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UNIVERSIDADNACIONALEXPERIMENTALFRANCISCODEMIRANDA

DEPARTAMENTODEENERGTICAFENMENOSDETRANSPORTE

FUNDAMENTOSDETRANSFERENCIADECALORRealizadoPor:Prof.PedroVargas

Disponibleen:www.fenomenosdetransporte.wordpress.com

NomenclaturaA: readetransferenciadecalor [m2]Cp: Capacidadcalorficaapresinconstante [J/kgK]D: Dimetrodecilindrooesfera [m].g :Calorgeneradoporunidaddevolumen [W/m3].h: Coeficienteconvectivodetransferencia [W/m2K]K: Conductividadtrmica [W/mK]L: Longituddecilindrooespesordeplaca [m]Lc: Longitudcaracterstica []Nu: NmerodeNusselt []Pr: NmerodePrandtl []Q: Flujodecalor [W]q: Flujodecalorporunidadderea [m2]R: Radiodecilindrooesfera [m]r: Coordenadaradial []Re: NmerodeReynolds []T: Temperaturaabsoluta [K]Tf: Temperaturadelapelcula [K]Ts: Temperaturadesuperficie [K]T: Temperaturadebulto [K]x,y,z:Coordenadasespacialessistemarectangular []Alfabetogriego: Densidad [kg/m3]: Difusividadtrmica [m2/s]hfg:Calorlatentedevaporizacin [J/kg]

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I. Introduccinalatransferenciadecalor

Antes de introducir las Leyes que regulan los procesos detransferencia de calor debemos definir algunos conceptosfundamentales que nos ayudaran a construir definicionesmscomplejas.TemperaturaEl conceptode temperaturanos esmuy familiar ennuestroquehacer diario. Siempre escuchamos frases como tengofrio! o tengo calor! Sin embargo, definir exactamente elconcepto de temperatura no es una tarea fcil. Algunasreferencias que muy probablemente manejemos es que elaguasecongelaa0Cyqueebulleohiervealos100C.Perocmopodremosdefinirexactamentealatemperatura?Como sabemos la materia puede encontrarse en diferentesfases (lquido slido o gas, Fig. 1.3), la diferencia entre unestadoyotrodependedelarreglomolecularquevaradesdemenorordenenelestadogaseosohastaunmayorordenenelestadoslido.En este sentido, la temperatura es una propiedad quedependedelniveldeinteraccinmolecular.Especficamentelatemperaturaesunreflejodelniveldeagitacinmolecularque presenta una sustancia en un estado determinado.Cuanto mayor sea la temperatura de una sustancia, mayorser el nivel de agitacin molecular. En la figura 1.1, semuestraunslidocondiferentesvaloresdetemperatura,lasmolculas en rojo estn asociada a una gran interaccin ymovimiento molecular, mientras que las molculas en azulpresentan en promedio menor movimiento un menormovimiento y por consiguiente un menor valor detemperatura.

Figura1.1.Actividadmoleculardesolidoadiferente

temperatura.

EscalasdemedicindetemperaturaComo toda propiedad, la temperatura posee unidadescorrespondientesalsistemainternacionalyalsistemaingls,para los cuales existen dos escalas de temperatura, unaconocidacomoescalaabsoluta,yotraconocidacomoescalarelativa. La diferencia de una a otra es que las escalasabsolutas todos los valores de temperaturas tienen valorespositivos, y el mnimo valor posible es el cero, o ceroabsoluto, mientras que los sistemas de temperaturasrelativospuedenposeervaloresnegativos (tabla1.1), raznpor la cual escuchamos con frecuencia que en los pasesdonde hacemucho fri al caer nieve las temperaturas sonentre10Cy15Cporejemplo.

Tabla1.1.Escalasdetemperatura.

SistemaInternacional SistemaInglsGradosCentgrados(C)

(Escalarelativa)GradosFahrenheit(F)

(Escalarelativa)GradosKelvin(K)(Escalaabsoluta)

GradosRankine(R)(Escalaabsoluta)

Las relacionesmatemticas entre las diferentes escalas sonmostradasacontinuacin,yrepresentadasdemaneragraficaenlafigura1.2.

32]C[T8.1]F[T 15.273]C[T]K[T 7.459]F[T]R[T

Figura1.2.Relacingraficaentrelasescalasdetemperaturas.Un tratamiento especial se le da a las diferencias dtemperaturas, las cuales aparecern con frecuencia en lasLeyesasociadasa la transferenciadecalor, larelacinentreestasdiferenciassonpresentadasacontinuacin:

]F[T8.1]R[T8.1]C[T]K[T InstrumentosdemedicinPorserlatemperaturaunapropiedaddegranintersexistenun gran nmero de dispositivos basados en diferentesprincipiosquesirvenparamediroestimarladealgnmodo.Los ms usados y familiares para nosotros son lostermmetrosdemercurioconlosquenormalmentesemidela temperatura corporal, pero tambin existen otrosdispositivosquetienenunmayorusoanivelindustrialcomolos termopares, termistores y radimetros, todos basadosenprincipiosdefuncionamientodistintos.Enlafigura1.3semuestran algunos de estos dispositivos de medicin detemperatura.

