01 2 a net 2 - kuheem.files.wordpress.com · โครงการแบรนด...

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2008 ________________________________ คณตศาสตร (71)2008

เซต

1. เซตและความสมพนธระหวางเซต1. เซต คอ กลมของสงตางๆ ซงอธบายอยางชดเจน ตดสนไดวาสงใดอยหรอไมอยในเซต สงทอยในเซต

เรยกวา สมาชก ของเซต โดยทวไปแทนเซตดวยอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน A, B, C, ... และแทนสมาชกของเซตทยงไมเจาะจงวาคออะไรดวยอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลก เชน a, b, c, ...

2. สมาชกของเซตเปนจานวนหรอสงใดกได เปนเซตกได ใชสญลกษณ ∈ แทนวล “เปนสมาชกของ”และใช ∉ แทน “ไมเปนสมาชกของ” เชน A = {3, 4, {5, 6}} มสมาชก 3 ตว เปนจานวน 2 ตว คอ 3 และ 4และเปนเซตอก 1 เซต คอ {5, 6} สงเกตวา 5 และ 6 ไมใชสมาชกของ A

3. เซตทเทากน A และ B เปนเซตทเทากนกตอเมอ A และ B มสมาชกเหมอนกน เชน {3, 4} = {4, 3}แต {3, 4, 5} ≠ {3, 4} และ {3, 4} ≠ {{3, 4}}

4. เซตจากด คอ เซตทระบไดวามสมาชกกตว เซตทไมใชเซตจากด เรยกวา เซตอนนต เซตอนนตมจานวนสมาชกมากมายนบไมถวน

5. เซตวาง คอ เซตจากดทไมมสมาชกเลย แทนดวย φ หรอ { }6. สบเซต A เปนสบเซตของ B หมายความวา สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย

A ⊂ B ถามสมาชกของ C ทไมใชสมาชกของ D แลว C ไมเปนสบเซตของ D เขยนแทนดวย C ⊄ Dถา A ⊂ B แลว A อาจเทากบ B กได สบเซตของ A ทเทากบ A เรยกวา สบเซตไมแท ของ A

สบเซตของ A ทไมเทากบ A เรยกวา สบเซตแท ของ Aสมบตทควรทราบ1. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง2. เซตวางเปนสบเซตของทกเซต3. A = B กตอเมอ A ⊂ B และ B ⊂ A

คณตศาสตร (72) ________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 20082008

7. เพาเวอรเซตของ A คอ เซตทประกอบดวยสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A) ถาถามวาB ∈ P(A) หรอไม กใหดวา B ⊂ A หรอไม ถา B ⊂ A แลว B ∈ P(A)

สมบตทควรทราบถา A เปนเซตจากดและมสมาชก k ตว แลว A มสบเซตทงหมด 2k เซต ดงนน P(A) มสมาชก 2k ตว

2. การดาเนนการของเซตการดาเนนการ สญลกษณ ความหมาย

ยเนยน AU B AU B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของ A หรอสมาชกของ BAU B = {x|x ∈ A หรอ x ∈ B}เมอกลาววา x ∈ AU B หมายความวา x ∈ A อยางเดยว หรอx ∈ B อยางเดยว หรอ x เปนสมาชกของทง A และ B

อนเตอรเซกชน AI B AI B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทเหมอนกนของ A และ BAI B = {x|x ∈ A และ x ∈ B}เมอกลาววา x ∈ AI B หมายความวา x เปนทงสมาชกของ Aและของ B

คอมพลเมนต A′ A′ คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเอกภพสมพทธทไมอยใน AA′ = {x|x ∉ A}เมอกลาววา x ∈ A′ หมายความวา x ∉ A

ผลตาง A – B A – B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของ A ทไมไดอยใน BA – B = {x|x ∈ A และ x ∉ B}เมอกลาววา x ∈ (A – B) หมายความวา x ∈ A แต x ∉ Bสงเกตวา A – B = AI B′

สมบตทควรทราบ (เพมเตม)1. φ′ = U และ U′ = φ2. (A′)′ = A3. (AU B)′ = A′I B′ และ (AI B)′ = A′U B′4. A ⊂ B ⇔ B′ ⊂ A′ ⇔ AI B = A ⇔ AU B = B

3. การนบจานวนสมาชกของเซต1. ถา A เปนเซตจากด แลวเราใช n(A) แทนจานวนสมาชกของ A การนบจานวนสมาชกของ

AU B และ AU BU C ใชสตรตอไปนn(AU B) = n(A) + n(B) - n(AI B)n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C)

2. การนบจานวนสมาชกของ U ทไมอยใน A ใชสตรn(A′) = n(U) – n(A)


แบบทดสอบ

1. สาหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดผด1) ถา AI B = φ แลว A ⊂ B′ และ B ⊂ A′ 2) A - (AI B) = A - B

*3) (AU B) - A = B 4) ถา AI B = A แลว A ⊂ B2. ถา A = {1, 2, 3, ... , 9} และ S = {B|B ⊂ A และ (1 ∈ B หรอ 9 ∈ B)} แลวจานวนสมาชกของ S

เทากบเทาใด (ตอบ 384)3. สาหรบเซต X ใดๆ ให n(X) แทนจานวนสมาชกของเซต X

กาหนดให U เปนเอกภพสมพทธทมสมาชก 240 ตว และ A, B, C เปนเซตทมสมบต ดงนn(A) = 5x, n(B) = 5x, n(C) = 4xn(AI B) = n(BI C) = n(AI C) = yn(AI BI C) = x, n[(AU BU C)′] = 60

ถา y - x = 20 แลว x เปนจรงตามขอใด *1) 18 ≤ x < 21 2) 21 ≤ x < 24 3) 24 ≤ x < 27 4) 27 ≤ x < 30

4. กาหนดให A, B เปนเซตซง n(A) = a, n(B) = b ถา n[(A - B)U (B - A)] = 7 และ n(A × B) = 40แลว n({C|C ⊂ AU B และ n(C) ≤ 2}) เทากบเทาใด (ตอบ 56)

5. ให A, B และ C เปนเซตซง n(AU B) = 16, n(A) = 8, n(B) = 14, n(C) = 5 และ n(AI BI C) = 2คาสงสดของ n((AI B) × (C - A)) ทเปนไปไดเทากบขอใด1) 6 2) 12 *3) 18 4) 24

6. สาหรบเซต X ใดๆ ให P(X) แทนเพาเวอรเซตของ X และ n(X) แทนจานวนสมาชกของ X ถา A และ B เปนเซตซง n(P(AI B)) = 4 และ n((AI B) × (AU B)) = 12 แลว n(P(AU B) - P((A - B)U (B - A)))เทากบเทาใด1) 16 2) 32 *3) 48 4) 56

7. กาหนดใหเอกภพสมพทธคอเซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปนเซตซงมเงอนไขวาn(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(AI B) = n(BI C) = n(AI C) = 2

ถา AU BU C = U แลวขอใดผด1) n(AU B) = 4 2) n(AU (BI C)) = 33) n(AI (BU C)) = 2 *4) n(AI BI C) = 1

8. ให A, B, C เปนเซตทมสมาชกเซตละ 2 ตว และ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C โดยท AU BU C = {a, b, c, d}ถา (AI B)U (AI C) = φ แลวพจารณาขอความตอไปน

ก. d ∈ A ข. B = Cขอใดเปนจรง

*1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


9. กาหนดให A, B, C เปนเซต ถา n(B) = 42, n(C) = 28, n(AI C) = 8, n(AI BI C) = 3,n(AI BI C′) = 2, n(AI B′I C′) = 20 และ n(AU BU C) = 80 แลว n(A′I BI C) เทากบขอใด1) 5 *2) 7 3) 10 4) 13

10. กาหนดให A, B, C เปนเซต โดยท AI B ⊂ BI C ถา n(A) = 25, n(C) = 23, n(BI C) = 7,n(AI C) = 10 และ n(AU BU C) = 49 แลว n(B) เทากบขอใด1) 11 2) 14 3) 15 *4) 18

11. กาหนดให A = {1,2,{1,2},(1,2)} เมอ (1,2) หมายถงคอนดบและ B = (A × A) – A จานวนสมาชกของเซต B เทากบเทาใด (ตอบ 15)

เฉลยละเอยด (บางขอ)

1. เฉลย 3)

(AU B) - A = B ?(AU B) - A = III ≠ IU III ผด

1) ถา AI B = φ แลว A ⊂ B′ และ B ⊂ A′ ?AI B = I = φB′ = IIU IV A = II ⊂ B′A′ = IIIU IV B = III ⊂ A′ ถก

2) A - (AI B) = A - B ?A - (AI B) = II = A - B ถก

2. เฉลย 384เซต B ม 3 พวกพวกท 1 คอ B1 เปนสบเซตของ A ทม 1 ∈ B1 และ 9 ∉ B1

B1 = {1}U X เมอ X คอสบเซตของ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}มเซต X ทงหมด 27 = 128 เซต มเซต B1 ทงหมด 128 เซต

พวกท 2 คอ B9 เปนสบเซตของ A ทม 9 ∈ B9 และ 1 ∉ B9B9 = {9}U X เมอ X คอสบเซตของ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}มเซต B9 ทงหมด 128 เซต

A B

II I III

IV

A B

II I III

IV

A B

II I III

IV


พวกท 3 คอ B1, 9 เปนสบเซตของ A ทม 1 ∈ B1, 9 และ 9 ∈ B1, 9B1, 9 = {1, 9}U X เมอ X คอสบเซตของ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}มเซต B1, 9 ทงหมด 128 เซต

ดงนน จานวนสมาชกของ S เทากบ 3 × 128 = 384 เซต

3. เฉลย 1)n(AU BU C) = n(U) - n[(AU BU C)′] = 240 - 60 = 180n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AI B) - n(AI C) - n(BI C) + n(AI BI C)

180 = 5x + 5x + 4x - y - y - y + x180 = 15x - 3y หรอ 60 = 5x - y

แต y - x = 20 หรอ y = 20 + xดงนน 5x - (20 + x) = 60 นนคอ x = 20

5. เฉลย 3) n(AI B) = n(A) + n(B) - n(AU B)= 8 + 14 - 16 = 6

n(AI BI C) = 2n((AI B) × (C - A)) = n(AI B) ⋅ n(C - A)

= 6 ⋅ (3 - x)ดงนน n((AI B) × (C - A)) = 6 ⋅ (3 - x) มคามากทสดเทากบ 18 เมอ x = 0

2x y3 - x - y

C(5)

A(8) B(14)


ระบบจานวนจรง

1. การแยกตวประกอบเครองมอสาคญอยางหนงในการแกปญหาเกยวกบสมการและอสมการคอ การแยกตวประกอบ นกเรยน

ควรคนเคยกบสตรตางๆ เหลาน(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

a2 - b2 = (a - b)(a + b)a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

2. สมการกาลงสอง1. สมการกาลงสอง คอ สมการในรปแบบ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)2. วธแกสมการกาลงสอง ม 4 วธ

1. วธแยกตวประกอบ ถาพหนาม ax2 + bx + c มตวประกอบเชงเสนทมสมประสทธเปนจานวนตรรกยะกใหแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c แลวใชสมบตของตวประกอบศนยซงกลาววา AB = 0 ถา A = 0 หรอ B = 0

2. ใชสมบตของรากทสอง ถาสมการอยในรปแบบ A2 = b เมอ b เปนคาคงตวแลวคาตอบของสมการคอ A = b หรอ A = - b และอาจเขยนรวบรดเปน A = ± b

3. วธทาใหเปนกาลงสองสมบรณขนท 1 เขยนสมการ ax2 + bx + c = 0 ในรปแบบ

x2 + px = q

ขนท 2 บวก 2

2p

= 4

p2 ทงสองขาง ;

x2 + px + 4p2

= q + 4p2

ขนท 3 เขยนขางซายของสมการเปนกาลงสองสมบรณ2

2p x

+ = q + 4p2

แลวใชสมบตของรากทสองจะได

x + 2p = ± 4

p q2

+

x = - 2p ± 4

p q2

+


4. ใชสตรกาลงสอง คาตอบของ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) หาไดจากสตร

x = 2a 4ac b b 2 -±-

3. ในสตรกาลงสอง นพจน b2 - 4ac เรยกวา ดสครมแนนต เครองหมายของมนบอกใหทราบวาสมการมคาตอบทเปนจานวนจรงหรอไม ถาม มกคาตอบ

เครองหมายของดสครมแนนต จานวนและชนดของคาตอบบวก คาตอบเปนจานวนจรง 2 จานวนศนย คาตอบเปนจานวนจรง 1 จานวนลบ คาตอบเปนจานวนเชงซอน 2 จานวน

3. สมการพหนาม ทฤษฎบทรากตรรกยะ และทฤษฎบทเศษเหลอ1. ฟงกชนพหนาม คอ ฟงกชนทสามารถเขยนในรปแบบ p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

เมอ an, an-1, ... , a1, a0 เปนจานวนจรง และ an ≠ 0 ถา x0 เปนจานวนซงทาให p(x0) = 0 แลวเรยก x0วา ราก ของพหนาม p(x) หรอคาตอบของสมการพหนาม p(x) = 0

2. ทฤษฎบทรากตรรกยะ ถาสมการพหนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 มรากเปนจานวนตรรกยะซงเขยนในรปแบบเศษสวนอยางตาไดเปน s

r แลว r ตองหาร a0 ลงตว และ s ตองหาร an ลงตว

3. ทฤษฎบทเศษเหลอ ให p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 , an ≠ 0 ถาหาร p(x) ดวยx - c แลวจะไดเศษเหลอเทากบ p(c)

ทฤษฎบทอนๆ เกยวกบรากของสมการพหนาม นกเรยนจะไดศกษาเพมเตมในเรองจานวนเชงซอน

4. กรณฑ และสมการทมกรณฑ1. สาหรบจานวนนบ n ทมากกวา 1 และ x เปนจานวนจรง กรณฑท n ของ x เขยนแทนดวย n x

มบทนยามดงน n x = x1/n ถา x1/n เปนจานวนจรง ถา n = 2 นยมเขยน x แทน 2 x2. สมบตของกรณฑทควรทราบมดงน

1. ( n x )n = x ถา n x เปนจานวนจรง2. n nx = x ถา x ≥ 0

n nx = x ถา x < 0 และ n เปนจานวนคn nx = |x| ถา x < 0 และ n เปนจานวนค

3. n ab = n a n b4. n m x = mn x

5. n ba = n

n

ba


3. การเปลยนรปนพจนระหวางกรณฑกบเลขยกกาลงใชกฎตอไปนสาหรบจานวนเตมบวก m และ n โดยท n > 1 และ x ≥ 0n mx = xm/n = ( n x )m

4. การแกสมการทมกรณฑ จะตองยกกาลงทงสองขางของสมการ แตตองระวงวาสมการทเกดขนอาจมคาตอบทไมใชคาตอบของสมการเรมตน โดยทวไปสมการ a = b ไมสมมลกบสมการ an = bn แตถา n เปนจานวนคแลวสมการทงสองจะมคาตอบทเปนจานวนจรงเหมอนกน ถา n เปนจานวนค คาตอบทงหมดของ a = bจะเปนคาตอบของ an = bn ดวย แตคาตอบของ an = bn บางจานวนอาจไมใชคาตอบของ a = b ดงนน การแกสมการโดยยกกาลงคทงสองขางไมตองกงวลวาคาตอบของสมการใหมจะไมใชคาตอบของสมการเรมตน แตการยกกาลงค แมจะทาได แตตองตรวจสอบวาคาตอบทไดเปนคาตอบของสมการเรมตนดวยหรอไม

5. อสมการและการแกอสมการ1. อสมการทสมมลกน หมายถง อสมการทมเซตคาตอบเหมอนกน กระบวนการแกอสมการคอขนตอน

การแปลงอสมการทกาหนดใหไปเปนอสมการทสมมลกน แตเหนคาตอบไดงายกวา วธการแปลงอสมการทจะไดอสมการทสมมลกนมหลายวธ ไดแก

1. การบวกและการลบอสมการ a < b, a + c < b + c และ a - c < b - c เปนอสมการทสมมลกน

2. การคณและการหารดวยจานวนบวกอสมการ a < b, ac < bc และ c

a < cb เปนอสมการทสมมลกน เมอ c > 0

3. การคณและการหารดวยจานวนลบอสมการ a < b, ac > bc และ c

a > cb เปนอสมการทสมมลกน เมอ c < 0

วธการดงกลาวนใชไดกบอสมการทกรปแบบ2. การแกอสมการโดยใชแผนภาพเครองหมาย อสมการซงขางขวาเปน 0 และขางซายสามารถเขยน

ใหเปนผลคณหรอผลหารของตวประกอบเชงเสน (ax + b) หรอตวประกอบกาลงสอง (x2 + b, b > 0) อาจหาคาตอบไดโดยใชแผนภาพเครองหมาย ถาตวประกอบเชงเสนไมเปน 0 บนชวงหนงแลวมนจะเปนบวกตลอดชวงนนหรอไมกเปนลบตลอดชวงนน ดงนนเราอาจแกอสมการลกษณะดงกลาว ดงน

1. หาจดซงแตละตวประกอบเปน 0 เรยกวา จดวกฤต2. เขยนเสนจานวนและแสดงจดวกฤตทงหมด จดวกฤตจะแบงเสนจานวนเปนชวงๆ3. ระบเครองหมายของแตละตวประกอบบนแตละชวง แลวใชสมบตเกยวกบการคณและการหาร

ระบเครองหมายของขางซายของอสมการ4. เขยนคาตอบของอสมการ


ตวอยาง จงแกอสมการ x3 < 6x - x2

วธทา แปลงอสมการใหขางขวาเปน 0 แลวแยกตวประกอบของขางซายx3 + x2 – 6x < 0

x(x + 3)(x – 2) < 0หาจดวกฤตจากแตละตวประกอบได x = 0, -3 และ 2เขยนเสนจานวนแสดงจดวกฤต -3, 0 และ 2จดวกฤตแบงเสนจานวนออกเปน 4 ชวง ไดแก (-∞, -3), (-3, 0), (0, 2) และ (2, ∞)ตวประกอบแตละตวและผลคณ x(x + 3)(x - 2) มเครองหมายบนแตละชวง ดงน

xx + 3x - 2x(x + 3)(x - 2)

+ ++ ++

+++

---- -

--

-

-3 0 2จากแผนภาพเครองหมาย แสดงวา x(x + 3)(x - 2) < 0 เมอ x อยในชวง (-∞, -3) หรอ (0, 2)ดงนน เซตคาตอบของสมการคอ (-∞, -3)U (0, 2)

ตวอยาง จงแกอสมการ 1)(x5) (x 3) (2x 2) (x

2341/3

++

+- ≥ 0

วธทา เขยนเสนจานวนแสดงจดวกฤต 2, 23- และ -5 (สงเกตวาตวประกอบ x2 + 1 ไมมจดวกฤต

เพราะวา x2 + 1 > 0 เสมอ ดงนนตวประกอบนไมมผลตอเครองหมายของขางซายของอสมการจงไมตองแสดงเครองหมายของตวประกอบนบนแผนภาพ)

(ขางซายของอสมการ)

+ +++++

--

- -

--

-5 2

+ +

++

43)(2x +1/32)(x -35)(x +

23-

สงเกตวาตวประกอบ (2x + 3)4 มคาเปนบวกเสมอยกเวนท x = 23- เราจะไมแสดงเครองหมาย

ของตวประกอบนบนเสนจานวนกได สวนทเปนสมการของอสมการทาใหมคาตอบเกดขนทจดวกฤต 23 - และ 2

แตไมเกดขนท -5 เพราะจะทาใหตวสวนเปน 0 ซงไมมความหมาย อสมการเปนจรงเมอนพจนขางซายมคาเปนบวก หรอ 0 ดงนน เซตคาตอบคอ (-∞, -5)U { 2

3- } U [2, ∞)


3. การแกอสมการกาลงสอง ax2 + bx + c > 0 (หรอ < 0) เมอ a > 0 ในกรณทแยกตวประกอบของขางซายไดยากอาจกระทาได ดงน

ขนท 1 หาจดวกฤตหรอคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 สมมตวาได x = r1 และ r2 เปนจดวกฤต 2 จด (อาจเปนจดเดยวกนได นนคอ r1 = r2)

ขนท 2 พจารณาคาตอบของอสมการจากดสครมแนนต b2 - 4ac1. ถา b2 - 4ac > 0 แลว ax2 + bx + c < 0 ในชวงระหวางคาวกฤต r1 และ r2

และ ax2 + bx + c > 0 นอกชวงระหวางคาวกฤต r1 และ r22. ถา b2 - 4ac = 0 แลว ax2 + bx + c มคาไมเปนลบสาหรบทกคาของ x และ

ax2 + bx + c มคาเปน 0 ทคาวกฤต x = r1 = r2 (กรณนมคาวกฤตคาเดยว)3. ถา b2 - 4ac < 0 แลว ax2 + bx + c มคาเปนบวกสาหรบทกคาของ x

ตวอยาง จงแกอสมการ1. x2 + x + 4

1 ≥ 0 2. 3 - 5x < 2x2 + x 3. 3x2 - 5x + 7 < 0

วธทา 1. x2 + x + 41 =

221 x

+ ≥ 0 สาหรบทกคาของ x

ดงนน เซตคาตอบคอ R = (-∞, ∞)ถาบงเอญมองไมออกวาจะแยกตวประกอบอยางไร จะลองพจารณาจากดสครมแนนตกได

b2 - 4ac = 12 – 4(1)

41 = 0 ตรงกบกรณท (2) แสดงวา x2 + x + 4

1 ไมเปนจานวนลบ

(≥ 0) สาหรบทกคาของ x2. แปลงอสมการใหอยในรปแบบทมขางขวาเปน 0 กอน

3 - 5x < 2x2 + x-2x2 - 6x + 3 < 02x2 + 6x - 3 > 0 (คณดวย -1 ตองกลบทศทางของอสมการ)

เนองจาก 2x2 + 6x - 3 แยกตวประกอบยาก เราจงพจารณาคาตอบจากดสครมแนนตb2 - 4ac = 62 – 4(2)(-3) = 60 ตรงกบกรณท (1)

คาวกฤตหรอคาตอบของสมการ คอ

r1 = 460 6 -- = 2

15 3 --

r2 = 460 6 +- = 2

15 3 +-

ตวประกอบกาลงสอง 2x2 + 6x - 3 มคาเปนบวกนอกชวงระหวางคาวกฤต

ดงนน เซตคาตอบของอสมการคอ

∞ 2

15 3 , --- U

∞+ ,2

15 3-

3. 3x2 - 5x + 7 แยกตวประกอบไดยากใชวธพจารณาดสครมแนนตb2 - 4ac = (-5)2 - 4(3)(7) = 25 - 84 < 0 ตรงกบกรณท (3)

แสดงวา 3x2 - 5x + 7 มคาเปนบวกสาหรบทกคาของ x ดงนนเซตคาตอบคอ φ


6. คาสมบรณ1. คาสมบรณของจานวนจรง a เขยนแทนดวย |a| มบทนยาม ดงน

|a| =

<≥

0 a เมอ a0a เมอ a

-2. ความหมายเชงเรขาคณตของคาสมบรณ อาจแปลความหมายของคาสมบรณเปนระยะหาง ดงน

|a - b| = ระยะหางระหวาง a และ b|a| = |a - 0| = ระยะหางระหวาง a และ 0

3. สมบตของคาสมบรณทควรทราบ มดงน1. |a| ≥ 02. |-a| = |a|3. |a| = 2a4. |ab| = |a||b|

5. ba = |b|

|a| เมอ b ≠ 0

6. |a + b| ≤ |a| + |b| (อสมการองรปสามเหลยม)4. การแกสมการทมคาสมบรณ อาจใชสมบตตอไปน

1. สมการ |a| = b (เมอ b > 0) สมมลกบสมการคตอไปนa = b หรอ a = -b

2. สมการ |a| = |b| สมมลกบสมการคตอไปนa = b หรอ a = -b

ตวอยาง จงแกสมการ |x + 3| = 5วธทา แปลงเปนสมการทสมมลกนซงไมมคาสมบรณไดเปน

x + 3 = 5 หรอ x + 3 = -5x = 2 หรอ x = -8

ตอบ x = 2 หรอ -8ตวอยาง จงแกสมการ |x + 4| = |3x - 2|วธทา สมการทกาหนดใหสมมลกบสมการคตอไปน

x + 4 = 3x - 2 หรอ x + 4 = -(3x - 2)-2x = -6 4x = -2

x = 3 x = - 21

ตอบ x = 3 หรอ - 21

5. การแกอสมการทมคาสมบรณ อาจใชสมบตตอไปน1. อสมการ |a| < b (เมอ b > 0) สมมลกบอสมการ -b < a < b2. อสมการ |a| > b (เมอ b > 0 ) สมมลกบอสมการ a < -b หรอ a > b


