Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХelib.grsu.by/katalog/140001-266661.pdf · му научному...
TRANSCRIPT
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В БЕЛОРУССИИ
<и. ГгН. Д. Б Е С П А М Я Т Н Ы Х
Издательство „Вышэйшая школа"
5 - 5 5 Н. Д. БЕСПАМЯТНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В БЕЛОРУССИИИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
ч У
педше*/
/ }
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫ Ш ЭЙШ АЯ Ш КОЛА» М ИНСК 1975
51(09)Б 53УДК 378(476)+ 51 (09)
20201—007 Б М 304(05)—75 109-74
© Издательство «Вышэйшая школа», 1975 г.
« ■
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге проблема математического образования рассматривается в следующих аспектах: а) научная подготовка учителей математики; б) содержание среднего математического образования; в) творческая деятельность учителей й профессоров в области математики и ее дидактики; г) оценка преподавания математических наук с методологической, научной и практической точек зрения.
Основными документами для изучения проблемы служили учебные планы, программы, учебники, печатные и рукописные труды профессоров и учителей и деловая переписка официальных лиц и учреждений по вопросам просвещения в Белоруссии. Документы в значительной части представляют материалы архивов: Литовского государственного в Вильнюсе, Центрального государственного архива СССР в Ленинграде, Октябрьской революции и Центрального в Минске и рукописных отделов библиотек: Вильнюсского университета им.В. Капсукаса, АН Лит. ССР в Вильнюсе, им. В. И. Ленина в Минске и им. М. Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде.
Проблема математического образования является одной из проблем истории педагогики. Исследования по истории педагогики в Белоруссии ведутся в настоящее время широким фронтом. Для их синтеза, представляющего актуальную зада-' чу, как нам представляется, необходимы сведения по истории точных наук и их отражению в академическом образовании. Автор стремился изложить эти сведения по мере возможностей в систематическом виде.
Книга состоит из пяти глав, каждая из которых дает общую картину развития просвещения и показывает уровень математических знаний определенной исторической эпохи.
С конца XVI в. в истории Белоруссии четко выделяются четыре периода, каждый из которых представляет интерес для изучения истории просвещения.
3
К первому периоду относится организация и более чем двухсотлетняя деятельность Виленского университета (академии), являвшегося научным и культурным центром Литовского государства, в состав которого входила Белоруссия. Глава I посвящена истории академии, описанию математических рукописей и печатных сочинений XVII и XVIII вв.
В главе II рассматривается вопрос о постановке математического образования в Виленском университете с 1780 г. и до момента его закрытия в 1832 г. В этот период Виленский университет был официальным учебным центром большого края, в который входили и белорусские губернии.
Глава III трактует вопросы среднего математического образования и вместе с предыдущей характеризует просвещение во второй период — период воссоединения Белоруссии с Россией (не только в географическом, но и культурном отношении) .
В главе IV рассматриваются некоторые вопросы математического образования в гимназиях и реальных училищах с момента образования Белорусского учебного округа (БУО) в 1829 г. и до Великой Октябрьской социалистической революции. Она отвечает, следовательно, третьему этапу истории Б елоруссии.
В главе V освещается развитие школьного математического образования в первые три десятилетия советского периода истории Белоруссии. В связи с вопросом о подготовке педагогических кадров для школы в этой главе останавливается внимание на развитии высшего математического образования в БССР — в педагогических институтах и БГУ.
В заключение автор считает своим долгом выразить сердечную благодарность за ценные замечания и советы, которые были учтены при подготовке работы к печати, члену-коррес- понденту АПН СССР профессору И. /С. Андронову, члену-кор- респонденту АН УССР профессору А. Н. Боголюбову, старшему научному сотруднику Института истории естествознания и техники АН СССР Л . Е. Майстрову, старшим научным сотрудникам Института истории АН БССР Г. Я. Галченко и В. А. Полуяну. Автор выражает также признательность аспиранту ГПИ им. Янки Купалы А. С. Сидорчук за выполнение чертежей.
Автор
Г л а в а I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ
§ 1. ОРГАНИЗАЦИЯ АКАДЕМИИ В ЛИТОВСКОМ КНЯЖЕСТВЕ
Первая половина XVI в. в истории Польши характеризуется как эпоха польского Возрождения, существенной особенностью которого является развитие на гуманистической основе литературы, искусства и науки. Феодальная католическая идеология постепенно уступала свои позиции новому, буржуазному мировоззрению, новым взглядам и идеям. Распространению этих идей способствовало развивающееся книгопечатание. Эта эпоха примечательна возникновением новых идей в философии, математике и астрономии, появлением оригинальной художественной литературы, изобразительного искусства и архитектуры. На новых началах стало развиваться просвещение.
Характеристику эпохи Возрождения дал Ф. Энгельс: «... параллельно с ростом среднего класса происходило гигантское развитие науки. Стали вновь изучаться астрономия, механика, физика, анатомия, физиология. Буржуазии для развития ее промышленности была нужна наука, которая исследовала бы свойства физических тел и формы проявления сил природы». 1
К этому времени относится деятельность выдающегося польского ученого Николая Коперника. Центром науки и просвещения был Краковский университет, пользовавшийся мировой известностью. Речь Посполита имела культурные и экономические связи с другими государствами, ибо «...вся Западная и Центральная Европа, включая сюда и Польшу, развивалась теперь во взаимной связи...».2 Это был «золотой век» в ее культурном развитии.
Вторая половина XVI в. с социально-экономической и культурной сторон может быть кратко охарактеризована следующими чертами. Великое княжество Литовское, в которое входила Белоруссия, по Люблинской унии 1569 г. вошло в состав Речи Посполитой, и с этого времени его история тесно связана с историей Польши. Это было феодальное государство, но с наличием в его социально-экономической жизни но-
5
вых элементов, свойственных уже капиталистической формации. В этот период происходит рост городов, совершенствуются различногорода ремесла, горное дело, появляются зачатки мануфактурного производства, развиваются торговля и товарно-денежные отношения.3
Г уманизм подготовилпочву для реформации, которая охватила значительную часть Литовского государства, включая и территорию Белоруссии; левое крыло ее, несомненно, имело прогрессивное значение. Но уже с шестидесятых годов XVI в.
Старый Виленский университет. наступает период реакции.В истории этот период из
вестен под названием контрреформации. К этому периоду и относится организация иезуитами в столице Литовского княжества, в Вильно, сначала гимназии, а потом академии и ряда школ в городах Белоруссии и Литвы.
З а время двухсотлетнего существования академии, несмот: ря на консерватизм в ее системе обучения в целом и особенно в отношении к естественным наукам, частные ее функции претерпевали некоторые изменения в соответствии с потребностями общества, поэтому она сыграла важную роль в распространении в стране научных знаний, в частности математических.
Первоначально Виленская академия называлась «Аса<3е- гша УПпеп515 е! ишуегзИаз» («Виленская академия и корпорация»).* И она сохраняла это название до ее преобразования в Главную Литовскую школу (1780), а с 1797 г. стала именоваться Главной Виленской школой. Существенная реформа этой школы была проведена в 1803 г., когда она была переименована в университет.
Что касается даты открытия университета, то историки отвечают на этот вопрос неоднозначно. Указываются три даты: 1578, 1579 и 1803 гг. Какие события, связанные с открытием
* В средние века высшие учебные заведения официально именовались по латыни: И ту егзй аз з1и(Ш, ОшуегзЙаз ша^151гоит е! 5сЬо1апит, 11туег- зйаз з1ис1еп{ит, з1ис1шт §епега1е, Асас1егша е! У туегзИ аз. Постепенно термин 11шуег511а5 перешел в название учебного заведения — университет.
6
академии, происходили в эти годы? В 1578 г. был издан королевский указ о привилегиях академии, который надо рассматривать и как разрешение на ее открытие иезуитами. Но окончательное решение вопроса об открытии оставалось за папой, оно последовало в 1579 г. В этом году академия начала свою деятельность.4
Реформу 1803 г. некоторые считают началом существования университета в Вильно.5 С чисто формальной стороны это утверждение не может вызвать возражения: только в1803 г. состоялось официальное открытие этого учебного заведения и с этого же года оно стало называться университетом.
Но рассмотрим этот вопрос ближе — с юридической и фактической сторон. В правительственном акте организации университета (акт 1803 г.) говорится, что им (актом) обеспечивается «навсегда существование древнего университета Виленского». 6 Этот документ, следовательно, не говорит об основании нового учебного заведения — университета. Его полный и буквальный смысл заключает идею такого обновления Виленской школы, которое придаст ей облик университета, типичного для той эпохи.
Что касается фактической стороны дела, то она приводит к тому же заключению. Действительно, университет получил ту материальную базу, которой располагала Главная Виленская школа; из ее преподавателей был укомплектован основной состав профессоров университета; в главных чертах сохранились те же учебные планы и программы, по которым эта школа работала; наконец, устав университета был написан на основе устава Главной школы. В силу этих причин 1803 г. нельзя считать временем основания университета в Вильно, в этом году была проведена лишь значительная его реформа.
Этой реформой на основе нового устава были упорядочены деятельность университета в целом и система руководства школами округа, произведены некоторые структурные изменения и значительно расширен круг его деятельности. Основательно возрос финансовый бюджет университета. Были открыты новые факультеты и кафедры, профессорская корпорация пополнилась свежими и крупными силами. Значительно возросла научная деятельность профессоров, усилилась роль физико-математических и естественных наук.
Заметим также, что в аналогичных случаях в Европе отсчет производится со времени первоначального открытия учебного заведения, и у нас нет оснований пренебрегать этим правилом. В данном случае следует на основе сказанного считать датой основания Виленского университета 1579 г.
Оговоримся, однако, что при исследовании истории развития университета мы будем иногда пользоваться теми его названиями, которые он имел в различные периоды своего су
ществования. Название «университет» сохраняется и употребляется как общий термин.
Встречаются неточности и в датировке акта закрытия университета. И. Биелиньский, объективный историк, считает, что это произошло в 1831 г.7 Действительно, в связи с польским восстанием Виленский университет с весны 1831 г. прекратил свою деятельность, но не полностью: медицинский факультет продолжал свою работу. Царский указ о закрытии университета был издан первого мая 1832 г.8 Вслед за этим указом последовало правительственное распоряжение сохранить медицинский факультет и преобразовать его в медико-хирургическую академию, а духовную семинарию, существовавшую при факультете моральных наук, преобразовать в духовную академию. Остальные факультеты, в том числе физико-мате- матический, были закрыты.
В Литовском государстве до прихода иезуитов существовала развитая для своего времени сеть различного типа школ, но высшей школы не было.9 Некоторый подъем экономики в стране в XVI в., рост торговых связей с заграницей, развитие военной техники требовали специалистов. Были нужны учителя, врачи, инженеры, юристы, коммерсанты, землемеры, политические и церковные деятели.
Для получения специального образования молодые люди из знати выезжали за границу — в Германию, Францию, Италию. Западное просвещение начиная с конца первой половины XVI в. в связи с распространением лютеранства переживало глубокий и длительный духовный кризис, из которого оно вышло расщепленным на две сильные ветви: католическую и протестантскую. Духом религиозной реформы особенно были проникнуты немецкие университеты. В противовес католическим открывались протестантские университеты. Центром протестантского просвещения был Виттенбергский университет во главе с идеологом лютеранства Ф. Меланхтоном. Естественно, что учащиеся, занимаясь в этих университетах, проникались духом этой реформы и после возвращения пропагандировали на родине ее идеи и открывали протестантские школы.* В Белоруссии были открыты кальвинистские школы с преподаванием на родном языке в Минске, Слуцке и Несвиже. Протестанты планировали организацию высшей школы в Вильно. Одним из деятелей реформистского движения был А. Кульвятис, организовавший лютеранскую школу в Вильно.**
* Имеются сведения, что в Виттенбергском университете в 1537 г. из областей Белоруссии училось 5 чел., в Базельском с 1533 до 1599 г.— 14 чел. Студенты из Белоруссии и Литвы обучались также в Пражском и К раковском университетах.10
** Кульвя.тис учился в Кракове, Виттенберге, затем в Италии; был одно время профессором в Кенигсберге. Умер в 1546 г.
в
Протестантизм начал быстро распространяться в Литве и отчасти в Белоруссии. Местное католическое духовенство не имело достаточно крепких сил, чтобы оказать этому распространению активное противодействие, поэтому были приглашены иезуиты. В Вильно иезуиты появились в 1569 г., в следующем году — в Полоцке, а позже в других городах Литвы и Белоруссии. В 1570 г. они организовали гимназию в Вильно, а затем в Гродно, Слуцке, Бресте, Минске, Орше, Витебске, Новогрудке, Полоцке, Бобруйске и даже в Смоленске.11
Иезуиты по приезде в Вильно сразу же предприняли энер- гичные меры по организации высшей школы. Спустя 10 лет после их первого появления в городе эта школа уже функционировала. Такая поспешность была вызвана тем обстоятельством, что к открытию высшей школы готовились протестанты. Иезуиты стремились опередить их и успели в этом. Протестанты были вытеснены с позиций, которые они занимали в области просвещения.
Иезуиты прежде всего открыли в Вильно, как уже сказано, гимназию, чтобы иметь контингент слушателей для высшей школы.* Затем они заручились поддержкой короля (привилея Стефана Батория (1578)), а в 1579 г. папа Григорий XIII дал разрешение на открытие академии с определением круга ее учебной и иной деятельности. В этом же году король особым актом подтвердил ее существование. Академия получила права высшей школы, в частности, право присуждения ученых степеней магистра и доктора теологии. Она имела два факультета: теологический (главный.) и подготовительный к нему — философский.
В деятельности академии в первые десятилетия ее существования заметен большой подъем. Так, например, в 1586 г. в ней и гимназии вместе было 54 преподавателя и 700 учащихся. Таким образом, за 15 лет своего существования по количеству преподавателей и учащихся, если сравнить с данными западных университетов, она достигла приблизительно среднего уровня. Так, например, в Пражском университете в эти годы было также около 700 слушателей.
Первое время преподавательский состав комплектовался в значительной мере из иностранцев, принадлежащих к ордену иезуитов. Учащаяся молодежь, надо полагать, в основном была местной, однако были выходцы и из других стран. М. Биржишка утверждает, что разговаривали учащиеся на многих языках .12
Русское государство не только по политическим, но и по религиозным мотивам не могло посылать своих молодых лю
* Иезуиты придерживались всюду такого порядка: наряду с высшей школой открывали гимназию.
9
дей для учебы в эту академию. Иезуит Антоний Поссевин, папский посол в Москве, пишет: «Что касается Московии, то князь никого еще не послал сюда для образования».1̂
В этом документе А. Поссевина сообщается: «В Вильне есть университет иезуитов, но русских в нем не так много учится и то без пользы для веры католической: бедные, которых большинство, прилежнее изучают те науки, которые кажутся им более выгодными для ведения частных дел, а более богатые не склонны посвящать свои труды на дело божие».14 Здесь, следовательно, речь идет об учащихся белорусах. Х арактерно, что это были люди из бедного сословия и их интересы определялись кругом не богословских, как подчеркивается в документе, а чисто практических наук.* Князь Курбский, живший в те времена в этом крае, пишет одной православной княгине, которая намеревалась отдать своего сына в Виленскую академию: «Намерение твое похвально; но как слуга и приятель твой, я не хочу от тебя утаить, что многие родители отдали своих детей иезуитам учиться свободным наукам, но они, не науча, прежде всего отлучили их от правоверия...». 15 Биржишка приводит дополнительные примеры, подтверждающие тот факт, что белорусы действительно учились и работали в академии. Учились в ней и студенты с Украины. Известно, что М. Смотрицкий, которого Ломоносов называл «королем грамматики славянской», учился в Виленской академии.16 В конце XVI и начале XVII в. некоторые профессора академии преподавали предметы для белорусских и украинских студентов на белорусском языке. **
По факультетам учебные предметы распределялись следующим образом. На философском факультете изучались метафизика, логика, этика, история, география, латинский и греческий языки, риторика, поэтика и математика. Кроме классических, изучались и живые языки: итальянский, французский и немецкий. На теологическом факультете преподавались догматическая и моральная теология, священное писание Старого и Нового завета, диалектика, казуистика, полемика, каноническое право и история церкви. При изучении философии руководствовались идеями Аристотеля б* толковании Фомы Аквинского.17 Учебный план утверждался генералом ордена, академический совет не имел права его изменять или критиковать. Этот план совпадает с планом иезуитской коллегии в Риме.
В учебном плане академии не упоминаются особо физика
* Поссевин предлагал открыть для русских и белорусов семинарию в Вильно или Праге, где «чешский язык родственен русскому», с той целью, чтобы ее воспитанники после окончания занимались распространением католицизма в Белоруссии и России.
** Например, профессор теологии Фабрициус Гроз.
•10
и астрономия. Физика (Аристотеля) входила в курс философии, а астрономические сведения сообщались в курсе географии. География, астрономия и астрология нередко представляли собой единый курс. Естественные науки, например медицина, не упоминаются. В акте утверждения академии имеется особая оговорка, как бы условие, что медицина не должна входить в ее учебный план. Устав ордена запрещал ею заниматься. Естественные науки в учебный план не входили. Такое отношение к естественным наукам можно проследить на протяжении всей длительной истории иезуитского просвещения.
Стержнем учебного плана был, следовательно, тот цикл дисциплин, который служил основой религиозного воспитания и образования (богословие, риторика, контраверсы, языки). Игнорируя естественные науки, иезуиты тем самым препятствовали их свободному, прогрессивному развитию. Этот факт лежит темным пятном на иезуитской системе образования.
Для обрисовки положения в XVI в. мы не располагаем прямыми источниками. Известно, что математика входила в учебный план и что она преподавалась со времени основания академии, известны и имена преподавателей — Вуек, Босгрейв и В. Бойер, но мы не имеем точных данных о том, какие из математических предметов и на каком уровне изучались в академии. Поэтому попытаемся дать оценку положения на основе данных по другим учебным заведениям. Это позволительно сделать на основе следующих фактов.
Во-первых, учебное руководство осуществлялось из одного центра.*Отступления от плана по философии, астрономии были связаны с большим риском быть обвинённым в ереси, что в эпоху инквизиции было небезопасно.
Во-вторых, виленские профессора были хорошо знакомы с постановкой учебного дела на Западе, и каждый из них, обладая деятельным умом, не мог не сообразовываться с ней в границах официальных планов.
Кроме того, историки просвещения справедливо утверждают, что реформация не отразилась заметным образом на постановке преподавания предметов, за исключением философии, богословия и примыкающих к ним дисциплин. Во всяком случае она не отразилась на постановке преподавания математических наук, методология которых не была предметом дискуссий. Протестанты не внесли каких-нибудь новых концепций в эту область просвещения. Главное различие заключалось в религиозной платформе. К этому выводу приводит также сравнение учебных планов по математическим наукам католических и протестантских университетов. Это обстоятельство позволяет
11
не делать между ними различия при исследовании нашего вопроса.*1
Изучение постановки учебного дела в ряде университетов Запада на рубеже XVI и XVII вв. дает возможность составить основной список учебных руководств по математическим наукам .19
В этот список входит небольшое число названий. Геометрия изучалась по «Началам» Евклида, причем не более как только по первым шести книгам. Упоминается прикладная геометрия. По арифметике указываются сочинения Сакробо- ско и других авторов, содержащие «арифметику на линиях», а также книги по применению арифметики к календарным расчетам. По астрономии основными руководствами были «Альмагест» Птолемея, «Сфера мира» Сакробоско, а также «Теория планет» Пейербаха и «Таблицы» Региомонтана. Имели распространение книги Христофора Клавия (1537— 1612), издавшего «Начала» Евклида с дополнениями (1574), «Гно- монику» (1581), «Сотри1из» (1603) и др.** Заметим, что Кла- вий излагает начала алгебры, следуя «Арифметике» М. Шти- феля («Коссическое искусство»). Все эти сочинения в своей совокупности характеризуют состояние математического просвещения рассматриваемой эпохи; и на основе сделанного выше замечания можно утверждать с некоторой вероятностью, что в той или иной степени они находили применение в педагогической практике Виленской академии.
«А1§ о п 1Ьггш5» И. Сакробоско переиздавался в XVI в. в Польше многократно.*** Эта книга была написана еще в XIII в., получила распространение в практике преподавания в средние века и относится к числу немногих учебников, которые могут характеризовать уровень преподавания арифметики в XVI в.
Краковское издание «Арифметики» Сакробоско 1522 г. (на 32 с.) включает следующие вопросы: нумерация, сложение, вычитание, умножение на 2 , деление на 2 , умножение и деление, прогрессии, извлечение квадратного и кубического корней, а также исчисление «на линиях», в том числе удвоение, умножение и деление. Все алгоритмы формулируются в виде правил и иллюстрируются примерами.
* Сочинения идеолога протестантизма Меланхтона, включая и учебники, были запрещены в иезуитских школах, все они квалифицировались как еретические, но они не имели отношения к математике, даж е «Предисловия» М еланхтона к двум математическим сочинениям (Сакробоско и Штифеля) читать запрещалось.18
** Н аряду с ними указываются трактаты раннего средневековья, например Боэция и др ;*** И. Сакробоско — англичанин Джон Галифакс, или Голливуд (ум. в 1256 г.). Обучался в Оксфорде, около 1230 г. переехал в П ариж и преподавал математику и астрономию в тамошнем университете.20
12
В XVI в. в Польше был издан ряд трактатов по арифметике (Т. Клоса, Я. Ланьцута, Б. Гербста). «А1§опШ ти 5» Клоса издан в Кракове в 1537 г., «А1§*опШти5» Ланьцута был издан восемь раз, «Арифметика на линиях» Гербста за 1564— 1577 гг.— пять раз. Книга Гербста была популярной и оказала влияние на распространение арифметик этого рода. В ней излагались способы арифметических вычислений на «линиях» и «цифрах», прогрессии и торговые расчеты.21
По курсу астрономии была популярной «Сфера мира» Сакробоско, изданная в Европе в конце XV в. 25 раз. Ею пользовались в практике преподавания еще и в XVII в., в середине которого она была издана около 40 раз. При этом она претерпела большие изменения в содержании. Например, краковское издание «Сферы мира» 1513 г. содержит 94 страницы, а флорентийское 1518 г.— 254.22 Различие в объеме объясняется тем, что во втором из названных изданий представлена теория планет (по Пейербаху) и теория затмений. Материал самого Сакробоско, касающийся главным образом очевидных следствий видимых суточного движения небесной сферы и годичного движения Солнца, занимает в книге сравнительно немного места.
Изучение истории университетского образования показывает, что геометрия в XV и XVII вв. носила более практический характер, нежели теоретический. Если в плане указываются, положим, первые книги Евклида, то это совсем не означает, что они изучались с такой же полнотой и последовательностью, как у Евклида. Профессор читал по Евклиду то, что было минимально необходимо для практической геометрии, т. е. учение о треугольниках и многоугольниках (равенство, подобие, разбиение), учение об окружности (по Архимеду), причем все это излагалось сжато и без евклидовой щепетильности к доказательствам. Иная постановка дела нам представляется исключением. Наряду с изданием книг по арифметике в Польше в XVI в. была издана книга по практической геометрии профессором Краковской академии С. Гжеп- ским.
«Геометрия» С. Гжепского заслуживает нашего внимания, так как, несомненно, она имела значение в деле распространения элементарных геометрических сведений и простейших приемов землемерия.23 Кроме того, она является типичной дляXVI и даже XVII в., хотя и уступает многим в объеме материала и его теоретическом обосновании. «Геометрия» Гжепского является первой книгой по этому предмету в Речи По- сполитой, издана она на польском языке в 1566 г. в Кракове. Не исключено, что ею пользовались в Виленской академии и школах. Для нас она представляет интерес еще и в том отношении, что содержит оценку положения землемерной
13
практики в Литовском государстве. Автор пишет: «...трудно найти землемера, я только об одном слышал на Погудже, но и тот уже умер. Поэтому, когда в Литве пожелали измерять пашни, то послали за землемером в Мазовцы, так как в другом месте у нас, насколько я могу знать, или их не найдешь, или найдешь очень мало». Автор хорошо знал положение дела, так как сам занимался землемерной работой, и поэтому его сообщение может заслуживать доверия. На этом основании можно предположить, что в Белоруссии в XVI в. если и были специалисты, способные применять научные методы работы в этой области, то их было немного.
«Геометрия» Гжепского свидетельствует о возникновении в Польше интереса к практической геометрии. В известной степени она характеризует сферу научных интересов эпохи Возрождения. В области геометрии математики занимаются освоением математического наследия Древней Греции, его применением в практике и в преподавании. Чисто теоретические исследования по геометрии были достаточно скромны. Развитие приложений геометрии и тригонометрии к вопросам практики было характерным явлением для эпохи Возрождения. Это направление отвечало насущным потребностям жизни периода распада феодальных устоев и возникновения признаков новой общественной формации.
«Геометрия» Гжепского написана популярно и с единственной целью — показать, как производить вычисление площадей земельных участков, ограниченных прямыми линиями, как определить «высоту, расстояние и глубину». Из криволинейных фигур рассматривается только круг.
Книга предназначалась для широкого круга читателей без особой математической подготовки, что видно из предисловия:
«Достаточно и ранее писали об этом, в особенности древний автор Евклид, в которого и сегодня влюблены ученые люди. Однако я писал попросту, как наиболее удобно могло быть, чтобы каждый самостоятельно понял. А если кто хочет пойти дальше в этой области, тот легко может понять Евклида и иных, писавших об этом».
Есть в книге и такой совет читателю: «Если сразу чего- либо не поймешь, то одолеешь в другой или третий раз, сообразно смекалке. Человеческий разум таков: чем больше чего- либо воспринимаешь, чем чаще над чем-либо размышляешь, тем шире эта вещь представляется, тем больше видишь и обнаруживаешь то, чего раньше не находил. По этой причине, прочитав эти книги один раз, при повторном чтении поймешь лучше, чем при первом чтении; чем чаще будешь заниматься этим делом, тем лучше станешь геометром».
«Геометрия» начинается с определений в духе Евклида основных геометрических понятий (точка, линия, тело), опи
14
сания вида линий (прямые, кривые, параллельные прямые) и углов. Вводится понятие перпендикуляра к прямой. Далее описываются (с иллюстрацией на чертежах) треугольник, ромб, параллелограмм, квадрат, прямоугольник и окружность. Доказывается, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, формулируется теорема о сумме внутренних углов многоугольника. Показывается, как вычислить площади названных фигур.
Теоретическая основа состоит из немногочисленных ссылок на Евклида, подобно следующей: «Прежде всего надо знать, что Евклид написал в шести книгах. Если имеются клинья (треугольники) с одинаковыми углами, тогда стороны этих клиньев, которые суть около одинаковых углов, будут иметь одинаковую пропорцию». И далее описывается способ определения высоты предмета по длине его тени.
Интересны рассуждения о круге: «Круг не окаймлен линиями (т. е. прямыми), поэтому он создал древним и мудрым Геометрам трудности при отыскивании приема для его измерения. Измеряли одни так, другие иначе.
Для измерения круга сначала надо знать, как велик диаметр, затем требуется знать, как велика циркумференция (окружность), то есть линия, которая идет вокруг, образуя круг. Сначала надо измерить величину диаметра, а отсюда узнаешь, как велика циркумференция, ибо она так велика, как три диаметра и седьмая часть диаметра без малого куска; об этой малости можно не говорить...
Если бы кто-либо пожелал узнать, сколько содержится в этом круге (площади), то нужно умножить число длины на число ширины. Однако здесь длина простирается не по обе стороны, но только по одну, ибо по одну сторону есть циркумференция, а по другую сторону нет ничего, кроме центра, то есть серединной точки. Вот почему по другую сторону нужно отложить половину циркумференции, чтобы она заменила длину второй стороны». Таким образом, круг рассматривается как прямоугольник с основанием в половину длины окружности и высотой, равной радиусу. Автор говорит, что Дюрер и Форциус дали другой способ: «составь квадрат так, чтобы его диаметр (диагональ) был на (свою) пятую часть больше диаметра круга..., если хочешь иметь квадрат, который содержал бы в себе столько, сколько и этот круг...».
Гжепский сообщает далее любопытные данные о том, как решали эту задачу практики: они заменяли круг правильным вписанным шестиугольником. «Наши землемеры этим приемом из круга делают фигуру о шести углах, которая меньше, чем круг, ибо круг между всем есть фигура наибольшей вместимости, а именно внутри себя замыкает больше всего по сравнению с какой-либо другой. Ты должен измерять круг,
15
не следуя нашим землемерам, но согласно той науке, которую я выше написал».
Далее автор говорит, что «среди всех семи наук, которые преемственно перешли от Греков к Римлянам, а затем от Римлян к нам, нет более благородной, чем геометрия».
«Поэтому представляется удивительным,— продолжает д а лее Гжепский,— что у нас нет речи о том, что так высоко ценили великие люди, люди мудрые: мы не так обучаемся ей, как другим наукам.
Не так бывало в давние времена у Греков: много их (и великих людей большого ума) занимались этой наукой; вот почему, благодаря этой науке, и достигали великих результатов, дошли и узнали, как велика Земля, как велика Л уна, ..., как далеко до неба, как велико небо в обводе». Этим Гжепский выражает неудовлетворенность постановкой учебного дела, а именно тем, что изучению геометрии не уделялось должного внимания.
Источники по истории просвещения в Западной и Средней Европе указывают на единообразный способ преподавания в высших учебных заведениях, который, очевидно, применялся и в Виленской академии. Вся система обучения подразделялась на четыре вида или формы: 1 ) лекции ординарные,2) лекции экстраординарные, 3) репетиции и 4) диспуты. Ординарные лекции читались по основным книгам и также, как и в этих последних, с подразделением на главы или разделы. Другие, не основные, книги составляли содержание экстраординарных лекций. Эти книги предлагались для самостоятельного чтения, причем после прослушивания ординарных лекций. Ординарные лекции читались до обеда, экстраординарные — после обеда. Первые из них студенты не имели права прерывать вопросами, вторые преимущественно состояли из ответов студентов на вопросы лектора и ответов лектора на вопросы студентов. На репетициях рассматривались трудные места из прочитанного курса. Диспуты организовывались по заранее намеченным профессором темам, главным образом философским и богословским.24
§ 2. О МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУКАХ В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ В XVII в.
Для университетского преподавания в XVII в. характерным был следующий цикл математических предметов: арифметика, теоретическая геометрия (по Евклиду), астрономия, практическая геометрия, включавшая землемерие, перспективу и фортификацию с применением к решению задач пропорционального циркуля и графических методов вычисления; в конце
16
столетия в учебных планах появляются конические сечения и прочное положение занимает алгебра.
Таково приблизительно было положение и в Виленской академии. В этом параграфе рассмотрим содержание «практической геометрии» и курса лекций по астрономии. Изложению этих вопросов предпошлем общий обзор ряда документов, которые в совокупности дают известное представление об академической математике в XVII в.*
Во второй четверти XVII в. должность профессора математических наук занимал Освальд Кригер (Кгу^ег). Он родился в 1598 г., учился в Виленской академии, был домашним учителем у Радзивилла в Несвиже и там же ректором иезуитской коллегии. В 1630 г. Кригер занял профессорскую должность в Виленской академии. Умер Кригер в должности королевского военного инженера в 1655 г. Ему приписывается несколько анонимных работ, опубликованных в Вильно его учениками.
Математическая рукопись Кригера, датированная 1632 г. и описанная С. Дикштейном, может служить документом для характеристики математического образования в академии в 30—40-е годы XVII в. Она охватывает разные разделы науки: астрономию, физику, учение о календаре, геодезию, арифметику и геометрию. Арифметика содержит основные действия над натуральными и дробными числами, геометрия — начала геометрии Евклида и практические приложения геометрии к съемке планов.25 Ему же приписывается, как единственному в то время математику в Вильно, изданная в 1635 г. «Практическая арифметика», цель которой «принести как можно больше пользы во всех областях жизни».26 Она содержит арифметику четырех действий над целыми числами, понятие о дробных числах и различные «задачи на правила». Изложение заключается в сжатой формулировке правил действий и их иллюстрации типичными примерами и задачами. Имеются достаточно сложные задачи на неопределенные уравнения.
В 1677— 1681 гг. математику в Виленской академии преподавал В. Тылковский (1629— 1695). Он издал ряд трактатов по разным отраслям знаний, в том числе по математике — «Арифметику» и «Геометрию».27 Хотя в его «Арифметике» встречаются такие элементы нового материала, как примеры из комбинаторики, сведения из алгебры, однако как та, так и другая его книги оцениваются как свидетельство упадка в университете математических наук . 28
Рукопись № 603, датированная 29 апреля 1682 г., содержит практическую арифметику и практическую геометрию.29 По,
* Вопрос о т&га^Яэ^и^лн Дти-работы написаны преподавателями академии, мы здеемйе 'р а с с м а т р и в а в ;р'У ч
арифметике хорошо представлена структура десятичной системы. Операции над целыми числами формулируются в виде правил. Дана таблица умножения. Вслед за прямыми операциями формулируются обратные, которые используются для проверки. Проверка производится систематически во всех случаях, и тем самым обеспечивается обратная связь в вычислительном процессе.
Сначала дается понятие об обыкновенных дробях, затем излагаются дроби десятичные. Правила действий над десятичными дробями даются без обоснования. Обращение обыкновенных дробей в десятичные — на простейших примерах. Далее идут задачи на тройные правила, действия над обыкновенными дробями, чему предшествует нахождение НОД и НОК. По традиции рассматриваются возвышение во вторую и третью степень, извлечение квадратных и кубических корней из целых чисел и десятичных дробей и прогрессии. Последняя тема включает: определение суммы членов прогрессии (на частном примере), восстановление пропущенных членов, продолжение прогрессий в ту и другую сторону. Рукопись заканчивается изложением шестидесятеричных дробей.
Отметим кратко ее особенности. Рукопись написана четка и хорошо сохранилась. Изложение состоит из формулировки правил, демонстрации вычислительных схем и примеров. Вычислительные алгоритмы схематизированы, чем обеспечивается некоторая автоматизация вычислений. Операции над десятичными дробями сообщаются раньше, чем операции над обыкновенными. Сравнение обыкновенных дробей по величине иллюстрируется графически. Обыкновенные дроби излагаются в два приема: сначала дается общее понятие, а потом, после десятичных, сообщаются правила и схемы операций над ними.
Некоторые авторы, говоря об истории десятичных дробей, подчеркивают тот факт, что они вошли в педагогическую литературу, утвердились в ней и через нее получили всеобщее распространение после того, как была введена десятичная система измерения величин. На самом деле процесс их распространения был сложнее этой простой и кажущейся вполне логичной схемы. Отчасти это утверждение верно, но оно имеет отношение к учебникам, служившим целям обучения торгово- промышленной практике. В университетское преподавание десятичные дроби вошли, по-видимому, достаточно рано. В Краковской академии, например, благодаря работам Бро- жека, они были известны еще в начале XVII в. Как показывает данная рукопись, в Виленской академии десятичные дроби были известны во второй половине XVII в., а может быть и ранее. Они применялись для вычисления корней и логарифмов, вместе с которыми и распространялись.
18
Запись десятичных дробей в XVII в. производилась без употребления запятой, а с помощью различных разрядных указателей, например, число 2,95 записывалось так: ^
Аналогично записывалось значение угла: Агеа 7 3 3 у1 1̂ -
Запись десятичных дробей в XVIII в. не достигла еще современной унификации. Наряду с точкой и запятой, служившими для отделения целой части, применялись, как и прежде, различные разрядные указатели, например, в рукописи № 123 1755 г. число 32,45678 записано так: 32/0 4/1 5/П 6/Ш 7/1У 8/У. Но наряду с этой имеется запись с употреблением запятой, т. е. современная. Иногда целая часть совсем не отделяется, а в конце ставится лишь указатель числа десятичных знаков. Например, вместо 2357,91486 записано: 235791486/У. Пример на сложение:
304506/У 240305/У 544811/У
При изучении рукописей и печатной математической литературы второй половины XVIII в. легко было заметить, что запятая или точка для отделения целой части применялись в теоретических частях арифметики, например, в теории логарифмов, на практике же использовались вариации первоначального символического обозначения десятичных дробей.
Шестидесятеричные дроби продолжали еще играть большую роль в XVII в., поэтому они подробно излагались в курсах математики, а по традиции они занимали место в учебной литературе и в XVIII в., вплоть до XIX в. Так по крайней мере наблюдается в Вильно, но это не было исключением. 30
Рукопись № 969 представляет собой чисто практический курс. Написана на немецком языке, занимает 76 страниц и относится к концу XVII в.31 Сначала рассматриваются задачи на «правила» в целых числах, затем идет раздел об обыкновенных дробях. Операции над дробями выполняются по схемам, встречающимся в польских и немецких арифметиках XVII в., а именно:
Вторая часть рукописи посвящена практической геометрии.Рукопись XVII в. по практической геометрии под № 12232
содержит теоретический материал из первых книг Евклида, минимально необходимый для обоснования решения практических задач землемерия (некоторые простейшие задачи на построение, учение о равенстве и подобии плоских фигур, разбиение многоугольника на треугольники и учение об окружности). Во второй части рассматриваются задачи на определение расстояний между двумя пунктами на поверхности земли и высоты предметов, а также определение площадей. Участки земли в плане даются сложной формы, например прилегающие к извилистой речке.
В рукописи рассматривается большое число геодезических задач, которые иллюстрируются рисунками. Приведем основные из них.
1) Съемка границ участка с помощью вспомогательного прямоугольного инструментального хода; съемка нескольких участков тем же способом. Во втором случае через все участки проложены инструментальные ходы, имеющие общую точку, следовательно, они связываются между собою в единую- систему. Ходы висячие, разомкнутые, что может послужить причиной значительных ошибок при создании съемочной базисной основы.
2 ) Изображение ряда населенных пунктов в плане с ориентированной прямоугольной системой координат. На плане изображен замкнутый инструментальный ход, с помощью которого определяются положения этих пунктов в выбранной системе координат.
3) Определение е ы с о т ы башни с одной позиции; определение высоты башни с трех позиций (ниже, выше и на уровне основания).
4) Определение расстояния до недоступного предмета.5) Определение положения наивысшей точки скалы отно
сительно поверхности водоема.6) Определение глубины цилиндрического резервуара
(колодца).7) Построение планов фортов звездчатой формы.Все задачи на определение расстояний до недоступных
предметов и их высот имели важное значение в военном деле. Это задачи на определение расстояний до неприятельских батарей, определение высот укреплений, с которых производится обстрел и т. д.
8) Одна из задач содержит элементы триангуляции. На соответствующем рисунке показано определение расстояний до ряда пунктов на основе пбстроения треугольников с одним базисом, но положение некоторых объектов, с которых не
20
возможно вести наблюдение, определяется из системы нескольких треугольников. А это уже элемент триангуляции.
Все эти задачи описываются в тексте, рисунки показывают практическое выполнение работы, но математические расчеты, как и по другим разделам рукописи, отсутствуют.
Кроме геодезии, рукопись содержит учение о перспективе, гражданской и военной архитектуре. В главе о перспективе,как сказано во введении к ней, Стевина об этом предмете. З а метим, что учение о перспективе достаточно успешно разрабатывалось в XVI и XVII вв. и рано вошло в практику университетского преподавания.
Рукопись завершается графическими вычислениями, которые относятся к разделу, посвященному геодезии. Этот раздел можно отнести к предыстории номографии, и поэтому он представляет интерес не только для истории просвещения, но ^ для истории науки. В известных нам работах по истории
излагается учение Симона
П лан участка местности.
Определение высоты баш ни военного укрепления.
номографии эта рукопись не упоминается, как и не освещаются те способы номографирования, которые в ней изложены.33 Автор сделал сообщение о содержании этой рукописи; в 1965 г. в Вильнюсе.34
21
Перейдем к описанию графических вычислений, содержащихся в этой рукописи, и их обоснованию, которое в рукописи отсутствует. Здесь приведены следующие задачи на решение прямоугольного треугольника:
1) Даны катеты, определить гипотенузу.2 ) Даны гипотенуза и катет, определить другой катет.3) Даны два катета, определить угол. Величина угла
определяется до целого числа минут и, между прочим, достаточно грубо.
4) Даны гипотенуза и катет, определить заключенный между ними угол.
5) Даны угол и прилежащий катет, определить другой катет и гипотенузу.
6) Даны гипотенуза и угол, определить катеты.Решение этих задач на прямоугольной сетке с тремя шка
лами при наличии линейки с делениями или циркуля (так как сетка окружностей отсутствует) не представляет труда и в наше время рекомендуется для учащихся школы.35 Однако рассмотрим одну из задач, например последнюю. Под заданным углом, который отсчитывается на шкале, проводим прямую (накладываем линейку) и фиксируем на ней точку, соответствующую длине гипотенузы (с помощью делений на линейке или с помощью циркуля). Численные значения абсциссы и ординаты этой точки снимаются непосредственно с сетки. Эти значения и определяют длины искомых катетов.
Решение косоугольных треугольников производится на той же сетке. Рассмотрим одну из основных задач и дадим обо-
8 снование ее решения, которое, как уже сказано, в тексте отсутствует.
Задача 7. Даны сторона треугольника а = 45, прилегающие к ней углы в 60° и 80°. Определить две другие стороны Ь и с. Задача решается по следующему правилу. Проводим на сетке лучи под указанными углами, как показано на чертеже. Из точки вертикальной шкалы с меткой 45 проводится горизонтальная параллель до встречи с первым лучом, проведенным под углом 40°. Точка пересечения А\ отображается (переносится циркулем) на второй луч, проведенный под углом 60°. Отображение точки А\ обозначено через А 2. Из точки А 2 проводится горизонтальная параллель До пересечения с вертикальной шкалой (точка В2). Точка А 2 отображается таким же образом на третий луч, получается точка Л3. Эта последняя проектируется на вертикальную шкалу, получается точка В 3. Отрезки на шкале ОВ2 и ОВ3, численное значение которых снимается непосредственно со шкалы, равны искомым сторонам: ОВ2 — стороне, лежащей против угла 60°, ОВ3 — стороне, лежащей против угла 80°.
Для обоснования этого правила рассмотрим задачу в об-
22
щем виде. Пусть даны сторона треугольника а и два прилегающих к ней угла (3 и у. Определить две другие стороны Ь и с. Находим значение третьего угла, который обозначим а. Пусть а < р < у . Заметим, что отношение между величинами углов не влияет на общность рассуждения. Проводим на сетке три луча (а), (|3), (у) под углами а, |5 и у. Найдем значение сторон треугольника Ь и с из формулы синусов:
а Ь с и а • о / 1 \—:— = ■ . о = — — ; Ь — —----------- 51пр; (1 )51П а 51П р 51П у 5 ! П а 1 ' '
С = —Л— • 51П у. (2\5!П а ' \ ^ )
Теперь остается дать геометрическую интерпретацию формулам ( 1 ) и (2 ) (рис. 1 ).
Рис. 1. Рис. 2.
Очевидно, что множитель ■, входящий в обе формулы,
представляет собой отрезок 0ЛХ, если а — ОВх\ ОЛ2 = 0ЛХ по построению.
= 81П Р; ОВ2 = ОА2 ■ зшр = ОА1 • 8Ш р = • зш р;Уу /11 81П ОС
ь = ов2.Далее: 0 А 1 — ОА3 по построению. ОВ3 = ОА3 • з т у , ОВ3 =
— ОАг • 51П у = — • 51П у; с = ОВ3.1 1 51П а г 3
Аналогичным образом решаются следующие задачи. Задача 8. Даны две стороны треугольника а и Ь и угол
между ними у. Определить два других угла а и |3 и третью сторону с. В рукописи рассматривается два случая: 1) 0 ° < у < <90° и 2) 9 0 °< у < 180°.
23
Задача 9. Даны две стороны е и ^ и угол против одной из них а. Определить третью сторону / и углы (3 и у.
Решение сводится к решению задачи 7 (рис. 2).Задача 10. Треугольник А ВС дан своими сторонами, опре
делить его углы. Задача решается следующим образом. Сначала строится на сетке данный треугольник так, чтобы его вершина А совпала с началом координатной сетки. Тогда продолжение стороны до шкалы градусов покажет значение одного угла. Затем строится тот же треугольник, но так, чтобы его вершина В совпала с началом координат. Это позволит на шкале определить значение второго угла. Третий угол определяется вычислением.
При изучении постановки преподавания астрономии мы старались выяснить один вопрос: какое место в этом преподавании занимало учение Н. Коперника, имея в виду, что книга его «Ве ге'уо1и1юшЪи5 огЫит саекзИ ит» находилась под запретом папской конгрегации с 1616 и по 1828 г. По крайней мере на первом этапе истории академии в преподавании астрономии, как нам представляется, известную роль играл трактат Христофора Клавия, его «Комментарии» к «Сфере» Сакробоско (Рим, 1581, на лат. яз.), книги которого находили большое применение в учебных заведениях такого типа, как Виленская академия. Астрономия излагается Клавием с геоцентрических позиций.
Но уже в рукописи преподавателя А. Милевского (Е1етеп- 1а1е азЬопогшсит» (1629— 1630) наряду с системой мира по Птолемею кратко излагаются системы Коперника и Тихо Б раге (с соответствующими схематическими рисунками).
О преподавании астрономии в тридцатые годы дает представление курс лекций А. Дыблинского (Вильно, 1639), на котором остановимся подробнее. При изучении этих лекций мы пользовались их переводом на русский язык, выполненным в 1707 г. В. Киприяновым. Киприянов подготовил перевод к печати, имея в виду нужды Математико-навигацкой школы.36 Поскольку вопрос об издании этой рукописи не освещен в литературе, мы сделали попытку ответить на него.
Изучением деятельности Киприянова специально занимался А. В. Бородин37, имеются сведения о нем в работе В. Л. Ченакала 38, а также в небольшой рукописи, посвященной Киприянову, хранящейся в Отделе редкой книги Ленинградской библиотеки им. Салтыкова-Щедрина. На основании этих источников и собственных попыток обнаружить печатное издание можно утверждать с определенностью, что рукопись Киприянова не была издана. *
* Из указанных источников следует, что Василий Онуфриевич Киприянов был математиком, гравером и издателем. О дате рождения сведений не имеется, а умер он в Москве в 1723 г. Подписывался так: «Математи
Нас интересовали следующие вопросы относительно лекций, носящих название «Сотня астрономская»: 1 ) объем и общий характер курса; 2 ) научная концепция мира; 3 ) отражение идей Коперника; 4) математические расчеты.
Вся работа состоит из 100 пунктов (предложений), каж дый из которых рассчитан приблизительно на часовую лекцию. Следовательно, это достаточно солидный курс. Последние 10 пунктов, на содержании которых мы не будем останавливаться, относятся к астрологии. Астрономический текст занимает свыше 150 страниц.
В первых пунктах дается по И. Сакробоско описание небесной сферы. Утверждается, что, кроме основной сферы (звезд), существует семь планетных сфер, которые расположены эксцентрично к основной; по эксцентрично расположенным кругам вращаются центры эпициклов с движущимися по ним планетами. Один из первых чертежей трактует схематически движение Солнца и Луны вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным также эксцентрично. Этот чертеж имеется и в книге Сакробоско «Сфера Мира». Таким образом, исходные положения этого курса взяты из раннего средневекового источника, и им в какой-то степени определялось, следовательно, преподавание этой науки.
Сфера для определения положения на ней светил покрывается координатной сеткой. Вводится система основных линий и точек сферы. Описывается годичное движение Солнца по эклиптике с указанием ее наклона к экватору и времени солнцестояний и равноденствий. Отсюда — деление земли на поясы и описание климатических условий. Астрономия здесь переходит в географию. На этом заканчиваются первые семь предложений. В пп. 8— 11 продолжается объяснение явлений, которые обусловлены наклоном эклиптики к экватору, как, например, продолжительность дня на разных широтах. Сооб
ческих наук Куприянов и библиотекарь». Звание библиотекаря у Киприянова было почетным. Он получил его от Петра I в 1705 г. Он сотрудничал с Л. Магницким в издании его «Арифметики». В 1705 г. им была организована библиотека и гражданская типография, работавш ая под наблюдением Якова Брюса. Типография издавала учебники и учебные пособия для Ма- тематико-навигацкой школы. Граверные работы при этом выполнял большей частью Киприянов. Он составил пособие «Новый способ Арифметики... ради удобнейшего понятия... сочинен в царствующем великом граде Москве лета господня 1705 через труды Василия Киприянова». Это настенная таблица с красиво оформленными аллегорическими изображениями и сценами, показывающими значение точных наук в житейской практике. Принимал участие в издании календаря («Брюсов календарь»). Им были составлены «Глобус небесный» и «Карта неба» с изображением схемы движения планет по системе Н. Коперника («трудолюбивым юношам всякого возраста иже ра- зумети желают течение яко неба тако и земли по Коперникову рассуждению»), В распространении идей Н. Коперника в России Киприянову, несомненно, принадлежит большая заслуга.
(25
щается максимальная продолжительность дня для различных пунктов земной поверхности европейских и американских государств, в частности Москвы и Вильно. Диаметр Земли принимается (по Тихо Браге) равным 1720 германским милям, где миля соответствует 1/15 градуса, что хотя и грубо, но согласуется с общепринятыми современными данными.
Пп. 12— 18 посвящены описанию движения Луны и наблюдаемым при этом видимым явлениям. Наклон орбиты Луны к эклиптике принимается в 5°, что значительно отличается от истинного значения. Объясняется явление лунных фаз. Приводится таблица (скрижаль) эпактов для определения «возраста» Луны, с формулировкой правила, как этой таблицей пользоваться.38 Отмечено, что «эта таблица составлена астрономами и нами удобным методом исправлена». В последующих предложениях (до 23-го) объясняются видимые движения планет с указанием элонгации Венеры. В связи с описанием движения Венеры приводится такой факт: «Тридцать лет назад в Вильно днем была видна Венера при Солнце между облаками и искусные астрономы зрительно ее видели».39 Этот факт является свидетельством того, что в Вильно «искусные астрономы» работали по крайней мере с начала XVII в., а может быть и ранее. Об этом свидетельствует труд Рудамины «ШизШога 1Ьеогеша1а...» (1633), в котором описываются телескоп Галилея и наблюдения за спутниками Юпитера. Вопрос п. 23 имеет принципиальный характер: «Небеса тверды или течны?» Ответ гласит: небеса тверды, так как звезды не меняют своего относительного положения. Имеется ссылка на священное писание, утверждающее это положение. В п. 25 спрашивается: «Что есть свет звезд?». Ответ: «Едино Солнце в звездах свойственным (собственным) сияет светом, иныя вся от Солнца просвещены сияют... от них же свет солнечный аки от зерцал сотренных загбен (преломлен), тыя же сияти творит» .40 Следующие пункты опять посвящаются описанию Луны, даются объяснения «что есть скверны в Луне», «почто Луна оногда роговата, оногда горбата, оногда проста является» и что ее «рога обозначают».41 В связи с этим последним автор замечает: «Неискусный народ от стеснения и возвышения рогов Луны, ово ведро, ово дожди и бури ворожит». И далее: «Роги Луны изостренные уже не по общему мнению, но по разуму мировых (?) астрономов тишину предвещают, якоже роги ее тупыя, дожди и бури...»42 Цвет Луны также связывается с явлениями погоды, поскольку объясняется состоянием атмосферы. Но, «что чремность солнечная утренняя и вечерняя указует? Предлог сей разрешает сам спаситель наш, Матфея, 16: вёдрено будет, черемно бо есть небо и утром днесь буря разжижается, бо смутно небо».43 Ссылки на священное писание встречаются многократно.
26
В пп. 35—36 объясняются видимые в телескоп фазы Венеры. Обсуждается вопрос о фазах Меркурия, отсюда можно заключить, что фазы эти наблюдались. Элонгация Венеры и Меркурия сообщается по данным Тихо Браге (соответственно 48° и 28°). Положение этих планет излагается по Птолемею и Тихо Браге. Здесь автор умалчивает о Копернике. В пп. 40— 42 спрашивается: «Отчего происходит блистание звезд?» и «Почто планеты не блистают?» Автор говорит, что на вопрос о «трепетании звезд» разные ученые дают разный ответ. Приводятся мнения Виттелло, Кардана, Аристотеля и др., а «Аква- лениус самому богу, небесные естества создавшему, ведение о трепете звезд оставляет». Далее сообщается, что Шейнерус при наблюдении в трубу заметил, как звезды становятся меньше и не трепещут, в то же время планеты видимы в трубу в увеличенном размере. Отсутствие «трепетания» планет объясняется по Аристотелю со ссылкой на его трактат «О небе». В п. 43 решается вопрос о числе небес, также со ссылкой на Аристотеля (7 планетных небес и 8-е небо звезд, 9— 10 — первого и второго веса и 11-е — «седалище блаженных»). Д а лее описываются телескопические наблюдения Венеры в Вильно, произведенные в 1639 г., и вслед за этим дается таблица ее положений за ряд последующих лет с расчетом фаз и с указанием точных дат, когда она будет видна в том или ином удалении от Солнца. Это чрезвычайно интересный пункт, свидетельствующий о том, что в Вильно производились телескопические наблюдения и математические расчеты положения планет относительно Солнца.
П. 44 посвящен решению вопроса о количестве всех звезд. Вначале автор как бы полемизирует с некоторыми астрономами, говоря, что они «басни припевают», а не решают этого вопроса. Опорой служит священное писание, где сказано: «умножу семя твое, яко звезды небесны» или же: «Исчисли звезды, если можешь!». Это надо понимать так, что число их не доступно полному подсчету.
После этого сообщаются данные Тихо Браге о числе «естественно видимых звезд» (незаходящих 780, заходящих 317, всего 1097).
В следующем пункте автор ведет речь о количестве планет и заключает: «Есть и иные многие, но за своею малостью от очей наших скрываются, их же никоим зрительным орудием облюдаты не можем окрест Солнца блюдящие» .44 Здесь, как видно, автор повторяет распространенное среди астрономов того времени мнение, вызванное открытием спутников Юпитера Галилеем, что существуют планеты, находящиеся в зоне между Солнцем и Меркурием («окрест Солнца блюдящие»). За движением спутников Юпитера в Вильно производились специальные наблюдения.45
27
В пп. 46—55 описывается движение звездного неба — суточное и годичное. Правильно объясняется, почему одни звезды являются незаходящими, другие заходящими. В п. 53 речь идет о явлении прецессии. Автор по этому вопросу излагает учение «Великого Николая Коперника, каноника Вармского» и Тихо Браге. Но пункт завершается выводом: «Совершается все небо звезд через лета 26 050» (период прецессии), т. е. принимается реальным вращательное движение небесного свода.
В пп. 56—62 рассматривается годичное движение всех планет и движение Луны. Сообщаются все известные в то время числовые характеристики этих движений, включая и попятное движение внешних планет. В этом месте также имеется ссылка на Коперника, на его объяснение попятного движения как параллактического смещения.46
П. 63 содержит расчеты скорости движения «звезд твер- дильных» и планет. Расстояние «до неба звезд» принимается по Тихо Браге, длина окружности вычисляется по правилу Архимеда. Затем длина окружности делится на 24 и получается скорость вращения в один час. Скорость получается колоссальной; автор делает такое сравнение: «Еже движение толико скоро есть, аще яко некое тело подобную скорость окрест Земли двизалось бы, в единого часа расстояние обошло бы Землю 584 стогнами» (витками).47 *
В пп. 64 и 65 производится вычисление скорости движения Солнца и Луны по данным Браге. Расстояние до Солнца сильно преуменьшено. В следующих пунктах объясняется, как определяются расстояния до планет по параллаксу, расстояния выражаются в германских милях (поприщах). Явление параллакса описывается подробно и иллюстрируется на чертеже. Строится прямоугольный параллактический треугольник и решается задача на определение расстояния от центра Земли до светила, когда известен горизонтальный параллакс.
Общность рассуждения и вывода отсутствует, задача решается с числовыми данными. При вычислении расстояния до Солнца его параллакс (по Тихо Браге) принимается за три минуты. Отсюда и расстояние получается во много раз меньше истинного. Расстояние до Луны определено в 60 земных радиусов, т. е. достаточно точное. Удаление других планет от Земли и Солнца не вычисляется, приводятся готовые данные различных астрономов.
* Вот этот расчет: «По Тихону полудиаметр Земли 860 поприщ, расстояние до звезд 14 000 полудиаметров. Умножаю 14 000 на 860, получаю 12 040 000. Полудиаметр звездного неба 12 040 000 или диаметр будет 24 080 000 поприщ. По Архимеду... на 3 умножаем и тоже на 7 делим и прибавляем и будем иметь 75 680 000 поприщ. Делим на 24, получим 31 533 333 поприщ» (в час).
28
В пп. 72 и 73 решается вопрос о размерах Солнца и Луны. Если размеры Луны указываются более или менее реальными, то диаметр Солнца не соответствует действительности, он сильно преуменьшен, что является следствием ошибочного определения его параллакса. Хотя данные приводятся в готовом виде (по Тихо Браге), но поясняется, как они могут быть получены.
Пп. 78—90 посвящены описанию и расчетам лунных и солнечных затмений. Задача сводится к решению подобных треугольников. Размеры светил, расстояния и скорости движения, необходимые для решения этой задачи, вычислены или приведены в готовом виде в предыдущих пунктах. Автор выражает удивление, что некоторые сомневаются в возможности предвычислений затмений и поднимают «на смех математиков».
Причины затмений описываются следующими словами: «Луны затмение случается токмо полнолунием и винословится вложением Земли (между) Солнцем и Луной, яко сице солнечные лучи Луну за темность Земли досягать не могут». ♦«Солнце бо егда омрачается в себе пребывает светло, но от нас не видится: Луна же просте свет погубляет».48
Теория затмений рассматривается достаточно подробно. Так, например, в предложении 83 дается обстоятельный ответ на вопрос: «Почто затмение Солнца и Луны всякие (бывают), некогда долгшим, овогда кратким временем жестеют (продолжаются)». Ответ гласит, что Луна и Солнце бывают на разных расстояниях от Земли, поэтому и конус тени бывает различен, отсюда и разная продолжительность затмений. Учитывается при этом скорость движения тени. На чертежах и с привлечением некоторых расчетов, основанных на теории пропорций, объясняется явление частичного солнечного затмения. Дается ответ на вопрос: «Почто Солнце и Луна убо отчасти горния овогда отчасти нижния омрачаются». Автор знакомит в связи с этим со структурой драконического узла и поясняет на рисунках различные конфигурации в расположении светил, какие возможны в узлах при затмениях.
Остальные части относятся более к астрологии, нежели к астрономии. Впрочем автор достаточно критически оценивает область, относящуюся к астрологии, но говорит, что «Мы зде неразнственно имя астронома и астролога приемлем» .49
После общего обзора работы можно сформулировать следующие выводы.
Основой труда является геоцентрическая концепция, но автор старался познакомить читателей «с мнениями других астрономов». В этой связи имя Коперника упоминается при объяснении явления прецессии и попятных движений. Полностью учение Коперника не раскрыто. Но сказать больше о Ко
пернике в стенах иезуитской академии было в то время и невозможно, поскольку его сочинения были под запретом. Автор вызывает не упрек, а, наоборот, глубокое чувство уважения за то, что он в эту мрачную эпоху имел смелость и мужество упомянуть имя Коперника, причем в теплых выражениях.
Рассмотренный курс лекций не был построен строго на научных концепциях мира (по Копернику), но он содержал богатый фактический материал, полученный Тихо Браге. Метод изложения можно назвать описательным, словесным, нематематическим. Но ряд важных задач решается вычислением. Вычисляются линейные скорости движения светил, расстояния до светил по параллаксу и математически обосновывается теория затмений. Весь математический аппарат сводится к технике четырех арифметических действий с целыми числами и шестидесятеричными дробями, решению прямоугольного треугольника с употреблением синуса, теории подобия и теории пропорций. Этот аппарат, как видно, невелик, и он соответствует нашим предположениям об объеме математической информации, которую давала академия в XVI и начале XVII вв. В дальнейшем преподавании астрономии в академии система мира по Копернику излагалась, но эпизодически и как гипотетическая.
Известно, что XVII в. характеризуется необычайно высокой творческой активностью математиков. В этом веке были заложены основы аналитической геометрии (Декарт, Ферма), теории вероятностей (Ферма, Паскаль), получила развитие теория чисел (Ферма), алгебра (Декарт) и, наконец, были открыты дифференциальное и интегральное исчисления (Лейбниц, Ньютон). Назовем еще ряд выдающихся математиковXVII в., известных трудами фундаментального значения: Кеплер, Кавальери, Валлис, Дезарг, Барроу, Гюйгенс; в конце столетия начали свою научную деятельность братья Бернулли. В 1682 г. был создан первый математический журнал «Ас1а аегисШогит», в 1696 г. вышел первый учебник математического анализа (Лопиталь). На базе успешного развития математики и механики возникает новая механическая концепция мира. Таким образом, была создана превосходная научная база для существенной реформы университетского образования. Частично эта реформа была проведена в первой половине XVIII в. Она связана с именем X. Вольфа.
Характеризуя XVII в., Д. Стройк говорит: «Университеты развивались в период схоластики (за некоторым исключением...) и оставались покровителями средневекового подхода, требовавшего изложения науки в застывших формах» . 50 Поэтому деятельность ученых сосредоточивалась не в университетах, а в учреждениях нового типа — научных обществах
30
(академиях), и университетское преподавание математических наук не отражало новейших научных достижений.
Анализ содержания математического образования показывает, что в XVII в. оно носило преимущественно прикладной характер. Университетская математика, будучи в отрыве от основных теоретических достижений века, связала, таким образом, свои задачи с потребностями практического характера и тем самым отвечала непосредственным нуждам нарождающейся новой социально-экономической формации. Так обстояло дело в Виленской академии.
Какие причины мешали развитию научного теоретического образования? Прежде всего университеты старались сохранить средневековые традиции. Большим тормозом следует считать идеологическую борьбу на религиозной почве, которая отвлекала внимание и силы от научных исследований, от подготовки учащихся в области математических наук в средней и высшей школе. Сама университетская обстановка, таким образом, была неблагоприятной для научного творчества. Все эти различные формы идеологической борьбы были обусловлены противоречиями, возникшими в сложном процессе смены феодальной общественно-экономической формации капиталистической.
§ 3. МАТЕМАТИКА В ВИЛЕНСКОЙ АКАДЕМИИ В XVIII в.
Восемнадцатый век характеризуется капиталистическим способом производства. «Промышленная революция, образование мирового рынка, связанные с этим нужды мореплавания, кораблестроения, военной техники, теплотехники, гидроэнергетики и т. п., практические нужды общества ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи.» 51
Перед математикой возникает ряд естественнонаучных проблем, для решения которых потребовались новые методы, новые теории и целые научные области. Гибким в этом отношении оказался математический анализ и основанная на нем теория дифференциальных уравнений, разработка которых и составила главное направление в математике XVIII в. «В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике.»52
Работы по математическому анализу породили новые теории, которые легли в основу новых математических направле* ний, новых областей математического знания. В этом отношении XVIII в. был исключительно плодотворным. Теория рядов, дифференциальная геометрия, теория функций комплексного переменного, вариационное исчисление, дифференциальные уравнения в частных производных, затем теория вероятностей и теории чисел или возникли в XVIII в., или по
31
лучили мощный толчок к развитию. В области алгебры исследовалась проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и был предрешен результат, обоснованный затем Абелем.
На аналитической основе создаются механика твердых и жидких тел и небесная механика. Выходят «Гидродинамика» Д. Бернулли, многотомные «Аналитическая механика» Л агранжа и «Небесная механика» Лапласа. Математика успешно применяется в навигации, кораблестроении, военном деле и т. д. Эйлер создает фундаментальные сочинения по математике, которые становятся классическими в научном и педагогическом отношениях. На их основе строятся впоследствии учебники по дифференциальному и интегральному исчислениям, аналитической геометрии и алгебре.
Во Франции создается новая методологическая основа развития науки и просвещения, выраженная в знаменитой «Энциклопедии». Оживляется деятельность университетов, где развертывается творческая работа ученых. Подъем в области науки и просвещения переживает и Речь Посполита. Но последний раздел нанес довольно чувствительный урон начавшемуся ее пробуждению, и Виленский университет, проявив в начале последней четверти XVIII в. признаки научной активности, к началу XIX в. не смог, по крайней мере в области математики, достигнуть высокого уровня.
Посмотрим, как эволюционировало преподавание математических наук в XVIII в. Рукопись, датированная 1721 г., представляет собой курс академических лекций — «Натуральная философия или трактат по физике восьми книг Аристотеля, читанных в 1721 году».53 Из 800 страниц текста только 40 последних относятся к математике и астрономии. Изложение до чрезвычайности краткое, конспективное и бездоказательное.
По арифметике излагаются различные системы числовых алфавитов, рассматриваются десятичные дроби. Геометрический материал рукописи представлен несколько полнее. Изложены некоторые вопросы планиметрии, стереометрии, дано наглядное знакомство с коническими сечениями. По планиметрии— учение об углах, окружности, треугольнике, трапеции, ромбе, параллелограмме. Рассмотрены пространственные фигуры: пирамида, цилиндр, конус, правильные многогранники, сфера; на чертеже показаны сечения конуса: эллипс, гипербола и парабола. Теория отсутствует.
И. Биелиньский приводит содержание одной книги без названия (так как первые страницы утеряны), которая, по его мнению, могла служить учебным пособием по физико- математическим наукам в академии. Он относит ее к 1730 г.54 Книга включает следующие предметы: арифметику, геомет
32
рию, тригонометрию, оптику, перспективу, диоптрику, сферическую тригонометрию, сферическую и теоретическую астрономию, общую географию, хронологию, гномику, механику, гидростатику, аэрометрию, гидравлику, гражданскую и военную архитектуру и алгебру.
Эти данные позволяют заключить, что с 20-х годов первой половины XVIII в. в математический курс академии входили арифметика, геометрия, тригонометрия, начала алгебры и сведения по теории конических сечений.
Период, включающий 50-е и 60-е годы XVIII в., благодаря наличию печатного учебника математики Я. Накциановича и датированных рукописей, может быть освещен с большей степенью точности и полноты, нежели предшествующие. В этот период заметно некоторое повышение роли физико-математических наук в системе академического образования.
Из математиков, работавших в эти годы в академии, известны три профессора: Фома Жебровский, его ученик Яков Накцианович и Франтишек Нарвойш.*
Естественно предположить, что при Жебровском математическое образование находилось на высоком уровне. К периоду его деятельности относятся рукописи на немецком языке № 123 и 124, представляющие единый курс математики, написанный под влиянием «Начальных оснований» Вольфа. На титульном листе одной из них имеется пометка по-латыни: «Из библиотеки Виленской астрономической обсерватории». Эта пометка может означать принадлежность рукописей Ж ебровскому, как единственному в то время астроному. Характеризуют ли они преподавание математики в Виленском или Пражском университете — установить трудно.
Познакомимся кратко с содержанием этих рукописей.Вступление содержит объяснение основных понятий.
«Арифметика» или «Искусство счета» составляет первую часть. Содержание ее чрезвычайно полное по объему, метод изложения вольфианский. Арифметика, по определению автора, изучает дискретные величины. Наряду с рассмотрением действий над рациональными числами рассматривается в обобщенной (алгебраической) форме теория числовых неравенств, причем достаточно обоснованно.
Арифметические пропорции и прогрессии, затем геометрические пропорции и прогрессии рассматриваются сначала на числовых примерах, затем в алгебраической форме. Подобным же образом излагаются другие разделы — от частных арифметических примеров до их алгебраических обобщений.
* Проф. Ф. Ж ебровский (1714— 1758) математическое образование получил в Пражском университете. В 50-е годы он преподавал в академии математику и астрономию. Его стараниями была открыта астрономическая обсерватория, благодаря которой академия стала известна в ученом мире.55
2 Н. Д . Беспамятных (33
Понятие логарифма строится, как обычно, на основе сопоставления прогрессий. Следом за логарифмами идет раздел о степенях и корнях. Если в других рукописях этот раздел изложен чисто арифметически, то здесь — в алгебраической форме. Формула квадрата двучлена имеет геометрическую интерпретацию. Обосновывается алгоритм извлечения квадратного корня из чисел. Этот раздел сопровождается геометрическими задачами на вычисление площадей и объемов.
Разделы об обыкновенных и десятичных дробях содержат изложение всех операций, включая извлечение квадратного и кубического корней. Теория десятичных дробей строится на базе теории обыкновенных.* Полнота, доказательность, а также современность стиля возвышают эту рукопись над другими рукописями этого периода.
В чрезвычайно большом разделе «Практической арифметики» излагается вопрос о приложимости арифметики к другим дисциплинам. Рассматриваются правило трех, правило ложного положения и правило товарищества. Все разделы содержат большое число задач с подробными решениями и развиты в теоретическом отношении.
Рукопись № 124 является продолжением рукописи № 123. Она содержит следующие разделы: геометрия элементарная, геометрия аналитическая, тригонометрия практическая, линия и поверхности второго порядка.
За исключением, следовательно, анализа бесконечно малых и развитой алгебры (в арифметике применяется буквенная символика и правила оперирования с буквенными выражениями), в этих двух рукописях представлена вся университетская математика того времени.
Геометрия начинается с исторического обзора и описания ее приложений. Далее идет курс элементарной геометрии (планиметрия и стереометрия).
Аналитическая геометрия изложена обстоятельно, рассмотрены прямая и все кривые второго порядка. Затем идет раздел тригонометрии. Очень подробно рассматриваются приложения тригонометрии к геодезии, дается описание геодезических инструментов. Рассматриваются геодезические задачи на сложные ситуации. Даются приложения тригонометрии к фортификации и артиллерии. Производится расчет укреплений различной формы. Курс завершается объяснением тригонометрических и логарифмических таблиц. Приводится график логарифмической функции. При употреблении таблиц логарифмов и тригонометрических функций применяется метод линейной интерполяции.
* Запись десятичных дробей двоякая: дробная часть отделяется точкой или же посредством специальных указателей.
34
Вероятно, еще при жизни Жебровского математику в академии начал преподавать его ученик Яков Накцианович.*
Как объясняют, Накцианович оставил Вильно в связи с тем, что кафедру математики (и астрономии) занял приехавший из длительной заграничной научной поездки М. Почобут. Но могла быть и другая причина для его увольнения из академии. Во всяком случае, трудно допустить, чтобы молодого и образованного профессора уволили без достаточных оснований. Поэтому занятие М. Почобутом кафедр математики и астрономии может рассматриваться не как причина, а как следствие этого факта. К тому же Почобут, насколько нам известно, лично не занимался преподаванием математики в университете.
Я. Накцианович читал лекции, придерживаясь «Начальных оснований математических наук» X. Вольфа. Эти лекции были им опубликованы в 1759— 1761 гг.56 Введение этого курса в практику преподавания в Виленской академии мы рассматриваем как значительный шаг вперед.
Иезуиты, понимая возникшее противоречие между развитием науки, вызванным бурным прогрессом экономической жизни, и их системой образования, сковывавшей это развитие, в середине XVIII в. расширили круг учебных предметов по физико-математическим наукам, введя курс математики X. Вольфа в качестве учебного руководства. Модернизируется и преподавание философии. Философия Аристотеля уступает место современным воззрениям. В. Добшевичус в своих «Ргае1ес1юпез 1о§1сае» (1761) освещает философию Бэкона, Декарта и Локка.**
На энциклопедическом курсе математических наук X. Вольфа мы не будем останавливаться, считая, что он известен читателю, и перейдем к характеристике содержания курса Я. Накциановича.
«Математические лекции» Накциановича представляют собой еще более сжатое изложение математики, нежели сокращенный курс Вольфа ,57 и являются не простым его переводом (с немецкого на латинский), а значительной переработкой более или менее творческого характера. Это видно из следующего. Порядок предметов Накциановичем принят в основном тот же, что и у Вольфа, но не полностью. Н а пример, теория логарифмов составляет исключение. Вольф дает ее в курсе тригонометрии, Накцианович же теорию про
* Я. Накцианович (1725— 1790) учился в Вильно, окончил Виленскую академию в 1754 г., в 1764 г. уехал в Гродно, где до конца жизни занимался преподавательской деятельностью.
** Заметим попутно, что рациональная философия Картезиуса пробивала себе путь в университеты намного раньше, на рубеже XVII и XVIII вв.
2* 35
грессий и основанную на ней теорию логарифмов поместил в курсе арифметики. У Вольфа логарифмы играют роль вспомогательного технического аппарата, у Накциановича это теоретический раздел математики. Структура, стиль изложения сохраняются вольфианские.
Встречаются текстуальные различия, некоторые вопросы у Накциановича изложены иначе, чем у Вольфа, имеются также добавления. Например, нередки дополнения исторического содержания. Описывая употребление таблиц тригонометрических функций, Накцианович останавливается на их истории, в связи с чем упоминает имя Николая Коперника. * В раздел арифметики Накцианович включил пункт, относящийся к инструментальному счету на линиях, хотя это выглядело в то время уже анахронизмом.
В целях более полного знакомства с этим курсом рассмотрим содержание ряда глав несколько подробней. Во введении рассматриваются метод математики, ее структура, определения элементов структуры, их взаимная связь (аксиома, теорема, постулат, определение номинальное и реальное, доказа-* тельство, пропозиция, королларий, схолия) и принципы преподавания.
Гл. I (элементы арифметики) содержит определение основных арифметических понятий: числа, классов чисел — целых, рациональных, иррациональных; разъясняется структура десятичной системы счисления; даются определения арифметических операций. Эта часть завершается формулировкой следующих десяти аксиом арифметики:
1 ) а = а.2 ) Если а = Ъ, а —с, то Ь = с.3) Если а = Ь, то а + с = Ь + с.4) Если а>Ь, Ь = с + с1, то а > с + с1.5) Если а > Ь , то а + с>Ь + с.6) Если а = Ь, то а — с = Ь — с.7) Если а > Ь , то а — с>Ь — с.8) Если а = Ь, то ас = Ьс.
а в9) Если а = Ь, то ~с=~с 910) Целое равно сумме всех своих частей.В гл. II рассматриваются арифметические операции над
натуральными числами. Заметим, что законы операций нигде явно не выступают.
В гл. III — кратные отношения и геометрические пропорции. В гл. IV — дроби (обыкновенные).
