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义乌

基本图形

四边形

四边形

直角三角形

圆 三角形

三角形

直线形

矩形

抛物线

四边形

抛物线

载体

坐标系

新概念( 准等距点 )

坐标系

坐标系

坐标系

坐标系

坐标系

坐标系

坐标系

坐标系

方式

动点

作图找点

动点

动点

动点

动点

动点

动直线

动点

图形移动

动点

07 年浙江省压轴题题型情况

感悟近几年学业考试压轴题的热点问题（一）、以动态几何为主线的压轴题

1 、点动问题 2 、线动问题 3 、面动问题

（二）、以抛物线为主线的压轴题

2 、抛物线与四边形的折叠问题相结合的压轴题

（三）、以图形变换为主线的压轴题

（四）、以基本问题模型为主线的压轴题

1 、抛物线与动态问题相结合的压轴题

3 、抛物线与四边形的探索问题相结合的压轴题

4、抛物线与方程相结合的压轴题

1 、图形的平移 2 、图形的翻折 3 、图形的旋转

（五）、以新概念为主线的压轴题

（ 1）点动问题例题（ 07嘉兴）如图，已知 A（ 8， 0）， B（ 0， 6），两个动点 P、 Q同时在△ OAB →的边上按逆时针方向（ O→A→B→O→）运动，开始时点 P在点 B位置，点 Q在点 O位置，点 P的运动速度为每秒 2个单位，点 Q的运动速度为每秒 1个单位．（ 1）在前 3秒内，求△ OPQ的最大面积；（ 2）在前 10秒内，求 P、 Q两点之间的最小距离，并求此时点P、 Q 的坐标；（ 3）在前 15秒内，探究 PQ平行于△ OAB一边的情况，并求平行时点 P、 Q的坐标． y

xO A

BP

Q

2008 年 ( 浙江赛区 ) 数学竞赛试题 (18 题 )

如图 , 在平面直角坐标系中 , 矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上 ,OA=10 厘米 ,OC=6 厘米 , 现有两动点 PQ 分别从 OA 同时出发 , 点 P 在线段 OA 方向作匀速运动 , 点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动 , 已知点 P 的速度为 1 厘米 / 秒 .

(1) 设点 Q 的运动速度为 1/2 厘米 / 秒 , 运动时间为 t 秒 ,

当三角形 CPQ 的面积最小时 , 求点 Q 的坐标 ;

当三角形 COP 和三角形 PAQ 相似时 , 求点 Q 的坐标 .

(2) 设点 Q 的运动速度为 a 厘米 / 秒 , 问是否存在 a 的值 , 使得三角形 OCP与三角形 PAQ 和三角形 CBQ 这两个三角形都相似 ? 若存在 , 请求出 a 的值 , 并写出此时点 Q 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .

A

BC

P

Q

O x

y

D

E

K

P

Q CB

A

  

（ 2 ）线动问题例题（ 07 河北）如图 16 ，在等腰梯形 ABCD中， AD∥BC， AB=DC=50 ， AD=75 ， BC=135 ．点 P从点 B出发沿折线段 BA-AD-DC以每秒 5个单位长的速度向点 C匀速运动；点 Q从点 C出发沿线段 CB方向以每秒3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q向上作射线 QK⊥BC，交折线段 CD-DA-AB于点 E．点 P、 Q同时开始运动，当点 P与点 C重合时停止运动，点 Q也随之停止．设点 P、 Q运动的时间是 t秒（ t＞ 0 ）．（ 1 ）当点 P到达终点 C时，求 t的值，并指出此时 BQ的长；（ 2 ）当点 P运动到 AD上时， t为何值能使 PQ∥DC ？（ 3 ）设射线 QK扫过梯形 ABCD的面积为 S，分别求出点 E运动到 CD、DA上时， S与 t的函数关系式；（不必写出 t的取值范围）（ 4 ）△ PQE能否成为直角三角形？若能，写出 t的取值范围；若不能，请说明理由．

