01 metodo de eliminacion gaussiana y pivoteo

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA

SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

GAUSSIANA Y PIVOTEO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Eliminación Gaussiana y Pivoteo.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES.

Los sistemas lineales de ecuaciones se presentan en muchos problemas de ingeniería

y de ciencia, así como en las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias sociales y al

estudio cuantitativo de problemas de comercio y de economía.

En este capítulo se considerarán las técnicas directas para resolver el sistema lineal

E1: 11212111 ... bxaxaxa nn (2.1a)

E2: 22222121 ... bxaxaxa nn (2.1b)

En: nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.1n)

para nxxx ...,,, 21 , dadas las ija para cada nji ...,,2,1, , y las ib para cada ni ...,,2,1 . Los

ija son coeficientes, los ix son las incógnitas y los ib son términos conocidos llamados

términos libres o independientes. Cuando al menos uno de los términos libres de la

ecuación (2.1) es distinto de cero, se dice que el conjunto es no homogéneo.

Las técnicas directas son métodos que proporcionan una respuesta en un número fijo de

pasos, sujeta solamente a errores de redondeo.

Para representar al sistema lineal puede usarse una matriz de n por (n+1).

11212111 ... bxaxaxa nn (2.2a)

22222121 ... bxaxaxa nn (2.2b)

nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.2n)

construyendo primero

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

y

nb

b

b

b2

1

y luego combinando estas matrices para formar la matriz aumentada.



nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

bA

2

1

21

22221

11211

],[ (2.3)

donde se usa la línea para separar los coeficientes de las incógnitas de los valores del lado

derecho de las ecuaciones.

2.2.- MÉTODO GRÁFICO.

Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas

cartesianas con un eje que corresponda a 1x y el otro a 2x . Debido a que en estos sistemas

lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cual se ilustra fácilmente

mediante las ecuaciones generales

1212111 bxaxa (2.4a)

2222121 bxaxa (2.4b)

En ambas ecuaciones se puede despejar 2x :

12

11

12

112

a

bx

a

ax

(2.5a)

22

21

22

212

a

bx

a

ax

(2.5b)

De esta manera, las ecuaciones ahora están la forma de líneas rectas; es decir,

)ónintersecci()pendiente( 12 xx . Tales líneas se grafican en coordenadas cartesianas con

2x como la ordenada y 1x como la abcisa. Los valores de 1x y 1x en la intersección de las

líneas representa la solución.

Ejemplo 2.1.

Con el método gráfico resuelva

1823 21 xx

22 21 xx

Solución.



Se despeja 2x de ambas ecuaciones:

123

2 9 xx

121

2 1 xx

La gráfica de ambas funciones se encuentra a continuación:

Figura 2.1 Solución gráfica del sistema 1823 21 xx , 22 21 xx .

La solución del sistema es:

41 x , 32 x

Ejercicios propuestos.

1. Utilice el método gráfico; resuelva

1862 21 xx

408 21 xx

Compruebe los resultados al sustituirlos de nuevo en las ecuaciones.

2. Dado el sistema de ecuaciones

25.1477.0 21 xx

207.12.1 21 xx

a) Resuelva gráficamente.

b) Considerando la solución gráfica, ¿qué espera acerca de la condición del sistema?

3. Dadas las ecuaciones

5.95.0 21 xx



7.45.026.0 21 xx

Resuelva gráficamente.

2.3.- ELIMINACIÓN GAUSSIANA Y SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS.

Matriz triangular. Definición.

Una matriz triangular superior U de nn tiene para cada j, los elementos

0iju para cada njji ...,,2,1 (2.6)

y una matriz triangular inferior L tiene para cada j, los elementos

0ijl para cada 1...,,2,1 ji (2.7)

Una matriz diagonal es a la vez triangular superior e inferior.

Método de eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás.

La eliminación de Gauss se aplica sólo al caso de los conjuntos no homogéneos de

ecuaciones.

El procedimiento general de eliminación Gaussiana aplicado al sistema

E1: 11212111 ... bxaxaxa nn (2.1a)

E2: 22222121 ... bxaxaxa nn (2.1b)

En: nnnnnn bxaxaxa ...2211 (2.1n)

se maneja de la manera siguiente:

Formamos la matriz aumentada A~

1,

1,2

1,1

21

22221

11211

],[~

nn

n

n

nnnn

n

n

a

a

a

aaa

aaa

aaa

bAA

(2.8)

donde A denota la matriz formada por los coeficientes y los elementos en la (n+1) columna

son los valores de b, es decir, ini ba 1, para cada ni ...,,2,1 .

Siempre y cuando 011 a , se efectúan las operaciones correspondientes a

)(11

1

ia

a

jj EEE j para cada nj ...,,3,2 para eliminar el coeficiente ix en cada uno de



estos renglones. Aun cuando se espera que los elementos en los renglones 2, 3, …, n

cambien, para facilitar la notación, denotaremos nuevamente al elementos en el i-ésimo

renglón y en la j-ésima columna por ija . Con esto en mente, seguiremos un procedimiento

secuencial para 1...,,3,2 ni y realizamos las operaciones )( ia

a

jj EEEii

ji para cada

niij ...,,2,1 , siempre que 0iia . Esto eliminará (es decir, cambiará el coeficiente a

cero) ix en cada renglón abajo del i-ésimo para todos los valores de 1...,,2,1 ni . La

matriz resultante tendrá la forma:

1,

1,2

1,1

222

11211

00

0~~

nn

n

n

nn

n

n

a

a

a

a

aa

aaa

A

(2.9)

