Num

ero 1 Gen-Apr 2018 Volum

e 10 serie XIV anno CXXVIIIPeriodico di m

atematiche

La Matematica in Italia è ancora da salvare? Quod scholae sectabor iter? 3

EDITORIALE

La Matematica in Italia è ancora da salvare? Quod scholae sectabor iter?

Mathematics in Italy is still to be saved? Quod scholae sectabor iter?

Emilio Ambrisi

Abstract

The presentation of Villani Report in France brings back to the Italian experience with the establishment of the national technical committee of mathematicians (in 2007) and its repeatability in the current situation of the school system characterized by a normative excess, a plethora of educational and training requests and a general state of weakness.

A metà febbraio scorso la stampa internazionale ha dato particolare ri-lievo alla presentazione del Rapporto Villani stilato per incarico del

governo francese di Emmanuel Macron. Un segnale che l’idea era piaciuta. Era piaciuta cioè l’idea di governare centralmente il problema di migliorare le sorti dell’apprendimento della matematica e di affidarne la soluzione ad uno dei nomi più prestigiosi della matematica mondiale: Cedric Villani, classe 1973, medaglia Fields del 2010 e attualmente anche deputato della Repubblica (vedi Editoriale PdM 1/2013). Un’iniziativa politica dunque di indubbio successo che qualche titolo di stampa ha efficacemente sintetizzato: “Si possono salvare le matematiche in Francia? le 21 misure di Villani.” Quelle “misure” elencate nel Rapporto sono state ovviamente lette e analizzate un po’ dappertutto senza però suscitare grandi entusiasmi. Ciò nonostante la rilevanza dell’iniziativa è rimasta inalterata e da noi, in Italia, qualcuno, incoraggiato dal clima politico post elettorale, ha pensato che emularla potesse essere, almeno per l’impat-to mediatico, una buona presentazione dell’azione del governo che si sta per costituire. È vero, non abbiamo Villani, ma qualche matematico di grido c’è e l’avvenimento inserito in un programma di governo non potrebbe che essere accolto bene. Questo è quel che da taluni si è proposto dimenticando, forse, che

Futurismo e Matematica 4 - Ardengo Soffici, per un’estetica futurista o del nuovo mondo 9

Futurismo e Matematica 4

Ardengo Soffici, per un’estetica futurista o del nuovo mondo

Ardengo Soffici, towards a futurist aesthetics or of a New World

Ugo Piscopo

Abstract Ardengo Soffici, writer and artist, fervid temperament, as young sym-pathizer with European movements of vanguard, as impressionism, postimpressionism, modernist requiring of new (Picasso, Modigliani, Cocteau), from 1900 to 1907 lived in Paris and wrote the first Italian monograph about Rimbaud. From 1912 to 1916 he was futurist and after, with Palazzeschi and Papini, he went out of this movement, but for some years he continued to think as futurist artist. He originally contributed to discussions about a new art and a new aesthetic. His idea was similar to other futurists, but also more significant and rich of inquiries. So, about the problem of connection among new art and scientist languages and progress, above all chemistry, he proposed a new, exciting way of apperception text.

oeta, saggista, prosatore, pittore, teorico di estetica, polemista, Ar-dengo Soffici (1879-1964), che portava nel nome barbagli di accen-

sioni e di fiamme, ha vissuto l’esistenza e la sua attività come un’avventura al calor bianco, d’impulso di tensioni estreme. Non fa, quindi, meraviglia che, nelle rivisitazioni critiche sia, se non una specie di Ufo, certamente una figura controversa. D’altronde, è questo il destino dei personaggi plurali, per sovrappiù reattivi sul campo alle banalità, alle coattività, alle rimozioni. E la rimozione sociale, che non perdona mai, alla sua scomparsa si vendicò, cer-cando di affondarne la memoria nell’oblio e cancellandone le tracce in nome di una nuova Italia, uscita dalle rovine della guerra e dai disastri del fasci-smo. Sulla sua attività, fu apposto un timbro di damnatio capitis e la sua pra-tica fu girata agli archivi.

Ma, al di là delle condanne e delle espulsioni ideologiche, Ardengo Sof-fici è ancora vivo e attuale. Di lui, occorre riscoprire ancora la spontaneità,

P

Benedetto Croce, la Scienza e l’Arte 23

Benedetto Croce, la Scienza e l’Arte

Benedetto Croce’s Thought on Science and Art

Biagio Scognamiglio

Abstract

Nowadays there is a revival season of debates on the philosophy of Benedetto Croce. His judgments about science and art are the subject of widely conflicting points of view. In this essay we try to show some contradictions of his philosophical system, that others try instead to revalue. In his philosophical system science, mathematics, the arts do not have the right relief. Its precious inheritance is not the philosophy, but the commitment to freedom.

