ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ...
TRANSCRIPT
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
έκδοση DΥΝI-FV1DOFS-2016b
Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.
Copyright © Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών – Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών – κτ. Μ – αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Πληροφορίες ________________________________________________ Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, [email protected], 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, [email protected], 210-7722332
Σύστημα 1 Β.Ε. υπό ελεύθερη ταλάντωση
m
c k
F(t) x(t)
Σύστημα 1 Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c
m
Διάγραμμα ελευθέρου σώματος
F(t)
Fc(t) Fk(t)
+
Μηχανικό σύστημα 1 Β.Ε.
Εξίσωση κίνησης (Νόμος Νεύτωνα) με
τατό
πιση
( )m x c x k x F t+ + =
Fm(t) Γραμμική διαφορική
εξίσωση 2ης τάξης
Δυναμική ισορροπία εξωτερικής διέγερσης & εσωτερικών δυνάμεων
Δυν.
αδρ
άνει
aς
Δυν.
ελα
στικ
ίτητ
ας
Δυν.
από
σβεσ
ης
Εξω
τ. δ
ιέγε
ρση
( )m x c x k x F t+ + =
Σύστημα 1 Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c
Μαθηματική λύση
Ομογενής λύση (homogeneous solution)
Μερική λύση (partial solution)
• ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος • Δεν ασκείται εξωτερική διέγερση
F(t)=0
( )m x c x k x F t+ + = 0
• ΜΟΝΙΜΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος • Ασκείται εξωτερική διέγερση
Αρχικές συνθήκες
μετατόπισης
ταχύτητας
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση μηχανικού συστήματος m-k-c
( )m x c x k x F t+ + = 0 /m
nncritical m
cmc
kmc
cc ζω
ωζ 2
22=⇒===λόγος απόσβεσης
φυσική συχνότητα mk
mk
nn =⇒= 2ωω
0)()(2)( 2 =⋅+⋅⋅⋅+ txtxtx nn ωωζ
⇒
⇒
θεωρία ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης
λύση
sth
sth
sth
essxtxessxtx
άsesxtx
⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅=
2)()()()(
,)()(
σταθερ ⇒
0)()2(0)()(2)(
22
22
=⋅+⋅+
⇒=⋅+⋅⋅+⋅⋅st
nn
stn
stn
st
esxssesxessxessx
ωζω
ωζω
Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος
0)( ≠⋅ stesxγια μη τετρημένη λύση, δηλ.
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει 2 μιγαδικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s
122
22
2,1 −±−=−
±−= ζωζω nnm
kmc
mcs
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση μηχανικού συστήματος m-k-c
Επομένως, η γενική ομογενής λύση είναι της μορφής:
⇒⋅+⋅= tstsh esxesxtx 21 )()()( 21
όπου οι σταθερές και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες για
Asx =)(1 Bsx =)(2
0=t
tstsh eBeAtx 21)( ⋅+⋅=
Η συμπεριφορά του συστήματος καθορίζεται ανάλογα με την περιοχή τιμών του συντελεστή απόσβεσης ζ:
0 < ζ < 1 ζ = 1 ζ > 1
Υποκρίσιμη απόσβεση (under-damped system)
Κρίσιμη απόσβεση (critically damped system)
Υπερκρίσιμη απόσβεση (over-damped system)
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση μηχανικού συστήματος m-k-c
ζ = 0 Ταλάντωση χωρίς απόσβεση
ζ < 0 Ασταθές δυναμικό σύστημα
❷
❶
❹
❸
❺
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
0 < ζ < 1
