РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКСИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Международная конференция,посвященная 105-летию со дня рождения

Сергея Львовича Соболева

Новосибирск, Россия, 18–24 августа 2013 г.

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ

НОВОСИБИРСК2013

УДК 517+519.6ББК B16+B192

Д503

Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория при-ближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рожде-ния С. Л. Соболева (Новосибирск, 18–24 августа 2013 г.): Тез. докладов / Ин-тматематики СО РАН. Новосибирск, 2013. 465 с.

ISBN 978-5-86134-139-4.

ОрганизаторыИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Новосибирский государственный университет

OrganizersSobolev Institute of Mathematics SB RAS

Novosibirsk State University

Д1602070100− 03

Я82(03)− 2013Без объявл.

ISBN 978-5-86134-139-4

c⃝ Институт математикиим. С. Л. Соболева СО РАН, 2013

Программный комитетЮ.Е. Аниконов, В. С. Белоносов, О.В. Бесов, А. М. Блохин, С. Н. Васильев,В.Л. Васкевич, С. К. Водопьянов, С.К. Годунов, С.С. Гончаров, Г. В. Демиденко— председатель, Ю. Л. Ершов, С.И. Кабанихин, Т.Ш.Кальменов, В. В. Козлов,А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, Г.И. Марчук , И. И. Матвеева — секретарь,Б. Г. Михайленко, Л. В. Овсянников, П. И. Плотников, С.И. Похожаев,В.В. Пухначев, Ю. Г. Решетняк, В. Г. Романов, А. А. Толстоногов, Л.Д. Фаддеев,М.В. Фокин, H. Begehr, B. Bojarski, E. Feireisl, L. Hatvani, A. Kufner, A. Laptev,V. Maz’ya, L. Nirenberg

Организационный комитетВ.В. Богданов, Л. Н. Бондарь — секретарь, А. Ф. Воронин, В. А. Дедок,А.А. Егоров, В. Н. Зиновьев, Л. М. Крапчан, Т.Ю.Моргунова, Г. З. Морозова,М.В. Нещадим, А. Н. Ряскин, Д. Л. Ткачев, М.П. Федорук — председатель,Г. В. Шевченко

Program CommitteeYu.E. Anikonov, H. Begehr, V. S. Belonosov, O. V. Besov, A. M. Blokhin, B. Bojarski,G.V. Demidenko (Chairman), Yu. L. Ershov, L.D. Faddeev, E. Feireisl, M. V. Fokin,S.K. Godunov, S. S. Goncharov, L. Hatvani, S. I. Kabanikhin, T. Sh. Kalmenov,V.V. Kozlov, A. Kufner, A.G. Kusraev, S. S. Kutateladze, A. Laptev, G. I. Marchuk ,I. I. Matveeva (Secretary), V. Maz’ya, B. G. Mikhailenko, L. Nirenberg, L. V. Ovsyan-nikov, P. I. Plotnikov, S. I. Pokhozhaev, V.V. Pukhnachev, Yu.G. Reshetnyak,V.G. Romanov, A. A. Tolstonogov, V. L. Vaskevich, S. N. Vassilyev, S. K. Vodopyanov

Organizing CommitteeV.V. Bogdanov, L. N. Bondar (Secretary), V. A. Dedok, A. A. Egorov, M. P. Fedoruk(Chairman), L.M. Krapchan, T. Yu. Morgunova, G. Z. Morozova, M.V. Neshchadim,A.N. Ryaskin, G.V. Shevchenko, D. L. Tkachev, A. F. Voronin, V. N. Zinov’ev

Конференцию поддержали:

Российский фонд фундаментальных исследований(проект 13-01-06065)

Сибирское отделение Российской академии наук

Министерство образования, науки иинновационной политики Новосибирской области

Международный математический союз

Международный центр теоретической физикиим. А. Салама

Компания Schlumberger

Корпорация Intel

Механико-математический факультетНовосибирского государственного университета

Sponsors:

Russian Foundation for Basic Research(project no. 13-01-06065)

Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Ministry of Education, Science and Innovation Policy ofNovosibirsk Region

International Mathematical Union

The Abdus Salam International Centre forTheoretical Physics

Schlumberger

Intel Corporation

Department of Mechanics and Mathematics,Novosibirsk State University

СОДЕРЖАНИЕ

ПЛЕНАРНЫЕ ДОКЛАДЫPLENARY LECTURES

Бабич В. М.Довоенные работы С. Л. Соболева и их значение для последующего развитияматематикиS. L. Sobolev’s works in the pre-war years and their importance for the subsequentdevelopment of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Годунов С.К.Законы сохранения для релятивистских уравненийConservation laws for the relativistic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Дубинский Ю. А.Некоторые задачи математической физики в пространствах СоболеваSome problems of mathematical physics in Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Жиков В. В.О переходе к пределу в нелинейных эллиптических и параболических урав-ненияхOn passage to the limit in nonlinear elliptic and parabolic equations . . . . . . . . . . 43Козлов В. В.Кинетические уравнения и динамика сплошных средKinetic equations and dynamics of continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Маслов В. П., Шафаревич А.И.Асимптотические решения уравнений Навье – Стокса и топологические ин-варианты векторных полей и лиувиллевых слоенийAsymptotic solutions of the Navier–Stokes equations and topological invariantsof vector fields and Liouville foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Решетняк Ю. Г.К теории соболевских пространствTo the theory of Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Солонников В. А.Оценки в Lq решения задачи магнитной гидродинамики co свободной грани-цей в многосвязной областиLq-estimates of a solution of the free boundary magnetohydrodynamics problemin a multiply connected domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Begehr H.Boundary value problems for complex partial differential equations in planedomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Bojarski B.Interpolation, divided differences, splines and Sobolev spaces. From J. Gregory,I. Newton and G. Leibniz to S. L. Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Feireisl E.Mathematical theory of compressible, viscous, and heat conducting fluids . . . . . . 50Gyori I.Interconnection between ordinary and delay differential equations viaapproximation techniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5

Iooss G.Small divisor problems in fluid mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Kufner A.About Sobolev-type spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Plotnikov P. I., Weigant W.Compressible Navier–Stokes equations. Padula and Lions problems . . . . . . . . . . . . 54Toland J. F.Problems with a variational theory of water waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯDIFFERENTIAL EQUATIONS

30-минутные доклады / Invited Lectures

Белоносов В. С.Теория нелинейного резонанса для абстрактных гиперболических уравненийNonlinear resonance theory for abstract hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Блохин А. М., Ткачев Д.Л.Соболевская регуляризация в задаче о переносе заряда для транзистораMESFETSobolev regularization in a problem of charge transport for the MESFETtransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Гарипов Р.М.Волновая модель атомного ядраWave model of atomic kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Демиденко Г.В.Теоремы об изоморфизме квазиэллиптических операторовTheorems on isomorphism of quasielliptic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Кабанихин С. И.Совмещенные обратные и некорректные задачи для гиперболических урав-нений (теория, алгоритмы, приложения)Combined inverse and ill-posed problems for hyperbolic equations (theory,numerics, and applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Кальменов Т.Ш., Дауитбек Д.Граничные условия волнового потенциалаBoundary conditions of the wave potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Мазко А. Г.Робастная устойчивость, оптимизация и сравнение динамических системRobust stability, optimization, and comparison of dynamical systems . . . . . . . . . . 64Романов В. Г.Обратные задачи для уравнений вязкоупругостиInverse problems for viscoelasticity equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Толстоногов А.А.Управляемые процессы выметанияControl sweeping processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Alekseev G. V.Coefficient inverse problems for Helmholtz and Maxwell’s equations and theinvisibility problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6

Antontsev S., Shmarev S.Nonlinear partial differential equations in Sobolev spaces with variable exponents 68Chechkin G. A., Chechkina T.P.Mathematical aspects of the hydrodynamics of non-Newtonian media . . . . . . . . . . 69Panov E.Yu.On decay of periodic renormalized solutions to scalar conservation laws . . . . . . . . 70Skubachevskii A. L.The Vlasov–Poisson equations in infinite cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

20-минутные и стендовые доклады / Short Communications and Posters

Абдрахманов А. М., Абдрахманова Р. П.Видоизмененная задача Дирихле для вырождающейся многомерной системыБицадзе – ЯнушаускасаA modified Dirichlet problem for the degenerating multidimensional Bitsadze–Yanushauskas system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Аверина Т.А.Два способа записи стохастических дифференциальных уравнений с пуассо-новской составляющейTwo forms of writing stochastic differential equations with Poisson component 75Акыш А. Ш.Об экстремальных свойствах решения уравнений Навье – СтоксаOn extreme properties of a solution of the Navier–Stokes equations . . . . . . . . . . . 76Александров В. М.Вычисление оптимального управления в реальном времениComputing of optimal control in real time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Амангалиева М. М., Дженалиев М. Т., Космакова М. Т.,Рамазанов М. И.О разрешимости интегральных уравнений теплопроводности в нецилиндри-ческих областяхOn solvability of the heat conductivity integral equations in noncylindricaldomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Андреев В. К., Иванова А.В.О свойствах решений уравнений гидростатической моделиProperties of solutions of a hydrostatic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Андреев В. К., Степанова И.В.Обобщение решения Остроумова – Бириха уравнений конвекции для нели-нейной силы плавучестиGeneralization of the Ostroumov–Birikh solution of the convection equations fora nonlinear buoyancy force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Андриянова Э. Р., Мукминов Ф.Х.Оценки скорости убывания решения нелинейного параболического уравне-ния в норме пространства ОрличаEstimates of the decay rate of solution to a nonlinear parabolic equation in theOrlicz norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Аниконов Д. С.Задачи зондирования окружающей средыProbing problems of surrounding media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7

Аниконов Ю. Е.Представления решений функциональных и эволюционных уравнений и за-дачи идентификацииRepresentation of solutions of functional and evolution equations andidentification problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Апаков Ю. П.Об одной задаче для параболо-гиперболического уравнения с параллельны-ми плоскостями изменения типов в R3

On a problem for a parabolic-hyperbolic equation with parallel planes of typechanges in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Асадова О. Г., Алиев Н.А.Исследование решения смешанной задачи для уравнения высокого порядкаStudying solution to a mixed problem for a high order equation . . . . . . . . . . . . . . . 85Асанов А.Об одном классе линейных интегральных уравнений Фредгольма третьегородаOn a class of linear Fredholm integral equations of the third kind . . . . . . . . . . . . . 86Ахмед-Заки Д. К., Абдыманапов С. А.Об одной системе дифференциальных уравнений в частных производных ссингулярными коэффициентамиOn a system of partial differential equation with singular coefficients . . . . . . . . . . 87Аюпова Н. Б.Формулы в обратных задачах для эволюционных уравненийFormulae in inverse problems for evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Байдин А. В., Месенев П.Р., Соснов В. В.Маскировка с помощью импедансного граничного условия в двумерной за-даче сопряжения для уравнений МаксвеллаCloaking via impedance boundary condition in the 2-D transmission problem forMaxwell equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Байдулов В. Г.Точные решения и особенности одномерных моделей внутренних волнExact solutions and peculiarities of one-dimensional models of internal waves . . 90Балакина Е. Ю.Математические методы анализа данных рентгеновской томографииMathematical methods for the X-ray tomography data analysis . . . . . . . . . . . . . . . 91Барлукова А. М., Чупахин А.П.Исследование решений типа бегущих волн в одномерной модели гемодина-микиAnalysis of traveling wave solutions in 1-D hemodynamics model . . . . . . . . . . . . . . 92Безродных С. И., Власов В.И.Сингулярная задача Римана – Гильберта в сложных областяхThe singular Riemann–Hilbert problem in complex shaped domains . . . . . . . . . . . 93Белов Ю. Я., Копылова В. Г.Определение функций источника систем уравнений составного типа длянекоторых начально-краевых задачDetermination of source functions for systems of equations of composite type forsome initial-boundary problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8

Белов Ю. Я., Фроленков И.В.О некоторых задачах для дифференциальных уравнений типа БюргерсаOn some problems for differential equations of Burgers type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Бердышев А. С., Ахтаева Н.С.Локальные задачи для гиперболического уравнения третьего порядкаLocal problems for some third order hyperbolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Бибиков П. В.О геометрии обыкновенных дифференциальных уравнений Абеля первогопорядкаOn geometry of the first order Abel differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Боговский М. Е.Альтернатива глобальной сходимости в методе Ньютона для задачи Навье –СтоксаGlobal convergence alternative in Newton’s method for the Navier–Stokesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Бондаренко А. Н., Дедок В.А.Спектральные преобразования для оператора Шредингера на графахSpectral transformations for Schrodinger operator on graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Бондарь Л. Н.О разрешимости краевой задачи в полупространстве для одной эллиптиче-ской системыOn solvability of a boundary value problem for one elliptic system in a half-space 100Борель Л. В.Один класс интегродифференциальных уравнений соболевского типаA class of integro-differential equations of Sobolev type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Бризицкий Р.В.Краевая задача для стационарных уравнений МГД со смешанными гранич-ными условиямиA boundary value problem for the stationary MHD equations with mixedboundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Бугуева Т.В.Определение параметров упругой изотропной среды в бесконечном цилиндреDetermination of the parameters of an elastic isotropic medium in an infinitecylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Бычков Е. В.Задача Коши – Неймана для системы уравнений БуссинескаThe Cauchy–Neumann problem for the system of Bousinessque equations . . . . . 104Васильев В. Б.Разрешимость псевдодифференциальных уравнений в многомерных конусахSolvability of pseudo-differential equations in multidimensional cones . . . . . . . . . . 105Васильева Е. В.Устойчивые периодические решения многомерных периодических системдифференциальных уравнений с гомоклиническими решениямиStable periodic solutions of multidimensional periodic systems of differentialequations with homoclinic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Вихтенко Э. М., Намм Р.В.Функционалы чувствительности и их приложение в задачах механикиSensitivity functionals and their application to problems of mechanics . . . . . . . . . 107

9

Водопьянов Е. С.Асимптотическая устойчивость решений линейных дифференциальныхуравнений нейтрального типа при возмущении коэффициентовAsymptotic stability of solutions to linear differential equations of neutral typeunder perturbations of their coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Волокитин Е. П.Рациональные первые интегралы полиномиальных систем Коши – РиманаRational first integrals of polynomial Cauchy–Riemann systems . . . . . . . . . . . . . . . 109Волчков Ю. М.Неклассические уравнения теории пластин и оболочекNonclassical equations of the theory of plates and shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Волянская И. И., Илькив В.С.Неоднородная краевая задача для уравнения с частными производными вкомплексной областиAn nonhomogeneous boundary value problem for a partial differential equationin a complex domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Воронин А. Ф.Восстановление оператора свертки по правой части на полупрямойRecovery of the convolution operator by the right-hand side on the half-line . . . 112Гайдомак С.В.Об устойчивости неявных сплайн-коллокационных разностных схем длянекоторых линейных дифференциально-алгебраических систем уравнений вчастных производныхOn stability of implicit spline-collocation difference schemes for some lineardifferential-algebraic systems of partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Галахов Е.И., Салиева О.А.Разрешимость некоторых уравнений в частных производных с особенностя-ми на неограниченных множествахSolvability of some partial differential equations with singularities on unboundedsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Гарипов Р.М., Котельникова М. С.4-кристаллы и квазикристаллы4-crystalls and quasicrystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Гладков А.Л.Начально-краевая задача для полулинейного параболического уравнения снелинейными нелокальными граничными условиямиInitial boundary value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinearnonlocal boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Головин С.В., Исаев В.И., Калинин С. А., Кузнецов Д. С.Движение бинарной жидкости в плоской трещине с упругими пористымистенкамиMotion of a binary fluid in a planar crack with elastic porous walls . . . . . . . . . . . . 117Гордевский В.Д., Гукалов А.А.Взаимодействие смерчеобразных потоков для модели шероховатых сферInteraction of the eddy flows in the model of rough spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Гордиевских Д.М.Фазовое пространство одного класса уравнений соболевского типа с дробнойпроизводнойPhase space for a class of Sobolev type equations with fractional derivative . . . . 119

10

Гордиенко В.М.Диссипативность граничного условия в смешанной задаче для волновогоуравненияDissipativity of boundary condition in a mixed problem for the wave equation . 120Григорьев Ю. Н., Ершов И.В.Устойчивость плоского течения Куэтта колебательно-возбужденного газаStability of the plain Couette flow of a vibrationally excited gas . . . . . . . . . . . . . . . 121Губарев Ю. Г., Губкин А.А.К устойчивости одного класса одномерных состояний динамического равно-весия плазмы Власова – ПуассонаOn stability of a class of 1-D dynamical equilibrium states of the Vlasov–Poissonplasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Давыдов А. А.О нормальных формах семейств уравнений смешанного типа на плоскостиOn normal forms of families of mixed type equations on the plane . . . . . . . . . . . . . 123Давыдов П. Н., Фёдоров В. Е.Однозначная локальная разрешимость одной полулинейной системы урав-нений обобщенного гидродинамического типаLocal unique solvability of a sistem of semilinear equations of generalizedhydrodynamical type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Дастай-оол А. А., Ломов А.А.Об устойчивости решений в обратной задаче для коэффициентов линейногоразностного уравненияOn stability of solutions in the inverse problem for coefficients of a lineardifference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Демидов Г.В., Михайленко Б. Г., Мартынов В. Н.Моделирование распространения упругих волн, использующее пошаговоепреобразование Лагерра по времениModeling the elastic wave propagation by using the step-by-step Laguerretransform in time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Денисова Т. Е.Об одном методе изучения качественных свойств решений первой начально-краевой задачи для уравнений соболевского типаOn a method for studying qualitative properties of solutions of the first initial-boundary value problem for Sobolev type equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Доброхотов С.Ю., Медведев С. Б., Назаренко С. В.,Чиркунов Ю. А., Миненков Д. С.Простейшие точные решения уравнений мелкой водыThe simplest exact solutions of the shallow-water equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Доброхотов С.Ю., Симонов К.В., Курако М. А., Ложников Д. А.Решение задач гидрофизического мониторинга на основе асимптотическихформулAsymptotic formulas for solving problems of hydrophysical monitoring . . . . . . . . 129Думанян В. Ж.О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядкаOn the Dirichlet problem for a second order elliptic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Егоров И. E., Захарова Т.И.О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типаOn Fredholmness of a boundary value problem for a mixed type equation . . . . . 131

11

Егоров И. E., Тихонова И.М.Оценка погрешности стационарного метода Галеркина для задачи А. Н. Те-реховаError estimation of a stationary Galerkin method for A.N. Terekhov’s problem 132Егоршин А. О.Об эквивалентности аналитической и вариационной дискретизации диффе-ренциальных уравнений при их идентификацииOn equivalence of analytical and variational discretization of differentialequations under their identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Ефимова А. А.Численное моделирование развития турбулентности в системе пучок-плазмаNumerical simulation of the turbulence growth in the beam-plasma system . . . . 134Ефимова П. Н.Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для одного урав-нения четвертого порядкаStudying solvability of nonlocal boundary value problems for a fourth orderequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Жибер А. В., Костригина О.С.Характеристические кольца Ли гиперболических систем уравненийCharacteristic Lie rings of hyperbolic systems of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Жуматов С. С.Равномерная притягиваемость программного многообразия неявных диффе-ренциальных системUniform attraction of a program manifold of implicit differential systems . . . . . . 137Загребина С. А., Солдатова Е.А.Стохастические уравнения соболевского типа на графеStochastic Sobolev type equations on a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Замышляева А. А., Цыпленкова О.Н.Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска –Лява на графеNumerical solution of an optimal control problem in the Boussinesq–Love modelon a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Зикиров О. С.Об одной задаче для гиперболических уравнений третьего порядкаOn a problem for third order hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Иванов А. А.Нахождение бифуркаций для решений нелинейных уравнений методом про-долженного функционалаFinding bifurcations for solutions of nonlinear equations by the extendedfunctional method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Иванова А. В., Остапенко В.В., Черевко А. А., Чупахин А. П.Задача о распаде разрыва в модели мелкой воды на вращающейся притяги-вающей сфереProblem of discontinuity disintegration in the shallow water model on a rotatinggravitating sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12

Иванова Н. Д.Обратная задача для линеаризованной квазистационарной системы уравне-ний фазового поля с вырождениемInverse problem for a linearized quasi-stationary phase field model withdegeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Илькив В. С., Страп Н.И.Нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными вмногомерной комплексной областиA nonlocal boundary value problem for a partial differential equation in amultidimensional complex domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Иргашев Б. Ю.Краевая задача для одного уравнения четного порядкаA boundary value problem for an even order equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Искакова У.А.Применение оператора преобразования для дифференциальных уравненийчетвертого порядка в решении спектральных задачApplication of a conversion operator for fourth order differential equations forsolving spectral problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Исхоков С.А., Гадоев М. Г., Петрова М. Н.О некоторых спектральных свойствах одного класса эллиптических опера-торов, заданных в предельно-цилиндрических областяхOn some spectral properties of a class of elliptic operators given in limit-tubedomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Кабанихин С. И., Криворотько О.И., Маринин И.В.Совмещенная обратная задача цунамиCombined inverse problem of tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Казаков А. Л., Кузнецов П.А.Краевая задача с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводно-сти в сферических координатахA boundary value problem with degeneration for the nonlinear heat equation inspherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Казаков А. Л., Лемперт А.А.О некоторых краевых задачах с вырождением для уравнения нелинейнойтеплопроводностиOn boundary value problems with degeneracy for the nonlinear heat equation . 150Казанцев С. Г.Тензорные поля на плоскости и системы уравнений типа БельтрамиTensor fields on the plane and Beltrami type systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Калиев И. А., Шухардин А.А.Граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилин-дрических возрастающих по времени областяхBoundary value problems for equations of a viscous heat-conductive gas in time-increasing noncylindrical domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Калинин А. В., Григорьев Е. Е.О некоторых задачах теории классического электродного эффекта в атмо-сфереOn some problems of the theory of classic electrode effect in the atmosphere . . 153

13

Кальменов Т.Ш., Искакова У. А.О сильной разрешимости задачи Коши для бигармонического уравнения вкольцеOn the strong solvability of the Cauchy problem for the biharmonic equation inthe ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Камынин В. Л., Костин А.Б.О разрешимости в классах С. Л. Соболева обратных задач нахождения млад-шего коэффициента в параболическом уравненииOn solvability in the Sobolev classes of inverse problems of the lower coefficientdetermination in a parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Кангужин Б. Е., Токмагамбетов Н.Е.Обобщенное преобразование ФурьеGeneralized Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Капцов О. В.Метод Дарбу и проблема ГурсаThe Darboux method and the Goursat problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Карабут Е. А., Журавлева Е.Н.Шесть течений со свободной границей, описываемых одной формулойSix free boundary flows generating by one formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Карабут Е. А., Кужугет А.А.Конформные отображения, аппроксиманты Паде и пример течения со сво-бодной границейConformal mappings, the Pade approximants, and an example of a flow with freeboundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Карачик В. В.Условия разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравненияв единичном шареSolvability conditions of the Neumann boundary value problem for thepolyharmonic equation in the unit ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Карчевский А. Л.Сокращение времени счёта при решении обратной задачи оптимизационнымметодомDecrease of a running time for solving an inverse problem by the optimizationmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Келлер А. В.Уравнения леонтьевского типа — конечномерный аналог уравнений соболев-ского типаLeontief type equations — a finite dimensional analogue of Sobolev typeequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Коврижкин В. В.Задачи Дарбу и Дирихле для уравнения ТрикомиDarboux and Dirichlet problems for the Tricomi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Ковыркина О. А., Остапенко В. В.Сравнение точности монотонных и немонотонных разностных схем сквозногосчётаThe accuracy comparison of some monotonic and nonmonotonic shock-capturingdifference schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

14

Кожанов А.И.Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальныхуравненийA conjugation problem for some nonclassical differential equations . . . . . . . . . . . . 165Кожевникова Л.М., Леонтьев А. А.Стабилизация решений анизотропного параболического уравнения высокогопорядка в неограниченных областяхStabilization of solutions of an anisotropic high order parabolic equation inunbounded domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Козлов Р.И., Козлова О.Р., Ульянов С. А.Метод сравнения для анализа устойчивости систем с последействиемA comparison method for stability analysis of delay systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Колпакова Е. А.О построении обобщенного решения системы квазилинейных уравнений пер-вого порядкаOn generalized solution construction of the system of the first order quasilinearequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Колтуновский О. А.Обратная задача для многомерного гиперболического уравнения с неизвест-ным младшим коэффициентом в случае финального переопределенияInverse problem for a multidimensional hyperbolic equation with the unknownlower coefficient in the case of final redefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Коновалова Д. С.Использование особенностей обобщенного решения гиперболических системUsing singularities of a generalized solution for hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . 170Кононенко Л. И., Тресков С.А.Колебания в задачах химической кинетикиOscillations in problems of chemical kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Короткова Е. М.О некоторых обратных задачах для линеаризованной системы тепломассо-переносаOn some inverse problems for a linearized heat and mass transfer system . . . . . . 172Коршун К. В.Задача идентификации функции источника для многомерного уравнения ти-па БюргерсаAn identification problem of the source function in a multidimensional Burgerstype equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Кошанов Б. Д., Китапбаева Б. Т., Бакытбек М. Б.Построение корректных краевых задач для неоднородного полигармониче-ского уравнения в ограниченной областиConstructing the correct boundary value problems for the nonhomogeneouspolyharmonic equation in a bounded domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Кошелева Ю. А.О некоторых нелокальных и обратных задачах для ультрапараболическихуравненийAbout some nonlocal and inverse problems for ultraparabolic equations . . . . . . . 175

15

Кригер Е. Н., Фроленков И.В.Задача идентификации коэффициента специального вида при нелинейномчлене в двумерном параболическом уравненииAn identification problem of the special form coefficient at a nonlinear term fora two-dimensional parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Куркина М. В., Родионов Е.Д., Славский В.В.Об одном дифференциальном уравненииAbout one differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Кучер Н. А.Глобальная разрешимость трехмерной начально-краевой задачи для уравне-ний смеси вязких сжимаемых жидкостейGlobal solvability of a three-dimensional initial-boundary value problem for theequations of mixture of viscous compressible fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Лазарев Н. П.О существовании оптимальной формы трещины в задаче о равновесии пла-стины ТимошенкоExistence of an optimal crack shape in the equilibrium problem for a Timoshenkotype plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Латфуллин Т. Г.Полиномиальные решения систем типа Коши – РиманаPolynomial solutions of Cauchy–Riemann type systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Лашина Е. А., Чумакова Н.А., Чумаков Г. А.Анализ инвариантных многообразий стационарных состояний седлового ти-паStudying the invariant manifolds of saddle steady states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Лихошвай В. А., Фадеев С.И.О сдвиге управляющего сигнала в моделях матричного синтезаOn the shift of a controlling signal in models of matrix synthesis . . . . . . . . . . . . . . 182Лобанов А. В.Оценки устойчивости решений обратных экстремальных задач для уравне-ния ГельмгольцаStability estimates of solutions of inverse extremal problems for the Helmholtzequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Лукина Г.А.Пространственно-нелокальные краевые задачи с условиями А. А. Самарско-го для ультрапараболических уравненийSpace nonlocal boundary value problems with A. A. Samarskii conditions forultraparabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Люлько Н. А.Неустойчивость нелинейной системы двух осцилляторов при основном и ком-бинационном резонансахInstability of a nonlinear system of two oscillators due to main and combinationalresonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Макаренко Н.И.Классы Харди и пространства Винера – Соболева в нелинейных задачахтеории волнHardy classes and Wiener–Sobolev spaces in nonlinear problems of the wavetheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

16

Мамадалиев Н.Об одной задаче преследования при наличии запаздыванияOn a pursuit problem with delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Мамонтов А. Е., Прокудин Д.А.Разрешимость краевых задач для уравнений движения бинарных смесей вяз-ких сжимаемых жидкостейSolvability of boundary value problems for the equations of viscous compressiblebifluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Мамонтов Е. В.Об устойчивости решения с контактным разрывом уравнений мелкой водына вращающейся притягивающей сфереStability of the solution with the contact discontinuity of shallow water equationson a rotating attracting sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Манакова Н. А., Богатырева Е.А.О продолжении решения задачи Коши для квазилинейного уравнения собо-левского типаOn the solution continuation of the Cauchy problem for a quasilinear Sobolevtype equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Матвеева И. И., Уварова И.А.О свойствах решений одного класса систем нелинейных обыкновенных диф-ференциальных уравнений высокой размерностиOn properties of solutions to one class of systems of nonlinear ordinary differentialequations of higher dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Матевосян О. А.Задача Дирихле для полигармонического уравнения в неограниченных об-ластяхThe Dirichlet problem for the polyharmonic equation in unbounded domains . . 192Меграбов А. Г.Законы сохранения и другие формулы в дифференциальной геометрии и ихприложения в математической физикеConservation laws and other formulas in the differential geometry and theirapplications in the mathematical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Медведев С. Б.Эволюционные уравнения для гидродинамических моментов сплошной сре-ды из невзаимодействующих частицEvolution equations for hydrodynamic moments of continuous medium ofnoninteracting particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Мередов М., Мередова М. М.О методе доказательства существования обобщенного решения некоторыхкраевых задачOn a method for proving the existence of a generalized solution for some boundaryvalue problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Михайлова А. В., Черевко А.А., Чупахин А.П.,Кривошапкин А. Л., Орлов К. Ю., Панарин В.А.Обратная задача построения дифференциальных уравнений гемодинамикипо экспериментальным клиническим даннымAn inverse problem of constructing the gemodynamics differential equations bythe use of experimental clinical data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

17

Мусабеков К.С.Необходимое условие оптимальности в одной регуляризованной задаче опти-мального управленияA necessary condition of optimality in one regularized problem of optimal control 197Налимов В. И.Дифференциальные свойства оператора Дирихле – НейманаDifferential properties of the Dirichlet–Neumann operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Нальжупбаева Г.М.Регуляризованный след обыкновенного дифференциального оператора с ин-тегральным граничным условиемRegularized trace of an ordinary differential operator with an integral boundarycondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Намсараева Г.В.Нелокальные и обратные задачи для некоторых классов псевдопараболиче-ских уравненийNonlocal and inverse problems for some classes of pseudoparabolic equations . . 200Нестеров П. Н.Асимптотическое интегрирование адиабатических осцилляторовAsymptotic integration of adiabatic oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Нещадим М. В.Классы обобщенных функционально инвариантных решений волновогоуравненияClasses of the generalized functional-invariant solutions of the wave equation . . 202Новиков Д. П., Павлов М.В.Редукция системы Скирма – ФаддееваReduced Skyrme–Faddeev system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Омельченко Е.А.Глобальная разрешимость уравнения соболевского типа с последействиемGlobal solvability of a Sobolev type equation with delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Оразов И. О., Шалданбаев А.Ш.Формула следа вольтеррова оператора Штурма – Лиувилля в пространствес индефинитной метрикойThe trace formula of a Volterra–Sturm–Liouville operator in the space with anindefinite metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Оспанов К. Н.О сингулярной системе типа БельтрамиOn a singular system of Beltrami type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Ошоров Б. Б., Ошоров БатоБ.Краевые задачи типа Римана – Гильберта для некоторых классов системуравнений в частных производныхBoundary value problems of Riemann–Hilbert type for some classes of systemsof partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Павлов В. П., Абдрахманова А.А.Сплайн дефекта 2 для дифференциального уравнения четвертого порядкаThe defect 2 spline for a fourth order differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Панов А. В.Групповая классификация одного класса псевдопараболических уравненийGroup classification of a class of pseudoparabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

18

Парфёнов А. И.Об экспоненциальной асимптотической формуле для гармонических функ-цийOn the exponential asymptotic formula for harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . 210Пастухова С. Е.Обобщенные уравнения Навье – Стокса: теоремы существования и энергети-ческие равенстваGeneralized Navier–Stokes equations: existence theorems and energy equalities 211Пененко А. В., Пененко В.В.Вариационное усвоение данных на основе схемы расщепления для многомер-ных моделей конвекции-диффузииSplitting scheme-based variational data assimilation for multidimensionalconvection-diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Пененко В. В.Метод построения численных моделей математической физики на основе ва-риационных принципов и интегрирующих множителейA method for construction of numerical models of mathematical physics basedon variational principles and integrating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Перов А. И., Коструб И.Д., Иванова Е.В.Ограниченные решения нелинейных дифференциальных уравнений в гиль-бертовом пространстве и теорема Тихонова о неподвижной точкеBounded solutions of nonlinear differential equations in Hilbert space andTikhonov theorem on a fixed point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Перцев Н. В.Экспоненциальные оценки на решения некоторых систем линейных диффе-ренциальных уравнений с запаздываниемExponential estimates for solutions of some systems of linear delay differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Петренко П. С.Стабилизируемость систем дифференциально-алгебраических уравненийStabilizability of systems of differential-algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Пикулин С.В.О принципе компактности носителя решения для полулинейных эллиптиче-ских уравненийOn the compact support principle for solutions of the semilinear elliptic equations 217Пиманов Д. О., Косцов Э. Г., Фадеев С. И.Численный метод исследования математических моделей микромеханикипри периодическом импульсном воздействииNumerical method of studying mathematical models of micromechanics withperiodic impulse impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Пинигина Н. Р.О краевой задаче для вырождающихся уравнений соболевского типа в неци-линдрических областяхOn a boundary value problems for degenerate equations of Sobolev type innoncylindrical domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

19

Письменный Н. А.Периодические решения систем ОДУ с автономной правой частью, содержа-щих два малых параметраPeriodic solutions of systems of ODE with the autonomous right-hand side andtwo small parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Пичугин Б. Ю., Пичугина А.Н.Нелинейная интегральная модель Шарпа – ЛоткиA nonlinear integral Sharpe–Lotka model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Плаксина В. П.О двусторонних решениях одного функционально-дифференциального урав-ненияAbout double-sided solutions of one functional differential equation . . . . . . . . . . . 222Плаксина И. М.О разрешимости одного сингулярного функционально-дифференциальногоуравненияAbout solvability of one singular functional differential equation . . . . . . . . . . . . . . 223Плеханова М. В.Критерий ε-управляемости за свободное время вырожденной эволюционнойсистемыFree time ε-controllability criterion for a degenerate evolution system . . . . . . . . . 224Подгаев А. Г.Краевые задачи и задачи управления для вырождающихся параболическихуравнений в областях с нецилиндрической или неизвестной границейBoundary value problems and control problems for degenerative parabolicequations in noncylindrical domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Полынцева С. В.Задача идентификации функции источника и коэффициента при первой про-изводной по пространственной переменной в многомерном параболическомуравнении специального видаThe problem of identification of the source function and the coefficient at thefirst derivative in a space variable for a multidimensional parabolic equation ofspecial type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Попов Н. С.Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для псевдогипер-болических уравненийInvestigation of solvability of nonlocal boundary value problems forpseudohyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Попов С. В.Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений с меняющимсянаправлением времениNonlocal boundary value problems for parabolic equations with changes of thetime direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Потапова С. В.Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывнымкоэффициентом при старшей производнойThe Dirichlet problem for a class of composite type equations with adiscontinuous coefficient at the highest derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

20

Пятков С. Г.О некоторых классах эволюционных обратных задач для параболическихуравненийOn some classes of evolutionary inverse problems for parabolic equations . . . . . . 230Ракшаева Е. Ж., Айзенберг А.М.Конволюционные операторы прохождения акустических волн на криволи-нейном контакте неоднородных средConvolution-type transmission operators of acoustics waves at curvilinear contactof inhomogeneous media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Резникова И.А.Об оценках решений сопряжённой задачи для параболических уравненийOn the estimates of solutions of the adjoint problem for parabolic equations . . . 232Ройтенберг Е. Я.К задаче идентификации нелинейных дифференциальных уравнений снеполной информациейIdentification problem of nonlinear differential equations with incompleteinformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Романов В. Г., Чиркунов Ю.А.Существование нерассеивающих акустических объектов в анизотропной сре-деAn existence of acoustical objects nonscattering waves in the anisotropic medium 234Романовский Р.К., Назарук Е.М.О дихотомии линейных систем нейтрального типаAbout dichotomy of linear systems of neutral type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Рузакова О. А., Олейник Е.А.К вопросу об управляемости одной неклассической модели математическойфизикиOn the controllability of one nonclassical model of mathematical physics . . . . . . 236Рузиев М. Х.Краевая задача для уравнения смешанного типа в неограниченной областиA boundary value problem for a mixed-type equation in an unbounded domain 237Рылов А. И.Дополнительные законы сохранения газовой динамики и потенциалы дивер-гентных уравненийAdditional conservation laws of gas dynamics and potentials of divergentequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Сагадеева М. А., Бадоян А.Д.Оптимальное управление решениями нестационарного уравнения Барен-блатта – Желтова – КочинойThe optimal control of solutions to the Barenblatt–Zheltov–Kochinanonstationary equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Садыбеков М. А., Турметов Б. Х.Периодические краевые задачи для уравнения Пуассона в шареPeriodic boundary value problems for the Poisson equation in a ball . . . . . . . . . . 240Саженков С.А.Двухмасштабные меры Янга для усреднения одномерного движения смесивязких баротропных газовTwo-scale Young measures for homogenization of a one-dimensional motion of amixture of viscous barotropic gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

21

Сакс Р.С.Решение спектральных и краевых задач для операторов ротора и Стокса вшареSolving some spectral and boundary value problems for the curl and Stokesoperator in a ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Саттаров М. А.К унификации систем дифференциальных уравнений движения жидкостейпри больших числах РейнольдсаUnification of systems of differential equations of motion for liquids at largeReynolds numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Сафаров Ж. Ш.Одна теорема условной устойчивостиA theorem of conditional stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Сафиуллова Р.Р.О разрешимости некоторой обратной задачи для гиперболического уравне-ния второго порядкаOn solvability of some inverse problem for a second order hyperbolic equation . 245Светов И. Е.Алгоритм послойного численного решения задачи 3D-векторной томографиис использованием B-сплайновAn algorithm using the B-splines for slice-by-slice numerical solving a 3D-vectortomography problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Свиридюк Г.А., Аль-Делфи Д.К.Квазиоператор Лапласа в квазибанаховых пространствахThe Laplace quasi-operator in the quasi-Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Сгибнев М. С.Асимптотика решения разностного уравненияAsymptotics of the solution to a difference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Седипков А. А.Обратная спектральная задача для операторов Штурма – Лиувилля с раз-рывными коэффициентамиThe inverse spectral problem for the Sturm–Liouville operators withdiscontinuous coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Семенко Е. В.Общее решение линейной задачи о возмущениях ударной волныGeneral solution of the linear problem of shock wave disturbance . . . . . . . . . . . . . . 250Серикбаев А. У., Надырбекова А. Ш.Метод регуляризации решения обратной задачи потенциала КеплераMethod of regularization of solutions to an inverse problem of the Keplerpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Синявский А. Г.О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с пол-ной матрицей условий склеиванияParabolic equations with changes of the time direction with a full matrix of gluingconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Сказка В.В.Об устойчивости решений одного класса эволюционных дифференциальныхуравненийAbout stability of solutions of one class of evolutionary differential equations . . 253

22

Скворцова М. А.Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений нейтраль-ного типаOn stability of solutions to the systems of differential equations of neutral type 254Соболева О. В.Единственность и устойчивость решения задачи идентификации для стаци-онарного уравнения диффузии-реакцииUniqueness and stability of a solution of the identification problem for thestationary diffusion-reaction equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Сорокин А. С.Уравнение Голузина – Комацу для конечносвязной круговой областиThe equation of the Goluzin–Komatsu for a multiply connected circular domain 256Спорышев М. С., Ларькина О. С.О корректной разрешимости экстремальной задачи для уравнений акустикианизотропной средыOn correct solvability of an extremum problem for the acoustics equations of ananisotropic medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Старов В. Г.Улучшение скорости сходимости метода НейштадтаImprovement of the convergence rate of the Neustadt method . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Стахеева О.А.Разрешимость одного класса невырожденных эволюционных уравнений с па-мятьюSolvability of a class of nondegenerate evolution equations with memory . . . . . . 259Субботина Н. Н., Токманцев Т. Б.Метод динамического программирования в обратных задачах динамикиThe dynamic programming method in inverse problems of dynamics . . . . . . . . . . 260Султанов О.А.Влияние возмущений на устойчивость авторезонансаEffect of perturbations on autoresonance stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Табаринцева Е.В.О приближенном решении обратной задачи для нелинейного дифференци-ального уравненияAn approximate solution to an inverse problem for a nonlinear differentialequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Талышев А.А.Об интегрировании автоморфных систем конечномерных групп ЛиOn integration of automorphic systems of finite-dimensional Lie groups . . . . . . . 263Тарасова Г.И.Внешняя вариационная задача Дирихле для вырождающихся нелинейныхдифференциальных уравненийAn exterior Dirichlet variational problem for degenerate nonlinear differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Тасевич А.Л.Коэрцитивность и гладкость функционально-дифференциального уравненияс ортотропными сжатиямиCoerciveness and smoothness of a functional-differential equation withorthotropic contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

23

Телешева Л.А.О разрешимости линейной обратной задачи для параболического уравнениячетвертого порядкаOn solvability of a linear inverse problem for a fourth order parabolic equation 266Терешко Д.А.О сходимости итерационного процесса решения экстремальной задачи дляуравнений тепловой конвекцииOn convergence of an iterative process for solving an extremum problem for heatconvection equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Терсенов Ар.С.О радиально-симметричных решениях задачи Дирихле для уравнения p-лапласианаRadially-symmetric solutions of the Dirichlet problem for the p-Laplace equation 268Трахинин Ю. Л.О корректности в пространствах Соболева задачи для контактного разрывав магнитной гидродинамикеOn well-posedness in Sobolev spaces of the problem for contact MHDdiscontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Тухтасинов М.Об инвариантности постоянного многозначного отображения в задаче теп-лопроводности с запаздываниемOn invariance of a constant multivalued mapping in a heat conductivity problemwith delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Тюхтина А. А., Калинин А.В., Жидков А.А., Молодкина В. Е.Lp-оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в ис-следовании электромагнитных процессов в неоднородных средахLp-estimates of the inner products of vector fields and their application forstudying electromagnetic processes in heterogeneous media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Уварова И. А.О свойствах решений одного класса систем нелинейных дифференциальныхуравнений высокой размерностиOn properties of solutions to one class of systems of nonlinear differentialequations of high dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Урев М. В.Решение с помощью МКЭ одной эллиптической задачи с сильным вырожде-ниемFEM for an elliptic problem with strong degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Уринов А. К., Исмоилов А.И.Об одном аналоге задачи Гурса для обобщенного уравнения Эйлера – Пуас-сона – ДарбуOn an analogue of the Goursat problem for the generalized Euler–Poisson–Darboux equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Фалалеев М. В.Теория обобщенных решений интегродифференциальных уравнений с вы-рождением в банаховых пространствах и их приложенияTheory of generalized solutions of integro-differential equations with degenerationin Banach spaces and their applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

24

Федорук М. П., Шурина Э.П., Михайлова Е.И.Особенности математического моделирования сверхвысокочастотных элек-тромагнитных полейSome peculiarities of mathematical modeling of the super-high-frequencyelectromagnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Фёдоров В. Е., Фёдорова Ю.Ю.Периодическая нелокальная задача для одного класса уравнений соболев-ского типаA periodic nonlocal problem for a class of Sobolev type equations . . . . . . . . . . . . . 277Финогенко И. А., Пономарев Д.В.Импульсно-скользящие режимы дифференциальных включенийImpulse sliding modes of differential inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Фокин М. В.О резонансе во вращающейся идеальной жидкостиAbout resonance in a rotating ideal fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Фроленков И. В., Романенко Г. В.О существовании решений систем нагруженных дифференциальных уравне-ний специального вида с данными КошиOn existence of solutions to systems of loaded differential equations of a specialform with Cauchy data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Ханхасаев В. Н., Местникова Н.Н.Численное решение одного гиперболо-параболического уравненияNumerical solving a hyperbolic-parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Холиков Д. К.Об одной нелокальной задаче для нагруженного уравнения АллераOn a nonlocal problem for the loaded Aller equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Холодовский С. Е.Решение краевых задач в полуцилиндрах с основанием в виде двухслойнойпленкиSolving boundary value problems in semi-cylinders with the base in the form ofa double-layer film . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Хриптун М. Д.Некоторые последовательности моментов Стильтьеса и моментов Хаусдор-фа, порождающие новые производящие функции для обобщенных функцийБесселяSome Stieltjes and Hausdorf moment sequences producing new generatingfunctions for the generalized Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Худяков Ю.В.Модели Шестакова – Свиридюка с резонансомShestakov–Sviridyuk’s models with resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Царицанский А. Н.Задача о распространении волн в среде с памятьюThe problem of wave propagation in a medium with memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Чеботарев А. Ю.Краевые задачи с нелокальными данными для систем Навье – СтоксаNonlocal boundary value problems for the Navier–Stokes systems . . . . . . . . . . . . . 287

25

Чесноков А. А.Распространение длинноволновых возмущений в жидкости с учетом эффек-тов дисперсии и диссипацииPropagation of long-wave perturbations in a fluid with accounting for the effectsof dispersion and dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Чечкина А. Г.Вырождающиеся спектральные задачи Стеклова с микронеоднороднойструктуройDegenerating Steklov spectral problems with inhomogeneous microstructure . . . 289Чуев Н. П.О дифференциальной модели динамики самогравитирующего газаOn a differential model of the self-gravitating gas dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Чуешева Н. А., Соколова А. Г.Три краевые задачи для уравнения неклассического типаThree boundary value problems for a nonclassical equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Чуйко С. М., Белущенко А.В.О регуляризации линейной периодической задачи с импульсным воздействи-емOn regularization of a linear periodic problem with impulse action . . . . . . . . . . . . 292Шадрина А. И.Разрешимость некоторых пространственно нелокальных краевых задач дляпараболических и псевдопараболических уравнений с разрывными коэффи-циентамиSolvability of some space-nonlocal boundary value problems for parabolic andpseudoparabolic equations with discontinuous coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Шадрина Н. Н.О решении краевых задач в кусочно-однородном полупространстве, содер-жащем трещину, перпендикулярную границеOn solving some boundary value problems in the piecewise-homogeneous half-space with a crack perpendicular to the bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Шалданбаев А. Ш., Тенгаева А. А., Оразова Р.С.Об одном методе решения краевой задачи для обратного параболическогоуравненияOn a method for solving a boundary value problem for an inverse parabolicequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Шамолин М. В.Обзор случаев интегрируемости уравнений движения четырехмерного твер-дого тела в неконсервативном поле силReview of integrable cases of motion equations of four-dimensional rigid body ina nonconservative field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Шарафутдинов В. А.Обратная двумерная задача для стекловского спектраThe 2D inverse problem for the Steklov spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Шевченко Г.В.Выпуклые покрытия в теории оптимального управленияConvex coverings in optimal control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

26

Шепелов М. А.Исследование устойчивости решения коэффициентной обратной задачи длястационарного уравнения конвекции-диффузииStadying the stability of the identification problem solutions for the stationaryconvection-diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Шипина Т.Н.Об одной задаче идентификации коэффициентов при младших членах в си-стеме нелинейных дифференциальных уравненийAn inverse problem for a system of nonlinear differential equations with unknownlowest coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Шишканова А. А.Решение интегральных уравнений механики контактного взаимодействиядля двусвязных областейSolving the integral equations of contact interaction mechanics for doubly-connected domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Шишленин М. А.Регуляризация задачи продолжения для уравнения ГельмгольцаRegularization of the continuation problem for the Helmholtz equation . . . . . . . . 302Шубин В. В.Краевые задачи для некоторых классов вырождающихся уравнений высоко-го порядкаBoundary value problems for some classes of degenerating high order equations 303Щербаков В. В.Управление формой и структурой тонких включений в упругих телах приналичии трещинOn control of shapes and structures of thin inclusions in elastic bodies with cracks 304Эбель А. А.Смeшанное управление в модели Шестакова – Свиридюка с инерционностьюMixed control in Shestakov–Sviridyuk’s model with inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Юлдашева А. В.Об одной задаче для уравнения высокого порядкаOn one problem for a high order equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Яашима Х. Ф.Уравнения процессов капель в воздухеEquations of processes of droplets in the air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Якушев И. А.О вариационной задаче Дирихле для эллиптических операторов, вырожда-ющихся на неограниченном многообразииOn the variational Dirichlet problem for elliptic operators degenerating on aunbounded manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Abiev N. A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu.G., Siasos P.On the singular points of the Ricci flow on some generalized Wallach spaces. . . . 309Abylkairov U.U., Danaev N.T., Khompysh Kh.On the ε-approximation of the heat convection equations for the Kelvin–Voightfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Akinshin A. A., Golubyatnikov V. P.Oscillating trajectories in some nonlinear dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

27

Annin B. D., Belmetcev N. F., Chirkunov Yu.A.Group analysis of the equations of a dynamic model of transversally isotropicelastic geomaterials satisfying Gassmann conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Antontsev S., Shmarev S.Doubly nonlinear parabolic equations in Sobolev spaces with variable exponentsof nonlinearity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Asanova A.T.On unique solvability of a nonlocal boundary value problem for a system ofhyperbolic equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Balandin A. S.On solvability of linear differential-difference equations on the real axis . . . . . . . . 315Belyayev Yu.N.A method of symmetric polynomials for solving the Cauchy problem . . . . . . . . . . . 316Buterin S. A.An inverse problem for the Sturm–Liouville operator on a noncompact star-typegraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Chemetov N. V., Necasova S.Global solvability result for the motion of the rigid body in a viscous fluid withcollisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Chepyzhov V.V., Zelik S.V.Regular global attractors for autonomous and non-autonomous partial differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Chudinov K.M.On estimation of solutions of scalar functional differential equations on semiaxis 320Darovskaya K.A.On Fredholm-type solvability for second-order ordinary differential equationswith integral conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Denisov V. N.On stabilization of solutions to the Cauchy problem for parabolic equations . . . . 322Durdiev D. K.A kernel identification problem in the system of integro-differential Maxwellequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Farmonov Sh.R.A boundary value problem with nonlocal conditions for a second order equationof mixed type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Garifullin R. N., Mikhailov A.V., Yamilov R. I.The quad equation with a nonstandard generalized symmetry structure . . . . . . . . 325Glyzin S. D.Bursting effect in models with delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Grebenev V. N., Oberlack M., Frewer M.The dual stream function approach to Lagrangian cohereht structures arising inturbulence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Kalenyuk P. I., Nytrebych Z. M., Kohut I. V.On non-trivial solutions of a homogeneous two-point boundary value problem fora partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

28

Khurshudyan As. Zh.Optimal control of one-dimensional wave equation with variable coefficients inthe Sobolev space W l

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Klevtsova Yu.Yu.On the existence of a stationary measure for the stochastic system of the Lorenzmodel for baroclinic atmosphere on a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Kmit I.Boundary value problems for first-order hyperbolic systems: regularity,Fredholmness, bifurcations, and dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331Kulikov A.Y.Right-part stability of a delay difference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Lasica M.On solutions to a singular anisotropic curvature flow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Latawiec K. J., Stanis lawski R., Lukaniszyn M.Fractional-order differential / difference equations around us . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Lyubanova A. Sh.On some problem for the systems of evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Malygina V. V.Use of the test-method for investigation of stability of functional differentialequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Meleshko S. V., Moyo S.Complete group classification of systems of two linear second-order ordinarydifferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Mulyukov M.V.Stability of linear delay differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Peszek J. P.Interplay between flocking particles and a non-Newtonian viscous fluid . . . . . . . . . 339Popov V. A.On Garding-type inequalities for differential-difference equations withdegeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Sabatulina T. L.On exponential stability of a linear autonomous differential equation withdistributed delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Serovajsky S. Ya.State variation in an optimization control problem for a nonlinear ellipticequation with states constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Seyranian A. P.Two problems on stabilization of statically unstable systems by vibration . . . . . . 343Sharma S.Some recent results in fixed point theory in intuitionistic fuzzy quasi-metricspaces and its applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Shishkina E. L.The Cauchy problem for a b-hyperbolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Solonukha O. V.Some nonlinear and quasilinear functional-differential equations of elliptic type. 346Suragan D.Some problems of spectral geometry for s-numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

29

Sychev M. A.Convergence of minimizers in regular variational problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙFUNCTION SPACESAND APPROXIMATION THEORY

30-минутные доклады / Invited Lectures

Арутюнов А. В.Вырожденные задачи нелинейного анализаAbnormal problems in nonlinear analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Бесов О. В.Пространства функций нулевой гладкостиThe spaces of functions of smoothness zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Васкевич В. Л.Погрешность, обусловленность и гарантированная точность многомерныхсферических кубатурных формулErrors, condition numbers, and guaranteed accuracy of multidimensionalspherical cubature formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Водопьянов С. К.Пространства Соболева и квазиконформный анализSobolev spaces and quasiconformal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353Кириллов К. А., Носков М.В.Минимальные кубатурные формулы, точные для полиномов ХаараMinimal cubature formulas which are exact for the Haar polynomials . . . . . . . . . . 354Рамазанов М. Д.Соболевская теория решетчатых кубатурных формул. Проблемы, алгоритмыи примененияSobolev theory of lattice cubature formulas. Problems, algorithms, andapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Соболева Т.С., Чечкин А.В.Информационно-системная безопасность сложных критических систем инеобходимость избыточного моделирования таких систем в форме среды ра-дикаловInformation system safety of complex critical systems and necessity of redundantmodeling these systems in the form of radical media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Субботин Ю. Н.Погрешность аппроксимации кривизны классов гладких плоских кривыхError of approximation of curvature for classes of smooth flat curves . . . . . . . . . . 357Burenkov V. I., Otelbaev M.Singular numbers of correct restrictions of non-selfadjoint elliptic operators . . . . 358Gogatishvili A., Stepanov V. D.Reduction theorems for operators on the cones of monotone functions . . . . . . . . . . 359Kusraev A. G., Kutateladze S. S.Nonstandard trends in functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

30

20-минутные и стендовые доклады / Short Communications and Posters

Агаджанов А.Н.О геометрических свойствах норм в суперрефлексивных пространствах типаСоболеваGeometric properties of norms in super-reflexive Sobolev type spaces . . . . . . . . . . 362Акишев Г.Оценки линейных поперечников классов в пространстве ЛоренцаEstimates of the linear widths of classes in the Lorentz space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Аносов В. П.О некоторых критериях компактности семейства векторных функцийOn some compactness criteria for a family of vector functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Арбузов Э. В.О суперпозиции операторов Фурье – Рисса в пространстве риссовых потен-циаловOn superposition of Fourier–Riesz operators in the space of Riesz potentials . . . 365Ахмедов Д. М.Оптимальные квадратурные формулы с производными для сингулярных ин-тегралов в пространстве L(3)

2 (0, 1)Optimal quadrature formulas with derivatives for singular integrals in the spaceL(3)2 (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

Балгимбаева Ш. А.Нелинейная аппроксимация классов функций смешанной гладкостиA nonlinear approximation of function classes with mixed smoothness . . . . . . . . . 367Белых В. Н.Оценки колмогоровской ε-энтропии компактов бесконечно дифференцируе-мых функций (к проблеме К. И. Бабенко)Estimation of Kolmogorov’s ε-entropy for some classes of infinitely differentiablefunctions (the Babenko problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Бокаев Н. А., Сыздыкова А.Т.О свертках функций из пространства типа Бесова по базисам из мультипли-кативных системOn convolution of functions of Besov type spaces in the bases of multiplicativesystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Васильева А. А.Поперечники весовых классов Соболева с весами, являющимися функциямирасстояния до h-множествWidths of weighted Sobolev classes whose weights are the distance functions toh-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Васильчик М.Ю., Пупышев И. М.Граничное поведение функций класса Соболева на границе области с внеш-ним пикомBoundary behavior of the Sobolev class functions at the boundary with an outercusp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Водопьянов С. К., Евсеев Н.А.Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометри-ческие отображенияIsomorphisms of Sobolev spaces on Carnot groups and quasi-isometric mappings 372

31

Войтишек А. В.Исследование особенностей приближения сложно вычислимых функций напримере функциональных оценок метода Монте-КарлоStudying peculiarities of approximation of functions of high computationalcomplexity using the example of functional estimates of the Monte Carlo method 373Волков Ю. С.Сплайн-интерполяция положительных данныхPositive spline interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Гичев В. М.Метрические свойства в среднем полиномов на компактных однородных про-странствахMetric properties in the mean of polynomials on compact homogeneous spaces . 375Грицутенко С. С., Королёва К.А.Метод оптимальной интерполяции нейтральным по свёртке вектором, опре-делённым на пространстве ГильбертаAn optimal interpolation method with convolution-neutral vector defined on aHilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Гутман А. Е.Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решетокPositive lifting in a measurable bundle of Banach lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Деревцов Е. Ю., Мальцева С. В.Приближенное обращение операторов лучевых преобразований в рефракци-онной томографииApproximate inversion of the ray transform operators in refractive tomography 378Дроздов Г.М.Построение разностной схемы повышенного порядка аппроксимации дляуравнения конвекции-диффузии методом неопределенных коэффициентовConstruction of a difference scheme with high order approximation for theconvection-diffusion equation by the method of undetermined coefficients . . . . . . 379Дьяченко Е. О., Тарханов Н. Н.Подходы к определению эллиптичности псевдодифференциальных операто-ров с малым параметромEllipticity for pseudodifferential operators with small parameter . . . . . . . . . . . . . . . 380Егоров А. А.W lp-Регулярность решений дифференциальных неравенств с нуль-лагранжи-

анамиW lp-Regularity of solutions of differential inequalities with null Lagrangians . . . . 381

Жалолов Икр. И.Существование и единственность весовой оптимальной квадратурной фор-мулы в пространстве Соболева Wm

2 (R)Existence and uniqueness of an optimal weighted quadrature formula in theSobolev space Wm

2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Жамсранжав Д.Об оптимальном вложении пространств Соболева – ОрличаOn optimal embedding of Sobolev–Orlicz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Журавлев И. В.Системы уравнений, возникающие в теории отображений с ограниченнымискажениемSystems of equations in the theory of mappings with bounded distortion . . . . . . . 384

32

Задорин А. И., Задорин Н.А.Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющейQuadrature formulas for functions with a boundary-layer component. . . . . . . . . . . 385Золотухин А. Я.Метод с регуляризацией решения задачи СиньориниA regularization method for solving the Signorini problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Исангулова Д.В.Теорема Лиувилля на одной трехступенчатой группе Карно при минималь-ных предположениях гладкостиA Liouville theorem on some three-step Carnot group under minimal smoothnessassumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Исмоилов С. И.Коэффициенты весовой квадратурной формулы в пространстве L(2)

2 (0, 1)

Coefficients of a weighted quadrature formula in the space L(2)2 (0, 1) . . . . . . . . . . . 388

Карачанская Е.В.Применение δ-функции для получения формулы дифференцирования слож-ного случайного процессаApplication of the δ-function for obtaining the differentiation rule for a compoundrandom process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Качуровский А. Г.Спектральные меры и скорости сходимости в эргодических теоремахSpectral measures and convergence rates in ergodic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390Копылов А. П.О внутренней геометрии подмногообразий римановых многообразийOn the intrinsic geometry of submanifolds of Riemannian manifolds. . . . . . . . . . . . 391Коробов А. А.О двух неравенствах Колмогорова на полупрямойOn two Kolmogorov’s inequalities on the half-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Кошелев А. А.Неравенство Колмогорова для оператора ЛапласаThe Kolmogorov inequality for the Laplace operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Куликов И.М.Об одном приближенном решении равновесного вращающегося самограви-тирующего газаAn approximate solution for an equilibrium rotating gas cloud . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Лазарева Г. Г.Приближенные решения задачи тепломассопереноса в мантии землиApproximate solutions to the heat and mass transfer problem in the Earth mantle 395Максимова Н. Н.Численный алгоритм решения одной вариационной задачи механики с при-менением методов двойственностиA numerical algorithm for solving some variational problem in mechanics by theduality method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Мельников Е. В.Обобщённая корректность абстрактной задачи КошиWell-posedness of an abstract Cauchy problem in the sense of distributions . . . . 397

33

Меремеля И. Ю., Савчук М.В.Оценка смешанной производной голоморфной функции в поликругеA mixed derivative estimate for a holomorphic function in the polydisk . . . . . . . . 398Мирошниченко В. Л.Об оценках погрешности для локальной аппроксимации кубическими сплай-намиOn the error bounds for local approximation by cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Михайлец В. А., Мурач А.А.Расширенная соболевская шкалаAn extended Sobolev scale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Муратбеков М. Б., Мусилимов Б.М., Мусабекова З. Е.О дискретности спектра неполуограниченного дифференциального операто-раOn discreteness of the spectrum of a non-semibounded differential operator . . . . 401Никитина Т.Н.Уравнение Монжа – Ампера на положительном потокеThe Monge–Ampere equation on a positive current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Новиков О. А., Ровенская О. Г.Приближение периодических функций повторными суммами Валле ПуссенаApproximation of periodical functions by repeated de La Vallee Poussin sums . . 403Новиков С. И.Оптимальная интерполяция функциями нескольких переменныхOptimal interpolation by functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Носков М. В., Симонов К.В., Кириллова С.В., Кадена Л.Быстрые алгоритмы шиарлет-преобразования данных наблюденийFast shearlet transform algorithms for observation data processing . . . . . . . . . . . . . 405Нуралиев Ф. А.Об одной оптимальной квадратурной формуле с производными нечетногопорядкаOn an optimal quadrature formula with odd-order derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Полякова А. П.Численное решение задачи трехмерной векторной томографии с использо-ванием метода сингулярного разложенияNumerical solution of a 3-D vector tomography problem by the singular valuedecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Попов А. С.Кубатурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы враще-ний тетраэдра с инверсиейCubature formulas on the sphere which are invariant under the group oftetrahedral rotations with inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Примаков С. С.Об алгоритмах построения сплайнов пятой степениOn algorithms for constructing quintic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409Рахматуллин Д.Я.Построение наилучших по порядку ненасыщаемых кубатурных формулConstruction of the best order unsaturated cubature formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

34

Романов А. С.Функции соболевского типа с переменными характеристиками на метриче-ских пространствахSobolev type functions with variable characteristics on metric spaces . . . . . . . . . . . 411Романовский Н. Н.Новый подход к описанию соболевских классов на метрических простран-ствах и его примененияA new approach to the description of Sobolev classes of functions on metric spacesand its applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412Савельев Л. Я.Продолжение меры до интегралаExtension of a measure to an integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413Санеева Л. И., Данзанова В.С.Кубатурные формулы, содержащие в узлах значения функции и значения еепервой производнойCubature formulas containing the values of the function and the values of its firstderivative at the nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Сергеева О. А.Пространства (q, ρ)-формThe spaces of (q, ρ)-forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Силаев Д. А., Коротаев Д.О.Полулокальные сглаживающие сплайны и их применение для вычислениядвумерных и трехмерных интеграловSemilocal smoothing splines and their application for computing two- and three-dimensional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Скороходов С.Л.Обобщенные квадратуры Гаусса – ЯкобиGeneralized Gauss–Jacobi quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Смаилов Е. С.Прямые и обратные теоремы приближения в пространствах Лоренца с весомЭрмитаDirect and inverse approximation theorems in the Lorentz spaces with Hermiteweight. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Стрелков Н. А.О взаимосвязи сплайнов и всплесковOn the relationship between splines and wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419Сулейменов К.М.О вложениях Bω1,...,ωn

p1,...,pn,θ(Rn) ⊂ Lq1,...,qn(Rn)

On the embeddings Bω1,...,ωnp1,...,pn,θ

(Rn) ⊂ Lq1,...,qn(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Темиргалиев Н.“Компьютерный (вычислительный) поперечник” в задачах численного ана-лизаThe “computer (computational) width” in numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Тутатчиков В.С.О конфигурациях узлов кубатурных формул в теории антенных решетокOn configurations of nodes in cubature formulas in the theory of antenna arrays 422

35

Тюленев А. И.Описание следов соболевских пространств с общими Ap весамиDescription of the traces of Sobolev spaces with general Ap weights . . . . . . . . . . . . 423

Ушакова Е. П.Многомерные неравенства ХардиMultidimensional Hardy inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Фадеев С. И., Лихошвай В.А., Королев В.К., Штокало Д. Н.Эффективный метод численного исследования автономных систем в моделяхматричного синтезаAn efficient method for the numerical study of autonomous systems in models ofmatrix synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Фалалеев Л. П., Василина Г.К.Скорость сходимости линейных средних сумм ФурьеThe convergence rate of the linear means of Fourier sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Халитов А. Х.Решение многоразмерных интегральных уравненийSolution of multidimensional integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Шадиметов Х. М., Болтаев Н.Оптимальная квадратурная формула в смысле Сарда для вычисления ко-эффициентов ФурьеA quadrature formula optimal in the sense of Sard for calculating the Fouriercoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Шадиметов Х. М., Хаётов A.Р.Оптимальная квадратурная формула в смысле Сарда в пространстве K2(P3)A quadrature formula optimal in the sense of Sard in the space K2(P3) . . . . . . . . 429

Шакиров И. А.О влиянии выбора узлов лагранжевой интерполяции на поведение константЛебегаOn the influence of the choice of Lagrange interpolation nodes on the behaviorof the Lebesgue constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Шваб И. В., Медведев С.Б., Якункин Н. И.Моделирование динамики плазмы в кинетическом приближенииSimulation of plasma dynamics in the kinetic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431Эминов С. И., Эминова В.С.Теория гиперсингулярных интегродифференциальных уравненийTheory of hypersingular integro-differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Юмова Ц. Ж.Вычисление оптимальных коэффициентов кубатурной формулы в неизо-тропном пространствеCalculating the optimal coefficients of a cubature formula in an anisotropic space 433Ashyralyev A., Yildirim O.On the stability of high order of accuracy difference schemes for nonlocalboundary value problems with selfadjoint operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Ashyralyyev Ch.A fourth order of accuracy difference scheme for an overdetermined inverse ellipticproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435Chumakov G.A.Canonical domains for almost orthogonal quasi-isometric grids . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

36

Dhara R. N., Ka lamajska A.On one extension theorem dealing with weighted Orlicz–Slobodetskii space onthe boundary of a domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Greshnov A. V.On uniform domains on Carnot groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Heinecke A., Vaidyanathan K., Smelyanskiy M., Kobotov A.,Dubtsov R., Henry G., Chrysos G., Dubey P.Design and implementation of the Linpack benchmark for single and multi-nodesystems based on Intel R⃝ Xeon PhiTM coprocessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Kalinkin A., Anders A., Anders R.Intel R⃝Direct Sparse Solver for Clusters, a research project for solving large sparsesystems of linear algebraic equations on clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440Kalinkin A., Krjukov I.Intel R⃝Cluster Poisson Solver Library, a research project for heterogeneousclusters suitable for atmosphere and ocean research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441Kazaniecki K., Wojciechowski M.On the continuity of Fourier multipliers on the homogeneous Sobolev spacesW 1

1 (Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

Korobkov M.V.On the Morse–Sard theorem, the N -property, and level sets for the sharp case ofSobolev–Lorentz mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443Lassoued D.A space of almost periodic Sobolev–Besicovitch functions and applications . . . . . 444Lukinov V. L., Kuznetsov S.V.MKL Extended Eigensolver for solving symmetric eigenvalue problems . . . . . . . . . 445Mazowiecka K.E.Generic singularities of harmonic and biharmonic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446Miklyukov V.M.Functions of Sobolev classes on anisotropic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447Mozartova N. S., Kashevarova T. P., Shustrov N. A.Dynamically scheduled parallelization of linear algebra algorithms forheterogeneous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Novitskii I. M.Kernel global smoothing by unitary reductions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Piskarev S. I.An approximation of a Bitzadze–Samarskii type inverse problem for ellipticequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450Podvigin I. V.On the convergence rate in the Birkhoff ergodic theorem for the periodic Lorentzgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Pudov S. G.MKL Sparse BLAS: performance optimizations on modern architectures . . . . . . . 452Selivanova S.V., Selivanov V. L.Computability of the solution operators of symmetric hyperbolic systems . . . . . . 453Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V.Construction and application of the collocation and least residual method forsolving the three-dimensional Navier–Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

37

Shlapunov A. A.On completeness of the root functions of Sturm–Liouville problems with discon-tinuous boundary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Zinde-Walsh V.Measurement error and deconvolution in spaces of generalized functions. . . . . . . . 456Zotkevich A.A.On optimization of dense linear algebra algorithms for Intel R⃝ Xeon Phi

TM

coprocessor architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

38

ПЛЕНАРНЫЕ ДОКЛАДЫТезисы

PLENARY LECTURESAbstracts

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ДОВОЕННЫЕ РАБОТЫ С.Л. СОБОЛЕВАИ ИХ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО

РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

S. L. SOBOLEV’S WORKS IN THE PRE-WAR YEARSAND THEIR IMPORTANCE FOR THE SUBSEQUENT

DEVELOPMENT OF MATHEMATICS

Бабич В. М.

Санкт-Петербургское отделение Математического институтаим. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург, Россия; babich@pdmi.ras.ru

Последнее десятилетие 19-го века и начало 20-го века — это годы подъемаРоссии. Инерция подъема была столь велика, что его не остановили даже ужасывойн и революции. Эпоха рождала гигантов в науке и не только в науке. Этобыли люди подъема России. Моя цель — рассказать о творчестве лишь одногопредставителя той блестящей плеяды ученых — о Сергее Львовиче Соболеве.

С.Л. Соболеву и В.И. Смирнову принадлежит оригинальнейший “метод Смир-нова – Соболева”. Это метод решения плоских нестационарных задач теории ди-фракции. Он позволил для многих задач для угловых областей найти явное ре-шение. Совсем явное: без квадратур и специальных функций! Формулы, решаю-щие эти задачи, содержали разрывные функции. Естественно вставал вопрос: вкаком смысле полученные выражения являются решениями? Работа над этимипроблемами привела С. Л. Соболева к понятиям обобщенного решения и решенияв функционалах. Соответствующие идеи были подхвачены многими исследова-телями. Математическая физика под влиянием работ С. Л. Соболева изменилалицо. Как справедливо заметил профессор В. П. Паламодов, введение в матема-тику обобщенных функций (так впоследствии стали называть “решения в функ-ционалах”) было самым значительным событием 20-го века в анализе.

Сравнимым по значению с этими работами были работы Сергея Львовича по“функциональным пространствам Соболева”. Должный выбор функциональныхпространств позволяет сделать теорию соответствующей задачи математическойфизики короткой и математически элегантной.

С.Л. Соболев замечателен тем, что у него кроме “математической силы” были “хороший вкус”: он решал такие задачи, которые и надо было решать. Он решалих отлично. Дело здесь в том, что у Сергея Львовича консультантом была самаПрирода — лучший математик всех времен.

40

Пленарные доклады

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ

CONSERVATION LAWSFOR THE RELATIVISTIC EQUATIONS

Годунов С. К.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;godunov@math.nsc.ru

Будут приведены примеры нелинейных вариантов релятивистских уравнений,включающих уравнения Максвелла. Для них формулируются законы сохране-ния.

Лекция основана на статье автора [1] и содержит её развитие. Приводитсяодин из возможных вариантов моделирования гравитации, аналогичный предло-женному А.А. Логуновым и М. А. Мествиришвили [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Годунов С. К. Термодинамическая формализация уравнений гидродинамики заря-женного диэлектрика в электромагнитном поле // Журн. вычисл. математики имат. физики. 2012. Т. 52, 5. С. 916–929.

2. Логунов А. А., Мествиришвили М. А. Тензор энергии-импульса материи как источ-ник гравитационного поля // Теор. и мат. физика. 1997. Т. 110, 1. С. 5–24.

41

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИВ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

SOME PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICSIN SOBOLEV SPACES

Дубинский Ю. А.

Национальный исследовательский университет “Московский энергетическийинститут”, Москва, Россия; julii_dubinskii@mail.ru

В области G ⊂ R3 с границей Γ рассматривается система уравнений Пуассона

∆u(x) = h(x), x ∈ G, (1)

где u(x) = (u1(x), u2(x), u3(x)), h(x) = (h1(x), h2(x), h3(x)).Изучаются краевые задачи: найти решение системы (1) при условиях

(u, n)Γ = 0,

[∂u

∂n, n

]Γ

= 0 или [u, n]Γ = 0,

(∂u

∂n, n

)Γ

= 0.

Здесь (·, ·), [·, ·] — скалярное и векторное произведения в R3, ∂u∂n =(∂u1

∂n ,∂u2

∂n ,∂u3

∂n

)—

производная вектор-функции u по нормали n = (n1(x), n2(x), n3(x)).Корректность этих задач устанавливается в рамках двойственностей

(W 12,tang, (W

12,tang)

∗) и (W 12,norm, (W

12,norm)∗), где

W 12,tang = u(x) ∈W 1

2 : (u, n)Г = 0, W 12,norm = u(x) ∈W 1

2 : [u, n]Г = 0,

при этом ключевую роль играют неравенства∫G

|u|2dx ≤M(∫G

|∇u|2dx+

∫Γ

(u, n)2dγ

), u ∈W 1

2 ;

∫G

|u|2dx ≤M(∫G

|∇u|2dx+

∫Γ

|[u, n]|2dγ), u ∈W 1

2 .

Следствие 1. Пусть ξ(x) ∈ L2 — произвольная соленоидальная функция.Тогда существует единственная соленоидальная функция w ∈ L2, (w, n)Γ = 0,такая, что

ξ(x) = rot w(x), x ∈ G.

Следствие 2. Пусть ξ0(x) ∈ L2 — соленоидальная функция, удовлетворяю-щая условию (ξ0, n)Γ = 0. Тогда существует единственная соленоидальная функ-ция w ∈ L2, rot w ∈ L2, [w, n]Γ = 0, такая, что

ξ0(x) = rot w(x), x ∈ G.

В заключение отметим, что детали имеются в статье [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. О некоторых краевых задачах для системы уравнений Пуассонав трехмерной области // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, 5. С. 610–613.

42

Пленарные доклады

О ПЕРЕХОДЕ К ПРЕДЕЛУВ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

ON PASSAGE TO THE LIMIT IN NONLINEARELLIPTIC AND PARABOLIC EQUATIONS

Жиков В.В.

Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевичаи Николая Григорьевича Столетовых, Владимир, Россия; zhikov@vlsu.ru

При переходе к пределу в нелинейных слагаемых сталкиваемся с фундамен-тальной проблемой “слабой сходимости потока к потоку”.

Потоком принято называть вектор A(x,∇uε), стоящий в эллиптическом урав-нении под знаком дивергенции. Обычно известна слабая сходимость uε u внекотором соболевском пространстве и слабая сходимость потоков A(x,∇uε) zв некотором лебеговом пространстве. Тогда возникает проблема равенстваz = A(x,∇u).

Сформулируем один результат в этом направлении. Он носит локальный ха-рактер, в качестве области Ω ⊂ RN можно взять шар.

Теорема. Предположим, что выполнены условия:10) uε u в W 1,α(Ω), α > 1;20) символ A монотонен:

(A(x, ξ)−A(x, η)) · (ξ − η) ≥ 0;

30) divA(x,∇uε) = 0 в смысле распределений,

Aε ≡ A(x,∇uε) z в Lβ′(Ω), β′ =

β

β − 1;

40) 1 < α ≤ β < α∗,

α∗ =

α(N−1)N−1−α , если α < N − 1,

+∞, если α ≥ N − 1;

50) семейство “плотностей энергий” Aε · ∇uε ограничено в L1(Ω);60) uε ∈W 1,β(Ω) (дополнительная регулярность допредельной функции).Тогда z = A(x,∇u).

Отметим, что в “классическом случае”, когда α = β, последние три условиявыполнены автоматически.

В докладе будут обсуждаться некоторые приложения:• монотонные эллиптические операторы с нестандартными условиямироста;• задача о термисторе;• обобщенные уравнения Навье – Стокса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00331) и гранта-субсидии Минобрнауки РФ 14.В37.21.0362.

43

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯИ ДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

KINETIC EQUATIONSAND DYNAMICS OF CONTINUUM

Козлов В.В.

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия;vvkozlov@mi.ras.ru

Рассматривается круг вопросов, связанных с выводом уравнений движениясплошных сред (в описании Эйлера) из кинетических уравнений Лиувилля иВласова. Уравнение Лиувилля описывает бесстолкновительную среду и лежит воснове теории ансамблей Гиббса из статистической механики. Уравнение Власоваописывает динамику континуума взаимодействующих частиц. Метод моментовприводит к бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений. Обсуждается про-блема “обрезания” этой цепочки. Рассматривается поведение плотности средыпри неограниченном возрастании времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozlov V. V. The Vlasov kinetic equation, dynamics of continuum and turbulence //Regul. Chaotic Dyn. 2011. V. 16, N 6. P. 602–622.

2. Козлов В. В. Обобщенное кинетическое уравнение Власова // Успехи мат. наук. 2008.Т. 63, вып. 4. С. 93–130.

3. Козлов В. В. Об уравнениях движения бесстолкновительной сплошной среды //Прикл. математика и механика. 2011. Т. 75, вып. 6. С. 883–900.

44

Пленарные доклады

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙНАВЬЕ – СТОКСА И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ

ИНВАРИАНТЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙИ ЛИУВИЛЛЕВЫХ СЛОЕНИЙ

ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF THE NAVIER–STOKESEQUATIONS AND TOPOLOGICAL INVARIANTS

OF VECTOR FIELDS AND LIOUVILLE FOLIATIONS

Маслов В. П.1, Шафаревич А. И.2

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; 1v.p.maslov@mail.ru, 2shafarev@yahoo.com

Изучаются асимптотические решения уравнений Навье – Стокса, описываю-щие периодические системы вихрей в трехмерном пространстве. Мы рассматри-ваем следующие ситуации.

1. Локализованные вихревые нити, оси которых образуют двумерную поверх-ность (вихревая пленка).

2. Система тонких вихрей, заполняющая трехмерный объем.

3. Локализованные точечные вихри, периодически расположенные в объеме.

Решения связаны с топологическими инвариантами векторных полей и ли-увиллевых слоений на цилиндре или торе. Уравнения, описывающие эволюциюсистемы вихрей, определены на графе, представляющем собой множество траек-торий или лиувиллевых торов векторного поля.

45

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

К ТЕОРИИ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВTO THE THEORY OF SOBOLEV SPACES

Решетняк Ю. Г.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;Reshetnyak@math.nsc.ru

В своих работах, посвященных некоторым вопросам теории пространствен-ных отображений, мне неоднократно приходилось применять различные резуль-таты теории соболевских пространств. С другой стороны, оказалось, что неко-торые понятия и технические приемы теории отображений могут быть полез-ны и при изучении пространств функций с обобщенными производными. До-клад посвящен изложению некоторых результатов, которые были получены наэтом пути. Основные из них — теорема о дифференцируемости почти всюду иее приложения, нелинейная емкость и ее приложения к исследованию функцийс обобщенными производными, теорема о слабой непрерывности якобиана, инте-гральные представления для дифференциальных операторов с условием полнойинтегрируемости и неравенства типа Корна.

46

Пленарные доклады

ОЦЕНКИ В Lq РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙГИДРОДИНАМИКИ CO СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИLq-ESTIMATES OF A SOLUTION OF THE FREE

BOUNDARY MAGNETOHYDRODYNAMICS PROBLEMIN A MULTIPLY CONNECTED DOMAIN

Солонников В. А.

Санкт-Петербургское отделение Математического институтаим. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург, Россия; solonnik@pdmi.ras.ru

Рассматривается задача на определение переменной области Ω1t с границейΓt, t > 0, заполненной вязкой несжимаемой проводящей жидкостью, а также век-торных полей v, H, E и функции p. Предполагается, что на жидкость действуютмассовые силы f , силы, вызванные магнитным полем H, а также капиллярныесилы на свободной границе Γt. Магнитное поле индуцируется электрическим то-ком j, заданным в фиксированной области Ω3 с границей S3. Как Ω1t, так и Ω3

окружены вакуумом Ω2t. Область Ω = Ω1t ∪ Ω2t ∪ Ω3 ∪ Γt ограничена идеальнопроводящей поверхностью S. Определяющими уравнениями являются уравненияНавье – Стокса, учитывающие наличие магнитного поля, и уравнения Максвелла(без тока смещения, см. [1]):

vt + (v · ∇)v −∇ · T (v, p)−∇ · TM (H) = f(x, t),∇ · v(x, t) = 0, x ∈ Ω1t, t > 0,

(1)µHt = −rotE, ∇ ·H = 0, x ∈ Ω1t ∪ Ω2t ∪ Ω3,rotH = α(E + µ(v ×H)), x ∈ Ω1t, t > 0,rotH = αE + j(x, t), x ∈ Ω3,rotH = 0, ∇ ·H = 0, ∇ ·E = 0, x ∈ Ω2t,

(2)

где T (v, p) — тензор напряжений: T (v, p) = −pI + νS(v), S(v) = ∇v + (∇v)T —удвоенный тензор скоростей деформации, TM (H) = µ(H ⊗H − 1

2 |H|2I) — маг-

нитный тензор напряжений, µ — кусочно-постоянная положительная функция,равная µi в Ωit, i = 1, 2, µ3 в Ω3, α = αj = const > 0, j = 1, 3. Уравнения (1), (2)дополняются краевыми и начальными условиями

(T (v, p) + [TM (H)]

)n = σnH, Vn = v · n, x ∈ Γt,

nt[µH] + [nx ×E] = 0, x ∈ Γt,[µH · n] = 0, [Hτ ] = 0, x ∈ Γt ∪ S3, [Eτ ] = 0, x ∈ S3,H · n = 0, Eτ = 0, x ∈ S,v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω10, H(x, 0) = H0(x), x ∈ Ω10 ∪ Ω20 ∪ Ω3,

(3)

где n — нормаль к Γt, S3, S, Vn — скорость эволюции Γt в направлении n,Hτ = H−n(n ·H) — тангенциальная составляющая H, H — удвоенная средняякривизна Γt, σ = const > 0. Под [u] понимается скачок u(x) на Γt или на S3 и подn = (nx, nt) = (n1, n2, n3, nt) — вектор нормали к поверхности G = x ∈ Γt, t > 0в R4. Векторные поля v0 и H0 удовлетворяют естественным условиям согласо-вания и обладают необходимой регулярностью, как и связная поверхность Γ0.

Доказывается, что задача (1)–(3) имеет решение (v, p,H,E), определенное нанекотором конечном интервале времени (0, T ), причем vt, Dj

xv, ∇p ∈ Lq(Q1T ), Ht,

DjxH, ∇E ∈ Lq(QkT ), |j| ≤ 2, k = 1, 2, 3, QkT = x ∈ Ωkt, t ∈ (0, T ), q > 3.

B случае односвязных Ω1t,Ω и Ω3 = ∅ задача рассмотрена в работе [2].ЛИТЕРАТУРА

1. Roberts P.H. An introduction in magnetohydrodynamics. London: Longmans, Green andCo. LTD, 1967.

2. Padula M., Solonnikov V. A. On the free boundary problem of magnetohydrodynamics //J. Math. Sci. (New York). 2011. V. 178, N 3. P. 313–344.

47

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR COMPLEX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

IN PLANE DOMAINS

Begehr H.

Free University of Berlin, Berlin, Germany; begehrh@zedat.fu-berlin.de

There are two principally different complex partial differential operators of onecomplex variable, the polyanalytic and the polyharmonic operators, ∂nz and (∂z∂z)

n,n ∈ N. The general complex differential operator ∂mz ∂nz , m,n ∈ N, can obviously bedecomposed in the product of a polyanalytic (or anti-polyanalytic ∂kz , k ∈ N) anda polyharmonic operator. Using their potentials general linear differential operatorswith them as leading term can be treated, see [1, 2]. Basic boundary value problemsfor the simplest operators are in the case of the Cauchy–Riemann operator ∂z theSchwarz, Dirichlet, Neumann, Robin and more generally the Riemann and Riemann–Hilbert problems, and in case of the Laplace operator ∂z∂z the Robin problem withits particular cases, the Dirichlet and Neumann problems. While the Schwarz prob-lem for the Cauchy–Riemann operator is well-posed the others are not [3]. The Robinproblem for the Poisson equation ∂z∂zw = f , in general, is conditionally solvable.Only the Dirichlet problem is unconditionally solvable. The solution to the Robinproblem is explicitly expressed through the Robin function, a particularly adjustedfundamental solution to the Laplacian with the Green and the Neumann functionsas special cases. While the existence of Green functions even for general elliptic op-erators is well studied, explicit expressions for them are rarely investigated althoughthey would provide explicit solutions to boundary value problems important in appli-cations. There are three methods to calculate the harmonic Green function for planedomains based on (i) its conformal invariance, (ii) the Schwarz problem for analyticfunctions, and (iii) the parqueting-reflection method. Green functions are e.g. knownfor disc sectors, cones, certain convex polygons like an equilateral triangle [4], halfhexagon, half rings, certain lunes and lenses [5], rings. The Schwarz problem for theinhomogeneous polyanalytic (for n = 2 Bitsadze) equation is explicitly solved forthe unit disc [6]. For the n-Poisson equation (∂z∂z)

nw = f there exists a variety ofboundary value problems [7], the larger n is the more conditions are possible. Besidesthe Dirichlet and Neumann problems there is e.g. the Requir (Navier) problem. Thelatter problem is decomposable in a set of coupled Dirichlet problems for the Pois-son equation. Incorporating also Neumann and Robin boundary conditions leads toa hierarchy of hybrid polyharmonic Green functions.

REFERENCES1. Vekua I. N., Generalized Analytic Functions, Pergamon, Oxford (1967).2. Aksoy U., Celebi O., “A survey on the boundary value problems for complex partial

differential equations,” Adv. Dyn. Syst. Appl., 5, No. 2, 133–158 (2010).3. Begehr H., “Boundary value problems in complex analysis, I, II,” Bol. Asoc. Mat. Venez.,

XII, No. 1, 65–85; No. 2, 217–250 (2005).4. Begehr H., Vaitekhovich T., “Harmonic Dirichlet problem for some equilateral triangle,”

Complex Var. Elliptic Equ., 57, No. 2, 185–196 (2012).5. Begehr H., Vaitekhovich T., “Schwarz problem in lens and lune,” Complex Var. Elliptic

Equ. (to appear).6. Begehr H., Schmersau D., “The Schwarz problem for polyanalytic functions,” Z. Anal.

Anwend., 24, No. 2, 341–351 (2005).7. Begehr H., Vu T. N. H., Zhang Z.-X., “Polyharmonic Dirichlet problem,” Proc. Steklov

Inst. Math., 255, No. 1, 13–34 (2006).

48

Пленарные доклады

INTERPOLATION, DIVIDED DIFFERENCES, SPLINESAND SOBOLEV SPACES. FROM J. GREGORY,

I. NEWTON AND G. LEIBNIZ TO S. L. SOBOLEV

Bojarski B.

Institute of Mathematics, Warsaw, Poland; B.Bojarski@impan.pl

A review of the foundations of the theory of Sobolev spaces will be presented.It is mainly based on the discussion of Sobolev pointwise inequalities, propagatedin a series of papers by myself and my colleagues and students over the last twodecades or so. The famous Sobolev imbedding theorems are discussed with proofsvalid for the case of Sobolev spaces on measure metric spaces as well. To some extentBesov–Sobolev spaces are also considered. Apparently new, the concept of maximalmean difference quotient is introduced. It allows us to see the direct connection ofthe foundations of the Sobolev spaces theory with the very foundational notions ofmathematical analysis, from the time before even the concept of derivation and thederivatives was elaborated sufficiently clearly. More natural in this context it seemsto be the concepts of finite differences, divided differences and Newton–Lagrangeinterpolation and related fundamental ideas of numerical computation theory: Peanokernels, B-splines and box splines.

49

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

MATHEMATICAL THEORY OF COMPRESSIBLE,VISCOUS, AND HEAT CONDUCTING FLUIDS

Feireisl E.

Institute of Mathematics, Prague, Czech Republic; feireisl@math.cas.cz

We review some recent results on the Navier–Stokes–Fourier system governing theevolution of a general compressible, viscous, and heat conducting fluid. We discussseveral concepts of weak solutions, in particular, using the implications of the Secondlaw of thermodynamics. We introduce the concept of relative entropy and dissipativesolution and show the principle of weak-strong uniqueness. We relate these results totheir counterparts of the inviscid (Euler) system.

Other applications of the approach based on relative entropy concept will be given.In particular, we discuss the problems of model reduction and the related singularlimits. Special attention is paid to singular limits towards the inviscid system.

Eduard Feireisl acknowledges the support of the GACR (Czech Science Foundation)project P201-13-00522S in the framework of RVO: 67985840.

50

Пленарные доклады

INTERCONNECTION BETWEEN ORDINARYAND DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

VIA APPROXIMATION TECHNIQUES

Gyori I.

University of Pannonia, Veszprem, Hungary; gyori@almos.vein.hu

Our lecture is focussing on two approximation techniques and their applications inmathematical biology. In both cases, we establish connections between the solutions ofa delay differential equation and of a suitably constructed n dimensional system of or-dinary differential equations. The two approximating schemes are originated from twodifferent ideas. The first one is based on the connection between transit compartmentsmodels which is frequently used in pharmacology and the theory of compartmentalmodels with pipes. The second scheme is derived from a relation between delay differ-ential equations and hyperbolic type partial differential equations which is combinedwith the method of lines approximation.

In both cases the convergence is uniform on any compact interval as the dimen-sion n tends to infinity. It is worth to note that in the first approximation case theconvergence is also uniform on [0,∞), under some extra condition.

For background articles see the references below.

REFERENCES

1. Baker C. T. H., Bocharov G. A., Rihan F. A., A Report on the Use of Delay Differen-tial Equations in Numerical Modelling in the Biosciences [Numerical Analysis ReportNo. 343], University of Manchester, Manchester Centre of Computational Mathematics,Manchester (1999).

2. Demidenko G. V., “Systems of differential equations of higher dimension and delay equa-tions,” Sib. Math. J., 53, No. 6, 1021–1028 (2012).

3. Gyori I., “Two approximation techniques for functional differential equations,” Comput.Math. Appl., 16, No. 3, 195–214 (1988).