Обращает на себя внимание построение двух последних глав. В первой из них в связи с понятием отношения вводится
* Накцианович придерживался гелиоцентрической системы.
36
понятие обыкновенной дроби. Во второй рассматриваются свойства дробей и операции над ними. Последние обосновываются теорией пропорций. Таким образом, эти главы выступают в логическом соподчинении.
В гл. V содержится традиционный материал арифметики: возведение чисел в квадрат и куб и извлечение квадратных и кубических корней.
В гл. VI рассматриваются различные задачи и пропорции.В гл. VII — количества, равные в разностном отношении
(арифметические отношения и пропорции).В гл. VIII (логарифмы) вводится понятие геометрической
и арифметической прогрессий и на основе их сопоставления определяется понятие логарифма. Описывается техника логарифмических вычислений с семизначными таблицами.
Гл. IX посвящена теории десятичных дробей. Понятие о десятичной дроби вводится на основе обыкновенной. Для первоначального знакомства десятичная дробь выражается в виде геометрической прогрессии со знаменателем, равным одной десятой. Рассматривается способ нахождения логарифмов десятичных дробей и, наконец,— действия с десятичными дробями. Теория десятичных дробей излагается, таким образом, в связи с изучением логарифмов.
В гл. X рассматриваются шестидесятеричные дроби.В гл. XI сообщаются некоторые сведения об единицах из
мерения величин.В последней гл. XII даются сведения о счете на линиях, ко
торый бытовал в XVI и XVII вв. в Западной и Средней Европе. В XVIII в. он вышел из употребления.
Хотя в Польше арабским цифровым алфавитом пользовались уже в XIV в., но во всеобщее употребление он вошел только в XVI в. Арифметические операции в этом алфавите производились учеными, а в житейской и торговой практике употреблялся счет посредством камушков на доске с сеткой параллельных линий. Практика «счета на линиях» излагалась в руководствах по арифметике в XVI и частью в XVII в. Приведем из этой главы пример на сложение.
0 0000 0 . 00
ООО 0 X X
0 000 0 000 000
ооо
0 0 00
578 + 458 + 1036 = 2072
37
«Элементы геометрии» Накциановича, как и Вольфа, представляют собой одну из многих переделок «Начал» Евклида для учебных целей. Поэтому достаточно отметить лишь характерные особенности этого курса: его структуру, содержание частей и дополнения. Существенным отличием этой книги (как и других аналогичных) от «Начал» является то, что она содержит большое число всевозможных приложений в практике, особенно землемерной.
Гл. I — вводная, содержит определения и объяснение понятий и терминов планиметрии.
Гл. II содержит целый ряд практических задач, как-то- провести прямую линию, измерить отрезок, построить окружность, измерить угол транспортиром, построить данный угол с помощью транспортира; в ней описывается полевой угломерный инструмент с нониусом и решаются соответствующие задачи. Доказывается ряд теорем об углах и окружности. З а канчивается вторая глава списком аксиом геометрии.
В гл. III (прямые линии, равенство и подобие треугольников) содержатся задачи и теоремы о взаимном расположении прямых на плоскости, теоремы о равенстве и подобии треугольников и задачи на построение.
Наряду с этими математическими задачами и теоремами в этой главе рассматривается серия практических работ: построение «геометрической шкалы», определение расстояния между двумя недоступными точками на местности и высоты предмета. Описываются необходимые для выполнения этих работ геодезические инструменты и методы работы с ними.
Раздел практической геометрии представлен значительным числом задач и имеет важное значение в постановке преподавания математики. По всей вероятности, из академии выходили специалисты в области геодезии, которые в связи с многократным переучетом и перемежеванием земельных угодий требовались в государстве.
Гл. IV содержит геометрию окружности. Наряду с теоремами о свойствах хорд, об углах в окружности здесь имеется большой ряд задач на построение.
В гл. V рассматриваются теоремы о свойствах параллелограмма, ромба, трапеции; вписанные и описанные фигуры; подобие многоугольников. Решаются соответствующие задачи на построение. Теоретический материал этой главы находит применение в геодезии (мензульная съемка).
В гл. VI — измерение фигур, различные операции над ними.При относительно небольшом числе теорем о площадях раз
личных фигур, включая гиппократовы луночки, и метрических соотношениях в треугольнике рассматривается чрезвычайно много задач на преобразование фигур. В связи с этим имеется ссылка на «Геометрию» Сольского — профессора Краковского
08
университета, показывающая использование учебников Краковского университета в Вильно.*
В гл. VII рассматривается взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве.
Следующие три главы посвящены вопросам измерения поверхностей и объемов.
Материал «Элементов тригонометрии» служит для практической цели — решения треугольников, что, по определению автора, составляет, собственно, предмет тригонометрии. Имеются приложения тригонометрии к геодезии.
Несколько добавлений автора имеют характер исторических справок по различным вопросам математики, как-то: о логарифмах, системах мер, десятичных дробях, о классических задачах на построение, о построении таблиц тригонометрических функций и др.
Особый интерес представляет упоминание в этом плане виленских математиков. Из них Накцианович упоминает двух: одного из первых в академии — Вуека и своего учителя проф. Ф. Жебровского. Первого — в связи с упоминанием меры земельной площади, равной участку земли, который можно вспахать за день на двух волах, а о Жебровском говорит, что он занимался решением задачи на деление площади трапеции в заданном отношении.
На основании этих и других добавлений и примечаний автора, а также качества его переделки, можно сказать, что Накцианович был образованным профессором, хорошо знавшим свой предмет и проявлявшим определенный интерес к вопросам преподавания математики.
* «Геометрия» С. Сольского — свидетельство высокого уровня преподавания элементарной геометрии в Краковском университете. Это не повторение «Начал» Евклида, а оригинальный учебник, содержащий в качестве основных разделов учение о преобразовании геометрических фигур, построение шкал различных сложных функций и расчеты по ним и геодезию. Д ля иллюстрации приведем ряд рассмотренных в ней вопросов.
Различные способы доказательства того, что отношение окружности к диаметру является постоянным числом, в том числе доказательство самого автора.
Построение сеток со шкалами для приближенного решения задач (например, данный угол разделить в заданном отношении). Задачи на преобразование фигур. О перенесении границ земли, поселков, фортов, домов на карты. С помощью шкал и специальных таблиц определяются высоты и расстояния. Построение различного рода шкал, в частности для солнечных часов.58
М ежду прочим, астрономической шкалой времени (по изменению высоты Солнца над горизонтом с течением времени в пределах тропического года) пользовались крестьяне. Эта шкала строилась эмпирически, путем фиксации положения проекции луча, пропущенного через узкую щель на специальную деревянную дощечку, причем дни праздников, связанных с движением Солнца, отмечались особым цветом. Такими шкалами пользовались в недавние еще времена в Белоруссии, на Полесье.
39
В рассматриваемом учебнике Накциановича отсутствует раздел алгебры. Однако такой курс существовал и, следовательно, преподавался им в академии.* Действительно, в рукописях того времени элементы алгебры выступают как обязательный раздел математики. Заметим также, что слушатели академии в 50-х годах экзаменовались по арифметике, геометрии и алгебре. Кроме того, им был издан (в соавторстве) сборник упражнений по математике.
Важным эпизодом в истории академии было непродолжительное преподавание математических наук Россионьелем ( К о 551§ п о 1) и Флоре (Р1еиге1). Изгнанные из Франции, они нашли покровительство у короля Польши и были им рекомендованы в 1762 г. Виленскому университету в качестве преподавателей. Они занимались с небольшой группой сильных студентов, среди которых был Ф. Нарвойш. Этим годом датируется введение в курс математики академии элементов дифференциального и интегрального исчислений.
После трех лет работы названные профессора уехали в Китай с миссионерской целью. С этого времени преподавателем высшей математики становится Ф. Нарвойш.
Обратим внимание на рукопись «Обучение математике», датированную 1766— 1767 гг.; она содержит введение, арифметику, элементы геометрии и тригонометрии, алгебру (агйЬ- теИ сае зресюза) и приложение алгебры к геометрии, куда входят и конические сечения. Работа написана под влиянием X. Вольфа, имя которого упоминается.59 Во введении, как и в книгах Вольфа и Накциановича, рассматриваются основные понятия математики, подчеркивается строго логический характер ее суждений и выводов. Метод изложения — вольфиан- ский.
Арифметика в этой рукописи включает систему аксиом арифметики, описание структуры числовой системы, арифметические операции над натуральными числами.
После четырех арифметических действий рассматриваются вопросы о возвышении чисел в квадрат, куб и извлечении квадратного и кубического корней. Затем излагаются пропорции и прогрессии, а за ними — обыкновенные и десятичные дроби. Рассматриваются также шестидесятеричные дроби. Л огарифмы строятся на основе сопоставления прогрессий. На этом курс арифметики заканчивается. В идейном отношении эта часть не отличается от курса Накциановича, следователь
* Попытки найти эту часть курса Накциановича не увенчались успехом. Нас интересует вопрос, не содержала ли эта часть дифференциального и интегрального исчислений (как у Вольфа). Положительный ответ мог бы внести уточнение о времени введения в преподавание математического анализа.
40
но, и Вольфа, но изложение ее в высшей степени краткое, граничащее с конспективным, и без доказательств.
Мы не будем останавливаться на содержании геометрии. Это — конспективное изложение первых книг геометрии Евклида с добавлением значительного числа задач практического характера из области землемерия. По тригонометрии первоначально даются определения тригонометрических линий, затем объясняются таблицы Бригга и курс заканчивается решением треугольников. В замечаниях по истории предмета упомянуты имена многих ученых (Гиппарх, Птолемей, Региомонтан, Коперник, Ретикус и др., отмечена роль арабов).
Алгебра начинается объяснением алгебраических знаков. Принцип аналогии с арифметикой является главным в объяснении операций с многочленами.
Например:
В алгебре В числах *
4а + 2Ь + Зс + (1 + 1 2 + 1 0 — 4 + 7 — 2 = 23а + ь + Зс — } + п 13— 7 + 8 + 3 — 4 = 1 3
2д _ 26 + с + [ — п 15 + 2 0 — 10 — 5 — 2 = 18
7а + Ь + 1с + Л + - у п 40 + 23 — 6 + 5 — 8 = 54
Вслед за этим объяснением идет раздел «алгебраических» дробей, учение о степенях и радикалах.
Объяснение операций умножения и деления дробей можно передать следующим образом:
а с ( а \ 1 ас , астг-^г=пг-сМ = — :^= ы -
сл\ а с ( а \ * а , ад,2> тг :т = Ь г :сН = т г ' ‘' = тг-
Уравнения рассматриваются только первой и второй степени. Здесь же — неопределеннные уравнения первой степени с двумя неизвестными. Курс завершается приложением алгебры к геометрии, в котором после решения ряда задач (например, на «золотое сечение») дается понятие о конических сечениях.
* Чаще же эта аналогия проводилась с действиями над именованными числами.
41
* * *
Таким образом, в XVII и начале XVIII вв. преподавался курс элементарной математики, причем с акцентом не на теоретические его основы, а на практику. Несомненная заслуга академии за весь период ее существования — постановка преподавания практической геометрии (низшая геодезия, перспектива, и отчасти графические вычисления). На основании рассмотренных рукописей и учебника Накциановича можно заключить, что преподавание математики в 50—60 гг. XVIII в. находилось под влиянием курса математики X. Вольфа, его методологической концепии.
Г л а в а II. ГЛАВНАЯ ЛИТОВСКАЯ ШКОЛА II ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УНИВЕРСИТЕТА
ПОСЛЕ РЕФОРМЫ 1803 г. (1780-1832)
§ 1. ГЛАВНАЯ ЛИТОВСКАЯ ШКОЛА
В XVIII в. система иезуитского образования находилась в состоянии острого противоречия с интересами страны, которая переживала тогда экономический подъем. Разрешение этого противоречия выразилось в двух правительственных мерах: лишении иезуитов права руководства просвещением и проведении прогрессивной реформы в этой области.
В 1773 г. орден иезуитов был закрыт и иезуиты выселены из страны. Дело просвещения перешло в руки правительства. Все организационное и учебное руководство на всех ступенях образования было возложено на Народную эдукацион- ную комиссию. * В нее вошли энергичные и авторитетные деятели и ученые, которые оставили большой след в области просвещения как в теоретическом, так и в практическом отношении. %
Эдукационная комиссия преобразовала Виленскую академию в Главную Литовскую школу и разработала новый устав, который в 1780 г. был положен в основу деятельности Главной школы, как «сообразной настоящей степени познаний у просвещенных народов Европы». Школа имела два факультета: физических и моральных наук, которые назывались коллегиумами. На физическом факультете преподавались элементарная и высшая математика (дифференциальное и интегральное исчисления), прикладная математика, физика, астрономия, химия, ботаника, минералогия и медицина. Несколько позже в учебный план школы были включены топография и архитектура. Всего за период существования Главной школы было введено восемь новых предметов: зоология, ботаника, минералогия, палеонтология, химия, экспериментальная физика, архитектура и топография. Систематический характер получило преподавание дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии и механики.
Реформаторы хотели создать такое учебное заведение, ко
* Комиссия по народному образованию.
(43
торое обеспечивало бы страну прежде всего специалистами для развития ее хозяйственной и культурной жизни.
Введение в девяностых годах таких новых предметов, как архитектура и топография, говорит о дальнейшем развитии этой тенденции — связать университетское преподавание с потребностями жизни. Это было действительно государственное решение проблемы народного образования.
Одной из основных функций Главной школы с момента реформы 1780 г. была подготовка учительских кадров и руководство школьной деятельностью Литовского учебного округа, куда входила и Белоруссия.
Ректором Главной школы был назначен известный в свое время ученый Мартин Почобут Одляницкий, которому принадлежит одно из видных и почетных мест в истории Виленского университета. Благодаря научным трудам по астрономии университет приобрел широкую известность в ученом мире. Реформа, о которой говорилось выше, осуществлялась
под компетентным руководством Почобута. Пост ректора Почобут занимал длительное время, на этом посту его сменил профессор Стройновский в 1799 г. Из обсерватории Почобут ушел в 1807 г., передав ее в ведение профессора Снядецкого.
Мартин Одляницкий Почобут — сын гродненского кравчего Казимира Одляницкого и Елены, урожденной Глебович, родился в местечке Сломянцах Гродненского уезда в 1728 г. В 1738 г. он поступил учиться в школу в Гродно, в которой пробыл 7 лет. В 1745 г. поступил в Виленскую академию, где учился 6 лет, изучая философию и красноречие. После окончания академии был направлен учителем в Полоцк, где работал 2 года. В 1754 г. он выехал в Прагу для изучения греческого языка и математики в Пражском университете. Возвратившись в Вильно, он занял должность профессора греческого языка. В 1761 г. был командирован в Западную Европу для изучения астрономии. Занимался в Генуе, Марселе и Авиньоне, изучая астрономию и математику. В 1764 г. возвратился в Вильно.2
М. Почобут известен как астроном. Он занимался астроно
44
мическими исследованиями в Виленской астрономической обсерватории и был ее директором; состоял в переписке с известными учеными, в частности, с французским астрономом Ж. Лаландом, с которым был, по-видимому, лично знаком,
В рукописном фонде библиотеки Виленского университета хранится несколько писем Лаланда к Почобуту, свидетельствующих об их переписке на протяжении длительного времени. Содержание переписки заключается в обмене данными астрономических наблюдений, в обмене сведениями о деятельности обсерватории. Лаланд использовал данные Почобута в своих сочинениях. В его «Астрономии» имеются описание Виленской обсерватории и сведения об астрономических наблюдениях, доставленные Почобутом.3 Работы Почобута нашли отражение в «Библиографии» Лаланда. Почобут переписывался с Петербургской Академией наук.
Высшую математику в Главной школе читал профессор Нарвойш, элементарную сначала Томашевский, затем Ф. Жицкий. Механику читал Кундич. Мы остановимся на педагогической деятельности Нарвойша и Жицкого.
Франтишек Меликонт Нарвойш (1742— 1819) — уроженец Литвы. Он окончил Главную Литовскую школу и был оставлен при ней для подготовки к профессорскому званию. В Главной школе он изучал основы нравственности, красноречие, литературу, философию, математику, судопроизводство, богословие и языки. Некоторое время жил в Гродно, где преподавал в местной коллегии литературу и принимал участие в гидрологических работах на р. Неман, затем «странствовал для обучения математике в Англии, Голландии, Италии и по другим землям».4 Нарвойш имел отношение к попытке организовать в Гродно астрономическую обсерваторию. В университете преподавал с 1781 и до 1809 г.
Остановимся на содержании его курса лекций, основываясь на программах 1797/98 и 1800/01 учебных годов.5 Программы его очень подробны и позволяют составить представление об объеме, содержании курса и методе преподавания. Курс его носил энциклопедический характер, в него входили: арифметика, комбинаторика, сведения по теории вероятностей, решение алгебраических уравнений, конические сечения, анализ бесконечно малых, включая ряды, и другие вопросы. Его программы не отражают какой-либо строгой системы изложения курса математики, они лишь указывают, в какой последовательности должны изучаться ее разделы и на основе каких сочинений. Программы содержат большой перечень этих сочинений — от древних греческих и до современных авторов. В подробном комментировании этих последних и за ключался его метод преподавания. Характер его учебной работы напоминает скорее семинар по изучению классических тру
45
дов по математике, нежели курс лекций. Основной стержень программ составляют сочинения И. Ньютона. Систематическое изучение трудов Ньютона, буквальное следование им выражают сущность методологического и педагогического кредо Нарвойша. Это кредо выражено им в следующих словах, предпосланных к программе 1800— 1801 гг.: «Наилучшие познания по высшей математике должны черпаться из книг Ньютона».6
Документы говорят о том, что студенты не понимали его лекций и что они были бессистемны. Однако его ученик Нем- чевский, будучи за границей, пишет в своем рапорте в университет, что он своими успехами в изучении математики и механики в Политехнической школе обязан профессорам Нар- войшу и Кундичу. Следовательно, способные и хорошо подготовленные студенты могли получить солидную математическую подготовку при той системе преподавания, которой придерживался Нарвойш.
В расписании лекций на 1800/01 учебный год сказано, что профессор Франтишек Меликонт Нарвойш будет объяснять трактаты, относящиеся к высшей математике. Далее Нарвойш говорит, что полезнее начинать изучение высшей математики с трактатов Ньютона, нежели других, были бы только учащиеся подготовлены в элементарной математике и имели охоту заниматься высшей. В число основных вопросов в программу входили: «Универсальная арифметика» Ньютона, трактатНьютона о первых и последних отношениях, геометрия флюксий Ньютона, «Вступление» Ньютона к его книге «Квадратура кривых линий» и затем сама книга, аналитическая геометрия (по Ньютону, Эйлеру), бесконечные ряды (по Ньютону), о квадратуре кривых (по Ньютону), метод интерполяции (по Ньютону).
Для понимания перечисленных выше вопросов рекомендовалось изучение геометрии древних, сочинений Виета, Робинса, Маклорена, Котеса, Галлея, Пембертона, Гарслея и других «учеников и друзей Ньютона». Наряду с трудами Ньютона рекомендуются работы Эйлера. Добавим к этому, что механику профессор Кундич также читал по Ньютону, придерживаясь его трактата «Математические принципы натуральной философии».
Чтобы показать насколько широк был диапазон предметов, которые читал Нарвойш, приведем основные пункты программы 1797 г.: «Алгебра Маклорена в связи с алгеброй Клеро. Ряд трудов того же автора и Ф. Кэмпбиля о скрытых в уравнениях мнимых корнях, их числе и об уравнениях разных типов — по сочинениям, опубликованным Лондонским Королевским обществом и Д ’Аламбером; теория Маклорена об общих свойствах кривых в связи с теорией Котеса, кото
46
рый считается выдающимся английским учителем: сочинения Архимеда об измерении окружности; о различных значениях отношения длины окружности к диаметру вплоть до 140-го десятичного знака, выяснение путей, по которым шли, приближаясь к истине, Архимед, Аполлоний, Птолемей, Виет, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц, Метциус, Эйлер, Лагранж; о луночках Гиппократа, о разделении площади круга в любом отношении; о циклоидах, эпициклоидах, спиралях Архимеда; квадратрис- сах, квадратуре круга *; основы теории соединений, применяемой в политической арифметике и в учете всевозможных вероятных событий и о далеко продвинутом учении Эйлера о комплексных числах; введении в анализ кривых и бесконечно малых Эйлера, изложенных в двух томах, но без дополнений...; определенный анализ, продиктованный уже ослепшим Эйлером, неопределенный анализ — также труд Эйлера с дополнениями Лагранжа; конические сечения Эйлера, дифференциальное и интегральное исчисления, интерполяционные ряды... в особенности приложения их в астрономии».7
В начале программы сказано: «И в этом году в основу курса будет положен трактат Ньютона о производных, о первых и последних отношениях, дополненный некоторыми новыми предметами и выводами». Из следующего пункта можно понять, что автор некоторые теоремы доказывал самостоятельно: «Анализ уравнений с бесконечно большим числом членов, при этом Ньютонова теория подкреплена геометрическим доказательством и будет показано, как по площади эллиптического сегмента можно вычислить длину дуги эллипса». В таком обширном объеме читался курс высшей математики накануне реформы университета в 1803 г. В него входили, как видим, вопросы арифметики, алгебры, аналитическая геометрия, анализ (с приложениями) и даже вопросы исчисления вероятностей.
Изучение постановки дела в других учебных заведениях и, в частности, университетах Средней Европы показывает, что труды Ньютона рекомендуются, называются в числе руководств, но метод флюксий или не излагался, или же излагался для общего знакомства. Исключение составляет механика, которая читалась по Ньютону. На континенте в университетском преподавании математики дорогу прокладывала лейб- ницианская концепция анализа бесконечно малых, а не нью- тонианская. В этом деле значительную роль играли сочинения Вольфа, затем Эйлера. Педагогическая концепция Нарвойша сложилась под влиянием английской школы, где господство
* Проблему квадратуры круга предлагается хорошо освоить и в случае возникновения новой идеи «могли бы испробовать свои силы и вместе с тем были бы предостережены от бесплодных трудов, длящихся иногда годами и сводящихся к повторению чужих ошибок».
47
вала ньютонианская концепция. Изучая длительное время математику в Англии, он воспринял ее и перенес в Виленский университет.
Нарвойш продолжал чтение курса высшей математики и после реформы 1803 г., знакомство с его программой этих лет позволяет сказать, что она имеет более компактный вид, нежели программа 1800 г. Хотя общие позиции его сохранились и в эти годы, но он наряду с методом флюксий Ньютона изла
гал алгебраическое дифференцирование Лагранжа.
Томас Жицкий, или, как его позже называли в официальных бумагах, Фома Иванович Жицкий родился в 1769 г. в Купришках Виленского повета в дворянской семье. После окончания средней школы в Вильно Жицкий в 1783 г. поступил в Учительскую семинарию при Главной школе. В 1784 г. произведен в степень бакалавра. В 1787 г. получил степень доктора философии. В этом же году определен учителем гимназии в Вильно. В 1791 г. переведен в университет адъюнктом кафедры математики «с препоручением преподавания курса высшей математики и лекций математики элементарной». Реформой 1803 г. кафедра элементарной математики была упразднена, и Жицкий 18 нояб
ря 1803 г. был переведен на должность директора Виленской губернской гимназии, а следовательно, в соответствии с существовавшей тогда структурой школьной администрации, и в должность директора училищ Виленской губернии.8 В связи с восстановлением кафедры элементарной математики Жицкий 9 сентября 1807 г. снова перешел в университет и был назначен на должность экстраординарного профессора, а в 1809 г. утвержден ординарным профессором. 9 Из университета Ф. И. Жицкий уволен 18 июля 1816 г. в связи с уходом на пенсию в звании заслуженного профессора. С этого времени и до своей смерти в 1839 г. Жицкий был окружным инспектором попечительства Виленского учебного округа.
В университете Жицкий преподавал курс элементарной математики, с его уходом в 1816 г. кафедра элементарной ма
Ф. И. Ж ицкий.
48
тематики была упразднена. Как можно судить на основе программы, по которой читал Жицкий, он был эрудированным профессором, не лишенным научной инициативы.
Элементарный курс математики Жицкий подразделял на две части.10 В первую входили элементарные вопросы, которые излагались, чтобы привести в систему знания учащихся, полученные ими в средней школе, и попутно дополнить их вопросами, имеющими важное значение для дальнейшего изучения математики в университете. Вторая часть содержала элементы высшей алгебры, анализа и аналитической геометрии. Курс высшей алгебры начинался с теории соединений и бинома Ньютона. Последний применялся к - приближенному извлечению корней. Вводилось понятие вероятности. Следующий раздел курса — теория уравнений. В него входили следующие вопросы: решение уравнений третьей и четвертой степеней, решение иррациональных уравнений, решение систем уравнений (линейных и второй степени), природа корней {корни рациональные, иррациональные, мнимые), симметричные функции. Эта часть курса заканчивалась решением численных уравнений приближенными методами. Большое место отводилось непрерывным дробям, излагалась их элементарная теория с приложением к решению неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными. Метод неопределенных коэффициентов применялся при разложении рациональных дробей на простейшие. Алгебраическая часть курса завершалась разложением в ряды показательной, логарифмической и тригонометрических функций.
Аналитическая геометрия рассматривалась как «применение алгебры к исследованию линий». Этот курс, по-видимому, имел достаточно большой объем. В него входили вопросы плоской и пространственной геометрии: преобразование координат, уравнение прямой, уравнение параболы, эллипса, гиперболы, их касательные, асимптоты, диаметры, кривые, называемые механическими или приближенными, и поверхности второго порядка. В этот же курс включалось учение о тригонометрических функциях («линиях») с объяснением устройства их таблиц. Курс элементарной математики завершался геодезической практикой.
Состояние преподавания математики накануне реформы 1803 г. можно кратко охарактеризовать так. На факультете работали два математика — Ф. Нарвойш и Т. Жицкий. Н арвойш был, несомненно, образованным математиком, на уровне университетских профессоров. Программы этих двух математиков охватывают все основные вопросы университетской математики того времени.
В заключение настоящего параграфа отметим характерные черты новой концепции образования во второй половине
49
XVIII в. Под влиянием этой концепции была произведена реформа, о которой было сказано выше.
XVIII в.— век новой философии и новых принципов просвещения — характеризуется прежде всего проникновением в университеты новой математики и естественных наук. Модернизация преподавания меняла структуру и нарушала многие традиции университетов, уничтожалась монополия латыни как языка науки и преподавания. Наблюдается стремление организовать преподавание и публикацию трудов на родном языке. Философия Аристотеля уступает место новейшему мировоззрению, основой которого были идеи Бэкона, Декарта и новейших философов. Утверждается доктрина практической цели обучения, основанного на прочном теоретическом фундаменте.
Университеты готовят кадры по различным более или менее узким специальностям, в частности учителей по различным гимназическим дисциплинам. Профессора университетов теряют былую универсальность в образовании и приобретают специализацию.
Педагогика под влиянием идей Руссо строит новый идеал просвещения: естественное развитие естественных дарований* свобода воспитания и свобода мысли. Цель университетского преподавания заключается не только в сообщении новых ф ак тов, но, в противоположность средневековой педагогике, ставится задача развития мышления студентов, воспитания самостоятельности в работе, в своих суждениях и выводах. Студент должен видеть, наблюдать, исследовать, думать,, самостоятельно читать книги, делать выводы. В соответствии с этим меняются методы преподавания. Главное место занимают лекции и практические работы; лекции читаются по учебным руководствам, которые создаются по новейшим отраслям знаний университетскими профессорами.
Реформой эдукационной комиссии Виленская академия была преобразована в Главную Литовскую школу. Был создан устав школы. Организуются кафедры высшей, элементарной и прикладной математики, курс алгебры читается как «наиглубокая и особенно трудная часть арифметики». Созданы кафедры экспериментальной физики других предметов естествознания.
§ 2. РЕФОРМА 1803 г.ПРОФЕССОРА И СТУДЕНТЫ УНИВЕРСИТЕТА
Особым правительственным актом от 4 апреля 1803 г. Главная школа была преобразована в университет. 18 мая того же года был принят новый устав университета, который
50
в главных чертах придал ему облик типичного университета той эпохи.11 В университете учреждено четыре факультета:1 ) физических и математических наук, 2 ) медицинских наук,3) моральных и политических наук и 4) факультет литературы и свободных искусств. При университете был создан ряд вспомогательных учреждений, как-то: учительская семинария, духовная семинария, анатомический театр и другие.
Период с 1803 г. и до момента закрытия университета в 1832 г. мы рассматриваем как особый этап в его деятельности. Он характеризуется прежде всего действием нового устава, за этот период значительно окреп физико-математический ф акультет, возрос на факультете удельный вес математических и естественных наук, перестроено их преподавание на началах, отвечающих требованиям времени, расширена учебная и материальная база факультета. Университет наиболее четко, чем это было прежде, формулировал свою задачу в отношении подготовки кадров: он был призван удовлетворить нужды страны в практических деятелях экономики и культуры.
На физико-математическом факультете в результате реформы было учреждено 10 кафедр (основных предметов), из которых две математические — высшей математики и прикладной математики. Кафедра элементарной математики была упразднена.
Первым деканом физико-математического факультета послереформенного университета был профессор физики Мицкевич. Он занимал эту должность до 1817 г., когда его сменил профессор математики Немчевский. После смерти Немчевско- го в 1820 г. на три года (1820— 1823) избирался Жицкий. С 1823 г. и вплоть до закрытия университета деканом факультета был профессор Полинский. Первым ректором университета был профессор Стройновский. Стройновский является автором нового устава университета. В начале 1807 г. его сменил профессор А. Снядецкий, который избирался на этот пост дважды. Непродолжительное время исполняли должность ректора профессора Малевский, Лобенвейн, Твардовский, последним ректором был профессор хирургии Пеликан.
Из профессоров математики Главной школы продолжил преподавание в университете один лишь профессор Нарвойш, да и он вскоре вышел на пенсию.
Снядецкий, занявший пост ректора в 1807 г., считал упразднение кафедры элементарной математики большой ошибкой.12 По его мнению, курс элементарной математики на ф акультете необходим, поскольку он готовит учителей математики для гимназии. В этом же году по предложению Снядецкого кафедра элементарной математики была открыта, а ее заведующим приглашен был тот же Ф. И. Жицкий. Жицкий заведовал ею до выхода на пенсию в 1816 г. С этого года ка
51
федра элементарной математики более не значится в номенклатуре кафедр физико-математического факультета университета. Главные разделы, входившие в курс элементарной математики, были выделены в самостоятельные учебные дисциплины (алгебра, аналитическая геометрия).
Прикладную математику в Главной школе читал профессор Т. Кундич. В списках преподавателей обновленного уни
верситета его имя не встречается: он вышел на пенсию. Однако в некоторых университетских делах он продолжал принимать участие. Он участвовал в работе совета, назначался визитатором школ, был первым префектом учительской семинарии. Преподавательской деятельностью, как видно, в эти годы он не занимался.
Немчевский, адъюнкт кафедры прикладной математики, был в период реформы за границей в научной командировке. Таким образом, кафедра прикладной математики была вакантной.
И. А. Снядецкий. Математику в университетепреподавал, следовательно, один профессор Нарвойш.
Рассмотрим состав преподавателей и перечень дисциплин, входивших в учебный план университета с 1803 и по 1832 г.
Вследствие введения некоторых новых предметов в учебный план и ухода ряда профессоров на пенсию университет имел вакантными 17 кафедр, в том числе кафедру прикладной математики. На эти кафедры был объявлен конкурс, приглашались профессора из-за границы. В 1803 г. профессор механики и технологии Карл Христиан Лангсдорф из Эрлангена доставил в университет свои сочинения, желая занять место профессора математики. Рассмотрев эти сочинения и положительный отзыв о них профессора Н. И. Фусса, университетский совет (27 июня 1804 г.) избрал Лангсдорфа профессором прикладной математики. Он работал в университете два учебных года (1804— 1806), преподавая механику, технологию, алгебру и сферическую тригонометрию. Лекции Лангсдорф читал на латинском языке.13 Он представил сочинение «Основания статики и механики», за которое был удостоен награды. Затем Лангсдорф возвратился в Германию, в Гейдельберг,
52
где одно время был ректором тамошнего университета. Позже имя его встречается наряду с именами известных ученых в числе почетных профессоров Виленского университета.14 За весь период деятельности обновленного университета Лангсдорф был единственным профессором математики из иностранцев. Все профессора были местными. Существовала весьма сильная тенденция, связанная с именем Снядецкого,— не приглашать профессоров из-за границы, особенно математиков, а готовить кадры из местных молодых людей.
Таким образом, с 1804 г. факультет имел двух профессоров математики. Условия для развития математики, казалось бы, складывались благоприятно. Во всяком случае они были лучше, нежели в других университетах России. Известно, что Казанский университет начал свою деятельность при наличии одного адъюнкта математики — учителя гимназии Г. И. Кар- ташевского. Математику читали даже студенты. В Дерптском: университете математику читал один преподаватель — астроном Кнорр. Он читал арифметику, геометрию, плоскую и сферическую тригонометрию.
Между тем ряд современников, хорошо знавших Виленский университет и заслуживающих доверия, изображает состояние преподавания физико-математических наук в мрачном свете. Снядецкий, ознакомившись с деятельностью университета в 1806 г., писал: «Математические науки, составляющие для юношества, готовящегося на учительские должности, важнейшую часть общественного обучения, доведены в университете почти до совершенного упадка ...».15 Отсюда можно сделать вывод, что Снядецкий не одобрял той системы преподавания, которой следовал Нарвойш. И это можно понять, если учесть, что Нарвойш и Снядецкий — представители различных математических школ. Позднее положение значительно изменилось в лучшую сторону. Педагогическая деятельность профессоров 3. Немчевского и М. Полинского, магистров И. Румбовича и С. Ревковского заслуживает высокой оценки.
Прежде чем перейти к более подробной характеристике преподавания математических предметов, представим наглядно общую картину их распределения между преподавателями.161
Предметы Преподаватели Годы работыЧасы
в неделю
Высшая чистая матема Проф. Ф. Нарвойш 1803— 1810 6тика Проф. 3. Немчевский 1810— 1820 6
П рикладная математика Проф. X. Лангсдорф 1804— 1806 6
Проф. 3. Немчевский 1810— 1820 2
Проф. М. Полинский 1821-1832 6-
63
Предметы Преподаватели Годы работыЧасы
в неделю
Алгебра Проф. X. Лангсдорф 1804— 1806 * _**
Проф. А. Вырвич 1817— 1819
1821 — 1822 8
Проф. М. Полинский 1819— 1821 8
Аналитическая геометрия Проф. М. Полинский 1824— 1832 0 ***
Элементарная математика Проф. Ф. Ж ицкий 1807— 1816 6
Н ачертательная геометрия Ад. И. Румбович 1823— 1832 6
Теория вероятностей Ад. (1 Ревковский 1829— 1831 2
Высшая геодезия Проф. М. Полинский 1820— 1823 2
А. Шагин 1824— 1832 2
М атематическая физика Проф. Држевинский 1825— 1832 —
Курс сферической тригонометрии сначала читал Лангсдорф, в последующие годы его читали большей частью астрономы.
Рассмотрим общее число студентов и их распределение по факультетам и территориальному признаку (1829 1830 гг.).17
Из белорусских губерний, следовательно, обучалось не менее 7 з общего числа студентов.
Р а с п р е д е л е н и е п о ф а к у л ь т е т а м :
О т д е л е н и е Ч и с л о с т у д е н т о в
Физико-математическое 304Медицинское 340Нравственно-политическое 332
Словесных наук и изящных искусств 73
Вольные слушатели 51
В с е г о . . . 1100
* В 1807— 1816 гг. алгебра входила в курс элементарной математики.** Прочерк означает отсутствие данных.*** До 1816 г. аналитическая геометрия входила в курс элементарной
математики.
Р а с п р е д е л е н и е п о т е р р и т о р и а л ь н о м у п р и з н а к у :
Г у б е р н и я Ч и с л о с т у д е н т о в
Виленская 426Г родненская 158М инская 177Волынская 98Подольская 53Витебская, Киевская, Могилевская, Санкт-П е
тербургская, Черниговская, Саратовская и К урляндская
*оо
Белостокский округ 89Ц арство Польское 34
Наибольшее число студентов было на медицинском ф акультете, физико-математический факультет занимал в этом отношении третье место и производил выпуски в последние годы по 20—40 человек.
Как видно из этих данных, это было весьма крупное по тем временам учебное заведение.
§ 3. ПРЕПОДАВАНИЕ В УНИВЕРСИТЕТЕ ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
Чтение курса математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений) продолжил в университете профессор Нарвойш. В Главной школе его курс высшей чистой математики, как уже было сказано ранее, носил энциклопедический характер. Кроме анализа бесконечно малых, его программа содержала арифметику, комбинаторику, элементы теории вероятностей, решение алгебраических уравнений, конические сечения и другие вопросы. Методологическая особенность его курса лекций — следование трудам Ньютона. Проспекты лекций свидетельствуют о том, что после реформы университета Нарвойш преподавал дифференциальное и интегральное исчисления, следуя Ньютону и Лагранжу. Наряду с методом флюксий и обратным ему он излагал и алгебраический метод дифференцирования Лагранжа.
* Главным образом из Витебской губернии, из остальных по 1—2 студента.
56
После ухода Нарвойша на пенсию его кафедру занял профессор прикладной математики Захар Яковлевич Немчевский.*'
Немчевский читал дифференциальное и интегральное исчисления, вариационное исчисление и теоретическую механику. Программа Немчевского отражала уже новые веяния как в самой математике, так и в системе ее изложения. Он первый в университете поставил преподавание математического анализа и теоретической механики на современный ему уровень, следуя образцам французской математической школы. В этом состоит его большая заслуга перед университетом. Несколько позже это благотворное влияние коснулось и других математических дисциплин.
Математическими исследованиями Немчевский не занимался. Однако известны его выступления на заседаниях совета университета с «рассуждениями» по методологическим вопросам математики, написанными в духе того времени, например, «О влиянии наук математических и причинах того энтузиазма, с которым молодежь к тем наукам относится», «О пользе математических наук». Основные положения этих •сообщений:
Математика дает возможность почувствовать ученику его силу в познании истины.
Математика способствует развитию логического мышления. Это развитие ведет к изобретениям и открытиям.
Математические истины не зависят от времени, а также свободны; от предрассудков и страстей.
* Формулярный список 3. Я. Немчевского содержит следующие данные.18 Родился в 1766 г. на Ж муди, в Литве. Из дворян; селений и крестьян не имел. Учился в Крожах, затем в Главной школе. Окончил при ней учительскую семинарию со степенью доктора философии и словесных наук. Определен учителем права в Гродненское главное училище (1794). В Гродно учительствовал 3 года и 5 месяцев. В 1797 г. был принят по конкурсу адъюнктом по кафедре прикладной математики в Главную школу, но к исполнению обязанностей приступил в январе 1799 г. (в связи с болезнью находился больше года в деревне). 13 апреля 1802 г. решением совета Главной школы был командирован за границу для усовершенствования в математических науках. За границей находился 5 лет и 9 месяцев, возвратился 5 января 1808 г. В 1809 г. был избран и утвержден экстраординарным профессором прикладной математики. В 1810 г., 20 апреля, утвержден ординарным профессором. В 1813— 1817 гг.— цензор университета. В 1817 г. избран деканом физико-математического факультета на три года. «В течение сего назначаем был от университета в разные комитеты долговременные, в которых с отменною рачительностью и успехом исправлял возложенные на него труды».
Курс чистой математики начал читать уже после ухода на пенсию Н арвойша. Умер Немчевский в 1820 г.
56
Раскрывается значение математики в жизни общества (применение ее в навигации, архитектуре, оптике, военном деле).
Раскрывается значение трудов великих ученых в развитии математики, особо подчеркивается в этом роль Декарта, Ньютона и Эйлера.19
Одно из выступлений было посвящено сообщению о новом издании книги Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислениям. Этим сочинением он руководствовался в своем преподавании и перевел его на польский язык. Издал его в 1824 г. профессор Полинский.
Будучи в длительной заграничной командировке, Немчевский слушал лекции в Политехнической школе по механике, математическому анализу, начертательной геометрии и другим наукам (профессоров Пуассона, Монжа, Лакруа, Гашетта и др.*). Был также в Италии и Германии.
При отъезде за границу Немчевскому (вместе с физиком Стубилевичем) была дана инструкция. Приведем краткое ее содержание, так как она до некоторой степени характеризует уровень и направление научных интересов физико-математического факультета университета.21
1) «Имея главную цель усовершенствование в науках — в физике и математике, приноровленной к физике, мануфактурах и искусствах,— обязать вести ежедневные записки, в которых описывать все, что увидят в кабинетах и чего еще нет в кабинетах Виленского университета, изделия, коих у нас нет».
2) «Проезжая Италию, должны подробно рассмотреть та мошние кабинеты: Павийский, Флорентийский, Туринский и описать их редкости».
3) «В Париже должны ходить на лекции Политехнической школы и в лаборатории. Взять подробные сведения о фабриках, о выделке кож, о белении полотна, о производстве сахара и др.».
4) «Купить во Франции эталоны мер: «Дециметр» или «Метр», а также «Литр», «нынешний фунт или «Килограмм» со всеми его частями».
Немчевский получил прекрасную математическую подго
* В рапорте университету Немчевский пишет, что иностранцам не разрешено слушать лекции в Политехнической школе, разве только по особому разрешению совета, но что они (Немчевский и Стубилевич) встретили благосклонное отношение со стороны ряда выдающихся ученых (Прони, Монжа, Л акруа и др.), и для них было сделано исключение из уважения к тем большим просветительным мерам, которые проводились в то время в России.20
57
товку, но творческой деятельностью в области математики не занимался. О его педагогической работе имеются разноречивые (за разные периоды) отзывы. В первое время своей работы в университете он проявил себя трудолюбивым и способным преподавателем математики. Так, в связи с избранием его на должность экстраординарного профессора имеется следующий о нем отзыв профессора Снядецкого: ...адъюнкт Захарий Немчевский в порученном ему к преподаванию курсе высшей математики особенную свою оказал способность, представив к полугодовому испытанию учеников своих, не мало в сей науке успевших.22
В отзыве члена Главного правления училищ И. С. Лаваля кафедра прикладной математики отнесена к числу тех, которые заняты «людьми недостаточно способными» и «коих курсы, кажется, немногие слушают» . 23 Между тем, как говорит далее Лаваль, «Виленский университет по значительности доходов оного, коих сумма превышает втрое доходы других университетов, и по чину отличных людей, кои преподают в оном высшие науки, должен быть одним из самых цветущих в Европе». Наряду с этим он дал высокую оценку деятельности братьев Снядецких, профессора Франка и положительно отозвался об адъюнкте физики Држевинском .24
3. Я. Немчевский, будучи в то время деканом и членом различных комиссий, основное внимание и время уделял, очевидно, не столько педагогической, сколько административной работе. После смерти Немчевского его курсы читали профессора А. Вырвич и М. Полинский, следуя программе Немчевского. В числе руководств по математическому анализу указываются наряду с учебниками Лакруа сочинения О. Коши. Приведем программу 3. Немчевского.25 «Немчевский будет излагать курс высшей математики, в котором, по сочинению Лакруа, будет преподавать дифференциальное исчисление, правила дифференцирования различных алгебраических и трансцендентных функций с одной и многими переменными и применение этого исчисления к нахождению максимумов и минимумов одной и многих переменных, а также к исследованию свойств кривых линий высших порядков. Интегрирование функций с одной или несколькими переменными, какими бы эти функции ни были — рациональными, дробными алгебраическими и трансцендентными. Об интегрировании дифференциальных уравнений любых порядков и особенно о разделении переменных, об отыскании интегрирующего множителя, об особых решениях и т. д. Об интегрировании уравнений в частных производных первого и высших порядков. Наконец, вариационное исчисление, которое имеет обширнейшее приме
58
нение в небесной и аналитической механике». Программы своей Немчевский не менял.
Рассмотрим постановку преподавания алгебры и геометрии. В 1804/05 учебном году курс алгебры читал профессор Лангсдорф. В рукописном фонде Вильнюсского университета имеется рукопись по алгебре, написанная студентом М. Полинским (впоследствии профессор математики), которая представляет собой конспект лекций Лангс- дорфа .26
В рукописи изложены следующие вопросы: уравнения первой и второй степени с одним неизвестным, решение уравнения 3-й и 4-й степени в рациональных числах, теория соединений, логарифмы, сведения по дифференциальному и интегральному исчислениям и теории рядов (дан вывод ряда для вычисления логарифмов). В собственно алгебраической части это был весьма элементарный, упрощенный курс.
С приездом профессора И. А. Снядецкого в Виленский университет на должность ректора по его инициативе была учреждена кафедра элементарной математики. В состав этой кафедры входили следующие учебные дисциплины: алгебра,, геометрия (Евклида), плоская тригонометрия и аналитическая геометрия. В некоторые годы читалась арифметика.. С упразднением этой кафедры курсы аналитической геометрии и алгебры читались раздельно и разными преподавателями.
Курс элементарной математики был двухлетним. Читал его профессор Жицкий. Арифметика излагалась по учебнику директора Кременецкой гимназии профессора И. Чеха, элементарная геометрия — по «Началам» Евклида в переводе того же И. Чеха, алгебра и аналитическая геометрия — по руководству И. А. Снядецкого.
На анализе учебных руководств И. А. Снядецкого мы не будем здесь останавливаться, имея в виду посвятить этому вопросу отдельный пункт. Небольшой учебник Чеха по арифметике переиздавался многократно. Так, например, издание 1828 г. является седьмым. Он применялся в школе, и мы остановимся на нем подробно в связи с изучением преподавания математики в средних учебных заведениях.
Программа Жицкого за 1800/01 учебный год была приведена выше, она не претерпела больших изменений в 1807— 1816 учебные годы.
С 1817 г. алгебру читал адъюнкт (затем профессор)А. Г. Вырвич, руководствуясь, как и Жицкий, «Алгеброй» И. А, Снядецкого. Когда Вырвичу было предложено читать курс астрономии, курс алгебры взял на себя М. Полинский. Затем этот курс снова перешел к Вырвичу, который и читал его до закрытия университета.27 Вырвич читал также сфери-
59
чес кую тригонометрию, пользуясь сочинениями по этому предмету Снядецкого и отчасти Каньоли.
Аналитическую геометрию читал постоянно М. Полинский, руководствуясь уже новыми французскими учебниками (Био, Монжа и др.). На деятельности профессора Полинского следует остановиться несколько подробнее. Он имеет определенные заслуги в деле совершенствования математического обра
зования в Виленском учебном округе.
После смерти Немчевского кафедру анализа и аналитической механики занял Михаил Модестович Пелка-Полинский. Он родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Пос' ле окончания гимназии в Жи- ровичах (ныне Слонимский район) поступил в учительскую семинарию при Виленском университете (3 октября 1804 г. ) .28 В 1806 г. произведен в степень кандидата, в 1808 г.— в степень магистра философии. После окончания университета был назначен учителем , казенных воспитанников учительской семинарии (1 сентября 1808 г.). В 1809 г. получил назначение на должность старшего учителя математики и логики в Минскую гимназию. В 1813 г. переведен на ту же должность в
Виленскую гимназию. Будучи учителем, он написал докторскую диссертацию по высшей геодезии и после ее защиты удостоен степени доктора философии (9 сентября 1814 г.). 25 сентября 1816 г. принят на работу в университет исполняющим должность профессора математики. В 1817 г. был командирован за границу (в Германию, Францию и Италию) для совершенствования в области математических наук и изучения постановки образования. В августе 1819 г. на основе выборов утвержден экстраординарным профессором прикладной математики университета.29 В 1820 г. был назначен визитатором гимназии и приходских училищ по Виленской губернии. В этом же году утвержден ординарным профессором и префектом учительской семинарии. На эту последнюю должность был снова избран в 1825 г. В 1824 г. избран деканом физико-мате- матического факультета и членом комитета для составления
60
проекта устройства училищ Виленского учебного округа и нового устава университета. В 1826 г. избран визитатором Гродненской губернии и Белостокской области. Избран членом Варшавского общества любителей наук (1827). В 1827 г. вторично избирается деканом, а в 1830 г.— третий раз. В 1816 г. издал два сочинения: «О ^еойегуЬ и «Росг^Ш Тгу§опоше1 * Гу1».30
В бытность свою за границей, «сверх особенного прилежания к математическим наукам», обозревал учебные заведения, вникал в систему образования в Германии, Франции и Италии и опубликовал их описание в 1819 г. в «021епшк ШПеп- 5кЬ>. В 1828 г. издал на польском языке учебник Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислениям. В этом же году вышло третье издание его плоской тригонометрии с добавлениями таблицы логарифмов. В 1929 г. был в Варшаве, где обозревал учебные заведения и занимался составлением библиографии по физико-математическим и естественным наукам. Полинский избирался в разные университетские комитеты. В продолжение всей своей службы «при отличном поведении все возлагаемые на него обязанности при хороших способностях своих и трудолюбии исполнял с особенным усердием и примерною рачительностью».31
Анализ и аналитическую механику Полинский читал по программе Немчевского. В 1824 г. кафедру высшей чистой математики занял профессор А. Вырвич, а Полинский оставил за собой чтение двух курсов: аналитической механики и аналитической геометрии. Такова его преподавательская деятельность.
Что касается его научно-методической работы, то она представлена большей частью в рукописях. В этом отношении на общем фоне деятельности факультета Полинский занимал ведущее положение. Как уже упоминалось, он издал две книги (диссертация по высшей геодезии и учебник тригонометрии). В «Архиве Полинского» имеется ряд его рукописей по вопросам школьной математики (учебники, задачники, конспекты), на изучении которых остановимся в следующей главе.
В рукописях встречаются фрагменты самостоятельных математических исследований элементарного характера. Одна из его рукописей, содержащая свыше 1000 страниц мелких математических фрагментов, связанных с изучением главным образом «Алгебры» ^Снядецкого и «Введения в анализ» Эйлера, свидетельствует о большой эрудиции, трудолюбии автора и о наличии у него творческой инициативы.
Полинский готовил обширную библиографию по физико- математическим и естественным наукам, комплектовал материал по истории университета, вел дневник и т. д .32
61
Полинский, безусловно, был неутомимым тружеником на ниве просвещения. Он состоял членом училищного комитета университета, принимал участие в составлении проектов педагогического характера, был визитатором школ, выступал в печати по вопросам зарубежного образования. Зная хорошо школу, он принял деятельное участие в организации дела народного образования в Белорусском учебном округе при попечителе Г. И. Карташевском.
В последние годы существования старого Виленского университета Полинский был бессменным деканом факультета и префектом учительской семинарии. Можно без преувеличения сказать, что он в двадцатых годах был центральной фигурой на физико-математическом факультете университета.
Как знатока школы Полинского неоднократно избирали префектом учительской семинарии, для которой он составил «проект правил», содержащий разделы: 1 ) что собой представляет семинария? 2 ) обязанности учеников, 3) об учениках,4) о наградах, 5) об обязанности префекта, 6) о предметах изучения. Из математики указаны следующие дисциплины: арифметика, геометрия Евклида, начертательная геометрия, алгебра (многочлены, уравнения, логарифмы), аналитическая геометрия и дифференциальное и интегральное исчисления. Это те предметы, которые, следовательно, определяли подготовку учителя математики.
Учительские семинарии под тем или иным названием (педагогические или учительские институты) были созданы и при других университетах России. Учащиеся учительской семинарии представляли собой особую группу студентов, связанных с университетом подпиской отработать после окончания семинарии 6 лет по назначению учебной администрации в качестве учителей. Студенты семинарии находились на государственном содержании, жили в одном помещении, имели своего непосредственного начальника и воспитателя — префекта, выбираемого из профессоров университета. План занятий каждого студента определялся в соответствии с его ж еланием и способностями. Курсы слушали вместе с остальными студентами университета. Студентов семинарии как в Виленском, так и в других университетах всегда было немного (порядка 20). Окончание семинарии приравнивалось к окончанию университета. Лица, окончившие семинарию, получали степени, как и остальные студенты. Префектами семинарии при Виленском университете были последовательно профессора Кундич, Юндзил и последним — Полинский.
В 1823/24 учебном году в план преподавания физико-математического факультета был введен курс начертательной геометрии, чтение которого было поручено окончившему университет молодому магистру Ипполиту Румбовичу. Он родился
62
в Литве в 1796 г., окончил Виленский университет со степенью магистра. После закрытия университета работал городским архитектором Белостока, где умер в 1838 г.
Элементы графики и начертательной геометрии преподавались в университете и ранее, но в связи с курсом архитектуры. Курс Румбовича был самостоятельным и состоял из трех частей: теоретической, приложений к инженерной практике и упражнений. В своих лекциях Румбович руководствовался сочинениями Монжа, Гашетта и других авторов.33 Он написал солидное руководство по начертательной геометрии для студентов, включающее вопросы 34:
Предмет начертательной геометрии (изложение способов решения геометрических задач посредством ортогональных проекций).
Вычерчивание точки, линии и плоскости на ортогональных плоскостях.
Проектирование поверхностей.
Перспектива. Картинная проекция.
Правила построения теней и степени освещенности.
Различные приложения к строительному делу. и. Румбович.
Румбович был способным и трудолюбивым ученым. Он хорошо знал математику, архитектуру и живопись. Увлекаясь живописью, он привлекал к занятиям ею студентов. Полинский его характеризует как человека в высшей степени скромного и как педагога, ярко и увлекательно излагавшего свой предмет.35
Введение курса начертательной геометрии в учебный план Виленского университета не было случайностью. В задачу университета входила подготовка слушателей к инженерной практике, в связи с чем учебный план наполнялся дисциплинами прикладного характера. Эта тенденция сближения теории с практикой в постановке учебного дела на физико-математическом факультете Виленского университета настойчиво проводилась в последний период его деятельности. В 1810 г. после визитации попечителя округа факультету предписывалось:
63
____л*
«Сообразно штату открытие кафедры практической механики, для чего нужен особый профессор, которому было бы поручено смотрение за собранием моделей.» В результате этого предписания была открыта кафедра земледелия. Университету поручалось составить проект ее работы, избрать профессора и указать «способ соединения теории с практикой».
Высказывалось предложение организовать кафедру технологии. Наряду с этим предлагалось обратить внимание на включение в учебный план лекций по истории наук .36 Многие из этих предложений были реализованы. На факультете читались дисциплины по сельскому хозяйству, практической механике, дорожному строительству.
Цикл прикладных дисциплин в учебном плане физико-математического факультета университета был расширен, таким образом, за счет введения инженерных и сельскохозяйственных предметов. Это явление вполне объяснимо, если иметь в виду потребности столь обширного края в специалистах сельского хозяйства, техники (дорожное строительство, строительство жилых домов, мельниц и городских предприятий) и учитывать тот факт, что высшего технического учебного заведения в нем не было. Однако это развитие принимало несколько односторонний характер, без должного внимания к наукам теоретическим. В частности, эта тенденция отразилась на преподавании математики. В учебном плане отсутствует, например, теория чисел. Темы диссертаций и студенческих научных работ также относились к прикладной математике.37
Румбович ездил в Петербург с целью изучения постановки преподавания начертательной геометрии и графики в различных учебных заведениях столицы, а также ознакомления с приложениями этих предметов в строительной практике. Интересны мотивы, которые изложены Румбовичем в его заявлении университетскому правлению по поводу этой командировки.
Приведем этот интересный документ: 38 «Взявший на себя изучение начертательной геометрии должен знать ее теорию и приложения. С этих обеих точек зрения посещение обеих столиц будет очень полезным. А именно: Корпуса инженеров путей сообщения, Военно-строительного училища путей сообщения, Главного инженерного училища, Адмиралтейств коллегии. Во всех них преподается начертательная геометрия со свойственными ей приложениями к общим предметам, которым посвящены. Кроме того, равно имеется и ряд ученых по этому предмету на родине: таким есть профессор Севастьянов, автор важной о начертательной геометрии книги, который первым на русском языке издал ее в 1822 году.
На пути в Петербург буду иметь возможность ознакомиться с университетом в Дерпте и ознакомиться (в нем) с мето
64
дом преподавания начертательной геометрии и других наук, которые с ней связаны. Знакомство со столицей полезно для ознакомления известных там работ — Исаакия, что может сравниться в Европе с этим строительством! Знакомство с рисунками, моделями в различных кабинетах, с преподаванием ремесел в связи с рисунками. В Москве — две технические школы для ремесленников, где преподается геометрия рисунка. Есть еще институт в Москве для рисования форм, служащих для украшения различной фабричной продукции. В Москве полезно посмотреть строительство церкви Спасителя на Воробьевых горах».
И. Румбович был в Петербурге и в Москве в течение 6 месяцев в 1828 г. Эта объективная оценка со стороны ученого Виленского университета состояния науки и техники в русских столицах, дополненная аналогичной оценкой адъюнкта механики Горского,39 изучавшего в Петербурге строительную и производственную технику, свидетельствует о наличии прогрессивной тенденции в среде его ученых к развитию научных контактов с учеными других учебных заведений России.
Укажем еще ряд фактов, которые свидетельствуют о наличии научных контактов Виленского университета с другими университетами и Академией наук.
Избрание профессора Снядецкого в члены-корреспонденты Петербургской Академии наук, его переписка с Академией. Обмен диссертациями и книгами. Избрание в почетные члены университета ученых Петербурга. * Рекомендация книг русских ученых. ** Информация в печати о научных работах русских ученых. В деле научной информации в этот период имел значение « Э ^ е п т к Д^ПепзкЬ. В нем печатались заметки о математических исследованиях зарубежных и отечественных ученых. Так, например, все работы, издававшиеся тогда еще молодым Остроградским, реферировались в этом журнале.
В заключение настоящего параграфа перечислим учебники, изданные университетом по другим дисциплинам физико- математических наук (на польском языке). Они являются свидетельством хорошей постановки преподавания физики, астрономии и геодезии в Виленском университете.
1. С. Стубилевич. Краткий сборник начал физики. Вильно, 1816. Курс изложен в соответствии с программой Политехнической школы в Париже, где автор длительное время изу
* В числе почетных членов был известный физик, профессор Медикохирургической академии В. Петров.
** Этим вопросом занимался М. Полинский. Он обратил внимание на примечательную для своего времени монографию Н. В. Верещагина «М атематические предложения о употреблении алгебры, в геометрии, логарифмах, тригонометрии плоской и сферической...», написанную еще в 80-е годы XVIII в. и изданную сыном автора в 1820 г. '
3 Н. Д . Беспамятных 65
чал физико-математические науки, находясь в научной командировке.
2. П. Славинский. Начала теоретической и практической астрономии. Вильно, 1826. Курс написан на уровне, соответствующем развитию астрономии начала XIX в.
3. А. Шагин. Высшая геодезия. Вильно, 1829. Учебник написан на основе главным образом французских работ по геодезии; изложение строгое, с применением дифференциального исчисления и теории рядов.
§ 4. ПРЕПОДАВАНИЕ С. РЕВКОВСКИМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ
В 1829/30 учебном году на правах факультативного было открыто чтение курса теории вероятностей. Насколько нам известно, это был первый систематический курс лекций по этому предмету в истории высшего математического образования в России. Чтение его было поручено молодому магистру математики Сигизмунду Ревковскому.
Сигизмунд Ревковский (1807— 1893) родился в Вильно, где окончил гимназию и затем университет (учительскую семинарию при нем). Будучи студентом, Ревковский принимал участие в астрономо-геодезических работах, которые проводились на Западе России.40
Преподавание математики проходило в общих чертах в соответствии с той программой, которая была изложена Снядецким на научной сессии университета в 1808 г.41 Говоря о теории вероятностей, он отмечал, что со временем, когда математические науки на факультете получат надлежащее развитие, следует подумать и об учреждении кафедры по этой дисциплине. Позже он одно из своих выступлений на совете посвятил теории вероятностей.42 Таким образом, введение курса теории вероятностей является естественным развитием факультета в соответствии с тем планом, который был в общих чертах намечен Снядецким в первый год его деятельности на посту ректора университета.
Университет в своем донесении министерству по поводу открытия этого курса сообщает: «Физико-математическое отделение обращало внимание на то, что правдоподобные вычисления, составляющие обширную отрасль математических наук, до сих пор не были еще преподаваемы в университете, между тем к а к вычисления сии весьма важны и приносят значительную пользу, ибо на оных основываются действия ассе- курационных обществ.
Славный ж е Лаплас успел приноровить оные к геодезическим и другим подобным действиям, а поэтому означенное отделение, полагая полезным ознакомить обучающихся мате
66
матическим наукам с таковыми вычислениями, обратило внимание в сем отношении на удостоенного университетом звания магистра философии Зигмунда Ревковского, который, бывши воспитанником учительской семинарии при университете, показал в продолжении учения своего в университете во всех науках отличные успехи и исполнял должность учителя математики в одном классе Виленской гимназии в продолжение одного года и отличился ясным и приятным способом объяснения. Наконец, исполнил с усердием и ревностью деланные ему ректором университета двукратно поручения по части геодезических работ, производимых на Полесье, Жмуди и в Курляндии генерал-майором Теннером. К тому же по своей собственной охоте трудится около двух лет над сочинением о правдоподобных вычислениях».43
Сочинение по теории вероятностей, которое писал Ревковский и о котором говорится в этом документе, считается утерянным. Надо полагать, что это было серьезное исследование, о чем может отчасти свидетельствовать и та программа, по которой он читал этот курс.44 На эту программу М. В. Остроградский дал положительный отзыв.45 Действительно, содержание программы говорит о широкой осведомленности автора в этой новой для того времени науке и глубоком ее понимании.
Университет имел право присуждать ученые степени кандидата, магистра и доктора. Степень кандидата присуждалась студенту на основании экзамена после двух лет обучения. Получение ученых степеней не было делом сложным. Каждый способный и трудолюбивый студент мог получить степень магистра. Был, например, такой случай, когда университет ходатайствовал перед министерством о присуждении степени магистра математики преподавателю курсов для чиновников (на получение служебных аттестатов) на основании отзыва о его работе на этих курсах. Министерство обратило внимание университета на слишком упрощенный характер процедуры получения ученых степеней. В двадцатых годах требования были повышены. Мы проследим в общих чертах процедуру получения магистерской степени на примере Ревковского.
Перечислим те предметы, по которым экзаменовался Ревковский на степень магистра.46 На первом экзамене он сдавал теоретическую механику, аналитическую геометрию, минералогию, логику, дифференциальное и интегральное исчисления и алгебру.
Вопросы по теоретической механике: «1. Сила равнодействующая двух сил параллельных в одну или противные стороны действующих и точка ее приложения. 2. Равновесие многих сил параллельных: а) когда система их не заключает непо-
з* 67
движной точки и б) когда заключает ее. 3. Определить центр тяжести объема круглого тела. 4. Определить вертикальное движение тяжелой точки, принимая в рассуждение изменение тяжести. 5. Центробежная сила и ее выражение. 6. Определение момента инерции эллипсоида относительно какой ни есть оси. 7. Равновесие жидкостей в сифонах».47
Вопросы по аналитической геометрии: 1 . Способ определения положения точки на плоскости и в пространстве. 2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы. 3. Оси и диаметры в эллипсе и гиперболе. 4. Способ определения фокусов эллипса, гиперболы и параболы. 5. Способ определения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе, проходящих через точку, расположенную вне этих кривых.
Вопросы по дифференциальному и интегральному исчислениям: 1 . Объяснить теорию дифференциального исчисления.2 . Сравнить между собой все теории дифференциального исчисления. 3. Ответить, какая из них является наилучшей в приложениях и почему. 4. Объяснить способ интегрирования степенных рядов. 5. Предмет вариационного исчисления.48 Вопрос по алгебре: Определение трансцендентных функций.
Второй экзамен также включал целый ряд различных предметов и состоялся через день после первого.
Вопросы по геодезии: «1. Объяснить теорию деления масштабов. 2. Уровень с воздушным пузырьком и его проверка.3. Начертание стереографической проекции земного полушария. 4. Определить формулу для измерения длины дуги земной параллели. 5. Определить способ и формулу для вычисления по приближению разницы относительных высот двух мест, коих неизвестно взаимное расстояние».49
Экзамен по химии.Экзамен по физике: « 1 . Механические свойства паров
в пустом месте при различных температурах. Инструменты и способы, служащие к их определению. 2 . Пирометры и что ими определяется. 3. Главные явления и теорця электрической силы».50
Экзамен по начертательной геометрии: «1. Общий способ начертания линий пересечения двух или многих кривых поверхностей, приложение его к поверхности вращения. 2. Простейший способ определения на поверхности вращения кривых линий отделения света от тени и кривых падающей тени» 51
Экзамен по зоологии и ботанике.Через день Ревковский снова подвергался экзамену по
архитектуре. Затем был письменный экзамен: 1. По интегральному исчислению. («Объяснить теорию интегрирующего множителя».) 2 . По теоретической механике. («Вывести общие формулы на определение центра тяжести линий, пло
68
ской фигуры, объема и поверхности тела вращения и некоторые из них приложить к каким-либо примерам».) 52
На заседании отделения члены факультетского совета читали ответы Ревковского и единогласно признали, что он при словесном и письменном испытании дал удовлетворительные ответы. На этом основании ему была предложена диссертационная тема: «Изложить происхождение инфинитезимально- го исчисления, различные способы преподавания оного и указать, который из них лучше всех согласуется с настоящим смыслом чистого анализа» . 53 Приблизительно через год «Ревковский публично читал свое рассуждение и защищал оное надлежащим образом против возражений, чинимых членами отделения, и вследствие того отделение физико-математических наук признало его, Сигизмунда Ревковского, удостоив' шимся степени магистра философии, и сие мнение определило представить в Совет университета, прилагая при сем и рассуждение, им сочиненное» . 54 Министерство просвещения поручило профессору астрономии Петербургского университетаВ. Вишневскому, как знающему польский язык, дать отзыв на диссертацию Ревковского (вместе с диссертацией Гедеми- на «О паровых машинах»).* Профессор Вишневский дал положительный отзыв.55
В диссертации предлагалось ответить на следующий вопрос: «Какие существуют способы выведения и изъяснения высшего исчисления и который из сих способов должен быть признан лучшим?».
Ревковский указывает пять различных способов построения анализа бесконечно малых: 1 -й способ — Лейбница,2-й — Ньютона, 3-й — Маклорена и Д ’Аламбера, 4-й — Эйлера и 5-й — Лагранжа (а также построения Пасквича, Арбо- гаста, Гризона и др.)-
Диссертант исследовал следующие три вопроса:1) Какой из перечисленных выше способов «согласуется
с истинным духом анализа?2) Какой из способов более удобен для приложений?3) Какой из них лучше отвечает цели преподавания?В исследовании показывается, что с «истинным духом ана
лиза» лучше согласуется способ Лагранжа, «известный под названием теории функций аналитических».
Для приложений наиболее удобным признан способ бесконечно малых приращений Лейбница. Способ Маклорена
* Магистерскую диссертацию Ревковского, относящуюся, следовательно, к математическому анализу, обнаружить не удалось. Диссертация Гедеми- на находится в их общем деле. Мы подчеркиваем тот факт, что магистерская диссертация его относилась к математическому анализу, а не к теории вероятностей, как утверждают историки Виленского университета.
69
или Д ’Аламбера с употреблением алгоритма Лейбница признан лучшим для преподавания.
Хотя диссертация Ревковского нам не известна, но на основании отзыва профессора Вишневского можно составить о ней некоторое представление. Проблема ее была актуальной для того времени, поскольку математический анализ не был достаточно обоснован и в преподавании применялись различные его трактовки. Как видно, Ревковский усматривает пять различных точек зрения на построение теории математического анализа. Однако работы Коши не упоминаются, хотя в то время они были уже широко известны и на основе их перестраивалось преподавание математического анализа в университетах, в том числе и в Виленском.
Ревковский свыше 20 лет занимался проблемой, которую по современной терминологии можно отнести к математическому моделированию производства и по которой он опубликовал семь работ. Первая из них — «Применение анализа к определению влияния администрации на стоимость строительных и заводских работ» — была опубликована в «Инженерном журнале» в 1866 г., а последняя — «Аналитическая теория работ вообще, в самом обширном значении этого слов а » — опубликована отдельной книгой в Вильно в 1888 г. Историческая оценка этих исследований дана профессоромз . Жемайтисом в недавнее время. Жемайтис высоко оценивает труд Ревковского, отмечая его связь с современным развитием этой проблемы.56 Поэтому мы ограничимся замечаниями общего характера.
Ревковский длительное время работал инженером путей сообщения. Принимая непосредственное участие в производственных работах, он пришел к мысли о построении математической теории организации труда и сделал попытку реализовать ее.
В первой своей работе автор следующим образом характеризует своп исследования:
«В этой записке изложены теоретически неоспоримые выводы, касающиеся разных администраций и различных работи, хотя многое здесь заявленное было уже и прежде более или менее известно по опыту, однако же самая совокупность всех этих выводов, извлеченных из одной и той же формулы, доказывает уже присутствие в этом отдельной науки, чрезвычайно обширной, полезной и любопытной».
Познакомимся с методом и выводами первой его работы. В ней дано решение проблемы минимума расходов на производство работы и минимума времени для ее выполнения (в случае временной работы). Решение задачи состоит из двух этапов: составления функции и нахождения ее экстремального значения.
70
Время работы Т составляется:1) из дней приготовительных а, необходимых для найма ра
бочей силы и заготовления материалов;2) из дней рабочих /;3) из дней нерабочих 1\.Таким образом, Т — а + / + 4.х — количество рабочих норм (уроков) по «Урочному поло
жению», необходимых для выполнения работы;т — число рабочих, ежедневно состоящих на работе;х 1 — реальная норма («местный урок»);
.= к — коэффициент, показывающий отношение уроков казенных к реальным;
= р — имеет среднюю мало изменяющуюся величину при длительных работах.
Тогда Т = а + —^ .м 1 к пг
Это уравнение выражает кривую поверхность второго порядка, отнесенную к осям х, пг и Т.
Работы подразделяются на обыкновенные и фабричные. В обыкновенных величина х всегда определена сметой и постоянна; в фабричных — величина пг всегда известна и постоянна. Если х — постоянно, то в сечении поверхности получается гипербола, при пг постоянном — прямая. Поверхность Т образуется движением прямой линии по гиперболическим направляющим. Время работы Т в работах обыкновенных идет по линии гиперболической, в фабричных — по прямой.
Далее идет исчисление всех расходов производства, и автор приходит к формуле определения стоимости «одного урока»:
Р=г.С + Е + — + В — + — + Р — , (1)1 1 х 1 х \ пг 1 пг '
где расходные коэффициенты А, В, С, О, Е, Р определяются опытным путем из произведенных расходов при аналогичной выполненной работе!
В работах обыкновенных, где х — постоянное, а пг — переменное, уравнение ( 1) выражает линию пересечения поверхности плоскостью, параллельной осям Р и пг на расстоянии х от начала координат. Это гипербола с пониженной точкой, в которой Р имеет минимум. Положение этой точки определяется из
ЛРуравнения = 0, которое дает
1 / -{- Е хпг = у -----^— • х.
71
Это значение удовлетворяет условию самой дешевой работы. Соответствующее самое выгодное время работы будет:
Аналогично определяются значения х и Т в случае работы фабричной:
Смысл исследований Ревковского заключается, следовательно, в математическом * анализе производственной деятельности любого вида и построении ее математической модели. Учитывая факторы, участвующие в производстве, он конструирует формулы для определения времени выполнения работы и ее стоимости. Рассматривая эти величины как функции некоторых переменных, он находит их экстремальные значения и таким образом выясняет те условия, при которых время и стоимость имеют минимальное значение.
Эта идея развивается в последующих работах, однако она не нашла непосредственного практического использования и осталась как бы в стороне от пути развития этой области. Возможно, что работы Ревковского могли бы найти практическое применение, если бы они были представлены в форме, удобной для практика-инженера, когда рабочие формулы или табулированы, или номографированы. Что касается их теоретического значения, то, как нам представляется, оно состоит прежде всего в том, что в них сделана попытка математически формулировать самую проблему труда и на основе этого было построено приближенное ее теоретическое решение.
Работы Ревковского оригинальны и могут быть интересны для истории научной организации производства, представляющей собой в настоящее время обширную область теоретического и практического знания.
§ 5. И. А. СНЯДЕЦКИЙ И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК В УНИВЕРСИТЕТЕ И ШКОЛАХ
ОКРУГА
Перестройка математического образования в Виленском университете в значительной степени связана с именем ректора Ивана (Яна) Андреевича Снядецкого. И. Снядецкий родился в 1756 г. в Гнезненском воеводстве в Польше.57 Сначала он учился в Познани, а затем в Краковском университете
и
72
(1772— 1775), который окончил со степенью магистра. О первоначальном образовании он пишет: «Я изучал в школах Познани риторику Полашевского и диалектику Стемпловского в течение трех лет и приобрел большую легкость в польских и латинских сочинениях». В Краковской академии он изучал курс физики и математики по Аристотелю, диалектику, космологию, а из математических наук — плоскую и сферическую тригонометрию и теоретическую геометрию. После окончания университета учительствовал, преподавал алгебру, логику, гидростатику, гидравлику и политэкономию.
В связи с подготовкой к реформе 1780 г. молодой Снядецкий был отправлен за границу «для усовершенствования в науках». Сначала он учился в Геттингене, затем в Париже (1778— 1781). Относительно геттингенских занятий Снядецкий пишет: «В начале я встретил безмерно много трудностей, временами я мучился даже до слез и отчаяния, чтобы их преодолеть... Сначала тонул целиком в сочинениях Эйлера, преодолевал и прорешал труднейшие его задачи в дифференциальном и интегральном исчислениях, механике, оптике, благодаря чему приобрел огромный навык и сноровку в технике вычислений и обогатил свою память фундаментальными формулами чуть ли не всего анализа». В Париже «я пошел на лекцию профессора Кузена, комментировавшего в то время интегральное исчисление на основе своего сочинения. Меня поразило чистое и ясное, но так новое для меня изложение материала, который я знал... Я убедился, что я владел в Германии вычислительным механизмом, но не постигал глубоких мыслей, содержащихся в исчилении... Я пробежал труды Д ’Аламбера, Клеро, геометра Фонтэне и «Ас1а» Академии наук, что касается математических и физических наук, то я приобрел себе Туринские «Ас1а» и в них я взял на учет работы Лагранжа». О цели своей поездки Снядецкий писал, что желает усовершенствоваться в высшей математике, особенно в ее приложениях к астрономии и механике, изучить химию, натуральную историю, физику, французский язык и литературу.
