04matematica d semi marcao
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Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 1
UNIDADE 1
REGRA DE TRS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando o
aumento uma delas implica no aumento da outra na mesma
razo.
Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00
3 kg de alimento custam R$ 45,00
5kg de alimento custam R$ 75,00
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando o
aumento der uma delas implica na diminuio da outra na
mesma razo.
Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias
4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias
6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias
APLICAES REGRA DE TRS
Regra de Trs Simples
Regra de Trs Simples um processo matemtico mediante o
qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo
duas grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste no seguinte:
Identificar as grandezas envolvidas no problema.
Nas situaes dadas (em relao s mesmas) disp-las em colunas.
Verificar se so GDP ou GIP.
Montar a proporo correspondente.
Resolver a proporo.
Regra de Trs Composta
Regra de trs composta um processo matemtico mediante o
qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo trs
ou mais grandezas. O processo semelhante ao caso anterior
(Regra de trs simples), levando em considerao apenas o item
da verificao quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da
seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em
relao que possui a varivel. A montagem e resoluo da
proporo seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de
Trs Simples).
PORCENTAGEM
PORCENTAGEM
As razes cujos denominadores so iguais a 100 so chamadas
razes centesimais.
Exemplo: ;100
27;
100
13 etc.
Noo Intuitiva
O ndice de analfabetismo da cidade x de 23% (l-se 23 por cento). Significa que, em mdia, 23 de cada 100 habitantes so analfabetos.
Clculo de uma porcentagem
Exemplo: 25% de R$ 80,00 R$ 20,00
pois 25% = 100
25= 0,25
Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00
Definio
Porcentagem uma razo centesimal que representada pelo
smbolo % que significa por cento.
Exerccios de Sala
1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o preo de 25Kg do mesmo produto?
2. Sabendo que 36 operrios conseguem construir uma casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operrios, em quanto
tempo ser construda a mesma casa?
3. Calcular
a) 60% de 30 b) 30% de 20
c) 20% de 300 d) 20% de 20%
e) (20%)2 f) %4
4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da populao. Ento a populao da cidade de:
a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes
c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes
e) 900 000 habitantes
Tarefa Mnima
1. Se trinta litros de um combustvel custam R$ 16,95, quantos custaro oitenta litros do mesmo combustvel?
2. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo levaro para constru-la 10 pedreiros?
3. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-
se: para quantos dias tero suprimentos, considerando-os
inalterveis?
4. Calcular as seguintes porcentagens:
a) 25% de 80 b) 4% de 50
c) 120% de 200 d) 0,15% de 400
e) 20% de 30% f) (5%)2
g) %49
5. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A porcentagem de reprovao foi de:
a) 30% b) 40% c) 50%
d) 60% e) 70%
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Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 2
6. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluram todas as provas.
O percentual de absteno foi:
7. Qual o preo de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%?
a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00
d) 116,00 e) 98,00
8. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale:
a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009
d) 0,009 e) n.d.a.
Tarefa Complementar
9. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos so necessrios:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
10. Dezesseis operrios trabalhando seis horas por dia constroem uma residncia em cento e oitenta dias. Quantos
operrios sero necessrios para fazer a mesma residncia,
trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?
a) 18 b) 10 c) 19
d) 20 e) 21
11. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa sero
consumidos em quantos dias?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
12. (UFSC) Com uma lata de tinta possvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais
uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda
lata, em porcentagem, :
13. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em aes. Aps algum tempo, vendeu essas aes por R$ 2.100,00. Determine o
percentual de aumento obtido em seu capital inicial.
14. (UFSC) Um reservatrio contendo 120 litros de gua apresentava um ndice de salinidade de 12%. Devido
evaporao, esse ndice subiu para 15%. Determinar, em litros, o
volume de gua evaporada.
15. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S).
01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao ms.
Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que pode
ser pago a vista ou em trs parcelas de R$ 34.000,00, sendo a
primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sair
lucrando se fizer a compra parcelada.
02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questes um
desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10
questes, porm superior a obter 5 acertos numa prova de 9
questes.
04. Duplicando-se o lado de um tringulo eqiltero, sua rea
fica tambm duplicada.
08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias
para fazer determinado trabalho, ento 3 impressoras (com a
mesma eficincia das anteriores) trabalhando 8 horas por dia
levaro 6 dias para fazer o mesmo trabalho.
UNIDADE 2
FATORIAL Dado um nmero natural, denomina-se fatorial de n e indica-se
por n! a expresso:
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos:
5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120
4! = 4. 3. 2. 1 = 24
3! = 3. 2. 1 = 6
2! = 2. 1 = 2
1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)
Observao: Podemos desenvolver um fatorial at um fator
conveniente. Veja:
8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!
4!
6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!
5!
n ! = n. (n 1).(n 2) !
PRINCPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM FRMULA DO ARRANJO
PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princpio fundamental da contagem, ou princpio
multiplicativo, estabelece um mtodo indireto de contagem de
um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever
todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 o nmero de possibilidades da 1 Etapa
E2 o nmero de possibilidades da 2 Etapa
:
:
En o nmero de possibilidades da n-sima Etapa
Ento E1 . E2 . ......... .Ek o nmero total de possibilidades do
evento ocorrer.
ARRANJO
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os
pares ordenados a partir do conjunto K.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);
(2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)
Observe que esses agrupamentos diferem
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Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 3
Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3) (1,4)
Pela ordem dos elementos: (1, 3) (3, 1)
A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n
elementos tomados p a p, e indicado por
.
Definio: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p
cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n
disponveis.
FRMULAS PARA O CLCULO DO ARRANJO
ARRANJO COM REPETIO A
* n,p = n
p
Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos
nmeros de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?
Resoluo: A*5, 3 = 53 = 125
Logo, podemos formar 125 nmeros de 3 algarismos.
ARRANJO SEM REPETIO (SIMPLES)
Anpn
n p
Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos
nmeros de 3 algarismos sem repetio podem ser formados?
Resoluo: A5,3 = 5
5 3
5 4 3 2
260
Logo, podemos formar 60 nmeros de 3 algarismos distintos.
Exerccios de Sala
1. Calcular o valor de
a) 10
8 b)
11!
11!12!
2. Resolver as equaes:
a) (n 3) ! = 720 b) n
n
3
120
3. Quatro selees de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais so as
possibilidades de classificao para os dois primeiros lugares?
4. Quantas placas para identificao de veculos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras,
supondo que no h nenhuma restrio.)
5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos nmeros com quatro algarismos distintos podemos formar a
partir do conjunto K?
Tarefa Mnima
1. Calcular 5
3 2.
2. Resolver as equaes abaixo:
a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600
c) (n - 2)! = 720
3. Ache a soluo da equao 12)!3(
!1
x
x
4. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto
D existem tambm 6 caminhos. Quantos caminhos existem
para ir do ponto A ao ponto D?
a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080
5. Numa olimpada de Matemtica concorrem 100 participantes e sero atribudos dois prmios, um para o 1 lugar
e outro para o 2 lugar. De quantas maneiras podero ser
distribudos esses prmios?
a) 199 b) 200 c) 4.950
d) 9.900 e) 10.000
6. Telefones de uma cidade possui 6 dgitos (1nunca zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dgitos. Qual o aumento no
nmero de telefones?
a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103
Tarefa Complementar
7. Qual o valor de n que satisfaz a equao
n n
n
1
25
8. Quantas solues possui a equao (x 2)! = 1
9. (UFPA) Simplificando n n
n
1
2 obtm-se:
a) 1
2n b) n + 1
c) n+2 d) 1
1n
e) n
10. (FSBEF-DF) Sendo m m
m
1
2
1
10 e tendo em vista
que m > 0, o valor de m :
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Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 4
11. Se (n 6)! = 720, ento n igual a:
12. (F.Dom Bosco-DF) A expresso 3! 2! 2! equivalente expresso:
a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4!