ตวอยาง จงแกอสมการ |x - 3| ≤ 10วธท 1 วธพชคณต |x - 3| ≤ 10

-10 ≤ x - 3 ≤ 10-7 ≤ x ≤ 13

ตอบ -7 ≤ x ≤ 13วธท 2 วธเรขาคณต

|x - 3| = ระยะหางระหวาง x และ 3|x - 3| ≤ 10 หมายความวา x หางจาก 3 ไมเกน 10

-7 13310 10

x

ดงนน -7 ≤ x ≤ 13ตอบ -7 ≤ x ≤ 13

ตวอยาง จงแกอสมการ 4|2x - 7| + 6 > 20วธทา 4|2x - 7| + 6 > 20

|2x - 7| > 27

วธท 1 วธพชคณต |2x - 7| > 27

2x - 7 < - 27 หรอ 2x - 7 > 2

7

2x < 27 หรอ 2x > 2

21

x < 47 หรอ x > 4

21

ตอบ x < 47 หรอ x > 4

21

วธท 2 วธเรขาคณต|2x - 7| > 2

7

27 x - > 4

7 (หารดวย 2)

หมายความวา x หางจาก 27 มากกวา 4

7

xx

47

47

472

7421

ดงนน x < 47 หรอ x > 4

21

ตอบ x < 47 หรอ x > 4

21



1. ผลบวกของคาตอบของสมการ 12x - 2(3x) – 9(4x) + 18 = 0 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2.5)2. เซตในขอใดเปนเซตคาตอบของสมการ 9x3 + 12x2 + x - 2 = 0

1)

23 ,3

1 2, - 2)

21 ,3

2 1, -- 3)

32 ,3

1 1, - *4)

31 ,3

2 1, --

3. จานวนคาตอบทเปนจานวนเตมของอสมการ -5 ≤ x6 x2 - ≤ 1 เทากบขอใด

*1) 8 2) 9 3) 10 4) 11

4. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 1|1x |23x --

- ≥ 0 เซต {x|x > 0 และ x ∉ S} เปนสบเซตของชวงใด

1) [0, 1] 2)

23 ,4

1 *3)

2 ,21 4)

3 ,43

5. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ x > |x - 1|และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 3)1)(x (x

5x ++

- ≥ 0

ถา A - B คอชวง (a, b) แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 5.5)6. กาหนดให I คอเซตของจานวนเตม และ S = {x|||x - 1| - 1| ⋅ ||x - 1| + 1| < 50} จานวน

สมาชกของเซต SI I เทากบขอใด1) 13 2) 14 *3) 15 4) 16

7. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 1|x|23x

-- ≥ 2

พจารณาขอความตอไปนก. S = (-1, 0]U (1, ∞) ข. ∃x[x ∈ S ∧ (x + 2) ∉ S]

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

8. กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 12 + x - x2 < 0และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ |3 - |x|| < 1เซต AI B เปนสบเซตของชวงใด

*1) (-5, -3) 2) (-3, -1) 3) (1, 3) 4) (3, 5)

9. ถา -2 ≤ x ≤ 2 และ 8 ≤ y ≤ 13 แลวคามากทสดของ 2y1 2

1 x

+

+

เทากบขอใด

1) 1 *2) 21 3) 3

1 4) 81

10. เซตคาตอบของอสมการ 2x2(x-3) < 8(2/3-x) เปนสบเซตของเซตในขอใด1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2)


11. กาหนดให A = {x||x - 1| ≥ 2 และ |1x |1+ > 2

1 } และ B = {x|x2 + 2x < 0} แลว AI B คอ

ชวงในขอใด *1) (-2, -1) 2) [-2, -1) 3) (3, ∞) 4) (-∞, -3)

12. กาหนดให x + 1 และ x - 1 เปนตวประกอบของพหนาม p(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมอ a, b เปนคาคงตวเศษเหลอทไดจากการหาร p(x) ดวย x - a - b เทากบขอใด1) 15 2) 17 3) 19 *4) 21

13. กาหนดให A = {x||x - 4| > 5} และ B = {x| 3x + - x ≤ 1} ขอใดถกตอง1) AU B = (-∞, -1)U (1, ∞) 2) (AI B)′ = (9, ∞)3) B - A = [1, 9) *4) A - B = (-∞, -1)

14. ให x, y, z เปนจานวนเตมบวกทมคาเรยงตดกนจากนอยไปมาก ถา y เปนจานวนเตมบวกทมคานอยทสดททาให 3 z yx ++ เปนจานวนเตมบวก แลว y มคาเทากบเทาใด (ตอบ 9)

15. ถา x เปนรากของสมการ 23x-1 ⋅ 6x ⋅ 255x-1 = 75x แลว x มคาเทากบเทาใด (ตอบ 41 )

16. กาหนดให A = {x|(2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x|16 - 9x2 > 0} เซต AI B เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน1)

37 ,3

2- *2)

35 1,- 3)

45 ,3

4- 4)

1 ,3

5-

17. ถาเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คอชวง (a, b) แลว a + b มคาเทากบเทาใด (ตอบ 2)


1. เฉลย 2.512x - 2(3x) - 9(4x) + 18 = 0

4x(3x) - 2(3x) - 9(4x) + 18 = 03x(4x - 2) - 9(4x - 2) = 0

(3x - 9)(4x - 2) = 03x = 9 หรอ 4x = 2x = 2 หรอ x = 2

1

ผลบวกของคาตอบ คอ 2.5


4. เฉลย 3) แยกพจารณาเปนสองกรณกรณท 1 x ≥ 1, x ≠ 2

1|1x |23x --

- ≥ 0

2x 23x

-- ≥ 0

ในกรณนเซตคาตอบคอ (2, ∞)กรณท 2 x < 1, x ≠ 0

1|1x |23x --

- ≥ 0

1x 123x --

- ≥ 0

x23x - ≤ 0

ในกรณนเซตคาตอบ คอ

32 0,

ดงนน S =

32 0, U (2, ∞)

และ {x|x > 0 และ x ∉ S} =

2 ,32 ซงเปนสบเซตของ

2 ,21

8. เฉลย 1) หา A และ B ได ดงนหา A : 12 + x - x2 < 0

(4 - x)(3 + x) < 0x < -3 หรอ x > 4

ดงนน A = (-∞, -3)U (4, ∞)หา B : |3 - |x|| < 1กรณท 1 x ≥ 0

|3 - x| < 1-1 < 3 - x < 1

-4 < -x < -22 < x < 4

กรณท 2 x < 0|3 + x| < 1

-1 < 3 + x < 1-4 < x < -2

ดงนน B = (2, 4)U (-4, -2)AI B = (-4, -3) เปนสบเซตของ (-5, -3)

- 2 x 2 3x

--

+1 2 x

x23x -x 0 1

- ++

32

y

4-30 x

2x x 12 y -+=


9. เฉลย 2) 2 y1 2

1 x

+

+

มคามากทสด เมอ x

21

+ 1 มคามากทสด และ y + 2 มคานอยทสด

สาหรบ -2 ≤ x ≤ 2 , x

21

+ 1 มคามากทสด =

221 -

+ 1 = 5

สาหรบ 8 ≤ y ≤ 13 , y + 2 มคานอยทสด = 8 + 2 = 10

2 y1 2

1 x

+

+

มคามากทสด = 105 = 2

1

10. เฉลย 4) 2x2(x-3) < 8(2/3-x)

2x3-3x2 < 23(2/3-x) = 22-3x

x3 - 3x2 < 2 - 3xx3 - 3x2 + 3x - 2 < 0

(x3 - 3x2 + 3x - 1) - 1 < 0(x - 1)3 < 1

x - 1 < 1x < 2

เซตคาตอบของอสมการ คอ (-∞, 2) เปนสบเซตของ (-∞, 2)13. เฉลย 4) หา A : |x - 4| > 5

x หางจาก 4 มากกวา 5 หนวยx < -1 หรอ x > 9

ดงนน A = (-∞, -1)U (9, ∞)หา B : 3 x + - x ≤ 1 (ระวง x ≥ 0)

3x + ≤ 1 + xx + 3 ≤ 1 + 2 x + x

x ≥ 1x ≥ 1

ดงนน B = [1, ∞)A - B = (-∞,-1)U (9, ∞) - [1, ∞) = (-∞, -1)


8. สมบตของจานวนเฉพาะสมพทธ ให a และ b เปนจานวนเตมซงไมเปน 0 พรอมกน1. a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธกตอเมอมจานวนเตม x และ y ซง 1 = ax + by2. ถา (a, b) = d แลว

db ,d

a = 1

3. ถา a |

c และ b

|

c โดยท (a, b) = 1 แลว ab

|

c

4. ถา a |

bc โดยท (a, b) = 1 แลว a

|

c

9. บทนยามอกแบบหนงของตวหารรวมมาก ให a และ b เปนจานวนเตมซงไมเปน 0 พรอมกนสาหรบจานวนเตมบวก d, d = (a, b) กตอเมอ

1. d |

a และ d

|

b

2. ถา c |

a และ c

|

b แลว c

|

d

3. ขนตอนวธของยคลด1. ความสมพนธระหวางขนตอนวธการหารและ ห.ร.ม. ถา a = qb + r แลว (a, b) = (b, r)2. ขนตอนวธของยคลด คอ กระบวนการหา ห.ร.ม. โดยใชขนตอนวธการหารซาๆ ให a และ b เปน

จานวนเตม 2 จานวนใดๆ ทตองการหา ห.ร.ม. สมมตวา a ≥ b > 0 ขนแรกในการหา ห.ร.ม. คอใชขนตอนวธการหารกบ a และ b จะได

a = q1b + r1 , 0 ≤ r1 < bถา r1 = 0 แลว b

| a และจะได (a, b) = b ถา r1 ≠ 0 แลวหาร b ดวย r1 จะไดจานวนเตม q2 และ

r2 ซง b = q2r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1ถา r2 = 0 กหยดดาเนนการ และจะได (a, b) = (b, r1) = r1 ถา r2 ≠ 0 กดาเนนการหารตอไป

r1 = q3r2 + r3 , 0 ≤ r3 < r2กระบวนการหารนดาเนนตอไปจนกระทงมเศษเหลอเปน 0 ผลทไดคอระบบสมการตอไปน

a = q1b + r1 , 0 < r1 < bb = q2r1 + r2 , 0 < r2 < r1r1 = q3r2 + r3 , 0 < r3 < r2M

rn-2 = qnrn-1 + rn , 0 ≤ rn < rn-1rn-1 = qn+1rn + 0

และสรปวา rn = (a, b)ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 12378 และ 3054วธทา 12378 = 4(3054) + 162

3054 = 18(162) + 138162 = 1(138) + 24138 = 5(24) + 1824 = 1(18) + 618 = 3(6) + 0

ดงนน 6 = (12378, 3054)


3. สมบตของ ห.ร.ม.1. ถา k > 0 แลว (ka, kb) = k(a, b)2. สาหรบจานวนเตม k ≠ 0, (ka, kb) = |k|(a, b)

4. พหคณรวม กลาววาจานวนเตม c เปนพหคณรวม หรอตวคณรวมของจานวนเตม a และ b ทไมใช0 ถา a

|

c และ b

|

c

5. ตวคณรวมนอย หรอ ค.ร.น. ของจานวนเตม a ≠ 0 และ b ≠ 0 เขยนแทนดวย [a, b] คอ จานวนเตมบวก m ซงมสมบต 2 ขอตอไปน

1. a |

m และ b

|

m

2. ถา a |

c และ b

|

c แลว m ≤ c

6. ความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.1. (a, b) ⋅ [a, b] = ab2. [a, b] = ab กตอเมอ (a, b) = 1

4. จานวนเฉพาะและทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต1. จานวนเฉพาะ จานวนเตม p > 1 เรยกวา จานวนเฉพาะ ถาตวหารทเปนบวกของ p มเพยง 2

จานวน คอ 1 และ p จานวนเตมทมากกวา 1 ซงไมใชจานวนเฉพาะ เรยกวา จานวนประกอบ2. สมบตของตวหารทเปนจานวนเฉพาะ

1. ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ p |

ab แลว p

|

a หรอ p

|

b

2. ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ p |

a1a2 ... an แลว p

| ak สาหรบ k บางคา เมอ 1 ≤ k ≤ n

3. ถา p, q1, q2, ... , qn เปนจานวนเฉพาะ และ p |

q1q2 ... qn แลว p = qk สาหรบ k บางคา เมอ

1 ≤ k ≤ n3. ทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต จานวนเตมบวก n > 1 ใดๆ สามารถเขยนเปนผลคณของจานวน

เฉพาะไดวธเดยว เมอไมคานงถงอนดบของตวประกอบ4. การตรวจสอบวาจานวนเตมบวก n เปนจานวนเฉพาะหรอไม ใหพจารณาวามจานวนเฉพาะ p ซงม

คาไมเกน n เปนตวประกอบของ n หรอไม ถามกแสดงวา n ไมใชจานวนเฉพาะ แตถาไมมกแสดงวา nเปนจานวนเฉพาะ



1. ถา n เปนจานวนเตมบวกซงมสมบต ดงน100 ≤ n ≤ 100045 และ 75 หาร n ลงตว7 หาร n มเศษเหลอ 3

แลว n มคาเทากบเทาใด (ตอบ 675)2. ถา S เปนเซตของจานวนเตม m ทมสมบต ดงน

50 ≤ m ≤ 100และ 7 หาร m3 มเศษเหลอ 6แลวจานวนสมาชกของ S เทากบขอใด1) 7 2) 14 3) 18 *4) 21

3. กาหนดให m เปนจานวนเตมบวก และ n เปนจานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวมเศษเหลอ nแลว m - n มคาเทากบเทาใด (ตอบ 9)

4. ขอความในขอใดผด1) ถา a, b, n เปนจานวนเตมบวก ซง n

|

a และ n

|

b แลวจะไดวา n

|

(a, b)

2) ถา a, b, n เปนจานวนเตมบวก ซง a |

n และ b

|

n แลวจะไดวา [a, b]

|

n

*3) ถา a, m, n เปนจานวนเตมบวก ซง a |

mn แลวจะไดวา a

|

m หรอ a

|

n

4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเตมบวก m และ n แลวจะไดวา dc = mn5. กาหนดให a, b เปนจานวนเตมซง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216

ให q1, q2 เปนจานวนเตมบวก โดยท216 = bq1 + 106

b = 106q2 + 4ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลวเมอหาร f(x) ดวย x - a จะมเศษเหลอเทากบขอใด1) 192 *2) 200 3) 236 4) 272

6. กาหนดให S = {n ∈ I+|n ≤ 1000 และ ห.ร.ม. ของ n และ 100 เทากบ 1} จานวนสมาชกของ Sเทากบเทาใด (ตอบ 400)

7. ให a เปนจานวนคบวก และ b เปนจานวนคบวก ขอใดตอไปนถก1) a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ2) a + b เปนจานวนเฉพาะ3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ ห.ร.ม. ของ a และ 2b

*4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากบ ค.ร.น. ของ a และ 2b


8. ถา x เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดซง 9, 12, และ 15 หาร x ลงตว แต 11 หาร x มเศษเหลอ 7 แลว xมคาเทากบเทาใด (ตอบ 1800)

9. กาหนดให n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดซงหารดวย 7 แลวมเศษเหลอ 4 ถา 9 และ 11 ตางหาร (n – 2)ลงตว แลว n คอจานวนใด (ตอบ 200)


1. เฉลย 67545 และ 75 หาร n ลงตว45 = 15 × 375 = 15 × 5n = 15 × 5 × 3 × k = 225k (k เปนจานวนเตมบวก)k = 3, n = 675, 7 หาร 675 มเศษเหลอ 3n = 675

2. เฉลย 4) m = x + y (y = 0, 1, ..., 9)m3 = (x + y)3

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

จานวนเตม m ทเราตองการ คอ จานวนเตม m ซง 7 หาร x ลงตว และ 7 หาร y3 มเศษเหลอ 6x = ? x = 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91y = ? y = 3, 5, 6 → 7 หาร y3 มเศษเหลอ 6ม m ทงหมด 7 × 3 = 21 จานวนดงนน จานวนสมาชกของ S เทากบ 21


เรขาคณตวเคราะห

1. ระยะทางระหวางจดสองจดให P(x1, y1) และ Q(x2, y2) เปนจด 2 จดใดๆ ในระนาบ R × R ระยะทางระหวาง P และ Q เขยนแทน

ดวย PQ หาไดจากสตร

PQ = 212

212 ) y (y ) x (x -- +

หรอ PQ = 221

221 ) y (y ) x (x -- +

2. พนทของรปสามเหลยมให P(x1, y1) , Q(x2, y2) และ R(x3, y3) เปนจดยอดของ ∆ PQR อานทวนเขมนาฬกา พนทของ ∆ PQR

หาไดจากสตร

พนท ∆ PQR = 21

11332211

yx yx yx yx

= 21 (x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 - x3y2 - x1y3)

3. จดแบงสวนของเสนตรงให P(x1, y1) และ Q(x2, y2) เปนจด 2 จดใดๆ ในระนาบ R × R และ D(x, y) เปนจดบนสวนของ

เสนตรง PQ ซงแบง PQ ออกเปนอตราสวน PQPD = b

a แลวพกดของจด D หาไดจากสตร

x = x1 + ba (x2 - x1)

y = y1 + ba (y2 - y1)

ในกรณท D(x, y) เปนจดกงกลางของ PQ นนคอ PQPD = 2

1 จะได

x = x1 + 21 (x2 - x1) = 2

xx 21 +

y = y1 + 21 (y2 - y1) = 2

yy 21 +

เขยนพกดของจดยอด P, Q, R, Pนาผลคณตามแนวทแยงลงมาบวกนาผลคณตามแนวทแยงขนมาลบ


4. ความชนของเสนตรง1. ให P(x1, y1) และ Q(x2, y2) เปนจด 2 จดบนเสนตรง l ความชนของเสนตรง l เขยนแทนดวย m

หาไดจากสตร

m =1212

xxyy

--

2. ความชน m อาจนยามโดยใชตรโกณมตได ดงนให θ เปนมมทเสนตรง l กระทากบแกน x ดานบวกโดยใชแกน x ดานบวกเปนดานเรมตน วดเวยน

ทวนเขมนาฬกาถงเสนตรง l เปนดานสนสด เรยก θ วามมเอยงของเสนตรง l สงเกตวา 0 ≤ θ < πความชนของ l คอ แทนเจนตของมมเอยง นนคอ m = tan θ

0

y

x

l

θ

ถา 0 < θ < 2π แลว m = tan θ > 0

0

y

x

l

θ

ถา 2π < θ < π แลว m = tan θ < 0

0

y

x

l ถา θ = 0 ( l เปนเสนแนวนอน) แลว m = tan θ = 0

0

y

x

l

ถา θ = 2π ( l เปนเสนแนวตง) แลว m = tan θ หาคาไมได


5. เสนตรง1. ระยะตดแกน x และระยะตดแกน y

ถาเสนตรง l ตดแกน x ทจด (a, 0) และตดแกน y ทจด (0, b) แลวเรยก a วาระยะตดแกน xและเรยก b วาระยะตดแกน y

0

y

x(a, 0)

(0, b)

2. สมการของเสนตรง1. รปแบบทวไป Ax + By + C = 0 , A, B และ C เปนคาคงตว2. รปแบบความชนและระยะตดแกน y y = mx + b เมอ m คอความชน และ b คอระยะตดแกน y3. รปแบบจดและความชน y - y1 = m(x - x1) เมอ m คอความชน และ (x1, y1) คอจดหนงบน

เสนตรง

4. รปแบบจดสองจด y - y1 = 1212

xxyy

-- (x - x1) เมอ (x1, y1) และ (x2, y2) เปนจด 2 จดบนเสนตรง

5. รปแบบระยะตดแกน ax + b

y = 1 เมอ a และ b คอระยะตดแกน x และระยะตดแกน y ตามลาดบ

3. สมการของเสนแนวนอนและเสนแนวตงเสนแนวนอนทผานจด (x1, y1) มสมการเปน y = y1เสนแนวตงทผานจด (x1, y1) มสมการเปน x = x1

4. เสนขนานและเสนตงฉากให l 1 และ l 2 เปนเสนตรงทไมใชเสนแนวตงและมความชน m1 และ m2 ตามลาดบ1. l 1 และ l 2 ขนานกนกตอเมอ m1 = m22. l 1 และ l 2 ตงฉากกนกตอเมอ m1m2 = -1 หรอ m1 = - 2m

1

5. จดตดของเสนตรง จดตด (x, y) ของเสนตรง A1x + B1y + C1 = 0 และ A2x + B2y + C2 = 0

คอคาตอบของระบบสมการ

=++=++

0 C yB x A0C yB x A

222111

6. ระยะทางระหวางจดและเสนตรง ระยะทาง d ระหวางจด (x1, y1) กบเสนตรง Ax + By + C = 0

หาไดจากสตร d = 22

11

B A|C By Ax|

+

++

7. ระยะทางระหวางเสนขนาน ระยะทาง d ระหวางเสนขนาน Ax + By + C1 = 0 และ Ax + By +

C2 = 0 หาไดจากสตร d = 2221

B A|C C|

+

-


6. วงกลม1. วงกลม คอ เซตของทกจดในระนาบซงหางจากจดตรงจดหนงเปนระยะทางคงท เรยกจดตรงนนวา

จดศนยกลาง และเรยกระยะทางคงตวนนวา รศมของวงกลม

P(x, y) เปนจดใดๆ บนวงกลมC เปนจดตรง และ r = |CP| = ระยะทางคงตว

2. สมการของวงกลม1. วงกลมทมจดศนยกลางอยท (h, k) และรศม r มสมการรปแบบมาตรฐานเปน

(x - h)2 + (y - k)2 = r22. สมการของวงกลมสามารถเขยนในรปแบบทวไปไดเปน

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 (A ≠ 0) (สมประสทธของ x2 เหมอนกบของ y2)3. กราฟของสมการในรปแบบ

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 (A ≠ 0)เปนวงกลม (ถา D2 + E2 - 4AF > 0 ) หรอเปนจด 1 จด (ถา D2 + E2 - 4AF = 0)หรอไมมกราฟบนระนาบ R × R (ถา D2 + E2 - 4AF < 0)

7. พาราโบลา1. พาราโบลา คอ เซตของทกจดในระนาบซงหางจากจดตรงจดหนง เรยกวา โฟกส และเสนตรงตรง

เสนหนงทไมผานโฟกส เรยกวา ไดเรกตรกซ เปนระยะทางเทากน

P เปนจดบนพาราโบลาF เปนโฟกสและ l เปนไดเรกตรกซ|PF| = |PD|

เสนตรงซงผานโฟกสของพาราโบลาและตงฉากกบไดเรกตรกซ เรยกวา แกนของพาราโบลา จดตดของพาราโบลากบแกนของพาราโบลาเรยกวา จดยอดของพาราโบลา สวนของเสนตรงทเชอมจด 2 จดใดๆ ของพารา-โบลาเรยกวา คอรดของพาราโบลา คอรดทตงฉากกบแกนของพาราโบลาและผานจดโฟกส เรยกวา เลตสเรกตม

Dแกน

จดยอด

F (โฟกส)

เลตสเรกตม

P

ไดเรกตรกซ

l

P(x, y)r

C(h, k)วงกลมทม C เปนศนยกลาง และ r เปนรศม


2. สมการของพาราโบลา1. พาราโบลาทมจดยอดอยทจดกาเนด (0, 0) ม 2 รปแบบ คอ

x2 = 4py (แกนของพาราโบลา คอ แกน y)y2 = 4px (แกนของพาราโบลา คอ แกน x)

