: یروآدای · 2020. 10. 19. · x m y b ٻُ٣ٶ b x b y ٻُ٣ٶ تاهترٲ ٴزط٦...
TRANSCRIPT
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
1
یادآوری: ✓
سال های گذشته با مفاهیم خط ، شیب خط ، عرض از مبدا ، تابع خطی و ... آشنا شدید . یه مرور سریع رو این مطالب
داشته باشیم بد نیست .
y الف( معادله خط استاندارد : ax b= + (y ) یه طرف ، بقیه یه طرف
aیعنی xشیب خط : ضریب
ها ، اگر y) میدونید دیگه عرض از مبدا یعنی محل برخورد با محور bعرض از مبدا : عدد ثابت یعنی
0x 00باشه ، عرض از مبدا به دست می آید ( = xy ax b y b
== + = ⎯⎯→ =
0yها )با قراردادن xریشه )طول از مبدا( : محل برخورد با محور به دست می آید( =
0 by ax b x
a
−= + = → =
0ax: گستردهب( معادله خط by c+ + ) همه یه طرف ، اون طرف صفر ( =
مقدار شیب خط : a
b
−یعنی
𝑥 منفی ضریب
𝑦 ضریب
:xمیشه همون ضریب شیب اگه نمی خوای حفظ کنی اول استانداردش کن ، بعد
0 a cax by c by ax c y x
b b
−+ + = → = − − → = −
cعرض از مبدا : مقدار
b ) از حالت استاندارد شده معلومه دیگه ( −
0yها )با قراردادن xریشه )طول از مبدا( : محل برخورد با محور به دست می آید( =
00 0y cax by c ax c x
a
=+ + = ⎯⎯⎯→ + = → = −
اما مفهوم شیب خط : 𝑦 تغییرات
𝑥 تغییرات =
ym
x
=
tanmتعریف سال گذشته خوندید : و =
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
2
نوشتن معادله خط( ج
برای نوشتن معادله خط دو حالت داریم :
داشتن شیب و یک نقطه از خط : (1
0که از نقطه mمعادله خطی با شیب
0
xA
y)به دست می آید : مقابل گذرد از رابطه می )0 0y y m x x− = −
داشتن دو نقطه : (2
1اگر دو نقطه مثل
1
xA
y2و
2
xB
yرا داشته باشیم ، اول شیب رو به دست می آوریم و بعد به کمک رابطه بالا ،
معادله خط می نویسیم .
( ) or ( )2 11 1 2 2
2 1
y yym y y m x x y y m x x
x x x
−= = → − = − − = − −
ها می سازد . xیادآوری : شیب خط برابر است با تانژانت زاویه ای که خط با جهت مثبت محور
(
(
(
(
−
−
−
−
1 2 2 1
3 2 2
1 2 3 3
2 2 2 4
12
A27
B
(
(
(
(
−
−
1 141 241 351 45
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
3
وضعیت دو خط نسبت به هم در صفحه : ✓
الف( دو خط موازی : شرط موازی بودن دو خط برابر بودن شیب هاست.
:
:
:
:
1 1 1 11 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 21 2
2 2 2 2 1 2
00
d y m x hd d m m
d y m x h
d a x b y c a ad d
d a x b y c b b
= + =
= +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
+ + = =
+ + =
اند.: شیب و عرض از مبدا ها برابر بر هم منطبق( دو خط ب
:,
:
:
:
بق نط 1م 1 1 11 2 1 2
2 2 2 2
بق نط 1م 1 1 1 1 2 1
2 2 2 2 1 2 2
00
d y m x hm m h h
d y m x h
d a x b y c a a c
d a x b y c b b c
= +⎯⎯⎯⎯→ = =
= +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
+ + =⎯⎯⎯⎯→ = =
+ + =
باشد ، دو خط بر هم عمودند. -1ضرب شیب های دو خط اگر حاصل( دو خط عمود بر هم : ج
:
:
1 1 1 11 2 1 2 1
2 2 2 2 2
11d y m x h
d d m m or md y m x h m
= + − ⊥ = − =
= +
.تا حالت بالا نباشه سه: متقاطع غیر عمود( دو خط د
شامل دو خط به دست می آید. از حل دستگاه دو معادله دو مجهول محل برخورد دو خط متقاطعیادت باشه :
دو خط خاص : ✓
y ثابت: معادله این خطوط به شکل الف( خطوط موازی محو طول ها است. =
x ثابتمعادله این خطوط به شکل :ب( خطوط موازی محور عرض ها است. =
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
4
AB3 4 6 0x y− + =BC
( ( ( (17 15 14 114 3 2 13 2 3 2
L1dx
( ( ( (2 14 3 2 3 2 3 13 3
ABAC2y x+ =4 3 8x y+ =
A
(
(
(
(
1 11 22 32 4
−
−
94 -تجربی -2آزمون گزینه
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
5
( , ), ( , ), ( , )1 4 1 2 3 1C B A−CH
(
(
(
(
4 15 26 37 4
( , ), ( , ), ( , )2 5 3 1 0 2A B C−AH
( )
)
(
)
(
(
( (
(
( )−
− 4
1 و32 2
5
1
21 و2 21 و5
2و1
2 2
32
1
1394- تجربی-سنجش
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
6
فاصله دو نقطه ✓
Aنقاط
A
xA
yBو
B
xB
y را در نظر بگیرید . فاصله این دو نقطه از رابطه زیر به دست می آید :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2A B A B
AB x y
AB x x y y
= +
= − + −
: فاصله نقطه نکتهx
Py
2تا مبدا مختصات از رابطه مقابل به دست می آید : 2OP x y= +
: نقطه وسط یک پاره خط ✓
Aنقاط
A
xA
yBو
B
xB
yMرا در نظر بگیرید . اگر نقطه
M
xM
y گاه :باشد ، آن ABوسط پاره خط
2
2
A BM
A BM
x xx
My y
y
+=
+=
A−
01
B+
+
31
C+
−
24
مختلف الاضلاع (1
الزاویه نیست.متساوی الساقین است ، ولی قائم (2
متساوی الساقین و قائم الزاویه (3
. قائم الزاویه است ، ولی متساوی الساقین نیست (4
) نقاط , ), ( , ), ( , )2 5 3 1 0 2A B C−.طول میانه سه راس مثلثی هستند AM . را به دست آورید
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
7
( , )1 6A − −( , )3 3B − −( , )4 8C − −
الاضلاع متساوی (1
متساوی الساقین است ، ولی قائم الزاویه نیست. (2
متساوی الساقین و قائم الزاویه (3
قائم الزاویه است ، ولی متساوی الساقین نیست. (4
( , )1 3A −( , )3 1B −
(
(
(
(
12 116 218 324 4
3با داشتن مختصات : میدونیم که در متوازی الاضلاع ، مستطیل و مربع ، قطرها همدیگرو نصف می کنن پس نکته
راس ، میتونیم مختصات راس چهارم رو به دست بیاریم .
A c B DM A c B D
A c B DM A c B D
x x x xx x x x x
My y y y
y y y y y
+ += = → + = +
+ += = → + = +
2 2
2 2
D
) کتاب درسی 9صفحه -6تمرین )
( )
( )
( )
, (
, (
, (
, (
−
−
−
−
2 1 1
1 2 2
3 2 3
2 3 4
97 -ریاضی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
8
( ),7 6
,2 3 11 3 4 8y x y x− = + =
( )
( )
( )
( )
, (
, (
, (
, (
1 5 1
3 4 2
3 5 3
4 3 4
قرینه یک نقطه نسبت به نقطه ای دیگر ✓
Aفرض کنید قرینه نقطه
A
xA
yMنقطه نسبت به
M
xM
yBنقطه
B
xB
yBباشد ، هدف پیدا کردن مختصات نقطه
است .
