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ラプラス変換情報制御数学
ラプラス変換情報制御数学
5/12 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか5.1 ラプラス変換の定義5.2 基本的な時間関数のラプラス変換(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5/19 5.4 ラプラス変換の性質5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5/26 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/2 5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/9 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic11/
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
教科書 例題 5.10, 11 と同様のマス-バネ-ダンパ系:
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m
-
x = 0
-f(t)
x
d
k
運動方程式:
バネはのびに比例した抵抗力: kx(t)ダンパは速度に比例した抵抗力: dx(t)
mx(t) = f(t)− kx(t)− dx(t)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
運動方程式: mx(t) + kx(t) + dx(t) = f(t)
ラプラス変換して:
X(s) =1
ms2 + ds + kF (s)
+ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
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x = 0
-f(t)
x
d
k
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 3, k = 2 の時の解
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 3, k = 2 の時の解
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m
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
X(s) =s+ 3
s2 + 3s+ 2=
s+ 3
(s+ 1)(s + 2)= 2
1
s+ 1− 1
s+ 2
x(t) = 2e−t − e−2t
d = 3 6= 0: 減衰ありms2 + ds+ k = 0 が, 相異なる実数根 (s = −1,−2 をもつ場合)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 0, k = 4 の時の解
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m
-
x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 0, k = 4 の時の解
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m
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
X(s) =s
s2 + 4=
s
s+ 22
x(t) = cos 2t
d = 0: 減衰なしms2 + ds+ k = 0 が, 虚数 (の共役) 根 (s = ±2j) をもつ場合
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
X(s) =s+ 2
s2 + 2s+ 5=
s+ 2
(s+ 1)2 + 4
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
X(s) =s+ 2
s2 + 2s + 5=
s+ 2
(s + 1)2 + 4
L[ e−at sinωt ] =ω
(s+ a)2 + ω2
L[ e−at cosωt ] =s+ a
(s+ a)2 + ω2
X(s) =s+ 2
(s + 1)2 + 4
=s+ 1
(s + 1)2 + 22+
1
2
2
(s+ 1)2 + 22
x(t) = e−t cos 2t+1
2e−t sin 2t
ラプラス変換と微分方程式5.6 ラプラス変換と微分方程式
f(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 かつm = 1, d = 2, k = 5 の時の解
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x = 0
-f(t)
x
d
k
X(s) =1
ms2 + ds+ kF (s) +
ms+ d
ms2 + ds+ kx(0) +
m
ms2 + ds+ kx(0)
X(s) =s+ 2
s2 + 2s+ 5=
s+ 1
(s+ 1)2 + 22+
1
2
2
(s+ 1)2 + 22
x(t) = e−t cos 2t+1
2e−t sin 2t
d = 2 6= 0: 減衰ありms2 + ds+ k = 0 が, 複素 (共役) 根 (s = −1± 2j をもつ場合)
ラプラス変換情報制御数学
5/12 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか5.1 ラプラス変換の定義5.2 基本的な時間関数のラプラス変換(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5/19 5.4 ラプラス変換の性質5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5/26 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/2 5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/9 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic11/
