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MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Equations aux dérivées partielles
Cours et exercices corrigés
Département GPI Xuân MEYER1ère année Avril 2005
INPT-ENSIACET 118 route de Narbonne 31077 Toulouse cedex 4
Mail : [email protected]
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Table des matières
I Différentielles totales - Facteurs intégrants 5I.1 Rappel sur les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.2 dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.3 Dérivées d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.1.4 Dérivées d’une fonction composée de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Différentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.2 Formes différentielles totales exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.3 Application à l’intégration d’équation différentielles du premier ordre . . . . . . . . 8
I.3 Facteurs Intégrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.3.3 Détermination de facteurs intégrants monovariables . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.5 Différentielles totales et fonctions d’Etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 15II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.2 Intégrales premières d’un système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.2.1 Généralités sur les éq. lin. et homo. aux dérivées partielles du 1er ordre . . . . . . . 18
II.3 Eq. lin. et hom. aux dérivées partielles du 1er ordre : cas d’une fonction de 2 var. . . . . . 19II.4 Facteur intégrant d’une forme différentielle du premier ordre à deux variables . . . . . . . 20
II.4.1 Détermination d’un facteur intégrant de la forme µ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . 20
IIIEq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts 23III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23III.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24III.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.4 Eq. aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogènes, à coeff. csts . . . . . . . . 27
IV Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 31IV.1 Méthode d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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4 TABLE DES MATIÈRES
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Chapitre I
Différentielles totales - Facteurs
intégrants
I.1 Rappel sur les dérivées partielles
I.1.1 Définition
Soit une fonction f (x, y) de deux variables réelles définie dans un voisinage de A = [a, b] ; si la fonctionf (x, b) fonction de x seulement a une dérivée pour la valeur a de x, on la note f ′x(a, b) et on l’appelledérivée partielle de f(x,y) par rapport à x au point (a,b).
Si en tout point d’un voisinage de A, f ′x(x, y) existe, on définit ainsi une nouvelle fonction, la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x . On définit de même la dérivée partielle par rapport à y. On note :
f ′x = ∂f (x, y)
∂x
et
f ′y = ∂f (x, y)∂y
I.1.2 dérivées successives
De la même façon que précédemment, on peut étudier l’existence de la dérivée par rapport à x de
f ′x(x, y) et de f ′y(x, y) ; on définit ainsi les dérivées secondes que l’on note f ′′x2 = ∂ 2f
∂x2 et f ′′xy =
∂ 2f
∂y∂x. On
peut de même définir les dérivées secondes par rapport à y :f ′′y2 = ∂ 2f
∂y2 et f ′′yx =
∂ 2f
∂x∂y.
Théorème 1 (Théorème de Schwarz) Si en un point de A = [a, b], les dérivées successives f ′′xy et f ′′yxexistent et sont continues, en ce point ces dérivées sont égales :
f ′′xy = f ′′yx soit ∂ 2f ∂x∂y
= ∂ 2f ∂y∂x
Exercice I.1 Déterminer ∂ 2z
∂x2, ∂ 2z
∂y2, ∂ 2z
∂x∂y, ∂ 2z
∂y∂x de la fonction z(x, y), :
z = x3− 5xy + y2
solution :
∂z
∂x = 3x2 − 5y ⇒
∂ 2z
∂x2 = 6x ;
∂ 2z
∂y∂x = −5
∂z
∂y = −5x + 2y ⇒
∂ 2z
∂y2 = 2 ;
∂ 2z
∂x∂y = −5
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6 Différentielles totales - Facteurs intégrants
I.1.3 Dérivées d’une fonction composée
Si u = f (x, y) est définie dans un voisinage de A = [a, b] et x = ϕ(t), y = ψ(t) définies dans unintervalle I, voisinage du point t0, si la fontion f (x, y) admet des dérivées partielles sur un voisinage deA et si ces dérivées sont continues en A, alors la fonction composée F (t) = f [ϕ(t), ψ(t)] est dérivable ent0 et l’on a le résultat :
F ′(t) = f ′x(x, y)ϕ′(t) + f ′y(x, y)ψ′(t)
Si les hypothèses d’existence et de continuité de ces dérivées sont vraies sur un intervalle, la formuleprécedente est vraie sur tout l’intervalle.
I.1.4 Dérivées d’une fonction composée de deux variables
Soit la fonction F (x, y) = f (u, v), u et v étant des fonctions de x et y :
u = u(x, y) et v = v(x, y)
avecu0 = u(x0, y0) et v0 = v(x0, y0)
Si les fonctions u et v admettent des dérivées partielles en (x0, y0) et si f (u, v) admet des dérivées partiellescontinues au voisinage de (u0, v0), alors F (x, y) admet des dérivées partielles au point (x0, y0) donnéespar :
F ′x(x0, y0) = f ′u(u0, v0)u′x(x0, y0) + f ′v(u0, v0)v′x(x0, y0) = ∂f
∂u(u0, v0)
∂u
∂x(x0, y0) +
∂f
∂v(u0, v0)
∂v
∂x(x0, y0)
F ′y(x0, y0) = f ′u(u0, v0)u′y(x0, y0) + f ′v(u0, v0)v′y(x0, y0) = ∂f
∂u(u0, v0)
∂u
∂y(x0, y0) +
∂f
∂v(u0, v0)
∂v
∂y(x0, y0)
Exercice I.2 Soit f (x, y) = x2 + xy + y2 et
x = 2u + v
y = u − 2v
Déterminer : ∂f
∂u, ∂f
∂vsolution :
∂f
∂x
= 2x + y
∂f
∂y = x + 2y
∂x
∂u = 2
∂x
∂v = 1
∂y
∂u = 1
∂y∂v
= −2
⇒
∂f
∂u =
∂f
∂x
∂x
∂u +
∂f
∂y
∂y
∂u = (2x + y)(2) + (x + 2y)(1) = 5x + 4y
∂f
∂v =
∂f
∂x
∂x
∂v +
∂f
∂y
∂y
∂v = (2x + y)(1) + (x + 2y)(−21) = −3y
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I.2 Différentielles totales 7
I.2 Différentielles totales
I.2.1 Définition
Soit une fonction de deux variables U (x, y) possédant des dérivées partielles continues. La différentielletotale ou exacte de U (x, y) s’écrit :
dU = ∂U ∂x
dx + ∂U ∂y
dy (I.1)
Si U (x, y) = Cte, alors dU = 0.
