И.Р.Мухамедшин, С.И.Никитин, Д.А.Таюрский

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Учебно-методическое пособие

Казань 2009

2

Допущено к использованию решением учебно-методической комиссии физического факультета Казанского государственного университета

ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ (Учебно-методическое пособие

для студентов второго курса физического факультета)

авторы пособия: ассистент кафедры общей физики Мухамедшин И.Р.

доцент кафедры квантовой электроники и радиоспектроскопии Никитин С.И. профессор кафедры общей физики Таюрский Д.А.

Рецензент: Заведующий кафедрой общей физики, профессор Аганов А.В.

Пособие содержит теоретический материал, необходимый для понимания свойств проводников в электростатическом поле, а также примеры решения задач по данной теме. Разобранные задачи позволяют освоить общие подходы к решению задач о проводниках в электростатическом поле и более детально понять изложенные теоретические представления. Для закрепления освоенного материала и самостоятельной оценки полученных знаний в пособии приведен набор задач для самостоятельного решения с ответами.

Физический факультет Казанского госуниверситета.

3

Что такое проводник?

До начала восемнадцатого века тела было принято делить на электрики,

которые при натирании приобретают способность притягивать, и неэлектрики

(в основном это были металлы), которые при натирании не притягивали легкие

тела. Примерно в 1830 году член английского Королевского общества Стефан

Грей обнаружил, что трением можно электризовать любые тела, только в одних

электрическая сила (заряд) может сохраняться долго (смола, янтарь, стекло), а

из других, если прикоснуться к этим телам, она тут же уходит. После работ

Грея и его современников, электрики и неэлектрики стали называть

электрическими изоляторами и электрическими проводниками.

Если коснуться поверхности какого-либо наэлектризованного тела А

другим телом В, то последнее всегда электризуется (заряжается). Характер

электризации зависит от рода вещества, из которого состоит тело В:

электризацию можно обнаружить либо только в той части поверхности, которая

была в соприкосновении с телом А, либо на всей поверхности тела В. В первом

случае вещество, из которого состоит тело В, является диэлектриком, во втором

случае проводником. Если тело В проводник, а тело А диэлектрик, то заряд на

теле А уменьшается только в тех местах, которые были приведены в

соприкосновение с телом В, если же А проводник, то заряд уменьшается на

всей его поверхности.

Согласно современным представлениям проводниками электричества

являются вещества, в которых существуют свободные электрические заряды,

т.е. заряды, способные перемещаться на макроскопические расстояния при

действии сколь угодно малого электрического поля. Если по какой-либо

причине внутри проводника напряженность электрического поля отлична от

нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т.е. движение свободных

электрических зарядов. По величине удельной проводимости и ее

температурной зависимости вещества разделяют на проводники, диэлектрики и

полупроводники. Удельная проводимость металлов очень велика γ>103 См/м,

для полупроводников – 10-5<γ<103 См/м, удельная проводимость диэлектриков

4

γ<10-5 См/м. Причем проводимость диэлектриков в слабых электрических

полях (напряженность поля не достаточна для достижения условий

электрического пробоя, когда в диэлектриках образуются свободные заряды), в

большинстве случае, обусловлена наличием в них посторонних примесей и

дефектов структуры. Таким образом, любое вещество проводит электрический

ток. Однако, проводниками принято называть вещества с высокой удельной

проводимостью, наиболее характерными представителями которых являются

металлы и полупроводники. Свойства этих веществ при помещении их в

статическое электрическое поле практически полностью определяются высокой

концентрацией свободных носителей заряда. Далее мы покажем, что

напряженность электростатического поля внутри веществ с высокой удельной

проводимостью всегда равна нулю. Поведение диэлектриков в электрическом

поле принципиально отличается от проводников и обусловлено образованием

связанных зарядов, индуцированных электрическим полем, хотя в них также

присутствуют в малой концентрации свободные заряды. Это приводит к тому,

что электростатическое поле внутри диэлектриков отлично от нуля.

Для понимания свойств проводников при помещении их в электрическое

поле, необходимо сначала определить, что надо понимать под напряженностью

электрического поля в веществе.

Электрическое поле в веществе

Известно, что любое вещество состоит из атомов, молекул или ионов. В

дальнейшем мы будем использовать термин "атом", понимая под ним либо

реальные атомы, либо молекулы, либо ионы. Поля в непосредственной

близости от атома и внутри атомов очень сильно изменяются в пространстве и

времени. Эти изменения происходят в микроскопическом масштабе и не

доступны нашему макроскопическому наблюдению. Такое поле называется

микроскопическим полем.

В качестве примера можно привести известный опыт Резерфорда по

измерению углового распределения рассеяния -частиц тонкой металлической

5

фольгой. В эксперименте наблюдалось, что большинство α-частиц проходит

через тонкий слой металла практически не испытывая отклонения, небольшая

часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°, и редкие α-

частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывают отклонение на

углы, близкие к 180°. Резерфорд показал, что изменение траектории движения

α-частиц обусловлено их кулоновским взаимодействием с ядрами

металлической мишени и зависит от расстояния между α-частицей и ядром. На

основании полученных экспериментальных данных Резерфорд предложил

ядерную модель атома. Подчеркнем, что угловое распределение рассеяния α-

частиц обусловлено неоднородностью микроскопического электрического поля

в металлической мишени.

Чтобы найти напряженность микроскопического электрического поля в

некоторой точке внутри любого вещества в данный момент времени,

необходимо сложить (по принципу суперпозиции) поля, создаваемые всеми

микроскопическими зарядами (электроны и ядра) вещества. Эта задача

практически не осуществима.

Для многих задач достаточно более простое и несравненно более грубое

описание, которым пользуется макроскопическая электродинамика. Это

приближение основано на отвлечении от атомистического строения вещества,

и, соответственно, связанных с ним микроскопических изменений поля,

происходящих на ядерных и атомных расстояниях. Оно принимает во внимание

только изменения поля на макроскопических расстояниях. При измерении

электрического поля в веществе путем погружения в него пробного

электрического заряда, например малого заряженного металлического шарика,

определяется среднее значение полей на поверхности этого шарика.

Для определения среднего значения обычно используют предложенное

Лоренцем понятие физически бесконечно малого объема, который

удовлетворяет следующим условиям:

а) физически бесконечно малый объем должен быть достаточно велик по

сравнению с расстояниями между атомами и молекулами вещества, т.е. по

6

сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и, соответственно,

поля;

б) физически бесконечно малый объем должен быть достаточно мал по

сравнению с макроскопическими неоднородностями поля и вещества, т.е.

средние значения физических величин внутри этого элемента объема должны

мало отличаться от средних значений этих величин в смежных с ним областях;

другими словами, физически бесконечно малый объем должен быть малым,

чтобы к нему было применимо понятие математически бесконечно малой

величины.

Для веществ в любом агрегатном состоянии расстояния между молекулами

столь малы по сравнению с макроскопическими неоднородностями изучаемых

полей, что всегда оказывается возможным удовлетворить обоим этим условиям.

Отметим, что эти условия выполняются не только для стационарных полей, но

и для большинства электромагнитных волн, длина волны, которых порядка или

меньше расстояния между атомами (рентгеновское излучение, гамма-

излучение).

Итак, в дальнейшем под макроскопическими полями мы будем понимать

средние значения этих полей в физически бесконечно малом объеме.

Напряженность электрического поля в точке r определяется выражением:

V

1( ) dVV микроE r E

, (1)

где V – физически бесконечно малый объем, окружающий точку с координатой

r .

Электрическое поле внутри проводников

Согласно электронной теории, проводимость металлов (наиболее характерных

проводников) объясняется тем, что в металлах часть электронов отщепляется от

атомов. Образовавшиеся положительные ионы составляют остов

кристаллической решетки, в промежутках между ионами находятся

«свободные» электроны. Сколь угодно слабое внешнее электростатическое

поле вызывает движение этих свободных электронов против направления

7

Рис.1.

напряженности поля, т.е. приводит к появлению электрического тока. В

результате, в проводнике происходит перераспределение зарядов, которые

создают электрическое поле E

, направленное против внешнего поля E

и

компенсируют его. Перераспределение продолжается до тех пор, пока

напряженность электрического поля в проводнике не станет равной нулю

(рис. 1).