Снядецкий был знаком с многими выдающимися учеными своего времени, например, с Д ’Аламбером, который оказал на него большое влияние в формировании философских взглядов. В 1781 г. он занял кафедру высшей математики и астрономии в Краковском университете, где внес новое и животворное начало в преподавание математических и астрономических наук. В 1787 г. был с научной целью в Англии (где познакомился с Гершелем), во Франции и Германии. 1803— 1805 гг.— снова во Франции, Голландии и Италии.
Уже с момента реорганизации Виленского университета в 1803 г. имелось в виду пригласить Снядецкого на должность
73
ректора и астронома-наблюдателя. К этому времени он пользовался известностью как ученый и педагог. Эту идею подал, очевидно, Почобут, с которым Снядецкий состоял в продолжительной научной переписке. Официальное приглашение состоялось в 1806 г. 58 Вначале Снядецкий отклонил предложение о переезде, но затем уступил настойчивой просьбе попечителя Чарторыйского и в январе 1807 г. переехал в Вильно.59 19 января 1807 г. он был избран ректором и в этой должности прослужил до 1815 г. 60 В качестве астронома-наблюдателя он работал до 1822 г. Лекции в университете Снядецкий не читал. В 1811 г. был избран членом-корреспонден- том Петербургской Академии наук. Умер в 1830 г.
Работы Снядецкого относятся к астрономии, математике и их истории и к философии.
Астрономия — основная специальность Снядецкого, в области которой он занимался исследованиями. Результаты астрономических наблюдений он печатал в «Венских эфемеридах, «Ежемесячных сообщениях» («МопаШсЪе Соггезроп- с!еп2 ») и в «Мемуарах» Петербургской Академии наук. Это были результаты наблюдений малых планет Цереры и Пал- лады, затмений Луны и спутников Юпитера, солнечного за тмения и др. *
Снядецкий всегда проявлял глубокий интерес к истории науки. Занимаясь в библиотеке Краковского университета, он обнаружил ценные документы о Н. Копернике и, когда Варшавское общество друзей науки объявило конкурс на труд о Копернике, подготовил и издал первое в истории астрономии по полноте, систематичности и документальной обоснованности историческое исследование «О Копернике» . 62 Р а бота была переведена на ряд европейских языков. Она не утратила своего значения для истории и в настоящее время.
Документы свидетельствуют о том, что с идеями Коперника в том или ином объеме знакомили студентов в Виленском университете почти на протяжении всего периода его сущест-
*' Корреспонденция Снядецкого с Петербургской Академии наук имеет своим содержанием следующее: 61 Ежегодные отчеты о наблюдениях его на Виленской обсерватории (за годы 1810— 1811, 1813— 1819, 1821). Представление для публикации работы «Теоремы сферической тригонометрии», в которой доказываются теоремы Делямбра. Представление Н. Фусса к избранию Снядецкого в члены-корреспонденты Академии наук. Представление наблюдений по оккультации звезд, произведенные в обсерватории В иленского университета по просьбе академика Вишневского (за 1810 г.). Сообщения о первых наблюдениях кометы в 1811 г. Представление результатов метеорологических наблюдений, произведенных в Вильно за 34 года. Сообщения о наблюдениях Марса, Цереры и П аллады, произведенных на обсерватории Виленского университета (за 1813 г.). Представление своих печатных трудов. Результаты наблюдений комет 1819 г. Описание астрономического прибора новой конструкции, приобретенного Виленской университетской обсерваторией в 1821 г.
74
вования. Но это знакомство было эпизодическим и не полным. С переездом в Вильно Снядецкого идеи Коперника становятся предметом систематического и глубокого изучения не только в университете, но и в школе. Эти идеи были отражены им в учебнике математической географии, который применялся в университете и школах. Он был издан также и на русском языке. 63 Остановимся на его содержании.
Описание Земли Снядецкий делит на две части: гражданское и математическое. В первой части описываются те явления, которые определяются силами, «никакими постоянными законами не определенными» (политическая география), «это суть явления причин, кои родятся, продолжают (жить) и исчезают в людях». В понимании социальной жизни обществ Снядецкий, как видно, не выходил за пределы достаточно простых и общепринятых представлений того времени.
Интерес представляют его методологические взгляды во второй части, в которой говорится, что Земля может быть подвергнута математическому описанию, поскольку здесь действуют силы природы, ее законы. Земля как небесное и физическое тело «дает начало физическому и математическому описанию, поелику... весь способ познания естественных действий на Земле почерпается и извлекается из начал геометрии, под коею мы разумеем все части чистой математики. Сия последняя наука достоверна и очевидна, следовательно, все истины, на ней основанные, также достоверны, несомнительны и постоянны. Действия природы не так переменчивы, как действия людей, они происходят по вечным нерушимым законам и все естественные явления суть необходимые следствия сих законов» .64
Занимаясь школьными делами, Снядецкий близко чувствовал настоятельную потребность в книге, которая бы была построена на научной основе, так как «во многих книгах, издаваемых для учащегося юношества, часто предлагаемы были о Земле познания темные, необстоятельные и ложные. Я счел, что лучше предупредить успех заблуждения, представив полную науку в ее чистоте, силе и порядке, нежели исправляя и объясняя некоторые положения, местами замеченные» (в других сочинениях) . 65 Далее Снядецкий называет ряд книг такого рода, изданных начиная с XVI и кончая XVIII в., и говорит, что они его не удовлетворяют, так как или совсем не опираются на учение Коперника, или «боязливо утверждают его, или же сомневаются в его справедливости». 66 В связи с этим автор точно формулирует задачу по- сроения курса географии: объяснить суточные и годичные явления на Земле, исходя из «справедливых явлений» суточного вращения Земли и годичного ее движения вокруг Солнца. Автор «употребил возможные меры представить во всей
75
обширности и ясности учение Коперника. Таким образом, сие сочинение есть жертва достодолжного почтения памяти нашему соотечественнику Николаю Копернику, показывая обширное влияние его мыслей и изобретений на успехи не только астрономии и географии, но и физики...»67
В 1783 г. в Кракове Снядецкий опубликовал трактат «Теория алгебраического исчисления, приложенная к геометрии кривых линий» (в двух томах) . 68 Этот трактат представляет для нас интерес с дидактической точки зрения. Им пользовались в качестве руководства в университете, а также в средних школах Литвы! и Белоруссии.
Трактат включает алгебру, аналитическую геометрию и разложение элементарных трансцендентных функций в степенные ряды. Он написан Снядецким на основе лекций, прочитанных им в Краковском университете под влиянием свежих впечатлений от лекций французских математиков, которые читались на основе сочинений Эйлера. Алгебра рассматривается как специфический для математиков язык, который в каком-либо алфавите посредством формул, уравнений, функций выражает сравнения, отношения и различные связи между величинами. Этот язык обладает свойствами общности, краткости и облегчает память.
Первый том включает элементарную алгебру, построенную на основе оригинальной для того времена идеи, заключающейся в функциональной трактовке ее вопросов и во взаимосвязанном изложении понятий функции и уравнения. В этом смысле уже характерно название ее первой части: «И злагается природа и свойства функций, также алгебраических уравнений; действия с различными функциями и способы решения уравнений». Эта идея реализуется следующим образом. Понятие функции вытекает из понятия уравнения. Изучение уравнений первой степени приводит к понятию линейной функции, квадратных уравнений — к понятию квадратной функции, рациональных алгебраических уравнений — к рациональной функции и т. д. Параллельно с этим рассматриваются «операции над функциями». Приведение подобных трактуется как сложение и вычитание функций целых, действия с алгебраическими дробями — как действия с рациональными функциями, преобразование иррациональных выражений — как действия с иррациональными функциями. Рассмотрением иррациональных уравнений и функций завершается элементарная часть алгебры.
Исходя из принятого им положения, что учение о функциях возникло в связи с изучением уравнений, он излагает эти понятия в их взаимной связи. Рассмотрев на первых страни
76
цах курса конкретную задачу, которая приводит к уравнению первой степени
, , хЫ' , хс1" хс1”Х* + - + -Б ----- ТоГ = в*
Снядецкий говорит: «Такое выражение связи, найденное между какими-либо количествами, входящими в вопрос, называется уравнением... Если бы мы отвлекалась от связи, через которую выражается уравнение, и рассматривали бы только части уравнения без знака равенства, то мы имели бы только множество членов, содержащих известные и неизвестные различные величины, соединенные между собой различным# знаками, например,
х1 хЫ' . хс1" хс1"а а 20 а
Такое выражение называется функцией от х». Далее поясняется связь между этими понятиями: «Из этого описания вытекает теперь различие между функциями и уравнениями. Если функция есть только простое выражение членов, заключающих каким-либо образом разные количества, которые между собой не связаны, то уравнение выражает обязательно или связь двух функций, или связь количеств, заключенных в одной функции».69 Таким образом, если за исходное принять понятие функции, то определение уравнения совпадает с современным. Понятие функции трактуется в курсе по Эйлеру.
Концепция курса элементарной алгебры Снядецкого оказала влияние на виленских математиков. Наиболее последовательным из них был М. М. Полинский. Как видно из одной рукописи, написанной Полинским в 1808— 1809 гг., он обстоятельно изучил «Алгебру» Снядецкого, сопровождая это изучение своими замечаниями и добавлениями. Рукопись интересна в том отношении, что в ней элементарная алгебра трактуется также в духе Снядецкого.70 Но наиболее четко эта точка зрения проведена Полинским в другой его работе, приготовленной к печати в Минске в 1810— 1813 гг., когда он работал учителем Минской гимназии.71 Хотя формальное определение алгебры дано ньютоново, но все изложение проведено с функциональной точки зрения Снядецкого. Понятие уравнения определяется как равенство двух функций, а понятие функции определяется по Эйлеру.
Эта концепция Снядецкого отражена в учебнике алгебры профессора Виленского университета А. Г. Вырвича.72 Во вводной части автор подчеркивает важную в этом отношении мысль, что алгебраический язык позволяет устанавливать и выражать связи между величинами. Несколько большее влия
77
ние идей Снядецкого испытали на себе «Начала алгебры» Г. А. Гречины, получившего математическое образование в Виленском университете.73 Гречина был преподавателем Кременецкого лицея, где преподавал курс алгебры по своему учебнику. После закрытия лицея он был профессором математики в Киевском, а затем в Харьковском университетах.
Передадим ход рассуждения автора по интересующему нас вопросу. Благодаря введению в алгебру символики, общих знаков для выражения количеств, вычисления становятся краткими. Алгебра — язык для выражения нашей мысли о величинах, которые рассматриваются не сами по себе, а во взаимной связи и в их изменении. Решение задачи начинается с рассмотрения ее условий, чтобы можно было открыть связь между количествами известными и неизвестными. Эта связь позволяет составить равные выражения или функции. Если мы соединим знаком равенства эти функции, то получим уравнение.
Первый раздел алгебры имеет название, аналогичное тому, какое имеется в алгебре Снядецкого: «Способы производства действий над количествами и функциями и применение их к решению уравнений». Содержание второго раздела включает два вопроса: бином Ньютона и извлечение корней. Автор пишет: «Изложивши способ возведения количеств и функций в какую угодно степень, покажем теперь обратный, который от степеней приводит до самих функций, из которых данная степень образована. Такие количества или функции называются корнями степеней». В этом же разделе рассматриваются «действия с иррациональными и мнимыми функциями».
Понятие логарифма также рассматривается с функциональной точки зрения. Подход осуществляется так: после изучения прогрессий решаются задачи на проценты, решение задач на сложные проценты приводит к понятию показательной функции, а в свою очередь «функции показательные приводят к познанию логарифмов». Излагаются свойства этих функций и способ разложения логарифмической функции в ряд. Последнее дает возможность обосновать построение таблиц. Заметим, что в элементарных учебниках того времени раздел о логарифмах излагался преимущественно не с функциональной, а с чисто арифметической точки зрения и рассматривался как технический аппарат для вычислений.
Характерно также, что у Гречины и Вырвича, как и у Снядецкого, одинаковое понимание алгебры как особого языка, с помощью которого мы выражаем свои мысли и суждения о величинах и «применение которого основывается на том свойстве величин, что они способны возрастать и убывать. Этот язык может служить для выражения природы вещей, если она имеет характер величины. Его приложение, следова
78
тельно, так же обширно, как обширно наше познание вещей, имеющих характер величины».
Понятия функции и уравнения у Снядецкого выступают в их диалектическом единстве: как формы математического мышления и как математические средства познания действительности. У Снядецкого и его последователей мы видим первую пробу решения этой методологической проблемы. Это решение с современной точки зрения следует оценивать как чисто формальное, поскольку оно не сопровождалось в элементарной части алгебры графическими представлениями и исследованиями.
Вопрос о приоритете введения понятия функции в школьное обучение в конце XIX и начале XX в., о котором так много было сказано в последнее время, в свете изложенного требует более точной формулировки и обоснования. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. III.
Вопрос о возникновении понятия функции в связи с развитием теории уравнений представляет интерес для истории математики, но нуждается в специальном изучении. Несомненно, что указанный Снядецким фактор играл определенную роль, но едва ли он был главным на всех этапах этого сложного пути и тем более единственным.
Передовым было понимание Снядецким природы отрицательных чисел. В его время некоторые математики отрицательные числа считали не реальными, а фиктивными.74 Эту точку зрения Снядецкий называл «нелепым толкованием, которым некоторые авторы путают учащихся». Его взгляд можно передать следующими словами.
Все в природе познается через сравнение и сопоставление. При изучении природы количеств также приходим к необходимости сопоставлять одни из них с другими. Одни из них выражают одно состояние или положение, другие — другое, например, возрастание и убывание, дебет и кредит, имение и долг, два противоположных течения и т. д. «Отсюда заключаем,— говорит Снядецкий,— что количества отрицательные имеют свою природу, столь же истинную и правдивую, как и количества положительные, но только противоположного смысла».75 Первая часть первого тома завершается решением уравнений третьей и четвертой степеней.
Бином Ньютона обобщен и распространяется на дробные и отрицательные показатели. Метод хотя и не строгий, но не шаблонный. Изложение некоторых вопросов полностью воспроизводится по Эйлеру, его «1п1гос1исИо», например, известные формулы для выражения з т пг и соз пг.
Второй том содержит «Приложение алгебры к геометрии» и называется так: «Т. II, в котором посредством неопределенных уравнений объясняются свойства кривых линий и поверх
79
ностей». Для своего времени это был достаточно полный курс аналитической геометрии. В нем рассмотрены все кривые и поверхности второго порядка с их свойствами.
Снядецкий живо интересовался общими проблемами своего века и опубликовал ряд трудов философского содержания. В этих и в других его работах имеются педагогические и дидактические высказывания и построения, которые образуют достаточно цельную систему педагогических взглядов. Нас интересуют следующие аспекты его философского и педагогического учения: общий взгляд на математику, классификация математических наук и отношение их к действительности и философские принципы познания и реализации их в системе преподавания математики.
Его философские взгляды на математику являются проявлением философии просвещения, характерными чертами которой были энциклопедизм и рационализм в познании и деятельности. Снядецкий был математиком, астрономом, интересовался философией, психологией, логикой, языками, литературой и проблемами морали, т. е. энциклопедически образованным ученым.
В ряде мест Снядецкий называет математику особым языком для выражения наших мыслей о величине, а средства ее — операциями или алгоритмами. Поэтому понятие алгоритма он кладет в основу классификации математических наук. Так, арифметические действия и решение уравнений составляют алгоритмы алгебры, трансцендентные функции имеют свойственный им алгоритм — разложение в ряд, математический анализ характеризуется алгоритмами дифференцирования и интегрирования.
Начальные понятия математики, по Снядецкому, абстрагированы от действительности: «Самые отвлеченные истины берут свое начало в явлениях, воздействующих на чувства: мысль своим действием отделяет эти истины от их первоначал, оставляет в них только самые общие свойства вещей, не связывая их с какими-либо специфическими явлениями». Основным понятием математики является величина: «она представляет собой свойство всей природы; разум отделяет ее от всех родов вещей, останавливаясь только на том признаке ее, который состоит в способности увеличиваться или уменьшаться».76
Заметим, что по вопросу о происхождении первичных математических понятий взгляд Снядецкого сходен со взглядом Н. И. Лобачевского, как сходно и их отношение к кантовскому априроизму, характеризующееся решительным его отрицанием и критикой. Действительно, Лобачевский говорил:
«... в основание математических наук приняты все понятия,
во
каковы бы они ни были, приобретаемы из природы... все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики...».77
Но построение теории, по Снядецкому, является делом человеческого ума, его рассудочной деятельности: «человеческий разум пустил в ход все свои силы и таланты..., открылась широкая арена для деятельности рефлексии; сосредоточив всю свою активность, она показала человеческому разуму неисчерпаемые источники великих истин; разум усмотрел в них самые верные отношения, связал их по порядку, разделил их на части и таким образом соткал из них, если можно так выразиться, сеть рассуждений и мыслей, которая получила название математики».78
Снядецкий в своих философских работах подчеркивал мысль об огромной роли математики в познании природы. Математика в системе его взглядов — инструмент познания мира. Будучи сам, в сущности, естествоиспытателем, он хорошо понимал, какое влияние оказывала математика на развитие естественных наук. Он писал: «Открытия Декарта и Ньютона изменили весь строй математических наук... Декарт обогатил алгебру прекрасными открытиями, открыл способ ее применения в геометрии кривых линий, упростил бесконечно запутанную геометрию древних... Ньютон, этот великий истолкователь природы, рожденный для того, чтобы проникнуть в ее тайны, пользовался открытиями Декарта, пока вновь изобретенный им способ исчисления не дал ему возможности разрешить самые глубокие проблемы мышления и природы... Сравнение истин с природой, отношение мыслей к интересам, связь точных представлений с полезными дали начало обширной части физики, которую называют прикладной математикой».79
«Математика,— говорит Снядецкий,— способствует росту физики: она показала верный путь познания природы и применила свои точные принципы к формулировке и решению проблем естествознания.» Положение о влиянии математики на развитие естественных наук (физики, .астрономии) он убедительно обосновывает, опираясь на факты из истории их развития.
Принципы познания, разработанные Снядецким и последовательно проведенные им в его педагогических трудах, включают следующие положения:
а) основой познания служат наши чувственные восприятия;б) развитие теории осуществляется рассудочной деятель
ностью;в) процесс познания непосредственно осуществляется че
рез сравнение, сопоставление объектов познания и установление между ними связи, взаимной зависимости.
«Г
Эти взгляды сближают Снядецкого с представителями ассоциативной психологии, которой он придавал большое значение, какое впоследствии приписывалось представителям английской ассоциативной психологии.80
Приведем цитаты из его сочинений, подтверждающие сформулированные положения.
«Человек, одаренный силой мышления и рассуждения, постоянно наблюдая природу и будучи связан с ней посредством своих чувств, имеет один только путь для проникновения в тайны окружающих его вещей и действительного просвещения своего ума — это путь соотношений и сравнений. Различные события, воздействуя на его ощущения, заставляют его чувствовать в себе различные душевные движения и перемены: различие ощущений приводит его к различию внешних отношений, а отношение одного ощущения к другому дает ему возможность установить связь своих душевных движений друг с другом. Благодаря этим движениям он делает вывод о связях и отношениях между объектами, вызывающими эти отношения».81 Задача науки, по Снядецкому, состоит в познании связей между явлениями, событиями, которые мы наблюдаем в физическом и моральном мире. Всеобщность законов — первый признак науки. Это положение он иллюстрирует таким примером: Ньютон усмотрел, что одна и та же сила заставляет Луну вращаться вокруг Земли и заставляет камень катиться вниз; таким образом, он связал естественные явления, происходящие на Земле, с движениями тех огромных тел, которые наполняют обширные небесные пространства.
Знание же отдельных фактов, не связанных между собой* не может иметь значения для развития научного мышления.
Резюмируем сказанное. Снядецкий утверждает, что самые отвлеченные истины в науке берут свое начало в явлениях, воздействующих на наши чувства, что в основе математики леж ат такие понятия (величина и простейшие отношения), которые являются отражением реальных процессов. Но построение теории является проявлением комбинаторных способностей человека.
Построенный им курс алгебры на понятиях функции и уравнения, которые рассматриваются в их взаимной связи и как математический инструмент познания, где учение о положительных и отрицательных числах выступает как отражение реальных свойств действительности, является реализацией его концепции процесса познания в учебном руководстве. Это дает основание сказать, что Снядецкий был крупным ученым дидактом в области алгебры конца XVIII и начала XIX в.
Для преподавания геометрии в школе и университете в 1807 г. по предложению Снядецкого в Вильно был издан перевод «Начал» Евклида, выполненный И. Чехом.82 Это было
82
школьное издание, типичное для второй половины XVIII и начала XIX в. Школьные издания «Начал» характеризовались следующими особенностями: переводом на национальный язык восьми книг (I—VI, XI и XII) и наличием примечаний и дополнений, делавших текст более доступным для учащихся. Всеми этими особенностями обладает виленское издание. Это было первое издание «Начал» на польском языке. * В Виленской академии и Главной школе пользовались ранее заграничными изданиями на латинском языке. Арифметические книги опущены, «так как имеется наука «Арифметика», опущены также X и XIII книги, как трудные. Кроме того, переводчик дополнил «Начала» курсом тригонометрии. В 1817 г. эта книга была издана вторично, что является свидетельством ее использования в школе. **
Снядецкий предпослал виленскому изданию «Начал» большое предисловие, в котором изложил свое основное педагогическое кредо преподавания геометрии и математики в целом. Оно сводится к следующему.
Преподавание геометрии должно преследовать цель умственного воспитания учащихся, «Начала» Евклида наилучшим образом отвечают этой цели; развитие в процессе обучения творческой инициативы и мышления; обучение, направленное на развитие одной памяти вредно для воспитания практических деятелей, следовательно, вредно для государства; обучение геометрии должно быть построено на принципе связи теории с практикой; практические приложения должны следовать после основательного изучения теории; геометрия должна излагаться в школьном обучении классическим методом, алге- браизация элементарной геометрии вредно отражается на развитии истинно геометрического мышления; лучше меньше изучить материала, но основательно; не доказывать, что очевидно; в выборе способов изложения предпочитать общий, так как он лучше отвечает цели умственного развития.
Приведем соответствующие цитаты из предисловия: «Когда обучают молодежь, то стараются ее память обогатить чужими изобретениями, готовят ее как теоретика чужих дел, которые он не может приложить потому, что нет у него выработанного внимания и тех сил, которых изобретения являются плодом. Таким способом готовят ученых людей, не умеющих применять своих знаний, и тем самым задерживают прогресс... Упражняя и обогащая только одну память, не обращая вни
*' Г1ер. с англ. книги «ТЬе Е1етеп{з о! ЕисПс1 Ьу НоЬег! 51т8оп», ЕсНп- Ъигд, 1781, многократно издававшейся в Англии.
** Геометрия Л еж андра была издана для школы в Виленском учебном округе только в 1824 г .83
«3
мания на развитие других умственных способностей, воспитывают членов общества, не пригодных к общественной и государственной службе. Математика развивает, совершенствует ум учащихся, поэтому ее следует изучать основательно. Поверхностное обучение делает человека не уверенным в своих действиях, в работе, и поэтому оно может быть вредно для него и общества».
Приведем еще ряд его положений: «Те, кто привык к одним действиям памяти, не способны понять новых вещей. Выбор примеров, их качество играют большую роль, чем их число. Лучше меньше сделать, но основательно. Авторы учебников делают ошибку, применяя первые теоремы к практике. Нельзя сразу давать применения, если ученик не понял теории... Ученика больше радует, если он сам что-либо докажет, нежели усвоит мелкие применения. После представления о всей науке можно приступить к применению. Плохо делают те учителя, которые вводят в геометрию аналитические знаки из алгебры, сокращая как будто язык, к механизму построения добавляют механизм вычислительный. Они облегчают работу памяти там, где это делать не нужно в рассуждении истин простых и легких. Нет ничего легче, как всю начальную геометрию изложить в небольшом числе формул. Кто бы в обучении молодого человека сделал это, тот бы превратил геометрию в орудие, помогающее памяти и другим наукам, но не развивающее и усовершенствующее ум».
В заключение настоящего пункта остановимся еще на краткой характеристике* курса сферической тригонометрии Снядецкого, который служил основным руководством для студентов при изучении этого предмета и курса сферической астрономии. В Вильно он был издан дважды, а затем был переведен на немецкий язык и издан в Германии.84 Отметим следующие три особенности курса Снядецкого:
1. Курс состоит из двух частей (имеется в виду второе издание, которое значительно дополнено): теории и приложений к сферической астрономии и геодезии. Приложения идут после завершения теории. Особое внимание в приложениях уделяется выяснению понятия параллакса.
2. Изложение аналитическое, исходной геометрической конструкцией является сферический треугольник, который представляет собой особый способ расположения и связи в пространстве двух прямоугольных плоских треугольников. Исходя из этого, автор развивает курс чисто аналитически и говорит, что этот предмет представляет собой часть алгебры.
3. Некоторые выводы даются оригинальные и простые.
84
Кроме того, вывод формул Делямбра публикуется впервые и принадлежит автору.*
В январе 1932 г. особый комитет под председательством министра просвещения рассматривал создавшуюся в университете ситуацию в связи с польским восстанием. Комитет вынес решение: Виленский университет преобразовать, Волынский лицей упразднить и открыть в Киеве университет. Министерство, следовательно, не пошло на крайнюю меру в отношении университета и рекомендовало его сохранить. Против за крытия был и попечитель Н. Н. Новосильцев. Царь Николай I, игнорируя это мнение, единовластно предрешил судьбу университета. 1 мая 1832 г. он издал указ о его закрытии.** Тем
* Формулы Делямбра:
81П -у - (Ь — с) — С)
• 1 = ~ Л81П — а соз А
51П - ^ - ( Ь + С ) СОЗ (В — С)
Они выражают связь между всеми сторонами и всеми углами сферического треугольника.
Делямбр впервые опубликовал в «Соппа155апзе без 1ешрз» (1807) эти формулы, и поэтому они носят его имя. Однако он опубликовал их без доказательства. Также поступил и Гаусс в «ТЬеопа МоШз» (1809), но указал на их многообразные применения в астрономии. Снядецкий, познакомившись с работой Гаусса, которая, по его словам, произвела на него в этом пункте сильное впечатление («эти формулы поразили меня своей простотой и возможностями широкого применения»), в 1811 г, нашел их доказательство, исходя из формул Каньоли, и представил в Петербургскую Академию наук,, в архиве которой хранилась рукопись. В 1814 г. Делямбр опубликовал свой вывод, основанием которого служат аналогии Непера. Переводчик работы Снядецкого по сферической тригонометрии Ь. Ре1сИ нашел еще одно доказательство тех же формул, исходя из других оснований, и опубликовал его в «,1оигпа1 1йг г е т е ипс! ап^ешапсИе М аШ етаИк» (1831, В ± 7, 5. 69).
** В указе от 1 мая сказано: «Медицинский и богословский факультеты Виленского университета передать в ведомство внутренних дел для преобразования первого в Медико-хирургическую академию, а второго в духовное училище».
31 августа последовал именной указ: «Находя нужным усилить средства для образования искусных врачей в Империи нашей, мы признали за благо учредить в Вильне особую Медико-хирургическую Академию, и число обучающихся в медицинском институте бывшего Виленского университета к азенных воспитанников увеличить до 200».85
Для Академии был разработан и принят устав, согласно которому основными ее специальностями были медицина, фармакология и ветеринария. Академия просуществовала в Вильно до 1842 г.
со з — (Ь — с) ЗШ — (В + С)
1 = ~ лсоз а С08 ~2 ~ А
соз (Ь + с) соз (В + С)
1 = " ~ лсоз -77- а 31п -р— А
85
же указом Новосильцев освобождался от должности попечителя. Виленский учебный округ был присоединен к Белорусскому, университетская обсерватория была передана Академии наук. Округ остался таким образом без высшего учебного заведения. Отсутствие университета, безусловно, отрицательным образом сказалось на развитии культуры в этом большом крае, в частности в Белоруссии.
После закрытия университета попечитель БУО Г. И. Кар- ташевский предложил проект организации высшего учебного заведения с физико-математическим факультетом в г. Орше, и этот проект был уже близок к реализации, но в связи с тем что был предрешен вопрос об открытии университета в Киеве, не был осуществлен, и край оставался без университета до 1919 г., до свержения царского правительства и момента установления Советской власти.
Профессорам математики старого Виленского университета в деле математического просвещения принадлежит большая заслуга. Они подготовили ряд молодых людей, способных не только к успешному преподаванию математики, но и к ее развитию. К ним прежде всего следует отнести молодых магистров Румбовича и Ревковского. Не оборвись так рано их научная карьера, они могли бы занять на факультете ведущее положение и поднять уровень его работы в научном отношении. Учебные планы и программы факультета, учебники, изданные в университете, показывают, что профессора поддерживали современный им уровень преподавания. В числе учебных предметов мы видим такие, которые в то время читались не в каждом университете (начертательная геометрия, теория вероятностей, математическая физика). В отношении постановки преподавания математических наук факультет находился под влиянием французской высшей школы.
Университет подготовил огромную армию квалифицированных учителей математики, физики, математической географии для средних учебных заведений Литвы и Белоруссии. Средняя школа Виленского учебного округа отличалась хорошей математической подготовкой учащихся. Профессора математики много сделали для обеспечения школы учебниками. За рассматриваемый период получила развитие издательская деятельность. Статистический подсчет изданной литературы, произведенный на основании библиографических данных, показывает, что больше половины всей изданной до 1832 г. в этом крае математической литературы падает именно на по
86
следний период деятельности университета. Это обстоятельство благоприятным образом отражалось на общем уровне преподавания математики как в университете, так и в школе.
Существенным недостатком деятельности физико-матема- тического факультета университета за последние тридцать лет его существования следует считать отсутствие крупных научных исследований в области математики. В отношении научной работы факультет не смог подняться до уровня передовых, несмотря на то что он был организован на хорошей базе и не испытывал недостатка в средствах.
Г л а в а III. МАТЕМАТИКА В СРЕДНИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИИ
КОНЦА XVIII И НАЧАЛА XIX в.
§ 1. О СОДЕРЖАНИИ ОБУЧЕНИЯ В Ш КОЛАХ XVI И X VII вв.
На рубеже XVI и XVII вв. в Белоруссии создавались иезуитские школы. Ранее и параллельно с ними развивались школы других типов. В период реформации было открыто большое число протестантских школ, в частности кальвинистских. В период контрреформации для защиты языка и православия от иезуитской экспансии открывались братские школы.
Главное различие между школами различных типов заключалось в религиозной платформе и языке преподавания. Основными предметами преподавания в них были языки и религия. С конца XVI в. происходил процесс упадка белорусской культуры, что можно видеть из приведенной ниже таблицы, составленной на основе различных библиографических источников и показывающей число изданных и оставшихся в рукописях белорусских книг по полустолетиям.
Годы Число книг
1500— 1550 170
1550— 1600 80
1600— 1650 140
1650— 1700 72
1700— 1750 35
1750— 1800 120 *
Среди этих книг первое место по численности занимали жниги религиозного содержания, издавались книги по астрологии, содержавшие некоторые положительные сведения по астрономии. Издавались календари. В 1596 г. был издан в Риме «Календарь новый» с целью пропаганды григорианской
* Из них 105 с 1772 до 1800 г.
68
системы счета времени. На 1726 г. был издан в Супрасле «Календарь або месяцеслов христианский». В 1727 и 1730 гг. календари были изданы в Кенигсберге. По математике известно описание двух рукописей второй половины XVII в.— по арифметике и геометрии. «Арифметика» состоит из трех книг. В первой содержатся четыре правила арифметических действий над натуральными числами, во второй — дроби, в третьей — правила трех. В конце ее сказано: «...есть и иные многие регулы в сей науке, которых употребляют болши на Москве, чая себе к повышению своей науки...» Рукопись по геометрии заканчивается разделом о «часах спатеричных или слон- чых (гномика)».
А. П. Юшкевич обратил внимание на следующий интересный факт: «Если не считать славянских книг, изданных за границей в 1611 и последующих годах, то датой появления новых цифр в собственно русской печати был 1638 г. (Псалтырь, изданная в местечке Е вю .)»1 Псалтырь издана на двух язык а х — церковнославянском и польском. Славянский текст является перепечаткой фиолевской псалтыри, изданной в Кракове в 1491 — 1493 гг. Перепечатка фиолевской псалтыри была выполнена в Москве и в 1638 г. в Евю. * Нумерация страниц в этом издании дана арабскими цифрами.2
В XVI в. школы выполняли одну главную функцию — функцию религиозного воспитания, а поэтому математические науки в системе школьного образования не занимали значительного места.
Скорина говорил, что все семь наук можно найти в библии.** Хочешь изучать грамматику, учи псалтырь, логику, чтобы отличить правду от кривды,— читай апостола Павла и т. д. В библии, говорит Скорина, можно найти сведения по арифметике, геометрии и астрономии. Например, по астрономии найдете в начале библии сведения о сотворении Солнца, месяца, звезд. Но вместе с этим Скорина первый занес в Белоруссию понятие о семи свободных науках (грамматике, риторике, диалектике, арифметике, геометрии, астрономии, музыке), из которых первые три служили основой школьного образования.
О постановке учебного дела в православных школах Белоруссии в конце XVI в. мы располагаем весьма скудными и отрывочными сведениями. Известно, что в этих школах изучались, кроме религии, начала арифметики и сочинения Иоанна Дамаскина, которые в России считались священными.3 «Порядок школьный» так определяет положение математики: «учили мают пасхалии и лунного течения и личбы и рахованя». Как видно, изучалась арифметика, но она, по всей вероятно-
* Местечко Евю, где был монастырь и при нем типография,— современный литовский город У1еУ15.
** Ф. Скарына. Прадмовы 1 пасляслоуь Мшск, 1969, стар. 62—63.
«9
ети, не шла далее первоначальных правил действий и приложений их в житейском обиходе, в торгово-промышленных операциях и вычислений пасхалий. Изучение способа вычисления празднования пасхи для братских школ было актуальной проблемой, так как в связи с установлением нового стиля (григорианского), принятая поправка к старому календарю была предметом дискуссий. Надо полагать, что арифметика была на уровне алгоритмик, геометрия, если она и преподавалась, была практической; по Дамаскину сообщались элементы астрономии. Профессор П. В. Славенас ставит в связь с уровнем образования в православных школах перевод книги Вителио «Селенография», свидетельствующий о высоком интересе к науке в этих школах.4
Иезуиты, прибыв в Литву и Белоруссию, повели энергичную работу по организации школ и вытеснению школ других вероисповеданий. Они, «насильственно подавляя другие школы в Литве (и Белоруссии — Н. Б.), освобождались от необходимости конкурировать с ними». П. В. Славенас, у которого заимствована эта цитата, сообщает следующие факты. «Сжигали книги, неугодные иезуитам, в число которых попадали не только православные и протестантские, но и языческие античных авторов. В 1581 г. устроили торжественное сожжение («аутодафе»), и действовали комиссии по изъятию и уничтожению книг».5 Отсюда понятно, что до нас не дошли материалы этих школ в достаточно полном объеме, чтобы можно было судить о постановке в них учебного дела.
Иезуиты развернули достаточно широкую сеть школ на территории Белоруссии. Иезуитская школа состояла из трех ступеней обучения: грамматико-риторической, философской и теологической. Обычные коллегии представляли собой первую ступень этой учебной лестницы, две вторые ступени составляли коллегии повышенного типа и академии. Коллегии первого звена были пяти- и шестиклассными, среднего — имели два дополнительных философских класса.
Коллегии одного типа работали по одному и тому же плану. Мы обратим внимание на пятиклассные училища с шестилетним сроком обучения. К ним относится Виленская гимназия, созданная в 1570 г. для подготовки слушателей для Виленской академии. План ее известен, и он может служить характеристикой постановки учебного дела в других аналогичных учебных заведениях.6
Виленская гимназия состояла из трех начальных и двух высших классов (Ьишашога). В первом классе ( т П т а ) занимались изучением латинской грамматики и переводами из сочинений Цицерона и начинался курс греческого языка. Во втором классе (§гатта1лса) производился разбор сочинений на латинском языке, для чего служили сочинения Цицерона,
90
переводились некоторые легкие места из сочинений Овидия, продолжалось изучение греческого языка. В третьем классе (5уп1ах15) заканчивалось изучение латинской грамматики, продолжалось чтение Цицерона, а также некоторых избранных мест из сочинений других древних авторов; изучались теория стиха, басни Эзопа и другие сочинения на греческом языке. В программу четвертого класса (рое515) входили: изучение стихов на латинском языке, переводы из сочинений римских авторов. В пятом классе (геШопса) преподавались риторика, теория и искусство писать сочинения, римская и греческая история, мифология, география, философия и теология. Сочинения Аристотеля в толковании Фомы Аквинского служили методологической основой обучения за весь период господства иезуитов. Поступающие должны были уметь читать, писать и знать начала арифметики. В каждом классе был особый учитель — специалист того предмета, который в данном классе был основным. Этим обусловлены и названия классов. Эта характерная особенность иезуитской системы преподавания оставалась неизменной на протяжении всей истории иезуитской школы.
Как видно, в учебном плане доминирующее положение за нимал латинский язык. По этому предмету ученики достигали значительных успехов, владели латынью в такой мере, что свободно слушали университетские лекции, читавшиеся по-латыни.. Латынь и изучение сочинений древних авторов составляли основной стержень обучения в гимназиях этого типа. Аналогичным образом обстояло дело в иезуитских коллегиях в других государствах. Так, например, Пражская гимназия имела тот же учебный план и с тем же названием классов. В учебные планы баварских коллегий входили: латинская грамматика, изучение классических авторов, греческий язык, поэзия* красноречие, диалектика и богослужебные книги.7 Следовательно, учебные планы этого основного типа иезуитских коллегий не поднимались до уровня программы «семи свободных наук». Основой их были предметы тривиума.
Уже было замечено, что методологическим фундаментом обучения служила философия Аристотеля в интерпретации Аквината. Нам кажется уместным остановиться кратко на пояснении этого положения. Известно, что философия Аристотеля была канонизирована католической церквью. Но церковь могла это сделать не прежде, чем пересмотрев ее под углом зрения своих потребностей. Эта задача была выполнена в* XIII в. Фомой Аквинским. Приведем пример трактовки Аквинским аристотелева понятия «наука».8 По Аристотелю ступенями науки являются: опыт (результат чувственного познания), искусство (техника, умение), знание (объяснение причин) и мудрость, опирающаяся в своих выводах на предыдущие три
91
ступени. Фома Аквинский этот последний этап отрывает от предыдущих и отождествляет его с теологией, по отношению к которой все прочие науки являются пропедевтическими и служебными. В этом смысле В. И. Ленин и говорил, что схоластика взяла мертвое у Аристотеля, а не живое.9
Идея соподчинения предметов была воплощена в структуре высшей школы, где философский факультет играл роль подготовительного для изучения теологии. Фома Аквинский следующим образом трактует этот вопрос: «Эта наука (теология) может взять нечто от философских дисциплин, но не потому, что испытывает в этом необходимость, а лишь ради большей доходчивости преподаваемых ею положений. Ведь основоположения свои она заимствует не от других наук, но непосредственно от бога через откровение. Притом же она не служит другим наукам, как высшим по отношению к ней, но прибегает к ним, как к подчиненным ей служанкам, подобно тому как теория архитектуры прибегает к служебным дисциплинам... И само то обстоятельство, что она все-таки прибегает к ним, проистекает не от ее недостаточности или неполноты, но лишь от недостаточности нашей способности понимания: последнюю легче вести от предметов, которые открыты естественному разуму, источнику прочих наук, к тем предметам, которые превыше разума и о которых трактует наша наука». 10 Эта доктрина утвердилась в средневековой школе и была затем принята иезуитами. «Орден иезуитов с XVI в. объявил томизм своим учением и применял его не только в педагогической деятельности, но и в миссионерской практике». 11
В рассмотренном выше плане математика отсутствует, она входила в учебный план коллегий повышенного типа, какие, например, были созданы в XVII в. в Витебске и Полоцке. Отношение к математике можно характеризовать следующим дополнительным фактом. Краковский университет в 1612 г. построил учебный план школ, в который включались предметы: латинский и греческий языки, катехизис, риторика, поэзия, история, музыка, арифметика и компутус (вычисление пасхалий).12 Причем арифметика не была обязательным предметом, а геометрия в плане отсутствовала.
При некоторых белорусских иезуитских училищах были организованы конвикты для детей богатых родителей. Витебский конвикт, созданный в 1640 г., был примечателен именно тем, что в нем первом преподавалась математика.13
Лукашевич отмечает, что состояние иезуитских школ до реформы просвещения в XVIII в. находилось на низком уровне. Математика как учебный предмет была включена в иезуитские коллегии только в середине XVII в. Профессор П. В. Славенас пишет, что уровень преподавания в иезуитских школах
92
долгое время не только не поднимался, но «падал все ниже и ниже...»14
Положение дела можно в общих чертах охарактеризовать следующим образом. Старый план школы не упоминает математического образования или указывает его только в порядке благих намерений. Позднее возникают требования обучения математике, но они ограничены. Таким оставалось положение вещей до начала XVIII в. Затем в школе вводится должность учителя математики, в план включаются арифметика и геометрия с элементами геодезии. Между прочим, такое положение было характерно и для других стран, в частности для Германии. 15
Во второй половине XVIII в. в среднюю школу проникает в переработанном виде курс математики X. Вольфа. Под влиянием этого курса были написаны и изданы в 1768 г. в иезуитской коллегии в Несвиже «Элементы арифметики и алгебры» (на латинском языке).
Этот курс дает представление об объеме и методе изложения школьной математики. Он содержал арифметику и алгебру, а в самом начале — учение о методе математики и ее структуре (в стиле Вольфа).
В арифметике излагаются операции над целыми и дробными числами, в алгебре — действия над многочленами, степенями и радикалами, даются краткие сведения об уравнениях первой и второй степени (с одним неизвестным) и завершается курс разделом о пропорциях и прогрессиях.
Изложение дано в вольфианском стиле: сначала формулируются определения и аксиомы, затем доказываются теоремы, и весь этот материал сопровождается пояснениями, задачами, добавлениями. Так, по арифметике приводятся следующие аксиомы: 1. Целое равно сумме своих частей. 2. Целое больше части. 3. Часть меньше целого.
Развит раздел о десятичных дробях. Чтобы показать способ обозначения, приведем пример на сложение:
8952 (3)7436 (3)
16388 (3)*
В алгебре аксиоматически определяются действия над рациональными числами.
Аксиома 1. Количества положительные больше 0, количества отрицательные меньше 0, количества нулевые равны 0.
Аксиома 2. а — а = 0, —а + а = 0.
*' Цифра в скобках означает число десятичных знаков в десятичной дроби, например 8952 (3) означает 8,952.
93
Аксиома 3. Формулируются по существу правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.
На основе этих аксиом излагаются действия с многочленами.
Обратим внимание на содержание одной из гродненских рукописей, хранящихся в Отделе рукописей Вильнюсского университета. Она относится к 1769 г.16 и имеет пометку «в кон- викте Гродненском».
Познакомимся с содержанием рукописи, которая представляет собой почти энциклопедический курс математики, но изложенный конспективно. В него входят разделы:
1. Элементы плоской геометрии. Определения и теоремы. Построение фигур, черчение планов.
2. Элементы алгебры. Действия с многочленами. Дроби. Действия с радикалами. Задачи на решение уравнений.
3. Приложение алгебры к высшей геометрии. Высшая геометрия определяется как наука, которая кривые линии и пространственные фигуры выражает с помощью алгебраических уравнений. Аналитически выводятся уравнения параболы, эллипса и гиперболы. Излагаются некоторые их свойства. З а тем эти кривые рассматриваются как конические сечения.
«Добавление» содержит элементы дифференциального и интегрального исчислений. Рукопись заканчивается квадратурой некоторых кривых. Принимая во внимание тот факт, что начальная часть рукописи содержит обычный школьный материал, естественно полагать, что рукопись отражает в какой-то мере преподавание математики в Гродненском конвикте.
Как обстояло дело с преподаванием астрономии?В рукописном отделе библиотеки им. В. И. Ленина в Мин
ске и научной библиотеке Вильнюсского университета им. В. Капсукаса хранится ряд рукописей, представляющих собой школьные учебные курсы физики (ЫзШиИопез РЬузь сае Раг11са1апз) Полоцкой, Гродненской и других коллегий Белоруссии. Они относятся к XVIII в. и написаны языком преподавания того времени — латинским. Большая часть из них содержит раздел космологии (Ое МипсИ 5у$1ета1а). Не останавливаясь подробно на содержании этих рукописей, мы ограничимся изложением тех фактов, которые представляют для нас интерес.
Содержание этих рукописей показывает процесс перехода в преподавании физики от физики как натурфилософской науки к физике как науке опытной. Преподавание ее строится с учетом данных, приведенных в трудах известных ученых новейшего времени (Р. Декарта, И. Ньютона и др.).
Аналогичный процесс происходит в изложении раздела космологии: на смену геоцентрической концепции мира приходит гелиоцентрическая. Этот процесс связан главным образом
с деятельностью эдукационной комиссии. Действительно, ранние работы или не касаются вопроса о строении мира или излагают преимущественно геоцентрическую систему. Таковы минские рукописи за 1740, 1741, 1743 и даже за 1766 годы. В рукописях более позднего времени начиная с 70-х годов наряду с системами Птолемея и Тихо Браге освещается система Коперника, причем ей явно отдается предпочтение, как наиболее просто и естественно объясняющей видимое движение планет, хотя она и рассматривается еще как гипотетическая.* Учебники физики (1787) и математической географии (1788) для народных училищ, а также учебник физики Я. Бриссона (в переводе с французского на польский) излагают систему мира по Копернику с учетом научных данных Галилея, Кассини, Гюйгенса, Ньютона, Гершеля.
Физика заканчивалась, таким образом, разделом, содержащим изложение вопроса о системе мира. Этот раздел, вообще говоря, в разных рукописях имеет разный объем, но приблизительно одинаковое содержание. Следующий перечень вопросов будет типичным для рукописей последних двадцати лет XVIII в.
Сфера мира, основные точки и линии на сфере. Система мира по Птолемею, Тихо Браге. Система мира по Копернику. Сообщается краткая биографическая справка и даются сведения о трудах Коперника. Указывается, что он «работал в течение 30 лет над созданием своей системы». Система Коперника рассматривается или как теория, отражающая реальную картину мира, или как гипотеза.
Далее приводятся основные кинематические характеристики планет, их расстояния от Земли, спутники и затмения планет. Расстояния до Луны и Солнца, их размеры. Соответствующие данные приводятся по Копернику, Тихо Браге и Кассини. Расстояния указываются максимальные, минимальные и средние. Приводится таблица количества звезд по созвездиям, дается их суммарная количественная оценка. И злагается вопрос о кометах.
В рукописях имеются чартежи (впрочем, не все выполнены правильно) для объяснения попятных движений планет по Копернику, для объяснения смены времен года, фаз Луны и др. Имеются схематические рисунки системы мира по Птолемею, Тихо Браге и Копернику.
* Иезуиты официально придерживались системы мира по Тихо Браге, так как она-де согласуется со священным писанием, с астрономическими наблюдениями и законами физики. С. Беднарский в книге «Упадок и возрождение иезуитских школ в Польше» (на польском языке) приводит статистические данные об отношении иезуитов к теории Н. Коперника, из которых следует, что в середине XVIII в. и среди иезуитов были приверженцы системы Коперника. Система Коперника излагалась, например, в первой половине XVIII в. в Полоцкой коллегии преподавателем Лукьяновичем.
95
Дальнейшее изучение в школе научной картины мира связано с введением в школьную практику учебника географии И. Снядецкого, на содержании которого мы останавливались в главе II. В этом учебнике система Коперника выступает как общепринятая научная теория, получившая дальнейшее развитие и объяснение в трудах Кеплера и Ньютона.
Жизнь всякой общественной институции поддерживается определенными факторами. Определяющим фактором жизнеспособности школы является ее связь с наукой и практикой. Общественно-экономический строй обеспечивает организацию условий для нормального функционирования этих двух факторов.
Иезуитами нарушался этот закон существования школы, она не отвечала ни житейским, ни научным требованиям. Р а з рыв между содержанием образования и требованиями жизни накапливался в течение двух столетий и особенно быстро прогрессировал в XVIII в. в связи с бурным развитием капитализма. Поскольку основные функции школы были фактически приостановлены, она приходила в упадок. Некоторый подъем школьного дела в середине столетия уже не мог спасти положения. Поэтому возникали новые школы. Уже в начале XVIII в. создаются школы, стремящиеся отразить интересы жизни. В них было улучшено преподавание математических наук и введены естественные науки. По астрономии знакомили учащихся с системами мира по Птолемею, Тихо Браге и Копернику. Для целей обучения была издана специальная учебная литература, в частности по математике — учебники П. Скарадкевича и Я. Венгловского.17
Приведем план занятий в такой школе за 1756 г. 18 В него входят такие предметы: языки (французский, латинский, польский), политика, история, классическая литература, география, физика, математика, архитектура, фортификация. Курс математики в этом плане представлен достаточно полно (арифметика, алгебра, геометрия). По физике рассматривались вопросы: устройство термометра, о подземном огне, о землетрясениях, о циркуляции крови; по географии давались астрономические сведения: система мира по Тихо Браге и Копернику, о небесной сфере, о звездах, о времени астрономическом и гражданском.
Вторая половина XVIII в. характеризуется достаточно развитой формой капиталистических отношений. Разумеется, буржуазия не могла удовлетвориться системой образования, сложившейся еще в эпоху феодализма, она формулировала свой идеал просвещения, в котором естественно-математическое образование занимало доминирующее положение. Иезуитская система образования, таким образом, пришла в противоречие с новым укладом жизни и ее духовными запросами.
06
Вследствие этого и обилия компрометирующего материала политического и морального характера орден иезуитов был закрыт и дело образования передано в государственное ведение.* Противоречие было уничтожено, таким образом, путем отстранения иезуитов от управления школой и построением системы образования на новых началах. Однако, как увидим ниже, проведение в жизнь этих начал встретило большие препятствия и не привело к ожидаемым результатам.
Из белорусских деятелей математического образования отметим И. Ф. Копиевича, хотя его деятельность не проходила непосредственно в Белоруссии. Петр I, будучи в Голландии, в 1699 г. привлек к издательской и литературно-педагогической деятельности белоруса, уроженца Минской губернии Илью Федоровича Копиевича (Копиевского). Учился Копиевич в Слуцкой гимназии, затем продолжил свое образование в Голландии и был пастором амстердамской духовной общины. Петр I специальным указом присвоил ему звание «книжных дел мастера» и выдал патент на издание различных книг на русском языке, так как Россия, Украина и Белоруссия нуждались в книгах научного содержания, выпущенных в «гражданской печати». Деятельность Копиевича отвечала этим нуждам.
Сначала книги печатались в типографии Тессинга. Копиег вич был их автором и издателем. В 1700 г. он открыл свою «русскую типографию». Кроме того, Копиевич занимался обучением русской молодежи, которую Петр 1 посылал в Голландию. Около 1705 г. Копиевич переехал в г. Гданьск с намерением открыть там типографию для издания книг на русском языке. Сенат Гданьска запретил ему это, и он организовал типографию вблизи Гданьска. Там была издана, например, латино-русская грамматика, экземпляр которой был недавно обнаружен в Гданьске.19
В Гданьске Копиевич прожил три года и уехал в Москву, а после неудачной попытки организовать там издательство — в Голландию, где и умер в 1711 г.
По арифметике Копиевич издал «Краткое и полезное руко- ведение во арифметику или в обучение и познание всякого счету, в сочетании всяких вещей, по указу пресветлейшего и великого государя нашего царя и государя великого княза Петра Алексеевича, всея великия и малыя и белыя России самодержца. Напечатася в Амстердаме, в друкарни Ивана Андреевича Тесинга в лето от воплощения Бога слова 1699 года месяца априлия в 15 день изда Елиас Федоров Ко- пиевский».*
* См. Я. Н. Мараш. Ватикан и католическая церковь в Белоруссии, Минск, 1971.
* Год и число написаны в современной транскрипции.
4. Н. Д. Беспамятных 07
наглядные пособия. Результаты этой системы преподавания геометрии (т. е. с практическими работами на местности) не замедлили сказаться положительным образом. Отчеты визита- торов 80-х годов единодушно констатируют факт улучшения преподавания этого предмета в школе.25 В числе белорусских школ, где было хорошо поставлено преподавание геометрии в связи с практическими измерениями, указывается Гродненская.
Эдукационная комиссия, следовательно, подготовила за мечательные в идейном и практическом отношении документы, касающиеся деятельности школы.
Но идеи эдукационной комиссии не были осуществлены полностью. Из-за недостатка учителей с университетским образованием преподавание в значительной своей части было передано монахам различных орденов, мало подготовленным или совершенно не подготовленным к педагогической работе, а тем более к проведению школьной реформы на принципе естественно-математического (и гуманитарного) образования. Как бы по злой иронии судьбы участь этих замечательных планов, воплотивших в себе передовую педагогическую мысль века, реализация которых означала бы огромный прогресс в деле просвещения, была вручена научно не подготовленным лицам. Как показывает простой подсчет, две трети всех школ находились в ведении различных монашеских орденов. Шестая часть всех школ принадлежала ордену иезуитов (в Белоруссии орден иезуитов был сохранен). По количеству учащихся в монашеских школах обучалось свыше 75% от общего числа всех учащихся Белоруссии. В иезуитских школах училась из них одна треть, т. е. столько, сколько училось в школах, не принадлежащих орденам. Только в одной Полоцкой коллегии училось около 380 учащихся. Это было самое крупное учебное заведение в Белоруссии на рубеже XVIII и XIX вв. Заметим также, что в иезуитских школах учились дети привилегированных сословий. Вследствие этих причин к концу столетия школа пришла в состояние глубокого упадка, о чем говорит, например, следующий документ: «...уменьшение успехов в тамошних училищах наипаче произошло от того, когда нижние училища, перестав быть подчиненными высшим, поручены разным начальствам, не имеющим между собой взаимной связи; вообще же большая их часть вверена духовным обществам. * Из числа сих (монашеских) обществ некоторые, не быв заняты прежде действительным воспитанием юношества, не имели к тому надлежащего навыка, а притом, оставшись без особенного над ними наблюдения по
* В 1797 г. функции университета, касающиеся школы, были сняты и переданы временной эдукационной комиссии, а сами училища были переданы в непосредственное ведение различным монашеским орденам.
1102
сей части, не старались находить истинно способных людей к отправлению учительского звания... В иных же училищах определяемые без дальнейшего внимания учителя обучали по- своему, не имея обязанности соображаться с прежним уставом эдукационной комиссии, приспособленным к тамошнему природному юношеству».26
По уровню подготовки учителей можно подразделить на две категории: одни из них имели университетское образование, заканчивали Литовскую Главную школу, другие имели монастырское образование (обучались в школах при монастырях) .
Главная Литовская школа после ее реформы, проведенной эдукационной комиссией, давала солидную подготовку по физико-математическим предметам. Что касается другой категории учителей, то, как говорят об этом многочисленные документы, они не справлялись со своими учительскими обязанностями. Подготовка некоторых из них немногим превышала подготовку самих учащихся.27
Вот некоторые сведения об учителях математики. Учитель математики Волосевич, шляхтич Гродненского повета, доктор философии, 37 лет. После окончания школы в Гродно учился в семинарии при академии, вышел кандидатом. Изучал математику, астрономию, физику, естественную историю, логику, право, красноречие и поэзию. Учитель математики и физики Лидского училища ксендз А. Конюшевский, пиар, учился в Лиде, потом в монашестве учился красноречию, физике, математике, французскому и русскому языкам. Учитель физики Гродненского училища ксендз Я. Скиндер, из шляхетства Гродненского повета, священник, 29 лет, обучался в Гродно, потом, будучи монахом,— красноречию, математике, физике в Ушацком монастыре. Учитель математики ксендз Е. Вержбицкий, из шляхты, священник-доминиканец, 28 лет, обучался в Белостоке, будучи монахом, учился философии и математике в монастыре и в Виленском университете изучал физику. На основе этих сведений можно заключить, что учителей с университетским образованием было немного, даже в таком училище, как Гродненское, учителя физики и математики не имели законченного университетского образования.
Педагогическая работа учителя математики. «Учитель математики в 3 классе повторяет и продолжает арифметику, кроме квадратов и кубов, и начинает геометрию; в четвертом повторяет лонгиметрию, показывает планиметрию с тригонометрией и начинает алгебру; в пятом классе, который двухлетний, в одном году оканчивает алгебру, а во втором солидо- метрию, упражняя учеников во всех предшествующих классах в черчении землемерных планов; в шестом преподает логику» .28 Как видно, математика изучалась в такой последова
103
тельности: арифметика, планиметрия, тригонометрия, алгебра, стереометрия, логика. Алгебра, таким образом, не была связана с планиметрией.
Учителя имели «предписания о способах преподавания» («образе учения»), составленные на основе тех рекомендаций, которые были изложены в «Уставе». В них рекомендовалось: показывать практические приложения изучаемых теорий, преподавание вести от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, применять не только аналитический, но и синтетический метод, тренировать рассудок, индивидуализировать подход к учащимся и т. д.
На содержание учебных курсов по физико-математическим предметам непосредственное влияние оказывали два фактора: развитие науки и потребности практики. Одной из характерных черт развития науки прикладного характера XVIII и начала XIX в. является активная разработка проблем геодезии и картографии. Повышенный интерес к этим наукам был вызван развитием географии, обусловленным расширением торговых связей между государствами, исследованием новых земель, потребностями перемежевания, военного дела и т. д.
В этот период были усовершенствованы геодезические инструменты, положено начало теоретическому изучению фигуры Земли, организованы и проведены большие геодезические экспедиции Парижской и Петербургской академиями наук и т. д. В начале XIX в. исследованиями Гаусса геодезия поднимается на новую ступень. В западных областях России, начиная с 1816 г., были проведены значительные триангуляционные работы. Это научное направление, как и его преломление в практике, наложило отпечаток на содержание учебников математики и характер школьного обучения геометрии. Если чисто геометрический материал учебников определялся несколькими книгами «Начал» Евклида, изложенными сообразно требованиям школьного обучения, то в качестве приложений, как правило, эти учебники содержали развитый раздел элементарной геодезии. Что касается постановки дела в школе, то проведение измерительных работ на местности считалось делом совершенно обязательным. Этими же соображениями и интересом к новой астрономии объясняется введение в преподавание курса математической географии и сведений по сферической геометрии и тригонометрии.
Развитие торговли накладывало отпечаток на учебники арифметики, которые содержали большой материал по торговым расчетам.
В учебные курсы проникают новые математические концепции, понятия и идеи. Математика рассматривается как наука о величинах, ее понятия абстрагированы от мира реаль
1104
ных явлений. Под влиянием Эйлера в алгебру проникли идеи, связанные с понятием функции; в связи с развитием метода аналитической геометрии возникает новый курс «Приложения алгебры к геометрии», в школьный курс геометрии вводится понятие предела; включается метрическая система мер. Все перечисленные факты являются свидетельством большого влияния науки и практики на содержание школьного курса физико-математических наук конца XVIII и начала XIX в.
Развитие промышленности требовало, чтобы школьная физика была свободна от натурфилософских концепций и схоластики. Новые школьные учебники отражают научные теории, явлениям природы дается научное объяснение, показывается применение законов физики в технике. В школах создаются кабинеты физики, в практику преподавания входит опыт, демонстрация. Эта общая характеристика учебной физико-математической литературы той эпохи относится и к учебникам, которые были изданы названными выше комиссиями.
При эдукационной комиссии была создана специальная подкомиссия для разработки учебных планов, программ и подготовки учебников. * Для обеспечения школы доброкачественными учебниками был объявлен конкурс, в результате которого были приняты учебники С. Люилье, в оригинале написанные на французском и переведенные затем на польский язык. На характеристике этих учебников остановимся подробно, так как по ним учились не только в конце XVIII в., но и в первые десятилетия XIX в. Последнее издание учебников Люилье относится к 1841 г. Имя его в истории математики хорошо известно по его геометрическим исследованиям и по обоснованию математического анализа на основе теории пределов. **
«Арифметика» С. Люилье состоит из четырех частей, из которых две первые посвящены арифметике целых чисел, часть третья — обыкновенным и десятичным дробям и часть четвертая — задачам «на правила».29
«Арифметика» Люилье написана легким и доступным для детей языком и достаточно строго в математическом отношении. Смысл арифметических операций объясняется на конкретных задачах, с конкретными числовыми данными. Свойства операций не рассматриваются. Особое внимание уделяется изучению механизма арифметических действий. Они иллюстрируются на большом ряде все усложняющихся примеров. В начале курса имеется раздел «Сведения о первых
* Общество по изданию учебных пособий.** Люилье также был участником конкурса, объявленного Берлинской
Академией наук, где его работа «Элементарное изложение принципов высших исчислений» была премирована.
1105
началах измерений», в котором говорится, что все дети должны уметь производить измерения. В связи с этим в учебнике помещены таблицы линейных, квадратных и кубических единиц. В связи с практикой измерения учебник арифметики содержит геометрический материал (квадрат, прямоугольник, куб, параллелепипед). Понятие дроби вводится исходя из понятия величины. Операции над дробями определяются как некоторые алгоритмы, служащие для решения определенного типа задач, например, умножением на дробь решается следующая задача: «Некоторая особа покупает 6 локтей сукна, по половине червонного злотого за локоть. Определить стоимость. Решение: 6 • 72 = 3. Если по одному злотому, то 6 злотых, а по 7г, то 3 злотых». Отсюда вытекает правило умножения на дробь.
Вслед за обыкновенными идут десятичные дроби, правила действий над которыми обосновываются, не опираясь на обыкновенные, а исходя из свойств самой структуры десятичной системы чисел и свойств операций, например, в случае умножения:
(а • 10*) • (Ь . 10") = (а • Ь) - 10"*+".
Мы пользовались «Арифметикой» Люилье издания 1804 г. и сравнивали ее с изданиями последующих лет. В «Арифметике» 1810 г. имеется важное дополнение, содержащее метрическую систему мер. Производится сравнение эталонов новой системы с прежней — польской и литовской. В связи с ознакомлением с этой новой системой сообщается ее происхождение, т. е. описываются геодезические работы французских ученых по определению размеров парижского меридиана. Однако в задачах сохранена прежняя система мер, а поэтому введение метрической системы не отразилось на разделе десятичных дробей.
В курсе алгебры С. Л ю илье30 рассматривается решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным и систем линейных уравнений. Этот материал занимает большую долю курса. Алгебраические преобразования и числовые системы рассматриваются не особо, а попутно, по ходу решения уравнений. Это — главная характерная особенность курса. Теория уравнений изучается в два этапа: сначала с числовыми коэффициентами, на конкретных задачах с конкретными данными, затем — с буквенными коэффициентами.
Каждая задача решалась сначала арифметическим рассуждением, затем путем составления уравнения и его решения. В результате изучения этого курса ученики могли получить неплохой навык в решении уравнений по условиям задач, но чрезвычайно элементарных.
-106
Кроме уравнений, курс содержит еще два раздела: прогрессии и логарифмы. Теория прогрессий лежит в основе формирования понятия логарифма. Так обычно делалось вXVIII в. всюду. Курс заканчивается простейшими неопределенными уравнениями. Учебник написан хорошим языком, очень популярно, просто, с массой иллюстративных примеров. Элементы теории сообщаются на основе конкретных задач. Впрочем теоретический уровень учебника невысокий. Автор преследовал весьма ограниченную цель — выработку навыков в решении простейших задач, а не формирование отвлеченных алгебраических представлений, теорий и достижение виртуозной техники в решении задач и примеров.
Обширный курс геометрии включал известный классический материал, изложенный доступно для понимания детей.31 Мы не будем перечислять подробно содержание этого курса, а отметим лишь некоторые его характерные особенности. В противоположность многим курсам того времени в нем используется алгебра, много внимания уделяется решению практической геометрии (геодезии), в связи с чем описывается употребление математических инструментов и, в частности, пропорционального циркуля. Существенной особенностью курса геометрии Люилье является использование идеи предела. Автор высказывает критические замечания в адрес тех руководств, где соответствующие вопросы излагаются нестрого, и говорит, что строгое изложение возможно лишь с применением теории пределов.32 В основу изложения кладется лемма:
«Всегда можно хотя бы мысленно поделить какую-либо величину А на столько равных частей, что каждая из них в отдельности будет меньше, чем любая назначенная величина а». Обоснование ее опирается на аксиому Архимеда, согласно ко-торой а п > А, отсюда — < а.
На основе этого положения доказывается теорема: «Около окружности можно описать и в нее вписать два такие одноименные многоугольника, что отношение их периметров будет ближе к отношению равенства, нежели любое назначенное отношение. Например, в окружность можно вписать и около нее описать два правильных подобных многоугольника, у которых разность периметров была бы меньше одной десятой периметра одного из них». Далее дается доказательство этой теоремы, т. е. доказывается, что Р — /? = 0,1 р , где Р и р — периметры этих многоугольников. Затем рассматриваются два следствия: 1) в окружность можно вписать и около нее описать такие одноименные правильные многоугольники, что отношение длины окружности к периметру одного из них будет ближе к отношению равенства, чем любое назначенное отно-
Л07
шение; 2) имея данный отрезок, принимаемый равным длине окружности, вписать в окружность и описать около нее многоугольники, разность между периметрами которых и длиной окружности была бы меньше, чем данный сколь угодно малый отрезок, т. е. Р — С< а.
Отсюда следует заключение, что длину окружности можно рассматривать как общий предел периметров правильных вписанных и описанных многоугольников.
Доказывается теорема: «Площадь круга равна площади треугольника, высота которого равна радиусу круга, а основан и е — длине окружности». Автор, полагая, что эта площадь больше (или меньше) площади указанного треугольника, приходит к противоречию с тем фактом, что площадь вписанного многоугольника меньше, а описанного — больше площади круга, что и доказывает эту теорему. На основе теории пределов решаются соответствующие задачи на вычисление поверхностей и объемов круглых тел.
По практической части курса геометрии был принят особый учебник (Заборовского). Он содержал весьма большой и интересный в практическом отношении материал. Этим учебником пользовались в школах и университете до 30-х годовXIX в.
Комплект учебников, изданный эдукационной комиссией, представлял собой в истории математического просвещения, безусловно, знаменательное явление. Он охватывал весь материал плана эдукационной комиссии по всем разделам школьной математики (арифметика, алгебра, геометрия, ее приложения к землемерию, тригонометрия), был изложен достаточно строго и в то же время доступно для детей школьного возраста. Однако не все школы пользовались ими, причиной этого был их большой объем. Вот отзывы учителей об этих учебниках и объяснение, почему в некоторых училищах они не применялись.
«Арифметика, изданная эдукационной комиссией. По причине обширности в объяснениях и недостатка печатной книжки, оная, изданная от эдукационной комиссии, не употребляется, а излагается от себя...
Геометрия в двух частях. Издана от эдукационной комиссии. По причине обширности в объяснениях и недостатка печатной не употребляется, а излагают учители от себя довольно порядочно, так что геометрия в здешних школах преподается основательнее и успешнее прочих предметов».
Учебник алгебры «по причине обширности и недостатка печатной не употребляется, излагается учителями от себя вкратце».33 В школах имелись: готовальни, пантографы,астролябии, октанты, землемерный столик, цепь, шнур и пропорциональные циркули. После реформы 1803 г. и в связи
108
с ней Министерство просвещения рассматривало учебники, изданные эдукационной комиссией, и, найдя их вполне отвечающими цели математического образования учащихся, рекомендовало к переизданию. Учебники Люилье в ряде школ употреблялись до 30-х годов XIX в.
Учебники для народных училищ были подготовлены и изданы Петербургской училищной комиссией. Подготовкой учительских кадров занималась учительская семинария.
Народные училища представляли собой учебные заведения нового типа. Главные были четырехклассными, малые — двухклассными. Заметим, что прежде срок обучения не связывался строго с количеством установленных в школе классов, таким образом, в четырехклассной школе дети могли обучаться четыре года и более.
Для народных училищ были созданы учебные планы и разработаны методы преподавания.
Вот содержание учебного плана:«Главное народное училище имеет 4 класса, из которых
в первом нижнем обучают познанию букв и складов, читают букварь, правила для учащихся, сокращенный катехизис, священную историю и начинают писать. Во втором классе продолжают чистописание и священную историю, начинают рисовать, читать пространный катехизис и книгу о должностях человека и гражданина, учиться первой части арифметики и грамматическим правилам. В третьем классе продолжают рисование, повторяют катехизис, читают евангелие, изучают вторую часть арифметики, российскую грамматику, историю и географию.
В четвертом классе — рисование, историю, российское землеописание, российскую грамматику, геометрию, механику, физику, естественную историю, гражданскую архитектуру, математическую географию». Было положено также изучать латинский и один из живых иностранных языков. Во главе училища стоял директор, который «должен быть любителем наук и знающим цену воспитания». Уже это требование само по себе свидетельствует о серьезном отношении комиссии к организации народного образования. Об этом говорит также работа по подготовке учителей и издании специальных учебников.
В отношении математического образования эти школы достаточно элементарны, в них изучались арифметика (полный курс), начала геометрии и в некоторых — начала алгебры. Они не давали полного среднего образования в области математики, не готовили юношей для продолжения образования в университетах. Для этой цели существовали гимназии. Но для четырехклассного училища общий план был достаточно большой. Характерно, что математика сочеталась в них с ря
)109
дом предметов, имеющих практическое значение, таких, как физика, механика, гражданская архитектура.
Отличным от них был учебный план Минского шестиклассного училища, открытого в 1798 г. В нем указывалось, «...какие и где преподавать науки, особливо математические».34
В Минском училище, называвшемся губернским, преподавались предметы: русский, польский, латинский языки, арифметика, геометрия, алгебра, архитектура, фортификация, история, география, рисование, риторика, поэзия, мораль, логика, физика и юриспруденция. Учебники рекомендовались и употреблялись следующие: «Арифметика» Аничкова, «Алгебра» Кайе, «Геометрия» Люилье, «Арифметика» Вольфа, «Фортификация» Аничкова, «Механика» Осиповского, «Физика» Бриссона. Минское училище было, как видно по плану, на уровне гимназии. Вот расписание в нем занятий по математике в старших классах:Среда и суббота Профессор математики. Высшие
части арифметики и алгебра Вторник, четверг, Лонгиметрия, планиметрия исуббота тригонометрияПонедельник, среда, Стереометрия и конические сече-пятница нияПонедельник, пятница Архитектура и фортификация
Профессор красноречия преподавал латынь, красноречие и юриспруденцию. Профессор физики преподавал физику, зоологию и логику. Профессор морали — мораль, древнюю историю, географию и право. В праздничные дни занимались риторическими упражнениями и геометрическими чертежами. В уездных четырехклассных школах Минской губернии преподавались арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия. 35
Кроме изданных для народных училищ учебников, рекомендовались и рассылались по школьным библиотекам следующие книги: Д. С. Аничкова — «Алгебра», «Теоретическая и практическая арифметика», «Геометрия», «Тригонометрия»; С. Я. Румовского — «Сокращения математики, часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрия и тригонометрия» (1760); Ж. Лаланда — «Сокращенная астрономия»; X. Вольфа — «Теоретическая физика», «Экспериментальная физика» и «Основания математики»; Л. Эйлер а — «Универсальная арифметика» и «Алгебра»; Крафта — «Опытная физика»; Гелиодора — «Курс математики»; С. К. Котельникова — «Математика»; Вейдлера — «Математика»; Кал- лета — «Таблицы логарифмов» и целый ряд книг на иностранных языках. Библиотеки народных училищ, таким образом, пополнялись весьма серьезной учебной литературой. Для
110
народных училищ по математике были опубликованы сначала два учебника: курс арифметики в двух частях и курс геометрии. Они были приняты в качестве основных во всех народных училищах и многократно переиздавались.
Первая часть курса арифметики содержала учение о целых числах и изучалась во втором классе, вторая — о дробных числах и изучалась в третьем классе. Курс геометрий носил практический характер и служил учебником для четвертого класса. В учебный план народных училищ, как уже упоминалось, входили: физика, естественная история, математическая география и гражданская архитектура. Курс математической географии отражал новейшие географические и астрономические сведения. Астрономические сведения излагались по системе Коперника.
В подготовке учебников для народных училищ принимал участие М. Е. Головин.* С 1786 г. Головин был профессором учительской семинарии и принимал постоянное участие в работе Петербургской училищной комиссии со времени ее основания.
Училищная комиссия была создана в 1782 г. В ее функции входило: 1) составление и издание учебников; 2) разработка устава народных училищ; 3) подготовка учителей; 4) организация народных училищ.
Комиссия разработала методику обучения: «Прежняя методика обучения совершенно не годилась для общественного училища, где все дети должны быть заняты в одно и то же время и каждую минуту. Учитель занимался порознь с каж дым учеником: пока одни учились, другие скучали и занимались шалостями; времени терялось много, а успехи были весьма медленны».36
Новый метод был рассчитан на то, чтобы учитель мог постоянно владеть вниманием всех учащихся и чтобы ученики могли понимать предметы учения легко и ясно. Для достижения этой цели положено было употреблять следующие средства: 1) классное объяснение, 2) классное чтение, 3) использование таблиц и 4) опрос учащихся. **
Почти все время считалось, что учебники для народных училищ по предложению училищной комиссии были написаны Головиным. Д аже Н. Фусс, учившийся вместе с Головиным, говорит, что эти учебники арифметики составил известный математик Головин, не говоря уже о современных
* М. Е. Головин по матери приходился племянником М. В. Ломоносову, математику изучал под руководством Л. Эйлера.
*'* Урок проходил в три этапа: чтение учеником данного параграфа по книге, объяснение учителем новых терминов и понятий, опрос учащихся по прочитанному материалу. Если выяснялось, что дети не усвоили материал, то этот порядок повторялся.