Talta Tbaja

Arreglomolecular

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 20 40 60 80 100

Tempe

ratura

Temp(C)

Temp(K)

Temp(R)

Temp(F)

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Gas Lquido SlidoFigura1.3.Arreglomolecularendiferentesfasesdelamateria

CalorymecanismosbsicosdetransferenciaComoyamencionamoslatemperaturaesunreflejodelniveldeagitacinmolecular,imaginemosquecolocamosdoszonasde un slido a diferente temperatura (diferente nivel deagitacinmolecular)qusuceder?Veamos la figura 1.4. Las molculas de la zona de mayortemperatura y mayor movimiento molecular (en rojo),empezarn a chocar con las de menor movimientotransfirindolepartedeestehastaquealpasarciertotiempose estabilicen cerca de un valor. A esta transferencia demovimiento molecular por choque directo entre molculas,se ledenominaTRANSFERENCIADECALORyalmecanismoen particular, se le denominaCONDUCCIN, y como hemosvisto,tienelugardeunazonadealtatemperatura,hastaunazonadebajatemperatura.

Figura1.4.TransferenciadecalorporconduccinDe formageneralpodemosdefinirLATRANSFERENCIADECALOR (CALOR) como la energa en trnsito omovimientodebidaaunadiferenciadetemperatura.Que otros mecanismos de transferencia de calorexisten?El requisito bsico para que tenga lugar la transferencia decalor, es que exista una diferencia de temperatura, sinembargo la formacomoocurreoelmecanismoa travsdelcualtienelugarlatransferenciapuedevariar.Acontinuacinpresentamos los mecanismos bsicos de transferencia decalor:

Conduccin: es un procesomediante el cual el calor fluyedesde una regin de altatemperatura hasta una regin debaja temperatura, dentro de unmedio slido, lquido o gaseoso, oentre medios diferentes encontacto fsicodirecto entre lasmolculas.

Lasmolculasdemayoragitacinmolecular transfierenesemovimiento a las de menor agitacin, produciendo uneelevacinenlatemperaturaesestasltimas.

Conveccin: es un mecanismo detransporte de energa por accincombinada de conduccin de calor,almacenamiento de energa ymovimientode materia en grandes grupos demolculas.Cuandounfluidosemuevesobreuna superficie que se encuentra a otratemperatura, se produce transferencia decalorenlasadyacenciasdelafronteracuyosigno depender del valor relativo de lastemperaturas.Radiacin: es un procesomediante el cual el calor fluyedesde un cuerpo de altatemperatura a otro de bajatemperatura cuando entre estosnoexistecontactofsicodirecto.Elmecanismo molecular detransferenciaesatravsdeondaselectromagnticas. Paraentenderunpocomslosmecanismosdetransferenciade calor y como pueden funcionar de manera conjuntaimaginemos una fogata (Fig. 1.5). El aire caliente queasciendeenlasuperficiesuperiordelallamapormoverseen

grupos de molculas corresponde a lo que sera eltransportedecalorporconveccin.Sitocamoslallamaconunabarrametlica la cual se calienta, estaremos recibiendocalorporconduccin,ysisentimoscomosinosencandilarala llamaaunqueelaireanuestroalrededornoestcaliente,enesecasoestaremosrecibiendocalorporradiacin.Cuando el calor transferido a una sustancia por cualquiermecanismohacequeestaeleve su temperatura, sediceque

esCALORSENSIBLEenelsentidoquefueinvertidoenvariarla temperatura de la sustancia. En caso de que el calorproduzca un cambio de fase en la sustancia, el calor sedenomina CALOR LATENTE y dependiendo del tipo decambiode fasepuedeser calor latentedevaporizacinsi elcambiodefaseesdelquidoavaporporejemplo.

TermmetrodemercurioTermopar

RadimetroFigura1.5.Dispositivosparalamedicindetemperatura.

Figura1.4.Mecanismosbsicosdetransferenciadecalor.

EJERCICIOSI

1. Definalosmecanismosbsicosdetransferenciadecalor.

2. Convierta25CaKFyR.3. Ladiferenciadetemperaturaentreelinteriordeun

refrigeradoryelambientesdeaproximadamente40C.CuntoserestadiferenciaenKFyR?

4.Eselmecanismodeconduccinexclusivodelosslidos?

Conduccin

Conveccin

Radiacin

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II. Transferencia de calor porconduccinLatransferenciadecalorporconduccinocurrebsicamentedebido a una diferencia de temperatura. Es una forma deenerga en trnsito que se transmite por comunicacinmolecular directa, sin desplazamiento observable de lasmolculas. El calor como en todo proceso de transferenciafluir en la direccin de temperatura decreciente (desdemayorhastalamenortemperatura).La transferencia ocurre porque lasmolculas que poseenmayorenergatransferirnstaa lasdeenerga inferior.Entodo proceso de transferencia de calor por conduccinpodemosencontrartrescaractersticasfundamentales,quelo diferencian de los procesos de conveccin y radiacinqueestudiaremosmsadelante.Estasson: Una diferencia apreciable de temperatura entre las dos

zonasenlascualesfluirelcalor. Contactofsicodirectoentrelaszonasdetransferencia. Noexistemovimientoapreciabledelamateriaenlaque

fluirelcalor.Cmomedimoselcalorquefluyeporconduccin?Hastaahorasolohemosdichoqueelflujodecalorocurreenla direccin de temperatura decreciente, pero Cmo loestimamos y de que variables depende? Para ello,imaginemos una barra metlica de longitud L que seencuentra entre dos temperaturas T1 y T2 en sus extremos(Fig.2.1)conT1>T2porloquesegnloqueyamencionamosel calor fluye desde 1 hacia 2. La barra est aislada por losladosdeformatalquetodoelcalorqueentraen1saleen2.