باشد : Aقرینه نقطه Bباشه تا نقطه ABباید وسط Mبا توجه به شکل مشخصه که نقطه
22
22
A BB M AM
A BM A M B
x x x x xx
My y
y y y y
+ = −=
→ + = = −
)( نقطهقرینه ,1 2C نسبت به نقطه,( )1 4M .دست آورید را به −
( , )A −2 1( , )B −1 3
( )
( )
( )
( )
, (
, (
, (
, (
−
−
4 7 1
0 7 2
4 7 3
4 7 4
90 -سراسری تجربی
کتاب درسی 7صفحه -کاردرکلاس
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
9
( , )A −3 2( , )B BB x y( , )C 1 5
B By x−
(
(
(
(
+
+
−
−
4 15 23 36 4
RPQSRQQ
(
(
(
(
14 118 2
8 315 4
97 -ریاضی و تجربی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
10
فاصله نقطه از خط : ✓
نقطه فاصله A
A
xA
y0axاز خط به معادله by c+ + :است با برابر =
2 2A Aax by c
da b
+ +=
+
)( نقطهفاصله ,7 4P . دست آوریدهای زیر بهرا از هر یک از خطوط با معادله −
) :
) :
) :
2 5
5
0
a L x y
b T x
c y
+ =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
: شعاع دایره بر هر خطی که بر دایره مماس است ، عمود می باشد . 1نکته
: هر خط عمود بر دایره از مرکز دایره می گذرد ، یعنی مختصات مرکز در آن صدق می کند . 2نکته
: 3 4 0L x y− =)( ,2 1W −
(
(
(
(
1234
کتاب درسی 9 صفحه -2لاس کار در ک
کتاب درسی 9صفحه -1کار در کلاس
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
11
: 2 3AB x y+ =: 2 1AC y x= −: 4BC x y+ =
( ( ( (4 32 3 2 2 2 22 1
.را بدست آوریمAتوانیم مختصات رأس میACو ABاز تلاقی دادن معادلات دو ضلع
,2 3 1
1 12 1 1
x yx y A
y x
+ =→ = = →
= −
: بدست آوریمBCرا از ضلع A ی نقطه ی ،کافی است فاصله حال
, 2 2
1 1 1 4 24 0 21 21 1
A x y AH+ −
+ − = → = = =+
3 4 7x y− =12
A
( ( ( (48 144 124 3 2 12 15 25 5
را از ضلع A ی نقطه ی ،کافی است فاصله پسدانیم طول ضلع مربع برابر است با فاصله یک راس تا ضلع مقابل آن . می
: بدست آوریمداده شده را
( ) ( )2 2
13 1 4 2 7 12 12 4842
5 5253 43 4 7 0
Aa P a
x y
− −
→ = = = ⎯⎯→ = =+
− − =
( , )2 1A −5x y+ =
(
(
(
(
6 112 224 348 4
94 -قلم چی تجربی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
12
A2 1y x= − +5
11
B
( ( ( (6 5 33 2 24 1
)سوم و اول ی هر نقطه روی نیمساز ناحیه )y x= صورت به
به خط از را نقطه این ی فاصله است کافی. باشد می
2 ی معادله 1y x= − قرار دهیم : 5طبق گفته سوال برابر +
( ) ( )
| | | || |
12 21
2 1 02 1 3 15 5 5 3 1
1 4 5
23 1 5 3 6 2 2 1 2 1 2
2
44 33 1 5 3 4
433
B
y x
A
A AB
A
+ − = + − −
→ = → = → = −+
− = → = → = ⎯⎯→ ⎯⎯→ = − + − = −
− = − → = − → = − → −
غیر قابل قبول ، چون روی نیم ساز
ناحیه سوم است
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
13
فاصله دو خط موازی ✓
0axدو خط موازی به معادله های فاصله by c+ + 0axو = by c+ + با: است برابر =2 2
c cd
a b
−=
+
باید xو y در استفاده از این فرمول حواستان باشد که همه یه طرف باشند و طرف دیگر صفر باشه و اینکه ضرایب : نکته
برابر باشند .
2 5 3x y+ =5 2 5 0y x+ =
( ( ( (5 4 33 2 14 1
1x y− =
2 3 6x y+ =13
(
(
(
(
1
2
3
4
175
225
8545
( )
5
2 2
2 2 52 5 355
2 55 2 5 05
2 5 3 5 2 5 3 5
3 5 05 2 5 3 5 5 2 5 3 5 0 3 5 3 5 145 3 55 2 5 0 5 2 5 0 0 2 5 5
x y m
m m
y x m
x y y x
y x y xd
y x y x
+ = → = − = −
=−
+ = → = −
+ = ⎯⎯⎯→ + =
− + = + − = → → = = = =
+ =
→
+ − = +
93 - 2گزینه
شیب ها مساوی اند ، پس دو خط داده شده
