Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ1 έχει µάζα m1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί µικρό σώµα Σ µαζας m2. i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει. ii) Nα βρείτε για ποιά τιµή του συντελεστή τριβής µεταξύ του ορι ζόντιου εδάφους και της τροχαλίας τ1 το σώµα κατέρχεται µε επιτά χυνση

�

! g /2. Ποιά είναι τότε η επιτάχυνση του κέντρου της τροχα

λίας; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=m1R2/2 της τροχαλίας τ1, ως προς

άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διέρχόµενο από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η τροχαλία τ1 κυλίεται όταν το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και ότι το κέντρο µάζας της C µετατοπίζεται προς τα δεξιά. Τότε η ταχύτητα του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε το έδαφος θα είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι το σώµα Σ είναι ακίνητο. Εξάλλου η τροχαλία δέχε

Σχήµα 1

ται το βάρος της

�

m1

! g , την τάση

�

! F του οριζόντιου νήµατος που έχει περιτυλιχ

θεί στο αυλάκι της, ίση κατά µέτρο µε το βάρος

�

m2

! g του σώµατος Σ και την

δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N που εξουδετερώνει το βάρος της. Εφάρ

µόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση:

�

F - T = m1a

C (1)

όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας. Εξάλλου, σύµφω

να µε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, έχουµε για την τροχαλία την σχέση:

�

TR - FR = I!'

�

!

�

TR - FR = m1R

2!'/2

�

!

�

T - F = m1R! '/2 (2)

όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Όµως λόγω της κύλισης της

τροχαλίας ισχύει aC=Rω’, οπότε η (2) γράφεται:

�

T - F = m1a

C/2

�

!

(1)

�

m1a

C- m

1a

C/2 = 0

�

!

�

aC

= 0 δηλαδή το κέντρο µάζας της τροχαλίας θα έχει σταθερή ταχύτητα. Όµως την χρονική στιγµή t=0 που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο η ταχύτητα του κέντρου µάζας είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η τροχαλία δεν µπορεί να κυλίεται, µπορεί όµως να ισορροπεί. Για να συµβαίνει το δεύτερο πρέπει να ισχύει:

�

T = m2g

�

!

�

m2g ! nm1g

�

!

�

m2! nm

1 (3)

όπου n ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ εδάφους και τροχαλίας. ii) Ας εξετάσουµε την δυνατότητα της τροχαλίας να ολισθαίνει επί του εδά φους και ταυτόχρονα να περιστρέφεται, το δε σώµα Σ να κατέρχεται µε επιτά χυνση

�

! g /2. Στην περίπτωση αυτή η τριβή

�

! T είναι τριβή ολίσθησης και θα ισχύ

ουν για την τροχαλία οι σχέσεις:

�

F - nm1g = m1aC

nm1g - F = m1R! '/2

"

#

$

(4)

όπου

�

! F η δύναµη που ασκεί το νήµα στην τροχαλία,

�

! a

C η επιτάχυνση του κέν

τρου µάζας C της τροχαλίας και

�

! ! ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Εξάλλου ο

δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για το σώµα Σ την σχέση:

�

m2g - F'= m2g/2

�

!

�

F'= m2g/2 (5) όπου

�

! F ' η τάση του νήµατος που συγκρατεί το σώµα. Όµως ισχύει F’=F διότι η

τροχαλία τ έχει ασήµαντη µάζα, οπότε η (5) γράφεται:

�

F = m2g/2 (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε:

�

m2g/2 - nm1g = m1aC

nm1g - m2g/2 = m1R! '/2

"

#

$

�

!

�

aC = g m2/2m1 - n( ) R! '= -2g m2/2m1 - n( )

" # $

% $ (7)

Aν ισχύει m2/2m1>n, τότε aC>0 και ω’<0 που σηµαίνει ότι η µεν µεταφορική ολίσθηση της τροχαλίας εξελίσσεται κατά την θετική φορά, δηλαδή προς το µέρος της µικρής τροχαλίας, ενώ η περιστροφή της εξελίσσεται κατά την αρνη τική φορά, δηλαδή αριστερόστροφα. Τότε η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε το έδαφος θα έχει την θετική φόρα και µέτρο aC+|ω’R|, οπότε θα ισχύει:

�

aC+ |R! '|= g/2

�

!