シリコンウエハ搬送ロボット
サンプル動画
シリコンウエハ搬送ロボット
Motor1,2
Hand
Traslatory direction
Ho
rizo
nta
l dir
ecti
on
Motor 1
Motor 2
シリコンウエハ搬送ロボット
Motor1
Motor2
Pulley1
Pulley2
Steel Belt
Pulley3
Link1
Link2
Link3
Shaft1
Hand
Steel Belt
Shaft2
Motor 1
Motor 2
DC モータの位置決め制御
サンプル動画
DC モータの位置決め制御
va
Ra Laia
if
vb
Tm
Jm Bm
ρ
θm
Tl
Jl Bl
θl
DC モータの位置決め制御
va
Ra Laia
if
vb
Tm
Jm Bm
ρ
θm
Tl
Jl Bl
θl
記号 単位 意味
θm [ rad ] モータ回転角
va [ V ] 電機子電圧
ia [ A ] 電機子電流
La [ H ] 電機子インダクタンス
Ra [ Ω ] 電機子抵抗
Tm [ Nm ] モータ発生トルク
kT [ Nm/A ] トルク定数
vb [ V ] 逆起電力
kb [ Vs/rad ] 逆起電力定数
記号 単位 意味
Jm [ Kgm2 ] モータ側慣性モーメント
Bm [ Nms/rad ] モータ側粘性抵抗
A – アンプ増幅率
u [ V ] 入力電圧
ρ – 減衰比
θl [ rad ] 負荷回転角
Tl [ Nm ] 負荷側トルク
Jl [ Kgm2 ] 負荷側慣性モーメント
Bl [ Nms/rad ] 負荷側粘性抵抗
DC モータの位置決め制御
va
Ra Laia
if
vb
Tm
Jm Bm
ρ
θm
Tl
Jl Bl
θl
DC モータの位置決め制御
va
Ra Laia
if
vb
Tm
Jm Bm
ρ
θm
Tl
Jl Bl
θl
DC モータの運動方程式
va = Raia + La
diadt
+ vb
va = Au
vb = kbdθmdt
Tm = Jmd2θmdt2
+Bm
dθmdt
+ Tl
Tm = kT ia
Tl = Jld2θldt2
+Bl
dθldt
θm = ρθl
DC モータの位置決め制御
va = Raia + La
diadt
+ vb
va = Au
vb = kbdθmdt
Tm = Jmd2θmdt2
+Bm
dθmdt
+ Tl
Tm = kT ia
Tl = Jld2θldt2
+Bl
dθldt
θm = ρθl
DC モータの位置決め制御
va = Raia + La
diadt
+ vb
va = Au
vb = kbdθmdt
Tm = Jmd2θmdt2
+Bm
dθmdt
+ Tl
Tm = kT ia
Tl = Jld2θldt2
+Bl
dθldt
θm = ρθl
DC モータの伝達関数: P (s)
θl(s) = P (s)u(s)
=kTA
ρs(Jms+Bm)(Las+Ra) + ρkTkbs+ s(Jls+Bl)(Las+Ra)u(s)
DC モータの位置決め制御DC モータの伝達関数: P (s)
θl(s) = P (s)u(s)
=kTA
ρs(Jms+Bm)(Las+Ra) + ρkTkbs+ s(Jls+Bl)(Las+Ra)u(s)
DC モータの位置決め制御DC モータの伝達関数: P (s)
θl(s) = P (s)u(s)
=kTA
ρs(Jms+Bm)(Las+Ra) + ρkTkbs+ s(Jls+Bl)(Las+Ra)u(s)
DC モータの La は非常に小さいので: La = 0
P (s) =K
Js2 +Bs
K =kTA
Ra
, J = ρJm + Jl, B = ρBm +Bl +ρkTkbRa
DC モータの位置決め制御DC モータの伝達関数: P (s)
θl(s) = P (s)u(s)
=kTA
ρs(Jms+Bm)(Las+Ra) + ρkTkbs+ s(Jls+Bl)(Las+Ra)u(s)
DC モータの La は非常に小さいので: La = 0
P (s) =K
Js2 +Bs
K =kTA
Ra
, J = ρJm + Jl, B = ρBm +Bl +ρkTkbRa
あるいは
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωnsωn =
√
K
J, ζ =
B
2√KJ
DC モータの位置決め制御
DC モータの伝達関数:
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωns
DC モータの位置決め制御
DC モータの伝達関数:
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωns
DC モータθl u
DC モータの位置決め制御
DC モータの伝達関数:
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωns
DC モータθl u P (s)θl u
DC モータの位置決め制御
DC モータの伝達関数:
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωns
DC モータθl u P (s)θl u
フィードバック制御系
ju kP (s)
6
−ruθl
DC モータの位置決め制御
DC モータの伝達関数:
P (s) =ω2
n
s2 + 2ζωns
DC モータθl u P (s)θl u
フィードバック制御系
ju kP (s)
6
−ruθl
フィードバック制御系の伝達関数
θl(s) = T (s)r(s) =kω2
n
s2 + 2ζωns+ kω2n
r(s)
DC モータの位置決め制御
DC モータ (θl(s) = P (s)u(s)) のフィードバック制御系 (θl(s) =
T (s)r(s))にステップ入力 r(t) =π
2× u(t)を加えたときの応答 θl(t)
を求める.
