05 - pit limit [sólo lectura]

Surface Mine Planning

Step 3: Ultimate Pit Limit (UPL)

1

Mine Planning Sequence

2

1. Geologic Model

2. Economic Model

3. Pit Limits

4. Pushbacks

5. Mining Schedules

6. Detailed mine plans and optimization studies

Mine Planning: 3st Step

3

Ultimate Pit limit

In: Modelo de bloques económico y restricciones mineras

Out: límite económico de explotación, reservas explotables, valor del negocio minero……

Definición

4

� El Ultimate Pit Limit es el límite económico de explotación para un escenario técnico, económico y financiero determinado.

� Define el tamaño y la forma del pit al final de su vida.

� Determina las reservas explotables y el tonelaje total de estéril a extraer.

En otras palabras, decide el tamaño del negocio minero

Procedimientos

5

� Para definir el Ultimate Pit Limit existen tres caminos posibles a seguir:� Método manual

� Comparación de razones de stripping de perfiles, por longitud vs económica.

� Método computacional� Cono Flotante, Lerchs & Grossmann

� Método combinado

Algoritmos

6

� Algoritmos heurísticos: basados en el sentido común� Cono Flotante (Pana - 1965)

� Cono Flotante Optimizado (Lemieux – 1979)

� Algoritmos Optimizantes: con justificación matemática� Cierre Máximo (Lerchs y Grossmann – 1965)

� Flujo Máximo (Picard – 1976)

� Flujo Máximo con reetiquetado (Hochbaum – 2000)

Técnica del Cono Flotante

7

� Esta técnica fue presentada formalmente por Pana (1965).

� Consiste en evaluar el beneficio neto total de los bloques que caen dentro de un cono invertido.

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1

-2 -2 -2 4 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3


8

� El algoritmo es el siguiente� Se posiciona el vértice del cono en el primer bloque (lado izquierdo) de la primera fila.

� El cono flota desde izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, hasta posicionarse sobre un bloque de valor positivo factible de remover.

� Cuando encuentra un bloque de valor positivo, se determina el valor neto del cono hasta alcanzar la superficie.

� Si la suma de todos los bloques que caen dentro del cono es positiva (o cero), los bloques son removidos del modelo. Si la suma es negativa, se mantienen los bloques y el cono se mueve al próximo bloque positivo.

� Si ya no hay más bloques que evaluar, el proceso termina, y el resultado final es la unión de todos los conos extraidos.


9

� Ejemplo (Ángulo de Talud Global = 45º)

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1

-2 -2 -2 4 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1

-2 -2 -2 4 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3

-1 -1 -1 -1 -1 1 -1

-2 -2 -2 4 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3

-1 -1 -1 -1 -1 -1

-2 -2 -2 4 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3

-1 -1 -1

-2 -2 -2 -2 -2 -2

-3 -3 7 1 -3 -3 -3

-1

-2 -2 -2 -2

-3 -3 1 -3 -3 -3

-1

-2 -2 -2 -2

-3 -3 1 -3 -3 -3

BNA = 0

BNA = 1

BNA = 2

BNA = 3

BNA = 3

BNA = 3

-1 -1 -1 -1 -1 1

-2 -2 4

7 Ultimate Pit Limit

Técnica Cono Flotante: Problemas

10

� Conos sobrelapados pueden llevar a inexactitudes

10

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-2 -2 -2 -2 -2

10 -3 10

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-2 -2 -2 -2 -2

10 -3 10

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-2 -2 -2 -2 -2

10 -3 10 Net value = +3

Cannot mine: Net value = -1 Cannot mine: Net value = -1

Técnica Cono Flotante: Problemas

11

� Puede resultar un pit más grande que el óptimo

-2 -2 -2 -2 -1

4 8 -2

2

-2 -2 -2 -2 -1

4 8 -2

2

Este es el óptimo

Net value = +4Net value = +3

Algoritmos Lerchs & Grossmann

12

� Creados y publicados por L&G en 1965

� L&G postula que el problema del Ultimate Pit Limit es encontrar aquel volumen V que maximice la integral:

Considerando la restricción del ángulo de talud

� Donde m es el beneficio de extraer un bloque

� Sin embargo, la complejidad del problema no permite que pueda ser resuelto por métodos analíticos.

