02_analisi_modale_sperimentale

Politecnico di TorinoDipartimento di Ingegneria Aeronautica e Spaziale

Analisi modale sperimentale

Dinamica delle Strutture AerospazialiAnalisi modale sperimentale

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L’analisi modale sperimentale permette di creare un modello matematico, rappresentativo del comportamento dinamico della struttura.

Durante la prova vengono misurati spostamenti/velocità/accelerazioni (a seconda del trasduttore) in uno o più punti della struttura.

I dati misurati vengono quindi elaborati con opportuni algoritmi per estrarre i “parametri modali” della struttura in esame:

• FREQUENZE NATURALI

• FORME MODALI

• SMORZAMENTO MODALE

Tali parametri rappresentano gli elementi con cui viene costruito il modello matematico della struttura.


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Payload structural design and analysis process

NSTS 07700, Volume XIV“Space Shuttle System Payload

Accommodations”

Appendix 4“System Description and Design Data –

Structures and Mechanics”


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Aircraft Ground Vibration TestsCourtesy of LMS International


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Courtesy of LMS International


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L’analisi modale sperimentale può essere suddivisa in tre fasi principali:

1. SET UP

2. Acquisizione delle FRF

3. Elaborazione delle FRF per estrarre i parametri modali (System Identification)


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Le applicazioni principali dell’analisi modale sperimentale, sono:

1. Fornire le informazioni di riferimento per la validazione del modello FE della struttura

2. Prove per la qualifica della struttura o dei componenti

3. Identificazione del danno

4. Controllo attivo delle vibrazioni e del rumore

5. Caratterizzazione del materiale


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ESEMPIO DI CATENA DI MISURA PER “EMA”


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Shaker Hammer TEST

• Sine swept

• Stepped sine

• Random

Eccitazione impusiva ideale ad ampio spettro


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Eccitatori fissi

- prove a bassa frequenza ( 0-20 Hz ) �

ampi spostamenti � eccitatori idraulici

- Eccitatori elettromagnetici piùtrasportabili ( shaker )

- Amplificatore di potenza fondamentale per ottenere una funzione di risposta in frequenza piatta dello shaker

- Possono fornire una storia temporale desiderata come eccitazione: sinusoidale, random, periodica, transiente, ecc.


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Martello strumentato

Vantaggio: nulla è connesso direttamente alla struttura in prova

Svantaggio: l’energia di eccitazione è concentrata in pochi istanti � attenzione alle non linearità


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Eccitazione dovuta la martello strumentato

Impulso di breve durata: estremità del martello ed oggetto in prova duri, martello leggero, forza di lieve entità


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Gli accelerometri più comunemente utilizzati sono di tipo piezoelettrico. In tali dispositivi l’elemento sensibile alla vibrazione è un cristallo di materiale piezoelettrico che, deformandosi sollecitato da forze meccaniche, genera un segnale elettrico proporzionale alla deformazione subita (e viceversa).Nella maggior parte degli accelerometri, il principio di funzionamento è il medesimo: si basa sulla rilevazione dell'inerzia di una massa quando viene sottoposta ad una accelerazione.La massa viene sospesa ad un elemento piezoelettrico. In presenza di un'accelerazione, la massa (che è dotata di una propria inerzia) si sposta dalla propria posizione di riposo in modo proporzionale all'accelerazione rilevata. Il piezoelettrico trasforma questo spostamento in un segnale elettrico acquisibile dai moderni sistemi di misura.

Accelerometri piezoelettrici

STRUTTURA

MASSA SISMICA

PIEZO

FORZA DI INERZIA


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Alcuni materiali, come il quarzo, sono per natura già piezoelettrici e vengono quindi comunemente usati negli accelerometri.

In altri materiali, come le ceramiche policristalline, le proprietà piezoelettriche sono generate in modo artificiale.Per esempio, il titanato-zirconato di piombo (Pzt), viene “polarizzato”, cioèsottoposto a un elevato potenziale elettrico ad alte temperature per allineare tutti i dipoli elettrici lungo l’asse di polarizzazione.

In generale, sia il quarzo sia il Pzt, sono usati nella produzione degli accelerometri.


