0350-85870823001z

Slavko Zdravković, Dragan Zlatkov, Žarko Petrović

1

UDK: 624.075.25:624.042.2(045)

PRORAČUN LINIJSKIH SISTEMA SA POLUKRUTIM VEZAMA ŠTAPOVA METODOM

DEFORMACIJE PRI STATIČKOM OPTEREĆENJU1

Slavko Zdravković2 Dragan Zlatkov3 Žarko Petrović4

Rezime

Za montažni sistem "AMONT" Morava Krušce, prema radovima [4], [5] i [1] urađen je proračun uticaja primenom klasične formulacije približne metode deformacije za različite stepene uklještenja između rigli i stubova. Proračun je posebno urađen uzimajući u obzir uticaj normalnih sila kao u [3], a rezultati proračuna su upoređeni sa rezultatima dobijenim korišćenjem programa STRESS, koji je zasnovan na tačnoj metodi deformacije. Može se zaključiti da i mali stepen uklještenja kod montažnih veza moze povoljno da se odrazi na preraspodelu momenata savijanja, pa tu okolnost treba koristiti u praksi, jer su prateće konstruktivne veze lako ostvarljive. Ključne reči: polukrute veze, statičko opterećenje, preraspodela naprezanja.

1 Istraživanja su obavljena u okviru projekta "Eksperimentalna i teorijska istraživanja realnih veza armirano-betonskih i spregnutih konstrukcija pri statičkom i dinamičkom opterećenju", evidencioni broj 16001. 2 Dr, red. prof., Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu 3 Mr, asistent, Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu 4 Dipl. inž. građ., asistent-pripravnik, Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKOG FAKULTETA No. 23

2

1. KLASIČNA METODA DEFORMACIJE

1.1. Opšte

Metoda deformacije spada u savremene metode Teorije konstrukcija i danas je njena osnovna metoda. Sve intenzivniji razvoj računara bitno doprinosi i razvoju postupaka i metoda koje se koriste u Teoriji konstrukcija, čime se omogućava realnije i pouzdanije numeričko modeliranje složenih građevinskih objekata, kako sa stanovišta kompleksnosti geometrijskih oblika, tako i sa stanovišta realnog modeliranja ponašanja materijala, veza i opterećenja. Dugi niz godina klasična metoda deformacije je predstavljala, a i danas predstavlja, jednu od osnovnih, široko razvijenih i u praksi primenjenih metoda za proračun statički, odnosno deformacijski neodređenih nosača, kod nas pre svega u obliku koji je formulisao M. Đurić. Sledeći taj princip u najkraćim crtama će biti prikazane najneophodnije veze i izrazi koji su inače detaljno dati u 2, 6.

1.2. Tačna metoda deformacije

Da bismo odredili sile u presecima i deformaciju štapa kada je poznato opterećenje i kada su poznate temperaturne promene štapa, neophodno je za štap u ravni koji je na oba kraja kruto vezan poznavati šest nezavisnih veličina. Metoda u kojoj određujemo isključivo šest deformacijski nezavisnih veličina na krajevima kruto uklještenog štapa - štap tipa “k” ( kkkiii ,u,,,u, ) naziva se metoda deformacije. Ako je štap na jednom kraju kruto uklješten a na suprotnom kraju zglobno vezan - štap tipa “g”, dovoljno je poznavati pet deformacijski nezavisnih veličina ( ggiii ,u,,u, ), a ako je na oba

kraja zglobno vezan - prost štap, dovoljno je poznavati četiri deformacijski nezavisne veličine ( kkii ,u,,u ). Ove veličine nazivaju se deformacijski neodređenim veličinama štapa. Ukupan broj deformacijski neodređenih veličina " d " jednog nosača čine:

deformacijski nezavisni uglovi obrtanja , čiji je broj jednak broju grupa kruto vezanih štapova "m ".

komponente pomeranja čvorova nosača "u " i " ", čiji je broj jednak dvostrukom broju čvorova nosača "2k" umanjenom za broj sprečenih pomeranja u osloncima nosača " zo ".


3

Dakle,

)zk2(md o (1)

U prethodnim razmatranjima uključen je i uticaj normalnih sila na deformaciju pojedinih štapova nosača pa se ova metoda naziva tačna metoda deformacije.