Ш
авторах. В отзыве Н. Фусса на один из учебников арифметики сказано следующее:
«Для 8— 10-летних учеников как всякое другое, так и его руководство по арифметике будет в иных местах неясно без использования учителя, и дети этого возраста никогда не научатся арифметике из одних книг, без устного наставления и изъяснения, к чему не способствует ни его книга, ни руководство к Арифметике, изданное бывшею училищной комиссией, которое впрочем сочинено покойным адъюнктом Головиным, искусным математиком (курсив наш.— Н. Б.), и одобрено знаменитым академиком и членом бывшей училищной комиссии Эпинусом.» 37
Но, как показывают документы, ни одна из этих четырех книг не принадлежит Головину, все они переводные. Головину принадлежит перевод некоторых из них, исправления переводов других переводчиков и переделка самих оригиналов. *
Теперь обратимся к содержанию названных учебников математики. «Руководство к арифметике» содержит разделы: система счисления, действия над целыми и дробными числами, арифметическая и геометрическая пропорции (на числовых примерах), точное и приближенное извлечение корней. Большое внимание уделяется десятичным дробям. Хотя геометрический материал отсутствует, но извлечение корней и возвышение в степень излагаются с учетом того значения, которое имеют эти вопросы в вычислительной практике по геометрии (вычисление площадей и объемов). Изложение догматическое, в виде правил с иллюстрацией на примерах.40
«Руководство к геометрии» содержало лонгиметрию, планиметрию и стереометрию.41 В предисловии указываются способы изучения геометрии, которые теперь звучат как совершенно сами собой разумеющиеся тривиальные методические истины. Обращается внимание на связь геометрии с задачами практики. Указывается перечень геодезических инструментов, которые надлежит иметь училищу и рекомендуется в летнее
* 1) I часть «Руководства к арифметике», как показал О, Ф. Хичий, является переводом учебника, изданного на славянском и немецком язы ках в Вене.38
2) «Адъюнкт Академии наук М. Головин перевел для комиссии Р у ководства к геометрии, механике и гражданской архитектуре, за что в 1783 г. был награжден 200 руб. В 1785 г. М. Головин получил из комиссии 600 руб. за исправление переводов геометрии, механики, физики и второй части руководства к арифметике».
3) «В мае 1783 г. комиссия дала на исправление адъюнкту Головину переведенную в Академии наук под его смотрением вторую часть руководства к арифметике».
4) «В 1783 г. адъюнкт Академии наук М. Головин перевел для народных училищ руководство к механике».39
312
время решать практические задачи в поле, «кои в классах разрешены были».
По стереометрии рекомендуется построение моделей, которые служат «к лучшему и легчайшему преподаваемых предметов уразумению». Относительно практического значения геометрии сказано: «Сколько знание геометрии полезно и нужно в общежитии, никто спорить не может. Землемерие, архитектура гражданская и военная, мореплавание, физика, механика и пр., словом, все наиполезнейшие для людей науки служат явным тому доказательством. Самые художества и рукоделие не малую пользу от ней заимствовать могут. Так, живописцу поможет она в исправном рисованье, инструментальщику в делании верных орудий, столяру и плотнику в проведении прямых и горизонтальных линий, каменщику в складывании стен; самому даже хлебопашцу сделает пользу при означении меж в случае споров при разделении полей во время посева, при построении овинов, закромов и т. д.»
Геометрия также излагается в форме правил решения различного типа задач, теоретические вопросы ее не многочисленны, например, о сумме углов треугольника и др. По стереометрии излагается вопрос о построении моделей и показываются способы вычисления их поверхностей и объемов. Таким образом, курсы арифметики и геометрии были практическими.
Училищная комиссия издала в 1786 г. устав, согласно которому в губернских городах империи должны быть открыты главные народные училища, в уездных — малые народные училища. Для подготовки учителей для этих училищ в Петербурге была открыта учительская семинария, которая позже называлась учительской гимназией, затем она была преобразована в педагогический институт.
Для обучения в семинарии местные власти командировали достаточно подготовленных молодых людей. Из Белоруссии было направлено несколько человек, окончивших Могилевскую духовную семинарию. С Украины командировались окончившие Киевскую духовную академию. После окончания учительской семинарии молодые люди возвращались на родину и работали учителями в народных училищах.
Выпускники семинарии получали достаточно высокую научную и профессиональную подготовку. Из математических предметов семинаристы изучали обширный курс арифметики, алгебру, элементарную геометрию, плоскую и сферическую тригонометрию (элементарный цикл), затем конические сечения, дифференциальное и интегральное исчисления. Кроме того, изучались механика, гражданская архитектура, статистика, курс физики, математическая география, в которую входили сведения по астрономии, рисование и чертежное искусство.
Л13
Если этот учебный план сравнить с университетским того времени, то мы не заметим существенного различия. Преподаванием математических наук занимались известные в свое время професора М. Головин, П. Гиляровский, Т. Осиповский. По уровню постановки учебного дела, следовательно, учительская семинария представляла по тем временам учебное заведение высшего типа.
Вот некоторые документы, характеризующие подготовку учителей, работавших в Белоруссии и на Украине.*
«Математических наук учитель Василий Берлинский, из. дворян Курской губернии, 31 года. Обучался в Киевской духовной академии, а потом в Петербугской учительской гимназии математическим предметам и в горном корпусе знаниям химии, пробирного искусства, металлургии и минералогии; в учительской должности с 1-го сентября 1795 года».42 В. Берлинский несколько лет работал в Витебском училище.
В Главном народном училище в Могилеве (1789) работал Карпилович, присланный из учительской семинарии,— преподавал математику, физику, языки латинский и русский. Карпилович, сын священника, родился в Мстиславском уезде Могилевского наместничества, учился в Могилевской семинарии латинскому языку, поэзии, риторике, философии и богословию, а затем преподавал в ней латинский язык. Потом был командирован в Петербург, где обучался в учительской семинарии «арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии, плоской и сферической, коническим сечениям, началам обоих калькулюсов, механике, гражданской архитектуре, статистике, физике, математической географии, рисовальному и чертежному искусству».43 Учитель математики вторых классов Иван Горбачевский также окончил учительскую семинарию.
Учительская семинария выдавала своим ученикам характеристики, в которых они аттестовались со стороны нравственности, успехов в учебе, эрудиции и готовности заниматься учительской деятельностью.
Сведения о постановке преподавания физико-математических предметов в народных училищах содержатся в опубликованных традиционных докладах учителей, которые ежегодно читались на выпускных экзаменах. Иногда эти доклады носили характер отчетов о работе училища. В них отмечается, что математика изучалась «строго систематически» и частично с доказательствами. Физика преподавалась с демонстрацией опытов, ученики знакомились с гелиоцентрической системой Николая Коперника. Обращалось большое
* Имело место перемещение учителей из Белоруссии на Украину и наоборот, так как Белоруссия и часть Правобережной Украины составляли в; учебном отношении единое целое.
114
внимание на практические приложения математики, в частности к геодезии. На публичных экзаменах производились испытания учеников. Указываются следующие предметы этих испытаний: география, история, арифметика, геометрия и иногда алгебра. На испытаниях по физике ставились опыты. В те времена это дело было новым и демонстрация физических опытов, выполнение учениками геометрических и архитектурных чертежей, а также их выступления с «речами» на публичных экзаменах производили на посетителей, людей старого поколения, недостаточно сведущих в области точных наук, сильное впечатление. Некоторые из учителей занимались написанием учебников.*
О преподавании математики приведем фрагмент из речи учителя Карпиловича: «Здесь юноши (в 3 классе.— Н. Б.), обучаясь употребительнейшим арифметики действиям, с м атематическою основательностью упражняться будут в разрешении разных, в общежитии часто случающихся примеров, дабы, таковым полезным упражнениям приобучив свои мысли ко вниманию, память к затверживанию, ум к рассуждению, безпреткновенно могли приступать к прочим частям математики. География подает им ясное и твердое понятие о Земле, ее между прочими планетами положении, виде, величине и движении», т. е. по системе Н. Коперника.44
В пропаганде идей общественного воспитания и популяризации науки учителям математики принадлежит большая историческая заслуга.
§ 3. МАТЕМАТИКА В ШКОЛАХ БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИЙ ВИЛЕНСКОГО УЧЕБНОГО ОКРУГА
С учреждением Министерства народного просвещения и учебных округов школы были изъяты из подчинения губернского начальства и переданы в непосредственное управление университетов.
25 мая 1803 г. был утвержден «Устав или общие постановления для императорского Виленского университета и училищ его округа», по которому университет получил широкое самоуправление и функции управления всеми учебными заведениями в округе, не исключая тех, которые состояли в духовном ведомстве и содержались монастырями. Университет мог определять и увольнять от службы директоров гимназий, смотрителей училищ и учителей.45 Два раза в год он представлял рапорты попечителю о своих внутренних делах и делах учи
* В. Берлинский, работая в Витебском народном училище, написал два учебника: «Плоскую тригонометрию» и «Конические счения». По физике придерживался «антифлогистической системы».
115
лищ округа; попечитель в свою очередь отчитывался перед министерством.
Устав содержал следующие положения, относящиеся к школе:
Университет должен «иметь в непосредственном ведении и управлении все гимназии и все училища, в округе его состоящие».
В обязанность совета университета входило «изыскание способов усовершенствования методов преподавания в университете, гимназиях и в училищах округа».
Для гимназии по штату полагалось шесть старших учителей (физики, математики, морали, словесности, латинской и польской грамматик, арифметики и географии) и четыре младших (рисования, русского, французского и немецкого языков).
Первые два класса гимназии должны были соответствовать плану уездных училищ, а 4 старших класса — составлять собственно гимназию. Уездные училища утверждались трехклассными с предметами: арифметика, геометрия, физика* словесность, география, латинский, польский, русский, французский (или немецкий) языки и рисование. В приходских училищах устав предусматривал обучение чтению, письму* закону божьему, начальным правилам нравоучения, начальным сведениям арифметики, земледелию и ремеслам.
«Университет должен образовывать и доставлять способных учителей для занятия всех мест в училищах его округа».. С этой целью при университете была открыта учительская семинария на 20 мест.
«Общее собрание университета через каждые 4 года выбирает директоров гимназий и смотрителей уездных училищ...»-
«Ректор университета имеет право наблюдать и осматривать все училища своего округа».
«Визитаторы доставляют ректору рапорты о своих обозрениях».
«Старшие учителя и начальники гимназий и уездных училищ имеют право соискать университетских мест; они имеют преимущества перед посторонними...»
«Директоры гимназий непосредственно подчинены ректору университета, смотрители — директорам, ректор — попечителю».
«Как в университете, так и в гимназиях и уездных училищах начальники и профессоры или учители собираются для общего рассуждения о предметах, относящихся к успехам иг усовершенствованию учения, то сии ученые советы должны представить непосредственным их начальникам свои замечания касательно существующих правил и предлагать нужные перемены или новые мысли, служащие к возведению на высшую ступень возложенного на них наставления в науках».
11.6
В 1804 г. был разработан проект нового устройства гимназий и уездных училищ. В проекте отмечается сначала недостаток работы училищ в прежнее время, заключающийся в том, что по существу в различных губерниях округа были различные школьные порядки, не было единой системы как учебной, так и административной. Выбор книг нередко определялся вкусами учителей. Положение сложилось такое, что родители часто не знали, куда определить своих детей, и нередко меняли училища. Ученики иногда освобождались от важных предметов, даже от изучения геометрии. Методы преподавания зависели от выбора самих учителей.46
Реформа определила единое учебное руководство, вследствие чего, как полагалось, должен был быть решен вопрос об организации единой школьной системы и введении единых методов преподавания. Университету предстояло решить нелегкую задачу — ввести в действие единые учебный план, программу, учебники и единообразный метод обучения. Хотя университет в этом направлении сделал многое, но в полном объеме этой задачи решить не смог. Непосредственно реформированием школы занимался ректор университета И. Строй- новский. Он имел большой практический опыт в этой области, был автором устава обновленного университета. Вопросы нравственности и права составляли области его научных интересов. Ему принадлежит учебник естественного права, по которому занимались в школах и университете. Его основные положения в области просвещения сводились к тому, что нравственное образование служит для широких кругов народа, высшее образование — для способных и состоятельных, частная собственность — краеугольный камень существования государства, отсюда — воспитание уважения к частнойг собственности.
Утвердившаяся в Западном крае школьная система несколько отличалась от той, которая была принята в результате реформы 1803— 1804 гг. Министерством просвещения. В чем состояло это отличие? Для ответа на этот вопрос проведем сопоставление учебных планов, а затем учебных предметов, относящихся к математике.
Школьная система в России была учреждена в виде следующих связанных преемственностью четырех типов учебных заведений: приходские училища (1 год), уездные училища (2 года), гимназии (4 года) и университеты. В Виленском учебном округе столь строгой преемственности не существовало. Гимназии и уездные училища были самостоятельными учебными заведениями; первые — семиклассными, вторые — четырехклассными и трехклассными. Соответствие в учебных планах имело место лишь по первым двум классам. Но уже во вторых классах наблюдается расхождение по математике.
117
Однако в целом они имеют несравненно больше сходства, нежели отличий. Последние нельзя считать существенными.
Учебный план МНП*
ПредметыКлассы
ВсегоI II III IV
Чистая н прикладная математика и опытная физи к а 6 6 6 18
Ест. история, технология и коммерческие науки — — 4 12 16История, география, статистика общая и государ
ства Российского 6 6 4 2 18Философия, изящные науки и политическая эко
номия 4 4 4 8 20Латинский, французский, немецкий языки по 16 ч,Рисование — по 4 ч
Учебный план гимназии ВУО (1804)
По этому учебному плану в основном и работали белорусские гимназии, хотя и не была достигнута их полная унификация.
В первых двух классах: латинский и польский языки по 9 ч, арифметика — по 6 ч, письмо — по 2 ч (в неделю).
ПредметыКлассы
I | И III IV V VI VII
Всего по IV— VII кл.
М атематикаФ изика и ест. историяЛатинский яз. и словесностьФилософияИстория и географияЛогика
-------- 4 6 4 4-------- 3 5 6 4-------- 9 — 3 3-------- 2 3 3 5-------- 2 3 4 4
1417 8
18 182
В первом, а также во втором классах преподает один учитель. Во всех последующих классах — учителя отдельных предметов.
Для сравнения мы подвели итоги по последним четырем классам, как соответствующим русской гимназии. Математика, физика и естественная история имеют 31 ч, в русской гимн а зи и — 34 (с включением технологии и коммерции).
* И. А. Алешинцев. История гимназического образования в России. М., 1912, стр. 27.
118
В первом классе преподает один учитель. Предметы: польский, латинский языки — 9 ч, арифметика — 6, письмо — 2, география — 2, нравственность — 1 ч. В последующих классах преподают три учителя.
Учебный план уездного училища (1804)
КлассУчитель латинского языка и словесности
Учитель математики, физики, естественной истории
Учитель нравственности, истории, гео
графии
2 9 ч Арифметика, начала геометрии и естественной истории (7 ч) 4
3 7 ч Алгебра, физика и естественная история (7 ч) 6
4 4 ч М атематика, физика и естественная история (6 ч) 10
§ 21 устава указывает порядок изучения математических предметов: «Учитель математики и физики преподает уроки в неделю по 18 часов: в первом классе обучает по 6 часов в неделю, проходя по порядку части чистой математики: алгебру, геометрию и плоскую тригонометрию. Учитель сей должен стараться вести алгебру наравне с геометриею, дабы показать необходимость и пользу оной в решении геометрических задач. Во втором классе сей же учитель, обучая по 6 часов в неделю, оканчивает чистую и начинает прикладную математику и опытную физику. В третьем классе, обучая также по 6 часов в неделю, продолжает и оканчивает прикладную математику и опытную физику». *
Таким образом, изучение математики заканчивалось на втором году обучения. Характерно, что алгебра и геометрия изучались параллельно.
Это положение имеет глубокий исторический смысл. Оно означает, что русская школа начала XIX в. четко сформулировала свое отношение к проблеме преподавания геометрии, дискутировавшейся в то время: она отмежевалась от традиционного метода, основанного на изучении «Начал» Евклида, и заняла позицию на пути прогрессивного направления в развитии методики геометрии.
В белорусской гимназии распределение часов было более равномерным и, следовательно, более рациональным, нежели
* Устав учебных заведений, подведомственных университетам (1804). Хрестоматия по истории педагогики. Сост. Н. А. Ж елваков, т. IV, ч. I. М., 1938, стр. 216.
119
в русской, но порядок изучения предметов математики был последовательным. Элементарная геометрия изучалась после завершения арифметики, и за нею следовала алгебра. Мы видим здесь влияние другой, традиционной, точки зрения на преподавание этого предмета. Действительно, спустя три года для учебных целей в Виленском учебном округе были изданы «Начала» Евклида.
Остановимся на учебных программах по математике. И зложение этого вопроса требует предварительной оговорки. Прежде всего следует иметь в виду, что программ в нашем их понимании не существовало, содержание предмета определялось рекомендованными учебниками. Министерство просвещения обычно указывало несколько учебников и предоставляло возможность делать выбор из них самим учебным заведениям.
В Виленском учебном округе пользовались как местными учебниками, так и рекомендованными МНП. Школам была предоставлена свобода выбора учебников. И хотя большого выбора не было, тем не менее в различных школах пользовались, вообще говоря, учебниками разными. Поэтому нельзя говорить о содержании образования в строго однозначном -смысле.
Приведем содержание гимназической программы, имевшее суммарный характер для ВУО первого десятилетия XIX в .47
Первый класс. Арифметика. Четыре действия арифметики с целыми числами. Возвышение чисел в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней.
Второй класс. Арифметика. Объяснение природы дробей обыкновенных и десятичных и все вычисления с этими дробями. Способ нахождения НОД и сокращение дробей. Количества несоизмеримые, извлечение корней по приближению, употребление при этом десятичных дробей или же обыкновенных. Правило трех, проценты, правило товарищества, обратная пропорциональность.
Третий класс. Повторение дробей. Отношения и пропорции геометрические. Первоначальные сведения о линиях прямых и кривых, о равенстве треугольников с приложением к решению задач, о параллелях и параллелограммах, об углах и прямолинейных фигурах, о треугольниках, о касательных и об углах в круге и вне круга, о подобии фигур и об отношении площадей.
Четвертый класс. Арифметика. О логарифмах. Из геометрии: о правильных многоугольниках, об употреблении пропорционального циркуля и нониуса. О тригонометрии. Площадь круга. Солидометрия: о взаимном положении линий и плоскостей, о телесных углах, о параллелепипеде, пирамиде, цилиндре, конусе и шаре.
Из геометрии практической: употребление кольев, цепи,
120
столика, угломера, графометра, компаса; перенесении (на бумагу) границ земельного участка, местечек, городов и т. д.
Пятый класс. Алгебра. Отличие алгебры от арифметики, функции и уравнения. О правилах арифметических действий с общими знаками. Все арифметические действия с функциями,. Уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней. Формула Ньютона.
О круговых функциях, о свойствах кривых линий 2-го порядка (о свойствах эллипса, параболы и гиперболы). Физика. Механика, гидростатика, астрономия (по Копернику).
В шестом классе математика не изучалась, в программу его входил наряду с другими предметами курс логики.
Программа по математике имела, следовательно, следующие особенности: 1) рассматривалось понятие функции, причем в связи с уравнением; в тригонометрии также изучались «функции», а не «линии»; 2) включались элементы аналитической геометрии; 3) изучались алгебраические уравнения 3-й и 4-й степеней; 4) курс арифметики включал не только четыре действия над целыми и дробными числами, но и возвышение в степень, извлечение корней, прогрессии и логарифмы. Столь обширная программа по арифметике вызывалась необходимостью иметь вычислительный аппарат при прохождении геометрии и тригонометрии, поскольку они предшествовали курсу алгебры. В качестве учебников употреблялись: курс алгебры Снядецкого, учебник арифметики Чеха, «Начала» Евклида, учебники, изданные эдукационной комиссией, училищной комиссией в Петербурге и Министерством просвещения.
Обращает на себя внимание наличие в учебном плане многих предметов прикладного значения, особенно в младших классах. Это явление не случайное, оно определено общей просветительной политикой этого края, которая выражалась следующей формулой: «Направление влияния наук на местные нужды». Одновременно с этим представлены элементы «классического образования».
Классическое направление образования наряду с реальным представлено в гимназическом плане 1818 г.48
Отличие в содержании программ различных гимназий заключалось прежде всего в распределении вопросов по классам и в учебных руководствах. Учебные заведения Витебской и Могилевской губерний пользовались учебниками,, изданными как в Петербурге, так и в Вильно, между тем как, например, Гродненская гимназия руководствовалась только виленскими учебниками, а именно: Снядецкого (по алгебре и математической географии), Чеха (по арифметике), Евклид а — по геометрии («Начала» в переводе Чеха), Полинского (по тригонометрии), Заборовского (по практической геометрии), Люилье (по геометрии). Из министерских в гимназиях
121
Витебска и Могилева применялись учебники Фусса и отчасти изданные для народных училищ.
Как работали школы? В «Предварительных правилах народного просвещения» предусматривались инспекторские посещения школ округа: «Университет посылает ежегодно одного или несколько своих членов для личного обозрения училищ своего ведомства и исследования их успехов». По Виленскому учебному округу сохранился богатый материал по визитации школ.
Ежегодно отправлялись на визитацию школ 3—4 профессора. Для них была разработана подробная инструкция, указывающая, какие стороны учебного дела нужно подвергать обследованию и какими методами.49 Визитатор имел право экзаменовать учеников, в инструкции было сказано, что он должен наблюдать, понимают ли ученики, о чем их спрашивают, и не заучивают ли они на память одни слова, которыми отвечают на приготовленные и выученные наизусть вопросы. От визитатора требовалось, чтобы он особенно наблюдал успехи в «латинском языке, как обучают учителя рисованию и знают ли сами сие искусство, не ограничено ли оно только механическим списыванием рисунков без изъяснения правил и обращать внимание на язык».
О математике сказано немного: «Умозрительная геометрия приноравливается ли к землемерию, а практическая или деятельная показывается ли на поле».50 Визитатор должен внушить учителям, «дабы приучали своих учеников отвечать своими словами то, чему научились, разуметь, что изъясняется ими». Визитатору предписывалось проверять порядок метеорологической службы.
Отчеты об университетских визитациях рисуют нам достаточно полную картину преподавания математики в отдельных школах. Так, например, в Оршанском уездном училище арифметика преподавалась по Чеху, алгебра — по Лакруа, а геометрия — по Люилье. По геометрии занимались решением практических задач, а затем строили небольшие топографические планы. Географию изучали по книге Снядецкого. В Витебской гимназии арифметика изучалась по Чеху, алгебра — по Фуссу, математическая география — по Снядецкому. В Витебском училище, состоящем из двух классов, изучение арифметики проходило таким порядком: в первом классе, «затвердив определения и узнав знаки чисел, изучают счисление, записывая всякое классное занятие в тетради для домашнего упражнения, которое после отдают учителю; и таким образом изучали сложение, вычитание, умножение, деление, проверку сих действий и именованные числа по книге, изданной от главного правления училищ».
Во втором классе, «повторив из первой части именованные
122
числа, вторую часть от свойства дробей начали и упражнялись задачами сих же свойств, потом изучали действия простых и, наконец, действия десятичных дробей. Засим учили арифметические и геометрические отношения, а также пропорции, тройные и товарищества правила проходили. И все арифметические задачи, решаемые учениками в классе, были назначены для домашнего их повторения».51
Витебское и Могилевское народные училища были в 1808 г. преобразованы в четырехклассные гимназии. После преобразования был введен польский язык преподавания. Эти гимназии работали по министерским учебным планам. Учебники применялись местные и министерские. По арифметике — автор учебника не указан, по тригонометрии — учебник Полин- ского, по практической геометрии — Заборовского. Алгебра изучалась по книге Снядецкого и учебнику Фусса (уравнения 1-й и 2-й степеней, бином Ньютона и действия с функциями). В Полоцкой гимназии повышенного типа в первых четырех классах изучались: арифметика по учебнику Чеха, тригонометрия по учебнику Полинского, геометрия — по Люилье, практическая геометрия — по Заборовскому. В старших трех классах — алгебра по Снядецкому, Лакруа и Эйлеру, сферическая тригонометрия по книге Снядецкого.
Из донесения визитатора профессора И. Чернявского, обозревавшего училища Витебской и Могилевской губерний, читаем: «Различие учебных книг: в одних учатся по книгам,, предписанным Главным правлением училищ, частью по предписанным Виленским университетом, кое-где употребляются книги иезуитские. Иные учителя выбирают книги по собственному произволению». Отмечается недостаток учебных пособий и различие в требованиях визитаторов, сбивающих с толку учителя: «Предписания одного визитатора часто бывают несообразны с предписанием другого, и бедный учитель не знает, чему следовать, чего придерживаться, тем более, что таковые предписания нередко противоречат уставу учебных заведений...»
Что касается гимназий, то визитаторы отмечали неплохую постановку учебного дела в Гродненской гимназии.
Попечитель Новосильцев в 1825 г. следующим образом характеризует постановку учебного дела в училищах, принадлежащих монашеским орденам: «Во время осмотра некоторых училищ, содержимых монашескими сословиями,... удостоверился я лично о малой пользе от преподаваемых наук в сих училищах происходящей и о посредственных успехах учеников». В числе причин этого явления Новосильцев называет следующие.
Монашеские общества мало готовят молодых своих послушников к учительскому званию в университете, а ограни
123
чивают их обучение в своих училищах. Образованные таким образом учггеля, не зная основательно предмета, преподавание которого им поручается, не в состоянии надлежащим образом вести это преподавание;
хотя некоторые из монахов и посещают лекции по некоторым из предметов в университете, но обыкновенно без предварительной подготовки и поэтому без существенной пользы;
звание учителя в монастырских училищах, кроме базили- анских, не принимается в уважение при производстве в высшие монашеские звания. Потому учителя, не имея никакого поощрения, считают свою учительскую обязанность тягостью;
производится частая смена учителей, а учителям меняют предметы. Интересы монастырской администрации — монастырские дела, а не школьные;
монастыри не приобретают пособий, учителя не знают иностранных языков.52
Университет при Новосильцеве и по его предложению намечал некоторые меры для улучшения качества подготовки учителей, но они не были приведены в исполнение.
Из всего этого описания видно, что картина образования была чрезвычайно пестрой (разные учебники, различный уровень подготовки учителей и т. д.). Однако в ряде белорусских гимназий — Гродненской, Минской — уровень постановки математического образования был для своего времени достаточно высоким, на что указывает, например, преподавание элементов аналитической геометрии.
Согласно уставу при университетах для руководства школьными делами были созданы училищные комитеты. При Виленском университете до 1817 г. комитет проявлял слабую активность и эту функцию выполняло университетское правление под председательством ректора университета. С 1817 г., когда он был заново создан, его деятельность заметно оживилась.
Основной задачей комитета было «улучшение способа учения и заведения лучшего порядка по училищам». Для решения этой задачи комитет обратился к изучению «способов учения» в иностранной школе. Полинский, член комитета, обстоятельно изучил школы Запада, побывав с этой целью в длительной заграничной командировке. Но на комитете рассматривались главным образом организационные вопросы, что касается преподавания математики, то по документам не видно, чтобы этот вопрос подвергался специальному обсуждению.
Мы приведем перечень требований к учебной книге, которые были сформулированы комитетом в 1810 г.
«Сочинение учебных книг есть из числа главнейших обязанностей комиссии. В сем труде она должна наблюдать сре
>124
дину между краткостью и ясностью описываемого предмета, имея в виду следующие правила:
1) Чтобы учебная книга в предписанных пределах заклюг чала ясные и обстоятельные понятия, основываясь на существенных началах излагаемой науки, служила введением к обширнейшему кругу оной в высших училищах и университете, чтобы таким образом сии науки... от основания своего продолжались непрерывной цепью.
2) Чтобы учебная книга находилась в связи с вспомогательными науками...
3) Чтобы она совершенно соответствовала времени, назначенному для лекции...
4) По издании книги визитаторы наблюдают успех учащихся по оной. Рассмотрение учебных книг должно производиться через каждые 10 лет». 53
Наконец, последний, 5-й пункт хотя и не имеет отношения непосредственно к учебникам, но представляет собой исключительно важное требование к учителю, побуждающее его систематически заниматься своим предметом. Это требование обязывало учителей «через каждые три года присылать свои рассуждения по тем предметам, какие предложит комитет». Между прочим, комитет занимался организацией метеорологических наблюдений в округе, сбором статистических, этнографических сведений и данных о сельском хозяйстве, промышленности, а также рекомендовал учителям производить описание флоры и фауны Белоруссии. Эта работа, несомненно, играла большую роль в повышении научного уровня учителя и качества его педагогической работы.
Остановимся на характеристике учебников. Под учебным материалом по арифметике понимали более обширный перечень вопросов, нежели тот, который сложился в русской школе в XIX в. Сюда входили не только четыре действия над целыми и дробными числами, пропорции и задачи «на правила», но и такие вопросы, как возвышение чисел в квадрат и куб, извлечение корней второй и третьей степени из чисел, прогрессии и логарифмы (в редких случаях — комбинаторика). Весь этот материал излагался чисто арифметически, на числовых примерах, без доказательств и обоснованных обобщений. Такое построение курса соответствовало потребности изучения геометрии и тригонометрии, которые изучались ранее алгебры. В русской школе, как уже было об этом сказано, алгебра изучалась параллельно с геометрией.
Длительное время средние учебные заведения, а также и университет по курсу элементарной математики пользовались учебником арифметики Чеха, директора Волынской гимназии. 54
В нем говорится, что математика изучает различные вели
1125
чины. Характерной чертой величины является ее изменяемость, она может увеличиваться и уменьшаться. Это ее свойство лежит в основе математических операций, с помощью которых может описываться точным образом это ее изменение. Таким образом, введение операций не является формальным актом, а связывается с вполне реальными процессами. Заметим, что это материалистическое объяснение начальных операций допускает обобщение на все операции высшего ранга, образование математических понятий и поэтому является фундаментальной идеей методологического значения.
Тщательно изложена структура десятичной системы счисления. Десятичные дроби имеют ту же структуру, а поэтому они изучаются на основе теории целых (положительных) чисел. Тщательно излагается техника операций над числами, но законы операций не формулируются.
Изложение дано в таком плане: сначала на примерах описывается техника сложения и умножения натуральных чисел, а затем и десятичных дробей. После рассматриваются обратные операции. Обыкновенные дроби излагаются после десятичных. Умножение на дробь рассматривается как решение некоторого типа конкретной задачи. Дальнейшее изложение идет по известной схеме: отношения, пропорции, прогрессии и логарифмы. Система мер оставалась неизменно старой, несмотря на то что учебник многократно переиздавался, причем в редактировании последних изданий принимал участие По- линский, прекрасно знавший принцип и происхождение новой (метрической) системы. Редактирование коснулось латинских терминов, которые были частично устранены и заменены польскими. Язык исключительно легкий и удобочитаемый. Но построение учебника в одном отношении неудобно для чтения: все примеры и задачи, в том числе иллюстративного ха рактера, вынесены в конец книги, разорваны с текстом.
Ранее было сказано, что Чеху принадлежит перевод и издание «Начал» Евклида в восьми книгах, которые служили основным учебником в ряде гимназий и в университете по курсу элементарной математики. Предисловие, написанное Снядецким, содержит основные положения относительно преподавания геометрии, сводящиеся к тому, что основой обучения должны служить «Начала» Евклида в их классическом виде. В процессе обучения геометрии рекомендуется преследовать одну цель — развитие ума ученика, не отвлекая его внимание вычислениями; не нужно употреблять алгебру в преподавании геометрии, вся помощь ученику должна заключаться в построении чертежей. Классический стиль изложения, каким его дали греки, наиболее соответствует, по Снядецкому, требованию развития ума. На педагогических взглядах Снядецкого мы уже останавливались.
126
В гл. I были отмечены особенности перевода Чехом «Начал » .55 Это был не буквальный академический перевод, а перевод, отвечавший учебным целям. Переводчик свободно дополнял некоторые места «Начал» своими разъяснениями, чертежами, теоремами, желая сделать материал доступным учащимся.
На содержании «Алгебры» Снядецкого, которой пользовались не только в университете, но и в школе, мы останавливались в гл. 1. Чем она принципиально отличалась от министерских учебников?
В первой четверти века в русских гимназиях употреблялись учебники Осиповского и Фусса, в которых чувствовалось влияние идей Эйлера. «Алгебра» Снядецкого также написана под влиянием Эйлера. Это обстоятельство говорит о том, что в преподавании математики было более сходства, нежели различия, так как разные учебники восходят к одному источнику. Рассмотрим, например, понятие функции.
Осиповский понятие функции рассматривает в ином аспекте, нежели Снядецкий. Если в книге Снядецкого изучаются операции с функциями, то в «Курсе математики» Осиповского главное внимание обращается на исследование и преобразование функций (разложение на элементарные дроби, разложение в ряд путем деления, освобождение от радикалов путем замены переменной, преобразование однородных функций путем подстановок, выделение квадратного трехчлена). Этот подход более отвечает требованиям анализа, подход Снядецкого выражает особую концепцию курса элементарной алгебры и более отвечает курсу аналитической геометрии.
Понятие функции связывалось с понятием уравнения и в чисто алгебраической части не имело под собой геометрической базы. Поэтому это изучение можно назвать формальным. Благодаря курсу алгебры Снядецкого, это направление получило широкое распространение в школах ВУО, а следовательно, в школах Белоруссии. Ученики Минской, Гродненской и Витебской гимназий изучали алгебру как учение о функциях и уравнениях, рассматриваемых совместно. В некоторых школах функциональная точка зрения была положена в основу изучения курса тригонометрии. Приведем фрагмент из программы (1813): «Алгебра». Класс V. «Из алгебры о правилах арифметических с функциями всякого рода, решение уравнений 1, 2, 3 и 4 степеней, возвышение чисел в разные степени, прогрессии, о функциях круговых, общих свойствах кривых линий второго порядка, в особенности о свойствах эллипса, параболы и гиперболы».
Мы уже указывали ранее на то, что по курсу тригонометрии применялся учебник Полинского.56 Этот учебник не
127
отличался какими-либо новыми чертами, он построен в духе уже устаревших в то время традиций. Главным предметом ее автор считает решение треугольников. Определение тригонометрических функций явно выглядит анахронизмом. Приведем, например, определение синуса: «Синус дуги есть перпендикуляр, опущенный из некоторого конца дуги на прямую, проходящую через другой ее конец». При выводе формул в них сохраняется величина радиуса окружности, которая затем в окончательной формуле полагается равной единице. Примечательно то, что окружность делится не только на 360 частей, но и на 400 и, как замечает автор, «второй способ начинает теперь распространяться». Вторая часть курса содержит приложения тригонометрических функций к решению треугольников. Переходя ко второй части, автор пишет: «Завершая первую часть моего сочинения, в которой описали тригонометрические линии, показали отношения между ними, изложили способ вычисления этих линий при каком угодно радиусе с помощью логарифмов, приступаем теперь к другой части, т. е. к изложению отношений, существующих между тригонометрическими линиями и сторонами треугольника». Этим показано содержание всего курса. Заметим, кстати, что в учебных заведениях Виленского учебного округа еще долгое время тригонометрия излагалась на той основе, которую мы встречаем у Полинского.
В 20-х годах был издан полный гимназический курс математики профессором университета А. Г. Вырвичем. * Однако его учебники не получили надлежащей апробации и распространения ввиду изменения просветительной политики в этом крае.
В 30-х годах все школы были переведены на преподавание на русском языке и по министерским учебникам.
Познакомимся с его учебником алгебры.57 Вырвич следующим образом вводит предсталение о предмете алгебры: «Алгебра есть арифметика всеобщая, или алгебра, в наиближайшем своем значении взятая, есть тот язык, который короче и проще выражает все наше мышление над отношениями и связями различных величин». Алгебра возникла в связи со стремлением к сокращению математического языка, на котором выражаются различные связи между величинами. В этом
* Антон Гвидонович Вырвич родился в 1791 г. в Виленском воеводстве. После окончания Виленской гимназии в 1811 г. поступил в Виленский университет. В 1812 г. получил степень кандидата, в 1815 — степень магистра, в 1817 — степень доктора философии. В том ж е 1817 г. определен адъюнктом университета, в 1826 г. получил звание ординарного профессора чистой математики. Перевел геометрию Био на польский язык. Умер в 1865 г.
128
взгляде на алгебру как на особый язык Вырвич, как видно, разделяет точку зрения Снядецкого. *
Первые два раздела посвящены действиям с многочленами, с дробями л уравнениями первой степени. Далее рассматриваются степени бинома до обобщения на любой натуральный и рациональный показатель. Последний раздел посвящен теории уравнений. Основной его вопрос — квадратные уравнения. Схематично рассматривается также вопрос о преобразовании уравнений общего вида, дается решение уравнений в рациональных числах и понятие о приближенном решении уравнений. Большой заслугой Вырвича следует считать то, что он к теоретическим курсам издал «прибавления», представляющие собой первые в этом крае задачники. Они содержали задачи на исследование с параметрами, в том числе классические в этом отношении задачи о курьерах и об освещенности. В 1828 г. Вырвич издал «Начала аналитической геометрии для школ гимназиальных».58 Здесь он также продолжает развивать ту точку зрения, что алгебра представляет собой особого рода язык, который «может служить для выражения природы вещей, если она имеет характер величины. Его приложение, следовательно, так же обширно, как обширно наше познание вещей, имеющих характер величины». Д ал ьнейшие рассуждения приводят к описательному определению предмета аналитической геометрии, которое в вольном переводе может быть передано так.
Чтобы аналитический язык применить к изучению природы каких-либо вещей или величин, например, линий, времени, скорости, света, теплоты, электричества и т. д., нужно, чтобы эти вещи или величины были выражены языком аналитическим, т. е. были даны нам в числах,— в отношениях каждой величины некоторой природы к выбранной добровольно единице величины той же природы. Наука, которая доставляет способы решения геометрических вопросов языком аналитическим и занимается исследованием истин и свойств геометрических фигур, называется аналитической геометрией, иначе — приложением анализа к геометрии.
Автор предпосылает сначала историческую картину возникновения аналитической геометрии, знакомя читателя с «Геометрией» Декарта, затем переходит к ее конкретному содержанию, которое включает только теорию прямой.
В начале XIX в. в «В йепт к ^ П е п зк Ь печатались статьи, относящиеся к вопросам преподавания математики. Они содержали общие рекомендации, построенные на основе исторического опыта и авторитета ученых. Для нас они являются
* Ср. рассуждение Н. И. Лобачевского о математическом языке. Л. Б. М о д з а л е в с к и й . Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. М.— Л., 1948, стр. 323.
5. Н. Д . Беспамятных 129
если не спорными, то тривиальными истинами. Познакомимся с характером этих рекомендаций.
Основы науки составляют фундамент знаний. К «основам наук» относили: арифметику, геометрию (Евклида), включая учение Архимеда об окружности и элементарную алгебру. В основы математических наук входил и их логический фундамент, но не им определялось это название. Изучение основ наук — одно из главнейших условий гимназического образования.
Успех изучения математики зависит прежде всего от того, насколько усвоена система первоначальных положений. Систему аксиом следует не формулировать в начале, а вводить аксиомы по мере их надобности.
Правило Д ’Аламбера. В математике истины образуют непрерывную цепь. Но если цепь прервана, то логическим фундаментом надо считать начало новой ветви. Иными словами, если излагается новая теория, то она должна иметь свои логические основы.
«Начала» Евклида служат фундаментом серьезного математического образования. В них определен порядок в расположении истин, который нельзя нарушить. Попытки в этом направлении оканчивались неудачей.
Занятия математикой эффективны в молодые годы. Молодой ум имеет большую способность к усвоению математики и творческому размышлению в ее области.
Желающий изучать математику должен обладать широтой ума, легкостью восприятия и усвоения и хорошей памятью.
Что является достоверным в математике, то может быть легко изложено и быть доступно каждому.
Определения должны быть краткими и четкими, доказательства ясными, полезна геометрическая иллюстрация доказательств.
Обучать математике следует не историческим, а логическим методой. Но в известных пределах и соответствующих случаях допустим тот метод, которым шел исследователь. З а метим, что историко-генетический метод к тому времени был хорошо известен, он имел некоторое применение в преподавании и изложении учебных руководств со времени «Алгебры» Валлиса.
Ценное правило в обучении — тренировка в выводах и решении задач.
Следует применять метод доказательства от противного. Не пренебрегать рассмотрением .обратных теорем, как это делают часто математики.
Стараться, чтобы решение геометрических задач, где только возможно, было действительно геометрическим.
Изучать алгебру; она является своеобразным языком для
130
сокращенного выражения математических понятий и отношений.
В обучении математике нужно использовать только те теории, которые непосредственно приносят пользу на практике. Однако история знает также случаи, когда исследования, казавшиеся чисто спекулятивными, занимали позднее в практических науках почетное место.
В учебные планы школ входил вопрос об изучении вычислительного инструмента — пропорционального циркуля. Поэтому ознакомимся кратко с этим первым аналоговым универсальным математическим инструментом.59
Пропорциональный циркуль (ПЦ) широко применялся в инженерной практике XVII и XVIII вв. Им пользовались инженеры многих специальностей, особенно военного дела, судостроения и архитектуры. В России, как свидетельствуют рукописи и сохранившийся инвентарь, пропорциональный циркуль применялся при расчетах в гражданском и военном строительстве в Петровскую эпоху и, надо полагать, сам Петр I в совершенстве владел искусством этих вычислений, которые мог усвоить, работая в Голландии на верфи или же у профессора Фархварсона, приглашенного им на работу в Россию из Англии.
Инструменты производились в ряде стран Западной Европы, как, например, в Голландии, Германии и Франции, о чем свидетельствуют пометки на инструментах, хранящихся в музеях Ленинграда.
В XVII и XVIII вв. ПЦ был основным инструментом в практических вычислениях и более популярным, нежели логарифмическая линейка. В чем заключалась причина преимущественного использования ПЦ? Работа по истории логарифмической линейки Кеджори не дает на этот вопрос ответа.60 В ней речь идет только об истории логарифмической линейки.
Объем тех классов задач, которые решаются на ПЦ, составляет лишь часть задач, решаемых на логарифмической линейке. Поэтому, казалось бы, с появлением последней должна была отпасть надобность в ПЦ. Однако этого не произошло. Доминирующее положение в практике заняла не логарифмическая линейка, а ПЦ. Это явление можно объяснить следующими причинами. ПЦ представлял собой техническую реализацию или модель элементарной и общеизвестной теории пропорций, между тем как теория логарифмов была новой. В конструктивном отношении ПЦ с самого начала был завершенным инструментом, дальнейшее его развитие сводилось к увеличению числа шкал; логарифмическая же линейка прошла длительный путь конструктивного совершенствования. Первые ее варианты неудобны для пользования, в
самом начале на ней решались преимущественно сложные за дачи, как, например, на сферический треугольник, иначе говоря,— те задачи, которые не решались на ПЦ. Логарифмическая шкала наносилась иногда на ПЦ, и, таким образом, эти два инструмента, как бы совмещались в одном.
Всеобщее распространение логарифмическая линейка получила лишь с середины XIX в., когда она приобрела вполне современный вид. Разумеется, усовершенствование и широкое внедрение в вычислительную практику этого прибора обусловливались факторами экономического развития. В XVII и д а же в известной степени в XVIII в. математическая основа практики мало^ простиралась за пределы теории подобия и теории пропорций, поэтому ПЦ вполне удовлетворял потребности вычислительной работы; в конце XVIII и в XIX в. в связи с развитием новой техники возникла потребность в более совершенном вычислительном инструменте, каковым и явилась логарифмическая линейка.
ПЦ изучался в Виленском университете и в школах Литвы и Белоруссии. Об этом свидетельствуют многие документы и прежде всего учебники, применявшиеся при обучении математике, и рукописи учебного характера.
Наиболее ранние описания этого инструмента встречаются в «Арифметике» преподавателя университета Тылковского (1629— 1695), изданной в 1668 г.; в курсе артиллерии Семеновича (1650); во второй половине XVIII в.— в курсе тригонометрии Россиньоля, в «Практической геометрии» Заборов- ского.61 Рукопись «1п51гитеп1иш ргорогИотз», датированная 1800 г. и имевшая помету: «Гродно, Еразми Бобровский»,62 полностью посвящена этому вычислительному инструменту. Рукопись написана по-немецки, название и помета — по-латыни. Это обстоятельство наводит на некоторое сомнение, что Бобровский является ее автором, он мог быть ее владельцем. Рукопись, по всей вероятности, относится к более раннему периоду, содержание ее показывает, что автор был скорее учитель, нежели инженер. Сочинение о пропорциональном циркуле мог написать преподаватель школы, излагавший этот предмет ученикам.
В «Элементах геометрии теоретической и практической» (1818) П. Я. Кондро, изданных в Полоцке, содержится обширный материал, относящийся к решению практических задач с помощью П Ц .63 В этой книге описываются различные шкалы: полигональная, геометрическая, арифметическая,шкала калибров орудий, шкала хорд, стереометрическая и шкала диаметров пушечных ядер. Иллюстрируется их применение на различных задачах. Описывается логарифмическая шкала и показывается, как с ее помощью решаются тригонометрические задачи. На рисунке, помещенном в одной из
132
книг Кондро, можно видеть, что логарифмическая шкала находится на корпусе ПЦ.
Документы начала XIX в. о передаче школ в ведение Министерства просвещения свидетельствуют о том, что ПЦ имелись в школьных кабинетах. Так, например, они упоминаются в реестрах имущества кабинетов Могилевской и Витебской гимназий. В реестре Могилевской гимназии указано 60 инструментов, среди которых упоминаются буссоль, стереометрические модели из жести, обыкновенный и пропорциональный циркули.54 В реестрах-заказах на изготовление математических инструментов для пополнения кабинетов упоминаются мензулы, астролябии, а также П Ц .65
С заказами через попечителя (или непосредственно) школы обращались к петербургскому механику Роспини, который занимался изготовлением готовален, астролябий, мензул, телескопов и, по всей вероятности, П Ц .66*
Изучение ПЦ в Белоруссии и Литве было давно утвердившейся традицией. Но это явление не было исключением: изучение этого инструмента входило в учебные планы учебных заведений многих стран. В Петербурге профессор математики Морской академии Андрей Фархварсон издал для учащихся академии в 1739 г. небольшое руководство по изучению П Ц .69 Описание ПЦ встречается в русских рукописных книгах начала XVIII в. Русские учебные планы, разработанные в начале XIX в. для средних и высших учебных заведений, не включали этого вопроса. Более ранние программы (народных училищ) также его не содержали. Поэтому в русской учебной литературе конца XVIII и в XIX в. описание ПЦ редко встречается. **
В связи с переходом белорусских школ на учебные планы 1828 г. эта давняя традиция была нарушена. Да и было бы уже анахронизмом изучать этот инструмент для практических целей, когда он вышел из употребления. Впрочем для целей дидактических он, как модель теории пропорций и подобия, по настоящее время не утратил своего значения.
Попутно заметим, что с 30-х годов прошлого века в курс школьной математики был включен вопрос об изучении русских счетов. В связи с этим в университетах был введен курс вычислений на счетах. Для подготовки преподавателей университетского курса в Петербурге были организованы специальные курсы. От Виленского университета туда был направ
* В комплектовании школьных кабинетов физико-математическими инструментами попечителю Белорусского учебного округа Г. И. Карташевско- му оказывал помощь советами профессор Московского университета Д . М. Перевощиков,67 а в снабжении книгами — писатель С. Т. Аксаков.68
** Сведения о ПЦ сообщаются, например, в «Полном курсе чистой математики» Е. Войтяховского.
133
лен магистр Ревковский. * С того времени русские счеты при любых изменениях учебных планов оставались в школе как предмет изучения и главным образом как дидактическое сред- ство для изучения структуры десятичной системы счисления!
и арифметических операций над числами". В этой роли они завоевали широкую популярность и являются необходимым атрибутом в современной школе.
Перейдем к изложению теории ПЦ, описанию его устройства и употребления.
Заметим сначала, что под названием «пропорциональный циркуль» встречаются инструменты двух различных конструкций и различного назначения. В литературе их нередко путают. В том и другом случаях основной частью служат две линейки или два бруска* 'Различие в конструкции заключается в том, что в одном инструменте линейки пересекаются в точке их соединения, причем эта точка может перемещаться вдоль линеек по узким продольным прорезям, в другом же, как в обыкновенном циркуле,— она постоянна. В первом случае ножки циркуля с обоих концов заострены и внешне похожи на ножки обыкновенного цир- куля. Как правило, этот инструмент имеет одну равномерную шкалу и предназначается для решения одной лишь задачи — задачи преобразования прямолинейных отрезков в за данном отношении. Он применяется в настоящее время в архитектуре, в школьной практике и хорошо известен. Нас в данном случае интересуют пропорциональные циркули другого вида.
Эти ПЦ состоят, как видно из приведенного рисунка, из двух линеек, шарнирно соединенных в одной постоянной точке. Эти линейки могут плотно соединяться и развертываться по прямой, оставаясь неизменно в одной плоскости. Кольцо, посредством которого они соединены, в некоторых случаях градуировано, что позволяет определять величину раствора
„ линеек.Пропорциональный циркуль (П Ц ).
* Преподаватель Дерптского (Тарту) университета М. Асмус, бывший такж е на этих курсах, написал на немецком языке превосходную книгу об устройстве и применении русских счетов при обучении арифметике, изданную в 1831 г. в Лейпциге.70
40|
60,
В:
4
134
Графическое построение шкал.
Шкалы в целях описания целесообразно разделить на два класса: шкалы основные и вспомогательные. Каждая из основных шкал строилась на обеих линейках с одной стороны инструмента, причем строго симметрично относительно прямой, по которой линейки смыкаются. Поэтому система основных шкал внешне производит впечатление веера, пучка прямых отрезков, сходящихся в центре головки инструмента. Что касается вспомогательных шкал, то они единичны и использовались главным образом в качестве таблиц. При работе на П Ц для постановки данных и снятия результатов употреблялся обыкновенный циркуль.
Построение шкал осуществлялось или путем предварительного составления таблицы числовых значений данной функции или же графически, как показано на рисунке.
Материалом для изготовления этих инструментов служили: твердое дерево, латунь, бронза и даже серебро. По размерам их можно разделить на настольные и карманные (портативные). Длина рабочей части ПЦ, хранящихся в музеях Ленинграда, от 16 до 42 см. Крупные ПЦ имели те преимущества, что в них расширены границы применения шкал и увеличена их точность. Так, например, на инструментах мало- го размера равномерная шкала имеет 120 основных делений, на больших 200. То же можно сказать относительно других шкал, для которых такое увеличение принципиально возможно. Точность инструмента не превосходит трех значащих цифр. Но на шкалах больших размеров можно прочитать и четвертый знак.
Первое подробное описание ПЦ принадлежит Галилею (1606) *. Его работа имеет название «Ье орегахюш с1е1 сош- раззо §еоше{псо е шШ1аге» («Операции на пропорциональном циркуле, геометрическом и военном»).71 Вслед за этим появились комментарии к этой работе. По-видимому, с этого же времени начинается и производство ПЦ. В Государственном Эрмитаже хранится один из ранних инструментов, он датирован 1628 г.
С помощью арифметической (равномерной) шкалы решаются задачи на «правила трех», на правило обмена денежной
* Известен портрет Галилея 1623 г., над которым изображены два амура, один из них наблюдает в зрительную трубу, второй в левой руке держит ПЦ, а правой производит запись в тетради, что символизирует изобретение Галилеем телескопа и ПЦ.
135
валюты разных государств, на проценты. Геометрическая шкала применяется для определения площадей, преобразования равновеликих фигур, извлечения квадратных корней из чисел. С помощью стереометрической шкалы решаются задачи на вычисление объемов тел, на преобразование параллелепипеда в куб и извлечение кубических корней. Шкала металлов применялась для определения калибров орудий, веса шаров. Шкала хорд — для определения синусов и косинусов. Шкала многоугольников — для определения стороны правильного многоугольника, если даны соответствующий центральный угол и радиус описанной окружности.
Что касается теории пропорционального циркуля, то Галилей, а также последующие математики, занимавшиеся усовершенствованием и описанием этого инструмента, всегда обращали внимание на то, что он моделирует теорию подобия или теорию пропорциональных величин, и делали ссылки на соответствующие места «Начал» Евклида. Это предложение 4 кн. 6, заключающееся в том, что подобные треугольники имеют стороны пропорциональные. Если Д Л В С ^ Д Ш Я , то
РЕ _ В О _ _ ВЕАС ВА ~ ВС '
На инструменте строятся подобные треугольники, боковыми сторонами которых являются части одной и той же шкалы, нанесенной на оба плечика инструмента, третья сторона одного из треугольников, будучи данной, откладывается с помощью обыкновенного циркуля и соответствующая ей третья сторона второго треугольника, как неизвестная, снимается посредством того же циркуля. Таким образом, на инструменте по трем известным величинам из пропорциональности сторон подобных треугольников определяется четвертая.
На пропорциональных циркулях строились шкалы натуральных синусов, тангенсов, секансов, а также и логарифмов синуса, тангенса и натуральных чисел. Применялись они для решения плоских и сферических треугольников.
Тот класс задач, для решения которых служил пропорциональный циркуль, рассматривается в настоящее время на так называемых пропорциональных номограммах. С точки зрения номографии этот инструмент может рассматриваться как номограмма с подвижным транспарантом. С точки зрения современной классификации счетных машин пропорциональный циркуль можно назвать плоской аналоговой машиной непрерывного и прерывного (в зависимости от характера шкал) действия с параллельной выдачей результатов. К этому же типу относится и логарифмическая линейка.
136
§ 4. ПОЛОЦКАЯ АКАДЕМИЯ И ЛИЦЕЙ
В противовес Виленскому университету, который был организован на новых, прогрессивных началах, иезуиты решили создать свое высшее учебное заведение — академию на основе своих традиционных принципов преподавания и воспитания. Местом для академии избрали Полоцк. Этому выбору благоприятствовали два условия: наличие в нем иезуитской коллегии с повышенным уровнем преподавания языков и математики, а также отдаленность Полоцка, Витебска и Могилева от университетского центра — Вильно. Последнее обстоятельство облегчало задачу комплектования академии учащимися.
Создание университета или другого учебного заведения, скажем, типа Волынской гимназии, для белорусских областей было естественно и необходимо. В этом отношении просветительная политика попечителя Чарторыйского и Министерства просвещения заслуживает самой отрицательной оценки. Ими ничего не было предпринято для организации специального образования белорусского населения. Поэтому иезуитам было нетрудно обосновать идею создания высшего учебного заведения в Полоцке и осуществить ее. В период, когда орден иезуитов был почти повсеместно закрыт, когда деятельность его повсюду получила всеобщее порицание, было совершенно противоестественно передавать дело просвещения в Белоруссии в руки иезуитов.
Вопрос об открытии иезуитской академии был предрешен еще при императоре Павле I, благоволившем иезуитам. Но в связи со смертью царя этот вопрос не поднимался до 1811 г.
В протоколе Комитета Министров от 1 ноября 1811 г. читаем: «Генерал иезуитского ордена, желая распространить круг учения, орденом сим преподаваемого, испрашивает дозволения возвести Полоцкую иезуитскую коллегию на степень академии с присвоением оной преимуществ, дарованных университетам, и подчинить оной все иезуитские училища в России. Орден сей обязывается обучать всему тому, что правительству угодно будет назначить, за исключением медицинской науки и уголовных законов, коих учение воспрещено ему орденскими уставами».
Указ Правительствующему Сенату от 12 января 1812 года определяет статут этого учебного заведения:
1) Полоцкая иезуитская коллегия отныне имеет именоваться Академией иезуитского ордена.
2) Непосредственное управление академией вверяется генералу.
3) Все иезуитские училища России подчиняются Полоцкой иезуитской академии.
137
4) В академии юношество обучаться будет всем тем наукам, какие правительством назначаются, за исключением медицины и уголовного права.
5) В отношении воспитательных задач академия зависит от Министерства просвещения.
Фактическое ее открытие относится к 10 июня того же1812 г.
Однако в связи с Отечественной войной, причинившей большой ущерб делу развития народного образования, деятельность свою академия смогла развернуть лишь с декабря1813 г.
Как видно из указа, все иезуитские училища, существовавшие в России, были подчинены управлению этой академии. Училищ этих было сравнительно немного, но находились они по всей территории России. В отношении математического образования они не выделялись из среды прочих.
Два училища существовали в Петербурге (одно из них пятиклассное), одно пятиклассное в Витебске, одно в Кре- славле, шестиклассное в Могилеве, пятиклассные в Орше и Мстиславле, двухклассные в Риге и Астрахани. Все они руководствовались планами Полоцкого училища (в объеме соответствующих классов), который приводится ниже полностью.
Что касается организационной структуры академии и учебного плана каждого из ее факультетов, то они были определены уставом, составленным на основе цитированного выше указа. В академии было создано три факультета: языков, философии и богословия.
На философском факультете преподавались: поэзия, риторика, нравственная философия, логика и метафизика, физика всеобщая и опытная, химия, математика чистая и прикладная, астрономия, архитектура гражданская и военная, право естественное, частное и римское, история естественная, история всеобщая.
В п. 7 устава академии определены следующие математические предметы: арифметика, алгебра, лонгиметрия, планиметрия, стереометрия, тригонометрия плоская и сферическая, конические сечения и исчисление бесконечно малых. По прикладной математике: практическая геометрия, механика, архитектура гражданская и военная, астрономия.72
Академия была уравнена в правах с университетами. Аттестаты об ее окончании приравнены к аттестатам университетов. Ей, как и университетам, было предоставлено право присуждения ученых степеней. Характерно, что степень доктора дано право присуждать только по богословию, на других ф акультетах — магистра.
Академия имела свою типографию, где печатались учебники для внутреннего употребления и для иезуитских учи-
138
лшц. По математике были опубликованы учебники геометрии и тригонометрии профессора Кондро, а также учебник арифметики. 73*
Контингент учащихся академии комплектовался из учащихся пятиклассной школы при ней, Витебской и других коллегий, существовавших на территории Белоруссии. Вначале учились в ней наряду с другими и белорусы, но потом поступление православным было запрещено, следовательно, роль ее в образовании коренного белорусского населения ничтожна.
До 90% учащихся имели дворянские звания.74Учеников в 1813/14 учебном году было 84, по факультетам
они распределялись так: на богословском — 25, философском — 29, языков — 30, из них к ордену иезуитов принадлежало 43, базилиан — 6, светских — 35.
Данные за 1814/15 учебный год: богословский — 25, философский— 66, языков — 45, всего 136, из них: иезуитов — 50, базилиан— 11, белого духовенства— 10, светских — 65.
В 1815/16 учебном году число студентов богословского ф акультета— 28, философского и языков — 81, всего 109. Из них: ордена иезуитов — 31, базилиан — 5, белого духовенства — 9, светских — 64.
В 1816/17 учебном году на богословском — 25, философии и языка — 95, всего 120. В 1817/18 учебном году всего 119 учеников.
Таким образом, это было небольшое учебное заведение, в котором обучались главным образом дворяне. Мы не располагаем сведениями о деятельности выпускников академии, но, надо полагать, некоторая часть из них, особенно из «светских», занималась педагогической деятельностью.
Полоцкая академия просуществовала недолго: в 1820 г. она была закрыта в связи с запрещением дальнейшей деятельности иезуитского ордена в России.
Чтобы иметь представление об уровне знаний поступающих в академию учеников, приведем учебный план пятиклассной школы при ней.
Первый класс. Русский, польский, латинский языки, священная история, катехизис, география, первые правила арифметики. Рекомендуются учебники, изданные в академии.
Второй и третий классы (грамматики и синтаксиса). Языки, история, география, арифметика обыкновенных и десятичных дробей, пропорции, катехизис.
Четвертый класс (поэзии). Языки, переводы, алгебра до уравнений 2-й степени включительно.
Пятый класс (риторики). Правила красноречия, языки,
* Кондро приехал из Швейцарии. После закрытия академии он учительствовал в Тарнополе, где умер в 1836 г.
139
переводы, этика, история, геометрия теоретическая и практическая. Рекомендуются учебники, изданные в академии.75
Учебный план этого училища, а следовательно, и остальных иезуитских училищ, поскольку они руководствовались планом Полоцкого, уступает гимназическому того времени. Учебные планы гимназии содержали большой цикл естественных предметов, имели реальный уклон, между тем как настоящий ллан составлен в духе старой иезуитской школы XVIII в. В нем доминируют гуманитарные науки, математика занимает скромное положение. Естественные науки совершенно не представлены в плане. Математическая подготовка определялась в основном знанием планиметрии, основных вопросов стереометрии (вычисление поверхностей и объемов простейших тел), арифметики и алгебры до квадратных уравнений включительно. Сюда же входила формула бинома Ньютона, которая догматически сообщалась в связи с изучением ее частных случаев на первых шагах изучения алгебры. Мы не видим здесь элементов аналитической геометрии, между тем как в гимназиях она изучалась.
В академии математика изучалась на философском ф акультете, перечень предметов был определен ее уставом. В 1816/17 учебном году преподавались следующие предметы: поэзия, красноречие, юриспруденция, всеобщая история, прикладная математика, астрономия, гражданская и военная архитектура, конические сечения и инфинитезимальное исчисление, ботаника, физика, экспериментальная физика, химия,, плоская и сферическая тригонометрия, минералогия, логика, диалектика, метафизика, политэкономия, геометрия и соли- дометрия.76
Представляет интерес знакомство с программой преподавания физико-математических предметов.
Первый класс. Этот класс вел профессор Баландрет. В нем изучались: логика, диалектика, этика, политическая экономия, геометрия и зоология. В программу геометрии входили вопросы элементарного курса планиметрии и стереометрии (школьный курс).
Второй класс. В план этого курса входили: физика, математика, химия и минералогия. Физику читал профессор Раго- за. По курсу физики излагались законы Кеплера и планетная система Коперника. Из математики изучались тригонометрия плоская и сферическая. По тригонометрии плоской рассматривались сложные вопросы, как, например, теория построения таблиц тригонометрических функций и их употребление при решении треугольников. Курс сферической тригонометрии рассматривался как подготовительный к астрономии.
Третий класс. Математические науки читал Кондро — «математики прикладной, астрономии и математики чистой про
140
фессор». В курс прикладной математики входили следующие разделы: механика жидкостей и газов, статика и гидростатика, гидравлика, физика практическая, баллистика, теория маятника, законы Архимеда, эффект гравитации, оптика, диоптрика, катоптрика, архитектура гражданская и военная. В курс астрономии входили разделы: сферическая тригонометрия, сферическая астрономия, физическая астрономия, теория движения планет, система Коперника, приложение астрономии в навигации, хронология, гномика, горология. Курс чистой математики включал конические сечения и исчисление бесконечно малых.
По аналитической геометрии на плоскости изучались прямая и кривые второго порядка, сообщались простейшие сведения о поверхностях. Рассматривались приложения аналитической геометрии к баллистике, акустике, оптике и астрономии. По анализу изучались методы дифференцирования элементарных функций, задачи на экстремум, интегрирование и простейшие дифференциальные уравнения.
Академические учебные планы и программы по математике нельзя сравнивать с планами и программами Виленского университета. Последние были неизмеримо выше полоцких. Из профессоров можно выделить Кондро, который занимался изданием учебников по элементарной математике, написанных в духе еще XVIII в. Учитывая немногочисленность учащихся, их дворянский состав, отсутствие ученых математиков и физиков, а вследствие этого отсутствие исследовательской работы следует сказать, что роль академии в распространении точных знаний была чрезвычайно скромной. И она совершенно стушевывается, если учесть средневековый стиль всей учебно- воспитательной работы и отсутствие учащихся из коренного белорусского населения.
Правительственное решение о прекращении деятельности иезуитов и высылке их за пределы России было принято 13 марта 1820 г., этим же решением упразднялись иезуитские училища и академия. На базе закрытой академии был организован лицей.77
Инициатива организации Полоцкого лицея принадлежит Виленскому университету. Проект организации лицея был составлен профессором Гродеком, в основу его были положены устав и структура Волынского лицея: четыре класса подготовительные или начальные и три (каждый двухгодичный) собственно лицейские. В план преподавания были включены такие предметы, как элементарная и высшая математика, практическое землемерие, физика и механика, химия, технология и др.
Познакомимся с программой, по которой преподавалась математика в лицее в 1822/23 учебном году. Как увидим, курс
141
математики был достаточно обширным и приближался к университетскому.
Первый класс. Арифметика. Действия над натуральными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Сокращенные действия.
Второй класс. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Отношения арифметические и геометрические. Пропорции, правила трех, проценты.
Третий класс. Возведение чисел в степень. Извлечение корней из целых чисел и дробей. Прогрессии. Теория логарифмов.
Таким образом, курс арифметики был полный и построен по традиционной системе.
По геометрии — курс планиметрии до подобия фигур включительно. Сообщались некоторые сведения по практической геометрии. (Изображение на бумаге дорог, рек, контуров земельных участков, леса, озер и т. д.)
Четвертый класс. Плоская геометрия. Многоугольники. Циркуль, циркуль пропорциональный, нониус. Обращает на себя внимание изучение пропорционального циркуля, которому в академии уделялось большое внимание.
Тригонометрия. Значение тригонометрии, ее приложения. Способ вычисления тригонометрических линий. Доказательство теорем, на которых основывается вычисление треугольника, и приложение их к задачам, решаемым на местности.
Определение длины окружности, площади круга и его частей. Квадратура круга.
Геометрия тел. Общие сведения о телах с тремя измерениями. Различные взаимные положения линий и плоскостей. Свойства телесных углов. Призма, пирамида, конус, шар и его части. Вычисление поверхностей и объемов.
Геометрия практическая. Применение столика при измерении расстояний и изготовление карт. Съемка участков местности.
Науки математические. Курс 1. Алгебра. После объяснения сущесгвенного различия между арифметикой и алгеброй излагаются предварительные сведения, цель и ее приложения. Знаки и действия, применяемые в алгебре. Действия над одночленами и многочленами. Классификация и свойства уравнений. Правила решения уравнений первой степени с одной и многими неизвестными. Общая теория неопределенных уравнений первой степени. Возвышение в степень и извлечение корня.
Бином Ньютона. Его применение и обобщение на отрицательный и дробный показатели. Уравнение высших степеней. Неопределенные уравнения второй степени. Решение уравнений высших степеней с одной неизвестной (второй, третьей и четвертой степеней). Мнимые корни. Разложение функций в ряды.
142
Возвратные ряды. Алгебра заканчивается изложением теории круговых функций.
Курс 2. Геометрия аналитическая. В аналитической форме изучались прямая, плоскость и кривые второго порядка.
Курс 3. Дифференциальное и интегральное исчисления по книге Лакруа в плане: предварительные сведения о функциях различного вида, цель и значение дифференциального исчисления, правила дифференцирования, формулы Тейлора и Маклорена, разложение функций в ряды, разложение в ряды тригонометрических и логарифмических функций, дифференцирование функций двух и многих переменных, исследование кривых с помощью дифференциального исчисления, интегральное исчисление (правила и задачи).
Как видим, программа по математике по ряду вопросов приближалась к программам высших учебных заведений того времени. Кроме того, лицей руководствовался теми же учебниками, что и университеты, но реализация этой программы находилась в руках рядовых преподавателей и поэтому те цели, которые ставились в преподавании математики, не достигались.
Ревизия школ 1826 г. отметила неудовлетворительную постановку учебно-воспитательной работы в лицее и установила факты вопиющей деморализации учащихся и педагогов. Ревизия была проведена профессором О. И. Сенковским. В 1830 г. лицей был закрыт и на его базе был организован кадетский корпус.
* **
Документы свидетельствуют о том, что иезуитская школа не проявляла особого интереса к физико-математическим наукам, а некоторое оживление и подъем в середине XVIII в. не привели к ощутимым положительным результатам, так как орден иезуитов находился в состоянии глубокого кризиса. Иезуиты нанесли большой ущерб развитию братских школ.
Реформа, проведенная эдукационной комиссией, а также деятельность Петербургской комиссии по организации в Б елоруссии народной школы имели прогрессивное значение. Белорусские школы были обеспечены первоклассными учебниками математики, которые издавались названными выше комиссиями.
После реформы 1803 г. Виленский университет приложил много усилий, чтобы унифицировать Образование, обеспечить школу квалифицированными учителями и учебниками по физико-математическим дисциплинам. Большая заслуга в этом принадлежит профессорам университета И. А. Снядецкому и М. М. Полинскому.
143
Г л а в а IV. СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ГИМНАЗИЯХ
И РЕАЛЬНЫХ УЧИЛИЩАХ БУО И БЕЛОРУССКИХ ГУБЕРНИЙ ВУО
( 1829- 1917)
§ 1. ПОСТАНОВКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ У Ч Е БН Ы Х ЗАВЕДЕНИЯХ БЕЛОРУССКОГО УЧЕБНОГО ОКРУГА.
МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В XIX в.
Виленский учебный округ был непомерно большим и поэтому трудно управляемым. В него входили три украинские губернии, вся Литва и Белоруссия. В 1829 г. из Виленского учебного округа был выделен Белорусский учебный округ, в который первоначально вошли Витебская и Могилевская губернии. Первым попечителем Белорусского округа был назначен известный в истории нашего просвещения Г. И. Кар- ташевский.
Карташевский (1777— 1840) происходил из обедневших дворян, родовых имений не имел. Среднее образование получил в Московской дворянской гимназии, высшее — в Московском университете, в котором учился в 1796— 1799 гг. После окончания университета в 1799 г. был назначен учителем высшей математики в Казанскую гимназию. В январе 1805 г. назначен адъюнктом высшей математики в Казанский университет, где работал до 5 декабря 1806 г. Его деятельность в Казани изображается такими чертами в воспоминаниях писателя С. Т. Аксакова: Карташевский «принадлежал к небольшому числу тех людей, нравственная высота которых встречается очень редко и которых вся жизнь есть — строгое проявление этой красоты»; в бытность учителем он «серьезно занимался^ своей наукой и, пользуясь трудами знаменитых ученых по этой части, писал собственный курс чистой математики для преподавания в гимназии, читал много немецких писателей, философов и постоянно совершенствовал себя в л а тинском языке»; в университете «увлекательно и блистательно» преподавал свой предмет и так высоко поставил в юном университете преподавание математики, что постановкою его здесь был поражен знаменитый Бартельс, вскоре после того назначенный в Казанский университет. 1*
* Дальнейшая карьера Карташевского проходила так: в 1807 г. определен в комиссию по составлению законов на должность редакторского помощника, в январе 1809 г. уволился из этой комиссии и был назначен сто-
144
Карташевский был в высшей степени исполнительным человеком и дорогу к высоким постам государственной службы пробивал себе трудом. Назначение Карташевского попечителем учебного округа в Белоруссии нельзя назвать ошибочным или неудачным: он был опытным чиновником, знал людей и понимал дело, был достаточно образованным, чтобы руководить просвещением в Белоруссии. Приняв под свое руководство округ, Карташевский совершил объезд его, посетив многие школы, изучил статистику этого края, на данные которой ссылался впоследствии при обосновании своих планов. *
За короткий период своей деятельности Карташевский осуществил в Белоруссии большой план организации новых учебных заведений и преобразования духовных училищ в светские учебные заведения. Приведем факты. Из донесений Карташевского читаем: «В Гродненской губернии одно лишь светское училище, а 7 вверены монахам разных орденов, в Минской первых 5, а монастырских 7,... В юго-западной части Минской губернии,, ниже Минска, на великом пространстве нет ни одного гражданского училища, а монашеских 3 на степени уездных... В 1830 году, приняв новоучрежденный Белорусский округ в сзое управление, прежде всего я должен был заняться учреждением светских училищ на место духовных...» 2
По поводу монастырского образования Карташевский писал: «Первоначальное образование юношества вверено монахам, коим государственная польза чужда... В Белоруссии римско-католическое духовенство старалось распространить и утвердить свое влияние на воспитание почти исключительно дворянского юношества, оно не заботилось заводить первоначальных училищ для нижних классов Народа и где таковые существовали, оные были совершенно незначительны»3. Карташевский обратил внимание на организацию начального
лоначйльником в экспедицию государственного хозяйства, с 7 июня 1811 г. занимал должность начальника первого отделения этого ведомства. При преобразовании упомянутой экспедиции в департамент был назначен начальником его первого отделения. В этой должности служил до 16 октября 1816 г. В августе 1817 г. определен экспедитором департамента юстиции, откуда уволен по болезни 8 февраля 1819 г. В мае 1819 г. назначен начальником первого отделения в департамент податей и сборов. 11 января 1820 г. уволился из этой должности и 16 мая того же года определен на должность начальника второго отделения Департамента духовных дел. В мае 1824 г. определен директором департамента Главного управления духовных дел и иностранных исповеданий, 3 августа 1829 г. «повелено быть попечителем Белорусского учебного округа», уволен ? марта 1835 г.; скончался в 1840 г. в звании сенатора.
* Д ля нравственной характеристики Карташевского приведем такой лример. При одном из очередных вояжей по округу один из директоров школ, косвенно узнав об этом, выслал ему навстречу тройку лошадей. К арташевский изменил направление, минуя эту дирекцию.
145
образования и привлекал к участию в расходах на него помещиков и духовенство. В организации начального образования он руководствовался положением, что «для образования мещан устроить во всех повятовых городах приходские училища». Для подготовки учителей (начальной школы) он организовал учительскую семинарию в Витебске. В начальных школах преподавание было организовано им главным образом по методу взаимного обучения, которое в Белоруссии пустило глубокие корни и продолжало жить в начальной школе до 50-х годов.
При осуществлении этого плана Карташевский остро нуждался в учителях. Он писал: «Я борюсь с затруднениями устроить здесь светские училища по недостатку учителей». В связи с этим он обращался к министру просвещения с просьбой направить на педагогическую работу в Белорусский учебный округ часть выпускников Московского, Казанского и других университетов. С этой целью он ездил в Москву, чтобы лично произвести вербовку студентов, оканчивающих университет, для работы в Белорусском учебном округе, стремясь, таким образом, обеспечить гимназии и уездные училища преподавателями с университетским образованием. В этом ему принадлежит большая заслуга.