13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que
se classificariam nos trs primeiros lugares Se, em cada
tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas
diferentes poderiam existir?
a) 69 b) 2.024
c) 9.562 d) 12.144
e) 13.824
14. (UECE) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre os nmeros 1000 e 4500 que podemos formar utilizando
somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que no figurem
algarismos repetidos, :
15. (PUC-SP) Chamam-se palndromos os nmeros inteiros que no se alteram quando invertida a ordem de seus
algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O nmero total de
palndromos com cinco algarismos :
a) 450 b) 1000
c) 900 d) 2500
e) 5000
UNIDADE 3
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II -
PERMUTAES Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem
repetio, estamos montando grupos com todos os elementos
disponveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento
denominado PERMUTAO de n elementos, e indicado por
Pn. Considere ento, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutaes
com esses elementos so:
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2),
(3, 2, 1).
FRMULAS PARA O CLCULO DA PERMUTAO
PERMUTAO SIMPLES
Pn = n! Exemplo 1: Quantos nmeros de 4 algarismos
distintos podemos formar com os nmeros usando os algarismos
{ 2, 5, 6, 7}.
Resoluo: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
Logo, pode-se formar 24 nmeros com 4
algarismos distintos.
Exemplo 2: Calcule o nmero de anagramas da palavra VASCO.
Resoluo: Cada anagrama uma permutao das letras V, A, S,
C e O. Como so 5 letras distintas, o nmero de anagramas
dado por:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras
que compem a palavra VASCO.
PERMUTAO COM REPETIO
Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um
dos deles repete vezes, outro vezes e assim por diante, at
que um elemento repita vezes. O nmero de permutaes
possveis dado pela expresso:
Pn.... n
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ARARA.
Resoluo: n = 5 = 3 = 2
P53, 2 =
5
3 2=10
Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras
que compem a palavra ARARA.
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -
COMBINAES
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.
Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes
elementos.
{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.
Observe que esses agrupamentos diferem
Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2} {1, 4}
Mas no diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}
Esses tipos de agrupamentos so chamados de COMBINAO
de n elementos tomados p a p, e so indicados por
Cnp ou Cnp
.
Definio: Denomina-se combinao de n elementos p a p todo
subconjunto de p elementos.
FRMULA PARA O CLCULO DA COMBINAO O nmero de combinaes simples dos n elementos tomados p a
p dado pela expresso:
Cnpn
n p p
Exemplo: Quantas comisses de 3 pessoas podemos formar com
um grupo de 10 pessoas.
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Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 5
Resoluo: As comisses so subconjuntos de 3 pessoas
escolhidas entre as 10, logo:
C10,3 = 10
10 3 3
10 9 8 7
7 3 21 120
Portanto, podemos formar 120 comisses de 3 pessoas
com um grupo de10 pessoas.
Exerccios de Sala
1. Quantos so os anagramas das palavras:
a) ROMA
b) ESCOLA
c) BANANA.
d) MATEMATICA
2. Quantos so os anagramas da palavra MXICO em que aparecem as letra E e X sempre juntas?
3. Quantas comisses de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?
4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferncia. Quantos tringulos com vrtices nesses pontos podemos obter?
Tarefa Mnima
1. Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos formar com os nmeros utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}.
2. Quantos nmeros diferentes obteremos permutando os algarismos do nmero 336.223?
3. Quantos so os anagramas da palavra SAPO?
4. Determine os nmero de anagramas da palavra CARCAR? (no considere o acento)
5. O valor de x em Cx,3 = 35, :
a) 12 b) 10 c) 7
d) 8 e) 9
6. Quantas comisses constitudas por 4 pessoas podem ser formadas com 10 alunos de uma classe?
a) 210 b) 120 c) 240
d) 100 e) 200
7. Numa circunferncia so tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtm-se uma corda. O
nmero total de cordas assim formadas :
Tarefa Complementar
8. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as afirmaes:
I - O nmero total deles 720.
II - O nmero dos que terminam com a letra A 25.
III - O nmero dos que comeam com EN 24.
Ento apenas:
a) a afirmao I verdadeira.
b) a afirmao II verdadeira.
c) a afirmao III verdadeira.
d) as afirmaes I e II so verdadeiras.
e) as afirmaes I e III so verdadeiras.
9. (CEFET-PR) O nmero de anagramas da palavra NMERO, em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, :
a) 12 b) 36 c) 48
d) 60 e) 72
10. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco smbolos, onde cada smbolo
a primeira letra de cada nome. O nmero total de siglas
possveis :
11. Considere um grupo de 3 moas e 4 rapazes. O nmero de comisso de 4 membros, de modo que em cada comisso figure
pelo menos um rapaz, :
12. Os presentes a determinada reunio, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mo. Os
cumprimentos foram em nmero de 66. O nmero de pessoas
presentes reunio :
13. (ACAFE) Diagonal de um polgono convexo o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos do
polgono. Se um polgono convexo tem 9 lados, qual o seu
nmero total de diagonais?
a) 72 b) 63 c) 36
d) 27 e) 18
14. (UFRN) Se o nmero de combinaes de n + 2 elementos 4 a 4 est, para o nmero de combinaes de n elementos 2 a 2, na
razo de 14 para 3, ento n vale:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
UNIDADE 4
NMEROS BINOMIAIS
Dados dois nmeros naturais n e p, denomina-se nmero
binomial de n sobre p e indicado por n
p ao nmero definido
por:
p
n =
p)!(np!
n! com n N, p N e n p
Podemos concluir de imediato que:
a n
01 b)
n
1n c)
n
n1
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Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 6
NMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois nmeros binomiais de mesmo numerador so chamados
complementares quando a soma dos denominadores (classes)
igual ao numerador.
Exemplos:
a)n
p e
n
n p b)
5
2 e
5
3
PROPRIEDADES DOS NMEROS BINOMIAIS
1) Dois nmeros binomiais complementares so
iguais.
Ento se n
k
n
p
k p
ou
k p n
2 RELAO DE STIFFEL
n 1
p 1
n 1
p
n
p
Veja que 5
3
5
4
6
4
TRINGULO DE PASCAL
Vamos dispor agora os nmeros binomiais em um tringulo, de
forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma
linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma
coluna.
col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6
linha 0 0
0
1
0
1
1
linha 2 2
0
2
1
2
2
linha 3 3
0
3
1
3
2
3
3
linha 4 4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
0
linha
linha 5
1
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
linha 6 6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:
PROPRIEDADES DO TRINGULO DE PASCAL
PRIMEIRA PROPRIEDADE
Todos os elementos da 1 coluna so iguais a 1.
SEGUNDA PROPRIEDADE
O ltimo elemento de cada linha igual a 1.
TERCEIRA PROPRIEDADE Numa linha qualquer dois binomiais eqidistantes dos
extremos so iguais. (binomiais complementares)
QUARTA PROPRIEDADE
Cada binomial n
pda linha n igual soma de dois binomiais
da linha (n - 1); aquele que est na coluna p com aquele que est
na coluna (p - 1).
p
n
p
1n
1p
1n
QUINTA PROPRIEDADE
A soma dos elementos da linha do numerador n igual a 2n.