1.3. Približna metoda deformacije

Zanemarivanje uticaja normalnih sila na deformaciju linijskih nosača znatno smanjuje broj deformacijske neodređenosti. Metoda deformacije, u kojoj se uticaj normalnih sila na deformaciju nosača zanemaruje, naziva se približna metoda deformacije. Zanemarivanjem normalnih sila na deformaciju, promene dužina štapova zavise samo od temperaturnih promena a deformacijska neodređenost se određuje prema izrazu (2).

)zz(k2md So (2)

1.4. Mogućnost optimizacije približne metode deformacije do zahtevanog stepena tačnosti

Iako uvedena pretpostavka o zanemarenju uticaja normalnih sila na deformaciju nosača u najvećem broju slučajeva nema uticaja na tačnost na taj način sračunatih unutrašnjih sila u nosaču, u nekim slučajevima (kada su u pitanju specijalna opterećenja ili vrlo visoki objekti) ona može dovesti do izvesnih odstupanja. Razlika u stepenu deformacijske neodređenosti u tačnoj i približnoj metodi deformacije na osnovu relacija (1) i (2) jednaka je ukupnom broju štapova nosača "zs" koji je pogotovu kod okvirnih konstrukcija u visokogradnji redovno velik i ne može se olako zanemariti, bez obzira na činjenicu što se ovaj proračun u novije vreme vrši uz primenu računara. Ovakvo povećanje broja uslovnih jednačina za određivanje deformacijski neodređenih veličina dovodi do povećanja reda matrice sistema jednačina, a samim tim i do značajnijeg utroška računarskog vremena pri njenoj inverziji, kao i do ostalih poznatih teškoća kada su u pitanju operacije sa matricama visokog reda. U radu 3 M. Đurić i M. Milićević ukazuju na mogućnost povećanja tačnosti približne metode deformacije do zahtevanog stepena tačnosti u slučajevima kada je to zaista neophodno.


4

Osnovna poteškoća za korišćenje ovakvog postupka proračuna po metodi deformacije jeste u tome što normalne sile u štapovima nisu unapred poznate veličine. Zbog toga se ovde nameće iterativni postupak proračuna, slično proračunu nosača primenom metode deformacije po linearizovanoj Teoriji drugog reda. U prvoj iteraciji normalne sile u štapovima se mogu uzeti iz proračuna prema približnoj metodi deformacije ili, što je još jednostavnije, iz rešetke sistema. Po sprovedenom proračunu izvrši se upoređenje vrednosti u prvoj iteraciji usvojenih i novodobijenih normalnih sila u štapovima i ukoliko je razlika zanemarljiva proračun je definitivan, a ukoliko je razlika značajna postupak proračuna se ponavlja sve do dobijanja unapred određenog stepena tačnosti. Jasno je da se obim posla prilikom ponavljanja proračuna značajno smanjuje, jer se u uslovnim jednačinama metode deformacije [6] vrše izmene samo u slobodnim članovima. Imajući u vidu da je, kako je već istaknuto, uticaj normalnih sila na deformaciju obično relativno mali i da se iste ne razlikuju značajno od onih koje dobijamo iz rešetke datog nosača, može se skoro uvek zadržati na prvoj iteraciji. U tom slučaju je posao proračuna kvantitativno skoro isti kao prilikom proračuna po približnoj metodi deformacije, a rezultati proračuna su skoro isti kao kod proračuna po tačnoj metodi deformacije. Ilustracija ovakve metode proračuna linijskih nosača biće pokazana na numeričkom primeru, pri čemu će se za upoređenje rezultata koristiti proračun sproveden programom STRESS, koji u osnovi koristi tačnu metodu deformacije.

2. PRORAČUN LINIJSKIH SISTEMA SA POLUKRUTIM

VEZAMA ŠTAPOVA METODOM DEFORMACIJE

2.1. Opšte

Osnovne postavke proračuna linijskih nosača sa polukrutim vezama štapova u čvorovima primenom klasične formulacije metode deformacije izložene su u [4] i [5]. Posle toga su usledili i drugi radovi istraživačkog tima, u kojima je detaljno analiziran teorijski pristup proračuna konstrukcija sa polukrutim vezama štapova u čvorovima primenom klasične formulacije metode deformacije pri statičkom opterećenju, po Teoriji prvog i Teoriji drugog reda, problem stabilnosti konstrukcija, kao i


5

proračun pri dinamičkom opterećenju. Sledeći taj princip, u najkraćim crtama će biti prikazane najneophodnije veze i izrazi.