“Der poetische Philosoph ist «en état de créateur absolu».

Ein Kreis, ein Triangel werden schon auf diese Art kreiert”. Novalis

Pro e contro Benedetto Croce

el precedente numero di questo periodico Ugo Piscopo col suo saggio F. De Sanctis, la scienza e l’arte ha reso giustamente onore a

un irpino illustre suo predecessore. A tale riconoscimento si riconnette nella memoria culturale la linea Giambattista Vico – Francesco De Sanctis – Benedetto Croce, per quanto lo storicismo e l’estetica dei predecessori abbiano caratteristiche non del tutto coincidenti con lo storicismo e l’estetica del filosofo di Pescasseroli. Croce: fu vera gloria? Se a noi posteri spetta l’ardua sentenza, allora potremmo dire che gloria fu. Se lo sia ancora, nel nostro paese a tutt’oggi è rinnovato oggetto di discussione, come se le complesse problematiche nel frattempo sopraggiunte potessero essere affrontate ritornando alle reviviscenze neoidealistiche italiane dell’idealismo tedesco. Fra i recenti tentativi di rivalutare il neoidealismo è da ricordare, ad esempio, il saggio di Ernesto Paolozzi Croce dopo Croce: appunti per un bilancio e una prospettiva, disponibile in rete. Nonostante l’impegno dell’autore citato, controversi restano i pareri circa l’atteggiamento del filosofo neoidealista nei confronti della scienza e in particolare della matematica, come risulta dal dialogo, anch’esso disponibile in rete, tra

N

Donne e matematica in Italia 33

Donne e matematica in Italia

Women and Mathematics in Italy

Maria Teresa Borgato - Rudy Salmi1

Abstract

The goals are described as well as the principle materials prepared for an exhibition on the role of women in mathematical culture from the sixteenth to the twentieth centuries in Italy with particular focus on the territory of Ferrara. The exhibition, illustrated by fifteen origi-nal panels, has been enriched by the display of documents from the Historical Archive of the University of Ferrara, as well as related modern and antique books. Research on the unedited material allowed us not only to enhance the scientific biography of an important figure like Margherita Beloch but also make an in-depth study of her contri-bution to origami geometry. The exhibition may be considered a pro-totype of analogous initiatives which, besides providing the possibility of teaching laboratories, contribute to a historical reconstruction of women’s role in science.

1. Introduzione

’ispirazione iniziale della mostra nasceva dalla volontà di indagare il contributo femminile alle discipline matematiche in Italia, e il ruolo del-

le donne nella ricerca e nell’insegnamento universitario della matematica. Per una visione più generale delle donne in relazione alla matematica, si è

dunque partiti dai quattordici pannelli della bella mostra del Giardino di Ar-chimede: Numeri Rosa, che si occupa di donne celebri nel mondo, e mette anche in evidenza il progresso femminile nell’istruzione universitaria, di pari passo con la stessa emancipazione della donna nella società e nelle profes-sioni. Mancava però un’attenzione specifica alle donne e la matematica in Italia.

1 Dipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Ferrara. E-mail: bor@unife.it;

rudy.salmi@unife.it .

L

Storia del “metro” 53

Storia del “metro”

History of the meter

Domenico Bruno

Abstract

The story of the units of measuring length is narrated, through the various definitions given and the samples made.

“Mai niente di più grande e di più semplice, di più coerente in tutte le sue parti, è uscito dalla mano degli uomini” Antoine - Laurent Lavoisier (Parigi 1743-1794)

l “metro” (simbolo [m]) è l’unità di misura della lunghezza nel “ Si-stema Internazionale di unità “ (SI), adottato dalla “ XI Conferenza

Generale di Pesi e Misure “, riunita a Parigi tra l’11 e il 20 ottobre 1960. In questo articolo farò vedere come, negli anni che vanno dal 1791 al 1983,

del metro sono state date ben 4 definizioni: 3 basate su un campione naturale, indistruttibile e invariabile nel tempo, ed una (la seconda) su un campione convenzionale, soggetto ad usura e a mutamenti col passare degli anni.