Поскольку напряженность электрического поля

внутри проводника становится равной нулю, то

и поток вектора напряженности через любую

замкнутую поверхность, расположенную внутри

проводника также равен нулю. Следовательно,

по теореме Гаусса заряд, заключенный внутри

этой поверхности, также равен нулю. Таким

образом, в случае электростатического

равновесия зарядов внутри проводника нет.

Точнее, положительные и отрицательные заряды в объеме проводника

компенсируют друг друга. Нескомпенсированные заряды концентрируются на

поверхности проводника в слое атомной толщины. Естественно, аналогичный

вывод следует из закона Ома ( Ej

, где σ – удельная проводимость).

Поскольку заряды неподвижны, то плотность электрического тока 0j

, и,

следовательно, напряженность электрического поля E

равна нулю. Из теоремы

Гаусса в дифференциальной форме:

0divE

, (2)

следует, что плотность объемных зарядов 0 .

Электронейтральность внутри проводника устанавливается чрезвычайно

быстро. Предположим, что при 0t плотность свободных зарядов в некоторой

точке внутри проводника отлична от нуля ( (0) 0 ). Запишем закон

сохранения заряда в дифференциальной форме

8

Рис.2.

0divjt

. (3)

С учетом закона Ома и теоремы Гаусса получаем:

00divE

t t

. (4)

Решение этого дифференциального уравнения очевидно:

0( ) (0)exp( ) (0)exp( )tt t

, (5)

где τ – характеристическое время исчезновения ("рассасывания") ненулевого

объемного заряда. Для металлической меди в электростатическом поле

получаем: 12 Ф 190 м

7 Смм

8.85 10 10 с6 10

. (6)

Этот промежуток времени чрезвычайно мал даже в масштабах внутриатомных

процессов. Поэтому даже в случае переменных полей, когда напряженность

электрического поля изменяется во времени, при не слишком больших

частотах, с большой точностью можно считать, что в проводнике свободные

заряды распределены по поверхности, а объемные заряды отсутствуют. Данный

вывод остается справедливым и при учете частотной зависимости σ, хотя при

этом время рассасывания объемного заряда увеличивается на несколько

порядков. Для полупроводников, время рассасывания объемного заряда

заметно больше, однако, как и для металлов, свободные заряды в

полупроводниках будут находиться только

на поверхности.

Таким образом, если поместить

электронейтральный проводник во внешнее

электрическое поле, то заряды на

поверхности проводника распределятся так,

что создаваемое ими внутри проводника

электрическое поле полностью компенсирует внешнее поле. Если проводник

заряжен, то под действием поля происходит перераспределение заряда

9

Рис.3.

проводника. Явление перераспределения зарядов на поверхности проводника

при помещении его во внешнее поле называется электрической индукцией. На

рисунке 2 показано, что при внесении незаряженного проводника в

электрическое поле на его поверхности индуцируются заряды, при этом

нарушается равномерное распределение зарядов на заряженном проводнике;

силовые линии и эквипотенциальные поверхности также изменяют свою

форму.

Электрическое поле вблизи поверхности проводника Из предыдущих рассуждений ясно, что электрическое поле при наличии

проводников определяется как сторонними зарядами, так и зарядами,

индуцированными на поверхностях проводников. Для вычисления

напряженности поля в любой точке пространства необходимо учитывать все

заряды, рассматриваемой системы. Встает вопрос, а как найти поле около

поверхности проводника? Для этого воспользуемся теоремой Гаусса.

Выделим на поверхности

проводника малый элемент

поверхности S и построим прямой

цилиндр высотой 2h, расположенный

симметрично относительно

поверхности проводника (рис. 3). Поток

вектора напряженности через

поверхность цилиндра равен:

1 2 ..

бокпов

EdS EdS EdS EdS

. (7)

Второй интеграл равен нулю, так как напряженность поля внутри проводника

равна нулю. Поскольку нас интересует напряженность электрического поля

непосредственно у поверхности проводника, высота цилиндра h бесконечно

мала, и, соответственно третий интеграл в выражении (7) также равен нулю.

Применяя теорему о среднем, получаем:

10

1nEdS EdS E S

. (8)

Заряд внутри поверхности цилиндра находится только на поверхности

проводника и равен по величине S ( – поверхностная плотность заряда), в

результате получаем:

0n

SE S

или 0

nE

. (9)

Из теоремы о циркуляции вектора напряженности следует, что

тангенциальная составляющая вектора напряженности электростатического

поля непрерывна, т.е. не претерпевает разрыва на границах раздела сред.

Поскольку напряженность поля в проводнике равна нулю, то равна нулю и

тангенциальная составляющая E у поверхности проводника. Таким образом,

напряженность поля у поверхности проводника нормальна его поверхности и

равна:

0E n

. (10)

Этот вывод также можно получить путем следующих рассуждений: так как

потенциал всех точек проводника одинаков и его поверхность является

эквипотенциальной поверхностью, то вектор напряженности электрического

поля нормален поверхности проводника.

Зададимся вопросом, каков

вклад каждого элемента

поверхности проводника в

создание поля вблизи его

поверхности? Чтобы ответить на

этот вопрос, выделим малый

элемент поверхности

проводника S вблизи

рассматриваемой точки А (см. рис. 4). В этой точке поле создается зарядом на

поверхности S (обозначим его 1E ) и всеми остальными зарядами системы,

как лежащими на поверхности проводника, так и находящимися в любой

Рис. 4.

11

другой точке пространства (обозначим это поле 2E ). Поле, создаваемое

зарядом на элементе поверхности S , вблизи этой поверхности можно

рассматривать как поле равномерно заряженной плоскости (направление

напряженности поля на рисунке 4 показано для положительного заряда), и,

естественно, 1 11E E

.

Поле 2E

создается всеми зарядами, находящимися вне элемента поверхности

S , эти заряды создают поле как внутри проводника ( 22E

), так и вне его - 2E

.

Поскольку это поле в пространстве вне зарядов, которые его создают, оно

должно быть непрерывным, т.е. 2 22E E

. Напряженность поля, создаваемого

всеми зарядами внутри проводника, 22 11 0прE E E

. Следовательно,

22 11E E

и 1 2E E

. Т.е. напряженность поля в точке А вблизи поверхности

проводника 1 2 1 20

2 2АE E E E E n

состоит из двух равных частей:

одна создается поверхностными зарядами прилегающего элемента

поверхности, а другая - всеми зарядами, лежащими вне этого элемента

поверхности. Таким образом, заряды на проводнике распределяются по его

поверхности таким образом, что вклад поверхностных зарядов прилегающего

элемента поверхности равен вкладу всех зарядов, лежащих вне этого элемента

поверхности.

Здесь также удобно получить формулу для силы, действующей на единицу

поверхности заряженного проводника, т.е. плотности силы: 2

202 2

outEf E n

. (11)

Поверхностная плотность зарядов на искривленных поверхностях

проводников

В общем случае, заряд на

поверхности проводника

распределяется не равномерно. Для

Рис. 5.

12

примера рассмотрим проводник, форма которого показана на рисунке 5.

Распределение электрического заряда по поверхности проводника можно

исследовать с помощью маленького металлического шарика, насаженного на

изолирующую ручку. Если такой проводник зарядить и коснуться его шариком

в точка А, то стрелка электроскопа отклонится. Если повторить то же самое,

касаясь пробным шариком боковой поверхности проводника, то отклонение

стрелки будет меньше, а если коснуться впадины в точке В, то стрелка

электроскопа практически не отклонится. Из этого следует, что плотность

заряда максимальна в точке А и минимальна в точке В.

Качественно это можно объяснить следующим образом. Рассмотрим два

заряженных проводника с различной кривизной выпуклой поверхности и

оценим поверхностную плотность заряда в точке А (Рис. 6). Заряды

проводника, находящиеся вне элемента

поверхности вблизи точки А, схематично

представлены на рис.6 черными кружками. В

случае малой кривизны поверхности, эти

заряды создают в точке А малую нормальную

поверхности проводника компоненту

напряженности электрического поля 22E

(см.

рисунок 6). Заряд, находящийся в окрестности

точки А, должен быть таким, чтобы

скомпенсировать это поле внутри проводника.

Следовательно, для компенсации поля 22E

заряды в окрестности точки А должны создать малую напряженность поля

11 22E E

(см. рис.4), и, соответственно, поверхностная плотность заряда в

точке А также должна быть малой.

