书书书

高等师范院校数学基础课教材

数 学 分 析

!上册"

叶淼林!

主编

中国科学技术大学出版社

内 容 简 介

#数学分析$是数学专业的基础课%本书是根据安徽省师范院校数学专业学生的

基础情况&教学背景等因素量身打造的数学专业课教材之一!

教材内容是由讲授此课

程多年的老师经过多次讨论商定而成的%其中包括一元微积分学&多元微积分学&级

数理论等基础内容%分上下两册!

适合师范院校数学专业本科生使用%也可供各高校

数学系教师参考!

!

图书在版编目!

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数学分析'上册(叶淼林主编!

)合肥'中国科学技术大学出版社%

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数学分析)师范大学)教材!$

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中国版本图书馆0&1

数据核字!

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"第".23+*

号

出版!

中国科学技术大学出版社

安徽省合肥市金寨路*2

号%

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网址'

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6

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6

7899!:95;!8<:!;=

印刷!

合肥学苑印务有限公司

发行!

中国科学技术大学出版社

经销!

全国新华书店

开本!

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印张!

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字数!

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千

版次!

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年$

月第$

版

印次!

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年$

月第$

次印刷

定价!

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元

#数 学 分 析$

编!

委!

会

主!

编!

叶淼林

副主编!

宋寿白!

侯为波!

姚云飞

参!

编!

胡学平!

余桂东!

张!

海

杨!

翠!

马宗立!

汪志华

陈素根!

高等师范院校数学专业教材

编!

委!

会

主!

编!

祝东进

副主编!

!按姓氏笔画排序"

王信松!

叶淼林!

姚云飞

编!

委!

!按姓氏笔画排序"

王先超!

张节松!

周其生

胡万宝!

侯为波!

唐小峰

郭明乐!

黄旭东

前!!

言

#数学分析$是数学专业的一门主干基础课%这门课程的教学效果直接影响许

多后续课程的学习!

一本适当的教材是学好这门课程的条件之一%所以%我们特地

组织安徽师范大学&淮北师范大学&安庆师范学院&阜阳师范学院@

所师范院校共

同编写了一套适合普通师范院校数学专业的专业课程教材%本书是其中之一!

本书

同时是安徽省高等学校#十一五$省级规划教材!

本书考虑到现在中学数学教学内容中含有微积分的内容%所以对一元微积分

中的计算部分写得较简洁%主要强调基本概念&基本方法%只用常规手段&#大道$处

理问题%很少介绍#小技巧$

!

本书还沿用申报省规划教材时安徽大学蒋威教授的观

点'只写数学分析的经典内容%不越雷池一步%只适用于普通院校%调子不要高%但

语言要精确!

本书在实数基本理论&可积性等方面对学生提出了较高的要求!

本书是集体编写&共同审阅的成果!

参与编写和审阅的人员有'叶淼林&宋寿

白&侯为波&姚云飞&胡学平&余桂东&张海&杨翠&马宗立&汪志华&陈素根等!

全书由

叶淼林负责统稿!

非常感谢中国科学技术大学出版社编辑的热情工作%没有他们%这本教材可能

还要好长时间才能面世!

编!

者

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年,

月

书书书

目!!

录

前言 !

!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第!

章!

实数与数列极限 !

!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!"!

!

实数与数轴 !

!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!"#

!

数列与收敛数列 !

$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!"%

!

数列极限的性质和运算 !

&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!"$

!

数列极限存在的条件 !

!%

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!"'

!

实数基本定理 !

!(

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!")

!

无穷大量和斯笃兹定理 !

#$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

数学家小传 !

#*

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第"

章!

函数极限与连续 !

%+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

#"!

!

函数 !

%+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

#"#

!

函数极限 !

%'

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

#"%

!

无穷小量和无穷大量阶的比较 !

$'

"

!!!!!!!!!!!!!!!

!

#"$

!

连续函数 !

$&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

#"'

!

函数的间断点 !

'%

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

#")

!

闭区间上连续函数的性质 !

''

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

数学家小传 !

'(

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第#

章!

导数与微分 !

)#

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

%"!

!

导数的概念 !

)#

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

%"#

!

求导法则 !

)*

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

%"%

!

高阶导数 !

*$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

%"$

!

微分及其应用 !

*&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第$

章!

微分中值定理及其应用 !

&'

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$"!

!

微分中值定理 !

&'

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$"#

!

洛比达法则及应用 !

(%

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$"%

!

泰勒公式及应用 !

(&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$"$

!

函数的单调性与极值 !

!+'

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$"'

!

函数的凸性与拐点 !

!!!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

$")

!

函数作图 !

!!&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

数学家小传 !

!#+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第%

章!

不定积分 !

!#$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

'"!

!

不定积分概念与基本积分公式 !

!#$

"

!!!!!!!!!!!!!!!

!

'"#

!

换元积分法和分部积分法 !

!%+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

'"%

!

几种特殊类型函数的不定积分 !

!%&

"

!!!!!!!!!!!!!!!

第&

章!

定积分 !

!$$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)"!

!

定积分概念 !

!$$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)"#

!

牛顿,

莱布尼兹公式 !

!$(

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)-%

!

可积条件 !

!'!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)-$

!

定积分的性质 !

!'&

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)-'

!

微积分学基本定理#定积分计算 !

!)$

"

!!!!!!!!!!!!!!

!

)")

!

定积分的应用 !

!*'

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)"*

!

反常积分 !

!&*

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

数学家小传 !

!((

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第'

章!

数项级数 !

#+!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

*"!

!

数项级数的收敛性 !

#+!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

*"#

!

正项级数 !

#+(

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

*"%

!

一般项级数 !

##%

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第(

章!

函数列与函数项级数 !

#%+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

&"!

!

函数列的一致收敛性 !

#%+

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

&"#

!

函数项级数 !

#%(

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第)

章!

幂级数 !

#'!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

("!

!

幂级数 !

#'!

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

("#

!

函数的幂级数展开 !

#')

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

第!*

章!

傅里叶级数 !

#)$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!+"!

!

傅里叶级数 !

#)$

"

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

!+"#

!

傅里叶级数的性质及收敛定理的证明 !