1. Nel corso della storia, l’uomo ha ideato un numero incredibile di u-

nità di lunghezza. Gli Egiziani adottarono il “cubito filateriano”, lunghezza dell’avambraccio

misurata dal gomito alla punta del dito medio, equivalente a 0,525 m. I Greci impiegavano il “ piede attico” = 0,296 m ; lo “stadio” valeva 600

piedi = 177,60 m. I Romani introdussero il “piede” = 4 “palmi” = 16 “dita” = 0,2957 m. Gli Inglesi introdussero come unità di misura delle lunghezze il “pollice”

(“inch”) = 2,54 cm, il “piede” (“foot”) = 12 pollici = 30,48 cm e la “yarda” (“yard”) = 3 piedi = 91,44 cm.

Il re Enrico I (1068- 1135) fece definire la “yarda inglese” come la di-stanza fra la punta del suo naso e l’estremità del dito medio della mano sini-stra alzata fino all’altezza della spalla.

I

Ruote poligonali 59

Ruote poligonali

Poligonal wheel

Mario Nocera 1

Abstract

The first of two problems given to High School students (scientific branch) participating to the mathematics final state diploma exam in 2017 asked the following question: “Is it possible to comfortably pedal on a quad bike bicycle?” It will be shown that the answer to this problem is a particular solution of a more general case in which the wheels are considered as regular polygons. The solution is a periodic sequence of inverted catenary arches, a curve that solves an ordinary differential equation with separable variables.

n ogni epoca la ruota quadrata è stata vista come un elemento bizzarro e assurdo.

“Reinventare la ruota quadrata” è un modo per dire che si è scelto di vivere o di pensare in contrapposizione con l’opinione comune e spesso in ambito scientifico è inteso come scelta di un modello opposto al paradigma universalmente accettato, addirittura è considerato come un approccio negativo per ricercare soluzioni al problema studiato.

Ma è proprio così? In ambito didattico l’espressione la si utilizza per ribaltare quanto detto

sopra, infatti, la frase “inventare una bicicletta a ruote quadrate” viene formulata per chiedere agli studenti di non utilizzare soluzioni già note e di tipo standard, ma di risolvere e porsi problemi in modo originale, al fine di consentire alla classe di comprendere tutti gli aspetti della soluzione.

1 Dirigente scolastico I.C.S. “Edmondo De Amicis” di Succivo (CE)

I

Somma e differenza delle funzioni goniometriche inverse 65

Somma e differenza delle funzioni goniometriche inverse

Addition and subtraction of goniometric inverse functions

Giuseppe Ferdinando Ariano1

Abstract

This paper provides a complete proof for addition and subtraction of the inverse sine, cosine, and tangent, respectively. The work has had origin from the need to detail the materials disposable either in the Internet or in the literature. Those materials are quite incomplete, so the author has decided to organise a detailed proof.

1. Formule per somma e differenza di arcoseni 1.1 Formule per la somma

Cominciamo con il proporre la seguente uguaglianza:

arcsinx + arcsiny = arcsin[sin(arcsinx+arcsiny)]= arcsin[sin(arcsinx)cos(arcsiny)+sin(arcsiny)cos(arcsiny)]

Si tratta di proposta, dato che si basa sulla relazione

sin(arcsinx)=x valida solo per −1 ⩽ 𝑥𝑥 ⩽ 1.

Attraverso la formula di addizione per il seno, dato che

cos(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥) = �1 − sin2(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥) = �1 − 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ∈ [−1,1] essa si trasforma in

arcsinx+arcsiny=arcsin(𝑥𝑥�1 − 𝑦𝑦2+y�1 − 𝑥𝑥2)

1 ISISS “Fiani Leccisotti” - Indirizzo Scientifico- Torremaggiore (Fg) email: pepariano@gmail.com

Palle di neve ed equazioni differenziali 77

Palle di neve ed equazioni differenziali1

Snowball melting and differential equations

Francesco Daddi2

Abstract

Mathematics teaching in recent decades has undergone radical chang-es: the purpose is no longer to be able to meticulously carry out long and demanding calculations; today, with the advent of computers, so-called "design" capabilities have become much more relevant, such as modeling real problems, knowing how to use various types of lan-guages, interpreting statistical data and controlling the reasonableness of the calculations made using a computer. Specifically, this article pre-sents a problem regarding the speed of melting a snowball; various models are presented describing the phenomenon and, for each of them, the solution of the relative differential equation is presented.

n questo articolo si mostra un’attività didattica svolta nella classe 5A del Liceo Scientifico “Carducci” di Volterra nell’anno scolastico

