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1999

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Development of Finite Element Analysis Program for Envelope Surfaces

of Slab Bridges under Live Loads

Development of Finite Element Analysis Program for Envelope Surfaces

of Slab Bridges under Live Loads

Advisor : Professor In-Won Lee

by

Byoung-Wan Kim Department of Civil Engineering

Korea Advanced Institute of Science and Technology

A thesis submitted to the faculty of the Korea Advanced Institute of Science and Technology in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Engineering in the Department of Civil Engineering Taejon, Korea 1998. 12. 17. Approved by Professor In-Won Lee Major Advisor

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� � �. Byoung-Wan Kim. Development of Finite Element Analysis Program for Envelope Surfaces of Slab Bridges under Live Loads. ��

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��. Department of Civil Engineering. 1998. 92p. Advisor : Professor In-Won Lee.

ABSTRACT

Slab bridge is constructed frequently as a short-spanned bridge. Usually the design

and analysis of slab bridges are based on the beam theory. But, for more exact

analysis/design plate structure analysis with finite plate elements should be performed

rather than beam analysis. However, modeling and result analysis of plate structure with

finite plate elements are so complicated that much time and cost are spent. In addition the

analysis for live loads like truck loads and lane loads requires envelope surfaces of plate

structure using 2-dimensional influence surfaces, therefore it includes enormous

calculation procedures and if there are lots of analysis points for design it may be

impossible to compose envelope surfaces.

This paper aims at the development of the algorithm which can automatize such

complicated envelope surfaces calculation of slab bridges modeled as plate structures.

Finally finite element analysis program for slab bridges including algorithms which can

automatize the calculation of envelope surfaces for live loads has been developed.

Convergence tests and shear locking tests are performed to check the developed finite

MCE 973098

ii

element program.

“Chukkye Bridge” is modeled to check the developed output algorithms of envelope

surfaces for live loads. And the analysis results are compared with those of SAP which is

a general FEM program used nowadays widely. And the two results show good

agreements.

The developed program is based on the graphic user interface environment under

Window 97. So the program gives much efficiency in such works as loads input, finite

element modeling and output analyses.

iii

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Abstract ..............................................................................................................................................i

��................................................................................................................................................. iii

��...............................................................................................................................................v

��..........................................................................................................................................vi

�� 1�� ...................................................................................................................................1

1.1 �� ................................................................................................................1

1.2 �� .................................................................................................1

�� 2�� ........................................................3

2.1 �� ...................................................................................................3

2.2 �� ...............................................................................6

2.3 �� !"#$...................................................................9

2.4 �� % &' �� !"#$ .....................................11

2.5 �� % () �� !"#$ ...............................17

�� 3�� ..............................................................................................20

3.1 *+# ,-�. (pre-processor) ........................................................................20

3.2 / 01 ,-�..................................................................................................41

3.3 2+# ,-�. (post-processor).......................................................................43

3.4 34 56 ..........................................................................................................50

�� 4�� ..............................................................................................55

4.1 78� ��9 :; <= >? @@ AB% &' CD .............................56

iv

4.2 78� ��9 :; <= "E AB% &' CD .......................................56

4.3 F� ��9 :; <= >? @@ AB% &' CD .................................57

4.4 F� ��9 :; <= "E AB% &' CD ...........................................57

4.5 CD G� ..............................................................................................................66

�� 5�� !�!�!�! .................................................................................................................67

5.1 HI ��J� KLM.........................................................................................67

5.2 HI ��J� 01 G� � SAP�� G� N�.......................................69

�� 6�� "�"�"�"� .................................................................................................................................78

#�#�#�#� $%$%$%$%.......................................................................................................................................79

Appendix : Program User Manual ............................................................................................80

A.1 Coordinate System ...............................................................................................80

A.2 = � O� �� Sign Convention ...........................................................81

A.3 G� � Sign Convention .................................................................................82

A.4 Main Menu Bar ....................................................................................................83

A.5 Tool Bar Buttons ..................................................................................................85

A.6 �P� QR � S T ................................................................................87

A.7 UVM� S T ............................................................................................88

A.8 �#W XY� Quick Generation .....................................................................90

A.9 Z[� Quadratic Generation .............................................................................91

A.10 �� I\................................................................................................92

v

��

� 2.1 �� ]^ ...........................................................................................................8

� 4.1 _' `a bc &d ��J� I\........................................................................55

� 4.2 Convergence Test G� (78� ��/>? @@)......................................................58

� 4.3 Shear Locking Test G� (78� ��/>? @@) ...................................................59

� 4.4 Convergence Test G� (78� ��/"E @@)......................................................60

� 4.5 Shear Locking Test G� (78� ��/"E @@) ...................................................61

� 4.6 Convergence Test G� (F� ��/>? @@)..........................................................62

� 4.7 Shear Locking Test G� (F� ��/>? @@) .......................................................63

� 4.8 Convergence Test G� (F� ��/"E @@)..........................................................64

� 4.9 Shear Locking Test G� (F� ��/"E @@) .......................................................65

� 5.1 HI ��J(ef�)� I\ .......................................................................................67

� 5.2 HI ��J(ef�)� Og hi .............................................................................67

� 5.3 HI ��J(ef�)� �� j .............................................................................67

� A.1 Main Menu Bar� �i � 56 .................................................................................83

� A.2 Tool Bar Buttons� kl � 56 ...............................................................................85

vi

��

�� 2.1 �� ]^m .......................................................................................................4

�� 2.2 �� ]^m .......................................................................................................5

�� 2.3 �� 5n od .................................................................................................6

�� 2.4 �� !"#$ ...........................................................................................10

�� 2.5 ��9 p��; 38� �� i � �� dO ..............................11

�� 2.6 �� stations .....................................................................................................12

�� 2.7 qr �� s��t dOu [%v� �� w xE ..............................15

�� 2.8 �� 8� ��t dOu 38%v� �� y xE ................15

�� 2.9 �� z �� w� {| o} � �� H......................................16

�� 2.10 load case z 01 G�w� {| o} � �� H ...........................18

�� 2.11 ��% &' �� % &' 01 G� � !"#$ ....19

�� 3.1 �� 5n ~t� T ��..................................................................26

�� 3.2 �#W XY �i� H .........................................................................................30

�� 3.3 �#W XY �F �� .........................................................................................31

�� 3.4 Z[ �F �� .......................................................................................................31

�� 3.5 à �i� H .......................................................................................................32

�� 3.6 �h �j � �,M �i T ��................................................................33

�� 3.7 à hi T � �F ��..............................................................................33

�� 3.8 Z[ �� T ��..........................................................................34

�� 3.9 à �� (8� ��, à � F� ��, �m) T �� .......................35

�� 3.10 qr �� E� �� .............................................................................................36

�� 3.11 �� E� �� .............................................................................................37

�� 3.12 �� T ��..............................................................................38

�� 3.13 load cases � �� T �� .....................................................................39

vii

�� 3.14 KLM y� �� ...................................................................................................40

�� 3.15 � �j � � G� �� ....................................................................45

�� 3.16 01 G�� tV�. � � H....................................................................46

�� 3.17 01 G�� V � � H............................................................................47

�� 3.18 01 G�� q � � H............................................................................48

�� 3.19 Z[ � `a E� � ��..............................................................................49

�� 3.20 <�� E� �� q� ��........................................................................51

�� 4.1 Convergence Test G� (78� ��/>? @@) ...............................................58

�� 4.2 Shear Locking Test G� (78� ��/>? @@) .............................................59

�� 4.3 Convergence Test G� (78� ��/"E @@) ...............................................60

�� 4.4 Shear Locking Test G� (78� ��/"E @@) .............................................61

�� 4.5 Convergence Test G� (F� ��/>? @@) ...................................................62

�� 4.6 Shear Locking Test G� (F� ��/>? @@) .................................................63

�� 4.7 Convergence Test G� (F� ��/"E @@) ...................................................64

�� 4.8 Shear Locking Test G� (F� ��/"E @@) .................................................65

�� 5.1 HI ��J(ef�)� T KLM ...................................................................68

�� 5.2 load case 1% &' +� � � K�q...............................................................70

�� 5.3 load case 2% &' +� � � K�q...............................................................71

�� 5.4 load case 3% &' +� � � K�q...............................................................72

�� 5.5 qr ��% &' +� � � K�q� maximum ��............................73

�� 5.6 qr ��% &' +� � � K�q� minimum �� ............................74

�� 5.7 load combination% &' +� � � K�q� maximum ��.................75

�� 5.8 load combination% &' +� � � K�q� minimum ��..................76

�� A.1 �� f E� ...............................................................................................80

�� A.2 <�� f E� ...............................................................................................80

�� A.3 �� f E� ...........................................................................................80

viii

�� A.4 = � O� �� Sign Convention.................................................................81

�� A.5 G� � Sign Convention ......................................................................................82

�� A.6 �P� UD, LD� E� .........................................................................................87

�� A.7 UVM� D(i)� E�.............................................................................................89

�� A.8 UVM� Quick Position� H...............................................................................89

�� A.9 Z[� Quadratic Generation� H ........................................................................91

�� A.10 �� I\ �E .........................................................................................92

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제 2 장 슬래브 교의 영향면 및 포락면 출력 알고리즘 3

제 2장 슬래브 교의 영향면 및 포락면 출력 알고리즘

2.1 영향면 및 포락면

교량의 해석에 있어서 고려해야 할 하중은 크게 두 부류로 나뉜다. 하나는 재하

위치가 고정되어 있는 하중이며 다른 하나는 재하 위치가 일정하지 않고 수시로 변할

수 있는 하중이다. 특히 후자의 경우 그 하중을 이동 하중이라고 칭한다. 대표적인 이

동 하중의 예로는 트럭 하중, 차선 하중과 같은 활하중을 들 수 있다. 활하중과 같은

이동 하중의 해석 결과는 재하 위치에 따라 변하는 값을 가지며 설계에 있어서는 그

다양한 값 중 최대값과 최소값을 선택하게 된다. 이러한 이동 하중의 해석 결과에 대

한 최대값과 최소값의 계산은 설계에 따라 규정된 모든 가능한 재하 위치를 고려해야

하는 이유로 대단히 번거로운 작업이 된다. 일반적으로 최대값 내지 최소값을 유발하

는 재하 위치의 결정 방법으로 영향면이 널리 이용되고 있다.

일반적으로 단위 크기의 하중(크기가 1 인 하중)이 어느 특정 점에서의 결과에 미

치는 영향을 그 단위 하중 작용 위치의 함수로 나타낸 것을 영향 함수라 하며 그 영

향 함수를 단위 하중의 작용 위치에 따라 곡면으로 도시한 것을 영향면이라고 한다.[6]

즉 단위 하중에 따른 해석 결과를 I 라 하고 단위 하중의 작용 위치를 j, 관찰 대상이

되는 특정점의 위치를 i 라 하면 영향 함수는 Iij 가 되며 Iij 를 단위 하중 작용 위치 j

에 대한 함수로서 곡면으로 구성하면 그 곡면은 특정점 i에 대한 영향면이 된다.