#*)

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数学家小传 !

#&#

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参考文献 !

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"

数 学 分 析

书书书

第!

章!

实数与数列极限

本章在承认实数连续性的基础上!叙述实数连续性的基本定理!给出数列极限

的收敛概念与收敛判定定理!

!"!

!

实数与数轴

!"!"!

!

实数与数轴

!!

我们在中学已经知道实数由有理数和无理数两部分组成!

有理数能用分数"

#

"

#

"

!

!

#

!

"

为整数#表示!也可以用无限十进循环小数来表示"有限小数看成是从

某位开始全为零的无限循环小数#

!

称无限十进不循环小数为无理数!也就是不能

表示成分数"

#

"

#

"

!

!

#

!

"

为整数#的实数!

这样!所有的无限十进小数构成了全体

实数!这正是我们的出发点!

下面!我们将全体实数构成的集合记为"

!自然数集记

为#!

实数有如下一些主要性质$

"

"

#实数集"

对加%减%乘%除"除数不为!

#四则运算是封闭的!即任意两个实

数经加%减%乘%除"除数不为!

#运算后结果为实数!

"

#

#实数集是有序的!即任意两个实数$

%

%

恰满足下述三个关系之一$

$

#

%

!

$$%

!

$

$

%!

"

%

#实数的大小关系具有传递性!即若$

$

%

!

%

$

&

!则有$

$

&!

"

&

#实数具有阿基米德"

'()*+,-.-/

#性!即对任何%

$

$

$

!

!有正整数'

!使

得'$

$

%!

"

0

#实数集"

具有稠密性!即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数!且

既有有理数!也有无理数!

数轴是表示实数的一种几何方法!数轴能形象地表示实数间的关系或某些

运算!

我们在平面上画一条水平有向直线!方向向右!

任意在直线上选定一点记为

(

!称它为原点!

再在原点的右方直线上取定一点!把(

到这一点的距离定为单位

长度!这一点用数"

来表示!这样(

点右边的点表示的数就是用单位长度去度量

得到的它到原点的距离&左边的点表示的数就是用单位长度去度量得到的它到原

点距离的相反数&

(

点表示!!

表示点的数称为此点的坐标!

这样把实数的全体同

这条直线上的点建立了一一对应的关系!这条直线就称为数轴!

例!$!

若正整数'

不是完全平方数!则槡'是无理数!

证明$反证!

假设槡'$

#

"

"

#

"

为既约分数#!由于'

不是完全平方数!故有

)

%

#

使得)

#

#

"

#

)1"

!这样就有!

#

#

2)

"

#

"

!

由#

#

$'

"

#两端减去)

#"

得到#

#

2)

#"

$'

"

#

2)

#"

!这等价于

#

"

*

'

"

+

)

#

#

+

)

"

!

由!

#

#

2)

"

#

"

知与#

"

为既约分数矛盾!

实数,

的绝对值就是该点到原点的距离!记为, !

当,

"

!

时!绝对值为

,

的点有两个!即,

与2,!

若-

$

!

!则$

#

-

&

2-

#

$

#

-

!

$

'

-

&

2-

'

$

'

-!

点,

与.

间的距离为,2

.

!

例!$%

证明对于任何$

!

%

%

"

有如下三角形不等式$

$

+

%

'

$

/

%

'

$

0

% !

!!

证明$由绝对值的定义我们有2 $

'

$

'

$

!

2 %

'

%

'

% !

两式相加

即得到2

"

$ 1 %

#

'

$1%

'

$ 1 %

即

$

0

%

'

$

0

% !

"

"3"

#

这里的%

换成2%

即得$2%

'

$ 1 % !

这就证明了右边的不等式!

又据

"

"3"

#式知$ $ $2%1%

'

$2% 1 %

即

$

+

%

'

$

+

% !

"

"3#

#

将"

"3#

#式中的%

换成2%

即得$ 2 %

'

$1% !

!"!"#

!

区间与邻域

设$

!

%

%

"

!且$

#

%!

我们先介绍区间的概念及其记号$

开区间$"

$

!

%

#

$

'

, $

#

,

#

%

!

,

%

"

(&

!

数 学 分 析

闭区间$)

$

!

%

*

$

'

, $

'

,

'

%

!

,

%

"

(&

半开半闭区间$"

$

!

%

*

$

'

, $

#

,

'

%

!

,

%

"

(!

)

$

!

%

#

$

'

, $

'

,

#

%

!

,

%

"

(

!

无穷区间$"

2

!

!

1

4

#

$"

!

"

2

4

!

%

#

$

'

, ,

#

%

!

,

%

"

(!

"

2

4

!

%

*

$

'

, ,

'

%

!

,

%

"

(!

"

$

!

1

4

#

$

'

, $

#

,

!

,

%

"

(!

)

$

!

1

4

#

$

'

, $

'

,

!

,

%

"

(

!

这里+

4

,读作+无穷大,!+

2

4

,读作+负无穷大,

!

上述各种有限区间%无限区

间统称为区间!

设$

%

"

!

!$

!

!我们称数集'

, ,2$

#!

!

,

%

"

(为点$

的!

邻域!记作

1

"

$

&

!

#或简记为1

"

$

#!称数集'

, !

#

,2$

#!

!

,

%

"

(为点$

的空心!

邻

域!记作15

"

$

&

!

#或简记为15

"

$

#

!

此外还有单侧邻域和4

邻域的概念与记号$

点$

的!

右邻域1

1

"

$

&

!

#

$

)

$

!

$1

!

#!简记为1

1

"

$

#&

点$

的!

左邻域1

2

"

$

&

!

#

$

"

$2

!

!

$

*!简记为1

2

"

$

#&

点$

的空心!

右邻域15

1

"

$

&

!

#

$

"

$

!

$1

!

#!简记为15

1

"

$

#&

点$

的空心!

左邻域15

2

"

$

&

!

#

$

"

$2

!

!

$

#!简记为15

2

"

$

#&

4

邻域1

"

4

#

$

'

, ,

$

2

(!其中2

为充分大的正数&

1

4

邻域1

"

1

4

#

$

'

, ,

$

2

(!其中2

为充分大的正数&

2

4

邻域1

"

2

4

#

$

'

, ,

#

22

(!其中2

为充分大的正数!