2016/2017. Dalle Indicazioni Nazionali (nel seguito I.N.) si legge “Altro im-portante tema di studio sarà il concetto di equazione differenziale, cosa si intenda con le sue soluzioni e le loro principali proprietà, nonché alcuni e-sempi importanti e significativi di equazioni differenziali, con particolare riguardo per l’equazione della dinamica di Newton”. Non ho avuto molte ore a disposizione per poter trattare in modo approfondito l’argomento, ma ho comunque cercato di evidenziare l’importanza della modellizzazione dei fenomeni fisici, evitando quindi una didattica improntata all’addestramento basato su “tecnicismi ripetitivi o casististe sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei concetti”. Sono convinto che sia molto importante lavorare sul concetto stesso di modello matematico, come d’altra parte ribadiscono le I.N. (“possibilità di rappresentare la stessa clas-se di fenomeni mediante differenti approcci”) e sulla “costruzione e analisi di semplici modelli matematici di classi di fenomeni, anche utilizzando stru-menti informatici per la descrizione e il calcolo”.

1 Il lavoro ha ricevuto la menzione speciale al Premio “Bruno Rizzi” 2017 2 Istituto di Istruzione Superiore “G. Carducci” Volterra (PI)

I

Generalizzazione di un teorema di Archimede 85

Generalizzazione di un teorema di Archimede

Generalization of an Archimedes theorem

Oscar Covato1

Abstract

In this paper the author provides the generalization of Archi-mede’s theorem for every kind of parabolic equation, study-ing a particular example and showing integral calculations.

1 Introduzione

La Geometria Analitica è quella branca della Geometria che studia le figurepiane e i luoghi geometrici mediante un sistema di coordinate dette coordinatecartesiane.

Durante i miei studi mi sono imbattuto in vari teoremi riguardanti questoambito; fra tutti mi ha suscitato particolare attenzione il teorema di Archimedesui segmenti parabolici. In questo articolo cercherò di illustrare la generaliz-zazione del teorema precedentemente citato per qualunque curva parabolicatrinomia; cercherò quindi di dimostrare che il legame intrinseco che c’è fra l’a-rea del segmento parabolico e quella dell’apposito rettangolo è determinabileda una legge generale che dipende dal grado dell’equazione trinomia studiata.

Si dice area di segmento parabolico S l’area compresa fra una qualunqueretta y = q che interseca la parabola nei punti A e B, e la parabola stessa.Si disegni la tangente passante per il vertice della parabola e si traccino lerispettive proiezioni dei punti A e B sulla tangente stessa; si consideri il rettan-golo ABDC formatosi.

Teorema 1 (di Archimede) . Larea di un segmento parabolico di base AB è i2/3 dellarea del rettangolo ABDC, ove C e D sono le proiezioni di A e B sullatangente al vertice della parabola, parallela ad AB.

Un’equazione si definisce trinomia quando essa è riconducibile alla formadel tipo:

y = a · x2·n + b · xn + c (1)1 O. Covato, Alma Mater Studiorum, Università di Bologna.

Generalizzazione di un teorema di Archimede

Calcolo Sublime 89

Calcolo Sublime

Sublime Calculation

Nicola Fusco1

Abstract

The author’s experience in the didactic use of Non-Standard Analysis is here presented. NSA allows to introduce mathematical analysis since the third year of Liceo Scientifico. Subsequently, a summary about the history of the analysis and fundamentals of non-standard formulation is given. Finally, two exam questions are solved according to this alternative formulation.

Introduzione

el corso della mia esperienza di docente nel Liceo Scientifico, ho sempre percepito il quinto anno come il più difficile in termini di

trasmissione della Matematica, notando sistematicamente gruppi di studenti che ad un certo punto “tiravano i remi in barca” rispetto a questa materia. Un comportamento che ha molteplici cause, ma di cui una è sicuramente la grande mole, e complessità, di concetti, formule e tecniche che l’analisi richiede di assimilare. L’unica soluzione che mi veniva in mente era diluire l’apprendimento della analisi su più anni, quanto meno l’intero triennio, ma questa soluzione si scontrava con la complessità del concetto di limite, che difficilmente può essere compreso dallo studente medio, seppur di Liceo Scientifico, prima di aver raggiunto una certa maturità intellettuale. In breve gli alunni di quinta avrebbero giovato di un anticipo che tuttavia quando erano in terza non sarebbero stati in grado di sostenere.