관찰 위치가 되는 특정점 i 의 이동 하중에 대한 해석 결과의 최대값 내지 최소값

은 영향면 Iij를 이용하여 결정할 수 있는데 그 과정은 다음과 같다. 우선 영향면 Iij를

구성한다. 그리고 이동 하중이 재하될 수 있는 위치에 따라 그 이동 하중을 영향면

위에 상재한다. 이때 이동 하중에 따른 해석 결과를 R 이라 하면 관찰점 i 에 대한 해

석 결과 Ri는 식 (2.1)에 의해 구해진다. 식 (2.1)에서 P 는 이동 하중의 크기이며 집중

하중 또는 단위 면적 당 힘의 분포 하중의 형태를 띤다. Ri 값이 최대 또는 최소가 되

도록 P 의 상재 위치를 결정하고 그 위치에 대한 Ri 를 계산하면 그 값이 바로 관찰점


i의 이동 하중에 대한 해석 결과의 최대값 또는 최소값이 된다.

iji IPR ×= (2.1)

설계 대상이 되는 모든 위치 i 에 대해 영향면을 구성하고 이상 언급한 방법에 따

라 Ri 의 최대값 내지 최소값을 구한 후 그 값들을 관찰점의 위치 i 에 따라 곡면으로

구성하면 그것이 바로 포락면이 된다. 즉 포락면은 이동 하중이 재하될 때 설계 대상

이 되는 모든 관찰점에서 발생할 수 있는 최대 결과값 및 최소 결과값을 곡면으로 구

성한 것이며 그것은 곧바로 설계 부재력이 된다. 그림 2.1 과 그림 2.2 는 이상 언급한

영향면과 포락면의 개념을 각각 도시하고 있다.

그림 2.1 영향면의 개념도

특정 관찰점 (i)

단위 하중 재하 (재하 위치=j)

단위 하중에 따른 i 점에서의 해석 결과를 j 에 대해 plot

i 에 대한 영향면 구성

j


그림 2.2 포락면의 개념도

특정 관찰점 (i)

이동 하중 재하

최대값 및 최소값 산정

포락면 구성

이동 하중에 따른 결과력 계산 (결과력=이동 하중×영향면 종거 또는 체적)

모든 관찰점 i 에 대해 최대값 및 최소값 산정

max 포락면

min 포락면

i 에 대한 영향면


2.2 활하중과 차선 및 차선 조합

교량의 설계에 있어서 고려되는 이동 하중은 트럭 하중, 차선 하중 등으로 정의되

는 활하중이다. 트럭 하중은 여섯 개의 축하중으로 구성되어 있으며 차선 하중은 단

위 길이 당 크기를 가진 분포 하중과 1 개 내지 2 개의 집중 하중으로 구성되어 있다.

도로교 표준 시방서의 경우 트럭 하중은 DB, 차선 하중은 DL 로 정의하고 각각의 제

원에 대해 규정하고 있다. 그림 2.3은 그러한 활하중의 기본 형상을 도시한 것이다.

그림 2.3 활하중의 기본 형상

2.1 절에서도 언급한 바 있지만 활하중과 같은 이동 하중은 그 재하 가능한 위치를

설계 조건에 따라 규정하게 된다. 교량의 설계에 있어서 활하중의 재하 가능한 위치

[ 트럭 하중 ]

Pi Pi = 축하중 (전륜 또는 후륜)

load lane width (차선 점유폭)

load lane width (차선 점유폭)

Pm or Ps

w

Pm = 모멘트 계산시 집중 하중

Ps = 전단력 계산시 집중 하중

w = 분포 하중

[ 차선 하중 ]


를 차선(lane)이라고 정의한다. 즉 차선은 활하중이 재하되어 이동하는 선이라고 할 수

있으며 차선을 따라 영향면 위에 활하중을 상재하면서 포락면 값을 산정하게 된다.

설계하고자 하는 교량의 교폭에 따라 차선은 1 개일 수도 있고 2 개 이상일 수도 있다.

즉 차선이 여러 개일 경우 활하중은 그 여러 차선에 동시에 재하될 수 있는 것이다.

이때 활하중이 여러 차선에 동시에 재하될 확률 정도에 따라 해석 결과값을 감소시키

는데 그 감소 방법으로서 감소 계수를 도입하고 있다. 도로교 표준 시방서의 경우 1

차선 및 2차선 재하 시 1.0, 3차선 동시 재하 시 0.9, 4차선 이상 동시 재하시 0.75 등

의 감소 계수를 사용하여 해석 결과값에 곱하도록 규정하고 있다. 따라서 해석 결과

는 고려한 차선 수와 감소 계수에 따라 달라지므로 모든 가능한 경우를 계산해서 가

장 불리한 경우 즉 최대값 내지 최소값이 산출되는 경우를 선택하여야 한다. 이때 가

능한 모든 경우는 차선 수에 의한 차선들의 조합에 따라 결정된다. 이러한 차선에 따

른 조합을 차선 조합(lane combinations)이라고 하며 그 개념의 예가 표 2.1에 도시되어

있다.

이상에서도 살펴볼 수 있듯이 활하중에 대한 포락면의 계산은 설계 대상이 되는

모든 위치에 대한 영향면의 계산이 포함되고 설계 차선에 따른 차선 조합이 고려되어

야 한다. 따라서 그 작업은 매우 복잡하며 설계 대상이 되는 위치가 무수히 많을 경

우엔 작업이 불가능할 수도 있다. 본 연구의 목적은 서론에서도 언급했지만 슬래브

교에 대해 그러한 복잡한 포락면 계산의 작업을 자동화할 수 있는 알고리즘을 개발하

여 실무에 효율적인 도움을 주고자 하는 데 있다. 2.3절 ~ 2.5절에서는 그러한 슬래브

교의 영향면과 포락면의 계산을 위해 개발된 알고리즘을 소개하고 그 원리에 대해 설

명하고자 한다.


표 2.1 차선 조합의 개념

설계 차선수 =4

lane combinations combined results 감소 계수 최종 포락면

combination 1 (lane1)의 포락면 ×1.0




combination 5 (lane1+lane2)의 포락면 ×1.0






combination 11 (lane1+lane2+lane3)의 포락면 ×0.9




combination 15 (lane1+lane2+lane3+lane4) 의 포락면 ×0.75

15 개의 포락면 중 최대 및 최소 선택


2.3 슬래브 교의 영향면 출력 알고리즘

연구의 대상이 된 구조물은 슬래브 교이고 서론에서도 언급했듯이 슬래브 교를 평

판 구조로서 해석하므로 평판 구조의 유한 요소 해석을 위해 2 차원 사각형 평판 요

소를 도입하고 있다. 따라서 식 (2.1)에서 단위 하중이 재하되는 위치 j 및 관찰점의

위치 i 등은 사각형 평판 요소들에 의해 생성되는 메쉬의 절점 번호로 대치된다. 즉

영향면의 계산을 위해서 재하되는 단위 하중들은 메쉬의 절점 상에 재하되고 영향면

의 관찰 대상이 되는 위치 또한 메쉬의 절점이 되는 것이다. 그러므로 영향면의 계산

절차는 다음의 과정을 거치게 된다.

우선 절점 1 에서 절점 n(메쉬의 총 절점수가 n 일 경우)까지의 모든 절점에 단위

하중을 재하하고 그 해석 결과들을 컴퓨터 메모리(파일명=ReLivef.out)에 저장한다. 이

때 단위 하중의 재하 위치만 바뀌고 구조물의 기하학적 조건은 바뀌지 않으므로 해를

구하기 위한 강성 매트릭스의 역행렬 연산 과정은 1 회에 그치고 단지 하중 벡터만

바뀐다. 따라서 해석 수행 시간이 현격히 늘어나지는 않는다. 한편 메모리에 저장되는

해석 결과들은 그림 2.4처럼 블록 형태를 띠게 된다.

다음으로 영향면의 대상이 되는 관찰 위치가 절점 i 라 하면 저장된 메모리의 각각

의 블록에서 절점 i 에 대한 결과들만 따로 추출한다. 그 추출된 결과들을 단위 하중

재하 절점 j 들을 정의역으로 하여 곡면으로 구성하면 그것이 바로 영향면 Iij 가 된다.

이상의 알고리즘이 그림 2.4에 도시되어 있다.


단위 하중이 재하된 절점 번호 (j)

해석 결과가 출력되는

절점 번호 (i) 메모리에 저장된

수치 데이터

1 ***

2 ***

: ***

i ***

: ***

1

n ***

1 ***

2 ***

: ***

i ***

: ***

2

n ***

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 ***

2 ***

: ***

i ***

: ***

N

n ***

i 번 절점의 결과(굵은 선 안의 수치 데이터) 추출 ↵ → i 번 절점에 대한 영향면 Iij 구성(정의역=절점 j 들의 좌표)

그림 2.4 영향면 출력 알고리즘


2.4 슬래브 교의 활하중에 대한 포락면 출력 알고리즘

본 연구를 통해 개발된 프로그램은 저장된 영향면의 메모리와 입력에서 규정된 활

하중, 차선, 차선 조합에 따라 포락면을 자동으로 계산해 주는 과정을 거친다. 그 포

락면의 계산 알고리즘은 다음의 과정으로 이루어져 있다.

포락면의 계산 대상이 되는 절점 번호를 i 라고 하면 우선 절점 i 에 대한 영향면

데이터 Iij 를 ReLivef.out 으로부터 호출한다. 입력에서 차선의 위치가 미리 정의되므로

그 차선을 통과하는 부분의 영향면이 그림 2.5처럼 구성된다.

그림 2.5 차선을 통과하는 부분의 영향면 구성 및 활하중의 상재

다음으로 입력에서 정의된 활하중을 그림 2.5 의 영향면 위에 상재하면서 식 (2.1)

에 따라 해석 결과 Ri를 계산하고 그 중 최대값 및 최소값을 선택하면 절점 i 에 대한

포락면 값이 된다. 여기서 활하중의 차선 위로의 이동은 실제로는 연속적이지만 수치

적 계산을 위해서는 그림 2.5 처럼 활하중의 상재 위치(stations)를 몇 단계로 나누어야

할 필요가 있다. 이러한 station 의 규정은 입력에서 이루어지며 station 수가 많을수록

해석은 정확하나 해석 시간은 길어진다. 그림 2.6 에 이러한 활하중에 대한 station 의

개념도가 제시되어 있다.

절점 i 에 대한 영향면 (차선이 통과하는 부분) 차선 (lane)

stations

활하중의 이동


그림 2.6 활하중의 stations

이러한 원리에 따라 트럭 하중에 대한 포락면은 식 (2.2)로 구해진다. 식 (2.2)에서

첨자 k 는 station number 이고 Pj는 트럭 하중의 여섯 개의 축하중을 나타낸다. 그리고

Iijk는 station k에서 j번째 축하중이 상재된 위치의 영향면 값을 나타낸다.

