0350-85870924023z

23

UDK: 624.012.35:624.042.7(045)

SEIZMIČKA ANALIZA MONTAŽNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA SA

POLUKRUTIM VEZAMA

Slavko Zdravković1 Dragan Zlatkov2

Marina Mijalković3 Biljana Mladenović4

Rezime

U ovom radu je prikazano formiranje matrica krutosti i matrica masa za štap sa polukrutim vezama u funkciji stepena krutosti veza u čvorovima. Ove matrice su unete u poznat kompjuterski program za dinamički proračun ravnih sistema sa polukrutim vezama, što je ilustrovano numeričkim primerom realne ramovske AB konstrukcije AMONT. Proračun koji uzima u obzir polukrute veze u čvorovima je od posebnog značaja u zemljotresnom inženjerstvu jer seizmičke sile izazivaju slabljenje veza u konstrukciji, što nije adekvatno tretirano u dosadašnjoj dinamičkoj analizi. Ključne reči Polukrute veze, montažni AB sistem, seizmički proračun 1. UVOD

Prvi korak u analizi konstrukcija predstavlja izbor takozvanog idealizovanog proračunskog modela kao aproksimacija razmatrane konstrukcije. Modelom se idealizuje geometrija, način oslanjanja, 1 Dr, redovni profesor, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu, 2 Mr, asistent, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu, 3 Dr, vanredni profesor, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu 4 Mr, asistent, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu,

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITENKTONSKOG FAKULTETA | broj 24

24

opterećenje, kao i mehanička svojstva materijala u konstrukciji. Idealizovani model treba istovremeno da što bolje aproksimira stvarnu konstrukciju i da bude što jednostavniji i pogodan za praktičnu primenu. Ova dva uslova su obično u suprotnosti, tako da je izbor idealizovanog modela neka vrsta kompromisa između ta dva uslova.

U klasičnoj teoriji konstrukcija se veze štapova u čvorovima linijskih sistema modeliraju kao idealno zglobne ili apsolutno krute. Mnoga istraživanja koja su sprovedena u prethodnih dvadesetak godina širom sveta, a na osnovu numeričkih simulacija i eksperimentalnih rezultata, ukazuju da se veliki broj veza štapova u čvorovima linijskih sistema ne može svrstati ni u idealno zglobne ni u apsolutno krute. Uočeno je da je stepen krutosti veza od posebnog značaja u slučaju montažnih konstrukcija jer čak i mali stepen krutosti montažne veze projaktovane kao zglobna utiče na preraspodelu uticaja, veličinu kritičnog opterećenja i dužinu izvijanja štapova, kao i na osnovne dinamičke karakteristike konstrukcije.

U ovom radu je proračun konstrukcija sa polukrutim vezama usled dinamičkog, posebno seizmičkog opterećenja, baziran na matričnoj formulaciji metode deformacije. 2. INTERPOLACIONE FUNKCIJE ZA ŠTAP SA

POLUKRUTIM VEZAMA

Veza pomeranja proizvoljne tačke na osi štapa i pomeranja krajeva štapa u slučaju pravog štapa napregnutog na savijanje u ravni može se najjednostavnije dobiti polazeći od homogene diferencijalne jednačine savijanja:

( )4

4

dEI 0

dv x

,x

= (1)

čije rešenje može biti predstavljeno u obliku polinoma trećeg reda:

( ) 2 31 2 3 4v x x x x .= + + +α α α α (2)

Koeficijenti αi (i=1,2,3,4) se određuju na osnovu graničnih uslova na krajevima štapa. U slučaju generalisanih pomeranja qm=1 (m=1,2,3,4), pri čemu su sva ostala generalisana pomeranja qn=0, n≠m, funkcija v(x) je interpolaciona funkcija koja predstavlja oblik elastične linije. Interpolacione funkcije u obliku Hermiteovih polinoma za krute veze na krajevima štapa date su u [1]. U slučaju štapa sa

Seizmička analiza montažnih armiranobetonskih konstrukcija sa polukrutim vezama

25

polukrutim vezama na krajevima i i k, interpolacione funkcije (2) mogu biti izvedene iz diferencijalne jednačine (1) i graničnih uslova.