По его инициативе был открыт ряд средних учебных заведений, в частности, гимназия в Гродно (1834). Уездные училища, по мнению Карташевского, должны быть дворянскими и представлять отделения гимназий и «поэтому должны иметь те учебные книги и следовать тому способу учения, которые приняты будут для гимназий». В начале тридцатых годов значительно возросло число учащихся гимназий. Система образования была преобразована им на принципах устава 1828г.
Некоторых студентов, учившихся в Виленском университете, он командировал в Московский университет для продолжения образования, главным образом для совершенствования в русском языке. Он поднимал также вопрос о преподавании польского языка тем студентам, которые будут направлены для работы в Белорусский учебный округ. Содействовал изучению литовского языка. Способствовал тому, что преподавание в округе стало вестись на русском языке.
Карташевский исходатайствовал 20 стипендий для выпускников гимназий округа в Петербургском, Московском, Харьковском и Казанском университетах. Ему принадлежит идея организации высшего учебного заведения в Орше. По этому вопросу приведем следующий документ:
«Высочайше утвержденным в 9-й день сентября 1830 г. мнением Комитета г.г. Министров, предназначено учредить в Белоруссии высшее училище, в котором бы здешнее благородное юношество могло получить окончательное образова
146
ние, не имея надобности отправлять оное в отдаленные русские университеты, ни в Вильно.»4
Следовательно, вопрос об открытии высшей школы в Белоруссии был предрешен еще до закрытия Виленского университета и не был связан с этим событием. Карташевский составил проект организации лицея в Орше. Были разработаны структура лицея, его устав.
По проекту Карташевского было вынесено правительственное решение: «Основать для Белоруссии в г. Орше высшее училище или лицей», причем, «для дворянских фамилий», с философским и юридическим отделениями. Главная задача философского отделения — подготовка учителей для школ Белорусского учебного округа.
Учебный план философского отделения (1-е подразделение) включал: чистую и прикладную математику, физику и физическую географию, минералогию и геологию, ботанику, зоологию и технологию (сельское хозяйство, льноводство, архитектура).
В мае 1832 г. Карташевскому было поручено привести в исполнение царский указ от 1 мая 1832 г. о закрытии университета. Уклониться от этого поручения он, разумеется, не мог, как и не мог открыто высказать своего отношения к этой в высшей степени неразумной правительственной акции. Ему оставалось одно — подать в отставку. И он неоднократно подавал заявление об отставке. Просьбы его, однако, отклонялись до 1835 г.
Учитывая то, что Карташевский имел математическое образование, работал преподавателем математики в гимназии и в университете, естественно, нас интересовал вопрос о том, как он относился к математическому образованию в своем округе, проявлял ли специальный к нему интерес и что именно сделал для его улучшения. Все многочисленные документы, писанные рукою Карташевского, молчат об этом. Его интересовали вопросы об организации новых школ, о преобразовании монастырских школ в светские, о переходе в преподавании с польского языка на русский, об организации высшей школы в Белоруссии — об этих вопросах он пишет много, но только в виде исключения встречаются документы с упоминанием и математики, внимания на частных вопросах ее преподавания Карташевский не акцентировал.
По инициативе Карташевского школьным комитетом был разработан проект бифуркационной системы гимназического образования в Белорусском учебном округе с отделениями математическим и гуманитарным. В проекте имеется указание: «Усилить преподавание российского и латинского языков и математики, умножив число уроков сих предметов, избирая для них утренние часы».
147
Приведем этот проект.
Математическая гимназия. Четыре высших класса. Проект
Число часов
Предметыв классах
1 2 3 4
1. Закон б о ж и й ................................................................. 1 1 1 1 42. Российская словесность ........................................... 4 4 4 5 173. Польская словесность и логика .......................... 2 2 2 3 94. Перевод с латинского ............................................... 3 3 2 — 85. Всеобщая история и с т а т и с т и к а .......................... 4 4 3 4 156. Геометрия и стереометрия ....................................... 6 2 — — 87. Алгебра ........................................... 2 3 2 78. Тригонометрия ............................................................ — 1 — — 19. Приложение алгебры к г е о м е т р и и ...................... — — 2 2 4
10. Землемерие и топографическое черчение . . . — — 2 — 211. Архитектура гражданская и военная, черчение — — 1 3 412. Начертательная геометрия ................................... 2 213. М е х а н и к а ................................................................ — — — 2 214. К о с м о г р а ф и я ................................................................ 1 — — — 115. Физика с начальными основами химии . . . . — 3 4 2 916. Зоология ......................................................................... 2 — — — 217. Ботаника и минералогия ....................................... — 2 1 — 318. Немецкий язык ............................................................ 3 2 3 3 1119. Французский язык .................................................... 2 3 3 3 И
30 30 30 30 120
Математические предметы составляют четвертую часть- всех учебных предметов — 30 часов, естествознание — 15 часов.
Учителей математики два: один из них преподает геометрию, тригонометрию, приложение алгебры к геометрии, начертательную геометрию (геометрический цикл), второй — алгебру, землемерие и топографическое черчение, архитектуру, механику. Один преподаватель физики. Показательно, что* математический анализ не входит в этот план. Аналитическая геометрия, несомненно, входит в п. 9.
В выполнении ряда необходимых текущих дел по математическому образованию (обеспечению учебниками, математи
148
ческими инструментами и др.) некоторую помощь оказывал Карташевскому его бывший ученик по Казанской гимназии и университету профессор и ректор Московского университета Д. М. Перевощиков. Учебники Перевощикова в 30—40-х годах были распространены в Белорусском учебном округе, ими пользовались в гимназиях. В реестрах библиотечных книг встречается также «Алгебра» Лобачевского. *
В 30-х годах прошлого столетия белорусские школы перешли на министерские планы и учебники. Но процесс унификации в преподавании математики продолжался еще длительное время. Единых программ по гимназическому образованию еще не существовало. Сравним программы белорусских гимназий 1837 и 1847 гг.
В программах 1837 г .6 курс арифметики коренным образом отличается от предшествующих. Он включает только первые четыре действия над целыми и дробными (отвлеченными и именованными) числами, пропорции и задачи на правила. Большое внимание уделяется таким вопросам, как обоснование арифметических операций, взаимная связь между опера
* Официальная переписка Н. И. Лобачевского с Виленским университетом и попечителем Карташевским касалась следующих вопросов: о назначении на работу в БУО выпускников Казанского университета (один из них, Тефрас, длительное время успешно работал в Гродненской гимназии), о командировании молодых людей, окончивших белорусские гимназии, в К азанский университет для продолжения образования (некоторые из них работали затем в Казани, как, например, учитель Имшеник), о пожертвованиях на памятник Г. Р. Державину, реляции об исключении студентов из К азанского университета и др. Неофициальной переписки обнаружить не удалось, да и вряд ли она была. Но в официальной переписке встречаются намеки на то, что Лобачевский имел контакты с А. М. Княжевичем.
В ряде реляций за подписью Н. И. Лобачевского сообщается, что студенты за пьянство и нравственное разложение отдаются в солдаты. Это было самое сильное наказание в те времена для студентов. Содержание этих документов невольно заставляет подумать о степени того участия, которое принимал Лобачевский в решении судеб провинившихся студентов. Если эти дела о студентах проходили формально, в соответствии с буквой устава Казанского университета, то роль ректора в этих решениях была совсем невелика. Однако, если учесть в целом деятельность университета того времени (немногочисленность студентов и преподавателей, авторитет Лобачевского, начало его ректорской деятельности, эпизодическое исполнение им обязанностей попечителя), то можно утверждать, что ректор имел достаточно сильные средства воздействия на конечный исход дела.
Биографы Лобачевского характеризуют его как человека исключительно гуманного, доброго по отношению к студентам. И это соответствует действительности, так как подтверждается многочисленными документами. Однако его проявления добра имели свои разумные пределы, определявшиеся требованием справедливости и высоким пониманием служебного долга. Он прощал студентам проступки невинного характера, поступки, которые вполне объяснимы и естественны для молодежи, но он был нетерпим к аморальным проявлениям в жизни студентов. Серия документов, хранившихся в архиве Виленского университета, как раз подтверждает это. В них сообщается об исключении студентов из Казанского университета за аморальное поведение.5
149
циями. Однако ссылок на законы арифметических операций нигде явно не делается. Последние разделы — теория пропорций и задачи на правила — составляли всегда предмет особого внимания преподавателей, как имеющие практические приложения. Практический аспект курса арифметики играл весьма большую роль в преподавании: «Арифметику употребляют более люди, занимающиеся торговлей... И можно ли исчислить обстоятельства, в коих употребление арифметики необходимо?!»
Геометрия представляла собой классический евклидовский курс, переработанный в начале прошлого века для школы. Курс изобилует задачами на построение, на преобразование фигур в равновеликие (по площади). Задачи сравнительно легкие, посильные для ученика, внимательно изучившего курс геометрии.
Далее идет небольшой курс тригонометрии с акцентом на решение треугольников. Практические приложения как в курсе геометрии, так и тригонометрии отсутствуют. Практическая геометрия выделена в особый раздел. Этот подход к решению педагогической задачи соединения теории с практикой в отечественном преподавании математики дает основание считать его специфическим для этого края. В данной программе практическая часть геометрии содержит описание геодезических инструментов и около 15 задач, относящихся к определению высоты предметов и расстояний между двумя пунктами на местности и съемке планов. В дальнейшем эта часть была исключена из учебного плана. Геодезические приложения были включены непосредственно в курс геометрии, и их объем был значительно сокращен. Причем трактовка этих приложений носила более теоретический (книжный) характер, нежели чисто практический (работа в поле).
В гимназии изучался достаточно полный курс аналитической геометрии на плоскости: уравнение прямой, угол между двумя прямыми, уравнение окружности, уравнения и свойства эллипса, гиперболы и параболы. В таком объеме курс аналитической геометрии входил в гимназические программы не только Белорусского, но и всех прочих учебных округов. В 1846 г. он был исключен из учебного плана.
Содержание курса алгебры следующее: многочлены и алгебраические дроби, уравнения 1-й степени, линейные системы (решение и исследование),-уравнения 2-й степени, извлечение квадратных и кубических корней из чисел и многочленов, извлечение по приближению, пропорции, прогрессии, логарифмы, соединения, бином Ньютона, обобщение его на случай дробного и отрицательного показателя, разложение в ряд показательной функции, неперовы логарифмы, действия с радикалами, решение двучленных уравнений, теорема Безу,
150
решение трехчленного уравнения, сводящегося к квадратному, общие свойства уравнений, их преобразование, решение в рациональных числах, приближенное решение уравнений по способу Ньютона, решение уравнения 3-й и 4-й степеней.
Рассмотренная программа не была единой для всех гимназий Белоруссии. Вот перечень тех вопросов, которые в данной программе отсутствовали, но были отражены в других: комплексные числа («умственные или невозможные»), основная теорема алгебры (без доказательства), возвратные уравнения, непрерывные дроби, исследование уравнений 2-й степени, теория симметрических функций, неравенства, неопределенный анализ, алгоритм Евклида, применение для решения системы линейных уравнений «общих правил», т. е. определителей.
Космография была самым близким к математике предметом. Устройство солнечной системы описывалось по Копернику. Кинематика и динамика движения планет — по Кеплеру и Ньютону, при этом рассматривались законы механики Ньютона и даже освещался вопрос о возмущениях в эллиптических движениях. Словом, это был вполне научный курс, но представленный в доступном для учащихся изложении. Заметим еще, что в этом курсе наряду с теоретическими освещались вопросы, раскрывающие практическое значение астрономии для жизни людей, их деятельности. *
Программа 1847 г. отличается от рассмотренной большей четкостью и систематичностью, но зато уступает значительно в отношении содержания.7 В ней отсутствует ряд существенных вопросов и разделов, которые входили в программу 1837 г. По алгебре исключены все вопросы, которые условно можно было бы назвать «элементами высшей алгебры» (учение об уравнениях, степени выше второй, включая численные методы решения); отсутствует обобщение биноминальной формулы на случай любого рационального показателя. Полностью исключены достаточно развитые разделы аналитической геометрии и геометрических приложений к геодезической практике. Вопросы приложений включены в курсы геометрии и тригонометрии, но в более сокращенном объеме. Все эти вопросы не компенсированы программой 1847 г. Правда, в ней встречаются новые вопросы, но, по нашему мнению, неравнозначные
* Некоторые вопросы из курса космографии (Витебская гимназия).1. Что есть космография и польза от нее?2. Что называется миром или вселенной и какой она имеет вид?3. О доказательствах, служащих к удостоверению, что Земля есть
круглая.4. О суточном и годовом движениях Земли и зависящих от онаго яв
лениях.5. К акая величина земного шара и способ определения оной?6. О долготе и широте места и как они определяются.
*51
тем, которые исключены. Заслуживают упоминания следующие из них: теорема о каноническом разложении числа на простые множители, непрерывные дроби, изучавшиеся ранее не во всех гимназиях, учет векселей, элементы сферической геометрии. Более полно представлен раздел «Приложения алгебры к геометрии».
Таким образом, программа 1847 г. была меньше по объему, нежели программа 1837 г.; ее можно рассматривать как прототип для программы всего последующего времени, вплоть доXX в. Воспроизведем те документы, которые относятся к оценке программы 1847 г. преподавателями математики 3-й Петербургской гимназии, директором которой был известный математик-методист Федор Иванович Буссе.
Отзыв директора Ф. И. Буссе:«По математике эти программы соответствуют чтению ма
тематики и физики в 3-й гимназии, с тем различием только, что в последней приняты объяснения из позднейшего руководства, по математической географии — изложена по программ е академика Ленца, развитой руководством Талызина, принятым в 3-й гимназии. Уроки геометрии и арифметики в общем составе одинаковы с 3-й гимназией».8
«Вообще, судя по программам Белорусского учебного округа, видно, что положенные предметы развиты ими в полноте; что распространение знаниц было главнейшей задачей при составлении программы и что научные сведения есть цель гимназического воспитания, за которую уже должно открываться подробное приложение. В этом отношении учение в 3-й гимназии существенно разнствует: тут теория не получает преимущества перед упражнением практическим и оба эти способа уравновешиваются через соответственное их употребление».9 В БУО упражнения составляли незначительную долю курса, преобладала теория. Это вызвало замечание рецензента.
7. О точках или линия& на сфере, принятых астрономами за главные, дабы к ним относить положения прочих точек и сколько их.
8. Какова есть система Коперникова собственная и усовершенствованная?
9. Об орбитах планет.10. Что есть Солнце, расположение онаго от Земли и величина его?11. Из чего состоит Солнце? От чего происходит солнечное затмение?12. Что есть Луна и какие положения принимает она на своде небес
ном относительно Солнца?13. О больших и малых планетах (расстояние, размеры, физические ха
рактеристики).14. О кометах.15. О движении звезд.16. О Кеплеровых и Ньютоновых законах движения планет и о силе,
содержащей стройность мироздания.17. О вековых неправильностях.18. О всеобщем тяготении.19. О возмущении эллиптического движения вообще.
152
«На предписание от 6 октября текущего года о сравнении программ Белорусского учебного округа со здешними, имею честь донести, что программа математики, исключая маловажные перемены в порядке предложений геометрических, совершенно сходна с нашею. То же самое относится и к программе физики, которая тем более согласна с нашею, что составлена по учебнику г. Ленца, который принят за руководство и в здешних гимназиях...» Таким образом, по крайней мере по объему изучаемого материала белорусские гимназии находились на таком же уровне или, во всяком случае, не ниже, чем гимназия, в которой работали учителя под руководством известного педагога Ф. И. Буссе.
«Что касается программы по математической географии,, то она совершенно отлична от способа изложения этой науки в здешней гимназии. Программа Белорусского учебного округа начинает прямо рассмотрением вида и величины Земли, за этим следует суточное и годовое ее движение, потом движение Луны и явления от того происходящие и, наконец, солнечная система Коперника. Главный недостаток этой программы состоит в том, что ни в одной статье не показаны способы, которыми достигнуты были познания изложенных истин и не приведены доказательства для подтверждения сказанного; от этого в уме учащихся должно необходимо остаться сомнение в справедливости преподаваемого учителем. Следствием неточной системы было также то, что многие статьи совершенно опущены, как-то: о звездном времени, о параллаксе, об аббера- ции света, о способах изображения земной поверхности на плоскости. В программе г. Ленца, по которой составлено руководство г. Талызина, принят тот способ, которому должно всегда следовать при изложении естественных наук, т. е. сперва излагается то, что мы наблюдаем на небесном своде, и отдельные наблюдения соединяются таким образом, чтобы дать ученикам полное понятие о видимом движении небесных тел; потом излагаются причины, заставляющие нас принимать эти движения за видимые, показывается, от каких истинных движений могли бы произойти эти видимые движения и почему первые должно принимать за истинное, наконец, чтобы показать, от каких физических причин происходят эти движения, излагается закон всемирного тяготения. Из этого видно, что программа г. Ленца имеет преимущество над программой Белорусского округа по строгой последовательности, которая: есть необходимое следствие верного взгляда на науку и точной методы изложения.» 10 Суть критического замечания сводится к тому, следовательно, что теоретические положения не обосновываются данными наблюдений и логическими аргументами. Кроме того, курс изучается в сокращенном виде.
В жизни гимназий БУО отметим следующий существенный:
153
момент. В начале сороковых годов при гимназиях были организованы реальные отделения, что вызывалось необходимостью подготовки кадров для развивающейся промышленности в Северо-Западном крае. На этих отделениях изучались химия, технология и механика. Специальных учебников по этим предметам не существовало, и, как указывается в отчетах, преподаватели руководствовались собственными записками. Все эти предметы имели практический уклон, например, преподавание химии и технологии основывалось на местном производстве (хлопчатобумажное и льняное дело, производство кирпича, стекла, сельская архитектура и т. д.). Гимназии имели в связи с этим учителей по техническим предметам и геометрическому черчению, которое изучалось довольно основательно. Так, например, в одном из отчетов читаем о пройденном материале: «способ черчения прямолинейных фигур, кривых линий, проекции геометрических фигур и черчение колонн, взаимное пересечение поверхностей, теория теней, черчение машин, архитектурное черчение».*
В 1846 г. при Витебской и Могилевской, а в 1851 г. при Минской гимназиях были открыты землемерные классы. Они были вызваны к жизни потребностью в землемерах для проектировавшейся люстрации помещичьих земель. Но последняя не состоялась, и поэтому землемерные классы вскоре были закрыты.
Программа по основному курсу этой специальности и список инструментов были составлены профессорами Петербургского университета Савичем и Ильенковым. Инструменты изготовлялись в мастерской этого университета. Петербургский университет готовил для этих гимназий преподавателей.
Предметы изучались следующие: низшая геодезия, начальные основания агрономии, хозяйственная химия, межевые законы, черчение планов, система и форма люстрационной съемки и практические занятия в поле. По этим предметам рекомендовались учебники известного в 40-х годах геодезиста Болотова — «Геодезия» (2 части), «Курс высшей и низшей геодезии», «Руководство к производству хозяйственной съемки, межевания и нивелирования». Для учителей рекомендовалась «Геодезия» Перевощикова. Срок обучения был установлен 3 года. В этих классах гимназические предметы были сняты (за исключением математики, физики и закона божьего), вместо них были введены специальные предметы.
Для систематической подготовки землемеров были открыты в сороковых годах землемерные классы при уездных училищах. Это были четырехклассные училища, в которых изуча
* Элементы начертательной геометрии входили в учебный план гимназий в качестве обязательного предмета до 1846 г.
154
лись из математических и специальных предметов арифметика, геометрия, геодезия, черчение, алгебра, каллиграфия и межевые законы. Эти училища работали по планам аналогичных училищ в Петербурге и Туле. В отношении изучения математических предметов училища руководствовались следующим наставлением: «Вменить в* обязанность преподавателям, чтобы все учение было направлено к практическому применению, отнюдь не допуская излишней умозрительности, более отвлекающей от настоящей цели учения и, следовательно, вместо пользы приносящей существенный вред на практическом поприще жизни».
По арифметике не рекомендуется заботиться о научной форме изложения и строгости доказательств, достаточно усвоения учащимися механизма вычислений и приобретения навыков решать практические задачи. Начала алгебры не должны преподаваться отвлеченно, а вместе с арифметикой и служить ее продолжением, «переводя тотчас алгебраические выводы на числовые, отнюдь не давая учащимся повода отвлекаться в отвлеченный анализ». Геометрия должна преподаваться в направлении практической цели, не обременяя доказательствами ненужных теорем, а лишь тех, которые могут быть применены на практическом поприще. По стереометрии сообщались без доказательства приемы определения поверхностей и объемов простейших фигур.11
Во второй половине XIX в. белорусская средняя школа была приведена в соответствие с русской в отношении учебных планов, программы и учебной литературы.* Каковы методологические особенности школьной математики этого периода?
Развитие математической науки XVIII и XIX вв. коренным образом изменило школьный курс математики. В чем выразилось влияние науки?
Мы видели выше, что учебные планы по математике почти всей первой половины XIX в. характеризуются весьма высоким научным содержанием учебного материала. Причем это явление не было специфическим только для школ БУО или даже для России, оно было всеобщим. Коренная причина этого заключалась в бурном развитии в XIX в. промышленности, торговли, требовавшем массу деятельных людей с высоким уровнем естественно-математического образования. Но к концу полустолетия все те разделы, которые сближали школьный курс математики с наукой, были сняты.
Попробуем объяснить это парадоксальное явление.Повышение роли математики в гимназическом образова
нии в первой половине прошлого века, особенно в начале, свя* Округ был преобразован, белорусские губернии снова вошли в состав
Виленского учебного округа. Витебская и Могилевская губернии некоторое время входили в состав Петербургского учебного округа.
155
зывалось с его реальным направлением. С течением времени гимназии все более и более отходят от этого направления, и, наконец, полностью переходят на рельсы «классической программы», как отвечающей цели дворянского воспитания.
Классическая гимназия ограничилась тем минимумом математических знаний, который удовлетворял цели формального развития мышления учащихся. Но некоторая компенсация была произведена за счет увеличения программы в реальных училищах, отвечавших образовательной цели промышленников и торговцев.
В документах, относящихся к визитации школ, наблюдается усиление требований в изучении предметов, в частности, требование «основательного изучения математических наук». Повышался уровень строгости. Очевидно, ранее, при столь обширном плане этого не удавалось достигнуть; имело место, следовательно, изучение математики на уровне общих представлений о предмете. Это новое требование возможно было выполнить при условии частичного сокращения программы.
Одним из существенных мотивов сокращения программы по математике в первой половине столетия было введение практических занятий (упражнений) по математике. В конце XVIII и начале XIX в. математика изучалась главным образом по теоретическим учебникам, содержавшим то или иное число задач для иллюстрации теории и приобретения некоторого навыка в решении задач. При отсутствии задачников этот навык был достаточно скудным. Но уже с начала века учителя по собственной инициативе составляют задачники и пользуются ими в своей преподавательской работе. В России большая заслуга в издании задачников (как и учебников) принадлежит Ф. И. Буссе. В Виленском учебном округе изданием их занимался профессор Вырвич. С этого времени появляются все новые и новые задачники по различным математическим и другим предметам, причем в деле их создания активное участие принимали рядовые учителя математики. Переход от вербального способа преподавания к новому, основанному столько же на изучении теории, сколько и на развитии навыка, естественно, потребовал сокращения теоретического материала.
Начиная с конца первой половины прошлого века, а точнее — со времени, когда официальную педагогику математики стал возглавлять П. Л. Чебышев, были повышены требования к строгости изложения элементарного курса математики. Это явление мы рассматриваем как непосредственное следствие возросшей степени строгости в самой математике. Действительно, интерес к проблеме логического обоснования математики является одной из характерных черт ее развития в XIX в.
В отзывах Чебышева требование логической строгости вы
156
ступает на первом плане и кажется чрезмерно жестким, если понимать его буквально. Но Чебышев вполне различал понятие строгости в научном и педагогическом смысле. Например, он браковал учебники арифметики из-за неудовлетворительного доказательства коммутативного закона умножения, но это отнюдь не означало, что он требовал совершенно безупречного его доказательства. Чебышев не удовлетворялся доказательством арифметической истины, если оно состояло в проверке ее на частном числовом примере, так как такая проверка не приводит ученика к обобщающей идее. Но если в качестве доказательства на числовом примере построена такая система логически последовательных умозаключений, которая наводит на мысль о справедливости положения в общем случае, то оно удовлетворяло Чебышева. Действительно, в одном месте Чебышев говорит: «Все арифметические предложения и правила должны быть объяснены вполне удовлетворительно и таким образом, чтобы эти объяснения могли заменить собою доказательство».12
Труд Чебышева в области математического образования заключался, во-первых, в разумной с точки зрения методологии сегрегации учебного материала, во-вторых, приведении его в соответствие с требованием науки и школьной практики в отношении строгости изложения. Соответствие школьного курса математики требованиям науки может осуществляться не только путем добавления какого-либо современного материала, но и перестройкой прежнего курса под углом зрения новых концепций (как и одновременной реализацией обоих этих способов). Чебышев, придерживаясь той структуры и содержания учебных курсов, которые сложились в России и целесообразность которых была проверена опытом, усилил требования к полноте и строгости изложения и обратил внимание на изучение ряда частных вопросов.
Научная доброкачественность и полнота — главные критерии в оценке учебников, которыми руководствовался ученый комитет. Н. И. Билибин, работавший в ученом комитете после Чебышева, руководствовался этими же критериями.*
За XIX в. курс школьной математики получил некоторое расширение за счет ряда новых вопросов. В него вошел сравнительно большой раздел из теории непрерывных дробей и теории неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными. Между прочим, теория непрерывных дробей в школьном курсе рассматривалась не только как средство для решения неопределенных уравнений, но и как аппарат для приближенных вычислений.
* Билибин впервые стремился реализовать идею построения курса алгебры на основе развития понятия о числе.13
157
Курс арифметики получил расширение за счет вопросов теоретического характера, имеющих значение для ее обоснования. В 1852 г. был введен курс арифметики в старших классах гимназии и затем реальных училищ с целью привести в систему те сведения, которые изучались эмпирически, и дать им логическое обоснование. В XIX в. заметно повысился интерес к формализации всех резделов школьного курса математики. Мы рассматриваем этот факт как следствие тех исследований по обоснованию арифметики, которые велись почти на протяжении всего XIX в., особенно во второй его половине, и завершились в конце века построением современной ее теории.
Курс геометрии также изменился существенным образом. В начале века в Виленском (а также в Дерптском) учебном округе он преподавался во многих школах непосредственно по «Началам» Евклида. В других учебных округах применялись специальные учебники, написанные разными авторами, преимущественно отечественными. Г осподствующее положение занимают «Основы геометрии» Лежандра (в переработке). Во второй половине XIX и начале XX в. школьный курс геометрии начинает пересматриваться под углом зрения Эрлан- генской программы Клейна.
В начале шестидесятых годов был принят новый план средних учебных заведений, при этом предполагалось, что программы будут составляться на его основе самими учителями. Поэтому в ряде учебников мы видим включение некоторых новых вопросов, выходящих за рамки традиционных курсов. Учебники математики Давидова дают довольно полное представление о содержании этих дополнений.
Наконец, за XIX в. в школьный курс математики на научной основе были введены такие фундаментальные понятия, как понятие предела и функции. Центр тяжести в курсе тригонометрии к концу XIX в. был практически перенесен на изучение тригонометрических функций.
Курс начертательной геометрии во второй половине XIX в.входил в учебный план реальных училищ.
Принцип связи теории с практикой играл большую роль в составлении учебных планов, где наряду с чистой математикой рассматривалась и прикладная, включавшая такие предметы, как гидравлика, статика. Но особенно выпукло этот принцип отражен в требованиях Чебышева. Приведем некоторые из документов: «В реальных гимназиях главным предметом будут науки физико-математические с указанием приложений оных к промышленной деятельности».14 Оставив в приходских и уездных училищах предметами учения те же по названию науки, ученый комитет полагает необходимым придать изучению их более практическое направление, сообщая сведения более доступные понятиям учеников и более пригод
458
ные для будущей их деятельности.15 В уездных училищах предусматривались по курсу геометрии измерения в поле и чертежные работы в классе «дабы, с одной стороны, утвердить в них теоретические знания, а с другой стороны — ознакомить их с практическими приложениями наук меры и числа» 16. Чебышев большое значение придавал практике устных вычислений в школе, так как они «много содействуют развитию умственных способностей детей. Такие задачи представляются ежечасно в обыкновенной жизни...»17 В учебном плане гимназии о математических предметах сказано, что они весьма важны как по своим приложениям, так и по влиянию на умственное развитие учащихся. С целью ознакомления с приложениями математики в упомянутом плане предлагалось ввести курсы оптики и механики.18
Практическое приложение геометрии заключается «в упражнениях в межевании в поле под руководством учителя с помощью астролябии, цепи и прочих принадлежностей межевания. Такие и подобные им упражнения могут лучше всего возбудить интерес к геометрии учащихся, которые, не видя практических приложений этой науки, обыкновенно не вполне сознают необходимость ее изучения».19
При рецензировании курсов тригонометрии Чебышев обращал внимание на приложение ее в практике и отдавал преимущества тем из учебников, в которых эти приложения были представлены в развитом виде. При изучении математики, говорил Чебышев, нужно в равной мере заботиться о приобретении не только теоретических знаний, но «также и навыков к употреблению математики на практике».20 Как результат влияния практических потребностей в курс математики средней школы был введен раздел приближенных вычислений. В его разработке принимали участие как университетские профессора, так и учителя средних учебных заведений.
Как развивалась методологическая концепция школьного курса математики в XIX в.?
Методологическая основа развития математики как орудия изучения природы в XVIII в. была перенесена на школу. В начале XIX в. задача изучения математики состояла в том, чтобы развить интеллект учащихся в направлении решения практических задач средствами математики. Этими последними являются математические алгоритмы. Точка зрения на математику как алгоритмическую науку, благодаря работам Снядецкого, была популярной в Белоруссии.
Практический аспект отражен в ученических сочинениях на тему о пользе математики. Приведем цитаты из этих сочинений (Витебская гимназия).
«Какую пользу доставляет математика в общежитии? Пользу, доставляемую математикой, можно рассматривать в
159
двояком отношении: она развивает умственные способности, и изучение оной необходимо и полезно в общежитии. Никакая наука не способствует столько к возбуждению внутренней деятельности, как математика.»
«Среди множества различных нужд и интересов, где всякий ищет прибыли, что же будет делать тот человек, который не в состоянии дать себе отчета, что он когда-либо выручил или издержал? Может ли он воспрепятствовать, чтобы имение его не было расхищено руками тех, которые окружают его и стараются воспользоваться его неумением. Арифметику употребляют более люди, занимающиеся торговлей... Но можно ли исчислить обстоятельства, в коих употребление арифметики необходимо?» Перечисляется применение математики в астрономии, физике... Или еще:
«Могли ли бы (без математики) морские державы иметь такую славу и пышность, без сомнения сии цветущие торговые города значительно уменьшились бы в своем богатстве и утратили бы свое величие».21
В основу определения математики кладется понятие о величине. Предмет математики — изучение величин. Это основное понятие математики определялось преимущественно путем указания на то ее свойство, что она способна изменяться — увеличиваться и уменьшаться, или на ее аддитивный характер. В основу определения математики было положено, следовательно, такое понятие, которое является отображением свойств реального мира и средством его изучения. Свойство величины изменяться приводит к понятию операции и идее порядка (математика — наука «об отношении количеств» или наука о «порядке, числе и мере»). Таким образом, понятие величины, понятие отношения «больше» («меньше») и операций являются непосредственным абстрагированием реальных процессов. Такое понимание математики объясняло в свою очередь возможность ее применений при изучении природы. Эта концепция, несомненно имеющая материалистическую основу, занимала в начале XIX в. господствующее положение в педагогике математики Белоруссии.
В школьных учебниках было распространено определение: «Математики обыкновенно называют величиной все, что может быть увеличено и уменьшено». Критика его встречается еще в первой половине XIX в. Подчеркивалось, что понятие величины, как и любого другого исходного понятия в математике, нельзя определить удовлетворительным образом. В данном случае обращалось внимание на противоречивый характер этого определения, заключающийся в том, что изменение величины может быть охарактеризовано применением операции, между тем как понятие операции является производным от понятия «изменение». Анализ понятия величины в
160
дальнейшем привел к аксиоматическому ее определению. В развитии школьной математики прикладной аспект ее учитывается до 70-х годов, с этого времени на приложения все менее обращается внимание. Теория отвлеченного числа занимает доминирующее положение.
В 1858— 1860 гг. ученым комитетом под руководством Чебышева был разработан проект нового устава гимназий. Хотя этот проект не был реализован, но для истории просвещения он имеет значение, так как позволяет уяснить общий взгляд, основную идею реформы, касающуюся математического образования. Не останавливаясь на содержании этого проекта, мы подчеркнем лишь ту концепцию математики, которая была положена в его основу.
Все предметы по этому уставу подразделяются на три группы, и каждой из них предписывается своя цель преподавания. Особую группу составляют «науки, дающие нам понятие о физической жизни человека и всей природы, нас окружающей». В эту группу входит и математика, которая «знакомит нас с законами количественных и пространственных отношений внешней природы».22 Этот взгляд отражает по существу то же понимание математики, которое было высказано Энгельсом в его определении этой науки. Но в 70-х годах восторжествовала реакционная политика в области просвещения, которая математике отвела роль лишь инструмента для шлифовки научного отвлеченного мышления, игнорируя ее прикладное значение: «точность математических определений, строгость доказательств и построений, непреложность положений и выводов производит превосходное действие на молодой ум: он привыкает к неослабной внимательности, к точности, основательности и логической строгости и даже (к точности) словесного выражения. В математике молодой ум постоянно трудится самостоятельно; делая известные положения, он знает, почему их делает». Этому требованию отвечала программа по математике 1890 г., по которой гимназии работали свыше 20 лет.23
§ 2. НЕКОТОРЫ Е ПРОГРЕССИВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ БЕЛОРУССИИ
КОНЦА XIX И НАЧАЛА XX в.
Девяностые годы прошлого века характеризуются бурным развитием всех отраслей народного хозяйства России. В связи с этим процессом и как его следствие происходит рост прогрессивного общественного движения, активизируется деятельность в области просвещения. Классическая форма образования приходит в противоречие с экономическими тенденциями
6 Н. Д . Беспамятных 161
страны, и на этой почве усиливается стремление придать среднему образованию реальный характер. Таким образом, к началу нашего столетия созрела необходимость в коренном улучшении среднего образования, в реформе.
Общественное движение за новую школу в девяностые годы, а затем в начале нашего века приобрело общероссийское значение. Педагогические проблемы обсуждались на съездах русских естествоиспытателей и врачей; новые идеи школьной математики детально рассматривались в научных обществах (при Казанском, Новороссийском, Киевском и других университетах). При Министерстве просвещения и Академии наук работали комиссии по вопросам улучшения среднего математического образования. В ряде учебных округов были проведены дискуссии по проблемам школы, где затрагивались вопросы математического образования в духе идей международной реформы. Вопросы школьной математики были в центре внимания педагогической печати. Появилось сравнительно большое число оригинальных статей и книг по вопросам преподавания математики. Составлялись и обсуждались новые программы и учебники, активно велись поиски новых методов преподавания математики в школе. Материалы названных советов, заседаний комиссий и научных обществ представляют большую историческую ценность.
В России был создан Национальный комитет международной комиссии по реформе математического образования. 24>25 В состав названного комитета входили академик Н. Я. Сонин, профессор Б. М. Коялович и директор реального училищаН. Н. Фохт. К деятельности комитета привлекались и другие лица средних и высших учебных заведений. Позднее в его состав входили профессора К. А. Поссе и Д. М. Синцов.
Работа комитета была прервана в начальной стадии войной, когда он был еще далек от практических дел. Тем не менее в теоретическом отношении результаты его работы имеют важное значение. Прежде всего были четко сформулированы идеи реформы математического образования, составлены обзоры о состоянии преподавания математики в русских школах различного типа и, наконец, изданы программы зарубежных средних учебных заведений.26
Наконец, трудно переоценить то влияние, которое оказали на развитие школьной математики известные съезды преподавателей этого предмета. Они предопределили характер дальнейшего развития школьного курса математики, соответствующего идее реформы, и наметили программу исследований в области методики математики.27
Итогом всей этой поистине гигантской работы явилась попытка реформировать школьный курс математики, построив его на новых методологических началах, сообразованных
с уровнем науки и потребностями житейской практики. Эта реформа коснулась прежде всего реальных училищ, которые в 1906 г. перешли на новые учебные планы и программы. На новые программы, построенные на принципах реформы, перешли некоторые частные гимназии, а с 1910 г.— кадетские корпуса. Этим самым наша школа сделала значительный шаг вперед в направлении сближения учебного курса математики с наукой и практикой.
Реформу преподавания математики в начале нашего века следует рассматривать как следствие тех глубоких изменений в научных представлениях, которые произошли в последней трети XIX в. в математике (теория действительного числа, теория множеств, теоретико-групповая основа классификации геометрии, многообразие применения анализа в математическом естествознании) и в философском мышлении, а также высокого уровня понимания математических приложений к практике.
Главная ее идея заключалась в обновлении школьной математики за счет введения понятия функции, элементов анализа и аналитической геометрии.
Выделение понятия функции в математике как объекта математического исследования было обусловлено двумя факторами: а) применением математики к изучению явлений и процессов природы и техники (математическая формулировка законов природы доставляет конкретные примеры, на базе которых возникает абстрактное понятие функции); б) зрелостью философского мышления эпохи. Мышление с его категориями причины и следствия явилось исходной ступенью для возникновения абстрактного представления функции и развития функционального мышления, при котором соподчинен- ность названных категорий уже утрачивает тот смысл, который им приписывается формальной логикой. Если связь между зависимыми переменными при известных условиях может рассматриваться в прямом и обратном смысле, то формальная логика такого обращения категорий причины и следствия не допускает. В этом мы усматриваем одну из основных причин той трудности, которая стояла на пути абстрактного формирования понятия функции. Но, преодолев эту трудность, мышление поднимается на более высокую ступень — ступень функционального мышления, как одну из форм диалектического мышления. К концу прошлого столетия функциональное мышление и связанный с ним математический аппарат классического анализа были уже обычной нормой всякого научного мышления, всякого исследования, относилось ли оно к изучению внешней природы или человека (геология, изучение нервной системы, не говоря уже об астрономии, физике и
6* 163
т. д.).* Таким образом, почва для реформы была подготовлена не только развитием математики, но и фактором философского значения — активно действующим научным мышлением.
Один из активных деятелей этой реформы председатель Международной комиссии Ф. Клейн следующим образом представлял механизм обновления школьного курса математики за счет введения нового материала: «Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя все новые'проблемы, обрабатывает их, отбрасывая устаревшие, и, таким образом, она вновь и вновь омолаживается. Это справедливо не только для высшей науки, где это само собой разумеется, но и должно иметь место в школьном курсе математики. И последний должен все время преобразовываться по мере перемещения культурных интересов, и, конечно, в рамках возрастных возможностей нашей молодежи... Нормальный путь развития науки состоит в том, что более высокие и сложные части по мере возрастающего выяснения понятий и упрощения изложения становятся более элементарными. Задача школы — решить, требуется ли, исходя из задачи общего образования, включить в школьный курс какую-либо часть математики, ставшую элементарной».28
Однако модернизация школьной математики может быть осуществлена не только путем включения новых математических фактов и теорий, но и путем освещения традиционного материала с новых научных позиций. В этом последнем в настоящее время играют роль теория множеств, понятие структуры, математическая логика, применение алгебраических методов на ранней ступени изучения арифметики и т. д.
Развитие идей реформы математического образования явилось одной из причин возникновения в начале XX в. проблемы философского воспитания учащихся на основе изучения естественных наук и математики. Эта проблема активно дискутировалась в педагогических кругах Белоруссии. Содержание этих дискуссий отражено в материалах педагогических советов школ, в печати и протоколах съезда преподавателей средних учебных заведений ВУО, проходившем в 1908 г. В резолюции секции математики съезда эта проблема получила такое решение:
«Значение математки, как учебного предмета в средней школе по точному смыслу программы 1890 г., определяется почти исключительно с формальной стороны, как средства, развивающего способность строго логического мышления у учащихся. Секция полагает, что указанным взглядом на ма
* Это обстоятельство подчеркнуто в проекте учебного плана по математике Киевского физико-математического общества: «Функции нужны не только натуралисту, без них теперь не обойдется и социолог. Вообще в настоящее время нет ни одной области человеческого знания, куда не входили бы понятия о функциях и их графическом представлении».
164
тематику затемняется высокая важность этого предмета по его внутреннему содержанию и его значению в качестве научного миропонимания. Из установленного секцией взгляда на значение математики не с формальной только стороны, но и со стороны ее содержания и роли в общей системе наук вытекает и цель преподавания математики в средней школе, а именно: развивать у учащихся способность не только правильного логического мышления, но и дать им верное орудие миропонимания».29
Стремление реализовать так называемую идею концентрации учебного материала также заключалось в осуществлении высокой цели воспитания у учащихся единого философского мировоззрения на почве изучения естественных наук и математики, рассматривая их как различные аспекты изучения одного и того же объекта — природы. Математика в плане такого подхода к делу образования играла большую роль и составляла «как бы формальную сторону естествознания», она рассматривалась как орудие изучения природы.
Концентрация обучения рассматривалась как метод воспитания цельного мировоззрения, единого взгляда на окружающий нас мир, воспитания цельной личности. В этой общей постановке «проблема концентрации» не могла быть решена старой школой по следующим двум причинам: во-первых, программы по различным предметам были построены без учета объединяющей их методологической идеи, они не были между собою согласованы; и, во-вторых, в основе учебного плана лежали по существу две противоположные философские концепции взгляда на мир: материалистическая и идеалистическая. Эта двойственность философского начала школьного образования, так сказать, с порога снимала эту проблему. Проблема была решена только в советской школе, где школьный курс математики рассматривается с позиции диалектического материализма и служит воспитанию коммунистического мировоззрения учащихся.
По учебным округам были организованы в той или иной форме дискуссии по проблеме школьного математического образования. В Виленском учебном округе с 25 февраля по 2 марта 1908 г. был проведен съезд преподавателей математики, физики, естествознания и географии средних учебных заведений. Деятельность секции математики этого съезда представляет для нас интерес.
Решения математической секции съезда и деятельность школьных учительских коллективов дают нам материал для рассмотрения следующего комплекса актуальных для того времени вопросов: 1) о введении в школьный курс математики понятия функции, элементов анализа и аналитической геометрии; 2) о введении пропедевтического курса геометрии и
165
3) осуществление связи математики с родственными ей предметами и с жизнью.
Основная мысль реформистской программы заключалась в широком проникновении в школьный курс математики идеи функциональной зависимости, что конкретно должно было выразиться в перестройке курса алгебры на функциональной основе, геометрии — в значительной части на основе идеи геометрического преобразования и введении элементов математического анализа и аналитической геометрии. Школьный курс математики получил в этом плане новое и глубокое идейное содержание, отвечающее требованиям развития науки и практики. Учителя Белоруссии не стояли в стороне от этого мощного и прогрессивного движения. Материалы съезда показывают, что проблема реформы была центральным вопросом в работе секции математики.
Прежде чем перейти к освещению деятельности съезда в этом аспекте, отметим две его особенности. Первая заключается в том, что вся его работа являлась плодом творческого труда самих учителей: на съезде не было представителей науки, на нем были только преподаватели средних учебных заведений. Вторая особенность заключалась в том, что съезд отошел от официальной программы, предложенной управлением округа, и направил свое внимание на обсуждение актуальных вопросов того времени. Главная дискуссия состоялась по вопросу обновления программы за счет введения понятия функции, элементов анализа и аналитической геометрии. Таким образом, работа съезда протекала в основном по тому руслу, по которому развивалось движение за реформу школьной математики.
Дискуссия по этой проблеме развернулась по докладу учителя О. Н. Пономарева «Значение математики и цели ее преподавания». Это был единственный доклад теоретического характера, и, судя по названию, он не обещал затрагивать проблемы реформы, по крайней мере, непосредственно. Программа работы съезда была наполнена вопросами, имеющими важное, но узко практическое значение, как-то: испытание на аттестат зрелости, о домашних работах*, о роли учебника, о перемещении материала из одного класса в другой и т. д. Д оклад о методах преподавания, несомненно, носил теоретический характер, но имел косвенное отношение к проблеме реформы.
Доклад учителя Пономарева определил направление дискуссии. При изложении содержания школьного курса математики и целей его преподавания докладчик исходил из того, как следует понимать математику как науку и опирался при этом в значительной мере на ее материалистическую трактовку. Он говорил, что цель науки заключается в познании зако
166
номерностей в окружающем нас мире, понятие функции является главным орудием этого познания, а поэтому оно является центральным в математике.30
Автор стоял на позиции реформы и, обосновывая ее, говорил: «Отрывочность, традиционность и исключительная отсталость содержания курса математики средней школы породила отчужденность учащихся от существенного содержания математики... Поэтому, при принятом теперь курсе математики в средней школе, нет возможности дать учащимся хотя бы приблизительное понятие о тех удивительных методах вычислений, которые, входя в содержание так называемой высшей математики, делают из нее истинную логику природы».31
Традиционный курс преследует лишь формальные цели, и только обновление его содержания позволит возвыситься над этой ограниченностью и поставить более высокие и общие задачи преподавания — формирование мировоззрения, правильного миропонимания. Это обновление усматривается автором во введении начал анализа и аналитической геометрии.
Секция вынесла решение: «Необходимо реформировать преподавание математики в средней общеобразовательной школе введением в курс ее начал аналитической геометрии и анализа и не в виде только дополнения к существующим программам, но с таким расчетом, чтобы учащиеся при прохождении курса математики и физики могли пользоваться этими началами».32
Таким образом, мы видим, что съезд в этом вопросе стоял на позициях реформы, более того, он понимал, как об этом свидетельствует вторая часть цитированного постановления, что правильное решение проблемы заключается во введении названных курсов не в форме надстройки, а как составной и «рабочей» части курса математики и физики.
С этим главным вопросом мы ставим в связь другой, который рассматривался на съезде, а именно: о минимуме требований, поскольку он решал задачу сокращения традиционного материала и тем самым открывал возможность реализовать
167
предложения о реформе. Материал программы был подвергнут весьма тщательному пересмотру. Были предложения об исключении действительно ненужного материала, который впоследствии, уже в советский период, был исключен из учебных программ. Таки'м образом, можно заключить, что съезд сыграл положительную роль в развитии идеи реформы в Белоруссии.
Как обстояло дело в практике преподавания математики в отношении изучения понятия функции? Из отчетов реальных училищ Белоруссии, а также рецензий на экзаменационные работы учащихся, публиковавшихся систематически в циркулярах учебного округа, можно сказать, что с понятием функции учащиеся основательно знакомились начиная с конца 80-х годов прошлого века. Программа реальных училищ предусматривала исследование некоторых алгебраических функций на максимум и минимум. Хотя в явном виде программа не акцентирует внимание на определении понятия функции и ее графическом представлении, однако в рецензиях указываются недостатки в ученических работах, связанных именно с этим вопросом: «В довольно значительном числе работ обнаруживается неустойчивость в понятии функции», «функция принимается за уравнение», «решим эту функцию» и т. д.*
* Приведем еще ряд общих мест из отзывов, публиковавшихся в циркулярах, представляющих интерес и для современного учителя.33
а) «Алгебра и геометрия суть продукты человеческого ума, развивающегося в направлении познания законов той количественной зависимости, основания которой мы почерпаем посредством опыта из окружающей нас природы. Так как основания (из опыта выведенные положения) и средства (логические законы ума) и цели алгебры и геометрии одинаковы, то ясно, что в выводах этих наук должно существовать соответствие. Это соответствие давно признано и утилизировано (положения и выводы одной науки служат для развития другой). Если даже мнимым количествам отыскан геометрический смысл, то подавно отрицательные и нулевые решения могут и должны быть геометрически толкуемы и понимаемы...» Автор призывает воспитывать в детях веру в силу ума, «привычку вести дело дальше, чем назначено, до возможных пределов разумения...»
б) Поощрялось разнообразие приемов решения, так как в этом выражается «авторская самостоятельность».
в) Обращалось внимание на оформление работ. О работах одной из гимназий сказано: «Изложение в языковом и логическом отношении не оставляет желать лучшего», а в другой гимназии наоборот, отмечается «пренебрежение» к этому вопросу. В связи с этим автор пишет: «Главная образовательная сила математики заключается, не в бессознательном производстве математических операций и случайном применении их к решению задач, поэтому пренебрежение правильной математической речью ведет к упадку теоретической части математического обучения, а следовательно, и к общему ее упадку... Нельзя забывать, что содержание связано с формой и без нее утрачивается».
г) Интересно замечание: «В течение б—7 и более лет должно сказываться в письменной работе влияние преподавателя соответствующего предмета, а поэтому является, его нравственной обязанностью высказывать о причинах неуспеха его метода».
168
Программные вопросы на исследование функций изучались не формально, а с теоретическим обоснованием и графическими иллюстрациями. На основании отзывов рецензентов можно с ответственностью утверждать, что вопросы программы, относящиеся к понятию функции, изучались в реальных училищах Белоруссии с начала 90-х годов достаточно основательно. Архивные материалы о преподавании начал анализа и аналитической геометрии с 1906/07 учебного года свидетельствуют об успешном изучении этих предметов.34
Вопрос о введении пропедевтического курса геометрии, как способствующего раннему развитию у детей пространственных представлений и тем самым облегчающего изучение систематического курса, имеет давнюю историю. В нашей стране он активно обсуждался в 70—80-е годы прошлого столетия. Были изданы учебники и пособия по геометрии, имевшие целью опытным путем ознакомить детей с основными понятиями элементарной геометрии и тем подготовить почву для изучения систематического курса.
Разработка пропедевтического курса шла в трех направлениях, полагающих в основу идеи: 1) наглядное изучение на моделях; 2) проведение практических работ по измерению и черчение геометрических фигур; 3) решение простейших геодезических задач.
Учитель математики Мозырской прогимназии В. Е. Добровольский построил подготовительный курс геометрии на основе измерения и черчения реальных предметов и решения геодезических задач.* Его курс был одобрен учителями и окружной инспекцией, но распространения, однако, не получил, так как официальные установки того времени игнорировали пропедевтику геометрических знаний. Для нас представляют интерес основные посылки автора.
1) Изучение логического курса геометрии без предварительной подготовки представляет для детей большие трудности. Поэтому логическому курсу следует предпослать подготовительный курс геометрии. Автор опирается на то положение, что программа в известной степени должна отражать исторический процесс развития науки: «Знания должны преподаваться детям в той же последовательности, какая замечается в их историческом развитии... При преподавании геометрии необходимо соблюдать такую же постепенность, какая имела место в историческом развитии, т. е. начинать ее практикой» измерения, как у древних египтян и затем перейти к логическому исследованию различных соотношений между геометрическими величинами, подлежащими измерению, как у греков».
* Добровольский Владимир Егорович окончил физико-математический факультет Московского университета в 1873 г. В Мозырской прогимназии работал с 1879 г.
169
2) Твердое уяснение геометрических понятий возможно только тогда, когда в памяти учеников накопится достаточ- ный запас представлений, полученных путем практического знакомства с геометрическим материалом, и, если ученики будут приучены при этом к составлению общих определений,— процессу, при котором из реальных представлений образуются отвлеченные понятия.
3) Метод ознакомления с геометрическим материалом на моделях противоречит психологическому процессу образования отвлеченных понятий и поэтому не пригоден. Геометрическая модель является воплощением некоторой идеи, с которой ученики еще не знакомы. Этот процесс должен быть связан с практическим опытом: «Практика должна постоянно идти рука об руку с умственной деятельностью учеников; та и другая должны помогать друг другу в достижении известной, определенной заранее цели».35 Этому условию удовлетворяет способ, при котором решается некоторый комплекс практических задач по геодезии и черчению. Здесь мы наблюдаем ценную попытку психологического обоснования проблемы. Автор разработал подробную программу и составил пособия для учителя и учащихся.36
На съезде учителей ВУО, о котором шла речь выше, также обсуждался вопрос о введении пропедевтического курса геометрии. Секцией была разработана и утверждена программа по математике для женских гимназий, в которой предусматривался такой курс в 3 классе. Он включал знакомство с некоторыми плоскими фигурами и простейшими телами путем наглядного их изучения и измерения (площадей и объемов).*
Вопрос о введении пропедевтического курса геометрии обсуждался на «Комиссии о мерах содействия физическому, нравственному и умственному развитию учащихся», созданной при управлении округа. Комиссия, констатировав тот факт, что геометрия изучается «слишком теоретически», вынесла решение о желательности усилить знакомство учащихся путем опыта с геометрическими телами и фигурами, поощрять самих учеников в изготовлении геометрических моделей и рекомендовать проведение геодезических съемок.37
В сборниках материалов «По организации школьного обучения на началах научной педагогики» предлагается следующее решение этого вопроса: «Вввести с 1-го класса курс наглядной геометрии, который мог бы отвечать умственным потребностям детей и в достаточной степени удовлетворять трем педагогическим принципам: наглядности, самодеятельности и интересу. Она должна сопровождаться ручным трудом, где
* Заметим кстати, что съезд высказался за организацию женского математического образования на уровне мужских гимназий.
170
ученики будут изготовлять модели геометрических тел из бумаги или папки, пользоваться лепкой, наглядно знакомиться с главнейшими геометрическими понятиями, упражняться в отыскании свойств геометрических величин, практиковаться в черчении фигур, усваивать разнообразные способы определения длины, площади и объема тел, подмечать и сравнивать признаки, общие нескольким телам, делать доступные им легкие выводы из своих наблюдений и т. д. Такая система преподавания позволит развивать у учащихся крайне бедные в настоящее время пространственные представления, идею смутно сознаваемой ныне функциональной зависимости, являющейся центральный учением и конечной целью всей математики, дает материал для отвлеченного курса геометрии, развивает сознательность при изучении геометрических истин путем логического рассуждения, сообщит запас геометрических сведений для практических приложений к жизни. Таким образом усилится образовательное и воспитательное значение математики. Изучение способа измерения объема свяжет геометрию с первоначальным курсом естествознания, что разрушит существующие перегородки между учебным предметом и действительной жизнью. Ознакомление учащихся с шаром и линиями на нем окажет немаловажную услугу первоначальному курсу географии».38 Подчеркивается также важность связи этого курса с арифметикой.
Что касается практического решения этого вопроса, то в некоторых гимназиях Белоруссии (например, Минской) пропедевтический курс геометрии связывался с арифметикой. Ученики 2-го и 3-го классов на уроках арифметики знакомились с геометрическими фигурами и их свойствами. При этом производились их практические измерения и вычисления. Для облегчения изучения систематического курса применялись модели, которые изготавливались учениками, «что немало способствовало прочному усвоению курса».
Некоторые из преподавателей шли по другому пути. В начале курса геометрии они отводили небольшое число часов на огштное ознакомление с ее понятиями. Отмечается при этом, что время, потраченное на это ознакомление, потом вполне вознаграждалось более быстрым и сознательным усвоением систематического курса. Проблема пропедевтического курса геометрии не была решена в старой школе. Но ее опыт был полезен при решении этого вопроса в советской школе.
Вопрос о связи преподавания математики с другими предметами, в частности с физикой, рассматривался на окружном съезде в докладе «О методах и средствах преподавания математики» учителя Несвижской гимназии О. Ф. Лукашевича. Первый и основной тезис его доклада заключался в том, что должна быть установлена связь, с одной стороны, между раз
171
личными математическими предметами и, с другой — между курсом математики и физики.
Идея, заключающаяся в этом тезисе, в последующие годы получила в округе большое развитие и обобщение. Мы имеем в виду так называемую «идею концентрации учебного материала», которая обсуждалась на страницах сборников, содержащих материал «По организации школьного обучения на началах научной педагогики» (издававшихся в качестве приложений к циркулярам Виленского учебного округа), и на педагогических советах. Сущность этой идеи раскрывается следующим образом: «Под учебной концентрацией подразумевается идейное объединение таких сведений, которые хотя и входят в систему разных учебных предметов, но или находятся в генетической связи, или могут быть поставлены в ту или другую связь с целью более полного и всестороннего их изучения. Она опирается на понимание связи разнообразных явлений». Эта проблема для старой школы имела актуальное значение, поскольку различные предметы в ней были разобщены и ту потенциальную возможность повышения эффективности преподавания, которую несет в себе фактор естественного сближения между предметами, школа не использовала.
Дискуссия, несомненно, была полезной. С одной стороны, она показала недостатки школы и, с другой — позволила наметить правильные пути сближения родственных между собой предметов, как, например, математики с физикой, географией, космографией, а также с житейской практикой.
Приведем некоторые из тех соображений по этому вопросу, которые высказывались на педагогических советах средних учебных заведений Белоруссии.
Уже в самом начале изучения физики учителя этого предмета опираются на знания метрической системы мер, полученные на уроках арифметики. Высказывалось пожелание уделять больше внимания изучению этой системы, как имеющей применение в науке.
При изучении механики необходимо знакомство с понятием функции.
Физика требует от учащихся знания различных геометрических форм.
Задачи по алгебре и геометрии должны быть не отвлеченного или практически-коммерческого характера, а связанные с курсом физики: «Решение задач такого содержания не только содействовало бы усвоению курса физики, но наполнилось бы глубоким содержанием изучение математики и сделало бы ее одним из самых интересных предметов». При изучении оптики и других разделов физики, при изучении космографии необходимы знания тригонометрии. Достаточно разносторонне и квалифицированно рассматривался принцип связи с
172
жизнью — как самостоятельный и в единстве с принципом активности знаний учащихся: «Для активного применения к делу математических познаний полезно было бы поручить учащимся жизненные практические работы, например, измерение площадей в натуре, на местности, съемку и составление планов, измерение высоты, вычерчивание профилей, вычисление объемов комнат,— словом, выполнение таких измерительных, вычислительных и графических работ, которые носили бы явно утилитарный характер».39
Были высказаны критические замечания в адрес учебников и задачников, как не отражавших идею связи учебного материала с вопросами житейской практики.
В заключение настоящего параграфа остановимся на не^ которых статистических данных.
1. Классовый характер школы виден из картины распределения учащихся по сословиям. В реальных училищах дворяне составляли свыше 50%, в гимназиях — около 60%, сельское сословие соответственно — около 10% и 6%. Поэтому гимназии и реальные училища по праву в истории нашего просвещения носят название дворянских. Социальный состав учащихся, вероятно, регулировался школьной администрацией: трудно представить, чтобы наблюдаемая длительнаяустойчивость социальной структуры была естественной.
2. В 80—90-х годах в развитии среднего образования наблюдается состояние депрессии. В начале нашего века заметен значительный подъем. Приведенная табл. 1 иллюстрирует эту картину по Могилевской губернии.
Аналогичное явление депрессии в Белоруссии за 80—90-е годы происходит в гимназическом и реальном образовании, что видно на графике.
Т а б л и ц а 1
Годы
Школы дирекций народных
училищШколы д у х о в ного ведомства
Средние учебные заведения
и высшие начальные учи
лища
Специальные учебные заве
денияВсего
учащихся
школуч а
щихся школ учащихся школ
учащихся школ
учащихся
1881 231 11 699 944 19 560 20 2761 4 490. 34 5101891 234 11 870 1360 29 038 20 2798 6 489 44 1951902 291 23 014 1730 58 477 23 4542 7 781 86 814
1912 1329 82 377 101 0 59 713 47 10233 13 1654 153 977*
* В 1817/18 учебном году численность учащихся по белорусским губерниям составляла 6184 человека,
173
Число § учащихся, /о
со ооСП
Л Оо «о с*»I
I
Распределение учащихся по сословиям в реальных училищах:
Распределение учащихся по сословиям в гим-
174
3. Графики хорошо иллюстрируют картину снижения численности учащихся в старших классах гимназии и реальных училищ. «Пирамидальная структура» гимназий (по выражению профессора И. К. Андронова) видна здесь совершенно наглядно. Каждый из старших классов представлял собою весьма серьезный барьер к получению аттестата зрелости. На графиках видно, как стремительно падают соответствующие
линии. Отношение числа учащихся выпускного класса к числу учащихся второго или третьего класса находится в пределах от 1/4 до 1/3. Еще более низкими являются эти границы для прогимназий. Это явление имело место и в реальных училищах.
4. Интересны данные о возрасте учащихся. В начале века, как правило, учащиеся были великовозрастные, точнее сказать, для каждого класса был широкий возрастной диапазон. Нередко рядом с ребенком 7 лет сидел за партой взрослый юноша. Не было исключением такое явление, что в одном и том же классе возрастной диапазон составлял 5 и более лет, причем этот диапазон не всегда равномерно сужался в старших классах. На приведенном графике даны сведения за 1826 г.
Положение к концу столетия изменилось, но незначительно.
175
В настоящее время эти границы доведены почти до предела: каждый класс имеет свой определенный возраст, который зависит от исходного возраста приема детей в школу.
Сказанное иллюстрируется таблицей, построенной по выборочным данным (табл. 2).
5. За XIX в. сделан значительный шаг в развитии школьного женского образования. В начале века число учениц составляло около 5%, причем девочки получали лишь началь-
Количество учащихся в гимназиях (по классам).
Т а б л и ц а 2
Годы Классы Средний возраст Среднее квадратическое уклонение
1883 7 18,62 2,151888 7 18,85 2,041971 4 10,34 0,3581971 8 14,37 0,311
176
Количество учащихся в реальных училищах (по классам).
Подгот.1
-7*^'С редний возраст
9 10 I I 12 13 К 15 16 17 18 19 В о З р й С т
Средний возраст и возрастные интервалы учащихся.
ное образование. В конце века существовали женские гимназии и прогимназии.
6. Остановимся еще на одном вопросе. Известно, что во второй половине XIX в. в предметах гимназии доминировали языки и математика. Естественно, возникает вопрос: не помогают ли в изучении эти предметы друг другу? Если изучение языков способствует более успешному изучению математики и наоборот, то существование классической гимназии в свое время в некоторой мере может быть оправдано. Этот аргумент, хотя и не в столь прямолинейной формулировке, фигурировал наряду с другими в качестве обоснования классического образования. Считалось, что тот и другой из этих предметов ведут ученика к одной и главной цели образования — развитию научного мышления.
Наш результат, основанный на изучении корреляционной связи между предметами по данным современной школы, сводится к следующему. Вообще говоря, все (основные) предметы связаны между собой положительной корреляцией и располагаются в определенный спектр, и в этом спектре математика стоит рядом не с языком, а с физикой. Отечественный язык занимает четвертое место и следует за естественными науками. Конечно, этот результат носит вероятностный характер. Кроме того, он получен на основе изучения отечественного языка, а не классических, и поэтому имеет лишь косвенное отношение к поставленной выше проблеме. Однако языки образуют в корреляционном отношении достаточно тесную группу предметов. Принимая все это в соображение, можно утверждать, что принцип классицизма не решал задачу успешного изучения математических дисциплин, так как естественной основой, содействующей их усвоению, является, как показывают исследования и здравый смысл, прежде всего физика.
§ 3. ТВОРЧЕСТВО УЧИТЕЛЕЙ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ДИДАКТИКИ
Советские учителя математики активно занимаются исследовательской работой, направленной на улучшение постановки преподавания математики в школе. Главным предметом этих исследований является, естественно, методика математики. Некоторые из учителей занимаются математическими исследованиями. Их творческую мысль направляют научные и учебно-педагогические учреждения и методические журналы. Поучительной в этом отношении являлась деятельность В. А. Голубева — автора многочисленных работ по теории чисел.40
Для поддержания высокого уровня преподавания матема
178
тики в школе и непрерывного его повышения в соответствии с общим развитием культуры занятия учителей математики своим предметом, а особенно исследованиями элементарного характера, так или иначе примыкающими к вопросам школьной математики, имеют исключительно важное значение. Поэтому творческая работа преподавателей школы в области математики, особенно по элементарным ее разделам, заслуживает такого же внимания, как и их работа по методике ее преподавания.*
Научно-методической работой учителя математики занимались на протяжении всей истории нашей отечественной школы. В XIX в. она протекала в основном в следующих направлениях: переводы иностранных школьных учебников по математике и переводы классических сочинений древних авторов, дидактические исследования и исследования в области математики. Известны также работы учителей по статистике и истории математики.
Работы по дидактике математики сравнительно полно освещены в нашей историко-педагогической литературе. Математические работы фундаментального значения рассмотрены в литературе по истории математики. Если главной задачей историка математики считать исследование развития математической идеи, то в данном случае нас интересует другой аспект, имеющий побочное значение для истории науки, но важ ное для истории математической культуры. Мы имеем в виду исследования по математике элементарного характера, которыми занимались учителя. Эти исследования, несомненно, благотворно и непосредственно влияли на постановку школьного курса математики. В этом, собственно, и состоит их главное значение. Научное значение заключается в той идейной связи, которую эти работы имели с исследованиями ученых- математиков.
Учителя, занимавшиеся сложными «математическими проблемами, естественно, всегда тяготели к университетской деятельности, как отвечающей их научным интересам, и при первой возможности переходили в высшую школу или же работали там по совместительству. Однако среди творчески одаренных учителей были и такие, которые в силу особо тя
* Вообще в этом смысле заслуживает особого внимания работа учителей, создающих художественные произведения (живописи, ваяния, литературы), конструирующих новые физические тлодели и приборы, культивирующих в данных климатических условиях новые растения, изучающих свой край по архивным материалам и т. д.
Поучительной является работа учителя истории средней школы г. Лун- на Гродненской области В. Симака, создавшего интересный и богатый Музей военной славы, содержащий разнообразные экспонаты. Для истории культуры, например, представляют интерес Виленские календари начала прошлого века, которыми пользовались в Белоруссии.
179
желых условий для развития таланта в царской России не имели возможности получить работу в высшей школе и всю жизнь оставались школьными учителями.
Выясним те условия, которые благоприятствовали развитию научных интересов в учительской среде. Прежде всего заметим, что таких учителей, которые занимались исследованиями, было немного, но вместе с тем трудно, пожалуй, ука^ зать гимназию или реальное училище, история которых не могла бы быть отмечена каким-либо положительным фактом в этом отношении.
Нельзя думать, что условия для творческой работы были благоприятными. Чтобы обеспечить себе более или менее приличное существование, учителя столичных гимназий вынуждены были работать в двух, а то и в трех школах. Таким образом, педагогическая работа в школе поглощала все их время. Нагрузка в 40 недельных часов была нередким явлением. Не менее думал о насущном хлебе и учитель провинциальной гимназии. т щ
Политическое бесправие учителя пагубно отражалось на его моральном состоянии. Отношение правительства к духовным запросам учителей характеризуется, например, следующим фактом. Педагогические съезды, дающие стимул для развития творческой активности учителей, длительное время не разрешались правительством, несмотря на то, что инициатива их организации исходила от крупнейших ученых нашей страны.
Едва ли не единственным фактором, благодаря которому некоторые из учителей дореволюционной школы могли подняться на уровень современной им математики и приобщиться к творческому труду в ее области, был контакт передовых университетских профессоров с учителями гимназий, контакт, который стимулировался единственно внутренними патриотическими побуждениями ученых. М. Демков в статье «Что нужно для успехов русской науки?», призывая университетских профессоров к общению с гимназиями, говорит: «Не все вышедшие из стен университета порываю? связь с наукой. А если вспомнить, как трудно работать в провинции, с какими препятствиями и затруднениями приходится считаться, какие помехи преодолевать... Припомните, что в провинции нет ни книг, ни руководств, ни пособий, ни авторитетных указаний... И при таких условиях работают люди, порой создают нечто ценное и достойное внимания». 41
Знакомясь с тем, какое участие принимали учителя в работе научных обществ и съездов, а также с их сотрудничеством в периодической печати, можно заметить, что вся эта деятельность в значительной мере была результатом той организующей и руководящей роли, которую играли передовые
180
ученые в общественной и научной жизни России, особенно на исходе прошлого и в начале текущего столетий. В связи с этим заслуживают упоминания математики П. Л. Чебышев,А. А. Марков, Н. В. Бугаев, Б. К. Млодзеевский, В. П. Ермаков и другие. Роль же профессора В. П. Ермакова в привлечении учителей к научным занятиям в области элементарной математики является исключительной.
Научной работой, очевидно, занимались прежде всего те из учителей, которые получили первый опыт творческого труда еще на университетской скамье. Многие из университетских профессоров не порывали научной связи со своими воспитанниками, когда последние работали в школах преподавателями математики.
Возможность публикации является весьма важным условием развития творческой инициативы учителей. До второй половины прошлого столетия (точнее, до шестидесятых годов) эти условия были мало благоприятными. Существовало немного журналов, где учитель мог бы выступить со своими исследованиями. После 60-х годов появился ряд журналов математических и педагогических, где учитель мог напечатать заслуживающую внимания работу. Назовем следующие журналы, сыгравшие большую роль в повышении математического уровня учителей, в развитии у них научного интереса к математике: «Вестник физико-математических наук»М. М. Гусева, * «Математический сборник», издававшийся Московским математическим обществом, затем «Журнал элементарной математики» профессора В. П. Ермакова* «Вестник опытной физики и элементарной математики», «Педагогический сборник» и ‘«Журнал Министерства народного просвещения».
Отметим еще одно важное обстоятельство, имевшее значение для совершенствования профессиональной подготовки и проявления творческого таланта учителей,— это их участие в работе научных обществ. Из протоколов заседаний и печатных трудов физико-математических отделений этих обществ видно, что на них обсуждались не только чисто научные проблемы, но и методологические вопросы преподавания математики в школе. В состав этих обществ входили не только учителя университетских городов, но и с периферии в качестве корреспондентов.
Учителя Белоруссии находились в менее благоприятных условиях, они были лишены возможности непосредственного общения с учеными, поскольку в округе не было университета. Однако они имели солидную университетскую подготовку.
* Астроном М. М. Гусев, издавая математический журнал и народные календари, которые имели распространение в Белоруссии, тем самым оказывал положительное влияние на развитие ее математической культуры.
181
Не останавливаясь на постановке преподавания математики в русских университетах, отметим лишь, что она вполне отвечала уровню развития науки. В этом отношении особой славой пользовался Петербургский университет, выпускники которого также работали в Белоруссии. Заметим еще, что по своему происхождению значительная часть учителей была из белорусов.
Университеты того времени имели две четко выраженные цели: подготовку ученых и учителей для гимназий и реальных училищ. Соединение этих целей обеспечивало такую подготовку учителя математики, при которой он мог с приобретением опыта успешно заниматься преподавательской работой в школе и посильным творческим трудом в избранной области. Творческая активность в области элементарной математики и ее дидактики — явление исключительное в жизни и деятельности учительства второй половины XIX и начала XX в. Однако студенты университетов не были подготовлены по педагогическим наукам, что сказывалось отрицательным образом на воспитательной работе. Поэтому в начале нашего века высказывались в достаточно энергичной форме критические замечания и претензии в адрес университетского образования, как не отвечающего задаче профессионально-педагогической подготовки учителя.
В Белоруссии учителями гимназий была проведена огромная работа по исследованию края в этнографическом и историко-статистическом отношениях. В 1803 г. Виленский университет выступил с ценной инициативой об организации на территории округа систематических метеорологических наблюдений с возложением этой работы на учителей физики и математики. Министерство просвещения одобрило эту инициативу и предложило ввести метеорологические наблюдения в других учебных округах.
Приведем выдержку из основного документа по этому вопросу: «Виленский университет представил проект об установлении повсеместно метеорологических наблюдений в пространстве, занимаемом округом, ...обязал учителей физики в гимназиях по наставлениям, данным от университета, делать сии наблюдения в местах их пребывания и ежедневные о том записи по срокам доставлять в университет, который для соображения всех их вместе назначит своего профессора физики». 42 Данные наблюдений было поручено обрабатывать профессору физики И. Мицкевичу. Несомненно, это мероприятие, помимо своей прямой цели, имело положительное влияние на повышение научного уровня учителей прежде всего в области физики, что не могло не сказаться благотворным образом на постановке преподавания этого предмета в школе.
Организация метеорологических наблюдений на всей тер
182
ритории России в середине прошлого века под руководством Главной физической обсерватории в известной степени опиралась на опыт и практику учителей в этом деле, наиболее активные из них были удостоены звания корреспондентов этой обсерватории. *
Работы белорусских учителей математики относятся главным образом к подготовке учебных пособий по различным математическим предметам и отчасти к решению некоторых частных методических проблем преподавания математики в школе.
Еще в конце XVIII в. учитель народной школы в Витебске В. Берлинский написал два учебника математики — по тригонометрии и аналитической геометрии, оставшиеся неопубликованными. Эти работы свидетельствуют о глубоком интересе автора к своему предмету.
В 1810— 1813 гг. в Минской гимназии работал талантливый педагог М. М. Полинский, который занимался составлением учебников, оставшихся в рукописи. **
Познакомимся с содержанием некоторых его рукописей.Рукопись № 152 представляет собой сборник задач по
арифметике (пропорции, тройное правило, обратная пропорциональность, извлечение корней). Имеются задачи вычислительного характера по геометрии.
Рукопись СД 150 по алгебре состоит из двух основных разделов: решение уравнений первой и второй степеней. Для знакомства с содержанием приведем несколько задач.
Задача № 2. А и В имеют 36 (злотых), А имеет в три раза больше В. Сколько имеет каждый? Решение:
В х х = 9.А Ъх
4х = 36;
Внутри каждого раздела в свою очередь задачи подразделяются на две части — принадлежат ли числовые коэффициенты к кольцу целых или полю рациональных чисел.
Пример задачи на квадратное уравнение: найти два числа, сумма которых равна 12, а сумма их кубов — 468.
В смешанном разделе имеются сложные задачи на проценты, например: «Одна особа дает 15 ООО зл. по 7%, а 20 ООО по 5%. Через сколько лет два капитала, взятые вместе с процентами, сравняются?»
При вычислениях применяются логарифмы.
* Например, учитель Свислочской семинарии С. Волоскович.** Хранятся в архивах библиотек Лит. АН и Вильнюсского универси
тета.
