第06章树和二叉树(java版)

《数据结构（ Java 版）（第 3 版）》

第 6 章树和二叉树6.1 树及其抽象数据类型6.2 二叉树及其抽象数据类型6.3 二叉树的表示和实现6.4 线索二叉树6.5 Huffman编码与Huffman树6.6 树的表示和实现

本章是数据结构课程的重中之重，也是难点所在，表现为二叉链表存储结构和递归算法相结合。链式存储结构和递归算法本身就是两个难点，建立二叉树需要将它们有机结合。


目的和要求目的：理解树型结构；掌握链式存储结构表达非

线性结构，掌握递归算法设计。• 内容：二叉树的定义、性质、存储结构，二叉链

表表示的二叉树类；中序线索二叉树；Huffman 树；树的定义、存储结构和实现。

• 要求：理解树和二叉树概念，掌握树和二叉树的表示和实现，掌握递归算法设计。

• 重点：二叉链表表示的二叉树类； Huffman 树；树的定义、存储结构和构造算法。

• 难点：链式存储结构表达非线性结构；递归算法设计。

• 实验：树和二叉树的基本操作，链式存储结构表示树和二叉树；递归算法。


6.1 树及其抽象数据类型6.1.1 树定义 6.1.2 树的术语6.1.3 树的表示法 6.1.4 树抽象数据类型


6.1.1 树定义树（ tree ）是由 n（ n≥0 ）个结点组成的

有限集合。 n=0 的树称为空树； n>0 的树 T ：根（ root ）结点，它没有前驱结点。其他结点分为 m 棵互不相交的子树。


6.1.2 树的术语

1. 父母、孩子与兄弟结点2. 度 3. 结点层次、树的高度4. 边、路径 5. 无序树、有序树 6. 森林


6.1.3 树的表示法

1. 图示法2. 横向凹入表示法

AB

EF

CG

DHIJ

3. 广义表表示 A(B(E, F), C(G), D(H, I,

J))


6.1.4 树抽象数据类型

public interface TTree<T> // 树接口{ boolean isEmpty(); // 判断是否空树 TreeNode<T> getChild(TreeNode<T> p,int i);// 返回 p 第 i 个孩子 TreeNode<T> getParent(TreeNode<T> node);// 返回 node 的父

母 int count(); // 树的结点个数 int height(); // 树的高度 TreeNode<T> search(T x); // 查找并返回元素为 x 的结点 void preOrder(); // 先根次序遍历树 void postOrder(); // 后根次序遍历树 void levelOrder(); // 按层次遍历树 void insertRoot(T x); // 插入元素 x 作为根结点 TreeNode<T> insertChild(TreeNode<T> p,T x,int i);// 插入孩子 void removeChild(TreeNode<T> p, int i); // 删除孩子}


6.2 二叉树及其抽象数据类型

6.2.1 二叉树定义

6.2.2 二叉树性质

6.2.3 二叉树的遍历

6.2.4 二叉树抽象数据类型


6.2.1 二叉树定义

二叉树（ binary tree ）是 n 个结点的有限集合：空二叉树；由一个根结点、两棵互不相交的左子树和右子

树组成。


6.2.2 二叉树性质

性质 1 ：若根结点的层次为 1 ，则二叉树第 i层最多有 2i1 （ i≥1 ）个结点。

性质 2 ：在高度为 k 的二叉树中，最多有2k1 个结点（ k≥0 ）。

性质 3 ：设一棵二叉树的叶子结点数为 n0， 2度结点数为 n2 ，则 n0=n2+1 。


性质 4 ： n 个结点完全二叉树的高度是。性质 5 ：一棵具有 n 个结点的完全二叉树，对序号为

i（ 0≤i<n ）的结点，有：① 若 i=0 ，则 i 为根结点，无父母结点；若 i >0 ，则 i 的父母

结点序号为。② 若 2i+1<n ，则 i 的左孩子结点序号为 2i+1 ；否则 i 无左

孩子。③ 若 2i+2<n ，则 i 的右孩子结点序号为 2i+2 ；否则 i 无右

孩子。

1log2 nk


6.2.3 二叉树的遍历

先根次序：访问根结点，遍历左子树，遍历右子树。中根次序：遍历左子树，访问根结点，遍历右子树。后根次序：遍历左子树，遍历右子树，访问根结点。

先根遍历序列： A B D G C E F H

中根遍历序列： D G B A E C H F

后根遍历序列： G D B E H F C A


6.2.4 二叉树抽象数据类型public interface BinaryTTree<T> { boolean isEmpty(); // 判断是否空 int count(); // 返回结点个数 int height(); // 返回高度 void preOrder(); // 先根次序遍历 void inOrder(); // 中根次序遍历 void postOrder(); // 后根次序遍历 void levelOrder(); // 按层次遍历 BinaryNode<T> search(T key); // 查找 BinaryNode<T> getParent(BinaryNode<T> node);// 返回父母 void insertRoot(T x); // 插入元素 x 作为根结点 BinaryNode<T> insertChild(BinaryNode<T> p, T x, boolean

leftChild); void removeChild(BinaryNode<T> p, boolean leftChild); void removeAll(); }