例 (07 金华）如图 1 ，在平面直角坐标系中，已知点 点 B 在 x正半轴上，且 ． 动点 P 在线段 AB 上从点 A 向 B 点以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 t 秒．在 x 轴上取两点 M 、 N作等边　　　　．（ 1 ）求直线 AB 的解析式；

30ABO ∠(0 4 3)A ，

3

PMN△

（ 2 ）求等边 的边长（用 t 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值；（ 3 ）如果取 OB 的中点 D ，以 OD 为边在 内部作如图 2 所示的矩形 ODEC ，点 C 在线段 AB 上．设等边 和矩形 ODEC 重叠部分的面积为 S ，请求出当 秒时 S 与 t 的函数关系式．

PMN△

PMN△

A

BOM

P

N

A

O BC E

D

Rt AOB△PMN△

0 2t≤ ≤

（ 3 ）面动问题

例题（ 07舟山）在直角梯形 ABCD中，∠ C=90o，高 CD=6cm(如图 1)．动点 P， Q同时从点 B出发，点 P沿 BA， AD， DC运动到点 C停止，点 Q沿 BC运动到 C点停止。两点运动时的速度都是 lcm/s．而当点 P到达点 A时，点 Q正好到达点 C．设 P， Q同时从点 B出发，经过的时间为 t(s)时，△ BPQ的面积为 y(cm2)(如图 2)．分别以 x， y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 P在 AD边上从 A到 D运动时， y与 t的函数图象是图 3中的线段MN．(1)分别求出梯形中 BA， AD的长度；(2)写出图 3中M， N两点的坐标；

抛物线与动态问题相结合的压轴题

(3)分别写出点 P在 BA边上和 DC边上运动时，y与 t的函数关系式 (注明自变量的取值范围 )，并在答题卷的图 4(放大了的图 3)中补全整个运动中 y关于 t的函数关系的大致图象．

35

A

B

C

D

O

P

Q

x

y S

t

O 5

10

30

(第 29题图① ) (第 29题图② )

（ 07 泰州市）如图①， Rt ABC△ 中，∠ B＝ 90° ，∠ CAB ＝ 30° ，它的顶点 A的坐标为 (10， 0) ，顶点 B的坐标为 (5，　　 )， AB＝ 10，点 P从点 A出发，沿 A→B→C的方向匀速运动，同时点 Q从点 D(0， 2)出发，沿 y轴正方向以相同速度运动，当点 P到达点 C时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒。(1)求∠ BAO的度数；(2)当点 P在 AB上运动时，△ OPQ的面积 S( 平方单位 ) 与时间 t( 秒 ) 之间的函数图象为抛物线的一部分， ( 如图② ) ，求点 P的运动速度；(3)求 (2)中面积 S与时间 t之间的函数关系式；(4)如果点 P、 Q保持 (2)中的速度不变，那么点 P沿 AB边运动时，∠ OPQ的大小随着时间 t的增大而增大；沿着 BC边运动时，∠ OPQ的大小随着时间 t的增大而减小。当点 P沿这两边运动时，使∠ OPQ＝ 90° 的点 P有几个？请说明理由。

例题（ 07荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0， 0)， A(4， 0)， C(0， 3)，点 P是 OA边上的动点 (与点 O、A 不重合 )．现将△ PAB沿 PB翻折，得到△ PDB；再在 OC边上选取适当的点 E，将△ POE沿 PE翻折，得到△ PFE，并使直线 PD、 PF重合．(1)设 P(x， 0)， E(0， y)，求 y关于 x的函数关系式；(2)如图 2，若翻折后点 D落在 BC边上，求过点 P、 B、 E的抛物线的函数关系式；(3)在 (2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使△ PEQ是以 PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q的坐标．

图 1

F

E

P

D

y

x

B

A

C

O图 2

O

C

A

B

x

yD

P

E F

抛物线与四边形的折叠问题相结合的压轴题

2 2 3y x x 例题（ 07 义乌）如图，抛物线　　　　　　　与 x 轴交 A 、 B两点（ A 点在 B 点左侧），直线与抛物线交于 A 、 C 两点，其中C 点的横坐标为 2 ． （ 1 ）求 A 、 B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（ 2 ）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A 、 C 、F 、　　　　　 G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