Donde, como se mencionó arriba, no se espera que los valores de ija coincidan con los de

la matriz original A~

. Esta matriz representa un sistema lineal con el mismo conjunto de

soluciones que el sistema original. Como el sistema equivalente es triangular:

1,11212111 ... nnn axaxaxa (2.10a)

1,22222 ... nnn axaxa (2.10b)

1, nnnnn axa (2.10n)

se puede realizar la sustitución hacia atrás:

nn

nn

na

ax

1, (2.11)

Resolviendo la ecuación (n–1) para 1nx y usando nx , obtenemos:

1,1

,11,1

1

nn

nnnnn

na

xaax (2.12)

y continuando con este proceso llegamos a que

ii

iiinninnini

ia

xaxaxaax

11,11,,1, ... (2.13)



ii

n

ij

jijni

ia

xaa

x

1

1,

para cada 1,2...,2,1 nni (2.14)

Los términos principales de cada una de las ecuaciones (2.10) recibe el nombre de

pivotes. Se podría normalizar cada una de las ecuaciones, dividiendo entre el coeficiente

principal, pero esto no se utiliza en la eliminación de Gauss; la razón fundamental es que la

normalización de las ecuaciones aumentará el tiempo total de cálculo.

Algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás.

Para resolver el sistema lineal de nn .

E1: 1,11212111 ... nnn axaxaxa

E2: 1,22222121 ... nnn axaxaxa

En: 1,2211 ... nnnnnnn axaxaxa

ENTRADA número de incógnitas y de ecuaciones n; matriz aumentada )( jiaA donde

ni 1 y 11 nj .

SALIDA solución 1x , 2x ,…, nx o mensaje de que el sistema lineal no tiene solución

única.

Paso 1 Para 1,,1 ni seguir los pasos 2 – 4. (Proceso de eliminación)

Paso 2 Sea p el menor entero con npi y 0ipa .

Si p no puede encontrarse

Entonces SALIDA (“No existe solución única”);.

PARAR

Paso 3 Si ip entonces efectuar )()( ip EE .

Paso 4 Para nij ,,1 seguir los pasos 5 y 6.

Paso 5 Tomar ii

ij

ija

am

Paso 6 Efectuar )()( jiijj EEmE .



Paso 7 Si 0nna entonces SALIDA (“No existe solución única”).

PARAR.

Paso 8 Tomar nn

nn

na

ax

1, . (Empieza la sustitución hacia atrás).

Paso 9 Para 1,,1 ni tomar ii

n

ij

jjini

ia

xaa

x

1

1,

Paso 10 SALIDA ( 1x , …, nx ); (Procedimiento completado satisfactoriamente)

PARAR.

Ejemplo 2.2.

[CC] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución

hacia atrás.

24 321 xxx

425 321 xxx

66 321 xxx

Solución.

Matriz de coeficientes ampliada.

6

4

2

116

215

114

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Siendo que )0(411 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y

31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo

cual se definen las siguientes operaciones:

Renglón 2: 145

22 EEE , de donde: 122 25.1 EEE

Obsérvese que la fracción que multiplica al renglón que contiene al pivote ( 45 ), tiene como

numerador el elemento que se debe convertir en cero (5), y como denominador el valor

correspondiente a la misma columna del pivote (4).



Renglón 3: 146


Obsérvese que la fracción que multiplica al renglón que contiene al pivote (46 ), tiene como

numerador el elemento que se debe convertir en cero (6), y como denominador el valor

correspondiente a la misma columna del pivote (4).

Las operaciones están indicadas a continuación:

)2(5.16

)2(25.14

2

)1(5.11)1(5.11)4(5.16

)1(25.12)1(25.11)4(25.15

114

Y obtenemos:

9

5.6

2

5.25.00

25.325.00

114

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Siendo que )0(25.022 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,

utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón, para lo cual

se define la siguiente operación:

Renglón 3: 225.05.0

33 EEE , de donde: 233 2 EEE


)5.6(29

5.6

2

)25.3(25.2)25.0(25.00

25.325.00

114

Y obtenemos:

4

5.6

2

400

25.325.00

114

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa

Sistema equivalente:

24 321 xxx (1)

5.625.325.0 32 xx (2)



44 3 x (3)

Sustitución hacia atrás:

De la ecuación (3):

4

43

x

13 x


25.0

)1(25.35.6

25.0

25.35.6 32

xx

132 x


4

)1()13(2

4

2 321

xxx

31 x

La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss es:

31 x , 132 x y 13 x .

Hasta ahora hemos resuelto ejercicios en los cuales no es necesario truncar o

aproximar los valores resultantes de las operaciones algebraicas, dado que no han aparecido

números con decimales periódicos o infinitos decimales. En los ejemplos siguientes

mostraremos cómo operar las matrices y la aplicación del método de eliminación Gaussiana

con sustitución hacia atrás cuando se debe utilizar una cantidad preestablecida de decimales

utilizando aproximación, e incluso, cuando los coeficientes son decimales en apariencia

exactos, pero requieren aproximarse para aplicar la solución numérica.

Ejemplo 2.3.

[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con aritmética de

redondeo a cuatro dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x y 53 x .

523 321 xxx

4321 xxx



7342 321 xxx

Solución.