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Il quarzo esibisce una migliore stabilità in temperatura e nessun effetto di invecchiamento, risultando quindi estremamente stabile nel tempo. I sensori in quarzo hanno un’elevata sensibilità in tensione e richiedono degli amplificatori per condizionare il segnale che consentono la misura di elevati livelli di vibrazione.

Il Pzt presenta un naturale decadimento del segnale di uscita nel tempo. Per questo motivo questo materiale subisce durante la produzione un processo artificiale d’invecchiamento allo scopo di stabilizzarlo.I sensori in Pzt hanno però un’elevata uscita in carica e un’alta capacità, che in abbinamento agli amplificatori di carica, intrinsecamente meno rumorosi dei sopracitati amplificatori di tensione, consentono la misura di livelli di segnale più bassi.


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Gli accelerometri industriali sono prodotti in tre diverse configurazioni strutturali: • a flessione • a compressione • a taglioTutte le configurazioni includono i componenti base del sensore,cioè l’elemento piezoelettrico, la massa sismica, la base e la custodia.

a flessione a compressione a taglio


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ACCELEROMETRI CON ELETTRONICA INTEGRATA


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The usable frequency response is the flat area of the frequency response curve and extends to approximately 1/3 to 1/2 of the natural frequency. The definition of flat also needs to be qualified and is done so by quoting the roll off of the curve in either percentage terms (typically 5% or 10%) or in dB terms (typically +/- 3db).


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Piezoelectric Force SensorsIn modo analogo agli accelerometri si possono realizzare celle di carico piezo-elettriche.Questo tipo di sensori è molto indicato per misurare forza variabili nel tempo

Quando una forza è applicata a questo sensore, il cristallo di quarzo accumula una carica elettrica proporzionale alla forza applicata. Gli elettrodi che rivestono il cristallo trasferiscono il segnale al sistema elettronico di misura.


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Si consideri una piastra libera eccitata da un segnale sinusoidale ad ampiezza fissa ma frequenza variabile.La risposta in uno o più punti della piastra viene misurata da un sensore (accelerometro).

Due esperimenti “VIRTUALI”


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Time

Accelerometer signal in the time domain

Accelerometer signal in the frequency domain (FFT)

L’ampiezza dell’oscillazione misurata dal sensore non èconstante al variare della frequenza della forzante!


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I picchi nella risposa misurata dal sensore si hanno in prossimitàdelle frequenze naturali della struttura in esame.


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Un altro esempio: trave incastrata


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Shaker Hammer


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Come accennato normalmente durante le prove dinamiche per l’analisi modale sperimentale si “misura” la FRF

HHff((tt))

FF((ωω))yy((tt))

YY((ωω))

InputInput SystemSystem OutputOutput

( )( )

( )i

ijj

YH

F

ωωω

=


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)()(

)()(

)()(

)()(

ωω

ωω

ωω

ωω

FYS

YFS

FFS

YYS

yf

fy

ff

yy

=

=

=

=

1

2

2 1

2

yf

ff

yy

fy

yf fy

yy ff

SH

S

SH

S

S S H

S S Hγ

=

=

= =

AUTO POWER SPECTRUM

CROSS POWER SPECTRUM

H1 FRF EXTIMATOR

COHERENCE

H2 FRF EXTIMATOR


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Hammer tip too soft: bad excitation at high frequency

“Good measure”: for an hammer test a decay of < 10db max over the frequency range is acceptable

• Autospettri e cross spettri vengono di solito mediati per ridurre l’effetto del noise.

• È possibile dimostrare che lo stimatore H1 minimizza l’errore sulla FRF dovuto al noise sul segnale di uscita mentre H2 quello sul segnale in ingresso.

• La funzione di coerenza è un indicatore della qualità della misura


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21321 HHHS

SH

S

SH

fy

yy

ff

yf ===


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L’identificazione dei sistemi è una disciplina che raccoglie una serie di strumenti di Digital Signal Processing, che permettono di ricavare il modello matematico di un sistema elaborando la risposta misurata.

Nel caso dell’analisi modale sperimentale, l’obbiettivo è quello di definire un modello matematico in termini di parametri modali.

Normalmente il modello matematico è rappresentato in termini di funzione di risposta all’impulso (IRF) se si opera nel dominio del tempo o dalla corrispondente funzione nel dominio delle frequenze, rappresenta dalla Funzione di Risposta in Frequenza (FRF).