Υποκρίσιμη απόσβεση (under-damped system) Tο σύστημα ταλαντώνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε το πλάτος της ταλάντωσης διαρκώς να μειώνεται
tstsh eBeAtx 21)( ⋅+⋅=
⇒ 21, ssϑϑϑ sincos ⋅±=± ie i
Euler formula
Αντικατάσταση
)]1sin()1cos([)( 22 ttetx nnt
hn ζωβζωαζω −⋅+−⋅= −
BA+=α)( BAi −=β
21 ζωω −= ndόπου και για ... συχνότητα αποσβενόμενων ταλαντώσεων
⇒ πραγματικές σταθερές *
)]sin()cos([)( ttetx ddt
hn ωβωαζω ⋅+⋅= −⇒
α & β πραγματικές σταθερές ⇔ Α & Β μιγαδικές συζυγείς*
BA+=α)( BAi −=β ⇒
2/)( βα ⋅+= iA2/)( βα ⋅−= iB
* Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Υπολογισμός α & β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
0=tγια oxx =)0(oVVx == )0()0(
⇒=⋅⋅+⋅⋅== −oddh xetx n )]0sin()0cos([)0( 0 ωβωαζω
ox=α⇒
011
+⋅+⋅
⋅= −
dtttdetx ddt
hn
)]sin()cos([)( ωβωαζω
⇒⋅⋅+⋅+−
dtedtt
t
dd
n )()]sin()cos([ζω
ωβωα
και
−⋅⋅+⋅⋅⋅= − )]cos()sin([)( ttetx ddddt
hn ωωβωωαζω
)]sin()cos([ tte ddt
nn ωβωαωζ ζω ⋅+⋅⋅⋅⋅− −
0=tγια
⇒
ondh Vx =⋅⋅−⋅= ωζαωβ)0(
ox=ακαι
⇒ ⇒ d
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
)]sin()cos([)( ttetx ddt
hn ωβωαζω ⋅+⋅= −
ox=αd
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=
επομένως
και ⇒
)]sin()()cos([)( txVtxetx dd
onodo
th
n ωωωζωζω ⋅
⋅⋅++⋅= −
Τελι
κή Λ
ύση
καθορίζει ρυθμό χρονικής απόσβεσης
αποσβενόμενη ιδιοπερίοδος (εξαρτάται από μάζα & ακαμψία συστήματος, αμελητέα εξάρτηση από απόσβεση)
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Εναλλακτική μορφή λύσης:
βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅±⋅=±ισχύει:
t⋅= ωα ϕβ =θέτουμε: και ⇒
)sin(cos)cos(sin...)sin( ttt ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω
α β
)]sin()cos([)( ttetx ddt
hn ωβωαζω ⋅+⋅= −συγκρίνοντας με:
⇒
ϕα sin⋅Χ= Μ
ϕβ cos⋅Χ= Μκαι ⇒ )(tantan
cossin 1
βαϕϕ
ϕϕ
βα −=⇒==
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
)(tan 1
βαϕ −=
ox=αd
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=και ⇒ )(tan 1
ono
do
xVx
⋅⋅+⋅
= −
ωζωϕ
ϕα 222 sin⋅Χ= Μ
MΧ=+ 22 βακαι ⇒
επίσης
ισχύει ϕϕ 22 cossin1 +=
ϕβ 222 cos⋅Χ= Μ
ϕα sin⋅Χ= Μκαι ⇒ ox=α ϕsin
ox=ΧΜ
d
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=και
⇒
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
2
22 )()(
d
onodo xVxω
ωζω ⋅⋅++⋅=ΧΜ
)sin(cos)cos(sin...)sin( ttt ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω
α β
)]sin()cos([)( ttetx ddt
hn ωβωαζω ⋅+⋅= −συγκρίνοντας με:
και
)sin()()(
)( 2
22
ϕωω
ωζω ζω +⋅⋅⋅⋅++⋅
= − texVx
tx dt
d
onodoh
n
Ενα
λλακ
τική
Λ
ύση
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
χρήσιμες παρατηρήσεις ...
iis λ≡όπου ...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Αύξηση της ιδιοσυχνότητας ωn ⇒ αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης (για ζ σταθερό) ταχύτερη απόκριση
|| x
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση
Μείωση λόγου απόσβεσης ζ ⇒ αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης (για ωn σταθερό) εντονότερες ταλαντώσεις βραδύτερη απόκριση μεγαλύτερη υπερακόντηση
|| x
ζ = 1
Κρίσιμη απόσβεση (critical damped system)
Σύστημα 1 Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση
Περιγράφει ταλάντωση με άπειρη περίοδο ταλάντωσης κάτι το οποίο, τεχνικά, δεν επιτυγχάνεται ποτέ.