F(0, p)

y

xy = -p

0 F(0, p)

y

xy = -p

0

x2 = 4py, p > 0 x2 = 4py, p < 0

F(p, 0)

y

x

x = -p

0

F(p, 0)

y

x

x = -p

0

y2 = 4px, p > 0 y2 = 4px, p < 0

ความหมายของ p ในสมการของพาราโบลาp = ระยะทางระหวางจดยอดและโฟกส

= ระยะทางระหวางจดยอดและไดเรกตรกซเครองหมายของ p บอกใหทราบวาพาราโบลาปลายเปดดานบนหรอดานลาง ดานขวาหรอดานซาย

2. พาราโบลาทมจดยอดอยท (h, k) ม 2 รปแบบเชนกน คอ(x - h)2 = 4p(y - k) แกนของพาราโบลาขนานกบแกน y

โฟกสอยท (h, k + p)ไดเรกตรกซ คอ y = k - pพาราโบลารปนกคอพาราโบลา x2 = 4px ทเลอนจดยอดไปอยท (h, k)

(y - k)2 = 4p(x - h) แกนของพาราโบลาขนานกบแกน xโฟกสอยท (h + p, k)ไดเรกตรกซ คอ x = h - pพาราโบลารปนกคอพาราโบลา y2 = 4px ทเลอนจดยอดไปอยท (h, k)


8. วงร1. วงร คอ เซตของจด (x, y) ทกจดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจด (x, y) ถงจดตรง 2 จด

(โฟกส) มคาคงตวเสมอ

P และ Q เปนจด 2 จดใดๆ บนวงรซงม F1 และ F2 เปนโฟกสPF1 + PF2 = QF1 + QF2

สวนของเสนตรงทเชอมจด 2 จดบนวงร เรยกวา คอรดของวงร คอรดทผานโฟกสทงสองเรยกวา แกนเอกจดปลายแกนเอก เรยกวา จดยอด คอรดทแบงครงและตงฉากกบแกนเอกเรยกวา แกนโท จดทแกนเอกและแกนโทตดกนเรยกวา จดศนยกลางของวงร คอรด 2 เสนทตงฉากกบแกนเอกทโฟกสเรยกวา เลตสเรกตมของวงร

2. สมการของวงร1. วงรทมจดศนยกลาง (0, 0) ม 2 รปแบบ เมอ a > b > 0 และ c2 = a2 - b2

22

ax + 2

2

by = 1 (แกนเอกอยบนแกน x)

22

bx + 2

2

ay = 1 (แกนเอกอยบนแกน y)

0) c,(F2 -

y

x0) (c,F1 0)(a,v10) a,(v2 - b)(0,u1

b) (0,u2 - c)(0,F2 -

c)(0,F1

a)(0,v1

a)(0,v2 -

0) (b,u10)b,(u2 - x

y

ความหมายของ a, b, c ในสมการของวงรa คอ ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดยอด b คอ ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดปลายของแกนโท และ

c คอ ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดโฟกส อตราสวน ac เทากบความเยองศนยกลางแทนดวย e คาของ a, b

และ c มความสมพนธกนโดย c2 = a2 - b2

2. วงรทมจดศนยกลาง (h, k) เมอ a > b > 0 และ c2 = a2 - b2

แกนเอกขนานกบแกน xโฟกสอยท (h ± c, k)จดยอดอยท (h ± a, k)แกนเอกขนานกบแกน yโฟกสอยท (h, k ± c)จดยอดอยท (h, k ± a)

Q P

1F 2F

22

bh) (x - + 2

2

ak) (y - = 1

22

ah) (x - + 2

2

bk) (y - = 1


9. ไฮเพอรโบลา1. ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจด (x, y) ทกจดในระนาบซงคาสมบรณของผลตางระหวางระยะทางจาก

จด (x, y) ถงจดตรง 2 จด (โฟกส) มคาคงตวเสมอ

P และ Q เปนจดใดๆ บนไฮเพอรโบลาทมโฟกส F1 และ F2|PF1 - PF2| = |QF1 - QF2| = 2aไฮเพอรโบลาประกอบดวยเสนโคง 2 เสน ไมตดกน เรยกแตละเสนวา กง

จดตดของไฮเพอรโบลากบเสนตรงทผานโฟกสทงสองเรยกวา จดยอด (ม 2 จด) สวนของเสนตรงทเชอมจดยอด เรยกวา แกนตามขวาง จดกงกลางของแกนตามขวางเรยกวา จดศนยกลางของไฮเพอรโบลา สวนของเสนตรงทเชอม 2 จดใดๆ บนกงเดยวกนเรยกวา คอรด คอรดทผานจดโฟกสและตงฉากกบแกนตามขวางเรยกวา เลตสเรกตม

2. สมการของไฮเพอรโบลา1. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลาง (0, 0) ม 2 รปแบบ เมอ a, b > 0 และ c2 = a2 + b2

22

ax - 2

2

by = 1 (แกนตามขวางอยบนแกน x)

22

ay - 2

2

bx = 1 (แกนตามขวางอยบนแกน y)

ความหมายของ a, b, c ในสมการไฮเพอรโบลาa คอ ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดยอดc คอ ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดโฟกสคาของ a, b, c มความสมพนธกนตามสมการ c2 = a2 + b2

y

x

(0, b)

(c, 0)(-c, 0)

(0, -b)

(-a, 0) (a, 0)

y

x(-b, 0)

(0, c)

(0, -c)

(b, 0)

(0, -a)

(0, a)

22

ax - 2

2

by = 1 2

2

ay - 2

2

bx = 1

Q

P

1F

2F


2. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลาง (h, k) เมอ a, b > 0 , c2 = a2 + b2

แกนตามขวางขนานกบแกน xโฟกสอยท (h ± c, k)จดยอดอยท (h ± a, k)เสนกากบ y = ± a

b (x - h) + k

แกนตามขวางขนานกบแกน yโฟกสอยท (h, k ± c)จดยอดอยท (h, k ± a)เสนกากบ y = ± b

a (x - h) + k

3. ไฮเพอรโบลาทมเสนกากบตงฉากกน เรยกวา ไฮเพอรโบลามมฉาก


1. กาหนดใหเสนตรง x = y ตดวงร 91) (x 2- + 4

1) (y 2- = 1 ทจด A และ B ถา F1 และ F2 เปนจดโฟกสของวงรนแลว AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มคาเทากบเทาใด (ตอบ 12)

2. กาหนดใหพาราโบลารปหนงมสมการเปน y2 - 4y - 16x - 12 = 0 ถา l เปนเสนตรงทผานโฟกสของพาราโบลารปนและตงฉากกบเสนตรง 3x – 2y + 5 = 0 แลวระยะตดแกน y ของเสนตรง l มคาเทากบเทาใด(ตอบ 4)

3. ขอใดผด1) เสนตรง y = 3x + 2 ขนานกบเสนตรง 3x - y - 4 = 02) เสนตรง y + 5x + 8 = 0 ตงฉากกบเสนตรง 5y = x + 33) ระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง 3x + 4y – 10 = 0 เทากบ 2

*4) ระยะหางระหวางเสนตรง x - 2y + 5 = 0 กบเสนตรง x - 2y - 5 = 0 เทากบ 24. กาหนดใหวงกลม x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ตดแกน y ทจด 2 จด แตไมตดแกน x ขอความในขอใดเปนจรง

1) a2 > c และ b2 > c 2) a2 > c และ b2 < c *3) a2 < c และ b2 > c 4) a2 < c และ b2 < c

5. กาหนดให A เปนจดจดหนงบนไฮเพอรโบลา 91) (x 2- - 16

2) (y 2- = 1 ถาระยะหางระหวางจด A และจดโฟกสจดหนงของพาราโบลา คอ 3 หนวย แลวระยะหางระหวางจด A กบจดโฟกสอกจดหนงของไฮเพอรโบลามคาเทากบกหนวย (ตอบ 9)

22

ah) (x - - 2

2

bk) (y - = 1

22

ak) (y - - 2

2

bh) (x - = 1

คณตศาสตร (100) _______________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 20082008

6. กาหนดให P คอ พาราโบลา x2 + 8y + 2x + a = 0 โดยท a < 0 และมเสนตรง y = 4 เปนเสนไดเรกตรกซ ถา P ตดแกน x ทางลบทจด A แลวเสนตรงทผานจด A และจดยอดของ P มความชนเทากบเทาใด (ตอบ 0.5)

7. ให A เปนจดในควอดรนตทหนง และเปนจดศนยกลางของวงกลม C ซงมรศม 3 หนวย ถา C ผานจดโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลา 2y2 - 12y – 3x2 + 6x + 9 = 0 แลวระยะทางจากจดกาเนดไปยงจด A มคาเทากบเทาใด1) 15 *2) 18 3) 20 4) 24

8. กาหนดใหวงกลม C มจดศนยกลางอยทจดโฟกสของพาราโบลา y = 1 - 81 (x - 2)2 ถาเสนตรง

3x - 4y + 5 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม C แลวจดในขอใดอยบนวงกลม C1) (0, 1 + 5 ) 2) (1 - 2 2 , 0) *3) (-1, -1) 4) (2, -2)

9. ให H เปนไฮเพอรโบลา 12y2 - 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0 ซงมจดโฟกสคอ F1 และ F2 ให E เปนวงรซงมจดศนยกลางรวมกบ H โดยม F1 และ F2 เปนจดยอด และสมผสกบแกน y ถา E ตดแกน x ทจด Aและ B แลว AB ยาวเทากบขอใด1) 8 หนวย *2) 7 หนวย 3) 6 หนวย 4) 5 หนวย

10. ให E เปนวงรซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ บนวงร E ไปยงจด (-3, 2) และ (5, 2) เทากบ 12 หนวยถา A และ B เปนจดยอดของวงร E และวงร E ตดแกน y ทจด C และ D แลวพนทของรปสเหลยมABCD เทากบขอใด

*1) 10 5 ตารางหนวย 2) 20 5 ตารางหนวย3) 10 7 ตารางหนวย 4) 20 7 ตารางหนวย

11. กาหนดให a เปนจานวนจรงและ A(a, 1), B(-5, -4), C(1, -2) และ D(2, 3) เปนจดยอดของรปสเหลยมดานขนาน ABCD ถา l เปนเสนตรงทตงฉากกบ AC และผานจดกงกลางของดาน AC แลวสมการของเสนตรง l คอสมการในขอใด

*1) 5x - 3y + 6 = 0 2) 5x - 3y - 6 = 0 3) 5x + 3y + 9 = 0 4) 5x + 3y - 9 = 012. ถาไฮเพอรโบลา H มจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงร 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 จดยอดอย

ทจดโฟกสทงสองจดของวงรน และผานจด (5, 5) แลวจดโฟกสของไฮเพอรโบลา H คอจดในขอใด

1)

2 ,

117 1 - และ

+ 2 ,

117 1 2)

2 ,

118 1 - และ

+ 2 ,

118 1

3)

2 ,

119 1 - และ

+ 2 ,

119 1 *4)

2 ,

1110 1 - และ

+ 2 ,

1110 1

13. วงกลมวงหนงมจดศนยกลาง (h, k) อยบนเสนตรง 2x + 3y = 6 โดยท h, k เปนจานวนเตม ถาวงกลมนมเสนตรง 2x - y = 1 และเสนตรง 2x + y = -3 เปนเสนสมผสแลวความยาวรศมของวงกลมนอยในชวงใด1) [2, 4] 2) [4, 5] *3) [5, 6] 4) [6, 7]

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2008 _______________________________ คณตศาสตร (101)2008

14. กาหนดให F1 และ F2 เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา x2 + 6x - y2 - 14y - 41 = 0 ให P1(0, y1) และP2(0, y2) เปนจด 2 จดททาใหพนทของรปสามเหลยม P1F1F2 และพนทของรปสามเหลยม P2F1F2 ตางกเทากบ 2 2 ตารางหนวย แลว | 2

1y - 22y | มคาเทากบเทาใด

1) 28 *2) 56 3) 84 4) 12015. กาหนดให P เปนพาราโบลา y2 - 2y - 8x - 7 = 0 ซงม l เปนเสนไดเรกตรกซ สมการวงกลมซงม

จดศนยกลางอยทจดโฟกสของ P และม l เปนเสนสมผสคอขอใด1) x2 + y2 + 2x - 2y - 14 = 0 2) x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 03) x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 *4) x2 + y2 - 2x - 2y - 14 = 0

16. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงร 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0 ถาวงกลมนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1, 3) และ (5, 0) แลวรศมของวงกลมนเทากบเทาใด

*1) 3/5 2) 4/5 3) 7/8 4) 9/1317. กาหนด H เปนไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 16x2 – 9y2 – 144 = 0 ถาจด A(6,k) เมอ k > 0 เปนจดอยบน

เสนกากบของ H และ F1, F2 เปนโฟกสของ H แลวพนทของรปสามเหลยม AF1F2 เทากบเทาใด1) 17/2 ตารางหนวย 2) 45/2 ตารางหนวย 3) 30 ตารางหนวย *4) 40 ตารางหนวย

18. ถา k, m และ n เปนจานวนจรงททาใหวงร kx2 + my2 - 72x - 24y + n = 0 มจดศนยกลางอยทจด (4, 3) และสมผสแกน y แลวขอใดตอไปน ผด1) ความยาวแกนเอกเทากบ 12 หนวย2) ความยาวแกนโทเทากบ 8 หนวย3) ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 54 หนวย

*4) จด (2, 6) อยบนวงร19. วงกลม C มจดศนยกลางอยทจดกาเนดและผานจดโฟกสของพาราโบลา (x – 2)2 = 8y โดยเสนไดเรกตรกซ

ของพาราโบลาตดวงกลม C ทจด P และจด Q ถาจด R อยบนพาราโบลาและอยหางจากจดโฟกสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลยม PQR มพนทเทาใด

*1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนวย 4) 12 หนวย20. ถาเสนกากบของไฮเพอรโบลา 16x2 – 9y2 + 32x + 36y = 164 ตดแกน x ทจด x1 และ x2 แลวระยะ

ระหวาง x1 และ x2 เทากบเทาใด (ตอบ 3 หนวย)



1. เฉลย 12ผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ บนวงรถงจดโฟกสทงสองเทากบ 2a (ความยาวแกนเอก)

วงร 22

31) (x - + 2

2

21) (y - = 1 ม a = 3

ดงนน (AF1 + AF2) + (BF1 + BF2) = 2a + 2a = 4a = 122. เฉลย 4

หาจดโฟกสของ y2 - 4y - 16x - 12 = 0y2 - 4y + 4 = 16(x + 1)

(y - 2)2 = 4(4)(x + 1) , (h, k) = (-1, 2) , p = 4พาราโบลาเปดดานขวา จดโฟกส = (3, 2)หาความชนของ lเสนตรง 3x - 2y + 5 = 0 มความชน m = 2

3

เสนตรง l มความชน - 32

หาสมการและระยะตดแกน y ของ ly - 2 = - 3

2 (x - 3)

y = - 32 x + 4

ระยะตดแกน y เทากบ 4

3. เฉลย 4) d = 22 2)( 1

|5)( 5|-

--+

= 5

10 ≠ 2

1) y = 3x + 2 มความชนเทากบ 33x - y - 4 = 0 (y = 3x - 4) มความชนเทากบ 3y = 3x + 2 ขนานกบ 3x - y - 4 = 0

2) y + 5x + 8 = 0 (y = -5x - 8) มความชนเทากบ –55y = x + 3

+= 53 x 5

1 y มความชนเทากบ 51

y + 5x + 8 = 0 ตงฉากกบ 5y = x + 3

3) d = 22 4 3

|10 4(0) 3(0)|+

+ - = 2


4. เฉลย 3) วงกลมตดแกน y สองจดทจดตดแกน y, x = 0 ตองไดคา y สองคา

y2 + 2by + c = 0

y = 2(1) 4(1)c (2b) 2b 2 -- ±

สมการม 2 คาตอบ เมอ 4b2 - 4c > 0 หรอ b2 > cวงกลมไมตดแกน x :สมการ x2 + 2ax + c = 0 ไมมคาตอบ ซงเกดขนเมอ 4a2 - 4c < 0 หรอ a2 < c

5. เฉลย 9ให F1 และ F2 แทนจดโฟกสของไฮเพอรโบลาจะได |AF1 - AF2| = 2a (a = ความยาวแกนตามขวาง)

ไฮเพอรโบลา 91) (x 2-

- 162) (y 2- = 1 ม a = 3

ให AF1 = 3จะได |3 - AF2| = 6 (AF2 > 0)ดงนน AF2 = 9

8. เฉลย 3) หาจดโฟกสของพาราโบลา (จดศนยกลางของวงกลม)y = 1 - 8

1 (x - 2)2

4(-2)(y - 1) = (x - 2)2 ; (h, k) = (2, 1) ; p = -2พาราโบลาเปดดานลาง จดโฟกส = (2, -1)จดศนยกลางวงกลม = (2, -1)หารศมของวงกลม

รศม =22 4)( 3

|51)4(3(2)|-

--+

+ = 515 = 3

สงเกตวา จด (-1, -1) อยหางจากจดศนยกลาง (2, -1) 3 หนวยดงนน จดทอยบนวงกลม C คอ (-1, -1)


ตรรกศาสตร

1. ประพจนและคาความจรงประพจน คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมคาความจรงเปนจรง หรอเปนเทจ อยางใดอยางหนงเทานน

โดยทวไปจะแทนประพจนดวยตวอกษร p, q, r, s, ... และแทนคาความจรง “จรง” และ “เทจ” ดวย T และ Fตามลาดบ

2. การเชอมประพจนและนเสธของประพจน1. การรวมประพจน อาจใชตวเชอม “และ” “หรอ” “ถา ... แลว ...” และ “กตอเมอ” ประพจนทได

เรยกวาประพจนประกอบ ประพจนเรมตนทนามาเชอมกน เรยกวา ประพจนยอย คาความจรงของประพจนประกอบเปนไปตามขอตกลงตอไปน

ประพจนประกอบ สญลกษณ คาความจรงp และ q p ∧ q p ∧ q เปนจรงเมอ p และ q เปนจรงทงคเทานนp หรอ q p ∨ q p ∨ q เปนเทจเมอ p และ q เปนเทจทงคเทานน

ถา p แลว q p ⇒ q p ⇒ q เปนเทจเมอ p เปนจรง และ q เปนเทจเทานนp กตอเมอ q p ⇔ q p ⇔ q เปนเทจเมอ p และ q มคาความจรงตางกน

ตามขอตกลงขางบนน สามารถเขยนตารางคาความจรงของประพจนประกอบได ดงน

p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ qTTFF

TFTF

TFFF

TTT

F

TFTT

TFFT

เครองหมาย แสดงกรณทใชชวยจา ตวอยางเชน จาวา p และ q เปนจรง เมอ p และ q เปนจรงทงคเพยงกรณเดยว

2. สาหรบประพจนประกอบ p ⇒ q เปนประโยคเงอนไข เรยก p วาเหต และเรยก q วาผล ประโยคเงอนไขตอไปนมความหมายเหมอนกน

“ถา p แลว q” “q ถา p” “เพราะวา p ดงนน q” “จาก p จะได q”3. นเสธของประพจน p ใดๆ คอ ประโยคปฏเสธของประพจนนน เขยนแทนดวย ∼p และมคาความจรง

ตรงขามกบ p


3. รปแบบประพจนทสมมลกน1. รปแบบของประพจน 2 รปแบบใดๆ ทมคาความจรงเหมอนกนกรณตอกรณ กลาววาเปนรปแบบท

สมมลกน และสามารถใชแทนกนได ใชสญลกษณ ≡ แทนการสมมลกน2. รปแบบประพจนทสมมลกนทควรทราบ ไดแก

1. ∼(∼p) ≡ p2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (กฎการเปลยนกลม)3. (p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) ∨ r (กฎการเปลยนกลม)4. (p ⇒ q) ≡ (∼p ∨ q) ≡ (∼q ⇒ ∼p)5. (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)6. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q (กฎของเดอ มอรกอง)7. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q (กฎของเดอ มอรกอง)8. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q9. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (กฎการแจกแจง)10. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (กฎการแจกแจง)

ขอสงเกต 1. กาหนดประโยคเงอนไข p ⇒ qเรยก q ⇒ p วาบทกลบของ p ⇒ qเรยก ∼p ⇒ ∼q วาบทผกผนของ p ⇒ qเรยก ∼q ⇒ ∼p วาบทแยงสลบทของ p ⇒ q

2. p ⇒ q ไมสมมลกบ q ⇒ pp ⇒ q ไมสมมลกบ ∼p ⇒ ∼qp ⇒ q สมมลกบ ∼q ⇒ ∼p

4. สจนรนดร1. รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณเรยกวาสจนรนดร เชน p ∨ ∼p เปนสจนรนดร

เพราะมคาความจรงเปนจรงทกกรณ

p ∼p p ∨ ∼pTF

FT

TT

2. การตรวจสอบวารปแบบประพจนทกาหนดใหเปนสจนรนดรหรอไม นอกจากจะพจารณาคาความจรงทกๆ กรณ โดยใชตารางคาความจรงแลวอาจพจารณาวาประพจนในรปแบบทกาหนดสามารถเปนเทจไดหรอไมถาเปนเทจไมไดเลยกตองเปนจรงเสมอ นนคอเปนสจนรนดร


ตวอยางท 1 ให p และ q เปนประพจน จงพจารณาวา [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ r เปนสจนรนดรหรอไมวธทา สมมตวา [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ p เปนเทจ

จะไดวา (p ⇒ q) ∧ q เปนจรง ...(1)p เปนเทจ ...(2)

จาก (1) จะได p ⇒ q เปนจรง ...(3)q เปนจรง ...(4)

จาก (2) และ (3) จะเหนไดวาประพจนทกาหนดใหเปนเทจไดในกรณท p เปนเทจและ q เปนจรงดงนนประพจนทกาหนดใหไมเปนสจนรนดรตวอยางท 2 ให p และ q เปนประพจน จงพจารณาวา [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q เปนสจนรนดรหรอไมวธทา สมมตวา [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q เปนเทจ

จะไดวา (p ⇒ q) ∧ p เปนจรง ...(1)q เปนเทจ ...(2)

จาก (1) จะได p ⇒ q เปนจรง ...(3)p เปนจรง ...(4)

จาก (3) และ (4) จะไดวา q ตองเปนจรง ซงขดแยงกบ (2) แสดงวาทสมมตวา[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ qเปนเทจนนเปนไปไมได ตองเปนจรงเสมอ ดงนน [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q เปนสจนรนดร

คาอธบายขางบนนอาจเขยนเปนแผนภาพได ดงน

T

TTT

T

FF

ขดแยงกน

qpq)(p ][ ⇒∧⇒

5. กฎของตรรกศาสตรสจนรนดรตอไปนเปนกฎของตรรกศาสตรทใชในการอางเหตผล1. กฎนเสธซอน ∼(∼p) ≡ p กฎขอนบอกวาใช p แทน ∼(∼p) ได2. กฎไมมความเปนกลาง p ∨ ∼p กฎขอนบอกวาไม p ก ∼p ตองเปนจรง3. การอางเหตผลโดยตรง [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q กฎขอนใชเปนรปแบบของการอางเหตผลโดยตรง

กลาวคอ ถาทราบวา p ⇒ q เปนจรงและทราบหรอแสดงไดวา p เปนจรงแลวสามารถสรปไดวา q เปนจรง4. การอางเหตผลโดยออม [(p ⇒ q) ∧ ∼q] ⇒ ∼p กฎขอนใชเปนรปแบบของการอางเหตผลโดยออม

กลาวคอ ถาทราบวา p ⇒ q เปนจรง และทราบหรอแสดงไดวา q เปนเทจ (∼q เปนจรง) แลวสามารถสรปไดวา p เปนเทจ (∼p เปนจรง)

5. กฎการถายทอด [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) กฎขอนบอกวา ถาทราบวา p ⇒ q เปนจรงและทราบหรอแสดงไดอกวา q ⇒ r เปนจรง แลวสามารถสรปไดวา p ⇒ r เปนจรง