4. Gyori I., “Interconnection between ordinary and delay differential equations,” in: ModernOptimal Control (Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 119), E. O. Roxin (ed.), MarcelDekker Inc., New York; Basel, 1989, pp. 131–142.

5. Gyori I., Turi J., “Uniform approximation of a nonlinear delay equation on infinite inter-vals,” Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 17, No. 1, 21–29 (1991).

6. Koch G., Schropp J., “General relationship between transit compartments and lifespanmodels,” J. Pharmacokinet Pharmacodyn (2012); DOI:10.1007/s10928-012-9254-4.

7. Krasznai B., Gyori I., Pituk M., “The modified chain method for a class of delay dif-ferential equations arising in neural networks,” Math. Comput. Modelling, 51, No. 5–6,452–460 (2010).

51

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

SMALL DIVISOR PROBLEMS IN FLUID MECHANICS

Iooss G.

University of Nice, Nice, France; gerard.iooss@unice.fr

It is quite remarkable that Fluid Mechanics offers small divisor problems even forsteady flows. Such problems appear naturally when we are dealing with dynamics oninvariant tori, as this may happen in several classical hydrodynamic stability problems,after few bifurcations (see [1, 2]). We do not present such cases below. We concentrateon cases where the small divisor problem arises in various ways for steady flows(no dynamics here). In particular, we present two water wave problems where thisdifficulty happens in an a priori unexpected way.

The first example is 3D Travelling gravity waves, with a 2D periodic horizontalpattern on the free surface. We consider the infinite depth case, which is not essentialin such a case. On the contrary, absence of surface tension is essential for having asmall divisor problem. Details of proofs may be found in [3, 4].

The second example is the 2D Standing gravity waves on an infinitely deep fluidlayer, where the free surface (a curve here) should be periodic in time and in thehorizontal coordinate. Details of proofs are in [5]. In this example, absence of surfacetension is not essential, but the fact that the fluid depth is infinite in absence of surfacetension, gives an additional difficulty known as complete resonance with respect tothe finite depth problem which also gives a small divisor problem (see the results in [6]not presented here).

The third example is given by quasipatterns occuring for thin viscous fluid layersperiodically vertically shaked (Faraday type experiment). In this last case, occurenceof small divisors is a priori expected because of spatial quasi-periodicity. Details ofproofs of existence of such patterns as solutions of the Swift–Hohenberg PDE modelare in [7]. The proof of existence on fluid mechanics equations related with the Faradayexperiment is still an open problem. The work [8] provides the connection betweenthe fluid mechanics problem and the small divisor problem for quasipatterns.

REFERENCES

1. Chenciner A., Iooss G., “Bifurcations de tores invariants,” Arch. Ration. Mech. Anal.,69, No. 2, 109–198 (1979).

2. Chenciner A., Iooss G., “Persistance et bifurcations de tores invariants,” Arch. Ration.Mech. Anal., 71, No. 4, 301–306 (1979).

3. Iooss G., Plotnikov P., “Small divisor problem in the theory of three-dimensional watergravity waves,” Mem. Am. Math. Soc., 200, No. 940, 128 pages. (2009).

4. Iooss G., Plotnikov P., “Asymmetrical three-dimensional travelling gravity waves,” Arch.Ration. Mech. Anal., 200, No. 3, 789–880 (2011).

5. Iooss G., Plotnikov P., Toland J., “Standing waves on an infinitely deep perfect fluidunder gravity,” Arch. Ration. Mech. Anal., 177, No. 3, 367–478 (2005).

6. Plotnikov P., Toland J., “Nash–Moser theory for standing water waves,” Arch. Ration.Mech. Anal., 159, No. 1, 1–83 (2001).

7. Braksmaa B., Iooss G., Stolovitch L., “Existence of quasipatterns solutions of the Swift–Hohenberg equation,” Arch. Ration. Mech. Anal. (2013) (to appear).

8. Argentina M., Iooss G., “Quasipatterns in a parametrically forced horizontal fluid film,”Physica D: Nonlinear Phenomena (2012); DOI:10.1016/j.physicad.2012.04.011.

52

Пленарные доклады

ABOUT SOBOLEV-TYPE SPACES

Kufner A.

Institute of Mathematics, Prague, Czech Republic; kufner@math.cas.cz

The breaking discovery made by Sergei L’vovich Sobolev almost seventy yearsago has substantially enriched and influenced the whole mathematics — pure aswell as applied. The lecture should be an attempt to collect existing generalizationsand modifications of the famous Sobolev spaces, as e.g. Nikolskii spaces, Slobodet-skii spaces, Besov spaces, Triebel–Lizorkin spaces, weighted Sobolev spaces, Sobolev–Orlicz spaces, Sobolev–Morrey spaces etc., to compare various approaches, to pointout the differences and to mention the many possibilities of their application, namelyin the theory and practice of PDEs.

53

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

COMPRESSIBLE NAVIER–STOKES EQUATIONS.PADULA AND LIONS PROBLEMS

Plotnikov P. I.1, Weigant W.2

1Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, Russia;plotnikov@hydro.nsc.ru

2University of Bonn, Bonn, Germany; w-weigant@t-online.de

This work is devoted to the study of the following boundary value problem forcompressible Navier–Stokes equations

∂t(ϱu) + div (ϱu⊗ u) +∇p(ρ) = divS(u) + ϱ f in Ω× (0, T ),

∂tϱ+ div (ϱu) = 0 in Ω× (0, T ),

u = 0 on ∂Ω× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) in Ω,

ϱ(x, 0) = ϱ0(x) in Ω,

whereS(u) = µ(∇u +∇u⊤) + λ div u,

ϱ0 > 0, u0, f are given functions, p(ϱ) = ϱγ , Ω is a bounded domain in Rd, d = 2, 3,µ, λ are positive constants. We consider the endpoint cases γ = 1, d = 2 and γ > 1,d = 3, when the energy estimate does not guarantee the integrability of the kineticenergy density with an exponent greater than 1. In order to cope with this difficultywe develop new approach to the problem. Our method is based on the estimates of theRadon transform of p(ϱ). We prove that two-dimensional isothermal problem (γ = 1,d = 2) has a renormalized solution such that ϱ ∈ Lr(Ω × (0, T )), r > 1. In the caseγ > 1, d = 3 we obtain new estimates for the pressure function and the kinetic energydensity.

54

Пленарные доклады

PROBLEMS WITH A VARIATIONAL THEORYOF WATER WAVES

Toland J. F.

Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, United Kingdom;University of Bath, Bath, United Kingdom; jft26@newton.ac.uk

By minimising an energy functional, a global variational theory of waves on thesurface of a perfect fluid with a prescribed distribution of vorticity has been obtainedwhen the surface is in contact with a strong hyperelastic membrane. It will be shownthat a minimiser does not exist when surface energy effects are absent. Thus classicalStokes waves, the existence of which is known for other reasons, are not minimisersof the energy and their relationship with the energy functional remains a mystery. Avariational theory of Stokes waves seems a long wave off.

55

СекцияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯТезисы 30-минутных докладов

SectionDIFFERENTIALEQUATIONS

Abstracts of Invited Lectures

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАНСА ДЛЯАБСТРАКТНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

NONLINEAR RESONANCE THEORYFOR ABSTRACT HYPERBOLIC EQUATIONS

Белоносов В.С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

bvs@math.nsc.ru, belonosov@academ.org

Тема доклада мотивирована проблемами обоснования волновых технологийинтенсификации добычи нефти. Продуктивность обводненных месторожденийснижается ввиду “зарастания” поровых каналов нефтяных пластов устойчивы-ми слоями полярных молекул. Динамика этих слоев при малых вибрационныхвоздействиях описывается уравнением вида u = −A2u + ε[B(ωt)u + Q(u, u)], гдеu(t) — функция со значениями в некотором гильбертовом пространстве, A — ли-нейный самосопряженный неограниченный оператор, B(τ) — 2π-периодическаяоператор-функция, Q(u, v) — билинейная эрмитова форма, ε — малый параметр.Причиной разрушения слоев, очищения поровых каналов и увеличения добычинефти при виброволновой обработке является параметрический резонанс, т. е.потеря устойчивости системы, когда частота ω волнового воздействия близка копределенным критическим значениям [1].

В линейном случае критические частоты определяются только спектральны-ми свойствами оператора A. Если этот оператор имеет компактную резольвенту,то амплитуды колебаний при резонансе экспоненциально возрастают. Для нели-нейных уравнений критические частоты зависят также от амплитуд колебаний,поэтому параметрический резонанс проявляется в форме периодических пуль-саций, называемых в нелинейной физике фазовыми колебаниями. Это явлениеизучено пока только для систем с конечным числом степеней свободы и на фи-зическом уровне строгости [2]. В бесконечномерном случае теория нелинейногорезонанса может быть построена при помощи классического метода усредненияКрылова – Боголюбова, применение которого сопряжено с принципиальной труд-ностью — проблемой малых знаменателей [3]. Нами разработана модификацияэтого метода [4], на базе которой установлено, что фазовые колебания прибли-женно описываются конечномерными динамическими системами. Найдены кон-структивные способы построения таких систем и выявлены особенности потериустойчивости решений в зависимости от свойств коэффициентов исходного аб-страктного уравнения.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 30) и Президиума РАН (программа фундаментальных исследований 15).

ЛИТЕРАТУРА

1. Dorovsky V. N., Belonosov V. S., Belonosov A. S. Numerical investigation of parametricresonance in water-oil structures containing gas // Math. Comput. Modelling. 2002.V. 36, N 1–2. P. 203–209.

2. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику: от маятника дотурбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.4. Белоносов В. С. Спектральные свойства обобщенных функций и асимптотические

методы теории возмущений // Мат. сб. 2012. Т. 203, 3. С. 3–22.

58

Секция “Дифференциальные уравнения”

СОБОЛЕВСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯВ ЗАДАЧЕ О ПЕРЕНОСЕ ЗАРЯДА

ДЛЯ ТРАНЗИСТОРА MESFET

SOBOLEV REGULARIZATIONIN A PROBLEM OF CHARGE TRANSPORT

FOR THE MESFET TRANSISTOR

Блохин А. М.1, Ткачев Д. Л.2

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

1blokhin@math.nsc.ru, 2tkachev@math.nsc.ru

Недавно в работе итальянских математиков A. Anile, V. Romano [1] предложе-на система моментных уравнений, полученных из уравнения переноса Больцманас использованием принципа максимума энтропии в качестве процедуры замыка-ния.

В докладе представлены результаты исследования соболевской регуляриза-ции соответствующей стационарной проблемы.

В области Ω = (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 13 требуется найти решение (φ, σ, χ)

системы

∂∂t (φ−∆φ) + φ−∆φ = φ− β(eχ+M(x) − ρ) + Z

′′(x),

∂∂t (σ −∆σ) + σ −∆σ = σ − a2|∇σ|2 − a2(∇σ,∇χ+∇M)− a3(∇σ,∇φ+∇Z)

−a4(∇χ+∇M,∇φ+∇Z)− a5|∇φ+∇Z|2 − bcσ,∂∂t (χ−∆χ) + χ−∆χ = χ+ |∇χ+∇M |2 − b1|∇σ|2 − b2(∇σ,∇χ+∇M)

−b3(∇σ,∇φ+∇Z)− b4(∇χ+∇M,∇φ+∇Z)

−b5|∇φ+∇Z|2 − β1+σ (eξ+M(x) − ρ)− ncσ +M(x),

удовлетворяющее смешанному граничному условию:

φ = σ = χ = 0 на Г0 =

(x, y) : y =1

3, 0 ≤ x ≤ 1

6,

1

3≤ x ≤ 2

5,

5

6≤ x ≤ 1

,

(l,∇φ) = (l,∇σ) = (l,∇χ) = 0 на Гl = ∂Ω\Г0.

Здесь φ(t, x, y) — электрический потенциал, χ = lnR, R — электронная плот-ность, σ = 2

3E − 1, E — энергия электронов, ρ — плотность легирования, ai, bi(i = 1, . . . , 5), b, c — известные функции от σ, M(x), Z(x) — известные гладкиефункции, β — некоторая постоянная.

Результаты опубликованы в работах [2–4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Anile A. M., Romano V. Non parabolic band transport in semiconductors: closure of themoment equations // Contin. Mech. Thermodyn. 1999. V. 11, N 5. P. 307–325.

2. Блохин А. М., Ткачев Д. Л. Обоснование метода установления для одной математи-ческой модели переноса заряда в полупроводниках // Журн. вычисл. математикии мат. физики. 2011. Т. 51, 8. C. 1495–1517.

3. Blokhin A. M., Tkachev D. L. Asymptotic stability of the stationary solution for a newmathematical model of charge transport in semiconductors // Q. Appl. Math. 2012.V. 70, N 2. P. 357–382.

4. Блохин А. М., Ткачев Д. Л. Регулярность решения и корректность смешанной за-дачи для эллиптической системы с квадратичной нелинейностью по градиентам //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, 10. C. 1866–1882.

59

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВОЛНОВАЯ МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРАWAVE MODEL OF ATOMIC KERNEL

Гарипов Р.М.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; R.M.Garipov@mail.ru

Известны классические модели атомного ядра Гамова и Бора. Оболочечнаямодель Гамова предполагает, что нуклоны (т. е. протоны и нейтроны) ядра на-ходятся в общей потенциальной яме, дно которой может быть выше уровня набесконечности, и не взаимодействуют друг с другом. Эта модель хорошо опи-сывает периоды полураспада радиоактивных ядер. Капельная модель Бора, на-против, предполагает столь сильное взаимодействие нуклонов, что они образуютжидкую каплю. Модель Бора хорошо объясняет деление тяжёлых ядер. В этихмоделях нуклоны считаются корпускулами. В данной работе строится чисто вол-новая модель атомного ядра. Последние экспериментальные открытия в физикевстречных электрон-позитронных пучков говорят в пользу точки зрения Шре-дингера на элементарные частицы как на материальные волны де Бройля. Поэто-му N нуклонов ядра рассматриваются как N волн, описываемых комплекснымифункциями u1(x), . . . , uN (x) точки пространства-времени x = (t, x1, x2, x3) (t —время, переменные безразмерны). Эти функции удовлетворяют нелинейной си-стеме уравнений Клейна – Гордона(

∂2

∂t2− ∂2

∂x21− ∂2

∂x22− ∂2

∂x23+m2

α

)uα = uα

∑β

ζαβ |uβ |2 (α, β = 1, . . . , N), (1)

где mα — масса α-го нуклона, ζαβ = ζβα ≥ 0 — константы. Выражение дляплотности энергии выводится из математического условия дивергентности про-изводной ∂E/∂t:

E =1

2

N∑α=1

(∣∣∣∣∂uα∂t∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣∂uα∂x1

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣∂uα∂x2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣∂uα∂x3

∣∣∣∣2)

+1

2

N∑α=1

m2α −

1

2

N∑β=1

ζαβ |uβ |2 |uα|2. (2)

Атомное ядро определяется как решение специального вида системы уравне-ний (1) (см. [1]). Из формулы (2) видно, что взаимодействие уменьшает массынуклонов. Это явление известно в ядерной физике как дефект масс атомныхядер. Если все константы ζαβ были бы положительны и одинаковы, то дефектмассы ядра возрастал бы квадратично с ростом числа нуклонов, а опыт пока-зывает линейный рост. Отсюда следует, что в самом простом случае в каждойстроке симметричной матрицы (ζαβ) содержатся лишь два ненулевых элемента.Соединив точки α и β отрезком, если ζαβ > 0, получим граф взаимодействиянуклонов атомного ядра. Для циклического графа взаимодействия нуклонов вдокладе вычислены дефекты масс атомных ядер.

ЛИТЕРАТУРА1. Гарипов Р. М. Резонансный рост адронов фона во встречных электрон-позитрон-

ных пучках и модель атомного ядра. Ч. 1. Новосибирск, 2012. (Препринт / ИГиЛСО РАН; 1–12).

60

Секция “Дифференциальные уравнения”

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОМОРФИЗМЕКВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

THEOREMS ON ISOMORPHISMOF QUASIELLIPTIC OPERATORS

Демиденко Г. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирскийгосударственный университет, Новосибирск, Россия; demidenk@math.nsc.ru

Теоремы об изоморфизме дифференциальных операторов представляют боль-шой интерес в теории уравнений с частными производными и имеют множествоприложений. Однако во многих важных случаях их формулировки далеко неочевидны. Например, полигармонический оператор m : W 2m

p (Rn) −→ Lp(Rn)ни при каких m, p не является изоморфизмом (см. [1, гл. 12]), и для того,чтобы сформулировать теоремы об изоморфизме для оператора m, необходи-мо использовать специальные весовые соболевские пространства (см. [2]). Впер-вые пространства такого типа появились в работах Л. Д. Кудрявцева (1966),L. Nirenberg, H. F. Walker (1973), Л. А. Багирова и В. А. Кондратьева (1975). С ис-пользованием таких пространств в 80-е годы были доказаны теоремы об изомор-физме скалярных эллиптических операторов и матричных однородных эллипти-ческих операторов в Rn (M. Cantor, R. C. McOwen, R. B. Lockhart, Y. Choquet-Bruhat, D. Christodoulou). Первая теорема об изоморфизме для однородных мат-ричных квазиэллиптических операторов в Rn была доказана автором [3]. Резуль-таты [3] были обобщены в работе G. N. Hile [4].

Настоящая работа посвящена изучению свойств некоторых классов матрич-ных квазиэллиптических операторов L(Dx) в Rn. Рассматриваемый нами классоператоров входит в класс квазиэллиптических операторов, введенных Л. Р. Во-левичем, и содержит, в частности, однородные эллиптические операторы, эллип-тические и параболические операторы по Петровскому, эллиптические операторыпо Дуглису – Ниренбергу, операторы параболического типа с “противоположны-ми временами” и др. Для этих операторов мы получаем оценки фундаментальныхрешений и устанавливаем теоремы об изоморфизме в специальных шкалах весо-вых соболевских пространств (см., например, [5]). Из этих результатов вытекаетряд известных теорем об изоморфизме для однородных эллиптических операто-ров, а также ряд новых теорем об изоморфизме, в частности, для эллиптическихоператоров по Дуглису – Ниренбергу и параболических операторов в Rn.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00329), Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. McOwen R. C. On elliptic operators in Rn // Commun. Partial Differ. Equations. 1980.

V. 5, N 9. P. 913–933.3. Демиденко Г.В. О квазиэллиптических операторах в Rn // Сиб. мат. журн. 1998.

Т. 39, 5. С. 1028–1037.4. Hile G. N. Fundamental solutions and mapping properties of semielliptic operators //

Math. Nachr. 2006. V. 279, N 13-14. P. 1538–1564.5. Демиденко Г.В. Матричные квазиэллиптические операторы в Rn // ДАН. 2010.

Т. 431, 4. С. 443–446.

61

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СОВМЕЩЕННЫЕ ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ)

COMBINED INVERSE AND ILL-POSEDPROBLEMS FOR HYPERBOLIC EQUATIONS(THEORY, NUMERICS, AND APPLICATIONS)

Кабанихин С. И.

Институт вычислительной математики и математическойгеофизики СО РАН, Новосибирский государственный университет,

Новосибирск, Россия; kabanikhin@sscc.ru

Рассмотрены обратные и некорректные задачи для уравнений и систем урав-нений гиперболического типа, возникающие в сейсморазведке, электродинамике,акустике, исследовании волн цунами [1–6].

Для линейных задач исследована степень некорректности, построены и иссле-дованы численные методы регуляризации. Получены оценки условной устойчи-вости задачи Коши с данными на времениподобной поверхности (задачи продол-жения). Исследована степень некорректности задачи определения источников,порождающих волновые процессы (упругие, электромагнитные, акустические).Построены и исследованы на сходимость градиентные методы решения. Получе-ны оценки скорости сходимости целевого функционала, условные оценки сильнойсходимости, исследованы регуляризирующие свойства градиентных алгоритмов.

Для нелинейных коэффициентных обратных задач доказаны теоремы един-ственности и получены оценки условной устойчивости. Построены и обоснованычисленные методы решения обратных и некорректных задач, основанные на ком-бинации методов Гельфанда – Левитана – Крейна, Ньютона – Канторовича и со-пряженных градиентов. Рассмотрены методы регуляризации обратных и некор-ректных задач (методы А. Н. Тихонова, В.К. Иванова и М. М. Лаврентьева). Про-веден анализ методов использования априорной информации при регуляризацииобратных и некорректных задач для гиперболических уравнений, включая огра-ниченность, гладкость, монотонность, истокопредставимость искомого решения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00773) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 122).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications. Berlin: deGruyter, 2012.

2. Kabanikhin S. I., Satybaev A. D., Shishlenin M. A. Direct methods of solving inversehyperbolic problems. Utrecht: VSP, 2004.

3. Kabanikhin S. I., Lorenzi A. Identification problems for wave phenomena. Theory andnumerics. Utrecht: VSP, 1999.

4. Romanov V. G., Kabanikhin S. I. Inverse problems for Maxwell’s equations. Utrecht: VSP,1994.

5. Kabanikhin S. I., Bektemesov M. A., Nurseitov D. B., Krivorotko O. I., Alimova A. N. Anoptimization method in the Dirichlet problem for the wave equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2012. V. 20, N 2. P. 193–211.

6. Kabanikhin S. I., Krivorot’ko O. I. A numerical method for determining the amplitude ofa wave edge in shallow water approximation // Appl. Comput. Math. 2013. V. 12, N 1.P. 91–96.

62

Секция “Дифференциальные уравнения”

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЛНОВОГО ПОТЕНЦИАЛАBOUNDARY CONDITIONS OF THE WAVE POTENTIAL

Кальменов Т.Ш., Дауитбек Д.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; kalmenov.t@mail.ru

В ограниченной области Ω ≡ (x, t) : (0, l) × (0, T ) рассмотрим одномерныйволновой потенциал

u(x, t) =

∫Ω

ε(x− ξ, t− τ)f(ξ, τ)dξdτ, (1)

где ε(x− ξ, t− τ) = 12θ(t− τ − |x− ξ|) — фундаментальное решение задачи Коши

для волнового уравнения, т. е.

∂2ε(x− ξ, t− τ)

∂t2− ∂2ε(x− ξ, t− τ)

∂x2= δ(x− ξ, t− τ),

∂2ε(x− ξ, t− τ)

∂τ2− ∂2ε(x− ξ, t− τ)

∂ξ2= δ(x− ξ, t− τ),

ε(x− ξ, t− τ)∣∣∣τ=t

=∂ε(x− ξ, t− τ)

∂t

∣∣∣τ=t

=∂ε(x− ξ, t− τ)

∂τ

∣∣∣τ=t

= 0.

Известно что, если функция f(x, t) ∈ L2(Ω), то u(x, t) ∈ W 12 (Ω) ∩W 1

2 (∂Ω) иобъемный волновой потенциал (1) удовлетворяет следующему уравнению

∂2u(x, t)

∂t2− ∂2u(x, t)

∂x2= f(x, t), (x, t) ∈ Ω, f ∈ L2(Ω), (2)

и начальным условиям

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < l. (3)

Волновой потенциал (1) широко используется при решении различных краевыхзадач для волнового уравнения. Ниже находим боковые граничные условия, по-рождаемые волновым потенциалом (1).

Теорема. Пусть функция f(x, t) ∈ L2(Ω), тогда волновой потенциал (1) удо-влетворяет боковым граничным условиям

(ux − ut)(0, t) = 0, x = 0, 0 < t < T, (ux + ut)(l, t) = 0, x = l, 0 < t < T. (4)

Обратно, если функция u(x, t) ∈W 12 (Ω)∩W 1

2 (∂Ω) удовлетворяет уравнению (2) иначальным условиям (3), а также боковым граничным условиям (4), то функцияu(x, t) однозначно определяет одномерный волновой потенциал (1).

Отметим, что граничное условие (4) волнового потенциала (1) является ло-кальным граничным условием в отличие от граничного условия объемного по-тенциала Лапласа, приведенного в работе [1]. В этой работе также показаныприменения граничного условия волнового потенциала (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальменов Т.Ш., Сураган Д. К спектральным вопросам объемного потенциала //ДАН. 2009. Т. 428, 1. С. 16–19.

63

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ОПТИМИЗАЦИЯИ СРАВНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ROBUST STABILITY, OPTIMIZATION,AND COMPARISON OF DYNAMICAL SYSTEMS

Мазко А. Г.

Институт математики НАН Украины, Киев, Украина; mazko@imath.kiev.ua

Доклад посвящен результатам исследований по следующим направлениям.1. Устойчивость динамических систем с неопределенностями. Рас-

сматривается нелинейная система управления

E(x)x = A(x, t)x+B(x, t)u, y = C(x, t)x+D(x, t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, y ∈ Rl. (1)

Предполагается, что значения матричных коэффициентов E, A, B, C и D приx = 0 и t ≥ 0 принадлежат соответствующим полиэдральным множествам (по-литопам). Множество стабилизирующих регуляторов определяется в виде

u = K(x, t)y, K(x, t) = K∗(x, t) + K(x, t), K(x, t) ∈ K =K : KTPK ≤ Q

, (2)

где P = PT > 0 и Q = QT > 0 — матрицы, описывающие эллипсоид K ⊂ Rm×l.Ставится задача построения условий, обеспечивающих асимптотическую устой-чивость нулевого состояния семейства систем (1), (2). Предлагаются вариантырешения данной задачи в терминах линейных алгебраических и дифференци-альных матричных неравенств.

2. Робастная стабилизация и оптимизация систем управления. Ста-вится задача построения условий, обеспечивающих асимптотическую устойчи-вость нулевого состояния семейства систем (1), (2) и оценку функционала

J(u, x0) =

∫ ∞

0

[xTuT

]Φ(t)

[xu

]dt ≤ ω, Φ(t) =

[S NNT R

],

где x0 = x(0), S ≥ NR−1NT + ηIn, η > 0, In — единичная n× n-матрица.Предлагаются новые методы построения стабилизирующих матриц обратной

связи K∗ для линейных стационарных систем типа (1), (2), а также алгоритмыквадратичной оптимизации таких систем с неопределенными матрицами коэф-фициентов, основанные на решении линейных матричных неравенств. Получен-ные результаты распространяются на непрерывные и дискретные системы управ-ления с динамической обратной связью.

3. Робастная устойчивость и сравнение по конусу. Рассматриваетсякласс динамических систем в полуупорядоченном банаховом пространстве

X = F (X, t), F (Θ, t) ≡ 0, F (X, t)Kt≤ F (X, t)

Kt≤ F (X, t), X ∈ E , t ≥ 0, (3)

обладающих определенными свойствами относительно заданного конуса Kt ⊂ E .Предлагается методика анализа робастной устойчивости состояния X ≡ Θ си-стемы (3) с использованием конусных неравенств, понятия производной Фрешепо конусу и свойства внедиагональной положительности нелинейного оператора.Формулируется обобщенный принцип сравнения конечного семейства систем.

ЛИТЕРАТУРА1. Мазко О. Г., Богданович Л. В. Робастна стiйкiсть i оптимiзацiя нелiнiйних систем

керування // Збiрник праць Iнституту математики НАН Украıни. Киıв: Iнститутматематики НАН Украıни, 2012. Т. 9, 1. С. 204–222.

2. Mazko A. G. Cone inequalities and stability of dynamical systems // Nonlinear Dyn.Syst. Theory. 2011. V. 11, N 3. P. 303–318.

64

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

INVERSE PROBLEMSFOR VISCOELASTICITY EQUATIONS

Романов В. Г.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;romanov@math.nsc.ru

Рассматриваются обратные задачи для уравнений вязкоупругости в двумер-ном и трехмерном вариантах.

Для интегродифференциального уравнения, которое соответствует двумер-ной проблеме вязкоупругости, изучается задача об определении плотности, мо-дуля упругости и пространственной части ядра, входящего в интегральный опе-ратор уравнения (см. [1–3]). Предполагается, что искомые функции отличаютсяот заданных констант только внутри единичного круга D = x ∈ R2 | |x| < 1.В качестве информации для решения этой обратной задачи рассматривается од-нопараметрическое семейство решений интегродифференциального уравнения,отвечающее импульсным источникам, локализованным на прямых линиях, и награнице области D задаются следы решений для некоторого конечного временно-го интервала. Исследование этой задачи проводится в предположении, что ядроp(x, t) интегрального оператора в уравнениях вязкоупругости представимо в ви-де p(x, t) = k(t)p0(x), в котором k(t) является заданной функцией, а p0(x) —неизвестной функцией, носитель которой содержится внутри D. Показывается,что использование сравнительно небольшой части заданной информации о кине-матике и элементах динамики распространяющихся волн позволяет свести рас-сматриваемую задачу к трем последовательно и однозначно решаемым обратнымзадачам, которые в совокупности дают решение исходной обратной задачи.

Подобная задача в предположении, что плотность постоянна, изучена дляполной системы уравнений вязкоупругости [4]. Обратная задача состоит в опре-делении двух модулей упругости и двух ядер, входящих в интегральные опе-раторы системы уравнений. В этом случае вместо источников, локализованныхна прямых линиях, рассматривается серия импульсных сосредоточенных источ-ников. Информация о решениях серии прямых задач задается для некоторогоконечного временного интервала на границе области, в которой определяютсяискомые функции. Установлены конструктивные теоремы единственности реше-ния обратной задачи.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00105 a), Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 14) и проекта, выполняемого совместно СО РАН и НАН Украины (проект 12,2013).

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов В. Г. Двумерная обратная задача вязкоупругости // ДАН. 2011. Т. 440, 3.С. 310–313.

2. Романов В. Г. Оценка устойчивости решения в задаче об определении ядра уравне-ния вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, 1. С. 86–98.

3. Романов В. Г. Задача об определении ядра в уравнении вязкоупругости // ДАН.2012. Т. 446, 1. С. 18–20.

4. Романов В. Г. Трехмерная обратная задача вязкоупругости // ДАН. 2011. Т. 441, 4. С. 452–455.

65

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ ВЫМЕТАНИЯCONTROL SWEEPING PROCESSES

Толстоногов А.А.

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; aatol@icc.ru

В конечномерном пространстве рассматривается управляемая система с дву-мя управлениями. Одним из управлений, которое мы называем внутренним, яв-ляется многозначная функция времени с выпуклыми, замкнутыми, не обяза-тельно ограниченными значениями. Другое управление, называемое внешним,представляет измеримую функцию времени. Правая часть системы содержитнормальные конусы в точках значений внутреннего управления. Эти конусы иопределяют влияние внутреннего управления на систему. Внешнее управлениевоздействует на систему традиционным способом. Все траектории такой систе-мы принадлежат значениям внутреннего управления. Поэтому с помощью внут-реннего управления мы управляем всем ансамблем траекторий, а с помощьювнешнего — индивидуальной траекторией в ансамбле.

Внешнее управление выбирается из множества допустимых многозначныхотображений, значениями которых могут быть, например, гиперплоскости, полу-пространства и т. д. На пространстве таких многозначных отображений вводитсятопология, и устанавливаются критерии компактности множеств. Эти критерииявляются аналогами классической теоремы Арцела – Асколи. Внешнее управле-ние принадлежит зависящему от фазовой переменной многозначному отображе-нию с невыпуклыми значениями.

Изучаются вопросы существования и взаимосвязей между множествами ре-шений исходной системы и системы с овыпукленным ограничением для внеш-него управления и с внутренним управлением из замыкания множества допу-стимых внутренних управлений. Приведены примеры относительно компактныхмножеств допустимых внешних управлений.

66

Секция “Дифференциальные уравнения”

COEFFICIENT INVERSE PROBLEMSFOR HELMHOLTZ AND MAXWELL’S EQUATIONS

AND THE INVISIBILITY PROBLEM

Alekseev G. V.

Far Eastern Federal University, Institute of Applied Mathematics FEB RAS,Vladivostok, Russia; alekseev@iam.dvo.ru

We consider coefficient inverse problems for Helmholtz and Maxwell’s equationsassociated with invisible cloaking for acoustic and electromagnetic fields.

There are a number of ways to do the object under study invisible or almostinvisible. One of the ways is to coat the boundary of the object completely or partiallyby special material. The surface coating is modeled by introducing the so-calledimpedance boundary condition on the coated portion of the boundary. This conditionrelates the electric and magnetic fields (or the sound pressure and the velocity normalcomponent in the case of acoustic location) through boundary coefficient called thesurface impedance. In the case when the object has an invariable shape the problem ofits masking from detection is reduced to determining the surface impedance from thecondition of minimum of a norm of the scattered field. Mathematically this problemis a coefficient inverse problem for the 2-D Helmholtz equation in the case of twodimensions and corresponding inverse problem for Maxwell’s equations in the caseof three dimensions. Using the optimization method this inverse problem is reducedto the problem of conditioned minimization of a cost functional which adequatelycorresponds to the inverse problem.

The paper consists of two parts. In the first part the coefficient inverse problem forthe 2-D Helmholtz equation under mixed boundary conditions for the field correspond-ing to the partial coating of the boundary is studied. First the solvability of the mixedtransmission problem for the 2-D Helmholtz equation is proved in a class H1(BR\ΓI).Here H1(BR \ ΓI) is the Sobolev space of functions defined in the circle BR ofradius R with cut ΓI , the role of which is played by the coated portion of boundary.Then the identification problem of recovering the coefficient in boundary condition(i.e., surface impedance) is formulated and studied. Solvability of this identificationproblem is proved and the optimality system which describes the first-order necessaryoptimality conditions is derived. Based on analysis of this optimality system thesufficient conditions for the data are established which provide a local stability anduniqueness of optimal solutions. Some details of our method can be found in [1–3].

In the second part these results are generalized to the case of 3-D Maxwell’sequations considered under mixed boundary conditions.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00313 a), the Far East Branch of the Russian Academy of Sciences (project no. 12-I-P17-03) and the Ministry of Education and Science of Russia (project no. 14.A18.21.0353).

REFERENCES

1. Alekseev G. V., Brizitskii R. V., Romanov V. G., “Stability estimates for solutions ofboundary control problems for Maxwell’s equations with mixed boundary conditions,”Dokl. Math., 86, No. 3, 733–737 (2012).

2. Alekseev G. V., “Optimization in problems on material-body cloaking using the wave-flowmethod,” Dokl. Phys., 58, No. 4, 147–151 (2013).

3. Alekseev G. V., “Cloaking via impedance boundary condition for the 2-D Helmholtzequation,” Appl. Anal. (2013, to appear); DOI:10.1080/00036811.2013.768340.

67

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONSIN SOBOLEV SPACES WITH VARIABLE EXPONENTS

Antontsev S.1, Shmarev S.2

1University of Lisbon, Lisbon, Portugal; antontsevsn@mail.ru2University of Oviedo, Oviedo, Spain; shmarev@uniovi.es

The talk offers a review of the recent results on the evolution nonlinear PDEs withnonstandard growth conditions. Let Ω ⊂ Rn be a bounded domain with Lipschitz-continuous boundary Γ, z ≡ (x, t) ∈ QT = Ω× (0, T ], ΓT = Γ× (0, T ]. The prototypesof the parabolic and hyperbolic problems under study are

ut = Lu+ f(z) in QT ,u = 0 on ΓT ,

u(x, 0) = u0(x) in Ω;

utt = Lu+ ε∆ut + f(z) in QT , ε > 0,

u = 0 on ΓT , u(x, 0) = u0(x),

ut(x, 0) = u1(x) in Ω,

(1)

with the nonlinear operator Lu = div(a(z, u)|∇u|p(z)−2∇u

)+ b(z)|u|σ(z)−2u. The

coefficients a, b and the exponents p, σ are given functions of their arguments. Suchequations are usually referred to as equations with nonstandard growth conditions.PDEs of this type occur in the mathematical modelling of various physical processessuch as, for example, flows of electro-rheological fluids, fluids with temperature-dependent viscosity, or filtration in inhomogeneous anisotropic media. In the recentyears, much attention has been paid to the study of such equations in the naturalanalytic framework of Sobolev spaces with variable exponents. We discuss the issuesof existence and uniqueness of weak energy solutions to problems of the type (1)and describe the localization properties of energy solutions, such as vanishing on aset of nonzero measure, extinction in a finite time, or finite speed of propagation ofdisturbances from the data. Nonexistence of global solutions (a finite time blow-up) isalso discussed. The analysis of the localization properties relies on a modification of themethod of local energy estimates [1]. The presentation partly follows the papers [2–6].

REFERENCES

1. Antontsev S., Dıaz J. I., Shmarev S., Energy Methods for Free Boundary Problems:Applications to Nonlinear PDEs and Fluid Mechanics, Bikhauser, Boston (2002).

2. Antontsev S., “Wave equation with p(x, t)-Laplacian and damping term: existence andblow-up,” Differ. Equ. Appl., 3, No. 4, 503–525 (2011).

3. Antontsev S., Shmarev S., “Vanishing solutions of anisotropic parabolic equations withvariable nonlinearity,” J. Math. Anal. Appl., 361, No. 2, 371–391 (2010).

4. Antontsev S., Shmarev S., “Blow-up of solutions to parabolic equations with non-standardgrowth conditions,” J. Comput. Appl. Math., 234, No. 9, 2633–2645 (2010).

5. Antontsev S., Shmarev S., “On the blow-up of solutions to anisotropic parabolic equationswith variable nonlinearity,” Proc. Steklov Inst. Math., 270, No. 1, 27–42 (2010).

6. Antontsev S., Chipot M., Shmarev S., “Uniqueness and comparison theorems for solutionsof doubly nonlinear parabolic equations with nonstandard growth conditions,” Commun.Pure Appl. Anal., 12, No. 4, 1527–1546 (2013).

68

Секция “Дифференциальные уравнения”

MATHEMATICAL ASPECTS OF THE HYDRODYNAMICSOF NON-NEWTONIAN MEDIA

Chechkin G. A.1, Chechkina T.P.2

1Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia;chechkin@mech.math.msu.su

2National Research Nuclear University “MEPhI”, Moscow, Russia;chechkina@mail.ru

We consider non-Newtonian liquids with micro inhomogeneous structure. Formodified liquid of O. A. Ladyzhenskaya we derive the system of equations for boundarylayers of the Prandtl type and prove the existence and the uniqueness theorems.

For the Ericksen–Leslie systems we also prove the existence and the uniquenesstheorems and study the behavior of a mixture of different liquid crystals. We considera model with the mixture of nematic liquid crystals of two types. Then, using theasymptotic and homogenization methods, we describe the effective behavior of sucha mixture. Some results one can find in [1, 2].

The first author was supported by the Government grant of the Russian Federationunder the Resolution No. 220 “On measures designed to attract leading scientists to Russianinstitutions of higher learning” under the agreement No. 11.G34.31.0054, signed between theMinistry of Education and Science of the Russian Federation, a leading scientist, and FederalState Budget Educational Institution of Higher Professional Education M. V. LomonosovMoscow State University and also by the Russian Foundation for Basic Research (projectno. 12-01-00445).

REFERENCES

1. Chechkin G. A., Ratiu T. S., Romanov M. S., “Homogenization of the equations of thedynamics of nematic liquid crystals with inhomogeneous density,” J. Math. Sci. (NewYork), 186, No. 2, 322–329 (2012). (Translated from Problemy Mat. Analiza, 66, 167–173 (2012)).

2. Chechkin G. A., Samokhin V. N., Fadeeva G. M., “Equations of the boundary layer for amodified Navier–Stokes system,” J. Math. Sci. (New York), 179, No. 4, 557–577 (2011).(Translated from Trudy Seminara imeni I. G. Petrovskogo, 28, 329–361 (2011)).

69

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON DECAY OF PERIODIC RENORMALIZED SOLUTIONSTO SCALAR CONSERVATION LAWS

Panov E. Yu.

Novgorod State University, Veliky Novgorod, Russia; eugeny.panov@novsu.ru

In the half-space Π = (0,+∞)× Rn we consider the Cauchy problem

ut + divxφ(u) = 0, u(0, x) = u0(x). (1)

We assume that the flux vector φ(u) ∈ C(R,Rn). The initial function u0 ∈ L1loc(Rn)

is supposed to be periodic, that is, u0(x + ei) = u0(x) for almost all x ∈ Rn andall i = 1, . . . , n, where eini=1 is a basis in Rn. We denote by P the corresponding

fundamental parallelepiped P = x =n∑i=1

αiei | αi ∈ [0, 1), i = 1, . . . , n. Let sa,b(u) =

max(a,min(b, u)) be the cut-off function at levels a, b ∈ R, a ≤ b.Definition (see [1]). An x-periodic measurable function u = u(t, x) is called a

renormalized entropy solution (r.e.s. for short) of (1), if ∀a, b ∈ R, a ≤ b,

(sa,b(u))t + divx(φ(sa,b(u))) = µb − µa in D′(Π),

where µp, p ∈ R, is a family of x-periodic nonnegative locally finite measures on Πsuch that lim

p→∞µp((0, T )× P ) = 0 for all T > 0, and

ess limt→0

|sa,b(u(t, ·))− sa,b(u0)| = 0 in L1(P ).

As was shown in [1], there always exists a unique r.e.s. of problem (1). In the caseof u0 ∈ L∞(Rn) this r.e.s. is bounded and coincides with the usual entropy solutionof (1) in the sense of Kruzhkov [2].

Let L′ = ξ ∈ Rn | ξ · ei ∈ Z ∀i = 1, . . . , n be the dual lattice to the lattice ofperiods. Our main result is the following theorem.

Theorem. Every r.e.s. u(t, x) of equation (1) satisfies the decay property

ess limt→∞

u(t, ·) = const =1

|P |

∫P

u0(x)dx in L1(P )

(here |P | denotes the Lebesgue measure of P ) if and only if the following conditionholds

∀ξ ∈ L′, ξ = 0, the function u→ φ(u) · ξ is not affine on non-empty intervals.

This statement generalizes the earlier results [3]. In the case of bounded u0 Theoremwas proved in recent paper [4].

The author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projectno. 12-01-00230).

REFERENCES1. Lysuho P. V., Panov E. Yu., “Renormalized entropy solutions to the Cauchy problem for

first order quasilinear conservation laws in the class of periodic functions,” J. Math. Sci.(New York), 177, No. 1, 27–49 (2011).

2. Kruzhkov S. N., “First order quasilinear equations in several independent variables,”Math. USSR, Sb., 10, No. 2, 217–243 (1970).

3. Chen G.-Q., Frid H., “Decay of entropy solutions of nonlinear conservation laws,” Arch.Ration. Mech. Anal., 146, No. 2, 95–127 (1999).

4. Panov E. Yu., “On decay of periodic entropy solutions to a scalar conservationlaw,” Ann. Inst. H. Poincare (C) Anal. Non Lineaire (2013, to appear); DOI:10.1016/j.anihpc.2012.12.009.

70

Секция “Дифференциальные уравнения”

THE VLASOV–POISSON EQUATIONSIN INFINITE CYLINDER

Skubachevskii A. L.

Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russia; skub@lector.ru

We consider the Vlasov–Poisson system of equations describing the evolution ofdistribution functions of the density for the charged particles in rarefied plasma. Westudy the Vlasov–Poisson system in Q×R3 with initial conditions fβ

∣∣t=0

= fβ0 (x, p),β = ±1, for distribution functions fβ(x, p, t) and the Dirichlet boundary conditions forthe potential of an electric field φ(x, t)|∂Q = 0, where Q = Ω×R, Ω ⊂ R2 is a boundeddomain, ∂Ω ∈ C∞, fβ0 (x, p) is the initial distribution function (for positively chargedions if β = +1 and for electrons if β = −1) at the point x with impulse p. Assumethat initial distribution functions are sufficiently smooth and suppfβ0 ⊂ Qδ × Bρ(0),Qδ = x ∈ Q : ρ(x, ∂Q) > δ, δ, ρ > 0, and the magnetic field B(x) is also sufficientlysmooth and has a special structure near the boundary ∂Q. Then we prove that forany T > 0 there is a unique classical solution of the Vlasov–Poisson system in Q×R3

for 0 < t < T if ∥fβ0 ∥ < ε, where ε = ε(T, δ, ρ, ∥B∥) is sufficiently small.The author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project

no. 12-01-00524).

71

СекцияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯТезисы 20-минутныхи стендовых докладов

SectionDIFFERENTIALEQUATIONS

Abstracts of Short Communicationsand Posters

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ МНОГОМЕРНОЙ

СИСТЕМЫ БИЦАДЗЕ – ЯНУШАУСКАСА

A MODIFIED DIRICHLET PROBLEMFOR THE DEGENERATING MULTIDIMENSIONAL

BITSADZE–YANUSHAUSKAS SYSTEM

Абдрахманов А. М.1, Абдрахманова Р.П.2

Уфимский государственный авиационный технический университет,Уфа, Россия; 1abdrai@mail.ru, 2vmk-rimma@mail.ru

Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений второго порядка в част-ных производных

(x21 + · · ·+ x2n)∆uj − λ∂

∂xj

n∑i=1

∂ui∂xi

= 0, j = 1, . . . , n, (1)

где λ — вещественное число.Пусть область D = X ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2n < R2.Рассмотрим задачу Дирихле в следующей постановке: найти регулярное в об-

ласти D ограниченное решение системы (1), удовлетворяющее на границеΓ = X ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2n = R2 условиям

uj∣∣Γ

= fj(X), fj(X) ∈ C2,α(Γ), j = 1, . . . , n− 1, (2)

un∣∣δΓ

= fn(X), fn(X) ∈ C1,α(δΓ), (3)

где δΓ = X ∈ Rn : xn = 0; x21 + · · ·+ x2n−1 = R2.В случае R2 > λ доказана теорема 1.Теорема 1. Задача Дирихле (2), (3) для системы (1) имеет единственное

решение в классе функций, ограниченных на бесконечности.Для случая R2 < λ необходимо добавить условие

n∑k=1

∂uk∂xk

∣∣∣∣∣Γ

=

∞∑i=1

Ki(R)Wi(X) = fn+1(X), fn+1(X) ∈ C1,α(Γ), (4)

где функции Ki(R) и Wi(X) определяются при доказательстве теоремы 1.Теорема 2. Для R2 < λ задача Дирихле (2)–(4) для системы (1) разрешима

и имеет единственное решение в классе ограниченных функций.

74

Секция “Дифференциальные уравнения”

ДВА СПОСОБА ЗАПИСИ СТОХАСТИЧЕСКИХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПУАССОНОВСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

TWO FORMS OF WRITING STOCHASTICDIFFERENTIAL EQUATIONS

WITH POISSON COMPONENT

Аверина Т.А.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; ata@osmf.sscc.ru

Многие математические модели сложных технических и экономических си-стем, учитывающие воздействие шума, описываются стохастическими диффе-ренциальными уравнениями (СДУ) с пуассоновской составляющей. В работе рас-сматриваются два варианта описания таких моделей: с использованием неод-нородной пуассоновской меры, либо — обобщенного процесса Пуассона. Задачаанализа стохастических систем с разрывами траекторий заключается в нахож-дении вероятностных характеристик вектора состояния (плотности вероятности,моментных характеристик) в соответствии с заданной математической моделью.Для численного решения рассматриваемых стохастических систем предложеныалгоритмы статистического моделирования, использующие численные методырешения СДУ [1] и алгоритмы моделирования пуассоновского поля [2]. Эффек-тивность алгоритмов демонстрируется на решении тестовых задач, а также при-кладных задач радиотехники, где необходимо учитывать случайные факторыили воздействия, которые могут быть как проявлениями внешней среды, так иотклонениями номинальных параметров самой системы [3].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 11-01-00282, 12-01-00490).

ЛИТЕРАТУРА

1. Artemiev S. S., Averina T. A. Numerical analysis of systems of ordinary and stochasticdifferential equations. Utrecht: VSP, 1997.

2. Аверина Т. А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородныхпуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2010. Т. 50, 1. С. 16–23.

3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.

75

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЙ НАВЬЕ – СТОКСА

ON EXTREME PROPERTIESOF A SOLUTION OF THE NAVIER–STOKES EQUATIONS

Акыш А. Ш.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; akysh41@mail.ru

Из системы уравнений Навье – Стокса (УНС) выведено нелинейное уравне-ние для плотности кинетической энергии E и выявлено важное свойство этогоуравнения — принцип максимума, что с математической точки зрения являетсяключевым. На основе этого доказаны единственность слабых и существованиесильных решений задачи для УНС в целом по времени t ∈ [0, T ], ∀T < ∞. Этирезультаты доведены до математической строгости в работе [1].

Задача для УНС относительно U = (U1, U2, U3) и P запишется:

∂U

∂t− µ∆U + (U,∇)U +∇P = f(t,x), div U = 0, (1a)

U(0,x) = Φ(x), U(t,x)∣∣∂Ω

= 0, x ∈ ∂Ω. (1b)

Из (1a) при f = 0 получено нелинейное параболическое уравнение для E:

LE ≡ ∂E

∂t− µ∆E + µ

3∑α=1

|∇Uα|2 + (∇E,U) + (∇P,U) = 0. (2)

Теорема 1. Пусть Q = [0, T ] × Ω — цилиндрическая область в пространствепеременных t, x. Функции (U, E) ∈ C(Q) ∩ C2(Q) ∧ P ∈ C1(Q) удовлетворяютуравнениям (1a), (2). Тогда функция E(t,x) принимает свой максимум в цилин-дре Q на нижнем основании 0 × Ω или на его боковой поверхности [0, T ]× ∂Ω,т. е.

E(t,x) ≤ max

sup

t=0∧

x∈Ω

E(t,x), supt∈[0,T ]

∧x∈∂Ω

E(t,x)

.

Теорема 2. Если входные данные f и Φ удовлетворяют условиям

f(t,x) ∈ C(Q) ∩ J(Q), Φ(x) ∈ C(Ω) ∩W12,0(Ω) ∩ J(Ω),

тогда задача (1) имеет единственное слабое обобщенное решение U и P соответ-ственно из пространств

U ∈ C(Q) ∩ L∞(0, T ; L2(Ω)

)∩ L2

(0, T ; W1

2,0(Ω))∩ J(Q),

P ∈ L2

(0, T ;W 1

2 (Ω))∧

(∫Ω

Pdx = 0, ∀t ∈ [0, T ]

).

Работа выполнена при поддержке Казахстанского фонда фундаментальных иссле-дований (проект 0112РК00832).

ЛИТЕРАТУРА

1. Akysh A. Sh. The maximum principle of the Navier–Stokes equation // arXiv:1204.2668v1 [math-ph]. 2012. 17 p.

76

Секция “Дифференциальные уравнения”

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯВ РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

COMPUTING OF OPTIMAL CONTROL IN REAL TIME

Александров В. М.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;vladalex@math.nsc.ru

Пусть управляемая система описывается дифференциальным уравнением

x = A(t)x+B(t)u, x(t0) = x0 , x0 ∈ D, D ⊂ V, (1)

где x — вектор фазового состояния; A(t) и B(t) — непрерывные матрицы размераn × n и n × m соответственно; u — вектор управления, компоненты которогопринадлежат классу кусочно-непрерывных функций и подчинены ограничениям

|uj | 6Mj , Mj > 0, j = 1,m .

Предполагается, что (1) полностью управляема и переводима в начало координатиз ограниченной области начальных условий D; V — область управляемости.

Задача. Найти в реальном времени допустимое управление u0(t), переводя-щее за минимальное время T = tk − t0 систему (1) из начального состоянияx(t0) = x0 в начало координат x(tk) = 0.

Замечание 1. Вычисление оптимального управления в реальном временитребует введения нового класса ограничений — ограничения на время вычисле-ния оптимального управления.

Замечание 2. Перевод системы в ненулевое конечное состояние (принимае-мое за новое начало координат) преобразованием координат сводится без потериобщности к переводу системы из нового начального состояния в начало координат.

Разработан новый метод решения задач оптимального управления в реальномвремени. Он основан на: 1) аппроксимации множеств достижимости семействомгиперплоскостей; 2) разделении вычислительных затрат на предварительные вы-числения и вычисления в процессе управления; 3) использовании вариаций Лаг-ранжа для интегрирования дифференциальных уравнений на каждой итерациине на всем интервале управления, а лишь на интервалах перемещений конечногомомента и моментов переключений управления. Разделение области начальныхусловий на области достижимости за различные времена и аппроксимация каж-дой области достижимости семейством гиперплоскостей позволяют получить хо-рошее начальное приближение, что значительно уменьшает число итераций иобеспечивает близкую к монотонной сходимость вычислительного процесса. Раз-работана итерационная процедура, не требующая на каждой итерации решениязадачи Коши. Достаточно интегрировать дифференциальные уравнения лишь наинтервалах перемещений конечного момента и моментов переключений управле-ния, что резко снижает вычислительные затраты и делает возможным вычисле-ние и реализацию оптимального управления в реальном времени.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний ( 13-01-00329) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Александров В. М. Вычисление оптимального управления в реальном времени //

Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, 10. С. 1778–1800.2. Александров В. М. Построение аппроксимирующей конструкции для вычисления и

реализации оптимального управления в реальном времени // Сиб. журн. вычисл.математики. 2012. Т. 15, 1. С. 1–19.

77

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИВ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

ON SOLVABILITY OF THE HEAT CONDUCTIVITYINTEGRAL EQUATIONS

IN NONCYLINDRICAL DOMAINS

Амангалиева М. М.1, Дженалиев М.Т.1,Космакова М. Т.2, Рамазанов М. И.2

1Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; muvasharkhan@gmail.com

2Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова,Караганда, Казахстан; ramamur@mail.ru

Для однородного с особым ядром интегрального уравнения Вольтерра второ-го рода и его сопряженного уравнения установлено существование нетривиаль-ного решения в весовых лебеговых классах. Эти уравнения возникают в задачахтеплопроводности в вырождающихся областях.

Постановка задачи. Найти нетривиальные решения однородного интеграль-ного уравнения

φ(t)−t∫

0

K(t, τ)φ(τ)dτ = 0, t > 0, (1)

и его сопряженного однородного уравнения

ψ(t)−∞∫t

K(τ, t)ψ(τ)dτ = 0, t > 0, (2)

где

K(t, τ) =1

2a√π

(t+ τ

(t− τ)3/2exp

− (t+ τ)2

4a2(t− τ)

+

1√t− τ

exp

− t− τ

4a2

).

Интегральное уравнение (1) соответствует граничной задаче:

ut(x, t) = a2uxx(x, t), u(x, t)|x=0 = 0, u(x, t)|x=t = 0, (3)

в области G = (x, t) : 0 < x < t, а уравнение (2) — граничной задаче, сопря-женной к задаче (3).

Основные результаты.Теорема 1. Нетривиальное решение уравнения (1) единственно и принадле-

жит классу:

√t exp

− εt

4a2

(φ(t)−

√π

a

)∈ L∞(0,∞), ε > 0.

Теорема 2. Нетривиальное решение уравнения (2) единственно и принадле-жит классу:

1√t

exp

εt

4a2

(ψ(t)− 1

a√π

)∈ L1(0,∞), ε > 0.

78

Секция “Дифференциальные уравнения”

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

PROPERTIES OF SOLUTIONSOF A HYDROSTATIC MODEL

Андреев В. К.1, Иванова А.В.2

1Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия;andr@icm.krasn.ru

2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; ivanovaannav@gmail.com

При изучении различных процессов в океанологии, крупных водохранили-щах и озёрах [1–3] часто делается предположение о линейном росте давленияс глубиной: pz = −g, где g — ускорение силы тяжести. Оно всегда выполненодля покоящейся жидкости и хорошо подтверждается экспериментами для дру-гих состояний жидкости. В докладе исследуется структура решений уравненийвозникающей при этом предположении гидростатической модели. Получены сле-дующие результаты:

1) найдены стационарные решения, описывающие, в частности, волновые те-чения;

2) доказано, что в данной модели производная от давления по внешней норма-ли всегда строго отрицательна и задача Коши – Пуассона корректно поставленав классах функций конечной гладкости;

3) показано, что в координатах Лагранжа трёхмерная задача сводится к отыс-канию решений только двух неизвестных функций — траекторий. Проекция жетраектории на вертикальную ось находится в явном виде;

4) найдены точные нестационарные решения и положение свободной границыв случае линейной зависимости вертикальной скорости одноимённой координаты.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 44).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bowden K. F. Physical oceanography of coastal waters. Chichester: Ellis HorwoodLimited Publishers; New York: Halsted Press, 1983.

2. Саркисян А. С. Моделирование динамики океана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991.3. Gill A. E. Atmosphere-ocean dynamics. New York; London; Paris; Tokyo; Toronto:

Academic Press, 1983.

79

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБОБЩЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОСТРОУМОВА – БИРИХАУРАВНЕНИЙ КОНВЕКЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ

СИЛЫ ПЛАВУЧЕСТИ

GENERALIZATION OF THE OSTROUMOV–BIRIKHSOLUTION OF THE CONVECTION EQUATIONS

FOR A NONLINEAR BUOYANCY FORCE

Андреев В. К.1, Степанова И.В.2

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия;1andr@icm.krasn.ru, 2stepiv@icm.krasn.ru

Рассматриваются двумерные однонаправленные течения бинарной смеси в го-ризонтальном слое под действием силы тяжести и продольного градиента тем-пературы. Считается, что вектор скорости имеет ненулевую продольную ком-поненту, которая зависит только от поперечной координаты. Поля температур,концентраций и давления зависят от обеих координат. Вид решения был пред-ложен в книге [1] и описан в статье [2] для теплопроводных вязких жидкостей.В работе [3] представлены обобщения подобного решения на случай течений би-нарных смесей под действием эффекта термодиффузии в наклонных каналах ицилиндрических областях. Следует заметить, что во всех вышеупомянутых ра-ботах решение исследовалось в рамках модели Обербека – Буссинеска, т. е. прилинейной зависимости уравнения состояния от параметров течения.

В данной работе найдены представления для функций плотности, нелиней-но зависящих от температуры и концентрации, для которых вид решения из [2]существует. Анализ основывается на решении дифференциального уравнения вчастных производных второго порядка для функции плотности с коэффициен-тами, зависящими не только от температуры и концентрации, но и от координат.Отдельно исследованы случаи, когда температура и/или концентрация являютсяфункциями только одной независимой переменной. Для состояния механическо-го равновесия в частных случаях поиск параметров течения сведен к решениюуравнения эйконала.

Для описания течения однородной жидкости без учета эффекта термодиф-фузии определена логарифмическая зависимость функции плотности от темпе-ратуры, а также поля скорости, температуры и давления. Поставлены и решеныдве краевые задачи, описывающие течение однослойной и двухслойной жидкостив канале, ограниченном твердыми стенками. Проведено сравнение полученногорезультата с поведением жидкости, рассчитанном по модели Обербека – Бусси-неска.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00238) и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект 44).

ЛИТЕРАТУРА

1. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гостехиз-дат, 1952.

2. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости //Прикл. механика и техн. физика. 1966. Т. 7, 3. С. 69–72.

3. Андреев В. К. Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения.Красноярск, 2010. 68 с. (Препринт / ИВМ СО РАН).

80

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯНЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В НОРМЕ ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА

ESTIMATES OF THE DECAY RATEOF SOLUTION TO A NONLINEAR

PARABOLIC EQUATION IN THE ORLICZ NORM

Андриянова Э. Р.1, Мукминов Ф.Х.2

1Уфимский государственный авиационный технический университет,Уфа, Россия; elina.andriyanov@mail.ru

2Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; mfkh@rambler.ru

Пусть Ω — неограниченная область пространства Rn, n ≥ 2. В цилиндриче-ской области D = t > 0 × Ω для параболического уравнения

(β(x, u))t =n∑i=1

(api(x,∇u))xi , где a(x,∇u) = a(x, p)∣∣p=∇u,

рассматривается первая смешанная задача

u(t, x)∣∣S

= 0, S = t > 0 × ∂Ω, u(0, x) = u0(x).

Предполагается, что функция a(x, p), p = (p1, . . . , pn), выпукла по p и из-мерима по x ∈ Ω; β(x, u) — дифференцируемая по u ∈ R и измеримая по x ∈ Ωфункция. При этом функция β1(x, u), β′

1(x, u) = uβ′(x, u), удовлетворяет оценкам

c1G(u) ≤ β1(x, u) ≤ c2G(u)

с некоторой N -функцией G(u), подчиняющейся ∆2-условию.В работе построено сильное решение задачи при неограниченной области Ω

методом регуляризации галеркинских приближений. Ранее данный метод былиспользован в работе [1] при построении решения смешанной задачи для парабо-лического уравнения со степенными нелинейностями. Построенное решение приu0 ∈

W 1

G,B(Ω) обладает следующими свойствами:

u ∈ C([0, T ];LG(Ω)), u ∈ L∞,loc((0, T );W

1G,B(Ω)), (β′

u(x, u))12u′ ∈ L2(DT ).

При некоторых предположениях доказаны также оценки

C(u0)(1 + t)−γ ≤ ∥G(u(t))∥L1(Ω) ≤ C1(u0)t−α, α, γ > 0.

Ранее подобные оценки были установлены в работе [1], а также в работе [2] — длянекоторого класса анизотропных параболических уравнений второго порядка сдвойной нелинейностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андриянова Э. Р., Мукминов Ф. Х. Оценка снизу скорости убывания решения пара-болического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. мат. журн. 2011. Т. 3, 3. С. 3–14.

2. Кожевникова Л. М., Леонтьев А. А. Оценки решения анизотропного параболическо-го уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. мат. журн. 2011. Т. 3, 4.С. 64–85.

81

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧИ ЗОНДИРОВАНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫPROBING PROBLEMS OF SURROUNDING MEDIA

Аниконов Д. С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;anik@math.nsc.ru

Работа относится к разделу математического моделирования физических про-цессов и явлений. Продолжено использование авторского подхода, основанногона принципе выделения из сложных математических соотношений более про-стых фрагментов с последующим их анализом. Часто это позволяет отказатьсяот неадекватных упрощений реальных ситуаций и рассматривать сложные мате-матические модели без использования априорной информации. При этом удает-ся получать полезные сведения в ситуациях, считающихся недоопределеннымис классической точки зрения. В частности, разработаны способы радиационно-го зондирования сред на основе исследования соответствующих обратных задачдля уравнения переноса излучения. Важной особенностью исследования являет-ся использование очень слабого зондирующего сигнала и учет только одного илидвух направлений (ракурсов) излучения. Ввиду общности используемой матема-тической модели, среды и виды излучений — произвольны. Также исследованыобратные задачи для системы гиперболических дифференциальных уравненийпервого порядка. Кроме того, предложен новый алгоритм, пригодный для гра-виразведки аномалий в земле, границы которых имеют изломы.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-тальных исследований (проект 13-01-00275).

82

Секция “Дифференциальные уравнения”

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

И ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

REPRESENTATION OF SOLUTIONS OF FUNCTIONALAND EVOLUTION EQUATIONS

AND IDENTIFICATION PROBLEMS

Аниконов Ю.Е.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;anikon@math.nsc.ru

ПустьX — некоторое множество элементов x, λ(x) — отображениеX вX, E —банахово пространство. Через u(x, t), w(x, p) обозначаем в дальнейшем элементывекторного пространства E, зависящие от x ∈ X и числовых параметров t, p,

A(x) — линейный оператор из E в E, зависящий от x ∈ X, а L =N∑k=0

ck∂k

∂tk,

N ≥ 1, — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами ck.Предметом исследования являются прямые и обратные задачи для опера-

торно-функциональных уравнений с параметром и эволюционных уравнений, аименно, рассматриваются операторно-функциональные уравнения

pw(x, p) = A(x)w(λ(x), p) + a(x, p) (1)

и эволюционные уравнения

Lu(x, t) ≡N∑k=0

ck∂ku

∂tk= A(x)u(λ(x), t) +R(x, t). (2)

Изучаются вопросы представления решений операторно-функциональных (1)и эволюционных уравнений (2). Приводятся формулы таких представлений дляряда задач идентификации.

83

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕДЛЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИИЗМЕНЕНИЯ ТИПОВ В R3

ON A PROBLEM FOR A PARABOLIC-HYPERBOLICEQUATION WITH PARALLEL PLANES

OF TYPE CHANGES IN R3

Апаков Ю. П.

Наманганский инженерно-педагогический институт, Наманган, Узбекистан;apakov.1956@mail.ru

В области Ω =5∑i=1

Ωi, ограниченной следующими поверхностями:

(S1) : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, (S2) : y − 2m2+2 (x− 1)

m2+22 = 0,

(S3) : y + 2m2+2 (x− 1)

m2+22 = ε2, (S4) : y − 2

m2+2 (x− 1)m2+2

2 = ε2,

(S5) : y + 2m2+2 (x− 1)

m2+22 = 1, (S6) : y = 1, 0 ≤ x ≤ 1,

(S7) : y + 2m1+2 (−x)

m1+22 = 1, (S8) : y − 2

m1+2 (−x)m1+2

2 = ε1,

(S9) : y + 2m1+2 (−x)

m1+22 = ε1, (S10) : y − 2

m1+2 (−x)m1+2

2 = 0,

при −∞ < z < +∞ рассмотрим уравненияUxx − Uy + Uzz = 0, Ω1,Uxx − (−x)m1

(Uyy + Uzz

)= 0, Ωk, k = 2, 3, m1,m2 > 0.

Uxx − (x− 1)m2(Uyy + Uzz

)= 0, Ωk+2,

(1)

Задача G2. Найти регулярное решение U(x, y, z) уравнения (1) в области Ωk,k = 1, 5, удовлетворяющее следующим условиям:

1) U(x, y, z) ∈ C(Ωk)∩[C1(Ω1 ∪ I1 ∪ I2

)∪ C1

(Ω2 ∪ I1

)∪ C1

(Ω3 ∪ I2

)],

2) U(x, y, z)|S1= Φ1(x, z), U(x, y, z)|Si = Ψi(y, z), i = 3, 5,

U(x, y, z)|Sj = Ψj(y, z), j = 7, 9, limz→±∞

U(x, y, z) = limz→±∞

Uz(x, y, z) = 0,

3) U(−0, y, z) = α1U(+0, y, z),

Ux(−0, y, z) = β1(y)Ux(+0, y, z) + δ1(x)U(+0, y, z) + P1(y, z),

U(1− 0, y, z) = α2U(1 + 0, y, z),

Ux(1− 0, y, z) = β2(y)Ux(1 + 0, y, z) + δ2(x)U(1 + 0, y, z) + P2(y, z).

Решение задачи G2 ищется в классе функций, представимых интегралом Фу-рье [1].

Единственность решения задачиG2 доказывается получением априорных оце-нок для решений, используя принцип максимума для параболических и гипер-болических уравнений. Существование решения — методом интегральных урав-нений, как в работе [2].

ЛИТЕРАТУРА1. Бицадзе А. В. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми // Сиб. мат. журн.

1962. Т. 3, 5. С. 642–644.2. Апаков Ю. П. Трехмерный аналог задачи Трикоми для параболо-гиперболического

уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, 2. С. 34–44.

84

Секция “Дифференциальные уравнения”

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

STUDYING SOLUTION TO A MIXED PROBLEMFOR A HIGH ORDER EQUATION

Асадова О. Г., Алиев Н.А.

Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан;aahmad07@rambler.ru

Рассматривается задача нахождения решения уравнения

3∑k=0

ak(x)∂6−kϑ(x, t)

∂tk∂x6−2k+

2∑k=0

bk(x)∂5−kϑ(x, t)

∂tk∂x5−2k= f(x, t), x ∈ (0, 1), t > 0, (1)

удовлетворяющего граничным

2∑k=0

ανk

∂5−kϑ(x, t)

∂tk∂x5−2k

∣∣∣∣x=0

+ βνk(x)∂5−kϑ(x, t)

∂tk∂x5−2k

∣∣∣∣x=1

= φ(t), ν = 1, 6 и t > 0, (2)

и начальным условиям

∂sϑ(x, t)

∂ts

∣∣∣∣t=0

= Φs(x) s = 0, 1, 2, x ∈ (0, 1). (3)

К решению задачи (1)–(3) применяется метод контурного интеграла М.Л. Ра-сулова [1–3]. При определенных условиях удается доказать существование и един-ственность решения задачи (1)–(3) в виде

ϑ(x, t) =1

π√−1

∫S

λeλ2tdλ

1∫0

G(x, ξ, λ)F (ξ, λ)dξ,

где S — бесконечно разомкнутый контур, целиком расположенный в области

Rδ =λ : |λ| > R, −π

4− δ < argλ ≤ π

4

,

бесконечно удаленные части которого совпадают с продолжениями лучей argλ =−π4 − δ, argλ = π

4 , G(x, ξ, λ) — функция Грина спектральной задачи, соответству-ющей задаче (1)–(3), а F (x, λ) определяется формулой

F (x, λ) = f(x, λ) + a3(x)Φ2(x) + a3(x)λ2Φ1(x) + b2(x)Φ′1(x) + a2(x)Φ′′

1(x)

+a3(x)λ4Φ0(x) + λ2 (a2(x)Φ′′0(x) + b2(x)Φ′

0(x)) + a1(x)Φ′′′′0 (x) + b1(x)Φ′′′

0 (x).

ЛИТЕРАТУРА

1. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. M: Наука, 1964.2. Расулов М. Л. Применение метода контурного интеграла. M: Наука, 1975.3. Асадова О. Г. Применение метода контурного интеграла к решению смешанной за-

дачи для слабо параболического уравнения 4-го порядка // Тез. Междунар. конф.,посвященной 70-летию проф. Б. А. Искендерова. Баку, 2006.

85

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДАON A CLASS OF LINEAR FREDHOLM INTEGRAL

EQUATIONS OF THE THIRD KIND

Асанов А.

Кыргызско-Турецкий университет “Манас”, Бишкек, Кыргызстан;avyt.asanov@mail.ru

Пусть H — гильбертово пространство, ⟨., .⟩ — скалярное произведение в H,∥·∥H — норма в H. Обозначим через L[H] пространство всех линейных ограни-ченных операторов, действующих в H.

Одновременно рассматриваются следующие операторные уравнения

Fu = f(t), t ∈ [t0, T ], (1)

ϵv(t, ϵ) + Fv(t, ϵ) = f(t), t ∈ [t0, T ],

где

Fu = A(t)u(t) +

T∫t0

K(t, s)u(s)ds, t ∈ [t0, T ],

A(t) ∈ L[H] при всех t ∈ [t0, T ], K(t, s) ∈ L(H) при всех (t, s) ∈ G = [t0, T ]× [t0, T ],f(t) — известная функция, u(t) и v(t, ϵ) — неизвестные функции со значениямив H, ϵ > 0 — малый параметр, в некоторых точках сегмента [t0, T ] оператор A(t)необратим.

Различные вопросы для интегральных и операторных уравнений первого итретьего рода исследовались во многих работах. Но основополагающие результа-ты для интегральных и операторных уравнений первого рода получены в [1, 2],где для решения линейных и операторных уравнений первого рода построены ре-гуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В [3] изучены вопросы регуля-ризации, единственности и оценки устойчивости решений системы интегральныхуравнений третьего рода. В данной работе для решения операторного уравне-ния (1) доказана теорема единственности, получена оценка устойчивости и по-строены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. Здесь допускается,что в некоторых точках [t0, T ] оператор A(t) необратим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи матема-тической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

2. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН. 1959. Т. 127, 1. С. 31–33.

3. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем линейных интегральных уравненийФредгольма третьего рода // ДАН. 2010. Т. 430, 6. С. 734–737.

86

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХС СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ON A SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONWITH SINGULAR COEFFICIENTS

Ахмед-Заки Д. K.1, Абдыманапов С.А.2

1Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;mdina84@mail.ru

2Казахский университет экономики, финансов и международной торговли,Астана, Казахстан

Пусть 0 < φ0 ≤ 2π, 0 < φ1 < φ2 < φ0 и S[0, φ0] — класс существенно ограни-ченных и измеримых функций с нормой ∥f∥1 = ess sup

φ∈[0,φ0]

|f(φ)| = limp→∞

∥f∥Lp[0,φ0].

Рассмотрим в G = z = reiφ : 0 ≤ r <∞, 0 ≤ φ ≤ φ0 уравнение

2za1(φ)∂zw + 2za2(φ)∂zw +rαb1(φ)w

|f1(x, y)|α+rαb2(φ)w

|f2(x, y)|α=f4(φ)rν+α

|f3(x, y)|α,

где a1(φ), a1(φ) ∈ C[0, φ0]; a1(φ) = a2(φ) для всех φ ∈ [0, φ0]; 0 < α < 1, ν > 0 —действительные числа.

Будем считать, что функции fk(x, y), k = 1, 2, 3, — однородные функциипервого порядка, т. е. fk(nx, ny) = nfk(x, y) для любого действительного числа n

иf4(φ)

|f3(cosφ, sinφ)|α,

b1(φ)

|f1(cosφ, sinφ)|α∈ L1[0, φ0],

b2(φ)

|f2(cosφ, sinφ)|α∈ S[0, φ0].

Пусть p > 1, если ν ≥ 1, и 1 < p < 11−ν , если ν < 1. В настоящей работе

найдено одно многообразие непрерывных решений уравнения из класса

W 1p (G) ∩ C(G).

Здесь W 1p (G) — пространство С. Л. Соболева. При f1(x, y) = y− k1x, f2(x, y) ≡ 1,

f3(x, y) = y−k2x, k1, k2 ∈ R, рассматриваемое уравнение изучено в [1]. При α = 0,a2(φ) ≡ 0 уравнение исследовано в [2].

Если разделим уравнение на 2za1(φ), то оно становится эллиптическим урав-нением при |a2(φ)| < |a1(φ)|. Данное эллиптическое уравнение при a2(φ) ≡ 0 име-ет важное приложение в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей по-ложительной кривизны с точкой уплощения [3]. При b1(φ) = f4(φ) ≡ 0, |a2(φ)| <|a1(φ)| уравнение становится уравнением Бельтрами, решение которого приме-няется в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кри-визны для построения сопряженно-изометрических систем координат. Коэффи-циенты данного уравнения не принадлежат пространству Lq, q > 2, поэтомуневозможно к нему применить аналитические методы теории обобщенных ана-литических функций, построенные И. Н. Векуа [4].

ЛИТЕРАТУРА1. Akhmed-Zaki D. K., Danaev N. T., Tungatarov A. Elliptic systems in the plane with

singular coefficients along lines // TWMS J. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 3–10.2. Meziani A. Representation of solutions of a singular Cauchy–Riemann equation in the

plane // Complex Var. Elliptic Equ. 2008. V. 53, N 12. P. 1111–1130.3. Usmanov Z. D. Infinitesimal bendings of surfaces of positive curvature with a flattening

point // Differential Geometry. 1984. V. 12. P. 241–272.4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

87

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ФОРМУЛЫ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

FORMULAE IN INVERSE PROBLEMSFOR EVOLUTION EQUATIONS

Аюпова Н. Б.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;ayupova@math.nsc.ru

Пусть D — область вещественного евклидового пространства Rn, n ≥ 1, K —компакт в Rn. Будем рассматривать целые комплекснозначные функции w(x)такие, что w(x) =

∫Rnw(ξ)eiξxdξ, x ∈ D ⊂ Rn, где w(ξ) — комплекснозначная

непрерывная функция с компактным носителем K. Множество таких функцийобозначим W.

Рассматривается задача: найти w(x, t), λ(x) такие, что

∂w

∂t= A(t)w + f(t)λ(x),

w|t=a = wa(x), w|t=b = wb(x),

функции wa(x), wb(x) принадлежат W, A(t) — линейный оператор, действую-щий на целых функциях w(x, ·) ∈ W, имеющий бесконечно дифференцируемый

символ A(ξ, t): A(t)eiξx = eiξxA(ξ, t), B(ξ, t) =t∫0

A(ξ, p)dp, f(t) — непрерывная

функция такая, чтоb∫a

eB(ξ,p)f(p)dp = 0.

Приводятся формулы и ряд результатов, касающихся решения этой задачи вклассе функций W.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00074).

88

Секция “Дифференциальные уравнения”

МАСКИРОВКА С ПОМОЩЬЮ ИМПЕДАНСНОГОГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ В ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧЕСОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

CLOAKING VIA IMPEDANCE BOUNDARY CONDITIONIN THE 2-D TRANSMISSION PROBLEM

FOR MAXWELL EQUATIONS

Байдин А. В., Месенев П. Р., Соснов В. В.

Дальневосточный федеральный университет, Владивосток, Россия;thulf.m@gmail.com

В настоящее время большое количество работ посвящено исследованию за-дач, связанных с созданием средств маскировки материальных объектов от элек-тромагнитной или акустической локации. В ряде работ (см., например, [1]) эф-фект маскировки обеспечивается выбором параметров неоднородной анизотроп-ной среды, заполняющей маскировочную оболочку. Однако техническая реа-лизация данного способа маскировки связана со значительными трудностями.Для преодоления этих трудностей можно предложить несколько способов. Пер-вый способ состоит в аппроксимации точных решений рассматриваемых задачприближенными решениями, допускающими простую техническую реализацию.Второй способ заключается в покрытии маскируемых материальных объектовспециальными материалами. Внесение такого покрытия моделируется введени-ем импедансного граничного условия [2].

В представленной работе рассмотрена следующая задача сопряжения дляуравнений Максвелла. Пусть Ω — ограниченная область в R2 со связным до-полнением Ωc = R2\Ω и границей Γ. Найти функции v в Ω и u = uinc + us в Ωc,удовлетворяющие следующим соотношениям:

∆v + k2δ(x)v = 0 в Ω, ∆u+ k2u = 0 в Ωc = R2 \ Ω, v − u = 0 на Γ, (1)

∂v

∂n− ∂u

∂n= iη(x)u на Γ, lim

r→∞

√r

(∂us

∂r− ikus

)= 0, где r = |x|. (2)

Здесь k — постоянное волновое число, δ — индекс рефракции, η — коэффициентповерхностной проводимости. Соотношения (2) имеют смысл модифицированно-го условия Леонтовича для E-поляризованных электромагнитных волн на Γ иусловия излучения Зоммерфельда на бесконечности.

Обратная экстремальная задача заключается в выборе поверхностной про-водимости η и решения (u, v) задачи (1), (2), доставляющих минимум опреде-ленному функционалу качества. Примером функционала качества может слу-жить квадрат нормы рассеянного поля. В работе доказывается разрешимостьэкстремальной задачи, выводится система оптимальности, описывающая необ-ходимые условия экстремума. На основании её свойств устанавливаются доста-точные условия на исходные данные, обеспечивающие единственность и устой-чивость решения обратной экстремальной задачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (соглашение 14.А18.21.0353).

ЛИТЕРАТУРА1. Алексеев Г. В., Романов В. Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-

чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. математики. 2012.Т. 15, 2. C. 1–6.

2. Алексеев Г.В. Оптимизация в задачах маскировки материальных тел методом вол-нового обтекания // ДАН. 2013. Т. 449, 6. С. 1–5.

89

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ВНУТРЕННИХ ВОЛН

EXACT SOLUTIONS AND PECULIARITIESOF ONE-DIMENSIONAL MODELS OF INTERNAL WAVES

Байдулов В. Г.

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия;bayd@ipmnet.ru

В рамках системы одномерных моделей неоднородной жидкости изучен про-цесс формирования разрывов в изначально гладком поле течения. Для идеальнойсреды построено точное решение начальной задачи, с использованием которогоопределены пространственные профили волны в момент обрушения и в после-дующие моменты времени. Методами локальных разложений проанализировановлияние эффектов диссипации на структуру разрывов. Показано, что толщинаразрыва определяется произведением кинетических коэффициентов вязкости идиффузии, а учет диссипации только одного вида, хотя и не приводит к устра-нению разрыва, меняет вид профилей гидродинамических переменных в моментобрушения.

90

Секция “Дифференциальные уравнения”

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДАННЫХРЕНТГЕНОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ

MATHEMATICAL METHODSFOR THE X-RAY TOMOGRAPHY DATA ANALYSIS

Балакина Е. Ю.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;balakina@math.nsc.ru

Рассматривается процесс переноса частиц (в частности, фотонов). В качествематематической модели взято линейное дифференциальное уравнение переноса:

ω · ∇rf(r, ω,E) + µ(r, E)f(r, ω,E) = J(r, ω,E).

Здесь r ∈ G ⊂ R3; G — выпуклая ограниченная область; ω ∈ Ω = ω ∈ R3 :|ω| = 1; E ∈ I = [Emin, Emax].

В этом уравнении f(r, ω,E) — плотность потока частиц в точке r, летящих внаправлении ω. Функции µ и J характеризуют среду G.

Среда G — неоднородная. Для характеристики этой неоднородности введемв рассмотрение подмножество G0 области G. Множество G0 предполагается от-крытым в R3, плотным в G (G0 = G) и является объединением счетного числаобластей. Области Gi можно интерпретировать как части неоднородной среды G,заполненные i-ым веществом. Функции µ(r, E) и J(r, ω,E) по пространственнойпеременной r принадлежат классу C2 в каждом Gi и могут претерпевать скачокна ∂G0.

Рассмотрим задачу, соответствующую многократному зондированию среды.Задача. Найти поверхность ∂G0 из уравнений

ω · ∇rfq(r, ω,E) + µ(r, E)fq(r, ω,E) = J(r, ω,E),

и краевых условий

fq(ξ, ω,E) = hq(ξ, ω,E), (ξ, ω,E) ∈ Γ− × Ω× I,E2∫E1

fq(η, ω,E)dE = Hq(η, ω), (η, ω) ∈ Γ+ × Ω,

где известными являются поверхность ∂G и функции Hq(η, ω), q = 1, . . . ,K.Здесь Γ+ и Γ− — некоторые подмножества ∂G.Для решения задачи (используя ограничения, близкие к [1–3], и результат ра-

боты [4]) строится функция, которая может быть неограниченной только вблизиискомой поверхности. Доказывается теорема единственности решения при до-вольно общих предположениях. Проведены численные эксперименты.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00275) и ФЦП “Научныеи научно-педагогические кадры инновационной России” (соглашение 14.В37.21.0355).

ЛИТЕРАТУРА1. Аниконов Д. С., Ковтанюк А. Е., Прохоров И. В. Использование уравнения переноса

в томографии. М.: Логос, 2000.2. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса ча-

стиц // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1961. Т. 61. С. 3–158.3. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука,

1986.4. Аниконов Д. С., Балакина Е. Ю. Полихроматический индикатор неоднородности

неизвестной среды для задачи рентгеновской томографии // Сиб. мат. журн. 2012.Т. 53, 4. С. 721–740.

91

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩИХ ВОЛНВ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ГЕМОДИНАМИКИ

ANALYSIS OF TRAVELING WAVE SOLUTIONSIN 1-D HEMODYNAMICS MODEL

Барлукова А. М.1, Чупахин А. П.1,2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия;

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;ayuna.barlukova@gmail.com, chupakhin@hydro.nsc.ru

В работе исследуется одномерная модель движения потока крови в артери-ях [1–3]. В настоящее время эта модель является объектом внимания многихисследователей, поскольку имеет вычислительную сложность на несколько по-рядков ниже, чем для многомерных моделей. Вместе с тем она дает адекватноеописание распространения пульсовых волн в случае геометрических и механиче-ских модификаций сосуда (при образовании стеноза или установки стента). Ееосновой является система уравнений Навье – Стокса, осредненная по сечениюсосуда, сопряженная с линейной или нелинейной моделью для упругой стенкисосуда. Задача состоит в исследовании решений типа простых волн для этой мо-дели. Для таких решений система уравнений в частных производных сводится кобыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка

ηIV +c20ρwh0 − a

c0cη′′′ +

γ

cη′′ +

ρKR

πc0c

(q0 + c0(η + η0)2

)(η + η0)4

+ρ

c0c(η + η0)5

×(−2α

(c20(η + η0)4 − q20

)+ (η + η0)4

(ρ−1(η + η0)G′(η)− 2c20

))η′ = 0. (1)

В (1) производные вычисляются по независимой переменной λ = z − c0t, гдеz — пространственная координата, направленная вдоль сосуда, t — время, c0 —скорость волны. Используются следующие обозначения: η — отклонение стенкисосуда от начального состояния, q0 — средний расход по сечению в начальныймомент времени, значения a, γ, c зависят от механических свойств стенки, KR —параметр сопротивления, зависящий от вязкости крови, α — коррекционный ко-эффициент момента, ρ — плотность крови, ρw — плотность стенки, h0 — толщинастенки, функция G(η) задает упругую реакцию стенки. Доказано, что системауравнений, эквивалентная (1), имеет единственную особую точку. Характери-стическое уравнение четвертого порядка имеет вещественные или комплексныекорни в различных областях значений параметров задачи. Для частного случая,когда это уравнение сводится к биквадратному, дана полная классификация ти-пов особых точек (фокус, седло или узел) на плоскости параметров (c0, q0). Про-ведены компьютерные эксперименты для подтверждения и анализа полученныхрезультатов и иллюстрации различных режимов движения крови.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СО РАН (интеграцион-ный проект 44), Программы ОЭММПУ РАН (проект 2.13.4), Российского фондафундаментальных исследований (проекты 12-01-31112 мол_а, 13-01-00270).

ЛИТЕРАТУРА1. Григорян С. С., Саакян Ю. З., Цатурян А. К. О механизме генерации звуков Корот-

кова // ДАН. 1980. Т. 251, 3. С. 570–574.2. Григорян С. С., Саакян Ю. З., Цатурян А. К. К теории звуков Короткова // Биоме-

ханика. София: Bulgarian Academy of Science, 1984. С. 15–16.3. Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in

arteries // J. Eng. Math. 2003. V. 47. P. 251–276.

92

Секция “Дифференциальные уравнения”

СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА РИМАНА – ГИЛЬБЕРТАВ СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ

THE SINGULAR RIEMANN–HILBERT PROBLEMIN COMPLEX SHAPED DOMAINS

Безродных С. И.1,2, Власов В. И.1

1Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва, Россия;2Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ,

Москва, Россия; sergeyib@pochta.ru, vlasov@ccas.ru

Пусть g — расположенная на комплексной плоскости z жорданова областьс кусочно-ляпуновской границей γ без внешних и внутренних заострений. В gрассматривается задача Римана – Гильберта Re

[h(z)p+(z)

]= c(z), z ∈ γ, где

коэффициент h(z) и правая часть c(z) задачи кусочно-гельдеровы с разрыва-ми первого рода, а в некоторых точках границы γ заданы условия степенно-го роста решения p+(z). С помощью конформного отображения z = Φ(ζ), ζ =ξ + iη, полуплоскости H+ на g эта задача сводится к аналогичной в H+ задачеRe[H(ζ)P+(ζ)

]= C(ζ), ζ ∈ R\ξk, где ξkNk=0 — набор точек разрыва кусочно-

гельдеровых H(ζ), C(ζ), ξ0 = ∞, а nk — набор чисел из Z+, определяющихусловия роста решения при ζ → ξk: P+(ζ) = O

[(ζ − ξk)αk−nk

], если nk = 0, и

P+ = O(1), если nk = 0, а в ξ0 = ∞ — условию P+(ζ) = O(ζα0+n0), ζ → ∞.Здесь αk — дробная часть величины π−1[argH(ξk + 0)− argH(ξk− 0)] при k = 0 ивеличины π−1[argH(+∞)− argH(−∞)] при k = 0; соответствующие целые частиобозначаем κk и κ0. Пусть все αk > 0.

Теорема. (i) Если индекс κ := n0 − κ0 +∑Kk=1(κk + nk) неотрицателен, то

решение поставленной задачи имеет вид P+(ζ) = X+(ζ)[Pκ(ζ) + (πi)−1S(ζ)×

×∫R

C(t)S(t)H(t)X+(t) (t−ζ)dt

], где Pκ(ζ) — произвольный полином степени κ с веще-

ственными коэффициентами, X+(ζ) :=∏Kk=1(ζ − ξk)−κk−nk exp[M+(ζ)] — кано-

ническое решение задачи,

M+(ζ) :=ζ − δπ

∫R

[π/2− argH(t)

]dt

(t− δ)(t− ζ), S(ζ) := (ζ − λ)2κ/2(ζ2 + 1)[κ/2],

здесь δ, λ ∈ R \ ξk.(ii) Если κ = −1, то единственным решением рассматриваемой задачи явля-

ется функция P+(ζ) = (πi)−1X+(ζ)∫R C(t)

[H(t)X+(t)(t− ζ)

]−1dt.

Если κ < −1 и выполняются условия разрешимости∫R

tkC(t)H(t)X+(t)dt = 0 при k =

0, . . . , |κ|−2, то единственное решение задачи дается той же формулой. Если жеκ < −1 и условия разрешимости не выполнены, то эта задача не имеет решений.

Получив решение P+(ζ) в H+, восстанавливаем решение исходной задачи Ри-мана – Гильберта в g по формуле p+(z) = P+ Φ−1(z). Отметим, что эффек-тивные вычислительные методы конформного отображения сложных областейизложены в ряде известных руководств, а также в [1].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00923), Программы ОМН РАН “Современные проблемы теоретиче-ской математики” и Программы 3 ОМН РАН.

ЛИТЕРАТУРА1. Безродных С. И., Власов В. И. Сингулярная задача Римана – Гильберта в сложных

областях // Spectral and Evolution Problems. 2006. Т. 16. С. 51–61.

93

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИСТОЧНИКАСИСТЕМ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА

ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

DETERMINATION OF SOURCE FUNCTIONSFOR SYSTEMS OF EQUATIONS OF COMPOSITE TYPE

FOR SOME INITIAL-BOUNDARY PROBLEMS

Белов Ю. Я.1, Копылова В. Г.2

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;1ybelov@sfu-kras.ru, 2kopylova.vera@mail.ru

В полосе G[0,T ] = (t, x) | 0 ≤ t ≤ T, x ∈ E1 рассматривается задача опреде-ления действительнозначных функций

(u(t, x), v(t, x), g1(t), g2(t)

), удовлетворя-

ющих системе уравненийεut + a11(t)

εu+ a12(t)

εv = µ1

εuxx +

εg1(t)f(t, x),

εεvt + a21(t)

εu+ a22(t)

εv = µ2

εvxx +

εg2(t)F (t, x),

(1)

ε > 0 — const, начальным условиямεu(0, x) = u0(x),

εv(0, x) = v0(x), (2)

и условиям переопределенияεu(t, x0) = φ1(t),

εv(t, x0) = φ2(t), φi ∈ C2[0, T ], i = 1, 2, (3)

где φi(t), i = 1, 2, — заданные функции на [0, T ].В (1) коэффициенты aij(t) заданы на отрезке [0, T ], функции f(t, x), F (t, x)

заданы в G[0,T ], µ1, µ2 = const > 0.В предположении достаточной гладкости входных данных:

- доказана разрешимость задачи (1)–(3) при каждом фиксированном ε > 0;

- при условии периодичности по x входных данных f , F , u0, v0 доказано суще-ствование достаточно гладкого решения задачи определения

εu,

εv,

εg1,

εg2 в

QT = [0, T ]× [0, l] при первом и втором краевых условиях;

- доказано существование решения u, v, g1, g2 первой и второй краевых задач(10)–(30), где

u = limε→0

εu, v = lim

ε→0

εv, g1 = lim

ε→0

εg1, g2 = lim

ε→0

εg2,

и через (10), (20), (30) обозначены соответственно (1), (2), (3), приε = 0 (при

εu = u,

εv = v,

εg1 = g1,

εg2 = g2);

- получена оценка скорости сходимостиεu,

εv,

εg1,

εg2 к u, v, g1, g2 соответственно

при ε→ 0.