Exemple : Soit U (x, y) la fonction de deux variables définie par :
U (x, y) = x + x2y3
dU (x, y) = (1 + 2xy3)dx + (3x2y2)dy
I.2.2 Formes différentielles totales exactes
Soit une équation différentielle données sous la forme :
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (I.2)
Si on peut trouver une fonction U (x, y) qui vérifie :
M (x, y) = ∂U
∂x
et
N (x, y) = ∂U
∂y
alors, on peut poser l’équation (I.2) sous la forme d’une différentielle totale ou exacte :
dU = ∂U
∂xdx +
∂U
∂y dy
Alors U (x, y) est la solution cherchée sous forme implicite :
U (x, y) = Cte
Pour cela, il faut prouver que les dérivées ∂M
∂y et
∂N
∂y sont égales. En effet, conformément au théorème
de Schwarz :
soit U (x, y) une fonction de classe C 2 dérivable, si ∂U
∂x et
∂U
∂y sont continues, alors
∂ 2U
∂x∂y =
∂ 2U
∂y∂x.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (I.2) soit une équation exacte est donc :
∂M (x,y)∂y
= ∂N (x,y)∂y
Dès lors, la fonction U (x, y) peut être trouvée de façon systématique par :
U (x, y) =
M (x, y)dx + k(y)
Dans cette intégration par rapport à x, k(y) joue le rôle d’une constante. Il suffit de dériver la fonctionU (x, y) par rapport à y pour déterminer la fonction k(y) :
N (x, y) = ∂U
∂y ⇒ k ′(y) +
∂
∂y
M (x, y)dx
= N (x, y)
On obtiendrait le même résultat en intégrant d’abord N (x, y) par rapport à y et en dérivant ensuite parrapport à x.
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8 Différentielles totales - Facteurs intégrants
I.2.3 Application à l’intégration d’équation différentielles du premier ordre
Soit à résoudre l’équation différentielle du premier ordre :
M (x, y) + N (x, y)y′ = 0 (I.3)
où M (x, y et N (x, y) sont deux fonctions quelconques de x et de y. On peut résoudre cette équation en
posant :dU = M (x, y)dx + N (x, y)dy
Résoudre l’équation (I.3) revient à résoudre dU = 0 soit U (x, y) = C te Après avoir vérifié que dU est unedifférentielle totale, il suffit donc de déterminer U (x, y) selon la méthodologie présentée précédemment.Nous verrons plus tard comment résoudre l’équation (I.3) dans le cas où dU n’est pas une différentielletotale exacte.
Exercice I.3 On cherche à résoudre l’équation différentielle :
y′ = −
1 + 2xy3
3x2y2(I.4)
solution :Cette équation peut se mettre sous la forme :
(1 + 2xy3)dx + 3x2y2dy = 0
Posons :dU = (1 + 2xy3)dx + 3x2y2dy
Résoudre l’équation ( I.4) revient à déterminer la solution de dU = 0. Ceci est aisé si l’on peut montrer que dU est une différentielle totale. Soit :
M = 1 + 2xy3etN = 3x2y2
∂M
∂y
= ∂N
∂x
= 6xy2
d’où, en intégrant la différentielle totale exacte dU , :
U (x, y) = x + x2y3
dU = 0 ⇒ U = Cte
d’où :x + x2y3 = Cte
est solution de ( I.4).
I.3 Facteurs IntégrantsI.3.1 Introduction
Soit la différentielle dU :dU = 2xydx + (4y + 3x2)ydy = 0 (I.5)
Cette différentielle n’est pas totale. En effet :Soit M (x, y) = 2xy et N (x, y) = (4y + 3x2)y
∂M
∂y = 2y
∂N
∂x
= 6xy
⇒
∂M
∂y =
∂N
∂x
On ne peut donc pas résoudre l’équation (I.5) par la procédure présentée dans la partie précédente. Ona alors recours au facteur intégrant.
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I.3 Facteurs Intégrants 9
I.3.2 Définition
Soit une différentielle de la forme :
δV = P (x, y)dx + Q(x, y)dy (I.6)
telle que :
∂P ∂y
= ∂Q∂y
Cette différentielle n’est pas exacte. On cherche alors une fonction auxiliaire F (x, y) telle que :
dU = F (x, y)P (x, y)dx + F (x, y)Q(x, y)dy (I.7)
soit une différentielle totale.Cette fonction F (x, y) est appelée facteur intégrant de la différentielle δV .
I.3.3 Détermination de facteurs intégrants monovariables
Il s’agit de trouver une fonction F (x, y) qui vérifie la relation :
∂ (FP )
∂y =
∂ (FQ)
∂x (I.8)
Soit :
P ∂F
∂y + F
∂P
∂y = Q
∂F
∂x + F
∂Q
∂x (I.9)
Restreignons nous ici à rechercher des fonctions monovariables F (x) ou F (y). Le cas général de fonctionsmultivariables sera traité dans le paragraphe II.4.1
I.3.3.1 Facteur intégrant de la forme F(x)
Si on recherche un facteur facteur intégrant de la forme F (x), il doit vérifier :
F ∂P
∂y = Q
dF
dx + F
∂Q
∂x
Soit en réarrangeant et en divisant par FQ :
1
Q
∂P
∂y =
1
F
dF
dx +
1
Q
∂Q
∂x
Soit :1
F
dF
dx =
1
Q(∂P
∂y −
∂Q
∂x)
Le facteur intégrant est obtenu par :
F (x) = e 1
Q
∂P
∂y −
∂Q
∂x
dx
I.3.3.2 Facteur intégrant de la forme F(y)
Si on recherche un facteur facteur intégrant de la forme F (y), il doit vérifier :
F ∂Q
∂x = P
dF
dy + F
∂P
∂y
Soit en réarrangeant et en divisant par FP :
1
P
∂Q
∂x =
1
F
dF
dy +
1
P
∂P
∂y
Soit :
1F
dF dy
= 1P
(∂Q∂x
− ∂P ∂y
)
Le facteur intégrant est obtenu par :
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10 Différentielles totales - Facteurs intégrants
F (y) = e
1
P
∂Q
∂x −
∂P
∂y
dy
D’une manière générale, on cherchera un facteur intégrant du type F (x) quand :
1
Q(∂P
∂y − ∂Q
∂x ) = f (x)
et un facteur intégrant du type F (y) quand :
1
P (∂Q
∂x −
∂P
∂y ) = g(y)
Exercice I.4 Résoudre :
y − xy′ = 0 (I.10)
solution :
Soit dV = ydx− xdy
Cette différentielle n’est pas exacte. On cherche F(x,y) telle que :
dU = F (x, y)dV
soit une différentielle exacte. Si on recherche F (x) alors il faut :
1
F
dF
dx =
1
−x(∂y
∂y −
∂ (−x)
∂x )
Soit :
1F
dF dx
= − 1x
(1 + 1)
F (x) = e
− 2
xdx = e
−2ln(x) = e
ln(x−2)
d’où
F (x) = 1
x2
La différentielle :
dU = F dV = 1
x2(ydx − xdy)
est une différentielle totale.Résoudre l’équation dV = 0 revient à résoudre l’équation dU = 0. Soit :
U (x, y) = y 1
x2dx + k(y) = − y
x + k(y)
et ∂U
∂y = −
1
x + k′(y)
N (x, y) = −1
x
⇒ k ′(y) = 0 ⇒ k(y) = Cte
D’où la solution :
U (x, y) = −y
x + Cte = C ⇒
y
x = C 1
où C 1 est une constante réelle soit :
y = C 1x
La solution de l’équation ( I.10 ) est donc une famille de ligne passant par l’origine.