6. กฎแยงสลบท (p ⇒ q) ≡ (∼q ⇒ ∼p) กฎขอนบอกวาใช ∼q ⇒ ∼p แทน p ⇒ q ได7. ตรรกบทแบบคดออก [(p ∨ q) ∧ ∼p] ⇒ q กฎขอนบอกวา ถาทราบวา p ∨ q เปนจรง และ

ทราบหรอแสดงไดวา p เปนเทจ (∼p เปนจรง) แลวสามารถสรปไดวา q เปนจรง


6. ประโยคเปดประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปรและไมเปนประพจน แตเมอแทนตวแปรดวย

สมาชกในเอกภพสมพทธหรอเตมตวบงปรมาณแลวไดประพจน เชนx2 < 3 เปนประโยคเปด เพราะไมสามารถระบคาความจรงใหชดเจนวาเปนจรงหรอเปนเทจ22 < 3 เปนประพจนทเกดจากการแทนตวแปรในประโยคเปดขางบนดวย 2ม x ∈ R ซง x2 < 3 เปนประพจนทเกดจากการเตมตวบงปรมาณ “ม x ∈ R”

7. ประพจนทมตวบงปรมาณ1. ให x เปนตวแปรในประโยคเปด P(x) และ U เปนเอกภพสมพทธ การบงบอกวามสมาชกใน U ท

สอดคลองกบ P(x) กตว กระทาไดโดยใชตวบงปรมาณตวใดตวหนงตอไปน

ตวบงปรมาณ สญลกษณ วตถประสงคสาหรบ x ทกตวสาหรบ x บางตว

∀x∃x

เพอบงบอกวาสมาชกทกตว ใน U สอดคลองกบ P(x)เพอบงบอกวามสมาชกอยางนอย 1 ตว ใน U ทสอดคลองกบ P(x)

2. ประโยคทมตวบงปรมาณมสวนประกอบ 3 สวน คอ ประโยคเปด ตวบงปรมาณ ∀ หรอ ∃ และเอกภพสมพทธ U รปแบบของประโยคทมตวบงปรมาณของตวแปรตวเดยวม 2 แบบ และกาหนดคาความจรงดงน

รปแบบประโยคทมตวบงปรมาณ คาความจรง∀x ∈ U[P(x)] เปนจรงกตอเมอแทนตวแปร x ในประโยคเปด P(x) ดวยสมาชก

แตละตวใน U แลวไดประพจนทเปนจรงเสมอเปนเทจกตอเมอมสมาชกอยางนอย 1 ตวใน U ซงเมอแทนตวแปร x ในประโยคเปด P(x) แลวไดประพจนทเปนเทจ

∃x ∈ U[P(x)] เปนจรงกตอเมอมสมาชกอยางนอย 1 ตวใน U ซงเมอแทนตวแปร x ในประโยคเปด P(x) แลวไดประพจนทเปนจรงเปนเทจกตอเมอแทนตวแปร x ในประโยคเปด P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน U แลวไดประพจนทเปนเทจเสมอ

3. ประโยคทมตวบงปรมาณของตวแปร 2 ตว ม 4 แบบ และกาหนดคาความจรง ดงน

รปแบบประโยคทมตวบงปรมาณ คาความจรง∀x∀y[P(x, y)] เปนจรงกตอเมอแทนตวแปร x และ y ในประโยคเปด P(x, y)

ดวยสมาชกใดๆ ในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทเปนจรงเสมอเปนเทจกตอเมอมสมาชกในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ค เชนa และ b ซงเมอแทนตวแปร x และ y ตามลาดบ จะไดประพจนP(a, b) ทเปนเทจ


รปแบบประโยคทมตวบงปรมาณ คาความจรง∀x∃y[P(x, y)] เปนจรงกตอเมอ สาหรบทกสมาชกของเอกภพสมพทธทใชแทน x

ในประโยคเปด จะมสมาชกของเอกภพสมพทธซงแทน y แลวไดประพจนทเปนจรงเปนเทจกตอเมอมสมาชกในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ตวทใชแทน x ในประโยคเปดแลว ไมวาจะใชสมาชกตวใดในเอกภพสมพทธแทน y จะไดประพจนทเปนเทจเสมอ

∃x∀y[P(x, y)] เปนจรงกตอเมอมสมาชกในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ตวทใชแทน x ในประโยคเปดแลว ไมวาจะใชสมาชกตวใดในเอกภพสมพทธแทน y จะไดประพจนทเปนจรงเสมอเปนเทจกตอเมอ สาหรบสมาชกแตละตวในเอกภพสมพทธทใชแทน x ในประโยคเปดจะมสมาชกในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ตวทใชแทน y แลวไดประพจนทเปนเทจ

∃x∃y[P(x, y)] เปนจรงกตอเมอมสมาชกในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ค ทใชแทน x และ y ในประโยคเปด แลวไดประพจนทเปนจรงเปนเทจกตอเมอสมาชกแตละคในเอกภพสมพทธเมอใชแทน x และy ในประโยคเปดแลวไดประพจนทเปนเทจเสมอ

4. นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ1. ∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] [เปลยน ∀ เปน ∃, เปลยน P(x) เปน ∼P(x)]2. ∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] [เปลยน ∃ เปน ∀, เปลยน P(x) เปน ∼P(x)]3. ∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)]4. ∼∀x∃y[P(x, y)] ≡ ∃x∀y[∼P(x, y)]5. ∼∃x∀y[P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)]6. ∼∃x∃y[P(x, y)] ≡ ∀x∀y[∼P(x, y)]

8. การอางเหตผลการอางเหตผล คอ การอางวาถาขอความชดหนง คอ p1, p2, ... , pn เปนจรงทกขอความแลวสามารถ

สรปวาขอความ c เปนจรงไดหรอไม นนคอ (p1 ∧ p2 ∧ ... ∧ pn) ⇒ c เปนสจนรนดรหรอไม ถาเปนจะกลาววาการอางเหตผลนนสมเหตสมผล ถาไมเปนจะกลาววาการอางเหตผลนนไมสมเหตสมผล

การตดสนวาการอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผลหรอไม อาจใชกฎของตรรกศาสตรในขอ 5ตวอยางท 1 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. p ⇒ q2. q

ผล p


วธทา พจารณาวา [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ p เปนสจนรนดรหรอไมสมมตวา [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ p เปนเทจจะไดวา (p ⇒ q) ∧ q เปนจรง ...(1)

p เปนเทจ ...(2)จาก (1) จะได p ⇒ q เปนจรง ...(3)

q เปนจรง ...(4)จะเหนไดวา [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ p เปนเทจได เมอ p เปนเทจ และ q เปนจรงเนองจาก [(p ⇒ q) ∧ q] ⇒ p ไมเปนสจนรนดร ดงนนการอางเหตผลทกาหนดใหไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 2 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไมเหต 1. p ⇒ q

2. q ⇒ s3. ∼s

ผล ∼p ∨ sวธทา พจารณาวา [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) ∧ ∼s] ⇒ (∼p ∨ s) เปนสจนรนดรหรอไม

สมมตวา [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) ∧ ∼s] ⇒ (∼p ∨ s) เปนเทจจะไดวา (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) ∧ ∼s เปนจรง ...(1)

∼p ∨ s เปนเทจ ...(2)จาก (1) จะได (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) เปนจรง ...(3)

∼s เปนจรง ...(4)จาก (3) จะได p ⇒ s เปนจรง ...(5) [กฎการถายทอด]จาก (4) และ (5) จะได ∼p เปนจรง ...(6) [การอางเหตผลโดยออม]จาก (6) จะได ∼p ∨ s เปนจรง ...(7)(2) และ (7) ขดแยงกน แสดงวา [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) ∧ ∼s] ⇒ (∼p ∨ s) เปนเทจไมไดนนคอ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s) ∧ ∼s] ⇒ (∼p ∨ s) ตองเปนจรงเสมอและเปนสจนรนดรดงนน การอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผล



1. ให p, q, r, s เปนประพจน ถา [(p ⇒ ∼q) ∨ r] ∧ (q ∨ s) มคาความจรงเปนจรง และ (p ∧ s) ⇒ rมคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดมคาความจรงเปนเทจ

*1) p ⇒ q 2) q ⇒ r 3) r ⇒ s 4) s ⇒ p2. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาเอกภพสทพทธ คอ เซตของจานวนเตมแลวขอความ ∃m∃n[5m + 7n = 1] มคาความจรงเปนจรงข. นเสธของขอความ ∀x∃y[(x2 - 2x ≥ y - 2) ∧ (y ≥ sin x)] คอ

∃x∀y[(x2 - 2x < y - 2) ∨ (y < sin x)]ขอใดถก

*1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด3. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาประพจน [p ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ แลว (p ∧ q) ⇒ s มคาความจรงเปนเทจ

ข. นเสธของขอความ ∀x∃y[(x > y) ∧ (x2 < y)] คอ ∃x∀y[(x > y) ⇒ (y ≤ x2)]ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด *3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

4. กาหนดเอกภพสมพทธคอชวงเปด (-2, 2) พจารณาขอความตอไปนก. ประพจน ∀x[|x + x2| ≤ |x| + x2 และ x ≤ x2] มคาความจรงเปนจรงข. ประพจน ∃x[x2 - x - 6 ≥ 0] มคาความจรงเปนจรง

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก *4) ก. และ ข. ผด

5. กาหนดใหประพจน (∼p ⇔ ∼r) ∨ (p ⇔ q)) มคาความจรงเปนเทจประพจนในขอใดมคาความจรงเปนเทจ1) ∼p ⇒ (q ∨ r) 2) ∼p ⇒ (q ∧ r) 3) (p ∨ q) ∨ ∼r *4) (p ∧ q) ∧ ∼r

6. พจารณาขอความตอไปนก. ประพจน [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ [q ⇒ (p ⇒ r)] เปนสจนรนดรข. มจานวนจรง a อยในชวง

41 0, ทาใหประโยค ∃x[x2 + x + a = 0] มคาความจรงเปนจรง เมอ

เอกภพสมพทธ คอ U =

0 ,2

1-

ขอใดถก *1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


7. พจารณาการอางเหตผลตอไปนก. เหต 1. p ∧ q ข. เหต 1. P(x) ⇒ ∼Q(x)

2. (q ∨ r) ⇒ (s ∧ p) 2. Q(x) ∨ R(x)3. p ⇒ ∼r ผล P(x) ⇒ R(x)

ผล s ∧ ∼rขอใดถก

*1) ก. และ ข. สมเหตสมผลทงค 2) ก. สมเหตสมผล แต ข. ไมสมเหตสมผล3) ก. ไมสมเหตสมผล แต ข. สมเหตสมผล 4) ก. และ ข. ไมสมเหตสมผลทงค

8. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนในการอางเหตผล ถาเหต คอ1. (p ∨ q) ⇒ r ∧ s และ 2. r ⇒ ∼s

แลวขอใดเปนผลททาใหการอางเหตผลมความสมเหตสมผล1) p 2) q *3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q

9. ให p, q และ r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปนก. ถา [(p ∧ ∼r) ∧ q] ⇒ ∼(p ∧ q) เปนเทจแลว (p ∨ q) ⇒ r เปนจรงข. ถา q ∨ ∼r เปนเทจแลว [p ∨ (q ⇒ r)] ⇒ ∼q เปนเทจ


10. กาหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยท ∀x[P(x)] ⇒ ∃x [∼Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ เมอเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนจรง ขอใดมคาความจรงเปนจรง

*1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼P(x) ∨ ∼Q(x)]3) ∀x[P(x) ⇒ ∼Q(x)] 4) ∀x[P(x) ⇒ Q(x)]

11. กาหนดให เอกภพสมพทธคอ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอความใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x]

*3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y]12. ให p, q, r เปนประพจน ถาประพจน p ⇒ (q ∨ r) มคาความจรงเปนจรง และ p ∨ (q ∧ r) มคาความจรง

เปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ1) ∼q ∨ (p ⇒ r) 2) ∼p ⇒ (∼p ∨ q)

*3) (q ∨ r) ⇒ ∼p ∨ (q ∧ r) 4) [(∼q) ∨ (∼r)] ⇒ [p ∧ (q ∨ r)]13. พจารณาขอความตอไปน

ก. ใหเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนเฉพาะบวกขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มคาความจรงเปนจรง

ข. นเสธของขอความ ∀x[P(x) ⇒ [Q(x) ∨ R(x)]] คอ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)]ขอความใดตอไปนถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด *3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด


14. กาหนดเหตใหดงนก. เอกภพสมพทธไมเปนเซตวาง ข. ∀x[P(x) ⇒ Q(x)]ค. ∀x[Q(x) ∨ R(x)] ง. ∃x[∼R(x)]

ขอความในขอใดตอไปนเปนผลททาใหการอางเหตผลสมเหตสมผล1) ∃x[P(x)] *2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] 4) ∀x[Q(x)]


1. เฉลย 1) เราหาคาความจรงของประพจนยอย p, q, r, s จากเงอนไข [(p ⇒ ∼q) ∨ r] ∧ (q ∨ s) มคาความจรงเปนจรง และ (p ∧ s) ⇒ r มคาความจรงเปนเทจกอน

จากเงอนไข (p ∧ s) ⇒ r ทมคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p ∧ s เปนจรง และ r เปนเทจดงนน p เปนจรง s เปนจรง และ r เปนเทจจากเงอนไข [(p ⇒ ∼q) ∨ r] ∧ (q ∨ s) ทมคาความจรงเปนจรง จะไดวา(p ⇒ ∼q) ∨ r และ q ∨ s ตองเปนจรงทงคแต (p ⇒ ∼q) ∨ r จะเปนจรง โดยท p เปนจรง และ r เปนเทจ ไดเมอ q เปนเทจเทานนดงนน p เปนจรง q เปนเทจ s เปนจรง และ r เปนเทจ ทาให p ⇒ q เปนเทจเพยงประพจนเดยว

2. เฉลย 1) เมอพจารณาขอความทกาหนด จะไดวาก. ถก เนองจาก 5 และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ ดงนน มจานวนเตม m และ n ซง 5m + 7n = 1

นนคอ ∃m∃n[5m + 7n = 1] มคาความจรงเปนจรง เมอเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนเตมข. ถก เนองจาก ∼∀x∃y[(x2 - 2x ≥ y - 2) ∧ (y ≥ sin x)]

สมมลกบ ∃x∀y[(x2 - 2x < y - 2) ∨ (y < sin x)]4. เฉลย 4) เมอพจารณาขอความทกาหนด จะไดวา

ก. ผด หาเซตคาตอบของ |x + x2| ≤ |x| + x2 และ x ≤ x2

เนองจาก x ≤ x2 เมอ x ≥ 1และ |x + x2| ≤ |x| + x2 เปนจรงเสมอ เมอ x ≥ 1ดงนน เซตคาตอบ คอ [1, ∞) และจะได ∀x[|x + x2| ≤ |x| + x2 และ x ≤ x2] เปนจรงเมอเอกภพสมพทธเปนสบเซตของ [1, ∞)

ข. ผด หาเซตคาตอบของ x2 - x - 6 ≥ 0(x - 3)(x + 2) ≥ 0

x ≤ -2 หรอ x ≥ 3เซตคาตอบคอ (-∞, -2]U [3, ∞)ดงนน ∃x[x2 - x - 6 ≥ 0] เปนเทจ เมอเอกภพสมพทธคอ (-2, 2)


7. เฉลย 1) พจารณาขอความทกาหนดก. ถาเหตทง 3 ขอเปนจรง แลว ผล s ∧ ∼r เปนเทจไดหรอไม ถาได การอางเหตผล ไมสมเหต

สมผล ถาไมได การอางเหตผลสมเหตสมผลถาเหตขอ 1. p ∧ q เปนจรง แลว p และ q เปนจรงทงค

2. (q ∨ r) ⇒ (s ∧ p) เปนจรงดวย แลว s ตองเปนจรง (เพราะวา q เปนจรงทาให q ∨ r เปนจรง ดงนน s ∧ p ตองเปนจรง นนคอ s ตองเปนจรง)

3. p ⇒ ∼r เปนจรงดวย แลว r ตองเปนเทจ (เพราะวา p เปนจรง)จะเหนไดวา ถาเหตทง 3 ขอเปนจรง แลว s ∧ ∼r ตองเปนจรงเทานนดงนน การอางเหตผลในขอ ก. สมเหตสมผล

ข. พจารณาความสมเหตสมผลของการอางเหตผลเปน 2 กรณกรณท 1 Q(x) เปนจรง

ถาเหตขอ 1. P(x) ⇒ ∼Q(x) เปนจรงโดยท Q(x) เปนจรง แลว P(x) ตองเปนเทจ ทาใหผล P(x) ⇒ R(x) ตองเปนจรงเทานน

กรณท 2 Q(x) เปนเทจถาเหตขอ 2. Q(x) ∨ R(x) จะเปนจรงได ถา R(x) เปนจรงเทานน ทาใหผล P(x) ⇒ R(x)

เปนจรงเทานนดงนน การอางเหตผลในขอ ข. สมเหตสมผล


เมตรกซและดเทอรมแนนต

1. เมตรกซและการเทากน1. เมตรกซ ประกอบดวยจานวนจรง (หรอจานวนเชงซอนหรอฟงกชน) ชดหนงเขยนเรยงกนเปนแถว

(แนวนอน) และคอลมน (แนวตง) อยภายในวงเลบ ( ) หรอ [ ] เมตรกซทม m แถว และ n คอลมน เรยกวาเมตรกซมต m × n หรอ m × n เมตรกซ เมตรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนคอลมน เรยกวา เมตรกซจตรส จานวนหรอฟงกชนทบรรจอยในเมตรกซ เรยกวา สมาชก หรอ สวนประกอบของเมตรกซ

เมตรกซ A มต m × n ซงมสมาชกในแถวท i และคอลมนท j เปน aij อาจเขยนในรปแบบทวไปดงน

mnm2m1

2n22211n1211

a ... a a

a ... a aa ... a a

MMM

หรอเขยนแบบกะทดรดเปน A = [aij]m×n

2. การเทากนของเมตรกซ เมตรกซ A และ B เทากนกตอเมอ A และ B มมตเดยวกน และสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนมคาเทากน

3. เมตรกซศนย คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวเปน 0 เขยนแทนดวย 0 เชน 02×3 =

0 0 00 0 0

4. เมตรกซเอกลกษณ คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกในแนวทแยงมมหลก (บนซายไปลางขวา) เปน 1

นอกนนเปน 0 เขยนแทนดวย I เชน I3×3 =

1 0 00 1 00 0 1

2. การบวกและการลบเมตรกซ1. เมตรกซ A และ B บวกกนได ถา A และ B มมตเดยวกน ผลบวกของ A และ B เขยนแทนดวย

A + B คอ เมตรกซทไดจากการบวกสมาชกของ A และ B ทอยในตาแหนงเดยวกน2. นเสธของเมตรกซ A เขยนแทนดวย -A คอ เมตรกซทมสมาชกเปนจานวนตรงขามกบสมาชกของ A

ทอยในตาแหนงเดยวกน นเสธของ A เรยกอกอยางหนงวาอนเวอรสการบวกของ A3. เมตรกซ A และ B ลบกนได ถา A และ B มมตเดยวกน และ A - B = A + (-B) ดงนน A - B

หาไดจากการลบสมาชกของ A ดวยสมาชกของ B ทอยในตาแหนงเดยวกน


4. การบวกเมตรกซมสมบตหลายอยางคลายกบการบวกจานวนจรงให A, B, C เปนเมตรกซมตเดยวกน1. A + B = B + A สมบตการสลบท2. (A + B) + C = A + (B + C) สมบตการเปลยนกลม3. A + 0 = A = 0 + A สมบตของเมตรกซศนย4. A + (-A) = 0 = (-A) + A สมบตของอนเวอรสการบวก5. ถา A = B แลว A + C = B + C สมบตการบวกและการลบ

และ A - C = B – C6. ถา A + C = B + C แลว A = B สมบตการตดออกของการบวก

3. การคณแบบสเกลาร1. ผลคณของจานวน k กบเมตรกซ A เขยนแทนดวย kA หรอ Ak คอ เมตรกซทไดจากการคณสมาชก

แตละตวของ A ดวย k เรยกจานวน k นวาสเกลาร และเรยกการคณแบบนวา การคณแบบสเกลาร2. การคณแบบสเกลารมสมบตตอไปน

ให A และ B เปนเมตรกซมตเดยวกน k และ m เปนจานวนจรง (สเกลาร) จะไดวา1. k(mA) = (km)A2. (k + m)A = kA + mA3. k(A + B) = kA + kB4. ถา A = B แลว kA = kB

4. การคณเมตรกซ1. สาหรบการคณเมตรกซ A และ B จะมผลคณ AB กตอเมอจานวนคอลมนของ A เทากบจานวนแถว

ของ B และ AB จะมมตเทากบ (จานวนแถวของ A) × (จานวนคอลมนของ B) นนคอAm×p Bp×n = Cm×n

ถา AB = C แลวสมาชกในแถวท i และคอลมนท j ของ C คอ cij เทากบผลคณของแถวท i ของ Aกบคอลมนท j ของ B โดยมวธคณ ดงน

cij = [ai1 ai2 ... aip]

pj

2j1j

b

bb

M

= a i1 b1i + ai2 b2j + ... + aip bpj


เชน ถา A =

0 0 20 1 1 -

และ B =

1 20 10 1

จะได AB เปนเมตรกซมต 2 × 2

AB =

100

0] 0 [2 211

0] 0 [2

100

0] 1 [1 211

0] 1 [1

--

=

0 20 0

2. การคณเมตรกซมสมบต ดงนถา A, B และ C เปนเมตรกซทบวกกนไดและคณกนได และ k เปน สเกลาร จะไดวา1. (AB)C = A(BC) สมบตการเปลยนกลม2. A(B + C) = AB + AC สมบตการแจกแจง

(B + C)A = BA + CAA(B - C) = AB - AC(B - C)A = BA - CA

3. ถา A = B แลว CA = CB และ AC = BC สมบตการคณของการเทากน4. k(AB) = (kA)B = A(kB)5. Im×m Am×n = Am×n สมบตของเมตรกซเอกลกษณ

Am×n In×n = Am×nขอควรระวง การคณเมตรกซไมมสมบตบางอยางทมในระบบจานวน

1. การคณเมตรกซไมมสมบตการสลบท (AB และ BA อาจไมเทากน)2. การคณเมตรกซไมมสมบตการตดออก (ถา AC = BC หรอ CA = CB แลว A และ B อาจไมเทากน)3. การคณเมตรกซไมมสมบตของตวประกอบศนย (ถา AB = 0 แลวไมจาเปนท A หรอ B จะตองเปน 0)


5. ทรานสโพสของเมตรกซ1. ทรานสโพสของเมตรกซ A มต m × n เขยนแทนดวย At คอเมตรกซมต n × m ทไดจากการ

เปลยนแถวท i ของ A เปนคอลมนท i ของ At หรอเปลยนคอลมนท j ของ A เปนแถวท j ของ At เชน

ถา A =

2423222114131211

a a a aa a a a

แลวจะได At =

2414231322122111

a aa aa aa a

2. ทรานสโพสของเมตรกซมสมบตตอไปน1. (At)t = A2. (A + B)t = At + Bt และ (A - B)t = At - Bt

3. (AB)t = BtAt ควรระวงวา (AB)t ≠ AtBt

4. (kA)t = kAt เมอ k เปนจานวนใดๆ

6. ดเทอรมแนนต1. ให A เปนเมตรกซจตรสมต n × n ใดๆ ดเทอรมแนนตของ A เขยนแทนดวย det(A) หรอ |A| ม

คาเปนจานวนๆ หนง ดเทอรมแนนตของเมตรกซมต 2 × 2 และ 3 × 3 มวธการหางายๆ ดงน

ถา A =

22211211

a aa a

แลว

|A| = 1221221122211211 a a a a a a

a a-=

เชน 27 15 12 6 35 2

=+=-

37 10 27 9 25 3 ---- ==

ถา A =

333231232221131211

a a aa a aa a a

แลว

|A| =333231232221131211

a a aa a aa a a

3231 a a

1211 a a2221 a a

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a31 a22 a13 - a32 a23 a11- a33 a21 a12

