Funciones Polinomiales de grado superior

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La grfica muestra el desarrollo de un huracn conforme se aproxima a la costa de un pas, en la zona del Caribe, situada en el origen. La funcin = 4 53 + 32 + 9 + 162, modela los cambios de velocidad de los vientos conforme avanza el huracn, desde su inicio detectado en el mar a 600 km del territorio.

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La funcin polinomial = 4 43 + 52 4 + 4, modela la cantidad F(x) de rboles (decenas de miles) no consumidos an por un incendio forestal al comienzo de la semana x.

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Vamos a estudiar:

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Nuestro objetivo es:

Notacin de las Funciones Polinomiales

= +

++ + +

Donde:

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Si es una funcin polinomial y es un cero real de , entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

1. = es un cero de la funcin .2. = es una solucin de la ecuacin polinomial () = 0.3. ( ) es un factor de la funcin polinomial ().4. (, 0) es una interseccin en el eje X de la grfica de .

CEROS REALES DE FUNCIONES POLINOMIALES

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PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL

1. Cuando n es impar

Cuando

Cuando

Cuando

Cuando

a) Si >

b) Si <

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PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL

2. Cuando n es par

Cuando

Cuando

Cuando

Cuando

a) Si >

b) Si <

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http://www.youtube.com/watch?v=U1JHC5JCws4

http://www.youtube.com/watch?v=1iB3hqjc8qQ

DIVISIN SINTTICA

Teoremas asociados a las

funciones polinomiales Mis

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Teorema fundamental del lgebra

Si () es un polinomio de grado 1, tiene cuando menos un cero complejo, es decir que = 0 tiene cuando menos una raz.

Teorema de las n races

Si () es un polinomio de grado 1, entonces = 0tiene exactamente n races, siempre y cuando la multiplicidad k de una raz se cuente k veces.

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Teorema del factor

Un polinomio tiene un factor si y slo si = 0.

Teorema del residuo

Si un polinomio se divide entre , entonces el residuo es =

Regla de los signos de Descartes

Supongamos que

= + 1

1 ++ 22 + 1 + 0:

El nmero de ceros reales positivos de () es:

Igual al nmero de cambios de signo de (), o menor, en un entero par, que ese nmero.

El nmero de ceros reales negativos de () es:

Igual al nmero de cambio de signo de () o menor, en un entero par, que ese nmero.

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Describe todas las posibilidades de la cantidad de races para:() = 5 4 33 + 32 4 + 4

1. () = + 5 4 33 + 32 4 + 4

2. = 5 4 3 3 + 3 2 4 + 4

() = 5 4 + 33 + 32 + 4 + 4

Cantidad de ceros positivos

Cantidad de ceros negativos

Cantidad de ceros complejos

Cantidad total de ceros

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4

2

0

1

1

1

5

5

5

0

2

4

Teorema de las races racionales

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Sea = + 1

1 ++ 22 + 1 + 0

0 0 un polinomio de grado n con coeficientes enteros; si

es una raz racional de f() = 0, y

en trminos ms simples, entonces p es

factor de 0 y q es factor de

Para graficar:

a) Extremos

b) Interseccin en el eje Y

c) Ceros Positivos y negativos (Descartes)

d) Posibles Races Racionales y las races de la funcin

e) Coordenadas de los puntos mximos y mnimos entre los ceros de la funcin

f) Su grfica

= 3+2 11. Extremos

2. Interseccin en Y0. 1

3. Ceros = 3+ 2 1

= 3+ 2+ 1

Ceros + Ceros - Ceros Total

1 2 0 3

1 0 2 3

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4. Races

a) enteras: 1

b) fraccin: no tiene

= 1 2 + 2 + 1

= 1 + 1 2

Races: 1 y -1 (doble)

5. = 32+ 2 132+ 2 1 = 0

1 =1

3 2 = 1

1

3,

32

27

= 3+2 1

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