0350-85870823019z

Slavko Zdravković, Dragan Zlatkov, Marina Mijalković

19

UDK: 624.075.4:624.042.3+624.075.25(045)

UТICAJ KRUTOSTI VEZA U ČVOROVIMA NA VELIČINU KRITIČNOG OPTEREĆENJA I DUŽINU

IZVIJANJA ŠTAPOVA*

Slavko Zdravković1 Dragan Zlatkov2

Marina Mijalković3

Rezime

Polukrute veze u konstrukcijama dozvoljavaju međusobnu rotaciju štapova u čvorovima. Pošto su takve veze dosta česte u konstrukcijama, pogotovu u montažnim, od interesa je razmotriti proračun kritičnog opte-rećenja, kao i određivanje dužine izvijanja štapova uzimajući u obzir elastičnost čvornih veza. Ovde će prikaz metode biti ukratko dat sa neop-hodnim izrazima za njenu praktičnu primenu. U radu su na numeričkim primerima jednostavne strukture sračunate vrednosti kritičnog opterećenja i dužine izvijanja štapova za različite stepene uklještenja i izvršena analiza uticaja krutosti veza na veličinu kritičnog opterećenja i dužinu izvijanja štapova. Ključne reči Polukrute veze, kritično opterećenje, dužina izvijanja štapova

* Ovo istraživanje je sprovedeno u okviru programa istraživanja u oblasti tehnološkog

razvoja za period 2008-2010, u oblasti Urbanizam i građevinarstvo, projekat br. 16001, pod nazivom Eksperimentalna i teorijska istraživanja realnih veza armirano-betonskih i spregnutih konstrukcija pri statičkom i dinamičkom opterećenju.

1 Dr, redovni profesor, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu, 2 Mr, asistent, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu, 3 Dr, vanredni profesor, Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKOG FAKULTETA No. 23

20

1. UVOD

Pri optimalnom dimenzionisanju realnih konstrukcija javlja se potreba da se kod proračuna uzima u obzir elastičnost čvornih veza, tj. realna krutost veza štapova u čvorovima. U konstrukcije sa elastičnim-polukrutim vezama (semi-rigid connections) ubrajaju se sistemi kod kojih međusobne veze štapova nisu apsolutno krute, već dozvoljavaju u opštem slučaju izvestan stepen relativne pomerljivosti u pravcima svih generalisanih pomeranja.

Uočeno je da je stepen krutosti ili uklještenja veze od posebnog značaja za montažne konstrukcije, jer i mali stepen uklještenja na mestima montažnih veza utiče na preraspodelu statičkih, deformacijskih veličina, veličinu kritičnog opterećenja, dužinu izvijanja štapova i osnovna dinamička svojstva konstrukcije, tako što se povoljno odražava na preraspodelu naprezanja i veličinu kritičnog opterećenja. Isto tako, nedovoljno obezbeđene a pretpostavljene krute veze mogu imati negativne posledice u raspodeli naprezanja u konstrukciji.

1.1. Osnovne pretpostavke proračuna

Linearna statika konstrukcija, koja se primenjuje u svakodnevnoj inženjerskoj praksi, bazira se na sledećim pretpostavkama:

1. Da su dilatacije "" ose štapa i obrtanja "" poprečnog preseka štapa, kao i njihovi izvodi, male veličine čiji kvadrati i viši stepeni mogu da se zanemare (pretpostavka o malim deformacijama).

2. Da su veličine pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila na nosaču i unutrašnjih sila mala u odnosu na osnovne dimenzije nosača, te da se uslovi ravnoteže mogu uspostaviti na nedeformisanoj konfiguraciji (pretpostavka o malim pomeranjima napadnih tačaka spoljašnjih i unutrašnjih sila).

3. Da je veza između dilatacija i napona odnosno temperaturnih promena linearna (važi Hukov zakon).

Prva pretpostavka obezbeđuje geometrijsku, druga statičku, a treća fizičku ili materijalnu linearnost pri rešavanju zadataka statike konstrukcija.

Ravnoteža između unutrašnjih i spoljašnjih sila realno se međutim uspostavlja na deformisanoj konfiguraciji sistema te su


21

uslovi ravnoteže nelinearni. Veze između deformacija i pomeranja u strogoj formulaciji su takođe nelinearne.