ЛИТЕРАТУРА1. Белов Ю. Я. О задаче идентификации функции источника для одной полуэволю-

ционной системы // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика. 2010. Т. 3, 4.С. 487–499.

2. Belov Yu. Ya., Kopylova V. G. On some identification problem for source function to onesemievolutionary system // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2012. V. 20, N 5–6. P. 723–743.

94

Секция “Дифференциальные уравнения”

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТИПА БЮРГЕРСА

ON SOME PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONSOF BURGERS TYPE

Белов Ю.Я.1, Фроленков И. В.2

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;1ybelov@sfu-kras.ru, 2igor@frolenkov.ru

Задача Коши для уравнения ut + uux = µuxx исследовалась И. М. Бюргер-сом [1], Э. Хопфом [2], И. Д. Коулом [3]. Эта задача известна в теории турбулент-ности. Само же уравнение часто называют уравнением Бюргерса.

Ранее были изучены задачи определения неизвестных коэффициентов дляуравнения указанного типа [4] в случае данных Коши, когда входные данныедопускают преобразование Фурье по пространственной переменной.

В данной работе в полосе G[0,T ] = (t, x) | t ∈ [0, T ], x ∈ E1 исследуетсяодномерное нагруженное параболическое уравнение типа Бюргерса специальноговида с данными Коши

ut = a(t)uxx + b(t, x, u, ω(t))ux + f(t, x, u, ω(t)), u(0, x) = u0(x).

Здесь ω(t) =(u(t, αk), ∂

j

∂xj u(t, αk)), j = 0, p, k = 0, r, — вектор функция, компо-

ненты которой являются следами указанного вида функции u(t, x) и ее производ-ных по x до порядка p, α1, . . . , αr — набор различных точек в пространстве E1.

Получены достаточные условия существования решения в классе гладкихограниченных функций. Доказательство проводится методом, который анало-гичен ранее используемому в работе [5].

Также в работе исследована обратная задача определения функции источникадля следующего двумерного уравнения типа Бюргерса

ut(t, x, y) = µ1(t)uxx+µ2(t)uyy+a1(y)ux+a2(t)uy+b1(t)uux+b2(t)uuy+g(t)f(t, x, y).

Рассматриваются случаи задачи Коши на плоскости и смешанной краевой задачив прямоугольной области. Получены достаточные условия однозначной разреши-мости этих задач в классах гладких ограниченных функций.

Одномерный случай был ранее рассмотрен в работе [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Burgers I. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advancesof mechanics. 1948. V. 1. P. 171–199.

2. Hopf E. The partial differential equation ut+uux = µuxx // Commun. Pure Appl. Math.1950. V. 3. P. 201–230.

3. Cole J. D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics // Q. Appl.Math. 1951. V. 9. P. 225–236.

4. Belov Yu.Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht etc.: VSP, 2002.5. Фроленков И. В., Белов Ю. Я. О существовании решения для класса нагруженных

двумерных параболических уравнений с данными Коши // Неклассические уравне-ния математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2012. С. 262–279.

6. Белов Ю. Я., Коршун К. В. О задаче идентификации функции источника для урав-нения типа Бюргерса // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5, 4.С. 497–506.

95

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОУРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

LOCAL PROBLEMS FOR SOME THIRD ORDERHYPERBOLIC EQUATION

Бердышев А.С.1, Ахтаева Н.С.2

Казахский национальный педагогический университет им. Абая,Алматы, Казахстан; 1berdyshev@mail.ru, 2260503@mail.ru

Пусть Ω ⊂ R2 — конечная область, ограниченная отрезком AB : 0 6 x 6 1 осиy = 0 , а при y < 0 — двумя характеристиками AC : x + y = 0 и BC : x − y = 1гиперболического уравнения третьего порядка с простыми характеристиками

Lu = f(x, y), (1)

где

Lu =∂

∂y(uxx − uyy).

Задача Гурса. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x, y)|AC∪BC = 0, (2)

uy(x, y)|AC∪BC = 0.

Задача Дарбу 1. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x, 0) = uy(x, 0) = 0, 0 6 x 6 1,

u(x, y)|AC = u(x,−x) = 0, 0 6 x 6 1

2. (3)

Задача Дарбу 2. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

uy(x, 0) = 0,

u(x, y)|AC = 0,

(ux + uy)|AC = 0.

Задача Дарбу 3. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее услови-ям (3) и

u(x, 0) = uyy(x, 0) = 0, 0 6 x 6 1.

Задача Дарбу 4. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее услови-ям (2) и

uy(x, 0) = uyy(x, 0) = 0, 0 6 x 6 1.

Решения сформулированных задач получены в явном виде.

96

Секция “Дифференциальные уравнения”

О ГЕОМЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АБЕЛЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ON GEOMETRY OF THE FIRST ORDERABEL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Бибиков П.В.

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия;tsdtp4u@proc.ru

Обыкновенным дифференциальным уравнением Абеля первого порядка назы-вается уравнение, полиномиальное по производной f ′ неизвестной функции f :

a0(x, f)(f ′)n + a1(x, f)(f ′)n−1 + . . .+ an(x, f) = 0.

Уравнения Абеля являются простейшими (и, возможно, самыми важными)неявными дифференциальными уравнениями. Они тесно связаны со многимивопросами математики, например, с теорией тканей и символами линейных диф-ференциальных операторов (см. [1]).

В данной работе мы предлагаем новый геометрический подход к изучениюдифференциальных уравнений Абеля. Также с помощью этого подхода мы най-дем дифференциальные инварианты и инвариантные дифференцирования урав-нений Абеля и построим точечную классификацию таких уравнений.

Рассмотрим плоскость R2 ≃ J0R 0-джетов функций f : R→ R с координатами(x, y), кокасательное расслоение τ∗ : T ∗R2 → R2, его n-ю симметрическую степеньSnτ∗ и модуль сечений Γ(Snτ∗) (необходимые определения см. в [1]). Элементыэтого модуля называются симметрическими дифференциальными n-формами.

Пусть α ∈ Γ(Snτ∗) — симметрическая n-форма. Рассмотрим нелинейный диф-ференциальный оператор ∆α : C∞(R) → Sn(T ∗R), ∆α(f) = α |Lf (здесь Lf =(x, f(x)) : x ∈ R ⊂ R2 — график функции f). Оператор ∆α мы будем назы-вать оператором Абеля, а соответствующее ему уравнение Aα = ∆α(f) = 0 —дифференциальным уравнением Абеля.

Замечание. Если α = a0(x, y)(dy)n+a1(x, y)(dy)n−1dx+. . .+an(x, y)(dx)n, то∆α(f) =

(a0(x, f)(f ′)n+a1(x, f)(f ′)n−1+. . .+an(x, f)

)(dx)n, так что координатное

представление уравнения Абеля Aα действительно полиномиально зависит отпроизводной f ′.

Заметим, что две симметрические формы α1, α2 ∈ Γ(Snτ∗) задают одно и тоже уравнение Абеля, если и только если они пропорциональны, т. е. если α2 = λα1

для некоторой ненулевой функции λ ∈ C∞(R2).Теорема. Изучение дифференциальных уравнений Абеля равносильно изу-

чению симметрических дифференциальных форм на плоскости, определенных сточностью до умножения на ненулевые гладкие функции.

В свою очередь симметрические дифференциальные формы можно рассмат-ривать как бинарные формы с переменными коэффициентами. Это позволяетприменить к ним методы работы [2]. А именно, мы построим набор дифференци-альных инвариантов и инвариантных дифференцирований, а также решим про-блему точечной эквивалентности таких форм.

ЛИТЕРАТУРА1. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия

дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат.Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 28. C. 5–289.

2. Бибиков П. В., Лычагин В. В. GL2(C)-орбиты бинарных форм // ДАН. 2010. Т. 435, 4. С. 439–440.

97

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

АЛЬТЕРНАТИВА ГЛОБАЛЬНОЙ СХОДИМОСТИ ВМЕТОДЕ НЬЮТОНА ДЛЯ ЗАДАЧИ НАВЬЕ – СТОКСАGLOBAL CONVERGENCE ALTERNATIVE IN NEWTON’S

METHOD FOR THE NAVIER–STOKES PROBLEM

Боговский М.Е.

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва, Россия;bogovskii@ccas.ru

В ограниченной области Ω ⊂ R3 с гладкой границей ∂Ω ∈ C2 рассматриваетсязадача Навье – Стокса, т. е. нелинейная нестационарная начально-краевая задачадля системы уравнений Навье – Стокса

vt + (v,∇)v − ν∆v +∇p = f(x, t), div v = 0, (x, t) ∈ QTdef= Ω× (0, T );

v|t=0 = a(x), div a = 0, x ∈ Ω; v|∂Ω = 0, t ∈ (0, T ), a|∂Ω = 0;(1)

с постоянной вязкостью ν > 0, с полем скоростей v : QT → R3 и давлениемp : QT → R; сильное решение задачи (1) определяется как упорядоченная пара

v,∇p ∈W 2,12,x,t (QT ;R3)× L2(QT ;R3). (2)

Итерации метода Ньютона для задачи (1) являются последовательностью силь-ных решений vn,∇pn∞n=0 линейных начально-краевых задач

vnt + (vn−1,∇)vn + (vn,∇)vn−1 − ν∆vn +∇pn = f(x, t) + (vn−1,∇)vn−1,

div vn = 0, (x, t) ∈ QT ;

vn|t=0 = a(x), x ∈ Ω; vn|∂Ω = 0, t ∈ (0, T );

где n > 1 и задано какое-либо начальное приближение v0,∇p0 класса (2).Рассматривается вопрос о глобальной сходимости метода Ньютона в классе

сильных решений (2) без каких бы то ни было предположений малости величиннорм данных задачи, числа T > 0, числа Рейнольдса, расстояния между началь-ным приближением v0 и искомым v, и даже без предположения, что искомое силь-ное решение v,∇p существует. Устанавливается, что альтернативой глобальнойсходимости последовательности vn,∇pn в норме (2) служит ее “расходимость”в смысле неограниченного роста неизотропной лебеговой нормы vn в Lr,s(QT ;R3)с показателями r, s класса Ладыженской – Проди – Серрина, а именно,

r > 3, s > 2 :3

r+

2

s6 1 ⇒ lim

n→∞

T∫0

∥vn(·, t)∥sLr(Ω;R3)dt =∞. (3)

Теорема (Альтернатива сходимости). Пусть ν, T > 0, f ∈ L2(QT ;R3),a ∈ W 1

2 (Ω;R3): div a = 0, a|∂Ω = 0, и задано какое-либо начальное приближениеv0,∇p0 класса (2). Тогда последовательность vn,∇pn либо сходится в нормекласса (2), либо “расходится” в смысле (3).

Из теоремы следует, в частности, что для сходимости последовательностиvn,∇pn достаточно, чтобы она содержала ограниченную подпоследователь-ность, при этом в ходе доказательства теоремы устанавливается, что такая после-довательность сходится в норме (2) сначала быстрее геометрической прогрессии,знаменатель которой сколь угодно близок к нулю, а затем, по мере приближенияк пределу, скорость сходимости возрастает до квадратичной, более характернойдля метода Ньютона. Отметим, что в случае “расходимости” в смысле (3) утвер-ждение теоремы не исключает существования сильного решения задачи (1).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00770).

98

Секция “Дифференциальные уравнения”

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ГРАФАХ

SPECTRAL TRANSFORMATIONSFOR SCHRODINGER OPERATOR ON GRAPHS

Бондаренко А. Н.1, Дедок В. А.2

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;1bondarenkoan1953@mail.ru, 2dedok@math.nsc.ru

Актуальность задачи рассеяния для уравнения Шредингера на графах обу-словлена применимостью в решении различных теоретических и практическихзадач. В работах Ю. Б. Мельникова, Б.С. Павлова изучались возможные при-ложения к проблеме проектирования микроэлектронных устройств [1]. В рабо-тах [2, 3] изучаются вопросы конструирования спектральных данных и данныхрассеяния при операциях спектральной хирургии, изменяющих топологию гра-фов (склеивание графов, разрезание и масштабирование).

Оператором Шредингера H = L + Q на графе G будем называть оператор,действующий на соболевском пространстве W 2

2 (G) функций, ограничение кото-рых на каждое ребро bj графа принадлежит пространству W 2

2 (bj), по правилу

H = − d2

dx2+ q(x).

Потенциал q(x) предполагается вещественным, измеримым и с конечным первыммоментом.

В данной работе предлагается метод преобразования спектральных данныхдля оператора Шредингера H на графе, отличный от предлагаемого в работе [3].Предыдущие результаты касались преобразований спектра при операциях изме-нения топологической структуры графов с нулевым потенциалом на ребрах.

Пусть Σ0, Σ1 — два спектра оператора Шредингера с соответствующими по-тенциалами q0 и q1 на ребрах графа, такие что Σ1 получается из Σ0 добавлениемодного собственного значения. Развиваемый в работе подход позволяет получитьуравнение на добавку q0, такую что q1 = q0 + q0.

Таким образом, предлагаемый нами метод позволяет, отталкиваясь от по-тенциала, соответствующего одному набору спектральных данных, получить по-тенциал, соответствующий другому набору спектральных данных. Тем самым,решается задача последовательного конструирования потенциала в уравненииШредингера на метрических графах с заданными спектральными параметрами.Каждая итерация метода позволяет изменить требуемым образом одно из соб-ственных чисел оператора Шредингера.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проекты 11-01-00105, 12-01-31436 мол_а), Сибирскогоотделения РАН (междисциплинарный проект 14) и проекта, выполняемого совместноСО РАН и НАН Украины (проект 12, 2013).

ЛИТЕРАТУРА1. Melnikov Yu.B., Pavlov B. S. Two-body scattering on a graph and application to simple

nanoelectronic devices // J. Math. Phys. 1995. V. 36, N 6. P. 2813–2825.2. Бондаренко А. Н., Дедок В. А. Техника спектральной хирургии квантовых графов //

ДАН. 2012. Т. 444, 5. С. 473–476.3. Бондаренко А. Н., Дедок В. А. Спектральная хирургия для оператора Шредингера

на графах // ДАН. 2012. Т. 444, 4. С. 353–355.

99

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИВ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ОДНОЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ON SOLVABILITY OF A BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR ONE ELLIPTIC SYSTEM IN A HALF-SPACE

Бондарь Л. Н.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

b_lina@ngs.ru

В работе рассматривается первая краевая задача в полупространстве Rn+ =x = (x′, xn) : x′ ∈ Rn−1, xn > 0 для одной эллиптической системы с младшимичленами:

L(Dx)U = F (x), x ∈ Rn+,U∣∣xn=0

= 0,(1)

гдеL(Dx) = L0(Dx) + εL1(Dx), ε > 0.

Сформулируем условия на матричный дифференциальный оператор L(Dx). Обо-значим через aj,r(iη) = a0,j,r(iη)+εa1,j,r(iη) элементы матрицы L(iη), являющей-ся символом матричного дифференциального оператора.

Условие 1. Пусть матрица L(iη) имеет размер m×m и ее элементы удовле-творяют равенствам:

aj,r(c14l iη) = c a0,j,r(iη) + c

12l εa1,j,r(iη), j, r = 1, . . . ,m, c > 0, l ∈ N.

Условие 2. Равенства detL(iη) = 0, detL0(iη) = 0, detL1(iη) = 0, η ∈ Rn,имеют место тогда и только тогда, когда η = 0.

Условие 3. Краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинского.В работе доказана разрешимость краевой задачи (1) в соболевском простран-

стве W 4lp (Rn+), 1 < p <∞. Указаны ограничения на показатель суммируемости p,

при которых краевая задача (1) будет разрешима в W 4lp (Rn+) без дополнитель-

ных условий на правую часть системы. Доказательство проводится с помощьюметода, предложенного в статье [1]. Работа продолжает исследования [2–4].

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355), Российскогофонда фундаментальных исследований (проект 12-01-31030) и Сибирского отделенияРАН (междисциплинарный проект 80).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демиденко Г.В. Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическимиуравнениями. II // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, 1. С. 41–65.

2. Бондарь Л. Н., Демиденко Г.В. Краевые задачи для квазиэллиптических систем //Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, 2. С. 256–273.

3. Бондарь Л. Н. Разрешимость краевых задач для квазиэллиптических систем в ве-совых соболевских пространствах // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, ин-форматика. 2010. Т. 10, вып. 1. С. 3–17.

4. Бондарь Л. Н. О разрешимости одного эллиптического уравнения в полупростран-стве // Сиб. электрон. мат. изв. 2012. Т. 9. С. 618–638.

100

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОДИН КЛАСС ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

A CLASS OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONSOF SOBOLEV TYPE

Борель Л. В.

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия;lidiya904@yandex.ru

Рассмотрим линейное интегродифференциальное уравнение

Lu(t) = Mu(t) +

T∫0

K(t, s)u(s)dµ(s), t ∈ [0, T ]. (1)

Здесь U, V — банаховы пространства, оператор L ∈ L(U;V) (т. е. линеен и непре-рывен), kerL = 0, M ∈ Cl(U;V) (линеен, замкнут и плотно определен), T > 0,K : [0, T ]× [0, T ]→ L(U;V), µ — функция ограниченной вариации на [0, T ].

Обозначим U0 = ker((µL−M)−1L)p+1, V0 = ker(L(µL−M)−1)p+1, U1 — замы-кание в пространстве U образа оператора im((µL−M)−1L)p+1, V1 — замыканиев V образа im(L(µL−M)−1)p+1, p ∈ 0 ∪ N.

Теорема 1 [1]. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ 0 ∪ N. Тогда(i) U = U0 ⊕ U1, V = V0 ⊕V1;(ii) L|Uk ≡ Lk ∈ L(Uk;Vk), M |domM∩Uk ≡Mk ∈ Cl(Uk;Vk), k = 0, 1;(iii) существуют операторы M−1

0 ∈ L(V0;U0) и L−11 ∈ L(V1;U1);

(iv) оператор H = M−10 L0 нильпотентен степени не больше p.

Пусть P — проектор в пространстве U вдоль U0 на подпространство U1. Дляуравнения (1) рассмотрим обобщенную задачу Шоуолтера

Pu(0) = u0. (2)

Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, u0 ∈ domM ∩ U1, K ∈Cp+1,0([0, T ]× [0, T ];L(U;V)), µ : [0, T ]→ R — функция ограниченной вариации,

maxk=0,...,p

∥HkM−10 (I −Q)∥L(V;U)

∣∣∣∣ limt→0+

µ(t)− µ(0)

∣∣∣∣ ∥∥∥K(p+1)t (0, 0)

∥∥∥L(U;V)

< 1. (3)

Тогда при достаточно малом T задача (1), (2) имеет единственное решение u ∈C1([0, T ];U).

Замечание. Условие (3) с очевидностью выполняется, если функция µ непре-рывна в нуле справа или K(p+1)

t (0, 0) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Ал-гебра и анализ. 2000. Т. 12, 3. С. 173–200.

101

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХУРАВНЕНИЙ МГД СО СМЕШАННЫМИ

ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

A BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR THE STATIONARY MHD EQUATIONSWITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS

Бризицкий Р.В.

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия;mlnwizard@mail.ru

В ограниченной области Ω пространства R3 с границей Γ, состоящей из двухчастей Γ1 и Γ2, рассматривается краевая задача магнитной гидродинамики

ν∆u + (u · ∇)u +∇p− æ rot H×H = f , div u = 0 в Ω, (1)

ν1rot H− ρ−10 E + æH× u = ν1j, div H = 0, rot E = 0, (2)

u = g на Γ, H · n|Γ1 = 0, H× n|Γ2 = 0, E× n|Γ1 = 0. (3)

Здесь Ω — ограниченная область в R3 с границей Γ, u, H, E — векторы скоро-сти и напряженностей магнитного и электрического полей, p = P/ρ0, где P —давление, ρ0 = const — плотность, æ = µ/ρ0, ν1 = 1/ρ0σ, ν и σ — постоянныекоэффициенты вязкости и проводимости, µ — магнитная проницаемость, j — век-тор плотности сторонних токов, g — определенная на Γ функция. Все величины,входящие в (1)–(3), считаются размерными, причем уравнения модели записа-ны в системе СИ. Физически граничные условия (3) отвечают ситуации, когдаучасток Γ1 границы Γ является идеальным проводником, а участок Γ2 ⊂ Γ —идеальный диэлектрик.

На основе результатов [1] получены новые коэрцитивные неравенства в спе-циальном подпространстве пространства H1(Ω)3. С помощью полученных нера-венств, а так же метода и результатов [2, 3] доказана глобальная разрешимость илокальная единственность слабого решения задачи (1)–(3), получены априорныеоценки норм решения через нормы исходных данных. Отметим, что обосноватькорректность слабой формулировки задачи (1)–(3) удалось с использованием по-лученного в [1] ортогонального разложения пространства L2(Ω)3, обобщающегоизвестные ранее результаты.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (соглашение 14.A18.21.0353)и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 13-01-00313, 12-01-31288).

ЛИТЕРАТУРА

1. Fernandes P., Gilardi G. Magnetostatic and electrostatic problems in inhomogeneousanisotropic media with irregular boundary and mixed boundary conditions // Math.Models Methods Appl. Sci. 1997. V. 7, N 7. P. 957–991.

2. Алексеев Г.В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений маг-нитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, 2.С. 243–262.

3. Бризицкий Р.В., Терешко Д. А. О разрешимости краевых задач для стационарныхуравнений магнитной гидродинамики с неоднородными смешанными граничнымиусловиями // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, 2. С. 239–250.

102

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВУПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫВ БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ

DETERMINATION OF THE PARAMETERSOF AN ELASTIC ISOTROPIC MEDIUM

IN AN INFINITE CYLINDER

Бугуева Т.В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

bugueva@math.nsc.ru

Пусть r0, T — фиксированные положительные числа. В бесконечном по пере-менной z цилиндре радиуса r0 рассмотрим систему дифференциальных уравне-ний Ламе изотропной упругости

ρ∂2u

∂t2= µ∆u+ (λ+ µ)∇div u+∇λdiv u+∇µ · (∇u+ u∇)

вместе с начальными данными и граничными условиями

u|t<0 = 0, σr|r=r0 = lθ0(t)e−imφe−iζz.

Здесь σr = λerdiv u+ µer · (∇u+ u∇) — вектор напряжений, действующий наплощадку с нормалью, параллельной оси er; u = (ur, uφ, uz) — вектор смещений;ρ — плотность среды; λ, µ — параметры Ламе; l = (1, 0, 0) — базисный вектор вцилиндрических координатах er, eφ, ez; r ∈ (0, r0], 0 ≤ φ ≤ 2π, z ∈ R, t ∈ [0, T ];θ0(t) — тета-функция.

Переписав систему Ламе и граничные условия в терминах скоростей продоль-ных и поперечных волн c =

√λ+2µρ , a =

√µρ , исследуем задачу определения трёх

характеристик упругой изотропной среды a(r, φ, z), c(r, φ, z), ρ(r, φ, z).Пусть h(t, φ, z) — заданная функция. В качестве дополнительной информации

для решения обратной задачи рассмотрим

u|r=r0 = h(t, φ, z), t ∈ [0, T ], 0 ≤ φ ≤ 2π, z ∈ R.

В данной работе в качестве параметров m и ζ используются два набора:m = ζ = 0 и m = ζ = 1.

Обратная задача изучается в линейном приближении, предполагается, чтоплотность среды, скорости распространения продольных и поперечных волн пред-ставимы в виде ρ(r, φ, z) ≈ ρ0 + ρ1(r, φ, z), c2(r, φ, z) ≈ c20 + c1(r, φ, z),a2(r, φ, z) ≈ a20 + a1(r, φ, z), где ρ0, a20, c20 — некоторые неизвестные константы, анеизвестные функции ρ1, a1, c1 малы по сравнению с константами ρ0, a20 и c20 со-ответственно. Эта гипотеза позволяет линеаризовать исходную задачу и разбитьее на две задачи: в одной требуется найти неизвестные постоянные среды, а вовторой — малые добавки к этим постоянным.

Получены оценки условной устойчивости решения обратных задач.Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 11-01-00105), Сибирского отделения РАН (междисциплинар-ный проект 14) и проекта, выполняемого совместно СО РАН и НАН Украины (про-ект 12, 2013).

ЛИТЕРАТУРА1. Бугуева Т.В. Определение параметров упругой изотропной среды в цилиндре //

Сиб. электрон. мат. изв. 2012. Т. 9. C. 567–617.

103

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА КОШИ – НЕЙМАНА ДЛЯ СИСТЕМЫУРАВНЕНИЙ БУССИНЕСКА

THE CAUCHY–NEUMANN PROBLEMFOR THE SYSTEM OF BOUSINESSQUE EQUATIONS

Бычков Е. В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;bychkov42@gmail.com

Пусть Ω ⊂ Rs — ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞. В цилиндреΩ× R рассмотрим задачу

u(x, 0) = u0(x), u(x, 0) = u1(x), v(x, 0) = v0(x), v(x, 0) = v1(x), x ∈ Ω, (1)

∂u

∂n(x, t) =

∂v

∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× R, (2)

(b+ ∆)u = a∆u−∆f(u, v),(b+ ∆)v = d∆v −∆g(u, v),

(3)

где u, v ∈ C∞(Ω × R), a, b, d ∈ R (a2 + d2 = 0), f , g — класса C∞, n = n(x, t) —внешняя нормаль к цилиндру ∂Ω × R. Система уравнений Буссинеска (3) приn = 1 моделирует колебания в молекуле ДНК [1], в этом случае u и v характери-зуют продольную и поперечную деформацию, f и g — силы межмолекулярноговзаимодействия.

Пусть U =

w ∈ W l+2

2 (Ω) × W l+22 (Ω) :

∂w

∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × R

и

F =w ∈W l

2(Ω)×W l2(Ω)

, положив

w =

(uv

), L =

(b+ ∆ 0

0 b+ ∆

), M =

(a∆ 00 d∆

), N(w) =

(∆f(u, v)∆g(u, v)

),

редуцируем задачу (1)–(3) к задаче Коши

w(0) = w0, w(0) = w1

для уравнения соболевского типа

Lw = Mw −N(w).

Лемма [2]. Оператор Q =∫γ

L(µL−M)−1dµ является проектором в простран-

стве F.Построим множество M = w ∈ U : (I−Q)(Mw +N(w)) = 0.Теорема. Пусть s > n/2 − 2, (I − Q)(M + N ′

w0) : U0 → F0 топлинейный

изоморфизм и b = 0, тогда для любых (w0, w1) ∈ TM и некоторого τ = τ(w0, w1)

существует решение(uv

)∈ C∞((−τ, τ),U).

ЛИТЕРАТУРА

1. Chen G., Zhang H. Initial boundary value problem for a system of generalized IMBqequations // Math. Methods Appl. Sci. 2004. V. 27, N 5. P. 497–518.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroupsof operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

104

Секция “Дифференциальные уравнения”

РАЗРЕШИМОСТЬ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ В МНОГОМЕРНЫХ КОНУСАХ

SOLVABILITY OF PSEUDO-DIFFERENTIAL EQUATIONSIN MULTIDIMENSIONAL CONES

Васильев В. Б.

Липецкий государственный технический университет, Липецк, Россия;vbv57@inbox.ru

Рассматривается уравнение

(Au)(x) = f(x), x ∈ Ca+, (1)

где Ca+ = x ∈ Rm : x = (x1, . . . , xm), xm > a|x′|, x′ = (x1, . . . , xm−1), a > 0, впространствах Соболева – Слободецкого Hs(Ca+) [1], где A — псевдодифферен-циальный оператор с символом A(ξ) порядка α, удовлетворяющим условию

c1 ≤ |A(ξ)(1 + |ξ|)−α| ≤ c2,

и допускающим волновую факторизацию [2] относительно конуса Ca+, m ≥ 3, синдексом æ, |æ − s| = n + δ, n ∈ N, |δ| < 1/2. В этом случае можно описатьструктуру общего решения уравнения (1) следующим образом.

Обозначим через Va псевдодифференциальный оператор с символом exp(ia|ξ′|),ξ′ = (ξ1, . . . , ξm−1), A=(ξ), A=(ξ) — элементы волновой факторизации символаA(ξ). Справедлива следующая

Теорема. Общее решение уравнения (1) в образах Фурье выражается фор-мулой

u(ξ) = A−1= (ξ)GmA

−1= (ξ)lf(ξ) +A−1

= (ξ)Va

(n∑k=1

ck(ξ′)δ(k−1)(ξm)

), (2)

где ck(x′) ∈ Hsk(Rm−1) — произвольные функции, sk = s−æ+k−1/2, k = 1, . . . , n,lf — произвольное продолжение f наHs−α(Rm), δ(ξm) — дельта функция Диракаодной переменной, Gm — интегральный оператор вида

(Gmu) = a2m−1πm−2

2 Γ(m/2) limτ→0+

∫Rm

u(y′, ym)dy

(|x′ − y′|2 − a2(xm − ym + iτ)2)m/2,

где Γ — гамма-функция Эйлера.В частности, формула (2) позволяет рассматривать различные постановки

краевых задач для уравнения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравне-ний. М.: Наука, 1973.

2. Васильев В. Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальныеуравнения, волновая факторизация, краевые задачи. М.: УРСС, 2010.

105

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УСТОЙЧИВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯМНОГОМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙС ГОМОКЛИНИЧЕСКИМИ РЕШЕНИЯМИ

STABLE PERIODIC SOLUTIONSOF MULTIDIMENSIONAL PERIODIC SYSTEMS

OF DIFFERENTIAL EQUATIONSWITH HOMOCLINIC SOLUTIONS

Васильева Е. В.

Санкт-Петербургский государственный университет,Санкт-Петербург, Россия; ekvas1962@mail.ru

Рассматривается система дифференциальных уравнений вида

dx

dt= X(t, x), (1)

где x, X — n-векторы, и вектор-функция X непрерывна по (t, x) и непрерывнодифференцируема по x, кроме того, X — ω-периодична по t: X(t+ω, x) = X(t, x),ω > 0.

Предполагается, что система (1) имеет гиперболическое ω-периодическое ре-шение x = φ(t). Пусть, как обычно, W s(t), Wu(t) — устойчивое и неустойчивоемногообразия решения φ(t). Предполагается, что пересечение W s(0) ∩Wu(0) несводится к точке φ(0) и любая точка w ∈W s(0) ∩Wu(0), кроме точки φ(0), изо-лирована в W s(0) ∩ Wu(0). Решение ψ(t) системы (1) с начальными даннымиt = 0, x = w, где w ∈ W s(0) ∩ Wu(0), есть гомоклиническое к φ(t) решение.Предполагается, что W s(0) и Wu(0) пересекаются нетрансверсально.

Из работ [1, 2] следует, что при определенном способе касания W s(0) и Wu(0)все существующие однообходные периодические решения, лежащие в окрестно-сти гомоклинического решения, неустойчивы. Показано, что при иных условиях,наложенных на характер касания W s(0) и Wu(0), существуют системы, праваячасть которых является непрерывно дифференцируемой по x, которые имеютбесконечное число однообходных устойчивых периодических решений с отделен-ными от нуля характеристическими показателями.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проект 13-01-00624).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомокли-ническими кривыми // ДАН. 1986. Т. 286, 5. С. 1049–1053.

2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомер-ных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН. 1993. Т. 330, 2. С. 144–147.

106

Секция “Дифференциальные уравнения”

ФУНКЦИОНАЛЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ИХПРИЛОЖЕНИЕ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИSENSITIVITY FUNCTIONALS AND THEIR

APPLICATION TO PROBLEMS OF MECHANICS

Вихтенко Э. М.1, Намм Р.В.2

1Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск, Россия;vikht@mail.khstu.ru

2Вычислительный центр ДВО РАН, Хабаровск, Россия; namm@mail.khstu.ru

Функционалы чувствительности играют большую роль при исследовании ме-тодов двойственности для решения вариационных задач механики с односторон-ними граничными условиями.

Рассмотрим скалярную задачу СиньориниJ(v) =

1

2

∫Ω

|∇v|2 dΩ−∫Ω

fv dΩ→ min,

v ∈ K =w ∈W 1

2 (Ω) : −γw ≤ 0 на Γ.

(1)

Здесь Ω ⊂ Rn (n = 2, 3) — ограниченная область с достаточно гладкой грани-цей Γ, f ∈ L2(Ω) — заданная функция, γv ∈W 1/2

2 (Γ) — след функции v ∈W 12 (Ω)

на Γ.Условие ∫

Ω

f dΩ < 0

обеспечивает существование и единственность решения задачи (1).Для любого m ∈ L2(Γ) введем множество

Km =v ∈W 1

2 (Ω) : −γv ≤ m на Γ

и определим функционал чувствительности

χ(m) = infv∈Km

J(v).

Эффективная область функционала χ(m) не совпадает с L2(Γ).В работе исследуются характеристические свойства функционала чувстви-

тельности χ(m). Показывается, что χ(m) является слабо полунепрерывным сни-зу на L2(Γ) функционалом. Свойство слабой полунепрерывности снизу на L2(Γ)функционала чувствительности оказывается определяющим при обосновании ме-тодов двойственности решения задачи (1). Для задачи (1) строится и исследуетсясхема двойственности с модифицированным функционалом Лагранжа.

107

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПАПРИ ВОЗМУЩЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

ASYMPTOTIC STABILITY OF SOLUTIONS TO LINEARDIFFERENTIAL EQUATIONS OF NEUTRAL TYPE

UNDER PERTURBATIONS OF THEIR COEFFICIENTS

Водопьянов Е.С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;evgeniy.vodopyanov@gmail.com

В работе рассматриваются системы линейных дифференциальных уравненийнейтрального типа следующего вида

d

dt(y(t) + (D + ∆D)y(t− τ)) = (A+ ∆A)y(t) + (B + ∆B)y(t− τ), t > τ, (1)

где A, B, D — постоянные матрицы, τ > 0 — параметр запаздывания, ∆A, ∆B,∆D — постоянные матрицы, выполняющие роль малых возмущений исходныхматриц A, B, D соответственно. Основная цель — изучение асимптотическойустойчивости решений системы (1) в предположении, что нулевое решение невоз-мущенной системы (∆A = ∆B = ∆D = 0) асимптотически устойчиво. Отметим,что при моделировании реальных процессов системами вида (1) коэффициенты,как правило, заданы не точно. Поэтому при решении прикладных задач, описы-ваемых системами вида (1), очень важно определять границы для возмущений∆A, ∆B, ∆D, при которых свойство устойчивости решений гарантированно со-храняется.

Используя модифицированные функционалы Ляпунова – Красовского [1, 2],мы получаем достаточные условия на возмущения ∆A, ∆B, ∆D, при которыхнулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Полученные условияявляются аналогами из работы [3]. При этих условиях установлены оценки экс-поненциального убывания решений системы (1) при t→∞.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демиденко Г.В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференци-альных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика,механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 3. С. 20–28.

2. Demidenko G. V. Stability of solutions to linear differential equations of neutral type //J. Anal. Appl. 2009. V. 7, N 3. P. 119–130.

3. Демиденко Г.В., Водопьянов Е. С. Асимптотическая устойчивость решений линей-ных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при возмущениикоэффициентов // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 32–40.

108

Секция “Дифференциальные уравнения”

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ КОШИ – РИМАНА

RATIONAL FIRST INTEGRALS OF POLYNOMIALCAUCHY–RIEMANN SYSTEMS

Волокитин Е.П.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;volok@math.nsc.ru

Рассматривается плоская полиномиальная система обыкновенных дифферен-циальных уравнений

x = P (x, y), y = Q(x, y),

где P (x, y),Q(x, y) — многочлены степени n от двух переменных с действительны-ми коэффициентами. Такая система называется системой Коши – Римана, еслиеё правые части удовлетворяют уравнениям Коши – Римана:

Px = Qy, Py = −Qx.

Тогда P + iQ будет аналитической функцией P(z) комплексной переменной z =x+ iy, и система может быть записана в виде z = P(z). Это уравнение мы такжебудем называть системой Коши – Римана.

Гладкая функция H(x, y) называется первым интегралом системы, если онасохраняет постоянное значение вдоль любой траектории этой системы.

Для полиномиальных систем естественно рассматривать рациональные пер-вые интегралы. Рациональный первый интеграл имеет видH(x, y)=p(x, y)/q(x, y),где p(x, y), q(x, y) — многочлены; при этом H(x, y) сохраняет постоянное значениевдоль любой траектории в R2 \ Σ, Σ = (x, y) ∈ R2 : q(x, y) = 0.

Интерес к системам, имеющим рациональный первый интеграл, обуславлива-ется, в частности, тем обстоятельством, что все орбиты таких систем, образую-щие её фазовый портрет, будут алгебраическими кривыми.

В работе описываются системы Коши – Римана, имеющие рациональный пер-вый интеграл.

Утверждение 1. Система

z = azn, a ∈ C,

имеет рациональный первый интеграл

H(x, y) =Im (azn−1)

(x2 + y2)n−1.

Утверждение 2. Пусть

P(z) = a(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn), a ∈ C, P ′(zk) = iωk, ωk ∈ Q, k = 1, 2, . . . , n.

Тогда система z = P(z) имеет рациональный первый интеграл Дарбу

H(x, y) =

n∏k=1

((x− xk)2 + (y − yk)2

)sk , sk ∈ Z, s1 + s2 + · · ·+ sn = 0.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00074) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

109

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

NONCLASSICAL EQUATIONSOF THE THEORY OF PLATES AND SHELLS

Волчков Ю. М.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

volk@hydro.nsc.ru

При сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной (теории обо-лочек) используются либо гипотезы кинематического и силового характера, ли-бо применяются разложения решений уравнений теории упругости по некоторойполной системе функций. Гипотезы кинематического и силового характера на-кладывают достаточно сильные ограничения на напряженно-деформированноесостояние и поэтому, как правило, с использованием таких гипотез уравнениятеории оболочек строятся для случая, когда на лицевых поверхностях оболочкизаданы напряжения.

При решении ряда обратных задач теории оболочек необходимо решать пря-мые контактные задачи. Однако решение контактных задач на основе классиче-ских уравнений теории оболочек зачастую приводит к эффектам нефизическогохарактера.

В докладе излагается алгоритм построения уравнений теории оболочек в ор-тогональной криволинейной системе координат с использованием аппроксимациинапряжений и смещений отрезками полиномов Лежандра. Порядок полученнойсистемы дифференциальных уравнений не зависит от того, задаются ли на лице-вых поверхностях оболочки напряжения, смещения или их линейная комбинация,что обеспечивает корректную формулировку условий на этих поверхностях какв перемещениях, так и в напряжениях. Это позволяет корректно формулироватьконтактные задачи, а также с использованием условий сопряжения перемещенийи напряжений на контактных поверхностях построить систему дифференциаль-ных уравнений слоистых оболочек.

Краевые задачи для построенной системы дифференциальных уравнений до-пускают вариационную формулировку.

Приведены примеры решения ряда контактных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов Г.В. Теория пластин и оболочек. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1980.2. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А. Сведение трехмерной задачи теории упругости к

двумерной на основе аппроксимации напряжений и смещений полиномами Лежанд-ра // Прикл. механика и техн. физика. 2007. Т. 48, 3. С. 179–191.

3. Волчков Ю. М., Важева Д. В. Решение контактных задач на основе уточненной тео-рии пластин и оболочек // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49, 5.С. 169–176.

110

Секция “Дифференциальные уравнения”

НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧАДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

AN NONHOMOGENEOUS BOUNDARY VALUEPROBLEM FOR A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

IN A COMPLEX DOMAIN

Волянская И. И.1, Илькив В. С.2

Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, Украина;1i.volyanska@mail.ru, 2ilkivv@i.ua

В декартовом произведении D = [0;T ]×S, S ⊂ C\0, T > 0, рассматриваетсязадача для дифференциально-операторного уравнения∑

s0+s1≤n

as0,s1Bs1∂s0u

∂ts0= f (1)

и двухточечных нелокальных условий

µ∂mu

∂tm

∣∣∣t=0− ∂mu

∂tm

∣∣∣t=T

= φm, m = 0, 1, . . . , n− 1, (2)

где as0,s1 ∈ C, µ ∈ C \ 0, an,0 = 1, u = u(t, z) — искомая функция, а φ0 = φ0(z),φ1 = φ1(z), . . . , φn−1 = φn−1(z) и f = f(t, z) — заданные функции. ОператорB — это оператор обобщенного дифференцирования, действующий по формуле

Bψ = z∂ψ

∂z, степени определены стандартно B0ψ = ψ, Bsψ = B(Bs−1ψ) при

s ∈ N \ 1.Под решением задачи (1), (2) понимаем функцию u = u(t, z), которая удовле-

творяет уравнению (1), условиям (2) и принадлежит к пространству Hnq (D).

Используются такие пространства: Hnq (D) — банахово пространство функций

u = u(t, z), производные которых∂ru(t, z)

∂tr=∑k∈Z

u(r)k (t)zk для каждого t ∈ [0, T ],

r = 0, 1, . . . , n, принадлежат пространствам Hq−r(S) соответственно и непрерыв-ны по t:

∥u∥2Hnq (D) =n−1∑r=0

max[0,T ]

∥∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥∥2Hq−r(S)

;

пространство Hq(S) — гильбертово пространство функций ψ = ψ(z) =∑k∈Z

ψkzk,

ψk ∈ C, с нормой ∥ψ∥q =(∑k∈Z

(1 + k2

)q|ψk|2)1/2.В работе доказана теорема единственности решения задачи (1), (2) и детально

исследованы условия его существования в пространстве Hnq (D). Показано, что в

случае одной комплексной переменной задача является корректной по Адамару,в противоположность аналогичной задаче со многими комплексными перемен-ными, которая содержит малые знаменатели.

ЛИТЕРАТУРА1. Пташник Б. И., Илькив В. С., Кмить И. Я., Полищук В. М. Нелокальные крае-

вые задачи для уравнений с частными производными. Киев: Наукова думка, 2002(на украинском).

2. Илькив В. С., Страп Н. И., Волянская И. И. Нелокальная краевая задача для уравне-ния с оператором дифференцирования z∂/∂z в комплексной области // Прикладныепроблемы механики и математики. 2012. 10. С. 15–26 (на украинском).

111

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА СВЕРТКИПО ПРАВОЙ ЧАСТИ НА ПОЛУПРЯМОЙ

RECOVERY OF THE CONVOLUTION OPERATORBY THE RIGHT-HAND SIDE ON THE HALF-LINE

Воронин А. Ф.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;voronin@math.nsc.ru

В докладе будет рассмотрено неоднородное интегральное уравнение Вольтер-ра первого рода в свертках на полубесконечном интервале

t∫0

k(t− s)u(s) ds = f(t), t ∈ (0,∞), (1)

гдеk, f, k′, f ′ ∈ L1(0, b), 0 < b <∞, k(t) = f(t) = 0, t ≥ b,

k(b− 0) = c0 = 0, k(0) = f(0) = 0.(2)

Решается следующая задача (A): из уравнения (1) требуется найти две функ-ции u ∈ L1 (e−at; (0,∞)) и k(t), t ∈ (0, b), по заданным значениям f(t), t ∈ (0, b),при условии (2), где a ≥ 0, L1 (e−at; (0,∞)) — пространство с нормой

∥u∥a =

∞∫0

e−as|u(s)| ds.

В докладе будут указаны необходимые и достаточные условия разрешимо-сти задачи (А), условия единственности и общий вид ее решения. Отметим, чторабота [1] близка к данному докладу по постановке задачи и по методам иссле-дования.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00275).

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронин А. Ф. Восстановление решения уравнения Вольтерра 1-го рода на полупря-мой по неполным данным // Сиб. электрон. мат. изв. 2012. Т. 9. С. 464–471.

112

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЯВНЫХСПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИОННЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ON STABILITY OF IMPLICIT SPLINE-COLLOCATIONDIFFERENCE SCHEMES FOR SOME

LINEAR DIFFERENTIAL-ALGEBRAIC SYSTEMSOF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Гайдомак С. В.

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; gaidamak@icc.ru

В докладе рассматривается линейная дифференциально-алгебраическая си-стема уравнений в частных производных первого порядка

A(x, t)∂tu+B(x, t)∂xu+ C(x, t)u = f, (x, t) ∈ U ⊂ R2, (1)

detA(x, t) = 0, detB(x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ U,с соответствующими начально-краевыми условиями. Предполагается, что выпол-нены условия, при которых пучок матриц-функций A(x, t) + λB(x, t) гладко эк-вивалентен одной из следующих канонических форм:1) diagEd,Ol, Ep+ λ diagJ(x, t), El,Op,2) diagEd,M(x, t), Ep+ λ diagJ(x, t), El, N(x, t),где M(x, t) и N(x, t) — верхние (правые) треугольные матрицы с нулевыми глав-ными диагоналями.

С помощью метода сплайн-коллокации [1] для системы (1) на прямоугольнойравномерной сетке U∆ записывается неявная разностная схема высокого порядкааппроксимации, равного O(hm1) +O(τm2),

Ai+l1,j+l21

τ

m2∑l=1

γl2,lvi+l1,j+l +Bi+l1,j+l21

h

m1∑l=1

γl1,lvi+l,j+l2 + Ci+l1,j+l2vi+l1,j+l2

= fi+l1,j+l2 −1

τAi+l1,j+l2γl2,0vi+l1,j −

1

hBi+l1,j+l2 γl1,0vi,j+l2 . (2)

В каждом узле сетки U∆ схема (2) представляет собой систему линейных алгебра-ических уравнений с неизвестным вектором vi+1,j+1 порядка m1m2,т. е. vi+1,j+1 = (vi+1,j+1, . . . , vi+1,j+m2 , . . . , vi+m1,j+1, . . . , vi+m1,j+m2)⊤, где i =0, . . . , n1−1, j = 0, . . . , n2−1 и l1 = 1, . . . ,m1, l2 = 1, . . . ,m2. В докладе излагаютсярезультаты исследования разностной схемы (2). На основе свойств сплайнов за-писывается разностная схема, эквивалентная схеме (2), в которой хорошо видныспектры матричных коэффициентов. Формулируются утверждения об устойчи-вости схемы (2) в случаях, когда каноническая структура матричного пучка си-стемы (1) имеет вид 1) или 2). Подробное доказательство свойства устойчивостиразностной схемы (2) содержится в [2]. Свойство равномерной ограниченностисеточного решения схемы (2) демонстрируется на тестовых примерах.

ЛИТЕРАТУРА1. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн функций. М.:

Наука, 1980.2. Gaidomak S. V. On the stability of some spline collocation implicit difference scheme //

arXiv: 1303.6359.

113

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ОСОБЕННОСТЯМИ

НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ

SOLVABILITY OF SOME PARTIAL DIFFERENTIALEQUATIONS WITH SINGULARITIES

ON UNBOUNDED SETS

Галахов Е. И.1, Салиева О. А.2

1Российский университет дружбы народов, Москва, Россия;galakhov@rambler.ru

2Московский государственный технологический университет “Станкин”,Москва, Россия; olga.a.salieva@gmail.com

Для многих нелинейных дифференциальных уравнений имеет место ситуа-ция blow-up (разрушение решений за конечное время). Большая часть известныхрезультатов теории blow-up относится к эллиптическим и параболическим опе-раторам второго порядка [1]. Существенно более общий подход, основанный наконцепции нелинейной емкости, был предложен С. И. Похожаевым [2, 3].

Авторами настоящего доклада получены достаточные условия возникнове-ния ситуации blow-up для уравнений и неравенств с частными производными,коэффициенты которых имеют особенности вблизи неограниченных множеств.В частности, имеет место следующий результат.

Теорема. Пусть S ⊂ Rn — замкнутое множество, ε > 0. Обозначим ρ(x) =dist (x, S) и

Sε = x ∈ Rn : ρ(x) < ε.Предположим, что существуют положительные константы c1, c2, a, R0 такие, чтодля всех R > R0 выполнены соотношения

c1εaRn−a ≤ µ(Sε ∩BR(0)) ≤ c2εaRn−a.

Пусть функция u0 : (Rn \ S)→ R+ удовлетворяет оценке

u0(x) ≥ c|x|λρµ(x) (x ∈ Rn \ S),

гдеα > max(µ− λ)(q − 1) + 2k, 0.

Тогда любое положительное решение задачиut + (−∆)ku ≥ buqρ−α(x) ((x, t) ∈ Q = (Rn \ S)× R+),

u(x, 0) = u0(x) (x ∈ Rn \ S),

разрушается за конечное время.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проекты 11-01-00348 а, 11-01-12018 офи-м).

ЛИТЕРАТУРА1. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с

обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука,1987.

2. Похожаев С. И. Существенно нелинейные емкости, порожденные дифференциаль-ными операторами // ДАН. 1997. Т. 357, 5. С. 592–594.

3. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейныхуравнений и неравенств в частных производных // Тр. Мат. ин-та им. В. А. СтекловаРАН. 2001. Т. 234. C. 1–383.

114

Секция “Дифференциальные уравнения”

4-КРИСТАЛЛЫ И КВАЗИКРИСТАЛЛЫ4-CRYSTALLS AND QUASICRYSTALS

Гарипов Р.М.1, Котельникова М. С.2

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия;

1R.M.Garipov@mail.ru, 2kotelnikova@hydro.nsc.ru

4-Кристаллы были определены в работе [1] как кристаллы, поляризуемостькоторых периодически зависит от точки x = (t, x1, x2, x3) 4-мерного простран-ства-времени. Д. Шехтман и др. экспериментально получили квазикристаллы,электронограммы которых содержат правильные 5- или 10-угольники. Для обыч-ных кристаллов это невозможно. В этом докладе будет показано, что рентгено-граммы 4-кристаллов могут иметь поворотную симметрию 5-го или 10-го по-рядка. Следовательно, квазикристаллы являются 4-кристаллами частного вида,обладающими дополнительной геометрической симметрией, которая сама по себевряд ли имеет серьёзное значение. Важным же свойством 4-кристаллов являетсяспособность излучать когерентные электромагнитные волны во внешнем элек-трическом поле.

Пусть Z = EZ4 — решётка периодов 4-кристалла, неособенная вещественнаяматрица E размера 4 × 4 — её базис. Тогда поляризуемость 4-кристалла разла-гается в ряд Фурье вида

χ =∑m∈Z4

exp(2πim · E−1x)χm

(∂

i∂t

), (1)

где точка обозначает скалярное произведение

x · y = x0y0 − x1y1 − x2y2 − x3y3.

Система уравнений Максвелла содержит периодические коэффициенты, и возмо-жен параметрический резонанс. Если падающий на кристалл рентгеновский лучимеет волновой вектор k, то m-гармоника ряда Фурье (1) резонансно отражаетлуч с волновым вектором km = k + 2πm′, если выполнено равенство

k ·m′ + πm′ ·m′ = 0, (2)

здесь m′ = E−1′m, штрих обозначает сопряжённую матрицу относительно били-нейной формы x·y. Равенство (2) обобщает известное в кристаллографии условиеБрэгга на 4-кристаллы. Этот луч оставляет на регистрирующем экране малень-кое пятнышко, которое называется рефлексом. Рентгенограмма — это множестворефлексов. Положение рефлекса на экране задаётся вектором m′ = E−1′m, ноон отсутствует, если соответствующий коэффициент Фурье χm = 0. МножествоQZ центров всех возможных рефлексов однозначно определяется решёткой Z.В докладе показано, что никакое дискретное множество вида QZ не обладаетповоротной симметрией порядка 5. Однако для некоторых решёток Z множествоQZ включает в себя дискретные подмножества, инвариантные относительно по-ворота на угол 2π/5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарипов Р.М. 4-Кристаллы // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, 1.С. 49–60.

115

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧАДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ НЕЛОКАЛЬНЫМИГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR A SEMILINEAR PARABOLIC EQUATION WITHNONLINEAR NONLOCAL BOUNDARY CONDITIONS

Гладков А. Л.

Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь;gladkoval@mail.ru

Рассматривается следующая начально-краевая задачаut = ∆u− c(x, t)up для x ∈ Ω, t > 0,

u(x, t) =

∫Ω

k(x, y, t)ul(y, t) dy для x ∈ ∂Ω, t > 0,

u(x, 0) = u0(x) для x ∈ Ω,

где Ω — ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей ∂Ω, p > 0,l > 0, c(x, t) — неотрицательная локально непрерывная по Гельдеру функция,определенная при x ∈ Ω и t ≥ 0, k(x, y, t) — неотрицательная непрерывная функ-ция, определенная при x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω и t ≥ 0 и u0(x) — нетривиальная неотри-цательная непрерывная функция, определенная при x ∈ Ω и удовлетворяющаяграничному условию при t = 0.

Для этой задачи изучаются вопросы существования и единственности реше-ний при различных соотношениях между p и l. В частности, установлена един-ственность решения с любыми начальными данными при l ≥ 1, с нетривиаль-ными начальными данными при l < 1, p ≥ 1 и с тривиальными начальнымиданными при (p + 1)/2 < l < 1, а также неединственность решения с тривиаль-ными начальными данными при l < min(p+ 1)/2, 1.

Глобальное существование решений рассматриваемой задачи с любыми на-чальными данными доказано при l ≤ 1 или p > 1, 1 < l < (p + 1)/2. Приl > max1, (p+1)/2 показано, что некоторые решения могут существовать лишьконечное время. Найдены условия, при выполнении которых разрушаются всенетривиальные решения. Результаты получены совместно с M. Guedda и изло-жены в работах [1] и [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Gladkov A., Guedda M. Blow-up problem for semilinear heat equation with absorptionand a nonlocal boundary condition // Nonlinear Anal. 2011. V. 74, N 13. P. 4573–4580.

2. Gladkov A., Guedda M. Semilinear heat equation with absorption and a nonlocalboundary condition // Appl. Anal. 2012. V. 91, N 12. P. 2267–2276.

116

Секция “Дифференциальные уравнения”

ДВИЖЕНИЕ БИНАРНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙТРЕЩИНЕ С УПРУГИМИ ПОРИСТЫМИ СТЕНКАМИMOTION OF A BINARY FLUID IN A PLANAR CRACK

WITH ELASTIC POROUS WALLS

Головин С.В.1, Исаев В.И.2, Калинин С.А.2, Кузнецов Д. С.2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; golovin@hydro.nsc.ru

2Технологическая Компания Шлюмберже, Новосибирск, Россия;visayev@slb.com

Исследуется задача о раскрытии плоской трещины постоянной высоты в изо-тропной упругой пористой среде под действием давления бинарной жидкости, за-качиваемой вдоль вертикальной линии в середине трещины. Концентрации ком-понент бинарной жидкости в области впрыска осциллируют с течением времени.Требуется найти распределения концентраций в трещине в процессе закачки, атакже влияние осцилляций на процесс роста трещины.

Предполагается, что постоянная по высоте ширина трещины много меньшееё горизонтального и вертикального размеров (ячейка Хеле – Шоу). Скоростьтечения внутри трещины определяется градиентом давления по формуле Пуа-зейля. Учитываются фильтрационные утечки на основе поршневого механизмапроникновения жидкости в окружающую среду. Раскрытие трещины находитсяпо усреднённому по высоте давлению внутри трещины из интегральной формулыКолосова – Мусхелишвили для плоской задачи теории упругости. Таким обра-зом, для давления жидкости внутри трещины получается сингулярное интегро-дифференциальное уравнение с вырождением на краях трещины, которое послеусреднения по вертикальной координате может быть сведено к модели Христи-ановича – Гиртсма – де Клерка (KGD) для раскрытия трещины гидроразрывагорного пласта [1]. Итерационный процесс замыкался усреднением распределе-ния компонент по высоте трещины и подстановкой в одномерное уравнение длядавления.

В работе обсуждаются особенности математической модели и алгоритма еёчисленной реализации. Для нахождения среднего по высоте трещины давленияиз интегродифференциального уравнения использовался метод конечных эле-ментов, основанный на слабой формулировке задачи. По найденному среднемудавлению восстанавливалось среднее раскрытие трещины. Движение жидкостивнутри трещины моделировалось на основе решения уравнения Пуассона в изме-няемой в процессе решения области. Показано, что основную роль здесь играетразвитие неустойчивости на границе между областями с разной концентрациейкомпонент.

ЛИТЕРАТУРА

1. Желтов Ю. П., Христианович С. А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пла-ста // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1955. 5. С. 73–86.

117

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СМЕРЧЕОБРАЗНЫХ ПОТОКОВДЛЯ МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР

INTERACTION OF THE EDDY FLOWSIN THE MODEL OF ROUGH SPHERES

Гордевский В.Д.1, Гукалов А. А.2

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина,Харьков, Украина; 1gordevskyy2006@yandex.ru, 2gukalex@ukr.net

Уравнение Больцмана играет важную роль в кинетической теории газов. На-ми рассматривается это уравнение в случае модели Бриана – Пиддака. Оно имеетвид [1]:

D(f) = Q(f, f);

D(f) ≡ ∂f

∂t+ V

∂f

∂x;

Q(f, f) ≡ d2

2

∫R3

dV1

∫R3

dω1

∫Σ

dαB(V − V1, α)

×[f(t, V ∗

1 , x, ω∗1)f(t, V ∗, x, ω∗)− f(t, V, x, ω)f(t, V1, x, ω1)

],

где d — диаметр молекулы, V , ω, V ∗, ω∗ — линейные и угловые скорости молекулдо и после столкновения [1], α — единичный вектор из R3, направленный вдольлинии, соединяющей центры сталкивающихся молекул;

B(V − V1, α) = |(V − V1, α)| − (V − V1, α)

— столкновительный член.Для поиска приближенных решений используется невязка [2]:

∆ = sup(t,x)∈R4

∫R3

∫R3

dV dω |D(f)−Q(f, f)| .

Приближенное решение мы находим в виде:

f = φ1M1 + φ2M2,

где M1, M2 — максвеллианы, описывающие смерчеобразное движение газа [3, 4].Получены достаточные условия произвольной малости указанной невязки ∆

при различных предположениях относительно коэффициентных функций и по-ведения гидродинамических параметров распределения [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Чепмен С., Коулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: Изд-воиностр. лит., 1960.

2. Gordevskyy V. D. Approximate billow solutions of the kinetic Вrуаn–Pidduck equation //Math. Methods Appl. Sci. 2000. V. 23, N 13. P. 1121–1137.

3. Гордевский В. Д., Гукалов А. А. Максвелловские распределения в модели шерохо-ватых сфер // Укр. мат. журн. 2011. Т. 63, 5. C. 629–639.

4. Гордевский В. Д., Гукалов А. А. Взаимодействие смерчевых потоков в модели Бриа-на – Пиддака // Вестн. ХНУ. Сер. Математика, прикладная математика и механика.2011. 990, вып. 64. C. 27–41.

118

Секция “Дифференциальные уравнения”

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО ОДНОГО КЛАССАУРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙPHASE SPACE FOR A CLASS OF SOBOLEV TYPEEQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVE

Гордиевских Д. М.

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия;dmitriy_g90@mail.ru

Пусть U и F — банаховы пространства, L ∈ L(U;F) (линейный и непрерывныйоператор), kerL = 0, M : U→ F — линейный и замкнутый оператор с плотнойв U областью определения DM . Рассмотрим уравнение

Dαt Lu(t) = Mu(t), t ≥ 0. (1)

Решением уравнения (1) называется такая вектор-функция u ∈ C(R+;DM ), длякоторой существует производная Капуто [1] Dα

t Lu и для всех t ≥ 0 выполняетсяравенство (1). Решение задачи Коши

u(0) = u0 (2)

для уравнения (1) определяется естественным образом. Множество P ⊂ U назы-вается фазовым пространством уравнения (1), если

(i) для любого решения u уравнения (1) u(t) ∈ P при всех t ≥ 0;(ii) при любом u0 ∈ P существует единственное решение задачи (1), (2).Семейство операторов U(t) ∈ L(U) : t ≥ 0 называется дробной полугруппой

уравнения (1), если при любом u0 ∈ U вектор-функция u(t) = U(t)u0 есть решениеуравнения (1). Дробная полугруппа U(t) ∈ L(U) : t ≥ 0 уравнения (1) назы-вается разрешающей дробной полугруппой уравнения (1), если для любого u0 изфазового пространства P этого уравнения единственное решение задачи (1), (2)имеет вид u(t) = U(t)u0 при t ≥ 0.

Обозначим Eα(z) =∞∑n=0

zn

Γ(αn+ 1), ρL(M) = µ ∈ C : (µL−M)−1 ∈ L(U;F).

Оператор M называется (L, σ)-ограниченным [2], если

∃ a > 0 ∀µ ∈ C (|µ| > a)⇒ (µ ∈ ρL(M)).

Если при этом оператор-функция (µL −M)−1 имеет устранимую особую точкув бесконечности, то оператор M называется (L, 0)-ограниченным, если полюспорядка p ∈ N — (L, p)-ограниченным.

Теорема. Пусть оператор M (L, p)-ограничен, p ∈ 0 ∪ N. Тогда семействооператоров

U(t) =1

2πi

∫|µ|=a+1

(µL−M)−1LEα(µtα)dµ, t ≥ 0,

образует разрешающую дробную полугруппу уравнения (1). Фазовым простран-ством уравнения (1) при этом является образ оператора imU(0).

ЛИТЕРАТУРА1. Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis. Eindhoven

University of Technology, University Press Facilities, 2001.2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups

of operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

119

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ДИССИПАТИВНОСТЬ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯВ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

DISSIPATIVITY OF BOUNDARY CONDITIONIN A MIXED PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION

Гордиенко В. М.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;gordienk@math.nsc.ru

Рассматривается смешанная задача для n-мерного волнового уравнения в чет-верти пространства. Граничное условие задано в виде линейной комбинации пер-вых производных. Предполагается выполненным равномерное условие Лопатин-ского. В этом случае описаны все возможные способы сведения такой задачик смешанной задаче для симметрической гиперболической системы с диссипа-тивным граничным условием. Эти способы сведения параметризованы точкамиверхней полы n+ 1-мерного телесного конуса второго порядка. Охарактеризова-но расположение конуса и его геометрические параметры через коэффициентыграничного условия исходной задачи.

Таким образом, для каждого корректного граничного условия построены ин-тегралы энергии, позволяющие рассматривать это граничное условие как дисси-пативное.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 80).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гордиенко В. М. Диссипативность граничного условия в смешанной задаче для трех-мерного волнового уравнения // Сиб. электрон. мат. изв. 2013. Т. 10. С. 311–323.

120

Секция “Дифференциальные уравнения”

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТАКОЛЕБАТЕЛЬНО-ВОЗБУЖДЕННОГО ГАЗА

STABILITY OF THE PLAIN COUETTE FLOWOF A VIBRATIONALLY EXCITED GAS

Григорьев Ю. Н.1, Ершов И. В.2

1Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия;grigor@ict.nsc.ru

2Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет,Новосибирск, Россия; i_ershov@ngs.ru

В докладе рассматриваются математические проблемы устойчивости плос-кого течения Куэтта колебательно неравновесного двухатомного газа. Течениеописывается системой уравнений двухтемпературной гидродинамики, где релак-сация вращательных мод молекул учитывается коэффициентом объемной вяз-кости, а колебательной моды — релаксационным уравнением Ландау – Теллера.Из уравнений исходной системы выводятся уравнения для возмущений гидро-динамических переменных без ограничения на амплитуды. Для них построеннелинейный функционал полной пульсационной энергии, для которого получе-но уравнение энергетического баланса и сформулирована вариационная зада-ча для критического числа Рейнольдса. Соответствующие уравнения Эйлера –Лагранжа после отделения периодических переменных приводят к полиноми-альной спектральной задаче, где спектральным параметром служит число Рей-нольдса. Рассмотрены качественные свойства спектров. Асимптотические оценкии численные расчеты показывают, что возрастание степени неравновесности ко-лебательной моды и времени колебательной релаксации в диапазонах, реальныхдля двухатомных газов, при фиксированных числах Маха потока и объемнойвязкости приводит к росту значений критических чисел Рейнольдса. Увеличе-ние числа Маха и объемной вязкости также приводит к возрастанию значенийкритических чисел Рейнольдса.

Для сравнения с результатами энергетической теории та же задача рассмат-ривалась в рамках классической линейной теории устойчивости. Для невязко-го предела в явном виде для растущих возмущений получены первое и второенеобходимые условия (теоремы) Рэлея, уточнено достаточное условие в теореме(Howard’s) о полукруге. Двумя независимыми способами — методом “стрельбы” иметодом коллокаций — выполнены расчеты инкрементов нарастания двумерныхчетных и нечетных невязких мод. Отмечено, что в отличие от свободного сдви-гового слоя, в задаче Куэтта с возрастанием числа Маха инкремент нарастаниянаиболее неустойчивой четной моды возрастает, стремясь к некоторому пределу,для которого получена асимптотика в форме обыкновенного дифференциально-го уравнения. Рассчитаны кривые устойчивости вязких возмущений. Найденыкритические числа Рейнольдса, которые на три порядка превосходят значения,рассчитанные по энергетической теории. Тем не менее, результаты расчетов какв невязком, так и в вязком случаях также показывают, что эффект уменьше-ния инкрементов нарастания и повышения критических чисел Рейнольдса приинтенсификации релаксационного процесса выражен совершенно определенно.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00064).

121

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

К УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССАОДНОМЕРНЫХ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГОРАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ ВЛАСОВА – ПУАССОНА

ON STABILITY OF A CLASSOF 1-D DYNAMICAL EQUILIBRIUM STATES

OF THE VLASOV–POISSON PLASMA

Губарев Ю. Г.1,2, Губкин А.А.2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; gubarev@hydro.nsc.ru

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия

Модель безграничной бесстолкновительной электронейтральной плазмы вэлектростатическом приближении (плазма Власова – Пуассона) продолжает оста-ваться одной из базовых математических моделей современной физики плаз-мы [1]. С одной стороны, это обусловлено ее простотой и наглядностью, а сдругой — очевидной полезностью для решения проблемы управляемого термо-ядерного синтеза (УТС).

Несмотря на то, что данная модель интенсивно изучается в течение длитель-ного времени, с точки зрения теории математической устойчивости удалось, побольшому счету, установить лишь достаточные условия теоретической устойчи-вости ряда состояний динамического равновесия [1], причем хотя и относительнокак малых, так и конечных возмущений, но из несамостоятельных подклассов.

В настоящей работе прямым методом Ляпунова [2] доказано, что одномерныесостояния динамического равновесия плазмы Власова – Пуассона, которая содер-жит электроны со стационарной функцией распределения, изотропной по про-странству, но неизотропной по скоростям, и один сорт ионов, чья функция рас-пределения в фазовом пространстве неизменна, абсолютно неустойчивы в теоре-тическом смысле (на полубесконечных временных промежутках) по отношению кодномерным же малым возмущениям. При этом обращено известное достаточноеусловие теоретической линейной устойчивости данных состояний динамическогоравновесия [1] и строго описана область его применимости. Кроме того, полученыдостаточные условия практической (на конечных интервалах времени) линейнойнеустойчивости, сконструирована априорная экспоненциальная оценка снизу иохарактеризованы начальные данные для растущих малых возмущений.

Все перечисленные выше результаты принципиально новые и не имеют ана-логов в мировой научной литературе. По мнению авторов, эти результаты могутпригодиться в процессе создания опытных установок для осуществления УТС.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (соглашение 14.В37.21.0355).

ЛИТЕРАТУРА

1. Holm D. D., Marsden J. E., Ratiu T., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasmaequilibria // Physics Reports. 1985. V. 123, N 1–2. P. 1–116.

2. Губарев Ю. Г. Прямой метод Ляпунова. Устойчивость состояний покоя и стацио-нарных течений жидкостей и газов. Saarbrucken: Palmarium Academic Publishing,2012.

122

Секция “Дифференциальные уравнения”

О НОРМАЛЬНЫХ ФОРМАХ СЕМЕЙСТВ УРАВНЕНИЙСМЕШАННОГО ТИПА НА ПЛОСКОСТИ

ON NORMAL FORMS OF FAMILIESOF MIXED TYPE EQUATIONS ON THE PLANE

Давыдов А. А.

Владимирский государственный университет им. Александра Григорьевичаи Николая Григорьевича Столетовых, Владимир, Россия; davydov@vlsu.ru

Полная классификация ростков главных символов типичных линейных урав-нений второго порядка с частными производными на плоскости была завершенав [1, 2]. Помимо классических случаев уравнения Лапласа, волнового уравненияи уравнения Трикоми – Чибрарио эта классификация содержит ещё три типауравнений, соответствующих локальному поведению характеристик уравнениятипов сложенные седло, узел либо фокус. Последние нормальные формы пригладкой классификации имеют числовые инварианты.

В последние годы удалось продвинуться в аналогичной классификации дляслучая типичных семейств уравнений [3–6]. Однако полная гладкая классифика-ция даже для типичных однопараметрических семейств ещё не получена. О по-следних достижениях в теории нормальных форм главных символов типичныхсемейств линейных уравнений второго порядка с частными производными наплоскости и пойдёт речь в докладе.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00960 а) и Минобрнауки РФ (проект ДРПННиТ 1.1348.2011).

ЛИТЕРАТУРА

1. Давыдов А. А., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификация типичных линейныхдифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плос-кости // ДАН. 1996. Т. 350, 2. С. 151–154.

2. Davydov A. A., Rosales-Gonzales E. Smooth normal forms of folded resonance saddlesand nodes and complete classification of generic linear second order PDE’s on the plane //Eds. L. Magalhaes, C. Rocha and L. Sanchez, Intern. Conf. on Differential Equation,Lisboa 1995. Singapore: World Scientific, 1998. P. 59–79.

3. Bruce J. W., Tari F. Generic 1-parameter families of binary differential equations of Morsetype // Discrete Contin. Dyn. Syst. 1997. V. 3, N 1. P. 79–90.

4. Bruce J. W., Fletcher G. J., Tari F. Bifurcations of implicit differential equations // Proc.R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 2000. V. 130, N 3. P. 485–506.

5. Davydov A. A., Trinh Thi Diep L. Reduction theorem and normal forms of linear secondorder mixed type PDE families in the plane // TWMS J. Pure Appl. Math. 2011. V. 2,N 1. P. 44–53.

6. Bogaevskii I. A. Typical transitions of implicit differential equations // Talk at Intern.Conf. Analysis and Singularities (Steklov Mathematical Institute, Moscow, Russia,December 17–21, 2012), dedicated to the 75th anniversary of Vladimir Igorevich Arnold.Abstracts.

123

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОДНОЗНАЧНАЯ ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬОДНОЙ ПОЛУЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙОБОБЩЕННОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

LOCAL UNIQUE SOLVABILITY OF A SYSTEM OFSEMILINEAR EQUATIONS OF GENERALIZED

HYDRODYNAMICAL TYPE

Давыдов П. Н.1, Фёдоров В. Е.2

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия;1davydov@csu.ru, 2kar@csu.ru

Рассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений

(1− χ∆)vt = ν∆v + (q(t, x, v) · ∇)v +G(t, v, v1, v2)v

+n∑i=1

Gi(t, v, v1, v2)vxi +

n∑i,j=1

Gij(t, v, v1, v2)vxixj − r, (x, t) ∈ Ω× J, (1)

∇ · v = 0, (x, t) ∈ Ω× J, (2)

v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× J, (3)

v(x, t0) = v0(x), x ∈ Ω. (4)

Здесь Ω ⊂ Rn — ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞, n ≤ 4, J —промежуток из R. Системы уравнений вида (1), (2) встречаются, например, вдинамике неньютоновских жидкостей [1]. Параметр χ ∈ R при этом характе-ризует упругие свойства жидкости, а параметр ν ∈ R — её вязкие свойства.Вектор-функции v = (v1, . . . , vn) (вектор скорости жидкости), r = (r1, . . . , rn)(градиент давления) неизвестны. Использованы обозначения v

1= (vx1 , . . . , vxn),

v2

= (vx1x1 , vx1x2 , . . . , vxnxn), через Lm2 далее обозначена m-я декартова степень

пространства L2 = (L2(Ω))n. Заданы вектор-функция q = (q1, . . . , qn) и функци-оналыG,Gi,Gij , i, j = 1, . . . , n, зависящие от t, v, v

1, v2. Например,G,Gi,Gij могут

быть функциями от интегралов по области Ω или ее подобластям от функции vи ее частных производных по пространственным переменным первого и второгопорядков, функцией от значений v в фиксированных точках области и т. п.

Введем обозначения H1 = (W 12 (Ω))n, H2 = (W 2

2 (Ω))n. Замыкание линеалаL = v ∈ (C∞

0 (Ω))n : ∇·v = 0 по норме L2 обозначим через Hσ, а по норме H1 —через H1

σ. Будем использовать также обозначение H2σ = H1

σ∩H2. Обозначим черезHπ ортогональное дополнение к Hσ в L2, через Σ : L2 → Hσ, Π = I−Σ — соответ-ствующие этим подпространствам ортопроекторы. В пространстве L2 рассмот-рим оператор A = Σ∆ с областью определения H2

σ. Используя методы теориивырожденных полугрупп операторов [2], получим следующее утверждение.

Теорема. Пусть χ = 0, χ−1 ∈ σ(A), ν ∈ R, n ≤ 4, q ∈ C1(J ×Ω×Rn;Rn), G ∈C1(J×Hσ×Ln

2+n3

2 ;R), Gi ∈ C1(J×Hσ×Ln2+n3

2 ;R), Gij ∈ C1(J×Hσ×Ln2+n3

2 ;R),i, j = 1, . . . , n, v0 ∈ Hσ, t0 ∈ J . Тогда при некотором t1 ∈ J , t1 > t0, существуетединственное решение v ∈ C1([t0, t1];H2

σ), r ∈ C1([t0, t1];Hπ) задачи (1)–(4).

ЛИТЕРАТУРА1. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей

Кельвина – Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та им. В. А. СтекловаАН СССР. 1988. Т. 179. С. 126–164.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroupsof operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

124

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ В ОБРАТНОЙЗАДАЧЕ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО

РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯON STABILITY OF SOLUTIONS IN THE INVERSE

PROBLEM FOR COEFFICIENTS OF A LINEARDIFFERENCE EQUATION

Дастай-оол А. А.1, Ломов А.А.1,2

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;

lomov@math.nsc.ru

Рассматривается задача аппроксимации сеточной функции x[t] ∈ R, 1 6 t 6 N ,решением z[t] разностного уравнения z[t+p]+a1z[t+p−1]+ . . .+apz[t] = 0 задан-ного порядка p > 1 с неопределенными коэффициентами ai и неопределенныминачальными условиями z[1], . . . , z[p]. Известно, что она равносильна задаче мат-ричной аппроксимации [1]:

Задача 1. Даны матрица A ∈ Rm×n, целое число p, 1 6 p < rankA, и множе-ство ганкелевых матриц H .

= B ∈ Rm×n : Bij = Bi+j. Найти матрицу B ∈ Hранга p такую, что ∥A− B∥ = min

B∈H, rankB=p∥A−B∥.

Для бесконечных ганкелевых матриц A, B конечных рангов n и p < n су-ществование и единственность решения B утверждается теоремой Адамяна –Арова – Крейна:

Теорема 1 [2]. Пусть A,B ∈ H — бесконечные матрицы, rankA = n > p,rankB = p. Тогда аппроксимация B существует и единственна.

В [1] замечено, что для матриц конечной размерности получение результата,аналогичного теореме 1, представляется невозможным.

В сообщении мы даем локальный вариант теоремы 1 для матриц конечнойразмерности:

Теорема 2. Пусть A, B — конечные матрицы из условия задачи 1. Тогдааппроксимация B ∈ H существует и локально единственна.

Построены контрпримеры, показывающие невозможность глобальной един-ственности аппроксимации без дополнительных ограничений на матрицу A.

Доказательство теоремы 2 основано на утверждениях статей [3, 4].Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 13-01-00329) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

ЛИТЕРАТУРА

1. Chu M. T., Funderlic R. E., Plemmons R. J. Structured low rank approximations //Linear Algebra Appl. 2003. V. 366. P. 157–172.

2. Адамян В. М., Аров Д. З., Крейн М. Г. Аналитические свойства пар Шмидта ганке-лева оператора и обобщенная задача Шура – Такаги // Мат. сб. 1971. Т. 86, 1.С. 34–75.

3. Ломов А. А. О локальной устойчивости в задаче идентификации коэффициентовлинейного разностного уравнения // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, ин-форматика. 2010. Т. 10, вып. 4. С. 81–103.

4. Ломов А. А. Вариационные методы идентификации линейных динамических си-стем и проблема локальных экстремумов // Управление большими системами. 2012.Вып. 39. С. 53–94. http://ubs.mtas.ru/upload/library/UBS3903.pdf

125

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯУПРУГИХ ВОЛН, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЕ ПОШАГОВОЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАГЕРРА ПО ВРЕМЕНИ

MODELING THE ELASTIC WAVE PROPAGATIONBY USING THE STEP-BY-STEP

LAGUERRE TRANSFORM IN TIME

Демидов Г.В., Михайленко Б. Г., Мартынов В.Н.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; vnm@nmsf.sscc.ru

В предыдущих публикациях авторов [1, 2] был предложен метод решения ди-намических задач, основанный на преобразовании Лагерра по времени. При реа-лизации данного подхода возникает необходимость выбора четырех параметров:количества проекций преобразования Лагерра, масштабного множителя, необ-ходимого для аппроксимации решения функциями Лагерра, экспоненциальногокоэффициента весовой функции, использующейся для нахождения решения наконечном временном интервале, и длительности этого интервала. Был предло-жен способ выбора данных параметров, обеспечивающий устойчивость расчета.На примере решения одномерных задач с использованием данного подхода былопоказано, что использование такого подхода позволяет получить решение с высо-кой точностью на больших интервалах по времени. В данной работе мы показы-ваем, что предложенный способ выбора параметров, необходимых для расчета,применим при решении динамических задач большей размерности.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-05-00937), Президиума РАН (проект 15.9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидов Г.В., Мартынов В. Н. Пошаговый метод решения эволюционных задач сиспользованием функций Лагерра // Сиб. журн. вычисл. математики. 2010. Т. 13, 4. C. 413–422.

2. Демидов Г. В., Мартынов В. Н., Михайленко Б. Г. Метод решения эволюционныхзадач, использующий пошаговое преобразование Лагерра // Сиб. журн. вычисл.математики. 2012. Т. 15, 2. C. 191–196.

3. Паасонен В. И. Компактные разностные схемы. Ч. 1. Новосибирск: Новосибирскийгосударственный университет, 2006.

126

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИЗУЧЕНИЯКАЧЕСТВЕННЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

ON A METHOD FOR STUDYING QUALITATIVEPROPERTIES OF SOLUTIONS

OF THE FIRST INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR SOBOLEV TYPE EQUATIONS

Денисова Т. Е.

Московский городской психолого-педагогический университет, Москва, Россия;tdenissova@mail.ru, denisovate@mgppu.ru

Проблеме изучения качественных свойств (осцилляция, почти периодичность,монотонный рост, убывание к нулю (с определенной скоростью) с ростом вре-мени) решений уравнений, не разрешенных относительно старшей производной,посвящены многочисленные исследования (см., например, библиографию в [1]).

Предлагаемый доклад посвящен развитию методов и результатов, изложен-ных в [2] и касающихся изучения свойств решения первой начально-краевой за-дачи для уравнений соболевского типа с переменными коэффициентами. Здесьобобщаются результаты [2] на случай коэффициентов, переменных не только попространственным переменным, но и по времени.

Рассматриваемые задачи объединены методикой исследования: с помощьюнекоторого функционального пространства определяется пространство функцийодной переменной, содержащее функции, обладающие некоторым качественнымсвойством (осцилляция, монотонный рост, стремление к нулю с ростом времени).Затем на основе соответствующих пространств Соболева строятся пространствафункций многих переменных, после этого доказываются соответствующие тео-ремы о следах для данных типов пространств. Такой подход позволяет изучитьповедение решения в каждой точке пространственной области.

Известно, что решение первой начально-краевой задачи для уравнений, неразрешенных относительно старшей производной (по времени), не зависит непре-рывным образом от границы пространственной области. Рассматриваемый методдает возможность исследовать свойства решения в пространственной области,определяемой лишь требованиями соответствующих теорем вложения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относи-тельно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. (англ. перевод:Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvablewith respect to the highest-order derivative. New York; Basel: Marcel Dekker, Inc., 2003.)

2. Денисова Т.Е. Асимптотическое поведение решения первой начально-краевой за-дачи для уравнений соболевского типа с точки зрения осцилляции // Дифференц.уравнения. 2012. Т. 48, 2. C. 196–206.

127

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПРОСТЕЙШИЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ

THE SIMPLEST EXACT SOLUTIONSOF THE SHALLOW-WATER EQUATIONS

Доброхотов С. Ю.1, Медведев С. Б.2, Назаренко С. В.3,Чиркунов Ю.А.4, Миненков Д.С.5

1Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН,Московский физико-технический институт, Москва, Россия; dobr@ipmnet.ru

2Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия,Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

Москва, Россия; medvedev@ict.nsc.ru3University of Warwick, Coventry, United Kingdom;

s.v.nazarenko@warwick.ac.uk4Новосибирский государственный технический университет,

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия;chr101@mail.ru

5Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия;minenkov.ds@gmail.com

Установлена эквивалентность систем уравнений одномерных моделей мел-кой воды, описывающих распространение поверхностных волн над ровным и на-клонным дном. Для каждой из этих систем получены формулы общего вида ихневырожденных решений, которые выражаются через решения уравнения Дар-бу. Найденные инвариантные решения уравнения Дарбу являются простейшимипредставителями существенно различных (не связанных обратимыми точечны-ми преобразованиями) точных решений этого уравнения. В силу полученных ин-финитезимальных формул производства (“размножения”) решений полученныерешения порождают счетное множество точных решений, а линейная оболочкаэтого множества образует бесконечномерное векторное пространство точных ре-шений уравнения Дарбу. Векторное пространство найденных точных решенийуравнения Дарбу в силу формул общего вида невырожденных решений системуравнений мелкой воды, описывающих распространение поверхностных волн надровным и наклонным дном, порождает бесконечное множество точных решенийэтих систем. Полученные формулы производства (“размножения”) решений этихсистем порождают их дополнительные невырожденные точные решения. Крометого, найдены все вырожденные решения этих систем, а также с помощью семей-ства точных решений специального вида для линейной системы волн на воде иполученных преобразований рассмотрено отражение волны от берега для случаянелинейных систем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проекты 11-01-12075 офи-м, 12-01-00648, 12-01-31196), Сове-та по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущихнаучных школ (проект НШ 6706.2012.1), гранта Правительства РФ для государствен-ной поддержки научных исследований, проводимых под руководством приглашенныхисследователей (соглашение 8504).

128

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГИДРОФИЗИЧЕСКОГОМОНИТОРИНГА НА ОСНОВЕ

АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛASYMPTOTIC FORMULAS FOR SOLVING PROBLEMS

OF HYDROPHYSICAL MONITORING

Доброхотов С. Ю.1, Симонов К.В.2, Курако М. А.3, Ложников Д. А.1

1Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия;lozhnikov_d@list.ru

2Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия;simonovkv@icm.krasn.ru

3Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;mkurako@gmail.com

В работах С. Ю. Доброхотова и Д. А. Ложникова предложены новые эффек-тивные асимптотические формулы решения линеаризованной системы уравнениймелкой воды над неровным дном. Решения локализованы в окрестности фронтов.

∂η

∂t+ div(C2u) = 0,

∂u

∂t+∇η = 0, C(x) =

√gD(x), x = (x1, x2) ∈ R2, (1)

η|t=0 = η0(x

µ

), ηt|t=0 = 0, (2)

где η(x, t) — возвышение свободной поверхности жидкости, D(x) — глубина бас-сейна, g — ускорение силы тяжести, η0(y) — заданная функция, убывающая набесконечности быстрее, чем |y|−δ, δ > 1.

При достаточно малых временах фронт представляется гладкой кривой, близ-кой к окружности, но с течением времени на фронте могут появляться точкиповорота и точки самопересечения. На основе полученных формул для асимпто-тических решений задачи Коши (1), (2) с локализованными начальными данны-ми волнового уравнения с переменной скоростью для линеаризованной системыуравнений мелкой воды разработаны элементы вычислительной методики восста-новления формы очага цунами по мареограммам на ближайших DART станциях(NOAA).

В настоящее время на основе представленной выше модели и соответствую-щего алгоритмического обеспечения разрабатывается вычислительная техноло-гия решения прямых и обратных задач гидрофизического мониторинга (в томчисле и на гибридных вычислительных системах) на примере распространениядлинных гравитационных волн типа цунами от источников сейсмической при-роды до ближайших станций DART в акватории Тихого океана. Разрабатывае-мая вычислительная технология включает в себя несколько этапов: обнаружениесейсмической активности в изучаемых акваториях, вычисление положения бли-жайших к сейсмоактивной области DART станций, вычисление расстояния отнайденных на предыдущем шаге станций до сейсмоактивной области, обработкамареограмм с найденных DART станций, решение обратной задачи восстанов-ления формы очага. Размерность расчетного поля для акватории Тихого океанасоставляет 2581×2879 узлов. Данные по очаговым областям сильных цунамиген-ных землетрясений представлены на сайте Американской геологической службы.Характеристики и данные станций системы глобального гидрофизического мо-ниторинга DART приведены на сайте Национального управления океаническихи атмосферных исследований США.

129

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГОУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ON THE DIRICHLET PROBLEMFOR A SECOND ORDER ELLIPTIC EQUATION

Думанян В. Ж.

Ереванский государственный университет, Ереван, Армения; duman@ysu.am

В докладе представлены результаты исследования задачи Дирихле в ограни-ченной области Q ⊂ Rn, n ≥ 2, с гладкой границей ∂Q для общего линейногоэллиптического уравнения второго порядка

−div(A(x)∇u) + (b(x),∇u)− div(c(x)u) + d(x)u = f(x)− divF (x), x ∈ Q, (1)

u|∂Q = u0, (2)

где u0 ∈ L2(∂Q), f ∈ L2,loc(Q), F = (f1, . . . , fn) ∈ (L2,loc(Q))n. Предполагает-ся, что симметрическая матрица A(x) = (aij(x)), элементы которой являютсявещественнозначными измеримыми функциями, удовлетворяет условию

γ|ξ|2 ≤n∑

i,j=1

aij(x)ξiξj = (ξ, A(x)ξ) ≤ γ−1|ξ|2

для всех ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn и почти всех x ∈ Q, где γ — положительная посто-янная, а коэффициенты b(x) = (b1(x), . . . , bn(x)), c(x) = (c1(x), . . . , cn(x)) и d(x)являются измеримыми и ограниченными в каждой строго внутренней подобла-сти области Q функциями.

Получены точные (по порядку роста) ограничения на рост вблизи грани-цы рассматриваемой ограниченной области Q младших коэффициентов уравне-ния (1), при которых решение из пространства W 1

2,loc(Q) (если оно существует)обладает свойством (n− 1)-мерной непрерывности (т. е. принадлежит простран-ству Гущина Cn−1(Q)), характеризующим поведение решения вблизи границы иописывающим, в каком смысле оно принимает свое граничное значение.

В терминах скалярного произведения в специальном гильбертовом простран-стве получены необходимые и достаточные условия существования (n−1)-мернонепрерывного решения рассматриваемой задачи Дирихле (1), (2) и установлено,что условия разрешимости исследуемой задачи имеют вид, аналогичный усло-виям разрешимости в обычной обобщенной постановке (в W 1

2 (Q)). В частности,доказано, что если однородная задача (с равными нулю граничной функцией иправой частью) не имеет ненулевых решений из пространства W 1

2 (Q), то для лю-бой граничной функции u0 ∈ L2(∂Q) и любой правой части из соответствующегофункционального пространства существует решение неоднородной задачи. Эторешение принадлежит пространству Гущина Cn−1(Q) (n−1)-мерно непрерывныхфункций и для него справедлива соответствующая оценка.

При естественных дополнительных ограничениях на коэффициенты при млад-ших членах уравнения (1), для правых частей из W−1

2 (Q) полученные необходи-мые и достаточные условия разрешимости задачи (1), (2) в W 1

2,loc(Q)-постановкезаписываются в более простом виде — в терминах исходной задачи. При этом до-казано, что если граничная функция u0 допускает принадлежащее W 1

2 (Q) про-должение в область Q, то решение из Cn−1(Q) является решением из W 1

2 (Q),и в этом случае условия разрешимости задачи (1), (2) в W 1

2,loc(Q)-постановкеявляются также условиями разрешимости той же задачи в W 1

2 (Q)-постановке.

130

Секция “Дифференциальные уравнения”

О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

ON FREDHOLMNESS OF A BOUNDARY VALUEPROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION

Егоров И. E.1, Захарова Т.И.2

1Научно-исследовательский институт математикиСеверо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова,

Якутск, Россия; ivanegorov51@mail.ru2Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,

Якутск, Россия

Наиболее полная библиография, посвященная обобщенной и фредгольмовойразрешимости различных краевых задач для уравнений смешанного типа, име-ется в [1–3].

Пусть Ω — ограниченная область в Rn с кусочно-гладкой границей S,ST = S × (0, T ), Q = Ω× (0, T ), T > 0.

В цилиндрической области Q рассмотрим уравнение смешанного типа

Lu = k(x, t)utt −n∑

i,j=1

∂

∂xj(aij(x)uxi) + a(x, t)ut + c(x)u = f(x, t) (1)

с достаточно гладкими коэффициентами в Q. Предположим, что выполненыусловия

aij = aji,

n∑i,j=1

aijξiξj > ν|ξ|2, ∀ ξ ∈ Rn, ν > 0.

