01 일차변환의뜻과성질 04 포물선...6 수능완성수학영역기하와벡터 03...
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1한눈에보는정답
01 ③ 02 ② 03 ⑤ 04 ④ 05 14
06 ① 07 ③ 08 ④ 09 ② 10 ④
일차변환의뜻과성질 본문 5~7쪽01
01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 ① 05 ②
06 9 07 ④ 08 ③ 09 ⑤ 10 ⑤
11 39 12 ④ 13 ④
여러가지일차변환 본문 9~12쪽02
01 12 02 ⑤ 03 ② 04 ⑤ 05 7
06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 ① 10 ①
11 ④ 12 ③ 13 ② 14 ② 15 ④
16 10 17 ⑤
일차변환의합성과역변환 본문 14~19쪽03
01 ④ 02 ④ 03 6 04 ④ 05 ③
06 ① 07 ② 08 ① 09 ③ 10 ③
11 8 12 ④ 13 ① 14 ③
본문 20~23쪽
01 ④ 02 ⑤ 03 ① 04 ④ 05 ③
06 ③ 07 ① 08 120 09 ② 10 5
11 ① 12 ⑤ 13 ④ 14 ③ 15 ③
16 ③ 17 125 18 ③ 19 27 20 ④
21 ③
포물선 본문 25~31쪽04
01 ③ 02 34 03 ④ 04 ② 05 ②
06 ③ 07 ① 08 49 09 ④ 10 ⑤
11 ④ 12 ④ 13 ① 14 ③ 15 25
16 ② 17 ③ 18 ④ 19 300
타원 본문 33~38쪽05
01 ④ 02 ⑤ 03 64 04 ③ 05 20
06 17 07 5 08 16 09 ④ 10 ⑤
11 ① 12 ② 13 ④ 14 14 15 ③
16 ② 17 13
쌍곡선 본문 40~45쪽06
01 ③ 02 ③ 03 40 04 ③ 05 8
06 ② 07 ⑤ 08 ② 09 ① 10 32
11 ⑤ 12 ④ 13 ⑤
본문 46~49쪽
2 수능완성수학영역기하와벡터
01 12 02 ⑤ 03 ③ 04 ③ 05 ④
06 ⑤ 07 55 08 ④ 09 ③ 10 ②
11 15 12 22 13 ② 14 ③
공간도형 본문 51~57쪽07
01 ③ 02 ④ 03 8 04 ④ 05 ⑤
06 ① 07 25 08 ③ 09 ① 10 64
11 ④ 12 ② 13 ③
공간좌표 본문 59~63쪽08
01 ⑤ 02 ③ 03 15 04 ② 05 ④
06 12 07 ④ 08 14 09 ② 10 ③
11 ① 12 ①
본문 64~67쪽
01 ④ 02 ① 03 ⑤ 04 20 05 ④
06 ④ 07 ③ 08 ① 09 ① 10 ④
11 ③ 12 ②
벡터의뜻과연산 본문 69~73쪽09
01 ⑤ 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ②
06 140 07 ② 08 ③ 09 25 10 ③
11 ④ 12 ③ 13 ④ 14 22
벡터의성분과내적 본문 75~79쪽10
01 ② 02 ④ 03 ⑤ 04 ④ 05 ④
06 ⑤ 07 ④ 08 ① 09 ① 10 ④
11 ③ 12 ③ 13 ③ 14 ⑤
직선의방정식 본문 81~85쪽11
01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 ③ 05 ②
06 ⑤ 07 ① 08 ⑤ 09 ③ 10 ①
11 ② 12 ① 13 32 14 60 15 ④
16 ①
평면의방정식 본문 87~92쪽12
01 ③ 02 ② 03 ① 04 ④ 05 18
06 ① 07 ① 08 16 09 ② 10 ②
11 ② 12 20 13 ⑤ 14 ①
본문 93~96쪽
3정답과풀이
01 ¶ •=¶ •¶ •=¶ •이므로
3a+2=-1, -a+1=b
∴ a=-1, b=2
∴ a+2b=3
답⃞ ③
02 주어진일차변환에의하여세점 (0, 0), (2, 0), (0, -1)이
옮겨지는점을각각P, Q, R라하면
¶ •¶ •=¶ • ∴P(0, 0)
¶ •¶ •=¶ • ∴Q(10, 2k)
¶ •¶ •=¶ • ∴R(-1, 2)
세점P, Q, R가한직선위에있으므로
= ∴ k=-10
답⃞ ②
03 일차변환 f에의하여점P(4, 1)이옮겨지는점P'은
¶ •¶ •=¶ • ∴P'(-1, 6)
x축위를움직이는점Q의좌표를 (a, 0)으로놓으면점Q가일차변
환 f에의하여옮겨지는점Q'은
¶ •¶ •=¶ • ∴Q'(-a, a)
P'Q'”=øπ(-a+1)¤ +(a-6)¤
P'Q'”=æ≠2{a- }¤ +
따라서 a= 일때, 선분P'Q'의길이의최솟값은
Ƭ =
답⃞ ⑤
일차변환 f에의하여두점P, Q가각각옮겨진점P', Q'이
P'(-1, 6), Q'(-a, a)일때, 점 Q'(-a, a)는직선 y=-x 위에
있으므로선분P'Q'의길이의최솟값은점P'(-1, 6)과직선
x+y=0사이의거리와같다. 따라서구하는최솟값은
= =
04 일차변환 f에의하여자기자신으로옮겨지는점을 (x, y)라
하면
5'22
5
'2
|-1+6|
"√1¤ +1¤
5'22
252
72
252
72
-a
a
a
0
-1 3
1 2
-1
6
4
1
-1 3
1 2
2-1
2k10
-1
2
0
-1
5 1
k -2
10
2k
2
0
5 1
k -2
0
0
0
0
5 1
k -2
3a+2
-a+1
a
1
3 2
-1 1
-1
b
01 ③ 02 ② 03 ⑤ 04 ④ 05 14
06 ① 07 ③ 08 ④ 09 ② 10 ④
일차변환의뜻과성질 본문 5~7쪽01 ¶ •¶ •=¶ •
¶ •¶ •-¶ •=¶ •
¶ •¶ •=¶ • yy㉠
㉠을만족하는해가 x=0, y=0이외에도존재해야하므로해가무수
히많아야한다.
즉, 행렬 ¶ •의역행렬이존재하지않아야하므로
(a+1)(a-1)-(2-b)b=0
a¤ -1-2b+b¤ =0
∴ a¤ +(b-1)¤ =2
따라서점 (a, b)가나타내는도형의길이는 2'2p이다.
답⃞ ④
05 행렬A를 ¶ •로놓으면
A¶ •=¶ •에서
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ 2a+b=2, 2c+d=0 yy㉠
A¤ ¶ •=¶ •에서
A¤ ¶ •=AA¶ •=A¶ •이므로
A¶ •=¶ •
즉, ¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ 2a=2, 2c=-2 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=1, b=0, c=-1, d=2이므로
A=¶ •
A‹ =¶ •¶ •¶ •=¶ •
행렬A‹으로나타내어지는일차변환에의하여점 (3, 4)가옮겨지는
점은
¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 11)
따라서 p=3, q=11이므로
p+q=14
답⃞ 14
조건에서A¶ •=¶ • yy㉠
이고, A¤ ¶ •=¶ •에서2
-2
2
1
2
0
2
1
3
11
3
4
1 0
-7 8
1 0
-7 8
1 0
-1 2
1 0
-1 2
1 0
-1 2
1 0
-1 2
2a
2c
2
0
a b
c d
2
-2
2
-2
2
0
2
0
2
1
2
1
2
-2
2
1
2a+b
2c+d
2
1
a b
c d
2
0
2
0
2
1
a b
c d
a+1 2-b
b a-1
0
0
x
y
a+1 2-b
b a-1
0
0
x
y
x
y
a+2 2-b
b a
x
y
x
y
a+2 2-b
b a
4 수능완성수학영역기하와벡터
A¤ ¶ •=AA¶ •=A¶ •이므로
A¶ •=¶ • yy㉡
㉠, ㉡에서A¶ •=¶ •
∴A=¶ •¶ •—⁄
∴A= ¶ •¶ •
∴A=- ¶ •
∴A=¶ •
A‹ =¶ •¶ •¶ •=¶ •
행렬A‹으로나타내어지는일차변환에의하여점 (3, 4)가옮겨지는
점은
¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 11)
따라서 p=3, q=11이므로
p+q=14
06 일차변환 f를나타내는행렬을X라하면
일차변환 f가점A를점B로옮기므로
X¶ •=¶ • yy㉠
일차변환 f가점B를점C로옮기므로
X¶ •=¶ •에서X¶ •=· ‚ yy㉡
일차변환 f가점C를점A로옮기므로
X¶ •=¶ • yy㉢
㉠, ㉡에서
X¶ •=· ‚
∴X=· ‚
행렬X를㉢에대입하면
· ‚¶ •=¶ •, · ‚=¶ •
- =1, a=- yy㉣
-2a- =0 yy㉤b¤2
2b
ab2
1
0
-:Å2ı:
-2a-:2B¤;;
1
0
a
b
0 -;2A;
-2 -;2B;
0 -;2A;
-2 -;2B;
0 -;2A;
-2 -;2B;
1 0
0 1
1
0
a
b
-;2A;
-;2B;
0
1
a
b
0
-2
0
-2
1
0
3
11
3
4
1 0
-7 8
1 0
-7 8
1 0
-1 2
1 0
-1 2
1 0
-1 2
1 0
-1 2
-2 0
2 -4
12
0 -2
-1 2
2 2
0 -2
1-2
2 2
1 0
2 2
0 -2
2 2
0 -2
2 2
1 0
2
-2
2
0
2
0
2
1
2
1
㉣을㉤에대입하면
- =0, b‹ -8=0
(b-2)(b¤ +2b+4)=0 ∴ b=2
a=- =-1
∴ a+b=1
답⃞ ①
07 점 P(x, y)에서 직선 y=2x
에 내린 수선의 발을 H(x', y')이라
하면 점 H는 직선 y=2x 위에 있으
므로
y'=2x' yy㉠
직선 PH와직선 y=2x는서로수직
이므로
_2=-1 yy㉡
㉠, ㉡을연립하면
x'= x+ y, y'= x+ y
위의식을행렬을이용하여나타내면
¶ •=· ‚¶ •
따라서일차변환 f를나타내는행렬은 · ‚이므로모든성분의
합은
+ + + =
답⃞ ③
08 A=¶ •, B=¶ •로놓으면
f(A)=¶ •, f(B)=¶ •
¶ •=2¶ •-¶ •=2A-B이므로
f(2A-B)=2f(A)-f(B)
f(2A-B)=2¶ •-¶ •
f(2A-B)=¶ •
따라서구하는점의좌표는 (4, 6)이다.
답⃞ ④
09 일차변환의성질에의하여
f(3A+B)=3f(A)+f(B)=¶ • yy㉠
f(2A-B)=2f(A)-f(B)=¶ • yy㉡2
-1
3
1
4
6
2
-4
3
1
b
2
a
2
2a-b
2
2
-4
3
1
b
2
a
2
95
45
25
25
15
;5!; ;5@;
;5@; ;5$;
x
y
;5!; ;5@;
;5@; ;5$;
x'
y'
45
25
25
15
y-y'x-x'
y
xO
y=2x
P{x, y}
H{x ', y '}
2b
b¤2
4b
5정답과풀이
㉠+㉡에서
5f(A)=¶ • ∴ f(A)=¶ •
㉡에서
f(B)=2f(A)-¶ •=¶ •-¶ •=¶ •
∴ f(A+B)=f(A)+f(B)=¶ •+¶ •=¶ •
따라서 a=1, b=1이므로
a+b=2
답⃞ ②
10 세점A, B, C의 x좌표를각각 a, b, c라하자. 일차변환 f를
나타내는행렬을X라하면점A(a, b), B(b, a)가모두일차변환 f
에의하여점C(c, c)로옮겨지므로
X¶ •=¶ •, X¶ •=¶ •
마름모의 두 대각선의 중점은 일치하므로 = , 즉 a+b=c
이다.
X¶ •=X¶ •=X‡¶ •+¶ •°
X¶ •=X¶ •+X¶ •=¶ •+¶ •
X¶ •=¶ •
따라서일차변환 f에의하여점C가옮겨지는점은F(2c, 2c)이다.
답⃞ ④
2c
2c
c
c
c
c
b
a
a
b
b
a
a
b
a+b
a+b
c
c
c2
a+b2
c
c
b
a
c
c
a
b
1
1
0
1
1
0
0
1
2
-1
2
0
2
-1
1
0
5
0
01 x축과 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬이 각각
A, B이므로
A=¶ •, B=¶ •
A+B=¶ •+¶ •=¶ •이므로
¶ •¶ •=¶ • ∴Q(3, 3)
AB=¶ •¶ •=¶ •이므로
¶ •¶ •=¶ • ∴R(0, -3)
따라서선분QR의길이는
"√(0-3)¤ + √(-3-3)¤ =3'5
답⃞ ⑤
02 주어진일차변환에의하여직선 y=;3!;x-2위의점 (x, y)가
옮겨지는점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
x'=-y, y'=-x
∴ x=-y', y=-x' yy㉠
㉠이직선 y=;3!;x-2위에있으므로
-x'=;3!;_(-y')-2
∴ 3x'-y'-6=0
위의식은점 (x', y')이만족하는식이므로옮겨진직선은
l：3x-y-6=0이다.
따라서점 (1, 2)와직선 l사이의거리는
= =
답⃞ ②
주어진일차변환은직선 y=-x에대한대칭변환을나타내므로점
(1, 2)로옮겨지는점은 (-2, -1)이다. 대칭변환에의하여대칭축
과의거리는변하지않으므로구하는값은점 (-2, -1)과직선
y=;3!;x-2, 즉 x-3y-6=0사이의거리와같다.
∴ ='∂102
|-2-3_(-1)-6|
"√1¤ +(-3)¤
'∂102
5
'∂10
|3_1-2-6|
"√3¤ +(-1)¤
-y
-x
x
y
0 -1
-1 0
x'
y'
0
-3
3
0
0 1
-1 0
0 1
-1 0
0 1
1 0
1 0
0 -1
3
3
3
0
1 1
1 -1
1 1
1 -1
0 1
1 0
1 0
0 -1
0 1
1 0
1 0
0 -1
01 ⑤ 02 ② 03 ④ 04 ① 05 ②
06 9 07 ④ 08 ③ 09 ⑤ 10 ⑤
11 39 12 ④ 13 ④
여러가지일차변환 본문 9~12쪽02
6 수능완성수학영역기하와벡터
03 원점에대한대칭변환을나타내는행렬이A, 직선 y=x에대
한대칭변환을나타내는행렬이B이므로
A=¶ •, B=¶ •
∴ a¡=-2, b¡=2
모든대칭변환을나타내는행렬의제곱은단위행렬이므로
A¤ =E, B¤ =E
자연수n에대하여
A™«=(A
™)«=E
«=E=¶ •,
A™«≠¡
=A™«A=EA=A=¶ •이므로
a™«=2, a™«≠¡=-2
B™«=(B
™)«=E
«=E=¶ •,
B™«≠¡
=B™«B=EB=B=¶ •이므로
b™«=b™«≠¡=2
∴ a™«+b™«=4, a™«≠¡+b™«≠¡=0
∴ ;K+!2 0 1 5 (a˚+b˚)=;K+!1 0 0 7 (a™˚+b™˚)
∴ ;K+!2 0 1 5 (a˚+b˚)=1007_4
=4028
답⃞ ④
04 주어진닮음변환에의하여점 (2, -5)가옮겨지는점은
¶ •¶ •=¶ •
∴ (2k, -5k)
점 (2k, -5k)가직선 2x+y+4=0위에있으므로
4k-5k+4=0 ∴ k=4
주어진닮음변환에의하여점 (1, -3)이옮겨지는점 (a, b)는
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
따라서 a=4, b=-12이므로
a+b=-8
답⃞ ①
05 닮음변환 f를나타내는행렬을 ¶ •로놓으면
닮음변환 f에의하여점A(2, 1)이옮겨지는점이A'이므로
¶ •¶ •=¶ •
∴A'(2k, k)
닮음변환 f에의하여점B(5, -5)가옮겨지는점이B'이므로
¶ •¶ •=¶ •
∴B'(5k, -5k)
선분A'B'을 2：1로내분하는점의좌표가 (8, p)이므로
5k
-5k
5
-5
k 0
0 k
2k
k
2
1
k 0
0 k
k 0
0 k
4
-12
1
-3
4 0
0 4
a
b
2k
-5k
2
-5
k 0
0 k
0 1
1 0
1 0
0 1
-1 0
0 -1
1 0
0 1
0 1
1 0
-1 0
0 -1
{ , }
={ , }
=(4k, -3k)
=(8, p)
∴ k=2, p=-6
따라서닮음변환 f를나타내는행렬은 ¶ •이므로m=4
∴m+p=-2
답⃞ ②
두점 A(2, 1), B(5, -5)에대하여선분 AB를 2：1로내분하는
점의좌표는
{ , }=(4, -3)
닮음변환 f에의하여선분AB를 2：1로내분하는점 (4, -3)은선
분 A'B'을 2：1로 내분하는 점 (8, p)로 옮겨지므로 닮음비는 2이
고, p=-6이다.
따라서닮음변환 f를나타내는행렬은 ¶ •이므로 m=4
∴m+p=-2
06 주어진 닮음변환에 의하여 원 (x-1)¤ +(y-1)¤ =k 위의
점 (x, y)가점 (x', y')으로옮겨진다고하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
x'=3x, y'=3y
∴ x= x', y= y' yy㉠
㉠이원 (x-1)¤ +(y-1)¤ =k위에있으므로
{ x'-1}¤ +{ y'-1}¤ =k
∴ (x'-3)¤ +(y'-3)¤ =9k
위의식은점 (x', y')이만족하는식이므로옮겨진도형은
(x-3)¤ +(y-3)¤ =9k
이때옮겨진도형의둘레의길이가 18p이므로
2p_3'k=18p, 'k=3 ∴ k=9
답⃞ 9
원 (x-1)¤ +(y-1)¤ =k의반지름의길이가 'k이므로주어진닮음
변환에의하여옮겨진원의반지름의길이는 3'k이다.
따라서 2p_3'k=18p이므로 k=9이다.
07 주어진닮음변환에의하여곡선 y=x¤ -2x+2위의점
(x, y)가옮겨지는점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
x'=px, y'=py
px
py
x
y
p 0
0 p
x'
y'
13
13
13
13
3x
3y
x
y
3 0
0 3
x'
y'
2 0
0 2
2_(-5)+1_12+1
2_5+1_22+1
2 0
0 2
-9k3
12k3
2_(-5k)+1_k2+1
2_5k+1_2k2+1
7정답과풀이
∴ x= x', y= y' yy㉠
㉠이곡선 y=x¤ -2x+2위에있으므로
y'={ x'}¤ -2_ x'+2
y'= (x')¤ -2x'+2p= (x'-p)¤ +p
위의식은점 (x', y')이만족하는식이므로옮겨진곡선은
y= (x-p)¤ +p
∴ f(x)= (x-p)¤ +p
그런데모든실수 x에대하여 f(x)æ5이므로 pæ5
따라서양수 p의최솟값은 5이다.
답⃞ ④
08 그림과같이원C의중심을
P, 원C와접선의접점을Q라하자.
sinh= = 이므로
OP”=3k, PQ”=2k로놓으면
AB”=2PQ”=4k
∴OA”：OB”=1：5
즉, 닮음변환 f는원점을닮음의중심으로하고닮음비가 5인닮음변
환이므로닮음변환 f를나타내는행렬은 ¶ •이다.
따라서닮음변환 f에의하여점 (1, 3)이옮겨지는점은
¶ •¶ •=¶ •이므로 (5, 15)이다.
답⃞ ③
09 원점을중심으로 p만큼회전하는회전변환을 f라하면 f를
나타내는행렬은
· ‚=· ‚
회전변환 f에의하여점 (2, a)가점 (b, 4)로옮겨지므로
¶ •=· ‚¶ •=· ‚
b=-1-::'3:2:;a, 4='3-;2!;a
∴ a=-8+2'3, b=-4+4'3
∴ a+b=-12+6'3
답⃞ ⑤
10 원점을중심으로 h만큼회전하는회전변환 f에의하여점
(-2, -2)가점 (1+'3, 1-'3)으로옮겨지므로
-1-::'3:2:;a
'3-;2!;a
2
a
-;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; -;2!;
b
4
-;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; -;2!;
cos ;3@;p -sin ;3@;p
sin ;3@;p cos ;3@;p
23
5
15
1
3
5 0
0 5
5 0
0 5
23
PQ”
OP”
y
xO
ABP
CQ
2k2k 2k
3kΩ
1p
1p
1p
1p
1p
1p
1p
1p
1p ¶ •=¶ •¶ •
¶ •=¶ •
-2cosh+2sinh=1+'3, -2sinh-2cosh=1-'3
∴ sinh= , cosh=-
따라서회전변환 f를나타내는행렬은 · ‚이고이회
전변환에의하여점 (a, b)가점 (4, 0)으로옮겨지므로
¶ •=· ‚¶ •=· ‚
- a- b=4, a- b=0
∴ a=-2, b=-2'3
∴ ab=4'3
답⃞ ⑤
11 정삼각형OAB에서∠AOB=60˘이고, OA”=OB”이므로점
B는점A를원점을중심으로 60˘만큼회전한점이다. 원점을중심으
로 60˘만큼회전하는회전변환을나타내는행렬은
¶ •=· ‚
이므로점B의좌표를구하면
· ‚¶ •=· ‚
∴B{ a- b, a+ b}
삼각형OAB의무게중심의좌표가 { , }이므로
{a+ a- b}= , {b+ a+ b}=
∴ (3a-'3b)= , ('3a+3b)=
위의두식을연립하여풀면 a=6, b='3
∴ a¤ +b¤ =36+3=39
답⃞ 39
정삼각형OAB의무게중심을G라하면
_OA”_;3@;=OG”에서 OA”='3_OG”
G{;2%;, }이므로 반직선 OG 위에서 OA”=O’G'”인 점을 G'이라
하면
G'{ , ;2(;}5'32
3'32
'32
3'32
16
52
16
3'32
12
'32
13
52
'32
12
13
3'32
52
12
'32
'32
12
;2!;a-::'3:2:;b
::'3:2:;a+;2!;b
a
b
;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; ;2!;
;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; ;2!;
cos 60˘ -sin60˘
sin 60˘ cos 60˘
12
'32
'32
12
-;2!;a-::'3:2:;b
::'3:2:;a-;2!;b
a
b
-;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; -;2!;
4
0
-;2!; -::'3:2:;
::'3:2:; -;2!;
12
'32
-2cosh+2sinh
-2sinh-2cosh
-2
-2
cosh -sinh
sinh cosh
1+'3
1-'3
8 수능완성수학영역기하와벡터
점A는점G'을원점을중심으로-30˘만큼회전한점이므로
¶ •=¶ •· ‚
¶ •=· ‚· ‚=¶ •
따라서 a=6, b='3이므로
a¤ +b¤ =36+3=39
12 그림과같이주어진반원이 x축과만나는점중에서점 A가
아닌점을F라하면
(호AC의원주각)
=(호AB의원주각)+(호BC의원주각)
=20˘+10˘=30˘
∴∠AOC=2(호AC의원주각)=60˘
(호DF의원주각)
=(호DE의원주각)+(호EF의원주각)
=12.5˘+25˘=37.5˘
∴∠DOF=2(호DF의원주각)=75˘
∠COD=180˘-(∠AOC+∠DOF)
=180˘-(60˘+75˘)=45˘
따라서점 D는점 C를원점을중심으로 45˘만큼회전하는회전변환
에의하여옮긴점이므로
¶ •=¶ •¶ •
¶ •=· ‚¶ •
¶ •=· ‚
∴ a= - k, b= + k
∴ ab={ - k}{ + k}
∴ ab={ }¤-{ k} ¤
∴ ab=
답⃞ ④
1-k¤2
'22
'22
'22
'22
'22
'22
'22
'22
'22
'22
::'2:2:;-::
'2:2:;k
::'2:2:;+::
'2:2:;k
1
k
::'2:2:; -::
'2:2:;
::'2:2:; ::
'2:2:;
1
k
cos 45˘ -sin45˘
sin 45˘ cos 45˘
a
b
y
xOA
B
CD
E
F
10æ
20æ
25æ60æ75æ45æ
12.5æ
6
'3
5'32
;2(;
::'3:2:; ;2!;
-;2!; ::'3:2:;
5'32
;2(;
cos (-30˘) -sin(-30˘)
sin (-30˘) cos (-30˘)
a
b
13 삼각함수의각의변형에의하여
cos {;2#;p+h}=sinh, sin {;2#;p+h}=-cosh
이므로
¶ •=· ‚
따라서일차변환 f [h]는원점을중심으로 ;2#;p+h만큼회전하는회전
변환이다.
즉, f [;3@;p]는 원점을 중심으로 ;2#;p+;3@;p=2p+;6“;만큼 회전하는
회전변환이고, f [;6%;p]는원점을중심으로 ;2#;p+;6%;p=2p+;3“;만큼
회전하는회전변환이므로그림에서
∠P¡OP™=;6“;
∠P™OP£=;3“;
따라서구하는삼각형P¡P™P£의넓
이는
△P¡OP™+△P™OP£-△P¡OP£
= _2_2_sin + _2_2_sin - _2_2
=1+'3-2
='3-1
답⃞ ④
12
p3
12
p6
12
y
xO-2
-2
2
P¡
P™
P£
2
π3
π6
cos {;2#;p+h} -sin {;2#;p+h}
sin {;2#;p+h} cos {;2#;p+h}
sinh cosh
-cosh sinh
9정답과풀이
03 ¶ •¤=¶ •¶ •
03 ¶ •¤=¶ •
¶ •fl=¶ •
‹
¶ •fl=¶ •
즉, 합성변환 f6을나타내는행렬은 ¶ •이다.
합성변환 f6에의하여점 (1, 1)이점 (27, 27)로옮겨지므로
¶ •fl¶ •=¶ •¶ •
¶ •fl¶ •=¶ •
¶ •fl¶ •=¶ •
(a¤ -2a)‹ =27
a는실수이므로 a¤ -2a=3, a¤ -2a-3=0
따라서모든실수 a의값의합은 2이다.
답⃞ ②
04 회전변환 f를나타내는행렬은
¶ •=· ‚이고 닮음변환 g를 나타
내는행렬은 · ‚이므로합성변환 h=g Á f를나타내는행
렬은
· ‚· ‚=· ‚=;4!;¶ •
점P¡(4, 0)이합성변환 h=g Á f에의하여옮겨지는점이P™이므로
;4!;¶ •¶ •=;4!;¶ •=¶ • ∴P™(1, 1)
∴P’¡P™”='∂10
위의그림에서삼각형OP¡P™와삼각형OP™P£은닮음비가 1：
이므로
P’™P£”= P’¡P™”'24
'24
y
xO
OP¡4
OP¡
2
P™
P£
45æ45æ
P¡{4, 0}
242
1
1
4
4
4
0
1 -1
1 1
1 -1
1 1
;4!; -;4!;
;4!; ;4!;
::'2:2:; -::
'2:2:;
::'2:2:; ::
'2:2:;
::'2:4:; 0
0 ::'2:4:;
::'2:4:; 0
0 ::'2:4:;
::'2:2:; -::
'2:2:;
::'2:2:; ::
'2:2:;
cos 45˘ -sin45˘
sin 45˘ cos 45˘
27
27
(a¤ -2a)‹
(a¤ -2a)‹
1
1
(a¤ -2a)‹ 0
0 (a¤ -2a)‹
1
1
a 2
-a -a
(a¤ -2a)‹ 0
0 (a¤ -2a)‹
(a¤ -2a)‹ 0
0 (a¤ -2a)‹
a¤ -2a 0
0 a¤ -2a
a 2
-a -a
a¤ -2a 0
0 a¤ -2a
a 2
-a -a
a 2
-a -a
a 2
-a -a
01 합성변환 fÁ g를나타내는행렬은
¶ •¶ •=¶ • yy㉠
좌표평면 위의 모든 점 (x, y)를 점 (y, x)로 옮기는 변환은 직선
y=x에대한대칭변환이므로이를나타내는행렬은
¶ • yy㉡
㉠, ㉡이일치하므로
¶ •=¶ •
3a+2c=0, 3b+2d=1, 2a+c=1, 2b+d=0
∴ a=2, b=-1, c=-3, d=2
∴ abcd=12
답⃞ 12
02 두일차변환 f, g를나타내는행렬을각각A, B라하면
A=¶ •이고, 합성변환 gÁ f에의하여두점 (0, 1), (1, -1)
이각각점 (1, -6), (4, 6)으로옮겨지므로
BA¶ •=B¶ •¶ •=B¶ •=¶ • yy㉠
BA¶ •=B¶ •¶ •=B¶ •=¶ • yy㉡
㉠, ㉡에서B¶ •=¶ •
∴B=¶ •¶ •—⁄
∴B= ¶ •¶ •
∴B=¶ •
B¶ •=¶ •¶ •=¶ •
따라서일차변환 g에의하여점 (1, 1)이옮겨지는점의좌표는
(5, 0)이다.