183
Рукопись СД 156. Первые разделы содержат задачи на уравнения первой степени с одним и двумя неизвестными, на неопределенные уравнения первой степени (с двумя неизвестными) и далее идет цикл нетрадиционных для тех времен за дач, вроде следующей: «Определить условия, при которых квадратный трехчлен будет полным квадратом», тот же вопрос по отношению к полиному четвертой степени: рассматриваются частные формы квадратных чисел, например, в каких частных случаях числа формы ап2+ 1 могут быть квадратами?
Рукопись № 150. Начальная алгебра. Написана в Минску в 1810— 1813 гг. Полный курс алгебры, включающий бином Ньютона. Написана под влиянием дидактических идей Сня- децкого, на выяснении которых мы подробно останавливались ранее. Например, понятие уравнения определяется, как у Сня- децкого, т. е. как равенство двух функций. «Функцией называется математическое выражение каких-либо количеств, связанных (посредством операции) каким-нибудь способом, и на какие количества обращаем внимание, тех количеств это выражение и является функцией.»
Рукопись ВР 926. Практическая геометрия. 1811 — 1813 гг. Подготовлена в Минске. Представляет собой дополнение к книге Заборовского по курсу практической геометрии.
Отметим участие ученика П. Л. Чебышева учителя Минской гимназии А. К. Жбиковского в журнале М. М. Гусева. В нем он опубликовал статьи: «Относительно делимости чисел», «Относительно теоремы Вильсона», «Относительно теоремы Сильвестра» (две статьи), «Элементарная теория определителей», «Элементарный вывод формулы для функции х п + 1/л;п». В одной из работ он дает оригинальное доказательство известной формулы П. Л. Чебышева, выражающей значение факториала в виде произведения простых чисел.
У Жбиковского преобладает теоретико-числовая тематика исследований.
Заслуживает упоминания его обширный курс арифметики с элементами алгебры.43 Он применялся в ВУО в качестве руководства для преподавания повторительного курса (с обобщениями) в старшем классе гимназии. Автор так характеризует свой труд: «Читая арифметику в VII классе Минской гимназии в продолжении пяти лет, я вместе с тем собирал материалы для составления основательного и, по возможности, полного курса оной, соответствующего современному состоянию науки. Эти материалы я привел теперь в порядок и осмеливаюсь издать их...» Здесь он выражает благодарность М. М. Гусеву «за внимательное рассмотрение труда» и за некоторые его существенные замечания, которыми автор воспользовался.
Ш
В этой работе обращено большое внимание на вопросы теории чисел. Что касается изложения вопросов, относящихся к обоснованию арифметики, то оно не отвечало уровню развития этой области математики в то время. Например, им не рассмотрены в систематическом виде законы арифметических операций в области натуральных чисел. В других числовых областях они выступают эпизодически и не играют присущей им в арифметике роли.
Минская гимназия.
П. Л. Чебышев, как член Ученого комитета, дал следующий отзыв на «Арифметику» Жбиковского: «Сочинение это заключает в себе полный и подробный курс арифметики со включением многих статей алгебры. Оно по составу своему существенно разнится от имеющихся у нас руководств по арифметике, и в нем многие статьи изложены с особенной отчетливостью, а потому сочинение это, как представляющее собой существенно полезное приобретение для нашей учебной литературы и, несомненно, свидетельствующее как о способностях* так и деятельности автора...» Однако Чебышев замечает, что сочинение это «как по составу своему, так и по изложению не соответствует условиям гимназического руководства...»44 В дальнейшем Жбиковский усовершенствовал свой курс, и в последующих изданиях он служил весьма ценным пособием для школы.45
185
Преподаватель Минского коммерческого училища Б. П. Чиханов издал в Минске ряд учебников по элементарной математике (арифметике, алгебре, тригонометрии, теории вероятностей и школьные математические таблицы), имевших распространение в Белоруссии, о чем можно судить на основании того, что некоторые из них переиздавались по 4 ра за .46
«Арифметика» Чиханова содержит такие нетрадиционные вопросы: приближенные вычисления, работа на арифмометре Однера, обоснование арифметических действий, различные системы счета, развитие понятия о числе и сведения из коммерческой арифметики. Курс алгебры строится на операционной основе. Материал первой части основывается на использовании принципа перманентности. В связи с этим алгебра определяется следующим образом: «Так как комплексноевыражение представляет общий вид количеств, изучаемых в алгебре, то можно сказать, что алгебра изучает свойства комплексных выражений и действия над ними». Теория уравнений изложена традиционным способом, функциональная трактовка отсутствует. Курс тригонометрии состоит из трех частей: исследований тригонометрических функций (линий), решения треугольников и практических задач. Имеются дополнения, которых не было в принятом тогда учебнике Рыбкина, как, например, вычисление таблиц тригонометрических функций для малых углов, преобразование уравнений и др. Относительно небольшого курса теории вероятностей автор говорит: «Предлагаемая брошюра представляет собою попытку изложить начала теории вероятностей и некоторые из ее приложений к страховому делу в форме, доступной для учеников старших классов коммерческих училищ». Введя классическое определение понятия вероятности, автор излагает следующие вопросы: теоремы сложения и умножения вероятностей, математическое ожидание, понятие безобидной игры, наивероятнейшее число повторений и закон больших чисел (без обоснования). Наконец, им были изданы «Таблицы пятизначных логарифмов чисел и тригонометрических величин», содержавшие всего 14 таблиц, в том числе имеющие значение для коммерческой арифметики.
Учитель Р. И. Киричинский, работавший длительное время в г. Лиде, опубликовал ряд работ по математике, имевших значение для ее школьного преподавания.47 В книге «Универсальная формула Симпсона...» рассматривается вопрос о применении этой формулы в школьном курсе геометрии. «Принципы механики» свидетельствуют о большой эрудиции автора в области истории точных знаний. Его «Математический словарь» служил ценным пособием для учителя. В нем он дает верную трактовку методических вопросов, рассказывает об интересных фактах из истории развития математики, знако
186
мит с некоторыми современными вопросами... В статье об анализе бесконечно малых он пишет: «Анализ бесконечно малых был вызван приложением математики к изучению природы и заимствует следующие две наблюдаемые в нем идеи: идею о переменной величине, сообразно с наблюдаемой постоянно в мире сменой явлений, и идею непрерывности...» Утверждается, что «в истории развития математики мы находим явные следы того, что математика возникла из опытных начал». Автор знакомит читателя с геометрией Лобачевского, с понятием аксиоматического метода в математике и многими актуальными для того времени вопросами.
В «Педагогическом сборнике» по вопросам преподавания математики и отчасти ее истории публиковались статьи учителя Полоцкого кадетского корпуса В. Шид- ловского. По теории геометрических построений идеи профессора Ермакова и учителя И. И. Александрова разрабатывались преподавателем Гомельского технического училища Левшиным и учителем 1 родненскои гимназии И. С. Свидерским.
Свидерский опубликовал небольшую работу под названием «Несколько слов о решении геометрических задач без помощи линейки» (Гродно, 1876).
Учитель Минской гимназии А. К. Жбиковский опубликовал в журнале Гусева статью о делимости чисел формы 10л + 1 , которая вызвала серию исследований учителей, завершившую решение этой проблемы.
В этой статье Жбиковского рассмотрен критерий делимости на числа формы 10п+1, причем автор говорит, что идея была подсказана ему Гусевым.48 Гусев сформулировал признак делимости на 7, сводящийся к тому, что если делитсяна 7 разность ~~2а , где а — последняя цифра числа N.то и N делится на 7, и сообщил его Жбиковскому. Жбиковский пишет об этом так: «Это свойство, на которое обратил мое внимание г. Гусев, мне удалось доказать... Вышеобъясненное свойство чисел относительно их делимости на 7 и на 3 повело
187
меня к изысканию подобных признаков делимости и на другие числа, и я пришел к следующим заключениям:
1) Число N делится на другое число Р вида 10п+ 1, если разность (О — па) делится на Р, где а — последняя цифра числа Ы, О — число его десятков.
2) Можно испытывать делимость на числа, являющиеся делителями чисел вида 10п+1».
Гродненская гимназия.
Жбиковский опубликовал этот критерий в ряде периодических изданий и книг, в том числе и в издании Академии Наук по представлению академика В. Я. Буняковского.49 Чебышев, рецензируя «Основания общей арифметики» Ж биковского, замечает: «Этот учитель гимназии приобрел уже известность открытием новых признаков делимости чисел, которые представлены им были Академии Наук и опубликованы в III т. «Бюллетеня».50
Дальнейшая история этого критерия развертывается следующим образом.
Учитель математики К. Мазинг (Москва) распространил его на другие числа, в частности на 13, 17 и 19, для которых «наименьшие числа» имеют соответственно следующий вид: 0 + 4 а , В — 5а и 1> + 2а, где О — число десятков, а — число единиц данного числа N . 51
Дальнейшее обобщение находим в работе учителя А. Воронова. 52 Он пишет: «Значительная часть признаков могла бы быть выведена из признака, данного г. Жбиковским. Мы
188
же со своей стороны можем предложить еще более общий признак, из которого вытекают как частные случаи все признаки г. Мазинга, относящиеся к числам, взаимно простым с основанием нумерации, и признак Жбиковского».
Инженер Л. Ф. Рис на X съезде русских естествоиспытателей и врачей доложил следующую теорему: число N делится на нечетное и некратное пяти число р , если разность числа десятков И и произведения некоторого числа х на число единиц данного числа делится на р\ причем число х равно числу десятков произведения р и чисел 1, 7, 3 или 9, если единицы числа р соответственно равны 1, 3, 7 или 9 .53 Критерий Риса совпадает с критерием Л ю а р а .54 Еще ранее он был данH. В. Бугаевым.55
В «ХеИзсЬгШ» в 1871 г. была опубликована небольшая з а метка Церланга «О делимости числа на 7», в которой доказывается, как «мало известный», следующий критерий делимости на 7: «Число делится на 7, если делится на 7 разностьмежду удвоенным числом единиц и им предшествующего числа». Поэтому в немецкой школе этот критерий носил название правила Церланга, между тем как это теорема Гусева.56
В связи с этой заметкой Церланга в том же журнале в 1873 г. была опубликована статья известного польского историка математики С. Дикштейна «О критерии делимости», в которой доказываются теоремы о делимости на числа формы: 10/г + 1 , 10/г-гЗ и \0п + 9. Первая из них есть теорема Жбиковского.57
Принцип конструкции «наименьших чисел» во всех указанных выше случаях один и тот же. В этом состоят общность и единство идеи рассмотренных критериев. Любопытно, что эта идея служит источником построения различных признаков в последнее врем я,58 хотя проблема давно решена.
К работе Жбиковского Гусев сделал два примечания, которые полностью решают вопрос об отыскании общего критерия делимости в десятичной системе счисления и смысл их заключается в следующем.59
Любое число оканчивается одной из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9. Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, а также на 5, по понятным причинам не рассматриваются. Следовательно, остаются такие числа, которые оканчиваются цифрами:I, 3, 7 и 9, т. е. формы \0 п ± 1 и 1 Оя+3. О них и говорит Гусев в этих примечаниях.
1) Если р = \0 п ± 1, то в этом случае критерий делимости на р обосновывается формулой:
N — а — N Т (Юл + 1) а_ _ + а / г = ------------ 10 ~ ■
где N — данное число, а — число единиц, п — число десятков.2) Если число оканчивается на 3 или на 7, т. е. вида
189
10п± 3 , то вместо множителя п в левой части нужно брать соответственно числа ± (3/г±1).
Далее у Жбиковского отделяется (зачеркивается) одна последняя цифра, но можно зачеркивать две и три и т. д. У Гусева показано, как находить соответствующие значения множителя при а в той же формуле. Они обозначены через п ',п " и т. д. Так, если р = 13, то п '= 1; если р —23, то п " = 2; если р = 73, то д " = 1 и т. д. Несколько позже эта проблема была обобщена учителем А. Вороновым на любую систему счисления, и этим получила исчерпывающее решение.
Обратим внимание на алгоритм Гусева, который применяется для решения вопроса о делимости. Оказывается, что он одновременно решает и другой вопрос: дает величину частного или его дополнение.
Если делитель оканчивается единицей, то, прочитав снизу вверх последние цифры последовательных остатков, получим частное. Это следует из того, что сам процесс последовательного применения алгоритма Гусева представляет собой процесс деления, но идущий не слева направо, как принято, а справа налево. Если же число, на которое испытывается делимость, оканчивается на 9, то указанный ряд цифр образует дополнение частного, т. е. сумма этого числа и частного равна 10". Поясним это на примерах.
1. Определить, делится ли число 17682 на 21._17682
41764
816816О
Подчеркнутые цифры составляют число 842. Это и есть частное.
2. Делится ли число 2448549 на 999?2448549
+ 900245754
1 40024975
500 2997 700 999
190
Подчеркнутые цифры составляют число 7549. Частным будет его дополнение до 10 ООО, т. е. 2451.
Ввиду того что в Белоруссии не было научного центра, математические исследования носили любительский и случайный характер. Так, например, в 1852 г. «Чашницкий мещанин» В. Вульф представлял в АН исследование по теории эллиптических функций; работы по теории чисел Воронцова печатались в иностранных журналах.
§ 4. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СЧЕТНЫХ УСТРОЙСТВ
В XIX в. было построено большое число счетных инструментов с табличной основой. К этому классу относится ряд инструментов, изобретенных в Белорусском (Виленском) учебном округе. *
В 1839 г. в «Гродненских губернских ведомостях» была опубликована заметка новогрудского жителя Шлифера об изобретенном им новом инструменте. ** В ней сказано: «Обыкновенные счеты не удовлетворяют всем условиям, встречающимся при вычислении в общежитии. Даже усовершенствованные тройные счеты далеки от того, чтобы представлять прямо выводы по данным условиям. Нужны были таблицы, по которым бы и незнакомые со свойствами чисел и не привыкшие к соображению могли легко получить выводы по данным условиям. Это сделано нижеподписавшимся по новой и собственно своей системе в своих механических арифметических таблицах».60 Прибор представлял собой, следовательно, набор различных таблиц с механическим приспособлением для выдачи данных этих таблиц. Этот набор включал таблицы сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечение корней, таблицы для решения задач на тройное правило, для вычисления процентов на ка питал, отданный в рост, и другие. Таблицы продавались по 75 коп. серебром за экземпляр. Аналогичное изобретение было предложено учителем С. А. Каценелленбогеном из Минска в 70-х годах прошлого столетия. Идея его изобретения заключалась, как и в предыдущем случае, в построении механизма выдачи искомых величин, расположенных в таблицах. Таким образом, этот аппарат относится к классу счетных устройств с табличной основой и механической выдачей числовых данных.
* Вычислительный инструмент типа арифмометра, построенный в середине XVIII в. в г. Несвиже, описан Л. Е. Майстровым и В. Л. Ченакалом: «Счетная машина Евны Якобсона из Несвижа». Материалы VI конференции по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1965, стр. 27—28.
** На эту заметку обратил наше внимание Л. Е. Майстров.
191
Эти примеры иллюстрируют определенное направление в развитии счетных устройств, которое имело к тому времени уже длительную историю, а во второй половине прошлого столетия получило толчок к расширению сферы исследований и опытов. Практика, однако, показала, что неоспоримым преимуществом обладали арифмометр Однера и счетная (логарифмическая) линейка. Но мы остановимся на другом счетном аппарате. Мы имеем в виду счетный прибор 3. Я. Слонимского. * Документальные материалы об изобретении Слонимского были опубликованы в IV выпуске «Историко-математических исследований» в 1961 г . 62 Из них видно, что изобретатель в 1845 г. представлял на рассмотрение в Петербургскую Академию наук два вычислительных прибора: один — для сложения и вычитания, другой — для умножения и деления. Академия наградила изобретателя половиной Демидовской премии. Эта награда была достаточно высокой, ее удостаивались первоклассные математические работы, оказавшие большое влияние на развитие математики. Надо полагать, что она была знаком поощрения изобретательской деятельности в области инструментальной счетной техники.
Из этих материалов видно также, что изобретатель годом раньше, т. е. в 1844 г., демонстрировал свои инструменты в Германии и получил хорошие отзывы немецких ученых и премию Берлинской Академии наук.
Принцип устройства инструмента для сложения в несколько измененном виде был реализован в известном счетном приборе Куммера. Различие состоит в том, что в приборе Куммера рабочей частью является система передвигающихся прямолинейных цифровых полос, в приборе же Слонимског о — система цифровых кругов. Таким образом, в первом приборе сложение и вычитание чисел осуществляется с помощью соответствующих операций над прямолинейными отрезками, во втором — над круговыми. К этому прибору в дальнейшем мы не будем возвращаться, тем более что прибор Куммера хорошо известен.
Изобретение счетного прибора для умножения системы Слонимского может казаться небольшим эпизодом в развитии инструментальной счетной техники. Действительно, оно не было реализовано промышленностью, прибор не производился и кустарным способом, а стало быть, не был в употреблении. Насколько нам известно, тот принцип, на котором он был построен, не находит применения в современных вычислитель
* 3. Я. Слонимский родился и жил в Белостоке (1810— 1904), был «видным литератором и автором учебника математики». Изобретение счетных приборов относится приблизительно к 1840 г. Занимался также конструированием телеграфного аппарата.61 Род деятельности Слонимского нам неизвестен.
192
ных машинах. Однако, как показывает история счетных машин, это изобретение не является изолированным в ряду других и имеет связь со многими предшествующими и последующими изобретениями того же назначения.
Этот прибор принадлежит к вполне определенному классу счетных инструментов, который отличается, например, от класса арифмометров как в конструктивном отношении, так и с точки зрения математической теории. Если посмотреть на устройство арифмометров с математической точки зрения, то легко заметить ту их общность, что все они основаны на простой идее непосредственного моделирования структуры десятичной системы счисления и арифметических операций в этой системе. Следовательно, с точки зрения математической теории их можно считать одинаковыми и отнести к одному классу. Математическая теория арифмометроъ прерывного действия проста и представляет собой арифметику натуральных чисел и сравнений по модулю 10.
Счетный прибор Слонимского для умножения находится в другом ряду счетных устройств, образующих самостоятельную ветвь. Основой их являются преимущественно таблицы умножения с кодом выдачи готовых результатов. Сам инструмент не производит операций, но выдает лишь табличные данные. Математическая теория этих инструментов различна по содержанию и сложности и зависит от содержания и устройства таблиц. С арифмометрами их, следовательно, нельзя смешивать, от них эти инструменты отличаются существенным образом.
Эта ветвь ведет свое начало со времени Джона Непера, счетные палочки которого являются первым инструментом такого рода. Они сводят процесс умножения к сложению однозначных чисел, представленных особой таблицей, и тем самым значительно его упрощают.
Практически таблица Слонимского используется следующим образом. Если мы «введем» в инструмент множимое а> то он «выдаст» числа, кратные а, т. е. а, 2а, За, 4а, 5а, 6а, 7а, 8а, 9а. Этого достаточно, чтобы найти произведение данного множимого а на любое другое число. Сложение частных произведений производится особо, например, на счетах.
Счетный прибор для умножения внешне представляет собой продолговатый и невысокий ящик размером в дюймах 16X13X2. Внутри ящика помещаются цилиндры, на которых нанесены цифры и буквы. Цилиндры имеют вращательное и в направлении оси поступательное движения. На верхней грани прибора имеется 11 рядов отверстий. В каждом отверстии при работе машины появляется одна цифра или буква. Буквы появляются только во втором и третьем рядах снизу и служат кодом выдачи результатов, т. е. указывают на порядок, в ко-7 Н. Д . Беспамятных 193
тором требуется производить «вычисление». В прочих рядах окошечек появляются кратные данного числа.
В. Я. Буняковский и П. Н. Фусс в отзыве на этот прибор подчеркивали ту мысль, что главное в нем не механизм, а теория, на основе которой прибор построен, что основной частью инструмента является таблица распределения цифр на поверхности цилиндров. Это распределение подчинено теоретико-числовой теореме, выражающей одно из свойств фа- реевых чисел. Рассмотрим математическую теорию инструмента на основе понятия фареевой последовательности.63
Пусть имеем целое положительное число апап- \ . . . в системе счисления с основанием г. Умножим его последовательно на числа 1, 2, 3, . . . , г — 1 и полученные произведения подпишем одно под другим с соблюдением правила разрядов. В результате получим п + 1 столбцов (свободные места слева заполним нулями), каждый из которых содержит г — 1 цифр. Расположение цифр в столбце назовем представлением столбца. Умножение на 2, 3, . . . , г — 1 всевозможных чисел порождает бесконечное множество представлений. Однако множество различных представлений будет конечным. Ниже определяется число различных представлений при произвольном основании системы счисления.
Заметим, что представление п-то столбца не зависит от тех цифр, которые в числе расположены левее я-го порядка цифр. Поэтому, рассматривая образование п-го столбца, мы эти цифры писать не будем. Далее, представление п-то столбца не изменится, если вместо целого числа апап_\ . . . а± будем писать дробь 0, апап- \ . . . аг Это позволит установить связь между множеством различных представлений и множеством фареевых дробей, на основе которой решается нами задача о числе представлений.*
Теорема 1. Если дроби вида 0, ап- \а п- 2 • . . а± удовлетворяют условию
— < 0, а„_1а„_2 . . . а± <Я1 ~ г 41+1
где — , -----две соседние фареевы дроби и такие, чтоЯь Я1+\
? , < г — 1, < г — 1, то
[О, а„_1а„_2 . . . ах ■ к] = [ ^ г
* О фареевых последоватетьностях см. А. А. Бухштаб. Теория чисел. М., 1950, гл. 27, «Последовательности Фарея».
194
где к = 1, 2, 3, . . г — 1, т. е. они образуют одинаковые представления.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим обратное: пусть представления будут различными. Это означает, что существует такое к, что
где для краткости через х обозначена дробь 0, ап-\а п~ч — ах.
Очевидно, что — к < — к < [хк\ < хк. Квадратные скобкиI. Яь Яь
означают целую часть числа, заключенного в них. Отсюда: ^ ̂ х ' ^ Р и & ^ г — 1 имеем фареево число из Фг_1
между — и х , что противоречит условию теоремы.Яь
Теорема 2. Дробь — является единственной, порождающейЯь
те же представления, что и дроби 0, ап- \ ап _ 2 . . . удовлетворяющие условию теоремы 1.
С л е д с т в и е . Число представлений, порождаемых дробями 0,ап — 1 ап —2 равно числу всех фареевых дробей Фг —1.
Теорема 3. Число всех представлений определяется значением функции "г-̂ 1„Е 2 ? (п) + 1
где <р (п ) — функция эйлера. | п<
] -
При г — 10 получается результат Слонимского: 10 х
2 ф («) + 11 = Ю (27 + 1) = 280. Систему из 2 Ф (п) + 1п—2 ̂ п= 2
представлений, соответствующих числу Ф9, назовем основной и выпишем ее.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 70 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8
Эта таблица построена следующим образом. Выпишем дроби . 0 1 1 1 1 1 2 1 2 последовательности Ф9: — , -<р -ц-, — , -д-, — ,
7* П06
_ ! _ Л _ _ ? _ А А _ 1 _ А А _ з _ А 2 5 3 73 ’ 8 ’ 5 ’ 7 ’ 9 ’ 2 ’ 9 ’ 7 ’ 5 ’ 8 ’ ~ ’ ~ Т ’ Т ’ Т ’4 5 6 7 8 , , - . лл
ИГ* “б- ’ “Т- ’ 1 Г ’ “ср ^сего Дробей, следовательно, 28. Теориядает также:
<$9 = 2 Ф (л) ~Ь 1 = 28.п —2
Согласно теореме 1 произведения любой дроби, заключенной
между двумя соседними фареевыми дробями — и .^±1, На чи-Я1 <7(-+1
ела 1, 2, . . . , 9 образуют то же представление, что и произведения на эти числа фареевой дроби Вычислим для примера значения членов 19-го столбца основной таблицы.
= О
= 1
= 1
= 2
= 3
= 3
= 4
= 5
= 5
Таким образом, получим представление 19-го столбца:0112 3 34
|Г / 5.. - • • 5
196
Так составлены все столбцы приведенной выше основной таблицы. Однако полная таблица, которая нанесена на цилиндры, состоит из 280 таких столбцов. Что представляют собой остальные столбцы? Поясним на примере. Пусть перемножается число 7. Кратные этого числа будут: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63. Прибавим к ним числа какого-нибудь столбца основной таблицы, например 19-го: 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5. Получим: 7, 15, 22, 30, 38, 45, 53, 68. Первые цифры справа образуют представление. Прибавляя к ним каждый из 28 столбцов, получим 28 представлений. Перебирая множимые от 1 до 9 и прибавляя, как в этом примере, каждый из столбцов основной таблицы, мы и получим еще 252 столбца с различными представлениями.
Правило обращения с цилиндрами (сообщение вращательного движения и движения в направлении оси), которое дает возможность получить в окошечках на поверхности инструмента кратные данного числа, у Слонимского довольно сложно. Наиболее простым оно выглядит в приборе (палочках) Иофе, основанном на той же идее (1881 г . ) .64
Если составить таблицу из 1000 столбцов, включающих таблицу Слонимского, то для их выбора можно применить весьма простой алгоритм. Она может быть составлена продолжением обыкновенной таблицы умножения.65 Распределив столбцы в 10 строк по 100 столбцов в каждой строке и объединив по 10 столбцов в группы (таблички), получим вертикальные колонки по 10 табличек в каждой.
Таким образом, на пересечении I-й строки и /-й колонки получим табличку, которую обозначим через 1ц. Каждая табличка состоит из 10 столбцов, которые обозначим через где г = 0 , 1, 2, 3, ..., 9.
Следовательно, элементом таблицы будет столбец Зная правило выбора этих столбцов, мы можем получить произведение любого числа на все однозначные. Это правило заключается в циклическом перемещении индексов при 1\ если 0, апап- \ . . . аг — данное число, то положение п-то столбца определяется символом 1апап-\ап- 2* Символ и апап- \ определяет положение нулевого или последнего столбца.
* ** Ч
Попечитель Г. И. Карташевский не проявлял специального интереса к постановке преподавания математики в школе, но ему принадлежат два проекта — об организации лицея с физико-математическим факультетом и организации бифуркационной системы гимназического образования. Начиная со второй половины XIX в. белорусские гимназии и реальные
497
училища работали по министерским учебным планам, программам и учебникам математики. В начале нашего века белорусские учителя рассматривали актуальные вопросы преподавания курса математики в школе и активно содействовали процессу его обновления исходя из принципов Международной комиссии по проведению реформы математического образования. Их творческая деятельность в области дидактики и элементарной математики, несомненно, благотворно влияла на постановку преподавания математики в гимназиях и реальных училищах.
Г л а в а У. РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СОВЕТСКОЙ БЕЛОРУССИИ
§ 1. СОЗДАНИЕ НОВОЙ ШКОЛЫ В СОВЕТСКОЙ БЕЛОРУССИИ
Советская школа более чем за полувековой период своего существования прошла нелегкий, но славный путь. Из полуграмотной наша страна преобразовалась в государство с высоким уровнем культуры. Осуществлено всеобщее восьмилетнее образование, успешно реализуется решение XXIV съезда КПСС о всеобщем среднем образовании. Положение математики в советской школе определяется тем высоким значением точных наук, которое они имеют в жизни нашей страны, и отвечает тем гуманистическим идеалам, на которых строится советская система образования.
Курс школьной математики за истекшие пятьдесят пять лет обогатился новыми идеями, дидактика — эффективными методами его преподавания. Программы и учебники постоянно совершенствовались в направлении сближения школьного курса математики с наукой, с современными ее идеями и с за дачами практики социалистического строительства.
Обстановка в стране требовала коренного преобразования школы. 16 октября 1918 г. было опубликовано «Положение о единой трудовой школе Российской Федерации», провозгласившее ее демократические принципы и принятое всеми союзными республиками. На этой основе старая школа была реорганизована в единую трудовую общеобразовательную школу с преподаванием на родном языке.
Организация школы на новых принципах встретила огромные трудности, вызванные, с одной стороны, тяжелым наследием царизма в области просвещения и, с другой — тем неисчислимым уроном, который был причинен школьному делу войнами, навязанными нашей стране. Первая школьная реформа проводилась в условиях гражданской войны и борьбы с вооруженной иностранной интервенцией. Военное положение в стране, оккупация ее окраин нарушали планы проведения реформы и в ряде республик задерживали на длительное время ее осуществление. В таком тяжелом положении оказалась в 1918— 1920 гг. Белоруссия.
199
12 января 1918 г. за подписью А. В. Луначарского было опубликовано распоряжение об упразднении Виленского учебного округа, в состав которого входила Белоруссия, и о передаче его делопроизводства в ведение Исполнительного комитета Совета рабочих, солдатских и крестьянских депутатов Западной области и фронта.
С 11 июля 1920 г. начал функционировать (сначала на правах ГубОНО) Народный Комиссариат Просвещения Белоруссии. Следующий документ показывает ту основу, на которой НКП начал свою деятельность по строительству новой школы: «Годы войны и революции, нашествие белополяков, немцев и различного рода контрреволюционных банд разрушили нашу народную школу. Школьные здания развалились и нуждаются в ремонте, учебные пособия износились, книги и учебники истрепались, школьные работники изголодались. Нужны были колоссальные усилия, чтобы приостановить дальнейший развал ш кол».1
После окончания войны было принято правительственное решение утвердить следующую систему школьного образования в Белоруссии: начальное образование (4 года), общее политехническое (7 лет), подготовка рабочих всех видов промышленности (профшкола — 2 года, временно на базе четырехлетней), техникумы (4 года), институты и университет. Для подготовки специалистов из рабочего класса и беднейшего крестьянства были созданы рабочие факультеты.
Чем объяснить введение этой системы образования с весьма ранней специализацией? Основная причина заключалась в том, что начавшееся восстановление народного хозяйства требовало массу квалифицированных рабочих, а также специалистов средней и высшей квалификации. Главпрофобр, занимавшийся решением этой проблемы, руководствовался в своей деятельности следующими положениями:
длительный переходный период от капитализма через разруху к социалистическому строительству выдвигает вопрос о профессиональном образовании с небывалой остротой;
техническая революция немыслима без совершенно исключительного развития профессионального образования;
достижение довоенного уровня требует воссоздания утерянной квалифицированной рабочей силы как решения первоочередной хозяйственной задачи.
Противопоставление общего образования профессиональному Главпрофобр считал анахронизмом, так как видел «огромное общеобразовательное содержание в самом изучении профессии».2
Исходя из этого, он предлагал следующие меры:Все высшее образование (в том числе университетское)
реорганизовать на профессиональной основе.
200#
Ввести обязательное профессиональное образование с известного по возможности младшего возраста.
На пути к политехническому образованию, в виде первого шага, максимально профессионализировать общеобразовательную школу.
Тесно связать все образование рабочих подростков с профессиональным образованием в процессе самого производства.
Создать широкую сеть техникумов всех специальностей.Максимально развить сеть курсов для рабочих при фабри
ках и заводах.Вопрос о взаимоотношении общего и специального обра
зования решался на основе следующих положений, принятых НКП:
До 15 лет решается общая задача воспитания и развития, причем при изучении общих предметов учитывают требования жизни и будущее специальное образование*
После этого возраста преобладает специальное образование — подготовка в техникумах.
Техникум имеет четырехгодичный курс (15— 19 лет) и дает законченное образование квалифицированного специалиста- практика. По истечении первых двух лет одновременно завершается общее образование, позволяющее продолжить образование в высших учебных заведениях.
Школа второй ступени реорганизуется: младшие классы вместе с классами первой ступени образуют Единую Трудовую школу социального воспитания, 2 старших класса преобразуются в начальные курсы техникума.3
НКП Белоруссии занимался организацией и расширением сети профессионального обучения. В одном из документов от 31.7.1923 г. читаем:
«Центральный исполнительный комитет Белоруссии, признавая сетку профессионально-технических школ недостаточной, предлагает Наркомату просвещения увеличить число профессиональных технических школ с начала следующего учебного года, придав им характер, соответствующий развитию местной промышленности и хозяйства».4 Старшие классы средних школ были или ликвидированы, или преобразованы в техникумы.
Н. К. Крупская не разделяла столь крайних взглядов на развитие профессионального образования, по существу игнорирующих перспективу развития общего среднего образования. Приведем основные ее положения, изложенные в докладе «Трудовая школа и профессиональное образование»:
«Профессиональное образование является лозунгом дня. Этот лозунг очень часто понимается неправильно... многие склонны игнорировать значение как общего, так и политехни
201
ческого образования. Оно необходимо и для профессионального образования, которое должно начинаться с 17 лет. Политехническое образование должно предшествовать всякому специальному образованию. Раннее профессиональное образование особенно вредно отражается на здоровье учащихся и вредно скажется на развитии их природных дарований. Единая трудовая школа должна дать ряд научных знаний. Необходимо обратить самое усиленное внимание на постановку математики и естественных наук, причем важны чрезвычайно практические применения этих наук. Развитие графической грамотности имеет также чрезвычайно важное значение».5
По мере освобождения территории Белоруссии от оккупантов развертывалась деятельность новой школы. Уже в 1920 г. проходили районные (уездные) конференции работников просвещения, на которых обсуждались такие актуальные вопросы того времени, как реализация принципов трудовой школы, подготовка учителей к работе в новых условиях, построение программы и др.
Замечается усиленный приток детей в школы. По некоторым районам число детей, желающих поступить в школу, в два раза превосходило число учащихся. Не хватало ни помещений, ни учителей.
Д ля характеристики роста численности учащихся приведем следующие данные. На 1 января 1914 г. охват детей начальным школьным образованием составлял 43,9%. Училось 225 755 детей. В 1924/25 учебном году — 63,2% (340 914 детей), в 1925/26 — 66,2% (369 549 детей), в 1926/27 — 69,3% (449 647 детей).
1926/27 учебный год был первым годом планового осуществления всеобщего начального обучения в БССР. В 1932 г. этот план был выполнен. Поэтому указанные годы были годами значительного повышения численности учащихся и соответственно увеличения числа начальных школ. Процент охвата детей семилетним образованием повышался медленно: отсутствовала материальная база для его развертывания и был недостаточен контингент учащихся для комплектования старших классов, особенно в сельской местности. В старших классах школы училось в 1927/28 учебном году 50 038 учащихся. В Минске, Гомеле, Орше, Горках работали рабфаки.
Кроме того, велась активная работа по ликвидации неграмотности со взрослым населением. Эта задача также была решена в непродолжительное время. В начале 30-х годов Белоруссия уже была республикой сплошной грамотности.
В последующие десятилетия был реализован план всеобщего восьмилетнего образования. В настоящее время реализуются решения XXIV съезда КПСС о всеобщем среднем образовании. В 1971/72 учебном году процент окончивших сред
202
нюю школу в БССР составлял 81,4. В 1975 учебном году он составит 94,7. «В текущем учебном году в республике в 10 278 общеобразовательных школах обучается 1 723 тыс. учащихся, в 130 средних специальных учебных заведениях— 149 тыс., в 157 ПТУ — 86 тыс. учащихся, в том числе в 26 ПТУ с полным средним образованием — 9,8 тыс., в 28 вузах— 143 тыс. студентов».6
В связи с расширением сети общеобразовательных школ, а также профессиональных училищ и техникумов естественно возникла проблема подготовки педагогических кадров. В Минске сначала был открыт институт народного образования для подготовки кадров от воспитателя детского сада и до учителя средней школы. 11 июля 1921 г. был открыт университет. Для подготовки учителей начальной школы создаются техникумы. В начале 30-х годов в ряде городов республики открываются педагогические институты.
§ 2. ШКОЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ И УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ В БЕЛОРУССИИ В 20-е ГОДЫ
Для подготовки и проведения школьной реформы при Наркомпросе РСФСР был учрежден специальный отдел, а при нем — секция по реформе школьного курса математики и предметов естественного цикла. В основу реформы, которую подготавливала названная секция, легли три основных принципа. Два из них выражали содержание образования и третий — принцип трудового обучения. Эти принципы составляли основу организации математического образования и в других союзных республиках, в частности в Белоруссии. Их можно сформулировать следующим образом:
1) Повышение научного уровня школьного курса математики, отражение в нем достижений науки.
Границы применимости этого принципа практически определялись программой Международной комиссии по реформе математического образования и решениями Всероссийских съездов преподавателей математики.
2) Связь школьного предмета математики с жизнью, с практикой социалистического строительства.
Первых два принципа сформулированы в редакционной статье в журнале «Математика в школе», где сказано: «Необходимость общей новой разработки педагогических вопросов, когда русская школа вместе со всей русской жизнью перестраивается на новых основаниях, является совершенно очевидной. Но для математики, как учебного предмета, имеются и особые причины, вызывающие необходимость в данное время коренного пересмотра учебных планов, программ и в особенности методов ее преподавания. Такими причинами явля
203
ются быстрый прогресс самой математической науки, влекущей необходимость обновления и пересмотра учебного материала и колоссальное развитие приложений математики в практической жизни...» 7
3) Принцип трудового обучения сформулирован в «Положении о единой трудовой школе»: «Основой школьной жизни должен служить производительный труд не как средство оплаты издержек на содержание детей и не только как метод преподавания, но именно как производительный общественно необходимый труд. Он должен быть тесно, органически связан с обучением, освещающим светом знания всю окружающую жизнь».8 Принцип трудового обучения рассматривался «как основная центральная часть» школьной реформы.
Постановка трудового обучения была предметом особого внимания органов просвещения БССР. Метод преподавания, как наилучшим образом отвечающий принципу трудового обучения, был принят лабораторный. Школьным инструкторам предписывалось серьезно обращать внимание на организацию в школе образовательно-воспитательных институтов, как-то: лабораторий, мастерских, ферм, опытных полей, огородов и т. д. Были разработаны «Принципы и условия студийно-кружковой школьной работы»: «Студийно-кружковая система школьной работы, связанная с использованием активно-лабораторного метода образования и осуществлением принципов самодеятельности и индивидуализации, призвана заменить собой традиционные классно-урочную и аудиторнолекционную системы с их методами пассивного и вербального обучения».9
Таким образом, в основу учебной работы был положен также принцип творческой активности учащихся. Предметная система не отрицалась: за «энциклопедией знаний», которая изучается на первой ступени, следует систематическое изучение каждого предмета под руководством специалиста. В процессе обучения рекомендуется применять индивидуальный подход к учащимся, но при сохранении духа коллективизма. Даровитым ученикам дозволяется раньше оканчивать школу и поступать в высшие учебные заведения. Но рекомендуется большее внимание обращать на слабых учащихся, нежели сильных: «Пусть лучше не сразу удастся нам осуществить меры в пользу особо преуспевающих, но пусть ни в каком случае отсталые не остаются без особцх забот школы» .10
В основу периодизации преподавания математики в советской школе естественно положить смену действующих программ и именно тех, которые существенным образом отражают потребности экономической и культурной жизни республики. С этой точки зрения деятельность новой школы
204
в первые годы Советской власти можно отнести к первому периоду; он характеризуется построением первых пробных программ по математике. В противоположность дореволюционным эти программы отражали передовые идеи века, но гражданская война и интервенция помешали их реализации.
Начало второго периода следует датировать временем выхода в свет программ, построенных на основе программы ГУСа (1923— 1924 гг.). В противоположность первым это были вполне реальные программы, по ним работали школы. Они допускали местное творчество, особенно использование краеведческого материала, но были ориентированы на комплексную систему преподавания в начальной и отчасти в семилетней школе. Школа обеспечивалась новой учебной и методической литературой.
Началом нового этапа является реорганизация постановки преподавания математики на основе исторических решений ЦК ВКП(б) о школе в начале 30-х годов. Школа перешла на стабильные программы и учебники. Отличительной особенностью следующего этапа является усиление связи теории с практикой в школьном курсе математики.
Наконец, современный этап характеризуется переходом на новые программы, представляющие собой значительный шаг вперед в направлении связи школьного курса с наукой и практикой. Эти новые программы были разработаны специальной комиссией Академии наук СССР с участием Академии педагогических наук СССР.
Процесс развития программ является объективным, детерминированным. Главными факторами, определяющими этот процесс, являются: уровень развития математики, требования практики (в широком смысле этого слова) и требования возрастных особенностей учащихся.
Эти положения в своей совокупности составляют основной критерий для оценки школьного учебного предмета математики.
В мае 1918 г. в секцию реформы были представлены доклады о преподавании математики, и некоторые из тех положений, которые в них были высказаны, легли в основу программы деятельности школы в области математического образования.
В одном из докладов утверждается, что поскольку «главной целью общего образования в новейшее время ставится не приобретение учащимися суммы полезных сведений и логического аппарата, а возбуждение в них духовной самодеятельности и жажды к самостоятельной умственной работе, то подобная же цель должна быть поставлена и преподаванием математики». п
205
В соответствии с этим взглядом главную роль в образовании должна играть не программа, а метод преподавания. При этом автор отрицает формальную и материальную цели, с точки зрения которых оценивались программы в дореволюционное время.
В другом докладе математика рассматривается как средство систематизации опыта. Если это понимание перенести на школу, то математическое образование должно быть «венцом, а не началом образования». Прежде дети должны накопить некоторый опыт, чтобы потом его изучать, применяя математические методы. Поэтому, как утверждает докладчик, в школе первой ступени не должно быть самостоятельного предмета математики, она должна проникать «по возможности во всякую школьную работу».12
В этом докладе высказана, хотя еще и не в стройном виде, новая концепция, заключающаяся в отрицании самостоятельности курса математики как особого школьного предмета, и которая в 20-х годах получила теоретическое развитие и частичное применение в практике работы семилетней школы.
Эта концепция логически вытекала из одностороннего взгляда на математику как прикладную науку, который разделяли тогда некоторые из методистов, влиявших на ход организации математического образования. Справедливо отмечалось, что математика является наукой, которая отражает в абстрактной форме реальные закономерности, и поэтому она приложима к изучению окружающего нас мира. Она служит целям изучения природы, экономики и т. д. Но из этой посылки строился неверный вывод: математика не имеет самостоятельного объекта изучения и является сугубо прикладной наукой. На этом основании и школьному курсу математики приписывалась служебная роль. Его задача, как утверждалось, должна состоять в том, чтобы вооружить учащихся методами изучения практических проблем, с которыми они встречаются в школе и встретятся в жизни после ее окончания.
Эта методологическая концепция оказала позднее влияние на построение программы по математике в Белоруссии, выразившееся в том, что теоретическая и прикладная стороны курса школьной математики были сбалансированы в ущерб его логическому строению, теории. В новые программы было включено много новых фактов, актуальных вопросов и идей, но за счет снижения строгости изложения и усиления в преподавании роли эмпирического начала.
Этот взгляд на школьный предмет математики служил в свою очередь логической основой того, что ее изучение в школе должно быть связано с изучением труда.
Труд — основной предмет, все другие предметы изучаются в связи с изучением труда и его истории. Лабораторный
206
метод, разработанный частично до революции, вводился в качестве основного метода изучения математики, как наилучшим образом отвечавший этой новой педагогической док- трине.
Трудовой принцип был положен в основу построения первых программ для начальной школы с тенденцией провести его последовательно в старших классах, но на более позднем этапе ее развития.
Проект первой программы по математике для I ступени единой трудовой школы, разработанный секцией математики отдела реформы и опубликованный в 1918 г., радикальным образом отличался от старых дореволюционных программ и совершенно по-новому рассматривал проблему начального математического образования.13
Проект предусматривал: параллельное изучение арифметики и геометрии начиная с первого класса; практические работы по измерению величин (в русской и метрической системе мер);
в связи с измерением введение понятия о приближенном числе, операций над приближенными числами и способов оценки погрешностей;
исключительное внимание к понятию функции и ее графическому представлению (в плане пропедевтическом);
для сельских школ — большой комплекс землемерных упражнений;
для городских школ — курс черчения, который включает знакомство с машинами;
сведения по истории математики.Весь учебный материал теснейшим образом связывается
с жизнью, с изучением народного хозяйства, природы. Программа была рассчитана на воспитание у учеников активности, самодеятельности, настойчивости и т. д. К недостаткам следует отнести прежде всего ее перегрузку. Кроме того, не учитывалось реальное положение дела в школе: учитель не был подготовлен к реализации этой программы и отсутствовали отвечающие ей учебники.
В списке книг, которые рекомендуются программой, отсутствуют те, которые применялись в гимназиях. Зато в него были включены учебники, которые в той или иной мере отражали новые идеи в области школьной математики (Астряба, Извольского, Карасева, Долгушина, Лебединцева и др.)*
Первоначально планировалось построить школу с фурка- цией. Предполагалось, что дети с 14 лет «должны разделиться на несколько путей или факультетов, так, однако, что многие основные предметы остаются объединяющими всех учеников и преподавание на каждом отдельном факультете после поли- фуркации является только более ярко окрашенным в тот или
т
иной специальный цвет». Сектор реформы Министерства просвещения РСФСР разработал проекты программ для трех отделений. Приведем в сокращенном виде проект программы по математике для естественно-математического отделения. 14
Множество рациональных чисел. Непрерывность и иррациональные числа. Исторический очерк развития учения об иррациональном числе. Действия над иррациональными числами. Теорема Вейерштрасса. Основные положения о пределах. Ряды. Критерий сходимости Д ’Аламбера. Показательная и логарифмическая функции, число е. Непрерывные и разрывные функции. Эмпирические функции. Понятие об интерполировании и экстраполировании. Периодические функции. Понятие о гармоническом анализе. Математика как орудие исследования природы. Экономизирующая роль ее. Исторический очерк развития анализа. Дифференцирование и интегрирование элементарных функций одной переменной. Квадратура кривых. Ряд Тэйлора и Маклорена. Перестановки и сочетания. Происхождение теории вероятностей. Приложение теории вероятностей к статистике. Обработка экспериментальных данных.
Дополнение. Уравнения поверхностей второго порядка в канонической форме. Касательная плоскость и нормаль.
Программа для философского отделения содержит вопросы, относящиеся к развитию понятия о числе — от натурального до комплексного включительно.
Проект обязательного минимума включал: организационные и статистические расчеты, равенство и подобие фигур, элементы проекционного черчения, линейную и квадратную функции и уравнения, метрические соотношения в треугольнике, решение треугольников, геодезические измерения, конические сечения, принцип Кавальери, вычисление площадей и объемов, тригонометрические функции, логарифмы, понятиео пределе, основные идеи дифференциального и интегрального исчислений.
Весь курс теснейшим образом связывается с задачами практики и другими науками (построение эмпирических функций, сложение и разложение сил, равновесие рычага, давление на опоры, центр тяжести, приближенные вычисления, движение тела по наклонной плоскости, падение тел, струя жидкости, способы передачи движения, географические координаты, измерения земного шара, орбиты планет, определение работы теплового двигателя, логарифмическая линейка и др.).
Интересны общие методологические вопросы изучения математики, которые рассматриваются в «Объяснительной за писке» к проекту.15
«На первой ступени обучения учащиеся приобретают те
208
навыки и умения из области математики, необходимость которых диктуется трудовым^ процессами и изучением жизни людей и природы. На второй ступени обучения учащиеся вводятся в производительную жизнь страны, вместе с тем значительно расширяется изучение природы и жизни общества, широко производится процесс обобщения и выявления основных законов, в которых синтезируется наше знание и закладывается прочный базис научного мировоззрения. В связи с расширением общего кругозора учащихся расширяется область применения математики как орудия усследования мира.
Школа не может поставить своей целью сообщение учащимся тех или иных знаний, учитывая их жизненно-практиче- скую полезность, потому что предвидеть, какие именно знания окажутся наиболее полезными для будущего, абсолютно невозможно, а развитие интеллектуальных способностей достигается... самостоятельной работой над теми проблемами, которые занимают учащихся.
Школьным работникам следует иметь в виду иную задачу — развить у учащихся способность и привычку к самостоятельной работе, к самостоятельному мышлению, творчеству. Поэтому занятия по математике должны заключаться главным образом в самостоятельных работах учащихся — докладах, рефератах, коллективных собеседованиях. Стимулы к этим занятиям следует искать в изучении природы и жизни общества... Так, квадратная функция в плане появляется из исследования движения падающего тела, линейная — из анализа равномерного движения и т. д.»
Некоторые из высказанных здесь положений имели для новой школы актуальное значение, как, например, о роли самостоятельной работы учащихся, хотя оно и гиперболизировано, о приложениях теоретического материала к практике,о проблеме полифуркации. Но абсурдность посылки об «абсолютной невозможности» предвидения очевидна: школьные знания служат существенной компонентной деятельности человека, которая изменяется под влиянием этой деятельности и развития науки. Следовательно, прогнозирование образования составляет часть общей проблемы планирования экономики и науки. Если стать на точку зрения авторов «Записки», то следует признать невозможной работу по прогнозированию образования.
Несмотря на недостатки первых программ по математике для средней школы (главным образом перегрузка новым материалом, слабое внимание к развитию навыков), которые могли бы быть легко устранены в работе, в идейном отношении, в отношении содержания они представляют собой за мечательный документ, отражающий ту революционную эпоху, которую переживала наша страна в эти годы. Но условия
,209
гражданской войны и интервенции не дали возможности их реализовать на практике.
В этот период развернулась методическая деятельность. Следует заметить, что многие из тех проблем школьной мате- матики, которыми занимаются в настоящее время, возникли еще в первые годы Советской власти (связь учебного материала с жизнью, «алгебраизация» арифметики, введение геометрических преобразований, введение начал анализа и аналитической геометрии, а также элехментов теории вероятностей и другие вопросы). В зтодо отношении примечательна деятельность ряда белорусских учителей, о чем будет подробно сказано ниже.
Примерные программы семилетней школы как основной общеобразовательной школы в Белоруссии были разработаны на основе программы НКП РСФСР и изданы в 1922 г. 16 Программа по математике имела ту главную особенность, что материал арифметики, геометрии и алгебры был расположен в ней параллельно, что указывало на необходимость изучения этих предметов во взаимной связи, «без перегородок между различными предметами математики». В ней мы видим первую попытку реализовать принцип единой математики.
В «Предварительных замечаниях» указывается, что «недопустимо обособленное изучение, например, арифметики без простейших обобщений алгебраического характера, без приложений ее к геометрии. Не должно быть резкого перехода» от одной из этих наук к другой, который произвел бы переворот в математическом миросозерцании ребенка... Поэтому в программе указаны те части арифметики и геометрии, которые могут быть разработаны в тесной связи. Материал ж е алгебры слит с арифметикой».17
Воспроизведем эту программу в сокращенном виде.1-й год обучения. Арифметика. Изучение чисел в преде
лах 10.Геометрия. Образы треугольников, многоугольников.Арифметика. Нумерация до 20. Уравнения типов: х + 3 = 7,.
х —5 = 5, 3 • х = 12, х • 5 = 20, х : 4 = 3, 1 5 :х = 3.2-й год обучения. Арифметика. Действия с целыми числами
в пределах 100. Взвешивание. Решение уравнений. Таблица умножения. Замечание о переместительности умножения в связи с измерением площадей. Доли единицы. Действия с ними. Действия с целыми числами в пределах 1000.
Геометрия. Практические измерения длины, куб, прямой угол, параллельные прямые. Черчение и вырезывание. Составление из квадратов прямоугольника, из кубов — столба. Площадь прямоугольника, объем призмы. Эталоны мер.
3-й год обучения. Арифметика. Действия с числами в пре
210
делах 1000. Простейшие дасятичные дроби. Уравнения типа: 5х + 8 = 38, 47 —5х=12 и т. д. Нахождение дроби числа и числа по данной его части.
Геометрия. Квадрат и прямоугольник. Действия с отрезками. Плоскость, прямой угол. Эккер. Построение на местности с помощью вех прямоугольника заданных размеров. Метрические меры. Развертка куба. План, масштаб. Съемка прямоугольного участка земли и определение его площади по плану.
4-й год обучения. Арифметика. Признаки делимости. НОК и НОД. Меры веса. Удельный вес. Простые дроби (пропедевтический курс). Буквенные обозначения площади треугольника и объема трехгранной призмы. Проценты. Уравнения. Д е сятичные дроби. Запись свойств с помощью букв.
Геометрия. Съемка плана прямоугольного участка земли. Квадратные метрические меры. Сравнение их с русскими. Призма. Симметрия.
5-й год обучения. Арифметика. Решение арифметических задач в общем виде. Начала алгебры.
Геометрия. Измерение углов на местности. Подобие треугольников. Параллелограмм. Ромб. Правильные многоугольники. Площадь круга. Цилиндр. Съемка плана, измерение высоты предмета и возвышения одного предмета над другим.
6-й год обучения. Алгебра. Действия с многочленами. Относительные числа. Дроби. Уравнения первой степени. Извлечение квадратного корня по приближению.
Геометрия. Систематический курс (до вписанных и описанных многоугольников, с включением понятия о пределе и бесконечно малой величине).
7-й год обучения. Алгебра. Системы уравнений первой степени. Линейная функция и ее график. Графическое решение системы двух линейных уравнений. Понятие о функциональной зависимости. График квадратной функции. Графическое решение уравнения х2 = а. Приближенные вычисления. Преобразование радикалов. Квадратные уравнения. Прогрессии.
Геометрия. Пропорциональные линии в круге, «золотое» сечение. Вычисление высот и медиан треугольника по сторонам. Задачи на построение. Правильные многоугольники. Формула удвоения, число л. Вычисление площадей, формула Герона. Простейшие случаи преобразования фигур. Теорема Пифагора. Отношение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.
Хотя в целом программа по второму концентру мало чем отличается от традиционной, тем не менее она акцентирует внимание на изучение таких важных вопросов, как понятие функции, действия с приближенными числами и практические
211
работы по геометрии. В соответствии с этой программой были подготовлены учебники и пособия, на которых мы сейчас и остановимся.
Деятели реформы отрицательным образом относились к употреблению учебников в школе. «Коллегия Отдела реформы школы находит, что учебники должны быть вообще изгнаны из школы. Рекомендуется каждой школе обзавестись библиотекой, которой могли бы пользоваться как учащие, так и учащиеся. В библиотеке должны находиться книги для чтения как беллетристического, так и научного содержания».18 Программы содержали реестры таких книг по математике, которые не представляли собой систематических учебных курсов. Это были книги по математическим развлечениям, по методике, истории математики и задачники.
Трудно, конечно, понять те мотивы, которыми руководствовались деятели реформы, отвергая употребление учебников. Надо полагать, что они всерьез верили, что можно получить математическое образование, занимаясь чтением разнообразной популярной литературы по математике. Если бы они этим хотели избежать проникновения в новую школу старых учебников, то декларировали бы необходимость создания новых, причем с указанием принципов их построения. Факт отрицания роли учебников и замены их популярными книгами является дополнительным подтверждением высказанного ранее положения об отсутствии внимания к логической стороне курса школьной математики.
К счастью, эта точка зрения на учебники была непродолжительной. Уже в 1923 г. отношение к этому вопросу меняется коренным образом: учебники нужны, но новые. В этом отношении были приняты соответствующие решения на совместном совещании представителей союзных министерств в 1923 г. по докладу О. Ю. Шмидта. Эти решения сводились к вопросу об унификации школьных учебников для всех республик Советского Союза. Вот один из основных пунктов этих решений:
«Признать необходимым согласование деятельности методических органов НКП-ов и, в частности, выработку единой линии, единых требований по отношению к выбору учебников». 19
В Белоруссии дело с учебными пособиями в связи с переходом преподавания на белорусский язык чрезвычайно1 осложнилось. В рекомендательных списках указывалась та разнообразная учебная литература, какой располагали школы. Это известные учебники и задачники Арженикова, Голь- денберга, Васильева, Малинина и Буренина, Верещагина,. Киселева, Гебеля, Виноградова, Шапошникова и Вальцова, Вульфа, Давидова, Трейтлена, Вулиха, Рашевского, Рыбкина и др.
212
В 1921 г. была создана комиссия по выработке математической терминологии, разработка которой была завершена изданием белорусско-русского математического словаря в 1927 г . 20
Вместе с этим было предпринято издание ряда русских учебников и задачников в переводе на белорусский язык. По геометрии был издан перевод «Учебника геометрии для шко&
С. В. Волоскович. Т. О. Лукашевич.
первой ступени» Ф. Г. Миккельсара, представляющего собой учебное пособие по пропедевтическому курсу геометрии, вышедшее в 1916— 1917 гг. в Риге.21 По теоретическому курсу был издан учебник геометрии Киселева, а также его курс алгебры и задачники Рыбкина. *
В 1922 г. были изданы на белорусском языке задачник по арифметике для начальной школы и «Методика арифметики» С. В. Волосковича и Т. О. Лукашевича.22
Задачник охватывал полный курс арифметики и содержал ряд новых вопросов, как-то: построение диаграмм и задач по данным таблиц, решение уравнений начиная с первого класса, переход от числовых выражений к буквенным, имеющим целью подвести учащихся к изучению алгебры, и др.
Подробнее остановимся на методике арифметики этих авторов. В предисловии они формулируют троякую цель преподавания математики в школе: образовательную, воспитательную и практическую. Образование определяют те математи-
* Некоторые из них были изданы в Вильно.
213
ческие идеи, которые вырабатываются у ученика в процессе обучения. Вторая цель заключается в воспитании разумных привычек и математического мышления: обоснованность, логичность в суждениях, сжатость выводов, обобщение, установление связи между явлениями. Практическая цель — выработка привычек обращаться к мере и числу. Систематичность
^изучения математики является одним из тех условий, которые позволяют достигнуть указанных выше целей.
Авторы относятся отрицательно к модным педагогическим доктринам того времени. По мнению авторов, преподавание математики должно строиться на основе целостности курса и его плановом построении в соответствии с законами развития детского интеллекта. Арифметический материал должен удовлетворять требованиям детской психологии, современной культуре, практике и в то же время обеспечивать развитие формально-логического мышления учащихся. Понятие о числе и простейших операциях должно исходить из чувственных восприятий и приобретаться на предметных вещах. Предпочтительным методом работы является лабораторный. Авторы критически и по-деловому подходят к оценке методов преподавания в старой школе.
Волоскович и Лукашевич построили своеобразный, не традиционный школьный курс арифметики и его методики как в отношении содержания, так к структуры. Существенной его особенностью является параллельное изучение целых чисел, десятичных дробей и метрической системы мер. Необходимость в учебнике они отрицали и изложили курс арифметики на задачах. Перечислим некоторые интересные моменты этого курса. Дети знакомятся со знаками «больше» и «меньше» уже при изучении первого десятка, при изучении чисел в пределах 100 — с простейшими обыкновенными дробями, при изучении действий над числами любой величины — с десятичными дробями и метрической системой мер. Изучение десятичных дробей связывается со структурой системы счисления. Систематическое изложение обыкновенных дробей следует после изложения десятичных. С 1-го класса вводятся уравнения. Обращается внимание на законы арифметических действий.
По нашему мнению, этот курс арифметики (и его методика) заслуживает высокой исторической оценки. Хотя идеи курса нельзя назвать вполне оригинальными, так как они в той или иной степени были отражены в учебно-методической литературе и частично были реализованы в практике школы ранее (А. Я. Глаголева, Петроград), тем не менее стройное и систематическое их воплощение в задачнике и методике, а также их применение авторами в практике преподавания дают достаточное основание для такой оценки. З а
214
метим, что такие вопросы, как раннее введение уравнений, изучение десятичных дробей ранее обыкновенных, заново привлекли внимание современных методистов. Поэтому исторический опыт белорусской школы по этим вопросам представляет несомненный интерес.
В числе первых на белорусском языке был учебник элементарной алгебры А. Круталевича, изданный в 1922 г. (первая часть) и в 1924 г. (вторая часть) .23 Эта работа была выполнена наспех и не отличалась высоким качеством, тем более оригинальностью. В предисловии автор говорит, что он стремился к наглядному преподаванию и поэтому обратил внимание на геометрическую интерпретацию и графики. Во второй части изложены вопросы, относящиеся к линейной н квадратной функциям. Понятие логарифма не рассматривается с функциональной точки зрения, отсутствует знакомство с показательной функцией. Теория уравнений и неравенств излагается вне связи с понятием функции.
В «Алгебре» Круталевича имеются задачи и примеры* часть из которых заимствована из известных задачников того времени. Задачи нельзя считать удачными: они не отражали новых явлений в социальной жизни (задачи о купцах и работниках). Но несмотря на недостатки, учебнцк Круталевича находил некоторое применение в школе. К числу его достоинств следует отнести внимание к изложению понятия функции, теории неравенств и применению аппарата теории определителей.
Программы ГУСа в истории нашего просвещения получили отрицательную оценку. Причиной такого отношения к ним является то обстоятельство, что они ориентировали на преподавание по комплексной системе. Эти программы служили основой для составления аналогичных программ в других союзных республиках, в частности в Белоруссии.
Программы ГУСа 1923— 1925 гг. для первой ступени нельзя назвать таковыми в нашем смысле слова. Это были подробно разработанные «схемы» изучения трудовой деятельности человека, истории труда и общественной жизни людей, связанной с трудом. Математика в этих схемах совсем не выступала в качестве самостоятельного предмета, она в них содержалась в виде совокупности изолированных вопросов и: тем, связанных с изучением трудовой деятельности людей и подчиненных этому изучению. 24
Работа по этим схемам в преподавании, по мысли их авторов, должна была помочь преодолеть ту разрозненность между школьными предметами и тот отрыв предметов от жизни, которые были характерны для старой школы. В изучении труда, как в фокусе, концентрируется изучение всех школьных дисциплин, существовавших прежде самостоятель
(215
но. Схема, по которой распределялся учебный материал, имела три колонки:
Природа Трудовая деятельность человека Общественная жизнь, ее история
Такое построение имело свою логику: в центре изучения находится трудовая деятельность человека, направленная на использование богатств природы, следовательно, должны изучаться природа и человек как явление природы; с другой стороны, труд приводит людей к общественной жизни, отсюда — изучение истории общества.
Материал, относящийся к математике, содержался в средней колонке, поскольку человек в процессе труда использует математику как средство, как орудие для изучения природы и ее покорения.
Материал в колонках расчленялся на отдельные темы, связанные с явлениями природы. Например, в теме «Наступление зимы» ученики изучали деятельность людей ранней зимой, природу этого времени. Они «наблюдают, записывают, читают, рисуют, лепят, производят математические вычисления». *
Материал по классам был распределен так, что сначала изучался труд, близкий и знакомый детям,— труд в школе,
б семье. Затем этот круг постепенно расширялся и уже в третьем классе охватывал краеведческий, а в четвертом — «мироведческий» материал.
Положение математики в этой системе изучения было подчинено установке, что она не должна изучаться в школе как самостоятельный предмет, «она должна являться упражнением детей в счете и измерении изучаемых ими реальных вещей. Подобный ход работы заставляет нас поэтому отказаться от строгой системы и постепенности развития математических представлений и навыков, как это было в старой школе и как это бывает часто теперь. Подчиняя математику жизни, считая ее роль служебной, мы пользуемся ее языком, ее символами для того, чтобы эту жизнь понять, преобразовать».25
Так, например, в «центр внимания» программы 5-го класса предлагается включить две темы: элементарные землемерные работы, связав их с геометрией и черчением, и статистическое изучение деятельности людей, проведя для этого специальное обследование с помощью учащихся.
* По теме «Признаки приближения весны» производилось решение (в •связи с увеличением продолжительности дня) задач на время, строились расчеты, связанные с построением скворечников.
216
Вопросы о закономерностях природы приводят к изучению физики, химии, астрономии. «И все сие поставить в связь с выяснением того, что такое алгебра, о значении алгебраических обобщений, формул, о переводе закономерных явлений на алгебраический язык.» 26
В «Общих замечаниях» указываются два положения:1) «Материалом для проработки курса математики дол
жны главным образом служить работа и жизнь, окружающие учащихся. Этим... материалом не следует пользоваться как иллюстрацией..., наоборот, на нем должны проходиться соответствующие отделы; лишь потом для приобретения достаточной техники в действиях следует пользоваться задачниками». 27
2) Хотя материал подразделен на предметы (алгебра, арифметика, геометрия), но предлагается параллельное их изучение в связи с каким-либо практическим вопросом. Н апример, «при изучении участка земли мы строим его, определяем его форму (геометрия), изучаем размеры (арифметика, геометрия), находим точность результата (арифметика), стремимся дать общую формулу для решения задач подобного типа (арифметика, алгебра) и учим находить какой-либо из элементов по остальным данным (составление алгебраических уравнений)».28
Анализируя эту программу, мы видим в ней много нового, интересного, полезного для общего математического развития и для подготовки учащихся к трудовой деятельности. Главная особенность программы — тесная связь с жизнью, стремление дать ученикам навыки применять математику в жизни. Этим объясняется раннее введение геометрии (курса чисто опытного), раннее знакомство с системой мер и техникой измерения, с понятием погрешности и приближенными вычислениями. Хотя программа была и перегружена, но она не рассматривалась как обязательная, твердая, с определенным перечнем прочных навыков.
Главная ошибка авторов этих программ заключалась в игнорировании исторического опыта школы. Действительно, слабый эффект комплексной системы объясняется тем, что была нарушена логическая последовательность в изучении предмета, был забыт так называемый принцип систематичности, сложившийся в результате длительного исторического опыта и обоснованный этим опытом как принцип, как определенное требование, выполнение которого обязательно при всякой разумной организации преподавания любого предмета, в частности математики.
Программы старших классов средней школы составлялись также с учетом нового направления в педагогике. Наилучшей из них была программа, изданная в Ленинграде в 1925 г.29
217
Эта программа в целом производит хорошее впечатление, она насыщена вопросами, которые в совокупности составляют главную проблему школьной математики, по крайней мере, первой половины нашего века. Она вводит для систематического изучения большой перечень новых и важных вопросов, как, например, понятие производной, понятие геометрического преобразования, понятие вектора (в тригонометрии, которая отнесена к алгебре). Понятие функции играет центральную роль во всем курсе алгебры. Помимо общеобразовательных задач, на курс математики возлагалась подготовка учащихся к практической деятельности. Поэтому в него включались вопросы из техники, архитектуры, землемерия, сельского хозяйства. Но, к сожалению, она не получила должного отражения в практике, и в частности в Белоруссии, где общее образование завершалось семилетней школой.*
Программы 1927 г. не имели целью реформировать образование, тем не менее они содержали некоторые существенные особенности и были обязательными.
Здесь мы встречаем уже иной взгляд на математику, а именно, как на науку, имевшую свой собственный предмет исследования.30 Школьная математика рассматривается как самостоятельная дисциплина, сознается необходимость строго логической системы ее изложения («методической последовательности»), высказывается мысль, что комплексная система находится в противоречии с требованием систематического курса математики, тем не менее программа не отказывается от применения этой системы и по-прежнему односторонне трактует математическое образование в семилетней школе, как утилитарное: «Математика в школе есть дисциплина, практически нужная учащимся, орудием которой он должен приучиться пользоваться в школе и после школы — в повседневной жизни, в любой своей последующей деятельности».31 Отсюда вытекают общие принципы, на которых строится программа.
1) Математика должна стать орудием в руках учащихся для практического применения ее во всевозможных случаях, встречающихся в обыденной жизни.
2) Школа должна дать учащимся умение сформулировать на языке математики вопрос, задачу, проблему на основе данных или добытых в работе значений величин.
Эти общие положения конкретизируются по каждому из предметов. Так, например, по арифметике «учащиеся должны совершенно свободно, не задумываясь на отдельных вычислениях, оперировать целыми и дробными числами любой
* Впрочем, после присоединения Витебской и Гомельской областей в Белоруссии было несколько полных средних школ.
218
величины, уметь осмысленно производить действия с приближенными числами, бегло считать устно».32 И далее: «Отдел уравнений, как специфическая часть алгебры, начинается с простейших случаев, еще в связи с прохождением арифметики на 5-м году обучения и постепенно расширяется, охватывая квадратные уравнения. В связи с этим отделом стоит изучение простейших функций, хотя и весь курс математики должен быть в достаточной степени пропитан разбором функциональных зависимостей».33 По геометрии — «ясное представление реального пространства, знание самых основных взаимоотношений в этом пространстве, причем в школе-семилетке имеется в виду главным образом изучение плоских фигур; формулы же объемов и поверхностей тел даются часто без всяких доказательств. В связи с курсом геометрии ставятся и некоторые геодезические работы самого простого типа»... Значение систематического курса геометрии в семилетней школе отрицается.34 Преподавание было построено на «опытно-индуктивной» основе.
Курс геометрии имел раздел тригонометрии с теми минимальными сведениями, которые необходимы для решения прямоугольных треугольников.
Программы 1927 г. указывали четыре последовательных уровня «комплексирования»:
1) Составление задач по комплексной теме, отражающих связь математики с жизнью.
2) Связь с другими предметами. Здесь математика выступает как прикладная отрасль знания.
3) Вопросы комплексной темы служат исходным моментом для изучения того или иного математического вопроса.
4) Математика ставит ряд конкретных проблем, помогающих изучению комплексной темы. Выбираются также темы, которые требуют применения математики.
Авторы программ рекомендуют учителю опираться в преподавании на метод фузионизма.
Эти программы имели много нового, интересного и полезного материала для развития умственной деятельности учащихся и их подготовки к практической деятельности, но они ориентировали преподавание математики в семилетней школе строить на чисто эмпирической основе.
Критика этих программ касалась как общих установок, так и методов преподавания. Она осуждала тенденцию, ведущую к ликвидации школьного предмета математики, и методы преподавания математики, вытекавшие из комплексной системы работы школы. Отмечалось, что применение этих методов привело к снижению уровня математической подготовки учащихся.
Для ряда методистов и преподавателей математики аб
219
сурдность этих нововведений была или очевидна с момента их введения, или же убеждение в этом пришло с первым опытом. Постепенно складывалось такое мнение, что от этих методов следует решительным образом отойти. Этот шаг был сделан в 1931 — 1933 гг., когда они были осуждены ЦК ВКП (б) и указаны пути дальнейшего развития советской школы.
Программы НКП Белоруссии в принципиальном отношении не отличались от программы ГУСа для семилетней школы, тем более что они составлялись на основе этих последних. Как и в Российской Федерации, они также предусматривали изучение математики по комплексному методу, который получил распространение главным образом в школе первой ступени. Однако такие основы, на которых строились прежние курсы школьной математики, как систематичность и научность, в старших классах семилетней школы здесь были нарушены. Программы и соответствующие им пособия совсем не имели в виду дать в семилетней школе систематическое и научное изложение математики. Программы содержали перечень вопросов и фактов, которые требовалось изложить учащимся, указывали пути и способы их практического применения, не заботясь при этом о логическом изложении.
Новая программа с ориентацией на комплексную систему изучения математики была создана в Белоруссии в 1926 г. и после переработки «в направлении дальнейшего развития тех основных положений, которые были определены реформой преподавания математики в начале XX столетия», в 1927/28 учебном году была введена в действие.
В этой программе не выражалось стремления дать уча-I щимся теоретическое образование, развить у них начала де
дуктивного мышления, чтобы они могли впоследствии получить специальное научное образование, а отражалась одна забота — дать им навыки использования не связанных в логическую цепь математических фактов в будущей их практической деятельности в промышленном производстве и в сельском хозяйстве. Эта тенденция белорусских программ носит на себе печать главной идеи времени — о преимущественном развитии профессионального образования,— нашедшей в Белоруссии в силу ее технической отсталости и экономического упадка развитие и широкое применение.
Однако она имела ряд таких положительных элементов, которые, если ослабить относящиеся к ним гиперболизированные положения, не утратили своего значения и в настоящее время. Прежде всего обеспечивались: навыки в практических приложениях математики, знакомство с экономической и социальной жизнью республики, воспитание в духе советской идеологии; закладывался фундамент, на котором формируется научное философское мировоззрение.
220
Программа на первое место выдвигает конкретный материал, а не отвлеченные понятия. Этот материал предлагался в виде ряда практических вопросов, объединенных общими комплексными темами. Для осуществления на практике комплексного метода работы по математике намечались такие приемы:
1. Формулировка конкретных проблем, решение которых освещает сущность той или иной комплексной темы. Вместе с этим ученики усваивают некоторые математические сведения и приобретают навыки в их применении.
2. Те или иные вопросы комплексной темы являются исходным пунктом для работы по математике. Комплексный материал является как бы импульсом и началом разработки того или иного раздела математики.
3. Математика помогает изучению других предметов (физики, географии, природоведения, обществоведения). Ученики при этом уясняют значение математики в решении практически жизненных проблем.
Понятно, что такой подход требовал от учителя дополнительных знаний, он обязывал его обстоятельно знакомиться с программами по другим предметам. Программа рекомендует следить за периодической литературой, особенно по физике, технике и статистике.
4. Изучение идеи функциональной зависимости. Об этом писали, что значение этой идеи в преподавании элементарной математики признается всеми выдающимися педагогами-ма- тематиками и только необыкновенный консерватизм в программах по математике до недавнего времени принимал ее в том виде, в котором она оформилась еще в XVIII в.
Первое ознакомление с понятием функции рекомендуется дать в V классе (или даже в IV) при изучении различных таблиц и построении соответствующих им графиков. В старших классах изучаются линейная и квадратная функции «с наглядным выявлением их свойств на соответствующих графических образах». Учение об уравнениях тесно связывается с изучением соответствующих функций.
В плане связи с жизнью обращается особое внимание на измерительные работы на местности, проведение экскурсий и изготовление учебных пособий.*
* Для иллюстрации приведем перечень задач, предложенных учащимся VI классов в одной из школ:
1. Пользуясь первым солнечным днем, измерить высоту Солнца.2. Определить высоту колокольни, пользуясь транспортиром, и пред
ставить чертеж с объяснением.3. Определить ширину нашей реки.4. Определить угол подъема от реки к школе.5. Человек ростом в 175 см видит под углом 45° верхушку дерева,
расстояние до которого равняется. 10,33 м. Определить высоту дерева.
