Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2004

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКАПособие для учителя

4 класс Часть 1. Занятия в первой четверти

3

Почасовое планирование первой четвертиУрок 1. Круговой турнир. Игра в Крестики-нолики. (Учеб -

ник-тетрадь, часть 1, с. 3–5.)Урок 2. Игры двух игроков, цепочка позиций игры. (Учеб -

ник-тетрадь, часть 1, с. 6–9.)Урок 3. Игра в Ползунок. (Учебник-тетрадь, часть 1,

с. 10–13.)Урок 4. Игра в Камешки . (Учебник-тетрадь, часть 1,

с. 14–17.)Урок 5. Игры в Слова и в Города. (Учебник-тетрадь, часть 1,

с. 18–20.)Урок 6. Решение задач. (Учебник-тетрадь, часть 1, с. 21–23.)Урок 7. Контрольная работа № 1, варианты 1-1 и 1-2. (Учеб -

ник-тетрадь, часть 1, вкладыш.)Урок8. Выравнивание, дополнительные и трудные задачи.

(Учебник-тетрадь, часть 1, с. 42–47, задачи 73-74, 76, 77, 79,83.)

ISBN 5-09-011460-9

Семёнов А. Л.Информатика: Пособие для учителя : 4 кл. / А. Л. Семёнов, Т. А. Руд-

ченко. – М.: Просвещение: Институт новых технологий образования, 2004.Курс «Информатика» рассчитан на обучение в течение трёх лет в объе-

ме 34 ч или 68 ч в год и необязательно связан с компьютером.Учебно-методический комплект для 4 класса состоит из учебника-тетра-

ди (две части), тетради проектов и пособия для учителя.Авторы комментируют решение задач, обращают внимание учителя на

наиболее важные и сложные понятия, на связь курса с разными дисциплина-ми в начальной школе и старших классах. Методическое пособие для учите-ля содержит и некоторые общие комментарии, исходно не связанные с кон-кретным заданием, но важные для всего курса. Электронная версия книгидля учителя размещена на сайтах: www.int-edu.ru; www.prosv.ru.

Семенов Алексей ЛьвовичРудченко Татьяна АлександровнаИНФОРМАТИКАПособие для учителя4 класс

В подготовке методического пособия принимали участие:В. И. Беликов, Е. С. Кузнецова, А. А. Муранов, С. А. Трактуева

Институт новых технологий. 115162, Москва, Мытная, 50. Тел.: (095) 926-49-65, e-mail: int@mtu-net.ru.Федеральное государственное унитарное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени «Издательство «Просвещение» Министерства РоссийскойФедерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовыхкоммуникаций. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

© Институт новых технологий, 2004© Художественное оформление Институт новых технологий, 2004Все права защищены

5

Игра в Крестики-ноликиМатериал, посвященный играм, являясь интересным и доста-

точно занимательным для ребят, отнюдь не прост для пониманияи усвоения. Поэтому для начала мы хотим погрузить ребят в темусамым естественным путем – мы дадим им возможность поигратьдруг с другом (в парах и группах) в знакомую игру – Крестики-нолики.

Для успешного проведения состязания в группах мы напоми-наем на странице 3 правила проведения кругового турнира иприводим пример заполнения турнирной таблицы. На тот случай,если кто-то из ребят ни разу не играл в Крестики-нолики, настранице 4 приводятся правила этой игры, пока не включающиеникакие специальные термины, – такие, какие бы мог сформули-ровать любой из детей, умеющих играть.

Мы надеемся, что игра в Крестики-нолики уже хорошо зна-кома большинству ваших учеников. В этом есть и положительные,и отрицательные стороны: детям знакома ситуация, у них естьинтуиция, при этом, однако, они могут сказать: «Ну, это такаяпростая игра, какая тут информатика!» или: «А я умею в нее иг -рать, тут ничего сложного нет». С такими детьми можно обсудитьтакую задачу: научить другого человека, а потом даже и компью-тер, играть в Крестики-нолики. Это поможет им понять смыслпроисходящего.

Задачи на страницах 4–5 даны, конечно, не для развлеченияребят. В ходе партий учащиеся выясняют (или вспоминают) пра-вила и особенности игры в Крестики-нолики, которые впослед-ствии пригодятся при решении более сложных задач. Крестики-нолики развивают не только логическое мышление, но и внима-ние, наблюдательность, поскольку, стремясь к собственной побе-де, игрок после каждого хода обязан тщательно анализироватьсложившуюся на поле ситуацию и мешать выиграть сопернику.Комментарии к задачам 1–3 Части 1

Задача 1. Сыграть 5 партий в Крестики-нолики, конечно, несложно, но необходимо еще правильно записать результаты втаблицу и проследить за очередностью хода. Указание, касаю-щееся очередности хода мы приводим с той целью, чтобы игрокибыли в равном положении и имели одинаковые шансы поигратькак крестиками, так и ноликами. Хотя формально в данной игре уКрестиков нет преимущества (игру всегда можно свести к ни-чьей), однако, опыт показывает ребятам, что Крестики выигрыва-ют несколько чаще. Во-первых, игрок, сделавший первый ходимеет в этой игре больше свободы для построения стратегии иг-ры. Во-вторых, первый игрок может первым поставить три значкавряд. В условии задачи мы предлагаем один из возможных вари-антов выбора очередности хода (при помощи считалки).

Чтобы избежать путаницы в дальнейшем, лучше указывать

4

Круговой турнир. Игра в Крестики-ноликиУчебник 4 класса начинается сразу с новой темы, посвящен-

ной играм. Наше понятие игры охватывает далеко не все игры, вкоторые играют люди. Иногда понятие игры трактуется оченьшироко: «Вся наша жизнь – игра», иногда к нему примешиваетсяпсихология поведения людей. Среди игр, которые изучаются ма-тематически и используются в различных математических моде-лях реальности, занимают важное место игры, в которых присут-ствует элемент случайности, например, бросается кость. В другихиграх игрокам неизвестна (или не полностью известна) позиция,создавшаяся в игре (в том числе и начальная позиция).

Все эти важные случаи остаются вне нашего рассмотрения.Нас будут интересовать только те игры, в которых позиции игро-ков известны (обоим игрокам) в любой момент игры.

Заметим еще, что мы обошли вниманием случай, когда игране кончается вообще (то есть продолжается до бесконечности).Такое может случиться даже в реальных играх. Например, в шах-матах даже приняты специальные меры против такой ситуации:партия считается закончившейся вничью, если позиция повтори-лась троекратно.

Мы будем заниматься играми двух игроков с полной ин -формацией, для которых характерны следующие особенности:

- в любой момент игры каждому из игроков полностью изве-стна сложившаяся в игре позиция,

- каждая позиция игры зависит только от начальной позициии ходов игроков,

- количество возможных ходов ограничено, что гарантируетокончание игры в некоторый момент. К таким играм относятся, например, шашки и шахматы, крести-ки-нолики и другие игры на бумаге.

7

партии непосредственно. Например, для начала попросить еговыписать и сосчитать партии, в которых участвовал лично он –таких, конечно, будет 3, поскольку он играл с тремя учащимися.Сильным ученикам можно предложить подумать над тем, сколькобудет сыграно партий в круговом турнире, где 5, 6, 10 участни-ков. Второй вопрос задачи тоже может вызвать проблемы. Прощевсего на него будет отвечать тем ребятам, которые по ходу по-мечали, какими значками они играли в каждой из партий (напри-мер, ставили в углах клеток своей строки крестик или нолик).

Задача 3. Необязательная. Данная задача отличается от пре-дыдущей лишь одним – правилом определения очередности хо-да. Однако, в отличие от предыдущей задачи, игроки относи-тельно очередности хода находятся в неравном положении. На-пример, учащийся, фамилия которого идет раньше всех осталь-ных по списку, в течение всего турнира будет играть крестиками,что несколько увеличивает его шансы на победу. Решение этойзадачи и предыдущей дает возможность сравнить результатыдвух турниров и выяснить, насколько исход поединка зависит оточередности хода, а насколько – от мастерства игроков. Если науроке есть время, полезно вместе с ребятами поразмышлять надпоследним вопросом задачи.

Игры двух игроков Наступил момент дать более формальное определение иг-

рам, которыми мы будем заниматься дальше. Оказывается, всеони имеют много общего, у всех таких игр есть правила, которыеопределяют начальную позицию, ход игры, мешок возможныхпозиций, заключительную позицию и, наконец, победителя игры(или ничью). На листе определений (с. 6–7) мы сформулировалиправила игры в Крестики-нолики, используя новые термины.

Пожалуй, наиболее сложным из новых понятий является по -зиция игры, ведь понятия правила игры, ход, победитель и т. п.ребятам уже знакомы. Понятие позиция игры – очень емкое. По-зиция игры – это поле и все ходы, сделанные обоими игроками кданному моменту игры. Каждый ход игрока – это разрешенноеправилами игры изменение позиции игры. Правила игры огова-ривают все возможные начальные позиции игры, а также все воз-можные заключительные позиции – такие позиции, по достиже-нии которых игра заканчивается.

C введением понятия позиция игры у нас также появляетсявозможность ввести понятие цепочка позиций игры, которое даетключ к более глубокому, содержательному анализу каждой пар-тии. Кроме того, понятие позиция игры позволит нам существен-но расшить круг задач и таким образом подвести детей к выводуобщих закономерностей в играх с полной информацией.

6

игроков в верхней строке таблицы по фамилиям или именам, ноне по номерам (первый и второй), так как обычно Первым назы-вают игрока, сделавшего первый ход (и мы тоже будем так назы-вать в дальнейшем). Таблицу лучше заполнять постепенно – послекаждой партии заносить ее результат в соответствующую строку.Чтобы ребятам было легче отвечать потом на первые три вопроса,можно по ходу помечать в таблице, кто какими значками играл вданной партии. Например, можно в углу пустой клетки игрока,который играл крестиками поставить маленький крестик или по-метить очки Первого игрока цветом. После того, как сыграны все5 партий, учащиеся суммируют очки в каждом столбце. Заканчи-вается решение задачи ответами на вопросы. Возможно, в ходеответа на второй вопрос учащиеся заметят, что крестики выигры-вали чаще. Ответом на последний вопрос будет фамилия учаще-гося, набравшего больше очков или слово «ничья», если очков уигроков поровну. Проследите за тем, чтобы по окончании реше-ния задачи у каждого учащегося пары была заполнена своя таб-лица, а не одна на двоих.

Задача 2. При решении данной задачи ребятам потребуетсяумение правильно организовать круговой турнир в группе и за-писать результаты в таблицу. Как и в предыдущей задаче, оче-редность хода определяется при помощи считалки. В группе из 4человек, можно одновременно проводить по 2 партии, а затемменяться партнерами. После окончания каждой партии результа-ты следует сразу заносить в таблицу. Это будет несколько слож-нее, чем в предыдущей задаче, где ребята просто записывали всоответствующей игре строке 2 и 0, 0 и 2, или 1 и 1. Например,если партия между Ивановым и Петровым закончилась выигры-шем Иванова, то на пересечении строки «Иванов» и столбца «Пе-тров» надо поставить 2, а на пересечении строки «Петров» истолбца «Иванов» надо поставить 0. Если учащийся перепутаетэти клетки, то неправильно подсчитает очки, так как подсчет ихидет по строкам.

После подсчета очков может оказаться, что два игрока на-брали одинаковое количество очков. Тогда нужно посмотреть нарезультат игры этих двух игроков – кто выирал, тот получает бо-лее высокое место. В случае, если они сыграли в ничью, можнолибо присвоить им обоим одинаковое место (если времени науроке осталось мало), либо попросить их сыграть дополнитель-ные партии до первой победы.

По окончании заполнения таблицы ребята отвечают на во-просы. Обратите внимание на ответы ребят на первый вопрос.Действительно, кто-то из учащихся может решить, что партийбыло сыграно 12, поскольку каждый из 4 игроков играл с тремяостальными. Однако это не так, поскольку при подобном способеподсчета каждую партию мы считаем дважды. Если такая пробле-ма возникнет, проще всего попросить учащегося пересчитать

9

ниями справляются дети, имеющие определенную систему выпи-сывания путей, например, двигаться по листьям дерева сверхувниз, помечая каждый лист, путь ведущий в который уже выпи-сан. Если вы видите, что кто-то из ребят систематически ошиба-ется в подобных задачах, то, наверняка, у него такой системынет. В таком случае лучше выработать наиболее удобное для негоправило выписывания путей вместе.

Очень полезно по окончании решения задачи спросить ребят,как они понимают некоторые слова-пути, содержащиеся в меш-ке, например, КАДКА, КАЗАН, КАЗАХ. Если все затрудняются сответом, это хороший повод обратиться к толковому словарю.Кроме повторения алфавитного порядка слов и навыка использо-вания справочной литературы, подобные моменты урока призва-ны развивать у детей любознательность и увеличивать их словар-ный запас.

Ответ: КАБАН, КАБИНА, КАБИНЕТ, КАБЛУК, КАДКА, КАДР,КАЗАК, КАЗАН, КАЗАХ, КАЗНА, КАЛАЧ, КАЛИТКА.

Задача 6. Здесь, в отличие от задачи 4, задан конец игры.Поэтому ребята могут двигаться либо от начала цепочки к концу,либо наоборот. В первом случае необходимо соблюдать правило– ставить только те знаки, которые есть в позиции, предшествую-щей заключительной (причем крестик, помеченный синим ис-пользовать нельзя). Необходимо также следить за соблюдениемочередности хода, за тем, чтобы на каждом ходу появлялся толь-ко один значок и затем, чтобы все значки аккуратно переноси-лись с предыдущей позиции на следующую. Если кто-то из ребятрешит двигаться от конца цепочки к началу, то он просто будетубирать по одному значку, учитывая очередность хода (конечноне забывая о том, что синий крестик – предпоследний ход игры).В данном случае ответ на вопрос задачи не зависит от того, какдостроена цепочка, поэтому на него можно ответить сразу. Вэтой и последующих подобных задачах мы уже не напоминаемребятам о том, что необходимые для решения поля можно найтина листе вырезания (оставляем лишь значок – ножницы).

Вот один из возможных вариантов цепочки Н:

Задача 7. Повторение темы «Перед каждой, после каждой».Ребятам, которые совсем не знают, с чего начать можно, как ираньше, порекомендовать поработать с телесными бусинами слиста вырезания. Остальным в случае ошибки достаточно будетуказать на невыполнение одного из условий задачи. Возможно,

8

Комментарии к задачам 4–8 Части 1Задача 4 – на понимание нового листа определений. Реше-

ний у этой задачи, конечно, много. Для некоторых детей можетпоказаться непривычным, что им нужно играть одновременно задвоих, сложно будет стремиться к выигрышу и того, и другого.Но этого здесь и не требуется. Для тех, кто быстро решит такуюзадачу, можно предложить ее усложнение: как может выглядетьцепочка игры, закончившаяся выигрышем Первого, Второго, вни-чью – подобные задачи появятся в учебнике позднее.

Попросите детей ставить вновь появляющийся крестик синим,а нолик – зеленым, как это сделано в начальной части цепочки.Это заставит детей более тщательно переходить к каждой следу-ющей позиции игры и позволит делать меньше ошибок. Крометого, это позволит детям лучше понять, какой из игроков делаетход в каждой позиции, а значит, поможет им избежать ошибок вдальнейших, более сложных, задачах.

На вкладыше мы поместили достаточное количество загото-вок полей для всех игр, которые мы рассматриваем. Как и с за-пасными полями для Робота, с полями для игр ребята могут по-ступать по своему усмотрению: использовать в задачах как под-собный или запасной материал или играть на этих полях в насто-ящие игры.

Мы хотим научить ребят заканчивать решение любой задачипроверкой, в том числе и задачи на построение цепочки игры.Поэтому в указании мы приводим подсказки – условия, которыедолжны выполняться для любой правильно составленной цепочкипозиций игры в Крестики-нолики. Обратите внимание на то, что-бы все ребята выполнили эту последнюю часть задания. Важно,чтобы уже в этой задаче ребята обратили внимание на то, что по-зиций в цепочке игры всегда на одну больше, чем сделано ходови подумали, почему. Ответ прост – добавляется начальная пози-ция – «нулевой ход», но подобные детали ребятам придетсяиметь в виду в дальнейшем, при решении более сложных задач.

Вот один из возможных вариантов цепочки Р:

Задача 5. Повторение листа определений «Все пути дерева».Если у кого-то из ребят возникнут проблемы, то, скорее всего,ученик забыл, что такое путь дерева, либо сбился, выписывая пу-ти. В первом случае можно посоветовать ему обратиться к форза-цу учебника, где содержится соответствующая информация, вовтором – сопоставить каждый лист с путем, ведущим в него инайти свою ошибку. Как правило, лучше всего с подобными зада-

НР

11

и в предыдущих задачах об игре в Крестики-нолики, ставитьвновь появившийся крестик синим, а нолик – зеленым, как этосделано в начальной части цепочки. Это заставит их более тща-тельно переходить к каждой следующей позиции игры и позво-лит делать меньше ошибок.

Вот один из возможных вариантов цепочки M:

Игра в ПолзунокЭта игра интересна тем, что в ней место числовой интуиции

занимает геометрическая. При этом геометрия здесь не обычная,которую учат в школе, а более современная – это, можно сказать,дискретная топология (дискретная – потому, что в ней действиеразворачивается в пространстве конечного числа точек, а топо-логия – потому, что для нас несущественно расстояние междуэтими точками, а существенно только их взаимное расположение– какая с какой является соседней).

Комментарии к задачам 9–16 Части 1Задача 9. При решении данной задачи ребятам предстоит

освоить правила новый игры – игры в Ползунок. Поэтому, прохо-дя по классу, постарайтесь проконтролировать соблюдение все-ми игроками правил игры, при необходимости возвращайте ре-бят к листу определений. Возможно, стоит в первых партиях тур-нира в каждой группе назначить контролера (или двух), которыебудут следить за соблюдением правил игры. Другой вариант –сыграть на доске несколько тренировочных партий.

Если вам приходилось играть в Ползунок на поле 3×3, то вы,скорее всего, заметили, что Второй выигрывает здесь гораздо ча-ще, чем Первый. На самом деле Второй в этой игре имеет выиг-рышную стратегию, то есть, следуя определенным правилам, онможет выиграть всегда, как бы ни играл Первый (мы еще будеммного говорить о выигрышных стратегиях в дальнейшем, в част-ности, и в игре в Ползунок на поле 3×3). Если вы хотите, чтобычлены группы были в равном положении, то предложите ребятамперед началом каждой партии кидать жребий, кто будет Первым(с помощью кубиков, спичек, игры «Камень, ножницы, бумага» ипроч.). Поскольку в Ползунке ничьих не бывает, турнирную таб-

10

кто-то из ребят забудет о том, что квадратная бусина не можетбыть последней в цепочке (иначе первое утверждение не будетиметь смысла). С таким учеником придется вспомнить лист опре-делений «Если бусины нет».

Итак, в результате решения задачи должна получиться цепоч-ка, в которой 1-ая, 3-ья, 5-ая и 7-ая бусины – квадратные, 2-ая,4-ая, 6-ая и 8-ая бусины – круглые, а последняя бусина – не ква-дратная.

Задача 8. Необязательная. Здесь построение партии должноудовлетворять некоторому условию. Один из подходов здесь со-стоит в том, чтобы решать задачу с конца (такой подход ужемного раз нам помогал в разных ситуациях): посмотреть, какоймогла бы быть позиция в конце, а затем идти от этой позиции кначальной. Конечно, в последней позиции нельзя расставлятькрестики и нолики как угодно. Какие имеются ограничения? На-пример, нельзя, чтобы ноликов было больше, чем крестиков, ичтобы их было на два меньше, чем крестиков, или еще меньше.Ясно, что поставленные уже в заданных позициях два крестика инолик должны сохраниться. Ясно также, что в заключительнойпозиции не должно быть выигрышной комбинации для одного изигроков – ведь игра должна кончиться вничью.

Можно предложить и другой подход к решению такой зада-чи. Он будет естественным для ребят, которые достаточно многоиграли в Крестики-нолики вне урока. Идея состоит в том, что ес-ли ход делает Первый, то «честно» играть за Первого, а еслиВторой – то за него. При этом главная задача – помешать выиг-рышу противника, а уж следующая – собственная победа. Ребята,знакомые с игрой, интуитивно понимают, что ничья получаетсяименно так – когда противники «хорошо мешают друг другу».Отличие нашей задачи от настоящей игры состоит в том, что да-же если ученик случайно пропустит позицию, которая можетпривести к выигрышу Первого или Второго и не сможет сделатьничью, то он всегда сможет вернуться обратно по цепочке пози-ций, найти свой ошибочный ход и начать «поправлять» игру сэтого места. В настоящей же игре ребята видят свою ошибкутолько тогда, когда ее уже нельзя поправить – игра закончилась.

Необходимо обратить внимание всех ребят, что последнимэтапом решения является проверка того, нет ли в какой-нибудьпозиции выигрышной комбинации для одного из игроков. На са-мом деле проверять нужно, начиная с шестой позиции, т. к. толь-ко в ней впервые появляется третий крестик и, соответственно,впервые может появиться выигрышная тройка крестиков.

Итак, при любом подходе ученику нужно сначала спланиро-вать свое решение, нарисовать пробные позиции на черновике(например, на одном из пустых полей на листе вырезания), а за-тем уже начать вырезать, наклеивать и расставлять крестики инолики. Как и раньше в подобных задачах, попросите детей, как

M

обсудим, какую помощь вы сможете предложить ребятам и какиеподсказки сможете использовать.

Главная сложность задачи 11 состоит в том, чтобы понять, какменяется количественное соотношение, когда мы берем предме-ты из одной кучки и перекладываем их в другую (например, одинмальчик отдает свои орехи другому). Действительно, при пере-кладывании мы в одной кучке число предметов уменьшаем (от-носительно исходного), а в другой – на столько же увеличиваем(относительно исходного). И то, и другое увеличивает разницумежду количествами предметов в кучках, поэтому в результатеона меняется на число, в 2 раза большее количества переклады-ваемых предметов. Конечно, мы не рассчитываем, что учащиесяпроведут такие рассуждения (да это и не требуется).

Если вы видите, что ответ у ученика неправильный, сначаласледует добиться от него сознания ошибки. Для этого попроситеучащегося проверить результат по условию задачи или проверьтевместе с ним. Можно посоветовать ученику перейти к работе стелесными объектами – взять две равные по числу предметовкучки (можно воспользоваться, например, бусинами с листа вы-резания), переложить некоторое число предметов из одной кучкив другую, сравнить результаты. Так следует экспериментироватьдо тех пор, пока учащийся не осознает процесс, происходящий взадаче.

Ответ: Федя должен отдать Коле 5 орехов.Задача 12. Здесь ребятам предстоит построить цепочку по-

зиций игры в Ползунок с заданной заключительной позицией.Как и при решении задачи 6, учащийся может двигаться от нача-ла к концу, следя за тем, чтобы на поле на каждом ходе появлял-ся только такой отрезок, который есть в заключительной позиции(учитывая и цвет) или от конца к началу, убирая по одному от-резку от одного из концов ломаной. Кроме того, учащийся дол-жен следить за соблюдением очередности хода – чтобы при каж-дом переходе от одной позиции к другой появлялся отрезок со-ответствующего цвета. Несмотря на внешнюю однотипность за-дач 12 и 6, данная задача оказывается существенно сложнее. Этосвязано со спецификой игры в Ползунок. В отличии от игры вКрестики-нолики, где значки, которые игроки ставят на поле, недолжны быть никак связаны между собой, в игре в Ползунок каж-дый следующий отрезок должен присоединяться к уже нарисо-ванной ломанной. Учитывая, что отрезок должен быть еще и оп-ределенного цвета, мы приходим к тому, что в данной задаче вкачестве первого хода Первого нельзя брать любой из красныхотрезков в заключительной позиции. В противном случае мысталкиваемся с тем, что цепочку игры в некоторый момент нельзяпродолжить и привести к заключительной позиции. Перебираявсе возможные первые ходы Первого (красные отрезки в заклю-чительной позиции) и пытаясь строить с каждым из них цепочку

1312

лицу будет заполнять немного легче, чем для игры в Крестики-нолики, и победителя будет легко определить, даже если у двухигроков наберется одинаковое число очков. Если же число очковбудет одинаковым сразу у троих игроков (в группе из 3 человекили у троих из 4), то для определения победителя придется про-водить дополнительные партии.

Задача 10. Здесь от учащихся требуется лишь пониманиеправил игры в Ползунок. Напомните ребятам, что нужно каждыйновый отрезок проводить красным или зеленым карандашом – взависимости от того, кто делает ход. Как и в аналогичных зада-чах с игрой в Крестики-нолики, необходимые поля ребята най-дут на вкладыше.

Очень важно, чтобы решение задачи закончилось проверкой.Указание в конце задачи призвано облегчить ребятам процедурупроверки на первых порах. Главное условие – чтобы последняяпозиция в цепочке действительно была заключительной. Для это-го на поле должна получиться ломаная, которую уже нельзя про-должить. Также нужно проверить, что при переходе от каждойпозиции к следующей добавлялся ровно один отрезок. Наконец,стоит просмотреть всю цепочку, проверяя, соответствует ли оче-редность хода цвету появившегося отрезка (можно над каждойпозицией пометить цифрами I или II кто сделал данный ход) исоответствует ли следующая позиция предыдущей (все отрезкипредыдущей позиции должны повториться и на следующей).

Задача 11. Необязательная. В учебник 4 класса мы включилисерию задач, которые традиционно считаются сугубо математи-ческими и используются в работе математических кружков. Начи-ная курс информатики, мы в числе основных задач ставили раз-витие интеллектуальной культуры ребят, в том числе логики, мы-шления, смекалки и проч. Особо мы подчеркивали, что основныелогические схемы и способы решения проблемных задач легкопереносятся из одной сферы человеческой деятельности в дру-гую. Настало время посмотреть, насколько ребята (по крайнеймере сильные ученики) способны применить полученные в курсезнания к задачам, не имеющим прямого отношения к темам лис-тов определений. Все подобные задачи помечены как необяза-тельные и рассчитаны на сильных учащихся, которые быстросправились с основными заданиями. Взявшись решать подобнуюзадачу, ребенок должен некоторое время посидеть над ней са-мостоятельно – попытаться решить, построить самостоятельныйспособ рассуждений и т. п. Если все такие попытки оказалисьтщетными, вы можете помочь наводящим вопросом или обсужде-нием попытки решения. Если решить не получается – задачу мож-но оставить (попросить ребенка подумать над ней дома, вернуть-ся к ней позже и т. д.). Такие задачи хорошо подходят, чтобы за-нять сильных учеников и поддержать их интерес на должномуровне. В комментариях к задачам этого цикла мы обязательно

15

поставим только две корневые бусины, а не 7 по числу слов вмешке. Теперь рассмотрим слова, начинающиеся с буквы К. Вовсех них следующая после буквы К – О, значит в нашем дереве убусины К будет одна следующая бусина. В словах, начинающихсяс О, встречаются две вторые бусины – буква Н и апостроф, значитв дереве у корневой буквы О будет две следующие бусины. Такмы будем стараться уменьшить число бусин в дереве, где этовозможно. В конце, конечно, нужно проверить,что в дереве Q действительно 23 бусины.

Ответ: (см. картинку).

Задача 14. Необязательная. Сложность этой задачи в том,что ребятам необходимо учесть одновременно два условия. Содной стороны, выиграть должен Первый, с другой стороны этодолжно произойти именно на седьмом ходу, поскольку длинацепочки задана. Хорошо, если ребята уже видят связи междудлиной цепочки, числом ходов и выигрышем определенного иг-рока. Действительно, в цепочке 8 позиций, значит, сделано 7 хо-дов. Из них – 4 крестика и 3 нолика. Последний ход – конечно,крестик. Как и в некоторых других задачах, здесь можно дви-гаться как от начала цепочки к концу, так и наоборот. Двигаясь сконца, ребята просто расставляют 4 крестика и 3 нолика в за-ключительной позиции так, чтобы было три крестика в ряд и небыло других рядов из трех одинаковых значков (как крестиков,так и ноликов), а затем убирают по одному значку в соответствиис очередностью хода, заботясь, чтобы 3 крестика появилисьтолько на последнем ходу. Двигаться от начала здесь несколькосложнее, ведь придется заботиться постоянно, чтобы игра не за-кончилась раньше (или позже). Сложность подобной ситуациикомпенсируется лишь тем, что здесь Второй может подыгрыватьПервому - поддаваться или просто плохо играть, не замечая сво-их выгодных ходов. Естественно ребятам, которые хотят во чтобы то ни стало построить «честную» партию (в которой оба игро-ка стремятся выиграть), мешать не надо, но им будет несколькосложней.

14

игры, мы приходим к выводу, что цепочку V позволяет построитьлишь один из них (вертикальный верхний). Далее вплоть до шес-той позиции вариантов при выборе следующего хода ни у Второ-го, ни у Первого нет. Таким образом в данной задаче (в отличииот задачи 6) существуют лишь две подходящие цепочки V (см.ответ).

Описанные выше особенности игры в Ползунок объясняют то,что данную задачу проще решать с конца, отбрасывая постепен-но отрезки соответствующих цветов, ведь вариантов при выбореотрезка, который можно отбросить, существенно меньше.

Здесь мы уже не напоминаем учащемуся в условии о необхо-димости проверки, но это не значит, что она не нужна. Напри-мер, можно провести парную проверку, попросив ребят поме-няться тетрадями. Полезно при этом предварительно спроситьребят, какие ошибки при решении могут быть допущены.

Ответ: вот два возможных варианта цепочки V:

Задача 13. Необязательная. Здесь мы снова (как и в задаче 5)повторяем тему «Все пути дерева», но эта задача имеет несколькодополнительных сложностей. Во-первых, слова-пути включаютвнутрисловные знаки, следовательно, ребятам необходимовспомнить, что дефис и апостроф – отдельные символы, требую-щие заключения в отдельные бусины. Во-вторых, дерево Q долж-но иметь определенное число бусин (23), а общее число знаков всловах мешка гораздо больше, значит при построении дерева,мы обязаны «экономить» бусины. Например, все слова в мешкеначинаются либо с буквы К, либо с буквы О, значит в дереве Q мы

А

И

‘

К

О

Е - К

Н

Q

О К

ДГ Е

Т ОК Е Й

Н И Л

О

V

V

17

Решений, конечно, в данной задаче достаточно много. По-учительно сравнить решения, полученные разными ребятами ивыделить в них общее.

Ответ: приводим одну из возможных цепочек игры:

Задача 16. В этой задаче впервые встречается Робот в лаби-ринте – на поле Робота теперь есть стены. Лабиринт очень поле-зен для освоения конструкций построения программ, где ис-пользуются условия (в частности, конструкция «ЕСЛИ-ТО-ИНА-ЧЕ»), с которыми дети встретятся на уроках информатики в сред-ней школе.

В ходе написания программы Р от ребят потребуется пони-мание того, как стенки ограничивают перемещения Робота. На-пример, Робот сломается, если из начального положения мы за-ставим его выполнить команду вправо, так как он не может про-ходить через стены. Если принять во внимание еще и границыполя, то первая команда программы Р – вниз или влево. Анало-гичным образом мы должны и дальше учитывать положение сте-нок и границ поля при написании программыР. Возможно, самые хитрые дети запишут в ка-честве программы Р начальный отрезок про-граммы М, это вполне допустимо.

Ответ: (см. картинку).

Игра в КамешкиИгра в Камешки хороша тем, что в ней не так трудно провес-

ти полный анализ игры и понять, кто когда выигрывает. Эта играявляется основой изучения темы «Выигрышные стратегии» в Части2 учебника. А пока мы просто знакомим детей с формальнымиправилами игры.

Комментарии к задачам 17–23 Части 1Задача 17. Задача на понимание правил игры в Камешки.

Посоветуйте ребятам помечать позиции, получающиеся после хо-да Первого синим цветом, как это сделано на листе определе-ний. При осознанном решении ребята должны отвечать на во-

16

Задача 15. Необязательная. В этой задаче наиболее естест-венный путь решения – экспериментальный. Надо предложитьдетям порисовать на черновике (например, на таком же поле слиста вырезания) несколько вариантов игр с заданным началом.Учащиеся, по сути дела, будут пользоваться методом случайногоперебора вариантов. В этих попытках иногда игра будет закан-чиваться, не дойдя до 11-го хода, иногда одиннадцатый ход бу-дет оказываться не последним – еще останутся возможные ходы.В ходе таких экспериментов у детей возникнет ощущение того,«как все устроено», и требуемый ход игры будет найден. Учите-лю здесь, как обычно, отводится роль консультанта, проверяю-щего точность следования правилам игры в Ползунок.

Однако вам для того, чтобы быстро проверить решение илиподтолкнуть затрудняющегося в решении ученика, помогут неко-торые математические (точнее, геометрические) соображения.Понятно, что, если отвлечься от раскрашивания отрезков в крас-ный и зеленый цвета, то задача сводится к тому, чтобы дополнитьимеющиеся три звена до ломаной из 11 звеньев, которую нельзяпродолжить. Ломаная линия из 11 звеньев проходит через 12 то-чек. Это значит, что на нашем поле она не пройдет через какие-то 4 точки поля из 16. Таким образом, наша задача сводится ктому, чтобы построить ломаную, включающую заданный отрезокиз трех звеньев, не проходящую через какие-нибудь 4 точки по-ля, и такую, что ее нельзя продолжить. Можно сделать это по-разному, например, так:

Такие рассуждения дают нам не только решение, но и под-ход к более широкому кругу вопросов, возникающих вокруг дан-ной задачи. Например, возможна ли такая партия игры в Ползу-нок на этом поле (4×4), в которой выигрывает Второй? Да, еслимы сможем построить ломаную из четного числа звеньев. Сколькоходов вообще может быть в игре на поле 4×4 – например, можетли быть 20 ходов? Нет, так как точек на поле всего 16 – значит,ломаная может состоять не более чем из 15 звеньев (ходов).

Вы можете обсуждать вышеперечисленные вопросы, а можетесовсем их не касаться. Однако, приведенные рассуждения могутвам помочь в тот момент, когда у ребенка работа над задачей за-стопорилась. Если вам хотелось бы не подсказывать ему реше-ние, а лишь навести на мысль о том «как все устроено», то доста-точно будет замечаний типа: «Ты захватил в Ползунок слишкоммного точек поля, поэтому ходов больше, чем требуется. Попро-буй оставить в стороне какие-то точки», – или в этом роде, в за-висимости от ситуации.

U

19

почку можно переделать так:10–9–7–6–4–2–1–0 или 10–9–6–4–2–0Задача 20. Задача на повторение листа определений «Склеи-

вание цепочки цепочек». Если кто-то из ребят совсем забыл этотматериал, посоветуйте ему обратиться к форзацу учебника. Вданной задаче речь идет о склеивании цепочки цепочек, в кото-рой имеются пустые цепочки. Важно, чтобы все ребята вспомни-ли, что в такой ситуации пустые цепочки просто исчезают.

Ответ:

Задача 21. По содержанию эта задача наиболее близка к за-даче 15, но в отличие от той является обязательной. Некоторымучащимся, вполне возможно понадобится ваша помощь. Боль-шинство ребят, скорее всего, будут решать методом проб и оши-бок – будут строить ломаную Ползунка как-нибудь. Лучше всегосначала делать это на запасных полях с листа вырезания.

Соображения, приведенные в задаче 15 о соотношении числазвеньев ломаной (т. е. числа ходов) и точек на поле, через кото-рые прошел Ползунок, позволяют сделать вывод, что в заключи-тельной позиции цепочки W Ползунок должен пройти через все12 точек поля, а в заключительной позиции F – через 11 точекполя. Хорошо, если сильные ребята постепенно усваивают по-добные закономерности, ну а всем ребятам необходимо понима-ние того, что число сделанных ходов определяет число звеньевломаной Ползунка. Таким образом, вам, проходя по классу, до-статочно будет обратить внимание учащегося на то, что постро-енная им ломанная не соответствует требуемому числу ходов.Подходящих цепочек, конечно, много. Мы приводим лишь однуцепочку W и одну цепочку F.

Ответ:

18

просы, кто из игроков сделал ход из той или иной позиции и ктовыиграл в данной партии.

Задача 18. В процессе решения данной задачи все учащиесядолжны освоить правила игры в Камешки. Для начала можнопровести 1–2 партии на доске и попросить ребят написать це-почки для проведенных партий. Заполнять таблицу, как и во всехзадачах на проведение турниров в малых группах, лучше всегопо ходу игры, то есть заносить в нее результаты по окончаниикаждой партии. В пустых клетках «шапки» таблицы нужно напи-сать имена или фамилии игроков, но не номера, иначе дети бу-дут путать их с Первым и Вторым. Как видите, в условии задачиопределена очередность хода игроков, которая позволяет чле-нам каждой пары одинаковое число раз побыть на месте Первогои на месте Второго. На самом деле Первый в этой игре обладаетвыигрышной стратегией, это ребятам еще предстоит узнать вдальнейшем. Возможно кот-то из сильных учащихся в ходе игр иособенно ответов на вопросы обратит внимание на то, что Пер-вый выигрывает чаще Второго. Такому ученику можно дать зада-ние подумать, почему так получается и как именно должен иг-рать Первый, чтобы выиграть наверняка (как бы ни играл Второй).

Задача 19. В отличие от задачи 17, здесь нужно написать непросто цепочку игры, а цепочку, удовлетворяющую определен-ному условию (выигрышу конкретного игрока). Эту задачу можнорешать достаточно формально – сначала написать на листочкелюбую цепочку игры с разрешенными ходами и заданной на-чальной позицией. Далее нужно определить победителя в этойигре, а чтобы ребятам сделать это было проще, посоветуйте импомечать результаты ходов Первого своим цветом, как это сде-лано на листе определений. Если кто-то из ребят нарисовал всебусины цепочки одним цветом, то попросите его расставить надкаждой бусиной начиная со второй цифры I или II в зависимостиот того, кто из игроков привел игру к этой позиции. Итак, мы на-рисовали произвольную цепочку игры, например:

I II I II I II10–9–6–4–2–1–0

Оказалось, что в данной партии выиграл Второй, значит этуцепочку следует записать во второе окно. Чтобы получить теперьцепочку, в которой бы выиграл Первый, достаточно немного «по-править» уже составленную цепочку, сделав в ней на одну бусинубольше или на одну бусину меньше. Оказывается это можно сде-лать всегда. Действительно, в процессе игры кто-то из игроковсделает хотя бы один ход в 2 или 3 камешка, либо все ходы бу-дут по одному камешку. В первом случае мы сможем разделитьход на два (1 и 1 или 1 и 2), во втором – мы сможем сделать издвух ходов по одному камешку один ход. Например, нашу це-

⊕Ю

W

F

21

Купiў бы сяло ды грошай гало.З легендаў i казак былых покаленняў

Ты выткана, дзiўвная родная мова.Малы жук, а вялiкi гук.Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць?

Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць?Не пасеяўшы, не пажнеш.

укр.: Прийшов, побачив, перемiг.I широкую долину не забуду я.Якби ви вчились так, як треба,

То й мудрiсть би була своя.Реве та стогне Днiпр широкий.А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко!По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає.Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами!Огнi горять, музика грає.Якби з ким сiсти хлiба з’їсти.

Про остальные фразы, опираясь на буквы и-ы нельзя сказать,к какому они языку относятся, поэтому в окне рядом с каждой изних пока можно поставить знак вопроса. Однако, если вы чувст-вуете, что ребенок сильный, можно предложить ему продолжение(и усложнение) данной задачи. Обратите внимание такого учаще-гося на фразу из условия «В украинском и белорусском алфави-тах есть и другие буквы, которых нет в русском, но в каждом изэтих алфавитов свои (в одном – одни, в другом – другие).» Тогдафразы, которые мы уже отнесли к определенному языку, позво-ляют найти такие буквы – в украинском алфавите это ї и є, а вбелорусском - ў. Используя эту новую информацию, мы опреде-ляем: бел.: Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо.

Добрага здароўя!укр.: Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує.

Сонце грiє, вiтер вiє.Таким образом, мы не смогли определить, на каком языке напи-саны лишь три фразы:(бел.): Дома i салома ядома.

Можа на двое варожа. (укр.): I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь.

Данная задача позволяет провести интересное знакомство сязыком наших соседей. Основываясь на том, что большинствобукв в русском, белорусском и украинском языках общие, можнопопросить ребят почитать приведенные фразы. Основываясь насхожести слов, можно попробовать перевести их на русский язык

20

Задача 22. Необязательная. Решение данной задачи потре-бует от детей определенной аккуратности. Тонкость здесь такая(о ней мы говорили раньше и напоминаем сейчас): выражение«следующая бусина после каждой красной бусины – зеленая ква -дратная» означает, что после каждой красной бусины стоит ка-кая-то бусина, то есть всякая красная бусина не последняя (азначит последняя бусина – не красная).

Возможно, кто-то из детей заметит, что «бусины в цепочкеповторяются, идут в одном порядке» и т. д. Это действительнотак, цепочки наши – периодические. Как это точно сформулиро-вать? Если разговор возникнет, попробуйте придумать, что в точ-ности мы хотим сказать. Одна из точных формулировок состоит втом, что для каждой бусины третья после нее, если она есть, та-кая же, как и она сама. Если разговор об этом не зайдет, то такоеобсуждение, конечно, не обязательно.

Ответ:

Задача 23. Необязательная . Как мы уже обсуждали впособии для 3 класса, различия между математическими (и ин-форматическими) и лингвистическими задачами достаточносуществены. Напомним, что в математических задачах мы всевремя старались, чтобы все «правила игры» были выписаны явно.Например, чтобы говорить о буквах русского языка, следует ихвсе выписать, чтобы говорить о гласных буквах, их опять-такинадо выписать явно. В лингвистических же задачах часто исполь-зуются сведения, явно не выписанные, но которые могут быть по-черпнуты из других источников или могут представляться оченьправдоподобными. Эта разница весьма принципиальна и отлича-ет математику от других наук, обращающихся, как и лингвисти-ка, за информацией к внешнему миру, а не только к правиламматематической игры.

Как и многие лингвистические задачи, данная задача много-слойна и позволяет провести разнообразную работу в зависимос-ти от уровня детей в классе. Первый уровень, обязательный длявсех ребят, которые взялись решать эту задачу – распределитьвсе фразы, ориентируясь на буквы ы и и, то есть выполнить то,что требуется в условии. Из задания следует, что все фразы, гдевстречается буква и - украинские, а ы - белорусские: бел.: Добры нос фiгу за вярсту чуе.

У Т В Е Р Ж Д Е Н И ЕСледующая бусина после каждой квадратной – жёлтая круглая.Следующая бусина после каждой красной – зелёная квадратная.Следующая бусина после каждой круглой – красная треугольная.Вторая бусина перед каждой зелёной – жёлтая.

ЛКИИ–ИИ––И

23

Игры в Города и в СловаВы, конечно, обратили внимание на то, что игры в Города и в

Слова не совсем подходят под наше определение игр с двумяигроками: во-первых, в эти игры могут играть и больше двух иг-роков, а, во-вторых, непонятно, как определить заключительнуюпозицию. Действительно, вспомните, как обычно играют в Словаили Города. Очень редко игра заканчивается тем, что кто-то изигроков не может назвать очередного слова. В большинстве слу-чаев игра может продолжаться практически бесконечно, а закан-чивается просто потому, что игра наскучила или пора заниматьсядругими делами. И тогда никто не выясняет, кто же выиграл –игра просто прерывается.

