Teorija grafova 2: Ojlerovi i Hamiltonovi grafovi

Bipartitan graf: postoji biparticija {X, Y }-podela skupa V na dva podskupa tako da dva cvora mogu biti povezanasamo ako su iz razlicitih podskupova. Kompletan bipartitan (Km,n): svaki cvor iz X je povezan sa svakim iz Y , |X| = mi |Y | = n.

Teorema 1. Graf je bipartitan akko svaka kontura ima paran broj grana.

Multigraf: dva cvora mogu biti spojena sa vise grana, kao i cvor sa samim sobom. Multigraf je poluojlerov ako postojisetnja koja prolazi kroz svaku granu tacno jednom, a Ojlerov ako je ona zatvorena. Graf je Hamiltonov ako postoji putkoji prolazi kroz svaki cvor tacno jednom, a poluhamiltonov ako postoji takva kontura.

Teorema 2. (a) Multigraf je Ojlerov akko je povezan i svi cvorovi su mu parnog stepena; (b) Multigraf je poluojlerovakko je povezan i broj neparnih cvorova mu je najvise 2.

Teorema 3. (Ore) Ako δ(v) + δ(u) > n za svaka dva cvora v i u koji nisu povezani granom, graf je Hamiltonov.

Teorema 4. (Dirak) Ako δ(v) ≥ n2 za svaki cvor v grafa, on je Hamiltonov.

1. Dokazati da ne postoji bipartitan graf sa n cvorova kod koga n− 1 cvor ima stepen k ≥ 2, a jedan cvor ima stepenk − 1.

2. Neka je k > 0 i {X, Y } biparticija skupa cvorova k-regularnog bipartitnog grafa. Dokazati da je |X| = |Y |.

3. Dokazati da je svaka suma bipartitan graf.

4. U jednom vikend naselju ima 12 kuca, poredanih u niz. Neke su obojene belo, a neke plavo. Svaki od vlasnika imamedu ostalim neparan broj prijatelja. Prvog dana prvi od njih boji kucu onom bojom kojom su obojene kuce vecinenjegovih prijatelja, sledeceg dana to radi drugi itd. Dokazati da ce posle izvesnog broja dana boje kuca prestati dase menjaju (u meduvremenu se ne sklapaju nova prijateljstva).

5. Neki od gradova P1, P2, . . . , P1983 povezani su aviolinijama koje su vlasnistvo kompanija A1, A2, . . . , A10. Zna se dase iz svakog grada moze do svakog drugog stici direktno. Dokazati da postoji aviokompanija koja sama obezbedujeput koji pocinje i zavrsava u istom gradu i sadrzi neparan broj letova.

6. Na turniru ucestvuje 20 ekipa. Koliko je najmanje utakmica potrebno odigrati da bi medu svake tri ekipe postojaledve koje su odigrale utakmicu?

7. U Keningsburgu ima sedam mostova koji su rasporedeni kao na slici 1. Moze li se stanovnik Keningsburga prosetatitako da prede preko svakog mosta tacno jednom?

8. Moze li se kucica na slici 2 nacrtati jednim potezom?

9. Da li se moze obici zamak na slici 3 tako da se kroz svaka vrata prode tacno jednom? (Vrata postoje izmedu svakedve susedne sobe u zamku i izmedu svake sobe i spoljasnjosti.)

10. Mogu li se temena pravilnog 45-ugla obeleziti ciframa tako da za svaki par cifara postoji stranica ciji su krajeviobelezeni tim ciframa?

11. Dokazati da je komplement regularnog nepovezanog grafa Hamiltonov graf.

12. Kocka ivice k podeljena je na k3 manjih kocaka ivice 1. Za koje k je moguce te kocke obojiti u dve boje tako dasvaka od njih ima tacno dve susedne kocke iste boje? (Kocke su susedne ako imaju zajednicku stranu.)

13. Dokazati da se ne moze napraviti mreza puteva bez nadvoznjaka izmedu pet gradova tako da svaka dva grada budupovezana direktno.

14. U drustvu od pet ljudi medu svake tri osobe postoje dve koje se poznaju i dve koje se ne poznaju. Dokazati da senjih petoro mogu rasporediti za okrugli sto tako da svaki sedi izmedu dva svoja poznanika.

15. Od n vitezova kralja Artura svaki medu ostalima ima vise prijatelja nego neprijatelja. Dokazati da se oni moguporedati za okrugli sto tako da svaki sedi pored prijatelja.