∫V

dxdydzzyxm ),,(

α

Lerchs & Grossmann 2D: Programación Dinámica

13

� El algoritmo es el siguiente:

� Se selecciona un bloque (i,j), se determina su beneficio mij = vij – cij y se construye un tableau con las cantidades:

� Mij representa el beneficio de extraer una sola columna con el elemento (i,j) en su base

� Luego en un tableau final, se adiciona una fila de ceros en su parte superior y se calcula la siguiente cantidad:

con k=-1, 0, 1

� Luego se indica el valor máximo por una flecha que va desde (i,j) hasta (i+k, j-1)

∑=

=i

ik

kjij mM

00 =jP

)( 1, −++= jkik

ijij PMaxMP

Lerchs & Grossmann 2D

14

-4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4

-8 -8 -8 -8 8 24 24 8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8

-12 -12 -12 -12 4 32 36 20 -8 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12

-16 -16 -16 -16 0 32 48 32 0 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16 -16

-20 -20 -20 -20 -4 28 56 44 12 -16 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20 -20

-24 -24 -24 -24 -8 24 56 56 24 -8 -24 -24 -24 -24 -24 -24 -24 -24

-28 -28 -28 -28 -12 20 52 64 36 4 -24 -28 -28 -28 -28 -28 -28 -28

-32 -32 -32 -32 -16 16 48 64 48 16 -16 -32 -32 -32 -32 -32 -32 -32

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-4 -4 -4 -4 8 20 44 60 76 92 96 104 108 104 104 100 96 92

-8 -12 -12 -12 4 32 60 80 96 100 108 112 108 108 100 96 92 88

-12 -20 -24 -24 -8 36 72 104 108 116 120 116 116 104 96 88 84 80

-16 -28 -36 -40 -24 24 84 116 128 132 128 128 116 104 88 80 72 68

-20 -36 -48 -56 -44 4 80 128 148 144 144 132 120 100 84 68 60 52

-24 -44 -60 -72 -64 -20 60 136 160 164 152 140 120 96 76 60 44 36

-28 -52 -72 -88 -84 -44 32 124 172 176 164 144 116 92 68 48 32 16

-32 -60 -84 -104 -104 -68 4 96 172 188 172 140 112 84 60 36 16 0

EjemploL&G 1965

BNA=108


15

� Creado y publicado por L&G en 1965

� Se basa en la teoría de Grafos.

A

B

C

“A” podrá ser

extraído

ssi “C” es

extraído


16

� El problema:

� Dado un grafo dirigido G(X,A) y para cada vértice xi cuya masa mi es distinta de cero, encontrar un cierre Y de G con masa máxima. Es decir, encontrar el conjunto de elemento Y X tal que:

y es máximo

� Un cierre con masa máxima también es llamado “Cierre Máximo”

⊂

YxYx ii ∈Γ→∈

∑∈

=Yx

iy

i

mM


17

� El algoritmo es el siguiente:

� Se construye un árbol normalizado Tº y comienza el proceso de iteración. La iteración t+1 transforma un árbol normalizado Tt en un nuevo arbol Tt+1.1. Si existe un arco (xk, xl) en G tal que YK Yt, y xl X-Yt, entonces se

va al paso 2. De otra forma se va al paso 4.

2. Determinar xm, la raiz de la rama fuerte que contiene a xk. Construir el árbol Ts reemplazando el arco (x0, xm) de Tt por el arco (xk, xl).