معادله دو ضلع موازی مربع است ، فاصله دو
مربع . ضلع مربع برابر است با طول ضلع
96 -قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
14
11
B−
−
32
A3 4x y a+ =a
(
(
(
(
1
2
3521717
2
3
435
−
−
+
0ax دو خط موازی به معادله های مجموعه نقاطی که ازتذکر : by c+ + 0axو = by c+ + فاصله برابر =
0دارند ، بر روی خطی موازی دو خط قبلی و به معادله 2
c cax by
++ + =
5ax y+ =7x y a+ =
(
(
(
(
6 06 06 06 0
1234
x y
x y
x y
x y
+ + =
+ − =
− + =
− − =
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
15
راس آن 3محاسبه مساحت مثلث با داشتن ✓
,نکته : اگر نقاط ,CA B
A B C
xx xA B C
y y y سه راس یک مثلث باشند ، مساحت مثلث از فرمول زیر به دست می آید:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B B C C A A C C B B A
A B C B C A C A B
S x y x y x y x y x y x y
or
S S x y y x y y x y y
= + + − + +
= = − + − + −
12
12
)مساحت مثلثی با رئوس , ) , ( , ) , ( , )A B C k −11 2 3 کدام اند ؟ kاست . مقادیر 3برابر 1
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
16
) مهلت تحویل : یک هفته بعد از تدریس ( تمرین ها ✓
)نقاط , ) , ( , )A B −14 3 10 بدست ABخط فاصلۀ مبدأ مختصات را از وسط پاره را در نظر بگیرید. 13
.آورید
)نشان دهید مثلث , ), ( , ), ( , )A B C12 2 5 4 . الزاویه استقائمالساقین یک مثلث متساوی، 1
)نقاط , ), ( , ), ( , )C B A−2 3 5 4 2 : بگیرید در نظر را 0
.را بدست آورید ABC مثلث محیط الف(
چه نوع مثلثی است؟ ABCب(
.را بدست آورید ABC مثلث مساحت ج(
)ای نقاطو انتهای یکی از قطرهای دایرهد , ), ( , )A B−2 2 6 هستند. 4
. بیابید را دایره مرکز مختصات و شعاع اندازۀ الف(
)نقطۀ آیا ب( , )C 7 بر روی محیط این دایره قرار دارد؟ چرا؟ 3
) قاطن , ), ( , ), ( , )A B C− −2 3 10 1 مستطیل 2 از رأس چهارم هستند. ABCDسه رأس مختصات
.مستطیل را بیابید
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
17
)های مثلث با رأس , ), ( , ), ( , )A B C19 3 1 7 د. را در نظر بگیری11
.را مشخص کنیدBC، نقطۀ وسط ضلع Mمختصات الف(
.را محاسبه کنیدAM میانۀ طول ب(
را به دست آورید. AM میانۀ معادلۀ ج(
)نقطه , )N −5 )و Aوسط پاره خط واصل 4 , )B −7 را به دست آورید. Aاست. مختصات نقطه 2
)قرینه نقطه , )C 1 )را نسب به نقطه 2 , )M −1 به دست آورید . 4
| |y x= +2
(
(
(
(4
0211
332
( , )A 3 2y x= −3
( , )
( , )
( , )
( , )
(
(
(
(
12
3
4
4 35 0
11 72 2
13 93 4
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
18
( , ), ( , )A B− − − −4 1 2 3
( )my m x+ − =2 1m
(
(
(
(4
224
3
2 2
1
2
,y x y x= − = − −2 2 7 1AA
( , )B 0 3
(
(
(
(4
3243
6
1
5
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
19
2و معادله درجه 2تابع درجه ✓
یادآوری :
2: 2فرم کلی معادله درجه 0ax bx c+ + =
,
2
1 2
21 2
402
4 02
0
b b acx
a
bb ac x x
a
− −→ =
−
= − = → = =
→
2دو حالت خاص : در معادله 0ax bx c+ + اگر: =
)الف( جمع ضرایب صفر باشد )0a b c+ + 1، آنگاه یک ریشه = 1x 2و ریشه دیگر =c
xa
است . =
)شود bبرابر cو aب(جمع )a c b+ 1، آنگاه یک ریشه = 1x = 2و ریشه دیگر −c
xa
= . است −
)معادله )2 2 1 5 1 0mx m x m− + + − مضاعف است ، ریشه های مضاعف آن را به دارای ریشه =
دست آورید .
در این حالت معادله ریشه حقیقی ندارد .
در این حالت معادله یک ریشه مضاعف دارد .
