01 - estructura de los sistemas de lineas de espera(1)

7/24/2019 01 - Estructura de Los Sistemas de Lineas de Espera(1)

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En varias ocasiones, Usted ha tenido que esperar haciendo fila para

realizar una transaccin en un cajero automtico. O probablemente, al

ir a un restaurante, haya tenido que esperar un rato mientras que su

pedido es procesado por los encargados en el rea de cocina. En estas

ocasiones, es normal que todos deseemos que estos tiempos de espera

sean mucho menores, y que hubiera una menor congestin en las filas

que tenemos que hacer por diversas razones.

Esta ha sido una de las preocupaciones principales de quienes

administran sistemas de prestacin de servicios: cmo garantizar la

adecuada prestacin del servicio a los clientes, sin sacrificar la

rentabilidad del negocio por sobrecostos en el nmero de servidores o

equipos? Para un administrador de un sistema de prestacin de

servicios, un elemento clave de su gestin reside en lograr un adecuado

balance entre el nmero mnimo de operarios requeridos para prestar

un buen servicio, versus el mximo de operarios a contratar en un turno

para no exceder los costos bsicos de operar el sistema.

Este mismo problema se presenta en las lneas de produccin, slo que

en lugar de clientes nos encontramos con productos en proceso que

recorren la lnea en espera de ser procesados: si no contamos con

suficientes mquinas en una estacin de proceso, los productos seacumulan y generan congestin y sobrecostos por excesos de

inventario. Si tenemos por otra parte demasiadas mquinas, los

sobrecostos por operacin de dichas mquinas sern tambin un factor

negativo para la rentabilidad del sistema productivo.

Para dar respuesta a estos y a otros interrogantes, surge en la

investigacin de operaciones un campo conocido como la Teora de

Colas. Esta disciplina trata del estudio matemtico a travs del

Estructura de los sistemas de lneas de espera


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modelaje, de los sistemas de lneas de espera. Trata del anlisis de las

caractersticas de operacin y de los costos asociados de un sistema

particular, y ofrece herramientas para el diseo y mejoramiento de

dicho sistema.

Para representar las caractersticas bsicas de un modelo de lnea de

espera, tomemos como ejemplo la lnea de espera de un restaurante

de venta de pizzas vegetarianas: all se venden todo tipo de sabores de

pizza, gaseosas, malteadas y algunos otros productos como postres;

aunque al restaurante le gustara servir inmediatamente a todos sus

clientes, hay momentos en que la clientela es mucho ms grande de lo

que el personal del servicio del restaurante puede manejar, y en estos

casos los clientes se forman en fila para solicitar y recibir su pedido.

Este restaurante est preocupado, ya que su metodologa de servicio al

cliente est generando tiempos de espera excesivos, y la administracin

desea hacer un estudio de lnea de espera para determinar cul ser el

mejor procedimiento de reducir el tiempo de espera y mejorar el

servicio. Tomando este sistema como ejemplo, vamos a definir los

elementos que conforman a toda lnea de espera.

Descripcin del funcionamiento de un sistema mono-canal:

El primer paso para analizar un sistema de colas, consiste en

comprender el funcionamiento de dicho sistema. Empecemos por

describir el sistema de pago de nuestro puesto de comidas rpidas:

cada vez que un cliente llega y no hay fila, un empleado de caja toma

el pedido del cliente, calcula el costo total, recibe el dinero y entrega el

pedido, ya que las pizzas estn listas para entregar; despus de entregar

el pedido del primer cliente, ste se retira del sistema, y el empleado

empieza a atender al siguiente cliente que se encuentra en la fila, o

espera a la llegada de un cliente nuevo.


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Si un cliente llega y el operario est ocupado, entonces debe esperar

haciendo fila justo detrs del ltimo cliente que haya llegado al sistema.

El anterior es un claro ejemplo de una lnea de espera de un solo canal.

Esto quiere decir que cada cliente del restaurante pasa por un solo

canal (una estacin que toma y entrega pedidos) para hacer su orden,

pagar su cuenta y recibir la comida; cuando hay muchos ms clientes

de los que se pueden atender inmediatamente se forma una lnea de

clientes en espera a que la estacin de toma y surtido de pedidos est

disponible.