Kada se kraju i štapa zada jedinična translacija q1=1, dok su sva ostala generalisana pomeranja jednaka nuli, na osnovu Slike 1 se može pisati:

( ) ( )1 11 1* *ik ikik ik ik ki ki ki ki ik

ik ki

b b;

a l a l⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

α μ μ μ α μ μ μ (3)

gde su ik , ki,μ μ stepeni krutosti veza na krajevima štapa, koji se mogu odrediti numerički ili eksperimentalno, kao odnos uglova obrtanja čvorova i k,ϕ ϕ i obrtanja poprečnih preseka na krajevima štapa * *

ik ki,ϕ ϕ :

* *ik ik i ki ki k/ , / ,= =μ ϕ ϕ μ ϕ ϕ

Slika 1 - Stanje q1=1.0

Granični uslovi za polukrute veze na krajevima i i k štapa ik pri stanju q1=1, iz kojih se mogu odrediti koeficijenti αi (i=1,2,3,4) su sledeći:

2 31 2 3 4

22 2 3 4

1 1 00 1 12 3

i k

i ik k ki

v( x ) v v( x ) v l l lx x l

( x ) ( x ) l ll l

∗ ∗

= = = ⎧ = = + + + =⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − − = = + + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩

α α α α

ϕ ϕ α α ϕ ϕ α α α α (4)

Tako se na osnovu izraza (2), prvi element matrice interpolacionih funkcija može dobiti u obliku:

( ) ( ) 2 31 211

211 ik ki ik kiikqN x v x x x x .

l l l

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗

=

+ +⎛ ⎞= = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

α α α αα (5)

Interpolaciona funkcija N*1 predstavlja Hermiteov polinom

prvog reda, a njen dijagram je prikazan na Slici 1. U graničnom slučaju kada je štap kruto vezan na svojim krajevima i i k je

1ik ki= =μ μ , a izraz (5) dobija poznatu vrednost koja je data u [1].

Slično, u slučaju kada je na kraju i zadata samo jedinična rotacija q2=1, odnosno na kraju k samo jedinična translacija q3=1 ili jedinična rotacija q4=1 dok su sva ostala generalisana pomeranja


26

jednaka nuli, mogu se izvesti interpolacione funkcije N*2, N*

3 and N*4,

respektivno, tako da se matrica interpolacionih funkcija može predstaviti u sledećem obliku:

1 2 3 4N N ( x ) N ( x ) N ( x ) N ( x ) ,∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (6)

gde su:

( )

( )

2 32 2

2 33 2

2

21

ik ki ki ik ki kiik

ik ki ik kiik

l lN x x x x ,

l l

N x x x x ,l l l

∗ ∗∗

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗

− + − += − +

+ +⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

μ μ α μ μ αμ

α α α αα

( ) ( ) 2 34 2

2 2ik ki ki ik ki kiik ik

l lN x l x x x .

l l

∗ ∗∗ ∗ + − + −

= − − +μ μ α μ μ α

μ α (7)

Matrica N* je matrica interpolacionih funkcija ili matrica funkcija oblika za polukruto vezan štap. 3. MATRICA KRUTOSTI ZA ŠTAP SA POLUKRUTIM

VEZAMA

Matrica krutosti polukruto vezanog štapa, nakon što su određeni drugi izvodi interpolacionih funkcija, može se napisati u obliku:

( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

21 2 3 4

0 3

4

EI dl

N x

N xN x N x N x N x x .

N x

N x

∗

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗

∗

″⎧ ⎫⎪ ⎪

″⎪ ⎪⎪ ⎪ ″ ″ ″ ″⎡ ⎤= ⎨ ⎬″ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪″⎪ ⎪⎩ ⎭

∫k

Kada se uzme u obzir uticaj normalnih sila na deformaciju, matrica krutosti polukruto vezanog štapa je oblika:

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

EF EF0 0 0 0

00

EF 0 0

sim.

l lk k k k

k k k,

lk k

k

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗∗

∗ ∗

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k (8)


27

gde su:

2 211

212

4EI

2EI 2

ik ik ki ki

ik ik ki ki ki ik ki ik ki ki ik

k ,l

k ( l ) l ,l

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − − + +⎣ ⎦

α α α α

α μ α α μ α μ α α α μ

2 213 11

4EIik ik ki kik k ,

l∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= − + + = −⎣ ⎦α α α α

214

2EI 2 ik ik ki ki ki ik ki ik ki ki ikk ( l ) l .l

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦α μ α α μ α μ α α α μ (9)

Izrazi za 22 23 24 33 34 44k , k , k , k , k , k∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ su takođe izvedeni u funkciji od

ik ki ik ki, , ,∗ ∗α α μ μ , što je prikazano u [2]. 4. KONZISTENTNA MATRICA MASA ZA ŠTAP SA

POLUKRUTIM VEZAMA

Matrica masa, koja je potrebna pri izvođenju jednačine kretanja štapa, može biti konzistentna matrica masa ili matrica koncentrisanih masa. Konzistentna matrica masa je simetrična i pozitivno definitna kvadratna matrica reda n gde je n broj stepeni slobode sistema. Matrica m je istog oblika kao matrica krutosti k.