�

aC + 2aC = g/2

�

!

�

aC = g/6

�

g/6 = g m2/2 - nm1( )

�

!

�

1 = 3m2- 6nm

1

�

n = m2/2m

1- 1/6 (8)

H σχέση (8) είναι αποδεκτή διότι ικανοποιεί την συνθήκη m2/2m1>n. Aν ισχύει m2/2m1<n, τότε aC<0 και ω’>0 που σηµαίνει ότι η µεν µεταφορική ολίσθηση της τροχαλίας εξελίσσεται κατά την αρνητική φορά, δηλαδή το κέντρο µάζας αποµακρύνεται από την µικρή τροχαλία, ενώ η περιστροφή της εξελίσσεται κατά την θετική φορά, δηλαδή δεξιόστροφα. Τότε η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε το έδαφος θα έχει την αρνητική φορά, διότι aC<|ω’R| και αυτό είναι σε αντίθεση µε την προς τα κάτω κίνηση του σώµατος Σ. Εποµένως είναι αδύνατη µια τέτοια κίνηση της τροχα λίας.

P.M. fysikos

Mια λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, κυλίεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, ώστε το κέντρο της να έχει σταθερή ταχύτητα µέτρου v0. Kάποια στιγµή η στεφάνη συναντά ένα σκαλοπάτι ύψους h=2R/5, το οποίο υπερπηδά χωρίς να ολισθήσει και χωρίς να αναπη δήσει, οπότε συνεχίζει να κυλίεται σε νέο οριζόντιο επίπεδο, το οποίο βρίσκεται υψηλότερα του πρώτου κατά h. Να βρείτε: i) την θερµότητα που παράχθηκε κατά την κρούση της στεφάνης µε τo σκαλοπάτι και ii) την ταχύτητα του κέντρου µάζας της στεφάνης, όταν υπερπηδήσει το σκαλοπάτι. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) ) Κατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt (Δt→0) της κρούσεως της στεφάνης µε το σκαλοπάτι, η ώθηση της ροπής του βάρους

�

! w της στεφάνης

περί το σηµείο επαφής της Α µε το σκαλοπάτι τείνει στο µηδέν. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ροπή της δύναµης επαφής που δέχεται η στεφάνη από το

σκαλοπάτι (αντίδραση του εµποδίου), περί το σηµείο Α είναι µηδενική, οπότε η στροφορµή της στεφάνης περί το σηµείο Α παραµένει σταθερή στη διάρκεια του χρόνου Δt. Δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

! L !"#$ %&'(

(A) =! L )µ*+,- µ./0

(A)

�

!

�

L !"#$ %&'(

(A) = L )µ*+,- µ./0

(A) (1)

Σχήµα 2 Σχήµα 3 Όµως το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης περί το σηµείο Α, λίγο πριν την κρούση της µε το σκαλοπάτι, είναι:

�

L !"#$ %&'(

(A)= m(R-h)v0+IC! 0

�

!

�

L !"#$ %&'(

(A) = m(R-2R/5)v0+mR2! 0

�

!

�

L !"#$ %&'(

(A) = 3mv0R/5+mRv0 =8mv0R/5 (2)

όπου IC η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της και

�

! !

0 η γωνιακή της ταχύτητα.

Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης περί το Α, µέσως µετά την κρούση της είναι:

�

L !µ"#$% µ&'(

(A) = IA!'0 = IAv'0/R (3)

όπου IΑ η ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το σηµείο Α, ω0΄ το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας αµέ σως µετά την κρούση της και v0΄ το µέτρο της αντίστοιχης ταχύτητας του κέν τρου µάζας της. Όµως για την IΑ ισχύει η σχέση: IΑ = IC + mR2 = mR2 + mR2 = 2mR2 οπότε η (3) γράφεται:

�

L !µ"#$% µ&'(

(A) = 2mR2v'0/R = 2mRv'0 (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (2) και (4) παίρνουµε:

�

8mv0R/5 = 2mRv'

0

�

!