2.2. Proračun po teoriji prvog reda

Za štapove koji su u čvorovima vezani polukruto, M. Milićević je u 5 izveo izraze za momente na krajevima štapova i uslovne jednačine metode deformacije po Teoriji prvog reda. Ako se uvedu oznake:

k*kikii

*ikik // (3)

gde su " i " i " k " uglovi obrtanja čvora “i” odnosno “k”, a " *ik " i " *

ki " uglovi obrtanja krajnjih poprečnih preseka štapa “ik”) i nazovu stepeni uklještenja štapa “ik” u čvorovima “i” i “k”, tada izrazi za momente na krajevima tako vezanih štapova prema 5 glase:

)t(

ki)o(

kiikki*kki

*iikki

)t(ik

)o(ikikik

*kik

*iikik

mmcabM

mmcbaM

(4)

ili preko uglova obrtanja čvorova " ki , ":

*)t(

ki*)o(

kiik*kik

*kii

*ik

*ki

*)t(ik

*)o(ikik

*IKk

*iki

*ik

*ik

mmcabM

mmcbaM

(5)

Konstante " *ik

*ik

*ik c,b,a ", kao i početni momenti polukruto

uklještenog štapa mogu se prema 5, izraziti preko odgovarajućih veličina potpuno kruto uklještenog štapa i stepena uklještenja, na sledeći način:

ikik

ikikkiki

*ki

ikki

ikkiikik

*ik

ba

b1aa

ba

b1aa

(6)

kiik*ki

*ik bb (7)


6

ik

ik

ikikkiki

*kiki

ki

ikkiikik

*ik c

a

b1cc;c

a

b1cc (8)

ik

ik

ikikkiki

*kiki

ki

ikkiikik

*ik m

a

b1mm;m

a

b1mm (9)

ik

ik

ikikkiki

*kiki

ki

ikkiikik

*ik M

a

b1MM;M

a

b1MM (10)

a njihovo fizičko značenje prikazano je na Sl.1.

Slika 1. Fizičko značenje konstanti štapova i početnih momenata polukruto uklještenog štapa pri čemu su:

ki

ikikkiki

*ki

ik

ikkiikik

*ik

a

b)1(

a

b)1(

(11)

)t,o(

kiki

ikikki

)t,o(kiki

)t,o(*ki

)t,o(ik

ik

ikkiik

)t,o(ikik

)t,o(*ik

a

b)1(

a

b)1(

(12)

dobijeni principom superpozicije. Iz izraza (6)-(9) može se uočiti da se variranjem vrednosti " ik " i " ki " sa "1" i "0" dobijaju ranije definisani štapovi: tip “k”

( ik = ki =1) tip “g” ( ik =1; ki =0), tip “z” ( ik = ki =0), te se u daljoj analizi svi mogu tretirati kao jedinstven tip polukruto (semi-rigid)


7

uklještenog štapa, što značajno pojednostavljuje i unificira proračun, a što je od posebnog značaja kod izrade kompjuterskih programa za proračun konstrukcija. Na sličan način kao u 1 mogu se na osnovu izraza ispisati konačni izrazi za momente savijanja na krajevima polukruto uklještenog štapa " *

ikM " i " *kiM " u obliku:

*ki

n

1jj

)j(ik

*kik

*kii

*ik

*ki

*ik

n

1jj

)j(ik

*ikk

*iki

*ik

*ik

mcabM

mcbaM

(13)

Jednačine obrtanja i jednačine pomeranja slično sada glase:

)n,....,2,1j(0R)MM(

)m,....,2,1i(0MM

j)j(

ikik

*ki

*ik

ki

*ik

(14)

Kada se (14) unese u (13) i srede izrazi, dobijaju se jednačine obrtanja čvorova odnosno jednačine pomeranja:

)n,....,2,1j(0CCB

)m,....,2,1i(0ABAA

*0j

n

1ll

*jli

m

1i

'*ji

*0I

n

1jj

*ijk

k

*iki

*ii

(15)

gde su uvedena obeležavanja

j)j(

ik*ki

ik

*ik

*0j

ik

)l(ik

)j(ik

*ki

*ik

*jl

'*ji

k

)j(ik

*ik

*ij

ik

*ik

*0i

*ik

*ik

k

*ik

*ii

R)mm(C;)cc(C

;BcB

;MmA;bA;aA

(16)

Upoređenjem izraza (15) sa odgovarajućim iz literature 2, 6 može se utvrditi da su formalno isti, jedino se konstante štapova i početni momenti određuju prema izrazima (6) do (9), a u izrazima (14) do (16) se ne pojavljuju

igg

i jer su svi štapovi uključeni u prve

sume. Za sračunavanje veličina datih izrazima (6) do (10) za štapove sa konstantnim poprečnim presekom za različite stepene uklještnja " ik " i " ki " sastavljen je kompjuterski program MK-TAB koji je dat u literaturi [1].


8

3. NUMERIČKI PRIMER

Za linijski nosač na slici 2., sa zadatim geometrijskim karakteristikama poprečnih preseka štapova koji je izveden u montažnom sistemu "AMONT" Morava Krušce, urađen je proračun uticaja primenom klasične formulacije približne metode deformacije za različite stepene uklještenja između rigli i stubova. Proračun je posebno urađen uzimajući u obzir uticaj normalnih sila kao u 3, a rezultati proračuna su upoređeni sa rezultatima dobijenim korišćenjem programa STRESS, koji je zasnovan na tačnoj metodi deformacije.

3.1. Proračun za slučaj potpunog uklještenja štapova

Statički sistem i geometijske karakteristike štapova prikazane su na Sl.2, dok je šema nosača i opterećenja data na Sl.3.

Slika 2. Statički sistem i geometijske karakteristike štapova

Slika 3. Šema nosača i opterećenja

Deformacijska neodređenost sistema prema (2) je:

d = m + n = m+2k - (zo + zs)=5+16 - (6 + 8) = 5+2=7

Uslovne jednačine metode deformacije glase:


9

0

C

C

A

A

A

A

A

CCBBBBB

CCBBBBB

BBAAAAA

BBAAAAA

BBAAAAA

BBAAAAA

BBAAAAA

20

10

50

40

30

20

10

2

1

5

4

3

2

1

22212524232221

12111514131211

52515554535251

42414544434241

32313534333231

22212524232221

12111514131211

Uslovne jednačine metode deformacije su:

0

0

0

EI/68.1111

EI/68.1111

EI/86.661

0

EI/86.661

4.606.16.16.106.1

028.80038.138.138.1

6.1099.3462.1533.000

6.10462.199.300533.0

6.138.1533.0065.2332.00

038.100332.0246.2332.0

6.138.10533.00332.065.2

2

1

5

4

3

2

1

Rešenja uslovnih jednačina za stalno opterećenje su:

0;EI

23.404;

EI

23.404

;EI

455.168;0;

EI

455.168

2154

321

Vrednosti momenata savijanja za stalno opterećenje prikazani su na Sl.4.

Slika 4. Dijagram momenata savijanja za =1.0 =1.0 Dijagram normalnih sila prikazan je na Sl.5.


10

Slika 5. Dijagram normalnih sila za =1.0 =1.0

3.2. Proračun za slučaj polukruto uklještenih štapova 1 0. i 0 75.

Statička šema i stepeni uklještenja na krajevima štapova prikazani su na Sl.6.

