06 vektor di bidang dan di ruang
TRANSCRIPT
![Page 1: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/1.jpg)
12/04/23 16:18 1
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
![Page 2: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/2.jpg)
12/04/23 16:18 2
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcic
c
c
c
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
c
c
c
c
adalah 2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
![Page 3: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/3.jpg)
12/04/23 16:18 3
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
![Page 4: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/4.jpg)
12/04/23 16:18 4
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
![Page 5: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/5.jpg)
12/04/23 16:18 5
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah dengan Jika k < 0 berlawanan arah dengan
![Page 6: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/6.jpg)
12/04/23 16:18 6
3211 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
![Page 7: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/7.jpg)
12/04/23 16:18 7
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
![Page 8: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/8.jpg)
12/04/23 16:18 8
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
![Page 9: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/9.jpg)
12/04/23 16:18 9
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2
182
![Page 10: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/10.jpg)
12/04/23 16:18 10
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
![Page 11: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/11.jpg)
12/04/23 16:18 11
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
222
21 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
![Page 12: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/12.jpg)
12/04/23 16:18 12
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
![Page 13: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/13.jpg)
12/04/23 16:18 13
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproyc b
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2b
bak
![Page 14: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/14.jpg)
12/04/23 16:18 14
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
3
4
2
u
4
3
1
v
bb
baaoyb 2Pr
![Page 15: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/15.jpg)
12/04/23 16:18 15
Jawab :
4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
Pr
222
2v
v
vwwoyv
![Page 16: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/16.jpg)
12/04/23 16:18 16
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBB
AAA
kji
BxAC
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA ˆˆˆ21
21
31
31
32
32
![Page 17: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/17.jpg)
12/04/23 16:18 17
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j1.1)2(3 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
![Page 18: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/18.jpg)
12/04/23 16:18 18
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c. 2222vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
![Page 19: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/19.jpg)
12/04/23 16:18 19
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222vuvuvu
222cos vuvu
22222cos vuvu
222cos1 vu
222sin vu
sin, vuvxuJadi
![Page 20: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/20.jpg)
12/04/23 16:18 20
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu2
1segitigaLuas
![Page 21: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/21.jpg)
12/04/23 16:18 21
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)
AB
AC
![Page 22: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/22.jpg)
12/04/23 16:18 22
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541
223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
10016942
1Luas
2732
1
![Page 23: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/23.jpg)
12/04/23 16:18 23
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322
223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA2
11001694
2
1
2732
1
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
![Page 24: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/24.jpg)
12/04/23 16:18 24
Latihan Bab 4
1. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
1
2a
2
3b
3
1
2
a
2
2
1
b
![Page 25: 06 Vektor Di Bidang Dan Di Ruang](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050620/5571f8e049795991698e4ae9/html5/thumbnails/25.jpg)
12/04/23 16:18 25
3. Tentukan proyeksi ortogonal vektor berikut ini
dan
– Tentukan proyeksi ortogonal u terhadap v– Tentukan proyeksi ortogonal v terhadap u– Lakukan cross product u x v
4. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
1
3
7
u
4
0
2
v