С другой стороны, наверняка большинство детей в вашемклассе знает правила этих игр и играет в них дома, и жалко былобы это не использовать. Если цепочка игры в Слова (или в Города)уже задана, то последнее слово в ней и будет являться заключи-тельной позицией. К тому же, если цепочка игры уже задана, илизадание состоит в том, чтобы просто создать какую-нибудь це-почку игры по правилам, то оказывается неважным, сколько жеигроков на самом деле принимало участие в игре. Поэтому мырешили все же дать несколько задач, в которых используются иг-ры в Слова и в Города.

Комментарии к задачам 24–38 Части 1Задача 24. Обсудите с детьми, какие трудности у них возни-

кали при решении задачи, проще ли было ее решать, чем простоиграть в Слова, или наоборот, сложнее.

Полезно спросить ребят, все ли слова, приведенные в цепоч-ке им известны. Например, многие могут не знать, что такоеНОКТЮРН или АМФОРА. В этом случае обязательно нужно по-просить ребят обратиться к толковому словарю.

Задача 25. Детям будет не так-то легко придумать цепочкуиз 14 слов. Стоит с теми, кому это интересно, обсудить, как надопоступать, чтобы цепочка была подлиннее. Возникнут разныемнения: «Города часто кончаются на Д, бывают города, кончаю-щиеся на А, а с такими первыми буквами городов немного». Нучто же, можно начать выписывать все названия городов (и другиетопонимы) подряд, кто сколько знает, а затем проанализировать,как из них создать самую длинную цепочку нашей игры.

Кроме того, можно использовать эту и подобную ей задачидля общего развития детей – например, как повод для знакомст-ва с географической картой и атласом. Конечно, искать городана карте или в алфавитном указателе атласа проще, чем простовспоминать. Но можно и усложнить задание – каждый ряд будетискать города в своей части света или на своем материке. Если вы

22

или пофантазировать, что они могут означать. Интересно про-следить также, какие аналоги некоторые из приведенных фраз(пословицы и поговорки) имеют в русском языке. Ниже приводимперевод всех фраз на русский язык.

Добры нос фiгу за вярсту чуе. – Хороший нос фигу за верстучует.

Прийшов, побачив, перемiг. – Пришел, увидел, победил.Купiў бы сяло ды грошай гало. – Купил бы село, да денег нет

[букв.: голо].З легендаў i казак былых покаленняў Ты выткана, дзiўвная

родная мова. – Из легенд и сказок былых поколений ты выткана,дивная родная речь.

I широкую долину не забуду я. - И широкую долину незабуду я.

Малы жук, а вялiкi гук. - Мал жук, а шума много [букв.:большой шум].

Дома i салома ядома. – Дома и солома съедобна.Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. –

Если бы вы учились так, как нужно, то и мудрость (у вас) была бысвоя.

Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць? Хто вас змерыць?Хто вашы звiвы ўсе праверыць? – Дороги, темные дороги! Кто вассосчитает? Кто вас измерит? Кто все ваши повороты проверит?

Не пасеяўшы, не пажнеш. – Не посеешь – не пожнешь.I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь. – И чужому

учитесь, и своего не чурайтесь.Реве та стогне Днiпр широкий. – Ревет и стонет Днепр

широкий.А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко! – А ты,

всевидящее око! Не слишком видишь ты глубоко!По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає. – По улице ветер веет, да

снег заметает.Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами! – Думы мои думы,

тяжело мне с вами!Огнi горять, музика грає. – Огни горят, играет музыка.Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує. - Поет и

плачет Ярославна, как та кукушечка кукует.Якби з ким сiсти хлiба з'їсти. – Как бы с кем сесть, хлеба

съесть.Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. - Что

хуторок, то говорок, что сельцо, то (собственный) нрав (ср. русск.Что ни город, то норов).

Добрага здароўя! - Доброго здоровья!Сонце грiє, вiтер вiє. - Солнце греет, ветер веет.Можа на двое варожа. – «Бабушка надвое сказала» [букв.:

«Может» надвое ворожит].

25

баков (1946) – Рыбинск (1957) – Андропов (1984) – Рыбинск (1989). Топонимы можно классифицировать также по понятности, но

понятность может быть мнимая. Так, деревня Ленино (сейчас Ис-тринского района Московской области) называлась так еще до рож-дения В. И. Ульянова, г. Пропойск (с 1945 – Славгород) не имеет от-ношения к пьянству: он был когда-то Пропошеском и назван по ре-ке. А в Брянске, например, нет ничего загадочного, поскольку выросон в лесных дебрях и некогда именовался Дьбьрянскъ. И уж конеч-но, «смешные» иностранные топонимы типа индонезийского городаТаракан не имеют ничего общего с их случайными русскими фоне-тическими аналогиями.

Задача 26. Данная задача на установление соотношениймежду одномерными и двумерной таблицей для одного мешка. Втретьем классе ребятам уже приходилось встречаться с задачами,где требовалось заполнить для одного мешка и одномерные, идвумерную таблицу. Тогда мы советовали вам обратить вниманиеребят на совпадение сумм по столбцам (или по строкам) двумер-ной таблицы с соответствующими числами одномерной таблицыи использовать полученную закономерность в ходе проверки.Впрочем,тогда без этого можно было обойтись. Здесь же для ре-шения необходимо понимание характера связи чисел в разныхтаблицах. Например, учащиеся должны понимать, что общее чис-ло красных фруктов в двумерной таблице (сумма чисел второйстроки) равняется числу в первом столбце первой одномернойтаблицы (10). Исходя из этого можно заполнить пустую клетку вовторой строке двумерной таблицы. Аналогично можно заполнитьпустую клетку в последнем столбце двумерной таблицы, исполь-зуя число слив содержащееся во второй одномерной таблице.Так мы продолжаем рассуждать до тех пор, пока вся двумернаятаблица не будет заполнена. После этого можно будет заполнитьпустую клетку в одномерной таблице.

Ответ:

Задача 27. Здесь мы играем за двоих, подыгрывая либо Пер-вому, либо Второму.

Однако, можно попытаться объяснить ребятам и «честное»решение, в котором мы стараемся никому из игроков не подыг-рывать. Проанализируем ситуацию, создавшуюся на поле. Учиты-вая очередность ходов, можно сделать вывод о более выгодномположении Второго игрока (его очередь делать ход).Среди всех возможных его ходов самый выгодный -поставить нолик в правый верхний угол:

24

проводите урок или классный час по краеведению, возьмите кар-ту своей области. Ведь игра в Города должна не только развиватьпамять, но и помогать учащимся приобретать новые знания. Заметки о топонимике

Географические названия иначе называются топонимами («местимена»), совокупность топонимов – топонимией. По типу географи-ческого объекта топонимы разделяются на оронимы (именования ре-льефа), гидронимы (имена водных объектов), хоронимы (имена тер-риторий), ойконимы (названия населенных пунктов), урбанонимы(названия частей населенных пунктов – кварталов, улиц, отдельныхзданий; иногда этот же термин используется вместо слова ойконим)и др.

Ойконимы, а тем более урбанонимы появились лишь в неолите,да и то не сразу, а остальные – еще раньше, вместе с человеческимязыком, то есть никак не меньше, чем 300 тыс. лет назад. Нам изве-стны топонимы лишь со времени появления письменности, причемнекоторые топонимы сохраняются уже на протяжении четырех и бо-лее тысячелетий. Возраст многих топонимов определить невозможно(таких, например, как Волга), возраст других вполне понятен, неза-висимо от времени их фиксации в письменных источниках. Так, на-звания рек Дон, Днепр, Днестр, содержащих элемент дон/дн, кото-рый означает «река» в ряде древних иранских языков (и в современ-ном осетинском), восходят к скифам или сарматам (они были иран-цами по языку) – то есть имеют возраст порядка двух тысяч лет илибольше.

Географические объекты получают имена тогда, когда появля-ются, становятся известны или осознаются как таковые. Поэтому 15тыс. лет назад ничто и никак не могло называться в Новом Свете, на-звания океанов в принципе не могли существовать тысячу лет назад,реки Енисей и Амазонка в те времена как-то назывались (причемнаверняка в разных местах по-разному), но их общепринятых, «ми-ровых» названий быть не могло. До 1819 г. никто никак не мог на-зывать географические объекты в Антарктике, до 1913 г. не был из-вестен архипелаг Земля Николая II, который в 1918 г. этого назва-ния формально лишился, но нового (Северная Земля) не имел до1926 г.

Географические названия со временем могут меняться фонети-чески, переосмысливаться в духе народной этимологии, но часто приэтом преемственность остается заметной. Скажем, Царское Село вXVIII веке называлось Сарским (от финского saari, 'остров'), а городЦарицын назван по местному тюркскому топониму S a r y y ‰ i n, гдепервая часть означает 'желтый'. При всей внешней прозрачности зна-чения эти топонимы к царям отношения не имели и оставались одинфинским, а другой тюркским. Пока Царское село не стало называть-ся Детским Селом, а Царицын Сталинградом.

В СССР некоторые административные замены топонимов носили«челночный» характер – случай, кажется, не имеющий в мире преце-дентов, например: Луганск – Ворошиловград (1935) – Луганск(1958) – Ворошиловград (1970) – Луганск (1990); Рыбинск – Щер-

ЯБЛОКИКРАСНЫЕЦВЕТ ФРУКТЫ

ЖЁЛТЫЕСИНИЕ

ГРУШИ СЛИВЫКРАСНЫЕ ЖЁЛТЫЕ СИНИЕ

ЯБЛОКИ ГРУШИ СЛИВЫ6 6 5

10 4 32 5 34 0 00 1

26

Этим Второй одновременно мешает Первому получить три крес-тика на диагонали и создает позицию, приводящую к собствен-ной победе вне зависимости от следующего хода Первого. Дей-ствительно, в сложившейся позиции Второй может получить тринолика либо на верхней горизонтали, либо на правой вертикали,а Первый при этом следующим ходом может помешать ему полу-чить только одну из этих троек. Итак, если Второй играет «по-настоящему», то он наверняка сделает этот выигрышный ход, имы достроим цепочку В (ведь именно игра с цепочкой В должназакончится выигрышем Второго!), например, так:

Теперь нам надо все-таки построить цепочку А игры, где вы-игрывает Первый. Для этого Второму придется «подыграть» Пер-вому, не делать своего выигрышного хода и поставить нолик не вправую верхнюю клетку. Тогда партия сразу закончится выигры-шем Первого, и мы достроим цепочку А, например, так:

Задача 28. Конечно задача эта совсем простая, но она даетребятам представление о том, что в некоторых партиях игры вКамешки у игрока просто нет выбора. Иногда это касается толькоодного игрока, то есть он проигрывает при любых своих ходах.Гораздо реже такая ситуация касается обоих игроков и партияпредопределена с самого начала, как в данной задаче. Чтобы всеучащиеся заметили это, в задаче приведено последнее задание, вкотором мы просим ребят подумать, существует ли хотя бы однадругая цепочка игры по тем же правилам (конечно, такойцепочки не существует).

Задача 29. Необязательная. Данная задача - первая из но-вой серии задач на разрезание. Задачи на разрезание органичновписываются в наш курс по нескольким причинам. Во-первых,они перекликаются с задачами про Робота, в которых нам прихо-дится вписывать заданную фигуру из клеток в поле определен-ной формы. Во-вторых, в ходе решения задач на разрезание мына более высоком уровне повторяем тему «Одинаковые фигур-ки». В-третьих, такие задачи позволяют проиллюстрировать ме-тоды решения, с которыми дети уже познакомились в ходе изу-чения нашего курса - метод проб и ошибок и метод перебора.

27

Большинство ребят, скорее всего, начнут решать методомпроб и ошибок, разрезая фигуру на две части как-нибудь. В ходетаких проб у учащихся могут сформироваться соображения, ко-торые позволят избежать лишней работы. Самое простое такоесоображение - посчитать число клеток в исходной фигуре и оп-ределить, сколько клеток должна содержать каждая из частей(получаем 6 клеток). Таким образом, одно из возможных реше-ний состоит в том, чтобы отрезать от исходной фигуры, различ-ные части по 6 клеток и сравнивать их с оставшейся частью. Дру-гое, менее очевидное соображение состоит в том, что крайняяправая клетка и соседняя с ней слева должны обяза-тельно принадлежать к одной из частей (в противномслучае одна из частей будет состоять из одной клет-ки). Пробуя присоединять к этим двум клеткам еще 4из числа соседних, можно организовать разумныйперебор вариантов и найти правильный ответ (см.рисунок).

Указание вырезать с листа вырезания такую же фигуру и раз-резать ее на две одинаковые части служит проверкой. Действи-тельно, после того, как учащийся это сделает, он может легкоубедиться в правильности своего решения (или наоборот), дляэтого достаточно наложить одну часть на другую. При правиль-ном решении части должны совпасть. В ходе решения этой зада-чи наглядно обнаруживается, что симметричные фигуры (симмет-ричные относительно прямой) тоже являются одинаковыми. Этотвид одинаковых фигур был представлен на листе определенийво втором классе, но явно мы им с тех пор не пользовались –просто не было необходимости. Действительно, сравнивая двефигурки раньше, мы имели в основном в виду форму и цвет. Ре-бята оценивали одинаковость фигурок, проглядывая и сопостав-ляя их, то есть как бы мысленно двигая их по листу, но не пере-ворачивая их. В наших задачах на разрезание понятие одинако-вости идентично тому, что принято в геометрии, где фигуры счи-таются одинаковыми в том случае, если они при наложении сов-падают. При этом в качестве наложения может использоваться нетолько параллельный перенос (движение фигуры по плоскости),но и поворот, а также симметрия относительно прямой (отраже-ние, которое ребенок может осуществить, вырезав фигуру излиста и перевернув ее лицом вниз).

Задача 30. Если никто не решит эту задачу быстро, можнозаняться увлекательным делом - объединением частичных реше-ний, полученных разными детьми. Можно начать выписывать сло-ва, которые начинаются и кончаются на букву К, на доске, или напленке проектора, или на компьютерном экране, проектируемомна большой экран. Тогда дети смогут добавлять свои слова к ре-шению, пока всем классом не удастся найти по крайней мере 6таких слов.

B

A

29

Задача 31. Возможных партий в Камешки по таким правиламне так уж и много, всего 6. В двух из них выигрывает Второй:

5-4-0 и 5-1-0В остальных выигрывает Первый:

5-4-1-0; 5-4-3-0; 5-4-3-2-1-0; 5-2-1-0Конечно, для начала можно написать любую партию по таким

правилам, затем определить в ней победителя и записать ее в со-ответствующее окно. Однако, в отличие от подобной задачи 19,такую партию не всегда можно будет легко переделать так, что-бы изменился победитель, поэтому подумать ребятам все-таки

28

Можно поступить и так. Начав с того учащегося, который на-шел меньше всего слов, и выписав его слова первыми, двигатьсядалее в сторону увеличения количества слов. Если надо, можнооставить задачу на дом. Для удобства мы приводим здесь списокподходящих слов из орфографического словаря. кабак (питейное заведение)кабанчик (маленький кабан)кабачок (овощ)каблук (деталь обуви)кавардак (беспорядок)кадык (часть гортани)казак (член этносословнойгруппы казаков)казанок (посуда)казачок (народный танец)каймак (сливки с топлёногомолока)калачик (от калач)калмык (национальность)камелёк (небольшой камин,очаг)каменщик (рабочий)камешек (или камушек, откамень)кантик (от к а н т – узкийшнурок, полоска ткани)канюк (птица)капканчик (от капкан)капустник (огород; червь;кушанье; шутливо-пародий -ное представление)карабинчик ( о т к а р а б и н –оружие; приспособлениедля зажима)каракалпак ( н а ц и о н а л ь -ность)карандашик (от карандаш)карапузик (от карапуз)карасик ( о т к а р а с ь – рыба)караульщик (тот, ктоохраняет)карлик (человек ненормаль -но маленького роста)карманник (вор)карманчик (от карман)кармашек (маленький кар -ман)картёжник (игрок в карты)касатик (ласковое обраще -ние)катафалк (погребальная ко -лесница; возвышение, на ко -торое ставится гроб)каток (площадка для ката -ния; машина для укатыва -ния грунта)католик (тот, кто испове -дует католицизм)каторжник (человек, со -сланный на каторгу)катышек (маленький комо -чек из мягкого вещества)каучук (упругое вещество,применяемое для изготовле -ния резины)кафтанчик ( о т к а ф т а н –старинная мужская верхняяодежда)

каштанчик (от каштан)каюк (лодка)каяк (лодка)квадратик (от квадрат)кварк (частица)квасок (от квас)квиток (квитанция, распис -ка)кедровник (кустарник илилес из кедровых деревьев)кекуок (танец американ -ских негров)келейник (прислужник присвященнослужителе; чело -век, живущий в келье)кенгурёнок (маленький кен -гуру)кержак (старообрядец)керосинщик (продавец ки -росина)кибернетик (ученый)кивок (наклон головы)к и з я к (высушенный навоз,употребляемый как топливо)киоск (небольшая построй -ка для мелкой торговли)кипятильник (прибор длякипячения воды)кипяток (кипящая или толь -ко что вскипевшая вода)кирпичик (от кирпич)киселёк (или киселик – откисель)китайчонок (от китаец)кишечник (часть пищева -рительной системы)кишлак (селение в СреднейАзии)кладовщик (работник кла -довой, склада)классик (выдающийся пи -сатель, композитор и т. п.)клеветник (тот кто рас -пространяет клевету –ложный слух, позорящий ко -го-либо)кленок (от клён)клерк (конторский служа -щий)клик (крик, зов, возглас)клинок (режущая частьхолодного оружия)клинышек (от клин)клобук (головной убор мо -нахов)клок (пучок , торчащаячасть или обрывок)клочок (от клок)клубенёк (от клубень)клубок (шар из смотанныхниток)клык (зуб)ключик (от ключ)

ключник (слуга)кляузник (тот, кто пишеткляузы – жалобы, доносы)князёк (от князь)коврик (от ковёр)ковшик (от ковш)коготок (от коготь)козлёнок (маленький козёл)козлик (от козёл)козырёк (щиток у головно -го убора или навес)кок (повар на судне)кокошник (старинный рус -ский головной убор)колобок (небольшой круг -лый хлебец)колок (деталь музыкально -го инструмента для закреп -ления струн)колокольчик ( р а с т е н и е ;музыкальный инструмент)колосник (чугунная решет -ка в топках; настил из жер -д е й для просушки)колосок (от колос)колпак (головной убор)колхозник (член коллектив -ного хозяйства)колышек (маленький кол)комарик (от комар)комик (артист)комок (то же, что ком)конёк (или коник, от конь)конник (кавалерист)контрразведчик ( р а б о т н и корганизации по противодей -ствию разведке противника)кончик (небольшая часть,прилегающая к краю чего-либо)коньяк (крепкий спиртнойнапиток)копейщик (воин с копьём;копейный мастер)копчик (нижняя конечнаячасть позвоночника челове -ка)кораблик (от корабль)коренник (средняя лошадьв тройке)корешок (от корень; частьпереплёта книги)коржик ( о т к о р ж – конди -терское изделие в виде ле -пешки)коридорчик (от коридор)кормщик (рулевой, управ -ляющий движением судна)коробейник (в прошлом:мелкий торговец-разносчик,носивший по деревням тка -ни и др.)

коробок ( о т к о р о б или ма -ленькая коробочка)коровник (помещение, хлевдля коров и быков)коровяк (коровий навоз)королёк (птица их отрядаворобьиных или сорт апель -сина)кортик (холодное колющееоружие)коряк (представитель на -рода коряки)костылик (от костыль)костюмчик (от костюм)костяк (остов человека(или животного), состоя -щий из костей; основа, опо -ра чего-либо)косяк (часть дверной илиоконной рамы; скоплениерыбы или лошадей)котелок (небольшой котел;мужская шляпа)котёнок (маленький кот)котик (от кот)кофеёк (от кофе)кофейник (сосуд для варкикофе)кочевник (человек, ведущийкочевой образ жизни)кошатник (любитель ко -шек)кошелёк (мешочек или кар -манная сумочка для денег)краешек (крайняя узкая по -лоска чего-либо, кончик)краковяк ( н а ц и о н а л ь н ы йпольский танец)крановщик (рабочий, об -служивающий подъёмныйкран)крапивник (заросли крапи -вы или мелкая птичка отря -да воробьиных)красавчик (от красавец)кренделёк (от крендель)крепостник (помещик, сто -ронник и защитник крепо -стного права)крестик (от крест)

крестник (крёстный сын поотношению к восприемни -кам)крик (громкий звук голосаили восклицание)кристаллик (от кристалл)критик (тот, кто подвер -гает разбору и оценке чьи-либо действия или тот,кто критикует)кровельщик (рабочий, спе -циалист по покрытиюкрыш)кровник (человек, находя -щийся в отношениях кров -ной мести с другим родом)кролик (небольшой зверёк,родственный зайцу из отря -да грызунов)крольчатник ( п о м е щ е н и едля кроликов)крольчонок ( м а л е н ь к и йкролик)кротёнок (маленький крот)кругляк (лесной материал(чурбан, обрубок дерева) ок -руглой формы или округлыйкамень)кружок (от круг)крупеник (кушанье из греч -невой каши, запечённой створогом и яйцами)крыжовник (колючий ягод -ный кустарник; ягоды это -го кустарника)крымчак (коренной жи -тель Крыма)крысёнок (маленькая кры -са)крюк (толстый металличе -ский стержень с загнутымконцом) крючок (небольшой крюкили приспособление для вя -занья)кубик (от куб)кубок (сосуд для питья иливручаемый как приз)кубрик (помещение на су -дах для команды)кувшинчик (от кувшин)

кувырок ( г и м н а с т и ч е с к о еупражнение)кудесник (волшебник, кол -дун)кузнечик (насекомое)кузовок (небольшой кузов)кукольник (мастер, делаю -щий куклы)кукурузник (кукурузное по -ле или вид легкого учебно-тренировочного самолёта)кукушонок (детёныш ку -кушки)кулак (кисть руки с согну -тыми и прижатыми к ладо -ни пальцами)кулачок (от кулак)кулёк (небольшой бумаж -ный мешочек, свёрток)кулик (небольшая болот -ная птица)куличик (от кулич)куманёк (от кум)кумык (национальность)кунак (у кавказских горцев:друг, приятель)купальник (купальный кос -тюм)купальщик (тот, кто ку -пается)купончик (от купон)курильщик (тот, кто ку -рит, привык курить)курок (деталь оружия)курортник (тот, кто от -дыхает на курорте)курятник (помещение длякур)кусок (отделённая, отло -манная, отбитая и т.д.часть чего-то)кустарник (то же чтокуст или заросли кустов)кустик (небольшой куст)кутёнок (щенок – детёнышсобаки)куток (угол, уголок)кушак (пояс)куявяк (народный польскийтанец)

31

Задача 34. Необязательная. Скорее всего, дети воспользу-ются методом проб и ошибок или методом перебора. Проще все-го узнать первую команду в первой конструкции повторения,ведь вправо - единственная команда, которую может выполнитьРобот из начального положения, не выходя за пределы закра-шенной фигуры. Вторую команду можно выяснить перебором.Действительно, команду вниз Робот выполнить не может (тогдаон выйдет за пределы поля), вправо - может, но тогда Робот неповторит команды внутреннего цикла даже дважды. Остаютсядве возможные команды - влево и вверх, которые надо рассмо-треть подробнее. Выбрав команду вверх, мы подбираем числоповторений - здесь возможны два варианта - 2 и 3. Сравнивая накаждом этапе результат выполнения конструкции с клетками, за-крашенными в задании, дети постепенно находят правильныйответ. Закончить решение задачи, конечно, необходимо провер-кой - выполнением написанной программы на соответствующемполе (можно использовать поля с листа вырезания).

Ответ: ПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвправовверх

КОНЕЦПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвлево

КОНЕЦПОВТОРИТЬ 3 РАЗАвнизвлево

КОНЕЦЗадача 35. Необязательная . Для решения этой задачи

главное – это представить себе процесс распиливания и, по воз-можности, перевести его в математическую модель. Главная идеяздесь в том, что, распилив одно бревно на несколько частей, мы

30

придется. Один из вариантов решения - игровой: поиграть с со-седом в подобную игру и экспериментальным путем составитьпартии. Этот вариант также хорош для тех ребят, которые любятсоставлять «честные» партии, в которых игроки не поддаютсядруг другу.

Другой вариант решения - метод перебора. Лучше всего на-чать такой перебор по первому ходу Первого и закончить его кактолько найдутся две подходящие партии. Проще исследоватьпартии, где Первый берет сразу несколько камешков, например,четыре. Тогда на втором ходу выигрывает Второй и получившу-юся партию можно записать во второе окно. Если Первый беретна первом ходе 3 камешка, то дальше игра также идет без вари-антов и выигрывает Первый.

Задача 32. Здесь ребята вспоминают особенности работы сконструкцией повторения. Если кто-то запутался, посоветуйтеему отмечать, сколько раз выполнены внутренние команды каж-дой конструкции повторения, ставя пометку около соответствую-щей конструкции каждый раз доходя до слова КОНЕЦ. Такжеможно попросить ребят в этой задаче ставить пометку на полепосле выполнения каждой конструкции повторения. Тогда в слу-чае ошибки вы сможете понять, при выполнении какой частипрограммы она допущена. При пра-вильном решении положение Роботана поле после выполнения програм-мы совпадает с положением в на-чальной позиции.

Ответ: вот позиция после выпол-нения программы Ю (см. картинку).

Задача 33. Здесь при построении каждой цепочки требуетсясоблюдение двух условий: Ползунок должен проходить через за-данный отрезок и выиграть должен определенный игрок. Первоеусловие соблюсти достаточно легко - надо просто пристраиватьходы к заданному отрезку. Что касается второго условия, здесьмогут помочь некоторые соображения, касающиеся связи междувыигрышем определенного игрока и четностью-нечетностьючисла звеньев Ползунка. Ясно, что если число звеньев Ползункачетное, то выигрывает Второй, если нечетное - Первый. Крометого, число звеньев Ползунка связано с числом точек на поле, че-рез которое он прошел: Ползунок из нечетного числа звеньевпроходит через четное число точек и наоборот. Таким образом,чтобы выиграл Второй нужно, чтобы Ползунок прошел через все 9точек поля, а чтобы победу одержал Первый - через 8 или 6(других вариантов на данном поле не может быть). Если кто-тоиз ребят будет строить Ползунок наугад и запутается, натолкнитеего на подобные соображения. Ниже мы приводим два примерацепочки К и один пример Л.

К

К

Л

33

ние Соловьёво - русское, так как содержит ё, которой в украин-ских словах не бывает.

Названия Быхаў и Магiлёў - точно не украинские, так как со-держат соответственно буквы ы и ё, которых нет в украинскомалфавите. Кроме того, эти названия – не русские, т. к. содержатнерусскую букву ў. Значит, это белорусские названия. Можетбыть, кто-то из детей, вдумчиво поработавших с задачей 23,сразу вспомнит, что буква ў – белорусская и сразу отнесет этислова к белорусскому языку.

Также белорусским является название Палыковiчы, посколькуоно содержит ы и i одновременно.

Названия Рэчыца и Стрэшын - белорусские, поскольку содер-жат ы, которой нет в украинском алфавите и не могут быть рус-скими, так как в них нарушен общеизвестный запрет на написа-ние ы после ш и ч.

Верхнеднепровский - явно не белорусское слово (из-за и), посоставу букв оно может показаться и украинским, но от него ра-зительно отличается по написанию украинское Верхнь -однiпровськ. Значит, это слово русское.

Вот как расположены эти населенные пункты по течениюДнепра:

Россия: Верхнеднепровский, Соловьёво;Белоруссия: Палыковiчы, Магiлёў, Быхаў, Стрэшын, Рэчыца;Украина: Свiтловодськ, Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ,

Нiкополь.Ответ: Украинские названия: Верхньоднiпровськ, Днiпропет -

ровськ, Нiкополь, Свiтловодськ.Белорусские названия: Быхаў, Магiлёў, Палыковiчы, Рэчыца,

Стрэшын.Русские названия: Соловьёво, Верхнеднепровский.Задача 38. Необязательная. Наверняка самый первый ответ,

который придет в голову ребятам - 12 яиц, но он неверный. Наи-более простой способ показать это учащимся - спросить, сколькояиц снесут 12 куриц за 3 дня (или 3 курицы за 12 дней). Посте-пенно ребенок начнет понимать, что число яиц увеличивается в 4раза за счет увеличения числа дней и еще в 4 раза за счет увели-чения числа куриц.

Ответ: 48 яиц.

Контрольная работа № 1. Ответы и решенияЗадачи контрольной работы мы поместили на вкладыше. Вы

можете вынуть эти листы из учебников заранее, с самого началаработы, чтобы не искушать детей решать задачи заранее. Дляэтого же мы сняли с этих страниц название «Контрольная рабо-та», остались только номера вариантов. При этом первое число вномере варианта - это номер контрольной работы (их всего 4 в

32

всегда получаем поленьев на одно больше, чем сделали распилов(например, сделав 1 распил, мы получаем 2 полена). Теперь ясно:чем больше мы возьмем бревен, тем меньше распилов нам пона-добится, чтобы получить заданное число поленьев. Например,если мы хотим иметь 20 поленьев, то, взяв одно бревно, необхо-димо сделать 19 распилов, а взяв 10 бревен, лишь 10 распилов.(В этой задаче мы не принимаем во внимание, что поленья обыч-но отпиливают определенной длины, например, для печногоотопления. Здесь нам важно лишь число получившихся кусков. Вэтом смысле для нас бревно и полено ничем не отличаются.) По-этому, чтобы сделать 52 распила и получить 72 полена, надовзять 20 бревен. Идея эта хоть и проста, но не все ребята сразудо нее догадаются. Помогите им представить процесс распили-вания. Можно посоветовать им рисовать на листочке бревна ирассекать их линиями, считая число получившихся кусков. Начатьнадо, конечно, с одного бревна и постепенно увеличивать ихчисло до тех пор, пока ребенок не поймет закономерность.

Ответ: Было 20 бревен.Задача 36. Здесь ребята продолжают играть в Города. Воз-

можно, им стоит напомнить, что в этой игре в качестве ходадопустим любой топоним (не обязательно город). Можно не го-ворить об этом прямо, а просто спросить ребят перед началомрешения, какие географические объекты обозначают данные взадаче слова. Эта и подобные задачи являются хорошим пово-дом, чтобы обратиться к карте, например, найти на ней всевстречающиеся в задаче объекты. Может быть, вы посчитаете по-лезным для ребят найти на карте и топонимы для заполненияокон или посоветуете учащимся обращаться к карте лишь в слу-чае затруднений. Ребятам, которые мало играли в Города, можетбыть, придется напомнить, что если предыдущее слово заканчи-вается на Й, то следующее может начинаться на И или Й, а если -на Ь, то следующее слово должно начинаться на предыдущуюперед Ь букву.

Задача 37. Необязательная. Данная задача гораздо сложнеепредыдущей подобной задачи 23. Во-первых, названия городовнужно теперь распределить не по двум, а по трем языкам. Во-вторых, необходимо использовать не только условие задачи, но ипривлечь информацию, полученную при решении задачи 23, атакже знания о русском языке, полученные в начальной школе.

Прежде всего необходимо понять, что нам дает фраза из ус-ловия о том, что буква о в белорусских словах пишется толькопод ударением (ведь ударение в данных названиях не указано).Оказывается, из этого следует, что в белорусском языке небывает слов с несколькими буквами о! Итак, названия с двумя иболее буквами о – не белорусские. Из них все кроме одного -Соловьёво содержат i, значит, названия Верхньоднiпровськ,Днiпропетровськ, Нiкополь, Свiтловодськ - украинские, а назва-

35

Вариант 1-2:

Задача 3. Конечно, эта задача имеет несколько решений. Ре-шение следует считать верным при соблюдении следующих ус-ловий. На поле построена ломаная из 9 звеньев (проходит через10 точек), то есть на поле остались две точки, через которыеПолзунок не проходит. При этом ни одну из оставшихся точекнельзя соединить ни с одним концом Ползунка разрешеннымобразом. Кроме того, ломаная должна включать в себя ровно 5синих отрезков и 4 зеленых.

Задача 4. Также как и в задачах 1 и 3, правильных ответовздесь довольно много, однако в данной задаче надо нарисоватьне заключительную позицию партии, а всю цепочку партии цели-ком. Правильно выполненное задание - цепочка игры из 5 (6 вовтором варианте) позиций, первая из которых - 10 камешков,последняя - 0 камешков. При этом две соседние позиции разли-чаются на 1, 2 или 3.

Решая задачи из учебника, ребята обычно помечали позиции,появляющиеся в результате ходов Первого и в результате ходовВторого разными цветами. В таком случае вы всегда могли про-верить, понимает ли учащийся, кто делает ход в некоторой пози-ции и кто выигрывает в данной партии. Если вы считаете важнымпроверить это и в контрольной работе, то попросите ребят поме-чать позиции, сделанные разными игроками разными цветами.

Также как и в задаче 1, здесь не оценивается «честность» илиразумность данной партии, то есть, насколько соперники умелоиграют и не поддаются друг другу. Например, следующая це-почка считается верным решением для варианта 1-2, хотя в ре-альной игре Второй, скорее всего, возьмет последние два ка-мешка (вместо того, чтобы брать один) и выиграет.

10-7-4-2-1-0Задача 5. Не смотря на вариативность игры в Слова вообще,

при использовании только слов из мешка, для построения це-почки длины 6 слов в этой задаче в каждом из вариантов имеется

34

этом году), в второе число - номер варианта. Страницы располо-жены так, что каждый вариант помещен на двух сторонах одноголиста.

Итак, для проведения контрольной работы № 1 вам понадо-бятся варианты 1-1 и 1-2.

Цель этой контрольной работы – проверить, насколько детиосвоились с правилами игр в Крестики-нолики, Ползунок, Ка -мешки, Слова. Также мы проверяем умение детей работать с но-вой лексикой, например, такими терминами, как партия, заклю -чительная позиция, цепочка партии и пр. Необязательная задача6 – на повторение: использование конструкции повторения в ра-боте с Роботом.

Задача 1. Для каждой части данной задачи подходящих по-зиций довольно много. Задания следует считать правильно вы-полненными, если соблюдены следующие условия.

Выиграл Первый: на поле должен быть ряд из трех крестиков,не должно быть ряда из трех ноликов, крестиков на поле должнобыть на один больше, чем ноликов.

Выиграл Второй: на поле должен быть ряд из трех ноликов,не должно быть ряда из трех крестиков, ноликов должно бытьровно столько же, сколько и крестиков.

Ничья: все клетки поля должны быть заняты значками, средикоторых должно быть ровно 5 крестиков и 4 нолика. При этом наполе не должно быть ряда ни из трех крестиков, ни из трех но-ликов.

При проверке решения не оценивается, насколько игра с та-кой заключительной позицией «правдоподобна», то есть, на-сколько игроки играли честно и не поддавались.

Задача 2. Здесь мы проверяем умение ребят заполнять таб-лицу кругового турнира. Обратите внимание, в обоих вариантахвстречается ситуация, когда у двух игроков одинаковое числоочков и более высокое место должен занять тот из них, кто побе-дил в партии, которую они играли друг с другом.

Ответ:Вариант 1-1:

Катя 0 2 1 3 IIСаша 2 0 2 4 IМаксим 0 2 1 3 IIIАня 1 0 1 2 IV

1

№ Очки МестоИгрок

234

Сима 2 0 1 3 IIГриша 0 2 1 3 IIIДаша 2 0 2 4 IЛена 1 1 0 2 IV

1

№ Очки МестоИгрок

234

36

лишь один правильный ответ. Ответ:Вариант 1-1: КАРТОН - НОСОК - КАЛИТКА - АРТИСТ - ТЕ-

СТО - ОРЁЛ.Вариант 1-2: МОСТ - ТАРЕЛКА - АДРЕС - СОБОЛЬ - ЛЁД -

ДЕРЕВО.

Задача 6. Необязательная.Ответ:Вариант 1-1: Вариант 1-2:

Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2004

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКАПособие для учителя

4 класс Часть 2. Занятия во второй четверти

39

Робот. Цепочка выполнения программы Элементы цепочки выполнения программы – позиции Робота.

На самом деле это не такое уж существенное новшество. Дело втом, что, во-первых, мы и не говорили раньше, что что-то не мо-жет быть бусиной цепочки. Во-вторых, позиция - это фигурка, иона во многих случаях может считаться просто символом специ-ального алфавита. В-третьих, и саму позицию нетрудно предста-вить в виде цепочки. Например, в нашем случае можно выписы-вать последовательно все клетки в качестве бусин (эти бусиныбудут различаться окраской и наличием/отсутствием Робота). По-следовательность бусин в этой цепочке можно фиксировать по-разному, например, также, как последовательность букв на стра-нице книги.

Цепочка выполнения программы играет важную роль в самыхразных конструкциях и рассмотрениях информатики - и теоре-тической, и практической. Она представляет собой статический(неподвижный, неизменный) объект, являющийся как бы видеоза-писью динамического процесса выполнения программы (так же,как, например, раскадровка мультфильма). Переход к такомустатическому объекту помогает нам разобраться в работе прог-раммы. Часто рассматривается не одна цепочка выполнения ко-манд, а множество таких объектов – в случае, если ход выполне-ния программы не определен полностью исходными данными,или если мы одновременно рассматриваем выполнение програм-мы при различных исходных данных.

Цепочка выполнения программы напоминает цепочку пози-ций игры. Можно обсудить с детьми, какую они видят разницу ичто в этих цепочках похоже. В обсуждении может возникнутьвопрос о том, кто и на каком основании «делает», то есть выби-рает, очередной ход (в случае цепочки позиций игры выбор де-лают игроки на основании правил игры, а в цепочке выполнениякоманд – «выбор» основан на последовательности команд прог-раммы).

Комментарии к задачам 39–47 Части 1Задача 39. Задача на понимание определения. Ответ:

Задача 40. В издании 2004 года в этой задаче допущенаопечатка. В четвертой позиции цепочки У Робот должен нахо-диться на третьей слева клетке второго ряда сверху.

38

Почасовое планирование второй четвертиУрок 9. Робот. Цепочка выполнения программы. (Учебник-

тетрадь, часть 1, с. 24–27.)Урок 10. Дерево выполнения программ. (Учебник-тетрадь,

часть 1, с. 28–31.)Урок 11. Игра в Сим. (Учебник-тетрадь, часть 1, с. 32–35.)Уроки 12–13. Дерево вычисления. (Учебник-тетрадь, часть 1,

с. 36–41.)Урок 14. Контрольная работа № 2, варианты 2-1 и 2-2.

(Учебник-тетрадь, часть 1, вкладыш.)Урок 15. Выравнивание, дополнительные и трудные задачи.

(Учебник-тетрадь, часть 1, с. 42–47, задачи 75, 78, 80-82, 84,85.)

Урок 16. Проект «Угадай задуманную букву». Этап I. (Тетрадьпроектов, с. 3–7.)

Р

4140

Ответ: вверх влево вправо вверх вправо

Задача 41. Здесь ребятам предстоит повторить особенностиупотребления конструкции после каждой для путей дерева. Дей-ствительно, поскольку учащимся требуется найти все объекты,удовлетворяющие условию, необходимо осуществить полный пе-ребор всех путей дерева и для каждого проверить истинность ут-верждения в окне. При проведении этого перебора ребятамвстретятся сложные ситуации, когда желтая круглая бусина вданном пути лишь одна и когда следующей за ней бусины нет. Врезультате получаем, что условию удовлетворяет ровно 3 пути.

Ответ: пути, соответствующие следующим листьям дерева:белая квадратная, красная квадратная, зеленая квадратная.

Задача 42. Это одновременно упражнение на закреплениенового листа определений «Цепочка выполнения программы» изадание на выполнение программы для Робота с неизвестным на-чальным положением (подобные задачи уже были раньше). Глав-ное здесь - определить, из какой клетки начал движение Робот.Для этого можно воспользоваться одним из подходов, знакомыхнам еще из 3 класса: либо последовательно проверять все клеткиполя, как возможные начальные положения, отбрасывая по ходунеподходящие (например, вычеркивать их), либо выполнить про-грамму на клетчатой основе и заштрихованную Роботом фигурупоместить в поле. Поскольку в данном случае поле - прямоуголь-ник, то второй подход делает решение задачи совсем простым.Поэтому второй подход можно посоветовать слабому ученику,если он запутался. Остальных детей лучше, как всегда, «пустить всамостоятельное плавание».

Особенностью данной задачи является прямоугольное поле,значит возможность, например, горизонтального движения Робо-та не зависит от вертикального движения. Поэтому можно от-дельно устанавливать начальное положение по командам вверх-вниз и вправо-влево. Например, цепочка команд по вертикали«вниз, …, вверх,…, вверх, ..., вниз» позволяет сделать вывод,что в начальный момент Робот находился на второй строке. А це-почка команд по горизонтали «.., влево, ..., вправо,…, вправо,вправо,…» говорит о том, что Робот начал движение в клеткевторого столбца. Теперь задача становится совсем простой - на-до вырезать с листа вырезания и наклеить последовательно в це-почку столько полей, сколько команд в программе (ведь однополе для начальной позиции уже есть) и раскрасить клетки. По-лучается следующая цепочка.

Ответ:

Задача 43 – несложная, но полезная. Она приводит к необ-ходимости выполнить операцию, обратную склеиванию цепочек.Решений у данной задачи, конечно, много. Поэтому мы не будемприводить здесь возможные варианты ответа. Тем детям, ктосправился с решением этой задачи очень быстро, можно предло-жить нарисовать цепочку-решение заданной длины (например,длины 7 или 12) или попросить выяснить, является ли решениемнарисованная вами цепочка.

Задача 44. Необязательная. В ходе решения этой задачи ре-бята повторяют понятие уровни дерева. Однако наиболее слож-ным здесь оказывается обеспечить истинность утверждения врамке, ведь бусины из мешков A, B, C, D можно просто нарисо-вать сразу на соответствующих уровнях.

Как же соединить эти бусины в дерево, чтобы в нем не былодвух одинаковых путей? В данной задаче ситуация усложняетсятем, что на каждом уровне есть по несколько одинаковых бусин.В ходе проб и ошибок ребята могут заметить, что никакая бусинатретьего уровня не может иметь 2 (или более) следующих, по-скольку в этом случае в дереве сразу появятся одинаковые пути,ведь все бусины четвертого уровня - одинаковые. Следовательно,каждая бусина третьего уровня должна иметь не более однойследующей. Из этого следует, что ровно одна бусина третьегоуровня является листом. Лучше сделать листом желтую круглую,чтобы уменьшить число одинаковых бусин, которые будут вхо-дить в пути длины 4. Соединим оставшиеся бусины третьего ичетвертого уровней.

Теперь у нас появились два одинако-вых конца пути (желтая круглая – зеленаякруглая). Учитывая то, что первые бусиныэтих путей будут также одинаковые (по-тому что все бусины первого уровня оди-наковые), мы можем поправить делотолько за счет бусин второго уровня -взять в эти пути разные бусины второгоуровня (красную квадратную и синюютреугольную). Правильный ответ в этойзадаче, конечно, не единственный, мыприводим лишь один вариант дерева Х. X

Ц

43

Задача 47. Необязательная. Это первая задача на разреза-ние, где фигура, которую надо разрезать (и части, которые приэтом получатся) состоит не только из целых клеток, но и из поло-винок. Поскольку таких половинок клетки в фигуре ровно две, тосамое простое - предположить, что одна из половинок входит водну часть, а другая в другую, причем крайняя справаполовинка входит вместе с клеткой слева (иначе онаокажется отрезанной совсем). Дальше можно посчи-тать, сколько клеток входит в каждую часть и найти ре-шение в результате достаточно небольшого перебора.