0)2( 22 =+⋅+ nn ss ωζω
2 ΙΔΙΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο
έχει :
nnn ss ωζωζω −=⇒−±−= 2,12
2,1 1
η μορφή της λύσης (θεωρία διαφορ. εξισ.) είναι:
tstsh etBAetsxsxtx ⋅⋅ ⋅⋅+=⋅⋅+= ][])()([)( 21
τα Α & Β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες:
Σύστημα 1 Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση
Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
0=tγια oxx =)0(
oVVx == )0()0(.
oos
h xAxBAetx =⇒=⋅+== ]0[)0( 001
και η παράγωγος είναι:
tstsh etBAsBe
dttBAdtx ⋅⋅ ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+
= ]}[{][)(
0=tγια
ooos
h xsVBVeBAsBtx ⋅−=⇒=⋅⋅+⋅+== ⋅0]}0[{)0(
Σύστημα 1 Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση
Τελική Λύση
oxA =
oo xsVB ⋅−=
ns ω−=2,1
επομένως
⇒
)]([)( onoot
h xVtxetx n ⋅+⋅+⋅= ⋅− ωω
... ΜΟΝΟ μαθηματικό ενδιαφέρον
ζ > 1
Υπερκρίσιμη απόσβεση (over-damped system) Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το ζ τόσο μεγαλύ-τερο χρονικό διάστημα χρειάζεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατά-σταση ισορροπίας.
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
0)2( 22 =+⋅+ nn ss ωζω
2 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο
έχει :
...)()()( 2121 ⇒⋅+⋅= tsts
h esxesxtx
tstsh eBeAtx 21)(... ⋅+⋅=⇒
122,1 −±−= ζωζω nns
η μορφή της λύσης (θεωρία διαφορ. εξισ.) είναι:
⇒ )()( 21 sxsxA +=
)()( 12 sxsxB −=
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
)()( 11 22 ttth
nnn eBeAetx ⋅−⋅⋅−⋅−⋅− ⋅+⋅= ⋅ ζωζωωζ⇒ ισχύουν οι τριγωνομετρικές σχέσεις:
2cosh
ϑϑ
ϑ−+
=ee
2sinh
ϑϑ
ϑ−−
=ee
⇒ ϑϑϑ sinhcosh +=e
tt dn ⋅=⋅−⋅= ωζωϑ 12θέτουμε
⇒
)]sinh()cosh([)( tBtAetx ddt
hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ⇒
τα Α & Β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες ...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
0=tγια oxx =)0(
oVVx == )0()0(.
⇒=⋅⋅+⋅⋅== ⋅⋅−oddh xBAetx n )]0sinh()0cosh([)0( 0 ωωωζ
oxA =⇒
01 1
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
και η παράγωγος είναι:
+⋅⋅+⋅⋅
= ⋅⋅−
dttBtAdetx ddt
hn
)]sinh()cosh([)( ωωωζ
⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−
...)()]sinh()cosh([dt
edtBtAt
dd
nωζ
ωω
−⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− )]cosh()sinh([)( tBtAetx dddt
hn ωωωωζ
)]sinh()cosh([ tBtAe ddt
nn ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅− ωωωζ ωζ
0=tγια
oxA = ⇒… ⇒⋅⋅+=⋅ onod xVB ωζω
d
ono xVBωωζ ⋅⋅+
=0)( Vtxh =
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Τελι
κή Λ
ύση
oxA =
επομένως
⇒ d
ono xVBωωζ ⋅⋅+
=
)]sinh()cosh([)( tBtAetx ddt
hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ
)]sinh()cosh([)( txVtxetx dd
onodo
th
n ⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζωωζ
... το μηχανικό σύστημα δεν ταλαντώνεται
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
t [sec]
x(t)
[mm
]
ζ > 1
Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το ζ τόσο μεγαλύτερο χρονικό διάστημα χρειάζεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατάσταση ισορροπίας.