Figura2.1.Barracontransferenciadecalor

Imaginemos que repentinamente incrementamos ladiferenciadetemperaturaentre1y2Cmoseverafectadoel flujo de calor a lo largo de la barra? (flujo de energa enWATTS).Nuestra intuicinpareciera indicarnosque el flujodecaloraumentaraenesecasoamedidaqueseincrementala diferencia de temperatura, esto matemticamente lopodemosescribircomo:

TQ (2.1)Donde

21 TTT [K]Es decir que el flujo de calor a lo largo de la barra esproporcional a la diferencia de temperatura. Hagamos otroexperimento. Imaginemosdos barras delmismo grosor quesemantienenentrelosmismosvaloresdeT1yT2perounaes

ms largaque laotra(Fig.2.2)Cmoserelcalorque fluyeentre1y2?

Figura2.2.Flujodecalorenbarrasdediferentelongitud.

Enrealidadnoesigual,dehechosilabarraesmslargayladiferencia de temperatura semantiene el calor entre 1 y 2disminuye,matemticamenteloescribimoscomo:

L1

Q (2.2)Esdecirqueelcalorquefluyeesinversamenteproporcionalaladistanciaatravsdelacualseproduceelflujodecalor.Ahora imaginemos que tenemos dos barras de la mismalongitud y material sometidas a la misma diferencia detemperaturaperodeunreatransversaldeflujodedistinta(Fig. 2.3) Cmo ser el calor total que fluye entre1 y2 enamboscasos?

Figura2.3.Flujodecalorenbarrasdediferentereade

transversal.

El flujo sermayorenel casode labarrademayorreadeflujo,loquepodemosescribircomo.Esdecirqueelflujocaloresdirectamenteproporcionalalreadeflujo.

AQ (2.3)Esdecirquesicombinamostodaslasconclusionesa lasquehemos llegado podremos escribir el calor de la siguienteforma:

LT

AQ (2.4)

T1 T2

L

T1 T2

L

T1 T2

L

T1 T2

L

T1 T2

L

Hasta estepuntodebemospreguntarnos si esta ecuacinessuficienteparadescribirelflujodecalorporconduccin.Paraverificar si es completa o no, imaginemos dos barras,sometidas a la misma diferencia de temperaturas, con lamisma rea de flujo y de la misma longitud, con la nicadiferenciaqueunaesdemaderayotraesdealuminio (Fig.2.4),Imaginemosquetomamosambasbarrasporelextremoque estn calientes Experimentarn las barras el mismoflujodecalor?

Figura2.4.Flujodecalorenbarrasdediferentematerial.

La respuesta esNO. En la prctica seguramente sentiremosunmayor flujo de calor en el casodel aluminio lo queharqueNOSQUEMEMOSmientrasqueenelcasodelamaderaseguramente el flujo de calor ser menor y la podremostomar sin quemarnos. Esdecir a quenuestra ecuacinparaestimar flujo de calor le falta una variable para que estcompleta, a esa variable la denominaremos Conductividadtrmicayesmayorenelcasodelaluminioqueenlamadera,porloqueporltimoescribiremoslaexpresinparaelcalorporconduccincomosigue:

LT

kAQ

q (2.5)

Estaexpresinqueacabamosdeconstruiresloqueseconocecomo la Ley de Fourier y define cuantitativamente elproceso de transferencia de calor por conduccin y nossirveparasabercmoserelacionanvariablescomoflujodecalor, temperaturaypropiedadesdeunmaterial.Dicha leypuede expresarse para un material homogneo, en el queocurreunprocesodetransferenciadecalorporconduccinen estado estacionario y en una sola direccin, de lamanerasiguiente:

lacantidaddecalorconducidoenla direccin x, a travs de unmaterial slido homogneo en unintervalo de tiempo, es el productoentre el rea expuesta y latransmisindecalornormalalejex,el gradiente de temperatura y unapropiedad del material conocidacomoconductividadtrmica

JEANBAPTISTEJOSEPHFOURIER(17681830)

Y matemticamente en una dimensin tiene la siguienteforma:

dXdT

kAQ

q (2.6)Donde:q: Flujodecalorperpendicularalreadetransferenciade

calor[W/m2]A: readelasuperficiedetransferencia [m2]k: ConductividadTrmicadelmaterial [W/mK]

dXdT : GradientedetemperaturaalolargodelejeX [K/m]Porconvencin,el flujodecalorespositivomientrasocurredesdelazonadealtaaladebajatemperatura,porlotantosehace necesario colocar un signo negativo en la ecuacin,puesto que en esta misma direccin el gradiente detemperaturaesnegativo.Encasodequelatransferenciadecalorporconduccintengalugar enmsde una direccin, la Ley de Fourier puede serescritadelasiguienteforma:

Tkq (2.7)Donde:

zT

kyT

jxT

iT^^^

Gradiente de temperatura en tres

dimensionesparaunsistemadecoordenadasrectangulares.ConductividadtrmicaComo ya mencionamos la conductividad trmica es unapropiedad de los materiales que nos permite estimar losflujosdecaloratravsdelaLeydeFourier.Demaneramsgenrica lapodemosdefinir como:Lacantidaddecalorquefluiratravsdeunreaunitaria(normala ladireccindelflujo),enlaunidaddetiempo,sielgradientedetemperaturaentre las dos superficies entre las cuales fluye el calor esunitaria.La conductividad trmica es una propiedad fsica quedetermina la facilidad con la cual unmaterial conduce elcalor. Esta propiedad depende de la composicinqumica de la sustancia o sustancias que componen elmaterial,de lafaseenqueseencuentraelmaterial(slida,liquida o gaseosa), de la estructura del material, de latemperaturaydelapresinenelcasodequeelmaterialseencuentreenestadogaseoso.Dada la importancia de esta propiedad se le da un anlisisbien detallado a los valores que adopta dependiendo delmaterial que se estudie. En temimos generales, puedeindicarse que la conductividad trmica de los slidos esmayorquelaconductividadtrmicadeloslquidosyestaasuvezmayorque lade los gases, lo que equivale adecir quelos slidos son mejores conductores que los lquidos yestossonmejoresconductoresquelosgases.