답⃞ ⑤
㉠, ㉡에서
B¶ •=B¶ •+B¶ •=¶ •+¶ •=¶ •
5
0
4
6
1
-6
2
-1
-1
2
1
1
5
0
1
1
3 2
2 -2
1
1
3 2
2 -2
-1 -2
-2 -1
1 4
-6 6
1-3
-1 2
2 -1
1 4
-6 6
1 4
-6 6
-1 2
2 -1
4
6
2
-1
1
-1
1 -1
1 2
1
-1
1
-6
-1
2
0
1
1 -1
1 2
0
1
1 -1
1 2
0 1
1 0
3a+2c 3b+2d
2a+c 2b+d
0 1
1 0
3a+2c 3b+2d
2a+c 2b+d
a b
c d
3 2
2 1
01 12 02 ⑤ 03 ② 04 ⑤ 05 7
06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 ① 10 ①
11 ④ 12 ③ 13 ② 14 ② 15 ④
16 10 17 ⑤
일차변환의합성과역변환 본문 14~19쪽03
10 수능완성수학영역기하와벡터
마찬가지방법으로하면수열 {P«P ”«≠¡” }은첫째항이 '∂10, 공비가
인무한등비수열이다.
∴ ;N'+!P«P ”«≠¡”= =
답⃞ ⑤
05 ¶ •=2· ‚
05 ¶ •=¶ •¶ •
이므로 일차변환 f는 원점을 중심으로 45˘만큼 회전하는 회전변환
과원점을닮음의중심으로하고닮음비가 2인닮음변환의합성변환
이다.
즉, 원 (x-1)¤ +(y-1)¤ =1 위의점 P를일차변환 f에의하여옮
긴점Q는그림과같으므로삼각형OPQ의넓이를S라하면
S= _OP”_OQ”_sin45˘
S= _OP”_2OP”_
S= OP” ¤
그런데OP”…OPº”=1+'2
이므로S의최댓값은
(1+'2)¤ =
따라서 a=4, b=3이므로
a+b=7
답⃞ 7
06 점 A를 원점을 중심으로 -120˘만큼 회전시킨 다음 x축에
대하여 대칭시킨 점이 C이고, 점 C를 원점을 중심으로 -120˘만큼
회전시킨다음 x축에대하여대칭시킨점이A이다.
따라서 일차변환 f는 원점을 중심으로-120˘만큼 회전시킨 다음 x
축에대하여대칭시키는변환이므로세점 D, E, F는일차변환 f에
의하여각각세점F, E, D로옮겨진다.
따라서구하는삼각형DEF의넓
이는
_DE”_EF”_sin120˘
= _1_1_
=
답⃞ ②
일차변환 f를나타내는행렬을X라하면일차변환 f가점 A(1, 0)
을점C{- , }으로옮기므로'32
12
'34
'32
12
12
y
xO
FE
BC
DA{1, 0}
4+3'22
'22
'22
'22
12
y
xO
P
Q
Pº
1
145æ
12
cos 45˘ -sin45˘
sin 45˘ cos 45˘
2 0
0 2
::'2:2:; -::
'2:2:;
::'2:2:; ::
'2:2:;
'2 -'2
'2 '2
4'5+8'∂107
'∂10
'21-
4
'24
X¶ •=· ‚ yy㉠
일차변환 f가점C{- , }을점A(1, 0)으로옮기므로
X· ‚=¶ • yy㉡
㉠, ㉡에서X· ‚=· ‚
∴X=· ‚· ‚
—⁄
=· ‚
일차변환 f에의하여세점D(-1, 0), E{- , - },
F{ , - }이옮겨지는점을각각D', E', F'이라하면
· ‚¶ •=· ‚ ∴D'{ , - }
· ‚· ‚=· ‚ ∴E'{- , - }
· ‚· ‚=¶ • ∴F'(-1, 0)
따라서 구하는 삼각형의
넓이는
_1_ =
일차변환 f에의하여점A는점 C로옮겨지고, 점 C는점A로옮겨
지므로일차변환 f는두점B, E를지나는직선 y='3x에대한대칭
변환과같다.
따라서세점D, E, F는일차변환 f에의하여각각세점 F, E, D로
옮겨지므로구하는삼각형DEF의넓이는
;2!;_DE”_EF”_sin120˘=;2!;_1_1_ =
07 일차변환 f를나타내는행렬을 A라하면일차변환 f에의하
여점 (1, 1), (3, -2)가각각점 (a, -1), (-2, b)로옮겨지므로
A¶ •=¶ •, A¶ •=¶ •
-2
b
3
-2
a
-1
1
1
'34
'32
'34
'32
12
y
xOF'{-1, 0}
D' -{ }12 , 2
3E' --{ }1
2 , 23
-1
0
;2!;
-::'3:2:
-;2!; ::'3:2:
::'3:2: ;2!;
'32
12
-;2!;
-::'3:2:
-;2!;
-::'3:2:
-;2!; ::'3:2:
::'3:2: ;2!;
'32
12
;2!;
-::'3:2:
-1
0
-;2!; ::'3:2:
::'3:2: ;2!;
'32
12
'32
12
-;2!; ::'3:2:;
::'3:2:; ;2!;
1 -;2!;
0 ::'3:2:;
-;2!; 1
::'3:2:; 0
-;2!; 1
::'3:2:; 0
1 -;2!;
0 ::'3:2:;
1
0
-;2!;
::'3:2:;
'32
12
-;2!;
::'3:2:;
1
0
11정답과풀이
∴A—⁄ ¶ •=¶ •, A—⁄ ¶ •=¶ •
역변환 f—⁄에의하여점 (2-a, 1-b)가옮겨지는점의좌표는
A—⁄ ¶ •=A—⁄ ‡-¶ •-¶ •°
A—⁄ ¶ •=-A—⁄ ¶ •-A—⁄ ¶ •
A—⁄ ¶ •=-¶ •-¶ •
A—⁄ ¶ •=¶ •
따라서 x=-4, y=1이므로
xy=-4
답⃞ ④
08 일차변환 f를나타내는행렬이A¤ ‚ ⁄ fi이고 f—⁄ (Q)=P이므로
f(P)=Q=¶ •, 즉 A¤ ‚ ⁄ fi P=¶ •
위식의양변의왼쪽에A—⁄를곱하면
A—⁄ A¤ ‚ ⁄ fi P=A—⁄ ¶ •
A¤ ‚ ⁄ › P=A—⁄ ¶ •=¶ •—⁄¶ •
A¤ ‚ ⁄ › P= ¶ •¶ •=¶ •¶ •
A¤ ‚ ⁄ › P=¶ •
∴ g(P)=¶ •
답⃞ ⑤
09 일차변환 f를나타내는행렬을A라하면
f(P)+f(Q)=f(P+Q)=¶ •에서
A‡¶ •+¶ •°=¶ •
∴A¶ •=¶ •
위식의양변의왼쪽에A—⁄를곱하면
A—⁄ A¶ •=A—⁄ ¶ •, ¶ •=A—⁄ ¶ •
∴ f—⁄ (P)=A—⁄ ¶ •=- A—⁄ ¶ •
∴ f—⁄ (P)=- ¶ •=ª º
따라서 a=-1, b=- 이므로
a-b=-
답⃞ ①
12
12
-1
-;2!;
2
1
12
-6
2
12
3
-1
-6
2
2
1
-6
2
2
1
-6
2
2
1
-6
2
-1
2
3
-1
-6
2
12
17
12
17
5
2
2 1
3 1
5
2
-2 -1
-3 -1
1-1
5
2
-1 1
3 -2
5
2
5
2
5
2
5
2
-4
1
3
-2
1
1
-2
b
a
-1
-2
b
a
-1
2-a
1-b
3
-2
-2
b
1
1
a
-110 일차변환 g를나타내는행렬을 ¶ •라하면합성변환
g—⁄ Á f—⁄를나타내는행렬은
¶ •—⁄¶ •
—⁄yy㉠
원점에대한대칭변환을나타내는행렬은
¶ • yy㉡
㉠과㉡이서로같으므로
¶ •—⁄¶ •
—⁄=¶ •
¶ •—⁄=¶ •¶ •=¶ •
∴ ¶ •=¶ •—⁄= ¶ •
따라서 a=- , b=- , c= , d=- 이므로
a+b+c+d=-
답⃞ ①
11 두일차변환 f, g를나타내는행렬을각각A, B라하면일차
변환 f는직선 y=x에대한대칭변환이므로 A=¶ •
합성변환 (f—⁄ Á g)—⁄ Á g—⁄ Á f=g—⁄ Á f Á g—⁄ Á f를나타내는행렬이
¶ •이므로 B—⁄ AB—⁄ A=¶ • yy㉠
㉠의양변의왼쪽과오른쪽에각각A, A—⁄를곱하면
AB—⁄ AB—⁄ AA—⁄ =A¶ •A—⁄
AB—⁄ AB—⁄ =A¶ •A—⁄
AB—⁄ AB—⁄ =¶ •¶ •¶ •—⁄
AB—⁄ AB—⁄ =¶ •
따라서합성변환 f Á g—⁄ Á (g Á f—⁄ )—⁄ =f Á g—⁄ Á f Á g—⁄를나타내는
행렬은 ¶ •이다.
답⃞ ④
12 일차변환 f, g, h를나타내는행렬을각각A, B, C라하면
A=¶ •, B=¶ •,
C=¶ •=¶ •
ㄱ. 합성변환 g Á f, h Á h를나타내는행렬이각각BA, C¤이므로
ㄱ. BA=¶ •¶ •=¶ •
-1 0
0 -1
0 1
1 0
0 -1
-1 0
0 -1
1 0
cos 90˘ -sin90˘
sin 90˘ cos 90˘
0 -1
-1 0
0 1
1 0
-3 2
-1 1
-3 2
-1 1
0 1
1 0
1 -1
2 -3
0 1
1 0
1 -1
2 -3
1 -1
2 -3
1 -1
2 -3
1 -1
2 -3
0 1
1 0
12
38
14
18
14
-2 -1
2 -3
18
-3 1
-2 -2
a b
c d
-3 1
-2 -2
3 -1
2 2
-1 0
0 -1
a b
c d
-1 0
0 -1
3 -1
2 2
a b
c d
-1 0
0 -1
3 -1
2 2
a b
c d
a b
c d
12 수능완성수학영역기하와벡터
ㄱ. C¤ =¶ •¶ •=¶ •
ㄱ. 따라서BA=C¤이므로 g Á f=h Á h이다. (참)
ㄴ. ㄱ에서 g Á f=h Á h이므로
h Á (f —⁄ Á g—⁄ )—⁄ Á h=h Á (g Á f )Á h
=h Á (h Á h)Á h
=h Á h Á h Á h
ㄱ. 이때합성변환 h Á h Á h Á h는원점을중심으로 90˘_4=360˘만
큼회전하는회전변환이므로항등변환이다. (참)
ㄷ. 일차변환 k를나타내는행렬을D라하면
h=k Á f에서 k=h Á f —⁄이므로
ㄱ. D=CA—⁄ =¶ •¶ •—⁄=¶ •
ㄱ. 이때 k Á h Á g Á f를나타내는행렬은
ㄱ. DCBA=¶ •¶ •¶ •¶ •
ㄱ. DCBA=¶ •
ㄱ. 따라서 k Á h Á g Á f는항등변환이아니다. (거짓)
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.
답⃞ ③
13 주어진일차변환에의하여직선 x-4y=-2 위의점 (x, y)
가옮겨지는점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ x'=ax+2y, y'=2x+by yy㉠
이때점 (x', y')은직선 x-y=2위의점이므로
x'-y'=2 yy㉡
㉠을㉡에대입하면
(ax+2y)-(2x+by)=2
∴ (2-a)x+(b-2)y=-2
이직선이직선 x-4y=-2와같으므로
2-a=1, b-2=-4 ∴ a=1, b=-2
∴ ab=-2
답⃞ ②
주어진 일차변환에 의하여 직선 x-4y=-2 위의 두 점 (-2, 0),
(2, 1)이옮겨지는점은
¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2a, -4)
¶ •¶ •=¶ • ∴ (2a+2, 4+b)
이때두점 (-2a, -4), (2a+2, 4+b)가모두직선 x-y=2 위
에있으므로
-2a-(-4)=2, (2a+2)-(4+b)=2
∴ a=1, b=-2
∴ ab=-2
2a+2
4+b
2
1
a 2
2 b
-2a
-4
-2
0
a 2
2 b
ax+2y
2x+by
x
y
a 2
2 b
x'
y'
0 -1
-1 0
0 1
1 0
0 -1
-1 0
0 -1
1 0
-1 0
0 1
-1 0
0 1
0 1
1 0
0 -1
1 0
-1 0
0 -1
0 -1
1 0
0 -1
1 014 주어진일차변환에의하여직선 y=x-2 위의점 (x, y)가
옮겨지는점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •
¶ •=¶ •—⁄¶ •= ¶ •¶ •
¶ •=· ‚¶ •=· ‚
∴ x=;2A;x'+y', y=-;2!;x' yy㉠
㉠이직선 y=x-2위에있으므로
-;2!;x'=;2 A;x'+y'-2
y'=- x'+2
위의식은점 (x', y')이만족하는식이므로옮겨진직선은
y=- x+2 yy㉡
㉡이곡선 y=-x¤에접하므로
-x¤ =- x+2
2x¤ -(a+1)x+4=0
위의이차방정식의판별식을D라하면
D=(a+1)¤ -4_2_4=0
a¤ +2a-31=0
따라서이차방정식의근과계수의관계에서모든 a의값의합은-2
이다.
답⃞ ②
15 두점 P(2, 0), Q(0, -4)가일차변환 f에의하여옮겨진점
P', Q'은
¶ •¶ •=¶ • ∴P'(8, 2a)
¶ •¶ •=¶ • ∴Q'(12, -4b)
두점P, Q가직선 l：y=2x-4 위에있으므로두점P', Q'은직선
l'위에있다.
(가)에서직선P'Q'이직선 l：y=2x-4와수직이므로
_2=-1
∴ a+2b=1 yy㉠
(나)에서∠OP'Q'이직각이므로직선OP'과직선P'Q'이수직이다.
즉, _{- }=-1 ∴ a=8 yy㉡
㉡을㉠에대입하면 b=-
∴ ab=-28
답⃞ ④
16 일차변환 f에의하여좌표평면위의모든점이원점을지나는
72
12
2a8
-4b-2a12-8
12
-4b
0
-4
4 -3
a b
8
2a
2
0
4 -3
a b
a+12
a+12
a+12
;2A;x'+y'
-;2!;x'
x'
y'
;2 A; 1
-;2!; 0
x'
y'
a 2
-1 0
12
x'
y'
0 -2
1 a
x
y
x
y
0 -2
1 a
x'
y'
13정답과풀이
직선으로옮겨지므로 f의역변환이존재하지않는다.
즉, 행렬 ¶ •의역행렬이존재하지않으므로
-1_(a+2)-(a-3)_(-2)=0 ∴ a=8
좌표평면위의점 (x, y)가행렬 ¶ •으로나타내어지는일차
변환 f에의하여옮겨지는점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
x'=-x+5y, y'=-2x+10y
이두식을연립하면 y'=2x'
따라서옮겨진직선은 y=2x이므로 b=2
∴ a+b=10
답⃞ 10
17 일차변환 f에의하여직선 y=5x+1 위의점 (x, 5x+1)이
옮겨진점을 (x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •
¶ •=¶ •
¶ •=¶ •
∴ x'=(a-5)x-1, y'=(-10+5b)x+b
그런데점 (x', y')이나타내는도형이한점이므로 x', y'은 x의값에
관계없이일정한값을가진다.
즉, a-5=0, -10+5b=0 ∴ a=5, b=2
따라서일차변환 f를나타내는행렬은 ¶ •이다.
ㄱ. 일차변환 f에의하여점 (x, y)가점 (0, 0)으로옮겨진다고하면
ㄱ. ¶ •=¶ •¶ •=¶ •
ㄱ. ∴ 5x-y=0, -10x+2y=0
따라서직선 y=5x 위의모든점이일차변환 f에의하여원점으
로옮겨진다. (거짓)
ㄴ. 일차변환 f에의하여직선 y=5x-1 위의점 (x, y)가옮겨지는
점은
ㄱ. ¶ •¶ •=¶ •=¶ •
ㄱ. 이므로 (1, -2)이다. (참)
ㄷ. 일차변환 f에의하여점 (x, y)가옮겨지는점을 (x', y')이라하면
ㄱ. ¶ •=¶ •¶ •=¶ •
ㄱ. ∴ x'=5x-y, y'=-10x+2y
위식을 x', y'에대한식으로정리하면 y'=-2x'
따라서일차변환 f에의하여좌표평면위의모든점은직선
y=-2x위의점으로옮겨진다. (참)
그러므로옳은것은ㄴ, ㄷ이다.
답⃞ ⑤
5x-y
-10x+2y
x
y
5 -1
-10 2
x'
y'
1
-2
5x-y
-10x+2y
x
y
5 -1
-10 2
5x-y
-10x+2y
x
y
5 -1
-10 2
0
0
5 -1
-10 2
(a-5)x-1
(-10+5b)x+b
ax-(5x+1)
-10x+b(5x+1)
x
5x+1
a -1
-10 b
x'
y'
-x+5y
-2x+10y
x
y
-1 5
-2 10
x'
y'
-1 5
-2 10
-1 a-3
-2 a+2 01 ④ 02 ④ 03 6 04 ④ 05 ③
06 ① 07 ② 08 ① 09 ③ 10 ③
11 8 12 ④ 13 ① 14 ③
본문 20~23쪽
01 점 P의좌표를 (x, y)로놓으면점 P가일차변환 f에의하여
옮겨지는점Q는
¶ •¶ •=¶ •
∴Q(x+3y, 3x+y)
두점P, Q사이의거리가 6이므로
PQ”="√{(x+3y)-x}¤ +√{(3x+y)-y}¤ ="√9x¤ +9y¤ =6
9x¤ +9y¤ =36 ∴ x¤ +y¤ =4
따라서점 P가나타내는도형은반지름의길이가 2인원이므로도형
의길이는 4p이다.
답⃞ ④
02 일차변환 f에의하여두점 (3, 2), (1, 1)이각각점 (6, 4),
(0, 1)로옮겨지므로
A¶ •=¶ •, A¶ •=¶ •
¶ •=¶ •-¶ •이므로
A¶ •=A‡¶ •-¶ •°=A¶ •-A¶ •
A¶ •=¶ •-¶ •=¶ •=3¶ •
A¤ ¶ •=AA¶ •=3A¶ •=3¤ ¶ •
⋯
A49¶ •=3
49¶ •=¶ •
∴ a=2¥349, b=349
log (a+b)=log 350=50 log 3=50_0.4771=23.855
따라서 log (a+b)의지표가 23이므로 a+b는 24자리의정수이다.
답⃞ ④
03 일차변환 f를나타내는행렬을A라하면 f—⁄에의하여점
(1, 2)가점 (1, 1)로옮겨지므로
A—⁄ ¶ •=¶ •에서
A¶ •=¶ • yy㉠
합성변환 fÁ f에의하여점 (1, 1)이점 (0, 3)으로옮겨지므로
A¤ ¶ •=¶ •, AA¶ •=¶ •
0
3
1
1
0
3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
a
b
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
6
3
0
1
6
4
1
1
3
2
1
1
3
2
2
1
1
1
3
2
2
1
0
1
1
1
6
4
3
2
x+3y
3x+y
x
y
1 3
3 1
14 수능완성수학영역기하와벡터
A¶ •=¶ • yy㉡
㉠, ㉡에서
A¶ •=¶ •
∴A=¶ •¶ •—⁄
∴A= ¶ •¶ •
∴A=¶ •
일차변환 f에의하여점 (2, 5)가옮겨지는점은
¶ •¶ •=¶ •이므로 (-1, 7)이다.
따라서 a=-1, b=7이므로
a+b=6
답⃞ 6
A¶ •=¶ •, A¶ •=¶ •에서
A¶ •=A[3¶ •-¶ •]
A¶ •=3A¶ •-A¶ •
A¶ •=3¶ •-¶ •
A¶ •=¶ •
따라서 a=-1, b=7이므로
a+b=6
04 일차변환 f：(x, y) 2⁄ (4x+y, ax+y)를행렬을이용하
여나타내면
¶ •=¶ •¶ •
이므로일차변환 f에의하여 x축위의점 (x, 0)이옮겨진점은
¶ •¶ •=¶ •이므로 (4x, ax)이다.
점 (4x, ax)가 x축위에있으므로 ax=0이어야한다.
그런데 ax=0은모든실수 x에대하여성립하므로 a=0
따라서일차변환 f를나타내는행렬은 ¶ •이다.
일차변환 f에의하여네점 O, A, B, C가옮겨진점을각각 O', A',
B', C'이라하면
¶ •¶ •=¶ • ∴O'(0, 0)
¶ •¶ •=¶ • ∴A'(4, 0)4
0
1
0
4 1
0 1
0
0
0
0
4 1
0 1
4 1
0 1
4x
ax
x
0
4 1
a 1
x
y
4 1
a 1
x'
y'
-1
7
1
2
0
3
1
1
1
2
1
1
1
2
2
5
0
3
1
2
1
2
1
1
-1
7
2
5
2 -1
1 1
2 -1
1 1
2 -1
-1 1
1 0
2 3
12-1
1 1
1 2
1 0
2 3
1 0
2 3
1 1
1 2
0
3
1
2¶ •¶ •=¶ • ∴B'(5, 1)
¶ •¶ •=¶ • ∴C'(1, 1)
따라서사각형O'A'B'C'은그림과
같은 평행사변형이므로 둘레의 길
이는 8+2'2이다.
답⃞ ④
05 행렬 ¶ •으로나타내어지는일차변환 f에의하여
점P«(a«, b«)이옮겨지는점이P«≠¡(a«≠¡, b«≠¡)이므로
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
a«≠¡=a«+b« yy㉠
b«≠¡=3b« yy㉡
㉡에서 b«=b¡¥3«–¡
=3¥3«–¡
=3«
yy㉢
㉢을㉠에대입하면
a«≠¡=a«+3«
næ2일때,
a«=a¡+ ;nK-+1!3˚
a«=2+
a«= ¥3«+ yy㉣
n=1을㉣에대입하면성립하므로
a«= ¥3«+ (næ1)
∴ =
∴ =
∴ =
∴ =
답⃞ ③
06 일차변환 f를나타내는행렬을A라하면점 (0, 2)가일차변
환 f에의하여점 (-1, '3)으로옮겨지므로
A¶ •=¶ • yy㉠
점 (0, 2)가합성변환 f ¤에의하여점 (-'3, 1)로옮겨지므로
A¤ ¶ •=AA¶ •=A¶ •=¶ • yy㉡
㉠, ㉡에서 A¶ •=¶ •
-1 -'3
'3 1
0 -1
2 '3
-'3
1
-1
'3
0
2
0
2
-1
'3
0
2
32
;2#;+;2!;¥{;3!;}«
{;3@;}«+1limn ⁄¶
;2!;¥3«≠¡
+;2!;
2«+3
«limn ⁄¶
{;2!;¥3«+;2!;}+3
«
2«+3
«limn ⁄¶
a«+b«2«+3
«limn⁄¶
12
12
12
12
3¥(3«–¡
-1)3-1
a«+b«
3b«
a«
b«
1 1
0 3
a«≠¡
b«≠¡
1 1
0 3
y
xO A '{4, 0}
B '{5, 1}C '{1, 1}
1
1
0
1
4 1
0 1
5
1
1
1
4 1
0 1
15정답과풀이
A=· ‚
A8=· ‚
A8=¶ •
A8=¶ •=E
A8-E=O
(A-E)(A7+A
6+A
5+y+A+E)=O yy㉠
한편, A-E=· ‚에서
{ -1}¤ -{- }_ =2-'2+0
따라서A-E의역행렬이존재한다.
㉠의양변의왼쪽에 (A-E)—⁄를곱하면
A7+A
6+A
5+y+A+E=O
∴A7+A
6+A
5+y+A=-E
답⃞ ①
A›은 원점을 중심으로 p만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬이
므로원점에대한대칭변환을나타내는행렬이다.
즉, A› =¶ •=-E이므로
E+A› =O, A+Afi =O, A¤ +Afl =O, A‹ +A‡ =O
∴A‡ +Afl +Afi +y+A=-E
09 일차변환 f에의하여직선이한점으로옮겨지므로 f의역변
환이존재하지않는다.
즉, 행렬 ¶ •의역행렬이존재하지않으므로
1_6-(-3)_a=0
∴ a=-2
직선 3x+by-3=0 위의점 (x, y)가행렬 ¶ •으로나타
내어지는일차변환 f에의하여점 (1, c)로옮겨지므로
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
x-3y=1 yy㉠
-2x+6y=c yy㉡
㉠에서 3x-9y-3=0이고 점 (x, y)는 직선 3x+by-3=0 위의
점이므로 b=-9
이때㉡에서 c=-2(x-3y)=-2_1=-2
∴ a+b+c=-13
답⃞ ③
x-3y
-2x+6y
x
y
1 -3
-2 6
1
c
1 -3
-2 6
1 -3
a 6
-1 0
0 -1
'22
'22
'22
cos ;4“;-1 -sin ;4“;
sin ;4“;` cos ;4“;-1
1 0
0 1
cos 2p -sin2p
sin 2p cos2p
cos {;4“;_8} -sin {;4“;_8}
sin {;4“;_8} cos {;4“;_8}
cos ;4“; -sin ;4“;
sin ;4“; cos ;4“;
A=¶ •¶ •—⁄
A= ¶ •¶ •
A=· ‚
A=· ‚
합성변환 f ⁄ ‚을나타내는행렬은
A⁄ ‚ =· ‚
A⁄ ‚ =· ‚
A⁄ ‚ =· ‚
이때합성변환 f10에의하여점 ('3, 1)이옮겨지는점은
A10¶ •=· ‚¶ •=¶ •
이므로 ('3, -1)이다.
따라서 a='3, b=-1이므로
ab=-'3
답⃞ ①
07 y=log£ x
∑직선 y=x에대한대칭이동
y=3≈
∑원점에대한대칭이동y=-3—≈ =-{;3!;}≈
직선 y=x에대한대칭변환을 g, 원점에 대한 대칭변환을 h라하면
일차변환 g, h를나타내는행렬은각각
¶ •, ¶ •
이고, f=h Á g이므로일차변환 f를나타내는행렬은
¶ •¶ •=¶ •
답⃞ ②
08 원점을중심으로 만큼회전하는회전변환을나타내는행렬
이A이므로
p4
0 -1
-1 0
0 1
1 0
-1 0
0 -1
-1 0
0 -1
0 1
1 0
'3
-1
'3
1
;2!; ::'3:2:;
-::'3:2:; ;2!;
'3
1
;2!; ::'3:2:;
-::'3:2:; ;2!;
cos ;3%;p -sin ;3%;p
sin ;3%;p cos ;3%;p
cos {;6“;_10} -sin {;6“;_10}
sin {;6“;_10} cos {;6“;_10}
cos ;6“; -sin ;6“;
sin ;6“; cos ;6“;
::'3:2:; -;2!;
;2!; ::'3:2:;
'3 1
-2 0
-1 -'3
'3 1
12
0 -1
2 '3
-1 -'3
'3 1
16 수능완성수학영역기하와벡터
일차변환 f에의하여직선 3x+by-3=0 yy ㉠위의임의의
점 (x, y)가점 (1, c)로옮겨지므로
¶ •¶ •=¶ •=¶ •
x-3y=1 yy㉡
ax+6y=c yy㉢
㉠-㉡_3에서 (b+9)y=0 yy㉣
㉡_2+㉢에서 (2+a)x=2+c yy㉤
㉣, ㉤이모든실수 x, y에대하여성립하므로
a=-2, b=-9, c=-2
∴ a+b+c=-13
10 x축에대한대칭변환을나타내는행렬은 ¶ •이므로
¶ •¶ •=¶ • ∴Q(a, -b)
원점을 닮음의 중심으로하고 닮음비가 2인닮음변환을 나타내는 행
렬은 ¶ •이므로
¶ •¶ •=¶ • ∴R(2a, 2b)
그림과 같이 점 R에서 선분 PQ의 연
장선에내린수선의발을H라하면삼
각형PQR의넓이가 2이므로
;2!;_PQ”_RH”=2
;2!;_2b_a=2
∴ ab=2
a>0, b>0이므로
a+bæ2'∂ab=2'2 (단, 등호는 a=b='2일때성립한다.)
따라서 a+b의최솟값은 2'2이다.
답⃞ ③
11 두직선 l, m의교점이 (0, 6)이므로
l：y=ax+6
m：y=bx+6
으로놓을수있다.