Slika 6. Statička šema i stepeni uklještenja na krajevima štapova Konstante polukruto uklještenih štapova sračunate su prema izrazima (6) do (8), dok su koeficijenti uslovnih jednačina metode deformacije sračunati prema izrazima (16). Početni momenti polukruto uklještenih štapova i slobodni članovi sračunati su prema izrazima (9) odnosno (16). Uslovne jednačine za stalno opterećenje su:


11

0

0

0

EI/98.937

EI/98.937

EI/444.558

0

EI/444.558

2.502.12.14.104.1

0763.70038.1035.138.1

2.10855.2822.04.000

2.10822.0855.2004.0

4.138.14.00386.2187.00

0035.100187.0622.1187.0

4.138.104.00187.0386.2

2

1

5

4

3

2

1

Rešenja uslovnih jednačina su:

0;EI

494.429;

EI

494.429

;EI

048.1620;

EI

048.162

2154

321

Vrednosti momenata savijanja sračunate su prema izrazima (13), a njihovi dijagrami prikazani su na Sl.7.

Slika 7. Dijagram momenata savijanja za =1.0 i =0.75

dok je dijagram normalnih sila prikazan na Sl.8.

Slika 8. Dijagram normalnih sila za =1.0 i =0.75


12

Upoređenje ovako dobijenih vrednosti momenata savijanja izvršeno je sa adekvatnim vrednostima dobijenim programom STRESS prilagođenim za proračun sa polukrutim vezama štapova po metodologiji izloženoj u [5]. Te vrednosti su na dijagramu momenata (Sl.4.15) prikazane u zagradama i primetne su određene razlike, koje posebno u stubovima nisu zanemarljive. Razlike se povećavaju sa povećanjem vrednosti normalnih sila u stubovima i iznose od 3,31% u čvoru 5 do 19,82% u čvoru 8 što nije zanemarljivo. Zbog toga je urađen proračun dodatnih uticaja izazvanih normalnim silama u štapovima, a u svemu prema izloženoj teoriji u 1 i [3]. Proračun će detaljno biti prikazan za stalno opterećenje nosača i stepene uklještenja 1 0. i 0 75.

Prva itercija

Na osnovu vrednosti normalnih sila sračunatih približnom metodom deformacije prikazanih na Sl.8. sračunate su promene dužina štapova nosača:

445

234

12

427

354

14

384

16

1003515.434657.034000000

0.24936.197l

l105227.225.034000000

0.12528.146l

104774.325.034000000

35.4496.679l

l10226.125.034000000

75.392.277l

l100708.325.034000000

35.4032.600l

lEF

Nll

Na sledećoj skici je prikazan Viliotov plan pomeranja na osnovu koga su prema izrazima iz određena obrtanja štapova usled promena dužina izazvanih dejstvom normalnih sila.


13

Slika 9. Viliotov plan pomeranja za prvu iteraciju

354

4

12

234

4

12

384

4

164527

102103.175.3

10)2/0315.45227.2(

1003388.00.12

10)0708.34774.3(

1057993.035.4

105227.2;0

Početni momenti elastično uklještenih štapova i slobodni članovi u uslovnim jednačinama metode deformacije sračunati su prema izrazima datih u literaturi 1. Za uslovne jednačine koristi se sistem jednačina za slučaj uklještenja 1 0. 0 75. sa novim slobodnim članovima

0

0

0

EI/772.25

EI/772.25

EI/23.16

0

EI/23.16

2.502.12.14.104.1

0763.70038.1035.138.1

2.10855.2822.04.000

2.10822.0855.2004.0

4.138.14.00386.2187.00

0035.100187.0622.1187.0

4.138.104.00187.0386.2

2

1

5

4

3

2

1



14

0;EI

702.11;

EI

702.11

;EI

8403.40;

EI

8403.4

2154

321

dok su vrednosti momenata savijanja usled dejstva normalnih sila posle prve iteracije sračunati prema izrazima (5), a njihovi dijagrami prikazani su na Sl.10.

Slika 10. Dijagram momenata savijanja usled dejstva normalnih sila za =1.0 i =0.75 posle prve iteracije Ukupni momenti savijanja dobijaju se superpozicijom momenata dobijenih približnom metodom deformacije (Sl.7) i momenata usled dejstva normalnih sila (Sl.10) i prikazani su na Sl.11.

Slika 11. Ukupni dijagram momenata savijanja za =1.0 i =0.75 posle prve iteracije dok su vrednosti normalnih sila posle prve iteracije prikazane na Sl.12.


