ตรรกศาสตร์ (logic)

ความหมายของตรรกศาสตร์

Logic = Science of reasoning

ศาสตร์ที่เกยวขอ้งการพิจารณาี่ การสรุป การพิสูจน ์คาํกลาวอา้งตางๆ่ ่ ที่

อยใูนรูปแบบของประพจน์่ วาเป็น่ จริงหรือเทจ็ อนัเป็นรากฐานที่สาํคญั

ในการศึกษาวิชาที่เกยวขอ้งกบคอมพิวเตอร์ี่ ั

Proposition (ประพจน)์

คือประโยคที่มีคาความจริงเป็นจริงหรือเป็นเทจ็่ อยางใดอยางหนึ่งเทานนั่ ่ ่ ้

สญัลกัษณ์ที่นิยมนาํมาใชแ้สดงคาความจริงคือ่

T หรือ 1 สาํหรับประพจน์ที่เป็น “จริง”

F หรือ 0 สาํหรับประพจน์ที่เป็น “เทจ็”

ยกตวัอยางเชน่ ่

วนันีเป็นวนัพธุ้

นกัศึกษาในหอ้งนีตงัใจเรียน้ ้

2+2 = 4

Proposition (ประพจน)์

ประโยคที่เป็นประพจน์

กทม. เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย

2+2 = 5วนันีฝนตก้

ประโยคที่ไมเป็น่ ประพจน์

กรุณาตงัใจเรียน้

ออกไปขา้งนอกเดี๋ยวนี้!

X + 2 = 5ตอนนีเวลาอะไร้ ?

ตวัแปรเชิงประพจน ์(Propositional variables)

คือสญัลกัษณ์ที่ใชแ้ทนประพจน์

นิยมใชต้วัอกัษร P, Q, R, S, U, … หรือ P1, P2, P3, …

ตวัอยาง่

P : กทม เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย

Q : วชิา Discrete Mathematics งาย่

R : นกัศึกษาตงัใจเรียน้

S : วนันีวนั้ พธุ

ประพจน์ผสม (Compounded propositions)คือประพจน์ที่ประกอบดว้ยประพจน์ยอยและตวัดาํเนินการตรรกะตางๆ่ ่ ตวัดาํเนินการตรรกะ ทาํหนา้ที่เชื่อมประพจน์สองประพจนเ์พื่อสร้างประพจนใ์หมที่ซบัซอ้นขึน่ ้ ตวัดาํเนินการตรรกะไดแ้ก่

ตวัดาํเนินการ ”นิเสธ”(not) ใชส้ญัลกัษณ์ ∼ตวัดาํเนินการ ”และ” (and) ใชส้ญัลกัษณ์ ∧ตวัดาํเนินการ ”หรือ” (or) ใชส้ญัลกัษณ์ ∨

ตวัดาํเนินการ ”ถา้ แลว้”(if… then) ใชส้ญัลกัษณ์ →ตวัดาํเนินการ ”กตอเมื่อ็ ่ ”(if and only if) ใชส้ญัลกัษณ์ ↔

ตัวดําเนนิการพืน้ฐาน

ตัวดําเนนิการแบบมีเงื่อนไข

ตวัอยางประพจนผ์สม่

วนันีฝน้ ไม่ตก แทนดว้ย ∼P

วนันีเป็นวนัพธุ้ และวนันีฝนตก้

แทนดว้ย P ∧ Qนกัศึกษาหอ้งนีตงัใจเรียน้ ้ หรือนกัศึกษาแตงกายเรียบร้อย่

แทนดว้ย R ∨ Sถา้นกัศึกษาตงัใจเรียน้ แลว้นกัศึกษาสอบผานวชิานี่ ้

แทนดว้ย R → Uนกัศึกษาสอบผานวชิานี่ ้ กตอเมื่อ็ ่ นกัศึกษาทาํคะแนนไดเ้กนิ 50

แทนดว้ย U ↔ V

ตารางคาความจริง่ (Truth table)

ใชแ้สดงคาความจริงทุก่

กรณีที่เป็นไปไดข้อง

ประพจน์

จาํนวนแถวของตารางที่คา่

เทากบ่ ั 2k โดยที่ k เป็น

จาํนวนตวัแปรประพจน์ FFF

TTF

TFT

TTT

p ∨ qqp

ตวัอยางดาํเนินการตรรกะพืนฐาน่ ้

ตวัดาํเนินการ นิเสธตวัดาํเนินการ และตวัดาํเนินการ หรือ

ตวัดาํเนินการ นิเสธ

เปลี่ยนจากจริงเป็นเทจ็

และเปลี่ยนจากเทจ็เป็นจริง

TF

FT

~pp

ตวัดาํเนินการ และ

เป็นจริงกรณีเดียวคือ

ทงัสองประพจน์เป็นจริง้

กรณีอื่น ๆ เป็น เทจ็

FFF

FTF

FFT

TTT

p∧qqp

ตวัดาํเนินการ หรือ

เป็นเทจ็กรณีเดียวคือ

ทงัสองประพจน์เป็นจริง้

กรณีอื่น ๆ เป็น จริง

FFF

TTF

TFT

TTT

p∨qqp

ตวัดาํเนินการ exclusive or

เป็นจริงเมื่อคาความจริง่

ของทงัสองประพจน์้

ตาง่ กนั

FFF

TTF

TFT

FTT

p⊕qqp

สจันิรันดร์ (tautology)