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I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables 11
I.4 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables
Soient X (x,y,z), Y (x,y,z), Z (x,y,z) trois fonctions continues des trois variables x, y, z et δg laforme différentielle :
δg = X (x,y,z)dx + Y (x,y,z)dy + Z (x,y,z)dz
δg est une forme différentielle totale exacte si :
∂X
∂y =
∂Y
∂x
∂X
∂z =
∂Z
∂x
∂Y
∂z =
∂Z
∂y
Plus généralement : Soient X 1(x1, x2, . . . , xn), X 2(x1, x2, . . . , xn),..., X n(x1, x2, . . . , xn) n fonctions
continues des n variables x1, x2y, . . ., xn et δg la forme différentielle :
δg = X 1(x1, x2, . . . , xn)dx1 + X 2(x1, x2, . . . , xn)dx2 + . . . + X n(x1, x2, . . . , xn)dxn
δg est une forme différentielle totale exacte si :
∂X 1
∂xi,i=1=
∂X i,i=1
∂x1...
∂X j
∂xi,i=j=
∂X i,i=j
∂xj...
∂X n
∂xi,i=n= ∂X i,i=n
∂xn
Exercice I.5 Estimation d’une erreur
Soit un bloc rectangulaire de longueur x, largeur y et hauteur z. les mesure d’un tel bloc conduit aux valeurs suivantes : x=10cm, y=12cm, z=20cm avec une marge d’erreur de 0,05 cm. A partir de l’expres-sion de la différentielle totale exacte de l’aire de ce bloc, evaluer approximativement l’erreur maximale concernant l’aire du bloc ainsi que le pourcentage d’erreur dû aux erreurs de mesures.
solution :
l’aire d’un bloc rectangulaire s’écrit : S = 2(xy + xz + yz)
dS = ∂S
∂xdx +
∂S
∂ydy +
∂S
∂z dz
dS = 2(y + z)dx + 2(x + z)dy + 2(x + y)dz
La plus grande erreur que l’on peut commettre sur S si dx, dy et dz sont de même signe (positifs par exemple), d’où :
dS max = 2(12 + 20) ∗ 0, 05 + 2(10 + 20) ∗ 0, 05 + 2(12 + 10) ∗ 0, 05 = 8, 4cm2
Soit un pourcentage d’erreur de :
err = 100 ∗ dS max
S =
100 ∗ 8, 4
1120 = 0, 75%
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12 Différentielles totales - Facteurs intégrants
Exercice I.6 Soient trois variables indépendantes x, y et z. Montrer que l’expression :
dU = (3x2yz)dx + z(x3 + 2y)dy + y(x3 + y)dz
est une différentielle totale. En déduire l’expression de U (x,y,z).
solution :
soit : p = 3x2yz ; q = z(x3 + 2y) ; r = y(x3 + y) dU est une différentielle totale si :
∂p
∂y =
∂q
∂x
∂p
∂z =
∂r
∂x
∂q
∂z =
∂r
∂y
(I.11)
Calculons ces dérivées partielles :
∂p∂y
= 3x2z
∂q
∂x = 3x2z
∂p
∂z = 3x2y
∂r
∂x = 3x2y
∂q
∂z
= x3 + 2y
∂r
∂y = x3 + 2y
(I.12)
dU est bien une différentielle totale. On a :
∂U
∂x = 3x2yz
d’où :U = x3yz + g(y, z)
∂U
∂y = x3z +
∂g
∂y = q = x3z + 2yz
d’où :∂g
∂y = 2yz
soit :g(y, z) = y2z + f (z)
d’où :U = x3yz + y2z + f (z)
∂U
∂z = x3y + y2 +
df
dz = r = x3y + y2
d’où :df
dz = 0
On obtient alors :U (x,y,z) = x3yz + y2z + C
où C est une constante réelle.
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I.5 Différentielles totales et fonctions d’Etat 13
I.5 Différentielles totales et fonctions d’Etat
Soit dZ une différentielle totale. Alors :
Z 2Z 1
dZ = Z 2 − Z 1 = ∆Z
En physique, la fonction Z est dite équation d’état , et la valeur de ∆Z ne dépend pas du chemin suivi.Soit dV un différentielle qui n’est pas totale. En physique, on la notera δV . Dans ce cas :
Z 2Z 1
dZ = Z 2 − Z 1
La valeur de ∆V dépend du chemin suivi.
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14 Différentielles totales - Facteurs intégrants
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Chapitre II
Equations linéaires aux dérivées
partielles du premier ordre
II.1 Généralités
On donne le nom de système différentiel à tout système d’équations entre plusieurs fonctions inconnuesd’une même variable et leurs dérivées jusqu’à un certain ordre.Observons qu’il est toujours possible, en introduisant des fonctions inconnues auxiliaires, de ramener unsystème différentiel quelconque à un système dans lequel ne figurent que les dérivées du premier ordre des fonctions connues; c’est ainsi que le système :
d2x
dt2 + 5x− y = cos 2t
d2y
dx2 − x + 3y = 0
(II.1)
qui est du second ordre avec deux fonctions inconnues, peut se ramèner en introduisant les deux fonctions
auxiliaires inconnues u = dx
dt, v =
dy
dt, à la forme :
du
dt + 5x− y = cos 2t
dv
dt − x + 3y = 0
dx
dt = u
dy
dt = v
(II.2)
qui fait intervenir quatre équations du premier ordre entre quatre fonctions inconnues.Nous nous limiterons ici à l’étude des systèmes du premier ordre de n équations à n inconnues . Nous
supposerons, de plus, ces équations résolues par rapport aux dérivées des fonctions inconnues. Un telsystème est dit sous forme canonique :
∂x1
dt = f 1(x1, x2, . . . , xn, t)
...∂xn
dt = f n(x1, x2, . . . , xn, t)
(II.3)
où x1, x2, . . . , xn désignent n fonctions inconnues de la variable t. Ce système peut s’écrire ;
dxi
dt = f i(x1, x2, . . . , xn, t), i = 1, n
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16 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre
Toute solution du système (II.3) vérifie nécessairement le système (II.4) ci-dessous, obtenu en dérivant(n − 1) fois la première équation et en tenant compte chaque fois des équations qui la suivent dans ce
système et donnent dx1
dt , . . . ,
dxn
dt en fonction de x1, x2, . . . , xn et t :
dx1
dt
= f 1(x1, x2, . . . , xn, t)
dx21dt
= ϕ2(x1, x2, . . . , xn, t)
...dxn1dt
= ϕn(x1, x2, . . . , xn, t)
(II.4)
Toute fonction x1(t) vérifiant le système est donc solution de l’équation différentielle d’ordre n :
R
t, x1,
dx1
dt , . . . ,
dnx1
dtn = 0
(II.5)
obtenue en éliminant x2, x3, . . . , xn entre les équations (II.4).