000.7

000.4

000.5

000.3000.4000.2

000.1000.1000.1

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Siendo que )0(000.311 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a

y 31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo


Renglón 2: 1000.3000.1


Renglón 3: 1000.3000.2



)000.5(667.0000.7

)000.5(333.0000.4

000.5

)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2

)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1

000.1000.2000.3

Y obtenemos:

34.10

665.5

000.5

667.3666.2001.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa




Renglón 3: 2334.0666.2





)665.5(982.734.10

665.5

000.5

)333.1(982.7667.3)334.0(982.7666.2)001.0(982.7001.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

Y obtenemos:

88.34

665.5

000.5

973.6000.0009.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)

665.5333.1334.0 32 xx (2)

88.34973.6 3 x (3)



973.6

88.343

x

002.53 x


334.0

668.6665.5

334.0

)002.5(333.1665.5

334.0

333.1665.5 32

xx

003.32 x


3

008.6

3

002.5006.65

3

)002.5()003.3(25

3

25 321

xxx

003.21 x

La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss con

aritmética de redondeo a cuatro dígitos es:

003.21 x , 003.32 x y 002.53 x .



Ejemplo 2.4.

[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con aritmética

cortando a cuatro dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x y 53 x .

523 321 xxx

4321 xxx

7342 321 xxx

Solución.


000.7

000.4

000.5

000.3000.4000.2

000.1000.1000.1

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Siendo que )0(000.311 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a

y 31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo


Renglón 2: 1000.3000.1


Renglón 3: 1000.3000.2



)000.5(666.0000.7

)000.5(333.0000.4

000.5

)000.1(666.0000.3)000.2(666.0000.4)000.3(666.0000.2

)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1

000.1000.2000.3

Y obtenemos:

33.10

665.5

000.5

666.3668.2002.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa






Renglón 3: 2334.0668.2



)665.5(988.733.10

665.5

000.5

)333.1(988.7666.3)334.0(988.7668.2)001.0(988.7002.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

Y obtenemos:

92.34

665.5

000.5

982.6000.0006.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)

665.5333.1334.0 32 xx (2)

92.34982.6 3 x (3)



982.6

92.343

x

001.53 x


334.0

666.6665.5

334.0

)001.5(333.1665.5

334.0

333.1665.5 32

xx

997.22 x




000.3

001.5994.5000.5

000.3

)001.5()997.2(000.2000.5

000.3

000.1000.2000.5 321

xxx

998.11 x


aritmética cortando a cuatro dígitos es:

998.11 x , 997.22 x y 001.53 x .

Ejemplo 2.5.

[WM] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación Gaussiana con

aritmética de redondeo a 4 dígitos. La solución exacta del sistema es 21 x , 32 x ,

13 x y 54 x .

13243 4321 xxxx

38642 4321 xxxx

13685 4321 xxxx

24232 4321 xxxx

Solución.


00.24

00.13

00.38

000.1

000.2000.1000.3000.2

000.1000.6000.8000.5

000.6000.4000.2000.1

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1000.3000.1


1000.3000.5


1000.3000.2




33.23

67.14

33.38

000.1

001.4334.2332.0000.0

001.4334.967.14000.0

001.5334.3332.3000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

2332.367.14

33 EEE , 233 403.4 EEE

2332.3332.0

44 EEE , 244 100.0 EEE

50.19

1.154

33.38

000.1

501.3001.2000.0000.0

02.2601.24000.0000.0

001.5334.3332.3000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

3452.5548.2

44 EEE

, 344 467.0 EEE

710.6

1.154

33.38

000.1

341.1000.0000.0000.0

02.2601.24000.0000.0

001.5334.3332.3000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

a

a

a

a

aa

aaa

aaaa


000.1000.3000.2000.4000.3 4321 xxxx (1)

33.38001.5334.3332.3 432 xxx (2)

1.15402.2601.24 43 xx (3)

710.6341.1 4 x (4)



341.1

710.64

x

004.54 x


995.001.24

2.1301.154

01.24

)004.5(02.261.154

01.24

02.261.154 43

xx



995.03 x


332.3

03.25317.333.38

332.3

)004.5(001.5)995.0(334.333.38

332.3

001.5334.333.38 432

xxx

996.22 x


000.5

)004.5(000.3)995.0(000.2)996.2(000.4000.1

000.3

000.3000.2000.4000.1 4321

xxxx

007.2000.3

022.6

000.3

012.15990.198.11000.11

x

007.21 x


aritmética de redondeo a cuatro dígitos es:

007.21 x , 996.22 x , 995.03 x y 004.54 x .

Solución exacta del sistema de ecuaciones mediante la calculadora.

CASIO fx-570ES PLUS.

Este modelo de calculadora dispone de la opción para resolver solamente sistemas

de dos ecuaciones con dos incógnitas y de tres ecuaciones con tres incógnitas. En este

sentido conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener la

solución del sistema.

El procedimiento es el siguiente:

Encender la calculadora presionando la tecla ON.

Presionar la tecla MODE. La calculadora muestra el siguiente menú en el display:

1: COMP 2: CMPLX

3: STAT 4: BASE-N

5: EQN 6: MATRIX

7: TABLE 8: VECTOR

Elegir la opción 5: EQN. El display muestra:

1: nnn cybxa



2: nnnn dzcybxa

3: 02 cxbxa

4: 023 dxcxbxa

Elegir la opción 2. Esta opción corresponde a un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas, mientras que la opción 1 corresponde a un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas, mientras que las opciones 3 y 4 son las que permiten la solución de ecuaciones

de segundo y tercer grado respectivamente. El display muestra:

R Math

a B C

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

0

Ingresar la matriz de coeficientes ampliada del sistema de ecuaciones, la secuencia de teclas

es:

4 , = , 1 , = , (–) , 1 , = , (–) , 2 , = , 5 , = , 1 , = , 2 , = , 4 , = , 6 , = , 1 , = , 1 , = , 6 , =

El display muestra:

R Math

b C D

1 1 –1 –2

2 1 2 4

3 1 1 6

6

Al presionar la tecla = obtenemos el valor de la primera variable, la cual es reportada en el

display de la calculadora como se muestra a continuación:

x R Math

3

Al presionar la tecla = nuevamente, se obtiene el valor de la segunda variable. En el display

podemos observar:

y R Math

–13

Finalmente, al presionar la tecla =, obtendremos el valor de la tercera variable.

z R Math



1

La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando la calculadora es:

31 x , 132 x y 13 x .