�

v'0= 4v

0/5 (5)

Η κινητική ενέργεια της στεφάνης λίγο πριν την κρούση της είναι:

�

K !"#$ %&'( =mv

0

2

2+

IC!

0

2

2=

mv0

2

2+

mR2!

0

2

2

�

=mv

0

2

2+

mv0

2

2= mv

0

2 (6)

η δε κινητική της ενέργεια αµέσως πριν την κρούση είναι:

�

K !µ"#$% µ&'( =IA!'0

2

2=

2mR2!'0

2

2= mv'0

2

�

!

(5)

�

K !µ"#$% µ&'(= 16mv0

2/25 (7)

Η θερµότητα Q που παράχθηκε κατά την κρούση είναι ίση µε την ελάττωση της κινητικής ενέργειας της στεφάνης, δηλαδή ισχύει:

�

Q = K !"#$ %&'( - K )µ*+,- µ./0

�

!

(6),(7)

�

Q = mv0

2 - 16mv0

2/25 = 9mv0

2/25 (8)

ii) Eάν

�

! v ''

0 είναι η ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης κατά την κύλισή της

στο νέο οριζόντιο επίπεδο, την ταχύτητα αυτή η στεφάνη την απέκτησε την στιγµή που η ακτίνα της CA έγινε κατακόρυφη (σχήµα 4). Εφαρµόζοντας το θε

Σχήµα 4

ώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για την κίνηση της στεφάνης από την θέση της αµέσως µετά την κρούση στην θέση όπου η ακτίνα CA είναι κατακόρυφη, παίρνουµε:

�

IA!''

0

2

2-IA! '

0

2

2= W!

w

�

!

�

2mR2! ''0

2

2-2mR2

! '02

2= -mg[R - (R - h)]

�

!

�

v''02 = v'0

2 - 2gR/5

�

!

(5)

�

v''02 = 16v0

2/25 - 2gR/5

�

!

�

v''0 = 16v0

2- 10gR /5 (9) όπου

�

! ! ''

0 η γωνιακή ταχύτητα της κυλιόµενης στο νέο οριζόντιο επίπεδο στε

φάνης. H ταχύτητα

�

! v ''

0 έχει νόηµα εφ’ όσον ισχύει:

�

16v0

2- 10gR > 0

�

!

�

v0 > 5gR/8 P.M. Fysikos

Mια λεπτή κυκλική στεφάνη κυλίεται ισοταχώς κατά µήκος οριζόντι ου επιπέδου και κάποια στιγµή συναντά κεκλιµένο επίπέδο, γωνίας κλίσεως φ, το οποίο αποτελεί συνέχεια του οριζόντιου επιπέδου και ανέρχεται σ΄ αυτό µέχρις ορισµένου ύψους συνεχίζοντας την κύλισή της. Κατόπιν η στεφάνη κατέρχεται κυλιοµένη και τελικώς φθάνει πάλι στο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο κινείται κυλιόµενη ισοταχώς. Mε την προϋπόθεση ότι, η στεφάνη κατά τη µετάβασή της από το οριζόντιο επίπεδο στο κεκλιµένο και τανάπαλιν δεν αναπηδά ούτε ολισθαίνει, να δείξετε ότι µεταξύ της αρχικής και τελικής της κινητι κής ενέργειας ισχύει η σχέση:

�

K!"# = K$%&

1+'()*2

+

, -

.

/ 0

4

ΛYΣH: Έστω

�

! v ! η ταχύτητα του κέντρου C της στεφάνης, λίγο πριν έλθει σ΄

επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο στο σηµείο A και

�

! v

C η ταχύτητα του κέντρου

της στεφάνης, λίγο µετά την επαφή της µε το κεκλιµένο επίπεδο. Στον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) που διαρκεί η µετάβαση της στεφάνης από το οριζόντιο στο κεκλιµένο επίπεδο, η ώθηση της ροπής του βάρους της στεφάνης περί το ση

Σχήµα 5

µείο A είναι ασήµαντη (τείνει στο µηδέν), ενώ η αντίστοιχη ροπή της δύναµης κρούσεως που δέχεται η στεφάνη από το κεκλιµένο επίπεδο είναι µηδενική, διότι ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχεται από το σηµείο A. Aυτό σηµαίνει ότι, κατά τον χρόνο Δt η στροφορµή της στεφάνης περί το σηµείο A δεν µετα βάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

! L !"#$ %&'(

(A) =! L )µ*+,- µ./0

(A)

�

!