직선 l위의점 (x, y)가일차변환 f에의하여옮겨지는점을
(x', y')이라하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ x'=2x+y, y'=x+y yy㉠
점 (x', y')은직선m위의점이므로
∴ y'=bx'+6 yy㉡
㉠을㉡에대입하면
x+y=b(2x+y)+6
(1-b)y=(2b-1)x+6
2x+y
x+y
x
y
2 1
1 1
x'
y'
y
xO
H
P{a, b}
R{2a, 2b}
Q{a, -b}
2a
2b
a
b
2 0
0 2
2 0
0 2
a
-b
a
b
1 0
0 -1
1 0
0 -1
1
c
x-3y
ax+6y
x
y
1 -3
a 6
∴ y= x+
이직선이직선 l：y=ax+6과일치하므로
a= , 6=
∴ a=-1, b=0
따라서두직선 l, m의방정식은
l：y=-x+6
m：y=6
이므로두직선과직선 x=4로둘러싸
인부분의넓이는그림에서
;2!;_4_4=8
답⃞ 8
일차변환 f에의하여직선 l이직선m으로옮겨지므로직선 l 위의
점 (x¡, y¡)이직선m위의점 (0, 6)으로옮겨진다고하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
2x¡+y¡=0, x¡+y¡=6
∴ x¡=-6, y¡=12
∴ (x¡, y¡)=(-6, 12)
직선 l은두점 (-6, 12), (0, 6)을지나는직선이므로
y-6= (x-0)
∴ l：y=-x+6
마찬가지방법으로직선 l 위의점 (0, 6)이직선m 위의점 (x™, y™)
로옮겨진다고하면
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ (x™, y™)=(6, 6)
직선m은두점 (0, 6), (6, 6)을지나는직선이므로
m：y=6
따라서두직선과직선 x=4로둘러싸인부분의넓이는
;2!;_4_4=8
12 선분 I¡은 합성변환 f ¤에 의하여 선분 I™로 옮겨지므로 선분
I¡의양끝점은합성변환 f ¤에의하여선분 I™의양끝점으로옮겨진
다. 선분 I¡의양끝점을선분 I™의양끝점으로보내는방법은두가
지가있고, 어느경우에도선분 I¡의중점은선분 I™의중점으로옮겨
지므로일차변환 f를나타내는행렬을A라하면
A¤ ª º=¶ • ∴A¤ ¶ •=¶ • yy㉠
마찬가지로합성변환 f fi에의하여선분 I¡의중점은선분 I£의중점으
로옮겨지므로
Afi ª º=¶ • ∴Afi ¶ •=¶ • yy㉡
㉡에서
64
32
1
2
32
16
;2!;
1
4
8
1
2
2
4
;2!;
1
6
6
0
6
2 1
1 1
x™
y™
6-120-(-6)
2x¡+y¡
x¡+y¡
x¡
y¡
2 1
1 1
0
6
y
xO
y=6
x=4
4
2
6
y=-x+6
61-b
2b-11-b
61-b
2b-11-b
17정답과풀이
Afi ¶ •=A‹ A¤ ¶ •=A‹ ¶ •
Afi ¶ •=4A‹ ¶ •=4AA¤ ¶ •
Afi ¶ •=4A¶ •=16A¶ •
Afi ¶ •=¶ •
이므로
A¶ •=¶ • yy㉢
㉠에서A¤ ¶ •=AA¶ •=A¶ •=¶ •
∴A¶ •=¶ • yy㉣
㉢, ㉣에서A¶ •=¶ •
A=¶ •¶ •—⁄
A= ¶ •¶ •
A=¶ •
따라서일차변환 f에의하여점 (3, 5)가옮겨지는점은
A¶ •=¶ •¶ •=¶ •
이므로 (10, 6)이다.
답⃞ ④
그림에서 직선 y=x에 대한대칭변환을 g, 원점을 닮음의 중심으로
하고닮음비가 2인닮음변환을 h라하면 f=h Á g이므로일차변환 f
를나타내는행렬은 ¶ •¶ •=¶ •임을알수있다.
13 일차변환 f를나타내는행렬을 ¶ •라하자.
곡선 y=x¤ 위의 점 (x, x¤ )이 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점을
(x', y')이라하면
a b
c d
y
xO
y=x
f 2f 5
2 8 3214
16
0 2
2 0
0 1
1 0
2 0
0 2
10
6
3
5
0 2
2 0
3
5
0 2
2 0
1 -2
-2 1
4 2
2 4
1-3
1 2
2 1
4 2
2 4
4 2
2 4
1 2
2 1
2
4
2
1
4
8
4
2
1
2
1
2
4
2
1
2
64
32
1
2
4
8
1
2
1
2
4
8
1
2
1
2¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ x'=ax+bx¤ , y'=cx+dx¤ yy㉠
점 (x', y')은곡선 y=-x¤ 위에있으므로
y'=-(x')¤ yy㉡
㉠을㉡에대입하면
cx+dx¤ =-(ax+bx¤ )¤
b¤ x› +2abx‹ +(a¤ +d)x¤ +cx=0
위의등식이모든실수 x에대하여성립하므로
b¤ =0, 2ab=0, a¤ +d=0, c=0
∴ b=0, c=0, a¤ +d=0 yy㉢
일차변환 f에의하여점 (1, -1)이점 (2, 4)로옮겨지므로
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ 2=a-b, 4=c-d yy㉣
㉢, ㉣에서 a=2, b=0, c=0, d=-4
따라서일차변환 f를나타내는행렬이 ¶ •이므로모든성분의
합은-2이다.
답⃞ ①
14 두곡선 y=x¤ , y=-x¤과직선 x=1의교점의좌표가각각
(1, 1), (1, -1)이므로구하는회전체의부피는그림의어두운부분
을 y축의둘레로회전시킨회전체의부피의 2배와같다.
따라서구하는회전체의부피는
2p:)1 1¤ dy-2p:)1 x¤ dy
=2p:)1 1dy-2p:)1 ydy
=2p[y]1)-2p[;2!;y¤ ]1)
=2p-p
=p
답⃞ ③
x=1
y
xO
y=-x@
y=x@
1
1
-1
2 0
0 -4
a-b
c-d
1
-1
a b
c d
2
4
ax+bx¤
cx+dx¤
x
x¤
a b
c d
x'
y'
18 수능완성수학영역기하와벡터
01 포물선위의임의의점을 P(x, y), 초점을 F(3, a), 점 P에
서준선에내린수선의발을H라하면PF”=PH”이므로
"√(x-3)¤ +(y-a)¤ =|x+1|
양변을제곱하면
(x-3)¤ +(y-a)¤ =(x+1)¤ yy㉠
포물선이 x축과만나는점의 x좌표가 3이므로 x=3, y=0을㉠에대
입하면 a¤ =16
∴ a=4또는 a=-4
a는양수이므로 a=4
답⃞ ④
02 포물선 y¤ +4y+4x+16=0에서
y¤ +4y+4=-4x-12
(y+2)¤ =-4(x+3) yy㉠
포물선 ㉠을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이
동한포물선의꼭짓점의좌표는 (-3+m, -2+n)이다.
이꼭짓점이원점이므로
-3+m=0, -2+n=0
∴m=3, n=2
∴m+n=5
답⃞ ⑤
03 포물선 x¤ -2x-4y+1=0, 즉 (x-1)¤ =4y는 포물선
x¤ =4y를 x축의방향으로 1만큼평행이동한것이고, 포물선 x¤ =4y
의초점의좌표가 (0, 1)이므로포물선 (x-1)¤ =4y의초점 F의좌
표는F(1, 1)이다.
또한, 포물선 y¤ +4y-px+4=0, 즉 (y+2)¤ =px는포물선
y¤ =px를 y축의방향으로-2만큼평행이동한것이고, 포물선
y¤ =px의 초점의 좌표가 { , 0}이므로 포물선 (y+2)¤ =px의 초
점F'의좌표는F'{ , -2}이다.
FF'”='∂10이므로
æ≠{ -1} ¤ +≠(-2-1)¤ ='∂10
양변을제곱하여간단히하면
{ -1}¤=1에서
-1=1또는 -1=-1
∴ p=8또는 p=0
p4
p4
p4
p4
p4
p4
01 ④ 02 ⑤ 03 ① 04 ④ 05 ③
06 ③ 07 ① 08 120 09 ② 10 5
11 ① 12 ⑤ 13 ④ 14 ③ 15 ③
16 ③ 17 125 18 ③ 19 27 20 ④
21 ③
포물선 본문 25~31쪽04p는양수이므로 p=8
답⃞ ①
04 포물선 y¤ =4x의초점 F의좌표는 F(1, 0)이고준선의방정
식은 x=-1이다. 점 H는직선 x=-1 위의점이므로점 H의 x좌
표는-1이다.
포물선의정의에의하여FP”=PH”이므로점P의 x좌표는 4이다.
두점P, Q에서 x축에내린수선의발을각각H', H"이라하면두삼
각형PFH'과QFH"은닮음비가 1：2이고F’H'”=3이므로점Q의 x
좌표는 7이다. 따라서삼각형FQH의무게중심의 x좌표는
=
답⃞ ④
포물선 y¤ =4x의 준선의 방정식은 x=-1이므로 점 H의 좌표를
H(-1, a)라하자.
포물선의정의에의하여 FP”=PH”이므로점P의 x좌표는 4이다.
즉, 점P의좌표는P(4, a)이다.
점 P가 선분 FQ의 중점이므로 삼각형 FQH의 무게중심은 두 점
H(-1, a)와 P(4, a)를잇는선분HP를 2：1로내분하는점이다.
따라서삼각형FQH의무게중심의 x좌표는
=
05 y¤ -2y-4x+5=0에서 (y-1)¤ =4(x-1)이므로 초점을
F¡이라하면F¡(2, 1)이고, 준선의방정식은 x=0이다.
x¤ +mx-4y+n=0에서 {x+ } ¤ =4{y- + }이므로 초
점을F™라하면
F™{- , 1+ - }
준선의방정식은
y=-1+ - yy㉠
초점 F™{- , 1+ - }이준선 x=0 위의점이므로초점의
x좌표는 0이다. 즉, m=0
㉠이점F¡(2, 1)을지나야하므로
-1+ =1 ∴n=8
따라서F¡(2, 1), F™(0, 3)이므로두초점F¡, F™사이의거리는
"√2¤ +(1-3)¤ ='8=2'2
답⃞ ③
n4
m¤16
n4
m2
m¤16
n4
m¤16
n4
m2
m¤16
n4
m2
73
2_4+1_(-1)2+1
y
xO F H' H"
P
Q
H
x=-1
5
y2=4x
73
1+7+(-1)3
19정답과풀이
06 포물선의정의에의하여AF”=A’A'”, BF”=B’B'”이므로
AB”=AF”+BF”=A’A'”+B’B'”=5
점A에서선분BB'에내린수선의발을H라하면
BH”=B’B'”-B’'H”=B’B'”-A’A'”
=4-1=3
∴ A’'B'”=AH”=øπAB” ¤ -BH” ¤ ="√5¤ -3¤
='∂16=4
답⃞ ③
07 포물선 (y-1)¤ =4(x+1)은포물선 y¤ =4x를 x축의방향
으로-1만큼, y축의방향으로 1만큼평행이동한것이고, 포물선
y¤ =4x의 초점이 (1, 0), 준선의 방정식이 x=-1이므로 포물선
(y-1)¤ =4(x+1)의 초점 F의 좌표는 F(0, 1), 준선의 방정식은
x=-2이다.
점 P에서준선에내린수선의발을H, 원점 O에서준선에내린수선
의발을H', 포물선과 x축이만나는점을 P'이라하면포물선의정의
에의하여FP”=HP”
FP”+PO”=HP”+PO”æH’'P'”+P’'O”=H’'O”=2
따라서초점 F에서포물선위의점 P를지나서원점에이르는거리의
최솟값은 2이다.
답⃞ ①
08 포물선 y¤ =-8x를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 포물
선 y¤ =-8(x-2)의초점을 F라하면 F(0, 0)이고준선의방정식
은 x=4이다.
포물선의정의에의하여P’«H« ”=P’«F ”=2n+1이므로
;N+!1 0 P’«H«”=;N+!1 0 (2n+1)=2 ;N+!1 0 n+10
;N+!1 0 P’«H«”=2¥ +10=120
답⃞ 120
10¥112
y
x
x=4
O{F}
H¡P¡P™
P£
H™H£
HnPn
y2=-8x+16
y
y
y
y
x
H
H '
P '
F
O
P
{y-1}2=4{x+1}x=-2
09
포물선 y¤ =x의초점F의좌표는F{ , 0}이고준선의방정식은
x=- 이다.
두교점A, B의좌표를각각A(x¡, y¡), B(x™, y™)라하고, 두교점
A, B에서준선에내린수선의발을각각H¡, H™라하자. 또한, 점 B
에서선분AH¡에내린수선의발을C라하면
S¡：S™=9：4이므로
AF”：BF’”=3：2
포물선의정의에의하여
A’H¡”：B’H™”=3：2
이므로양의실수 k에대하여
x¡=3k- , x™=2k-
이라하면
x¡-x™={3k- }-{2k- }=k
A’B”=5k이고직각삼각형ACB에서
y¡-y™=øπAB” ¤ -AC” ¤ ="√(5k)¤ -k¤ ="ç24k¤ =2'6k
따라서직선 l의기울기는
= =2'6
답⃞ ②
두점A, B에서준선에내린수선의발을각각 H¡, H™라하고점 B
에서선분AH¡에내린수선의발을C라하면
S¡：S™=9：4이므로
AF”：BF”=3：2
포물선의정의에의하여
A’H¡”：B’H™”=3：2
즉, A’H¡”=3k (k>0)라하면B’H™”=2k이고
AB”=AF”+BF”=A’H¡”+B’H™”=5k
AC”=A’H¡”-B’H™”=k이므로
BC”='ƒ25k¤ -k¤ =2'6k
따라서직선 l의기울기는
= =2'6
10 포물선 y¤ =4px를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동한 포물
선 y¤ =4p(x-m)의 꼭짓점의 좌표가 (m, 0)이므로 이 포물선은
점 (m, 0)을항상지난다.
2'6kk
BC”
AC”
2'6k
k
y¡-y™
x¡-x™
14
14
14
14
14
14
y
xO F
H¡
H™
A
B
C
l
y2=x
20 수능완성수학영역기하와벡터
a+b=-2k+1, ab=k¤
AB”="√(b-a)¤ +√(b+k-a-k)¤
="√2(a-b)¤
="√2 {(a+b)¤ -4ab}
="√2 {(-2k+1)¤ -4k¤ }
='ƒ2(-4k+1)
A’B”=5'2이므로
'ƒ2(-4k+1)=5'2, 2(-4k+1)=50
-4k+1=25 ∴ k=-6
∴ a+b=13
포물선 y¤ =x의초점F의좌표는F{ , 0}이고준선의방정식은
x=- 이다.
두점A, B에서준선에내린수선의발을각각A', B'이라하면포물
선의정의에의하여
F’A”=A’A'”=a+ , FB”=B’B'”=b+
∴F’A”+FB”={a+ }+{b+ }
∴F’A”+FB”=a+b+
∴F’A”+FB”=13+ =
답⃞ ⑤
기울기가 1인직선이포물선 y¤ =x와만나는두점A, B는
AB”=5'2를만족시키므로두점A, B의좌표를각각A(a, -'a),
B(b, 'b) (0<a<b)라하면
b-a=5, 'b+'a=5
위의두식을연립하여풀면
a=4, b=9
포물선 y¤ =x의초점F의좌표는F{;4!;, 0}이고준선의방정식은
x=-;4!;이다.
두점A, B에서준선에내린수선의발을각각A', B'이라하면포물
선의정의에의하여
FA”=A’A'”=a+ , F’B’=B’B'”=b+
∴FA”+F’B’={a+ }+{b+ }
∴FA”+F’B’=a+b+
∴FA”+F’B’=4+9+ =272
12
12
14
14
14
14
y
xO
B
A-
y2=x
å∫
∫
å
272
12
12
14
14
14
14
14
14
그림과같이직선 y=2x-10의 x절편이 5이므로이포물선이양수
p의값에관계없이직선과만나기위해서는꼭짓점의 x좌표가 5보다
작거나같아야하므로 m…5이다.
따라서실수m의최댓값은 5이다.
답⃞ 5
y=2x-10을 y¤ =4p(x-m)에대입하면
(2x-10)¤ =4p(x-m)
x¤ -(p+10)x+pm+25=0 yy㉠
이차방정식㉠의판별식을D라하면포물선과직선이만나므로
D=(p+10)¤ -4(pm+25)æ0
p¤ +20p-4pmæ0
4pm…p¤ +20p
p>0이므로 m…;4!;p+5 yy㉡
따라서양수 p의값에관계없이㉡을만족시키는실수m의최댓값은 5
이다.
11 초점이 (-4, n)이고 준선의 방정식이 x=2인 포물선 위의
점을P(x, y)라하면포물선의정의에의하여
"√(x+4)¤ +(y-n)¤ =|x-2|
양변을제곱하여간단히하면
(y-n)¤ =-12x-12 yy㉠
직선 y=-x+5, 즉 x=-y+5를㉠에대입하면
y¤ -2ny+n¤ =12y-72
y¤ -2(n+6)y+n¤ +72=0 yy㉡
이차방정식㉡의판별식을D라하면포물선과직선이만나지않아야
하므로
=(n+6)¤ -(n¤ +72)<0
12n-36<0 ∴n<3
따라서자연수n의값은 1, 2이므로그합은 3이다.
답⃞ ①
12 기울기가 1인직선의방정식을 y=x+k (k는실수)라하자.
y=x+k를 y¤ =x에대입하면
(x+k)¤ =x
즉, x¤ +(2k-1)x+k¤ =0 yy㉠
두점 A, B의좌표를각각 A(a, a+k), B(b, b+k)라하면 a, b
는이차방정식㉠의해이므로근과계수의관계에의하여
D4
y
xO
y=2x-10
m 5
-10y2=4p{x-m}
21정답과풀이
13 포물선 y¤ =4'3x의초점 F의좌표는 F('3, 0)이고, 이 포
물선에접하고기울기가 1인직선 l의방정식은
y=x+'3, 즉 x-y+'3=0
따라서초점F와직선 l사이의거리는
= ='6
답⃞ ④
14 포물선 y¤ =-4x의 초점의 좌표는 (-1, 0)이므로 점 A에
서포물선 y¤ =-4x에그은접선의기울기를m이라하면접선의방
정식은
y=mx- yy㉠
직선㉠이점A(3, 2)를지나므로
2=3m- , 3m¤ -2m-1=0
(3m+1)(m-1)=0 ∴m=- 또는m=1
따라서점A에서포물선에그은접선은 2개존재하고두접선의방정
식은
y=- x+3 yy㉡
y=x-1 yy㉢
그림과같이두직선㉡, ㉢이 x축의양의방향과이루는각의크기를
각각 h¡, h™라하면
tanh¡=- , tanh™=1이고, 두접선이이루는예각의크기 h는
h=p-(h¡-h™)이므로
tanh=tan(p+h™-h¡)=tan(h™-h¡)=
tanh= = =2
답⃞ ③
15y
xO
{a, }
x=-p
p apy=
y2=4px
x+
30æ
3
3 3
2
;3$;
;3@;
1-{-;3!;}
1+1_{-;3!;}
tanh™-tanh¡1+tanh™ tanh¡
13
y
xO
A
Ω™
Ω Ω¡
y2=-4x
13
13
1m
1m
2'3
'2
|'3-0+'3|
"√1¤ +(-1)¤
포물선 y¤ =4px 위의제1사분면에있는점 (a, 2'3)에서의접선의
방정식은
2'3y=2p(x+a), 즉 y= x+
접선의 기울기는 이고 접선과 준선이 이루는 예각의 크기가 30˘
이므로접선과 x축이이루는예각의크기는 60˘이다.
즉, tan60˘= ∴ p=3
또한, 점 (a, 2'3)이포물선 y¤ =12x위의점이므로
(2'3)¤ =12_a ∴ a=1
∴ a+p=4
답⃞ ③
16
포물선 y¤ =4x의초점 F의좌표는 F(1, 0)이고, 점 P(a, b)는포물
선 y¤ =4x위의제1사분면에있는점이므로 a>0, b>0이다.
점P(a, b)에서의접선을 l이라하면접선 l의방정식은
by=2(x+a), 즉 y= x+
접선 l의기울기는 yy㉠
점P(a, b)가포물선위의점이므로
b¤ =4a, 즉 a= yy㉡
접선 l이 y축과만나는점Q의좌표는Q{0, }이므로두점
F(1, 0), Q{0, }를지나는직선의기울기는
- yy㉢
㉡을㉢에대입하여간단히하면- yy㉣
㉠과㉣에서 _{- }=-1이므로직선 l과직선FQ는수직이다.
㉡에의하여점Q의좌표는 Q{0, }이고, F(1, 0), P(a, b)이므로
삼각형FPQ의넓이S는
S= _FQ”_PQ”
S¤= {1+ }{a¤ + }æ1 yy㉤
㉡을㉤에대입하여정리하면
(1+a)(a¤ +a)æ4
a‹ +2a¤ +a-4æ0
(a-1)(a¤ +3a+4)æ0
a>0인모든실수 a에대하여항상 a¤ +3a+4>0이므로 aæ1
b¤ =4a이므로 bæ2
b¤4
b¤4
14
12
b2
b2
2b
b2
2ab
2ab
2ab
b¤4
2b
2ab
2b
y
xO
P
Q
F
l
y2=4x
p
'3
p
'3
ap
'3
p
'3
22 수능완성수학영역기하와벡터
∴ a+b= b¤ +b= (b+2)¤ -1(bæ2)
따라서 a+b의최솟값은 3이다.
답⃞ ③
17 포물선 y¤ =16x 위의점중제1사분면에있는점 A의좌표
를A(p, 4'p)(p>0)라하면점A에서의접선의방정식은
4'py=8(x+p), 즉 y= (x+p)
기울기가 인접선의방정식이되도록하는 p의값은
= 에서 p=16
따라서점A(16, 16)이고직선 l의방정식은 y= x+8이다.
준선의 방정식이 x=-4이므로 직선 l과 준선의 교점 B의 좌표는
B(-4, 6)이다.
또한, 포물선 y¤ =16x 위의점중제4사분면에있는점 C의좌표를
C(q, -4'q)(q>0)라하면점C에서의접선의방정식은
-4'qy=8(x+q), 즉 y=- (x+q) yy㉠
점B(-4, 6)이직선㉠위에있으므로
6=- (-4+q), 3'q=4-q yy㉡
q¤ -8q+16=9q, q¤ -17q+16=0
(q-1)(q-16)=0 ∴ q=1또는 q=16
㉡에의하여 q=1
따라서점C의좌표는C(1, -4)이고접선의방정식은
y=-2x-2 yy㉢
두직선 l과㉢의기울기가각각 , -2이므로두직선 l과㉢이서
로수직이고삼각형ABC는∠ABC= 인직각삼각형이다.
AB”="√(-4-16)¤ +√(6-16)¤ ='∂500=10'5
BC”="√(-4-1)¤ +√(6+4)¤ ='∂125=5'5
따라서삼각형ABC의넓이는
_10'5_5'5=125
답⃞ 125
기울기가 인접선의접점은제1사분면에있으므로점A의좌표를
A(a, 4'a)라하면포물선 y¤ =16x에접하고기울기가 인접선의
방정식은 y= x+8 yy㉠
점A에서의접선의방정식은
12
12
12
12
p2
12
y
xO
B
A
C
y2=16xx=-4
l
2
'q
2
'q
12
12
2
'p
12
2
'p
14
14
4'ay=8(x+a), 즉 y= (x+a) yy㉡
두직선㉠과㉡은일치하므로
= 에서 a=16
따라서점A(16, 16)이다.
준선의 방정식이 x=-4이므로 직선 l과 준선의 교점 B의 좌표는
B(-4, 6)이다.
준선위의점 B에서그은두접선은서로수직이므로접점 C를지나
는접선의기울기는-2이고, 점B(-4, 6)을지나므로
y-6=-2(x+4), 즉 y=-2x-2 yy㉢
㉢과 y¤ =16x를연립하면
(-2x-2)¤ =16x, x¤ +2x+1=4x, x¤ -2x+1=0
(x-1)¤ =0 ∴ x=1
따라서기울기가-2인접선의접점은제4사분면에있으므로점C의
좌표는C(1, -4)이다.
삼각형ABC는∠ABC= 인직각삼각형이므로
AB”="√(-4-16)¤ + √(6-16)¤ ='∂500=10'5
BC”="√(-4-1)¤ + √(6+4)¤ ='∂125=5'5
따라서삼각형ABC의넓이는
_10'5_5'5=125
18 꼭짓점이원점이고초점이 (p, 0)인포물선의방정식은
y¤ =4px
원 x¤ +y¤ =4와 포물선 y¤ =4px가 만나는 점 중 제1사분면에 있는
점을 A라하고점 A에서 x축에내린수선의발을 B라하면포물선
이원의둘레의길이를 2：1로나누므로∠BOA=60˘이다.
O’A”=2이므로OB”=1, AB”='3
따라서점A(1, '3)이포물선위의점이므로
('3)¤ =4p
∴ p=
답⃞ ③
19 포물선 y¤ =8x의초점 F의좌표는 F(2, 0)이고준선의방정
식은 x=-2이다.
세점A(x¡, y¡), B(x™, y™), P(x£, y£)에서준선에내린수선의발
을각각A', B', P'이라하면포물선의정의에의하여
AF”=A’A'”=x¡+2, BF”=B’B'”=x™+2, PF”=P’P'”=x£+2
삼각형ABP의무게중심의 x좌표가 7이므로
=7, 즉 x¡+x™+x£=21x¡+x™+x£
3
y
xO B
A
x2+y2=4
y2=4px-2
2
-2 2
60æ
34
12
p2
12
2
'a
2
'a
23정답과풀이
∴AB”+FP”=AF”+BF”+FP”
=(x¡+2)+(x™+2)+(x£+2)
=x¡+x™+x£+6
=21+6=27
답⃞ 27
20 포물선 x¤ =4y를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 포물
선 x¤ =4(y+1)의 초점 F의 좌표는 F(0, 0)이고 준선의 방정식은
y=-2이다.
포물선 x¤ =4(y+1)과직선 y=n의두교점P«, Q«의좌표를
P«(2'ƒn+1, n), Q«(-2'ƒn+1 , n)이라하면
P’«Q«”=4'ƒn+1 yy㉠
포물선의정의에의하여포물선위의점에서초점까지의거리는그점
에서준선까지의거리와같으므로
P’«F”=n+2, Q’«F”=n+2 yy㉡
㉠과㉡에의하여삼각형FP«Q«의둘레의길이 l«은
l«=2(n+2)+4'ƒn+1이므로
= =2
답⃞ ④
21 포물선 y¤ =4px(p>0)의 초점 F의 좌표는 F(p, 0)이고,
준선 l의방정식은 x=-p이다. 원의중심을 C(a, b), 점A에서준
선 l에내린수선의발을H라하자.
포물선의정의에의하여CF”=CH”이고, 조건 (나)에의하여AH”는원
의지름이므로점C는선분AH의중점이다.
∴ a= , b=4'3
원의중심C(a, b)가포물선위의점이므로
(4'3)¤ =4p{ }, 48=2p(11-p)
p¤ -11p+24=0, (p-3)(p-8)=0
∴ p=3또는 p=8
따라서모든 p의값의합은 11이다.
답⃞ ③
11-p2
y
xO
H
y2=4px
-p
l
F{p, 0}
C{a, b}
A{11, 4 }3
11-p2
2(n+2)+4'ƒn+1
nlimnڦ
l«n
limn ڦ
y
xO
G
F
A
BB'
A'
P'P
y2=8xx=-2
01 두점 F, F'으로부터거리의합이일정한점 P가나타내는도
형은타원이므로타원의방정식을 + =1(a>b>0)이라하면
PF”+PF'”=4'5에서 a=2'5
(2'5)¤ =b¤ +2¤ , b¤ =16 ∴ b=4
이타원이 y축과만나는두점사이의거리는
2b=2_4=8
답⃞ ③
02 a>b>0인 타원 + =1의 중심은 원점이고, 두 초점
은 x축위에있고두초점사이의거리가 8이므로두초점의좌표는
(-4, 0), (4, 0)이다.
타원의정의에의하여
a¤ -b¤ =16, 즉 (a+b)(a-b)=16 yy㉠
장축의길이가 2a, 단축의길이가 2b이므로
2a-2b=4, 즉 a-b=2 yy㉡
㉠, ㉡에서 a+b=8 yy㉢
㉡, ㉢을연립하여풀면
a=5, b=3
∴ a¤ +b¤ =34
답⃞ 34
03 타원 2x¤ +3y¤ +12x+6y+15=0에서
2(x¤ +6x)+3(y¤ +2y)=-15
2(x¤ +6x+9)+3(y¤ +2y+1)=-15+18+3
2(x+3)¤ +3(y+1)¤ =6
+ =1 yy㉠
타원 ㉠을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동
한타원의중심의좌표는 (-3+m, -1+n)이다.
이타원의중심이원점이므로
-3+m=0, -1+n=0
∴m=3, n=1
∴m+n=4
답⃞ ④
04 a>4이므로 타원 + =1의 두 초점 F, F'의 좌표를
F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)이라 하면 이 타원이 y축과 만나는 두
점P, P'의좌표는P(0, 4), P'(0, -4)이다.
y¤
4¤
x¤
a¤
(y+1)¤2
(x+3)¤3
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
01 ③ 02 34 03 ④ 04 ② 05 ②
06 ③ 07 ① 08 49 09 ④ 10 ⑤
11 ④ 12 ④ 13 ① 14 ③ 15 25
16 ② 17 ③ 18 ④ 19 300
타원 본문 33~38쪽05
24 수능완성수학영역기하와벡터
FF'P의넓이는
_8_a=8'2
∴ a=2'2
점P는타원위의점이므로
+ =1, + =1
b¤ = ∴ b=
즉, 점P의좌표는P{2'2, }이다.