T1 T2

L

T1 T2

L

a. Conductividad trmicade losslidos:La influenciadela presin es despreciable, aumenta o disminuye con latemperaturayparalamayoradelosproblemasprcticossepuede asumir un modelo lineal o independiente de laTemperatura(Ec.2.8).

T)T(K 10 (2.8)

Figura2.5.Arreglomoleculardelosslidos.

Algunos valores tpicos de conductividades trmicas deslidosson(Tabla2.1).Tabla 2.1. Valores de conductividad trmica de slidos(Kern,1999).

Material Ka32F(Btuh1Pie1F1)Ka212F

(Btuh1Pie1F1)Cobre 224,0 218

Hierroforjado 34,6 27,6Acero 26,0 26,0

Aluminio 117,0 119,0b.Conductividad trmicade los lquidos: Lamayora de

los lquidos son incompresibles, razn por la cual lainfluencia de la presin es despreciable en particularsobreelvalordelaconductividadesdespreciable.Paralamayora de los lquidos k decrece con la temperatura,exceptoparaelagua(Tabla2.2).

Figura2.6.Arreglomoleculardeloslquidos.

Tabla2.2.Valoresdeconductividad trmicade lquidos(Kern,1999).

Material Ka80F(Btuh1Pie1F1)Ka155F

(Btuh1Pie1F1)Agua 0,330 0,356

Aceite 0,104 0,100Benceno 0,086 0,082Cloruro 0,111 0,089

c. Conductividadtrmicadegasesyvapores:Adiferenciade

loslquidosyslidos,paraelcasodelosgaseslapresinsi modifica considerablemente la conductividad trmicadelosgases.Engeneral,amedidaqueaumentalapresinaumenta la conductividad trmica. Tambin seincrementa con el incremento de la temperatura ydisminuyeamedidaqueaumentaelpesomoleculardelgas(Tabla2.3).

Figura2.7.Arreglomoleculardelosgases.

Tabla 2.3. Valores de conductividad trmica de gases(Kern,1999.).

Material Ka100F(Btuh1Pie1F1)Ka150F

(Btuh1Pie1F1)Aire 0,0095 0,0140

Benceno 0,0730 0,0103Amonaco 0,0128 0,0157Butano 0,0078 0,0135

ConductividadtrmicadeaislantesClasificacin aparte se les da a los aislantes debido a sufrecuente uso en la industria. En general son materialesslidosdemuybaja conductividad trmicautilizados con lafinalidad de disminuir las prdidas de calor en sistemasindustriales. Algunos valores tpicos de conductividadestrmicasdeaislantesemuestranacontinuacin(Tabla2.4).Tabla2.4.Valoresdeconductividadtrmicadeaislantes(Kern,1999).

Material Ka68F(Btuh1Pie1F1)Ka212F

(Btuh1Pie1F1)Asbesto 0,0920 0,1100

Lanamineral 0,0225 0,0219Arenaseca 0,1900 0,1800

Elcomportamientoengeneraldelaconductividadtrmicadediversosmaterialesesresumidoacontinuacin(Fig.2.8).

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Figura2.8.Conductividadtrmicadediversosmateriales(Geankoplis,1995).

EJERCICIOSII

2.1 Cmosecomparanlasconductividadestrmicasdeloslquidos,slidosygasesengeneral?

2.2.ExpliqueelsignificadofsicodecadaunodeloselementosdelaLeydeFourier.

CRISTALESNOMETLICOS

Grafitodediamante

Silicncarbide

xidodeberilio

Cuarzo

GASESHidrgeno

HelioAire

Dixidodecarbono

AISLANTES

FibrasLanas

Espumas

LQUIDOS

Mercurio

Agua

Aceite

SLIDOSNOMETLICOS

xidos

Rocas

Alimentos

Gomas

ALEACIONESMETLICAS

AleacionesdealuminioBronceAcero

Nicromo

METALESPUROS

PlataCobre

HierroManganeso

1000

100

10

1

0.1

kW/m C

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III.EcuacindedifusindecalorHasta ahora hemos estudiado la ecuacin que regula latransferenciadecalorporconduccin.Cuandoseconstruyeuna relacin ms compleja en la que se contempla laposibilidad de transferencia en ms de una direccin y lavariacin de la temperatura en el tiempo (estadotransitorio), nace lo que se conoce como la ecuacinfundamentalde la transferenciadecalorporconduccin, lacualseobtienedeunbalancedeenergasobreunelementodiferencialdevolumen(Fig.3.1).

Figura3.1.Transferenciadecalorenunelementodiferencial

devolumen.Haciendounbalancedeenergaenunelementodiferencialdevolumen.EntraSale+GeneraConsume=AcumulaLaenergaqueentralohacesoloatravsdelmecanismodeconduccin:

tCpT

zyxzyxgyxqq

zxqqzyqq

.

zzzzz

yyxyyxxxxx

(3.1)

Si el calor se transfiere solopor conducciny tomando loslimitescuandotiendeacero,entonces

tCpT

gq..