• คณทแยงลงไมตองเปลยนเครองหมาย• คณทแยงขนตองเปลยนเครองหมาย• นาผลคณทไดบวกกน

• เตมคอลมนท 1 และ 2 ตอทาย• คณทแยงลงไมตองเปลยนเครองหมาย• คณทแยงขนตองเปลยนเครองหมาย• นาผลคณทไดบวกกน


2. สาหรบดเทอรมแนนตของเมตรกซมต n × n เมอ n > 3 ไมสามารถหาโดยวธคณทแยงตองใชวธกระจายโคแฟกเตอร

1. ไมเนอรของ aij คอ ดเทอรมแนนต Mij ทเกดจากการตดแถวท i และคอลมนท j ของ det (A)

เชน ถา A =

9 8 76 5 43 2 1

จะได M11 = ไมเนอรของ a11 = det

9 8 76 5 43 2 1

= det

9 86 5 = (5)(9) - (8)(6) = -3

M12 = ไมเนอรของ a12 = det

9 8 76 5 43 2 1

= det

9 76 4 = (4)(9) - (7)(6) = -6

M23 = ไมเนอรของ a23 = det

9 8 76 5 43 2 1

= det

8 72 1 = (1)(8) - (7)(2) = -6

2. โคแฟกเตอรของ aij แทนดวย Aij คอ (-1)i+jMij เมอ Mij คอไมเนอรของ aij เชน ถา A คอเมตรกซในตวอยางขางบน จะได

A11 = โคแฟกเตอรของ a11 = (-1)1+1

9 86 5

A12 = โคแฟกเตอรของ a12 = (-1)1+2 9 76 4

A23 = โคแฟกเตอรของ a23 = (-1)2+3 8 72 1

3. รปกระจายของโคแฟกเตอร สาหรบเมตรกซ A มต n × n โดยใชแถวท i คอai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain

4. รปกระจายของโคแฟกเตอรสาหรบเมตรกซ A มต n × n โดยใชคอลมนท j คอa1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj

5. รปกระจายของโคแฟกเตอรสาหรบเมตรกซ A มต n × n มคาเทากนเสมอไมวาจะใชแถวใดหรอคอลมนใด

6. ดเทอรมแนนตของเมตรกซ A มต n × n ใดๆ มคาเทากบรปกระจายของโคแฟกเตอร สาหรบ A โดยใชแถวใดหรอคอลมนใดกได (ควรใชแถวหรอคอลมนทม 0 จานวนมากทสด จะชวยใหคานวณไดเรว)


ตวอยาง จงหา det (A) เมอ A =

1 1 0 34 1 0 13 0 0 10 1 2 1

-

-

วธทา ควรหา det (A) จากรปกระจายของโคแฟกเตอรของ A โดยใชคอลมนท 2 เพราะม 0 ถง 3 ตวdet (A) = (2)A12 + (0)A22 + (0)A32 + (0)A42

= 2(-1)1+21 1 34 1 13 0 1

-

แต 1 1 34 1 13 0 1

- 1 1 -0 1

1 37 049301)( =++++= --

ดงนน det (A) = 2(-7) = -14

7. สมบตของดเทอรมแนนตสมบตตอไปนของดเทอรมแนนตชวยใหสามารถหาดเทอรมแนนตไดเรวขน1. ถา A เปนเมตรกซสามเหลยมมต n × n แลวดเทอรมแนนตของ A เทากบผลคณของสมาชกในแนว

ทแยงมมหลก (a11, a22, ... , ann) นนคอdet (A) = a11 a22 ... annเมตรกซสามเหลยมมต n × n คอ เมตรกซมต n × n ซงสมาชกทกตวใตหรอเหนอแนวทแยงมมหลก

เปน 0 ทงหมด

เชน A =

5 0 04 1 03 2 1

- จะได det (A) = (1)(-1)(5) = -5

B =

8 6 3 7 0 1 5 30 0 4 0 0 0 0 2

-- จะได det (B) = (2)(4)(1)(8) = 64

2. ถา A เปนเมตรกซจตรสมต n × n ซงมแถวใดแถวหนงหรอคอลมนใดคอลมนหนงเปน 0 ทกตว แลวdet (A) = 0

3. ถา A และ B เปนเมตรกซจตรสมต n × n แลว det (AB) = det (A) ⋅ det (B)4. ถา A เปนเมตรกซจตรสมต n × n แลวดเทอรมแนนตของทรานสโพสของ A เทากบดเทอรมแนนต

ของ A นนคอ det (At) = det (A)


5. ให A เปนเมตรกซจตรสมต n × n และมแถวใดแถวหนงเทากบคาคงตวคณกบอกแถวหนง (หรอคอลมนหนงเทากบคาคงตวคณกบอกคอลมนหนง) แลว det (A) = 0 เชน

15 9 33 6 05 3 1

= 0 เพราะแถวท 3 เทากบ 3 คณแถวท 1

6. การสลบ 2 แถวใดๆ (หรอ 2 คอลมนใดๆ) ของดเทอรมแนนต (1 ครง) จะไดดเทอรมแนนตทมคาเปนจานวนตรงขาม เชน

6 43 1

-

= - 3 1 6 4

-(สลบแถวท 1 กบแถวท 2)

7. คณ (หรอหาร) แถวหนง (หรอคอลมนหนง) ของดเทอรมแนนตดวยคาคงตวทไมเทากบ 0 แลวนาผลทไดไปบวก (หรอลบ) กบอกแถวหนง (หรออกคอลมนหนง) จะไดดเทอรมแนนตทมคาเทาเดม เชน

4 102 5

=

0 02 5

(ใช 2 คณแถวท 1 แลวนาไปลบแถวท 2)

8. แยกตวประกอบ k ออกจากแถวท i (หรอคอลมนท j) แลวคณดเทอรมแนนตทไดดวย k จะมคาเทากบดเทอรมแนนตเดม เชน

9 45 2

= 2

9 25 1

(แยกตวประกอบ 2 จากคอลมนท 1)

9. ให A เปนเมตรกซจตรสมต n × n ใดๆ และ k เปนจานวนใดๆ แลว det (kA) = kn det (A)หมายเหต สมบตขอ 6-8 นอาจใชเปลยนรปดเทอรมแนนตทกาหนดใหเปนดเทอรมแนนตของเมตรกซ

สามเหลยมซงหาคาไดงาย

8. อนเวอรสการคณของเมตรกซ1. อนเวอรสการคณของเมตรกซจตรส A เขยนแทนดวย A-1 คอ เมตรกซจตรสมตเดยวกนกบ A ซงม

สมบต AA-1 = I = A-1Aเมตรกซจตรสไมไดมอนเวอรสการคณทกเมตรกซ เมตรกซจตรส A จะมอนเวอรสการคณกตอเมอ

det (A) ≠ 0 ถา det (A) = 0 แลว A ไมมอนเวอรสการคณเรยกวา เมตรกซเอกฐาน เมตรกซจตรสทมอนเวอรสการคณเรยกวา เมตรกซไมเอกฐาน

2. อนเวอรสการคณของเมตรกซจตรส A มต 2 × 2 ซง det (A) ≠ 0 มวธการหาดงน

= 2221

1211 a aa a A

= 1121

12221 a aa a

(A)det 1 A

---

2211 aและaงของสลบตาแหน

2112 aและaง องหมายขอเปลยนเคร


3. อนเวอรสการคณของเมตรกซจตรส A มต n × n ซง det (A) ≠ 0 มวธการหาดงน1. แทนสมาชก aij แตละตวของ A ดวยโคแฟกเตอร Aij จะไดโคแฟกเตอรเมตรกซของ A แทน

ดวย cof (A)2. หาทรานสโพสของโคแฟกเตอรเมตรกซของ A จะไดเมตรกซผกพนหรอแอดจอยทเมตรกซของ

A เขยนแทนดวย adj (A) นนคอadj (A) = [cof (A)]t

3. อนเวอรสการคณของ A เทากบ (A)det 1 คณกบเมตรกซผกพนของ A

A-1 = (A)det 1 adj (A)

ตวอยาง ให A =

3 0 00 1 01 2 1

จงหา A-1

วธทาขนท 1 หา det (A) เพอตรวจสอบวาม A-1 หรอไม

det (A) =

3 0 00 1 01 2 1

= (1)(1)(3) = 3 (ดเทอรมแนนตของเมตรกซสามเหลยม)

เนองจาก det (A) ≠ 0 ดงนน ม A-1

ขนท 2 หาโคแฟกเตอรเมตรกซและเมตรกซผกพนของ A

cof (A) =

333231232221131211

A A AA A AA A A

A11 = (-1)1+1

3 00 1

= 3, A12 = (-1)1+2

3 00 0

= 0, A13 = (-1)1+3

0 01 0

= 0,

A21 = (-1)2+1

3 01 2

= -6, A22 = (-1)2+2

3 01 1

= 3, A23 = (-1)2+3

0 02 1

= 0,

A31 = (-1)3+1

0 11 2

= -1, A32 = (-1)3+2

0 01 1

= 0, A33 = (-1)3+3

1 02 1

= 1

จะได adj (A) = [cof (A)]t = t

1 0 10 3 60 0 3

-- =

1 0 00 3 01 6 3

--

ขนท 3 หาอนเวอรสการคณของ A

A-1 = (A)det 1 adj (A) = 3

1

1 0 00 3 01 6 3

-- =

1/3 0 00 1 0

1/3 2 1

--


4. สมบตของอนเวอรสการคณ1. ถา A มอนเวอรสการคณแลว (A-1)-1 = A2. ถา A และ B มอนเวอรสการคณและมมตเดยวกน แลว AB มอนเวอรสการคณ

และจะได (AB)-1 = B-1A-1 สงเกตวา (AB)-1 ≠ A-1B-1 ในกรณทวไปถา A1, A2, ... , Am มอนเวอรสการคณและมมตเดยวกนแลว

(A1 A2 ... Am-1 Am)-1 = 1mA- 1

1mA-- ... 1

2A- 11A-

3. ถา A มอนเวอรสการคณและ AB = AC (หรอ BA = CA) แลว B = C (สงเกตวากฎการตดออกสาหรบการคณเมตรกซใชไดเฉพาะเมอตวประกอบรวมทจะตดออกเปนเมตรกซทมอนเวอรสการคณ)

4. (A-1)t = (At)-1

5. det (A-1) = (A)det 1

6. ถา A เปนเมตรกซจตรสมต n × n ทมอนเวอรสการคณแลว det (adj (A)) = [det (A)]n-1

9. การแกระบบสมการเชงเสน1. ระบบสมการเชงเสน เชน

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

เขยนในรปแบบสมการเมตรกซไดเปน AX = B เมอ

A =

333231232221131211

a a aa a aa a a

เรยกวา เมตรกซสมประสทธ

X =

321

xxx

เรยกวา เมตรกซตวแปร

B =

321

bbb

เรยกวา เมตรกซคาคงตว

เมอนาเมตรกซคาคงตวเตมเขาไปใน A ตอจากคอลมนสดทาย จะได

A|B =

333323122322211131211

ba a a ba a a ba a a

เรยกวา เมตรกซแตงเตม


2. การแกระบบสมการเชงเสน AX = B ในกรณท A เปนเมตรกซจตรส (จานวนตวแปรเทากบจานวนสมการ) อาจใชวธตอไปน

วธท 1 ใชกฎของคราเมอร (ใชดเทอรมแนนต)1. ถา A เปนเมตรกซมต n × n และ det (A) ≠ 0 แลวคาตอบของระบบสมการเชงเสน AX = B

จะมชดเดยว โดยม xi = (A)det )(Bdet i

เมอ Bi คอเมตรกซทไดจากการใชคอลมน B แทนคอลมนท i ของ A2. ถา det (A) = 0 และม det (Bi) ≠ 0 สาหรบ i = 1, 2, ... , n อยางนอย 1 คาแลวระบบสมการ

เชงเสน AX = B ไมมคาตอบ3. ถา det (A) = 0 และ det (Bi) = 0 สาหรบทกคาของ i = 1, 2, ... , n แลวระบบสมการเชงเสน

อาจมคาตอบมากมายนบไมถวนหรอไมมคาตอบวธท 2 ใชอนเวอรสการคณถา A เปนเมตรกซมต n × n และ det (A) ≠ 0 แลวจะมอนเวอรสการคณ A-1 และคาตอบของ

ระบบสมการเชงเสน AX = B คอ X = A-1B


1. กาหนดให B =

1 0 32 1 00 1 1

- , C =

201

, X =

zyx

และ I เปนเมตรกซเอกลกษณ

ถา A เปนเมตรกซมต 3 × 3 ซงสอดคลองกบสมการ 2AB = I และ AX = C แลว x + y + z มคาเทากบเทาใด

*1) 20 2) 24 3) 26 4) 30

2. กาหนดให A =

0 0 15 10 79 12 4

--

และ B, C, D เปนเมตรกซมต 3 × 3 ซง A∼B∼C∼D

โดย B ไดจาก A โดยการดาเนนการ R1 - 34 R2

C ไดจาก B โดยการดาเนนการ 5R1D ไดจาก C โดยการดาเนนการ R23

แลว det (D) เทากบขอใด1) -3750 2) -150 *3) 150 4) 3750


3. ให x, y, z เปนคาตอบของระบบสมการเชงเสนa11x + a12y + a13z = 2a21x + a22y + a23z = 1a31x + a32y + a33z = 0

ถา

1 0 0 a a a0 1 0 a a a0 0 1 a a a

333231232221131211

∼

0 3 2 1 0 01 2 0 0 1 01 1 1 0 0 1

--

แลว x + y + z มคาเทากบเทาใด

(ตอบ 6)4. กาหนดให A เปนเมตรกซมต 3 × 3 และ Aij คอเมตรกซทไดจากการตดแถวท i และคอลมนท j ของ

เมตรกซ A ออก

ถา adj A =

1 5 17 1 10 281 5 2

------

, A11 =

8 5 2 1

-- และ A32 =

2 31 1

--

แลว det (A) มคาเทากบขอใด1) -92 *2) -15 3) 15 4) 92

5. ให A, B เปนเมตรกซมต 3 × 3 ถา AB = 3I โดยท I เปนเมตรกซเอกลกษณและ adj B = 31 A แลว

det (A) มคาเทากบเทาใด (ตอบ 27)


a 1 1 1 a 11 2 a a

--

-- เมอ a เปนจานวนจรง

ถา M11 (A) = 5 และ M33 (A) = 0 แลวพจารณาขอความตอไปนก. det (A) = 11ข. C13 (A) = -1


7. กาหนดให a เปนจานวนจรง และ A =

a 0 40 3 02 0 1

ถา a > 10 และ det (adj A) = 225 แลว a มคาเทากบเทาใด1) 11 2) 12 *3) 13 4) 14

8. กาหนดให a เปนจานวนจรง และ A =

+

a 2 a3 a 6

6 2a 1 a

ถา M11 (A) = 18 และ M22 (A) = -12 แลว C31 (A) เทากบขอใด1) -57 *2) -33 3) -15 4) -3


9. กาหนดให A และ B เปนเมตรกซมต 2 × 2 ถา A + 2B =

16 8 45 และ A - B =

5 11 2

--แลว det (2A-1B) มคาเทากบเทาใด (ตอบ 8)


++++

x1 1 x 1 x x 0 1 x x 2 x

- และ B =

+32x

1x x

ถา x เปนจานวนจรงททาให det (A) = 0 แลว adj B คอเมตรกซในขอใด1)

1 22 3

-- 2)

1 20 3

- 3)

2 43 3

-- *4)

2 41 3

-

11. กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ A =

b1a 1 , B =

3 2 3 1

- ถา (A + B)2 – 2AB = A2 + B2

แลว det(A) มคาเทากบเทาใด1) 0.5 2) 1.5 *3) 3.5 4) 4.5


1 0x 1 1 31 1x -

ถา C12(A) = 4 แลว det(2A) มคาเทาใด (ตอบ 16)

13. ถา x, y, z สอดคลองกบระบบสมการx + 2y - 2z = -22x + y + 2z = 5x - 3y - 2z = 3

แลวดเทอรมแนนต

++ 3y x y2x 2y x 2 2 23 1 2

--- -

มคาเทากบเทาใด

*1) 60 2) 75 3) 90 4) 105


2 1 19 0 23 x 3

เมอ x เปนจานวนจรง

ถา

1 0 0 2 1 10 1 0 9 0 20 0 1 3 x 3

∼

8 1 2 1 0 021 3 5 0 1 036 5 9 0 0 1

---

-- แลว x มคาเทากบเทาใด (ตอบ 4)



1. เฉลย 1) AX = C → X = A-1C2AB = I → 2B = A-1I = A-1

X = 2BC

zyx

= 2

1 0 32 1 00 1 1

-

201

=

1082

x + y + z = 2 + 8 + 10 = 202. เฉลย 3) det (D) = -det (C)

= -(5 ⋅ det (B))= -(5 ⋅ det (A))

det (A) = 1 ⋅ (-1)3+1 5 10

9 12

-- = 60 - 90 = -30

det (D) = (-5)(-30) = 150

4. เฉลย 2) จาก A11 =

8 5 2 1

-- จะได A =

8 5 ?2 1 ?? ? ?

--

จาก A32 =

2 31 1

-- จะได A =

? ? ?2 ? 31 ? 1

--

ดงนน A =

8 5 ?2 1 31 ? 1

---

จาก cof (A) = [adj (A)]t =

1 1 15 10 517 28 2

-------

หา det (A) โดยใชแถวท 2 กระจายโคแฟกเตอร จะไดdet (A) = 3(-5) + (-1)(10) + (-2)(-5) = -15


เทคนคการนบ วธเรยงสบเปลยน วธจดหมและความนาจะเปน

1. หลกมลฐานของการนบ1. กฎการคณ ถาตองการทางาน k อยาง โดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ และในแตละวธทเลอกทางาน

อยางแรกนมวธทางานอยางทสอง n2 วธ และในแตละวธทเลอกทางานอยางแรกและงานอยางทสองมวธทางานอยางทสาม n3 วธ ... และในแตละวธทเลอกทางาน k-1 อยางแรกมวธทางานอยางท k จานวน nk วธ แลวจานวนวธทงหมดในการทางานทง k อยางเทากบ n1 × n2 × ... × nk วธ

2. กฎการบวก ถาตองการทางานอยางนอย 1 อยางใน k อยาง โดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ อยางทสองทาได n2 วธ แตกตางจากวธตางๆ ททาในงานอยางแรก อยางทสามทาได n3 วธ แตกตางจากวธตางๆ ททาในงานอยางแรกและอยางทสอง ... อยางท k ทาได nk วธ แตกตางจากวธตางๆ ททางานใน k-1 อยางแรกแลวจานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานอยางนอย 1 อยางใน k อยางเทากบ n1 + n2 + ... + nk วธ

3. กฎคอมพลเมนต การหาจานวนวธทงหมดททาไดตามเงอนไขทกาหนด อาจหาไดงายขนโดยหาจานวนวธทงหมดทไมสอดคลองกบเงอนไขทกาหนดให แลวนาไปลบออกจากจานวนวธทงหมดทเปนไปได

2. การนบจา .นวนวธเรยงสบเปลยน1. วธเรยงสบเปลยนแบบเสนตรงของสงของทแตกตางกนทงหมด

1. จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยใชทละ r สงไมซากนเทากบPn, r = r)! (nr!

n!- วธ เมอ 0 ≤ r ≤ n ในกรณท r = n จะได Pn, n = n!

2. จานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยใชทละ r สงซากนไดเทากบPn, r = nr วธ

2. วธเรยงสบเปลยนแบบเสนตรงของสงของซงมบางสงซากนถามสงของทงหมด n สงในจานวนนมบางสงซากน สมมตวาสงทซากนม k พวก พวกท 1 ม n1 สง

ซากน, พวกท 2 ม n2 สงซากน, ... , พวกท k ม nk สงซากน แลวจานวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สงเทากบ !n ... !n!n

n!k21

วธ

3. วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมของสงของทแตกตางกนทงหมดจานวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยใชทกสงเทากบ

(n-1)! วธ


3. การนบจานวนวธจดหมถามสงของแตกตางกนทงหมด n สง1. จานวนวธจดหมหรอวธเลอกสงของ r สงไมซากน (ไมคนท) เทากบ

Cn, r =

rn = r)!(nr!

n!- วธ

2. จานวนวธจดหมหรอวธเลอกสงของอยางนอย 1 สงไมซากน (ไมคนท ) หรอไมเลอกเลย เทากบCn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2 + ... + Cn, n = 2n วธ

ซงกคอจานวนสบเซตทงหมดของเซตทมสมาชก n ตว3. จานวนวธจดหมหรอวธเลอกสงของอยางนอย 1 สงไมซากน (ไมคนท) เทากบ

Cn, 1 + Cn, 2 + Cn, 3 + ... + Cn, n = 2n - 1 วธ4. จานวนวธจดหมหรอวธเลอกสงของ r สงซากนได (คนท) เทากบ

+

1 n 1 r n

-- หรอ

+

r 1r n - = 1)!(nr!