∑ ×==∀

6

1jijkj

ki )IP(maxminR (2.2)

영향면의 데이터에 대한 정보는 절점 별로 저장되어 있으므로 Iijk 는 축하중이 상

재된 점을 포함하는 평판 요소의 네 절점들의 영향면 값으로부터 내삽(Lagrangian

interpolation) 과정을 통하여 구해진다. 그러한 내삽의 식은 식 (2.3)과 같으며 식 (2.3)

에서 N 은 Lagrangian 형상 함수 벡터이고 I 는 축하중이 상재된 점을 포함하는 평판

요소의 네 절점(inode, jnode, knode, lnode)에서의 영향면 값을 나타내는 벡터이다. 또한

(r,s)는 축하중이 상재된 점에 대한 평판 요소 자연 좌표계 상의 좌표값이다. 개발된

프로그램은 축하중의 실제 좌표 (x,y)로부터 축하중이 재하된 점을 포함하는 요소 상

에서의 자연 좌표 (r,s)를 구하는 서브루틴을 내장하고 있다. 그림 2.7 은 그러한 내삽

의 원리를 설명하고 있다.

차선 하중의 분포 하중에 대한 stations

차선 하중의 집중 하중에 대한 stations

stations트럭 하중

lanes

lanes


=

+−++−+−−

=

=

odeln

knode

jnode

inode

Tijk

IIII

,

)s1)(r1()s1)(r1()s1)(r1()s1)(r1(

41where

I

IN

IN

(2.3)

차선 하중에 대한 포락면의 계산도 트럭 하중과 유사한 과정을 거친다. 절점 i 에

대한 포락면의 값을 Ri 라 하면 차선 하중에 대한 Ri 는 식 (2.4)로부터 구할 수 있다.

식 (2.4)에서 첨자 j, k는 station 번호이다. w는 차선 하중의 단위 길이당 분포 하중을

나타내고 load lane width는 차선 하중의 하중 점유폭을 나타내며 P는 차선 하중을 구

성하는 집중 하중(그림 2.3 의 Pm 또는 Ps)을 의미한다. 또한 Iij 는 j 번째 station 에서

차선 하중의 분포 하중이 상재된 부분의 영향면의 체적을 나타내며 Iik 는 k 번째

station에서 차선 하중의 집중 하중 P가 상재된 점의 영향면 값을 의미한다.

)IP(maxmin)Iwidthlaneload

w(maxminR ikk

k

1jij

ki ×+∑ ×=

∀=∀ (2.4)

Iij, Iik등은 트럭 하중의 경우와 마찬가지로 내삽의 과정으로 구할 수 있다. 단, Iij는

분포 하중이 상재된 부분의 영향면의 체적이므로 식 (2.5)처럼 구성된다. 식 (2.5)에서

N, I 등은 식 (2.3)의 N, I와 동일하며 A는 상재된 분포 하중의 면적이다. (r,s)는 상재

된 분포 하중의 중앙점의 자연 좌표계 값이다. 그림 2.8 에 그러한 영향면의 체적을

구하는 원리가 도시되어 있다.

=

+−++−+−−

=

=

odeln

knode

jnode

inode

Tij

IIII

,

)s1)(r1()s1)(r1()s1)(r1()s1)(r1(

41where

AI

IN

IN

(2.5)

이상의 과정을 입력에서 정의된 다른 모든 차선에 대해서도 반복하여 절점 i 에 대

한 포락면 값을 모든 차선에 대해 얻어낸다. 그리고 그 과정을 다시 모든 절점에 대

해 반복하여 모든 절점에 대한 차선 별 포락면 값의 수치 정보를 컴퓨터의 메모리(파

일명=Lane.out)에 저장하게 된다. 그러한 과정을 거쳐서 저장되는 차선 별 포락면의 수


치 정보는 그림 2.9과 같은 블록 형태를 띠게 된다.

다음으로는 입력에서 정의된 차선 조합에 따라 각 차선 들의 결과를 중첩하고 감

소 계수를 곱하는 과정을 거친다. 즉 저장된 메모리(Lane.out)로부터 차선 조합에 포함

된 특정 차선들에 대한 포락면 값을 호출하여 그 값들을 더한 후 감소 계수를 곱하는

것이다. 그림 2.9 에 그러한 차선 조합에 대한 포락면 값 추출 과정의 예가 제시되어

있다. 마지막으로 각 차선 조합에 따라 계산된 값들을 서로 비교하여 그 중 최대값과

최소값을 선택하면 최종적으로 트럭 하중과 차선 하중에 대한 포락면 값이 계산된다.

식 (2.6)은 그러한 최종 포락면의 값을 계산하는 과정을 개념적으로 표현하고 있다.

∑×=∀ j

kijkk

i )]R[RF(maxminR (2.6)

식 (2.6)에서 Ri는 절점 i 의 최종 포락면 값이고 k 는 k 번째 차선 조합을 나타내는

첨자이며 j 는 k 번째 차선 조합이 포함하는 차선들의 번호를 나타내는 첨자이다. 또한

RFk 는 k 번째 차선 조합에서 정의된 감소 계수이고 Rij 는 절점 i 의 j 번째 차선에 대

한 포락면 값을 나타낸다.


그림 2.7 트럭 하중의 축하중이 상재된 점에서의 영향면 값 산정

그림 2.8 차선 하중의 분포 하중이 상재된 부분에서의 영향면 체적 산정

inode

jnode

knode

lnode

lane (r,s) r

s

Iijk

Pj (축하중)

station k

절점 i 에 대한 영향면

Iinode

Ijnode

Iknode

Ilnode

축하중이 상재된 점을 포함하는 평판 요소

inode

jnode

knode

lnode

lane

(r,s)r

s

Iij

w (분포 하중)

station j

절점 i 에 대한 영향면

Iinode

Ijnode

Iknode

Ilnode

분포 하중이 상재된 점을 포함하는 평판 요소


절점 번호

차선 번호

활하중 종류

max min

메모리에 저장된

수치 데이터 EXAMPLE

lane combination=(lane1+lane2)×0.8

max *** 트럭

min ***

max *** lane 1

차선 min ***

max *** 트럭

min ***

max *** lane 2

차선 min ***

node 1

: : : :

절점 1 의 트럭에 대한 max 포락면 값 = 0.8×Σ(굵은 선 안의 수치 데이터)

max *** 트럭

min ***

max *** lane 1

차선 min ***

max *** 트럭

min ***

max *** lane 2

차선 min ***

node 2

: : : :

절점 2 의 트럭에 대한 max 포락면 값 = 0.8×Σ(굵은 선 안의수치 데이터)

.

.

.

.

.

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그림 2.9 차선 별 포락면 값의 저장 형태 및 차선 조합의 예


2.5 슬래브 교의 하중 조합에 따른 포락면 출력 알고리즘

본 연구를 통해 개발된 프로그램은 load cases 와 하중 조합(load combinations)을 고

려하여 그 해석 결과를 출력하도록 하고 있다. 즉 슬래브 교에 하중을 부여할 때마다

load case를 더불어 부여하고 입력에서 정의된 하중 조합과 하중 계수에 따라 그 해석

결과들을 출력시킨다. 유한 요소 해석이 종료되면 우선 활하중 이외의 다른 일반적인

하중들(재하 위치가 고정되어 있는 하중)에 대한 해석 결과값들을, 정의한 load case 별

로 ReGenef.out 이라는 파일명을 가진 컴퓨터의 메모리에 저장한다. 그리고 트럭 하중

및 차선 하중을 일종의 load case로 간주하면서 2.4절에 언급된 방법을 통하여 구해진

포락면 값들을 기존의 메모리(ReGenef.out)에 첨가시키게 된다. 따라서 load case 에 따

른 해석 결과들의 수치 데이터는 그림 2.10의 블록 형태를 띠게 된다.

이러한 load case별 저장 작업이 완료되면 입력에서 규정한 하중 조합의 결과 출력

이 가능해진다. 즉 규정한 하중 조합에 근거하여 저장된 메모리(ReGenef.out)로부터

load case 해석 결과값들을 호출하고 규정한 하중 계수를 곱하면서 그 값들을 중첩시

킨다. 식 (2.7)은 그러한 하중 조합을 개념적으로 설명하고 있다.

∑ ×=j

ijji RLFR (2.7)

식 (2.7)에서 Ri 는 절점 i 의 하중 조합 해석 결과값이고 j 는 규정된 하중 조합이

포함하고 있는 load case 의 번호를 나타내는 첨자이다. 또한 LFj 는 규정된 하중 조합

이 포함하고 있는 각각의 load case 에 부여된 하중 계수값들을 나타내며 Rij 는 절점 i

의 j 번째 load case 에 대한 해석 결과값을 의미한다. 그림 2.10 에 그러한 하중 조합의

예가 제시되어 있다.

이상 2 장에서 언급한 활하중에 대한 포락면 출력 알고리즘 및 하중 조합에 따른

결과값의 출력 알고리즘을 그림 2.11에 요약 제시하였다.


load case 번호

절점

번호max min

메모리에 저장된

수치 데이터 EXAMPLE

load combination=1.2×case1+1.3×case2+2.15×트럭

1 - ***

2 - *** load case 1

: : ***

1 - ***

2 - *** load case 2

: : ***

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

max *** 1

min ***

max *** 2

min *** 트럭 하중

.

.

.

.

.

.

.

.

. max ***

1 min ***

max *** 2

min *** 차선 하중

.

.

.

.

.

.

.

.

.

절점 1 에 대한 하중 조합 해석 결과 = ΣLF×(굵은 선 안의 수치 데이터) (LF=1.2, 1.3, 2.15)

그림 2.10 load case 별 해석 결과값의 저장 형태 및 하중 조합의 예


그림 2.11 활하중에 대한 포락면 및 하중 조합에 대한 해석 결과 출력 알고리즘

단위 하중 해석 결과 저장 [ ReLivef.out ]

영향면 데이터 호출

차선이 지나는 영향면에 활하중 상재

포락면 값 계산

차선 별로 포락면 데이터 저장 [ Lane.out ]

활하중 이외의 하중 해석

해석 결과 데이터를 load case 별로 저장 [ ReGenef.out ]

하중 계수를 곱하면서 데이터 중첩

모든

절점에

대해

반복

모든

차선에

대해

반복

모든

차선

조합에

대해

반복

차선 조합에 따라 차선 별 포락면 데이터 호출

감소 계수를 곱하면서 데이터 중첩

최대값, 최소값 추출 활하중에 대한 최종 포락면 데이터 산정

하중 조합에 따라 load case 별 데이터 호출

각각의 load case 및 하중 조합에 대한 결과 출력

APPEN

D

제 3 장 개발된 프로그램의 제원 20

제 3장 개발된 프로그램의 제원

3.1 전처리 프로그램 (pre-processor)

본 연구를 통해 개발된 프로그램은 슬래브 교에 대한 유한 요소 모델링과 각종 하

중 입력을 용이하게 하고 입력 작업의 가시화를 위해 윈도우 환경의 그래픽 전처리

기능을 제공하고 있다. 전처리 프로그램에 포함된 기능들을 열거하면 다음과 같다.

