73

Como el tiempo que tarda en recorrerlo

es 2 - v

2

v3

+ resulta

2 - v

2

v3

+ = 1.

A cada una de las expresiones

2 - v2

y v3

las llamaremos

fracciones algebraicas.

Fracciones Algebraicas

Liliana camina todas las mañanas 5Km en una hora. Los primeros 3Km los recorre a una velocidad constante v pero, ya cansada, recorre los últimos 2 Km a una velocidad de v-2 Km por hora. ¿Con qué velocidad camina en cada tramo?

Recordemos que, en esta situación, el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la fórmula: e = v.t

Espacio recorrido

Velocidad con que

recorre el tramo

Tiempo que tarda en

recorrerlo

Primer tramo

3 v v3

Segundo tramo

2 v - 2 2 - v

2

DEFINICIÓN Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) ≠Op(x) llamaremos fracción algebraica a toda

expresión de la forma Q(x)P(x)

.

La indeterminada x podrá tomar aquí cualquier valor real siempre que dicho valor no anule al denominador.

EJEMPLOS

a) 2 x1 2x

2

3

++

b) 3 x ; 3 -x

x-≠

Como puedes observar toda expresión algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios.

74

EJEMPLO

1) -(x ; 1) -(x ) 1 -(x

; 1) -(x x

x 2x - x 223 +

x ≠ 0 ; x ≠ 1

A las fracciones ba

y r . b.r a

las

llamamos fracciones equivalentes.

Ejs: 2515

;106

; 53

son fracciones

equivalentes.

EJEMPLO Si x ≠ 0

2 x3 x

2x x x3 x

23

2

++

=++

Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones algebraicas y números fraccionarios.

Recordemos que: si a, b y r son números reales b ≠ 0 y r ≠ 0 entonces:

ba

r . b.r a

=

En este caso decíamos que habíamos simplificado los factores comunes de la fracción.

Simplificación de fracciones algebraicas

DEFINICIÓN

Dada la fracción algebraica Q(x)P(x)

; Q(x) ≠ Op(x).

Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales que: P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) ≠ Op(x). Luego se verifica que:

N(x)M(x)

N(x).d(x)M(x).d(x)

Q(x)P(x)

==

En este caso diremos que N(x)M(x)

es una simplificación de

la fracción algebraica Q(x)P(x)

DEFINICIÓN

Dos fracciones algebraicas Q(x)P(x)

y N(x)M(x)

son equivalentes si una de ellas es la simplificación de la otra.

75

EJEMPLO

Dadas las fracciones:1 -x 1 x

; x

3x 2

2

++; x≠0; x≠1

Para escribirlas con igual denominador buscamos fracciones equivalentes a las dadas con esa propiedad

23

24

2

222

23

2

22

x- x x x

x1) -(x x) 1 (x

1 -x 1 x

x- x3 -2x x

1) -(x x

1) -(x 3) (x

x) 3 (x

+=

+=

+

+=

+=

+

x ≠ 0 ; x ≠ 1

OBSERVACIÓN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fracción

equivalente a Q(x)P(x)

multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio

H(x) ≠ Op(x). Me parece que son las mismas operaciones de números reales aplicadas a polinomios.

Sí, deberíamos repasar el módulo I

Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numéricas y algebraicas.

Recordemos: Si a, b, c y d son números reales, b ≠0,

d ≠ 0 y b ≠ d ; las fracciones dc

y ba

se

podían reducir a común denominador considerando dos fracciones equivalentes con igual denominador.

b.da.d

ba

= d.bc.b

dc

=

Reducción a común denominador de fracciones algebraicas

DEFINICIÓN

Dadas las fracciones Q(x)P(x)

y N(x)M(x)

con Q(x) ≠ Op(x), N(x) ≠ Op(x) Las expresiones:

N(x) Q(x).N(x) P(x).

y N(x).Q(x)M(x).Q(x)

son

fracciones algebraicas equivalentes a las dadas con igual denominador. A Q(x) . N(x) se lo llama denominador común.

Las fracciones algebraicas dadas fueron reducidas a común denominador.

76

Suma y resta de fracciones algebraicas

Observación: Aunque cualquier denominador común es válido, las operaciones resultarán más sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores comunes el de menor grado. A este denominador se lo llama mínimo común denominador.

Regla práctica para hallar el mínimo común denominador. • Se factorizan los polinomios de los

denominadores. • Se multiplican todos los factores

diferentes. • Si existen dos factores con la misma base

y distinto exponente es suficiente tomar como factor aquel que tiene mayor exponente.

EJEMPLO Si debemos hallar el mínimo común denominador de las fracciones algebraicas:

2

2

32 ) 1 -(x x3

; 1) - x ( x

2 -x ;

x1 x +

debemos tener en cuenta los factores x3 y (x – 1)2 El mínimo común denominador es:

x3 (x – 1)2

Recordemos: Dadas las fracciones numéricas

bc

y ba

quedó definida:

bc a

bc

ba ±

=±

Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben escribir primero las fracciones con común denominador y luego operar.

b.dcb a.d

d.bc.b

b.da.d

dc

ba ±=±=±

DEFINICIÓN Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas se deben reducir todas a denominador común y luego sumar o restar los polinomios de los numeradores.

Dadas N(x)M(x)

y Q(x)P(x)

;Q(x)≠Op(x); N(x)≠ Op(x)

Q(x)N(x)M(x)Q(x)P(x)N(x)

N(x).Q(x)M(x).Q(x)

Q(x).N(x)P(x).N(x)

N(x)M(x)

Q(x)P(x)

±=

=±=±

EJEMPLO:

4029

40

5 24

8.51.5

5.83.8

81

53

=+

=+=+

EJEMPLO: Sea x ≠ 0 y x ≠ 1

23

24

2

222

2

x- x3 -2x x2 x

1)-(x x

1) (x x 1)-3)(x(x

1 -x 1x

x

3x

++=

=+++

=+

++