Para volver la calculadora a su estado fundamental, presionar las teclas MODE 1.

Pivoteo.

Ocurren problemas obvios cuando un elemento pivote es cero, ya que el paso de

normalización origina una división entre cero. También llegan a surgir problemas cuando el

elemento pivote es cercano a – o más aún que sea exactamente igual a – cero, debido a que

si la magnitud del elemento pivote es pequeña comparada con los otros elementos, entonces

se pueden introducir errores de redondeo.

Las estrategias de pivoteo se llevan a cabo en general seleccionando un nuevo

elemento como pivote )(

,

k

qpa intercambiando los renglones k y p, e intercambiando las

columnas k y q, si es necesario.

Además de evitar la división entre cero, el pivoteo también minimiza el error de

redondeo. Como tal, sirve también para resolver parcialmente el mal condicionamiento.

Pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna.

Antes de normalizar cada renglón, resulta conveniente determinar el coeficiente más

grande disponible en la columna debajo del elemento pivote. Los renglones se pueden

intercambiar de manera que el elemento más grande sea el elemento pivote; esto se conoce

como pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna y es la estrategia más simple, la cual

consiste en seleccionar el elemento en la misma columna que está debajo de la diagonal y

que tiene el mayor valor absoluto; es decir, se determina p tal que

)(

,

)(

, max k

kinik

k

kp aa

y se efectúa pk EE . En este caso se considera un intercambio de columna.

Ejemplo 2.6.

Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución hacia

atrás.



032 32 xx

62 321 xxx

027 321 xxx

Solución.


0

6

0

217

112

320

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Siendo que 011 a (elemento pivote), se debe hacer pivoteo parcial mediante el

intercambio de renglones. Se reemplaza el renglón 2 por el renglón 1.

0

0

6

217

320

112

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Siendo que )0(211 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y

31a , utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón.

Obsérvese que en la posición de 21a ya está presente un cero, por lo cual sólo es necesario

crear el cero en la posición correspondiente a 31a , para lo cual se define la siguiente

operación:

Renglón 3: 127

33 EEE , lo cual implica 133 5.3 EEE


)6(5.30

0

6

)1(5.32)1(5.31)2(5.37

320

112

Y obtenemos:

21

0

6

5.55.20

320

112

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa



Siendo que )0(222 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 32a ,



Renglón 3: 225.2

33 EEE , lo cual implica 233 25.1 EEE


)0(25.121

0

6

)3(25.15.5)2(25.15.2)0(25.10

320

112

Y obtenemos:

21

0

6

75.100

320

112

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


62 321 xxx (1)

032 32 xx (2)

2175.1 3 x (3)



75.1

213

x

123 x


2

)12(3

2

3 32

xx

182 x


2

)12()18(6

2

6 321

xxx



61 x


61 x , 182 x y 123 x .

Ejemplo 2.7.

Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución hacia

atrás.

02 321 xxx

452 321 xxx

023 21 xx

Solución.


0

4

0

023

512

112

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

)0(211 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a y 31a , utilizando

11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo cual se definen

las siguientes operaciones:

Renglón 2: 122

22 EEE , lo cual implica 122 EEE

Renglón 3: 123

33 EEE , lo cual implica: 133 5.1 EEE


)0(5.10

)0(4

0

)1(5.10)1(5.12)2(5.13

)1(5)1(1)2(2

112

Y obtenemos:

0

4

0

5.15.00

400

112

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa



022 a . No se debe tomar 22a como elemento pivote para crear el cero en la posición 32a .

Se aplica pivoteo parcial mediante el intercambio de renglones:

23 EE


4

0

0

400

5.15.00

112

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


02 321 xxx (1)

05.15.0 32 xx (2)

44 3 x (3)



4

43 x

13 x


5.0

)1(5.1

5.0

5.1 32

xx

32 x


2

)1()3(

2

321

xxx

21 x


21 x , 32 x y 13 x .

Ejemplo 2.8.



[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando eliminación Gaussiana con sustitución

hacia atrás.

82 4321 xxxx

203322 4321 xxxx

2321 xxx

434 4321 xxxx

Solución.


4

2

20

8

3411

0111

3322

1211

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

)0(111 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 21a , 31a y 41a ,

utilizando 11a como elemento pivote y operaciones en base al primer renglón, para lo cual

se definen las siguientes operaciones:

Renglón 2: 112

22 EEE , lo cual implica 122 2EEE

Renglón 3: 111

33 EEE , lo cual implica: 133 EEE

Renglón 4: 111

34 EEE , lo cual implica: 133 EEE


)8(4

)8(2

)8(220

8

)1(3)2(4)1(1)1(1

)1(0)2(1)1(1)1(1

)1(23)2(23)1(22)1(22

1211

Y obtenemos:



12

6

4

8

4200

1120

1100

1211

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

Siendo que 022 a . No se debe tomar 22a como elemento pivote para crear el cero en las

posiciones 32a y 42a . Se aplica pivoteo parcial mediante el intercambio de renglones:

23 EE


12

4

6

8

4200

1100

1120

1211

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

)0(222 a , el objetivo es crear un cero en las posiciones donde están 32a y 42a ,

utilizando 22a como elemento pivote y operaciones en base al segundo renglón. Obsérvese

que en la posiciones de 32a y 42a ya están presentes los ceros, por lo cual se continúan los

cálculos.