Polazeći od interpolacionih funkcija za polukruto vezan štap datih u (5) i (7), elementi konzistentne matrice masa mogu biti izvedeni u sledećem obliku:

0

ρF d 1 4l

mn m nl N ( x )N ( x ) x, m,n ,...,∗ ∗ ∗= =∫m (10)

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

* * * *

* * * **

* * * *

* * * *

m m m mm m m m

.m m m mm m m m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

m (11)

Unošenjem (5) i (7) u (10), posle množenja i integracije, dobijeni su sledeći izrazi:


28

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 211

2 2 2 2 222

2 2 233

244

ρF 140 42 28 4 4 6420ρF 4 6 8420ρF 140 28 42 4 4 6420ρF 4420

ik ki ik ki ik ki

ik ki ki ik ki ik ki ki ki

ik ki ik ki ik ki

ik

lm l l ,

lm l l l l ,

lm l l ,

lm

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗

⎡ ⎤= + − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + + −⎣ ⎦

= +

α α α α α α

μ μ α μ μ μ α μ α

α α α α α α

μ( ) ( )2 2 2 26 8ki ki ik ki ki ik ik ikl l l l ,∗ ∗ ∗⎡ ⎤+ + − + −⎣ ⎦μ α μ μ μ α μ α

(12)

kao i 12 13 14 23 24 34m , m , m , m , m , m∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , što je prikazano u [2]. 5. SEIZMIČKI PRORAČUN SISTEMA SA POLUKRUTIM

VEZAMA

Podaci dobijeni eksperimentalnim ispitivanjem armirano betonske montažne konstrukcije AMONT su pokazali da se neke veze ovog sistema ponašaju kao polukrute iako su projektovane kao krute.

Na Građevinsko-arhitektonskom fakultetu u Nišu razvijen je program SASS namenjen za seizmičku analizu linijskih sistema u ravni i prostoru [4], u skladu sa Pravilnikom o tehničkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmičkim područjima Republike Srbije. Ovaj program omogućava izračunavanje osnovnih dinamičkih karakteristika i seizmičkih sila, a zatim i uticaja izazvanih tim silama.

Proračun konstrukcija sa polukrutim vezama razlikuje se od uobičajenog postupka samo u komandama koje sadrže podatke o poprečnim presecima štapovima, tj. neophodno je formirati odgovarajuće matrice krutosti štapova. Umesto zadavanja karakteristika poprečnog preseka prizmatičnih štapova (površina i moment inercije za glavne ose) pomoću komande MEMBER PROPERTIES PRISMATIC, karakteristike štapa se zadaju pomoću komande STIFFNESS GIVEN, pri čemu se elementi bazne matrice krutosti za polukruto vezan štap unose direktno.

5.1. Opis montažnog sistema AMONT

Montažni sistem AMONT namenjen je za izgradnju industrijskih hala, sportskih objekata, skladišta, robnih kuća, nadstrešnica, garaža i drugih zgrada sa velikim rasponima. Sistem se sastoji od unificiranih montažnih elemenata prefabrikovanih tako da


29

omogućavaju kompletnu montažu konstrukcije na gradilištu. Glavni elementi sistema su stub, glavni nosač, sekundarni nosač, krovna ploča, i međuspratna ploča, Slika 2.

Slika 2 Poprečni preseci glavnih elemenata montažnog sistema

AMONT

Maksimalni raspon sistema je 30 m a visina je ograničena na 12,5 m. Elementi su konstantnog poprečnog preseka (osim greda koje mogu biti i promenljivog poprečnog preseka) što omogućava izvođenje jednospratnih, dvospratnih i trospratnih ramova sa jednim ili više polja, Slika 3.

Izvođenje ovakvih konstrukcija u velikim serijama, sa istim konstruktivnim karakteristikama, zahteva, pre svega u sizmičkim područjima, posebnu analizu.

Konstruktivni sistem AMONT za izgradnju različitih tipova modernih industrijskih hala, pored već spomenutih elemenata ima i temeljne čašice i temeljne grede koji se najčešće izvode na licu mesta.