Введем множестваP+0 = (x, 0) : x ∈ Ω, k(x, 0) > 0,

P−T = (x, T ) : x ∈ Ω, k(x, T ) < 0.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q такое, что

u|ST = 0, u|t=0 = 0, ut|P+0

= 0, u|P

−T

= 0. (2)

Отметим, что краевая задача (1), (2) впервые поставлена и исследованаА.Н. Тереховым [4]. При определенных условиях на коэффициенты уравнения (1)доказывается существование и единственность обобщенных решений краевой за-дачи (1), (2). С помощью теоремы компактности вложения некоторого весовогопространства Соболева в негативное пространство устанавливается фредгольмо-вость краевой задачи (1), (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Е. И. Уравнение смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-воМГУ, 1988.

2. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к га-зодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

3. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнениясмешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55–64.

4. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение мето-дов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительнойматематики. Новосибирск, 1979. С. 128–136.

131

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ СТАЦИОНАРНОГОМЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ А. Н. ТЕРЕХОВА

ERROR ESTIMATION OF A STATIONARY GALERKINMETHOD FOR A.N. TEREKHOV’S PROBLEM

Егоров И. E.1, Тихонова И. М.2

Научно-исследовательский институт математикиСеверо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; 1ivanegorov51@mail.ru, 2irinamikh3007@mail.ru

В данной работе рассматривается краевая задача для уравнения смешанноготипа второго порядка в постановке А.Н. Терехова. В ранее вышедшей работе [1]с помощью стационарного метода Галеркина доказана однозначная регулярнаяразрешимость краевой задачи при определенных условиях на коэффициенты иправую часть уравнения. При этом установлены априорные оценки для урав-нения смешанного типа, которые справедливы для приближенных решений. Наоснове работы [1] получена оценка скорости сходимости стационарного методаГалеркина в норме пространства Соболева W 1

2 через собственные значения опе-ратора Лапласа по пространственным переменным и по времени. При выводеоценки скорости сходимости метода Галеркина существенно используется разло-жение решения исходной краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциямоператора Лапласа и известное равенство Парсеваля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров И. Е., Тихонова И. М. О стационарном методе Галеркина для уравнения сме-шанного типа второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 41–47.

132

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙИ ВАРИАЦИОННОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИ ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИON EQUIVALENCE OF ANALYTICAL AND

VARIATIONAL DISCRETIZATION OF DIFFERENTIALEQUATIONS UNDER THEIR IDENTIFICATION

Егоршин А.О.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;egorshin@math.nsc.ru

Задачи дискретизации дифференциальных уравнений (ДУ) возникают, в част-ности, при оценке их коэффициентов (идентификации) по реализациям y их ре-шений y(t) на заданной h-сетке Ih в интервале наблюдения IT = [0, T ] [1]. Иден-тификация ДУ осуществляется с помощью оценки коэффициентов α соответ-ствующего разностного уравнения (РУ) [2]. В реальных задачах идентификацииh-реализации y искажены ошибками наблюдений. Наиболее адекватны такимпостановкам — вариационные задачи идентификации [3].

Для аппроксимации функции y(t) на h-сетке Ih мы используем функционалметода наименьших квадратов в E: Jd = ∥y − y∥2E =

∑L0 |yi − yi|2, а в качестве

условий его минимизации — линейное, однородное, с постоянными, возможнонеизвестными коэффициентами РУ:

∑ni=0 yk+iα

∗i = 0, αn = 0, k = 0, L− n. Пусть

Φ = exp(Ah) — (n×n)-матрица системы xk = Φxk−1, yk = b∗xk. Эта система естьh-дискретный аналог дифференциальной системы x(t) = Ax(t), y(t) = b∗x(t),t ∈ IT на h-сетке в IT . По теореме Гамильтона – Кэли

∑ni=0 Φiα∗

i = 0.Формула аналитической дискретизации для вектора коэффициентов α∗ =

|α∗, 1| может быть записана в виде α∗ = −b∗F−1, где F =b∗Φi−n

n−1

0— матри-

ца наблюдаемости решений ДУ на h-сетке Ih. Вариационный способ дискретиза-ции заключается в решении сформулированной выше вариационной задачи дляточной (без ошибок) реализации y решения ДУ на h-сетке. Тогда в глобальномминимуме Jd = 0, а значение α в нем есть, при выясняемых в докладе услови-ях, единственное решение задачи дискретизации. В отличие от аналитической,вариационная дискретизация не требует знания коэффициентов ДУ.

Свойства корневых подпространств, инвариантных многочленов РУ, а такжеособенности ядра оператора РУ приводят, в частности, к следующим фактам.

Теорема. Аналитическая дискретизация ДУ однозначна тогда и только то-гда, когда однозначна вариационная дискретизация на некоторой его h-реали-зации y. Тогда результаты этих двух способов дискретизации совпадают.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-ментальных исследований (проект 13-01-00329) и Сибирского отделения РАН (меж-дисциплинарный проект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Егоршин А. О. О дискретизации линейных дифференциальных уравнений // Вестн.

ЮУрГУ. 40 (299). Сер. Матем. модел. програм. 2012. Вып. 14. С. 59–72.2. Егоршин А. О. Об одной вариационной задаче кусочно-линейной динамической ап-

проксимации // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерныенауки. 2012. Вып. 4. С. 30–45.

3. Егоршин А. О. Идентификация стационарных моделей в унитарном пространстве //Автоматика и телемеханика. 2004. Т. 65, 12. С. 29–48.

133

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯТУРБУЛЕНТНОСТИ В СИСТЕМЕ ПУЧОК-ПЛАЗМАNUMERICAL SIMULATION OF THE TURBULENCE

GROWTH IN THE BEAM-PLASMA SYSTEM

Ефимова А. А.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; efimova@ssd.sscc.ru

Одной из важнейших задач физики плазмы является нагрев высокотемпера-турной плазмы в термоядерных установках. В настоящей работе на основе чис-ленного моделирования исследуются процессы установления и нелинейной эво-люции квазистационарной плазменной турбулентности, возбуждаемой мощнымэлектронным пучком в установках УТС. Наибольший интерес представляют па-раметры пучка и плазмы, характерные для экспериментов по нагреву плазмы воткрытой ловушке ГОЛ-3 (ИЯФ СО РАН). Установка ГОЛ-3 состоит из много-пробочной термоядерной ловушки открытого типа с плотной плазмой, котораяпо своим параметрам является субтермоядерной, и генератора сильноточного ре-лятивистского электронного пучка (РЭП), используемого для нагрева плазмы.Одним из важных достижений последних лет в физике открытых ловушек сталообнаружение подавления продольной электронной теплопроводности на торцыустановки в процессе инжекции РЭП. На данном этапе работы создан алгоритми программа, позволяющая моделировать эффекты теплопроводности в плазме.Используется приближение бесстолкновительной плазмы, которая описываетсясистемой уравнений Власова – Максвелла. Для моделирования задачи применя-ется метод частиц-в-ячейках (PIC-метод).

Рассматривается следующая задача: в области, имеющей форму прямоуголь-ника, находится полностью ионизованная плазма, состоящая из протонов и элек-тронов. Дополнительно в область вводится пучок заряженных частиц — наборэлектронов, движущихся в одном направлении с достаточно большой относитель-но остальных частиц скоростью; предполагается, что пучок уже полностью вошёлв моделируемую область. Все частицы (как плазмы, так и пучка) распределеныпо области равномерно. Условия на границах области — периодические.

Была исследована эволюция плотности заряда электронного пучка с развити-ем плазменной турбулентности. В начальный момент времени заряд электроновпучка распределен по области равномерно. При взаимодействии с плазмой в ре-зультате резонансных колебаний образуются участки модуляции плотности. Какпредполагается, именно за счет этого механизма происходит подавление продоль-ной электронной теплопроводности плазмы.

134

Секция “Дифференциальные уравнения”

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИНЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

STUDYING SOLVABILITYOF NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FOR A FOURTH ORDER EQUATION

Ефимова П. Н.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; geya-efim2005@rambler.ru

Пусть Ωx — интервал (0, 1) оси Ox, Ωy — интервал (0, 1) оси Oy и Q — пря-моугольный параллелепипед Ωx × Ωy × (0, T ), 0 < T < +∞.

В работе в области Q исследуется разрешимость нелокальных краевых задачдля линейных уравнений соболевского типа, моделирующих уравнение Кадом-цева – Петвиашвили:

uxt + uxxxx − uyy + c(x, y, t)u = f(x, y, t), (x, y, t) ∈ Q, (1)

с однородными краевыми условиями

u(0, y, t) = u(1, y, t) = 0, ux(0, y, t) = ux(1, y, t) = 0, (2)

u(x, 0, t) = u(x, 1, t) = 0, (3)

а также с нелокальными начальными условиями

u(x, y, 0) = α(x, y)u(x, y, T ), (4)

где c(x, y, t), f(x, y, t), α(x, y) — заданные функции, определенные при x ∈ Ωx,y ∈ Ωy, t ∈ [0, T ].

Методом априорных оценок доказывается существование решения краевойзадачи (1)–(4) в зависимости от заданных функций.

135

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

CHARACTERISTIC LIE RINGSOF HYPERBOLIC SYSTEMS OF EQUATIONS

Жибер А.В.1, Костригина О. С.2

1Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; zhiber@mail.ru

2Уфимский государственный авиационный технический университет,Уфа, Россия; kostrigina@mail.ru

В работе рассматриваются кольца Ли характеристических векторных полейдля уравнений в частных производных (см. [1–3]). Понятие характеристическоговекторного поля для гиперболических уравнений впервые ввел в рассмотрениеЭ. Гурса в известной работе [4]. Важной вехой в формировании этого подхо-да послужила работа [5]. В докладе обсуждаются возможные приложения этогопонятия в задачах классификации интегрируемых уравнений гиперболическоготипа с большим чем три числом характеристических направлений, а также куравнениям эволюционного типа и к обыкновенным дифференциальным урав-нениям. В качестве примеров рассмотрены известные в математической физикемодели, такие как система уравнений генерации второй гармоники, уравнениеКортевега – де Фриза, уравнение Бюргерса, обыкновенные дифференциальныеуравнения Пенлеве. Например, характеристические кольца Ли уравнения Пен-леве I

uyy = 6u2 + y

определяются через гиперболические системы

pxy = qx, qxy = 6p2x + y

либоuxy = vx, vxy = 12uux.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 11-01-97005 р-поволжье-а, 13-01-00070 а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Жибер А. В., Муртазина Р. Д., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Характеристическиекольца Ли и интегрируемые модели математической физики // Уфимск. мат. журн.2012. Т. 4, 3. С. 17–85.

2. Жибер А. В., Муртазина Р. Д., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Характеристическиекольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. Москва; Ижевск: Институт ком-пьютерных исследований, 2012.

3. Гюрсер М., Жибер А. В., Хабибуллин И. Т. Характеристические кольца Ли диффе-ренциальных уравнений // Уфимск. мат. журн. 2012. Т. 4, 1. С. 53–62.

4. Goursat E. Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second order //Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. Serie 2. 1899. T. 1. N 1, P. 31–78.

5. Шабат А. Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана.Уфа, 1981. 20 с. (Препринт / БФ АН СССР).

136

Секция “Дифференциальные уравнения”

РАВНОМЕРНАЯ ПРИТЯГИВАЕМОСТЬПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ

НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМUNIFORM ATTRACTION OF A PROGRAM MANIFOLD

OF IMPLICIT DIFFERENTIAL SYSTEMS

Жуматов С. С.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; sailau.math@mail.ru

Целью данной работы является установление некоторых качественных свойствпрограммного многообразия неявных дифференциальных систем с помощью пря-мого метода Ляпунова.

Рассмотрим неявную дифференциальную систему [1]:

f(t, x(t), x(t)) = 0, (1)

где x ∈ Rn, f ∈ Rk, t ∈ I = (α, β).Под решением системы (1) будем понимать непрерывную функцию времени

t, существующую на временном интервале T ⊆ I, которая всюду в T\S удовле-творяет уравнению (1), где S — не более чем счётное множество. Программноемногообразие Ω(t) задается следующим образом: Ω(t) ≡ ω(t, x) = 0, ω ∈ Rs(s ≤ n). Обозначим через Φ множество, образованное при t ∈ [t0, β) значениямиx(t, t0, x0) всех решений x(t), существующих на [t0, β), t0 ∈ T , где T — связ-ное множество всевозможных начальных моментов, а через Ψ — многозначнуюфункцию, которая обладает свойством Φ(t0, t) ⊂ Ψ(t0, t), t0 ≤ t. Пусть xu(t) —известное решение системы (1), ω(t, xu(t)) = 0.

Введём некоторые векторные функции q, p, удовлетворяющие следующимусловиям:

Q(t, ε) = x ∈ Rn : |q(t, ω)− q(t, 0)| ≤ ε, q(t, ω) ∈ Rq,

P (t, ε) = x ∈ Rn : |p(t, ω)− p(t, 0)| ≤ ε, p(t, ω) ∈ Rp.(2)

Определение. Программное многообразие неявной дифференциальной си-стемы (1) называется равномерно притягивающим относительно заданных функ-ций q, p, если для некоторого η > 0 и для любого ε > 0 найдётся τ(ε) > 0 такое,что t0 + τ ∈ T , и имеет место соотношение x(t, t0, x0) ∈ Aε для всех t ≥ t0 + τ иt0 ∈ I. Здесь Aε = P (t, ε) ∩ Ψ(t).

Теорема. Пусть заданы функции q, p, удовлетворяющие условию (2), и суще-ствуют непрерывная функция V , которая является локально липшицевой по x,и решение xu(t) ∈ D(t0, t,Φ) такие, что:

1) θ(∥a(t, ω)∥) ≤ V (t, q(t, ω)) ≤ ξ(∥a(t, ω)∥);2) D+V (t, q(t, ω)) ≤ −ζ(∥a(t, ω)∥).

Тогда ∀ t0 ∈ I программное многообразие неявной дифференциальной систе-мы (1) — равномерно притягивающее относительно функций q, p.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bajic V. B. Non-linear function and stability of motions implicit systems // Int. J.Control. 1990. V. 52, N 5. P. 1167–1187.

137

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ

STOCHASTIC SOBOLEV TYPE EQUATIONSON A GRAPH

Загребина С.А.1, Солдатова Е. А.2

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;1zagrebina_sophiya@mail.ru, 2soldatova.katerina@gmail.com

Пусть G = G(V;E) — конечный связный ориентированный граф, где V =Vi — множество вершин, а E = Ej — множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину lj > 0 и ширину dj > 0. На графе G нас будутинтересовать задачи с краевыми условиями

uj(0, t) = uk(0, t) = um(lm, t) = un(ln, t),

Ej , Ek ∈ Eα(Vi), Em, En ∈ Eω(Vi);(1)

∑Ej∈Eα(Vi)

djujx(0, t) −∑

Ek∈Eω(Vi)

dkukx(lk, t) = 0; (2)

для уравнений Осколкова, возмущенных белым шумом,

λujt − ujxxt = αujxx + f, (3)

моделирующих в линейном приближении транспортировку вязкоупругой несжи-маемой жидкости (высокопарафиновых сортов нефти) по трубопроводу с учетомслучайного внешнего воздействия. Здесь через Eα(ω)(Vi) обозначено множестводуг с началом (концом) в вершине Vi. Условие (1) требует, чтобы все решениябыли непрерывными на вершинах графа, а (2) означает, что поток через каж-дую вершину должен равняться нулю — аналог условия Кирхгоффа. Необходи-мо отметить, что задача (1)–(3) впервые рассматривается, как стохастическоеуравнение соболевского типа

Ldu = (Mu+ f)dt+Ndw.

Оговоримся сразу, что в нашем исследовании мы будем опираться на концепциюизмерительного устройства Шестакова – Свиридюка [1, 2], в которой под “белымшумом” понимается производная Нельсона – Гликлиха винеровского процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Shestakov A. L., Sviridyuk G. A. On the measurement of the “white noise” // Bulletin ofSouth Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & ComputerSoftware. 2012. N 27 (286), issue 13. P. 99–108.

2. Загребина С. А., Солдатова Е. А. Линейные уравнения соболевского типа с относи-тельно p-ограниченными операторами и аддитивным белым шумом // Изв. ИГУ.Сер. Математика. 2013. Т. 6, 1. С. 20–34.

138

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В МОДЕЛИ БУССИНЕСКА – ЛЯВА НА ГРАФЕ

NUMERICAL SOLUTIONOF AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM

IN THE BOUSSINESQ–LOVE MODEL ON A GRAPH

Замышляева А.А.1, Цыпленкова О.Н.2

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;1alzama@mail.ru, 2tsyplenkova_olga@mail.ru

Пусть G = G(V, E) — конечный связный ориентированный граф, где V =Vi — множество вершин, а E = Ej — множество дуг. Мы предполагаем, чтокаждая дуга имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0. На графе G рассмотримуравнения

λxjtt−xjxxtt = α(xjxxt−λ′xjt)+β(xjxx−λ′′xj)+yj +Cuj , x ∈ (0, lj), t ∈ R. (1)

Для уравнений (1) в каждой вершине Vi зададим краевые условия∑Ej∈Eα(Vi)

djxjs(0, t) −∑

Ek∈Eω(Vi)

dkxks(0, t) = 0, (2)

xs(0, t) = xj(0, t) = xk(lk, t) = xm(lm, t)

для всех Es, Ej ∈ Eα(Vi), Ek, Em ∈ Eω(Vi),(3)

здесь через Eα(ω)(Vi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Vi.Данную задачу в подходящих гильбертовых пространствах X, Y, U удается ре-

дуцировать к операторно-дифференциальному уравнению соболевского типа [1]

Ax = B1x+B0x+ y + Cu, (4)

где операторы A, B1, B0 ∈ L(X;Y), C ∈ L(U;Y), функции u : [0, τ) ⊂ R+ → U,y : [0, τ) ⊂ R+ → Y.

Рассмотрим уравнение (4) с начально-конечным условием

Pin(x(0)− x01) = 0, Pin(x(0)− x00) = 0,

Pfin(x(τ)− xτ1) = 0, Pfin(x(τ)− xτ0) = 0,(5)

здесь Pin, Pfin — некоторые спектральные проекторы в пространстве X.Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключа-

ется в отыскании пары (x, u), где x — решение задачи (4), (5), а u ∈ Uad —управление, для которого выполняется соотношение

J(x, u) = min(x,u)∈X×Uad

J(x, u).

Нашей целью является численное решение задачи (1)–(3), (5). Для этого раз-работан алгоритм нахождения оптимального управления решениями задачи (2),(3), (5) для уравнения (1), основываясь на методе фазового пространства и мо-дифицированном методе Галеркина. Разработанный алгоритм реализован в видепрограммы “Оптимальное управление в модели Буссинеска – Лява на графе”.

ЛИТЕРАТУРА1. Свиридюк Г.А., Замышляева А. А. Фазовые пространства одного класса линейных

уравнений соболевского типа высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2006.Т. 42, 2. С. 252–260.

139

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

ON A PROBLEM FOR THIRD ORDERHYPERBOLIC EQUATIONS

Зикиров О.С.

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека,Ташкент, Узбекистан; zikirov@yandex.ru

В области D = (x, y) : 0 < x < l, 0 < y < h рассмотрим уравнение

Mu ≡(α∂

∂x+ β

∂

∂y

)uxy + Lu = g(x, y), (1)

где α, β — заданные постоянные числа, причем α2 + β2 = 0, L — линейныйдифференциальный оператор вида

Lu ≡ a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f(x, y)u.

Для уравнения (1) изучается следующая задача Дирихле: найти в области Dрешение уравнения (1) из класса C2,1(D) ∩ C1,2(D) ∩ C1,1(D), удовлетворяющееусловиям

u(0, y) = φ1(y), u(l, y) = φ2(y), 0 ≤ y ≤ h, (2)

u(x, 0) = ψ1(x), u(x, h) = ψ2(x), 0 ≤ x ≤ l, (3)

здесь φi(y), ψi(x) (i = 1, 2) — заданные функции, причем выполняются следую-щие условия согласования:

φ1(0) = ψ1(0), φ1(h) = ψ2(0), φ2(0) = ψ1(l), φ2(h) = ψ2(l).

Уравнение (1) представляет собой обобщенное псевдопараболическое уравне-ние Аллера, которое исследовалось, например, в работах [1, 2].

Отметим, что задача Дирихле, изучаемая в основном для уравнений второгопорядка, является одной из основных задач математической физики. В работе [3]она исследована и для уравнения высокого порядка.

В работе рассмотрен вопрос о корректности задачи Дирихле для линейныхгиперболических уравнений третьего порядка. С помощью метода Римана дока-заны теоремы об однозначной разрешимости поставленной задачи (1)–(3). Выяв-лены эффекты влияния коэффициентов при младших производных на коррект-ность задачи Дирихле.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.:Наука, 2006.

2. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частны-ми производными. Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2001.

3. Уткина Е. А. Теорема единственности решения одной задачи Дирихле // Изв. вузов.Матем. 2011. 5. С. 73–76.

140

Секция “Дифференциальные уравнения”

НАХОЖДЕНИЕ БИФУРКАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЙНЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ПРОДОЛЖЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА

FINDING BIFURCATIONS FOR SOLUTIONSOF NONLINEAR EQUATIONS BY THE EXTENDED

FUNCTIONAL METHOD

Иванов А. А.

Башкирский государственный университет, Уфа, Россия; iaa1987@mail.ru

Обосновывается принципиально новый подход численного нахождения би-фуркаций типа точек поворота (x∗, λ∗) для решений нелинейных уравнений вида

F (x, λ) := T (x)− λG(x) = 0,

где G, T : Rn → Rn — непрерывно дифференцируемые отображения, λ ∈ R —параметр семейства.

В современной практике наиболее используемым подходом при численном на-хождении бифуркаций является метод продолжения по параметру (continuationmethod). Основная сложность в применении этого подхода заключается в том,что здесь необходимо предварительно найти начальную точку x0 на ветви реше-ний или достаточно близкую к искомой бифуркационной точке. Данный методиз-за применения двойной итерации является медленно сходящимся и характе-ризуется недостаточной относительной точностью.

В работе [1] предложен так называемый метод продолженного функционала,позволяющий находить бифуркационные точки (x∗, λ∗) посредством минимакс-ных вариационных принципов вида

λ∗ = supx∈S

infξ∈Φ

⟨T (x), ξ⟩⟨G(x), ξ⟩

, λ∗ = inf

x∈Ssupξ∈Φ

⟨T (x), ξ⟩⟨G(x), ξ⟩

, (1)

где S, Φ — некоторые подобласти в Rn.В [1] был поставлен вопрос: Возможно ли численно находить бифуркацион-

ные точки типа поворота посредством вариационных задач (1)?В докладе мы покажем, что данный вопрос положительно разрешается, т. е.

бифуркационные точки поворота можно находить численно посредством (1) ме-тодом наискорейшего подъема для кусочно-гладких отображений.

В качестве апробации данного подхода будет рассмотрено нахождение бифур-каций типа точек поворота для положительных решений разностных аппрокси-маций нелинейных краевых задач с выпукло-вогнутыми нелинейностями вида

−∆u = λ|u|q−1u+ |u|γ−1u, x ∈ Ω, u|∂Ω = 0,

где 0 < q < 1 < γ.Данный доклад подготовлен по результатам работы, проведенной совместно

с Я. Ш. Ильясовым [2].

ЛИТЕРАТУРА1. Ильясов Я. Ш. Исчисление бифуркаций методом продолженного функционала //

Функцион. анализ и его прил. 2007. Т. 41, 1. С. 23–38.2. Иванов А. А., Ильясов Я. Ш. Нахождение бифуркаций для решений нелинейных

уравнений методами квадратичного программирования // Журн. вычисл. матема-тики и мат. физики. 2013. Т. 53, 3. С. 350–364.

141

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА О РАСПАДЕ РАЗРЫВАВ МОДЕЛИ МЕЛКОЙ ВОДЫ

НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПРИТЯГИВАЮЩЕЙ СФЕРЕ

PROBLEM OF DISCONTINUITY DISINTEGRATIONIN THE SHALLOW WATER MODEL ON A ROTATING

GRAVITATING SPHERE

Иванова А. В.1, Остапенко В. В.2, Черевко А.А.3, Чупахин А.П.4

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; 1ivanovaannav@gmail.com, 2ostapenko-vv@ngs.ru,

3cherevko@hydro.nsc.ru, 4chupakhin@hydro.nsc.ru

Модели мелкой воды, широко применяемые в физике атмосферы, представ-ляют собой гиперболические системы дифференциальных уравнений, заданныена компактном многообразии — поверхности вращающейся притягивающей сфе-ры. Эти уравнения выведены в сферической системе координат из интегральныхзаконов сохранения массы и полного импульса с учетом влияния силы Корио-лиса и центробежной силы [1, 2]. Получаемая таким образом базисная системадифференциальных законов сохранения, для которой закон сохранения полнойэнергии является выпуклым расширением, используется для численного модели-рования двумерных (зависящих от широты и долготы) нестационарных теченийс прерывными волнами. Предложена разностная схема, аппроксимирующая ди-вергентную форму записи уравнений мелкой воды на вращающейся сфере.

Проведены численные расчеты задачи о распаде разрыва. Эта задача описы-вает процесс формирования, распространения и трансформации волновых струк-тур на сфере, возникающих в результате разрушения “водяных хребтов” различ-ных форм на фоне равновесного состояния, при этом на границах расчетнойобласти (граничных параллелях) ставятся условия непротекания, соответствую-щие твердым стенкам. Выделены общие тенденции при развитии таких волновыхструктур на сфере. Распространение возмущений происходит с периодическимповторением основных этапов. На первом этапе волны распространяются во всехнаправлениях и в результате этого разнонаправленного распространения и отра-жения от полюсов в части сферы диаметрально-противоположной от начальногорасположения “хребта” наблюдается образование нового “хребта”, по форме по-добного исходному, но меньшего по размерам и с размытыми границами. Второйэтап завершается образованием “хребта”, расположенного там же, где и исходный,но еще меньшего по масштабам и с еще более размытыми границами.

Поскольку при волновых движениях с образованием разрывов происходитпотеря полной энергии, то с течением времени возмущения затухают и движениеасимптотически приходит к равновесному состоянию (твердотельное вращение).

Показаны влияние центробежного ускорения и сферичности.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний (проект 11-01-00026 а), Сибирского отделения РАН (интеграционный про-ект 44), Программы ОЭММПУ (проект 2.13.4).

ЛИТЕРАТУРА1. Иванова А. В., Остапенко В. В., Чупахин А. П. Численное моделирование течений

мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Вестн. НГУ. Сер. Матема-тика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 3. С. 30–45.

2. Остапенко В. В., Черевко А. А., Чупахин А. П. О разрывных решениях уравнениймелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Изв. РАН. Механика жид-кости и газа. 2011. 2. С. 33–51.

142

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙКВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

ФАЗОВОГО ПОЛЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

INVERSE PROBLEM FOR A LINEARIZEDQUASI-STATIONARY PHASE FIELD MODEL

WITH DEGENERACY

Иванова Н. Д.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;natalia.d.ivanova@gmail.com

Пусть Ω ⊂ Rn — область с границей ∂Ω класса C∞, T > 0, β, δ ∈ R. Рассмот-рим начально-краевую задачу

(β + ∆)(v(x, 0)− v0(x)) = 0, x ∈ Ω, (1)

(1− δ)v + δ∂v

∂n(x, t) = (1− δ)w + δ

∂w

∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× [0, T ], (2)

для системы уравнений

vt(x, t) = ∆v(x, t)−∆w(x, t) + b1(x, t)u(t), (x, t) ∈ Ω× [0, T ], (3)

0 = v + (β + ∆)w + b2(x, t)u(t), (x, t) ∈ Ω× [0, T ], (4)

с условиями переопределения на подпространстве вырождения∫Ω

K(y)w(y, t)dy = ψ(t), (x, t) ∈ Ω× [0, T ]. (5)

Данная система уравнений с точностью до линейной замены функций v(x, t),w(x, t) совпадает с линеаризацией квазистационарной системы уравнений фазо-вого поля [1]. Искомыми функциями в обратной задаче (1)–(5) являются v(x, t),w(x, t), u(t).

Обозначим Aw = ∆w, DA = H2δ (Ω) ⊂ L2(Ω). Через φk : k ∈ N обозначим

ортонормированные в смысле скалярного произведения ⟨·, ·⟩ в L2(Ω) собственныефункции оператора A, занумерованные по невозрастанию собственных значенийλk : k ∈ N с учетом их кратности.

Теорема. Пусть −β ∈ σ(A), K ∈ L2(Ω), ⟨K,φk⟩ = 0 при λk = −β, bi ∈C1([0, T ];L2(Ω)), i = 1, 2, ⟨b1(·, t), φk⟩ = 0 при λk = −β, ⟨K, b2(·, t)⟩ = 0 при всехt ∈ [0, T ], ψ ∈ C1[0, T ], v0 ∈ H2

δ (Ω). Тогда решение задачи (1)–(5) существует,единственно и удовлетворяет условиям

∥v∥C1([0,T ];L2(Ω)) ≤ c(∥(β + ∆)v0∥L2(Ω) + ∥Ψ∥C1[0,T ]

),

∥w∥C1([0,T ];L2(Ω)) ≤ c(∥(β + ∆)v0∥L2(Ω) + ∥Ψ∥C1[0,T ]

),

∥u∥C1([0,T ];L2(Ω)) ≤ c∥Ψ∥C1[0,T ],

где c > 0 не зависит от v0, Ψ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжени-ем как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, 3.С. 461–471.

143

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧАДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В МНОГОМЕРНОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

A NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

IN A MULTIDIMENSIONAL COMPLEX DOMAIN

Илькив В. С.1, Страп Н.И.2

Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, Украина;1ilkivv@i.ua, 2n.strap@mail.ru

Введем шкалы пространств Hq(Sp)q∈R и Hnq (Dp)q∈R, где Dp = [0, T ]×Sp,

S ⊂ C\0, T > 0, p ≥ 2. Здесь Hq(Sp), q ∈ R, — гильбертово пространство функ-ций ψ(z) =

∑k∈Zp

ψkzk со скалярным произведением (ψ,φ)Hq(Sp) =

∑k∈Zp

k2qψkφk,

где zk=zk11 . . . zkpp , k=

√1 + k21 + . . .+ k2p; Hn

q (Dp), q ∈ R, n ∈ Z+, — банахово про-

странство функций u = u(t, z) таких, что производные∂ru(t, z)

∂tr=∑k∈Zp

u(r)k (t)zk

для каждого t ∈ [0, T ], r = 0, 1, . . . , n, принадлежат пространствам Hq−r(Sp) со-ответственно и непрерывны по t. Норму в Hn

q (Dp) определяет формула:

∥u∥2Hnq (Dp) =n∑r=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2Hq−r(Sp)

.

В области Dp рассмотрена неоднородная задача с нелокальными условиями:

Lu =∑

s0+|s|≤n

as0,sBs ∂

s0u

∂ts0= f,

Mmu = µ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=0

− ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

= 0,

где s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . . + sp, as0,s ∈ C, an,0 = 1, µ ∈ C,u = u(t, z) — искомая функция, а f = f(t, z) — заданная функция. ОператорB = (B1, B2, . . . , Bp) составлен из операторов обобщенного дифференцирования

Bj ≡ zj∂

∂zj, где Bs = Bs11 B

s22 . . . B

spp ,Blj — степени Bj : B0

ju ≡ u,Blju = Bj(Bl−1j u)

(j = 1, . . . , p, l = 1, . . . , n).Задача является некорректной в смысле Адамара, а ее решение связано с

проблемой малых знаменателей [1]. Доказаны метрические теоремы об оценкахснизу малых знаменателей, которые возникают при построении решения задачи.Оценки выполняются для почти всех векторов, составленных из коэффициен-тов as0,s и параметра µ. Считаем, что as0,s и µ принадлежат некоторым кругамкомплексной плоскости. Установлены условия существования и единственностирешения задачи в шкале пространств Hn

q (Dp).ЛИТЕРАТУРА

1. Пташник Б. И., Илькив В. С., Кмить И. Я., Полищук В. М. Нелокальные крае-вые задачи для уравнений с частными производными. Киев: Наукова думка, 2002(на украинском).

2. Илькив В. С., Страп Н. И., Волянская И. И. Нелокальная краевая задача для уравне-ния с оператором дифференцирования z∂/∂z в комплексной области // Прикладныепроблемы механики и математики. 2012. 10. С. 15–26 (на украинском).

144

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯЧЕТНОГО ПОРЯДКА

A BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR AN EVEN ORDER EQUATION

Иргашев Б. Ю.

Наманганский инженерно-педагогический институт, Наманган, Узбекистан;bahrom_irgashev@inbox.ru

Для уравнения

L[u] ≡ (−1)n∂2nu

∂x2n+ (−1)m

∂2mu

∂y2m+∂u

∂t= f(x, y, t), (1)

где функция f(x, y, t) непрерывна в Ω, рассмотрим задачу.Задача А. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее в

области Ω = (x, y, t) : 0 < x, y < 1; 0 < t ≤ T краевым условиям

∂2ku

∂x2k(0, y, t) = 0, k = 0, (n− 1);

∂2ku

∂x2k(1, y, t) = 0, k = 0, (n− 1);

∂2ku

∂y2k(x, 0, t) = 0, k = 0, (m− 1);

∂2ku

∂y2k(x, 1, t) = 0, k = 0, (m− 1);

u(x, y, 0) = 0.

Единственность решения задачи легко показать, применяя метод интеграловэнергии. Фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид

U(x, y, t, ξ, η, τ) = Un(x, t, ξ, τ)Um(y, t, η, τ),

где (см. [1])

Un(x, t, ξ, τ) =

1

2n√t−τ gn

(x−ξ

2n√t−τ

), t > τ,

0, t ≤ τ,gn(s) =

1

π

+∞∫0

exp(− λ2n

)cosλs dλ.

Для решения поставленной задачи построим функцию Грина G(x, y, t, ξ, η, τ).Теорема. Функция Грина задачи А имеет вид

G(x, y, t, ξ, η, τ) = Gn(x, t, ξ, τ)Gm(y, t, η, τ),

где Gn(x, t, ξ, τ) =+∞∑

k=−∞(Un(x, t, 2k + ξ, τ)− Un(x, t, 2k − ξ, τ));

Gm(x, t, ξ, τ) =+∞∑

k=−∞

(Um(y, t, 2k + η, τ)− Un(y, t, 2k − η, τ)).

Решение поставленной задачи выписывается в явном виде

u(x, y, t) =

t∫0

1∫0

1∫0

G(x, y, t, ξ, η, τ)f(ξ, η, τ)dξdηdτ.

ЛИТЕРАТУРА1. Cattabriga L. Una generalizationi del problema fundamentale di valori al contorno per

eguationi paraboliche lincari // Annali di matematica pura ed applicata. 1958. T. 46.P. 215–247.

145

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГОПОРЯДКА В РЕШЕНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

APPLICATION OF A CONVERSION OPERATORFOR FOURTH ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

FOR SOLVING SPECTRAL PROBLEMS

Искакова У.А.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; ulzada@list.ru

Пусть задано линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка

y(4) + p2(x)y′′ + p1(x)y′ + p0(x)y = λy (1)

с начальными условиями

y(k−1)m = δkm, k,m = 1, . . . , 4, (2)

где функции pk(x) ∈ Ck([0, b]), λ — параметр и δkm — символ Кронекера.Теорема. Решение y(x, λ) задачи (1), (2) имеет интегральное представление

y(x, λ) =

x∫0

ψ(ξ, λ)B(x, ξ)dξ

+

x∫0

dξ

x∫ξ

(ψ(τ − ξ + iξ, λ) + ψ(τ − ξ − iξ, λ))A(x, τ, ξ)dτ, (3)

где функции A(x, τ, ξ), B(x, ξ) определяются интегральными уравнениями, функ-ция ψ(x, λ) является решением задачи (1), (2) при нулевых коэффициентах урав-нения (1).

В работе изучаются спектральные вопросы задачи (1), (2) через представле-ние (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейныхдифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1987.

2. Кангужин Б. Е., Садыбеков М. А. Дифференциальные операторы на отрезке. Рас-пределение собственных значений. Шымкент: Гылым, 1996.

3. Искакова У. А., Кангужин Б. Е. Операторы преобразования для дифференциальныхуравнений четвертого порядка с неаналитическими коэффициентами // Изв. НАНРК. Сер. физ.-мат. 1998. 3. С. 25–31.

146

Секция “Дифференциальные уравнения”

О НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ,

ЗАДАННЫХ В ПРЕДЕЛЬНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИХОБЛАСТЯХ

ON SOME SPECTRAL PROPERTIESOF A CLASS OF ELLIPTIC OPERATORS GIVEN

IN LIMIT-TUBE DOMAINS

Исхоков С.А.1,2, Гадоев М. Г.2, Петрова М. Н.2

1Институт математики АН РТ, Душанбе, Таджикистан;2Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федерального

университета им. М.К. Аммосова, Мирный, Россия;sulaimon@mail.ru, gadoev@rambler.ru, sun1u@mail.ru

Доклад посвящен изучению некоторых спектральных свойств одного классаэллиптических операторов, заданных в предельно-цилиндрических областях.

Исследуемые операторы задаются посредством некоэрцитивных билинейныхформ, в силу чего накладываются минимальные условия гладкости на коэффи-циенты.

Основными результатами работы являются то, что найдены условия замкну-тости и непрерывной обратимости, а также позитивности исследуемых опера-торов. Кроме того, авторам удалось получить уточненную оценку резольвентыдля исследуемого класса операторов и с ее помощью изучить вопросы суммиру-емости в смысле Абеля – Лидского системы корневых вектор-функций и другиеспектральные свойства этого класса.

Отметим, что ранее некоторые спектральные свойства других классов диффе-ренциальных операторов, заданных в предельно-цилиндрических областях, изу-чались в работе [1], а в случае ограниченных областей, удовлетворяющих условиюконуса, аналогичные вопросы рассматривались в [2, 3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бойматов К. Х. О собственных значениях эллиптических дифференциальных опе-раторов в предельно-цилиндрических областях // ДАН. 1989. Т. 308, 1. С. 11–14.

2. Бойматов К. Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрци-тивными формами // ДАН. 1994. Т. 339, 1. С. 5–10.

3. Бойматов К. Х., Исхоков С. А. О разрешимости и гладкости решения вариационнойзадачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. Мат. ин-таим. В. А. Стеклова РАН. 1997. Т. 214. С. 107–134.

147

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СОВМЕЩЕННАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ЦУНАМИCOMBINED INVERSE PROBLEM OF TSUNAMI

Кабанихин С. И.1,2, Криворотько О. И.1,2, Маринин И.В.1

1Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия;

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;kabanikhin@sscc.ru, krivorotko.olya@mail.ru, igor.marinin@inbox.ru

Рассмотрены три обратные задачи об определении источника цунами q(x, y)в случае, когда о решении прямой задачи

ηtt = div(c2(x, y)grad η), (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T );η(x, y, 0) = q(x, y), ηt(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω;(ηt − c(x, y)ηx)|x=0 = 0, (ηt + c(x, y)ηx)|x=Lx = 0;(ηt − c(x, y)ηy)|y=0 = 0, (ηt + c(x, y)ηy)|y=Ly = 0;

Ω := (x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, Lx), y ∈ (0, Ly),

известны три вида дополнительной информации. Здесь c(x, y) — скорость рас-пространения волны цунами, q(x, y) — функция, описывающая начальное возму-щение свободной поверхности.

Обратная задача 1: определить функцию q(x, y) по дополнительной инфор-мации: η(xm, ym, t) = fm(t), (xm, ym) ∈ Ω, m = 1, 2, . . . ,M , M ∈ N.

Обратная задача 2: определить q(x, y) по информации: η(x, y, T ) = f(x, y).Обратная задача 3: в случае q(x, y) = h(y)δ(x) требуется определить h(y) по

дополнительной информации об амплитуде переднего фронта волны в некоторыйфиксированный момент времени t = T .

В докладе будут изложены алгоритмы решения обратных задач 1, 2 и 3, атакже алгоритм решения совмещенной постановки обратных задач в случае,когда для восстановления источника цунами используется дополнительная ин-формация всех трех указанных видов [1–3]. Рассмотрены результаты численныхрасчетов по алгоритму, основанному на минимизации целевого функционала. Вкачестве начального приближения выбрана форма источника, определяемого посейсмическим данным [3–5].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00773) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 14).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications. Berlin: deGruyter, 2012.

2. Bezhaev A. Yu., Lavrentiev M. M. (jr.), Marchuk An. G., Titov V. V. Determination oftsunami sources using deep ocean wave records // Bull. Novosib. Comput. Cent., Ser.Math. Model. Geophys. 2006. V. 11. P. 53–63.

3. Kabanikhin S. I., Bektemesov M. A., Nurseitov D. B., Krivorotko O. I., Alimova A. N. Anoptimization method in the Dirichlet problem for the wave equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2012. V. 20, N 2. P. 193–211.

4. Кабанихин С. И., Криворотько О. И. Сингулярное разложение в задаче об источни-ке // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, 2. С. 101–107.

5. Kabanikhin S. I., Krivorot’ko O. I. A numerical method for determining the amplitude ofa wave edge in shallow water approximation // Appl. Comput. Math. 2013. V. 12, N 1.P. 91–96.

148

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ВЫРОЖДЕНИЕМ ДЛЯНЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

A BOUNDARY VALUE PROBLEMWITH DEGENERATION FOR THE NONLINEAR

HEAT EQUATION IN SPHERICAL COORDINATES

Казаков А. Л.1, Кузнецов П.А.2

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; kazakov@icc.ru

2Иркутский государственный университет,Иркутск, Россия; pav_ku@mail.ru

Рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности [1] (фильтрации [2]),которое после проведения стандартной замены переменных может быть записанов виде

ut = u∆u+1

σ(∇u)2, (1)

в котором u = u(t, x, y, z), где t — время, x, y, z — пространственные переменные,α и σ — положительные константы. В уравнении (1) делается замена t = τ ,x = ρ cosφ sin θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cos θ, после чего оно принимает вид

uτ = u

[2uρρ

+ cos θuθ

ρ2 sin θ+ uρρ +

uφφ

ρ2 sin2 θ+uθθρ2

]

+1

σ

[u2ρ +

u2φ

ρ2 sin2 θ+u2θρ2

]. (2)

Для (2) рассматриваются краевые условия

u(τ, ρ, φ, θ)|ρ=R = f(τ, φ, θ), f(0, φ, θ) = 0, fτ (0, φ, θ) > 0. (3)

Такая задача возникает в связи с исследованием распространения тепла в окрест-ности замкнутой (сферической) поверхности, что отличает её от ранее рассмот-ренных близких задач [3–5]. Отметим, что частный случай задачи (2), (3) — зада-ча с данными на круговой цилиндрической поверхности — уже рассматриваласьА.Ф. Сидоровым [3].

Для задачи (2), (3) доказана теорема существования и единственности реше-ния в классе аналитических функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопровод-ности, зависящей от температуры // Сборник, посвященный 70-летию А. Ф. Иоффе.М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 61–71.

2. Баренблатт Г.И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрациижидкости и газа. М.: Недра, 1972.

3. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001.4. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003.5. Казаков А. Л., Лемперт А. А. О существовании и единственности решения одной

краевой задачи для параболического уравнения типа нестационарной фильтра-ции // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, 2. С. 97–105.

149

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХС ВЫРОЖДЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯНЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ON BOUNDARY VALUE PROBLEMSWITH DEGENERACY FOR THE NONLINEAR

HEAT EQUATION

Казаков А. Л.1, Лемперт А.А.2

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; 1kazakov@icc.ru, 2lempert@icc.ru

Рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности, описывающее рас-пространение тепла в случае степенной зависимости коэффициента теплопровод-ности от температуры

Tt = α div(Tσ∇T).

Функция T (t, x, y, z) — это температура, зависящая от времени t и трех простран-ственных переменных x, y, z; div и ∇ — операторы дивергенции и градиентапо пространственным переменным; α и σ — положительные константы. Дан-ное уравнение также описывает нестационарную фильтрацию газа в пористомгрунте. Тогда T — это плотность газа, а параметр σ — показатель политропы(адиабаты) этого газа [1].

В англоязычной литературе для наименования такого уравнения также частоиспользуется термин “the porous medium equation” [2]. Уравнение, вообще говоря,имеет параболический тип. Однако при равенстве нулю искомой функции проис-ходит вырождение его типа, поскольку обращается в нуль множитель, стоящийперед старшими производными. Такая ситуация представляет наибольший инте-рес, поскольку, в частности, в окрестности линии вырождения возможно распро-странение тепловой волны (фронта фильтрации), имеющей конечную скоростьдвижения [1].

Одной из естественных с точки зрения физики постановок краевых задач длярассмотренного уравнения является следующая:

T (t, x, y, z)∣∣Γ

= f(t, x, y, z),

где Γ — достаточно гладкая поверхность, разделяющая пространство на две ча-сти. При этом f(0, x, y, z) = 0 на всей или части поверхности Γ [1, 3].

Для рассмотренного класса краевых задач при различного вида дополнитель-ных предположениях доказаны новые теоремы существования и единственностирешений в классе аналитических функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001.2. Vazquez J. L. The porous medium equation: mathematical theory. Oxford: Oxford

University Press, 2007.3. Казаков А. Л., Лемперт А. А. О существовании и единственности решения одной

краевой задачи для параболического уравнения типа нестационарной фильтра-ции // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, 2. С. 97–105.

150

Секция “Дифференциальные уравнения”

ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЕЛЬТРАМИ

TENSOR FIELDS ON THE PLANEAND BELTRAMI TYPE SYSTEMS

Казанцев С. Г.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;kazan@math.nsc.ru

Симметричное ковариантное тензорное поле A(z, z) ранга m, полученное извещественного симметричного тензорного поля a(x, y) переходом к комплекснымпеременным z = x+ iy и z = x− iy, будем задавать псевдовектором (A0, . . . , Am)

с компонентами Ak = A1 . . . 1︸ ︷︷ ︸k

2 . . . 2︸ ︷︷ ︸m−k

, Ak = Am−k, k = 0, . . . ,m, A =∑mk=0AkE

(m)k ,

где введены единичные псевдовекторы (тензоры) E(m)0 = (1, 0, . . . , 0)︸ ︷︷ ︸

m+1

, E(m)1 =

(0, 1, 0, . . . , 0),. . . , E(m)m = (0, . . . , 0, 1). Пусть V =

m−1∑k=0

VkE(m−1)k . Тогда диффе-

ренциальные операторы дивергенции div и внутреннего дифференцирования d вкомплексных координатах имеют вид

divA = 2mm−1∑k=0

(∂Ak + ∂Ak+1

)E

(m−1)k , dV =

1

m

m∑k=0

(k∂Vk−1 + (m− k)∂Vk

)E

(m)k ,

где ∂ = 12

(∂∂x − i∂u∂y

), ∂ = 1

2

(∂u∂x + i ∂∂y

). Таким образом, например, при нахожде-

нии соленоидального тензорного поля, div A = 0, мы приходим к системе урав-нений типа Бельтрами

∂A + U∂A = F, (1)

где U — нильпотентный оператор сдвига вправо (вниз)

U

A0

A1

...Am

=

0A0

...Am−1

, A =

A0

A1

...Am

, F =

∂A0

0

...0

.

При рассмотрении задачи о нахождении потенциала, dV = A, мы получаем так-же уравнение типа (1), где оператор U уже есть взвешенный оператор сдвига

U

V0V1. . .Vs. . .Vm−1

=

01

m−1V0. . .

sm−sVs−1

. . .m−11 Vm−2

, V =

V0V1. . .Vs. . .Vm−1

, F =

A0mm−1A1

. . .mm−sAs. . .

m1 Am−1.

.

Неиспользованное уравнение ∂Vm−1 = Am дает нам условие разрешимости этойзадачи.

В докладе представлено, как решения рассмотренных задач в форме интегра-лов типа Коши и Помпейю используются в тензорной томографии при восста-новлении соленоидальных и потенциальных тензорных полей на плоскости.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 13-01-00275, 11-01-00147).

151

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОГОТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ВОЗРАСТАЮЩИХ ПО ВРЕМЕНИ ОБЛАСТЯХ

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR EQUATIONSOF A VISCOUS HEAT-CONDUCTIVE GAS

IN TIME-INCREASING NONCYLINDRICAL DOMAINS

Калиев И. А.1, Шухардин А.А.2

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,Стерлитамак, Россия;

1kalievia@mail.ru, 2shukhardinaa@gmail.com

Пусть нецилиндрическая область ΩT = (x, t) | 0 < x < s(t), 0 < t < T, гдеx = s(t) — известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом.Одномерное нестационарное движение газа в области ΩT описывается системойуравнений [1, 2]:

∂ρ

∂t+∂(ρu)

∂x= 0, (x, t) ∈ ΩT , (1)

ρ(∂u

∂t+ u

∂u

∂x) = µ

∂2u

∂x2− ∂p

∂x, p = Rρθ, (x, t) ∈ ΩT , (2)

ρ

(∂θ

∂t+ u

∂θ

∂x

)= κ

∂2θ

∂x2+ µ

(∂u

∂x

)2

− p∂u∂x, (x, t) ∈ ΩT . (3)

Здесь ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) и θ(x, t) — плотность, скорость, давление и абсолют-ная температура газа; µ, R, κ — положительные константы: вязкость, газоваяпостоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

В начальный момент времени задаются u, θ, ρ:

u(x, t)|t=0 = u0(x), θ(x, t)|t=0 = θ0(x), ρ(x, t)|t=0 = ρ0(x), x ∈ [0, s0], (4)

где s0 = s(0). На известных границах x = 0 и x = s(t) задаются условия:

u(x, t)|x=0 = u1(t), u(x, t)|x=s(t) = 0, t ∈ [0, T ], (5)

ρ(x, t)|x=s(t) = ρ2(t), t ∈ [0, T ], (6)

θ(x, t)|x=0 = θ1(t), θ(x, t)|x=s(t) = θ2(t), t ∈ [0, T ]. (7)

Задача Gas. Требуется найти функции ρ(x, t), u(x, t), θ(x, t), удовлетворяю-щие системе уравнений (1)–(3), если в начальный момент и на известных грани-цах выполняются условия (4)–(7).

В работе доказываются теоремы существования и единственности глобально-го обобщенного и классического решений задачи Gas.

ЛИТЕРАТУРА

1. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднород-ных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

2. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem //J. Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, N 3. P. 282–308.

152

Секция “Дифференциальные уравнения”

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИКЛАССИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОДНОГО ЭФФЕКТА

В АТМОСФЕРЕON SOME PROBLEMS OF THE THEORY OF CLASSIC

ELECTRODE EFFECT IN THE ATMOSPHERE

Калинин А. В.1,2, Григорьев Е. Е.1

1Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского,Нижний Новгород, Россия;

2Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, Россия;avk@mm.unn.ru

Нелинейная стационарная система дифференциальных уравнений теории клас-сического электродного эффекта в пространственно одномерном случае была ис-следована в работе [1]. В дальнейшем эта модель была использована при моде-лировании электрических полей в приземных слоях атмосферы [2, 3].

В настоящей работе получены некоторые новые соотношения в рамках клас-сической одномерной модели, позволяющей провести классификацию типов ре-шений и их качественный анализ. Проведено исследование свойств решений со-ответствующей нелинейной системы дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, возникающей в многомерных случаях. Для последней системы ис-следованы некоторые постановки задач, представляющие практический интереси изучены вопросы корректности этих постановок, в частности, выделены ситу-ации, приводящие к некорректным задачам. В работе обсуждаются некоторыевозможные регуляризирующие алгоритмы решения этих задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках госу-дарственного задания на оказание услуг в 2012–2014 гг. подведомственными высшимиучебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011) и гранта Правительства РФ (дого-вор 11.G34.31.0048).

ЛИТЕРАТУРА

1. Thomson J. J. Conduction of electricity through gases. Cambridge: University Press,1903.

2. Hoppel W. A. Theory of electrode effect // J. of Atmospheric and Terrestrial Phys. 1967.V. 29. P. 709–721.

3. Куповых Г.В., Морозов В. Н., Шварц Я. М. Теория электродного эффекта в атмо-сфере. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1998.

4. Калинин А. В., Григорьев Е. Е., Терентьев А. М. О некоторых соотношениях теорииклассического электродного эффекта // VII Всероссийская конф. по атмосферномуэлектричеству (Санкт-Петербург, 24–28 сентября): Сб. тр. СПб., 2012. С. 99–100.

153

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ

ON THE STRONG SOLVABILITY OF THE CAUCHYPROBLEM FOR THE BIHARMONIC EQUATION

IN THE RING

Кальменов Т. Ш.1, Искакова У.А.2

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; 1kalmenov.t@mail.ru, 2ulzada@list.ru

В области Ω = (x1, x2) : µ20 < x21 + x22 < µ2

1 рассматривается задача Кошидля уравнения

∆2u = f.

В работе в терминах наименьшего собственного значения самосопряженнойзадачи Коши для бигармонического уравнения с отклоняющимся аргументомустановлен критерий сильной разрешимости рассматриваемой задачи.

Теорема. Задача Коши при f ∈ L2(Ω) сильно разрешима тогда и толькотогда, когда выполнено условие

∞∑k=1

∣∣∣∣ (Pf, u0k)

λ0k

∣∣∣∣2 <∞,где P 2 = I.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальменов Т.Ш., Искакова У. А. Критерий сильной разрешимости задачи Кошидля уравнения Лапласа // Неклассические уравнения математической физики. Но-восибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2007. С. 1–14.

154

Секция “Дифференциальные уравнения”

О РАЗРЕШИМОСТИ В КЛАССАХ С. Л. СОБОЛЕВАОБРАТНЫХ ЗАДАЧ НАХОЖДЕНИЯ МЛАДШЕГО

КОЭФФИЦИЕНТА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМУРАВНЕНИИ

ON SOLVABILITY IN THE SOBOLEV CLASSES OFINVERSE PROBLEMS OF THE LOWER COEFFICIENT

DETERMINATION IN A PARABOLIC EQUATION

Камынин В. Л.1, Костин А.Б.2

Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ,Москва, Россия; 1vlkamynin2008@yandex.ru, 2abkostin@yandex.ru

Пусть Ω — ограниченная область в Rn с границей ∂Ω класса C2, Q = Ω×(0, T ),а Γ = Ω×0∪∂Ω×[0, T ] — параболическая граница цилиндраQ. Рассматриваетсяследующая обратная задача: найти пару функций u(x, t), c(x), удовлетворяю-щих условиям

ρ(x, t)ut−L0u−n∑i=1

bi(x)uxi−d(x, t)u = cu+g(x, t), (x, t) ∈ Q, u|Γ = Φ(x, t)|Γ, (1)

T∫0

u(x, t)ω(t) dt = χ(x), x ∈ Ω, (2)

Здесь функции ρ(x, t), bi(x), d(x, t), Φ(x, t), ω(t), χ(x) заданы и обладают соот-ветствующей гладкостью; L0 — заданный равномерно эллиптический оператор,который имеет вид:

либо L0u =n∑

i,j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

), либо L0u =

n∑i,j=1

(aij(x)

∂u

∂xi ∂xj

).

В последнем случае при n > 1 дополнительно предполагается, что коэффициентыaij(x) либо непрерывны в Ω, либо удовлетворяют условию типа Кордеса.

Решение ищется в классе u(x, t) ∈ W 2,12 (Q), c(x) ∈ Lp(Ω), c(x) ≤ 0 в Ω, с

некоторым фиксированным p > n+ 1.Доказаны теоремы существования и единственности решения обратной зада-

чи (1), (2). Приведены нетривиальные примеры обратных задач, для которыхусловия доказанных теорем заведомо выполняются.

ЛИТЕРАТУРА

1. Камынин В. Л., Костин А. Б. Две обратные задачи определения коэффициента впараболическом уравнении // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 28, 3. С. 372–383.

2. Камынин В. Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболи-ческом уравнении при условии интегрального наблюдения // Мат. заметки. 2013.Т. 94, 3.

155

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕGENERALIZED FOURIER TRANSFORM

Кангужин Б. Е., Токмагамбетов Н. Е.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби,Институт математики и математического моделирования,

Алматы, Казахстан; tokmagam@list.ru

Стандартное преобразование Фурье является унитарным преобразованием вгильбертовом пространстве L2(−∞,∞) и порождается оператором дифференци-рования

(−i ddx

), поскольку система экспонент exp(iλx), λ ∈ R представляет

систему “собственных” функций, соответствующую его непрерывному спектру.С преобразованием Фурье тесным образом связана билинейная, коммутативная,ассоциативная свертка без аннуляторов. Важным обстоятельством является то,что свертка позволяет по фундаментальному решению находить решения неод-нородного дифференциального уравнения, коммутирующего с дифференцирова-нием. Соответствующие построения допускают обобщения на случай произволь-ного оператора. Вместо оператора дифференцирования

(−i ddx

)в пространстве

L2(−∞,∞) рассмотрим в гильбертовом пространстве L2(0, b) при b < ∞ опе-ратор L, порождаемый дифференциальной операцией

(−i ddx

). Здесь вводятся

понятия преобразования Фурье и свертки, порождаемой произвольным коррект-ным сужением оператора дифференцирования в пространстве L2(0, b). В отличиеот классической свертки вводимая свертка явным образом зависит от краевогоусловия, задающего область определения оператора L.

156

Секция “Дифференциальные уравнения”

МЕТОД ДАРБУ И ПРОБЛЕМА ГУРСА

THE DARBOUX METHODAND THE GOURSAT PROBLEM

Капцов О. В.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия;profkap@gmail.com

В докладе рассматривается проблема Гурса — классификация гиперболиче-ских нелинейных уравнений, обладающих двумя нетривиальными инвариантамихарактеристик [1]. Описывается алгоритм нахождения инвариантов характери-стик. Приводится пара уравнений Лэне, одно из которых обладает инвариантамивторого и третьего порядков. Наличие такого уравнения показывает, что пробле-ма Гурса остается открытой. Ранее о решении проблемы классификации Гурсабыло заявлено в работе [2]. Компьютерные расчеты демонстрируют, что инвари-анты характеристик второго уравнения Лэне, приведенные в его работе, указанытоже неверно. Подробности можно найти в [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Goursat E. Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second order //Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. Serie 2. 1899. T. 1. N 1, P. 31–78; N 4,P. 439–463.

2. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения ли-увиллевского типа // Успехи мат. наук. 2001. Т. 56, вып. 1. С. 63–106.

3. Капцов О. В. О проблеме классификации Гурса // Программирование. 2012. Т. 38, 2. С. 68–71.

157

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ШЕСТЬ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ,ОПИСЫВАЕМЫХ ОДНОЙ ФОРМУЛОЙ

SIX FREE BOUNDARY FLOWS GENERATINGBY ONE FORMULA

Карабут Е. А.1, Журавлева Е. Н.2

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; 1eakarabut@gmail.com, 2zhuravleva_e@mail.ru

Рассматривается плоское нестационарное течение идеальной несжимаемойжидкости в отсутствие внешних сил и поверхностного натяжения. Жидкостьв плоскости комплексной координаты z = x + iy занимает заранее неизвестнуюобласть, меняющуюся со временем. Граница области является свободной. Дви-жение носит чисто инерционный характер, т. е. вызывается полем скоростей,заданным в начальный момент времени. Задана также начальная форма обла-сти. Необходимо во все последующие моменты времени t найти форму области искорость во всех точках жидкости.

Эта задача, в отличие от родственных течений Хеле – Шоу и плоских те-чений Стокса для вязкой жидкости, имеет мало точных решений. По существу,единственные точные решения — это течения с линейным полем скоростей (Ди-рихле, 1860).

Предложена новая техника, позволяющая строить точные решения в зада-че о движении жидкости со свободной границей. Суть этой техники состоит ваналитическом продолжении решения, полученного из простых физических со-ображений, в комплексную область z. Например, если взять движение бесконечнотонкой полосы, движущейся вдоль оси x, то после аналитического продолженияполучим комплексную скорость

U(z, t) =

(√1 + zt− 1

t

)2

.

Показано, что эта комплексная скорость описывает шесть совершенно различ-ных течений со свободной границей. Все они принадлежат классу автомодельныхтечений, найденных в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Karabut E. A. Exact solutions of the problem on free-boundary unsteady flows //Comptes Rendus Mecanique. 2013 (to appear). [arXiv:1210.2197 [physics.flu-dyn]].

158

Секция “Дифференциальные уравнения”

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ,АППРОКСИМАНТЫ ПАДЕ И ПРИМЕРТЕЧЕНИЯ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

CONFORMAL MAPPINGS,THE PADE APPROXIMANTS, AND AN EXAMPLE

OF A FLOW WITH FREE BOUNDARY

Карабут Е. А.1,2, Кужугет А. А.1

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия;

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;eakarabut@gmail.com, agisight@gmail.com

Полуаналитические методы (или методы численного исследования степенныхрядов) занимают промежуточное место между аналитическими и численнымиметодами. Помимо высокой точности вычислений полуаналитические методы внекоторых случаях позволяют получить уникальную аналитическую информа-цию, которая не может быть получена по отдельности ни численными, ни ана-литическими методами [1].

Полуаналитическими методами решается плоская нестационарная задача одвижении идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей в точнойнелинейной постановке. В виде степенного ряда по степеням времени ищетсяконформное отображение единичного круга, расположенного во вспомогатель-ной плоскости µ, на область течения. Найдено 600 членов ряда в рациональныхчислах и 1100 членов ряда в вещественных числах с длиной мантиссы 1000 де-сятичных знаков. Найденные степенные ряды обрабатываются и суммируются сиспользованием аппроксимантов Паде, теста Домба – Сайкса, диаграмм Паде,алгоритмов ускорения сходимости.

Найдена замена переменных в степенных рядах, после применения которойобразы точек, равномерно расположенных на единичной окружности в плоско-сти µ, оказываются также равномерно расположенными на свободной поверхно-сти. Это позволяет строить форму свободной поверхности даже в случае ее силь-ной деформации. В расчетах кривизна свободной поверхности достигает 1040. Ис-следованы особые точки решения. Осуществлено сравнение полуаналитическихметодов с численным решением операторных уравнений Дьяченко [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Karabut E. A. Semi-analytical investigation of unsteady free-boundary flows //International Series of Numerical Mathematics. V. 99. Basel etc.: Birkhauser Verlag,1991. P. 215–224.

2. Дьяченко А. И. О динамике идеальной жидкости со свободной поверхностью //ДАН. 2001. Т. 376, 1. С. 27–29.

159

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ НЕЙМАНАДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В ЕДИНИЧНОМ ШАРЕSOLVABILITY CONDITIONS OF THE NEUMANN

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THEPOLYHARMONIC EQUATION IN THE UNIT BALL

Карачик В.В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;karachik@susu.ru

Рассмотрим неоднородную задачу Неймана для полигармонического уравне-ния в единичном шаре

∆ku(x) = f(x), x ∈ S;∂iu

∂νi

∣∣∣∂S

= φi(s), s ∈ ∂S, i = 1, . . . , k, (1)

где S = x ∈ Rn : |x| < 1, а ν — единичный вектор внешней нормали к ∂S.В работе [1] была рассмотрена более общая краевая задача, но для однородногоуравнения, содержащая многочлены высокого порядка от нормальных производ-ных в граничных условиях. Используя эти результаты, исследуем задачу (1).

Рассмотрим числа bsk, где s = 1, . . . , k и k ∈ N, которые являются строкамиследующего арифметического треугольника

B =

11 −1

3 −3 115 −15 6 −1

105 −105 45 −10 1945 −945 420 −105 15 −1· · · bsk+1 = (2k − s)bsk − b

s−1k · · ·

.

Теорема 1. Если f ∈ C1(S) и φj ∈ Ck−j(∂S), j = 1, . . . , k, то необходимое идостаточное условие разрешимости задачи Неймана (1) имеет вид∫

∂S

(b1kφ1 + · · ·+ bkkφk) ds =1

(2k − 2)!!

∫S

(|x|2 − 1)k−1f(x) dx, (2)

где числа bsk являются элементами треугольника B.Задача Неймана для бигармонического уравнения в единичном шаре была

исследована в [2]. При k = 2 из (2) мы получаем условия ее разрешимости.Теорема 2. Решение задачи Неймана (1) имеет вид u(x) =

∫ 1

0v(tx)dtt + C,

где v(x) — решение следующей задачи Дирихле

∆kv(x) = (Λ + 2k)f(x), x ∈ S;

v|∂S = φ1(s),∂jv

∂νj

∣∣∣∂S

= jφj(s) + φj+1(s), s ∈ ∂S, j = 1, . . . , k − 1,

а Λu =∑ni=1 xiuxi .

ЛИТЕРАТУРА1. Карачик В. В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре // Сиб.

мат. журн. 1991. Т. 32, 5. C. 51–58.2. Karachik V. V., Turmetov B. Kh., Bekaeva A. Solvability conditions of the Neumann

boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball // Int. J. PureAppl. Math. 2012. V. 81, N 3. P. 487–495.

160

Секция “Дифференциальные уравнения”

СОКРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ СЧЁТАПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИОПТИМИЗАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

DECREASE OF A RUNNING TIMEFOR SOLVING AN INVERSE PROBLEM

BY THE OPTIMIZATION METHOD

Карчевский А. Л.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;karchevs@math.nsc.ru

На практике достаточно часто обратные задачи решаются при помощи опти-мизационного метода. Градиент функционала невязки ищется с помощью реше-ния сопряжённой задачи. Вычислительная сложность данного подхода заклю-чается в том, что вычисление градиента требует решений прямой и сопряжён-ной задач, причём сопряжённая задача может решаться только после того, какнайдено решение прямой задачи. Таким образом, затрачивается определённоеколичество времени на одну итерацию минимизационного процесса. В докладебудет продемонстрировано преобразование постановки обратной задачи, котороепозволяет искать решения прямой и сопряжённой задач параллельно, что, есте-ственно, сократит время вычислений.

Суть предлагаемого подхода будет продемонстрирована на трёх различныхпостановках обратных задач: коэффициентной гиперболической обратной зада-че, ретроспективной обратной задаче теплопроводности и задаче Коши для урав-нения Лапласа, которая может быть сведена к обратной задаче по поиску неиз-вестного краевого условия. В докладе будет показано, что в первом и второмслучаях может быть достигнут двукратный выигрыш по времени счёта для од-ной итерации минимизационного процесса, а следовательно, и для решения об-ратных задач в целом. В третьем случае показано, что вычисление градиентафункционала невязки вообще не требует решения прямой и сопряжённой задач.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проект 12-01-00773) и проекта, выполняемого совместно СО РАН и НАНУкраины (проект 12, 2013).

161

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА —КОНЕЧНОМЕРНЫЙ АНАЛОГ УРАВНЕНИЙ

СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

LEONTIEF TYPE EQUATIONS —A FINITE DIMENSIONAL ANALOGUE

OF SOBOLEV TYPE EQUATIONS

Келлер А. В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;alevtinak@inbox.ru

В докладе представлен обзор результатов как теоретических, так и приклад-ных исследований математических моделей, в основе которых лежит уравнениелеонтьевского типа

Lx(t) = Mx(t) + f(t) +Du(t),

где L,M ,D — матрицы n×n, detL = 0. При моделировании экономической систе-мы это уравнение представляет собой вырожденную динамическую балансовуюмодель, при решении задач теории динамических измерений — математическуюмодель измерительного устройства (в этом случае f(t) = 0).

В обоих случаях, изучив модели как начальные задачи для уравнений леон-тьевского типа, используя при этом условие Шоуолтера – Сидорова[

(λL−M)−1L]p+1

(x(0)− x0) = 0,

построив алгоритм их численного решения, перешли затем и к рассмотрению за-дач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа и разработкечисленного метода их решения [1]. Для задач оптимального, жесткого, стартово-го и стартового жесткого управления доказана сходимость по норме приближен-ных решений, проведены вычислительные эксперименты как на реальных, таки модельных примерах. В настоящее время разрабатывается численный методрешения задач смешанного управления для уравнений леонтьевского типа.

Отметим, что использовать полученные результаты для уравнений леонтьев-ского типа в решении задач восстановления динамически искаженных сигналовпредложили А. Л. Шестаков и Г.А. Свиридюк [2], их модель позволяет решатьзадачи динамических измерений с учетом как инерционности и резонансов изме-рительного устройства, так и “белого шума”. Изучения последнего случая приве-ло к исследованию ряда задач, связанных как со стохастическими уравнениямисоболевского типа, так и стохастическими уравнениями леонтьевского типа.

Все результаты численного исследования моделей леонтьевского типа опи-раются на теоретические результаты, полученные для уравнений соболевскоготипа, и методы, развиваемые в челябинской математической школе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Келлер А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управлениядля моделей леонтьевского типа // Программные продукты и системы. 2011. 3.С. 170–174.

2. Шестаков А. Л., Свиридюк Г.А. Новый подход к измерению динамически искажен-ных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. 16 (192). Сер. Матем. модел. програм. 2010.Вып. 5. С. 116–120.

162

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЗАДАЧИ ДАРБУ И ДИРИХЛЕДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ

DARBOUX AND DIRICHLET PROBLEMSFOR THE TRICOMI EQUATION

Коврижкин В. В.

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия;rudin09@rambler.ru

Пусть Tu ≡ yuxx+uyy — формальный дифференциальный оператор,D — кри-волинейный треугольник в нижней полуплоскости с вершинами в точках A(0, 0),B(l, 0), C, стороны которого AB и AC — отрезки прямых, а BC — дуга харак-теристики оператора T (x + 2

3 |y|3/2 = l). Угол ∠A таков, что треугольник D —

выпуклый относительно характеристик T .Задача Дарбу — это задача об отыскании решения u ∈ W 1

2 (D) уравненияTu = f , f ∈ L2(D), такого, что u|AB∪AC = 0.

Под задачей Дирихле будем понимать задачу об отыскании решения u ∈W 1

2 (D) уравнения Tu = f , f ∈ L2(D), такого, что u|∂D = 0.Эти задачи являются формально сопряженными и свойства одной задачи

определяют свойства другой. Корректность задачи Дирихле для уравнения Три-коми с младшими членами определяется свойствами следующего параметра

d = sup

∥uy(x, 0)∥0∥Tu∥0

∣∣∣∣ u ∈ C2(D), u|∂D = 0

,

где ∥ · ∥0 — норма в L2 над соответствующим множеством. В свою очередь, дляизучения свойств этого параметра строится аналог функции Грина следующейзадачи Дирихле u ∈ L2(D), Tu = 0, u|AC∪BC = 0, u|AB = τ , где τ ∈ L2(AB) —заданная функция. Все последние равенства понимаются в обобщенном смысле.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коврижкин В. В. О слабых решениях задачи Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972.Т. 8, 1. С. 68–75.

163

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МОНОТОННЫХИ НЕМОНОТОННЫХ РАЗНОСТНЫХ

СХЕМ СКВОЗНОГО СЧЁТАTHE ACCURACY COMPARISON OF SOME

MONOTONIC AND NONMONOTONICSHOCK-CAPTURING DIFFERENCE SCHEMES

Ковыркина О. А.1, Остапенко В. В.2

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; 1olyana@ngs.ru, 2ostapenko_vv@ngs.ru

В большинстве работ тестирование разностных схем повышенной точности,предназначенных для сквозного расчёта разрывных решений, проводится путемсравнения разностного и точного решений в окрестности фронта ударной волны.При этом если разностная схема с высокой точностью локализует фронт волны(т. е. без видимых осцилляций размазывает его на достаточно малое число яче-ек разностной сетки и число этих ячеек не зависит от интенсивности волны),то неявно предполагается, что схема должна с повышенной точностью аппрок-симировать условия Гюгонио и, как следствие, сохранять повышенный порядоксходимости в области его влияния.

В настоящей работе предложен метод, позволяющий оценивать точность пе-редачи разностной схемой сквозного счёта условий Гюгонио через фронт удар-ной волны. Этот метод связан с определением порядка сходимости интеграла отразностного решения (а не от его модуля, как в норме L1) на отрезках, пересе-кающих линию фронта ударной волны [1]. При таком интегрировании ошибка,возникающая перед фронтом ударной волны за счёт его размазывания, можетбыть компенсирована аналогичной ошибкой противоположного знака за фрон-том волны. Приводимые примеры показывают, что этот подход для некоторыхклассических разностных схем повышенного порядка аппроксимации позволяетполучать второй порядок интегральной сходимости на отрезках, пересекающихлинию фронта ударной волны.

В частности, расчёты показали, что схемы МакКормака [2] и Русанова [3] го-раздо хуже, чем TVD схема Хартена [4], локализуют фронт волны, имея на нёмзаметные осцилляции разностного решения. Несмотря на это, данные немонотон-ные схемы с существенно более высокой точностью передают условия Гюгониочерез фронт ударной волны, что отражается в их более высоком порядке инте-гральной сходимости и в большей точности при вычислении инвариантов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФдля поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант МК-3477.2013.1), проекта, выполняемого совместно НАН Украины и СО РАН (проект 8),Президиума РАН (проект 4.8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ковыркина О. А., Остапенко В. В. О сходимости разностных схем сквозного счёта //ДАН. 2010. Т. 433, 5. C. 599–603.

2. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA.1969. Paper 69–354.

3. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счётаразрывных решений // ДАН. 1968. Т. 180, 6. С. 1303–1305.

4. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys.1983. V. 49. P. 357–393.

164

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙA CONJUGATION PROBLEM FOR SOME

NONCLASSICAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Кожанов А. И.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;kozhanov@math.nsc.ru

Работа посвящается исследованию разрешимости задач сопряжения для неклас-сических дифференциальных уравнений вида

Lu ≡ (−1)p+1D2pt u− h(x)uxx + c(x, t)u = f(x, t), (1)

Mu ≡ (−1)pD2p+1t u− h(x)uxx + c(x, t)u = f(x, t), (2)

здесь x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ), Dkt =

∂k

∂tk, p ≥ 0 — целое число. Функция h(x)

в уравнениях (1) и (2) положительна на [0, 1] и может иметь разрыв первогорода в точке x0 интервала (0, 1). Условия сопряжения в рассматриваемых зада-чах определяются линейно-независимыми в каждый момент времени t векторами(α1(t), α2(t), α3(t), α4(t)) и (β1(t), β2(t), β3(t), β4(t)) и имеют вид

α1(t)u(x0 − 0, t) + α2(t)ux(x0 − 0, t) + α3(t)u(x0 + 0, t) + α4(t)ux(x0 + 0, t) = 0,

β1(t)u(x0 − 0, t) + β2(t)ux(x0 − 0, t) + β3(t)u(x0 + 0, t) + β4(t)ux(x0 + 0, t) = 0.

Для изучаемых задач сопряжения указываются условия на векторы (α1(t), α2(t),α3(t), α4(t)) и (β1(t), β2(t), β3(t), β4(t)), при выполнении которых существует ре-гулярное решение задачи. Обсуждаются также некоторые ситуации, приводящиек неединственности решений. Далее, рассматриваются задачи, в которых функ-ция h(x) может иметь несколько точек разрыва (первого рода). Рассматриваютсятакже задачи сопряжения и для некоторых других дифференциальных уравне-ний.

165

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНОГОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГОПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

STABILIZATION OF SOLUTIONSOF AN ANISOTROPIC HIGH ORDER

PARABOLIC EQUATION IN UNBOUNDED DOMAINS

Кожевникова Л.М.1, Леонтьев А. А.2

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,Стерлитамак, Россия; 1kosul@mail.ru, 2alexey_leontiev@inbox.ru

Пусть Ω — неограниченная область пространства Rn = x = (x1, . . . , xn),n ≥ 3. В цилиндре D = t > 0 × Ω рассматривается первая смешанная задача

(|u|k−2u)t =n∑α=1

(−1)mα−1Dmαxα

(|Dmα

xα u|pα−2Dmα

xα u), (1)

pn ≥ . . . ≥ p1 > k > 1, mα ∈ N, α = 1, n;

Djxαu(t,x)

∣∣∣S

= 0, S = t > 0 × ∂Ω, j = 1,mα − 1, α = 1, n; (2)

u(0,x) = φ(x), φ(x) ∈ Lk(Ω), φxα(x) ∈ Lpα(Ω), α = 1, n. (3)

В работе установлены двусторонние оценки, характеризующие скорость убыва-ния решения задачи (1)–(3) при t→∞.

Рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs,s ∈ 2, n− 1 (Ω ⊂ R+

n [s] = x ∈ Rn |xs > 0, сечение γr = x ∈ Ω | xs = r не пустои ограничено при любом r > 0). Введем обозначение: Ωba = x ∈ Ω |a < xs < b,значение a = 0 опускается. Предполагается, что suppφ ⊂ Ωz0 , z0 > 0.

Теорема 1. Существует положительное число C(φ, k, p1, a, b) и решение u(t,x)задачи (1)–(3) такие, что выполнено неравенство

∥u(t)∥Lk(Ω) ≥ ∥φ∥Lk(Ω) (C(φ)t+ 1)−1/(p1−k) , t > 0.

Определение. Неограниченную возрастающую последовательность положи-тельных чисел zN∞N=0 будем называть λ[s]-последовательностью области Ω, ес-ли существует число θ > 0 такое, что выполняются неравенства

1 ≤ θλ(zN , zN+1)∆qsN , ∆N = zN+1 − zN , N = 0,∞, λ(r1, r2) = min

α=1,nλpαα (r1, r2),

λα(r1, r2) = inf∥∥Dmα

xα g∥∥Lpα (Ω

r2r1

)

∣∣∣ g(x) ∈ C∞0 (Ω), ∥g∥Lpα (Ω

r2r1

) = 1, α = 1, n.

Для N = 0,∞ определим последовательность

µ1(N) = inf∥∥Dm1

x1g∥∥Lp1 (Ω

zN )

∣∣∣ g(x) ∈ C∞0 (Ω), ∥g∥Lk(ΩzN ) = 1

.

Пусть N(t) — произвольная положительная функция, для которой

(µp11 (N(t))t)−1/(p1−k) exp (κN(t)) ≥ 1, t > 0.

Теорема 2. Пусть существует λ[s]-последовательность zN∞N=0 иlimN→∞

µ1(N) = 0. Тогда найдется число M(ps, p1,ms, k, ∥φ∥Lk(Ω)) > 0 и решение

u(t,x) задачи (1)–(3) такие, что справедливо неравенство

∥u(t)∥Lk(Ω) ≤M (µp11 (N(t))t)−1/(p1−k) , t > 0.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-0081 а).

166

Секция “Дифференциальные уравнения”

МЕТОД СРАВНЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗАУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

A COMPARISON METHOD FOR STABILITY ANALYSISOF DELAY SYSTEMS

Козлов Р.И., Козлова О. Р., Ульянов С. А.

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; kozlov@icc.ru

Для систем с последействием, описываемых функционально-дифференциаль-ными уравнениями в банаховых пространствах E, B (E вложено в B)

x(t) = F (t, xt), t ∈ T ≡ [0,∞), x ∈ E, xt ∈ X ⊆ C(H,E), x ∈ B (H ≡ [−h, 0]), (1)

даются достаточные условия асимптотической и экспоненциальной устойчивостив терминах метода сравнения с векторными функционалами Ляпунова (ВФЛ)v(t, xt). В отличие от известных подходов предлагается использовать более адек-ватные задаче функционально-дифференциальные (ФД) системы сравнения (СС)

y(t) = f(t, yt), t ∈ T, y ∈ Rk, yt ∈ Y, Y — область в C(H,Rk), (2)

где f(t, φ) измерима по t, интегрально ограничена в каждой ограниченной обла-сти U ⊂ Y и квазимонотонно не убывает по φ (∀i = 1, k fi(t, φ) ≤ fi(t, ψ) ∀φ,ψ ∈ Y : φ ≤ ψ, φi(0) = ψi(0)) [1]. Эти условия обеспечивают существование дляуравнения (2) обобщенного решения Матросова — абсолютно непрерывной по tна промежутке T (y) = [t0, τ(y)) ⊆ Tt0 ≡ [t0,∞) функции y(t, t0, φ), ∀ (для почтивсех) t ∈ T (y) удовлетворяющей неравенствам lim

ψ→yt

f(t, ψ) ≤ y(t) ≤ limψ→yt

f(t, ψ) и

начальному условию yt0 = φ, в том числе верхнего решения y(t, t0, φ). Обоснова-нием применения таких ФД СС служит следующая лемма о неравенствах.

Лемма. Пусть v(t, φ) — непрерывная функция, v′(t, φ) — ее производная всилу (1), определяемая соотношением: v′(t, xt) ≥ lim

τ→0+

1τ (v(t + τ, xt+τ ) − v(t, xt)).

Если ∀t ∈ Tt0 ∀φ ∈ X v′(t, φ) ≤ f(t, vt(t, φ)) и v(t0, xt0) ≤ yt0 , где vt(t, φ)(θ) ≡vt+θ(t+ θ, φ(θ)), то ∀t ∈ T (x) ∩ T (y) v(t, xt) ≤ y(t, t0, yt0) (мажорирование ВФЛ vрешениями СС).

Обычным образом на основе леммы получаются теоремы сравнения с ВФЛ,сводящие задачу к установлению соответствующих свойств устойчивости в СС.Как и для дифференциальных СС, анализ их значительно облегчается нали-чием квазимонотонности. Так, экспоненциальная устойчивость ФД СС можетэффективно проверяться с помощью следующего утверждения. Пусть β(λ, z) ≡maxi=1,k

(f∗i (zeλ)/zi), f∗(φ) ≡ supc∈[0,1]

(f(cφ)/c), zeλ(θ) ≡ zeλθ (β(λ, z) убывает по λ).

Теорема. Автономная СС (2) обладает свойством экспоненциальной устой-чивости ES, если существует точка z ∈ Rk+ такая, что β(0, z) < 0. При этом вкачестве экспоненциального показателя можно взять любое число λz < 0 такое,что β(λz, z) ≤ λz (в частности — решение (единственное) уравнения β(λ, z) = λ).Когда f субдифференцируема в 0, для ES достаточно, чтобы матрица Γ(0) (по-зитивная), где Γ(λ) ≡ line

j=1,kf ′(0; 1jeλ), 1j — j-й орт в Rk, была гурвицевой.

Последняя часть теоремы обобщает один результат из [1].Работа выполнена при частичной поддержке Президиума РАН (программа 17) и

Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80).ЛИТЕРАТУРА

1. Smith H. L. Monotone dynamical systems: an introduction to the theory of competitiveand cooperative systems. Providence: AMS Publ., 1995.

167

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ПОСТРОЕНИИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯСИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ON GENERALIZED SOLUTION CONSTRUCTIONOF THE SYSTEM OF THE FIRST ORDER

QUASILINEAR EQUATIONS

Колпакова Е. А.

Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,Екатеринбург, Россия; eakolpakova@gmail.com

Рассмотрим задачу Коши для системы квазилинейных уравнений [1]

∂wi(t, x)

∂t+Hxi(t, x, w(t, x)) = 0, w(0, x) = σ(x), i = 1, . . . , n. (1)

Здесь (t, x) ∈ ΠT = [0, T ]× Rn.Задача (1) решается при следующих предположениях:

A1 Функция H(t, x, s) непрерывно дифференцируема по всем переменным и вы-пукла по s для любых (t, x) ∈ ΠT .

A2 Функции H(t, x, s), DsH(t, x, s), DxH(t, x, s) обладают подлинейным ростомпо s, локально липшицевы относительно x, s.

A3 Функция σ(x) непрерывно дифференцируема.

В силу предположений A1–A3 при любом ξ ∈ Rn существует, единственно ипродолжимо на весь интервал [0, T ] решение системы

˙x = DsH(t, x, s), ˙s = −DxH(t, x, s), ˙z = ⟨DsH(t, x, s), s⟩ −H(t, x, s), (2)

с краевыми условиями x(T, ξ) = ξ, s(T, ξ) = σ(ξ), z(T, ξ) =

∫ ξ

0

σ(x)dx. (3)

Определение. Локально ограниченная измеримая по Лебегу функция w :[0, T ]× Rn → Rn называется обобщенным решением задачи (1), если

w(t, x) ∈ cos(T − t, ξ) : x(T − t, ξ) = x, minξ∈Rn

z(T − t, ξ) = z(T − t, ξ).

Здесь x, s, z — решение системы (2), (3).Теорема. Если выполнены условия A1–A3, тогда решение задачи Коши су-

ществует и единственно.Показана связь между обобщенным решением задачи (1) и минимаксным ре-

шением соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана [2]

∂u

∂t−H

(t, x,

∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn

)= 0, u(T, x) =

∫ x

0

σ(y)dy.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 12-01-31300, 11-01-21400) и молодежного гранта Института матема-тики и механики им. Н. Н. Красовского.

ЛИТЕРАТУРА1. Dafermos C. M. Hyperbolic conservation law in continuum physics. Berlin: Springer-

Verlag, 2005.2. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого

порядка: перспективы динамической оптимизации. Москва, Ижевск: Институт ком-пьютерных исследований, 2003.

168

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С

НЕИЗВЕСТНЫМ МЛАДШИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ВСЛУЧАЕ ФИНАЛЬНОГО ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ

INVERSE PROBLEM FOR A MULTIDIMENSIONALHYPERBOLIC EQUATION WITH THE UNKNOWN

LOWER COEFFICIENT IN THE CASEOF FINAL REDEFINITION

Колтуновский О. А.

Южно-Сахалинский институт экономики, права и информатики,Южно-Сахалинск, Россия; koltoleg@rambler.ru

Пусть x = (x1, . . . , xn) — точка ограниченной области D пространства Rn сгладкой границей Γ, t — число из ограниченного интервала (0, T ), Q = D×(0, T ).

В цилиндре Q рассмотрим уравнение

utt −∆u+ q(x)ut = f0(x, t), (1)

где функция f0(x, t) известна и задана при (x, t) ∈ Q, ∆ — оператор Лапласа попеременным (x1, . . . , xn).

В работе изучаетсяОбратная задача. Найти функции u(x, t) и q(x), связанные в Q уравнени-

ем (1) такие, что выполняются условия

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ D, u(x, t)|Γ×(0,T ) = µ(x, t), (2)

u(x, T ) = u0(x), x ∈ D. (3)

Функции µ(x, t), u0(x), u1(x), u0(x) известны и заданы при x ∈ D, t ∈ [0, T ].Условия (2) являются условиями первой начально-краевой задачи для гипер-

болического уравнения (1). Условие (3) — условие финального переопределения,позволяющее найти вместе с решением u(x, t) неизвестный коэффициент q(x).

Предположение 1. Существует функция U = U(x, t) ∈ C5(Q), удовлетво-ряющая граничным условиям (2) и уравнению

Utt −∆U = f0(x, t), (x, t) ∈ Q.

Достаточные для этого условия гладкости границы Γ, функций f0(x, t), µ(x, t),u0(x), u1(x) и условия согласования функций приведены в [1].

Предположение 2. Размерность области D равна 2 или 3, граница Γ ∈ C2.Введем пространство функций

V=v(x, t) : v(x, t) ∈W 2

2 (Q), vt(x, t) ∈W 22 (Q), vtt(x, t) ∈W 2

2 (Q)∩L∞(0, T ;W 2

2 (D))

с нормой ∥v∥V = ∥v∥W 22 (Q) + ∥vt∥W 2

2 (Q) + ∥vtt∥W 22 (Q) + ∥vtt∥L∞(0,T ;W 2

2 (D)).Пусть в области D выполняется неравенство |Ut(x, t)| ≥ U∗, где U∗ — доста-

точно большое число по сравнению с нормами

∥f0(x, 0)+∆u0(x)∥C(D), ∥Utxi(x, T )∥C(D), ∥∆u0(x)−∆U(x, T )∥C1(D), ∥u1(x)∥C1(D).

Тогда справедливы теоремы существования и локальной единственности регу-лярного решения u(x, t), q(x) обратной задачи (1)–(3) такого, что u(x, t) ∈ V ,q(x) ∈ L∞(D).

ЛИТЕРАТУРА1. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука,

1976.

169

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ОБОБЩЕННОГОРЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМUSING SINGULARITIES OF A GENERALIZED

SOLUTION FOR HYPERBOLIC SYSTEMS

Коновалова Д.С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;dsk@math.nsc.ru

Рассмотрим гиперболическую систему n дифференциальных уравнений в част-ных производных 1-го порядка с неизвестной вектор-функцией u(x, y) = u1(x, y),. . . , un(x, y):

∂ui∂y− λi

∂ui∂x

= fi(x, y, u(x, y)), i = 1, . . . , n.

Здесь (x, y) — независимые переменные, λi — различные константы. Функцииfi(x, y, u) определены в полосе RY = (x, y) : x ∈ R1, 0 < y < Y . Предположимтакже, что в множестве RY задана ограниченная строго выпуклая область G сгладкой границей ∂G ∈ C1. Будем предполагать, что функции fi(x, y, u) непре-рывно дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными до 2-гопорядка включительно по переменным x, y, u1, . . . , un на множестве G∪(RY \G),а в каждой точке ∂G функции fi(x, y, u) имеют ненулевой разрыв 1-го рода попеременным x, y.

Ставится и исследуется следующая задача.Задача. Локализовать в RY линию разрывов функции f(x, y, u), если извест-

ны только значения решения на линиях y = Y и y = Y ∗, Y > Y ∗, т. е. u(x, Y ) иu(x, Y ∗) (линия y = Y ∗ лежит выше неоднородности G).

Отметим, что в задаче не требуется полного восстановления границы ∂G —речь идет лишь о нахождении некоторой оболочки неоднородности G. Для реше-ния задачи предлагается следующий алгоритм.

• На линиях y = Y и y = Y ∗ численно дифференцируются функции u(x, Y )и u(x, Y ∗).

• Фиксируются точки, в которых значения производных uix , i = 1, . . . , n,неограниченны. Для каждой компоненты ui таких точек будет две на пря-мой y = Y и столько же на прямой y = Y ∗.

• На прямых y = Y и y = Y ∗ для каждой компоненты ui имеется по дветочки — этого достаточно, чтобы провести через них пару параллельныхпрямых, которые и являются искомыми прямыми, соответствующими ком-поненте ui.

• Многоугольник, составленный из найденных отрезков характеристик и, бытьможет, отрезков прямых y = Y ∗ и y = 0, и является локализацией линииразрывов функции f(x, y, u).

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-тальных исследований (проект 13-01-00275).

