ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ...
TRANSCRIPT
1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ І НАУКИ
ЛЬВІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ
Вище професійне училище №20 м. Львова
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ
ЗМІННОЇ
Методичні рекомендації
до виконання практичних робіт з дисципліни «Вища математика»
для студентів за Спеціальністю 5.07010602 «Обслуговування та ремонт ав-
томобілів і двигунів» освітньо-кваліфікаційного рівня - молодший спеціаліст
Львів 2016
2
Розглянуто та рекомендовано до апробації
у навчальних закладах ВПУ педагогічною радою
Вищого професійного училища №20 м. Львова
Протокол №5 від 28.06.2016
Укладач: викладач математики,
спеціаліст вищої категорії,
старший викладач
Іваночко Руслана Остапівна
Рецензенти : Станкевич Володимир Зеновійович - доцент кафедри
фундаментальних дисциплін Львівської філії ДНУЗТ, кандидат фізико-
математичних наук
Пабирівська Неля Віталіївна – доцент кафедри вищої
математики Інституту прикладної математики і фундаментальних наук
Національного університету «Львівська політехніка», кандидат фізико-
математичних наук
3
Зміст
Вступ .............................................................................................................. 6
Робоча навчальна програма ......................................................................... 7
Тема 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Дослідження функцій
за допомогою похідних ................................................................................. 17
Практична робота №1. Границя функції. Неперервність функції.
Точки розриву функції .................................................................................. 17
1.1. Границя функції ................................................................................... 17
1.2. Основні теореми про границі .............................................................. 17
1.3. Методи розкриття невизначеностей ................................................... 18
1.4. Важливі границі ................................................................................... 19
1.5. Неперервність функції ......................................................................... 20
1.6. Асимптоти .............................................................................................. 22
Контрольні питання ..................................................................................... 23
Завдання практичної роботи №1. Знаходження границь. Дослідження функцій
на неперервність ........................................................................................... 24
Практична робота №2. Похідна функції. Знаходження похідних
функції ............................................................................................................ 29
2.1. Означення похідної функції ................................................................ 29
2.2. Геометричний і механічний зміст похідної ....................................... 30
2.3. Таблиця похідних елементарних функцій ......................................... 30
2.4. Правила диференціювання .................................................................. 30
2.5. Похідна складеної функції .................................................................. 32
2.6. Похідна неявно заданої функції ......................................................... 33
Контрольні питання ..................................................................................... 33
Завдання практичної роботи №2. Знаходження похідних ..................... 34
Практична робота №3. Похідна складеної функції, параметрично та неявно
заданої функції .............................................................................................. 38
3.1 Похідна складеної функції ................................................................... 38
3.2 Похідна неявно заданої функції ........................................................... 38
4
3.3 Похідна параметрично заданої функції .............................................. 39
Контрольні питання ...................................................................................... 40
Завдання практичної роботи №3. Похідна складеної функції, параметрично та
неявно заданої функції .................................................................................. 41
Практична робота №4. Застосування похідної ........................................ 44
4.1. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції ............................... 44
4.2. Проміжки монотонності ....................................................................... 44
4.3. Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою
першої похідної ..................................................................................... 45
4.4. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної 47
4.5. Найбільше і найменше значення функції на проміжку .................... 48
4.6. Опуклість і точки перегину кривої...................................................... 50
4.7. Загальна схема дослідження функції і побудова їх графіків ........... 52
Контрольні питання ...................................................................................... 57
Завдання на практичну роботу № 4. Застосування похідної .................. 58
Практична робота 5. Розв’язування прикладних задач за допомогою
похідної .......................................................................................................... 60
Контрольні питання ...................................................................................... 63
Завдання практичної роботи № 5. Розв’язування прикладних задач за допомо-
гою похідної ................................................................................................... 64
Тема 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної .............................. 68
Практична робота 6. Знаходження невизначеного інтегралу ................ 68
6.1 Означення й властивості первісної та невизначеного інтегралу ...... 68
6.2 Безпосереднє інтегрування ................................................................... 69
6.3 Інтегрування методом підстановки (заміна змінної) ......................... 70
6.4 Інтегрування по частинах ...................................................................... 71
6.5 Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції ............. 72
Контрольні питання ...................................................................................... 73
Завдання на практичну роботу №6. Знаходження невизначеного
інтегралу ......................................................................................................... 74
5
Практична робота 7. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функ-
ції. Інтегрування раціональних функцій ............................................... 78
7.1 Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції .............. 78
7.2 Інтегрування раціональних функцій .................................................... 79
7.3 Інтегрування раціональних дробів(загальний випадок) .................... 81
Контрольні питання ...................................................................................... 84
Завдання на практичну роботу №7. Інтегрування раціональних функцій.
Інтегрування тригонометричних функцій .................................................. 85
Практична робота 8. Визначений інтеграл та його застосування ........ 86
8.1. Обчислення визначеного інтеграла ....................................................... 86
8.2. Площа плоскої фігури............................................................................. 87
8.3. Довжина дуги ........................................................................................... 88
8.4. Обчислення об’єму тіла обертання та площі поверхні обертання .... 89
Контрольні питання ...................................................................................... 90
Завдання на практичну роботу №6. Визначений інтеграл та його
застосування ................................................................................................ 91
Практична робота 9. Застосування інтеграла до розв’язування задач з фізики і
економіки ....................................................................................................... 93
9.1 Шлях, який пройде точка за певний проміжок часу ........................... 93
9.2 Обчислення роботи ................................................................................. 93
9.3 Сила тиску рідини ................................................................................... 93
9.4 Обчислення маси неоднорідного стержня ............................................ 94
9.5 Величина заряду, що переноситься за певний проміжок часу через переріз
провідника ...................................................................................................... 94
9.6 Обсяг випущеної продукції .................................................................... 95
Контрольні питання ...................................................................................... 96
Завдання на практичну роботу №9. Застосування інтеграла до розв’язування
задач з фізики і економіки ............................................................................ 97
Література ...................................................................................................... 104
6
Вступ
Методичні рекомендації «Диференціальне та інтегральне числення фун-
кцій однієї змінної» ухвалені для учнів з метою забезпечення виконання ними
практичних робіт, що передбачені навчальною програмою з вищої математики
з тем «Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної» для
напрямку підготовки молодшого спеціаліста за спеціальністю 5.07010602 «Об-
слуговування та ремонт автомобілів і двигунів»
Методичні рекомендації складаються з восьми практичних робіт. Кожна
практична робота складається з двох частин. В першій частині викладено необ-
хідний теоретичний матеріал, наведено основні означення відповідних матема-
тичних понять, теореми та формули для розрахунків. Для кращого сприйняття
наводиться достатня кількість малюнків. Перша частина практичної роботи мі-
стить багато прикладів детального розв’язання типових задач. Друга частина
практичної роботи містить завдання, які необхідно розв‘язати учнями. Завдання
практичної роботи складені так, що можна сформувати 15 різних варіантів. Ці
задачі також можна використати для самостійної роботи учнів – домашні за-
вдання або домашні контрольні роботи.
Підбір матеріалу і його викладення в методичних рекомендаціях «Диференціа-
льне та інтегральне числення функцій однієї змінної» дозволяє використовува-
ти їх і для інших спеціальностей.
7
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ І НАУКИ
ЛЬВІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ
Вище професійне училище №20 м. Львова
ПОГОДЖЕНО
Голова метод комісії
_________ Л.М. Тис
Протокол № 1 від ___ ______2016
ЗАТВЕРДЖУЮ
Заступник директора з НВР
_________ С.І. Гомза
____ ____________ 2016
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
з дисципліни «Вища математика»
для спеціальності
5.07010602 «Обслуговування та ремонт автомобілів і двигунів»
освітньо-кваліфікаційного рівня - молодший спеціаліст
Кур
с
Сем
естр
Всь
ого
за
ОП
П
Ауд
ито
рн
і
Лек
ції
Пр
акти
чні
Сам
ост
ійн
а р
об
ота
Ате
стац
ія
IV VII 41 32 14 18 9 Залік
VIII 40 30 18 12 10 іспит 81 62 32 30 19
8
Пояснювальна записка
Програма дисципліни «Вища математика» призначена для навчальних за-
кладів, що проводять навчання за спеціальністю 5.07010602 «Обслуговування
та ремонт автомобілів і двигунів»
Робоча програма складена на основі освітньо-професійної програми для
підготовки молодших спеціалістів Міністерства освіти і наук України, Київ,
2009 р.
Робоча навчальна програма складена викладачем вищої математики Іва-
ночко Русланою Остапівною.
Загальний курс вищої математики є фундаментом освіти спеціаліста. Су-
часна наука та техніка все більше застосовує математичні методи дослідження,
моделювання та проектування. Це обумовлено передусім швидким розвитком
обчислювальної техніки, завдяки чому значно розширюються можливості ус-
пішного застосування математики в розв’язанні конкретних задач.
Курс вищої математики викладається в двох семестрах,
Багато уваги приділено елементам лінійної алгебри та аналітичній геоме-
трії, диференціальному і інтегральному численням, без яких неможливо вивча-
ти теми дисциплін, як фізика, теоретична механіка, креслення. Край необхідно
для теоретичної механіки знання з теорії диференціальних рівнянь.
Курс вищої математики є базовим курсом для успішного оволодіння уч-
нями спеціальних дисциплін.
9
2.Мета і завдання дисципліни, її місце у навчальному процесі:
формування особистості учнів, розвиток їх інтелекту і здатності до
логічного і алгоритмічного мислення;
познайомити учнів з елементами лінійної алгебри, аналітичної гео-
метрії, розглянути різні методи розв’язування систем лінійних рів-
нянь;
виробити тверді навики дослідження та розв’язування певного кола
задач, які мають безпосереднє відношення до цієї спеціальності;
виробити в учнів вміння вивчати учбову літературу з математики.
Викладання курсу передбачає:
набуття учнями навиків розв’язування математичних задач з дове-
денням розв’язку до практичного задовільного результату (форму-
ли, числа, графіки і т.д.);
навчити учнів прийомів дослідження і розв’язування задач, вироби-
ти у них вміння аналізувати отримані результати.
У результаті вивчення дисципліни молодший спеціаліст повинен знати:
Основні методи розв’язування систем лінійних рівнянь, основи векторної
алгебри, теорію множин, техніку знаходження похідних від функцій однієї
змінної, методи інтегрування функції однієї змінної, звичайні диференціальні
рівняння.
Підготовлений молодший спеціаліст повинен вміти:
Виконувати основні операції в матричному та векторному численні,
розв’язувати основні практичні задачі з аналітичної геометрії, математичного
аналізу, застосовувати знання диференціального і інтегрального числення на
практиці.
Курс вищої математики містить такі розділи:
лінійна та векторна алгебра та аналітична геометрія;
комплексні числа;
диференціальне числення функції однієї змінної;
інтегральне числення;
диференціальні рівняння.
10
3.Тематичний план
з предмету : «Елементи вищої математики»
№ роз-
ділу,
теми
Назва розділу
і теми
Всь
ого
за
ОП
П
К-сть годин
Лек
цій
ні
зан
яття
Пр
ак
ти
чн
і
зан
яття
Сам
ост
ійн
а
ро
бота
I Елементи лінійної та векторної алгебри.
Аналітична геометрія 18 6 8 4
II Комплексні числа 6 2 2 2
ІІІ Диференціальне числення функцій однієї
змінної. Дослідження функцій за допомо-
гою похідних
29 12 10 7
ІV Інтегральне числення функцій однієї
змінної 20 8 8 4
V Звичайні диференціальні рівняння 8 4 2 2
Всього: 81 32 30 19
11
4. Зміст дисципліни «Вища математика»
Тема 1. Елементи лінійної, векторної алгебри та аналітичної геометрії.
Матриці і дії над ними. Визначники другого і третього порядків
Властивості визначників
Розв’язування систем лінійних рівнянь. Формули Крамера. Матричний
метод. Метод Гауса
Вектори. Лінійні операції над векторами і їх властивості. Напрямні коси-
нуси і довжина вектора. Проекція вектора на вісь
Кут між векторами, умови перпендикулярності векторів і колінеарності
векторів
Векторний та мішаний добуток двох векторів. Умова компланарності
трьох векторів
Лінії другого порядку. Перетворення ліній другого порядку до канонічно-
го вигляду
Пряма лінія і площина в просторі
Тема 2. Комплексні числа
Алгебраїчна форма, тригонометрична форма та показникові форма ком-
плексного числа
Дії над комплексними числами
Тема 3. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Дослідження фу-
нкцій за допомогою похідних
Границя функції. Односторонні границі
Методи розкриття невизначеностей
Неперервність функції. Точки розриву
Похідна функції, її геометричний і механічний зміст
Похідні елементарних функцій. Похідна складеної функції
Теореми знаходження похідних
Похідні і диференціали вищих порядків
Умови зростання і спадання функції. Екстремуми функції
Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на проміжку
Випуклість та вгнутість графіка функції. Точки перегину
Загальна схема дослідження функцій та побудова графіка
Тема 4. Інтегральне числення функцій однієї змінної
Первісна. Невизначений інтеграл і його властивості
12
Основні формули інтегрування. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування
методом підстановки
Інтегрування по частинах
Інтегрування ірраціональних функцій
Інтегрування тригонометричних функцій
Визначений інтеграл його властивості
Формула Ньютона-Лейбніца
Застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур і розв’язання
інших задач і неоднорідні
Тема 5. Звичайні диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку, однорідні
Лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами
13
5. Практичні заняття (30 год)
Тема 1
1. Дії над матрицями. Обчислення визначників. Знаходження оберненої ма-
триці
2. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера, матричним ме-
тодом, методом Гаусса
3. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів. Їх застосування
4. Перетворення ліній другого порядку до канонічного вигляду
Тема 2
5. Дії над комплексними числами
Тема 3
6. Знаходження границь функції. Дослідження функцій на неперервність та
встановлення роду точок розриву
7. Знаходження похідних функцій. Геометричний і механічний зміст похід-
ної
8. Похідна складеної функції, параметрично та неявно заданої функції
9. Дослідження функцій та побудова графіків
10. Розв’язування прикладних задач за допомогою похідної
Тема 4
11. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підстановкою. Інтегрування по
частинах
12. Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування раціональних фу-
нкцій
13. Визначений інтеграл та його застосування
14. Застосування інтегралу до розв’язування задач фізики, економіки..
Тема 5
15. Диференціальні рівняння першого порядку, другого порядку. Рівняння з
постійними коефіцієнтами. Задачі Коші
14
6. Перелік питань для самостійного вивчення
Обчислення визначника розкладом по і-ій стрічці чи j-му стовпцю
Метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь
Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно даній
площині; площини що проходить через дану точку перпендикулярно двох
непаралельним площинам; рівняння площини, що проходить через дану
точку, перпендикулярно до даної прямої;рівняння прямої, що проходить
через дану точку, перпендикулярно до даної площини
Асимптоти до графіка функції
Задачі, які приводять до поняття похідної. Знаходження похідної за озна-
ченням
Диференціал функції однієї змінної
Обчислення похідних вищих порядків
Рівняння нормалі і дотичної до графіка
Дослідження монотонності функції за допомогою другої похідної.
Інтегрування ірраціональних виразів
Застосування інтегралу в фізиці
Виконання домашніх завдань
Підготовка до практичних робіт
15
7. Критерії оцінювання
Рівні на-
вчальних
досягнень
Бали Теоретичні знання П
оча
тко
вий
1 Учень за допомогою вчителя вчиться розпізнавати основні
поняття, дає відповідь «так» чи «ні» на конкретні питання.
2
Учень за допомогою вчителя відтворює окремі фрагменти.
Під час відповіді та виконання практичних завдань допускає
суттєві помилки.
3
Учень за допомогою вчителя однослівно відповідає на пи-
тання, відтворює частину теми в тій послідовності, в який її
було представлено на попередньому уроці, та не усвідомле-
но виконує частину практичних завдань.