∴OP”=æ≠8+ =
답⃞ ①
08 타원 + =1은타원 + =1을 x축의방
향으로 2만큼 평행이동한 것이고, 타원 + =1의 두 초점의
좌표가 (-2, 0), (2, 0)이므로타원 + =1의두초점
의좌표는 (0, 0), (4, 0)이다.
OP”=a, PQ”=b라하면타원의정의에의하여
a+b=2_7=14
a>0, b>0이므로
a+bæ2'∂ab (단, 등호는 a=b일때성립한다.)
14æ2'∂ab, 7æ'∂ab, ab…49
따라서 OP”_PQ”의최댓값은 49이다.
답⃞ 49
09 타원 + =1`(a>0)의두초점F, F'의좌표를
F(c, 0), F(-c, 0)`(c>0)이라하면타원의정의에의하여
4a¤ =a¤ +c¤ , c¤ =3a¤ ∴ c='3a
∴F’F'”=2'3a
PF”：P’F'”=1：3이므로양수 k에대하여 PF”=k, P’F'”=3k라하면
타원의정의에의하여
PF”+P’F'”=4a, k+3k=4a ∴ k=a
∴PF”=a, P’F'”=3a
따라서삼각형FPF'에서코사인법칙에의하여
cosh=
cosh=
cosh=-
답⃞ ④
10 타원 + =1의한초점의 x좌표를 c라하면
16=8+c¤이므로 c¤ =8
즉, 점A(2'2, 0)은타원의한초점이다.
이타원의다른한초점을A'이라하면대칭성에의하여
A’Q ”=A’'Q•–˚”=A’'P•– ”
y¤8
x¤16
13
-2a¤
6a¤
9a¤ +a¤ -(2'3a)¤2_3a_a
y¤
a¤
x¤
4a¤
y¤45
(x-2)¤49
y¤45
x¤49
y¤45
x¤49
y¤45
(x-2)¤49
'∂973
259
53
53
259
b¤25
89
b¤25
a¤9
12
타원의정의에의하여
a¤ -4¤ =c¤ yy㉠
사각형FPF'P'의넓이가 a¤이므로
4_{ _c_4}=a¤ , a¤ =8c yy㉡
㉡을㉠에대입하면
8c-4¤ =c¤ , c¤ -8c+16=0
(c-4)¤ =0 ∴ c=4 yy㉢
㉢을㉡에대입하면
a¤ =32
답⃞ ②
05 타원 + =1의 두
초점중 x좌표가음수인점을 F'
이라하면삼각형의중점연결정
리에 의하여 삼각형 FMO와 삼
각형 FPF'은 닮음비가 1：2인
두직각삼각형이므로
P’F'”=5-'7
PF”+P’F'”=2_5=10이므로
PF”=5+'7
따라서 p=5, q=7이므로
p+q=12
답⃞ ②
06 두초점이F(3, 0), F'(-3, 0)인타원의방정식을
+ =1 (a>b>0)이라하면이타원의장축의길이는 2a, 단
축의길이는 2b이다.
타원의정의에의하여 PF”+P’F'”=(장축의길이)이므로
PF”+P’F'”=10에서
2a=10, a=5
5¤ =b¤ +3¤이므로
b¤ =16, b=4 ∴ 2b=8
따라서장축의길이와단축의길이의차는
10-8=2
답⃞ ③
07 두초점이F(0, 4), F'(0, -4)인타원의방정식을
+ =1(b>a>0)이라하면 FF'”=8이고삼각형 FF'P의둘
레의길이는 FF'”+PF”+PF'”=18이므로
PF”+PF'”=10
타원의정의에의하여 PF”+PF'”=(장축의길이)이므로
2b=10 ∴ b=5
5¤ =a¤ +4¤이므로 a¤ =9
∴ + =1
타원위의제1사분면에있는점 P의좌표를 P(a, b)라하면삼각형
y¤25
x¤9
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y
xO
PM
3
-5 5
-3
FF'
y¤9
x¤25
12
25정답과풀이
즉, A’Q•– ”=A’'Q˚”=A’'P ” (단, k=1, 2, 3, y, 7)
타원의정의에의하여타원위의점에서두초점까지의거리의합은 8
이고 ;K7+!A’Qk”=;K7+!A’Q’8-k”이므로
;K7+! (A’P ”+A’Q ”)=;K7+! (A’P ”+A’Q•–˚”)
;K7+! (A’P ”+A’Q ”)=;K7+! (A’P ”+A’'P ”)
;K7+! (A’P ”+A’Q ”)=7_8=56
답⃞ ⑤
11 x축위에있는두초점사이의거리가 2'3인타원
+ =1의두초점의좌표는각각 ('3, 0), (-'3, 0)이므로타
원의정의에의하여
a¤ =b¤ +3 yy㉠
점 {'3, }이타원위의점이므로
+ =1
3b¤ + a¤ =a¤ b¤
즉, 12b¤ +a¤ =4a¤ b¤ yy㉡
㉠을㉡에대입하면
12b¤ +(b¤ +3)=4(b¤ +3)b¤
4b› -b¤ -3=0
(4b¤ +3)(b¤ -1)=0
∴ b¤ =- 또는 b¤ =1
b¤ >0이므로 b¤ =1 yy㉢
㉢을㉠에대입하면
a¤ =4
타원의방정식은 +y¤ =1이므로이타원위의점 {'3, }에서의
접선의방정식은
x+ y=1, 즉 y=- x+2
따라서접선의기울기는- 이다.
답⃞ ④
x축위에있는두초점사이의거리가 2'3인타원 + =1
(a>b>0)의 두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면
F('3, 0), F'(-'3, 0)이므로점P{'3, ;2!;}에대하여삼각형F'FP
y¤
b¤
x¤
a¤
'32
'32
12
'34
12
x¤4
34
14
{;2!;}¤
b¤
('3)¤
a¤
12
y¤
b¤
x¤
a¤
y
xO A
Q8-k
P8-k
Qk
Pk
A'
x=k-4 x={8-k}-4
는∠PFF'=90˘인직각삼각형이다.
FF'”=2'3, PF”= 이므로피타고라스의정리에의하여
PF'”=æ≠(2'3)¤ +{ } ¤ =
PF”+PF'”=4이므로 a=2
b¤ +('3)¤ =2¤이므로 b¤ =1
타원의방정식은 +y¤ =1이므로이타원위의점 {'3, }에서의
접선의방정식은
x+ y=1, 즉 y=- x+2
따라서접선의기울기는- 이다.
12 제2사분면에서타원 + =1에접하는직선 l의기울기
가m이므로m>0이고, 직선 l의방정식은 y=mx+"√4m¤ +6이므
로이직선의 x절편은- 이고 y절편은 "√4m¤ +6이다.
직선 l과 x축, y축으로둘러싸인삼각형의넓이가 7이므로
_ _"√4m¤ +6=7
4m¤ +6=14m, 2m¤ -7m+3=0
(m-3)(2m-1)=0
∴ m=3또는 m=
따라서모든m의값의합은 이다.
답⃞ ④
13 타원 +y¤ =1에접하고기울기가m인직선의방정식은
y=mx—"√3m¤ +1 yy㉠
직선 y=x 위의 제1사분면에 있는 점 P의 좌표를 P(a, a)(a>0)
라하면직선㉠이점P(a, a)를지나므로
a=ma—"√3m¤ +1
—"√3m¤ +1=am-a
양변을제곱하면
3m¤ +1=a¤ m¤ -2a¤ m+a¤
(a¤ -3)m¤ -2a¤ m+a¤ -1=0
이이차방정식의두실근이두접선의기울기이고, 두 접선의기울기
의곱이 3이므로근과계수의관계에의하여
=3, 3a¤ -9=a¤ -1
2a¤ =8, a¤ =4
a¤ -1
a¤ -3
x¤3
72
12
"√4m¤ +6
m12
"√4m¤ +6
m
y¤6
x¤4
'32
'32
12
'34
12
x¤4
72
12
12
x2
a2y2
b2=1+
y
xO
12
FF'
P ,3
26 수능완성수학영역기하와벡터
∴ a=2또는 a=-2
a>0이므로점P의 x좌표는 2이다.
답⃞ ①
14 타원 + =1위의점P의좌표를 (x¡, y¡) (x¡>0,
y¡>0)이라하면 H(x¡, 0), H'(0, y¡)이므로
OH”=x¡, O’H'”=y¡ yy㉠
점 P에서의접선의방정식은 + =1이므로 x축, y축과만
나는두점Q, Q'의좌표는 Q { , 0}, Q' {0, }이다.
∴OQ”= , O’Q'”= yy㉡
OH”_OQ”=20, O’H'”_O’Q'”=4에㉠, ㉡을대입하면
x¡_ =20, y¡_ =4
∴ a¤ =20, b¤ =4
따라서타원 + =1의두초점사이의거리는
2'ƒ20-4=2'∂16=8
답⃞ ③
15 타원 4x¤ +9y¤ =36, 즉 + =1 위의제1사분면에있
는점 P에서의접선의기울기를m(m<0)이라하면이접선의방정
식이 y=mx+"√9m¤ +4이므로두점A, B의좌표는각각
A{- , 0}, B(0, "√9m¤ +4)이다.
AB”=æ≠ +9m¤ +4=Æ…13+ +9m¤
>0, 9m¤ >0이므로
+9m¤ æ2Æ… _9m¤ =12
{단, 등호는 =9m¤일때성립한다.}
∴AB”=Æ…13+ +9m¤ æ'ƒ13+12=5
선분 AB의길이가최소일때, 선분 AB를한변으로하는정사각형
의넓이도최소이므로구하는정사각형의넓이의최솟값은
5_5=25
답⃞ 25
16 점 P의 좌표를 P(x¡, y¡) (x¡>0, y¡>0)이라 하면 점 P를
지나고타원과포물선에각각접하는두직선의방정식은
2x¡x+y¡y=1 yy㉠
y¡y=4(x+x¡) yy㉡
㉠의 x절편은 이므로 a=
㉡의 x절편은-x¡이므로 b=-x¡
∴ ab= _(-x¡)=-
답⃞ ②
12
12x¡
12x¡
12x¡
4
m¤
4
m¤
4
m¤
4
m¤
4
m¤
4
m¤
9m¤ +4
m¤
"√9m¤ +4m
y¤4
x¤9
y¤4
x¤20
b¤y¡
a¤x¡
b¤y¡
a¤x¡
b¤y¡
a¤x¡
y¡y
b¤
x¡x
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
17 타원 + =1의두초점F, F'의좌표는 F(4, 0),
F'(-4, 0)이고, 세정사각형의넓이 S¡, S™, S£이 S¡+S™=S£을만
족시키므로삼각형PF'F는∠F'PF=90˘인직각삼각형이다.
PF”=a, P’F'”=b라하면∠F'PF=90˘이므로
a¤ +b¤ =64
타원의정의에의하여
a+b=10
(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에서
100=64+2ab
∴ ab=18
따라서삼각형PF'F의넓이는
ab=9
답⃞ ③
18
삼각형 OPQ가정삼각형이되려면∠POQ=60˘이고∠POQ의이
등분선이선분 PQ의중점을지나야하므로두점 P, Q는∠POQ의
이등분선에대하여대칭이다.
타원 + =1은 y축에대하여대칭이므로직선OP의기울기가
'3일때삼각형OPQ가정삼각형이된다.
직선OP의방정식은
y='3x yy㉠
점P는직선OP와타원의교점이므로㉠을 + =1에대입하면
+ =1, =1
x¤ = ∴ x=—
점P가제1사분면에있으므로점P의 x좌표는 이다.
점P가직선㉠위의점이므로점P의 y좌표는 이다.
따라서정삼각형OPQ의넓이는
2_ _ _ =
답⃞ ④
19 y
xO
PC
D
BA
16'313
4'∂3913
4'∂1313
12
4'∂3913
4'∂1313
4'∂1313
1613
13x¤16
3x¤4
x¤16
y¤4
x¤16
y¤4
x¤16
y
xO
PQ
x2
16y2
4+ =1
12
y¤9
x¤25
27정답과풀이
직선PC가선분BD의수직이등분선이므로
PB”=PD”
∴AP”+PB”=AD”
그런데두점 O와 C가각각AB”와 BD”의중점이므로삼각형의중점
연결정리에의하여
AD”=2OC”=20
∴AP”+PB”=20
따라서점P는두점A, B를초점으로하고장축의길이가 20인타원
위에있다. 이 타원의방정식을 + =1이라하면점 P(6, 4)
가이타원위에있으므로
+ =1 ∴ b¤ =25
∴ c¤ =10¤ -b¤ =100-25=75
AB”=2c이므로
AB” ¤=4c¤ =4_75=300
답⃞ 300
16
b¤
36100
y¤
b¤
x¤
10¤01
5x¤ -4y¤ =20의양변을 20으로나누면 - =1
점P가제1사분면위의점이므로쌍곡선의정의에의하여
P’F'”-PF”=2_2=4 yy㉠
c¤ =4+5=9에서두초점의좌표는F(3, 0), F'(-3, 0)이므로
F’F'”=6
삼각형PFF'의둘레의길이가 22이므로
PF”+P’F'”+F’F'”=22
∴PF”+P’F'”=16 yy㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면 PF”=6
답⃞ ④
02 두초점이 x축위에있고주축의길이가 AB”이므로
AB”=5, 2a=5 ∴ a=
또, FF'”=7이므로
F{ , 0}, F'{- , 0}
이때 a¤ +b¤ ={ }¤이므로
{ }¤ +b¤ ={ }¤ ∴ b¤ =6
∴ a¤ -b¤ ={ }¤ -6=
답⃞ ⑤
03 9+7=16=4¤이므로 두 점 A(4, 0), B(-4, 0)은 쌍곡선
- =1의두초점이고이쌍곡선의주축의길이는 6이다.
y
xO A
P
43-3
-4
B
å∫
x2
9y2
7- =1
y¤7
x¤9
14
52
72
52
72
72
72
52
y¤5
x¤4
y
xO F
P
F'
5x2-4y2=20
01 ④ 02 ⑤ 03 64 04 ③ 05 20
06 17 07 5 08 16 09 ④ 10 ⑤
11 ① 12 ② 13 ④ 14 14 15 ③
16 ② 17 13
쌍곡선 본문 40~45쪽06
28 수능완성수학영역기하와벡터
06 두초점의좌표가 (0, 0), (6, 0)이므로이쌍곡선은초점이
(-3, 0), (3, 0)인쌍곡선을 x축의방향으로 3만큼평행이동한것이
다. 쌍곡선의방정식을 - =1 (a>0, b>0)로놓으면
주축의길이는 2'5이므로 2a=2'5에서
a='5
3¤ =a¤ +b¤이므로
9=5+b¤ ∴ b¤ =4
따라서쌍곡선의방정식은
- =1
점근선의방정식은 y=— (x-3)이고
x=0일때 y=— 이므로
AB”= -{- }= '5
따라서 p=5, q=12이므로
p+q=17
답⃞ 17
쌍곡선의평행이동
쌍곡선 - =1을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n
만큼평행이동한쌍곡선의방정식은
- =1
⑴주축의길이：2a
⑵중심의좌표：(m, n)
⑶초점의좌표：("√a¤ +b¤ +m, n), (-"√a¤ +b¤ +m, n)
⑷점근선의방정식：y=— (x-m)+n
07 5+11=16=4¤이므로쌍곡선 - =-1의두초점의
좌표는F(0, 4), F'(0, -4)이고주축의길이는 2'∂11이다.
PF”=a, P’F'”=b라하면
|a-b|=2'∂11 yy㉠
∠FPF'=90˘이므로
a¤ +b¤ =8¤
즉, a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab=64
㉠에서 (a-b)¤ =|a-b|¤ =(2'∂11)¤ =44이므로
44+2ab=64
y
xO
a
b
PF
F'
8
x2
5y2
11- =-1
y¤11
x¤5
ba
(y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
12
56
'5
6
'5
6
'5
2
'5
y¤4
(x-3)¤5
y¤
b¤
(x-3)¤
a¤
PA”=a, PB”=b라하면두점A, B가이쌍곡선의초점이므로쌍곡
선의정의에의하여
b-a=6
∴ b=a+6 yy㉠
cosh=
cosh=
cosh=
cosh=
5(12a+100)=4(16a+96)
4a=116 ∴ a=29
㉠에서 b=35
∴PA”+PB”=a+b=64
답⃞ 64
04 쌍곡선의방정식을 - =1 (a>0, b>0)이라하면
a¤ +b¤ =5¤ yy㉠
점근선의방정식이 y=— x=—3x이므로
=3, b=3a yy㉡
㉠, ㉡을연립하면
a¤ +(3a)¤ =25, a¤ =
∴ a=
따라서쌍곡선의주축의길이는 2a이므로
2a='∂10
답⃞ ③
05 쌍곡선의방정식을 - =1(a>0, b>0)로놓으면주
축의길이가 2n이므로 2a=2n에서
a=n yy㉠
두 초점 사이의 거리가 2n+2=2(n+1)이므로 두 초점의 좌표는
(n+1, 0), (-n-1, 0)이다.
∴ (n+1)¤ =a¤ +b¤ yy㉡
㉠, ㉡에서
b¤ =(n+1)¤ -n¤ =2n+1, b='ƒ2n+1
이때점근선의방정식은 y=— x이므로
a«= (∵ a«>0)
∴ 'na«=
∴ 'na«=
∴ 'na«='2=a
∴ 10a¤ =10_('2)¤ =20
답⃞ 20
Æ…2+;n!;
1limn ڦ
"√2n¤ +nn
limn ڦ
limnڦ
'ƒ2n+1n
'ƒ2n+1n
y¤
b¤
x¤
a¤
'∂102
52
ba
ba
y¤
b¤
x¤
a¤
45
12a+10016a+96
(a+6)¤ +8¤ -a¤
16(a+6)
b¤ +8¤ -a¤2_b_8
29정답과풀이
∴ ab=10
따라서삼각형PF'F의넓이는
;2!;_PF”_P’F'”=;2!;ab=5
답⃞ 5
08 6+10=16=4¤이므로쌍곡선 - =1의두초점은
F(4, 0), F'(-4, 0)이고, 주축의길이는 2'6이다.
두점P, Q에대하여
P’F'”-PF”=2'6 yy㉠
Q’F'”-QF”=2'6 yy㉡
㉠, ㉡을변끼리더하면
P’F'”+Q’F'”-(PF”+QF”)=4'6
∴P’F'”+Q’F'”=(PF”+QF”)+4'6
=PQ”+4'6
=12+4'6
따라서 a=12, b=4이므로
a+b=12+4=16
답⃞ 16
09 16+9=25=5¤이므로쌍곡선 - =1의두초점을점
B(-5, 0), C(5, 0)이라하자.
직선CA가쌍곡선과만나는점중제1사분면에있는점을Q라하면
PB”-PC”=QB”-QC”=8
PA”+AC”æPC” (등호는점P와Q가일치할때성립한다.)에서
PA”æPC”-AC”이므로
PB”-PA”…PB”-(PC”-AC”)
=PB”-PC”+AC”
=8+'2
따라서PB”-PA”의최댓값은 8+'2이다.
답⃞ ④
직선 CA의기울기는 =1로쌍곡선의점근선 y=;4#;x의기울
기보다크므로직선CA와쌍곡선은제1사분면에서만난다.
10 기울기가 1인접선의방정식은
y=x—'ƒ12_1-4=x—2'2
이때두접선 y=x+2'2와 y=x-2'2 사이의거리는점 (0, 2'2)
와직선 x-y-2'2=0사이의거리와같다.
1-06-5
y
xOA
P
Q
B C
x2
16y2
9- =1
y¤9
x¤16
y¤10
x¤6
∴ = =4
답⃞ ⑤
11 2x¤ -5y¤ =10의양변을 10으로나누면
- =1
이쌍곡선위의점P(a, b)에서의접선의방정식은
- =1
이직선이 x축, y축과만나는점을각각A, B라하면
A{ , 0}, B{0, - }
따라서접선과 x축, y축으로둘러싸인삼각형의넓이가 이므로
_OA”_OB”= _ _ = =
∴ ab=2'2
답⃞ ①
12 n¤ +(2n+1)=(n+1)¤ 이므로 쌍곡선 - =1
의초점의좌표는
F«(n+1, 0), F«'(-n-1, 0)
∴ a«=n+1
점P«(n+1, b«)은쌍곡선 - =1위의점이므로
- =1
= -1
=
=
b« ¤ =
∴ b«= (∵ b«>0)
점P«(a«, b«)에서의접선의방정식은
x- y=1
y=0을대입하면
x= =
이때점B«의 x좌표를 c«이라하면
c«=n¤
n+1
n¤n+1
n¤a«
b«2n+1
a«n¤
2n+1n
(2n+1)¤
n¤
2n+1
n¤
n¤ +2n+1-n¤
n¤
(n+1)¤
n¤
b«¤2n+1
b«¤2n+1
(n+1)¤
n¤
y¤2n+1
x¤
n¤
y¤2n+1
x¤
n¤
5'24
5ab
2b
5a
12
12
5'24
y
xOA
P
B
2x2-5y2=10
2b
5a
by2
ax5
y¤2
x¤5
4'2
'2
|0-2'2-2'2|
'ƒ1+1
30 수능완성수학영역기하와벡터
삼각형P«B«F«의넓이S«은
S«= _(a«-c«)_b«
S«= _{n+1- }_
S«=
∴ S«=
∴ S«=
∴ S«=
∴ S«=2
답⃞ ②
13 x¤ -y¤ =-64의양변을 64로나누면
- =-1
64+64=128=(8'2)¤이므로이쌍곡선의두초점의좌표는
A(0, 8'2), B(0, -8'2)이다.
∴AB”=16'2
두점A, B를지나고원점이초점인포물선의방정식을
y¤ =4p(x-m)이라하면이포물선의초점의좌표는
(p+m, 0)(p>0)이므로
p+m=0 yy㉠
이포물선이점 (0, 8'2)를지나므로
128=4p_(-m), mp=-32 yy㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면
p=4'2, m=-4'2
따라서포물선의방정식은
y¤ =16'2(x+4'2)
이식에 y=0을대입하면 x=-4'2이므로
C(-4'2, 0)
∴OC”=4'2
따라서삼각형ABC의넓이는
_AB”_OC”= _16'2_4'2=64
답⃞ ④
x¤ -y¤ =-64에서
- =-1
64+64=(8'2)¤이므로이쌍곡선의두초점의좌표는A(0, 8'2),
y¤64
x¤64
12
12
y¤64
x¤64
limn ڦ
4n¤ +4n+1
2n¤ +2nlimn ⁄¶
(2n+1)¤2n(n+1)
limn ڦ
limnڦ
(2n+1)¤2n(n+1)
2n+1n
n¤n+1
12
12
y
xO ancn
Bn Fn
x2
n2y2
2n+1- =1
Pn{an, bn}
B(0, -8'2)이다.
한편, 포물선의정의에의하여포물선의초점 O와준선사이의거리
는OA”=8'2와같고, OC”= OA”=4'2이다.
따라서삼각형ABC의넓이는
_AB”_OC”= _16'2_4'2=64
14
점A는쌍곡선 x¤ - =1의초점중의하나이고이쌍곡선의또다
른초점을C라하면 C(-2, 0)이다.
또, 점B(-1, 0)은포물선 y¤ =-4x의초점이다.
점A에서포물선에그은접선의접점을 P(x¡, y¡) (x¡<0, y¡<0)이
라하면접선의방정식은
y¡y=-2(x+x¡) yy㉠
직선㉠이점A(2, 0)을지나므로
x¡=-2
한편, 점P는포물선위의점이므로
y¡¤ =-4x¡에서 y¡=-2'2
∴P(-2, -2'2)
PB”="√(-2+1)¤ +√(-2'2)¤ =3
PA”="√(-2-2)¤ + √(-2'2)¤ =2'6
이때 QA”=2PB”=2_3=6
쌍곡선의정의에의하여QC”-Q’A”=2이므로
QC”=8
오른쪽그림의삼각형QCA에서
코사인법칙에의하여
cosh= =
삼각형QCB에서코사인법칙에의하여
cosh= =
∴QB”=3'6
사각형PAQB의둘레의길이는
PA”+AQ”+QB”+BP”=2'6+6+3'6+3
=9+5'6
따라서 a=9, b=5이므로
a+b=14
답⃞ 14
점Q의좌표를두곡선 x¤ - =1과 (x-2)¤ +y¤ =36을연립하여
구하면
y¤3
1116
1¤ +8¤ -Q’B” ¤
2_1_8
1116
4¤ +8¤ -6¤2_4_8
B AC
Q
86
31Ω
y¤3
y
xO
y2=-4x
y2
3x2- =1 {x>0}
A
C
Q
P
1 2-2
B
12
12
12
4+ +1
n¤
4n
2+2n
31정답과풀이
(x-2)¤ +(3x¤ -3)=36, 4x¤ -4x-35=0
(2x+5)(2x-7)=0 ∴ x= (∵ x>0)
즉, Q{ , }이므로
QB”=æ≠{ +1}¤ +≠{ }¤ =3'6
15 타원 + =1의두초점의좌표를 F(0, c),
F'(0, -c)라하면 c¤ =120-20=100이므로 F(0, 10),
F'(0, -10)이다.
두초점이 F(0, 10), F'(0, -10)이고점근선의방정식이 y= x,
y=- x인쌍곡선의방정식을
- =-1 (a>0, b>0)이라하면
a¤ +b¤ =10¤ yy㉠
= 에서 a=2b yy㉡
㉡을㉠에대입하면
(2b)¤ +b¤ =100, 5b¤ =100
b¤ =20 ∴ b=2'5
따라서쌍곡선의주축의길이는
2b=4'5
답⃞ ③
16 쌍곡선 - =1과타원 + =1의두초점은
모두F("√a¤ +4, 0), F'(-"√a¤ +4, 0)이다.
쌍곡선 - =1의주축의길이는 4이고타원 + =1
의장축의길이는 6이므로
|PF”-PF'”|=4 yy㉠
PF”+PF'”=6 yy㉡
(PF”+PF'”)¤ =(PF”-PF'”)¤ +4_PF”_PF'”이므로㉠, ㉡에의하여
6¤ =4¤ +4_PF”_PF'”, 4_PF”_PF'”=20
∴PF”_PF'”=5
답⃞ ②
17 3x¤ -y¤ =3에서 y¤ =3x¤ -3이므로 2x¤ +3y¤ =24에 대입
하면
2x¤ +3(3x¤ -3)=24, 11x¤ =33
x¤ =3 ∴ x=—'3
y¤ =3x¤ -3=6
∴ y=—'6
이때제1사분면위의점 P의좌표는 ('3, '6)이므로점 P를지나고
타원 2x¤ +3y¤ =24, 즉 + =1에접하는직선 l의방정식은
x+ y=1'68
'312
y¤8
x¤12
y¤
5-a¤
x¤9
y¤
a¤
x¤4
y¤
5-a¤
x¤9
y¤
a¤
x¤4
12
ba
y¤
b¤
x¤
a¤
12
12
y¤120
x¤20
3'∂152
72
3'∂152
72
72
점P를지나고쌍곡선 3x¤ -y¤ =3, 즉 x¤ - =1에접하는직선m
의방정식은
'3x- y=1
두직선 l, m이 x축과만나는두점Q, R의좌표는각각
Q{ , 0}, R{ , 0}이므로삼각형PQR의넓이는
_{ - }_'6= '2
따라서 p=2, q=11이므로
p+q=13
답⃞ 13
112
1
'3
12
'3
12
1
'3
12
'3
'63
y¤3
32 수능완성수학영역기하와벡터
즉, 점P는직선 y=x위의점이다.
y=x를 - =1에대입하면
- =1, =1
x¤ =10 ∴ x=-'∂10또는 x='∂10
점P가제1사분면위의점이므로 x='∂10
즉, 점P의좌표는 ('∂10, '∂10)이다.
따라서정사각형PRSQ의넓이는
(2'∂10)¤ =40
답⃞ 40
04 한변의길이가 4'2인정사각형OABC의대각선의길이가 8
이므로점C의좌표는C(4, 4)이다.
점O를꼭짓점으로하는포물선 y¤ =4px가점C(4, 4)를지나므로
4¤ =4_p_4 ∴ p=1
포물선 y¤ =4x의준선의방정식은 x=-1이다.
또한, 두포물선은직선AC에대하여대칭이므로점B를꼭짓점으로
하는포물선은 포물선 y¤ =4x를직선 x=4에대하여대칭이동한도
형이다. 즉, 점 B를꼭짓점으로하는포물선의준선의방정식은 x=9
이다.
따라서두포물선의준선사이의거리는 10이다.
답⃞ ③
05
10+6=c¤ , 즉 c¤ =16이므로쌍곡선 - =1의두초점은
F(4, 0), F'(-4, 0)이다. 사각형ACDB가정사각형이고 FF'”=8
이므로 AF”=4이다. 삼각형 AF'F는 ∠AFF'=90˘인 직각삼각형
이므로
16+64=A’F'” ¤ ∴A’F'”=4'5
타원의장축의길이는
AF”+A’F'”=4+4'5
따라서 p=4, q=4이므로
p+q=8
답⃞ 8
06 y
xOA
P
FH
x2
9y2
40- =1
y¤6
x¤10
y
xO
C A
D
FF'
Bx2
10y2
6- =1
x¤10
x¤10
x¤5
y¤10
x¤5
01 ③ 02 ③ 03 40 04 ③ 05 8
06 ② 07 ⑤ 08 ② 09 ① 10 32
11 ⑤ 12 ④ 13 ⑤
본문 46~49쪽
01
포물선 y¤ =-4x의준선의방정식은 x=1이므로세점A, B, M에
서준선에내린수선의발을각각A", B", M"이라하면포물선의정
의에의하여
AF”=A’A"”, BF”=B’B"”
A’A"”+B’B"”=AF”+BF”=AB”=6
이때 A’A"”∥M’M"”∥B’B"”이고점M이 AB”의중점이므로점M"은
A’"B"”의중점이다.