1)!r (n--+ วธ

5. การนบจานวนวธเรยงสบเปลยนหรอวธจดหมตามเงอนไขทกาหนด อาจใชวธหกจานวนวธทงหมดทไมสอดคลองกบเงอนไขทกาหนดออกจากวธทงหมดทเปนไปได

4. ความนาจะเปน1. การทดลองสม คอ กระบวนการใดๆ ทมผลลพธไมแนนอน (ผลการทดลองมหลายอยางทเปนไปได)2. แซมเปลสเปซ แทนดวย S คอ เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม3. เหตการณ แทนดวย A, B, C, ... คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ เราจะกลาววาเหตการณ A เกดขน

ถาผลการทดลองอยใน A4. ความนาจะเปนของเหตการณ คอ จานวนซงใชบอกระดบความเปนไปไดของเหตการณ ใชสญลกษณ

P(A) แทนความนาจะเปนของเหตการณ A5. สจพจนของความนาจะเปน ให A และ B เปนเหตการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ S ความนาจะเปน P

ของเหตการณใน S ตองสอดคลองกบสจพจนตอไปน1. P(S) = 12. P(A) ≥ 03. ถา A และ B เปนเหตการณไมเกดรวมกน แลว P(AU B) = P(A) + P(B)

6. พชคณตของเหตการณ ให A และ B เปนเหตการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ S1. AU B คอ เหตการณทประกอบดวยผลลพธทอยใน A หรออยใน B (หรออยใน A และ B ทงค)

ดงนน กลาววา AU B เกดขนกตอเมอ A หรอ B เกดขนอยางนอย 1 เหตการณ2. AI B คอ เหตการณทประกอบดวยผลลพธทอยทงใน A และใน B ดงนน กลาววา AI B เกดขน

กตอเมอ A และ B เกดขนทงค3. A′ คอ เหตการณทประกอบดวยผลลพธของแซมเปลสเปซทไมอยใน A ดงนน A′ เกดขนเมอ A

ไมเกดขน


7. กฎของความนาจะเปน ถา A, B และ C เปนเหตการณในแซมเปลสเปซ S แลว1. กฎการบวก P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AI B)

P(AU BU C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AI B) - P(AI C) - P(BI C) + P(AI BI C)2. กฎคอมพลเมนต P(A′) =1 - P(A) หรอ P(A) = 1 - P(A′)

8. การคานวณความนาจะเปนเมอผลลพธในแซมเปลสเปซมความเปนไปไดเทาๆ กนถาแซมเปลสเปซ S ประกอบดวยผลลพธจานวน n ผลลพธแตละผลลพธมโอกาสเกดขนเทากน

ถา A เปนเหตการณใน S ทประกอบดวยผลลพธ f ผลลพธแลว

P(A) = SธในจานวนผลลพAธในจานวนผลลพ = n

f


1. ในคณะกรรมการนกเรยนจานวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการไดกวธถากรรมการคนหนงไมสมครทจะเปนประธาน (ตอบ 648)

2. กลองใบหนงมลกบอลสดา 4 ลก และสแดง 6 ลก ถาสมหยบลกบอลจากกลองใบนมา 3 ลก ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสละอยางนอยหนงลกเทากบขอใด1) 0.78 *2) 0.80 3) 0.82 4) 0.84

3. ในการสมเลข 3 หลกทมากกวาหรอเทากบ 100 มาหนงจานวน ความนาจะเปนทเลขจานวนนนมเลข 8อยางนอย 1 หลก และไมมเลข 9 ในหลกใดๆ จะเทากบขอใด1) 8

1 2) 91 3) 8

2 *4) 92

4. ถา S คอเซตของลอตเตอรรฐบาลซงมเลข 6 หลก และมเลข 0 อย 4 ตว แลวจานวนสมาชกของ S เทากบเทาใด (ตอบ 1215)

5. ในการออกรางวลเลขทายสองตวของลอตเตอรรฐบาล ความนาจะเปนทรางวลเลขทายสองตวมหลกสบเปนเลขทมากกวาหรอเทากบ 7 หรอหลกหนวยเปนเลขทนอยกวาหรอเทากบ 2 มคาเทากบเทาใด1) 0.40 *2) 0.51 3) 0.54 4) 0.60

6. ในการเขยนจานวนคทมสามหลกจากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยทหลกรอยและหลกหนวยเปนตวเลขทแตกตางกนและมคาไมนอยกวา 200 จานวนวธเขยนเทากบขอใดตอไปน1) 72 2) 71 *3) 60 4) 59

7. จดคน 8 คน ซงมสมศกด สมชาย และสมหญงรวมอยดวย เขานงรอบโตะกลมซงม 8 ทนง ความนาจะเปนทสมชายไดนงตดกบสมหญง และสมศกดไมนงตดกบสมชายเทากบขอใด1) 7

1 *2) 215 3) 42

11 4) 425


8. ในการเลอกประธาน รองประธาน และเหรญญก จากนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 4 คน ซงมนายกาธรรวมอยดวย ความนาจะเปนทการเลอกครงนนายกาธรไดเปนประธาน และมนกเรยนหญงไดรบเลอกอยางนอยหนงคนเทากบขอใด

*1) 18013 2) 360

13 3) 452 4) 45

4

9. ขอสอบชดหนงม 2 ตอน ตอนละ 4 ขอ มคาสงใหผสอบทาขอสอบตอนทหนงอยางนอย 1 ขอ และทาขอสอบตอนทสอง 2 ขอ จานวนวธทผสอบจะทาขอสอบชดนเทากบเทาใด (ตอบ 90)

10. ในการยนเรยงเปนแถวตรงของนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 4 คน ถาความนาจะเปนทไมมนกเรยนหญง 2 คนใดยนตดกนเลยเทากบ a และความนาจะเปนทนกเรยนหญงทงหมดตองยนตดกนเทากบb แลว a + b มคาเทากบเทาใด

*1) 0.20 2) 0.25 3) 0.30 4) 0.3511. กลองใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 3 ส เปนสขาว 4 ลก สแดงและสเขยวมจานวนเทากน เมอสมหยบ

ลกแกวมา 2 ลก ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสขาวทง 2 ลกเทากบ 152 ถาสมหยบลกแกวมา 4 ลก

ความนาจะเปนทจะไดลกแกวเปนสเขยว 1 ลกและสแดงอยางนอย 1 ลก เทากบขอใด1) 70

30 *2) 7031 3) 35

29 4) 3533

12. สลาก 11 ใบ มหมายเลข 1 ถง 11 กากบอยใบละ 1 หมายเลข สมหยบสลากมา 4 ใบ ความนาจะเปนทสลากทหยบมามผลคณของหมายเลขเปนจานวนค แตผลบวกของหมายเลขเปนจานวนค มคาเทาใด(ตอบ 33

16 ≈ 0.48)

13. นายกร และนายขจรไดรบเชญไปงานเลยงซงมผไดรบเชญทงหมด 20 คน เจาภาพจดใหผรวมงานนงโตะกลม2 โตะ โตะละ 10 ทนง โดยสม ความนาจะเปนทนายกรและนายขจรจะไดนงตดกนในโตะตวเดยวกนเทากบขอใด

*1) 191 2) 19

2 3) 92 4) 9

4

14. มคนงานหญง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซงมนายดารวมอยดวย ถาจะเลอกคนงาน 4 คนไปทางานทตางกน 4 ประเภท โดยใหเปนหญง 2 คน เปนชาย 2 คน และใหมนายดาอยใน 4 คนนดวย แลวจานวนวธการเลอกคนงานดงกลาวเทากบขอใด1) 1920 วธ 2) 2400 วธ *3) 2520 วธ 4) 2880 วธ

15. ถงใบหนงมลกกวาดขนาดเดยวกนเปนสแดง 24 เมด ทเหลอเปนลกกวาดสขาวและสเขยว ถาสมหยบลกกวาดขนมา 1 เมด ความนาจะเปนทไดลกกวาดสขาวหรอสเขยวเทากบ 6

5 และความนาจะเปนทได

ลกกวาดสเขยวหรอสแดงเทากบ 43 แลวจานวนลกกวาดสเขยวเทากบขอใด

1) 36 2) 60 3) 72 *4) 8416. ในการแขงขนวงแกบน มผเขารวมการแขงขน 15 คน ในจานวนนมเมยกบเขมดวย ผลการแขงขนเปนไปได

กวธ ถาทราบวาเมยเขาเสนชยกอนเขม (ตอบ 215! )


17. รถฟอรจนเนอรคนหนงมทนงวาง 2 แถว นงไดแถวละ 3 คน จะจดทนงใหสมาชกครอบครวหนงซงประกอบดวย พอ แม และลก 4 คนไดทงหมดกวธโดยมเงอนไขวาพอกบแมตองนงแถวเดยวกน (ตอบ 288 วธ)

18. มคกกรสเนย 3 ชน รสกาแฟ รสชอกโกแลต และรสวนลา อยางละชน เดกไทยดาคนหนงสามารถเลอกคกก3 ชนจากทมอยนไดทงหมดกวธ (ตอบ 8 วธ)

19. ใชตวอกษรทกตวในคาวา career สรางคาทไมไดเรมตนหรอลงทายดวย e ไดทงหมดกคา (ตอบ 72 คา)20. มกระดมสนาตาล 3 เมด สเขยว 3 เมด และสนาเงน 2 เมด ใชกระดม 5 เมดประดบสาบเสอโดยเรยงเปน

แถวตรงไดทงหมดกวธ (ตอบ 170 วธ)21. สามภรรยา 5 คนงรอบโตะกลม มทงหมดกวธทสามแตละคนนงตดกบภรรยาของตนเอง (ตอบ 768 วธ)22. ในเมองหนงมจกรยาน 10000 คน แตละคนมเลขทะเบยนตางกนจาก 1 ถง 10000 เชาวนหนง อมเหน

หนมหลอคนหนงขจกรยานมาแตไกล จงหาความนาจะเปนทเลขทะเบยนของจกรยานคนนไมมเลขโดด 8 เลย(ตอบ 0.94)

23. กลองใบหนงมสลาก 10 ใบเขยนหมายเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 กากบไว หยบสลาก 5 ใบโดยสม นามาวางเรยงกนตามลาดบทหยบได จงหาความนาจะเปนทจานวนทเกดขนหารดวย 495 ลงตว(ตอบ 76/30240)

24. สมมตวา หนม จาหมายเลขโทรศพทของ สาว ไดทกตว ยกเวนเลขโดดหลกสดทาย หนมตดสนใจจะโทรหาสาวโดยสมเลขโดดหลกสดทาย แตเขามเงนเหลอพอทจะโทรศพทไดเพยง 2 ครง จงหาความนาจะเปนทหนมจะหมนโทรศพทไดถกหมายเลขกอนทเงนจะหมด (ตอบ 0.2)

25. ผโดยสาร 9 คนขนรถไฟซงมตโดยสาร 3 คน ผโดยสารแตละคนเลอกตโดยสารโดยสม จงหาความนาจะเปนมผโดยสาร 3 คนเลอกตโดยสารทหนง (ตอบ 1792/6561)

26. กลองใบหนงมบตร 10 ใบเขยนหมายเลข -4, -3, -2, …, 4, 5 ใบละหมายเลข ถาสมหยบบตร 2 ใบพรอมกนจากกลองใบน ความนาจะเปนทจะไดบตรทมหมายเลขบนบตรทงสองซงมผลคณมากกวาหรอเทากบ0 เทากบเทาใด1) 2/3 *2) 5/9 3) 32/45 4) 41/45

27. ให S เปนเซตของจด 10 จดบนวงกลมวงหนงซงมสมบตดงน เมอลากเสนตรงเชอมระหวางจด 2 จดใดๆใน S จะมเพยง 3 เสนเทานนทผานจดศนยกลางของวงกลมวงน ถาสรางรปสามเหลยมโดยเลอกจด 3 จดใน S มาเปนจดยอดของรปสามเหลยม ความนาจะเปนทจะไดรปสามเหลยมมมฉาก เทากบเทาใด1) 0.1 *2) 0.2 3) 0.3 4) 0.4

28. กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b} ฟงกชนจาก A ไปทวถง B มทงหมดกฟงกชน (ตอบ 30 )29. จดคน 8 คนซงมสมชาย สมคด และสมศรรวมอยดวย เขานงเรยงกนเปนแถวตรง โดยทสมศรนงกลาง

ตดกบสมชายและสมคดเสมอ จานวนวธการจดทนงดงกลาวมคาเทากบเทาใด1) 360 2) 720 3) 1080 *4) 1440

30. กลองใบหนงมบตร 10 ใบ แตละใบมหมายเลข 0, 1, 2, …, 9 บตรละหนงหมายเลข ถาหยบบตรจากกลองพรอมกน 3 ใบ ความนาจะเปนทจะไดบตรหมายเลขคทกใบและมแตมรวมกนมากกวา 10 มคาเทากบเทาใด1) 1/12 2) 1/15 *3) 1/20 4) 1/30



1. เฉลย 648เลอกประธาน → เลอกรองประธาน → เลอกเลขานการ

9 วธ 9 วธ 8 วธดงนน จานวนวธเลอกเทากบ 9 × 9 × 8 = 648

2. เฉลย 2) ไดลกบอลสละอยางนอย 1 ลก หมายความวา ไดลกบอลสดา 2 ลก กบสแดง 1 ลก หรอไดลกบอลสดา 1 ลก กบสแดง 2 ลก หาจานวนวธเกดเหตการณดงกลาวไดดงน

ดา 2 ลก กบ แดง 1 ลก หรอ ดา 1 ลก กบ แดง 2 ลก

24

⋅

16 +

14

⋅

26

ความนาจะเปน =

+

310

26

14 1

624

= 0.8

3. เฉลย 4) เลข 3 หลกท ≥ 100 มทงหมด 900 จานวนจานวน 3 หลกทมเลข 8 อยางนอย 1 ตว และไมมเลข 9 ม 7 แบบ8xy (x, y ≠ 8, 9) ม 8 × 8 = 64 จานวนx8y และ xy8 (x ≠ 0, 8, 9 ; y ≠ 8, 9) มแบบละ 7 × 8 = 56 จานวน รวม 112 จานวน88x และ 8x8 (x ≠ 8, 9) มแบบละ 8 จานวน รวม 16 จานวนx88 (x ≠ 0, 8, 9) ม 7 จานวน888 ม 1 จานวนจานวนทง 7 แบบนม 64 + 112 + 16 + 7 + 1 = 200 จานวนความนาจะเปนเทากบ 900

200 = 92

4. เฉลย 1215ลอตเตอรแบบท 1 ประกอบดวยเลข 0, 0, 0, 0, x, xแบบนม 9 × 4!2!

6! = 135 หมายเลข

ลอตเตอรแบบท 2 ประกอบดวยเลข 0, 0, 0, 0, x, y (x ≠ y)แบบนม

29

× 4!2!6!

= 1080 หมายเลข

รวมทงหมดม 135 + 1080 = 1215 หมายเลข


โปรแกรมเชงเสน

1. โปรแกรมเชงเสนโปรแกรมเชงเสน ประกอบดวยฟงกชนเชงเสนฟงกชนหนง ทตองการหาคาสงสดหรอคาตาสดอยางใด

อยางหนง เรยกวา ฟงกชนจดประสงค และระบบอสมการเชงเสนระบบหนง เรยกวา ขอจากด ขอจากดของตวแปรทจะตองเปนจานวนบวกหรอศนยเทานน เรยกวา ขอจากดของความไมเปนจานวนลบ

คาตอบของโปรแกรมเชงเสน คอ จด (คาของตวแปร) ทสอดคลองกบขอจากดและทาใหฟงกชนจดประสงคมคาสงสดหรอคาตาสดทตองการตวอยาง บรษทแหงหนงมคลงสนคาใหญ 1 แหง และคลงสนคายอย 2 แหง สนคาจะถกสงจากคลงสนคา-ยอยไปตามใบสงซอของลกคา แตไมสงตรงจากคลงสนคาใหญ การจดสงสนคาไปยงคลงสนคายอยทงสองจะตองเสยคาใชจายหนวยละ 10 บาท และ 12 บาท ตามลาดบ คลงสนคาใหญสามารถจายสนคาไดสปดาหละไมเกน1000 หนวย คลงสนคายอยทงสองแหงตองการสนคาอยางตาแหงละ 400 หนวย บรษทมจดประสงคทจะควบคมตนทนการจดสงสนคาใหตาทสด บรษทควรจดสงสนคาใหคลงสนคายอยแตละแหงจานวนเทาใด จงเขยนตวแบบโปรแกรมเสนตรงของปญหาดงกลาววธทา ให x1 และ x2 แทนจานวนสนคาทคลงสนคาใหญจายใหคลงสนคายอยท 1 และท 2 ตามลาดบฟงกชนจดประสงค คอ ฟงกชนตนทน C(x1, x2) = 10x1 + 12x2ขอจากดคอ 1. จานวนสนคาทคลงสนคาใหญสามารถจายใหคลงสนคายอยรวมกนไมเกนสปดาหละ 1000 หนวย

แทนดวยอสมการx1 + x2 ≤ 1000

2. ความตองการสนคาของคลงสนคายอยแหงละไมตากวา 400 แทนดวยอสมการx1 ≥ 400x2 ≥ 400

3. ขอจากดของความไมเปนจานวนลบx1 ≥ 0x2 ≥ 0

ดงนน ตวแปรโปรแกรมเชงเสนของปญหาดงกลาวนคอหาคาตาสดของ C(x1, x2) = 10x1 + 12x2ภายใตขอจากด x1 + x2 ≤ 1000

x1 ≥ 400x2 ≥ 400x1 ≥ 0x2 ≥ 0

(เงอนไข 2 ขอสดทายอาจไมระบไวกไดเพราะถกครอบโดยเงอนไขท 2 และท 3 อยแลว)


2. การหาคาตอบของโปรแกรมเชงเสน1. เซตของจด (คาของตวแปรแตละชด) ทสอดคลองกบขอจากดทกขอของโปรแกรมเชงเสนเรยกวา เซต

ของคาทเปนไปได คาตอบของปญหาโปรแกรมเชงเสนตองอยในเซตน2. เซตของจดในระนาบเปนเซตทมขอบเขต ถาสามารถบรรจไวภายในวงกลมซงรศมมความยาวจากด

มฉะนนแลวจะเปนเซตทไมมขอบเขต3. ทฤษฎบทพนฐานของโปรแกรมเชงเสน ถาเซตของคาทเปนไปไดของโปรแกรมเชงเสนเปนเซตทม

ขอบเขตแลวฟงกชนจดประสงคจะมคาสงสด และคาตาสดทจดมมของบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดถาเซตของคาทเปนไปไดของโปรแกรมเชงเสนเปนเซตทไมมขอบเขต แลวฟงกชนจดประสงคอาจม

คาสงสดและคาตาสดทจดมมของบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดหรออาจไมมคาสงสดหรอคาตาสด4. วธหาคาตอบของโปรแกรมเชงเสนตรง

ขนท 1 เขยนกราฟของขอจากดจะไดบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดขนท 2 หาจดมมของบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดขนท 3 หาคาของฟงกชนจดประสงคทจดมมตางๆขนท 4 เลอกจดททาใหฟงกชนจดประสงคมคาสงสดหรอคาตาสดตามทตองการ จะไดคาตอบของ

โปรแกรมเชงเสนตวอยาง จงแกปญหาเกยวกบคาใชจายในการจดสงสนคาทกลาวถงในตวอยางขางบน

หาคาตาสดของ C(x1, x2) = 10x1 + 12x2ภายใตขอจากด x1 + x2 ≤ 1000

x1 ≥ 400x2 ≥ 400

วธทาขนท 1 เขยนกราฟของขอจากดจะไดบรเวณทแรเงาแทนเซตของคาทเปนไปได

1000

400x1 =

400

400

1000

400x2 =

1000xx 21 =+1x

C

A B

2x

ขนท 2 คานวณพกดของจดมมของบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดได A = (400, 400); B = (600, 400); C = (400, 600)


ขนท 3 คานวณคาของฟงกชนจดประสงคทจดมมแตละจด

จดมม คาของฟงกชนจดประสงค(400, 400)(600, 400)(400, 600)

C(400, 400) = 10(400) + 12(400) = 8800C(600, 400) = 10(600) + 12(400) = 10800C(400, 600) = 10(400) + 12(600) = 11200

ขนท 4 จดมมททาใหฟงชนกจดประสงคมคาตาสดคอ (400, 400) เนองจากบรเวณทแทนเซตของคาทเปนไปไดมขอบเขต คาดงกลาวจงเปนคาตอบของปญหาทกาหนด ดงนนคาใชจายตาสดในการสงสนคาเทากบ8,800 บาท (เกดขนจากการจายสนคาใหแกคลงสนคายอยเทาทจาเปนคอแหงละ 400 หนวย)


1. กาหนดสมการจดประสงค z = ax + by โดยท a > 0, b > 0 , (a, b) = 1 และมอสมการขอจากด คอx - 2y ≤ 0x + y ≥ 3

2x + y ≥ 4x ≥ 0y ≥ 0

เมอ z = 0 จะไดเสนตรง ax + by = 0 ทมความชนเทากบ - 23

ถา z มคานอยทสดทจด (x0, y0) แลว x0 - y0 มคาเทากบเทาใด1) -4 *2) -1 3) 1 4) 3

2. กาหนดใหสมการจดประสงคคอ P = a2x + ay โดย a เปนจานวนจรงบวก และอสมการขอจากดคอ2x + y ≤ 8x + y ≥ 6

x > 0y > 0

ถาคามากทสดของ P เทากบ 70 แลว a เปนจรงตามขอใด1) 1 ≤ a < 4 *2) 4 ≤ a < 7 3) 7 ≤ a < 10 4) a ≥ 10

3. กาหนดสมการจดประสงค คอ P(x, y) = (a2 - 1) x + ay โดยท a เปนจานวนจรงบวก ซง a2 - a - 2 ≥0 และอสมการขอจากด คอ 2 ≤ x ≤ 4, y ≥ 1 และ x + y ≤ 7ถาคาสงสดของ P(x, y) เทากบ 41 แลว a มคาอยในชวงใด1) [2, 2.5) 2) [2.5, 3) *3) [3, 3.5) 4) [3.5, 4)

4. กาหนดสมการจดประสงคคอ P = 3x + 2y โดยมอสมการขอจากด 0 ≤ x ≤ 4 และ 6 ≤ y ≤ 7 แลวคาสงสดของ P เทากบเทาใด (ตอบ 18)


5. กาหนดใหสมการจดประสงคคอ P = 2ax + 3ay โดยท a > 0 อสมการขอจากด คอ2x + y ≤ 1000x + 3y ≤ 900

x ≥ 0, y ≥ 0ถาคาสงสดของ P คอ 33000 แลว a เปนจรงตามขอใด1) 10 < a ≤ 20 *2) 20 < a ≤ 30 3) 30 < a ≤ 40 4) 40 < a ≤ 50

6. นามนดเซล 100 ลตร ราคาตนทนลตรละ 12 บาท และนามนปาลม 120 ลตร ราคาตนทนลตรละ 8 บาทถาจะผสมนามนสองชนดนรวมกนใหมจานวนไมนอยกวา 150 ลตร และขายนามนผสมนในราคาลตรละ11 บาท ใหไดกาไรมากทสดแลวกาไรทไดเทากบขอใด1) 230 บาท 2) 260 บาท *3) 330 บาท 4) 460 บาท


1. เฉลย 2)ขนท 1 หาสมการจดประสงคจากเงอนไข “เมอ z = 0 จะไดเสนตรง ax + by = 0 ทมความชน - 2

3 ”

เนองจาก เสนตรง ax + by = 0 หรอ y = - ba x มความชน - b

a ดงนน ba = 2

3 และจะไดวาสมการจดประสงค คอ z = 3x + 2y

ขนท 2 หาจด (x0, y0) ททาให z มคานอยทสดวาดกราฟของระบบอสมการแสดงบรเวณของจด (x, y) ทสอดคลองกบเงอนไข (อสมการ) ท

กาหนดใหy

x(0, 0)

A(0, 4)

B(1, 2)C(2, 1)

2x + y = 4x + y = 3

x - 2y = 0

หาพกดของจดมม A, B และ C ได A(0, 4), B(1, 2) และ C(2, 1)


หาคาของ z ทจดมมของบรเวณทแรเงา จะไดจดมม คาของ z = 3x + 2y ทจดมมA(0, 4) z = 3(0) + 2(4) = 8B(1, 2) z = 3(1) + 2(2) = 7C(2, 1) z = 3(2) + 2(1) = 8

สงเกตวา สาหรบแตละคาของ z (คาคงตว) ทมคาลดลง เสนตรง 3x + 2y = z เลอนเขาใกลจดกาเนดมากขน

ดงนน จดมม B = (1, 2) = (x0, y0) ทาให z มคานอยทสด และทจดนเราได x0 - y0 = 1 - 2= -1

5. เฉลย 2) เขยนกราฟแสดงบรเวณของจด (x, y) ทสอดคลองกบเงอนไขทกาหนดให

900

1000

3P3ay2ax =+

y

xO(0, 0) C(500, 0)

A(0, 300) B(420, 160)

2x + y = 1000

x + 3y = 900

2P3ay3ax =+1P3ay2ax =+

หาพกดของจดตด B โดยแกระบบสมการ 2x + y = 1000 และ x + 3y = 900 จะได B = (420, 160)สาหรบแตละคาของ P ฟงกชนจดประสงค 2ax + 3ay = P เปนฟงกชนเชงเสน และมกราฟเปน

เสนตรงทมความชนเปนลบ เสนตรงทมลกษณะเชนนจะใหคา P มากขนเมอเสนตรงหางจากจดกาเนดมากขน(สาหรบเสนตรง 2ax + 3ay = Pi (i = 1, 2, 3) ทแสดงในรป จะได P1 < P2 < P3 ดงนน ภายใตเงอนไขทกาหนดให P จะมคามากทสดทจด B เนองจากคามากทสดของ P เทากบ 33000

ดงนน 3a(420) + 3a(160) = 330001320a = 33000

a = 25


สถต : การวดคากลางของขอมล

สถต คอ ศาสตรเกยวกบการหาขอมลและการดาเนนการกบขอมลเพอใหไดขอสนเทสทเปนประโยชนตอการตดสนใจ

ขอมล คอ เซตของขอเทจจรงเกยวกบเรองทสนใจซงเกบรวบรวมมาตามวธการทเหมาะสมทกหนวยทสามารถใหขอเทจจรงในเรองทสนใจประกอบกนเปนประชากร สวนหนงของประชากรทเลอก

มาศกษาแทนประชากร เรยกวา ตวอยางเมอกลาวถง ขอมล อาจหมายถงขอมลประชากร หรอขอมลตวอยาง สตรสถตสาหรบขอมลประชากร

และสาหรบขอมลตวอยาง เหมอนกนกม ตางกนกม บางกรณอาจไมไดแยกสตรไวชดเจน ใหเขาใจวามวธการคานวณเหมอนกน อยางไรกตาม ในขอสอบสวนมากจะเปนสตรสาหรบขอมลประชากร