�

L !"#$ %&'(

(A) = L )µ*+,- µ./0

(A) (1)

Όµως για την στροφορµή της στεφάνης λίγο πριν την κρούση της µε το κεκλι µένο επίπεδο ισχύει:

�

L !"#$ %&'(

(A) = L C +L * = mv!R"µ (#/2 - $) + IC% 0 !

�

L !"#$ %&'(

(A)= mv!R"#$% + mR

2& 0 = mv!R("#$% +1) ! (2)

όπου

�

! L

C η στροφορµή του κέντρου µάζας της στεφάνης περί το σηµείο Α,

�

! L

* η

ιδιοστροφορµή (spin) της στεφάνης και

�

! !

" η γωνιακή της ταχύτητα λίγο πριν

την κρούση της µε το κεκλιµένο επίπεδο. Eξάλλου, η στροφορµή της στεφάνης, περί το A, λίγο µετά την κρούση της µε το κεκλιµένο επίπεδο είναι:

�

L !µ"#$% µ&'(

(A) =L 'C +L '* = mRvC + IC! ' !

�

L !µ"#$% µ&'(

(A) = mRvC = mR2! '= 2mRvC (3)

όπου

�

! ! ' η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης αµέσως µετά την κρούση της, της

οποίας το µέτρο ικανοποιεί την σχέση vC=ω΄R, διότι η στεφάνη συνεχίζει να κυλίεται πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Συνδυάζοντας τις (1), (2) και (3) παίρνου µε την σχέση:

�

mv!R("#$% +1) = 2mRvC

�

!

�

vC = v! ("#$% +1)/2 (4) Όταν η στεφάνη επανακάµπτει στο οριζόντιο επίπεδο υφίσταται δευτερη κρού ση πολύ µικρής διάρκειας, ερχόµενη σε επαφή µε το σηµείο Β του οριζόντιου επιπέδου (σχήµα 6) η δε ταχύτητα

�

! v

! του κέντρου µάζας της αµέσως µετά την

δεύτερη κρούση της θα υπολογίζεται ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο, όπως η ταχύ τητα

�

! v

C, ο δε υπολογισµός καταλήγει στην σχέση:

�

v! = v'C ("#$% +1)/2 = vC("#$% +1)/2 (5)

Σχήµα 6 όπου

�

! v '

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας της στεφάνης λίγο πρίν την δεύτερη

κρούση της, η οποία είναι αντίθετη της ταχύτητας

�

! v

C. Συνδυάζοντας τις σχέ

σεις (4), (2) και (5) παίρνουµε:

�

v! = v"

#$%& +1)

2

'

( )

*

+ ,

#$%& +1)

2

'

( )

*

+ , = v"

#$%& +1)

2

'

( )

*

+ ,

2

(6)

Η αρχική κινητική ενέργεια Καρχ της στεφάνης (κινητική ενέργεια πριν την πρώτη της κρούση) υπολογίζεται από την σχέση:

�

K!"# =mv!

2

2+

IC$

0

2

2=

mv!

2

2+

mR2$

0

2

2= mv!

2 (7)

Η τελική κινητική ενέργεια Κτελ της στεφάνης (κινητική ενέργεια µετά την δεύτερη κρούση της) υπολογίζεται µε τον ίδιο τρόπο και είναι:

�

K!"#

= mv!

2

�

!

(6)

�

K!"# = mv$2 %&'( +1)

2

)

* +

,

- .

4

�

!

(7)

�

K!"# = K$%&

'()* +1)

2

+

, -

.

/ 0

4

P.M. fysikos

Oµογενής ράβδος OA µάζας m και µήκους 2L, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, περί σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρ χεται από το άκρο της O, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! !