Il résulte du théorème d’existence des solutions du système (II.3), et nous admettrons sans démons-tration que, réciproquement , si :
x1 = F 1(t, C 1, C 2, . . . , C n) (II.6)
désigne l’intégrale générale de l’équation (II.5), l’intégrale générale du système (II.3) s’obtient en portant
dans les n−1 premières équations de (II.4) les valeurs de x1, dx1
dt , . . . ,
dn−1x
dtn−1 , et en résolvant ces équations
en x2, x3, . . . , xn, sans par conséquent effectuer aucune intégration nouvelle.
Exercice II.1 Déterminer les fonctions z(x) et y(x) telles que :
xdy
dx + y + 2z = 0
xdz
dx − 3y − 4z = 0
(II.7)
où x, une variable indépendante.
solution :
Cherchons à former une équation résolvante du second ordre en y ; nous avons en dérivant la première équation du système ( II.7 ) :
xd2y
dx2 + 2dy
dx + 2dz
dx = 0 (II.8)
d’où en multipliant par x :
x2d2y
dx2 + 2x
dy
dx + 2x
dz
dx = 0 (II.9)
En remplaçant xdz
dx par sa valeur tirée de la seconde équation du système ( II.7 ), puis z par sa valeur tirée
de la première, nous obtenons l’équation résolvante :
x2d2y
dx2 − 2x
dy
dx + 2y = 0 (II.10)
Les solutions de cette équation (équation d’Euler) sont de la forme y = xr.
Soit : y′ = rxr−1 et y′′ = r(r − 1)xr−2
D’où l’équation caractéristique :
r(r − 1) − 2r + 2 = 0
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II.2 Intégrales premières d’un système différentiel 17
qui a pour racine r = 1 et r = 2. L’intégrale générale est :
y = Ax + Bx2
En portant ce résultat dans la première équation du système ( II.7 ), nous obtenons sans intégration nou-velle :
z = −1
2y + x
dy
dx
= −Ax− 3
2Bx2
(II.11)
où A et B sont des constantes réelles. On peut facilement vérifier que quelque soient les valeurs des constantes A et B, les fonctions y(x) et z(x) ainsi trouvées vérifient bien le système d’équations différen-tielles ( II.7 ).
II.2 Intégrales premières d’un système différentiel
On cherche à résoudre des systèmes différentiels du premier ordre donnés sous forme canonique :
dx1dt
= f 1(x1, x2, . . . , xn, t)...
dxndt
= f n(x1, x2, . . . , xn, t)
(II.12)
On suppose que ce système admet une solution unique répondant aux conditions initiales : xi = x0i pour
t = t0.L’ensemble des solutions dépend de n constantes arbitraires C 1, C 2, . . ., C n.L’ensemble :
x1 = F 1(C 1, C 2, . . . , C n, t)
...xn = F 1(C 1, C 2, . . . , C n, t)
(II.13)
constitue l’intégrale générale du système. Si l’on résoud le système (II.13) par rapport à C i, on peut
exprimer l’intégrale générale du système sous la forme
Φ1(x1, x2, . . . , xn, t) = C 1...
Φn(x1, x2, . . . , xn, t) = C n
(II.14)
Les fonctions Φi qui sont des constantes sont dites intégrales premières du système (II.12).
D’ne manière générale, on appelle intégrale première d’un système différentiel, toute fonction de x1, x2, . . . , xnet qui se réduit à une constante si l’on y remplace x1, x2, . . . , xn par des fonctions de t constituant unesolution quelconque de ce système.
On démontre que , réciproquement, toute intégrale première de ce système peut s’exprimer en fonctiondes Φi seules. les intégrales premières ainsi mises en causes (ou tout autre système de n intégrales premièresindépendantes) constituent un système fondamental d’intégrales premières.
Exercice II.2 Soit x, une variable indépendante. Déterminer les fonctions y(x) et z(x) solutions du système :
xdy
dx + y + 2z = 0
xdz
dx − 3y − 4z = 0
(II.15)
solution :
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18 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre
dx
x = −
dy
y + 2z =
dz
3y + 4z (II.16)
Les égalités exprimées dans l’équations ( II.16 ) peuvent s’écrire :
dx
x
= − (−3)dy
(−3)(y + 2z)
= (−2)dz
(−2)(3y + 4z)
= 3dy + 2dz
3y + 2z =
d(3y + 2z)
3y + 2z (II.17)
D’après l’équation ( II.15 ), les fonctions u1(x) = 3y(x) + 2z(x) et v(x) = x ayant la même différentielle logarithmique, elles ont un rapport constant.
Φ1 = 3y + 2z
x = C 1 (II.18)
est une intégrale première du système ( II.15 ). L’équation ( II.15 ) conduit également à :
dx
x = −
dy
y + 2z =
dz
3y + 4z =
dy + dz
2(y + z) (II.19)
D’après l’équation ( II.19 ), les fonctions u2(x) = y(x) + z(x) et v(x) = x ont des différentielles logarith-miques proportionnelles, on a donc :
Φ2 = y + zx2
= C 2 (II.20)
où Φ2 est une intégrale première du système ( II.15 ).
II.2.1 Généralités sur les équations linéaires et homogènes aux dérivées par-
tielles du 1er ordre
Soit xn une variable indépendante.Considérons n − 1 fonctions : x1(xn), x2(xn), . . ., x(n− 1)(xn) vérifiant :
dx1
X 1(x1, x2, . . . , xn) =
dx2
X 2(x1, x2, . . . , xn) = . . . =
dxn
X n(x1, x2, . . . , xn) (II.21)
Ce système possède (n-1) intégrales premières. Soit f (x1, x2, . . . , xn) une intégrale première du système.Si les fonctions de x1, x2, . . ., xn−1 de xn vérifient le système, f se réduit à une constante et sa différentielleest donc nulle.
∂f
∂x1dx1 +
∂f
∂x2dx2 + . . . +
∂f
∂xndxn = 0 (II.22)
D’après la relation (II.21), on a :
dxi = X i
X ndxn (II.23)
Il en résulte que la fonction f vérifie la relation :
X 1∂f
∂x1+ X 2
∂f
∂x2+ . . . + X n
∂f
∂xn= 0 (II.24)
qui est linéaire, homogène par rapport aux dérivées partielles ∂f ∂xi
et qui constitue donc une équation
linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1er ordre.
