Tema 4. Mecánica Celeste

Elongación ε = ángulo máximo entre el planeta y el Sol

Plantas interiores tienen elongaciones ε pequeñas

ε = 18-28º Mercurio 45-48º Venus

Ángulos de fase entre 0º (conjunción inferior)y 180º (conjunción superior)

Planetas que siempre siguen o preceden al Sol

Ambos planetas presentan fases y tránsitos

ε

α

1. Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.

a) Movimiento de los planetas interiores

Último tránsito de Venus: 06-06-2012 Siguiente tránsito de Venus 11-12-2117

Excepcionalidad de los tránsitos de Venus:

Último tránsito de Venus: 06-06-2012 – 8 añosSiguiente tránsito de Venus 11-12-2117 + 8 años

t3

t3

t3

t4t4

t4

Movimiento retrógrado

ε

α

t2

t2

Movimiento directo

t2t1

t1

t1

1. Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.

a) Movimiento de los planetas interiores

t1

t1

t3

t3 Movimiento retrógradoo directo?

t2

t2

Movimiento directo

t4t4

t3

t4t4

t3

t3

t4

Movimiento retrógrado

ε

α

1. Movimientos aparentes de los planetas en la esfera celeste.

a) Movimiento de los planetas exteriores

Sistema Ptolemaico:

Movimiento epicíclico

c) Movimiento retrógrado

Marte

Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico

Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico

Del Sistema Geocéntrico Ptolemaico al sistema Heliocéntrico

2. Gravitación

El movimiento de los cuerpos celestes está gobernado “únicamente” por la fuerza de gravedad

rr

GMmF

2

−=

Solución: Movimiento a lo largo de secciones cónicas caracterizadas por el valor de la excentricidad e

22 21),(

+=⇒GMm

L

m

EeELe

Fuerza central Conservación del momento angular

Fuerza conservativa Conservación de la energía

kLkmrvsenprL0==×= ϕ

02

2

1E

r

GMmmvE =−=

1r

1v

ϕ2r

2v

θ

Para dos cuerpos de masas M >> m

a) Elementos orbitales

a = semieje mayor

e = excentricidad

i = inclinación

Ω = longitud del nodo ascendente

ω = argumento del perihelio (P) o perigeo

t0 = tiempo del paso por el perigeo

Tamaño de la órbita

Forma de la órbita

Orientación orbital

Posición del planeta en todo instante de tiempo

Energía y momento angular

E < 00 < e < 1

b) Tipos de órbitas (Para dos cuerpos de masas M >> m )

Objetos “ligados”E< 0

Objetos “libres”E=0E>0

Planetas, satélites

Cometas de corto periodo

algunos asteroides

KBO

Cometas de largo periodoi.e. el cometa Lulin

Leyes de Kepler e < 1 (objetos ligados)

1 – Las órbitas son trayectorias elípticas con el Sol en uno de los focos.

F1 F2

2a

2b

e a

peri

helio

afel

io

a

bae

22 −=

2 – El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales

ctem

L

dt

dA ==2

2 – El cuadrado del periodo orbital de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor

32 a∝τ

Sistema solar

i) Órbita Circular

CM

a1 a2

a = a1 + a2

m1 =2.5 m2

c) Gravitación: Movimiento de N cuerpos

N = 2 Solución analítica exacta

N = 3 Solución analítica exacta en términos de series convergentes lentamente

N > 3 No existe solución analítica Mvto. alrededor del CM conservando E y L

N = 2 Solución analítica exacta

Sean m1 ~ m2 (del mismo orden)

21

21

mm

mm

+=µ

21 mmM +=

Problema equivalente:

Un cuerpo de masa reducida µ orbitando un cuerpo de masa M fijo situado en el CM y con una órbita de semieje mayor a

ii) Órbitas elípticas

m1 =m2

Juegos de gravedad: Estrellas binarias y objetos masivos

4.1 x 106 masas solares en el centro de la Vía Láctea

d) Gravitación: Movimiento de 3 cuerpos

Caso restringido, m<< M1, M2 El sistema rota alrededor del CM con velocidad angular Ω

Ejemplos prácticos:

• Sistemas binarios estelares• Sistema Tierra-Luna• Sistema Sol-Tierra

Líneas Lineas de potencial cte en el sistema de referencia co-rotante

VF

zr

m

r

mGzrrV

∇−=

Ω−

+−=

22

2

2

1

121 2

1),,(

z = distancia al eje de rotación del sistema en el CM

Lóbulo de Roche y puntos de Lagrange

L1

L2

L3

L4

L5

L1,L2,y L3 Máximos de Ep Puntos equilibrio pero inestables frente a perturbaciones

L4 y L5 Mínimos de Ep Puntos estables absolutamente

Caso restringido, m<< M1, M2

Sistema Tierra-Sol y Tierra-Sol-Luna

Sistema Júpiter-Sol y asteroides troyanos

L1: SOHO

L2: WMAP, Herschel, Planck y otros observatorios espaciales

L3: Muy inestable por la interacción periódica con otros planetas

e) Gravitación: Movimiento de N cuerpos

Isaac Newton al respecto del problema de 3 cuerpos

Problema analítico con soluciones perturbativas aproximadas

Caos determinista

Soluciones numéricas en base a técnicas perturbativas

Lagrange, Euler, Leverrier

A partir de Poincaré (comienzos S. XX)