Сер
едній
4
З допомогою вчителя учень відтворює основні визначення,
наближені до тексту підручнику; може допускати окремі ви-
дозмінні у викладені інформації, ілюструючи виклад прик-
ладами з розповіді вчителя. Має значні труднощі при аналізі
і порівнянні. Під час виконання практичних завдань допус-
кає значну кількість помилок, які самостійно не може випра-
вити.
5
Учень за допомогою вчителя без достатнього розуміння від-
творює основну частину тексту. Визначення основних по-
нять дає з помилками. Може частково обґрунтувати свою
відповідь.
6
Учень за допомогою вчителя свідомо відтворює тему ілюст-
руючи її особистими прикладами; розкриває суть понять за-
конів, припускаючись незначних помилок намагається за-
стосувати прийоми логічного мислення
До
стат
ній
7
Учень самостійно, без помилок відтворює суть основних по-
ложень навчального матеріалу. Його відповідь у цілому пра-
вильна, але містить неточності і недостатньо обґрунтована.
8
Учень володіє навчальною інформацією, з розумінням відт-
ворює суть основного начального матеріалу. Аргументовано
відповідає на поставлені питання і обстоює свою точку зору.
9
Учень вільно володіє навчальним матеріалом, наводить ар-
гументи для підтвердження своїх думок. Виконує практичні
завдання за типовим алгоритмом, за консультацією вчителя.
Ви
соки
й
10
Учень вільно володіє темою, має ґрунтовні теоретичні знан-
ня та здатен їх правильно використовувати для виконання
практичних завдань; вільно відповідає на питання що потре-
бує знання кількох тем. Самостійно визначає мету своєї на-
вчальної діяльності.
16
11
Учень має системні знання з дисципліни, робить аргументо-
вані висновки, самостійно знаходить джерела інформації.
Правильно і усвідомлено застосовує всі види довідкової ін-
формації, в межах навчальної програми. Проявляє пізнава-
льно-творчий інтерес до обраної професії. Практичні за-
вдання виконує правильно у повному обсязі.
12
Учень подає ідеї згідно з вивченим матеріалом, робить твор-
чо-обгрунтовані висновки, вміє аналізувати і самостійно
знаходять джерела інформації, вміє оцінювати отриману ін-
формацію.
17
8. Література
1. Литвин І.І., Конончук О.М., Желізняк Г.О. Вища математика. Навчальний
посібник – Львів:, 2002.
2. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика: В трьох кни-
гах. – К.: Либідь, 1994.
3. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика: Елементи
аналітичної геометрії. Диференціальне і інтегральне числення функцій
однієї змінної. – К.: Вища школа,1984.
4. Овчинников П.П. Вища математика: Підручник. В двох частинах. – К.:
Техніка,2000.
5. Призва Г.Й., Плахотник В.В., Гординський Л.Д. Вища математика: Під-
ручник: У 2 кн. – К.: Либідь, 2003.
6. Мінорський В.В. Збірник задач з вищої математики. М.: Наука, 1987.
7. Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах. Київ,
2006.
8. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, М.,1975.
18
Тема 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної.
Дослідження функцій за допомогою похідних
Практична робота №1. Границя функції.
Дослідження функцій на неперервність
Мета. Розвинути практичні навички знаходження границь функцій у заданій
точці і в нескінченості, важливі границі; вміння досліджувати функцію на непе-
рервність
1. Границя функції
Нехай функція y=f(x) визначена на множині fD . Число А називають
границею функції y=f(x) в точці x0 , якщо для довільного числа 0 існує чис-
ло 0 таке, що для всіх fDx , які задовольняють нерівність 00 xx ,
виконується нерівність Axf )( . Записують: Axfxx
0
lim .
Приклад 1. Знайти границю 12
14lim
2
6
x
x
x.
Розв’язання: 13162
164
12
14lim
22
6
x
x
x.
Приклад 2. Знайти границю 12
14lim
2
5,0
x
x
x.
Розв’язання:
215.0212lim12
1212lim
0
0
12
14lim
5,05,0
2
5,0
x
x
xx
x
x
xxx.
Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку ; . Число А називають
границею функції f(x) при х , якщо для довільного числа 0 існує таке
число М>0, що при x>M виконується нерівність Axf )( . Записують:
Axfx
lim .
Приклад 3. Знайти границю xx
1lim
.
Розв’язання: 01
lim xx
.
Нехай 0xх , при чому 0xх . Якщо Bxf , то В називається лівою грани-
цею і позначається так Bxfxx
00
lim . Аналогічно визначається права границя
функції f(x) в точці x0.
2. Основні теореми про границі
Теорема (про границю суми, добутку і частки). Якщо кожна з функцій
f(x) та g(x) має скінченну границю в точці x0, то в цій точці існують також гра-
19
ниці функцій )()( xgxf , )()( xgxf , )(
)(
xg
xf(якщо 0lim
0
xgxx
) і справедливі форму-
ли:
xgxfxgxfxxxxxx 000
limlimlim
;
xgxfxgxfxxxxxx 000
limlimlim
;
xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
0
0
0 lim
lim
lim
.
Приклад 4. Знайти границю 5135lim 2
2
xx
x.
Розв’язання: 1526205lim13lim5lim5135lim22
2
2
2
2
xxxxxxxx .
Приклад 5. Знайти границю 12
1lim
1
x
x
x.
Розв’язання:
2
112
2
12lim
1lim
12
1lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x.
3. Методи розкриття невизначеностей
1) Невизначеність виду
задана відношенням многочленів.
Приклад 6.
13
52lim
23
3
xx
xx
x
Розв’язання: Розділимо чисельник і знаменник на х у найвищому степені.
3
1
003
001
113
521
lim13
52
lim13
52lim
3
32
33
2
3
3
333
3
23
3
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
xxx.
Приклад 7. 03
0
53
12
lim53
12
lim53
12lim
2
2
22
2
22
2
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
xxx.
2) Невизначеність виду 0
0.
Для того, щоб розкрити цю не визначеність, треба скоротити множник,
який робить цю невизначеність.
Нагадаємо формули:
,21
2 xxxxacbxax де х1, х2 – корені квадратного рівняння
,02 cbxax acbD 42 , a
Dbx
2
.
bababa 22 ;
2233 babababa ;
20
2233 babababa .
Приклад 8.
0
0
12
15
2
16
12
18
156
18lim
2
3
2
3
2
1 xx
x
x
Розв’язання: Розкладемо на множники:
13123
1
2
16156 2
xxxxxx .
1241218 23 xxxx . Звідси
6
2
1
3
13
124lim
1312
12412lim
156
18lim
2
2
1
2
2
12
3
2
1
x
xx
xx
xxx
xx
x
xxx
.
Приклад 9.
0
011lim
2
0 x
x
x
Розв’язання: Домножимо чисельник і знаменник функції на спряжене до
11 2 x
0
2
0
11lim
11lim
11
11lim
11
1111lim
202
2
02
2
02
22
0
x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xxxx.
3) Невизначеність виду .
Приклад10.
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xxx
xx
22
222
22
2
222
2
2
lim2
2lim
2
2lim
2
22lim2lim
1
12
1
2lim
x
x.
4. Важливі границі
Перша важлива границя:
1sin
lim0
x
x
x.
Приклад11. 3133
3sinlim3
3
3sin3lim
3sinlim
000
x
x
x
x
x
x
xxx.
Приклад12. 11
1
cos
1lim
cos
sinlimlim
000
xxx
x
x
tgx
xxx.
21
Приклад13. 02
sinlim2
sin
2
2sin2
lim2sin2
limcos1
lim00
2
00
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
Друга важлива границя:
ex
x
x
11lim або ex x
x
1
01lim
Приклад14.
62
123
0
2
3
3
212
0
1212
lim
3
2
11lim
2
31lim
2
1lim ee
xxx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
.
5. Неперервність функції
Нехай функція f(x) визначена в точці x0 і в деякому околі цієї точки. Фун-
кція y=f(x) називається неперервною в точці x0, якщо границя функції і її зна-
чення в цій точці рівні, тобто 00
lim xfxfxx
.
Функція y=f(x), буде неперервною в точці x0, тоді і тільки тоді, коли ви-
конуються такі умови:
1) функція визначена в точці x0 і в деякому околі цієї точки;
2) існує границя xfxx 0
lim
;
3) 00
lim xfxfxx
.
Поняття неперервності можна визначити за допомогою границь зліва і
справа. Часто зустрічається поняття односторонньої неперервності.
Функція f(x) називається неперервною в точці x0, зліва, якщо вона визна-
чена на пів інтервалі 00 ; xx , де 0 і 000
lim xfxfxx
; якщо функція f(х) ви-
значена на пів інтервалі 00; xx 000
lim xfxfxx
, то функція називається не-
перервною в точці x0 справа.
Функція y=f(x) буде неперервною в точці x0 тоді і тільки тоді, коли вона
визначена в деякому околі точки x0 і xfxfxfxxxx 0
00 00
limlim
Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то функція називається роз-
ривною в точці x0, а сама точка x0 називається точкою розриву.
22
Види розривів:
а) Якщо Axfxx
00
lim , Bxfxx
00
lim і BA , то точка х0 є точкою розриву І
роду.
б) Якщо 000 00
limlim xfxfxfxxxx
, то у точці х0 – усувний розрив. В то-
чці х0 можна довизначити функцію 000 xfxf .
в) Якщо хоча б одна з односторонніх границь у формулі не існує або до-
рівнює нескінченності, то розрив в точці х0 називається розривом ІІ роду.
Приклад15. Функція x
xxf
sin не визначена в точці х=0, але має в цій
точці границю, тому х=0 – точка усувного розриву. Досить покласти
1sin
lim00
x
xf
x, щоб функція стала неперервною.
Отже, функція
0,1
0,sin
x
xx
x
xf є неперервною в точці х=0.
Приклад16.
Функція
1,2
1,3 2
xx
xxxf в точці х=1 є неперервною, бо функція визначе-
на в точці х=1 і в будь-якому околі цієї точки. Крім того,
31 f ;
33limlim 2
101
xxf
xx;
32limlim101
xxfxx
.
Приклад17.
Функція
2,1
2,4 2
x
xxxf має в точці х=2 розрив І роду:
04limlim 2
202
xxf
xx;
11limlim202
xx
xf .
Стрибок функції в точці х=2 дорівнює 1.
Приклад18.
Функція 1
1
xxf в точці х=1 має розрив ІІ роду, тому що
1
1limlim
0101 хxf
xx;
1
1limlim
0101 хxf
xx.
23
Приклад19. Дослідити на неперервність функцію 1
1
2 хxf в точці х=1.
Функція не визначена в точці х=-1, тому функція в цій точці розривна. Щоб
визначити характер розриву, знайдемо границі зліва і справа:
02limlim 1
1
0101
х
xxxf ;
1
1
01012limlim х
xxxf .
Отже х=-1 є точкою розриву другого порядку.
Теорема. Якщо функція f(x) і g(x) неперервні в точці х0, то в цій точці
неперервними є функції xgxf ; xgxf ;
00 xgxg
xf.
6. Асимптоти
1. Вертикальні асимптоти
Пряма х=х0 називається вертикальною асимптотою до графіка функції
у=f(x), якщо хоч одна з границь xfxx 00
lim
або xfxx 00
lim
дорівнює або .
Приклад 20. Графік функції х
у1
має вертикальну асимптоту х=0, бо
у при 00х і у при 00х .
2. Горизонтальна асимптота
Пряма у=А називається горизонтальною асимптотою графіка функції
у=f(x) при х ( х ), якщо Аxfx
lim
Приклад 21. Графік функції х
у1
має горизонтальну асимптоту у=0, бо
01
lim хx .
3. Пряма 0, kbkxy називається похилою асимптотою графіка функ-
ції у=f(x) при х ( х ), якщо існують границі
kx
xf
x
lim ,
bkxxfx
lim .
Приклад 22. Знайти асимптоти до графіка функції х
хху
322 .
Розв’язання.
1) Знаходимо вертикальні асимптоти: х=0 – точка розриву ІІ роду даної фу-
нкції і у при 00х , у при 00х отже, вісь ординат х=0
– вертикальна асимптота.
24
2) Знаходимо горизонтальні асимптоти:
xx
х
хх
xx
32lim
32lim
2
. От-
же, горизонтальних асимптот немає.
3) Знаходимо похилі асимптоти:
1
321limlim
2
xxx
xfk
xx,
232
lim32
limlim2
x
xx
х
ххkxxfb
xxx. Отже, пряма у=х+2 є по-
хилою асимптотою.
Зобразимо схематично графік:
Контрольні питання
1. Дайте означення границі функції в точці.
2. Наведіть приклад функції, яка не має границі в даній точці.
3. При яких умовах з існування односторонніх границь функції випливає
існування границі функції?
4. Чи існує границя ?lim0 x
x
x
5. Сформулюйте правила знаходження границь.
6. Дайте визначення неперервності функції в точці.
7. Яка різниця між поняттяям функції і границею функції в точці хо?
8. Сформулюйте теорему про арифметичні дії над неперервними
функціями.
9. Які точки називаються точками розриву функції?
10. Дайте визначення точок розриву І і ІІ роду.
11. Визначте в якій точці функція x
xу має розрив і якого роду?
12. Як знайти горизонтальні асимптоти?
13. Яка асимптота є вертикальною?
14. Умова існування похилої асимптоти.
25
Завдання практичної роботи №1. Знаходження границь.
Дослідження функцій на неперервність. Асимптоти
1. Обчислити границі заданих функцій:
1) а) 124
721266714lim
2
234
6
xx
xxxx
x; б)
8
5262lim
8
x
x
x;
в) 32 462
2lim
x
x
x; г)
x
tgxx
x
3sinlim
0;
д) 1
1
2lim
x
x x
x.
2) а) 152
10075293lim
2
234
5
xx
xxxx
x; б)
7
93123lim
7
x
x
x;
в) 35 4593
8lim
x
x
x; г)
1
4sinlim
20
xx e
xx;
д) xx
x1
012lim
.
3) а) 20
403898lim
2
234
4
xx
xxxx
x; б)
6
160244lim
6
x
x
x;
в) 37 148124
7lim
x
x
x; г)
arctgx
xxtg
x
sin2lim
0
;
д) 1
7
3lim
x
x x
x.
4) а) 158
7266136lim
2
234
3
xx
xxxx
x; б)
5
5565lim
5
x
x
x;
в) 36 35155
6lim
x
x
x; г) xctgxx
x5sinlim 2
0
;
д) 1
1
123lim
x
xx .
5) а) 2
6032312lim
2
234
2
xx
xxxx
x; б)
4
132246lim
4
x
x
x;
в) 35 23136
5lim
x
x
x; г)
x
ex x
x 2sin
13sinlim
2
3
0
;
д) 3
34
24lim
x
x x
x.
26
6) а) 65
3031lim
2
234
1
xx
xxxx
x; б)
3
112217lim
3
x
x
x;
в) 34 37177
4lim
x
x
x; г)
13ln
27sinlim
0
x
xtgx
x;
д) 2
1
23lim
x
xx .
7) а) 43
303157lim
2
234
1
xx
xxxx
x; б)
2
8088lim
2
x
x
x;
в) 33 28122
3lim
x
x
x; г)
x
ex x
x sin
12lim
2
0
;
д) 2
3
3lim
x
x x
x.
8) а) 6
24092285lim
2
234
2
xx
xxxx
x; б)
8
225189lim
8
x
x
x;
в) 32 4884
2lim
x
x
x; г)
x
xx
x 7
32sinlim
0
;
д) 1
1
123lim
x
xx .
9) а) 32
48416lim
2
234
3
xx
xxxx
x; б)
7
72410lim
7
x
x
x;
в) 38 75255
8lim
x
x
x; г)
x
ex x
x 5sin
1lim
32
0
;
д) 3
1
5lim
x
x x
x.
