00701 20090525 teorijske raspodele - predavanja

1

Teorijske raspodele verovatnoTeorijske raspodele verovatnoćće e u hidrologijiu hidrologiji

Normalna i log-normalna raspodela

Gumbelova raspodela

Pirson III i log-Pirson III raspodela

nazad >

primer >

NormalnaNormalna raspodelaraspodela

Gustina raspodele:

Funkcija raspodele:

računa se na osnovu tablica standardne normalne raspodele

∞<<∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= xxxf ,2

)(exp2

1)( 2

2

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

duuxFx

∫∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σμ−

−πσ

= 2

2

2)(exp

21)(

0.5

μ

2


Parametri:μ – srednja vrednost (μ = μ’1)σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)

Važna osobina: simetričnost (Cs = 0)

x

f(x)

μ

F(x)

x

1

0

0.5

μμ – parametar

lokacije

σ – parametarrazmere

σ1

σ2

σ1

σ2


Standardna normalna raspodela

smena:

standardna normalna raspodela = normalna raspodela sa parametrima

Tablice standardne normalne raspodele

σμ−

=XZ

1,0 =σ=μ

F (z ) z F (z ) z0.001 -3.090 0.5 0.0000.002 -2.878 0.6 0.2530.005 -2.576 0.7 0.5240.01 -2.326 0.75 0.6740.02 -2.054 0.8 0.842

0.025 -1.960 0.9 1.2820.05 -1.645 0.95 1.6450.1 -1.282 0.975 1.9600.2 -0.842 0.98 2.054

0.25 -0.674 0.99 2.3260.3 -0.524 0.995 2.5760.4 -0.253 0.998 2.878

0.999 3.090

3

Normalna raspodelaNormalna raspodela

Određivanje parametara na osnovu uzorka

Postupak proračuna

F = NORMSDIST(z)z = NORMSINV(F)


)()(TAB xFzFS

xxzx XZx

=⎯⎯ →⎯−

=→

xZX SzxxzzFxF ⋅+=→⎯⎯ →⎯= TAB)()(

xSx

=σ=μ

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela

Primena normalne raspodele na logaritmovane podatkeako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodeluparametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza

YY σμ ,

F(y)

y = log x

1

0

0.5

μY

4

LogLog--normalna raspodelanormalna raspodela


Postupak proračuna



yY

Y

Sy

=σ=μ

)()()(log TAB xFyFzFS

yyzxyx XYZy

==⎯⎯ →⎯−

=→=→

yyZX xSzyyzzFxF 10)()( TAB =→⋅+=→⎯⎯ →⎯=

Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela

Gustina raspodele:

Funkcija raspodele:

Inverzna funkcija raspodele:

Drugi nazivi:dvostruko eksponencijalna raspodelaraspodela ekstremnih vrednosti I tipa

∞<<∞−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−α−

−α

= xuxuxxf ,expexp1)(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

α−

−−=uxxF expexp)(

)]lnln([)( FuFx −−α+=

x

f(x)

0

5


parametri:α – parametar razmereu – parametar lokacije

osobine:srednja vrednost μ(u,α)standardna devijacija σ(u,α)

koef. asimetrije Cs = 1.14

x

f(x)

u

α1

α2 > α1

u – parametarlokacije

α – parametarrazmere

απ

=σ

α+=μ

6

5772.0u


Standardna Gumbelova raspodelaGumbelova raspodela sa parametrima u = 0, α = 1

Smena:

Funkcija raspodele:

Inverzna funkcija raspodele:

yeeyF−−=)(

)lnln()( FFyG −−=

α−

=uXYG

Cs = 1.14

y

f(y)

0

6



Postupak proračuna

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

F = EXP(–EXP(–y))y = –LN(–LN(F))

x

x

SSxu

78.045.0

=α−=

)()( xFeyFuxyx Xe

Yy==→

α−

=→−−

α⋅+=→−−=→= yuxFyyFxF YX )lnln()()(

Pirsonova raspodela III tipaPirsonova raspodela III tipa

Troparametarska gama raspodela

gustina raspodele:

parametri:α – parametar oblika, β – parametar razmere, γ – parametar lokacije

0,)(

1)( /)(1

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βγ−

αΓβ= βγ−−

−α

xexxf x

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f(x)

α = 1

α = 2

α = 4

β = 1

β = 2β = 4

β = 1γ = 0

α = 1γ = 0

7


Osobine:troparametarska - lakše prilagođavanjeasimetrična, koeficijent asimetrije zavisi od parametra α– prilagođava se koeficijentu asimetrije osmotrenog nizaza Cs = 0 postaje normalna raspodela

ProračunTablice faktora frekvencije KP(F, Cs)

α= /2sC

μ+⋅σ= )()( FKFX P



Postupak proračuna

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csx > 0: F = GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – c)/b,a,1,TRUE)x = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α xcS

csxx

sx

,2

,42

)( za TAB xFcS

xxKx Xsx

xP ⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→

xPPsx

X SKxxKcxF ⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯ za TAB)(

KP – faktorfrekvencije

8

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela

Log-Pirson III raspodelaako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodeluprimena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke

LogLog--Pirson III raspodelaPirson III raspodela


Postupak proračuna

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

Csy > 0: F = GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(F,a,1)

Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – c)/b,a,1,TRUE)y = c + b * GAMMAINV(1 – F,a,1)

αβ−=γ⋅

=β=α ycS

csyy

sy

,2

,42

)()(log za TAB

xFyFc

SyyKxyx XY

sy

yP =⎯⎯⎯⎯ →⎯

−=→=→

yyPP

syX xSKyyK

cxF 10)(

za TAB=→⋅+=→⎯⎯⎯⎯ →⎯

00701 20090525 teorijske raspodele - predavanja

Documents