Réciproquement, si f est solution de l’équation (II.25) et si l’on y remplace par des fonctions x1, x2,. . . , xn−1 de xn vérifiant l’équation (II.21), la relation (II.22) est vérifiée. Donc, f = C est une intégralepremière de l’équation (II.21).
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation (II.25) est identique à l’ensemble des intégrales premières dusystème différentiel (II.21) que l’on appele système adjoint ou caractéristique de l’équation (II.25).
Si on connait n−1 intégrales premières distinctes f 1, f 2, . . ., f n−1 du système adjoint, toute intégralepremière f est fonction de f 1, f 2, . . ., f n−1 . L’ensemble des solutions de l’équation linéaire et homogène
(II.21) est représentée par une fonction de n− 1 intégrales premières du système adjoint :
f = Ω(f 1, xf 2, . . . , f n−1) (II.25)
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II.3 Eq. lin. et hom. aux dérivées partielles du 1er ordre : cas d’une fonction de 2 var. 19
II.3 Equation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1er
ordre dans le cas d’une fonction de 2 variables
Soit Z = ϕ(x, y) la fonction inconue.
Soient p = ∂Z
∂x, q =
∂Z
∂y ses dérivées partielles. Soit l’équation :
P (x,y,Z )∂Z
∂x + Q(x,y,Z )
∂Z
∂y = R(x,y,Z ) (II.26)
etf (x,y,Z ) = f (x,y,ϕ(x, y)) = 0 (II.27)
une équation implicite contenant Z .D’après la théorie des fonctions implicites,
f ′x + f ′Z ∂Z
∂x = 0
f
′
y + f
′
Z
∂Z
∂y = 0
(II.28)
avec : f ′x = ∂f
∂x, f ′y =
∂f
∂y, f ′Z =
∂f
∂Z d’où :
p = ∂Z
∂x = −
f ′xf ′Z
q = ∂Z
∂y = −
f ′y
f ′Z
(II.29)
L’équation (II.26) s’écrit :
P (x,y,Z )f ′xf ′Z
+ Q(x,y,Z )f ′y
f ′Z + R(x,y,Z ) = 0 (II.30)
soit :
P (x,y,Z )∂f
∂x + Q(x,y,Z )
∂f
∂y + R(x,y,Z )
∂f
∂Z = 0 (II.31)
On ramène ainsi l’intégration de (II.26) à celle d’un équation homogène. Si φ1 = C 1 et φ2 = C 2 sont deuxintégrales premières du système adjoint :
dx
P (x,y,Z ) =
dy
Q(x,y,Z ) =
dZ
R(x,y,Z ) (II.32)
l’intégrale générale est une fonction arbitraire :
φ = Ω(φ1, φ2)
et l’équation générale des surfaces intégrales de l’équation (II.26) peut s’écrire :
Ω(φ1, φ2) = 0
Exercice II.3 Résoudre l’équation :
x∂Z
∂x + 2(y − a)
∂Z
∂y = Z (x, y) (II.33)
solution :
Le système adjoint est :
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20 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre
dx
x =
dy
2(y − a) =
dZ
Z (II.34)
De ce système, on obtient deux intégrales premières :
Z = C 1x
x2 = C 2(y − a) (II.35)
On a C 1 = Ω(C 2), soit :
Z (x, y) = xΩ( x2
y − a)
où Ω désigne une fonction arbitraire.
II.4 Facteur intégrant d’une forme différentielle du premier ordre
à deux variables
II.4.1 Détermination d’un facteur intégrant de la forme µ(x, y)
Nous avons vu dans le paragraphe I.3.3, comment déterminer les facteurs intégrants d’une formedifférentielle non exacte de la forme F (x) ou F (y). Nous recherchons ici les facteurs intégrants de laforme µ(x, y)Soit
δV = P (x, y)dx + Q(x, y)dy
une forme différentielle à 2 variables, telle que :
∂P
∂y =
∂Q
∂y
µ(x, y) est un facteur intégrant, si
dU = µP (x, y)dx + µQ(x, y)dy
est une différentielle totale, c’est à dire si :
∂ (µP )
∂y =
∂ (µQ)
∂x
Soit :
Q∂µ
∂x − P
∂µ
∂y = µ
∂P
∂y −
∂Q
∂x
(II.36)
L’équation (II.36) est une équation linéaire aux dérivées partielles du 1er ordre. le système adjoint s’écrit :
dx
Q = −dy
P = dµ
µ
∂P ∂y − ∂Q
∂x
En intégrant l’équation différentielle P dx+ Qdy = 0, on trouve une intégrale première. Soit φ(x, y) = C 1l’expression de cette intégrale première. On peut calculer y en fonction de x et C 1. P (x, y) et Q(x, y)deviennent alors des fonctions de x et C 1 de sorte que :
∂µ
µ =
1
Q
∂P
∂y −
∂Q
∂x
dx (II.37)
est une équation différentielle à variables séparées. En intégrant on trouve :
µ = C 2F (x,C 1)
soit :F (x, φ(x, y)) = G(x, y)
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II.4 Facteur intégrant d’une forme différentielle du premier ordre à deux variables 21
etµ
G(x, y)
est la seconde intégrale première du système adjoint. On trouve tous les facteurs intégrants en écrivant
que µ
G(x, y) est une fonction de φ(x, y), soit :
µ = G(x, y)H [φ(x, y)]
H étant une fonction arbitraire d’une variable.
Exercice II.4 Trouver tous les facteurs intégrants de la forme différentielle :
δV = −ydx + xdy
.
solution :
Soit M (x, y) = −y et N (x, y) = x.
∂M
∂y = −1
∂N
∂x = 1
⇒
∂M
∂y =
∂N
∂x ⇒ la différentielle δV n’est pas exacte
µ(x, y) est un facteur intégrant de δV si la forme différentielle
dU = −µydx + µxdy
est exacte. µ doit donc vérifier :
∂ (µ(−y))∂y
= ∂ (µx)∂x
soit :
−µ− y∂ (µ)
∂y = µ +
∂ (µ)
∂x
soit :
2µ + y∂ (µ)
∂y +
∂ (µ)
∂x = 0
Le système adjoint à cette équation aux dérivées partielles est :
dx
x =
dy
y = −
dµ
2µ (II.38)
Les intégrales premières de ce système adjoint sont :
y = C 1x
x2 = C 2
µ
(II.39)
d’où :
µ(x, y) = 1
x2Ω(
y
x)
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22 Equations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre
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Chapitre III
Equations aux dérivées partielles
d’ordre n à 2 variables, linéaires et
homogène, à coefficients constants
III.1 Définition
Soit :
Ω(Z ) = A0∂ nZ
∂xn + A1
∂ nZ
∂xn−1∂y + . . . + Ak
∂ nZ
∂xn−k∂yk + . . . + An
∂ nZ
∂yn = 0 (III.1)
où les Ai sont des coefficients constants. Considérons l’équation :
ϕ(r) = A0rn + A1r
n−1 + . . . + Akrn−k + . . . + An = 0 (III.2)
Soient α1, α2, . . ., αn les racines réelles de cette équation. Si Ω(Z ) désigne l’opérateur constituant l’équa-
tion (III.1), l’identité algébrique :
ϕ(r) = A0(Z − α1)(Z − α2) . . . (Z − αn) (III.3)
a pour conséquence l’identité symbolique :
Ω(Z ) = A0
∂
∂x − α1
∂
∂y
∂
∂x − α2
∂
∂y
. . .