10) а) 82
7218172lim
2
234
4
xx
xxxx
x; б)
6
1871111lim
6
x
x
x;
в) 31 52124
1lim
x
x
x; г)
x
xxtg
x 2
56lim
0
;
д) 3
1
3114lim
x
xx .
11) а) 30
36034211918lim
2
234
5
xx
xxxx
x; б)
5
2662lim
5
x
x
x;
в) 36 4082
6lim
x
x
x; г)
xxtg
e x
x sin7
1lim
22
0
;
27
д) 2
53
43lim
x
x x
x.
12) а) 2410
2163642lim
2
234
6
xx
xxxx
x; б)
4
129303lim
4
x
x
x;
в) 55 75105
5lim
x
x
x; г)
x
xtgx
x 5arcsin
32sinlim
0
;
д) 2
1
252lim
x
xx .
13) а) 42
144108403lim
2
234
6
xx
xxxx
x; б)
3
884lim
3
x
x
x;
в) 34 8864
4lim
x
x
x; г)
xtg
xx
x 7
13lnlim
20
;
д) 2
5
4lim
x
x x
x.
14) а) 403
601075913lim
2
234
5
xx
xxxx
x; б)
2
795lim
2
x
x
x;
в) 33 14055
3lim
x
x
x; г)
x
xtgarctgx
x 3sin
4
5
lim20
;
д) xx
x
1
1
145lim .
15) а) 82
4058154lim
2
234
4
xx
xxxx
x; б)
8
324366lim
8
x
x
x;
в) 32 96164
2lim
x
x
x; г)
xtg
xx
x 5
37arcsinlim
0
;
д) 1
32
42lim
x
x x
x.
2. Дослідити на неперервність функцію. Знайти асимптоти.
1) а)
;2,4
,20,1
,0,13
3
xx
xx
xx
y б) .1
322
x
xxy
2) а)
;2,3log
,2,2
1
2
2
xx
xx
y б) .2
22
x
xxy
28
3) а)
;1,1
,10,1
,0,2
xx
x
x
y
x
б) .1
12
2
x
xy
4) а)
;,13
,0,2
sin
,0,12
xx
xx
xx
y б)
.1
12
x
xy
5) а)
;1,
2sin
,1,2
xx
xx
y б) .2
1
xey
6) а)
;2,4
,20,4
,2,0,22
x
xx
xx
y б)
.1
12
x
xy
7) а)
;1,3
,1,12 xx
xxy б) .
4
43
2
xx
xy
8) а)
;0,0
,0,1
1
x
xxy б) .
2
232
x
xxy
9) а)
;2,1ln
,2,14
1 2
xx
xxy б)
.
2
22
x
xy
10) а)
;0,
,0,1
xx
xxy б) .
21
1
2
1
x
y
11) а)
;1,1
,1,log2
3
xx
xxy б) .
lg
1
xy
12) а)
3,4
,31,24
,10,
,0,0
2
xx
xxx
xx
x
y б)
.1
12
x
xy
13) а)
;1,1
,1,cos
xx
xxy
б) .
1
22
x
xxy
29
14) а)
;2
,cos
,22
,1sin
,2
,sin2
xx
xx
xx
y б) .
12
121
1
x
x
y
15) а)
;2,2
,2,4
sin
xx
xx
y
б) .1
sin3x
xy
30
Практична робота №2. Похідна функції.
Знаходження похідних функцій
Мета. Виробити практичні навички знаходження похідних функцій на основі
правил та формул диференціювання.
1. Означення похідної функції
Нехай задано функцію y=f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну
внутрішню точку x0 цього проміжку, надамо значенню х0 довільного приросту
Δx (число Δх може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка
х0+Δх належала даному проміжку.
Тоді
1) обчислимо в точці х0
приріст Δу=Δf(х0) функції:
000 xfxxfxfy ;
2) складемо відношен-
ня
x
xfxxf
x
xf
x
y
000 ;
3) знайдемо границю цього
відношення за умови, що Δх→0,
тобто:
x
xfxxf
x
xf
x
y
xxx
00
0
0
00limlimlim .
Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y=f(x) у точці
х0 і позначають 0xf або y .
Похідною функції y=f(x) у точці х0 називають границю відношення при-
росту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує
до нуля, а границя існує, тобто
x
xfxxf
x
yxf
xx
00
000 limlim .
Функцію, яка має похідну в точці х0, називають диференційованою в цій
точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають
диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної назива-
ється диференціюванням.
Рис.1
31
2. Геометричний і механічний зміст похідної
Геометричний зміст похідної: значення похідної в точці х0 дорівнює тан-
генсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює
кутовому коефіцієнту цієї дотичної.
0xftgk - кутовий коефіцієнт дотичної з рівнянням bkxy .
Механічний зміст похідної: похідна за часом є мірою швидкості зміни ві-
дповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних
величин.
Якщо функція S=S(t) описує рух матеріальної точки, тобто залежність
пройденої відстані S від часу t, то її похідна задає залежність миттєвої швидкос-
ті v від часу t, tvtS ; похідна швидкості відповідно є прискоренням tatv
3. Таблиця похідних елементарних функцій
1. 0C , де С – константа
2. 1 nn nxx
3. 1,0ln
aaaaa xx,
xx ee
4. 1,0ln
1log
aa
axxa
,
x
x1
ln
5. xx sincos
6. xx cossin
7. x
tgx2cos
1
8. x
ctgx2sin
1
9. 21
1arcsin
xx
10. 21
1arccos
xx
11. 21
1
xarctgx
12. 21
1
xarcctgx
4. Правила диференціювання
Теорема 1. (Похідна суми функцій) Якщо функції xu та xv диференці-
йовані в точці x , то в цій точці буде диференційованою і сума цих функцій.
Причому, похідна суми функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, тобто
xvxuxvxu
.
Приклад 1. Знайти похідну функції 22 xxy .
32
Розв’язання: xxxy 212 2
.
Теорема 2. (Похідна добутку функцій) Якщо функції xu та xv дифере-
нційовані в точці x , то в цій точці буде диференційований добуток цих функцій
і має місце формула xvxuxvxuxvxu
.
Приклад2. Знайти похідну функції xxy sin3 .
Розв’язання: xxxxxxxxy cossin3sinsin 3233
.
Наслідок 1. Cталий множник можна виносити за знак похідної
xuCxСu .
Приклад 3. Знайти похідну функції tgxy 5 .
Розв’язання: xx
tgxy22 cos
5
cos
155
.
Наслідок 2. Похідна добутку декількох диференційованих функцій дорів-
нює сумі добутків похідної кожного з цих множників на всі інші.
wuvwvuvwuuvw
, де u, v, w – диференційовані функції.
Приклад 4. Знайти похідну функції xexy x sin .
Розв’язання:
.cossinsin
cossinsinsinsinsin
xxxxxe
xxexxexexxexexxexy
x
xxxxxx
Теорема 3. (Похідна частки функцій) Якщо функції xu та xv диферен-
ційовані в точці x і 0xv , то частка цих функцій також диференційована в
точці x і має місце формула
xv
xvxuxvxu
xv
xu2
.
Приклад 5. Знайти похідну функції 1
12
2
x
xy .
Розв’язання:
2222
22
22
2222
1
4
1
1212
1
1111
x
x
x
xxxx
x
xxxxy .
Наслідок 3.
xv
xvC
xv
C2
.
33
Приклад 6. Знайти похідну функції x
ysin
2 .
Розв’язання:
x
ctgx
x
x
x
xy
sin
2
sin
cos2
sin
sin222
.
5. Похідні вищих порядків
Похідна функції теж є функцією, і якщо вона диференційована, то і від
неї можна взяти похідну. Таку похідну називають другою похідною, або похід-
ною другого порядку і позначають y , xf .
Отже, ))(( xfy
Аналогічно, ))(( xfy і т.д.
Таким чином, похідною п-го порядку функції y = f(x) називають похідну
від похідної (п – 1)-го порядку, при умові її існування, і позначають:
.))(( 1 xfy nn
Приклад 7. Знайти другу похідну функції xуxf sin)(
Розв’язання: Знайдемо першу похідну
.cossin)( sinsin xexexf xx
Знайдемо другу похідну:
).sin(coscoscos)sin(cos)()(cos)( 2sinsinsinsinsin xxxexxexexexexf xxxxx
Відповідь: ).sin(cos)( 2sin xxexf x
Приклад 8. Знайти другу похідну функції 1
12
x
xy і обчислити її значен-
ня при х=2.
Розв’язання: Знайдемо першу похідну:
2
2
2
22
2
2
2
22
)1(
12
)1(
122
)1(
)1()1(2
)1(
)1()1()1)(1(
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxxy
Диференціюємо y і знайдемо другу похідну:
34
.)1(
4
)1(
22
)1(
)1212(2
)1(
)12)(1(2)1(2)1(
)1(
)12)(1(2)22()1(
)1(
)12())1(()12()1(
)1(
12
333
22
4
22
4
22
4
2222
2
2
xxx
xxxx
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xxxxxx
x
xxy
Обчислимо значення другої похідної при x=2
.4)12(
4)2(
3
y
Відповідь: .4)2( y
Контрольні питання
1. Яка функція називається диференційованою в точці?
2. Який геометричний зміст похідної?
3. Сформулюйте теорему похідної складеної функції.
4. Сформулюйте теореми знаходження похідних суми, добутку і частки
функцій.
5. Що таке друга похідна функції?
6. Наведіть приклад функції, для якої існує перша похідна, але не існує дру-
га похідна функції.
7. Що таке параметрично задана функція?
8. Як знайти похідну функції заданої параметрично.
35
Завдання практичної роботи №2. Знаходження похідних
1. Знайти першу похідну функції. Обчислити значення похідної при х=2.
1) а) xxey x 3sin ; б) ;5
x
xy
г) xxtgxy cossin2 ; д) ;1
sin2
x
xy
2) а) xxxy lnlg74 3 ; б) ;1
ln
x
xy
г) x
xxy2
lnarcsin4 ; д) ;2sin
3
x
xy
3) а) xxearctgxy 42 ; б) ;1ln
sin
x
xy
г) xxxy 5sin6 ; д) ;32
tgx
xy
4) а) x
xxy1
cossin5 ; б) ;7
x
xy
г) xxy x ln32 3 ; д) ;cos
1
x
xy
5) а) xxtgxy 4log2ln ; б) ;5
5x
xy
г) xxey x sin3 ; д) ;2sin
x
xy
6) а) 53cos xxtgxy ; б) ;4
x
tgxy
г) xex
y x arccos24
; д) ;5sin
2x
xy
7) а) xxx
y lgcos3
; б) ;2
5
x
xy
г) arctgxxxy 5cos2 ; д) ;arccos
1
x
xy
36
8) а) x
exy x 12 2 ; б) ;
lg
5sin
x
xy
г) xxy x sincos63 ; д) ;ln
5cos
x
xy
9) а) 436
xex
y x ; б) ;1sin
x
ey
x
г) xxxy arccos4ln3 ; д) ;5
xe
tgxy
10) а) xxxy arcsin7 ; ё б) ;1
2x
arctgxy
г) ctgxxxy ln2 5 ; д) ;1
3
xe
xy
11) а) xx exy 264 ; б) ;12
x
ctgxy
г) 332 xtgxy x ; д) ;1
x
tgxy
12) а) xxxy 3cosln2 ; б) ;sin
2cos
x
xy
г) xxxy sinarcsin7 2 ; д) ;log
3
2 x
xy
13) а)x
xxy1
lnsin3 ; б) ;cos
sin1
x
xy
г) xxy x arcsin2sin5 ; д) ;1
3
arctgx
xy
14) а) xarctgxxy cos3 2 ; б) ;4
xe
tgxy
г) xxy x 3sin22 ; д) ;5
3x
ey
x
15) а) xxtgxy lgsin23 ; б) ;1
x
arcctgxy
г) xtgxxy ln73 2 ; д) ;sin
arcsin1
x
xy
37
2. Знайти другу похідну функції:
1) xxey x 3sin
2) xxxy lnlg74 3
3) xxearctgxy 42
4) x
xxy1
cossin5
5) xxtgxy 4log2ln
6) 53cos xxtgxy
7) xxx
y lgcos3
8) x
exy x 12 2
9) 436
xex
y x
10) xxxy arcsin7
11) xx exy 264
12) xxxy 3cosln2
13) x
xxy1
lnsin3
14) xarctgxxy cos3 2
15) xxtgxy lgsin23
3. Розв’язати задачу:
1) Точка рухається прямолінійно за законом tS 2sin . Знайдіть момент часу
t, коли прискорення точки дорівнює 1.
2) Знайдіть швидкість і прискорення точки, яка рухається прямолінійно за
законом tS 2sin в момент часу 8
t c.(S - в метрах, t - в секундах).
3) Точка рухається прямолінійно за законом 323
1 23 ttS (м). Знайдіть
швидкість та прискорення точки в момент часу t=3c.
4) Точка рухається прямолінійно за законом 4523
1 23 ttS . Обчислити її
швидкість та прискорення в моментах часу t=5с.
5) Дві точки рухаються прямолінійно за законами 143
2 223
1 tttS та
8112
1
3
2 23
2 tttS . В який момент часу їх швидкості будуть рівні?
6) Точка рухається прямолінійно за законом tS 2sin . Знайти момент часу,
коли її прискорення дорівнює нулю.
7) Температура тіла Т змінюється з часом t за законом 22,0 tT . Яка швид-
кість нагріву тіла в момент часу t=10c.
8) Точка рухається прямолінійно за законом 42 23 ttS . Знайти момент
часу, коли прискорення рівне 1.
38
9) Точка рухається прямолінійно за законом 42 22 ttS . Знайти приско-
рення точки в момент часу t=3c.
10) Точка рухається прямолінійно за законом tttS 542 23 . Знайти прис-
корення точки в момент часу t=2c.
11) Дві точки рухаються за законами tttS 542 23
1 та 23
2 5,12 ttS . Знай-
ти значення часу, коли їх швидкості рівні.
12) Точка рухається прямолінійно з швидкістю, яка змінюється за законом
1126 2 ttV . Знайти момент часу, коли прискорення точки рівне 2.
13) Знайти швидкість та прискорення точки в момент часу t=3c, якщо вона
рухається прямолінійно за законом 45 23 ttS .
14) Тіло рухається прямолінійно за законом 323)( 2 tttS . В який момент
часу тіло зупиниться?
15) Тіло рухається прямолінійно за законом 4324
)( 234
ttt
tS . В який
момент часу прискорення рівне нулю?
39
Практична робота №3. Похідна складеної функції, параметрично та неявно
заданої функції
Мета. Застосування елементів диференціального числення однієї змінної до
дослідження функції, побудова графіків на основі дослідження.
1. Похідна складеної функції
Складеною функцією зазвичай називають функцію від функції.
Якщо змінна y є функцією від u: y=f(u), а u в свою чергу – функцією від
x; u=ϕ(x), то y є складеною функцією від x, тобто y=f(ϕ(x)).
Функцію f(u) називають зовнішньою, а ϕ(x), внутрішньою функцією, або
проміжною змінною.
Якщо функція ϕ(x) має похідну в точці x0, а функція f(u) – похідну в точці
u0=ϕ(x0), то складена функція y=f(ϕ(x)) також має похідну в точці x0, причому
xufy .
Похідна складеної функції y=f(ϕ(x)) дорівнює добутку похідної даної фу-
нкції y=f(u) по проміжному аргументу u (позначено f′(u)) на похідну проміжно-
го аргументу u=ϕ(x) по незалежному аргументу x (позначено ϕ′(x)).
Приклад 1. Знайти похідну функції 2sin xy .
Розв’язання: Позначимо 2xu , тоді uy sin . За формулою похідна функції до-
рівнює
22 cos2cos2sin xxuxuxy ux
.
Приклад 2. Знайти похідну функції 342 xxy .