Дерево выполнения программы Как вы уже знаете, дерево помогает нам в тех случаях, когда

необходимо осуществить перебор всех возможных ситуаций,особенно если на каждом новом шаге нам опять предстоит вы-бор. Удержать все возникающие ветвления в голове подчас ока-зывается затруднительно даже взрослому, а ребенку и подавно.Дерево же дает нам простую и понятную модель, отражающуюсразу все варианты возможного развития событий от первого допоследнего шага. Мы уже видели, какую неоценимую помощьоказывают деревья при раскрытии цепочки мешков.

Здесь речь пойдет о дереве возможностей выполнения прог-раммы Роботом. Часто Робот имеет возможность выполнить всечетыре команды из той клетки, где он находится. Единственное,что его ограничивает – это стены, внутренние и внешние. Ясно,что Робот может выполнить команду лишь в том случае, если напути нет стены. Если учесть, что ветвления (варианты выбора)

42

Задача 45. Необязательная. Эта задача по содержанию про-должает серию заданий про Робота, но ее формулировка будетдля ребят новой. Поэтому кто-то из учеников может даже не ра-зобраться - что имеется здесь в виду. Обсудите с ребятами, чтоцепочка Я пока не является цепочкой выполнения программы, ибусины цепочки Я пока нельзя назвать позициями Робота - в нихраскрашены не все нужные клетки, нет жирной точки, указываю-щей, в какой клетке находится Робот. С другой стороны, некото-рые клетки в бусинах цепочки все же раскрашены, и нужно этоучесть - «стереть» раскраску мы не можем.

Вы, конечно, помните, что во всех предыдущих задачах про-грамма и поле Робота однозначно задавали начальную позицию.Самое главное было найти эту клетку. В данной задаче ситуацияиная: Робот может выполнить программу Ю, стартуя из разныхклеток поля. Поэтому для нахождения единственного решениятребуется дополнительная информация. Эта информация зало-жена в раскрашенных клетках бусин цепочки Я.

Несмотря на новизну формулировки, одна из идей, помогав-ших при решении подобных задач ранее, может здесь приго-диться. Достаточно запустить Робота на любом листе клетчатойбумаги, и мы увидим, что он путешествует только по квадратикуиз четырех клеток. Цепочка Я легко позволяет найти эти 4 клет-ки. При этом Робот начинает выполнение программы из левогонижнего угла этого квадратика.

Теперь ребятам осталось лишь аккуратно раскрасить каждуюпозицию в соответствии с командами программы.

Ответ:

Задача 46. Необязательная. Здесь ребята повторяют листопределений «Перед каждой, после каждой», а также «Если бу-сины нет». Действительно, можно сразу отбросить (например,вычеркнуть) те цепочки, где круглая бусина - последняя (у нее«первой бусины после» вообще нет), таких цепочек оказываетсячетыре. Из оставшихся семи подходят лишь 5 цепочек, причем вчетырех из них круглая бусина одна (возможно, кто-то из вашихребят забыл о том, что конструкцию «после каждой» можно упо-треблять и в этом случае).

Ответ:

Я

45

вверх. Далее Робот может выполнить вправо иливниз. Пробуем выполнить каждую из получивших-ся программ Г и убеждаемся, что на данном полевыполнима лишь одна из них:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗАвверхвниз

КОНЕЦЕсли в первом окне записать коман-

ду вправо, то получаем также лишьодну возможную программу Г:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗАвлевовправо

КОНЕЦ

Задача 49. Ребята, разобравшиеся влисте определений, такую задачу решатбез труда. Если у кого-то из учениковвозникнет заминка, то побеседуйте сним о возможностях выполнения команд Робо-том. Понятно, что если Робот стоит на безгра-ничном поле, то он в любой момент может вы-полнить любую из своих 4 команд. Но нам данополе ограниченное и сложной формы. Поэтомупервый ваш наводящий вопрос может быть таким:«Какие команды может выполнить Робот в начальной позиции?»

44

возникают и на первом, и на втором, и на третьем (и т. д.) шагах,то возникает множество вариантов возможных путей Робота. Со-ответственно возникает множество программ (заданной длины),которые Робот может выполнить из данного начального положе-ния. Конечно, учесть все варианты нам поможет дерево. В качес-тве бусин дерева мы берем не сами команды, а результаты ихвыполнения - получившиеся позиции.

Итак, цепочка позиций - это способ представить динамичес-кий процесс в виде статичной последовательности моменталь-ных снимков. Дерево позиций - это способ фиксировать и раз-личные варианты развития событий.

Понятие дерева выполнения программ, как и другие поня-тия, относящиеся к командам и процессам их выполнения, мыдаем только на примере Робота и его фиксированной системыкоманд. Однако ясно, что эти понятия могут использоваться и вболее общей ситуации, для любых исполнителей и систем ко-манд.

Комментарии к задачам 48–53 Части 1Задача 48. Здесь пока от ребят не требуется построения де-

рева выполнения программ, а требуется лишь поработать с ужепостроенным деревом У, но даже это может оказаться не про-стой задачей, ведь дерево У достаточно большое. В условии за-дачи мы специально обратили внимание ребят на стены, которыеограничивают передвижение Робота по полю. Если вы хотите довыполнения задания убедиться, что ребята понимают принциппостроения дерева У, предложите им после знакомства с услови-ем задачи несколько вопросов:

1) Почему дерево У имеет 5 уровней?2) Почему корневая бусина имеет две следующие?3) Почему самая нижняя бусина третьего уровня имеет одну

следующую?4) Почему не во всех листьях дерева число заштрихованных

клеток одинаково? и т. п.При выполнении первой части задания ребятам придется со-

поставлять программы с путями дерева. Напомним, что чтобыобвести в дереве некоторый путь, надо обвести каждую бусинуэтого пути начиная с корневой и до соответствующего листа. На-деемся, ребят не смутит, что одна из бусин второго уровня в ре-зультате выполнения первого задания будет обведена дважды, акорневая бусина - трижды.

Если ребята понимают, как построено дерево У, то написа-ние программы Г их не затруднит, ведь из корневой позиции Ро-бот может выполнить лишь одну из двух команд - вверх иливлево. Вторую команду конструкции повторения можно найтиперебором по дереву. Например, в первое окно мы вписали

У

47

Задача 52. Необязательная. Знакомое детям задание назаполнение двумерной таблицы для мешка. Особенностью дан-ной задачи является ее геометрическое содержание, а именно,форма бусин. В мешке, кроме привычных ребятам круга, треу-гольника и квадрата, лежат еще правильные многоугольники: пя-ти-, шести-, семи- и восьмиугольники. Обсудите с учащимися,как отличить многоугольники друг от друга. В том случае, еслиребенок запутался, подскажите ему посчитать и распределить поформам сначала все желтые фигуры, затем красные и так далее.

Заполнив таблицу, полезно убедиться в том, что общее числобусин в таблице и в мешке одинаково. Совпадение этих резуль-татов, как известно, является необходимым, но не достаточнымусловием правильности решения. Эта процедура может послу-жить первым этапом проверки, выявляющим часть вычислитель-ных ошибок или ошибок, сделанных из-за невнимательности.Вторым этапом является сравнение непосредственно результатовподсчета для каждой клетки в таблице. Проверку можно органи-зовать как в парах, так и в группах. Ребятам, которые справилисьбыстро и успешно, можно посоветовать самостоятельно прове-рить свои результаты, ориентируясь на столбцы (если считали построчкам) или наоборот.

Ответ:

Задача 53. Необязательная. Самый простой способ разо-браться с этой задачей - представить ситуацию двух описанныхпокупок. Для зрительной опоры можно попросить учащегося на-рисовать две картинки или схемы, например, такие:

МОЛОКО + МОЛОКО + ТВОРОГ = 38 р.ТВОРОГ + ТВОРОГ + МОЛОКО = 34 р.

Теперь можно попросить учащегося на двух схемах обвестиобщие продукты - встречающиеся в обеих покупках. После этогостановится ясно, что покупки отличаются лишь одним предметоми разница в стоимости получается только за счет разницы в ценемежду пакетом молока и пачкой творога.

Ответ: пакет молока дороже пачки творога на 4 рубля.

46

Оказывается, что лишь одну - вниз, ведь в начальной позиции стрех сторон от Робота – стены. Значит, после корне-вой бусины следует лишь одна позиция. Далееможно спросить, какие команды может вы-полнить Робот из клетки, куда он переме-стился. Их три: вправо, вниз и вверх,ведь стена теперь лишь слева. Рисуем воз-можные позиции. Теперь для каждой изтрех позиций проводим аналогичные рас-суждения. Получаем следующее дерево Ш(см. картинку).

Задача 50. Здесь ребятам вновь при-дется вспомнить операцию, обратнуюсклеиванию и «разрезать» цепочку на 2части. При этом необходимо обеспечитьистинность утверждения в рамке. Однакозадача упрощается тем, что в слове СТО-ЛОВАЯ только две одинаковые буквы,очевидно о них и идет речь в утверждении.

Задача 51. Подобных задач, где необходимо со-брать из фигурок цепочку, используя условия с кон-струкциями «перед каждой» и «после каждой», в 3классе ребятам приходилось решать довольно много. Как всегда,один из способов решения таких задач - собрать цепочку из ку-сочков удовлетворяющих одному из условий (частичных реше-ний). В данной задаче это получится достаточно легко, ведь от-резки цепочки не связаны между собой и нет «лишних» букв. Изпервого утверждения появляется кусок цепочки Y - R, а из вто-рого кусок Q -…- W. Вообще данную цепочку легко составить,начиная с любой Y или W. Конечно, при этом нужно принимать вовнимание, что Y не может быть последней бусиной цепочки, а Wне может идти в цепочке раньше третьей бусины (иначе утверж-дения не будут иметь смысла). В третьем классе при решении по-добных задач мы советовали ребятам воспользоваться телеснымиобъектами - вырезать фигурки с листа вырезания, сложить настоле, а уже затем соединить фигурки, данные в задании в однуцепочку. На данном этапе мы считаем полезным для ребят неко-торые действия с объектами проводить уже в уме, но если высчитаете, что для кого-то это сложно, заготовьте несколько на-боров букв из этой задачи. Данная задача является также хоро-шим поводом повторить латинский алфавит. Спросите ребят, какназываются буквы, встречающиеся в задаче, какая буква идетраньше в латинской алфавитной цепочке и т. п.

Ш

ЖЁЛТЫЙЦВЕТ

ФОРМА

СИНИЙКРАСНЫЙЗЕЛЁНЫЙБЕЛЫЙЧЁРНЫЙ

0 0 1 0 2 0 32 0 3 1 0 1 00 0 0 1 0 3 21 2 0 1 3 0 13 1 0 0 2 0 10 0 2 0 0 1 1

49

стрее, все-таки лучше, чтобы процесс игры многократно прове-рялся (не только игроками, но и контролерами). Чтобы контроле-рам в группах было проще проверять, является ли данная пози-ция заключительной, можно перед началом игр вместе обсудить,сколько всего должно быть проведено отрезков в случае ничьей(на окружности с 5 точками) и с какого хода могут появлятьсяодноцветные треугольники. Конечно, на листе определений ре-бята уже читали, что в случае ничьей на окружности с 5 точкамиигроки делают по 5 ходов (проводят всего 10 отрезков), однакоучащимся не вредно убедиться в этом самим.

Надеемся, что с заполнением турнирной таблицы у ребят ос-ложнений не возникнет, ведь подобные задания ребята уже вы-полняли несколько раз для других игр.

Задача 55. В отличие от предыдущей задачи, каждый уча-щийся здесь играет за Первого, за Второго и сам же являетсяконтролером. С одной стороны это проще, ведь можно «подыг-рывать». Например, если ребенок хочет закончить партию побыс-трее, он может завершить цепочку игры уже на шестой позиции.С другой стороны, каждый ученик теперь должен сам следить засоблюдением правил игры, в частности: за соблюдением очеред-ности хода, за тем, чтобы на каждом ходу появлялся только одинотрезок, за тем, чтобы все ходы аккуратно переносились с пре-дыдущей позиции на следующую.

Очень важно здесь провести проверку, для чего поможет ука-зание. Действительно, если некоторая позиция заключительная,то либо есть одноцветный треугольник, либо все точки на окруж-ности соединены. Первое проверить достаточно просто. Если впредыдущей задаче вы обсуждали с ребятами, сколько отрезковна окружности с 5 точками должно выходить из каждой точки вслучае ничьей, то достаточно просто посчитать это в заключи-тельной позиции, если нет - можно обсудить вопрос о числе от-резков в этой задаче.

Мы приводим один пример цепочки игры с заданным нача-лом, в которой каждый из игроков стремился к выигрышу:

Задача 56. Подобная задача ребятам уже встречалась (см.комментарий к задаче 31). Поэтому данную задачу можно ис-

48

Игра в СимЭта игра, хотя она и использует в качетве поля игры окруж-

ность, лишь в малой степени является геометрической (в отличие,например, от игры в Ползунок). Эта игра, скорее, просто комби-наторная. Математики и другие профессионалы, использующиематематический аппарат, имеют определенное представление отом, когда та или иная задача или метод ее решения являютсягеометрическими, алгебраическими, аналитическими, комбина-торными, вероятностными и т. д. В последнее время в математи-ке часто говорят о «нелинейных» задачах. Вероятно, вырисовыва-ется и некоторый класс алгоритмических, информатических за-дач. Хотя эти различия и не входят в школьный курс, но они мо-гут оказаться вам полезными при анализе того стиля, в которомразные дети пытаются решать различные задачи, того, почемузадачи одного типа получаются у одних детей, другого - удругих.

В отличие, например, от игры в Крестики-нолики или в Сло-ва, игра в Сим может для большинства ребят оказаться незнако-мой. Кроме того, по сравнению со всеми предыдущим играми,здесь сложнее определить заключительную позицию, особенноесли одноцветного треугольника не возникло. Действительно, вКамешки заключительная позиция видна всегда, в Крестики-но-лики отсутствие ряда из трех одинаковых значков и наличие сво-бодных клеток говорит о возможности продолжения игры. О томже при игре в Ползунок говорит наличие свободных точек, с ко-торыми может быть соединен хотя бы один из концов Ползунка.При игре в Сим, если точек на окружности много (больше 4), де-ти могут легко не заметить того, что какие-то точки еще не со-единены и закончить игру преждевременно. Обратите на этовнимание ваших учеников. Обсудите с ними, сколько всего от-резков может выходить из одной точки (на один меньше, чемвсего точек). Таким образом, простой проверкой того, осталисьли еще возможные ходы, является пересчет отрезков, выходящихиз каждой точки.

Комментарии к задачам 54–60 Части 1Задача 54. Первая после листа определений задача, как

обычно, предлагается детям для того, чтобы они освоились с но-выми понятиями, в данном случае – с правилами новой игры вСим. На начальном этапе ребятам наверняка потребуется некото-рый контроль. Например, после того, как учащиеся поработали слистом определений, есть смысл провести несколько партий вСим на доске под контролем всего класса. При проведении кру-гового турнира в группах, можно для каждой партии назначитьодного-двух контролеров. Несмотря на то, что при проведениидвух партий одновременно турнир можно закончить гораздо бы-

Z

5150

пользовать для повторения и обобщения на более высоком уров-не. Например, если решая задачу 31, ребята писали цепочки чис-то формально, попросите их здесь составлять цепочки «честной»игры, где ни один игрок не поддается и каждый пытается выиг-рать (впоследствии мы назовем такую игру разумной). Для этоголучше всего подойдет игровой вариант решения - сыграть с со-седом несколько партий в Камешки по данным в задаче правилами обобщить закономерные игровые ситуации. Так в ходе игр ста-новится ясно - если Первый на первом ходу взял 3 камешка, тоВторой при «честной» игре на втором ходу возьмет 3 оставшиесякамешка и выиграет. Если же Первый на первом ходу возьмет 4камешка, то Второй проиграет в любом случае. Если же Первыйна первом ходу берет 1 камешек, то игра может сложиться по-разному, в зависимости от следующего хода Второго. Можнопроводить обобщение в другом направлении. Например, спро-сить у ребят, можно ли по длине цепочки игры сразу определитьпобедителя. Да, если цепочка четной длины, то выигрывает Пер-вый, если нечетной - Второй. Значит, задача сводится к тому,чтобы написать две цепочки игры - четной и нечетной длины.

Задача 57. Эта задача сложнее, чем предыдущая задача обигре в Сим (задача 55). Здесь нужно сначала спланировать реше-ние на черновике (например, на пустом поле с листа вырезания),и только потом построить цепочку ходов, воспользовавшись за-готовками на листе вырезания. Нужно вспомнить правила игры,понять, какая позиция будет выигрышной для Второго - это тре-угольник из синих отрезков (ведь Второй выигрывает, когда про-игрывает Первый). Некоторые дети могут строить решение этойзадачи довольно долго. Другие могут найти простое решениесразу. И тот, и другой случай представляют определенный интерес.

Короткое решение основывается на том, что Первый игрокможет «стремиться к проигрышу», а Второй игрок просто не дол-жен ему мешать. При таком подходе ясно, что очередной ходВторого может быть почти любым, а следующий ход Первого за-мыкает треугольник и немедленно приводит к его проигрышу:

Это простое построение не смогут провести дети, которыезахотят, чтобы Первый играл «правильно», «разумно», «не под-

давался» и т. д. Таким образом, здесь есть что обсудить и в чемразобраться. Если будет время, предложите детям самим поиг-рать в Сим с данным началом игры (можно опять-таки использо-вать пустые поля на листе вырезаний, мы специально их загото-вили с запасом). Затем можно собрать заключительные позицииразных игр, в которых выиграл Второй, и обсудить их.

Вот одна из цепочек игры с «разумной» игрой обоих игроков.

Задача 58. Необязательная. Здесь ребята столкнутся с тем,что склеивание разных цепочек может приводить к одному ре-зультату. С подобной ситуацией учащиеся встречаются и на дру-гих уроках. Например, одно число можно представить в виде не-скольких различных сумм. Решений у этой задачи, конечно, го-раздо больше, чем два, которые требуется предъявить. Поэтомумы не будем приводить здесь возможные варианты ответа.

Задача 59. Эту задачу можно считать упрощенным вариантомзадачи 33, поскольку здесь не требуется полностью строить це-почку игры и никаких позиций, кроме начальной, не задано. Есликто-то из ребят затрудняется с решением, попробуйте с помо-щью вопросов навести его на мысли о связи длины Ползунка(четности-нечетности числа его звеньев) и выигрыша определен-ного игрока (см. комментарии к задачам 15, 27, 33). Посоветуйтеребятам сначала работать на черновике - запасных полях 3×3 слиста вырезания, а уже потом нарисовать соответствующие пози-ции в учебнике. Лучше, если ходы Первого и Второго ребята бу-дут, как обычно, раскрашивать двумя цветами, так им проще бу-дет увидеть победителя, а вам проверить правильность ответа.

Задача 60. Необязательная. В этой задаче задействован до-вольно широкий круг понятий нашего курса. Особенно активноребятам приходится работать с понятием «путь», анализируя пу-ти как цепочки с одной стороны и как части дерева – с другой.Так, определяя истинность пятого утверждения, ребята должныпонимать, что первая бусина каждого пути - корневая бусина де-рева. Поскольку в дереве С корневая бусина одна и эта фигурка -жук, то утверждение истинно. Чтобы определить истинностьвосьмого утверждения, нужно аккуратно перебрать все пути де-

R

R

5352

рева, найти в каждой из цепочек третью бусину (собственно, этовсе бусины третьего уровня), и проверить, что все эти фигурки –жуки. Особого внимания заслуживают утверждения, не имеющиесмысла для данного дерева. Третье утверждение не имеет смыс-ла, так как корневая бусина - фигурка жука, и она не имеет пре-дыдущей, а последнее - так как в дереве С есть пути длины 3 и вних отсутствует четвертая фигурка.

Ответ:

Дерево вычисления Мы уже не раз обращали ваше внимание на то, что многие

структуры, изучаемые в нашем курсе (например, цепочки илимешки) являются не чисто информатическими, а универсальными:эти понятия используются в других школьных предметах, науке,применяются в производстве, встречаются в обыденной жизни.Понятие дерева в этом плане не является исключением. «Древес-ная» структура помогает нам в случае, когда объект (процесс,класс предметов и т. д.) на каждом шаге распадается на несколь-ко объектов (возможностей, подвидов и т. д.). Поэтому с помо-щью дерева мы можем организовать эффективный перебор вари-антов при раскрытии цепочки мешков и при поиске всех возмож-ных программ заданной длины для Робота, строить различныеклассификации и родословные (фамильные) деревья. На данномлисте определений ребята знакомятся еще с одной областьюприменения деревьев. С помощью деревьев удобно изображатьпроцесс вычисления значения арифметического выражения, ведьв результате каждого арифметического действия с двумя числамимы получаем одно число, которое на следующем шаге также слу-жит компонентом некоторого действия. Так постепенно мы дви-гаемся от одной ступени действий к другой, руководствуясь пра-

вилами порядка действий, и доходим до результата. Естественнопредставить подобный процесс в виде дерева, где листья - чис-ла, входящие в пример, а общая предыдущая бусина для двухлистьев - результат выполнения некоторого действия. Далее сполученными результатами мы можем делать аналогичным обра-зом следующие действия, постепенно доходя до корневой буси-ны - значения выражения.

Примерно так же в виде дерева можно представить процессприготовления кулинарных блюд, где постепенное соединениеингредиентов по парам или группам (и их последующее смеши-вание, варка, жарка и прочее) приводят на каждом шаге к появ-лению одного полуфабриката, а в итоге к появлению некоторогокушанья. Аналогично можно представить процесс сборки различ-ных механизмов и т. п.

Как вы могли заметить, дерево вычисления имеет и свои от-личия от тех деревьев, с которыми ребятам приходилось рабо-тать раньше. Первое из них состоит в том, что обычно, работая сдеревьями (строя или анализируя) мы двигались от корневой бу-сины к листьям. Здесь же естественный порядок построения иисследования дерева - обратный: от листьев к корню. Втораяособенность дерева вычислений состоит в том, что раньше ребя-там чаще всего нужно было проследить по дереву только какой-то один путь (или несколько), теперь для вычисления значениявыражения непременно надо «пройти» по всему дереву, не про-пустив ни одной бусины.

Еще одна особенность дерева вычисления - необходимостьдополнительной информации: для каждой пары чисел нам нужноуказать, какую именно арифметическую операцию необходимовыполнить с этими числами, иначе дерево не будет содержатьнеобходимую для вычисления значения выражения информацию.Эту дополнительную информацию, конечно, можно обозначитьсамыми разными способами, это вопрос договоренности. Мывыбрали на наш взгляд самый простой и однозначно восприни-маемый способ – раскраску бусины-результата в соответству-ющий цвет. Повторим, что это вопрос нашей общей договорен-ности, поэтому от ребят мы не требуем запоминания обозначенийцветов действий. В наших задачах мы всегда будем использоватьодну и ту же раскладку цветов (сложению будет соответствоватьзеленый, вычитанию – синий, умножению – красный, делению –желтый цвет). Мы используем бледные оттенки этих цветов, что-бы числа, наисанные на цветных бусинах, читались четко. В каж-дой задаче, посвященной деревьям вычислений, мы будем поме-щать раскладку цветов (в задачах 61 и 62 дети будут пользовать-ся раскладкой, приведенной на листе определений). В дальней-шем, конечно, появятся и задачи на самостоятельное построениедерева вычислений. В такой задаче учащемуся придется самосто-ятельно создать раскладку цветов и такая раскладка, конечно, сов-сем не обязательно должна будет совпадать с той, которая при-

У Т В Е Р Ж Д Е Н И ЕВ этом дереве ровно десять путей.Среди путей этого дерева нет цепочек длины 2.Предыдущая фигурка перед каждым жуком – бабочка.Среди путей этого дерева есть цепочки длины 5.Первая фигурка каждого пути этого дерева – жук.Последняя фигурка каждого пути этого дерева – бабочка.В этом дереве предыдущая фигурка перед каждой бабочкой – жук.

СИИ–ИИЛИИ–

Третья фигурка каждого пути этого дерева – жук.Четвёртая фигурка каждого пути этого дерева – бабочка.

55

и 84, а можно поступить наоборот. В дереве S можно сначала вы-полнять действия с бусинами 46 и 14, а затем 80 и 16, либо на-оборот. Если кто-то из ребят вас спросит, то обсуждать это лучшев индивидуальном порядке, в зависимости от уровня ребенка. Ссильным ребенком можно обсудить общее правило порядка вы-числения по дереву. Оно просто - сначала выполняются действияпредпоследнего уровня (на последнем уровне всегда тольколистья и там ничего вычислять не нужно), затем предыдущего итак далее, пока мы не доходим до корневой бусины. Причем, ес-ли на одном уровне находятся несколько действий, то порядоких выполнения может быть любым (порядок не влияет на резуль-тат). Для слабого ребенка при этом опора на правила порядкадействий может оставаться единственной возможностью найтиправильный ответ в примере, поэтому его не стоит запутывать.Если такой ребенок вас спросит, в какой последовательности на-до выполнять действия на одном уровне, то можно сказать, чтокак обычно, слева направо.

При выполнении подобных заданий ребята часто забываютперенести ответ из корневой бусины в окно в примере, на этонужно обратить внимание.

Ответ:

Задача 62. Эта задача уже сложнее предыдущей, здесь надозаполнить не только цветные, но и белые бусины дерева (листья),то есть расставить числа, входящие в пример. Например, всепредыдущие бусины перед листьями последнего уровня первогодерева - синие (значит все листья последнего уровня участвуюттолько в вычитании) и ребятам сложнее разобраться, какие числав какие бусины последнего уровня вписывать. Поэтому полезнопосмотреть, что с результатами вычитаний будет происходитьдальше - обратить внимание на цвет бусин второго уровня. Сдругой стороны, вы наверное увидите, что некоторые дети впи-шут числа в листья быстро, почти не задумываясь. Это не случай-но, ведь мы стараемся выстраивать листья в дереве слева напра-во, также как числа в записи примера.

После того, как числа, встречающиеся в примере, правильнорасставлены, задача становится аналогичной предыдущей. У вто-рого дерева есть одна особенность, которая еще нигде не встре-

54

ведена на листе определений. Это мы еще раз обсудим позднее.До сих пор мы не упорядочивали бусины на одном уровне

дерева – не говорили о первой, последней или левой–правой бу-синах третьего уровня и т. п. Но в дереве вычислений мы будемпо возможности следить за тем, чтобы общий «горизонтальный»порядок листьев был таким же, как в заданном арифметическомвыражении: если какое-то число идет в выражении раньше дру-гого,то и в дереве оно должно стоять левее (хотя, быть может ина другом уровне). И это еще одна отличительная особенностьдерева вычислений. Особенно важно соблюдать это правило приработе с арифметическими действиями, не обладающими пере-местительным свойством - вычитанием и делением. При обсуж-дении листа определений обязательно обратите на это вниманиеребят. Чтобы не перегружать лист определений сложными тек-стами, мы не стали писать об этой договоренности: вычитать иделить «слева направо», просто именно так мы всегда будемпоступать.

Комментарии к задачам 61–72Задача 61. Впервые в нашем курсе встречаются задания, ко-

торые несут вычислительную нагрузку. Естественно кому-то изребят это понравится, кому-то нет. Для учителя такие заданиямогут стать хорошим поводом для организации интегрирован-ных уроков с математикой – занятий на отработку вычислитель-ных навыков. В дальнейшем подобные задания можно использо-вать на уроках математики в качестве устного счета. Мы стара-лись, чтобы вычисления, необходимые при решении подобныхзадач, были нетрудными: ведь основная нагрузка задания состо-ит не в том, чтобы вычилить значение выражения, а в том, чтобынаучиться правильно работать с деревом вычислений.

В данной задаче от ребят требуется только заполнить цвет-ные бусины дерева - вычислить и записать в соответствующиебусины значения арифметических действий. Конечно, поначалуэто будет не так просто, постарайтесь дать детям возможностьразобраться самостоятельно. Потом можно обсудить всем вместеили индивидуально. Можно ли сразу заполнить корневую бусинуили бусину второго уровня? Хорошо, если дети смогут самиответить на этот и подобные вопросы.

Заметим, что в вычислении значения выражения по деревуошибиться в порядке действий гораздо сложнее, чем в примере.Действительно, ребенок просто не сможет по дереву начать с то-го действия, которое нужно делать позже, ведь в соответству-ющих бусинах пусто, а все те действия, которые можно выпол-нить сразу (в бусинах есть нужные числа) на самом деле допуска-ют различный порядок выполнения. Так, например, в дереве Тможно сначала выполнить действия с числами 24 и 10, а затем 96

T

70

24

14

733

10

5

96 84

1236

S

805

32

16

46 14

60120

5756

чалась и которую возможно заметят дети - одна из бусин дерева(корневая) имеет не две, а три следующих. Как известно, сложе-ние обладает переместительным и сочетательным свойством, всилу чего несколько чисел мы можем складывать в любом поряд-ке и даже одновременно. Поэтому, если в примере встречаетсясложение нескольких чисел подряд (без скобок между слагаемы-ми) мы будем рисовать в дереве три (или более) бусин, следую-щих за одной.

Обратите внимание, что в издании 2004 года в этой задаче влевом дереве допущена неточность, опечатка: лист на третьемуровне (соответствующий числу 5) должен стоять самым правымна этом уровне. Тогда будет соблюден наш (негласный) принциппостроения дерева вычислений – «горизонтальный» порядоклистьев должен быть таким же, как порядок листьев в дереве варифметическом выражении. Как поступить с этой опечаткой?Выбор целиком за вами. Возможно, никто из детей в вашем клас-се не обратит на это внимание, тогда можно и не поднимать этотвопрос. С другой стороны, поиск подобной опечатки будет хо-рошей задачей и поводом для обсуждения для сильных детей,которые хорошо разобрались с материалом листа определений.

Ответ: 80 и 80.

Задача 63. Необязательная. Вы, наверное, заметили, чтоданная задача - «сказочный» аналог игры в Камешки. В переводена игровой язык она будет выглядеть так: «В начальной позиции5 камешков, за один ход игрок может брать 1, 3 или 4 камешка.Как должен играть Первый, чтобы выиграть, как бы ни играл Вто-рой». Как видите, эта задача не просто на написание цепочки иг-ры, а на нахождение выигрышной стратегии, которая будет по-дробно обсуждаться в дальнейшем. Поэтому данная задача -пропедевтическая, хотя и не очень сложная. Наверняка в основ-ном возьмутся за эту задачу сильные учащиеся, которые самиувидят аналогию между сказочной и игровой ситуацией. От ребятпотребуется понимание того, что Алешина стратегия должнабыть такой, чтобы обеспечить ему выигрыш, как бы ни вел себяДобрыня (ведь Алеша может влиять лишь на свои действия). На-пример, такой ответ «Алеша должен отрубить одну голову, Доб-рыня - 3, а затем Алеша одну оставшуюся» не подойдет. Проще

всего ребятам будет решать эту задачу перебором по числу от-рубленных Алешей за первый подход к змею голов. Возможнос-тей три: в результате первого подхода Алеша может отрубить 1,3 или 4 головы. Дальше в каждом из случаев следует разобрать-ся, как поединок может пойти дальше. Если Алеша за первыйподход к змею отрубит 4 головы, то змея точно победит Добры-ня (отрубит последнюю голову). Если Алеша отрубит 1 голову, тоДобрыня может отрубить 4 оставшиеся и победить змея, значитАлеша не может гарантировать свою победу. А если Алеша отру-бит 3 головы, то Добрыня дальше сможет отрубить лишь одну иодна останется Алеше, то есть он точно будет победителем змея.

Правильно и понятно написать ответ – еще одна, дополни-тельная трудность в этой задаче. Попросите ребят писать сначалана черновике, чтобы у них была возможность отредактироватьсвой текст и переписать набело.

Ответ: Алеше нужно сначала отрубить у змея 3 головы. ТогдаДобрыня Никитич сможет отрубить только одну голову. После это-го последнюю голову отрубит Алеша и обретет славу победителя.

Задача 64. Здесь ребята повторяют лист определений «Рас-крытие цепочки мешков». При этом в одном из мешков цепочкиесть две одинаковые бусины, значит на втором уровне дереватакже будут 2 одинаковые бусины. Это приведет к появлениюодинаковых путей в дереве и одинаковых цепочек в мешке.

Ответ:

Задача 65. Здесь ребятам необходимо не просто заполнитьпустые бусины дерева вычисления, но и написать выражение, длякоторого данное дерево было бы деревом его вычисления. Еслипри решении задач 61 и 62 ребята могли опираться на арифме-

5

684

8075

64 79 64155

35 1520 14

2880

43281 9

917

12 560

⊗У

учащийся сразу напишет слова ручкой. Как всегда, лучше писатьслова в цепочку сначала карандашом. Кроме того, слова, уже за-писанные в цепочку можно вычеркивать из мешка.

Ответ:

Задача 67. Эта задача на установление связи между древес-ной структурой и структурой арифметического выражения. Дей-ствительно, в дереве порядок действий задается порядком уров-ней, то есть сначала мы выполняем действия с числами, находя-щимися на предпоследнем уровне (если таких пар несколько, тоустановление порядка действий между ними несущественно), за-тем на пред-пред-последнем и т. д. В арифметическом выраже-нии порядок действий устанавливается правилами очередностидействий и скобками. В данной задаче ребятам необходимо рас-ставить скобки так, чтобы порядок действий в примере стал та-ким же, как в дереве. Например, мы видим, что по дереву вычи-тание должно предшествовать умножению. Этого можно добить-ся, если в примере разность чисел 10 и 5 заключить в скобки.Впрочем, структура примера здесь не является особенно слож-ной, и мы надеемся, что ребятам не потребуется ваша помощь.

Ответ:

45•(10-5)-50:(10+15) = 223Задача 68. Повторяем тему «Раскрытие цепочки мешков».

Перед началом решения полезно спросить ребят, сколько словдолжно быть в мешке и почему (слов должно быть 6, потому чтоколичество слов равно произведению количеств букв в мешкахцепочки: 2•1•1•1•1•1•3=6)? Будут ли среди этих слов одинако-вые и почему (одинаковых не будет, потому что в ни в каком измешков цепочки нет двух одинаковых букв).

По окончании решения можно также обсудить, как связанымежду собой слова, лежащие в мешке (имеется в виду, что это

5958

тические выражения, знакомые им из курса математики, то здесьполное и ясное понимание материала листа определения стано-вится для решения задачи необходимым. Вы наверное обратиливнимание, что незаполненные деревья N и P отличаются толькоцветом пустых бусин. Значит, арифметические выражения будутсоставлены из одних и тех же чисел, но знаки между соответст-вующими числами будут различны.

В дереве N при сложении чисел 16, 4 и 23 задан опреде-ленный порядок (сначала складываются 16 и 4, а затем к резуль-тату прибавляется 23), в то время как в задаче 62 (во втором де-реве) три слагаемых складывались одновременно. Действитель-но, в наших тетрадях будет встречаться и та, и другая ситуация. Вданной задаче, чтобы указать представленный в дереве порядокдействий лучше всего поставить скобки 23+(16+4). Несколькохуже, если учащийся напишет 16+4+23, а например вариант23+4+16 в данном случае следует считать ошибкой, хотя на зна-чение выражения порядок сложения и не повлияет.

Работа с деревом Р - хороший повод повторить особенныеслучаи умножения и деления, ведь здесь встречается делениечисла на себя и умножение на 1.

Ответ:

(23+(16+4)) - 3•(87-84) = 34 (23+(16-4))•((87-84):3) = 35Задача 66 – задача на повторение. Она, конечно, потребует

от детей определенного внимания и сосредоточенности. Тем де-тям, которые затрудняются в ее решении, предложите сначалавспомнить алфавитный порядок слов в словаре. Ребята, конечно,сразу заметят, что первая буква у всех слов – С, а вторая - О. Те-перь ничего не остается, как упорядочивать слова по третьейбукве, т. е. сначала искать все слова, у которых на третьем местеА, далее Б, потом В и т. д. Облегчает выполнение задания то, чтов мешке есть лишь два слова, в которых третьи буквы одинако-вые: слова СОН и СОНЯ. Возможно, кому-то из ребят придетсянапомнить, что в подобных случаях раньше идет то слово, у ко-торого четвертой буквы вообще нет (СОН). Естественно, при рас-становке столь большого числа слов в алфавитном порядке неиз-бежны ошибки, которые трудно будет потом исправить, если

43

16

20

349

4 87 84

3323

N

35

16

12

351

4 87 84

3323

P

СОАВТОРСОБАКАСОВЕСТЬСОГНУТЬСОДЕРЖАНИЕСОЕДИНИТЬ

СОЗВАТЬСОКОЛСОЛДАТСОМСОНСОНЯ

СООБЩАСОПЕТЬСОРВАТЬСОСЕДСОТНЯСОУС

СОХНУТЬСОЧИНЯТЬСОЮЗСОЯ

225

10

5

2232

5 10 15

255045

Q

61

В ходе экспериментов ребята работают с фигурами с листавырезания. Если решение найдено, то они вырезают некоторуюфигуру, разрезают ее на две одинаковые части, накладывают ча-сти друг на друга и убеждаются, что они совпадают. Лишь затемполучившиеся части следует наклеить в окно.

Задача 71. Необязательная. Важным шагом на пути к реше-нию этой задачи является ясное понимание того, что требуется.Поэтому попросите ребят, прежде всего, внимательно и вдумчивопрочитать условие. Если у кого-то при решении сразу возниклазаминка, убедитесь, что ученик осознает, о чем идет речь в зада-че и каким должен быть результат решения. Каждый ребенокдолжен понимать, что нужно разбить данную цепочку на три це-почки так, чтобы две из них были одинаковые.

Рассуждать при этом можно, например, так. Поскольку долж-но получиться всего три бусины-цепочки, одна из двух одинако-вых обязательно будет или началом, или концом цепочки цепо-чек Д. Предположим, что одна из одинаковых цепочек - начало.Тогда попытаемся найти в цепочке ⊕Д отрезок, совпадающий скаким-нибудь ее начальным отрезком. Первая бусина цепочки⊕Д - красная квадратная; значит, и искомый отрезок должен на-чинаться с еще одной красной квадратной бусины. Такая бусинатолько одна - пятая бусина цепочки. Сравниваем вторую и шес-тую бусины. Они разные. Значит, мы не можем найти отрезок да-же из двух бусин, дублирующий начало. Остается единственнаявозможность для двух одинаковых цепочек: каждая из них -длины 1, состоящая просто из одной красной квадратной буси-ны. Но в этом случае мы разбиваем цепочку ⊕Д на четыре части.Решение не получилось. Что делать? Естественно, рассмотретьдругой вариант.

Итак, мы пришли к выводу, что одинаковыми должны бытьвторая и третья бусины-цепочки цепочки Д, то есть середина иконец. Мы знаем, чем заканчивается третья цепочка - желтойтреугольной бусиной; значит, так же должна заканчиваться и вто-рая. Ищем вторую от конца желтую треугольную бусину; ее поло-жение задает также длину третьего (и второго) куска - 8 бусин.Теперь остается поочередно аккуратно проверить бусины, пред-шествующие второй от конца желтой треугольной, сравнивая ихс теми, что предшествуют последней бусине цепочки ⊕Д. В дан-ном случае мы успешно доходим до зеленой круглой, значит, мынашли решение.

Дети, конечно, будут действовать иначе - методом проб и

60

падежные формы слов ЗАИНЬКА и ПАИНЬКА). Если будет время,можно обсудить с детьми значение и смысловые оттенки словаПАИНЬКА.

Ответ: ЗАИНЬКА ЗАИНЬКЕ ЗАИНЬКИПАИНЬКА ПАИНЬКЕ ПАИНЬКИ

Задача 69. Эта задача того же типа, что и задача 65. С точкизрения арифметики, здесь ситуация даже несколько проще, ведьв задаче 65 встречаются двойные вложенные скобки. Но структу-ра представленных в этой задаче деревьев сложнее, чем в задаче65 – больше уровней, больше листьев на разных уровнях.

Ответ:

(6+56:14)•9-87=3 (6+56:14)•9-56:14•6=66Задача 70. Необязательная. Как и в других задачах на раз-

резание, здесь можно воспользоваться некоторыми общими со-ображениями и методами, но в тоже время здесь необходимазначительная доля самостоятельного эксперимента и применениегеометрической интуиции. Например, легко посчитать, что в каж-дой из частей, на которые нужно разрезать фигуру, будет по 6клеток. Кроме того, довольно быстро становится ясно, что клет-ка, три стороны которой - границы фигуры (самая нижняя) вхо-дит в некоторую часть вместе с соседней, иначе она окажется от-резанной от фигуры. Попробуем присоединять к этим двум клет-кам еще 4. Для этого нам помогут только эксперименты (методперебора). Систематический перебор можно вести по клеткамкрайней правой полосы. Мы уже выяснили, что две нижние клет-ки должны принадлежать одной части, тогда возможны 3 случая:а) две нижние клетки принадлежат одной части, две верхниедругой; б) три нижние клетки принадлежат одной части, однаверхняя другой; в) все 4 клетки полосы принадлежат одной час-ти. Далее в каждом из случаев продолжаем эксперименты поприсоединению разных клеток и для каждого получаем одно ре-шение.

10

564

6690

1456

424

1469

6

М

10

564

390

14

879

6

Л

63

будут соединены со своими деревьями. После этого задача ста-новится привычной для ребят (см., например, задачу 61).

Возможно, найдутся дети, которые будут действовать при ре-шении этой задачи совершенно по-другому: сначала заполнятвсе цветные клетки в дереве, (в том числе и корневые бусины),затем найдут значение каждого из выражений, наконец соединятдеревья с выражениями, руководствуясь одинаковыми числами вокнах примеров и корневых бусинах деревьев.

Ответ: А - 2•(30-20:10+15)=86В - 2•(30-20:10)+15=71С - 2•(30-20):10+15=17D - 2•30–20:10+15=73

Дополнительные и трудные задачиКомментарии к задачам 73-85 Части 1

Задачи 73–85 являются необязательными и дополнительны-ми. Некоторые из этих задач помогут при повторении и закреп-лении материала, другие задачи, сложные или необычные - до-полнительные, для сильных и интересующихся учеников.

Задача 73. Необязательная. В данной задаче ребятам необ-ходимо помнить не только то, что такое «путь дерева», но и то,какое число называется нечетным. Возможно кому-то придетсянапомнить, что нечетным мы называем число, которое не делит-ся на 2. Если учесть число уровней дерева Y, подходящие нам пу-ти могут иметь длину 1, 3 или 5. Путей длины 1 в дереве Y нет.При поиске путей длины 3 и 5 сильно помогает то, что мы всегдарисуем деревья по уровням. Поэтому можно просто пометить вселистья, находящиеся на третьем и пятом уровнях (их 10), а затемвыписать все пути, ведущие в эти листья. Конечно, это лишь одиниз способов решения задачи, ребята скорее всего будут исполь-зовать самые разные стратегии решения. Однако, стоит обратитьвнимание на то, что в задаче необходимо выписать все пути,удовлетворяющие условию, поэтому какая-либо стратегия пере-бора нужна в любом случае.

Ответ:

Задача 74. Необязательная. Типичный случай задачи, кото-рую можно решать перебором, пытаясь при этом выяснить какие-то закономерности и этот перебор сократить. Ясно, что первуюцепочку мы не можем взять длины 0 (пустую), так как в ней небудет ни одной круглой бусины, а во второй квадратные, конеч-но, будут. Возьмем первую цепочку длины 1, в ней по прежнему

62

ошибок. Возможно, они найдут решение быстрее, чем можнопровести подобные рассуждения. Замечательно, если в ходе дея-тельности у них сформируется интуитивное понимание сути за-дачи. Полезно порассуждать с теми, кто запутался, но только длятого, чтобы сдвинуть их с «мертвой точки».

