03- mec sol ii- flexao

8/17/2019 03- Mec Sol II- Flexao

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Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de Tecnologia

Faculdade de Engenharia Civil

Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/27Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

Mecânica dos Sólidos 02:

Conteúdo Programático:

1. Introdução à mecânica;

2. Tração, Compressão e Cisalhamento;

3. Flexão;

4. Cisalhamento em vigas;

5. Torção.


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Mecânica dos Sólidos 02:

Conteúdo Programático:

1. Introdução à mecânica;

2. Tração, Compressão e Cisalhamento;

3. Flexão;

4. Cisalhamento em vigas;

5. Torção.


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3. Flexão:

● Quando uma viga é solicitada por forças ou binários, verifica-se a formação da curva de

deflexão, ou seja, verifica-se o deslocamento do seu eixo inicialmente reto e o

desenvolvimento de tensões normais e de cisalhamento na seção transversal.

3.1. Introdução:

Nota 1: Neste estudo de flexão serão avaliadas

apenas as tensões e as deformações

associadas às forças cortantes e aos momentos

fletores.

Nota 2: As vigas analisadas, além de serem

consideradas simétricas ao plano xy , também

são solicitadas neste plano. Consequentemente

as deflexões ocorrem no plano xy , o qual é

denominado plano de flexão.


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M0 M0

M0

M0 M0

-M0 P

P P

-P

Pa

a a

3. Flexão:

● Tipos de flexão: Flexão pura e flexão simples ou não uniforme.

● Flexão pura: Este tipo de flexão acontece quando atuam apenas momentos

fletores nas diversas seções transversais da viga.

● Flexão simples: Diz-se que há flexão simples quando as seções da viga são

solicitadas simultaneamente por momentos fletores e forças cortantes.

3.1. Introdução:

Nota: Na flexão pura o momento fletor é constante ao longo do

eixo da viga e na flexão simples o momento é variável.

(a) (b) (c)


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q

dxx

ba

ds

O

d

A B

3. Flexão:

● A curvatura da curva de deflexão está diretamente relacionada

às tensões e deformações resultantes que se desenvolvem nas

vigas. Por definição, a curvatura é o inverso do raio de curvatura .

3.2. Curvatura de uma viga:

ds

d

k 1

Sob a condição de pequenas deflexões, têm-se:

dxds dxd

k

1

Nota: Verificou-se que tanto a curvatura como o raio de

curvatura são função de x . Por conseguinte, a posição do

centro de curvatura o também é função de x .


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3. Flexão:

● Convenção de sinal:

3.2. Curvatura de uma viga:

x

y

O

x

y

O

(+) (-)


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MO MO

d

m

n

p

q

O

dx

y

c

a

d

b

m p

a b

c d

n q

x

y

O

y

dx

3. Flexão:

3.3. Deformação longitudinal:

● Comprimento da fibra em ab :

d dx k

dx

d 1

● Comprimento da fibra em cd :

dx

yd ycd

dx y

dxcd

L L L 0

● Deformação da fibra em cd :

dx

dx / y

L

L x

0

k

y y

x

(a) Peça indeformada

(b) Peça deformada


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3. Flexão:

3.4. Tensão normal:

● Tensões normais na seção transversal:

x x E

y E

x

● A força que atua em dA :

dA y E

dAdF x

Nota: Como não há força normal atuando na seção,

00 A A

dA y E

dF

0 A

dA yNota: O momento estático em relação ao eixo

neutro é nulo, ou seja, o eixo neutro coincide

com o centro de gravidade da seção.

dA

y

y E

x

1ou


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3. Flexão:

3.5. Relação momento-curvatura:

ydA

y E dM ydF dM

0 M ydA

y E dM

A A

I dA y

:Sendo

dA y E

M

A A

22

0

I E M

0

I E

M

0

1k

dA

y

● O momento da força dF em relação ao eixo neutro:

Nota: Sendo I o momento de inércia da seção

transversal em relação ao eixo neutro.


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● A fórmula de flexão, ou seja, a relação entre a tensão normal e

o momento fletor, é definida através da análise da tensão e da

relação momento-curvatura, conforme segue:

3. Flexão:

3.6. Fórmula de flexão:

● Análise da tensão: y E x

1

● Relação momento-curvatura: I E

M

0

1k

I E

M y E

x 0 I

y M y x x 0

y

O

x+M0

(y)

C

Ty

O

x-M0

(y)

C

T

Nota: As tensões máximas ocorrem nos pontos (direção y ) mais

distantes da linha neutra. No eixo neutro as tensões são nulas (y=0 ).