∂Z
∂x − αn
∂Z
∂y
(III.4)
Si on introduit les inconnues auxiliaires Z i, le système (III.10) est équivalent à l’équation (III.4) :
∂Z
∂x − αn
∂Z
∂y = Z n−1
∂Z n−1
∂x − αn−1
∂Z n−1
∂y = Z n−2
...∂Z n−k
∂x − αn−k
∂Z n−k
∂y = Z n−k−1
...∂Z 1
∂x − α1
∂Z 1
∂y = 0
(III.5)
Ces diverses équations sont des équations linéaires aux dérivées partielles en Z 1 puis en Z 2, . . ., Z n−1 etZ .
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24 Eq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts
exemple Pour n = 2, l’équation (III.1) s’écrit :
Ω(Z ) = A0∂ 2Z
∂x2 + A1
∂ 2Z
∂x∂y + . . . + A2
∂ 2Z
∂y2 = 0 (III.6)
L’équation (III.4) devient :
Ω(Z ) = A0
∂
∂x − α1
∂
∂y
∂Z
∂x − αn
∂Z
∂y
(III.7)
Si on développe l’équation (III.7), on obtient :
∂
∂x − α1
∂
∂y
∂Z
∂x − αn
∂Z
∂y
=
∂ 2Z
∂x2 − α2
∂ 2Z
∂x∂y − α1
∂ 2Z
∂x∂y + α1α2
∂ 2Z
∂y2 = 0
= ∂ 2Z
∂x2 − (α1 + α2)
∂ 2Z
∂x∂y + α1α2
∂ 2Z
∂y2 = 0
D’où : A0 = 1, A1 = −(α1 + α2), A2 = α1α2 et
(r − α1)(r − α2) = r2 − (α1 + α2)r + α1α2
III.2 Intégration
1re étape Considérons tout d’abord :∂Z 1
∂x − α1
∂Z 1
∂y = 0
Le système adjoint à cette équations aux différentielles partielles est :
dx
1 = −
dy
α1=
dZ 1
0 (III.8)
Les intégrales premières sont donc :
C 1 = y + α1x
C 2 = Z (III.9)
L’intégrale générale est alors :
Z 1 = ϕ1(y + α1x)
où ϕ1 est une fonction arbitraire.
2me étape Portons cette valeur de Z 1 dans l’équation :
∂Z 2
∂x − α2
∂Z 2
∂y = Z 1
Soit :∂Z 2
∂x − α2
∂Z 2
∂y = ϕ1(y + α1x)
Le système adjoint à cette équation aux différentielles partielles est :
dx
1 = −
dy
α2=
dZ 2
ϕ1(y + α1x) (III.10)
L’intégration dépend des valeurs respectives de α1 et α2.
1. Premier cas : α1 = α2
dx
1
= −dy
α2
⇒ y = α2x = K
Il en résulte :
ϕ1(y + α1x) = ϕ1 [K + (α1 − α2)x)]
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III.2 Intégration 25
Posons : u = K + (α1 − α2)x)
du = (α1 − α2)dx
D’après le système adjoint (III.10), on a :
dZ 2 =
1
α1 − α2ϕ1(u)du
Il apparait comme nouvelle intégrale première :
Z 2 − Φ1(u) = K ′
où (α1 − α2)Φ1(u) est une primitive de ϕ1(u).Soit :
Z 2 − Φ1(y + α1x) = K ′
L’intégrale générale s’obtient en écrivant que K’ est une fonction arbitraire de K, Φ2(K ), soit :
Z 2 = K ′ + Φ1(y + α1x) = Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x)
2. Deuxième cas cas : α1 = α2 Le système adjoint s’écrit alors :
dx
1 = −
dy
α1=
dZ 2
ϕ1(y + α1x) (III.11)
Il admet toujours comme intégrale première :
y + α1x = K
d’où :dx
1 =
dZ 2
ϕ1(K )
soit :Z 2 − xϕ1(K ) = K ′
Z 2 = xϕ1(K ) + K ′
L’intégrale générale s’obtient en écrivant que K ′ est une focntion arbitraire de K, soit :
Z 2 = xϕ1(y + α1x) + ϕ2(y + α2xK )
3me étape Résolution de :∂Z 3
∂x − α3
∂Z 3
∂y = Z 2
Il faut distinguer suivant les valeurs de α1, α2 et α3.