(3.2)

Donde:.g : Calor generado o consumido por el slido por unidaddevolumen [W/m3].Cp: Capacidadcalricadelsolido [J/KgK]: Densidad [kg/m3]

Ysiohaygeneracindeenerga(Ec.3.3)ylaspropiedadesson constantes, entonces la ecuacindebalancedeenergaqueda expresada para un sistema de coordenadasrectangularesdelasiguienteforma(Ec.3.4.):

zT

kzy

Tk

yxT

kxt

)CpT( (3.3)

2

2

2

2

2

22

z

T

y

T

x

TT

tT (3.4)

Tabla3.1.Ecuacinfundamentaldeconduccindecaloren diferentes sistemas de coordenadas parapropiedadesconstantes.

EcuacindelaenergaRectangulares

zT

kzy

Tk

yxT

kxt

TCp

Cilndricas

zT

kz

Tk

r

1rT

krrr

1tT

Cp2

Esfricas

T

)(ksen)(senr

1

Tk

)(senr

1rT

krrr

1tT

Cp

22

222

2

Estaecuacincuandoesresueltanosaportaraelvalordelatemperatura como funcin de la posicin y del tiempo(T(t,x,y,z)). Esta ecuacin es una ecuacin diferencial enderivadasparciales,quetieneunainfinidaddesolucionesdeacuerdoalcasoenelqueseestudie.Parapoderserresuelta,bsicamentedebenespecificarselassiguientescondicionesCondicionesinicialesEncasodequeelprocesotengalugarenestadotransitorioonoestacionario,senecesitasaberconcertezaculeselperfilde temperaturas al inicio del proceso de transferencia decalor a lo largo de la geometra sobre la cual se quierepredecir el perfil de temperatura. Un ejemplo de unacondicin inicial es por ejmplo un perfil de temperaturauniformeelcualpuedeserescritomatemticamentecomo:

0T)z,y,x,0t(T (3.2)CondicionesdebordeLascondicionesdebordeespecificancomoeselprocesodetransferenciadecaloratravsde las fronterasde laregincuyocomportamientoseestmodelandoydependiendodelanaturaleza,puedenser(tabla3.2).

qAx

qAx+x

qAy qAy+y

qAz

qAz+z

y

x

z

Tabla 3.2. Condiciones de borde para la ecuacin dedifusindecalor.

Expresinmatemtica Condicin

Temperaturasuperficialconstante Tst,0T

Flujosuperficialdecalorconstante

Sqxt,0T

k

Superficieadiabticaoaislada

0xt,0T

ConveccinSuperficial t,0TTh

xt,0T

k

x

T(x,t)

TS

x

T(x,t)

qS

x

T(x,t)

x

T(x,t)

T(0,t)

T h

IV.ConduccinunidimensionalenestadoestacionarioLa primera solucin de la ecuacin fundamental de laconduccin de calor es la de conduccin en una soladireccin (unidimensional) en estado estacionario y singeneracin de energa, en cuyo caso la ecuacin 3.2, sesimplificayquedaexpresadadelasiguienteforma:

0xT

kx

(4.1)Esta situacin fsicamente puede ser representada por latransferenciadecalorsoloenunadireccinatravsdeunaparedplana(Fig.4.1).

Figura4.1.Transferenciadecaloratravsdeunaplaca

plana.Laecuacin4.1,implicaqueelflujodecalorencadaunadelasposicionesalolargodexesconstante

ctexT

k

Silaconductividadtrmicanovaraalolargodelapared,ytomando en consideracin las condiciones de borde de laparedenx=0yx=L,tenemosque: 1T0xT Condicindeborde1 2TLxT Condicindeborde2Laexpresinparadeterminar la temperaturaenel interiordelaparedquedaraexpresadacomo: x

LTT

TxT 212

Locualnosllevaalasegundaconclusinimportante(apartedelhechodequeelflujodecaloresconstante),yeselhecho

de que el perfil de temperatura bajo las condiciones deconduccin unidimensional en estado estacionario singeneracin de energa es LINEAL para un sistema decoordenadas rectangulares. De forma tal que si queremosestimar el flujo de calor entre T1 y T2, retomamos ladefinicindelaLeydeFourier

dXdT

kAQ

Sustituyendolaexpresinparaelperfildetemperatura

LTT

kAQ 21

LT

kLTT

kqAQ 21

A travs de esta expresin se puede relacionar muyfcilmenteelflujodecalorconladiferenciadetemperaturabajocondicionesdetransferenciaunidimensionalenestadoestacionario.ResistenciaTrmicaLaecuacin3.4nossugiereunaideamuyimportanteyeselhechodequeelflujodecalorlopodemosvisualizarcomolarelacin entre un coeficiente de transferencia y una fuerzaimpulsoraohaciendoanalogaconelcasoelctricocomo

oTransferidCalor

ntransmisiodePotencialsistenciaRe

DeesaformalaRESISTENCIATRMICAalaconduccinenunaparedplanaser

WC

KAL

LT

kA

TRt (4.2)

La potencia de este nuevo concepto queda en evidenciasobre todo en el anlisis de geometras compuestas condiferentesmecanismosdetransferenciadecalor.Como concepto la resistencia trmica de una etapa detransferenciadecalorcuantificalacapacidaddelaparedenfuncindesugeometrayconductividadtrmicaaoponerseal flujo de calor, lo cual tiene dos implicaciones directastomando en consideracin la expresin derivada para elflujodecalor

RtT

Q

Caso1:bajocondicionesdecadadetemperaturaconstante,laresistenciatrmicaaumentaodisminuyeelflujodecalordirectamente.Amayor resistenciamenor flujode calor y amenorresistenciamayorflujodecalor.Caso 2: bajo condiciones de flujo de calor constante, laresistencia trmica aumenta o disminuye la cada detemperaturademaneradirectamenteproporcional.