คากลางของขอมล คอ คาขนาดกลางของขอมลซงมกจะเปนคาทอยบรเวณศนยกลางของการแจกแจงคากลางของขอมลใชเปนตวแทนของขอมลเมอเราตองการคาคาหนงสาหรบใชแทนขอมลทงชด

1. คาเฉลยเลขคณตคาเฉลยเลขคณตของประชากร x1, x2, ..., xN แทนดวย µ หรอ µx สวนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

x1, x2, ..., xn แทนดวย x มวธการคานวณเหมอนกน1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลทประกอบดวยคาของตวแปร x คานวณจากสตร

µ = N1 ∑

=

N

1iiX หรอ x = n

1 ∑=

n

1iix (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ µ = N1 ∑

=

k

1iiiXf หรอ x = n

1 ∑=

k

1iiixf (กรณขอมลแจกแจงความถเปน k ชวง)

(xi คอ จดกงกลางชวงท i ซงมความถ fi)

2. คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนก ถาคาของตวแปรในขอมลบางคามความสาคญไมเทากนให w1, w2, ... , wN เปนนาหนกแสดงความสาคญของ x1, x2, ... , xN แลวคาเฉลยเลขคณตถวง

นาหนกของขอมลประชากร x1, x2, ... , xN หาไดจากสตร

µ =N21

NN2211w ... w w

xw...xwxw++++++

ในกรณขอมลตวอยางกมวธการคานวณเหมอนกน3. คาเฉลยเลขคณตรวม ถาประชากรหนงแบงเปนประชากรยอย k กลม ประกอบดวยคาของตวแปร

เดยวกน N1, N2, ... , Nk คา และแตละกลมมคาเฉลยเลขคณต µ1, µ2, ... , µk ตามลาดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของประชากรทไดจากการรวมประชากรยอยเปนชดเดยว หาไดจากสตร

µ =k21

kk2211n ... n nN...NN

++++++ µµµ


4. สมบตของคาเฉลยเลขคณต

1. ∑=

N

1iix = Nµ

2. ∑ µ=

N

1ii ) (x - = 0

3. ∑=

N

1i2

i m) (x - มคานอยทสด เมอ m = µ

4. ถาขอมล y เกดจากขอมล x โดยการคณ xi แตละคาดวยคาคงตว a แลวบวกดวยคาคงตว bนนคอ yi = axi + b แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมล y เทากบ a คณคาเฉลยเลขคณตของ x แลวบวกดวย bนนคอ µy = aµx + b

สมบตเหลานเปนจรงสาหรบคาเฉลยของตวอยางดวย

2. มธยฐาน1. มธยฐานของขอมล คอ คาของตวแปรซงมตาแหนงอยกงกลาง เมอเรยงคาของตวแปรจากนอยไปมาก

(หรอจากมากไปนอย)2. สาหรบขอมลทไมไดแจกแจงความถ ถาขอมลม N คาเรยงตามลาดบจากนอยไปมาก

1. กรณท N เปนจานวนคมธยฐาน = คาของตวแปรในตาแหนงท 2

1N +

เชน ขอมล 2, 3, 6, 9, 10 มมธยฐานเทากบ 62. กรณท N เปนจานวนค

มธยฐาน = คาเฉลยเลขคณตของคาของตวแปรในตาแหนงท 2N กบ 2

N + 1

เชน ขอมล 2, 3, 6, 9, 10, 18 มมธยฐานเทากบ 296 + = 7.5

3. สาหรบขอมลทแจกแจงความถแลว (จากนอยไปมาก) ถาขอมลม N คา ตาแหนงของมธยฐาน คอ 2N

ชวงทมมธยฐาน คอ ชวงแรกทมความถสะสมมากกวาหรอเทากบ 2N การคานวณคาของมธยฐานใชสตรตอไปน

IfF 2

N L มธยฐาน

+=

-

ขอบลางของชวงทมมธยฐาน

ตาแหนงของมธยฐาน

ความถสะสมของชวงทมคาตากวาชวงทมมธยฐาน

ความกวางของชวงทมมธยฐานความถของชวงทมมธยฐาน

4. สมบตทนาสนใจประการหนงของมธยฐาน คอ สาหรบขอมล x1, x2, ... , xN ใดๆ ∑=

N

1ii |m x| - มคา

นอยทสด เมอ m = มธยฐาน


3. ฐานนยม1. ฐานนยม คอ คาของตวแปรทสงเกตไดของขอมลทมความถมากทสด2. สา.หรบขอมลทแจกแจงความถแลว ฐานนยมมคาอยในชวงทมความถมากทสด ฐานนยมคานวณไดโดย

ใชสตรตอไปน

ฐานนยม = L +

+ 211d d

d I

เมอ L = ขอบลางของชวงทมฐานนยมd1 = ผลตางระหวางความถของชวงทมฐานนยมกบชวงถดไปทมคาตากวาd2 = ผลตางระหวางความถของชวงทมฐานนยมกบชวงถดไปทมคาสงกวาI = ความกวางของชวงทมฐานนยม

4. คาเฉลยฮารมอนก1. คาเฉลยฮารมอนก ใชเปนคากลางของขอมลทไดจากตวแปรในรปอตราเทยบกบเวลา เชน อตราเรว

และอตราเรง เปนตน2. คาเฉลยฮารมอนก เขยนแทนดวย H.M. หาไดโดยใชสตรตอไปน

H.M. = N21 x1 ... x

1 x1

N+++

(กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ H.M. = kk

22

11

xf ... x

f xf

N+++

(กรณขอมลแจกแจงความถเปน k ชวง)

( xi คอ จดกงกลางชวงท i ทมความถ fi และ ∑=

k

1iif = N)

5. คาเฉลยเรขาคณต1. คาเฉลยเรขาคณต ใชเปนคากลางของขอมลทไดจากตวแปรในรปอตราสวน (ซงเปนจานวนบวกเสมอ)

เชน อตราการเพมขนหรอลดลงของประชากร และเลขดชนตางๆ เปนตน2. คาเฉลยเรขาคณต เขยนแทนดวย G.M. หาไดจากสตรตอไปน

G.M. = N N21 x... xx (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ G.M. = N kfk

2f2

1f1

x... xx (กรณขอมลแจกแจงความถเปน k ชวง)

( xi คอ จดกงกลางชวงท i ทมความถ fi และ ∑=

k

1iif = N)


สถต : การวดตาแหนงของขอมล

1. แนวคดในการวดตาแหนงของคาทสงเกตได ม 2 แนวคด ไดแกแนวคดท 1 บอกใหทราบวาคาทสงเกตไดทงหมดทมคาตากวาคาทสนใจมกเปอรเซนต การวดตาแหนง

โดยวธนใชเปอรเซนไทล เดไซล และควอรไทล เปนมาตรวดตาแหนงแนวคดท 2 บอกใหทราบวาคาทสนใจตากวาหรอสงกวาคาเฉลยเลขคณตกหนวยมาตรฐาน (1 หนวย

มาตรฐานเทากบคาเบยงเบนมาตรฐานของขอมล) ตามแนวคดนจะใชคามาตรฐานเปนมาตรวดตาแหนง

2. บทนยามของเปอรเซนไทล เดไซล และควอรไทล1. เปอรเซนไทล คอ คาของตวแปร 99 คา ทแบงคาทสงเกตไดทงหมดของขอมลซงเรยงอนดบจากนอย

ไปมากออกเปน 100 สวน แตละสวนมจานวนคาทสงเกตไดเทากน สวนละ 1% เรยกคา 99 คานวาเปอรเซนไทลท 1, เปอรเซนไทลท 2, ... , เปอรเซนไทลท 99 เขยนแทนดวย P1, P2, ... , P99 ตามลาดบ

ดงนนเปอรเซนไทลท r คอ คาของตวแปรซงมคาทสงเกตไดทงหมดประมาณ r% ทมคานอยกวาเปอรเซน-ไทลท r และมคาทสงเกตไดอกประมาณ (100-r)% ทมคามากกวาเปอรเซนไทลท r

2. เดไซล คอ คาของตวแปร 9 คาทแบงคาทสงเกตไดทงหมดของขอมลซงเรยงอนดบจากนอยไปมากออกเปน 10 สวน แตละสวนมจานวนคาทสงเกตได 10% เรยก 9 คานวา เดไซลท 1, เดไซลท 2, ... , เดไซลท 9แทนดวย D1, D2, ... , D9 ตามลาดบ สงเกตวา D1 = P10 , D2 = P20 , ... , D9 = P90

3. ควอรไทล คอ คาของตวแปร 3 คา ทแบงคาทสงเกตไดทงหมดของขอมลซงเรยงอนดบจากนอยไปมากออกเปน 4 สวน แตละสวนมจานวนคาทสงเกตได 25% เรยก 3 คานวา ควอรไทลท 1, ควอรไทลท 2 และควอรไทลท 3 แทนดวย Q1, Q2 และ Q3 ตามลาดบ สงเกตวา Q1 = P25 , Q2 = P50 = มธยฐาน, Q3 = P75

3. การคานวณเปอรเซนไทล เดไซล และควอรไทลเนองจากควอรไทล และเดไซล กคอบางคาของเปอรเซนไทล ดงนนไมมความจาเปนใดๆ ทนกเรยนจะตอง

จดจาสตร หรอวธการสาหรบใชคานวณควอรไทล และเดไซลตางหาก1. วธการคานวณเปอรเซนไทลท r สาหรบขอมลทยงไมไดแจกแจงความถหรอแจกแจงความถทละคา

1. เรยงคาทสงเกตไดจากนอยไปมาก2. คานวณตาแหนงของเปอรเซนไทลท r

ตาแหนงของ Pr คอ 1001) r(N + เมอ r = 1, 2, ... , 99

3. หาคาของตวแปรทตรงกบตาแหนงทคานวณได ในขนท 2


2. วธการคานวณเปอรเซนไทลท r สาหรบขอมลทแจกแจงความถเปนชวง1. หาความถสะสมของแตละชวงทมคาจากนอยไปมาก2. คา.นวณตาแหนงของเปอรเซนไทลท r

ตาแหนงของ Pr คอ 100rN เมอ r = 1, 2, ... , 99

3. หาชวงทมเปอรเซนไทลท r ซงกคอชวงแรกทความถสะสมมากกวาหรอเทากบตาแหนงของ Pr ทคานวณไดในขนท 2

4. คานวณเปอรเซนไทลท r จากสตร Pr = L +

fF 100

rN -I

เมอ L = ขอบลางของชวงทม PrF = ความถสะสมของชวงทมคานอยกวาชวงทม Prf = ความถของชวงทม PrI = ความกวางของชวงทม Pr

4. คามาตรฐานสาหรบขอมล x1, ... , xN ซงมคาเฉลย µ และคาเบยงเบนมาตรฐาน σ คามาตรฐานของ xi แทนดวย zi

หาไดจากสตร zi = σµxi -

คามาตรฐาน zi ของ xi บอกใหทราบวา xi อยสงกวาหรอตากวา µ กหนวยมาตรฐาน(1 หนวยมาตรฐาน = σ)สาหรบขอมลชดหนงๆ ให zi เปนคามาตรฐานของ xi จะไดวา

1. ∑=

N

1iiz = 0 หรอ z = 0

2. คาเบยงเบนมาตรฐานของ zi เทากบ 1


สถต : การวดการกระจายของขอมล

การวดการกระจายของขอมลมวตถประสงค เพออธบายวาคาของตวแปรทสงเกตไดในขอมลชดหนงๆ มความแตกตางกนมากนอยเพยงใด หรอเบยงเบน (กระจาย) ไปจากคากลางมากนอยเพยงใด

1. มาตรวดการกระจายสมบรณใชวดการกระจายของขอมลโดยไมไดเปรยบเทยบกบคาขนาดกลางขอมล มาตรวดการกระจายสมบรณม

หลายชนด ไดแก1. พสย = คาสงสด - คาตาสด2. คาเบยงเบนควอรไทล = 2

1 (ควอรไทลทสาม - ควอรไทลทหนง)

QD = 21 (Q3 - Q1)

3. คาเบยงเบนเฉลย = คาเฉลยของ |xi - µ|

MD = N1 ∑ µ

=

N

1ii | |x - (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ MD = N1 ∑ µ

=

k

1iii | |xf - (กรณขอมลแจกแจงความถเปน k ชวง)

(xi คอ จดกงกลางของชวงท i มความถ fi และ ∑=

=k

1ii N f )

4. ความแปรปรวนประชากร = คาเฉลยของ (xi - µ)2

σ2 = N1 ∑ µ

=

N

1i2

i ) (x - (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

= N1 ∑ µ

=

N

1i22

i N x - (สตรลด)

หรอ σ2 = N1 ∑ µ

=

k

1i2

ii ) (xf - (กรณขอมลแจกแจงความถเปน k ชวง)

= N1 ∑ µ

=

k

1i22

ii N xf - (สตรลด)

(xi คอ จดกงกลางของชวงท i ซงมความถ fi และ ∑=

=k

1ii N f )


สาหรบความแปรปรวนตวอยางแทนดวย S2 มสตรการคานวณทตางจากความแปรปรวนประชากร

S2 = 1n1- ∑

=

n

1i2

i )x (x - = 1n1-

∑=

n

1i22

i xn x - (กรณขอมลไมแจกแจงความถ)

หรอ S2 = 1n1- ∑

=

k

1i2

ii )x (xf - = 1n1-

∑=

k

1i22

ii xn xf - (กรณขอมลไมแจกแจงความถเปน k ชวง)

5. คาเบยงเบนมาตรฐานประชากร = รากทสองทเปนบวกของความแปรปรวน

σ = 2σสาหรบคาเบยงเบนมาตรฐานตวอยางแทนดวย S

S = 2S

2. มาตรวดการกระจายสมพทธใชวดการกระจายของขอมลโดยบอกใหทราบวาการกระจายสมบรณคดเปนกเปอรเซนตของคาขนาดกลาง

เราใชมาตรวดการกระจายสมพทธเปรยบเทยบการกระจายของขอมลหลายๆ ชด ทมคาขนาดกลางแตกตางกนมาตรวดการกระจายสมพทธมหลายชนด ไดแก

1. สมประสทธของพสย = 21 พสย

คากงกลางพสย

=.คาตาสด คาสงสด

คาตาสดคาสงสด+

-

2. สมประสทธของคาเบยงเบนควอรไทล = ไทลงพสยควอรคากงกลา

บนควอรไทลคาเบยงเ

=1313

Q QQQ

+-

3. สมประสทธของคาเบยงเบนเฉลย =.ลขคณตคาเฉลยเ

บนเฉลยคาเบยงเ

= µMD หรอ x

MD

4. สมประสทธของการแปรผน =.ลขคณตคาเฉลยเ

บนมาตรฐานคาเบยงเ

CV = µσ หรอ x

S

CV เปนมาตรวดการกระจายสมพทธทนยมใชมากทสดและอาจเขยนในรปเปอรเซนตโดยคณดวย 100


3. สมบตของคาเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน1. ความแปรปรวนรวม ถาขอมลประชากรยอย 2 ชด ประกอบดวยคาของตวแปรเดยวกน N1 และ N2

คา โดยมคาเฉลยเลขคณตเทากน และความแปรปรวนเทากบ 21σ และ 2

2σ ตามลาดบ แลวความแปรปรวนรวมของขอมล 2 ชดนหาไดจากสตร

σ2 =21

2222

11N NN N

++ σσ

ในกรณท N1 = N2 จะไดวา σ2 = 2 2

221 σσ +

2. การบวกทกคาของขอมลดวยคาคงตว ขอมลชดใหมจะมความแปรปรวนเทากบขอมลชดเดม แตถาคณทกคาของขอมลดวยคาคงตว แลวขอมลชดใหมจะมความแปรปรวนเทากบความแปรปรวนของขอมลชดเดมคณดวยกาลงสองของคาคงตวทใชคณแตละคาของขอมล นนคอ ถา yi = axi + b ; i = 1, 2, ... , N แลวความแปรปรวน 2

yσ ของขอมล yi หาไดจากความแปรปรวน 2xσ ของขอมล xi โดยใชสตรตอไปน

2yσ = a2 2

xσ

และคาเบยงเบนมาตรฐาน σy ของขอมล yi หาไดจากคาเบยงเบนมาตรฐาน σx ของขอมล xi โดยใชสตรตอไปน σy = |a|σx


1. ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2, ... , x13 โดยท xn = |5 - n| เมอ n = 1, 2, ... , 13 จานวนจรง a ท

ทาให ∑=

13

1nn |a x| - มคานอยทสดเทากบเทาใด (ตอบ 3)

2. กาหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาสถตทเปนจานวนเตมของนกเรยน 40 คน ดงน เมอสมเลอกนกเรยนกลมนมา 1 คน ไดวาความนาจะเปนทนกเรยนคนนไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนน มคาเทากบ0.30 มธยฐานของคะแนนชดนเทากบขอใด

คะแนน จานวนนกเรยน60-64 465-69 A70-74 1075-79 B80-84 7

1) 71.50 *2) 73.50 3) 73.75 4) 74.50


3. กาหนดฮสโทแกรมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน ดงน

0.050

ความถสมพทธ

0

0.075

0.3500.375

0.025คะแนน

29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5

ขอใดถก1) นกเรยนทสอบไดคะแนนระหวาง 50-79 มจานวนมากกวานกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไป

จานวน 50 คน2) นกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไปมรอยละ 10 ของนกเรยนทงหมด

*3) ควอรไทลทหนงของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 60-69 คะแนน4) ควอรไทลทหนงของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 80-89 คะแนน

4. ให x1, x2, ... , x5 เปนขอมลชดหนงซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 ถา ∑=

5

1i2

i 4) (x - = 30 แลว

สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบขอใด *1) 2 2) 2 3) 6 4) 2 2

5. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนหนงซงม 2 หอง มคาเฉลยเลขคณตรวมเทากบ 54 คะแนนโดยทหอง ก และหอง ข มนกเรยน 30 คน และ 20 คน ตามลาดบ ถาคะแนนเฉลยของนกเรยนหอง กเทากบ 50 คะแนน เมอแยกพจารณาผลสอบแตละหองพบวานกเรยนหอง ก ผทไดคะแนน 55 คดเปนคามาตรฐาน 1.0 เทากบมาตรฐานของนกเรยนหอง ข ผทไดคะแนน 66พจารณาขอความตอไปน

ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนหอง ก เทากบ 25ข. สมประสทธของการแปรผนของคะแนนของนกเรยนหอง ก มากกวาสมประสทธของการแปรผนของ

คะแนนหอง ขขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

6. ถา 20, x2, ... , x25 เปนขอมลทเรยงจากนอยไปมาก และเปนลาดบเลขคณต และควอรไทลท 1 ของขอมลชดนเทากบ 31 แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบขอใด1) 6.24 2) 10.28 *3) 12.48 4) 24.96


7. ในการสารวจนาหนกตวของนกเรยน 200 คน มการแจกแจงความถดงนนาหนกตว ความถ

19-22 2023-26 6027-30 3031-34 4035-38 50

จงพจารณาขอความตอไปนก. นาหนกตวของนกเรยน 200 คนนมฐานนยมมากกวามธยฐานข. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของนาหนกตวของนกเรยน 200 คนนเทากบ 0.15


8. โรงงานแหงหนงคดเลอกคนงานจากผสมครเขาทางานทงหมด โดยมเงอนไขวาผทจะไดรบพจารณาคดเลอกเขาทางานตองมคามาตรฐานของอายไมนอยกวา 1.5 และไมเกน 3.5 ถาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของอายของผสมครทงหมดคอ 23 ปและ a (ป)2 ตามลาดบ และถานาคามาตรฐานของอายของผสมครทงหมดมาหาความแปรปรวนไดความแปรปรวนเทากบ 4

a แลวผสมครทอยในขายทจะไดรบการคดเลอกเขา

ทางานจะตองมอายตามขอใด1) ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 37 ป 2) ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 37 ป

*3) ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 30 ป 4) ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 30 ป9. กาหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงดงน ถาควอรไทลทหนง

(Q1) เทากบ 18.5 คะแนน แลวมธยฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองนเทากบเทาใด(ตอบ 24.5)

คะแนน ความถ16-18 a19-21 222-24 325-27 628-30 4

10. ในการสอบครงหนงมผเขาสอบจานวนหนงซงมนายคณตและนายวทยารวมอยดวย โดยทคาเฉลยเลขคณตของผลการสอบเทากบ 60 คะแนน และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.25 นายคณตสอบไดมากกวานายวทยา 9 คะแนน และผลบวกของคามาตรฐานของคะแนนของคนทงสองเทากบ 1.5ให A = คามาตรฐานของคะแนนของนายคณต และ B = คะแนนของนายวทยา แลว A และ B มคาเทาใด1) A = 0.45, B = 65.75 2) A = 0.45, B = 66

*3) A = 1.05, B = 66.75 4) A = 1.05, B = 68


11. โรงงานแหงหนงมพนกงานจานวน 40 คนและตารางแจกแจงความถสะสมของอายพนกงานเปนดงนอาย (ป) ความถสะสม11-20 621-30 1431-40 2641-50 3651-60 40

ถาผจดการอาย 48.5 ป แลวพนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงานและอายของผจดการมประมาณกเปอรเซนต1) 31.5% 2) 33.7% *3) 35.0% 4) 37%

12. บรษทแหงหนงมพนกงาน 20 คน เงนเดอนเฉลยของพนกงานเทากบ 60,000 บาทและมสวนเบยงเบน มาตรฐานเทากบ 10,000 บาท ถาผลรวมของคามาตรฐานของเงนเดอนของพนกงานจานวน 19 คนมคาเทากบ 2.5 แลวพนกงานอก 1 คนทเหลอมเงนเดอนเทากบเทาใด

*1) 35,000 บาท 2) 57,500 บาท 3) 62,500 บาท 4) 85,000 บาท13. ถาขอมลชดหนงมสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.12 สวนเบยงเบนเฉลย เทากบ 6 และสวน

เบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 10 แลวสมประสทธของการแปรผนมคาเทากบเทาใด (ตอบ 0.20)14. ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบวชาหนงของนกเรยน 40 คน

คะแนน จานวนนกเรยน (fi)10-14 415-19 620-24 a25-29 830-34 435-39 6

โดยมคะแนนเฉลย (µ) เทากบ 24.5 และ ∑=

3

1iif (xi - µ) = -125 ถาสวนเบยงเบนควอรไทลเทากบ b และ

สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ c แลวขอใดตอไปนถก *1) b = 5 และ c = 6.25 2) b = 6.25 และ c = 53) b = 4.5 และ c = 5 4) b = 5 และ c = 4.5

15. ในการสอบวชาคณตสาสตรพบวา คะแนนสอบของนกเรยนมการแจกแจงปกต สวนเบยงเบนควอรไทล เทากบ 6 สมประสทธควอรไทลเทากบ 0.6 คะแนนเฉลยของการสอบครงนมคาเทากบเทาใด (ตอบ 10)



1. เฉลย 3จาก xn = |5 - n| จะไดวา x1, x2, ... , x13 คอ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ซงเมอ

เรยงจากนอยไปมาก จะได 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8สงเกตวา มธยฐานของขอมลชดนคอ 3

เนองจาก ∑=

13

1nn |a x| - มคานอยทสด เมอ a เปนมธยฐาน ดงนน a = 3

2. เฉลย 2) ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงทเลอกโดยสมจากนกเรยนกลมนจะไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนนเทากบ 0.30 หมายความวา นกเรยนจานวน 4 + a คน คดเปน 30% ของจานวนนกเรยนทงหมด (40 คน)นนคอ

40a4 + = 0.30

4 + a = 12a = 8

เนองจาก นกเรยนทงหมดม 40 คน4 + a + 10 + b + 7 = 40

b + 29 = 40 (a = 8)b = 11

ปรบปรงตารางแจกแจงความถโดยเพมคอลมนความถสะสม ดงนชวงคะแนน จานวนนกเรยน ความถสะสม

60-64 4 465-69 8 1270-74 10 2275-79 11 3380-84 7 40 = N

ตาแหนงของมธยฐาน คอ 2N = 2

40 = 20 ชวงคะแนนทมมธยฐาน คอ (69.5, 74.5)