. ساده داردریشه 2در این حالت معادله
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
20
ر) معادلات دو مجذوری( به کمک تغییر متغی 2حل معادله درجه ✓
4: 1فرم شماره ✓ 2 0ax bx c+ + =
( ) ( )x x+ − + + =2 2 22 4 2 3 0
(
(
(
(
012
123
4 4
( )x x
x x+ − =
+ +
2 22
2 2 6 01 1
ریشه مضاعف دارد. -1
ریشه حقیقی ندارد. -2
چهار ریشه حقیقی دارد. -3
دو ریشه متمایز دارد. -4
ax تذکر : بحث درباره تعداد ریشه های معادله دو مجذوری ✓ bx c+ + =4 2 0
معادله ریشه حقیقی ندارد
معادله ریشه حقیقی ندارد
معادله دو ریشه قرینه دارد
معادله دو ریشه قرینه دارد
معادله ریشه حقیقی ندارد
معادله چهار ریشه دارد
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
21
x x a− + − =4 24 2 0a
(
(
(
(
a
a
a
a
−
−
−
−
2 128 2
22 2
34
ax: 2فرم شماره b x c+ + =0
xمعادله x− − =2 1 را حل کنید . 0
ax: بحث درباره تعداد ریشه های معادله دو مجذوری نکته ✓ bx c+ + =4 2 0
mx x m− + − =2 1 0x
(
(
(
(
m
m
m
21
2
42
1 1
3
معادله ریشه حقیقی ندارد
معادله ریشه ندارد
معادله یک ریشه قرینه دارد
معادله یک ریشه دارد
معادله ریشه ندارد
معادله دو ریشه دارد
88 -خارج از کشور تجربی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
22
2ضرب ریشه های معادله درجه مجموع و حاصل ✓
axریشه های معادله و فرض کنید که bx c+ + =2 باشند ، در این صورت مجموع و حاصلضرب 0
ریشه ها بدون حل معادله و از روابط زیر به دست می آیند .
S جمع ریشه ها :b
Sa
−
= + =
P ضرب ریشه ها : حاصلc
Pa
= =
D : : قدر مطلق تفاضل ریشه هاΔ
| || |
Da
= − =
روابط متقارن بین ریشه های معادله درجه دو
تغییری در رابطه ایجاد نمیشه ! و منظورم از رابطه متقارن رابطه ای هستش که با عوض کردن جای
برسیم . Pو Sباید به گیری مشترک مخرج و رسانی توان ، فاکتورگیری ، اتحاددر این روابط به کمک
نوشت : Pو Sباشند ، می توان روابط زیر را برحسب 2ریشه های معادله درجه و اگر
)
)
)
)
S P
S PS
S
P
S P
+ = −
+ = −
+ =
+ = +
2 2 2
3 3 3
1 2
2 3
1 13
4 2
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
23
xریشه های معادله و اگر x− + =2 7 3 باشند ، حاصل موارد خواسته شده را بدون حل 0
معادله و به دست آوردن ریشه ها ، بنویسید.
)
)
)
)
)
)
) A
+
+
+
+
++ +
+− −
= +
2 2
3 3
1
2
1 13
4
1 151 1
61 1
7
, ( )x x − = −4 8 1 +
1 1
(
(
(
(
4 15 26 38 4
98 -ریاضی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
24
متقارن بین ریشه های معادله درجه دو نا روابط ✓
وجود داره ، ولی مهمترین آن ها جایگذاری 2روش های زیادی در حل روابط نامتقارن بین ریشه های معادله درجه
ریشه ها در معادله است .
سعی بر این است که با جایگذاری ریشه ها در معادله ، رابطه متقارن بسازیم .
, x x− − =2 2 2 0 − +2
(
(
(
(
+
−
2 12 20 34 4
, x x− − =22 6 1 0 +2 3
/ (
/ (
/ (
/ (
6 5 17 5 28 5 39 5 4
معادله و اگر های xریشه x− − =23 5 حاصل 0 ، باشند −3 دست 23 به را
آورید .
98 -تجربی –قلم چی
98 -ریاضی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
25
نکته مهم : ✓
معادله صدق میمید (1 ای در خود اگر ونیم که هر ریشه یعنی . xکنه a= ریشه عبارت( )f x آنگاه ، باشد
( )f a . است0=
xیه بیان دیگه هم هست که میگه اگر (2 a= ریشه عبارت( )f x آنگاه باشد ،( )f x برx a− بخش پذیر ،
است .
xیادتون باشه که اگر جمع ضرایب یک چند جمله ای صفر باشه ، (3 یکی از ریشه های آن چند جمله ای است. 1=
)عبارت )f x x x x= − + +3 25 3 را تجزیه کنید . 1
xاگر = )یکی از ریشه های عبارت 2 )f x x x mx= − + −3 25 باشد ، در مورد سایر ریشه های 2
عبارت بحث کنید.