U okviru opštih nelinearnih teorija materijalne i geometrijske nelinearnosti uvođenjem dodatnih pretpostavki mogu se dobiti posebni oblici opštih nelinearnih teorija, u okviru materijalne nelinearnosti Teorija plastičnosti, a u okviru geometrijski nelinearne analize Teorija drugog reda. Ove teorije imaju poseban praktičan značaj u analizi ponašanja građevinskih konstrukcija.

U ovom radu ukratko će biti izložen proračun po Teoriji drugog reda za sisteme sa polukrutim vezama, koji posebno dobija na značaju kada je u pitanju rešavanje problema stabilnosti građevinskih konstrukcija. 2. PRORAČUN SISTEMA POLUKRUTO UKLJEŠTENIH

ŠTAPOVA PO TEORIJI DRUGOG REDA PRIMENOM METODE DEFORMACIJE

Prikaz ove metode sa detaljnim izvođenjima i objašnjenjima dali su M. Milićević i S. Zdravković u svojim radovima 3, 6 i 8. Ovde će metoda biti ukratko prikazana sa neophodnim izrazima za njenu praktičnu primenu.

Ukoliko se pretpostavi da je stepen uklještenja štapa ik u čvoru i - ik , a u čvoru k - ki , pri deformisanju nosača čvorovi se

obrću za uglove i i k , a krajnji poprečni preseci za uglove i i

k . Momenti savijanja na krajevima polukruto vezanog štapa ikM i

kiM mogu se odrediti iz izraza:

' ' ( o ) ( t )ik ik i ik k ik ik ik ikM a b c m m (1)

' ' ( o ) ( t )ki ik i ki k ki ik ki kiM b a c m m (2)

ili preko uglova obrtanja čvorova i k ik, , :

' ' ' ( o ) ( t )ik ik i ik k IK ik ik ikM a b c m m (3) ' ' ' ' ( o ) ( t )ki ik i ki k ki ik ki kiM b a c m m (4)

Do veza već poznatih i novih “konstanti” i početnih momenata uklještenja polukruto vezanih štapova po Teoriji drugog


22

reda dolazi se na osnovu njihovog fizičkog značenja prikazanog na Slici 1.

Slika 1. Fizičko značenje konstanti i početnih momenata polukruto uklještenog štapa Deformacioni uglovi polukruto uklještenog štapa pri istoj vrednosti normalne sile se i u ovom slučaju mogu odrediti po principu superpozicije:

ik ik ik kiik

ik

b

a' ( ) 1 ; (5)

(1 ) ikki ki ki ik

ki

b

a (6)

( ) ( ) ( )(1 ) o , t O , t O , tikik ik ik ik ki ik

ik

b

a (7)

( ) ( ) ( )(1 ) o , t o , t o , tikki ki ki ki ik ki

ki

b

a , (8)

a "konstante" polukruto uklještenih štapova i početni momenti su:

1' 'ikik ik ik ki ik ik ki ik ki

ki

ba a b , b b

a

, (9)

1' ikik ik ik ki ki

ki

bc c c

a

1' ikki ki ki ik ik

ik

bc c c

a

(10)


23

1' ikki ki ki ik ik

ik

ba a b

a

(11)

1' ikik ik ik ki ki

ki

bm m m

a

1' ikki ki ki ik ik

ik

bm m m

a

(12)

1' ikik ik ik ki ki

ki

bM M M

a

1' ikki ki ki ik ik

ik

bM M M

a

(13)

Kao što se vidi, ovde su štapovi tipa k i tipa g tretirani kao jedinstven tip k (polukruto vezan na oba kraja). Iz izraza (9) - (13) sledi da se slično kao i u Teoriji prvog reda za 1ik ki dobija

štap koji je na oba kraja potpuno uklješten, za 1 0ik ki štap

tipa g (potpuno uklješten u i a zglobno vezan u k), a za 0ik ki ,

štap tipa s (zglobno vezan na oba kraja). Konzolni štapovi su takođe elastično uklješteni u čvoru. Sve konstante štapova određuju se u zavisnosti od vrednosti normalne sile u štapovima 7. Na isti način kao kod kruto vezanih štapova po teoriji drugog reda, kod polukruto vezanih štapova dobijaju se konačni izrazi za

ikM i kiM u obliku:

M a b c mik ik i ik k ik ikj

jj

n

ik' ' ' ' ( ) '

1

(14)

M b a c mki ik i ki k ki ikj

jj

n

ki' ' ' ' ( ) '

1

(15)

Jednačine obrtanja i jednačine pomeranja sada glase:

0 1 2 1'ik i i

k

M M i , , ...,m (16)

0

1 2 1

' ' ( j ) fik ki ik j j

ik

j

( M M ) R ( p ) R ( m )

j , , ...,n

(17)


24

gde je fjR ( m ) rad fiktivnih raspodeljenih momenata.

Posle sređivanja uslovne jednačine metode deformacije za sistem polukurto vezanih štapova po Teoriji drugog reda se dobijaju u obliku:

01

0 1 2n

' ' ' 'ii i ik k ij j i

k j

A A B A i , , ...,m

(18)

01 1

0 1 2m n

'' ' 'ji i jl l j

i l

B C C j , , ...n

(19)

gde su uvedene oznake:

A a eii ik issk

' ' ; A bik ik' ' ; A m Mi ik

ki0

' ' (20)

B c Bij ik ikj

kji

' ' '' (21)

2

( ) ( j ) ( l ) ( j ) ( l )ab

jl lj ik ki ik ik c ab abik ab

ab

C C c c EIL

(22)

0

2

( ) ( )

( )

( j )j ik ki ik j

ik

( j ) ( t ) ( c )abc ab ab ab

ab ab

C m m R p

EIL

(23)

Rešavanjem sistema jednačina (18), (19) određuju se

deformacijski neodređene veličine 1 2i i , , ...,m i

1 2j j , , ...,n , a samim tim i momenti na krajevima polukruto

uklještenih štapova prema (14) i (15).

Ovako ispisane jednačine (18), (19) se mogu prikazati u matričnoj formi preko blok matrica:

0

0

'

'

'

AA B

B C C

(24)

Blok matrica A’ je kvadratna matrica reda m puta m, blok matrica C’ je kvadratna matrica reda n puta n, B’ pravougaona reda n puta m, dok je B” transponovana matrica matrice B’. Vektor nepoznatih

je reda 1 puta m, a vektor nepoznatih

reda 1 puta


25

n. Istog reda su i vektori slobodnih članova 0A

i 0C

. Koeficijenti ovih

matrica određuju se prema izrazima (20) - (23). 3. ODREĐIVANJE KRITIČNOG OPTEREĆENJA I DUŽINE

IZVIJANJA

3.1. Određivanje kritičnog opterećenja

Prema jednoj od definicija 2, kritično opterećenje je najmanja vrednost opterećenja pri kome homogen sistem jednačina Teorije drugog reda ima bar jedno rešenje osim trivijalnog. Homogen problem linearizovane Teorije drugog reda dat je sistemom jednačina

(18), (19), kada u njima ne postoje članovi 0'iA i 0

'jC , odnosno

prikazano u matričnoj formi:

0A B

B C

(24)

Koeficijenti ovih matrica određuju se prema izrazima (20), (21), (22) i (23).

Već je napomenuto da „konstante” štapova i početni momenti zavise od normalnih sila u štapovima sistema samo u teoriji drugog reda, dok su u teoriji prvog reda konstantne veličine.

Potreban i dovoljan uslov postojanja netrivijalnog rešenja sistema jednačina (24) jeste da je njegova determinanta jednaka nuli:

0A B

detB C

(25)

Izraz (25) predstavlja jednačinu stabilnosti sistema polukruto vezanih štapova na osnovu koje se, obzirom da se ovde radi o problemu sopstvenih vrednosti, može odrediti niz vrednosti a samim tim i niz vrednosti parametara kritičnog opterećenja. Od najvećeg praktičnog značaja je naravno, najmanja vrednost kojom je određena najmanja vrednost parametra opterećenja.