6.3 二叉树的表示和实现

6.3.1 二叉树的存储结构

6.3.2 二叉树的二叉链表实现

6.3.3 三叉树的二叉链表实现


6.3.1 二叉树的存储结构

1. 二叉树的顺序存储结构


2. 二叉树的链式存储结构

二叉链表

三叉链表


6.3.2 二叉树的二叉链表实现

1. 二叉树的二叉链表结点类public class BinaryNode<T>

{ T data; // 数据元素 BinaryNode<T> left, right; // 左、右孩子}

2. 二叉树类public class BinaryTree<T> implements

BinaryTTree<T>

{ BinaryNode<T> root; // 根结点 }


3. 二叉树三种次序遍历的递归算法 // 先根次序遍历以 p 结点为根的子树private void preOrder(BinaryNode<T> p)

{ if (p!=null) // 若二叉树不空 { System.out.print(p.data+" "); // 访问当前结

点 preOrder(p.left); // 按先根次序遍历左子树 preOrder(p.right); // 按先根次序遍历右子树 } }

【例 6.1 】构造并遍历二叉树。


4. 基于遍历的操作

① 求结点个数 ② 求高度 ③ 查找 ④ 获得父母结点


5. 构造二叉树

（ 1 ）先根和中根序列表示


（ 2 ）标明空子树的先根序列表示

【例 6.2 】输出二叉树中指定结点的所有祖先结点。


（ 3 ）广义表表示


（ 4 ）以完全二叉树的层次遍历序列构造链式存储结构的完全二叉树

【例 6.3 】建立二叉链表表示的完全二叉树。BinaryTTree二叉树接口

BinaryTree二叉链表存储的二叉树类

实现

CompleteBinaryTree完全二叉树类

继承


6. 二叉树的插入和删除操作

（ 1 ）插入一个结点

（ 2 ）删除一棵子树

rootA

B ∧ C

∧ E ∧

F ∧∧ D

∧ H ∧∧ G ∧

p

（a）创建值为Ｘ结点并作为p的左孩子，原p的左孩子D作为X结点的左孩子

rootA

B

∧ D

∧ G ∧

p

∧X X ∧

（b）创建值为Y结点并作为p的右孩子，原p的右孩子F作为Y结点的右孩子

∧ Y

qq


7. 二叉树遍历的非递归算法


8. 二叉树的层次遍历


6.3.3 三叉树的二叉链表实现

1. 二叉树的三叉链表结点类 public class TriNode<T>

{ public T data; // 数据域 public TriNode<T> parent, left,

right; // 父母结点、左和右孩子结点

public int level; // 结点的层次}


2.三叉链表表示的二叉树类

public class TriBinaryTree<T>

{

public TriNode<T> root; // 根结点

}

（ 1 ）构造二叉树


（ 2 ）插入结点

例6.4 输出三叉链表存储二叉树的一条直径。

p

（a）插入值为Ｘr的结点q作为p的左孩子，原p的左孩子D作为q的左孩子

p

∧X

（b）插入值为X结点q作为p的右孩子，原p的右孩子F作为q的右孩子

∧ X

qq

A

parentroot

∧

data right

B ∧

left

D∧

G ∧∧

Aroot

∧

C

E ∧∧

F ∧

H ∧∧

1

level

2 2

1

4

5

3 3 3

4

5


6.4 线索二叉树6.4.1 线索二叉树定义

0 leftÖ¸Ïò ×óº¢×Óltag

1 left Îª Ï ßË÷ £ ¬ Ö Ï̧ò Ç°Çý½ áµãC

0 rightrtag

1 right Îª Ï ßË÷ £ ¬ Ö¸Ïò º ó ¼ Ì½ áµãC


6.4.2 中序线索二叉树

1. 二叉树的中序线索化 2. 中序线索二叉树类 3. 中根次序遍历中序线索二叉树

【例 6.5 】构造中序线索二叉树并进行中根次序遍历。

4. 先根次序遍历中序线索二叉树5. 后根次序遍历中序线索二叉树


1. 二叉树的中序线索化


2. 中序线索二叉树类

public class ThreadBinaryTree<T>

{

public ThreadNode<T> root;

}

3. 中根次序遍历中序线索二叉树


4. 先根次序遍历中序线索二叉树


5. 后根次序遍历中序线索二叉树


6.5 Huffman 编码与Huffman 树 6.5.1 Huffman编码

存储“ AAAABBBCDDBBAAA” ，字符集[A、 B、D 、C] ，字符出现次数为 7 、 5 、 2 、 1 ，频率为 0.47、 0.33、 0.13、 0.07 ，哈夫曼编码过程为：