, , 1( )f x x x mx= − + −3 25 2
+
(
(
(
(
2 14 26 38 4
98 -ریاضی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
26
Pو Sجدید با داشتن 2تشکیل معادله درجه ✓
xی معادلهباشند آن دو عدد از حل Pحاصلضرب آن دو و Sهرگاه مجموع دو عدد Sx P− + =2 به 0
.آیند دست می
xدوم خواستند یاد فرمول ی ی درجههرگاه در سوالی از شما معادله Sx P− + =2 . بیفتید 0
3+معادله درجه دومی بنویسید که ریشه های آن 52
3−و 52
. باشند
x x+ − =2 3 1 0
(
(
(
(
x x
x x
x x
x x
− + =
+ − =
+ − =
− + =
2
2
2
2 4
11 1 0
11 1 0
10 1 0
1
2
2
3
0
1
1
x x− − =22 3 1 0
(
(
(
(
x x
x x
x x
x x
+ − =
+ − =
− − =
+ + =
2
2
2
2
2
4
13 2 0
4 13 2 0
4 13 2 0
2 1
1
3
2
0
3
2
کتاب درسی 13کار درکلاس صفحه
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
27
:خاص حالات در جدید دوم ی درجه ی نوشتن معادله تذکر : ✓
ax دوم ی درجه ی معادله هرگاه bx c+ + =2 که بنویسید جدیدی دوم ی درجه ی را دادند و گفتند معادله 0
:هایشریشه
cx .را عوض کنید cو aهای معادله فوق باشند کافی است جای عکس ریشه -1 bx a+ + =2 0
ax . را قرینه کنیدb علامت است کافی باشند فوق ی معادله هایریشه ی قرینه -2 bx c− + =2 0
را قرینه b علامت کرده و را عوض cو aجای است کافی باشند فوق ی معادله هایریشه ی عکس و قرینه -3
cx .قرینه کنید bx a− + =2 0
4- k است کافی باشند فوق ی های معادلهبرابر ریشه b را درk وc را درk2ضرب کنید .
ax bkx ck+ + =2 2 0
5- kاست کافی باشند فوق ی های معادلهواحد کمتر از ریشهx را بهx k+تبدیل کنید.
( ) ( )a x k b x k c+ + + + =2 0
6 - k است کافی باشند فوق ی های معادلهاز ریشه بیشتر واحدx را بهx k−تبدیل کنید.
( ) ( )a x k b x k c− + − + =2 0
x ax b+ + =23 0
x x− + =24 7 3 0a
(
(
(
(
−
−
−
−
68
1223
14
1
4
86 -سراسری تجربی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
28
, 22 3 4 0x x− − =
,1 11 1
+ +
(
(
(
(
x x
x x
x x
x x
− + =
− + =
− − =
− − =
2
2
2
2
4
4
3 1 0
4 5 1 0
4 5 1 0
4
1
3
2
0
3
1
m( )x m x+ − =22 1 1134
( ( (, , ,(−− − −2 4 3 43 2 24 42 1
)معادله را به صورت )x m x+ − − =22 1 1 حواسمان هست چون مرتب می کنیم) 0c
a ، دلتا حتما مثبت است .( 0
( ) ( )
22 2 2
1
4 2 2
113 13 1 1 132 2 2
1 4 4 2 2 42
1 3 21 4 13 1 9
1 3 4
b mS
maS P
cP
a
m mm m
m m
− − = + = = − −
→ + = → − = → − = − = = =
− = → = −⎯⎯→ − + = → − = →
− = − → = +
a( )x a x a− − + − =2 2 2 14 0
( ( ( (4 3 2 2 2 15 14 2 14 2 5a a a a −
: ی متمایز مثبت باشد آن است کهی دوم دارای دو ریشهی درجهشرط آنکه یک معادله0 10 20 3
S
P
−
− −
Δ ( ) ( ) ( ) (
(
)
( ))( )
2 2 2
2 2
0 4 0 4 2 4 14 0 2 14 0
2 2 5 14
14 14 0
4 4 14 0 3 10 0 2 5
0 0 0 2 2 0 21
0 0 0 141
a a a a a I
bS a a II
a
cP a II
a
b ac a a a a
a a
aa
aa
− + − + − − ⎯⎯→ −
− − → → →
−
− ⎯⎯→
→ − → − − −
⎯
→ − −
→
− −
⎯⎯→
→ → → ⎯ →
−
−
94 -تجربی -سنجش
96 -سراسری ریاضی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
29
نکته مهم :
شرط داشتن دو ریشه مثبت متمایز (1
متمایز شرط داشتن دو ریشه منفی (2
شرط داشتن دو ریشه مختلف العلامت (3