1. Premier cas : α1 = α2 = α3
Il faut résoudre :∂Z 3
∂x − α3
∂Z 3
∂y = Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x)
Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est :
dx
1 = −
dy
α3=
dZ 3
Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x) (III.12)
Ce système admet comme intégrale première :
y + α3x = C 1
Il en résulte que :
Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x) = Φ1 [(C 1 + (α1 − α3)x] + Φ2 [(C 1 + (α2 − α3)x](III.13)
= Φ1(u) + Φ2(v) (III.14)
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26 Eq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts
en posant :
u = C 1 + (α1 − α3)x = y + α1x
v = C 1 + (α2 − α3)x = y + α2x (III.15)
On a alors :
dZ 3 = [Φ1(u) + Φ2(v)] dx (III.16)
= 1
α1 − α3Φ1(u)du +
1
α2 − α3Φ2(v)dv (III.17)
D’où :
Z 3 = Ψ1(u) + Ψ1(v) + C 2 (III.18)
= Ψ1(y + α1x) + Ψ2(y + α2x) + C 2 (III.19)
Z 3 = Ψ1(y + α1x) + Ψ2(y + α2x) + Ψ3(y + α3x)
2. Deuxième cas : α2 = α3 = α1 Il faut résoudre :
∂Z 3∂x
− α2∂Z 3∂y
= Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x)
Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est :
dx
1 = −
dy
α2=
dZ 3
Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x) (III.20)
Ce système admet comme intégrale première :
y + α2x = C 1
Il en résulte que :
Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x) = Φ1 [(C 3 + (α1 − α2)x] + Φ2(C 3) (III.21)
= Φ1(w) + Φ2(C 3) (III.22)
En posant :w = C 3 + (α1 − α2)x = y + α1x
On a alors :
dZ 3 = [Φ1(w) + Φ2(C 3)] dx (III.23)
= 1
α1 − α2Φ1(w)dw + Phi2(C 3)dx (III.24)
d’où :
Z 3 = Θ(w) + xΨ2(C 3) + C 4 (III.25)
= Θ(y + α1x) + xΨ2(y + α2x) + C 4 (III.26)
L’intégrale générale sera donc :
Z 3 = Θ(y + α1x) + xΨ2(y + α2x) + Ψ3(y + α2x)
3. Troisième cas : α1 = α2 = α3 Il faut résoudre :
∂Z 3
∂x − α1
∂Z 3
∂y = xΦ1(y + α1x) + Φ2(y + α1x)
Le système adjoint associé à cette équation aux dérivées partielles est :dx
1 = −
dy
α1=
dZ 3
xΦ1(y + α1x) + Φ2(y + α1x) (III.27)
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III.3 Généralisation 27
Ce système admet comme intégrale première :
y + α1x = C 5
Il en résulte que :
xΦ1(y + α1x) + Φ2(y + α1x) = xΦ1(C 5) + Φ2(C 5)
On a alors :
dZ 3 = xΦ1(C 5)dx + Φ2(C 5)dx
d’où :
Z 3 = x2Ω1(C 5) + xΩ2(C 5) + C 6 (III.28)
= x2Ω1(y + α1x) + xΩ2(y + α1x) + C 6 (III.29)
L’intégrale générale sera donc :
Z 3 = x2Ω1(y + α1x) + xΩ2(y + α1x) + Ω3(y + α1x)
III.3 Généralisation
1. Si l’équation caractéristique ϕ(r) = 0 n’admet que des racines simples α1, α2, . . . , αn, l’intégralegénérale est données par :
Z = Φ1(y + α1x) + Φ2(y + α2x) + . . . + Φn(y + αnx) (III.30)
où les (Φi) sont des fonctions arbitraires d’une variable.
2. Si l’équation caractéristique ϕ(r) = 0 admet des racines multiples αk d’ordre pk à chaque racinecorrespnd un polynome entier de degré ( pi − 1) en x de la forme :
Φ1(y + αkx) + xΦ2(y + αkx) + x2Φ3(y + αkx) + . . . + x( pk−1)Φ pk(y + αkx)
où les (Φi) sont des fonctions arbitraires d’une variable.
Exercice III.1 Résoudre l’équation aux dérivées partielles d’ordre 3 suivante :
∂ 3Z
∂x3 − 2
∂ 3Z
∂x2∂y −
∂ 3Z
∂x∂y2 + 2
∂ 3Z
∂y3 = 0 (III.31)
solution :
L’équation caractéristique est :r3 − 2r2 − r + 2 = 0 (III.32)
Soit
(r − 1)(r + 1)(r − 2) = 0
l’équation ( III.32 ) n’admet que des racines simples, d’où :
Z (x, y) = Z = Φ1(y + x) + Φ2(y − x) + . . . + Φ3(y + 2x)
III.4 Equations aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et
homogène, à coefficients constants
Soit la différentielle :
dZ = A(x,y,Z )dx + B(x,y,Z )dy (III.33)
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28 Eq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts
où dx,dy, et dZ désignent les différentielles de 3 variables parmi les quelles 2 sont indépendantes, parexemple x et y. Si on considère Z(x,y) comme une fonction inconnues des 2 variables indépendantes x ety, l’équation (III.33) est équivalente aux deux équations aux dérivées partielles :
∂Z
∂x = A(x,y,Z )
∂Z
∂y = B(x,y,Z )
(III.34)
En calculant les dérivées d’ordre 2, successivelment par rapport à y, puis par rapport à x, on établit :
∂ 2Z
∂x∂y =
∂A
∂y +
∂A
∂Z
∂Z
∂y =
∂A
∂y + B
∂A
∂Z
∂ 2Z
∂y∂x =
∂B
∂x +
∂B
∂Z
∂Z
∂x =
∂B
∂x + A
∂B
∂Z
(III.35)
D’après l’égalité des dérivées secondes :
∂A
∂y + B
∂A
∂Z =
∂B
∂x + A
∂B
∂Z (III.36)
Si la relation (IV.2) est vérifiée, x et y étant des variables indépendantes, l’équation (III.33) est complè-tement intégrable.
démonstration Considérons l’équation :
∂Z
∂x = A(x,y,Z ) (III.37)
considérée comme une équation diférentielle ordianire du premier ordre entre ka fonction Z et la variableindépendante x. Son intégrale générle dépend de x et y et de la constante d’intégration γ (y). Soit Z =
ϕ [x,y,γ (y)] Ainsi l’équation :∂Z
∂y = B(x,y,Z ) (III.38)
devient :∂Z
∂y = B(x,y,ϕ [x,y,γ (y)]) (III.39)
par ailleurs,∂Z
∂y =
∂
∂yϕ [x,y,γ (y)] (III.40)
D’où :
B(x,y,ϕ [x,y,K (y)]) = ∂
∂yϕ [x,y,γ (y)] (III.41)
Soit :
B(x,y,ϕ [x,y,K (y)]) = ∂ϕ
∂γ
∂γ
∂y
En dérivant le second terme de l’équation (IV.10) par rapport à y, on trouve :
∂γ
∂y =
B(x,y,ϕ [x,y,K (y)]) − ∂ϕ∂y
∂ϕ∂γ
(III.42)
Montrons que cette dernière équation est une équation différentielle ordinaire en entre γ et y seuls,c’est à dire que le second membre ne dépend pas de x. Pour cela, il suffit de montrer que la dérivée dusecond membre par rapport à x est nul. Soit :
C =B(x,y,ϕ [x,y,K (y)])− ∂ϕ
∂y
∂ϕ∂γ
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III.4 Eq. aux dérivées partielles à 3 variables, linéaires et homogènes, à coeff. csts 29
∂C
∂x =
∂ϕ
∂γ
B
∂x +
B
∂Z
∂ϕ
∂x −
∂ 2ϕ
∂x∂y
−
B −
∂ϕ
∂y
∂ 2ϕ
∂γ∂x (III.43)
Nous avons :
∂Z
∂x =
∂ϕ
∂x = A(x,y,ϕ)
∂ 2ϕ
∂x∂y =
∂A
∂y +
∂A
∂Z
∂ϕ
∂y
∂ 2ϕ
∂x∂γ =
∂A
∂Z
∂ϕ
∂γ
(III.44)
En remplaçant ces équations dans l’équation (III.43), on obtient :
∂C
∂x =
∂ϕ
∂γ
B
∂x + A
B
∂Z −
∂A
∂y −
∂A
∂Z
∂ϕ
∂y
−
B −
∂ϕ
∂y
∂A
∂Z
∂ϕ
∂γ (III.45)
= ∂ϕ
∂γ
B
∂x + A
B
∂Z −
∂A
∂y −B
∂A
∂Z
(III.46)
Donc, Si la relation (IV.2) :∂A
∂y + B
∂A
∂Z =
∂B
∂x + A
∂B
∂Z (III.47)
est vérifiée, alors ∂C ∂x
= 0 et donc la différentielle est complètement intégrable.