15

Slika 12. Dijagram normalnih sila za =1.0 i =0.75 posle prve iteracije Obzirom da se vrednosti novodobijenih normalnih sila u štapovima Sl.12 donekle razlikuju od normalnih sila dobijenih približnom metodom deformacije Sl.8., pristupa se drugoj iteraciji, pri čemu se za normalne sile u štapovima koriste novosračunate vrednosti normalnih sila.

Druga iteracija

Analogno postupku prikazanom u prvoj iteraciji radi se druga iteracija. Za uslovne jednačine koristi se sistem jednačina za slučaj uklještenja 1 0. 0 75. sa novim slobodnim članovima.

2 386 0187 0 0 0 138 1

0187 1622 0187 0 0 1035 0

0 0187 2 386 0 0 138 1

0 0 0 2 855 0 822 0 12

0 0 0 0 822 2 855 0 12

138 1035 138 0 0 7 763 0

1 0 1 12 12 0 5 2

1

2

3

4

5

1

2

. . .4 . .4

. . . .

. . .4 . .4

.4 . . .

.4 . . .

. . . .

.4 .4 . . .

15 2996

0

15 2996

23

23

0

0

0

. /

. /

.493 /

.493 /

EI

EI

EI

EI


0;EI

6453.10;

EI

6453.10

;EI

6276.4;0;

EI

6276.4

2154

321

dok su vrednosti momenata savijanja usled dejstva normalnih sila posle druge iteracije prikazani su na Sl.13.


16

Slika 13. Dijagram momenata savijanja usled dejstva normalnih sila za =1.0 i =0.75 posle druge iteracije Ukupni momenti savijanja dobijaju se superpozicijom momenata dobijenih približnom metodom deformacije (Sl.7) i momenata usled dejstva normalnih sila (Sl.13) i prikazani su na Sl.14.

Slika 14. Ukupni dijagram momenata savijanja za =1.0 i =0.75 posle druge iteracije

Slika 15. Dijagram normalnih sila za =1.0 i =0.75 posle druge iteracije


17

Obzirom da se vrednosti normalnih sila posle druge iteracija (Sl.15.) zanemarljivo malo razlikuju od vrednosti normalnih sila dobijenih posle prve iteracije (Sl.12.) može se smatrati da je proračun završen, a da su sračunate vrednosti momenata savijanja prikazane na Sl.14. konačne. 4. ZAKLJUČAK

U radu je pokazano da ovako koncipirana “približna” metoda deformacije ima isti stepen tačnosti kao i “tačna” metoda deformacije, a broj uslovnih jednačina za određivanje deformacijski nepoznatih veličina je isti kao kod “približne” metode deformacije. Takođe je potvrđeno da se ova metoda uspešno može koristiti i kod polukrutih veza štapova u čvorovima. Sračunate vrednosti momenata savijanja u obrađenom numeričkom primeru skoro se u potpunosti slažu sa vrednostima sračunatim pomoću programa STRESS, koji u osnovi koristi tačnu metodu deformacije, što potvrđuje teorijski pristup povećanja tačnosti približne metode deformacije dat u [1]. Najveća razlika javlja se ponovo u čvoru 8 i manja je od 0,17%. 5. LITERATURA

[1] D.Zlatkov.: Analiza linijskih sistema sa polukrutim vezama štapova u čvorovima, Magistarski rad, Građevinski fakultet Univerziteta u Nišu, Niš, 1998.

[2] M.Đurić.: Metoda deformacije, Građevinarstvo 1, Beograd 1965

[3] M.Đurić, M. Milićević.: Mogućnost povećanja tačnosti približne metode deformacije do zahtevanog stepena tačnosti, Zbornik radova br.1, Građevinski fakultet Univerziteta u Nišu, Niš, 1980.

[4] M.Milićević, S. Zdravković.: Uticaj stepena krutosti veza na veličinu kritičnog opterećenja i promenu naprezanja u linijskim sistemima, Simpozijum “Novata tehnička regulativa bo gradežnoto konstrukterstvo“, Skoplje, 1986.

[5] M.Milićević.: Proračun sistema elastično vezanih štapova metodom deformacije, XVII Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Zadar, 1986.

[6] B.Popović.: Statika konstrukcija 2, Građevinski fakultet Univerziteta u Nišu, Niš, 2002.

0350-85870823001z

Documents