Если же кривизна поверхности больше, то больше и напряженность поля

22E

, и, соответственно, поверхностная плотность заряда должна быть

существенно больше (рис.6). Таким образом, поверхностная плотность зарядов

увеличивается с ростом кривизны поверхности, т.е. с уменьшением ее радиуса

Рис. 6.

13

кривизны. С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться, что на

вогнутой поверхности проводника плотность заряда меньше чем на выпуклой.

Сравним напряженности поля у поверхности двух проводящих шаров

разного радиуса (a b ), находящихся на большом расстоянии друг от друга,

потенциалы которых одинаковы. Такая ситуация может быть реализована, если

каждый из шаров был заряжен путем соединения его с заряженным

проводником, электрическая емкость которого очень велика. Заряды на

поверхности шаров распределены равномерно и напряженности поля равны:

2 20 0

1 1,4 4

a ba b

q qE Ea b

, (12)

где , , ,a a b bE q E q - напряженности поля и заряды шаров радиусов a и b,

соответственно. Поскольку потенциалы шаров a b одинаковы, то:

0 0

1 1 , .4 4

a b a

b

q q q aa b q b (13)

Отношение напряженностей полей у поверхности шаров равно

a

b

E bE a

, (14)

т.е. чем меньше радиус шара, тем больше напряженность поля у его

поверхности.

Два шара, имеющие одинаковый потенциал, можно представить как один

проводник - два шара, находящиеся на большом расстоянии друг от друга,

соединенные тонким проводником. Таким образом, чем меньше радиус

кривизны поверхности проводника, тем больше напряженность поля у

поверхности проводника и, соответственно, больше поверхностная плотность

заряда.

Ионный микроскоп

Простым, наглядным и часто демонстрируемым опытом,

свидетельствующем об увеличении поверхностной плотности заряда на

выпуклых поверхностях проводников, является стекание заряда с острия или

так называемый «электрический ветер». Высокая напряженность

14

электрического поля, окружающего всякий острый выступ проводника, лежит в

основе работы ионного микроскопа, изобретенного в 1951 году Э.Мюллером. С

помощью полевого ионного микроскопа можно различать детали, находящиеся

на расстоянии 0.2 – 0.3 нм, что позволяет, например, наблюдать расположение

отдельных атомов в кристаллической решетке. Кратко рассмотрим устройство

ионного микроскопа (рис. 7а).

Положительным электродом и одновременно объектом исследования,

поверхность которого изображается на экране, служит острие тонкой

проводящей проволоки. Колба заполнена газообразным гелием, атомы He

ионизируются в сильном электрическом поле вблизи поверхности острия,

отдавая ему свои электроны. Положительные ионы приобретают под действием

поля радиальное ускорение и устремляются к флюоресцирующему экрану

(потенциал которого отрицателен) и бомбардируют его. Свечение каждого

элемента экрана пропорционально плотности приходящегося на него ионного

тока. Давление газа очень мало, так что расстояние от острия до экрана меньше

длины свободного пробега, и ионы достигают экрана, практически не

испытывая соударения. Поэтому свечение на экране воспроизводит в

увеличенном масштабе распределение вероятности образования ионов He

вблизи острия, отражающее структуру поверхности объекта. Масштаб

увеличения примерно равен отношению радиуса экрана к радиусу кривизны

острия, увеличение может достигать порядка миллиона. Вероятность прямой

ионизации электрическим полем оказывается значительной, если на

расстояниях порядка размера атома создается разность потенциалов порядка

потенциала ионизации атома He – то есть должна быть порядка 20-60 В/м.

Столь сильное поле легко создать при радиусе кривизны ~ 10 – 100 нм.

15

Вблизи острия электрическое поле неоднородно – над ступеньками

кристаллической решетки или отдельно выступающими атомами его локальная

напряженность увеличивается, соответственно, на таких участках

увеличивается вероятность ионизации. На экране эти участки отображаются в

виде ярких точек. Для увеличения разрешающей способности необходимо

уменьшить тангенциальную составляющую скорости ионов, для этого острие

охлаждают до криогенных температур. На рисунке 7б представлена

фотография вольфрамового электрода, полученная с помощью ионного

микроскопа. С помощью ионного микроскопа можно исследовать только

тугоплавкие металлы, что является его основным недостатком.

Проводящие экраны

Рассмотрим сплошной проводник. При помещении такого проводника в

электростатическое поле на его поверхности индуцируются заряды, а поле

внутри проводника равно нулю. Это означает, что внутреннюю часть

проводника можно удалить, что никак не скажется на электрическом поле. В

(а) (б)

Рис. 7.

16

результате этого остается проводящая замкнутая оболочка (рис. 8). В

пространстве, окруженном этой оболочкой,

напряженность электрического поля равна

нулю. Таким образом, замкнутая проводящая

оболочка является экраном - она экранирует

внутреннее пространство от внешнего

электрического поля.

А экранирует ли замкнутая проводящая

оболочка внешнее пространство от зарядов

находящихся в полости? Поместим внутрь проводящей полости

положительный точечный заряд q (рис. 9). По закону электростатической

индукции на внутренней поверхности проводника индуцируется заряд

противоположного знака. Поток вектора

напряженности электрического поля по

любой поверхности внутри проводящей

оболочки равен нулю, так как E=0.

Следовательно, по теореме Гаусса заряд,

окруженный этой поверхностью также равен

нулю, а заряд на внутренней поверхности

проводящей оболочки равен заряду внутри

оболочки, но противоположен по знаку (-q).

Поскольку проводящая оболочка была

электронейтральна, то на ее внешней оболочке индуцируется заряд равный

заряду q, и по знаку и по величине. Поток вектора напряженности

электрического поля через любую замкнутую поверхность вне проводящей

оболочки будет равен q/ε0, и, соответственно, напряженность поля в

окружающем оболочку пространстве не равна нулю.

Заземлим оболочку, т.е. соединим ее проводником с очень большим

проводящим телом (рис.10). Для упрощения анализа представим это тело в виде

бесконечной проводящей среды, заполняющей все пространство вне оболочки

и соприкасающееся с ней. Все заряды с внешней поверхности оболочки уйдут

Рис. 8.

Рис. 9.

17

на бесконечность, останется лишь заряд внутри полости и заряд на внутренней

поверхности оболочки. Таким образом,

заземленная проводящая оболочка

экранирует внешнее пространство от

зарядов, находящихся внутри этой

оболочки. Подчеркнем, что незаземленная

оболочка такой экранировки не создает.

Полученные нами результаты

позволяют сделать следующий вывод:

замкнутая проводящая оболочка разделяет пространство на внутреннюю и

внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от

друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри

оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а

значит и распределение заряда на внешней поверхности оболочки останется

прежним. То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды), и к

распределению индуцированных зарядов на стенках полости – они также

останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки.

Конечно, это все справедливо только в рамках электростатики.

Общая задача электростатики

Мы знаем, что если известен потенциал в каждой точке пространства, то

легко найти напряженность электрического поля ( Е grad

). Для

нахождения потенциала необходимо знать плотность объемных и

поверхностных зарядов во всех точках пространства. Однако практически это

редко бывает известно, не известно также распределение зарядов,

индуцированных на поверхностях проводников. Поэтому обычно приходиться

иметь дело с задачами иного типа: дано расположение и форма всех

находящихся в поле проводников, известны также либо потенциалы всех

проводников, либо заряды всех проводников (либо заряды некоторых

проводников и потенциалы остальных), и необходимо определить поле,

создаваемое этими проводниками и распределение зарядов на их поверхностях.

Рис. 10.

18

Эта задача сводиться к решению уравнения Лапласа 0 с граничными

условиями на поверхностях проводников. Покажем, что сформулированные

выше условия определяют однозначно поле в каждой точке пространства и,

соответственно, распределение зарядов на проводниках. Математически это

означает, что уравнение Лапласа имеет при таких граничных условиях

единственное решение. Предположим, что кроме единственного решения

φ(x,y,z), уравнению Лапласа и граничным условиям удовлетворяет также другая

функция ψ(x,y,z). Так как уравнение Лапласа является линейным, то любая

линейная комбинация этих решений также должна быть решением уравнения

Лапласа, например,

( , , ) ( , , ) ( , , )W x y z x y z x y z . (15)

Очевидно, что W(x,y,z) не удовлетворяет граничным условиям. Очевидно,

что на поверхности проводника, эта функция равна нулю, так как φ(x,y,z) и

ψ(x,y,z) принимают одинаковые значения φk на поверхности к-го проводника.

