001 sistema de coordenadas tridimensional[1]
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002 El sistema coordenado tridimensional
El sistema coordenado tridimensional
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Habilidades1. Describir el sistema coordenado tridimensional.
2. Localizar un punto en el espacio cartesiano.
3. Identifica y grafica planos paralelos a los planos
coordenados y a los ejes coordenados
4. Deducir la fórmula para hallar la distancia entre dos puntosdel espacio.
5. Determinar el punto medio entre dos puntos del espacio.
6. Describir las características y grafica la ecuación de
un plano (interceptos, trazas y gráficas).
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INTRODUCCIÓN
¿ Cómo podemos representar mediante un sistema de coordenadasla ubicación del cañón de proyección respecto a la esquina O ?
o
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Introducción
El concepto de vector en el
plano se puede extender demanera natural ± con sololigeros cambios ± a vectoresen el espacio. En el espacio,
los vectores tienen trescomponentes en lugar dedos y que para podertrabajar la tercera
componente introducimos elsistema de coordenadastridimensional.
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El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales
recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota porR3. Cada terna ordenada ( x ; y ; z ) se denomina punto delespacio tridimensional. z
EL ESPACIO TR IDIMENSIONAL
( x ; 0; z)
x
y
(0; 0; z ) (0; y ; z )
(0; y ; 0)
(x; 0; 0)( x ; y ; 0)
P = ( x ; y ; z )
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x
y
z
plano xy: z=0
origen
EL sistema de coordenadas tridimensional
plano yz: x=0
plano xz: y=0
(0;0;0)
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X
Y
Z
IR 3
EJE X
EJE Y
EJE Z
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VECTOR EN EL ESPACIO
x
y
z
v2
V= (v1; v2; v3)
v1
v3
v
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x
y
z
5
3
10
Ahora grafiquemos los siguientes puntos P(2,3,7) y Q(5,1,10)
2
7
1
P(2,3,7)
Q(5,1,10)
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Observamos que la unión de estos puntos genera un vector
x
y
z
5
3
10
2
7
1
P(2,3,7)
Q(5,1,10) QT
Este vector viaja en la dirección
de Q a P. Esto es:
Q P QP !! Q
T
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En coordenadas este vector toma la forma
x
y
z
5
3
10
2
7
1
P(2,3,7)
Q(5,1,10) QT
Q P QP !! QT
)10,1,5()7,3,2( !
)3,2,3( ! QT
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2
12
2
12
2
12)()()(),( z z y y x x QP d !
La distancia d (P ,Q) entre los puntos P y Q es:
¹ º
¸©ª
¨ !
2
;2
;2
212121z z y y x x
M
y
( z
( y x
z
Q
P( x
P = ( x 1; y 1; z 1)Q = ( x 2; y 2; z 2)
x 1
x 2
y 2y 1
M
Distancia y punto medio entre dos puntos de R3
El punto medio M del segmento de recta PQ es:
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Vectores unitarios conónicos i, j , k
x
z
y
i
jk
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos
en la dirección de los ejes x , y y z respectivamente.
Todo vector v = (v1; v2; v3 ) se puede escribir en la forma:v = (v1; v2; v3 ) = v1 i + v2 j + v3 k
Se dice que el vector v está expresado como una combinación
lineal de los vectores unitarios i , j, k.
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Propiedades de los vectores en el espacio
0, :
:Pr
:
;; : ;; :
ysisóloysi:
332211
2
3
2
2
2
332211
332211
332211
1
{!
!�
!
!!
!!!!
vv
vuunitarioVector
wvwvwvwvtooducto pun
vvvv Magnitud
wvwvwvwvnSustracciówvwvwvwv Adición
wvw , vwvwv Igualdad y
y
y
y
y
y
,;;y;; 321321 wwwwvvvvectores P ara los v !!
: tiene se
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Ángulo entre dos vectores
vu
vu �!Ucos
¹¹ º
¸
©©ª
¨!U
vuvu .cos 1
Del producto escalar se tiene:
De donde:
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Producto Vectorial
k jiv )()()( 122131132332 v uv uv uv uv uv u !v
);;();;( 321321 vvvv yuuuu !!
Se define al Producto Vectorial uxv como:
Dados los vectores
321
321
vvv
uuuvu
k ji
!v
Sin ser un determinante el producto vectorial,este puede desarrollarse como tal.
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El producto vectorial
Teorema: El vector a x b es ortogonal a a y b.
Teorema: Si es el ángulo entre a y b, entonces:U
U sen ba ba !v T U ee0 ,
Ua b
axb
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a
b
UU senbh !
Área del Paralelogramo
Interpretación geométrica
ba v! A
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P RODUCTO DE VECTORES
Producto
es calar ( ) vTT. Q
Producto
ve ctorial ( ) v x
TT
Q
v xhallar
v ySeaTT
TT
Q
Q )8,6,1()5,3,2(
)9,21,54(
861
532 !
!v xTT
Q
Observaciones
Cuando dos vectores son paralelos?
�Geométricamente:Serán paralelos // cuando tengan la
misma dirección.
�Analíticamente: dos vectores serán paralelos cuando el
producto vectorial es el vector nulo. E jemplo
�Físicamente: serán paralelos cuando uno de ellos es igual al
otro multiplicado por un escalar.
Y cuando serán ortogonales(perpendiculares)?
�Geométricamente:Serán perpendiculares cuando formen
un ángulo de 90°.
�Analíticamente: dos vectores serán perpendiculares cuando
el producto escalar es 0. E jemplo
�!v xuTT
vuTT.E!
B
0!v xu
TT
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321
321
321
)(c c c
bbb
aaa
!v�
Producto escalar Triple
,);;(a 321 aaa!
);;( 321 bbbb !
Dados los vectores
);;( 321 cccc !y
Se define al producto escalar triple como:
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h ba v
ba v
U
Interpretación Geométrica
c
a
b
c)( baV v�!
Volumen del paralelepípedo
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Proy e ccion es...)3,7,1( Q
T
)2,9,7(vT
vv
vu
yv
u
T
T
TT
T
T.
.
Pr 2!
2,9,7.48149
6637.
.Pr
22
!! v
v
vu y
v
u
TT
TT
T
T
2,9,7.134
76Pr !
v
u yT
T
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)3,1,2( QT
)2,1,5(vT
v xTT
Q
Á r e a d e l p aral e logramo
v xTT
Q
)2,1,5()3,1,2( x Á rea !
)3,19,5( ! Á rea2395936125 u Á rea !!
Observación
El producto vectorial siempre va a generar otro vector y éste va
hacer siempre perpendicular al plano......