우선 슬래브 교의 기본 데이터 입력 기능이 있다. 기본 데이터라 함은 슬래브 교

의 형태(사교 또는 곡선교), 슬래브 교의 제원(교량 길이, 교폭, 사각, 중심각, 곡률 반

경, 연석 폭, 보도 폭, 중앙분리대 폭, 교량 양단 오버행어의 폭 등), 교각의 개수 및

위치, 베어링의 위치 등을 이른다. 이상 열거한 기본 데이터를 입력하면 기본 데이터

를 토대로 본격적인 전처리 작업의 기준이 되는 수 개의 그리드 라인들이 자동으로

생성된다. 개발된 프로그램에서 사용되는 각종 기본 데이터 입력 박스의 형태가 그림

3.1 에 제시되어 있으며 그 입력 박스를 통해 슬래브 교의 형태 선택, 슬래브 교의 제

원 입력, 교각의 개수 및 위치 입력, 베어링의 위치 입력 등의 작업이 이루어진다. 그

림 3.2 는 기본 데이터 입력 완료 후 그래픽 스크린 상에 출력되는 그리드 라인의 예

를 보여주고 있다. 그림 3.2 에서 각 실선들은 그리드 라인을 나타내고 있으며 연석,

보도, 중앙분리대, 교량 양단 오버행어 등의 경계선이 포함된다. 또한 회색 원은 배치

된 베어링을 나타내고 있다. 즉 그리드 라인은 연석, 보도, 중앙분리대, 교량 양단, 교

각, 베어링 등의 위치에 근거하여 형성된다.

기본 데이터에 근거하여 생성된 그리드 라인과 그리드 라인끼리 만나는 점 즉 그

리드 포인트는 절점, 요소 형성의 기준 위치를 제공하는 역할을 한다. 따라서 그리드

라인은 사용자의 의도에 따라 위치의 변경 및 추가 및 삭제가 가능할 수 있어야 한다.

즉 그리드 라인의 편집이 가능해야 한다. 개발된 프로그램에서도 그리드 라인의 편집

이 가능하며 그 작업은 그림 3.3 과 같은 그리드 라인 편집 박스에서 이루어진다. 특

정 그리드 라인을 택일하여 위치 변경, 삭제 등을 실시하며 특정 위치에 그리드 라인


을 추가하기도 한다. 특히 Quick Generation 기능이 있어서 여러 개의 그리드 라인을

일시에 추가할 수 있다. 즉 Quick Generation 이 시작되는 위치의 그리드 번호와 Quick

Generation 이 끝나는 위치의 그리드 번호를 입력하고 등분수를 입력하면 두 그리드

라인 사이에 등분 수에 따라 수 개의 또다른 그리드 라인들이 생성된다.

그리드 포인트는 곧 절점이 생성될 수 있는 장소를 제공한다. 마우스로 그리드 포

인트 상을 클릭하는 방식으로 절점들을 생성해 나간다. 그리드 포인트에서만 절점 생

성이 이루어지는 것은 아니다. 그리드 포인트 이외의 임의의 지점에서도 절점 생성이

가능하다. 따라서 두 방법 중 하나를 사용자가 택일할 수 있도록 하였다. 또한 마우스

를 통해 특정 절점들을 선택한 후 그 절점들을 삭제할 수 있도록 하였다. 이상의 마

우스를 이용한 방식 이외에도 그림 3.4 와 같은 절점 편집 박스를 통한 타이핑 방식을

또한 도입하였다. 절점 편집 박스를 통해 절점의 좌표값 수정, 절점의 삭제 및 추가

등의 작업이 이루어지며 Quadratic Generation 기능이 있어서 여러 개의 절점들을 일시

에 추가할 수도 있다.

개발된 프로그램에서 사용되는 유한 요소는 사절점 평판 요소이며 슬래브 교의 두

께가 길이나 폭에 비해 얇으므로 사절점 평판 요소를 도입해도 무리가 없는 것으로

알려져 있다. 개발된 프로그램에서 평판 요소를 생성하는 방법은 두 가지가 있다. 마

우스를 통해 요소를 구성하게 될 네 절점을 선택함으로써 요소를 하나씩 생성시키는

방법(Manual Generation)이 그 하나이고 그리드 포인트의 두 지점을 지정 후 그 두 지

점을 포괄하는 사각형 영역 내의 그리드 포인트들을 기준으로 수 개의 요소를 절점과

더불어 동시에 생성시키는 방법(Automatic Generation)이 나머지 하나다. 그림 3.5 는 그

두 방법을 통해 생성된 요소들의 형상을 나타내고 있다. 요소 또한 절점과 마찬가지

로 마우스 선택을 통한 삭제가 가능하다.

평판 요소의 절점당 자유도 수는 3 으로서 Uz(Z 축 방향 Translation), Rx(X 축 중심

Rotation), Ry(Y 축 중심 Rotation) 등이 그것이다. 베어링이 위치한 절점의 구속 조건은

반드시 부여되어야 한다. 개발된 프로그램에서는 구속 조건이 부여될 절점을 마우스

로 선택한 후 그림 3.6 의 구속 조건 입력 박스를 통해 해당하는 구속 조건을 부여하


도록 하였다. 베어링이 스프링 강성을 가지고 있을 경우(즉 탄성 지점일 경우) 단순한

구속 조건 부여만으로는 정확한 해석을 기대하기 어렵다. 따라서 본 프로그램에서는

구속 조건 이외에도 스프링 강성값을 입력할 수 있도록 하였다. 스프링 강성엔 절점

의 자유도에 따라 Kz(Z 축 방향 강성), Krx(X 축 중심 회전 강성), Kry(Y 축 중심 회전

강성) 등이 있다. 그림 3.6 의 스프링 강성 입력 박스를 통해 해당하는 스프링 강성 값

들을 입력한다. 주 해석 프로그램에서는 스프링 강성이 있는 절점에 가상의 트러스

요소를 도입하는 방식으로 탄성 지점을 처리한다.

생성된 요소에 반드시 요소 속성을 부여해야 한다. 평판 요소의 속성으로서는 두

께, 포아송 비, 탄성 계수, 단위 중량, 열팽창 계수 등이 있다. 우선 그림 3.7 의 요소

속성 입력 및 편집 박스를 통해 속성 그룹을 속성 이름과 더불어 정의한다. 그리고

속성이 부여될 요소들을 선택한 후 이미 정의된 속성 그룹 중 택일하여 속성을 부여

한다.

평판 요소의 절점 하중엔 절점의 자유도에 따라 Fz(Z 축 방향 수직력), Mx(X 축 중

심 모멘트), My(Y 축 중심 모멘트) 등이 있다. 절점 하중이 부여될 절점을 선택한 후

그림 3.8 의 절점 하중 입력 박스를 통해 해당하는 값들을 입력한다. 교량 해석에 있

어서 교각의 침하는 빈번히 고려되는 항목이며 특히 연속교일 경우 교각의 침하는 안

정성에 큰 지장을 줄 수 있다. 따라서 본 프로그램에서는 그러한 침하를 하나의 절점

하중으로 간주하여 침하를 고려할 수 있도록 하였다. 지점 침하는 식 (3.1)처럼 지점

침하량 만큼을 유발하는 등가의 절점력으로의 치환이 가능하다. 식 (3.1)에서 f 는 등

가의 절점력, Ke는 요소의 강성 매트릭스, u는 지점 침하 벡터를 각각 나타낸다.

uKf e= (3.1)

한편 강성 매트릭스의 정의에 따라 식 (3.1)은 식 (3.2)처럼 바뀐다. 식 (3.2)에서 B

는 strain-displacement relation 매트릭스, E 는 탄성 계수 매트릭스를 각각 나타낸다. 주

해석 프로그램에서는 지점 침하 벡터 u 를 입력 데이터로 받아들인 후 식 (3.2)의 적

분 과정을 통해 침하를 등가의 절점력으로 치환하여 해석하게 된다.


∫= VT dVEBuBf (3.2)

침하량의 입력은 그림 3.8 의 침하량 입력 박스를 통해 이루어지며 해당하는 값을

입력하면 된다.

평판 요소의 요소 하중엔 분포 하중, 요소 내 집중 하중, 온도 등이 있다. 분포 하

중과 집중 하중은 가상 일의 원리를 이용하여 등가의 절점력으로의 치환이 가능하다.

분포 하중은 식 (3.3)을 통해서, 그리고 집중 하중은 식 (3.4)를 통해서 각각 등가의 절

점력으로 치환된다. N 은 형상함수 벡터, w 는 분포 하중의 값, p 는 집중 하중의 값을

각각 나타내며 ξ, η는 집중 하중이 작용하는 점에서의 자연 좌표계의 값을 나타낸다.

∫= S dxdywNf (3.3)

ηξ= ,|pNf (3.4)

평판 요소에서 상부와 하부의 온도 차이는 휨을 유발한다. 따라서 상하 온도차는

일종의 하중으로 간주되며 열 스트레인 벡터(Thermal Strain Vector)를 이용하여 등가의

휨모멘트로 치환할 수 있다.[1] 식 (3.2)에서 Bu 는 ε이고 온도를 고려한다면 εt 즉 열

스트레인 벡터가 된다. 따라서 온도에 의한 등가의 휨모멘트는 식 (3.5)처럼 전개될 수

있다.

∫= V tT dVεEBf (3.5)

여기서 εt는 식 (3.6)의 형태를 띠며 α, t, h 는 각각 열팽창 계수, 상하 온도차, 요소

두께를 나타낸다.

T

t 0,0,0,htz,

htz

αα

=ε (3.6)

요소 하중의 입력 방법은 절점 하중의 입력 방법과 동일하다. 즉 요소 하중이 부

여될 요소를 마우스로 선택한 후 그림 3.9 와 같은 요소 하중 입력 박스에 해당하는

하중 값들을 입력하면 된다.

본 프로그램에서 트럭 하중 및 차선 하중에 대한 제원은 각각 그림 3.10, 3.11 과


같은 입력 박스를 통해 입력된다. 그림 3.10에서 Pf, Pr은 각각 트럭 하중의 후륜 하중,

전륜 하중을 나타내며 V1, V2는 각각 전륜과 후륜의 거리, 후륜들 간의 거리를 나타낸

다. 그리고 Load Lane Width 는 트럭 하중의 하중 점유폭을 나타낸다. The Number of

Stations 는 2.4 절에서 언급된 station 의 개수를 나타내며 따라서 그 개수가 많을수록

정확한 결과를 주지만 반면 해석 시간은 길어진다고 볼 수 있다. 그림 3.11 에서

Uniform Load Per Unit Length 는 차선 하중의 단위 길이 당 하중 강도 w 를 나타내며

Pm, Ps는 집중 하중 값들을 나타낸다. 그리고 Load Lane Width는 차선 하중의 하중 점

유 폭을 나타낸다. The Number of Stations는 차선 하중의 station 개수를 나타내며 따라

서 그 개수가 많을수록 정확한 결과를 주지만 반면 해석 시간은 길어진다고 볼 수 있

다.

차선은 2.2 절에서 언급되어 있듯이 트럭 하중 및 차선 하중 등이 재하되는 선으로

서 포락면 데이터를 얻어내는 과정에 있어서 재하 기준이 되는 선이며 도로교 표준

시방서에서는 설계 조건에 따라 차선 수와 감소 계수 등의 값들을 규정하고 있다. 본

프로그램에서는 그림 3.12 와 같은 차선 입력 박스를 통해 차선의 위치를 입력하고 차

선의 추가, 수정, 삭제 등의 편집 작업을 한다. 그리고 3.12 의 차선 조합 입력 박스를

통해 여러 차선에 대한 차선 조합을 정의하고 차선수에 따른 감소 계수를 부여한다.