T1

T2

Q

x

L

ParedcompuestaAhora intentemos generalizar el resultado obtenido paraunaparedadiferentesarreglosdeparedescompuestas.Estose conoce como circuitos trmicos. A continuacin semuestra un sistema de tres paredes compuestas colocadasuna a continuacin de otra respecto al flujo de calor (Fig.4.2).

Figura4.2.Circuitotrmicodetresresistenciastrmicas.

Debemos recordar que bajo las condiciones de conduccinunidimensional en estado estacionario, sin generacin deenerga y con conductividad trmica constante, el perfil detemperaturas a lo largo de cada pared es LINEAL.Lgicamente la cada individual de temperatura dependerdelvalordelaresistenciatrmicadecadamaterial.Aplicandoelconceptoderesistenciatrmicaelflujodecalora lo largo de todo el arreglo lo podemos expresar de lasiguienteforma

RtTT

Q 14

Donde Rt, es la resistencia trmica de toda la resistenciatrmica que se encuentra entre T1 y T4, la cual es lacontribucin de las tres paredes, y por encontrarse una acontinuacin de la otra respecto al flujo de calor, laresistenciatrmicatotalser

Ak

L

AkL

AkL

RRRRtC

C

B

B

A

ACBA

A este arreglo de las resistencias se le conoce comoARREGLOENSERIE.Bajocondicionesdeestadoestacionario,debidoaquenohayacumulacindeenerga,elcalortotalQ,quefluyeentreT1yT4, es el mismo que fluye a travs de la pared A, B y C.Matemticamentepuedeserescritocomo:

CBA QQQQ

C

43

B

32

A

2141

R

TT

R

TT

RTT

RtTT

Escribiendo la expresin para el flujo de calor entre 1 y 4,tenemosque:

AkL

AkL

AkL

TTQ

C

C

B

B

A

A

41

Reordenandolaecuacin

AkL

QAk

LQ

AkL

QAk

LAk

LAk

LQTT

C

C

B

B

A

A

C

C

B

B

A

A41

43322141 TTTT

Esta ltima expresin es muy importante, ya que nosrefuerzaelhechodeque lacadadetemperaturaa lo largodel arreglopuede ser analizada como la contribucinde lacada de cada etapa individualmente, la cual a su vez dependedelaresistenciatrmicadecadamaterial.ResistenciadecontactoAunquenolohemostomadoencuentahastaahora,lacadade temperatura a ambos lados de la interfaz de dossuperficiesqueseencuentranencontactoesconfrecuenciaconsiderable.Estavariacinseleatribuyealoqueseconocecomo resistencia trmica de contacto Rtc. Fsicamente estaresistencia se debe a los efectos de rugosidad entre lassuperficies lo que hace que el contacto entre ellas no seaperfecto(Figura4.3)

Figura4.3.Resistenciatrmicadecontactoentredos

superficies.Porloqueaplicandoelconceptoderesistencia,laexpresinmatemticaquedaexpresadadelasiguienteforma:

RCRBRA

T1 T4

Q

T1 T2

T3

T4

A B C

LA LB LCQ

T1

TS3

T4

A C

LA LCQ

TS2

TS2

TS3

T

qA

TT

Q

TTRtc 3S2S3S2S

Entonces

WKm

q

TTRtcA''Rtc

23S2S

Donde ''Rtc es la resistencia trmica de contacto expresada por unidad de rea de la interfaz. Los valores de la resistencia trmica de contacto dependern bsicamente de la rugosidad de los materiales y de lo que ocupe el espacio entre los huecos que generalmente es aire. La transferencia de calor en la regin interfacial, se lleva a cabo por diversos mecanismos como conduccin y radiacin bsicamente. A fin de predecir los valores de la resistencia trmica de contacto se hanmedido gran cantidad de estosvalores experimentalmente, algunos de los cuales sonmostradosacontinuacin(tabla4.1).Tabla 4.1. Resistencia trmica de contacto parainterfaces metlicas en condiciones de vaco y condiferentesfluidosenlainterfaz.

Resistenciatrmicadecontacto410x''Rtc (m2.K/W)

a)interfazalvacio b)FluidoenlainterfazPresindecontacto

100kN/m2

10000kN/m2 Aire 2.75

Aceroinoxidable 625 0.74.0 Helio 1.05Cobre 110 0.10.5 Hidrogeno 0.720

Magnesio 1.53.5 0.20.4 Aceitedesilicio 0.525Aluminio 1.55 0.20.4 Glicerina 0.265

Tabla 4.2. Resistencia trmica de interfaces solidosolido.

Interfaz 410x''Rtc (m2.K/W)Chipdesilicio/aluminiorecubiertoenaire 0.30.6Aluminio/Aluminioconrellenodehojadeindio 0.07Acero inoxidable/Acero inoxidable con relleno dehojadeindio 0.04Aluminio/Aluminioconrecubrimientometlico 0.010.1Aluminio/Aluminiocongrasa 0.07Aceroinoxidable/Aceroinoxidablecongrasa 0.04Chipdesilicio/aluminioconresinaepxica 0.20.9Bronce/Bronceconsoldaduradeestao 0.0250.14 SistemasradialesParedcilndricaLa ecuacin de la energa para conduccin unidimensionalen estado estacionarioparaunapared cilndricapuede serescritacomosigue