Еще один способ поиска одинаковых кусочков состоит в сле-дующем. Можно аккуратно перерисовать цепочку на отдельнуюбумажную полоску, стараясь на каждую бусину отводить одну иту же длину, потом эту полоску скопировать и начать двигать этидве полоски одну под другой или даже, если полоски просвечи-вают, то наложив их одну на другую.

Может случиться, что кто-то из ребят предложит вам нестан-дартное (тривиальное) решение - с двумя пустыми цепочками-бусинами. Такого ученика нужно похвалить, а если осталось вре-мя, попросить найти еще одно решение, в котором все три буси-ны-цепочки непустые.

Ответ:Все бусины-цепочки непустые:

Один из трех вариантов решения с пустыми бусинами-це-почками (для краткости мы заменили цепочку ⊕Д просто ее име-нем):

Задача 72. В данной задаче нужно установить соответствиемежду арифметическими выражениями и деревьями. При этом,чтобы ребятам обязательно пришлось анализировать древеснуюструктуру, все примеры мы составили из одних и тех же чисел.Конечно, здесь не нужно анализировать все дерево полностью,чтобы найти подходящий для него пример. Возьмем, например,дерево А. Последнее действие (выполняемое для нахождениякорневой бусины) - умножение. Видим, что пример, в которомпоследним выполняется умножение – один (последний), соеди-няем пример и дерево А его вычисления. При поиске примеровдля остальных выражений можно руководствоваться, например,первым действием. В дереве В первое выполняемое действие -деление 20 на 10, находим подобный пример и соединяем его сдеревом В. Так мы продолжаем до тех пор, пока все примеры не

Д ⊗Д

РАДАР РАДИОРАМКАРАМПА

РЕЙКАРЕЧКАРИСРОВ

РОВНОРОВНЯ

Д

65

к отдельным словам мешков. Наверняка, каждый ребенок вамскажет, что мы будем искать такие слова, первая и последняябуквы которых одинаковы. А теперь ваша задача - обратить вни-мание ребенка на главные слова высказывания: есть и каждый.Например, можно спросить: «Сколько таких слов мы должнынайти в каждом внутреннем мешке?». Ответ на этот вопрос неми-нуемо побуждает ребенка обратиться к формулировке, выделитьв ней слово есть - значит, найдется хотя бы одно. Итак, мы поня-ли, что нужно искать внутренний мешок, содержащий хотя быодно слово, начинающееся и оканчивающееся одной и той жебуквой. Чтобы довести рассуждения до конца, спросите: «В боль-шом мешке, сколько должно быть мешков с нужным нам словом:один, два или три?» Читая условие, ребенок обязательно обратитвнимание на слово каждый. Это означает, что все три внутрен-них мешка должны содержать необходимые слова. После сериитаких вопросов уже каждый ребенок будет знать, что делать ибез труда найдет мешок, в данном случае - третий.

Задача 77. Необязательная. Здесь ребята повторяют понятияперед каждой и после каждой. Пробы с бусинами с листа выре-зания будут осложняться тем, что для некоторых бусин известентолько цвет, а для некоторых – только форма. Поэтому пробыможно осуществлять на листочке (или в окне карандашом), изоб-ражая пустую форму (квадрат, треугольник или круг) или цветпервой буквой (К, Ж, С, З). Решений у этой задачи, конечно, мно-го, однако анализ утверждений позволяет выделить у всех под-ходящих цепочек следующие общие черты. Во-первых, в цепочкеЮ должна быть хотя бы одна треугольная бусина, иначе второеутверждение не будет иметь смысла. Более того, в цепочке Юдолжен содержаться хотя бы один отрезок «красная круглая - …-треугольная». Если использовать первое утверждение, то этот от-резок должен выглядеть так: «красная круглая - квадратная (некрасная) - треугольная». Во-вторых, треугольных бусин в цепоч-ке Ю не может быть больше двух, иначе в цепочке Ю будет ибольше двух круглых, что противоречит последнему утвержде-нию. Теперь остается проследить, чтобы в цепочке было ровно 4красные бусины и чтобы после каждой из них стояла квадратная.

Ясно, что самая короткая цепочка, удовлетворяющая условию- цепочка длины 7, ведь в цепочке Ю, как говорилось выше, неменьше одной треугольной бусины, ровно две круглые и неменьше четырех квадратных (так как после каждой краснойдолжна стоять квадратная). Например, условию удовлетворяетцепочка:

Однако, цепочка Ю может быть и гораздо длиннее, посколькучисло квадратных не красных бусин может быть любым. Напри-мер, нам подходит следующая цепочка длины 9:

64

нет ни одной круглой бусины, в то время, как во второй цепочкедве квадратные бусины, значит такое решение нам не подходит.Подобная ситуация будет сохраняться до тех пор, пока длинапервой цепочки не станет равной четырем. В этом случае в пер-вой цепочке будет одна круглая бусина, а во второй - одна квад-ратная, значит, мы нашли подходящее решение.

Несложно понять, что больше решений у задачи нет, ведь еслидлина первой цепочки больше 4, то в ней будет больше однойкруглой бусины (от двух до четырех), в то время как во второйцепочке будет меньше двух квадратных бусин (одна или ноль).

Задача 75. Необязательная. Задача решается аналогично за-даче 14, но в отличие от нее не содержит подсказок. К настоя-щему моменту все ребята уже должны понимать, как длина це-почки связана с общим числом ходов, сделанных в игре и с выиг-рышем определенного игрока. В данном случае длина цепочкиравна 7, значит, в игре было сделано 6 ходов, и выиграли Нолики.

Задача 76. Необязательная. Эта задача продолжает сериюзадач на сочетание кванторов – все, каждый, есть. То, что в ка-честве простейших свойств объектов используются свойства,формулируемые с помощью наших понятий, относящихся к сло-вам и буквам, не так уж важно. Важнее именно логическая струк-тура предложения, представленная здесь мешками, словамикаждый, найдется. Эта структура будет одной и той же, незави-симо от того, работаем ли мы с числами, геометрическими фигу-рами, программами или словами.

При решении ребята могут столкнуться с двумя трудностями.Во-первых, в формулировке фигурируют два вида мешков: меш-ки мешков («внешние» мешки) и мешки со словами («внутренние»мешки), которые обозначены одним и тем же словом - мешок.Кто-то из ребят может запутаться, где какой мешок имеется вви-ду. В этом случае можно прямо в условии сделать пометки -«внешний» и «внутренний» или «большой» и «маленький». На-пример, вторая фраза условия приобретает вид «Отметь галочкоймешок (большой), в каждом мешке (маленьком) которого естьслово, первая и последняя буквы которого одинаковы».

Во-вторых, достаточно сложной может оказаться логическаяструктура высказывания, поскольку содержит два квантора: длякаждого (для любого) и есть (существует, найдется). Если кому-то из ребят трудно сразу понять эту структуру, то рассуждайтевместе с ними. Проще всего понять смысл условия, относящегося

S

Ю

67

время подумать, а затем выслушать все возникшие мнения. Ско-рее всего, ребята сообразят, что игра на окружности с тремя точ-ками всегда заканчивается ничьей и выскажут свои соображения,которые вам, возможно, придется обобщить. Действительно, наокружности с тремя точками, соединив все возможные пары то-чек, мы получим ровно 3 отрезка. Учитывая очередность хода,два из них будут ходами Первого, один - ходом Второго, значитодноцветного треугольника не возникнет.

Задача 82. Необязательная. Для решения данной задачи ре-бятам придется использовать всю информацию, полученную в за-дачах 23 и 37.

Государственная принадлежность части населенных пунктовлегко выявляется по графическим особенностям:Украинские названия:

наличие буквы и: Вiнниця, Гайсин, Київ, Могилiв-Подiльський,Миколаїв, Суми, Тарутине, Хмельницький,Черкаси,

наличие буквы є: Єнакiєве,наличие безударной о: Мелiтополь.

Белорусские названия:наличие буквы ы: Барановiчы, Ветрына, Мазыр,наличие буквы ў: Магiлёў,наличие буквы э: Арэхава,наличие буквы ё: Буда-Кашалёва.

Неопознанными пока остались: Гродна, Дзятлава, Жодiна, Малад -зечна, Мукачеве, Рiвне.

Чтобы выяснить принадлежность оставшихся населенныхпунктов, обратим внимание, на что оканчиваются украинские ибелорусские названия. Видим, что среди украинских названийвстречаются, оканчивающиеся на «ве» и «не» (Єнакiєве, Тарутине)и не встречаются, оканчивающиеся на «ва» и «на», а среди бело-русских, наоборот, встречаются, оканчивающиеся на «ва» и «на»(Ветрына, Арэхава, Буда-Кашалёва) и не встречаются, оканчива-ются на «ве» и «не». По этому признаку распределяем все пока неопознанные населенные пункты.Белорусские названия: Гродна, Дзятлава, Жодiна, Маладзечна.Украинские названия: Мукачеве, Рiвне.Тот же признак позволяет нам выполнить последнее задание -выяснить, как будет выглядеть название поселка Ленино на укра-инском и белорусском языках.

Ответ: Поселок Ленино по-украински называется Ленiне, апо-белорусски - Ленiна.

Вот как выглядит весь список (рядом с каждым названиемпомечено, по каким признакам оно отнесено к украинскому илибелорусскому:Барановiчы бел. наличие буквы ы

66

Задача 78. Необязательная. Решать эту задачу можно с кон-ца - нарисовав ломаную линию из семи звеньев (на нашем поле,конечно), которую нельзя продолжить. При этом нужно учестьчетвертую бусину, в которой позиция уже нарисована - наша ло-маная должна проходить по всей средней вертикали.

Не давайте детям никаких подсказок, понаблюдайте, что ониделают. Вот один из вариантов цепочки Z:

Задача 79. Необязательная. Надеемся, подобные задачистали для ваших детей уже привычными. В таких задачах частопомогает перебор всех закрашенных клеток в качестве начально-го положения Робота. Если с самого начала отбросить все клетки,из которых нельзя выполнить первую команду (все клетки верх-него ряда), то останется всего 6 возможных начальных положе-ний, которые не долго перебрать. В результате оказывается, чтоРобот в начальной позиции находится в правой закрашеннойклетке нижнего ряда. Теперь осталось пометить положение Ро-бота в начальной позиции и выяснить, где он будет находитьсяпосле выполнения программы Р.

Задача 80. Необязательная. Если задачу не удастся решитьсразу всем, то можно среди тех, кто ее решил, устроить конкурсна самую длинную цепочку трехбуквенных слов, а остальных де-тей разбить на несколько групп, которые будут придумывать раз-ные цепочки, затем цепочки можно выписывать, по-разному сов-мещать и т. д.

Задача 81. Необязательная. При выполнении первого зада-ния предоставьте ребятам полную самостоятельность, такие за-дания уже должны быть по силам каждому. По окончании его вы-полнения напомните ребятам о необходимости проверки, кото-рую можно провести как в индивидуальном порядке, так и в па-рах. В любом случае полезно спросить ребят, какие именно усло-вия должны выполняться, чтобы цепочка была нарисована верно.Во-первых, все 4 точки на окружности должны быть попарно со-единены. Это означает, что в заключительной позиции проведено6 отрезков, а цепочка игры состоит из 7 позиций. Во-вторых, припереходе от одной позиции к другой всегда должен добавлятьсяровно один отрезок, причем определенного цвета. В-третьих, взаключительной позиции (и предыдущей перед ней) не должнобыть одноцветного треугольника, иначе партия не закончитсяничьей. При выполнении второго задания полезно дать ребятам

Z

Ю

69

Затем замечаем, что Робот на протяжениивсей программы 4 раза выполняет команду внизи только потом один раз – команду вверх, поэто-му необходимо отбросить те строчки, из клетоккоторых невозможно выполнить 4 команды вниз(это 4 нижние строчки, полные и неполные).

Осталось 12 возможных начальных позиций. Их придется че-стно проверить - запустить Робота выполнять программу, начи-ная с каждой из этих клеток. В результате получаем единствен-ное возможное решение:

Сложность данного подхода к решению заключается в том,что в этой задаче перебор достаточно большой, даже в случае,если правильно отбросить вначале «неподходящие» клетки.

Возможно, кто-то из ваших учеников выберет другой подход- сначала выполнить программу на клетчатой бумаге (поле безграниц), а потом «вписать» получившуюся фигуру в заданное по-ле Робота. Решение в этом случае также не будет слишком про-стым. Видим, что поле - сложная фигура, а при выполнении про-граммы получается достаточно непростая картинка. Чтобы найтией место в заданном поле, детям потребуется хорошо развитоегеометрическое воображение.

В любом случае лучше не обсуждать сразу задачу со всемклассом и посмотреть, что будет делать каждый ученик самосто-ятельно. Ваша помощь будет в каждом случае различна - в зави-симости от выбранной учащимся стратегии и его продвижении врешении.

68

Буда-Кашалёва бел. наличие буквы ёВетрына бел. наличие буквы ыВiнниця укр. наличие буквы иГайсин укр. наличие буквы иГродна бел. оканчивается на -наДзятлава бел. оканчивается на -ваЄнакiєве укр. наличие буквы єЖодiна бел. оканчивается на -наКиїв укр. наличие букв и и їМелiтополь укр. наличие безударной буквы оМагiлёў бел. наличие буквы ўМогилiв-Подiльський укр. наличие буквы иМазыр бел. наличие буквы ыМаладзечна бел. оканчивается на -наМукачеве укр. оканчивается на -веМиколаїв укр. наличие букв и и їАрэхава бел. наличие буквы эРiвне укр. оканчивается на -неСуми укр. наличие буквы иТарутине укр. наличие буквы иХмельницький укр. наличие буквы иЧеркаси укр. наличие буквы и

Задача 83. Необязательная. При решении данной задачиможет существенно помочь подсчет закрашенных квадратиков вкаждой из фигурок. Оказывается, во всех фигурках, кроме од-ной, закрашенных квадратиков по 7, в одной - 6. Это сразу ука-зывает нам ту фигурку, в которой мы должны раскрасить синимодин квадратик. Теперь остается лишь сравнить эту фигурку-об-разец с каждой из оставшихся, по ходу отбрасывая (например,вычеркивая) те фигурки, которые заведомо не подходят. Подхо-дит же нам такая фигурка, в которой закрашены все те клетки,что и в фигурке-образце. После того, как такая фигурка нахо-дится, закончить решение оказывается совсем не сложно.

Ответ: таким образом, если в средней фигуре второй строкизакрасить третью сверху клетку в последнем столбце, то онастанет такой же, как левая фигура последней строки.

Задача 84. Необязательная. Как и в других подобных зада-чах здесь можно воспользоваться методом перебора, то есть по-следовательно «запускать» Робота с разных клеток поля. Такимобразом можно «отбраковать» клетки, стартовав скоторых Робот не сможет выполнить очереднуюкоманду программы. Специфику перебора под-сказывает сама программа. Сначала отбрасываемвсе клетки, из которых Робот не может сделатьдва первых шага - «влево, влево» и вычеркиваемих крестом:

71

Далее из этих кусочков пытаемся составить цепочку целиком.При этом остаются 4 лишние фигурки, из них две Сумки. Теперьглавное - соблюсти истинность первого утверждения. Для этогонеобходимо, чтобы среди оставшихся фигурок было два Баш-мака.

Теперь остается только соединить эти отдельные части водну цепочку (учитывая направление каждой части, конечно).

70

Задача 85. Необязательная. Задача ребятам достаточно при-вычная, главная ее сложность состоит в том, что фигурок много.Кроме работы с телесными объектами (фигурками с листа выре-зания), здесь может помочь соединение окончательного решенияиз частичных решений. Этот метод, упоминавшийся ранее, состо-ит в том, чтобы собрать хотя бы одну (короткую) цепочку, длякоторой истинны все три утверждения. Таким образом у нас по-является цепочка их четырех фигурок: Скрипка - Платье - Сум-ка - Башмак. Далее замечаем, что Платьев всего два. Для соеди-нения оставшихся фигурок нам нужно другое частичное решение,вида: Скрипка - …- Сумка - Башмак, где на месте многоточияможет стоять Майка или Башмак (но не Сумка и не Скрипка).

7372

Еще один вариант решения – строить частичные решенияпоследовательно для каждого утверждения. Для истинностипервого утверждения нужно каждую Сумку соединить с каким-нибудь Башмаком (как и раньше, необходимо обязательно вкаждом таком фрагменте указать направление цепочки). Дляистинности второго утверждения соединяем каждое из двухПлатьев с какой-нибудь Сумкой:

Для истинности третьего утверждения соединяем каждуюСкрипку с какой-нибудь Сумкой «через одну» фигурку:

Теперь остается только соединить эти отдельные части водну цепочку (учитывая направление каждой части, конечно).

Контрольная работа № 2. Ответы и решенияЗадача 1. Обратите внимание на то, чтобы в каждой позиции

цепочки положение Робота было помечено жирной точкой.Ответ:Вариант 2-1:

Щ

75

красный, после третьего - синий и т. д.) В заключительной пози-ции имеется треугольник из красных отрезков, причем ни нашестой, ни на седьмой позициях одноцветного треугольника(красного или синего) нет (ведь раньше шестой позиции одно-цветный треугольник появиться не может).

Задача 5.Ответ:Вариант 1: 6•(11-5)-12:(18-12)=34Вариант 2: 7•(11-8)+15:(18-13)=24Задача 6. Необязательная.Ответ: 15 игр.

Вариант 2-2:

Задача 2. Порядок бусин второго уровня жестко определяет-ся числом бусин, следующих за каждой из них (за одной две, задругой три), поэтому позиции второго уровня нельзя рисовать наполях в произвольном порядке. Бусины третьего уровня, имею-щие общую предыдущую могут стоять в любом порядке, поэтомудеревья разных учащихся могут несколько различаться по виду.

Ответ:Вариант 2-1: Вариант 2-2:

Задача 3.Ответ:Вариант 2-1: 6+16:4-9+20:5•6=25Вариант 2-2: 6+25:5-8+30:6•5=28Вопрос о том, следует ли снижать оценку в случае, если уча-

щийся записал пример с одной (или более) парой лишних скобок(то есть скобок не меняющих порядок действий), мы оставляемна ваше усмотрение. Решение этого вопроса сильно зависит отуровня класса и от особенностей изучения программы по мате-матике. Если вы учитель информатики, стоит проконсультиро-ваться у основного учителя.

Существуют и другие выражения, являющиеся правильнымиответами. Это выражения со скобками, которые меняют порядокдействий в соответствии со структурой дерева вычисления.

Вариант 2-1: 20:5•6+(16:4+6-9)=25Вариант 2-2: 30:6•5+(25:5+6-8)=28Задача 4. Подходящих цепочек игры существует много. Ре-

шение следует считать правильным, если выполняются следую-щие условия. При переходе от каждой позиции к следующей (накаждом ходе) добавляется ровно один отрезок, причем соответ-ствующего цвета (после первого хода - синий, после второго -

74

Ц

БЯ

76

Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2004

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКАПособие для учителя

4 класс Часть 3. Занятия в третьей четверти

79

Дерево игры. Ветка из дерева игрыДерево игры - одно из важнейших понятий нашего курса.

Выше мы говорили о том, что цепочка выполнения программы -это статический, неподвижный объект, описывающий процесс(процесс выполнения программы). В случае игры ситуация анало-гичная, только вместо цепочки появляется более общий объект -дерево. Связано это, конечно, с тем, что в возникающих позици-ях у игроков может быть выбор - несколько возможностей дляочередного хода. И дерево игры включает в себя все возможныеварианты этого выбора на каждом ходу.

Умение представлять себе, а иногда и рисовать дерево воз-можностей и своих выборов в совместной деятельности, сотруд-ничестве или конфликте, может пригодиться детям и в дальней-шей жизни.

Ветка из дерева игры - это, как вы понимаете, фрагмент,часть дерева игры. Важно, что ветка дерева игры имеет однукорневую бусину - какую-то позицию игры и все возможные сле-дующие позиции после этой корневой - до конца игры (до за-ключительных позиций). Таким образом, ветка дерева игры этоне любая часть дерева игры, а только такая, которая включает всевозможные завершения игры, начиная с некоторой позиции, т. е.в ветке нет «оборванных веточек и листьев».

Комментарии к задачам 1-16 Части 2 Задача 1. Очень важно, чтобы с этой задачей справились все

ребята. Не жалейте на нее времени, тем более, что учащиесяздесь встретятся с некоторыми новыми моментами, на которыенужно обратить внимание.

При построении дерева А ребятам придется решать две за-дачи - представить себе дерево А (спроектировать в уме) и раз-местить, нарисовать это дерево А в окне. Делать это одновре-менно могут далеко не все, поэтому в данной (первой после лис-та определения) задаче мы советуем сначала нарисовать деревоА на черновике, где можно зачеркивать и стирать, или хотя быработать в окне карандашом. В качестве черновика лучше ис-пользовать целый лист бумаги, чтобы во время проектированиядерева А проблема нехватки места ребят не волновала.

Если вы видите, что кто-то из учеников не знает с чего на-чать, можно помочь ему следующими вопросами: «Какие ходыможет сделать Первый из начальной позиции?», «Какие позициипри этом могут получиться?», «Какие ходы может сделать Второйиз возможных позиций второго уровня (4 и 5)?», «Какие позициимогут при этом получиться?» и т. д. Если вы видите, что учащийсяне отвечает на эти вопросы, возможно, стоит вместе разобраться,как построено дерево G на странице 3. Чтобы при построениидерева не запутаться, перебирая возможные позиции, лучше рас-

78

Почасовое планирование третьей четвертиУроки 17-18. Дерево игры. Ветка из дерева игры. (Учебник-

тетрадь, часть 2, с. 3–11.)Урок 19. Проект «Угадай задуманную букву». Этап II. (Тет -

радь проектов, с. 8–13.)Урок 20. Выигрышные и проигрышные позиции. (Учебник-

тетрадь, часть 2, с. 12–15.)Урок 21. Выигрышные стратегии в игре в Камешки. (Учеб -

ник-тетрадь, часть 2, с. 16–19.)Уроки 22-23. Выигрышные стратегии и большие числа.

(Учебник-тетрадь, часть 2, с. 20–25.)Уроки 24-25. Стратегии в играх на шахматной доске. (Учеб -

ник-тетрадь, часть 2, с. 26–29.)Урок 26. Контрольная работа № 3, варианты 3-1 и 3-2.

(Учебник-тетрадь, часть 2, вкладыш.)Урок 27. Повторение, подготовка к теме «Дерево всех слов

данной длины». (Учебник-тетрадь, часть 2, с. 30–33.)

81

ного уровня. В этом случае красным ребята должны обвести всенули, находящиеся на уровнях, помеченных I (этих нулей будет6), а синим - нули, находящиеся на уровнях, помеченных II (та-ких будет 7). Для выполнения последнего зада-ния достаточно найти любой лист, поме-ченный синим и выписать путь, ведущийв него, а затем обвести этот путь в де-реве (конечно, лучше не красным ине синим).

Ответ:

Задача 2. Необязательная. Здесь интересно выслушать нетолько ответ, но и объяснения ребят, которые, скорее всего, неуместятся на отведенной строке. Если у вас нет возможности по-говорить со всеми, решившими эту задачу, объедините их в не-большие группы (по 2-4 человека) и попросите выслушать другдруга. Затем вы можете поговорить только с одним представите-лем от каждой группы. Тем, кто взялся за задачу, но запутался вней, можно предложить такие вопросы: «Может ли человек, гово-рящий «Я лжец», быть рыцарем?» (Почему?), «Может ли такой че-ловек быть лжецом?» (Почему?) Так постепенно ребята начнут по-нимать, что никто из жителей острова не скажет о себе «Я лжец».

Задача 3. Как и задача 1, данная задача является очень важ-ной, ведь это первое задание на построение ветки из дерева иг-ры. Для облегчения технической работы мы поместили заготовкивсех необходимых полей, на которые скопированы все значки из

80

полагать все бусины, следующие за некоторой бусиной в опреде-ленном порядке, например, сверху вниз по убыванию числа ка-мешков в позициях.

После того, как на черновике дерево А построено, необхо-димо красиво разместить его в окне. Вертикальная разметка по-может ребятам располагать бусины каждого уровня в определен-ной полосе (это будет полезно в дальнейшем при ответах на во-просы). При размещении дерева в окне необходимо учитыватьследующее. Во-первых, нужно иметь в виду, что чем больше ка-мешков в некоторой позиции, тем больше места (и по вертикали,и по горизонтали) понадобится для начинающейся в этой пози-ции ветки дерева. Во-вторых, проблема нехватки места для бу-син одного уровня встает не на первом и втором уровнях, а поз-же, когда бусин становится больше. При рисовании дерева набе-ло в тетради, стоит подсчитать, на каком уровне бусин большевсего, и начать рисовать дерево именно с этого уровня. Напри-мер, в нашем случае в дереве А такая ситуация возникает на пя-том уровне, там нужно разместить 11 бусин. Поэтому лучше сразунарисовать бусины пятого уровня, а затем пририсовать к ним всеостальное. Кроме того, для экономии времени можно разрешитьдетям не рисовать квадратики бусин, а оставить только числа.

Есть и другие варианты для красивого расположения деревав окне. Можно начать строить дерево с самого длинного пути,разместив его приблизительно по диагонали, начав примерно ссередины первого уровня и закончив наверху последнего уровня.Затем следует пристраивать к каждой из бусин нарисованногопути следующие бусины, начиная с конца. Так появляется одна(самая большая) ветка. Затем на оставшемся месте следует разме-стить остальные ветки.

Заканчивается решение, как обычно, проверкой. В зависимо-сти от того, какую систему рисования выбрали для себя учащие-ся, вид их деревьев может различаться. В ответе мы приводимдерево, в котором бусины упорядочены так, как мы говорили: впорядке возрастания количества взятых камешков.

Возможно, у вас в классе найдутся хитрые дети, которые за-метят, что дерево А - это ветка из дерева G с листа определения,начинающаяся с позиции 6 второго уровня, и будут срисовыватьпрямо со страницы 3. Это не страшно, но лучше, если такие детиоставят свое открытие при себе.

Второе задание мы предлагаем ребятам для того, чтобы онисопоставили дерево игры и процесс проведения реальных пар-тий. Как говорилось на листе определений, дерево игры содер-жит все возможные партии, проводимые по данным правилам. Подереву можно получить информацию о том, кто выиграл в тойили иной партии и на каком ходу. Чтобы легче было выполнятьвторое задание, посоветуйте ребятам над каждым уровнем (кро-ме первого) поставить I или II в зависимости от того, кто из игро-ков сделал ход, в результате которого получились позиции дан-

A 64

5

4

3

20

121223 1

01001000

0

0

0

0

1

3

12 01 0

83

даются крестикам.Ответ:

Задача 4. Необязательная. Здесь для кого-то из ребят можетоказаться сложным, понять, что требуется сделать в задаче. Насамом деле все не так уж и сложно - последние бусины цепочкиL должны совпадать с позициями одного из путей дерева С, ноне любого, поскольку длина цепочки L задана. Мы надеемся, чток настоящему моменту ваши ребята понимают связь между дли-ной цепочки партии, числом ходов и выигрышем определенногоигрока. Например, в цепочке L – 9 позиций, значит сделано 8 хо-дов и партия закончилась выигрышем Второго. Теперь ясно, чтопоследней бусиной искомой цепочки может быть любой лист де-рева С, расположенный на третьем уровне. Теперь осталось пе-ренести в цепочку L позиции пути дерева С, ведущего в этот листи придумать начало партии (позиции до корневой).

Задача 5. Если вы обсуждали с ребятами решение задачи 1подробно, здесь можно предоставить им больше самостоятель-ности. Ребятам послабее можно по-прежнему предложить внача-ле изобразить дерево В на черновике, хотя бы схематично. Приэтом ребята заметят особенности этого дерева, которые можновпоследствии принимать во внимание, располагая дерево в окне.Например, одна из веток дерева В (выходящая из позиции 5) бу-дет занимать гораздо больше места, чем две остальные, поэтомупозиции на втором уровне лучше располагать соответственно.Если кто-то из ребят рисует дерево сразу в тетради, ему можнопосоветовать начать с самого длинного пути, а затем пририсовы-вать к нему все остальные. Стоит напомнить ребятам, что лучшерасполагать позиции, следующие за каждой бусиной в опреде-

82

корневой позиции. Ребятам остается только дорисовать позиции,но вначале им придется решить ряд вопросов.

Первый из них - кто должен делать ход из корневой позиции(конечно, Первый, ведь на поле крестиков и ноликов поровну).Второй вопрос - какие ходы может сделать Первый из корневойпозиции (их три, ведь на поле три пустые клетки). Заполняем бу-сины второго уровня. Хорошо бы при этом приучать ребят припереборе возможных ходов использовать некоторую систему.Например, можно ставить крестики в пустые клетки в порядкеслева направо и сверху вниз. Так в верхней позиции второгоуровня мы ставим крестик в левый верхний угол поля, в среднейпозиции второго уровня - в среднюю клетку среднего ряда поля,в нижней позиции - в оставшуюся клетку поля.

После заполнения позиций второго уровня ребятам нужнопроверить, нет ли среди этих позиций заключительных (в данномслучае их нет). Далее ребята аналогично работают с бусинамитретьего уровня (среди них уже будут заключительные) и, нако-нец, четвертого уровня. Чтобы учащимся было легче отвечать навопросы, можно поставить над каждым уровнем позиций значки Iили II, в зависимости от того, кто из игроков сделал ход, в ре-зультате которого получились данные позиции (или, что то жесамое в этой игре, кто из игроков ставил значки).

Отметим, что, в отличие от игры в Камешки, мы не можемсчитать все листья последнего уровня (он у нас помечен значкомI) позициями с выигрышем Первого, поскольку среди этих пози-ций могут встретиться и ничьи. Листья последнего уровня нужнотщательно проверять, хотя в данном дереве ни одна партия ни-чьей не заканчивается (при ответе на вопрос про число ничьихребята должны написать ноль и в дереве никакие листья синимне обводить).

Если время позволяет, то полезно разбиться на пары и поиг-рать, начиная с данной корневой позиции. Затем полезно спро-сить ребят, для кого из игроков данная позиция более выгодна –кто чаще выигрывает в ситуации реальной игры. В ходе соревно-вания ребята смогут убедиться, что чаще выигрывают нолики.Действительно, в корневой позиции у ноликов на поле имеетсяситуация «вилки», когда одновременно в двух рядах (верхнем идиагональном) стоят по два нолика. Поскольку Первый при этомне может выиграть на следующем своем ходу, Второй далее бу-дет иметь возможность поставить нолик хотя бы в один из этихрядов и выиграть. На примере этой задачи ребята могут понять,что ветка из дерева игры, равно как и дерево, отражает все воз-можные партии (или окончания партий), в то время как некото-рые окончания или партии являются более вероятными в реаль-ной игре, в которой каждый участник стремится к выигрышу. Ко-нечно, приведенные выше соображения о более выгодной пози-ции ноликов не исключают возможности выигрыша крестиков,если нолики играют плохо, невнимательно или намеренно под-

СXO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOXX

OХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

85

чит, длина второй - больше 3). Отсюда видно, что перебор сов-сем невелик - всего три варианта, пары следующей длины: (2, 6)(3, 5), (4, 4). При этом условиям задачи удовлетворяет тольковторой вариант:

Задача 8. Необязательная. Возможно, кто-то из ребятвспомнит, что два одинаковых пути появляются в дереве в томслучае, если у них на каждом уровне или одинаковые бусины илиобщая бусина. Поэтому все листья, следующие за каждой однойбусиной второго уровня дерева Ф должны быть различны. Значит,учитывая информацию, содержащуюся в таблице, за верхней инижней бусинами второго уровня должны следовать красный ижелтый листы, а за средней - красный, желтый и синий. Теперьоставшиеся 6 бусин нужно раскрасить в соответствии с таблицейв красный и желтый цвет так, чтобы начала всех путей (цепочкииз первых двух бусин) были различны. Таким образом, нам под-ходят следующие три начала: красная - красная, красная - жел-тая и желтая - красная.

Скорее всего, ребята будут решать методом проб и ошибок.Пробы можно осуществлять, помечая на бусинах карандашомцвета первыми буквами (К, Ж, С). Конечно, это будет не столь на-глядно, зато в случае ошибки решение легко поправить. Если выхотите столкнуть кого-то из ребят «с мертвой точки», то попро-сите его для начала раскрасить бусины средней ветки, причемначиная с листьев. Далее можно обсудить полученный результати дать возможность учащемуся закончить решение самостоятельно.

Задача 9. Несложная задача на раскрытие цепочки мешков.Все ребята должны на данном этапе выполнять подобные заданиясамостоятельно, а также уметь отвечать на вопросы: «Сколько це-почек будет в мешке?», «Сколько бусин будет в каждой из цепо-чек?», «Будут ли в мешке одинаковые цепочки?» («Почему?»).

Задача 10. Необязательная. Эта задача предназначена, в ос-новном, для сильных учеников. Естественно, алгебраическим пу-тем она решается очень быстро (например, с помощью уравне-ния). Однако, четвероклассники необходимыми для этого знани-ями не обладают и могут дойти до ответа лишь логическим пу-тем. Это потребует от них смекалки и мастерства. В этой задачепроще всего подтолкнуть учащегося к решению методом проб иошибок или методом перебора. Например, предложите взять лю-бой возраст дедушки и посчитать, сколько лет будет вместе де-душке и внучке. Пусть деду 50 лет, тогда внучке 50 месяцев (тоесть 4 года и 2 месяца), а вместе им 54 года и 2 месяца. Итак,возраст деда в 50 лет нам не подходит - в сумме получается

84

ленном порядке (например, по убыванию). Изобразив дерево В, ребята должны нарисовать цепочки игр,

в которых выигрывает определенный игрок. Подобные заданияребята выполняли и раньше (см. задачи 19, 31, 56 Части 1). Здесьважно, чтобы ребята использовали именно дерево В. Для началаследует пометить уровни дерева В в зависимости от того, кто изигроков сделал ход (I или II). Тогда все листья, помеченные I -заключительные позиции партий, в которых выиграл Первый, авсе листья, помеченные II - заключительные позиции партий, вкоторых выиграл Второй. Итак, на первый и на второй вопрос от-вет утвердительный, осталось в каждом окне нарисовать подхо-дящую цепочку партии.

Ответ:

Задача 6. Необязательная. Ребятам уже встречались задачи,где кроме целых клеток исходная фигурка содержит половинкиклеток. Отличие данной задачи в том, что фигура со-держит нечетное число целых клеток (7), а значит, однуиз целых клеток ребятам придется резать на половин-ки. Найти такую клетку можно при помощи перебора.

Ответ: (см. рисунок).Задача 7. В этой задаче учащиеся должны быстро прийти к

уже им знакомой идее полного перебора и начать методическирезать цепочку на две части (ведь требуется построить цепочкуцепочек длины 2). Неплохо, если они выберут какую-нибудь ра-зумную стратегию, например, начнут с левого конца и будут дви-гаться, добавляя по одной бусине. Можно лишь отметить, что мытребуем здесь наличия предпоследней бусины у первой цепочки(а, значит, ее длина больше 1) и четвертой бусины у второй (зна-

B 3

52

2

0

1

0

0

3

1

1

200

0

0

0

0

4

1

2

1

6

1

Ц

87

мы уже знаем ответ на первый вопрос задачи. Действительно,при ходе А дальнейшее развитие партии ясно, и выигрывает обя-зательно Второй. Осталось только убедиться, что это единствен-ный ответ - что ходы Б и В нам не подходят.

Продолжим исследования и сделаем за Второго ход Б. Тут уПервого две возможности. Но, как сразу видно из рисунка, обеони дают заключительные позиции и означают выигрыш Первого.Итак, независимо от желания Первого, он выиграл, а Второй про-играл. Значит, для ответа на первый вопрос ход Б не годится (за-то он годится для ответа на второй вопрос).

Посмотрим, что будет при ходе В. Видим, что здесь Второйможет как выиграть, так и проиграть; значит, ход В не подходитдля ответа ни на один из двух вопросов.

Итак, ответ на первый вопрос - ход А, ответ на второй во-прос - ход Б.

Задача 12. Необязательная. Чтобы найти правильный ответ вданной задаче, нужно понять характер зависимости между вели-чинами (число работников, время работы и ее объем). Для уясне-ния ситуации можно предложить затрудняющемуся ребенку на-водящие вопросы:

1) За 2 часа 6 землекопов выроют больше или меньше ям,чем 3 землекопа? (Во сколько раз?)

2) Сколько ям выроют 6 землекопов за 2 часа?3) За 6 часов 6 землекопов выроют больше или меньше ям,

чем за 2 часа? (Во сколько раз?)Ответ: 18 ям.Задача 13. Первое, что требуется в этой задаче - это осущес-

твить полный перебор всех возможных ходов Первого игрока ивсе эти ходы (их четыре, как подсказывает картинка) изобразить.Дальше, естественно, нужно посмотреть, какие из получившихсяпозиций заключительные. Оказывается, что заключительных по-зиций из этих четырех - три, и во всех этих трех соответству-ющих партиях Первый проиграл. Для оставшейся четвертой по-зиции, в соответствии с условием задачи, нужно найти все воз-можные варианты хода Второго и нарисовать все получающиесяпозиции. Когда мы это сделаем, то окажется, что во всех позици-ях третьего уровня Второй проиграл, так что игра закончена.Первое задание задачи выполнено (см. рисунок ниже).

Второе задание - обвести заключительные позиции, соответ-ствующие выигрышам каждого игрока, определенным цветом иответить на вопросы об их количестве, для ребят не новое. Вданной задаче его можно выполнять по ходу заполнения дерева,так как уровней всего три, а игрок, делающий ход из корневойпозиции, указан в условии задачи.

Приступаем к последнему заданию. Для нас решение оче-видно: единственный непроигрышный ход Первого оказался вы-игрышным для него. Однако для детей это может быть не так

86

слишком мало. Возьмем возраст деда 80 лет (а внучке 80 меся-цев), тогда вместе им 86 лет и 8 месяцев, это слишком много. Та-ким образом, дедушке больше 50 лет, но меньше 80. Этот интер-вал можно сокращать в ходе следующих проб, пока мы не дой-дем до ответа. У кого-то из разумных детей может в ходе пробродиться одно дополнительное соображение - вместе деду ивнучке 65 лет (целое число), значит, возраст внучки в месяцахдолжен делиться на 12 (быть равным целому числу лет). В такомслучае в нашем интервале (от 50 до 80) подходящих чисел ока-жется всего 2.

Ответ: дедушке 60 лет.Задача 11. В этой задаче мы начинаем готовить ребят к про-

екту «Стратегия победы». Для успешной работы с проектом не-обходимо: во-первых, уметь строить дерево игры; во-вторых,уметь это дерево анализировать. Отметим, что обычно прианализе дерева мы рассматриваем каждую отдельную позицию сточки зрения одного игрока – того, который должен делать ход(ведь именно он решает, как ему лучше пойти, чтобы выиграть).Просматривая дерево, мы пытаемся ответить на вопросы: какойход игрока приведет его к победе наверняка, то есть при любыхдальнейших ходах противника; какой ход наверняка приведет кпроигрышу; а какой - может дать и тот, и другой исход. Так и вжизни: нашим детям необходимо, с одной стороны, представлятьвсе возможные выходы из данной ситуации, а с другой - оцени-вать вероятность выигрыша в каждой из них для себя и окружаю-щих. Только в этом случае можно успешно обходить все рифы имели. Например, ученик, обдумывая, когда выйти из дома, дол-жен хорошо представлять себе: если он придет в школу за 15минут до начала занятий, то наверняка не опоздает и его деньначнется нормально; если влетит через 15 минут после звонка, тонаверняка его день начнется с замечания в дневнике; если жевойдет в школу со звонком, то возможно и то, и другое, в зависи-мости от ситуации (скорости бега до кабинета, возможной встре-чи с директором, настроения учителя и т. п.).

В задаче 11 ветка дерева игры в Ползунок уже построена.Нужно проанализировать дерево и ответить на вопросы задания.Сначала найдем и пометим (например, обведем) все заключи-тельные позиции, в которых выигрывает Второй. Для удобстваможно предварительно написать над каждым уровнем позиций Iили II в зависимости от того, кто сделал последний ход, и найтивсе заключительные позиции, над которыми написано II. Видим,что таких позиций три.

Теперь рассмотрим по очереди последствия каждого из хо-дов А, Б и В Второго игрока. Пусть Второй сделал ход А. Как бу-дет развиваться партия дальше? У Первого есть только один ва-риант следующего хода и очередной ход Второго тоже един-ствен. Партия при этом заканчивается - Второй выиграл. Кажется,

89

1 и 5. Заметим, что дерево D - ветка из дерева В из задачи 5. Мыпометили задачу как необязательную из-за второго задания, ко-торое является, скорее, пропедевтическим. Второе заданиевплотную подводит ребят к понятию выигрышной стратегии, ко-торое будет рассматриваться дальше. Впоследствии мы будем го-ворить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он, следуяопределенному правилу, может выиграть в любом случае, как быни играл противник. В данной задаче исход всей игры можетбыть предопределен первым ходом Первого. Так, если Первыйна первом ходу возьмет 4 камешка, то обязательно выиграет Вто-рой, если 3 камешка - обязательно выиграет Первый, если 1 -может выиграть как Первый, так и Второй. Таким образом, Пер-вый, чтобы обязательно выиграть, должен взять 3 камешка. Це-почка, соответствующая такому ходу Первого: 5-2-1-0.

Выигрышные и проигрышные позиции Постепенно мы переходим от формальной работы с цепочка-

ми партий к их содержательному анализу. Действительно, доэтого момента учащиеся составляли цепочки партий, соблюдаяправила игры и, возможно, некоторые условия (выигрыш опреде-ленного игрока, определенную длину цепочки игры, даннуюзаключительную позицию и проч.). При этом ребята совершенноне обязаны были задаваться вопросами, насколько вероятно про-игрывание такой партии в жизни и насколько умело и старатель-но играют Первый и Второй. Чтобы соблюсти условия задачи, припостроении цепочки партии ребята могли и «подыгрывать» опре-деленному игроку, заставляя противника игроть неразумно, под-даваться. Все это мы уже отмечали раньше, равно как и то, чтонекоторые ребята все же будут стараться построить цепочку «че-стной» («разумной») партии, считая ситуацию формального пос-троения цепочки партии неестественной. Заметим, что, рисуя де-рево, мы также не сопоставляем его с процессом реальной игры,а лишь отражаем на дереве все возможные партии, как «разум-ные», так и «неразумные».

Теперь пришло время выделить из множества всех возмож-ных партий разумные партии, то есть такие, в которых каждыйигрок стремится к победе и не поддается противнику (при этом,конечно, играет честно, соблюдает правила игры). Это значит,что если игрок может с помощью некоторого хода (или серииходов) выиграть, то он в разумной партии сделает именно этотход (или серию ходов).

Для изучения возьмем сначала самую простую игру, в Камеш -ки. В игре в Камешки возможных позиций немного и они легкоупорядочиваются – это отрезок числовой прямой от нуля до не-которого договоренного числа (начальной позиции игры). Пол-ное дерево игры в Камешки тоже относительно небольшое – его

88

очевидно. Желательно с каждым обсудить, как онрешал задачу и почему уверен в своем ответе, какон понимает слова «как бы игра ни шла дальше».Данное задание - продолжает сериюзадач, где требуется указание выиг-рышной стратегии (пока без явноговведения этого понятия).