Componentes de un sistema de colas

El siguiente paso para analizar un sistema de colas es identificar el

comportamiento de sus componentes principales. A continuacin se

hace una breve descripcin de estos componentes:

1) Fuente de llegadas al sistema:corresponde a un mecanismo que

rige la llegada de entidades al sistema. Estas entidades (clientes,

productos a procesar, llamadas en un call center, por citar varios

ejemplos) pueden provenir de una poblacin finita o infinita, y la

forma como llegan al sistema (su frecuencia), puede describirse a

partir de una distribucin de probabilidad. De ahora en adelante,

llamaremos entidades a los individuos de la poblacin potencial

que recibe servicio.

2) Servidores: son los elementos destinados para la prestacin del

servicio a las entidades.

3) Mecanismo de servicio:se refiere principalmente al tiempo que el

servidor tarda en atender a cada entidad del sistema. Se suele

caracterizar o describir a partir de la distribucin de probabilidad

del tiempo de servicio.

4) Disciplina de servicio:es el criterio bajo el cual las entidades son

seleccionadas para ser atendidas.


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5) Capacidad del sistema:es el nmero mximo de entidades que

pueden permanecer en servicio o espera en un momento

determinado. Si una entidad adicional llega al sistema y ste se

encuentra con un nmero de entidades que iguala sucapacidad, la entidad que llega no puede ingresar al sistema.

Puede asumirse como finita o infinita.

Notacin de Kendall

Para clasificar apropiadamente los sistemas de colas existentes, se ha

extendido un sistema de notacin propuesto inicialmente por David G.

Kendall en 1953. Esta notacin permite describir con relativa facilidad las

distintas caractersticas de operacin de un sistema de colas, y consiste

en los siguientes 6 elementos (en su versin extendida):

1/2/3/4/5/6

Donde,

1) Describe el proceso de llegada. Este proceso se representa como:

M para "Markoviano", si los tiempos entre llegadas siguen una

distribucin Exponencial, lo cual es equivalente a afirmar que las

entidades que ingresan al sistema tienen una distribucin Poisson.

D para determinstico, si los tiempos entre llegadas son constantes.

G para "distribucin general" de los tiempos entre llegadas.

2) Describe el mecanismo de servicio, y usa la misma codificacin que

los tiempos de llegada.

3) El nmero de canales de servicio (o servidores).

4) La capacidad del sistema. Se indica en este elemento cuntas

entidades pueden estar como mximo en el interior del mismo. Si

este parmetro se omite, se considera de capacidad infinita.

5) La disciplina de servicio. Las ms utilizadas en lneas de espera son:

First Come First Served (FCFS) o First In First Out (FIFO). Es una de las

ms utilizadas y se recomienda para los sistemas de prestacin de


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servicios, ya que para un cliente es justo que quien llega primero a

un sistema, deba ser el primero en ser atendido.

Last Come First Served (LCFS) o Last In First Out (LIFO).

Service In Random Order (SIRO). Por prioridades. En este tipo de disciplinas de servicio, las

entidades pertenecen a diferentes categoras, y una entidad de

una categora superior siempre ser atendida antes que otras

entidades de categoras inferiores. Se aplica en la prestacin de

servicios de emergencias mdicas, en los cuales es prioritario

atender a los pacientes categorizados como graves,

independientemente de si llegaron antes o despus que el resto

de los pacientes.

Si este parmetro se omite, se considera de disciplina FIFO.

6) El tamao de la poblacin fuente. Si este tamao se omite, se

considera de tamao infinito.

Cuando los tres ltimos parmetros se omiten, se habla de la notacinde Kendall resumida, con slo 3 parmetros: 1/2/3.

Veamos cmo operan las llegadas y los servicios en un sistema de colas,

para decidir qu notacin de Kendall le corresponde a nuestro sistema

de colas del restaurante de pizzas vegetarianas.

La distribucin de las llegadas

La definicin del proceso de llegadas para una lnea de espera

involucra determinar la distribucin de posibilidades de la cantidad de

llegadas en un lapso de tiempo. En muchas lneas de espera hay

llegadas aleatorias e independientes entre s, por lo que es imposible

anticiparse con exactitud a cundo llegar la siguiente entidad. En

estos casos se ha concluido que una distribucin de probabilidad de

Poisson, puede dar una buena probabilidad del patrn de llegadas. La


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funcin de probabilidad de Poisson define la probabilidad de x llegadas

en un lapso de tiempo especfico, segn:

!"#$parax= 0,1,2,

Donde

x= nmero de llegadas en el perodo de tiempo bajo

anlisis,

!=promedio o nmero medio de llegadas por perodo,

e= 2.71828.

