ÙÍßÒÙÍßÕ×Ífel2005.dp.ua/docs/blog/01/012.pdf · « ª« ¦Ì¿ÈÃ ÑÛ ¬ ¨ ª»·§¨...

Якісна підготовка до ЗНО-2014Якісна підготовка до ЗНО-2014

20142014

типові тестові завдання

• 13тестівуформатіЗНО• Бланкивідповідейдокожноготесту• Розв’язання,вказівкидовиконаннязавдань• ВідповідідоВСІХзавдань• Короткийматематичнийдовідник

математика

www.4boo

k.org

3

Передмова

Даний посібник складається з декількох розділів. У першому розділі подано тренувальні завдан-ня, об’єднані в 13 тестів і призначені для контролю знань за курсом математики загальноосвітніх навчальних закладів та підготовки випускників до зовнішнього незалежного оцінювання. У друго-му розділі запропоновано відповіді до завдань, причому для найбільш складних випадків наведено розв’язання або надано вказівки до розв’язань. Як додаток до посібника пропонується «Короткий математичний довідник».

розділ «Тести»

Запропоновані тринадцять тестів за формою й змістом відповідають специфікації тесту зов ніш-нього оцінювання.

Тест складається із завдань трьох різних форм.

1. Завдання з вибором однієї правильної відповіді.

Таких завдань 20. У кожному завданні пропонується п’ять варіантів відповідей, серед яких тільки один правильний. Необхідно вибрати правильну відповідь і позначити її в бланку А. Якщо в блан- ку А позначено одну неправильну відповідь, або позначені кілька варіантів відповідей, навіть якщо серед них є правильний, або позначок немає взагалі, завдання вважається невиконаним. За пра-вильно виконане завдання цієї форми учень одержує 1 бал.

2. Завдання на встановлення відповідності (логічні пари).

У завданнях 21–24 подано твердження, об’єднані у два стовпчики. У першому стовпчику твер-дження позначені цифрами (1–4), у другому — буквами (А–Д). Виконуючи таке завдання, необхідно встановити відповідність між твердженнями, позначеними цифрами, і твердженнями, позначеними буквами,— скласти логічні пари. За кожну правильно позначену пару (позначка « » на перетині відповідних рядка і стовпця в таблиці бланка А) учень одержує 1 бал. Максимальна кількість балів за повністю правильно виконане завдання — 4 бали.

3. Завдання відкритої форми з короткою відповіддю.

Завдання 25–33 вважаються виконаними, якщо в бланку А записані правильні відповіді. Відповіді до завдань цієї форми необхідно записувати тільки десятковими дробами. За правильно виконане завдання цієї форми учень одержує 2 бали.

Максимальна кількість тестових балів, яку можна набрати, правильно розв’язавши всі завдан-ня тесту з математики,— 54 бали.

www.4boo

k.org

4

розділ «розв’язання. вказівки. відповіді»Даний розділ містить:

– повні розв’язання значної більшості завдань варіантів 1, 3–6, 10;– розв’язання найскладніших завдань інших варіантів; до деяких завдань надано лише вказівки

щодо їх виконання;– відповіді до всіх завдань кожного тесту, що надані у вигляді правильно заповнених бланків

відповідей.Розв’язки й вказівки до розв’язування супроводжуються посиланнями на «Короткий матема-

тичний довідник» — додаток до даного посібника (див. про це нижче).

додаток «Короткий математичний довідник»Довідник розділений на 17 підрозділів — за темами. Підрозділи пронумеровані римськими циф-

рами.У деяких підрозділах формули об’єднані в блоки. Блоки формул позначені в довіднику велики-

ми буквами — А, Б, В і т. д.Інші формули, а також таблиці й графіки пронумеровані арабськими цифрами.Посилання на математичний довідник, надані відповідним чином, узяті в круглі дужки

й виділені напівжирним шрифтом.

деякі поради щодо виконання робітНа виконання тесту зовнішнього оцінювання надається 150 хв. Відповідно слід намагатися ви-

конати тренувальну роботу саме за цей час.Завдання рекомендується виконувати в тому порядку, у якому вони подані. Для економії часу

краще пропустити завдання, яке не вдалося виконати відразу, і перейти до виконання наступного. Якщо після виконання всієї роботи залишається час, можна повернутися до пропущених завдань.

Виконавши роботу, доцільно звірити отримані відповіді. Якщо впоратися з роботою немає можливості, варто звернутися до відповідного розділу, щоб розібратися в розв’язаннях.

Бажаємо успіхів!

р

www.4boo

k.org

� ТесТ�1

5

ТесТи

Тест 1

Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний варіант відповіді і познач-те його в бланку А. Не робіть інших позначок — комп’ютерна програма реєструватиме їх як ПОМИЛКИ!

1. Знайдіть значення виразу 2 5 22 2sin cosβ β− + .

а Б В Г Д

–3 7 –4 –2 3

2. Розв’яжіть рівняння x x x+ = +( )3 2 3 .

а Б В Г Д

2 0,5 0; –3 –3; 0,5 –3; –0,5

3. Скільки трикутників зображено на рисунку?

а Б В Г Д

3 4 7 5 6

4. Знайдіть значення виразу 16 163 6⋅ .

а Б В Г Д

8 4 2 1 16

5. Які з наведених тверджень є правильними?

І. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать в одній площині, то ця пряма перпендикулярна до цієї площини.

ІІ. Кут між прямою та площиною — це кут між прямою та її проекці-єю на цю площину.

ІІІ. Через пряму і точку можна провести єдину площину.

а Б В Г Д

Лише І і ІІ Лише ІІ Лише ІІ і ІІІ Лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ

В

C

A

е

D

www.4boo

k.org

ТесТ�1�

6

6. Обчисліть: 2

9

23log

.

а Б В Г Д

–1 11

33 2

7. Перший токар за 8 год виготовляє 25 деталей, а другий — 23 деталі. Знайдіть середню продуктивність спільної праці цих токарів за 1 год.

а Б В Г Д

8 12 24 3 6

8. Градусні міри кутів чотирикутника відносяться як 2 3 5 8: : : . Знайдіть різницю найбільшого та найменшого кутів.

а Б В Г Д

80° 60° 140° 100° 120°

9. Переріз куба проходить через середини трьох його ребер — точки N, K і M (див. рисунок). Якою геометричною фігурою є цей переріз?

а Б В Г Д

Прямокут-ником

КвадратомПрямокут-

ним трикут-ником

РомбомРівносто роннім

трикут ником

10. Укажіть ескіз графіка квадратичної функції y x x= − +2 2.

а Б В Г Д

O

у

хO

у

х O

у

х

O

у

х O

у

х

11. Укажіть взаємне розміщення графіка функції y f x= ( ) і графіка функ-ції y f x= − ( ) за умови f x( ) ≠ 0 .

а Б В Г Д

Графіки збігаються

Графіки симетричні

відносно осі Ox


відносно осі Oy


відносно точки O 0 0;( )


відносно прямої

y x=

A

A1

B1

C1

D1

B C

DM

K

N

www.4boo

k.org

� ТесТ�1

7

12. В англійському алфавіті 26 літер, 6 з них — голосні. Скільки процен-тів складають голосні літери від приголосних?

а Б В Г Д

20 % 35 % 40 % 25 % 30 %

13. Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про об’єми спо-живання природного газу в Україні (в млрд. м3) протягом кількох ро-ків. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.

І. У 2005 р. використано в 1,5 разу більше газу, ніж у 2009 р.

ІІ. Об’єми газу, спожитого щорічно з 2005 по 2009 рр., складають арифметичну прогрессію.

ІІІ. Об’єм газу, спожитого в 2011 р., менший від серед-нє арифметичне об’ємів газу, спожитого в 2005, 2007 і 2009 рр.

а Б В Г Д

І, ІІ і ІІІЛише ІІ і ІІІ

Лише ІІЛише І і ІІІ

Лише І і ІІ

14. В рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (див. рисунок) вписано ромб ANKP. Знайдіть тупий кут ромба.

а Б В Г Д

90° 100° 140° 120° 135°

15. Знайдіть відстань від точки N −( )4 2 3; ; до площини yOz.

а Б В Г Д

–4 4 2 3 29

16. Укажіть число цілих розв’язків нерівності 4 92 x .

а Б В Г Д

4 2 6 1 0

17. На рисунку зображено коло із центром у точці O. Точка N належить

колу, NP AB⊥ , AP PO= . Знайдіть радіус кола, якщо NP = 12 .

а Б В Г Д

5 6 4 2 3

2005 2007 2009 2011

5052

6260

70 69,880 78

Об’

єм с

пож

ито

го

газу

, м

лр

д м

3

N

B

K

PA C

AO

BP

N

www.4boo

k.org

ТесТ�1�

8

18. Знайдіть похідну функції y e x= +3

4cos

π.

а Б В Г Д

e3 e3

4− sin

π0

e xx

3 2

2 4+ cos

πe x e3 3+

19. Укажіть найбільше ціле число, яке НЕ є розв’язком нерівності

1

3

1

81

2 1

−x

.

а Б В Г Д

1 –2 3 2Такого числа

не існує

20. Сколькома способами можна переставити літери в слові «школа», щоб сполучення «ла» залишилося незмінним?

а Б В Г Д

48 36 24 120 6

Завдання 21–24 передбачають установлення відповідності. До кожно-го твердження, позначеного ЦИФРОЮ, доберіть один відповідник, позна-чений БУКВОЮ, і зробіть позначку « » у наведеній таблиці та в бланку А на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). Усі інші види ва-шого запису в бланку А комп’ютерна програма реєструватиме як ПОМИЛКИ!

21. Установіть відповідність між виразами (1–4) і рівними їм степенями із дробовими показниками (А–Д).

Вираз Степінь із дробовим показником

1 b23

2 1

4 b

3 b−34

4 1

13 b−

а b− 1

4

Б b1

3

В b2

3

Г b− 3

4

Д b− 1

3

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�1

9

22. Установіть відповідність між рівняннями (1–4) та кількістю їх коре-нів (А–Д).

рівняння Кількість коренів

1 log32 3 0x −( ) =

2 x x−( ) −( ) =1 4 02

3 22 1

2x =

4 x

xx

−−

⋅ =1

11

а 0Б 1

В 4

Г 2

Д 3

23. В прямокутній системі координат на площині дано вектори c −( )1 2;

і d 4 2;( ). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчен-

ня (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

початок речення Закінчення речення

1 Довжина вектора c d+

2 Скалярний добуток векторів c і

d

3 Вектори c і a k2;( ) коллінеарні, якщо k

4 Вектори d і b n; −( )8 перпендикулярні, якщо n

а дорівнює –4.

Б дорівнює 5.

В дорівнює 4.

Г дорівнює 2.

Д дорівнює 0.

24. На рисунку зображено графік функції y f x= ( ), яка задана на проміж-ку −[ ]2 4; і диференційовна на проміжку −( )2 4; . Установіть відповід-ність між числами (1–4) і проміжками (А–Д), яким належать ці числа.

Число проміжок

1 f 0( )2 ′( )f 2

3 f x dx( )∫3

4

4 ′( )f 3 5,

а 0 0 5; ,[ ]Б −∞( ); 0

В 2 4;( ]Г 0 5 1 5, ; ,( ]Д 1 5 2, ;[ ]

Розв’яжіть завдання 25–33. Одержані числові відповіді запишіть у зошиті та бланку А. Пам’ятайте, що відповіді в бланку А необхідно записувати лише десятковими дробами.

25. Розв’яжіть рівняння ctgπ⋅ =−2 1x .

Відповідь: ______________

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

y

х20

–1

–2

1

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�1�

10

26. Знайдіть НАйБІЛьШий ЦІЛий розв’язок нерівності log 1

3

7

11

−−

x .

Відповідь: ______________

27. На змаганнях зі спортивної ходьби на 50 км спортсмени рухають-ся кільцевою трасою завдовжки 4 км. Спортсмени Петров і Сидоров стартували одночасно й пішли з постійними швидкістями 13,5 км/год і 12 км/год відповідно. Скільки повних кіл має пройти Петров, щоб перегнати Сидорова рівно на 1 коло?

Відповідь: ______________

28. У ящику лежать кулі, п’ята частина яких червоні. Якщо до ящика по-класти ще 3 червоні кулі, то ймовірність витягти навмання червону

кулю дорівнюватиме 7

23. Скільки куль у ящику?

Відповідь: ______________

29. У трикутнику ABC AB = 6, CA = 7 , BC = 5. На подовженні сторони BC позначено точку F таку, що кут BAF дорівнює куту ACB. Знайдіть мен-шу сторону трикутника ACF.

Відповідь: ______________

30. Функцію f x x x( ) = − − +3 2 62 задано на множині дійсних чисел. Графік її первісної проходить через точку N 0 6;( ) . Знайдіть добуток нулів пер-вісної поданої функції.

Відповідь: ______________

31. Використовуючи властивості функції, розв’яжіть рівняння log log2 31 2 1 1x x−( )+ −( ) = .

Відповідь: ______________

32. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA B C D1 1 1 1 ребра основи дорівню-ють 15 см і 20 см, а бічне ребро становить 16 см. Через діагональ AC нижньої основи паралелепіпеда й вершину B

1 верхньої основи прове-

дено площину. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда цією площи-ною (у см2).

33. Знайдіть найбільше значення параметра p, при якому рівняння x px p p y y2 22 4 5 3 4 3+ + − + = −sin cos має єдиний розв’язок.

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

11

АБЛАНК ВІДПОВІДЕЙ

Увага! Дотримуйтесь, будь ласка, правил запису відповідей. Відмічайте тільки один варіант відповіді у рядку варіантів відповідей до завдань 1–24. У завданнях 25–33 правильну відповідь записуйте, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожному білому прямокутнику. Знак «мінус» записуйте в окремому білому прямокутнику ліворуч від цифри. Записана цифра не має виходити за межі білого прямокутника.

Наприклад: правильно записане число 2 матиме такий вигляд: 2 , або 2 , 0 правильно записане число 0,5 матиме такий вигляд: 0 , 5 правильно записане число –3,75 матиме такий вигляд: – 3 , 7 5 правильно записане число –102,125 матиме такий вигляд: – 1 0 2 , 1 2 5

Неправильно записане число 2,5 має такий вигляд: 2 , 5 або: 2 , 5 або: 2 , 5 Для виправлення відповіді до завдань 25–33 використовуйте спеціально відведене місце

Увага! У завданнях 1–24 правильну відповідь позначайте тільки так:

Неправильну відповідь можна виправити, замалювавши попердню позначку та поставивши нову

А Б В Г Д

А Б В Г Д А Б В Г Д А Б В Г Д А Б В Г Д

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

У завданнях 25–33 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми,

по одній цифрі в кожній клітинці

Місце для виправлення помилкової відповіді до завдань 25–33

Запишіть новий варіант відповіді праворуч відповідного номера завдання

Приклад написання цифр для заповнення бланка відповідей: 1 2 3 4 5 6 7- 8 9 0 –


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�2�

12

Тест 2


1. Знайдіть зовнішній кут правильного шестикутника.

а Б В Г Д

100° 90° 30° 60° 45°

2. Обчисліть: sin cos sin cos2 225 25 15 15° + ° − ° ⋅ ° .

а Б В Г Д

3

4

1

2

1

4

5

4

3

2

3. На рисунку зображено рівнобедрений трикутник ABC, AB BC= , ∠ = °ABC 36 . Укажіть сторону трикутника NAC, відповідну сторо-ні AC трикутника ABC.

а Б В Г Д

AB AN BN BC NC

4. Знайдіть різницю арифметичної прогресії an( ) , якщо a31 28= , a42 6= .

а Б В Г Д

3 –1 –2 2 –3


16

3 4

2

log

log.

а Б В Г Д

1 4 21

23

6. Ціна книжки виражається цілим числом гривень. Яким числом гри-вень може виражатися вартість 7 таких самих книжок?

а Б В Г Д

345 грн 340 грн 305 грн 350 грн 355 грн

а

В

С

N

www.4boo

k.org

� ТесТ�2

13

7. Знайдіть площу сектора, якому відповідає центральний кут 90°, якщо радіус круга дорівнює 2 м.

а Б В Г Д

π м2 2π м2 π2

м2 4π м2 3π м2

8. Квадратну ділянку площею 400 м2 розділили на 4 ділянки, площі яких співвідносяться як 1 2 3 4: : : . Знайдіть довжину паркана, яким треба огородити всі ділянки, якщо їх спільна межа огороджується один раз.

а Б В Г Д

80 м 140 м 120 м 160 м 100 м

9. Укажіть функцію, графік якої проходить через дві зображені на ри-сунку точки.

а Б В Г Д

y x= − +2 2 y x= +2 2 y x= − + 2 y x= −1

22 y x= − +

1

22

10. Площа трикутника AKD дорівнює 50 см2. Точка K лежить на пря-мій ВС (див. рисунок). Знайдіть площу паралелограма ABCD.

а Б В Г Д

150 см2 25 см2 75 см2 50 см2 100 см2

11. Знайдіть скалярний добуток векторів

n − −( )1 3 2; ; і

m 0 1 5; ;−( ) .

а Б В Г Д

–14 –13 0 7 4

12. За рисунком знайдіть x.

а Б В Г Д

122° 145° 23° 157° 58°

13. Знайдіть об’єм циліндра, описаного навколо конуса (див. рисунок), якщо об’єм конуса дорівнює 15 см3.

а Б В Г Д

45 см3 30 см3 15 см3 5 см3 40 см3

y

х0 1

1

2

2

A D

B C K

www.4boo

k.org

ТесТ�2�

14

14. Які з наведених тверджень є НЕПРАВиЛьНиМи?

І. Якщо два кути є рівними, то вони вертикальні.

ІІ. Точка перетину діагоналей квадрата є його центром симетрії.

ІІІ. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло.

ІV. У будь-який чотирикутник можна вписати коло.

а Б В Г Д

Лише ІЛише І, ІІІ і ІV

Лише ІІ і ІІІЛише І,

ІІ і ІVЛише І і ІV

15. Укажіть відстань від точки S до катета AB прямокутного трикутни-ка ABC (див. рисунок), якщо SC ABC⊥ ( ) .

а Б В Г Д

SA SN SB SC CB

16. Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 6 см. Знайдіть діагональ па-

ралелограма, якщо його друга діагональ становить 2 10 см.

а Б В Г Д

32 см 4 2 см 2 21 см 8 см 10 см

17. Тіло рухається прямолінійно за законом s t t t t( ) = + − +4

33 2 5 1 (t вимі-

рюється в секундах, s — у метрах). Визначте прискорення його руху в момент часу t = 4 с.

а Б В Г Д

342

м

с18

2

м

с67

2

м

с70 6

2,( ) м

с28

2

м

с

18. Група студентів з 15 осіб писала контрольну роботу з вищої математи-ки. Оцінки, отримані студентами за п’ятибальною шкалою, зафіксова-ні за допомогою полігона частот (див. рисунок). Використовуючи наве-дений полігон, обчисліть середню оцінку за контрольну роботу в даній групі.

а Б В Г Д

3 ≈ 3 3, 6 4 ≈ 2 8, 0

Частота

Оцінка

www.4boo

k.org

� ТесТ�2

15

19. Дано коло, діаметр якого AB; ∠ = °BAC 45 ; BC = 2 (див. рису-нок). Знайдіть DB, якщо ∠ = °DAB 30 .

а Б В Г Д

2 4 11

22 3

20. Об’єм піраміди ADCO, де точка O — точка перетину діагоналей B D1 1 і A C1 1 , становить 20 3cм (див. рисунок). Обчисліть об’єм прямокутно-го паралелепіпеда ABCDA B C D1 1 1 1 (у см3).

а Б В Г Д

40 3cм 120 3cм 60 3cм 80 3cм 100 3cм


21. Установіть відповідність між висловлюваннями (1–4) і форму ла -ми (А–Д).

Висловлювання Формула

1 Дискримінант квадратного рівняння

2 Розклад квадратного тричлена ax bx c2 + + на множники

3 Теорема Вієта для ax bx c2 0+ + = ; x1 і x2 — корені цього рівняння

4 Корінь неповного квадратного рівняння ax bx2 0+ =

A x x

x x

b

a

c

a

1 2

1 2

+ = −

=

,

Б b ac2 4−

В x = 0 ; − b

a

Г a x x x x−( ) −( )1 2

Д x x x x−( ) −( )1 2

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�2�

16

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка

функції yx

= 1 (1–4) і функціями, графіки яких отримані в результаті

цих перетворень (А–Д).

Геометричне перетворення Функція

1 Графік функції yx

= 1 паралельно перенесли

вздовж осі Ox на дві одиниці ліворуч

2 Частину графіка функції yx

= 1 для x > 0 зали-

шили без змін. Для x < 0 ту саму частину симе-трично відобразили відносно осі Oy


= 1 розтягли у два рази



= 1 паралельно перенесли

уздовж осі Oy на дві одиниці вгору

A yx

= 2

Б yx

= 1

2

В yx

=+1

2

Г yx

= +12

Д yx

= 1

23. Установіть відповідність між векторами, зображеними на рисун-ках (1–4), та їхніми скалярними добутками (А–Д).

ВекторСкалярний

добуток векторів1 y

х0 1 3

3

1

2 y

х0 1–3

2

3 y

х0 2

3

4 y

х0 2–2

21

а –3

Б –2

В 3

Г 0

Д 6

24. Установіть відповідність між тригонометричними рівняннями (1–4) і їх частинними розв’язками (А–Д).

Тригонометричне рівняння Частинний розв’язок

1 sin2 1x = −

2 cosx

30=

3 tg3

41

x = −

4 ctgx

40=

A 2π Г 3

2

π

Б π Д π2

В 3

4

π

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�2

17

Розв’яжіть завдання 25–33. Одержані відповіді запишіть у зошиті та блан-ку А. Пам’ятайте, що відповіді в бланку А необхідно записувати лише десят-ковими дробами.

25. Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності x x

x

2

2

2 30

+ −< .

Відповідь: ______________

26. Обчисліть: 3 9

27

3 8 2 9

2

3

− ⋅, ,

.

Відповідь: ______________

27. У рівнобедреній трапеції ABCD бічні сторони на 2 см менші за верхню основу; середня лінія KN дорівнює 20 см і ділиться діагоналями тра-пеції у відношенні 3 4 3: : (див. рисунок). Знайдіть периметр трапеції.

Відповідь: ______________

28. Розв’яжіть систему рівнянь 5

5 5 6 5

2

2

1

5x y

x y

− =

+ =

,

.

Для отриманого розв’яз-

ку x y0 0;( ) системи обчисліть ДОБУТОК x y0 0⋅ .

Відповідь: ______________

29. Знайдіть найбільший корінь рівняння 2 10 2 8 06 12

− −( ) =−x x .

Відповідь: ______________

30. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями f x x( ) = +2 2 і g x x( ) = +5 2 ; результат округліть до десятих.

Відповідь: ______________

31. Розв’яжіть рівняння log log3 33 1 1−( ) + +( ) =x x . Якщо рівняння має

один корінь, запишіть йОГО у відповідь; якщо воно має два корені, у відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

32. Правильна трикутна піраміда вписана в конус, твірна якого дорів-нює 10 і має із площиною основи кут 60° . Знайдіть об’єм піраміди.

Відповідь: ______________

33. Знайдіть найбільше значення a, при якому рівняння

x x ax a x ax a2 5 6 2 3 6 18 0− + + − −( ) − + = має один розв’язок.

Відповідь: ______________

A

B CO

K N

D

www.4boo

k.org

18



Наприклад: правильно записане число 2 матиме такий вигляд: 2 , або 2 , 0

правильно записане число 0,5 матиме такий вигляд: 0 , 5

правильно записане число –3,75 матиме такий вигляд: – 3 , 7 5

правильно записане число –102,125 матиме такий вигляд: – 1 0 2 , 1 2 5

Неправильно записане число 2,5 має такий вигляд: 2 , 5 або: 2 , 5 або: 2 , 5

Для виправлення відповіді до завдань 25–33 використовуйте спеціально відведене місце



А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�3

19

Тест 3


1. Марійка купила декілька кілограмів лимонів за ціною 12 грн за кіло-грам і 3 кг апельсинів. Укажіть можливу суму грошей, яку Марійказаплатила в касі, якщо один кілограм апельсинів коштує ціле числогривень.

а Б В Г Д

32 грн 25 грн 39 грн 35 грн 40 грн

2. У трикутнику ABC AB = 3 см, AC = 5 см, ∠ = °BAC 60 . Знайдіть BC.

а Б В Г Д

4,5 см 19 см 21 см 4,8 см 4 см

3. На рисунку зображено куб ABCDA B C D1 1 1 1. Укажіть пряму, перпенди-кулярну до площини A D CB1 1 .

а Б В Г Д

DD1 AB B C1 1 DC AB1

4. На свій день народження Іринка купила чотири сорти тістечок. Коженгість отримав два різних тістечка, причому всі «набори» тістечок від-різнялись один від одного. Яка найбільша кількість гостей могла при-йти до Іринки?

а Б В Г Д

10 4 8 6 12

5. Яке з чисел: cosπ2

, cos2, cos5, cos6π, cos1 — є найбільшим?

а Б В Г Д

cos6π cos5 cos1 cosπ2

cos2

A

A1

B1

C1

D1

B C

D

р

www.4boo

k.org

ТесТ�3�

20

6. Знайдіть восьмий член арифметичної прогресії, якщо відомо, що суматретього, сьомого і чотирнадцятого членів цієї прогресії дорівнює 15.