본 프로그램은 절점 하중 및 요소 하중 입력 시 항상 load cases 를 부여할 수 있도

록 하고 있다. 그것은 load cases 에 따라 하중 조합을 정의하여 후처리 프로그램에서

조합된 해석 결과를 보이기 위함이다. laod cases 및 하중 조합의 정의는 그림 3.13 과

같은 load casee 및 하중 조합 입력 박스에서 이루어지며 선택된 load cases 에 하중 계

수를 부여할 수 있도록 하고 있다. 이때 트럭 하중 및 차선 하중은 load cases 에 자동

으로 포함되므로 트럭 하중 및 차선 하중에 대한 포락면 데이터는 일종의 load cases

로 간주되어 활하중 이외의 다른 일반 하중과의 조합이 가능하게 된다. 후처리 프로

그램에서는 load cases 별로 결과가 출력되며 물론 이상 언급한 하중 조합별로도 결과

가 출력된다.

전처리 작업 완료 후 해석을 실시하면 주 해석 프로그램의 입력 포맷에 부합하는


입력 파일이 자동 생성되면서 해석이 이루어지고 결과 파일이 형성된다. 이때 잘못된

모델링으로 인해 입력 파일에 오류가 있으면 결과 파일의 형성이 이루어지지 않으며

결국 전처리 및 후처리 프로그램은 무한 루프 오류에 빠지게 된다. 따라서 올바른 모

델링의 확인이 필수적이며 본 프로그램에서는 그림 3.14 와 같은 모델링 체크박스를

마련하여 해석 이전에 모델링의 적합성 여부를 먼저 확인함으로써 사전에 오류를 방

지하도록 하였다. 모델링 체크는 크게 네 부분으로 나누어 이루어진다. 먼저 절점 수

의 0 여부를 확인한다. 다음으로 요소 수의 0 여부를 확인한다. 절점 수, 요소 수의 확

인이 끝나면 요소와 연결되지 않은 무의미한 절점이 있는지를 체크하여 그러한 절점

이 있을 경우 오류 메시지와 함께 그 절점 번호들을 출력시킨다. 마지막으로 요소속

성이 부여되지 않은 요소가 존재할 경우 마찬가지로 오류 메시지 및 해당하는 요소들

의 번호를 출력시킨다. 사용자는 출력된 내용을 토대로 모델링을 수정하면 된다.


그림 3.1 슬래브 교의 기본 데이터 입력 박스


그림 3.1 슬래브 교의 기본 데이터 입력 박스 (continued)


그림 3.2 그리드 라인 생성의 예


그림 3.3 그리드 라인 편집 박스

그림 3.4 절점 편집 박스


그림 3.5 요소 생성의 예

마우스 방식(Manual Generation)을통해 생성된 요소

마우스 방식(Manual Generation)을통해 생성된 절점

Automatic Generation 을 통해 생성된 절점들 및 요소들

start point of automatic generation

end point of automatic generation


그림 3.6 구속 조건 및 스프링 강성 입력 박스

그림 3.7 요소 속성 입력 및 편집 박스


그림 3.8 절점 하중 및 침하량 입력 박스


그림 3.9 요소 하중(분포 하중, 요소 내 집중 하중, 온도) 입력 박스


그림 3.10 트럭 하중 정의 박스


그림 3.11 차선 하중 정의 박스


그림 3.12 차선 및 차선 조합 입력 박스


그림 3.13 load cases 및 하중 조합 입력 박스


그림 3.14 모델링 체크 박스


3.2 주 해석 프로그램

주 해석 프로그램(Main Program)이란 전처리 프로그램에서 자동 생성된 입력파일을

읽어서 본격적인 유한 요소 해석을 실시하는 프로그램을 이른다. 따라서 주 해석 프

로그램은 전처리 및 후처리에는 등장하지 않으며 전처리에서 후처리로 넘어가는 과정

에서 잠시 동안 퍼스널 컴퓨터의 도스에서 메모리를 차지하다가 해석이 끝나면 곧바

로 컴퓨터의 메모리에서 삭제된다.

본 프로그램에서 사용한 주 해석 프로그램은 본 연구실에서 이미 개발한 바 있는

평판 요소 전용 해석 프로그램으로서 요소의 강성 매트릭스(Ke)를 형성시키는 알고리

즘은 민들린 평판 요소 이론[2]에 기초하고 있으며 대체 변형률 장[3]을 도입, shear

locking 현상을 방지하는 알고리즘이 추가되어 있다. 일반적으로 민들린 평판 요소에

서 strain-displacement relation 매트릭스 B 는 식 (3.7)처럼 휨과 관련된 Bb와 전단과 관

련된 Bs로 구성되며 Bs는 식 (3.8)처럼 구성된다. 식 (3.8)에서 N 은 형상 함수 벡터를

나타낸다.

=

s

b

BB

B (3.7)

∂∂

−∂∂

=T

T

TT

s

x

y

N0N

0NN

B (3.8)

여기서 Bs 대신 좀더 개선된 형태의 s~B (식 (3.9))를 사용함으로써 shear locking 현상

을 방지할 수 있는데 그러한 s~B 를 대체 변형률 장이라고 한다.

∂∂∂∂

=

θθ

θθ

Ty

Tx

T

Ty

Tx

T

s

x

y~

MMN

LLN

B (3.9)

식 (3.9)에서 Lθx, Lθy, Mθx, Mθy 등은 식 (3.10)처럼 구성되며 식 (3.10)에서 x, y는 전

체 좌표계(global coordinate)를 나타내며 ξ, η는 자연 좌표계(natural coordinate)를 나타낸


다. 또한 |J|는 전체 좌표계와 자연 좌표계 사이의 Jacobian을 나타내며 x1, x2, x3, x4, y1,

y2, y3, y4는 평판 요소 네 절점의 전체 좌표계 상의 좌표 값들을 각각 나타낸다.

−ξ+−ξ−−η+−η−

=

−ξ+−ξ−−η+−η−

=

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

=

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

ξ∂∂

−η∂∂

=

====

θθ

θθ

)yy)(1()yy)(1()yy)(1()yy)(1(

,

)xx)(1()xx)(1()xx)(1()xx)(1(

0yy0

y0y0

y00y

0y0y

|J|81,

0xx0

x0x0

x00x

0x0x

|J|81

where

,,

23

14

43

12

y

23

14

43

12

x

xyxy

yxyx

VV

ML

LVMLVLMVMLVL

(3.10)

해(변위 벡터 u)를 구하는 알고리즘은 Sky Line Technique을 토대로 작성되어 있다.

프로그램 작성에 사용된 언어는 포트란이다.

각종 결과의 출력 알고리즘은 load cases 를 구분할 수 있도록 작성되었으므로 해석

결과가 load case 별로 따로 출력된다. 그것은 후처리 프로그램에서의 load cases 및 하

중 조합을 고려한 출력 작업을 가능하게 하였다.

또한 영향면 해석 및 출력 알고리즘이 포함되어 있어서 모든 절점에 대한 각종 영

향면의 결과들이 결과 파일에 저장된다. 따라서 후처리에서의 영향면 출력 작업이 가

능하게 되며 더불어 영향면을 이용한 트럭 하중 및 차선 하중에 대한 포락면의 출력

작업이 가능하게 된다.


3.3 후처리 프로그램 (post-processor)

본 연구를 통해 개발된 프로그램의 가장 큰 특징은 활하중에 대한 포락면의 데이

터가 일종의 load case 로 간주되어 다른 일반 load case 와의 조합이 가능하다는 데에

있다. 주 해석 프로그램에서의 유한 요소 해석이 종료되면 프로그램이 전처리에서 후

처리로 전환하게 되는데 후처리로 전환하기 직전에 프로그램은 2 장에서 언급한 바

있는 활하중에 대한 포락면의 데이터를 추출하는 과정을 거치게 된다. 활하중에 대한

포락면의 데이터의 추출은 주 해석 프로그램 종료 후 생성되는 영향면 데이터 파일

(ReLivef.out)과 전처리에서 정의된 차선 및 차선 조합을 토대로 하여 이루어진다.

평판 요소에서의 해석 결과는 Mxx, Myy, Mxy, Vxz, Vyz, Uz, Rx, Ry 등으로 구성된다.

Mxx는 X축 방향의 응력을 유발시키는 휨모멘트, Myy는 Y축 방향의 응력을 유발시

키는 휨모멘트, Mxy 는 비틀림, Vxz는 X축에 수직인 평면 상에서 Z축 방향으로의 전

단력, Vyz 는 Y 축에 수직인 평면 상에서 Z 축 방향으로의 전단력을 각각 뜻하며 모두

단위 길이당 값을 갖는다. 또한 Uz 는 Z 축 방향의 이동 변위 즉 deflection 이며 Rx 는

X축 중심 Rotation(회전 변위), Ry는 Y축 중심 Rotation(회전 변위)을 뜻한다. 본 프로

그램의 후처리는 이런 결과들을 그래픽 및 텍스트로 출력시키는 부분으로서 그래픽은

다이어그램 및 컨투어로 표현되며 텍스트는 텍스트 폼 상에서 모델링 및 결과들을 나

타내는 문자열로 표현된다. 모든 결과는 트럭 하중 및 차선 하중에 대한 포락면 데이

터를 포함하여 전처리에서 규정된 load cases, 하중 조합 등에 근거하여 출력된다. 또한

특정 절점에 대한 영향면의 출력이 이루어진다. 사용자는 그림 3.15 의 출력 조건 선

택박스에서 출력 조건(load case, 하중 조합, 영향면)을 선택한 후 그림 3.15 의 출력 결

과 선택 박스에서 출력시킬 결과(Mxx, Myy, Mxy, Vxz, Vyz, Uz, Rx, Ry, Reactions)를 선택

하게 된다. 텍스트 폼에서는 선택한 출력 조건에 맞추어 결과들이 문자열로 출력되며

Mxx, Myy, Mxy, Vxz, Vyz, Uz, Rx, Ry 이외에도 구속 조건에서의 반력, 탄성 지점에서의

스프링 힘 등이 더불어 출력된다. 그림 3.16 은 결과에 대한 다이어그램 출력의 예를

보여주고 있고 그림 3.17 은 결과에 대한 컨투어 출력의 예를 보여주고 있다. 또한 그


림 3.18은 선택한 출력 조건에 따른 텍스트 출력의 예를 나타내고 있다.

특별한 관찰 대상이 되는 절점 및 요소가 있을 경우 사용자는 그러한 절점 내지

요소를 마우스로 선택한 후 그림 3.19 와 같은 출력 박스를 통해 그 부분의 결과만 살

필 수가 있다.