习!!

题

"3

回答下列问题!

"

"

#实数和直线有什么关系$

"

#

#

!!"!"!!"!!!"

%是有理数还是无理数$

"

%

#两个无理数之和是否还是无理数$ 一个有理数与一个无理数的和是有理

数还是无理数$ 一个有理数与一个无理数的乘积是有理数还是无理数$

"

&

#什么叫实数的稠密性和连续性$

#!

对于'

(

"

&证明下列结论!

"

"

#

"

"

'

#

1

"

#

'

%

1

%

1

"

'

"

'2"

#

#

"

(

"

#

#

"

'1"

1

"

'1#

1

%

1

"

#'

#

"

#

(

"

%

#

"

%

'

#

#

"1#1%1

%

1'

#

"

#

"

'1"

#

#

(

"

第"

章!

实数与数列极限

"

&

#

"1

"

#

1

%

1

"

" #

'

#

#

#'

"试用数学归纳法#

!

%!

"

"

#证明对于任意$

$

!

&有$1

"

$

(

#

&且等号当且仅当$$"

时成立!

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#

#证明对于'$#

&

%

&%及"1-

$

!

&有'

"1槡 -

'

"1

-

'

&且等号当且仅当

-$!

时成立!

&!

证明对任何,

%

"

&有!

"

"

#

,2" 1 ,2#

(

"

(

"

#

#

,2" 1 ,2# 1 ,2%

(

#!

0!

在数轴上画出下列数集所表示的区间!

"

"

#

,

)

"

,2#

#"

,2%

#

#

' (

!

(

"

#

#

,

)

,

%

1,

(

' (

"

(

"

%

#

,

)

#

,2#

#

' (

0

(

"

&

#

,

)

,

#

2"6

#

!

&

,

#

2#,

(

' (

!

(

"

0

#

1

"

%

(

" #

"

#

(

"

6

#

15

"

0

(

%

#

!

!"#

!

数列与收敛数列

数列就是无穷个数排成的一个序列!

例如$

"

!

#

!

%

!-!

'

!-&

"

!

"

#

#

!

"

%

#

!-!

"

'

#

!-&

"

!

+

"

!

"

!

+

"

!-!"

+

"

#

'

+

"

!-

!

都是数列!

数列的一般表示是

$

"

!

$

#

!

$

%

!-!

$

'

!-!

其中!

$

'

中的下标'

指明了这一项在数列中的位置!$

'

称为数列的第'

项!也称

为数列的通项!

通项为$

'

的数列可简记为$

' (

'

!

数列中我们最关心的是收敛数

列!

在中学我们已学过收敛数列的定义并且会求一些简单的数列极限!

下面我们给

出数列极限的+

"

34

,定义!它由大数学家柯西"

789)*

:

#给出!

定义!&!

设$

' (

'

是一个数列!

$

是一个实数!

如果对于任意给定的"$

!

!存

#

数 学 分 析

在一个4

%

#

"自然数集#!使得当'

$

4

时恒有

$

'

+

$

#

"

!

就说数列$

' (

'

"当'

趋于无穷大时#以$

为极限!记成

;+,

'

*

4

$

'

*

$

!

也可记为$

'

*

$ '

*4

" #

!

我们也说数列$

' (

'

收敛于$!

存在极限的数列称为收敛

数列!

若$

' (

'

没有极限!则称$

' (

'

不收敛!或称$

' (

'

为发散数列!

例!$'

!

证明;+,

'

*4

'

%'1"

$

"

%

!

证明$任意给定"$

!

!要 '

%'1"

2

"

%

#"

!只要 "

%%'

" #

1"

#"

!这只要%'1"

$

"

%

"

!只要'

$

"

<

"

!

于是可取4$

"

<

"

"以后我们用,

表示不小于,

的最小整数!用,

表示不大

于,

的最大整数#!当'

$

4

时!恒有 '

%'1"

2

"

%

#"

!

因此;+,

'

*4

'

%'1"

$

"

%

!

例!$(

证明;+,

'

*4

"

'

$!

!

"

#

"!

证明$任意给定"$

!

!要"

'

2! $

"

'

#"

!即要';

= "

#

;

=

"

;

= "

#

" #

!

!即'

$

;

=

"

;

= "

!

取4$,8>"

!

;

=

"

;

= "

' (

!则当'

$

4

时恒有"

'

2!

#"

!

因此;+,

'

*4

"

'

$!

"

#

" #

" !

例!$)

!

设$

$

"

!证明;+,

'

*4

'

槡$$"!

证明$令'

槡$$"1

.

'

!则.

'

$

!

"

'$"

!

#

!-#

!

应用二项式定理!有

$

*

"

0

.

" #

'

'

*

"

0

'

.

'

0

'

"

'

+

"

#

#

.

#

'

0

-

0

.

'

'

$

"

0

'

.

'

!

于是 '

槡$2"

$

.

'

#

$2"

'

!

这样!任意"$

!

!取4$

$2"

"

!当'

$

4

时!恒有 '

槡$2"

#

$2"

'

#"

!

因此;+,

'

*4

'

槡$$"!

$

第"

章!

实数与数列极限

例!$*

证明;+,

'

*4

'

槡'$"!

证明$因若$

"

!

$

#

!-!

$

'

$

!

!则'

$

"

$

#

-

$槡 '

'

$

"

1$

#

1

-

1$

'

'

!故当

'

(

"

时!

"

'

'

槡'

+

,

*

"

.

"

.

-

.

-. /

"

'

+

#

个

.槡'.槡

0

1

'

"

'

'

'

+

#

0

#槡''

#

"

0

#

槡'!

即有 '

槡'2"

#

#

槡'!

于是!任意给定"$

!

!要 '

槡'2"

#"

!只要 #

槡'#"

!即'

$

&

"

#

!

我们取4$

&

"

#

!则当'

$

4

时!恒有 '

槡'2"

#

#

槡'#"

!

故;+,

'

*4

'

槡'$"!

同理可证!

2

5

%

#

1

!有;+,

'

*4

'

'槡 5

$"!

关于极限定义!有以下几点需要强调$

"

"

#

"

的任意性!