Розв’язання: 34
242
342
134
342
1
22
2
2
xx
xx
xxxx
xxy .
2. Похідна неявно заданої функції
Функції, в яких незалежна змінна x і функція y зв'язані між собою фор-
мулою f(x,y)=0 з якої не можна відокремити саму функцію, називається неяв-
ною функцією від аргумента x.
40
Однак саму похідну від функції по змінній x можна обчислити. Для цього
диференціюють функцію f(x,y) по x, при цьому враховують, що сама функція
залежна від змінної y=y(x). З одержаного рівняння згруповують доданки, що
містяться при похідній y' і виражають її.
Приклад 3. Знайти похідну неявно заданої функції yxyx 333
Розв'язання: Продиференціюємо праву і ліву частини рівняння:
)1(3ln33ln33ln3 yy yxyх
Отриманий вираз поділимо на спільний множник ln3 та згрупуємо додан-
ки, що містять похідну y'(x) і перенесемо їх в одну сторону за знак рівності. В
результаті отримаємо yyyxyxx 3333 .
Поділивши на множник при похідній y'(x) отримаємо її значення
yyx
yxx
y33
33
.
Для спрощення винесемо із чисельника та знаменника спільні множни-
ки 3x та 3
y відповідно. В результаті отримаємо:
13
313
133
313
x
yyx
xy
yx
y .
3. Похідна параметрично заданої функції
В геометрії, механіці, фізиці часто зустрічається параметричний спосіб
задання рівняння, що описує криву на площині чи в просторі. Саму ж лінію
можна розглядати як геометричне місце послідовних положень рухомої точки,
координати x та y якої є функціями допоміжної змінної t, v, S (часу, швидкості,
відстані і т.д.) Допоміжну змінну називають параметром, а рівняння функції –
параметричним рівнянням. Для прикладу, крива на площині визначається дво-
ма рівняннями:
.
;
tgy
tfx
Похідна параметричної функції першого порядку знаходиться за прави-
лом:
.t
t
xx
yy
41
Приклад 4. Знайти похідні функцій, заданих параметрично.
.3cos2cos3
;3sin2sin3
tty
ttx
Розв'язання. Обчислимо похідні функції та аргументу за параметром t
.3sin32sin633sin22sin3
;3cos32cos633cos22cos3
tttty
ttttx
t
t
Знайдені значення підставляємо у формулу похідної
.2cos23cos
3sin2sin2
3cos32cos6
3sin32sin6
tt
tt
tt
tt
x
yy
t
t
x
Контрольні питання
1. Як знайти похідну складеної функції?
2. Як знайти похідну неявно заданої функції?
3. Як знаходиться похідна параметрично заданої функції?
42
Завдання практичної роботи №3 Знаходження похідних складеної функції,
параметрично та неявно заданих функцій
1. Знайти першу похідну функції. Обчислити значення похідної при х=2.
1) 52ln xy ;
2) xy cos1arcsin ;
3) xy cos1sin ;
4) xy lnsin ;
5) xy cosln ;
6) x
y1
arcsin ;
7) x
y1
ln ;
8) xctgy ;
9) xy 2sin ;
10) xy lg5 ;
11) xy ln ;
12) 2
5log3
xy ;
13) 2lg xy ;
14) хtgy ln ;
15) xey sin ;
2. Знайти похідну неявно заданої функції:
1) yxy cos32
2) y
xarctgy ln
3) 23sin4 xyx
4) yextgy 3
5) xyyx 333
6) 111 yx eey
7) xyy 2ln2
8) yxy sin
9) yxyyx cos
10) yxxy cossin
11) yytgx 32
12) arctgyyx
13) yxxy ln3
14) yxx
ytg 3
15) tgyxy 3sin
3. Рух точки задано параметричним рівнянням, знайти швидкість руху точки в
момент часу t=1c.
1)
t
t
ey
ex 2
;
2)
tty
tx3
23;
3)
2
2 4
ty
ttx;
4)
tty
tx
cossin
23;
5)
t
t
ety
ex 21;
6)
ty
tx
4sin44
sin3;
7)
52
15 2
ty
tx;
43
8)
1
1
t
t
ey
ex;
9)
3
sin
ty
tx;
10)
ty
tx
1
1sin;
11)
ty
eex tt
2;
12)
ty
tx2
2
cos2
1sin;
13)
ty
tx
sin
2sin3;
14)
42
3
ty
tx;
15)
3cos
2sin
ty
tx;
44
Практична робота №4. Застосування похідної
Мета. Застосування елементів диференціального числення однієї змінної
до дослідження функції, побудова графіків на основі дослідження.
1. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції
Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) в заданій точці А(х0;у0) має вигляд:
,000 xxxfyy , а рівняння нормалі в заданій точці А(х0;у0) –
.
10
0
0 xxxf
yy
Приклад 1. Записати рівняння дотичної і нормалі до графіка функції
122 xxxf в точці х0=1.
Розв’язання: 212110 fy . Знайдемо похідну 22 xxf , 4221 f .
Отже, рівняння дотичної має вигляд: .24;142 xyxy
А рівняння нормалі 25.225.04
7
4
1;1
4
12 xxyxy .
2. Проміжки монотонності
З допомогою похідної можна дослідити функцію, побудувати її графік,
знайти найбільше і найменше значення на проміжку і т.д.
При дослідженні функції важливу роль відіграє поняття монотонності.
Функція називається монотонною, якщо вона зростає (не спадає) або спа-
дає (не зростає) в області свого визначення. Більшість функцій є кусково-
монотонними, тобто зростають (не спадають) чи спадають (не зростають) на
певних проміжках.
Такі проміжки називають проміжками (інтервалами) монотонності.
Нагадаємо, що функція називається зростаючою, якщо більшому значен-
ню аргументу відповідає більше значення функції, і спадною – якщо більшому
значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто, якщо для
,21 xx де 21, xx належать (a;b) виконується умова ),()( 21 xfxf то функція f(x)
зростає на (a;b); якщо ж виконується умова ),()( 21 xfxf то функція f(x) спадає
на (a;b).
45
Для встановлення проміжків монотонності функції використовують на-
ступну теорему:
Теорема. (Необхідна умова монотонності) Якщо диференційована фун-
кція ,;),( baxxfy зростає (спадає) на [a;b], то )0)((0)( xfxf для будь-
якого х з цього проміжку.
(Достатня умова монотонності) Якщо )0)((0)( xfxf в кожній точці
проміжку, то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.
3. Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомо-
гою першої похідної
Точки, в яких функція змінює характер монотонності називають точками
екстремуму функції.
Означення: Точка х=а називається точкою екстремуму для функції f(x),
якщо в околі цієї точки виконується одна з умов:
,xfaf для всіх х з даного околу;
,xfaf для всіх х з даного околу.
Якщо для точки х = а виконується перша умова, то її називають точкою
максимуму, якщо друга – точкою мінімуму.
Теорема. (Необхідна умова існування екстремуму диференційованої фун-
кції) Якщо функція )(xf в точці x=a має екстремум, то її похідна в цій точці до-
рівнює нулю, або не існує.
Геометрично це означає, що в точці екстремуму, дотична до графіка фун-
кції паралельна осі OX або її неможливо провести. Обернене твердження невір-
не.
Теорема (Достатня умова існування екстремуму в точці) Якщо при пе-
реході через точку x=a похідна функції )(xf змінює знак з мінуса на плюс, то
точка x=a є точкою мінімуму, а якщо з плюса на мінус – точкою максимуму.
З вище згаданого впиває , що точки в яких похідна рівна нулю або не іс-
нує є лише підозрілими на екстремум, або критичними точками I роду.
46
При дослідженні функції на екстремум слід знайти всі її критичні точки I
роду і встановити знак похідної зліва і справа від них.
Схема дослідження функції )(xf на екстремум за допомогою першої по-
хідної:
Встановити область визначення заданої функції )(xf ;
Визначити критичні точки функції.
а) знайти похідну функції )(xf ;
б)встановити, при яких значеннях аргументу 0f або f не існує.
Встановити проміжки монотонності:
а)розбити область визначення функції критичними точками на про-
міжки;
б)встановити знак похідної на кожному проміжку;
в)зробити висновок про характер монотонності функції на кожному
з проміжків;
Визначити екстремальні точки.
Для зручності, результати дослідження оформляють у вигляді таблиці.
Приклад 2. Дослідити функцію 23 3)( xxxf на екстремум.
Розв’язання: Працюємо за схемою.
);())(( xfD .
Визначимо критичні точки:
а) ;63)( 2 xxxf
б) 0)( xf при 063 2 xx ; 0)2(3 xx ; ;0x 2x .
3. Встановимо проміжки монотонності.
x 0; 0 (0;2) 2 ;2
xf + 0 - 0 +
xf 0 -4
max min
4.Зробимо висновки:
а) точка (0;0) є точкою максимуму даної функції;
47
б) точка (2;-4) є точкою мінімуму даної функції.
4. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
Часто буває доцільним досліджувати функцію на екстремум за допомо-
гою другої похідної. Розглянемо суть цього методу.
Знак першої похідної характеризує зростання і спадання функції. Знак
другої похідної пов’язаний зі зростанням та спаданням першої похідної.
Якщо у на (a; b) диференційована і зростає, то 0y на цьому ж інтерва-
лі; якщо y спадає на (a; b), то 0y в кожній точці цього проміжку. Перша похі-
дна при переході через точку максимуму переходить від додатних значень до
від’ємних, тобто спадає. Отже, її похідна повинна бути від’ємною.
Таким чином, в точці максимуму функції перша похідна рівна нулю, а
друга похідна від’ємна.
Аналогічно можна довести, що в точці мінімуму функції друга похідна
додатна. Звідси випливає достатня умова існування екстремуму функції.
Якщо в точці 0xx перша похідна функції дорівнює нулю 00 xf , а
друга похідна відмінна від нуля, то 0xx - точка екстремуму.
При цьому, якщо друга похідна в цій точці додатна 00 xf , то 0xx -
точка мінімуму, якщо друга похідна в цій точці від’ємна 00 xf , то 0xx -
точка максимуму.
Схема дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.
1.Знайти область визначення функції.
2.Знайти першу похідну функції і точки, в яких вона перетворюється в
нуль.
3.Знайти другу похідну функції і дослідити її знак в кожній з критичних
точок.
4.Визначити точки екстремуму і обчислити (якщо потрібно) значення фу-
нкції.
Приклад 3. Знайти екстремум функції 13 23 xxxf .
Розв’язання:
48
1. Область визначення функції є множина всіх дійних чисел, тобто
RfD .
2. Функція має похідну на всій числовій прямій, тому критичні точки ви-
значаємо з умови 0 xf ,
а) xxxf 63 2 ,
б) ;063 2 xx .2,0,023 21 xxxx
3. Знаходимо другу похідну функції
а) ;66)( xxf
б) досліджуємо знак другої похідної в кожній критичній точці:
,06)0( f .06)2( f
4. Отже, х=0 – точка максимуму, ;1)0(max yy 2x - точка мінімуму,
.532)2( 3
min yy
5. Найбільше і найменше значення функції на проміжку.
Неперервна на проміжку (a;b) функція може мати тільки одне найбільше і
тільки одне найменше значення на цьому проміжку, або не мати їх зовсім.
Знаходження найбільшого і найменшого значення неперервних функцій
ґрунтується на наступних властивостях цих функцій:
1. Якщо в деякому відкритому проміжку bxa функція f(x) перервна і
має тільки один екстремум і якщо це максимум, то він і є найбільшим значен-
ням функції, а якщо мінімум – найменшим значенням функції в цьому проміж-
ку;
2. Якщо функція )(xfy неперервна на проміжку bxa , то вона
обов’язково має на цьому проміжку найбільше і найменше значення. Ці зна-
чення досягаються нею в точках екстремуму, які лежать всередині відрізка, або
на кінцях цього відрізка.
Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції на
проміжку.
Знайти екстремум функції на даному проміжку ba; .
49
Знайти значення функції на кінцях проміжку f(a) і f(b).
Із усіх знайдених значень вибрати найбільше і найменше.
Приклад 4. Знайти найбільше і найменше значення функції
22
3
3
2
4
232
xxx
y на проміжку ]4;2[ .
Розв’язання:
Знайдемо екстремуми функції. Для цього знайдемо похідну функції
і критичні точки першого роду.
);32(3222
33
3
24
4
1 22323 xxxxxxxxxy
0y при .3;1;0 321 xxx
Відмітимо критичні точки першого роду 3,0,1 xxx на числовій пря-
мій.
x )1;( -1 (-1;0) 0 )3;0( 3 );3(
y’ - 0 + 0 - 0 +
y 12
17 2 4
19
min max min
Досліджуємо знак похідної в кожному з одержаних інтервалів
.0)4(;0)1(;0)5,0(;0)2( yyyy
Таким чином (рис. 6):
;12
172
2
3
3
2
4
1)1(min yy
;2)0(max yy
.4
192
2
2718
4
8129
2
327
3
281
4
1)3(min yy
Знайдемо значення функції на кінцях проміжку:
.3
2
3
672128192224
3
12864216
2
364
3
2256
4
1)4(
;3
1526
3
15424
2
38
3
216
4
1)2(
y
y
50
Отже, найбільше значення функції ,3
15)2( yy а найменше зна-
чення функції .4
19)3( yy
Відповідь: .4
19)3(,
3
15)2( уyуy наймнайб
6. Опуклість і точки перегину кривої
На проміжку bxa графік функції є опуклий вгору, якщо він лежить
нижче дотичної, яка проведена в будь-якій його точці.
На проміжку cxb графік функ-
ції є опуклий вниз, якщо він лежить ви-
ще дотичної, яка проведена в будь-якій
його точці.
На проміжку опуклості графіка
функції f(x) вгору похідна )(xf спадає
(кути нахилу дотичних до графіка функ-
ції на цьому проміжку послідовно зменшується); а на проміжку опуклості вниз
похідна )(xf зростає (кути нахилу дотичних до графіка функції на цьому про-
міжку послідовно збільшуються).
Достатня умова опуклості кривої. Графік двічі диференційованої фун-
кції )(xfy є опуклим вгору на проміжку bxa , якщо друга похідна функції
від’ємна в кожній точці цього проміжку: 0)( xf для .bxa
Графік двічі диференційованої функції )(xfy є опуклим вниз на промі-
жку ,cxb якщо друга похідна функції додатна в кожній точці цього проміж-
ку: 0)( xf для .cxb
Точкою перегину неперервної функції називається точка А, при переході
через яку графік функції змінює свою опуклість.
51
Необхідна умова існування точки перегину. Якщо функція )(xfy має
неперервну похідну до другого порядку включно на інтервалі (a;b) і точка
))(( 00 xfx є точкою перегину графіку функції )(xfy , то .0)( xf
Достатня умова існування точки перегину. Нехай функція )(xfy двічі
диференційована на (a; b) і при переході через точку );(0 bax її друга похідна
змінює знак. Тоді точка кривої з абсцисою 0xx є точкою перегину.
Точками підозрілими на перегин є точки, в яких друга похідна дорівнює
нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками ІІ роду.
Якщо при переході через критичну точку ІІ роду 0xx друга похідна фу-
нкції змінює знак то 0x - абсциса точки перегину. Ордината точки перегину до-
рівнює значенню функції в точці 0x . Точка ))(( 00 xfx є точкою перегину графіка
функції )(xfy .
Щоб знайти напрямки опуклості і критичні точки другого роду потрібно:
Знайти область визначення функції.
Знайти другу похідну функції і критичні точки другого роду.
Відмітити границі області визначення і критичні точки другого ро-
ду на числовій прямій.
Дослідити знак другої похідної в кожному із одержаних інтервалів
Встановити проміжки опуклості.
Визначити абсцису точки перегину і обчислити її ординату.