Linha 0 1 = 20
Linha 1 1 + 1 = 21
Linha 2 1 + 2 + 1 = 22
Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23
De uma forma genrica podemos escrever:
Exerccios de Sala
1. Calcule A, sendo A = 4
0
8
2
9
7
10
1
2. Ache o conjunto soluo da equao n 3
221
3. Calcule o valor de:
a)
7
0
7
p p b)
10
0
10
p p c)
8
3
8
p p
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Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 7
4. Resolva a equao: x
15
5
14
4
14
Tarefa Mnima
1. Calcule E, sendo E = 5
2
3
3
5
0
7
1.
2. (UECE) A soma das solues da equao
18
6
18
4 1
x
a) 8 b) 5 c) 6 d) 7
3. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na
igualdade: 17
m 1
17
2m 6
4. Calcule 5
0
5
pp
5. Resolva a equao: 8
6
8
7
9
3x
6. ( Mack-SP ) O valor de
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7:
a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112
Tarefa Complementar
7. (Mack-SP) Considere a seqncia de afirmaes:
. . .15 15 15 15 15 15
I II III1 3 2 13 3x 6
Associando V ou F a cada afirmao, conforme seja
verdadeira ou falsa, tem-se:
a) F, F, V b) F, V, V
c) F, V, F d) F, F, F
e) V, V, V
8. (Fatec-SP) Calcule E de modo que Ep 1
n 1
n 1
p 1
onde p, n N* e p < n
n
o
n n n
n
n
p
n n
1 22 2 ou
p=0
n
9. ( U.C.-MG ) O resultado de 8
2
6
pp
igual a:
a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256
10. (Unesp-SP) Seja num nmero natural tal que 10
4
10
1
11
4
n. Ento:
a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2
11. (FGV-SP) Sabendo-se que
m
px e y
m +1
p +1 entao
m
p +1 :
a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p
UNIDADE 5
BINMIO DE NEWTON
Observe abaixo os desenvolvimentos:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Observe que:
O nmero de termos do desenvolvimento de (a + b)n
n + 1.
Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n
formam o tringulo de Pascal.
Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b
crescem de 0 a n.
A soma dos expoentes de a e b sempre igual a n
Com base nessas observaes podemos generalizar o
desenvolvimento de (a + b)n. Veja:
a bn
bn
bn
bn
nbn n n
0 1 2
0 1 2 2 0 a a a an n-1
Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n dado pela
expresso:
Tp 1
n
pan p bp
Exerccios de Sala
1. Desenvolver o binmio (x + 2)4
2. Determinar o 5 termo do desenvolvimento de (x + 2)6.
3. Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x + 3)4.
4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binmio (4x 3y)6
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 8
Tarefa Mnima
1. Determinar o coeficiente numrico do 4 termo no desenvolvimento de (x + 2)7.
2. Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x 1)6.
3. Se a soma dos coeficientes do binmio a b m 1 64, ento o valor de m :
4. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o nmero de termos do binmio (x + a)n :
a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) mpar
5. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binmio (x + a)n :
a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n
Tarefa Complementar
6. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! :
a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3
7. (CEFET-PR) O 4 termo do desenvolvimento de (x + 2)6 :
a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3
8. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numricos do
desenvolvimento de 322
8
xx
?
9. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 )8 pelo binmio de Newton :
a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3
10. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de
31
5
xx
:
a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81
UNIDADE 6
POLINMIOS
DEFINIO
Dados os nmeros reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de
polinmio na varivel x toda expresso da forma:
P(x) = a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0
Nomenclatura
COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.
TERMOS: a nxn , a n - 1x
n - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0
TERMO INDEPENDENTE: a0
n um nmero natural e indica o grau do polinmio se an for
diferente de zero.
Observao: Se P(x) = 0, no definido o grau do polinmio.
VALOR NUMRICO
Valor Numrico de um polinmio P(x), o valor que se obtm
substituindo a varivel x por um nmero e efetuando as
operaes indicadas.
Observao: Quando P( ) = 0 dizemos que a raiz do
polinmio.
Observe que os nmeros 2 e 3 so razes do polinmio
P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.
POLINMIOS IDNTICOS
Dados os polinmios:
P1(x) = a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e
P2(x) = b nxn + b n - 1x
n - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0
A condio para que P1 e P2 sejam idnticos que os coeficientes
dos termos de mesmo grau sejam iguais.
Indicamos por P1 (x) P2 (x)
Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0
Vale ressaltar que, se P1 e P2 so idnticos, para qualquer valor
de x eles assumem o mesmo valor numrico.
Em smbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)
Exerccios de Sala
1. Encontre o valor numrico do polinmio P(x) = 5x4 + 2x3 x2 + 3x 3 para x = 3.
2. Dado o polinmio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3. Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1 grau.
3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).
Tarefa Mnima
1. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 5, calcule:
a) P(0) b) P(1) c) P(2)
2. Considere o polinmio P(x) = mx2 5x + 2. Sabendo que P(-2) = - 4, determine o valor de m.
3. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b +
1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 so polinmios idnticos,
determine o valor da expresso: a + b + c.
4. O polinmio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 9
5. (Mogi) Se x
x x
A
x
B
x
1
2 24 4 62, ento
2A + B igual a:
a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1
Tarefa Complementar
6. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7,
calcule P(3).
7. (PUC-SP) Efetuando a soma de ax b
xe
c
x2 1 1, obtemos a
expressox
x x
3
1 12. Os valores de a, b e c so
respectivamente:
a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3
c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1
e) 2, 1, -2
8. (ABC-SP) Num polinmio P(x) de 3 grau, o coeficiente de x3 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P( 1) :
9. ( UFRGS ) O polinmio do 2 grau p(x), que tem zero como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2,
a) 2x2 + 3x 6 b) 6x - 2 c) 6x2 - x d) 3x2 + x
e) x2 + 3x
10. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinmios de graus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (F + G).H ser:
a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30
UNIDADE 7
DIVISO DE POLINMIOS
Dados os polinmios P(x) e D(x), com D(x) no identicamente
nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinmios Q(x)
(quociente) e R(x) (resto), tais que:
P(x) D(x) R(x) Q(x)
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
gr(R) < gr(D) ou R(x) 0
Onde:
P(x) o dividendo
D(x) o divisor
Q(x) o quociente
R(x) o resto
OBSERVAES:
O grau de Q(x) a diferena entre os graus de P(x) e de D(x), ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)
Se R(x) for um polinmio nulo, apontamos que P(x) divisvel por D(x), dizemos ento, que a diviso exata.
MTODO DA CHAVE
(ALGORITMO DE EUCLIDES)
O mtodo das chaves um dos quais podemos obter o quociente
entre dois polinmios. Para isso, devemos seguir os seguintes
procedimentos:
Ordenamos os polinmios P(x) e D(x) segundo as potncias decrescentes de x.
Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x) .
Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de P(x)
Continua-se o processo at que haja um resto de grau inferior que o de D(x).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da diviso de
P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2
Resoluo:
Observe que:
4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)
Dividendo Divisor Quociente Resto
MTODO DE DESCARTES
Mtodo de Descartes ou Mtodo dos Coeficientes a determinar
um Mtodo que consiste na obteno dos coeficientes do
quociente e do resto com o auxlio da seguinte identidade de
Polinmios:
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)
Exemplo: Obter o quociente e o resto da diviso do
polinmio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por
D(x) = x3 3x2 + 2
Resoluo: O grau do resto no mximo 2, pois
gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)
gr(Q) = 4 3 = 1
Isso nos permite escrever:
R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b
Aplicando a identidade, temos:
P(x D(x) . Q(x) + R(x)
x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e
x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e)
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 10
Da vem:
a 1
b 3a 1
c 3b 2
2a d 1
2b e 3
resolvendo o sistema, temos:
a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1
Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1
TEOREMA DO RESTO
O resto da diviso de um polinmio P(x) por um binmio do tipo
ax + b o valor numrico de P(x) para
x = b
a, ou seja P(
b
a).