定义"3"

中的正数"

是度量$

'

与$

接近程度的一个量!

"

可

以任意的小!表示$

'

与$

可以任意的接近!

对于小的"

有$

'

2$

#"

!对于大的

"

!自然更能满足!

故我们有时只要求任意"%

!

!

" #

"

有4

%

#

!使得当'

$

4

时!

$

'

2$

#"

!或者对某个小正数6

!任意"%

!

!

" #

6

!存在4

%

#

!当'

$

4

时恒有

$

'

2$

#"

!

"

是任意给定的!一旦给定了就按给定的"

找4

!只要任给一个"

!都

能给出相应的4

即可!

另外定义中的+

$

'

2$

#"

,改为+

$

'

2$

#

5

"

,或

$

'

2$

#"

#或$

'

2$

#

槡"

后与原定义等价!

"

#

#

4

的存在性!

任意给定"$

!

!要找一个4

!使得'

$

4

时恒有$

'

2$

#

"

!这里强调的是4

的存在性!

存在一个4

!那么41"

!

41#

!-自然都满足!我们

只要找到一个即可!不需要找最小的4

!定义中的+

'

$

4

,自然可改为+

'

(

4

,

!

"

%

#从几何上看!

当'

$

4

时!

$

'

2$

#"

!即当'

$

4

时!

$

'

%

1 $

&

" #

"

!也

就是说仅仅只有$

"

!

$

#

!-!

$

4

可能不在1 $

&

" #

"

中!于是定义"3"

可等价定义

如下$

定义!$!%

!

任意给定"$

!

!数列$

' (

'

中至多只有有限项不在1 $

&

" #

"

中!则

称$

' (

'

以$

为极限!

由此定义即知!若存在某个"

!

$

!

!使得$

' (

'

中有无穷多项落在1

"

$

&

"

#之外!

则$

' (

'

一定不以$

为极限!

&

数 学 分 析

例!$+

证明若;+,

'

*4

$

'

$$

!则;+,

'

*4

$

"

1$

#

1

-

1$

'

'

$$!

证明$任意给定"$

!

!要 $

"

1$

#

1

-

1$

'

'

2$

#"

!即要

$

"

+

$

0

$

#

+

$

0

-

0

$

'

+

$

'

#

"

!

而

$

"

+

$

0

$

#

+

$

0

-

0

$

'

+

$

'

'

3

'

7

*

"

$

7

+

$

'

!

因;+,

'

*

4

$

'

*

$

!故存在正整数4

"

!使得当'

$

4

"

时!

$

'

+

$

#

"

#

!

而

3

4

"

7

*

"

$

7

+

$

是一个固定非负实数!故存在4

#

$

4

"

!使得

3

4

"

7

*

"

$

7

+

$

4

#

#

"

#

!

这样!当'

$

4

#

$

4

"

时!即有

$

"

0

$

#

0

-

0

$

'

'

+

$

'

3

'

7

*

"

$

7

+

$

'

*

3

4

"

7

*

"

$

7

+

$

'

0

3

'

7

*

4

"

0

"

$

7

+

$

'

'

3

4

"

7

*

"

$

7

+

$

4

#

0

'

+

4

"

'

.

"

#

'

"

#

0

"

#

*"

!

因此;+,

'

*4

$

"

1$

#

1

-

1$

'

'

$$!

此例为两步找4

法!还有三步找4

法!如$若;+,

'

*

4

$

'

*

$

!

;+,

'

*

4

%

'

*

%

!则

;+,

'

*

4

3

'

7

*

"

$

7

%

'

+

7

'

*

$%!

习!!

题

"!

利用"

34

定义证明下列数列的极限!

"

"

#

;+,

'

*4

"

"1槡'$!!

'

第"

章!

实数与数列极限

"

#

#

;+,

'

*4

%'

#

1'

#'

#

2"

$

%

#

!

"

%

#

;+,

'

*4

!!<<

%

/

<

'

$"!

"

&

#

;+,

'

*4

#

'

'

)

$!!

"

0

#

;+,

'

*4

'

"

'

$!

"

)

"

)#

"

#

!

"

6

#

;+,

'

*4

$

'

$"

&其中$

'

$

'2"

'

&

'

为偶数&

'1"

'

&

'

为奇数4

+

,

!

"

?

#

;+,

'

*4

"

'槡 1"2槡'#

$!!

"

@

#

;+,

'

*4

"1#1

%

1'

'

%

$!!

"

<

#

;+,

'

*4

$

'

$"

&其中$

'

$

'2"

'

&

'

为偶数&

'

#

1槡 '

'

&

'

为奇数4

+

,

!

#!

若数列,

'

有界&并且;+,

'

*4

.

'

$!!

试证;+,

'

*4

,

'

.

'

$!!

%!

试用"

34

的说法正面陈述!

$

不是数列$

' (

'

的极限&并证明!

"

"

#数列 "

' (

'

的极限不是"

(

"

#

#数列'

"

2"

#

' (

'

发散!

"试用定义"3"%

证明#

!"$

!

数列极限的性质和运算

为了更深入地研究数列极限!我们先给出一些数列极限的性质!

定理!&!

若数列$

' (

'

收敛!则极限唯一!

证明$反证法!

若$

"

%

皆为$

' (

'

的极限!取"

$

%2$

#

!则存在4

"

!当

'

$

4

"

时!

$

'

2$

#

%2$

#

&存在4

#

!当'

$

4

#

时恒有$

'

2%

#

%2$

#

!

于是

$

4

"

0

4

#

+

$

#

%

+

$

#

!

!

$

4

"

0

4

#

+

%

#

%

+

$

#

!

(

数 学 分 析

即有

$

+

%

'

$

4

"

0

4

#

+

$

0

$

4

"

0

4

#

+

%

#

%

+

$

#

0

%

+

$

#

*

%

+

$

!

矛盾!

定理!&%

若数列$

' (

'

收敛!则$

' (

'

为有界数列!

即存在正数2

!使得对一

切'

%

#

!有$

'

'

2!

证明$数列$

' (

'

收敛!设;+,

'

*4

$

'

$$

!取"

$"

!则存在正整数4

!使当'

$

4

时!