Приклад5. Визначити напрямки опуклості і точки перегину функції
.25122 234 xxxxy
Розв’язання:
1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто
.Rx
2. Знайдемо другу похідну функції і критичні точки другого роду:
0);2(12;241212;52464 2223 yxxyxxyxxxy при 022 xx
.1,2;2
31
2
811212,1
xxx
52
3. Відмітимо критичні точки другого роду х = -2 і х = 1 на числовій пря-
мій, дані занесемо у таблицю.
x )2;( -2 (-2;1) 1 );1(
y'' + 0 - 0 +
y ᴗ 0 ᴖ 5,4 ᴗ
4. Дослідимо знак другої похідної в кожному з інтервалів:
.02,00,03 yyy
5. Крива опукла вниз при 2x і 1x , крива опукла вверх при 12 x .
6. Знайдемо координати точок перегину ;362,2 .... уух птпт
;121,1 .... уух птпт
Відповідь: Точки перегину (-2;-36), (1;-12).
7. Загальна схема дослідження функції і побудова їх графіків.
Для побудови графіку функції зручно користуватись схемою, в якій уза-
гальнено матеріал даного розділу.
1. Знайти область визначення функцій.
2. Дослідити на парність, непарність та періодичність функцій.
3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.
4. Знайти проміжки монотонності і екстремуми функції.
5. Знайти напрямки опуклості і точки перегину графіка функції.
6. Побудувати графік функції, використовуючи всі одержані результати до-
сліджень.
Якщо їх виявилось недостатньо, то потрібно знайти ще декілька точок
графіка функції, виходячи з її рівняння.
Приклад 6: Побудувати графік функції 5
4 43 xxy
.
Розв’язання :
1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто
Rx .
Далі знаходимо
yxlim ,
y
xlim .
53
2. Визначимо чи функція є парною чи непарною: ;5
4)(
43 xxxy
).()(),()( xyxyxyxy Отже, функція є ні парною ні непарною.
3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:
0,x
0,y:OX
,4
,0
x
y
0
0:
y
xOY
4. Знаходимо проміжки монотонності і екстремуми функції:
),3(5
44
5
13
5
4
5
1
5
4 23243 xxxxxxy
,0y при 01 x і .32 x
Відмітимо критичні точки першого роду x=0 і x=3 на числовій прямі і
досліджуємо знак похідної в кожному із одержаних проміжків:
.0)4(,0)1(,0)1( yyy Функція зростає при x<3 і спадає при x>3; x=3 –
точка максимуму.
.4,55
27
5
81274)3(max
yy Дані запишемо в таблицю:
x )0;( 0 (0;3) 3 );3(
y’ + 0 + 0 -
y 0 5,4
max
5. Встановимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції.
).2(5
123
5
42
5
12
3
4
5
12 232 xxxxxxy
0y , при .2,0 21 xx
Відмітимо критичні точки другого роду 0x і 2x на числовій прямій і
дослідимо знак другої похідної в кожному із одержаних інтервалів:
0)3(,0)1(,0)9( yyy .
Графік функції опуклий вниз на проміжку (0;2) і вгору на проміжках
)0;( , );2( .
,0)0(,0 ... yyx птпт
54
2,35
16
5
1684)2(,2 ....
yyx птпт
Точки перегину графіка функції (0;0) і (2;3,2). Дані запишемо в таблицю:
x )0,( 0 (0,2) 2 ),2(
f - 0 + 0 -
f 0 3,2
6. На основі досліджень будуємо графік
Приклад 7. Побудувати графік функції
1
12
2
х
ху .
Розв’язання :
1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто
Rx .
2. Далі знаходимо 1lim
yx
, 1lim
yx
. Отже, у=1 – горизонтальна асимпто-
та. Вертикальної асимптоти немає, оскільки функція неперервна на
всій числовій прямій. Перевіримо чи графік функції має похилу асим-
птоту.
0
1lim
1
1limlim
3
2
2
2
xx
х
xх
х
x
xfk
xxx. Отже похилої асимптоти не має.
55
3. Визначимо чи функція є парною чи непарною:
;
1
1
1
1)(
2
2
2
2
х
х
х
хxy
).()(),()( xyxyxyxy Отже, функція є ні парною ні непарною.
4. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:
1,x
0,y:OX
1
0:
y
xOY
5. Знаходимо проміжки монотонності і екстремуми функції:
22
2
22
2323
22
22
2
2
1
22
1
2422222
1
21112
1
1
х
х
х
хххххх
х
хххх
х
хy
,0y при 11 x і 12 x
Відмітимо критичні точки першого роду x=-1 і x=1 на числовій прямі і
досліджуємо знак похідної в кожному із одержаних проміжків:
.0)0(,0)2(,0)2( yyy Функція зростає при )1;( , );1( і спадає при (-
1;1) ; x=-1 – точка максимуму, х=1 – точка мінімуму.
.22
4)1(max yy
.02
0)1(min yy
Дані запишемо в таблицю:
x )1;( -1 (-1;1) 1 );1(
y’ + 0 - 0 +
y 2 0
max min
6. Встановимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції.
32
2
42
2222
22
2
1
34.
1
2122214
1
22
х
xx
х
xхххx
х
хy
0y , при 3,3,0 321 xxx .
56
Відмітимо критичні точки другого роду 3,3,0 321 xxx на числовій
прямій і дослідимо знак другої похідної в кожному із одержаних інтервалів:
0)3(,0)1(,0)9( yyy .
Графік функції опуклий вниз на проміжку (0;2) і вгору на проміжках
)0;( , );2( .
,0)0(,0 ... yyx птпт
2,35
16
5
1684)2(,2 ....
yyx птпт
Точки перегину графіка функції (0;0) і (2;3,2). Дані запишемо в таблицю:
x )3,( 3 ( 3 ,0) 0 (0; 3 ) 3 ),3(
f + 0 - 0 + 0 -
f 2
31 1
2
31
7. На основі досліджень будуємо графік
57
Контрольні питання
1. Дайте означення зростаючої і спадної функції.
2. Сформулюйте умови зростання і спадання функції.
3. Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.
4. Сформулюйте достатні умови існування екстремуму функції.
5. Як зайти точки екстремуму?
6. Як знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку?
7. Сформулюйте достатню умову опуклості кривої.
8. Як знайти напрямки опуклості і точки перегину кривої?
58
Завдання на практичну роботу №4. Застосування похідної
1. Розв’язати задачу:
1) В яких точках лінії 22 2 xxy дотичні паралельні до осі Ох?
2) Скласти рівняння дотичних до лінії x
xy1
у точках її перетину з віссю
Ох.
3) В якій точці дотична до параболи xxy 22 паралельна прямій 12 ху ?
4) Чи може дотична до гіперболи х
у1
утворювати з віссю Ох гострий кут?
Обґрунтуйте відповідь.
5) Скласти рівняння дотичної до параболи 22xy у точці А(1;2).
6) Скласти рівняння нормалі до параболи 22xy у точці А(1;2).
7) В якій точці параболи 532 xxy дотична паралельна прямій
0522 ху ?
8) Скласти рівняння дотичної до лінії 13 23 ххxy паралельної прямій
0522 ху .
9) В якій точці гіперболи х
у3
дотична перпендикулярна прямій
043 ух ?
10) Скласти рівняння дотичної до лінії 664 хxy перпендикулярної
прямій 0742 ух .
11) Скласти рівняння нормалі до параболи 12 хxy , перпендикулярної
до прямої 0526 ух .
12) Скласти рівняння нормалі до гіперболи 2
1
х
ху , паралельної прямій
0239 ух .
13) Скласти рівняння нормалі до параболи 662 хxy , перпендикулярної
до прямої, що з’єднує початок координат з вершиною параболи.
14) Скласти рівняння дотичної до кривої tgxy у початку координат.
15) Скласти рівняння нормалі до кривої tgxy у початку координат.
59
2. Дослідити задані функції та побудувати графіки:
1)
16
422
x
y ; 2) 514
1 2 xxy ; 3)
21
4xxy ;
4) 22 5 xxy ; 5) 1
22
x
xy ; 6)
12
2
x
xy ;
7) 12
3
x
xy ; 8)
12
3
x
xy ; 9)
83
2
x
xy ;
10) 1
22
3
x
xxy ; 11)
8
23
x
xy ; 12)
4
52
x
xy ;
13) 11
22
x
xy ; 14)
12
42
x
xy ; 15)
13
4
x
xy .
60
Практична робота №5. Розв’язування прикладних задач за допомо-
гою похідної
Мета. Застосування елементів диференціального числення однієї змінної до
розв’язування прикладних задач.
Розглянемо кілька прикладних задач, розв’язання яких зводиться до зна-
ходження найбільшого чи найменшого значення певної функції.
Приклад1. Потрібно виготовити закритий циліндричний бак об’ємом
250 см3. Якими повинні бути його розміри, щоб на його виготовлення пішла
найменша кількість матеріалу?
Розв’язання:
Тут потрібно визначити радіус основи R і висоту Н циліндра так, щоб при
заданому об’ємі площа його повної поверхні була найменшою. Площа повної
поверхні циліндра обчислюється по формулі: .22 2RRHS
Найменше значення цієї функції і потрібно обчислити. Тому, що S є фун-
кцією двох незалежних змінних, то одну із них потрібно виключити. Відомо,
що об’єм циліндра .2502 HRV Виразимо Н через V:
22
250250
RRH
тоді .2
5002
2502 22
2R
RR
RRS
Областю визначення функції S є додатні значення радіуса, тобто R>0.
Знаходимо похідну: ,4500
2R
RS
Знайдемо критичні точки:
.5
,125
,5004
,04500
3
3
2
R
R
R
RR
Знаходимо другу похідну:
.4
10004
25004
500344
2
RR
R
R
RS
61
Тому, що ,0)5( S то при R=5 функція досягає мінімум, який і є най-
меншим значенням функції S. Тоді ,250
2RH або .10
25
250H
Отже, на виготовлення циліндричного бака витрачається найменша кіль-
кість матеріалу, якщо довжина радіуса основи циліндра дорівнює 5см, а висота
циліндра – 10см.
Приклад 2. Потрібно виготовити ящик з кришкою, сторони основ якого
відносяться як один до двох, а площа повної поверхні 108 см2. Якими повинні
бути його розміри, щоб його об’єм був найбільшим?
Розв’язання: Тут потрібно визначити сторони основ a і b та висоту Н прямокут-
ного паралелепіпеда, щоб при заданій площі повної поверхні його об’єм був
найбільшим.
За умовою: ,2
1
b
a звідки .2, xbxa Об’єм прямокутного паралелепіпе-
да дорівнює ,HbaV або .2 2 HxV Потрібно виключити змінну Н. Відомо
що .;2108 ...
2 НРSSSSісмS оснбічбічосн
Маємо:
.3
436
3
2182
,3
218
6
4
6
106
6
4108
;41086
;10864
;642)2(22
32
22
2
2
2
xxxx
xV
тодіxxx
x
xx
xH
xHx
Hxx
HxxHxxxxS
Дослідити дану функцію за допомогою похідної:
Областю визначення функції V є додатні значення х, тобто x>0.
Знаходимо похідну: .3;9;364;0;43633
436 2222 xxxVприxxV
Знаходимо другу похідну: ,0)3(;8 VxV тобто при х = 3 функція має
максимум, який і буде найбільшим значенням функції. Тоді:
62
.42633
2
3
18H
Відповідь: Об’єм ящика є найбільшим, якщо сторони його мають довжи-
ни 3см і 6 см, а висота рівна 4 см.
Приклад 3. Число 10 розбити на два додатних доданки так, щоб сума їх
кубів була найменшою.
Розв’язання: Нехай один із доданків дорівнює х, тоді другий доданок буде 10-х.
Сума кубів цих доданків дорівнює:
.100030030
;303001000)10(
2
32333
xxS
xxxxxxS
Найменше значення цієї функції і потрібно визначити.
Областю визначення цієї функції є додатні значення х, тобто x>0.
Знаходимо похідну: ,30060300230 xxS при .5,30060,0 xxS
Знайдемо другу похідну: ,0)5(,60 SS тобто при х=5 функція S має мі-
німум, який і є найменшим значенням функції.
Відповідь: Число 10 потрібно розкласти на два рівних доданки: 5 і 5.
Приклад 4. Закон прямолінійного руху тіла заданий рівнянням:
8249 23 tttS .
S – в метрах, t – в секундах. Знайти максимальну швидкість руху тіла.
Розв’язання: Швидкість руху тіла даний момент часу дорівнює похідній шляху
S: 24183)( ttStV
Досліджуємо цю функцію на екстремум за допомогою другої похідної:
.6)(;3;0)(,186)( tVcttVttV
Друга похідна від’ємна; звідси слідує що швидкість є найбільшою при
t=3c.
Максимальна швидкість руху дорівнює:
32454272431833)3( 2 V
Відповідь: ./3max смV
63
Контрольні питання
1. Опишіть спосіб розв’язування прикладних задач.
2. Сформулюйте ознаки існування максимуму, мінімуму функції ви-
користовуючи першу похідну, другу похідну.
64
Завдання практичної роботи №5. Розв’язування прикладних задач за допо-
могою похідної
1. Міцність прямокутної балки пропорційна добутку її ширини на квадрат
висоти. Знайти розміри найміцнішої балки, яку можна вирізати з цилінд-
ричної колоди діаметром а см.
2. Огорожею завдовжки 120 см потрібно обгородити прямокутну ділянку
найбільшої площі, яка прилягає до будинку. Знайти розміри такої ділян-
ки.
3. Знайти сторони прямокутника найбільшої площі, вписаного в еліпс з пі-
восями а і b.
4. Кусок дроту завдовжки l зігнути у вигляді прямокутника так, щоб площа
прямокутника, була найбільшою.
5. Знайти найбільший об’єм конуса при заданій довжині l його твірної.
6. Витрати на пальне для пароплава описується залежністю 3kVP , де - йо-
го швидкість. Відомо, що при швидкості 10 км/год витрати на пальне ста-
новлять 15 грн за год; решта витрат (що не залежать від швидкості) ста-
новлять 48 грн за год. За якої швидкості пароплава загальна сума витрат
на 1 км шляху буде найменшою?
7. З прямокутного картонового аркуша завдовжки 48см та завширшки 30см
вирізають в кутах однакові квадрати і роблять відкриту прямокутну коро-
бочку. Якою повинна бути сторона вирізаного квадрата, щоб об’єм коро-
бки був найбільшим?
8. Знайти сторони прямокутника найбільшого периметра, вписаного півколо
радіуса R.
9. Число 36 розкласти на додатні множники так, щоб сума їх квадратів була
найменшою.
10. З трьох дощок однакової ширини збито жолоб для подавання види. При
якому куті нахилу бічних стінок до днища жолоба площа поперечного
перерізу жолоба буде найбільшою?
65
11. Два літаки летять в одній площині по прямих, кут між якими дорівнює
1200, з однаковою швидкістю v км/год. У деякий момент часу один літак
пройшов через точку перетину ліній руху, а інший не долетів до неї на а
км. Через скільки часу відстань між літаками буде найменшою і яка це ві-
дстань?
12. Розкласти число 10 на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.
13. Визначити такі розміри відкритого басейну з квадратним дном об’ємом
32 м2, щоб на облицювання його стін і дна було витрачено найменшу кі-
лькість матеріалу.
14. Сума основи і висоти трикутника дорівнює 10 см. Якими повинні бути
розміри основи, щоб площа трикутника була найбільшою?
15. Об’єм правильної чотирикутної призми 8 дм3. Якою повинна бути сторо-
на основи призми, щоб повна її поверхня була найменшою?
16. Вікно має форму прямокутника, що завершений півкругом. Периметр ві-
кна дорівнює р. За яких розмірів вікно пропускатиме найбільше світла?
17. Знайти найбільшу площу прямокутника, що вписаний в круг радіуса r?