Observe que b
a a raiz do divisor.
Esse teorema nos permite achar o resto de uma diviso sem que
haja a necessidade de aplicar o mtodo das chaves ou o mtodo
de Descartes.
Exemplo: Determinar o resto da diviso do polinmio
P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinmio D(x) = x 3
Resoluo: A raiz do divisor 3, logo, para determinarmos
o resto da diviso de P(x) por D(x), basta
calcular P(3). Da vem:
P(x) = 2x2 + 3x + 1
P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1
P(3) = 28
TEOREMA DE D'ALEMBERT
Um polinmio P(x) divisvel por D(x) = ax + b se, e somente
se, P(b
a) = 0.
Veja por exemplo que o polinmio P(x) = x3 3x + 2 divisvel
por (x + 2) pois P( 2) = 0.
Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o
polinmio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja
divisvel por x 3
Resoluo: Para que P(x) seja divisvel por x 3, deve-se
ter P(3) = 0. Ento
P(x) = x3 x2 + mx 12
P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12
0 = 27 9 + 3m 12
6 = 3m
2 = m
Logo, para a diviso ser exata devemos ter m = 2
TEOREMA DAS DIVISES SUCESSIVAS
Se um polinmio P(x) divisvel por (x a) e por (x b), ento
P(x) divisvel por (x a).(x b).
Observe que o polinmio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x +
2 divisvel por (x + 1).(x 2), uma vez que ele divisvel
separadamente por (x + 1) e (x 2).
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini, tambm conhecido como
algoritmo de Briot-Ruffini, um modo prtico para dividir um
polinmio P(x) por um binmio da forma
ax + b. Vamos apresentar esse processo atravs de um exemplo.
Determine o quociente e o resto da diviso da diviso de
P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)
Resoluo:
1 Passo Dispem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e
segundo os expoentes decrescentes de x na chave.
2 1 4 1 2 Passo Coloca-se esquerda a raiz do divisor.
3 2 1 4 1 3 Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)
3 2 1 4 1 2 4 Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o
resultado com o prximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo
desse ltimo.
+
3 2 1 4 1 x 2 5 5 Passo
Multiplica-se o esse ltimo resultado pela raiz e soma o resultado
com o prximo coeficiente de P(x) de forma anloga ao ltimo
passo, e assim sucessivamente.
+
3 2 1 4 1 x 2 5 19 +
3 2 1 4 1 x 2 5 19 56 Terminando assim o processo, temos:
raiz coeficientes de P(x) 2 5 19 56
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 11
coeficientes de Q(x) R(x) Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que
Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56
Exerccios de Sala
1. (FUVEST) O quociente de 2x4 5x3 10x 1 por x 3 :
a) 2x3 11x2 + 23x 68 b) 2x3 11x2 + 33x + 109 c) 2x3 11x2 + 33x 109 d) 2x2 + x 7 e) 2x3 + x2 + 3x 1
2. Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 x + 3?
3. ( UFSM ) O resto da diviso de x142 1 por x + 1 :
a) 0 b) 1 c) 2 d) 141 e) n.d.a.
Tarefa Mnima
1. (UFSC) Determine o resto da diviso do polinmio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
2. (UECE) Se na diviso do polinmio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por 3x2 + 2x - 1 o quociente Q(x), ento o valor de Q(3) :
3. (UFMG) O quociente da diviso de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1 por Q(x) = 4x3 + 1 :
a) x 5 b) x - 1 c) x + 5 d) 4x - 5 e) 4x + 8
4. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 - x + 3?
5. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da diviso do polinmio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Se o polinmio 2x3 - ax2 + bx + 2 divisvel por 2x2 + 5x - 2, ento o valor de a - b :
7. (Mack-SP) Um polinmio desconhecido ao ser dividido por x - 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Ento,
o resto da diviso desse polinmio por (x - 1) (x - 2) :
a) x 3 b) -x + 3 c) x + 3 d) x - 5 e) -x + 5
8. (UFBA) O resto da diviso de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por (x + 1) 4, se p igual a:
a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3
9. (FGV-SP) O resto da diviso do polinmio 2x5 - 15x3 + 12x2 + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) :
a) x2 - 2x + 5 b) -6
c) x - 4 d) 1 e) 0
10. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinmio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisvel por (x + 1)2 so respectivamente:
a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.
UNIDADE 8
EQUAES POLINOMIAIS
DEFINIO
Denomina-se Equao Polinomial toda sentena do tipo
P(x) = 0, ou
a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0
onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 so nmeros complexos
n um nmero natural
x a varivel
O expoente da equao o expoente do polinmio P(x)
Denomina-se raiz de uma equao polinomial todo nmero
, tal que P( ) = 0
TEOREMA FUNDAMENTAL DA LGEBRA Toda equao polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma
raiz complexa.
Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.
DECOMPOSIO DE UM POLINMIO EM
UM PRODUTO DE FATORES DO 1 GRAU Como uma conseqncia do Teorema Fundamental pode-se
afirmar que todo polinmio de grau n pode ser escrito na forma:
P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)
onde 1, 2, 3, ..... n so razes de P(x).
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao nmero de vezes que
a mesma se repete no conjunto soluo.
Genericamente, pode-se dizer que o nmero raiz de
multiplicidade n da equao polinomial P(x) = 0 se e somente se,
P(x) = (x )n. Q(x), com Q( ) 0.
TEOREMA DAS RAZES COMPLEXAS
Se um nmero complexo z = a + bi raiz de uma equao
polinomial de coeficientes reais, ento seu conjugado z = a bi tambm raiz dessa equao.
Conseqncias:
Se a raiz (a + bi) de multiplicidade k, ento seu conjugado (a bi) ter tambm multiplicidade k.
Toda equao polinomial de grau mpar admite pelo menos uma raiz real, pois o nmero de razes no reais sempre par.
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 12
RELAES DE GIRARD
So relaes estabelecidas entre os coeficientes e razes de uma
equao polinomial.
Sejam x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c = 0. Valem as
seguintes relaes:
x1 x2b
a
x1 x2c
a
Sejam x1 , x2 e x3 as razes da equao
ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relaes:
x1 x2 x3b
a
x1 x2 x3d
a
x1 x2 x1 x3 x2 x3c
a
EQUAO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as razes da equao
a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes
relaes:
a a ananan
a a a a a an a a an ananan
a a a an an ananan
a a a ann a
an
1 21
1 2 1 3 1 2 3 12
1 2 3 2 13
1 2 31 0
Exerccios de Sala
1. O polinmio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como:
a) P(x) = x(x 1)(x 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x 2)(x +4) e) (x) = x(x 1)(x + 5)
2. Resolver a equao x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que x = 2 uma das razes.
3. Determine a menor raiz da equao x3 15x2 + 66x 80 = 0, sabendo que suas razes esto em P.A.
Tarefa Mnima
1. (ACAFE) A equao polinomial cujas razes so 2, 1 e 1 :
a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0
c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0
e) x3 + 2x + 1 = 0
2. (FGV-SP) A equao 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual a 2. Ento, as outras duas razes so:
a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1
d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2
3. (UFSC) Sabendo-se que uma das trs razes da equao 2x3 - 17x2 + 32x - 12 = 0 igual a 1/2 determine a soma das outras
duas razes.