∴M’M"”= (A’A"”+B’B"”)= _6=3
따라서M’M"”=M’M'”+1이므로
M’M'”=2
답⃞ ③
02 타원 + =1에접하고기울기가 1인직선의방정식은
y=x—"√a¤ +10이므로
"√a¤ +10=6, a¤ +10=36
∴ a¤ =26
즉, 타원 + =1의두초점의좌표는 (4, 0), (-4, 0)이므로
두초점사이의거리는 8이다.
답⃞ ③
03
쌍곡선 - =1은 x축, y축, 원점에대하여대칭이므로네점P,
Q, R, S는모두쌍곡선위의점이다.
사각형PRSQ가정사각형이므로점P의 x좌표와 y좌표는같다.
y¤10
x¤5
y
xO
R
S
P
Q
x2
5y2
10- =1
y¤10
x¤26
y¤10
x¤
a¤
12
12
y
xO
B
M M'
B'
A'A"
M"
B"
A
y2=-4x
x=1
F
33정답과풀이
쌍곡선 - =1의두초점중에서 x좌표가양수인초점 F의좌
표를 F(c, 0)(c>0)이라하면쌍곡선의정의에의하여 c¤ =9+40,
즉 c=7이므로F(7, 0)이다.
쌍곡선위의제1사분면에있는점P의좌표를P(x¡, y¡)이라하면점
P에서의접선의방정식은
- =1 yy㉠
직선㉠이 x축과만나는점A의좌표를A(a, 0)이라하면
=1, 즉 a= 이므로A{ , 0}이다.
점 P(x¡, y¡)에서 x축에내린수선의발을H라하면점H의좌표는
(x¡, 0)이고, 삼각형AFP가 PA”=PF”인이등변삼각형이므로점H
는선분AF의중점이다.
+7=2x¡, 2x¡¤ -7x¡-9=0
(2x¡-9)(x¡+1)=0
∴ x¡= 또는 x¡=-1
x¡>0이므로점P의 x좌표는 이다.
답⃞ ②
07 포물선 y¤ =4px (p>0)의 초점 F의 좌표는 F(p, 0)이고,
정사각형ABCD의넓이는 64이므로
AB”=8 ∴AF”=4
점A의좌표는A(p, 4)이고포물선위에있으므로
4¤ =4p¤ ∴ p=2(∵ p>0)
점 F(2, 0)이고 AD”=8이므로점 P의좌표를 P(10, k)(k>0)라
하면점P가포물선 y¤ =8x위의점이므로
k¤ =80 ∴ k=4'5 (∵ k>0)
따라서정사각형PQRS의한변의길이는 8'5이므로정사각형
PQRS의넓이는
(8'5)¤ =320
답⃞ ⑤
08
쌍곡선 - =1에서쌍곡선의정의에의하여 c¤ =9+4=13이
므로두초점F, F'사이의거리는 2'∂13이다.
삼각형FPF'은∠F'PF=90˘인직각삼각형이고FP”=r이므로
F'P”=m이라하면
m¤ +r¤ =52 yy㉠
쌍곡선위의점은두초점F, F'으로부터거리의차가 6이므로
m-r=6 yy㉡
y¤4
x¤9
y
xO F
P
F'
x2
9y2
4- =1
92
92
9x¡
9x¡
9x¡
x¡a9
y¡y40
x¡x9
y¤40
x¤9
(m-r)¤ =m¤ -2mr+r¤
㉠과㉡을대입하면
36=52-2mr, 2mr=16
∴mr=8
따라서FP”_F'P”의값은 8이다.
답⃞ ②
09 타원 + =1의두초점F, F' 사이의거리가 4이므로
두초점의좌표는F(2, 0), F'(-2, 0)이다.
2¤ =5a¤ -a¤ , 4a¤ =4
∴ a¤ =1
타원 +y¤ =1위의제1사분면에있는점P의좌표를
P(x¡, y¡) (x¡>0, y¡>0)이라하면
+y¡¤ =1 yy㉠
점P에서의접선의방정식은
+y¡y=1 yy㉡
선분F'F를 7：3으로외분하는점은
{ , 0}, 즉 (5, 0)
점P에서의접선㉡이점 (5, 0)을지나므로
=1 ∴ x¡=1 yy㉢
㉢을㉠에대입하면
+y¡¤ =1, y¡¤ =
y¡>0이므로 y¡=
점P에서의접선의방정식은
x+ y=1
∴ y=- x+
따라서점P에서의접선의기울기는- 이다.
답⃞ ①
10
쌍곡선 x¤ -8y¤ =-8, 즉 -y¤ =-1에서 8+1=9이므로 쌍곡
선의정의에의하여두초점은 F(0, 3), F'(0, -3)이다.
∴FF'”=6
PF'”=m, PF”=n이라하면쌍곡선의정의에의하여 m-n=2이고
∠FPF'=60˘이므로코사인법칙에의하여
x¤8
m
ny
xO
PF
F' x2-8y2=-8
60æ
'510
'52
'510
2'55
15
2'55
45
15
5x¡
5
7_2-3_(-2)7-3
x¡x
5
x¡¤
5
x¤5
y¤
a¤
x¤
5a¤
①
①AD”=4'3이고점 F에서선분AD에내린수선의발을H라하면
FH”=2이므로그림과같은모양의삼각형의넓이는
① ;2!;_4'3_2=4'3
②
①AC”=8이고 점 F에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 H라 하면
FH”=2'3이므로그림과같은모양의삼각형의넓이는
① ;2!;_8_2'3=8'3
③
①그림과같은모양의삼각형은한변의길이가 4'3인정삼각형이므
로넓이는
① _(4'3)¤ =12'3
따라서확률변수X의값은 4'3, 8'3, 12'3이고각각의확률은다음
과같다.
⁄ X=4'3인경우
⁄정육각형 ABF'CDF에서 서로 다른 세 개의 꼭짓점을 선택하여
삼각형이만들어지는경우의수는
§C£=20
⁄넓이가 4'3인삼각형이만들어지는경우의수는 6
⁄따라서확률은P(X=4'3)= =
¤ X=8'3인경우
⁄정육각형 ABF'CDF에서 서로 다른 세 개의 꼭짓점을 선택하여
삼각형이만들어지는경우의수는
§C£=20
⁄넓이가 8'3인삼각형이만들어지는경우의수는 12
⁄따라서확률은P(X=8'3)= =
‹ X=12'3인경우
⁄정육각형 ABF'CDF에서 서로 다른 세 개의 꼭짓점을 선택하여
삼각형이만들어지는경우의수는
§C£=20
35
1220
310
620
'34
B A
C
F' F
D
H
B A
C
F' F
D
B A
C
F' FH
D
34 수능완성수학영역기하와벡터
cos 60˘=
=
mn=4+2mn-36
∴mn=32
따라서PF”_PF'”의값은 32이다.
답⃞ 32
11 양수 c에대하여두초점F, F'의좌표를F(c, 0), F'(-c, 0)
이라하면
ㄱ. 9+c¤ =25이므로 c=4
따라서두초점사이의거리는 8이다. (참)
ㄴ. 타원의정의에의하여PF”+PF'”=QF”+Q’F'”=10이므로두삼각
형PFF', QFF'의둘레의길이는각각 10+8=18로같다. (참)
ㄷ. 타원의정의에의하여FP”+F'P”=FQ”+F’'Q”이므로
FQ”-FP”=F'P”-F'Q”
따라서두점 P, Q를초점으로하는쌍곡선이점 F를지나면이
쌍곡선은점F'을지난다. (참)
그러므로옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답⃞ ⑤
12
쌍곡선 - =1의두초점이F(4, 0), F'(-4, 0)이므로
쌍곡선의정의에의하여
a¤ +b¤ =16 yy㉠
쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식은 y=— x이고, 육각형
ABF'CDF가정육각형이므로점근선 y= x가 x축의양의방향과
이루는각의크기는 60˘이다.
=tan60˘ ∴ b='3a yy㉡
㉡을㉠에대입하면
a¤ +('3a)¤ =16, 4a¤ =16, a¤ =4
a>0이므로 a=2
따라서이쌍곡선의주축의길이는 4이다.
답⃞ ④
13 정육각형 ABF'CDF에서 서로 다른 세 개의 꼭짓점을 선택
하여만들수있는삼각형의넓이는다음과같다.
ba
ba
ba
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y
xO
B A
C D
FF'
60æ
(m-n)¤ +2mn-362mn
12
m¤ +n¤ -362mn
35정답과풀이
⁄넓이가 12'3인삼각형이만들어지는경우의수는 2
⁄따라서확률은P(X=12'3)= =
⁄, ¤, ‹에서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같
다.
∴E(X)=4'3_ +8'3_ +12'3_ =
답⃞ ⑤
36'35
110
35
310
110
220
01
직선AC와꼬인위치에있는직선, 즉만나지도평행하지도않은직
선은직선 BG, 직선DI, 직선 EJ, 직선 FG, 직선GH, 직선HI, 직
선 JF의 7개이다.
∴ a=7
직선AF, 직선 BG, 직선 CH, 직선 DI, 직선 EJ는평면ABCDE
와모두수직이므로직선AC와도모두수직이다.
∴ b=5
∴ a+b=12
답⃞ 12
02 ㄱ. AE”⊥AD”, AE”⊥AB”이므로
ㄱ. AE”⊥(평면ABCD)
∴BD”⊥AE”
BD”⊥AC”, BD”⊥AE”이므로
BD”⊥(평면AEGC)
∴AG”⊥BD” (참)
ㄴ. 두평면AEG, BDF가이루는각의크기는두평면AEGC,
BDHF가이루는각의크기와같다. 정사각형ABCD의두대각
선의교점을M이라하면두평면 AEGC, BDHF의교선위의
점M에대하여MA”⊥MB”이므로두평면AEGC, BDHF는서
로수직이다. (참)
ㄷ. 사면체 BDEG는모든모서리의길이가같은정사면체이므로점
B에서삼각형 DEG에내린수선의발을 N이라하면점 N은정
삼각형DEG의무게중심이다. 또한, 사면체HDEG에서
HD”=HE”=HG”이므로 점 H에서 삼각형 DEG에 내린 수선의
발은점N이다.
∴BH”⊥(평면DEG) (참)
M
A
E F
G
CD
B
H
A D
CB
F
G H
I
E
J
01 12 02 ⑤ 03 ③ 04 ③ 05 ④
06 ⑤ 07 55 08 ④ 09 ③ 10 ②
11 15 12 22 13 ② 14 ③
공간도형 본문 51~57쪽07
P(X=x) ;1£0; ;5#; ;1¡0; 1
X 4'3 8'3 12'3 계
36 수능완성수학영역기하와벡터
그림과같이좌표공간을설정하면네점A, B, F, G의좌표는
A(1, -1, 2+'2), B(2, -2, 2), F(-1, 2+'2, 1), G(0, 2, 2)
∴AB≥=(1, -1, -'2), FG≥=(1, -'2, 1)
∴ cosh=
∴ cosh=
∴ cosh=
05 점 P에서직선 l¡, l™, l£에내린수선의발을각각A,B, C라
하고평면 a에내린수선의발을H라하자.
삼수선의정리에의하여 l¡⊥AH”, l™⊥BH”, l£⊥CH”
이때세직선 l¡, l™, l£이한평면위에놓인평행한직선이므로세점
A,B, C는같은직선위에놓인점이다.
PH”=x, AB”=BH”=HC”=y라하면
x¤ +y¤ =4¤ yy㉠
x¤ +(2y)¤ =5¤ yy㉡
㉡-㉠에서 3y¤ =9, y¤ =3
y¤ =3을㉠에대입하면
x¤ =13 ∴ x='∂13
따라서점P와평면 a사이의거리는 '∂13이다.
답⃞ ④
06 두 점 A, P에서 반지름의 길이가 6인 밑면으로의 정사영을
각각A', P'이라하자.
직각삼각형ACA'에서
AC”=5, A’'C”=6-2=4
∴A’A'”="√5¤ -4¤ =3
점 P'에서선분 DE에내린수선의발을M이라하면삼수선의정리
에의하여P’M”⊥DE”이다.
O
E
P
P'
A'
M
A B
C D
P
ABHC
544
14
|1+'2-'2|
"√1¤ +(-1)¤ +√(-'2)¤ "√1¤ +(-'2)¤ +1¤
|AB≥ ∑ FG≥|
|AB≥||FG≥|
x
y
z
O
A
BF
G
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답⃞ ⑤
03 선분BC의중점을M이라하면이등변삼각형MDA에서
MF”：MA”=FG”：AD”=1：3
∴FG”=2
삼각형MDA는MD”=MA”=3'3인이등변삼각형이다.
이등변삼각형 MDA에서 두 직선 FG, AD가 평행하고 FG”=2,
DE”=2이므로삼각형EGF는∠EGF가직각인직각삼각형이다.
EF”=DG”=;3@;_3'3=2'3이므로
EG”="√(2'3)¤ -2¤ =2'2
∴ cosh= = =
답⃞ ③
04 그림과같이두점 B, G가일치하도록모서리 FG가있는정
사각뿔을평행이동한다.
그림과같이두점A, F에서정육면체의면에내린수선의발을각각
M, N이라하고, 선분AM과FN의교점을L이라하자.
FN”="√2¤ -('2)¤ ='2, NL”=1, AL”='2+1
직각삼각형AFL에서
AF”="√('2+1)¤ +√('2-1)¤ ='6
따라서삼각형ABF에서
cosh= = =
답⃞ ③
14
4+4-62_2_2
AB” ¤ +BF” ¤ -FA” ¤
2_AB”_BF”
N
M
FL
A
B{G} Ω
'63
2'2
2'3EG”
EF”
F
D
A
E
GM
22
4
ΩΩ
A
C
G
B
M
EF
D
A
E F
G
CD
B
NH
37정답과풀이
따라서삼각형PED의넓이의최댓값은
P’'M”의길이가최대일때이다.
DE” ¤
=OD” ¤ +OE” ¤ -2_OD”_OE”_cos ;3@;p
=6¤ +6¤ -2_6_6_{-;2!;}
=108
∴DE”=6'3
삼각형ODE에서
;2!;_DE”_O’M”=;2!;_OD”_OE”_sin ;3@; p
;2!;_6'3_O’M”=;2!;_6_6_
∴O’M”=3
따라서 P’'M”의 최댓값은 5이므로 그때의 P’M”="√3¤ +5¤ ='∂34이고
삼각형PED의넓이의최댓값은
;2!;_6'3_'∂34=3'∂102
답⃞ ⑤
07
선분PQ의중점을N이라하자.
위의그림의직각삼각형ABM에서A’M”="√13¤ -5¤ =12이고
A’N”：NM””=2：1이므로
A’N”=8, NM”=4
한편, 아래 그림에서 PQ”⊥NM”, PQ”⊥NA”이므로 삼각형 ANM에
서∠ANM=h이고A’M”=6이므로
cosh= = =
∴ 80cosh=80_ =55
답⃞ 55
08
점M에서두선분 EF, HG에내린수선의발을각각M¡, M™라하
F
E
G
CD
P
QA HB
MN
N3
N2
N1
M3
M1
M2
1116
1116
16+64-362_4_8
NM” ¤ +NA” ¤ -AM” ¤
2_NM”_NA”
N
å
Ω
B
C
QP
A
M
A
M
NP Q
B C
'32
O
P'
E
M
D
23π
고, 점N에서두선분EF, HG에내린수선의발을각각N¡, N™라하
면두평면AMD와 BNC가이루는각의크기는두평면AM¡M™D
와BN¡N™C가이루는각의크기와같다.
이때두선분AD, BC의중점을각각 P, Q라하고, 두선분M¡M™,
N¡N™의중점을각각M£, N£이라하면두직선 PM£, QN£이이루는
각의크기가 h이다.
그림과같이두점M£, N£이일치하도록선분 QN£을선분 Q'N£'으
로평행이동하면∠PM£Q'=h이다.
∴ cosh= = =
답⃞ ④
09 단면 E가밑면과이루는각의크기를
h¡이라하고두단면 E, F가이루는각의크
기를 h™라하면지름AB를지나고밑면에수
직으로자른원기둥의단면은그림과같다.
점 P를 지나고 AQ”에 평행한 직선이 BC”와
만나는점을R라하면
PR”=AQ”="√2¤ +1¤ ='5
CR”=CQ”-RQ”=2-1=1
PC”="√2¤ +2¤ =2'2
cosh¡=
cosh™= =
단면E의넓이를S¡이라하면
S¡cosh¡=p
∴S¡= =
따라서단면E의단면F를포함하는평면위로의정사영의넓이를 S
라하면
S=S¡cosh™= _ = p
답⃞ ③
10 그림과 같이 구부러진 철사의 양 끝점과 구부러진 지점을 각
각A, B, C, D라하고점 C를지나도록평면 a를평행이동하자. 직
선CD가평면 a와이루는예각의크기를 h라하면
sinh= 이므로 cosh=æ≠1-{;4!;}¤ ='∂154
14
C
D
A
B
1Ωå
4
4 4120æ120æ
3'24
3'∂1010
'5p2
'5p2
pcosh¡
3'∂1010
5+8-12_'5_2'2
2'5
C
Q
R
BA
P
2
2
1 1
Ω2
Ω1
45
10+10-42_'∂10_'∂10
P’M£” ¤ +Q’'M£” ¤ -P’Q'” ¤
2_P’M£”_Q’'M£”
Ω
P Q P Q'6
41 1 1 1
3
M3 N3
2
M3{N3'}
38 수능완성수학영역기하와벡터
직선AC와평면 a가이루는예각의크기는 p-{ p+h}= -h
이고, 직선DB와평면 a가이루는예각의크기는 +h이다.
따라서구하는정사영의길이는
4cos { -h}+4cosh+4cos { +h}
=4{cos cosh+sin sinh+cosh+cos cosh-sin sinh}
=4_2cosh
=8_
=2'∂15
답⃞ ②
그림과 같이 3등분된 철사의 정사영의 길이와 선분 AB의 정사영의
길이는서로같다.
AB”=8, cosh=
따라서구하는정사영의길이는
AB” cosh=8_ =2'∂15
11 B’M”=D’M”="√4¤ +2¤ =2'5, BD”=4'2
점M에서선분BD에내린수선의발을 I라하면
MI”=øπB’M” ¤ -BI” ¤ ="√(2'5)¤ -(2'2)¤ =2'3
∴△BMD= _4'2_2'3=4'6
평면AFD는평면AFGD와같으므로그림과같이삼각형 BMD의
평면AFGD위로의정사영은삼각형B'M'D이다.
△B'M'D= _3'2_4=6'2
∴ cosh= = =
∴ 20cos¤ h=20_ =15
답⃞ 15
12 AP”=1, AQ”=2, AR”=3이고
∠PAQ=∠QAR=∠RAP=60˘이므로
34
'32
6'2
4'6△B'M'D△BMD
12
D
AB'
M'G
F
12
'∂154
'∂154
30æ
30æC
D
A
B
Ω
å
2
24
'∂154
p3
p3
p3
p3
p3
p3
p3
p3
23
PQ”=Æ…1¤ +2¤ - …2_1_2_;2!;='3
QR”=Æ…2¤ +3¤ - …2_2_3_;2!;='7
RP”=Æ…3¤ +1¤ - …2_3_1_;2!;='7
삼각형 PQR는 QR”=RP”인이등변삼각형
이므로점 R에서선분 PQ에내린수선의
발을H라하면
RH”=æ≠('7)¤ -{ }¤ =;2%;
∴△PQR=;2!;_'3_;2%;=
점 A, P, Q, R의 평면 BCD 위로의 정사영을 각각 A¡, P¡, Q¡,
R¡이라하자.
A’¡B”=;3@;_2'3= 이고, A’¡B”=A’¡C”=A’¡D”이므로
A’¡P¡”=;4!;A’¡B”=
A’¡Q¡”=;2!;A’¡C”=
A’¡R¡”=;4#;A’¡D”='3
∠P¡A¡Q¡=∠Q¡A¡R¡=∠R¡A¡P¡=120˘
△P¡Q¡R¡=△A¡P¡Q¡+△A¡Q¡R¡+△A¡R¡P¡
△P¡Q¡R¡=;2!;_{ _ + _'3+'3_ }_
△P¡Q¡R¡=
∴ cosh= = =
∴ 30cosh=30_ =22
답⃞ 22
13 조명의 밑면과 천장이 이루는
각의크기를 h라하면
sinh=;3!0);=;3!;
∴ cosh=æ≠1-{;3!;}¤=
그림과같이빛과수직이고구의중심을지나는구의단면이무대바
닥과이루는각의크기가 h이다.
Ω
2'23
Ω
30 cm10 cm
1115
1115
11'312
5'34
△P¡Q¡R¡△PQR
11'312
'32
'33
2'33
2'33
'33
2'33
'33
4'33
C
P¡R¡
Q¡
A¡
DB
5'34
'32 H
P Q
R
7 7
3
39정답과풀이
구의그림자의넓이를S라하면
Scosh=p_4¤
∴S= = =12'2p(cm¤ )
답⃞ ②
14 두꼭짓점A, F에서밑면에내린수선의발을각각H, I라하
고, 모서리 CD의중점을M, 꼭짓점 F에서평면ACD에내린수선
의발을N이라하자.
두평면ACD, FCD가이루는예각의크기를 h라하면
A’M”⊥CD”, F’M”⊥CD”이므로∠AMF=h
∠AMH=h¡, ∠FMI=h™라하면
cosh¡= = , sinh¡=
cosh™= = = , sinh™=
cosh=cos(p-h¡-h™)
=-cos(h¡+h™)
=-cosh¡ cosh™+sinh¡ sinh™
cosh=- _ + _
cosh=
MN”=F’M” cosh='3_ =1
따라서구하는그림자는삼각형NCD이고그넓이는
_2_1=1
답⃞ ③
두꼭짓점A, F에서밑면에내린수선의발을각각H, I라하고모서
리 CD의중점을M, 꼭짓점 F에서평면 ACD에내린수선의발을
N이라하자.
그림과같이점M을원점으로하는좌표공간을설정하면
AH”='ƒ3-1='2
F’I’=æ≠3- =2'63
13
x
y
z FA
BC
G
D
E
N
M
IH
Ω
12
'33
'33
2'23
'2
'313
1'3
2'23
13
'33
'3MI”
F’M”
'2
'31'3
MH”
A’M”
FA
B C
G
D
E
N
M
IH
Ω
16p
2'23
16pcosh
따라서두점A, F의좌표는
A(0, -1, '2), F{0, , }
두평면ACD, FCD가이루는예각의크기를 h라하면
A’M”⊥CD”, F’M”⊥CD”이므로∠AMF=h
AF” ¤ ={ +1} ¤ +{ -'2}¤ =6-2'3
cosh= = =
MN”=F’M” cosh='3_ =1
따라서구하는그림자는삼각형NCD이고그넓이는
_2_1=1
M’A≥=(0, -1, '2),M’F≥={0, , }이므로
cosh=
cosh=
cosh='33
'ƒ0+1+2Ƭ0+;3!;+;3*;
|M’’A≥ ∑ M’’F≥|
|M’’A≥||M’’F≥|
2'63
'33
12
'33
'33
3+3-(6-2'3)2_'3_'3
A’M” ¤ +F’M” ¤ -AF” ¤
2_A’M”_F’M”
2'63
'33
2'63
'33
|- + |4'33
'33
40 수능완성수학영역기하와벡터
의 xy평면위로의정사영을각각A', B', C', D'이라하면
A'(-1, 0, 0), B'(1, 0, 0), C'(1, 3, 0), D'(-1, 3, 0)
사각형ABCD의넓이를S, 사각형A'B'C'D의넓이를S'이라하면
S'=Scosh에서
2_3=2_BC”_;5#; ∴BC”=5
BC”="√(1-1)¤ +(3-0)¤ √+(b-a)¤ =5
(b-a)¤ =16 ∴ b-a=4 (∵ b>a)
답⃞ ④
05 두점A(1, -1, a), B(3, 1, b)의 xy평면위로의정사영을
각각A', B'이라하면
A'(1, -1, 0), B'(3, 1, 0)
A’'B'”=AB” cos 60˘에서
"√2¤ +2¤ ="√2¤ +2¤ +(b-a)¤ _;2!;
∴ (b-a)¤ =24
두점A(1, -1, a), B(3, 1, b)의세점 O(0, 0, 0), P(0, 0, 1),
Q(3, 3, 0)을지나는평면 a위로의정사영을각각A", B"이라하자.
두점A'(1, -1, 0), B'(3, 1, 0)에서 xy평면위의직선 y=x에내
린수선의발은각각 (0, 0, 0), (2, 2, 0)이므로A"(0, 0, a),
B"(2, 2, b)이다.
따라서선분AB의평면 a위로의정사영의길이는
A’"B"”="√2¤ +2¤ +(b-a)¤ ='∂32=4'2
답⃞ ⑤
06 z
y
x
B M
N
OP¡
P™
A
z
y
å
xB'
A'
B
O
A
B"
A"
z
y
x
B'
A'BO
C
A
C'
D'
D01 점P와점Q의 x, y좌표의값이각각같아야하므로
a=2, b=3
또, 원점과점P사이의거리가 7이므로
"√2¤ +3¤ +c¤ =7, c¤ =36
∴ c=6 (∵ c>0)
따라서점 P(2, 3, 6)의 y축에대하여대칭인점은 R(-2, 3, -6)
이므로
d+e+f=-2+3+(-6)=-5
답⃞ ③
02 두점 C, D의 x, z좌표는각각서로같고두점D, H의 x, y
좌표는각각서로같으므로점D의좌표는D(-2, -1, a)이다.
두점 C, G의 x, y좌표는각각서로같고두점 G, H의 x, z좌표는
각각서로같으므로점G의좌표는G(-2, 4, -3)이다.
두점F, G는 yz평면에대하여대칭이므로점F의좌표는
F(2, 4, -3)이다.
∴DF”="√(2+2)¤ +(4+1)¤ √+(-3-a)¤ =3'∂10
16+25+(a+3)¤ =90
(a+3)¤ =49, a+3=—7
∴ a=4 (∵ a>0)
답⃞ ④
03 P(a, 3, b), Q(a, 0, 0), R(0, 3, 0), S(a, -3, b)이므로
세점 P, Q, S의 x좌표의값이모두같다. 즉, 평면 PQS는 yz평면과
서로평행하다.
△PQS=;2!;_6_b=3b
사면체PQRS의부피가 12이므로
;3!;_△PQS_a=;3!;_3b_a=12
∴ ab=12 yy㉠
원점과점P사이의거리가 7이므로
a¤ +9+b¤ =7¤
∴ a¤ +b¤ =40 yy㉡
㉠, ㉡에서
(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=40+2_12=64
∴ a+b=8 (∵ a>0, b>0)
답⃞ 8
04 네점A(-1, 0, a), B(1, 0, a), C(1, 3, b), D(-1, 3, b)
01 ③ 02 ④ 03 8 04 ④ 05 ⑤
06 ① 07 25 08 ③ 09 ① 10 64
11 ④ 12 ② 13 ③
공간좌표 본문 59~63쪽08
41정답과풀이
점B의좌표는 (1, -3, 5)이다.
점P(4, a, b)에대하여 AP”=BP”이므로 a=0
AP”=AB”=6이므로
"√(4-1)¤ +(0-3)¤ +√(b-5)¤ =6
(b-5)¤ =18
∴ b=5—3'2
∴P’¡P™”=(5+3'2)-(5-3'2)=6'2
선분AB의중점을M, 선분P¡P™의중점을N이라하면M(1, 0, 5),
N(4, 0, 5)이므로
MN”=3
또한, P’™N”=;2!;P’¡P™”=3'2
따라서사면체 P™NAB의부피V는
V=;3!;_{;2!;_6_3}_3'2=9'2
이므로사면체ABP¡P™의부피는
2V=2_9'2=18'2
답⃞ ①
점B의좌표는 (1, -3, 5)이다.
점P(4, a, b)에대하여 AP”=BP”이므로 a=0
AP”=AB”=6이므로
"√(4-1)¤ +(0-3)¤ √+(b-5)¤ =6
(b-5)¤ =18
∴ b=5—3'2
∴P¡P™”=(5+3'2)-(5-3'2)=6'2
선분AB의중점을M, 선분 P¡P™의중점을 N, 점 P™에서정삼각형
ABP¡에내린수선의발을H라하면삼각형P¡MP™에서
P¡P™”_MN”=MP¡”_P™H”
∴P™H”= =2'6
따라서사면체ABP¡P™의부피는
_{ _6¤ }_2'6=18'2
07 점C의좌표는 (3, 7, -4)이므로
AC”="√(3+3)¤ +(7-7)¤ √+(-4-4)¤ =10
점B에서선분AC또는그연장선에내린수선의발을H라하면
△ABC= _AC”_BH”
따라서삼각형ABC의넓이가최소일때는BH”가최소일때이다.
