resposta: C
09. Tempo gasto, com atividades escolares:1º caso – Durante a semana:
5 5 25
5 5
× =↑ ↑
dias na horassemana di riasá
2º caso – Durante o fi m de semana:2 1 2
2 1
× =↑ ↑
dias no horafim de di riasemana
á
Tempo semanal total: 25 + 2 = 27 horas.
Resposta: E
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Resolução – Matemática III
10.
A
Fila
B C D E F1ª
2ª
3ª
20ª
a) Para calcularmos o número n de maneiras distintas em que duas pessoas podem sentar-se em uma mesma fi la desse avião, é necessário tomarmos três decisões, a saber:
Decis o Decis o
Escolher um
assento da f
ã ã1 2
Escolher a ordem
da fila.
⋅
iila
selecionada para
uma pessoa
Decis o
Escolher um outro
.
⋅ã 3
assentto da mesma
fila para uma
outra pesssoa.
Nesse caso, levando em conta que o número de maneiras distintas em que podemos tomar as decisões 1, 2 e 3 são, respectivamente, 20, 6 e 5, concluímos, pelo princípio multiplicativo, que n = 20 · 6 · 5 = 600. b) Nesse item, devemos calcular o número de maneiras distintas em que um casal pode se sentar em poltronas vizinhas. Para tanto,
avaliaremos as seguintes situações:• 1ª Situação – Casal no lado esquerdo do avião: Neste caso, levando em conta que, no lado esquerdo de cada fi la do avião, só é possível as posições AB e BC, temos que o
número de acomodações possíveis neste lado é dado por 2 · P2, pois a ordem do casal é relevante. Assim, como são 20 fi las ao
todo, segue que existem 80 acomodações possíveis no lado esquerdo do avião.
• 2ª Situação – Casal no lado direito do avião: Nesse caso, levando em conta que, no lado direito de cada fi la do avião, só é possível as posições DE e EF, temos que o número
de acomodações possíveis neste lado é dado por 2 · P2, pois a ordem do casal é relevante. Assim, como são 20 fi las ao todo,
segue que existem 80 acomodações possíveis no lado direito do avião.
Logo, como acontece a 1ª situação ou a 2ª situação, concluímos, pelo princípio aditivo, que existem 80 + 80 = 160 maneiras distintas em que um casal pode sentar-se em poltronas vizinhas.
c) Para esse item, devemos tomar duas decisões, a saber:
Decis o
Escolher duas
poltronas
vizinhas para um
casal
Decis oã ã1 2
.
⋅EEscolher duas
novas poltronas
vizinhas para o
outro casal.
Note, pelo item anterior, que o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 1 é igual a 160. Nesse caso, nos resta apenas, calcular o número de maneiras distintas em que podemos tomar a Decisão 2. Ora, uma vez escolhida as duas poltronas vizinhas para o 1º casal, como este, obrigatoriamente, deve estar em um mesmo lado (esquerdo ou direito) do avião, segue que o outro casal ou está no lado oposto da mesma fi la onde se encontra o 1º casal, ou, então, em qualquer uma das 19 fi las restantes. Assim, temos que o número de maneiras distintas de tomarmos a Decisão 2 é igual a 2 · P
2 + 19 · 8 = 156. Portanto, o número de maneiras em que
dois casais podem sentar-se em poltronas vizinhas neste avião é, de acordo com o princípio multiplicativo, igual a 160 · 156 = 24960.
Paulo H. – 10/11/2015 – Rev.: KP 09404515_pro_Aula06_Principio Fundamental da Contagem-Principio Multiplicativo