4. (UDESC) As razes do polinmio x3 6x2 x + 30:
a) somadas do 6 e multiplicadas do 30 b) somadas do -6 e multiplicadas do 30 c) somadas do 6 e multiplicadas do -30 d) somadas do -6 e multiplicadas do 30 e) so 5, -2 e 3
Tarefa Complementar
5. (Med ABC-SP) As razes da equao x3 - 9x2 + 23x -15 = 0 esto em progresso aritmtica. Suas razes so:
a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5
d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9
6. (Mackenzie-SP) Uma raiz da equao x3 4x2 + x + 6 = 0 igual a soma das outras duas. As razes so:
a) 2, 2 e 1 b) 3, 2 e 1
c) 2, 1 e 3 d) 1, 1 e 2
e) 1, 2 e 3
7. (MACK-SP) O determinante da matriz a a c
b c0
1 0 1
, onde a,
b, e c so razes da equao x3 5x2 + 4 = 0, :
8. (SANTA CASA) Sabe-se que a equao: 4x3 12x2 x + k = 0, onde k , admite duas razes opostas. O produto das razes
dessa equao :
a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12
9. (ITA-SP) Considere a equao x3 + px2 + qx + r = 0 de coeficientes reais, cujas as razes esto em P.G. Qual das relaes
verdadeira?
a) p2 = r.q b) 2p + r = q
c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3
e) q3 = r.p3
10. (UFSC) Assinale no carto-resposta a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S).
01. A equao polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as razes
a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 igual a 12.
02. O resto da diviso do polinmio x6 x4 + x2 por x + 2
52.
04. Dado o polinmio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12
correto afirmar que 2 raiz de multiplicidade 3 para p(x).
08. Para que o polinmio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x +
(b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c 4.
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 13
UNIDADE 9
MATRIZES
DEFINIO
Uma matriz do tipo m x n (l-se: m por n), m, n 1, uma
disposio tabular formada por m.n elementos dispostos em m
linhas e n colunas.
As matrizes so representadas atravs de parnteses ( ),
colchetes [ ] ou atravs de barras duplas || ||
Exemplos.:
A = 2 0 3
6 9 5 A 2 x 3 (l-se: A dois por trs)
A =3 2 8 7
6 1 0 3A2 x 4 (l-se: A dois por quatro)
A =
60
61
12 A3 x 2 (l-se: A trs por dois)
NOTAES
Notao Explcita
Uma matriz genericamente representada por letras maisculas e
seus elementos por letras minsculas.
Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser
representada assim:
A =
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
m m m mn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
com m e n N*
Notao Condensada
Podemos tambm, abreviar essa representao da seguinte forma:
A = [aij] m x n
Os elementos da matriz A so indicados por aij de forma que:
i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)
j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna)
CLASSIFICAO DE MATRIZES
Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n so
respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A,
temos:
a) MATRIZ LINHA se m = 1
Exemplo: A1x3 213
b) MATRIZ COLUNA se n = 1
Exemplo: A4x1 =
0
5
2
1
c) RETANGULAR se m n
Exemplo: A2 x 3 = 049
132
d) QUADRADA se m = n
Exemplo: A2x2 85
63
Definio: Diz-se que uma matriz quadrada se a quantidade de
linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer ento que
ela n x n ou simplesmente de ordem n.
Possui duas diagonais:
diagonal principal (quando i = j para todo aij)
diagonal secundria (quando i + j = n + 1) , onde n a ordem da matriz.
TIPOLOGIA Matriz Transposta
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A
a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma
ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'
Exemplo A2 x 3 = 049
132 At3 x 2 =
2 9
3 4
1 0
OBSERVAO: Seja uma matriz A de ordem n.
Se A = At , ento A dita SIMTRICA
Exemplo: A =
085
813
532
Se A = At, ento A dita ANTISIMTRICA
( A indica matriz oposta de A que se obtm
trocando o sinal dos seus elementos)
Exemplo: A =
043
401
310
Matriz Identidade
Uma matriz A de ordem n dita identidade ou unidade se os
elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais
elementos iguais a zero.
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 14
Exemplos: I2 = 1 0
0 1 I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Pode se indicar a matriz identidade por:
In = [aij] , aij =1, para i = i
0, para i j
Importante: A matriz identidade neutra na multiplicao de
matrizes.
Matriz Nula
Uma matriz dita nula quando todos seus elementos forem iguais
a zero. A matriz Nula neutra na soma de matrizes.
Matriz Diagonal
toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.
Exemplo: A =
1 0 0
0 4 0
0 0 3
Matriz Triangular
toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.
Exemplos:
819
021
004
100
740
513
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes Amxn e Bmxn so iguais se os elementos
correspondentes (elementos de mesmo ndice) forem iguais.
ADIO E SUBTRAO DE MATRIZES
efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes
das matrizes. (vlido para matrizes de mesma ordem).
Propriedades:
1) A + B = B + A (propriedade comutativa)
2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade
associativa)
3) A + O = A (elemento neutro)
4) (A + B)t = At + Bt
PRODUTO DE UM NMERO POR MATRIZ Dado um nmero real K e uma matriz Am x n, denomina-se
produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtm
multiplicando-se todo elemento de A por k.
Propriedades:
Sendo x e y dois nmeros reais e A e B duas matrizes de mesma
ordem, valem as seguintes propriedades:
1) x . (yA) = (xy) . A
2) x . (A + B) = xA + xB
3) (x + y) . A = xA + yA
Exerccios de Sala
1. A uma matriz 3 por 2, definida pela lei
aij =
ji se
ji sej2i
,3
,
Ento, A se escreve:
2. (UFSC) Dadas as matrizes:
A = 2 1 3 1
0 4
x y
x z e B =
x 0
12 4
1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z :
3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simtrica, :
A =
625
201
1252
x
y
a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0
Tarefa Mnima
1. Escreva, na forma explcita, cada matriz abaixo:
a) A = (aij)2x2, com aij = i + j b) A = (aij)3x2, com aij = 3i j
2
c) A = (aij)3x2, com aij =
1 se i j
i2
se i j
d) A = (aij)2x3, com aij = 2 se i = j
2 + j, se i j
2. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =
ji sej,i
ji se7,
ji sej,3i
2
o valor da expresso 2a23 + 3a22 - a21 :
3. (UFOP-MG) Observe a matriz
y
x
00
40
321.
Determine x e y de tal forma que seu trao valha 9 e x
seja o triplo de y.
4. Considere as matrizes A =
72
log3
21
52
x
y
e B = 7165
812. Determine o valor de x + y de
modo que A = Bt
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 15
5. Considere as matrizes A = 03
12e B =
21
30
a) Obter a matriz X tal que A + X = B b) Obter as matrizes X e Y tal que:
BYX
AYX 3
Tarefa Complementar
6. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:
15
31
12
26
03
125
yy
x
7. (FCMSCSP) Se A uma matriz quadrada, define-se o TRAO de A como a soma dos elementos da diagonal principal
de A. Nestas condies, o trao da matriz A = (aij)3 x 3, onde
aij = 2i - 3j igual a:
a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6
8. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j.
9. Uma matriz se diz anti-simtrica se At = A. Nessas condies, se a matriz A anti-simtrica, ento, x + y + z igual
a:
A =
031
302
zyx
a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3
10. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simtrica se A = At . Assim, se a matriz
A =
234
10
212
zx
y
simtrica, ento x + y + z igual a:
a) 2 b) 1 c) 1 d) 3 e) 5
11. (U.Catlica de Salvador -BA) Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz anti-simtrica se A = -At, onde At a matriz
transposta de A. Nessas condies, qual das matrizes seguintes
anti-simtrica?