а Б В Г Д

1 15 10 5 0

7. Укажіть функцію, графік якої може проходити через точку N (див. ри-сунок).

а Б В Г Д

y x= 2 yx

= 2y x= − +2 1 y x= log4 y x= +2 1

8. Укажіть значення похідної функції y f x= ( ) у точці з абсцисою x0

(див. рисунок).

а Б В Г Д

0 –1 11

33

9. Укажіть найбільший цілий розв’язок нерівності1

2x

.

а Б В Г Д

0 1 –1 2Розв’язків

немає

10. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть радіус кола,описаного навколо цього прямокутника.

а Б В Г Д

10 см 20 см 28 см 14 см 8 см

11. Знайдіть координати вектора

n AB BC= +1

2, якщо B −( )1 2 3; ; ,

C 0 1 2; ;− −( ), A − − −( )3 2 1; ; .

а Б В Г Д

0 5 7; ;− −( )

−( )2 1 3; ;

2 1 3; ;− −( )

−( )3 1 2; ;

0 5 7; ; ( )

N

O

у

х

у

хх00

60°

y = f(х)

www.4boo

k.org

ТесТ�3

21

12. Знайдіть корені рівняння 10 21002log x x= .

а Б В Г Д

–1 2 1 0Коренів

немає

13. Розв’яжіть рівняння x x+( ) + + =1 1 02

.

а Б В Г Д

–2 0 1 –1Коренів

немає

14. Укажіть частинний розв’язок рівняння cosπx

21= − .

а Б В Г Д

–1 1 2 0 4

15. Червона Шапочка несла бабусі 14 пиріжків, однакових на вигляд.Кількість пиріжків з м’ясом відносилася до кількості пиріжківз грибами й до кількості пиріжків з капустою як 2 2 3: : . Дорогоюдівчинка зголодніла й вирішила з’їсти один пиріжок. Яка ймовір-ність того, що перший навмання витягнутий з кошика пиріжок будез м’ясом?

а Б В Г Д

3

14

2

7

1

7

3

7

1

14

16. Тіло рухається прямолінійно за законом s t t t t( ) = + − +1

33 24 3 1 (t вимі-

рюється у секундах, s — у метрах). Визначте прискорення руху цьоготіла в момент часу t = 2 с.

а Б В Г Д

12 м

с2 8 м

с2 15 м

с2 10 м

с2 16 м

с2

17. На рисунку зображено куб. Знайдіть градусну міру кута ABC.

а Б В Г Д

90° 60° 45° 30° Визначити неможливо

A

B

C

р

www.4boo

k.org

ТесТ�3�

22

18. Знайдіть різницю чисел 2 1

2

1

5log і 3 508log .

а Б В Г Д

1 5 –1 0 6

19. На якому рисунку графік функції НЕ відповідає формулі, якою задано функцію?

а Б В Г Д

0

у

х−

π2

π2

y x= cos

0

у

х

y x= −2 1

0

у

х

y x= log2

0

у

х

y x= arctg

0

у

х

yx

=−1

1

20. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трикутника ABC (див. ри-сунок).

а Б В Г Д

4πa πa

2πa 2πa 2 3

3πa


21. Установіть відповідність між логарифмічними виразами (1–4) і їх чис-ловими значеннями (А–Д).

логарифмічний вираз Числове значення

1

2

3

4

5 5 4log

log log4 42 8+

log 1

2

8

log log9 9

1

327−

аБВГД

–3

–2

3

2

4

A

а

С

В

30°

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�3

23

22. Дано точки A 0 1 2; ; −( ), B − −( )2 3 6; ; , C 4 5 0; ;( ). Установіть відповід-ність між точками (1–4) і їхніми координатами (А–Д).

Точка Координати точки

1

2

3

4

Середина відрізка BC

Точка, симетрична точці A відносно площини xOy

Точка, симетрична середині відріз-ка AB відносно початку координат

Точка C1 , у яку переходить точка C внаслідок паралельного перенесення, що переводить точку A в точку B

а

Б

В

Г

Д

1 1 2; ; −( )1 1 3; ;( )2 1 8; ;( )− − −( )2 1 8; ;

0 1 2; ;( )

23. Установіть відповідність між формулами (1–4), якими задано функції, і рисунками (А–Д), на яких зображено графіки цих функцій.

Формула Графік

1

2

3

4

y x= −1

y x= +1

y x= − − −1

y x= − − +1

а

Б

В

0–1

у

х

1

у

х

1

у

х

Г

Д

1

у

х

0–1

у

х

24. Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і множинами їхніх ко-ренів (А–Д).

рівняння Множина коренів рівняння

1 2 11x− = а 3

2 3 11x + = Б –3

3 1

2

2

2

=−x

В 1

4 3 31

9⋅ =x Г ∅

Д 2

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�3�

24


25. Знайдіть найменший додатний період функції y = − −

+4 38

15 7cos

π π .

Відповідь: ______________

26. Літак пролетів першу половину траси зі швидкістю 700 км/год, а дру-гу — зі швидкістю 900 км/год. Знайдіть середню швидкість руху літа-ка на трасі (у км/год).

Відповідь: ______________

27. Знайдіть найбільше ціле число, що належить області визначення

функції yx

x x= −

− + +

2

2

9

20.

Відповідь: ______________

28. Розв’яжіть рівняння 2 3 32 1+ =− −x x .

Відповідь: ______________

29. Дано функції f x x x( ) = −3 3 і g xx

( ) = − 6. Знайдіть добуток коренів рів-

няння ′( ) = ′( )f x g x .

Відповідь: ______________

30. Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, до-тикається до його більшого катета й проходить через вершину проти-лежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети трикутника дорівнюють 12 і 16.Відповідь: ______________

31. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y x= 3 і y x= + 2.

Відповідь: ______________

32. Знайдіть усі значення параметра a, при яких сума квадратів коренів рівняння 3 30 02x x a+ + = дорівнює 80.

Відповідь: ______________

33. Навколо правильної трикутної піраміди SABC описано конус, висота

якого дорівнює 4 3 см, а твірна нахилена до площини основи під ку-том 60°. Знайдіть об’єм піраміди (у см3).

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

25







А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�4�

26

Тест 4


1. Якщо xz

y= +2 , то y =

а Б В Г Д

z

x + 2

x

z

+ 2 x

z

− 2 x z−2

z

x − 2

2. Розв’яжіть нерівність 1

39

>x

.

а Б В Г Д

−∞ −( ); 2 2; + ∞( ) − + ∞( )2; − + ∞[ )2; 0; + ∞( )

3. Знайдіть вектор

d b c= − +3 2 , якщо

b 2 1 2; ;− −( ) ,

c 0 3 5; ; −( ) .

а Б В Г Д

d 1 1 8; ; −( )

d − −( )6 3 16; ;

d 6 3 16; ; −( )

d − −( )6 9 4; ;

d − −( )6 12 9; ;

4. У трикутнику ABC AK — бісектриса кута A (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута C, якщо CAK = °22 .

а Б В Г Д

22° 34° 48° 36° 26°


2

7

7.

а Б В Г Д

4 16 2 27 2 8

A

В

110° K

С

www.4boo

k.org

� ТесТ�4

27

6. У Петрика було більше ніж 30, але менше ніж 50 камінчиків. Коли він розклав камінчики у купки по 5 штук, то 1 камінчик залишився, а коли він розклав їх у купки по 3 штуки, то залишилося 2 камінчики. Яка кількість камінчиків була в Петрика?

а Б В Г Д

41 45 36 46 32

7. Укажіть рисунок, на якому зображено графік непарної функції.

а Б В Г Д

y

0

1

х1–1

–1

y

х0 1

1

–1

y

0

1

х1–1

y

х0

y

0 х

8. Знайдіть похідну функції y x x= −21

55tg .

а Б В Г Д

′ = −yx

x2

302

6

cos′ = −y x

x

22

4

cos′ = − −y x

x

22

4

cos′ = −y x x2 4ctg ′ = − −y x

x

22

4

sin

9. Розв’яжіть нерівність log1

2

1 0x −( ) .

а Б В Г Д

1 2;( ] 1 2;[ ] 2; + ∞[ ) 2; + ∞( ) 1; + ∞( )

10. Катети прямокутного трикутника дорівнюють log4 9 і log3 16 . Обчис-літь площу цього три кутника.

а Б В Г Д

1 2 3 4 5

11. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 і 16. Знайдіть медіа-ну, проведену до гіпотенузи цього трикутника.

а Б В Г Д

6 7 8 9 10

www.4boo

k.org

ТесТ�4�

28

12. Точки D, E і F є серединами сторін трикутника ABC. У скільки разів площа трикутника DEF менша за площу трикутника ABC?

а Б В Г Д

у 2 рази у 4 рази у 6 разів у 8 разів у 16 разів

13. На рисунку зображено куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Знайдіть відстань від вер-

шини B1 до площини AA C1 1 , якщо ребро куба дорівнює 2 .

а Б В Г Д

1 2 2 2 2 6

14. На концерті, присвяченому Дню вчителя, мають виступати три тан-цювальні колективи, одна циркова група та співак. Скількома спосо-бами можна скласти програму концерту, якщо співак має виступати останнім?

а Б В Г Д

4 5 6 12 24

15. Висота правильної трикутної піраміди SABC (див. рисунок) дорів-

нює 2 3 , а апофема — 4. Знайдіть градусну міру двогранного кута з реб ром AC.

а Б В Г Д

30° 45° 60° 90°Визначи-ти немож-

ливо

16. Укажіть кількість ребер шестикутної призми.

а Б В Г Д

12 18 7 16 8

17. Розв’яжіть нерівність 4 2 12 3x x⋅ <− .

а Б В Г Д

− ∞ −( ); 1 − ∞( );1 − ∞( ) + ∞( ); ;0 3 − + ∞( )1; 1; + ∞( )

а

В С

D

D1

C1

B1

A1

A

B

C

S

ONwww.4b

ook.o

rg

� ТесТ�4

29

18. Знайдіть об’єм нафтової цистерни, яка має форму циліндра, якщо її діаметр дорівнює висоті і становить 10 м.

а Б В Г Д

100π м3250

3π м3 1000π м3 250π м3 500π м3

19. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії 33

2

3

4

3

8; ; ; ...;− − .

а Б В Г Д

2 6 –26

11

9

2

20. Для польоту в космос треба укомплектувати екіпаж із трьох осіб. Ко-мандир корабля може бути обраний із чотирьох космонавтів, а два його помічники — із п’яти бортінженерів. Скількома способами мож-на укомплектувати даний екіпаж?

а Б В Г Д

24 100 80 40 14


21. Установіть відповідність між заданими виразами (1–4) і тотожно рів-ними їм виразами (А–Д).

Вираз Вираз

1 am n−

2 a0

3 an m( )4 a bn n⋅

а anm

Б abn( )

В a

a

m

n

Г ab n2

Д 1

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�4�

30

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка

функції y x= (1–4) і функціями, графіки яких отримані в результа-ті цих перетворень (А–Д).


1 Графік функції y x= розтягли від осі Ox у два рази

2 Графік функції y x= паралельно перенесли вздовж осі Oy на дві оди-ниці вниз

3 Графік функції y x= симетрично відобразили відносно осі Oy

4 Графік функції y x= стиснули до осі Oy у два рази

а y x= 2

Б y x= − 2

В y x= −

Г y x= −

Д y x= 2

23. На рисунку зображена піраміда SABC. Установіть відповідність між заданими кутами (1–4) і їхніми позначеннями на рисунку (А–Д).

Кут позначення

1 Кут нахилу бічного ребра до площини основи

2 Плоский кут при верши ні піраміди

3 Кут між бічними гранями

4 Лінійний кут двогранного кута з ребром AC

а αБ δВ ϕГ γД β

24. Дано точки A −( )1 3 2; ; , B 0 4 1; ;− −( ), C 5 1 6; ;−( ), що є вершинами па-ралелограма ABCD (див. рисунок). Установіть відповідність між точ-ками (1–4) і їхніми координатами (А–Д).

Точка Координати точки

1 Точка О

2 Точка N

3 Точка D

4 Точка K

а 4 6 9; ;( )Б

1

22 3; ;

В 2 1 4; ;( )Г 2 2 1; ;− −( )Д

9

2

5

2

15

2; ;

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

AB

O

S

γ

β

δ

α

C

ϕ

а Б В Г Д

1

2

3

4

A

B C

D

ON K

www.4boo

k.org

� ТесТ�4

31


25. Стрілець із лука виконав три серії пострілів. У першій серії він на-брав 8; 8; 10; 10; 9 очок, у другій — 10; 10; 9; 9; 9, а в третій — 8; 9; 10; 10; 10. Знайдіть середнє арифметичне значення отримано-го ряду даних.

Відповідь: ______________

26. Розв’яжіть нерівність x x

x

+ −−

( )( )<

2 1

3

2

0. У відповідь запишіть її най-

більший цілий розв’язок.

Відповідь: ______________

27. У трапеції ABCD з основами BC і AD проведені бісектриси кутів A і B до перетину з основами в точках N і K відповідно. Знайдіть периметр чотирикутника ABNK, якщо аВ = 5 см.

Відповідь: ______________

28. Розв’яжіть рівняння 3 2+ =x x .

Відповідь: ______________

29. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y x= − +2 4 і y x x= −2 2 .

Відповідь: ______________

30. Функція F x x ax b( ) = + +3 2 , зображена на рисунку, є первісною для

функції f x( ). Знайдіть мінімум функції f x( ) .

Відповідь: ______________

31. Знайдіть усі значення параметра a, при яких система рівнянь

ax y ax ay

+ = −+ ={ 3 1

2,

НЕ має розв’язків. Якщо таке значення одне, запи-

шіть йОГО у відповідь, якщо кілька — у відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

32. Розв’яжіть рівняння log2 1 11+ =x

. Якщо корінь один, то запишіть

йОГО у відповідь. Якщо коренів два, у відповідь запишіть ЧАСТКУ від ділення більшого кореня на менший.

Відповідь: ______________

33. Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 9 см. Її апофема утворює з площиною основи кут 60° . Обчисліть об’єм кулі, вписаної

в цю піраміду (в см3). У відповідь запишіть значення V

π.

Відповідь: ______________

y

х

1

20–1

1

–3www.4boo

k.org

32







А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�5

33

Тест 5


1. Знайдіть значення виразу 2 4 4 5⋅ log .

а Б В Г Д

log3 10 10 25 8 54log 32

2. Обчисліть:189

3 7

1

3

3.

а Б В Г Д

11

39 27 73

3. Власник банкоматної картки забув останню цифру свого PIN-коду, алепам’ятає, що вона є парною. Знайдіть імовірність того, що він із пер-шої спроби отримає доступ до системи.

а Б В Г Д

11

3

2

5

1

2

1

5

4. Укажіть правильну нерівність.

а Б В Г Д

7

81>

6

11

6

5<

11

3

11

6<

9

13

13

12> 3

7

16

35>

5. За переказ грошей клієнт повинен заплатити банку 1,5 % від суми пе-реказу. Скільки грошей йому потрібно заплатити в касу банку, якщосума переказу становить 10 000 грн?

а Б В Г Д

10 100 грн 10 015 грн 10 150 грн 10 500 грн 11 500 грн

www.4boo

k.org

ТесТ�5�

34

6. У фіналі змагань із бігу на 100 м з бар’єрами беруть участь 8 жінок,три з яких стануть призерами. Скільки є варіантів таких трійок?

а Б В Г Д

168 3 21 336 56

7. Розв’яжіть нерівність log 1

3

3 1x +( ) > − .

а Б В Г Д

− ∞( ); 0 −( )3 0; − + ∞( )3; 0; + ∞( ) − ∞ −( ); 3

8. На рисунку зображено графіки функцій y f x= ( )та y g x= ( ) , що задані на відрізку −[ ]2 3; . Укажіть ті зна-чення x, для яких виконується нерівність f x g x( ) ( ) .

а Б В Г Д

− −[ ] [ ]2 1 2 3; ; −[ ]1 2; −[ ]2 2; 2 3;[ ] − −[ ) ( ]2 1 2 3; ;

9. Якщо Fabc

R= , то c =

а Б В Г Д

Fab

R− FR ab− ab

FR

Fab

R

FR

ab

10. У книжці, яка є в Миколки, 24 сторінки. Картинки є на 8 з них. Ми-колка навмання відкриває книжку. Яка ймовірність того, що на від-критій сторінці буде картинка?

а Б В Г Д

1

21 0

1

3

1

6

11. Графік функції y f x= ( ) проходить через точку A 0 1;( ) (див. рисунок).При якому значенні a графік функції y f x a= −( ) проходить через точ-ку B −( )2 1; ?

а Б В Г Д

0 −2 2 1 −1

y

х

1

1 2 30–1–2

y f x= ( )

yg x

= ( )

y

0

1B A

х1–1–2

р

www.4boo

k.org

� ТесТ�5

35

12. Щоб перевести температуру, подану за шкалою Фаренгейта, у темпе-

ратуру за шкалою Цельсія, використовують формулу C F= −( )5

932 ,

де F — число градусів за Фаренгейтом, а C — відповідне число граду-сів за Цельсієм. Обчисліть C, якщо F = 41 43.

а Б В Г Д

7 115

9

55

96

55

81

13. Які з наведених тверджень є правильними? І. Через дві точки простору можна провести скільки завгодно прямих. ІІ. Якщо дві прямі a і b простору перпендикулярні до третьої прямої,

то a і b паралельні. ІІІ. Якщо пряма a перпендикулярна до двох прямих площини α ,

що перетинаються, то пряма a перпендикулярна до площини α . ІV. Якщо пряма a, що не лежить у площині α , паралельна прямій,

що лежить у площині α , то пряма a паралельна площині α .

а Б В Г Д

Лише І, ІІІ і ІV

Лише ІІІ і ІV Лише І і ІІЛише ІІ,

ІІІ і ІVЛише ІІ і ІV

14. Розв’яжіть рівняння 2 1cosx = − .

а Б В Г Д

2

32

π π+ n ,

n∈ Z

−( ) +12

3

kk

π π ,

k∈ Z

± +2

3

π πk ,

k∈ Z

± +π π3

2 n ,

n∈ Z

± +2

32

π πn ,

n∈ Z

15. Гострий кут паралелограма становить 45° , а його сторони дорівню-

ють 2 2 см і 4 см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

а Б В Г Д

2 2 2 10 2 4 4 2

16. Металевий конус, радіус основи якого дорівнює 9 см, а висота — 4 см, переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких — 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами металу при пере-плавленні знехтуйте.

а Б В Г Д

8 3 27 81 16

www.4boo

k.org

ТесТ�5�

36

17. У 2012 р. кондитерський цех випускав по 230 кг цукерок щомісяця. У зв’язку зі зрослим попитом на продукцію цех за вісім місяців 2013 р. випустив 2000 кг цукерок. Обчисліть середню кількість цукерок, що виготовлялися цехом щомісяця протягом двадцяти минулих місяців.

а Б В Г Д

239 240 480 238 247

18. Клас має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина класу 6 м, до-вжина — 8 м, а висота — 4 м). Площа стін класу дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда. Скільки рулонів шпалер потріб-но купити для того, щоб покрити стіни класу, якщо один рулон шпа-лер має довжину 10 м, а ширину — 1 м?

а Б В Г Д

9 10 8 7 11

19. Розв’яжіть рівняння 3 9 272 4 1 2x x− −⋅ = .

а Б В Г Д

2,55 5

4

±1 1,5 –2,5

20. На рисунку зображено графік функції y a x b= + . Укажіть знаки па-раметрів a і b.

а Б В Г Д

ab

>={ 0

0, a

b><{ 0

0, a

b>>{ 0

0, a

b<>{ 0

0, a

b<<{ 0

0,


21. Установіть відповідність між задачами (1–4) і їх розв’язка ми (А–Д).

Задача розв’язок

1 Скільки відсотків становить 3 від 12?

2 На скільки відсотків 2 більше від 1?

3 На скільки відсотків 8 менше за 16?

4 Скільки відсотків становить 20, якщо 80 становить 40 %?

а 10 %

Б 25 %

В 15 %

Г 50 %

Д 100 %

y

О х

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�5

37

22. На рисунку зображено графік функції y f x= ( ) , що задана на від-різку −[ ]4 2; . Установіть відповідність між властивостями функ-ції f x( ) (1–4) і проміжками (А–Д).

Властивість функції проміжок

1 Функція f x( ) зростає на про-міжку

2 Функція f x( ) спадає на про-міжку

3 Функція f x( ) набуває не-від’єм них значень на проміжку

4 Функція f x( ) набуває недо-датних значень на проміжку

а − −[ ]4 3;

Б −[ ]3 2;

В − −[ ]4 1;

Г −[ ]2 3;

Д −[ ]1 2;

23. Установіть відповідність між векторами, зображеними на рисун-ках (1–4), і їхніми можливими координатами (А–Д).

ВекторКоординати

вектора

1 y

х0 1

1

3

3

2 y

х0

11

–1

3

3 y

х

11

–1

–2

4 y

х0

2

–1–3

а −( )3 3;

Б 3 2; −( )В −( )3 2;

Г − −( )3 1;

Д 3 2;( )



1 101

10lg x =

2 log log2 43 9x =

3 log2

12

x= −

4 log logx x2 2=

а 2; 1

2

Б –10

В 1

Г 1

10Д 2

а Б В Г Д

1

2

3

4

y

х0 1–1

–4

–2

1

3

2

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�5�

38


25. Обчисліть значення виразу y

y

y

y

+ −5

5

5

5 52

2

: , якщо y = 2 5 .

Відповідь: ______________

26. Знайдіть найбільше значення функції f x x x x( ) = − +1

3

5

23 2 6 на про-

міжку 1 6;[ ] .

Відповідь: ______________

27. На рисунку зображені вектори

a і

b , причому

a b= +( )λ 1 . Знайдіть λ .

Відповідь: ______________

28. За рисунком знайдіть площу прямокутника ABCD (у см2), якщо NK = 9 см.

Відповідь: ______________

29. Мишко, Віталік та Олег вирішили купити одну книжку. Мишкові не вистачило на покупку книжки 15 грн, Віталікові — 37 грн, а Оле-гові — 26 грн. Склавши гроші, хлопці виявили, що отриманої суми знов не вистачає на покупку книжки. Скільки коштує книжка, якщо її вартість виражається цілим числом гривень?

Відповідь: ______________

30. Середнє арифметичне деяких дванадцяти чисел дорівнює 15, а середнє арифметичне восьми інших чисел дорівнює 9. Знайдіть середнє ариф-метичне усіх двадцяти чисел.

Відповідь: ______________

31. На столі лежать перегорнуті картки, на яких написані парні числа від 2 до 48 включно. Яка ймовірність того, що на першій взятій на-вмання картці буде написане число, кратне 8?

Відповідь: ______________

32. Знайдіть усі значення параметра а, при яких корені квадратного рів-

няння x a x a2 2 1 5 0− −( ) + − = , є протилежними числами. Якщо таке значення одне, запишіть йОГО у відповідь, якщо значень кілька — у відповідь запишіть їх ДОБУТОК.

Відповідь: ______________

33. В основі піраміди лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють 16 см і 12 см. Знайдіть об’єм вписаного в піраміду конуса (у см3), якщо висо-

та конуса дорівнює 15 см. У відповідь запишіть V

кон

π.

Відповідь: ______________

a

b

A

B C

D

96

K

N

www.4boo

k.org

39







А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�6�

40

Тест 6


1. Два роботи за дві хвилини виготовляють дві деталі. Скільки деталей виготовлять чотири таких самих роботи за чотири хвилини?

а Б В Г Д

2 4 6 8 16

2. Усі сторони трикутника ABC розділені навпіл точками D, E, F. У скіль-ки разів площа трикутника DEF менша від площі трикутника ABC?

а Б В Г Д

у 2 рази у 4 рази у 6 разів у 8 разів у 16 разів

3. Аркуш паперу прямокутної форми (див. рисунок) перегнули по лі-нії NK. Отриману фігуру розмістили на столі так, що точки A, K і D опинилися на площині стола α. Як розташована пряма NK відносно площини α?

а Б В Г Д

Належить площи-

ні α

Паралель-на пло-щині α

Може перетина-ти площину α під будь-яким кутом

Перпендикулярна до площини α

Недостат-ньо даних

4. На свій день народження Дарина купила три сорти тістечок. Кожен гість отримав по два тістечка, причому всі «набори» тістечок відріз-нялись один від одного. Яка найбільша кількість гостей могла прийти до Дарини?

а Б В Г Д

3 4 6 8 12

5. Яке з чисел: sin1, sin3, sin5, sin7 , sinπ2

— є найменшим?

а Б В Г Д

sin5 sinπ2

sin1 sin7 sin3

В N C

A K D

www.4boo

k.org

� ТесТ�6

41

6. На березі моря Микита розкладав гальку на купки. До першої куп-ки він поклав 1 камінчик, а до кожної наступної — на два камінчики більше, ніж до попередньої. Скільки всього камінчиків розклав Мики-та, якщо в останній купці в нього виявилося 25 камінчиків?

а Б В Г Д

300 169 156 144 338

7. Яка функція найточніше відповідає графіку, наведеному на рисунку?

а Б В Г Д

y x= − +3

23 y x= +3

23 y x= − −3

23 y x= 3

2y x= −3

23

8. Укажіть найменший цілий розв’язок нерівності x − −4 1 .

а Б В Г Д

8 0 5 4Розв’язків

немає

9. Укажіть значення похідної функції y f x= ( ) у точці з абсцисою x0 (див. рисунок).