그림 3.15 출력 조건 및 출력 결과 선택 박스


그림 3.16 해석 결과의 다이어그램 출력의 예


그림 3.17 해석 결과의 컨투어 출력의 예


그림 3.18 해석 결과의 텍스트 출력의 예


그림 3.19 절점 및 요소 정보 출력 박스


3.4 부가적 기능

본 프로그램에서는 그래픽과 관련하여 부가적인 기능들을 제공하고 있는데 Scale,

Zoom 기능, 3D-View Control, Font Control 등이 그것이다. Scale은 그래픽 출력시 모델링

의 축척을 고려할 것인지 아닌지를 선택하는 기능이다. 모델링의 축척을 고려하면 슬

래브 교량의 실제 크기를 가늠할 수 있지만 그래픽 스크린의 범위를 벗어나서 출력될

가능성도 있다. 그때엔 축척을 고려하지 않음으로써 모델링의 전체 형상이 그래픽 스

크린 범위 이내에 포함되도록 할 수 있다. Zoom은 그래픽의 특정 부분을 확대하여 출

력시키는 기능으로서 Zoom 메뉴를 선택한 후 확대할 영역을 마우스를 통해 지정한다.

3D-View Control 은 삼차원 좌표계 변환을 통한 관찰 위치 조절 기능을 포함하여 각종

그래픽 항목 및 출력 컨투어의 컬러 선택 기능, 각종 그래픽 항목의 보이기/감추기 선

택 기능, 절점/요소 관련 라벨(절점 번호, 절점 아이디, 요소 번호, 요소 속성 아이디

등) 출력 기능, 출력 다이어그램의 스케일 조절 기능 등이 있다. 그림 3.20 은 그러한

작업들이 이루어지는 컨트롤 박스들을 나타내고 있다. Font Control 은 스크린 상에 출

력되는 문자열의 형태와 크기를 사용자가 지정하는 형태로 출력시키는 기능이다.

한편 전처리 및 후처리 프로그램에서 출력되는 그래픽 및 텍스트는 사용자의 퍼스

널 컴퓨터가 지원하는 환경에 맞추어 인쇄기로 출력되도록 하였다.

또한 전처리에서 이루어진 모델링의 내용을, 특정 이름을 가지는 파일로 저장할

수가 있는데 그것은 모델링 내용을 저장하여 차후의 추가 작업을 가능하도록 하기 위

함이다. 파일의 이름은 사용자가 임의로 지정하며 파일의 확장명은 .slb 이다. 텍스트

폼에서 출력되는 텍스트 문자열을 텍스트 파일로 저장할 수 있다. 따라서 텍스트 편

집용 소프트 웨어를 통한 텍스트 편집이 가능하다. 그래픽 또한 비트맵 파일로의 저

장이 가능하므로 그래픽 편집용 소프트 웨어를 통해 그래픽을 편집할 수 있다.


그림 3.20 사용자 정의 그래픽 컨트롤 박스


그림 3.20 사용자 정의 그래픽 컨트롤 박스 (continued)

제 4 장 개발된 프로그램의 검증 55

제 4장 개발된 프로그램의 검증

개발된 프로그램의 유한 요소 해석의 적합성을 검증하기 위혀여 두 가지 유한 요

소 시험을 실시하였다. 실시한 시험은 Convergence Test 및 Shear Locking Test 이다.

Convergence Test 는 평판 요소의 메쉬를 증가시키면서 특정 관찰점에 대한 결과 출력

값이 이론 값에 수렴하는 정도를 파악하는 시험이고 Shear Locking Test는 평판의 두께

를 달리하면서 특정 관찰점에 대한 결과 출력 값의 유효 숫자의 변동 정도를 파악하

는 시험이다. Shear Locking Test에서 결과 출력 값의 유효 숫자의 변동이 심하지 않을

수록 Shear Locking이 덜 일어나는 요소라고 볼 수 있다.

시험 대상이 된 구조물의 제원은 표 4.1 과 같으며 네 변의 구속 조건과 하중 조건

에 따라 네 가지 경우로 분류하여 시험을 실시하였다. 그리고 다른 유한 요소 해석

소프트웨어인 SAP 과 ADINA 에 대해서도 시험을 실시하여 그 결과를 네 가지 경우에

대해 각각 비교해 보았다.

표 4.1 유한 요소 시험 대상 구조물의 제원

기하학적 형태 정사각형 평판

가로 길이 (a) 2

세로 길이 (b) 2

포아송 비 (µ) 0.3

탄성계수 (E) 17472000

Convergence Tests 0.0001 두께 (h)

Shear Locking Tests 1 ~ 0.00000001

사변 단순 지지 (simply supported) 경계 조건

사변 고정 지지 (clamped)

등분포 하중 (po) 0.0001 (평판 전역에 재하) 하중 조건

집중 하중 (p) 0.0004 (평판 중앙에 재하)

관찰 대상 출력 값 평판 중앙에서의 처짐 (최대 처짐)


4.1 등분포 하중을 받는 사변 단순 지지 평판에 대한 검증

첫번째 경우로서 사변이 단순 지지되어 있고 등분포 하중을 받는 정사각형 평판에

대해 시험을 실시하였다. 사변이 단순 지지되어 있고 평판 전역에 등분포 하중을 받

는 경우 평판의 처짐은 식 (4.1)로부터 구해지며[4] 식 (4.1)에서 D(=Eh3/12(1-µ2))는

flexural rigidity이고 x, y는 관찰 대상이 되는 지점의 좌표이다. 표 4.1의 조건을 식에

대입하면 이론값은 4.0624가 나온다.

⋅∞⋅⋅=

∑∑+

ππ

π

,5,3,1n,m

)bn

am(mn

bynsin

axmsin

Dp16W=

m n2

2

2

260

(4.1)

이상의 조건 아래 Convergence Test 및 Shear Locking Test 를 실시한 결과가 표 4.2,

표 4.3 그리고 그림 4.1, 그림 4.2에 제시되어 있다.

4.2 등분포 하중을 받는 사변 고정 평판에 대한 검증

두번째 경우로서 사변이 고정되어 있고 등분포 하중을 받는 정사각형 평판에 대해

시험을 실시하였다. 사변이 고정되어 있고 평판 전역에 등분포 하중을 받는 경우 평

판의 중앙부에서의 처짐에 대한 이론값은 식 (4.2)로부터 구해지며[5] 표 4.1 의 조건에

따라 그 값은 1.2637이 나온다.

3

40

max Ehap

0138.0=W (4.2)




4.3 집중 하중을 받는 사변 단순 지지 평판에 대한 검증

세번째 경우로서 사변이 단순 지지되어 있고 중앙에서 집중 하중을 받는 정사각형

평판에 대해 시험을 실시하였다. 사변이 단순 지지되어 있고 중앙에서 집중 하중을

받는 경우 평판의 처짐은 식 (4.3)으로부터 구해지며[4] 식 (4.3)에서 D(=Eh3/12(1-µ2))는

flexural rigidity이고 x, y는 관찰 대상이 되는 지점의 좌표이다. 그리고 r, s는 집중 하

중이 재하된 지점의 좌표이다. 표 4.1 의 조건을 식에 대입하면 이론 값은 11.600 이

나온다.

⋅∞⋅⋅=

∑∑

ππππ

π

,3,2,1n,m

)bn+

am(

bynsin

axmsin

bsnsin

armsin

Dabp4W=

m n 22

2

2

24 (4.3)



4.4 집중 하중을 받는 사변 고정 평판에 대한 검증

마지막 경우로서 사변이 고정되어 있고 중앙에서 집중 하중을 받는 정사각형 평판

에 대해 시험을 실시하였다. 사변이 고정되어 있고 중앙에서 집중 하중을 받는 경우

평판의 중앙부에서의 처짐에 대한 이론값은 식 (4.4)로부터 구해지며[4] 표 4.1 의 조건

에 따라 그 값은 5.6000이 나온다.

D

pa00560.0=W2

max (4.4)




표 4.2 Convergence Test 결과 (등분포 하중/단순 지지)

mesh SLAB SAP ADINA

2 by 2 3.1891 3.7903 3.1888

4 by 4 3.9694 4.0458 3.9690

6 by 6 4.0249 4.0575 4.0244

8 by 8 4.0419 4.0600 4.0414

10 by 10 4.0495 4.0610 4.0491

12 by 12 4.0536 4.0614 4.0532

14 by 14 4.0561 4.0617 4.0556

16 by 16 4.0577 4.0619 4.0572

18 by 18 4.0588 4.0620 4.0583

deflection

3.00

3.20

3.40

3.60

3.80

4.00

4.20

2by2 4by4 6by6 8by8 10by10 12by12 14by14 16by16 18by18

mesh

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.1 Convergence Test 결과 (등분포 하중/단순 지지)


표 4.3 Shear Locking Test 결과 (등분포 하중/단순 지지)

thickness SLAB SAP ADINA order

1.0.E+00 * * * 1.0E-12

1.0.E-01 4.2005 * 4.1778 1.0E-09

1.0.E-02 4.0553 4.0610 4.0546 1.0E-06

1.0.E-03 4.0537 4.0610 4.0532 1.0E-03

1.0.E-04 4.0536 4.0614 4.0532 1.0E+00

1.0.E-05 4.0536 4.0614 4.0531 1.0E+03

1.0.E-06 4.0536 4.0614 4.0536 1.0E+06

1.0.E-07 4.1816 4.0614 3.8558 1.0E+09

1.0.E-08 * 4.0610 * 1.0E+12

deflection

3.85

3.90

3.95

4.00

4.05

4.10

4.15

4.20

4.25

1.0E+ 00 1.0E- 01 1.0E- 02 1.0E- 03 1.0E- 04 1.0E- 05 1.0E- 06 1.0E- 07 1.0E- 08

thickness

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.2 Shear Locking Test 결과 (등분포 하중/단순 지지)


표 4.4 Convergence Test 결과 (등분포 하중/고정 지지)

mesh SLAB SAP ADINA

2 by 2 0.0000 1.5625 0.0000

4 by 4 1.2114 1.4606 1.2112

6 by 6 1.2396 1.3593 1.2395

8 by 8 1.2508 1.3195 1.2507

10 by 10 1.2561 1.3004 1.2559

12 by 12 1.2589 1.2898 1.2588

14 by 14 1.2607 1.2834 1.2605

16 by 16 1.2618 1.2792 1.2617

18 by 18 1.2626 1.2763 1.2624

deflection

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60


mesh

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.3 Convergence Test 결과 (등분포 하중/고정 지지)


표 4.5 Shear Locking Test 결과 (등분포 하중/고정 지지)


1.0.E+00 * * * 1.0E-12

1.0.E-01 1.3203 * 1.3100 1.0E-09

1.0.E-02 1.2596 1.2900 1.2593 1.0E-06

1.0.E-03 1.2589 1.2900 1.2588 1.0E-03

1.0.E-04 1.2589 1.2898 1.2588 1.0E+00

1.0.E-05 1.2589 1.2898 1.2588 1.0E+03

1.0.E-06 1.2591 1.2898 1.2586 1.0E+06

1.0.E-07 1.2543 1.2898 1.2493 1.0E+09

1.0.E-08 * 1.2900 * 1.0E+12

deflection

1.24

1.26

1.28

1.30

1.32

1.34

1.0E+ 00 1.0E- 01 1.0E- 02 1.0E- 03 1.0E- 04 1.0E- 05 1.0E- 06 1.0E- 07 1.0E- 08

thickness

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.4 Shear Locking Test 결과 (등분포 하중/고정 지지)