La soluzione a questo dilemma mi è venuta spontaneamente incontro una notte che, navigando a caso tra le pagine di Wikipedia, ho scoperto i numeri IperReali e la formulazione Non-Standard dell’Analisi. Tale formulazione recente (anni ’60) fonda l’analisi senza usare il concetto di limite ma, molto più intuitivamente, estendendo l’insieme dei numerai Reali in modo da includervi numeri infinitesimi e infiniti, che quindi divengono strumenti di

1 Liceo Scientifico Statale “Arcangelo Scacchi”, Bari (BA), nicola.fusco@gmail.com.

N

Triangoli continui e spirali logaritmiche 95

Triangoli continui e spirali logaritmiche

Continue triangles and logarithmic spirals

Giuseppina Anatriello1, Giovanni Vincenzi2

Abstract

A Kepler triangle is a right-angled triangle whose sides sa-tisfy a geometric progression whose mean is the square rootof the golden ratio. Presumably such triangles were alreadyconsidered in antiquity. It is known that if Kepler’ trianglesare suitably positioned, then it is obtained a polygon who-se vertices belong to an important logarithmic spiral: thefamous Spira Solaris. Kepler triangles are special kind ofcontinue triangles, which are triangles whose sides satisfya geometric progression. Recent studies prove that continuetriangles can be related to special families of logarithmicspirals. Here we highlight that every logarithmic spiral canbe described by an appropriate chain of continue triangles.

1 Introduzione

Un triangolo rettangolo in cui vale la proporzione:

Ipotenusa : Cateto maggiore = Cateto maggiore : Cateto minore

è un triangolo rettangolo che ha i lati in progressione geometrica di ragioneradice del numero d’oro. Infatti, in un triangolo rettangolo T = (a, b, c), cona < b < c e b2 = ca, dividendo membro a membro per b2, da c2 = b2 + a2

e ponendo x = a/c, si ottiene: x2 = 1 + 1/x2 e quindi x4 − x2 − 1 = 0.Quest’ultima equazione ammette come unica soluzione reale positiva il numero√Φ, dove con Φ si denota il numero d’oro, e i lati di T sono in progressione

geometrica di ragione√Φ. Viceversa in un triangolo rettangolo T = (a, b, c),

con a < b < c in progressione geometrica di ragione√Φ, i lati soddisfano la

relazione ca = b2 (vedi fig. 1).Anche se è plausibile che fossero già noti nell’antichità (vedi [14]), i trian-

goli rettangoli che soddisfano la precedente condizione vengono detti di Kepler,

1 Giuseppina Anatriello, Dipartimento di Architettura, Università di Napoli, Via Monteoliveto,3, I-80134 Napoli, Italy, anatriello@unina.it

2 Giovanni Vincenzi, Dipartimento di Matematica- Università di Salerno via Giovanni PaoloII, 132–I-84084 Fisciano (SA), Italy, tel/fax. +3989968225, vincenzi@unisa.it

Dov’è l’errore? Spot the mistake 113

Dov’è l’errore?

Spot the mistake

Antonino Giambò 1

Abstract

There are mathematical statements, looking intuitively true, that prove to be false. Likewise, there exist arguments looking flawless, that lead to contradictions instead. In all these cases there are mistakes hiding somewhere. How to unveil them? The aim of this paper is to illustrate such situations.

Premessa

sistono affermazioni matematiche che sembrano intuitivamente vere, ma che invece sono false. Così come esistono ragionamenti che sem-

brano impeccabili, ma che portano a contraddizioni. Nell’un caso e nell’altro ci deve essere un errore. Come scoprirlo? Lo scopo di questo articolo è di illustrare situazioni siffatte. L’articolo stesso è suddiviso in due parti. Nella prima parte sono presen-

tate, in ordine sparso, alcune questioni “paradossali”, senza spiegazioni. Nel-la seconda parte è fornita la spiegazione.

Questa scelta perché spero che chi legge si cimenti nel tentativo di sco-gliere i diversi paradossi. In realtà, sono sicuro che tutti saranno in grado di farlo. Si tratta, del resto, per lo più di cose risapute. Per quei due o tre che, tuttavia, non ce la facessero, è disponibile la soluzione.

A parte ciò, c’è una ragione didattica che mi spinge a scrivere queste ri-ghe. Intanto riporto integralmente il pensiero di Martin Gardner riguardo ai paradossi. Lo traggo dalla “Prefazione” ad un suo libro [3]:

«I paradossi in matematica, come nella scienza, possono essere molto profondi. Per gli antichi pensatori greci, il fatto che la diagonale di un quadrato di lato uno non potesse essere misurata con precisione, per quanto finemente graduato fosse il righello, rappresentava uno sconcer-tante paradosso. Questo fatto seccante, tuttavia, dischiuse il vasto campo della teoria dei numeri irrazionali. Per i matematici del XIX secolo risul-

1 Ispettore MIUR in pensione

E

Num

ero 1 Gen-Apr 2018 Volum

e 10 serie XIV anno CXXVIIIPeriodico di m

atematiche