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Εναλλακτική μορφή λύσης 1: βαβαβα sinhcoshcoshsinh)sinh( ⋅±⋅=±ισχύει:
td ⋅= ωα ϕβ =θέτουμε: και
)sinh(cosh)cosh(sinh...)sinh( ttt ddd ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω
α β
συγκρίνοντας με:
ϕα sinh⋅Χ= Μ
ϕβ cosh⋅Χ= Μκαι ⇒ )(tanhtanh
coshsinh 1
βαϕϕ
ϕϕ
βα −=⇒==
)]sinh()cosh([)( tBtAetx ddt
hn ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
)(tanh 1
βαϕ −=
ox=αd
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=και ⇒ )(tanh 1
ono
do
xVx
⋅⋅+⋅
= −
ωζωϕ
ϕα 222 sinh⋅Χ= Μ
και ⇒
επίσης
ϕβ 222 cosh⋅Χ= Μ
ϕα sinh⋅Χ= Μκαι ⇒ ox=α ϕsinh
ox=ΧΜ
d
ono xVωωζβ ⋅⋅+
=και
⇒
=+ 22 βα
)2cosh(2 ϕMΧ=
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
)2cosh()(
2
22
ϕωωζ
⋅⋅⋅++
=d
onooM
xVxX
)sinh(cosh)cosh(sinh...)sinh( ttt ddd ⋅⋅⋅Χ+⋅⋅⋅Χ==+⋅⋅Χ ΜΜΜ ωϕωϕϕω
α β
συγκρίνοντας με: )]sinh()cosh([)( tBtAetx dd
th
n ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅− ωωωζ
και
Ενα
λλακ
τική
Λ
ύση
1
)sinh()2cosh(
)()( 2
22
ϕωϕω
ωζ ωζ +⋅⋅⋅⋅
⋅⋅++= ⋅⋅− texVxtX d
t
d
onooh
n
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Εναλλακτική μορφή λύσης 2:
⇒⋅+⋅= tstsh esxesxtx 21 )()()( 21
tstsh eBeAtx 21)( ⋅+⋅=
η μορφή της λύσης (θεωρία διαφορ. εξισ.) είναι:
ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
0=tγια oxx =)0(
oVVx == )0()0(.
⇒
BxAxeBeAtx oss
h −=⇒=⋅+⋅== ...)0( 000 21⇒
1 1
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
και η παράγωγος είναι:
otsts
h VeBseAstx =⋅⋅+⋅⋅= 2121)( 0=t
⇒
oVBsAs =⋅+⋅ 21
BxA o −=⇒
21
1
ssVxsB oo
−−⋅
=
και … BxA o −= ⇒ 21
121 )(ss
VxsssxA ooo
−+⋅−−⋅
=
...)()( 21
21
1
21
121 ⇒⋅−−⋅
+⋅−
+⋅−−⋅= ⋅⋅ tsootsooo
h ess
Vxsess
Vxsssxtx
επομένως
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
)]()([1)( 212112
21
tstso
tstsoh eeVesesx
sstx ⋅⋅⋅⋅ −⋅+⋅+⋅−⋅⋅
−=
122,1 −±−= ζωζω nnsμε ...
Εναλλακτική Λύση 2
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Αύξηση φυσικής συχνότητας ωn ⇒ μείωση χρόνου κατάληξης συστήματος (για ζ σταθερό) σε ισορροπία
με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές ...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Αύξηση λόγου απόσβεσης ζ ⇒ αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος (για ωn σταθερό) σε ισορροπία
με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές ...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση
Αύξηση λόγου απόσβεσης ζ ή ⇒ αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος μείωση φυσικής συχν. ωn σε ισορροπία (πιο αργή απόκριση)
με αρχικές συνθήκες μηδενικές ...
Ειδική περίπτωση: ζ = 0 Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
• Υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα. Επίσης, σε αντίθεση με την ιδιοσυχνότητα, η οποία είναι δυνατόν να προσδιοριστεί πειραματικά, ο λόγος απόσβεσης ζ δεν είναι εύκολα πειραματικά μετρήσιμος.
• Αφορά μία δυσμενέστερη κατάσταση. Συνεπώς, εάν η σχεδίαση
είναι ασφαλής έναντι της δυσμενέστερης κατάστασης, τότε είναι ασφαλής και έναντι της πραγματικής κατάστασης.
Σε τέτοιες περιπτώσεις λέμε ότι ‘η σχεδίαση βρίσκεται από την ασφαλή πλευρά (on the safe side)’, ή, ισοδύναμα, ‘η σχεδίαση είναι συντηρητική’.
Από την άποψη του Μηχανικού, αυτή η ειδική περίπτωση, αν και δεν συναντάται στη φύση, έχει ιδιαίτερη αξία.