30

Slika 3 Različiti tipovi hala dizajnirani u konstruktivnom sistemu

AMONT

Dimenzije poprečnih preseka stubova su različite i zavise od opterećenja koje treba da primi stub a definišu se izborom tipa konstrukcije. Proizvode se stubovi sledećih poprečnih preseka: 30/50, 40/50, 50/50, 50/60 i 60/60 cm. Glava stuba može biti sa kapitelom kada je glavni nosač koji treba vezati I-greda konstantne ili promenljive visine. U slučaju da je za stub potrebno vezati T gredu, stub je bez kapitela. Glavni nosač može biti prednapregnut adhezijom ili klasično armiran. Prednapregnuti nosači se proizvode kao I grede promenljive visine, raspona do 30 m ili I-140 grede raspona do 25 m. Jedna varijanta armirano betonske grede je T preseka. Grede T preseka, uglavnom tipa T-60, koriste se kao sekundarni nosači u podužnom pravcu i imaju ulogu elemenata za povezivanje ili kao oslonačke grede međuspratnih konstrukcija. Krovna ploča je montažna, prednapregnuta adhezijom i profilisana. Proizvodi se raspona 8m, 10m i 12m. Preko ove krovne ploče je postavljena termoizolacija i pokrivena je najčešće trapezoidnim plastificiranim limom ili krovnim panelima. Međuspratna ploča je armiranobetonska sa rebrima i može biti maksimalno raspona 12 m. Najčešće se koristi raspona 10 m. Ova ploča se sastoji od elemenata u obliku korita standardne širine 99 cm a visine 25cm do 45 cm u zavisnosti od korisnog opterećenja.

Povezivanje montažnih elemenata izvodi se ankerovanjem, zavarivanjem i zalivanjem spojeva sitnozrnim betonom. Ovaj postupak je poznat kao mokri postupak.


31

5.2. Numerički primer

Slika 4 – Statička šema dinamičkog modela AB rama montažnog

konstruktivnog sistema AMONT

Kao ilustracija primene programa SASS na sisteme sa polukrutim vezama, sproveden je seizmički proračun za ramovsku konstrukciju prikazanu na Slici 4. Rezultati eksperimentalnih ispitivanja ove konstrukcije, pokazali su da je veza stuba i temelja potpuno kruta i zbog toga je za ovaj tip veze usvojen stepen krutosti μ61=μ72=μ83=η=1 dok se veza grede i stuba ponaša kao polukruta, pa je proračun sproveden za različite stepena uklještenja te veze u cilju komparativne analize dinamičkih karakteristika i pomeranja najviše tačke konstrukcije u zavisnosti od stepena uklještenja. Usvojeno je η=1 za vezu stuba sa temeljom, a za vezu grede i stuba varirana je vrednost stepena uklještenja od 0 ≤ξ≤1.

Za primer u kome je ξ=0.75, na osnovu izraza (9), za geometrijske karakteristike štapova sistema sa Slike 4, izračunati su elementi bazne matrice krutosti. Podmatrice krutosti svih štapova, koje su korišćene kao ulazni podaci za program SASS, u ovom primeru su:

1 2 3

580833 3 0 0 490974 2 0 00 1606 5 9639 4 0 1770 2 21242 10 9639 4 82547 2 0 21242 1 364022 7

* * *. .

k k . . , k . . ,. . . .

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4 6 5

195403 0 0 195403 0 00 25837 3 56196 1 0 20997 5 42147 10 56196 1 162968 8 0 42147 1 122226 6

* * *. .

k k . . ,k . . ,. . . .

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

7 8

2266666 7 0 00 32751 4 56684 80 56684 8 141712

* *.

k k . . .. .

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Na primer, za štap 1 u ulaznoj datoteci programa SASS se koristi naredba: 1 STIFFNESS GIVEN 580833.3 0. 0. 0. 1606.5 -9639.4 0. -9639.4 82547.2


32

Slika 5 – Period oscilovanja i horizontalno pomeranje najviše tačke

konctrukcije za prvi ton oscilovanja

Deo rezultata seizmičkog proračuna prikazan je na Slici 5. Može se zaključiti da je konstrukcija sa apsolutno krutim vezama greda i stubova (ξ=1) previše kruta, dok su kod konstrukcije sa zglobnim vezama period oscilacija i pomeranje najviše tačke konstrukcije iznad granice dozvoljenih vrednosti prema Pravilniku, što znači da je konstrukcija suviše fleksibilna. 6. ZAKLJUČAK

Proračun seizmički otpornih konstrukcija mora da bude kompromis između krutosti i fleksibilnosti, što znači da konstrukcija treba da bude umereno fleksibilna. Numerički primeri u kojima je veza grede sa stubom smatrana polukrutom, tj. sa stepenom uklještenja 0,5 i 0,75, ispunjavaju zahteve našeg Pravilnika kada je u pitanju period prvog osnovnog tona oscilovanja i pomeranje najviše tačke konstrukcije. Ovo je važna činjenica, posebno kada su u pitanju montažne armirano betonske konstrukcije, jer je jednostavnije izvesti polukrutu vezu nego potpuno krutu.