A A A A B B B C D D B B A A A

0 0 0 0 10 10 10 111

110

110

10 10 0 0 0


6.5.2 Huffman 树

1. 二叉树的路径长度

1

0

PLn

iil


2. 二叉树的外路径长度


3. 二叉树的带权外路径长度1

0

WPL ( )n

i ii

w l

7 5 1 2 7

（b）WPL=7×2+5×3+1×3+2×1=34

5 1

2

DCBA

（a）WPL=7×2+5×2+1×2+2×2=30

D

CB

A

7

5

2 1

A

B

D C

（c）WPL=7×1+5×2+2×3+1×3=26

2

1

5 7

D

C

B A

（d）WPL=2×1+1×2+5×3+7×3=40


4. Huffman 算法

哈夫曼树定义为带权外路径长度最短的二叉树。哈夫曼树不唯一

5

（c）

2 1

7 A

CD

B

7

5

2 1

A

B

D C

（d）

A

B

D C

7A

5

1 2C A

B

（a）（b）

5

2

7

1


构造 Huffman 树并获得 Huffman编码

5. Huffman 编码的译码


例 6.6 构造 Huffman 树并获得Huffman 编码。

85 -1 -10

…n个叶子结点

rightdata parent left

1329 -1 -11

97 -1 -12

98 -1 -13

1114 -1 -14

1223 -1 -15

83 -1 -16

1011 -1 -17

108 6 08

1115 2 39

1219 8 710

1329 4 911

1442 10 512

1458 1 1113

-1100 12 1314

-15 -1 -10

… n-1个2度结点

rightdata parent left

-129 -1 -11

-17 -1 -12

-18 -1 -13

-114 -1 -14

-123 -1 -15

-13 -1 -16

-111 -1 -17

8

9

10

11

12

13

14

n

2n-2

n-1

根结点

（a）初始状态（b）最终状态

<1> 采用静态三叉链表存储 Huffman树


图 6-44 Huffman 树和 Huffman编码

若权值集合 {5,29,7,8,14,23,3,11} 对应字符 A ～H

19

42

23 F

8 11

3 5G A

H

10

10

G：0000A：0001H：001F：01B：10E：110C：1110D：1111

10

10010

15

7 8C

10

D

29

14E

10

58

29B

10

Huffman编码


<2> 存储 Huffman 编码


6.6 树的表示和实现

6.6.1 树的遍历

6.6.2 树的存储结构

6.3.3 树的孩子兄弟链表实现


6.6.1 树的遍历

1. 树的先根遍历算法描述如下：① 访问根结点。② 按照从左到右的次序先根遍历根的每一棵子树。

2. 树的后根遍历算法描述如下：① 按照从左到右的次序后根遍历根的每一棵子树。② 访问根结点。


6.6.2 树的存储结构

1. 孩子链表

2. 孩子兄弟链表

childroot

A ∧

data sibling

B ∧ C D ∧

∧ E ∧ G ∧∧ F ∧


6.3.3 树的孩子兄弟链表实现

1. 树的孩子兄弟链表结点类 public class TreeNode<T>{ public T data; // 数据域 public TreeNode<T> child,

sibling; // 孩子、兄弟结点

}


2. 树类声明 public class Tree<T> implements

TTree<T>{ public TreeNode<T> root; // 根结

点}3. 树的遍历 4. 返回结点

① 返回最后一个兄弟结点 ② 返回最后一个孩子结点

TTree树接口

Tree孩子兄弟链表存储的树类

实现


5. 插入结点

1. 插入根结点2. 插入兄弟结点


6. 以横向凹入表示构造树或森林

例 6.8 以树的横向凹入表示构造树或森林。 root 中国 ∧

∧ 北京江苏

∧ 南京 ∧ 苏州 ∧

∧∧

child

root 中国 ∧

data sibling root 中国 ∧

∧ 北京 ∧ 江苏 ∧

root 中国

∧ 北京江苏

∧ 南京 ∧ 苏州 ∧

∧

韩国 ∧

∧ 首尔 ∧

（a）插入根结点（没有前缀\t）（b）插入省份（1个前缀\t）作为根的最后一个孩子结点（c）插入城市（2个前缀\t）作为省份的最后一个孩子

（e）再插入结点作为根最后一个兄弟的孩子

root 中国

∧ 北京江苏

∧ 南京 ∧ 苏州 ∧

∧

∧ 韩国 ∧

（d）插入国名（没有前缀\t）作为根的最后一个兄弟结点


7. 树的广义表表示

例 6.9 树的广义表表示及构造。中国 ( 北京 , 上海 , 江苏 ( 南京 , 苏州 , 无锡 ), 浙江 ( 杭州 , 宁波 ,温州 ), 广东( 广州 )),韩国 ( 首尔 ),美国 ( 华盛顿 )

元素树(

，

)树

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