$

'

+

$

#

"

!

即$2"

#

$

'

#

$1"!

取2$,8> $

"

!

$

#

!-!

$

4

!

$2"

!

$

' (

1"

!则对所有自然数'

有

$

'

'

2!

注$此命题的逆命题不成立!如" #

2"

' (

' 有界但不收敛!

定理!&'

若;+,

'

*4

$

'

$$

!

;+,

'

*4

%

'

$%

!且$

#

%

!则存在正整数4

!当'

$

4

时!

成立$

'

#

%

'

!

证明$取"

$

%2$

#

!由;+,

'

*4

$

'

$$

知存在正整数4

"

!使当'

$

4

"

时!有

$

'

+

$

#

%

+

$

#

!

即

$

+

%

+

$

#

#

$

'

#

$

0

%

+

$

#

*

$

0

%

#

!

由;+,

'

*4

%

'

$%

知存在整数4

#

!使当'

$

4

#

时!有

%

'

+

$

#

%

+

$

#

!

即

$

0

%

#

*

%

+

%

+

$

#

#

%

'

#

%

0

%

+

$

#

!

于是当'

$

4

"

14

#

时!有$

'

#

$1%

#

#

%

'

!

推论!$!

若;+,

'

*4

$

'

$$

$

!

#

" #

!

!则存在正整数4

!当'

$

4

时!

$

'

$

$

#

$

!

$

'

#

$

#

#

" #

! !

推论!$%

若收敛数列$

' (

'

!

%

' (

'

满足$

'

'

%

'

'

%

" #

#

!则;+,

'

*4

$

'

'

;+,

'

*4

%

'

!

但$

'

#

%

'

'

%

" #

#

不能得出;+,

'

*4

$

'

#

;+,

'

*4

%

'

的结论!

如$

'

$

"

'

!

%

'

$

#

'

!

)

第"

章!

实数与数列极限

定理!&(

若%

个数列$

' (

'

!

%

' (

'

!

&

' (

'

从某项开始有$

'

'

%

'

'

&

'

!

'

$

4

!

!且;+,

'

*4

$

'

$;+,

'

*4

&

'

$$

!则;+,

'

*4

%

'

$$!

证明$任意"$

!

!由;+,

'

*4

$

'

$$

知存在4

"

!当'

$

4

"

时$2

"#

$

'

#

$1

"

!由

;+,

'

*4

&

'

$$

知存在4

#

!当'

$

4

#

时$2

"#

&

'

#

$1

"

!

于是当'

$

4

"

14

#

时!

$2

"#

$

'

'

%

'

'

&

'

#

$1

"

!即%

'

2$

#"

!

因此;+,

'

*4

%

'

$$!

这个定理说明两个数列若+夹着,一个数列共同趋于一个极限!则夹着的数列

也必趋于这个极限!

在我们求一些数列极限时可适当制造两个数列!只要这两个数

列夹着原数列趋于共同的极限!我们就求到了原数列的极限!

例!$,

!

求;+,

'

*4

'槡 1"2槡" #

'

!

解$因'槡 1"2槡'$

"

'槡 1"1槡'!

令$

'

$!

!

%

'

$

"

'槡 1"1槡'!

&

'

$

"

槡'!可以证明

;+,

'

*4

$

'

$;+,

'

*4

&

'

$!

!

$

'

'

%

'

'

&

'

!

故;+,

'

*4

%

'

$;+,

'

*4

'槡 1"2槡" #

'

$!!

例!$-

证明;+,

'

*4

$

'

"

1$

'

#

1

-

1$

" #

'

5

"

'

$,8>

"

'

7

'

5

$

' (

7

!其中$

7

(

!7$"

!

#

!-!

" #

5 !

证明$不妨设$

"

$,8>

"

'

7

'

5

$

' (

7

!则$

"

'

$

'

"

1$

'

#

1

-

1$

" #

'

5

"

'

'

$

"

'

槡5!

而;+,

'

*4

$

"

$;+,

'

*4

$

"

'

槡5$$

"

!

由定理"!&

知;+,

'

*4

$

'

"

1$

'

#

1

-

1$

" #

'

5

"

'

$,8>

"

'

7

'

5

$

' (

7

!

我们不能总是证明极限!何况用定义证明极限还要知道极限$

才能证!如何知

道$

呢0

一般需要求极限!这要利用已知的极限和一定的运算法则!

下面讨论极限的四

则运算!

定理!&)

设;+,

'

*4

$

'

$$

!

;+,

'

*4

%

'

$%

"

#

!

$%

"

#!则$

"

"

#

;+,

'

*4

#

$

'

1

$

%

" #

'

$

#

$1

$

%

&

"

#

#

;+,

'

*4

$

'

%

'

$$%

&

"

%

#

;+,

'

*4

$

'

%

'

$

$

%

%

"

" #

! !

证明$因;+,

'

*4

$

'

$$

知存在2

$

!

!

$

'

'

2

!

'

%

#

1

!

任意"$

!

!

;+,

'

*4

$

'

$$

!

;+,

'

*4

%

'

$%

!知存在正整数4

!当'

$

4

时!

*+

数 学 分 析

$

'

+

$

#

"

!

%

'

+

%

#

"

!

此时

#

$

'

0$

%

'

+ #

$

0$

" #

%

'

#

$

'

+

$

0 $

%

'

+

%

#

# 0

" #

$ "

!

$

'

%

'

+

$%

*

$

'

%

'

+

" #

%

0

% $

'

+

" #

$

#

2

0

" #

%

"

!

故"

"

#!"

#

#成立!

当%

"

!

时!利用推论"!"

知存在4%

!当'

$

4%

时!

%

'

$

%

#

!则当

'

$

414%

时!

$

'

%

'

+

$

%

*

% $

'

+

" #

$

+

$ %

'

+

" #

%

%

'

%

#

# $

0

" #

%

%

#

"

!

故"

%

#成立!

例!$!.

求极限;+,

'

*4

%

'1"

1$

'1"

%

'1"

2$

'1"

$

#

" #

% !