12

4

6

8

4200

1100

1120

1211

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

)0(133 a , el objetivo es crear un cero en la posición donde está 43a , utilizando 33a

como elemento pivote y operaciones en base al tercer renglón, para lo cual se define la

siguiente operación:

Renglón 4: 112

34 EEE

, lo cual implica: 344 2EEE




)4(212

4

6

8

)1(24)1(22)0(20)0(20

1100

1120

1211

Y obtenemos:

4

4

6

8

2000

1100

1120

1211

5,4

5,3

5,2

5,1

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

a

a

a

a

aa

aaa

aaaa


82 4321 xxxx (1)

62 432 xxx (2)

443 xx (3)

42 4 x (4)



2

44 x

24 x


1

)2(4

1

4 43

xx

23 x


2

)2()2(6

2

6 432

xxx

32 x




1

2)2(2)3(8

1

28 4321

xxxx

71 x


71 x , 32 x , 23 x y 24 x .

Ejemplo 2.9.


aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo parcial. La solución exacta del sistema es

21 x , 32 x y 53 x .

523 321 xxx

4321 xxx

7342 321 xxx

Solución.


000.7

000.4

000.5

000.3000.4000.2

000.1000.1000.1

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Primera columna. 1k .

000.3}000.2,000.1,000.3{maxmax )1(

1,31

)1(

1,

ii

p aa , 1p

11 EE El elemento pivote se mantiene.

Renglón 2: 1000.3000.1

22 EEE , 122 333.0 EEE

Renglón 3: 1000.3000.2

33 EEE , 133 667.0 EEE

)000.5(667.0000.7

)000.5(333.0000.4

000.5

)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2

)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1

000.1000.2000.3



34.10

665.5

000.5

667.3666.2001.0

333.1334.0001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Segunda columna. 2k .

666.2}666.2,334.0{maxmax )2(

2,32

)2(

2,

ii

p aa , 3p

32 EE

665.5

34.10

000.5

333.1334.0001.0

667.3666.2001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Renglón 3: 2666.2334.0

33 EEE , 233 125.0 EEE

)335.10(125.0665.5

34.10

000.5

)667.3(125.0333.1)666.2(125.0334.0)001.0(125.0000.0

667.3666.2000.0

000.1000.2000.3

373.4

34.10

000.5

875.0000.0000.0

667.3666.2001.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa

Sistema equivalente.

000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)

34.10667.3666.2 32 xx (2)

373.4875.0 3 x (3)



875.0

373.43 x

998.43 x




666.2

33.1834.10

666.2

)998.4(667.3335.10

666.2

667.3335.10 32

xx

997.22 x


000.3

998.4994.5000.5

000.3

)998.4()997.2(000.2000.5

000.3

000.1000.2000.5 321

xxx

997.11 x


aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo parcial es:

997.11 x , 997.22 x y 998.43 x .

Ejemplo 2.10.


aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo parcial. La solución exacta del sistema es

21 x , 32 x , 13 x y 54 x .

13243 4321 xxxx

38642 4321 xxxx

13685 4321 xxxx

24232 4321 xxxx

Solución.


00.24

00.13

00.38

000.1

000.2000.1000.3000.2

000.1000.6000.8000.5

000.6000.4000.2000.1

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Primera columna. 1k .

000.5}000.2,000.5,000.1,000.3{maxmax )1(

1,41

)1(

1,

ii

p aa , 3p



31 EE

00.24

000.1

00.38

00.13

000.2000.1000.3000.2

000.3000.2000.4000.3

000.6000.4000.2000.1

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1000.5000.1

22 EEE , 122 2.0 EEE

1000.5000.3

33 EEE , 133 6.0 EEE

1000.5000.2

44 EEE , 144 4.0 EEE

20.29

800.8

40.35

00.13

400.2400.1200.6000.0

400.2600.5800.8000.0

800.5200.5400.0000.0

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

Segunda columna. 2k .

800.8}200.6,800.8,400.0{maxmax )2(

2,42

)2(

2,

ii

p aa , 3p

32 EE

20.29

40.35

800.8

00.13

400.2400.1200.6000.0

800.5200.5400.0000.0

400.2600.5800.8000.0

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

2800.8400.0

33 EEE

, 233 045.0 EEE

2800.8200.6

44 EEE , 244 705.0 EEE

00.23

00.35

800.8

00.13

092.4548.2004.0000.0

908.5452.5004.0000.0

400.2600.5800.8000.0

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

Tercera columna. 3k .