Следовательно, W(x,y,z) является решением другой электростатической задачи,

с теми же проводниками, при условии, что все проводники имеют нулевой

потенциал. Если это так, то функция W(x,y,z) должна быть равна нулю во всех

точка пространства. Если это не верно, то она должна иметь где-то максимум

или минимум, так на бесконечности W(x,y,z) также равна 0. Пусть W(x,y,z)

имеет экстремум в точке Р и допустим, что это максимум. Тогда точку можно

окружить малой замкнутой поверхностью, на которой везде 0Wn

.

Следовательно, поток градиента этой функции через выбранную замкнутую

поверхность отрицателен:

0S

W dsn

. (16)

С другой стороны, по теореме Остроградского-Гаусса:

v v v

( ) v v v 0S

W Wds div d div gradW d Wdn n

, (17)

так как W(x,y,z) является решением уравнения Лапласа. А это противоречит с

нашим предположением о наличии максимума в точке Р. Если предположить,

19

что функция W(x,y,z) имеет в точке Р минимум, то легко показать, с помощью

аналогичных рассуждений, что функция W(x,y,z) не может быть решением

уравнения Лапласа. Таким образом, функция W(x,y,z) не может иметь ни

максимума, ни минимума в любой точке вне проводников, и, следовательно,

W(x,y,z) всюду равна 0. А это означает, что ( , , ) ( , , )x y z x y z , и уравнение

Лапласа имеет единственное решение. Если не накладывать условия, что

функция W(x,y,z) на бесконечности равна 0, то функции φ(x,y,z) и ψ(x,y,z)

совпадают с точностью до константы.

Так же можно доказать единственность решения уравнения Лапласа, если

заданы заряды всех проводников. Нахождение самого решения представляет

значительные математические трудности. Однако, если нам удастся найти

каким-либо способом решение уравнения Лапласа (например, с помощью

интуитивных рассуждений), т.е. функцию φ(x,y,z), удовлетворяющую

граничным условиям, то, исходя из полученных выше выводов, оно является

единственным и истинным решением задачи. Умелое использование этого

обстоятельства позволяет существенно облегчить решение ряда задач

электростатики. Таким примером является применение метода изображений.

Метод изображений

Мы уже говорили, что замкнутая проводящая оболочка разделяет

пространство на две части совершенно, в электрическом отношении, не

зависимые друг от друга. Допустим, что в пространстве имеется несколько

точечных электрических зарядов. Пусть S некая эквипотенциальная

поверхность, разделяющая все пространство на два полупространства I и II

(рис. 11). Если рассматривать точечные заряды (qi и qj) как заряженные

проводящие шарики (к ним применима теорема единственности решения

уравнения Лапласа), то заданием зарядов qi, их положением в пространстве, а

также потенциалом поверхности S поле в пространстве I определяется

однозначно. Аналогичное утверждение справедливо для полупространства II.

Следовательно, если заменить поверхность S проводником, поле не изменится

20

во всем пространстве. Однако поля в

полупространствах I и II станут совершенно

независимы друг от друга.

Рассмотрим задачу: в полупространстве I по

одну сторону от проводника S находятся

точечные заряды qi, найти электрическое поле в

этом полупространстве. Это поле определяется

зарядами qi и зарядами, индуцированными на

поверхности S. Однако в силу теоремы

единственности, поле индуцированных зарядов в полупространстве I

эквивалентно полю, создаваемому зарядами qj. Тогда, для вычисления искомого

поля проводящую оболочку можно убрать и заменить ее точечными зарядами

qj. Совокупность этих зарядов называется электрическими изображениями

зарядов qi в поверхности S.

Таким образом, задача об электрическом поле зарядов, расположенных по

одну сторону от проводящей поверхности, сводится к отысканию

электрических изображений этих зарядов в этой поверхности. Далее, в разделе,

посвященном решению задач, рассмотрены примеры применения метода

нахождений.

Рис. 11.

21

q

q'

C

B

A

l

l

F

Примеры решения задач

Задача №1: Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей

плоскости. С какой силой притягивается заряд к плоскости?

Решение: По условию задачи плоскость является проводящей, это

означает, что потенциал во всех ее точках одинаков. Вспомним, что потенциал

любой точки электростатического поля определен с точностью до

произвольной константы. Наиболее часто в качестве нормировки потенциала

принимают равенство нулю потенциала точки бесконечно удаленной от

системы зарядов, создающих электрическое поле ( 0)( ). Понятно, что

такая нормировка потенциала может быть использована, если заряженные тела

имеют конечные размеры, и при нахождении потенциала в бесконечно

удаленной от них точке, их можно рассматривать как точечные заряды. При

рассмотрении реальных полей, создаваемых системой зарядов, имеющих

конечные размеры, обычно нет необходимости выбирать другую калибровку

потенциала. В нашем случае электрическое поле порождается точечным

зарядом q и зарядами, индуцированными на проводящей плоскости,

поверхностная плотность которых падает до нуля при бесконечном удалении от

заряда q. В силу сказанного выше, разумно принять потенциал проводящей

плоскости равным нулю.

Воспользуемся методом изображений и найдем

изображение заряда q в плоскости. Таким зарядом-

изображением заряда q в плоскости является заряд

q′=-q, расположенный симметрично относительно

плоскости заряду q (см. рис.). Действительно, для

любой точки C плоскости потенциал поля от двух

зарядов будет равен 0 0

1 ' 1 04 AC BC 4 AC BCC

q q q q

, так как

AC=BC. Таким образом, граничные условия (равенство нулю потенциала в

любой точке плоскости) для электрических полей системы, состоящей из заряда

q и проводящей плоскости, и, системы из двух зарядов q и q′, совпадают. А

22

значит, в силу теоремы о единственности решения уравнения Лапласа, поля

этих двух систем являются эквивалентными. Таким образом, вместо того,

чтобы рассматривать взаимодействие заряда q и индуцированных зарядов на

проводящей плоскости, можно рассмотреть взаимодействие двух зарядов q и q′.

Сила притяжения, действующая между зарядами q и q′ (поскольку заряды

всегда имеют разные знаки), определяется законом Кулона и модуль ее равен: 2

204 (2 )qF

l

.

Задача №2: Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей

плоскости. Какую работу надо совершить против электрических сил, чтобы

медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости?

Решение: Электрическое поле заряда q приведет к появлению на

проводящей плоскости индуцированных зарядов, распределение которых будет

изменяться при удалении заряда q от плоскости.

Данная задача, наиболее просто решается при

применении метода изображений. Зарядом-

изображением заряда q в плоскости является заряд

q′=–q, расположенный симметрично заряду q

относительно плоскости (см задачу №1). Тогда

можно рассматривать движение заряда q в поле

заряда q′, причем оба заряда отодвигаются от плоскости симметрично. Модуль

силы притяжения, действующей на заряд q со стороны заряда –q, равен 2

204 (2 )qF

x

. Элементарная работа против этой силы при малом увеличении

расстояния между зарядами dx вдоль оси x будет равняться

cosA F dx F dx F dx . Нам необходимо найти полную работу,

которую необходимо совершить для удаления заряда q на бесконечность.

Поскольку работа сил электростатического поля, а, следовательно, работа

внешних сил не зависит от формы пути, то выберем наиболее простую для

вычислений траекторию удаления заряда q вдоль оси x. Полная работа,

q

q'

C

B

A

l

l

x

F

23

совершаемая при удалении заряда q вдоль оси x от l до равна: 2 2

20 04 (2 ) 16l

q qA A dxx l

.

Необходимо отметить, что попытка решить эту задачу через понятие

потенциала электростатического поля приведет к неверному ответу. Согласно

определению понятия потенциала электростатического поля, работа

электрических сил поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 равна

12 1 2( )A q , где φ1 и φ2 потенциалы поля, создаваемого всеми зарядами

системы кроме заряда q, в точках 1 и 2 соответственно. Заметим, что

определением работы поля через потенциал поля можно пользоваться лишь при

перемещении пробного заряда q в поле системы зарядов, которая не изменяется

в процессе переноса. В данной задаче при смещении заряда q должен

смещаться и заряд-изображение q′ (что эквивалентно изменению

распределения индуцированных зарядов), а значит поле этого заряда в точке на

расстоянии l от плоскости (первоначальное местонахождение заряда q) будет

изменяться. Именно по этой причине, способ вычисления работы по

перемещению заряда через понятие потенциала электростатического поля в

решении данной задачи не может быть применен.