Задача 14. Необязательная. Здесь ребятам впервые придетсяразрезать фигуру больше, чем на две части. Как и раньше в по-добных задачах, поможет подсчет клеток в фигуре, а затем вкаждой из частей. Так ребята выясняют, что каждая из частейдолжна состоять из трех клеток. Если предположить, что всеклетки целые (это в данном случае самое естественное), то вари-антов форм для частей всего два - три клетки вряд итри клетки «углом», причем в первом случае решениене выстраивается. Теперь методом проб и ошибокможно пытаться по-разному разместить 3 клетки «уг-лом» в данной фигуре и найти ответ.

Ответ: см. картинку.Задача 15. В ходе решения подобных задач устанавливается

связь между веткой из дерева игры и отдельными партиями игры.Также как и в задаче 4, для начала ребятам необходимо понять,как связано дерево Н с цепочкой Q. Должно выполняться два ус-ловия: окончание цепочки Q - это путь дерева Н, и число отрез-ков в заключительной позиции пути дерева Н должно соответст-вовать заданной длине цепочки Q. Ребята к настоящему моментудолжны понимать - если в цепочке 9 бусин, значит в партии сде-лано 8 ходов. Теперь ясно, что заключительными позициями пар-тий с цепочкой Q могут быть лишь листья третьего уровня дерева Н.

Задача 16. Необязательная. Построение дерева D - задачазнакомая ребятам, вряд ли здесь потребуется ваша помощь. Есликто-то все же затрудняется, используйте комментарии к задачам

Н

91

в выигрышную позицию, проигрышной. Назовем позицию, из которой существует ход, приводящий в

проигрышную позицию, выигрышной.Итак, если нам нужно делать ход из выигрышной позиции, то

мы сможем подобрать такой ход, который оставит нашему про-тивнику проигрышную позицию. Любой ход нашего противникаиз этой (проигрышной) позиции оставит нам выигрышную пози-цию. Значит, мы опять сможем выбрать ход, в результате которо-го позиция изменится на проигрышную, и т. д. В итоге мы выиг-раем в этой партии, как бы ни старался наш противник.

Продолжим исследования позиций в нашей игре в Камешки,следуя введенным определениям.

Из позиций 5 и 6 есть ход, в результате которого получаетсяпроигрышная позиция 2. Значит, 5 и 6 – выигрышные позиции.

В результате всех ходов из позиции 7 получаются выигрыш-ные позиции, значит, 7 – проигрышная позиция. И т. д.

Как видите, чтобы полностью разобраться в ситуации, нампришлось проделать довольно много достаточно сложных рас-суждений. Конечно, мы не можем все это сразу обсудить с детьмина первом же листе определений. Мы сделаем это постепенно,небольшими порциями.

Итак, что же такое разумная партия с точки зрения уже вве-денных определений выигрышной и проигрышной позиций? Налисте определений мы описали это следующим образом: «В ра-зумной партии на каждом ходу игроки стараются по возможнос-ти оставить противнику проигрышную позицию». Если игрокудосталась выгрышная позиция, то он, конечно, сможет оставитьпротивнику проигрышную. Однако, если игрок делает ход изпроигрышной позиции, то соблюсти это правило попросту не-возможно, как бы он ни старался (ведь всякий ход из проигрыш-ной позиции оставляет противнику выигрышную позицию). Такимобразом, на самом деле разумно может вести себя только игрок,который делает ход из выигрышной позиции. Если такой игрокна протяжении всей игры делает только разумные ходы, то вдальнейшем мы будем говорить, что он следует своей выигрыш-ной стратегии. Его противник может при этом делать любые хо-ды, партия все равно будет оставаться разумной. Конечно, об-суждение этих моментов не нужно проводить со всем классом напервом уроке по теме.

Главное, что должны понять дети после изучения листа опре-деления - чем выигрышная позиция отличается от проигрышной.Также они должны уметь раскрашивать позиции на числовой ли-нейке и понимать, что в разумной партии игрок, у которого естьвозможность, всегда должен делать такой ход, который оставитпротивнику проигрышную позицию.

Естественно, выигрышные и проигрышные позиции сущес-твуют и в других играх. Но изучение других игр связано с до-

90

можно уместить на одной странице (конечно, для игр с достаточ-но небольшими начальными позициями).

Начнем мы с самого простого – изучения отдельных позиций:какие из них являются выигрышными, а какие проигрышными.На самом деле, конечно, мы изучаем не собственно позицию, авсю игру с этой начальной позицией. Но на начальных этапахрассмотрения позиции до того небольшие, что говорить об игресложно – она тривиальна и заканчивается, практически не успевначаться.

Что же означает «изучить позицию»? Для каждой отдельновзятой позиции мы выясняем, сможет ли выиграть из этой пози-ции игрок, чья очередь ходить. При этом мы должны рассмотретьвсе возможные варианты ответных ходов противника. Обратитевнимание, что мы теперь не говорим о Первом и Втором игроках!В наших рассуждениях пока не важно, какому именно игрокудосталась рассматриваемая позиция – Первому или Второму.Важно только то, что мы рассматриваем выигрышность позиции сточки зрения игрока, чей черед сделать ход.

Для рассмотрения на листе определений мы выбрали игру вКамешки, в которой разрешено брать 1, 3 или 4 камешка на каж-дом ходу. (Такой набор разрешенных ходов неслучаен: при бо-лее простых разрешенных ходах раскраска числовой линейкиполучается периодической и это может привести детей к нежела-тельным обобщениям.)

Начнем изучение с совсем маленьких начальных позиций. Ес-ли камешки уже кончились (позиция 0), то игрок, который толькочто сделал ход, выиграл. Это значит, что для игрока, которомутеперь (надо было бы) сделать ход, позиция 0 – проигрышная. Онточно не выиграет, потому что его противник уже выиграл!

Если камешков 1, 3 или 4, то тот игрок, чья очередь ходить,может сделать выигрышный ход – просто забрать все камешки!Значит, эти позиции выигрышные в нашей игре.

Если камешков 2, то наш игрок, чья очередь ходить, можетсделать только один ход – взять один камешек. При этом он обя-зательно проиграет в этой игре: его противник заберет остав-шийся камешек и выиграет. Значит, позиция 2 – проигрышная.

Перейдем теперь к позициям с большим числом камешков.Здесь нам понадобится сделать некоторые рассуждения. Пред-ставим себе, что мы играем в Камешки и стремимся к победе.Чтобы победить (независимо от того, какие ходы будет выбиратьпротивник), нам надо постараться поставить нашего противникав невыгодное положение. В идеале хорошо было бы так сыграть,чтобы противнику просто некуда было бы деваться: какой ход онни сделает, все равно останется в проигрыше. Что это значит внашем случае? Это значит, надо оставить противнику такую пози-цию, из которой при любом его ходе нам достанется выигрыш-ная позиция.

Назовем позицию, любой разрешенный ход из которой ведет

9392

полнительными трудностями. Так, в отличие от игры в Камешки,в других играх (Ползунок, Сим, Крестики-нолики) все возможныепозиции придется размещать на дереве игры, которое чаще все-го будет очень большим, поэтому возникают технические труд-ности. Во-вторых, в игре в Камешки позиции Первого и Второгоничем не отличаются, поэтому можно говорить, что некотораяпозиция является выигрышной или проигрышной для игрока, ко-торый должен делать из нее ход и анализировать игру в Камешкиодновременно, как для Первого, так и для Второго (в отличие,например, от игры в Крестики-нолики, в которой каждый игрокизменяет позицию по-своему, ставит свой знак, и поэтому каж-дую позицию нужно анализировать для каждого игрока в от-дельности). Наконец, следует заметить, что далеко не в каждойигре все позиции можно разделить на выигрышные и проигрыш-ные (для игрока, который должен делать ход). Из рассматривае-мых в нашем курсе игр это можно сделать лишь для игры в Ка -мешки, игр на шахматной доске, игр Стрелка и Две кучки ка -мешков, а также игры в Ползунок на некоторых полях (например,на поле 3×3). Для всех остальных наших игр выигрышные и про-игрышные позиции можно определять лишь, начиная с позицийопределенного уровня, такие задачи встретятся ребятам в даль-нейшем.

Комментарии к задачам 17-22 Части 2Задача 17. Первое задание данной задачи - продолжение

работы, начатой на листе определений. Поэтому ребятам помогутте же рассуждения, что приведены на с. 12-13. Начинаем со сле-дующей нераскрашенной позиции - 11. Возможные ходы игры -1, 3 и 4, значит, из позиции 11 могут получиться позиции 10, 8 и7. Позиция 7 - проигрышная, значит, из позиции 11 есть ход,после которого противнику достанется проигрышная позиция.Вывод: позиция 11 выигрышная. Если кто-то из ребят затрудня-ется, поработайте вместе над позицией 11, используя наводящиевопросы: «Какие ходы может сделать игрок?», «Какие позициимогут получиться из позиции 11 в результате одного хода?», «Ка-кими являются эти позиции (есть ли среди них проигрышные)?»,«Какой (выигрышной или проигрышной) является позиция 11?».

Далее ребята продолжают раскрашивать числовую линейкусамостоятельно до позиции 15:

Теперь, пользуясь раскрашенной числовой линейкой, учащи-еся отвечают на вопросы, подводящие к пониманию поведенияигроков в разумной партии. Как говорилось на листе определе-ний, в разумной партии игрок всегда старается оставить против-нику проигрышную позицию. Здесь же требуется подобрать та-

кие ходы, которые могут быть в разумной партии. Наконец, ребята должны составить разумную партию цели-

ком. Мы уже обращали ваше внимание, что разумный ход (остав-ляющий противнику проигрышную позицию) может сделать лишьигрок, находящийся в выигрышной позиции. Поскольку игру на-чинает Первый и находится при этом в выигрышной позиции 15,то он может сделать разумный ход: взять 1 камешек и оставитьВторому проигрышную позицию 14. Теперь в результате любогохода Второй оставит Первому выигрышную позицию (13, 11, 10).Второй просто не может сделать позицию проигрышной, поэтомуон может делать любой ход, например, взять 3 камешка. Первыйснова должен сделать разумный ход и оставить Второму проиг-рышную позицию 7 и так далее. Итак, в данном случае разумнойпартию делает только Первый, все позиции, которые оноставляет Второму, должны быть проигрышными. Например, ра-зумной будет следующая партия:

15 - 14 - 11 - 7 - 3 - 0Задача 18. Здесь ребятам нужно написать программу, кото-

рая приводит Робота в определенную клетку поля и при этом за-ставляет его обходить стены. Если вы хотите немного усложнитьзадание, попросите ребят написать такую программу С, котораяуместится в окне. Самая короткая программа С имеет длину 18.Действительно, чтобы привести Робота из левого нижнего угла вправый верхний на том же поле без стен потребуется самоеменьшее 14 команд (ведь нужно пройти 6 клеток вверх и 8 впра-во). Здесь же нам приходится как минимум в двух местах обхо-дить стену, т. е. идти влево или вниз (а потом возвращаться).Программ С минимальной длины много, приведем одну из них:

вправовправовверхвлевовверхвправовправовверхвправовверхвверхвправовнизвправовверхвправовверхвправо

Повторим еще раз, что в качестве ответа годится программа лю-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

95

которая в этом случае закончится его победой. Ниже приведенаодна из возможных разумных партий.

12 - 11 - 9 - 7 - 6 - 5 - 3 - 1 - 0

Задача 21. Необязательная. Учащиеся уже встречались слингвистическими задачами. Напомним, что они немного отлича-ются от задач основного потока, непосредственно относящихся клистам определений. Язык, хоть и имеет закономерности и логи-ческие схемы, действующие в других областях (к примеру, ин-форматике или математике), наряду с этим содержит и элементы,которые выходят за рамки закономерностей, не поддающиесяполной формализации - всевозможные исключения, договорен-ности, исторически сложившиеся формы и проч. Анализ и опери-рование с лингвистическими объектами подразумевает опреде-ленный уровень языковой интуиции или, как иногда говорят,«чувства языка». Именно поэтому лингвистические задачи и у насв курсе подразумевают некоторую долю интуитивной догадки.

Например, в данной задаче учащийся должен догадаться, чтослова Dicemba, Aprili и Octoba обозначают по-русски соответ-ственно декабрь, апрель и октябрь. Догадаться до этого несложно, но формально это ни откуда не следует.

Теперь нужно разобраться с остальными словами. Легко за-метить, что первое слово во всех датах одинаковое – значит, по-ка его можно исключить из анализа.

Проанализировав две даты в октябре, получаем, что второеслово в фразах на языке суахили относится к числу и tano соот-ветствует числу 5, а последнее слово в фразе соответствует днюнедели и jumatatu и jumatanu – понедельник и среда (но покакакое слово соответствует понедельнику, а какое среде – неизве-стно).

Теперь найдем две фразы с одинаковым словом в конце(днем недели) и получим, что jumatatu - это понедельник, а,значит, jumatanu – это среда. Теперь легко понять (из апрельскихдат), что nne – это 4, pili – это 2, а jumamosi – это суббота.

Теперь поставить соответствие между фразами на русском исуахили не сложно. Наконец, из кусочков «переведенных» датсоставляем в окне предложенные сочетания.

Ответ: tarehe tatu Dicemba jumanne - 3 декабря, вторникtarehe pili Aprili jumamosi - 2 апреля, субботаtarehe nne Aprili jumatatu - 4 апреля, понедельникtarehe tano Octoba jumatatu - 5 октября, понедельникtarehe tano Octoba jumatano - 5 октября, среда4 апреля, среда - tarehe nne Aprili jumatano5 декабря, суббота - tarehe tano Dicemba jumamosi

Для очень сообразительных детей можно дать и продолже-

94

бой длины, лишь бы она приводила Робота из заданного началь-ного положения в правый верхний угол поля и не позволяла быему наталкиваться на стенки.

Задача 19. Необязательная. Эта задача помечена как необя-зательная, хотя ее первое задание ничем не сложнее обязатель-ной задачи 17:

Однако ответ на вопрос потребует от ребят дополнительных раз-мышлений и даже некоторого «забегания вперед» – подобныевопросы мы будем обсуждать со всеми детьми позднее. Из мате-риала листа определений и решения задачи 17 становится ясно,что игрок, находящийся в выигрышной позиции, может, делая доконца партии только разумные ходы, выиграть. Однако, если онне будет делать разумные ходы, то может и проиграть. Обратитевнимание, что в вопросе речь идет не о разумной партии, авообще о любой.

Проведя несколько партий в Камешки по данным правилам(разрешается брать 1 или 3 камешка), ребята могут убедиться втом, что выигрывает действительно всегда только Первый. Поче-му? Анализируя раскрашенную линейку, можно заметить, чтоПервый вынужден играть разумно «в принудительном порядке»,то есть он при любом своем ходе оставляет Второму всегда толь-ко проигрышные позиции. Это легко проверить, моделируя раз-личные партии на раскрашенной числовой линейке.

Еще проще исход игры можно объяснить, используя чет-ность-нечетность позиций. Действительно, при начальной пози-ции 11 (нечетное число), все возможные позиции после ходаПервого - четные числа (ведь разрешается брать только 1 или 3камешка!). А после хода Второго остаются всегда только нечет-ные числа. Поэтому позиция 0 может получиться только послехода Первого (ноль - четное число), а после хода Второго онаполучиться не может.

Задача 20. Данная задача аналогична задаче 17 и работать сней ребятам предстоит по той же схеме. Вот раскрашеннаячисловая линейка:

Существенное отличие обнаруживается лишь при выполнениипоследнего задания - написания цепочки разумной партии. Дей-ствительно, начальная позиция 12 - проигрышная, значит Первыйв начальной позиции не может сделать разумного хода - в ре-зультате любого его хода Второй получает выигрышную пози-цию. Зато Второй после этого, оказавшись в выигрышной пози-ции, может сделать разумный ход - оставить противнику проиг-рышную позицию и поступать таким образом до конца партии,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

97

да оставлять Второму проигрышную позицию. Ходы Второгопосле этого могут быть любыми. Если задачи 17 и 20 ребята ре-шили легко, данную задачу можно использовать для промежу-точного контроля. Здесь можно проверить, научились ли ребятараскрашивать числовую линейку и понимают ли они отличие ра-зумной партии от других. Ниже приведена одна из возможныхразумных партий.

15 - 12 - 9 - 8 - 6 - 4 - 2 - 0

Выигрышные стратегии в игре в КамешкиРаботая с предыдущей темой, ребята анализировали в основ-

ном отдельные позиции игры в Камешки (и ходы, приводящие вних). Теперь настало время проанализировать ход игры в целом.Перекидным мостиком между двумя этими темами является по-нятие разумной партии (разумных ходов). Действительно, мыуже выяснили, что в разумной партии каждый игрок должен ста-раться следовать общему правилу - всегда оставлять противникупроигрышную позицию. Однако, в ходе решения задач, ребятамогли заметить, что в одной партии в Камешки только один изигроков может следовать этому правилу - тот, кто первым можетзанять выигрышную позицию. Теперь мы будем говорить, что та-кой игрок имеет выигрышную стратегию. Если он будет ейследовать, а, значит, делать только разумные ходы и оставлятьпротивнику только проигрышные позиции, то выиграет при лю-бой игре противника.

Итак, если игрок, имеющий выигрышную стратегию, будет ейследовать, то все возможные такие партии будут только разум-ными. Если начальная позиция выигрышная, то выигрышнуюстратегию имеет Первый, если проигрышная - Второй. Изложен-ное общее правило выигрыша - стараться оставлять противникупроигрышную позицию (оно верно для любой игры, где позицииможно разделить на выигрышные и проигрышные) в каждой игрев Камешки реализуется по-разному. Раскраска клеток числовойлинейки определяет как игрока, обладающего выигрышнойстратегией, так и его ходы (следование выигрышной стратегии).Правило выигрыша может быть сформулировано либо в виде по-следовательности ходов, которые должен делать игрок, либо ввиде правила о том какие позиции должен оставлять противникуданный игрок (если проигрышные позиции подчиняются некойобщей закономерности). В следующих за данным листом опреде-лений задачах ребятам предстоит формулировать выигрышныестратегии пошагово - в виде последовательности ходов.

96

ние этой задачи: «Как будет на языке суахили слово суббота ичисло 1?»

Оказывается, если внимательно приглядеться, в названиидней недели на суахили есть две части: одна общая (juma), адругая совпадает с названием числа. Проводя соответствие меж-ду этими числами и днями недели, получаем, что:

3 соответствует понедельнику4 соответствует вторнику5 соответствует среде

Отсюда приходим к выводу, что субботе скорее всего соответ-ствует число 1 и оно на языке суахили звучит как mosi, а число 2соответствует воскресенью и оно на языке суахили звучит какjumapili.

Про четверг, пятницу и числа 6 и 7 в задаче нет никакойинформации и поэтому о них мы сказать ничего не можем.

Как обычно, мы приводим краткую справку о языке, которыйиспользован в задаче.

Язык суахили распространен в странах Восточной иЦентральной Африки (главным образом в Танзании, Ке -нии, Уганде, где суахили наряду с английским, являетсяофициальным языком, частично в Демократической Рес -публике Конго (Заир) и Мозамбике). Первоначальная тер -ритория распространения – узкая прибрежная полоса сприлегающими островами Занзибар, Пемба, Мафия, Ко -морские. Исконные носители – исламизированное афро-арабские население этого региона. Суахили возникприблизительно в 9–11 веках в результате упрощенияместных языков банту, испытавших сильное контактноевлияние арабского языка. В 19 веке суахили проникаетвглубь континента. Самые ранние из известных памятни -ков классической литературы суахили относятся к 18 ве -ку, тогда использовалась арабская графика, так называ -емая старосуахилийская письменность. Современныйлитературный суахили пользуется письменностью на базелатинской графики.

Задача 22. Данная задача - обобщенный и сокращенный ва-риант задач 17 и 20, уже не содержащий подсказок. Вот раскра-шенная числовая линейка:

Здесь не указано, кто должен победить в разумной партии, уча-щийся должен понять это сам, анализируя выигрышные и проиг-рышные позиции на числовой линейке. В данном случае началь-ная позиция 15 – выигрышная, поэтому разумность партии зави-сит от Первого, который должен в результате каждого своего хо-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

99

Ответ:Ход 1. Первый должен взять 2, останется 6.Ход 2. Второй может взять 1, тогда останется 5, или может

взять 2, тогда останется 4.Ход 3. Первый должен взять столько камешков, чтобы оста-

лось 3.Ход 4. Второй может взять 1, тогда останется 2, или может

взять 2, тогда останется 1.Ход 5. Первый забирает все оставшиеся камешки и выигрывает.Задача 25. Необязательная. Задача на повторение темы «Де-

рево вычислений». Как видите, данное арифметическое выраже-ние по структуре довольно сложное, поэтому можно посовето-вать ребятам вначале работать карандашом. Кроме того, лучшене стараться записать весь пример сразу, а сначала записать при-меры, соответствующие веткам с корневыми бусинами 40 и 20(третьего уровня) и 34 (второго уровня), а затем составить иско-мый пример.

Ответ: (17•2)•((4+20+64:4) : (22-(37-35))) Задача 26. Единственное отличие данной задачи от задачи

24 состоит в том, что выигрышная стратегия здесь имеется у Вто-рого игрока. Вот раскрашенная числовая линейка:

Ответ: Ход 1. Первый может взять 1, 2 или 3 камешка, тогда оста-

нется 7, 6 или 5 камешков. Ход 2. Второй должен взять столько камешков, чтобы оста-

лось 4.Ход 3. Первый может взять 1, 2 или 3 камешка, тогда оста-

нется 3, 2 или 1 камешка.Ход 4. Второй забирает все оставшиеся камешки и выигрыва-

ет. Задача 27. Здесь ребята вспоминают тему «Конструкция по-

вторения» и ситуацию вложенного цикла.Ответ:

Задача 28. Необязательная. Как и в других задачах на раз-резание здесь поможет подсчет клеток в каждой из 4 частей. Об-легчает решение и то, что 4 клетки, имеющие по три общие сто-роны с границей фигуры, явно принадлежат разным частям. Кро-ме того, каждая из таких клеток входит в одну часть вместе с со-

98

Комментарии к задачам 23-30 Части 2Задача 23. Первое, что ребята должны понять, изучая данный

материал - что выигрышная стратегия действительно помогаетвыиграть одному из игроков и нужно научиться ей следовать.Именно поэтому мы начинаем серию задач на эту тему с малень-кого соревнования. Разрешенные ходы игры такие же, как на ли-сте определений (1, 3 и 4 камешка). Для следования выигрышнойстратегии ребята используют раскрашенную числовую линейку слиста определений, поэтому лучше посоветовать им не выбиратьначальную позицию больше 15. Первое, что говорит о пониманииребятами материала листа определений - Первый выбирает в ка-честве начальной позиции выигрышную. В противном случае уча-щемуся надо посоветовать еще раз прочитать материал листа оп-ределений. Второе условие правильного выполнения задания -все сыгранные партии должны быть разумными, то есть в цепочкепартии все позиции, получающиеся после ходов Первого - про-игрышные. Чтобы вам легче было проверить соблюдение этихдвух условий, попросите ребят записывать на черновике цепочкивсех сыгранных партий. Если в каждой партии Первый действи-тельно следует выигрышной стратегии, то оба утверждения врамках должны быть истинными. С теми парами учащихся, у ко-торых так не получилось, можно порассуждать вместе. На эту за-дачу не стоит жалеть времени, так как она является важным ша-гом при переходе от формального анализа отдельных позиций ксодержательному анализу реальной игры.

Задача 24. Первое задание, надеемся, не вызовет у ребят за-труднений. Вот раскрашенная числовая линейка:

В ходе выполнения второго задания учащиеся должны описатьвыигрышную стратегию для Первого пошагово, то есть указать,какой он должен сделать первый ход и какие ходы он долженделать дальше в зависимости от ходов Второго. При этом ребятадолжны понимать, что Первый может выбирать только свои ходы,но не ходы противника, поэтому для любого хода Второго ондолжен уметь выбрать свой разумый ход (оставляющий против-нику проигрышную позицию). Так в начальной позиции Первыйдолжен взять 2 камешка, чтобы оставить противнику проигрыш-ную позицию 6. В результате следующего своего хода Первыйдолжен оставить противнику проигрышную позицию 3, и нако-нец в результате дальнейшего своего хода забрать все оставши-еся камешки и выиграть. Чтобы ребятам не пришлось долго ду-мать над словесными формулировками, мы приводим шаблонпошагового описания выигрышной стратегии Первого, где необ-ходимо лишь заполнить окна. При этом мы описываем, что дол-жно (или может) происходить на каждом ходу игры.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

101

Похвалите таких учащихся за внимание к языку. Однако требо-вать этого от всех, конечно, не нужно. Как обычно, решение по-добных задач всегда должно заканчиваться проверкой выполне-ния всех условий.

Выигрышные стратегии и большие числаВы, наверное, заметили, что кто-то из ваших ребят, решая

задачи, относящиеся к предыдущему листу определений, начи-ная с некоторой позиции, раскрашивал позиции очень быстро,практически не задумываясь. Отдельные ученики, возможно, вы-сказывали вам свои догадки о том, что иногда расположение вы-игрышных и проигрышных позиций на числовой линейке подчи-няется некоторой закономерности. Ребятам приходилось встре-чаться с тем, что проигрышные и выигрышные позиции череду-ются через одну, одна через две, одна через три и проч. В такихслучаях можно формулировать выигрышную стратегию не поша-гово, описывая каждый ход игры, а в виде общего правила, кото-рое бы описывало, позиции какого вида должен оставлять про-тивнику игрок, обладающий выигрышной стратегией. Такое об-щее правило не только делает описание выигрышной стратегииболее коротким, но и освобождает нас от полного раскрашива-ния числовой линейки – мы раскрашиваем числовую линейкулишь пока не увидим закономерность. Особенно это актуально,если в начальной позиции камешков много: руководствуясь об-щей закономерностью определения выигрышной или проигрыш-ной позиции, мы и в этом случае можем выяснить, кто обладаетвыигрышной стратегией и в чем она заключается.

GАПУЛ

ДЕМО

G

ОЛАМПДУЕ

100

седней. Теперь мы имеем пару клеток, входящих в каждую часть.Осталось присоединить к полученной паре еще три клетки изчисла соседних, чтобы получить форму каждой части. Заметим,что сделать это можно по-разному.

Ответ:

Задача 29. Необязательная. Построение дерева игры в Ка -мешки - задание для ребят уже знакомое. При ответе на вопрос,возможно, кто-то из учащихся вспомнит задачу 19. Если в задаче19 учащийся исходил из соображений четности-нечетности по-зиций, то здесь он сразу сообразит, что Первый не сможет выиг-рать никогда (ведь после любого хода Первого позиция нечет-ная). Если же учащийся в задаче 19 использовал раскрашеннуючисловую линейку или вообще не решал данную задачу, то приответе на последний вопрос этой задачи он, конечно, постарает-ся использовать построенное дерево А. Действительно, пометиввсе уровни дерева значками I и II в зависимости от того, врезультате хода кого из игроков была получена данная позиция,мы видим, что в дереве А нет заключительных позиций, находя-щихся на уровнях, помеченных значком I. Это означает, что втакой игре нет ни одной партии, закончившейся выигрышемПервого игрока.

Ответ:

Задача 30. Необязательная. Задача эта несложная, нужнотолько хорошо понять все четыре утверждения в условии.

Ответов здесь может быть достаточно много. Кому-то из ре-бят, возможно, захочется, чтобы в каждой «ветке» дерева получи-лись осмысленные слова, например, так:

A3

5 2

0

3

1

1

200

0

1 0

04

2

1

6

GАДОМ

ЛУПЕ

GАМУП

ДЕЛО

GАМУДЕЛОП

103

Теперь уберем (или вычеркнем) из обеих частей равенства парыодинаковых предметов - карандашей и ластиков. Получим новуюсхему:

КАРАНДАШ =ЛАСТИК+ЛАСТИК+ ЛАСТИКПолучаем, что карандаш дороже ластика в 3 раза.

Задача 36. Сначала, конечно, ребятам необходимо раскра-сить начало числовой линейки:

Если после этого кто-то из учеников не будет знать, что делать,спросите его, какие позиции являются проригрышными. Когдаребенок поймет, что проигрышные позиции - числа, делящиесяна 3, можно спросить его, какой позицией (выигрышной илипроигрышной) будет число 213. Оказывается, что проигрышной,значит в данной игре выигрышная стратегия есть у Второго. Ондолжен на каждом своем ходу забирать столько камешков, чтобыпротивнику доставалось число, делящееся на 3.

Задача 37. Необязательная. Три команды, уже заданные впрограмме, дают ребятам ключ к решению, поскольку на полеимеется лишь одна клетка, из которой Робот, не выходя за пре-делы закрашенной фигуры, может выполнить серию команд«вниз-вверх-вверх»: это центральная клетка второй строки.Следующий вопрос, который нужно решить детям - из какойклетки начинал свой путь Робот, если он добрался до упомянутойвыше клетки за 4 команды. При этом нужно учитывать фигуру,которую закрасил Робот в процессе выполнения программы –нельзя выходить за ее пределы. Клетку положения Робота на по-ле в начальной позиции можно искать перебором. Таких возмож-ных клеток оказывается две - вторая и шестая клетки второйстроки. Отсюда возможных программ Т тоже две.

Ответ: внизвверхвправовправовнизвверхвверхвнизвправовправовниз

Или

102

Комментарии к задачам 31-45 Части 2Задача 31. Для начала ребята раскрашивают числовую ли-

нейку:

и замечают, что в распределении выигрышных и проигрышныхпозиций наблюдается некоторая закономерность - за каждойпроигрышной позицией следует три выигрышных, затем сноваодна проигрышная и т. д. Более того, видно, что все проигрыш-ные позиции - это числа делящиеся на 4. Именно поэтому в дан-ной игре (как сказано в условии задачи) выигрышной стратегиейобладает Первый (175 на 4 не делится, значит позиция 175 выиг-рышная). Таким образом, выигрышная стратегия Первого состоитв том, чтобы на каждом ходу должен забирать столько камешков,чтобы Второму доставалось число камешков, делящееся на 4.

Задача 32. Здесь ребята должны научиться следовать откры-той в предыдущей задаче выигрышной стратегии для победы всоревновании. Как видите, раскрашенной линейки им для этогоне хватит, поэтому они будут вынуждены следовать общему пра-вилу, которое выражено в ответе к задаче 31. Для начала, конеч-но, ребятам необходимо понять, что Первый должен выбиратьначальные позиции, которые не делятся на 4 (подробнее см.комментарий к задаче 23).

Задача 33. Ребята работают с этой задачей аналогично зада-че 31, но по возможности самостоятельно. Вот раскрашеннаячисловая линейка:

Ответ: Первый должен на каждом своем ходу забирать столь-ко камешков, чтобы Второму доставалось число, делящееся на 3.

Задача 34. Повторяем лист определений «Раскрытие цепочкимешков».

Ответ:

Задача 35. Необязательная. Эта задача немного похожа назадачу про молоко и творог (см. задачу 53 из Части 1). Для реше-ния этой задачи также могут помочь наглядные рисунки илисхемы. Например, нарисуем ситуацию, соответствующую первомупредложению задачи:

КАРАНДАШ + КАРАНДАШ+ ЛАСТИК = = КАРАНДАШ + ЛАСТИК+ЛАСТИК+ЛАСТИК+ ЛАСТИК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

П S T A V L E AR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

105

к поиску выигрышной стратегии для Второго в игре в Камешки сначальной позицией 9 и разрешенными ходами 1, 2 и 3 камешка.В данном случае выигрышную стратегию требуется записать не ввиде общего правила (хотя это не сложно), а пошагово, посколь-ку ребята в итоге должны уметь делать и то, и другое.

Ответ: Шаг 1. Сначала Алеша должен отрубить 1 голову, тогда у

змея останется 8 голов.Шаг 2. Добрыня может отрубить 1, 2 или 3 головы, тогда у

змея останется 7, 6 или 5 голов.Шаг 3. Теперь Алеша должен отрубить столько голов, чтобы у

змея осталось 4 головы.Шаг 4. Добрыня может отрубить 1, 2 или 3 головы, тогда у

змея останется 3, 2 или 1 голова.Шаг 5. Алеша отрубает все оставшиеся головы змея и обрета-

ет славу победителя. Задача 40. Эта задача - упрощенный вариант задачи 36 и

решается она аналогично. Если вы чувствуете, что ребята справ-ляются с такими задачами легко, можно использовать это зада-ние для текущего контроля.

Ответ: выигрышная стратегия есть у Первого. Вот раскрашен-ная числовая линейка:

Задача 41. Подобные задачи ребятам приходилось решатьуже не раз. Проще всего начать с поиска одинаковых отрезков вцепочке ⊕V, а затем проверить выполнение условий о числе бу-син в цепочке V и длине каждой из цепочек. Решений у этой за-дачи несколько. Здесь мы приводим два из них: в одном каждаяиз одинаковых цепочек имеет длину 3, в другом - длину 4 (придлине одинаковых цепочек 0, 1, 2 и 5 решение построить невоз-можно).

Ответ (см. на этой и следующей страницах):

104

внизвверхвлевовлевовнизвверхвверхвнизвлевовлевовниз

Задача 38. Необязательная. Вы наверное заметили, что этазадача с подковыркой. Поскольку начальная позиция нечетная ивсе разрешенные ходы нечетные, то после любого хода Первогопозиция будет четной, после любого хода Второго - нечетной.Таким образом, в данной игре всегда будет выигрывать Первый.По сути дела выигрышная стратегия Первому вообще не нужна,однако это не значит, что ее нельзя найти формально. Кроме то-го, дети поймут, что всегда выигрывает Первый тоже далеко несразу. Начнут решать задачу они по знакомому алгоритму:

1) Раскрасят числовую линейку (можно взять ее заготовку навкладыше):

2) Заметят, что все проигрышные позиции - четные числа, авыигрышные - нечетные числа;

3) Запишут выигрышную стратегию формально - Первыйдолжен на каждом своем ходу забирать столько камешков, чтобыВторому досталось четное число.

Лишь при выполнении последнего задания основная массаучащихся поймет, что в игре не может победить Второй. К этомувыводу можно прийти, анализируя раскрашенную числовую ли-нейку или из соображений четности-нечетности (подробнее см. вкомментарии к задаче 19).

По окончании решения мы советуем провести общее обсуж-дение этого вопроса. Следует обратить внимание на то, что су-ществуют игры, когда у игроков просто нет выбора (например,игры в Камешки с ходом 1), в этом случае выигрышная стратегиястановится не нужна. Если кто-то из сильных детей поймет этоеще до выполнения последнего задания и выскажет вам свои со-ображения, пусть пишет ответ в произвольной форме, например,так: «Первый выиграет всегда, какие бы ходы он ни делал» иличто-то в этом роде. Объяснение в последнем задании тоже пи-шется в произвольной форме, но лучше сначала все-таки выслу-шать мысли ребят и обобщить их.

Задача 39. Подобная задача ребятам уже встречалась (задача63 Части 1), но в отличие от той, эта задача является обязатель-ной. Теперь уже все ребята должны понимать, что дело сводится

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

V

107

сами построили дерево – они понимают, как дерево устроено. Вчастности, наиболее логически сложное, последнее, утверждениеопровергается очевидно верным предыдущим.

По окончании решения задачи можно сделать общий вывод -для кого из игроков корневая позиция является более выгодной ипочему. Хорошо бы вместе с ребятами привести примеры анало-гичных жизненных ситуаций. Например, если ученик хорошо вы-полнил домашнее задание, то он находится в позиции ноликов,то есть может выиграть наверняка. Если же не выучил, то его вы-игрыш (не спросили) зависит от учителя - это похоже на позициюкрестиков.

Ответ:

106

Задача 42. Необязательная. Как видите, ветка не нарисованаполностью, а лишь «намечена»: во всех позициях, кроме корне-вой, нужно поставить еще крестики и нолики. Посоветуйте детямне спешить, если надо - начать строить дерево на отдельномлисте бумаги (запасные поля есть на вкладыше) или работать втетради карандашом. Затрудняющимся можно задать следующиевопросы:

- Кто должен ходить из корневой позиции? - Сколько у него есть возможных ходов? - Есть ли среди этих ходов такой, который позволит выиг-

рать сразу? Если на все эти вопросы получены ответы, можно вернуться к

тетрадям. Теперь ясно, где нужно нарисовать позицию с выиг-рышным ходом. Остальные три возможных хода можно произ-вольно распределить по оставшимся бусинам второго уровня. Ксожалению, в той схеме дерева, которая дана в тетради, неудастся упорядочить бусины второго уровня дерева так, как мыдоговаривались в комментарии к задаче 3. В следующих издани-ях мы исправим эту досадную ошибку. Впрочем, на следующихуровнях это возможно.

Следующие ходы крестиков также возникнут естественно.Учащиеся уже понимают, почему за корневой позицией у нас шлочетыре позиции, а теперь за каждой позицией - только три. Важ-но сформировать здесь некоторую дисциплину работы, привычкук систематичности. В частности, полезно, как только сделан оче-редной выбор, то есть дорисована позиция в одной из бусин,передать этот выбор «по цепочке», точнее - по ветке, начинаю-щейся в данной позиции. Это будет требовать определенной ак-куратности, внимательности, сосредоточенности. Далее, надо незабывать отмечать заключительные позиции – сразу рисоватьстрелку и не пытаться что-то выстраивать за ними.

Разумеется, на вид деревья могут различаться из-за того, чтоучащиеся могли в разном порядке перебирать возможности, од-нако в математическом смысле все эти деревья одинаковые. Мыприводим один из возможных вариантов дерева Q (см. рисунокна следующей странице).

Теперь можно приниматься за таблицу. Оказывается, найтизначения утверждений довольно легко, если понять их формули-ровки. При этом легкости ответа способствует то, что учащиеся

QXХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

XХ Х

OO

XХ Х

OOO

XХ Х

OO

O

XХ Х

OO

O

XХ Х

OOO

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOO

Х

XХ Х

OOOХ

XХ Х

OOO

Х

O

XХ Х

OOO

Х O

XХ Х

OOOХO

XХ Х

OOOХ

O

XХ Х

OOOХO

Х

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

OХ XХ Х

OO

OХO

XХ Х

OO

OХ

O

XХ Х

OO

O

Х

XХ Х

OO

OХ

XХ Х

OO

O Х XХ Х

OO

O Х

O

XХ Х

OO

O ХO

XХ Х

OO

O ХO

Х

V

У Т В Е Р Ж Д Е Н И ЕКаждый путь этого дерева кончается выигрышем Первого.Каждый путь этого дерева кончается выигрышем Второго.Из корневой позиции этого дерева нолики могут выиграть за одинход.Из корневой позиции этого дерева крестики могут выиграть прилюбой игре ноликов.

QЛЛИЛ

109108

Задача 43. Проследите, чтобы все ребята справились с этойзадачей самостоятельно. Можно также использовать это заданиедля текущего контроля. Раскрасив числовую линейку ребята за-мечают, что все позиции, делящиеся на 3 проигрышные, а все ос-тальные - выигрышные. Поэтому в первом случае выигрышнаястратегия у Первого, а во втором - у Второго.

Задача 44. Необязательная. Мы уже встречались с аналогич-ной задачей (задача 25 Части 1) и советовали использовать ее какповод для знакомства с географической картой и атласом. Про-должим это знакомство. Для этого попросите ребят принести наурок карты или атласы. Кроме того, в отличие от задачи 25, нашазадача содержит дополнительное условие - все города должныпринадлежать Российской Федерации. Поэтому в любом случаестоит начать решение задачи с разговора о том, что такое Рос-сийская Федерация, где она расположена, затем показать ее тер-риторию и границы на большой карте. Чтобы не лишать детейудовольствия потренировать память и не разрушать спецификуигры в Города, можно попросить их, пока не открывая карту, вы-писать на черновик названия городов, которые, по их мнению,входят в Российскую Федерацию. Теперь попросите ребят найтиэти города на карте и проверить свои предположения. Возможно,кто-то из детей вспомнит небольшой городок, которого на картенет. Тогда посоветуйте ему найти область, где расположен го-род, и убедиться, что эта область принадлежит Российской Феде-рации. Мы надеемся, что после этого у каждого ребенка на лис-точке останется список хотя бы из 8-10 названий. Теперь можноиспользовать карту для поиска на ней городов, которые в цепоч-ке являлись бы связками между уже имеющимися городами илиих заменой, если связать их никак не удается.

Можно использовать также атлас или энциклопедию. В атла-се, однако, будет искушение сразу посмотреть в алфавитный ука-затель, что тоже неплохо, хотя упрощает задачу.

Заметки о названиях городов России Из 87 центров субъектов Российской Федерации на букву К

начинаются названия двенадцати, на С - восьми, на В, Н, П и Т -по шесть, на А, Б и М - по пять, на У и Ч - по четыре, на И и О -по три, на Г, Р, Х и Я - по два, на Д, Е, Й, Л, Э и Ю - по одному.На буквы Ё, Ж, З, Ф, Ц, Ш, Щ, Ы нет ни одного названия.

С концовками этих названий дело обстоит совершенно ина-че: здесь совсем не попалась частотная в начале буква С, 15 кон-чаются на А, а на К - 25!

На Д начинается лишь малоизвестный поселок Дудинка, акончается шесть городов, на А начинается 5, а кончается 15. Естьгород, кончающийся на Ы (Чебоксары), и это не такая уж ред-кость: в Московской области есть четыре таких города (Бронни -цы, Люберцы, Луховицы, Озеры)

Городов, начинающихся на Ы, в России нет, есть небольшиепоселки городского типа Ыллымах и Ыныкчанский, а также рай-центр село Ытык-Кюёль (все - в Якутии), но обнаружить их накарте далеко не просто.

Три названия кончаются на Й, начинается только один -Йошкар-Ола, но это единственный такой населенный пункт навсю Россию.

Вот подробности: ПО АЛФАВИТУ:

ПО КОНЦАМ:

1. Абакан2. Агинское3. Анадырь4. Архангельск5. Астрахань6. Барнаул7. Белгород8. Биробиджан9. Благовещенск10. Брянск11. Владивосток12. Владикавказ13. Владимир14. Волгоград15. Вологда16. Воронеж17. Горно-Алтайск18. Грозный19. Дудинка20. Екатеринбург21. Иваново22. Ижевск23. Иркутск24. Йошкар-Ола25. Казань26. Калининград27. Калуга28. Кемерово29. Киров30. Кострома

31. Краснодар32. Красноярск33. Кудымкар34. Курган35. Курск36. Кызыл37. Липецк38. Магадан39. Майкоп40. Махачкала41. Москва42. Мурманск43. Назрань44. Нальчик45. Нарьян-Мар46. Нижний Новгород47. Новгород48. Новосибирск49. Омск50. Орёл51. Оренбург52. Палана53. Пенза54. Пермь55. Петрозаводск56. Петропавловск-

Камчатский57. Псков58. Ростов59. Рязань

60. Салехард61. Самара62. С а н к т - П е т е р б у р г63. Саранск64. Саратов65. Смоленск66. Ставрополь67. Сыктывкар68. Тамбов69. Тверь70. Томск71. Тула72. Тура73. Тюмень74. Улан-Удэ75. Ульяновск76. Усть-Ордынский77. Уфа78. Хабаровск79. Х а н т ы - М а н с и й с к80. Чебоксары81. Челябинск82. Черкесск83. Чита84. Элиста85. Ю ж н о - С а х а л и н с к86. Якутск87. Ярославль

А ВологдаА ДудинкаА Йошкар-ОлаА КалугаА КостромаА МахачкалаА Москва

А ПаланаА ПензаА СамараА ТулаА ТураА УфаА Чита

А ЭлистаВ КировВ ПсковВ РостовВ СаратовВ ТамбовГ Екатеринбург

111

позиции - все числа, делящиеся на 10, а все остальные – выиг-рышные. Таким образом, позиция 10 - проигрышная, позиции 9,8, 7,…1 - выигрышные, а ноль - проигрышная. Значит выигрыш-ная стратегия есть у Второго. Она заключается в том, чтобы накаждом своем ходу прибавлять такое число, чтобы в результатеполучалось число, делящееся на 10.