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x z

y

c 2

c 1

y

O

(y)

1

2

+M0

3. Flexão:

3.7. Tensões em seções simétricas no plano y -z :

I

y M

y x x0

1

010

1 W

M

I

c M

2020

2 W

M

I

c M

22

11

c / I W c / I W

:Sendo

Nota 1: W é o módul o de r esis tênc ia , ou módu lo da s eção , ou módulo de r es is tênc ia à fl exão da

área da seção transversal.

Nota 2: Dada a dupla simetria da seção transversal, tem-se:1 =- 2 .


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3. Flexão:

3.8. Tensões em seções não simétricas no plano y -z :

z

y

c 2

c 1

x

y

O

+M0

1

2

(y)

I

y M y x x

0 1

010

1

W

M

I

c M

2

020

2

W

M

I

c M

22

11

c / I W

c / I W :Sendo

Nota: Dada a não simetria da seção transversal no plano y-z , tem-se: 1 - 2 .


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3. Flexão:

3.9. Hipóteses e limitações:

(a) Presumiu-se que o eixo da peça seja reto antes da aplicação das cargas externas;

(b) Admitiu-se que as seções transversais da peça permaneçam planas após a flexão;

(c) Supôs-se que as peças são constituídas de materiais com o mesmo módulo de

elasticidade à tração e à compressão;

(d) As análises apresentadas são para flexão pura em vigas prismáticas compostas de

materiais homogêneos e elásticos lineares;

(e) No caso de flexão simples, a força de cisalhamento causará a distorção da seçãotransversal (seção não permanece plana após a flexão), entretanto, é aceitável utilizar na

flexão simples a formulação de flexão pura;

(f) A fórmula de flexão não é valida em regiões sujeitas à concentrações de tensões.


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3.10. Exemplo 1: Aplicação didática● Um cabo de aço de diâmetro d é flexionado ao redor de um tambor cilíndrico de raio R 0 .

Sendo assim, determinar: (a) O momento fletor máximo m max e (b) A tensão de flexão

máxima max . Dado: d =4 mm, R 0 = 500 mm, E =200 GPa e p =1200 MPa (p =limite de

proporcionalidade).

(a) Cálculo do raio de curvatura:

20

d R

d

O

R0

(b) Cálculo do momento máximo:

I E

M

1

d , R

d E m M max

50640

4

mmkN mmax 5

(c) Cálculo da tensão máxima (y=d/2 ):

W

M

I

y M

644 / d I

:Sendo

4

642

d

/ d mmaxmax

pmax MPa 796

Nota: Não foi

considerado o sinal

da curvatura.


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qx

y

Ra

L

Rb

Pa

A B

z

y

h

b

3.11. Exemplo 2: Aplicação didática● Dada a viga apresentada na figura, determinar as tensões máximas de tração

T e compressão C devido à flexão. Dado: L=6700 mm, a =2740 mm, P =53 kN,

q =22 N/mm, b =222 mm e h =686 mm.

(a) Cálculo das reações de apoio:

L

a L P Lq Ra

2

L

a P Lq Rb

2

kN Ra 105

kN Rb 95

(b) Cálculo do momento fletor máximo:

2

2aq

a R M amax mkN M max 205


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3.11. Exemplo 2: Aplicação didática(c.1) Cálculo da tensão máxima (Opção 1):

I

y M

123 / hb I

:Sendo

3 122hb / h M maxT MPa ,T 811

3

122

hb

/ h M maxC MPa ,C 811

(c.2) Cálculo da tensão máxima (Opção 2):

W

M

62 / hb y / I W

:Sendo

MPa ,C T 811

x

y

O

C

T


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z

y

b

h t

qx

y

Ra

a

Rb

A Bb

C

3.12. Exemplo 3: Aplicação didática● Dada a viga apresentada na figura, determinar as tensões máximas de tração

T e compressão C devido à flexão. Dado: a =3,0 m, b =1,5 m, q =3,2 kN/m,

b =300 mm, h =80 mm e t =12 mm.