452.5}548.2,452.5{maxmax )3(

2,43

)3(

3,

ii

p aa , 3p



33 EE

00.23

00.35

800.8

00.13

092.4548.2004.0000.0

908.5452.5004.0000.0

400.2600.5800.8000.0

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

3452.5548.2

44 EEE

, 344 467.0 EEE

65.6

00.35

800.8

00.13

333.1002.0004.0000.0

908.5452.5004.0000.0

400.2600.5800.8000.0

000.1000.6000.8000.5

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa


00.13000.1000.6000.8000.5 4321 xxxx (1)

800.8400.2600.5800.8 432 xxx (2)

00.35908.5452.5 43 xx (3)

650.6333.1 4 x (4)



333.1

650.64

x

989.44 x


012.1452.5

48.2900.35

452.5

)989.4(908.500.35

452.5

908.500.35 43

xx

012.13 x


800.8

97.11667.5800.8

800.8

)989.4(400.2)012.1(600.5800.8

800.8

400.2600.5800.8 432

xxx

800.8

44.262

x



005.32 x


000.5

)989.4(000.1)012.1(000.6)005.3(000.800.13

000.5

000.1000.6000.800.13 4321

xxxx

991.1000.5

957.9

000.5

989.4072.604.2400.131

x

991.11 x


aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo de columna es:

991.11 x , 005.32 x , 012.13 x y 989.44 x .

Pivoteo escalado de columna.

El primer paso en este procedimiento consiste en definir un factor de escala is para cada

renglón

jinj

i as,...,2,1

max

Si 0is para alguna i, no existe solución única y el procedimiento se detiene. El

intercambio apropiado de renglones para obtener ceros en la primera columna queda

determinado escogiendo el primer entero k con

j

j

njk

k

s

a

s

a 1

,...,2,1

1max

y realizando kEE 1 . El efecto de escalar consiste en asegurar que el elemento mayor de

cada renglón tenga una magnitud relativa de uno antes de que se empiece la comparación

para el intercambio de renglones. El escalamiento se hace solamente con propósitos de

comparación, así que la división entre los factores de escala no produce un error de

redondeo en el sistema.

Ejemplo 2.11.




aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo escalado de columna. La solución exacta del

sistema es 21 x , 32 x y 53 x .

523 321 xxx

4321 xxx

7342 321 xxx

Solución.


000.7

000.4

000.5

000.3000.4000.2

000.1000.1000.1

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Factores de escala.

jinj

i as,...,2,1

max

Renglón 1: 000.3}000.1,000.2,000.3{max1 s

Renglón 2: 000.1}000.1,000.1,000.1{max2 s

Renglón 3: 000.4}000.3,000.4,000.2{max3 s

Intercambio en el primer renglón.

j

j

njk

k

s

a

s

a 1

,...,2,1

1max

Factores para intercambio de renglones.

000.1000.3

000.3

1

11

s

a 000.1

000.1

000.1

2

21

s

a 500.0

000.4

000.2

3

31

s

a

000.1}500.0,000.1,000.1{max1

k

k

s

a El primer máximo se consigue para

1k .




000.7

000.4

000.5

000.3000.4000.2

000.1000.1000.1

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Renglón 2: 131

22 EEE , 122 333.0 EEE

Renglón 3: 132

33 EEE , 133 667.0 EEE

)000.5(667.0000.7

)000.5(333.0000.4

000.5

)000.1(667.0000.3)000.2(667.0000.4)000.3(667.0000.2

)000.1(333.0000.1)000.2(333.0000.1)000.3(333.0000.1

000.1000.2000.3

335.10

665.5

000.5

667.3666.2000.0

333.1334.0000.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Factores de escala.

jinj

i as,...,2

max

Renglón 2: 333.1}333.1,334.0{max2 s

Renglón 3: 667.3}667.3,667.2{max3 s

Intercambio en el segundo renglón.

j

j

njk

k

s

a

s

a 2

,...,2

2max


251.0333.1

334.0

2

22

s

a 364.0

667.3

333.1

3

23

s

a

364.0}364.0,251.0{max2

k

k

s

a 3k .

32 EE



665.5

335.10

000.5

333.1334.0000.0

667.3666.2000.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Renglón 3: 2666.2334.0

33 EEE , 233 125.0 EEE

)335.10(125.0665.5

335.10

000.5

)667.3(125.0333.1)666.2(125.0334.0)000.0(125.0000.0

667.3666.2000.0

000.1000.2000.3

373.4

335.10

000.5

875.0000.0000.0

667.3666.2000.0

000.1000.2000.3

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


000.5000.1000.2000.3 321 xxx (1)

335.10667.3666.2 32 xx (2)

373.4875.0 3 x (3)



875.0

373.43 x

998.43 x


666.2

328.18335.10

666.2

)998.4(667.3335.10

666.2

667.3335.10 32

xx

998.22 x


000.3

998.4996.5000.5

000.3

)998.4()998.2(000.2000.5

000.3

000.1000.2000.5 321

xxx

998.11 x




aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo escalado de columna es:

003.21 x , 998.22 x y 998.43 x .

Ejemplo 2.12.


aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo escalado de columna. La solución exacta del

sistema es 21 x , 32 x , 13 x y 54 x .

13243 4321 xxxx

38642 4321 xxxx

13685 4321 xxxx

24232 4321 xxxx

Solución.


00.24

00.13

00.38

000.1

000.2000.1000.3000.2

000.1000.6000.8000.5

000.6000.4000.2000.1

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Factores de escala.

jinj

i as,...,2,1

max

Renglón 1: 000.4}000.3,000.2,000.4,000.3{max1 s

Renglón 2: 000.6}000.6,000.4,000.2,000.1{max2 s

Renglón 3: 000.8}000.1,000.6,000.8,000.5{max3 s

Renglón 4: 000.3}000.2,000.1,000.3,000.2{max4 s

Intercambio en el primer renglón.

j

j

njk

k

s

a

s

a 1

,...,2,1

1max




750.0000.4

000.3

1

11

s

a 167.0

000.6

000.1

2

21

s

a 625.0

000.8

000.5

3

31

s

a

667.0000.3

000.2

3

41

s

a

000.1}667.0,625.0,167.0,750.0{max1

k

k

s

a El primer máximo se consigue

para 1k .