Πλεονεκτήματα ζ = 0 έναντι 0 < ζ < 1
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
η απόκριση προκύπτει λύνοντας την ομογενή διαφορική εξίσωση ζ = 0 c = 0
1−=i
0)( 22 =+ ns ω
2 φανταστικές ιδιοτιμές (πόλοι): και 1s 2s
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο
έχει :
nis ω⋅±=2,1 όπου :
0...0 =⋅+⇒=⋅+⋅ xxxkxm nω
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
η μορφή της λύσης (θεωρία διαφορ. εξισ.) είναι:
tstststsh eBeAesxesxtx ⋅⋅⋅⋅ ⋅+⋅=⋅+⋅= 211 ...)()()( 2
21
ϕϕϕ sincos ⋅+=⋅ ieiκαι
ϕϕϕ sincos ⋅−=⋅− ie i
θέτουμε tn ⋅= ωϕ
⇒
⇒ )sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωα
όπου: Β+Α=α )( Β−Α⋅= iβκαι:
μιγαδικοί συζηγείς αριθμοί
τα α & β υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες ...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
0=t oxx =)0(
oVVx == )0()0(
ox=α)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωακαι
⇒
0=t
n
oVω
β =)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωακαι
⇒
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
ox=α
)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωα
⇒
n
oVω
β =
)sin()cos()( tVtxtx nn
onoh ⋅⋅+⋅⋅= ω
ωω⇒ Τελική
Λύση
πραγματικοί αριθμοί
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
Εναλλακτική μορφή λύσης:
)sin()cos()( tttx nnh ⋅⋅+⋅⋅= ωβωαισχύει:
)cos(sincos 22 ϕθβαθβθα −⋅+=⋅+⋅ισχύει η τριγωνομετρική σχέση:
αβϕ =tanόπου:
θέτουμε: ox=αn
oVω
β =και
⇒
)cos()( 22
αβωβα −⋅⋅+= ttx nh⇒
⇒
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση
)cos()( 2
22
on
on
n
ooh x
VtVxtx⋅
−⋅⋅+=ω
ωω
Εναλλακτική Λύση
ιδιοπερίοδος
αρχι
κή
κατά
στασ
η
on TT ≡...
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ασταθές δυναμικό σύστημα
Ασταθές σύστημα
Ευσταθές σύστημα
Εφαρμογές: Αιωρούμενα καλώδια, στα οποία είναι δυνατόν η αεροελαστική τους αστάθεια να οδηγήσει σε απορρόφηση
ενέργειας από την ροή του αέρα, όταν, προφανώς, φυσά άνεμος. Ενεργητική ανάρτηση των αυτοκινήτων. Αντί του κλασσικού συστήματος (παθητικής) ανάρτησης («μπουκάλα
με υγρό»), χρησιμοποιούνται ηλεκτροκινητήρες, με τους οποίους επιχειρείται τυπικά η ανάπτυξη δύναμης σε αντίθετη αναλογία με την κατακόρυφη ταλάντωση του οχήματος (Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου).
ζ < 0 Ιδιαίτερη περίπτωση. Ρίζες (πόλοι) του συστήματος: 2 πραγματικοί θετικοί αριθμοί Από την άποψη του Μηχανικού, η συγκεκριμένη κατηγορία αφορά
δυναμικά συστήματα, στα οποία υφίσταται κάποια μορφή αστάθειας (π.χ. μη γραμμικοί ταλαντωτές) και επιτυγχάνεται πρόσδοση ενέργειας στο σύστημα (αντί καταστροφή αυτής).
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ρίζες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ρίζες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο
Σύστημα 1 Β.Ε.: Ρίζες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο
Σύστημα 1 Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c
❷Υπερκρίσιμη απόσβεση (ζ > 1)
❹Υποκρίσιμη απόσβεση (0 < ζ < 1) φθάνει σε ηρεμία πιο αργά από ❶ ❸Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (ζ = 1)
❶ Κρίσιμη απόσβεση (ζ = 1) φθάνει σε ηρεμία πιο γρήγορα από ❷
ισορροπία σε t ~ 3/ωn
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση και 0<ζ<1 και αρχικές συνθήκες xo & Vo.