0. Kάποια

στιγµή η ράβδος, χωρίς καµιά εξωτερική επίδραση θραύεται στο µέσον της. Nα καθορίσετε την κίνηση που θα εκτελέσουν τα δύο θραύ σµατα της ράβδου. Οι ροπές αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της O ή ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο δίνονται από τις αντίστοιχες σχέσεις ΙΟ=m(2L)2/3 και IC=m(2L)2/12. ΛΥΣΗ: Η θραύση της ράβδου προκαλείται από εσωτερικές δυνάµεις και το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος των δύο θραυσµάτων που δηµιουργούνται είναι ίση µε την ορµή της ράβδου λίγο πριν την θραύση της. Έτσι µπορούµε να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

�

m! v

0= m! v

1/2 + m

! v

2/2

�

!

�

2! v

0=! v

1+! v

2 (1)

όπου

�

! v

0 η ταχύτητα του κέντρου µάζας C της ράβδου λίγο πριν την θραύση

της και

�

! v

1,

�

! v

2 οι ταχύτητες των κέντρων µάζας C1, C2 των δύο θραυσµάτων

Σχήµα 7 αµέσως µετά την δηµιουργία τους. Όµως η ταχύτητα

�

! v

2 αντιστοιχεί στο θραύσ

µα που αποσπάται, το οποίο εκτελεί πάνω στο οριζόντιο επίπεδο αφ’ ενός µεν περιστροφική κίνηση, αφ’ ετέρου δε µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα ίση µε

την ταχύτητα του σηµείου C2 της ράβδου λίγο πριν την θραύση της, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

v2

= 3L!0/2 (2)

Ας δεχθούµε ότι η ταχύτητα

�

! v

1 έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (β).

Τότε η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, που έχει την µορφή:

�

2v0= v

1+ v

2

�

!

(2)

�

2v0= v

1+ 3L!

0/2 (3)

Όµως ισχύουν και οι σχέσεις:

�

v0

= L!0 και

�

v1

= L!1/2

όπου

�

! !

1 η γωνιακή ταχύτητα του θραύσµατος που δεν αποσπάσθηκε. Έτσι η

σχέση (3) γράφεται:

�

2L!0= L!

1/2 + 3L!

0/2

�

!

�

4!0= !

1+ 3!

0

�

!

�

!1= !

0 (4)

Η (4) δηλώνει ότι το τµήµα που δεν αποσπάσθηκε εξακολουθεί να περιστρέφε ται µε την αρχική του γωνιακή ταχύτητα. Αλλά και η στροφορµή του συστή µατος περί το άκρο Ο δεν µεταβλήθηκε εξ΄ αιτίας της θραύσεως, οπότε θα έχου µε την σχέση:

�

L !"#$

(o) = Lµ%&'

(o)

�

!

�

m(2L)2! 0

3=

(m/2)L2!1

3+ L 2

(o) (5)

όπου

�

L 2

(o) το µέτρο της στροφορµής περί το Ο του τµήµατος που αποσπάσθηκε,

για το οποίο ισχύει η σχέση:

�

L 2

(o) = L C

(o) + L * =3L

2(m/2)v2 +

(m/2)L2! 2

12=

3Lmv2

4+

mL2! 2

24 (6)

όπου

�

L* το µέτρο της στροφορµής περί το κέντρο µάζας C2 (ιδιοστροφορµής)

του τµήµατος που αποσπάσθηκε και

�

! !

2 η γωνιακή του ταχύτητα. Συνδυάζον

τας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε:

�

m(2L)2! 0

3=

(m/2)L2!1

3+

3Lmv2

4+

mL2! 2

24

�

!

�

4L!0

3=

L!1

6+

3v2

4+

L!2

24

�

!

(2)

�

4L!0

3=

L!1

6+

9L!0

8+

L!2

24

�

!

(4)

�

32!0

= 4!0+ 27!

0+!

2

�

!

�

!2

= !0 (7)

Η σχέση (7) δηλώνει ότι η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης του

τµήµατος της ράβδου που αποσπάσθηκε είναι ίση την αρχική γωνιακή ταχύτη τα της ράβδου.