03-2
301-
2-10
b
413
102-
32-1
a ))
031
302
120
e
323
220
301
d
101-
011-
11-1
c
)
))
12. Se a matriz quadrada A tal que At = A, ela chamada matriz anti-simtrica. Sabe-se que M anti-simtrica e:
M = 4
2
2 8
12 13
23
a a a
a b a
b c c
.
Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:
a) 4, 2 e 4 b) 4, 2 e 4 c) 4, 2 e 4 d) 2, 4 e 2 e) n.d.a.
13. Sendo A = 1 72 4
e B = 3 1
4 0, ento a matriz X, tal que
X A X B
2
2
3, igual a:
14. Dadas as matrizes: A =3 1
2 4 e B =
2 2
0 4, o
produto dos elementos da segunda linha de 1
4B
1
2A :
a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2
15. Dadas as matrizes
Ax y
z w B =
x 6
- 1 2w C =
4 x y
z + w 3e sendo 3A = B + C,
ento:
a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10
c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1
e) x + y + z + w > 11
UNIDADE 10
MULTIPLICAO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O
produto de A por B a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os
elementos cik so obtidos assim:
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk
ou seja:
n
j
jkijba1
para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1,
2,...,p}.
Exemplo: Considere as matrizes
A = 3 0
2 1e B =
1 3
9 2. Determine A.B
Resoluo: O produto AxB uma matriz obtida da
seguinte forma:
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 16
A.B = 3 1 0 9 3 3 0 2
2 1 19 2 3 12
A.B = 3 9
7 4
PROPRIEDADES
1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C
3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A
Observaes:
1) Na multiplicao de matrizes geralmente
A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se
comutam.
2) Na multiplicao de matrizes no vale a lei do
anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo
com A 0 B 0.
DETERMINANTES
DEFINIO
Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar ela,
atravs de certas operaes, um nmero real chamado
determinante da matriz.
Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por
duas barras verticais. Assim, se a a
a a
11 12
21 22
a matriz A,
indicamos o determinante de A por det A = a a
a a
11 12
21 22
CLCULO
1 ORDEM
Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o
prprio elemento a11 e se indica por:
det A = |a11| = a11
2 ORDEM
3 ORDEM
Exerccios de Sala
1. Dadas as matrizes A = 0
3
34
12
1-
5=B e .
Determine:
a) A.B b) B.A c) At.Bt
d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B
2. (UFSC) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B =
C, ento o elemento C32 da matriz C, :
3. Calcule os determinantes:
a) 52
43 b)
4 2
1 3
4. Calcule o determinante:
163
341
202
Tarefa Mnima
1. (UEL-PR) Sobre as sentenas:
I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 uma matriz 3x1.
II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 uma matriz 4x2.
III - O produto de matrizes A2x3 . B3x2 uma matriz
quadrada 2 x 2.
verdade que
a) somente I falsa b) somente II falsa c) somente III falsa d) somente I e III so falsas. e) I, II e III so falsas
2. Se 3 2
1 4
a
b
1
2=
5 7
5 9, ento a + b igual a:
3. Dadas as matrizes A = 1 1
0 0e B =
0 1
0 1, para A.B
temos a matriz:
4. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes:
A = 2
3 1
xe B =
1 1
0 1seja uma matriz simtrica, :
5. (UFSC) Dada a equao matricial:
4 2
1 3 0
4 2
3
1
4
2
3
x
y
z x
y
O valor da expresso
5x + 4y + z :
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 17
6. Calcule os seguintes determinantes:
a)
16
34 b)
13
25
c)
432
314
523
7. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j - i
2, o determinante da matriz A :
8. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz A = (aij)2 x 2, onde aij =
ji sej,i
ji se0,
9. O valor de x na equao 15
102
1
132
xx :
Tarefa Complementar
10. (CESCEM) O produto M.N da matriz M =
1
1
1
pela matriz
N = 1 1 1 :
a) no se define
b) a matriz identidade de ordem 3
c) uma matriz de uma linha e uma coluna
d) uma matriz quadrada de ordem 3
e) no uma matriz quadrada
11. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam. a a
a 2 e
0 3
3 3
O valor de a :
12. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaam a equao matricial
4 3
5 4
1
2
4 2
7 3
x
y
13. (UFSC) Dadas as matrizes: A = 1 0 2
0 1 3
4 1 2
;
B =
2 1 1
0 3 0
4 2 1
; C =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e seja P = (2A - C).B.
Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
P.
14. (UFSC) Considere as matrizes A = 1 0
2 1
1 2
B = 2 0 1
1 1 3 Sejam M = ( A + Bt ).(At B ), onde At e Bt
so matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto
dos elementos mij com i = j da matriz M :
15. Se A = 1 2
4 3 , ento A2 + 2A 11 I, onde I a
matriz identidade de ordem 2, igual a:
16. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:
A = 1 2 3
4 1 2, B =
x 1 8 5
2 7 4 e Bt a matriz
transposta de B.
17. (UFSC) Em R,a soluo da equao 2 3
2 4
1 3
x
x
x
= 175 :
18. (MACK) O conjunto soluo de
1
1 1
1 1
1
1 1
1
x
x
x :
a) { x R| x 1} b) { 0,1 }
c) { 1 } d) { -1} e) { 0 }
19. (MACK-SP) Sejam as matrizes A = 1 23 4
e B =3 4
1 2
,
e seja X uma matriz tal que X.A = B. Ento, det X vale:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
UNIDADE 11
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
1 PROPRIEDADE
Casos onde o determinante nulo
1 Se uma matriz possui uma fila de elementos
iguais a zero.
Exemplo: 0 3 9
0 8 3
0 4 1
0
2 Se uma matriz possui duas filas iguais.
Exemplo: 2 8 2
3 5 3
1 6 1
0
3 Se uma matriz possui duas filas proporcionais.
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 18
Exemplo: 2 3 5
4 6 10
7 0 3
0
4 Se uma fila de uma matriz for uma combinao linear de duas
outras.
Exemplo: 3 5 1
0 4 2
3 9 3
0
2 PROPRIEDADE
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um nmero k, o
determinante da nova matriz fica multiplicado por k.
Exemplo: 2 4
1 32
2 4
1 32 10
5 55
CONSEQNCIAS
No clculo dos determinantes, possvel colocar o fator comum em evidncia.
-216= 3.(-72)
143
051
426
3
143
051
432363
143
051
12618
.
...
( 72)
Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um nmero k o determinante fica multiplicado pelo nmero kn.
det(k.A) = kn.detA
3 PROPRIEDADE
Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante
muda de sinal.
4 PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz triangular o produto dos
elementos da diagonal principal.
Exemplo:
3 9 8
0 4 5
0 0 1
12
5 PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET)
Se A e B so duas matrizes de ordem n o determinante do
produto de A por B o produto dos determinantes da matriz A
pelo determinante da matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
6 PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz igual ao determinante de sua
transposta.
7 PROPRIEDADE
(TEOREMA DE JACOBI)
Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente
multiplicada por um nmero real, obtemos uma matriz A', tal que
det A' = det A
Exemplo: A =
122
151
214 det A = 15
Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando
primeira, obtemos A': A' = 0 3 0
1 3 2
2 2 1
det A = 15
INVERSO DE MATRIZES Sejam A e B duas matrizes quadradas.
Se A.B = B.A = I, dizemos que B a matriz inversa de A. e
indicamos por A-1.