12
'34
13
6'2_3
3'3
z
y
x
B M
N
H
OP¡
P™
A
점H의 y좌표는항상 7이므로점H의좌표를 (c, 7, d)로놓을수있
다.
∴BH”="√(c-a)¤ +(7-2)¤ √+(d-b)¤
따라서BH”는 a=c, b=d일때최솟값 5를가지므로삼각형ABC의
넓이의최솟값은
_10_5=25
답⃞ 25
08 두점 A, B의 x좌표와 y좌표의부호가각각같으므로두점
A, B는좌표공간에서 yz평면, zx평면을기준으로같은쪽에있다.
점 A와 zx평면에대하여대칭인점을 A', 점 B와 yz평면에대하여
대칭인점을B'이라하면
A'(4, -3, 0), B'(-2, 5, 5)
선분A'B'과 zx평면, yz평면의교점을각각P', Q'이라하면
AP”+PQ”+QB”=A’'P”+PQ”+Q’B'”
æA’'P'”+P’'Q'”+Q’'B'”
=A’'B'”
이때A’'B'”="√(-2-4)¤ +(5+3)¤ √+(5-0)¤ =5'5
이므로구하는최솟값은 5'5이다.
답⃞ ③
09
그림과같이좌표공간에정육면체를놓으면네점 E, C, H, M의좌
표는
E(10, 0, 0), C(0, 10, 10), H(0, 0, 0), M(5, 10, 5)
출발한지 t초후의두점P, Q의좌표는각각
P(10-2t, 2t, 2t), Q(t, 2t, t)이므로
A
EF
G
CD
B
HMPQ
y
z
x
z
y
x
Q '
P '
A'{4, -3, 0} A{4, 3, 0}
B{2, 5, 5}
B '{-2, 5, 5}
O
12
z
y
x
O
A
B H
C
42 수능완성수학영역기하와벡터
PQ”="√(t-10+2t)¤ +√(2t-2t)¤ √+(t-2t)¤
="√10t¤ -60t+100
="√10(t-3)¤ +10
따라서 t=3일때두점P, Q사이의거리의최솟값은 '∂10이다.
답⃞ ①
10
꼭짓점A에서 x축에내린수선의발을H라하면삼각형ABC는정
삼각형이므로 점 H는 선분 BC의 중점이다. 따라서 점 H의 좌표는
H(1, 0, 0)이다.
또한, AB”=2, BH”=1이므로
AH”='3
따라서두점A, D의좌표는A(1, 0, '3), D(1, 3, '3)이고, 점 B
의좌표는B(2, 0, 0)이다.
이때선분AB를 2：1로외분하는점P의좌표는
P{ , , }
즉, P(3, 0, -'3)
두점 P(3, 0, -'3), D(1, 3, '3)에대하여선분 PD를 2：1로내
분하는점Q의좌표는
Q{ , , }
즉, Q{ , 2, }
따라서 a= , b=2, c= 이므로
9(a¤ +b¤ +c¤ )=9{ +4+ }=64
답⃞ 64
11 세점A(1, -2, 3), B(-1, 2, -5), C(4, 2, 5)를꼭짓점
으로하는삼각형ABC의무게중심G¡의좌표는
G¡{ , , }
즉, G¡{ , , 1}
세점 O(0, 0, 0), C(4, 2, 5), P(a, b, n)을꼭짓점으로하는삼각
형OCP의무게중심G™의좌표는
G™{ , , }
즉, G™{ , , }
두점G¡, G™의 xy평면위로의정사영이서로일치하므로
= , =
∴ a=0, b=0
23
b+23
43
a+43
n+53
b+23
a+43
0+5+n3
0+2+b3
0+4+a3
23
43
3-5+53
-2+2+23
1-1+43
39
259
'33
53
'33
53
2_'3+1_(-'3)2+1
2_3+1_02+1
2_1+1_32+1
2_0-1_'32-1
2_0-1_02-1
2_2-1_12-1
y
z
x
A D
B
P
QHC F
E
따라서 P(0, 0, n)이므로 l«=OP”=n
∴ ;N'+! =;N'+!
∴ ;N'+! = ;Kn+!
∴ ;N'+! = ;Kn+! { - }
∴ ;N'+! = {1- }
∴ ;N'+! =1
답⃞ ④
12
삼각형CAP는한변의길이가 1인정삼각형이므로
∠ACP=60˘
직선 PQ가구의접선이므로삼각형 CPQ는∠CPQ가직각인직각
삼각형이다.
∴PQ”=CP” tan60˘=1_'3='3
한편, ∠CQP=30˘이므로∠ORQ=60˘
∴∠CRP=30˘
즉, 삼각형CQR는이등변삼각형이다.
∴PR”=PQ”='3
따라서삼각형 CQR의넓이는
_2'3_1='3
답⃞ ②
13 두 구 C¡, C™의 중심을 각각 O¡, O™라 하면 O¡(a, b, 2),
O™(c, d, -3)의 xy평면위로의정사영은각각A(a, b, 0),
B(c, d, 0)이다.
선분PQ의길이의최솟값이 8이므로
O’¡O™”-(2+3)=8, 즉O’¡O™”=13
"√(c-a)¤ +(d-b)¤ + √(-3-2)¤ =13
∴ (c-a)¤ +(d-b)¤ =13¤ -5¤ =12¤
∴AB”="√(c-a)¤ +√(d-b)¤ =12
답⃞ ③
AB
O¡
O™
xy평면
12
y
z
x
P
RO
C
A
Q
1n+1
limn ڦ
1k+1
1k
limn ڦ
1
k(k+1)limn ڦ
1
n(n+1)
1l«l«≠¡
43정답과풀이
_BD”_FB”= _2'3_2'6=6'2
답⃞ ③
03
CG”는직사각형ABCD와수직이므로CG”⊥BD”이고, 주어진조건에
서 AG”⊥BD”이므로 CG”와 AG”에 의하여 만들어진 평면 ACG는
BD”와수직이다.
그러므로평면ACG위의AC”는BD”와수직이다.
AC”와 BD”는직사각형 ABCD의수직인두대각선이므로직사각형
ABCD는정사각형이다.
∴ a=2
꼭짓점 C에서선분 FH에내린수선의발을 I라하면삼수선의정리
에의하여 IG”⊥FH”이다.
밑면이한변의길이가 2인정사각형이므로
IG”='2
∴ b¤ =('2)¤ +3¤ =11
∴ a¤ +b¤ =4+11=15
답⃞ 15
그림과같이좌표공간을설정하면네점A, B, D, G의좌표는
A(a, 0, 3), B(a, 2, 3), D(0, 0, 3), G(0, 2, 0)
AG≥=(-a, 2, -3), BD≥=(-a, -2, 0)이므로
AG≥`∑`BD≥=a¤ -4=0 ∴ a=2
꼭짓점 C에서선분 FH에내린수선의발을 I라하면삼수선의정리
에의하여 IG’⊥FH”이다.
밑면이한변의길이가 2인정사각형이므로
IG’='2
∴ b¤ =('2)¤ +3¤ =11
∴ a¤ +b¤ =4+11=15
04 평면 ABE와 평면 ABDC가 이루는 각의 크기는 두 선분
AE, AC가이루는각의크기와같다.
z
y
x
A
EF
G
CD
B
H
I
A
E F
G
CD
B
H
I
12
12
01 ⑤ 02 ③ 03 15 04 ② 05 ④
06 12 07 ④ 08 14 09 ② 10 ③
11 ① 12 ①
본문 64~67쪽
01 주어진전개도로정육면체를만들면그림과같다.
두선분AB, CD의중점이일치하도록평행이동하면직선AB와직
선CD가이루는각의크기는 이므로 a=
정삼각형 ADC에서직선 CD와직선 EF가이루는각의크기는
이므로 b=
∴ a+b= + = p
답⃞ ⑤
02 꼭짓점 A에서두모서리 BE, CD에내린수선의발을각각
M, N이라 하면 두 삼각형 ABE, ACD는 이등변삼각형이므로 두
점M, N은각각선분BE, 선분CD의중점이다.
∴BC”=MN”
두평면ABE, ACD가이루는각의크기가 60˘이므로
삼각형AMN에서∠MAN=60˘이고
A’M”=AN”="√3¤ -1¤ =2'2
따라서삼각형AMN은정삼각형이므로
MN”=2'2
즉, BC”=2'2이므로 BD”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3
꼭짓점A에서밑면에내린수선의발을H라하면직각삼각형AHD
에서
AH”=øπ3¤ -('3)¤ ='6
AH”：FB”=1：2이므로
FB”=2AH”=2'6
따라서삼각형FBD의넓이는
A
F
BC
D
E
H
M
N
56
p3
p2
p3
p3
p2
p2
B
C
D{F}
A{E}
44 수능완성수학영역기하와벡터
직선EF가평면ABDC와평행하므로두점E, F에서평면ABDC
에내린수선의발을각각G, H라하면
AG”=AE” cos 60˘=2_;2!;=1
EG”=FH”=AE” sin 60˘=2_ ='3
직각삼각형FCH에서
CH”=øπFC” ¤ -FH” ¤ ='ƒ12-3=3
∴EF”=GH”=5-1-3=1
[그림 2]에서 선분 FD를두점 E, F가일치하도록평행이동한선분
을선분 F'D'이라하면삼각형EBD'에서∠BED'=h이고
EB”="√2¤ +2¤ =2'2
E’D'”=FD”=øπ(2'3)¤ +2¤ =4
B’D'”=5-1=4
즉, 삼각형 EBD'은이등변삼각형이므로그림과같이점 D'에서 EB”
에내린수선의발을H'이라하면
E’H'”=;2!;EB”='2
따라서직각삼각형EH'D'에서
cosh= =
답⃞ ②
05 x절편, y절편이각각 2, 1인직선 l의방정식은
+y=1, z=0
이므로점P의좌표를 (2-2b, b, 0)으로놓을수있다.
A(0, 0, 3), B(5, 4, 0)이고AP” ¤ =BP” ¤이므로
(2-2b)¤ +b¤ +(-3)¤ =(2-2b-5)¤ +(b-4)¤ +(0-0)¤
5b¤ -8b+13=5b¤ +4b+25
12b=-12
∴ b=-1
따라서점P의좌표는 (4, -1, 0)이므로
a+b+c=4+(-1)+0=3
답⃞ ④
06 점 P(2, 5, 4)에서 xy평면에내린수선의발을 F라하면점
A, B, C와점D, E, F의좌표는그림과같다.
x2
'24
E’H'”
E’D'”
B D'
H'
E{F'}
Ω
'32
E
2
5
F
GA CH
60æ
32
사면체QCDE의부피는
_{ _2_5}_|a-4|=
사면체 PABC의부피는 직육면체 DPEC-AFBO의부피에서 네
사면체OABC, DAPC, FABP, EBCP의부피를빼면된다.
이때직육면체 DPEC-AFBO의부피는 2_5_4=40이고, 네사
면체OABC, DAPC, FABP, EBCP의부피는모두
_{ _2_5}_4= 이므로사면체PABC의부피는
40-4_ =
= 에서 |a-4|=8
∴ a=12 (∵ a>0)
답⃞ 12
07 선분AB를 3：1로외분하는점P의좌표는
P{ , , }
즉, P(-5, 7, 8)
두점A, B에서 yz평면에내린수선의발A', B'의좌표는
A'(0, -2, -1), B'(0, 4, 5)
점 P에서 yz평면에내린수선의발을 H라하면 H(0, 7, 8)이고, 점
H는선분A'B'의연장선위에있다.
따라서삼각형 PA'B'에서밑변을 A’'B'”이라할때, 높이는 PH”이므
로삼각형PA'B'의넓이는
_A’'B'”_PH”= _"√(4+2)¤ +(5+1)¤ _5
_A’'B'”_PH”= _6'2_5=15'2
답⃞ ④
08 두점 A(3, -3, 5m), B(-3, 5, n+4)를이은선분 AB
를m：n으로내분하는점이 zx평면위에있으므로내분점의 y좌표
는 0이다.
12
12
12
y
z
xA
A'
B'
B H
P
O
3_5-1_(-1)3-1
3_4-1_(-2)3-1
3_(-1)-1_73-1
403
5|a-4|3
403
203
203
12
13
5|a-4|3
12
13
y
z
x
O
Q{0, 0, a}
C{0, 0, 4} E{0, 5, 4}
P{2, 5, 4}D{2, 0, 4}
A{2, 0, 0}F{2, 5, 0}
B{0, 5, 0}
45정답과풀이
따라서평면 c에의하여잘린구의단면의반지름의길이는
øπ3¤ -CQ” ¤ =æ≠9- =æ–
이므로단면인원의넓이S는
S= p
한편, 평면 b와 xy평면이이루는예각의크기를 h '이라하면
cosh '= , sinh '=
평면 c와 xy평면이이루는예각의크기는 +h '이므로
cos { +h '}=cos cosh '-sin sinh '
cos { +h '}= _ - _
cos { +h '}=
따라서구하는정사영의넓이S'은
S'=S cos { +h '}= p_ = p
답⃞ ③
11 ⁄ X=2일때
⁄지나가는모서리가 2개이면중간에지나가는꼭짓점은 1개이므로
경로는 B, C, D, E를지나는 4개이다.
¤ X=3일때
지나가는 모서리가 3개이면 중간에 지나가는 꼭짓점은 2개이므로
경로는 BC, CB, CD, DC, DE, ED, EB, BE를지나는8개이다.
‹ X=4일때
지나가는모서리가 4개이면중간에지나가는꼭짓점은 3개이므로
경로는 BCD, DCB, CDE, EDC, DEB, BED, EBC, CBE를
지나는 8개이다.
› X=5일때
지나가는모서리가 5개이면중간에지나가는꼭짓점은 4개이므로
경로는 BCDE, EDCB, CDEB, BEDC, DEBC, CBED,
EBCD, DCBE를지나는 8개이다.
⁄~›에서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
E(X)=2_ +3_ +4_ +5_ =
∴E(7X+4)=7E(X)+4
∴E(7X+4)=7_ +4
∴E(7X+4)=30
답⃞ ①
12 정팔면체의한모서리의길이를 6이라하자.
선분AF와평면 BCDE가만나는점을A¡이라하고세점 P, Q, R
의평면 BCDE 위로의정사영을각각 P¡, Q¡, R¡이라할때, 네 점
A¡, P¡, Q¡, R¡을사각형BCDE에나타내면다음과같다.
267
267
27
27
27
17
13'24
'22
132
h2
'22
'55
'∂1010
2'55
3'∂1010
h2
h2
h2
h2
'55
2'55
132
132
104
P(X=x) ;7!; ;7@; ;7@; ;7@; 1
X 2 3 4 5 계
즉, =0이므로 5m=3n yy㉠
AB”="√(-3-3)¤ +(5+3)¤ √+(n+4-5m)¤
="√(-3-3)¤ +(5+3)¤ √+(n+4-3n)¤
="√6¤ +8¤ +(2n-4)¤
이므로n=2일때선분AB의길이가최소가된다.
n=2를㉠에대입하면
5m=6 ∴m=
따라서 a= , b=2이므로
10a+b=12+2=14
답⃞ 14
09 ⁄ 구의중심 (a, 3, 1)과 yz평면사이의거리는 |a|이므로
⁄ |a|…'∂17이면구는 yz평면과만난다.
따라서정수 a는 0, —1, —2, —3, —4이다.
¤구의중심 (a, 3, 1)과 z축사이의거리는 "√a¤ +9이므로
"√a¤ +9>'∂17이면구는 z축과만나지않는다.
따라서정수 a는—3, —4, —5, y이다.
⁄, ¤에서구하는정수 a는—3, —4의 4개이다.
답⃞ ②
10 구C를 yz평면으로자른단면은그림과같다.
구의 중심 C(0, 2'5, '5)에서 평면 c, xy평면에 내린 수선의 발을
각각 Q, R라하자. 점 C에서평면 a, x축에내린수선의발은각각
점P, 원점O이다.
삼각형COR에서 OR”=2'5, CR”='5이므로
CO”=øπ(2'5)¤ +('5)¤ =5
삼각형CPO에서 CP”=3, CO”=5이므로
OP”=4
∠COP=h라하면점A와두평면a, b사이의거리가서로같으므로
∠COQ=
cosh= = 이므로
sin =æ≠ = =
cos =æ≠ = =
∴CQ”=CO” sin =5_ ='∂102
'∂1010
h2
3'∂1010
1+;5$;
21+cosh
2h2
'∂1010
1-;5$;
21-cosh
2h2
45
OP”
CO”
h2
O
P
A
Q
C
R
z
y
å
∫
ç
65
65
5m-3nm+n
« ¬ ¬»
« ¬ ¬»
46 수능완성수학영역기하와벡터
삼각형 PQR는 PR”=QR”인이등변삼
각형이므로선분 PQ의중점을M이라
하면R’M”⊥PQ”이다.
따라서 점 R에서선분 AF에내린수
선의발을H라하면
∠MRH=h이다.
HR”=A’¡R¡”=2이고,
A’A¡”=øπAD” ¤ -A’¡D” ¤ ="√6¤ -(3'2)¤ =3'2이므로
MH”=2MA¡”=2_ A’A¡”
MH”=2_ _3'2=2'2
∴ tanh= = ='2
답⃞ ①
정팔면체의각면의무게중심을연결한도형은정육면체이다.
이정육면체의한모서리의길이를 a라하면
cosh= =
∴ tanh="√sec¤ h-1='ƒ3-1='2 (∵ tanh>0)
1
'3
;2!;a¤
::'3:4:;('2a)¤
B D
A
F
C
E
P
Q
R
2'22
H’M”
HR”
13
13
B D
A
A¡
F
C
EM
P
H
R
Q
E D
B CP¡
Q¡
R¡A¡
01 점 E에서 두 선분 OA, OC에
내린수선의발을각각P, Q라하면
OE≥=OP≥+OQ≥
∠AOE=60˘, OE”=2이므로
OP”=2cos60˘=1,
OQ”=2sin60˘='3
|OA≥¯|=|OC≥¯|=2이므로
OE≥= OA≥+ OC≥
∴B’F≤=O’F≤-O’B≤
∴B’F≤=-OE≥+OA≥
∴B’F≤=- OA≥¯¯- OC≥+OA≥¯¯
∴B’F≤= OA≥¯- OC≥
따라서m= , n=- 이므로
m¤ +n¤ = + =1
답⃞ ④
원의중심을원점으로하여벡터의성분을이용하면
OA≥=(2, 0), OC≥=(0, 2), OE≥=(1, '3)이므로
OB≥=(-2, 0)
O’F≤=-OE≥=(-1, -'3)
∴BF≥=OF≥-OB≥
=(-1, -'3)-(-2, 0)
=(1, -'3)
한편,
BF≥=mOA≥+nOC≥
=m(2, 0)+n(0, 2)
=(2m, 2n)
이므로 2m=1, 2n=-'3
∴m= , n=-
∴m¤ +n¤ = + =134
14
'32
12
y
xOP
Q
D
60æ
C{0, 2}
B{-2, 0} A{2, 0}
F{-1, - }3
E{1, }3
34
14
'32
12
'32
12
'32
12
'32
12
O
C
P
Q
D
B A
F
E
60æ
01 ④ 02 ① 03 ⑤ 04 20 05 ④
06 ④ 07 ③ 08 ① 09 ① 10 ④
11 ③ 12 ②
벡터의뜻과연산 본문 69~73쪽09
47정답과풀이
∴M=16
마찬가지로 |OA≥+OB≥|의값이최소가되는것은두점A, B가모
두점E의위치에있을때이므로
|OA≥+OB≥|æ|OE≥+OE≥|=2|OE≥|=2(|OC≥|-3)=4
∴m=4
∴M+m=20
답⃞ 20
05 타원 x¤ + =1의두초점F(0, a), F'(0, -a)에서
a¤ =2-1=1 ∴ a=1 (∵ a>0)
| P’F≤+ P’F' ≥-O’F' ≥|=|PO≥-O’F' ≥|=|PO≥+O’F≤|=|P’F≤|
이고, |P’F≤|는점P의좌표가 (0, 2)일때, 최솟값 1을가진다.
타원 x¤ + =1에접하고기울기가m인직선의방정식은
y=mx—"√m¤ +2
이직선이점 (0, 2)를지나므로
2=—"√m¤ +2
양변을제곱하여정리하면
m¤ =2 ∴m=—'2
따라서두접선의기울기는 '2, -'2이므로기울기의곱은-2이다.
답⃞ ④
06 P’Q≤=OQ≥-OP≥
=(5a+mb ¯)-(a+4b¯)
=4a ¯+(m-4)b
P’R≤=OR≥-OP≥
=(3a+8b¯)-(a+4b¯)
=2a ¯+4b¯
평행하지않은두벡터 a, b에대하여 P’Q≤, P’R≤가서로평행하므로
PQ≥=kPR≥ (단, k는실수)
즉, 4a¯+(m-4)b=k(2a ¯+4b¯)
4=2k, m-4=4k
∴ k=2, m=12
답⃞ ④
07 OA≥=a ¯, OC≥=c라하면
OD≥= a ¯+c
세점O, E, D가한직선위에있으므로
|OD≥|=|OE≥|+|DE≥|
|OD≥|=|OE≥|+ |OE≥|
|OD≥|= |OE≥|m+1m
1m
O A
BD
E
C
c
a
12
y¤2
12
12
y¤2
02 각 i에대하여점A‘와점A‘≠¡이이웃한직선위에있다고가
정해도 무방하다. ∠OA‘P=90˘ (i=1, 2, 3, y, 8)이므로 점 A¡,
A™, y, A•은모두지름이OP”인원위에있다.
이웃한두직선이이루는각의크기가모두 22.5˘이므로점 A¡, A™,
y, A•은정팔각형의꼭짓점이다. OP”의중점을M이라하면점M이
정팔각형A¡A™yA•의외접원의중심이므로
M’A¡≥+M’A∞≥=0, y, M’A¢≥+M’A•≥=0
P’A‘≥=P’M≥+M’A‘≥이므로
;N8+!P’A«≥=8P’M≥+;N8+!M’A«≥=8P’M≥=-4OP≥
답⃞ ①
03 |OQ≥-OA≥|=|AQ≥|=1, AQ≥=tAP≥ (t>0)이므로
AQ≥는AP≥와방향이같고크기가 1인벡터이다.
포물선 y¤ =12x=4_3x에서기울기
가m인접선의방정식은
y=mx+
이직선이점A(-1, 0)을지나므로
0=-m+
m¤ =3 ∴m=—'3
따라서점Q가나타내는도형은반지
름의길이가 1, 중심각의크기가 p인부채꼴의호이므로구하는도
형의길이는
1_ p= p
답⃞ ⑤
04
원 (x-4)¤ +(y-3)¤ =9의 중심은 C(4, 3), 반지름의 길이는 3이
고, |OC≥|="√4¤ +3¤ =5이다.
그림에서 |OA≥+OB≥|의값이최대가되는것은두점A, B가모두
점D의위치에있을때이므로
|OA≥+OB≥|…|OD≥+OD≥|=2|OD≥|=2(|OC≥|+3)=16
y
xO
B
AD
E C{4, 3}
23
23
23
3m
3m
A¡A™
A£
A¢
A∞A§
A7
A•
P
OOO
O
y
x
3m
Q
P
y2=12x
y=mx+
A{-1, 0}
48 수능완성수학영역기하와벡터
∴OE≥= OD≥= { a ¯+c} yy㉠
한편, 세점A, E, C가한직선위에있으므로
AE≥=kAC≥ (단, k는실수)
OE≥-OA≥=k(OC≥-OA≥)
∴OE≥=(1-k)OA≥+kOC≥
=(1-k)a ¯+kc yy㉡
a ¯와 c는평행하지않으므로㉠, ㉡에서
1-k= _ , k=
1-k= k, k=1 ∴ k=
따라서 = 이므로
m=2
답⃞ ③
08 |OA≥|=|OB≥|='3이므
로두점A, B는중심이원점이고
반지름의길이가 '3인원위의점
이며, 원점에서원
(x-2)¤ +y¤ =1에 그은 두 접선
의접점이다.
∠AOC= 이므로
∠AOB=
OP≥=t{ OA≥}+(1-t)OB≥ (0…t…1)
에서선분 OA를 1：2로내분하는점을A'이
라 할 때, 점 P가 나타내는 도형은 선분 A'B
이다.
A’'B” ¤ =O’A'” ¤ +O’B” ¤ -2_O’A'”_O’B”_cos
A’'B” ¤ = +3-2_ _'3_
A’'B” ¤ =
∴A’'B”=
답⃞ ①
09 OA≥=a ¯, OC≥=c라하면
C’M≥= (CA≥+CB≥)
C’M≥= (a-c ¯+a)
C’M≥=a ¯- c ¯
삼각형COM에서
CK≥=tC’M≥+(1-t)CO≥
CK≥=t{a- c}+(1-t)(-c ¯)
CK≥=ta¯+{ t-1} c (0…t…1) yy㉠12
12
12
12
12
O A
B
D
K M
C
'∂213
73
12
'33
13
p3
13
p3
p6
y
xO
B
A
1
C{2, 0}
3
23
mm+1
23
32
12
mm+1
mm+1
12
12
mm+1
mm+1
CD≥=
CD≥= (a ¯-c ¯)- c ¯
CD≥= a ¯-c ¯
삼각형CDB에서
CK≥=sC’D≥+(1-s)CB≥
CK≥=s{ a ¯-c}+(1-s)a
CK≥={1- s}a ¯-sc ¯ (0…s…1) yy㉡
a ¯와 c는평행하지않으므로㉠, ㉡에서
1- s=t, -s= t-1
∴ t= , s=
㉠에서CK≥= a ¯- c ¯이므로
m= , n=-
∴m+n=
답⃞ ①
10 ㄱ. 삼각형ABC에서
ㄱ. AP≥=3PB≥+AC≥=3(AB≥-AP≥)+AC≥
ㄱ. 4AP≥=3AB≥+AC≥
ㄱ. ∴AP≥=
ㄱ. 즉, 점P는선분BC를 1：3으로내분하는점이다. yy㉠
ㄱ. ∴△ABP：△ACP=1：3 (참)
ㄴ. B’C’=12이므로㉠에서
ㄱ. B’P’=3, P’C’=9
ㄱ. △ACP= _9_5=
yy㉡
ㄱ. 한편, 삼각형 ABC는직각삼각형이므로 AC”=13이고점 P에서
선분AC에이르는거리를 h라하면
ㄱ. △ACP= _AC”_h= _13_h yy㉢
ㄱ. ㉡, ㉢에서 h= (거짓)
ㄷ. 3PA≥+P’C≤=4_ 에서선분AC를 1：3으로내분하
ㄱ. 는점을Q라하면PQ≥= 이므로AB≥∥PQ≥이다.
ㄱ. BC”=12, PC”=9, AB”=5이므로
ㄱ. |PQ≥|=9_ =
ㄱ. ∴ |3PA≥+PC≥|=4|PQ≥|=15 (참)
154
512
A
B CP
Q
5
12
3PA≥+P’C≤4
3PA≥+P’C≤4
4513
12
12
452
12
A
B CP
5
12
h
3AB≥+AC≥4
15
35
45
35
45
35
45
12
13
13
23
23
13
23
2CA≥+CO≥3
3
O
B
A
A'
π3
3
3
49정답과풀이
따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.
답⃞ ④
11 AK≥= AF≥+ AP≥= 이므로 점 K는 선분
FP를 3：1로내분하는점이다.
직육면체의전개도를보면점K가나타내는도형은 FA”, FG”를각각
3：1로내분하는점을연결한선분이다.