170

Секция “Дифференциальные уравнения”

КОЛЕБАНИЯ В ЗАДАЧАХХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

OSCILLATIONS IN PROBLEMSOF CHEMICAL KINETICS

Кононенко Л. И.1, Тресков С.А.2

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;1larak@math.nsc.ru, 2treskov@math.nsc.ru

1. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений,описывающая бимолекулярную реакцию на поверхности катализатора

x1 = a− x1 − α[ω1 + (ω3 − ω1 − ω2)x1],

x2 = b− x2 − α[ω2 + ω4 + (ω3 − ω1 − ω2)x2],

y1 = β(2ω1 − ω3 − ω4), y2 = β(ω2 − ω3),

где ω1 = κ1x1(1 − y1 − y2)2 − κ−1y21 , ω2 = κ2x2(1 − y1 − y2) − κ−2y2, ω3 = y1y2,

ω4 = κ4x2y1 — обезразмеренные скорости четырёх стадий реакции.Областью изменения переменных является множество

W = (x1, x2, y1, y2) | 0 ≤ x1 ≤ a, 0 ≤ x2 ≤ b, 0 ≤ y1, 0 ≤ y2, y1 + y2 ≤ 1.

Данная система изучалась в [1].В силу иерархии κ−2, κ−1, κ4 ≪ κ1, κ2 ≪ 1, которую мы используем при

анализе модели, ε = 1/β — малый параметр, x1, x2 — медленные переменные,y1, y2 — быстрые переменные.

В системе имеют место релаксационные колебания, т. е. периодические тра-ектории, которые содержат как участки медленных движений (проходимых законечное время), так и участки быстрых движений (проходимых за бесконечномалое время).

2. Изучается система обыкновенных дифференциальных уравнений, описыва-ющая модель реакции Жаботинского в реакторе непрерывного перемешивания

εx = −x3 + x− y,y = k2x

2 + k1x− y − k3,k1, k2 ≥ 0, k3 ∈ R, ε > 0.

Найдены устойчивые циклы, в том числе имеющие характерную форму реше-ний-уток.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00074) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кононенко Л. И. Катастрофа сборки в математической модели каталитического ре-актора идеального перемешивания // Сиб. журн. индустр. математики. 2001. Т. 4, 1. С. 116–119.

2. Волокитин Е. П., Тресков С. А. Бифуркационная диаграмма одной системы уравне-ний. Новосибирск, 1988. (Препринт / ИМ СО АН СССР; 17).

171

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСАON SOME INVERSE PROBLEMS FOR A LINEARIZED

HEAT AND MASS TRANSFER SYSTEM

Короткова Е. М.

Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск, Россия;kem@uriit.ru

Рассматривается линеаризованная система уравнений тепломассопереноса

ut − ν∆u+∇p =

n∑j=1

Bjuxj +B0u+ f + βCC + βθΘ, div u = 0, (1)

Θt − λθ∆Θ +n∑j=1

bjΘxj + b0Θ = fθ +n∑j=1

bjuj , (2)

Ct −n∑

i,j=1

cijCxixj +

n∑j=1

cjCxj + c0C = fc +

n∑j=1

cjuj , (3)

где ν = const > 0, (x, t) ∈ Q = G × (0, T ) (G ⊂ Rn, T < ∞), u = (u1, . . . , un), Θ,p, C = (C1, . . . , Cm) — вектор скорости, температура жидкости, давление, век-тор концентраций примесей в жидкости и fc — объемная плотность источниковпримесей. Коэффициенты в левой части (3) — матрицы-функции размерностиm×m. Система (1)–(3) дополняется начальными и граничными условиями

u|t=0 = u0, u|S = g1(t, x), Γ = ∂G, S = Γ× (0, T ), (4)

Θ|t=0 = Θ0, Θ|S = g2(t, x), C|t=0 = C0, C|S = g3(t, x) (5)

и условиями переопределения

C|Si = ψi(Si = (0, T )× Γi, i = 1, . . . ,m0, r = m0m

), (6)

где Γi — множество гладких s-размерных поверхностей, лежащих в G. Поданным (4)–(6) восстанавливается решение u, Θ, C задачи (1)–(5) и функция

fc = f0(x, t) +r∑i=1

fi(x, t)qi(x′, t) (x′ = (x1, x2, . . . , xs)). Здесь функции fi известны

и функции qi подлежат определению с использованием условий (6).Указываются условия на геометрию области G и данные задачи, когда задача

(1)–(6) имеет единственное решение из класса u ∈ W 2,1q (Q), p ∈ Lq(0, T ; W 1

q (G))

(здесь символ W 1q (G) обозначает класс функций p ∈ W 1

q,loc(G) таких, что∇p ∈ Lq(G)), qj ∈ Lq (j = 1, . . . , r) в соответствующей области изменения пе-ременных (x′, t), Θ, C ∈W 2,1

q (Q).Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 12-01-00260).

172

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ФУНКЦИИИСТОЧНИКА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО

УРАВНЕНИЯ ТИПА БЮРГЕРСА

AN IDENTIFICATION PROBLEM OF THE SOURCEFUNCTION IN A MULTIDIMENSIONAL

BURGERS TYPE EQUATION

Коршун К. В.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;korshun007@inbox.ru

В работе исследуется задача определения функции источника для многомер-ного уравнения типа Бюргерса

ut =

n∑i=1

µi(t)∂2u

∂xi∂xi+

n∑i=1

a(t)uxi +

n∑i=1

b(t)uuxi + g(t)f(t, x).

Здесь µi(t), ai(t), bi(t), i = 1, . . . , n, — заданные функции, u(t, x), g(t) — неизвест-ные функции. Аналогичная задача для одномерного уравнения типа Бюргерсарассматривалась ранее в работе [1]. Рассматривается случай задачи Коши в по-лосе Π[0,T ] = (t, x) | 0 ≤ t ≤ T, x ∈ Rn.

В предположении достаточной гладкости входных данных исследуемая об-ратная задача приводится к прямой задаче Коши, которая решается методомрасщепления [2].

На основании полученных априорных оценок доказаны существование и един-ственность решения задачи Коши в классе гладких ограниченных функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белов Ю. Я., Коршун К. В. О задаче идентификации функции источника для урав-нения типа Бюргерса // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5, 4.С. 497–506.

2. Белов Ю. Я., Кантор С. А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: КрасГУ, 1999.

173

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕКТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИCONSTRUCTING THE CORRECT BOUNDARY VALUE

PROBLEMS FOR THE NONHOMOGENEOUSPOLYHARMONIC EQUATION IN A BOUNDED DOMAIN

Кошанов Б. Д.1, Китапбаева Б. Т.2, Бакытбек М. Б.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; 1koshanov@list.ru, 2kitapbaeva62@mail.ru

Пусть m и n — натуральные числа. В единичном шаре Ω = x : |x| < 1 ⊆ Rnрассмотрим неоднородное полигармоническое уравнение

∆mx u(x) = f(x), x ∈ Ω, (1)

с краевыми условиями

∂kju

∂nkjx

∣∣∣∣x∈∂Ω

= φj(x), x ∈ S, j = 1, . . . ,m; 0 ≤ k1 < . . . < km ≤ 2m− 1. (2)

Обычно для существования регулярного решения на исходные данные f(x),φ1(x), . . . , φm(x) накладываются ограничения двух типов [1, 2]:1) требуется некоторая их гладкость;2) некоторые условия типа ортогональности к решениям соответствующего од-нородного союзного уравнения.

В данной работе удается сформулировать критерий разрешимости зада-чи (1), (2) в исходных терминах [3]. Даны представления функции Грина за-дачи Дирихле (когда k1 = 0, k2 = 1, . . . , km = m − 1) для полигармоническогоуравнения в шаре без ограничений на число пространственных переменных и по-рядок уравнения [4], а также построены некоторые классы корректных краевыхзадач в ограниченной области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. Begehr H., Du J., Wang Y. A Dirichlet problem for polyharmonic functions // Ann. Mat.

Pura Appl. 2008. V. 187, N 4. P. 435–457.3. Кангужин Б. Е., Кошанов Б. Д. Необходимые и достаточные условия разрешимости

краевых задач для полигармонического уравнения // Уфимск. мат. журн. 2010. 2.С. 41–52.

4. Кальменов Т. Ш., Кошанов Б. Д. Представление функции Грина задачи Дирихледля полигармонических уравнений в шаре // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, 3.С. 534–539.

174

Секция “Дифференциальные уравнения”

О НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ

ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙABOUT SOME NONLOCAL AND INVERSE PROBLEMS

FOR ULTRAPARABOLIC EQUATIONS

Кошелева Ю. А.

Сахалинский государственный университет, Южно-Сахалинск, Россия;ynuta@mail.ru

Работа посвящена исследованию разрешимости задач нахождения вместе срешением u(x, t) ультрапараболических уравнений с временными переменнымиt и a также неизвестного внешнего воздействия или же неизвестного коэффици-ента при решении.

Пусть x есть точка ограниченной области Ω пространства Rn, t и a есть точкиинтервалов (0, T ) и (0, A) соответственно.

Рассматриваются задачи нахождения решения u(x, t, a) и неизвестных коэф-фициентов g1(x, a), . . . , gm(x, a) или же g1(t), . . . , gm(t) в уравнениях

ut + ua −∆u+ c(x, t, a)u = f(x, t, a) +m∑k=1

gk(x, a)hk(x, t, a),

ut + ua −∆u+ c(x, t, a)u = f(x, t, a) +m∑k=1

gk(t)hk(x, t, a)

при задании естественных начально-краевых условий, а также некоторых усло-вий переопределения точечного или интегрального вида (количество условий пе-реопределения совпадает с количеством неизвестных коэффициентов g1, . . . , gm,функции h1, . . . , hm здесь заданы и являются линейно независимыми).

Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственно-сти регулярных решений. Методы исследования основываются на сведении ис-ходной обратной задачи к прямой задаче для “нагруженного” ультрапараболи-ческого уравнения, использовании метода регуляризации и метода априорныхоценок.

При некоторых ограничениях малости на входные данные исследована такжеразрешимость некоторых задач определения коэффициентов.

175

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТАСПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ЧЛЕНЕВ ДВУМЕРНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

AN IDENTIFICATION PROBLEM OF THE SPECIALFORM COEFFICIENT AT A NONLINEAR TERM

FOR A TWO-DIMENSIONAL PARABOLIC EQUATION

Кригер Е.Н.1, Фроленков И. В.2

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;1e_katherina@mail.ru, 2igor@frolenkov.ru

В полосе G[0,T ] =

(t, x, z) | 0 ≤ t ≤ T, (x, z) ∈ R2

рассматривается задачаКоши для параболического уравнения

ut = uxx+uzz+ux+uz+M(t, u(t, x, z))λ(t, x, z)+f(t, x, z), t ∈ (0, T ), (x, z) ∈ R2,

с начальным условием: u(0, x, z) = u0(x, z), (x, z) ∈ R2.Неизвестными в задаче являются функция u(t, x, z) и коэффициент λ(t, x, z),

относительно которого известна априорная информация о его виде:

λ(t, x, z) = λ1(t, x) + λ2(t, z).

Заданы условия переопределения:

u(t, x, α) = φ(t, x), u(t, β, z) = ψ(t, z), α, β = const.

Относительно нелинейной функции M(t, u) предполагаем, что она являетсядостаточно гладкой и удовлетворяет следующему условию:∣∣∣∣ ∂k∂ykM(t, y)

∣∣∣∣ ≤M0(1 + |y|p), k = 0, . . . , 6, t ∈ [0, T ], y ∈ R,

где M0 — постоянная, p — фиксированное натуральное число.Используя набор условий переопределения, обратная задача сводится к пря-

мой для нагруженного параболического уравнения, разрешимость которой иссле-дуется с использованием метода слабой аппроксимации [1]. Доказаны теоремысуществования и единственности решения исходной задачи в малом временноминтервале.

Ранее в работе [2] была исследована задача идентификации зависящего от t, xкоэффициента при нелинейном члене. В [3] изучен случай, когда неизвестный ко-эффициент зависит от временной и одной пространственной переменной, а усло-вия переопределения заданы на гладкой кривой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.2. Белов Ю. Я., Фроленков И. В. Некоторые задачи идентификации коэффициентов

полулинейных параболических уравнений // ДАН. 2005. Т. 404, 5. С. 583–585.3. Белов Ю. Я., Фроленков И. В. О задаче идентификации двух коэффициентов пара-

болического полулинейного уравнения с условиями переопределения, заданными нагладкой кривой // Специальный выпуск журнала “Вычислительные технологии”,посвященный 85-летию академика Н. Н. Яненко. 2006. Т. 11, ч. 1. С. 46–54.

176

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ОДНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИABOUT ONE DIFFERENTIAL EQUATION

Куркина М. В.1, Родионов Е. Д.2, Славский В.В.1

1Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск, Россия;2Алтайский государственный университет, Барнаул, Россия;

mavi@inbox.ru, edr2002@mail.ru, slavsky2004@mail.ru

Теория выпуклых подмножеств (кривых) на плоскости Лобачевского H2κ от-

рицательной кривизны (−κ) тесно связана с обыкновенным дифференциальнымуравнением:

y(t)y′′(t)− 1

2(y′(t))

2+

1

2(y(t))

2= K1/2(t), 0 ≤ t ≤ 2π. (1)

Доказана теорема.Теорема. Для произвольной измеримой 2π-периодической ограниченной

функции K1/2(t) существует 2π-периодическое решение y(t) уравнения (1), при-надлежащее классу C1,1.

Замечание. Доказательство основано на связи [1–4] между локально выпук-лыми кривыми на плоскости Лобачевского H2

κ отрицательной кривизны (−κ) ифункциями y(t), 0 < t < 2π, удовлетворяющими (1) с условием |K1/2(t)| ≤ κ/2.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для поддерж-ки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект 12-12-22000-а(р)),ФЦПК “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России”на 2009–2013 гг. (соглашение 8206, номер заявки 2012-1.1-12-000-1003-014) и ФЦП“Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (гос.контракт 02.740.11.0457).

ЛИТЕРАТУРА

1. Куркина М. В., Родионов Е. Д., Славский В. В. Об одномерных конформных плос-ких сплайнах // Сборник научн. статей междунар. школы-семинара “Ломоносовскиечтения на Алтае”, Барнаул, 20–23 ноября, 2012: в 4 ч. Барнаул: АлгГПА, 2012. Ч. 1.С. 306–311.

2. Гладунова О. П., Родионов Е. Д., Славский В. В. Конформные сплайн-функции //Современные проблемы математики и механики. 2011. Т. 6, вып. 2. С. 112–129.

3. Куркина М. В., Родионов Е. Д., Славский В. В. Численные методы интерполяции,основанные на выпуклой геометрии в пространстве Лобачевского // Вестн. НГУ(в печати).

4. Родионов Е. Д., Славский В. В. Конформно-плоские римановы пространства и ихобобщения // Тр. междунар. конф. “Дни геометрии в Новосибирске, 2011”. Новоси-бирск, 2012. С. 45–93.

177

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ТРЕХМЕРНОЙНАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

GLOBAL SOLVABILITY OF A THREE-DIMENSIONALINITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM

FOR THE EQUATIONS OF MIXTUREOF VISCOUS COMPRESSIBLE FLUIDS

Кучер Н. А.

Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия;nakycher@rambler.ru

В работе рассматривается начально-краевая задача для нелинейной системыдифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамикусмеси вязких сжимаемых жидкостей, в общем случае трех пространственных пе-ременных. Доказывается глобальная по времени разрешимость указанной вышеначально-краевой задачи в классе регулярных обобщенных функций.

178

Секция “Дифференциальные уравнения”

О СУЩЕСТВОВАНИИОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ТРЕЩИНЫ В ЗАДАЧЕ

О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО

EXISTENCE OF AN OPTIMAL CRACK SHAPEIN THE EQUILIBRIUM PROBLEM

FOR A TIMOSHENKO TYPE PLATE

Лазарев Н. П.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; nyurgun@ngs.ru

Рассматривается задача о равновесии упругой изотропной пластины (моделиТимошенко), содержащей вертикальную сквозную трещину. При этом на кривой,описывающей трещину, задаются краевые условия вида неравенств [1]. Исследу-ется зависимость решений задачи от формы кривой, задающей трещину. Дока-зано существование оптимальной кривой, доставляющей экстремум для функ-ционала качества, описывающего отклонение от заданного обобщенного вектораперемещений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 12-01-31076 мол_а, 13-01-00017 а) и Минобрнауки РФ (соглашение 8222).

ЛИТЕРАТУРА

1. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.2. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную

трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, 4. С. 32–43.3. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи чет-

вертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, 2. С. 430–445.

179

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯСИСТЕМ ТИПА КОШИ – РИМАНА

POLYNOMIAL SOLUTIONSOF CAUCHY–RIEMANN TYPE SYSTEMS

Латфуллин Т. Г.

Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия;tlatfullin@ya.ru

В задачах, связанных с дифференцированием отображений в пространствахгиперкомплексных чисел и в банаховых алгебрах, естественно возникают систе-мы — аналоги условий Коши – Римана для отображений комплексной плоскости,это системы однородных линейных УЧП первого порядка с постоянными коэф-фициентами. Наиболее известные из них: 1) условия односторонней дифференци-руемости кватернионных отображений [1], 2) условие аналитичности по Фютеру(Fueter) кватернионных отображений [1], 3) система Моисила – Теодореско [2,с. 242].

Множество решений системы 1) содержит только линейные функции, а мно-жество решений систем 2), 3) и системы Коши – Римана значительно богаче,содержит, например, полиномиальные отображения любой натуральной степени.Оказывается, этот эффект довольно просто можно объяснить языком линейнойалгебры.

Используем обозначение ui =∂u

∂xi. Пусть в области G ⊂ Rn задан набор

u = (u1, . . . , uk) из k действительных функций. Зададим mk дифференциальныхоператоров

Φjiu = aji1uj1 + · · ·+ ajinu

jn, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ k,

и составим систему первого порядка

(Φ11 + Φ2

1 + · · · + Φk1)u = 0,(Φ1

2 + Φ22 + · · · + Φk2)u = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(Φ1

m + Φ2m + · · · + Φkm)u = 0.

(1)

Матрицу коэффициентов системы (1) обозначим A1, считаем, что строки матри-цы линейно независимы и что m < nk, иначе решения системы (1) будут посто-янными. Ищем решения среди бесконечно-дифференцируемых функций.

Систему (r) УЧП порядка r получим дифференцированием каждого уравне-ния из (r – 1) по всем переменным xj , матрицу системы (r) обозначим Ar. Ясно,что горизонтальный и вертикальный размеры Ar будут больше, чем размерыAr−1.

Теорема. Если каждый столбец матрицы A1 содержит ненулевые элементы идля некоторого r ≥ 2 ранг матрицы Ar равен рангу системы ее столбцов, а рангсистемы строк матрицы Ar−1 меньше ранга системы ее столбцов, то решениесистемы (1) состоит из многочленов степени не выше r − 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sudbery A. Quaternionic analysis // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1979. V. 85.P. 199–225.

2. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.М.: Наука, 1972.

180

Секция “Дифференциальные уравнения”

АНАЛИЗ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙСТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СЕДЛОВОГО ТИПА

STUDYING THE INVARIANT MANIFOLDSOF SADDLE STEADY STATES

Лашина Е.А.1, Чумакова Н. А.1, Чумаков Г.А.2

1Институт катализа им. Г.К. Борескова СО РАН, Новосибирск, Россия;lashina@catalysis.ru, chum@catalysis.ru

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;chumakov@math.nsc.ru

Работа посвящена развитию методов исследования инвариантных многообра-зий стационарных состояний седлового типа систем двух нелинейных обыкновен-ных дифференциальных уравнений вида

x = f(x, y, z), y = g(x, y, z)

с вещественным параметром z. Для уточнения гомоклинической траектории —петли сепаратрисы грубой стационарной точки типа седла (с седловой величиной,отличной от нуля) нами предложен итерационный алгоритм [1], в котором припереходе от краевой задачи на числовой оси к краевой задаче на конечном ин-тервале для вычисления инвариантных подпространств использованы проекторына собственные подпространства линеаризованной системы в окрестности ста-ционарного состояния. Доказано, что оператор, определяющий линейную частьвозмущения проектора, является вещественным, и получено его аналитическоепредставление.

Эффективность данного алгоритма показана при изучении динамики однойнелинейной кинетической модели с параметром z ∈ [0, 1] (см. [1]):

x = k1(1− x− y)2 − k−1x2 − 2k3e

−µ3yx2y,

y = k2(1− x− y)2 − k4e−µ4y+µ5zy − k3e−µ3yx2y,(1)

где параметры µi (i = 3, 4, 5) и kj (j = ±1, 2, 3, 4) положительны, перемен-ные x и y рассматриваются в области Ω = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.Были уточнены значения параметров, при которых происходит бифуркация вы-рождения устойчивого периодического решения в петлю сепаратрисы седла.

В настоящей работе предложено обобщение алгоритма для уточнения петлисепаратрисы негрубого стационарного состояния типа седло-узел. При изучениимаксимальных семейств периодических решений системы (1) показано, что суще-ствуют значения параметров µi и kj такие, что при z > z∗ система имеет неустой-чивое стационарное состояние типа фокуса и устойчивый предельный цикл; приz = z∗ устойчивый предельный цикл вырождается в петлю сепаратрисы седло-узел; при z < z∗ существуют три грубых стационарных состояния: неустойчи-вый фокус, устойчивый узел и седло. Исследуя глобальное поведение решений вокрестности устойчивого инвариантного многообразия седла, мы доказали, чтопри z < z∗ рассматриваемая система не имеет предельных циклов.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Лашина Е. А., Чумаков Г. А., Чумакова Н. А. Максимальные семейства периодиче-

ских решений кинетической модели гетерогенной каталитической реакции // Вестн.НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 4. С. 3–20.

181

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О СДВИГЕ УПРАВЛЯЮЩЕГО СИГНАЛАВ МОДЕЛЯХ МАТРИЧНОГО СИНТЕЗА

ON THE SHIFT OF A CONTROLLING SIGNALIN MODELS OF MATRIX SYNTHESIS

Лихошвай В. А.1, Фадеев С. И.2

1Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск, Россия;likho@bionet.nsc.ru

2Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;fadeev@math.nsc.ru

В работе представлены результаты исследования решений систем обыкновен-ных дифференциальных уравнений специального вида, возникающих при описа-нии матричных процессов синтеза ДНК, РНК и белков — нерегулярных биополи-меров большой и сверхбольшой протяженности. Данное направление иницииро-вано потребностями математической биологии гена в теоретическом обоснованииметодов моделирования биологических систем, функционирующих под управле-нием молекулярно-генетических систем [1–3].

В настоящей работе мы продолжаем исследования в данном направлении.Матричные процессы рассматриваются как процессы переноса управляющегосигнала вдоль последовательной цепочки промежуточных стадий процесса син-теза. Рассмотрен случай, в котором процессы матричного синтеза имеют ветвле-ния, а количество промежуточных стадий (размерность системы) не определено.Сформулирован ряд гипотез о свойствах сдвига управляющего сигнала, прове-дена их численная проверка. Для частного случая дано строгое обоснование.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00344) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И. Задачи теории функционированиягенных сетей // Сиб. журн. индустр. математики. 2003. Т. 6, 2. С. 64–80.

2. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Демиденко Г.В. Матушкин Ю. Г. Моделированиеуравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвле-ния // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, 1. С. 73–94.

3. Демиденко Г. В., Колчанов Н. А., Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И.Математическое моделирование регуляторных контуров генных сетей // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, 12. С. 2276–2295.

182

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙОБРАТНЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

STABILITY ESTIMATES OF SOLUTIONSOF INVERSE EXTREMAL PROBLEMSFOR THE HELMHOLTZ EQUATION

Лобанов А. В.

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия;alekslobanov1@mail.ru

В последние годы большое внимание уделяется исследованию обратных за-дач для моделей акустического и электромагнитного рассеяния на неоднородныхвключениях. С помощью оптимизационного метода указанные задачи сводятсяк обратным экстремальным задачам. К необходимости решения такого типа за-дач приводят, в частности, задачи маскировки материальных объектов в жидкихсредах (см. [1–3]).

Предположим, что во внешности Ω∞e области Ω возникло поле pinc. Посколь-

ку область Ω является препятствием для поля pinc, то падение этого поля на Ωприводит к появлению в области Ω входящего поля p, а в области Ω∞

e — к появ-лению рассеянного поля ps. Математически задача определения полей p в Ω и psв Ω∞

e сводится к задаче нахождения поля p в Ω и внешнего поля pe = pinc + ps

в Ω∞e путем решения следующей задачи сопряжения:

∆p+k2ηp = −f в Ω, ∆pe+k2pe = 0 в Ω∞e , p = pe,

1

ρ

∂p

∂n=

1

ρe

∂pe∂n

на Γe, (1)

1

ρ

∂p

∂n= g на Γi,

∂ps(x)

∂r− ikps(x) = o(r−1) при r = |x| → ∞. (2)

Здесь k — постоянное волновое число, η = η(x) — переменный индекс рефракциив Ω, f — плотность объемных источников в Ω, функция g описывает плотностьповерхностных источников звукового поля на внутренней границе Γi области Ω.

В данной работе рассматривается обратная экстремальная задача для моде-ли (1), (2). Она заключается в нахождении неизвестных функций (управлений)η, g и решения задачи (1), (2), доставляющих минимум определенному функцио-налу качества. Доказывается ее разрешимость, строится система оптимальности,описывающая необходимые условия экстремума, и выводятся оценки устойчиво-сти оптимальных решений относительно малых возмущений как функционалакачества, так и одной из функций (падающей волны), входящей в исходную за-дачу сопряжения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проекты 13-01-00313, 12-01-31288 мол_а) и проекта 12-1-П17-03 ДВОРАН, тематика которого соответствует Программе 17 фундаментальных исследова-ний Президиума РАН.

ЛИТЕРАТУРА1. Cummer S. A., Schurig D. One path to acoustic cloaking // New J. Phys. 2007. V. 9.

P. 45.2. Романов В. Г. Обратная задача дифракции для уравнений акустики // ДАН. 2010.

Т. 431, 3. С. 319–322.3. Алексеев Г.В., Романов В. Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-

чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. математики. 2012.Т. 15, 2. C. 1–6.

183

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ А. А. САМАРСКОГО

ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

SPACE NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMSWITH A.A. SAMARSKII CONDITIONSFOR ULTRAPARABOLIC EQUATIONS

Лукина Г.А.

Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федеральногоуниверситета им. М.К. Аммосова, Мирный, Россия; lukina-g@mail.ru

Пусть Ω есть интервал (0, 1) оси Ox, Q = Ω × (0, T1) × (0, T2), 0 < T1 < +∞,0 < T2 < +∞. Далее, пусть c(x, t, τ), f(x, t, τ), αi(t, τ), βi(t, τ), i = 1, 2, — заданныефункции, определенные при x ∈ Ω, t ∈ [0, T1], τ ∈ [0, T2].

Краевая задача I: найти функцию u(x, t, τ), являющуюся в параллелепи-педе Q решением уравнения

ut + uτ − uxx + c(x, t, τ)u = f(x, t, τ) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, 0, τ) = 0, x ∈ Ω, τ ∈ (0, T2), (2)

u(x, t, 0) = 0, x ∈ Ω, t ∈ (0, T1), (3)

ux(0, t, τ) = α1(t, τ)u(0, t, τ) + α2(t, τ)u(1, t, τ), t ∈ (0, T1), τ ∈ (0, T2),

ux(1, t, τ) = β1(t, τ)u(0, t, τ) + β2(t, τ)u(1, t, τ), t ∈ (0, T1), τ ∈ (0, T2).(4)

Краевая задача II: найти функцию u(x, t, τ), являющуюся в параллелепи-педе Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2),(3), а также условия

ux(0, t, τ) = α1(t, τ)u(0, t, τ) + α2(t, τ)ux(1, t, τ), t ∈ (0, T1), τ ∈ (0, T2),

u(1, t, τ) = β1(t, τ)u(0, t, τ) + β2(t, τ)ux(1, t, τ), t ∈ (0, T1), τ ∈ (0, T2).

Краевые задачи с условиями вида (4) для линейных параболических уравне-ний были исследованы в работе А. И. Кожанова [1]. Нелокальные краевые зада-чи с условиями А. А. Самарского для ультрапараболических уравнений ранее неизучались.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевыхзадач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. ун-та. Сер. есте-ственнонаучная. 2008. 3 (62). С. 165–174.

184

Секция “Дифференциальные уравнения”

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫДВУХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПРИ ОСНОВНОМ

И КОМБИНАЦИОННОМ РЕЗОНАНСАХ

INSTABILITY OF A NONLINEAR SYSTEMOF TWO OSCILLATORS DUE TO MAINAND COMBINATIONAL RESONANCES

Люлько Н. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;natlyl@mail.ru

В [1] построена математическая модель водонефтяных газосодержащих си-стем. Показано, что при периодических внешних возмущениях в линеаризован-ной распределенной системе возникает параметрический резонанс, приводящийк разрушению всей системы. Настоящая работа является продолжением иссле-дований, начатых в [1], по изучению неустойчивости нелинейной модели газосо-держащих слоистых систем относительно внешних периодических возмущениймалой амплитуды. В данной работе исследуется задача Коши для нелинейнойсистемы двух осцилляторов (

d2

dt2+ σ2

1

)u = f,(

d2

dt2+ σ2

2

)f = q

((d2

dt2+ ω2

1

)u2 + ε

(d2

dt2+ ω2

2

)(u sin(ωt))

),

(1)

являющейся модельной для нелинейной системы в [1]. Здесь q > 0 — малыйфизический параметр, ε > 0 — амплитуда внешнего возмущения, ω > 0 — частотавнешнего возмущения, положительные числа σ1, σ2, ω1, ω2 — параметры модели.

Цель работы — исследование характера неустойчивости нулевого решения си-стемы (1) при ω = 2σ1 (основной резонанс) и при ω = σ1 + σ2 (комбинационныйрезонанс) для малых значений параметра q в зависимости от значений ε. Систе-ма (1) не является ни гамильтоновой (при записи в переменных u, f , u, f), нисистемой слабо связанных осцилляторов, наиболее часто исследуемых. Поэтомуосновным подходом при решении рассматриваемой задачи является применениеметода усреднения Крылова – Боголюбова к системе (1) и анализ усредненнойавтономной системы следующего вида:

dΨ

dt= qεB(ω)Ψ + q2

(ε2

iDΨ +

S3(Ψ)

i

), (2)

где B(ω), D — постоянные матрицы, S3(Ψ) — однородный полином третьей степе-ни относительно вектора Ψ ∈ C4; все выражения имеют вещественные коэффи-циенты. Для системы (2) удается найти два независимых интеграла (для каждогорезонанса), позволяющих исследовать поведение ее траекторий в целом при всехзначениях q, ε и определить максимальную амплитуду колебаний решений си-стемы (2), а следовательно, и системы (1). В терминах параметров q, ε найденаобласть неустойчивости системы (2) при ω = 2σ1.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных ис-следований Президиума РАН 15 и Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 30).

ЛИТЕРАТУРА1. Белоносов В. С., Доровский В. Н., Белоносов А. С., Доровский С. В. Гидродинамика

газосодержащих слоистых систем // Успехи механики. 2005. T. 3, 2. С. 37–70.

185

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КЛАССЫ ХАРДИ ИПРОСТРАНСТВА ВИНЕРА – СОБОЛЕВА

В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ВОЛНHARDY CLASSES AND WIENER–SOBOLEV SPACESIN NONLINEAR PROBLEMS OF THE WAVE THEORY

Макаренко Н. И.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

makarenko@hydro.nsc.ru

Задача об уединенных волнах и фронтах в неоднородной несжимаемой жид-кости формулируется как задача на собственные значения для квазилинейногоэллиптического уравнения, к которому надлежащим образом редуцируются гид-родинамические уравнения Эйлера. Семейства решений типа одиночных волн,как правило, ответвляются от основного безволнового решения в граничных точ-ках непрерывного спектра линеаризованного оператора [1–4]. При этом структу-ра спектра, как и сам вид исходного уравнения, существенно зависит от поляплотности жидкости в невозмущенном течении. Кроме того, ветви волновых ре-шений могут претерпевать вторичные бифуркации, связанные с существованиемспецифических предельных волновых режимов.

Строгое математическое описание упомянутого выше бифуркационного сце-нария обычно использует двухступенчатую процедуру типа модифицированно-го метода Ньютона. Первым шагом в ней является анализ свойств резольвентыоператора, линеаризованного на основном безволновом решении. На втором эта-пе методами возмущений строится асимптотическое решение типа уединеннойволны, в окрестности которого устанавливается сходимость итераций метода по-следовательных приближений к искомому точному решению. Реализация этойсхемы часто осложняется необходимостью рассмотрения бифуркаций не изоли-рованных решений, а их орбит, связанных с групповой инвариантностью исход-ной задачи. По этой причине адекватный выбор функциональных пространствдля получения оценок резольвенты линеаризованного оператора и согласован-ных с ними оценок возмущающих нелинейных операторов играет ключевую роль.В докладе в данном контексте обсуждаются свойства некоторых весовых классовфункций с экспоненциальной асимптотикой затухания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Makarenko N. I. Equivariant cosimmetry and front solutions of the Dubreil–Jacotin–Longequation // C. R. Acad. Sci. Ser. I. 2003. Part 1: V. 337, N 11. P. 753–756. Part 2: V. 337,N 12. P. 815–818.

2. Makarenko N. I., Maltseva J. L., Kazakov A. Yu. Conjugate flows and amplitude boundsfor internal solitary waves // Nonlin. Proc. Geophysics. 2009. V. 16, N 2. P. 169–178.

3. Макаренко Н. И., Мальцева Ж. Л. О спектре фазовых скоростей внутренних волн вслабостратифицированной двухслойной жидкости // Изв. РАН. Механика жидкостии газа. 2009. 2. С. 125–145.

4. Голосов К. В., Макаренко Н. И. Об одной краевой задаче теории внутренних волн //Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 4. С. 21–31.

186

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

ON A PURSUIT PROBLEM WITH DELAY

Мамадалиев Н.

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека,Ташкент, Узбекистан; m_numana59@mail.ru

В настоящей работе получено достаточное условие разрешимости задачи уп-равления пучками траекторий при наличии запаздывания.

Рассматривается линейная дифференциальная игра преследования

z(t) = Az(t) +Bz(t− h)− Cu(t) +Dv(t) + a, t ≥ 0, (1)

где z ∈ Rn, n ≥ 1; h — величина запаздывания; a — точка пространства Rn;A, B, C, D — постоянные матрицы. Преследующий и убегающий игроки в каче-стве допустимых управлений u(·) и v(·) выбирают из класса измеримых функ-ций, удовлетворяющих ограничениям: ∥u(·)∥L2[0,+∞) ≤ ρ, v(t) ∈ Q, где Q — непу-стое компактное подмножество Rq, ρ — неотрицательная константа.

Через R(t), −h ≤ t ≤ 0, обозначим произвольное измеримое многозначноеотображение. В Rn выделено терминальное множество M . Кроме того, заданомножество N(R(·)), из точек которого исходят траектории уравнения (1), назы-ваемое начальным множеством.

Пусть coX — выпуклая оболочка множества X ⊂ Rn. Через [coX] обозначимнесущую плоскость множества coX, его размерность обозначим через m. ПустьE — постоянная матрица такая, что E : Rm → Rq, ERm = [coQ].

Предположение. Для всех t ∈ [0, τ ] имеет место включение πK(t)CRp ⊃πK(t)DERm, где матричная функция K(t), −∞ ≤ t ≤ τ , определена в [1].

При выполнении предположения, как хорошо известно [2], существует матри-ца F (τ, t), 0 ≤ t ≤ τ , такая, что имеет место равенство πK(t)CF (τ, t) = πK(t)Dна отрезке [0, τ ].

Пусть χ(τ) — арифметический корень числа

χ2(τ) = sup τ∫

0

|F (τ, t)v(t)|2dt : v(t) ∈ Q, 0 ≤ t ≤ τ.

Множество W2[M1∗H[τ,N(R(·))], τ ] определим следующим образом:

W2[M1 ∗H[τ,N(R(·))], τ ] =[M1∗H[τ,N(R(·))]

]+W (τ).

Теорема. Пусть выполнены условия предположения и существует моментвремени τ = τ1(zo(·)) > 0 такой, что при τ = τ1(zo(·)) имеет место включение

τ∫0

πK(t)adt ∈ W2[M1 ∗H [τ, N (R (·))] , τ ].

Тогда в игре (1) пучок траекторий можно перевести из множества N(R(·)) намножество M за время T = τ .

ЛИТЕРАТУРА1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М: Мир, 1967.2. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. 2. М: Наука, 1988.

187

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БИНАРНЫХ

СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR THE EQUATIONS OF VISCOUS

COMPRESSIBLE BIFLUIDS

Мамонтов А. Е.1, Прокудин Д. А.2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; mamont@hydro.nsc.ru

2Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия;daprokudin@kemsu.ru

Рассматриваются уравнения движения бинарных смесей вязких сжимаемыхжидкостей, в том числе теплопроводных. В качестве основы при формулировкемодели взяты идеи, изложенные в [1, 2]. А именно, для каждой компоненты смесипишутся уравнения неразрывности и импульсов (и энергии, для теплопроводныхмоделей), а взаимодействие между компонентами происходит как через обменимпульсом (что не создает существенных математических трудностей), так и че-рез вязкие члены, т. е. за счет недиагональности матрицы вязкостей. Последнееобстоятельство представляет собой основную черту, отличающую рассматривае-мые модели от уже хорошо развитой теории движения однокомпонентных вяз-ких сжимаемых жидкостей и не позволяющую автоматически распространитьизвестные результаты на случай смесей.

В докладе будут представлены теоремы существования решений стационар-ных краевых задач для нескольких моделей движения смесей, будут обсуждатьсяперспективы и трудности дальнейшего развития теории, а также нюансы, свя-занные с формулировкой моделей. Некоторые из представленных результатовопубликованы или готовятся к публикации в [3–5].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00529).

ЛИТЕРАТУРА

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987.2. Rajagopal K. L., Tao L. Mechanics of mixtures. Singapore: World Scientific Publishing,

1995.3. Кучер Н. А., Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Стационарные решения уравнений

динамики смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей // Сиб. мат. журн.2012. Т. 53, 6. С. 1338–1353.

4. Mamontov A. E., Prokudin D. A. Viscous compressible multi-fluids: modeling andmulti-D existence // Methods Appl. Anal. 2013. V. 20, N 2.

5. Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость стационарной краевой задачи дляуравнений движения однотемпературной смеси вязких сжимаемых теплопроводныхжидкостей // Изв. РАН. Сер. мат. 2013 (в печати).

188

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ С КОНТАКТНЫМРАЗРЫВОМ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ

НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПРИТЯГИВАЮЩЕЙ СФЕРЕSTABILITY OF THE SOLUTION WITH THE CONTACTDISCONTINUITY OF SHALLOW WATER EQUATIONS

ON A ROTATING ATTRACTING SPHERE

Мамонтов Е. В.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; mamontov@hydro.nsc.ru

Рассматривается система уравнений мелкой воды, записанная в виде законовсохранения

(r h sin θ)t + (q sin θ)θ +Qφ = 0,

(r q sin θ)t +

((qv +

gh2

2

)sin θ

)θ

+ (qV )φ −(QV +

gh2

2

)cos θ

= W(W h sin2 θ cos θ +Q sin 2θ

),

(r Q sin θ)t + (Qv sin θ)θ +

(QV +

gh2

2

)φ

+ qV cos θ = −Wq sin 2θ.

(1)

Здесь g — ускорение свободного падения, r — радиус сферы, s(θ, φ) — ее точка,θ, φ — сферические координаты, Ω — угловая скорость вращения, h — высотажидкости, q = hv — полный импульс, a(s), b(s) — единичные векторы, каса-тельные соответственно к меридиану и параллели, проходящим через точку s.Используется представление

v = va + V b, q = qa +Qb, q = hv, Q = hV, W = Ωr.

Система (1) допускает частное решение с контактным разрывом. Малые воз-мущения указанного решения описываются линейной системой уравнений. По-сле полного разделения переменных и некоторых упрощений задача сводится кнахождению собственных значений в сингулярной краевой задаче для системыиз двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с раз-рывными коэффициентами. Оказывается, что имеются собственные значения сположительной вещественной частью. Тем самым, рассматриваемое решение яв-ляется неустойчивым.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проект 11-01-00026 а) и Федерального агентства по науке и инновациям РФ(проект НШ–6706.2012.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Остапенко В. В., Черевко А. А., Чупахин А. П. О разрывных решениях уравнениймелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Изв. РАН. Сер. Механикажидкости и газа. 2011. 2. С. 33–51.

189

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

ON THE SOLUTION CONTINUATIONOF THE CAUCHY PROBLEM

FOR A QUASILINEAR SOBOLEV TYPE EQUATION

Манакова Н. А.1, Богатырева Е. А.2

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;1manakova@susu.ac.ru, 2bogatyrevaea@susu.ac.ru

Пусть H = (H, ⟨·, ·⟩) — вещественное гильбертово пространство, отождеств-ленное со своим сопряженным, (U,U∗) и (P,P∗) — дуальные (относительно двой-ственности ⟨·, ·⟩) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложенияU → P → H → P∗ → U∗ плотны и непрерывны.

Пусть оператор A ∈ L(P;P∗) симметричный, положительно определенный.Оператор M ∈ Cr+1(U;U∗), r ∈ N, s-монотонный, p-коэрцитивный [1], однород-ный порядка k ∈ R+ и удовлетворяет условию Липшица, причем производнаяФреше оператора M симметрична.

Рассмотрим задачу Кошиu(0) = u0 (1)

для абстрактного квазилинейного операторного дифференциального уравнениясоболевского типа

d

dt(L(u)) +M(u) = 0, L(u) = Au+ λM(u), λ ∈ R+. (2)

Вектор-функцию u ∈ C1((−τ ; τ);U), удовлетворяющую (2) на (−τ0, τ0) принекотором τ0 = τ0(u0) и условию (1), назовем (классическим) локальным реше-нием данной задачи, проходящим через точку u0.

Лемма [2]. Для любого u0 ∈ U существует единственное локальное решениезадачи (1), (2), проходящее через точку u0.

Вектор-функцию u ∈ L∞(0, τ ;U) такую, чтоdu

dt∈ L2(0, τ ;H) при τ ∈ R+,

назовем (обобщенным) глобальным решением задачи (1), (2), если она удовле-творяет соотношениям

⟨ddtL(u(t)), v

⟩+ ⟨M(u(t)), v⟩ = 0 при почти всex t ∈ (0, τ)

и ⟨u(0)− u0, v⟩ = 0 при всех v ∈ U.Теорема. Локальное решение задачи (1), (2), проходящее через точку u0 ∈ U,

единственным образом продолжимо до глобального решения на (0, T ) при любомT ∈ R+.

ЛИТЕРАТУРА

1. Свиридюк Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Бусси-неска // Изв. вузов. Матем. 1989. 2. С. 55–61.

2. Манакова Н. А., Кононова Е. А. О начально-краевой задаче для уравнения Барен-блатта – Гильмана // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012.Т. 19, вып. 2. C. 270–271.

190

Секция “Дифференциальные уравнения”

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССАСИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ

ON PROPERTIES OF SOLUTIONSTO ONE CLASS OF SYSTEMS

OF NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIALEQUATIONS OF HIGHER DIMENSION

Матвеева И. И.1, Уварова И. А.2

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

1matveeva@math.nsc.ru, 2sibirochka@ngs.ru

В работе рассматривается некоторый класс систем нелинейных дифферен-циальных уравнений высокой размерности n с коэффициентами, зависящимиот нескольких параметров. Мы изучаем свойства решений систем и получаемоценки для их компонент. Используя эти оценки и опираясь на методы иссле-дования систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размер-ности, предложенные Г.В. Демиденко (см., например, [1–4]), мы устанавливаем,что при больших n последняя компонента решения приближенно описываетсярешением одного уравнения с запаздывающим аргументом [5]. Оценки аппрок-симации существенно зависят от размерности n и параметров, входящих в систе-му. Полученные результаты дают способ приближенного нахождения решенийрассматриваемого класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальныхуравнений высокой размерности с использованием уравнений с запаздывающимаргументом.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00329), Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355).

ЛИТЕРАТУРА

1. Демиденко Г.В., Лихошвай В. А., Котова Т. В., Хропова Ю. Е. Об одном классесистем дифференциальных уравнений и об уравнениях с запаздывающим аргумен-том // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, 1. С. 58–68.

2. Демиденко Г.В., Мельник И. А. Об одном способе аппроксимации решений диф-ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2010.Т. 51, 3. С. 528–546.

3. Демиденко Г.В. О классах систем дифференциальных уравнений высокой размер-ности и уравнениях с запаздывающим аргументом // Итоги науки. Юг России. Сер.:Матем. форум. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 5. С. 45–56.

4. Демиденко Г. В. Системы дифференциальных уравнений высокой размерности иуравнения с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, 6.С. 1274–1282.

5. МатвееваИ. И., Мельник И. А. О свойствах решений одного класса нелинейных си-стем дифференциальных уравнений большой размерности // Сиб. мат. журн. 2012.Т. 53, 2. С. 312–324.

191

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГОУРАВНЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE POLYHARMONICEQUATION IN UNBOUNDED DOMAINS

Матевосян О. А.

Высшая школа науки, НИЛ “Фундаментальная и прикладная математика”,Московский финансово-юридический университет, Москва, Россия;

hmatevossian@graduate.org

Изучаются вопросы единственности решения задачи Дирихле для полигармо-нического уравнения во внешности компакта и в полупространстве в предположе-нии, что обобщенное решение этой задачи обладает конечным интегралом Дири-хле с весом |x|a. В зависимости от значений параметра a доказаны теоремы един-ственности, а также найдены точные формулы для вычисления размерности про-странства решений этой же задачи во внешности компакта и в полупространстве.

В области Ω рассматривается задача Дирихле

∆mu(x) = 0, x ∈ Ω, (1)

u|∂Ω = . . . =∂m−1u

∂νm−1

∣∣∣∣∂Ω

= 0, (2)

где ν — направление внешней нормали к ∂Ω. Решение u(x) задачи (1), (2) рассмат-ривается в классе

W m

loc(Ω) и понимается в смысле теории обобщенных функций.Условием, характеризующим поведение решения на бесконечности, является

ограниченность интеграла Дирихле Da(u(x),Ω) :=∫Ω

|x|a∑

|α|=m|∂αu(x)|2dx < ∞

с весом |x|a, a ∈ R1, |x| =√x21 + · · ·+ x2n. Развивая подход, основанный на ис-

пользовании неравенств типа Харди, в данной работе удалось получить критерийединственности решения задачи Дирихле для полигармонического уравнения.Для построения решения используется вариационный метод [1], т. е. минимизи-руется соответствующий функционал в классе допустимых функций.

Задача Дирихле во внешности компакта. Пусть Ω = Rn \G с границей∂Ω ∈ C1, где G — ограниченная односвязная область в Rn (n > 4), 0 ∈ G. Пусть(nm

)— число сочетаний из n по m,

(nm

)=0, если m > n.

Теорема 1. Задача Дирихле (1), (2) с условием Da(u(x),Ω) <∞ имеет:i)(n+m−1

n

)линейно независимых решений, если −n ≤ a < n− 2m;

ii)(n+m−2n−1

)линейно независимых решений, если n− 2m ≤ a < n−m;

iii) лишь тривиальное решение, если n−m ≤ a <∞;iv) k(r, n) линейно независимых решений, если −2r − n+m ≤ a < −2r − n+ 2m,r > 1, где k(r, n) = (r+n)!

n!r! −(r+n−2m)!n!(r−2m)! .

Задача Дирихле в полупространстве. Пусть Ω ≡ Rn+ = x = (x′, xn) ∈Rn : x′ ∈ Rn−1, xn > 1 с границей ∂Ω = x = (x′, xn) ∈ Rn : xn = 1, n ≥ 2.

Теорема 2. Задача Дирихле (1), (2) с условием Da(u(x),Ω) <∞ имеет:i) тривиальное решение, если −n ≤ a <∞;ii) k(r, n) линейно независимых решений, если −2r − n+m ≤ a < −2r − n+ 2m,

r ≥ 2, где k(r, n) = (r+n)!n!r! −

(r+n−2m)!n!(r−2m)! −

m−1∑j=0

(r−j+n−1)!(n−1)!(r−j)! .

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической

физике. М.: Наука, 1988.

192

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ДРУГИЕ ФОРМУЛЫВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ИХ

ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

CONSERVATION LAWS AND OTHER FORMULASIN THE DIFFERENTIAL GEOMETRY AND THEIR

APPLICATIONS IN THE MATHEMATICAL PHYSICS

Меграбов А. Г.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; mag@sscc.ru

Полученные формулы обобщают результаты статей автора в ДАН (2009.Т. 424, 5; 2010. Т. 433, 3, 4; 2011. Т. 441, 3) на трехмерный случай.

1. Пусть Lτ — семейство гладких пространственных кривых Lτ с ортамиФрене τ , ν, β (касательной, главной нормали и бинормали), сплошь заполняющихобласть D в пространстве x, y, z. Найден ряд законов сохранения (дивергентныхтождеств) вида div F = 0, где вектор F выражается через орты Френе τ , ν, βкривых Lτ , их кривизну k и кручение κ как функции x, y, z. Вектор F содержитвекторы кривизны некоторых кривых, например, кривых Lτ и векторных линийполей ν, β. Все величины ν, β, k, κ можно явно выразить через τ .

Найдены также дивергентные представления K = div SK и H = div SH длягауссовой кривизны K и средней кривизны H поверхности S, заданной уравнени-ем u(x, y, z) = 0. Поля SK , SH явно выражаются только через τ , div τ , rot τ , гдеτ = gradu/| gradu| — направление или касательный орт векторной линии поляgradu (τ на S есть нормаль к S). Эти формулы обобщены для поверхностей Sτс нормалью τ , задаваемых другим способом.

2. Пусть Lτ — векторные линии произвольного гладкого поля v = v(x, y, z) =|v|τ с модулем |v| = 0 и направлением τ = v/|v|. Тогда величины τ , ν, β, k, κ иформулы п. 1 могут быть явно выражены через поле v, а законы сохранения длясемейства Lτ равносильны дивергентным тождествам для поля v.

3. Даны приложения формул пп. 1 и 2 к классическим уравнениям математи-ческой физики; роль кривых Lτ играют при этом векторные линии рассматрива-емого физического поля v. Открыты дифференциальные законы сохранения дляполя времен τ(x, y, z) (решений τ уравнения эйконала | grad τ |2 = τ2x + τ2y + τ2z =n2(x, y, z), при этом v = grad τ , Lτ — лучи, τ(x, y, z) = const — фронт, n — пока-затель преломления) в кинематической сейсмике (геометрической оптике). Най-дены новые дифференциальные законы сохранения для решений гидродинами-ческих уравнений Эйлера (здесь v — скорость) и для уравнений Максвелла.

В плоском случае они переходят в формулы из упомянутых статей. Например,в законы сохранения div S(τ) = 0 (S(τ) = τ div τ−kν) для семейства кривых Lτ;div ∆τ grad τ/n2 − grad lnn = 0 для решений τ уравнения эйконала; div G = 0,где G = |v|−2vt + v div v + grad p/ρ − F, ρ — плотность, p — давление, F —массовая сила, для гидродинамических уравнений Эйлера. Найдены также ди-вергентные формулы для гауссовой и средней кривизны фронта τ(x, y, z) = constи поверхностей Sτ с нормалью τ , ортогональных к линиям тока (векторным ли-ниям скорости v при t = const).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00648).

193

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ СПЛОШНОЙСРЕДЫ ИЗ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

EVOLUTION EQUATIONS FOR HYDRODYNAMICMOMENTS OF CONTINUOUS MEDIUM

OF NONINTERACTING PARTICLES

Медведев С.Б.

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия,Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

Москва, Россия; medvedev@ict.nsc.ru

В работе В. В. Козлова [1] было получено обратимое по времени уравнениетеплопроводности

∂N0(t, x)

∂t= tσ2 ∂

2N0(t, x)

∂x2

для нулевого гидродинамического момента, которое получается усреднением поскоростям функции распределения с начальными данными специального вида.

В данном докладе рассмотрены более общие начальные данные и абсолютнонепрерывные и дискретные распределения скоростей, в том числе распределе-ния, не имеющие первых и вторых моментов. Для таких начальных данных по-лучены эволюционные уравнения первого и произвольного порядков по времени.Найдены условия на начальные данные, для которых имеет место обратимостьпо времени.

Обсуждается существование индикаторов эволюции для уравнения Лиувил-ля.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проекты 11-01-12075 офи-м, 12-01-00648 а) и гранта Правительства РФдля государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководствомведущих ученых (договор 11.G34.31.0054).

ЛИТЕРАТУРА

1. Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. Москва,Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных ис-следований, 2008.

194

Секция “Дифференциальные уравнения”

О МЕТОДЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАСУЩЕСТВОВАНИЯ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ON A METHOD FOR PROVING THE EXISTENCEOF A GENERALIZED SOLUTION

FOR SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS

Мередов М.1, Мередова М. М.2

1Международный Туркмено-Турецкий университет, Ашхабад, Туркменистан;2Компания “Алтын Умыт”, Ашхабад, Туркменистан; mmuham@gmail.com

В данной работе предлагается метод доказательства однозначной разрешимо-сти задачи Дарбу в области G для уравнения

L(u) ≡n∑i=1

Ki(t)uxixi − utt +

n∑i=1

aiuxi + but + cu = F (x, t), (1)

где Ki(t) > 0 при t < 0, i = 1, . . . , n, n ≥ 2, F (x, t) ∈ W 12 (G). Область G огра-

ничена снизу характеристическим конусом уравнения (1) с вершиной в точкеO(0, 0, . . . , t0), t0 < 0, сверху — частью S0 гиперплоскости t = 0. Поверхностьконуса обозначим через S, границу области G — через Γ = S ∪ S0.

Задача Дарбу. В областиG найти функцию u(x, t) ∈ C2(G)∩C1(G )∩W 12 (G),

удовлетворяющую уравнению (1) и граничным условиям

u(x, 0) = 0, u(x, t)|S1 = 0,

где S1 — часть поверхности S, для точек которой n1 = cos(n, x1) > 0.На базе множеств функций u(x, t) и v(x, t), удовлетворяющих сопряженным

граничным условиям v(x, 0) = 0, v(x, t)|S2 = 0, где S2 = S\S1, определяемдва гильбертовых пространства H1 и H2. Доказывается, что билинейная фор-ма, устанавливающая изоморфизм между данными пространствами, являетсяограниченным линейным функционалом, тогда в силу теоремы Рисса существуетединственный элемент u0(x, t) ∈ H1, который и является обобщенным решениемзадачи Дарбу.

Аналогично доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для урав-нения (1) и следующей краевой задачи.

Задача. Требуется найти вектор-функцию u(x, t) ∈ C2(G) ∩ C1(G) ∩W 12 (G),

удовлетворяющую в области G системе уравнений

L(u) ≡n∑i=1

uxixi − utt +n∑i=1

aiuxi + but + cu = F (x, t),

где u = (u1, u2), ai, b, c — двумерные матрицы, и следующим граничным усло-виям:

u1(x, t)|Γ = 0, u2(x, t)|S0 = 0.

195

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЕМОДИНАМИКИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМКЛИНИЧЕСКИМ ДАННЫМ

AN INVERSE PROBLEM OF CONSTRUCTINGTHE GEMODYNAMICS DIFFERENTIAL EQUATIONSBY THE USE OF EXPERIMENTAL CLINICAL DATA

Михайлова А.В.1, Черевко А. А.2, Чупахин А. П.2,Кривошапкин А. Л.3, Орлов К. Ю.3, Панарин В. А.3

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;2Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

Новосибирск, Россия; cherevko@mail.ru3Новосибирский научно-исследовательский институт патологиикровообращения им. ак. Е.Н. Мешалкина, Новосибирск, Россия

Построение гемодинамических моделей сопряжено с большими трудностями,которые объясняются сложностью получения и неоднозначностью эксперимен-тальных данных, сложностью самого объекта. Гидродинамика сосудов головногомозга — это нестационарная гидродинамика в сложной трехмерной сети каналов,стенки которых имеют различные прочностные свойства, погруженной в гелеоб-разную субстанцию головного мозга.

В докладе предлагается способ построения простой модели движения кровив артериях головного мозга, основанный на клинических (экспериментальных)данных о скорости и давлении крови, получаемых во время реальных операцийв Нейрохирургическом центре ННИИ Патологии кровообращения.

Построена модель типа уравнения нелинейного осциллятора для давлениякрови, в которой скорость потока играет роль управления:

P ′′ = a1P′ + a2P + b2P

′P + b3P2 + c3P

′P 2 + c4P3 + kV + l,

где P — давление, V — скорость, a1, a2, b2, b3, c3, c4, k, l ∈ R.Индивидуальность пациента задается вектором коэффициентов этого урав-

нения. Показано, что данная модель описывает процесс эмболизации (заклейки)аномалии сосудов головного мозга, типа артерио-венозной мальформации (шунтмежду артериями и венами). Полученные результаты представляют большой ин-терес для теоретической гемодинамики и предоперационного моделирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СО РАН (интеграцион-ный проект 44), Программы ОЭММПУ РАН (проект 2.13.4), Российского фондафундаментальных исследований (проект 12-01-31112 мол_а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979.2. Редько С. Ф., Ушаков В. Ф., Яковлев В. В. Идентификация механических систем.

Киев: Наукова думка, 1985.

196

Секция “Дифференциальные уравнения”

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИВ ОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕ

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯA NECESSARY CONDITION OF OPTIMALITY IN ONEREGULARIZED PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL

Мусабеков К. С.

Академия Кокше, Кокшетау, Казахстан; it.kgu@mail.ru

Рассмотрим задачу оптимального управления процессом в неадиабатическомтрубчатом реакторе

∂v1(x, t)

∂t= a

∂2v1(x, t)

∂x2− ∂v1(x, t)

∂x− cv1f(v2),

∂v2(x, t)

∂t= b

∂2v2(x, t)

∂x2− ∂v2(x, t)

∂x+ kv1f(v2) + g(v3(t)− v2(x, t)),

dv3(t)

dt= d

1∫0

v2(x, t)dx− v3(t)

+ u(t)(E − v3(t)),

(1)

a∂v1(0, t)

∂x− v1(0, t) = −1,

∂v1(1, t)

∂x= 0,

b∂v2(0, t)

∂x− v2(0, t) = −1,

∂v2(1, t)

∂x= 0,

(2)

v1(x, 0) = v10(x), v2(x, 0) = v20(x), v3(0) = v30, (3)

где f(v2) = exp(Γ−Γ/v2(x, t)); a, b, c, Γ, k, g, d, E, v30 — константы, положитель-ные параметры системы; u(t) — управляющая функция (управление); v1(x, t),v2(x, t), v3(t) — функции концентрации реагирующей смеси, температуры реак-тора, температуры охладителя соответственно; (x, t) ∈ QT , QT = (0, 1)× (0, T ).

Рассматривается задача минимизации функционала

J(u) =

T∫0

v1(1, t)dt, (4)

т. е. суммарного за время T количества непрореагировавшего вещества на выходереактора. В работе [1] доказаны существование и единственность классическогорешения системы (1)–(3) при произвольной ограниченной и измеримой функцииu(t), и осуществлена регуляризация функционала (4). В данной работе для ре-гуляризованной задачи получено необходимое условие оптимальности в формепринципа максимума Л. С. Понтрягина.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мусабеков К. С. Существование оптимального управления в одной регуляризован-ной задаче с фазовым ограничением // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика,информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. С. 71–84.

197

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВАОПЕРАТОРА ДИРИХЛЕ – НЕЙМАНА

DIFFERENTIAL PROPERTIESOF THE DIRICHLET–NEUMANN OPERATOR

Налимов В.И.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия

Оператор Дирихле – Неймана ставит в соответствие гармонической внутри“полупространства” yd+1 < η(y) (y ∈ Rd) функции Φ значение её производной повнешней нормали на Γ, умноженной на плотность поверхностной меры:

φ(y)→ G(h)φ(y) = (1 + |∇h(y)|2)1/2∂Φ

∂ν(y, h(y)).

Интерес к этому оператору обусловлен тем, что с его помощью задача обезвихревых волнах на воде сводится к эволюционной (нелокальной) системеуравнений на свободной поверхности. Такой подход к задаче о волнах на во-де позволил доказать её корректность в малом по времени. Поскольку опера-тор Дирихле – Неймана играет центральную роль в доказательстве, необходи-мо знать его свойства. Возможны различные способы его описания. В работепредполагается, что поверхность Γ допускает параметрическое представлениеy = ζ(x) = x + η(x) и в новых переменных оператору Дирихле – Неймана отве-чает оператор φ → G(ξ)φ. Параметрическое представление определяет матрицуa = (ξ ′ ∗ξ ′)−1(det ξ ′)2 и операторы u→ Au = div(a∇u) и K =

√−A.

В работе получены следующие результаты [1].Установлено, какому пространствуHq должна принадлежать векторная функ-

ция η, для того чтобы выполнялась оценка ∥G(ξ)φ∥s ≤ c∥ |∇|1/2 φ∥s+1/2 с посто-янной, зависящей от η.

Аналогично установлено, какому пространствуHq должна принадлежать век-торная функция η, чтобы было верно неравенство ∥Gφ−Kφ∥s ≤ c∥ |∇|1/2 φ∥s−1/2

с постоянной, зависящей от η.Кроме того, в коммутаторе [Λs, G(ξ)] (здесь Λ =

√1−A) выделено главное

по η слагаемое и получена оценка остатка.Основной математический аппарат, используемый в работе, — это теория по-

лугрупп и оценки решений эллиптических уравнений в соболевских простран-ствах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Налимов В. И. Дифференциальные свойства оператора Дирихле – Неймана // Сиб.мат. журн. 2013. Т. 54, 2. С. 355–388.

198

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ОБЫКНОВЕННОГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

REGULARIZED TRACEOF AN ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORWITH AN INTEGRAL BOUNDARY CONDITION

Нальжупбаева Г. М.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;nalzhuppa@list.ru

Обыкновенные дифференциальные уравнения с интегральными краевыми усло-виями возникают в теории турбулентности (см. работу А. Зоммерфельда [1]), втеории марковских процессов (см. работу У. Феллера [2]) и в других отрасляхестественных наук.

В функциональном пространстве L2(0, 1) исследуются спектральные свойстваобыкновенного дифференциального оператора второго порядка l, соответствую-щего выражению

l(y(x)) := −y′′(x) + q(x)y(x), 0 < x < 1,

с граничными условиями

y(0) = 0, y(1)−1∫

0

(l(y(x)))k(x)dx = 0,

где k(x) — граничная функция из пространства L2(0, 1), z означает комплексноесопряжение числа z ∈ C и q(x) — непрерывная и вещественнозначная функцияна отрезке [0, 1].

Получен первый регуляризованный след исследуемого оператора в исходномтермине граничной функции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulentenFlussigkeitsbewegungen // Atti IV Congr. Intern. Matem. Rome. 1909. N 3. P. 116–124.

2. Feller W. The parabolic differential equations and associated semi-groups oftransformations // Ann. Math. 1952. V. 55, N 3. P. 468–518.

199

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕЛОКАЛЬНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙNONLOCAL AND INVERSE PROBLEMS FOR SOME

CLASSES OF PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS

Намсараева Г. В.

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,Улан-Удэ, Россия; gerel@inbox.ru

В работе изучается разрешимость обратных задач нахождения вместе с ре-шением u(x, t) также неизвестного внешнего воздействия в уравнениях

ut − uxxt + a(x, t)uxx + c(x, t)u = f(x, t) + q(t)h(x, t),

ut − uxxt + a(x, t)uxx + c(x, t)u = f(x, t) + q1(t)h1(x, t) + q2(t)h2(x, t)

(функции q(t), q1(t) и q2(t) являются неизвестными, функции h1(x, t) и h2(x, t)во втором случае предполагаются линейно независимыми). В качестве условийпереопределения в рассматриваемых задачах используются условия граничногопереопределения.

Исходные обратные задачи эквивалентным образом редуцируются к новымпространственно-нелокальным краевым задачам для уравнений соболевского ти-па. Эти задачи имеют и самостоятельное значение. Разрешимость нелокальныхзадач устанавливается с помощью метода продолжения по параметру и априор-ных оценок. Решение обратных задач строится по решениям соответствующихнелокальных задач.

Заметим, что обратные задачи указанного выше вида для псевдопараболиче-ских уравнений ранее изучались лишь в случае интегрального переопределения(А.И. Кожанов, В. Е. Федоров).

200

Секция “Дифференциальные уравнения”

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕАДИАБАТИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

ASYMPTOTIC INTEGRATIONOF ADIABATIC OSCILLATORS

Нестеров П.Н.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова,Ярославль, Россия; nesterov.pn@gmail.com

В докладе исследуется поведение при t → ∞ решений уравнений из классаадиабатических осцилляторов

x+ x+ q(t)x(t) = 0, (1)

где q(t) → 0 (t → ∞). К уравнениям вида (1) приводят, в частности, различныепроблемы квантовой механики. Примером такой задачи служит задача изученияспектральных свойств одномерного оператора Шредингера с убывающим потен-циалом [1] (потенциалом типа Вигнера – фон Неймана). Классическим и подроб-но изученным адиабатическим осциллятором является уравнение (1) с функциейq(t) вида

q(t) =a sinλt

tρ

(q(t) =

a cosλt

tρ

), (2)

где a, λ ∈ R и ρ > 0 (см. [2]).С помощью варианта метода усреднения [3] и асимптотической теоремы Н. Ле-

винсона (см., например, [4]) нами строятся асимптотические формулы для реше-ний уравнения (1) при t → ∞ для некоторых функций q(t). Рассматриваетсявопрос об особенностях параметрического резонанса в уравнениях данного ти-па [5]. Кроме того, в докладе также обсуждаются особенности колебания реше-ний адиабатического осциллятора (1) с функцией q(t) вида (2) при введении вэто уравнение фактора запаздывания

x+ x+ q(t)x(t− h) = 0, (3)

где h > 0 (см. [6]).Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проект 12-01-31004), а также гранта Президента РФ (договор 14.124.13.80-МК).

ЛИТЕРАТУРА1. Denisov S. A., Kiselev A. Spectral properties of Schrodinger operators with decaying

potentials // B. Simon Festschrift, Proc. of Symposia in Pure Mathematics. V. 76, part 2.Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. P. 565–589.

2. Бурд В. Ш., Каракулин В. А. Асимптотическое интегрирование систем линейныхдифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами //Мат. заметки. 1998. Т. 64, вып. 5. C. 658–666.

3. Нестеров П. Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования си-стем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007.Т. 43, 6. С. 731–742.

4. Eastham M. S. P. The asymptotic solution of linear differential systems. Oxford:Clarendon Press, 1989.

5. Burd V., Nesterov P. Parametric resonance in adiabatic oscillators // Result. Math. 2010.V. 58, N 1–2. P. 1–15.

6. Nesterov P. Asymptotic integration of functional differential systems with oscillatory de-creasing coefficients // Monatsh. Math. (to appear). [DOI: 10.1007/s00605-012-0437-2].

201

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КЛАССЫ ОБОБЩЕННЫХФУНКЦИОНАЛЬНО ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

CLASSES OF THE GENERALIZEDFUNCTIONAL-INVARIANT SOLUTIONS

OF THE WAVE EQUATION

Нещадим М. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;neshch@math.nsc.ru

Относительно неискажающимися волнами называются [1] решения волновогоуравнения с тремя пространственными переменными

uxx + uyy + uzz =1

c2utt, c = const > 0,

вида u = gf(θ), где функции θ = θ(x, y, z, t) и g = g(x, y, z, t) — соответственнофаза и амплитуда — фиксированы, а форма волны f — произвольная функцияодного переменного. Н. П. Еругин [2] называет решения такого вида обобщенны-ми функционально-инвариантными решениями (ОФИР). Данное определение,очевидно, переносится на случай любого числа n ≥ 1 пространственных пере-менных и, более того, определение ОФИР может быть дано для любой системыдифференциальных уравнений.

Если амплитуда постоянна (g = 1), то получаем определение функционально-инвариантного решения (ФИР). Так, например, в работе С.Л. Соболева [3] до-казано, что все ФИР уравнения utt = uxx + uyy даются формулой Смирнова –Соболева t

√a2(u) + b2(u) + xa(u) + yb(u) = c(u), где a, b, c — произвольные

функции переменной u. Нетрудно проверить, что для случая n пространствен-ных переменных аналогичная формула

t

√√√√ n∑k=1

a2k(u) +n∑k=1

xkak(u) = a0(u),

где ak(u) — произвольные функции от u, k = 0, . . . , n, дает ФИР волнового урав-нения ∆u = utt. Но в размерности n ≥ 3 есть ФИР, которые не описываются этойформулой [2].

В работе доказывается, что формула Смирнова – Соболева дает полное опи-сание вещественнозначных ФИР волнового уравнения в пространстве произволь-ной размерности. Доказывается, что многофазные решения являются существен-но комплекснозначными. Рассматривается задача полного описания амплитуддля фазовых функций, приведенных в вышеуказанных работах. И, кроме того,исследуются некоторые переопределенные системы, связанные с задачей постро-ения ОФИР.

Работа выполнена при финансовой поддержке Сибирского отделения РАН (междис-циплинарный проект 44).

ЛИТЕРАТУРА1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. М.–Л.: ГТТИ, 1945.2. Еругин Н. П., Смирнов М. М. Функционально-инвариантные решения дифференци-

альных уравнений // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, 5. С. 853–865.3. Соболев С. Л. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Тр.

Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 259–264.

202

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕДУКЦИЯ СИСТЕМЫ СКИРМА – ФАДДЕЕВАREDUCED SKYRME–FADDEEV SYSTEM

Новиков Д. П.1, Павлов М.В.2

1Омский государственный технический университет, Омск, Россия;nvdmpr@mail.ru

2Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия;maxim.pavlov@mtu-net.ru

Рассматривается редуцированная система Скирма – Фаддеева [1]

wtt = wxx + wyy + wzz, w2t = w2

x + w2y + w2

z − ϵ,

utwt = uxwx + uywy + uzwz,

(w2s − ϵ)ukumwkm = 2uswsukwmwkm − (ukwk)2wmm

(индексы s, k, m пробегают значения x, y, z, подразумевается суммирование поповторяющимся индексам). Первые два равенства в ней образуют систему урав-нений Д’Аламбера – эйконала [2], которая связана с задачей построения функ-ционально инвариантных решений [3] волнового уравнения (путем примененияпреобразования годографа).

В [2] получено полное описание решений w в терминах неявных функций. Наэтой основе получено, что на решениях w последнее уравнение (квадратичное попервым производным u) можно представить в виде

(Aux +Buy + Cuz)(Dux + Euy + Fuz) = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Martina L., Pavlov M. V., Zykov S. A. Waves in the Skyrme–Faddeev model andintegrable reductions // arXiv: 1210.1873.

2. Фущич В. И., Жданов Р. З., Ревенко И. В. Общие решения нелинейного волновогоуравнения и уравнения эйконала // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, 11. С. 1471–1486.

3. Соболев С. Л. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Тр.Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1934. Т. 5. С. 259–264.

203

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЯСОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

GLOBAL SOLVABILITYOF A SOBOLEV TYPE EQUATION WITH DELAY

Омельченко Е. А.

Уральский филиал Российской академии правосудия, Челябинск, Россия;omeka@ya.ru

Пусть U, F — банаховы пространства, L ∈ L(U;F) (линеен и непрерывен),M ∈ Cl(U;F) (линеен, замкнут и плотно определен в пространстве U). Рассмотримзадачу

u(t) = h(t), t ∈ [−r, 0], (1)

для линейного интегродифференциального уравнения соболевского типа

Lu(t) = Mu(t) +

0∫−r

K(s)u(t+ s)ds+ f(t), t ∈ [0,+∞), (2)

где K : [−r, 0] → L(U;F). Решением задачи (1), (2) называется такая вектор-функция u ∈ C1([0,+∞);U) ∩ C([−r,+∞);U), которая удовлетворяет уравне-нию (2) на полуоси [0,+∞) и условию (1) на отрезке [−r, 0].

Теорема 1 [1]. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален. Тогда(i) U = U0 ⊕ U1, F = F0 ⊕ F1;(ii) L|Uk ≡ Lk ∈ L(Uk;Fk), M |domM∩Uk ≡Mk ∈ Cl(Uk;Fk), k = 0, 1;(iii) существуют операторы M−1

0 ∈ L(F0;U0), L−11 ∈ L(F1;U1);

(iv) оператор H = M−10 L0 нильпотентен степени не больше p.

С помощью результатов теоремы 1 и теоремы о сжимающем отображенииполучен следующий результат.

Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, f ∈ Cp+1([0,+∞);F),h ∈ C([−r, 0];U), h(0) ∈ domM , K ∈ Cp+1([−r, 0];L(U;F)), K(n)(−r) = K(n)(0) = 0при n = 0, . . . , p,

(I − P )h(0) = −p∑k=0

HkM−10 (I −Q)

(−1)k0∫

−r

K(k)(s)h(s)ds+ f (k)(0)

.

Тогда существует единственное решение задачи (1), (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Ал-гебра и анализ. 2000. Т. 12, 3. С. 173–200.

204

Секция “Дифференциальные уравнения”

ФОРМУЛА СЛЕДА ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРАШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

THE TRACE FORMULAOF A VOLTERRA–STURM–LIOUVILLE OPERATOR

IN THE SPACE WITH AN INDEFINITE METRIC

Оразов И.О.1, Шалданбаев А. Ш.2

Южно-Казахстанский государственный университет им. М.О. Ауезова,Шымкент, Казахстан; 1orazov51@mail.ru, 2shaldanbaev51@mail.ru

Рассмотрим в пространстве H = L2(0, 1) вольтерровый оператор Штурма –Лиувилля

Ly = −y′′(x), x ∈ (0, 1), (1)

Ui[y] = ai1y(0) + ai2y′(0) + ai3y(1) + ai4y

′(1) = 0 (i = 1, 2), (2)

где aij (i = 1, 2; j = 1, . . . , 4) — произвольные комплексные постоянные.Пусть оператор S определен формулой [1, с. 42]

Su(x) = u(1− x), x ∈ (0, 1). (3)

Если оператор SL самосопряжен в пространстве H, то в силу ядерности онимеет конечный след [2, c. 125].

Вольтерровость оператора (1)–(2) обеспечивается условиями [3, с. 30]

∆24 = 0, ∆14 + ∆32 = 0, ∆13 = 0, ∆12 + ∆34 = 0,

где ∆ij = a1ia2j−a1ja2i (i = 1, 2; j = 1, . . . , 4). Условия самосопряженности опера-тора SL отличаются от этих условий, поэтому класс изучаемых нами операторовне пуст.

Постановка задачи. Вычислить след оператора (SL)−1, где L— вольтерро-вый оператор Штурма – Лиувилля (1)–(2), а оператор S определен формулой (3).

Теорема. Еслиа) ∆24 = 0, ∆13 = 0, ∆14 + ∆32 = 0, ∆12 + ∆34 = 0,б) ∆12 = eiϑ∆12, ∆34 = eiϑ∆34 = 0, ∆14 = −eiϑ∆14 = 0,где eiϑ = ∆12 + ∆34/∆12 +∆34, то оператор Штурма – Лиувилля (1)–(2) вольтер-ров, оператор SL имеет полную и ортогональную систему собственных векторовв пространстве H, оператор (SL)−1 самосопряжен и компактен, а его след вы-числяется по формуле

tr(SL)−1 =∞∑n=1

1

λn=

1∫0

G(x, 1− x)dx = −1

4,

где G(x, t) — ядро функций Грина оператора Штурма – Лиувилля, т. е. являетсяядром обратного оператора L−1 оператора Штурма – Лиувилля L.

ЛИТЕРАТУРА1. Кальменов Т. Ш., Ахметова С. Т., Шалданбаев А. Ш. К спектральной теории урав-

нений с отклоняющимся аргументом // Математический журнал (Алматы). 2004.Т. 4, 3. С. 41–48.

2. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных опера-торов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

3. Кальменов Т. Ш., Шалданбаев А. Ш. О структуре спектра краевой задачи Штурма –Лиувилля на конечном отрезке времени // Изв. НАН РК. Сер. физ.-мат. 2000. 3.С. 29–34.

205

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ ТИПА БЕЛЬТРАМИON A SINGULAR SYSTEM OF BELTRAMI TYPE

Оспанов К. Н.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева,Астана, Казахстан; kordan.ospanov@gmail.com

Рассмотрим систему−vy + a11ux + a12uy + a1u+ a2v = f,

uy + a21vx + a22vy + a3u+ a4v = g,(1)

где akl (k, l = 1, 2) непрерывно дифференцируемы и обеспечивают эллиптич-ность системы, aj (j = 1, 4) — ограниченные на каждом компакте функции, аf , g ∈ L2(R2).

Общеизвестны применения системы (1) в динамике жидкости и газа, теорииповерхностей и оболочек, квантовой механике, а также в изучении свойств ква-зиконформных и других отображений. Наиболее распространенными представи-телями таких систем являются обобщенная система Коши – Римана и системаБельтрами. В ограниченной области качественные характеристики решения си-стемы (1), краевые задачи для нее изучались в многочисленных работах, отно-сительно полный их список можно найти в монографиях И. Н. Векуа и Л. Берс.Для решения краевых задач в них, в основном, применялись методы функцийкомплексного переменного и интегральных уравнений. В случае неограниченнойобласти (сингулярный случай) система (1) исследована в меньшей мере, в ос-новном, когда коэффициенты aj (j = 1, 4) с определенной скоростью стремятсяк нулю около бесконечности (поточечно или в среднем). В сингулярном случае,когда хотя бы один из коэффициентов aj (j = 1, 4) строго отделен от нуля (т. е.когда, например, a1(x, y) ≥ δ > 0), методы указанных работ не применимы, из-зачего система (1) исследована лишь в частных случаях.

В настоящей работе получены достаточные условия однозначной разрешимо-сти системы (1), а для дифференциального оператора, соответствующего систе-ме, приведены достаточные условия компактности резольвенты, двусторонниеоценки s-чисел, указан тип резольвенты. Ранее аналогичные результаты былиустановлены, в основном, для уравнений типа Шредингера. Отметим, что реше-ние системы (1) может не иметь обобщенных производных в смысле С.Л. Собо-лева, вследствие чего возникают вопросы с изучением его спектральных свойств.

Утверждения, касающиеся спектральных свойств резольвенты, получены бла-годаря установленной нами оценке коэрцитивного типа для решения системы.

К виду (1) приводится общая эллиптическая система двух вещественных урав-нений в частных производных первого порядка

d11ux + d12uy + b11vx + b12vy + d1u+ d2v = g1,

d21ux + d22uy + b21vx + b22vy + d3u+ d4v = g2

с ограниченными коэффициентами dkl, bkl (k, l = 1, 2).

206

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА – ГИЛЬБЕРТАДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХBOUNDARY VALUE PROBLEMS

OF RIEMANN–HILBERT TYPE FOR SOME CLASSESOF SYSTEMS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Ошоров Б. Б.1, Ошоров Бато Б.2

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,Улан-Удэ, Россия; 1oshorovbb@pochta.ru, 2scalderfree@mail.ru

В докладе речь идет о краевых задачах для систем уравнений в частных про-изводных первого порядка. Исследования в данном направлении начинались сизучения эллиптической системы уравнений Бицадзе, для которой задача Ди-рихле некорректна. Поиски корректных постановок для произвольных областейпривели к необходимости предварительного изучения краевых задач для систе-мы уравнений Коши – Римана. В частности, рассматривались краевые задачиРимана – Гильберта с разрывными граничными условиями, корректные как впрямоугольнике, так и в произвольных областях с достаточно гладкой грани-цей. Это позволило найти корректные постановки задач для системы Бицадзе впроизвольных областях [1].

При изучении системы Коши – Римана естественно возник интерес к ее мно-гомерным аналогам. Матричное представление комплексных чисел и кватернио-нов [2] позволило подойти к этому вопросу с единых позиций. Изучаемые задачив этом случае называем четырехмерными аналогами задачи Римана – Гильбертас разрывными краевыми условиями [3].

Все системы, упомянутые выше, являются эллиптическими по классифика-ции Петровского. Возникает вопрос о существенности типа системы для рас-сматриваемых задач. Оказалось, что подобные постановки краевых задач с раз-рывными граничными условиями возможны для систем, не являющихся эллип-тическими по Петровскому и имеющих коэффициентами матрицы с такой жеструктурой, что и в системах Коши – Римана, Моисила – Теодореско, системыдля кватернион-функций [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ошоров Б. Б. Задачи Римана – Гильберта и Пуанкаре с разрывными краевыми усло-виями для некоторых модельных систем уравнений в частных производных // Диф-ференц. уравнения. 2011. Т. 47, 5. С. 696–704.

2. Ошоров Б. Б. Краевые задачи с разрывными граничными условиями для некоторыхклассов векторных и матричных функций. М.: Академия естествознания, 2010.

3. Ошоров Б. Б. О некоторых модельных эллиптических системах уравнений в четы-рехмерном пространстве // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика.2003. Т. 3, вып. 3. С. 91–98.

4. Ошоров Б. Б., Ошоров Бато Б. О неклассических системах уравнений в частныхпроизводных первого порядка // Математика, ее приложения и математическое об-разование: Материалы IV Междунар. конф. Ч. 2. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2011.С. 131–133.

207

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СПЛАЙН ДЕФЕКТА 2 ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

THE DEFECT 2 SPLINE FOR A FOURTH ORDERDIFFERENTIAL EQUATION

Павлов В.П.1, Абдрахманова А.А.2

Уфимский государственный авиационный технический университет,Уфа, Россия; 1victor.pavlov.1951@gmail.com, 2abdrahmanova-a@mail.ru

Рассматриваются возможности метода сплайнов пятой степени дефекта 2 длярешения задачи об изгибе балки, описываемой дифференциальным уравнениемчетвертого порядка для функции перемещения точек оси балки [1].

Внешняя распределенная нагрузка, действующая на балку, может иметь лю-бой вид. Поэтому допускаем разрывы четвертых производных в узлах сплайна,что не допускается при использовании сплайнов пятой степени дефекта 1 [2].Исключаем возможность разрыва третьей и второй производных, что приводитк необходимости учета сосредоточенной внешней силы и сосредоточенной внеш-ней пары сил через распределенную нагрузку, действующую на малом отрезкевблизи точки приложения сосредоточенной силы.

При замене искомой функции перемещения осевой линии w = w(x) на еесплайновую аппроксимацию W5,2(x) определяется поперечная нагрузка qz =qz(x), при которой сплайн W5,2(x) является точным решением дифференциаль-ного уравнения равновесия

qz(x) = EIyd4W5,2(x)

dx4+ 2

d(EIy)

dx

d3W5,2(x)

dx3+d2(EIy)

dx2d2W5,2(x)

dx2.

Для определения сплайн-функции W5,2(x), близкой к искомому решениюw = w(x), используем условие эквивалентности внешних действующих на бал-ку нагрузок, заключающееся в том, что в пределах каждого отрезка [xi, xi+1],i = 1, . . . , N − 1, точные qz = qz(x) и приближенные qz = qz(x) распределенныенагрузки приводятся к центру приведения, имеющему координату xi,

R(i)z =

xi+1∫xi

qz(x)dx, R(i)z =

xi+1∫xi

qz(x)dx,

M (i)y =

xi+1∫xi

qz(x)(x− xi)dx, M (i)y =

xi+1∫xi

qz(x)(x− xi)dx.

Приравнивая главные векторы R(i)z и R(i)

z , и главные моменты M(i)y и M (i)

y , идобавив четыре уравнения, учитывающие краевые условия, получаем систему из2N +2 алгебраических линейных уравнений, однозначно определяющую сплайн-функцию W5,2(x).

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных за-дач механики деформируемых твердых тел. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т,2003.

2. Павлов В. П., Абдрахманова А. А. Расчет изгиба балок методом сплайнов // Мат.заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 11. С. 98–104.

208

Секция “Дифференциальные уравнения”

ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОГО КЛАССАПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

GROUP CLASSIFICATION OF A CLASSOF PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS

Панов А. В.

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; pan@csu.ru

Рассматривается полулинейное уравнение вида

αut − utxx = f(u), (1)

где α и f = f(u) — постоянный и функциональный параметры, u = u(t, x) —неизвестная функция. Данное уравнение при f(u) = eu или f(u) = ueu

2

и α = 0описывает физические явления в полупроводниках при учёте дебаевской экрани-ровки и источников свободных зарядов [1]. В случае f(u) = u3 уравнение описы-вает квазистационарные процессы в полупроводниках при наличии стационар-ного распределения источников тока свободных зарядов [1], а при f(u) = u по-лучается уравнение стратификации объемного заряда в полупроводнике [1]. Тео-рией полупроводников не ограничивается область применения уравнений такогокласса. Например, при f(u) = u − au3 получается известное уравнение Хоффа,описывающее выпучивание двутавровой балки.

В результате групповой классификации [2, 3] найдены ядра основных группсимметрий: для α = 0 ядро состоит из сдвигов по независимым переменным, адля α = 0 к сдвигам добавляется растяжение X3 = x∂x − 2t∂t. Все нелинейныеспецификации параметра f , расширяющие ядро, находятся в классах эквива-лентности функций eu, uβ , u−3, ±eu + 1. Для всех этих спецификаций найденыгруппы симметрий уравнения (1).

Утверждение 1. При α = 0 уравнение (1) с функцией f = u−3 обладаеталгеброй допускаемых преобразований с базисными операторами

X1 = ∂t, X2 = ∂x, X3 = 4t∂t + u∂u,

X4 = e2x∂x + e2xu∂u, X5 = e−2x∂x − e−2xu∂u.

Утверждение 2. При α = 0 уравнение (1) с функцией f = eu допускаетбесконечномерную алгебру с базисом из операторов

X1 = τ(t)∂t − τ ′(t)∂u, X2 = ∂x, X3 = x∂x − 2∂u.

ЛИТЕРАТУРА

1. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нели-нейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

2. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,1978.

3. Мелешко С. В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа //Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, 4. С. 56–62.

209

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙФОРМУЛЕ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ON THE EXPONENTIAL ASYMPTOTICFORMULA FOR HARMONIC FUNCTIONS

Парфёнов А. И.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;parfenov@math.nsc.ru

Для финитной липшицевой функции ω : Rn−1 → R, где n ∈ 1 +N, существуети единственно (см. теорему 3 в [1]) классическое решение Uω задачи

Uω(x) = xn + o(|x|) при xn > ω(x′) и x = (x′, xn)→∞,

∆Uω ≡n∑i=1

D2iUω = 0 при xn > ω(x′),

Uω = 0 при xn = ω(x′).

Если E — фундаментальное решение оператора Лапласа, а расстояние R от x доsupp ω × 0 достаточно велико, то по теореме 2 из [1]∣∣∣∣∣∣Uω(x)− xn + 2

∫Rn−1

ω(ξ)DnE(x− (ξ, 0)

)dξ

∣∣∣∣∣∣ 6 C(n, ∥ω∥Lip)xnR−n∥ω∥2

H1/2 . (1)

Доказательство использует метод дискретизации сингулярных интегралов, пред-ложенный в [2, с. 67]. Неравенство Кашина – Бесова – Коляды

∥f∥2H1/2(Rd) 6 c(d)∥f∥Lip(Rd)∥f∥L1(Rd)

позволяет вывести из (1) поточечную оценку устойчивости∣∣Uω(x)− xn∣∣ 6 C ′(n, ∥ω∥Lip)xnR

−n∥ω∥L1 .

В докладе обсуждается, как посредством развития техники из [1] получитьасимптотическую формулу для градиента ∇Uω(x) при x → X, где Xn = ω(X ′),аналогичную экспоненциальным асимптотическим формулам из работ [3] и [4], нопри слабых предположениях о гладкости функции ω. Эта формула показывает,что при h ↓ 0 градиент ∇Uω(X + hen) отделён от нуля и бесконечности, если

1∫0

minγ : γ — многочлен в Rn−1 степени 61

∥ω − γ∥L1(ξ : |ξ−X′|<t)dt

tn+1<∞. (2)

Условие (2) менее ограничительно, чем условие Ляпунова – Дини (Видман, 1967),условие Бурдзи (1986) и локальное условие Ляпунова – Дини из [2, с. 110].

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355).

ЛИТЕРАТУРА1. Парфенов А. И. Оценка погрешности обобщенной формулы М. А. Лаврентьева нор-

мой дробного пространства Соболева // Сиб. электрон. мат. изв. 2013. Т. 10.С. 335–377.

2. Парфенов А. И. Весовая априорная оценка в распрямляемых областях локальноготипа Ляпунова – Дини // Сиб. электрон. мат. изв. 2012. Т. 9. С. 65–150.

3. Kozlov V., Maz’ya V. Asymptotic formula for solutions to elliptic equations near theLipschitz boundary // Ann. Mat. Pura Appl. (4). 2005. V. 184, N 2. P. 185–213.

4. Warschawski S. E. On conformal mapping of infinite strips // Trans. Amer. Math. Soc.1942. V. 51. P. 280–335.

210

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ – СТОКСА:ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАВЕНСТВАGENERALIZED NAVIER–STOKES EQUATIONS:

EXISTENCE THEOREMS AND ENERGY EQUALITIES

Пастухова С. Е.

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики,Москва, Россия; pas-se@yandex.ru

Предполагается изложить известные на настоящий момент времени результа-ты о разрешимости уравнений Навье – Стокса для неньютоновых несжимаемыхжидкостей. Порядок нелинейности в уравнениях может быть переменным, приэтом — лишь измеримой функцией. Будут рассмотрены нестационарные и ста-ционарные уравнения.

Особый интерес представляет вопрос о восстановлении энергетического ба-ланса, нарушение которого теоретически допустимо, в частности, для трехмер-ного классического нестационарного уравнения Навье – Стокса. При построениислабого решения в процессе предельной процедуры возникает мера — пределплотностей вязких энергий. Предельная мера, вообще говоря, содержит неотри-цательную сингулярную (относительно меры Лебега) компоненту. Именно этасингулярная компонента поддерживает энергетическое равновесие. Изучены до-статочные условия отсутствия сингулярной компоненты — в этом случае выпол-нено обычное энергетическое равенство.