а Б В Г Д

− 3 0 –1 1 − 1

3

10. Знайдіть радіус описаного навколо трикутника кола з центром у точ-ці O (див. рисунок).

а Б В Г Д

4 8 4 3 2 3 8 3

11. Знайдіть координати вектора MN

(див. рисунок), якщо A −( )1 3 4; ; , B − −( )3 2 2; ; .

а Б В Г Д

− − −( )2 1 6; ;

−

2 1

5

2; ;

4 2 12; ; ( ) 1 3

1

2; ;

− − −

1 3

1

2; ;

О

у

х

у

хх0 0

135°

y = f(х)

О30°

4 63

С

NM

B A

www.4boo

k.org

ТесТ�6�

42

12. Укажіть корінь рівняння log4

1

162x +

= − .

а Б В Г Д

3

160 1 15

15

16

Розв’язків немає

13. При яких значеннях змінної x рівняння 2 1x x− = − може мати розв’язок?

а Б В Г Д

1

2; + ∞

− ∞( ]; 0 01

2;

0Таких зна-чень немає

14. Укажіть частинний розв’язок рівняння sinπx = 1.

а Б В Г Д

1 01

2

3

2− 1

2

15. У непрозорому пакеті лежать кулькові ручки, що відрізняються тіль-ки кольором: 10 синіх, 4 фіолетових, 8 червоних і 5 зелених. Знайдіть імовірність того, що вчитель з першої спроби навмання витягне з паке-та червону ручку.

а Б В Г Д

1

27

1

8

8

27

8

19

19

27

16. Обчисліть інтеграл 22

2

xdx−∫ .

а Б В Г Д

1 8 4 0 2

17. Площина, яка проведена через середини трьох ребер куба, відтинає від нього частину (див. рисунок). Знайдіть відношення об’єму відтятої частини до об’єму даного куба.

а Б В Г Д

1 16: 1 48: 1 48: 1 8: 1 24:

www.4boo

k.org

� ТесТ�6

43

18. Знайдіть відсотковий вміст спирту в розчині, що отриманий при змі-шуванні 6 л 20%-го і 4 л 80%-го розчинів спирту.

а Б В Г Д

60 % 30 % 44 % 39 % 50 %

19. На якому рисунку графік функції НЕ відповідає формулі, якою задано функцію?

а Б В Г Д

0

у

х

yx

=

1

2

0

у

х

y x= log 1

2

0 π–π

у

х

y x= sin

0 1

1

у

х

y x= − +1 1

0 1

1 O

у

х

x y−( ) + +( ) =1 1 12 2

20. Знайдіть висоту AN трикутника ABC (див. рисунок), якщо AB BC= = 4 AB BC= = 4 , ∠ =B α .

а Б В Г Д

4sinα4

sinα4cosα

4

tgα4tgα


21. Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1–4) і тригонометричними виразами, що їм тотожно дорівнюють (А–Д).


1 cos −( )α а −sinα

2 sin π α+( ) Б 2cosα

3 cos3

2

π α+

В 2sinα

4 cos sinπ α π α2

−

+ −( ) Г cosα

Д sinα

α

а

B

CN

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�6�

44

22. Установіть відповідність між векторами, зображеними на рисун-ках (1–4), і їхніми можливими довжинами (А–Д).

Вектор Довжина вектора

1

2

–1 0 1 2

1

2у

х

–1 0 1 2

1

2

–1

–2

у

х

3

4

–1 0 1

1

2

у

х

–1 0 1 2

1

2

у

х

а

Б

В

Г

Д

2

2 2

4

2

5

23. Установіть відповідність між рисунками (1–4), на яких зображено гра-фіки функцій, і формулами (А–Д), якими задано ці функції.

Графік Формула

1

2

0 1 2

1

2

–1–2

у

х

0 1 2

1

2

–1

–2

–2

у

х

3

4

0 1 2

1

2

–1–2

у

х

0 1 2

1

2

у

х

3

4

а

Б

В

Г

Д

y x= −( )22

y x= −4 2

y x= + 2

y x= −2 2

y x= +( )22


рівняння Множина коренів рівнянь

1 x x⋅ − =1 0 а ∅

2 1 2− = −x Б 0; 2

3 1 12−( ) =x В –3

4 x x+ = −1 1 Г 0

Д 1

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�6

45

Розв’яжіть завдання 25–33. Одержані числові відповіді запишіть у зошиті та бланку А. Пам’ятайте, що відповіді в бланку А необхідно записувати лише десятковими дробами.

25. У рівнобічну трапецію, верхня основа якої дорівнює 1, вписано коло радіуса 1. Знайдіть площу трапеції.

Відповідь: ______________

26. Знайдіть НАйБІЛьШЕ ЦІЛЕ значення x, що задовольняє нерівність

x x

x x

+ +

+ +( ) ( )( )( )

<2 5

5 10

2

20.

Відповідь: ______________

27. Середнє арифметичне деяких п’ятнадцяти чисел дорівнює 3, а середнє арифметичне інших семи чисел дорівнює 5. Знайдіть середнє арифме-тичне всіх двадцяти двох чисел.

Відповідь: ______________

28. Розв’яжіть рівняння log314 3 1 2 1⋅ −( ) = −−x x . Якщо корінь один, запи-

шіть йОГО у відповідь; якщо декілька — запишіть у відповідь їх СУМУ.

Відповідь: ______________

29. Розв’яжіть систему рівнянь 6 2 3 26 3 12

x y

x y

− ⋅ =⋅ =

,.

У відповідь запишіть знай-

дене значення змінної x. Якщо таких значень декілька, у відповідь за-пишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

30. Обчисліть: log

log

log

log5

30

5

6

30

5

150

5− .

Відповідь: ______________

31. Обчисліть тангенс кута, який утворює з додатним напрямком осі Ox

дотична до графіка функції y x= cos2 у точці з абсцисою x0 4= π

.

Відповідь: ______________

32. Знайдіть об’єм правильної трикутної призми зі стороною основи 2, якщо площа бічної поверхні дорівнює сумі площ основ.

Відповідь: ______________

33. Знайдіть значення параметра a, при якому корінь рівняння

a x a x x−( ) − −( ) + = ( )1 6 1 9 42 2

2log cos π належить проміжку 1 2;( ) .

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

46







А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�7

47

Тест 7


1. Виразіть b, якщо ab

c= − 3 .

а Б В Г Д

a c−( )3 a c+( )3a

c

+ 3ac + 3

c

a + 3

2. Основи двох рівнобедрених трикутників із рівними гострими кутамипри вершині дорівнюють 15 см і 5 см. В одному з трикутників бічнасторона дорівнює 7 см. Знайдіть периметр другого трикутника.

а Б В Г Д

57 см 36 см29

3 см 49 см 32 см

3. Розв’яжіть нерівність1

24

x

.

а Б В Г Д

− ∞( ]; 0 2; + ∞[ ) − ∞ −( ]; 2 − + ∞[ )2; − + ∞( )2;

4. У трикутнику ABC B = °100 , AK — бісектриса кута A (див. рису-нок). Знайдіть градусну міру кута KAC, якщо C = °50 .

а Б В Г Д

10° 30° 15° 55° 25°

5. В Оксани є деяка кількість цукерок. Коли вона розклала їх у куп-ки по 7 штук, одна цукерка залишилася, а коли розклала їх у куп-ки по 10 цукерок, то зайвих цукерок не залишилося. Скільки цукерокмогло бути в Оксани?

а Б В Г Д

30 40 55 60 50

www.4boo

k.org

ТесТ�7�

48

6. Спростіть виразx

x

2 9

3 9

−+

.

а Б В Г Д

x

x

−+

3

3

x − 3

3

x + 3

3

x

3

3

3

−+

x

x

7. Укажіть рисунок, на якому зображено графік парної функції.

а Б В Г Д

x

y

O x

y

O x

y

0 1–1 x

y

O x

y

O

8. Знайдіть похідну функції y x x= − +ctg 2 5 .

а Б В Г Д

′ = +y xx

12

47sin

′ = +−y x

x

12

410sin

′ = +y x xtg 10 4 ′ = +y xx

12

410sin

′ = +yx

x1

32

6

sin

9. Знайдіть кількість коренів рівняння x x x3 22 3 0+ + = на множині дій-сних чисел.

а Б В Г Д

Жодного Один Два Три Безліч

10. Обчисліть:64 2

4

1

32

1

2

⋅( ) .

а Б В Г Д

4 1 21

88

11. Укажіть загальний вигляд первісної функції y x= 2 .

а Б В Г Д

2x x2 2 x C2 + , C ∈R 4 2x C+ , C ∈R

р

www.4boo

k.org

� ТесТ�7

49

12. Знайдіть координати вектора −2AB

, якщо A −( )1 3 2; ; , B − −( )2 0 3; ; .

а Б В Г Д

− −( )4 6 2; ; 2 6 10; ;( ) − − −( )2 6 10; ; 6 6 10; ;( ) 6 6 2; ;−( )

13. Із 8 співробітників відділу троє мають поїхати на конференцію. Скіль-кома способами можна скласти таку групу делегатів?

а Б В Г Д

6 336 56 3 24

14. Металевий циліндр об’ємом 192π см3 переплавили в кульки однако-вого розміру, радіус кожної з яких дорівнює 2 см. Знайдіть кількість одержаних кульок (втратами металу при переплавленні знехтуйте).

а Б В Г Д

9 20 36 6 18

15. На рисунку зображено графік функції y a bx= ⋅ +2 . Укажіть знаки па-раметрів a і b.

а Б В Г Д

ab

>={ 0

0, a

b>>{ 0

0, a

b><{ 0

0, a

b<>{ 0

0, a

b<<{ 0

0,

16. Висота SO правильної піраміди SABC дорівнює 4 3 см, а висота BN її осно ви ABC — 6 см (див. рисунок). Знайдіть кут нахилу бічного ребра SB до площини основи піраміди.

а Б В Г Д

60° 30° 45° 90° Визначити неможливо

17. На столі стопкою лежать класні журнали з однаковими обкладинка-ми: по два журнали 7, 8 і 11-х класів та по три журнали 9-х і 10-х кла-сів. Знайдіть імовірність із першої спроби навмання витягнути жур-нал будь-якого 10-го класу.

а Б В Г Д

1

12

1

4

1

3

1

6

1

9

y

0

–1 х

A

B

C

S

ON

www.4boo

k.org

ТесТ�7�

50

18. Укажіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження.

«Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола дорівнює …»

а Б В Г Д

ra

=2 3

rc

=2

ra=

2sinαr

abc

S=

4r

a b c=

+ −2

19. Знайдіть координати точки, симетричної точці N − −( )3 2 1; ; відносно площини xOz.

а Б В Г Д

−( )3 2 1; ; 3 2 1; ; −( ) 3 2 1; ;−( ) − − −( )3 2 1; ; 3 2 1; ;( )

20. Об’єм циліндра дорівнює 24 см3, точка M — середина осі OO1 (див. ри-

сунок). Знайдіть об’єм конуса, висота якого дорівнює MO.

а Б В Г Д

6 см3 12 см3 8 см3 4 см3 2 см3


21. Установіть відповідність між формулами зведення (1–4) і виразами, які їм тотожно дорівнюють (А–Д).

Формула зведення Вираз

1 cos 180° +( )α

2 sin 90° +( )α

3 23

2cos

π α+

4 − −

+ ° +( )cos sin3

22 180

π α α

а cosα

Б − sin α

В 2sin α

Г −3sin α

Д − cosα

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�7

51

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y x= 3 (1–4) і функціями, графіки яких отримані в результаті цих перетворень (А–Д).


1 Графік функції y x= 3 паралельно перенес-

ли вздовж осі Ox на три одиниці вправо

2 Графік функції y x= 3 паралельно перенес-

ли вздовж осі Oy на три одиниці вгору

3 Графік функції y x= 3 відобразили симе-

трично відносно осі Oy і розтягли в 3 рази


4 Графік функції y x= 3 на тих проміжках,

де y < 0 , відкинули, а на тих проміжках,

де y 0 , симетрично відобразили відносно

осі Ox

а y x= −3 3

Б y x= +3 3

В y x= −( )33

Г y x= −( )33

Д y x= 3

23. На рисунку зображено прямокутний трикутник ABC, гіпотенуза якого дорівнює 6, а гострий кут — 60°. На гіпотенузі AB побудова-ний рівносторонній трикутник ABD, а на катеті СВ — рівносторон-ній три кутник СВе. Установіть відповідність між площами заданих фігур (1–4) і числовими значеннями (А–Д).

площаЧислове

значення

1 Площа трикутника ABC

2 Площа трикутника СВе

3 Площа фігури ADBC

4 Площа трикутника ADC

а 27 3

2

Б 9 3

2

В 9 3

4

Г 12 3

Д 9 3

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

а

BC

E

D

6

60°www.4b

ook.o

rg

ТесТ�7�

52

24. Установіть відповідність між функціями (1–4) і множинами їх пер-вісних (А–Д).

Функція Множина первісних функції

1 y x= 4

33

2 yx

= 32

3 y = 3

4

4 yx

= − 1

4 3

а F x Cx( ) = +

4

3

Б F x Cx

( ) = − +1

2 2

В F x Cx

( ) = +1

8 2

Г F x x C( ) = +3

4

Д F x Cx

( ) = +3


25. Обчисліть суму членів нескінченної геометричної прогресії, у якій

cnn= − ⋅ −3 2 .

Відповідь: ______________

26. Квадратичну функцію задано формулою y ax bx c= + +2, її графік про-

ходить через точки A 1 2; −( ) , B −( )1 3; і C 0 0;( ) . Знайдіть числа a, b

і c. У відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

27. Розв’яжіть рівняння x x x− + = + −4 4 8 2 . У відповідь запишіть КОРІНь рівняння. Якщо таких коренів кілька, то у відповідь запи-шіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

28. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності 2 125 15log logx x− < .

Відповідь: ______________

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

� ТесТ�7

53

29. Змішали 250 г солі та 1 л води (1 л води =1 кг води), а потім 100 г солі та 900 г води — одержали два розчини. На скільки більше грамів дру-гого розчину треба взяти, щоб при змішуванні частини першого й час-тини другого розчинів одержати 540 г 15%-го розчину солі?

Відповідь: ______________

30. Кулю перетнуто площиною на відстані 5 см від її центра. Площа утво-реного перерізу дорівнює 144π см2. Знайдіть довжину радіуса кулі.

Відповідь: ______________


x y

y x a

2 2

2

1 4+ −( ) =

= +

, має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

32. Розв’яжіть рівняння x x x2 2− = . Якщо рівняння має один корінь, запишіть йОГО у відповідь, якщо кілька — у відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

33. Висота конуса дорівнює 3 3 , а його твірна нахилена до площини

основи під кутом 60°. Навколо конуса описано кулю, радіус якої мен-

ший від висоти конуса. Знайдіть площу поверхні кулі. У відповідь за-

пишіть S

π.

Відповідь: ______________www.4b

ook.o

rg

54







А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�8

55

Тест 8


1. Знайдіть значення виразу 3 5 5 2⋅ log.

а Б В Г Д

5 75 30 6 2


3 11

3

1

3⋅.

а Б В Г Д

3 1 11 2 7

3. Укажіть правильну нерівність.

а Б В Г Д

3

8

3

10< 17

21

20

19< 7

13

8

13> 7

9

22

27< 1

5

1

3>

4. Розв’яжіть рівняння tgx

21= .

а Б В Г Д

π π2

4+ n ,

n ∈Z

2πk ,

k ∈Z

π π2

2+ k ,

k ∈Z

π π8 2

+ k,

k ∈Z

π π+ 2 n ,

n ∈Z

5. Клієнт кладе в банк 10 000 грн під 12 % річних. Скільки грошей одер-жить вкладник через один рік?

а Б В Г Д

11 000 грн 12 000 грн 1200 грн 10 120 грн 11 200 грн

www.4boo

k.org

ТесТ�8�

56

6. Розв’яжіть нерівність log1

7

4 1x −( ) − .

а Б В Г Д

4 11;[ ] − ∞( ); 4 4 11;( ] 11; + ∞[ ) 4; + ∞( )

7. На рисунку зображено графіки функцій y f x= ( ) і y g x= ( ) , що заданіна відрізку −[ ]3 2; . Укажіть ті значення x, для яких виконується не-

рівність f x g x( ) ( ) .

а Б В Г Д

−{ } [ ]3 1 2 ; −[ ]3 1; −[ ]3 2; 1 2;( ] 1 2;[ ]

8. Виразіть b, якщо ab c

p= + 2

.

а Б В Г Д

a c p−( )2p

ac− 2

a

pc− 2 ap c− 2

ap

c2


16 20

−+

>x

x.

а Б В Г Д

−( )4 4; − ∞ −( ) + ∞( ); ;4 4 − + ∞( )4; 4; + ∞( ) − ∞( ); 4

10. У паперовому пакеті лежать 35 цукерок «Софі» із трьома видами на-чинок. Кількість цукерок із лікером відноситься до кількості цукерокіз шоколадною начинкою і до кількості цукерок із начинкою крем-брюле як 1 4 2: : . Валентина навмання витягає цукерку. Яка ймовір-ність того, що цукерка буде з лікером?

а Б В Г Д

1

35

1

7

4

7

2

7

1

3

y

x

y = f(x)

y = g(x)

–3 –2 –1 0 1 2

р

www.4boo

k.org

ТесТ�8

57

11. Графік функції y f x= ( ) проходить через точку M −( )1 1; (див. рису-нок). При якому значенні a графік функції y f x a= ( ) − проходить че-рез точку N − −( )1 1; ?

а Б В Г Д

3 −1 −2 2 1

12. Щоб перевести температуру, подану за шкалою Цельсія, у темпера-

туру за шкалою Фаренгейта, використовують формулу FC= +9

532 ,

де C — число градусів за Цельсієм, а F — відповідне число градусівза Фаренгейтом. Обчисліть F, якщо C = 20 ; 25; 30.

а Б В Г Д

4; 13; 22 68; 73; 78 68; 80; 90 45; 77; 86 68; 77; 86

13. Які з наведених нерівностей є правильними?

І. Через дві прямі простору можна провести єдину площину.

ІІ. Якщо дві точки належать площині α , то й пряма, що проходитьчерез ці дві точки, належить площині α .

ІІІ. Через три точки можна провести єдину площину.

ІV. Через точку N, що не належить площині α , можна провести тіль-ки одну пряму, паралельну площині α .

а Б В Г Д

Лише ІІЛише І,

ІІ і ІІІЛише І і ІV

Лише ІІ і ІІІ

Лише ІІ, ІІІ і ІV

14. Гострий кут паралелограма становить 30° , а його сторони дорів-

нюють 2 3 см і 3 см. Обчисліть довжину більшої діагоналі парале-лограма.

а Б В Г Д

39 см 3 см 39 см 33 см 6 см

www.4boo

k.org

ТесТ�8�

58

15. У змаганнях з бігу на 200 м беруть участь 24 спортсмени. Скількиє способів розставити їх у забіги по 6 осіб, якщо рівень спортсменівприблизно однаковий?

а Б В Г Д

1

6 96 909 120 6 4 134 596

16. Металеву кулю, радіус якої 6 см, переплавили в конуси однаковогорозміру з висотою 3 см і радіусом основи 2 см. Скільки таких конусіводержали? Втратами металу при переплавленні знехтуйте.

а Б В Г Д

24 72 12 36 144

17. Обчисліть sin α , якщо cos ,α = 0 8 і 3

22

π α π< < .

а Б В Г Д

1,6 0,4 –0,8 0,6 –0,6

18. Від січня до квітня завод випускав по 9 одиниць виробу щомісяця,у травні — 10 одиниць, у червні — 12, у липні — 14, у серпні — 16 оди-ниць виробу. Знайдіть середню кількість виробів за місяць за вказа-ний період.

а Б В Г Д

10 12 11 13 14

19. Коробку з кришкою, що має форму прямокутного паралелепіпеда з ви-мірами 8 см, 5 см і 4,5 см, обшивають матерією. Знайдіть площу мате-рії, якщо на шви йде 10 % від площі всієї тканини.

а Б В Г Д

180 2см 200 2см 197 2см 177 3 2, см 216 7 2, см

20. Спростіть виразlog log

log

3 3

4

5

3

9

516

+.

а Б В Г Д

1

21 2 –1

log3

52

152

www.4boo

k.org

ТесТ�8

59


21. Установіть відповідність між задачами (1–4) і їх розв’яз ками (А–Д).


1 Швидкість велосипедиста на шляху від пункту A до пункту B становить 8 км/год, а на зворотному шляху — 10 км/год. Знайдіть середню швидкість велосипеди-ста на всьому шляху.

2 Ціна товару збільшилася на 25 % і стала до рівнювати 15 грн. Знайдіть початкову ціну товару.

3 Третя частина деякого числа x дорівнює половині іншого числа, яке на 2 менше за x. Знайдіть x.

4 Чотири автомати виготовляють 4 деталі за 4 хв. Скільки деталей виготовлять 8 таких самих автоматів за 8 хв?

а 12

Б 88

9

В 16

Г 6

Д 9

22. На рисунку зображено графік функції y f x= ( ) , що задана на проміж-

ках − ∞ −( ) −( ) + ∞( ); ; ;2 2 2 2 . Установіть відповідність між властиво-

стями функції f x( ) (1–4) і проміжками (А–Д).


1 Функція f x( ) зростає напроміжках

2 Функція f x( ) набуває додатнихзначень на проміжках

3 Похідна функції f x( ) від’ємнана проміжках

4 Множина значень функції f x( )

а − ∞ −( ); 2 ; 2; + ∞( )Б 0 2;( ) ; 2; + ∞( )В − ∞ −( ); 1 ; 1; + ∞[ )Г − ∞ −( ]; 1 ; 1; + ∞( )Д − ∞ −( ); 2 ; −( ]2 0;

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

y

х0

2–2 –1

1www.4boo

k.org

ТесТ�8�

60

23. Установіть відповідність між векторами, зображеними на рисун-ках (1–4), і їх можливими координатами (А–Д).


вектора

1 y

х

0

–1

2 y

х0–1

1

3 y

х

0–1

–1

4 y

х0

–1 1

а − −( )1 1;

Б −( )1 1;

В −( )1 0;

Г 1 1; −( )Д 2 0;( )

24. Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і множинами їх ко-ренів (А–Д).


1 2 1 1

2x+ =

2 2 42log x =

3 x x− = −1 2 2

4 x x+ = −2 2

а 0

Б –2

В 2

Г 1

Д 4


25. Обчисліть значення виразуx y

x

x

x y

y x

x y

+−

−+

−

⋅22 2 , якщо x = −

1

3.

Відповідь: ______________

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�8

61

26. Завод у січні випустив 200 найменувань виробів. За планом щомісяч-но до кінця року мало виготовлятися на 2 найменування більше, ніжу попередньому місяці, але протягом трьох літніх місяців не вдалосяпідвищити виробництво. Скільки найменувань виробів випустив заводу грудні поточного року?

Відповідь: ______________

27. Бічні сторони трапеції дорівнюють 15 см і 20 см, а різниця їхніхоснов — 25 см. Знайдіть висоту трапеції (у см).

Відповідь: ______________

28. Знайдіть найменший натуральний розв’язок нерівності

1

4

1

25 2 2

2

− ⋅ + > −

−−x

x .

Відповідь: ______________

29. Знайдіть тангенс кута, який утворює з додатним напрямком осі Ox

дотична до графіка функції yx

x=

+2

1

2

у точці A 1 1;( ) .

Відповідь: ______________

30. Виберіть дві нерівності із запропонованих (1–5) і впишіть їх по-слідовно в речення так, щоб утворилося правильне твердження:«Для будь-якого х, що задовольняє нерівність ______, справедливоює нерівність ______».

1) x > 4 2) x < 2 3) x2 4> 4) x x2 4 0− < 5) x < −2 .

Два номери вибраних вами нерівностей, записані послідовно, утворю-ють двоцифрове (ціле) число. Запишіть його у бланк відповідей, врахо-вуючи правила запису чисел у бланк.

Відповідь: ______________

31. Правильна трикутна піраміда вписана в конус, радіус основи якого до-

рівнює висоті і становить 2 3 см. Знайдіть об’єм піраміди (у см3).

Відповідь: ______________

32. Знайдіть усі цілі значення параметра а, при яких квадратне рівнян-ня x a x a2 2 1 2 1 0− −( ) + + = НЕ має коренів. Якщо таке значення одне,запишіть йОГО у відповідь, якщо кілька — у відповідь запишіть їхСУМУ.

Відповідь: ______________

33. Розв’яжіть рівняння log log3 31 2 7 1+ −( )( ) =x .

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

62











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�9

63

Тест 9


1. Обчисліть значення виразу 2 1 1 2+( ) −( ).

а Б В Г Д

3 2 2− 3 2 2+ –1 1 2

2. Довжина кола дорівнює 20π см. Знайдіть площу круга, обмеженогоцим колом.

а Б В Г Д

100 2π см 20 2π см 400 2π см 10 2π см 200 2π см

3. Обчисліть значення виразу log log3 1

3

5 5+ .

а Б В Г Д

–1 log3 5 1 log3 5 0

4. Укажіть проміжки, на яких функція y x x= + +3 6 32 спадає.

а Б В Г Д

− ∞ −( ]; 1 − + ∞( )1;Таких

проміжків немає

− ∞ + ∞( ); −[ ]1 1;

5. У ящику лежать 4 білі кулі, 3 чорні та 5 червоних. Яка ймовірністьтого, що навмання вийнята куля виявиться червоною?

а Б В Г Д

1

31 5

12

7

12

1

4

www.4boo

k.org

ТесТ�9�

64

6. Серед наведених графіків укажіть графік парної функції.