00.24

00.13

00.38

000.1

000.2000.1000.3000.2

000.1000.6000.8000.5

000.6000.4000.2000.1

000.3000.2000.4000.3

1000.3000.1


1000.3000.5


1000.3000.2


33.23

67.14

33.38

000.1

001.4334.2332.0000.0

001.4334.967.14000.0

001.5334.3332.3000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

Factores de escala.

jinj

i as,...,2

max

Renglón 2: 001.5}001.5,334.3,332.3{max2 s

Renglón 3: 67.14}001.4,334.9,67.14{max3 s

Renglón 4: 001.4}001.4,334.2,332.0{max4 s

Intercambio en el segundo renglón.



j

j

njk

k

s

a

s

a 2

,...,2

2max


666.0001.5

332.3

2

22

s

a 000.1

67.14

67.14

3

23

s

a 083.0

001.4

332.0

4

24

s

a

000.1}083.0,000.1,666.0{max2

k

k

s

a 3k .

32 EE

33.23

33.38

67.14

000.1

001.4334.2332.0000.0

001.5334.3332.3000.0

001.4334.967.14000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

267.14332.3

33 EEE , 233 227.0 EEE

267.14332.0

44 EEE , 244 023.0 EEE

99.22

00.35

67.14

000.1

093.4549.2000.0000.0

909.5453.5000.0000.0

001.4334.967.14000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

Factores de escala.

jinj

i as,...,3

max

Renglón 3: 909.5}909.5,453.5{max3 s

Renglón 4: 093.4}093.4,549.2{max4 s

Intercambio en el tercer renglón.

j

j

njk

k

s

a

s

a 3

,...,3

3max




923.0909.5

453.5

3

33

s

a 444.1

093.4

909.5

4

34

s

a

444.1}444.1,923.0{max3

k

k

s

a 4k .

43 EE

00.35

99.22

67.14

000.1

909.5453.5000.0000.0

093.4549.2000.0000.0

001.4334.967.14000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

2549.2453.5

44 EEE , 244 139.2 EEE

18.14

99.22

67.14

000.1

846.2000.0000.0000.0

093.4549.2000.0000.0

001.4334.967.14000.0

000.3000.2000.4000.3

5,4

5,3

5,2

5,1

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

a

a

a

a

aa

aaa

aaaa


000.1000.3000.2000.4000.3 4321 xxxx (1)

67.14001.4334.967.14 432 xxx (2)

99.22093.4549.2 43 xx (3)

18.14846.2 4 x (4)



846.2

18.144

x

982.44 x


020.1549.2

39.2099.22

549.2

)982.4(093.499.22

549.2

093.499.22 43

xx

020.13 x




67.14

93.19521.967.14

67.14

)982.4(001.4)020.1(334.967.14

67.14

001.4334.967.14 432

xxx

67.14

12.442 x

007.32 x


000.3

)982.4(000.3)020.1(000.2)007.3(000.4000.1

000.3

000.3000.2000.4000.1 4321

xxxx

986.1000.3

96.5

000.3

95.14040.203.12000.11

x

986.11 x


aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo de columna es:

986.11 x , 007.32 x , 020.13 x y 982.44 x .

Pivoteo máximo (completo o total).

Al procedimiento, donde tanto en las columnas como en los renglones se busca el elemento

más grande y luego se intercambian, se le conoce como pivoteo completo, el cual se usa en

muy raras ocasiones debido a que al intercambiar columnas se cambia el orden de las x y,

en consecuencia, se agrega complejidad significativa y usualmente injustificada al

programa de computadora.

El pivoteo máximo en el k-ésimo paso busca todos los elementos:

jia , para nkki ,...,1, , y nkkj ,...,1,

Para encontrar el elemento que tiene la magnitud más grande. Se realizan intercambios de

renglones y de columnas para traer este elemento a la posición pivote.

El pivoteo máximo es consecuentemente una estrategia recomendada para la

mayoría de los sistemas obstinados para los cuales se puede justificar la cantidad de tiempo

de ejecución tan extensa.

Ejemplo 2.13.




aritmética de redondeo a 4 dígitos y pivoteo máximo. La solución exacta del sistema es

21 x , 32 x y 53 x .

523 321 xxx

4321 xxx

7342 321 xxx

Solución.


000.7000.3000.4000.2

000.4000.1000.1000.1

000.5000.1000.2000.3

321 xxx

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Coeficiente máximo.

000.4}000.3,000.4,000.2,000.1,000.1,000.1,000.1,000.2,000.3{max

13 EE

000.5000.1000.2000.3

000.4000.1000.1000.1

000.7000.3000.4000.2

321 xxx

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

21 CC

000.5000.1000.3000.2

000.4000.1000.1000.1

000.7000.3000.2000.4

312 xxx

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

141

22 EEE ==> 122 25.0 EEE

142

33 EEE ==> 133 5.0 EEE



500.8500.2000.2000.0

250.2250.0500.0000.0

000.7000.3000.2000.4

312 xxx

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

Coeficiente máximo.