คือ ประพจน์ผสมที่มีคาความจริง่

เป็น จริง ในทุกกรณี

TTF

TFT

p∨~p~pp

ขอ้ขดัแยง้ (contradiction)

คือ ประพจน์ผสมที่มีคาความจริง่

เป็น เทจ็ ในทุกกรณี

FTF

FFT

p∧~p~pp

ความสมมูลกนเชิงตรรกะัคือความเหมือนกนเชิงตรรกะั ของประพจน์สองประพจน์ที่มี

คาความจริงเหมือนกนทุกกรณี่ ั

ยกตวัอยางเชน่ ่

สุนขัเหาและแมวร้อง่ สมมูลกบั แมวร้องและสุนขัเหา่

F

F

F

T

p∧q

FFF

FTF

FFT

TTT

q∧pqp

ความสมมูลกนเชิงตรรกะั

ให ้P และ Q เป็นประพจนใ์ด ๆ

เรากลาววาประพจน์่ ่ P สมมูลเชิงตรรกะกบประพจน์ั Q

ถา้คาความจริงของ่ ประพจน ์P เหมือนกบคาความจั ่ ริง

ของประพจน ์Q ในทุกกรณีที่เป็นไปได ้

แทนดว้ยสญัลกัษณ์ P ≡ Q

การทดสอบความสมมูลเชิงตรรกะ

ทดสอบได ้2 วธิี คือ

ใชต้ารางคาความจริง่

เหมาะสาํหรับในกรณีที่มีตวัแปรประพจน์จาํนวนนอ้ย เนื่องจาก

จาํนวนกรณีของคาความจริงที่เป็นไปได้่ เทากบ่ ั 2k โดยที่ k เป็น

จาํนวนตวัแปรประพจน ์

ใชว้ธิีพิจารณากฎการสมมูล

เหมาะสาํหรับในกรณีที่มีตวัแปรประพจนเ์ป็นจาํนวนมาก

กฎการสมมูลเชิงตรรกะ1. กฎการสลบัที่ (Commutative laws)

p∨q ≡ q∨p p∧q ≡ q∧p

2. กฎการจดักลุม่ (Associative laws)

(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r ) (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r )

3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)

p∨(q∧r ) ≡ (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r ) ≡(p∧q)∨(p∧r)

4. กฎเอกลกัษณ์ (Identity laws)

p∧T ≡ p p∨F≡ p

5. กฎนิเสธ (Negation laws)

p ∨∼p ≡T p ∧∼p ≡ F

6. กฎนิเสธซอ้น (Double negative law)

~(~p) ≡ p

กฎการสมมูลเชิงตรรกะ7. กฎการสะทอ้น (Idempotent laws)

p∨p ≡ p p∧p ≡ p

8. กฎการครอบครอง (Universal bound laws)

p∨T ≡ T p∧F≡ F

9. กฎเดอมอร์แกน (De Morgan’s laws)

~(p∧q) ≡ ~p∨~q ~(p∨q) ≡ ~p∧~q

10. กฎการดูดซบั (Absorption laws)

p∨(p∧q) ≡ p p∧(p ∨ q ) ≡ p

11. กฎนิเสธของสจันิรันดร์ และนิเสธของขอ้ขดัแยง้ (Negation of T and F)

∼T ≡F ∼ F ≡T

ตวัอยาง่

จงแสดงใหเ้ห็นวา่ ∼(∼P∧Q) ∧(P∨Q) ≡ P

ตวัอยางดาํเนินการตรรกะแบบมีเงื่อนไข่

เงื่อนไขทางเดียว

ตวัดาํเนินการ ถา้…แลว้

เงื่อนไขสองทาง

ตวัดาํเนินการ กตอเมื่อ็ ่

ตวัดาํเนินการ ถา้…แลว้

เป็นจริงกรณีเดียวคือ

ประพจน์สวนหนา้เป็นจริง่

และพจน์สวนหลงัเป็นเทจ็่

TFF

TTF

FFT

TTT

p→qqp

ความสมมูลเชิงตรรกะของที่เกยวขอ้งี่

(P→Q) ≡∼ P∨Q

(P→Q) ≡ ∼Q→ ∼P

(P∨Q)→R ≡ (P→R) ∨(Q→R)

ตวัดาํเนินการ กตอเมื่อ็ ่

เป็นจริงเมื่อคาความจริง่

ของทงัสองประพจน์้

เหมือนกนั

TFF

FTF

FFT

TTT

p↔qqp

Argument (การอา้งเหตุผล)

การอา้งเหตุผลประกอบดว้ยลาํดบัของสมมติฐาน(premises) และขอ้สรุป (conclusion)