Logo: A . A-1 = A . A-1 = In
PROPRIEDADES DA INVERSA:
(A-1) -1 = A
(A.B) -1 = B-1 . A-1
det A-1 = 1
det A
OBSERVAES:
Uma matriz s possui inversa se o seu determinante for diferente de zero, sendo assim, chamada de inversvel.
Uma matriz que no admite inversa chamada de singular.
Se a matriz A inversvel, ento, ela quadrada.
Se a matriz A inversvel, ento, a sua inversa nica.
OBSERVAO
O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes
trabalhoso, pois recai na resoluo de n sistemas de n equaes e
n incgnitas.
Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse clculo.
Teorema
Se A uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, ento a
inversa de A :
A 1
= .det
1
A
A
Onde A representa a matriz adjunta.
Matriz Adjunta: a matriz transposta da matriz dos cofatores
de A.
Conseqncia
Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 19
aplicar:
bij = .det
1
A Cji
onde Cji o cofator do elemento aij
Exerccios de Sala
1. Sabe-se que 2
ifc
heb
gda. Determine o valor de
ifc
heb
gda
432
432
432
2. Uma matriz A quadrada de ordem 4 e seu determinante igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.
3. Determine a inversa das seguintes matrizes:
a) 1 5
2 0 b)
3 1
5 2
4. Determine o valor de x de modo que a matriz 9
32
x seja
singular
Tarefa Mnima
1. Sabendo que 2
ifc
heb
gda
, calcule
ifc
heb
gda
32
32
32
2. (UFRN) O determinante 1 72 81
0 2 200
0 0 3
igual a:
3. (UFRGS) Considere as seguintes afirmaes.
I - O determinante de uma matriz no se altera, quando so
trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.
II - O determinante de uma matriz com linhas proporcionais
nulo.
III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um
nmero real p,no nulo,o determinante da nova matriz
fica dividido por p.
Quais so as verdadeiras?
a) I
b) II
c) I e II
d) II e III
e) todas so verdadeiras
4. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde
aij = 1 se i j
i j se i j calcular o determinante
do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( At.A ),
onde At a matriz transposta de A.
5. (Unisinus-RS) O valor de um determinante 48. Dividimos a 2 linha por 8 e multiplicamos a 3 coluna por 6,
ento o novo determinante valer:
6. (UFRGS) A inversa da matriz A = 25
13 :
25
13 e)
35
02 d)
31
52 c)
25
13 b)
35
12 a)
7. O maior elemento da inversa da matriz A = 51
42 :
a) 2 b) 5/6 c) 1/5
d) 1/6 e) 1/3
8. (UFVIOSA) Sejam as matrizes A = 62
21 e M =
y
x
1
1 , onde x e y so nmeros reais e M a matriz
inversa de A. Ento o produto x.y :
a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4
9. (UCSal-BA) A matriz 1
1
x
x, na qual x um nmero
real, inversvel se, e somente se:
a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x 1
10. Considere a matriz A = 21
3
x
x . Sabendo que det A- 1 =
0,25, ento x :
a) 0 b) 2 c) 2 d) 4 e) 1
Tarefa Complementar
11. (UECE) Sabe-se que M uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(M) = 2. Ento det (3M) igual a:
a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27
12. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =
2 1 4
1 0 2
0 1 6
. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:
a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 20
13. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:
1 5 1 3 0 0 0
0 2 2 4 3 4 0 0
0 0 3 1 1 2 1 0
0 0 0 4 2 1 3 2
A
-1
e B =
O valor do determinante de A.B :
a) 192
b) 32
c) -16
d) 0
e) n.d.a.
14. (F.M.Santos-SP) O determinante
1 0 0 0 0
2 2 0 0 0
3 2 1 0 0
4 2 3 2 0
5 1 2 3 3
:
a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a.
15. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e
I = 10
01. Chamam-se auto valores de A as razes da
equao det (A xI) = 0. Obtenha os autovalores de
A = 32
41
16. (FGV-SP) Considere as matrizes A =
pc
nb
ma
4
4
4
e B =
3
3
3
cp
bn
am
. Se o determinante da matriz A igual a
2, ento o determinante da matriz B igual a:
a) 3/2 b) 2/3 c) 3 d) 3/2 e) 2/3
17. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij =
ji se0,
ji se4,. Ento correto afirmar:
01. det (A) = 64
02. (A).(At) uma matriz quadrada de ordem 6
04. det(2A) = 8 det(A)
08. det(A) det(At)
16. A2 =
161616
01616
0016
18. Os valores de k para que a matriz A =
31
31
101
k
k no
admita inversa so:
a) 0 e 3 b) 1 e 1 c) 1 e 2 d) 1 e 3 e) 3 e 1
19. (UFPB) Se a matriz 2 5
5
x x
xno invertvel,
ento, o valor de x em mdulo :
20. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por
aij = 1
0
i j para i j
para i jo determinante de A-1 :
UNIDADES 12
SISTEMAS LINEARES
DEFINIO Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equaes
lineares com n incgnitas.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema homogneo.
Soluo de um Sistema Linear
Denomina-se soluo de um sistema a seqncia de nmeros
reais ( 1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as
equaes do sistema.
Sistemas Equivalentes
Dois Sistemas so ditos equivalentes se e somente se:
So Possveis e admitem as mesmas solues, ou
So Impossveis.
Classificao de um Sistema Linear
Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o
nmero de solues que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser:
DETERMINADO (1 soluo)
POSSVEL
INDETERMINADO (infinitas solues)
IMPOSSVEL No Admite Soluo
REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer consiste num mtodo para resolvermos
sistemas Lineares de n equaes e n incgnitas.
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 21
Seja o sistema
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
Para obtermos a soluo para esse sistema vamos fazer alguns
clculos. Acompanhe:
det S
Determinante associado matriz formada pelos coeficientes das
incgnitas.
det S =
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
det Xi
Determinante associado matriz obtida a partir de S, trocando
a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos
independentes do sistema.
det X1 =
b a a
b a a
b a a
n
n
n n nn
1 12 1
2 22 2
2
det X2 =
a b a
a b a
a b a
n
n
n n nn
11 2 1
21 2 2
1
det Xn =
a a b
a a b
a a bn n n
11 12 1
21 22 2
1 2
A soluo do Sistema dada por:
x1det X
det S x
det X
det S x
det X
det S
12
2n
n
Veja que s possvel aplicar a Regra de Cramer em sistemas n
x n em que det S 0. Esses sistemas so denominados normais.
3. Discusso com base na regra de Cramer (2x2)
1) Quando det S 0, o sistema possvel e determinado.
2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema
possvel e indeterminado
3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais
determinantes for diferente de zero, os sistema
impossvel
O sistema homogneo sempre possvel.
Exerccios de Sala
1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas:
a)
152
1134
yx
yx
b)
622
3
yx
yx
c)
233
1
yx
yx
2. Dado o sistema de equaes lineares
x y z
x y z
x y z
1
1
com
, R, ento o sistema determinado se:
a) se -1 b) se = -1 e 1
c) se 1 d) se = -1 e = 1
e) se = -1 e = -1
3. (FGV-SP) O sistema linear
0
0
02
zyx
zyx
zyx admite
soluo trivial, se:
a) = - 2 b) - 2
c) = 2 d) 2 e)
Tarefa Mnima
1. (USF-SP) Resolvendo o sistema x y z
x y z
x y z
9
2 11
1
, obtm-se y
igual a:
2. (UFRGS) Dado o sistema de equaes lineares sobre
R
2 4
3 2 4
4 0
x y z
x y z
x y z
os valores de x, y e z que constituem sua
soluo:
a) formam uma progresso geomtrica
b) formam uma progresso aritmtica
c) so iguais entre si
d) no existem
e) tm uma soma nula
3. (FGV-SP) O sistema de equaes 2 5 10
2 3
x y
x y
equivalente a:
2 5 10 10) . ) .