18. Форма поперечного перерізу заповненого водою каналу має вигляд тра-
пеції, бічні сторони і нижня основа якої дорівнюють b м. Якою повинна
бути верхня (більша) основа трапеції для того, щоб пропускна здатність
каналу була найбільшою?
19. У кулю радіусом R вписати конус найбільшого об’єму.
20. Матеріальна точка починає рухатись вздовж осі Ох за законом 326 ttx ,
t – час руху точки. Яку максимальну швидкість у додатньому напрямку
осі Ох досягне точка? На яку максимальну віддаль у додатному напрямку
осі Ох відхилиться точка?
21. Опір балки при поздовжньому стискові пропорційний площі поперечного
перетину. Знайти розміри вирізаної з круглої колоди діаметром D прямо-
кутної балки, опір тиску якої буде найбільшим.
22. Яке додатне число, будучи доданим до оберненого числа, дає найменшу
суму.
66
23. Периметр рівнобедреного трикутника 2р. Якими повинні бути його сто-
рони, щоб об’єм тіла обертання трикутника навколо основи був найбіль-
шим?
24. Число 8 подати у вигляді суми двох доданків так, щоб сума їх кубів була
найменшою.
25. Смугу бляхи завширшки а потрібно зігнути у вигляді відкритого цилінд-
ричного жолоба (поперечний перетин контура жолоба має форму круго-
вого сегмента). Знайти значення центрального кута, що спирається на цю
дугу, при якому місткість жолоба буде найбільшою.
26. Визначити , за якого значення діаметра d круглого отвору в греблі витра-
ти води Q будуть мати найбільше значення, якщо dhcdQ , де h - гли-
бина нижньої точки отвору, c=const.
27. Два джерела світла розміщені на відстані 30м одне від одного. На прямій,
що з'єднує їх, знайти найменш освітлену точку, якщо сили світла джерел
відносяться як 27:8 (освітленість точки обернено пропорційна квадратові
відстані від точки до джерела).
28. Дротом завдовжки 20м потрібно обгородити клумбу, що має форму кру-
гового сектора. Яким повинен бути радіус круга, щоб площа клумби була
найбільшою?
29. Лампа висить над центром круглого стола, радіус якого дорівнює R. На
якій висоті над столом потрібно розмістити лампу, щоб освітленість краю
була найбільшою? (Освітленість точки прямо пропорційна косинусу кута
падіння світла і обернено пропорційна квадратові відстані від точки до
джерела).
30. Колода завдовжки 20см має форму зрізаного конуса, діаметри основ яко-
го відповідно 2м і 1м. Потрібно вирізати з колоди балку з квадратним по-
перечним перерізом так, щоб вісь балки збігалася з віссю колоди, а об’єм
балки був найбільшим. Якими повинні бути розміри балки?
67
31. При гальмуванні маховик за t секунд повертається на кут 265 tt (
— у радіанах). Знайти: кутову швидкість обертання маховика в момент
.2ct ; момент часу t , коли обертання скінчиться.
32. Кількість тепла Q, потрібного для нагрівання1кг води від 0 до 20℃ ви-
значається за формулою Q(t)=t +0,0005t2 + 0,000006t
3. Обчисліть теплоє-
мність води для t = 20℃.
33. Тіло масою m0 рухається прямолінійно за законом S( t) =𝛼t2 + 𝛽t + λ. До-
вести, що сила, яка діє на тіло є стала.
34. Тіло масою m кг рухається за законом х(t) ( х – в метрах, t – в секун-
дах). Знайти силу, що діє на тіло в момент часу t0, якщо m=3, t0 = 2,
х(t)=1/4 t4 +1/3 t
3 - 7 t + 2.
35. Знайти число, яке, будучи додане до свого квадрату, має найменшу суму.
36. Знайти найбільшу площу прямокутника, вписаного в круг радіуса R.
37. Із всіх прямокутників, що мають периметр 20 см, знайти той, у якого діа-
гональ найменша.
38. Для якого числа різниця між цим числом і його квадратом найбільша.
39. Сума основи і висоти трикутника дорівнює 10см. Якими мають бути роз-
міри основи, щоб площа трикутника була найбільшою?
40. Якими треба взяти розміри циліндричної посудини місткістю 1л, відкри-
тої зверху, щоб на її виготовлення потрібна була найменша кількість ма-
теріалу.
41. З дроту довжиною 120 см треба зробити модель прямокутного паралеле-
піпеда з квадратною основою. Якою має бути сторона основи, щоб повна
поверхня паралелепіпеда була найбільшою?
42. З дроту довжиною 90 см треба зробити модель призми, основою якої є
правильний трикутник. Якою має бути сторона основи, щоб бічна повер-
хня її була найбільшою?
43. Треба виготовити конічну лійку з твірною, що дорівнює 20 см. Якою має
бути висота лійки, щоб об’єм був найбільшим?
44. Знайти величину радіуса основи і висоту циліндра, що має об’єм 27 см3,
в якого повна поверхня найменша.
45. Треба виготовити ящик з кришкою, об’єм якого 72 дм3, а сторони відно-
сяться як 1:2. Якими мають бути розміри всіх його сторін, щоб повна по-
верхня ящика була найменшою?
68
Тема 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної
Практична робота 6. Безпосереднє інтегрування. Інтегрування
підстановкою. Інтегрування по частинах
Мета. Розвинути практичні навички знаходження невизначених інтегралів,
вміння вибирати метод інтегрування
1. Означення й властивості первісної та невизначеного інтегралу
Основна задача диференціального числення полягає в тому, що за деякою
функцією треба знайти її похідну, якщо така існує. Основною задачею інтегра-
льного числення є обернена задача: за похідною функції знайти саму функцію.
Прикладні задачі, де застосовують цей математичний апарат, пов’язані із зна-
ходженням функції за інформацією про її кутовий коефіцієнт, дотичну, нор-
маль, задача на знаходження маси стержня за його густиною, та ін.
Функція xFy називається первісною для функції xfy на деякому ін-
тервалі ba, , якщо ),(xfxF для будь-якого х з проміжку .,ba .
Приклад 1. Якщо ,)( 3xxf то ,4
)(4x
xF бо .4
34
xx
Також ,1
4)(
4
x
xF бо
34
14
xx
і взагалі .
4)(
4
RCCx
xF Це є загальний вигляд первісною для
.)( 3xxf
Теорема 1 (про загальний вигляд первісних).
1. Якщо F(x) – первісна для f(x) на деякому проміжку, то ,,)( RCCxF та-
кож є первісною для f(x) на цьому проміжку.
Невизначеним інтегралом від деякої функції називається множина всіх пер-
вісних функцій, тобто ).()(,)()( xfxFCxFdxxf
Тут f(x) – інтегральна функція, dxxf )( - підінтегральний вираз, х – змінна
інтегрування, С – довільна стала
Операція знаходження CxF )( за даною f(x) називається інтегруванням f(x).
69
Приклад 2.
1) Cx
dxx6
65 , бо RxxCx
,56
;
2) Cxdxx cossin , бо ;,sincos RxxCx
3) Cedxe xx 22
2
1, бо .,
2
1, 22 RxeCe xx
.
Властивості невизначеного інтеграла
1. ).()( xfdxxf
2. .)())(( CxFxFd
3. .,)()( RcdxxfСdxxСf
4. .)(...)()()(...)()( 2121 dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf nn
5. CbkxFk
dxbkxf1
)(
2. Таблиця інтегралів
1. Cxdx
2.
Cn
xdxx
nn
1
1
3. Cxx
dxdxx ln1
4. ;ln
Ca
adxa
xx
5. .Cedue xx
6. .2 Cxx
dx
7. .cossin Cxdxx
8. .sincos Cxxdx
9. Ctgxdxx2cos
1
10. Cctgxdxx2sin
1
11.
Carcctgx
Carctgx
x
dx21
12.
Cx
Cx
x
dx
arccos
arcsin
1 2
13.
.
122
Ca
xarctg
axa
dx
14.
.arcsin22
Ca
x
xa
dx
15.
.ln
2
122
Cxa
xa
axa
dx
16.
.ln 2
22Caxx
ax
dx
70
3. Безпосереднє інтегрування
Під безпосереднім інтегруванням розуміють такий спосіб знаходження інте-
гралу, коли шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції та застосу-
вання властивостей невизначеного інтегралу зводимо даний інтеграл до табли-
чних інтегралів.
Приклад 3. Знайти інтеграл 2
3
x
dx.
Розв’язання: Використаємо властивість степеня з відємним показником
0,1
aaа
n
n і знайдемо невизначений інтеграм від степеневої функції:
Cx
CxCx
dxхx
dx 33
12
33
3 112
2
2.
Відповідь: Схx
dx
332
.
Приклад 4.Знайти інтеграл хx
dx
2.
Розв’язання: Використаємо властивість степеня з дробовим показником
n mn
m
aa :
.1
2
12
1
12
32
1
2
1
2
2
11
2
3
2
3
Cx
Cx
Cx
dxххx
dx
Відповідь: .1
2C
xхx
dx
Приклад 5. Знайти інтеграл:
dx
х
2
2
11 .
Розв’язання: Відкриємо дужки за формулою: 2222 bababa .
C
xxxdx
xxdx
х 342
2
2 3
12121
11 .
Відповідь: Cxx
xdxх
3
2
2 3
1211 .
Приклад 6. Знайти інтеграл: xdxctg 2 .
71
Розв’язання: Для знаходження інтегралу використаємо формулу 1sin
12
2 x
xctg
і властивості інтегралу:
Cxctgxdx
xxdxctg 1
sin
12
2 .
Відповідь: .2 Cxctgxxdxctg
4. Інтегрування методом підстановки (заміна змінної)
Суть методу підстановки полягає в наступному: заміняють новою змінною
частину підінтегральної функції, при диференціюванні якої отримуємо частину,
що залишилась. В результаті підінтегральний вираз набуде вигляду:
dttfdxxtxtf .
Приклад 7. Знайти інтеграл:
dxx3 2
35
1.
Розв’язання: Зробимо підстановку 3
,3,35dt
dxdxdtxt .
CxCtCtC
tdtt
t
dt
dxx
333
13
1
3
2
3
23 2
35
3
13
1
3
13
35
1.
Відповідь:
Cxdxx
3
3 235
35
1.
Приклад 8. Знайти інтеграл: xdxx sincos22
.
Розв’язання: Нехай dtxdxxdxdtxt sin,sin,cos2 .
CxCt
dttxdxx3
322
cos23
1
3sincos2 .
Відповідь: Cxxdxx 32
cos23
1sincos2 .
Приклад 9. Знайти інтеграл: dxx
2cos .
Розв’язання: Нехай dtdxdxdtx
t 2,2
1,
2 .
Cx
Cttdtdxx
2sin2sin2cos2
2cos .
72
5. Інтегрування по частинах
Нехай )(xuu і )(xvv - диференційовані для відповідних х.
,)( udvvduuvd звідки .)( vduuvdudv
Проінтегруємо останню рівність, беручи до уваги властивість інтегралів.
.duvuvdvu Це формула інтегрування частинами.
Метод інтегрування частинами застосовують при інтегруванні функцій,
що містять добуток, логарифми і обернені тригонометричні функції.
Приклад 10. Знайти інтеграл dxxex
Розв’язання:
xxx edxevdxedv
dxduxu
Інтегруємо частинами Cexedxexedxxe xxxxx .
Приклад 11. Знайти інтеграл xdxx ln2
Розв’язання:
3
1ln
322 xdxxvdxxdv
dxx
duxu
Cx
xx
dxxxx
dxx
xx
xxdxx
9ln
3ln
33
1ln
3ln
332
3332
Приклад 12. Знайти інтеграл dxx2arctan
Розв’язання:
xvdvdxх
dxduux
241
22arctan
Cxxxarctgdxx
xxxarctgdxx
2
241ln
4
12
41
222arctan
73
Контрольні питання
1. Яку дію називають інтегруванням?
2. Яку функцію називають первісною функції f(x)?
3. Дати означення невизначеного інтегралу?
4. Якими діями можна перевірити інтегрування?
5. Написати основні формули інтегрування.
6. Сформулюйте властивості невизначеного інтегралу.
74
Завдання на практичну роботу №6. Безпосереднє інтегрування. Інтег-
рування підстановкою. Інтегрування по частинах.
1. Знайти інтеграли, користуючись таблицею інтегралів і найпростішими
правилами інтегрування.
1) а) dxxx
x
5
1
2
cos
3
22 б)
dxxx
xx 4
34
5
в) dxex x
5213sin г)
dxx
x
5
231
94
2
д) dxex x323 е) x
xdx2cos
sin
2) а) dxxx
x
3
sin
3
16
422
б)
dxxx
xx 4 32
7
3 2
в) dxxx 9
1521cos г)
dxex
x 12341
1
д) dxxx 43 sin4 е) dxx
xex x
212 ln2
3) а)
dxx
xxsin
sin
5
3
222
б)
dx
xx
4
3 12
в) dxx x5231cos г)
dx
xx 3cos
5
49
222
д) dxxx 54 sin5 е)
dx
x
xtgxx
2
582
cos25
4) а) dxxx
x
7
sin
2
3
522
б)
dx
xxxx
3
42 23
в)
dx
xe x
3cos
32
14 г)
dxx
x51sin
92
2
2
д) dxxx576 37 е)
dx
xxxx
5
32
ln
341cos
5) а)
dxe
xx
x
22 cos
3
4
1 б)
dx
xx
5
23 2
2
75
в) dxx x219
453 г)
dx
xx 42
3
91
22
д) dxxx 5sin6 65 е)
dx
x
xctg
x
x2
6
2 sin49
6) а)
dxx
x
x52sin32
б)
dx
xxx
9
33 4
в)
dx
xe x
21sin
32
13 г)
dxx
x35cos
165
32
д) dxex x323 е)
dx
e
e
x
xx
x
22 145
7) а)
dxe
xx x4
sin
2cos2
2 б)
dx
xx
23
3
в) dxxx754 35 г)
dx
x
x
xx 32
2
5 cosln
3
д)
dxx
x41sin
23
4 е)
dxx
x31
24
59
2
8) а)
dx
xe
x
x 43
4
12
б)
dx
xx
5
32 412
в) dxxx8
41313sin г)
dxx
x52
23
94
5
д) dxxx 76 cos7 е)
dx
x
xtg
x
x2
3
52
4
cos21sin
9) а)
dx
xx x
1
24sin3
2 б)
dx
xx
2
2
1
в)
dx
xx 51
3
14cos
22
г)
dxx
x
4
243
251
3
д) dx
x
x5
4
3
5 е)
dx
x
xctgxx
2
443
sin21cos
10) а)
dx
xxx
29
4cos235 б)
dx
xx
3
3 1
в)
dx
xe x
21sin
32
32 г)
dx
xx 53
2
79
2
2
76
д) dxxx398 19 е)
dx
x
xx
x
1cos23
242
3
11) а)
dx
xx
x4sin
2
1
322
б)
dxxxx
x
26
32
5
в) dxex x3334cos г)
dxx
x
4
235
94
5
д) dxex x434 е) dxx
x2sin
cos
12) а)
dx
xx
x
24 cos
3
4
25 б)
dx
xxxx
6
4 32
в) dxxх 43sin3725 г)
dx
xe x
2
52
91
2
д) dxxx 54 cos5 е) dxx
x3sin
cos
13) а)
dxx
xxsin5
5
4
cos
322
б)
dx
xx
2
22 3
3
в) dxxx 52sin352 г)
dx
xx 22 94
7
4sin
3
д) dxxx 65 cos6 е)
dxxx
x
xtg 932
2
2
53cos
2
14) а)
dx
xx
x
225
6
cos
35 б)
dx
xxxx
7
35 35
в)
dxe
x
x32
25
2sin
4 г)
dxx
x16cos3
43
5
д) dxxx587 58 е)
dxxx
xx12sin3
ln
2 43
3
15) а) dxxx
e x
9
5
sin
43
22 б) dxx
x
3
61
1
в) dxxx 732 25 г)
dx
xx 2161
4
53
5
д) dxxx 76 3cos7 е)
dx
x
x
x
xctg
22
5
94
3
sin
2
2. Обчислити інтеграли, використовуючи формулу інтегрування частинами
77
1) а) dxxe x2 б) xdxx cos12
2) а) xdxx 3sin ; б) dxex x22
3) а) xdxx cos12 б) dxx x32
4) а) dxx x2 б) xdxx 3sin2
5) а) dxxe x5 б) xdxx 2cos21 2
6) а) xdxx 2sin32 б) dxx x42
7) а) dxx x7 б) xdxx 4sin5 2
8) а) xdxx 3ln2 б) dxex x32 5
9) а) xdxx 2ln6 б) xdxx 6cos2
10) а) dxx x27 б) xdxx 7sin2
11) а) xdxx 3cos42 б) dxex x241
12) а) xdxx 5sin32 б) dxex x2241
13) а) xdxx 4sin2 б) dxx x
52
14) а) dxx x9 б) xdxx 2cos71 2
15) а) xdxx 2ln10 б) dxex x42 3
78
Практична робота 7. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні
функції. Інтегрування раціональних функцій
Мета. Розвинути практичні навички знаходження невизначених інтегралів ра-
ціональних і тригонометричних функцій, вміння правильного вибору методу
знаходження інтегралів.
1. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
Правило 1. Для обчислення інтегралів виду xdxn 12cos ,
xdxn 12sin (n –
ціле додатне число) зручно ввести допоміжну функцію sinx в першому
випадку і cosx – в другому.
Приклад 1.
Cxxxdxxdx 323 sin3
1sinsinsin1cos
Приклад 2.
.cos5
1cos
3
2cos
coscoscos21coscos1sinsinsin
53
422245
Cxxx
xdxxxdxxdxxxdx
Правило 2. Для обчислення інтегралів виду xdxсos n2 , xdxn2sin зручно
використати формули:
2
2cos1cos2 x
x
, 2
2cos1sin2 x
x
.
Приклад 3.
Cxxdxx
xdx 2sin4
1
2
1
2
2cos1sin2 .
Правило 3. Для обчислення інтегралу виду xdxxсos nm sin , де хоча б одне з
чисел m, n – непарне, зручно ввести допоміжну функцію cosx, якщо m не-
парне і sinx, якщо n непарне.
Приклад 4.
.cos11
1cos
9
2cos
7
1
coscoscos2coscoscoscos21cos
coscos1coscossincossin
1197
1086426
2264656
Cxxx
xdxxxxdxxx
xdxxxxdxxdxxсos
79
Правило 4. Для обчислення інтегралу, де m, n – парні, користуються фо-
рмулами:
2
2cos1sin2 x
x
,
2
2cos1cos2 x
x
,
2
2sincossin
xxx .
Приклад 5.
.2sin48
14sin
64
1
16
1sin
3
1
16
14sin
8
1
2
1
8
1
2sin2sin16
1
2
4cos1
8
12cos2sin
8
12sin
8
1
2
2cos1
2
2sincossincossincos
33
222
2
2224
CxxxCxxx
xxddxx
xdxxxdx
dxxx
xxxxx
Правило 5. Інтеграли, які містять тригонометричні функції sinx і cosx об-
числюються використовуючи формули:
2
xtgz ,
21
2sin
z
zx
,
2
2
1
1cos
z
zx
,
21
2
z
dzdx
.
Приклад 6.
.
22
22
ln4
1
2
2ln
4
1
4
1
1531
2
cos53 2
2
22
Cx
tg
xtg
Cz
z
z
dz
z
zz
dz
x
dx
2. Інтегрування раціональних функцій
При інтегруванні неправильного раціонального дробу спочатку виділяємо
цілу частину.
Приклад 7.
Cx
xdx
xxdx
x
xx1ln
61
1
1
1 65
65
.
Так як ціла частина інтегрується безпосередньо, то інтегрування дробової
раціональної функції зводиться до інтегрування правильного дробу.
Якщо чисельник підінтегрального виразу дорівнює диференціалу знамен-
ника, то чисельник треба внести під знак диференціала.
80
Приклад 8.
Cxxxx
xxxx
xxxxddx
xxxx
xxx
2674ln2
1
2674
2674
2
1
2674
3762
234
234
234
234
23
Якщо в чисельнику – диференціал деякого многочлена, а в знаменнику степінь
цього ж многочлена, то розв’язуємо як попередній приклад.
Приклад 9.
C
xxxx
xxd
xx
dxx323
3
222
2 1
1
13.
Загальний метод інтегрування раціональних дробів полягає в розкладанні дано-
го дробу на суму простих дробів.
Простими раціональними дробами називаються дроби наступних типів:
І. nах
А
, де n – натуральне число,
ІІ. nqpxx
NMx
2, де n – натуральне число, де qpxx 2 не розкладається на дійсні
множники першого степеня.
Прості дроби І типу інтегруються за формулами:
1,1
11
nCax
A
nax
Adxnn
.ln CaxAax
Adx
Прості дроби ІІ типу, якщо n=1 інтегруються підстановкою zp
x 2
, яка зво-
дить знаменник 22
2
22
pq
pxqpxx до вигляду 22 kz , де
2
2
2
pqk .
Приклад10.
dx
xx
x
258
532
Розв’язання: 92
,25,8
2
pqqp .
Підстановка zx 4 перетворює інтеграл до вигляду
C
zarctgz
z
dz
z
zdzdz
z
zdx
xx
x
33
79ln
2
3
97
93
9
73
258
53 2
2222.
Повернувшись до аргументу х отримаємо:
Cx
arctgxxdxxx
x
3
4
3
7258ln
2
3
258
53 2
2.
Прості дроби ІІ типу у випадку n>1 інтегруються цією ж підстановкою
zp
x 2
, яка перетворює даний інтеграл до вигляду
81
dz
kz
LMzdx
qpxx
NMxnn 222
, де 2
2
2,
2
2
pqk
MpNL .
nnn
kz
dzL
kz
zdzMdz
kz
LMz
222222, де
C
kzn
M
kz
zdzM
nn 12222 1
1
2
1
3212
122122222 nkz
dzn
kz
z
knkz
dzL
nn
Приклад11.
32 32
23
xx
dxx
Розв’язання: Підстановка zx 1 зводить інтеграл до вигляду
C
zarctg
z
zz
Cz
arctgz
z
z
z
z
z
dz
z
z
z
zd
z
dz
z
zdzdz
z
z
2232
3
232
24103
224
1
248
3
2824
3
28
3
28
1
2
2
2
3
223
2
13
22
2
22222
222232
2
323232
Повернемось до змінної х, отримаємо:
.
2
1
232
3
3232
371993
32
2322
23
32C
xarctg
хх
ххх
xx
dxx
3. Інтегрування раціональних дробів(загальний випадок)
Будь-який правильний дріб розкладається однозначно на суму простих
дробів.
Випадок 1. Якщо в розкладі знаменника є тільки множники першого
степеня і ні один з них не повторюється, то правильний дріб розкладається на
прості за формулою:
lx
L
bx
B
ax
A
lxbxaxa
xF
...
...0
, де A, B, …, L знаходяться методом не-
визначених коефіцієнтів.
Приклад 12. Знайти
xxx
dxx
6
5723
Розв’язання: Розкладемо знаменник на множники 32623 хххххх , тому
326
5723
x
C
x
B
x
A
xxx
x. Для знаходження A, B, C звільняємося від знамен-
ників, одержимо:
ACBAxCBAxxCxxBxxxAx 623233257 2 .
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х і отримуємо систему:
82
56
723
0
A
CBA
CBA
Розв’язавши систему, знаходимо 15
26,
10
9,
6
5 CBA
3
1
15
26
2
1
10
91
6
5
6
5723
xxxxxx
x. Інтегруємо почленно, знаходимо шуканий
інтеграл
Cxxx
xxx
dxx
3ln
15
262ln
10
9ln
6
5
6
5723
.
Випадок 2. В розкладі знаменника є тільки множники першого степеня і
деякі з них повторюються. Нехай множник х-а повторюється k раз, тоді дріб
розкладеться наступним чином:
.... 1
1
1
ax
A
ax
A
ax
Ak
k
k
k
Приклад 13. Знайти
xxxx
dxx234
3
33
1
Розв’язання: Розкладемо знаменник на множники:
3234 133 xxxxxx , тому
11133
123234
3
x
D
x
C
x
B
x
A
xxxx
x. Звільнимося від знаменника і одер-
жимо
.323
1111
23
233
ADCBAxDCAxDAx
xDxxCxBxxAх
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
1
03
023
1
A
DCBA
DCA
DA
Розв’язавши систему, знаходимо
2,1,2,1 DCBA
1
2
1
1
1
21
33
123234
3
xxxxxxxx
x
.
1ln
11ln2
1
1
1
1ln
33
12
22234
3
Cx
x
x
xCx
xxx
xxxx
dxx
83
Випадок 3. В розкладі знаменника є множники другого степеня і ні один
з яких не повторюється. Тоді кожному множнику qpxx 2 відповідає елемен-
тарний дріб qpxx
NMx
2
.
Приклад 14. Знайти
.
944
9267234
2
xxx
dxxx
Розв’язання: Розкладемо знаменник на множники:
3231323232944 222222234 xxxxxxxxxxxxx
Тому розклад дробу на елементарні має вигляд
32313231
9267
944
926722
2
234
2
xx
DCx
x
B
x
A
xxxx
xx
xxx
xx,
3113329267 22 xxDCxxBxAxxxx
.9339
,26239
,725
,0
DBA
DCBA
DCBA
CBA
Звідси .5,2,1,1 DCBA
Тому 32
52
3
1
1
1
3231
926722
2
xx
x
xxxxxx
xx, а інтеграл
.2
1
2
732ln3ln1ln
944
9267 2
234
2
Cx
arctgxxxxxxx
dxxx
Випадок 4. В розкладі знаменника є множники другого степеня і деякі з
них повторюються.
Приклад 15. Знайти
xxx
dxx35 2
53.
Розв’язання: 222435 1122 xxxxxxxx
112
5322235
x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x,
1153 222 xxEDxxCBxxAx
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
5
3
02
0
0
EA
EC
DBA
E
DA
Звідси 0,5,3,5,5 EDCBA , тому
84
.2
3
12
53
1ln51ln
2
5
2
3
12
3
12
5ln5
15
1
355
2
53
22
2
2222235
Carctgxx
x
x
xCx
arctgxx
x
xx
x
xdx
x
dxx
x
dx
xxx
dxx
Контрольні питання
1. Які дроби є елементарними?
2. Як розкласти многочлен на множники?
3. Як розкласти дріб на елементарні дроби, якщо знаменник розкладається
на множники тільки першого степеня і ні один не повторюється?
4. Як розкласти дріб на елементарні дроби, якщо знаменник розкладається
на множники тільки першого степеня і деякі з них повторюються?
5. В розкладі знаменника є множники другого степеня і ні один з яких не
повторюється, як розкласти дріб на елементарні дроби?
6. В розкладі знаменника є множники другого степеня і деякі з них повто-
рюються, як розкласти дріб на елементарні дроби?
85
Завдання на практичну роботу №7. Інтегрування раціональних функцій.
Інтегрування тригонометричних функцій.
3. Знайти інтеграли від тригонометричних функцій:
1) а) x
dx
sin23 б) xdxx 35 cossin ; в)
dx
xx
x
32
4
2) а) x
dx
cos41 б) xdxx 34 sincos в)
dx
xx
x
52
32
3) а) x
dx
sin4 б) xdxx 52 cossin в)
dx
xxx
xx
11
323 2
4) а) x
dx
cos52 б) xdxx 56 sincos в)
dx
xxx
x
65
123
2
5) а) x
dx
sin34 б)
dxx
x
cos4
sin в)
dx
xx
xxxx
1
1232
234
6) а) x
dx
cos21 б)
x
x
2sin9
cos в)
dx
xx
x
102
252
7) а) x
dx
cos3 б)
dxx
x2sin9
sin в)
dx
x
x
13
8) а) x
dx
cos23 б) xdxx 45 sincos в)
dx
x 1
13
9) а) x
dx
sin41 б) xdxx 34 cossin в)
dx
x 1
14
10) а) x
dx
cos4 б) xx 52 sincos в)
dx
xx
x22 1
13
11) а) x
dx
sin52 б) dx
x
x4
3
cos
sin в)
dx
xx
x22 22
53
12) а) xx
dx
sin4cos3 б) dx
x
x4
3
sin
cos в)
dx
xx
x22 52
35
13) а) xx
dx
cos2sin б) dx
x
x2
3
cos
sin в)
dx
xx
x
94
562
14) а) xx
dx
cos5sin2 б) dx
x
x4
3
cos
sin в)
dx
xx
x
3
322
15) а) xx
dx
cos4sin3 б) dx
x
x2
3
sin
cos в)
dx
x
x
1
12
86
Практична робота 8. Визначений інтеграл та його застосування
Мета. Виробити практичні навички знаходження визначених інтегралів на ос-
нові правил та формул інтегрування, вміння застосовувати інтеграл.
1. Обчислення визначеного інтеграла
В основі обчислення визначеного інтеграла лежить формула Ньютона-
Лейбніца: b
a
b
aaFbFxFdxxf ),()()()(
де F(x) – первісна функції f(x).
Приклад 1.
4
11
2
1
2
10cos
3sin
2
12sin
2
12sin
6
0
6
0
xxdx
Властивості визначеного інтеграла:
1. ,0a
a
dxxf
a
b
b
a
dxxfdxxf
2. ,
b
a
b
a
dxxfkdxxkf
3.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf ,
4. ,;, bacdxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
5. ,
b
a
abMdxxfabm де m і М – відповідно найменше і найбільше
значення функції f(x) на відрізку ba, .
Приклад 2.
.5,25,24
3
5,2035,2132
535
1
3
2
02
1
0
2
1
0
2
2
e
eatctgearctgearctgxdxex
xx
87
Розглянуті в попередній темі методи інтегрування частинами і заміни
змінної переносяться і на випадок невизначеного інтеграла. Інтегрування час-
тинами здійснюється за допомогою формули:
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Даний метод застосовують до тих же функцій, що й у випадку невизначе-
ного інтеграла.
Приклад 3. Обчислити 2
0
3 dxxe x
Розв’язання:
xx evedv
dxduxu
33
3
1
.9
1
9
5
9
10
9
1
3
2
9
1
3
1
3
1
3
1 666
2
0
2
0
333
2
0
3
2
0
3 eeeexedxexedxxe xxxxx
Метод заміни змінної у визначеному інтегралі оснований на формулі
.)`())(()( dtttfdxxfb
a
Тут нова змінна введена підстановкою ),(tx а нові межі інтегрування і ви-
значаються рівностями .)(,)( bа
Приклад 4. Обчислити
4
1 1xx
dx.
Розв’язання:
24,11
,22
txtx
tdtdxtx
.5,1ln22ln23ln21ln2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
tt
dt
tt
tdt
xx
dx
2. Площа плоскої фігури.
Площі плоских фігур, зображених на рисунках 1 і 2, обчислюються за форму-
лами:
b
adxxfS )( , ),0)(( xf
88
b
adxxfxfS ))()(( 12 , )).()(( 12 xfxf
Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:
а) ;1,0,3 xyxy
б) xyxy ,2
Розв`язання:
а) Побудуємо графіки всіх заданих
рівнянь, одержимо фігуру, площу
якої потрібно знайти.