解$

;+,

'

*4

%

'1"

1$

'1"

%

'1"

2$

'1"

$;+,

'

*4

"1

$

" #

%

'1"

"2

$

" #

%

'1"

$

"1;+,

'

*4

$

" #

%

'1"

"2;+,

'

*4

$

" #

%

'1"

$"!

例!$!!

求;+,

'

*4

$

)

'

)

1$

)2"

'

)2"

1

-

1$

"

'1$

!

%

5

'

5

1%

52"

'

52"

1

-

1%

"

'1%

!

"

)

'

5

!

$

)

%

5

"

!

#

!

解$

;+,

'

*

4

3

)

7

*

!

$

7

'

7

3

5

7

*

!

%

7

'

7

*

;+,

'

*

4

3

)

7

*

!

$

7

'

7

+

5

3

5

7

*

!

%

7

'

7

+

5

*

$

5

%

5

!

)

*

5

!

!

!

)

#

5

4

+

,

!

!

例!$!%

求;+,

'

*4

$

'

$

'

1"

!其中$

"

2"!

解$当$$"

时!

;+,

'

*4

$

'

$

'

1"

$;+,

'

*4

"

#

$

"

#

&

当$

#

"

时!

;+,

'

*4

$

'

$

'

1"

$

;+,

'

*4

$

'

;+,

'

*4

$

'

1"

$!

&

当$

$

"

时!

;+,

'

*4

$

'

$

'

1"

$;+,

'

*4

"

"1

"

" #

$

'

$"!

例!$!'

求;+,

'

*4

'

'

#槡 1"2 '

#槡" #

2"

!

解$

;+,

'

*

4

'

'

#

0

槡 "

+

'

#

+

槡" #

"

*

;+,

'

*

4

#'

'

#

0

槡 "

0

'

#

+

槡 "

++

第"

章!

实数与数列极限

*

;+,

'

*

4

#

"

0

"

'槡 #

0

"

+

"

'槡 #

*

"!

!!

这里用到了结论$若,

'

(

!

且;+,

'

*4

,

'

$$

(

!

!则;+,

'

*4

,槡 '

$槡$!

最后我们介绍子列的概念及其相关性质!

定义!&%

设$

' (

'

为数列!

'

' (

5

为正整数集#

1的无限子集!且'

"

#

'

#

#

-

#

'

5

#

-!则数列$

'

"

!

$

'

#

!-!

$

'

5

!-称为数列$

' (

'

的一个子列!简记为$

'

' (

5

!

如#

' (

'

是' (

'

的一个子列!

"

%'

' (

2"

是 "

' (

'

的一个子列!

由定义知$

'

5

在$

'

' (

5

中是第5

项!而在原数列$

' (

'

中是第'

5

项!显然有

5

'

'

5

!

实际上'

' (

5

是' (

'

的一个子列!

通常我们称$

' (

'

本身及$

' (

'

去掉有限项

后的子列为$

' (

'

的平凡子列!

不是平凡子列的子列称为$

' (

'

的非平凡子列!

数列

极限及其子列极限有密切的关系!

定理!&*

数列$

' (

'

收敛于$

!则$

' (

'

的任何非平凡子列都收敛于$!

证明留给读者做练习!

习!!

题

"!

证明!若*

$

'

+&*

%

'

+中有一个是收敛数列&另一个是发散数列&则*

$

'

A%

'

+

是发散数列!

又问&*

$

'

%

'

+和 $

'

%

' (

'

"

%

'

"

!

#是否也是发散数列$

#!

求下列极限!

"

"

#

;+,

'

*4

'

%

1%'

#

1"

&'

%

1#'1%

(

"

#

#

;+,

'

*4

"1#'

'

#

(

"

%

#

;+,

'

*4

"

2#

#

'

1%

'

"

2#

#

'1"

1%

'1"

(

"

&

#

;+,

'

*4

"

'

#

1槡 '2'

#(

"

0

#

;+,

'

*4

'

槡"1

'

槡#1

%

1

'

槡" #

"!

(

"

6

#

;+,

'

*4

"

#

1

"

#

#

1

%

1

"

#

'

"

%

1

"

%

#

1

%

1

"

%

'

!

%!

求下列极限!

!+

数 学 分 析

"

"

#

;+,

'

*4

"

"

'

#

1

"

#

'

%

1

%

1

"

'

'"

'1"

" #

#

(

"

#

#

;+,

'

*4

槡#'

&

槡#'

@

槡#'%'

#'

槡" #

#

(

"

%

#

;+,

'

*4

"

#

1

%

#

#

1

%

1

#'2"

#

" #

'

(

"

&

#

;+,

'

*4

'

"2

"

槡 '

(

"

0

#

;+,

'

*4

"

'

#

1

"

"

'1"

#

#

1

%

1

"

"

#'

#

" #

#

(

"

6

#

;+,

'

*4

"

'

#槡 1"

1

"

'

#槡 1#

1

%

1

"

'

#

1槡" #

'

!

&!

求下列极限!

"

"

#

;+,

'

*4

"

#

'

%

&

'%'

#'2"

#'

(

"

#

#

;+,

'

*4

"

'

)

3

'

#

$"

#

)(

"

%

#

;+,

'

*4

,"

'1"

#

#

2'

#

-"

!

###

"

#

!

0!

设;+,

'

*4

$

'

$$

&证明!

"

"

#

;+,

'

*4

,

'$

'

-

'

$$

(

"

#

#若$

$

!

&

$

'

$

!

&则;+,

'

*4

'

$槡 '

$"!

6!

判断以下结论是否成立"若成立&说明理由&若不成立&举出反例#!

"

"

#若$

#5

' (

2"

和$

#

' (

5

都收敛&则$

' (

'

收敛$

"

#

#若$

%5

' (

2#

&

$

%5

' (

2"

和$

%

' (

5

都收敛&且有相同极限&则$

' (

'

收敛$

?!

数列$

' (

'

收敛于$

的充要条件是$

' (

'

的任何非平凡子列都收敛于$!

!"%

!

数列极限存在的条件

收敛数列一定有界!有界数列不一定收敛!

加上什么条件时有界数列一定收敛

呢0 我们这里给出一个简单的条件!先重述一下单调数列的概念$若数列$

' (

'

满

足$

'1"

(

$

'

!