Задача №3: Точечный заряд q находится между двумя проводящими

взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до

каждой полуплоскости l. Найти систему зарядов-изображений для заряда q.

Решение: Заряд q приведет к появлению индуцированных зарядов на обеих

полуплоскостях, при этом индуцированные заряды будут взаимодействовать

между собой, что приведет к сложному распределению

индуцированных зарядов по полуплоскостям. Решение

такой задачи “в лоб” достаточно трудоемко.

Рассмотрим ее решение с помощью метода

изображений. Для вертикальной полуплоскости

зарядом-изображением заряда q будет заряд –q,

расположенный в точке C (см. рис.). Соответственно, для горизонтальной

q

-qq

-qA

B

C

D

E

24

плоскости в точку B надо поместить такой же заряд –q. Однако, двух этих

зарядов недостаточно для того чтобы обеспечить равенство нулю потенциала в

любой точке проводящих полуплоскостей. Действительно, по принципу

суперпозиции потенциал в точке E будет равен

E0 0

1 14 AE BE CE 4 BE

q q q q

, где учтено, что AE=CE. Если мы

добавим еще один заряд q в точку D, то, с учетом того, что AE=CE и BE=DE,

потенциал поля четырех зарядов в точке E будет равен:

E0

1 04 AE BE CE DE

q q q q

. Таким образом, можно утверждать, что

электростатическое поле четырех зарядов, расположенных в точках A, B, C и D,

будет эквивалентно полю заряда q и зарядов, индуцированных на

полуплоскостях в той части пространства, ограниченного полуплоскостями, где

находится заряд q. Напряженность поля в любой точке пространства вне

области с зарядом q, ограниченной проводящими плоскостями, будет равна

нулю.

Задача №4: Точечный заряд q находиться на расстоянии l от центра

заземленной проводящей сферы радиуса R (l>R). Найти изображение заряда q и

заряд сферы.

Решение: Заземлением называется подключение электрической системы к

проводнику, обладающему большой электрической ёмкостью (много большей

электроемкости системы), потенциал, которого практически не изменяется при

сообщении ему конечного заряда, и принимается равным нулю. Такая

калибровка потенциала эквивалентна калибровке 0)( , так как тогда

заземление – это соединение рассматриваемой системы с проводником

(например, Землей), размеры которого много больше размеров системы. Тогда

можно считать, что Земля простирается до бесконечности, где значение

потенциала рано нулю.

Так как, сфера заземлена и является проводящей, то потенциал сферы

одинаков во всех точках сферы и равен нулю. Можно воспользоваться для

25

решения задачи методом изображений.

Попробуем найти заряд-изображение q′

заряда q. Предположим, что заряд q′ лежит в

точке D на прямой AB, соединяющей центр

сферы и заряд q (см. рис.). Такое

предположение не лишено смысла. При

приближении к сфере заряда q, распределение индуцированного на сфере

заряда будет симметрично относительно оси, соединяющей заряд q и центр

сферы, электрическое поле также должно обладать осевой симметрией. Заряд-

изображение q′ не должен изменять симметрию поля и может находиться

только на оси симметрии системы зарядов. Потенциал электрического поля,

создаваемого зарядами q и q′ в произвольной точке C на поверхности сферы

будет равен: 0

1 '4 BC CDC

q q

. Так как по условию задачи сфера заземлена,

то потенциал любой точки сферы равен нулю. Потребуем, чтобы 0C . Это

условие выполняется, если CDBC

q q . Нам необходимо, чтобы это условие

выполнялось для любой точки С на поверхности сферы. Отношение CDBC

будет

оставаться постоянным, если треугольники ABC и ACD подобны. Из подобия

треугольников следует, что AC CD AD= =AB BC AC

, и, следовательно,

CD AC'BC AB

Rq q q ql

(где учтено, что AB=l и AC=R). Таким образом,

заряд q′, находящийся в точке D (2 2ACAD= =

ABRl

) является зарядом-

изображением заряда q.

Электрическое поле, создаваемое зарядом сферы, неравномерно

распределенным по ее поверхности, в любой точке пространства вне сферы

эквивалентно полю заряда q′. Чему равен заряд сферы? Найдем потенциал в

A B

C

Dqq'

R

l

26

точке А: 0 0.

1 14 4

сферыA

пов сферы

qq dS qAB R AB R

. Зарядов внутри

сферы нет, напряженность электрического поля внутри проводящей сферы

равна нулю, а потенциал в любой точке внутри сферы равен потенциалу на ее

поверхности, и также равен нулю по условию задачи ( 0A ). Следовательно,

заряд сферы сферыR Rq q q q

AB l . Этот заряд перетекает на сферу по

проводу заземления и имеет противоположный знак по сравнению с зарядом q.

Задача №5: На расстоянии l от центра незаряженной проводящей сферы

радиуса R, находится точечный заряд q. Найти плотность индуцированного

заряда на поверхности проводящей сферы в точках K и L (см.рис.),

находящихся на прямой, соединяющей центр сферы и заряд q.

Решение: В отличие от предыдущей

задачи, в данной задаче сфера не

заземлена, а значит, ее заряд не может

измениться, и равен нулю по условию

задачи. Поскольку потенциал сферы не

равен нулю, поле заряда-изображения q′

не может быть полностью эквивалентным полю, создаваемому зарядами,

индуцированными на поверхности сферы (см. задачу № 4). Потенциал сферы

легко найти, используя подход, примененный в предыдущей задаче. По

принципу суперпозиции он равен сумме потенциалов от заряда q и зарядов,

индуцированных на сфере, и может быть записан следующим образом:

0 0 0. .

1 1 1 14 4 4пов сферы пов сферы

q dS q qdSl R l R l

,

(поскольку все индуцированные заряды на сфере находятся на одинаковом

расстоянии от центра сферы, интеграл сводится к интегралу dS , который

равен суммарному заряду сферы, и равен нулю по условию задачи).

27

Заряд q и заряд-изображение q′ обеспечивают равенство потенциала нулю

в любой точке поверхности сферы. Таким образом, чтобы потенциал сферы был

равен 0

14

ql

необходимо ввести еще один заряд, создающий на

поверхности сферы такой потенциал. Очевидно, что таким зарядом является

точечный заряд Rq ql

, находящийся в центре сферы. В результате получаем,

что для случая не заземленной сферы заряд q имеет два заряда изображения:

заряд ' Rq ql

и заряд Rq ql

, находящиеся в точках D (2

AD= Rl

) и А

(см.рис.), соответственно. Электрическое поле, создаваемое зарядами q′ и q′′

полностью эквивалентно полю, создаваемому зарядами, индуцированными на

поверхности изолированной сферы в поле заряда q.

Таким образом, поставленная перед нами задача уже практически решена.

Для того чтобы найти поверхностные плотности зарядов в точках L и K нам

необходимо найти напряженность электрического поля в этих точках,

создаваемого зарядами q, q′ и q′′. Плотность заряда на поверхности проводника

равна 0E , где E – напряженность поля вблизи поверхности проводника. По

принципу суперпозиции проекция напряженности поля на внешнюю нормаль к

поверхности сферы с учетом знаков зарядов равна (предположим, что q>0):

2 2 2 2 2 22 20 0 0 0

23

22 20

1 1 1 14 4 4 4

2 )4

L

R Rq qq qq q l lERLB DL AL R Rl R

l l

l l R l Rq

l R l

2 2 2 2 2 22 20 0 0 0

222 2 2

2 22 20

1 1 1 14 4 4 4

2 )4

K

R Rq qq qq q l lERKB KD KA R Rl R

l l

l R l R l R l Rq

l R l R l

28

Значения поверхностных плотностей заряда, получаются умножением

данных выражений на 0 . Если заряд q положителен, то плотность зарядов L

должна быть отрицательной (отрицательные заряды притягиваются к

положительному заряду q, а в точке K положительной, что соответствует

полученному решению.

Задача №6: Длинная тонкая заряженная нить расположена параллельно

длинному тонкостенному незаряженному проводящему цилиндру радиуса R.