Во многих отношениях надо следить лишь за регулярной компонентой пре-дельной меры: важно, чтобы сохранялся её естественный вид — произведениятензора вязких напряжений на градиент решения. Это фундаментальное соот-ношение гарантирует разрешимость задачи. Найдены условия, обеспечивающиеуказанное представление абсолютно непрерывной компоненты предельной меры.

Подробно эти вопросы излагаются в [1].Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 11-01-00331) и гранта-субсидии Минобрнауки РФ ( 14.В37.21.0362).

ЛИТЕРАТУРА

1. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об уравнениях Навье – Стокса: теоремы существова-ния и энергетические равенства // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2012.Т. 278. C. 75–95.

211

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВАРИАЦИОННОЕ УСВОЕНИЕ ДАННЫХ НА ОСНОВЕСХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ

МОДЕЛЕЙ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИSPLITTING SCHEME-BASED VARIATIONAL DATA

ASSIMILATION FOR MULTIDIMENSIONALCONVECTION-DIFFUSION MODELS

Пененко А. В., Пененко В. В.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; aleks@ommgp.sscc.ru

В работе представлен численный алгоритм решения задачи усвоения дан-ных, в которой по набору возмущённых значений функции состояния многомер-ной нестационарной конвективно-диффузионной модели во внутренних точкахпространственно-временной области требуется уточнить и продолжить функциюсостояния модели от имеющихся точек наблюдения. Схема усвоения данных сослабыми ограничениями строится посредством добавления в структуру апри-орных моделей физических процессов функций управления. Для такой расши-ренной модели рассматривается функционал невязки, описывающий расхожде-ние между измеренными и вычисленными значениями. Введённые управляющиефункции выступают в роли переменных для задачи минимизации функционалана фазовом пространстве модели. Таким образом, математическая модель высту-пает как естественный регуляризатор для некорректной задачи интерпретацийданных наблюдений.

Добавлением математической модели физических процессов в обобщенной по-становке к целевому функционалу формируется расширенный функционал длязадачи усвоения данных. Конструируются дискретные аналоги рассматриваемыхагрегатов. Из условий стационарности для расширенного функционала получа-ются системы прямых и сопряженных уравнений, а также уравнения на введён-ные функции управления [1]. В общем случае полученная система может бытьрешена итерационно при определённых ограничениях на параметры усвоения.

Для моделей процессов конвекции-диффузии и окна усвоения длиной в одинвременной шаг дискретной модели многомерная модель может быть декомпо-зирована с помощью методов расщепления на набор нестационарных одномер-ных моделей. Мы предлагаем усваивать посредством прямых алгоритмов всю до-ступную информацию на одном модельном шаге по времени и соответствующихотдельных стадиях расщепления. Каждый такой одномерный фрагмент задачиусвоения, порождаемый расщеплением исходной модели, имеет вид трехдиаго-нальной матричной задачи и может быть решен методом матричной прогонки[1, 2]. Такие версии алгоритмов экономичны с вычислительной точки зрения,эффективно распараллеливаются, и могут быть использованы в интегрирован-ных моделях динамики и химии атмосферы.

Работа выполнена при частичной поддержке Президиума РАН (программа 4),Программы ОМН РАН 3, Российского фонда фундаментальных исследований (про-ект 11-01-00187) и Сибирского отделения РАН (интеграционные проекты 8, 35).

ЛИТЕРАТУРА1. Penenko V. V. Variational methods of data assimilation and inverse problems for studying

the atmosphere, ocean, and environment // Numer. Analysis Appl. 2009. V. 2, N 4.P. 341–351.

2. Пененко А. В. Некоторые теоретические и прикладные вопросы последовательно-го вариационного усвоения данных // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11.С. 35–40.

212

Секция “Дифференциальные уравнения”

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ НА ОСНОВЕ

ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВИ ИНТЕГРИРУЮЩИХ МНОЖИТЕЛЕЙ

A METHOD FOR CONSTRUCTION OF NUMERICALMODELS OF MATHEMATICAL PHYSICS BASED

ON VARIATIONAL PRINCIPLESAND INTEGRATING FACTORS

Пененко В. В.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; penenko@asscc.ru

Представлен новый метод построения численных моделей для решения пря-мых и обратных задач математической физики с помощью вариационных прин-ципов. Теоретическую основу метода составляет оригинальный способ конструк-тивной реализации фундаментальной идеи Л. Эйлера об интегрирующих мно-жителях для решения дифференциальных уравнений в рамках вариационногопринципа.

Для построения численных схем используется разработанный нами аппаратлокальных сопряженных задач для дискретизации интегральных тождеств вари-ационного принципа в комбинации с методами расщепления и декомпозиции [1].Аналитические решения таких сопряженных задач играют в нем роль интегри-рующих множителей. Подынтегральная структура вариационных принципов ор-ганизуется с использованием формул Дирихле и Грина и тождества Лагранжадля дифференциальных операторов в рамках декомпозиции 4D функционаловпо методу конечных объемов. Все построения численных схем для прямых и со-пряженных операторов выполняются стандартной техникой вариационного ис-числения.

В результате получаются семейства однородных дискретно-аналитических чис-ленных схем, обладающих свойствами аппроксимации, устойчивости, монотонно-сти и транспортивности. Так, для операторов конвекции-диффузии-реакции, впредположении кусочно-постоянных коэффициентов в пределах каждого конеч-ного объема, построенные трехточечные схемы являются точными для равномер-ных и неравномерных сеточных интервалов. Краевые условия первого, второго итретьего рода и условия на границах раздела областей с разными свойствами так-же выполняются точно. Все это существенно при исследовании разномасштабныхпроцессов.

Конкретные реализации предлагаемого метода демонстрируются на примереобъединенных моделей динамики и химии атмосферы [2].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00187), Президиума РАН (программа 4), Программы ОМН РАН 3, а также Сибирского отделения РАН (интеграционные проекты 8, 35).

ЛИТЕРАТУРА1. Penenko V. V., Tsvetova E. A. Discrete-analytical methods for the implementation of

variational principles in environmental applications // J. Comput. Appl. Math. 2009.V. 226. P. 319–330.

2. Пененко В. В., Цветова Е. А. Вариационные методы построения монотонных аппрок-симаций для моделей химии атмосферы // Сиб. журн. вычисл. математики. 2013.Т. 16, 3. С. 239–252.

213

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ТЕОРЕМАТИХОНОВА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕBOUNDED SOLUTIONS OF NONLINEAR

DIFFERENTIAL EQUATIONS IN HILBERT SPACE ANDTIKHONOV THEOREM ON A FIXED POINT

Перов А. И.1, Коструб И. Д.2, Иванова Е. В.3

Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия;1anperov@mail.ru, 2ikostrub@yandex.ru, 3lena.ivanova.lica@yandex.ru

В комплексном гильбертовом пространстве H произвольной размерности рас-смотрим нелинейное дифференциальное уравнение n-го порядка, не разрешённоеотносительно старшей производной и имеющее следующий вид:

A0x(n) +A1x

(n−1) + · · ·+Anx = f(t, x, x, . . . , x(n−1), x(n)

).

Предполагается, что A0, . . . , An — постоянные линейные ограниченные опера-торы, действующие в пространстве H, причём оператор A0 непрерывно обра-тим. Также предполагается, что операторный характеристический многочленLn(λ) ≡ A0λ

n+A1λn−1+· · ·+An удовлетворяет условию нерезонансности: Ln(iθ)

непрерывно обратим при −∞ < θ < +∞.Введём в рассмотрение частотные постоянные σj = sup

−∞<θ<+∞|(iθ)jL−1

n (iθ)|,

j = 0, . . . , n. Отметим, что σ2j ≤ σj+1σj−1, j = 1, . . . , n − 1. Относительно нели-

нейной функции f(t, x0, . . . , xn) : R × H × · · · × H → H предполагается, что онанепрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию типа Лип-

шица по пространственным переменным |f(t, x0, . . . , xn)| ≤n∑j=0

lj |xj | + a, где

l0, . . . , ln — некоторые неотрицательные постоянные. Предполагается, что прилюбых ограниченных множествах S0, . . . , Sn из H множество элементов видаy = f(t, x0, . . . , xn) ∈ H при t ∈ [a, b] и x0 ∈ S0, . . . , xn ∈ Sn компактно в H(условие компактности).

Пусть выполнено основное частотное условие qσ ≡n∑j=0

σj lj < 1.

Теорема. При выполнении всех перечисленных выше предположений рас-сматриваемое уравнение имеет ограниченное решение x(t) вместе с производны-ми до порядка n включительно (все они компактны).

Если операторный характеристический многочлен Ln(λ) гурвицев, то нели-нейное уравнение диссипативное.

При доказательстве ограниченности решения используется теорема Тихоновао неподвижной точке. Объясним, что функция f(t) : R→ H называется компакт-ной, если компактно множество её значений f(R) ⊂ H.

ЛИТЕРАТУРА1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.2. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-

нейностями. Минск: Наука и техника, 1986.3. Коструб И. Д., Перов А. И. Ограниченные решения нелинейных дифференциальных

уравнений. Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012.4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.5. Эрдвардс Ф. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.

214

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИНА РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

EXPONENTIAL ESTIMATESFOR SOLUTIONS OF SOME SYSTEMS

OF LINEAR DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Перцев Н. В.

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Омск, Россия; homlab@ya.ru

В работе рассматривается проблема построения двусторонних оценок вида

0 ≤ x(t) ≤ c e−γ t, c ∈ Rm, c > 0, γ ∈ R, γ > 0, t ≥ 0, (1)

для решения x(t) задачи Коши

x(t) =

0∫−τ

dA(θ)x(t+ θ)−Bx(t), t > 0, (2)

x(t) = x(0)(t), t ∈ [−τ, 0]. (3)

Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между ихкомпонентами. Для u, w ∈ Rm записи u ≥ 0, w > 0 означают, что все компонен-ты u неотрицательны, все компоненты w положительны. В (1), (2) принято, чтоx(t) ∈ Rm — искомая функция, t > 0, x(0)(t) ∈ Rm — заданная на [−τ, 0] началь-ная функция с непрерывными неотрицательными компонентами. Запаздывание

0 < τ < ∞. Интеграл0∫

−τdA(θ)x(t + θ) понимается в смысле Римана – Стилтье-

са, где A(θ) = (aij(θ)) — m ×m-матрица, элементы которой — неубывающие на[−τ, 0] функции. Матрица B = diag(b11, . . . , bmm) такова, что bii > 0, 1 ≤ i ≤ m.Полагаем, что каждая строка матрицы VA = A(0) − A(−τ) является ненулевой,т. е. система (2) не содержит уравнений вида dxi(t)/dt = −biixi(t).

Теорема. Пусть выполнены предположения относительно матриц и началь-ных функций, входящих в (2), (3). Тогда, если B − VA является невырожденнойМ-матрицей, то для решения x(t) задачи (2), (3) справедлива оценка (1), гдеγ ∈ R, c ∈ Rm удовлетворяют системе неравенств

0 < γ < min(b11, . . . , bmm), (4)

c > 0,

(B − γ I −

0∫−τ

e−γ θdA(θ)

)c ≥ 0, (5)

c ≥ supt∈[−τ,0]

(eγ t x(0)(t)

). (6)

Представлено два семейства решений неравенств (4)–(6). Для нахожденияэтих решений применяются свойства М-матриц, итерационный метод решениясистем линейных уравнений и простейшие численные методы нахождения корнейуравнений с монотонными функциями.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 80).

215

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ СИСТЕМДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

STABILIZABILITY OF SYSTEMSOF DIFFERENTIAL-ALGEBRAIC EQUATIONS

Петренко П. С.

Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; petrenko_p@mail.ru

Рассматривается система дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ)

F (t, x(t), x′(t), u(t)) = 0, t ∈ T = (t0 − ε, t0 + ε), (1)

где F (t, x, x′, u) — n-мерная достаточно гладкая вектор-функция, определеннаяв окрестности точки (t0, 0, 0, 0), x(t) — искомая n-мерная вектор-функция, u(t) —

функция управления, ε = const > 0. Полагается, что det∂F (t, x, x′, u)

∂x′= 0 и

F (t, 0, 0, 0) = 0 ∀t ∈ T . Под мерой неразрешенности ДАУ (1) относительно произ-водной понимается индекс дифференцирования [1]. Доказана теорема о стабили-зируемости по линейному приближению системы (1) со скалярным управлением.

Исследуется стабилизируемость линейной системы ДАУ

A(t)x′(t) +B(t)x(t) + U(t)u(t) = 0, t ∈ T = [0,+∞), (2)

где A(t) и B(t) — (n×n)-матрицы, U(t) — (n×l)-матрица, u(t) — l-мерная вектор-функция управления, x(t) — искомая n-мерная вектор-функция, detA(t) ≡ 0.При анализе в работе используется эквивалентная структурная форма, в которойразделены “дифференциальная” и “алгебраическая” подсистемы [2]

x′1(t)+J1(t)x1(t)+

r∑j=0

Lj(t)u(j)(t) = 0, x2(t)+J2(t)x1(t)+

r∑j=0

Gj(t)u(j)(t) = 0, (3)

где(x1(t)x2(t)

)= Qx(t), Q — соответствующая матрица перестановок.

Предложен конструктивный способ замены управления(G0(t) G1(t) . . . Gr(t)L0(t) L1(t) . . . Lr(t)

)colon

(u(t), u′(t), . . . , u(r)(t)

)= b(t)w(t),

преобразующий ДАУ (3) к системе со скалярным управлением (w(t) — скалярнаяфункция управления). Такая замена позволила получить условия стабилизируе-мости для ДАУ (2) на основе известных теорем о стабилизируемости системы соскалярным входом, разрешенной относительно производной [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00287), Пре-зидиума РАН (проект 17.1) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инно-вационной России” (проект 2012-1.2.1-12-000-1001-011).

ЛИТЕРАТУРА1. Brenan K. E., Campbell S. L., Petzold L. R. Numerical solutions of initial-value problems

in differential-algebraic equations. Philadelphia: SIAM, 1996.2. Щеглова А. А. Существование решения начальной задачи для вырожденной линей-

ной гибридной системы с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 2010. 9. С. 57–70.

3. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Минск: Инсти-тут математики НАН Беларуси, 1999.

216

Секция “Дифференциальные уравнения”

О ПРИНЦИПЕ КОМПАКТНОСТИ НОСИТЕЛЯРЕШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ON THE COMPACT SUPPORT PRINCIPLEFOR SOLUTIONS OF THE SEMILINEAR

ELLIPTIC EQUATIONS

Пикулин С. В.

Вычислительный центр РАН, Москва, Россия; spikulin@gmail.com

Эффект локализации носителя, или эффект “мёртвой зоны”, заключается втом, что решение дифференциального уравнения обращается в нуль на некото-ром подмножестве области определения с непустым открытым ядром. Известно,что решения уравнения вида ∆u − uσ = 0 при σ ∈ (0, 1) подчиняются принципукомпактности носителя: решение, определенное во внешности компакта, обраща-ется в нуль в окрестности бесконечности.

Доклад посвящен обобщению принципов локализации и компактности носи-теля решения для полулинейных эллиптических уравнений вида

n∑i,j=1

∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

)− a(x)|u|σ−1u = 0 в Ω

с краевым условием Дирихле u = φ на ∂Ω, где Ω — ограниченная область либовнешность компакта в Rn, n ≥ 2, σ ∈ (0, 1), a(x) — положительная в Ω измеримаяфункция, aij ≡ aji ∈ L∞(Ω), при некотором λ ≥ 1 выполняется условие равно-мерной эллиптичности: λ−1|ξ|2 ≤

∑ni,j=1 aij(x)ξiξj ≤ λ|ξ|2, ∀ξ ∈ Rn. Решения

u(x) рассматриваются в классе Соболева W 12 (Ω) (либо W 1

2,loc(Ω)) и понимаются всмысле распределений. Дополнительно на u налагается условие ограниченностив Ω. Функция φ считается продолженной в Ω, равенство u = φ на ∂Ω понимаетсятакже в смысле W 1

2 .Положим A(ρ) := mes x ∈ Ω : a(x) < ρ — функция, принимающая значения

из множества R+∪∞ при ρ > 0. Допустим, что выполнены следующие условия:(i) |φ| ≤ M на ∂Ω, где M = const ≥ 0; (ii) A(ρ) ≤ A0 ρ

n+s при ρ ∈ (0, ρ0), гдеs ≥ 0, ρ0, A0 > 0 — некоторые константы (в частности, достаточно выполнениянеравенства a(x) ≥ a0|x|s).

Теорема 1. Пусть n ≥ 2, Ω ⊂ Rn — ограниченная область, и выполненыусловия (i), (ii). Тогда существует число c > 0, такое, что u = 0 на множествеx ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) ≥ (M/c)

1−σ2+s

.

Теорема 2. Пусть n ≥ 3, Ω = Rn \K, где K — компакт, содержащий началокоординат, и выполнены условия (i), (ii). Тогда существует число c1 > 0 такое,что носитель u(x) при достаточно больших M содержится в шаре с центром вначале координат и радиусом (M/c1)γ , где γ = 1−σ

n+s−(n−2)σ <1−σ2+s .

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00923) и Программы ОМН РАН 3.

ЛИТЕРАТУРА1. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелиней-

ного уравнения второго порядка // Мат. сб. 1988. Т. 135, 3. С. 346–360.2. Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations

with discontinuous coefficients // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa (3). 1963. V. 17, N 1–2.P. 43–77.

217

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯМАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРОМЕХАНИКИ

ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИМПУЛЬСНОМВОЗДЕЙСТВИИ

NUMERICAL METHOD OF STUDYINGMATHEMATICAL MODELS OF MICROMECHANICS

WITH PERIODIC IMPULSE IMPACT

Пиманов Д.О.1, Косцов Э. Г.2, Фадеев С. И.3

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;pimanov-daniil@yandex.ru

2Институт автоматики и электрометрии СО РАН, Новосибирск, Россия;kostsov@iae.nsk.su

3Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;fadeev@math.nsc.ru

В последние годы получила развитие технология принципиально новых мик-роэлектромеханических приборов с широким спектром практического примене-ния, а вместе с этим математическое моделирование их функционирования. Вданной работе рассматривается серия математических моделей простых по кон-струкции приборов микроэлектромеханических систем (MEMS), в которых в ка-честве подвижного электрода используется недеформируемая платформа на пру-жине (прибор “платформа”), упругая балка с жестким закреплением концов (при-бор “балка”) и упругая балка консольного типа (прибор “консоль”). Неподвижныйэлектрод, покрытый слоем диэлектрика, отделён от подвижного узким зазором.Под воздействием периодически повторяющегося импульса напряженности элек-тростатического поля между подвижным и неподвижным электродами возника-ют колебания подвижного электрода. Рассматриваемые математические моделиописывают движение материальной точки (“платформа”) и цилиндрический из-гиб упругой балки (“балка”, “консоль”).

Предложен эффективный метод расчётов периодических колебаний с пери-одом импульсного воздействия на основе численного решения соответствующихнелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных урав-нений с условиями периодичности, формулировка которых связана с использо-ванием метода прямых. Методом продолжения решения по параметру найденаобласть параметров модели, в которой существуют два периодических решенияс периодами импульсного воздействия, из которых одно устойчиво, а второе —неустойчиво.

В итоге указаны условия, при которых колебания подвижного электрода небудут сопровождаться столкновениями с поверхностью диэлектрика, покрыва-ющего неподвижный электрод. Благодаря микро-нанометровым размерам этиприборы могут быть использованы в роли механических резонаторов, генериру-ющих высокочастотные колебания.

ЛИТЕРАТУРА1. Фадеев С. И., Пиманов Д. О. Численное исследование математических моделей мик-

ромеханики при периодическом импульсном воздействии // Сиб. журн. индустр.математики. 2013 (в печати).

2. Фадеев С. И., Пиманов Д. О. Исследование периодических решений в математиче-ских моделях микромеханики при импульсном периодическом воздействии // Вестн.НГУ. 2013 (в печати).

218

Секция “Дифференциальные уравнения”

О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯУРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПАВ НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

ON A BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR DEGENERATE EQUATIONS OF SOBOLEV TYPE

IN NONCYLINDRICAL DOMAINS

Пинигина Н. Р.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; n-pinig@mail.ru

Для уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторамидостаточно хорошо исследована разрешимость краевых задач в цилиндрическихобластях. В случае нецилиндрической области ранее были доказаны теоремы су-ществования обобщенного решения начально-краевой задачи, а также теоремысуществования локального и глобального по времени решений начально-краевойзадачи для уравнений соболевского типа с эллиптическими операторами. Суще-ствование регулярного решения краевых задач доказано для общих нелинейныхуравнений.

Пусть Ω — ограниченная область пространства Rm переменных y1, . . . , ym скомпактной и гладкой границей Γ, G = (x, t) : 0 < x < φ(t), 0 < t < T,φ(0) = 1, 0 < T < +∞, Q = G×Ω — нецилиндрическая область. Функции aij(y),bij(y), i, j = 1, . . . ,m, a0(y), b0(y), f(x, y, t) — заданные, определенные при y ∈ Ω,x ∈ [0, φ(t)], t ∈ [0, T ].

Оператор A — эллиптико-параболический оператор вида

Au =m∑

i,j=1

∂

∂yi(aijuyj ) + a0(y)u, aijξiξj ≥ 0, y ∈ Ω, ξ ∈ Rm;

оператор B — эллиптический такого же вида

Bu =m∑

i,j=1

∂

∂yi(bijuyj ) + b0(y)u, bijξiξj ≥ k0|ξ|2, k0 > 0, y ∈ Ω, ξ ∈ Rm.

Краевая задача. В области Q найти решение уравнения

ut − uxxt −Aut −Bu = f(x, y, t),

удовлетворяющее условиямu(x, y, t)|t=0 = 0,

u(x, y, t)|x=0 = u(x, y, t)|x=φ(t) = 0,

u(x, y, t)|(x,t)∈G,y∈Γ = 0.

В работе доказываются теоремы существования и единственности регулярно-го решения данной краевой задачи из пространства Соболева. Для доказатель-ства теорем применяются метод регуляризации и метод продолжения по пара-метру.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственно-го задания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проект 4402) и ФЦП “Научныеи научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.А18.21.0367).

219

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОДУС АВТОНОМНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ,

СОДЕРЖАЩИХ ДВА МАЛЫХ ПАРАМЕТРА

PERIODIC SOLUTIONS OF SYSTEMS OF ODEWITH THE AUTONOMOUS RIGHT-HAND SIDE

AND TWO SMALL PARAMETERS

Письменный Н. А.

Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия;n.pismennyy@gmail.com

В настоящей работе рассматриваются нелинейные периодические колебания,описываемые системой

dx1dt

= f1(x1) + µ1γ1(t, x2),

dx2dt

= f2(x2) + µ2γ2(t, x1).

(1)

Предполагается, что f1, f2 : Rn → Rn, γ1, γ2 : R1 × Rn → Rn, γ1(t + T, x1) ≡γ1(t, x1), γ2(t+ T, x1) ≡ γ2(t, x1). Правые части системы допускают непрерывныечастные производные первого порядка.

Порождающей назовем систему, отвечающую нулевым значениям параметровµ1 и µ2,

dx1dt

= f1(x1),

dx2dt

= f2(x2),

(2)

каждое из уравнений которой допускает однопараметрическое семейство T -перио-дических решений φ1(t, h1), φ2(t, h2), где h1, h2 — одномерные параметры.

Также предполагается, что единица является простым собственным значени-ем операторов сдвига по траекториям линеаризованных на периодических реше-ниях n-мерных уравнений системы (2): dy1dt = f ′1(φ1(t))y1, dy2dt = f ′2(φ2(t))y2.

Через ψ1(t, h1), ψ2(t, h2) обозначим периодическое решение сопряженных урав-нений dz1

dt + (f′

1(φ1(t+ h1)))∗z1 = 0, dz2dt + (f ′2(φ2(t+ h2)))∗z2 = 0.Справедлива следующая теорема.Теорема. Для того, чтобы система (1) допускала ветвь периодических реше-

ний, обращающихся при µ1 = µ2 = 0 в φ1(t, h1∗), φ2(t, h2

∗), необходимо, чтобыпараметры h1

∗, h2∗ удовлетворяли системеP1(h1, h2) =

T∫0

⟨γ1(τ, φ2(τ, h2)), ψ1(τ, h1)dτ⟩ = 0,

P2(h1, h2) =

T∫0

⟨γ2(τ, φ1(τ, h1)), ψ2(τ, h2)dτ⟩ = 0,

если при этом выполняется условие∣∣∣∣∣∂P1

∂h1

∂P1

∂h2∂P2

∂h1

∂P2

∂h2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(h1

∗,h2∗)

= 0,

то отвечающее этим параметрам решение действительно существует и являетсяединственным периодическим в окрестности φ1(t, h1

∗), φ2(t, h2∗).

220

Секция “Дифференциальные уравнения”

НЕЛИНЕЙНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯМОДЕЛЬ ШАРПА – ЛОТКИ

A NONLINEAR INTEGRAL SHARPE–LOTKA MODEL

Пичугин Б. Ю.1, Пичугина А. Н.2

1Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Омск, Россия; boris.pichugin@gmail.com

2Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского,Институт математики и информационных технологий, Омск, Россия;

anna.pichugina@gmail.com

В работе [1] исследована нелинейная интегральная модель динамики изоли-рованной популяции типа модели Шарпа – Лотки, но учитывающая самолими-тирование и конечность времени жизни индивидуумов:

x(t) = y(t) e−

t∫0

λ(x(s)) ds, y(t) = x(t) +

t∫0

R(a) z(t− a) da,

b(t) = z(t) e−

t∫0

λ(x(s)) ds, z(t) = b(t) +

t∫0

µ(a)R(a) z(t− a) da,

x(t) =

∞∫t

R(a)φ(a− t) da, b(t) =

∞∫t

µ(a)R(a)φ(a− t) da, t > 0.

Смысл входящих в уравнения функций следующий: x(t) — численность инди-видуумов популяции в момент t > 0; b(t) — скорость появления новых индиви-дуумов в момент t > 0; y(t) — численность индивидуумов популяции в моментt > 0 при условии отсутствия самолимитирования; z(t) — скорость появления но-вых индивидуумов в момент t > 0 при условии отсутствия самолимитирования;λ(x) — интенсивность гибели индивидуумов вследствие самолимитирования, λ(x)локально липшицева; R(a) — функция дожития: доля индивидуумов, доживаю-щих до возраста a при условии отсутствия самолимитирования, R(a) неотрица-тельна, не возрастает, R(0) = 1 и τ = supa > 0 : R(a) > 0 <∞; µ(a) — весоваяфункция, определяющая вклад индивидуумов возраста a в производство потом-ства, µ(a) неотрицательна, ограничена и почти всюду непрерывна на [0; τ ]; φ(s) —скорость рождения новых индивидуумов в момент t = −s < 0, φ(s) неотрицатель-на, φ(s) ∈ L1[0; τ ]; x(t) — численность первоначальных индивидуумов, которыедожили бы до момента t > 0 при условии отсутствия самолимитирования; b(t) —скорость производства новых индивидуумов первоначальными индивидуумами вмомент t > 0 при условии отсутствия самолимитирования.

Для данной модели доказаны: теорема о существовании, единственности инеотрицательности решения; теорема о непрерывной зависимости решения от на-чальных данных на конечном отрезке времени; теорема о существовании пределарешения и теорема об устойчивости решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пичугина А. Н., Пичугин Б. Ю. Асимптотические свойства решений нелинейной мо-дели Шарпа – Лотки в наиболее общих предположениях // Сиб. электрон. мат. изв.2013. Т. 10. С. 227–240.

221

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ДВУСТОРОННИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГОФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯABOUT DOUBLE-SIDED SOLUTIONS

OF ONE FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

Плаксина В.П.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,Пермь, Россия; vpplaksina@list.ru

Рассмотрим уравнение

x(t) + kx(t− ω) + (Tx)(t) = f(t), t ∈ (−∞,+∞). (1)

Получены условия разрешимости уравнения (1) в терминах сходимости рядовБрювье и малости оператора T .

ЛИТЕРАТУРА

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.2. Vogl F. On the uniform approximation of a class of analytic functions by Bruwier series //

J. Approx. Theory. 2000. V. 107. P. 281–292.

222

Секция “Дифференциальные уравнения”

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГОФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯABOUT SOLVABILITY OF ONE SINGULARFUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

Плаксина И.М.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,Пермь, Россия; impl@list.ru

Определим пространство Dp, 1 < p < ∞, абсолютно непрерывных функцийx : [0, b] → R, имеющих производную, принадлежащую пространству Lp, т. е.суммируемую со степенью p. Также определим сопряженный к p индекс p′ = p

p−1 .Пусть оператор T : Dp → Lp вполне непрерывен. Пусть 1 6 ρ < ∞. Рассмот-

рим полуоднородную задачу Коши

(Lx)(t) ≡ x(t) +k

tx

(t

ρ

)+ (Tx)(t) = f(t), x(0) = 0, t ∈ [0, b], (1)

для сингулярного по независимой переменной линейного функционально-диффе-ренциального уравнения первого порядка.

Решение задачи Коши будем искать в пространстве Dp. Для получения усло-вий разрешимости уравнения (1) будем использовать вспомогательную задачу

(Lρx)(t) ≡ x(t) +k

tx

(t

ρ

)= z(t), x(0) = 0, t ∈ [0, b], (2)

для модельного [1, с. 30] сингулярного уравнения.Лемма. Если k < 1

p′ ρ1/p′ , то уравнение краевой задачи (2) однозначно раз-

решимо при любой правой части z ∈ Lp.Решение уравнения краевой задачи (2) имеет вид x = Cρz. Здесь опера-

тор Cρ : Lp → Dp является линейным интегральным вольтерровым оператором:

(Cρz)(t) =t∫0

Cρ(t, s)z(s) ds с ядром вида Cρ(t, s) =[logρ ts ]∑n=0

(−1)n kn

n!

(ln t

ρns

)nпри

ρ > 1 или C1(t, s) =(ts

)−k при ρ = 1. Здесь[logρ

ts

]— целая часть выражения

logρts .

Теорема 1. Пусть k < 1p′ ρ

1/p′ и оператор I + CρT обратим. Тогда задачаКоши (1) однозначно разрешима при любой правой части f ∈ Lp.

Теорема 2. Пусть k < 1p′ и оператор I+C1T обратим. Тогда для всех значений

ρ > 1 задача Коши (1) однозначно разрешима при любой правой части f ∈ Lp.Замечание. Получены оценки функции Cρ(t, s) и эффективные признаки

обратимости оператора I + CρT , ρ > 1.

ЛИТЕРАТУРА1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории

функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Инсти-тут компьютерных исследований, 2002.

2. Абдуллаев А. Р. О разрешимости задачи Коши для сингулярного уравнения второгопорядка в критическом случае // Тр. ин-та прикладной математики им. И. Н. Векуа.1990. 37. С. 5–12.

3. Плаксина И. М. Об одном сингулярном линейном функционально-дифференци-альном уравнении // Изв. вузов. Матем. 2012. 2. С. 92–96.

223

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КРИТЕРИЙ ε-УПРАВЛЯЕМОСТИЗА СВОБОДНОЕ ВРЕМЯ

ВЫРОЖДЕННОЙ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

FREE TIME ε-CONTROLLABILITY CRITERIONFOR A DEGENERATE EVOLUTION SYSTEM

Плеханова М. В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;mariner79@mail.ru

Пусть U , X , Y — банаховы пространства, операторы L ∈ L(X ;Y), kerL = 0,M ∈ Cl(X ;Y) (линейный, замкнутый, плотно определенный в X , действующийв Y), B : [0, T ]→ L(U ;Y). Исследуем ε-управляемость систем, динамика которыхописывается уравнением

Lx(t) = Mx(t) +B(t)u(t). (1)

Существование единственного сильного решения задачи Коши для уравне-ния (1) при условии сильной (L, p)-радиальности оператора M доказано в [1].При том же условии на оператор M в [2] показано существование проекторов Pи Q, которые позволяют пространства X и Y представить в виде прямых суммподпространств X 0, X 1 и Y0, Y1 соответственно. Там же доказано существованиеоператоров Lk : X k → Yk, Mk : domM ∩ X k → Yk, k = 0, 1, и (C0)-непрерывнойполугруппы Xt ∈ L(X ) : t ≥ 0, порожденной оператором L−1

1 M1.Теорема. Пусть операторM сильно (L, p)-радиален,B ∈ C1([0,+∞);L(U ;Y)),

(I −Q)B ∈ Cp+1([0,+∞);L(U ;Y)). Тогда система (1) ε-управляема за свободноевремя в том и только в том случае, когда

spanimXs1L−11 QB(s2), s1, s2 ≥ 0 = X 1,

span

im

p∑k=l

k!GkM−10

l!(k − l)!B

(k−l)0 (0), l = 0, . . . , p

= domM0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Плеханова М. В., Федоров В. Е. О существовании и единственности решений задачоптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенны-ми относительно производной по времени // Изв. РАН. Сер. мат. 2011. Т. 75, 2.С. 177–194.

2. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Ал-гебра и анализ. 2000. Т. 12, 3. С. 173–200.

224

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙИЛИ НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙ

BOUNDARY VALUE PROBLEMS AND CONTROLPROBLEMS FOR DEGENERATIVE PARABOLICEQUATIONS IN NONCYLINDRICAL DOMAINS

Подгаев А. Г.

Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск, Россия;pvu1707@mail.ru

Представлены результаты исследования задачи Стефана и задач в заданныхнестационарных областях в направлении уменьшения требований на гладкостьнеизвестной границы фазового перехода или, соответственно, заданной границыи при допущении возможности вырождения уравнения. Целью является наиболеесложный вопрос — доказательство существования решения. В отличие от многихработ последнего времени в постановке задачи Стефана участвует в явном видеграница фазового перехода. В одномерном случае рассматривается уравнение

∂u

∂t=

∂

∂xφ(ux) + a(x, t)ux + b(x, t)u.

При допущении довольно произвольного вырождения (φ′ ≥ 0) для заданнойнеобязательно монотонной границы x = s(t), s ∈W 1

2 (0, T ), установлены теоремысуществования. В случае задачи Стефана неизвестная граница s находится изкласса W 1

2 (0, T ).В трехмерном случае предложена новая нерассмотренная другими авторами

задача также с неизвестной границей. В ней нахождению подлежит не толькотемпература и граница фазового перехода, как в задаче Стефана, но и требуетсяподобрать такой коэффициент скрытой удельной теплоты плавления, при кото-ром к заданному моменту времени масса (или объём) жидкой фазы достигнетзаданной величины. В этой задаче требуется определить постоянную k (скрытаяудельная теплота плавления), функцию s(t), определяющую границу фазовогоперехода, и решение c(x1, x2, x3, t) вырождающегося нелинейного уравнения теп-лопроводности ct = (rc)m∆xc в области Qs = (x, t) : r =

√x21 + x22 + x23 < s(t),

0 < t < T. Установлена теорема существования. Наконец, изложены резуль-таты по построению недостающей базы для исследования многомерных вырож-дающихся нелинейных уравнения в нецилиндрических областях в естественныхкоординатах, на основании которой и с помощью предложенной модификацииметода монотонности для таких областей доказаны теоремы однозначной разре-шимости.

ЛИТЕРАТУРА1. Мейерманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.2. Подгаев А. Г. Задачи типа Стефана и с управляющим параметром // Торическая

топология и автоморфные функции. Междунар. конф. Хабаровск: Изд-во ТОГУ,2011. С. 164–169.

3. Лисенков К. В. Проекционный метод решения задачи для квазилинейного парабо-лического уравнения в нецилиндрической области с границей класса W 1

2 // Тори-ческая топология и автоморфные функции. Междунар. конф. Хабаровск: Изд-воТОГУ, 2011. С. 160–161.

4. Podgaev A. G. On the control problem of melting substance mass amount // VI Intern.Conf. on Mathematical Modeling: Abstracts. Yakutsk, 2011. P. 54–55.

225

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

И КОЭФФИЦИЕНТА ПРИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙПО ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В МНОГОМЕРНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИСПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

THE PROBLEM OF IDENTIFICATIONOF THE SOURCE FUNCTION

AND THE COEFFICIENT AT THE FIRST DERIVATIVEIN A SPACE VARIABLE FOR A MULTIDIMENSIONAL

PARABOLIC EQUATION OF SPECIAL TYPE

Полынцева С. В.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия; siriuspsv@mail.ru

В полосе G[0,T ] = (t, x, z) | 0 6 t 6 T, x ∈ En, z ∈ E1 рассматривается задачаКоши

ut =n∑i=1

αi(t, xi)uxixi +n∑i=1

βi(t, x)uxi

+g1(t)uzz + b1(t, x)uz + g2(t)u+ b2(t, x)f(t, x, z), (1)

u(0, x, z) = u0(x, z), x ∈ En, z ∈ E1. (2)

Здесь функции f(t, x, z), u0(x, z) заданы в G[0,T ] и En+1 соответственно, коэф-фициенты αi(t, xi), i = 1, n, gj(t), j = 1, 2, — непрерывные действительнозначныефункции переменных t, xi и t соответственно, 0 6 t 6 T , T > 0 — const, причемg1(t) > 0 при t ∈ [0, T ], αi(t, xi) > 0. Коэффициенты βi(t, x), i = 1, n, — непрерыв-ные действительнозначные функции переменных t, x. En — n-мерное евклидовопространство, n ∈ N.

Неизвестными в задаче являются коэффициенты b1(t, x), b2(t, x) и решениеu(t, x, z) задачи (1), (2).

Предполагается, что выполняются условия переопределения

u(t, x, a) = ψ1(t, x), uz(t, x, a) = ψ2(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ], (3)

где a = const, Π[0,T ] = (t, x) | 0 6 t 6 T, x ∈ En, ψ1(t, x), ψ2(t, x) — заданныефункции, удовлетворяющие условиям согласования

ψ1(0, x) = u0(x, a), ψ2(0, x) = u0z(x, a), x ∈ En.

Под решением задачи (1)–(3) в полосе G[0,t∗], 0 < t∗ 6 T , понимается тройкафункций b1(t, x), b2(t, x), u(t, x, z), которые удовлетворяют соотношениям (1)–(3).

В работе доказана теорема существования и единственности классическогорешения обратной задачи (1)–(3) в классе гладких ограниченных функций. Придоказательстве использовался подход, позволяющий с помощью условий пере-определения свести исходную обратную задачу (1)–(3) к прямой вспомогатель-ной задаче Коши для нагруженного уравнения. Разрешимость прямой задачидоказана методом слабой аппроксимации [1, 2].

ЛИТЕРАТУРА1. Белов Ю. Я., Кантор С. А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: КрасГУ, 1999.2. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической

физики. Новосибирск: Наука, 1967.

226

Секция “Дифференциальные уравнения”

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИНЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

INVESTIGATION OF SOLVABILITYOF NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FOR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATIONS

Попов Н. С.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; popovnserg@mail.ru

Работа представляет собой исследование разрешимости пространственно нело-кальных краевых задач с граничным условием А. А. Самарского с переменнымикоэффициентами для одномерных и с граничным условием интегрального видадля многомерных псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

Пусть Ω — ограниченная область пространства Rn с гладкой границей Γ,Q = Ω× (0, T ) (0 < T < +∞), S = Γ× (0, T ).

Краевая задача 1. Найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q ре-шением уравнения

∂

∂t(ut −∆u)−Bu = f(x, t), Bu ≡

n∑i,j=1

∂

∂xi(bij(x)uxj ) + b(x, t)u, (1)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), x ∈ Ω, (2)

u(x, t)∣∣∣(x,t)∈S

=

∫Ω

K(x, y, t)u(y, t)dy∣∣∣(x,t)∈S

.

В одномерном случае уравнение (1) имеет вид

utt − a(x, t)uxx + c(x, t)u− uxxt = f(x, t), (3)

для которого рассматриваются пространственно нелокальные краевые условия

a11(t)ux(0, t) + a12(t)ux(1, t) + b11(t)u(0, t) + b12(t)u(1, t) = 0, (4)

a21(t)ux(0, t) + a22(t)ux(0, t) + b21(t)u(0, t) + b22(t)u(1, t) = 0. (5)

Краевая задача 2. Найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольни-ке Q решением уравнения (3) и такую, что для нее выполняются краевые усло-вия (4), (5), а также начальные условия (2).

Методом продолжения по параметру и априорных оценок доказывается раз-решимость краевых задач 1 и 2. Ранее подобные методы в близкой ситуацииэффективно использовались в работах [1, 2].

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.132.21.1349).

ЛИТЕРАТУРА1. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным гра-

ничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравне-ний // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, 9. С. 1116–1172.

2. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболиче-ских уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат.заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 82–95.

227

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR PARABOLIC EQUATIONS

WITH CHANGES OF THE TIME DIRECTION

Попов С. В.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; madu@ysu.ru

В краевых задачах для параболических уравнений с меняющимся направле-нием времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принад-лежность решения гельдеровским пространствам [1]. Пространственно нелокаль-ные краевые задачи для параболических уравнений, а также для параболическихуравнений второго порядка с меняющимся направлением времени рассматрива-лись в работах [2, 3].

В настоящей работе рассматриваются пространственно нелокальные краевыезадачи для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением временис полной матрицей условий склеивания.

Для таких задач применение теории сингулярных уравнений дает возмож-ность наряду с гладкостью данных задачи указать дополнительно необходимые идостаточные условия, обеспечивающие принадлежность решения пространствамHp,xp/2nt при p ≥ 2n. Применение единого подхода при общих условиях склеивания

(сопряжения) для таких уравнений показывает, что нецелый показатель p − [p]гельдеровского пространства может существенно влиять как на количество усло-вий разрешимости, так и на гладкость искомого решения для 2n-параболическихуравнений с меняющимся направлением времени.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственногозадания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проекты 4402, 5562).

ЛИТЕРАТУРА

1. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени.Новосибирск: Наука, 1985.

2. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственных нелокальных крае-вых задач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. ун-та. Сер.естественнонаучная. 2008. 3 (62). C. 165–174.

3. Туласынов М. С. Об одной краевой задаче для уравнения теплопроводности с меня-ющимся направлением времени с нелокальными граничными условиями Самарско-го // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМСО РАН, 2010. С. 279–292.

228

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССАУРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

THE DIRICHLET PROBLEMFOR A CLASS OF COMPOSITE TYPE EQUATIONS

WITH A DISCONTINUOUS COEFFICIENTAT THE HIGHEST DERIVATIVE

Потапова С. В.

Научно-исследовательский институт математикиСеверо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова,

Якутск, Россия; sargyp@mail.ru

Пусть Ω — ограниченная область пространства Rn с гладкой границей Γ, Q —цилиндр Ω × (−T, T ), 0 < T < +∞, S = Γ × (−T, T ) — его боковая граница,aij(x), i, j = 1, . . . , n, a0(x) — заданные при x ∈ Ω функции, f(x, t) — функция,заданная при (x, t) ∈ Q, h(t) — разрывная функция такая, что h(t) > 0 при t > 0,h(t) < 0 при t < 0 и h(t) ∈ C1([−T, 0]), h(t) ∈ C1([0, T ]), h(+0) = h(−0), функцииαk(x), βk(x), k = 1, . . . , 4, заданы при x ∈ Ω и векторы (α1(x), α2(x), α3(x), α4(x)),(β1(x), β2(x), β3(x), β4(x)) линейно независимы при всех x ∈ Ω.

Обозначим

Lu =

n∑i,j=1

∂

∂xi(aij(x)uxj ) + a0(x)u,

Q+ = (x, t) : (x, t) ∈ Q, t > 0, Q− = (x, t) : (x, t) ∈ Q, t < 0, Q1 = Q+ ∪Q−.

Краевая задача: найти функцию u(x, t), являющуюся на множестве Q1 ре-шением уравнения

utt − h(t)ut + Lu = f(x, t), (1)

и такую, что для нее выполняются граничные условия

u(x, t)∣∣S

= 0, (2)

u(x, T ) = u(x,−T ) = 0, x ∈ Ω, (3)

а также условия сопряжения

α1(x)u(x,+0) + α2(x)u(x,−0) + α3(x)ut(x,+0) + α4(x)ut(x,−0) = 0, (4)

β1(x)u(x,+0) + β2(x)u(x,−0) + β3(x)ut(x,+0) + β4(x)ut(x,−0) = 0. (5)

В случае непрерывной функции h(t) в [1] показано, что для таких уравненийкорректной может быть как начально-краевая задача, так и задача с данными навсей границе (в частности, задача Дирихле). В случае разрывных коэффициентовразрешимость тех или иных краевых задач для уравнений соболевского типавида (1) ранее практически не изучалась — отметим лишь работу [2]. В даннойработе методом регуляризации и методом продолжения по параметру доказаносуществование регулярных решений краевой задачи (1)–(5).

ЛИТЕРАТУРА1. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.2. Potapova S. V. Boundary value problems for pseudohyperbolic equations with a variable

time direction // TWMS J. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 75–91.

229

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХЭВОЛЮЦИОННЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ON SOME CLASSES OF EVOLUTIONARY INVERSEPROBLEMS FOR PARABOLIC EQUATIONS

Пятков С. Г.

Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск, Россия;pyatkov@math.nsc.ru

Мы рассматриваем вопрос об определении вместе с решением правой частиспециального вида в параболических уравнениях и системах. Пусть G — ограни-ченная область в Rn с границей Γ класса C2m и Q = (0, T )×G. Параболическаясистема имеет вид

ut +A(t, x,D)u =

r∑i=1

bi(t, x)qi(t, x′) + f, (t, x) ∈ Q, (1)

где x′ = (x1, . . . , xn−1) и A — матричный эллиптический оператор порядка 2m сматричными коэффициентами размерности h× h, представимый в виде

A(t, x,D) =∑

|α|≤2m

aα(t, x)Dα, D = (∂x1 , . . . , ∂xn).

Уравнение (1) дополняется начальными и граничными условиями

u|t=0 = u0, Bju|S =∑

|β|≤mj

bjβ(t, x)Dβu|S = gj(t, x), (2)

где mj < 2m, j = 1, . . . ,m, и S = (0, T ) × Γ. Неизвестными в (1), (2) являютсярешение u, функции qi(t, x′) (i = 1, . . . , r), входящие в правую часть (1). Условияпереопределения для нахождения этих функций qi имеют вид

∂ku

∂xn

∣∣∣Si

= ψik(t, x′), Si = (0, T )× Γi, i = 1, . . . , s, k = 0, . . . , ri − 1, (3)

где Γi — множество гладких n− 1-мерных поверхностей, лежащих в G, ri ≥ 1для всех i и r = h(r1+. . .+rs). Проблемы подобного вида возникают при описаниипроцессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрациии во многих других областях. Основное условие на область G и поверхности Γiсостоит в следующем: существует область Ω ⊂ Rn−1 с границей класса C2m такая,что G ⊂ Ω × R, Γi = x ∈ Rn : xn = φi(x′), x′ ∈ Ω, φi(x′) ∈ C2m(Ω) при всехi = 1, . . . , s, и существует постоянная δ > 0 такая, что

Uδi = (x′, φi(x′) + η) : x′ ∈ Ω, |η| < δ ⊂ G, Uδi ∩ Uδj = ∅

при i = j, i, j = 1, . . . , s.При выполнении условия параболичности системы мы указываем условия на

граничные операторы и данные задачи, когда задача (1)–(3) имеет единственноерешение из класса u ∈W 1,2m

p (Q), qi ∈ Lp(Q0), где Q0 = (0, T )× Ω и i = 1, . . . , r.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 12-01-00260).

230

Секция “Дифференциальные уравнения”

КОНВОЛЮЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРОХОЖДЕНИЯАКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА КРИВОЛИНЕЙНОМ

КОНТАКТЕ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДCONVOLUTION-TYPE TRANSMISSION OPERATORSOF ACOUSTICS WAVES AT CURVILINEAR CONTACT

OF INHOMOGENEOUS MEDIAРакшаева Е. Ж.1, Айзенберг А.М.2

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;rcatherine89@gmail.com

2Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. ТрофимукаСО РАН, Новосибирск, Россия; aizenbergam@ipgg.sbras.ru

Строгое описание явления отражения и преломления на границе двух средиграет важную роль для развития теории методов решения прямых и обрат-ных задач сейсмики. Были предприняты многочисленные попытки использоватьстрогие постановки краевых задач математической теории волн с целью описанияэтого явления в терминах операторов прохождения (отражения и преломления).Впервые граничные условия на плоском контакте однородных акустических средбыли записаны в форме преобразования отражения-преломления с конволюци-онными операторами прохождения в [1]. Позже это представление граничныхусловий было обобщено на случаи плоского или криволинейного контакта неод-нородных акустических и упругих сред [2–4]. Операторы прохождения такжеимеют вид двукратных сверток по криволинейной границе. Их ядра содержатбыстро осциллирующие и дробно-радикальные функции, которые зависят от ло-кальных значений материальных параметров сред и средней кривизны границы.

В данной работе определены условия, при которых операторы прохожденияне зависят от геометрических параметров границы. В каждом полупростран-стве общее решение системы уравнений движения частиц представляется в видеобобщенного пространственного спектрального разложения, подобного разложе-нию Зоммерфельда – Вейля, по локальным аналогам плоских волн. Доказаносуществование такой криволинейной метрики в тонкой окрестности криволиней-ной границы (из класса поверхностей А.Д. Александрова), в которой системауравнений движения частиц инвариантна по отношению к ограниченному регу-лярному возмущению плоской границы. Граничные условия задачи прохожденияредуцированы к линейному преобразованию отражения-преломления на границе.Оно записано в терминах матричных операторов прохождения конволюционноготипа, которые действуют на предельные значения волновых мод, распространя-ющихся в тонкой окрестности границы во встречных направлениях. Элементыматричных ядер этих операторов представлены двукратным преобразованиемФурье от коэффициентов отражения или преломления плоских волн с матери-альными параметрами сред, фиксированными в точке вычисления свертки.

ЛИТЕРАТУРА1. Berkhout A. J. Applied seismic wave theory (Advances in exploration geophysics). Vol. 1.

Amsterdam: Elsevier, 1987.2. Ракшаева Е. Ж., Айзенберг А. М., Айзенберг М. А., Андерссон Ф. Описание отра-

женных и преломленных сейсмических волн на контакте однородных сред в тер-минах конволюционных операторов прохождения // Теория и численные методырешения обратных и некорректных задач. Новосибирск, 2011. С. 50–51.

3. Ayzenberg M., Tsvankin I., Ayzenberg A. M., Ursin B. Effective reflection coefficientsfor curved interfaces in transversally isotropic media // Geophysics. 2009. V. 74, N 5.P. WB33–WB53.

4. Klem-Musatov K. D., Aizenberg A. M., Helle H. B., Pajchel J. Reflection and transmissionat curvilinear interface in terms of surface integrals // Wave Motion. 2004. V. 39, N 1.P. 77–92.

231

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ СОПРЯЖЁННОЙ ЗАДАЧИДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ON THE ESTIMATES OF SOLUTIONS OF THE ADJOINTPROBLEM FOR PARABOLIC EQUATIONS

Резникова И. А.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;ilona_reznikova@mail.ru

Изучается неоднородное тело в виде шара, у которого ядро

Ω1 = (r, θ, φ) | 0 6 r 6 R1, 0 6 θ 6 π, 0 6 φ 6 2πи слой

Ω2 = (r, θ, φ) | R1 6 r 6 R2, 0 6 θ 6 π, 0 6 φ 6 2πсостоят из разных материалов (схематическое представление о строении Земли впервом приближении). Соответствующие поля температур uj(r, θ, φ, t), j = 1, 2,неизвестны, они удовлетворяют уравнениям

ujt = χj∆uj + fj(r, θ, φ, t), t > 0, (r, θ, φ) ∈ Ωj ,

где χj — известные положительные постоянные — коэффициенты температуро-проводностей, fj — заданные внутренние источники тепла.

Кроме того, имеются начальные и граничные условия

u1|t=0 = u2|t=0 = 0,

u1|r=R1 = u2|r=R1 , k1u1r(R1, θ, φ, t) = k2u2r(R1, θ, φ, t), (1)

u2|r=R2 = 0, |u1(0, θ, φ, t)| <∞, (2)

uj ∈W 12 (Ωj), kj — известные положительные постоянные — коэффициенты теп-

лопроводностей. Для функций uj , удовлетворяющих только граничным услови-ям (1), (2), доказано неравенство типа Фридрихса∫

Ω1

u21 dΩ1 +

∫Ω2

u22 dΩ2 6M0

k1 ∫Ω1

|∇u1|2 dΩ1 + k2

∫Ω2

|∇u2|2 dΩ2

,

причём положительная постоянная M0 не может быть уменьшена.Предположим, что (ниже A01, A02, A1, A2, A3 — положительные постоянные)

∥fj(r, θ, φ, t)∥L2(Ωj)6 A0je

−γt, γ > δ =1

M0min

(χ1

k1,χ2

k2

), (3)

тогда оценки функций uj имеют следующий вид

|u2| 6 A1e− δt

2 ∀r ∈ [R1, R2], t ∈ [0, T ],

|u1| 6 A2e− δt

2 +A3e−γt + h(t) ∀r ∈ [0, R1], t ∈ [0, T ],

T > 0 — произвольное число, величина δ зависит от геометрии области и физиче-ских параметров контактирующих сред. Для Земли δ ≈ 1, 08 · 10−18/c. Заметим,что при t → ∞ температуры в средах стремятся к нулю, а условие (3) влечётэкспоненциальное затухание интенсивности внутренних источников тепла.

Замечание. Если на внешней границе задано неоднородное условие u2|r=R2 =v(θ, φ, t), то замена u2 = u2 + v(θ, φ, t)(r − R1)2(R2 − R1)−2 делает задачу одно-родной для функций u1, u2. Изменится лишь внутренний источник тепла f1.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В. К. Андрееву за постановкузадачи и постоянное внимание при выполнении работы.

232

Секция “Дифференциальные уравнения”

К ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

IDENTIFICATION PROBLEMOF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

WITH INCOMPLETE INFORMATION

Ройтенберг Е. Я.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; lavrov@imec.msu.ru

При исследовании динамических объектов для измерения какой-либо физиче-ской величины используется измерительный прибор. Нельзя точно предсказатьрезультаты измерения даже при наличии всей возможной информации об усло-виях, при которых оно происходит. Большое число исследований основано надопущении о стохастической природе погрешностей эксперимента: ошибок из-мерений в канале наблюдения, возмущений в динамике объекта, ошибок в за-дании априорной информации о его начальном состоянии. Задача оцениваниясостояния и идентификации параметров динамических объектов впервые быларассмотрена А. Н. Колмогоровым [1] и Н. Винером [2]. Весьма распространенаситуация, когда какое-либо статистическое описание неизвестных данных иссле-дуемого динамического объекта отсутствует. В связи с этим развивается теория,оперирующая с перечисленными погрешностями как неопределёнными факто-рами. Исследование динамических систем с неполной информацией осуществ-ляется путём привлечения методов минимакса и теории игр. Доклад посвящёноценке решений и идентификации нестационарных дифференциальных уравне-ний с неопределёнными параметрами. В банаховом пространстве рассматривает-ся нелинейное нестационарное дифференциальное уравнение с неопределённымипараметрами, для которых известны информационные области. Построен иден-тификатор — дифференциальное уравнение с обратной связью, решение которогоявляется оценкой решения исходного уравнения [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайныхпоследовательностей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1941. Т. 5, 1. С. 5–16.

2. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series withengineering applications. New York: Wiley, 1949.

3. Ройтенберг Е. Я. Обратные задачи для нелинейных систем с неизвестными пере-менными параметрами // Материалы X Междунар. семинара “Дискретная мате-матика и её приложения” (Москва, МГУ, 1–6 февраля 2010). М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2010. С. 134–136.

233

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕРАССЕИВАЮЩИХАКУСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

AN EXISTENCE OF ACOUSTICAL OBJECTSNONSCATTERING WAVES

IN THE ANISOTROPIC MEDIUM

Романов В. Г.1, Чиркунов Ю. А.2

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;romanov0511@gmail.com

2Новосибирский государственный технический университет,Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия;

chr101@mail.ru

Для модели линейной акустики, описывающей в анизотропной среде специ-ального вида дифракцию звуковых волн на локальной неоднородности, показаносуществование локальных неоднородностей (областей), для которых отсутствуетрассеянное поле, возникающее при падении на неоднородность высокочастотногополя, создаваемого внешними компактно распределенными источниками. Полу-чены явные формулы, определяющие основные параметры таких областей. Этирезультаты, в частности, могут быть использованы при проведении геофизиче-ской разведки нефти и газа в пористых средах.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Правительства РФ для го-сударственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством при-глашенных исследователей (соглашение 12-01-00012), Совета по грантам Президен-та РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (про-ект НШ 6706.2012.1), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-00648, 11-01-00105).

ЛИТЕРАТУРА

1. Чиркунов Ю. А. Установившиеся колебания в непрерывно-неоднородной среде, опи-сываемые обобщенным уравнением Дарбу // Сиб. журн. индустр. математики. 2010.Т. 13, 1. С. 140–149.

2. Романов В. Г. Обратная задача дифракции для уравнений акустики // ДАН. 2012.Т. 431, 3. С. 319–321.

3. Алексеев Г.В., Романов В. Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. математики. 2011.Т. 14, 2. С. 15–20.

234

Секция “Дифференциальные уравнения”

О ДИХОТОМИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМНЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

ABOUT DICHOTOMY OF LINEAR SYSTEMSOF NEUTRAL TYPE

Романовский Р.К., Назарук Е. М.

Омский государственный технический университет, Омск, Россия;elmarnaz@mail.ru

Рассматривается задача Коши[x(t)−

1∫0

[dT (s)]x(t− s)]′

=

1∫0

[dF (s)]x(t− s), t ≥ 1,

x∣∣[0,1]

= φ ∈ E = C([0, 1]→ CN

),

(1)

F , T : [0, 1]→ Mat(C, N), 0 < V 10 [F ] <∞, T — липшицева.

Лемма. Задача (1) эквивалентна разностной задаче Коши в фазовом про-странстве E

xn = Γxn−1 (n = 1, 2, . . . ), x0 = φ ∈ E, (2)

где xn = x(t+ n), t ∈ [0, 1], Γ = (I −A)−1B, A, B : E → E,

Aφ =

t∫0

dτ

τ∫0

d[F (s)]φ(1 + τ − s) +

1∫t

d[T (s)]φ(1 + t− s)−1∫

0

d[T (s)]φ(1− s) + φ(1),

Bφ =

t∫0

d[T (s)]φ(t− s) +

t∫0

dτ

τ∫0

d[F (s)]φ(τ − s).

Теорема 1. Оператор Γ компактен. Собственные числа Γ даются формулойλ = eξ, где ξ пробегает множество корней уравнения

det

ξ(I − 1∫0

e−ξsdT (s)

)−

1∫0

e−ξsdF (s)

= 0. (3)

Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений за-дачи Коши (1), если имеет место прямое разложение E = E1+E2, Ek = 0,такое, что для решений задачи Коши (2) верны при некоторых µ, ν > 0 оценки

φ ∈ E1 ⇒ ∥Γnφ∥ ≤ µe−νn∥φ∥, φ ∈ E2 ⇒ ∥Γnφ∥ ≥ µeνn∥φ∥ (n = 1, 2, . . . ).

Теорема 2. Экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1) имеетместо точно тогда, когда корни уравнения (3) не лежат на мнимой оси и хотя быодин корень лежит в полуплоскости Re ξ > 0.

235

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

К ВОПРОСУ ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИОДНОЙ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИON THE CONTROLLABILITY OF ONE NONCLASSICAL

MODEL OF MATHEMATICAL PHYSICS

Рузакова О. А.1, Олейник Е. А.2

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;1oruzakova@gmail.com, 2oleynikekaterinaa@gmail.com

Рассмотрим начально-краевую задачу

v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω, (1)

v(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω× (0, T ), (2)

для линеаризованной системы уравнений Навье – Стокса

vt(x, t) = ν∇2v(x, t)− r(x, t) + u(x, t), (3)

∇(∇ · v) = ur(x, t), (x, t) ∈ Ω× (0, T ). (4)

Здесь ν > 0, Ω ⊂ Rn — ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞,v = v(x, t) — поле скоростей вязкой несжимаемой жидкости, r = r(x, t) = ∇p —градиент давления, u = u(x, t) — функция управления, определяемая внешнимвоздействием на систему.

В [1] задача (1)–(4) редуцирована к задаче Коши x(0) = x0 ∈ domM дляуравнения соболевского типа [2]

Lx(t) = Mx(t) +Bu(t), t ∈ (0, T ),

с операторами

L =

1 0 00 1 00 0 0

, M =

νAσ 0 0νΠA νAπ −1

0 −F 0

.

Используя тот факт, что оператор M сильно (L, 1)-секториален, и учитывая ре-зультаты, изложенные в [3], получаем следующую теорему.

Теорема. Система (1)–(4) ε-управляема за время T .Замечание. Если в качестве уравнения (4) рассматривать уравнение несжи-

маемости∇(∇ · v) = 0, (x, t) ∈ Ω× (0, T ), (5)

которое определяет решение v системы как функцию со значениями в Hσ, тосистема (1)–(3), (5) не будет являться ε-управляемой даже за свободное время.

ЛИТЕРАТУРА

1. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г. А. Об относительно сильной р-секториальности линей-ных операторов // ДАН. 1999. Т. 365, 6. С. 736–738.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroupsof operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

3. Рузакова О. А., Олейник Е. А. Об управляемости линейных уравнений соболевскоготипа с относительно секториальным оператором // Вестн. ЮУрГУ. 5 (264). Сер.Матем. модел. програм. 2012. Вып. 11. С. 54–61.

236

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВАЯ ЗАДАЧАДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИA BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED-TYPE

EQUATION IN AN UNBOUNDED DOMAIN

Рузиев М. Х.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан; mruziev@mail.ru

Рассмотрим уравнение (signy)|y|muxx + uyy + β0

y uy = 0, где m > 0,−m2 < β0 < 1, в области D, ограниченной полупрямыми x = 0, x = 1, располо-женными в полуплоскости y > 0, и характеристиками OC : x− 2

m+2 (−y)m+2

2 = 0,BC : x + 2

m+2 (−y)m+2

2 = 1, выходящими из точек O(0; 0) и B(1; 0). ОбозначимD+ = D ∩ (x, y) : y > 0, D− = D ∩ (x, y) : y < 0. Пусть C0 и C1 — со-ответственно точки пересечения характеристик OC и BC с характеристиками,выходящими из точки E(c, 0), где c ∈ I = (0, 1) — интервал оси y = 0.

Отметим, что задача Трикоми для уравнения изучена в работе [1], а приβ0 = 0 исследована в работе [2]. В данной работе изучается обобщение задачиТрикоми с краевым условием Трикоми на части OC0 характеристики OC и усло-вием Бицадзе – Самарского на части C0C характеристики OC и параллельнойей характеристике EC1. Задача с такими условиями для уравнения в конечнойобласти исследована в работе [3].

Задача. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:1) u(x, y) ∈ C(D);2) u(x, y) ∈ C2(D+) и удовлетворяет уравнению в этой области;3) u(x, y) является обобщенным решением класса R1 в области D−;4) lim

y→∞u(x, y) = 0 равномерно по x ∈ [0, 1];

5) u(x, y) удовлетворяет краевым условиямu(0, y) = φ1(y), u(1, y) = φ2(y), y > 0, u

∣∣OC0

= ψ(x), 0 6 x 6 c2 ,

u[θ(x)] = µu[θ∗(x)] + ρ(x), c 6 x 6 1, и условию сопряжения limy→−0

(−y)β0uy =

limy→+0

yβ0uy, x ∈ J\c, причем эти пределы при x = 0, x = 1 и x = c могут иметь

особенности порядка ниже 1 − 2β, где β = m+2β0

2(m+2) , φ1(y), φ2(y), ψ(x), ρ(x) —заданные функции, µ 6 0, θ(x0) и θ∗(x0) — точки пересечения характеристикOC(EC1) с характеристикой, исходящей из точки M(x0, 0), x0 ∈ [c, 1].

Теорема. Пусть φ1(y), φ2(y) ∈ C[0,∞), y3m+2β0

4 φi(y) ∈ L(0,∞), где i = 1, 2,φ1(∞) = φ2(∞) = 0, φ1(0) = ψ(0), ψ(x) ∈ C

[0, c2

]∩ C1,δ

(0, c2

), ρ(x) ∈ C[c, 1] ∩

C1,δ(c, 1), µ 6 0, ψ(c2

)= 0, ρ(c) = 0. Тогда задача однозначно разрешима.

ЛИТЕРАТУРА1. Рузиев М. Х. Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэф-

фициентом в области, эллиптическая часть которой — полуполоса // Вестн. Сам.гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. Вып. 1. C. 33–40.

2. Репин О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллипти-ческая часть которой — полуполоса // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, 4.С. 565–567.

3. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа сусловием Бицадзе – Самарского на параллельных характеристиках // Дифференц.уравнения. 2001. Т. 37, 8. С. 1281–1284.

237

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ПОТЕНЦИАЛЫ

ДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ADDITIONALCONSERVATIONLAWSOFGASDYNAMICSAND POTENTIALS OF DIVERGENT EQUATIONS

Рылов А. И.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;rylov@math.nsc.ru

Рассмотрено несколько подходов к выявлению, построению и анализу допол-нительных законов сохранения газовой динамики.

1. Для известных законов сохранения трехмерной нестационарной газовой ди-намики (Е.Д. Терентьев и Ю. Д. Шмыглевский, 1975) построен целый ряд новыхдостаточно простых соотношений, связывающих законы сохранения. Каждый иззаконов сохранения, участвующих в каждом из указанных соотношений по опре-делению является дополнительным (по С. К. Годунову) по отношению к остав-шимся.

Отметим, что некоторые авторы (В.В. Козлов, Ю.А. Чиркунов) под допол-нительными законами сохранения понимают новые, отличные от общепринятых,законы сохранения. Это указывает на актуальность унификации терминологиив указанной области, учитывая что дополнительные (по С. К. Годунову) законысохранения могут быть и уже известными, и принципиально новыми, что и будетпродемонстрировано в разделах 2 и 3.

2. Для точных решений уравнений Чаплыгина на плоскости годографа, по-лученных разделением переменных, каждой константе разделения на физиче-ской плоскости отвечают четыре закона сохранения (А. И. Рылов, 2002). Этимчетырем законам, в свою очередь, отвечают два новых дополнительных законасохранения, в построении каждого из которых участвуют два закона непосред-ственно (левые части дивергентных уравнений), а два других представлены ихпотенциалами. Этот результат интересен и тем, что в нем, по-видимому, впервыеучаствуют потенциалы дивергентных уравнений в построении новых законов со-хранения. Этот факт непосредственно подтолкнул к следующему результату.

3. Для плоских стационарных потенциальных течений для двух произволь-ных, возможно и не связанных с разделением переменных, законов сохранениясуществует дополнительный закон сохранения, получаемый сложением левых ча-стей дивергентных уравнений, каждое из которых умножено на потенциал друго-го дивергентного уравнения. При этом потенциал дополнительного закона сохра-нения является произведением потенциалов исходных уравнений (А.И. Рылов,2012).

4. Важным приложением результатов разделов 2 и 3 является применение за-конов сохранения к односвязной области, образованной обтекаемым телом, уда-ленным от тела, в том числе и на бесконечность, контуром и линией схода, кото-рая рассматривается в качестве разреза. Данная ситуация имеет место в ТФКП,в газовой динамике при доказательстве теорем о циркуляции и подъемной силе,в теории векторных полей (М. А. Красносельский и др., 1963; А. И. Рылов, 2011).Но данный анализ имеет смысл, лишь если вдоль линии схода разрыв потенци-ала постоянен. Но это требование выполнено далеко не всегда, что и приводит кеще одному критерию для классификации законов сохранения.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фун-даментальных исследований (проект 12-01-00648 а).

238

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯМИНЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ

БАРЕНБЛАТТА – ЖЕЛТОВА – КОЧИНОЙ

THE OPTIMAL CONTROL OF SOLUTIONSTO THE BARENBLATT–ZHELTOV–KOCHINA

NONSTATIONARY EQUATION

Сагадеева М. А.1, Бадоян А.Д.2

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;1sam79@74.ru, 2badoyanani@mail.ru

Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область с границей ∂Ω из класса C∞. Рассмот-рим в цилиндре Ω× R задачу Дирихле для уравнения в частных производных

(λ−∆)xt = α(t)∆x+ u, (1)

которое моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинно-вато-пористой среде [1]. В уравнении (1) вещественный параметр λ ∈ R и скаляр-ная функция α : R+ → R+ характеризуют среду, причем λ может принимать и от-рицательные значения, а вектор-функция u : R→ L2(Ω) характеризует внешнеевоздействие на систему и является функцией управления. Уравнение (1) относит-ся к классу уравнений соболевского типа [2], составляющих обширную областьнеклассических уравнений математической физики. В работе [2] в частности рас-сматривается задача оптимального управления для стационарных уравнений со-болевского типа, т. е. при α(t) ≡ const.

Нашей задачей является отыскание пары (x, u) ∈W1

2(Ω)× Uad, для которой

J(x, u) = inf(x,u)∈

W 1

2(Ω)×Uad

J(x, u), (2)

где все пары (x, u) удовлетворяют задаче Дирихле для уравнения (1) при усло-вии Шоуолтера – Сидорова [3]: P (x(0) − x0) = 0, множество Uad — некотороезамкнутое и выпуклое подмножество допустимых управлений в пространствеH1(L2(Ω)) = u ∈ L2(Ω) : u ∈ L2(Ω), а функционал качества J(x, u) при за-данном плановом наблюдении zd имеет вид:

J(x, u) =1∑q=0

T∫0

∥x(q) − z(q)d ∥2W 1

2(Ω)dt+

T∫0

⟨Nqu

(q), u(q)⟩L1

2(Ω)dt

.

Теорема. Пусть λ ∈ R и α ∈ C1([0, T );R+), тогда при любых x0 ∈W 1

2(Ω)существует единственное оптимальное управление u ∈ Uad задачи (2) решениямизадачи Дирихле для уравнения (1) при условии Шоуолтера – Сидорова.

ЛИТЕРАТУРА1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории

фильтрации в трещиноватых средах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24,вып. 5. С. 58–73.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroupsof operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

3. Свиридюк Г.A., Загребина С. A. Задача Шоуолтера – Сидорова как феномен урав-нений соболевского типа // Изв. ИГУ. Сер. Математика. 2010. Т. 3, 1. С. 104–125.

239

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В ШАРЕ

PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR THE POISSON EQUATION IN A BALL

Садыбеков М. А.1, Турметов Б.Х.2

1Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; makhmud-s@mail.ru

2Международный Казахско-Турецкий университет им. Х.А. Ясави,Туркестан, Казахстан; turmetovbh@mail.ru

Хорошо известно, что задачи Дирихле и Неймана являются основными зада-чами теории гармонических функций. В одномерном случае, а также при рас-смотрении уравнения в многомерном параллелепипеде, также одной из основныхзадач является периодическая краевая задача. Однако при рассмотрении урав-нения в многомерном шаре аналогов периодических краевых задач построено небыло.

В настоящем докладе рассматривается новый класс краевых задач для урав-нения Пуассона в многомерном шаре. Эти задачи являются аналогами классиче-ских периодических краевых задач.

Пусть Ω = x ∈ Rn : r = |x| < 1 — единичный шар, ∂Ω = x ∈ Rn : |x| = 1 —единичная сфера. Обозначим ∂Ω+ = ∂Ω ∩ x ∈ Rn : x1 ≥ 0, ∂Ω− = ∂Ω ∩ x ∈Rn : x1 ≤ 0, I = ∂Ω ∩ x ∈ Rn : x1 = 0. Каждой точке x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ωсопоставим “противоположную” ей точку x∗ = (−x1, α2x2, . . . , αnxn) ∈ Ω, где αj ,j = 2, . . . , n, принимают одно из значений ±1. Очевидно, что если x ∈ ∂Ω+, тоx∗ ∈ ∂Ω−. Рассмотрим следующие два типа задач (k = 1, 2).

Найти функцию u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω), удовлетворяющую в Ω уравнениюПуассона

−∆u(x) = f(x), x ∈ Ω, (1)

а на его границе — краевым условиям

u(x)− (−1)ku(x∗) = τ(x), x ∈ ∂Ω+, (2k)

∂u

∂r(x) + (−1)k

∂

∂ru(x∗) = µ(x), x ∈ ∂Ω+, (3k)

где τ(x) ∈ C1+ε(∂Ω+), µ(x) ∈ Cε(∂Ω+) и f(x) ∈ Cε(Ω), 0 < ε < 1.При k = 1 задачу будем называть антипериодической краевой задачей, а при

k = 2 — периодической.Доказана корректность рассматриваемых задач. Единственность решения за-

дач обосновывается применением принципа экстремума. Существование решениядоказано методом функции Грина.

При этом, решение задачи (1), (21), (31) существует и единственно. А дляразрешимости задачи (1), (22), (32) необходимо и достаточно выполнение условия∫

Ω

f(y)dy =

∫∂Ω+

µ(y)dsy.

Если решение задачи (1), (22), (32) существует, то оно единственно с точностьюдо постоянного слагаемого.

В докладе также обосновывается, что обе задачи являются самосопряженны-ми. Показана методика построения всех собственных функций задачи.

240

Секция “Дифференциальные уравнения”

ДВУХМАСШТАБНЫЕ МЕРЫ ЯНГАДЛЯ УСРЕДНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ

СМЕСИ ВЯЗКИХ БАРОТРОПНЫХ ГАЗОВTWO-SCALE YOUNG MEASURES FOR

HOMOGENIZATION OF A ONE-DIMENSIONAL MOTIONOF A MIXTURE OF VISCOUS BAROTROPIC GASES

Саженков С. А.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; sazhenkovs@yandex.ru

Рассматривается одномерная математическая модель динамики смеси вяз-ких баротропных газов с быстро осциллирующими начальными распределениямиудельного объема, заданная в массовых лагранжевых переменных x ∈ Ω = (0, X),t ∈ [0, T ] (X = const > 0, T = const > 0). Быстрые осцилляции моделируются по-средством малого параметра ε > 0, характеризующего частоты осцилляций. Су-ществование решений у этой модели при фиксированных значениях параметраε гарантируется известными положениями теории уравнений вязкого баротроп-ного газа. Проводится гомогенизация рассматриваемой модели, т. е. предельныйпереход в уравнениях и краевых условиях при ε→ 0. При этом возникает слож-ность, связанная с тем, что в рассматриваемой постановке не предполагается,чтобы начальные распределения удельного объема ηε|t=0 имели какую-либо упо-рядоченную микроструктуру: периодическую, квазипериодическую, случайнуюоднородную и т. п. В настоящей работе для изучения предельных режимов, воз-никающих при ε → 0, вводятся в рассмотрения двухмасштабные меры Янга,ассоциированные с подпоследовательностями ηεε→0. Функции распределениядвухмасштабных мер Янга становятся новыми искомыми функциями. Для нихконструируется дополнительное кинетическое уравнение, которое точно описы-вает эволюцию быстрых осцилляций в пространстве и времени. Это уравнениесовместно с усредненными уравнениями баланса массы, количества движения,напряженного состояния, усредненным кинематическим уравнением движениячастиц и набором граничных и начальных условий составляет замкнутую гомо-генную модель. Построенная модель и строгое обоснование процедуры гомогени-зации являются первым основным результатом исследования.

Второй основной результат заключается в следующем: показано, что в слу-чае, когда осцилляции начальных распределений удельного объема являются пе-риодическими, построенная модель может быть сведена к классической моделиквазиосредненных уравнений Бахвалова – Эглит. Иными словами, в случае пе-риодических начальных данных решения системы уравнений Бахвалова – Эглитвыражаются через решения модели, построенной в настоящей работе.

Настоящее исследование является развитием работы автора [1] и существеннона нее опирается.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 12-01-00390, 13-01-00529) и Сибирского отделения РАН (междисци-плинарный проект 30).

ЛИТЕРАТУРА

1. Саженков С. А. Версия усредненной модели Бахвалова – Эглит с кинетическимуравнением эволюции осцилляций // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, 8.С. 1150–1165.

241

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РЕШЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РОТОРА И СТОКСА В ШАРЕ

SOLVING SOME SPECTRALAND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FOR THE CURL AND STOKES OPERATOR IN A BALL

Сакс Р. С.

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; romen-saks@yandex.ru

В работе решаются явно спектральные задачи для операторов ротора, гради-ента, дивергенции и Стокса в шаре B радиуса R. Собственные вектор-функцииротора q±

κ отвечают ненулевым собственным значениям±λκ = ±ρn,m/R, а вектор-функции qκ соответствуют λ = 0:

rot q±κ = ±λκ q±

κ , n · q±κ |S = 0; rot qκ = 0, n · qκ|S = 0, κ = (n,m, k).

Они же являются собственными для оператора градиент дивергенции:

∇div q±κ = 0; ∇div qκ = µκqκ, µκ = αn,m/R, ψ′

n(αn,m) = 0, n ≥ 0.

Здесь ψn(z) = (−z)n(dzdz

)n ( sin zz

), ψn(±ρn,m) = 0, n, m ∈ N, |k| ≤ n.

При их построении используются собственные функции оператора Лапласа сусловиями Дирихле и Неймана [1]. Система собственных вектор-функций ротораобразует в L2(B) ортонормированный базис.

В ответ на вопрос О. А. Ладыженской [2]: “Как вычислить явно собственныефункции vκ оператора Стокса в шаре?” мы доказываем, что vκ = q+

κ + q−κ .

Мы решаем краевую задачу rot u + λu = f в B, n · u∣∣S

= 0 при любых λ.Теорема 1. Если λ = 0, ±λn,m и f ∈ E0

γ(B) = f ∈ L2 : div f ∈ L2,n · f∣∣S

= 0,то единственное решение u задачи дается суммой рядов u1 + u2, где

u1 = λ−1∑κ

(f ,qκ) qκ(x),

u2 =∑κ

[(λ+ λn,m)−1(f ,q+

κ ) q+κ (x) + (λ− λn,m)−1(f ,q−

κ ) q−κ (x)

].

Решение задачи принадлежит пространству Соболева H1(B) [3].Если f ∈ A = ∇h : h ∈ H1(B), то оператор u = λ−1f отображает A на A.Если f ∈ B⊥A в L2(B), то u = u2 отображает B в H1(B).Если же f ∈ C∞

0 (B), то u есть классическое решение задачи класса C∞(B).При λ = ±λn,m задача разрешима по Фредгольму, а при λ = 0 — по Хаусдорфу.

Теорема 2. Если λ не принадлежит спектру оператора ротор, то операторзадачи есть изоморфизм пространств Hs+1

γγ (B) = u ∈ Hs+1(B) : n · u∣∣S

=

n · rot u∣∣S

= 0 и Esγ(B) = f ∈ Hs(B) : div f ∈ Hs(B),n · f

∣∣S

= 0, s ≥ 0.Первая часть работы принята в Уфимский математический журнал (2013.

T. 5, 2). Ее краткое содержание опубликовано в [4].

ЛИТЕРАТУРА1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.2. Ладыженская О. А. О построении базисов в пространствах соленоидальных вектор-

ных полей // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2003. Т. 306. С. 71–85.3. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.4. Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса // ДАН. 2007.

Т. 416, 4. С. 446–450.

242

Секция “Дифференциальные уравнения”

К УНИФИКАЦИИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

UNIFICATION OF SYSTEMSOF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MOTION

FOR LIQUIDS AT LARGE REYNOLDS NUMBERS

Саттаров М. А.

Институт водных проблем, гидроэнергетики и экологии АН РТ,Душанбе, Таджикистан; msattarov@mail.ru

Предлагается унификация коэффициентов замкнутой системы уравнений сред-него движения Навье – Стокса – Рейнольдса. Принятие гипотезы Рейнольдса отензорном характере добавочных напряжений в трактовке Буссинеска – Колмо-горова и ее развитие позволили автору представить тензор полных напряженийв обобщенном виде.

Далее, в силу неразрывности частиц несжимаемых жидкостей при различныхстепенях турбулентности компоненты рейнольдсовых напряжений разложены вряд в окрестности точки экстремума.

Учитывая тензор полных напряжений, получена обобщенная системы урав-нений среднего движения Навье – Стокса – Рейнольдса в виде:

∂ui∂t

+3∑j=1

uj∂ui∂xj

=Xi

ρ− ∂p

ρ∂xi+

3∑j=1

∂

∂xj

[τ∗ijρ

+ (ν + ε∗ij)∂ui∂xj

+1

2!ε′

∗ij

(∂ui∂xj

)2

+ . . .

].

Здесь ui, u′i, ui — мгновенные, пульсационные и осредненные составляющие ско-рости частиц, p, ρ и ν — давление, плотность и кинематическая вязкость жидко-сти, Xi — проекции объемных сил, ∆ — оператор Лапласа. Величины τ∗ii/ρ = u2i(i = j) и τ∗ij/ρ = u2∗ (см2/ с2) — прототипы добавочного давления и “скороститрения” u∗ Кармана. Величина ε∗ij , см2с−1, — вязкость по Буссинеску, возника-ющая в точке экстремума как эффект отклонения линии тока (по Рейнольдсу“извилистость”). Новые характеристики потока ε∗ij и ее производные формируюттурбулентность разной степени в русле. Видно, что при ν = 0 система превра-щается в обобщенную систему уравнений турбулентности Эйлера. При большихчислах Рейнольдса решающую роль в изменении характеристик турбулентности,в частности, деформации вихрей при росте градиента давления, определяющуюроль играют не коэффициент вязкости, а свойство неразрывности однороднойжидкости, при котором разница между уравнениями Эйлера и Навье – Стоксаисчезает.

В докладе дано развитие работы [1], где получены частные решения уравне-ния для случая двумерного турбулентного потока в открытых руслах и трубах,сравнение которых с данными опытов Никурадзе, Базена и других исследовате-лей дали полное согласие. Установлены соотношения и условия возникновениявихревой вязкости, длины пути смешения, частоты турбулентности, показаначастость логарифмического закона распределения осредненных скоростей в от-крытых и напорных каналах.

ЛИТЕРАТУРА1. Саттаров М. А. Гидромеханические аспекты изучения структуры турбулентного по-

тока с поперечным сдвигом в каналах и пористых средах // Вестн. ХНУ. 2009. 863.Сер. Мат. мод. Информ. технологии. Автом. сист. упр. Вып. 12. С. 190–202.

243

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОДНА ТЕОРЕМА УСЛОВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИA THEOREM OF CONDITIONAL STABILITY

Сафаров Ж.Ш.

Ташкентский университет информационных технологий,Ташкент, Узбекистан; jurabek-safarov@mail.ru

Рассматривается прямая задача Коши с сосредоточенным источником, состо-ящая в нахождении обобщенного решения u(x, t):

utt = uxx −t∫

0

k(τ)u(x, t− τ)dτ, (x, t) ∈ R× R+, (1)

u |t=0= 0, ut |t=0= δ(x), (2)

где R+ = t ∈ R | t > 0, δ(x) — дельта-функция Дирака.В обратной задаче требуется восстановить непрерывную функцию k(t), t > 0,

по дополнительной информации о решении прямой задачи (1), (2):

u(0, t) = f1(t), ux(0, t) = f2(t), t > 0. (3)

В работе [1] доказывается существование единственного решения зада-чи (1)–(3) для достаточно малых T0 ∈ [0, T ] в классе k(t) ∈ C[0, T0]. Даннаяработа посвящается оценке условной устойчивости полученного решения.

Допустим, K(k0) — класс функций k(t) таких, что k(t) ∈ C[0, T ] и |k(t)| ≤ k0,где k0 — фиксированная постоянная.

Теорема. Пусть k1(t), k2(t) ∈ K(k0) — два решения обратной задачи (1)–(3)с данными (f11 , f

12 ), (f21 , f

22 ) соответственно. Тогда найдется такое положительное

число C = C(k0, T ), что выполняется неравенство

∥k1(t)− k2(t)∥C[0,T ] ≤ C(∥f11 − f21 ∥C3[0,T ] + ∥f12 − f22 ∥C2[0,T ]

).

Теорема доказывается по схеме, изложенной в [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Решение операторного уравнения, связанного с од-ной задачей для гиперболического интегро-дифференциального уравнения // Рес-публиканская науч. конф. с участием зарубежных специалистов “Операторные ал-гебры и смежные вопросы”. Ташкент, 2012. С. 128–129.

2. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005.

244

Секция “Дифференциальные уравнения”

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРОЙ ОБРАТНОЙЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

ON SOLVABILITY OF SOME INVERSE PROBLEMFOR A SECOND ORDER HYPERBOLIC EQUATION

Сафиуллова Р. Р.

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,Стерлитамак, Россия; regina-saf@yandex.ru

Для уравнений гиперболического типа второго порядка исследуется разреши-мость некоторой задачи нахождения вместе с решением u(x, t) дополнительнойнеизвестной функции, зависящей от t.

Ранее гиперболические задачи в подобного рода постановке рассматривалисьв работе В.Я. Якубова.

Пусть Q есть цилиндр конечной высоты T , Q = (x, t) | x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ].Пусть f(x, t), u0(x), u1(x), φ0(t), ψ0(t), µ(t) — заданные при x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ]

функции.Рассматривается следующая обратная задача: найти функции u(x, t), q(t),

связанные в цилиндре Q уравнением

utt − uxx + q(t)ut = f(x, t)

при выполнении для функции u(x, t) условий

u(x, 0) = u0(x),

ut(x, 0) = u1(x),

ux(0, t) = φ0(t),

u(0, t) = µ(t),

u(1, t) = ψ0(t).

Для поставленной обратной задачи доказываются теоремы существования иединственности регулярных решений.

При доказательстве используется техника, основанная на переходе от исход-ной обратной задачи к некоторой вспомогательной задаче, доказательстве разре-шимости этой задачи и далее построении с помощью решения вспомогательнойзадачи решения исходной задачи.

При решении вспомогательной задачи используются метод регуляризации,срезки и метод продолжения по параметру.

245

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

АЛГОРИТМ ПОСЛОЙНОГО ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯЗАДАЧИ 3D-ВЕКТОРНОЙ ТОМОГРАФИИ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ B-СПЛАЙНОВ

AN ALGORITHM USING THE B-SPLINESFOR SLICE-BY-SLICE NUMERICAL SOLVING

A 3D-VECTOR TOMOGRAPHY PROBLEM

Светов И. Е.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;svetovie@math.nsc.ru

Лучевое преобразование I в R3 преобразует векторное поле v = (vj) в функ-цию [Iv], определенную на множестве ориентированных прямых l = x + tξ |x, ξ ∈ R3, |ξ| = 1, ⟨x, ξ⟩ = 0, t ∈ R, по формуле

[Iv](l) =3∑j=1

∞∫−∞

ξjvj(x+ tξ) dt.

Потенциальные поля, потенциал которых обращается в нуль на границе обла-сти, лежат в ядре лучевого преобразования [1]. Поэтому только соленоидальнаячасть sv векторного поля v может быть восстановлена по [Iv].

Задача восстановления векторного поля sv по [Iv] переопределена по размер-ности, так как необходимо восстановить функции svj(x), где x ∈ R3, по функции[Iv], определенной на четырехмерном множестве ориентированных прямых. По-этому естественно рассматривать задачу восстановления sv по неполным данным[Iv]|M3 , где M3 — некоторое трехмерное множество ориентированных прямых.

В работе В.А. Шарафутдинова [2] предложены формулы для восстановлениясоленоидальной части векторного поля при параллельной схеме сбора данных поданным, имеющим размерность 3. В работе [3] на основе этих формул построен иреализован алгоритм численного решения задачи восстановления соленоидаль-ной части векторного поля в R3 по его известным лучевым преобразованиям,вычисленным вдоль всех прямых, параллельных одной из координатных плос-костей. Для единственности восстановления соленоидальной части векторногополя достаточно набора, состоящего из двух координатных плоскостей, но дляустойчивого восстановления необходим набор, состоящий из трех координатныхплоскостей.

В качестве альтернативы этому алгоритму в докладе предлагается алгоритмчисленного решения задачи векторной томографии, основанный на методе наи-меньших квадратов. В качестве аппроксимирующей последовательности высту-пают векторные поля, построенные на основе трехмерных B-сплайнов.

Работа осуществлена при частичной поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проекты 12-01-31178 мол_а, 11-07-00447 а), интеграционногопроекта, выполняемого совместно СО РАН и УрО РАН (проект 32).

ЛИТЕРАТУРА1. Sharafutdinov V. A. Integral geometry of tensor fields. Utrecht: VSP, 1994.2. Sharafutdinov V. A. Slice-by-slice reconstruction algorithm for vector tomography with

incomplete data // Inverse Probl. 2007. 23. P. 2603–2627.3. Светов И. Е. Восстановление соленоидальной части трехмерного векторного поля по

лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль прямых, параллельных координат-ным плоскостям // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, 3. С. 329–344.

246

Секция “Дифференциальные уравнения”

КВАЗИОПЕРАТОР ЛАПЛАСАВ КВАЗИБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

THE LAPLACE QUASI-OPERATORIN THE QUASI-BANACH SPACES

Свиридюк Г. А.1, Аль-Делфи Д.К.1,2

1Южно-Уральский государственный университет,Челябинск, Россия; geosv@inbox.ru

2University of Al-Mustansiriyah, Baghdad, Iraq; rassian71@mail.ru

Пусть λk ⊂ R+ — неубывающая последовательность такая, что limk→∞

λk=+∞.Построим множества

lmq =

x = xk :

∞∑k=1

(λm2

k |xk|)q

< +∞, m ∈ R, q ∈ R+.

В [1] показано, что пространства lmq квазибанаховы, причем они банаховы,только если q ∈ [1,+∞). По аналогии с пространствами Wm

q назовем простран-ства lmq квазисоболевыми. Имеют место [1] аналоги теорем вложения Соболева:lmq → lnq при всех m ≥ n. Определим еще квазиоператор Лапласа Λx = λkxk,очевидно, что Λ : lmq → lm−2

q — топлинейный изоморфизм, причем квазиоператорГрина Λ−1 : lm−2

q → lmq имеет вид Λ−1x = λ−1k xk.