а Б В Г Д

–1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1

7. Знайдіть значення виразу x x+ −2 3 при x = −1.

а Б В Г Д

0 4 2 6 5

8. Для функції y x= 4 3 знайдіть первісну F x( ), графік якої проходить че-

рез точку A (1; 1).

а Б В Г Д

F x x( ) = 4 F x x( ) = −4 3 F x x( ) = +4 2 F x x( ) = −4 13 Інша відповідь

9. Якщо ax

y=

−3

1 ( a ≠ 0; y ≠ 1), то y =…

а Б В Г Д

a x

a

+ 3 3 1x

a

+ 3x a

a

− a x

a

+3

Інша відповідь

10. На рисунку зображено графік функції y ax bx c= + +2 . Укажіть знакипараметрів a, b і c.

а Б В Г Д

abc

<<=

000

,,

abc

<>=

000

,,

abc

<><

000

,,

abc

><>

000

,,

abc

>>=

000

,,

11. Знайдіть скалярний добуток векторів

a 4 3 1; ;−( ) і

b − −( )2 1 1; ; .

а Б В Г Д

–24 0 –12 –1 –10

x

y

О

р

www.4boo

k.org

ТесТ�9

65

12. У циліндр вписано конус (див. рисунок). Знайдіть об’єм конуса, якщооб’єм циліндра дорівнює 300 см3.

а Б В Г Д

50 см3 150 см3 300 см3 100 см3 200 см3

13. Які з наведених тверджень є правильними?І. Якщо сума двох кутів дорівнює 180°, то ці кути є суміжними.ІІ. Якщо діагоналі паралелограма рівні між собою, то цей паралело-

грам є прямокутником. ІІІ. У прямокутному трикутнику з катетами b, c і гіпотенузою a вико-

нується рівність a b c2 2 2+ = . ІV. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести

єдину площину.

а Б В Г Д

Лише І, ІІ і ІV

Лише ІІ і ІV

Лише ІІ, ІІІ і ІV

І, І, ІІІ і ІVЛише ІІ і ІІІ

14. Укажіть відстань від точки S до гіпотенузи AB прямокутного трикут-ника ABC (див. рисунок), якщо SC ABC⊥ ( ) .

а Б В Г Д

SA SK SN CN SB

15. Точка рухається по прямій так, що її швидкість у момент часу t дорів-нює v t t( ) = +3 4 . Знайдіть шлях, пройдений точкою за проміжок часувід t

1 = 1 c до t

2 = 4 с (швидкість вимірюється у метрах за секунду).

а Б В Г Д

15 м 39 м 69 м 12 м 30 м

16. Група студентів із 15 осіб писала контрольну роботу з вищої матема-тики. Оцінки, отримані студентами за п’ятибальною шкалою, зафік-совані за допомогою полігона частот (див. рисунок). Використовуючизображений полігон, обчисліть середню оцінку за контрольну роботув даній групі.

а Б В Г Д

3,4 4 6 5 4,2

17. Дано три точки A 0 0;( ), B −( )6 3; , C 2 1; −( ). Знайдіть довжину медіани ADтрикутника ABC, якщо точка D належить відрізку BC.

а Б В Г Д

2 3 5 2 5 80

Частота

Оцінка

www.4boo

k.org

ТесТ�9�

66

18. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює 64 см2. Знайдіть площу осно-ви даної піраміди, якщо всі її бічні грані нахилені до площини основипід кутом 60°.

а Б В Г Д

16 см2 64 3 см2 32 2 см2 32 3 см2 32 см2

19. Дано чотирикутник ABCD, вписаний у коло радіуса 2 3 см (див. ри-сунок). Знайдіть діагональ AC чотирикутника, якщо кут D = °120 .

а Б В Г Д

2 3 см 4 3 см 6 см 4 см 5 см

20. Об’єм прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D1 1 1 1 дорівнює 120 3cм (див. рисунок). Знайдіть об’єм трикутної піраміди ABCB1 .

а Б В Г Д

30 3cм 40 3cм 60 3cм 20 3cм 10 3cм


21. Установіть відповідність між нерівностями (1–4) і множинами їхрозв’язків (А–Д).

нерівність Множина розв’язків нерівності

1 x < 4

2 x − <4 0

3 x > 4

4 x + > −4 4

а ∅

Б − ∞ + ∞( );

В − ∞ −( ) + ∞( ); ;8 0

Г −( )4 4;

Д − ∞ −( ) + ∞( ); ;4 4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�9

67

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графі-

ка функції y x= −( )12

(1–4) і функціями*, графіки яких отримані в ре-зультаті цих перетворень (А–Д).


1 Графік функції y x= −( )12

паралельно пере-несли вздовж осі Oy на дві одиниці вгору


паралельно пере-несли вздовж осі Ox на дві одиниці ліворуч


стиснули до осі Oyу два рази


відобразили си-метрично відносно осі Ox

а y x= − −( )12

Б y x= −( ) +1 22

В y x= − −( )12

Г y x= +( )12

Д y x= −( )1

21

2

23. На рисунку зображено трикутну піраміду SABC, ребра якої рівні міжсобою, а SO — її висота. Установіть відповідність між заданими кута-ми (1–4) і їх градусними мірами (А–Д).

КутГрадусна міра

кута

1 Кут між прямими SC і SB

2 Кут між прямими SB і AC

3 Кут між прямою SB і пло-щиною ABC

4 Лінійний кут двогранного кута з ребром AC

а arccos1

3

Б arccos1

3

В 60°

Г 30°

Д 90°

24. Установіть відповідність між функціями y f x= ( ) (1–4) і числовимизначеннями (А–Д) тангенсів кутів, які утворюють з додатним напрям-ком осі Ox дотичні до графіків цих функції у точці з абсцисою x0 .

Функція Значення тангенса кута

1 y x= −2 1 , x0 3= −

2 y x= tg , x0 4= π

3 y x= 1

33, x0 1=

4 y x= ln2 , x0 2=

а 1

Б 1

2

В –2

Г 2

Д − 1

2

* Враховуйте тотожні перетворення функцій.

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�9�

68


25. На скільки процентів додатне число c менше за число d, якщо d c: ,= 2 3 ?

Відповідь: ______________

26. Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівностіx x

x

2

2

7 10

30

− +

−( ) .

Відповідь: ______________

27. У трапеції ABCD, описаної навколо кола, діагональ AC ділить середнюлінію на відрізки KP = 4 см і PN = 6 см (див. рисунок). Знайдіть пери-метр трапеції (у см).

Відповідь: ______________

28. Знайдіть найбільше значення функції yx x

x=

− +2 22

на проміжку − −[ ]3 1; .

Відповідь: ______________

29. Розв’яжіть систему рівнянь3 3

3 3

8 3 1

8 3 2

3

x y

x y

+ −=

− =

−

,

. Для отриманого розв’язку

x y0 0;( ) системи обчисліть СУМУ x y0 0+ .

Відповідь: ______________

30. Розв’яжіть рівняння logx

x

x

4 5

6 51

+−

= − .

Відповідь: ______________

31. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями f x x( ) = 2 і g x x( ) = −3 2 ;результат округліть до десятих.

Відповідь: ______________

32. Розв’яжіть нерівність x x x x x2 22 1 2 2 8− + − −( ) + < . У відповідь за-

пишіть її НАйМЕНШий ЦІЛий розв’язок.

Відповідь: ______________

33. Конус вписано в правильну трикутну піраміду, сторона основи якоїдорівнює 6, а кут нахилу бічної грані до площини основи стано-

вить 60° . Знайдіть об’єм конуса. У відповідь запишіть V

π.

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

69











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�10�

70

Тест 10


1. Маса макулатури, яку зібрав Вітя, відноситься до маси макулатури,яку зібрав Сашко, як 5 4: . Скільки макулатури зібрав Сашко, якщоВітя зібрав 30 кг макулатури?

а Б В Г Д

26 кг 37,5 кг 24 кг 20 кг 16 кг

2. Паралельні прямі a і b перетинають сторони Оа та ОВ кута AOB у точ-ках A

1, A

2 і B

1, B

2 відповідно (див. рисунок). Знайдіть довжину відріз-

ка A A1 2 , якщо OA1 13= см.

а Б В Г Д

6,5 см 26 см 13 см 10 см 15 см

3. Дитячий майданчик має форму правильного п’ятикутника, довжинасторони якого виражається цілим числом метрів. Яким числом метрівможе виражатися периметр цього майданчика?

а Б В Г Д

88 м 89 м 90 м 91 м 93 м

4. Обчисліть: sin , cos ,22 5 22 5° ° .

а Б В Г Д

1

2

1

22 2

2

41


а Б В Г Д

4 3 1y x− = 3 4 3y x+ = 3 4 3y x− = 3 4 1y x+ = y x− =3 4

A

A2

A1

B1

B2

BO

ab

3

4

y

x0

1

www.4boo

k.org

ТесТ�10

71

6. Обчисліть:8 2

16

1

3 2⋅.

а Б В Г Д

8 1 4 21

2

7. Знайдіть значення виразу x x− − −2 4 3 , якщо x = −1.

а Б В Г Д

–4 –1 2 –10 4

8. Площа паралелограма ABCD дорівнює 98 см2. Точка K лежить на пря-мій ВС (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKD.

а Б В Г Д

98

3 см2 98 см2 49 см2 49

2 см2

Визначити неможливо

9. Виберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твер-дження.

«Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є …»

а Б В Г Д

точка перетину

висот

точка перетину

медіан

точка перетину бісектрис

вершина прямого

кута

середина найбільшої

сторони

10. Укажіть номер члена арифметичної прогресії –8; –7,5; –7; … , який до-рівнює –3.

а Б В Г Д

9 10 11 12 13

11. На рисунку зображено прямокутник ABCD. Дві перпендикулярніпрямі ML і NK проведені так, що утворилося чотири прямокутни-ки ANOL, NBMO, OMCK і LOKD. Обчисліть суму периметрів утво-рених прямокутників, якщо периметр прямокутника ABCD дорів-нює 46 см.

а Б В Г Д

92 см 23 см 69 см 46 смДаних

недостатньо

A D

B CK

A

B

O

L

M

KN

D

C

www.4boo

k.org

ТесТ�10�

72

12. Обчисліть:log log

log3 3

3

16 8

2

−.

а Б В Г Д

1 0 31

23loglog3 4

13. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1. Знайдіть відстань від точки D до площини A B C1 1 1 , якщо AB = 5 см, BC = 4 см, AA1 10= см.

а Б В Г Д

141 см 10 см 116 см 4 см 5 см

14. Укажіть рівняння, яке НЕ має розв’язків.

а Б В Г Д

sinx =2

2tgx =

1

2ctgx = 2 cosx = 2 tgx = 2

15. Знайдіть кількість граней десятикутної піраміди.

а Б В Г Д

10 20 11 12 15

16. Розв’яжіть нерівність 2 8 43 1+ −⋅x x .

а Б В Г Д

− + ∞[ )2; − ∞( ];2 − ∞ + ∞( ); − ∞ −( ]; 2 2; + ∞[ )

17. Кут між площинами α і β дорівнює 60°. Точка а, яка лежить у пло-щині α, віддалена від площини β на 12 3 см (див. рисунок). Знайдітьвідстань від точки а до прямої перетину площин α і β .

а Б В Г Д

12 см 12 3 см 6 3 см 24 3 см 24 см

18. Знайдіть об’єм повітряної кулі, діаметр якої дорівнює 6 м.

а Б В Г Д

36π м3 144π м3 288π м3 48π м3 72π м3

A

A1

D

D1

B

B1

C

C1

β

α A

B

N

www.4boo

k.org

ТесТ�10

73

19. У перервах футбольних матчів повинні виступати групи підтримки,на кожному матчі по п’ять груп, причому певна група завжди має ви-ступати останньою. Скількома різними способами можна скласти про-граму виступів груп підтримки?

а Б В Г Д

6 5 4 24 20

20. На рисунку зображено графік функції y a x b= + . Укажіть знаки па-раметрів a і b.

а Б В Г Д

ab

<={ 0

0, a

b<<{ 0

0, a

b<>{ 0

0, a

b>>{ 0

0, a

b><{ 0

0,


21. Установіть відповідність між задачами (1–4) та їх розв’яз ка ми (А–Д).


1 Скільки відсотків становлять 4 від 16?

2 На скільки відсотків 50 більше від 25?

3 На скільки відсотків 21 менше за 42?

4 Скільки відсотків становлять 80, якщо 12 становлять 3 %?

а 20 %

Б 25 %

В 10 %

Г 50 %

Д 100 %

22. На рисунку зображено графік функції y f x= ( ), що задана на про-міжку −[ ]3 3; . Установіть відповідність між властивостями функ-цій f x( ) (1–4) і проміжками (А–Д).


1 Функція f x( ) зростає на проміжку

2 Функція f x( ) спадає на проміжку

3 Функція f x( ) набуває невід’ємнихзначень на проміжку

4 Функція f x( ) набуває недодатнихзначень на проміжку

а −[ ]2 1;

Б −[ ]2 2;

В − −[ ] [ ]3 2 1 3; ;

Г −[ ]1 3;

Д − −[ ]3 1;

O

y

x

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

0–3

–2

2

–1 1 3

y

x

www.4boo

k.org

ТесТ�10�

74



вектора

0

y

x

2

0

y

x

1

0

y

x

3

0

y

x

4

11

11

11

11

а −( )1 0;

Б 0 1;( )В −( )1 1;

Г 1 1; −( )Д − −( )1 1;


рівнянняМножина коренів

рівняння

1 π π4 4

2

1

=

+−

x

x

2 x x4 2 6 0− − =

3 log4

3

2

1

2−

= −x

4 0 2

5

0 04

25

12, ,

x x+

=

а ± 3

Б –2

В –1

Г − 1

2

Д 1


25. У магазині канцтоварів ціна зошита дорівнює 4,25 грн, ціна ручки —1,2 грн, а ціна набору фломастерів — 10 грн. Сашко купив 12 зошитів,6 ручок та декілька наборів фломастерів. Середня ціна куплених канц-товарів склала 4,2 грн. Скільки наборів фломастерів купив Сашко?

Відповідь: ______________

26. Обчисліть значення виразуx

x

x x

x

2

2

2

3

3

3

3

6

− −: , якщо x = −5 3 .

Відповідь: ______________

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�10

75

27. У непрозорому пакеті лежать гриби трьох видів: білі, підберезникита красноголовці, причому красноголовців у чотири рази більше, ніжбілих та підберезників разом. Знайдіть імовірність того, що першийгриб, вибраний навмання з пакета, виявиться красноголовцем.

Відповідь: ______________

28. Велосипедист проїхав відстань 60 км від пункту а до пункту В з постій-ною швидкістю. Назад із пункту В до пункту а він повертався, збіль-шивши швидкість на 10 км/год, унаслідок чого витратив на зворотнийшлях на 60 хв менше. Знайдіть швидкість велосипедиста (у км/год),з якою він їхав із пункту а до пункту В.

Відповідь: ______________

29. Знайдіть найменше значення функції yx

x=

+2

1

2

на проміжку −

1

23; .

Відповідь: ______________

30. Укажіть НАйБІЛьШий ЦІЛий розв’язок нерівності

log log1

6

1 265 5 5

1

4x x x+ −−( ) ⋅

.

Відповідь: ______________

31. Основою прямої призми є ромб зі стороною 13 см і більшою діаго-наллю 24 см. Бічна грань призми є квадратом. Знайдіть площу біч-ної поверхні S

бічн циліндра (у см2), вписаного в призму. У відповідь за-

пишітьSбічн

π.

Відповідь: ______________

32. Знайдіть суму усіх ЦІЛиХ розв’язків нерівності2

2

1

2

1

3x x x− −+ ( ) − .

Відповідь: ______________

33. Знайдіть НАйБІЛьШЕ ЦІЛЕ значення параметра а, при якому рів-

няння3

2 3

4

2x a ax− += має ДОДАТНий корінь.

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

76











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�11

77

Тест 11


1. Знайдіть відношенняx

y, якщо 12 25x z= і 8 15y z= .

а Б В Г Д

32

125

125

32

5

2

10

9

9

10

2. Спростіть вираз2

1 2

tg

tg

αα+

.

а Б В Г Д

sin 2α cos2α tg 2α sin2 α cos2 α

3. Серед наведених графіків зазначте графік функції yx

x= 2

.

а Б В Г Д

0 0 0 0 0

4. Розв’яжіть нерівність log log1

3

1

3

2x .

а Б В Г Д

0; + ∞( ) − ∞( ]; 2 2; + ∞[ ) 0 2;[ ] 0 2;( ]

5. Знайдіть довжину вектора AB

, якщо A −( )1 2; , B 2 1;( ).

а Б В Г Д

2 2 10 2 2 4

www.4boo

k.org

ТесТ�11�

78

6. Скількома способами можна вибрати 3 олівці із 7 різних олівців?

а Б В Г Д

27 21 343 35 210

7. Обчисліть 35

7

3

22

2

7

19

22+ + + .

а Б В Г Д

421

224 5 4

6

7

Інша відповідь

8. У прямокутнику бісектриса прямого кута ділить протилежну сторонуна відрізки завдовжки 5 і 7 (див. рисунок). Знайдіть периметр прямо-кутника.

а Б В Г Д

25 34 29 30 38

9. Знайдіть значення N, якщо N = log2

1

2.

а Б В Г Д

1 2 –21

2−

1

2

10. Знайдіть площу поверхні трикутної піраміди, у якої кожне ребро до-рівнює 2.

а Б В Г Д

4 3 4 3 2 3 32

11. Група студентів із 12 осіб складала іспит з математики. Знання оці-нювалися за п’ятибальною системою. Оцінки, отримані студентами,відповідно до списку студентів групи такі: 5, 4, 4, 3, 4, 2, 2, 5, 5,3, 3, 4. Знайдіть медіану цього розподілу.

а Б В Г Д

3 3,5 4 4,5 5

12. У трикутнику ABC кути A і C рівні й кожний із них у два рази біль-ший від кута B (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута BCN.

а Б В Г Д

108° 120° 110° 130°Інша

відповідь

5 7

р

www.4boo

k.org

ТесТ�11

79

13. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 16 3 см2. Знайдітьсторону цього трикутника.

а Б В Г Д

2 3 см 4 см 2 см 32 см 8 см

14. Площа рівнобічної трапеції, діагональ якої 2 см, дорівнює 3 см2.Знайдіть градусну міру кута між діагоналями трапеції.

а Б В Г Д

30° 45° 60° 90° 0°

15. Укажіть лінійний кут двогранного кута з ребром AB, якщо PC ABC⊥ ( ),∠ = °ACB 90 , CK AB⊥ (див. рисунок).

а Б В Г Д

∠ PKC ∠ PAC ∠ PBC ∠ PCK ∠ KPC

16. Знайдіть кут між ребром A1D

1 і діагоналлю BD куба ABCDA

1B

1C

1D

1.

а Б В Г Д

45° 90° 30° 60° Неможливо визначити

17. Скількома способами з колоди у 36 карт можна вибрати рівно дватузи?

а Б В Г Д

4 6 12 630 1260

18. На рисунку зображено графік функції y f x= ( ) . Функція визначена напроміжку −( )3 4; і в кожній точці цього проміжку має похідну y f x= ′ ( ).Визначте кількість коренів рівняння ′ ( ) =f x 0 на проміжку −( )3 4; .

а Б В Г Д

4 6 5 3 0

19. Знайдіть суму членів нескінченної геометричної прогресії 2; −1;1

2;

− 1

4; ... .

а Б В Г Д

22

3

1

34

4

3

A

B

P

C

K

y

4−3 0 x

www.4boo

k.org

ТесТ�11�

80

20. Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити площу заштри-хованої на рисунку фігури.

а Б В Г Д

S kx b dx= +( )∫1

4

S f x dx= ( )∫0

1 S f x kx b dx= ( )+ +( )∫1

4

S f x kx b dx= ( )+ +( )∫1

4

S f x kx b dx= ( ) − −( )∫1

4

S f x kx b dx= ( ) − −( )∫1

4

S kx b f x dx= + − ( )( )∫1

4

S kx b f x dx= + − ( )( )∫1

4


21. Установіть відповідність між заданими виразами (1–4) і тотожно рів-ними їм виразами (А–Д).


1 log loga ab c+

2 loga

b

c

3 loga

nn b

4 a a bclog

а log

loga

a

b

c

Б loga b

В loga bc

Г bc

Д log loga ab c−

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графікафункції y x= tg (1–4) і функціями*, графіки яких отримані в резуль-таті цих перетворень (А–Д).

перетворення графіка функції Функція

1 Графік функції y x= tg стиснули до осі Oy у два рази

2 Графік функції y x= tg на тих проміжках, на яких y 0 , залишили без зміни, а на тих проміжках, де y < 0 , відобразили симетрично відносно осі Ox

3 Графік функції y x= tg паралельно перенесли вздовж осі Oy на дві одиниці вниз

4 Графік функції y x= tg симетрично відобразили відносно осі Oy

а y x= 2tg

Б y x= −tg 2

В y x= tg

Г y x= − tg

Д y x= tg2


x

y

1 4

y=f(x)

y=kx

+b

0

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�11

81

23. На рисунку зображено куб ABCDA B C D1 1 1 1. Установіть відповідність між заданими кутами (1–4) і їхніми градусними мірами (А–Д).

КутГрадусна

міра кута

1 Кут між прямими BC1 і AD1

2 Кут між прямими DC1 і BB1

3 Кут між прямими D B1 1 і DC1

4 Кут між прямими AD і CC1

а 0°

Б 60°

В 30°

Г 90°

Д 45°



1 1

3

81

8

2

3

3

⋅

=

x x

2 8 11+ =x

3 lg lg2 5 2 6 0−( ) − +( ) =x x

4 log log22

23 2x x− = −

а 2; 4

Б –1

В 1; 2

Г 0

Д ∅


25. Першу третину шляху автомобіль їхав зі швидкістю 40 км/год, рештушляху — зі швидкістю 70 км/год. Знайдіть середню швидкість авто-мобіля (у км/год) на всьому шляху слідування.

Відповідь: ______________

26. Розв’яжіть рівняння 3 2 15 3 2 8 72 2x x x x− + + − + = . У відповідь запи-шіть цілий розв’язок рівняння.

Відповідь: ______________

27. Змішали 2 л 3%-го водного розчину солі та 3 л 5%-го водного розчинусолі (1 л води = 1 кг води). Обчисліть відсот ковий вміст солі в утворе-ній суміші.

Відповідь: ______________

A1

B1 C

1

D1

A

B C

D

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�11�

82

28. У порожню циліндричну посудину з радіусом основи 18 см налиливоду. У воду повністю занурили кулю радіуса 9 см. На скільки санти-метрів піднялася в посудині вода (відомо, що вода через край не пере-лилася)?

Відповідь: ______________

29. Розв’яжіть рівняння f x g x ( ) = ( ), якщо f xx

x( ) = +3 2

, g x xx

( ) = +62

.

Відповідь: ______________

30. Знайдіть найбільше значення функції y x x= −1

33 22 на від-

різку −[ ]1 3; .

Відповідь: ______________

31. На рисунку зображено функцію y f x= ( ) . Розв’яжіть систему не-

рівностейf x

x x

( )− −

0

3 10 02

,

.У відповідь запишіть ДОБУТОК цілих

розв’язків системи.

Відповідь: ______________


ax a yx ay a

+ +( ) =+ = −

6 32

, має нескінченну множину розв’язків. Якщо таке зна-

чення одне, то запишіть йОГО у відповідь. Якщо таких значень кіль-ка, то у відповідь запишіть їх СУМУ.

Відповідь: ______________

33. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см і утворюєз площиною основи піраміди кут 60°. Знайдіть площу поверхні кулі,

описаної навколо піраміди (в см2). У відповідь запишіть значення S

π.

Відповідь: ______________

y

х10

–2 1

4

www.4boo

k.org

83











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�12�

84

Тест 12


1. Якщо2 1

a cb= − , то c =…

а Б В Г Д

a

ab − 2

ab

a

− 2 a

ab + 2

a

ab2 −2b a

a

+

2. Скільки коренів має рівняння x x x− ⋅ + ⋅ − =2 1 4 0?

а Б В Г Д

0 1 2 3Інша

відповідь

3. Задано функції: 1) y x= 2 ; 2) y x= ; 3) y x= 33 . Серед наведених твер-джень укажіть правильне.

а Б В Г Д

Графіки всіх трьох функцій

збігаються

Збігаються графіки

тільки пер-шої й другої

функцій


тільки пер-шої й третьої

функцій


тільки дру-гої й третьої

функцій

Графіки всіх функ-цій різні

4. Комплект для гри в доміно налічує 28 кісточок. Навмання беруть 2 кіс-точки, що виявляються не дублями. Знайдіть імовірність того, що тре-тя навмання взята кісточка виявиться не дублем.

а Б В Г Д

26

28

21

26

19

26

19

28

21

28

5. Обчисліть: 4 224log .

а Б В Г Д

2 −0 5, 0,5 –1 1

www.4boo

k.org

ТесТ�12

85

6. Укажіть номер члена арифметичної прогресії 4; 3,5; 3; … , який дорів-нює –2.

а Б В Г Д

13 12 11 14 10

7. Обчисліть 17 38 9 931 17 38 0 069, , , ,⋅ + ⋅ .

а Б В Г Д

17,38 173,8 1738 100Інша

відповідь

8. У трикутник ABC вписано коло, N, P, K — точки дотику, AB = 14,AN = 6 , KC = 7 (див. рисунок). Знайдіть периметр трикутника ABC.