'

%

#

!则称$

' (

'

为单调递增数列&若$

'1"

'

$

'

!

'

%

#

!则称$

' (

'

为

单调递减数列!

单调递增数列%单调递减数列统称为单调数列!

若条件中等号去掉

则称之为严格单调数列!

"+

第"

章!

实数与数列极限

定理!&+

单调有界数列一定存在极限!

证明$不妨设数列$

' (

'

是递增的而且有上界!我们把这个数列的各项表示成

十进制无尽小数$

$

"

*

8

"

#

"

#

#

#

%

-!

$

#

*

8

#

"

"

"

#

"

%

-!

$

%

*

8

%

9

"

9

#

9

%

-!

-

其中8

"

!

8

#

!

8

%

!-是整数"为$

"

!

$

#

!

$

%

!-的整数部分#!而#

7

!

"

7

!

9

7

!-是从

!

到<

的数码!

现从上到下考察由整数8

"

!

8

#

!

8

%

!-组成的那一列!

因$

' (

'

单调

递增有上界!整数数列8

' (

'

在达到最大值之后将保持不变"若8

'

增加无限项则

$

' (

'

无上界#!记这个最大的整数为8

!并设它在第4

!

行上出现!现从4

!

行开始

从上往下考察第二列#

"

!

"

"

!

9

"

!-

!

因$

' (

'

单调递增有上界!知从4

!

行后此列出

现的最大数码,

"

一旦出现就不改变!

假定,

"

从4

"

后就不变!显然4

"

(

4

!

!

接着

从4

"

行开始考察第三列即#

#

!

"

#

!

9

#

!-那一列!同样地!第三列的数码将在

4

#

(

4

"

行以后永不改变地取值,

#

!同样考察第四%第五%-得到,

%

!

,

&

!

,

0

!-和相

应的自然数4

#

'

4

%

'

4

&

'

-

!

数$$8,

"

,

#

,

%

,

&

-就是数列$

' (

'

的极限!

事实上!

2"$

!

!取)

%

#

使得

"!

2)

#"

!则当'

$

)

时!

$

'

2$

'

"!

2)

#"

!

即;+,

'

*4

$

'

$$!

利用此定理可证明数列存在极限时不再要预先知道数列的极限了!只要考察两

个方面$

!

单调性&

"

有界性!

但这个定理仅给出数列极限存在的一个充分条件!

例!$!(

!

设,

"

$

!

!

,

'1"

$"1

,

'

"1,

'

"

'$"

!

#

!

%

!-#!证明数列,

' (

'

收敛!并

求它的极限!

解$因,

"

$

!

!得"

#

,

#

$"1

,

"

"1,

"

#

#

!进而2

'

(

#

!

"

#

,

'

#

#

!

,

' (

'

为有界

数列!

而

,

'

0

"

+

,

'

*

"

0

,

'

"

0

,

'

+

"

0

,

'

+

"

"

0

,

'

+

" #

"

*

,

'

+

,

'

+

"

"

0

,

" #

'

"

0

,

'

+

" #

"

!

!!

这说明对一切'

(

#

!

,

'1"

2,

'

与,

'

2,

'2"

有相同的正负号!从而,

' (

'

是单

调数列!

由单调有界定理知,

' (

'

收敛!

设;+,

'

*4

,

'

$$

!对,

'1"

$"1

,

'

"1,

'

两边求极限得$$"1

$

"1$

!解得$$

槡"A 0

#

!

因,

'

$

"

!舍去负根!得;+,

'

*4

,

'

$

槡"1 0

#

!

#+

数 学 分 析

例!$!)

设,

"

槡$ #

!

,

'1"

$ %1#,槡 '

"

'$"

!

#

!-#!证明数列,

' (

'

收敛!并

求它的极限!

解$首先我们有!

#

,

"

#

%

!设!

#

,

5

#

%

!则!

#

,

51"

$ %1#,槡 5

#

%

!即得

!

#

,

'

#

%

"

'

%

#

#!于是,

'1"

2,

'

$ %1#,槡 '

2,

'

$

%2,

" #

'

"1,

" #

'

%1#,槡 '

1,

'

$

!!

,

' (

'

单调递增有上界!于是;+,

'

*4

,

'

存在!设为$

!对,

#

'1"

$%1#,

'

两边求极

限得$

#

$%1#$

!由$

非负知$$%!

例!$!*

证明圆内接正'

边形的半周长序列'/+B

"@!5

' (

'

收敛!此极限记

为#

!

证明$令6$

"@!5

'

"

'1"

#

!则当'

(

%

时!

'6

'

&05!

于是

C8B'6

*

C8B

"

'

+

"

#

6

0

C8B6

"

+

C8B

"

'

+

"

#

6C8B6

(

C8B

"

'

+

"

#

6

0

C8B6

(

-

(

'C8B6

!

从而

/+B

"

'

0

"

#

6

*

/+B'6)D/6

0

)D/'6/+B6

*

/+B'6)D/6

"

0

C8B6

C8B

" #

'6

'

'

0

"

'

/+B'6

!

所以当'

(

%

时!

'/+B

"@!5

'

'

"

'1"

#

/+B

"@!5

'1"

!即'/+B

"@!5

' (

'

单调增加!

另一方面!单位圆内接正'

边形的面积:

'

$'/+B

"@!5

'

)D/

"@!5

'

#

&

!因此当

'

(

%

时!

'/+B

"@!5

'

#

&

)D/

"@!5

'

'

&

)D/6!5

$@

有上界!于是'/+B

"@!5

' (

'

存在极限!记为

#

!

即有;+,

'

*4

'/+B

"@!5

'

$

#

!

例!$!+

证明"1

"

" #

'

' (

'

单调增加!

"1

"

" #

'

'

' (

1"

单调减少且有相同的极

限!记其极限为-!

证明$令,

'

$ "1

"

" #

'

'

!

.

'

$ "1

"

" #

'

'1"

!利用平均值不等式

'

$

"

$

#

-

$槡 '

'

$

"

0

$

#

0

-

0

$

'

'

!

"

$

5

$

!

!

5

*

"

!

#

!-!

'

#

得到

,

'

*

"

0

"

" #

'

'

.

