0 prob4

Modelos EstocásticosModelos Estocásticos

Esperanza MatemáticaEsperanza Matemática

SESIÓN 04SESIÓN 04

Esperanza Matemática 1Esperanza Matemática 1• Definición 4.1: Si x es una variable aleatoria discreta y

f(x) es el valor de su distribución de probabilidad en x, el valor esperado de esta variable aleatoria es

E(x) = xxf(x)

En forma correspondiente, si x es una variable aleatoria continua y f(x) es el valor de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de esta variable aleatoria es

dxxfxxE )(*)(

Esperanza Matemática 2Esperanza Matemática 2• Teorema 4.1: Si x es una variable aleatoria discreta y

f(x) es el valor de su distribución de probabilidad en x, el valor esperado de la variable aleatoria g(x) es

E[g(x)] = xg(x)f(x)

En forma correspondiente, si x es una variable aleatoria continua y f(x) es el valor de su densidad de probabilidad en x, el valor esperado de la variable aleatoria g(x) es

dxxfxggE )(*)()]([ x

Esperanza Matemática 3Esperanza Matemática 3• Teorema 4.2: Si a y b son constantes, entonces

E(ax+b) =a E(x) + b

• Teorema 4.3: Si c1, c2,…, y cn son constantes, entonces

n

iii xgEcE

1

n

1iii )]([(x)]gc[

Esperanza Matemática 4Esperanza Matemática 4• Teorema 4.4: Si x y y son variables aleatorias

discretas y f(x,y) es el valor de su distribución de probabilidad conjunta en (x,y), el valor esperado de la variable aleatoria g(x,y) es

E[g(x,y)] =xyg(x,y)f(x,y)

En forma correspondiente, si x y y son variables aleatorias continuas y f(x,y) es el valor de su densidad conjunta en (x,y), el valor esperado de la variable aleatoria g(x,y) es

dxdyyxfyxgyxgE ),(),()],([

Esperanza Matemática 5Esperanza Matemática 5

• Teorema 4.5: Si c1, c2,…, y cn son constantes, entonces

n

iniin xxxgEcxxE

121

n

1i21ii )],...,([)],...,(xgc[

Momentos 1Momentos 1

• Definición 4.2: El r-ésimo momento con respecto al origen de la variable aleatoria x, representado por ’r,, es el valor esperado de xr; en forma simbólica se tiene

para r = 0, 1, 2 ,3,…, cuando x es discreta y

cuando x es continua

x

rrr xfxE )()(' x

dxxfxxE rrr )()('


• Definición 4.3: ’r se conoce como la media de la distribución de x, o simplemente la media de x, y está denotada por

• Definición 4.4: El r-’esimo momento con respecto a la media de la variable aleatoria x, denotado por r,, es el valor esperado de (x-)r,

simbólica se tiene

para r = 0, 1, 2 ,3,…, cuando x es discreta y


x

rrr xfxuE )()(])[( x

dxxfxE rrr )()(])[( x


• Definición 4.5: 2 se denomina varianza de la distribución de x, o simplemente varianza de x, y se representa mediante 2, var (x) o V(x).

La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación estándar y se representa por (x)

• Teorema 4.6: 2 = ’2 - 2


• Teorema 4.7: Si x tiene varianza 2 entonces

var (ax+b) = a22

• Teorema 4.8: (Teorema de Tchebycheff) Si y son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria x, entonces para una constante positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1 - 1/k2 de que x tomará un valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en forma simbólica se tiene,

o2

11)(k

kP x2

1)(k

kP x

Función Generatriz de Momentos Función Generatriz de Momentos 11

• Definición 4.6: La función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, donde exista, está dada por

cuando x es discreta y


)()()( xfeeEtMx

txtxx

dxxfeeEtM txtxx )()()(

Función Generatriz de Momentos Función Generatriz de Momentos 22

• Teorema 4.9:

• Teorema 4.10: Si a y b son constantes, entonces

'0

)(rtr

xr

dt

tMd

)()( )( tMeeEtM xattax

ax

)()()( btMeEtM xbxt

bx

)()( )(

bt

xtt MeeEtM ba

bax

bax

Momentos Producto 1Momentos Producto 1• Definición 4.7: El r-ésimo y s-ésimo momento producto

con respecto al origen de las variables aleatorias x y y, representado por ’r,s, es el valor esperado de xrys; en forma simbólica, se tiene

para r = 0, 1, 2,… y s = 0, 1, 2,…, cuando x y y son discretas y

cuando x y y son continuas

),()(,' yxfyxE

x

s

y

rsrsr yx

dxdyyxfyxyxE srsr

sr ),()(',

Momentos Producto 2Momentos Producto 2• Definición 4.8: El r-ésimo y s-ésimo momento producto con

respecto a las medias respectivas de las variables aleatorias x y y, representado por r,s, es el valor esperado de (x-x)r(y-y)s; en forma simbólica, se tiene

para r = 0, 1, 2,… y s = 0, 1, 2,…, cuando x y y son discretas y

cuando x y y son continuas

),()()(])()[(, yxfyxEx

sy

y

rx

sy

rxsr yx

dxdyyxfyx

E

sy

rx

sy

rxsr

),()()(

])()[(,

yx

Momentos Producto 3Momentos Producto 3

• Definición 4.9: 1,1 recibe el nombre de covarianza de x y y, y se representa por medio de x,y, cov (x,y) o C (x,y)