500.2}500.2,000.2,250.0,500.0{max

23 EE

250.2250.05.0000.0

500.8500.2000.2000.0

000.7000.3000.2000.4

312 xxx

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

32 CC

250.2500.0250.0000.0

500.8000.2500.2000.0

000.7000.2000.3000.4

132 xxx

4,3

4,2

4,1

3332

2322

131211

0

0

a

a

a

aa

aa

aaa

2500.2250.0

33 EEE

==> 233 100.0 EEE

400.1700.0000.0000.0

500.8000.2500.2000.0

000.7000.2000.3000.4

132 xxx

4,3

4,2

4,1

33

2322

131211

00

0

a

a

a

a

aa

aaa


000.7000.2000.3000.4 132 xxx (1)

500.8000.2500.2 13 xx (2)

400.1700.0 1 x (3)



700.0

400.11 x



000.21 x


000.5500.2

000.4500.8

500.2

)000.2(000.2500.8

500.2

000.2500.8 13

xx

000.53 x


000.4

000.400.15000.7

000.4

)000.2(000.2)000.5(000.3000.7

000.4

000.2000.3000.7 132

xxx

000.32 x


aritmética de redondeo a cuatro dígitos y pivoteo máximo es:

000.21 x , 000.32 x y 000.53 x .

Ejemplo 2.14.

[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación de Gauss con

sustitución hacia atrás.

2421 xxx (A)

12 4321 xxxx (B)

0224 4321 xxxx (C)

223 4321 xxxx (D)

Solución.


3

0

1

2

2113

2214

1112

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

122 2 EEE

133 4EEE



144 3EEE

9

8

3

2

1140

2250

1110

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

14131211

0

0

0

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaaa

233 5EEE

244 4EEE

3

7

3

2

3300

3300

1110

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

242322

14131211

00

00

0

a

a

a

a

aa

aa

aaa

aaaa

344 EEE

4

7

3

2

0000

3300

1110

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

a

a

a

a

aa

aaa

aaaa


2421 xxx (1)

3432 xxx (2)

733 43 xx (3)

40 (4)

El sistema no tiene solución, puesto que de la ecuación (4) es una incongruencia.

La razón por la cual el sistema planteado no tiene solución es porque hay dos ecuaciones

equivalentes incompatibles. En el ejemplo anterior se puede demostrar que CBA

conduce a 123 4321 xxxx , la cual es incompatible con la ecuación (D)

223 4321 xxxx .

Ejercicios propuestos.



4. [CC] Resuelva:

3321 xxx

2226 321 xxx

143 321 xxx

mediante la eliminación de Gauss.

5. [CC] Dado el sistema

2012 321 xxx

10242 321 xxx

2522 321 xxx

a) Resuelva por el método de eliminación de Gauss simple. Muestre todos los pasos de los

cálculos.

b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales y compruebe las respuestas.

6. [BF] Resuelva los siguientes sistemas lineales usando eliminación Gaussiana con

sustitución hacia atrás y aritmética de redondeo a 2 dígitos. No ordene las ecuaciones. (La

solución exacta del sistema es 11 x , 12 x , 33 x ).

a) 04 321 xxx b) 1142 321 xxx

3252 321 xxx 04 321 xxx

1142 321 xxx 3252 321 xxx

c) 924 321 xxx d) 542 321 xxx

542 321 xxx 93 321 xxx

93 321 xxx 924 321 xxx

7. [BF] Use el algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás y aritmética

exacta para resolver, si es posible, los sistemas lineales siguientes y determine si son

necesarios intercambios de renglones.

a) 135.12 321 xxx b) 12 321 xxx

32 31 xx 0933 321 xxx



155.44 321 xxx 4533 321 xxx

c) 04 32 xx d) 23 321 xxx

375.0321 xxx 133 321 xxx

02 321 xxx 321 xx

e) 32 1 x f) 43221

1 xxx

5.45.1 21 xx 52 4321 xxxx

6.65.03 32 xx 221 xx

8.022 4321 xxxx 543221

1 xxxx

g) 3862 zyx

3473 zyx

2028 zyx

8. [BF] Use el algoritmo de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás en una

computadora para resolver, si es posible, los siguientes sistemas lineales.

a) 9361

251

141 xxx b) 15913333.1015920333.3 321 xxx

8351

241

131 xxx 544.28612.971.16222.2 321 xxx

82 32121 xxx 4254.86852.11791.55611.1 321 xxx

c) 61

441

331

221

1 xxxx d) 94.573.043.123.101.4 4321 xxxx

71

451

341

231

121 xxxx 07.1402.341.241.723.1 4321 xxxx

81

461

351

241

131 xxxx 52.811.179.541.243.1 4321 xxxx

91

471

361

251

141 xxxx 59.741.611.102.373.0 4321 xxxx



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

2.2.- MÉTODO GRÁFICO. 1.

6.91 x , 2.62 x

2.

8.381 x , 6.152 x

3.



51 x , 122 x

2.3.- ELIMINACIÓN GAUSSIANA Y SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS.

4. 41

1 x , 21

2 x , 49

3 x .

5. 11 x , 22 x , 103 x .

7. a) 11 x , 02 x , 13 x ; b) 11 x , 22 x , 13 x ; c) 75.01 x , 5.02 x , 125.03 x ;

d) 1875.11 x , 8125.12 x , 875.03 x ; e) 5.11 x , 22 x , 2.13 x , 34 x ; f)

4444.21 x , 4444.02 x , 3333.13 x , 14 x ; g) 4x , 8y , 2z .

8. a) 227.0769231 x , 476.9230772 x , 177.6923083 x ; b) 11 x , 12 x , 13 x ; c)

031746.01 x , 595238.02 x , 2.3809523 x , 2.7777784 x ; d) 11 x , 12 x , 13 x ,

14 x .

01 metodo de eliminacion gaussiana y pivoteo

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