표 4.6 Convergence Test 결과 (집중 하중/단순 지지)

mesh SLAB SAP ADINA

2 by 2 12.757 15.161 12.755

4 by 4 11.511 12.694 11.509

6 by 6 11.514 12.152 11.513

8 by 8 11.540 11.937 11.538

10 by 10 11.556 11.829 11.555

12 by 12 11.567 11.767 11.566

14 by 14 11.575 11.728 11.573

16 by 16 11.580 15.763 11.579

18 by 18 11.584 11.682 11.582

deflection

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00


mesh

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.5 Convergence Test 결과 (집중 하중/단순 지지)


표 4.7 Shear Locking Test 결과 (집중 하중/단순 지지)


1.0.E+00 * * * 1.0E-12

1.0.E-01 12.237 * 12.129 1.0E-09

1.0.E-02 11.574 11.770 11.572 1.0E-06

1.0.E-03 11.567 11.800 11.566 1.0E-03

1.0.E-04 11.567 11.767 11.566 1.0E+00

1.0.E-05 11.567 11.767 11.566 1.0E+03

1.0.E-06 11.566 11.767 11.567 1.0E+06

1.0.E-07 11.893 11.770 11.063 1.0E+09

1.0.E-08 * 11.770 * 1.0E+12

deflection

11.05

11.25

11.45

11.65

11.85

12.05

12.25

12.45

1.0E+ 00 1.0E- 01 1.0E- 02 1.0E- 03 1.0E- 04 1.0E- 05 1.0E- 06 1.0E- 07 1.0E- 08

thickness

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.6 Shear Locking Test 결과 (집중 하중/단순 지지)


표 4.8 Convergence Test 결과 (집중 하중/고정 지지)

mesh SLAB SAP ADINA

2 by 2 0.0000 6.2500 0.0000

4 by 4 4.8455 6.4104 4.8450

6 by 6 5.2523 6.0585 5.2518

8 by 8 5.4043 5.8953 5.4037

10 by 10 5.4755 5.8083 5.4748

12 by 12 5.5149 5.7566 5.5142

14 by 14 5.5392 5.7232 5.5385

16 by 16 5.5553 5.7005 5.5546

18 by 18 5.5665 5.6842 5.5659

deflection

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00


mesh

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.7 Convergence Test 결과 (집중 하중/고정 지지)


표 4.9 Shear Locking Test 결과 (집중 하중/고정 지지)


1.0.E+00 * * * 1.0E-12

1.0.E-01 6.0014 * 5.9205 1.0E-09

1.0.E-02 5.5199 5.7570 5.5184 1.0E-06

1.0.E-03 5.5149 5.7570 5.5143 1.0E-03

1.0.E-04 5.5149 5.7566 5.5142 1.0E+00

1.0.E-05 5.5149 5.7566 5.5142 1.0E+03

1.0.E-06 5.5155 5.7566 5.5133 1.0E+06

1.0.E-07 5.4993 5.7566 5.4817 1.0E+09

1.0.E-08 * 5.7570 5.6198 1.0E+12

deflection

5.40

5.50

5.60

5.70

5.80

5.90

6.00

6.10

1.0E+ 00 1.0E- 01 1.0E- 02 1.0E- 03 1.0E- 04 1.0E- 05 1.0E- 06 1.0E- 07 1.0E- 08

thickness

SLAB

SAP

ADINA

theory

그림 4.8 Shear Locking Test 결과 (집중 하중/고정 지지)


4.5 검증 결과

이상의 시험 결과를 요약하면 다음과 같다. 검증 시험 결과 개발된 프로그램과

ADINA 는 거의 일치한 결과를 보임을 알 수 있다. 또한 convergence 에 대해서는 개발

된 프로그램이 SAP 보다 양호한 결과를 보이고 있는 반면 shear locking 에 대해서는

SAP 이 개발된 프로그램보다 좀 더 양호한 결과를 보이고 있다. 그러나 이론값과의

오차를 따져보면 개발된 프로그램의 결과가 SAP 의 결과에 비해 이론값에 더욱 가까

우므로 전반적으로 개발된 프로그램이 SAP에 비해 양호하다는 결론을 내릴 수 있다.

제 5 장 예제 및 고찰 67

제 5장 예제 및 고찰

5.1 예제 구조물의 모델링

주식회사 경동기술공사에서 설계된 바 있는 슬래브 교량 ‘죽계교’를 예제 구조물로

선택하여 개발된 프로그램의 해석 결과를 보이고자 한다. 죽계교의 제원, 사용된 재료

속성, 하중 조건 등이 표 5.1 및 표 5.2 및 표 5.3에 각각 제시되어 있다.

표 5.1 예제 구조물(죽계교)의 제원

교폭 11.5 미터

교장 28 미터

연석 폭 0.75 미터

사각 105 도

교량 형식 2 경간 연속교

표 5.2 예제 구조물(죽계교)의 재료 속성

단위중량(t/m3) 탄성계수(t/m2) 포아송비 두께(m) 열팽창 계수

연석부 2.5 2300000 0.17 1.00 0.000012

도로부 2.5 2300000 0.17 0.75 0.000012

표 5.3 예제 구조물(죽계교)의 하중 조건

하중 형태 재하 위치 Load Factors

자중 연석부 및 도로부 load case 1 아스콘에 의한 분포하중

(0.184 t/m2) 도로부 1.3

load case 2 상하 온도차 (5 도) 연석부 및 도로부 1.25

load case 3 지점 침하 (하향 5cm) 중앙 교각부

트럭 하중 DB-24 차선 (교량 중앙선) 2.7477 2.15×(1+0.278)

load combination 1.3×load case 1 + 1.25×load case 2+ 2.7477×트럭 하중


그림 5.1 은 표 5.1, 표 5.2, 표 5.3 에 제시된 입력 조건에 따른 모델링이 전처리

상에서 그래픽으로 구현된 것을 나타낸다.

그림 5.1 예제 구조물(죽계교)의 입력 모델링


5.2 예제 구조물의 해석 결과 및 SAP 과의 결과 비교

이상의 모델링을 기초로, 본 연구를 통해 개발된 프로그램과 SAP 에 대해 각각 해

석을 수행해 보았다. 결과의 해석은 표 5.3에서 정의된 load cases와 하중 조합에 따라

이루어졌다. 그림 5.2 ∼ 그림 5.8 은 그러한 해석 결과값 중 변위 Uz(처짐)와 휨 모멘

트 Mxx를 load cases 및 하중 조합별로 비교한 그래프이다.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-6.0E-3

-5.0E-3

-4.0E-3

-3.0E-3

-2.0E-3

-1.0E-3

0.0E+0

1.0E-3(m)

Uz (SLAB)

Uz (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-8.0E+1

-6.0E+1

-4.0E+1

-2.0E+1

0.0E+0

2.0E+1

4.0E+1

6.0E+1

8.0E+1

1.0E+2(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx (SAP2000)

그림 5.2 load case 1 에 대한 처짐 및 휨 모멘트


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-6.0E-4

-4.0E-4

-2.0E-4

0.0E+0

2.0E-4

4.0E-4

6.0E-4

8.0E-4

1.0E-3(m)

Uz (SLAB)

Uz (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-2.5E+1

-2.0E+1

-1.5E+1

-1.0E+1

-5.0E+0

0.0E+0

5.0E+0(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx (SAP2000)



0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-6.0E-2

-5.0E-2

-4.0E-2

-3.0E-2

-2.0E-2

-1.0E-2

0.0E+0

1.0E-2(m)

Uz (SLAB)

Uz (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.6E+2

-1.4E+2

-1.2E+2

-1.0E+2

-8.0E+1

-6.0E+1

-4.0E+1

-2.0E+1

0.0E+0

2.0E+1(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx (SAP2000)



0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

0.0E+0

1.0E-4

2.0E-4

3.0E-4

4.0E-4

5.0E-4

6.0E-4

7.0E-4(m)

Uz (SLAB)

Uz,max (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

0.0E+0

1.0E+0

2.0E+0

3.0E+0

4.0E+0

5.0E+0

6.0E+0

7.0E+0

8.0E+0(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx,max (SAP2000)

그림 5.5 트럭 하중에 대한 처짐 및 휨 모멘트의 maximum 포락면


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.4E-3

-1.2E-3

-1.0E-3

-8.0E-4

-6.0E-4

-4.0E-4

-2.0E-4

0.0E+0(m)

Uz (SLAB)

Uz,min (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.2E+1

-1.0E+1

-8.0E+0

-6.0E+0

-4.0E+0

-2.0E+0

0.0E+0(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx,min (SAP2000)

그림 5.6 트럭 하중에 대한 처짐 및 휨 모멘트의 minimum 포락면


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-6.0E-3

-5.0E-3

-4.0E-3

-3.0E-3

-2.0E-3

-1.0E-3

0.0E+0

1.0E-3(m)

Uz (SLAB)

Uz,max (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.0E+2

-5.0E+1

0.0E+0

5.0E+1

1.0E+2

1.5E+2(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx,max (SAP2000)

그림 5.7 load combination 에 대한 처짐 및 휨 모멘트의 maximum 포락면


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.0E-2

-8.0E-3

-6.0E-3

-4.0E-3

-2.0E-3

0.0E+0

2.0E-3(m)

Uz (SLAB)

Uz,min (SAP2000)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220Node #

-1.5E+2

-1.0E+2

-5.0E+1

0.0E+0

5.0E+1

1.0E+2(ton-m/m)

Mxx (SLAB)

Mxx,min (SAP2000)

그림 5.8 load combination 에 대한 처짐 및 휨 모멘트의 minimum 포락면


그래프에서도 알 수 있듯이 변위 Uz 에 대해서는 두 프로그램이 거의 일치하는 결

과를 보이고 휨 모멘트 Mxx 에 대해서는 지점부에서 약간의 차이를 보인다. 휨 모멘

트에 대해서 약간의 차이를 보이는 이유는 두 프로그램 간에 stress recovery 방법 및

외삽(extrapolation) 방법에 차이가 있기 때문이다. 경간 중앙부에서는 휨 모멘트에 대

해서도 거의 일치하는 결과를 보이고 있으며 특히 트럭 하중인 DB-24 에 의한 최대

및 최소 결과값이 거의 일치하고 있어서 개발된 프로그램의 활하중에 대한 포락면 출

력 알고리즘이 무리없이 적용될 수 있다는 결론을 내릴 수 있다.

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[1] Bathe, Klaus-Jurgen, Finite Element Procedure, Prentice-Hall Inc, 1996.

[2] Cook, Robert D., Finite Element Modeling for Stress Analysis, John Wiley&Sons Inc, 1994.

[3] Donea, J. and Lamin, L.G., "A Modified Representation of Transverse Shear in C0

Quadrilateral Plate Elements", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 63,

1987, pp.183-207.

[4] Szilard, Rudolph, Theory and Analysis of Plates-Classical and Numerical Methods, Prentice-

Hall Inc., 1974.