θl(s) = T (s)r(s) =kω2
n
s2 + 2ζωns+ kω2n
π
2
1
s
θl(s) =π
2
[
1
s− s+ ζωn
(s+ ζωn)2 + (√
k − ζ2ωn)2
− ζ√
k − ζ2
√
k − ζ2ωn
(s+ ζωn)2 + (√
k − ζ2ωn)2
]
DC モータの位置決め制御 DC モータ (θl(s) = P (s)u(s)) のフィードバック制御系 (θl(s) =
T (s)r(s))にステップ入力 r(t) =π
2× u(t)を加えたときの応答 θl(t)
を求める.
θl(s) =π
2
[
1
s− s+ ζωn
(s+ ζωn)2 + (√
k − ζ2ωn)2
− ζ√
k − ζ2
√
k − ζ2ωn
(s+ ζωn)2 + (√
k − ζ2ωn)2
]
θl(t) =π
2[u(t)−e−ζωnt cos
√
k − ζ2ωnt
− ζ√
k − ζ2e−ζωnt sin
√
k − ζ2ωnt
]
DC モータの位置決め制御
ju kP (s)
6
−ruθl
θl(t) =π
2[u(t)−e−ζωnt cos
√
k − ζ2ωnt
− ζ√
k − ζ2e−ζωnt sin
√
k − ζ2ωnt
]
サンプル動画
情報制御数学
情報工学・計測工学・制御工学において必要とされる基礎的な数学手法として, 複素解析, 行列とベクトル, フーリエ解析, ラプラス変換について学習する. 定理や公式を理解するだけでなく, 例題や演習を通して問題に対する解法を習熟する.
情報制御数学
4/14, 21, 4/28 複素解析 (平田, 田中)
5/12, 19, 26, 6/2 ラプラス変換 (平田, 田中)
6/9 試験 1
6/16, 23, 6/30 フーリエ解析 (明田川, 倉橋)
7/7, 14, 21, 28 行列とベクトル (明田川, 倉橋)
8/4 試験 2
成績評価 前半分 50 点 (宿題レポート 20 %, 試験 80 %)後半分 50 点 (宿題レポート 20 %, 試験 80 %)
複素解析情報制御数学
4/14 複素数複素数, 絶対値, 偏角, 極座標表示, Euler の公式2.1 記法, 2.2 複素数の復習, 2.5.1 指数関数, 2.5.4 対数関数
4/21 複素関数, 複素関数の微分Cauchy-Riemann の関係式, 正則関数2.3 複素関数, 2.4 複素微分と正則関数, 2.5.2 三角関数
4/28 複素関数の積分複素関数の積分, Cauchy の積分定理2.6 複素微分と正則関数
6/9 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic11/
ラプラス変換情報制御数学
5/12 5.0 なぜラプラス変換を考えるのか5.1 ラプラス変換の定義5.2 基本的な時間関数のラプラス変換(5.3 ラプラス変換とフーリエ変換)
5/19 5.4 ラプラス変換の性質5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換
5/26 5.5 複素積分を用いない逆ラプラス変換5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/2 5.6 ラプラス変換と微分方程式
6/9 試験: 複素解析, ラプラス変換
資料など http://csl.nagaokaut.ac.jp/course/mic11/
試 験複素解析, ラプラス変換
複素数, 複素関数 極座標表示, Euler の公式
複素関数の微分 Cauchy-Riemann の関係式
複素関数の積分 簡単な複素関数の積分
教科書 例題 5.7-11 などは, 必ず一度解いておくこと
試 験複素解析, ラプラス変換
複素数, 複素関数 極座標表示, Euler の公式
複素関数の微分 Cauchy-Riemann の関係式
複素関数の積分 簡単な複素関数の積分
ラプラス変換の定義を把握しておくと
基本的な時間関数のラプラス変換が計算できること
部分分数展開により, 微分方程式を解くことができることラプラス変換表 (表 5.1, 2, 3) を使いこなすことができること
ラプラス変換表を暗記する必要はない
教科書 例題 5.7-11 などは, 必ず一度解いておくこと