1 2 3 3
10 10) . )
3 3
x xa b
y y
x xc d
y y
-2 -5
1 2
2 -1 -2 1
5 -2 -5 2
4. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossvel, o valor de a :
x y z
x y az
x y z
3 4 1
2
2 3
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 22
5. (UFSC)Determine o valor de m para que o sistema, abaixo admita infinitas solues:
mx y z
x my z
x y
2 0
2 0
3 2 0
Tarefa Complementar
6. (UEPG-PR) O sistema linear
b4z2y3x
2zyx
33zyax
:
01. impossvel para a 2 e b = 5
02. impossvel para a = 2 e b 5
04. possvel e determinado para a = 2 b R
08. possvel e indeterminado para a = 2 e b = 5
16. possvel e determinado para a 2
7. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear
x ay z
ax y az
x ay z
0
0
0
assinale a alternativa correta:
a) O sistema admite uma infinidade de solues
para qualquer a real.
b) O sistema no admite soluo de a = 1.
c) O sistema admite uma nica soluo se a = 3.
d) O sistema admite somente a soluo trivial.
e) O sistema admite uma nica soluo se a = 1.
8. (FEI-SP) Se o sistema 3 2 1 0
4 2 2 0
2 3 2 0
x y z
mx y z
x my z
admite uma nica soluo, ento:
a) m 6 b) m 2
c) m 8 d) m 4
e) m 3
9. (UFSC) Considere o sistema S1: 06y-2x-
03yx
determine a soma dos nmeros associados (s)
proposio(es) verdadeira(s).
01. O par ordenado ( 15,5) uma soluo do sistema S1.
02. O sistema S1 possvel e determinado.
04. A soluo do sistema S1 uma reta que no passa
pela origem.
08. O sistema S2: 030y-10x-
06y2x equivalente ao
sistema S1.
10. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS
01. O nmero de elementos de uma matriz quadrada de
ordem 12 48.
02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma
ordem.
04. A soma das razes da equao
x44
xx4
xxx
= 0 8.
08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes
inversas.
16. O sistema 0yx
02y3x indeterminado.
11. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras
01. A matriz
0213
1845
1524
0321
no possui inversa.
02. Se um sistema de equaes indeterminado, ento no se pode encontrar soluo para ele.
04. Uma pequena indstria produz trs tipos de
produto que indicamos por x, y, z. As unidades
vendidas de cada produto e o
faturamento bruto da empresa em trs meses
consecutivos so os dados na tabela abaixo.
Ento, os preos dos produtos x, y e z s podem
ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00
e R$ 3.000,00.
Ms
Unidades
de x
vendidas
Unidades
de y
vendidas
Unidades
de z
vendidas
Faturamento
bruto
1 1 5 3 R$
35.000,00
2 4 1 2 R$
15.000,00
3 5 6 5 R$
50.000,00
08. A soluo da equao 0
213
42
142
x x = 1
12. (UFSC) Assinale as proposies corretas.
01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) a nica soluo do
sistema 276y3x
92yx
02. A matriz A = (aij)1 3, tal que aij = i 3j
A = 852 . 04. A soma dos elementos da inversa da matriz
10
11 igual a 2.
08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simtrica se
tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A.
Nessas condies, pode-se afirmar que a matriz
-
Incluso para a vida Matemtica D
Pr-Vestibular da UFSC 23
001
000
100
anti-simtrica.
16. Se as matrizes P, Q e R so escolhidas entre as
listadas a seguir, para que PQ R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
2
1
3
, 53x , x20
116,
6
19
32. A e B so matrizes quadradas de ordem 2 tais
que A = 5B. Nestas condies, pode-se afirmar
que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e
det(B) designam, respectivamente, os
determinantes das matrizes A e B.
13. (UFSC) Marque a(s) proposio(es) correta(s).
01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz
B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e
de ordem m x p.
02. Se um sistema de equaes possui mais equaes
do que incgnitas, ento ele incompatvel
(impossvel).
04. A terna (2, 1, 0) soluo do sistema
x y z
x y z
x y z
x y z
2 3 4
2 2 3
3 7
6 2 2 14
08. Trs pessoas foram a uma lanchonete.
A primeira tomou 2 (dois) guarans e comeu 1
(um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1
(um) guaran e comeu 2(dois) pastis e pagou R$
5,00. A terceira tomou 2 (dois) guarans e comeu
2(dois) pastis e pagou R$ 7,00. Ento, pelo
menos, uma das pessoas no pagou o preo
correto.
14. (FUVEST) O sistema linear
ayx
ayx
9log4log
3log2log
a) tem soluo nica se a = 0 b) tem infinitas solues se a = 2 c) no tem soluo se a = 3 d) tem infinitas solues se a = 4 e) tem soluo nica se a = 9
GABARITO
Unidade 1
1) R$ 45,20
2) 252
3) 8 dias
4) a) 20 b) 2 c) 240 d) 0,6
e) 0,06 f) 0,0025
g) 70% 5) e
6) 08
7) b
8) a
9) a
10) a
11) a
12) 44
13) 40
14) d
15) 02
Unidade 2
1) 15
2) a) 9 b) 3
c) 8
3) 05
4) c
5) d
6) a
7) 04
8) 02
9) d
10) 08
11) 12
12) e
13) d
14) 60
15) c
Unidade 3 1) 24
2) 60
3) 24
4) 210
5) c
6) a
7) 28
8) e
9) a
10) 30
11) 35
12) 12
13) d
14) a
Unidade 4
1) 19
2) b
3) 13
4) 32
5) 04
6) c
7) c
8) Cn, p 9) b
10) d
11) c
Unidade 5
1) 280
2) 01
3) 37
4) a
5) e
6) a
7) e
8) 01
9) c
10) a
Unidade 6
1) a) 5 b) 0 c) 38
2) 4 3) 66
4) 66
5) d
6) 00
7) d
8) 66
9) d
10) a
Unidade 7
1) 23
2) 35
3) b
4) 11
5) 07
6) 04
7) b
8) e
9) e
10) d
Unidade 8
1) d
2) d
3) 08
4) c
5) c
6) c
7) 00
8) b
9) e
10) 03
Unidade 9
1)
2 1 1 12 3 2 4 5
5 2 4 13 4 3 2 5
8 5 9 9
a b c d) ) ) )
2) 34
3) 6 e 2
4) 36
5)a) 2 22 2
X
b) 3 04 1
X
3 3
5 1Y
6) 12 7) e
8) 12
9) d
10) e
11) b
12) b
13) 9 17
10 12
14) a
15) b
Unidade 10
1) b
2) 05
3) 00
00
4) 01
5) 56
6) a) 14 b) 11
c) 15
7) 03
8) 08
9) 05
10) d
11) 01
12) 40
13) 32
14) 80
15) 0 0
0 0
16) 56
17) 19
18) e
19) b
-
Matemtica D Incluso para a Vida
Pr-Vestibular da UFSC 2
Unidade 11
1) 12 2) 6
3) c
4) 121
5) 36
6) a
7) b
8) a
9) d
10) e
11) d
12) d
13) a
14) a
15) 5 e 1
16) d
17) 05
18) c
19) 05
20)
Unidade 12
1) 03
2) b
3) a
4) 02
5) 02
6) 26
7) a
8) a
9) 09
10) 04
11) 09
12) 18
13) 13
14) c