• Teorema 4.11: x,y = ’1,1 - x y

• Teorema 4.12: Si x y y son independientes, entonces E(xy) = E(x) E(y) y x,y = 0

• Teorema 4.13: Si x1, x2, …y xn son independientes, entonces

E(x1x2…xn) = E(x1) E(x2) …E(xn)

Momentos de Combinaciones Momentos de Combinaciones Lineales 1Lineales 1

• Teorema 4.14: Si x1, x2, …y xn son variables aleatorias y

donde a1, a2,…an son constantes, entonces

donde la doble suma se extiende sobre todos los valores de i y j, de 1 a n, para los cuales i < j

n

iiia

1

xy

)()(1

n

iiiEaE xy

i j

jiji

n

iii aaa ),cov(2)var()var(

1

2 xxxy


• Corolario: Si las variables aleatorias x1, x2, …y xn son independientes y

entonces

n

iiia

1

xy

n

iiia

1

2 )var()var( xy


• Teorema 4.15: Si las variables aleatorias x1, x2, …y xn son independientes y

y

donde a1, a2,…,an, b1, b2,…,bn son constantes, entonces

n

iiia

11 xy

n

iiib

12 xy

i jjiijji

n

iiii

baba

ba

),cov()(

)var(),cov(1

21

xx

xyy


• Corolario: Si las variables aleatorias x1, x2, …y xn son independientes y

y

entonces

n

iiia

11 xy

n

iiib

11 xy

n

iiiiba

121 )var(),cov( xyy

Esperanzas CondicionalesEsperanzas Condicionales

• Definición 4.10: Si x es una variable aleatoria discreta y f(xly) es el valor de la distribución de probabilidad condicional de x dada y = y en x, la esperanza condicional de (x) dada y = y es

En forma correspondiente, si x es la variable aleatoria continua y f(xly) es el valor de la densidad de probabilidad condicional de x dada y = y en x, la esperanza condicional de (x) dada y = y es

x

yxfxyE )()(])([ x

dxyxfxyE

)()(])([ x

Técnica de Transformación: una Técnica de Transformación: una variablevariable

• Teorema 4.16: Sea f(x) el valor de la densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua x en x. Si la función dada por y = u(x) es diferenciable y creciente o decreciente para todos los valores contenidos en el rango de x para los cuales f(x) 0, entonces, para estos valores de x, la ecuación y = u(x) puede resolverse de manera única para cada x con el fin de producir x = w(y) y para los valores de y correspondientes la densidad de probabilidad de y = u(x) está dada por

g(y) = f[w(y)][w’(y)]

siempre que u’ (x) 0. En cualquier parte, g(y) = 0

Técnica de Transformación: dos Técnica de Transformación: dos variables 1variables 1

• Teorema 4.17: Sea f(x1,x2) el valor de la densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x1 y x2 en (x1,x2) . Si las funciones dadas por y1 = u1 (x1,x2) y y2 = u2 (x1,x2) son parcialmente diferenciables con respecto a x1 y x2 y representan una transformación biunívoca de todos los valores contenidos en el rango de x1 y x2 para los cuales f(x1,x2) = 0, entonces, para estos valores de x1 y x2 , las ecuaciones y1 = u1 (x1,x2) y y2 = u2 (x1,x2) pueden resolverse de manera única para cada x1 y x2 con el fin de producir x1 = w1 (y1, y2) y x2 = w2 (y1, y2), y para los valores correspondientes de y1 y y2 la densidad de probabilidad conjunta de y1 = u1 (x1 , x2 ) y y2 = u2 (x1 , x2 ) está dada por

g (y1, y2) = f [w1 (y1, y2), w2 (y1, y2)] IJI

Técnica de Transformación: dos Técnica de Transformación: dos variables 2variables 2

Aquí, J es el Jacobiano de la transformación, dado por el determinante

En cualquier otra parte, g(y1, y2) = 0

2

2

1

2

2

1

1

1

yx

yx

yx

yx

J

Técnica de la Función Generatriz Técnica de la Función Generatriz de Momentosde Momentos

• Teorema 4.18: Si x1, x2,…, y xn, son variables aleatorias independientes y y = x1 + x2 +…+ xn, entonces

donde Mxi (t) es el valor de la función generatriz de momentos de xi en t

n

ix tMtMi

1

)()(y

0 prob4

Documents