Расстояние от нити до оси цилиндра L (L>R). Нить заряжена с линейной

плотностью λ1. Найти систему зарядов-изображений нити.

Решение: Поскольку по условию задачи заряженная нить параллельна оси

цилиндра, предположим, что изображением нити также является нить

параллельная оси цилиндра с линейной плотностью заряда λ2 и пересекающая

плоскость, перпендикулярную оси

цилиндра, в точке находящейся на

прямой соединяющей ось цилиндра и

заряженную нить (см. рис.).

Проводящий цилиндр является

эквипотенциальной поверхностью, и если наше предположение верно, то

заряженные нити должны создавать такое электростатическое поле, потенциал

которого на всей поверхности цилиндра одинаков.

Легко показать, что потенциал электростатического поля заряженной нити

как функция расстояния r от нити определяется выражением:

0

( ) ln2

r r const

. Эквипотенциальными поверхностями являются

цилиндры, ось которых – заряженная нить. Привычная калибровка потенциала

( ) 0 , в данном случае не подходит, так как сама нить является бесконечным

объектом и найти точку, удаленную на расстояние бесконечно большое по

сравнению с размерами равномерно заряженной нити невозможно. При

рассмотрении реальных полей таких проблем не возникает, так как реальные

29

проводники всегда имеют конечные размеры. Для калибровки потенциала

можно выбрать произвольное значение в любой точке пространства,

находящейся на конечном расстоянии от нити. Отметим, что разность

потенциалов будет иметь конечное значение даже для бесконечной нити.

В произвольной точке C цилиндра по принципу суперпозиции потенциал

поля нитей будет равен 1 21 2

0 0

ln ln2 2C r r const

. Далее мы можем

найти условия, при которых потенциал в любой точке на поверхности цилиндра

одинаков ( C const ). Однако мы уже использовали такой подход в задаче №4.

Попробуем пойти другим путем. Вектор напряженности электростатического

поля у поверхности проводника направлен перпендикулярно поверхности

проводника. Тогда условие отсутствия тангенциальной компоненты

напряженности электрического поля на поверхности цилиндра можно записать

так: 0C . При этом учтем, что: Rxr

11 , Rxr 22 (см. рис.). В этом

случае:

1 12 22 2 2 2

1 1 1 2 2 20

2 2 2 21 1 1 2 2 2

0

1 ln( 2 ) ln( 2 )2

1 ln( 2 cos ) ln( 2 cos )

C x x R R x x R R const

x x R R x x R R const

,

1 1 2 22 2 2 2

0 1 1 2 2

1 sin sin( ) 02 cos 2 cos

C x R x Rx x R R x x R R

.

Или: 1 1 2 22 2 2 2

1 1 2 22 cos 2 cosx x

x x R R x x R R

. Поскольку это выражение

должно выполняться для любого угла , мы можем приравнять части

выражения, зависящие и независящие от . В результате получим: 2 1 ,

21 2x x R , поскольку если 1x L , то

2

2RxL

. Таким образом, изображением нити с

плотностью заряда λ1 является нить с плотностью заряда -λ1, отстоящая от оси

цилиндра на расстояние 2

2RxL

. Отметим, что рассмотренное условие

равенства нулю тангенциальной компоненты напряженности электрического

30

поля на поверхности цилиндра в любой точке цилиндра выполняется только в

том случае, когда нить-изображение пересекает плоскость рисунка в точке

лежащей на прямой, соединяющей ось цилиндра с нитью.

Задача №7: Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра O

незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого R1 и R2.

Найти потенциал в точке O.

Решение: В толще проводника напряженность

электрического поля равна нулю. Соответственно, поток

напряженности электрического поля через поверхность

сферы радиусом r′, находящейся внутри сферического

слоя (см. рис.), равен нулю. С другой стороны, согласно

теореме Гаусса этот же поток определяется суммой

зарядов, находящихся внутри сферы радиусом r′. Внутри этой сферы кроме

заряда q будут еще заряды q1, индуцированные на поверхности слоя радиусом

R1. А значит, можно утверждать, что q1=-q. Так как по условию задачи,

сферический слой проводника незаряжен, то на поверхности слоя радиусом R2

будут индуцированы заряды q2, такие, что q1+q2=0. Тогда поток напряженности

электрического поля через поверхность сферы радиусом r′′, находящейся вне

сферического слоя (см. рис.), будет определяться только зарядом q.

Заряды q1, индуцированные на поверхности слоя радиусом R1, будут

распределены неравномерно, поскольку напряженность электрического поля,

создаваемого зарядом q, различна в разных точках внутренней поверхности

сферы (распределение заряда зависит от положения заряда q). Но все они

находятся на одном и том же расстоянии от точки О, равном R1. А значит

потенциал поля, создаваемый этими зарядами в точке О будет равен:

11

0 1 0 1 0 1

1 1 14 4 4

dS qdSR R R

.

Аналогично можно вычислить потенциал поля зарядов q2. Однако, для

внешней поверхности ситуация несколько проще, поскольку заряды на

внешней поверхности распределены равномерно. Распределение заряда на

R1

R2

Oq1qr

r' r''

q2

31

внешней поверхности сферического слоя не зависит от положения заряда q.

Поле, создаваемое зарядом q компенсируется в любой точке внешней

поверхности полем, создаваемым зарядами, индуцированными на внутренней

поверхности сферы. Распределение заряда на внешней поверхности

определяется только силами взаимного отталкивания находящихся на ней

зарядов, для сферической поверхности распределение заряда будет

равномерным.

По принципу суперпозиции потенциал в точке O будет определяться всеми

тремя зарядами q, q1 и q2. Значит можно записать:

1 2

0 1 2 0 1 2

1 1 1 14 4o

q q q qr R R r R R

.

Задача №8: Незаряженный проводящий шар поместили во внешнее

однородное электрическое поле 0E . Найти распределение индуцированного

заряда по поверхности шара.

Решение: Вследствие явления электростатической индукции на

поверхности металлического шара появятся

индуцированные заряды (см. рис. а). При этом в любой

точке внутри шара напряженность поля 0E

, потенциал

поля const . В отсутствии внешнего электрического

поля незаряженный металлический шар можно представить

как два равномерно заряженных шара с объемными

плотностями +ρ и -ρ, одинакового размера и с общим

центром. Во внешнем электрическом поле эти шары

немного сместятся относительно друг друга (см.рис. б),

положительно заряженный шар сместится по направлению

поля, отрицательно заряженный - против поля. На рис. б

смещение l сильно увеличено – в реальности оно порядка

расстояния между соседними атомами. При таком смещении объемный заряд

будет отличаться от нуля только в поверхностном слое, так что можно говорить

о поверхностной плотности заряда на сфере. Толщина заряженного слоя в

E0

- - - - - ---

+ + + + + ++ +

E=0

(a)

(б)

- - ----

-

+ + + ++

+ +

l

32

точках, определяемых углом (рис. б), равна cosl . Значит, на единицу

площади в этом месте приходится заряд

0cos cos cosdq dV l dS l

dS dS dS . Причем значение 0

определяется величиной напряженности внешнего поля E0.

Распределение заряда на поверхности таково, что сумма напряженностей

внешнего поля и поля от зарядов на поверхности сферы в любой точке внутри

сферы равна нулю. Наиболее просто найти

напряженность поля индуцированных зарядов в

центре шара. Для этого разобьем поверхность

шара на кольцевые сектора (см. рис.). В центре

шара суммарная напряженность поля, создаваемая зарядами на таких кольцах

будет направлена противоположно направлению внешнего поля. Компоненты

напряженности поля от равномерно распределенных зарядов на кольце в

плоскости перпендикулярной направлению внешнего поля компенсируют друг

друга. Модуль напряженности электрического поля от одного кольца равен:

2 2 20 0 0

1 1 1 2 sincos cos cos4 4 4

dq dS R RddER R R

.

Учтем, что 0 cos и, проинтегрировав по всей поверхности сферы,

получим: 20 0

0 00

sin cos2 3

E d

. Суммарное электрическое поле в любой

точке внутри шара равно нулю. Это означает, что поле, создаваемое

индуцированными зарядами является однородным и его напряженность

( 0

03E

) равна напряженности внешнего поля 0E , следовательно 0 0 03 E .