Теперь пусть U и F — квазибанаховы пространства, операторы L, M ∈ L(U;F).По аналогии с [2] назовем оператор M (L, σ)-ограниченным, если его L-спектрσL(M) ограничен. (L, σ)-ограниченный операторM назовем (L, p)-ограниченным,если, вдобавок, его L-резольвента (µL −M)−1 имеет в точке ∞ полюс порядкаp ∈ 0 ∪ N. Эти определения дают возможность распространить теорию отно-сительно p-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп опе-раторов с банаховых пространств (см. [2, гл. 4]) на квазибанаховы. В частности,верна следующая

Теорема о расщеплении. Пусть оператор M (L, σ)-ограничен. Тогда про-странства U = U0 ⊕ U1 и F = F0 ⊕ F1, причем операторы L, M ∈ L(Uk;Fk),k = 0, 1. Кроме того, существуют операторы M−1

0 ∈ L(F0;U0), L−11 ∈ L(F1;U1),

где Lk (Mk) есть сужение оператора L (M) на Uk, k = 0, 1.Пример. Пусть U = lm+2

q , F = lmq , оператор L = λ− Λ, M = αΛ. При всех m,λ ∈ R, q ∈ R+, α ∈ R \ 0 оператор M (L, 0)-ограничен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аль-Делфи Д. К. Квазисоболевы пространства lmp // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матема-тика. Механика. Физика. 2013. Т. 5, 1. С. 107–109.

2. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroupsof operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

247

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯРАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

ASYMPTOTICS OF THE SOLUTIONTO A DIFFERENCE EQUATION

Сгибнев М.С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;sgibnev@math.nsc.ru

Функция φ(x), x ≥ 0, называется полумультипликативной, если она конеч-на, положительна, измерима по Борелю и удовлетворяет следующим условиям:φ(0) = 1, φ(x+ y) ≤ φ(x)φ(y), x, y ≥ 0. Имеют место соотношения

γ := γ(φ) := limx→∞

lnφ(x)

x= infx>0

lnφ(x)

x<∞.

Будем предполагать, что γ(φ) > −∞. Рассмотрим уравнение∫ ∞

0

z(t− u)µ(du) = f(t), t > 0, (1)

в котором z(t) — неизвестная функция, µ — σ-конечная комплекснозначная мера,f(t) — известная функция такая, что

∫∞0eγt|f(t)| dt < ∞ при некотором γ ∈ R;

кроме того,∫∞0eξx |µ|(dx) <∞ для некоторого ξ > γ; здесь |µ|— полная вариация

меры µ. Зададим начальное условие в виде

z(t) = g(t), t ∈ (−∞, 0], (2)

где∫ 0

−∞ eγt|g(t)| dt <∞.Для комплекснозначных меры ν и функции h(t) положим ν(s) :=

∫R e

sx ν(dx)

и h(s) :=∫∞0esth(t) dt. Пусть f1(t), t > 0, — сужение функции

∫∞tg(t−u)µ(du) на

(0,∞) и f2(t) := f(t)− f1(t). Пусть Z = s1, . . . , sl — множество всех корней ха-рактеристического уравнения µ(s) = 0, лежащих в ζ ∈ C : Re ζ ≤ γ. Обозначимчерез m1, . . . ,ml кратности корней s1, . . . , sl соответственно. Из асимптотическо-го разложения

f2(s)

µ(s)=

mj∑k=1

(−1)kbjk

(s− sj)k+ o

(1

s− sj

), s→ sj ,

определим коэффициенты bjk, k = 1, . . . ,mj . Пусть µ = µc+µd+µs — разложениемеры µ на абсолютно непрерывную, дискретную и сингулярную компоненты.

Теорема. Предположим, что φ(t), t ≥ 0, — полумультипликативная функциятакая, что φ(t)/ exp(γt), t ≥ 0, — неубывающая функция, и выполнено условие

infRe s≤γ

∣∣µd(s)∣∣− ∫ ∞

0

eγx |µs|(dx) > 0.

Пусть N — максимальная кратность корней характеристического уравнения, ле-жащих на s ∈ C : Re s = r+(φ). Предположим, что

∫∞0

(1 + t)Nφ(t)|f(t)| dt <∞.Тогда для решения z(t) уравнения (1) с начальным условием (2) справедливоразложение

z(t) =l∑

j=1

mj∑k=1

bjktk−1e−sjt

(k − 1)!+ r(t),

в котором остаток r(t) удовлетворяет соотношению∫∞0φ(t)|r(t)| dt <∞.

248

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧАДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ

С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

THE INVERSE SPECTRAL PROBLEMFOR THE STURM–LIOUVILLE OPERATORS

WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS

Седипков А. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;sedipkov@mosk.ru

Исследована обратная спектральная задача для оператора Штурма – Лиувил-ля, определенного краевой задачей

− 1

σ(x)(σ(x)wx)x = λw, x > 0, λ ∈ C, wx|x=0 = 0.

Здесь коэффициент σ(x), называемый импедансом, является строго положитель-ной кусочно-гладкой функцией с разрывами первого рода в точках x1 > . . . > xn.Обозначим через e(x, ω), λ = ω2, решение импедансного уравнения, удовлетворя-ющее условиям

limx→+∞

e(x, ω)e−iωx ≡ 1, e, σex ∈W 12,loc(0,∞).

Функцию e(x, ω) называют решением Йоста, а функцию j(ω) = ex(0, ω) — функ-цией Йоста.

Обратная спектральная задача для рассматриваемой краевой задачи состоитв восстановлении импеданса σ(x) функции Йоста j(ω), при этом число n и точкиразрыва x1, . . . , xn также подлежат восстановлению.

Доказано, что если точки разрыва импеданса σ(x) несоизмеримы, т. е. ни-какая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, тоимпеданс σ(x) однозначно определяется функцией Йоста j(ω). Построена кон-структивная процедура восстановления импеданса σ(x) по функции Йоста j(ω).

Полученные результаты представляют собой дальнейшее развитие работ [1, 2].Подробные выкладки и доказательства по данной работе см. в [3, 4].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00390), Президиума РАН (программа фундаментальных исследо-ваний 15) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 30).

ЛИТЕРАТУРА

1. Shepelsky D. G. The inverse problem of reconstruction of the medium’s conductivity ina class of discontinuous and increasing functions // Advances in Soviet Mathematics.1994. V. 19. P. 209–231.

2. Freiling G., Yurko V. A. Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differentialoperators with discontinuities in an interior point // Inverse Probl. 2002. V. 18, N 3.P. 757–773.

3. Седипков А. А. Восстановление разрывов коэффициентов оператора Штурма – Ли-увилля // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, вып. 1.С. 114–125.

4. Sedipkov A. A. The inverse spectral problem for the Sturm–Liouville operator withdiscontinuous potential // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2012. V. 20, N 2. P. 139–167.

249

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИО ВОЗМУЩЕНИЯХ УДАРНОЙ ВОЛНЫ

GENERAL SOLUTION OF THE LINEAR PROBLEMOF SHOCK WAVE DISTURBANCE

Семенко Е. В.

Новосибирский государственный педагогический университет,Новосибирск, Россия; semenko54@gmail.com

Рассматривается классическая задача о возмущениях ударной волны. Описы-вающая течение система уравнений включает законы сохранения массы (уравне-ние неразрывности), импульса и энергии. Ищется разрывное решение, причем наразрыве (ударной волне) ставятся условия Гюгонио. В качестве основного реше-ния рассматривается кусочно-постоянное с линией разрыва (основной ударнойволной) x = 0. Рассматривается задача, линеаризованная на основном решении.

Найдено общее решение линеаризованной задачи Коши, однородной и неод-нородной, в том числе вычислена функция Грина, т. е. решение представленов форме интегрального оператора над правой частью и начальными условия-ми. Это, в частности, позволяет находить асимптотику решения задачи Кошидля однородного уравнения (в том числе асимптотику формы ударной волны) взависимости от начальных данных.

Как известно, в линеаризованной задаче (или задаче о возмущениях ударнойволны в линейной постановке) различают варианты параметров основного ре-шения, для которых либо не существует решений однородной линеаризованнойзадачи, имеющих вид ei(ξx+ηy−ωt) с Im ξ, η = 0, Imω > 0 (так называемый случайустойчивости), либо когда существуют решения указанного вида с Imω = 0 (слу-чай гофрировочной неустойчивости или нейтральной устойчивости) и, наконец,когда существуют решения с Imω > 0 — случай абсолютной неустойчивости.В случаях устойчивости, в том числе нейтральной, установлена непрерывностьоператора решения задачи Коши (однородной и неоднородной), что позволяетприменить метод Ньютона для доказательства разрешимости и исследованиярешений исходной нелинейной задачи. В случае абсолютной неустойчивости ли-неаризованная задача, как известно, некорректна по Адамару, для этого случаяустановлено подпространство правых частей и/или начальных данных, на ко-тором оператор решения непрерывен, что позволяет строить условное решениеисходной задачи и в этом случае.

250

Секция “Дифференциальные уравнения”

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙЗАДАЧИ ПОТЕЦИАЛА КЕПЛЕРА

METHOD OF REGULARIZATION OF SOLUTIONS TO ANINVERSE PROBLEM OF THE KEPLER POTENTIAL

Серикбаев А.У.1, Надырбекова А. Ш.2

1Казахский национальный аграрный университет, Алматы, Казахстан;aserikbayev@rambler.ru

2Таразский государственный педагогический институт, Тараз, Казахстан

Рассмотрим трехмерный потенциал Кеплера [1]∫D

µ(y)1

|x− y|2dy = w(x), (1)

где y ∈ D, x ∈ D1, D ∩ D1 = ∅, D ⊂ R3 — ограниченная звездная областьотносительно начала координат. Задача: найти плотность µ(y), распределеннуюв области D, по значениям потенциала Кеплера.

В работе [2] была исследована обратная задача потенциала Вебера, доказанав классе непрерывных функций теорема единственности решений и получены намножестве корректности оценки, характеризующие устойчивость решения.

В данной работе рассматривается вопрос о равномерном приближении точно-го решения уравнения (1) по методу регуляризации дробного порядка. В качествеприближения к точному решению в методе регуляризации дробного порядка бе-рется µαδ, доставляющий минимум сглаживающему функционалу

Mα[µ,wδ] = ∥Aµ− wδ∥2 + αΩ[µ],

где стабилизирующий функционал Ω[µ] = ∥µ∥2 + ∥∂1/2µ∥2 > 0, α > 0 — пара-метр регуляризации, ∂1/2 — оператор дифференцирования порядка 1/2. Регуля-ризация дробного порядка обеспечивает принадлежность приближенных реше-ний множеству корректности M из пространства непрерывных функций C(D).

Применяя метод регуляризации дробного порядка, интегральное уравнениепервого рода сводится к регуляризованному уравнению второго рода, котороезаменяется системой разностных уравнений. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть µ ∈ M — точное решение уравнения (1). Тогда при δ → 0решение регуляризирующего уравнения A∗Aµαδ +α(µαδ +∇µαδ) = A∗wδ на мно-жестве корректности стремится к точному решению и справедливо неравенство

∥µαδ − µ∥ ≤ ε(δ) +2Cδ

CK − δ,

где ε(δ) — величина, характеризующая устойчивость решения от малой погреш-ности правой части, стремящаяся к нулю при δ → 0, при этом оптимальныйпараметр αоп = Kδ

C ,

maxx∈D1,y∈D

1

|x− y|2<∞, C = ∥µ∥W 1

2, M =

µ ∈ C(D) : |gradµ| < C

.

ЛИТЕРАТУРА1. Кирейтов В. Р. Прямая и обратная задачи Дирихле для потенциала Кеплера. Ново-

сибирск: Манускрипт, 2002.2. Серикбаев А. У. Об устойчивости решений обратной задачи потенциала Вебера //

Изв. НАН РК. Сер. физ.-мат. 1992. 5. С. 41–44.

251

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХС МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ

PARABOLIC EQUATIONS WITH CHANGESOF THE TIME DIRECTION WITH A FULL MATRIX

OF GLUING CONDITIONS

Синявский А. Г.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; sinyavsk_88@mail.ru

В области Q+ = (−∞,+∞)× (0, T ) рассматривается система уравнений

u1t = Lu1, −u2t = Lu2(L = (−1)n+1 ∂

2n

∂x2n

). (1)

С.А. Терсенов изучал уравнения вида (1) в гёльдеровских классах функций,разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравне-ния и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде [1]. При этомпредполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непре-рывными, включая соответствующие производные.

В настоящей работе изучаются краевые задачи для параболических уравне-ний 4-х и 6-х порядков с меняющимся направлением времени в пространствахГёльдера (1) при n = 2, 3, устанавливаются разрешимости краевых задач в слу-чае полных матриц условий склеивания, а также зависимости показателей гёль-деровских пространств от весовых функций склеивания.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного за-дания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проекты 4402, 5562).

ЛИТЕРАТУРА

1. Tersenov S. A. On a method of solving initial boundary value problems for higher orderequations // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 138–145.

252

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙОДНОГО КЛАССА ЭВОЛЮЦИОННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ABOUT STABILITY OF SOLUTIONS OF ONE CLASS OFEVOLUTIONARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Сказка В. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;skazka@math.nsc.ru

Рассмотрим в гильбертовом пространстве H следующее дифференциальноеуравнение:

u′′ = −A2u+ εB(t)u. (1)

Для уравнения (1) задаются начальные данные

u|t=0 = u0, ut|t=0 = u1. (2)

Будем предполагать, что A — самосопряжённый ограниченный оператор, аB(t) — почти периодическая по t операторнозначная функция. Если H = R, то(1) — это аналог уравнения Хилла и у задачи (1), (2) может возникнуть эффектпараметрического резонанса (см., например, [1]). Однако, если спектр у опера-тора A абсолютно непрерывный, то можно привести достаточные условия наоператоры A и B для того, что бы нулевое решение задачи (1), (2) было устойчи-во при малых ε. К сожалению, эти условия достаточно громоздки, поэтому мыприведем просто пример уравнения, для которых они выполняются.

Рассмотрим следующую задачу:

d2u(s, t)

dt2= −s2u+ ε

2∫1

K(ξ, s, t)u(ξ, t) dξ,

u|t=0 = u0(s), u′t|t=0 = u1(s),

(3)

в пространстве H = L2(1, 2). Здесь K(ξ, s, t) =∑n>0

cnKn(ξ, s)eiλnt — почти перио-

дическая по t функция. Предполагается, что Kn(ξ, s) ∈ C3([1, 2]× [1, 2]), причёмKn = 0 на границе [1, 2]× [1, 2] и

∞∑n=1

|cn| < C, ∥Kn∥C3 ≤ C,

где C — некоторая константа.Утверждение. При выполнении вышеперечисленных условий существуют

константы ε0 > 0 и L > 0 такие, что при |ε| < ε0 для решений задачи (3)справедлива оценка: ∥u(t)∥H ≤ L (∥u0∥H + ∥u1∥H).

Работа выполнена при поддержке Президиума РАН (программа 15) и Сибирскогоотделения РАН (междисциплинарный проект 30).

ЛИТЕРАТУРА

1. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных систе-мах. М.: Наука, 1962.

253

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

ON STABILITY OF SOLUTIONS TO THE SYSTEMSOF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF NEUTRAL TYPE

Скворцова М. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;sm-18-nsu@yandex.ru

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотической устойчивостинулевого решения системы дифференциальных уравнений нейтрального типа

d

dt(y(t) +Dy(t− τ(t))) = Ay(t) +By(t− τ(t)) + F (t, y(t), y(t− τ(t))), t > 0. (1)

Здесь A, B, D — вещественные постоянные (n × n)-матрицы, τ(t) ∈ C1(R+),τ(t) > 0, F (t, u, v) ∈ C(R2n+1

+ ) — вещественнозначная вектор-функция, удовле-творяющая условию Липшица по u и оценке

∥F (t, u, v)∥ ≤ q1∥u∥1+ω1 + q2∥v∥1+ω2 , q1, q2, ω1, ω2 ≥ 0.

В случае, когда τ(t) ≡ τ = const, F (t, u, v) ≡ 0, условия асимптотическойустойчивости хорошо известны (см., например, [1]). Результаты формулируют-ся в терминах принадлежности корней квазимногочленов левой полуплоскостиили в виде матричных неравенств. Последний подход основан на использованиифункционалов Ляпунова – Красовского, однако, используя данные функциона-лы, далеко не всегда удается получить оценки скорости убывания решений.

В последние годы были предложены методы получения оценок экспоненци-ального убывания решений некоторых классов систем дифференциальных урав-нений с запаздывающим аргументом (см., например, [2–4]). В данных работахбыли рассмотрены различные модификации функционалов Ляпунова – Красов-ского, которые позволили получить требуемые оценки.

В настоящей работе, используя аналог функционала, введенного в [4], ука-заны достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения си-стемы (1), получены оценки областей притяжения нулевого решения и оценкирешений, характеризующие скорость убывания на бесконечности.

Автор выражает благодарность профессору Г.В. Демиденко за постановку задачии полезные замечания.

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355), Российскогофонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-31030, 13-01-00329) и Си-бирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.2. Kharitonov V. L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Syst.

Control Lett. 2004. V. 53, N 5. P. 395–405.3. Хусаинов Д. Я., Иванов А. Ф., Кожаметов А. Т. Оценки сходимости решений линей-

ных стационарных систем дифференциально-разностных уравнений с постояннымзапаздыванием // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, 8. С. 1137–1140.

4. Демиденко Г.В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференци-альных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика,механика, информатика. 2005. Т. 5, вып. 3. С. 20–28.

254

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЕДИНСТВЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО

УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ-РЕАКЦИИ

UNIQUENESS AND STABILITY OF A SOLUTIONOF THE IDENTIFICATION PROBLEM FOR

THE STATIONARY DIFFUSION-REACTION EQUATION

Соболева О. В.

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия;soboleva22@mail.ru

Большое внимание в последние годы уделяется постановке и исследованию но-вых классов задач для моделей массопереноса и теплообмена. Примерами такихзадач являются задачи идентификации. Теоретическому исследованию указан-ных задач для линейных и нелинейных моделей посвящен ряд работ [1–4].

Целью настоящей работы является анализ единственности и устойчивостирешений обратных экстремальных задач для линейной модели массопереноса,имеющей вид стационарного уравнения диффузии-реакции с переменными ко-эффициентами диффузии и реакции. Рассматриваемая в ограниченной областиΩ из пространства Rd, d = 2, 3, краевая задача описывается следующими соот-ношениями:

−div(λ∇φ) + kφ = f в Ω, φ|Γ = 0.

Здесь λ ≡ λ(x) > 0 — переменный коэффициент диффузии, зависящий от точ-ки x ∈ Ω, k ≡ k(x) ≥ 0 — величина, характеризующая распад загрязняющеговещества за счет химических реакций, f(x) — плотность объемных источников.

Исследуемая в работе задача идентификации заключается в нахождении неиз-вестных параметров λ и k по дополнительной информации о состоянии среды внекоторой подобласти Q ⊂ Ω. Указанная задача формулируется как задача ми-нимизации определенного функционала качества на решениях исходной краевойзадачи. Исследование поставленной коэффициентной обратной задачи сводитсяк исследованию соответствующей экстремальной задачи [3]. Это позволяет при-менять для ее решения хорошо развитые методы условной оптимизации.

В работе доказывается разрешимость задач идентификации, выводятся си-стемы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума, и иссле-дуются некоторые их свойства. Основываясь на этих свойствах, устанавливают-ся достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие единственность иустойчивость решений задачи идентификации.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 13-01-00313, 12-01-31288 мол_а) и проекта 12-1-П17-03 Дальне-восточного отделения РАН, тематика которого соответствует Программе 17 фундамен-тальных исследований Президиума РАН.

ЛИТЕРАТУРА1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:

Наука, 1982.2. Ito K., Kunisch K. Estimation of the convection coefficient in elliptic equations // Inverse

Probl. 1997. V. 13, N 4. P. 995–1013.3. Алексеев Г.В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жид-

кости. Владивосток: Дальнаука, 2008.4. Алексеев Г.В., Вахитов И. С., Соболева О. В. Оценки устойчивости в задачах иден-

тификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции // Журн. вычисл. мате-матики и мат. физики. 2012. Т. 52, 12. С. 2190–2205.

255

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УРАВНЕНИЕ ГОЛУЗИНА – КОМАЦУДЛЯ КОНЕЧНОСВЯЗНОЙ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ

THE EQUATION OF THE GOLUZIN–KOMATSUFOR A MULTIPLY CONNECTED CIRCULAR DOMAIN

Сорокин А. С.

Филиал Кузбасского государственного технического университетаим. Т.Ф. Горбачева, Новокузнецк, Россия; andsor@mail.ru

По аналогии с параметрическим представлением однолистных функций в кру-ге И. Комацу и Г.М. Голузиным [1–4] было дано параметрическое представлениефункций, однолистных в круговом кольце.

Проведение разреза в конечносвязной круговой области при условии сохране-ния ее связности меняет хотя бы один ее модуль и, следовательно, выводит об-ласть с разрезом из класса областей, конформно изоморфных исходной много-связной области.

Указанные в теоремах 1 и 2 формулы, обобщающие формулу Голузина – Ко-мацу на случай конечносвязных круговых областей, представляют собой разви-тие и усиление результатов И. А. Александрова, Г.М. Голузина, В.Я. Гутлянского[1, 2, 5].

Теорема 1. Пусть F (ζ, t) =π∫

−π[H(ζ, exp(iθ)) − iImH(qt, exp(iθ))]µ

′

t(t, dθ), где

H(ζ, t) = 1+∞∑ν=0

k2ν =k∑k1 =k2

n∑k=0

ζ + L0E2νLk(z)

ζ − L0E2νLk(z)

∣∣∣∣∣t

bk

, µ(t, θ) ∈ G, qt = q exp(−t), 0 < q < 1.

Тогда решение ζ = f(z, t;µ) дифференциального уравнения dζdt = −ζF (ζ, t), удо-

влетворяющее начальному условию f(z, 0;µ) = z, z ∈ K(Rj , aj , j = 1, . . . , n;R0),как функция от z регулярна и однолистна в K(Rj , aj , j = 1, . . . , n;R0) при каж-дом фиксированном значении t, 0 < t < ∞, нормирована условиями f(Rn, t) =Rn exp(−t), |f(z, t)||z|=Rn = Rn exp(−t). Кроме того, существует равномерный поz внутри K(Rj , aj , j = 1, . . . , n;R0) предел f(z) = lim

t→∞exp(t)f(z, t), представляю-

щий собой функцию класса S(Rj(t), aj(t), j = 1, . . . , n;Rn/Rn).Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 положить n = 1, то получаем

известную теорему И.А. Александрова [2, 5].Теорема 2. Для принадлежности функции f(z) классу S(Rj(t), aj(t), j =

1, . . . , n;Rn/Rn) необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить ввиде f(z) = lim

t→∞exp(t)f(z, t;µ), где ζ = f(z, t;µ), f(z, 0;µ) = z, z ∈ K(Rj , aj , j =

1, . . . , n;R0), — решение дифференциального уравнения dζdt = −ζH(ζ, t) и µ ∈ G.

Следствие 2. Если в условиях теоремы 2 положить n = 1, то получаемизвестную теорему Г.Я. Гутлянского [2, 5].

ЛИТЕРАТУРА1. Сорокин А. С. Структурные формулы некоторых аналитических функций в конеч-

носвязной области // Мат. сб. 1997. Т. 188, 12. С. 107–134.2. Сорокин А. С. Параметрическое представление функций в конечносвязных обла-

стях // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, 5. С. 1164–1178.3. Komatsu Y. Untersuchungen uber konforme Abbildung von zweifachzusammenhangen-

den Gebieten // Proc. Phys.-Math. Soc. Japan. 1943. V. 25, N 1. P. 1–42.4. Голузин Г.М. О параметрическом представлении функций, однолистных в кольце //

Мат. сб. 1951. Т. 29, 2. С. 469–478.5. Сорокин А. С. Краевые задачи в многосвязных областях и их приложения. Ново-

кузнецк: СибГИУ, 1998.

256

Секция “Дифференциальные уравнения”

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

АКУСТИКИ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

ON CORRECT SOLVABILITY OF AN EXTREMUMPROBLEM FOR THE ACOUSTICS EQUATIONS

OF AN ANISOTROPIC MEDIUM

Спорышев М. С.1, Ларькина О. С.2

Дальневосточный федеральный университет, Владивосток, Россия;1coockoombra@gmail.com, 2larkinabad@gmail.com

В последние годы большое внимание уделяется исследованию обратных за-дач для моделей акустического и электромагнитного рассеяния на неоднородныхвключениях. С помощью оптимизационного метода указанные задачи сводятсяк обратным экстремальным задачам для указанных моделей. К необходимостирешения такого типа задач приводят, в частности, рассматриваемые в послед-нее время задачи маскировки материальных объектов в жидких средах. В этихработах доказано существование маскировочных оболочек, причем установлено,что необходимым условием их существования является условие анизотропии ис-ходной среды [1].

Рассмотрим уравнение Гельмгольца с переменными коэффициентами, имею-щее в сферических координатах r, θ, φ вид [1]:

ρ2(r)∂

∂r

(r2

ρ1(r)

∂p

∂r

)+ ∆θ,φp+ r2ρ2(r)η(r)k20p = 0. (1)

Здесь η — индекс рефракции, k0 — постоянное волновое число для однороднойсреды, p — звуковое давление, функция ρ1(r) характеризует изменение плотностив направлении изменения переменной r, тогда как ρ2(r) характеризует изменениеплотности в ортогональных направлениях.

Целью настоящей работы является теоретический анализ обратной экстре-мальной задачи для уравнения (1). Рассматриваемая обратная задача заключа-ется в нахождении индекса рефракции η ∈ Hs(Ω), входящего в уравнение Гельм-гольца (1), и решения исходной краевой задачи, доставляющих минимум опреде-ленному функционалу качества. В качестве функционала качества выбираетсяквадрат среднеквадратичной интегральной нормы рассеянного поля. С исполь-зованием математического аппарата работ [2, 3] доказывается разрешимость такпоставленной обратной экстремальной задачи и выводятся достаточные условияна исходные данные, обеспечивающие единственность и устойчивость оптималь-ных решений.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ, соглашение 14.A18.21.0353“Современные проблемы вещественного и комплексного анализа, алгебры и математи-ческой физики”.

ЛИТЕРАТУРА1. Алексеев Г. В., Романов В. Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-

чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. математики. 2012.T. 15, 2. C. 1–6.

2. Алексеев Г.В. Оптимизация в задачах маскировки материальных тел методом вол-нового обтекания // ДАН. 2013. Т. 449, 6. С. 652–656.

3. Alekseev G. V. Cloaking via impedance boundary condition for the 2-D Helmholtzequation // Appl. Anal. 2013. [DOI:10.1080/00036811.2013.768340].

257

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УЛУЧШЕНИЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИМЕТОДА НЕЙШТАДТА

IMPROVEMENT OF THE CONVERGENCE RATEOF THE NEUSTADT METHOD

Старов В. Г.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;vladalex@math.nsc.ru

Пусть управляемая система описывается линейным дифференциальным урав-нением

x = Ax+Bu, x(t0) = x0, x0 ∈ V, (1)

где x ∈ Rn и u ∈ Rm, V — область управляемости в начало координат. Компо-ненты вектора управления принадлежат классу кусочно-непрерывных функцийи подчинены ограничениям: |uj | 6Mj , Mj > 0, j = 1,m.

Задача. Найти управление u, переводящее систему (1) из начального состо-яния x0 в начало координат x(tk) = 0 за минимальное время T = tk − t0.

В [1] изложен метод Нейштадта, который разработан для решения задач ли-нейного быстродействия. Сущность его составляет нахождение такого начально-го значения сопряженной системы ψ0, определяющее оптимальное управление.Это значение находится с помощью решения следующей системы дифференци-альных уравнений:

dψ0

dτ= −[x0 − ξ(ψ0)], где ξ(ψ0) = (ξ1(ψ0) . . . ξn(ψ0)), (2)

ξi(ψ0) = −∫ T

0

ξi(τ)Bu(τ, ψ0)dτ, i = 1, n. (3)

Здесь u(τ, ψ0) — управление, соответствующее функции ψ(t, ψ0).Далее осуществляется переход к разностному уравнению. Вместо вычисления

всего непрерывного решения ψ0(τ) уравнения (2) строится “дискретное решение”,т. е. последовательность ψ0(1), ψ0(2), . . . по формуле

ψ0(k+1) = ψ0(k) + ∆τk[x0 − ξ(ψ0(k))]. (4)

В [2] отмечена медленная сходимость метода Нейштадта.Предлагается кусочно-линейная аппроксимация решения уравнения (4) по ме-

тоду наименьших квадратов [3] с последующей экстраполяцией, которая даетсущественное улучшение сходимости.

Эффективность предложенного подхода проверялась численным моделиро-ванием для различных вариантов систем с размерностями n = 3 и n = 4. Подэффективностью понимается сумма времени интегрирования системы (3) на всехитерациях. Численные расчеты показали, что время интегрирования уменьши-лось более, чем на 40% .

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука,

1966.2. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука,

1978.3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.:

ГИФМЛ, 1962.

258

Секция “Дифференциальные уравнения”

РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО КЛАССАНЕВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ

УРАВНЕНИЙ С ПАМЯТЬЮSOLVABILITY OF A CLASS OF NONDEGENERATE

EVOLUTION EQUATIONS WITH MEMORY

Стахеева О.А.

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; osta@csu.ru

Обозначим через L(X) банахову алгебру линейных непрерывных операторовна банаховом пространстве X, через Cl(X) — множество линейных замкнутыхоператоров с плотной областью определения в X. Кроме того, пустьDA — областьопределения оператора A, снабженная нормой ∥ · ∥DA = ∥ · ∥X + ∥A · ∥X. В случаезамкнутого оператора A пространство DA является банаховым.

Рассмотрим эволюционное уравнение с эффектом памяти v(t) = Av(t)+(Jv)(t).Интегральный оператор памяти (Jv)(t) имеет вид

(Jv)(t) =

∞∫0

K(s)v(t− s)ds =

t∫0

K(s)v(t− s)ds+

∞∫0

K(t+ s)v−(−s)ds, t ≥ 0,

и при заданных оператор-функции K : [0,+∞) → L(X) и вектор-функцииv− : (−∞, 0]→ X описывает “историю” системы. Обозначим

∞∫0

K(t+ s)v−(−s)ds = f(t), t ≥ 0,

тогда уравнение примет вид

v(t) = Av(t) +

t∫0

K(s)v(t− s)ds+ f(t), t ≥ 0. (1)

Решением задачи Коши

v(0) = v0 ∈ domA (2)

назовем функцию v ∈ C1([0,+∞);X) ∩ C([0,+∞);DA), удовлетворяющую урав-нению (1) на полуоси [0,+∞) и условию (2).

По сравнению с работами [1, 2] здесь рассматривается более общая постановказадачи и доказана разрешимость исследуемой задачи на всей положительнойполуоси.

Теорема. Пусть оператор A порождает (C0)-непрерывную полугруппу опера-торов, K ∈ C([0,+∞);L(X)), f ∈ C1([0,+∞);X). Тогда существует единственноерешение задачи (1), (2).

ЛИТЕРАТУРА1. Федоров В. Е., Стахеева О. А. О локальной разрешимости линейных эволюционных

уравнений с памятью // Вестн. ЮУрГУ. 2008. 27 (127). Сер. Матем. модел. про-грам. Вып. 2. С. 104–109.

2. Стахеева О. А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памя-тью // Вестн. ЧелГУ. 2009. 20 (158). Сер. Математика. Механика. Информатика.Вып. 11. С. 70–76.

259

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯВ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ

THE DYNAMIC PROGRAMMING METHODIN INVERSE PROBLEMS OF DYNAMICS

Субботина Н. Н.1, Токманцев Т.Б.2

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия;1subb@uran.ru, 2tokmantsev@imm.uran.ru

Рассматривается управляемая система

dx(t)

dt= g(t, x(t)) + f(t, x(t))u(t), t ∈ [0, T ], (1)

где x ∈ Rn — фазовый вектор, управление u ∈ Rn стеснено ограничениями

u ∈ U = ui ∈ [a−i , a+i ], a−i < a+i , i = 1, 2, . . . , n. (2)

Предполагается, что задана непрерывная функция y(·) : [0, T ] → Rn — исто-рия замеров фазовой переменной системы, причем известно, что точное движениеx∗(t) содержится в полосе достоверности замеров Ωδ:

(t, x∗(t)) ∈ Ωδ = (t, x) ∈ [0, T ]× Rn : ∥x− y(t)∥ ≤ δ,

где параметр погрешности измерений δ > 0, а символ ∥z∥ означает евклидовунорму конечномерного вектора z.

Обратная задача динамики состоит в построении управления и траекториисистемы (1), (2), максимально приближенной к исходному движению x∗(·) в про-странстве непрерывных функций [2].

Вводится вспомогательная задача оптимального позиционного управления [1]системой (1), (2), на минимум функционала невязки:

I(u(·)) =

T∫0

[(x(t)− y(t))2

2+α

2∥u(t)∥2

]dt,

здесь α > 0 — малый регуляризирующий параметр.С помощью метода динамического программирования Беллмана в полосе до-

пустимых погрешностей статистики строятся траектории системы (фазовые ха-рактеристики) [3]. Приводится доказательство того факта, что фазовые харак-теристики, доставляющие минимум функционалу невязки в полосе допустимыхпогрешностей статистики, аппроксимируют точное решение x∗(·) обратной зада-чи динамики. Получены оценки сходимости аппроксимации при δ → 0, α→ 0.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00214) и Программы сотрудничества УрО и СО РАН “Качественнаятеория и численные методы для задач динамики, управления и оптимизации”.

ЛИТЕРАТУРА1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Нау-

ка, 1974.2. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуля-

ризации. М.: Изд-во МГУ, 1999.3. Субботина Н. Н., Колпакова Е. А., Токманцев Т.Б., Шагалова Л. Г. Метод характе-

ристик для уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана. Екатеринбург: РИО УрОРАН, 2013.

260

Секция “Дифференциальные уравнения”

ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙНА УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОРЕЗОНАНСА

EFFECT OF PERTURBATIONSON AUTORESONANCE STABILITY

Султанов О. А.

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; oasultanov@gmail.com

Под авторезонансом понимается эффект значительного роста амплитуды нели-нейных колебаний под действием малой накачки. На начальном этапе захвата вавторезонанс приходится исследовать систему двух обыкновенных дифференци-альных уравнений [1]:

dr

dt= sinψ, r

[dψdt− r2 + t

]= cosψ. (1)

Здесь r(t) — амплитуда, ψ(t) — сдвиг фазы гармонических колебаний. Интереспредставляют решения, амплитуда которых неограниченно растет на бесконечно-сти по времени (r(t) ≈

√t, t→∞). Из-за нелинейностей рассматриваемой модели

явные формулы для решений получить не удается. Однако для некоторого част-ного решения можно построить асимптотическое разложение на бесконечности:

R0(t) =√t+O(t−1), Ψ0(t) = π − 1

2t−1/2 +O(t−1), t→∞.

Такое решение оказывается устойчивым по Ляпунову [2, 3]. Наряду с системой (1)рассматриваются возмущенные уравнения:

dr

dt= (1 + ξ) sinψ, r

[dψdt− r2 + t+ φ

]= (1 + η) cosψ. (2)

Функции ξ, η, φ играют роль возмущений. Ставится вопрос: при каких возмуще-ниях система (2) имеет авторезонансные решения?

Описываются классы детерминированных и случайных возмущений, при ко-торых решение R0(t), Ψ0(t) оказывается устойчивым относительно постояннодействующих возмущений. Анализ устойчивости основан на функции Ляпуно-ва для невозмущенной системы (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Калякин Л. А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса // Успехи мат. наук.2008. Т. 63, вып. 5. С. 3–72.

2. Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса при постоянно действующихвозмущениях // Тр. ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, 2.С. 254–264.

3. Калякин Л. А., Султанов О. А. Устойчивость моделей авторезонанса // Дифференц.уравнения. 2013. Т. 49, 3. С. 279–293.

261

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

AN APPROXIMATE SOLUTIONTO AN INVERSE PROBLEM

FOR A NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATION

Табаринцева Е. В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;e1tab@rambler.ru

Пусть A : H → H — линейный неограниченный оператор; A∗ = A; A ≥ 0;D(A) = H. Рассмотрим задачу вычисления φ ∈ H такого, что решение задачиКоши

du

dt= −Au+ f(t, u), u(t0) = φ, φ ∈ H, t ∈ (t0, T ), (1)

удовлетворяет условию u(T ) = χ. Здесь f : [t0;T ] × H → H — отображение,удовлетворяющее условию Липшица по u и условию Гельдера по t. Пусть сущест-вует решение φ задачи (1), принадлежащее заданному множеству M ⊂ H, новместо точного χ ∈ H дан χδ ∈ H такой, что ∥χ− χδ∥ < δ.

Наряду с (1) рассмотрим задачу вычисления φτ ∈ H такого, что решениелинейной задачи Коши

dv

dt= −Av, v(τ) = φτ , t ∈ (τ, T ), (2)

удовлетворяет условию v(T ) = χ. Пусть линейные операторы RT−τα : H → H

действуют по правилу RT−τα = Φ(α, e−A(T−τ)), где Φ(α, µ) (α > 0, µ > 0) — функ-

ция, удовлетворяющая условиям, сформулированным в [1]. Приближенное реше-ние (2) определим равенством (при подходящем выборе зависимости α = α∗(δ))

vδα(τ) = RT−τα χδ. (3)

Обозначим через uδα(t) решение интегрального уравнения

uδα(t) = RT−tα χδ −

T∫t

RT−tα eA(T−s)f(s, uδα(s))ds.

Приближенное решение задачи (1) определим равенством

φδα = uδα∗(t0). (4)

Рассмотрим следующие величины:∆M (α, δ) = sup∥φαδ−φ∥ : φ ∈M, ∥χ−χδ∥ ≤ δ— погрешность приближенного

решения (4) нелинейной задачи (1) на множестве M ;∆M (α, δ) = sup∥RT−t0

α χδ − φ0∥ : φ0 ∈ M, ∥χ − χδ∥ ≤ δ — погрешностьприближенного решения (3) линейной задачи (2) на множестве M .

Теорема. Существует постоянная δ0 > 0 такая, что для всех 0 < δ < δ0

∆M (α∗, δ) ≤ 4eL(T−t0)∆M (α∗, δ).

ЛИТЕРАТУРА1. Бакушинский А. Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для

линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл.математики и мат. физики. 1967. Т. 7, 3. C. 672–677.

262

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ

ON INTEGRATION OF AUTOMORPHIC SYSTEMSOF FINITE-DIMENSIONAL LIE GROUPS

Талышев А.А.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;tal@academ.org

Система дифференциальных уравнений называется автоморфной относитель-но группы Ли G, если любое решение этой системы получается из одного фик-сированного решения посредством действия преобразований группы G [1, § 25].

В работе [2] показано, что некоторое конечное продолжение (как правило,нулевого порядка) всякой автоморфной системы конечномерной группы Ли яв-ляется вполне интегрируемой системой.

В настоящей работе доказана следующая теорема, которая является обобще-нием аналогичной теоремы для систем обыкновенных дифференциальных урав-нений [1, § 8].

Теорема. Пусть система Пфаффа dy − φ(x, y)dx = 0 (x ∈ Rn, y ∈ Rm),вполне интегрируема и допускает однопараметрическую группу Ли с инфините-зимальным оператором L = ξ(x, y) ∂x + η(x, y) ∂y. Тогда знание универсальногоинварианта оператора L = L − ξ ∂x − (φξ) ∂y позволяет понизить на единицуразмерность этой системы Пфаффа.

Вычисление допускаемой группы для вполне интегрируемой системы Пфаф-фа (также как и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений),вообще говоря, не проще интегрирования исходной системы. Но автоморфнаясистема конечномерной группы Ли G допускает группу Ли, которая дается “да-ром”: является ограничением действия группы G на многообразие, определяемоесистемой.

Если размерность группы G больше единицы (а именно такие и представляютинтерес), то и размерность системы Пфаффа можно попытаться понизить болеечем на единицу. Возможность понижения размерности определяется общим ран-гом нового представления алгебры Ли соответствующей группе G. Построениенового представления совершается в два этапа: ограничение алгебры на много-образие, определяемое системой, и потом переход от операторов L к L, которыйозначает факторизацию алгебры Ли по идеалу, порожденному ограничениямиоператоров полного дифференцирования на многообразие, определяемое систе-мой. Этот бесконечномерный идеал допускается системой Пфаффа и также да-ется “даром”.

Итак, если общий ранг нового представления указанной алгебры равен r иудастся посчитать универсальный инвариант этой алгебры, то размерность систе-мы можно понизить на величину r. Приводятся примеры применения указаннойтехнологии интегрирования к конкретным автоморфным системам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,1978.

2. Талышев А. А. Об автоморфных системах конечномерных групп Ли // Уфимск.мат. журн. 2012. Т. 4, 4. C. 130–138.

263

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВНЕШНЯЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

AN EXTERIOR DIRICHLET VARIATIONALPROBLEM FOR DEGENERATE NONLINEAR

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Тарасова Г.И.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; gi-tarasova@mail.ru

Пусть Ω — ограниченная n-мерная область в пространстве Rn с (n−1)-мернойграницей ∂Ω класса C∞. Пусть Ω∗ = Rn\Ω, ρ(x) — регуляризованное расстояниеот точки x ∈ Ω∗ до границы ∂Ω. Символами Ω1 и KR обозначаем соответственнообласть в Rn с (n−1)-мерной границей ∂Ω1 класса C∞ и шар радиуса R с центромв начале координат такие, что для них выполнено условие Ω ⊂ Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ KR.

Далее, r — фиксированное натуральное число, p ∈ (1,+∞); α, β, γ — дей-ствительные числа. Символом σα,β(x) обозначаем бесконечно дифференцируе-мую положительную в Ω∗ функцию, для которой выполнено условие

σα,β(x) ∼ρ(x)α ∀x ∈ KR\Ω,ρ(x)−β ∀x ∈ Ω∗

1.

Функция σα,β(x) является основной весовой функцией.Ниже символом B обозначим банахово пространство с нормой ∥u;B∥:

∥u;V rp,α,β(Ω∗)∥ =

∑|k|≤r

∫Ω∗

(σ(x)ρ(x)|k|−r|u(k)(x)|)pdx

1/p

.

Исследована разрешимость следующей вариационной задачи Дирихле с однород-ными граничными условиями.

Постановка задачи. Для заданного функционала F ∈ V −rq,−α,−β(Ω∗), q =

p/(p− 1), найти обобщенное решение дифференциального уравнения

Lu ≡∑|k|≤r

(−1)|k|(ak(x)|u(k)(x)|pk−2u(k)(x)

)(k)= F, x ∈ Ω,

в пространстве V rp,α,β(Ω∗).

ЛИТЕРАТУРА

1. Мирошин Н. В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического опе-ратора с вырождением // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1992. Т. 194.C. 179–195.

2. Iskhokov S. A. Existence and uniqueness of solutions for variational Dirichlet problems ofa nonlinear degenerate differential equation // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2.С. 22–38.

264

Секция “Дифференциальные уравнения”

КОЭРЦИТИВНОСТЬ И ГЛАДКОСТЬФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ

COERCIVENESS AND SMOOTHNESSOF A FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION

WITH ORTHOTROPIC CONTRACTIONS

Тасевич А. Л.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия;atasevich@gmail.com

Пусть Br — круг радиуса r. Рассмотрим следующее функционально-диффе-ренциальное уравнение в Br:

ARu(x) = −(

∂

∂x1

(R1

∂u

∂x1

)+

∂

∂x2

(R2

∂u

∂x2

))= f(x), (1)

Riu(x1, x2) = ai0u(x1, x2) + ai1u

(x1q, px2

)+ ai,−1u

(qx1,

x2p

). (2)

Здесь p, q > 1, коэффициенты aij ∈ C (i = 1, 2; j = 0,±1), функция f(x) ∈ L2(Br).Будем продолжать функцию u(x) нулем перед применением к ней операторов Ri,i = 1, 2.

Уравнение (1), (2) будем называть сильно эллиптическим в Br, если ∃ c1 > 0,c2 ≥ 0, что для всех u ∈ C∞

0 (Br) выполнено неравенство типа Гординга

Re (ARu, u)L2(Br) ≥ c1∥u∥2W 1

2 (Br)− c2∥u∥2L2(Br)

. (3)

Теорема. Уравнение (1), (2) является сильно эллиптическим в области Brтогда и только тогда, когда

Re

2∑i=1

(ξ2i

(ai0 + ai1λ+ ai,−1

1

λ

))> 0

при |λ| =√

qp , |ξ| = 1.

Значение неравенства типа Гординга определяется тем, что для рассматрива-емого уравнения оно обеспечивает фредгольмову разрешимость, дискретность исекториальную структуру спектра задачи Дирихле. Также сильно эллиптическийоператор удовлетворяет гипотезе Т. Като о квадратном корне из m-аккретивногооператора (см. [1]). Для дифференциально-разностных уравнений проблема на-хождения алгебраического эквивалента неравенству (3) была решена А. Л. Ску-бачевским [2], а для функционально-дифференциальных уравнений с изотроп-ными сжатиями — Л. Е. Россовским [3, 4].

Некоторые результаты о внутренней гладкости в подобластях будут такжепредставлены в докладе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 10-01-00395, 12-01-31454).

ЛИТЕРАТУРА1. Като T. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.2. Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-

difference equations // Differ. Equ. 1986. V. 63, N 3. P. 332–361.3. Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений //

Мат. заметки. 1996. Т. 59, вып. 1. С. 103–113.4. Россовский Л. Е. Об одном классе секториальных функционально-дифференци-

альных операторов // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, 2. С. 227–237.

265

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКАON SOLVABILITY OF A LINEAR INVERSE PROBLEM

FOR A FOURTH ORDER PARABOLIC EQUATION

Телешева Л. А.

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ, Россия;love_20_09@mail.ru

В докладе рассматривается вопрос о разрешимости обратной задачи опреде-ления правой части для параболического уравнения четвертого порядка с гра-ничным условием переопределения.

Пусть Q есть прямоугольник (x, t) : x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ), T < ∞. Далее,пусть f(x, t), c(x, t), h(x, t) суть функции, определенные в Q, u0(x) есть известнаяфункция, определенная при x ∈ [0, 1]. Требуется найти функции u(x, t), q(t),связанные в прямоугольнике Q уравнением

ut + uxxxx + c(x, t)u = f(x, t) + q(t)h(x, t),

причем для функции u(x, t) должны выполняться условия

ux(0, t) = 0,ux(1, t) = 0,uxxx(0, t) = 0,uxxx(1, t) = 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ [0, 1].

Доказывается также существование решения нелокальной задачи для урав-нения параболического типа четвертого порядка.

266

Секция “Дифференциальные уравнения”

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССАРЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

ON CONVERGENCE OF AN ITERATIVE PROCESSFOR SOLVING AN EXTREMUM PROBLEM

FOR HEAT CONVECTION EQUATIONS

Терешко Д. А.

Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия;ter@iam.dvo.ru

Данная работа посвящена теоретическому исследованию вопросов сходимостиодного итерационного процесса, предложенного для решения системы нелиней-ных дифференциальных уравнений в частных производных. Указанная систе-ма возникает при рассмотрении экстремальных задач для стационарной моделитепловой конвекции. В данной модели процесс движения вязкой теплопроводнойжидкости в ограниченной области Ω с границей Γ, состоящей из двух частей ΓDи ΓN , описывается следующей краевой задачей:

−ν∆u + (u · ∇)u +∇p = −β TG, div u = 0 в Ω, u = g на Γ,

−λ∆T + u · ∇T = f в Ω, T = ψ на ΓD, λ∂T

∂n= χ на ΓN .

Здесь u, p и T — вектор скорости, давление и температура, ν = const > 0 —коэффициент кинематической вязкости, β — коэффициент теплового расшире-ния, G — вектор ускорения свободного падения, λ = const > 0 — коэффициенттемпературопроводности, Γ = ΓD∪ΓN , ΓD∩ΓN = ∅. Функция χ, имеющая смыслпотока тепла, ниже играет роль управления. С помощью пространств Соболевастандартным образом получается слабая формулировка данной задачи, котораядля краткости записывается в виде операторного уравнения F (u, p, T, χ) = 0.

Далее задача управления сводится к задаче условной минимизации

J(u, p, T, χ)→ inf, F (u, p, T, χ) = 0, χ ∈ K,где K — некоторое выпуклое замкнутое множество управлений. Для того чтобысделать задачу минимизации безусловной, вводится лагранжиан, зависящий отисходного состояния (u, p, T ), управления χ и сопряженного состояния (q, σ, θ).Затем выводится система оптимальности, имеющая смысл необходимых условийэкстремума первого порядка. Она состоит из слабых формулировок исходнойкраевой задачи, сопряженной задачи и условия оптимальности управления.

Для ее решения в монографии [1] предложен итерационной процесс, основан-ный на методе Ньютона – Канторовича для операторного уравнения в функци-ональных банаховых пространствах. Так как этот подход применяется до этападискретизации, то вопрос о сходимости алгоритма можно рассматривать в рам-ках теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частныхпроизводных независимо от используемых далее численных методов. Основнойцелью исследования является получение достаточных условий на исходные дан-ные, обеспечивающих сходимость итерационного процесса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00313).

ЛИТЕРАТУРА1. Алексеев Г.В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жид-

кости. Владивосток: Дальнаука, 2008.

267

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХРЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ P -ЛАПЛАСИАНА

RADIALLY-SYMMETRIC SOLUTIONSOF THE DIRICHLET PROBLEM

FOR THE P -LAPLACE EQUATION

Терсенов Ар. С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;aterseno@math.nsc.ru

Одним из классических примеров нелинейных вырождающихся и сингуляр-ных эллиптических уравнений является p-лапласиан и его анизотропный аналог.Нас интересует вопрос существования ограниченного обобщенного решения за-дачи Дирихле для указанных уравнений. Известно, что разрешимость задачиДирихле в классе ограниченных решений для уравнения вида

−N∑i=1

(|uxi |pi−2uxi)xi = c(x)g(u) + f(x) in Ω ⊂ RN ,

где постоянные pi > 1, i = 1, . . . , N , а Ω — строго выпуклая ограниченная об-ласть, существенно зависит от размерности области, в которой она исследует-ся. Причем такая зависимость имеется только в сингулярном случае, т. е. когдаприсутствуют показатели pi < 2. Аналогичный результат имеет место и для па-раболических версий p-лапласиана и его анизотропного аналога. В настоящемдокладе речь пойдет о существовании ограниченных радиально-симметричныхрешений задачи Дирихле для уравнения

−div (|∇u|p−2∇u) = c(|x|)g(u) + f(|x|) в BR ⊂ RN , u = 0 на ∂BR,

где BR — шар радиуса R, p > 1. Предполагаем, что нелинейность функции g мо-жет быть как полиномиальной, так и экспоненциальной. Мы не налагаем каких-либо условий на правую часть уравнения, которая гарантировала бы нам знакрешения или необращение в нуль ur, где r = |x|.

Доказана разрешимость задачи в классе C1+α. Показано, что в сингулярномслучае 1 < p < 2 радиально-симметричное решение удовлетворяет уравнению вклассическом смысле почти всюду. Метод аппроксимации исходного уравненияпоследовательностью невырождающихся уравнений позволяет получать условияразрешимости в явном виде через данные задачи. В частности, из полученныхусловий разрешимости вытекает, что зависимость существования решения от раз-мерности имеется не только в сингулярном случае 1 < p < 2, но и для p ≥ 2.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00390 a), Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 30) и Президиума РАН (программа 15, проект 121).

ЛИТЕРАТУРА1. Starovoitov V., Tersenov Al. S. Singular and degenerate anisotropic parabolic equations

with a nonlinear source // Nonlinear Anal. 2010. V. 72, N 6. P. 3009–3027.2. Tersenov Al., Tersenov Ar. The problem of Dirichlet for anisotropic quasilinear

degenerate elliptic equations // Differ. Equ. 2007. V. 235, N 2. P. 376–396.3. Терсенов Ар. С. Новые априорные оценки решений анизотропных эллиптических

уравнений // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, 3. С. 672–686.

268

Секция “Дифференциальные уравнения”

О КОРРЕКТНОСТИ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВАЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТАКТНОГО РАЗРЫВА

В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

ON WELL-POSEDNESS IN SOBOLEV SPACESOF THE PROBLEM FOR CONTACT

MHD DISCONTINUITIES

Трахинин Ю. Л.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;trakhin@math.nsc.ru

В магнитной гидродинамике (МГД) идеальной сжимаемой жидкости суще-ствует два вида сильных разрывов, являющихся контактными в том смысле,что отсутствует поток массы через поверхность разрыва. Это тангенциальныеи, собственно, контактные разрывы [1]. Они оба являются характеристически-ми поверхностями для уравнений МГД, представляющих собой гиперболическуюсистему законов сохранения.

Локальная по времени теорема существования и единственности в весовыханизотропных пространствах Соболева для тангенциальных разрывов доказананедавно в [2] при условии, что в начальный момент времени в каждой точке раз-рыва выполнено найденное достаточное условие устойчивости. Что же касаетсяконтактных МГД разрывов, которым посвящен настоящий доклад, то до сих порпро них было известно только то, что плоский разрыв всегда устойчив в смыслевыполнения условия Лопатинского для линеаризованной задачи с постояннымикоэффициентами, что следует из диссипативности граничных условий.

Принципиальным моментом для контактного разрыва является неэллиптич-ность символа свободной границы, что означает неразрешимость граничных усло-вий для пространственно-временного градиента ∇t,xF функции, описывающейразрыв F (t, x) = 0. Это препятствует переносу L2 оценки, полученной для слу-чая постоянных коэффициентов на случай переменных коэффициентов. Анало-гичная трудность имеет место также для задачи со свободной границей междугазом и вакуумом [3], для которой возникает условие Рэлея – Тейлора ∂p/∂n < 0на знак производной по нормали давления в каждой точке границы.

Для контактных МГД разрывов для двумерного случая нами доказана кор-ректность в пространствах Соболева Hm линеаризованной задачи с переменны-ми коэффициентами, если в каждой точке невозмущенного разрыва выполненоусловие Рэлея – Тейлора [∂p/∂n] < 0 на знак скачка производной по нормалидавления плазмы. При нарушении этого условия впервые аналитически доказа-на неустойчивость Рэлея – Тейлора контактного МГД разрыва, на возможностькоторой ранее указывалось в некоторых вычислительных работах.

Соответствующую локальную по времени теорему существования и единствен-ности для исходной нелинейной задачи планируется в ближайшее время дока-зать, как и в [2, 3], с помощью метода Нэша – Мозера.

ЛИТЕРАТУРА1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.2. Trakhinin Y. The existence of current-vortex sheets in ideal compressible magneto-

hydrodynamics // Arch. Ration. Mech. Anal. 2009. V. 191, N 2. P. 245–310.3. Trakhinin Y. Local existence for the free boundary problem for nonrelativistic and

relativistic compressible Euler equations with a vacuum boundary condition // Commun.Pure Appl. Math. 2009. V. 62, N 11. P. 1551–1594.

269

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОСТОЯННОГОМНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ON INVARIANCE OF A CONSTANT MULTIVALUEDMAPPING IN A HEAT CONDUCTIVITY PROBLEM

WITH DELAY

Тухтасинов М.

Национальный университет Узбекистана им. М.Улугбека,Ташкент, Узбекистан; mumin51@mail.ru

В отличие от работы [1] здесь рассмотрены задачи с граничным управлением.Пусть Ω — ограниченная область в Rn с кусочно гладкой границей ∂Ω. Через Aобозначим положительно определенный эллиптический оператор.

Пусть оператор P определен равенством

Pφ =n∑

i,j=1

aij(x)∂φ

∂xjcos(ℓ, xi) + k(x)φ, x ∈ ∂Ω,

где ℓ — единичный вектор внешней нормали к ∂Ω, k(x) — заданная положи-тельная непрерывная функция в ∂Ω. Рассмотрим следующую задачу управлениятеплообмена с запаздыванием [2]

∂z(t)

∂t+Az(t) = z0(t− h), 0 < t ≤ T, (1)

с граничнымPz(t) = u(t), 0 ≤ t ≤ T, x ∈ ∂Ω, (2)

и начальнымz(0) = z0(0) (3)

условиями, где z0(·) ∈ X, X = z(·) : z(t) ∈ Hr(Ω), −h ≤ t ≤ 0.Здесь z(·), u(·) — абстрактные функции, т. е. при каждом t > 0 являются

элементами пространств Hr(Ω) и L2(∂Ω) соответственно, h — положительнаяфиксированная константа, T — положительное число.

Теорема 1. При выполнении естественных условий на X и допустимыхуправлениях существует единственное решение задачи (1)–(3) в пространствеC(0, h;Hr(Ω)), причем отображение z00k, z0, u → z пространстваℓr × L2(0, h;Hr(Ω))× L2(0, h;Hr(Ω)) в C(0, h;Hr(Ω)) непрерывно.

Определение. Многозначное отображениеD : [−h, T ]→ 2R, где R = (−∞,∞),называется сильно инвариантным на отрезке [−h, T ] относительно задачи (1)–(3),если для любых ∥z0(t)∥Hr ∈ D(t), −h ≤ t ≤ 0, и допустимых u(·) выполняетсявключение ∥z(t)∥ ∈ D(t) при всех 0 < t ≤ T , где z(·) — соответствующее решениезадачи (1)–(3) [1, 2].

Теорема 2. Пусть ρ ≤ (λ1−1)b. Тогда постоянное многозначное отображениеD(t) = [0, b], t ∈ [−h, T ], сильно инвариантно на отрезке [−h, T ] относительнозадачи (1)–(3) для любого T > 0.

ЛИТЕРАТУРА1. Тухтасинов М., Мустапакулов Х. Инвариантные множества в системах с распреде-

ленными параметрами // Тез. докл. Междунар. Российско – Болгарского симпози-ума. Нальчик, 2010. C. 232–233.

2. Tukhtasinov M., Ibragimov U. M. Sets invariant under an integral constraint oncontrols // Russian Math. (Izv. VUZ. Mat.). 2011. V. 55, N 8. P. 59–65.

270

Секция “Дифференциальные уравнения”

Lp-ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

В ИССЛЕДОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХПРОЦЕССОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Lp-ESTIMATES OF THE INNER PRODUCTSOF VECTOR FIELDS AND THEIR APPLICATION

FOR STUDYING ELECTROMAGNETIC PROCESSESIN HETEROGENEOUS MEDIA

Тюхтина А.А.1, Калинин А. В.1,2, Жидков А. А.1,2, Молодкина В. Е.1

1Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского,Нижний Новгород, Россия;

2Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, Россия;kalinmm@yandex.ru, avk@mm.unn.ru

В настоящей работе на основе некоторых специальных представлений вектор-функций через дифференциальные операции векторного анализа доказываютсянеравенства, связывающие скалярное произведение вектор-функций и нормы ихроторов и дивергенций в пространствах Лебега. Различные интегральные пред-ставления для функций и вектор-функций могут быть использованы, в частно-сти, при доказательстве Lp-оценок для норм, известных в литературе под назва-нием неравенств Корна, играющих важную роль в теории дифференциальныхуравнений [1–3]. Полученные в настоящей работе оценки для скалярных про-изведений векторных полей обобщают ряд известных неравенств и могут бытьиспользованы при исследовании физических полей в неоднородных средах. Вкачестве приложений доказанных оценок исследуется корректность постановокразличных задач, связанных с системой уравнений Максвелла. В частности, ис-следуются стационарные задачи для системы уравнений Максвелла для неод-нородных ограниченных и неограниченных областей, исследуются асимптотиче-ские свойства решений для сред со слабо- и сильнопроводящими включениями.Рассматриваются начально-краевые задачи для системы уравнений Максвеллав квазистационарном магнитном приближении и квазистационарном электриче-ском приближении. Исследуются различные постановки задач в терминах элек-тромагнитных полей и в терминах векторного магнитного и скалярного электри-ческого потенциала. Приводятся различные калибровочные соотношения, обес-печивающие корректность рассматриваемых задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государ-ственного задания на оказание услуг в 2012–2014 гг. подведомственными высшими учеб-ными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011) и гранта Правительства РФ (договор 11.G34.31.0048).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математическойфизике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функцийи теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

3. Решетняк Ю. Г. Об интегральных представлениях дифференцируемых функций //Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука,1986. С. 173–186.

271

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССАСИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИON PROPERTIES OF SOLUTIONS TO ONE CLASSOF SYSTEMS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL

EQUATIONS OF HIGH DIMENSION

Уварова И. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирскийгосударственный университет, Новосибирск, Россия; sibirochka@ngs.ru

Мы продолжаем исследование связей между решениями систем обыкновен-ных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнений с запаз-дывающим аргументом. В работах [1–3] были определены классы систем вида

dx

dt= Anx+ Fn(t, x),

для которых было установлено, что приближенное нахождение значений компо-нент решений задачи Коши для этих систем можно свести к решению начальнойзадачи для уравнения с запаздывающим аргументом

dy(t)

dt= −θy(t) + g(t− τ, y(t− τ)), t > τ. (1)

В данной работе мы рассматриваем систему нелинейных дифференциальныхуравнений

dx1dt

= −nφ1(x)x1 + g(t, xn), t > 0,

dxjdt

= nφj−1(x)xj−1 − nφj(x)xj , j = 2, . . . , n− 1,

dxndt

= nφn−1(x)xn−1 − θxn.

(2)

Опираясь на методы, предложенные Г.В. Демиденко, нами сформулированыусловия на функции φj(x), j = 1, . . . , n − 1, при которых последняя компонен-та xn(t) решения системы (2) при n ≫ 1 является приближенным решениемуравнения с запаздывающим аргументом (1). Получена оценка аппроксимацииxn(t) ≈ y(t) при n≫ 1.

Автор выражает глубокую благодарность проф. Г.В. Демиденко за постанов-ку задачи и полезные дискуссии.

Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России” на 2009–2013 гг. (соглашение 14.В37.21.0355), Сибирскогоотделения РАН (междисциплинарный проект 80) и Российского фонда фундамен-тальных исследований (проект 13-01-00329).

ЛИТЕРАТУРА1. Демиденко Г.В., Лихошвай В. А., Котова Т. В., Хропова Ю. Е. Об одном классе

систем дифференциальных уравнений и об уравнениях с запаздывающим аргумен-том // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, 1. С. 58–68.

2. Демиденко Г.В. О классах систем дифференциальных уравнений высокой размер-ности и уравнениях с запаздывающим аргументом // Итоги науки. Юг России. Сер.:Матем. форум. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. Т. 5. С. 45–56.

3. Демиденко Г. В. Системы дифференциальных уравнений высокой размерности иуравнения с запаздывающим аргументом // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, 6.С. 1274–1282.

272

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ МКЭОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

С СИЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

FEM FOR AN ELLIPTIC PROBLEMWITH STRONG DEGENERATION

Урев М. В.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; mih.urev2010@yandex.ru

Рассматривается решение первой краевой задачи для вырождающегося эл-липтического уравнения

− 1

x

∂

∂x

(x∂u

∂x

)− ∂2u

∂y2+λu

x2= f(x, y), λ ≥ 1, (1)

в области D = (0, 1)× (0, 1) ⊂ R2, лежащей в полуплоскости x > 0.При λ = 1 уравнению (1) (с переобозначением (x, y) на (r, z)) удовлетворяет в

цилиндрических координатах азимутальная компонента магнитного потенциалаосесимметричного стационарного магнитного поля. Решение такой задачи мето-дом конечных элементов (МКЭ) рассматривалось, например, в работах [1, 2]. Приλ = 1 трехмерный осесимметричный образ задачи (1) отсутствует, и привлекаетсятеория весовых функциональных пространств и их приложения к исследованиюкраевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений [3].

В соответствующих задаче функциональных пространствах с “согласованны-ми весами” [3] рассмотрены слабая и сильная вариационные постановки. Исполь-зуя прием мультипликативного выделения особенности для метода конечных эле-ментов с использованием кусочно-линейных элементов, доказана сходимость ввесовой норме приближенного решения к точному с оценкой не хуже, чем в слу-чае эллиптического уравнения без вырождения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Урев М. В. Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачимагнитостатики // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9, 1. C. 63–79.

2. Gopalakrishnan J., Pasciak J. E. The convergence of V-cycle multigrid algorithms foraxisymmetric Laplace and Maxwell equations // Math. Comput. 2006. V. 75, N 256.P. 1697–1719.

3. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные про-странства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихсяэллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1988. 8. C. 4–30.

273

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ГУРСАДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ

ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ

ON AN ANALOGUE OF THE GOURSATPROBLEM FOR THE GENERALIZED

EULER–POISSON–DARBOUX EQUATION

Уринов А. К.1, Исмоилов А. И.2

Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан;1urinovak@mail.ru, 2baron_2408@mail.ru

В четырехугольнике ∆ = (ξ, η) : 0 < ξ < 1, 0 < η < 1 плоскости ξOηрассмотрим обобщенное уравнение Эйлера – Пуассона – Дарбу в виде

uξη +α

η + ξ(uξ + uη) +

β

η − ξ(uξ − uη) + γu = 0, (1)

где α, β и γ — заданные действительные числа.В работе [1] изучена задача Гурса об определении регулярного в области

∆\(ξ, η) : 0 < ξ = η < 1 решения u(ξ, η) ∈ C(∆) уравнения (1) с заданными зна-чениями u(ξ, ξ) на соседних сторонах (ξ = 0, η = 1) четырехугольника ∆. В дан-ном докладе речь будет идти об одном аналоге задачи Гурса для уравнения (1)с краевыми условиями на противоположных сторонах четырехугольника ∆.

Задача Γ. Найти регулярное в области ∆\(ξ, η) : 0 < η = ξ < 1 решениеu (ξ, η) ∈ C

(∆)

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

u (0, η) = φ0 (η) , u (1, η) = φ1 (η) , 0 ≤ η ≤ 1,

и условию склеивания на отрезке (ξ, η) : 0 < ξ = η < 1:

limη→ξ+0

(η − ξ)2β (uξ − uη) = limη→ξ−0

(ξ − η)2β

(uξ − uη) , 0 < ξ < 1,

где φ0(η) и φ1(η) — заданные непрерывные функции из C[0, 1].Замечание. Эта задача при α = β = γ = 0 имеет решение тогда и только

тогда, когда выполнено условие φ0(η) = φ1(η)+C, где C — некоторое число из R.При этом, если φ0(η) ∈ C[0, 1]∩C1(0, 1), то задача имеет бесчисленное множестворешений вида u(ξ, η) = f(ξ) + φ0(η), (ξ, η) ∈ ∆, где f(ξ) ∈ C[0, 1] ∩ C1(0, 1) —произвольная функция, удовлетворяющая условиям f (0) = 0, f (1) = C.

Исследование показало, что справедлива следующаяТеорема. Пусть 0 < α ≤ β < 1/2, γ = 0; φ0(x) = xkφ0(x), k > 0, φ0(x) ∈

C4[0, 1]; φ1(x) = xlφ1(x), l > 1, φ1(x) ∈ C4 [0, 1];∫ 1

0

[φ1(z)(1 + z)α(1− z)β

]′zz−α−β(1 + z)α(1− z)βdz = 0.

Тогда решение задачи Γ существует и оно единственно.Единственность решения задачи Γ доказывается методом интегралов энергии,

а существование решения — эквивалентным сведением задачи Γ к сингулярномуинтегральному уравнению [2].

ЛИТЕРАТУРА1. Уринов А. К., Исмоилов А. И. Задача Гурса для обобщенного уравнения Эйлера –

Пуассона – Дарбу // Материалы республиканской науч. конф. “Актуальные пробле-мы математического анализа”. Ургенч, 2012. С. 89–92.

2. Салахитдинов М. С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа снегладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 9, 1. С. 110–119.

274

Секция “Дифференциальные уравнения”

ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ВЫРОЖДЕНИЕМ В БАНАХОВЫХПРОСТРАНСТВАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

THEORY OF GENERALIZED SOLUTIONSOF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

WITH DEGENERATION IN BANACH SPACESAND THEIR APPLICATIONS

Фалалеев М. В.

Иркутский государственный университет, Иркутск, Россия;mihail@ic.isu.ru

В докладе представлен обзор результатов по исследованию в классах распре-делений вырожденных интегродифференциальных уравнений вида

Bu(N)(t) = Au(t) +

t∫0

k(t− s)u(s)ds+ f(t), t ≥ 0,

в банаховых пространствах с необратимым оператором B. Класс обобщенныхфункций с ограниченным слева носителем K ′

+ является естественным для за-дач такого типа, а наиболее эффективным инструментарием для восстановлениярешений в нем — теория фундаментальных оператор-функций вырожденныхинтегродифференциальных операторов. На этом пути удается получать явныеформулы для обобщенных решений, определять структуру решения, исследо-вать связь между обобщенными и гладкими (классическими) решениями, т. е.проводить исследования в полном объеме. При различных типах сингулярностиоператора B и свойствах операторных пучков уравнения получены формулы дляфундаментальных решений соответствующих интегродифференциальных опера-торов. В докладе отражены как опубликованные результаты [1–5], так и но-вые. Рассмотрены приложения полученных теорем к неклассическим начально-краевым задачам математической физики, теории вязкоупругости и др.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы “Научные инаучно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (госконтракт 14.В37.21.0365).

ЛИТЕРАТУРА1. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального

вида в банаховых пространствах и их приложения // Неклассические уравненияматематической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2012. С. 235–244.

2. Фалалеев М. В., Орлов С. С. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения // Тр.ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, 4. С. 286–297.

3. Фалалеев М. В., Орлов С. С. Вырожденные интегро-дифференциальные операторыв банаховых пространствах и их приложения // Изв. вузов. Матем. 2011. 10.С. 68–79.

4. Sidorov N. A., Falaleev M. V. Continuous and generalized solutions of singular integro-differential equations in Banach spaces // Вестн. ЮУрГУ. 2012. 5 (264). Сер. Матем.модел. програм. Вып. 11. С. 62–74.

5. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым операто-ром при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Изв.ИГУ. Сер. Математика. 2012. Т. 5, 2. С. 90–102.

275

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНЫХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙSOME PECULIARITIES OF MATHEMATICAL

MODELING OF THE SUPER-HIGH-FREQUENCYELECTROMAGNETIC FIELDS

Федорук М. П.1, Шурина Э. П.2, Михайлова Е.И.2

1Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;2Новосибирский государственный технический университет,

Новосибирск, Россия; shurina@online.sinor.ru

В настоящее время особый интерес представляют методы моделирования вы-сокочастотных электромагнитных полей в гетерогенных средах, в средах с ма-лыми и разномасштабными включениями сложной геометрии. В связи с этим впоследние десятилетия активно изучается возможность применения к решениютаких задач многомасштабных методов, в частности, разрывного метода Галер-кина (DG-методы) [1].

В данной работе рассматриваются особенности математического моделирова-ния квазистационарного высокочастотного электромагнитного поля, поведениекоторого описывается уравнением Гельмгольца.

В разрывном методе Галеркина для решения уравнения Гельмгольца вводят-ся специальные функциональные пространства [2], позволяющие строить “сверх-слабые” вариационные формулировки, для которых законы сохранения выпол-няются локально, т. е. на каждом конечном элементе. Эта особенность позволяетестественным образом комбинировать в сетке разномасштабные несогласованныеэлементы, конечные элементы различной геометрии, базисные функции разныхпорядков. Однако локальная консервативность требует построения специальныхоператоров следа на границах конечных элементов.

В работе выполнен анализ различных вариационных формулировок DG-мето-да для задач электромагнетизма, дискретный аналог которых конструируется натетраэдральном, адаптивном разбиении области моделирования на векторныхбазисных функциях Nedelec’а первого и второго полного порядков [3].

Векторные базисные функции (edge-элементы) полного порядка обеспечива-ют выполнение условия непрерывности тангенциальных компонент электриче-ского поля как на границах между конечными элементами, так и на межфрагмен-тарных границах в области моделирования, и “скачок” нормальных компонентполя, ассоциированный с выполнением закона сохранения заряда. Для выпол-нения этих условий в DG-методе для корректного ассемблирования глобальнойматрицы конечноэлементной системы линейных алгебраических уравнений необ-ходимо вводить специальные операторы следа и лифтинг-операторы, что приво-дит к различным вариационным формулировкам.

ЛИТЕРАТУРА1. Cockburn B. et al. The development of discontinuous Galerkin methods. Minneapo-

lis, Mn, 2000. 220 p. (UMSI research report / University of Minnesota, Supercomputerinstitute; V. 99).

2. Houston P., Perugia I., Schotzau D. Mixed discontinuous Galerkin approximation of theMaxwell operator // SIAM J. Numer. Anal. 2004. V. 42, N 1. P. 434–459.

3. Webb J. P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular andtetrahedral finite elements // IEEE Trans. Antennas Propag. 1999. V. 47, N 8.P. 1244–1253.

276

Секция “Дифференциальные уравнения”

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧАДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ

СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

A PERIODIC NONLOCAL PROBLEMFOR A CLASS OF SOBOLEV TYPE EQUATIONS

Фёдоров В. Е.1, Фёдорова Ю.Ю.2

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия;1kar@scu.ru, 2yulia_f74@mail.ru

Пусть U и V — банаховы пространства, оператор L : U→ V линеен и непреры-вен (для краткости обозначим L ∈ L(U;V)), kerL = 0, а оператор M : D(M)→V линеен, замкнут и плотно определен в U. Рассмотрим нелокальную задачу

∞∫0

u(t)η(t)dt = u0 (1)

для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа

Lu(t) = Mu(t), t ≥ 0. (2)

Ранее эта нелокальная задача была исследована в работах И.В. Тихонова [1, 2]для эволюционного уравнения, разрешенного относительно производной.

Обозначим χ(z) =

∞∫0

eztη(t)dt, ρL(M) = µ ∈ C : (µL−M)−1 ∈ L(V;U).

Теорема. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален [3], при этом(i) разрешающая полугруппа U(t) ∈ L(U) : t ≥ 0 уравнения (2) является

экспоненциально убывающей, т. е.

∃K ≥ 1 ∃β > 0 ∀ t ≥ 0 ∥U(t)∥L(U) ≤ Ke−βt ;

(ii) η ∈ C1 [0,∞), η(0) = 0, η(t+ T ) = η(t) для всех t ≥ 0;(iii) ни один нуль функции χ(z) не принадлежит множеству C \ ρL(M).

Тогда справедливы следующие утверждения.(i) Для любого u0 ∈ D(M1) существует единственное обобщенное решение

u = u(t) задачи (1), (2). При этом оно удовлетворяет оценке устойчивости

∥u(t)∥U ≤ Ke−βtC ∥Mu0∥V ∀ t ≥ 0.

Здесь K ≥ 1 и β > 0 такие же, как в условии (i) теоремы, а константа C > 0 независит от u0 и t.

(ii) Обобщенное решение задачи (1), (2) является классическим тогда и толь-ко тогда, когда u0 ∈ D((L−1

1 M1)2).(iii) Если u0 ∈ U \ D(M1), то не существует обобщенного решения зада-

чи (1), (2).

ЛИТЕРАТУРА1. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для

дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравне-ния. 1998. Т. 34, 6. C. 841–843.

2. Тихонов И. В. Нелокальная задача с “периодическим” интегральным условием длядифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преоб-разования и специальные функции. 2004. Т. 4, 1. C. 49–69.

3. Фёдоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Ал-гебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173–200.

277

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ИМПУЛЬСНО-СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

IMPULSE SLIDING MODESOF DIFFERENTIAL INCLUSIONS

Финогенко И. А.1, Пономарев Д.В.2

1Институт динамики систем и теории управления СО РАН,Иркутск, Россия; fin@icc.ru

2Иркутский государственный университет, Иркутск, Россия;zmeigo.sc@gmail.com

Исследуется управляемый объект, представленный в виде:

x ∈ F (t, x) + u, (1)

где x = (x1, . . . , xn), u — управляющее воздействие, задаваемое некоторым аб-страктным оператором u ← p(t, x)δt, сопоставляющим каждому текущему мо-менту времени t и состоянию объекта x импульс p(t, x)δt, вектор-функция p(t, x) —интенсивность импульса, δt — дельта-функция Дирака, сосредоточенная в мо-мент времени t. Выражение p(t, x)δt (“бегущий импульс”), как обобщенная функ-ция, смысла не имеет и означает лишь тот факт, что в системе (1) функционируетимпульсное позиционное управление, подразумевающее дискретную реализацию“бегущего импульса” в виде последовательности корректирующих импульсов, со-средоточенных в точках h: t0 < t1 < . . . < tN = θ разбиения отрезка I. Результа-том такой последовательной коррекции является разрывная кривая xh(·), назы-ваемая ломаной Эйлера, по определению совпадающая на промежутках (tk, tk+1]с решением задачи Коши

x ∈ F (t, x), x(tk) = xh(tk) + p(tk, x

h(tk)).

Мы рассматриваем случай, когда в результате действия корректирующего им-пульса в момент времени tk предельная справа точка (tk, x(tk + 0)) интегральнойкривой, соответствующей ломаной Эйлера, оказывается на некотором многооб-разии S = (t, x) ∈ Rn+1 : σj(t, x) = 0, j = 1,m. Тогда сеть ломаных Эйлераназывается импульсно-скользящим режимом, а траектории r(·), предельные дляравномерно сходящихся на промежутке (t0, θ] последовательностей ломаных Эй-лера, — идеальными (предельными) импульсно-скользящим режимами. Мы до-казываем, что начиная с момента t0 + 0 выполняется (t, r(t)) ∈ S, t ∈ (t0, θ] иметодом эквивалентного управления получаем условия, при которых любой иде-альный импульсно-скользящий режим r(·) является решением (обычным сколь-зящим режимом) дифференциального включения вида

x ∈ F (t, x) +B(t, x)u(t, x),

где B(t, x) — n × m матрица, u(t, x) = (u1(t, x), . . . , um(t, x)) — разрывное намножестве S позиционное управление релейного типа. Полученные результатыприменяются для исследования режимов декомпозиции механических систем ссухим трением, представленных в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований Пре-зидиума РАН 17, Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект 80) иФЦП Минобрнауки РФ (проект 2012-1.2.1-12-000-1001-011).

278

Секция “Дифференциальные уравнения”

О РЕЗОНАНСЕВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

ABOUT RESONANCE IN A ROTATING IDEAL FLUID

Фокин М. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;fokin@math.nsc.ru

В докладе рассматривается задача о возбуждении гармонических колебаний видеальной вращающейся жидкости, исходным состоянием которой является твер-дотельное вращение. В качестве математической модели этого процесса исследу-ются решения линеаризованных уравнений Эйлера (система уравнений Пуанка-ре – Соболева) с дополнительно введенной внешней силой, меняющейся по гар-моническому закону с частотой ω. Рассматриваются движения жидкости в беско-нечном цилиндре с образующей, перпендикулярной оси вращения, удовлетворя-ющие условию непротекания на границе и инвариантные относительно сдвиговвдоль образующей. Известно, что в этом случае энергетический спектр решенийсущественно зависит от выбора начальных данных и геометрических свойствобласти, лежащей в сечении цилиндра, спектр решения может оказаться точеч-ным, абсолютно непрерывным и сингулярно непрерывным. Появление участковнепрерывного спектра связано с существованием однопараметрических семействобобщенных (разрывных) решений линеаризованных уравнений Эйлера, которыемогут быть истолкованы с физической точки зрения как колебания жидкости снекоторой заданной частотой, сосредоточенные в тонких слоях, отражающихсяот стенок сосуда. В докладе описывается конструкция указанных обобщенныхрешений и построение на их основе точных гладких решений, описывающих ре-зонанс в жидкости. Показано, что в случае, когда ω принадлежит точечномуспектру задачи, наблюдается объемный резонанс, т. е. неограниченный рост ком-понент поля скоростей на множестве положительной меры. Если ω принадлежитинтервалу абсолютно непрерывного спектра, то резонансный рост поля скоростейпроисходит только в точках некоторого конечного множества плоскостей, парал-лельных образующей цилиндра. Именно эти плоскости являются поверхностямиразрыва обобщенных решений, соответствующих данному ω. При описании дви-жения жидкости основную роль играет гамильтонова подсистема, состоящая издвух компонент поля скоростей. С ее помощью определяются вихревые структу-ры, связанные с точками локальных экстремумов по пространственным перемен-ным гамильтониана, и описывается их эволюция. Для различных случаев резо-нансного возбуждения колебаний жидкости в докладе дается описание поведениявихревых структур, в частности, эффектов их прохождения через резонансныеплоскости на непрерывном спектре. При этом цилиндр разбивается на некоторыеподобласти, в части которых возникают вихревые пульсации: в течение перио-да воздействия вынуждающей силы есть промежутки времени, когда множествовихревых структур становится пустым, но в остальное время они присутствуюти их общее число увеличивается с ростом времени t. В оставшейся части подоб-ластей пульсации отсутствуют: подвижные вихревые структуры существуют длявсех моментов времени, общее их число неограниченно возрастает.

Отметим, что в ряде экспериментальных работ изучалось возбуждение гар-монических колебаний во вращающемся цилиндре с жидкостью малой вязкости.Обнаруженные эффекты были охарактеризованы как “появление тонких интен-сивно колеблющихся слоев, отражающихся от стенок сосуда”. Такое описаниеблизко к полученному в докладе для случая непрерывного спектра задачи.

279

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМНАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДАС ДАННЫМИ КОШИ

ON EXISTENCE OF SOLUTIONS TO SYSTEMSOF LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS

OF A SPECIAL FORM WITH CAUCHY DATA

Фроленков И. В.1, Романенко Г.В.2

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;1igor@frolenkov.ru, 2galina.romanencko@yandex.ru

В работе исследовано существование решений задач Коши для системы двухуравнений параболического типа и системы составного типа специального вида.

В пространстве E1 переменных x выберем r различных точек αk, k = 1, r, иs различных точек βm, m = 1, s.

Рассмотрим в полосе G[0,T ] = (t, x) | 0 ≤ t ≤ T, x ∈ E1 систему нагружен-ных неклассических параболических уравнений

ut = a1(t, φu(t), φv(t))uxx + b1(t, φu(t), φv(t))ux + f1(t, x, u, v, φu(t), φv(t)),vt = a2(t, φu(t), φv(t))vxx + b2(t, φu(t), φv(t))vx + f2(t, x, u, v, φu(t), φv(t)),

(1)

и систему составного типа

ut = a1(t, φu(t), φv(t))uxx + b1(t, φu(t), φv(t))ux + f1(t, x, u, v, φu(t), φv(t)),vt = b2(t, φu(t), φv(t))vx + f2(t, x, u, v, φu(t), φv(t)),

(2)

с начальным условием

u(0, x) = u0(x), v(0, x) = v0(x), x ∈ E1. (3)

Через φu(t) =(u(t, αk), ∂

j

∂xj u(t, αk)), φv(t) =

(v(t, βm), ∂

j

∂xj v(t, βm)), k = 1, r,

m = 1, s, j = 0, p, обозначены вектор-функции, компоненты которых являютсяследами (зависящими только от переменной t) функций u(t, x) и v(t, x), а так-же соответственно всех их производных по пространственной переменной x допорядка p включительно.

В работе получены достаточные условия существования решения в классегладких ограниченных функций задачи (1), (3), а также задачи (2), (3).

Системы подобного вида возникают при исследовании коэффициентных об-ратных задач для систем параболических уравнений [1] или систем составноготипа [2].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-31033).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бендер О. А. Разрешимость задачи идентификации функции источника в нелиней-ной системе параболического типа // Материалы VII Молодеж. науч. школы-конф.“Лобачевские чтения – 2009”. Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2009. С. 133.

2. Вячеславова П. Ю., Сорокин Р.В. Задача идентификации коэффициентов при млад-ших членах в системе составного типа // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика.2009. Т. 2, 3. С. 288–297.

280

Секция “Дифференциальные уравнения”

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГОГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

NUMERICAL SOLVINGA HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION

Ханхасаев В. Н., Местникова Н. Н.

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,Улан-Удэ, Россия; hanhvladnick@mail.ru

В работах В. Н. Ханхасаева, посвященных математическому моделированиюпроцесса отключения электрической дуги в спутном потоке газа, численно и ана-литически решались различные краевые задачи для гиперболического уравнениятеплопроводности, получаемого обобщением гипотезы Фурье. Развивая эти ис-следования, модифицируем математическую модель, заменяя гиперболическоеуравнение теплопроводности гиперболо-параболическим уравнением в частныхпроизводных 2-го порядка

Lu = k(x, t)utt + a(x, t)ut −2∑i=1

uxixi + c(x)u = f(x, t) (1)

в цилиндрической области G = Ω × [T1, T2], Ω = [0,m] × [0, n], T1 < 0, T2 > 0,m > 0, n > 0; Γ = γ × [T1, T2], γ = ∂Ω. При этом k(x, t) = 0, t ≤ 0; k(x, t) > 0,t > 0; a(x, t) > 0, ∀ (x, t) ∈ G, т. е. при t ≤ 0 уравнение (1) параболическое, а приt > 0 — гиперболическое.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области G такое, что

u|Γ = 0, u|t=T1 = 0. (2)

Для двумерной пространственной задачи как явная, так и неявная обычныеразностные схемы приводят к одинаковому объему вычислений, пропорциональ-ному N4 операций. Вычисление решения приведенной разностной схемы осу-ществляется в два этапа. На первом — вычисление значений uij на полуцеломслое tk+ 1

2ведется прогонкой в направлении оси 0x1. Второй этап — прогонка

на слое tk+1 по оси 0x2. Эту схему называют продольно-поперечной или схемойпеременных направлений.

Всего на одном слое осуществляется 2N прогонок, т. е. число арифметическихопераций на одном слое пропорционально N2. В используемой неявной схемеможем положить τ = h и тогда для расчета до момента T по времени надосделатьN шагов. Таким образом, трудоемкость решения всей задачи оцениваетсячислом, имеющим порядок N3, что более чем на порядок лучше по сравнению свышеописанными схемами.

При некоторых условиях на коэффициенты уравнения реализована разност-ная схема численного решения вначале параболического уравнения, а затем ги-перболического, и доказана следующая теорема.

Теорема. Разностное решение краевой задачи (1), (2) устойчиво, и интер-поляции uτh(x, t) решений этой разностной задачи сходятся слабо в W 1

2 (G) приh→ 0, τ → 0 к решению u(x, t) краевой задачи (1), (2) из пространства W 2

2 (G).Работа выполнена в рамках проекта “Государственное задание высшим учебным

заведениям (2012–2014 гг.) для проведения НИР” (проект 1.926.2011).

281

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА

ON A NONLOCAL PROBLEMFOR THE LOADED ALLER EQUATION

Холиков Д. К.

Архитектурно строительный институт, Ташкент, Узбекистан;xoliqov23@mail.ru

Рассмотрим нагруженное уравнение в частных производных третьего порядка

uxxt + a(x, t)uxx =∂

∂t

β∫α

u(x, t)dx, (1)

здесь a(x, t) — заданная функция, а α, β — заданные постоянные, причем0 ≤ α < β ≤ l.

В области D = (x, t) : 0 < x < l, 0 < t < h рассмотрим вопрос о разреши-мости одной нелокальной задачи с условиями типа Стеклова для уравнения (1)в следующей постановке: найти в области D решение уравнения (1) из классаC1(D) ∩ C2(D), удовлетворяющее начальному условию

u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l, (2)

и следующим граничным условиям

ux(0, t) = α1u(0, t) + α2u(l, t), 0 ≤ t ≤ T, (3)

ux(l, t) = β1u(0, t) + β2u(l, t), 0 ≤ t ≤ T, (4)

где φ(x)— заданная функция, αi, βi (i = 1, 2) — заданные постоянные, причемβ1 = 0.

Уравнения типа (1) возникают в теории фильтрации жидкостей в пористыхсредах, в теории влагопереноса в почве, в теории теплопроводности в различныхсредах и исследовались, например, в работах [1, 2].

Отметим, что нелокальные условия (3) и (4) относятся к типу нелокальныхусловий Стеклова первого класса [1].

В работе рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения нело-кальной задачи для нагруженного уравнения Аллера. С помощью метода Риманадоказаны теоремы об однозначной разрешимости поставленной задачи (1)–(4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Керефов А. А., Плотникова Е. В. Нелокальные задачи для одного уравнения третье-го порядка // Владикавказский мат. журн. 2005. Т. 7, 1. С. 51–60.

2. Кожанов А. И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевыхзадач для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. ун-та. Сер. есте-ственнонаучная. 2008. 3 (62). С. 165–174.

282

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ПОЛУЦИЛИНДРАХС ОСНОВАНИЕМ В ВИДЕ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛЕНКИ

SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMSIN SEMI-CYLINDERS WITH THE BASE

IN THE FORM OF A DOUBLE-LAYER FILM

Холодовский С. Е.

Забайкальский государственный университет, Чита, Россия; hol47@yandex.ru

В полуцилиндре D = (x < 0)× (y ∈ Q ⊆ Rm) для функции u(x, y) рассматри-вается класс краевых задач с обобщенным граничным условием

∂2xu+ L[u] = 0, M [u]∣∣(x,y)∈S = 0, AB∂2xu+Bk∂xu+ u

∣∣x=0

= φ(y), (1)

где ∂nx = ∂n/∂xn, S = ∂Q × (x < 0), φ(y) ∈ C(S), постоянные A,B, k > 0; L иM — произвольные линейные дифференциальные операторы по переменным yi(y = (y1, . . . , ym)) такие, что соответствующая классическая задача в D вида

∂2xf + L[f ] = 0, M [f ]∣∣(x,y)∈S = 0, f

∣∣x=0

= φ(y) (2)

корректна. Граничное условие при x = 0 (1) соответствует условию на двухслой-ной пленке, состоящей из сильно проницаемой трещины x = −0 и слабопрони-цаемой завесы x = +0 [1]. Для волнового уравнения это условие соответствуетналичию точечной массы на конце x = 0 полуограниченной струны x < 0 приупругом контакте (с подвижной пружинкой). Граничное условие типа (1) безпружинки рассмотрено в [2, с. 147]. Методом свертывания разложений Фурье[1, 3, 4] решение задачи (1) выражено через решение f(x, y) задачи (2) в виде

u(x, y) =1√T

∞∫0

f(x− z, y)(e−γ1z − e−γ2z

)dz, γi =

Bk + (−1)i√T

2AB,

и

u(x, y) =1

AB

∞∫0

f(x− z, y)e−γzzdz, γ =k

2A

соответственно при T = B(Bk2 − 4A) = 0 и T = 0.Полученный результат имеет интерес при расчетах процессов тепломассопе-

реноса в композитных материалах, в материалах с пленочными включениями инаноразмерными пленочными покрытиями, при расчетах колебаний нагружен-ных балок, пролетов мостов и т. д.