P.M. fysikos

Tο σφαιρίδιο του σχήµατος (8) έχει µάζα m καί είνα στερεωµένο στο πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το κάτω άκρο στερεώνεται στο έδαφος. Tη στιγµή που το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο το ελατήριο είναι συσπειρωµένο κατά x0 =3mg/k από την φυσική του κατάσταση, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας,

ενώ τη στιγµή πού το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος συµβαί νει ελαστική κρούση του σφαιριδίου µε το σώµα Σ µάζας m. i) Nα βρεθεί το ύψος στο οποίο θα εκτιναχθεί το σώµα. ii) Nα καθοριστεί η θέση του σφαιριδίου την στιγµή που το σώµα Σ βρίσκεται στην ανώτατη θέση του. iii) Nα βρεθεί η θέση του σώµατος την στιγµή που το ελατήριο παρουσιάζει την µέγιστη συσπείρωσή του για πρώτη φορά µετά την κρούση. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα σφαιρίδιο-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, µεταξύ της αρχικής του θέσεως, οπου το ελατήριο είναι συσπειρώµένο κατά α από την φυσική του κατάσταση και της θέσεως λίγο πριν την κρούση του σφαιριδίου µε το σώµα, έχουµε:

�

Eµ!"

#$"= Eµ!"

%&'

�

!

�

0 + 0 +k! 2

2= mg! +

mv0

2

2+ 0

�

!

�

k

2

3mg

k

!

" #

$

% &

2

= mg3mg

k

!

" #

$

% & +

mv0

2

2

�

!

�

9mg2

2k=

3mg2

k+

v0

2

2

�

!

�

3mg2

2k=

v0

2

2

�

!

�

v0

2 =3mg2

k (1)

όπου

�

! v

0 η ταχύτητα του σφαιριδίου λίγο πριν την κρούση του µε το σώµα.

Επειδή το σφαιρίδιο και το σώµα έχουν την ίδια µάζα και η κρούση τους είναι µετωπική και ελαστική, συµβαίνει ανταλλαγή των ταχυτήτων τους, δηλαδή το σώµα αποκτά αµέσως µετά την κρούση ταχύτητα και το σφαιρίδιο ακινητοποι είται στιγµιαία. Το σώµα στην συνέχεια εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα πάνω ανερχόµενο σε µέγιστο ύψος hmax από την αρχική του θέση, το οποίο υπολογίζεται από την σχέση:

�

hmax=v0

2

2g

�

!

(1)

�

hmax=3mg2

k

1

2g

!

" #

$

% & =

3mg

2k (2)

ii) To σφαιρίδιο άµεσως µετά την κρουση βρίσκεται στην θέση Α1, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος, δηλαδή βρίσκεται σε απόσταση x0=mg/k από την θέση ισορροπίας του Ο έχοντας µηδενική ταχύτητα. Αυτό σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο µετά την κρούση θα εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. µε πλάτος mg/k

Σχήµα 8 και γωνιακή συχνότητα που ικανοποιεί την σχέση k=mω2. Εάν ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση λάβουµε την ανοδική φορά και ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή αµέσως µετά την κρούση, τότε η εξίσωση που παρέχει την αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης

�

! x του σφαιριδίου από την θέση ισορρο

πίας του Ο έχει την µορφή:

�

x = x0!µ ("t + #/2) = (mg/k)$%&"t (3) Eξάλλου το σώµα Σ βρίσκεται στην ανώτατη θέση του την χρονική στιγµή tα, που υπολογίζεται από την σχέση:

�

t!=

v0

g

�

!