Попробуем оценить величину относительного смещения l положительных

и отрицательных зарядов (или толщину заряженного слоя на поверхности

шара). Мы получили, что 0 0 03l E , а значит 0 03 El

. Возьмем в

качестве материала шара металлическую медь. При образовании металлической

связи от одного атома меди отрывается один электрон и становится свободным

RdS

d

RdsinR

33

зарядом. В предположении о равномерном распределении зарядов электронов и

ионных остовов по объему шара, можно записать: /

A

V

dq q e NdV V M

, где е -

заряд электрона, NA – постоянная Авогадро, М – молярная масса меди, а V -

объемная плотность меди. Тогда получаем, что 00

3

A V

Ml EeN

. Подставив

численные значения (M=63.5 г/моль, V =8900 кг/м3, 0E =1000 В/м), получаем 182 10l м. Полученное значение смещения очень мало, существенно меньше

межионного расстояния в кристаллической решетке металлической меди

(~10-10 м). Естественно, наше приближение о равномерном распределении

зарядов внутри шара верно для объемов существенно больших объема

элементарной ячейки, и не может быть строго использовано для оценки l . По

этой причине, а также из-за того, что задача о движении электронов в металлах

под действием внешнего поля является квантово-механической, примененный

нами подход является достаточно грубым. Реально величина смещения

составляет несколько постоянных решетки. Однако даже столь приближенное

рассмотрение доказывает правдоподобность используемой модели.

Задача №9: Незаряженный проводящий шар поместили во внешнее

однородное электрическое поле 0E . Найти дипольный момент шара.

Решение: Поместим дипольный момент,

которым обладает шар, в центр сферической системы

координат так, как изображено на рисунке.

Очевидно, в силу симметрии задачи, при таком

выборе системы координат модуль напряженности

электрического поля на поверхности шара не будет

зависеть от полярного угла α. Так как шар

проводящий, то силовые линии должны быть нормальны поверхности шара. А

это значит, что суммарная компонента E на поверхности шара поля диполя и

R

Er

x

y

z E0

p

E

34

внешнего поля должна быть равна нулю: 030

1 sin sin 04

pE ER

. Отсюда

следует, что дипольный момент шара: 30 04p R E .

Эту задачу можно решить и другими способами. Например, из решения

предыдущей задачи мы знаем, что проводящий шар во внешнем электрическом

поле мы можем представить как совокупность двух равномерно заряженных

шаров с одинаковой по величине и разной по знаку объемной плотностью

заряда . Причем 0 0 03 E l (см. задачу №8), следовательно 0 03 El .

Поле вне проводящего шара можно представить как поле двух точечных

зарядов разного знака, равных 3

3 0 04 43

R Eq Rl

, находящихся в центрах

положительно и отрицательно заряженных шаров, находящихся на расстоянии

l. Следовательно, дипольный момент проводящего шара в однородном

электрическом поле равен: 30 04p q l R E .

Задача №10. Незаряженный проводящий шар поместили во внешнее

однородное электрическое поле 0E . Найти напряженность поля на поверхности

шара.

Решение: С учетом решения предыдущей задачи, компонента поля rE на

поверхности шара будет равна сумме вкладов от поля диполя и внешнего поля:

030

1 2 cos cos4r

pE ER

. С учетом величины дипольного момента

30 04p R E (см. задачу №9) поле на поверхности шара будет равно:

03 cosrE E . При 0 , напряженность поля 03rE E , т.е. в этой точке

напряженность поля в три раза больше напряженности внешнего поля 0E .

Знание напряженности поля на поверхности шара позволяет найти

поверхностную плотность индуцированных зарядов . Она связана с

нормальной составляющей электрического поля: 0 nE . В нашем случае в

каждой точке шара n rE E , а значит 0 0 0 03 cos cosrE E .

35

Полученное таким способом значение поверхностной плотности заряда,

естественно, совпадает с ответом к задаче №8, однако решение заметно короче.

Задача №11: Незаряженный проводящий шар поместили во внешнее

однородное электрическое поле напряженностью 0E . Найти модуль

результирующий электрической силы, которая действует на весь

индуцированный заряд одного знака.

Решение: Из решения предыдущей задачи следует, что на поверхности

шара появится индуцированный заряд с поверхностной плотностью

0 cos , где 0 – постоянная, - полярный

угол. Соответственно, одна половина шара будет

заряжена положительным зарядом, а вторая

отрицательным. Рассмотрим одну половину

шара. Сила, действующая на единицу

поверхности, определяется выражением: 2

02dFdS

(формула 11). В качестве

элемента поверхности dS можно выбрать кольцо радиусом sinR и шириной

Rd . Тогда 22 sindS R d , а сила, действующая на такое кольцо, равна: 2 2 2

30

0 0

cos cos sin2

RdF dS d

. Суммарная сила, действующая на

половину шара, будет равна: /22 2 2 2

30 0

0 00

cos sin4

R RF dF d

. С

учетом того, что 0 0 03 E , получим итоговое выражение: 2 20 0

94

F E R .

Задача №12. Проводящая заряженная плоскость со сферическим выступом

радиуса R имеет потенциал V. Найти распределение заряда на плоскости.

Решение: Данная задача является хорошим примером еще раз наглядно

подтверждающим значимость теоремы о единственности решения уравнения

Лапласа. Для решения нашей задачи, попробуем найти распределение заряда,

поле которого эквивалентно полю плоскости со сферическим выступом.

RdS

d

RdsinR

36

В Задаче №10 мы показали, что поле, создаваемое проводящим шаром,

находящимся в однородном электрическом поле, эквивалентно полю диполя: 3

0 04p R E ( 0E - напряженность внешнего поля, направленного вдоль оси z).

Потенциал поля в любой точке пространства вне шара по принципу

суперпозиции равен: 1 .вн поля шара . Потенциал поля, создаваемого

зарядами, индуцированными на поверхности шара, есть потенциал поля

диполя: 303

03 3 30

14шара

E rpr RR E zr r r

. Потенциал внешнего поля:

. 0вн поля E z const (для однородного электрического поля калибровка

0 не применима). В результате получаем:

3 3

1 0 13 31 1R RE z const const z constr r

.

Теперь вернемся к нашей задаче о плоскости со сферическим выступом и

сравним граничные условия в исходной задаче и для проводящего шара в

однородном поле. Если обе задачи имеют одинаковые

граничные условия, то в силу теоремы о единственности

решения уравнения Лапласа, обе задачи будут иметь

одинаковое решение. На всей поверхности проводящей

плоскости потенциал постоянен: пл V . На поверхности

плоскости вне сферического выступа ( 0z ) 1 const , на поверхности

сферического выступа ( z R ) - 1 const (см. выражение для потенциала 1 ).

Таким образом, задача о нахождении электрического поля вне проводящей

плоскости со сферическим выступом эквивалентна задаче о поле проводящего

шара в однородном электрическом поле. Подчеркнем еще раз, что это

утверждение является строгим, в силу теоремы о единственности решения

уравнения Лапласа. Задача о шаре в однородном внешнем поле имеет ту же

симметрию, что и проводящая плоскость со сферическим выступом (аксиальная

симметрия относительно оси z), что является дополнительным фактом,

свидетельствующим в пользу сделанного нами вывода. Таким образом,

R

( , , )r x y zz

37

потенциал поля проводящей плоскости с выступом имеет

вид:3

1 31плRconst z constr

.

Поскольку мы знаем потенциал в каждой точке пространства выше

проводящей плоскости, стоящая перед нами задача о нахождении

распределения заряда на поверхности плоскости со сферическим выступом уже

практически решена. Поверхностная плотность заряда равна:

0 0плEn

.

На плоскости: 3 3

0 0 0 1 03 30 0

1 1пл пл

z z

R Rconstn z r r

,

где 0 0 1const , вектор r направлен вдоль плоскости. На поверхности

сферического выступа:

0 0 0 1 03 cos 3 cosпл пл

r R r R

constn r

.

Значение 0 зависит от калибровки потенциала. Из вида потенциала

понятно, что привычная калибровка 0 не применима к данной задаче

(также как для задачи о проводящем шаре в однородном электрическом поле).

В условии задачи нам указано только значение потенциала на плоскости, из

которого следует, что const V . Для определения значения 1const и,

соответственно, 0 необходимо знать значение потенциала в какой либо точке

пространства выше проводящей плоскости.

Интересно отметить, что если на проводящей плоскости будет не выступ, а

впадина, то плотность заряда на поверхности сферы изменит знак.