Απόκριση μηχανικού συστήματος
)sin()( ϕωωζ +⋅⋅⋅Α= ⋅⋅− tetx nt
hd
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
μία μέγιστη τιμή της απόκρισης καλείται πλάτος ταλάντωσης
το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται από κύκλο σε κύκλο σύμφωνα με την απόσβεση nx
1x
dt ω
πο
⋅+ 2
οx
οt
dωπ⋅=Τ 2
d
nt ωπ
ο⋅⋅+ 2
nxκάθε νέο μέγιστο θα εμφανίζεται
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
)sin()( ϕωωζο +⋅⋅⋅Α= ⋅⋅−
odt tetx on
))(sin()( )(1 ϕωωζ ++⋅⋅⋅Α= +⋅⋅− Ttetx od
Tton
οt
Ttt += ο1
))(sin()sin(
)()(
)(1 ϕω
ϕωωζ
ωζ
++⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α
= +⋅⋅−
⋅⋅−
Ttete
txtx
odTt
odt
oon
on
τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι:
τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι: ⇒
⇒
Μέτρο απόσβεσης Ζ ή δ ])()(
ln[1 tx
txo=δ
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
...]))(sin(
)sin(ln[ )( ⇒
++⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α
=⇒ +⋅⋅−
⋅⋅−
ϕωϕω
δ ωζ
ωζ
Ttete
odTt
odt
on
on
⇒= ])()(
ln[1 tx
txoδ
πω ⋅=⋅ 2Td
212)ln(...
ζω
πωζωζδ ωζ
−⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅==⇒ ⋅⋅
n
nnT Te n
d
n
ωωζπ
ζ
ζπδ⋅⋅⋅
=−
⋅⋅=
2
12
2
21 ζωω −⋅= ndισχύει
⇒
⇒
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
d
n
ωωζπ
ζ
ζπδ⋅⋅⋅
=−
⋅⋅=
2
12
2
και <<<ζ
⇒ ζπδ ⋅⋅≈ 2
πειραματικός προσδιορισμός ζ
212
ζ
ζπ
−
⋅⋅== ]
)()(
ln[1 tx
txoδ ⇒ . . . 2()
πδ
δπ
δζ⋅
≈+⋅
=24 22⇒ . . .
η αρνητική ρίζα απορρίπτεται
ndnd ωωζωω ≈⇒−⋅= 21για
<<<ζ
Σύστημα 1 Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης
))(sin()sin(
)()(
)( ϕωϕω
ωζ
ωζ
+⋅+⋅⋅⋅Α+⋅⋅⋅Α
= ⋅+⋅⋅−
⋅⋅−
Tntete
txtx
odTnt
odt
n
oon
on
Για συντελεστής απόσβεσης πολύ μικρό, ο ρυθμός με τον οποίο αποσβένει η ταλάντωση είναι πολύ αργός και η ακρίβεια του αποτελέσματος επηρεάζεται σημαντικά από την
ακρίβεια με την οποία προσδιορίζονται τα δύο διαδοχικά πλάτη ταλάντωσης.
Για την διατήρηση ικανοποιητικής ακρίβειας είναι επιθυμητό ο λόγος των πλατών να βασίζεται σε κορυφές οι οποίες απέχουν αρκετούς κύκλους ταλάντωσης.
d
nnnω
ωζπ
ζ
ζπδ⋅⋅⋅⋅
=−
⋅⋅⋅=
2
12
2
Visualizing free and forced harmonic oscillations http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=3926&view=html
ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dampers for earthquake protection https://www.youtube.com/watch?v=xp2pGxFzrzI
MDOF system forced vibration https://www.youtube.com/watch?v=OaXSmPgl1os
Damped Vibration https://www.youtube.com/watch?v=bDa8Ghm9aRw
Animation of an Harmonic oscillator (mechanics, physics) https://www.youtube.com/watch?v=py3EWLKQaMs
EN4: Dynamics and Vibrations http://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/notes_old/Dampedvibes/Dampedvibes.html
Free vibration of singe DOF systems http://slideplayer.com/slide/3471922/
Undamped free vibration http://slideplayer.com/slide/8815182/
Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών
Δρ. Αντωνιάδης Ι. . . . . [email protected] Δρ. Γιακόπουλος Χ. . . . [email protected]
Ευχαριστώ για την προσοχή σας!