Exercice III.2 Soit :dZ =
x
Z dx +
y
Z dy (III.48)
solution :
posons : A = x
Z et B =
y
Z
dZ est complètement intégrable si la relation( IV.2 ) est vérifiée. Soit si :
∂A
∂y + B
∂A
∂Z =
∂B
∂x + A
∂B
∂Z (III.49)
Or :
∂A
∂y + B
∂A
∂Z =
y
Z
−x
Z 2 = −xy
Z 3
∂B
∂x + A
∂B
∂Z =
x
Z
−y
Z 2 = −xy
Z 3
(III.50)
La relation( IV.2 ) est bien vérifiée, dZ est donc complètement intégrable. On a :
ZdZ = xdx + ydy (III.51)
d’où :x2 + y2 + C = Z 2
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30 Eq. aux dérivées partielles d’ordre n à 2 variables, linéaires, homogènes, à coeff. csts
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Chapitre IV
Equations non linéaires aux dérivées
partielles du premier ordre
IV.1 Méthode d’intégration
On cherche à résoudre des équations du type :
F (x,y,Z, ∂Z
∂x, ∂Z
∂y ) = 0 (IV.1)
par exemple :
∂Z ∂x2
+∂Z ∂y2
= a2
Soit p = ∂Z
∂x et q =
∂Z
∂y .
A l’équation à résoudre F (x,y,Z,p,q ) = 0, associons une seconde équation de la forme :
G(x,y,Z,p,q ) = λ
où λ est un paramètre, et cherchons à déterminer G, fonction de 5 variables telle que ces deux équations
soient compatibles. leurs solutions communes dépendent alors d’une constante d’intégration µ de sortequ’elles constituent une solution de F = 0 dépendant alors de λ et de µ. Pour former la condition decompatibilité, on tire p et q des 2 équations. Ce sont des fonctions de x, y et Z et l’on écrit :
dZ = pdx + qdy
est complètement intégrable si :
∂p
∂y + q
∂p
∂Z =
∂q
∂x + p
∂q
∂Z (IV.2)
On calcule des dérivées de p et q en dérivant les 2 éuqations par rapport à x, y et Z , considérées comme
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32 Equations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre
variables indépendantes :
F x + ∂p
∂xF p +
∂q
∂xF q = 0
F y + ∂p
∂yF p +
∂q
∂yF q = 0
F Z + ∂p
∂Z F p +
∂q
∂Z F q = 0
Gx + ∂p
∂xG p +
∂q
∂xGq = 0
Gy + ∂p
∂yG p +
∂q
∂yGq = 0
GZ + ∂p
∂Z G p +
∂q
∂Z Gq = 0
(IV.3)
Remarque :On a ainsi considéré p et q comme des fonctions de x, y et Z variables indépendantes. C’estseulement en écrivant la condition d’intégrabilité que l’on considère que Z est une fonction de x et y . Ona ainsi :
(F pGq − F qG p)∂p
∂x = F qGy − F yGq
(F pGq − F qG p)∂q
∂x = F xG p − F pGx
(F pGq − F qG p) ∂p
∂Z = F qGZ − F Z Gq
(F pGq − F qG p) ∂q ∂Z
= F Z G p − F pGZ
(IV.4)
Or, F pGq − F qG p est le déterminant du jacobien de F et G par rapport aux variables p et q . Comme F et G ne sont pas liées, ce déterminant est non nul. Donc
F pGq − F qG p = 0
la condition d’intégrabilité s’écrit donc :
F qGy − F yGq + q (F qGZ − F Z Gq) = F xG p − F pGx + p(F Z G p − F pGZ )
soit :F pGx + F qGy + ( pF p − qF q)GZ − (F x + pF Z )GP − (F y + qF Z )Gq = 0 (IV.5)
L’équation (IV.10) est une équation aux dérivées partielles, linéaire, homogène de la fonction G de 5variables. Le système adjoint associé est :
dx
F p=
dy
F q=
dZ
pF p − qF q=
dp
F x + pF Z =
dq
F y + qF Z (IV.6)
Toute intégrale première de ce système contenant effectivement p ou q fournit une fonction G(x,y,Z,p,q).Il n’est pas nécessaire de connaitre toutes les intégrales premières. Il suffit d’en connaitre une, puis onintègre le système :
F = 0G− λ = 0
(IV.7)
qui est un système complètement intégrable d’après la condition d’intégrabilité. On tire alors p et q et onintègre la différentielle :
dZ = pdx + qdy
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IV.1 Méthode d’intégration 33
1. On intègre G− λ = 0 en la considérant comme une équation différentielle ordianire en x et z s’il ya p dans G ou en y et Z s’il y a q dans G. l’intégration est alors fonction d’une constante Ψ(y) ouΨ(x).
2. On intègre ensuite la deuxième équation qui est une équation différentielle relative à Ψ(y) ou Ψ(x).
Exercice IV.1 Résoudre : ∂Z ∂x
2
+∂Z ∂y
2
= a2
solution :
Posons :
p = ∂Z
∂x
et
q = ∂Z
∂y
On doit résoudre :
p2
+ q 2
= a2
on a :F x = 0;F y = 0; f Z = 0F p = 2 pF q = 2q
Le système adjoint s’écrit :dx
2 p =
dy
2q =
dZ
2 p2 + 2q 2 =
dp
0 =
dq
0 (IV.8)
d’où : p = C 1
et q = C 2
d’où : dx
C 1=
dy
C 2⇒
y
C 2−
x
C 1= C 3 (IV.9)
et dx
C 1=
dZ
p2 + q 2 =
dZ
a2 ⇒
Z
a2 −
x
C 1= C 4 (IV.10)
Parmi ces quatre intégrales premières, il suffit d’en choisir une seule pour résoudre le problème. Prenons par exemple : p = C 1 on doit intégrer le système :
p2 + q 2 = a2
p = C 1(IV.11)
si on pose C 1 = acosλ alors
p = acosλ = ∂Z ∂x
et
q = asinλ = ∂Z
∂y
d’où :dZ = acosλdx + asinλdy
d’où Z = axcosλ + aysinλ + µ
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