а Б В Г Д

21 42 40 41 43

9. На рисунку зображено графік функції y ba

x= + . Укажіть знаки пара-

метрів a і b.

а Б В Г Д

ab

<>{ 0

0, a

b<<{ 0

0, a

b>={ 0

0, a

b>>{ 0

0, a

b><{ 0

0,

10. Група учнів за залікову роботу одержала такі бали: 6, 7, 10, 10, 8, 6, 7,7, 10, 7, 11, 9. Знайдіть моду цього ряду даних.

а Б В Г Д

4 10 7 6 11

11. Коло з центром у точці O −( )1 3; проходить через точку A 2 2; −( ) .Знай діть радіус даного кола.

а Б В Г Д

20 4 34 2Інша

відповідь

12. У трапеції ABCD діагональ AC є бісектрисою гострого кута A (див. ри-сунок). Зазначте рівні сторони трапеції.

а Б В Г Д

AB, BC, DC AD і CD AB і AD AB і CD AB і BC

A

B

O

CK

NP

О

y

x

A

B C

D

www.4boo

k.org

ТесТ�12�

86

13. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть ра-діус кола, вписаного в цей трикутник.

а Б В Г Д

7 см 5 см 1 см 12 см 2 см

14. Знайдіть об’єм кулі, радіус якої дорівнює 3 3 см.

а Б В Г Д

4 см3 12 см3 12π см3 4π см3 1 см3

15. Площа паралелограма ABCD дорівнює 60 см2 (див. рисунок). Знайдітьплощу трикутника AND.

а Б В Г Д

60 см2 30 см2 15 см2 40 см2Визначити неможливо

16. Дано множину цифр A = { }2 3 4 5, , , . Знайдіть кількість трицифровихчисел, які складені з даних цифр, якщо цифри в цих числах не повто-рюються.

а Б В Г Д

40 48 24 4 6

17. Кут між площинами α і β становить 30°. Відстань від точки N, яка ле-жить у площині α, до прямої перетину площин α і β дорівнює 38 см(див. рисунок). Знайдіть відстань від точки N до площини β .

а Б В Г Д

38 см 19 см 76 см 19 3 см 19 2 см

18. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Знайдіть довжинумедіани, проведеної з вершини прямого кута.

а Б В Г Д

6 4 7 5 10

19. Укажіть загальний вигляд первісної функції f x( ) = −4 .

а Б В Г Д

–4 −4x− +4x C,

C ∈R0 − +4 C ,

C ∈R

A

NB C

D

β

α N

www.4boo

k.org

ТесТ�12

87

20. Об’єм прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B

1C

1D

1 дорівнює 56 3cм

(див. рисунок). У паралелепіпеді проведено переріз так, щоCN NC= 1. Знайдіть об’єм призми ABMDCN.

а Б В Г Д

4 3cм 7 3cм 8 3cм 28 3cм 14 3cм


21. Установіть відповідність між заданими рівняннями (1–4) і множина-ми їх розв’язків (А–Д).

рівняння Множина розв’язків рівняння

1 x x2 2 0+ =

2 x x−( ) =2 02

3 x2 4 0+ =

4 x x

x

2 2

20

++

=

а 0

Б 2

В −2; 0

Г 0; 2

Д ∅

22. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графікафункції y x= log2 (1–4) і функціями*, графіки яких отримані в резуль-таті цих перетворень (А–Д).

перетворення графіка функції Функція

1 Графік функції y x= log2 пара-лельно перенесли вздовж осі Ox на три одиниці ліворуч

2 Графік функції y x= log2 пара-лельно перенесли вздовж осі Oy на три одиниці вниз

3 Графік функції y x= log2 відобра-зили симетрично відносно осі Ox

4 Графік функції y x= log2 стисну-ли до осі Ox у три рази

а y x= 1

3 2log

Б y x= −log2 3

В y x= −( )log2

Г y x= −log21

Д y x= +( )log2 3


A1

B1 C

1

D1

A

B C

NM

D

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�12�

88

23. На рисунку зображено трикутник ABC. Установіть відповідність міжтригонометричними функціями заданих кутів (1–4) і їхніми числови-ми значеннями (А–Д).

Функція кута Числове значення

1 sin BAD

2 cos BCD

3 tg CBD

4 tg ABD

а 2 6

7

Б 5

13

В 12

5

Г 2 6

5

Д 12

13

24. Установіть відповідність між нерівностями (1–4) і множинами їхрозв’язків (А–Д).

нерівністьМножина розв’язків

нерівності

1 log3 0x <

2 x − <1 1

3 6

7

2

1

>x

4 x

x

−+

( ) >1

1

2

0

а 0 1;( )Б − ∞( );1

В −( ) + ∞( )1 1 1; ;

Г 0 2;( )Д − ∞( ); 0


25. Швидкість руху потяга збільшилася від 75 км/год до 80 км/год.На скільки відсот ків зменшився час, витрачений потягом на той са-мий шлях? Відповідь запишіть із точністю до цілих.

Відповідь: ______________

26. Алфавіт одної з мов містить 18 приголосних і 6 голосних. Скільки дво-значних «слогів» існує у цій мові? («Слогом» вважається пара з однієїголосної та однієї приголосної.)

Відповідь: ______________

A

13

12

B

CD2 6

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�12

89

27. Знайдіть модуль вектора

m a b= − 2 , якщо

a = 2,

b =1, а кут між

векторами

a і

b дорівнює 60° .

Відповідь: ______________

28. Арифметична прогресія xn( ) задана формулою x nn = −29 3 . Визначте

число додатних членів даної прогресії.

Відповідь: ______________

29. Розв’яжіть нерівністьx x

x x

2

2

2 3

60

+ −− −

. У відповідь запишіть НАйБІЛь-

ШЕ ЦІЛЕ число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа немає, у відповідь запишіть число 100.

Відповідь: ______________

30. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y x= , y = 1, x = 4;результат округліть до десятих.

Відповідь: ______________

31. Розв’яжіть систему рівняньx x y

y y xy

3

2

0

2 21 2

⋅ − =+ = +

,

.Знайдіть її ЦІЛІ роз-

в’язки x y0 0;( ) . У відповідь запишіть СУМУ x y0 0+ .

Відповідь: ______________

32. Розв’яжіть рівняння 2 3 11

5

1

5

+ + = −log logx x . Якщо рівняння має

один корінь, запишіть йОГО у відповідь. Якщо рівняння має більшеніж один корінь, у відповідь запишіть НАйМЕНШий.

Відповідь: ______________

33. У правильній трикутній піраміді кут нахилу бічної грані до площиниоснови дорівнює 60° . Знайдіть бічну поверхню вписаного в пірамідуконуса, якщо відстань від основи висоти до середини бічного ребра до-

рівнює 7 . У відповідь запишітьS

бічн

π.

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

90











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

ТесТ�13

91

Тест 13


1. Укажіть, скільки коренів має рівняння log 12 1

x

x = − .

а Б В Г Д

Безліч 3 2 1 0


7

1

1

−x

.

а Б В Г Д

1; + ∞[ ) 1; + ∞( ) − ∞( ];1 2; + ∞[ ) − ∞( ];2

3. Серед наведених графіків зазначте графік функції y x= −2 .

а Б В Г Д

0 0 00 0

4. На рисунку зображено графік функції y ax b= +2 . Укажіть знаки пара-метрів a і b.

а Б В Г Д

ab

<<{ 0

0, a

b<>{ 0

0, a

b<={ 0

0, a

b>>{ 0

0, a

b><{ 0

0,

5. До графіка функції y x x= + +2 3 12 проведено дотичну в точці з абсци-сою x0 1= − . Обчисліть тангенс кута нахилу цієї дотичної до додатногонапрямку осі абсцис.

а Б В Г Д

2 0 –7 1 –1

О

y

x

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

92

6. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4,якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?

а Б В Г Д

24 6 18 12 4


11 10

1

10 311

− −− − .

а Б В Г Д

–3 3 − +2 10 3 0Інша

відповідь


а Б В Г Д

y x= − +1

21 y x= − −

1

21 y x= −2 1 y x= − +2 1 y x= −

1

21

9. Обчисліть f x dx( )∫0

2

, якщо відомо, що f x dx( ) = −−∫5

0

8 і f x dx( ) =−∫5

2

3 .

а Б В Г Д

11 – 5 5 − 3

8– 11

10. Швидкість руху потяга дорівнює 80 км/год. Якою є довжина (у м) по-тяга, якщо відомо, що він проходить повз нерухомого спостерігачаза 18 с?

а Б В Г Д

400 800 1600 200 600

11. Знайдіть середнє арифметичне значення варіаційного ряду 0, 1, 2, 1,1, 2, 2, 2, 4, 3, 3.

а Б В Г Д

3,5 3 1 2 110

11

0

–1

–2

y

x

р

www.4boo

k.org

ТесТ�13

93

12. Визначте зовнішній кут многокутника, зображеного на рисунку.

а Б В Г Д

80° 100° 90° 60° 120°

13. Основа й середня лінія трапеції дорівнюють 5 см і 7 см відповідно.Знай діть другу основу трапеції.

а Б В Г Д

6 см 9 см 10 см 4 см 3 см

14. Обчисліть діагональ куба, якщо діагональ його нижньої основи дорів-нює 4 см.

а Б В Г Д

4 2 2+( ) см 2 6 см 4 2 см 24 смІнша

відповідь

15. Квадрат обертається навколо своєї сторони. Знайдіть об’єм тіла обер-тання, якщо сторона квадрата дорівнює 2 см.

а Б В Г Д

8

3

πсм3 4π см3 8π см3 2π см3 16π см3

16. Твірна конуса у два рази більша від його радіуса. Знайдіть кут нахилутвірної конуса до площини його основи.

а Б В Г Д

90° 45° 30° 60° Інша відповідь

17. Осьовий переріз циліндра є квадратом, а довжина кола основи дорів-нює 12π см. Знайдіть площу перерізу.

а Б В Г Д

144 см3 36 см3 64 см3 576 см3 24 см3

18. Із колоди у 36 карт навмання вибирають 1 карту. Яка ймовірністьтого, що це буде туз чорної масті?

а Б В Г Д

1

6

1

18

1

36

1

9

1

4

?

40

40

11050

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

94

19. Точки N, P, K, L лежать на колі, NK — діаметр цього кола (див. рису-нок). Знайдіть величину кута NPL, якщо LNK = °20 .

а Б В Г Д

40° 20° 80° 90° 70°

20. Скільки всього граней у піраміди, якщо вона має 18 ребер?

а Б В Г Д

18 9 10 11 8


21. Установіть відповідність між заданими рівняннями (1–4) і множина-ми їх розв’язків (А–Д).

рівняння Множина розв’язків рівняння

1 sin2 1x =

2 cosx = 0

3 tg 4 0x =

4 cos2 1x =

аπl

4, l ∈Z

Б πn , n ∈Z

В 2πk, k ∈Z

Г π π4

+ n , n ∈Z

Д π π2

+ k, k ∈Z



вектора

0 3

y

x

3

0 3

y

x

1

01

–3

y

x

4

0–1

–1

–3

y

x

2а − −( )1 3;

Б − −( )3 1;

В 3 0;( )Г 3 1; −( )Д −( )3 1;

N

P

L

K

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�13

95

23. На рисунку зображений конус, у якого діаметр основи дорівнює твірній. Установіть відповідність між заданими кутами (1–4) і їх гра-дусними мірами (А–Д).

КутГрадусна міра

кута

1 Кут між висотою конуса та його твірною

2 Кут між твірною SN і площи-ною основи конуса

3 Кут між радіусами основи AO і ON, якщо ∪ = °BN 100

4 Кут між прямими SO і ON

а 90°

Б 80°

В 30°

Г 40°

Д 60°

24. Установіть відповідність між функціями (1–4) і значеннями їхніх по-хідних у точці x0 (А–Д).

Функція, точкаЗначення похідної

функції у точці

1 y x= −1

44 2, x0 1= −

2 y x= 2cos , x0 2= π

3 y x x= −2 3 23

2, x0 1=

4 y xx

= −21 , x0 1=

а –2

Б 2

В –1

Г 0

Д 3


25. Знайдіть НАйМЕНШЕ значення виразу tg ctgx x+ .

Відповідь: ______________

26. Розв’яжіть нерівність 1

1

1

120

− −+

x x . У відповідь запишіть НАй-

БІЛьШий ЦІЛий її розв’язок. Якщо такого числа немає, у відповідьзапишіть число 100.

Відповідь: ______________

A

S

B

O

N

а Б В Г Д

1

2

3

4

а Б В Г Д

1

2

3

4

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

96

27. Сторона квадрата ABCD дорівнює 5 см. Точка K BC∈ , а точкаL CD∈ , причому BK KC: := 4 1; CL LD: := 2 3. Знайдіть площу трикут-ника AKL (у см2).

Відповідь: ______________

28. Знайдіть НАйБІЛьШЕ значення функції y x x x= − + +3 23 3 2 на про-

міжку −[ ]2 2; .

Відповідь: ______________

29. У місті на початку літа 2

3 магазинів було обладнано кондиціонерами,

а через місяць ще 4 магазини придбали кондиціонери. Покупець на-вмання заходить до магазину. ймовірність того, що цей магазин об-ладнано кондиціонером, дорівнює 0,75. Скільки магазинів у місті?

Відповідь: ______________

30. Знайдіть НАйМЕНШий ЦІЛий розв’язок нерівності

log logx x6

2 6 0−( ) > .

Відповідь: ______________

31. Знайдіть значення a, при яких парабола y x ax= + +2 9 має з віссю аб-сцис одну спільну точку. Якщо таких значень декілька, то у відповідьзапишіть їхній ДОБУТОК.

Відповідь: ______________

32. Розв’яжіть рівняння 2 6 19 3 18 36 2 12 142 2 2x x x x x x−( ) + + − + = − + − .

Відповідь: ______________

33. В основі прямої призми з висотою 4 см лежить квадрат зі сторо-ною 3 см. У призмі через вершину основи перпендикулярно до діаго-налі бічної грані побудовано переріз. Знайдіть об’єм МЕНШОЇ з утво-рених призм (у см3).

Відповідь: ______________

www.4boo

k.org

97











А Б В Г Д


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,

25 , 30 ,

26 , 31 ,

27 , 32 ,

28 , 33 ,

29 ,







21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4www.4b

ook.o

rg

98

розв’язання, вКазівКи, відПовіді

Тест 1

1. Розв’язання. 2 5 2 2 5 2 5 32 2 2 2sin cos sin cosβ β β β− + = +( ) − = − = − (V. А).Відповідь: А.

2. Розв’язання. x x x+ = +( )3 2 3 ; x x+( ) −( ) =3 1 2 0; x + =3 0 , 1 2 0− =x ;

x1 3= − ; x2

1

2= . Відповідь: Г.

4. Розв’язання. 16 16 16 16 16 4 4 43 6 26 36 2 36 66⋅ = ⋅ = = ( ) = = . Відповідь: Б.

5. Розв’язання. I. Щоб бути перпендикулярною до площини, пряма маєбути перпендикулярною до двох прямих цієї площини, що перетина-ються. Твердження неправильне.II. Твердження правильне.III. Якщо точка належить прямій, через цю точку і цю пряму можнапровести безліч площин. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

6. Розв’язання.2

9

2

9

9

9

2 23 9

1log log

= = = (XI. Б). Відповідь: Б.

7. Розв’язання.25 23

8

48

86

+ = = (деталей). Відповідь: Д.

8. Розв’язання. 2 3 5 8 360x x x x+ + + = ° ; 18 360x = ° ; x = °20 . Різницянайбільшого й найменшого кутів 8 2 6 20 120−( ) = ⋅ ° = °x . Відповідь: Д.

9. Розв’язання. Побудуємо переріз. З’єднаємо точки N і K, K і M. Проведе-мо пряму MP KN . З’єднаємо точки P і N. KN AA 1 , тому KN KM⊥ .У перерізі отримали прямокутник KNPM, у якому KN MP a= = , де a —

ребро куба, KM NPa= = 2

2 — половина діагоналі квадрата ABCD.

Відповідь: A.

10. Розв’язання. Коефіцієнт при x2 більший за нуль, отже, вітки параболинапрямлені вгору; D < 0, отже, парабола не має точок перетину

з віссю Ox (І. Г); ′ = −y x2 1; ′ =y 0, x0

1

2= , x0 0> . Таким чином, пра-

вильна відповідь В.Відповідь: В.

12. Розв’язання. Приголосних літер 26 6 20− = . Маємо: 20 100

6−−−−

%%.x

Скла-

демо пропорцію:20

6

100=x

; 1

6

5=x

; x = 30 %. Відповідь: Д.

13. Розв’язання.I. 78 52 1 5: ,= . Твердження правильне.

A

A1

B1

C1

D1

BC

DM

K

N

р

www.4boo

k.org

99

розв’язання, вКазівКи, відПовіді ТесТ 1

II. 78 69 8 8 2− =, , ; 69 8 52 17 8, ,− = ; 8 2 17 8, ,≠ . Твердження непра-вильне.

III. 78 69 8 52

366 6

+ + =,, ; 66 6 62, > . Твердження правильне.

Відповідь: Г.

14. Розв’язання. У рівнобедреному прямокутному трикутнику ABCB = °( )90 , A C= = °45 . У ромбі ANKP N A= ° − ∠ = ° ° = °180 180 45 135

N A= ° − ∠ = ° ° = °180 180 45 135 . Відповідь: Д.

16. Розв’язання. 4 92 x .2 3

3 2 x

x,

.− −

Отже, цілі розв’язки поданої си-

стеми нерівностей — це числа –3, –2, 2, 3. Усього 4 числа. Відповідь: А.

17. Розв’язання. Нехай AP PO x= = , тоді PB x= 3 . Трикутник ANB прямо-кутний N = °( )90 , тому NP AP PB2 = ⋅ , тобто 12 3= ⋅x x; x2 4= ; x = 2.Маємо: R = 4.Відповідь: В.

19. Розв’язання. Розв’яжемо подану нерівність:1

3

1

3

2 1 4

−x

; 2 1 4x −

(XII. 1); 2 5x ; x 2 5, . Таким чином, найбільше ціле число, яке не єрозв’язком нерівності,— це число 2.Відповідь: Г.

20. Розв’язання. Сполучення «ла» враховуватимемо як одну літеру, тоб-то мусимо знайти кількість перестановок з 4 елементів: P4 4 24= =!(VIII. Б). Відповідь: В.

21. Розв’язання. (I. Б)

1) b b232

3= . Відповідь: В.

2) 1 1

4 1

4

1

4

bb

b= =−

. Відповідь: А.

3) b b− =−34

3

4 . Відповідь: Г.

4) 1 1

13 1

3

1

3

b b

b− −

= = . Відповідь: Б.

22. Розв’язання.1) log3

2 3 0x −( ) = ; x2 3 1− = ; x2 4= ; x = ±2. Рівняння має два корені.Відповідь: Г.

2) x x−( ) −( ) =1 4 02 ; x1 1= , x2 3 2, = ± . Рівняння має три корені. Відповідь: Д.

3) 2 22 1x = − ; x2 1= − . Рівняння не має коренів. Відповідь: А.

4) x

xx

−−

⋅ =1

11, x ≠ 1, тоді x = 1. Маємо:

xx

= ±≠{ 1

1,

, звідси x = −1, рів-

няння має один корінь. Відповідь: Б.

N

B

K

PA C

AO

BP

N

www.4boo

k.org

100

ТесТ 1 розв’язання, вКазівКи, відПовіді

23. Розв’язання.

1) p c d= + = −( )+ ( ) = ( )1 2 4 2 3 4; ; ; . p = + =3 4 52 2 (IV. 1, 2). Відповідь: Б.

2) c d⋅ = −( )⋅ + ⋅ =1 4 2 2 0 (IV. 7). Відповідь: Д.

3) − =1

2

2

k (IV. 3); − =k 4 ; k = −4 . Відповідь: А.

4) 4 8 2 0n + −( )⋅ = (IV. 11); 4 16 0n − = , n = 4. Відповідь: В.

24. Розв’язання.1) f 0 1 8( ) = , ; 1 8 1 5 2, , ;∈[ ]. Відповідь: Д.

2) x = 2 — точка максімуму, тому ′( ) =f 2 0 ; 0 0 0 5∈[ ]; , . Відповідь: А.

3) Оскільки графік функції y f x= ( ) на проміжку 3 4;[ ] являє собою

пряму, то f x dx( )∫3

4

дорівнює площі прямокутного трикутника з ка-

тетами 2 і 1 (див. рисунок), тобто f x dx( ) = =∫ ⋅

3

42 1

21; 1 0 5 1 5∈( ], ; , .

Від повідь: Г.4) Оскільки функція y f x= ( ) спадає для x ∈[ ]2 4; , то ′ ( ) <f 3 5 0, , отже,

′ ( ) ∈ −∞( )f 3 5 0, ; . Відповідь: Б.

25. Розв’язання. ctgπ⋅ =−2 1x . π π⋅ =−24

x (VI. 7); 21

4− =x ; 2 2 2− −=x ; x = 2.

Відповідь: 2.

26. Розв’язання. log 1

3

7

11

−−

x . ОДЗ: 1 0− >x (XI. А. 1), x < 1.

log log1

3

1

3

17

1

1

3−

−

x (XI. Б. 6);

7

13

− x (XII. 2);

7

13 0

−−

x ;

7 3 3

10

− +−

x

x ;

3 4

10

x

x

+−

. Розв’язання цієї нерівності наведено на рисунку; x − 4

3,

x > 1. Враховуючи область визначення, маємо: x − 4

3. Найбільший

цілий розв’язок x = −2. Відповідь: –2.

27. Розв’язання. Нехай Петров має пройти n повних кіл, щоб перегна-ти Сидорова рівно на 1 коло. Маємо, що Петров до моменту зустрічі

пройде дистанцію 4n км за час 4

13 5

n

,год, а Сидоров — 4 1n −( ) км за

час 4 1

12

n −( ), причому час, витрачений спортсменами, буде однаковим.

Складаємо рівняння: 4

13 5

4 1

12

n n

,= ( )−

; 12 13 5 1n n= −( ), ; 12 13 5 13 5n n= −, , ;

1 5 13 5, ,n = ; n = 9. Відповідь: 9.

28. Розв’язання. Нехай у ящику n куль, тоді червоних кульn

5. Якщо до

ящика покласти ще 3 червоні кулі, у ньому стане n

53+

червоних

y

х20–1–2

1

3

4

х1– –+x − 4

3www.4boo

k.org

101


куль, а всього в ящику стане n +( )3 кулі. Тоді ймовірність витягти

червону кулю дорівнюватиме: P A

n

n( ) = =

+

+5

3

3

7

23 (VIII. Е);

n

n

++

=15

5 15

7

23;

23 345 35 105n n+ = + ; 12 240n = , n = 20. Відповідь: 20.

29. Розв’язання. Побудуємо трикутники ABC і ABF за умовою задачі (див.рисунок). ABC ABF , оскільки ∠ = ∠ACB BAF , кут B спільний.

Тоді AB

BC

AF

AC

BF

AB= = . За умовою задачі AB = 6, CA = 7 , BC = 5. Має-

мо: 6

5 7 6= =AF BF

, звідки AF = 8 4, , BF = 7 2, . Таким чином, у трикут-

нику ACF AC = 7 , AF = 8 4, , CF BF BC= − = − =7 2 5 2 2, , . Отже, наймен-

ша сторона трикутника ACF — це сторона CF = 2 2, . Відповідь: 2,2.

30. Розв’язання. Первісна функції f x( ): F x x Cx x( ) = − − + +3

3

2

2

3 2

6 (X. А. 4), її

графік проходить через точку N 0 6;( ), тому F 0 6( ) = ; 6 0= + C ; C = 6, тоді

F x x x x( ) = − − + +3 2 6 6. Знайдемо нулі функції F x( ): − − + + =x x x3 2 6 6 0 ;

− +( )+ +( ) =x x x2 1 6 1 0 ; x x+( ) −( ) =1 6 02 ; x1 1= − , x2 6= , x3 6= − . До-

буток нулів: 6 6 1 6⋅ −( )⋅ −( ) = . Відповідь: 6.

31. Розв’язання. log log2 31 2 1 1x x−( )+ −( ) = . ОДЗ:x

x− >

− >{ 1 02 1 0

,;

x

x

>

>

11

2

,

;x ∈ + ∞( )1; .Функції log2 1x −( ) і log3 2 1x −( ) зростаючі при x > 1, отже, їх сума —теж зростаюча функція. Маємо: у лівій частині рівняння зростаючафункція, у правій — const , отже, за теоремою про корінь рівняння ро-бимо висновок, що рівняння має єдиний корінь. Корінь x = 2 отриму-ємо шляхом підбору. Відповідь: 2.

32. Розв’язання. На рисунку зображено паралелепіпед ABCDA B C D1 1 1 1,ABCD — прямокутник зі сторонами AB = 15 см, BC = 20 см,

тоді AC = + = =15 20 625 252 2 (см). Проведемо BN AC⊥ , тоді

BNAB BC

AC= = = ⋅ =⋅ ⋅15 20

253 4 12 (см). Оскільки BB ABC1 ⊥ ( ), то за тео-

ремою про три перпендикуляри B N AC1 ⊥ , отже, B N1 — висота пере-

різу AB C1 , S AB C

AC B N 1

1

2=

⋅. З трикутника BB N1 : B N BB BN1 1

2 2 2 216 12 400 20= + = + = =

B N BB BN1 12 2 2 216 12 400 20= + = + = = (см). Тоді S AB C 1

25 20

2250= =⋅

(см2).