221
Рассмотрим учебные и методические пособия для школыI ступени. В начальных классах употреблялись «рабочие книги» (в двух частях) Михася Лойки, составленные по программе 1927 г.35 Математика в них изложена по комплексному методу. Однако книги снабжены большим числом примеров для самостоятельных упражнений учащихся. Изучение первого десятка осуществляется при изучении тем: «Состав детей в группе», «Жизнь детей летом», «Школа», «Приметы осени» и др. Затем изучается второй десяток, первая сотня — также на материале комплексных тем, как, например, «Болезни и их причины», «Гигиена в школе и семье», «Работа зимой» и т. д. В конце каждого раздела имеются задачи-шутки, загадки и математические игры. Заметим, что уже с первой страницы выясняются отношения «больше» и «меньше» (длинный и короткий, маленький и большой, высокий и низкий, прямой и кривой, скорый и тихий и т. д. и соответственно: длиннее, короче; больше, меньше и т. д.). После первого десятка рассматриваются простейшие уравнения типа х + 3 = 8, л;+3 = 3 и т. д. Задачи строятся на основе реальных данных, взятых из комплексных тем. Книги Лойко богато иллюстрированы. Различные приложения представлены на картинках, например, как производить провешивание, строить прямой угол посредством эккера, проводить циркулем окружность. Имеется большое число разнообразных таблиц, диаграмм, отражающих главным образом сельскохозяйственное производство и служащих для составления задач. Характерно раннее изучение дробей. Включен обильный геометрический материал, знакомящий с различными видами фигур, их названиями и способами вычисления площадей; рекомендуются измерительные работы на местности; описывается метрическая и русская системы мер.
Основное положение книги «Математика в комплексной системе», изданной в 1928 г., формулируется так: «Работа по математике в четырехлетней школе складывается из вычислительных, измерительных и «ориентировочных» навыков. В первых двух классах занимаются измерением длин, веса, определением времени, выполняют измерительные работы на огороде, разбивают его на грядки, знакомятся с различными геометрическими формами».36 В дальнейшем программа практических работ расширяется.
В третьем классе дети изучают дроби, главным образом десятичные (в связи с изучением именованных чисел), знакомятся с планом и масштабом, ориентировкой по компасу и построением диаграмм.
В четвертом классе изучаются проценты, простые дроби, элементы геометрии, ориентировка по карте и глобусу, площади и объемы простейших фигур, измерительные работы на
1222
местности. Изучение дробей рекомендовалось начинать с первого класса и завершать в четвертом.37
«Методика математики» А. Круталевича и Г. Сагаловича основную задачу начального курса математики усматривает в следующем: «Школа первой ступени должна научить детей оперировать над целыми числами, десятичными и обыкновенными дробями, производить элементарные процентные расчеты, вычислять квадратуру простейших фигур и кубатуру простейших тел». Кроме того, «школа должна приучать детей с карандашом, циркулем и линейкой в руках делать необходимые и примитивные расчеты по вопросам окружающей жизни, которые требуют некоторого анализа».38
Общие принципы обучения математике формулируются так: 1) жизненность занятий; 2) легкость восприятия; 3) активность учащихся. Первый предполагает жизненность задач, второй — метод от конкретного к абстрактному, от частного к общему. Активность достигается при лабораторном методе. Лабораторный метод означает построение графиков, диаграмм, моделей и т. д.
Эта «Методика» действия с целыми числами распределяет на все 4 года обучения и рекомендует одновременно с изучением действий решать простейшего типа уравнения. Изучение дробей рекомендуется начинать с первого класса. На третьем году обучения круг сведений о дробях расширяется: в связи с метрической системой мер вводятся десятичные дроби. На 4 году обучения основное внимание направляется сначала на действия с десятичными дробями, затем — с обыкновенными. Во избежание перегрузки десятичные дроби рекомендуется рассматривать с двумя или тремя десятичными знаками, а обыкновенные — с простейшими знаменателями (так называемые «рабочие дроби»).
Последующие программы для старших классов семилетней школы Белоруссии отражали те же основные идеи, о которых говорилось выше. Связь учебного материала по математике с жизнью является характерной чертой этих программ. Авторы их ставили перед математическим образованием главным образом практическую цель — «научить пользоваться математическими сведениями в практической жизни». Объем и ха рактер учебного материала определяли исходя из того положения, что «школа должна дать такие сведения, которые имеют безусловное практическое значение». Постулировалось далее, что ученики семилетней школы не могут интересоваться строгой логикой математических выводов, что их интересует практическая сторона предмета, и отсюда был сделан вывод, что изложение математики должно опираться на интуицию и опыт учащихся в условиях лабораторных занятий. Программы указывали на необходимость связи математики с другими
Ё23
предметами — естествознанием, географией, физикой, техникой. Ставился вопрос об организации в школах математических кабинетов с комплектом измерительных инструментов.
В «Объяснительной записке» одной из более поздних программ задача изучения математики в семилетней школе формулируется так: «Быстрые темпы индустриализации страны, коллективизации сельского хозяйства, перевод всего уклада жизни на новые рельсы — все это потребует от математики, чтобы она уже в семилетней политехнической школе стала действительным могучим средством изучения вопросов техники, вопросов роста промышленности и сельского хозяйства, вопросов экономического и культурного прогресса вообще».39
В Белоруссии было принято строить программы из двух колонок. В первой указывался учебный материал по математике, во второй — приложения практического характера. М атериал по алгебре туда входил до квадратных уравнений включительно, по геометрии завершался вычислением поверхностей и объемов тел по готовым формулам.
Во вторую колонку, параллельную первой, вносились названия тем для иллюстрации теории с указанием материала для составления диаграмм (например, таблицы повышения урожайности), различных расчетов (товарной части продукции, оптовых цен, заработной платы, квартирной платы, норм выработки), сведения о калькуляции, промфинплане, государственных займах, перечень задач по измерениям на местности и работе в мастерских. Сюда же входили задачи на вычисление площадей и объемов, на расчет ремней и шкивов в передаточных механизмах, на приложение тригонометрических функций в технике, задачи из артиллерии, авиации, фортификации и многие другие. Кроме того, рекомендовалось рисование геометрических тел и их изготовление. В программе большое внимание уделялось изучению функций (линейной и квадратной).
Программа 1931 г. идет еще дальше в приложениях математики к практическим задачам.40 Прикладная часть более систематизирована и охватывает более широкий круг вопросов, нежели в предшествующих программах. В ней более обстоятельно представлено учение о функции, в связи с чем расширена номенклатура приложений (выявление функциональной зависимости в геометрии, технике и других областях; запись этой зависимости в виде формул, их исследование). С функциональной точки зрения рассматриваются формулы из области электротехники, радиотехники...
Приведем некоторые конкретные вопросы практических приложений: измерение, технический рисунок, расчеты при земляных работах (измерение и вычисление объема и веса
224
грунта, осадки насыпи), расчеты кирпичной кладки (стандартные размеры кирпичей, вычисление их веса, веса кирпичной кладки, ее давления на грунт, расход строительных материалов, расчет древесины), знакомство с системой стандартов и т. д.
Для старших классов семилетней школы были изданы рабочие книги, которые Научно-методическим комитетом при Наркомпросе БССР были рекомендованы для школы в качестве пособий (сборников материалов для работы по математике).41 Цель этих книг состояла в том, чтобы дать материал по математике по возможности житейский, дабы ученик, изучая книгу, чувствовал, что он решает задачи, поставленные самой жизнью; выделить конкретные проблемы (комплексные темы), которые требуют математического освещения, и вокруг них объединить работу по изучению математики; расширить применение лабораторного метода.
По пятому классу в этих книгах приводится обильный материал в виде таблиц для составления задач. Исключительное внимание уделяется съемке планов. Описываются способ провешивания линий (с препятствиями на пути) и инструменты, которые при этом употребляются. Дается знакомство с условными знаками, которые применяются в топографии. Теоретический материал небольшой и излагается наглядно. Весь курс пятого класса разделен на темы в основном из области сельскохозяйственной практики. Тема «Посевная площадь» излагается в виде задач и вопросов с некоторыми пояснениями. Сюда входят способы вычисления площадей с разбивкой их на треугольники. Тема «Сбор и реализация урожая» полностью состоит из задач и мелких вопросов, как например: сколько составляют 2% от 20 л., от 4,5 кг; 5% от 800 кв. м и т. д. Попутно выясняются многие практические вопросы и понятия (страховка, абсолютная и относительная погрешности). В решении задач используются правила приближенных вычислений. Тема «Вопросы животноводства» содержит многочисленные таблицы, характеризующие состояние животноводства в БССР.
По таблицам строятся графики и диаграммы. Таким образом, постепенно и на многочисленных примерах формируется понятие функции, которое определяется строго при изучении линейной функции.
В связи с изучением пропорций и пропорционального деления дается знакомство с вопросами техники (виды передач, зубчатые колеса, расчеты), сообщаются формулы длины окружности и площади круга. Здесь же рассматриваются вопросы заработной платы (расчеты по категориям на основе таблиц по заработной плате). Составляются графики, дается понятие об интерполяции и экстраполяции по графику.
8 Н. Д. Беспамятных 225
По геометрии сообщается способ вычисления объема параллелепипеда и в связи с этим составляется смета на постройку дома. Материал пятого класса завершается началами алгебры. По шестому и седьмому классам материал был представлен в традиционной системе и не был связан с комплексными темами.
В седьмом классе по алгебре изучались: линейная функция, построение графиков линейной функции на основе таблиц, графическое решение системы уравнений первой степени, действия с радикалами, понятие об иррациональных числах, квадратная функция, ее график, квадратные уравнения, решение задач из области физики, техники, экономики, обратная пропорциональность, гипербола, понятие о бесконечности. В конце каждой главы дается параграф для самостоятельного чтения («матэматычная чытанка» главным образом по истории математики и даже о конических сечениях).
По геометрии для седьмого класса был издан особый учебник,42 в предисловии к которому сказано: «Эта книга дает в сжатой форме важнейшие сведения по стереометрии и имеет в виду показать большое практическое значение этих сведений, для чего дается значительное количество упражнений, взятых из техники и вообще из житейской практики. Но полная увязка изучения математики с техникой может быть проведена в жизнь только при использовании местного материала», в связи с чем рекомендуются экскурсии на предприятия, на места строительных работ и т. д. В учебнике в нестрогом виде излагаются вопросы, связанные с вычислением поверхностей и объемов простейших геометрических тел (по разверткам, с применением принципа Гюльдена, строгое применение теории пределов отсутствует).*
В 20-х годах в школах Белоруссии применялся по геометрии учебник Астряба («Курс опытной геометрии»), который был переведен на белорусский язык. По нашему мнению, его применение в старших классах было большой ошибкой, так как он не способствовал воспитанию у учащихся логического мышления.
* Перечислим книги, которые применялись в 20-х годах в школе: Астряб. «Курс опытной геометрии», Касабущи 1 С агалов1ч. «Працоуная кш жка па матэматыцы», Кдсялёу. «Элементарная алгебра», Круталев1ч. «Элементарная алгебра», Ланкоу. «Задачш к па алгебры», Лойка. «Першыя крок1 у матэматыцы», Лукашэв1ч 1 Валасков1ч. «Методыка матэматыю», Мжельсар. «Пачатю геаметрьй», Перальман. «Пачатю геаметрьи», Пераль- ман, «Новы задачш к па геаметрыЬ, Лойка. «Методыка матэматыю», Воронец. «Очерки по методике математики», Ланков. «Математика в трудовой школе» и «Устный счет», Шохор-Троцкий. «Методика начальной математики», Эменов. «Как обучать счету».
226
§ 3. ПОСТАНОВЛЕНИЕ ЦК ВКП(б) О ШКОЛЕ И НОРМАЛИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В 30-е ГОДЫ
В 1931 — 1932 гг. ЦК ВКП(б) выступил с рядом постановлений, относящихся к деятельности школы. Эти документы в совокупности составляли программу ее дальнейшего развития.
Какими последствиями характеризуется реформа начала 30-х годов в отношении преподавания математики? Прежде всего отметим то характерное для 30-х годов положение, что все школы Советского Союза перешли на единые программы и стабильные учебники. Республиканские министерства просвещения вносили свои изменения, но в отношении программ по математике они не были существенными. Школа перешла на систематическое и предметное преподавание курса математики (как и других предметов), состоявшего из четырех различных дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Каждая из дисциплин изучалась самостоятельно и в систематическом виде. Был введен в средней школе десятилетний срок обучения.
В соответствии с новыми программами были созданы новые учебники и переработаны старые, пользовавшиеся популярностью и проверенные длительным опытом.
Вопрос о связи математики с жизнью, которому программы 20-х годов отводили много места, не был снят на этом этапе развития школы, но он был сформулирован как вполне конкретная и выполнимая школой задача. Впрочем, этот принцип в последующие годы был несколько стушеван. В 30-е годы по этому вопросу высказывались критические замечания.
Для учителей математики стал выходить специальный методический журнал «Математика в школе», играющий по настоящее время весьма большую роль в деле повышения их методической и научной подготовки и, следовательно, в улучшении постановки преподавания математики в школе.
Нормальное развитие учебно-воспитательной работы в школе, явившееся следствием реализации решений ЦК ВКП(б), вызвало общий подъем уровня подготовки учащихся, и в частности по математике.^--Программа 1932—1933 гг., переизданная затем без изменения в 1934 г., представляла собой первый вариант, составленный после постановлений ЦК ВКП(б). В нее были включены элементы аналитической геометрии и математического анализа.43 В программе на 1934/35 учебный год имеется указание об исключении элементов высшей математики, что объяснялось не вполне удовлетворительными знаниями учащихся.8* 227
На основе этой программы была составлена новая, в которую вошли следующие основные вопросы.^ В пятом классе центральным вопросом являются дроби,
народу с которыми изучаются наглядным образом элементы геометрии.
В шестом классе начинается изучение алгебры и система- /тический курс геометрии. В седьмом — продолжение этих V предметов. Курс завершается уравнениями первой и второй степеней и первыми главами систематического курса геометрии. В программу восьмого класса включались: степени и корни, функции второй степени, графики, квадратные, биквадратные, иррациональные уравнения и системы уравнений второй степени, подобие, метрические соотношения в треугольнике и круге, площади прямолинейных фигур, тригонометрические функции острого угла, таблицы. В программу девятого класса входили: прогрессии, обобщение понятиястепени, логарифмы.
В курсе геометрии после планиметрии приводятся начальные главы стереометрии. Длина окружности и площадь круга определяются с помощью пределов. Пределы рассматриваются на основе концепции переменной и непрерывно изменяющейся величины. В программу десятого класса входил весь курс гониометрии. Курс десятого класса составляли: теория соединений и бином Ньютона, расширение понятия о числе (числа иррациональные, мнимые), двучленные и возвратные уравнения, многогранники и круглые тела, решение треугольников, обратные тригонометрические функции и тригонометрические уравнения, решение стереометрических задач с применением тригонометрии.44
Если эту программу сравнить с первыми советскими, то нетрудно видеть, что она в идейном отношении ниже их. Она близка к программам дореволюционного периода. Действительно, в ней не акцентируется внимание на изучении функций, сняты элементы высшей математики, слабо отражена идея геометрического преобразования. Из программы почти полностью исключены практические работы по математике, из-за которых так ценились прежние программы и которые займут снова свое место в последующие годы. Материал прикладного значения окончательно не снимался, но выносился на внеклассную работу.
Программа имела несомненно положительные качества. Она содержала точно очерченный круг проверенного опытом учебного материала, который излагался логически строго, и была согласована с потребностями физики. Ученики неплохо справлялись с теоретическим материалом и овладевали в нужной степени навыками. Этому способствовали также стабильные учебники, отвечавшие программе. Стабильные учебники
228
были переведены на белорусский язык и применялись в белорусской школе.*
Учебники для старших классов были введены дореволюционные, но после значительной переработки и улучшения.
Учебники арифметики (И. Г. Попова) и геометрия (Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса), так сказать, не выдержав испытания, в 1938 г. были изъяты из употребления и заменены учебниками Киселева А. П., переработанными профессором А. Я. Хинчиным (арифметика) и Н. А. Глаголевым (геометрия). Эти учебники применяли в школе еще около двадцати лети
■Программа 1935 учебного года до начала войны не претерпела существенных изменений. Год от года она уточнялась, совершенствовалась, в нее вносились новые вопросы, некоторые исключались, перераспределялся материал по классам, но в отношении содержания и логического уровня изложения она оставалась неизменной. Сохранялась общая концепция школьного курса математики как курса элементарного, давно сложившейся школьной дисциплины, проверенной многолетним опытом, с развитой системой упражнений, имеющей целью выработку твердых навыков у учащихся в решении задач по стабильному задачнику.
Преподавание арифметики имело целью научить сознательно, быстро, уверенно и наиболее рационально производить действия с целыми числами и применять знания к решению задач. Преподавание алгебры ставило своей целью расширить у учащихся представление о числе и выработать уме
* Стабильные учебники были приняты следующие: Попова Н. С. Учебник арифметики для начальной школы, в двух)частях (для 1—2-го и 3—4-го классов). Попов И. Г. Арифметика. Учебник для 5-го и 6-го классов неполной средней школы. Под ред. проф. И. И. Чистякова, Березанская Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-го и 6-го классов неполной средней школ, Киселев А. П. Алгебра. Ч. 1. Учебник для 6-го и 7-го классов средней школы. Под ред. А. Н. Барсукова, Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач. Ч. 1. Д ля 6-го и 7-го классов средней школы, Гурвиц Ю. О., Гангнус Р. В. Систематический курс геометрии. Ч. 1. Планиметрия. Учебник для 6—8-го классов неполной и средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. Планиметрия (для 6—8-х классов средней школы). Перераб. В. А. Евфремовым, Брадис В. М. Четырехзначные таблицы для средней школы, Киселев А. П. Алгебра. Ч. 2. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы. Под ред. А. Н. Бурсуко- ва. Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач. Ч. 2. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы, Гурвиц Ю. О. и Гангнус Р. В. Систематический курс геометрии. Ч. 2. Стереометрия. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Ч. 2. Стереометрия. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы. Перераб. В. А.. Ефремовым, Рыбкин Н. Прямолинейная тригонометрия. Учебник для 8-го и 9-го классов средней школы, Рыбкин Н. Сборник задач по тригонометрии с приложением задач по геометрии, требующих применения тригонометрии. Д ля 8-го и 9-го классов средней школы. Перераб. В. А. Ефремовым.
229
ние составлять и решать задачи с помощью уравнений первой и второй степеней. Преподавание геометрии должно было обеспечить систематическое изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве, уяснение способов доказательства геометрических теорем, развитие пространственного воображения, решение задач на построение и вычисление; тригонометрии — изучение тригонометрических функций и решение треугольников.45
Критика к концу 30-х годов отмечала два существенных недостатка действующих программ: отсутствие связей с современной наукой и практикой.
§ 4. УСИЛЕНИЕ СВЯЗИ ТЕОРИИ С ПРАКТИКОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ (ПОСЛЕВОЕННЫ Е ГОДЫ )
Война, развязанная немецким фашизмом, нанесла огромный ущерб развитию просвещения в нашей стране. На территории Белоруссии школы были разрушены оккупантами, тысячи учителей погибли или на поле боя или при массовых карательных экспедициях врага.
От молодежи, оканчивающей школу в период военного времени, требовались не только теоретические знания, но и развитая ориентировка в их приложении. В связи с этим возникла педагогическая доктрина, согласно которой принцип связи теории с практикой должен играть ведущую роль в школьном преподавании математики. Она нашла отражение в программе, опубликованной в тяжелых условиях военного времени, в 1943 г., и получила развитие в программах, изданных в последующие годы.46
В «Объяснительной записке» к программе 1943 г. сказано:. «Связь теории с практикой в процессе преподавания математики может осуществляться, во-первых, путем выполнения упражнений, дающих некоторую подготовку к разрешению практических вопросов, и, во-вторых, путем выполнения самих практических работ, где находят свое применение математические знания учащихся. Эти работы и упражнения должны быть органически связаны с программным материалом и не должны нарушать системы математических знаний». Это положение конкретизируется по классам следующим образом:
Пятый класс — упражнения в устном счете, вычисления на счетах, определение площадей земельных участков, поверхностей и объемов различных хозяйственных сооружений.
Шестой класс — провешивание, измерение прямых, построение и измерение углов, определение расстояний и высот, глазомерное определение расстояний.
Восьмой класс — связь с военным делом, съемка ландшафта местности.
230
Девятый, десятый классы — геодезические упражнения с применением тригонометрии.
В том же 1943 г. был издан проект программы по математике для 5— 10-х классов средней школы, который частично был реализован в программах, действующих в последующие годы. Проект, говоря о целях преподавания математики в школе, подчеркивает необходимость научить учащихся применять получаемые знания на практике: производить измерения на местности, вычислять поверхности и объемы различных изделий и сооружений, производить простейшие измерения, применяемые в военном деле, и т. д.
Однако следует отличать решение проблемы связи теории с практикой в этот период от того, как эти вопросы разрешались в 20-е годы. Если в 20-е годы практическая подготовка учащихся составляла основную задачу преподавания математики и курс математики был подчинен этой задаче, то в данном случае проблема связи математики с жизнью решалась не эмпирически, а на соответствующем теоретическом уровне. Практика не была самоцелью, она служила средством усвоения теории, развитию интереса к математике, развитию умственных способностей и, само собой разумеется, выработке навыков в применении математических знаний в жизни. Так, например, предлагалось развить у учеников навык «устанавливать зависимость между величинами и подвергать количественному анализу наиболее интересные с математической стороны явления окружающей действительности».
Материал курса алгебры концентрируется вокруг следующих основных вопросов: учение о числе, о тождественных преобразованиях, об уравнении и о функции. Рекомендуются исторические экскурсы, которые бы помогли ученикам глубоко усвоить эти понятия.
В 1947 г. был опубликован новый проект программы, идеи которого нашли частичное отражение в программе 1948 г., в частности, идея функциональной зависимости, получившая благодаря работам профессора В. Л. Гончарова большое развитие в школьном курсе математики.47
Общая задача математического образования акцентирует внимание на теоретическую сторону курса, его воспитательные функции и практические приложения.
Преподавание математики в средней школе ставило целью сообщение фактических знаний в области математики и воспитание у учащихся навыков и умений для применения полученных знаний в решении практических вопросов. Одновременно преподавание математики служило целям коммунистического воспитания.
В преподавании арифметики подчеркивается необходимость выполнения расчетов практического характера. В алгеб
ЕЭ1
ре к основным вопросам относятся: расширение понятияо числе, алгебраические преобразования, функциональная зависимость и ее графическое представление, составление и решение уравнений.
Функциональная направленность курса алгебры преследует цель наилучшей координации с другими предметами школьного курса (физикой, химией, астрономией). Указаны возможности практических приложений в технике, военном деле, сельском хозяйстве.
В образовательные задачи геометрии входят: развитиеу учащихся пространственного воображения, логического мышления, умения решать задачи вычислительного и конструктивного характера, привитие навыков в выполнении некоторых практических работ.
В преподавании геометрии обращалось внимание на решение конструктивных задач, стереометрических задач на проекционном чертеже и на технику геометрических изображений.
Школьный курс геометрии развивался под влиянием идей профессора Н. Ф. Четверухина.
Кратко эта программа может быть охарактеризована следующими словами: она уделяет внимание практическим приложениям, в развитой форме отражены идеи функциональной зависимости, на высоком уровне представлена культура арифметических вычислений и геометрических изображений. Программа рекомендует знакомить учащихся с историей отечественной математики.
Заметим попутно, что со стороны учителей был проявлен чрезвычайно большой интерес к школьному математическому моделированию. Учителя в технике изготовления моделей достигли большой изобретательности и мастерства. В институте педагогики Министерства просвещения Белоруссии организовывались выставки творчества учителей и методистов в этой области. В настоящее время интерес направлен на при-
„ менение более совершенных технических средств обучения (кино, телевидение, контролирующие и обучающие машины).
До 1954 г. математика преподавалась по программе 1948 г. с несущественными ее изменениями. За этот период было построено несколько проектов, идеи которых нашли частичное отражение в новой программе, введенной в 1954/55 учебном году.48 В качестве ее фундаментальной основы выдвигался принцип политехнического обучения. Осуществление идей политехнизации в применении к преподаванию математики в школе истолковывалось как усиление практических приложений с одновременным повышением требований к развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся. Наряду с этим преподавание математики должно
032
служить общим целям коммунистического воспитания учащихся и содействовать созданию условий для свободного выбора профессий.
Программа практических работ представлена особо по всем классам, в нее входят: овладение логарифмической линейкой, пользование ею на уроках математики и смежных дисциплин, моделирование, измерение на местности, построение графиков, диаграмм, навыки в вычислениях на счетах, использование таблиц, проведение экскурсий и т. д.
Обращается внимание на исторический элемент. Целью экскурсов в область истории математики является воспитание патриотических чувств, возбуждение интереса к математике и знакомство с генезисом понятий. Исторические сведения составляли значительную часть внеклассной работы.
Рассмотренная программа служила недолгое время, она была заменена новой, принятой в результате известной реформы школы 1958 г.
Реформа 1958 г. была проведена под знаком усиления связи школы с жизнью, с практикой коммунистического строительства. Проект программы по математике был подвергнут широкому обсуждению в печати, и на его основе был выработан окончательный вариант.49
Осуществление связи с жизнью мыслилось на основе высокой теоретической подготовки, которая «будет содействовать выработке у учащихся правильного представления о математике как науке, о пространственных формах и количественных отношениях реального мира, раскрытию перед ними значения математики в технике и повседневной жизни».
В «Объяснительной записке» к программе для старших классов сказано: «Преподавание математики в старших классах имеет целью достичь уровня математического развития, а также знаний, умений, навыков учащихся, который необходим для их подготовки к практической деятельности в условиях современного производства, для изучения на достаточно высоком уровне смежных школьных дисциплин (физика, черчение, химия и др.) и продолжения образования в высшей школе. Важной задачей, которая разрешается в процессе всего преподавания математики, является формирование коммунистического мировоззрения и коммунистического отношения к труду». В соответствии с новой программой были изданы новые стабильные учебники, которые, будучи переведенными на белорусский язык, применялись в школах Белоруссии. Предполагалось, что введение новых программ будет сопровождаться максимальным развитием методов преподавания.
В настоящее время белорусская школа, как и школы других республик, переходит на новую программу по математике, разработанную математической секцией Комиссии по опреде
•<233
лению содержания среднего образования АН СССР и АПН СССР и утвержденную Министерством просвещения СССР.50
Эта программа кардинальным образом отличается от предшествующих: она включает элементы теории множеств, в программе усилено внимание к вопросам логики, большую роль играет понятие вектора, достаточно полное развитие получает идея геометрического преобразования, вводятся элементы анализа и аналитической геометрии.
Новая программа отражает более высокий уровень понимания связи преподавания математики с жизнью, нежели предшествующие, что диктуется необходимостью специализации при современном состоянии производства. Осуществление этой программы будет означать большой шаг вперед на пути прогресса нашей школы.
В деле освоения новых вопросов программы и развития интереса у учеников к математике огромную роль играют ф акультативные математические курсы, которые теперь введены в школах повсеместно. Развитие у учащихся интереса к математике и повышение уровня их подготовки по этому предмету осуществляются также по другим каналам: в математических кружках, специальных математических классах и юношеских математических школах при высших учебных заведениях.
§ 5. О ПОДГОТОВКЕ У ЧИ ТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗАХ
Начиная с 30-х годов подготовка учителей для средней школы осуществляется в нашей стране главным образом через обширную сеть педагогических институтов. Эти учебные заведения по своей численности составляют около четвертой части всех вузов страны. Но в последние годы заметна тенденция к преобразованию зрелых в учебном и научном отношениях педагогических институтов областных центров в университеты.
Эта тенденция — результат влияния научно-технического прогресса на решение проблемы подготовки учителей.
Педагогические институты по существу представляют собой новый тип профессионального учебного заведения, созданный в первые годы Советской власти и получивший окончательно организационное и структурное оформление на основе типового устава, принятого в 1931 г.51
История высшего математического образования в Белоруссии началась с установлением Советской власти в 1917 г. Советская Белоруссия получила в наследство от царского режима только начальные и средние (общие и профессиональные) школы. На ее огромной территории не было ни одного выс
2-34
шего учебного заведения, не существовало ни одного учреждения, где бы велись исследования в области математики и методики ее преподавания.
С установлением Советской власти в Белоруссии развернулась широкая деятельность по организации дела народного образования. Для подготовки учителей и воспитателей детских учреждений в Белоруссии были открыты институты народного образования. Остановимся на некоторых подробностях организации и деятельности Минского института. История его такова.
В 1914 г. в Минске был открыт учительский институт, в 1915 г. он был эвакуирован в Ярославль. После реэвакуации в 1918 г. он был преобразован согласно «Предписанию Комиссариата по Просвещению от 30 декабря 1918 г.» в высшее учебное заведение — педагогический институт. 19 ноября 1918 г. Министерство просвещения утвердило устав института. Для работы в нем были приглашены лучшие педагогические силы Белоруссии. Институт имел отделения: литературно-ху- дожественное, историческое, математико-физическое, физикохимическое и естественно-географическое. В учебный план математико-физического отделения из специальных дисциплин входили: высшая алгебра, математический анализ, аналитическая геометрия, теория чисел, теория вероятностей, история математики, общий курс физики, теоретическая механика, общий курс химиии, астрономия, методика физики и математики.
После изгнания интервентов в июле 1920 г. институт возобновил работу и был преобразован на основе общего по стране постановления в Минский институт народного образования. В связи с организацией в Минске университета этот институт был закрыт и передан университету. Он явился основой для организации при университете педагогического факультета. Аналогична история и Витебского и Могилевского институтов.
Хотя деятельность институтов народного образования была непродолжительной, она оставила заметный след в развитии культуры в Белоруссии, в частности математической.
Совет Минского института народного образования обратился в Народный комиссариат просвещения со следующим письмом:
«Минский Институт Народного образования нынче возрожден к новой жизни и призван выполнить чрезвычайно важную роль,— это рассадник работников нового просвещения, новой школы в Белоруссии. Статистические данные, голоса с мест, начиная с уездных городов и местечек Республики, кончая тихими деревнями, убедительно говорят о той вопиющей нужде в работниках просвещения, какую ощущает белорусский народ. Навстречу этой нужде идет Минский Институт Народ
1235
ного образования, это пока единственный институт на территории Белоруссии».52
Институт был призван готовить работников по всем отраслям просвещения: учителей школ первой и второй ступеней, воспитателей дошкольных и внешкольных учреждений, инструкторов трудового воспитания. В соответствии с этой задачей была определена его структура. В августе 1920 г. на математико-физическом отделении (цикле) обучалось: на первом курсе — 40, на втором — 8, на третьем — 6 студентов. Всего, следовательно, 54, что составляло от общего числа студентов института (311) около 17%. В 1921 г. всего было 320 студентов, из них 56 — на математико-физическом отделении. Преподавателей института — 31.
В учебный план этого отделения входили следующие дисциплины: математический анализ, аналитическая геометрия, высшая алгебра, теория вероятностей, теория чисел, теоретическая арифметика, основания геометрии, начертательная геометрия, элементарная математика, методика математики, экспериментальная физика, астрономия, теоретическая механика и химия. Метод преподавания по преимуществу был лекционный, с некоторой долей лабораторных занятий.
Математико-физическое отделение в 1921 г. имело три курса, на которых читались следующие физико-математические дисциплины:
I курс
Элементарная математика (К. М. Годыцкий-Цвирко), высшая алгебра (он же), аналитическая геометрия (В. К. Ды- дырко), введение в анализ (он же), общий курс физики (Е. В. Снятков), начертательная геометрия (А. А. Гагарин), изготовление пособий (Дашкевич).
II курс
Дополнительные статьи по элементарной математике (К. М. Годыцкий-Цвирко), математический анализ (В. К. Ды- дырко), аналитическая геометрия (он же), общий курс физики (Е. В. Снятков), начертательная геометрия (А. А. Гагарин).
III курс
Математический анализ (В. К. Дыдырко), специальные главы по физике (А. А. Гагарин), теоретическая механика (он же), методика физики (Наумов), общий курс физики (Е. В. Снятков), теория вероятностей (Б. П. Чиханов), мето
236
дика математики. На естественном отделении математику преподавал В. Л. Левкович.
Институт народного образования вел и общественную работу. Его преподаватели читали публичные лекции, проводили диспуты, имевшие большой успех среди широкой массы минчан, участвовали в съездах и совещаниях по народному образованию; при институте было организовано педагогическое общество, общество истории древностей. Для чтения лекций приезжали профессора из Москвы. При институте были созданы вспомогательные учреждения: опытная трудовая школа, опытное поле, химическая лаборатория и краеведческий музей.
Что касается постановки преподавания математики в этом институте, то на основании сохранившихся программ, которые составлялись преподавателями, и записей в журналах можно заключить, что оно было достаточно элементарным.* Курсы аналитической геометрии, высшей алгебры и математического анализа не отражали новых методических и научных идей. Аналитическая геометрия излагалась на координатной основе, алгебра сводилась к изучению теории определителей, свойств полиномов и решению алгебраических уравнений в радикалах и по приближению. Математический анализ излагался в значительной степени с опорой на геометрическое обоснование. Добавим к этому, что учебный план ИНО (в Минске) был значительно ниже университетского.
Некоторый интерес представляет курс оснований математики. По основаниям арифметики излагалась система аксиом Пеано. Теория рациональных чисел рассматривалась как теория пар целых чисел. Теория действительных чисел рассматривалась по Дедекинду и Кантору, выяснялось понятие непрерывности. Курс заканчивался теорией кватернионов, теорема Фробениуса не сообщалась. В основу расширения понятия о числе был положен «принцип сохранения формальных законов». По основаниям геометрии студенты изучали различные системы аксиом геометрии Евклида и знакомились с геометрией Лобачевского. Рассматривался также вопрос о тех требованиях, которые предъявляются к системе аксиом (непротиворечивость, полнота и независимость).
В учебный план входил курс начертательной геометрии, в котором рассматривались задачи на изображение в проекциях точки, прямой, плоскости, их взаимного расположения, задачи на изображение линейных и угловых элементов и не
* Впрочем, Минский институт в этом отношении не составлял исключения. Читателю понятно положение тех лет: сеть высших учебных заведений значительно расширялась в стране, преподавательский состав по необходимости комплектовался из учителей средних учебных заведений.
237
которых пространственных фигур, а также задачи на изучение плоских сечений простейших поверхностей.
Курс теории вероятностей также был достаточно элементарен. В него входили вопросы: основные теоремы о вероятностях, математическое ожидание, закон больших чисел и некоторые приложения к статистике. Читал этот курс бывший преподаватель коммерческого училища в Минске и автор учебников по элементарной математике Б. П. Чиханов.
Решение проблемы индустриализации страны и коллективизации сельского хозяйства потребовало массу образованных людей во всех сферах деятельности. Поэтому резко возросла потребность в учительских кадрах. В связи с этим было издано правительственное постановление «О реформе высших учебных заведений, техникумов и рабфаков», на основе которого педагогические факультеты университетов были реорганизованы в педагогические институты и создан ряд новых учебных заведений этого типа. В Белоруссии педагогические институты в 1930 г. восстанавливаются в Витебске, Могилеве. Открывается педагогический институт в Гомеле. В 1931 г. на базе педагогического факультета университета открыт Минский педагогический институт. Для подготовки учителей семилетних школ в 1935— 1936 гг. открывается ряд учительских институтов (в Витебске, Могилеве, Рогачеве, Орше, Гомеле и М инске).53 Эти институты просуществовали недолго: в начале 50-х годов их закрыли.
Известные исторические постановления ЦК ВКП(б) начала 30-х годов о средней и высшей школе способствовали повышению учебно-воспитательной работы и организации научной деятельности в педагогических институтах.
В 1937/38 учебном году была произведена существенная перестройка учебной работы педагогических институтов, в результате которой заметно повысился уровень преподавания математики, создались благоприятные условия для развития творческой деятельности кафедр.
Научная общественность постоянно проявляла интерес к деятельности этих молодых учебных заведений. В 1939 г. профессор А. Я. Хинчин в докладе, посвященном преподаванию математики в школе, указывая на те тенденции, которые должны занять господствующее положение в развитии научной и учебной деятельности педагогических институтов, подчеркивал, что должен осуществиться переход от школьного натаскивания и мелочной опеки над каждым студентом к системе подлинного научного воспитания, созданию надлежащей научной атмосферы в педвузах, систематическому внушению студентам и учительству вкуса, интереса, любви к своей науке, без чего невозможна успешная и эффективная педагогическая деятельность.54
238
А. Я- Хинчин предлагал широкое развитие сети факультативных курсов, семинаров и научных кружков.
В первые мирные годы, естественно, институты были заняты восстановлением своей нормальной деятельности, которая была нарушена войной. В 1944 г. был открыт Гродненский, а в 1950 г.— Брестский педагогические институты. В 1945 г. при Минском педагогическом институте им. А. М. Горького был открыт физико-математический факультет.
В послевоенный период научной работе придается несравненно большее значение, чем это имело место в 30-е годы. В «Положении» о научно-исследовательской деятельности высших учебных заведений, опубликованном еще во время войны, говорится о «наиболее полном привлечении профессорско-преподавательских кадров к выполнению научно-исследовательских работ, способствующих развитию народного хозяйства, укреплению обороны страны и дальнейшему прогрессу науки и культуры в Советском Союзе».55
Деятельность педагогических институтов в последующие годы развертывается под знаком усиления научной работы преподавателей, качество учебной работы ставится в прямую зависимость от степени участия педагогического коллектива в научной работе.* Во Всесоюзном комитете по делам высшей школы был создан специальный отдел по научно-исследовательской работе, в функции которого входило постоянное стимулирование развития науки в высшей школе и контролирование ее деятельности в этом направлении. Начало 50-х годов является переломным в этой области. Педагогические институты Белоруссии развернули активную творческую работу в различных областях математики и ее преподавания в средней школе. Физико-математические факультеты начали издавать «Ученые записки», проводить научно-методические конференции...
На этой основе была развернута студенческая научная работа. При институтах были созданы научные студенческие общества, опубликовано типовое положение о НСО. Министерство высшего образования БССР регулярно проводит конкурсы научных студенческих работ.
Рассмотрим теперь вопрос о том, какую эволюцию претерпело математическое образование в педагогических институ
* В первые послевоенные годы, естественно, был проявлен всеобщий и глубокий интерес к истории отечественной науки, культуры и просвещения. Поэтому в первых послевоенных программах некоторое место отводилось вопросам истории математических наук вообще и истории отечественной математики в особенности. Затем был введен курс истории элементарной математики. По каждому курсу программы предусматривался исторический обзор данной науки. Лекции по истории математики имели патриотическое звучание.
239
тах. Для этого произведем сравнение современных программ с программами 1934 г. Программы по математике изменялись существенным образом в среднем через 7—8 лет.
Содержание программ педагогических институтов определяется в конечном итоге двумя основными и постоянно действующими факторами: развитием науки и потребностями школьной практики.
Характерной особенностью нашей эпохи в подготовке специалистов высшей квалификации является формирование у студентов современных научных представлений, вследствие чего происходит процесс постоянного повышения научного уровня преподавания. С другой стороны, современная науч- но-техническая революция влияет не только на постановку преподавания в вузах, но и в школе. А реформы школьного образования непосредственным образом влекут за собой изменения в содержании учебных планов и программ в педагогических институтах. Отсюда вытекают общие тенденции эволюции преподавания математических наук в педагогическом институте.
А именно: расширяется объем учебного материала за счет новых научных фактов и обобщений. Иначе говоря, процесс накопления фактов и их генерализации, свойственный развитию науки, отражается в преподавании. Совершенствуется логическая основа. Расширяется материал, который раскрывает богатые возможности применения математических наук к решению задач естествознания, техники и экономики. Осуществляется стремление приблизить учебный материал к профессиональным нуждам учителя математики средней школы.
Общая методологическая концепция сводится к формуле: математические курсы излагаются так, что те основные понятия, с которыми так или иначе имеет дело учитель в своей практической работе, находят отчетливое современное научное представление.56
Высказанные положения являются выводами из анализа программ. Постараемся их проиллюстрировать.
В учебный план 1934 г. входил следующий цикл математических дисциплин: элементарная математика, аналитическая геометрия, математический анализ, высшая алгебра, черчение с элементами начертательной геометрии, высшая геометрия, теория и практика вычислений, теория вероятностей и методика математики.
Математический анализ состоял из двух частей — общей и специальной. Первая часть читалась для математиков и физиков и содержала основные классические вопросы функций одной и многих переменных, а также вопросы дифференциальной геометрии. Вторая часть читалась для математиков и имела целью ввести студентов в круг современных вопросов
240
теории функций, показать им средства и способы теоретического обоснования курса математического анализа и обратить их внимание на те точки соприкосновения, которые имеет теория функций с курсом школьной математики.
В последующие годы теория функций действительного и комплексного переменного и дифференциальная геометрия выделяются в самостоятельные учебные дисциплины, в связи с чем возрастает их объем и совершенствуется теоретическая основа. Эти курсы отражают интенсивное развитие науки в нашу эпоху.
По этим предметам были изданы учебники, сыгравшие большую роль в развитии математического образования:А. Н. Колмогорова и П. С. Александрова — по теории функций действительного переменного, И. И. Привалова — по теории функций комплексного переменного и С. П. Финикова — по дифференциальной геометрии.
То значение математического анализа, которое он имеет в деле формирования научного мировоззрения учителя математики, принималось в качестве основной методологической идеи его преподавания. Наряду с этим указывалось на его значение для решения практических вопросов. При последующих переработках программы усиливается логическая основа этого курса и частично увеличивается объем: в послевоенные годы в программу по математическому анализу было введено понятие о приближении функций полиномами — сначала в виде частного вопроса, а затем и целого раздела, с 1953 г. были включены вопросы, связанные с практическими приложениями анализа, а также с требованиями школьного курса математики.
Современный учебный план характеризуется объединением родственных дисциплин. Вопросы теории функций действительного переменного включаются в курс математического анализа. Существенным является особый акцент на те разделы, которые тесно связаны с курсом школьной математики. В «Объяснительной записке» сказано: «Курс математического анализа в педагогическом институте, помимо своего общеобразовательного значения, имеет целью дать научное обоснование понятий, изучаемых в школе». В связи с этим обстоятельно рассматриваются понятия функции, ее предела и непрерывности; в специальную тему выделены элементарные функции, некоторые разделы курса рекомендуются в качестве школьных факультативных курсов.
Теория аналитических функций входит в новый учебный план в виде самостоятельного курса, причем расширенного за счет вопросов, относящихся к изучению аналитического продолжения и теории вычетов. Ранее по этим вопросам студенты получали лишь общие сведения.
т
Относительно цели преподавания в «Объяснительной за писке» сказано: «Включение теории аналитических функций в учебный план педагогических институтов имеет своей целью придать законченность рассмотрению некоторых вопросов математического анализа. Одна из главных задач курса — углубить у будущих учителей математики знание элементарных функций, что может быть достигнуто только переходом в комплексную область... Поэтому при изучении курса большое внимание должно быть уделено элементарным функциям, точкам их ветвления, римановым поверхностям и конформным отображениям, совершаемым с помощью этих функций». Некоторые разделы рекомендуются в качестве факультативных курсов для учащихся школы.
Геометрические курсы. Программа по аналитической геометрии 1934 г. ставила скромную цель — развитие метода координат на плоскости и в пространстве. Содержание первой части курса определялось решением основных задач на прямую, исследованием кривых второго порядка, по геометрии в пространстве — уравнением прямой и плоскости и уравнениями поверхностей второго порядка. Метод изложения преобладал еще координатный.
Ввиду потребностей смежных дисциплин и самого курса координатный метод изложения уступил место векторному. В него были включены элементы векторной алгебры. Наряду с этим все более и более акцентируется внимание на идее преобразования и получающихся при этом инвариантах. Вводится понятие об аффинном и проективном преобразовании. В этом направлении далеко идет программа 1947 г. В дальнейшем эти вопросы вошли в курс высшей геометрии.
По плану 1934 г. изучался курс черчения с элементами начертательной геометрии. Это был элементарный курс и преследовал практические цели. В послевоенное время трудами главным образом профессора Четверухина оформился теоретический курс, состоявший из двух частей: проективной геометрии и начертательной геометрии.
Основная идея этого курса в программе 1947 г. выражена в следующих пунктах:
а) Аффинная геометрия как геометрия свойств, инвариантных при аффинном преобразовании.
б) Проективная геометрия на плоскости как геометрия свойств, инвариантных при проективных преобразованиях плоскости.
в) Характеристика отдельных ветвей геометрии соответствующими группами.
Курс оснований геометрии в 30-е годы состоял из следующих трех основных разделов: а) критико-исторический обзор учения о параллельных линиях от Евклида до Лобачевского;
242
б) некоторые факты гиперболической геометрии и ее интерпретация; в) современное состояние вопроса об основаниях геометрии (аксиоматика Гильберта, требования к системе аксиом). В дальнейшем программа несколько расширяется, детализируется, но эти три ее части сохраняются по-прежнему в качестве основных.
Курс оснований геометрии рассматривался как завершение геометрической подготовки учителя математики. Задача этого курса заключалась в том, чтобы ознакомить студентов с историей аксиоматики, с формулировкой тех требований, которым должна удовлетворять система аксиом, и дать им возможность уяснить значение открытия Н. И. Лобачевского, которое оно имело в истории математики и математического мышления.
Дифференциальная геометрия в программу 1934 г. входила в виде раздела математического анализа. Кроме векторной алгебры и векторного анализа, в него входили вопросы, относящиеся к изучению плоских и пространственных кривых. Учение о поверхностях было представлено лишь одним пунктом, включавшим вопросы: касательная плоскость и нормаль к поверхности, квадрат линейного элемента.
В дальнейшем дифференциальная геометрия выступает как самостоятельная учебная дисциплина, в которой представлен раздел о поверхностях с включением вопроса о геодезических линиях.
Так, например, программа 1947 г. этому разделу уделяет главное внимание, «как наиболее способствующему геометрическому развитию будущих учителей». Векторная алгебра перенесена в курс аналитической геометрии.
Программа 1953 г. отличается от предыдущей дальнейшим развитием раздела о поверхностях и наличием вопросов, имеющих значение в технике (циклоида, спирали, винтовая линия, поверхности вращения и др.).* Особым пунктом входил вопрос о геодезических линиях. В программу 1955 г. включен обзор исторического развития дифференциальной геометрии, включавший характеристику работ наших отечественных ученых.
В программу «Высшая геометрия» 1964 г. дифференциальная геометрия входила в виде одного из разделов под названием «Основы теории поверхностей». Эта программа была пополнена элементами топологии замкнутых поверхностей. Эти разделы были представлены достаточно полно и в современном научном освещении.
* В связи с возросшей ролью принципа связи теории с практикой в 50-х годах в средней школе соответствующим образом были построены программы для физико-математических факультетов педагогических институтов. Прикладная роль математики в них отражалась достаточно полно.
243
В настоящее время согласно новому учебному плану аналитическая, дифференциальная и проективная геометрии, элементы топологии и основания геометрии входят в единый курс под названием «Геометрия».
Высшая алгебра. Программа 1934 г. содержала три вопроса: числовые области, свойства целой рациональной функции и решение систем линейных уравнений. Программа в порядке пожелания указывала на знакомство с понятием группы линейных преобразований. Вопрос о приближенном решении уравнений был отнесен к курсу приближенных вычислений.
Свое дальнейшее развитие программа получила за счет введения и углубления понятий п — мерного векторного пространства, алгебры матриц, группы, кольца и поля и развития идеи изоморфизма. Эти вопросы отчетливо были сформулированы в программе 1947 г.
По плану 1970 г. алгебра и теория чисел представлены единой программой, отражающей уже более высокую ступень в развитии современной алгебры, а также и теории чисел.
Главной целью курса «Алгебра и теория чисел» ставится изложение основных алгебраических структур и воспитание мышления, специфического для этих родственных наук, необходимого будущему учителю для глубокого понимания новой программы и работы по факультативным алгебраическим темам.
Теория чисел в программу 1934 г. входила в виде небольшого раздела в программу специальной части курса элементарной математики. Затем она была выделена в специальный предмет и получила значительное расширение за счет введения ряда новых вопросов (алгебраические и трансцендентные числа и Др.). Основным руководством служил хорошо известный учебник по этому предмету академика И. М. Виноградова.
Основания арифметики ранее также входили в курс элементарной математики, затем были выделены в самостоятельный курс, содержащий, развитие понятия о числе — от системы натуральных чисел, до гиперкомплексных систем,— и завершавшийся известной теоремой Фробениуса. Этот курс имел большое значение в деле подготовки учителей математики. В настоящее время он значительно теоретизировав, расширен и под названием «Числовые системы» составляет часть нового' курса «Научные основы школьного курса математики».
Курс теории вероятностей был одним из основных курсов- учебного плана 30-х годов. Если программа 1934 г. включала сравнительно небольшой объем вопросов (основные понятия,, простейшие схемы массовых явлений, закон больших чисел,, понятие о законах распределения), то программа 1939 г. предлагает знакомить с аксиоматикой теории вероятностей, с це
244
пями Маркова и другими современными вопросами. Основным руководством по этому предмету служил учебникВ. И. Гливенко «Теория вероятностей» (1937). В настоящее время получил распространение учебник Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей», построенный на основе современных воззрений на этот предмет.
Курс элементарной математики входил в учебный план педагогических институтов на протяжении всей их истории и по существу всегда состоял из двух частей: первая представляла собой повторение школьного курса, вторая включала разнородные предметы, имеющие важное значение для подготовки учителя математики — методы решения задач на построение, теоретическую арифметику, теорию эквивалентности уравнений, учение об измерении и другие вопросы. Позднее сюда был включен курс теории и практики вычислений.
В современных учебных планах этого курса нет, но основные его вопросы, имеющие важное значение для подготовки учителя математики, входят в соответствующие основные курсы (математического анализа, алгебры и геометрии).
Курс методики математики, естественно, эволюционировал в соответствии с тем, как менялось школьное математическое образование, и отвечал задаче непосредственной подготовки студентов к педагогической работе в школе.
В 30-е годы, когда содержание школьного учебного материала стабилизировалось, появились первые советские фундаментальные руководства по методике математики для средней школы. Курс методики оформился структурно. Он состоял из двух частей. Первая часть содержала всесторонний анализ действующей учебной программы и стабильных учебников по математике с точки зрения тех задач, которые выдвигает жизнь перед математическим образованием, а также общее учение о методах преподавания. Во второй части рассматриваются вопросы методов преподавания частных тем школьного курса математики.
Современное преподавание методики математики в педагогическом институте строится в соответствии с задачей подготовки учителя для работы в школе, когда происходит процесс значительной модернизации школьных программ.
На математических отделениях педагогических институтов читаются новые курсы: математическая логика, математические машины и алгоритмы и целый цикл спецкурсов и спецсеминаров по различным новым областям математических знаний.
В заключение отметим, что в Белоруссии в непродолжительное время педагогические институты были укомплектованы квалифицированными кадрами математиков. В дальнейшем эти кадры пополнялись главным образом за счет выпуск-
245
ников институтов аспирантуры, существующих при ряде высших учебных заведений Белоруссии, а также вузов и исследовательских институтов РСФСР.
Преподавание математики на физико-математических ф акультетах педагогических институтов в настоящее время поставлено в соответствие с современными требованиями. На кафедрах ведутся исследования в области математики, ее истории и дидактики. В отношении постановки преподавания
Коллектив кафедры математики Минского педагогического института им. А. М. Горького.
математики и организации научных и научно-методических исследований преподавателей и студентов ведущее положение среди других педагогических институтов в нашей республике занимает Минский институт им. А. М. Горького.
§ 6. ОРГАНИЗАЦИЯ БЕЛОРУССКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА И ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В НЕМ ФИЗИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА
Вопрос об организации университета в Минске был одним из первых в деятельности ЦК КП и правительства Белоруссии и занимал центральное место в плане культурного возрожде
246
ния республики. На основании Декрета СНК за подписьюВ. И. Ленина об открытии университетов Ц И К рабоче-крестьянских и солдатских депутатов Советской Социалистической Белоруссии 25 февраля 1919 г. декларировал открытие Государственного университета в Минске.57 Но в связи с оккупацией Белоруссии этот вопрос не был решен окончательно. После освобождения Минска правительство Белоруссии, подтвердив решение от 25 февраля 1919 г., энергично приступило к организации университета. ЦИК Белоруссии издал следующее постановление по этому вопросу: «Заслушав доклад Временного Правления по организации Белорусского государственного университета и, признавая, что открытие университета в г. Минске является делом первостепенной государственной важности и настоятельно требуется культурными, экономическими и политическими интересами рабоче-крестьянского населения Белоруссии, Президиум ЦИ К во исполнение поручения Третьей Сессии ЦИК Советской Белоруссии от 17 апреля постановляет:
1. Подтвердить ранее изданные постановления об открытии в г. Минске Белорусского Государственного университета.
2. Открыть университет в составе факультетов: рабочего, общественных наук, медицинского, сельскохозяйственного и физико-математического».58
Для участия в организации физико-математического ф акультета был привлечен профессор И. Р. Брайцев, родом из Белоруссии, математик, декан физико-математического ф акультета Нижегородского (Горьковского) университета. Брайцев изъявил желание переехать на работу в Минский университет.* Он принимал участие в совещаниях при министерстве по разработке примерных учебных планов университета и составлению предварительной сметы расходов на его организацию. Им был составлен проект учебного плана физико-математического факультета. Однако переезд Брайцева не состоялся, поэтому решение вопроса об организации этого факультета было отложено.59
18 августа 1920 г. вопрос об организации университета и его структуре рассматривался на коллегии НКП РСФСР. На этой коллегии было решено временно воздержаться от организации физико-математического факультета, поскольку профессорские должности по математике оставались вакантными, а открыть следующие факультеты: историко-филологический, естественный, медицинский, агрономический и рабочий. НКП РСФСР взял на себя обязательство помочь в организации этих факультетов.60 На этой же коллегии была официально
* В 30-х годах профессор Брайцев публиковал свои работы в университетских изданиях в Минске.
>247
создана Московская комиссия по организации университета, которая провела большую работу по укомплектованию штатов и по организации помощи новому университету со стороны Академии наук и университетов Российской Федерации, в частности, в создании фундаментальной библиотеки.
Минская комиссия, планируя открытие физико-математического факультета, придавала ему большое значение в деле развития производительных сил республики и подъема общей культуры. В ее представлении читаем:
«Задача Правительства развить производительные силы страны, просветив народ и учредив такие центры, около которых сгруппировались бы все работники на указанных поприщах, а это может дать только Университет со своим физико- математическим факультетом, с отделениями естественных, агрономических и технических наук».61
В вопросе организации университета среди членов Минской комиссии не было единодушия. Некоторые из них считали, что эта задача непосильна для Белоруссии в данное время, отяжеленное разрухой и отсутствием кадров. Об этом говорит докладная записка от 24 июля 1920 г. одного из членов комиссии Л. Слепяна.62
«Не следует предрешать, что высшее учебное заведение в Минске должно получить форму обычного университета. Университет в своем обычном виде представляет собой научный и научно-учебный центр области. Однако видеть свою задачу в создании такого центра в Минске... значило бы не считаться с условиями и потребностями места и времени и создать нечто искусственное и нежизненное». Приводя «аргументы», лишенные логики, автор заключает:
«Таким образом, чисто научное высшее учебное заведение (университет) в Минске не может быть обеспечено в настоящее время ни научными средствами, ни научными силами, ни контингентом слушателей. В настоящее время для него нет почвы».
Автор записки предлагал «расширить задачи Минского педагогического института и связать с ним зародыш и корни университета как научного и учебного центра», а для развития научной работы — учредить «особую научную коллегию».
Далее автор пишет, что остается острая потребность в высших учебных заведениях прикладного характера: медицинской академии, специальных сельскохозяйственных, технических и экономической школ. «В них ощущается нужда во всей России и в особенности в Белоруссии.» Автор заключает, что в Минске есть почва для открытия специальных ф акультетов: 1) медицинского, 2) сельскохозяйственного,
(248
3) строительного, 4) химического, 5) технологического, 6) социально-экономического.
Предложения автора сводились к следующему: 1) развивать педагогический институт, 2) учредить при нем научную коллегию и 3) создать комиссию для подготовки к открытию занятий на специальных факультетах (экономическом, технологическом, строительном и др.).
Этот документ представляет интерес в том отношении, что он предлагает целую систему образования в Белоруссии, отличную от той, которую приняло правительство и которая оправдала себя. Путь автора тоже имел свою логику, но этот путь более длинный и лишен одного существенного элемента — базы для развития теоретических наук, без которых не могут развиваться и прикладные науки. Мы привели этот документ, чтобы лишний раз показать, насколько сложна была обстановка для создания в Белоруссии университета.
Белорусский государственный университет был открыт 11 июля 1921 г., занятия начались с 30 сентября. В 1922/23 учебном году университет имел в своем составе следующие- факультеты: педагогический, медицинский, общественных наук и рабочий. Перед университетом были поставлены такие задачи: «подготовка специалистов по различнымотраслям практической деятельности, подготовка научных работников для обслуживания научно-технических и производственных учреждений республики, и, в частности, самого университета, а также распространение научных знаний среди широких пролетарских и крестьянских масс».63 В научной области университет «будет способствовать всестороннему изучению- естественно-исторических, этнографических и культурно-бытовых особенностей края и его сближению во всех этих областях с Россией».64
Университет имел структуру, отличную от структуры старых университетов, и находился в ведении Главного управления профессионально-технического образования Наркомпроса Белоруссии.
Во главе университета стояло правление, осуществлявшее руководство всей учебной, воспитательной и административно-хозяйственной деятельностью университета. Во главе правления находился ректор. Первым ректором был известный историк В. И. Пичета. При факультетах были созданы президиумы и факультетские советы с деканом во главе, затем советы отделений и предметные комиссии. Функции управления и главным образом контроля возлагались также на общие собрания факультетов с участием студентов.
Тот состав факультетов, который был намечен на коллегии НКП РСФСР, собственно, не решал проблему подготовки педагогических кадров, и в частности преподавателей матема*
249
тики. Поэтому было решено открыть педагогический факультет с физико-математическим отделением.
На заседании правления университета от 15 октября 1921 г. по вопросу об открытии педагогического факультета и о положении института народного образования было решено: «Признать необходимым, чтобы будущие педагоги, а равно их руководители, независимо от тех специальностей, к которым они готовятся, и без ущерба для серьезной и глубокой специализации, были объединены в общий коллектив, ставящий себе общие педагогические задачи. Для этой цели должен быть создан педагогический факультет с отделениями: физико-математический, биолого-географический, общественно-исторический и этнолого-лингвистический».65 В связи с этим институт народного образования был упразднен.66 Решение от 25 мая 1922 г. гласит: «Создать с будущего академического 1922—23 гг. педагогический факультет с физико- математическим и естественным отделениями».67 Цель его — подготовка преподавателей для второго концентра семилетней школы, профшкол, школ сельской молодежи, вечерних рабочих школ и для техникумов.
Физико-математическое отделение педагогического ф акультета готовило преподавателей физики, математики, астрономии и механики; естественное отделение — преподавателей химии, биологии и неживой природы; отделение гражданских наук — преподавателей истории; литературнолингвистическое — литературы и языка.
Наряду с этим в его задачу входила «подготовка научных кадров, которая должна завершаться в научно-исследова- тельских институтах страны».68 Зачисление студентов производилось на основе собеседования. На педагогический факультет принимались лица со средним образованием по коллоквиуму. Деканом факультета длительное время был известный ученый в области древней истории профессор Н. М. Никольский.
Организация педагогического факультета не была делом специфическим для Белорусского университета. В этом направлении были реорганизованы другие университеты, что вытекало из общей идеи Главпрофобра о профессионализации высшего образования. В связи с этим сошлемся на один из документов Главпрофобра от 27 декабря 1920 г.под названием «Высшая подготовка квалифицированных работников». В нем в категорической форме отвергается старая университетская система образования, преследовавшая-де цель изучения «чистой науки» и не готовившая ни теоретиков, ни практических работников. «Бывшие общеобразовательные факультеты университетов (физико-математические и историко-филологические), ставившие своей задачей давать научных исследовате
250
лей, а фактически дававшие худший сорт педагогов без педагогики, частью подлежат превращению в специальные педагогические учреждения для массовой подготовки предметных преподавателей (физико-математический), частью подлежат ликвидации...»69 В нем выдвигается и обосновывается идея реорганизации высшей школы на профессиональной основе: «Трехлетний опыт убеждает, что путь пересоздания высшей школы лежит не через рекламирование ее единства и создания органов, фиктивно выражающих это единство, а через решительное рассечение высшей школы по вертикалям в соответствии с производственными и организационными задачами государства...» 70
Эта точка зрения Профобра нашла свое отражение в реорганизации университетского образования, выразившееся в создании педагогических факультетов.
Концепция профессионализацди образования выросла на почве большой нужды в практических работниках. Дело подготовки теоретиков как будто бы несколько ущемлялось. Однако эта проблема не была забыта: при университетах были открыты институты аспирантуры. В Минском университете аспирантура была учреждена уже в 1925 г. Открываются специальные исследовательские институты: «При всем практическом уклоне специальных институтов надлежит самым настоящим образом стимулировать развитие научно-исследовательской мысли именно в специальных, органически связанных с производством и профсоюзами институтах (научно- исследовательские курсы, кафедры и т. д.)».71 Организация исследовательских институтов по методу сращивания их с хозяйственными центрами государства — такова главная идея в организации исследовательской работы.
Педагогический факультет занимал важное место в педагогической жизни Советской Белоруссии. Он находился в тесном контакте с органами народного образования, с учительством школ и техникумов и являлся центром научно-педагогической мысли Белоруссии.
В связи с организацией этого факультета 8 апреля 1922 г. на заседании правления рассматривался вопрос об открытии при университете экспериментальной школы, по которому было принято решение: «Признать крайне желательным в целях педагогических исследований при университете открытие опытнопоказательной школы для исследования в ней новых педагогических методов и систем и равно для практических занятий студентов педагогического отделения, поддержать перед НКП Белоруссии ходатайство группы профессоров и преподав вателей об открытии при университете школы второй ступени и принять меры к вовлечению в эту школу возможно большего круга профессорско-преподавательского персонала».72
251
Для оценки деятельности педагогического факультета имеет значение резолюция Всебелорусской конференции работников педагогического образования по докладу «Учебный план педфака и связь его с педтехникумами», в которой сказано: «Педфак правильно намечает цели своей учебной и научной работы, учитывая, с одной стороны, необходимость подготовки квалифицированных педагогов-практиков для всех типов школ, строящихся на первом концентре семилетки и на самой семилетке..., а с другой стороны,— настоятельную необходимость в специальной научной подготовке деятелей в различных областях культурной работы в Белоруссии».73
В упомянутой резолюции рекомендовалось введение специальных педагогических и методических курсов, проведение педагогической и сельскохозяйственной практик, поддержание связи с педтехникумами через методико-педагогическую комиссию педагогического факультета путем взаимного обмена печатными трудами, оттисками лекций, учебными планами, программами.
Научная работа преподавателей физико-математического отделения педфака имела в значительной степени педагогический уклон.
Для руководства всей учебной и научной работой на отделениях были созданы методические или предметные комиссии. Инициатором их организации был профессор Пичета, который придавал им большое значение. Действительно, в первые годы работы университета они сыграли немалую роль в его жизни. На заседаниях методических комиссий обсуждались программные вопросы, методический и методологический аспекты преподавания всех дисциплин учебного плана, как и вопросы, относящиеся к построению самого учебного плана. Так, например, за первую половину 1925 г. комиссии занимались практическим решением следующих вопросов: выработка общих мероприятий по работе педфака, построение учебных планов на следующий учебный год, планирование лабораторных работ, семинаров, разработка рекомендаций, связанных с применением лабораторного метода преподавания.74 Если в первые годы метод преподавания в университете был преимущественно лекционным (с некоторой долей семинарских занятий), тс с 1925/26 учебного года педагогический факультет перешел частично на так называемый лабораторный метод работы. В предметные комиссии входили ведущие преподаватели. На физико-математическом отделении ее возглавлял профессор Е. Е. Сиротин. Обсуждался вопрос о преобразовании предметных комиссий в исследовательские кафедры, но кафедральная система была введена законом и надобность в этом преобразовании отпала естественным образом. Административно-учебная и научная деятельность физико-математического отделения
252
педагогического факультета университета в первые годы его существования почти полностью протекала в рамках деятельности методической комиссии.
Вместе с подготовкой к открытию университета Московская комиссия разрабатывала для него учебные планы и программы. В основу был положен план Уральского университета: «Признать настоятельно необходимым в основу временных учебных планов положить планы Туркестанского (Ташкент) и Уральского (Екатеринбург) университетов, особенно последнего, ввиду близости структуры Екатеринбургского университета к типу ныне проектируемых университетов. Заботу о получении этих материалов в распоряжение факультетской инициативной группы возложить на проф. В. И. Пичета».75 В. И. Пичета сообщает, что удалось получить лишь учебные планы Уральского университета, каковые и могут быть представлены факультетским инициативным группам.76
Приведем первоначальный план с указанием математических и естественных дисциплин.77
1-й триместр. Введение в анализ, теория определителей, аналитическая геометрия, семинар по математике, физика, химия.
2-й триместр. Дифференциальное исчисление, аналитическая геометрия, сферическая тригонометрия, семинар, физика, химия, биология.
3-й триместр. Посвящается повторению, расширению знаний по пройденному материалу за первые два триместра, чтению литературы, докладам на семинарах, практическим занятиям по физике в лабораториях и занятиям на фабриках и за водах.
4-й триместр. Интегральное исчисление, дифференциальная геометрия, теория чисел, высшая алгебра, механика точки, семинар, физика и описательная астрономия.
5-й триместр. Интегральное исчисление, дифференциальная геометрия, теория чисел, высшая алгебра, семинар, механика системы, физика, описательная астрономия, сферическая астрономия.
6-й триместр. Посвящается чтению литературы, докладам на семинарах, практическим занятиям по физике в лабораториях, работе на фабриках и съемке местности.
7-й триместр. Дифференциальные уравнения, теория аналитических функций, теория функций действительного переменного, теория вероятностей, теория конечных разностей, механика системы, теоретическая физика, теоретическая астрономия, семинары, история математики и физики.
8-й триместр. Теория аналитических функций, теория функций действительного переменного, теория вероятностей, вариационное исчисление, теоретическая физика, небесная механи
253
ка, семинары, методика математики, история физико-математических знаний.
9-й триместр. Изучение литературы, доклады, занятия в л а бораториях по физике, механике, практические работы по метеорологии, астрономии, геодезии, работа на фабриках и за водах, в школе и геодезические съемки в поле.
В учебный план входили курсы педагогики и педагогической психологии, из общественных дисциплин — развитие общественной формации, история материализма, политический строй Советского государства, организация производства и распределения, теория пролетарской революции, экономическая география России и Белоруссии в связи с электрификацией и научные основы труда.
Этот план был рассчитан на три года, но в связи с тем, что срок обучения был принят четырехлетним, он был соответствующим образом изменен. Заметим, что учебные планы нередко менялись, но основной состав математических дисциплин оставался почти без изменений. Действительно, чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить данный план с тем, который был принят на 1927/28 учебный год.78
Первый курс. Математика, физика, общая химия.Второй курс. Аналитическая геометрия, высшая алгебра,
дифференциальное исчисление, физика, астрономия, механика, геодезия, черчение.
Третий курс. Дифференциальная геометрия, теория вероятностей, интегральное исчисление, физика, механика, методика математики, методика физики, стажировка в школе.
Четвертый курс. Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, исчисление конечных разностей, теория чисел, спецкурс по математике (для математиков *), специальные главы по физике (для физиков), механика, метеорология, стажировка в школе.
Физико-математические дисциплины к общему плану (в часах) составляют в данном случае около 60%. Деление на две специальности (математическая и физическая) осуществлялось путем чтения спецкурсов и методик, остальные дисциплины были общими. В план входили педагогические дисциплины (история педагогики, педагогика), большой цикл общественно^- философских наук (политическая экономия, диалектический материализм, история Белоруссии, ленинизм, история классовой борьбы), военные предметы и иностранные языки.
В этом плане отсутствует история физико-математических наук. В начале 20-х годов этому предмету отводилось почетное место, как важному для философского образования.
* Теория функций действительного переменного и теория аналитических функций.
254
Первые годы состав слушателей был более подготовлен, нежели в последующие. Причина этого явления заключалась в самой системе общего образования, которое, как было сказано выше, было семилетним, следовательно, недостаточным для занятий в университете. Приведем ряд документов по этому вопросу.
1) «Состав подготовки пестрый. Отсутствие надстройки над семилетней школой в значительной мере вредило тому, чтобы студенты университета были хорошо подготовлены. Молодежь, окончившая семилетку, с большой трудностью подготовила себя до университета, не имея под руками необходимых пособий. Неподготовленность студентов в той или иной мере должна оказать свое влияние на составление программ педагогического факультета и также на методы преподавания и на снижение требований, какие нужно предъявлять студентам университета».79
2) «Получается одно недоразумение: студенты прежних университетов, более подготовленные и более развитые, имели больше свободного времени для чтения и занятий, чем наши студенты, менее развитые и менее подготовленные. Никакой переход на лабораторно-групповой метод, который требует от студентов самостоятельных занятий, не даст никаких результатов, если только студент не будет иметь возможности заниматься дома или читать в кабинете... Необходимы знания, без которых студент будет бесполезен для государства».80 Студенты не подготовлены, в этом «повинна вся наша эпоха, которая долгое время не позволяла начать созидательную работу».81
3) «Нужно совершенно отказаться от мысли видеть в числе студентов окончивших семилетки. Это совершенно неподготовленные лица, для университета излишние... Студенты, не зная алгебры, тригонометрии, стереометрии, разумеется, не понимают многое из того, что им преподается. Кроме того, сама по себе математика содействует развитию абстрактно-синтетического мышления, которым наши студенты совершенно не обладают. Все это больные вопросы первостепенной важности и требуют своего очередного разрешения».82 Рабфак давал хорошую математическую подготовку, но рабфаковцы в основном шли не на педагогический, а на медицинский факультет. Последний почти целиком комплектовался из слушателей рабфака. Студенты рабфака «не обнаруживали особенного тяготения к педагогике».83
Программа для поступающих в университет содержала те вопросы и только те, которые входили в программу семилетней школы.
Приведем содержание этой программы.84Арифметика. Счисление. Действия с натуральными числа
255
ми. Признаки делимости. Дроби. Решение арифметических задач.
Алгебра. Многочлены, действия с ними. Простейшие случаи разложения на множители. Уравнения первой степени с одним и двумя неизвестными. Понятие о функциональной за висимости. Графическое изображение функций. Прямая и обратная пропорциональность. Возвышение во вторую и третью степени и извлечение квадратного корня. Квадратные уравнения.
Геометрия. Планиметрия. Равенство треугольников. Теория параллельных. Подобие. Измерение площадей. Окружность и круг. Измерение длины окружности и площади круга.
Стереометрия. Основные сведения. Измерение поверхностей и объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара (не строго). Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс). Решение прямоугольного треугольника.
Рекомендовались учебники: Лебединцев. «Алгебра», 2 части, Бем, Волков, Струве. «Сборник задач и упражнений по алгебре» и учебник геометрии Ройтмана.
Материал алгебры, как видно из программы, ограничивался решением квадратных уравнений, курс тригонометрии в систематическом виде не изучался, геометрия излагалась на интуитивно-эмпирической основе, вследствие чего у учащихся не вырабатывалось научного мышления.
Естественно, что студенты не были подготовлены к слушанию университетских лекций. Очевидным становилось положение, что принятая система образования, удовлетворяя требованиям профессиональной подготовки рабочих и техников, является недостаточной для подготовки специалистов высшей квалификации.*
Несколько слов о профессорах и преподавателях, сыгравших роль в становлении университета. Профессор физики Е. Е. Сиротин был приглашен из Костромского педагогического института, длительное время находился в командировке в Англии, где работал в лаборатории Резерфорда, занимался исследованием радиоактивности.85 Выступал с докладами на всесоюзных научных конференциях. В университете читал общую физику и специальные главы по физике. По физике работал Е. В. Снятков, сначала (1922) преподавателем рабфака, затем преподавателем и профессором на физико-математическом факультете университета. Он занимался вопросами радиотехники.86 Астрономию читал профессор А. А. Михайловский, приглашенный на работу в университет из Самарского государственного университета в 1922 г. Он же вел практиче
* Заметим, что для подготовки в университет работали курсы, на которых материал изучался за полную среднюю школу.
256
ские занятия по геодезии и механике.87 Е. Е. Сиротин вел большую учебную, научную и организационную работу на педагогическом факультете, он возглавлял методическую комиссию, принимал активное участие в жизни научного общества и читал публичные лекции для учителей.
Остановимся на деятельности преподавателей математики. В числе первых по времени следует назвать В. К. Дыдырко и И. С. Пятосина, утвержденных НКП от 27 августа 1931 г. в звании профессоров.88 Одно время Дыдырко работал в Минской мужской гимназии.89 В первые годы Советской власти В. К. Д ы дырко работал преподавателем математики в институте народного образования, где читал курсы математического анализа и аналитической геометрии, а также в политехникуме.
Дыдырко окончил Московский университет по математической специальности.На его исследованиях мы остановимся позднее, а теперь укажем, какие предметы он и Пятосин читали в университете. По годичным поручениям видно, что Д ы дырко в 1922— 1924 учебных годах читал элементарную математику, теорию определителей и аналитическую геометрию.90 Пятосин — математический анализ и математику на факультете общественных наук.91 В 1924/25 учебном году Дыдырко читал элементарную математику, аналитическую геометрию, высшую алгебру, интегрирование дифференциальных уравнений и приложения интегрального исчисления к геометрий; Пятосин — интегральное исчисление, дифференциальную геометрию, теорию вероятностей и методику математики.92 Эти основные предметы числятся за ними в поручениях и в следующие годы.
В августе 1923 г. был принят на работу в университет преподаватель математики средних учебных заведений В. С. Лев- кович.93 В заявлении Левкович сообщает о себе следующее: белорус, родился 1 января 1881 г. в деревне Шени Гродненской губернии Пружанского уезда (ныне Брестской области.—Н. Б.), первоначальное образование получил в Свислочской семинарии, которую окончил в 1900 г., в течение семи лет ра-
В. К. Дыдырко.