3. Normalizar Ts. Esto generará el árbol Tt+1. Ir al paso 1

4. Fin. Yt es el cierre máximo de G.

(Este algoritmo está respaldado por demostraciones que prueban su optimalidad)

∈ ∈


18

Paso 1: encontrar una rama fuerte.Paso 2: detectar la raíz de la rama fuerte, eliminar el circuito y modificar los valores de las ramas afectadas.

Paso 3:

Normalización: unir las ramas fuertes al vértice origen y ajustar los valores de las ramas afectadas

Árbol Tt Árbol Tt+1

Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arribarama negativa que apunta hacia abajo

Lerchs & Grossmann 3D: Ejemplo

19

-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 5 10 -1 -1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

Grafo G

Árbol T0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0


20

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

Rama Fuerte: rama positiva que apunta hacia arriba o rama negativa que apunta hacia abajo

1º Paso

2º Paso

En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso

Arco Fuerte:

El arco rojo debe cambiar de sentido

Secuencia de análisis: arco positivo izquierdo y más alto, sin que arco raíz se vuelva negativo.


21


1º Paso

2º Paso


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

-1

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

Arco Fuerte:



22


1º Paso

2º Paso


-1

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

4

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

-1

-1

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

Arco Fuerte:



23


1º Paso

2º Paso


-1

-1

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

Arco Fuerte:



24


1º Paso

2º Paso


-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

2

-1

-1

-1

-1

-1

-1

5

5

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

0

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

Arco Fuerte:



25


1º Paso

2º Paso


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

0

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

10

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

Arco Fuerte:


El arco rojo debe cambiar de sentido


26


1º Paso

2º Paso


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

10

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

9

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

10

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

Arco Fuerte:



27


1º Paso 2º Paso

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

9

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

10

-1

-1

-1

-1

5

1

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

8

-1

8

-1

-1

5

9

10

10

X0

3º Paso

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

8

-1

0

-1

-1

5

1

10

10

X0

Arco Fuerte:


2828


1º Paso 2º Paso

3º Paso

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-4

-1

8

-1

0

-1

-1

5

1

10

10

X0

Arco Fuerte:

-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

4

-1

8

-1

8

-1

-1

5

9

10

10

X0-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-3

-1

8

-1

1

-1

-1

5

2

10

10

X0


292929


1º Paso

2º Paso

Arco Fuerte:

-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-3

-1

8

-1

1

-1

-1

5

2

10

10

X0

-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

-1

-1

0

-1

-1

-1

-3

-1

8

-1

1

-1

-1

5

2

10

10

X0En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso



30303030


1º Paso 2º Paso

Arco Fuerte:

-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

-1

-1

0

-1

-1

-1

-3

-1

8

-1

1

-1

-1

5

2

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

6

-1

-1

-1

7

-1

-1

-1

4

-1

7

-1

8

-1

-1

5

9

10

10

X0

3º Paso

-1

-1

-1

-1

-1

6

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-2

-1

7

-1

2

-1

-1

5

3

10

10

X0


3131313131


1º Paso

2º Paso

Arco Fuerte:

-1

-1

-1

-1

-1

6

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-2

-1

7

-1

2

-1

-1

5

3

10

10

X0

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-2

-1

-4

-1

2

-1

5

5

3

10

6

X0En este caso el árbol queda normalizado en el 2º Paso



323232323232


1º Paso 2º Paso

Arco Fuerte:

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-2

-1

-4

-1

2

-1

5

5

3

10

6

X0


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

4

-1

-2

-1

-4

-1

2

-1

5

5

3

10

6

X0

-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 -1-1 -1 5 10 -1 -1

El resultado es entonces:

Y el valor del pit óptimo es la suma de los valores soportados por los arcos fuertes, es decir: 1 + 4 = 5

Ups…. Time Value of Money!!!

33

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 3 3 3 -1 -1

-2 -2 -2 -2 -2 -2 5 5 5 -2 -2 -2

-2 -2 -2 -2 -2 -2 5 5 -2 -2 -2 -2

-2 -2 -2 -2 2 5 5 5 -2 -2 -2 -2

-2 -2 -2 -2 -2 5 5 -2 -2 -2 -2 -2

Analicemos el siguiente pit

Valor neto del pit = 30

¿Es un pit Óptimo?