AG”=øπEG” ¤ +AE” ¤ ='ƒ2¤ +2¤ =2'2
따라서구하는도형의길이는
AG”= _2'2=
답⃞ ③
12 O’A≥=a ¯, O’B≥=b, O’C≥=c라하자.
OE≥= b, OF≥= c이고, 삼각형AEF의무게중심이G이므로
OG≥= {a ¯+ b+ c}
점K는직선OG위의점이므로실수 t에대하여
CK≥=OK≥-OC≥
=tOG≥-OC≥
CK≥= {a ¯+ b+ c}-c ¯
CK≥= a ¯+ b+{ -1} c yy㉠
한편,
CK≥=aCA≥+bCB≥
=a(OA≥-OC≥)+b(OB≥-OC≥)
=a(a-c ¯)+b(b¯-c ¯)
=aa+bb-(a+b)c ¯ yy㉡
㉠, ㉡에서 a= , b= , a+b=1- 이므로
+ =1- 에서 t=
∴ a= , b=
∴ a+b=
답⃞ ②
34
14
12
32
t6
t6
t3
t6
t6
t3
t6
t6
t3
12
12
t3
12
12
13
12
12
3'22
34
34
A B C D A'
E F G H E'
AF≥+3AP≥4
34
14
01 2a+b¯=-c에서 |2a ¯+b¯|¤ =|c¯|¤이므로
4|a ¯|¤ +|b|¤ +4a ¯ ∑ b=|c¯|¤
4|a ¯|¤ =|b|¤ =4|c ¯|¤이므로위식에대입하면
|b¯|¤ +|b ¯|¤ +4a ¯ ∑ b= |b|¤
4a¯ ∑ b=- |b ¯|¤
∴ a ¯ ∑ b=- |b¯|¤
두벡터 a, b가이루는각의크기가 h이므로
cosh= =
cosh=- =-
답⃞ ⑤
02 AD≥=a ¯, AB≥=b ¯, AE≥=c ¯라
하면
M’N≥=M’A≥+AB≥+BN≥
M’N≥=- c+b¯+ a ¯
M’F≥=M’E≥+EF≥
M’F≥= c+b¯
|M’F≥|=|M’B≥|='ƒ1+9='∂10
|M’N≥|=øπ|M’B≥|¤ +|BN≥|¤
|M’N≥|='ƒ10+4
='∂14
한편, a ¯ ∑ b=b¯ ∑ c=a ¯ ∑ c=0이므로
M’N≥ ∑ M’F≥={ a+b¯- c} ∑ {b+ c ¯}
M’N≥ ∑ M’F≥=|b¯|¤ - |c ¯|¤
M’N≥ ∑ M’F≥=9-1
=8
|M’N≥+M’F≥|¤ =|M’N≥|¤ +|M’F≥|¤ +2M’N≥ ∑ M’F≥
=14+10+16
=40
∴ |M’N≥+M’F≥|=2'∂10
답⃞ ④
∠NMF=h라하면
M’F”='∂10,M’N”='∂14, NF”=2'2이므로
14
12
12
12
12
12
12
D C
G
FE
A
M HB
Na
cb
78
1416
-;1¶6;|b¯|¤
;2!;|b|¤
a ∑ b
|a||b ¯|
716
74
14
01 ⑤ 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ②
06 140 07 ② 08 ③ 09 25 10 ③
11 ④ 12 ③ 13 ④ 14 22
벡터의성분과내적 본문 75~79쪽10
50 수능완성수학영역기하와벡터
AD≥ ∑ FE≥={ b-a ¯} ∑ { b- c}
AD≥ ∑ EF≥= |b|¤ - b ∑ c ¯- a ¯ ∑ b+ a ¯ ∑ c
AD≥ ∑ EF≥= |b|¤ - b ∑ c ¯
AD≥ ∑ EF≥= _9- _ =
답⃞ ③
05 t초후에두점 P, Q가각
각 t, 2t만큼움직이므로
∠AOP=t, ∠AOQ=2t이고,
∠PAQ는호PQ에대한원주각
이므로∠PAQ= 이다.
지름에 대한 원주각의 크기는 90˘
이므로
|AP≥|=2sin , |AQ≥|=2sin t
f(t)=AP≥ ∑ AQ≥
f(t)=|AP≥||AQ≥| cos
f(t)=2sin¤ t
f '(t)=2_2 sin t cos t=2 sin2t
∴ f '{ }=2sin ='3
답⃞ ②
06
그림과같이선분 AB의중점을M이라하고, 점 P에서직선 AB에
내린수선의발을H라하면
AB≥ ∑ AP≥=AB”_AH”=6AH”=24
∴AH”=4
따라서점P는점H를지나고직선AB에수직인평면 a와구가만나
서생기는원C위의점이다.
구 S의중심 O에서평면 a에내린수선의발을 I라하면점 I는원 C
의중심이고 O’I’=MH”=1이다.
이때 O’I’⊥a이므로 O’I’⊥IP’이고, 직각삼각형OIP에서
IP’="√6¤ -1¤ ='∂35
따라서점P는반지름의길이가 '∂35인원위의점이므로점P가나타
내는도형의길이는 2'∂35p이다.
따라서 a=2'∂35이므로
a¤ =(2'∂35)¤ =140
답⃞ 140
O
A B
P
IC
S
HM
å
p3
p6
t2
t2
t2
t2
t2
t2
A A'O
Q
P
tt
34
92
16
16
16
16
12
12
16
16
12
12
13
M’N≥ ∑ M’F≥=|M’N≥||M’F≥|cosh
M’N≥ ∑ M’F≥=|M’N≥||M’F≥|
M’N≥ ∑ M’F≥= (14+10-8)=8
|M’N≥+M’F≥|¤ =|M’N≥|¤ +|M’F≥|¤ +2M’N≥ ∑ M’F≥
=14+10+16
=40
∴ |M’N≥+M’F≥|=2'∂10
벡터의성분을이용하여구할수도있다.
점E를원점으로하고M(0, 0, 1), N(-2, 3, 2), F(0, 3, 0)이라하
면M’N≥=(-2, 3, 1), M’F≥=(0, 3, -1)에서
M’N≥+M’F≥를구할수있다.
03 O’A≥=a ¯, O’B≤=b ¯라 하
면 점 P는 선분 AB를 1：2로
내분하는점이므로
OP≥= b+ a ¯
OQ≥=kOB≥=kb이므로
PQ≥=OQ≥-OP≥
PQ≥=kb-{ a ¯+ b}
PQ≥=- a ¯+{k- } b
|b¯|=3, a ¯ ∑ b=-3이고 PQ≥와OB≥가서로수직이므로
P’Q≤ ∑ OB≥
=[- a ¯+{k- } b] ∑ b
=- a ¯ ∑ b+{k- }|b|¤
=2+9k-3
=9k-1=0
∴ k=
답⃞ ①
04 OA≥=a ¯, OB≥=b, OC≥=c라하면
A’D≤=OD≥-OA≥= b-a ¯
F’E≤=OE≥-OF≥= b- c
|a|=|b ¯|=|c ¯|=3이고,
a ¯ ∑ b=|a¯||b|cos
a ¯ ∑ b=3_3_
a ¯ ∑ b=
a ¯ ∑ b=b ∑ c=a ∑ c이므로
92
12
p3
12
12
13
19
13
23
13
23
13
23
13
23
23
13
ab
B
A
O Q
P
3
12
|M’N≥|¤ +|M’F≥|¤ -|NF≥|¤
2|M’N≥||M’F≥|
51정답과풀이
07 a-b=(1, 0, 2)-(2, -2, 3)=(-1, 2, -1)이므로
3a¯ ∑ (a¯-b¯)=(3, 0, 6) ∑ (-1, 2, -1)=-3-6=-9
답⃞ ②
08 f(x)=e2x+cosx-2라하면점P의좌표는 (x, f(x))이다.
f(0)=1+1-2=0
AP≥=OP≥-O’A≥=(x-2, f(x)),
B’P≤=OP≥-OB≥=(x+2, f(x))이므로
AP≥ ∑ B’P≤=x¤ -4+{ f(x)}¤
=
=
=
=3+3{ f '(0)}¤
이때 f '(x)=2e2x-sinx에서 f '(0)=2이므로
3+3{ f '(0)}¤ =3+12=15
답⃞ ③
09 P’A ≥=O’A ≥-OP≥=(k, 0)-(0, 6)=(k, -6),
Q’A ≥=O’A ≥-OQ≥=(k, 0)-(0, -6)=(k, 6)이므로
P’A˚ ≥ ∑ Q’A˚ ≥=(k, -6) ∑ (k, 6)=k¤ -36
∴ P’A˚ ≥ ∑ Q’A˚ ≥= (k¤ -36)
∴ P’A˚ ≥ ∑ Q’A˚ ≥= -360
∴ P’A˚ ≥ ∑ Q’A˚ ≥=385-360
=25
답⃞ 25
10 점P가 PA≥ ∑ PB≥=0을만족시키므로 PA”⊥PB”이다.
이때선분AB를지름으로하는구를 S라하면점 P는구 S 위의점
이므로주어진조건을만족시키는점 P가오직하나존재하려면선분
A'B'과구S가접해야한다.
선분AB의중점을M이라하면M(5, 6, a-1)이고
MA”="√2¤ +2¤ +1¤ =3이므로구S의반지름의길이는 3이다.
한편, 점M에서 xy평면에내린수선의발을M'이라하면구 S와선
분A'B'이접할때의접점은점M'(5, 6, 0)이어야하므로
MM'”=|a-1|
즉, |a-1|=3에서 a-1=—3
따라서구하는양수 a의값은 4이다.
답⃞ ③
A
A'
B
B'M'
S
M
xy평면
10_11_216
10
¡k=1
10
¡k=1
3x¤ +3{ f(x)-f(0)}¤
x¤limx ⁄ 0
3x¤ +3{ f(x)}¤
x¤limx ⁄ 0
12+3 [x¤ -4+{ f(x)}¤ ]
x¤limx ⁄ 0
12+3AP≥ ∑ B’P≤x¤
limx⁄ 0
A'(7, 4, 0), B'(3, 8, 0)이므로 xy평면에서두점A', B'을지나는
직선의방정식은
= , z=0
∴ y=-x+11, z=0
따라서점P의좌표를 (x, -x+11, 0) (3…x…7)으로놓으면
PA≥=(7-x, x-7, a), PB≥=(3-x, x-3, a-2)이므로
PA≥ ∑ PB≥=(7-x)(3-x)+(x-7)(x-3)+a(a-2)
=2x¤ -20x+a¤ -2a+42
이때 x에 대한 이차방정식 2x¤ -20x+a¤ -2a+42=0을 만족시키
는실수 x가오직하나존재해야하므로이이차방정식의판별식을D
라하면 =0이성립해야한다.
=(-10)¤ -2(a¤ -2a+42)
=-2(a¤ -2a-8)
=-2(a+2)(a-4)=0
∴ a=4 (∵ a>0)
11 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0)이라하면
E{1, ;2!;, 0}이다.
xy평면에서직선DE의방정식은
y=-;2!;x+1
점 C에서선분 DE에내린수선의
발을 M이라 하면 직선 CM의 방
정식은
y=2x-1
두직선의방정식을연립하여풀면
x=;5$;, y=;5#;
∴M{ ;5$;, ;5#;, 0}
∠PMC=60˘, PM”=CM”이므로삼각형PMC는정삼각형이다.
점 P에서 xy평면에내린수선의발을H라하면점H는선분 CM의
중점이므로H{ ;1ª0;, ;1•0;, 0}이다.
AP≥={ ;1ª0;, ;1•0;, k}로놓으면AC≥=(1, 1, 0)이므로
AP≥ ∑ AC≥=;1ª0;+;1•0;+0=;1!0&;
답⃞ ④
k=PH”=PM” sin 60˘
k= _ =
12 ㄱ. 삼각형OAB의무게중심의좌표는 {0, ;3@;, 0}이므로 y축
ㄱ. 위에있다. (참)
ㄴ. 점P의좌표를 (x¡, y¡, z¡)이라하면
'∂1510
'32
'55
y
x
E
D
H
M
B
C
A
D4
D4
y-48-4
x-73-7
52 수능완성수학영역기하와벡터
PA≥ ∑ PB≥=(OA≥-OP≥) ∑ (OB≥-OP≥)
=(-x¡, 1-y¡, -1-z¡) ∑ (-x¡, 1-y¡, 1-z¡)
=x¡¤ +(1-y¡)¤ +z¡¤ -1=1
ㄱ. x¡¤ +(y¡-1)¤ +z¡¤ =2 yy㉠
ㄱ. 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 (0, 1, 0)이고 반지름의
길이가 '2인구이므로중심은 y축위에있다. (참)
ㄷ. 점Q의좌표를 (x™, y™, z™)라하면
QA≥+QB≥
=(-x™, 1-y™, -1-z™)+(-x™, 1-y™, 1-z™)
=(-2x™, 2-2y™, -2z™)
ㄷ. |QA≥+QB≥|¤ =(-2x™)¤ +(2-2y™)¤ +(-2z™)¤
=4{x™¤ +(1-y™)¤ +z™¤ }
=k¤
ㄷ. x™¤ +(y™-1)¤ +z™¤ = yy㉡
ㄷ. 점 Q가나타내는도형은중심이 (0, 1, 0)이고반지름의길이가
ㄷ. 인구이므로㉠, ㉡에서두점 P, Q가나타내는도형이일치하
ㄷ. 기위한 k의값은 2'2이다. (거짓)
따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.
답⃞ ③
13 포물선 y¤ =8x의초점은
F(2, 0)이다.
포물선위의점 P의좌표를 (a, b)라
하면 b¤ =8a이므로
AP≥ ∑ F’P≤
=(a-4, b) ∑ (a-2, b)
=a¤ -6a+8+b¤
=a¤ -6a+8+8a
=(a+1)¤ +7
그런데점P(a, b)는포물선위의점이므로
b¤ =8a에서 aæ0
따라서 a=0일때AP≥ ∑ F’P≤의최솟값은 8이다.
답⃞ ④
14 구 x¤ +(y+1)¤ +(z+2)¤ =4에서점P는중심이
C(0, -1, -2)이고반지름의길이가 2인구위의한점이다.
이구의중심이원점 O에오도록평행이동하고점 A, B를이동시킨
점을각각A', B'이라하면이동된점의좌표와구의방정식은
A'(3, 0, 4), B'(-4, 2, 0), x¤ +y¤ +z¤ =4이다.
구 x¤ +y¤ +z¤ =4위의점을P'이라하면
CA≥ ∑ B’P≤=O’A' ≥ ∑ B’'P' ≥
=O’A' ≥ ∑ (B’'O≥+O’P' ≥)
=O’A' ≥ ∑ B’'O≥+O’A' ≥ ∑ O’P' ≥
O’A' ≥ ∑ B’'O≥=(3, 0, 4) ∑ (4, -2, 0)=12 yy㉠
|O’A' ≥|="√3¤ +0+4¤ =5
|O’P' ≥|은구의반지름의길이이므로
|O’P' ≥|=2
y
xO
y2=8x
P{a, b}
F{2, 0}A{4, 0}
k2
k¤4
O’A' ≥, O’P' ≥이이루는각의크기를 h라하면 cosh=1, 즉O’A' ≥, O’P' ≥
의방향이같을때O’A'≥ ∑ O’P'≥의값이최대이므로
O’A' ≥ ∑ O’P' ≥=|O’A' ≥||O’P' ≥|cosh
=10cosh…10 yy㉡
따라서㉠, ㉡에서 CA≥ ∑ B’P≤의최댓값은
12+10=22
답⃞ 22
구 x¤ +(y+1)¤ +(z+2)¤ =4에서점 P는중심이 C(0, -1, -2)
이고반지름의길이가 2인구위의한점이다.
CA≥ ∑ B’P≤=CA≥ ∑ (BC≥+CP≥)
=CA≥ ∑ B’C≤+CA≥ ∑ CP≥
CA≥=OA≥-OC≥
=(3, -1, 2)-(0, -1, -2)
=(3, 0, 4)
B’C≤=OC≥-OB≥
=(0, -1, -2)-(-4, 1, -2)
=(4, -2, 0)
CA≥ ∑ B’C≤=(3, 0, 4) ∑ (4, -2, 0)=12 yy㉠
|CA≥|=5, |CP≥|는구의반지름의길이이므로
|CP≥|=2
CA≥, CP≥가이루는각의크기를 h라하면-1…cosh…1이므로
CA≥ ∑ CP≥=|CA≥||CP≥|cosh=10cosh…10 yy㉡
따라서㉠, ㉡에서 CA≥ ∑ BP≥의최댓값은
12+10=22
53정답과풀이
점 (0, 1, 0)과점P를지나는직선의방정식은
= =
이직선과 zx평면과의교점은 { , 0, }이다.
∴ = , = yy㉡
㉠, ㉡를연립하여풀면
xº= , yº= , zº=
∴P{ , , }
∴ OP”=æ≠ + + =æ– =
03 직선 = = 의방향벡터를 u라하면
u=(2, 3, a)
AB≥=(-a, 5, -2)이므로 u⊥AB≥에서
u ∑ AB≥=(2, 3, a) ∑ (-a, 5, -2)
=-2a+15-2a
=-4a+15=0
∴ a=
답⃞ ⑤
04 직선 l： =y=z-1 위의한점을 P(1, 0, 1)이라하
면점P를 xy평면에대하여대칭이동한점은 (1, 0, -1)이다.
또, z=0일때직선 l이 xy평면과만나는점은 (-1, -1, 0)이다.
이때직선 l을대칭이동한직선m은두점 (1, 0, -1), (-1, -1, 0)
을지나는직선이므로
m： = =
직선 l, m의방향벡터를각각 u, v라하면
u=(2, 1, 1), v=(2, 1, -1)이므로
cosh= = = =
답⃞ ④
직선 l의방향벡터가 (2, 1, 1)일때, xy평면에대하여대칭이동한직
선m의방향벡터는 (2, 1, -1)이다.
직선 l의 xy평면위로의정사영을 l¡이라하면직선 l의방향벡터는
u=(2, 1, 1)이므로직선 l¡의방향벡터는
u’¡ ¯=(2, 1, 0)
따라서두직선 l, l¡이이루는예각의크기를 h¡이라하면
cosh¡= = =
h=2h¡또는 h=p-2h¡에서 coshæ0이므로
cosh=|cos2h¡|=|2cos¤ h¡-1|
cosh=|2_ -1|=| -1|=23
53
3036
'∂306
|4+1+0|
'ƒ4+1+1 'ƒ4+1+0
|u¯ ∑ u’¡ ¯|
|u¯||u’¡ ¯|
23
46
|4+1-1|
'ƒ4+1+1 'ƒ4+1+1
|u¯ ∑ v|
|u¯||v¯|
z-1
y+11
x+12
x-12
154
za
y+13
x-12
3'510
920
14
125
425
12
15
25
12
15
25
58
zº1-yº
12
xº1-yº
zº1-yº
xº1-yº
zzº
y-1yº-1
xxº
01 x= =z=t (t는실수)라하면P(t, 2t+2, t)에서
AP≥=(t+3, 2t+2, t-5)
B’P≤=(t, 2t+5, t)
AP≥ ∑`B’P≤=(t+3)t+(2t+2)(2t+5)+(t-5)t
=6t¤ +12t+10
=6(t+1)¤ +4
따라서 t=-1일때 AP≥ ∑ B’P≤의값이최소가되므로그때의점 P의
좌표는 (-1, 0, -1)이다.
∴ a=-1, b=0, c=-1
∴ a+2b+3c=-4
답⃞ ②
02 두점 (1, 0, 0), {0, ;3!;, ;6%;}를지나는직선을 l이라하면
l： = = =t (t는실수)에서
x=-t+1, y=;3!;t, z=;6%;t yy㉠
두점 (0, 1, 0), {;2!;, 0, ;8%;}를지나는직선을 m이라하면
m： = = =s (s는실수)에서
x=;2!;s, y=-s+1, z=;8%;s yy㉡
㉠, ㉡에서두직선 l, m의교점P를구하면
-t+1=;2!;s, ;3!;t=-s+1, ;6%;t=;8%;s에서
t=;5#;, s=;5$;
따라서점P의좌표는 {;5@;, ;5!;, ;2!;}이다.
∴OP”=æ≠ + + =æ– =
답⃞ ④
점P의좌표를 (xº, yº, zº)이라하면점
(1, 0, 0)과점P를지나는직선의방정
식은
= =
이직선과 yz평면과의교점은
{0, , }이다.
∴ = , = yy㉠56
zº1-xº
13
yº1-xº
zº1-xº
yº1-xº
zzº
yyº
x-1xº-1
z
y
x
O
1
1
1
P
3'510
920
14
125
425
z
;8%;
y-1-1
x
;2!;
z
;6%;
y
;3!;
x-1-1
y-22
01 ② 02 ④ 03 ⑤ 04 ④ 05 ④
06 ⑤ 07 ④ 08 ① 09 ① 10 ④
11 ③ 12 ③ 13 ③ 14 ⑤
직선의방정식 본문 81~85쪽11
54 수능완성수학영역기하와벡터
05 두직선의방향벡터를각각 u’¡ ¯, u’™라하면
u’¡ ¯=(1, 2, -1), u’™=(2, 1, 1)
두직선에모두수직이고점 (1, 2, -3)을지나는직선의방향벡터를
v=(l, m, n)이라하면 u’¡ ¯⊥v, u’™⊥v이므로
u’¡ ¯ ∑ v=0, l+2m-n=0 yy㉠
u’™ ¯ ∑ v=0, 2l+m+n=0 yy㉡
㉠, ㉡에서 l=-m, n=m
∴ v=(-m, m, m)
점 (1, 2, -3)을지나고방향벡터가 v인직선의방정식은
= =
1-x=y-2=z+3 yy㉢
점 (a, b, c)는 zx평면위의점이므로 b=0
또, 점 (a, 0, c)는직선㉢위의점이므로
1-a=-2=c+3 ∴ a=3, c=-5
∴ a+b+c=-2
답⃞ ④
06 0˘<h<90˘이므로 h가 최솟값을 가질 때 sinh는 최솟값을
가진다. 두직선 l, m을평행이동하여직선 =y= 과모
두한평면위에있도록할때, h는최솟값을가진다.
직선m과수직인직선 =y= 의방향벡터를 u, x축과
평행한직선 l의방향벡터를 a ¯라하면
u=(2, 1, 2), a ¯=(1, 0, 0)
두직선 l, m이이루는예각의크기가 h일때, 두벡터 a ¯, u가이루는
예각의크기는 -h이다.
따라서 cos { -h}= = 이므로
구하는 sinh의최솟값은 이다.
답⃞ ⑤
07 두직선 l, m의방향벡터를각각 u, v라하면
u=(1, 3, 2), v=(2, -1, 4)
두직선 l, m이이루는예각의크기를 h라하면
cosh= = = =
AP”=6이므로AQ”=AP” cosh='6
따라서점Q에서직선 l까지의거리는
AQ” sinh='6Æ…1- ='6Æ ='5
답⃞ ④
ΩA Q
P
m
56
16
1
'6
7
'∂14 '∂21
|2-3+8|
'ƒ1+9+4 'ƒ4+1+16
|u¯ ∑ v|
|u¯||v¯|
23
23
|(1, 0, 0) ∑ (2, 1, 2)|
'ƒ1+0+0 'ƒ4+1+4
p2
p2
z+32
x-12
z+32
x-12
z+3m
y-2m
x-1-m
08 =z+2=t (t는 실수)라 하면 직선 l 위의 임의의 점
A의좌표는 (2t+1, 1, t-2)이다.
점 A의 zx평면위로의정사영의좌표는 (2t+1, 0, t-2), 점 A의
yz평면위로의정사영의좌표는 (0, 1, t-2)이므로두직선 l¡, l™의
방정식은
l¡： =z+2, y=0, l™：x=0, y=1
두직선 l¡, l™위의임의의점P, Q의좌표를P(2s¡+1, 0, s¡-2),
Q(0, 1, s™-2)라하면
P’Q≤=(-2s¡-1, 1, s™-s¡)
직선 l¡, l™는꼬인위치에있으므로선분 PQ의길이가최소가되기
위해서는 PQ≥⊥l¡, PQ≥⊥l™이어야한다. 두직선 l¡, l™의방향벡터를
각각 u, v라하면
u=(2, 0, 1), v=(0, 0, 1)
PQ≥ ∑ u=2(-2s¡-1)+s™-s¡=s™-5s¡-2=0
PQ≥ ∑ v=s™-s¡=0
∴ s™=s¡=-
따라서P{0, 0, - }이므로
a=0, b=0, c=-
∴ a+b+c=-
답⃞ ①
09 점A의직선 l에대한대칭점 B에대하여선분AB와직선 l
의교점을H라하자.
=-y-2=z=t (t는실수)라하면
H(2t+1, -t-2, t)이므로
AH≥=OH≥-O’A≥
=(2t-1, -t+4, t)
직선 l의방향벡터 u=(2, -1, 1)에대하여AH≥⊥u이므로
AH≥ ∑ u=(2t-1, -t+4, t) ∑ (2, -1, 1)
=6t-6=0
∴ t=1
AH≥=(1, 3, 1)이므로
|AH≥|="√1¤ +3¤ +1¤ ='∂11
∴AB”=2|AH≥|=2'∂11
따라서정삼각형ABP의넓이는
AB” ¤= _(2'∂11)¤ =11'3
답⃞ ①
'34
'34
A
B
P
H
x-12
52
52
52
12
x-12
x-12
55정답과풀이
(2t+1)¤ +(t+1)¤ +(-t+4)¤ =r¤
6t¤ -2t+18-r¤ =0
구와직선m이만나려면위의 t에대한이차방정식이실근을가져야
하므로
=1-6(18-r¤ )æ0, 6r¤ -107æ0
r¤ æ yy㉡
㉠, ㉡에서구가두직선중오직한직선과만나려면
…r¤ <34
=17.×××이므로자연수 r의값은 5이다.
답⃞ ③
13 구의중심은원점이고반지름의길이는
'ƒ1+1+36='∂38이므로구의방정식은
x¤ +y¤ +z¤ =38 yy㉠
=y+1= =t (t는실수)라하면직선위의점의좌표는
(2t-3, t-1, 2t-1)이므로㉠에대입하면
(2t-3)¤ +(t-1)¤ +(2t-1)¤ =38
t¤ -2t-3=0, (t-3)(t+1)=0
∴ t=-1또는 t=3
따라서구와직선이만나는두점의좌표는 (-5, -2, -3), (3, 2, 5)
이다. 이때두점의 xy평면위로의정사영은 (-5, -2, 0), (3, 2, 0)
이므로구하는정사영의길이는
"√8¤ +4¤ ='∂80=4'5
답⃞ ③
14
원기둥에내접하는구의중심O를원점으로하는좌표공간에서
A(0, 0, 2), B(0, -2, 0), C(2, 0, 0), D(0, 2, 0)이라하자.