Підінтегральна функція f(x) визна-
чається рівнянням лінії, яка обме-
жує криволінійну трапецію зверху,
тому площу знайдемо за форму-
лою:
.4
1
4
1
0
41
0
3 x
dxxS
б) Зобразимо графіки функцій на системі координат, одержимо фігуру, площу
якої треба знайти. Знайдемо точки перетину графіків:
.4;0
04
4
2
2
xx
xx
xx
xx
Отже, площу фігури знаходимо за
формулою:
.3
22
3
8088
3
4
2
1
3
4
2
1
2
322
4
0
23
4
0
4
0
22
3
xx
xx
dxxxS
3. Довжина дуги
Довжина дуги l лінії y=f(x), bax ; обчислюється за формулою:
89
b
a
dxxfl2
1 .
Якщо крива задана параметричними рівняннями ;t
ty
tx
, то довжина дуги знаходиться за формулою:
dtttl22
.
Приклад 6. Обчислити довжину дуги параболи 1;0,2
1 2 xxy .
Розв`язання:
.21ln22
1
1ln12
11
2
11
1
0
1
0
222
1
0
2
2
xxxxdxxdxxl
Приклад 7. Знайти довжину дуги астроїди:
ty
tx3
3
sin2
cos2,
2;0
t
Розв`язання:
.3112
32sin
2
32cos3sincos6sincossincos6
cossin6sincos6sin2cos2
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
2
0
22222
0
2
3
2
3
ttdttdttdttttt
dtttttdtttl
4. Обчислення об’єму тіла обертання та площі поверхні обертання
Розглянемо криволінійну трапецію обмежену лінією і двома прямими .
Обертаючи цю фігуру навколо осі ОХ, одержимо деяке тіло. Об’єм даного тіла
обчислюється за формулою:
b
a
dxxfV 2
А площа поверхні обертання за формулою:
b
a
dxxfxfS2
12
90
Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, одержаного при обертанні навколо осі
Ох фігури, обмеженої лініями 1,.0,3 xyxy .
Розв`язання:
Об’єм тіла знаходимо за формулою 77
1
0
71
0
6
1
0
23
xdxxdxxV .
Приклад 9. Обчислити площу поверхні, одержаної обертанням відрізка
прямої 2012 xxy навколо осі Ох.
Розв`язання: 5125221122
2
0
2
0
22 xxdxxS .
Контрольні питання
1. Дайте означення визначеного інтегралу.
2. Перерахуйте основні властивості визначеного інтегралу.
3. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?
4. Напишіть формулу для визначення площі плоскої фігури за допомогою
визначеного інтегралу.
5. За якою формулою знаходиться об’єм тіла обертання?
91
Завдання на практичну роботу №6. Визначений інтеграл та його застосу-
вання
1. Обчислити визначені інтеграли:
1) а)
1
0
76 1 dxxx ,
1
0
2 dxx x
16
142 xx
dx
2)
1
0
654 1 dxxx 4
0
2 sin2
xdxx
256
184 4 xx
dx
3)
1
0
598 1 dxxx 1
0
22 dxex x
64
1634 xx
dx
4) 1
0
3 2
dxex x 3
0
sin52
xdxx
64
1332 xx
dx
5) 4
6
2sin
cos
x
xdx
1
0
5 dxxe x
64
133 xx
dx
6)
1
021 x
dx
4
0
2sin32
xdxx
64
142 xx
dx
7)
1
0
87 1 dxxx
1
0
2 4 dxx x
64
13 23 xx
dx
8)
1
0
213x
dx
4
0
4sin
xdxx
16
1423 xx
dx
9) 1
0
3 4
dxex x 5
0
5cos
xdxx
16
142 xx
dx
10)
1
0
65 1 dxxx 2
1
2 3ln xdxx
256
184 23 xx
dx
11) 2
0
2
2
cos
2
x
xdxtg
2
1
4
3 2log xdxx
256
18 24 4 xx
dx
12)
1
0
6
5
4 x
dxx
6
0
6cos
xdxx
256
184 43 xx
dx
13) 1
0
4 5
3 dxx x 3
0
3cos31
xdxx
64
143 6 xx
dx
14)
1
0
798 1 dxxx
1
0
421 dxex x
16
1434 xx
dx
92
15)
1
0
587 1 dxxx 2
1
9 2ln xdxx
256
184 56 xx
dx
2. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:
1) 0,2, yxyxy
2) 1,, yxyxy
3) xyxy2
1,
4) 2,,1
yxyx
y
5) 0,2,3 yxyxy
6) 2,2 xyxy
7) 6,2 xyxy
8) 1,,3 yxyxy
9) 2,,2 xxyxy
10) 2,2 xyxy
11) 2,,2 xxyxy
12) 32 , xyxy
13) 1,,3 xxyxy
14) 1,,3 xxyxy
15) 1,,3 yxyxy
93
Практична робота 9. Застосування інтеграла до розв’язування задач
з фізики і економіки
Мета. Виробити практичні навички розв’язування задач з фізики і економіки
використовуючи інтеграл.
1. Шлях, який пройде точка за певний проміжок часу
Якщо точка рухається прямолінійно і її швидкість v=v(t) є відома функція
часу, то шлях, який пройшла точка за проміжок часу 21;tt , обчислюється фор-
мулою:
2
1
t
t
dttvS .
Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю 31,0 tv м/с. Знайти
шлях, пройдений тілом за 10 с.
Розв`язання: Використовуючи формулу знаходимо:
мt
dttS 2501040
1
41,01,0 4
10
0
10
0
43
2. Обчислення роботи
Нехай під дією сили F = F (х) матеріальна точка рухається уздовж прямої
лінії. Якщо напрям руху збігається з напрямом сили, то робота А, виконана ці-
єю силою при переміщенні точки на відрізок [а; b], обчислюється за формулою
b
a
dxxFA )( .
Приклад 2. Обчислити роботу сили, яка потрібна при стисканні пружини
на 0,08м, якщо для стискання її на 1 см, потрібна сила 10Н.
Розв`язання: Згідно закону Гука, сила F, яка розтує чи стискає пружину на х
метрів, дорівнює F=kx, де k – коефіцієнт пропорційності. Отже,
10=0,01k, тобто k=1000, звідси F=1000x.
Шукану роботу знаходимо за формулою:
2,3008,05005002
10001000 208,0
0
2
08,0
0
208,0
0
xx
xdxA (Дж)
3. Сила тиску рідини
Сила тиску рідини густиною на вертикальну пластину, занурену в рідину, об-
числюється за формулою:
94
b
a
SdxgP ,
28,9 смg - прискорення вільного падіння, S - площа пластинки, а глибина за-
нурення пластинки змінюється від a до b.
Приклад 3. Обчислити силу тиску води на одну із стінок акваріума, дов-
жиною 30см і висотою 20см.
Розв`язання: Стінка акваріума має форму прямокутника, тому xS 3,0 , де
2,00 х . Густина води дорівнює 1000 кг/м3. Тоді сила тиску води на стінку
акваріума, обчислюється за формулою:
Hx
xdxP 8,5802,03,098002
3,098003,08,91000
2,0
0
22,0
0
4. Обчислення маси неоднорідного стержня
Маса однорідного стержня довжиною ba; , густина якого змінюється за
законом x , знаходиться за формулою
b
a
dxxm .
Приклад 4. Обчисліть масу ділянки стержня від a=1 до b=2, якщо його
лінійна щільність задається формулою 254 3 xxx (г/см).
Розв`язання: Знаходимо масу ділянки стержня за формулою:
5,2422
51410162
2
5254
2
1
24
2
1
3 xx
xdxxxm (г).
5. Величина заряду, що переноситься за певний проміжок часу через пе-
реріз провідника
Якщо сила струму змінюється за законом I=I(t), то величина заряду q, що
переноситься за проміжок часу 21;tt через переріз провідника знаходиться за
формулою:
2
1
t
t
dttIq .
Приклад 5.Протягом 7с величина струму в провіднику змінювалася за
законом tttI 23 2 (А). Знайдіть кількість електрики, що пройшла через прові-
дник за цей час.
Розв`язання: За формулою маємо:
392849237
0
23
7
0
2 ttdtttq (Кл).
95
6. Обсяг випущеної продукції
Обсяг виробленої продукції деяким підприємством або фірмою з
продуктивністю праці f=f(t) за інтервал часу [0;T] знаходиться за формулою:
T
dttfq0
Приклад 6. Продуктивність праці деякого підприємства протягом робо-
чого дня описується функцією:
85,30262
,54,0
,40,92
2
2
ttt
t
ttt
tf
де t – час, що відлічується від початку робочого дня. Визначити обсяг продук-
ції, виробленої за весь робочий день.
Розв`язання: Обсяг продукції визначається наступним чином:
.3
1188530
3
12522513830
3
51226413
3
642
2
169
303
22
263
22
93022629
8
5
324
0
4
0
8
5
3222
t
ttttdtttdttt
Приклад 7. Експерементально встановлено, що залежність витрати бен-
зину автомобілем від швидкості на 100км шляху визначається формулою: 2003,03,018 vvQ , де 11030 v . Визначити середню витрату бензину при
швидкості руху 50-60 км/год.
Розв`язання: Середня витрата бензину становить
л
vvvdvvv
m
6,1041667003,012503,0501872000003,018003,0601810
1
10
3003,0
23,018
5060
003,03,01860
50
3260
50
2
Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год,
витрачає в середньому 10,6 л бензину.
96
Контрольні питання
1. Назвати відомі вам застосування інтеграла.
2. Як за допомогою інтеграла обчислити шлях, який пройде точка за певний
проміжок часу?
3. Як обчислити роботу змінної сили за допомогою інтеграла?
4. Як за допомогою інтеграла обчислити масу неоднорідного стержня за лі-
нійною густиною?
5. Як знайти величину заряду, що переноситься за певний проміжок часу
через поперечний переріз за допомогою інтеграла?
6. Як за допомогою інтеграла знайти обсяг випущеної продукції за певний
час, якщо задано функцію продуктивності праці?
97
Завдання на практичну роботу №9. Застосування інтеграла до
розв’язування задач з фізики і економіки
1. Розв’язати задачу:
1) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
353
2
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за першу годину
робочого дня.
2) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
312 xtf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
3) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
554
3
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 4 годи-
ни робочого дня.
4) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
3210 2 tttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
5) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
35
4
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Визна-
чити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 2 години
робочого дня.
6) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
3416 ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 3 годи-
ни робочого дня.
98
7) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
1210 2 tttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
8) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
132
6
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 4 годи-
ни робочого дня.
9) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
5210 2 tttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 3 годи-
ни робочого дня.
10) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
28 2 tttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
11) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
2310 ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за першу годину
робочого дня.
12) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
19 2 tttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 2 годи-
ни робочого дня.
13) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
132
4
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
99
14) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
136
5
ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за перші 3 годи-
ни робочого дня.
15) Продуктивність праці робітника протягом дня задана функцією
229 ttf , де t – час , що відлічується від початку робочого дня. Ви-
значити обсяг продукції, що виготовляється робітником за весь восьми-
годинний робочий день.
2. Обчислити силу, з якою вода тисне на плотину, якщо переріз пло-
тини має форму рівнобічної трапеції. Питома вага води 1т/м2.
1) a = 4,4 м, b = 6,6 м, h = 3 м.
2) a = 5,1 м, b = 7,8 м, h = 3 м.
3) a = 5,7 м, b = 9,0 м, h = 4 м.
4) a = 6,3 м, b = 10,2 м, h = 4 м.
5) a = 6,9 м, b = 11,4 м, h = 5 м.
6) a = 4,1 м, b = 5,6 м, h = 3 м.
7) a = 6,1 м, b = 7,5 м, h = 4 м.
8) a = 6,7 м, b = 8,0 м, h = 5 м.
9) a = 5,3 м, b = 9,2 м, h = 4 м.
10) a = 5,9 м, b = 10,4 м, h = 5 м.
11) a = 5,2 м, b = 7,9 м, h = 4 м.
12) a = 5,8 м, b = 9,2 м, h = 5 м.
13) a = 6,5 м, b = 10,4 м, h = 5 м.
14) a = 6,6 м, b = 10,4 м, h = 6 м.
100
15) a = 5,5 м, b = 7,9 м, h = 4 м.
3. Розв’язати задачу фізичного змісту:
1) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=5с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
32 2 tttv (м/с).
2) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=3с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
123 2 tttv (м/с)
3) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=4с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
253 2 tttv (м/с)
4) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=5с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
52 2 tttv (м/с)
5) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=4с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
123 2 tttv (м/с)
6) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=5с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
32 2 tttv (м/с)
7) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=4с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
19 tttv (м/с)
8) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=3с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
tttv 26 (м/с)
9) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=4с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
tttv 25 2 (м/с)
101
10) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=5с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
83 2 tttv (м/с)
11) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=6с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
35 2 ttv (м/с)
12) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=7с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
tttv 23 2 (м/с)
13) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час
t=10с від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
325 2 tttv (м/с)
14) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=5с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом tttv 3
(м/с)
15) Знайдіть шлях, що пройде матеріальна точка за вказаний час t=4с
від початку руху, якщо швидкість змінюється за законом
235 ttttv (м/с)
4. Розв’яжіть задачу:
1) Стискання гвинтової пружини х пропорційне прикладеній силі. Об-
числити роботу при стисканні пружини на 0,12м, якщо сила 60Н
стискає її на 0,02м.
2) Ресора прогинається під навантаженням у 1,5т на 1см. Яку роботу
необхідно витратити для деформування ресори на 3см?
3) Знайдіть масу стержня довжиною 10см, якщо лінійна щільнічть
змінюється за законом х3,06 , де – лінійна щільність (кг/м), х
– відстань від довільної точки стержня до одного з його кінців (м).
102
4) Стискання гвинтової пружини х пропорційне прикладеній силі. Об-
числити роботу при стисканні пружини на 0,1м, якщо сила 70Н
стискає її на 0,02м.
5) Стискання гвинтової пружини х пропорційне прикладеній силі. Об-
числити роботу при стисканні пружини на 0,04м, якщо сила 10Н
стискає її на 0,01м.
6) Стискання гвинтової пружини х пропорційне прикладеній силі. Об-
числити роботу при стисканні пружини на 0,06м, якщо сила 20Н
стискає її на 0,01м.
7) Яку потрібно виконати роботу, щоб розтягнути пружину на 3см,
якщо сила в 10Н розтягує пружину на 1см?
8) Яку роботу треба виконати для стисекання пружини на 4см, якщо
відомо, що сила 2Н стискає цю пружину на 1см?
9) Обчисліть величину заряду, ща переноситься через поперечний пе-
реріз провідника за 20с, якщо сила струму змінюється за законом
I(t)=2t+1(А).
10) Знайдіть масу неоднорідного стержня довжиною 40см, якщо його
лінійна густина змінюється за законом 12 2 xx (кг/м).
11) Обчисліть роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями
глибиною 4м, що має квадратний переріз із стороною 2м. Густина
води 1000x кг/м3.
12) Знайти масу стержня довжиною 35см, якщо його лінійна густина
змінюється за законом 14 xx (кг/м).
13) Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний пе-
реріз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється за законом
14)( 2 ttI (A).
103
14) Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб розтягнути пружи-
ну на 0,06м, якщо сила 12Н розтягує її на 0,01м.
15) Знайдіть масу неоднорідного стержня довжиною 25см, якщо його
лінійна густина змінюється за законом 22 2 хxx (кг/м).
104
Література
1. Литвин І.І., Конончук О.М., Желізняк Г.О. Вища математика. Навчальний
посібник – Львів:, 2002.
2. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика: В трьох кни-
гах. – К.: Либідь, 1994.
3. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика: Елементи
аналітичної геометрії. Диференціальне і інтегральне числення функцій
однієї змінної. – К.: Вища школа,1984.
4. Овчинников П.П. Вища математика: Підручник. В двох частинах. – К.:
Техніка,2000.
5. Призва Г.Й., Плахотник В.В., Гординський Л.Д. Вища математика: Під-
ручник: У 2 кн. – К.: Либідь, 2003.
6. Мінорський В.В. Збірник задач з вищої математики. М.: Наука, 1987.
7. Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах. Київ,
2006.
8. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, М.,1975.