(1)

�

t!=

1

g

3mg2

k=

3m

k (4)

H (3) για t=tα δίνει την αλγεβρική τιµή xα της αποµάκρυνσης του σφαιριδίου, δηλαδή θα έχουµε την σχέση:

�

x!= (mg/k)"#$( 3) (5)

H (5) προσδιορίζει την θέση του σφαιριδίου την στιγµή που το σώµα Σ βρίσκε ται στην ανώτατη θέση του. iii) Την στιγµή που το ελατήριο παρουσιάζει για πρώτη φορά µετά την κρούση την µέγιστη ελαστική του συσπείρωση, το σφαιρίδιο βρίσκεται στην κατώτατη θέση του Α2. Αυτό συµβαίνει την χρονική στιγµή t=T/2, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σφαιριδίου η δε αντίστοιχη θέση του σώµατος σε σχέση µε το Ο, δίνεται από τη σχέση:

�

x! = x0 +v0T

2-g

2

T

2

"

# $

%

& '

2

�

!

(1)

�

x! =mg

k+ g

3m

k"

m

k

#

$ %

&

' ( -

g

2"

m

k

#

$ %

&

' (

2

�

!

�

x!=

mg

k+

mg

k" 3 -

mg" 2

2k

�

!

�

x! =mg

k1+ " 3 -

" 2

2

#

$ %

&

' ( >

mg

k

δηλαδή το σώµα την χρονική στιγµή Τ/2 δεν έχει επιστρέψει στην αρχική του θέση Α1.

P.M. fysikos

Ένας νεαρός µάζας M, κρατά το ένα άκρο αβαρούς σχοινιού µήκους L, στό άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m. O νεαρός µε τη βοήθεια του σχοινιού αναγκάζει το σφαιρίδιο να κινείται σε οριζόντια περιφέρεια ακτίνας L, ενώ ο ίδιος καταφέρνει να µη γλυστράει. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής ανάµεσα στό νεαρό καί το οριζόντιο έδαφος είναι n, να βρεθεί η µέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής τού σφαιριδίου καί η αντί στοιχη δύναµη που εξασκεί ο νεαρός στό έδαφος. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας,

το δε βάρος του σφαιριδίου θα θεωρηθεί αµελητέο. ΛYΣH: Tο σφαιρίδιο εκτελεί ως πρός το ακίνητο έδαφος, οµαλή κυκλική κίνηση διαγράφοντας οριζόντια περιφέρεια, υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g καί της δύναµης

�

!

F από το σχοινί (τάση του σχοινιού). Eπειδή το βάρος του

σφαιριδίου θεωρείται ασήµαντο, η δύναµη

�

!

F αποτελεί γιά το σφαιρίδιο κεντρο µόλο δύναµη, οπότε σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

F = ma! !

�

F = m!2L (1)

Σχήµα 9 Eξάλλου, ο νεαρός ισορροπεί ως πρός το ακίνητο έδαφος, υπό την επίδραση του βάρους του

�

M! g , της δύναµης επαφής

�

!

A από το έδαφος (αντίδραση του εδά

φους) καί της δύναµης

�

!

F ' που δέχεται από το σχοινί, η οποία είναι αντίθετη της

�

! F , αφού το σχοινί θεωρείται αβαρές. H δύναµη

�

!

A αναλύεται σε µία οριζόν τια συνιστώσα

�

!

T , η οποία αποτελεί την τριβή και µία κατακόρυφη συνιστώσα

�

!

N , η οποία αποτελεί την κάθετη αντίδραση του εδάφους. Λόγω της ισορροπίας του νεαρού θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

T = F'

N = Mg

!

"

#

!

�

T = F

N = Mg

!

"

#

�

!

(1)

�

T = m!2L

N = Mg

"

#

$

(2)

Όµως θέλουµε ο νεαρός να µη ολισθαίνει στη διάρκεια της περιστροφής του σφαιριδίου, οπότε η τριβή

�

!

T πρέπει να είναι στατική τριβή και εποµένως το µέτρο της θα ικανοποιεί την σχέση:

�

T ! nN (2)

!

�

m!2L " nMg !

�

!2" nMg/mL !

�

! " nMg/mL !

�

!max= nMg/mL (3) Όταν ω=ωmax, τότε το µέτρο της

!

A θα είναι:

�

A = N2+ T

2 (2)

!

�

A = M2g2 + m2L2!max

4 (3)

!

�

A = M2g2 + m2L2n2M2g2/m2L2 = M2g2 + n2M2g2 !

�

A = Mg 1+ n2 Eξάλλου ο φορέας της

!