0rT

rrr

1

Fsicamentepuedeserrepresentadocomo

Figura4.4.Transferenciadecaloratravsdeunapared

cilndrica.Porloquesiporejemploelcalorsetransfieredesdeadentrahacia afuera del cilindro en la direccin radial, entoncesT1>T2.Pararesolverlaecuacinanterior,sedebenincluirlassiguientescondicionesdeborde 11 TrrT Condicindeborde1 22 TrrT Condicindeborde2Lasolucinde laecuacin,arroja loqueseconocecomoelperfildetemperaturaparalaconduccinunidimensionalenestadoestacionarioparaunaparedcilndrica

212

212 r/rln

r/rlnTTT)r(T

Porloqueelflujodecalorser

Lk2r/rlnTT

Rt

TTQ

12

2121 Ylaresistenciatrmicadeunaparedcilndrica

Lk2

r/rlnRt 12 ParedesfricaLa ecuacin de la energa para conduccin unidimensionalen estado estacionario para una pared esfrica puede serescritacomosigue

0rT

rrr

1 22

L

r2r1

Figura4.5.Transferenciadecaloratravsdeunapared

esfrica.Yconlaincorporacindelascondicionesdeborde 11 TrrT Condicindeborde1 22 TrrT Condicindeborde2

Lasolucinde laecuacin,arroja loqueseconocecomoelperfildetemperaturaparalaconduccinunidimensionalenestadoestacionarioparaunaparedesfrica.

211

211 r/r1

r/r1TTT)r(T

Porloqueelflujodecalorser

k4r/1r/1TT

Rt

TTQ

21

2121

Ylaresistenciatrmicadeunaparedcilndrica

k4

r/1r/1Rt 21

EJERCICIOSIV1. Ejercicio3(4.3.1Geakoplis).Aislamientonecesarioparaunalmacn de alimento refrigerado. Se desea construir unalmacnrefrigeradoconunacapainternade19,1mmdemaderade pino, una capa intermedia de corcho prensado y una capaexterna de 50,8 mm de concreto. La temperatura de la paredinterioresde17.8Cyladelasuperficieexteriorde29,4Cenelconcreto. Las conductividades medias son, para el pino, 0,151;para el corcho, 0.0433; y para el concreto0,762W/mK.El reasuperficial total interna que se debe usar en los clculos esaproximadamente39m2(omitiendolosefectosdelasesquinasylosextremos).Quespesordecorchoprensadosenecesitaparamantenerlaprdidadecaloren586W?

Respuesta:0.128mdeespesor2. (4.3.2Geakoplis).Aislamientodeunhorno.Lapareddeunhornode0.244mde espesor se construye conunmaterial quetieneunaconductividadtrmicade1.30W/mK.Laparedestaraisladaenelexteriorconunmaterialque tieneunakpromediode 0.346W/mK, de talmanera que las prdidas de calor en elhornoseanigualesoinferioresa1830w/m2.Latemperaturadelasuperficieinteriores1588Kyladelaexternaes299K.Calculeelespesordelaislantenecesario.

3. (10.2 Mc Cabe). Una tubera estndar de acero de 1 pulg,Catlogo 40, conduce vapor de agua saturado. La tubera estaisladaconunacapade2pulgdemagnesiaal85por100,ysobrelamagnesia lleva una capa de corcho de 3 pulg de espesor. Latemperaturade laparedinterioresde249Fy lade laexteriordecorchoest90F.Lasconductividadestrmicassonen[BTU/hpies F] para el acero 26; para la magnesia, 0,034, y para elCorcho0.03.Calclense:a)Lasprdidasdecaloren100piesdetubera,enBtuporhora.b)Lastemperaturasdeloslmitescomprendidosentreelmetalylamagnesiayentrelamagnesiayelcorcho.

4. Lapareddeunhornoconsisteenunaseriede:4pulgdeladrillorefractario de caoln, 7 pulg de ladrillo de caoln aislante ysuficiente ladrillodearcillarefractariaparareducir lasprdidasdecalora100Btu/(h)(pie2)cuandolastemperaturasdelinteriorydelexteriorsonde1500Fy100F,respectivamente.a) Qu grosor de ladrillo de arcilla refractaria deber usarse?Qu pasara si se colocara un ladrillo de arcilla refractaria demayoromenorespesor?b) Si se coloca otro material adicional de 1/8 de pulgada degrueso entre el ladrillo de caoln aislante y el ladrillo de arcillarefractariacuyaconductividadtrmicaesK=0,0095BTUh1pie1F1Qugrosordeladrilloaislanteserequerir?

Dibuje el sistema descrito identificando cada una de laspartesyladireccindelflujodecalor.

Dibujeelcircuitoderesistenciastrmicasasociado. Escribatodaslassuposicionesdesumodelo.

Karcillarefractaria0,58BTUh1pie1F1;kdecaolnaislante0,15BTUh1pie1F1;Krefractariodecaoln0,050BTUh1pie1F1.5. Una casa tiene una paredcompuesta de interior a exteriorpor 3 cm de aislante (k=0,045W/mK), 10 cm de fibra de vidrio(k= 0,082W/mK) y 2 cm de yeso(k=0,17W/mK).En losdas fros,la temperaturadel interiorexcedea la exterior y la cada detemperatura a lo largo de lapared de yeso es de 2,5 C.Cunto calor se pierde a lo largodeunaparedde5mdeanchopor4metrosdealto?