33. Розв’язання. x px p p y y2 22 4 5 3 4 3+ + − + = −sin cos . Перетворимо праву

частину рівняння: 5 54

5

3

5sin cos siny y y+

= −( )( )ϕ , тепер оцінимо

A

B

C

F

A

A1

B1

C1

D1

BC

DN

www.4boo

k.org

102


її: − −( )5 5 5 sin y ϕ . Розглянемо ліву частину рівняння. Цеквадратична функція, її графік — парабола, вітки якої на-прямлені вгору, оскільки коефіцієнт при x2 додатний. Таким чином, ліва частина рівняння набуває значень, що належать про-

міжку y0; + ∞ ), де y0 — ордината вершини параболи. Щоб рівнян-

ня мало один розв’язок, треба, щоб y0 5= , тобто − =D

a45, де D —

дискримінант квадратного рівняння ax bx c2 0+ + = , D b ac= −2 4 ,

D p p p p p p= − − +( ) = − + − =4 4 4 5 3 4 16 20 122 2 2 2 − + −12 20 122p p ;

− =− + −12 20 12

4

2

5p p

; 3 5 3 5 02p p− + − = ; 3 5 2 02p p− − = ;

p = =± + ±5 25 24

6

5 7

6; p1 2= ; p2

1

3= − . Найбільше значення p = 2.


Тест 2

1. Вказівка. Скористайтеся тим, що сума зовнішніх кутів правильногомногокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.Відповідь: Г.

2. Розв’язання. sin cos sin cos sin2 225 25 15 15 1 301

2

3

4° + ° − ° ⋅ ° = − ° = (V. а, в).

Відповідь: А.

3. Розв’язання. ∠ = ∠ = ° − °( ) = °BAC BCA1

2180 36 72 ; ∠ = ∠ = °NAC BAN 36

∠ = ∠ = °NAC BAN 36 , отже, ∠ = °ANC 72 . Таким чином, ABC CAN за трьома

кутами. Відповідь: Д.

4. Вказівка. da a

n kn k=

−−

. Відповідь: В.

5. Розв’язання. 3

16

4

2

4

4

3 4

2 24

1log

log log= = = (XI. Б). Відповідь: А.

6. Вказівка. Вартість 7 книжок має націло ділитися на 7. Відповідь: Г.

7. Вказівка. Кут 90° є чвертю від 360°, тому SR

сек = π 2

4. Відповідь: А.

8. Розв’язання. Площа ділянки: 1 2 3 4 400x x x x+ + + = (м2); x = 40 м2.Таким чином, площі нових ділянок дорівнюють: першої — 40 м2,другої — 80 м2, третьої — 120 м2, четвертої — 160 м2; схему діля-нок наведено на рисунку. Сторона первинної ділянки дорівнює:

a = =400 20 (м). Згідно зі схемою, довжина паркана становить:l a= =6 120 (м). Відповідь: В.

I

10 10

4

16

8

12

II

IIIIV

www.4boo

k.org

103


10. Вказівка. Площа паралелограма ABCD у два рази більша за площу три-кутника AKD, оскільки їхні основи (AD) і висоти однакові (XIV. в. 2,XVI. а. 1). Відповідь: Д.

11. Вказівка. Скористайтеся формулою

a b a b a b⋅ = +1 1 2 2 (IV. 7). Відповідь: Б.

15. Вказівка. За теоремою про три перпендикуляри шуканою відстаннює SB (XVII. 1). Відповідь: В.

17. Розв’язання. a t s t t t t( ) = ′′( ) = ⋅ + −

′= +4

33 2 5 8 22 ; a 4 8 4 2 34( ) = ⋅ + = (м/с2).


19. Вказівка. Скористайтеся тим, що вписані кути, які спираються на діа-метр, прямі. Відповідь: В.

23. Вказівка. Скористайтеся формулою

a b a b a b⋅ = +1 1 2 2 (IV. 7). Відповідь: 1–Д; 2–А; 3–Г; 4–Б.


1

55 5 6 5

2

2

x y

x y

− =

+ =

,

. Нехай 52x t= , t > 0 ; 5y p= , p > 0 ,

тоді

t

p

t p

=

+ =

1

5

6 5

,

;

p t

t

==

5

6 6 5

,

;t

p

==

5

5 5

,

;

5 5

5 5

21

2

3

2

x

y

=

=

,

;

x

y

=

=

1

43

2

,

.

x y0 0

1

4

3

2

3

80 375⋅ = ⋅ = = , . Відповідь: 0,375.

29. Розв’язання. 2 10 2 8 06 12

− −( ) =−x x . ОДЗ: 2 10 0− x ; x 0 2, .

2 10 0

2 8 0

6

12

− =− =

−

xx

,

;

2 10 0

2 82 1

− ==

−

xx

,

;

xx

=− =

0 21 32

, ,;

xx

==

0 242

, ,;

xxx

== −= −−

0 22

2

, ,,

не входить до ОДЗ. Отже, найбільший корінь рівняння x = 0 2, .

Відповідь: 0,2.

33. Розв’язання. Перетворимо рівняння: x x ax a x ax a2 5 6 2 3 6 18 0− + + − −( ) − + =x x ax a x ax a2 5 6 2 3 6 18 0− + + − −( ) − + = , x x a x x a x−( ) −( )+ −( ) − − −( ) =3 2 3 2 6 3 0,

x x a x a−( ) − + − −( ) =3 2 2 6 0, x 2, a0.

Корінь x = 3 існує при будь-якому значенні a. З’ясуємо, при яких зна-

ченнях a рівняння x a x a− + − − =2 2 6 0 не має коренів або має корінь x = 3. Очевидно, що це рівняння не має коренів при a < 0 . Розв’яжемо

рівняння x a x a− + − − =2 2 6 0 при a0. Нехай x t− =2 , t0, тоді

t a t a2 6 0+ − = ; ta a= − ± 25

2; t a1 2= , t a2 3= − . 2 3 2 1a = − = ,

www.4boo

k.org

104


a = =1

40 25, . − = − =3 3 2 1a — таких значень a не існує. Отже, по-

дане рівняння має один розв’язок при a < 0 і a = 0 25, . Найбільше зна-чення a = 0 25, .

Відповідь. 0,25.

Тест 3

1. Вказівка. Сума грошей, яку Марійка заплатила в касі, має бути крат-ною трьом. Відповідь: В.

2. Розв’язання. За теоремою косинусів маємо: BC AB AC AB BC BAC2 2 2 2= + − ⋅ ∠ =cos BC AB AC AB BC BAC2 2 2 2= + − ⋅ ∠ =cos = + − ⋅ ⋅ ° = + − =3 5 2 3 5 60 9 25 15 192 2 cos (XV. Б. 7);

BC = 19 . Відповідь: Б.

6. Розв’язання. a a d3 1 2= + ; a a d7 1 6= + ; a a d14 1 13= + (II. а. 1); a a a a d3 7 14 13 21 15+ + = + =

a a a a d3 7 14 13 21 15+ + = + = ; a d a1 87 5+ = = . Відповідь: Г.

7. Розв’язання. Графіки функцій, наведених в альтернативах А, В, Д, роз-ташовані в I та II координатних чвертях; графік функції, наведеноїв альтернативі Г, розташований у I та IV координатних чвертях. Гра-фік функції, наведеної в альтернативі Б, розташований в I та III ко-

ординатних чвертях (III. 2, 4–6, 8). Отже, шукана функція — yx

= 2.


8. Розв’язання. ′ = ° =y tg60 3 (IX. а. 7). Відповідь: Д.


2x

; 1 2

0− x

x . Розв’язання нерівності відображено на

рисунку, x ∈

01

2; . Отже, цілих додатних розв’язків рівняння не має.

Відповідь: Д.

10. Розв’язання. Радіус описаного кола дорівнює половині діагоналі пря-

мокутника: R = + =1

212 16 102 2 . Відповідь: А.

11. Розв’язання. AB

= ( )2 4 4; ; ; BC

= − −( )1 3 5; ; ;

n = − −( )2 1 3; ; (IV. 1, 5).

Відповідь: В.

12. Розв’язання. 10 21002log x x= ;

10 20

2 0

2

lg ,,.

x xx

x

=>>

(XI. Б. 9);

x xx

=>{ 2

0,

(XI. Б. 1);

xx

=>{ 0

0,. Отже, рівняння не має коренів. Відповідь: Д.

13. Розв’язання. x x+( ) + + =1 1 02

. Сума двох невід’ємних доданків дорів-нює нулю, коли кожен з них дорівнює нулю, тобто x + =1 0 ; x = −1.Відповідь: Г.

+− −

x 0 1 2

www.4boo

k.org

105


14. Розв’язання. cosπx

21= − , отже,

π πx

2= , x = 2 (VI. 5). Відповідь: В.

15. Розв’язання. Якщо кількості пиріжків з різними начинками відносять-ся як 2 2 3: : , а всього було 14 пиріжків, то з м’ясом їх було 4, з гри-

бами — 4, а з капустою — 6. Тоді P = =4

14

2

7 (VIII. е). Відповідь: Б.

16. Розв’язання. a t v t( ) = ′( ); v t s t t t t t t( ) = ′( ) = + − +

′= + −1

33 2 24 3 1 8 3;

a t t t t( ) = + −( )′ = +2 8 3 2 8; a 2 2 2 8 12( ) = ⋅ + = (м/с2). Відповідь: А.

17. Розв’язання. Розглянемо трикутник ABC: усі його сторони є діагона-лями граней куба, тобто вони мають однакові довжини. Тоді трикут-ник ABC рівносторонній, отже, градусна міра кута ABC дорівнює 60°.Відповідь: Б.

18. Розв’язання. 2 3 50 2 5 50 25 50 11

2

8 2 2 2 2 2

1

5

3

3

1

2log log log log log log log− = − = − = = −

2 3 50 2 5 50 25 50 11

2

8 2 2 2 2 2

1

5

3

3

1

2log log log log log log log− = − = − = = − (XI). Відповідь: В.

20. Розв’язання. Скористаємося теоремою синусів: 2 230

R aa= =

°sin(XV. Б. 6); R a= ; C R a= =2 2π π . Відповідь: Г.

25. Розв’язання. Найменший додатний період функції

y x= − −

+4 38

15 7cos

π π можна обчислити за формулою

T = = =2

8

15

15

43 75

ππ

, .

Відповідь. 3,75.

26. Розв’язання. Приймемо весь шлях за 1. Тоді час, за який літак здолав пер-

шу половину траси, становить1

2

1

700

1

1400⋅ = (год); час, за який він здо-

лав другу половину, становить 1

2

1

900

1

1800⋅ = (год). На весь шлях було

витрачено 1

1400

1

1800

1

200

1

7

1

9

9 7

200 63

16

200 63+ = +

= =+⋅ ⋅

(год). Отже, се-

редня швидкість літака становила 200 63

16787 5

⋅ = , км/год.


www.4boo

k.org

106


27. Розв’язання. yx

x x= −

− + +

2

2

9

20. Область визначення цієї функ-

ції: x

x x

2

2

9 020 0

−− + + >

,;

x x

x x

−( ) +( )− − <

3 3 0

20 02

,

;

x x

x x

−( ) +( )−( ) +( ) <

3 3 0

5 4 0

,

.Гра-

фічне розв’язання системи рівнянь наведено на рисунку. D(y): −( ] [ )4 3 3 5; ; . Найбільше ціле число, що належить D(y) — це 4.


28. Розв’язання. 2 3 32 1+ =− −x x ; 23

9

3

3+ =

x x

; 18 3 3 3+ = ⋅x x ; 2 3 18⋅ =x ; 3 9x = ;

x = 2. Відповідь: 2.

29. Розв’язання. f x x x( ) = −3 3 , ′( ) = −f x x3 32 ; g xx

( ) = − 6, x ≠ 0, ′( ) =g x

x

62

(IX. 6). 3 32 62

xx

− = ; 3 3 6 04 2x x− − = ; x x4 2 2 0− − = ; x2 2= , x2 1= − — сте-

пінь з парним показником на може бути від’ємним; x1 2= , x2 2= − .

x x1 2 2 2 2= −( ) = − . Відповідь: –2.

30. Розв’язання. AB AC CB= + = + =2 2 2 212 16 20; AO r= ; OB AB r r= − = −20

OB AB r r= − = −20 . AC

OK

AB

OB= ;

12 20

20r r=

−;

3 5

20r r=

−; 3 20 5−( ) =r r ; 60 8= r ;

r = 7 5, . Відповідь: 7,5.

31. Розв’язання. Знайдемо точки перетину графіків функцій y x= 3

і y x= + 2 . 3 2x x= + ; x x− + =3 2 0 . Нехай x t= , t0 . Маємо: t t2 3 2 0− + = ; t1 1= , t2 2= ; x1 1= , x2 4= .

Обчис лимо площу заштрихованої фігури (X. 9): S x x dxx

x x xx x= − −( ) = − −

= − −

∫ 3 2

22 2 2

1

4 2 3

23

3

2

2

3

2 2

1

4

=1

4

S x x dxx

x x xx x= − −( ) = − −

= − −

∫ 3 2

22 2 2

1

4 2 3

23

3

2

2

3

2 2

1

4

=1

4

2 4 11

216 1 2 4 1 14 6 0 5

3

215

2−

− −( ) − −( ) = − − = ,

2 4 11

216 1 2 4 1 14 6 0 5

3

215

2−

− −( ) − −( ) = − − = , . Відповідь: 0,5.

32. Розв’язання. 3 30 02x x a+ + = ; x xa2 10 03

+ + = . x x

x xa

1 2

1 2

10

3

+ = −

=

,

;

x x x xa

12

22

1 22 100

80 1002

3

+ + =

+ =

,

;

2

320

a = ; a = 30 . Перевіримо, чи має вихідне

рівняння розв’язки при знайденому значенні a: D a= −30 122 ; D = − ⋅ >30 12 30 02 , тобто рівняння має розв’язки (I. Г. 1).

Від повідь: 30.

−+ +

x–3 3

−+ +

x

–4 5 x –3 3

–4 5

A

A

B

H

a

C

S

O

O B

C

26

29 30

32

х х–3 –3–4 3 35+ ++ +– –

60°

0 1 2 3 4

1

3

у

х

0 1 2 3 4

2

6

у

х

4www.4boo

k.org

107


33. Розв’язання. V S Hпір осн= ⋅1

3; H = 4 3 ; AO R= = ° =4 3 60 4ctg . Для рів-

ностороннього трикутника ABC AO є радіусом описаного кола, тоб-

то AB R= =3 4 3 . S S ABC

ABосн = = = =⋅

2 3

4

16 3 3

412 3 (XIV. Б. 6).

Vпір = ⋅ ⋅ =1

312 3 4 3 48 (см3) (XVII. 4). Відповідь: 48.

Тест 4


39

>x

; 3 32− >x (I. Б); − >x 2 ; x < −2 . Відповідь: А.

3. Розв’язання. − −( )3 6 3 6

b ; ; ; 2 0 6 10

c ; ; −( ) ;

d b c= − +3 2 ;

d − −( )6 9 4; ; (IV).Відповідь: Г.

4. Розв’язання. ∠ = ∠ = ⋅ ° = °CAB CAK2 2 22 44 ; ∠ = ° − ∠ + ∠( ) = ° − ° + °( ) = °ACB ABC BAC180 180 110 44 26

∠ = ° − ∠ + ∠( ) = ° − ° + °( ) = °ACB ABC BAC180 180 110 44 26 . Відповідь: Д.


2

256

2

7

7

7 77 2 2= = = (I. Б). Відповідь: Г.

10. Розв’язання. S = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1

2 4 3 2 34

2 3 29 161

23 2

1

23 4 2 2 3log log log log log log log llog3 2 2 1 2= ⋅ =

S = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1

2 4 3 2 34

2 3 29 161

23 2

1

23 4 2 2 3log log log log log log log llog3 2 2 1 2= ⋅ = (XIV. а. 11, XI. Б). Відповідь: Б.

11. Вказівка. Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпоте-нузи. Відповідь: Д.

12. Розв’язання. DEF ABC , коефіцієнт подібності k =1

2.

S

SkDEF

ABC

= =2 1

4. Відповідь: Б.

13. Вказівка. Шукана відстань — B O1 1 , де O1 — точка перетину діагона-лей A C1 1 і B D1 1 верхньої основи куба. Відповідь: А.

14. Вказівка. P4 4 24= =! (VIII. Б). Відповідь: Д.

15. Розв’язання. Кут SNO — лінійний кут двогранного кута з ребром AC

(XVII. 1, 2). sin SNOSO

SN= = =

2 3

4

3

2; ∠ = °SNO 60 . Відповідь: В.

A

B

H

a

C

S

O

60°

www.4boo

k.org

108


17. Розв’язання. 4 2 12 3x x⋅ <− ; 2 2 14 3x x⋅ <− ; 2 24 3 0x x+ − < (I. Б); 3 3 0x + < ;3 3x < − ; x < −1 , або x ∈ − ∞ −( ); 1 . Відповідь: А.

18. Вказівка. V R Hцил = π 2 (XVII. 6), де R = 5 м, H = 10 м. Відповідь: Г.

19. Розв’язання. Sb

q=

−1

1(II. Б. 5), де b1 3= , q = −

1

2. S =

= =− −

3

11

2

3

3

2

2 .


25. Розв’язання. В отриманому ряді даних варіанта 8 зустрічається три рази,варіанта 9 — п’ять разів, а варіанта 10 — сім разів.

x = ≈⋅ + ⋅ + ⋅3 8 9 5 10 7

159 3, . Відповідь: 9,3.

26. Розв’язання відображене на рисунку. Відповідь: 2.

27. Розв’язання. Сума кутів A і B трапеції ABCD дорівнює 180°;1 2 90∠ + ∠ = ° (кути 1 і 2 утворені бісектрисами кутів A і B), тоді1 2 90∠ + ∠ = ° аОВ = 90°. Отже, BO є бісектрисою та медіаною трикутника ABN,

тобто трикутник ABN — рівнобедрений, а отже, аВ = BN. Аналогічнотрикутник ABK рівнобедрений, оскільки AO — його медіана й бісек-триса, а отже, аВ = AK, тобто аВ = ВN = AK. BN і AK лежать на пара-лельних прямих BC і AD, тобто BN || AK, BN = AK, отже, ABNK — па-ралелограм, а оскільки його суміжні сторони рівні, то ABNK — ромб.P

ABNK 5 4 20ABNKP = ⋅ = (см). Від повідь: 20.

28. Розв’язання. При x 0 3 2 2+ =x x ; x x2 2 3 0− − = ; x1 3= , x2 1= − — су-

перечить умові x 0 . Отже, x = 3 . Відповідь: 3.

29. Розв’язання. 1) Побудуємо схематично графіки функцій y x= − +24

і y x x= −22 (див. рисунок).

2) Знайдемо абсциси точок перетину графіків:x x x2 22 4− = − + ; 2 2 4 02x x− − = ; x x2 2 0− − = ; x x1 21 2= − =, .3) Знайдемо площу заштрихованої фігури:

S x dx x x dx= − +( ) − −( ) =− −∫ ∫2

1

22

1

2

4 2 = − + +( ) =−∫ 2 4 22

1

2

x x dx = − + +

=−

2

3

2

23

1

2

42

x xx

= − + +

=−

2

3

2

23

1

2

42

x xx = − − −( )( )+ − −( )( )+ − −( )( ) =2

32 1 4 2 1 4 13 3 2

= − ⋅ + ⋅ + = − + + =2

39 4 3 3 6 12 3 9 . Відповідь: 9.

−+ +−

x−2 1 3

B N

A

O

K D

C

1

2

–22

4

0

www.4boo

k.org

109


30. Розв’язання. За рисунком F 0 1( ) = , тому b = 1. F 2 3( ) = − , підставимозначення x = 2 у формулу, якою задано функцію F x( ), маємо:− = + ⋅ +3 8 4 1a , 4 12a = − , a = −3, отже, F x x x( ) = − +3 23 1, f x F x x x( ) = ′( ) = −3 62

f x F x x x( ) = ′( ) = −3 62 , ′( ) = −f x x6 6, ′( ) =f x 0 , 6 6 0x − = , x = 1.

fmin 1 3 6 3( ) = − = − .

Відповідь. –3.

31. Розв’язання. Система не має розв’язків, якщо a

a

a

1

1 3 1

2= ≠ −

; a

a1

1=

при a2 1= , тобто при a = ±1. Якщо a = 1, то 1 1 1= = , отже, a ≠ 1. Якщо

a = −1, то − = − ≠ −1 1 2. Відповідь: –1.

32. Розв’язання. ОДЗ: 1 01+ ≠x

, x

x

+ ≠10, тобто x ≠ −1; x ≠ 0.

1 21+ =x

; 1 2

1 2

1

1

+ =

+ = −

x

x

,

;

1

1

1

3

x

x

=

= −

,

;

x

x

1

2

1

1

3

=

= −

,

.x x1 2 1 3

1

3: := −

= − .

Відповідь: −3.

33. Розв’язання. Оскільки піраміда правильна, центр вписаної кулілежить на висоті SP піраміди у точці її перетину з бісектри-сою кута N (див. рисунок). OK і OP — радіуси вписаної кулі.

NP — радіус вписаного в трикутник ABC кола. З трикутника SNP

NP = ° = =9 60 3 39

3ctg (см). OP OK r= = = ⋅ ° = ⋅ =к 3 3 30 3 3 3

1

3tg (см).

V R RV= = ⋅ = ⋅ = =4

3

4

3

4

33 3 327 36 36π ππ π

π( ).см . Відповідь: 36.

Тест 5

5. Розв’язання. S = + ⋅ = + =10 000 10 000 10 000 150 101501 5

100

, (грн).


6. Розв’язання. Ank n

n k= ( )−

!

!(VIII. а. 2). A8

3 8 7 6 336= ⋅ ⋅ = . Відповідь: Г.

10. Розв’язання. P = =8

24

1

3 (VIII. е). Відповідь: Г.

16. Розв’язання. n =⋅

=⋅

⋅

1

3

1

9 4

4

3

2

3

81π

π (XVII. 5, 7). Відповідь: Г.

y

х

1

20–1

1

–3

A

B

O

P

N

S

CK

р

www.4boo

k.org

110


18. Розв’язання. S Phбічн = = +( )⋅ =2 6 8 4 112 (м2); S Sстін бічн= ⋅ = ⋅ =0 8 0 8 112 89 6, , ,

S Sстін бічн= ⋅ = ⋅ =0 8 0 8 112 89 6, , , (м2); Sрул = ⋅ =10 1 10 (м2); nS

S= = = ≈стін

рул

89 6

108 96 9

,, (м2).


19. Розв’язання. 3 9 272 4 1 2x x− −⋅ = ; 3 32 4 2 1 2 3x x− + −( ) = (I. Б); 2 4 2 4 3x x− + − = ;

− =2 5x ; x = −2 5, . Відповідь: Д.

20. Вказівка. При x = 0 y b= ; b < 0 . Оскільки функція y a x= спадна,

a < 0 . Відповідь: Д.


1)312 100

−−−−

x %,%,

тоді 3

12 100=

x; x = 25 %. Відповідь: Б.

2) 21 100

−−−−

x %,%,

тоді 2

1 100=

x; x = 200 %, тобто 2 більше від 1 на 100 %.


3) 816 100

−−−−

x %,%, тоді

8

16 100=

x; x = 50 %, тобто 8 менше за 16 на 50 %.


4) 2080 40

−−−−

x %,%,

тоді 20

80 40=

x; x = 10 %. Відповідь: А.

23. Вказівка. Для того щоб знайти координати вектора, треба від коор-динат кінця цього вектора відняти координати його початку (IV. 1).Відповідь: 1 — Д; 2 — Б; 3 — Г; 4 — А.

25. Розв’язання.y

y

y

y

y y

y y y y y

+ − + ⋅

− + −=

( )( ) ( )

= ( )5

5

5

5 5

5 5 5

5 5 5

5

52

2

2

: (I. а).

y = 2 5 ; 5

5

5

2 5 2 5 5

5

2 5 5

1

20 5

y y − − ⋅( ) = ( ) = = = , . Відповідь: 0,5.

26. Вказівка. f x x x x( ) = − +1

3

5

23 2 6 , x ∈[ ]1 6; . ′( ) = ⋅ − ⋅ + = − +f x x x x x

1

3

5

23 2 6 5 62 2

′( ) = ⋅ − ⋅ + = − +f x x x x x1

3

5

23 2 6 5 62 2 (IX). ′( ) =f x 0 , якщо x x2 5 6 0− + = ; x1 2= , x2 3= .

f 1 6 31

3

5

2

2 15 36

6

23

6

5

6( ) = − + = = =

− +; f 2 8 4 12 4

1

3

5

2

14

3

2

3( ) = ⋅ − ⋅ + = = ;

f 3 27 9 18 4 51

3

5

2

9

2( ) = ⋅ − ⋅ + = = , ; f 6 216 36 36 18

1

3

5

2( ) = ⋅ − ⋅ + = .

max;1 6

6 18[ ]

( ) = ( ) =f x fmax;1 6

6 18[ ]

( ) = ( ) =f x f . Відповідь: 18.

www.4boo

k.org

111


27. Розв’язання. Вектори

a і

b колінеарні, оскільки λ +1 — деяке число

(IV. 3). λ + <1 0, тому що вектори

a і

b протилежно напрямлені.

a = 2,

b = 5 , λ + = −12

5, λ = − −1 0 4, , λ = −1 4, .