شرط داشتن دو ریشه معکوس (4
m( )2 12 1 08
x m x− + + =
( ( ( (6 5 44 3 2 3 1
2 ی دومی درجههای معادلهاگر ریشه 0ax bx c+ + ,را = : بنامیم
, 2 4 2 0x x− − =
2 5 − −
( ( ( (4 3 16 6 2 2 2− −
رابطه نامتقارن بین ریشه ها : روش حل جایگذاری در معادله :
: 2 ریشه معادله است ، با جایگذاری آن در معادله داریم 24 2 0 4 2 − =− = → +
( ):2
4
4 22 5 4 2 5 2 2 6
bS
a
we had
=
−= =
+− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ + − − = − − + = − + + =
96 -سراسری ریاضی
96 -قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
30
S یاP . بسازیم
تست های پایین رو ببینی ، دستت میاد که چی کار باید بکنی :
2 8 0x x m− + =m
(
(
(
(4
121
24
10 1
315
x x m− + =2 312 8 0
m
(
(
(
(
+
−
+
−
1 12
2
2 32
2
1
4
( )x m x− + + =2 12 2 08
− =2 m
(
(
(
34 27
1
3
این رابطه برقرار نیست. mبه ازای هیچ مقدار 4)
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
31
2y ax bx c= + +
0aاین تابع، نمایشگر یک سهمی قائم است اگر (1 باشد شکل دارایMin 0است و اگرa باشد شکل
.استMaxدارای
:آیدکه مختصات آن از این رابطه بدست می )Minیا Max ی نامند )نقطهرا رأس سهمی می Sی نقطه (2
2
4
S
S
bx
aS
ya
−=
−=
.را بدست آوریم Sی ی سهمی قرار داده و عرض نقطهتوانیم آن را در معادلهرا داشته باشیم میSی اگر طول نقطه
.کندسهمی قائم دارای یک محور تقارن است که حتماً از رأس سهمی عبور می (3
های آن عبور کند طول رأس سهمی برابر میانگین طول Bو Aی هم عرض ی دوم از دو نقطهاگر تابع درجهتذکر :
.دو نقطه است
سهمی قائم مرکز تقارن ندارد . (4
کند کافی کند و برای آنکه مشاهده کنید کجا محور عرض را قطع میسهمی قائم، همیشه محور عرض را قطع می (5
.، صفر دهیدxاست به
دوم (6 درجه 2yتابع ax bx c= + فرم + به توان می )را )20 0y a x x y= − این + در که نوشت
0حالت
0
xS
y نوشت .
طول نقطه راس سهی
این مقدار است Minیا Maxعرض نقطه راس سهمی = منظور از مقدار
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
32
ماکزیمم یا مینیمم سپس مقداردارند. ماکزیمم و کدام یک مینیممهای زیر از سهمی یک کنیدکدام تعیین
. هر یک را مشخص کنید
( ) ( )
( )
g x x
h x x x
= − + +
= − +
2
2
1 3
4 9
شکل زمین مورد نظر مستطیلی باشد ، ابعاد متر نرده ، لب ساحلی نرده کشی شود . اگر 80قرار است با
زمین را به گونه ای بیابید که مساحت آن ماکزیمم شود ) سمت دریا نرده کشی نمی شود (
بیشترین مساحت مربوط به چه مستطیلی است ؟ مساحت و ابعاد آن kاز بین مستطیل هایی با محیط ثابت
را بیابید .
مستطیلی بین محورهای مختصات و خط رسم شده به گونه ای محاط شده است که دو ضلع آن روی محور
های مختصات و یک راس آن روی خط مورد نظر است . ماکزیمم مساحت مستطیل را به دست آورید .
کتاب درسی 15صفحه –کار در کلاس
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
33
2صفرهای تابع درجه ✓
مانند نقاط تابع یک نمودار محور fبرخورد میxبا تابع صفرهای را درها که ریشه نامیم معادله هایواقع
( ) 0f x . برابر صفر است هستند. به عبارت دیگر، در این نقاط مقدار تابع =
, ,a b c رو تشخیص بدهید ، به موارد
زیر به ترتیب اولویت توجه کنید .