(a) Cálculo das reações de apoio:

0

20

2

baq

a R M b A

a

baq Rb

2

2

00 baq R R F ba y

kN , Rb 810

ba Rbaq R kN , Ra 63


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3.12. Exemplo 3: Aplicação didática(b) Cálculo do momento fletor máximo:

ba xa se a x R xq

x R

a x se xq

x R

x M

ba

a

2

02

2

2

2

2aqa Ra x M M amax

mkN , M max

63

maxmax x x M M 0 xQdx xdM 0 xq Ra q R

x x amax m , xmax 1251

2

2

maxmaxamax

xq x R M mkN , M max

02

q

Ra

a

Rb

A Bb

C

A B C

Mmax(+)

Mmax(-)


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Nota: Centróide ( plano x-y ):

3.12. Exemplo 3: Aplicação didática(c) Análise da seção transversal (centróide):

dA yS y

1

z

y

z

y

zb y 2

y 1

h

b

t

h

b

t

t bt ht

t ,ht b ,t ht ht y

2

50502

2 mm , y 5261

2

21

yh y mm , y 48181


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Nota: Teorema do eixo paralelo ( plano x-y ):

3.12. Exemplo 3: Aplicação didática(d) Análise da seção transversal (momento de inércia):

A y I I c , x x 2

z

y

z

y

y 2

y 1

h

b

t

h

b

t

c 1

c 2

bt c

t bt ht c

t ht I z

2

1

3

2

2

3

12122

2

2

22

11

/ t h yc

/ t yc

:Sendo

4610472 mm , I z


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22/27




z

y y

xMmax

(+)max,C

max,T y

2

y 1

W M

I y M

z

maxC max,

I

y M 1

z

maxT max,

I

y M 2

3.12. Exemplo 3: Aplicação didática(f) Cálculo da tensão máxima devido ao momento máximo positivo:

MPaC max, 15

MPaT max, 50


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3.12. Exemplo 3: Aplicação didática(g) Análise das tensões:

max M

MPaT max, 27

MPa ,C max, 789

max M

MPaC max, 15

MPaT max, 50

y

xMmax

(-)max,T

max,C y

2

y 1

y

x

Mmax(+)

max,C

max,T

y 2

y 1

U i id d F d l d P á UFPA


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x x x

3. Flexão:

● Conforme dito, a teoria de flexão foi desenvolvida para vigas prismáticas (seção

transversal constante ao longo do eixo). Entretanto, esta teoria também pode ser aplicada

com relativa precisão às vigas não prismáticas, desde que a seção transversal destas

vigas varie gradualmente, como segue:

3.13. Flexão em vigas não prismáticas:

● A tensão devido à flexão para uma viga não prismática é dada por:

y , xW

M

x I

y M y , x x x

y

x I y , xW

:Sendo

Nota: Em uma viga não prismática não é

possível afirmar que a tensão máxima

ocorre na seção de momento máximo.



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L

P

x

y

d a d

b

3.14. Exemplo 4: Aplicação didática● Apresentada a viga da figura, determinar: (a) A tensão de flexão na seção engastada σ e

e (b) A tensão máxima de flexão σ max . Dado: P =10 kN, L=2 m, d a =150 mm e d b =d a ∙2

(variação linear).

(a) Tensão de flexão na seção engastada σ e :

4

2

64

b

be

L x

L x

ed

d L P I

y M

64

2

2

4 / d I

/ d y

L P M

d d

:Sendo

b L x

b

L x

ab

MPa ,e 5457



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L

P

x

y

d a d

b

0,8

1,8

2,83,8

4,8

5,8

6,8

7,8

8,8

9,8

0 500 1000 1500 2000

x (mm)

σ m

a x ( M P a )

3.14. Exemplo 4: Aplicação didática(b) Tensão máxima de flexão σ max :

x

x x

xmax I

y M

L

xd d L

xd d d d

/ d I

/ d y

x P M d d

:Sendo

a xaba x

x x

x x

x

ab

1

64

2

2

4

3

31

32

L

xd

x P

a

xmax



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Prof : Bernardo Moraes Neto 27/27Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

L

P

x

y

d a d

b

0,8

1,8

2,83,8

4,8

5,8

6,8

7,8

8,8

9,8

0 500 1000 1500 2000

x (mm)

σ m

a x ( M P a )

3.14. Exemplo 4: Aplicação didática(b) Tensão máxima de flexão σ max :

3

31

32

L

xd

x P

a

xmax

0

dx

d xmax

0

1

323

1

32

4

3

3

3

L xd L

x P

L xd

P

aa

2

L x MPa , / L xmax 94282

03- mec sol ii- flexao

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