A θα σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ, γιά την οποία θα ισχύει:

�

!"# =T$%

N=

nN

N= n (5)

Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Nεύτωνα (νόµος ισότητας δράσης-αντίδρα σης), η δύναµη

!

A ' πού δέχεται το έδαφος από τον νεαρό θα έχει τον ίδιο φορέ α, αντίθετη φορά και ίσο µέτρο µε την

!

A (σχήµα 9). P.M. fysikos

Σε Luna Park, ένας µοτοσικλετιστής εκτελεί το γύρο του θανάτου κινούµενος στην εσωτερική επιφάνεια ενός κατακό ρυφου κυλίνδρου, του οποίου η κάτω βάση είναι ακλόνητα στερεωµένη σε οριζόντιο έδαφος. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της επιφάνειας του κυλίνδρου καί των ελαστικών της µοτοσικλέτας είναι n, να βρεθεί η

ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να αναπτύξει ο µοτοσικλετιστής, ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά χωρίς να ολισθαίνει επί της κυλινδρικής επιφάνειας. Ποιά πρέπει τότε να είναι η κλίση τού σώµα τός του ως πρός την κατακόρυφη διεύθυνση; Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g

της βαρύτητας, η ακτίνα R του κυλίνδρου και η απόσταση α του κέντ ρου µάζας του συστήµατος µοτοσικλέτα-µοτοσυκλετιστής από την ευθεία επαφής των τροχών µε τον κύλινδρο. ΛYΣH: Θεωρούµε ότι το κέντρο µάζας του συστήµατος µοτοσικλέτα-µοτοσικλε τιστής κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά, µε ταχύτητα σταθερού µέτρου v. Το σύστηµα αυτό δέχεται το βάρος του

�

! w και την δύναµη επαφής

�

!

A από τον κατακόρυφο κύλινδρο, η οποία αναλύεται σε µία κατακόρυφη συνιστώσα

�

!

T , που αποτελεί την στατική τριβή και µια οριζόντια συνιστώσα

�

!

N , η οποία είναι η κάθετη αντίδραση του κυλίνδρου. Πρέπει να επισηµάνουµε ότι ο φορέας της δύναµης

�

!

A διέρχεται από το κέντρο µάζας του συστήµατος, διότι δεν υπάρχει περιστροφική κίνηση του συστήµατος περί το κέντρο µάζας, δηλαδή η συνολι κή ροπή περι το κέντρο µάζας είναι µηδενική. Eπειδή το κέντρο µάζας κινείται

Σχήµα 10

πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, η επιτάχυνσή του κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µηδενική και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nευτωνα ισχύει:

�

T - w = 0 !

�

T = Mg (1) όπου M η µάζα του συστήµατος. Eξάλλου, η συνιστώσα

�

!

N αποτελεί για το κέν τρο µάζας κεντροµόλο δύναµη, οπότε σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα ισχύει η σχέση:

�

N = Ma!

�

!

�

N = Mv2/r (2)

όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει το κέντρο µάζας. Eπειδή η τριβή

�

!

T είναι στατική, το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση T≤nN, η οποία µε βάση τις (1) καί (2) γράφεται:

�

g ! nMv2/r

�

!

�

rg ! nv2

�

!

�

v ! rg/n

�

!

�

vmin = rg/n (3) Όταν ο µοτοσικλετιστής έχει αναπτύξει ταχύτητα µέτρου vmin, τότε ο φορέας

της δύναµης

�

!

A σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ, για την οποία ισχύει:

�

!"# =N

T$%

=N

nN=

1

n (4)

΄Oµως η κλίση της

�

!

A ως πρός την κατακόρυφη διεύθυνση, αποτελεί και την αντίστοιχη κλίση τού σώµατος του µοτοσικλετιστή. Εξάλλου η ακτίνα r είναι:

�

r = R -!"µ# = R -!$%#/ 1+ $%2#

�

!

(4)

�

r = R -! /n

1+1/n2= R -

!

n2+1

(5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουµε:

�

vmin =g

nR -

!

n2 +1

"

# $

%

& '

P.M. fysikos