Стратегии в играх на шахматной доскеТеперь ребятам предстоит познакомиться с серией игр, для

которых также, как и для игры в Камешки, можно строить выиг-рышные стратегии путем полного перебора и исследования всехвозможных позиций игры. Но теперь позиции будут расположеныне на одномерной числовой линейке, а на двумерной плоскости(в большинстве игр это будет поле 8×8 клеток, хотя, вообщеговоря, поле может быть любого (конечного) размера).

Переход на двумерное поле порождает дополнительнуютрудность в переборе и выявлении выигрышных и проигрышныхпозиций. Если на числовой линейке, раскрашивая позиции, мысоблюдаем естественный порядок их следования, то на шахмат-ной доске мы должны выбирать свой порядок перебора и рас-крашивания клеток.

Другая трудность возникает на этапе формулирования выиг-рышной стратегии. Исследуя игру в Камешки, мы формулироваливыигрышную стратегию двумя способами - либо пошагово, объ-ясняя, как должен ходить игрок на каждом ходу в зависимости отходов противника, либо в виде общего правила, основанного нанайденной закономерности в расположении выигрышных и про-игрышных позиций на числовой линейке. В играх же на шахмат-ной доске пошаговое изложение выигрышной стратегии крайнезатруднительно из-за большого числа вариантов ходов против-ника, а закономерность в раскраске позиций не всегда легко вы-делить. Поэтому строить и формулировать выигрышные страте-гии в играх на шахматной доске мы часто будем, опираясь нараскрашенные позиции – клетки игрового поля.

Хочется обратить особое внимание на то, что наша термино-логия расходится с общепринятой шахматной терминологией.Шахматисты называют поле для игры в шахматы шахматной дос-кой, а клетки шахматной доски – полями. Наверное, если нашакнига, где шахматная доска названа полем, а поля клетками, по-падет в руки шахматисту, это произведет на него такое же впе-чатление, какое на нас с вами произвел бы рассказ о письмен-ности, в котором слова назывались бы буквами, а буквы – значка-ми. Но дело в том, что термин «поле» у нас занят, еще начиная сработы с Роботом. Также этот термин давно используется в опи-сании игр, например, «поле 3х3 для игры в Крестики-нолики».«Клетка поля» – тоже давно задействованный термин. Нам бы не

110

Примечание: Усть-Ордынский - поселок городского типа, Агин -ское - село.

Задача 45. Необязательная. Здесь ребята впервые сталкива-ются с тем, что раскрашивать выигрышные и проигрышные пози-ции и строить выигрышные стратегии можно не только для игрыв Камешки. Этот переход является важным, поэтому несмотря нато, что задание необязательное, сильным учащимся предложитьего стоит обязательно. Если время позволяет, можно сначала датьвозможность ребятам, работающим с задачей, просто поиграть вэту игру, чтобы освоиться с правилами. После этого учащиеся ра-скрашивают начало числовой линейки (нарисованной на отдель-ном листочке). В данной игре начальная позиция – число 0, за-ключительная - число 100. Поэтому начинать раскрашиватьлинейку нужно с заключительной позиции 100 и раскрашиватьпозиции до тех пор, пока не выяснится общая закономерностьчередования проигрышных и выигрышных позиций в данной игре.

Итак, 100 - проигрышная позиция для игрока, делающегоход (на предыдущем ходу противник назвал число 100 и ужевыиграл). Позиция 99 - выигрышная, так как из нее за один ходможно получить проигрышную позицию 100 – для этого нужноприбавить 1. Аналогично выигрышными являются позиции 98–91.Теперь рассмотрим позицию 90. В результате любого хода изпозиции 90 получается выигрышная позиция (91, 92, …99), зна-чит, позиция 90 – проигрышная. Так ребята движутся вниз почисловой линейке, пока им не становится ясно, что проигрышные

Г ОренбургГ С а н к т - П е т е р б у р гД БелгородД ВолгоградД КалининградД Нижний НовгородД НовгородД СалехардЕ АгинскоеЖ ВоронежЗ ВладикавказИЙУсть-ОрдынскийК АрхангельскК БлаговещенскК БрянскК ВладивостокК Горно-АлтайскК ИжевскК ИркутскК КрасноярскК КурскК ЛипецкК Мурманск

К НальчикК НовосибирскК ОмскК ПетрозаводскК Петропавловск

КамчатскийК СаранскК СмоленскК ТомскК УльяновскК ХабаровскК Х а н т ы - М а н с и й с кК ЧелябинскК ЧеркесскК Ю ж н о - С а х а л и н с кК ЯкутскЛ БарнаулЛ КызылЛ ОрёлЛЬ СтавропольЛЬ ЯрославльМЬПермьН Абакан

Н БиробиджанН КурганН МагаданНЬ АстраханьНЬ КазаньНЬ НазраньНЬ РязаньНЬ ТюменьО ИвановоО КемеровоП МайкопР ВладимирР КраснодарР КудымкарР Нарьян-МарР СыктывкарРЬ АнадырьРЬ ТверьЫ ЧебоксарыЫЙ ГрозныйЭ Улан-Удэ

113

они могут дать, только пометив все возможные позиции (всеклетки поля) как выигрышные или проигрышные. Возможно, вампридется в этой задаче помочь кому-то из ребят индивидуальноили даже несколько клеток раскрасить совместными усилиямивсего класса.

Самым актуальным здесь будет вопрос последовательности,порядка раскраски клеток. Естественно, мы начинаем с заключи-тельной позиции – клетки а1, она будет проигрышной позицией.

Видимо, далее следует раскрасить красным все клетки доски,из которых можно попасть в а1 за один ход (а2, в2, в1). Напом-ним, что по нашему определению позиция называется выигрыш-ной, если есть хотя бы один ход, который изменяет ее на проиг-рышную. Ясно, что клетки а2, в2 и в1 - выигрышные позиции,поэтому и помечаем их красным.

Дальше встает вопрос о том, какие клетки и в каком порядкераскрашивать. Очевидно, нужно искать те позиции, для которыхвсе клетки, куда возможны ходы, уже раскрашены – ведь толькотакие позиции мы можем оценить как выигрышные или проиг-рышные. Например, возьмем клетку с3. Из нее можно попасть вклетки в2, в3 и с2, но пока не все эти позиции раскрашены, по-этому и клетку с3 мы раскрасить пока не можем. Необходимонайти позицию, из которой можно сделать ходы только в ужепомеченные позиции и начать с нее. Например, такой будет по-зиция с1, ведь из нее можно сделать ход только в в1 (выигрыш-ную позицию), значит с1 - проигрышная позиция. Аналогичновыясняется, что а3 - проигрышная позиция.

Теперь уже можно раскрасить клетки с2 и в3, они обе будутвыигрышными, так как в результате одного хода из них могутполучиться проигрышные позиции (с1 и а3 соответственно). Кле-тку с3 раскрасим синим – эта позиция проигрышная, так как всеходы из нее ведут в выигрышные позиции (в3, в2 и с2).

Далее будем раскрашивать следующий «угловой слой» кле-ток поля, ограничивающий раскрашенные уже клетки сверху исправа, двигаясь слева направо и снизу вверх (последняя раскра-шенная клетка - клетка диагонального ряда d4). Все позицииэтого слоя оказываются выигрышны-ми позициями, поскольку для каждойсуществует ход в проигрышную пози-цию.

Так ребята раскрашивают клеткиполя слоями, двигаясь снизу вверх ислева направо, пока не доходят доверхнего правого угла поля. Получа-ется следующая раскраска клеток поля:

Заканчивается решение задачизаполнением окон в ответе. Ясно, чтоесли начальная позиция выигрышная(клетка раскрашена красным), то

112

хотелось сейчас полностью менять терминологию, подстраиваясьпод шахматную. Все-таки мы будем обсуждать не игру в шахма-ты, а будем использовать только «поле» – шахматную доску.

Комментарии к задачам 46-53 Части 2Задача 46. Данная задача позволит ребятам познакомиться с

новой игрой Король. Хотя эта игра имеет несложные правила,все-таки для начала нужно освоиться, «почувствовать» новую иг-ру.

Следует заранее приготовить все необходимое для игры -поле (либо настоящую шахматную доску, либо поле с листа вы-резания) и фишку (либо шахматного короля, либо пластмассовуюили бумажную фишку). Если вы хотите вначале продемонстриро-вать 2-3 партии на доске, то проще всего это сделать, расчертивв виде шахматного поля металлическую доску и передвигая поней какую-нибудь магнитную фигурку.

После того, как все необходимое для игры подготовлено,каждая группа выбирает начальную позицию. Начальная позициявыбирается один раз для всех партий турнира и записываетсякаждым членом группы в соответствующее окно. Затем членыгруппы играют круговой турнир (как всегда, для экономии вре-мени можно проводить по две партии одновременно и затем ме-няться партнерами). По ходу проведения турнира нужно запол-нять клетки таблицы (имена игроков по вертикали и горизонталинужно, как обычно, внести заранее). По окончании турнира под-считываются очки и выявляется победитель.

В условии задачи не сказано ничего о выборе очередностихода в каждой партии турнира. Как выяснится позднее, в зависи-мости от выбранной начальной позиции, один из игроков имеетвыигрышную стратегию. Если вы хотите, чтобы в каждой партииоба игрока имели одинаковые шансы на победу, предложите ре-бятам перед началом каждой партии выяснять очередность ходас помощью жребия или считалки.

В этой задаче можно, кроме знакомства с новой игрой, про-вести некоторую пропедевтику к поиску выигрышной стратегии вданной игре (этому будут посвящены задачи 47 и 48). Для этогопопросите ребят по ходу заполнения турнирной таблицы поме-чать в каждой партии, кто был Первым. В таком случае по окон-чании турнира ребята смогут сказать, кто чаще выигрывал – Пер-вый или Второй. Это даст возможность сформулировать гипотезуо том, какой является выбранная в качестве начальной позиция –выигрышной или проигрышной. Лучше всю эту информацию со-брать воедино на доске, в ходе решения следующей задачи ре-бята смогут ее проверить.

Задача 47. Гипотезы для ответа на вопрос этой задачи ребятамогли получить в ходе решения задачи 46, а вот точный ответ

a b c d e f g h87654321

115

позиций довольно активно, то постарайтесь здесь предоставитьим больше самостоятельности - ограничьтесь наводящими во-просами и замечаниями, причем по возможности в индивидуаль-ном порядке.

Как и в задаче 47, наверное, наибольшее число вопросов вы-зовет порядок раскрашивания клеток поля. Естественно начинатьс заключительной позиции - клетки h8 (проигрышная позиция).Дальше действует знакомый из задачи 47 принцип - сначала рас-красить все позиции, из которых можно попасть в h8 за один ход- эти позиции будут выигрышными. Таким образом оказываютсяпомеченными красным все клетки верхнего ряда и крайнего пра-вого столбца. Дальше выбираем позицию, все ходы из которойприводят в раскрашенные клетки - g7. Она оказывается проиг-рышной, так как из нее можно попасть только в выигрышные по-зиции (g8 и h7). После этого мы можем раскрасить все оставши-еся клетки второй строки и второго справа столбца.

Как видите, порядок раскрашивания здесь несколько иной,чем в задаче 47. Мы опять раскрашиваем клетки «угловыми сло-ями», но начинаем с самого большогослоя, причем с диагональной клетки.Иной будет и рисунок раскрашенныхклеток поля (см. картинку). Здесь онболее простой - все позиции диаго-нали а1-h8 проигрышные, остальныепозиции - выигрышные. Посколькуначальная позиция в игре - проиг-рышная, то выигрышнй стратегиейздесь обладает Второй. Она заключа-ется в том, чтобы на каждом своемходу ставить фишку в одну из клетокдиагонального ряда а1-h8.

Задача 51.Ответ: 3•(12 - 25:5)+10; 5•(11 - 9)+30:(39 - 29) Задача 52. Необязательная. Конечно, после выяснения, от-

куда Робот может дважды пойти влево, задача становится совсемпростой и требует аккуратного выписывания. Если кого-то из де-тей смутит то, что Робот дважды ходит по одним и тем же полям(на самом деле это часто встречалось и раньше), то обсудите сними, что именно им не нравится. Возможно, что им неприятна«неэкономность». Здесь уместно сказать несколько слов о слож-ности вычисления шагов (в данном случае - Робота) и спросить,за сколько же шагов удастся покрасить нужную картинку и поче-му шагов не может быть меньше.

Задача 53. Необязательная. Заметим, что чем меньше клетокв исходной фигуре, тем меньше перебор и проще решение. На-пример, в данной фигуре три целые клетки и две половинки,значит, в каждую из искомых частей входит по крайней мере по

114

Первый может, передвигая на каждом своем ходу короля на си-нюю клетку, выиграть при любой игре Второго, то есть имеет вы-игрышную стратегию. Если же начальная позиция в синей клетке,то выигрышной стратегией обладает Второй (он обязательно ока-жется в выигрышной позиции после первого хода Первого).

Заметим, что один ответ к задаче, без раскраски шахматногополя не может говорить о понимании учащимся выигрышнойстратегии в данной игре, ведь окна могут быть заполнены совер-шенно формально, по аналогии с игрой в Камешки, где краснаяначальная позиция говорит о том, что выигрышная стратегияимеется у Первого, а синяя - о том, что у Второго. Поэтому глав-ное в этой задаче – именно раскраска клеток шахматной доски.

Задача 48. Как и аналогичные задачи 23 и 32, данная задачаимеет целью проверить, понимают ли ребята, как следоватьпостроенной в предыдущей задаче выигрышной стратегии припроведении реальных партий. Следовать выигрышной стратегиив данной задаче может только Первый, поэтому за Первого в рав-ной степени должен поиграть каждый учащийся. Именно Первыйв начале игры должен правильно выбрать начальную позицию(клетку, помеченную на поле в задаче 47 красным) и далее де-лать такие ходы, после которых король бы всегда оказывался впроигрышной позиции (синие клетки поля из задачи 47). Если всеэти условия соблюдаются, то оба утверждения в рамке в даннойзадаче оказываются истинными. Если у какой-то пары получилисьдругие результаты, обсудите с этими детьми еще раз задание,попросите их сыграть еще одну партию (Первым должен быть тотучащийся, который проиграл, будучи Первым). При этом Первыйдолжен подробно объяснять все свои действия, начиная с выбораначальной позиции.

Задача 49. Как и в задаче 46, ребята здесь знакомятся с пра-вилами новой игры в ходе проведения кругового турнира в груп-пе. Существенное отличие игры Ладья состоит в том, что началь-ная позиция фиксирована (клетка а1). Можно начать работу надзадачей с нескольких тренировочных партий на доске под кон-тролем всего класса. Если вы хотите использовать опыт, получен-ный при решении этой задачи в ходе решения задачи 50, естьсмысл помечать в таблице, кто из ребят в каждой партии былПервым, а кто Вторым, чтобы впоследствии можно было посчи-тать, в скольких партиях турнира победил Первый, а в скольких –Второй. Скорее всего большинство детей обратит внимание нато, что Второй выигрывает в этой игре чаще.

Задача 50. Если в предыдущей задаче учащиеся обратиливнимание на то, что Второй выигрывает чаще, то здесь им при-дется доказать, что Второй действительно обладает выигрышнойстратегией. Для этого необходимо пометить все клетки поля,т. е. определить выигрышные или проигрышные позиции. Если взадаче 47 вам пришлось помогать ребятам при раскрашивании

87654321

a b c d e f g h

группы слов, в которых одинаковые и третьи буквы. В-третьих,встречаются случаи упорядоченья двух слов, одно из которых яв-ляется частью другого (например, ТАКСИ и ТАКСИСТ). Если выхотите предложить эту задачу всем, но одновременно помочьслабым ребятам, проще всего заготовить набор с карточками, со-держащими данные слова (или попросить ребят самих написатьэти слова на 15 пустых карточках). Тогда слабые учащиеся смо-гут раскладывать карточки на столе, сортируя их по группам, пе-рекладывая и прочее. После того, как все слова будут сложены вобщую стопку в алфавитном порядке, их можно будет записать вокна цепочки. Для остальных ребят один из способов избежатьгрязи - работа карандашом.

Ответ:

Задача 56. Продолжаем подготовку к теме «Дерево всех словданной длины (из букв данного мешка)». Забежав вперед, отме-тим, что тема эта очень важная, она дает учащимся примеры за-дач из классической области математики, называемой комбина -торикой. В классической комбинаторике самым важным было со-считать, сколько должно получиться объектов того или иного ви-да. Например, в нашей задаче требовалось бы сказать, сколькоразных слов длины 3 можно составить из трех букв. В современ-ной же комбинаторике более важно построить все объекты тогоили иного вида.

В задаче 56 пока не требуется построить все объекты - дере-во уже посроено, нужно просто выписать все его пути. Данное взадаче дерево У – это дерево построения всех слов длины три измешка букв (А, В, и С). Пути этого дерева – не осмысленные сло-ва, а наборы из трех букв, что может несколько затруднить работу.

Ответ:

Задача 57. В отличие от задачи 56, здесь уже дан мешок, со-держащий все возможные цепочки длины четыре, составленныеиз 0 и 1 . Требуется по этому мешку построить дерево.

Ясно, что все бусины дерева Q - числа 1 или 0. Можно заме-тить также, что в мешке R нет одинаковых путей, значит корне-вые бусины разные (0 и 1) и все бусины, следующие за бусинойкаждого уровня (кроме листьев) – разные (на самом деле их всег-

117116

половинке и по целой клетке. Также становится ясно, что одну изцелых клеток исходной фигуры придется делить попо-лам. Теперь дело за малым - выяснить, какую целую клет-ку нужно делить и как.

Ответ: см. рисунок.

Подготовка к теме «Дерево всех слов данной длины»Следующая тема, «Дерево всех слов данной длины (из дан-

ного мешка)» во многом опирается на уже пройденный материал.Поэтому перед тем, как начинать новую тему, нам необходимоповторить некоторые темы и задачи из курса 3 класса. Речь идето построении мешка всех путей дерева и, наоборот, о постро-ении дерева по мешку его путей. Этому и посвящено большин-ство задач на с. 30–33 учебника.

Комментарии к задачам 54-62 Части 2Задача 54. Здесь ребятам предстоит построить дерево по

мешку его путей. Вообще-то таких деревьев существует много,но в данной задаче уже имеется заготовка, которая вынуждаетстроить ребят самое «экономное» дерево - дерево с минималь-ным числом бусин. Понятно, что нельзя вписывать бусины в дере-во L наугад.

Можно заметить, что из одной корневой бусины берут начало3 пути, из другой - 4. Необходимо решить, где записать букву С,а где - П (руководствуясь числом слов в мешке,начинающихся на каждую из этих букв). Даль-ше в двух ветках можно разместить два са-мых длинных слова - ПОРТ и СОРТ. По-сле этого остальные слова можно про-сто «пристраивать», исходя из букв,уже имеющихся в дереве. В деревеесть два пути, которые можно по-менять местами - ПАР и ПАН. Есликто-то из ребят спросит, в какомпорядке лучше ставить бусины, следу-ющие после А (Р и Н), предложите имруководствоваться алфавитным порядком,именно так мы стараемся упорядочивать вдеревьях буквы.

Ответ: (см. картинку).Задача 55. Необязательная. Это довольно сложная задача на

расстановку слов в алфавитном порядке. Во-первых, во всех сло-вах двубуквенное начало одинаковое (нужно уметь просто отки-дывать эти буквы при упорядоченье слов). Во-вторых, есть три

ОП

С

НА

НРД

О

РЛ

Т

ТL Р

У

ТАБУРЕТТАЗТАЙГА ТАЙМТАЙНИК

ТАЙНЫЙТАЙФУНТАКСИТАКСИСТТАКТ

ТАЛАНТТАМТАНЕЦТАНКТАНКЕР

АВСАСВВАСВСАСАВСВА

118

да две: 0 и 1). Дерево, которое дети рисуют в этой задаче, очень знамени-

тое, наверное, самое знаменитое из деревьев, как и похожие нанего деревья другой высоты и с другими бусинами вместо 0 и 1,например, черной и белой бусинами. Это дерево называется пол -ным двоичным (или бинарным) деревом высоты 4. Можно пост-роить такое же дерево высоты 3 или 5 и т. д.

Задача для вас: сколько имеется путей в дереве высоты 5? А вдереве высоты 7?

Как вы, вероятно, слышали, в компьютере информация хра-нится в виде цепочек нулей и единиц. В задаче дети выписываютвсе такие цепочки длины 4.

Задача 58. Необязательная. Это достаточно сложная задачана разрезание. Ее стоит предлагать ребятам, которые имеют до-статочно большой опыт решения таких задачах и которым такиезадачи нравятся. То, что форма каждой из частей заранее извест-на (а их количество можно посчитать), конечно, помогает, но недо конца, поскольку исходная фигура довольнобольшая и размещение в ней Т-образных час-тей - задача не простая.

Как мы советовали в комментариях к по-добным задачам, можно начать с «выступаю-щих» клеток - клеток, которые имеют три об-щие стороны с границей поля. Например, возь-мем две крайние правые клетки и посмотрим,как в данной фигуре могут размещаться Т-об-разные части, содержащие эти клетки. Поэк-спериментировав, выясняем, что здесь возмо-жен лишь один вариант:

Теперь легко выделить соседние части, приле-гающие к первым двум:

Оставшиеся три части укладываются уже одноз-начно:

119

Задача 59. Продолжаем предварительное обсуждение темы«Построение всех слов данной длины (из букв данного мешка)».

Итак, нужно построить дерево М, мешок путей которого задан. Слова в мешке очень похожи друг на друга и их довольно

много (24 слова), поэтому при попытке решить задачу «в лоб» ве-роятность ошибок очень велика. Тем не менее, мы надеемся, чтосильные дети решат эту задачу быстро, несмотря на большойобъем. Остальным детям мы советуем вам перед решением этойзадачи дать несколько предварительных рекомендаций. Этоможно сделать как индивидуально, так и в совместном обсужде-нии всем классом.

Сначала несколько обычных технических советов. Как и все-гда, с подобной задачей лучше работать карандашом - иначе по-том будет трудно исправить ошибки. Детям, которые не смоглисразу сориентироваться, посоветуйте выписать все слова из меш-ка F на небольших карточках (или просто кусочках бумаги) ирассортировать их на столе. Правда, сначала нужно будет тща-тельно проверить, все ли слова выписаны на карточки и нет ли вних ошибок. Впрочем, самым слабым вы можете подготовить та-кой комплект карточек заранее и просто выдать в готовом виде.Если кто-то сам догадается изготовить для себя такие карточки -замечательно!

Теперь несколько содержательных советов. Конечно, деревоМ удобнее строить, начиная от корневых бусин и продвигаясьпостепенно к листьям. В ходе работы можно обсуждать вопрос,почему за данной бусиной следуют три (или две) бусины и т. д.Последовательность «вкладывания» слов в дерево может бытьразличной. Можно, например, просто наугад брать любое словои помещать его в дерево. Но при такой стратегии может возник-нуть неприятность, если, скажем, первые буквы слов СТО и СОТмы поместим в разных квадратиках. Поэтому учащиеся должныкак-то дойти до мысли, что все слова, начинающиеся с С, долж-ны начинаться с одной корневой бусины. Такое решение можетвозникнуть у них случайно или оказаться принятым из каких-тонеясных, интуитивных соображений. Все это неплохо, надо лишьубедиться, что ответ действительно верный. Хорошо, если в об-суждениях на тему данной задачи возникнет слово (и понятие)возможность, в данном случае - «какие есть возможности дляследующих букв» и т. п.

Мы надеемся, что тем детям, которые будут работать с кар-точками, не будет сложно разобраться, даже если это будут «сла-бые» дети. Если они сначала рассортируют слова по первой бук-ве, то быстро обнаружат, что получилось четыре кучки: слова, на-чинающиеся с букв М, О, С и Т. Корневых бусин в дереве М тожеровно четыре, поэтому, собственно, других вариантов и нет - на-до вписать буквы М, О, С и Т в корневые бусины. Теперь, рассор-тировав слова в каждой кучке по второй букве, получим по трикучки для каждой первой буквы - и в дереве М тоже заготовлено

по три окошка. Закончить построение дерева будетуже совсем нетрудно.

После того, как большинство детей построитдерево М (все равно, каким именно способом),очень важно обсудить с детьми, что при решенииподобных задач необходимо правильно органи-зовать свою работу. Только это даст возможностьизбежать множества ошибок и поможет быть уве-ренным в правильности решения. В частности,при построении дерева букв лучше придержи-ваться лексикографического порядка. В случае сдеревом М нужно вписывать буквы первогоуровня по алфавиту сверху вниз, затем следую-щие буквы после каждой корневой - тоже поалфавиту сверху вниз и так далее (см. картин-ку). Такой порядок, с одной стороны, приведетк большей организованности работы, а, с дру-гой стороны, все пути дерева М окажутся выст-роены в лексикографическом порядке, и рабо-тать с таким деревом (и мешком путей) будетгораздо проще - так же, как работать с упоря-доченной цепочкой слов гораздо проще, чем снеупорядоченной или с мешком слов. Попроси-те всех детей, даже если они нарисовали деревоМ с первого раза без ошибок, переписать буквытак, чтобы пути дерева М были упорядочены лек-сикографически.

Осталось проверить, что мешок F действи-тельно является мешком всех путей дерева М -пометить попарно листья дерева и слова мешка.Удобно по ходу заполнения дерева помечать (на-пример, подчеркивать) слова, соответствующиепоявившимся путям дерева. Тогда, закончив запол-нять окна, ребята уже будут знать ответ на вопрос,действительно ли мешок F - мешок всех путей дерева М.

Ответы на вопросы задачи 59, конечно, не должны вызватьзатруднений - они даны скорее для самоконтроля. Ответы натретий и четвертый вопросы должны совпадать, как и ответы напервые два вопроса. Но интересно порассуждать с ребятами, чтопроще - убедиться в отсутствии двух одинаковых слов в мешкеили в отсутствии двух одинаковых путей в дереве. Если заполне-ние дерева шло осознанно (а особенно, если пути построенногодерева упорядочены), то ребята сразу скажут, что двух одинако-вых путей там нет, и объяснят, почему. Действительно, если путивыходят из разных корневых бусин, то, естественно, отличаютсядруг от друга (первой буквой), а если из одной, то у них различ-ны либо вторые буквы, либо третьи.

В условии задачи утверждается, что в мешке F присутствуют

121

все слова длины 3, составленные из букв М, О, С, и Т. Когда де-рево М уже будет построено, полезно спросить детей, действи-тельно ли в этом мешке есть все слова, которые можно составитьиз этих четырех букв. Популярный и вполне разумный ответ: «Ко-нечно все, ведь это написано в условии» – можно временно отло-жить в сторону и спросить, а могут ли дети сами объяснить, до-казать, пояснить, что это действительно так. Дискуссия может по-лучиться очень поучительной, хотя настаивать на полном прояс-нении вопроса не стоит – ведь это тема следующего листа опре-делений.

Подобные разговоры постепенно будут приводить ребят квыводу, что задачу поиска всех возможностей очень удобно изо-бражать графически в виде дерева. Этим мы будем пользоватьсяи дальше.

Тем ребятам, которые быстро справились с задачей, можнопредложить подсчитать, сколько существует слов длины 4, со-ставленных из данных букв, и подумать, как можно быстро выпи-сать все такие слова, имея мешок F и дерево М (таких слов будеттоже 24 - нужно просто дописать в конце каждого слова мешка Fту букву из данных четырех, которой в этом слове нет).

Задача 60. Необязательная. Здесь - главное решить, какаяже это первая (она же последняя) буква слов в цепочке J. Конеч-но, для решения этой задачи нужно пользоваться не школьныматласом, а большим, «взрослым» атласом, в котором есть имен-ной указатель.

Задача 61. Необязательная. Как и в других подобных зада-чах, здесь проще сначала составить цепочку мешков, исходя изтого, какие буквы встречаются на соответствующих местах в сло-вах мешка ⊗D:

Теперь, раскрыв цепочку мешков D, можно дописать в мешок не-достающие слова: НОРЫ, НОРЕ, ПОРА, ПОРУ.

Задача 62. Необязательная. Здесь ребята одновременно по-вторяют тему «Двумерная таблица для мешка» и употреблениепонятия каждый в сложных ситуациях. В ходе анализа условияребятам становится ясно, что необходимо проверять справедли-вость таблицы для каждого внутреннего мешка каждого большо-го мешка. При этом с каждым большим мешком может возник-нуть одна из двух ситуаций - либо хотя бы для одного внутрен-него мешка таблица не выполняется, либо она выполняется длявсех внутренних мешков. В первом случае большой мешок нам неподходит, во втором - мы нашли решение.

Однако, провека истинности таблицы для 11 мешков (в худ-шем случае) может занять много времени. Как же сократить про-цесс сопоставления таблицы и содержимого мешков. Один из

120

О

С

Т

СО

С

Т

М

С

Т

М

О

Т

М

О

С

ТОМ Т

С

Т

Т

С

Т

Т

О

С

М

М

О

М

МО

С

С

О

М

МО

М

D Н П О Р АЫ У Е

Ответ (оба варианта): выигрышная стратегия есть у Второго.Он должен на каждом своем ходу забирать столько камешков,чтобы противнику досталось число, делящееся на три.

Задача 3. При решении этой задачи учащиеся пользуютсяраскрашенной линейкой из задачи 2. Разумность партии зависитот игрока, обладающего выигрышной стратегией, то есть в дан-ном случае от Первого (в обоих вариантах). Поэтому цепочкапартии может считаться правильным ответом в том случае, есливсе позиции, получающиеся после ходов Первого - проигрышные(а именно числа, делящиеся на 3).

Задача 4. Корневые бусины деревьев в двух вариантах сим-метричны, поэтому при кажущейся разнице деревья F и R, по су-ществу, совершенно одинаковы (по той же причине они одинако-вы и с задачей 3 Части 2).

Обратите внимание, что ничейных заключительных позиций вдереве нет. Ребята должны убедиться в этом, используя достро-енное дерево, и зеленым ничего не обводить.

Ответ:Вариант 3-1:

способов - проверять сразу все мешки на наличие бусин опреде-ленного цвета и формы, по ходу отбрасывая неподходящиемешки. Например, в мешках должны быть 2 синие бусины - круг-лая и треугольная. Это выполняется для всех мешков, двигаемсядальше. В каждом мешке должно быть 3 красные бусины - однаквадратная и две круглые. Проверяем, выясняется, что для треть-его внутреннего мешка первого большого мешка это не так, зна-чит, первый большой мешок нам не подходит (его больше прове-рять не будем). Далее в каждом внутреннем мешке должны ле-жать 3 зеленые бусины - 1 квадратная и 2 треугольные. Проверя-ем внутренние мешки второго и третьего больших мешков, выяс-няется, что для второго внутреннего мешка третьего мешка этоне выполняется, значит, третий большой мешок нам не подходит.Остается проверить последнюю строку таблицы для каждоговнутреннего мешка второго большого мешка и убедиться, чтоименно он удовлетворяет условию задачи.

Контрольная работа № 3. Ответы и решенияЗадача 1. Первые задачи в обоих вариантах различаются

только именем дерева, которое требуется построить. Дело в том,что сложность построения дерева для игры в Камешки сильноменяется при изменении параметров. Чтобы ва-рианты были равнозначны, нам пришлось по-жертвовать различием вариантов в пользутого, чтобы задачи были одинаковойтрудности.

Ответ:

Задача 2. Данное задание считается полностью решенным,если учащийся правильно раскрасил числовую линейку (в 1 вари-анте до позиции 15, во 2 - до позиции 12) и правильно ответилна вопрос задачи. Вот раскрашенная числовая линейка:

123122

3

4 2

1

2

1

1

100

0

1

0

0

0

0

0

3

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

FXO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

, Вариант 3-2:

Задача 5. Необязательная. В данной задаче оцениваетсятолько правильность раскраски позиций поля. Скорее всего ре-бята заметят, что обе игры (Король-2 и Король-3) похожи на игруКороль. Принцип раскраски позиций остается тем же (подробносм. комментарий к задаче 47).

Ответ:Вариант 3-1: Вариант 3-2:

124

87654321

a b c d e f g h87654321

a b c d e f g h

RXO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

XO

ХХ

OXO

ХХ

O

O

XO

ХХ

O

O

XO

ХХ

OO

XO

ХХ

O O

XO

ХХ

O

O X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O

X

XO

ХХ

OO

X

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

OOX

XO

ХХ

O

O XO

XO

ХХ

O

O X

O

XO

ХХ

O

OX

XO

ХХ

O

O XOX

Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2004

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКАПособие для учителя

4 класс Часть 4. Занятия в четвертой четверти

127126

Почасовое планирование четвертой четвертиУроки 28-29. Проект «Стратегия победы». (Тетрадь проек -

тов, с. 14–24.)Уроки 30-31. Дерево всех слов данной длины. (Учебник-

тетрадь, часть 2, с. 34–41.)Урок 32. Повторение и обобщение пройденного. Решение

задач. (Учебник-тетрадь, часть 2, с. 42–44.)Урок 33. Контрольная работа № 4, варианты 4-1 и 4-2.

(Учебник-тетрадь, часть 2, вкладыш.)Урок 34. Выравнивание, дополнительные и трудные задачи.

(Учебник-тетрадь, часть 2, с. 45–47.)

Дерево всех слов данной длиныКак мы уже упоминали, построение дерева всех слов данной

длины из букв данного мешка – важный пример из классическойобласти математики, называемой комбинаторикой. При этом,строя дерево, мы не просто считаем, сколько должно получитьсяобъектов того или иного вида (как требуется в классической ком-бинаторной задаче), а строим все объекты, решая задачу изсовременной комбинаторики.

В определении, данном в учебнике, мы говорим о дереве,представляющем последовательность выборов: мы выбираембуквы из данного мешка и выбранные буквы последовательновыписываем. При этом уже выбранная буква из дальнейших вы-боров изымается. Таким образом, в качестве первой буквы словамы можем выбрать одну из четырех, в качестве второй - уже однуиз трех, в качестве третьей - одну из двух оставшихся.

Напомните детям, что для того, чтобы не запутаться, мыстроим деревья букв, придерживаясь лексикографического по-рядка - каждый раз, выписывая следующие буквы после каждойбуквы, мы располагаем буквы в алфавитном порядке сверху вниз.Так же построено и дерево Q.

Попросите детей, рассматривая этот лист определений, най-ти в мешке слова, которые они считают словами русского языка.Очевидно, что словами русского языка являются РОК, СОК, СОР,а если брать не словарные формы, то и РОС, КОС. Однако ОКР(опытно-конструкторские работы) и особенно ОРС (отдел рабо-чего снабжения - бывали орсовские магазины) - также слова рус-ского языка. Для справки об экзотических словах русского языка

КОР устар. оскорбление, брань. Отсюда: укор, наперекор,корить и пр.

КОС диал. скворец. ОРК злобное мифологическое существо в германо-скан-

динавской мифологии. ОСК представитель осков, италийского племени, обитав-

шего в Кампании. СКО «филум» [семья] из 8 папуасских языков.

Комментарии к задачам 63-80 Части 2Задача 63. Данная задача похожа на задачу с листа опреде-

ления. Различаются эти задачи числом букв в мешке. В результатена соответствующих уровнях в деревьях (дереве G и дереве Q слиста определения) располагается разное число бусин. Так в де-реве G корневых бусин будет три (поскольку на первом местекаждого из слов может быть одна из трех букв мешка R). За каж-дой из корневых бусин будут следовать две (столько останется,

129

тат. Поэтому мы предлагаем детям самим показывать в каждойподобной задаче, как они будут обозначать в дереве арифмети-ческие действия. Предлагаем вам несколько способов (возможновы или дети изобретете и другие). Первый - использовать те жецвета, что и на листе определений «Дерево вычислений» (голу-бой, светло зеленый, розовый, желтый). Тогда для этого урокапридется попросить детей принести карандаши или фломастерысоответствующих цветов. Второй способ - не раскрашивать соот-ветствующую бусину, а просто обводить некоторым цветом погранице бусины. В этом случае можно использовать стандартныецвета, которые дети обычно использовали при решении задач -красный, синий, желтый, зеленый. Третий способ - использоватьштриховку (простым карандашом) четырех разных типов, напри-мер, вертикальную, горизонтальную, диагональную, клетку.Главное, чтобы при любом способе дети не забыли отразить вве-денные обозначения в свободных клетках образца.

Как вы помните, вопрос о специальной упорядоченности де-рева вычислений (правильном порядке расположения бусин накаждом уровне и порядке листьев в соответствии с порядкомследования чисел в выражении) мы с детьми еще подробно необсуждали. Поэтому мы не можем сразу от них требовать обяза-тельного следования этому порядку. С другой стороны, именносамостоятельное построение дерева может подтолкнуть многихучащихся к тому, чтобы задуматься над этим вопросом. Поэтомупосле того, как большинство детей задачу решит (или хотя быпопытается решить), стоит провести общее обсуждение того, вкаком порядке правильно располагать бусины в дереве вычисле-ний.

Но сначала дерево нужно построить. Прежде, чем начать рисовать дерево, надо, конечно, внима-

тельно изучить арифметическое выражение и пронумеровать по-рядок действий:

1 2 4 3(24 + 6) : 3 + 72 : 8 =

Теперь есть два варианта: можно начинать строить дерево«снизу вверх», от корня к листьям, или, наоборот, от листьев ккорню. В любом случае, конечно, надо рисовать дерево сначалана черновике.

1.От корня к листьям. При таком построении порядок дей-ствий нужно изучать с конца, начиная с самого последнего.

Уровень 1. В нашем случае последнее, 4-ое действие – сло-жение. Значит, корневая бусина дожна быть помечена как резуль-тат сложения.

Уровень 2. Какие числа мы складываем 4-ым действием?Складываем два числа: одно является результатом деления (2-оедействие), другое – тоже результат деления (3-е действие). По-этому на втором уровне должны находиться две бусины, обе по-

128

если одну бусину из мешка уже взяли), а за каждой бусиной вто-рого уровня - одна. Несмотря на это различие, надеемся, что ва-ши ребята справятся с построением дерева самостоятельно.

Однако, нужно учесть, что изобразить дерево на листе так жекрасиво, как в учебнике, некоторым ребятам окажется сложно, издесь, возможно, потребуется ваша помощь. Чтобы, с одной сто-роны, не подсказывать ребятам решение, а, с другой, обеспечитьправильное размещение дерева в окне, посоветуйте учащимсясначала нарисовать дерево на черновике. Напомните им, что же-лательно строить дерево в лексикографическом порядке. Послеэтого уже можно обсуждать, как рациональноиспользовать место в окне.

После того, как дерево построено(см. картинку справа), аккуратно выпи-сываем в мешок К все пути (см. кар-тинку).

Необходимость отвечать на воп-росы побуждает ребят проверитьсвое решение. Отвечая на вопрос«Все ли пути дерева G есть в мешкеК?», нужно иметь в виду, что совпадениечисла листьев дерева G и числа слов вмешке К есть необходимое, но не достаточ-ное условие правильности ответа. Если эти числа несовпадают, можно точно утверждать, что ученик до-пустил ошибку. Однако, если совпадают, это еще незначит, что все пути дерева есть в мешке. Например,ученик мог по невнимательности дважды выписатьодин и тот же путь, а какой-то другой пропустить.Для утвердительного ответа на вопрос необходимоне только сосчитать количество слов и путей, но ивнимательно снова просмотреть пути дерева, ставяпометки около слова, соответствующего каждомупути.

Задача 64. Здесь впервые от ребят требуется построить де-рево вычисления целиком, в том числе придумать, как будутобозначаться арифметические действия. При этом может возник-нуть следующая техническая трудность: если ваши ребята обычнопользуются фломастерами, то их цвета (особенно синий и зеле-ный) могут оказаться настолько яркими и насыщенными, что чи-сел в бусинах будет не видно (именно поэтому в наших деревьяхбусины раскрашены бледными тонами). Как мы говорили раньше,цветовой способ различения в дереве арифметических действий,предложенный на листе определений - вопрос чистой догово-ренности. Выбор такого способа не принципиален и может бытьлюбым другим, лишь бы в дереве было отражено, какое именнодействие происходит с числами, чтобы получился некий резуль-

ТА

С

Т

СТА

А

Т

Т

СС

С

А

А

G

КАСТАТССАТСТАТАСТСА

Выполняем четвертое действие:

Выполняем последнее, пятое действие,рисуем корневую бусину:

Теперь надо аккуратно снова на-рисовать это дерево (лучше начинаяснизу, с корневой бусины) – так, чтобывсе бусины были расположены на сво-их уровнях. При этом правильно, если«горизонтальный» порядок листьевсохранится.

Осталось перерисовать дерево вучебник. При этом нужно не забытьсоблюсти обозначения арифметических действий и заполнитьдерево – вычислить значение выражения. Наконец, вычисляемзначение выражения в примере, а затем сравниваем результаты (вобоих случаях должно получиться 19).

Оба предложенных варианта построения дерева вычисленияимеют свои преимущества и свои недостатки. Построение «снизувверх» дает возможность расставлять бусины сразу на правиль-ные уровни, зато потребует от учащегося рассмотрения процессавычисления «задом наперед», от последнего действия к первому.При построении «сверху вниз» действия рассматриваются после-довательно, зато дерево получается сначала нарисованным несовсем правильно, с перепутанными уровнями. Впрочем, второйспособ, «сверху вниз», обладает еще одним явным преимущес-твом: с его помощью легко построить правильное дерево вычис-лений, в котором «горизонтальный» порядок листьев такой же,как в заданном арифметическом выражении.

131130

мечены как результат деления. На рисунке мы пока для простотыпоставим в бусинах знаки деления и умножения, ведь мы работа-ем на черновике. При перерисовывании набелов учебник нужно будет эти бусины пометить,как договорено, а в самих бусинах написатьрезультат действия. Вот что у нас получилось:

Уровень 3. Одна бусина второго уровня (вообще говоря лю-бая из двух, но правильнее – левая) у нас соответствует 2-омудействию, в котором мы делим результат суммы (1-ое действие)на 3. Поэтому следующие после этой буси-ны второго уровня будут «результат сум-мы» и 3. Вторая (правая) бусина соответ-ствует результату деления 72 и 8, поэтомуследующие за ней бусины будут 72 и 8.Данные в примере числа – всегда листья вдереве вычислений, поэтому можно сразувыпустить из них стрелочку:

Уровень 4. Остались незадейство-ванными только слагаемые 24 и 6, онирасположены на четвертом уровне иследуют после бусины-суммы третьегоуровня. Построение дерева завершено:

2. От листьев к корню. Выпишем все числа данного в задачеарифметического выражения по порядку. Это будут листья дере-ва. Конечно, наверняка все листья не будут расположены на од-ном уровне. Но мы же работаем начерновике и поэтому имеем некото-рую степень свободы (лучше потомперерисуем):Теперь будем выполнять действияарифметического выражения по по-рядку, начиная с первого, – достра-ивать соответствующие этим действи-ям бусины дерева. Выполняем первоедействие – рисуем бусину-результатэтого действия:Выполняем второе действие. То, что получилось сейчас, конечно,является неправильно нарисованным деревом – бусины располо-жены не на своих уровнях. Но исправим это потом. Сейчас длянас главное – общая структура дерева:

:+

:

:3

+:872

24 6+

:

3

+

:

87224 6

3 87224 6

+

3 87224 6

+

:

3 87224 6

+

:

:

3 87224 6

+

:3

+:872+

Рисуем 5 корневых бусин, а дальше выбираем (произвольно) при-зовые бусины-выстрелы и пристраиваем к ним подве следующие бусины (на любом уровне) до техпор, пока бусин в дереве не станет 17. Теперь счи-таем, сколько в дереве не листьев (можно их поме-тить цветом), это число и дает нам число попаданий(6). Заметьте, что вид дерева может у разных детейбыть различным, в том числе и по числу уровней.Уровней в дереве может быть от трех и до семи.Здесь мы приводим лишь два из возможных деревь-ев - одно трехуровневое и одно семиуровневое. Ес-тественно, у всех таких деревьев число бусин,листьев и не листьев будет одинаковым (соответ-ственно 17, 11 и 6).