Відповідь. –1,4.

28. Розв’язання. Нехай AN CK x= = (см) x >( )0 , тоді з трикутника ABCмаємо: 6 92 = +( )x x (XIV. а. 4); x x2 9 36 0+ − = ; x1 3= , x2 12= − —суперечить умові. Отже, AN CK= = 3 (см); AC = 15 (см);S SABCD ABC= = ⋅ =2 15 6 90 (см2). Відповідь: 90.

29. Розв’язання. Нехай книжка коштує x грн, тоді в Мишка булоx −15 (грн), у Віталіка — x − 37 (грн), а в Олега — x − 26 (грн). Склада-ємо та розв’язуємо нерівність: x x x x−( ) + −( ) + −( ) <15 37 26 ; 3 78x x− < ;2 78x < ; x < 39 . З другого боку, x > 37 , оскільки у Віталіка була де-яка сума грошей. Отже, 37 39< <x , тобто x = 38 грн. Відповідь: 38.

30. розв’язання.a a a

1 2 12

1215

+ + +=

..., тобто a a a1 2 12 15 12+ + + = ⋅... ;

b b b1 2 8

89

+ + +=

..., тобто b b b1 2 8 9 8+ + + = ⋅... .

Тоді a a a b b b

1 2 12 1 2 8

20

15 12 9 8

20

12 15 6

20

3 21

5

+ + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅+= = ( ) = =

... ... 663

512 6= ,

a a a b b b1 2 12 1 2 8

20

15 12 9 8

20

12 15 6

20

3 21

5

+ + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅+= = ( ) = =

... ... 663

512 6= , . Відповідь: 12,6.

31. Розв’язання. На столі лежать n карток. Написи на картках склада-ють арифметичну прогресію з n членів. Для визначення n скориста-ємось формулою n-го члена арифметичної прогресії: a a d nn = + −( )1 1

(II. а. 1), де a1 2= , an = 48 , d = 2 . 48 2 2 1= + −( )n ; 23 1= −n ; n = 24 .Із цих чисел кратними 8 є такі: 8; 16; 24; 32; 40; 48, — усього 6 чисел

( m = 6 ). Pm

n= = =

6

240 25, (VIII. е). Відповідь: 0,25.

32. Розв’язання. x a x a2 2 1 5 0− −( ) + − = . Нехай x1 і x2 — корені рівнян-ня, причому за умовою x x1 2= − . За теоремою Вієта x x a1 2

2 1+ = − .

Отже, маємо:x x ax x

1 22

1 2

1+ = −= −

,,

звідки a2 1 0− = ; a = ±1. Для іс-

нування двох коренів рівняння необхідно виконання умови

D > 0 , тобто a a2 21 5 0−( ) − −( ) > . Перевіркою встановлюємо, що

значення a = 1 і a = −1 задовольняють цю умову. Знаходимо x.Якщо a = 1 , то x x2 0 1 5 0− ⋅ + − = ; x2 4= ; x = ±2 . Якщо a = −1 ,

то x x2 0 1 5 0− ⋅ − − = ; x2 6= ; x = ± 6 . Отже, a = 1 і a = −1 ; добутокдорівнює –1. Відповідь: –1.

a

b

A

B C

D

96

K

N

www.4boo

k.org

112


33. Розв’язання. Нехай SABCD — дана піраміда (див. рисунок), її осно-ва — ромб ABCD. BD = 12 см, AC = 16 см, OK AB⊥ , OK r= — радіус

вписаного кола. З прямокутного трикутника OAB: rOB OA

AB= = =⋅ ⋅6 8

10

24

5

rOB OA

AB= = =⋅ ⋅6 8

10

24

5 (см) (XIV. а. 13), оскільки AB OB OA= + = + =2 2 2 26 8 10 (см).

V r hкон = ⋅ = ⋅ ⋅ = =1

3

1

3

24

25

576

52

2

15 115 2π π ππ, (см3) (XVII. 5).

Vкон

π= 115 2, .


Тест 6

1. Розв’язання. Один робот за дві хвилини виготовить одну деталь, за однухвилину — половину деталі. Отже, чотири роботи за чотири хвилини

виготовлять1

24 4 8⋅ ⋅ = деталей. Відповідь: Г.

3. Розв’язання. Аркуш має форму прямокутника, BN NC= , AK KD= ,отже, NK AD⊥ , тобто NK AK⊥ , NK KD⊥ . Після згинання отрима-ли, що прямі AK і KD перетинаються і належать площині α. Отже,NK ⊥ α . Відповідь: Г.

6. Вказівка. Скористайтеся формулою n-го члена арифметичної прогресії(II. а. 1). Відповідь: Б.

7. Розв’язання. Графік, наведений на рисунку, є графіком лінійної функ-ції, тобто y kx b= + . Маємо: k > 0, b < 0 , отже, найточніше графіку від-

повідає функція y x= −3

23. Від повідь: Д.

8. Розв’язання. x − −4 1 . x − 4 0 , отже, множиною розв’язків нерів-ності є область допустимих значень цієї нерівності, тобто x 4 . Най-менший цілий розв’язок x = 4. Відповідь: Г.

9. Розв’язання. ′ = ° = −y tg135 1 (IX. а. 7). Відповідь: В.

10. Розв’язання. Оскільки центр кола належить стороні вписаноготрикутника, цей трикутник прямокутний, а його гіпотенуза вдвічі

більша за радіус описаного кола, тобто 2 84 3

30

4 3 2

3R = = =

°⋅

cos; R = 4.


11. Розв’язання. MN AB

= − 1

2, AB

− − −( )2 1 6; ; , отже, MN

1 31

2; ;

(IV. 1, 5).


12. Розв’язання. log4

1

162x +

= − ; x + =1

16

1

16; x = 0 (XI. а. 1).

Від по відь: Б.

а

B

K

S

C

N

D

O

www.4boo

k.org

113


13. Розв’язання. 2 1x x− = − . 2 1x x− = −2 1 0x − , отже, −x 0 , тобто x 0.

2 1 0x − (як підкореневий вираз), тобто x 1

2. Отримали суперечність,

отже, рівняння не має розв’язків при будь-яких значеннях змінної.Від повідь: Д.

14. Розв’язання. sinπx = 1, тобто π πx =

2, x = 1

2 (VI. 6). Відповідь: В.

15. Розв’язання. P = =+ + +

8

10 4 8 5

8

27 (VIII. е). Відповідь: В.

16. Вказівка. Інтеграл від непарної функції на симетричному інтервалі[–2; 2] дорівнює 0. Відповідь: Г.

17. Розв’язання. Нехай ребро куба a, тоді об’єм куба: V aк = 3. Відтята

частина є пірамідою (див. рисунок), її об’єм: Va a a a

п = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

3

1

2 2 2 2 48

3

(XVII. 4). Відношення об’ємів: V V aa

п к: : := =3

3

481 48. Відповідь: Б.

18. Розв’язання. Нехай x — відсотковий вміст спирту в отриманому роз-чині, тоді маємо: 6 0 2 4 0 8 10⋅ + ⋅ = ⋅, , x ; 6 2 4 8 100⋅ + ⋅ = x ; 44 100= x ;x = =0 44 44, %. Відповідь: В.

20. Розв’язання. AN AB= =sin sinα α4 . Відповідь: А.

25. Розв’язання. ABCD — трапеція; AD a= ; BC = 1, AB CD c= = ,

отже, a c+ =1 2 (XV. в. 2); ca= +1

2; x AN

a= = −1

2; 22 2 2+ =x AB ;

41

2

1

2

2 2

+

=

− +a a; 4

2 22 1

4

2 1

4+ =− + + +a a a a

; 16 2 1 2 12 2+ − + = + +a a a a ;

4 16a = ; a = 4. Отже, SBC AD= ⋅ = + =+

22 1 4 5. Відповідь: 5.

26. Розв’язання. x ∈ − −( )10 5; , отже, найбільше ціле значення:x = −6. Відповідь: –6.

27. Розв’язання.a a a

1 2 15

153

+ + +=

..., отже, a a a1 2 15 15 3+ + + = ⋅... .

b b b1 2 7

75

+ + +=

..., отже, b b b1 2 7 7 5+ + + = ⋅... .

Тоді a a a b b b

1 2 15 1 2 7

22

15 3 7 5

22

80

22

40

113 636

+ + + + + + + ⋅ + ⋅= ≈= =

... ..., .

Від повідь: 3,636.

a 2

a 2a

2

сс

B

A x N a

1

1

1

х–10 –5 –2–+ + +

www.4boo

k.org

114


28. Розв’язання. log314 3 1 2 1⋅ −( ) = −−x x ;

4 3 1 04 3 1 3

1

1 2 1

⋅ − >⋅ − =

−

− −

x

x x

,.

Оскільки

3 02 1x− > , то нерівність виконується автоматично. Розв’яжемо рівнян-

ня: 4

3

3

33 1

2

⋅ − =xx

; 4 3 3 32⋅ − =x x . Нехай 3x t= , t > 0. Тоді 4 3 2t t− = ;

t t2 4 3 0− + = ; t1 1= , t2 3= . Маємо: 3 1x = ; x1 0= або 3 3x = ; x2 1= .x x1 2 0 1 1+ = + = . Відповідь: 1.

29. Розв’язання. 6 2 3 26 3 12

x y

x y

− ⋅ =⋅ =

,.

Нехай 6x t= , t > 0; 3y p= , p > 0.

Тоді маємо: t ptp

− =={ 2 2

12,

;t p

p p= +

+ − =

2 22 2 12 02

,;

t pp p= +

+ − =

2 26 02

,;

t pp pp

= += − −−=

2 23

2

,

.не задовольняє умову > 0,

Маємо: p = 2; t = 6; x = 1. Від повідь: 1.

30. Розв’язання.log

log

log

log

log

log

log log5

30

5

6

5

5

30

5

150

5

6 25

1

6

52

530 1 6− = − ( ) = +⋅ (( ) − +( )⋅ =

2

5 52 6 6log log

log

log

log

log

log

log

log log5

30

5

6

5

5

30

5

150

5

6 25

1

6

52

530 1 6− = − ( ) = +⋅ (( ) − +( )⋅ =

2

5 52 6 6log log = + + − − =1 2 6 6 2 6 6 15 52

5 52log log log log (XI. Б).


31. Розв’язання. y x x( ) = cos2 ; ′( ) = − ⋅y x xsin2 2 (іX. Б. 9, а. 6); ′

= − ⋅

= − = −yπ π π4 4 2

2 2 2 2sin sin

′

= − ⋅

= − = −yπ π π4 4 2

2 2 2 2sin sin . tgα π= ′

= −y4

2 (іX. а. 7). Відповідь: –2.

32. Розв’язання. S AB H H Hб = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =3 3 2 6 ; S S S ABC

ABб осн= = = ⋅ = ⋅ =2 2 2 2 2 3

2 3

4

4 3

4

S S S ABC

ABб осн= = = ⋅ = ⋅ =2 2 2 2 2 3

2 3

4

4 3

4 ; 6 2 3H = ; H = =2 3

6

3

3; V S H= ⋅ = ⋅ =осн

4 3

4

3

31

(XIV. Б. 6). Відповідь: 1.

33. Розв’язання. a x a x x−( ) − −( ) + = ( )1 6 1 9 42 2

2log cos π ;

a x x−( ) −( ) = ( )1 3 42

2log cos π ; a x x−( ) − = ( )1 3 42log cos π .

ОДЗ: 0 4 1< ( )cos πx .

Ліва частина рівняння невід’ємна, отже, log cos2 4 0πx( ) , cos 4 1πx( )(III. 6). Але 0 4 1< ( )cos πx . Маємо: cos 4 1πx( ) = ; 4 2π πx n= , n ∈Z; x

n=2

,

n ∈Z. За умовою x ∈( )1 2; , тому 1 22

< <n, 2 4< <n . Оскільки n ∈Z, ма-

A

A1

C

C1

B

H

2

B1

www.4boo

k.org

115


ємо: n = 3, x = 3

2. При такому значенні x права частина рівняння

дорівнює 0, отже, й ліва його частина дорівнює нулю: a −( )⋅ − =1 3 03

2,

a −( )⋅ =1 3 6, a − =1 2, a = 3.

Відповідь. 3.

Тест 7

5. Вказівка. Шукане число K має задовольняти умову K n k= + =7 1 10 ,де k n, ∈N . Відповідь: Д.

9. Розв’язання. x x x3 22 3 0+ + = ; x x x2 2 3 0+ +( ) = ; x1 0= , рівнянняx x2 2 3 0+ + = коренів не має, оскільки дискримінант D < 0 .Від повідь: Б.


4

4 2

2

4 2

2

1

32

1

2

31

3

21

2

4⋅( )

= ⋅ = ⋅ =⋅

⋅ (I. Б). Відповідь: А.

12. Розв’язання. AB AB

− + − − −( ) = − − −( )2 1 0 3 3 2 1 3 5; ; ; ; (IV. 1);

− ( )2 2 6 10AB

; ; . Відповідь: Б.

13. Вказівка. Порядок осіб у групах неважливий, тому скористаємось фор-

мулою C83 8 7 6

1 2 356= =⋅ ⋅

⋅ ⋅ (VIII. в). Відповідь: В.

14. Розв’язання. n = = =⋅

⋅⋅

192

4

32

192 3

4 83

18π

π (XVII. 7). Відповідь: Д.

15. Розв’язання. Графік функції y x= 2 схематично наведено на рисунку(III. 5). Графік функції y a bx= ⋅ +2 отримали, виконавши такі перетво-рення графіка функції y x= 2 : симетрично відобразили відносно осі Ox(таким чином, a < 0 ), а потім паралельно перенесли вздовж осі Oy вниз(тобто b < 0 ). Відповідь: Д.

16. Розв’язання. SO ABC⊥ ; BN = 6 см; BO BN= = ⋅ =2

3

2

36 4 (см)

(XV. а. 4). tgSBO = =4 3

43 ; ∠ = °SBO 60 . Відповідь: А.

17. Розв’язання. Усього журналів 2 3 3 2 12⋅ + ⋅ = , три з них — журнали

10-го класа, отже, P = =3

12

1


1

0 x

ywww.4boo

k.org

116


19. Вказівка. Змінюється лише знак координати y. Відповідь: Г.

26. Розв’язання. Графік функції y ax bx c= + +2 проходить через точкуC 0 0;( ) , отже, c = 0. Підставимо координати точок A 1 2; −( ) і B −( )1 3;

у формулу, якою задано функцію, маємо:− = +

= −{ 23

a ba b

,;

1 2= a, a = 0 5, ;

− = +2 0 5, b , b = −2 5, . a b c+ + = − + = −0 5 2 5 0 2, , .


28. Розв’язання. 2 125 15log logx x− < . ОДЗ: xx

>≠{ 0

1,.

2 1 05

3

5

loglog

xx

− − <

(XI. 6); нехай log5 x t= , маємо: 2 32

0t t

t

− − < ;t t

t

+ −( )( ) <1 2 3

0;

розв’язання цієї нерівності відображено на рисунку. Отже,

t

t

< −

< <

1

03

2

,

;

log ,

log ;

5

5

1

03

2

x

x

< −

< <

log log ,

log log log

5 5

5 5 5

3

2

1

5

1 5

x

x

<

< <

(XII.2); x

x

<

< <

1

5

1 53

2

,

;

x ∈

0 1 51

5

3

2; ; . Найменший натуральний розв’язок x = 2.


Тест 8

9. Вказівка. Оскільки 16 02+ >x , треба розв’язати нерівність 4 0− >x .Відповідь: Д.

10. Розв’язання. Px

x x x= =

+ +1

1 4 2

1


18. Розв’язання. n = =⋅ + + + +4 9 10 12 14 16

811 . Відповідь: В.

20. Розв’язання.log log

log

log

log

log

log

3 3

4

3

42

3

4

5

3

9

516

5

3

9

5

4

3

2

1

2 14

+ ⋅

⋅=

= = == 1

2 (XI. Б).


21. Розв’язання.1) Нехай довжина відрізка AB = 1 , тоді час, витрачений на шлях від A

до B, становить1

8, а на шлях від B до A —

1

10. Середня швидкість

на всьому шляху дорівнює: vсер = = = =+

⋅ ⋅2

1

8

1

10

2 8 10

18

80

9

8

98 (км/год).


+− −

t0 3 2

–1

+

www.4boo

k.org

117


2) 125

10015⋅ =x ; x = =⋅100 15

12512 (грн). Відповідь: А.

3) 1

3

1

22x x= −( ) ; 2 3 2x x= −( ) ; 2 3 6x x= − ; x = 6 . Відповідь: Г.

25. Розв’язання. x y

x

x

x y

y x

x y

x y x

x x y

x y

x y

x+−

−+

− −−

− −+

− +−

⋅ = ( ) ⋅ ( ) =2 22 2

2 2 2

2 2

2 yy

x x y

x y

x y x

2

2 2

1( )( ) × ( ) =

−− −

+

x y

x

x

x y

y x

x y

x y x

x x y

x y

x y

x+−

−+

− −−

− −+

− +−

⋅ = ( ) ⋅ ( ) =2 22 2

2 2 2

2 2

2 yy

x x y

x y

x y x

2

2 2

1( )( ) × ( ) =

−− −

+. Якщо x = −

1

3, то

1 1

1

3

3x

= = −−

. Відповідь: –3.

26. Розв’язання. Описана послідовність — арифметична прогресія, у якоїa1 200= , d = 2, n = − =12 3 9 . Маємо: a a d9 1 8 200 8 2 216= + = + ⋅ = (II. А. 1),отже, у грудні завод випустив 216 найменувань виробів.


27. Розв’язання. Будуємо CN AB , CK AD⊥ . CN = 15 см; CD = 20 см;ND = 25 см (див. рисунок). За теоремою, оберненою до теореми Піфа-

гора, ∠ = °NCD 90 , отже, h CK= = =⋅15 20

2512 (см). Відповідь: 12.


4

1

25 2 2

2

− ⋅ + > −

−−x

x . ОДЗ: x 0 . 2 5 2 2 2 02− −− ⋅ + + >x x

2 5 2 2 2 02− −− ⋅ + + >x x ; нехай 2− =x t , t > 0, маємо: t t2 5 4 0− + > ; розв’язання цієї

нерівності відображено на рисунку. Отже, tt

<>

14,;

2 1

2 22

−

−

<>

x

x

,

;

− <− >

x

x

0

2

,

;

x

x

>< − −−

0

2

,

не має розв язків; x > 0. Найменший цілий розв’язок x = 1.


29. Розв’язання. yx

x=

+2

1

2

; ′ = ( )( )

=( )

=( )

+ −

+

+ −

+

+

+y

x x x

x

x x x

x

x x

x

4 1 2

1

4 4 2

1

2 4

1

2 2 2

2

2

22 (IX).

tgα = ′( ) =( )

=+

+y 1

2 4

1 1

3

22 . Відповідь: 1,5.

31. Розв’язання. a R= = ⋅ =3 2 3 3 6 (см) (див. рисунок); S ABC

a = = =

2 3

4

36 3

49 3

S ABC

a = = =

2 3

4

36 3

49 3 (см2) (XIV. Б); V S HABCпір = ⋅ = ⋅ ⋅ =1

3

1

39 3 2 3 18

V S HABCпір = ⋅ = ⋅ ⋅ =1

3

1

39 3 2 3 18 (см3) (XVII. 4). Відповідь: 18.

а N K D

B C

+0 4 t

+1

а

B

C

O

S

a

www.4boo

k.org

118


32. Розв’язання. Квадратне рівняння не має розв’язків, коли його

дискримінант від’ємний (I. Г). D a a= −( )( ) − +( ) <2 1 4 2 1 02

;

4 2 1 4 2 1 02a a a− +( ) − +( ) < ; 4 2 1 2 1 02a a a− + − −( ) < ; a a2 4 0− < ;

a a −( ) <4 0 . Розв’язання одержаної нерівності наведене на рисунку.

Отже, a = 1 2 3; ; ; сума дорівнює 6. Відповідь: 6.

33. Розв’язання. log log3 31 2 7 1+ −( )( ) =x ; 1 2 7 33+ −( ) =log x ; log3 2 7 2x −( ) = ;

2 7 9x − = (XI. Б); 2 16x = ; x = 4 . Відповідь: 4.

Тест 9

1. Розв’язання. 2 1 1 2 1 2 1 2 12

+( ) −( ) = − ( ) = − = − (I. а. 2).Відповідь: В.

3. Розв’язання. log log log log3 1

3

3

1

23

1

25 5 5 51+ = + =− = − =1

2

1

23 35 5 0log log

(XI. Б). Відповідь: Д.

4. Розв’язання. y x x= + +3 6 32 ; x∈ R . ′ = +y x6 6 (IX); ′ =y 0, якщо x = −1(XIII. 2). Відповідь: А.

6. Вказівка. Графік парної функції визначений на симетричній віднос-но 0 області визначення та є симетричним відносно осі Oy. Відповідь: Б.

7. Розв’язання. − + − ⋅ −( ) = + =1 2 3 1 1 5 6 . Відповідь: Г.

8. Розв’язання. F x Cx( ) = +

4

4

4

; 1 14= + C ; C = 0 . Відповідь: А.

9. Розв’язання. ax

y=

−3

1. ay a x− = 3 ; ay x a= +3 ; y

x a

a= +3

.


10. Вказівка. При x = 0 y c= ; c = 0 . Оскільки вітки функції напрямлені

вниз, a < 0 . xb

aв = − >2

0 , тобто b > 0 . Відповідь: Б.

18. Вказівка. Оскільки всі бічні грані нахилені до площини основи пірамідипід тими самими кутами, скористайтеся формулою S Sосн бічн= ⋅ °cos60(за теоремою про площу ортогональної проекції). Відповідь: Д.

19. Розв’язання. Коло, описане навколо чотирикутника ABCD,

описане й навколо трикутника ACD, отже, AC

Rsin120

2°

= (XV.6);

AC = ⋅ ⋅ =2 2 3 63

2 (см). Відповідь: В.

+0 4 а

+–

www.4boo

k.org

119


20. Вказівка. Об’єм піраміди втричі менший за об’єм призми з тимисамими площею основи та висотою (XVII. 3, 4). Площа основи піра-міди ABCB1 вдвічі менша за площу основи прямокутного паралеле-піпеда ABCDA B C D1 1 1 1 . Таким чином, об’єм піраміди ABCB1 в шістьразів менший за об’єм прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D1 1 1 1 .Відповідь: Г.

25. Розв’язання. Нехай числу c відповідає 100 %, тоді числу d відповідає2 3 100 230, % %⋅ = . Звідси маємо, що число c менше від числа d на130 %.


27. Розв’язання. За властивістю середньої лінії трикутника ВС = 8 см,AD = 12 см. Коло вписане в трапецію, отже, AB + CD = BC + AD (XV. B. 2).P BC ADтрап = +( ) = ⋅ =2 2 20 40 (см). Відповідь: 40.

28. Розв’язання. yx x

x=

− +2 22

, x ∈ − −[ ]3 1; . y xx

x

x

x x x= − + = − +

2 2 22

2 1 ;

′ = −yx

22

2 (IX). ′ =y 0, якщо x = 1, x = −1; 1 3 1∉ − −[ ]; ,

− ∈ − −[ ]1 3 1; . y −( ) =( ) ( )

= = − = −− − − +

−+ +−

3 72 3 3 2

3

18 3 2

3

23

3

2

3

2

;

y −( ) =( ) ( )

= = −− − − +

−+ +−

1 52 1 1 2

1

2 1 2

1

2

; max;− −[ ]

( ) = −( ) = −3 1

1 5y x f .

Відповідь: –5.

30. Розв’язання. logx

x

x

4 5

6 51

+−

= − . ОДЗ:

4 5

6 50

0

1

x

x

x

x

+−

>

>≠

,

,

;

розв’язання першої не-

рівності відображено на рисунку; x ∈( )

0 1 16

5; ; . logx

x

x

4 5

6 51

+−

= − ;

4 5

6 5

1x

x x

+−

= (XI. а. 1); x x x

x x

4 5 6 5

6 50

+ − −−

( ) ( )( ) = ;

4 5 6 5

6 5

2

0x x x

x x

+ − +−( ) = ; 4 10 6 02x x+ − =

4 10 6 02x x+ − = або 2 5 3 02x x+ − = ; x1 3= − — не входить до ОДЗ, x2 0 5= , .


Тест 10

1. Розв’язання. 5 4 30: := x ; 5 30 4x = ⋅ ; x = 24 кг. Відповідь: В.

3. Вказівка. Число, яким може виражатися периметр майданчика,має ділитися на 5. Відповідь: В.

+ –– +

0 6 5

x+

54– 1

www.4boo

k.org

120


4. Розв’язання. sin , cos ,sin , cos , sin

22 5 22 52 22 5 22 5

2

45

2

2

2 2

2

4° ⋅ ° = = = =

° ⋅ ° °⋅

sin , cos ,sin , cos , sin

22 5 22 52 22 5 22 5

2

45

2

2

2 2

2

4° ⋅ ° = = = =

° ⋅ ° °⋅

(V. в). Відповідь: Г.


16

2 4

4

1

3 2 31

3

2⋅ = ⋅ =

⋅

. Відповідь: Г.

8. Вказівка. Площа трикутника AKD у два рази менша за площу парале-лограма ABCD, оскільки їхні основи (AD) і висоти однакові (XVI. а. 1,XIV. в. 2). Відповідь: В.

10. Вказівка. Використайте формулу a a d nn = + −( )1 1 (II. а). Відповідь: В.