มธยฐาน คอ Med = 69.5 + 5

1012 20 - = 73.5


3. เฉลย 3) หาความถ (f) และความถสะสม (F) ของแตละชวงคะแนน ดงนชวงคะแนน ความถ ความถสะสม

30-39 0.025 × 80 = 2 240-49 0.050 × 80 = 4 650-59 0.075 × 80 = 6 1260-69 0.350 × 80 = 28 4070-79 0.375 × 80 = 30 7080-89 0.075 × 80 = 6 7690-99 0.050 × 80 = 4 80

ตาแหนงของควอรไทลทหนงของคะแนนสอบ คอ 41 N = 4

1 (80) = 20

ดงนน ควอรไทลทหนงของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 70-79 คะแนน1) นกเรยนทสอบได 50-79 คะแนนม 6 + 28 + 30 = 64 คน

นกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไปม 4 คนดงนน นกเรยนทสอบได 50-79 คะแนนมากกวานกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไป 60

คน ไมใช 50 คน2) นกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไปม 4 คนหรอรอยละ 5 ของจานวนนกเรยนทงหมด

ไมใชรอยละ 104) ตาแหนงของควอรไทลทสามของคะแนนสอบ คอ 4

3 N = 43 (80) = 60

ดงนน ควอรไทลทสามของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 60-69 คะแนน4. เฉลย 1) จากสตรของคาเบยงเบนมาตรฐาน

σ =

∑ µ=

N

1i22

i N xN1 -

เราสามารถหา ∑=

N

1i2ix จากเงอนไข ∑

=

5

1i2

i 4) (x - = 30 ดงน

∑=

5

1i2

i 4) (x - = 30

∑=

+5

1ii

2i 16) 8x (x - = 30

∑=

5

1i2ix - 8 ∑

=

5

1iix + 5 ⋅ 16 = 30

∑=

5

1i2ix - 8(30) + 5 ⋅ 16 = 30


∑=

5

1i2ix = 190

ดงนน σ =

∑ µ=

N

1i22

i N xN1 - = )65 (1905

1 2 ⋅- = 2

5. เฉลย 2) กาหนดสญลกษณแทนจานวนนกเรยน คาเฉลยเลขคณต คาเบยงเบนมาตรฐาน และสมประสทธของการแปรผน ดงน

รายการ หอง ก หอง ข รวมทงสองหองจานวนนกเรยน N1 = 30 N1 = 20 N = 50คาเฉลยเลขคณต µ1 = 50 µ2 = ? µ = 54คาเบยงเบนมาตรฐาน σ1 σ2 σสมประสทธของการแปรผน CV1 CV2

ขนท 1 หาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนของนกเรยนหอง ข จากสตร

µ =21

2211N NNN

++ µµ

54 = 20302030(50) 2

++ µ

µ2 = 60ขนท 2 หาคาเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนแตละหองจากเงอนไข “เมอแยกพจารณาผลสอบแตละหอง พบวานกเรยนหอง ก ผไดคะแนน 55 คดเปน

คามาตรฐาน 1.0 เทากบคามาตรฐานของผทไดคะแนน 66 ในหอง ข”จะได

150 55

σ- = 1 และ

26066

σ- = 1

ดงนน σ1 = 5 และ σ2 = 6สงเกตวาความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนหอง ก เทากบ 2

1σ = 52 = 25 ก. ถกขนท 3 คานวณสมประสทธของการแปรผนของคะแนนของนกเรยนแตละหอง

CV1 =11

µσ = 50

5 = 101

CV2 =22

µσ = 60

6 = 101

จะเหนได CV1 = CV2 ข. ผด


6. เฉลย 3) ตาแหนงของควอรไทลทหนงของขอมล (เรยงจากนอยไปมาก) N = 25 คาน คอ

41N + = 4

125 + = 6.5

หาผลตางรวม d ของลาดบเลขคณต (ของขอมลทกาหนดให)จากสตร an = a1 + (n - 1)dเมอ n = 6.5 ; 31 = 20 + (6.5 - 1)d

d = 2เนองจากขอมลชดนเรยงกนเปนลาดบเลขคณตจะได คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = พจนท 13

µ = 20 + 12(2) = 44และคาสดทาย (คามากทสด) ของขอมล คอ

x25 = 20 + 24(2) = 68และสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ

MD = N1 ∑ µ

=

N

1ii | |x -

= 251 [(|20 - 44| + |22 - 44| + ... + |42 - 44|) +

|44 - 44| + (|46 - 44| + |48 - 44| + ... + |68 - 44|)]= 25

1 [(24 + 22 + ... + 2) + 0 + (2 + 4 + ... + 24)]= 25

1 [2(2 + 4 + ... + 24)]= 25

4 (1 + 2 + ... + 12)

= 254

⋅ 212(13)

= 12.48


สถต : การแจกแจงปกต

1. ตวแปรสมปกต และการแจกแจงปกต1. ตวแปรสม คอ สมบตเชงตวเลขทสนใจของหนวยตางๆ ทใชศกษาเกยวกบเรองทสนใจ สมบตดงกลาว

นของแตละหนวยอาจเทากนหรอไมเทากนกได แตละหนวยจงมคาของตวแปรทสนใจไดแตกตางกน เชน สมมตวาเราตองการศกษาเกยวกบคาใชจายในการเรยนกวดวชาของนกเรยนชนมธยมศกษาชนปท 5 ทกคนในกรงเทพมหานครและปรมณฑล หนวยตางๆ ทใชศกษาคอนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ในกรงเทพมหานครและปรมณฑล (อาจเลอกมาศกษาจานวนหนงแทนจานวนทงหมด) ตวแปรทสนใจคอคาใชจายในการเรยนกวดวชาของนกเรยนแตละคนทอาจมคาแตกตางกน

2. ตวแปรสมทมการแจกแจงความถ (หรอการแจกแจงความถสมพทธ) ทมลกษณะสมมาตรคลายระฆงความอยมากมายในธรรมชาต และกระบวนการผลต เชน นาหนก ความสง คะแนนเชาวนปญญา ขนาดบรรจของสนคาความทนตอแรงดงของสายเคเบล และอนๆ ตวแปรสมปกต จะเปนตวแปรสมรปแบบหนงทมลกษณะดงกลาวการแจกแจงความถหรอความถสมพทธของตวแปรสมปกต เรยกวา การแจกแจงปกต และเสนโคงของการแจก-แจงเรยกวา เสนโคงปกต มลกษณะสมมาตรคลายระฆงควา

3. สมบตของการแจกแจงปกต ให x เปนตวแปรสมปกตทมคาเฉลย µ และคาเบยงเบนมาตรฐาน σ1. เสนโคงของการแจกแจงความถหรอความถสมพทธของ x เปนโคงสมมาตรคลายระฆงควา เรยกวา

โคงปกต แกนสมมาตรตงอยบนคาเฉลย µ

แกนสมมาตร โคงปกต

xµ

2. สาหรบขอมลของตวแปร x ทมการแจกแจงปกตคาทสงเกตไดประมาณ 68.26% มคาอยในชวง [µ - σ, µ + σ]คาทสงเกตไดประมาณ 95.44% มคาอยในชวง [µ - 2σ, µ + 2σ]คาทสงเกตไดเกอบทงหมด (99.74%) มคาอยในชวง [µ - 3σ, µ + 3σ]

34.13% 34.13%

xz -1

µσµ - σµ + 10

47.72% 47.72%

xz -2 20

σµ 2 - µ σµ + 2

49.87% 49.87%

xz-3 30

σµ + 3 µσµ 3-


4. ตวแปรสมปกตมาตรฐาน และการแจกแจงปกตมาตรฐาน ตวแปรสมปกตมาตรฐาน คอ ตวแปรสมปกตทมคาเฉลย µ = 0 และคาเบยงเบนมาตรฐาน σ = 1 นยมใช z แทนตวแปรสมปกตมาตรฐาน การแจกแจงความถสมพทธของตวแปรสมปกตมาตรฐาน เรยกวา การแจกแจงปกตมาตรฐาน

ตวแปรสมปกต x ใดๆ ทมคาเฉลย µ และคาเบยงเบนมาตรฐาน σ สามารถแปลงเปนตวแปรสมปกต

มาตรฐาน Z ไดโดยใชสตร Z = σµ x - พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานเทากบ 1 (หรอ 100%) ดงนนพนท

ใตเสนโคงปกตมาตรฐานบนชวง [a, b] ใดๆ จงอาจแปลความหมายเปนปรมาณของคาทสงเกตไดของขอมลทมคามาตรฐานอยบนชวง [a, b] เชน ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลย µ = 55 และคาเบยงเบน-มาตรฐาน σ = 5 แลวคาทสงเกตได x บนชวง 50 ≤ x ≤ 65 มปรมาณเทากบพนทใตโคงปกตมาตรฐานบนชวง-1 ≤ Z ≤ 2 ซงอานจากตารางได 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 หรอ 81.85% ของจานวนคาทสงเกตไดทงหมดของขอมล

50 55 65x

0.34130.4772

-1 0 2z


สถต : การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปร

สาหรบขอมลซงประกอบดวยคาของตวแปร 2 ตว เชน x และ y เราอาจสนใจทจะศกษารปแบบของความสมพนธวาตวแปรตวหนงเชน y มความสมพนธกบตวแปรอกตวหนงเชน x อยางไร ความสมพนธระหวางตวแปรอาจมรปแบบเปนฟงกชนเชงเสนหรอไมเชงเสนกได ในทนจะทบทวนเฉพาะความสมพนธในรปแบบฟงกชนเชงเสนเทานน

สมมตวาเรามขอมล (x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn) และเราตองการหาสมการของความสมพนธในรปแบบฟงกชนเชงเสน y = mx + c ทเหมาะสม (fit) กบขอมลมากทสด สงทจะตองหาคอคาของ m และ c ซงคานวณจากขอมลทมอยโดยใชสมการปกต

1.

∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

= =

+=

+=

n

1i

n

1i

n

1ii

2iii

n

1i

n

1iii

xc xm yx

nc xm y

หรอจะคานวณ m และ c จากสตรตอไปนเลยกได (ซงกไดจากการแกสมการปกตนนเอง)

2.

=

=

∑∑

∑∑∑

==

===

xm y c

)x( )xn(

)y)(x( yxn m

2n

1ii

n

1i2i

n

1ii

n

1ii

n

1iii

-

-

-

ถาเปนขอมลอนกรมเวลา (คาของตวแปร y ทเกบรวบรวมตามลาดบเวลา โดยมระยะหางในการจดเกบเทากนทกงวด) ใหคดเสมอนวาเปนขอมล (xi, yi) เมอ xi แทนเวลาทเกบคาของ y ในงวดท i ถาเรากาหนดคา

ของ xi แทนเวลาในลกษณะททาให ∑=

n

1iix = 0 จะทาใหเราสามารถคานวณคาของ m และ c ในสมการ y = mx + c

ไดงายขน ดงน

3.

=

=

∑

∑

=

=

y c

x

yx m n

1i2i

n

1iii


การกาหนดคาของ xi แทนเวลาเมอตองการให ∑=

n

1iix = 0 มวธการดงน

กรณท 1 จานวนงวดเวลา (n) เปนจานวนคให x = 0 แทนงวดเวลาตรงกลาง และให x มคาตางกน 1 สาหรบงวดเวลาทอยตดกน เชน

ถามขอมล y จานวน 9 ป (งวด) งวดท 5 เปนงวดตรงกลาง แทนดวย x = 0

ป พ.ศ. 2540 2541 2542 2543 2544 2545 2546 2547 2548x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

กรณท 2 จานวนงวดเวลา (n) เปนจานวนคให x = -1 และ 1 แทนงวดเวลาตรงกลาง 2 งวด และให x มคาตางกน 2 สาหรบงวดเวลา

ทอยตดกน เชน ถามขอมล y จานวน 8 ป (งวด) งวดท 4 และงวดท 5 เปนงวดตรงกลางแทนดวย x = -1และ 1 ตามลาดบ

ป พ.ศ. 2540 2541 2542 2543 2544 2545 2546 2547x -7 -5 -3 -1 1 3 5 7


1. กาหนดพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง z = 0 ถง z = 1 เทากบ 0.3413 ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงซงมจานวน 20000 คน มการแจกแจงปกตแลวจานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนซงตางจากคะแนนเฉลยมากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบขอใด1) 3413 *2) 6348 3) 6824 4) 13652

2. อายของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกตทมความแปรปรวนเทากบ 4 และมนกเรยนจานวน 50.4% ทมอายไมเกน 14 ป เมอพจารณาอายของนกเรยนหองนในอก 2 ปขางหนา และให a แทนตาแหนงเปอรเซน-ไทลของนกเรยนทอาย 16 ป ให b แทนจานวนเปอรเซนตของนกเรยนทมอาย (ป) อยในชวง [14, 16] แลวa และ b มคาเทากบเทาใดกาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน ระหวาง 0 และ z ดงน

Z 0.01 0.99 1.01 2.65A 0.004 0.3389 0.3438 0.496

1) a = 50.4, b = 33.78% *2) a = 50.4, b = 34.29%3) a = 99.6, b = 33.78% 4) a = 99.6, b = 34.29%


3. ในการสอบวชาหนงมนกเรยนสอบ 2 หอง คอ หอง ก และหอง ข พบวาคะแนนสอบของทง 2 หองมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากน และเทากบ a สมประสทธของการแปรผนของคะแนนของนกเรยน

หอง ก และหอง ข เทากบ c และ c + a5 ตามลาดบ ถาในการสอบครงน เดกหญงสดใสซงอยหอง ก และ

เดกหญงสมรซงอยหอง ข ทาคะแนนไดในตาแหนงเปอรเซนไทลท 78.81 ทงคแลวเดกหญงสมรไดคะแนนมากกวาเดกหญงสดใสกคะแนน กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน ระหวาง 0 และ z ดงน

Z 0.70 0.80 0.90A 0.2580 0.2881 0.3159

1) 5 *2) 4 3) 3.5 4) 24. การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนการแจกแจงปกต ถานกเรยนทมความสงมากกวา 149.4

เซนตเมตร มอย 3% และนกเรยนทมความสงนอยกวาฐานนยมแตมากกวา 136.5 เซนตเมตร มอย 25.8%แลวฐานนยม และความแปรปรวนของความสงของนกเรยนกลมนมคาเทาใด ตามลาดบกาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน ดงน

Z 0.3 0.7 1.49 1.88พนท 0.1179 0.2580 0.4319 0.4700

1) 144.4 และ 5 2) 144.4 และ 25 3) 140 และ 5 *4) 140 และ 255. จากรายการซอมแซมเครองซกผา 6 เครอง ปรากฏผลดงน

เครองซกผาเครองท 1 2 3 4 5 6จานวนปทใชงาน : X 1 2 3 2 1 3

คาซอมแซมตอป : Y (รอยบาท) 4 7 10 8 3 10

สมการทใชแทนความสมพนธเชงฟงกชนสาหรบการประมาณคาซอมแซมจากจานวนปทใชคอขอใด *1) Y = 3.25X + 0.5 2) Y = 3.5 X + 0.5 3) Y = 3.5X + 0.75 4) Y = 3.75X + 0.25

6. ถานาปรมาณขาวกลองทรานคาแหงหนงขายไดรายปตงแตป พ.ศ. 2537 ถงป พ.ศ. 2546 (y) (หนวยเปนกโลกรม)มาสรางความสมพนธเชงฟงกชนกบชวงเวลา (x) โดยกาหนดใหป พ.ศ. 2541 และ 2542 มคา x = -1 และ 1ตามลาดบ แลวไดความสมพนธเชงฟงกชนของปรมาณขาวกลองทรานคาแหงนขายไดโดยประมาณ คอ

y = 192 + cxถาทานายโดยใชความสมพนธน ปรากฏวาปรมาณขาวกลองทรานคาแหงนขายไดในป พ.ศ. 2547 โดยประมาณเทากบ 316.3 กโลกรม แลวในป พ.ศ. 2548 จะทานายวาปรมาณขาวกลองทรานคาแหงนขายไดโดยประมาณเทากบเทาใด (ตอบ 338.9)


7. ในการศกษาความสมพนธเชงฟงกชนของปรมาณนมโดยเฉลย (ลตร) ทเดกแตละคนในตาบลหนงบรโภคตอป (y)ระหวางป พ.ศ. 2538-2545 พบวาเมอเปลยนชวงเวลาใหอยในรปคาของ x ดงน

พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545x -7 -5 -3 -1 1 3 5 7

จะไดสมการแสดงความสมพนธ (ทศนยม 2 ตาแหนง) เปนy = 0.54x + 38.85

ถาใชความสมพนธนทานายปรมาณนมโดยเฉลยทเดกแตละคนในตาบลนบรโภคใน พ.ศ. 2547 แลวจะไดวาปรมาณนมโดยเฉลยทเดกแตละคนบรโภคโดยประมาณเทากบเทาใด (ตอบ 44.79)

8. จากการศกษาความสมพนธระหวางยอดขาย (y) (หนวยเปนหมนบาท) ของพนกงานขายประกนในบรษทประกนภยแหงหนงกบประสบการณการขาย (x) (หนวยเปนป) ของพนกงานขายโดยเกบขอมลจากพนกงานขายประกน 8 คน ไดขอมลดงน

∑=

8

1iix = 48, ∑

=

8

1iiy = 41, ∑

=

8

1iii yx = 286, ∑

=

8

1i2ix = 348

พจารณาขอความตอไปนก. ถาพนกงานขายประกนคนหนงมประสบการณขาย 6 ป ยอดขายโดยประมาณของพนกงานคนน

เทากบ 51,250 บาทข. ประสบการณในการขายเพมขน 1 ป ทาใหยอดขายประกนเพมขน 11,250 บาท

ขอใดถก1) ก. และ ข. ถก *2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

9. ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

Z 0.016 0.168 1.5 2.5พนทใตเสนโคง 0.0062 0.0668 0.4332 0.4938

ถาคะแนนสอบเขามหาวทยาลยของนกเรยนจานวน 10000 คน มการแจกแจงปกตและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 58 คะแนน โดยมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 6 คะแนน แลวมนกเรยนทมคะแนนระหวาง 49-73คะแนนมกคน1) 4394 คน 2) 5606 คน 3) 7300 คน *4) 9270 คน


10. สมศกดสอบวชาคณตศาสตรสองครงโดยทไดคามาตรฐานของคะแนนสอบครงทหนง เปน 1.96 และไดคาคะแนนสอบครงทสองคดเปนตาแหนงเปอรเซนไทลท 98.3 ในการสอบทงสองครงน คะแนนสอบมการแจกแจงปกตโดยมคะแนนเฉลยเทากนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงทหนงและครงทสองเทากบ 10 และ 5 ตามลาดบ กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 และ z

Z 1.53 1.96 2.12 2.35พนทใตเสนโคง 0.4370 0.4750 0.4830 0.7906

พจารณาขอความตอไปนก. คะแนนสอบทไดในครงทหนงนอยกวาครงทสองข. คามาตรฐานของคะแนนสอบครงทหนงนอยกวาครงทสอง

ขอใดตอไปนถก1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด *3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด

11. ถานาหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกตโดยมมธยฐานเทากบ10 กโลกรมและสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.2 แลว นกเรยนทหนกมากกวา 13 กโลกรมและหนกนอยกวา 8 กโลกรมคดเปนกเปอรเซนต กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 และ z

Z 0.75 1 1.25 1.5พนทใตเสนโคง 0.2734 0.3413 0.3944 0.4332

1) 9.19% *2) 22.55% 3) 40.81% 4) 69.19%12. ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลชดหนงระหวางตวแปร x และ y มกราฟเปนเสนตรง โดยท

,32 x8

1ii∑

== ,16 y

8

1ii∑

== ,32 x

8

1ii∑

== ,32 x

8

1ii∑

== ,34 y

8

1i2i∑

== ถา x = 8 แลวจะประมาณคาของ y

ไดเทาใด (ตอบเปนทศนยมสองตาแหนง) (ตอบ 2.33)13. คะแนนสอบวดแววครครงหนงมการแจกแจงปกต พชราและเทพเกสรเขาสอบในครงนดวย ถามจานวนผเขา

สอบทสอบไดคะแนนมากกวาพชรา 5.7% และมจานวนผเขาสอบทสอบไดคะแนนนอยกวาเทพเกสร16.6%พชราสอบไดคะแนนมากกวาเทพเกสร 51 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงนเทากบเทาใดกาหนดพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 และ z บางคาดงน

Z 0.97 1.58พนทใตเสนโคง 0.33 0.44

*1) 20 2) 25 3) 400 4) 625



2. เฉลย 2) เนองจากปจจบนมนกเรยนจานวน 50.4% ทมอายไมเกน 14 ปดงนน อก 2 ปขางหนาจานวนนกเรยนทมอายไมเกน 16 ปม 50.4% (เพราะวานกเรยนทมอาย

ไมเกน 14 ปในปจจบนอก 2 ปกจะมอายไมเกน 16 ป) ดงนน ตาแหนงเปอรเซนไทลของนกเรยนทอาย 16 ปเทากบ a = 50.4

พจารณาอายปจจบน : เราหาคาเฉลยเลขคณตของอายได ดงนให x แทนอายปจจบนเนองจากนกเรยนอายไมเกน 14 ปม 50.4% และพนทใตโคงปกตมาตรฐานทางซายของ z = 0.01

เทากบ 0.504 หรอ 50.4%

0.50.004

xxµ x = 140 z = 0.01 z

ดงนน x = 14 มคามาตรฐานเทากบ z = 0.01

xxx

σµ- = z

214 xµ- = 0.01

xµ = 13.98

พจารณาอายในอก 2 ปขางหนา :ให y แทนอายในอก 2 ปขางหนา หรอ y = x + 2คาเฉลยเลขคณตของ y คอ yµ = 13.98 + 2 = 15.98 และคาเบยงเบนมาตรฐาน yσ = xσ = 2คามาตรฐานของ y = 14 คอ z14 = 2

15.9814 - = -0.99

คามาตรฐานของ y = 16 คอ z16 = 215.9816 - = 0.01

0.3389 0.004

xy = 160 z = 0.01 zy = 14

z = -0.99yµ

พนทใตโคงปกตมาตรฐานระหวาง z14 = -0.99 และ z16 = 0.01 คอ 0.3389 + 0.004= 0.3429 หรอ b = 34.29%


5. เฉลย 1) เตรยมขอมลเพมเตมเพอคานวณสมการเชงเสนสาหรบใชประมาณความสมพนธระหวาง X และY ดงน

X Y X2 XY1 4 1 42 7 4 143 10 9 302 8 4 161 3 1 33 10 9 30

รวม 12 42 28 97

รปแบบความสมพนธทเราเลอกใช คอY = mX + b

คาของ m และ b หาไดจากสมการปกต

∑=

N

1iiY = m ∑

=

N

1iiX + Nb

∑=

N

1iiiYX = m ∑

=

N

1i2iX + b ∑

=

N

1iiX

แทนคาผลบวกตางๆ จากตารางขางบน จะได42 = m(12) + 6b97 = m(28) + 12b

แกระบบสมการได m = 413 = 3.25 และ b = 2

1 = 0.5

จะได Y = 3.25X + 0.5


6. เฉลย 338.9คาของ x สมพนธกบป พ.ศ. ดงน

พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545 2546 2547 2548x -1 1 3 5 7 9 11 13

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวาง x และ y คอ y = 192 + cxคาของ c อาจหาไดจากเงอนไขทกาหนดใหวา ในป พ.ศ. 2547 หรอ x = 11 ปรมาณขาวกลองท

ขายได คอ y = 316.3 กโลกรม เมอทานายโดยใชความสมพนธดงกลาว316.3 = 192 + 11c

c = 11.3ดงนน ความสมพนธเชงฟงกชนระหวาง x และ y คอ y = 192 + 11.3xสาหรบป พ.ศ. 2548 หรอ x = 13 ปรมาณขาวกลองทรานคาแหงนขายไดโดยประมาณเทากบ y

= 192 + 11.3(13) = 338.9 กโลกรม

01 2 a net 2 - kuheem.files.wordpress.com · โครงการแบรนด...

Documents