6. La pared de un horno consta de 200 mm de un ladrillorefractario, 200 mm de ladrillo Siloce1 y 6 mm de chapa deacero.Lasuperficiedelrefractarioencontactoconelfuegoesta1150C,ylasuperficieexteriordelaceroesta30C.Unprecisobalancedecaloraplicadoalhornoindicaquelaperdidadecalordesdelaparedesde6300Wyelreadetransferenciadecaloresde 20m2. Se sabe que existen delgadas capas de aire entre lassuperficies del ladrillo y el acero que equivalen a otraresistenciatrmica.a. Construyaelcircuitoderesistenciastrmicasyescribatodaslassuposicionesdesumodelo.b. Cuntoeslaresistenciatrmicaadicionaldelaire?c. Calculelastemperaturasencadaladodelastresresistencias.Grafique el perfil de temperaturas en el interior de las tresresistenciasd. Cules laresistencia trmicamayor?Quporcentajede lacadadetemperaturatotalsedebesloaella?kladrillorefractario

(Wm1K1)kladrilloSiloce1

(Wm1K1)kacero

(Wm1K1)1,52 0,061 15

r1 r2

QYeso

FibradevidrioAislante

[15]

IV.TransferenciadecalorporConveccinHasta este punto solo hemos estudiado la transferencia decalor que se da a lo largo de uno o varios slidos. Unasituacin fsica que aparece con frecuencia es un fluido enmovimientosobreunasuperficieadiferentetemperatura.Enestecasolatransferenciadecalor,tendrlugargraciasaotromecanismo de transferencia que es conocido como laconveccin.ConsidereunfluidoquesedesplazaaunatemperaturaTyaunavelocidadUsobrelasadyacenciasdeunasuperficiequeseencuentraaunatemperaturauniformeTs.Elflujodecalorque tendr lugar, puede ser determinado mediante lasiguienteexpresin TThAQ S (4.1)Donde:h:Coeficientedetransferenciaconvectivo [W/m2K]Ts:Temperaturasuperficial [K]T:Temperaturaenelsenodelfluido [K]A:readetransferenciadecalorporconveccin [m2]Q:tasadetransferenciadecalorporconveccin [W]A esta ecuacin se le conoce como ley de enfriamiento deNewton y nos proporciona una relacin para determinar latasadetransferenciadecalorentreunasuperficieyunfluidoen movimiento que se encuentra a una temperaturadiferente.Aplicando el concepto de resistencia trmica a la etapa deconveccin,tenemoslasiguienteexpresin:

hA1

ThAT

QT

Rcv (4.2)

Esimportanteresaltarqueelcoeficientedetransferenciadecalor por conveccin (h), representa la capacidad delSISTEMA, a transferir calor con la superficie gracias a estemecanismo. Su determinacin es materia de sumaimportanciaenestetemayaquepuedetenerunanaturalezamsomenoscomplejadeacuerdoacadacasoenparticular.TeoradelacapalimiteCuando un fluido se mueve sobre una superficie que seencuentraadiferentetemperatura,seformaratodounperfildevelocidadesydetemperaturasobrelasuperficie.Elfluidoque est ms cerca de la superficie tendr una velocidadcercana a la de la superficie (Ux=0, si la superficie esta enreposo), y en la medida que se aleje de la superficie, lavelocidad separecermas a lade la corriente libre (U), laforma como varia la velocidad entre estos dos limitesconstituye lo que se conoce como la Capa limiteHidrodinmica(Fig.4.1).

Algo muy similar ocurre con la temperatura, el fluidoadyacente a la superficie tendr una temperatura cercana aestayenlamedidaquesealejesutemperaturaseacercaraaladelacorrientelibre(T),yelcomportamientodelperfildetemperaturas a lo largo del fluido se conoce como la capalimiteTrmica.

Figura4.1.Representacindelacapalimitehidrodinmica.

Las caractersticas de transferencia de calor a travs delmecanismo de conveccin, obedecer bsicamente alcomportamiento de estas dos capas limites, las cualesdependendelaspropiedadesdelfluidoquesemueveydelageometradelasuperficie.Las relaciones matemticas que regular el comportamientodeambascapaslimitessonpresentadasaprofundidadenelIncropera ymuchos otros librosde transferenciade calor einvolucran la resolucin de las ecuaciones de energa,conservacindelamasaycantidaddemovimiento.En este captulo vamosa estudiar algunasde las solucionespropuestas en la literatura para diferentes casos. Para ello,debemosintroducirlosnmerosadimensionalesqueregulanelproceso

termicadDifusivida

momentodDifusivida

kCp

andtlPr (4.3)

ascosVisFuerzas

inercialesFuerzasVLVLynoldsRe

(4.4)

erficialsupatemperaturdeGradientekfhL

Nusselt (4.5)

conduccionporCalor

conveccionporCalor

kshL

Biot (4.6)

ensionaldimaTiempoL

tFourier

2 (4.7)

Lassolucionesmatemticasa lateorade lacapa limite,confrecuencia se expresan en funcin de estos parmetros. Engeneral en el proceso de transferencia de calor porconveccin, elmovimientodel fluido sepuededargraciasafuerzas externas (conveccin forzada) o a fuerzas internas(conveccin natural o libre). Los casos que a continuacinmostraremossebasanensolucionesdeconveccinforzada.

x

TU

x

Flujoparaleloasuperficiesplanas

3/12/1

LL PrRe664.0Nu (4.8)5

L 10x2Re (propiedades evaluadas a la temperatura debultoT)

3/15/4LL PrRe360.0Nu (4.9)

6L 10x3Re (propiedades evaluadas a la temperatura de

bultoT)Flujolaminarinteriortubera

14.0s

3/13/13/1

D LD

PrRe86.1Nu

(4.10)

2300ReD , (propiedades evaluadas a la temperatura debultoT)FlujoturbulentointeriordetuberaDittusBoeltler

n8.0DD PrRe023.0Nu (4.11)

4

D 10Re L/D>10, 0.7