[5] Young, Warren C., Roark’s Formulas for Stress and Strain, McGrawhill Inc., 1989.

[6] ��, ��, ��, 1995

Appendix : Program User Manual 80

Appendix : Program User Manual

A.1 Coordinate System

슬래브 교량의 형태에 따라 좌표계는 그림 A.1, 그림 A.2, 그림 A.3 처럼 정의된다.

Z축은 하늘 방향을 가리키는 쪽이 + 방향이다.

그림 A.1 직교의 좌표계 정의

그림 A.2 사교의 좌표계 정의

그림 A.3 곡선교의 좌표계 정의

X

Y

X

Y

X

Y


A.2 변위 및 재하 하중의 Sign Convention

절점당 자유도가 3 인 평판 요소에서 절점의 변위를 자유도에 따라 Uz, Rx, Ry 로

규정하였고 그 부호와 방향은 그림 A.4 에 따른다. 재하 하중의 부호 및 방향도 그림

A.4의 규약에 근거한다.

그림 A.4 변위 및 재하 하중의 Sign Convention

X

Y

Z

Uz, Fz

Ry, My

Rx, Mx

X

Y

Z

Uz, Fz

Ry, My

Rx, Mx


A.3 결과력의 Sign Convention[2]

평판 요소에서의 해석 결과력은 Mxx, Myy, Mxy, Vxz, Vyz 등으로 구성된다. Mxx는

X 축 방향의 응력을 유발시키는 휨모멘트, Myy 는 Y 축 방향의 응력을 유발시키는 휨

모멘트, Mxy 는 비틀림, Vxz 는 X 축에 수직인 평면 상에서 Z 축 방향으로의 전단력,

Vyz 는 Y 축에 수직인 평면 상에서 Z 축 방향으로의 전단력을 각각 뜻하며 모두 단위

길이당 값을 갖는다.

결과력들의 부호 및 방향은 그림 A.5의 규정을 따른다.

그림 A.5 결과력의 Sign Convention

Mxx

Mxx

Mxy

Mxy

Myy

Myy

Vxz

Vxz

Vyz

Vyz

MxyMxy

X

Y


A.4 Main Menu Bar

Main Menu Bar의 구성 및 기능은 표 A.1과 같다.

표 A.1 Main Menu Bar 의 구성 및 기능

New 새로운 모델링 시작

Open 기존의 파일(확장명 slb)로 저장된 모델링 호출

Save 모델링을 파일(확장명 slb)로 저장

Save As 모델링을 새로운 이름의 파일로 저장

Save Graphics To Bitmaps 스크린의 그래픽을 비트맵 파일로 저장

Save Text To Text Files 텍스트 폼의 문자열을 텍스트 파일로 저장

File

Exit 프로그램 종료

Longitudinal 길이 방향 그리드 라인 편집 박스 호출 Manual Generation

Transverse 횡단 방향 그리드 라인 편집 박스 호출

Snap Off 절점 생성시 그리드 포인트 상에서의 Snapping 여부 결정

Grid

Hide Grid 그리드 라인의 스크린 출력 여부 결정

Key 절점 편집 박스 호출 Manual Generation

Mouse 절점 생성 시 마우스 방식 선택

Modify 선택된 절점의 좌표 내지 절점 아이디 수정 Node

Delete 선택된 절점의 삭제

Restraint 구속 조건 / 탄성 지점 입력 박스 호출 → 선택된 절점에 구속 조건 / 탄성 지점 부여 Define Properties 요소 속성 편집 박스 호출 → 요소 속성 정의

Assign Properties 요소 속성 입력 박스 호출 → 선택된 요소에 속성 부여

Manual Generation 마우스 방식의 요소 생성

Automatic Generation 선택한 그리드 영역 내에서의 절점 및 요소 자동 생성

Element

Delete 선택된 요소 삭제


표 A.1 Main Menu Bar 의 구성 및 기능 (continued)

Joint Load 절점 하중 입력 박스 호출 Joint

Settlement 침하량 입력 박스 호출

Distributed Load 분포 하중 입력 박스 호출

Concentrated Load 요소 내 집중 하중 입력 박스 호출 Element

Temperature 상부 하부 온도차 입력 박스 호출

Arbitrary Point Load 임의의 좌표 값을 가진 포인트 하중 입력 Load Cases / Load Combinations 하중 조합 입력 박스 호출 – 하중 조합 정의 및 편집

Load

Edit Live Loads and Lanes DB/DL 정의 박스 및 차선 입력 박스 호출

Check Only 모델링 체크 박스 호출 – 모델링 체크 Analysis

Run 유한 요소 해석 시작

Non-Scale 실제 축척과 무관하게 그래픽 출력 Scale

Real-Scale 실제 축척에 맞추어 그래픽 출력

Zooming 그래픽의 일부 영역 확대 출력 Zoom

Restore Full View 그래픽의 확대 출력 해지

3D-View Control 그래픽 조건 선택 박스 호출(3D-View Control Box)

Font Control 윈도우 내장 폰트 조절 박스 호출 → 스크린의 폰트 조절

Input Input 모델링 출력

Output Output 상태에서 출력 조건/출력 결과 선택 박스 호출

Graphic View

Refresh View 그래픽을 갱신

Graphics 그래픽을 인쇄기로 출력 Print

Text 텍스트 폼의 문자열을 인쇄기로 출력

Horizontal 윈도우 폼들을 수평 배치

Vertical 윈도우 폼들을 수직 배치 Window

Cascade 윈도우 폼들을 계단식으로 배치


A.5 Tool Bar Buttons

Tool Bar Buttons의 종류 및 각각의 기능이 표 A.2에 정리되어 있다.

표 A.2 Tool Bar Buttons 의 종류 및 기능

Tool Bar Buttons 기 능

새로운 모델링 시작

기존의 파일(확장명 .slb)로 저장된 모델링 호출

절점 및 요소를 한개 씩 선택하는 상태

여러 개의 절점 및 요소를 일시에 선택 하는 상태

절점 생성 시 마우스 방식 선택

마우스 방식의 요소 생성

선택한 그리드 영역 내에서의 절점 및 요소 자동 생성

구속 조건/ 탄성 지점 입력 박스 호출 선택된 절점에 구속 조건/ 탄성 지점 부여

요소 속성 입력 박스 호출 선택된 요소에 속성 부여

절점하중 입력 박스 호출

침하량 입력 박스 호출

분포하중 입력 박스 호출

요소 내 집중하중 입력 박스 호출

상부 하부 온도차 입력 박스 호출


표 A.2 Tool Bar Buttons 의 종류 및 기능 (continued)

Tool Bar Buttons 기 능

포스트 프로세서 상태에서 출력조건/출력결과 선택 박스 호출

텍스트 폼 열기

output 상태를 종료하고 input 상태로 되돌아가기


A.6 교각의 개수 및 위치 입력

그림 3.1의 슬래브 교의 기본 데이터 입력 박스 중 step2의 "The Number of Piers"는

양단 교대를 제외한 교각의 개수를 말한다. 또한 UD, LD 는 교각의 위치를 나타내는

변수 명으로서 그 예가 그림 A.6 에 제시되어 있다. 곡선교의 경우 UD, LD 는 길이가

아닌 각(Degree)으로 정의된다.

그림 A.6 교각의 UD, LD 의 정의

pier 1 pier 2

2

34

5

pier 1 : UD=2, LD=4

pier 2 : UD=5, LD=3


A.7 베어링의 위치 입력

그림 3.1 의 슬래브 교의 기본 데이터 입력 박스 중 step3 의 "The Number of

Bearings"는 선택된 교대 선 내지 교각 선 상에 위치하는 베어링의 개수를 뜻한다. 그

리고 그 아래의 "Default" 버튼은 모든 교대 및 교각의 베어링 수가 동일할 때 이용하

는 것으로서 예를 들어 10 을 선택한 후 "Default" 버튼을 누르면 모든 교대와 모든 교

각에 10개의 베어링이 배치된다.

"The Value of D(i)'s" 에서 D(i)는 베어링간의 간격을 이르는 말로써 그 예가 그림

A.7 에 제시되어 있다. 그 아래의 "Default" 버튼은 베어링이 등간격으로 배치되었을

경우 이용하는 것으로서 예를 들어 선택한 교대 내지 교각에서의 베어링 수가 10 일

때 D(i) 에 2 미터를 입력한 후 "Default" 버튼을 누르면 교대 내지 교각 양쪽의 2 미터

를 제외한 나머지 공간에 10개의 베어링이 등간격으로 배치된다.

"Quick Position"은 모든 교대 및 교각의 베어링 수가 동일하고 동시에 모든 베어링

이 등간격으로 배치되어 있을 경우 이용하는 것으로서 그 실례가 그림 A.8 에 제시되

어 있다.


그림 A.7 베어링의 D(i)의 정의

그림 A.8 베어링의 Quick Position 의 예

1.11.21.3

1.11.2

1.3pier line

pier line

직교 및 사교 곡선교

D(1)=1.1D(2)=1.2D(3)=1.3

2

2

The Number of Bearings = 5 The Value of D(i)’s = 2


A.8 그리드 라인의 Quick Generation

그림 3.3에서 "Start Grid #"는 Quick Generation이 시작되는 그리드의 번호이고 "End

Grid #"는 Quick Generation 이 끝나는 그리드의 번호이다. 또한 "Division Number per

intergrid"는 그리드와 그리드 사이를 몇 등분할 것인가를 나타내는 숫자이다. 예를 들

어 Start Grid #가 3 이고 End Grid #가 6 이고 Division Number per intergrid가 4이면 3번

그리드와 4 번 그리드 사이가 4 등분되면서 3 개의 그리드 라인이 그 사이에 생성된다.

마찬가지로 4 번과 5 번 사이가 4 등분되면서 3 개의 그리드 라인이 그 사이에 생성된

다. 5번과 6번 사이도 마찬가지다.


A.9 절점의 Quadratic Generation

그림 3.4 에서 "Quadratic Generation" 은 수 개의 절점들을 일정한 규칙으로 일시에

생성시키는 것으로서 그 실례가 그림 A.9에 제시되어 있다.

그림 A.9 절점의 Quadratic Generation 의 예

(1,3)

1.5

2.5

Starting X-coordinate = 1 Increments = 2.5 Generating Numbers = 6 Starting Y-coordinate = 3 Increments = 1.5 Generating Numbers = 5


A.10 슬래브 교의 제원

본 프로그램에서 규정한 슬래브 교의 제원은 그림 A.10 과 같다. 그리고 그림 3.1

의 슬래브 교의 기본 데이터 입력 박스 중 step1 의 Curb(1), Curb(2), SideWalk(1),

SideWalk(2), Median, Overhang(1), Overhang(2)는 각각 우측 연석, 좌측 연석, 우측 보도,

좌측 보도, 중앙분리대, 교량 좌측 단의 오버행어, 교량 우측 단의 오버행어를 나타내

며 옆의 텍스트 박스엔 각각의 폭을 입력한다.

그림 A.10 슬래브 교의 제원 규정

Central Angle

Radius of Curvatre

[곡선교]

Width Skew Angle

Length

[직교 및 사교]

Width

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