12. Розв’язання.log log

log

log log

log

log log

log

lo3 3

3

34

33

3

3 3

3

16 8

2

2 2

2

4 2 3 2

2

− − −= = =

gg

log3

3

2

21=

log log

log

log log

log

log log

log

lo3 3

3

34

33

3

3 3

3

16 8

2

2 2

2

4 2 3 2

2

− − −= = =

gg

log3

3

2

21= (XI. Б. 3). Відповідь: А.

16. Розв’язання. 2 8 43 1+ −⋅x x ; 2 2 23 3 1 2+ −( )⋅x x ; 2 23 3 3 2+ + −x x (I. 5);6 2 2− x (XII. 1); − −2 4x ; x 2 , тобто x ∈ + ∞[ )2; . Відповідь: Д.

17. Розв’язання. Шукана відстань AN, де N належить лінії перетину пло-

щин α і β . AN = = =°

12 3

60

12 3

3

2

24sin

(см) (XVII. 2). Відповідь: Д.

18. Вказівка. V R=4

33π (XVII. 7), де R = =

6

23 (м). Відповідь: А.

19. Вказівка. P4 4 24= =! (VIII. Б). Відповідь: Г.


1)416 100

−−−−

x %,%,

тоді 4

16 100=

x; 16 4 100x = ⋅ ; x = 25 %. Відповідь: Б.

2) 5025 100

−−−−

x %,%,

тоді 50

25 100=

x; x = 200 %, тобто 50 більше від 25

на 100 %. Відповідь: Д.

3) 2142 100

−−−−

x %,%,

тоді 21

42 100=

x; x = 50 %, тобто 21 менше за 42 на 50 %.


4) 8012 3

−−−−

x %,%,

тоді 80

12 3=

x; x = 20 %. Відповідь: А.

www.4boo

k.org

121


25. Розв’язання. Нехай Сашко купив n наборів фломастерів, тоді12 4 25 6 1 2 10

12 64 2

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

=, ,,

n

n;

58 2 10

184 2

,,

++

=n

n; 58 2 10 4 2 18 0, ,+ − +( ) =n n ;

58 2 10 75 6 4 2 0, , ,+ − − =n n ; 5 8 17 4, ,n = ; n = 3.


26. Розв’язання. x = −5 3 ;x

x

x x

x

x x x

x x xx

2

2 3

3

2

3

3

3

6

3 3 6

3 32 3 2 5 3 3 1

− − − +

−=

( ) ( )⋅

⋅ ( )= +( ) = − +( ) =: 00

x

x

x x

x

x x x

x x xx

2

2 3

3

2

3

3

3

6

3 3 6

3 32 3 2 5 3 3 1

− − − +

−=

( ) ( )⋅

⋅ ( )= +( ) = − +( ) =: 00 (I. а). Відповідь: 10.

27. Вказівка. P A( ) = =4

50 8, (VIII. е). Відповідь: 0,8.

28. Вказівка. Нехай x км/год — швидкість велосипедиста на шляхувід пункту а до пункту В, а x +10 км/год — на шляху від пункту В

до пункту а. Тоді 60 60

101

x x− =

+, x > 0 ; 60 600 60 102x x x x+ − = + ;

x x2 10 600 0+ − = ; x = 20 км/год. Відповідь: 20.

29. Вказівка. yx

x=

+2

1

2

, x ∈ −

1

23; . ′ =

( )( )

=( )

=( )

=( )+ −

+

+ −

+

+

+

+y

x x x

x

x x x

x

x x

x

x x4 1 2

1

4 4 2

1

2 4

1

2 22

2

2 2

2

2

2xx +( )1

2

′ =( )( )

=( )

=( )

=( )+ −

+

+ −

+

+

+

+y

x x x

x

x x x

x

x x

x

x x4 1 2

1

4 4 2

1

2 4

1

2 22

2

2 2

2

2

2xx +( )1

2(IX. а). ′ =y 0 , якщо x = 0 , x = −2 . 0 3

1

2∈ −

; ,

− ∉ −

2 31

2; . y −

= = =⋅

− +

1

2

21

41

21

1

21

2

1 ; y 0 0( ) = ; y 3 4 52 9

4( ) = =

⋅, .

min;−

= ( ) =1

23

0 0y y . Відповідь: 0.

30. Розв’язання. log log1

6

1 265 5 5

1

4x x x+ −−( ) ⋅

; log log1

6

21

6

15 5 5 4 5⋅ −( ) − ⋅( )− −x x x ;

log log1

6

21

6

5 5 5 4 5⋅ −( ) ⋅x x x ; 5 5 5 4 52⋅ − ⋅x x x ; 5 5 02x x− . Нехай 5x t= ,

t > 0 , тоді маємо: t t− 2 0 ; t t1 0−( ) . Розв’язання цієї нерівності ві-

дображено на рисунку. Отже, 0 1 t , t > 0 ; 0 5 50< x ; x 0 . Най-

більший цілий розв’язок нерівності x = 0 . Відповідь: 0.

–0 1 t

–+

www.4boo

k.org

122


31. Розв’язання. Нехай ABCDA B C D1 1 1 1 — дана призма (рис. 1),її основа — ромб ABCD (рис. 2). AC = 24 см, CD = 13 см,ON CD⊥ , ON r= — радіус вписаного кола. З прямокутного трикут-

ника OCD маємо: rOC OD

CD= = =

⋅ ⋅12 5

13

60

13(см) (XIV. а. 13), оскільки

OD CD OC= − = − =2 2 2 213 12 5 (см). S r hбічн = ⋅2π (рис. 1) (XVII. 6);

Sбічн = ⋅ ⋅ =2 13 12060

13π π (см3).

Sбічн

π= 120 . Відповідь: 120.


2

1

2

1

3x x x− −− ( ) − ;

2 1

2

1

30

x

x x

+−( ) + ;

6 3 2

3 2

2

0x x x

x x

+ + −−( ) ;

x x

x x

2 4 3

3 20

+ +−( ) ;

x x

x x

+ +−

( )( )( )3 1

3 20 . Розв’яжемо нерівність методом

інтервалів. Цілі розв’язки: –3; –2; –1; 1, їх сума: − − − + = −3 2 1 1 5 . Відповідь. –5.


2 3

4

2x a ax− += , x > 0 . ОДЗ: 2 3 0

2 0x a

ax− ≠+ ≠

,;

x

x

a

a

≠

≠ −

3

22

,

.

3 2 4 2 3ax x a+( ) = −( ) ; 3 6 8 12ax x a+ = − ; 8 3 6 12x ax a− = + ;

x a a8 3 6 12−( ) = + ; xa

a=

+−

6 12

8 3, a ≠ 8

3. Якщо a =

8

3, рівняння

x a a8 3 6 12−( ) = + не має розв’язків. Оскільки x > 0 , то 6 12

8 30

+−

>a

a.

Розв’язання цієї нерівності відображено на рисунку. Отже, най -

більше ціле a дорівнює 2. Враховуючи, що xa≠ 3

2, отримуємо x ≠ 3 .


Тест 11

8. Розв’язання. BAN NAD= , NAD BNA= , тому BAN BNA= BAN BNA= , а отже, ABN рівнобедрений. AB = 5. P = 34.

Від повідь: Б.

10. Розв’язання. S aa= ⋅ = =4 3 4 3

2 3


11. Розв’язання. Складемо варіаційний ряд 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,

5, 5, 5. Кількість елементів парна mC C

k k=+ +1

2, якщо k n= 2 .

m = =+4 4


Рис. 1

Рис. 2

A D

ON

B C

A

A1

B1 C

1

D1

D

B C

–0–1–3 2 х

–+ ++

a−

1

2

8

3

+ ––

www.4boo

k.org

ТесТ�11

123

14. Розв’язання.2 2 sin

23

⋅ ⋅ α = (XVI. B. 2); 3

2sinα = ; 60α = °.


17. Розв’язання. У колоді 4 тузи. Два з них можна вибрати

C42 способами. C4

2 4 3

1 26= =⋅

⋅. Відповідь: Б.

18. Розв’язання. Похідна в точках екстремуму функції дорів-нює нулю. Функція має чотири екстремуми, отже, рівняння

′ ( ) =f x 0 має чотири корені. Відповідь: А.

19. Розв’язання. Sb

q=

−1

1; b1 2= ; q = − 1

2; S = = =

+

2

11

2

2

3

2

4

3.


25. Розв’язання. vs

tсер = ; s приймемо за 1; t t t= +1 2; t1

1

340

= ; t2

2

370

= ;

t = + = + =

1

340

2

370

1

120

2

210= = =+7 8

840

15

840

1

56; vсер = =1

1

56

56 (км/год).


26. Вказівка. Зробіть заміну 3 2 82x x t− + = . Відповідь: 1.

27. Розв’язання. У 2 л міститься 2000 3

10060

⋅ = г солі, 1 1000л ≈ г води.

У 3 л міститься 3000 5

100150

⋅ = г солі.

Тоді в 5 л міститься 60 150 210+ = г солі.5000 г — 100 %210 г — x %5000

100

210=x

; x = =210

504 2, %. Відповідь: 4,2.

28. Розв’язання. Об’єм циліндра ∆V з висотою x дорівнює об’ємукулі, зануреної у воду (див. рисунок).

∆V R x x= ⋅ = ⋅ ⋅π π2 218 ; ∆V r= = ⋅4

3

4

33 39π π ;

π π⋅ = ⋅18 92 34

3x ; x = = ( )⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅4 9 9 9

3 18 183 3cм .


29. Розв’язання. f xx x x

x

x

x( ) = =⋅ − − −3 2 2 22 3

2

3

2; g x

x( ) = −6

22

;

2 2 6 23

2

2

2

x

x

x

x

− −= ; x ≠ 0; 2 2 6 23 2x x− = − ; x = 3. Відповідь: 3.

αd

x

18

www.4boo

k.org

ТесТ 12

124

30. Розв’язання. ′ = −y x x2 4 ; ′ =y 0 при x = 0 й x = 4. 0 1 3∈ −[ ]; .

y −( ) = − − = −1 2 21

3

1

3; y 0 0( ) = ; y 3 9( ) = − .

max;

y y−[ ]

= ( ) =1 3

0 0. Відповідь: 0.

31. Розв’язання. За рисунком f x( )0 при x ∈ − ∞ −( ] { }; 2 4 . Розв’яжемонерівність x x2 3 10 0− − методом інтервалів, для цього знайдемокорені рівняння x x2 3 10 0− − = : x1 5= , x2 2= − ; x ∈ −[ ]2 5; .Таким чином, множиною розв’язків системи нерівностей є переріз про-міжків − ∞ −( ] { }; 2 4 і −[ ]2 5; : x ∈ −{ } { }2 4 . Добуток цілих розв’язків− ⋅ = −2 4 8.


32. Розв’язання.Система має нескінченну множину розв’язків, якщоa a

a a1

6 3

2= =+

−, тобто

a a

a a

2 6

2 3

= +−( ) =

,

;

a a

a a

2

2

6 0

2 3 0

− − =− − =

,

;

a

a

1 2

3 4

3 2

3 1

,

,

; ,

; ;

= −

= −

отже, система має нескінченну множину розв’язків при a = 3. Відповідь: 3.

33. Розв’язання.Піраміда правильна, тому точка O — центр

описаного кола трикутника ABC, AO BO CO R= = = , SBO SAO SCO= = = °60 (див. рисунок).Нехай точка P — середина відрізка SB. Проведемо в площиніSOB PT SB⊥ , тоді ST BT R= = к . SP BP= = 3. BSO = °30 ,

ST = = =°

3

30

3

3

2

2 3cos

.

S R= = ⋅ ⋅ ⋅ = ( )4 4 4 3 482 3π π π cм . Відповідь: 48.

Тест 12

9. Розв’язання. Графік функції ya

x= — гіпербола, міститься

в I і III координатних чвертях. Отже, a > 0 . Графік зміщено вздовж осі Oy на b одиниць вниз, отже, b < 0 . Відповідь: Д.

16. Вказівка. Шукана кількість дорівнює числу розміщень із 4 чи-сел по три: A4

3 (VIII.А). Відповідь: В.

25. Розв’язання.Швидкість руху потяга обернено пропорційна часу,витраченому на подорож.75 км/год — 100 %80 км/год — x %75

80 100= x

; x = =750

893 75, %. Час зменшився на

100 93 75 6 25 6% , % , % %− = ≈ . Відповідь: 6.

y

х10

–2 1

4

A B

O

P

T

S

C

N

www.4boo

k.org

ТесТ�12

125

26. Розв’язання. Пар, що містять одну голосну і одну приголосну, можнаскласти 2 18 6 216⋅ ⋅ = .



m a b= − 2 ;

m m m⋅ = 2 (IV. 10); m a b a a b b22

2 22 4 4= −( ) = − ⋅ + =

= − ⋅ ⋅ ° + = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =a a b b2 24 60 4 4 4 2 1 4 1 41

2

cos (IV. 7).


28. Розв’язання. 29 3 0− >n , 3 29n < ; n < =29

3

2

39 . n = 9.


29. Розв’язання. x x

x x

x x

x x

2

2

2 3

6

3 1

2 30

+ −− −

+ −+ −

=( )( )( )( ) .

За рисунком найбільшим цілим розв’язком нерівності є число 2. Відповідь: 2.

30. Розв’язання. На рисунку зображена шукана фігура.

x = 1, y = 1.

S x dx xx= −( ) = −

= ⋅ −

− ⋅ −

∫ 1 4 4 1 1

1

42

3

2

3

2

3

3

2 3

2

3

2

4

1

==

= ⋅ − − + = − − + = − =⋅2

3

2

3

16

3

2

3

14

3

5

32 4 1 4 1 3

23

2 .

Можна було обчислити площу S1 криволінійної трапеції:

S xdx1

1

4

= ∫ , а потім відняти від неї площу S2 прямокутника:

S2 4 1 1 3= −( )⋅ = .

Sx

1

2

3

16

3

2

3

14

3

3

2 4

1= = − = . S S S= − = − = ≈1 2

14

3

5

33 1 7, .


31. Розв’язання. x x y

y y xy

3

2

0

2 21 2

⋅ − =+ = +

,

.Розглянемо перше рівняння системи,

маємо: x yxx y

,,.

==

0

1) x

y y=

+ − =

02 21 02

,;

x

y

=

=

− ± +0

1 1 168

4

,

;

x

y

=

=

− ±0

1 13

4

,

;

xy

y

==

= −

03

7

2

,,

.

Пара чисел 0 3;( ) не задовольняє умову x y ; у парі чисел 07

2; −

значення змінної y не є цілим, тобто не задовольняє умову завдання.

−+ +−+

1 3 x−2−3

0 x

y

2

1

41

y x=

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

126

2) x y

y y y=

+ = +

,;2 21 22 2 x y= = 21. Пара чисел 21 21;( ) задовольняє і умову

x y , і умову завдання. Маємо: x y0 0 21 21 42+ = + = .


32. Розв’язання. 2 3 11

5

1

5

+ + = −log logx x . ОДЗ: x > 0.

log1

5

x t= , тоді 2 3 1+ + = −t tI II

.

Позначимо нулі підмодульних виразів I і II на числовій прямій (див. рисунок) і розглянемо отримані проміжки.Для t − 2 : − − + = −2 3 1t t , 1 1= , log

1

5

2x − ; x 25;

x ∈ + ∞[ )25; .

Для − < <2 1t : 2 3 1+ + = −t t, 2 4t = − ; t = −2; ∅ .

Для t 1: 2 3 1+ + = − +t t ; 5 1≠ − ; ∅ . Відповідь: 25.

33. Розв’язання.Нехай SABC — дана піраміда, точка O — основа висоти SO(див. рисунок). CO R= — радіус описаного навколо ∆ ABC

кола, NO rR= =2

— радіус вписаного кола. За теоремою

про три перпендикуляри SN AB⊥ ; SNO = °60 . NSO :

l RR= =

°2 60cos; SO

R R= ° =2

3

260tg .

SOC : OK — медіана, SC OK= ⋅ =2 2 7 ;3

4

22

2

2 7R

R+ = ( ) ;

7

4

2

4 7R = ⋅ ; R2 24= ; R = 4 . S l

R Rбічн = ⋅ ⋅ = = =⋅π ππ π

2 2

16

2

2

8 .


Тест 13

10. Розв’язання. s vt= . Відносно нерухомого спостерігача

довжина потяга — s. 80 км = 80 000 м, а 1818

3600с год= .

s = = ( )⋅80 000 18

3600400 м . Відповідь: А.

16. Вказівка. Катет, що лежить проти кута в 30°, дорівнює половинігіпотенузи. Відповідь: Г.

−2 t

II + + −I − + +

1

l

60°A

N

B

O

K

R

S

C

R

2

www.4boo

k.org

ТесТ�13

127

25. Розв’язання. Нагадаємо, що сума двох взаємно обернених додат-

них чисел не менша ніж 2, тобто aa

+ 12 , якщо a > 0 . Оскільки

tg ctgx x⋅ = 1, то ctgtg

xx

= 1; тобто tg

tgx

x+ 1

2 ( tgx > 0

для всіх x, крім xk= π

2, k ∈Z ), тому найменше значення y до-

рівнює 2. Відповідь: 2.

26. Розв’язання. Перетворимо ліву частину нерівності:

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1− − + − − ++ ( )( ) = − ( )( ) =

x x x x x x

1 1

1 1 1 1

+ −− + − +( )( ) = ( )( )

x

x x

x

x x;

x

x x1 10

− +( )( ) . Розв’язання цієї

нерівності відображено на рисунку. x = 0 — найбільший цілий

розв’язок отриманої нерівності. Відповідь: 0.

27. Розв’язання. На рисунку BK x= 4 ; KC x= ; 4 5x x+ = ; BK = 4;

KC = 1. S ABK = =⋅5 4

210. CL y= 2 ; LD y= 3 ; 5 5y = . CL = 2; LD = 3 .

S KCD = =⋅1 2

21. S ADL = =⋅5 3

2

15

2.

S AKL = − − − = − − = ( )5 10 1 25 11 7 5 6 52 215

2, , см . Відповідь: 6,5.

28. Розв’язання. ′ = − +y x x3 6 32 . ′ =y 0, якщо 3 6 3 02x x− + = ,

x x2 2 1 0− + = , якщо x = 1. 1 2 2∈ −[ ]; .

y −( ) = −( ) − −( ) + −( )+ = − − − + = −2 2 3 2 3 2 2 8 12 6 2 243 2

.

y 2 2 3 2 3 2 2 8 12 6 2 43 2( ) = ( ) − ( ) + ⋅ + = − + + = .

y 1 1 3 1 3 1 2 1 3 3 2 33 2( ) = − ⋅ + ⋅ + = − + + = .

max;

y y−[ ]

= ( ) =2 2

2 4 . Відповідь: 4.

29. Розв’язання. Нехай у місті n магазинів, тоді 2

34n +

магазини

обладнано кондиціонерами. Оскільки ймовірність того, що навманнявибраний магазин обладнано кондиціонером, становить 0,75, маємо:

2

34

0 75n

n

+= , ;

2 12

3

3

4

n

n

+ = ; 8 48 9 0n n+ − = ; n = 48. Відповідь. 48.

−+ −+

0 1 x−1

CB

A D

L

K

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

128

30. Розв’язання. log logx x6

2 6 0−( ) > . ОДЗ:

6 0

6 0

0

1

2

6

6

− >− >

>

≠

x

xx

x

,

log ,

,

;

x

xxx

<− >

>≠

6

6 106

,

,,;

0 66 1

< <− >{ x

x,;

0 5< <x .

log logx x6

2 6 0−( ) > ; log log logx xx6

2

6

6 1−( ) > , 0 5 06

5

6< < ⇒ < <x

x ,

тобто функція log log logx xx6

2

6

6 1−( ) > z є спадною, отже, 0 6 12< − <log x ;

1 6 2< − <x ; 1 6 4< − <x ; − < − < −5 2x ; 2 5< <x . Найменший цілий розв’язок x = 3. Відповідь: 3.

31. Розв’язання. D = 0; D a= −2 36; a2 36 0− = ; a = ± 6.Відповідь: –36.

32. Розв’язання. 2 6 19 3 18 36 2 12 142 2 2x x x x x x−( ) + + − + = − + − .

Виділимо під знаками радикалів повні квадрати, а саме:

2 6 9 1 3 6 9 92 2x x x x− +( ) + + − +( ) + == − − +( ) +2 6 9 42x x ;

2 3 1 3 3 9 4 2 32 2 2

x x x−( ) + + −( ) + = − −( ) (*).

Оцінимо ліву і праву частини рівняння (*). Оскільки

2 3 1 3 3 92 2

x x−( ) + + −( ) + 1 9 4+ = , а 4 2 3 42− −( )x ,

то рівність можлива у випадку, коли ліва і права частини рів-няння одночасно дорівнюють 4, а це можливо тільки для x = 3. Тобто корінь рівняння x = 3. Відповідь: 3.

33. Розв’язання. Нехай ABCDA B C D1 1 1 1 — дана призма (див. ри-сунок). Перерізом призми є прямокутник ADKN, оскільки пло-щина α , що перетинає дві паралельні площини, утворює пара-лельні прямі AN DK і AD NK . AD DC⊥ і AD DD⊥ 1 , отже,AD DK⊥ , тому переріз утворює дві призми: одну — з основою

DCK і висотою AD, другу — з основою DD C K1 1 (яка є трапецією) і висотою AD.Знайдемо площі трикутника DKC і трапеції DD C K1 1 й зрівняємо їх.

DD C1 : tg ϕ = 4

3; D CD DKC1 = = ϕ , KC = = =3 3

4

3

9

4tg ϕ.

S DCK = ⋅ ⋅ =39

4

1

2

27

8.

S S SDD C K DD C C DCK1 1 1 112

27

8

69

8

27

8= − = − = > .

V S ADANBDKC DCK= ⋅ = ⋅ = = ( )

27

8

81

83 10 125 3, cм .


A

B

3

3

4

C

D

ϕ

ϕ

α

O

N K

C1

B1

A1

D1

р

www.4boo

k.org

129

відПовіді

Тест 1

а Б В Г Д а Б В Г Д а Б В Г Д а Б В Г Д

1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 2 , 28 2 0 , 31 2 ,

26 – 2 , 29 2 , 2 32 2 5 0 ,

27 9 , 30 6 , 33 2 ,

Тест 2


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 2 , 28 0 , 3 7 5 31 2 ,

26 1 , 29 0 , 2 32 9 3 , 7 527 6 0 , 30 1 0 , 7 33 0 , 2 5

www.4boo

k.org

130


Тест 3


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 3 , 7 5 28 2 , 31 0 , 526 7 8 7 , 5 29 – 2 , 32 3 0 ,

27 4 , 30 7 , 5 33 4 8 ,

Тест 4


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 9 , 3 28 3 , 31 – 1 ,

26 2 , 29 9 , 32 – 3 ,

27 2 0 , 30 – 3 , 33 3 6 ,

www.4boo

k.org

131

відПовіді

Тест 5


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 0 , 5 28 9 0 , 31 0 , 2 526 1 8 , 29 3 8 , 32 – 1 ,

27 – 1 , 4 30 1 2 , 6 33 1 1 5 , 2

Тест 6


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 5 , 28 1 , 31 – 2 ,

26 – 6 , 29 1 , 32 1 ,

27 3 , 6 3 6 30 1 , 33 3 ,

р

www.4boo

k.org

132

відПовіді

Тест 7


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 – 3 , 28 2 , 31 3 ,

26 – 2 , 29 0 , 32 3 ,

27 4 , 30 1 3 , 33 4 8 ,

Тест 8


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 – 3 , 28 1 , 31 1 8 ,

26 2 1 6 , 29 1 , 5 32 6 ,

27 1 2 , 30 5 3 , 33 4 ,

www.4boo

k.org

133

відПовіді

Тест 9


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 1 3 0 , 28 – 5 , 31 1 0 , 726 3 , 29 – 0 , 1 2 5 32 0 ,

27 4 0 , 30 0 , 5 33 3 ,

Тест 10


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 3 , 28 2 0 , 31 1 2 0 ,

26 1 0 , 29 0 , 32 – 5 ,

27 0 , 8 30 0 , 33 2 ,

www.4boo

k.org

ТесТ�13�

134

Тест 11


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 5 6 , 28 3 , 31 – 8 ,

26 1 , 29 3 , 32 3 ,

27 4 , 2 30 0 , 33 4 8 ,

Тест 12


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 6 , 28 9 , 31 4 2 ,

26 2 1 6 , 29 2 , 32 2 5 ,

27 2 , 30 1 , 7 33 8 ,

www.4boo

k.org

135


Тест 13


1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20


21 1 22 1 23 1 24 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4

25 2 , 28 4 , 31 – 3 6 ,

26 0 , 29 4 8 , 32 3 ,

27 6 , 5 30 3 , 33 1 0 , 1 2 5

www.4boo

k.org

136

Зміст

Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

тести

Тест 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Тест 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Тест 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Тест 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Тест 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Тест 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Тест 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Тест 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Тест 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Тест 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Тест 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Тест 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Тест 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

РоЗв’яЗання. вкаЗівки. відповіді

Тест 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Тест 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Тест 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Тест 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Тест 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Тест 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Тест 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Тест 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Тест 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Тест 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Тест 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Тест 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Тест 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Відповіді . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

www.4boo

k.org

ÙÍßÒÙÍßÕ×Ífel2005.dp.ua/docs/blog/01/012.pdf · « ª« ¦Ì¿ÈÃ ÑÛ ¬ ¨ ª»·§¨...

Documents