A partir de los años 40

Desde los años 90: Entre los problemas favoritos en códigos numéricos en paralelo

3) Campo gravitatorio de una masa continua

ϕ

λ

dV

∫=V

dVrM ),,( λϕρ ),,( λϕrVg

( ) ( )∫ −

−=V

g rr

drrGrV

'

,' ϕρ

Rotación Simetría ),( ϕρ r

Ecuación de Poisson: ( ) ( )g

g

Vg

rGrV

−∇=

=∇

ϕρπϕ ,4,2

( ) ( )[ ] ϕϕϕ 2221 cos

2

1...,1, rrV

r

GMrVg Ω−++−=

Rotación planetaria.Este término incluye la fuerza centrípeta sobre la superficie planetariaSe pueden medir

por sondas planetarias

Se puede medir la estructura de densidad de planetas y otros cuerpos del Sistema solar.

==

⇒

−=−=

min25 12

30 min50 24

32.27

1

24

1111

mareas

mareas de ciclo

h

sh

diashrLT

ττ

τττ

Ciclos temporales:

gL2 gL1

Ejemplo práctico:

4. Mareas (I) Efecto producido por la “gravedad” diferencial experimentada en cuerpos extensos.

d TL = 384000 km

M Luna = 7.35x1022 kg =0.012 MTierra

R T = 6400 km G = 6.673x10-11 m3kg-1s-2

2-521 ms 10x 44.3

)(−=

−=

TTL

LL Rd

GMg

2-522 ms 10x 22.3

)(−=

+=

TTL

LL Rd

GMg

-25 ms 10x 22.0 −=∆g

Aplicado sobre toda la superficie terrestre

Aceleración diferencial producida por la Luna

Resultado sobre una superficie deformable como el Océano

TierraLuna

marea

TierraTierraLuna

marea

Rr

MGg

Rr

mMGF

3

3

2~

2~

Descripción matemática:

Mareas vivas y mareas muertas:

dias7.14 mareas de tipos =τ

4. – Mareas (II)

Mareas en océanos y Tierra30 cm en Tierra, 1 m en el océano

Recesión lunar:La Luna se aleja 3.8 cm al año de la Tierra por efecto de la marea

Frenado de mareas:La Tierra tiene días más largos 0.0023 s por siglo

Sincronización orbital:La Luna tarda en dar una vuelta sobre sí misma el mismo tiempo que en dar una vuelta alrededor de la Luna.

Fricción y mareas (L=cte, E perdida en forma de disipación térmica)

Múltiples fenómenos de marea en el Sistema Solar (Ío, Europa, Ganímedes en resonancia 1 : 2 : 4)

Mundos de volcanes y océanos subsuperficiales calentados por la marea joviana

5. Movimiento aparente y fases lunares

Movimiento muy complejo: los nodos de la Luna, no están fijos, sino que dan una vuelta en 18,6 años, el eje de la elipse lunar no está fijo y el apogeo y perigeo dan una vuelta completa en 8,85 años. La inclinación de la órbita varía entre 5º y 5º 18’.

Libración lunar:

La Luna nos muestra siempre su misma cara!

El periodo de rotación lunar es igual a su periodo orbital alrededor de la Tierra.

Sin embargo debido a la excentricidad de la órbita y al eje de inclinación de la Luna nos muestra un 60% de su superficie.

6. Eclipses y ocultaciones

Fenómenos de sombras producidos por la posición relativa entre diferentes cuerpos delSistema Solar y en otros sistemas planetarios y estrellas.

22 mayo 2007

a) Ocultaciones

Cuerpos con órbitas exteriores a la terrestre.

Otros ejemplos típicos:

- Estrella ocultada por la Luna- Planeta por asteroide

b) Tránsitos Cuerpo en una órbita interior pasando por el disco solar (Mercurio y Venus).

Venus tiene atmósfera!Mikhail Lomonosov (1761).

c) Eclipses Solares

Tamaño aparente angular Sol 31’ ~ Luna 33’

Tamaño de la umbra sobre la Tierra ~200 km recorriendo una franja de varios miles de km

Eclipse total (Luna cerca de la Tierra), anular (Luna más lejana)

Se producen durante el novilunio (Luna nueva)cuando la Luna está en los nodos y la línea de nodos se alinea con el Soli lunar = 5.1º

α

Repetición del ciclo de eclipses cada 18 años 11.3 días Ciclo Saros (“repetición”)

Cada Saros se producen 70 eclipses 41 de Sol (pocos eclipses totales y solo en áreas pequeñas) 29 de Luna (visibles uno de cada dos en cada región geográfica)

d) Eclipses Lunares

Eclipses totales o parciales

Se producen durante las fases de Luna llenacuando la Luna está en los nodos y la línea de nodos se alinea con el Sol

Próximos eclipses solares

Eclipses lunares del 2013

25 abril 2013 parcial visible a la salida de la Luna25 mayo 2013 penumbral visible desde España18 octubre 2013 penumbral visible desde Europa

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