Обратите внимание, что в этой задаче дети впервые могутиспользовать дерево для своих рабочих нужд, а не в учебных це-лях, как в задачах, относящихся к листам определений. Конечно,такая задача – построить дерево, чтобы смоделировать заданнуюситуацию – может быть очень сложной. Но в данном случае огра-ничений не так много и построить дерево будет не очень трудно.

Задача 67. Эта задача, конечно, точнотакая же, как задача 65, и очень хорошо,если кто-то из детей это поймет и сможетобъяснить, что он имеет в виду: ведь втой задаче речь идет о цветных буси-нах и цепочках, а здесь - о цифрах ичислах. Такая аналогия может быть по-лезна и для детей, которые запуталисьили что-то пропустили.

В отличие от предыдущих подобныхзадач, эта задача сформулирована немногопо-другому, при помощи истинности выде-ленного утверждения. Это сделано для того,чтобы перекинуть мостик к последующим, бо-лее сложным подобным задачам, в формули-ровке которых тоже будут использованы утвер-ждения.

Ответ: (см. картинку).

133132

Как видите, эта задача – важная и не простая. Неплохо, еслидети хотя бы какое-то время потратят сначала на самостоятель-ное ее решение, чтобы потом участвовать в общем обсужденииуже сознательно, «со знанием дела». По вашему усмотрению об-щее обсуждение может быть как довольно подробным, так и не-большим, заключительным подведением итогов.

Задача 65. Эта задача требует пере-носа знаний о деревьях всех слов даннойдлины из данного мешка на новые объек-ты – геометрические бусины. В остальномзадача 65 аналогична задаче 63. Не уди-вительно, если кто-то из ребят сам неувидит аналогии, ведь в этом возрастедети скорее выделяют внешние признаки,чем внутреннюю структуру. Некоторыхпридется подтолкнуть: отвлеките такогоребенка от внешнего - букв и бусин, со-средоточьте его внимание на самом про-цессе вынимания объектов из мешка и со-ставления цепочки. Когда обсудите про-цесс, спросите, не встречался ли где-ни-будь уже такой же, и верните ученика кзадаче 63. После того, как связь установ-лена, ребенок решит задачу самостоя-тельно и быстро.

Ответ: (см. картинку справа). Задача 66. Необязательная. Как и во

многих математических задачах нашегокурса, главное здесь - построить матема-тическую модель жизненной ситуацииили выделить в реальном процессе опре-деленную связь между величинами. Ситу-ация в этой задаче не слишком сложная.Пять (первых) выстрелов Гриша сделал влюбом случае. Каждое попадание добавляет к любому числу выс-трелов еще 2 выстрела, значит 12 «лишних» выстрелов получи-лись от 6 попаданий. При этом совершенно неважно, на какомшаге происходили эти попадания, в частности, сколько из этих«призовых» выстрелов было в числе первых пяти выстрелов, асколько в числе последующих. Однако, эта простая идея может ине прийти в голову ребятам. В таком случае предложите им вос-пользоваться методом проб и ошибок - рассмотреть конкретныеслучаи. Пусть Гриша из 5 выстрелов попал 3 раза и больше не по-пал в цель, сколько всего выстрелов он сделал? Получаем 11, этомало, будем добавлять призовые выстрелы до тех пор, пока неполучится 17 выстрелов.

К решению этой задачи можно подойти, используя дерево.

Ц

Ч

64

5

6

564

4

6

6

55

5

4

4

Э

Ю 456465546

564645654

135

Ребят, которые нашли ответ таким образом - очень быстро, мож-но попросить найти еще одно решение.

Какие же рассуждения могут помочь вам при работе с учени-ком, который не знает, с чего начать? Нам нужно разбить цепочку⊕Л на пять частей, две из которых должны быть одинаковыми.Первый вопрос: какие именно части будут одинаковыми? Можетли одна из них быть началом цепочки? Видим, что не может - из-за желтых квадратных бусин, которых в ⊕Л всего две: если бытакое было возможно, то в первой части желтый квадрат был бытретьим по счету. Тогда во второй части желтый квадрат долженбыть также третьим по счету. В таком случае первая цепочка бу-дет иметь длину 4, что противоречит условию. Отсюда можносделать два вывода: во-первых, ни одна из одинаковых частейне первая; во-вторых, оба желтых квадрата цепочки ⊕Л лучшевключить в первую часть, чтобы они не мешали. Тогда втораячасть может начинаться с первого по счету желтого треугольника.Посмотрим, может ли одна из одинаковых частей быть второй.Ищем следующий по счету желтый треугольник и проверяем,совпадают ли пять следующих за ним бусин с теми, что следуютза первым желтым треугольником (красная круглая, синяя треу-гольная и так далее). Оказывается, что совпадают. Итак, мы выяс-нили, что одинаковыми могут быть вторая и третья бусины. Дли-на каждой из них - шесть, а длина первой части - восемь бусин.Теперь осталось разделить все оставшиеся бусины на две цепоч-ки так, чтобы длина каждой была больше пяти. Можно, напри-мер, разделить их поровну. Получаем еще одно решение:

Интересно отметить, что примерно такая задача (поиск одинако-вых фрагментов в длинной цепочке) решается в самых разныхобластях применения компьютера: от расшифровки сообщений исжатия изображений до расшифровки генетического кода чело-века.

Мы привели лишь две из возможных цепочек, удовлетворяю-щих условию, на самом деле их больше. Поэтому важно объяс-нить ребятам, что главное - соответствие цепочки условиям за-дачи, а не совпадение с решением соседа. Решение каждого уче-ника, как всегда, должно заканчиваться проверкой истинностивсех утверждений для построенной цепочки цепочек.

134

Задача 68. Необязательная. Условие этой задачи сформули-ровано достаточно сложно. Ответом должна быть цепочка цепо-чек Л длины 5. Длина каждой ее бусины-цепочки должна бытьбольше 5 (то есть или 6, или больше), две бусины-цепочки долж-ны быть одинаковые. При склеивании цепочки цепочек Л должнаполучиться цепочка ⊕Л.

Вы, наверное, замечали, что некоторые ваши ученики при ре-шении задач быстро сами «натыкаются» на верное решение и ча-ще всего не могут объяснить, как нашли его. Оказывается, чторебята что-то заметили, догадались, и поиск решения в этомслучае носит характер внезапного озарения. Конечно, скореевсего, это не случайность, а следствие раннего развития опреде-ленной математической (логической, геометрической) интуиции утаких учеников. Таким детям, скорее всего, ваша помощь не по-надобится. Тем же учащимся, кто запутался и не видит даже под-ходов к решению, вы не сможете предложить «наткнуться», «до-гадаться» или заметить подобное решение. Если вы укажете, чтоименно нужно «заметить», то решите задачу за ученика, а еслинет - все равно не выведете его к решению. Поэтому у учителя враспоряжении должен быть другой способ - не тот, которыйпредполагает «внезапное озарение», а тот, до которого можнодойти путем логических рассуждений. Именно поэтому в даннойкниге мы иногда даем два решения. Первое начинается словами«скорее всего ваши ученики будут делать так»; оно часто оказы-вается случайным, интуитивным и трудно объяснимым. Второерешение - путь логических рассуждений, которые можно провес-ти с любым учеником, а также использовать, чтобы сдвинуть ре-бенка с «мертвой точки». Подобной особенностью отличаются икомментарии к данной задаче.

Вернемся к решению нашей задачи 68. Возможно, кто-то издетей сразу заметит (это бросается в глаза, если внимательнорассмотреть цепочку ⊕Л), что первая и вторая строчки заканчива-ются одинаково - шестью бусинами от красной круглой до жел-той треугольной. Таким образом, ребята сразу же найдут двеодинаковые цепочки-бусины, длина которых больше пяти. Оста-ется лишь проверить, что длина первой, третьей и пятой бусинтакже будет больше пяти. В данном случае условие выполняется,и мы получаем следующий ответ:

Л

Л

137

вторые цифры). Наконец, за каждой бусиной второго уровня так-же будут следовать две те же самые бусины. После построениядерева остается выписать все пути в мешок и мы получим иско-мый мешок W.

Как легко убедиться, построенное дерево U очень похоже надерево N из задачи 69 (математики говорят, что эти деревьягомоморфны), только надо заменить черные и белые бусины на 1и 2 соответственно. Так же похожи и полученные мешки всех пу-тей этих деревьев.

Задача 72. Необязательная. Как и раньше втаких задачах, здесь поможет подсчет клетокфигуры и каждой из частей. Затем можно простоперебирать различные фигуры из пяти клеток ипытаться из четырех таких частей составить ис-ходную фигуру.

Ответ: (см. картинку).Задача 73. Четыре данных в этой задаче утверждения в точ-

ности описывают мешок букв (четырехбуквенного) слова. Такимобразом, задача состоит в построении дерева всех (разных) словдлины 4 из букв данного мешка. Дерево это окажется непохожимна предшествующие - из задач 63 и 65 (не только из-за числауровней). Можно обсудить с детьми вопрос, в чем различие и по-чему оно возникло. Дело в том, что в мешке букв, который опи-сан нашими четырьмя утверждениями, есть две одинаковые бук-вы - У. К тому же в условии задано, чтобы все пути дерева былиразными. На это необходимо обратить внимание всех ребят. По-просите детей подумать, как при построении дерева можнообеспечить отсутствие одинаковых путей.

Конечно, есть прямой путь решения: построить сначала пол-ное дерево всех слов длины 4 из букв А, З, У и У. Назовем этодерево R (оно приведено на следующей странице). Затем, рас-смотрев это полное дерево, найти пары одинаковых путей (такихпар будет 12) и пометить (вычеркнуть) по одному пути из каждойтакой пары. Останется ровно 12 путей, как и требуется в условиизадачи. Теперь, пользуясь деревом R, нужно постараться аккурат-но нарисовать искомое дерево, не рисуя зачеркнутых путей. Ко-нечно, такая операция будет не так уж проста. Ведь вычеркнутьпуть не так-то просто - нужно проследить, чтобы случайно невыкинуть при этом нужные пути.

С другой стороны, рассматривая полное дерево, можно по-пытаться понять закономерность, как именно нужно строить де-рево, чтобы в нем не оказалось одинаковых путей. Этот вопрос внекоторых задачах уже обсуждался. Напомним выводы, к кото-рым мы при этом пришли: все бусины, следующие за одной буси-ной должны быть разными. Также все корневые бусины должныбыть разными. Дерево, построенное с соблюдением этой законо-мерности и мешок его путей, приведены ниже (дерево Q, мешок J).

136

Задача 69. Дерево, которое ребята ри-суют в этой задаче, очень похоже на деревоиз задачи 57, только здесь требуется пос-троить дерево в три уровня, и бусины де-рева – не 0 и 1, а черные и белые бусины.

Ответ: (см. картинку справа).Задача 70. Необязательная. В таких

задачах ваша помощь должна быть мини-мальной, ведь они необязательные, поэто-му обычно предлагаются тем ребятам, ко-торые имеют интерес и способности к та-ким задачам. Если вы все же хотите натолк-нуть учащегося на мысль, предложите емурассмотреть один любой случай, например,что Змея убил Илья Муромец и определитьистинность высказываний всех богатырей.Получаем, что высказывание Ильи Муромцаложно, Добрыни - ложно, Алеши - ложно.Такой вариант нам не подходит, посколькув условии сказано, что один богатырь ска-зал правду, а остальные слукавили. Теперьпусть учащийся самостоятельно разберетоставшиеся два случая и выяснит, кто убилЗмея.

Ответ: Змея убил Добрыня Никитич.Задача 71. Основная часть этого зада-

ния - построение мешка W трехзначныхчисел, для каждого из которых истинно за-данное утверждение. Для правильного вы-полнения этого задания необходимо, во-первых, понимание того, какие числа дол-жны быть в мешке W (т. е. уяснение смыслаутверждения). Во-вторых, нужен опреде-ленный принцип перебора таких чисел,чтобы ни одно не пропустить. Уяснениюсмысла утверждения способствует выпол-нение первой части задания - работа с числами из мешка Z. Вмешке Z подходящих чисел оказывается три: 222, 111, 121.Очень полезно в этой задаче переформулировать утверждениебез отрицания (без слова «нет»). На самом деле данное утверж-дение означает, что числа должны состоять только из цифр 1 и 2(при этом цифры могут повторяться).

Чтобы не запутаться при переборе всех таких чисел, мыпредлагаем детям в задаче построить дерево U, мешок всех пу-тей которого и будет решением. На первом уровне в дереве Uбудут две бусины - 1 и 2 (возможные первые цифры). За каждойиз них будут следовать также две бусины - 1 и 2 (возможные

N

139

ности. Это может стать причиной ошибок. Попросите детей, до-пустивших подобную ошибку, вернуться еще раз к тексту заданияи отнестись к нему внимательнее.

При попытках построить нужную цепочку цепочек у многихучащихся (и, наверное, у вас тоже) может возникнуть ощущение«вынужденности» построения, того, что вас как бы «подталкива-ют» к решению. Действительно, заданная длина цепочек-частейи расположение гласных в слове ВЫЧИСЛЕНИЯ допускают раз-ные варианты разбиения цепочки S лишь для последних трехбукв. Поэтому данная задача имеет ровно два решения.

Ответ: ВЫ-ЧИ-СЛЕ-НИЯ, ВЫ-ЧИ-СЛЕ-НИ-Я.Задача 75. Необязательная. Первое задание (на расстановку

скобок) предназначено в основном для сильных учащихся, по-скольку, не подсказывая решения, подтолкнуть застопорившего-ся учащегося в таких задачах довольно сложно. Единственныйсовет, который вы сможете дать - действовать методом проб иошибок, то есть, сначала посчитать значение примера как есть(без скобок), затем поставить одну пару скобок как-нибудь и вы-числить значение нового выражения, если не получится, то по-ставить скобки в другом месте. Можно попробовать поставитьдве пары скобок и т. д. Сложность этого метода в том, что осу-ществить полный перебор вариантов постановки скобок ребятамне удастся (пока это для них слишком сложно), и они могут на-деяться лишь на удачу. Чтобы учащийся не возвращался несколь-ко раз к одним и тем же вариантам, можно посоветовать ему вы-писывать все получающиеся примеры на листочек. После того,как скобки расставлены верно, задача становится аналогичнойзадаче 64.

Ответ: 6 • 8 + 20 : (4 - 2) = 58Задача 76. Необязательная. К сожалению, в издании 2004

года в этой задаче сама фигура не пропечаталась. Перед тем, какприступить к задаче, попросите детей найти такую фигуру навкладыше и наклеить в нижний правый уголстраницы учебника.

Ответ: (см. картинку).Задача 77. Возможно, вам покажется удачным начать реше-

ние этой задачи с нескольких партий в игру Две кучки камешков.Их можно провести у доски или на местах, разбившись на пары.Так ребята быстрее вникнут в правила игры.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что игра Две кучки камешковдействительно аналогична игре Король. Для этого, может быть,понадобится общее обсуждение, в частности, сравнение шахмат-ного поля и поля позиций новой игры, сравнение ходов игр ипозиций игр. Также можно организовать у доски несколько «дуб-лированных» партий, которые выглядят следующим образом.Одна пара играет партию в Две кучки камешков, а другая парал-лельно с ней играет партию в игру Король, делая на своем поле

138

Несмотря на сложность этой задачи, не стоит помогать детямчрезмерно. Даже если кто-то из ребят проигнорирует поначалуусловие различности путей и станет строить дерево, как в задаче63, то сам заметит что-то неладное. Во-первых, листьев у негобудет не 12, во-вторых, выписывая цепочки, учащийся увидит,что не все они различны. Вот на этом этапе можно обсудить с та-ким учеником, почему появились лишние цепочки и что нужно издерева убрать.

Задача 74. В этой задаче ребята продолжают работу по по-иску цепочек цепочек, склеивание которых приводит к заданно-му результату. Обратите внимание, что утверждения в рамках от-носятся не к цепочке цепочек S, а к каждой ее бусине в отдель-

З

У

УЗ

У

А

У

А

З

У

УА З

А

З

А

У

У

У

У

ЗА

У

ЗУ

У

У

У

У

А

З

А

АЗ

Q

JАЗУУАУЗУАУУЗЗАУУЗУАУЗУУАУАЗУУАУЗУЗАУУЗУАУУАЗУУЗА

З

У

У

УЗ

У

У

А

У

У

А

З

У

А

З

У

УУА З

З

У

А

А

З

А

У

У

У

У

У

У

ЗА

З

А

У

У

ЗА

УУЗУ

У

У

У

У

У

У

З

У

А

А

З

А

АЗ

У

У

З

А

АЗ

R

Приведенные здесь рассуждения, ребята, скореевсего, уже могут осуществить самостоятельно. Возмож-но, эти рассуждения помогут и вам, чтобы вывестиученика из затруднения. Сильному учащемуся будетдостаточно указать на нарушение истинности од-ного из утверждений или привести пример числа,которое он пропустил.

Ответ: (см. рисунок).

Задача 80. По видимому, самым популяр-ным среди ребят здесь будет следующий спо-соб: нарисовать цепочку G, руководствуясьбуквами, встречающимися на соответствующихместах слов из мешка, затем раскрыть цепочкуG и найти недостающее слово.

Однако, сильные ребята на данный моментуже улавливают закономерности, связанные сраскрытием цепочки мешков, которые помогут имнайти недостающее слово и без цепочки G (этоможет показаться ребятам интереснее). Например,ясно, что вторая буква недостающего слова - А, атретья - К (это справедливо для всех слов в мешке).Найдем первую букву недостающего слова. В мешке 5слов, начинающихся на Р и 4 - на М, значит недостающееслово начинается с буквы М. Теперь найдем последнюю буквунедостающего слова. В мешке по два слова оканчиваются на И, У,А, Е и лишь одно – на О. Значит, искомое слово оканчивается наО. Таким образом, ребята находят слово МАКО. Конечно, затемцепочку G все равно придется нарисовать.

Ответ:

141140

ходы, соответствующие ходам первой пары (для облегчения ра-боты второй пары можно на шахматном поле сверху и слева по-ставить новые обозначения клеток и подписать горизонталь ивертикаль в зависимости от того, какой кучке камешков они со-ответствуют). Например, если в первой паре Первый берет изпервой кучки 1 камешек, то во второй паре Первый двигает Ко-роля влево на 1 клетку. Каждый учащийся должен убедиться, чтов ходе таких «дублированных» партий, они заканчиваются одно-временно выигрышем одного и то же игрока (либо Первого, либоВторого). После того как все ребята поняли, что игры Две кучкикамешков и Король действительно полностью аналогичны, реше-ние становится несложным, ведь позиции двух этих игр на полераскрашиваются совершенно одинаково.

Задача 78. Если кто-то из ребят решал предыдущую задачуформально - просто перенес раскраску поля из задачи 47, невдумываясь в суть игры Две кучки камешков, то здесь это сразустанет ясно. Такой ученик просто не сможет эффективноследовать выигрышной стратегии в данной игре. Если вы замети-те, что в какой-то паре Первый проигрывает, то, возможно, с та-ким учащимся придется еще раз обсудить правила новой игры,сравнить ее с игрой Король, в общем, вернуться к предыдущейзадаче. У всех остальных ребят данная задача не должна вызватьзатруднений, ведь аналогичные задачи для других игр ребятамуже приходилось решать (см. более подробно в комментарии кзадаче 48).

Задача 79. Дайте детям возможность подумать над задачей.Наверняка каждый из ваших ребят сможет ответить на вопрос:«Какие цифры могут встречаться в записи чисел из мешка Q?».Для этого первое условие достаточно переформулировать в по-ложительной форме. Умение переходить к «положительной»формулировке бывает полезно в математике, но еще больше онополезно в жизни. Попробуйте как-нибудь сами и посоветуйте де-тям попробовать обходиться без слов «не», «нет»: говорить, на-пример, вместо «не могу» - «мне затруднительно», вместо «такихбукв здесь нет» - «такие буквы отсутствуют», «ты совершил нехо-роший поступок» - «ты совершил плохой поступок» и т. п.

Чтобы ребята поняли, какие числа могут (а какие не могут)встретиться в мешке Q, мы предлагаем им поработать с числамииз мешка V. После этого ребята смогут начать строить дерево R.Ясно, что первой цифрой может быть любая из трех цифр, поэто-му корневых бусин три: 7, 8 и 9. Аналогично дело обстоит и совторой цифрой. Третью цифру мы можем брать произвольно,лишь в том случае, если предыдущая бусина и ее корневая совпа-дают (тогда две одинаковые цифры в этом числе уже есть). Впротивном случае третья бусина подбирается так, чтобы она сов-падала или с первой, или со второй. Для решения важно такжепонимать, что числа из трех одинаковых цифр тоже годятся.

Q777778779787

788797799

877878887888

889898899

977979988989

997998999

8

9

87

7

8

9

7

8

9

7

8

9

97

7 8

9

8

9

9

9

9

7

7

7

8

8

7

8

789

R

G Р М А К У АОИ

143

эти числа, меняется с годами. Так в данной задаче отец всегдабудет оставаться старше сына на 24 года, но когда сыну год,отец старше его в 25 раз, когда два года - в 13 раз и т. д. Видим,что с годами отец становится старше сына все в меньшее числораз. Данную задачу ребята могут решать методом проб и ошибокили методом перебора. Исходя из арифметических соображенийясно, что отец будет ровно в 2 раза старше сына именно в тотмомент, когда разница в их возрастах (24 года) будет составлятьполовину возраста отца, то есть ему будет 48 лет, а сыну - 24 года.

Задача 83. Необязательная. Можно предложить ребятам на-чать работу с задачей с нескольких партий в Ферзь, с выборомразных начальных положений, а уже затем перейти к раскраши-ванию позиций. Здесь раскраска клеток поля будте еще более за-тейливой, чем в предыдущих подобных задачах. Лучше, если теребята, которые возьмутся за эту задачу, поработают с ней само-стоятельно.

Начать, как обычно, надо с заключительной позиции - а1 (этопроигрышная позиция), затем надо пометить клетки, из которыхможно попасть в а1 за один ход (выигрышные позиции) - это всеоставшиеся клетки крайне левого столбца, нижней строки и диа-гонального ряда а1-h8. Далее помечаем клетки, из которыхможно сделать ходы только в раскра-шенные позиции - b3 и с2. Они ока-зываются проигрышными. И т. д. Ин-тересно, что в результате на полеоказывается всего 7 проигрышныхпозиций: а1, b3, с2, d6, е8, f4, h5.

Если есть время, лучше по окон-чании решения сыграть несколькопартий в игру Ферзь, используя рас-крашенное поле. Начальную позициюможет выбирать как Первый, так иВторой. Тогда выигрышной стратеги-ей должен обладать тот игрок, кото-рый выбирал начальную позицию.

Задача 84. Необязательная. Эта задача полностью аналогич-на задаче 75.

Ответ: 4 • 12 + 18 : (6 + 3) = 50Задача 85. Необязательная. Это задача на смекалку, но она

требует применения формально-логического мышления. С дру-гой стороны, здесь ребятам необходимо разобраться в родствен-ных связях, то есть эта задача близкая к жизни.

Начать решение стоит с выяснения того, сколько всего героевучаствует в сюжете. Поскольку все они являются какими-то род-ственниками профессора, проще всего давать им названия с ука-занием степени этого родства. Итак, первый герой задачи - про-фессор, далее речь идет об отце профессора. Третий герой -

142

Дополнительные и трудные задачиКомментарии к задачам 81-90 Части 2

Задача 81. Необязательная. Здесь ребятам снова предстоитанализировать дерево выполнения программы. Оба задания дан-ной задачи удобнее всего выполнять, начиная с листьев. Напри-мер, выполняя первое задание сначала можно пометить все под-ходящие листья (где Робот заканчивает выполнения программы влевом нижнем углу), таких оказывается 4. Затем следует обвестисиним все пути, ведущие в эти листья (общую бусину для не-скольких путей, например, корневую достаточно обвести одинраз), затем выбрать один путь и записать соответствую-щую ему программу Робота в первое окно. Возможныепрограммы А:1) вверх 2) вверх 3) вверх 4) вправовниз влево влево влевовверх вправо вниз вверхвлево влево вверх влевовниз вниз вниз внизВидим, что последняя програм-

ма подходит и под условие второгозадания, поэтому путь, соответству-ющий ей будет обведен дважды -синим и красным.

Задача 82. Необязательная .В ходе решения этой задачи ребятампредстоит открыть интересную зако-номерность. Скорее всего, они не задумыва-лись над тем, что в соотношении возрастовдвух человек всегда действует правило -разница в возрастах всегда остается одной итой же, в то время как число раз, в которое отличаются

Ю

a b c d e f g h87654321

145

на запись, сделанную на белорусском языке, поскольку в условиисказано, что белорусский и болгарский языки родственны междусобой. Видим, что это третья, значит вторая запись сделана накумыкском языке.

Теперь переходим к языкам, пользующимся латиницей. Ви-дим, что пятая запись больше всех остальных напоминает вторую(чтобы в этом убедиться, достаточно прочитать их, используя зву-чание букв соответствующих алфавитов), значит, она сделана натурецком языке, который родственен кумыкскому.

Аналогично выясняем, что седьмая запись сделана на чеш -ском языке, который родственен белорусскому и болгарскому.Значит, оставшаяся запись сделана на гавайском языке.

Ответ:1. Белорусский язык2. Кумыкский язык3. Болгаский язык4. Аварский язык5. Турецкий язык6. Гавайский язык7. Чешский язык

Задача 87. Необязательная. Данная задача - довольно вес-кий довод в пользу работы с картой. Без карты задание можетоказаться для учащихся довольно сложным. Даже если ребята об-щим усилиями вспомнят больше 5 названий рек, скорее всего,соединить их в одну цепочку окажется невозможным. Можно по-работать с задачей аналогично задаче 44 - сначала предложитьребятам вспомнить как можно больше названий рек и записать ихна листок, а затем попытаться составить из них фрагменты це-почки игры. Наверняка после этого получится цепочка с «дыра-ми». Чтобы заполнить их, попросите ребят обратиться к карте. Вэтом случае они будут искать не просто реки, а реки, начинаю-щиеся (а, возможно, и заканчивающиеся) на определенную букву.Если вы хотите, чтобы каждый работал самостоятельно и строилсобственную цепочку, то вас ждет сложная, но интересная и по-лезная для детей работа. Вам предстоит играть роль консультан-та по карте, так как ребята еще мало с ней знакомы. Кроме того,вам придется выводить некоторых учеников из дебрей, в которыемогут завести некоторые сложные варианты. Советуем вам передуроком самостоятельно построить несколько вариантов цепочек,чтобы почувствовать, с какими трудностями могут столкнутьсядети.

Мы приводим список названий рек из атласа. Мы оставилитолько названия, составленные из одного слова:

144

сын отца профессора. Может показаться, что третий герой - этои есть профессор, но профессор в разговоре не участвует. Можетли это быть не профессор? Да, если у отца профессора есть ещедети, кроме профессора, точнее сын. В таком случае сын отцапрофессора может быть братом профессора. Читаем задачудальше. В ней фигурирует еще сын профессора (четвертый ге-рой) и отец сына профессора (пятый герой). Опять же на первыйвзгляд может показаться, что отец сына профессора - профес-сор, но это не так в том случае, если профессор - женщина. Втаком случае отец сына профессора - муж профессора.

Итак, сколь ни парадоксальной кажется ситуация в задачесначала, она вполне реальна, если разговаривает брат профессо-ра и муж профессора.

Подобные задачи очень полезно инсценировать и решать вгруппе, назначая по ходу дела профессора и всех его родствен-ников, выясняя истину в ходе общего обсуждения. Учитель в ходетакой работы может лишь наводить группу на новые мысли, оста-ваясь при этом в тени.

В конце решения задачи перед ребятами может встать про-блема, как написать ответ. Краткий ответ: «Может», ребята могутнаписать и наугад, а полный ответ они не всегда могут сформу-лировать коротко так, чтобы он уместился на отведенной строке.Поэтому желательно все-таки выслушать ответы ребят и помочьим кратко сформулировать свою мысль. Если у вас нет возможно-сти выслушать каждого, кто взялся за эту задачу, то разбейте ре-бят на группы и попросите их выслушать друг друга. Так посте-пенно будут рождаться более обдуманные формулировки.

Задача 86. Необязательная. Проще всего сразу разделитьвсе записи на две группы - относящиеся к языкам, использующимкириллический алфавит и к языкам, использующим латинский ал-фавит. Видим, что первые четыре записи сделаны на языках,пользующихся кириллицей (кумыкском, белорусском, аварском иболгарском), остальные – на языках, пользующимся латиницей(турецком, гавайском и чешском).

Теперь используем условие о том, что из тех языков, которыепользуются кириллицей в аварском и белорусском имеются до-полнительные символы (ясно, что языки, которые используют ла-тинский алфавит в любом случае имеют символы, отличные отсимволов русского языка). Значит, первая и четвертая записисделаны на белорусском и аварском языке. Чтобы выяснить точ-нее, какая фраза из этих относится к какому языку, вспомнимзнания о белорусском языке, полученные в ходе решения другихлингвистических задач. Действительно, в белорусском алфавитеесть буквы ы и i, но нет буквы и. Значит, первая запись сделанана белорусском языке, а четвертая - на аварском.

Чтобы выяснить, какая из оставшихся записей сделана наболгарском языке, нужно посмотреть, какая из них более похожа

147146

АббайАвашАганАганоАгапаАгасАддаАдиджеАдурАдызьваАйАйдарАкераАлагонАлазаниАлазеяАлданАлейАллерАльякмонАмазонкаАмгаАмгуньАмгуэмаАмударьяАмурАнабарАнадырьАнгараАнсэбаАнуйАпуреАрагуаяАраксАрганбадАрга-СалаАргунАргуньАрджешАрканзасАрувиАрувимиАтабаскаАтрекАхарАхелоосАхтубаАягузБальзасБанасБарроу

БахтаБашкаусБебжаБегнаБелаяБениБенуэБерезинаБеседьБетваБирюса (Она)БистрицаБитюгБишаБияБлэкуотерБобрБобрикБолваБоснаБразосБрахманиБрахмапутраБугБузулукБузэуБуреяБухтармаБхимаБырладВаальВагВагаВагайВардарВарзугаВартаВасюганВаупесВахВахшВашкаВезерВеликаяВепшВерраВесорВетлугаВивиВилияВилюй

ВинделэльвенВиосаВислаВитимВишераВлтаваВолгаВолховВоронаВоронежВороньяВорсклаВрбасВымьВычегдаВьеннаВэйхэВянтаВяткаГалГамбияГангГандакГаньхеГарронаГауяГ в а д а л к в и в и рГвадианаГедизГерирудГёксуГильмендГломмаГодавариГонамГорыньГронГуавьяреГуапореДа (Черная)ДалэльвейнДарлингДаугаваДаштДедуруДемьянкаДеснаДжаДжамнаДжахельДжейхан

ДжуббаДза-Чу

( М е к о н г )ДигулДиснаДнепрДнестрДонДордоньДоруДраДраваДринаДринДриссаДрутьДуДубисаДубнаДубчесДулгалахДунайДуэроДюрансЕвфратЕгорлыкЕлогуйЕниджеЕнисейЕшильырмакЖавариЖапураЖижияЖирондаЖиуЖуруаЗалеЗамбезиЗбручЗеравшанЗеяИбарИдэрИецаваИжмаИзарИзерИлекИлиИловляИмджинган

ИнгодаИнгулИнгулецИнгуриИндИндигиркаИндраватиИнжИннИняИоканьгаИорданИориИпутьИравадиИргизИртышИсаИсетьИсикариИскырИшимЙеллоустонЙиокиКавериКазымКазырКакетаКалаусК а л и н с э л ь в е нКалитваКамаКамадугу-

ЙобеКамчаткаКанКапуасКараКарасуКарасукКаргатКарсКарунКасаиКаспляКатуньКаукаКафуаКаянКвангоКвандо

КванзаКвилуКелькитКемийокиКемьКенгаКерияКерхеКетьКиренгаКисоКияКларэльвенКокоКолваКолвиллКолекъеганКолорадоКолумбияКолымаКольКомоэКонгоКондаКостромаКосьваКосьюКотуйКотурКочечумКоюкукКришнаКубаньКулойКулундаКулыниголКумаКумбуккамКуненеКуноватКупаКураКурчумКускокуимКызылырмакКымганЛабаЛ а й н и о э л ь в е нЛаньЛевуоЛена

ЛиелупеЛимЛимпопоЛиндеЛоЛоватьЛогенЛозьваЛомамиЛоттаЛохэЛуалабаЛуангваЛуараЛугаЛузаЛулеэльвенЛуниЛухЛынаЛяминЛяохеЛяпинМаасМагдаленаМадейраМаккензиМамореМандМанджраМараньонМарицаМарнаМарошМархаМасилаМахавелиМахакамМахандиМахиМаяМбомуМедведицаМеджердаМезеньМеконгМессояхаМетаМёз (Маас)МиассМилк

МиньоМиссисипиМиссуриМозельМойероМокшаМолдоваМологаМоломаМораваМоркокаМоскваМстаМунаМ у о н и о э л ь в е нМурМуратМургабМурешМуруй-Ус

( Я н ц з ы )МушаНаг-Чу

(Салуин)НадтонганНадымНазымНарваНаревНармадаНарынНеваНельсонНеманНеретваНерльНестосНигерНилНицаНоатакНорт-ПлаттНотаНотецьНураНэньцзянНюяНямунасНярисОбОболь

ОбьОгайоОговеОгреОдраОкаОленёкОлёкмаОлойОлтОлтуОмоОмолойОмолонОмьОнгерман-

эльвенОнегаОнонОранжеваяОредежОрельОринокоОрхонОсколОстерОттаваОукасийокиОшаОятьПарабельПарагвайПаранПаранаПарнаибаПашаПезаПекоПекосПеллиПелымПенжинаПеннаруПечораПижмаПилПилькомайоПинаПинегаПиньосПирсагат

ПисПисуэргаПительвенПлаттПлюссаПоПолаПолистьПолуйПонойПоркьюпайнПорсукПреголяПрипятьПроняПрутПсёлПтичьПурПурпеПурусПутумайоПышлаПышмаПякупурПянджПясинаРед-РиверРейнРио-ГрандеР и о - К о л о р а д оРио-НегроРиониРио-СаладоРиу-НегруРонаРосьРувумаСаарСабунСаваСавалаСагызСакарьяСалСалгирСалуинСамараСамурСанСанга

149

Задача 88. Необязательная. Построение родословного де-рева Петровых в данной задаче дело увлекательное, но отнюдьне простое. Хорошо бы определить, сколько поколений Петровыхбудет в дереве. Оказывается четыре, так как речь идет и о внукахродоначальника, и о внуках его сыновей. Далее очень полезнонайти родоначальника. Если в семье Петровых имена (отчества)не повторяются, то это легко - надо найти человека, отчество ко-торого не встречается как первая буква ничьих инициалов. Такойчеловек есть - М. С. Петров (среди оставшихся Петровых отца мыдля него не найдем, значит он – родоначальник). У него точнодва сына, их следует искать по второй букве инициалов (М.). Та-ких оказывается действительно двое - К. М. Петров и Д. М. Пет-ров. Далее сыновей каждого из них тоже можно найти по второйбукве инициалов и т. д.

В конце необходимо проверить условие о том, что внуков уоснователя рода четыре, а у его сыновей - по два.

Ответ:

Задача 89. Необязательная. Поиск вы-игрышной стратегии в данной игре - до-вольно сложная задача. Как обычно, можноначать с нескольких партий в игру Стрелка.В ходе этих партий ребята знакомятся свозможными ходами и позициями игры.Как видите, позиций в этой игре всего 12,поскольку в игре никак не учитывается,сколько кругов обошла стрелка до того,как оказалась на данной цифре. Раскраши-вать позиции мы, как всегда начинаем с за-ключительной позиции 6 (она проигрыш-ная). Далее мы находим все позиции, изкоторых можно попасть в 6 за один ход (4и 3) и раскрашиваем их как выигрышные(см. картинку выше).

Теперь следует найти позицию , врезультате любых ходов из которой

148

СанкуруСан-Ф р а н с и с к уСартаСартангСарысуСаскачеванСатледжСаураСаут-ПлаттСвирьСвятогоЛаврентияСевернСегреСегураСеймСейханСелемджаСеленгаСенаСенегалСент-ДжонСеретСилетиСильСинаноСинцзянСловечнаСлучьСнейкСновСожСомешСоммаСонСонаСоснаСосьваСпейСтвигаСтикинСудаСулаСулакСумгаитСунгариСураСухонаСучаваСылваСым

СырдарьяСысолаТавда ТагилТазТанаТананаТапажосТаптиТараТаримТарнТартасТатлитТахоТедженТежуТезаТелонТембенчиТемзаТеннессиТенойокиТерекТерсакканТертерТесиоТетеревТибрТигрТисаТоболТокантинсТокеТолькаТомпоТомьТонароТормесТохмаТромъеганТуйТуломаТумыньцзян

( Т у м а н г а н )ТураТургайТурияТуруханТутончанаТым

ТюкянТюнаТюнгУаби-

ШэбэллеУазаУайУбаганУбангиУбортьУграУдаУжУзУйУкаялиУлуюлУлькаякУмеэльвенУнаУнжаУралУругвайУрунгуУсаУссуриУстьяУфаУчурУшачаУэлеФарахрудФлайФрейзерФульдаХабХабурХадуттеХайларХарейдинХариХарутрудХатангаХашрудХелильрудХенильХетаХийонХилаХилокХовд

Хонгха ( К р а с н а я )

ХопёрХоролХотанХуанхеХудосейХукарХулгаХумаэрхэХуншуйхэХуньцзянЦангпо

( Б р а х м а п у т р а )Ц з и н ь ш а ц з я н

(Янцзы)ЦильмаЦинЦнаЧамбалЧараЧарышЧаселькаЧаупхраяЧаяЧегемЧепцаЧеретваЧерчиллЧижапкаЧикойЧинабЧиндуинЧолЧорохЧуЧубутЧузикЧулымЧулышманЧумышЧунаЧуняЧусоваяЧуяШаганШаннонШапкинаШариШелиффШ е л л е ф т е э л ь в е

нШелоньШерШидертиШилкаШингуШурабЩараЩучьяЭброЭз-ЗаркаЭльбаЭль-ГадафЭль-ДжейбЭль-ДжизЭль-ЛитаниЭль-ХамарЭмбаЭмсЭндрЭнсЭр-РуммаЭслаЮгЮдомаЮконЮнганЮраЮрибейЮснанЯкиЯломицаЯлуцзян

( А м н о к к а н )ЯнаЯнтраЯнцзыЯркендЯсельдаЯя

М. С.

Б. К. А. К.

Д.М. К.М.

Г.Д. В.Д.

П. Б. Р. Б.И. В. Н. В.

12 123

4567

8910

11 12 123

4567

8910

1112 1

23

4567

8910

11

12 123

4567

8910

11 12 123

4567

8910

1112 1

23

4567

8910

11

151

Контрольная работа № 4.Ответы и решенияЗадача 1. Ответ (оба варианта): выигрышная стратегия есть у Первого.

Задача 2.Ответ:Вариант 4-1.Ход 1. Первый должен взять 2, тогда останется 6.Ход 2. Второй может взять 1, тогда останется 5, или может

взять 2, тогда останется 4.Ход 3. Первый должен взять столько камешков, чтобы оста-

лось 3.Ход 4. Второй может взять 1, тогда останется 2, или может

взять 2, тогда останется 1.Ход 5. Первый забирает все оставшиеся камешки и выигры-

вает.Вариант 4-2.Ход 1. Первый должен взять 1, тогда останется 6.Ход 2. Второй может взять 1, тогда останется 5, или может

взять 2, тогда останется 4.Ход 3. Первый должен взять столько камешков, чтобы оста-

лось 3.Ход 4. Второй может взять 1, тогда останется 2, или может

взять 2, тогда останется 1.Ход 5. Первый забирает все оставшиеся камешки и выигры-

вает.Задача 3.Ответ:Вариант 4-1.

150

получаются только выигрышные позиции. Это позиция 1, она бу-дет проигрышной. Далее раскрашиваем позиции 10 и 11 как вы-игрышные, а позицию 8 как проигрышную (см. картинку напредыдущей странице).

Итак, мы «обошли» один круг, но невсе позиции оказались раскрашенными.Придется сделать еще один круг. В проиг-рышную позицию 8 можно попасть из по-зиции 5, значит 5 - выигрышная позиция(позиция 6 уже раскрашена, ее нерассматриваем). Так, двигаемся дальше,пока вся числовая линейка не будет рас-крашена. Получаем следующую раскра-шенную числовую линейку (см. справа).

Начальная позиция 12 - выигрышная, значит выигрышнаястратегия есть у Первого. Конечно, очень интересно здесь выслу-шать ребят, в чем заключается выигрышная стратегия Первого, аеще лучше поиграть в парах и убедиться, что руководствуясьраскрашенной числовой линейкой Первый действительно всегдабудет выигрывать. Выигрышную стратегию Первого здесь можносформулировать пошагово:

Ход 1. Первый устанавливает стрелку на 2. Ход 2. Второй устанавливает стрелку на 4 или 5.Ход 3. Если Первый делает ход из позиции 4, то он устанав-

ливает стрелку на 6 и выигрывает, если Первый делает ход изпозиции 5, то он устанавливает стрелку на 8.

Ход 4. Второй устанавливает стрелку на 10 или на 11.Ход 5. Первый устанавливает стрелку на 1.Ход 6. Второй устанавливает стрелку на 3 или 4.Ход 7. Первый устанавливает стрелку на 6 и выигрывает.Заметим, что, в отличие от большинства ранее рассмотрен-

ных игр, игра Стрелка может длиться практически бесконечно,если игроки не стремятся к выигрышу, поэтому есть смысл ана-лизировать ее только в рамках поиска выигрышной стратегии.Дерево такой игры будет бесконечно.

Задача 90. Необязательная. Это типичная задача на смекал-ку, которую можно рассматривать как отдых или задачу-шутку.Для ее решения достаточно представить себе ситуацию встреч-ного движения и самой встречи. Если кто-то из ребят совсем за-стрял, попросите его сделать рисунок. На нем будет видно, чтоВася и Иван в момент встречи будут на одинаковом расстоянии отМосквы.

12 123

4567

8910

11 12 123

4567

8910

1112 1

23

4567

8910

11

ЫП

Р

Ы

РЫП

П

Ы

Ы

РР

Р

П

П

N

YПРЫПЫРРПЫРЫПЫПРЫРП

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

153

шать эту задачу с применением таблицы. В любом случае ребятамне обойтись без логических рассуждений, например, таких.