Analicemos este talud de bloques límites:-1 -1 -2 -2 +2 +5 = 1

¿Este talud aporta valor al pit óptimo?

Volvamos a analizar ese talud de bloques límites:Apliquemos ahora una tasa de descuento del 10% y supongamos que se extrae un bloque por año.

54,0654321 )1,01(

5

)1,01(

2

)1,01(

2

)1,01(

2

)1,01(

1

)1,01(

1 −=++++++++

−+−

+−

+−

¿Este talud aporta valor al pit óptimo?¿Cuál es el problema?

NPV vs. Toneladas de Mineral

34

(Whittle)

Dominio factible para los diseños de pit

NPV vs. Toneladas de Mineral

35

¿Cuál es el pit óptimo?

36

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

0

50

100

150

200

250

300

NPV$m

Cost ofProduction

$/oz

Maximum NPVOf the mine

Pit number

Resultado de la Optimización

37

Pasando del Pit Óptimo al Diseño

38

Resultado de Pit Optimo Diseñado

39

Resultado de Pit Optimo Diseñado

40

Análisis de sensibilidad

41

Los programas de optimización permiten la elaboración rápida de programas de producción, sin tener que pasar por el diseño.

Esto permite realizar análisis de sensibilidad de variables como el precio, la tasa de descuento, la tasa de producción, etc.

De tal forma, de analizar las variaciones de VPN del proyecto, tanto en la optimización de rajos como en los programas de producción.

Categorización de Reservas

42

� De acuerdo a su nivel de confiabilidad en la extracción de la reserva� Ley.

� Factores económico financieros.

� Sistema minero.

� Proceso metalúrgico.

� Sistema sustentable.

� Se dividen en � Probadas.

� Probables.

Reservas

43

� Una reserva mineral es la parte económicamente explotable de un recurso mineral indicado y medido. Incluye materiales diluidos y estériles, lo cual puede ocurrir cuando el material es explotado. Para esto, se han llevado a cabo valoraciones y estudios apropiados, incluyendo factores de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales. Estas valoraciones demuestran, en el momento del reporte, que podría justificarse la extracción razonada.

� Las reservas de mineral se subdividen, en orden incremental de confianza, en: Probables y Probadas.

Tipos de Reservas

44

� Reservas Probables: es la parte económicamente explotable de los recursos indicados, y en algunas circunstancias, recursos medidos. Incluye materiales diluidos y estériles producto de la explotación. Se han hecho, al menos, estudios de pre-factibilidad, en los que se analizan los factores: de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales.

� Reservas Probadas: es la parte económicamente explotable de los recursos medidos. Incluye materiales diluidos y estériles producto de la explotación. Se han hecho, al menos, estudios de pre-factibilidad, en los que se analizan los factores: de tipo minero, metalúrgicos, económicos, de mercadeo, legales, medioambientales, sociales y gubernamentales.

Reporte de Reservas

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� Especificar los recursos que serán convertidos a reservas.� Establecer el estatus del estudio que da origen a la conversión.� Leyes de Corte o Valores de Corte.� Factores y suposiciones mineras:

� Método de conversión (aplicación de factores, optimización o diseño)� Elección, diseño y propiedades del método de explotación� Parámetros geotécnicos y control de leyes.� Modelo de recursos minerales para optimización de pit� Factores de dilución y recuperación� Requerimientos de infraestructura

� Factores y suposiciones metalúrgicas� Factores de Costos e Ingresos� Valoraciones de Mercado (demanda, oferta, stock, competidores, etc)� Efectos de cualquier riesgo asociado (natural, infraestructura, legal, etc)

� Cubicaciones de las clasificaciones� Auditoría externa y discusión

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05 - pit limit [sólo lectura]

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