9 Н. Д . Беспамятных 267
ботал учителем в народных училищах Гродненской губернии, в 1907 г. выдержал экзамен на аттестат зрелости в Брестской мужской гимназии и поступил на физико-математический ф акультет Петербургского университета на отделение математики, который окончил с дипломом первой степени в 1912 г. Преподавал математику в Минской мужской гимназии и реальном училище, в 1920/21 учебном году читал лекции по высшей математике в Минском институте народного образования, в 1921/22 учебном году читал лекции по аналитической геометрии и анализу бесконечно малых в Белорусском политехникуме. Опубликовал курс «Аналитической геометрии». В университете Левкович вел курс геометрического черчения и читал историю математики.
В 1923 г. был принят на работу преподаватель средней школы А. П. Круталевич.94 С января 1925 г. в качестве ассистента работал Г. Н. Сагалович, который преподавал методику математики. Ассистент И, М. Домбровский, принятый также в 1923 г., читал основания геометрии и теорию действительных чисел. Таким образом, физико-математическое отделение было укомплектовано преподавателями, но из учителей средней школы.
Оценка преподавания курсов математики в Белорусском университете в первые годы его существования имеется в рукописной юбилейной записке за 1941 г. Хотя автор записки слишком сгустил краски, но и не далек от истины. В ней сообщаются такие факты.95 Физико-математическому отделению было отведено несколько комнат в одном из старых зданий университета. Университет широко открыл двери желающим учиться. В него пришла разная молодежь: бросившие учиться в силу разных обстоятельств в царское время, фронтовики, учителя... Для работы были привлечены учителя гимназий. Учебный план был составлен наспех и перегружен учебными дисциплинами. Математическим дисциплинам отводилось недостаточно времени. Учебные планы пересматривались почти ежегодно, и студенты старших курсов учились по так называемым переходным планам. Программы составлялись преподавателями и обсуждались на методической комиссии. Программа по анализу представляла собой перечень приемов дифференцирования и интегрирования, принципиальные проблемы анализа не рассматривались. Лекции по математическому анализу напоминали практические занятия, на которых студенты усваивали различные приемы решения задач, вычислительные алгоритмы. Аналитическая геометрия читалась в объеме учебников Млодзеевского и Андреева, причем некоторые вопросы теории кривых и поверхностей совсем не рассматривались. Дифференциальная геометрия представляла собой разбор ряда вопросов о плоских и пространственных кривых, но
258
не цельную науку или учебную дисциплину. По алгебре раз- бирались вопросы теории определителей, нужные для изучения аналитической геометрии, некоторые вопросы о полиномах и алгебраическое решение уравнений.
Физико-математическое отделение факультета провело не- сколько-научно-методических конференций с участием научных работников других вузов и учителей школ БССР. Эти кон-
Профессора и студенты Б ГУ, 1926 г.
ференции вносили большое оживление в математическую жизнь республики. Некоторые из докладов были напечатаны.
Период 1926— 1932 гг. отмечен неудачными поисками рациональных методов преподавания. Педагогическое прожектерство средней школы частично перешло и в университет. Много времени в учебных планах отводилось политехническому циклу. Вследствие этого курсы математики не могли быть расширены и углублены.
При университете с первых дней его существования было организовано научное общество, которое издавало свои «Труды». Его задачей было исследование научных проблем «по всем отраслям знания». Общество состояло из различных секций, организованных по основным специальностям. Существовала математическая, педагогическая и другие секции. На педагогической секции делались сообщения по методике математики.
В отчете за 1924/25 учебный год имеются следующие данные об исследовательской работе преподавателей.96
9* 259
В. К. Дыдырко в математической секции общества прочитал следующие доклады: «Об инвариантах кривых третьего порядка», «Некоторые свойства циркулярных кривых в связи с инвариантным преобразованием».*
Ассистент Домбровский приготовил к печати книгу «Аподиктическая геометрия» и ко второму изданию книгу «Канон геометрии», в «Математический сборник» (Москва) направил статью «О дефиниционном методе в геометрии», в редакцию «Трудов» представил две статьи: «О понятии точки» и «К методике дифференциального исчисления». Готовил к печати сочинение «Астрономия чистого опыта». Ассистент Сагалович выступал с докладами на педагогической секции научного общества по методическим вопросам и опубликовал ряд статей в журнале «Асьвета» по следующим темам: 1) Программы ГУСа и роль математики в комплексе. 2) Метрология в школе первой ступени (в связи с введением в БССР метрической системы). 3) Графический метод в школе. 4) Геометрия в трудовой школе. 5) Иррациональные числа в старших группах школы. 6) Математика на основе обществоведения. 7) Математика вокруг вопроса о зарплате. 8) Геометрия на местности. 9) Математика по дальтон-плану. Подготовлены в рукописи; «Математика на основе сельского хозяйства» и методическое письмо «Математика в комплексе».
По математике была опубликована работа Дыдырко «Циркулярные кривые третьего порядка».97 Это оригинальный и интересный труд, но не законченный. Его окончание было опубликовано в 1932 г. Поэтому мы отнесем знакомство с этой работой к следующему параграфу, заметим лишь, что эта работа представляет собой попытку систематического изложения свойств циркулярных кривых третьего порядка при помощи аналитического метода.
Профессор И. К. Богоявленский опубликовал в «Записках» сельскохозяйственной академии за 1927 г. статью «Формула Чебышева для приближенного вычисления определенных интегралов». Автор дает новое доказательство формулы Чебышева, свободное от применения теории непрерывных дробей.98 Кроме того, им опубликован курс математического анализа для студентов.99
Таким образом, о первом десятилетии деятельности университета можно сказать следующее:
1. Открытие Белорусского государственного университета было первым важнейшим событием новой эпохи, положившим начало научному и культурному прогрессу республики, проявлению и развитию творческих сил ее народа. В деле организа
* В. К. Дыдырко в 1928 г. был командирован за границу «для. научной работы в специальном семинаре профессора Гильберта» в Геттинген, где он был два летних месяца.
260
ции существенная помощь была оказана со стороны братской Российской Федерации.
2. Организацией при университете педагогического факультета была решена актуальная в то время государственная за дача подготовки специалистов-практиков высшей квалификации для различных областей культуры и народного хозяйства. Открытие физико-математического отделения знаменует начало систематического развития математической мысли и высшего физико-математического образования в республике.
3. Первые учебные планы по математике, составленные с учетом соответствующих планов университетов Российской Федерации, отвечали главной цели отделения — подготовке студентов к учительской и отчасти к научной деятельности. При отделении была открыта аспирантура. Физико-математическое отделение педагогического факультета за период своего непродолжительного существования сыграло большую роль в подготовке высококвалифицированных учителей математики для средних учебных заведений республики и в подъеме ее математической культуры.
4. В 20-х годах особое внимание обращалось в учебных планах на преподавание истории наук. Введение этого предмета отвечало цели изучения исторического процесса развития науки и техники с позиций философии диалектического материализма.
5. Первый преподавательский состав по математическим дисциплинам был укомплектован из бывших учителей математики, прошедших недлительную практику преподавания основ высшей математики в Минском политехникуме и институте народного образования. Научное творчество их относится к математике и педагогике математики. Это последнее отвечало профилю отделения. Математическими исследованиями занимался профессор В. К- Дыдырко, работы которого посвящены исследованию алгебраических кривых третьего порядка. Крупные достижения в научной области относятся уже к последующим этапам деятельности университета.
§ 7. ФИЗИКО-МАТЕМ АТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ УНИВЕРСИТЕТА ДЕЯ ТЕЛ ЬН О СТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ
В 1931 г. из состава университета выделяется ряд факультетов на правах самостоятельных институтов (медицинский, народного хозяйства, педагогический).* В результате этих структурных изменений при университете остались лишь два отделения бывшего педагогического факультета — естественный и физико-математический. На их базе были созданы но
* Заметим, что на этой основе была произведена в 1931 г. реорганизация целого ряда университетов СССР.
261
вые факультеты — химический, биологический и физико-математический с двумя основными специальностями: физика и математика.
Естественным следствием этого явилось резкое снижение численности студентов (а также и преподавателей), что видно из следующей таблицы: 100
У ч е б н ы й г о д Ч и с л о с т у д е н т о в
Из этих последних (638) на физико-математическом ф акультете обучалось 247. С течением времени численность студентов быстро возрастает в связи с открытием новых факультетов (почвоведения, литературно-лингвистического, исторического).
В подготовке кадров на физико-математическом факультете центр тяжести значительно был смещен в сторону воспитания ученых-исследователей для различных научных учреждений и производственных предприятий. Срок обучения был принят пятилетний. В деле развития учебной и научной деятельности новому факультету существенную помощь оказывал Московский университет, с которым Белорусский университет поддерживал тесные научные контакты.
Научная работа на факультете развертывается в связи с открытием семинаров для преподавателей и студентов. Н апример, за 1935/36 учебный год в делах факультета перечислены следующие семинары по математическим наукам:
1) Теория конформных отображений (руководитель доцент Н. В. Ламбин).
1921/221922/231923/241924/251925/261926/271927/281928/291929/301930/31
1127209228282298253025502672256223321579
1931/321932/331933/34
437528638
262
2) Проблема Пфаффа и Картана применительно к теории дифференциальных уравнений (руководитель академик Ц. Л. Бурстын).
3) Теория бициркулярных кривых (руководитель профессор В. К. Дыдырко).101
Научные труды математиков публикуются в «Ученых за писках» университета, «Трудах» физико-математического института АН БССР, «Докладах» АН СССР и других авторитетных изданиях.
По специальности «дифференциальная геометрия» открывается аспирантура.
Повышается требование к методологии преподавания и исследования. Одним из методологических аспектов науки, которому придавалось важное значение в преподавании, был историзм — диалектико-материалистический взгляд на возникновение и развитие науки.
Длительное время на факультете мы видим только одну кафедру математики. Но с 1938 г. работают четыре кафедры: математического анализа, теории функций, дифференциальных уравнений и геометрии. Каждая из кафедр имела обширный план преподавания и научных исследований. Кафедра геометрии занималась исследованиями по теории поверхностей, кафедра теории функций — применением теории аналитических функций к решению краевых задач, кафедра дифференциальных уравнений разрабатывала метод академика Чаплыгина — интегрирование дифференциальных уравнений в част^ ных производных.
В 1936/37 учебном году в плане исследовательской работы значились следующие темы:
1) Проблемы интегральной геометрии (академик Бурстын).2) Обтекание эллиптических цилиндров совершенной не
сжимаемой жидкостью (доцент Ламбин).3) Нули и особые точки аналитической функции (доцент
Лукомская).4) Обоснование теории определителей с помощью матрич
ного исчисления (доцент Нисневич).5) Условия анаморфозируемости функций. Номографиче
ское решение дифференциальных уравнений (старший преподаватель Бухвалов).
6) Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (доцент Гельфанд).
7) Профессор Дыдырко занимался исследованием вопросов геометрии.102
В 1941 г. университет был занят подготовкой к юбилейной сессии. Он готовился в конце июня отметить 20-летие своего существования. В университете была организована выставка, на которой были представлены печатная продукция
Ш
научных работников, документы, относящиеся к истории университета.
Проведение математической сессии планировалось на двадцатые числа июня. Первое заседание с докладом профессора Н. А. Столярова должно было состояться 23 июня в фи- зико-математическом корпусе в аудитории № 19. Но началась война. Приведем список основных докладов этой несосто- явшейся сессии.103
Профессор Столяров. Аналитический признак фокальных осей второго порядка.
Доцент Ламбин. Об одном классе существенно особых точек аналитической функции.
Доцент Лукомская. К вопросу об определении особых точек на окружности круга сходимости.
Доцент Нисневич. Проблема представления групп матрицами.
Доцент Шереметьев. Теорема существования плоской з а дачи теории упругости для областей с угловыми точками.
Старший преподаватель Бухвалов. К вопросу об общей анаморфозе.
Доцент Ривкин. Поверхности с вырожденной метрикой в псевдоевклидовом пространстве.
Аспирант Родов. Об одном свойстве функции с ограниченными производными.
На педагогической секции планировалось рассмотрение ряда вопросов о преподавании математики в школе.
В заключение общего обзора деятельности математического отделения физико-математического факультета БГУ остановимся на характеристике учебного плана. Известно, что теория функций комплексного переменного с ее разнообразными приложениями в 30-х годах занимала одно из ведущих мест в математическом образовании, как и в научных исследованиях. Белорусский университет не был исключением в этом отношении. Эта дисциплина была представлена достаточно полно и к ней привлекалось внимание студентов и молодых преподавателей. Рядом можно поставить еще дифференциальную геометрию, по которой был издан учебник академиком Ц. Л. Бурстыным и, как уже замечено, была открыта аспирантура.
Учебный план 1935/36 учебного года показывает, что на первых трех курсах читались дисциплины, общие для студентов физической и математической специальностей.
Общий план содержал следующие дисциплины с указанием количества часов: математический анализ (440), аналитическая геометрия (190), высшая алгебра (120), механика (400), общая физика (480), общий курс астрономии (ПО), векторная алгебра и дифференциальная геометрия (120), диф
264
ференциальные уравнения (210), начертательная геометрия (90), вариационное исчисление (50), теория вероятностей и математическая статистика (70). Для студентов-математиков на последних двух курсах читались теория функций вещественного и комплексного переменного, геометрия Римана, методика и история математики.104
В конце 30-х годов аналитическую и дифференциальную геометрию читал профессор Лопшиц (Москва), математический анализ — доцент Ламбин, теорию вероятностей — доценг Нисневич, обыкновенные дифференциальные уравнения — доцент Шереметьев, в частных производных — доцент Нахимовская, теоретическую механику — профессор Столяров и доцент Шереметьев, методику математики — доцент Сагалович. Курс истории математики читал профессор М. Я. Выгодский (Москва), лекции которого привлекали большое внимание студентов, они содержали новый материал по истории математики древнего мира — результаты исследований Нейгебауэра и самого Выгодского.
Исследования В. К. Дыдырко по теории циркулярных кривых * были изданы отдельной монографией в 1928 г., хотя и незавершенной. Это была первая монография по математике, написанная преподавателем университета. Окончание ее (часть гл. IV и гл. V) было опубликовано в «Трудах» университета в 1932 г.
Работа В. К- Дыдырко заключается в систематизации многочисленных исследований по теории циркулярных кривых, преимущественно иностранных математиков, в аналитическом способе исследования и изложения свойств этих кривых, большей частью известных и, несомненно, частью полученных самим автором.
В I главе его монографии «Циркулярные кривые третьего порядка» рассматриваются способы приведения уравнений циркулярных кривых к канонической форме и изучаются различные свойства этих кривых, отнесенных к центру, вершинам и главной точке. Указываются способы построения циркулярных кривых при помощи проективных пучков прямых и окружностей и построения касательных и нормалей к этим кривым.
Глава II посвящена инверсии и ее роли в общей теории циркулярных кривых. Изучаются свойства инверсионного преобразования кривых этого вида. Решается вопрос, в каких случаях циркулярная кривая при ее инверсионном преобразовании переходит снова в циркулярную кривую. Кривые, не изменяющие в результате инверсионного преобразования своего рода, называются аллагматичными, а само преобразова-
* Циркулярными третьего порядка называются кривые, которые выражаются уравнением вида
( а х + в у ) (х2+ у 2) + А х 2+ В х у + С у 2+ О х + Е у + Г = 0.
266
яие — аллагматическим. Например, строфоида при инверсионном преобразовании переходит в строфоиду.
В гл. III излагаются проективные свойства циркулярных кривых и выясняется с точки зрения проективной геометрии их роль в общей теории кривых третьего порядка.
Гл. IV посвящена изучению метрических свойств циркулярных кривых. Здесь же рассматриваются аналитические условия распадения кривой на прямую и окружность и на три прямых.
В гл. V излагаются различные способы построения циркулярных кривых. Эти способы основываются на принципе геометрических мест и геометрических преобразований. Показывается, как циркулярные кривые могут быть получены путем преобразований из кривых более простого вида. При этом играют роль способ инверсии и способ антиинверсии, разработанный автором. В заключение автор рассматривает различные способы построения циркулярных кривых, имеющиеся в литературе, и вопрос о механическом вычерчивании этих кривых.
Монография Дыдырко по теории циркулярных кривых представляет собой солидное исследование одного из классов кривых высших порядков, единственное в отечественной литературе по данной проблеме. Исследования Дыдырко актуальны и в наше время: свойства циркулярных кривых третьего порядка используются при разработке геометрических методов синтеза плоских механизмов.
Профессор Н. В. Ламбин является учеником математической школы Ленинградского университета, для которой характерно применение глубоких математических теорий к проблеме математического естествознания. Работа Н. В. Ламбина относится к решению задач математической физики методами теории функций комплексного переменного.
Он учился в Ленинградском университете в тяжелые годы (1922— 1925) и средства к жизни добывал случайными заработками. «Заработки эти,— пишет Н. В. Ламбин,— не позволяли мне взять из университета максимум возможного и привели к тому, что выбор тематики научной работы пришлось делать слишком самостоятельно. Из лекций, прослушанных мною в университете, наиболее яркое воспоминание осталось у меня от прочитанного В. И. Смирновым курса теории аналитических функций. Эта теория и стала моей специальностью в математике. До сих пор помню, как поразила меня парадоксальная, как мне казалось, возможность полного определения аналитической функции по ее особенностям. Эта возможность стала для меня на долгое время исходным пунктом моих математических поисков». В Минске Н. В. Ламбин работает с 1930 г. (сначала в БПИ, затем в БГУ).
266
С этого времени Ламбин занимался исследованием следующих трех проблем: 1) Изучение существенно особых точек однозначной аналитической функции посредством исследования топологических свойств семейства линий равного аргумента этой функции. По этой проблеме опубликован ряд работ.1052) Построение аналитических функций, интерпретирующих гидродинамическое поле в области, ограниченной окружностями и содержащей бесконечно удаленную точку. По этой проблеме также опубликовано несколько работ, но наиболее полным и исчерпывающим образом результаты были оформлены в работе «Обтекание произвольного числа бесконечных круговых цилиндров потоком совершенной и несжимаемой жидкости».106 По этой теме защищена кандидатская диссертация. 3) Гидродинамическое поле заменяется магнитным полем, определенным как вне, так и внутри обтекаемых цилиндров. Магнитная проницаемость среды считается кусочно-постоянной во всем пространстве и непрерывной везде, кроме поверхностей цилиндра. Этой работой было положено начало цикла работ, составивших впоследствии содержание докторской диссертации.107
Доцент Нисневич занимался исследованиями в области алгебры, им опубликовано доказательство теоремы о том, что любая счетная группа, всякая локальная часть которой допускает точное линейное представление, сама допускает точное линейное представление.108 В. Л. Нисневич погиб во время Великой Отечественной войны.
Кафедру математики в университете длительное время возглавлял действительный член АН БССР профессор Ц. Л. Бурстын. Не претендуя на полный анализ и оценку его работ, мы ограничимся лишь указанием тех направлений, к которым эти работы относятся. Основная математическая специальность Бурстына — дифференциальная геометрия; к этой области относится большая часть его публикаций, включая два учебника.109
Однако академик Бурстын был математиком широкого диапазона: им опубликован ряд работ по дифференциальным
Н. В. Ламбин
'267
уравнениям, теории тригонометрических рядов, теории множеств, теории функций действительного переменного, алгебре и по методологии науки (полемические выступления в печати).
Некоторые из его публикаций посвящены обзору новых актуальных проблем, например, во «Введении» к работе «Физические методы математики»,110 относящейся к теории физического моделирования, автор формулирует принцип, который лежит в основе этого рода методов: «только на основе методологии диалектического материализма можно понять как сущность математической физики, так и сущность физических методов математики и смотреть на эти синтезы не как на случайные, совсем поверхностные связи, а как на органическое единство, которое свои корни и основу имеет в объективном познании природы». В связи с актуальностью проблемы моделирования Бурстын высказывал соображение относительно организации соответствующей лаборатории.
В статье «Проблемы интегральной геометрии» формулируется задача систематического изложения большой совокупности исследований, которые составляют особое направление, названное автором «интегральной геометрией».111 Сюда он относит проблему изгибания поверхностей без растяжения и разрывов, но со складками.
«Во всяком случае,— пишет Бурстын,— я думаю, что имеет большое математическое и методологическое значение построить интегральную геометрию как систематическую дисциплину, подобно дифференциальной геометрии».
В этом кратком обзоре мы остановились на тех основных направлениях в области математики, которые развивались в 30-х годах в Белорусском государственном университете. Мы не упомянули здесь другие работы и исследования ученщх м атематического отделения, несомненно, также представляющих интерес для истории науки и университета.
Полный обзор деятельности университета в подготовке м атематиков (в том числе и учителей математики) и в области научных исследований, особенно современного периода его развития, может составить самостоятельную монографию Укажем здесь небольшую работу, представляющую краткий обзор деятельности БГУ в области математических исследований и подготовке кадров математиков.112
* *
*
В послевоенные годы БГУ сделал крупный шаг в развитии математики и преподавания. В 1958 г. был организован математический факультет. В 1970 г. из состава математического факультета выделен факультет прикладной математики. С его
268
открытием в республике началась подготовка специалистов по прикладной математике, включая использование и конструирование электронно-вычислительных машин. Созданы новые кафедры: математической физики, математического обеспечения ЭВМ, автоматизированных систем управления. Развитие научных исследований характеризуется созданием математических школ — по дифференциальным уравнениям, вычислительной математике, алгебре. Успешно осуществляется подготовка молодых талантливых математиков-исследователей. В деле повышения математической культуры Белоруссии современного ее периода заслуги принадлежат прежде всего основателям этих школ и новых направлений — Н. П. Еругину, Ф. Д. Гахову, В. И. Крылову, Д. А. Супруненко, Ю. С. Богданову, Е. А. Иванову, С. А. Чунихину и их талантливым ученикам В. П. Платонову, Н. А. Лукашевичу, А. И. Яблонскому и др.
источники
К главе I
1 К . М а р к с и Ф. Э н гел ьс . Избранные произведения в трех томах, т. 3. М. Политиздат, 1966, стр. ИЗ.
2 К . М а р к с и Ф. Э н гельс . Соч. Изд. 2-е, т. 20, стр. 501.3 История Польши, т. 1. М., 1956, стр. 179 и след. Псторыя Беларус-
кай ССР, т. 1. Мшск, 1972, стар. 227 1 наст.4 Проф. 3. Ю. Жемайтис пишет: «Высшая школа была торжественно
открыта в апреле 1579 г.» — «Математика в старом Вильнюсском университете в период господства ордена иезуитов». III М ежреспубликанская конференция по вопросам истории естествознания и техники в Литве. Тезисы докладов. Вильнюс, 1959, стр. 37.
5 Педагогический словарь, т. II. М., 1960, стр. 518, см. также: История БССР, т. 1. Минск, 1954.
6 Сборник материалов для истории просвещения в России, извлеченных из архива МНП, т. II. СПб, 1897, стр. 158.
7 / . ВьеИпзЫ. 11шуегзу1е1 ШПепШ (1579— 1831). Кгако\у, 1889— 1900.8 Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского государственного уни
верситета им. В. Капсукаса, д. 293.9 Нарысы псторьц народнай асветы 1 педагапчнай думк1 у Беларусь
Мшск, 1968. .10 К. Х арл ам п ови ч . Западнорусские православные школы XVI и нача
ла XVII в. Казань, 1898, стр. 144. Факты об этом встречаются как в работах по истории западных университетов иностранных авторов, так и в оте- чественой литературе. Одно время при иезуитах запрещалось принимать на работу учителей, получивших образование в Германии.
11 Сборник сведений о средних учебных заведениях Виленского учебного округа. Вильна, 1873. Сообщается время основания учебных заведений и их краткая история.
12 М . Вьггьйка. 5епаз15 V^1п^аи5 11туегзЙе{аз. 1579— 1842 ш. V̂ 1п̂ 1̂5, 1940.
13 К . Х арлам п ови ч . Цит. соч., стр. 486.14 Там же, стр. 468.15 С. М . С о л о вьев . История России с древнейших времен. Кн. II, т. VII.
М., 1904, стр. 511.16 К . Х арл ам п ови ч . Цит. соч., стр. 248.17 Ю. Боргош. Фома Аквинский. М., 1966.18 Р. Н ауЦ еЫ ег. Ме1апс1оп а1з Ргаесер1ог О е г т а т а е . «Мопитеп1а
О е г т а т а е Рес1а§;о^1са». Т. 4. ВегНп, 1889.19 021е]е Ш пуегзуМ и ^1е11оп5к1е&о чу 1а1асЬ 1364— 1764. Ш. \У. То
шек. ОезсЫсМе с!ег Рга^ег-О туегзйа!. Рга^. 1849. ОезсЫсМе (1ег ке1зег- ПсЬеп Ш1уег51Ш ъи \У1еп. В ё. I— II. М еп , 1854. 5. 178, 357. И др. сочинения.
270
20 А . П . Ю ш кевич. История математики в средние века. М., 1961, стр. 343.
21 К . М ази гЫ еьак г. Вепес1ук1 НегЪз! сг. 1. Рогпап. 1925. См. также: Ст. «Ап1те{ука» в Епсук1оресИа ШусЬочуачусга». Т. 1. Ш агзга\уа, 1881.
22 1аНаппе8 с1е З а сго Ь о зс о . ЗрЬаега МипсН. К гако^. 1513.23 5^. Сеоте^гьа. Шагзгачуа, 1566. Л\̂ ус1. III. Шагзгачуа, 1929.24 Р г. Раи18еп. ОезсЫсМе с1ез ^е1еНг!еп Ш 1егпсМ з аи! (1еп ёеМзсЬеп
5сЬи1еп ипс1 С т у е г з 1Ш еп у о п А из^ап^ с1ез МИЫаНегз Ыз гиг Ое^еп- \уай . Егз1ег Вапс1. Ье1р21^, 1891.
25 Епсус1оресИа ШусЬочуачусга. Т. 4. Ш агзга^а, 1885, з. 156.26 / . й ьа п т , А . № аски1ка. Туз1ас 1а± ро1зк1е] тузН т а 1ета{ус2пе].
М агз2а\уа. 1963. Приводится решение следующей задачи из «Арифметики» Кригера: «За 420 флоринов куплено 70 локтей сукна различной цены — по 3, 4, 7, 8, 12 и 20 флоринов за локоть. Определить количество локтей каждого качества», стр. 95—97.
27 А . ТуШонозки АпШ теИсае сипозае. Кгако\у. 1668. А . Ту1кош8Ы . О еотеШ а сипозае. Кгако^у. 1961.
28 /. О ьапт , А. \УасЬи1к^ Ц ит. соч., стр. 104.29 Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета им.
В. Капсукаса. Рукопись № 603.30 См., напр., рукопись «Начала геометрии», 1797 г., хранящуюся в Л е
нинградском государственном историческом архиве, ф. 732, оп. 1, д. 466. В ней имеется раздел, посвященный шестидесятеричным дробям.
31 Арифметика практическая. № 989. Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета им. В. Капсукаса. На нем. яз.
32 Р г а е т ш т 31уе т& геззиз т ^еоте1г1ат ргасИ сат. № 122. Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета. На лат. яз.
33 Р. Ь и скеу. 2иг ОезсЫсМе с1ег Ыошо^гарЫе. 2еИзс11пГ1 !йг ша!Ье- таИзсЬеп ипс1 па1иг\У18зепзсЬа1Шс11еп 11п1егпсМ. Ье1р21^ — ВегПп 1927. 58. Не!1. 10. 5. 455—465.
А. ЯерзоШ . 2иг ОезсЫсМе с!ег аз1гопогш5сЬеп М езз^егкгеи^. Ье1р- 21^. 1908.
К. М о згуп зЫ . КиНига 1ис1очуа з!очУ1ап. Т. 2. 1934. 5 15—44.34 Н . Д . Беспамят ных. Элементы вычислительной математики в руко
писях Вильнюсского университета. Материалы VI конференции по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1965, стр. 3—4*
35 Н . Н. Г л а го л е в . Номография. М., 1961.36 Сотня астрономская еже есть собранная в краткости на латинском
языке в Вильно. Ныне ж е нове преведеся в царетвуклцем Великом граде Москве лета 1707 и преписася на обоих диалектах по гражданской типографии тщанием Василия Киприянова.
Сотня астрономская в сущей академии и повсемстве Виленского содружества Иисусова от Альберта Дыплинского физики и наук слышателя, политичны разглагольствование предложенная в Вильне типом академ- ским содружества Иисусова лета господня 1639. Рукописный отдел Ленинградской библиотеки им. М. Е. Салтыкова-Щ едрина. Двуязычная.
37 А. В . Б о р о ди н . Московская гражданская типография и библиотекари Куприяновы. Труды института, книги, документы, письма. V. Л., 1936, стр. 53— 109.
38 В. И. Ч енакал. Очерки по истории русской астрономии. М.— Л., 1951, стр. 22. Краткие сведения имеются в кн: «История отечественной математики». Т. I. Киев, 1966, стр, 160,
Сотня астрономска, л. 44, автор говорит: «Эти таблицы составлены астрономами и нами удобным методом исправлены».
39 Там же, л. 50.40 Там же, л. 25.41 Там же, лл. 26, 28.42 Там же, л. 67.
271
43 Сотня астрономска, л. 68.44 Там же, л. 77.45 111из{пога Шеогеша1а е! ргоЫета!а таШ етаИса... ^Ипо, 1633. В ти
пографии академии, стр. 56 («Знаменитые теоремы и задачи математики»).. В работе имеются изображения относительного расположения Юпитера и его спутников.
46 Сотня астрономска, лл. 94— 104.47 Там же, л. 106.48 Там же, л. 134.49 Там же, л. 163.50 Д . Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. и доп.
И. Б. Погребысского. М., 1964, стр. 122.51 К. А . Р ы бн и ков . История математики, т, II. М., 1963, стр. 11.52 Д . Я . Стройк. Цит. соч , стр. 136.53 РЬПозарЫае па!игаПз зеи {гасШ из рЬуз1С1 гезропёеМез ос!о ПЪпз
А пзЫ еН з ёе рЬуз1са аисШо 1гасП1е. Аппо. 1721.(Натуральная философия или трактат по физике восьми книг Аристотеля, читанных в 1721 году.) Отдел рукописей библиотеки Вильнюсского университета. № 1225.
54 И. Б иелиньский . Цит. соч., т. II, стр. 63.55 М . М. Г у с е в . 100-летие Виленской астрономической обсерватории.
Вильно, 1853.56 / . А'аксьапою ьсг. Ргае1ес1юпез шаШегпаИсае ех ШоШашз е1ешеп11з
ас!огпа1ае... \\Шпае. 1759— 1761.57 Сокращение первых оснований математики, т. 1. СПб., 1770. Из
«Предуведомления».58 3 ( . 8о1зк1. О еоте1па. Кгако\У1е, 1684.59 1пзШи{юпёз таШ етаИ сае. № 608.
Отдел рукописей библиотеки Вильнюсского университета. Датирована 1766—67 гг. На лат. яз.
К главе II
1 Устав народной эдукационной, или воспитательной, комиссии для академического звания и училищ в областях республики, изданный новым тиснением. Вильно, 1819.
г ,
2 I. З т а й еск и 2уш)1 исгопу 1 риЬПсгпу М агста ОсИатск1е^о Росго- Ьи1а. ШПпо. 1814.М . Г усев . Столетнее существование Виленской обсерватории. Исторический очерк. Вильно, 1853.
3 Г . Е. П а вл о в а . Научные связи М. Почобута с Ж . Лаландом.. М атериалы VI конференции по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1956, стр. 50.
4 Ц ГИ АЛ, ф. 733, он. 62, д. 1, л. 59.5 См. также: 3 . Ж емайт ис. Выдающийся профессор старого Вильнюс
ского университета Фр. Нарвойш (1742— 1819). Литовский математический сборник, т. IV, № 2, стр. 261—288. Н. Д . Беспамят ных. М атематика в Вильнюсском университете. Ученые записки Карельского педагогического института, т. XIV. Петрозаводск, 1963, стр. 54—55. (В дальнейшем — цит, соч.)
Биографические данные о Нарвойше восходят к одному основному источнику — биографии, написанной Жицким опубликованной в сентябрьском номере «Е Ы ептк ШПепзкЬ в 1820 г. Жицкий пишет, что лично знал Нарвойша в течение 36 лет.
6 «Ргае1ес1юпез» 1800/01 учебный год. ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1, л., 92. См. также: Н. Д . Беспамят ных. Цит. соч., стр. 51.
272
7 «Ргае1ес1юпез» за 1805/06 учебный год. ЦГИАЛ, ф. 733, он. 62, д. 38, л. 122.
8 /. ВгеИпзки 51ап паик тактаИсгпо-ПзусгпусЬ га сгаз6\у шзгесЬтсу иШепзке]. Шагзгахуа. 1890.
9 «Представление» Виленского университета (вместе с послужным списком). ЦГИАЛ, ф. 744 оп. 1, д. 407.
10 Н. Д. Беспамят ных. Цит. соч., стр. 59.11 «Акт утверждения для Императорского Виленского университета».
Сборник материалов для истории просвещения в России, извлеченных из Архива МН просвещения. Т. II, 1802— 1804. СПб., 1897, стр. 158 и след. «Устав или общие постановления ИВУ и училищ его округа». Там же, стр. 182. См. также: Ю. Ф. К рачковски й . Исторический обзор деятельности Виленского учебного округа за первый период его существования. Вильна,1903.
12 Деление математических наук: кафедры тех предметов. Речь, читанная на научной сессии Виленского университета 15 ноября 1808 г. (на польск. яз.). «Р1зша гогшаИе». Т. II, Вильно, 1814, стр. 289 и след.
13 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 31, л. 1.14 КС 333, КС 334. Рукописный отдел Вильнюсского университета.15 Ю. Ф. К рачк о вск и й . Исторический обзор деятельности Виленского
учебного округа за первый период его существования. Вильна, 1903, стр. 363.16 Таблица составлена на основе «Расписания лекций за годы 1804—
1829».17 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 982. Ведомость о состоящих и выбыв
ших студентах за 1829/30 учебный год.18 Там же, д. 509, лл. 21—35.19 «021епшк ШПепзкЬ. УПпо, 1819.20 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 13, л. 5 и след. Рапорт Немчевского Вилен
скому университету от 11 октября 1803 г. из Парижа. См. также «Периодическое сочинение об успехах народного просвещения», 1804, № 4, стр. 77 и «021епшк ШПепзЫ», 1809, № 1, стр. 657 и след.
21 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 509, лл. 33—34.22 ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 395, л. 2.23 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 434, л. 4.24 Там же.25 «Ргае1ес{юпез» за 1809— 1810 и последующие годы.26 А1^еЬга, р1запа р М. Р. РоПпзЫедо XV сгаз1е 1ексу1, ёашапусЬ ргхег
Каго1а КпзИапа Ьап^зёогГа, ргоГеззога Ма1ета1ук1 з1озо\уапеу XV 1тр. А\Шепзк1т 11шуег511ес1е. Ноки 1804.
27 См.: «Ргае1ес1юпез» за годы 1817— 1829.28 КС 659. Рукописный отдел Вильнюсского университета (формуляр
ный список Полинского). См.: ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1110, лл. 180— 187.29 КС 346. Рукописный отдел Вильнюсского университета.30 Рукописный отдел Вильнюсского университета. ДС-167. О Оеоёезу!
рггег М1сЬа1а Ре1ке РоПпзЫе^о, с!ок1ога ШогоШ. Ш и^Ппе, 1816.Это его докторская диссертация. Работа написана на основе свежих
данных триангуляции известной французской геодезической экспедиции. Работа печатная, с исправлениями автора. Это — речь, читанная автором публично в университете. «Росг^1к1 1гу^опоте1гу1». Вильно, 1816 и 1821 (с добавлением таблицы логарифмов).
31 КС. 65& Рукописный отдел Вильнюсского университета.32 В рукописном отделе Виленского университета имеется специаль
ный фонд Полинского (Тек1 РоНпзИе^о), в котором содержатся «Заметки и материалы по истории Виленского университета».
33 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 156, л. 14; д. 1021 л. 8 и ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 741, лл. 26—27.
34 Оеоте1па ^укгез1опа сгуН чуук!ас! гги!о^уусЬ 1 оЬгагочуусЬ4 \уук- гез1еп г ёосЫ Ы ет ргашс!е1 огпасгата с1ет пар1запа сПа игу!ки ис2т о \у иш\уег5Иескк:Ь рггег Н1роШа КитЬошсга. ШПпо, 1829.
35 ГИА Лит. ССР. ф, 721, оп. 1, д. 626, л. 5.36 ЦГИ АЛ, оп. 62, д. 156, лл. 14— 15, 24.37 В «Периодическом сочинении о успехах народного просвещения»,
1805 г., № 13, стр. 101.Приводится следующая задача: «Представим себе канал, в котором
протекает в секунду данное количество воды через поперечное сечение известной ширины и глубины, заключенное в берегах. Положив сие, если от одного берега к другому построить плотину, вверху которой сделано будет отверстие для стока воды, вопрошается, по какому закону вода, поднявшаяся от преграды, поставляемой плотиной, принуждена прибавляться не только у плотины, но и вверху по каналу. Ж елательно получить формулы довольно общие, чтобы можно было их приложить к накоплению не только того самого количества воды т, но и всякого другого т +х. Когда теория и опыт не согласятся между собою совершенно, сделать в формулах надлежащие поправки и доказать самою вещью и приводя в пример наблюдения, сколько оные формулы справедливы».
38 ГИА Лит. ССР, ф. 721, д. 653 (лист не нумерован). Я. Д . Беспамят ных. Научные связи математиков Вильнюсского университета с Петербургом в начале XIX в. «Наука в Прибалтике в XVIII —н ачал е XX в.» Рига, 1962, стр. 56 и след.
39 Ц ГИ АЛ, ф. 733, оп. 62, д. 353. Дело о командировке Горского, а такж е д. 1110 и д. 1021, л. 7 и КС 348 (рукописный отдел Вильнюсского университета).
40 2. КегикоиозЫ. О хуугшагасЬ деоёегусгпусЬ. КС 367. Рукописный отдел Вильнюсского университета.
41 1ап З т а й еск и Р 1зта гогшайе. Т. 2. \\Шпо, 1814. 5. 303.42 /. 8 т а й езЫ . Р 1з т а го гтай е . О гасЬипки 1обо^. Т. 3.43 Гос. Архив Л и т . ССР, ф. 721, д. 625.44 Д. 325. Рукописный отдел Вильнюсского университета. Н. Д. Беспа
мятных. Преподавание математики в Вильнюсском университете. См.: «Приложение», где опубликована программа Ревковского в нашем переводе на русский язык.
45 «Михаил Васильевич Остроградский (1826— 1962)». Под ред. И. Б. Погребысского и А. П. Юшкевича. М., 1961, стр. 276—278, См, также: Ц ГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1031. (Отзыв Остроградского.)
46 Ц ГИ АЛ, ф. 733, оп. 62, д. 974, л. 10. (ГИА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 825, л. 15).
47 Там же, л. 11.48 Там же, л. 12.49 Там же, л. 13.50 Там же, л, 14.51 Там же.52 Там же, л. 15.53 Там же.54 Там же, л. 16.55 Там же, лл. 28—29.56 3 . Ж емайт ис. Профессор Вильнюсского университета 3. Ревковский
и математическое исследование производственных процессов. Литовский математичекий сборник. Т. III, вып. 1. Вильнюс, 1963, стр. 289—313.
57 Биографические сведения заимствованы из книги:М . ВаИпзЫ . Рагшз1шк1 о Лаше 5шаёеск1ш. АУПпо, 1864— 1865.58 Ц ГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 70, лл. 1,9.59 Там же, л. 11.60 Там же, ч. 744, оп. 1, д. 183, л. 1 и д. 702, лл. 1—2.61 Архив АН СССР. Л., ф. 1, оп. 2, 115, 117.62 /. З т аЛ еск и О К орегтки . Шагзгахуа. 1802.63 И . С нядецкий . География или математическое, или физическое опи
сание Земли. Перевел со II издания, исправленного самим автором, доктор философии Павел Канавецкий. Харьков, 1817.
274
64 Там же, стр, V.65 Там же, стр. V III,66 Там же.57 Там же, стр. XI.68 ^. Зт ай ескь. КасЬипки а1деЬга1сгпе^о 1еогу1а рггу зЬ зо ^ап а с1о ^ео-
те!гу1 Нпн кггухуусЬ. Т. 1. Кгаколу, 1783.69 Там же, стр. 22—23.70 М . РоИпзЫ . А1^еЪга. УПпо, 1808— 1809. Рук. 157. Рукописный отдел
Вильнюсского университета.71 М . Р о Ш зк и А1^еЪга. Мшзк, 1810— 1813. Рук. 150. Рукописный отдел
Вильнюсского университета.72 А. УРугиокг. Росг^Ш а1^еЬгу. и^Ппо, 1826.73 О. Н ге с гу п а . Росг^Ш а1деЬгу. Кггегшешес, 1830.74 Я. Д . Беспам ят ны х. Об отрицательных числах у Лобачевского.. Ис
торико-математические исследования. Вып. III, 1950, стр. 154— 171. См. также: В. Н. Молодший. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX в. М., 1963, стр. 104— 119.
75 И . С н ядец кий . Алгебра. Краков, 1783, стр. 9— 10 (на польск. яз.).76 И. С н ядец кий . Рассуждение о началах математических наук. Зн а
чение и влияние на общее образование. Краков, 1781, стр. 271 (на польск. яз.),
77 М атериалы для биографии Н. И. Лобачевского. Собрал и редактировал Л. Б. Модзалевский. 1948, стр. 204.
Заметим, что отрицательное отношение к кантовскому априоризму выраж али многие другие русские профессора, как, например, Н. И. Фусс, Т. Ф. Осиповский и др.
78 И. С н ядец кий . «Рассуждение...», 1781. Краков, стр, 273 и след.79 Там же, стр. 275 и след.80 Я. Д . Беспамят ных. Научное наследие И. Д. Лукашевича. Материалы
VII научной конференции по истории науки в Прибалтике. Рига, 1968.81 И. С н ядец кий . «Рассуждение...», стр. 263 и след.82 ЕисНёеза росг§{к6\у Леоше1гу1 кз1ад озтю го. \\Шпо, 1807.83 Т. В аг(а8геь»1сг. Росг^1к1 ^еоте!гп г по1агт рггег О. М. Ьедепёге.
Ш \п о , 1824.г
84 У. Зт ай есЫ . Тгу^опоте1пе. Ье1р21д, 1928.85 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 1083, л. 396.
К главе III
1 А. П . Ю ш кевич. История математики в России до 1917 г. М., 1968, стр. 25.
2 И. К арат аев. Описание славяно-русских книг, напечатанных кирилловскими буквами. Т. 7. Спб., 1883, стр. 486.
3 И. Д ам аски н . Небеса. С предисловием Иоанна Экзарха — патриарха Антиохийского. Рукопись Эрмитажного собрания № 409. Рукописный отдел Ленинградской библиотеки им. М. Е. Салтыкова-Щ едрина. По вопросу ее использования см.: К . Х арлам п ович . Западно-русские православные школы XVI—XVII вв. Казань, 1898.
4 П . Б . С л авен ас. Астрономия в высшей школе Литвы XVI—XIX вв. Историко-астрономические исследования. Вып. 1. М., 1955, стр. 52.
5 Там же, стр. 49, 51.6 М . ВаИпзЫ . Ьа\упа Акаёеппа ^ й еп зк а . Ре1егзЬигд, 1862, стр. 18 и
след.7 Р. Раи1зеп . ОезсЫсМе ёез ^е1еНг1еп 11п1егпсМ5 аи! с1еп ёеМзсЬеп
5сЬи1еп. Егз1ег Вапё. Ье1рг1^, 1896.8 Ю зеф Б оргош . Фома Аквинский. М., 1966, стр. 41—42.9 В. И. Л ен и н . Полн. собр. соч. Т. 29, стр. 326.
275
10 Ю зеф Боргоьи. Фома Аквинский, стр. 168. (Цитата из перевода кн. Ф. Аквинского «Сумма...»)
11 Там же, стр. 155.12 К. Х арлам п ович . Западнорусские православные школы XVI и нача
ла XVII в. Казань, 1898, стр. 32.13 И. М орош кин . Иезуиты в России. Ч. I. Спб., 1897, стр. 56.14 П . В. С лавен ас. Астрономия в высшей школе Литвы XVI—XIX вв.,
стр. 49.15 Р. Раи1зеп. ОезсЫсМе с!ез де1еЬг!еп 11п1егпсМз аи! с1еп ёеМзсЬеп
5Ши1еп ипс! ишуегз1Ш еп уоп Аиз&ап^ ёез М Ш екИегз Ыз гиг Ое^епхуаг^ \'1ег1ег Вапс1. Ье1р21^, 1891, стр. 313 и след.
16 Рукопись № 1155. Научная библиотека Вильнюсского университета.17 I. Ь и к а зге ь и к г . Н1з1ог1а згко1 XV Когоше 1 ху М е И а е т К51§з1ху1е
1л1е\узк1ет. Т. II. Рогпап, 1849, з. 117. См. также: Устав народной эдука- ционной, или воспитательной, комиссии для академического звания и училищ в областях республики, изданный новым тиснением. Вильно, 1819. Р укопись. ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 433.
18 Там же, стр. 128— 129.19 П. Ю р ’еу. Беларус — аутар першай рускай граматьни. «Шва», 23 Л1-
стапада 1969 г. Беласток. ПНР.20 П. П екарски й . Описание славяно-русских книг и типографий. 1698—
1725 гг. Т. п. Спб., стр. 13— 15.21 Там же.22 А. Б о л сун . Зорная карта Капиевича «Маладосць», 1972, № 4,
стр. 150— 152.23 Устав народной эдукационной комиссии. Вильно, 1819. Рукопись
ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 433, стр. 288—293.24 Е. К ры ж ановский. Учебные заведения в русских областях Польши.
«Киевская старина». Т. 1, 1882, стр. 470.25 Н а п п а РоН озка. \\П2уШого\У1е депега1ш Когшзз^ Ес1икас]I Ыаго-
с!олуо]. ЬиЬПп, 1957.26 Сборник материалов для истории просвещения в России, извле
ченных из архива МНПр. Т. II, 1802— 1804. Спб., 1897, стр. 628.27 А . С авич. Ш кольная реформа в Польско-Литовском государстве в
конце XVIII в. «Вестник Народного Комиссариата просвещения БССР». Минск, 1922, стр. 27—29.
28 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. 1. Спб., 1893, стр. 693.
29 А п!те1ука (11а згк61 пагоёохуусЬ чу \УПте. 1804.30 А1^еЬга “сИа згко1 пагоёочуусН \у иП1ше. 1807.31 О еоте1гуа сПа згк61 пагос1о\уусЬ. Сг§зс I. 1083. II— 1804, XV Ш Пте.32 Е. С. Ш ат унова. Теория пределов Симона Люилье.. Историко-мате-
матические исследования. Вып. XVII. Под ред. Г, Ф. Рыбкина и А. П. Ю шкевича. М., 1966, стр. 325—331.
33 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. 1, стр. 786.34 Сборник материалов для истории просвещения в России... Т. 1.
Учебные заведения в Западных губерниях. 1788— 1803. Спб., 1893. стр. 654.
35 Там же, стр. 160.36 А. В о р о н о в . Историко-статистическое обозрение учебных заведений
С-Петербургского учебного округа с 1715 по 1828 г. включительно. Спб., 1849, стр. 14— 15.
37 Ц ГИАЛ, ф. 732, оп. 1, д. 201, лл. 30—31.38 Ф. О. Хичий. Об авторстве первого учебника арифметики для на
родных училищ в России. Историко-математические исследования. Вып. X. М., 1957, стр. 617—639.
39 Описание дел Архива МНП. Т. II. Петроград. 1921, стр. 138— 146.40 Руководство к арифметике для употребления в народных училищах.
Ч. I. Спб., 1783; ч II. Спб., 1786.
276
41 Краткое руководство к геометрии для народных училищ. Спб., 1786.42 Сборник материалов для истории просвещения в России. 1783— 1803.
Спб., 1893, стр. 446.43 Там же, стр. 85.44 Там же, стр. 90.45 Сборник материалов для истории просвещения в России, извлечен
ных из Архива Министерства Народного Просвещения. Т. II. Учебные за ведения в западных губерниях. 1802— 1804. Спб., 1897, стр. 182 и след.
46 Там же, стр. 1021.47 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 255, лл. 5—25.48 Там же, д. 389, лл. 185— 186.49 Сборник материалов для истории просвещения в России. Т. II,
стр. 207, 817 и след. «Общие наставления Виленского университета визита- таторам округа в 1804 г.» См. также: ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 18, лл. 2—34.
50 «Наставления Виленского университета визитаторам». Спб., 1804, стр. 820.
51 КС 557. Рукописный отдел библиотеки Вильнюсского университета.«Отчеты визитатора по белорусским школам». Л, 1315.
52 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 820, л. 1.53 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 7, лл. 10— 12.54 I. СгесН. КгоШ \уук1ас! Ап1те1:ук1 г {аЪПсагш рггук1ас1у гасЬипко-
чуе. XV \УПте, 1807. (В 1828 г. вышло VII издание.)55 ЕисПёеза росг^1ко\у О еоте{гу1кз1д^ озтю го 1о ]*ез! згезс р1епУ52усЬ
]ес1епа51а 1 ё т т а з ^ а ъ с!ос1апугт рг2ур1загш 1 1п^опоте1па. 01а рогу!кит \о д г [ акас!егшск1ез' М итасгопе 1 лууёапе рггег 1огеГа СгесЬа. ШП-т е , 1807.
56 М . РоИпзЫ . Росг^Ш Тпдопоте1гу1. Ш Пто, 1816.57 А. Ч У угт сг. Росг^Ш А1^еЬгу с!1а згко! ^1тпа2уа1пусЬ. Ш \УПте,
1828.58 А. УРугиикг. Росг^1к1 ^еоше!гу1 апаШусгпе] (11а згк61 ^тп агуаЫ усЬ .
ШПшо, 1828.59 Н. Д . Беспамят ных. К истории инструментальных вычислений в
XVII и V III вв. Историко-математические исследования, вып. XVII. М., 1966, стр. 281—288. Н. Д . Беспамятных. К истории счетных инструментов в России в XIX в. Ученые записки Гродненского педагогического института. Минск, 1957.
60 Р. Са]'ог1. А Ыз1огу о! Ше 1о^ап1Ьгшс 5Нс1е ги1е. Меху^’огк, 1960.61 А. 1аЬогогю8Ы. Оеоше1па ргак!усгпа. Ш агзгаша, 1756.62 1пз1гигпеп1ит РгорогМ отз. Рукопись № 967. Научная библиотека
Вильнюсского университета.63 I. СопЛгаи. Е1етеп1а. Оеоте1:пае ШеогеИсае е! ргасНсае. Ро1оаае,
1818. I. С опйгаи . Т п ^оп оте1п а р1апа е! зрЬаепса. Ро1ос1ае, 1819.64 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 116, лл. 1—2.65 Там же, оп. 11, д. 3, л. 1 и оп. 1, д. 116, 62.66 Там же.67 Там же, л. 14.68 Там же, л. 21.69 «Книжица о сочинении и описании сектора, скал плоской и гунтер-
ской со употреблением оных инструментов, в решении разных математических проблем. От профессора математики Андрея Фархварсона изданная, Напечатана в Морской Академической типографии». Лета 1739.
70 М. А зпгиз. Оаз гиз518сЬе КесЬпеп-ВгеИ. Ге1р21^, 1831.71 ОаШ ео СаШеь. о регагю т с1е1 сотраззо ^еоте!псо . е тШ1аге. Ореге сН ОаШео ОаН1е1 поЬПе ИогепИпо Р п т а п о РПозоГо е М аИ ета-
Исо с!е1 зегеп1331то ^гап с!иса (И Тозсапа. 1п П гепге. МОССХУШ, 1—40.72 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 360, л. 8.73 I. С оп й гаи . Е1егпеп1а О еоте1пае ШеогеИсае е! ргасИсае. Ро1ос1ае, 1818.I. СопЛгаи. Тп& опоте1па р1апа е! зрЬаепсае. Ро1ос1ае, 1819.74 ЦГИАЛ, ф. 733, оп. 62, д. 198, лл. 35, 86, 95, 107, 137.
277
75 Там же, л. 35.76 Там же, л. 152.77 Там же, д. 517, лл. 23—24 и 34.
К главе IV
1 С. Т. А к са к о в . Воспоминания, т. II. Собр. соч. в V томах. М., 1966. «Биографический словарь профессоров и преподавателей Казанского университета (1804— 1904)». Под ред. Н. П. Загорскина. Казань, 1904.
2 ЦГА Лит. ССР, фонд Белорусского учебного округа, д. 14, л. 1756.3 Там же.4 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 161, л. 1.5 ЦГА Лит. ССР, ф. 721, оп. 1, д. 764. «Об исключенных студентах из
Казанского университета, с 1828— 1832 гг.»6 ЦГИА Лит. ССР. Фонд Белорусского учебного округа, д. 2262,
лл. 45—59.7 Программа для производства испытаний в гимназиях БУО. Вильна,
1847.8 ЦГИА БССР в Минске, ф. 3157, оп. 1, д. 613, л. 8.9 Там же, л. 9.10 Там же, лл. 17— 18.11 ЦГИА Лит. ССР, фонд попечителя БУО, д. 3235, лл. 10—20.12 Я. Л . Ч ебы ш ев. Поли. собр. соч. Т. V. М.—Л., 1951, стр. 339.13 Ц ГИ АЛ, ф. 734, оп. 3, д. 90, л. 713.14 Ц ГИ АЛ, ф. 734. оп. 2, д. 2, л. 175.15 Там же, л. 199.16 Там же, л. 201.17 Там же, д. 4, л. 35.18 Там же, д. 5, л. 308.19 Там же, д. 4, л. 216.20 Я. Л . Ч ебы ш ев. Поли. собр. соч. Т. V. М.—Л., 1951, стр. 340.21 ЦГИА Лит. ССР, фонд попечителя учебного округа, д. 1866, 1835,
лл. 10— И, 18—20.22 Ц ГИ АЛ, ф. 734, оп. 2, д. 3, л. 175.23 Гимназическая программа по математике. 1890 г.24 О работе комиссии см.: А. Д . Б илим ович. М еждународная конферен
ция о преподавании математики. «Киевские университетские известия», 1914, № 4, стр. 49—71.
25 Деятельность Международной комиссии по преподаванию математики и комиссий национальных освещалась на страницах журнала «2е115сЬпП !иг шаШ. ипё па!иг\у. Ш1егпсЫ:».
26 Программы, изданные под ред. профессора Д. М. Синцова в 1914 г.: «Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Зап адной Европе».
27 Я. В. М ет ельский. Очерки истории методики математики. К вопросуо реформе преподавания математики в средней школе. Под ред. проф. И. Я. Депмана. Предисловие проф. Б. В. Болгарского. Минск, 1968.
28 Р. К 1ет . Уог1га^е йЬег с1еп ша1ЬетаИ5сЬеп 1МегпсЫ: ап с!еп КбЬегеп 5сЬо1еп. Ье1р21^, 1970, 5. 4.
29 Съезд преподавателей математики, физики, естествознания и географии средних учебных заведений Виленского учебного округа. Секция м атематики. Вильна, 1908.
30 Там же, стр. 14.31 Там же, стр. 14.32 Там же, стр. 27—28.33 Отзыв о письменных экзаменационных работах по алгебре, испол-
278
ценных учениками дополнительного класса реальных училищ ВУО в 1889 г. Циркуляры по ВУО. 1890, стр. 5.
34 Протоколы педагогического совета Гродненского реального училища. ГИА в Гродно, фонд дирекции училищ. См. также: 7-е приложение к № 12 Циркуляров по ВУО за 1894 г. «О письменных работах за 1894 г.» Циркуляры по ВУО за 1890 г. Отзыв о письменных работах по алгебре за 1889 г., стр. 8 и след.
35 В. Е. Д о б р о в о л ь с к и й . О приготовительном курсе геометрии. «Записки учителя». Вильно, 1885, стр. V III. См. также: «Циркуляры по ВУО», 1885, стр. 117. «О всестороннем обсуждении вопроса относительно назначения уроков для преподавания пропедевтики геометрии», стр. X.
36 «Конспект предварительного курса геометрии» и «Памятная книж ка для учащихся». Вильно, 1885.
37 Протоколы заседания комиссии при управлении ВУО по вопросу о мерах содействия физическому, нравственному и умственному развитию учащихся. Вильно, 1909, стр. 78—79.
38 Сборник материалов по организации школьного обучения на началах научной педагогики. Вып. V. Вильна, 1915, стр. 106.
39 Там же, вып. IV, стр. 72.40 В. М . Б р а д и с . «Василий Антонович Голубев». М атематика в школе»,
1961, № 4, стр. 74—77.41 М . Д ем к о в . Что нужно для успехов русской науки? «Гимназия»,
1904.42 Сборник материалов для истории просвещения в России, Т. II. Учеб
ные заведения в западных губерниях. Спб., 1897, стр. 416 и след.43 А. К . Ж б и к о вск и й . Основания общей арифметики для V III класса.
Ч. I, II, III. Спб., 1890. Первое издание относится к 1862 г. Учебник применялся в Виленском учебном округе при повторении математики в старшем классе.
44 Я. Л . Ч ебы ш ев. Полн. собр. Т. V. М., 1951, стр. 345—346.45 Б. В. Б о л га р с к и й . Казанская школа математического образования.
Казань, 1967, стр. 115 и след.46 Б. П . Ч иханов. Учебник арифметики. Курс средних учебных заве
дений. Изд. 9-е. М., 1918. Е го же. Учебник алгебры. Курс средних учебных заведений. Изд. 4-е. Минск, 1909. Е го же. Элементы теории вероятностей. Дополнительные статьи к курсу алгебры в восьмиклассных коммерческих училищах. Минск, 1915.
47 Р. И . К иричинский . Универсальная формула Симпсона.48 А. Ж б и к о вск и й . Относительно делимости чисел. «Вестник матема
тических наук», 1862, № 1, стр. 2.49 Список литературы, где опубликован критерий делимости Ж биков
ского см.: Я. Д. Беспамят ных. Арифметические исследования в России в XIX веке. Ученые записки Гродненского государственного педагогического института. Вып. II, 1957, стр. 42.
50 Я. Л . Ч ебы ш ев. Полн. собр. соч., т. V, стр. 345.51 К. М ази н г. Простые признаки делимости чисел. Педагогический
сборник. Кн. V, 1872, стр. 527—535 и в «ЕеЙзсИпЙ Шг т а к т а И зс Ь е п ипс! па1игшззепзсЬа!Ш сЬеп ип1егпсЫ. «У1ег1ег ЛаЬг^ап^, Ь е1р21^, 1873,стр. 404—406.
52 А . В о р о н о в . О некоторых признаках делимости чисел. «Педагогический сборник». Кн. II, 1873, стр. 202—207.
53 Дневник X съезда русских естествоиспытателей и врачей. Киев, 1898, стр. 329—331.
54 Сошр1ез Непёиз. Т. СУ1, Р ап з, 1887, р. 1070.55 Я. В. Б у га е в . К теории делимости чисел. Математический сборник.
Вып. IV. Т. 8. М., 1877, стр. 501.56 ЗеИзсЬгШ Шг т а !Ь . ип<1 п а к т у . 1М егпсМ , 1871, з. 33.57 Там же, 1873, с. 404—406.58 См. статью Я. Я. С а т и р а «Два признака делимости на любое не
279
оканчивающееся на 5 число» и «Примечание» к ней редакции. «М атематическое просвещение». Вып. IV, 1959, стр 209—211.
59 А. Ж би к о вск и й . Относительно простых чисел. Вестник математических наук», 1861, № 1, стр. 5.
60 Гродненские губернские ведомости, 1839, № 6.61 Историко-математические исследования. Вып. XIV. М., 1961,
стр. 555—568.62 И. Я. Р о до вск и й . Изобретатель «арифметической машины» 3. Я. Сло
нимский. «Вестник АН СССР», 1952, № 10, стр. 115— 120.63 Я. Д. Беспамят ных. Об одной теореме арифметики. Ученые записки
Карельского педагогического института. Петрозаводск, 1963.64 Б . Г. Ф он -Б ооль. Приборы и машины для механического производства
арифметических действий. М., 1869, стр. 194— 197.65 Я. Д. Беспамят ных. Об одном классе счетных устройств XIX в.
Дифференциальные уравнения... Тр. Уральск, политехи, ин-та им. С. М. Кирова, сб. № 211, Свердловск, 1973.
К главе V
1 Белорусский республиканский архив Октябрьской революции, ф. 42, оп. 1, д. 202, л. 51.
2 Там же, д. 97, л. 235.3 Там же, л. 235, 5.4 Там же, л. 298.5 Там же, лл. 170— 171.6 О полном переходе ко всеобщему среднему образованию молодежи
Белорусской ССР. Доклад Министра просвещения БССР М. Г. Минкевича. «Советская Белоруссия» от 23 июня 1972 г.
7 «Математика в школе». Издание по реформе школы при НКП. Июль — август. М., 1918 (см. статью «От редакции»).
8 Положение о единой трудовой школе Российской Советской Федеративной Социалистической Республики и примерные программы ее. Холм,1918, стр. 12.
9 ГИАОР в Минске, ф. 42, оп. 1, д. 202, л. 150.10 Там же, л. 62.11 «Математика в школе». Т. I, 1918, № 1—2, стр. 6.12 Там же, стр. 7—8.13 Проект примерного плана занятий на первой ступени единой трудо
вой школы-коммуны. Минск, 1919.14 Программа советской единой трудовой школы I— II ступени. Минск,
1919, стр. 40—41,15 Белорусский республиканский архив Октябрьской революции, ф. 221,
оп. 2, д. 34, лл. 71—72.16 Примерная программа по математике для семилетней трудовой шко
лы Белоруссии. Минск, 1922.17 Там же.18 ГИАОР в Минске, ф. 42, оп. 1, д. 1, л. 1.19 Там же, д. 202, л. 425.20 Беларуская навуковая тэрмш алопя. Вып. XIV. Слоунж матэматыч-
най тэрмшалоги. Мшск, 1927.21 Ф. Г. М ькельсар. Пачатковая геаметрыя. М.—Л., 1924.22 С. В аласковЫ , Т. Л укаш евьч . Методыка арыфметык1. Мшск, 1922,23 А. Крут алевгч. Элементарная алгебра. Ч. I, Берлш, 1922; ч. И,
М.—Л., 1924.24 Новые программы единой трудовой школы первой ступени. М.—
Л., 1925.25 Там же, стр. 114.
280
26 Новые программы для единой трудовой школы. Вып. I. М.—Л., 1923, стр. 101.
27 Там же, стр. 127.28 Там же.29 Программа-минимум единой трудовой школы. Ч. I. Вторая ступень.
Л., 1925.30 Программы и методические записки единой трудовой школы. Вып.
III. М.— Л., 1927, стр. 99.Вып. V. Второй концентр школ II ст. Программы общеобразовательных
предметов. Изд. 2-е. М.— Л., 1927,31 Там же, стр. 100.32 Там же.33 Там же, стр. 101.34 Там же, стр. 101— 102.35 М гхась Л о й к а . Наш калгас. Рабочая кшга па матэматыцы.. Выд. 2-е.
Менск, 1931.Е го же. Рабочая кшга па матэматыцы для другога году навучання.
Менск, 1931.36 Г. Сагалов1ч, I. Ш сарчы к. М атэматыка у комплекснай астэм е вы-
кладання у школе 1-га канцэнтру. Менск, 1928.37 /. ГЛсарчык. Азнаямленне з дробам1 у 4-гадовай школе. Менск, 1928.38 А. Крут алевьч I Г. С агаловьч. Методыка матэматьш . Ч. I. Менск,
1932.39 Праект праграмы 1 метадычная зашска па ф131ка-тэхнщы 1 матэма
тыцы для II канцэнтру сям 1гадовай Савецкай пал1тэхшчнай школы. Менск, 1930, стр. 16.
40 Праграмы 1 метадычныя зашсю па фгзжа-тэхнщы 1 матэматыцы. Менск, 1931.
41 А. К асабуц кь , I. С агаловьч. Працоуная кш жка па матэматыцы. Ч. I. Менск, 1927.
42 То же, Ч. II (см. 51, 41).43 Программа средней школы. Утверждена коллегией Наркомпроса
16 мая 1933 г.44 Программа средней школы. Математика, физика, черчение, М., 1935.45 Программа средней школы. Математика. М., 1938.46 Программы средней школы. Математика. М., 1943.47 Программа средней школы. Математика. Проект. М., 1947.Программы средней школы. Математика. М., 1948.48 Программы средней школы на 1954/55 учебный год. Математика. М.,
1954.49 Школьные программы. Проект. Математика. М., 1959 г.50 Программа по математике для средней школы. «Математика в шко
ле», 1968, № 2, стр. 5—20.А. Н. К о л м о го р о в . К новым программам по математике. «М атемати
ка в школе», 1968, № 2.51 В. А. Х руст алева. К истории высшего педагогического образования
в РСФСР. М., 1963.52 ГИАОР в Минске, ф. 221, оп. 2, д. 27, л. 15.53 Подробно об этом см. в кн. Н. И. Красовского «Высшая, школа Со
ветской Белоруссии». Минск, 1972.54 А. Я. Хинчин. О задачах математической общественности в области
преподавания математики в средней школе в третьей пятилетке. Тезисы доклада МГУ, 1939 г.
55 «Положение», утвержденное СНК СССР от 18 февраля 1944 г.56 Н. Я. В иленкин и Й. М . Я глом . О преподавании математики в педа
гогических институтах. «Успехи математических наук», Т. XII, вып. 2 (74), 1957, стр. 199—211.
57 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 2, л. 1.58 Там же, л. 110.
281
59 Там же, л. 21.60 Там же, л. 22.61 Там же, л. 9.62 Там же, д. 1, лл. 1—4.63 Там же, д. 238, лл. 1—6. См. также: Белорусский государственный
университет им. В. И. Ленина. Минск, 1962.64 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 2, л. 36.65 Там же, д. 10, л. 1.66 Там же, д. 2, л. 106.67 Там же, л. 12.68 Там же, д. 11, л. 12.69 Там же, ф. 42, оп. 1, д. 97, л. 217.70 Там же.71 Там же, л. 217.72 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 59, л. 36.73 Там же, д. 179, л. 69.74 Там же, л. 54.75 Там же, д. 2, л. 99.76 Там же, л. 100.77 Там же, д. 15, л. 36.78 Там же, д. 132, лл. 16— 17.79 Там же, д. 178, л. 23.80 Там же, л. 24.81 Там же, л. 25.82 Там же.83 Там же.84 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 15, л. 17.85 Там же, оп. 1, д. 178, л. 184.86 Там же, д. 122.87 Там же, л. 24.88 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 469, л. 13.89 ЦГИА БССР, ф. 466, оп. 1, д. 210, л. 146.90 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 102, л. 155 и д. 55, Отчет за
1922/24 учебный год.91 Там же, ф. 205, оп. 1, д. 102, л. 103.32 Там же, д. 178, лл. 122, 184.93 Там же, д. 59, л. 36.94 Ф. 205, оп. 1, лл. 27—30.95 Там же, д. 751, лл. 112— 122.96 Там же, д. 178, л. 184.97 В. К. Д ы д ы р к о . Циркулярные кривые третьего порядка. Минск, 1928.98 И. К . Б о го я вл ен ск и й . Формула Чебышева для приближенного вы
числения определенных интегралов. Записки Белорусской государственной Академии сельского хозяйства им. Октябрьской революции. Т. IV, стр. 128— 135, 1926. (На бел. яз.)
99 И . К. Б о го я вл ен ск и й . Введение в анализ и дифференциальное исчисление. Горки, 1931.
100 ГИАОР в Минске, ф. 205, оп. 1, д. 602, 1934.101 Там же, д. 607, лл. 21—22.102 Там же, д. 670, л. 29.103 Там же, д. 751, л. 55.104 Там же, д. 610, л. 16.105 Я. В. Л а м б и н и М . А. Л ук о м ск а я . Основы классификации сущест
венно особых точек аналитической функции. В кн.: Сборник статей физико-математического института БАН. Т. II. Минск, 1935, стр. 209—237. (На бел. яз.)
106 Я. В . Л ам би н . Обтекание произвольного числа бесконечных круговых цилиндров потоком совершенной и несжимаемой жидкости. «Працы БДУ», 1932, № 26 (на бел. яз.). Е го же. Обтекание произвольного числа
282
бесконечных круговых цилиндров потоком совершенной и несжимаемой жидкости. Сборник работ физико-математического института Белорусской Академии наук, т. И, стр. 183—207. (На бел. яз.)
107 Н. В. Л а м б и н . Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Минск, 1963.
т В. Л . Н исневич . О группах, изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем. Математический сборник, т. 8 (50). М., 1940.
109 Ц. Л . Бурст ын. Курс дифференциальной геометрии. Минск, 1933. (На бел. яз.) Е го же. Введение в риманову дефференциальную геометрию. Ч. I. Минск, 1936. (На бел. яз.)
110 Ц . Л . Бурст ын. Физические методы математики. Минск, 1933. (На бел. яз.)
111 Д. Л . Бурст ын. Проблемы интегральной геометрии. Вступление. Сборник работ физико-математического института Белорусской Академии наук. Т. II, стр. 5—32. (На бел. яз.)
112 Н . Д . Беспамят ных. Математика в Белорусском государственном университете (1921— 1941). «Материалы по истории физико-математических наук». X III Международный конгресс по истории науки. М., 1972.
113 Н. Д . Беспам ят ны х, Ю. С. Б о гд а н о в , А . А . Г у с а к , Е. А . И в а н о в , М . П . Х али м ан ови ч . О развитии математики в Белорусском государственном университете. «Вестник Белорусского государственного университета им.В. И. Ленина», 1971, № 3, стр. 5— 12.
ОГЛАВЛЕНИЕ
П р е д и с л о в и е ..................................................................................... 3
Г л а в а I. Математические науки в Виленской академии
§ 1. Организация академии в Литовском княжестве 5§ 2. О математических науках в Виленской академии
в XVII в ............................................................................... 16§ 3. Математика в Виленской академии в XVIII в. 31
Г л а в а И. Главная Литовская школа и деятельность университета после реформы 1803 г. (1780—1832)
§ 1. Главная Литовская ш к о л а ......................................... 43§ 2. Реформа 1803 г. Профессора и студенты уни
верситета .............................................................................50§ 3. Преподавание в университете основных матема
тических д и сц и п л и н ..................................................... 55§ 4. Преподавание С. Ревковским теории вероятно
стей его и ссл ед о в ан и я ............................................... 66§ 5. А. И. Снядецкий и его влияние на преподавание
математических наук в университете и школах о к р у г а ............................................................................... 72
284
Г л а в а III. Математика в средних учебных заведениях белорусских губерний конца XVIII и начала XIX в.
§ 1. О содержании обучения в школах XVI и XVII в. 88§ 2. Школы Белоруссии после ее присоединения
к России, и преподавание в них математики на основе уставов Польской эдукационной и Петербургской училищной к о м и сси й ............................... 99
§ 3. М атематика в школах белорусских губернийВиленского учебного округа . .................................. 115
§ 4. Полоцкая академия и л и ц е й ..................................... 137
Г л а в а IV. Содержание математического образования в гимназиях и реальных училищах БУО и белорусских губерний ВУО (1829—1917)
§ 1. Постановка преподавания математики в средних учебных заведениях Белорусского учебного округа. Методологическая концепция школьной математики в XIX в ............................................................... 144
§ 2. Некоторые прогрессивные тенденции в преподавании математики в школах Белоруссии концаXIX и начала XX в.......................... ............................... 161
§ 3. Творчество учителей в области математики и еед и д а к т и к и .......................................................................... 178
§ 4. Об одном классе счетных устрой ств .................... 191
Г л а в а V. Развитие математического образования в Советской Белоруссии
§ 1, Создание новой школы в Советской Белоруссии 199§ 2. Школьные программы и учебники по математике
в Белоруссии в 20-е г о д ы .......................................... 203§ 3. Постановления ЦК ВКП(б) о школе и нормали
зация преподавания математики в 30-е годы . . 227§ 4. Усиление связи теории с практикой в школьном
курсе математики (послевоенные годы) . . . . 230§ 5. О подготовке учителей математики в педагогиче
ских в у з а х .................................................................... 234§ 6. Организация Белорусского государственного
университета и деятельность в нем физико-математического отделения педагогического факультета ......................................................................... 246
285
§ 7. Физико-математический факультет университета.Деятельность математического о т д е л е н и я ................................ 261
Источники К главе I К главе II К главе III К главе IV К главе V
270270272275278280
Н и к и ф ор Д м ит риевич Беспамят ных
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В БЕЛО РУССИ И. ИСТОРИЧЕСКИЙ
О ЧЕРК
Редактор А. А. Б е л я н к и н а Обложка В. М. Б а т у р о
Х удож . редактор В. Н. В а л е н т о в и ч Техн. редактор Г. М. Р о м а н ч у к Корректоры Л. И. С и н е г р и б о в ^ ,
Ж . И. Маркевич
АТ 11646. Сдано в набор 27/Х 1973 г. Подписано к печати 28/ХП 1974 г. Бумага 60X9071в ти- погр. № 1. Печ. л. 18. Уч.-изд. л. 18,99.Изд. № 71—76. Зак. 1321. Тираж 1000 экз. Цена 2 руб. 03 коп.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Редакция литературы по математике, физике и
энергетике. 220600. Минск, ул. Кирова, 24.Полиграфический комбинат им. Я. Коласа Государственного комитета Совета Министров БССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Минск, ул. Красная, 23.
Беспамятных Н. Д.Б53 Математическое образование в Белоруссии. Историче
ский очерк. Минск, «Вышэйш. школа», 1975.288 с. с ил.
Монография посвящена истории математического образования в Белоруссии Рассматривается период с конца XVI до 40-х годов XX в., причем исследование проводится не изолированно, а в естественной связи с ^историей науки и просвещения других стран и народов. Использован богатейший архивный материал. Книга воспитывает патриотизм и гордость заревой народ и свой край. Подчеркивается решающая роль Великой Октябрьской революции в развитии науки в Белоруссии, в постановке действительно народного образования.
Книга представляет большой исторический и познавательный интерес для широкого круга читателей и преж де всего для тех, кто занимается историеи математического образования.
20201—007— 51(09)М 304(05)—75