26

3.3. Numerički primer

Radi ilustracije izložene teorije proračuna kritičnog opterećenja i dužine izvijanja štapova konstrukcije sa polukrutim vezama štapova u čvorovima primenom metode deformacije, obrađen je primer rama na Slici 2.

Slika 2. Ram sa polukrutim vezama štapova u čvorovima

Dati sistem je tri puta deformacijski neodređen. Nepoznati su uglovi obrtanja 1 i 2 , kao i parametar pomeranja rešetke sistema 1 . Stanje pomeranja rešetke sistema 1 1 prikazano je na Slici 3, a uslovne jednačine za određivanje deformacijski neodređenih veličina se mogu prikazati u matričnom obliku :

11 12 11 1 10

21 22 21 2 20

11 12 11 1 19

0'

A A B A

A A B A

B B C C

Slika 3. Stanje pomeranja rešetke sistema Postupak proračuna rama detaljno je prikazan za slučaj da su stepeni uklještenja štapova u čvorovima 1 i 2 13 24 0 , a u čvorovima 3 i 4 31 42 0 95 , .


27

Na osnovu vrednosti normalnih sila u stubovima i rigli, može se odrediti:

u

P

EI (a)

12 13 240 7 2 u, .

Sistem na Slici 2 je tri puta deformacijski neodređen ali se zbog 13 24 0 može posmatrati kao jedanput deformacijski

neodređen, te se prema (24) odnosno (25) jednačina stabilnosti u ovom slučaju redukuje na:

11 0det C

Na osnovu (22) jednačina stabilnosti u ovom slučaju glasi:

2 2 2 211 13 31 42 24 13 24( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0

7 2

EIC c c . c c .

. (b)

13 2413 42 31 13 13 24 24 24

13 24

0; 0 95 (1 0) ; 0 95 (1 0)

b bc c c . c c c . c c

a a

13 13 13 13 13 13

24 24 24 24 24 24

(7 2 ); (7 2 ); (7 2 )7 2 7 2 7 2

(7 2 ); (7 2 ); (7 2 )7 2 7 2 7 2

EI EI EIa a , b b . c c .

. . .EI EI EI

a a , b b . c c .. . .

Vrednost za koju je ispunjen uslov (b), na osnovu (a), određuje vrednost kritičnog opterećenja:

2kr krP EI .

U konkretnom slučaju je 0 214kr . , pa je

0 0458 0 0458 26800 1227 44kN krP . EI . . .

a dužina izvijanja,

2 2

14 68m0 0458

k

kr

l EI EI .P . EI

.


28

3.3. Analiza uticaja stepena uklještenja na kritično opterećenje rama i dužinu izvijanja stubova

Sračunate su vrednosti kr kr,P i dužine izvijanja stubova za

različite vrednosti stepena uklještenja štapova u čvorovima datog sistema i prikazane u Tabeli 1.

Dobijene vrednosti kr kr k,P , su upoređene sa adekvatnim

vrednostima za potpuno kruto uklještenje stubova u nivou temelja i zglobne veze stubova i rigle ( 0 i =1). U Tabeli 1 vrednost stepena uklještenja stuba u temelju je za sve primere 1 (potpuno uklještenje), dok se stepen uklještenja između stuba i rigle menja od 0 (zglobna veza) do 1 (potpuno uklještenje).

Analizirana je promena odnosa kritične sile 0kr kP / P (Dijagram

1) i dužine izvijanja stubova k k/ 0 (Dijagram 2) u zavisnosti od

promene stepena uklještenja i .

Dijagram 1 Dijagram 2 Zapaža se da se za različite vrednosti stepena uklještenja ,

odnos kritične sile P Pkr k/ 0 menja skoro linearno sa promenom

stepena uklještenja , što može značajno pojednostaviti proceduru proračuna parametra kritičnog opterećenja i dužine izvijanja stubova.