Если рыжеволосый в задаче беседует с Черновым, значит, онне Чернов. Кроме того, он и не Рыжов, поскольку ни у одного издрузей цвет волос не соответствует фамилии. Вывод - рыжеволо-сый имеет фамилию Белов. Аналогично Чернов имеет не рыжиеволосы (поскольку разговаривает с рыжеволосым) и не черные(поскольку цвет его волос не должен соответствовать фамилии),значит Чернов имеет белые волосы. Теперь у нас остается толькоодна фамилия и один неиспользованный цвет волос.

Ответ (оба варианта): у Белова рыжие волосы, у Чернова -белые, у Рыжова - черные.

152

Вариант 4-2.

Задача 4.Ответ:Вариант 4-1: Вариант 4-2:

Задача 5.Ответ:Вариант 4-1: Вариант 4-2:

Задача 6. Необязательная. Здесь ребятам предлагается ло-гическая задача, которую можно решать, используя некоторыеметоды и приемы, пройденные ребятами в нашем курсе: напри-мер, метод перебора и метод проб и ошибок. Также можно ре-

ЫЛ

М

Ы

МЫЛ

Л

Ы

Ы

ММ

М

Л

Л

N

YЛМЫЛЫММЛЫМЫЛЫЛМЫМЛ

•2

-:240

28 2+

:2

-•240

51 9+

333537535557737577

53

3

5

735

3

7

7

5

S

7

222426424446626466

42

2

4

624

2

6

6

4

S

6

154

Москва «Просвещение»Институт новых технологий образования

2004

ДопущеноДепартаментом общего среднего образования

Министерства образованияРоссийской Федерации

ИНФОРМАТИКАПособие для учителя

4 класс Часть 5. Комментарии к проектам

157

«Это гласная и она входит в слово ВОРОТА?» Кроме того, естьвопросы, которые задавать можно, но бессмысленно, например:«Ты сегодня завтракал?» или «Эту букву можно написать ручкой?».

Вот некоторые вопросы, с которых обычно начинают игруребята:

«Эта буква входит в слово ВОРОТА?» «Это буква Д?» «Это гласная буква?» «Это согласная буква?» На первом этапе для уяснения правил игры желательно по-

играть и в открытую. Буква записывается на доске, и ребят просятпридумать вопросы про данную букву. «Придумайте такие воп -росы, ответ на которые будет «Да»», «Придумайте такие вопросы,ответ на которые будет «Нет»», «Придумайте такие вопросы, от -вет на которые будет «Не понял(а)»».

Поиграть в открытую нужно обязательно, если учитель чув-ствует, что еще не у всех учащихся сформировалось пониманиеправил игры, если при угадывании буквы прозвучало мало вари-антов вопросов, если дети «зацикливаются» на однотипных воп-росах. В игре в открытую может принять участие и учитель. Длярасширения круга возможных вопросов можно поиграть с Водя-щим-учеником у доски. Учитель в этом случае может присоеди-ниться к играющим и задать свои вопросы. На этом этапе лучшеиспользовать сильного ученика, чтобы избежать запутывающихнеправильных ответов. Можно попросить загадать букву сразудвух учеников, из которых один будет отвечать на вопросы, адругой контролировать правильность ответов. 2 этап. Индивидуальная работа (решение задачи 1)

По окончании первого этапа проекта ребята должны нетолько уяснить правила игры, но и понять, какое значение имеетв этой игре правильно заданный вопрос. Действительно, любойправильно поставленный вопрос приближает игрока к победе,поскольку ответ Водящего сужает круг букв, среди которых со-держится данная буква. В самом начале игры мы ищем букву вмешке всех букв алфавита. Каждый заданный вопрос делит име-ющийся мешок букв на два: один состоит из букв, для которыхсправедлив ответ «Да», другой – из букв, для которых справед-лив ответ «Нет». Ответ Водящего указывает тот мешок, в которомнаходится задуманная буква. Пониманию этого процесса способ-ствует решение задачи 1. В ходе ее решения ребята должны нетолько суметь поставить правильный вопрос, но и разделить всеимеющиеся буквы на два мешка в зависимости от ответа на воп-рос. При этом вопрос необходимо записать в окно, а буквы нак-леить в бусины второго уровня (в задании предлагается восполь-зоваться алфавитными линейками с листа вырезаний, при этом необязательно разрезать линейку на отдельные буквы, а можнонаклеивать прямо полосками). Если кто-то из ребят захочет впи-

156

Проект «Угадай букву»В ходе данного проекта учащиеся знакомятся и работают с

новой игрой - Угадай букву. Учебная задача проекта - выяснить,за какое наименьшее число вопросов можно угадать наверняка(при любом ходе игры) задуманную букву и научиться действи-тельно угадывать задуманную букву за это число вопросов. Прирешении этой задачи ребята проводят анализ отдельных партий,цепочек и деревьев данной игры. Общая цель проекта - познако-мить учащихся с методом деления пополам, научить их исполь-зовать данный метод в играх на угадывание объекта (буквы, чис-ла, ученика) и при решении других жизненных и математическихзадач.1 этап. Знакомство с правилами игры

Цель этапа – усвоение ребятами правил игры. Угадай букву– это игра с Водящим, который в начале игры загадывает некото-рую букву русского алфавита. Цель Игрока – угадать букву, задавкак можно меньше вопросов Водящему. Вопросы можно задаватьтолько такие, на которые Водящий сможет ответить «Да» или«Нет».

Сначала нужно сыграть несколько партий в эту игру. Буквузагадывает учитель, например, записав букву на обратной сторо-не открывающегося крыла доски или выбрав и отложив в сторонукарточку с соответствующей буквой, взятой из алфавитного на-бора. Класс отгадывает, задавая вопросы по очереди. Цель такойигры (с учителем-Водящим) – показать ребятам, какие вопросызадавать можно, а какие – нельзя или бессмысленно. В вопросахдля обозначения неизвестной буквы лучше всего использоватьсловосочетание «загаданная буква». Например: «Загаданная бук -ва – гласная?»

На вопросы, которые требуют ответов, отличных от «Да»или «Нет», можно отвечать словами «Не понял(а)». Отдельно нуж-но обсудить возможность ответа «Неизвестно». Иногда, хотя идовольно редко, у детей появляются такие вопросы: «Эта буквавстречается в имени моей бабушки?», «Эта буква похожа на ба -бочку?», «На эту букву начинается название программы?». Для за-дающего вопрос утверждение «Буква Д встречается в имени моейбабушки» будет истинным или ложным, но для Водящего, кото-рый не знает имени бабушки играющего, значение утверждениябудет «Неизвестно». Поэтому на такие вопросы тоже можно отве-чать «Не понял(а)».

Во время игры с учителем дети постепенно должны при-учаться избегать вопросов, содержащих союз «или», поскольку наних обычно нельзя ответить «Да» или «Нет», например: «Эта бук -ва гласная или согласная?» Также следует договориться с ребята-ми не употреблять вопросов, содержащих союз «и», потому чтоправильно отвечать на такие вопросы и интерпретировать ответыу ребят, скорее всего, не хватит логической культуры, например:

159

отгадывал букву. Для этого можно предложить ребятам пометить(определенными значками):

•лишние вопросы, которые не уменьшили мешка букв (зна-чит, их можно было вообще не задавать);

•удачные вопросы, которые позволили учащемуся сразу от-бросить много букв.

В сильном классе можно также попросить разделить удач-ные вопросы на:

•случайно удачные, которые позволяют отбросить многобукв лишь при данной загаданной букве;

•закономерно удачные, которые помогут отбросить многобукв, какая бы буква ни была загадана.

Такой анализ пригодится ребятам в последующих играх ина следующих этапах проекта.4 этап. Строгое описание правил игры Угадай букву (раз -бор листа определений на с. 8)

Вначале предложите учащимся самостоятельно разобратьлист определений «Игра Угадай букву». Для закрепления мате-риала можно попросить ребят написать цепочку какой-нибудьпартии, например из задач 2 и 3. Опираясь на таблицу, цепочкупартии написать будет несложно: первая бусина цепочки – весьалфавит, а следующие бусины – мешки из последнего столбцатаблицы (вычеркнутые буквы в этом случае можно просто не пи-сать), последняя бусина цепочки – мешок с одной загаданнойбуквой.

Понятие дерева игры Угадай букву лучше обсудить под-робно. В отличие от цепочки, дерево игры на каждом уровне до-лжно учитывать (содержать) обе возможные следующие позиции,которые могут получиться после очередного вопроса. Также длякаждой позиции дерево должно предусматривать вопрос Игрока,который будет из нее задан. Приведенное на листе определенийдерево достаточно простое для понимания. Здесь Игрок пытаетсяугадать букву перебором по одной. Спросите ребят, сколькоуровней будет иметь данное дерево, какое наибольшее числовопросов может понадобиться Игроку при такой стратегии. Пос-тепенно в ходе обсуждения ребята понимают, что представлен-ное дерево – самое длинное из возможных (конечно, для партии,где нет бессмысленных вопросов).5 этап. Общее обсуждение метода деления пополам(решение задачи 4)

На этом этапе мы задумываемся, как выглядит дерево игрыУгадай букву, имеющее самое малое число уровней. Такое дере-во гарантирует отгадывание любой буквы за определенное, дос-таточно небольшое, число вопросов, то есть помогает нам ре-шить задачу, поставленную в начале данного проекта. Вначалеинтересно спросить ребят, за сколько ходов, по их мнению, мож-но гарантированно отгадать любую букву. Наверняка при ответах

158

сывать буквы в мешки, это вполне допустимо. В любом случае, поокончании заполнения дерева нужно проверить, все ли буквы ал-фавита есть в мешках второго уровня и нет ли повторов.3 этап. Игра парами (решение задач 2 и 3)

На этом этапе ребята разбиваются на пары и играют междусобой. В первой партии один из учеников становится Водящим,во второй Водящим становится другой ученик. По итогам двухпартий побеждает тот, кто отгадал букву за меньшее число воп-росов (если оба ученика отгадали букву после одинакового числавопросов, то считается, что турнир закончился вничью). В началекаждой партии Водящий должен загадать букву. Лучше всего, ес-ли при этом он напишет задуманную букву на карточке или вы-берет из алфавитного набора и отложит в условленное место. Втаком случае Водящий всегда сможет себя проверить, а в спор-ных случаях его сможет проверить и Игрок. По ходу партии каж-дый учащийся заполняет таблицу в своей тетради (задачи 2 и 3).В строке таблицы с соответствующим номером вопроса записы-ваются вопрос и ответ Водящего. В последнем столбце таблицыдолжен получиться мешок букв, который удовлетворяет ответуВодящего и всем предыдущим ответам. Для этого учащиеся дол-жны вычеркнуть из мешка все буквы, которые в этот мешок невходят. Тонкость здесь заключается в том, чтобы не забывать вы-черкивать из очередного мешка сначала все буквы, вычеркнутыена предыдущих этапах игры, а затем не удовлетворяющие теку-щему ответу. В последнем заполненном ряду каждой таблицы впоследнем столбце должна остаться незачеркнутой одна зага-данная буква.

Заполнение подобной таблицы игры имеет несколько по-ложительных моментов. Во-первых, такая таблица по заверше-нии игры позволяет проверить правильность ответов Водящего.Во-вторых, Игрок сможет по окончании игры оценить результа-тивность своих вопросов. Действительно, если после очередноговопроса мешок букв не уменьшился, то вопрос следует считатьнеудачным, то есть просто лишним. Так, если на предыдущийвопрос «Загаданная буква гласная?» ученик получил ответ «Нет»,то после этого вопрос «Загаданная буква – А?» является лишним.

Перед началом этого этапа следует договориться, нужно лификсировать в таблице вопросы, на которые Водящий ответит:«Не понял(а)». Если считать их как очередной ход и записывать втаблицу, это будет стимулировать учащихся задавать вопросыболее обдуманно. Если же поступать наоборот – не считать и нефиксировать вопросы, то таблица не будет загромождена лиш-ней информацией. По окончании каждой партии (и заполнениятаблицы) ребята отвечают на вопросы, которые впоследствии по-могут им быстро определить победителя турнира. Одно из до-полнительных заданий, которые можно предложить учащимся поокончании данного этапа, – анализ вопросов в игре, где ученик

161160

на этот вопрос учащиеся будут использовать материал таблиц иззадач 2 и 3. Можно опросить победителей турниров в парах, ка-кое число вопросов понадобилось им и могут ли они угадать лю-бую букву за такое число вопросов? Возможно, найдутся дети,которые угадали букву в игре за 3 – 5 вопросов. Есть смысл поиг-рать у доски с теми учениками, которые будут утверждать, чтоугадают любую букву за определенное число вопросов. Если уних есть метод при подборе вопросов, его можно попробоватьвыявить, сформулировать.

Другой вариант плавного подхода к методу деления попо-лам возможно осуществить, если ваши ребята получали дополни-тельное задание к задачам 2 и 3 – проанализировать вопросы ивыделить из них наиболее удачные (можно провести эту работу издесь). В таком случае нужно спросить ребят, какие вопросы онисчитают наиболее удачными с точки зрения любой игры (какая быбуква ни была загадана), и обсудить высказанные мнения. Вспорных случаях можно также поиграть у доски.

Третий вариант – оттолкнуться от дерева, приведенного налисте определений. На предыдущем этапе ребята выяснили, чтооно самое длинное. Какие вопросы были использованы при пос-троении дерева? Видно, что на каждом уровне мешок делился надва мешка, в одном из которых одна буква, в другом – все ос-тальные, то есть мешки, следующие за каждым мешком, сильноразличались по числу букв в них. Чтобы построить самое корот-кое дерево, попробуем поступить наоборот – постараться приду-мать такие вопросы, которые будут делить буквы на два мешка спримерно одинаковым количеством букв.

Пример первого вопроса: «Загаданная буква есть средибукв А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С?» (Или среди любогодругого набора в 16 или 17 букв.) Ответ на такой вопрос разде-лит мешок на две почти равные (букв-то нечетное число!) части.Ответ на второй вопрос должен разделить оставшиеся буквы надве (почти) равные части. Например: «Загаданная буква есть сре -ди букв И Й К Л М Н О П Р С?» После ответа на третий такой воп-рос останется только 4 или 5 букв. После ответа на четвертый – 2или 3 буквы, а ответ на пятый вопрос почти всегда позволит наз-вать загаданную букву. Только в самом неудачном случае пона-добится 6 вопросов.

Чтобы все ребята смогли убедиться в возможности угады-вания буквы при использовании этого метода за 6 вопросов,можно снова поиграть. Первая партия может проходить у доскипод контролем класса.

Буквы имеют естественный алфавитный порядок, поэтомупроще всего делить их пополам, используя этот порядок – зада-вать вопросы вида: «Эта буква идет в алфавите раньше буквы К?»Лучше всего поместить на доску рядом с играющими алфавитнуюлинейку. В этом случае можно отмечать ответы на вопросы с по-мощью мела, фломастера или магнитных меток. При наличии та-

163162

кой цепочки можно после каждого вопроса отмечать новую це-почку букв, из которой надо выбирать.

Перед началом игры обратите внимание ребят на гранич-ные буквы – они должны быть включены в ответ «Нет».

После тренировочной партии у доски можно разбиться напары и снова поиграть в Угадай букву. Все учащиеся должны убе-диться в том, что при помощи этого метода игры можно отгадатьлюбую букву не более, чем за 6 вопросов. Метод, используемыйнами, называется методом деления пополам.

Завершается знакомство с применением этого метода к иг-ре Угадай букву построением соответствующего дерева игры (за-дача 4). Каждый учащийся заполняет пустые окна дерева. Можнопосоветовать ребятам держать перед глазами алфавитную ли-нейку. Один из вариантов заполненного дерева из задачи 4приведен на предыдущей странице.

Применять метод деления пополам для игры Угадай буквуможно и не используя идею алфавитного порядка, но это услож-нит процесс придумывания вопросов. Например, вопрос «Этабуква входит в слова фразы «Информатика – друг человека»?»также делит алфавит на два почти равных мешка (16 и 17 букв) –в зависимости от ответа Водящего. Аналогичные вопросы можнопридумать и для всех последующих уровней. Если позволяетвремя на уроке, неплохо заполнить другой вариант дерева сприменением метода деления пополам (задача 5). В таком случаеследует попросить ребят записывать, кроме букв, еще и вопросы.Один из вариантов заполненного дерева из задачи 5 приведен наследующей странице.6 этап. Применение метода деления пополам для игрыУгадай число (решение задач 6 и 7)

Метод деления пополам можно применить и к другим иг-рам на угадывание, например к игре Угадай число. Эта игра ана-логична игре Угадай букву, но здесь игра ведется на заранееоговоренном отрезке натурального ряда.

Сначала нужно договориться с ребятами о правилах игры,потом сыграть несколько пробных партий, например на отрезкеот 1 до 10. Затем попросите ребят формулировать вопросы, при-меняя метод половинного деления. Например, для отрезка от 1до 10 первый вопрос может быть таким: «Задуманное числобольше 5?» Как и в предыдущей игре, следует обратить вниманиена граничные числа.

Далее ребята решают задачи 6, 7, 8. Конечно, детям проще всего использовать метод деления

пополам , если на каждом шаге (после каждого вопроса)количество чисел в мешке удобно делится пополам. В этом слу-чае не возникает проблем с вычислениями и дерево получаетсякрасивым (все листья на одном уровне). Такая ситуация возникаетв том случае, если количество чисел в мешке равно какой-нибудь

165164

степени двойки (например, 8, 16, 64 и т. д.). При этом наимень-шее число вопросов, которые потребуются, чтобы угадать числонаверняка (независимо от везения) будет равно показателю сте-пени (а уровней в дереве будет на один больше). Так, для поискачисла на отрезке от 1 до 16 (два в четвертой степени) потребует-ся четыре вопроса, а на отрезке от 1 до 64 - шесть вопросов. Поэтой причине мы и предлагаем ребятам сначала решить задачи 6и 7. Возможно, в задаче 6 детям покажется проще вписывать чис-ла в окна, а не вырезать их из числовых линеек, ведь чисел тампока немного. Это вполне допустимо. Варианты заполненныхдеревьев из задачи 6 приведены на следующей странице.7 этап. Дополнительные и трудные задачи

Нам хотелось бы, чтобы ребята научились с помощью мето-да половинного деления искать число на любом отрезке нату-рального ряда. Поэтому после задач 6 и 7 мы предлагаем решитьеще и задачу 8. Наименьшее количество вопросов, которое пот-ребуется, чтобы наверняка угадать число на отрезке от 1 до 27 -пять. Вообще, наименьшее число вопросов равно показателю сте-пени ближайшей степени двойки, больше числа объектов в на-чальной позиции. Так, если мы будем угадывать число на отрезкеот 1 до 80, то необходимо семь вопросов, так как ближайшаястепень двойки, большая данного числа - 128 (128=27). Поэтомудля точного угадывания числа из интервала от 1 до 17 потребу-ется столько же вопросов, что и от 1 до 31 (возможно, детям этопокажется странным).

Конечно, все эти соображения не надо обсуждать с учащи-мися. Из них лишь становится ясно, почему при угадывании числаот 1 до любого числа, которое больше 16 и меньше 32 можнопользоваться заготовкой дерева из задачи 7 (с соответствующейначальной позицией). Однако, по ходу работы ребятам придетсяего немного переделать, это касается бусин последних уровней.В задаче 8 нам не удастся разделить числа по мешкам поровну нина втором, ни на последующих уровнях. В результате на четвер-том уровне в каких-то мешках окажется по три числа. Поэтомуна пятом уровне в каких-то мешках окажется одно число, этимешки будут листьями, из них нужно выпустить стрелку, а двеследующие бусины аккуратно зачеркнуть (или заклеить, если ре-бенок не любит черкать в тетради).

Если вы хотите, чтобы ребята дополнительно попрактико-вались в построении деревьев игры Угадай число, где количествочисел в начальной позиции не равно степени двойки, то можетевоспользоваться заготовками деревьев на вкладыше Тетрадипроектов на страницах I-III. На странице I приведено два деревадля игр, где в начальной позиции должно быть не больше 16 чи-сел, а на страницах II и III - не больше 32. Эти заготовки можнотакже использовать для игр, описанных ниже.

При желании вы можете предложить ребятам еще один ва-

167

Конечно, можно взвешивать попарно все монеты подряд.Тогда, чтобы найти фальшивую среди сотни монет, придетсяпровести в худшем случае 99 взвешиваний. Ясно, однако, что,разделив 100 монет на две равные кучи и сравнив вес этих куч,можно узнать, в какой находится фальшивая монета. Это можетслужить отправной точкой для стратегии поиска.

Упорядочение. Имеется несколько грузов разного веса ичашечные весы без гирь, позволяющие сравнивать по весу двагруза. Надо побыстрее все грузы упорядочить, то есть найти са-мый тяжелый, второй по весу и т. д.

Эту задачу можно решать последовательно для 2, 3, 4, 5 и6 грузов. Перед решением этой задачи полезно решить другую,простую.

Самый тяжелый. Имеется двадцать грузов разного веса. Какпобыстрее найти самый тяжелый из них? А два самых тяжелых?

Ясно, что сначала нужно сравнить два любых груза, болеелегкий отложить в сторону, а более тяжелый сравнить с третьим ит. д. Решение можно представить в виде дерева. Обозначим гру-зы, например, A, B, C, D... Начинаем сравнение с грузов A и В.Тогда в корневой бусине пишем A>В. Из нее выпускаем два от-резка, на одном пишем ДА, на другом НЕТ, в бусинах второгоуровня пишем A>С (где ДА) и В>С (где НЕТ) и т. д. Обсуждение результатов и подведение итогов

Наверняка каждый из ребят в ходе проекта научился ис-пользовать метод половинного деления для угадывания. Можно,подводя итог, попросить ребят сформулировать общий алгоритмлюбой такой игры. Он прост - после каждого вопроса мешок, вкотором содержится данный объект, должен уменьшаться в двараза (или почти в два раза, если число объектов на предыдущемэтапе было нечетным). В процессе проведения проекта мы выяс-нили, что при такой стратегии игры мы наверняка угадаем объ-ект за наименьшее число вопросов. Возможно, кого-то из ребятзаинтересует, как определить наименьшее число вопросов, имеячисло объектов в начальной позиции, но не строя дерева игры(ведь это же долго, да и объектов в начальной позиции можетбыть много, тогда дерево получится очень громоздким). Для от-вета на данный вопрос достаточно просто смоделировать ситу-ацию половинного деления в игре на каждом шаге. Графическирезультат можно представить в виде цепочки, каждая следующаябусина которой в два раза меньше предыдущей. Если число объ-ектов в предыдущей бусине на два нацело не делится, то берембольшее число. Например, для угадывания числа из интервала от1 до 100 цепочка, цепочка, содержащая число объектов послекаждого шага будет выглядеть так:

100 - 50 - 25 - 13 - 7 - 4 - 2 - 1.Таким образом, наименьшее необходимое число вопросов в дан-ной игре - семь.

166

риант игры Угадай число, где отрезок натурального ряда начи-нается не с 1, например, угадать число от 50 до 80. В такой игренесколько интересней будет решаться вопрос о делении мешковчисел на каждом уровне. Если вы предложите детям построениедерева такой игры, то можно пользоваться заготовками на вкла-дыше (если в начальной позиции будет не больше 32 чисел). Ко-нечно, начинать заполнение дерева нужно с начальной позиции -записать в мешок первого уровня все числа из отрезка, на кото-ром ведется угадывание. Далее работа ведется аналогично реше-нию задач 6-8.

Дополнительно можно предложить ребятам поиграть в иг-ру Угадай ученика. В этой игре Водящий задумывает любого уче-ника класса (надо заранее договориться, можно ли загадыватьотсутствующих), а Игрок должен угадать его за как можно мень-шее число вопросов. Для ребят такая игра, конечно, будет инте-ресней, чем угадывание числа или буквы, да и вопросов здесьможно придумать гораздо больше, например: «Загаданный уче -ник сидит на среднем ряду?», «Загаданный ученик сидит за од -ной из первых трех парт?», «Загаданный ученик хорошист?», «За -гаданный ученик светловолосый?» и проч. Лучше вначале не на-водить ребят на метод половинного деления, а дать им простопоиграть с любыми вопросами. Возможно, кто-то из детей самвспомнит про него и попытается использовать. Может быть в ва-шем классе дети делятся поровну по какому-признаку (девочки-мальчики, учащиеся двух подгрупп, хорошисты - не хорошисты(надо заранее определиться, куда включать отличников)). Уни-версальным способом упорядоченья учеников является алфавит-ный список в журнале, который можно использовать для делениягрупп детей пополам на любом шаге (зато и вопросы будут ужене такими интересными). На доске стоит вывесить большой алфа-витный список класса, чтобы ребята могли пользоваться им в иг-ре. Закончить работу с данной игрой можно заполнением дереваигры (можно использовать заготовки на вкладыше, если числоучеников в вашем классе не больше 32). В соответствующем меш-ке вместо фамилии и имени учащегося можно просто писать егономер в алфавитном списке. Возможно, вы заполнить два дерева- одно с опорой на алфавитный список, другое - с делением поразным признакам. Во втором случае лучше записать между соот-ветствующими уровнями бусин вопросы.

Чтобы у ребят не сложилось впечатление, что метод поло-винного деления используется только для игр (ведь он универ-сальный и позволяет решать самые разные задачи) можно на за-вершающем этапе проекта предложить ребятам несколько мате-матических задач, где используется так же идея. Мы приводимнесколькопримеров таких задач ниже.

Фальшивая монета. Имеются чашечные весы без гирь, поз-воляющие сравнивать по весу два груза, и 100 монет. Из них од-на – фальшивая, более легкая. Как ее найти побыстрее?

169

2 этап. Изучение начального фрагмента дерева игры дляпервых пяти уровней (с. 15–17 тетради)

На этом этапе происходит общее обсуждение, в ходе кото-рого все ребята должны разобраться, каким образом построеныпервые пять уровней дерева. Естественно, можно начать строитьпервые два уровня дерева без опоры на рисунок со с. 15. Дляэтого надо нарисовать корневую позицию на доске и попроситьребят нарисовать все возможные позиции, которые могут полу-читься после первого хода Первого. Мешок позиций составляетсявсем классом, каждый учащийся, который считает, что на доскене все позиции, может выйти и предложить дополнительные по-зиции. После того как фантазия ребят иссякнет, нужно вместепроверить, все ли позиции нарисованы на доске (их должно быть12). Затем необходимо спросить ребят, какие позиции одинако-вые? В случае затруднений можно рисовать позиции на прозрач-ных заготовках и пытаться совмещать наложением. В результатеэтой работы появляется два мешка одинаковых позиций. Далеемы договариваемся, что рисовать продолжение мы будем толькодля одной позиции из каждого мешка одинаковых позиций, а всетакие же позиции на дереве нужно просто пометить. Если вы чув-ствуете, что такая работа пошла очень тяжело, попросите ребятоткрыть с. 15 и просто рассмотреть первые три уровня.

Можно и с позициями третьего уровня поработать анало-гично – для двух различных позиций второго уровня (2a и 2i) на-рисовать все возможные следующие, затем среди всех получив-шихся позиций третьего уровня найти одинаковые. Завершая этуработу, ребята должны обратиться к с. 15 и проверить, совпада-ют ли первые три уровня дерева, построенные в ходе общего об-суждения с началом дерева в тетради проектов. Здесь же необ-ходимо ответить на все возникшие по ходу вопросы.

Далее ребята работают с позициями четвертого и пятогоуровней. В зависимости от вашего желания и уровня класса, мож-но организовать эту работу по-разному. Первый вариант (фрон-тальный) - поработать с позициями четвертого и пятого уровнейтак же, как мы предлагали вам поработать с позициями первыхтрех уровней - совместно, силами всего класса. Второй вариант(индивидуальный) - попросить детей разобрать фрагменты дере-ва по готовому рисунку. При этом сильным детям можно предло-жить сначала попытаться построить мешок всех позиций соответ-ствующего уровня самостоятельно. Третий вариант (групповой) -разбить детей на 5 групп, выдать каждой группе позицию треть-его уровня и попросить построить мешок всех следующих за нейпозиций (четвертого уровня). Затем всю получившуюся информа-цию следует собрать на доске и выделить среди позицийчетвертого уровня одинаковые. Различные позиции четвертогоуровня опять раздаются по группам (их снова будет 5) и для каж-дой из них группа ищет мешок всех следующих позиций. Завер-шается вся эта работа выделением на пятом уровне всех различ-

168

Лучше всего, если, завершая проект, ребята продемонстри-руют, чему они научились. Для этого можно взять любую игру наугадывание, заранее выяснить наименьшее число вопросов исыграть парами, пытаясь угадать объект за такое число вопросов.

Проект «Стратегия победы»1 этап. Работа с листом определений (с. 14 тетради)

Цель данного проекта – обучение поиску выигрышнойстратегии с помощью дерева игры на примере игры Ползунок наполе 3×3. Из учебника ребятам известно, что чтобы найти выиг-рышную стратегию, нужно:

1. Раскрасить все позиции игры красным или синим (каквыигрышные или проигрышные), начиная с заключительной ивплоть до корневой;

2. Выяснить, у кого в данной игре есть выигрышная страте-гия: если корневая позиция красная, то у Первого, если – синяя,то у Второго;

3. Сформулировать выигрышную стратегию либо в видеобщего правила (игрок должен делать на каждом ходу так, что-бы...), либо в виде описания последовательности ходов в зависи-мости от ходов противника.

Иногда все возможные позиции можно располагать на чис-ловой линейке – как в игре Камешки, иногда на круглой число-вой линейке – как в игре Стрелки, иногда – на шахматном поле(игры на шахматной доске).

Позиции для игры Ползунок удобнее всего анализироватьпо дереву игры.

Итак, нам нужно построить дерево игры Ползунок. Однако,это дерево очень большое. Чтобы обойти эту трудность, но спра-виться с поставленной задачей, на листе определений ребятазнакомятся с понятием «одинаковые позиции» для этой игры.Действительно, с точки зрения продолжения игры, такие позициине различаются, а значит все одинаковые позиции либо одинако-во выигрышные, либо проигрышные.

Для демонстрации того, что две позиции одинаковые, по-лезно иметь заготовки прозрачных полей для Ползунка 3×3 (луч-ше пластмассовых или полиэтиленовых), на которых можно на-рисовать две данные позиции и совместить их с помощью нало-жения.

После того, как ребята поработают с листом определений,устройте общее обсуждение, в ходе которого станет ясно, усво-или ли дети понятие одинаковые позиции. Для этого достаточнонарисовать на доске несколько пар позиций и спросить, являютсяли они одинаковыми.

Теперь при построении дерева игры в Ползунок, мы можемиз всех веток, выходящих из одинаковых позиций, прорисовы-вать лишь одну.

Задача 9

171170

ных позиций (их можно зарисовать на доске). В любом случае об-суждение того, почему какие-то позиции одинаковые, следуетпроводить всем классом.3 этап. Групповая работа по построению и анализу веткииз дерева игры в Ползунок на поле 3×3 (решение задач9–15)

Дети в классе делятся на 7 групп по числу задач. Каждаягруппа решает одну задачу из задач 9–15.

Обратите внимание детей, что теперь не нужно искать оди-наковые позиции, а нужно строить все позиции, следующие закаждой (за исключением задач 9 и 11, где одинаковые позицииуже помечены на дереве).

Раскрашивать позиции ребята, как обычно, должны, начи-ная с листьев (все листья – проигрышные позиции, обводятся си-ним), все позиции, предыдущие перед листьями, обводятся крас-ным. Далее ребята двигаются к корневой позиции, используя из-вестное им правило:

•если хотя бы одна позиция, следующая за данной – про-игрышная, то данная позиция выигрышная;

•если все позиции, следующие за данной – выигрышные, тоданная позиция проигрышная.

Работу в группах ребята организуют по своему усмотрению. При делении учащихся на группы на данном этапе проекта

необходимо учесть, что некоторые ветки побольше (длиннее илишире), а некоторые поменьше. Одной из групп достанется не од-на, а две корневые позиции, поскольку ветки, выходящие из них,– совсем простые (задача 13). Другой группе достанется тожедве ветки, но одна из них уже построена – нужно только обвестивыигрышные и проигрышные позиции (задача 15).

После того, как каждая группа решит свою задачу, необхо-димо организовать форму проверки, поскольку от результата ра-боты каждой группы будет зависеть успешность работы всегокласса. Самое простое – учителю просмотреть цвет корневой бу-сины каждой группы и, в случае ошибки, обсудить ее с ребятами.Другой вариант – предложить группам обменяться задачами дляпроверки. Такой вариант, конечно, потребует дополнительноговремени на уроке, поэтому можно предложить подобное заданиена дом.

На следующих страницах приводятся построенные ветки иззадач 9–15. Обратите внимание, что в издании 2004 года в зада-че 11 на с. 20 есть опечатка: на последнем уровне дерева не хва-тает двух заготовок полей – их должно быть восемь.

6a

6b

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5a

6d = 6a

6c = 6a

8-йуровень

9-йуровень

Задача 11Задача 10

173172

6e

6f

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5b

6g

8-йуровень

9-йуровень

6i = 6h

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5c

8-йуровень

9-йуровень

6h

Задача 13

175174

Задача 12

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5e

8-йуровень

9-йуровень

6j

6k

6l

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5f

8-йуровень

9-йуровень

5h

6m

6n

6o

6p

Задача 14 Задача 15

177176

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5i

8-йуровень

9-йуровень

6q

6r

5-йуровень

6-йуровень

7-йуровень

5k

8-йуровень

9-йуровень

6s

6t

5l

6u

6v

179178

4 этап. Общее обсуждение – обмен результатами работыгрупп

Возвращаемся к начальному фрагменту дерева, а точнее, кпозициям пятого уровня, изображенным на с. 16. Цель данногоэтапа – пометить все позиции пятого уровня как выигрышные илипроигрышные в процессе обмена результатами работы групп.Организовать этот процесс можно, например, так. Поочередно откаждой группы к доске выходит один представитель, рисуеткорневую позицию своей ветки (или веток) и объявляет, какойпозицией (выигрышной или проигрышной) она является, обводяее соответствующим цветом. Вслед за ним каждый учащийся на-ходит эту позицию в тетради на с. 16 и обводит ее тем же цве-том.5 этап. Индивидуальная работа по разметке позиций пер-вых пяти уровней

Ребята переходят к разметке выигрышных и проигрышныхпозиций начального фрагмента дерева (первых пяти уровней).Поскольку, помечая позиции как выигрышные или проигрышные,мы двигаемся от последнего уровня к корневой позиции, следуетначать со с. 16. Сначала ребята находят еще не обведенные по-зиции пятого уровня (5d, 5g, 5j, 5m) и обводят их тем же цветом,которым помечены такие же позиции (соответственно 5b, 5e, 5f,5h). Теперь можно перейти к позициям четвертого уровня и по-метить там все позиции, из которых прорисованы следующие (4a,4c, 4d, 4e, 4f). При этом ребята используют приведенное вышеправило определения выигрышных и проигрышных позиций. Ин-тересно, что все помеченные позиции четвертого уровня оказа-лись выигрышными, значит, все оставшиеся позиции четвертогоуровня следует также обвести красным. Итак, все позициичетвертого уровня оказались выигрышными. По нашему правилувсе позиции предыдущего уровня будут проигрышными. Теперьпереходим на с. 15. Помечаем все позиции третьего уровня какпроигрышные, значит все позиции второго уровня выигрышные,а начальная позиция проигрышная. Как видите, ситуация здесь навсех уровнях кроме четвертого является совсем простой, поэтомумы и предлагаем это задание для самостоятельной работы.

На следующих страницах мы приводим разметку первыхпяти уровней дерева.

5l

5d 5b=

5c

5b

3-йуровень

4-йуровень

5-йуровень

4b

5h

4a

5h

=

=

4a3a

5a

5f

5e

4d

4c

4e

4f

3b

5g 5e=

5i

5j 5f=

5k

5m

181180

3h 3f=

3g

3f

3e 3b=

3d 3b=

3c

3b

3a

1-йуровень

2-йуровень

3-йуровень

2b

2c

2d

2e

2f

2g

2h

2i

2j

2k

2l

2a

2a

2a

2a

2a

2a

2a

2i

2i

2i

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2a

4l = 4f

4n = 4d

4f=4m

4k = 4d

3-йуровень

4-йуровень

5-йуровень

4g =

3c

4c

4j = 4c

4h = 4a

4i = 4a

3f

4o = 4e

4r = 4e

4p = 4e

4q = 4e3g

183

пу еще раз проанализировать свою ветку (из задач 9-15 тетради)и ответить на вопрос «Может ли Второй из данной корневой по -зиции вообще проиграть?». Действительно, оказывается из неко-торых позиций любая партия заканчивается выигрышем Второго.В результате работы групп выяснится, что таких позиций три: 5c,5h и 5k. Таким образом, если Второй сможет в результате двухсвоих первых ходов создать на поле одну из этих позиций, тодальше он выиграет в любом случае и никакая стратегия выигры-ша ему дальше уже не нужна. Поэтому наша задача сводится куказанию первых двух ходов Второго в зависимости от первыхдвух ходов Первого. При этом вариантов должно получится нетак уж много, поскольку на втором уровне всего две разные по-зиции, а на третьем уровне Второй выбирает свою позицию сам ине обязан рассматривать все варианты ходов.

Итак, вот следующий вопрос для группового обсуждения:«Может ли Второй в результате своих двух первых ходов при лю -бой игре Первого создать на поле одну из позиций: 5c, 5h и 5k(из которых он впоследствии выигрывает всегда)?» Выполняя этозадание, ребята анализируют первые пять уровней дерева (с. 15-17 тетради). Прежде чем ребята начнут заниматься самостоятель-ными исследованиями, необходимо обратить их внимание на то,что Второй может выбирать только свои ходы (позиции третьегои пятого уровней), а все варианты ходов Первого он долженучитывать.

Анализируя первые пять уровней дерева, ребята двигаютсяот пятого уровня к первому. Вначале, конечно, удобно пометитьна с. 16-17 тетради все позиции пятого уровня, из которых Вто-рой выигрывает всегда (например, обвести зеленым) - это пози-ции 5c, 5h, 5k и 5m. Далее следует пометить все позициичетвертого уровня, из которых существует ход в одну из обве-денных зеленым позиций пятого уровня. В результате обводимзеленым все позиции кроме 4c, 4g, 4j. Затем находим на третьемуровне все позиции, каждая следующая у которой обведена зе-леным, таких оказывается три: 3а, 3f и 3g. Теперь можно анали-зировать ход игры с начала, от корневой позиции. На первом хо-ду Первый может создать на поле одну из двух позиций (2a и 2i),поэтому придется рассматривать два случая.1 случай

Пусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2а.Тогда Второй должен сделать ход в позицию 3а. После этогоПервый может создать на поле только позицию 4а, из которойВторой может сделать ход в позицию 5с и выиграть дальше прилюбом ходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точ-ностью до поворотов и симметричного отображения поля) изоб-разить в виде цепочки:

182

Подведение итоговПосле того, как дерево игры в Ползунок на поле 3×3 ока-

зывается полностью помеченным, устройте обсуждение результа-тов проекта. В ходе этого обсуждения обязательно должно проз-вучать, кто обладает в этой игре выигрышной стратегией и поче-му. В данном случае стратегией победы обладает Второй, так каккорневая позиция – проигрышная.

Хорошо если удастся обсудить, в чем именно заключаетсяэта стратегия, как Второй должен использовать ее в игре. Опыт,полученный ребятами в ходе решения задач из учебника, позво-ляет им сделать следующий вывод: Второй должен всегда приво-дить игру только к проигрышным позициям (обведенным синим).Однако, просматривая дерево, можно заметить, что все позициитретьего уровня являются проигрышными, поэтому первый ходВторого может быть абсолютно любым, и лишь со второго своегохода (позиции 5-го уровня) он должен начать думать. Так, еслиПервый на предыдущем ходу привел игру к позиции 4d, то Вто-рой должен сделать ход в позицию 5h, а если Первый сделал ходв 4е, то Второй должен привести игру к позиции 5к. Так, длякаждой позиции 4 уровня найдется следующая проигрышная по-зиция, то есть Второй может всегда выбрать свой второй ход (см.с. 16 и 17). Следующий свой ход Второй может найти в одной иззадач 9–15.

В качестве завершения данного проекта ребята могут раз-биться на пары и поиграть в Ползунок на поле 3×3, используя по-меченное дерево игры. При этом, меняясь местами (играя то заВторого, то за Первого), все ребята должны убедиться в том, чтоВторой сможет выиграть всегда, при любой игре Первого. Дополнительные исследования

Если у вас есть желание, то работу по обобщению результа-тов можно дополнить и углубить. Итак, используя построенноедерево игры, мы можем сформулировать выигрышную стратегиюдля Второго пошагово, т. е. для каждого хода Первого указать подереву ход Второго. Второй сможет следовать стратегии такогорода лишь в том случае, если у него перед глазами есть деревоигры, а это, как вы понимаете, не всегда удобно. Хотелось быиметь общее правило, достаточно просто сформулированное,которое можно будет удержать в голове (в отличие от дерева иг-ры). Тогда Второй сможет просто играть и выигрывать, никуда незаглядывая. Для этого нам снова поможет дерево игры, но здесьпотребуется уже его более глубокий, неформальный анализ.

Анализируя дерево игры, мы не делали ничего нового посравнению с задачами учебника. Выигрышные и проигрышныепозиции ребятам приходилось раскрашивать по дереву и рань-ше, выбирая выигрышный ход или серию ходов. Для формулиро-вания более простого правила выигрыша придется взглянуть напостроенное дерево с другой стороны. Попросите каждую груп-

184

2 случайПусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2i.

Тогда Второй может на втором ходу создать на поле позиции 3fили 3g. Итак, у нас есть выбор. Имеет смысл выбрать ту позицию,из которой дальше игра идет проще (ведь мы хотим создать дляВторого простое правило). Поэтому выбираем 3g, ведь все следу-ющие позиции после нее одинаковые. После этого Первый можетсоздать на поле только позицию 4е, из которой Второй всегдаможет сделать ход в позицию 5к и выиграть дальше при любомходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точ-ностью до поворотов и симметричного отображения поля) изоб-разить в виде цепочки:

Итак, мы сильно упростили для Второго правило выигры-ша. Теперь ему достаточно держать в голове две цепочки из че-тырех звеньев. Однако, можно пойти дальше и попытаться опи-сать словами действия Второго в зависимости от игры Первого.Если стремиться к тому, чтобы словесная формулировка быладостаточно простой, то вряд ли удастся добиться формальнойточности. Главное - договориться с детьми, что как называть,ведь в дальнейшем от них потребуется не знать правило, а уметьему следовать. Например, можно заметить, что восемь из девятиточек поля образуют квадрат (и одна в центре) и пользоватьсясоответствующей терминологией («отрезки», «стороны», «диаго-нали» и т. д). Другой вариант - как-то назвать точки поля (нап-ример, «центральная», «угловые» и «боковые») и описывать вправиле, какую точку с какой следует соединять. Например:«Если на первом ходу Первый соединил боковую точку поля сцентральной, то нужно продлить этот отрезок, тоже соединивцентральную с противоположной боковой. Если на первом ходуПервый соединил угловую точку с боковой, то нужно продлитьэтот отрезок, соединив эту боковую с другой соседней угловой».

По окончании всей этой работы можно предложить детямсыграть еще несколько партий в Ползунок на поле 3×3 уже безопоры на дерево, а пользуясь сформулированной стратегией (илисформулированной словесно, или держа в голове цепочки началапартий).