Suponiendo que el restaurante ha analizado la informacin de llegadade clientes concluyendo que la tasa media de llegadas es de 45

clientes por hora, para un lapso de un minuto, el nmero medio de

llegadas sera != 48/60= 0.80 llegadas por minuto. Podemos utilizar la

siguiente funcin de probabilidad de Poisson para calcular la

probabilidad de x llegadas durante un minuto:

!%&'%"%&'%#$

Por lo tanto, las probabilidades de 0,1 y 2 llegadas en un perodo de un

minuto son:

P (0) = 0.4493

P (1)= 0.3595

P (2) = 0.1438

La posibilidad de que no haya ninguna llegada en un lapso de un

minuto es de 0.4493, la probabilidad de una sola llegada en 1 minuto es

de 0.3595 y la probabilidad de 2 llegadas en 1 minuto es de 0.1438.

En la prctica, se debe registrar el nmero real de llegadas por perodo

durante varios das o semanas y comparar la distribucin de frecuencia

del nmero de llegadas observado con la distribucin de probabilidad


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de Poisson, para comprobar que esta ltima haya dado un resultado

razonablemente aproximado de la distribucin de las llegadas.

La distribucin de los tiempos de servicio

Se le dice tiempo de servicio al lapso que un cliente pasa en la

instalacin de servicio despus que ste se ha iniciado, y en el ejemplo

del restaurante el tiempo de servicio empieza cuando un cliente da su

orden al empleado y sigue hasta que el cliente recibe su pedido. Los

tiempos de servicio rara vez son constantes; el nmero y la mezcla de

elementos que se ordenan en el restaurante pueden ser muy diferentes

de un cliente a otro, los pedidos pequeos pueden atenderse en un par

de segundos, pero los pedidos ms grandes pueden necesitar ms de 2

minutos en ser procesados. Se concluye que si se puede suponer que los

tiempos de servicio siguen una distribucin de probabilidad exponencial

podemos caracterizar el comportamiento de la lnea de espera. Si la

distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio es exponencial,

la posibilidad de que el tiempo de servicio sea menor que o igual a untiempo de duracin es:

P (tiempo de servicio !t)= ("", donde

!= promedio o nmero medio de unidades que pueden atenderse por

perodo de tiempo.

Suponiendo que el restaurante ha estudiado el proceso de toma y

surtido de pedidos y que ha concluido que el nico empleado de

alimentos puede procesar un promedio de 60 clientes por hora,

entonces la tasa promedio de servicio sera != 60/60=1 cliente por

minuto. La tasa de servicio se debe expresar en las mismas unidades

que la tasa de llegadas. Con !=1 se pueden calcular la probabilidad de

procesar un pedido en medio minuto o menos, en un minuto o menos o

en dos minutos o menos. Estos clculos son:


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P (tiempo de servicio ! 0.5 min)= 1 e-1 (0.5)= 1 -0.6065=

0.3935

P (tiempo de servicio ! 1.0 min)= 1 e-1( 1.0)= 1 -0.3679=

0.6321

P (tiempo de servicio ! 2.0 min)= 1 e-1 (2.0)= 1 -0.1353=

0.8647

Por lo que concluiramos que hay una posibilidad de 0.3935 de procesar

un pedido en medio minuto o menos, una posibilidad de 0.6321 de

procesar la orden en un minuto o menos y una posibilidad de 0.8647 de

procesar la orden en dos minutos o menos.

En estos modelos de lneas de espera se est suponiendo que la

distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio es exponencial,

pero en la prctica hay que recopilar informacin sobre los tiempos de

servicio reales para comprobar si la distribucin de probabilidad

exponencial se aproxima razonablemente a los tiempos de servicio de

su aplicacin.

Asumiendo que no hay restricciones en la capacidad del sistema, y que

la poblacin fuente de la que provienen los clientes es lo

suficientemente grande para considerarla infinita, nuestro restaurante de

pizzas vegetarianas se categorizara segn la notacin de Kendall

como:

M/M/1/!/FIFO/!,

O en su versin resumida,

M/M/1.


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Operacin en estado estable

Cuando el restaurante abre en la maana no hay clientes en su interior,

la actividad va aumentando gradualmente hasta llegar a un estado

normal o estable; el perodo inicial o de arranque es llamado perodo

transitorio; ste termina cuando el sistema llega a la operacin normal o

estado estable. Los modelos de lnea de espera describen las

caractersticas de operacin de estado estable de la lnea de espera.

En la prxima lectura veremos las medidas de desempeo de uno de los

sistemas ms bsicos y comunes, y al cual corresponde nuestro ejemplo:

el M/M/1.

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