Identificazione dei sistemi


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, /k l iφ Rappresentano rispettivamente le componenti, l e i della k-esima forma modale

La FRF di un sistema a N gradi di libertà può essere espressa, mediante il principio di sovrapposizione modale, nella forma:

( ), ,

, 21 i

Nk l k il

l iki k k k

GH

F m c k

φ φω ω=

= =− + +∑

2

k

k

k k k

k

k

k

c

m

ω

ω ζ

ζ

=

Pulsazione Naturale

Smorzamento Modale

Rigidezza Modale

Massa modale

Fattore di Smorzamento Modale


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( ) ( )2 2 2i 2k k k k k k km c k m jω ω ω ζ ω ω ω− + + = + − =

( )( )*k kj jω λ ω λ− −

L’espressione a denominatore della FRF è un polinomio di secondo grado a coefficienti complessi. Tale polinomio ammette due radici complesse-coniugate e può essere scomposto come:

Le radici del denominatore λk e λ*k , prendono il nome di POLI del sistema:

21k k k k kjλ ζ ω ω ζ= − + −


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La FRF può essere scomposta come somma di fratti semplici:

,li k lk ikA aφ φ=* * *

,li k lk ikA aφ φ=

( ) ( ) ( )*

, , , ,, 2 *

1 1i

N Nk l k i li k li kl

l ik ki kk k k k

A AGH

F jm c k j

φ φω λω ω ω λ= =

= = = + −− + + −

∑ ∑

RESIDUI MODALI

Il coefficiente a è un numero complesso che dipende dalla normalizzazione delle forme modali


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Una analoga rappresentazione si può ottenere per la funzione di risposta all’impulso:

( )**, ,

1

( ) k k

Nt t

li lj k lj kk

h t A e A eλ λ

=

= +∑

Queste rappresentazioni della FRF e della IRF sono tipiche delle tecniche di identificazione, mediante le quali vengono stimati i parametri del modello matematico in termini di poli e residui modali, da cui è possibile poi derivare le frequenze proprie, lo smorzamento modale e le forme modali.


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Classificazione delle tecniche di identificazione

Le tecniche di identificazione vengono classificate in base al tipo di modello matematico che utilizzano (IRF o FRF) e in base al numero di gradi di libertàeccitati e/o misurati.


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Richiami sulla FRF di un sistema a un grado di libertà

)1(

1

)(

1

)(

)()(

22 ηβωωωω

ikidmkF

XH

+−=

+−==

La funzione di risposta in frequenza di un sistema a un grado di libertà è data da:

SMORZAMENTO ISTERETICO

k

dn

=

=

η

ωωβ


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L’energia dissipata in un ciclo di oscillazione è data da:

dXdttxtxdEd2

2

0

)()( π=⋅⋅= ∫ωπ

ηωπ=π= kFHdXEMAXMAXdMAX

222 )(

In risonanza:


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Per quale valore di ω sia ha che l’energia dissipata è metà di quella massima?

ηω

π== kFHE

E MAXdMAXd

2

2

2,1 2

)(

2

2

)()(

2,1MAX

HH

ω=ω

Dall’espressione di H(ω) si ricava lo smorzamento:

( )( )2

21212

2

21

22

22 nn ωω+ωω−ω=

ωω−ω=η


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Se lo smorzamento è piccolo si può assumere che:

212 ω+ω=ωn

12

1212 2ω+ωω−ω=

ωω−ω=η

n

Nell’intorno della risonanza si può assumere che η=2ζ (smorzamento viscoso).

N.B. sul diagramma logaritmico delle FRF i punti “ a mezza potenza” si trovano 3 dB più in basso rispetto al picco.


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Peak picking

Il PEAK PICKING è una tecnica Single Input Single Output che permette di fare una stima “locale” della frequenza naturale e dello smorzamento.

2 1

2 r

ω ωζω−=

1. Si individuano i diversi picchi di risonanza.

2. Per ognuno si valuta il valore massimo della risposta Hmax e l’ampiezza di banda in cui la risposta èpari a Hmax/

3. Si stima lo smorzamento mediante la relazione:

2

Hmax

Per sistemi a più gradi di libertà di ipotizza che il comportamento in risonanza sia dominato da un solo modo.

212 ω+ω=ωn

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