Proračun koji uzima u obzir polukrute veze u čvorovima je od posebnog značaja u zemljotresnom inženjerstvu jer seizmičke sile izazivaju slabljenje veza u konstrukciji, odnosno smanjenje krutosti veza, što nije adekvatno tretirano u dosadašnjoj dinamičkoj analizi.

Ovo istraživanje je sprovedeno u okviru programa istraživanja u oblasti tehnološkog razvoja za period 2008-2010, u oblasti Urbanizam i građevinarstvo, projekat br. 16001, pod nazivom Eksperimentalna i teorijska istraživanja realnih veza armirano-betonskih i spregnutih konstrukcija pri statičkom i dinamičkom opterećenju.


33

7. LITERATURA

[1] Sekulović Miodrag: Matrična analiza konstrukcija, Građevinska knjiga, 1991, Beograd, 325.

[2] Zlatkov Dragan: Analiza linijskih sistema sa polukrutim vezama štapova u čvorovima, 1998, Niš, 1-233.

[3] Ristic D., Micov V., Zisi N., Dimitrovski T.: Attesting of Static and Dynamic Stability of the Typified Modulus of a Hall Program of the Precast RC Structural System AMONT-Krusce / //, IZIIS Skopje, 1998.

[4] Stanković Milivoje, Đorđević Đorđe: Programski sistem za statički proračun inženjerskih konstrukcija-uputstvo za korišćenje programa Stress, Trion Computers, 1991, Niš, 119

[5] Zdravkovic S., Zlatkov D., Mladenovic B.: Experimental static and dynamic investigation of industrial halls and their connections in the full scale, capter in Monograph: Theoretical and experimental investigations of elasto-plastical behaviour of structures, Civil engineering and architectural faculty of Nis, Serbia, Nis, 2006. pp. 167-178.

[6] Zdravkovic S., Zlatkov D., Mladenovic B., Mijalkovic M.: Seismic analysis of plane linear systems with semi-rigid connections, Proceedings of Seventh World Conference on Earthquake Resistant Engineering Structures, WITpress, Limassoll, Cyprus, 2009, 105-114.

[7] Zdravkovic S., Zlatkov D., Mladenovic B., Mijalkovic M.: Application of the finite element method for static design of plane linear systems with semi-rigid connections / // Proceedings of Fourteenth International Conference on Computational Methods and Experimental Measurements, WITpress, Algarve, Portugal, 2009, 547-557.

[8] Milićević Milić, Zdravković Slavko: Statički i dinamički proračun konstrukcija sa elastičnim vezama u štapova u čvorovima, Zbornik radova GF u Nišu, br. 10-11, str. 159-169,1990-91.

[9] Zdravković Slavko, Milićević Milić: Određivanje dužine izvijanja i kritičnog opterećenja za konstrukcije sa elastičnim vezama štapova u čvorovima. Zbornik radova GF u Nišu, br. 10-11, 239-252,1990-91.

[10] Zdravković Slavko, Zlatkov Dragan, Petrović Žarko: Proračun linijskih sistema sa polukrutim vezama štapova metodom deformacije pri statičkom opterećenju, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu br. 23, 1-17, 2008.


34

[11] Zdravković Slavko, Zlatkov Dragan, Mijalković Marina: Uticaj krutosti veza u čvorovima na veličinu kritičnog opterećenja i dužinu izvijanja štapova, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu br. 23, 19-31, 2008.

[12] Živković Srđan, Mijalković Marina: Kalsifikacija M-φ karakteristika polukrutih veza u okvirnim čeličnim konstrukcijama, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu br. 23, 65-75, 2008.

[13] Igić Tomislav, Mijalković Marina, Milošević Bojan, Igić Dragana: Optimalno dimenzionisanje različitih tipova grednih nosača u metodi konačnih elemenata, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu br. 23, 49-64, 2008.

[14] Zdravkovic S., Zlatkov D., Mladenovic B., Mijalkovic M., Brčić S., Ristovski A.: Uticaj zidova ispune na dinamičke karakteristike montažne konstrukcije AMONT, Nauka+Praksa, br. 11, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu , 2008.

0350-85870924023z

Documents