"

'

'

"

0

"

" #

'

0

"

'

0

5

6

7

8

"

'

0

"

*

,

'

0

"

!

$+

第"

章!

实数与数列极限

"

.

'

*

'

'

0

" #

"

'

0

"

.

"

'

"

'

0

"

#

'

'

0

"

0

"

'

0

5

6

7

8

#

'

0

#

*

"

.

'

0

"

!

这表示,

' (

'

单调增加!而.

' (

'

单调减少!

又由于#$,

"

'

,

'

#

.

'

'

.

"

$&

!可知,

' (

'

和.

' (

'

均收敛!

对.

'

$,

'

"1

"

" #

'

两端求极限知它们的极限相同!记其为-

!即有

;+,

'

*

4

"

0

"

" #

'

'

*

;+,

'

*

4

"

0

"

" #

'

'

0

"

*

-!

!!

-$#!?"@#@"@#@&0<

-是一个无理数!

以-

为底的对数称为自然对数!通常记

为;B, $;D

=

-

" #

, !

作为定理"!?

的一个应用!我们证明描述实数连续性的另一个重要定理区间

套定理!

定理!&,

如果一个闭区间列$

'

!

%

) *' (

'

满足条件$

"

"

#

$

'1"

!

%

'

) *

1"

9

$

'

!

%

) *

'

"

'

%

#

#&

"

#

#

;+,

'

*4

%

'

2$

" #

'

$!

&

则存在唯一实数%

属于所有的闭区间$

'

!

%

) *

'

!且%

$;+,

'

*4

$

'

$;+,

'

*4

%

'

!

证明$由条件"

"

#知$

"

'

$

#

'

-

'

$

'

'

%

'

'

%

'2"

'

-

'

%

"

!

任意)

$

'

%

#

!有$

)

'

%

'

!

$

' (

'

单调增加有上界%

"

!

%

' (

'

单调减少有下界

$

"

!由定理"!?

"单调有界定理#知;+,

'

*4

$

'

和;+,

'

*4

%

'

均存在!而;+,

'

*4

%

'

2$

" #

'

$!!

由

极限的运算法则知

;+,

'

*

4

$

'

*

;+,

'

*

4

%

'

*%

!

!!

又由任意)

$

'

%

#

!有$

)

'

%

'

知$

)

'

;+,

'

*4

%

'

$

%

$;+,

)

*4

$

)

'

%

'

!于是%

属

于所有的闭区间$

'

!

%

) *

'

!

若另有一%

%

属于所有闭区间!因%

2

%

%

'

%

'

2$

'

!任意'

%

#

!知

%+%

%

'

;+,

'

*

4

%

'

+

$

" #

'

*

!

!

!%*%

%

!

唯一性也得证!

区间套定理常常用于证明某个特殊的数的存在性!方法是构造一列特殊的闭

区间!+套,出这个特定的数来!

下面用其+套,出数列的极限!

定理!&-

"波尔察诺3

魏尔斯特拉斯定理#"列紧性定理#

!

有界数列必有收敛

子列!

证明$设,

' (

'

为一有界数列!则存在$

"

#

%

"

%

"

!使得,

'

%

$

"

!

%

) *

"

"

'

%

#

#!

取,

'

"

$,

"

%

$

"

!

%

) *

"

!对$

"

!

%

) *

"

二等分$

$

"

!

$

"

1%

"

) *

#

!

$

"

1%

"

#

!

%

) *

"

!则必有

一个包含,

' (

'

的无穷多项!设其为$

#

!

%

) *

#

!且在$

#

!

%

) *

#

中取某项,

'

#

"

'

#

$

'

"

&+

数 学 分 析

$"

#!再二等分$

#

!

%

) *

#

为$

#

!

$

#

1%

#

) *

#

!

$

#

1%

#

#

!

%

) *

#

!必有其一包含,

' (

'

中的

无穷多项!记其为$

%

!

%

) *

%

!并在其中取,

'

%

"

'

%

$

'

#

#!-!

'

得一闭区间列

$

5

!

%

) *

(

5

满足$

"

"

#

$

51"

!

%

5

) *

1"

9

$

5

!

%

) *

5

"

5

%

#

#&

"

#

#

;+,

5

*4

%

5

2$

" #

5

$;+,

5

*4

%

"

2$

"

#

52"

$!!

故;+,

5

*4

$

5

$;+,

5

*4

%

5

$

%

存在!但$

5

'

,

'

5

'

%

5

!

由迫敛性定理知;+,

5

*4

,

'

5

$

%

!即

,

'

' (

5

为,

' (

'

的一个收敛子列!

下面给出一个数列收敛的充要条件!它在以后的内容中要反复出现!望读者领

会其实质!

定理!&!.

"柯西收敛准则#

!

数列,

' (

'

收敛的充要条件是$任意给定"$

!

!存

在4

!当)

!

'

$

4

时!恒有,

)

2,

'

#"

!

证明$必要性$因;+,

'

*4

,

'

存在!设其为$

!故任意"$

!

!存在4

!当)

!

'

$

4

时!

,

)

+

$

#

"

#

!

!

,

'

+

$

#

"

#

!

故,

)

2,

'

'

,

)

2$ 1 ,

'

2$

#

"

#

1

"

#

$

"

!

充分性$设,

' (

'

满足条件$任意"$

!

!存在4

!当)

!

'

$

4

时!恒有

,

)

+

,

'

#

"

!

!!

取"

!

$"

!则存在4

!

!当'

$

4

!

时恒有,

'

2,

4

!

1"

#

"

!即,

4

!

1"

2"

#

,

'

#

,

4

!

1"

1"

!于是,

' (

'

为有界数列!

由定理"!<

知,

' (

'

有收敛子列,

'

' (

5

!

设;+,

5

*4

,

'

5

$%

!则任意"$

!

!由;+,

5

*4

,

'

5

$%

知存在;

!当5

$

;

时!

,

'

5

2%

#

"

#

!

由已知条件知存在4

"

!当)

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收敛!

柯西收敛准则给出了数列极限存在的一个充要条件!它的一个好处是不要预

知数列极限是多少!只要根据数列本身的变化规律来判别即可!

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章!

实数与数列极限