ตวัอยางเชน่ ่

p1 : ถา้นกัศึกษาตงัใจเรียน้ แลว้นกัศึกษาไดเ้กรด Ap2 : นกัศึกษาตงัใจเรียน้

∴ q : นกัศึกษาไดเ้กรด A

(p1∧ p2)→q

รูปทวัไปของการอา้งเหตุผล่

p1 : สมมติฐาน 1p2 : สมมติฐาน 2: :

pn : สมมติฐาน n∴ q : ขอ้สรุป

การอา้งเหตุผลจะสมเหตุสมผลกตอเมื่อ็ ่

(p1∧ p2 ∧…. ∧ pn)→q เป็นสจันิรันดร์เขียนอีกรูปแบบหนึ่งวา่ p1, p2 , …. , pnt q

Valid (สมเหตุสมผล) and Invalid

การอา้งเหตุผลจะสมเหตุสมผล ถา้สมมติฐานทงัหมดเป็นจริงและ้

ขอ้สรุปเป็นจริงดว้ย

ตวัอยางเชน่ ่

ถา้นกัศึกษาตงัใจเรียน้ แลว้นกัศึกษาไดเ้กรด Aนกัศึกษาตงัใจเรียน้

∴ นกัศึกษาไดเ้กรด A

ตวัอยาง่ การอา้งเหตุผลอยางสมเหตุสมผล่ (Valid argument)

P∨(Q∨R)∼R

∴ P ∨ Q

การอา้งเหตุผลที่ไมสมเหตุสมผล่ (Invalid argument)P→Q∨∼RQ →P∧R

∴ P→ R

การพิสูจนก์ารอา้งเหตุผล

ทาํไดส้องวธิี ไดแ้ก่การใชต้ารางคาความจริง่

การใชก้ฎการอนุมาน (Rules of inference)

Rule of inference กฎการอนุมานModus Ponens

P→Q , Pt QModus Tollens

P→Q , ∼Qt ∼PGeneralization

Pt P∨QQt P∨Q

SpecializationP∧Qt PP∧Qt Q

Rule of inference กฎการอนุมานConjunction

P, Qt P∧QElimination

P∨Q , ∼Qt PP∨Q , ∼Pt Q

TransitivityP→Q, Q→Rt P→R

Proof by division into casesP∨Q, P→R, Q→Rt R

Contradiction rule∼P →Ft P

ตวัอยาง่ สมมติวาเราออกไปโรงเรียนเชา้วนัหนึ่ง่ แตเมื่อไปถึงโรงเรียนแลว้่

เราหาแกวนาํไมเจอ้ ่้ เราพยายามนึกวาแกวนาํอยทูี่ไหน่ ้ ่้ จากประพจน์ตอไปนี่ ้

p1 : ถา้แกวนาํอยบูนโตะ๊ในหอ้งครัว้ ่้ เรากตอ้งเห็นแกวนาํตอนทานอาหารเชา้็ ้ ้

p2 : ตามปกติแลว้ เราอานหนงัสือพิมพใ์นหอ้งนงัเลน่ ่่ หรือไมเรากอาน่ ็ ่หนงัสือพิมพใ์นหอ้งครัว

p3 : ถา้เราอานหนงัสือพิมพใ์นหอ้งนงัเลน่ ่่ แกวนาํกตอ้งวางอยบูนโตะ๊กาแ้ ็ ่้ ฟในหอ้งนงัเลน่ ่

p4 : เราไมเห็นแกวนาํตอนอาหารเชา้่ ้ ้

p5 : ถา้เราอานหนงัสือในหอ้งนอน่ แกวนาํกตอ้งวางอยบูนโตะ๊ในหอ้งนอน้ ็ ่้

p6 : ถา้เราอานหนงัสือพิมพใ์นหอ้งครัว่ แกวนาํกตอ้งวางอยบูนโตะ๊ในหอ้งครัว้ ็ ่้

ถามวาเราลืมแกวนาํไวท้ี่ไหน่ ้ ้

เราพยายามหาคาํตอบจากการอนุมานเชิงตรรกะไดด้งันี้

q1 : แกวนาํไมอยบูนโตะ๊ในหอ้งครัว้ ่ ่้ (จาก p1, p4 และ Modus tollens)

q2 : เราไมไดอ้านหนงัสือพิมพใ์นหอ้งครัว่ ่ (จาก p6, q1 และ Modus tollens)

q3 : เราอานหนงัสือพิมพใ์นหอ้งนงัเลน่ ่่ (จาก p2, q2 และ elimination)

q4 : แกวนาํอยบูนโต๊ะกาแฟในหอ้งนงัเลน้ ่ ่้ ่ (จาก p3, q3 และ Modus ponens)

แบบฝึกหดั

จงแสดงวา่ [(p→q)∨(p→r)] →(q ∨r) ≡ p∨q∨r

จงแสดงวา่ p∨(q∧r) ≡ (p∨q) ∧(p∨r)

จงแสดงวา่ ~[p∨(~p∧q)] ≡ ~p∧~q