Действительно, в этом случае направление нормали к поверхности будет

противоположно направлению радиус-вектора r, и поверхностная плотность

заряда будет равна: 0 0 03 cosпл пл

r R r Rn r

.

38

Задачи для самостоятельного решения

Задача №1. Найти работу, которую надо совершить, чтобы удалить

точечный заряд q, находящийся вне проводящего шара радиусом R, с

расстояния L (L>R) от его центра на бесконечность. Рассмотреть 2 случая: а)

шар заземлен, б) шар изолирован и незаряжен.

Ответ: а) 2

2 208

q RAL R

; б) 2 2 2

2 2 20

4 38 ( )q R R LA

L R L

.

Задача №2. Найти силу, с которой точечный диполь с моментом p

притягивается к проводящей сфере радиусом R. Расстояние от диполя до центра

сферы L, ось диполя перпендикулярна прямой, соединяющей диполь и центр

сферы. Рассмотреть два случая: а) сфера заземлена, б) сфера изолирована и

незаряжена.

Ответ: а) 2 3

2 2 40

34 ( )

p R LFL R

; б) 2 3

2 2 40

34 ( )

p R LFL R

.

Задача №3. Заземленный проводящий шар радиуса R находится вблизи

точечного заряда q. Расстояние между центром шара и зарядом равно L.

Определить максимальную и минимальную поверхностные плотности

наведенного на шаре заряда.

Ответ: а) max 24 ( )q R L

L R R

, min 24 ( )q R L

L R R

.

Задача №4. Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2a

друг от друга. Посередине между ними расположена незаряженная проводящая

сфера радиусом R (a >> R). Найти силу, действующую на заряд q.

Ответ: 2 3

5 20

2 14 4q RF

a a

.

Задача №5. Точечный заряд q расположен на расстоянии R/2 от центра

тонкостенной металлической изолированной сферы радиуса R. Заряд сферы

равен Q. Определить силу, действующую на заряд, а также поверхностную

плотность зарядов на внутренней поверхности сферы в точке, ближайшей к

заряду.

39

Ответ: 20

4 204 9

q qF QR

, 2

1 624 9

qQR

.

Задача №6. Найти приближенное выражение для силы F, действующей в

неоднородном поле E в вакууме на маленький металлический шарик радиуса R,

если на протяжении диаметра шарика поле E меняется незначительно.

Ответ: 304 EF R E

l

.

Задача №7. Найти работу, которую надо совершить, чтобы передвинуть

точечный диполь от точки на расстоянии L1 от бесконечной металлической

плоскости до точки на расстоянии L2. Дипольный момент диполя p, ось диполя

перпендикулярна плоскости.

Ответ: 2

3 30 1 2

1 116

pAL L

.

Задача №8. Из трех параллельных металлических пластин A, B и C (cм.

рис.), крайние A и B неподвижны и соединены с батареей поддерживающей

разность потенциалов V между ними постоянной.

Средняя пластина C находится в контакте с верхней

пластиной А. Затем с помощью изолирующей ручки

она перемещается по направлению к нижней

пластине. Пренебрегая краевыми эффектами, найти

напряженность полей Е1 и Е2 в зазорах между пластинами в зависимости от

расстояния x, напряженность поля E в любой точке пространства вне системы

из пластин, если расстояние от пластины А до пластины B равно d.

Ответ: 1 2

VxEd

, 2 2

( )V x dEd

, VEd

Задача №9. Заряженный зарядом Q металлический шар радиуса R разрезан

на две части плоскостью, проходящей на расстоянии h от центра шара. С какой

силой отталкиваются друг от друга части шара?

Ответ: 2 2

2 20

132

Q hFR R

.

B

AC

VE1

E2

+x

d

40

Задача №10. На заземленной бесконечной плоской поверхности

проводника имеется сферическая выпуклость радиуса R, центр которой лежит

на той же плоскости (см. рис.). На оси симметрии системы на расстоянии L от

плоскости находится точечный заряд q.

Найти электрическое поле в точке

пространства над проводником,

определяемой радиус вектором r ,

удаленной на большое расстояние от сферической выпуклости ( ,r R L ).

Ответ:

5 30

314

pr r pEr r

, где

3

32 1 zRp qL eL

.

Задача №11. На заземленной бесконечной плоской поверхности

проводника имеется сферическая выпуклость радиуса R, центр которой лежит

на той же плоскости (см. рис.). На оси

симметрии системы на расстоянии 2R

от плоскости находится точечный заряд

q. Найти силу, действующую на заряд.

Ответ: 2

20

7374 3600

qFR

.

Задача №12. На расстоянии L от проводящей бесконечной плоскости

находится заряд q. Определить напряженность

электрического поля на расстоянии L от заряда в точках A

и B (см. рис.).

Ответ: 20

84 9A

qEL

, 20

26 2 520B

qEL

.

Задача №13. В центре симметрии плоского конденсатора находится

точечный заряд q. Пластины конденсатора заземлены. Определить плотность

зарядов на пластинах в точках, ближайших к точечному заряду.

Ответ: 22q GL

, G=0.91596.

q

LL

LA

B

41

Задача №14. Перпендикулярно бесконечной проводящей плоскости

расположена непроводящая тонкая полубесконечная нить. Нить заряжена

зарядом с линейной плотностью 20 0exp( / )L L L , где L – расстояние до

плоскости, а L0 расстояние от конца нити до плоскости. Найти: поверхностную

плотность индуцированных зарядов в точке, непосредственно под нитью.

Ответ: 0 0

2Le

.

Задача №15. Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный

на биссектрисе двугранного угла величиной α, образованного двумя

проводящими плоскостями, если а) α=/3, б) α=/4. Расстояние между зарядом

и вершиной двугранного угла равно d.

Ответ: а) 2

20

3 5( )4 3 4

qFd

, б) 2

20

1( 3 2)8 2

qFd

, в обоих случаях

силы направлены к вершине двугранного угла и являются силами притяжения.

При решении этой задачи необходимо построить систему зарядов-

изображений, положение которых обычно найти достаточно затруднительно,

используя только графические построения. Легко система зарядов-

изображений находиться при применении векторной алгебры, записывая

аналитически операцию отражения в плоскости.

Задача №16. Найти силу, действующую на точечный диполь p,

помещенный на биссектрисе двугранного угла величиной /2 образованного

двумя проводящими плоскостями. Расстояние между диполем и вершиной

двугранного угла равно d, дипольный момент направлен к вершине угла.

Ответ: 40

3 (3 2 1)16

pFd

(сила притяжения).

Задача №17. Длинная тонкая заряженная нить расположена параллельно

незаряженному длинному тонкостенному проводящему цилиндру радиуса R.

Расстояние от нити до оси цилиндра l (l<R). Нить заряжена с линейной

плотностью λ. Найти силу притяжения нити к цилиндру, действующей на

единицу длины нити.

42

Ответ: 2

2 202

LfL R

.

Задача №18. Точечные заряды q1 и q2 находятся на расстоянии R друг от

друга. Посередине между ними находится бесконечная металлическая пластина

толщиной R/2. Определить величины и направления сил, которые будут

действовать на заряды.

Ответ: 1

212

0

1 44q

qFR

(сила притяжения), 2

22

20

1 44q

qFR

(сила притяжения).

Задача №19. Проводящая сфера радиуса R заряжена зарядом Q. В сфере

имеется малое отверстие. Как будет меняться потенциал сферы, если точечный

заряд q перемещать из бесконечности через это отверстие внутрь сферы?

Ответ: 0 0

1 14 4

Q qR r

, где r – расстояние от заряда q до центра сферы

Задача №20. На расстоянии 10a R от незаряженной проводящей сферы

радиусом R расположен точечный диполь с моментом p, причем ось диполя

перпендикулярна прямой, соединяющей центр сферы с осью диполя. Найти

силу взаимодействия F между диполем и сферой.

Ответ:

2 3

42 20

1 34

p R aFa R

(сила притяжения).

43

Список литературы:

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики.T.III. Электричество. - М.:МФТИ,

Физматлит, 2006.

2. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. - Изд-во: Бином.

Лаборатория знаний, 2007.

3. Калашников С. Г. Электричество: Учебное пособие для вузов. 6-е изд.,

стереотипное. - М.: Физматлит, 2003.

4. Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.:Физматлит, 2003.