cعرض از مبدا : برای تشخیص علامت -1
aرو به بالا بودن یا رو به پایین بودن دهانه سهمی : برای تشخیص علامت -2
طول راس سهمی -32
bx
a
− b، برای تشخیص علامت =
, ,a b c . را مشخص کنید
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
34
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
35
2y ax bx c= + +a b c+ +
( ( ( (6 4 36 5 2 5 1−−
( )f x ax bx c= + +23a b− = −( )1f
( ( ( (6 4 36 5 2 5 1−−
( )y f x=( )f x =0
(
(
(
(
5 16 27 38 4
y
( ( ( (−− 13334
2 34
3 4
( (
( (
2 2
2 2
2 22 1
3242
y x x y x x
y x x y x x
= − + = +
= − − = −
94 -قلم چی تجربی
94 -قلم چی ریاضی
96 -قلم چی تجربی
96-تجربی –قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
36
معادلات گویا ✓
کسر هایی که صورت و مخرج آن ها چند جمله ای باشند ، عبارت های گویا می نامند . مقدار یک عبارت گویا زمانی
با معنی است که مخرج صفر نباشد ، اگر مخرج صفر شود ، عبارت گویا تعریف نشده است .
. مخرج ها را تجزیه کرده سپس طرفین را در ک . م . م مخرج ها ضرب می کنیم برای حل معادلات گویا ، ابتدا تمامی
بعد از ساده سازی و حل معادله به دست آمده ، مشخص می کنیم که ریشه های به دست آمده قابل قبول هستن یا نه .
( صفر کننده های مخرج ، غیر قابل قبولن)
معادلات گویای زیر را حل کنید .
)
)
)
2
2
2
2 114 3
2 2 1 1222
2 832 2 4
x x
x x
x x x x
x xx x
x x
x x x
− +=
− +
− + + −− =
−−
−− =
+ − −
x a=21 2 4 42
a x
x x x a
− −+ =
+ −a
( (
( (
1 2 012 4 3 3
94 -ریاضی -قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
37
x x x
x x x x
++ =
− + + −
2
21 2 31 2 2
(
(
(
(
011 23 32 4
x = 2( )
m m x
x x x x x
− −+ =
+ + −25 3
2 4 3 4
(
(
(
(
3 13 25 35 4
−
−
(
(
(
(
12 120 228 330 4
/ ( / ( / ( / (0 8 4 0 6 3 0 5 2 0 4 1
96 -تجربی -قلم چی
96 -تجربی -قلم چی
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
38
معادلات گنک ✓
xمعادله معادلات رادیکالی را معادلات گنگ می نامند . مثل x− + − =3 2 4 3 که متغیر رفته زیر رادیکال. 0
است . انقدر به توان برسونید تا رادیکال ها حذف بشن . قبل توان رسانی ، رسانی توانروش حل معادلات گنگ ،
اگه یه رادیکال رو یه طرف نگه داری و بقیه رو ببری طرف دیگه خیلی بهتره .
اب های معادله به دست آمده از توان رسانی ، حتما آن ها را چک کنید که در معادله اولیه بعد از به دست آوردن جو
. صادق باشند
معادلات زیر را حل کنید .
) ) )
) )( ) )
t t x x x x
x x x x x x xx
− − = = − − + − =
+ − − = − = − − − + =− +
2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2 1 374 3 1 1 5 4 4 3 6 3 7
3 1
کتاب درسی 23کار در کلاس صفحه
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
39
معادلات گنگ خاص ✓
به کمک دامنه و برد : -1
2مثال آموزشی : معادله 2 2 2x x x x+ − = − + را حل کنید . −
مجموع چند عبارت نامنفی صفر شود : -2
هرگاه مجموع چند عبارت نامنفی صفر شود ، اشتراک ریشه های عبارت های نامنفی ، جواب معادله است .
)مثال آموزشی : معادله )22 24 4 8 3 2 0x x x x− + − + − + را حل کنید . =
معادلاتی که به کمک تغییر متغیر )مجهول معاون( حل می شوند . -3
مثال آموزشی : معادله x x
x x
++ =
+
9 4 49
را حل کنید .
x x x x+ + = + +2 24 3 4 5
(
(
(
(
−
+
+
+
2 12 24 31 4
94 -ریاضی –سراسری
رنجبران به قلم : مهندس نوید ریاضی یازدهم پزشکی فصل اول : هندسه تحلیلی و جبر
40
x x− + − =3 2 4 3 0
یک جواب -1
دو جواب هم علامت -2
های مختلفدو جواب با علامت -3
جواب ندارد . -4
x x+ − = −2 5 13
(
(
(
(
011 22 33 4
4x =x a x x+ = − 25
( ( ( (14 3 3 2 2 12
جواب دیگر ندارد.
87 -خارج از کشور تجربی
87 -تجربی -سراسری