抛物线与四边形的探索问题相结合的压轴题

例题：（ 07安徽）按图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y与 x的关系式就输出一个数据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20～ 100（含 20和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在 60～ 100（含 60和 100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大

的对应的新数据也较大。（ 1）若 y与 x的关系是 y＝ x＋ p(100－ x)，请说明：当 p＝时，这种变换满足上述两个要求；（ 2）若按关系式 y=a(x－ h)2＋ k 　 (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

1

2

第23题图

结束

输出y

y与x的关系式

输入x

开始

抛物线与方程相结合的压轴题

A B

COD

E F

（备用图）

A B

C

例题（ 07 丽水）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 ABCO 的边 OC 落在 x轴的正半轴上，且 AB CD,AB=4∥ ， BC=6,OC=8 ．正方形 ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形 ABCO 面积．将正方形 ODEF 沿轴的正半轴平 行移动，设它与直角梯形 ABCO 的重叠部分面积为 S ．（ 1 ）分析与计算：求正方形 ODEF 的边长；（ 2 ）操作与求解： ① 正方形 ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断 S （ S ＞ 0 ）的变化情况是 ； A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C ．先增大后减少 D ．先减少后增大 ② 当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时，求 S 的值；（ 3 ）探究与归纳：（备用图）设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为 x ，求重叠部分面积 S 与 x 的函数关系式．

图形的平移

A

B C

D

E

F

D′

（ 07青岛）将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D′ 处，折痕为 EF ．（ 1 ）求证：△ ABE AD′F≌△ ； ABCDEFD′（ 2 ）连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论

图形的翻折

例题（ 07 义乌）如图 1 ，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2 ），量得他们的斜边长为 10cm ，较小锐角为 30° ，再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，但点 B 、 C 、 F 、 D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3至图 6 中统一用 F表示） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

图形的旋转

（ 1 ）将图 3 中的△ ABF 沿 BD 向右平移到图 4的位置，使点 B 与点 F 重合，请你求出平移的距离；（ 2 ）将图 3 中的△ ABF绕点 F顺时针方向旋转30° 到图 5 的位置， A1F 交 DE 于点 G ，请你求出线段 FG 的长度；（ 3 ）将图 3 中的△ ABF 沿直线 AF翻折到图 6的位置， AB1 交 DE 于点 H ，请证明： AH DH﹦

引例：如图 1 ，牵牛从点 A 出发，到河边 l喝水，再到点 B处吃草，求最短的路径。

Ａ

Ｂ

以基本问题模型为主线的压轴题

32 bxxy（ 07衢州）如图，顶点为 D 的抛物线 与x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴相交于点 C ，连结 BC ，已知 tan ABC=1∠ 。（ 1 ）求点 B 的坐标及抛物线的解析式；（ 2 ）在 x 轴上找一点 P, 使△ CDP 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（ 3 ）若点 E （ x,y ）是抛物线上不同于 A,B,C 的任意一点，设以 A,B,C,E 为顶点的四边形的面积为 S, 求S 与 x 之间的函数关系式。

例、（ 07宁波）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图 l ，点 P 为四边形 ABCD对角线 AC 所在直线上的一点， PD=PB ， PA≠PC ，则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点．

(1) 如图 2 ，画出菱形 ABCD 的一个准等距点．

(2) 如图 3 ，作出四边形 ABCD 的一个准等距点 (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法 ) ．(3) 如图 4 ，在四边形 ABCD 中， P 是 AC 上的点， PA≠PC ，延长 BP 交 CD 于点 E ，延长 DP 交 BC 于点 F ，且∠ CDF= CBE∠ ， CE=CF ．求证：点 P 是四边形 AB CD的准等距点．(4) 试研究四边形的准等距点个数的情况 ( 说出相应四边形的特征及准等距点的

个数，不必证明 )

以新概念为主线的压轴题

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