점A와점B를지나는직선 l위의한점을P, 점C와점D를지나는
직선m위의한점을Q라하면
l：x=0, = 에서
x=0, y+2=z=t (t는실수)
∴P(0, t-2, t)
m： = , z=0에서
x=2-y=s, z=0 (s는실수)
∴Q(s, 2-s, 0)
P’Q≤=OQ≥-OP≥=(s, 4-s-t, -t)
또한, 두직선 l, m의방향벡터를각각 u, v라하면
y-2-2
x2
z2
y+22
A
BE
OC
D
m
x
z
y
z+12
x+32
1076
1076
1076
D4
10 구의중심 (0, a, b)와원점을지나는직선 l의방향벡터는
(0, a, b)이고, 방향벡터가 (1, -1, 2)인직선m이직선 l과수직으
로만나므로
(0, a, b) ∑ (1, -1, 2)=0, -a+2b=0
∴ a=2b yy ㉠
또한, 직선m이구와점 { , 3, c}에서만나므로직선m의방정식은
x- = =
직선m이구의중심 (0, 2b, b)를지나므로
- =-2b+3= yy ㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면
a= , b= , c=
∴ a+b+c=8
답⃞ ④
11 직선 l에서 =y-3=3-z=t (t는실수)라하면
x=2t+3, y=t+3, z=3-t에서H(2t+3, t+3, 3-t)이므로원
점O에대하여
AH≥=OH≥-OA≥=(2t+1, t+2, -2-t) yy㉠
직선 l의방향벡터 u=(2, 1, -1)에대하여 AH≥⊥u이므로
AH≥ ∑ u=(2t+1, t+2, -2-t) ∑ (2, 1, -1)
=6t+6=0
∴ t=-1 yy㉡
㉠, ㉡에서
AH≥=(-1, 1, -1), |AH≥|='ƒ1+1+1='3
직선 l위의점P가 |AP≥|…'7을만족시키므로
|PH≥|=øπ|AP≥|¤ -|AH≥|¤ …2
따라서 |PH≥|=2, |AH≥|='3일때, 삼각형APH의넓이가최대이
므로구하는최댓값은
_2_'3='3
답⃞ ③
12 구의중심 (0, -3, -4)가 yz평면위에있으므로구의중심
과직선 l 사이의거리는두점 (0, -3, -4), (0, 0, 1) 사이의거리
와같다. 이때두점사이의거리는
"√(-3)¤ +(-5)¤ ='ƒ9+25='∂34
이므로구와직선 l이만나려면 ræ'∂34 yy㉠
직선m에서 =y+2=-z=t (t는실수)라하면
x=2t+1, y=t-2, z=-t이므로구의방정식
x¤ +(y+3)¤ +(z+4)¤ =r¤에대입하면
x-12
12
P
H
A7
x-32
114
74
72
b-c2
12
z-c2
y-3-1
12
12
56 수능완성수학영역기하와벡터
u=(0, 1, 1), v=(1, -1, 0)
직선PQ가두직선 l, m에각각수직일때, 선분PQ의길이가두직
선 l, m사이의거리이므로
P’Q≤ ∑`u=0에서
(4-s-t)-t=4-s-2t=0 yy㉠
P’Q≤ ∑`v=0에서
s-(4-s-t)=-4+2s+t=0 yy㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면
t=s=
∴PQ≥={ , , - }= (1, 1, -1)
따라서구하는두직선 l, m사이의거리인선분PQ의길이는
PQ”=|P’Q≤|= "√1¤ +1¤ +(-1)¤ =
답⃞ ⑤
4'33
43
43
43
43
43
43
01 두점A(1, 2, 0), B(-1, 0, 3)을지나는직선AB의방향
벡터는AB≥=(-2, -2, 3)
주어진평면은점A(1, 2, 0)을지나고법선벡터가 (-2, -2, 3)이
므로평면의방정식은
-2(x-1)-2(y-2)+3z=0
∴ 2x+2y-3z=6
따라서 a=2, b=2, c=-3이므로
a+b+c=1
답⃞ ③
02 두점O(0, 0, 0), A(a, b, c)를잇는선분OA의중점을M
이라하면
M{ , , }
점M은평면 x-y+2z=6위의점이므로
- +2_ =6 yy㉠
OA≥=(a, b, c)=t(1, -1, 2) (단, t는실수)
∴ a=t, b=-t, c=2t yy㉡
㉡을㉠에대입하면
+ +2t=6, 3t=6 ∴ t=2
따라서 a=2, b=-2, c=4이므로
a+b+c=2+(-2)+4=4
답⃞ ③
평면 x-y+2z=6에수직이고원점O를지나는직선의방정식은
x=-y=
x=-y= =t (t는실수)라 하자. x=t, y=-t, z=2t이므로평
면의방정식에대입하면
t-(-t)+2_2t=6, 6t=6 ∴ t=1
두점O(0, 0, 0), A(a, b, c)를잇는선분OA의중점을M이라하
면M(1, -1, 2)이므로
z2
z2
O
A
M
x-y+2z=6
t2
t2
c2
b2
a2
c2
b2
a2
01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 ③ 05 ②
06 ⑤ 07 ① 08 ⑤ 09 ③ 10 ①
11 ② 12 ① 13 32 14 60 15 ④
16 ①
평면의방정식 본문 87~92쪽12
57정답과풀이
=1, =-1, =2
∴ a=2, b=-2, c=4
∴ a+b+c=2+(-2)+4=4
03 점P의좌표를 (p, q, r)라하면평면 a의법선벡터
n ¯=(1, -2, 1)에대하여
AP≥=kn¯ (단, k는 0이아닌실수)
(p-3, q-1, r)=(k, -2k, k)
∴ p=k+3, q=-2k+1, r=k
점P(k+3, -2k+1, k)는평면 a위의점이므로
(k+3)-2(-2k+1)+k=13
6k=12 ∴ k=2
∴AP≥=2n ¯=(2, -4, 2)
한편, AP”：BP”=1：3에서 점 P는 선분 AB를 1：3으로 내분하는
점이므로원점O에대하여
AP≥= AB≥= (OB≥-OA≥)
(2, -4, 2)= {(a, b, c)-(3, 1, 0)}
4(2, -4, 2)=(a-3, b-1, c)
따라서 a=11, b=-15, c=8이므로
a+b+c=11+(-15)+8=4
답⃞ ④
점 P의좌표를 (p, q, r)라하면평면 a의법선벡터 n ¯=(1, -2, 1)
에대하여
AP≥=kn¯ (단, k는 0이아닌실수)
(p-3, q-1, r)=(k, -2k, k)
∴ p=k+3, q=-2k+1, r=k
점P(k+3, -2k+1, k)는평면 a위의점이므로
(k+3)-2(-2k+1)+k=13
6k=12 ∴ k=2
∴P(5, -3, 2)
이때점P는선분AB를 1：3으로내분하는점이므로
=5
=-3
=2
∴ a=11, b=-15, c=8
∴ a+b+c=11+(-15)+8=4
04 평면의법선벡터가 n=(3, k, 2)이고직선
= =1-z의방향벡터가 u=(2, -3, -1)이므로
n ¯ ∑ u=6-3k-2=0 ∴ k=
평면의방정식을 3x+ y+2z=d라하면이평면이점 (2, 3, -1)
을지나므로
43
43
1-y3
x+12
1_c+3_01+3
1_b+3_11+3
1_a+3_31+3
14
14
14
c2
b2
a2
6+4-2=d ∴d=8
따라서평면의방정식은 3x+ y+2z=8이므로
a=3, b= , c=2
∴ a+b+c=
답⃞ ③
05 x축의방향벡터를 u라하면
u=(1, 0, 0)
평면 2x-y-2z+3=0의법선벡터를 n이라하면
n=(2, -1, -2)
x축과평면 2x-y-2z+3=0이이루는예각의크기가 h이므로
cos { -h}=
cos { -h}=
cos { -h}=
cos { -h}=
즉, sinh= 이므로
cos 2h=1-2sin¤ h=1-2_{ }¤ =
답⃞ ②
배각의공식
⑴ sin 2a=2sinacosa
⑵ cos 2a=cos¤ a-sin¤ a
=2cos¤ a-1
=1-2sin¤ a
⑶ tan2a=
06 직선 l：x-1=y+1=3-z의방향벡터를 u’¡이라하면
u’¡ ¯=(1, 1, -1)
평면 a는직선 l과수직이므로평면 a의법선벡터를 n’¡ ¯이라하면
n’¡=(1, 1, -1)
xy평면의법선벡터, y축의방향벡터를각각n’™, u’™라하면
n’™=(0, 0, 1), u’™=(0, 1, 0)
직선 l과 xy평면, 평면 a와 y축이이루는예각의크기가각각 h¡, h™
이므로
cos { -h¡}=sinh¡
cos { -h¡}=
cos { -h¡}=
cos { -h¡}=
cos { -h¡}='33
1
'3'1
|0+0-1|
"√1¤ +1¤ +(-1)¤ "√0¤ +0¤ +1¤
|u’¡ ∑ n’™|
|u’¡||n’™|
p2
2 tana
1-tan¤ a
19
23
23
23
2
'1'9
|1_2+0_(-1)+0_(-2)|
"√1¤ +0¤ +0¤ "√2¤ +(-1)¤ +√(-2)¤
|u¯ ∑ n ¯|
|u¯||n ¯|
p2
193
43
43
08 평면 y=3은 zx평면과평행하므로직선PQ의방향벡터를
(1, 0, k) (k는실수)로놓을수있다.
(가)에서직선 PQ는평면 3x-2y+z=6의법선벡터 (3, -2, 1)과
수직이어야하므로
(1, 0, k) ∑ (3, -2, 1)=3+k=0
∴ k=-3
(나)에서직선PQ는점 (2, 3, -1)을지나고방향벡터가
(1, 0, -3)이므로직선PQ의방정식은
= , y=3
이방정식에 x=0을대입하면 = , 즉 z=5이므로직선
PQ가 yz평면과만나는점의좌표는 (0, 3, 5)이다.
따라서 a=0, b=3, c=5이므로
a+b+c=8
답⃞ ⑤
09 평면 a가 x축, y축, z축과만나는점은각각 A(-4, 0, 0),
B(0, -4, 0), C(0, 0, 2)이다.
이때 AB”=4'2, BC”=2'5, CA”=2'5이므로삼각형 ABC는이등
변삼각형이다.
평면 a와 xy평면의법선벡터를각각n’¡ ≤, n’™≤라하면
n’¡≤=(1, 1, -2), n’™≤=(0, 0, 1)
평면 a와 xy평면이이루는예각의크기를 h라하면
cosh=
cosh=
cosh=
cosh=
삼각형ABC에서변AB를밑변으로하면AB”=4'2이고높이는
"√(2'5)¤ -(2'2)¤ =2'3이므로삼각형ABC의넓이는
_4'2_2'3=4'6
따라서구하는정사영의넓이는
4'6cosh=4'6_ =8
답⃞ ③
원점 O에 대하여 삼각형 ABC의 xy평면 위로의 정사영은 삼각형
ABO이다. 따라서구하는정사영의넓이는
_4_4=8
10 x= =z=t (t는실수)라하면
x=t, y=2t, z=t이므로
A(t, 2t, t)
y2
12
'63
12
'63
2
'6'1
|1_0+1_0+(-2)_1|
"√1¤ +1¤ +(-2)¤ "√0¤ +0¤ +1¤
|n’¡≤ ∑ n’™≤|
|n’¡≤||n’™≤|
z+1-3
0-21
z+1-3
x-21
58 수능완성수학영역기하와벡터
∴ cosh¡="√1-sin¤ h¡=
cos { -h™}=sinh™
cos { -h™}=
cos { -h™}=
cos { -h™}=
cos { -h™}=
∴ cosh™="√1-sin¤ h™=
∴ sin (h¡+h™)=sinh¡ cosh™+cosh¡ sinh™
∴ sin (h¡+h™)= _ + _
∴ sin (h¡+h™)=
답⃞ ⑤
삼각함수의덧셈정리
⑴ sin (a+b)=sinacosb+cosasinb
sin (a-b)=sinacosb-cosasinb
⑵ cos (a+b)=cosacosb-sinasinb
cos (a-b)=cosacosb+sinasinb
⑶ tan(a+b)=
⑶ tan(a-b)=
07 직선 l： =1-y= 에 수직인 평면의 법선벡터
는직선 l의방향벡터와같으므로점 (-1, 3, 4)를지나고법선벡터
가 (2, -1, 2)인평면의방정식은
2(x+1)-(y-3)+2(z-4)=0
∴ 2x-y+2z-3=0
=1-y= =t (t는실수)라하면
x=2t-1, y=-t+1, z=2t+1이므로
평면의방정식에대입하면
2(2t-1)-(-t+1)+2(2t+1)-3=0
9t=4 ∴ t=
직선 l과평면의교점의좌표 (a, b, c)는
a=2_ -1=-
b=- +1=
c=2_ +1=
∴ a+b+c=
답⃞ ①
73
179
49
59
49
19
49
49
z-12
x+12
z-12
x+12
tana-tanb1+tanatanb
tana+tanb1-tanatanb
2'23
'33
'63
'63
'33
'63
'33
1
'3'1
|0+1+0|
"√1¤ +1¤ +(-1)¤ "√0¤ +1¤ +0¤
|n’¡ ∑ u’™ ¯|
|n’¡||u’™ ¯|
p2
'63
59정답과풀이
x= = =s (s는실수)라하면
x=s, y=3s, z=2s이므로
B(s, 3s, 2s)
두점A, B는평면 a위의점이므로
2t-2t+3t=15에서 t=5
2s-3s+6s=15에서 s=3
∴A(5, 10, 5), B(3, 9, 6)
선분 AB의 xy평면 위로의 정사영의 길이는 두 점 A, B의 xy평면
위로의정사영A'(5, 10, 0), B'(3, 9, 0)사이의거리와같다.
따라서구하는정사영의길이는
"√(5-3)¤ +√(10-9)¤ +0='5
답⃞ ①
11 직선 l과평면 a가평행하므로
(2, -1, 2)`∑`(1, a, 1)=0
2_1+(-1)_a+2_1=0
∴ a=4
이때선분 PQ의길이의최소값은직선위의한점 (3, 1, 1)과평면
x+4y+z=0사이의거리와같다.
따라서구하는최솟값은
= =
답⃞ ②
12 점A(3, 2, 0)과평면 b：x+y+z=4사이의거리는
AH”=
AH”= =
두평면 a, b의법선벡터는각각 (2, -1, 1), (1, 1, 1)이므로두평
면이이루는예각의크기를 h라하면
cosh=
cosh= =
tan¤ h+1=sec¤ h에서
tan¤ h=sec¤ h-1={ }¤ -1=
∴ tanh=
따라서구하는거리를 x라하면
x= = _ =
답⃞ ①
'∂4221
2
'∂14
'33
A’H”tanh
A{3,2,0}
Hx
å
∫Ω
'∂142
72
3
'2
'23
2
'6'3
|2_1+(-1)_1+1_1|
"√2¤ +(-1)¤ +1¤ "√1¤ +1¤ +1¤
'33
1
'3
|3+2+0-4|
"√1¤ +1¤ +1¤
4'23
8
'∂18
|3+4_1+1|
"√1¤ +4¤ +1¤
z2
y3 13 |OP≥+3AP≥|=|PO≥+3PA≥|=4| |
=PB≥라하면점 B는선분 OA를 3：1로내분하는점
이므로
B{ , , }
즉, B(3, 6, 9)
|OP≥+3AP≥|=4|PB≥|이므로 |PB≥|가최소일때 |OP≥+3AP≥|도최
소이다. 즉, |PB≥|의최솟값은점B와평면a사이의거리와같다.
= =8
따라서 |OP≥+3AP≥|의최솟값은
4_8=32
답⃞ 32
P(x, y, z)라하면
OP≥+3AP≥=(x, y, z)+3(x-4, y-8, z-12)
=(4x-12, 4y-24, 4z-36)
=4(x-3, y-6, z-9)
이때 |OP≥+3AP≥|=4"√(x-3)¤ +(y-6)¤ √+(z-9)¤이고,
"√(x-3)¤ +(y-6)¤ √+(z-9)¤은평면 a 위의점 P와점 (3, 6, 9)
사이의 거리이므로 "√(x-3)¤ +(y-6)¤ √+(z-9)¤ 의 최솟값은 점
(3, 6, 9)와평면 a：2x-y+2z+6=0사이의거리와같다.
= =8
따라서 |OP≥+3AP≥|의최솟값은
4_8=32
14 x¤ +y¤ +z¤ -2x+6y-4z=0에서
(x-1)¤ +(y+3)¤ +(z-2)¤ =14이므로구의중심을C라하면
C(1, -3, 2)이고, 점A(2, -1, 5)에서구에접하는평면의법선벡
터는
CA≥=(1, 2, 3)
평면이점A를지나므로평면의방정식은
(x-2)+2(y+1)+3(z-5)=0
∴ x+2y+3z=15
따라서 a=1, b=2, c=3이므로
10(a+b+c)=60
답⃞ 60
15 두구가만나서생기는원은두구의중심 (1, 1, 1),
(-1, 3, 5)를연결한직선과수직이므로평면 a의법선벡터는
(2, -2, -4)이다.
243
|2_3-6+2_9+6|
"√2¤ +(-1)¤ +2¤
243
|2_3-6+2_9+6|
"√2¤ +(-1)¤ +2¤
P
O
B A
å
3_12+1_03+1
3_8+1_03+1
3_4+1_03+1
PO≥+3PA≥4
PO≥+3PA≥4
60 수능완성수학영역기하와벡터
평면 x-2y-z+1=0의법선벡터는 (1, -2, -1)이고, 평면 a와
평면 x-2y-z+1=0이이루는예각의크기가 h이므로
cosh=
cosh= =
답⃞ ④
16 평면 z=-2와구 x¤ +y¤ +z¤ =16이만나서생기는도형 S
는 x¤ +y¤ +(-2)¤ =16이므로원 x¤ +y¤ =12이다.
점A(0, 0, -6)과평면 z+2=0사이의거리는
=4
점A(0, 0, -6)은구의중심 (0, 0, 0)을지나고 xy평면과수직인 z
축위의점이므로
|AP≥|¤ =|AQ≥|¤ =4¤ +(2'3)¤ =28
∴ |AP≥|=|AQ≥|=2'7
두벡터AP≥, AQ≥가이루는각의크기를 h라하면
AP≥ ∑ AQ≥=|AP≥||AQ≥| cosh=28cosh이므로 AP≥ ∑ AQ≥의 최솟
값은 cosh의값이최소일때이다.
즉, 그림과같이두점 P, Q가구와평면이만나서생기는원의지름
의양끝점일때각 h의크기가최대이고 cosh의값은최소가된다.
이때삼각형APQ에서코사인법칙에의하여
cosh=
cosh= =
따라서AP≥ ∑ AQ≥의최솟값은
28cosh=28_ =4
답⃞ ①
17
17
28+28-4856
(2'7)¤ +(2'7)¤ -(4'3)¤
2_2'7_2'7
z
A{0,0,-6}
O
P Q
4
x2+y2=12
x2+y2+z2=16
z=-2
Ω
32
72
|-6+2|
"√0¤ +0¤ +1¤
56
10
2'6'6
|2_1+(-2)_(-2)+(-4)_(-1)|
"√2¤ +(-2)¤ +(-4)¤ "√1¤ +(-2)¤ +(-1)¤01 ③ 02 ② 03 ① 04 ④ 05 18
06 ① 07 ① 08 16 09 ② 10 ②
11 ② 12 20 13 ⑤ 14 ①
본문 93~96쪽
01 |CB≥-CP≥|=|PB≥|=PB”는점 P가점D에있을때최대이
고, 점C에있을때최소이다.
따라서M="√4¤ +3¤ =5, m=3이므로
M+m=8
답⃞ ③
02 xy평면위의점P를P(a, b, 0) (a, b는실수)이라하면
PA≥=OA≥-OP≥
=(-2, 3, 4)-(a, b, 0)
=(-2-a, 3-b, 4)
P’B≤=OB≥-OP≥
=(2, 3, -1)-(a, b, 0)
=(2-a, 3-b, -1)
PA≥ ∑ P’B≤=(-2-a, 3-b, 4) ∑ (2-a, 3-b, -1)
=(-2-a)(2-a)+(3-b)(3-b)+4_(-1)
=a¤ +b¤ -6b+1
=a¤ +(b-3)¤ -8
따라서 a=0, b=3일때, PA≥ ∑ P’B≤의최솟값은-8이다.
답⃞ ②
03 C’P≤= = CA≥+ CB≥
cos (∠ACB)= =
∴C’P≤ ∑ AB≥={ CA≥+ CB≥} ∑ (CB≥-CA≥)
∴C’P≤ ∑ AB≥=- |CA≥|¤ + |CB≥|¤ - CA≥ ∑ CB≥
∴C’P≤ ∑ AB≥=- |CA≥|¤ + |CB≥|¤
- |CA≥||CB≥|cos(∠ACB)
∴C’P≤ ∑ AB≥=- _4¤ + _2¤ - _4_2_
∴C’P≤ ∑ AB≥=-
답⃞ ①
04 =y+1=-z=t (t는실수)에서
x=2t-1, y=t-1, z=-t이므로직선 l 위의임의의점 P의좌표
는 (2t-1, t-1, -t)로놓을수있다.
이때점 P의 xy평면위로의정사영의좌표는 (2t-1, t-1, 0)이므
로직선 l¡의방정식은
=y+1, z=0x+12
x+12
92
1116
13
23
13
13
23
13
13
23
13
23
13
1116
4¤ +2¤ -3¤2_4_2
23
13
2CB≥+CA≥2+1
61정답과풀이
점 P의 zx평면위로의정사영의좌표는 (2t-1, 0, -t)이므로직선
l™의방정식은
=-z, y=0
따라서두직선 l¡, l™의방향벡터를각각 u’¡ ≤, u’™ ≤라하면
u’¡ ≤=(2, 1, 0), u’™≤=(2, 0, -1)이므로
cosh=
cosh=
cosh=
cosh=
답⃞ ④
좌표공간에서직선
= = (lmn+0)의
⑴ xy평면위로의정사영의방정식은
⑴ = , z=0
⑵ yz평면위로의정사영의방정식은
⑴ = , x=0
⑶ zx평면위로의정사영의방정식은
⑴ = , y=0
05 구 x¤ +y¤ +z¤ -2x-14y-4z+45=0에서
(x-1)¤ +(y-7)¤ +(z-2)¤ =9이므로구의중심을 P(1, 7, 2)라
하면평면 a의법선벡터는
PA≥=(1, -2, 2)
구하는평면과구의접점을 B(p, q, r)라하면구의중심 P(1, 7, 2)
는AB”의중점이므로
=1, =7, =2
∴ p=0, q=9, r=0
즉, B(0, 9, 0)이므로구하는평면의방정식은
x-2(y-9)+2z=0
∴ x-2y+2z+18=0
따라서 a=-2, b=2, c=18이므로
a+b+c=18
답⃞ 18
구 x¤ +y¤ +z¤ -2x-14y-4z+45=0에서
(x-1)¤ +(y-7)¤ +(z-2)¤ =9이므로구의중심을 P(1, 7, 2)라
하면 PA≥=(1, -2, 2)는평면 a에평행하고구와접하는평면의법
선벡터가된다.
따라서 구하는 평면의 방정식을 x-2y+2z+d=0이라 하면 구의
중심P와평면 x-2y+2z+d=0사이의거리는
4+r2
5+q2
2+p2
z-cn
x-al
z-cn
y-bm
y-bm
x-al
z-cn
y-bm
x-al
45
4
'5'5
|4+0+0|
"√2¤ +1¤ +0¤ "√2¤ +0¤ +(-1)¤
|u’¡≤ ∑ u’™ ≤|
|u’¡≤||u’™ ≤|
x+12
=3
|d-9|=9
∴d=0또는d=18
이때점 A(2, 5, 4)를지나는평면 a의방정식이 x-2y+2z=0이
므로구하는평면의방정식은
x-2y+2z+18=0
따라서 a=-2, b=2, c=18이므로
a+b+c=18
06 구 (x+1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =2에
⁄ y=0, z=0을대입하면 (x+1)¤ =0이므로
x=-1
∴A(-1, 0, 0)
¤ x=0, z=0을대입하면 (y+1)¤ =0이므로
y=-1
∴B(0, -1, 0)
‹ x=0, y=0을대입하면 (z+1)¤ =0이므로
z=-1
∴C(0, 0, -1)
이때세점A, B, C를지나는평면 a의방정식은
x+y+z=-1
따라서원점O와평면 a사이의거리는
=
답⃞ ①
좌표공간에서 x축, y축, z축과만나는점의좌표가각각
(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)인평면의방정식은
+ + =1 (단, abc+0)
07 점 (-2, 1, 2)에서구 x¤ +y¤ +z¤ =9에접하는평면 a의방
정식은
-2(x+2)+(y-1)+2(z-2)=0
∴-2x+y+2z=9
점 (1, 2, -2)에서구 x¤ +y¤ +z¤ =9에접하는평면 b의방정식은
(x-1)+2(y-2)-2(z+2)=0
∴ x+2y-2z=9
평면 a, b의법선벡터를각각n’¡ ¯, n’™라하면
n’¡≤=(-2, 1, 2), n’™ ≤=(1, 2, -2)
두평면 a, b가이루는예각의크기를 h라하면
cosh=
cosh=
cosh=
cosh=49
4
'9'9
|-2+2-4|
"√(-2)¤ +1¤ +2¤ "√1¤ +2¤ +(-2)¤
|n’¡≤ ∑ n’™≤|
|n’¡≤||n’™≤|
zc
yb
xa
'33
|1|
"√1¤ +1¤ +1¤
|1-14+4+d|
"√1¤ +(-2)¤ +2¤
도형S는원이고, 도형S의중심C의좌표는C(0, 0, 2)이다.
점A(4, 3, 7)에서평면 z=2에내린수선의발H의좌표는
H(4, 3, 2)이다.
∴AH”=|7-2|=5
한편, CH”="√4¤ +3¤ +0¤ =5이고점P는원S위의점이므로
HC”-CP”…HP”…HC”+CP” (단, 등호는 점 P가 선분 HC 또는 그
연장선이원과만나는점에있을때성립한다.)
즉, 5-2…HP”…5+2
∴ 3…HP”…7
이때 AP”=øπAH” ¤ +HP” ¤이므로
"√5¤ +3¤ …AP”…"√5¤ +7¤
∴ '∂34…AP”…'∂74
따라서선분AP의길이의최솟값은 '∂34이다.
답⃞ ②
11
삼각형ABC에서
BC”="√8¤ +10¤ - √2_8_10_ √cosA
BC”=æ≠64+100- ≠160_
BC”='∂81=9
선분 AI의연장선이변 BC와만나는점을 D라하면점 I가삼각형
ABC의내접원의중심이므로
∠BAI=∠CAI, ∠ABI=∠DBI
각의이등분선의성질에의하여
BD”：DC”=AB”：AC”=8：10=4：5이므로
BD”= BC”= _9=4
CD”= BC”= _9=5
∴AD≥= AB≥+ AC≥
한편, A’I’：D’I’=AB”：BD”=8：4=2：1이므로
A’I≤= AD≥
A’I≤= { AB≥+ AC≥}
A’I≤= AB≥+ AC≥827
1027
49
59
23
23
49
59
59
59
49
49
83160
DB
A
8 10
I
C
z
z=2C
y
x
PP
A
H
O
62 수능완성수학영역기하와벡터
따라서평면 a 위에있는반지름의길이가 6인원의넓이는 36p이므
로구하는정사영의넓이는
36p cosh=36p_ =16p
답⃞ ①
08 평면 x-z=0의법선벡터는 (1, 0, -1)이고 xy평면의법선
벡터는 (0, 0, 1)이므로두평면이이루는예각의크기를 h라하면
cosh= =
∴ h=45˘
두점A', B'은평면 x-z=0위에있으므로
AB”=A’'B'”=6
사각형A'B'C'D'은직사각형이므로
CD”=C’'D'”=6
두평면이이루는예각의크기가 45˘이므로
BC”= = =2'2
D’A”= = =2'2
사각형ABCD의둘레의길이는
2(6+2'2)=12+4'2
따라서 a=12, b=4이므로
a+b=16
답⃞ 16
평면 x-z=0 위의점은 x좌표와 z좌표가같으므로 x-z=0 위의
점 (p, q, p)의 xy평면위로의정사영은 (p, q, 0)이다.
∴A(0, -3, 0), B(0, 3, 0), C(2, 3, 2), D(2, -3, 2)
즉, AB”=CD”=6, BC”=D’A”=2'2이므로사각형ABCD의둘레의
길이는
2(6+2'2)=12+4'2
따라서 a=12, b=4이므로
a+b=16
09 구와 평면이 만나서 생기는 도형은 원이다. 선분 PQ의 중점
을M이라하면
|CP≥+CQ≥|=2|CM≥|
|CP≥+CQ≥|의값이최소가되려면선분 PQ가원의지름이고점M
이원의중심일때이다.
한편, 구 (x-1)¤ +(y-1)¤ +(z-1)¤ =16의 중심 C(1, 1, 1)과
평면 x+y+z=9사이의거리d는
d= =2'3
∴ |CP≥+CQ≥|=2|CM≥|æ2d=4'3
따라서 |CP≥+CQ≥|의최솟값은 4'3이다.
답⃞ ②
10 x¤ +y¤ +(z-2)¤ =4에 z=2를 대입하면 x¤ +y¤ =4이므로
|1+1+1-9|
"√1¤ +1¤ +1¤
2
'22
D’'A'”cos 45˘
2
'22
B’'C'”cos 45˘
'22
|-1|
'2'1
49
63정답과풀이
따라서 p= , q= 이므로
p+q=
답⃞ ②
각의이등분선의성질
삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변
BC와만나는점을D라하면
AB”：AC”=BD”：DC”
12 평면 x=4가두구 S¡, S™의부피를각각이등분하면두구의
중심을지나므로두구를평면 x=4로자른단면은반지름의길이가
2인원이다.
두구S¡, S™의중심을각각C¡, C™라하고두점P, Q에서평면 z=0
에내린수선의발을각각H¡, H™라하자.
또, 직선PQ가 x축과만나는점을A라하면세점A, P, Q의 x좌표
는모두 4이고, 두구를평면 x=4로자른단면은다음과같다.
∠QAH¡=60˘이므로
∠C¡AP= (180˘-60˘)=60˘
AP”= =
∴A’H¡”= cos60˘= , P’H¡”= sin60˘=1
따라서점P의좌표는P{4, , 1}이다.
또, ∠C™AQ=30˘이므로
AQ”= =2'3
∴A’H™”=2'3cos 60˘='3, Q’H™”=2'3 sin60˘=3
따라서점Q의좌표는Q(4, '3, 3)이다.
∴OP≥ ∑ OQ≥={4, , 1} ∑ (4, '3, 3)
∴OP≥ ∑ OQ≥=16+1+3=20
답⃞ 20
13 점P의 x좌표가 a (a>0)이므로
PH”=a+3
이때초점F에서선분PH에내린수선의발을A라하면
PA”=PH”-AH”
=(a+3)-6
=a-3
'33
C’™Q”tan30˘
'33
2
'3
'33
2
'3
2
'3
C’¡P”tan60˘
12
z
yA H¡
C¡ C™
Q
P
H™
3 y-z=0
B
A
CD
23
827
1027
P’F≤ ∑ PH≥=PA”_PH”
=(a-3)(a+3)
=27
즉, a¤ -9=27에서
a¤ =36 ∴ a=6 (∵ a>0)
주어진포물선의방정식은
y¤ =4_3_x=12x
이므로
b¤ =12a=12_6=72
∴ b=6'2 (∵ b>0)
∴ a¤ +b¤ =6¤ +(6'2)¤ =108
답⃞ ⑤
P(a, b), H(-3, b), F(3, 0)이므로
P’F≤=(3-a, -b), PH≥=(-3-a, 0)
∴P’F≤ ∑ PH≥=(3-a, -b) ∑ (-3-a, 0)
=(3-a)(-3-a)+(-b)_0
=(a-3)(a+3)
=27
즉, a¤ -9=27에서
a¤ =36 ∴ a=6 (∵ a>0)
주어진포물선의방정식은 y¤ =12x이므로
b¤ =12_6=72
∴ b=6'2 (∵ b>0)
∴ a¤ +b¤ =6¤ +(6'2)¤ =108
14 주어진포물선의방정식은 y¤ =12x이므로점 (-n, 0)에서
이포물선에그은접선의접점의좌표를 (x¡, y¡)이라하면접선의방
정식은
y¡y=6(x+x¡) yy㉠
이직선이점 (-n, 0)을지나므로
0=6(-n+x¡)
∴ x¡=n yy㉡
점 (x¡, y¡)은포물선위의점이므로
y¡¤ =12x¡
∴ y¡=—'∂12x¡
㉠에서접선의기울기는 , 즉— =— 이므로두접선
의기울기의곱 a«은
a«=- _ =- =- (∵㉡)3n
3x¡
'3
'ßx¡
'3
'ßx¡
'3
'ßx¡
6
'∂12x¡
6y¡
y
xO F{3,0}
y2=12x
a-3
HA P
x=-3
64 수능완성수학영역기하와벡터
∴ =
∴ =
∴ =
∴ =
∴ =
답⃞ ①
43
129
9limn ڦ
12n¤ +12n
9n¤limn ⁄¶
12limn ڦ
12
n¤ a«a«≠¡limn⁄¶
12+12n
n¤ _{- }_{- }3
n+13n