29

Tabela 1. Kritična opterećenja i dužine izvijanja

Iz Tabele 1 se vidi da je u drugom slučaju, gde je stepen krutosti =1/4 između rigle i stuba i =1 između temelja i stuba, odnos kritičnog opterećenja Pkr/Pko=1.7, gde je Pko kritično opterećenje za konzolni stub (prvi primer), dok je odnos dužina izvijanja lkr/lko=0.567, gde je lko dužina izvijanja proste grede. Za konstrukciju predstavljenu petom skicom, gde je stepen uklještenja stubova i rigle ==1, kritično opterećenje je 3.424 u odnosu na konzolne stubove sa prve


30

skice, a dužina izvijanja je 0.540 u odnosu na dužinu izvijanja proste grede. Ostale vrednosti su očigledne iz Tabele 1.

U Tabeli 1 su i koeficijenti uklještenja, dok je:

22 2

2kr

krkr

EIP EI EI EI ,

P

2

k kokol l ll

Vrednosti kr, Pkr i određene su za vrednost normalne sile u rigli N=0. 4. ZAKLJUČAK

Iz napred navedenog može se zaključiti da stepen uklještenja ili krutosti ne treba zanemarivati pri proračunu stabilnosti konstrukcija jer su uočene značajne razlike između kritične sile za sisteme sa polukrutim vezama u odnosu na one sa krutim vezama. Za različite vrednosti stepena uklještenja između temelja i stuba, odnos kritične sile P Pkr k/ 0 menja se skoro linearno sa promenom stepena

uklještenja između rigle i stuba, što može značajno pojednostaviti proceduru proračuna parametra kritičnog opterećenja i dužine izvijanja stubova.

Detaljnim izučavanjem sistema sa polukrutim vezama štapova u čvorovima može se sa sigurnošću zaključiti da je stepen krutosti ili uklještenja veze od posebnog značaja kod montažnih konstrukcija, kod kojih se ramovi izvode od montažnih elemenata (temelji, stubovi i rigle) koji se prilikom montaže spajaju u celinu. Jasno je da se znatno veća pažnja mora posvetiti detaljima veze stubova i rigle rama, jer i mali stepen uklještenja na mestima montažnih veza utiče na preraspodelu statičkih i deformacijskih veličina, veličinu kritičnog opterećenja, dužinu izvijanja štapova i osnovne dinamičke karakteristike konstrukcije. Prateće konstruktivne mere najčešće nisu teško izvodljive i ne iziskuju značajnije povećanje ukupne cene konstrukcije. U ranijoj inženjerskoj praksi pri projektovanju konstrukcija vrlo se malo o tome vodilo računa.


31

5. LITERATURA

1 Đurić Milan: Metoda deformacije, Građevinarstvo 1, Beograd, 1965.

2 Đurić Milan: Stabilnost i dinamika konstrukcija, Građevinski fakultet Beograd, 1977.

3 Milićević Milić, Zdravković Slavko: Uticaj stepena krutosti veza na veličinu kritičnog opterećenja i promenu naprezanja u linijskim sistemima. Savetovanje o novoj tehničkoj regulativi u građevinarstvu, DGKM, Skopje. 1986.

4 Milićević Milić: Proračun sistema elastično vezanih štapova metodom deformacije, XVII Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Zadar, 1986.

5 Đurić Milan: Jednačine kretanja okvirnih konstrukcija, XII Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Ohrid, 1974.

6 Milićević Milić, Zdravković Slavko: Statički i dinamički proračun konstrukcija sa elastičnim vezama u štapova u čvorovima, Zbornik radova GF u Nišu, br. 10-11, str. 159-169,1990-91.

7 Zdravković Slavko: Stabilnost konstrukcija – zbirka rešenih ispitnih zadataka sa izvodima iz teorije, Univerzitet u Nišu, Niš, 1984.

8 Zdravković Slavko, Milićević Milić: Određivanje dužine izvijanja i kritičnog opterećenja za konstrukcije sa elastičnim vezama štapova u čvorovima. Zbornik radova GF u Nišu, br. 10-11, 239-252,1990-91.

9 Čaušević Mehmed, Zdravković Slavko: Statika i stabilnost konstrukcija po teoriji drugog reda. Svetlost, Sarajevo , 1992.

10 Zlatkov Dragan: Analiza linijskih sistema sa polukrutim vezama štapova u čvorovima, magistarski rad, str. 174, Građevinski fakultet u Nišu, Niš, 1998.

0350-85870823019z

Documents