Работа выполнена в рамках государственного задания вузу Минобрнауки РФ (кодпроекта 1.3985.2011).

ЛИТЕРАТУРА1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых за-

дач с пересекающимися линиями сопряжения // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 2007. Т. 47, 9. С. 1550–1556.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,1972.

3. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенныхусловий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах //Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, 6. С. 855–859.

4. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (за-весы) в неоднородном пространстве // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, 8.С. 1204–1208.

283

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НЕКОТОРЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МОМЕНТОВСТИЛЬТЬЕСА И МОМЕНТОВ ХАУСДОРФА,

ПОРОЖДАЮЩИЕ НОВЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕФУНКЦИИ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ

ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

SOME STIELTJES AND HAUSDORFMOMENT SEQUENCES PRODUCING

NEW GENERATING FUNCTIONSFOR THE GENERALIZED BESSEL FUNCTIONS

Хриптун М. Д.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;Khriptun@math.nsc.ru

Решения многих задач математической физики и техники выражены с помо-щью классических специальных функций (функций Лежандра, функций Бессе-ля, гипергеометрических функций и др.). Найдены уже многие обобщения этихфункций и применяются они в более сложных задачах: в статистических рас-пределениях, в физических исследованиях, в инженерных вычислениях (теориисигналов), в теории массового обслуживания и др. (см., например, [1, 2]).

Понятие производящей функции G(z, t) для последовательности функцийφn(z) (т. е. G(z, t) =

∑n αnφn(z)tn, где αn — числа) является одним из основ-

ных, т. к. из таких функций можно получить другие свойства и формулы дляфункций φn(z).

В докладе рассмотрим обобщенные функции Бесселя (ОФБ) вида

U (m)ν (z) = Uν(z,m) =

∞∑k=0

(z/m)ν+mk

k!Γ[(m− k)k + ν + 1], (1)

где ν = νm = −(m− 1)p, Γ(t) — гамма-функция Эйлера, p — комплексный пара-метр и z — комплексная переменная (при m = 2 функция (1) является модифи-цированной функцией Бесселя Iν(z) = Uν(z, 2)) (см. [3, с. 287, формула (3)]).

Эти ОФБ при m > 2 находят приложения в операционном исчислении, втеории чисел, в сложных задачах математической физики и др. При целом ин-дексе ν применяются при решении одноканального уравнения теории массовогообслуживания.

Для функций (1) построим некоторые новые производящие функции типаGγ(z, t) =

∑∞n=0 γnU

(m)n (z)tn, используя уже известные для них производящие

функции типа G(z, t) =∑∞n=0 U

(m)n (z)tn, где γnn≥0 есть последовательности

действительных чисел, не зависящие от z, t, которые являются некоторыми ин-тегральными преобразованиями определенного вида.

ЛИТЕРАТУРА1. Mathai A. M., Saxena R. K. Generalized hypergeometric functions with applications in

statistics and physical sciences. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1973.2. Srivastava H. M., Kashyap B. R. K. Special functions in queueing theory and related

stochastic processes. New York: Acad. Press, 1982.3. Хриптун М. Д. Теоремы умножения для решений обобщенного дифференциально-

го уравнения Бесселя m-го порядка // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, 2.С. 287–293.

284

Секция “Дифференциальные уравнения”

МОДЕЛИ ШЕСТАКОВА – СВИРИДЮКАС РЕЗОНАНСОМ

SHESTAKOV–SVIRIDYUK’S MODELSWITH RESONANCE

Худяков Ю. В.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;hydyakov74@gmail.com

Рассмотрим модель Шестакова – Свиридюка с учетом резонанса.Пусть ℵ = x ∈ L2((0, τ),Rn) : x ∈ L2((0, τ),Rn) — пространство состояний

и U = u ∈ L2((0, τ),Rn) : u(p+1) ∈ L2((0, τ),Rn) — пространство измеренийпри некотором фиксированном τ ∈ R+. Выделим в U замкнутое и выпуклое под-множество U∂ — множество допустимых измерений. Требуется найти опти-мальное измерение v ∈ U∂ , почти всюду на (0, τ) удовлетворяющее уравнениюлеонтьевского типа

Lx = Mx+Du (1)

при начальных условиях Шоуолтера – Сидорова[(µL−M)−1L

]p+1x(0) = 0,

минимизирующее значение функционала

J(v) = minu∈U∂

1∑q=0

τ∫0

∥∥∥My(q)(t)− y(q)0 (t)∥∥∥2 dt+

θ∑q=0

τ∫0

⟨Fqu

(q)(t), u(q)(t)⟩dt

.

В технических приложениях уравнение (1) — математическая модель измери-тельного устройства (ИУ), предполагающего k измеряемых параметров uj и mнаблюдаемых параметров xj , j = n − m + 1, . . . , n, (x1, x2, . . . , xn−m, 0, . . . , 0) и(0, . . . , 0, xn−m+1, . . . , xn) — вектор-функции состояния ИУ и наблюдений, k+m ≤n, причем восстановление динамически искаженного сигнала осуществляется поl < m параметрам, таким образом y может иметь вид (0, . . . , 0, xn−l+1, . . . , xn).Кроме того, y0(t) = (0, . . . , 0, x0,n−l+1, . . . , x0,n) — наблюдение, полученное в хо-де натурного эксперимента; n — число параметров системы; u : [0, T ]→ Rn, Fq ∈L(U) — самосопряженные положительно определенные операторы, θ= 0, . . . , p+1,∥ · ∥ и ⟨·, ·⟩ — евклидовы норма и скалярное произведение в Rn соответственно.Функционал качества состоит из двух слагаемых, его минимизация позволяетнаходить такое оптимальное измерение, при котором 1) достигается наимень-шее расхождение как значения выходного сигнала к выходному сигналу моделидатчика, так и их производных, 2) нивелируется воздействие резонанса. Такимобразом, второе слагаемое играет роль резонансных фильтров [1].

Кроме технических приложений в докладе представлена модель Шестакова –Свиридюка с резонансами, применяемая для решения маркетинговых и эконо-мических задач предприятия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шестаков А. Л., Свиридюк Г. А. Оптимальное измерение динамически искаженныхсигналов // Вестн. ЮУрГУ. 17 (234). Сер. Матем. модел. програм. 2011. Вып. 8.С. 70–75.

285

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛНВ СРЕДЕ С ПАМЯТЬЮ

THE PROBLEM OF WAVE PROPAGATIONIN A MEDIUM WITH MEMORY

Царицанский А.Н.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; TsaritsanskiiAN@gmail.com

Исследуется волновое уравнение для среды с памятью следующего вида

βutt = uxx + αutxx + c

∫ t

0

exp −λ(t− τ)uxx(τ, x)dτ (1)

с постоянными коэффициентами. Введение функции v(t, x) =∫ t0

exp−λ(t − τ)×uxx(τ, x)dτ сводит уравнение (1) к различным системам в случае α = 0 и α = 0.

Теорема 1. Общее решение получаемой системы при α = 0 имеет видu(t, s) =

δη

2ρf−(t, s) +

δη

2ρf+(t, s),

v(t, s) =− δ

2ηf−(t, s)− δ

2ηf+(t, s)+

ρ+ δ

ηf0(t, s)− δ

2ρf−s(t, s)+

δ

2ρf+s(t, s), где

f−t(t, s) + f−s(t, s) =δ

2ηf−(t, s) +

δ

2ηf+(t, s)− ρ+ δ

ηf0(t, s),

f+t(t, s)− f+s(t, s) =δ

2ηf−(t, s) +

δ

2ηf+(t, s)− ρ+ δ

ηf0(t, s),

f0t(t, s) =δ

2ηf−(t, s) +

δ

2ηf+(t, s)− ρ+ δ

ηf0(t, s).

(2)

Теорема 2. Общее решение получаемой системы при α = 0 имеет видu(t, s) = γf4(t, s),

v(t, s) = f1(t, s)− f4(t, s), где

f1t(t, s) =η

γf1(t, s)− 1

γf2(t, s)− η

γf4(t, s),

f2t(t, s) = δf1(t, s)− δf4(t, s),

f3s(t, s) + f4t(t, s) =ργ + η2

ηγf1(t, s) +

1

γf2(t, s)− ργ + η2

ηγf4(t, s),

f4s(t, s) =η

γf3(t, s).

(3)

Нетрудно видеть, что система (3), в отличие от системы (2), помимо волнсодержит также и “параболическую” составляющую: дифференциальная частьтретьего и четвёртого уравнений эквивалентна уравнению теплопроводности, такчто “метод распространяющихся волн” дал нам на самом деле результат, явновыходящий за пределы теории чисто гиперболических уравнений и систем.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-01-00155).

ЛИТЕРАТУРА1. Боровских А. В. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной

среды // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Вып. 24. С. 3–43.2. Боровских А. В., Царицанский А. Н. Формула распространяющихся волн для среды

с памятью // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, 6. С. 901–902.

286

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ДАННЫМИДЛЯ СИСТЕМ НАВЬЕ – СТОКСА

NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR THE NAVIER–STOKES SYSTEMS

Чеботарев А. Ю.

Институт прикладной математики ДВО РАН,Дальневосточный федеральный университет, Владивосток, Россия;

cheb@iam.dvo.ru, kmf@imcs.dvgu.ru

Абстрактные постановки рассматриваемых задач с нелокальными даннымидля уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости имеют следующий вид.Пусть V — вещественное гильбертово пространство; A : V → V ′ — линейныйнепрерывный оператор, B : V × V → V ′ — билинейный непрерывный оператортакой, что (B(y, z), z) = 0; B[y] = B(y, y); Q1, . . . , Qm — линейно-независимыеэлементы сопряженного пространства V ′.

Эволюционная задача. Найти αj ∈ L1(0, T ), y ∈ L2(0, T ;V ) такие, чтоy′ = dy/dt ∈ L1(0, T ;V ′), (Qj , y(t)) = qj(t), 1 ≤ j ≤ m,

y′ +Ay +B[y] = f(t) +m∑1

αk(t)Qk, t ∈ (0, T ), y(0) = y0.

Здесь y0 ∈ V и функции f ∈ L2(0, T ;V ′), qj ∈ L4(0, T ) являются заданными.Стационарная задача. Найти α = (α1, . . . , αm) ∈ Rm, y ∈ V такие, что

Ay +B[y] = fd +m∑1

αkQk, (Qj , y) = qj , j = 1, . . . ,m.

Вектор q = (q1, . . . , qm) ∈ Rm и функционал fd ∈ V ′ заданы.Результат о нелокальной разрешимости эволюционной задачи устанавливает-

ся достаточно просто и позволяет доказывать существование решений обратныхзадач для различных моделей гидродинамики. В качестве примера рассмотре-на задача для уравнений Буссинеска с неизвестными значениями тепловых по-токов через заданные участки границы. Для трехмерных уравнений тепловойконвекции с неизвестной плотностью источников тепла доказана нелокальная повремени однозначная разрешимость в случае, если начальные данные близки ксоответствующим стационарным полям.

Для стационарной задачи получены априорные оценки, гарантирующие ееразрешимость и показывающие, что множество решений гомеоморфно конечно-мерному компакту. В качестве приложений рассмотрены стационарные задачи снелокальными данными для уравнений магнитной гидродинамики и граничныеобратные задачи тепловой конвекции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чеботарев А. Ю. Определение правой части системы Навье – Стокса и обратныезадачи для уравнений тепловой конвекции // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 2011. Т. 51, 12. С. 2279–2287.

2. Чеботарев А. Ю. Обратная задача для систем Навье – Стокса с конечномернымпереопределением // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, 8. С. 1166–1173.

287

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЛИННОВОЛНОВЫХВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМЭФФЕКТОВ ДИСПЕРСИИ И ДИССИПАЦИИ

PROPAGATION OF LONG-WAVE PERTURBATIONSIN A FLUID WITH ACCOUNTING FOR THE EFFECTS

OF DISPERSION AND DISSIPATION

Чесноков А.А.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; chesnokov@hydro.nsc.ru

Рассматриваются математические модели распространения длинноволновыхвозмущений в пространственно-неоднородном движении жидкости. Основное вни-мание уделено анализу влияния вязкости и дисперсии на волновые процессы вжидкости и устойчивость течений.

На основе предложенного в [1] подхода изучены качественные свойства реше-ний нелинейных интегродифференциальных уравнений, описывающих распро-странение волновых возмущений в тонком слое вязкой жидкости, стекающейпо наклонной плоскости в поле силы тяжести. Показано, что уравнения дви-жения жидкости допускают решения со слабыми разрывами, сосредоточеннымина характеристиках. При этом в процессе эволюции течения амплитуда слабо-го разрыва может обращаться в бесконечность, что соответствует нелинейномуопрокидыванию волны и образованию сильного разрыва. Предложена системадифференциальных балансовых соотношений, аппроксимирующая исходную ин-тегродифференциальную модель. Выполнено численное моделирование распро-странения волн в жидкости на основе предложенных “многослойных” уравненийи осредненной бездисперсионной модели Шкадова. Если в процессе эволюции те-чения сильный разрыв не возникает, то результаты расчета по указанным моде-лям близки. В случае формирования сильного разрыва необходимо использоватьболее точные “многослойные” уравнения.

Модель распространения длинных волн в горизонтально-сдвиговом движе-нии идеальной жидкости выведена в [2], где изучены характеристические свой-ства системы и сформулированы условия устойчивости течений в терминах ги-перболичности уравнений движения. В [3] предложена более сложная модельпространственно-неоднородного движения жидкости, учитывающая эффект дис-персии волн. В данной работе рассмотрен класс стационарных сдвиговых теченийжидкости и выполнен линейный анализ устойчивости в рамках обеих моделей.Установлено, что учет дисперсии волн при моделировании сдвигового движе-ния тонкого слоя жидкости оказывает стабилизирующий эффект и препятствуетразвитию неустойчивости Кельвина – Гельмгольца в области резкого измененияскорости потока.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00249).

ЛИТЕРАТУРА1. Липатов И. И., Тешуков В. М. Нелинейные возмущения и слабые разрывы в сверх-

звуковом пограничном слое // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. 1.С. 110–125.

2. Чесноков А. А., Ляпидевский В. Ю. Волновые движения жидкости в узком откры-том канале // Прикл. механика и техн. физика. 2009. Т. 50, 2. С. 61–71.

3. Teshukov V. M., Gavrilyuk S. L. Three-dimensional nonlinear dispersive waves on shearflows // Stud. Appl. Math. 2006. V. 116, N 3. P. 241–255.

288

Секция “Дифференциальные уравнения”

ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯСПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СТЕКЛОВА

С МИКРОНЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙDEGENERATING STEKLOV SPECTRAL PROBLEMS

WITH INHOMOGENEOUS MICROSTRUCTURE

Чечкина А. Г.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; chechkina@gmail.com

Результаты работы получены совместно с академиком РАН В.А. Садовничим.Область Ω ⊂ R2 лежит в верхней полуплоскости, её гладкая граница ∂Ω со-

стоит из объединения Γ1 ∪ Γ2, где Γ1 — отрезок[− 1

2 ; 12

]на оси абсцисс, часть

Γ2 в окрестности точек (−12 , 0) и ( 1

2 , 0) совпадает с отрезками прямых x1 = −12

и x1 = 12 соответственно, Γ2 — гладкая. При этом Γ1 = γε ∪ Γε, γε = ∪Nεi=1γ

iε,

Γε = ∪Nεi=1Γiε. Участки γiε и Γiε чередуются, и для любого i выполняются условия:C−ε ≤ |Γiε| ≤ C+ε, C−ε ≤ |γiε| ≤ C+ε, где 0 < C− < C+ < +∞, т. е. |Γiε| и |γiε|имеют одинаковый порядок малости. Здесь и далее ε — положительный малыйпараметр.

Случай, когда |Γiε| существенно меньше |γiε|, рассмотрен в [1]. Результаты на-стоящего доклада частично опубликованы в [2].

Рассматривается следующая спектральная задача для эллиптического урав-нения второго порядка:

L[uε] ≡2∑

i,j=1

∂

∂xj

(aij(x)

∂uε∂xi

)= 0 в Ω,

uε = 0 на Γ2 ∪ Γε,

∂uε∂γ≡

2∑i,j=1

aij(x)∂uε∂xi

νj = λεuε на γε,

(1)

где ν — единичная внешняя нормаль к ∂Ω. Коэффициенты aij(x) — ограниченныеизмеримые функции на Ω, κ1|ξ|2 ≥ aij(x)ξiξj ≥ κ2|ξ|2, где κ1 > 0, κ2 > 0.

Известно, что задача (1) имеет дискретный спектр, и её собственные значенияλkε , k ∈ N, — положительные действительные числа.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Первое собственное значение задачи (1) имеет порядок1

ε, т. е. удо-

влетворяет следующему соотношению:

K1

ε≤ λ1ε ≤

K2

ε,

где K1 и K2 — некоторые положительные константы. Более того, первая соб-ственная функция u1ε → 0 сильно в L2(Ω) и слабо в H1(Ω).

ЛИТЕРАТУРА

1. Чечкина А. Г. О сходимости решений и собственных элементов краевой задачи ти-па Стеклова с быстро меняющимся типом граничных условий // Проблемы мат.анализа. 2009. Вып. 42. С. 129–143.

2. Чечкина А. Г. О сингулярном возмущении задачи типа Стеклова с вырождающимсяспектром // ДАН. 2011. Т. 440, 5. С. 603–606.

289

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИСАМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА

ON A DIFFERENTIAL MODELOF THE SELF-GRAVITATING GAS DYNAMICS

Чуев Н. П.

Уральский государственный университет путей сообщения,Екатеринбург, Россия; n_chuev@mail.ru

Построение математических моделей эволюции гравитирующих газовых телявляется важной и актуальной проблемой астрофизики. В данной работе рас-сматривается трехмерная нестационарная газодинамическая модель движениясамогравитирующего газового облака. Показано, что вместо решения уравненияПуассона для гравитационного потенциала можно использовать эквивалентноеэволюционное дифференциальное уравнение силовой функции, что позволяетсформировать систему газовой динамики как систему типа Коши – Ковалевской.

Течения газа будут определены решением интегродифференциальной систе-мы трехмерных уравнений газовой динамики в форме Л. Эйлера [1–6]:

ut + (u · ∇)u +1

ρ∇p = ∇Φ, (1)

где

Φ(х, t) = G

∫∫∫Ωt

ρ(x′, t)

|x− x′|dх

— ньютоновский потенциал, созданный всей массой газа. В системе (1) уравнениянеразрывности и энергии опущены. Гравитационный потенциал удовлетворяетуравнению Пуассона:

div F = Φ(х, t) = −4πGρ. (2)

В работе доказана теорема об эквивалентности (2) дифференциальному урав-нению

Ft = 4πGρu + rot(u× F)

для достаточно гладких функций, входящих в (1), при условии Φ0 = −4πGρ0для t = 0 и непрерывного примыкания газа к вакууму, т. е. ρ = 0 на подвижнойгранице при t ≥ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ламб Г. Гидродинамика. М.–Л.: ОГИЗ, 1947.2. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971.3. Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982.4. Дерябин С. Л., Чуев Н. П. Сферически-симметричное истечение самогравитирую-

щего газа в вакуум // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 77–84.5. Гюнтер Н. М. Теория потенциала. М.: ОГИЗ, 1953.6. Чуев Н. П. Построение трехмерной эволюционной дифференциальной модели ди-

намики политропного самогравитирующего газа // Вестн. УрГУПС. 2011. 1 (9).С. 14–21.

290

Секция “Дифференциальные уравнения”

ТРИ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА

THREE BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR A NONCLASSICAL EQUATION

Чуешева Н. А.1, Соколова А. Г.2

Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия;1chuesheva@ngs.ru, 2sanechka1112s@mail.ru

Математическая модель малых колебаний идеальной вращающейся жидкостибыла предложена в работе С. Л. Соболева [1]. В данной работе при определен-ных условиях на коэффициенты уравнения доказывается теорема существова-ния и единственности. Если условия на коэффициенты в теореме нарушены, топоставленная задача будет некорректной. В примерах 2, 3 рассмотрены другиеусловия на границе. В замечании приведено точное решение нелинейного урав-нения подобного типа.

В области D = (x, y) ∈ R2; x, y ∈ (0, π) с границей Γ рассмотрим уравнение

uxxyy−uxxx+uyyy+a1uxxy+a2uyyx+a3uyy+a4uxx+a5uy+a6ux+a7u = f(x, y) (1)

с условиями на Γ:

u|x=0,x=π = 0, uxx|x=0 = 0, u|y=0,y=π = 0, uyy|y=0 = 0. (2)

Теорема. Пусть правая часть уравнения (1) f(x, y) ∈ L2(D). Пусть для ко-эффициентов уравнения (1) выполнены условия: 1) a3 < 0, a4 < 0, a1 ≤ 0,a2 ≥ 0; 2) существуют вещественные постоянные δ1 ∈ (0, 1), δ2 ∈ (0, 1) такие,что −δ1 8a3

π3 − δ2 8a4π3 + a7 ≥ δ3 > 0. Тогда решение задачи (1), (2) существует и

единственно в пространстве H3(D).Пример 1. В области D рассмотрим уравнение (1) с f(x, y) = 0, коэффи-

циентами a1 = 1; a2 = −2; a3 = 0, 2; a4 = 0, 3; a5 = 2; a6 = −3; a7 = −0, 5 иусловиями (2) на Γ. Решением этой задачи будет функция u(x, y) = sinx sin y.

Пример 2. В области D = (x, y) ∈ R2; x ∈ (0, x0), y ∈ (0, π)(x0 — решение

уравнения e−x0 +√

2 sin(x0 − π

4

)= 0, x0 ∈ (π+ π

4 , π+ π2 ))

рассмотрим уравнение

uxxyy − uxxx + uyyy + a2uyyx + a3uyy + uy + (a2 − 1)ux + (a3 − 1)u = 0

с условиями на Γ: u|x=0,x=x0= 0, ux|x=0 = 0, u|y=0,y=π = 0, uyy|y=0 = 0.

Решением такой задачи будет функция u(x, y) =(e−x +

√2 sin

(x− π

4

))sin y.

Пример 3. В области D = (x, y) ∈ R2; x, y ∈ (0, π) с границей Γ рассмотримуравнение

uxxyy − uxxx + a1uxxy + uyy + a4uxx + a1uy − ux + a4u = 0 (3)

с условиями на Γ:

u|x=0,x=π = 0, uxx|x=0 = 0, u|y=0 =sinx

n3, uy|y=0 =

sinx

n2. (4)

Решением задачи (3), (4) будет функция u(x, y) = eny sin xn3 .

Замечание. В ограниченной области D ∈ R2 с гладкой границей Γ функцияu(x, y) = a+ 2

√2 tanh

(−b+

√22 (x+ y)

)будет решением нелинейного уравнения

uxuxxyy − uxxx + uyyy − uxxy + uyyx + 3 (ux)2uxx − uxuxy − uyuxx = 0.

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР.

Сер. мат. 1954. Т. 18, 1. С. 3–50.

291

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙЗАДАЧИ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМON REGULARIZATION OF A LINEAR PERIODIC

PROBLEM WITH IMPULSE ACTION

Чуйко С. М., Белущенко А.В.

Славянский государственный педагогический университет,Славянск, Украина; chujko-slav@inbox.ru

Предположим, что T -периодическая задача для системы z′ = A(t)z + f(t)некорректно поставлена для произвольной непрерывной функции f(t). Нами ис-следованы условия регуляризации краевой задачи [1]

z′ = A(t)z + f(t), ℓz(·) := z(0)− z(T ) = 0, ∆z(τ) = Sz(τ − 0) (1)

в классе функций z(t) ∈ C1[0, T ] \ τI; здесь A(t) — непрерывная матрица,∆z(τ) := z(τ+0)−z(τ−0). Обозначим через X0(t) нормальную (X0(τ) = In) фун-даментальную матрицу [2] однородной части дифференциальной системы (1),

K[f(s)](t) := −X0(t)

∫ τ

t

X−10 (s)f(s)ds, t ∈ [0, τ),

K[f(s)](t) := X0(t)

∫ t

τ

X−10 (s)f(s)ds, t ∈ [τ, T ],

— обобщенный оператор Грина задачи Коши при z(τ) = 0 для дифференциаль-ной системы (1) и через X(t) нормальную фундаментальную матрицу однород-ной части системы с импульсом (1): X(t) = X0(t), t ∈ [0, τ); X(t) = X0(t)(In +S),t ∈ [τ, T ].

Теорема. Если задача о нахождении T -периодических решений z(t) ∈ C1[0, T ]дифференциальной системы (1) некорректно поставлена и для фиксированнойматрицы S ∈ Rn×n имеет место неравенство det[Q − X(T )S] = 0, то для про-извольной непрерывной функции f(t) в пространстве z(t) ∈ C1[0, T ] \ τIсуществует не менее одного решения z(t) = G[f(s)](t) краевой задачи (1), гдеQ := ℓX0(·), Q := ℓX(·) ∈ Rn×n,

G[f(s)](t) := K[f(s)](t)−X(t)Q+ℓK[f(s)](·)

— обобщенный оператор Грина в задаче о регуляризации периодической краевойзадачи при помощи импульсного воздействия (1).

В зависимости от матрицы S импульсное воздействие (1) являетсяневырожденным при условии det(In + S) = 0 (см. [1]) либо вырожденным, еслиdet(In + S) = 0 (см. [3]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations (World ScientificSeries on Nonlinear Science, Ser. A, Vol. 14). Singapore: World Scientific Publishing Co.,1995.

2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. Utrecht; Boston: VSP, 2004.

3. Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с импульсным воздей-ствием // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, 8. С. 1132–1135.

292

Секция “Дифференциальные уравнения”

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННОНЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

SOLVABILITY OF SOME SPACE-NONLOCALBOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR PARABOLIC

AND PSEUDOPARABOLIC EQUATIONSWITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS

Шадрина А. И.

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,Якутск, Россия; shadrina_ai@mail.ru

В настоящей работе изучается разрешимость краевых задач для уравнений

ut − g(x)uxx + c(x, t)u = f(x, t),

ut − h(x)uxxt + a(x, t)uxx + c(x, t)u = f(x, t)

с разрывными коэффициентами и нелокальными условиями.Пусть Ω есть интервал (0, a) оси Ox, Q = Ω × (0, T ), 0 < T < +∞, a(x, t),

c(x, t), f(x, t), g(x), α(t), β(t) — заданные функции, определенные при x ∈ Ω,t ∈ [0, T ]. Далее, пусть x0 есть фиксированная точка Ω, и пусть для функцииg(x) выполняются условия:(i) g(x) ∈ C([0, x0]), g(x) ≥ k0 > 0 при x ∈ [0, x0],(ii) g(x) ∈ C([x0, a]), g(x) ≥ k1 > 0 при x ∈ [x0, a],(iii) lim

x→x0−0g(x) = lim

x→x0+0g(x).

Задачи с интегральными условиями для параболических и псевдопараболи-ческих уравнений ранее изучали А.И. Кожанов, Л. С. Пулькина, Н.С. Попов,но уравнения у них всегда имели непрерывные коэффициенты. С другой сторо-ны, разрешимость локальных краевых задач для параболических уравнений сразрывными коэффициентами также изучается давно (О.А. Олейник, О.А. Ла-дыженская и др.), но в сочетании с интегральными условиями подобные задачиранее не рассматривались.

Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственно-сти регулярных решений.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного за-дания на выполнение НИР на 2012–2014 гг. (проект 4402).

293

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧВ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ,

СОДЕРЖАЩЕМ ТРЕЩИНУ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ ГРАНИЦЕ

ON SOLVING SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMSIN THE PIECEWISE-HOMOGENEOUS HALF-SPACE

WITH A CRACK PERPENDICULAR TO THE BOUND

Шадрина Н. Н.

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ, Россия; univer@bsu.ru

В полупространстве D = (x ∈ R) × (y < 0) × (ξ ∈ Rm−2) с трещиной x = 0,разделяющей D на две зоны D−(x < 0) и D+(x > 0) проницаемости k± в D±,для потенциалов φ±(x, y, ξ) в D± рассматривается класс краевых задач

∆φ± = 0, G[φ−]|y=0 = 0, G[φ+]|y=0 = f(x, ξ), (1)

x = 0 : φ+ = φ−, k+∂xφ− − k−∂xφ− = A∂2xφ

−, (2)

где A — параметр трещины, G[φ] — оператор граничных условий 1-го, 2-го или3-го рода. Пусть известно решение F (x, y, ξ) соответствующей задачи (1) в од-нородном полупространстве D без трещины (A = 0, k+ = k−). Применяя методсвертывания разложений Фурье [1, 2], решение задачи (1), (2) выражено черезфункцию F :

φ− =2k+

A

∞∫0

e−βtF (x− t, y)dt, x ≤ 0,

φ+ = F (x, y)− F (−x, y) +2k+

A

∞∫0

e−βtF (−x− t, y)dt, x ≥ 0,

где β = (k− + k+)/A.

ЛИТЕРАТУРА

1. Холодовский C. E. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенныхусловий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах //Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, 6. С. 855–859.

2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (за-весы) в неоднородном пространстве // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, 8.С. 1204–1208.

294

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИДЛЯ ОБРАТНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯON A METHOD FOR SOLVING A BOUNDARY VALUEPROBLEM FOR AN INVERSE PARABOLIC EQUATION

Шалданбаев А.Ш.1, Тенгаева А. А.2, Оразова Р.С.3

Южно-Казахстанский государственный университет им. М.О. Ауезова,Шымкент, Казахстан;

1shaldanbaev51@mail.ru, 2aijan0973@mail.ru, 3orazovaraushan@mail.ru

Рассмотрим в области Ω = [0, 1]× [0, 1] следующую краевую задачу

Ut + Uxx = f(x, t), (1)

U |x=0 =∂U

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0, (2)

U |t=1 = αU |t=0, |α| = 1. (3)

Нашей целью является решение задачи (1)–(3) с использованием спектраль-ной теории дифференциального уравнения Штурма – Лиувилля с отклоняющим-ся аргументом. Аналогичная задача с другими граничными условиями была рас-смотрена в работе [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Kalmenov T. S., Shaldanbaev A. S. On a criterion of solvability of the inverse problem ofheat conduction // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2010. V. 18, N 5. P. 471–492.

295

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБЗОР СЛУЧАЕВ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙДВИЖЕНИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

В НЕКОНСЕРВАТИВНОМ ПОЛЕ СИЛ

REVIEW OF INTEGRABLE CASES OF MOTIONEQUATIONS OF FOUR-DIMENSIONAL RIGID BODY

IN A NONCONSERVATIVE FIELD

Шамолин М. В.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; shamolin@imec.msu.ru, shamolin@rambler.ru

Предлагаемая работа представляет собой обзор случаев интегрируемости ди-намической части уравнений движения динамически симметричного четырех-мерного твердого тела, находящегося в некотором неконсервативном поле сил.Вид силового поля заимствован из пространственной динамики твердого тела,взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Материал отличается от ра-бот по интегрируемости уравнений движения многомерного тела в консерватив-ном поле сил. Исследуемые задачи описываются динамическими системами с такназываемой переменной диссипацией с нулевым средним [1–4].

Задача поиска полного набора трансцендентных (в смысле теории функцийкомплексного переменного) первых интегралов систем с диссипацией являетсядостаточно актуальной. Ранее автором был введен новый класс динамическихсистем, имеющих периодическую координату. Благодаря наличию в таких систе-мах нетривиальных симметрий, показано, что рассматриваемые системы облада-ют переменной диссипацией, означающей, что в среднем за период по имеющей-ся периодической координате диссипация в системе равна нулю, хотя в разныхобластях фазового пространства в системе может присутствовать как подкачкаэнергии извне, так и ее рассеяние. На базе полученного материала проанализиро-ваны динамические системы, возникающие в динамике четырехмерного (а такжемногомерного) твердого тела в неконсервативном поле.

В результате обнаружен ряд случаев интегрируемости уравнений движенияв трансцендентных функциях, выражающихся через конечную комбинацию эле-ментарных функций. При этом изучаются неконсервативные системы, для кото-рых методика исследования, например, гамильтоновых систем, вообще говоря,неприменима. Таким образом, для таких систем необходимо в некотором смысле“в лоб” интегрировать основные уравнения динамики.

Данный материал может быть интересен как специалистам по качественнойтеории обыкновенных дифференциальных уравнений, динамики твердого тела,так и механики жидкости и газа.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-00020 а).

ЛИТЕРАТУРА1. Шамолин М. В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного

твердого тела в сопротивляющейся среде // ДАН. 2000. Т. 375, 3. С. 343–346.2. Шамолин М. В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в

динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2007.3. Шамолин М. В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, мето-

ды, приложения // Фунд. и прикл. математика. 2008. Т. 14, 3. С. 3–237.4. Трофимов В. В., Шамолин М. В. Геометрические и динамические инварианты инте-

грируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фунд. и прикл. математика.2010. Т. 16, 4. С. 3–229.

296

Секция “Дифференциальные уравнения”

ОБРАТНАЯ ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧАДЛЯ СТЕКЛОВСКОГО СПЕКТРА

THE 2D INVERSE PROBLEMFOR THE STEKLOV SPECTRUM

Шарафутдинов В. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;sharaf@math.nsc.ru

Рассматривается обратная задача определения плоской области, ограничен-ной простой замкнутой гладкой кривой, по ее стекловскому спектру. Естествен-ная гипотеза состоит в том, что область определяется своим стекловским спек-тром однозначно с точностью до изометрии. Мы показываем, что задача имеетдве другие эквивалентные формы: (1) задача определения римановой метрики gна единичном круге по спектру ее Дирихле – Нейман оператора Λg, и (2) задачаопределения гладкой положительной функции a на единичной окружности поспектру оператора aΛe, где e — евклидова метрика. Для каждой из этих задачформулируется гипотеза, эквивалентная приведенной выше. Если предположе-ние об изоспектральности заменить предположением о сплетаемости операторов,то каждая из наших гипотез становится теоремой; приводятся их доказательства.

297

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВЫПУКЛЫЕ ПОКРЫТИЯ В ТЕОРИИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

CONVEX COVERINGS IN OPTIMAL CONTROL THEORY

Шевченко Г.В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;shevch@math.nsc.ru

Выпуклое покрытие компактного тела Ω в Rn является специальным покры-тием Ω семейством не пересекающихся по внутренности множеств определённо-го вида — n-мерными симплексами с вершинами на границе Ω. Доказано, чтовыпуклые покрытия существуют для любых компактных тел в Rn. Выпуклоепокрытие неединственно и определяется выбором начального симплекса.

Области достижимости во многих задачах оптимального управления динами-ческими объектами, описываемыми системами обыкновенных дифференциаль-ных уравнений, являются компактными телами, поэтому в них можно исполь-зовать свойства и элементы выпуклых покрытий. Это применение позволило со-здать, обосновать и доказать сходимость численных методов решения ряда задачоптимального управления с закреплёнными концами: (i) задачи быстродействия(линейной [1] и нелинейной [2, 3]), а также её же для линейных систем с посто-янным временным запаздыванием [4]; (ii) задачи минимизации расхода ресур-сов [5–7]; (iii) задачи минимизации выпуклого функционала [8], а также этой жезадачи для линейных систем с постоянным временным запаздыванием [9].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00329) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

ЛИТЕРАТУРА1. Шевченко Г. В. Численный алгоритм решения линейной задачи оптимального быст-

родействия // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. Т. 42, 8.C. 1166–1178.

2. Шевченко Г. В. Метод численного решения нелинейной задачи оптимального быст-родействия с аддитивным управлением // Журн. вычисл. математики и мат. физи-ки. 2007. Т. 47, 11. C. 1843–1853.

3. Шевченко Г.В. Численное решение нелинейной задачи оптимального быстродей-ствия // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, 4. С. 580–593.

4. Шевченко Г.В. Численное решение задачи оптимального быстродействия для ли-нейных систем с запаздыванием // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Меха-ника. Компьютерные науки. 2012. 2. С. 100–105.

5. Шевченко Г.В. Оптимальное по минимуму расхода ресурсов управление нелиней-ными системами специального вида // Дифференциальные уравнения и процессыуправления. 2005. 2. С. 87–104.

6. Шевченко Г.В. Метод нахождения оптимального по минимуму расхода ресурсовуправления для объектов специального вида // Автометрия. 2006. Т. 42, 2.С. 49–67.

7. Шевченко Г.В. Метод нахождения оптимального по минимуму расхода ресурсовуправления для нелинейных стационарных систем // Автоматика и телемеханика.2009. T. 70, 4. C. 119–130.

8. Шевченко Г.В. Численный метод решения задачи оптимального управления с фик-сированными концами траекторий и выпуклым функционалом // Сиб. журн. ин-дустр. математики. 2011. Т. 14, 4. С. 125–135.

9. Шевченко Г.В. Задача минимизации выпуклого функционала для линейной систе-мы дифференциальных уравнений с запаздыванием и закрепленными концами //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, 6. C. 26–37.

298

Секция “Дифференциальные уравнения”

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯКОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯКОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

STUDYING THE STABILITY OF THE IDENTIFICATIONPROBLEM SOLUTIONS FOR THE STATIONARY

CONVECTION-DIFFUSION EQUATION

Шепелов М. А.

Институт прикладной математики ДBO РАН, Владивосток, Россия;726577@mail.ru

В последние годы большое внимание уделяется постановке и исследованию за-дач управления для моделей тепломассопереноса [1–3]. Наряду с задачами управ-ления важную роль в приложениях играют обратные задачи для моделей тепло-массопереноса. Используя оптимизационный метод [4], указанные задачи можносвести к исследованию соответствующих обратных экстремальных задач на сла-бых решениях рассматриваемых краевых задач.

Целью работы является исследование устойчивости решений обратных экс-тремальных задач для стационарного уравнения конвекции-диффузии, рассмат-риваемого в ограниченной области при смешанных краевых условиях на грани-це области. Эти задачи заключаются в минимизации определенных функциона-лов качества, зависящих от состояния (температуры T ) и неизвестных функций(управлений), удовлетворяющих уравнениям состояния.

Рассмотрим в ограниченной области Ω ∈ Rd, d = 2, 3, с границей Γ, состоящейиз двух частей ΓD и ΓN , следующую краевую задачу:

λ∆T + u · ∇T = f в Ω, T = 0 на ΓD, λ∂T

∂n= χ на ΓN .

Здесь T — температура, λ = const > 0 — коэффициент температуропроводности,u ≡ u(x) — вектор скорости, f(x) — плотность объемных источников тепла,χ(x) — заданная на участке ΓN функция.

Предположим, что кроме решения T неизвестны функции u и f , и их требу-ется определить вместе с решением по дополнительной информации о состояниисистемы. Для исследования данной задачи идентификации применяется опти-мизационный метод, в соответствии с которым указанная задача сводится к ре-шению соответствующей обратной экстремальной задачи. Исследуется разреши-мость данной задачи, выводится система оптимальности, описывающая необхо-димые условия экстремума, и устанавливаются достаточные условия на исходныеданные, обеспечивающие единственность и устойчивость оптимальных решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев Г.В., Вахитов И. С., Соболева О. В. Оценки устойчивости в задачах иден-тификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции // Журн. вычисл. мате-матики и мат. физики. 2012. Т. 52, 12. C. 2190–2205.

2. Алексеев Г.В., Шепелов М. А. Об устойчивости решений коэффициентных обратныхэкстремальных задач для стационарного уравнения конвекции-диффузии // Сиб.журн. индустр. математики. 2012. T. 16, 4. C. 4–16.

3. Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнит-ной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010.

4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

299

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИКОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ

В СИСТЕМЕ НЕЛИНЕЙНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

AN INVERSE PROBLEM FOR A SYSTEMOF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONSWITH UNKNOWN LOWEST COEFFICIENTS

Шипина Т.Н.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия; stn_71@mail.ru

В работе исследуется однозначная разрешимость обратной задачи для систе-мы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в случае,когда в уравнениях присутствуют неизвестные коэффициенты, зависящие толь-ко от временной переменной. В работах [1, 2] представлены обратные задачи длялинейных систем составного типа с неизвестными коэффициентами, также зави-сящими только от переменной t.

В полосе Π[0,T ] = (t, x) | t ∈ [0, T ], x ∈ E1 рассматривается задача нахож-дения действительнозначных функций U(t, x), V (t, x), bij(t), i = 1, 2, j = 1, 2, 3,удовлетворяющих системе уравнений

Ut = Uxx + b11(t)U2 + b12(t)V U + b13(t)V 2 +m1(t, x),

Vt = Vxx + b21(t)U2 + b22(t)UV + b23(t)V 2 +m2(t, x),

начальным условиям

U(0, x) = U0(x), V (0, x) = V0(x), x ∈ E1,

и условиям переопределения

U(t, 0) = α1(t), V (t, 0) = α2(t), t ∈ [0, T ],

U(t, a) = β1(t), V (t, a) = β2(t), a = 0, t ∈ [0, T ],

U(t, b) = γ1(t), V (t, b) = γ2(t), b = a = 0, t ∈ [0, T ],

где функции mi(t, x), U0(x), V0(x), αi(t), βi(t), γi(t), i = 1, 2, — заданные действи-тельнозначные функции.

Считаем, что для входных данных выполнены условия согласования.Существование и единственность решения представленной обратной задачи

доказывается в классе гладких ограниченных функций в Π[0,T ]. Используя усло-вия переопределения, обратная задача приводится к задаче Коши для систе-мы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, кото-рые содержат следы производных Uxx(t, 0), Vxx(t, 0), Uxx(t, a), Vxx(t, a), Uxx(t, b),Vxx(t, b). Разрешимость полученной неклассической задачи доказывается мето-дом слабой аппроксимации [3].

ЛИТЕРАТУРА1. Белов Ю. Я., Шипина Т.Н. Об одной обратной задаче для системы составного ти-

па // ДАН. 2000. Т. 320, 2. С. 155–157.2. Вячеславова П. Ю., Сорокин Р.В. Задачи идентификации коэффициентов при млад-

ших членах в системе составного типа // Журн. СФУ. Сер. Математика и физика.2009. Т. 2, 3. С. 288–297.

3. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математическойфизики. Новосибирск: Наука, 1967.

300

Секция “Дифференциальные уравнения”

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙМЕХАНИКИ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

SOLVING THE INTEGRAL EQUATIONSOF CONTACT INTERACTION MECHANICS

FOR DOUBLY-CONNECTED DOMAINS

Шишканова А. А.

Запорожский национальный технический университет, Запорожье, Украина;shganna@mail.ru

Рассматриваются двумерные интегральные уравнения Фредгольма со слабойособенностью, к которым приводятся пространственные задачи контактного вза-имодействия [1].

С помощью предложенного в [2] способа вычисления интегралов со слабойособенностью, типа потенциалов простого слоя, применяем метод последователь-ных приближений для уравнения второго рода, или с α-регуляризацией в слу-чае первого рода с помощью аналитического продолжения для замены парамет-ра, в простейшем случае линейной, и др. Зная способ вычисления интеграла,определив норму оператора, подтверждаем выполнение условий существованияи единственности. Из разложения потенциала предполагаем, что аналитическаяв кольце искомая функция, соответствующая функции давления, имеет в нулеособую точку относительно аналитического продолжения правильного круговогоэлемента этой функции вдоль непрерывной кривой, проходящей через эту точку,и искомую функцию представляем в виде ряда.

Получаем бесконечные СЛАУ, имеющие мажорантные регулярные системы,которые можно решать методом последовательных приближений или урезкой.В случае гладкого штампа получаем системы, в числе которых есть однород-ные с треугольными матрицами с отличными от нуля элементами на диагонали,которые имеют единственное нулевое решение. В результате остаются лишь ко-эффициенты при четных положительных и нечетных отрицательных степенях,которые определяются точно для любого значения индекса.

С помощью разложений по малому параметру и производящей функции дляполиномов Гегенбауэра, изложенных в [3], в случае отсутствия шероховатости вкаждом приближении находится точное решение.

Для произвольной двусвязной области задача сведена к последовательностизадач для кольца. Получено разложение нелинейного интегрального операторапо параметру, исходя из непрерывной дифференцируемости по Фреше неявнойфункции (оператор Гаммерштейна), когда пределы интегрирования зависят отпараметра. Численное решение для неизвестной области контакта получено сприменением кубатурных формул.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.2. Шишканова А. А. О методе вычисления интегралов со слабой особенностью для про-

странственных контактных задач // Методы решения прикладных задач механикидеформируемого твердого тела. 2003. Т. 5. С. 127–136.

3. Шишканова Г. А., Мелешко В. В. Розв’язання двомiрного iнтегрального рiвняння зiслабкою особливiстю для двозв’язних областей // Проблеми механiки i математики.2007. Т. 5. С. 178–185.

301

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПРОДОЛЖЕНИЯДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

REGULARIZATION OF THE CONTINUATION PROBLEMFOR THE HELMHOLTZ EQUATION

Шишленин М. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

mshishlenin@ngs.ru

Рассмотрим задачу продолжения

uxx + L(y)u = 0, (x, y) ∈ Ω,u(0, y) = f(y), ux(0, y) = 0, y ∈ D,u|∂D = 0, x ∈ (0, h),f |∂D = 0.

Здесь L(y) — эллиптический оператор, D связная ограниченная область с лип-шецевой границей, Ω := (x, y) ∈ Rn+1 |x ∈ (0, h), y ∈ D ⊂ Rn.

Сформулируем задачу продолжения как обратную задачу.Введем прямую задачу

uxx + L(y)u = 0, (x, y) ∈ Ω,ux(0, y) = 0, y ∈ D,u(h, y) = q(y), y ∈ D,u|∂D = 0, x ∈ (0, h).

Обратная задача: найти q(y) по дополнительной информации

u(0, y) = f(y).

Операторная постановка обратной задачи: Aq = f .В случае простой геометрии и постоянной среды аналитически получены син-

гулярные числа оператора A. Доказаны теоремы условной устойчивости и при-ведены оценки сходимости метода наискорейшего спуска.

Приведены результаты численных расчетов.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 11-01-00105) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 122).

ЛИТЕРАТУРА

1. Isakov V., Kindermann S. Subspaces of stability in the Cauchy problem for the Helmholtzequation // Methods Appl. Anal. 2011. V. 18, N 1. P. 1–30.

2. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Berlin: de Gruyter, 2012.3. Kabanikhin S. I., Gasimov Y. S., Shishlenin M. A., Kasenov S. Stability analysis of a

continuation problem // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2013 (to appear).

302

Секция “Дифференциальные уравнения”

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ

ВЫСОКОГО ПОРЯДКАBOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SOME CLASSES

OF DEGENERATING HIGH ORDER EQUATIONS

Шубин В. В.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;vlad.v.shubin@gmail.com

В работе рассматриваются краевые задачи для неклассических уравнений вчастных производных с разрывными коэффициентами.

Пусть X,Y > 0 и пусть Q = (−X,X) × (0, Y ) = (x, y) ∈ R2 | −X < x < X,0 < y < Y . Пусть, далее, β(x) — функция, имеющая разрыв в точке 0. В областиQ рассматриваются краевые задачи для уравнения

uyyy + β(x)uxx + c(x, y)u = f(x, y)

с краевыми условиями на границе области и условиями сопряжения следующеговида

u(−0, y) = αu(+0, y),

γux(−0, y) = ux(+0, y),

где α, γ — некоторые вещественные числа.В работе доказываются теоремы существования и единственности решений

рассмотренных краевых задач для данного уравнения.Также рассмотрены краевые задачи для уравнения соболевского типа

(α(t)A+ β(t)I)ut = Bu+ f(x, t)

в области Q = Ω × (0, T ) = (x, t) | x ∈ Ω, 0 < t < T, где Ω — ограниченнаяобласть в Rn с гладкой границей, T > 0. Здесь I — тождественный оператор,A, B — эллиптические операторы вида

Au =∂

∂xi

(aij(x)

∂u

∂xj

), Bu =

∂

∂xi

(bij(x)

∂u

∂xj

),

по повторяющимся индексам ведётся суммирование. Здесь aij(x), bij(x) — некото-рые функции класса C1(Ω). Функции α(t) и β(t) предполагаются таковыми, чтооператор α(t)A+ β(t)I вырождается при некоторых значениях t. Доказываютсятеоремы существования и единственности решений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-31030) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный про-ект 80).

303

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ И СТРУКТУРОЙТОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХ

ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕЩИНON CONTROL OF SHAPES AND STRUCTURES OF THIN

INCLUSIONS IN ELASTIC BODIES WITH CRACKS

Щербаков В. В.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,Новосибирск, Россия; sherbakov87@gmail.com

В докладе обсуждаются результаты, относящиеся к задачам оптимальногоуправления для проблем теории упругости с неизвестными границами. Рассмат-ривается двумерное упругое тело, содержащее тонкое включение и трещину. Наберегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид равенств и неравенстви описывающие взаимное непроникание берегов трещины. Функционал стоимо-сти совпадает с производной функционала потенциальной энергии по длине тре-щины. В роли функций управления выступают как форма, так и параметр жест-кости тонкого включения. Основной полученный результат заключается в до-казательстве теорем существования оптимальных решений. Такие решения ре-ализуют наиболее безопасные положения равновесия с точки зрения критерияразрушения Гриффитса.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00017) и Минобрнауки РФ (соглашение 8222).

ЛИТЕРАТУРА

1. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М: Физматлит, 2010.2. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих

телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, 1. С. 138–147.3. Щербаков В. В. Управление жесткостью тонких включений в упругих телах с кри-

волинейными трещинами // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика.2013. Т. 13 (в печати).

304

Секция “Дифференциальные уравнения”

СМЕШАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В МОДЕЛИШЕСТАКОВА – СВИРИДЮКА С ИНЕРЦИОННОСТЬЮ

MIXED CONTROL IN SHESTAKOV–SVIRIDYUK’SMODEL WITH INERTIA

Эбель А. А.

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия;ebelaa@rambler.ru

Пусть L и M — матрицы n × n, detL = 0, M — (L, p)-регулярна (∃λ ∈ C :det(λL −M) = 0, ∃ p ∈ 0 ∪ N, равное нулю, если L-резольвента (λL −M)−1

матрицыM в точке∞ имеет устранимую особую точку, и равное порядку полюсав противном случае).

Решение задачи смешанного управления для модели Шестакова – Свиридю-ка заключается в нахождении пары (v0, v(t)) ∈ U0

∂ × U∂ , почти всюду на (0, τ)удовлетворяющей уравнению леонтьевского типа

Lx(t) = Mx(t) +Bu(t) (1)

с начальным условием Шоуолтера – Сидорова[(λL−M)−1L

]p+1(x(0)− u0) = 0,

при этомJ(v0, v) = min

(u0,u)∈U0∂×U∂

J(u0, u), (2)

J(u0, u) =1∑q=0

τ∫0

∥∥∥My(q)(u0, u)− y(q)0 (t)∥∥∥2 dt. (3)

Уравнение (1) — математическая модель измерительного устройства (ИУ), пред-полагающего k измеряемых параметров uj и m наблюдаемых параметров xj , j =n −m + 1, . . . , n, (x1, x2, . . . , xn−m, 0, . . . , 0) и (0, . . . , 0, xn−m+1, . . . , xn) — вектор-функции состояния ИУ и наблюдений, k +m ≤ n, причем восстановление дина-мически искаженного сигнала осуществляется по l < m параметрам, таким обра-зом, y может иметь вид (0, . . . , 0, xn−l+1, . . . , xn), y0(t) — наблюдение, полученноев ходе натурного эксперимента. В работах авторов модели [1] и последующих ис-следованиях [2] в качестве начальных значений входящих сигналов для простотыпринимались нулевые, хотя натурные эксперименты показывали обратное. Функ-ционал (3) показывает расхождение между значениями наблюдаемых сигналовна реальном ИУ и математической модели ИУ. Минимум функционала (2) обес-печивает более точные значения восстанавливаемых на основе математическоймодели сигналов.

Разработка численного метода решения задачи смешанного жесткого управ-ления для уравнения леонтьевского типа позволила использовать модель Шеста-кова – Свиридюка в предположении о неизвестном начальном значении измеря-емых сигналов.

ЛИТЕРАТУРА1. Шестаков А. Л., Свиридюк Г.А. Новый подход к измерению динамически искажен-

ных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. 16 (192). Сер. Матем. модел. програм. 2010.Вып. 5. С. 116–120.

2. Келлер А. В., Назарова Е. И. Задача оптимального измерения: численное решение,алгоритм программы // Изв. ИГУ. Сер. Математика. 2011. Т. 4, 3. С. 74–82.

305

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

ON ONE PROBLEMFOR A HIGH ORDER EQUATION

Юлдашева А. В.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан; asal-yuldasheva@yandex.ru

В настоящей работе для уравнения

∂2ku

∂x2k− ∂2pu

∂t2p= 0, k, p ∈ N, (k − p) = 2n− 1, n ∈ N, (1)

в области D = (x, t) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ t ≤ 2π рассматривается задача соследующими условиями:

∂2mu

∂x2m

∣∣∣x=0

=∂2mu

∂x2m

∣∣∣x=π

= 0, m = 0, 1, . . . , k − 1, 0 ≤ t ≤ 2π, (2)

u(απ, t) = f(t), 0 ≤ t ≤ 2π, (3)

где α — некоторая постоянная из (0, 1) и f(t) — заданная достаточно гладкаяфункция.

Мы показываем, что если α— иррациональное число, то в классе u ∈ C2k,2px,t (D)

справедлива теорема единственности решения задачи (1)–(3).Отметим, что данная задача некорректна, т. к. малое изменение функции f(t)

в норме Cs (s ∈ N) может вызвать сколь угодно большое изменение решения u внорме L2 .

Регуляризировать эту задачу можно с помощью дополнительного условия, кпримеру, с помощью задания априорной оценки [1, 2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Papi Frosali G. On the stability of the Dirichlet problem for the vibrating stringequation // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 1979. V. 6, N 4. P. 719–728.

2. Fox D., Pucci C. The Dirichlet problem for the wave equation // Ann. Mat. PuraAppl. (4). 1958. V. 46, N 1. P. 155–182.

306

Секция “Дифференциальные уравнения”

УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССОВ КАПЕЛЬ В ВОЗДУХЕEQUATIONS OF PROCESSES OF DROPLETS IN THE AIR

Яашима Х. Ф.

Университет 8 Мая 1945, Гуельма, Алжир;Университет Турина, Турин, Италия; hisao.fujitayashima@unito.it

Мы рассматриваем процессы капель в воздухе, т. е. их падение, коагуляцию,возможную конденсацию на них. Обозначаем через σ(m,x, t) плотность воды,которая содержится в каплях массы m, а через π(x, t) — плотность пара. Дляэтих искомых функций рассматриваются уравнения

∂tσ(m,x, t) +∇ · (σ(m)u(m)) + ∂m(mhgl(m)σ(m)) = hgl(m,x)σ(m)

+m

2

m∫0

β(m−m′,m′)σ(m′, x, t)σ(m−m′, x, t)dm′

−m∞∫0

β(m,m′)σ(m,x, t)σ(m′, x, t)dm′,

∂π

∂t+∇ · (πv) = −Hgl(π, σ, x),

где β(m1,m2) — вероятность встречи капли массы m1 и капли массы m2 (та-кая встреча составит каплю массы m1 + m2), u(m) — скорость капли массы m,hgl(m,x) — количество конденсации на капле массы m, а Hgl(π, σ, x) — целоеколичество конденсации. Предположим, что

hgl = ν(m)(π − πvs(T (x))), Hgl =

∞∫0

hglσdm,

где ν(m) — зависимый от m коэффициент, а πvs(T (x)) — плотность насыщенногопара.

Будем доказывать, что, если π = πvs(T (x)) (и поэтому hgl = 0, Hgl = 0)и u(m) =

(v, 0,− g

α(m)

)(v, g — постоянные), то существует стационарное реше-

ние [1], а если кроме того v = 0, то существует единственное глобальное решение,и оно стремится к стационарному решению [2]. Для этих результатов важно пере-писать наше уравнение в виде обыкновенного дифференциального уравнения впространстве Банаха. Рассматриваем тоже случай, когда u(m) =

(0, 0, v3 − g

α(m)

)с v3 > 0 (и поэтому u3(m) > 0 для некоторых m, а u3(m) < 0 для других m) иπ > πvs(T (x)) (подготовлена работа с M. Merad) и общий случай с маленькимизаданными функциями (подготовлена работа с H. Belhireche).

ЛИТЕРАТУРА

1. Merad M., Belhireche H., Fujita Yashima H. Solution stationnaire de l’equation decoagulation de gouttelettes en chute avec le vent horizontal // Rend. Semin. Mat. Univ.Padova (to appear).

2. Belhireche H., Aissaoui, M. Z., Fujita Yashima H. Solution globale de l’equation decoagulation des gouttelettes en chute // Rend. Semin. Mat., Univ. Politec. Torino(to appear).

307

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ,

ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА НЕОГРАНИЧЕННОММНОГООБРАЗИИ

ON THE VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEMFOR ELLIPTIC OPERATORS DEGENERATING

ON A UNBOUNDED MANIFOLD

Якушев И. А.

Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федеральногоуниверситета им. М.К. Аммосова, Мирный, Россия; yakushevilya@mail.ru

Разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничнымиусловиями для вырождающихся эллиптических операторов более подробно ис-следована в случае, когда оператор задан в ограниченной области Ω n-мерного ев-клидова пространства Rn с (n−1)-мерной границей ∂Ω и имеет степенное вырож-дение на всей границе ∂Ω (см., например, [1–2] и имеющуюся там библиографию).В отличие от этого существуют лишь отдельные работы (см., например, [3–4]),посвященные случаю эллиптических операторов, вырождающихся на многообра-зиях размерности меньше (n− 1).

В докладе обсуждаются результаты автора о разрешимости вариационнойзадачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптическихоператоров, заданных в дополнении неограниченного многообразия размерностиm ∈ [1, n− 1] и имеющих степенное вырождение на этом многообразии. Исследо-вание основано на аналоге неравенства Гординга для вырождающихся эллипти-ческих операторов высокого порядка, установленного в работе [5].

Рассматриваемые неограниченные многообразия являются недифференциру-емыми и удовлетворяют лишь условию конуса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С. М., Лизоркин П. И., Мирошин Н. В. Весовые функциональные про-странства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихсяэллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1988. 8. С. 4–30.

2. Байдельдинов Б. Л. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравне-ний с вырождением. Метод билинейных форм // Тр. Мат. ин-та им. В. А. СтекловаАН СССР. 1984. Т. 170. С. 3–11.

3. Исхоков С. А., Сивцева Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического опе-ратора, вырождающегося на многообразиях различных измерений // Мат. заметкиЯГУ. 1999. Т. 6, вып. 2. С. 28–41.

4. Исхоков С. А., Тарасова Г. И. Обобщенная задача Дирихле для эллиптических урав-нений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Вестн. НГУ. Сер. Ма-тематика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 4. С. 43–49.

5. Исхоков С. А., Гадоев М. Г., Якушев И. А. Неравенство Гординга для эллиптическихоператоров высшего порядка с нестепенным вырождением // ДАН. 2012. Т. 443, 3. С. 286–289.

308

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON THE SINGULAR POINTS OF THE RICCI FLOWON SOME GENERALIZED WALLACH SPACES

Abiev N. A.1, Arvanitoyeorgos A.2, Nikonorov Yu.G.3, Siasos P.4

1Taraz State University named after M.Kh. Dulaty, Taraz, Kazakhstan;abievn@mail.ru

2University of Patras, Rion, Greece; arvanito@math.upatras.gr3Southern Mathematical Institute, Vladikavkaz, Russia; nikonorov2006@mail.ru

4University of Patras, Rion, Greece; siasos@master.math.upatras.gr

We study the normalized Ricci flow for invariant Riemannian metrics on gen-eralized Wallach spaces (see [1, pp. 6346–6347] and [2] for details). The equation∂

∂tg(t) = −2 Ricg +2g(t)

Sg

nfor the normalized Ricci flow on such (n-dimensional)

spaces reduces to the system of ODE of the following typedx1dt

= f(x1, x2, x3),dx2dt

= g(x1, x2, x3),dx3dt

= h(x1, x2, x3), (1)

where xi = xi(t) > 0, i = 1, 2, 3, are the parameters of invariant metrics,

f(x1, x2, x3) = −1− a1x1(

x1x2x3

− x2x1x3

− x3x1x2

)+ x1B,

g(x1, x2, x3) = −1− a2x2(

x2x1x3

− x3x1x2

− x1x2x3

)+ x2B,

h(x1, x2, x3) = −1− a3x3(

x3x1x2

− x1x2x3

− x2x1x3

)+ x3B,

B =

(1

a1x1+

1

a2x2+

1

a3x3−(

x1x2x3

+x2x1x3

+x3x1x2

))(1

a1+

1

a2+

1

a3

)−1

and ai ∈ (0, 1/2] are some real numbers. On the surface V := x1/a11 x

1/a22 x

1/a33 ≡ 1 the

system (1) is equivalent to the system of two differential equations of the type

dx1dt

= f(x1, x2),dx2dt

= g(x1, x2), (2)

where f(x1, x2) = f(x1, x2, φ(x1, x2)), g(x1, x2) = g(x1, x2, φ(x1, x2)), φ(x1, x2) =

x−a3a11 x

−a3a22 . Let (x01, x

02) be a singular point of (2) and λ1, λ2, (|λ1| ≤ |λ2|) be eigen-

values of the matrix J of linear parts of (2). In [3] we proved that all non-degeneratesingular points (λ1λ2 = 0) of (2) are either nodes or saddles. We obtained also somegeneral results by deducing a criterion for ai to ensure degenerate singular points for(2). In particular, (2) has a unique linearly zero (J = 0) singular point (1, 1) of thetype “saddle” (with six hyperbolic sectors) at a1 = a2 = a3 = 1/4. In the case a1 = a2,x01 = x02 we also classified semi-hyperbolic (λ1 = 0, λ2 = 0) singular points of (2) andproved that there is no singular points of (2) of the nilpotent type (λ1 = λ2 = 0,J = 0). We also plan to discuss some qualitative results related to (2).

REFERENCES1. Nikonorov Yu.G., Rodionov E. D., Slavskii V. V., “Geometry of homogeneous Riemannian

manifolds,” J. Math. Sci. (New York), 146, No. 7, 6313–6390 (2007).2. Nikonorov Yu. G., “On a class of homogeneous compact Einstein manifolds,” Sib.

Math. J., 41, No. 1, 168–172 (2000).3. Abiev N. A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu. G., Siasos P., “The Ricci flow on gener-

alized Wallach spaces,” arXiv: 1305.0440 (2013).

309

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON THE ε-APPROXIMATIONOF THE HEAT CONVECTION EQUATIONS

FOR THE KELVIN–VOIGHT FLUIDS

Abylkairov U. U.1, Danaev N.T.2, Khompysh Kh.3

Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan;1u.abylkairov@gmail.com, 2n.danaev@kaznu.kz, 3konat_ k@mail.ru

We consider the following initial-boundary value problem with free surface condi-tion for one of correct ε-approximations of the modified equations of the heat convec-tion [1–3] in QT = Ω× [0, T ]:

vεt − ν∆vε + (vε · ∇)vε − χ∆vεt +1

2vεdiv vε − 1

εgrad div vε = f(x, t) + gγSε, (1)

Sεt − λ∆Sε + (vε · ∇)Sε +1

2Sεdiv vε = q(x, t), (2)

vε∣∣t=0

= v0(x), Sε|t=0 = S0(x), x ∈ Ω, (3)

vεn ≡ vε · n|∂Ω = 0, (rot vε × n)|∂Ω = 0, Sε|∂Ω = 0, (4)

where Ω ⊂ Rm, m = 2, 3, is a bounded domain with a smooth boundary ∂Ω ∈ C2,and vn is a normal component of the vector velocity v of fluid to the boundary ∂Ω, Sis a temperature, q, f are given functions, ν, χ, λ are some physical positive constants.

Theorem. Let v0(x) ∈ J2n(Ω), S0(x) ∈

W 1

2(Ω) and f(x, t), q(x, t) ∈L2(0, T ;L2(Ω)). Then for any ε > 0 there exists a unique solution (vε, Sε) of theproblem (1)–(4) such that vε ∈ L∞

(0, T ;H2

n

)∩W 1

2

(0, T ;H2

n

), Sεt ∈ L2(QT ), Sε ∈

L∞

(0, T ;

0

W 12(Ω)

)∩ L2

(0, T ;W 2

2 ∩W 12 (Ω)

)and

∥vε∥2L∞(0,T ;H2(Ω)) + ∥Sε∥2L∞(0,T ;

W 1

2 (Ω))+ ∥vεt ∥2L2(0,T ;H2(Ω)) + ∥Sεt ∥2L2(0,T ;L2(Ω))

+1

ε∥div vε∥2L∞(0,T ;L2(Ω)) +∥Sε∥2

L2(0,T ;W 22 (Ω)∩

W 1

2 (Ω))+

1

ε2∥grad div vε∥22,QT ≤ C1 <∞,

∥v − vε∥L∞(0,T ;H1(Ω)) + ∥S − Sε∥L∞(0,T ;L2(Ω)) + ∥S − Sε∥L2(0,T ;W 12 (Ω)) ≤ C2ε.

If there exists ft(x, t) ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), then vε ∈W 1∞(0, T ;H2

n) for any ε > 0 and

∥vεxxt∥2L∞(0,T ;L2(Ω)) +1

ε∥∇div vε∥2L∞(0,T ;L2(Ω)) ≤ C3.

REFERENCES

1. Oskolkov L. P., “Some nonstationary linear and quasilinear systems occurring in the in-vestigation of the motion of viscous fluids,” J. Sov. Math., 10, No. 2, 133–177 (1978).

2. Sakhaev Sh. S., Khompysh Kh., “Solvability global in time initial-boundary value problemwith free surface condition for the modified equations of the heat convection” [in Russian],in: Transactions of the Conf. “Modern problems of applied mathematics and informationtechnologies al-Khorezmiy–2009”, Vol. 1, Tashkent, 2009, pp. 114–118.

3. Khompysh Kh., “The initial-boundary value problem with a free surface condition for themodified equations of the heat convection and some their ε-approximations,” Bulletin ofal-Farabi KazNU. Math., Mec., Inf. series, 57, No. 2, 36–41 (2008).

310

Секция “Дифференциальные уравнения”

OSCILLATING TRAJECTORIESIN SOME NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS

Akinshin A. A.1, Golubyatnikov V. P.2

1Polzunov Altay State Technical University, Barnaul, Russia;andrey.akinshin@gmail.com

2Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;glbtn@math.nsc.ru

We study nonlinear dissipative cyclic dynamical systems of chemical kineticsdxjdt

= fj(xj−1)−mjxj , mj > 0, j = 1, 2, . . . n, (1)

considered as models of functioning of gene networks regulated by negative feedbacks.Divergence of the vector field determined by its right-hand sides is strictly negative:div ≡ −

∑nj=1mj , hence, the volume of each bounded domain in the positive octant

Rn+ decreases exponentially as t → ∞. However, the limit sets of such systems canbe much more complicated than just a stable stationary point. Here xi ≥ 0, all thefunctions are positive and monotonically decreasing, and j − 1 = n for j = 1. In theodd-dimensional case n = 2k+1, we construct an invariant parallelepiped Q ⊂ R2k+1

+

and show that this system has a unique stationary point S0 in the interior of Q.We prove that if this point is hyperbolic, then there exists a non-convex polyhedronQ∗ ⊂ Q which contains at least one cycle of the system (1). We obtain also somesufficient conditions of existence of stable cycles there.

Consider now the symmetric dimensionless case, when all the functions fj coincide,and mj = 1 for all j.

Theorem. If the dimension n = 2k+1 is not a prime number, and if the stationarypoint S0 is hyperbolic, then the system (1) has several cycles in Q.

Each of these cycles ci corresponds to an odd multiplier 2li + 1 of 2k + 1, andthere exist an invariant (2li + 1)-dimensional plane, and a polyhedral domain Qi ⊂ Qcontaining the cycle ci. Interiors of different domains Qi are disjoint.

Analogous results can be obtained for even-dimensional symmetric dynamical sys-tems of the type (1) as well.

For arbitrary dimensions n, we study symmetric systems (1) with piece-wise con-stant monotonically decreasing functions fj which correspond to threshold negativefeedbacks. In this case we construct 2-dimensional invariant surfaces of these systemswhich are contained in star shaped non-convex polyhedra similar to Q∗, and in turn,contain cycles of corresponding dynamical system.

If n = 2k, then the dynamical systems of the type (1) have three stationary points,two of them are stable, and their attracting basins are separated by an invariant hyper-surface P 2k−1 ⊂ Q ⊂ R2k

+ . This hyper-surface contains the diagonal ∆ := x1 = x2 =. . . = x2k of Q and the third stationary point S0 ∈ ∆ which is unstable. In this case,we construct k − 1 invariant 2-dimensional piece-wise linear surfaces P 2

i ⊂ Q, eachof them contains at least one cycle ci of the system (1), and all these surfaces arecontained in P 2k−1.

If n = 2k + 1, then the phase portrait of odd-dimensional system (1) containsk invariant 2-dimensional piece-wise linear surfaces P 2

i in Q. Each of these surfacescontains at least one piece-wise linear cycle ci.

A special software complex PhasePortraitAnalyzer was elaborated for numer-ical experiments with the gene networks models described above.

The work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projectno. 12-01-00074) and by grant of President of RF for young scientists (grant SP-561-2012.5).

311

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

GROUP ANALYSIS OF THE EQUATIONSOF A DYNAMIC MODEL OF TRANSVERSALLY

ISOTROPIC ELASTIC GEOMATERIALSSATISFYING GASSMANN CONDITIONS

Annin B.D.1, Belmetcev N. F.2, Chirkunov Yu.A.3

1Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, Russia;annin@hydro.nsc.ru

2Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia;weqsmachine@gmail.com

3Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia; chr101@mail.ru

Deriving of a set of nontrivial exact solutions for models of a continuum mechanicsis an actual problem because making of a database of such solutions will give thechance to test the results of the numerical experiments related to various appliedproblems.

Now researchers use the models of the inhomogeneous and anisotropic elastic ma-terials [1]. The use of non-linear elasticity models creates essential computing difficul-ties, but the use of the classical linear theory does not allow to effectively describe theanisotropic materials, such as schistose materials, geomaterials, and others. Howeverthere is a set of the linear elasticity models which contain more than two independentelastic moduluses and allow describe geomaterials effectively. One of these models isthe dynamic transversally isotropic elastic model [2].

On the basis of the given model we have gained some results connected with variousfields of a science: theory of elasticity, geology, and mathematical physics. Also, wehave gained a set of exact solutions for the equations of transverse-isotropic elasticmedia as a result of group analysis [3–5] of the first order partial equations gained asa result of a group foliation.

REFERENCES

1. Annin B. D., Ostrosablin N. I., “Anisotropy of elastic properties of materials,” J. Appl.Mech. Tech. Phys., 49, No. 3, 998–1014 (2008).

2. Annin B. D., “Transversally isotropic elastic model of geomaterials” [in Russian], Sib. Zh.Ind. Mat., 12, No. 3, 5–14 (2009).

3. Ovsiannikov L. V., Group Analysis of Differential Equations, Academic Press, New York(1982).

4. Chirkunov Yu.A., Group Analysis of Linear and Quasilinear Equations, Novosibirsk StateUniversity of Economics and Management, Novosibirsk (2007).

5. Chirkunov Yu.A., Khabirov S. V., Elements of Symmetry Analysis of the DifferentialEquations of Continuum Mechanics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk(2012).

312

Секция “Дифференциальные уравнения”

DOUBLY NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONSIN SOBOLEV SPACES WITH VARIABLE EXPONENTS

OF NONLINEARITY

Antontsev S.1, Shmarev S.2

1University of Lisbon, Lisbon, Portugal; antontsevsn@mail.ru2University of Oviedo, Oviedo, Spain; shmarev@uniovi.es

The talk addresses the questions of global existence, nonexistence and uniquenessof solutions to the homogeneous Dirichlet problem for the anisotropic doubly nonlinearparabolic equations with nonstandard growth

d

dt

(|u|m(z)−1u

)=

n∑i=1

Di

(ai(z)|Diu|pi(z)−2Diu

)+ b(z) |u|σ(z)−2u+ g(z),

where z = (x, t) denote the points of the cylinder Q = Ω × (0, T ), pi, m and σ aregiven functions of the argument z.

• We derive conditions on the monotonicity and regularity of the exponents pi,m, σ and the coefficients ai, b which guarantee the existence of a strong solutionin the Sobolev space with variable exponents:

V =u : u ∈ L∞(Q), |Dxiu|pi(z) ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)), |u|m(z)−1u2t ∈ L1(Q)

.

• For the constructed solution the energy estimates are derived.

• Comparison and uniqueness theorems are established for the isotropic equationswith b = 0 and under the additional assumption on the regularity of the solution:∂t(|u|m(z)−1u

)∈ L1(Q). It is shown that this class of solutions is nonempty.

• It is proved that under certain conditions on the data the solutions may vanishblow-up in a finite time.

Part of the results can be found in the papers [1–5].

REFERENCES

1. Antontsev S., Chipot M., Shmarev S., “Uniqueness and comparison theorems for solutionsof doubly nonlinear parabolic equations with nonstandard growth conditions,” Commun.Pure Appl. Anal., 12, No. 4, 1527–1546 (2013).

2. Antontsev S., Shmarev S., “Doubly degenerate parabolic equations with variable non-linearity I: Existence of bounded strong solutions,” Adv. Differ. Equ., 17, No. 11–12,1181–1212 (2012).

3. Antontsev S., Shmarev S., “Existence and uniqueness for doubly nonlinear parabolic equa-tions with nonstandard growth conditions,” Differ. Equ. Appl., 4, No. 1, 67–94 (2012).

4. Antontsev S., Shmarev S., “Parabolic equations with double variable nonlinearities,”Math. Comput. Simul., 81, No. 10, 2018–2032 (2011).

5. Antontsev S., Shmarev S., “Anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity,”Publ. Mat., 53, No. 2, 355–399 (2009).

313

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON UNIQUE SOLVABILITY OF A NONLOCALBOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM

OF HYPERBOLIC EQUATIONS

Asanova A. T.

Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan;anarasanova@list.ru

On the domain Ω = [0, T ]×[0, ω] we consider the nonlocal boundary value problemfor system of hyperbolic second order equations

∂2u

∂x∂t= A(t, x)

∂u

∂x+B(t, x)

∂u

∂t+ C(t, x)u+ f(t, x),

u(t, 0) = ψ(t), t ∈ [0, T ],

P (x)u(0, x) + S(x)u(T, x) = φ(x), x ∈ [0, ω],

where u = col(u1, . . . , un), (n × n)-matrices A(t, x), B(t, x), C(t, x), vector-functionf(t, x) are continuous on Ω, (n × n)-matrices P (x), S(x), vector-function φ(x) arecontinuously differentiable on [0, ω], vector-function ψ(t) is continuously differentiableon [0, T ], and the following condition is satisfied P (0)ψ(0) + S(0)ψ(T ) = φ(0).

We investigate questions of the existence, uniqueness and finding classical solu-tions of the problem. Nonlocal boundary value problems for systems of hyperbolicsecond order equations were considered by numerous authors. Sufficient conditionsfor the existence and uniqueness of solutions of such problems were obtained by var-ious methods. The nonlocal boundary value problems with data on characteristicswere studied in [1–2] by the method of introduction of functional parameters.

In [3–5] necessary and sufficient coefficient conditions for the unique solvability ofnonlocal boundary value problems were investigated.

In the present communication sufficient coefficient conditions of the unique solv-ability of the nonlocal boundary value problem for the system of hyperbolic type areobtained and an algorithm of finding its solution is proposed.

Unlike the above mentioned works [1–5] the boundary matrices P (x), S(x) andfunction φ(x) are continuous differentiable.

REFERENCES

1. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S., “Unique solvability of the boundary value problem forsystems of hyperbolic equations with data on the characteristics,” Comput. Math. Math.Phys., 42, No. 11, 1609–1621 (2002).

2. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S., “Unique solvability of the nonlocal boundary valueproblems for systems of hyperbolic equations,” Differ. Equ., 39, No. 10, 1414–1427 (2003).

3. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S., “Correct solvability of a nonlocal boundary valueproblem for systems of hyperbolic equations,” Dokl. Math., 68, No. 1, 46–48 (2003).

4. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S., “Well-posed solvability of nonlocal boundary valueproblems for systems of hyperbolic equations,” Differ. Equ., 41, No. 3, 352–363 (2005).

5. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S., “Well-posed solvability of linear nonlocal boundaryvalue problem for systems of hyperbolic equations,” Dopovidi (Reports) NAS Ukraine,No. 4, 7–11 (2010).

314

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON SOLVABILITY OF LINEARDIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS

ON THE REAL AXIS

Balandin A. S.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia;balandin-anton@yandex.ru

Put R = (−∞,+∞), R+ = [0,+∞), R− = (−∞, 0]; denote by C the set ofcomplex numbers, and by L(E) and D(E) the spaces of integrable functions and ofabsolutely continuous ones, respectively, defined on a set E ⊂ R, with natural norms.

Consider a scalar differential-difference equation of the form

x(t) +

n∑k=1

akx(t− hk) = f(t), t ∈ R−, (1)

where ak ∈ C, hk ∈ R+, and f ∈ L(R−). PutD0(R−) =

x ∈ D(R−) : lim

t→−∞x(t) = 0

.

Let us set a problem to find conditions of the unique solvability of equation (1) in thespace D0(R−). Various classes of singular functional differential equations defined ona finite segment may be reduced to equations of the form (1), by using an appropriatechange of variables. Questions on the unique solvability of such equations prove to benontrivial.

If equation (1) has a solution in D0(R−), then one may consider the restriction ofthe solution to the segment [−h, 0] (h = max

khk) as an initial function, and extend

the solution successively step by step on the semiaxis R+. Since the delay operator isa Volterra one [1], the extension is unique. Therefore, equation (1) may be consideredon the whole axis R in the same assumptions.

Let a function x0 : R+ → C be a solution of the equation

x(t) +

n∑k=1

akx(t− hk) = 0, t ∈ R+,

and satisfy the initial conditions x(ξ) = 0 for ξ < 0, and x(0) = 1. The functionx0 = x0(t) is defined uniquely by the conditions formulated above; in the theory offunctional differentional equations it is customary called a fundamental solution [1].

Theorem. The following propositions are equivalent:a) equation (1) has a unique solution x ∈ D0(R−) for every right-hand part f ∈

L(R−), and x(t) =t∫

−∞x0(t− s)f(s) ds;

b) all roots of the quasipolynomial g(p) ≡ p +n∑k=1

ake−phk lie to the left of the

imaginary axis;c) the fundamental solution has an exponential estimate.

REFERENCES

1. Azbelev N. V., Maksimov V. P., Rakhmatullina L. F., Introduction to the Theory of Func-tional Differential Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1991).

315

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

A METHOD OF SYMMETRIC POLYNOMIALSFOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM

Belyayev Yu.N.

Syktyvkar State University, Syktyvkar, Russia; ybelyayev@mail.ru

The solution of the homogeneous differential equations systemdΨ(t)

dt= ∥aij∥Ψ(t)

with constant coefficients aij for given initial conditions Ψ(0) = Ψ0 has a matrixrepresentation: Ψ(t) = exp(At)Ψ0. Here A ≡ ∥aij∥ is a matrix of n-th order, Ψ(t)and Ψ0 are column matrices, elements of which are, respectively, ψi(t) and ψio =ψi(0), i = 1, . . . , n. Calculations of exp(Az) with the aid of the Sylvester, Newton [1],Becker [2] formulas or matrix decomposition methods require the prior determinationof the matrix A eigenvalues λj , j = 1, . . . , n. This work presents the method ofcalculation of the fundamental matrix exp(At) which is based on the use of symmetricpolynomials of n-th order Bg(n). These polynomials are defined by the recurrencerelations [3]: Bg(n)=0, g = 0, . . . , n− 2; Bn−1(n) = 1; Bg(n) =

∑nl=1 plBg−l(n). Here

pi = (−1)i−1σi, i = 1, . . . , n, σi are sums of all principal minors of i-th order of detA:σ1 = a11 + . . .+ ann, σ2 =

∑j>i

∣∣ aii aijaji ajj

∣∣, . . . , σn = detA.

Theorem 1. exp(At) =n−1∑l=0

(At)l1

l!

(1 + l!

l∑g=0

pn−l+g

∞∑j=n

1

j!Bj−1−g(n)

), where σi

and Bj(n) are symmetric polynomials of matrix At.One of the possible ways to reduce rounding errors in the calculation of the above

formula is scaling based on the fundamental property of the exponential function:exp(At) = [exp(At/m)]

m.Corollary. exp(At) = Xm, where m is integer,

X ≃ ∥xij(J)∥ =n−1∑l=0

(At

m

)l1

l!

(1 + l!

l∑g=0

pn−l+g

J∑j=n

1

j!Bj−l−g(n)

), J > n, (1)

σi, i = 1, . . . , n, and Bl(n) are the elementary symmetric polynomials and symmetricpolynomials of matrix (Az/m) of n-th order respectively.

Approximate equality in (1) is replaced by the exact if J goes to infinity.Theorem 2. The relative truncation error of the matrix X calculation according

to the formula (1) ϵ = max |1−xij(J)/xij(∞)| < ξN+1/[(N+n)

∏Ni=1(n+i)

], provided

that ξ = (2n− 1) max |ajlt|/m < 1.Theorem 3. Let σi andBl(n) be symmetric polynomials of matrixX. Ifm > n+1,

matrix Xm calculation using the formula

Xm =n−1∑l=0

X ll∑

g=0

(−1)n−l+g−1σn−l+gBm−1−g(n),

requires a smaller number of the elementary operations of addition and multiplication,and is more accurate (in terms of the round off error) than the computation Xm bythe usual matrix multiplication.

REFERENCES1. MacDuffee C. C., The Theory of Matrices, Chelsea, New York (1956).2. Angot A., Complements de Mathematiques: a l’Usage des Ingenieurs de l’Elektro-

technique et des Telecommunications, Masson, Paris (1982).3. Belyayev Yu.N., “Calculations of transfer matrix by means of symmetric polynomials,”

in: Proc. of the Intern. Conf. “Days on Diffraction 2012”, St. Petersburg, 2012, pp. 36–41.

316

Секция “Дифференциальные уравнения”

AN INVERSE PROBLEM FOR THE STURM–LIOUVILLEOPERATOR ON A NONCOMPACT STAR-TYPE GRAPH

Buterin S. A.

Saratov State University, Saratov, Russia; buterinsa@info.sgu.ru

Denote by Γ a noncompact star-type graph with the vertices v0, v1, . . . , vp and theedges ε1, . . . , εm, where εj = [v0, vj ], j = 1, p, are segments and εj , j = p+ 1,m, arerays with the common vertex v0. Let for simplicity the length of each compact edgebe equal to 1 and for definiteness p ≥ 1 and m−p ≥ 2. All edges are parameterized byx ≥ 0 and x = 0 corresponds to the internal vertex v0. For the compact edges x ∈ [0, 1]and x = 1 corresponds to the boundary vertex. Any function on Γ has the form y =[yj(x)]j=1,m, where yj(x) is defined on the edge εj . Consider the real-valued functionq = [qj(x)]j=1,m on Γ, which is called the potential, and the vector H = [Hj ]j=1,p.Let qj(x) ∈ L(0, 1), Hj ∈ R, j = 1, p, and qj(x), xqj(x) ∈ L(0,∞), j = p+ 1,m.

Consider the boundary value problem L = L(q,H) on Γ:

−y′′j + qj(x)yj = λyj = ρ2yj , (1)

where x ∈ (0, 1) for j = 1, p; x ∈ (0,∞) for j = p+ 1,m; λ is the spectral parameter,

y1(0) = y2(0) = . . . = ym(0), y′1(0) + y′2(0) + . . .+ y′m(0) = 0. (2)

Uj(yj) := y′j(1) +Hjy(1) = 0, j = 1, p. (3)

Put Ω+ := ρ : Im ρ > 0, R∗ := R \ 0. Let Ψk(λ) = [Ψkj(x, λ)]j=1,m, k = 1, p,be solutions of (1), (2) satisfying the boundary conditions Uj(Ψkj) = −δjk, j = 1, p,and having the asymptotics Ψkj(x, λ) = O(exp(iρx)), x→∞, ρ ∈ Ω+, j = p+ 1,m.The functions Ψk(λ) and Mk(λ) := Ψkk(1, λ) are respectively called the Weyl solutionand the Weyl function associated with the boundary vertex vk, k = 1, p.

Let k = p+ 1,m and fk(ρ) = [fkj(x, ρ)]j=1,m be a solution of (1)–(3) such thatfkk(x, ρ) ∼ exp(−iρx), fkj(x, ρ) = O(exp(iρx)), x → ∞, ρ ∈ Ω+, j = p+ 1,m \ k.The function fk(ρ) is called the scattering solution associated with the kth edge. Letek(x, ρ) be the Jost solution on εk, then fkk(x, ρ) = ek(x,−ρ) + sk(ρ)ek(x, ρ), ρ ∈ R∗,and sk(ρ) is called the reflection coefficient associated with the noncompact edge εk.

The values of λ for which L has nonzero L2-solutions y = [yj(x)]j=1,m are calledeigenvalues of L and the corresponding nonzero solutions are called eigenfunctions.If yj(x) ≡ 0 for each eigenfunction y related to an eigenvalue λ0, then λ0 is calledinvisible from the edge εj ; otherwise it is called visible from εj . Denote by Λ the setof eigenvalues that are visible from at least one edge εj , j ∈ p+ 1, . . . ,m− 1. ThenΛ = λnn=1,N , λn = ρ2n, ρn = iτn, τn > 0. Moreover, Res

ρ=ρnfkk(x, ρ) = αknek(x, ρn),

where αkn are called norming constants associated with the edge εk, k = p+ 1,m.Inverse Problem. The set J = Mν(λ), sk(ρ), λn, αknν=1,p,k=p+1,m−1,n=1,N is

given, find q and H.Theorem. The specification of J uniquely determines q and H.Remark. In J it is sufficient to specify only those eigenvalues that are not poles

of any function Mν(λ), ν = 1, p, i.e. that are invisible from all compact edges.Developing the idea of the method of spectral mappings [1] one can obtain a

constructive procedure for solving Inverse Problem.The author was supported by the RFBR (project no. 13-01-00134).

REFERENCES1. Yurko V. A., Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory (Inverse and

Ill-posed Problems Series), VSP, Utrecht (2002).

317

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

GLOBAL SOLVABILITY RESULTFOR THE MOTION OF THE RIGID BODYIN A VISCOUS FLUID WITH COLLISIONS

Chemetov N.V.1, Necasova S.2

1University of Lisbon, Lisbon, Portugal; chemetov@ptmat.fc.ul.pt2Institute of Mathematics, Prague, Czech Republic; matus@math.cas.cz

We consider the problem of the motion of a rigid body in an incompressible viscousfluid, filling a bounded domain. This problem was studied by many authors, see forinstance, [1–4]. They considered classical non-slip boundary conditions, which gavethem very PARADOXICAL result of no collisions of the body with the boundary ofthe domain.

In this work [5] we study when Navier slip conditions are prescribed on the bound-ary of the body (instead of non-slip conditions). We prove for this model the GLOBALexistence of weak solution, which permits COLLISIONS with the boundary of the do-main.

REFERENCES

1. Feireisl E., Hillairet M., Necasova S., “On the motion of several rigid bodies in an incom-pressible non-Newtonian fluid,” Nonlinearity, 21, No. 6, 1349–1366 (2008).

2. Gerard-Varet D., Hillairet M., “Regularity issues in the problem of fluid structure inter-action,” Arch. Ration. Mech. Anal., 195, No. 2, 375–407 (2010).

3. Hoffmann K.-H., Starovoitov V. N., “On a motion of a solid body in a viscous fluid.Two-dimensional case,” Adv. Math. Sci. Appl., 9, No. 2, 633–648 (1999).

4. San Martin J. A., Starovoitov V., Tucsnak M., “Global weak solutions for the two-dimensional motion of several rigid bodies in an incompressible viscous fluid,” Arch.Ration. Mech. Anal., 161, No. 2, 113–147 (2002).

5. Chemetov N. V., Necasova S., “Global existence of weak solutions for the motion of therigid body in a viscous fluid with Navier boundary conditions,” submitted to: Arch.Ration. Mech. Anal.

318

Секция “Дифференциальные уравнения”

REGULAR GLOBAL ATTRACTORSFOR AUTONOMOUS AND NON-AUTONOMOUS

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Chepyzhov V. V.1, Zelik S. V.2

1Institute for Information Transmission Problems RAS(Kharkevich Institute), Moscow, Russia; chep@iitp.ru

2University of Surrey, Guildford, United Kingdom; s.zelik@surrey.ac.uk

It is well known that longtime behavior of dissipative dynamical systems gener-ated by autonomous PDEs can be described in terms of global attractors (see [1–4]).Moreover, the attractor A is frequently (in a sense) finite dimensional although theoriginal phase space of such dynamical system is infinite dimensional. We howevernote that the attractor is not necessarily a submanifold of the phase space and canhave rather complicated fractal structure.

Nevertheless, there is a wide model class of autonomous partial differential equa-tions and systems (reaction-diffusion equations, damped wave equations, Cahn–Hilli-ard equation, etc.) whose global attractors have more or less complete description.We mean so-called regular (global) attractors introduced in [1, 2]. According to thetheory developed there, a dynamical semigroup St | t ≥ 0 has a regular global at-tractor if it has a global Lyapunov function, the equilibrium set R0 of the semigroupis finite, and each equilibrium v ∈ R0 is hyperbolic. More exactly, under these andsome additional technical assumptions, the global attractor A is a finite union of theunstable manifolds M+

0,v of all these equilibria v. What is more, the trajectories ofthe considered autonomous PDE approach to the regular attractor with exponentialrate as time tends to infinity and the regular attractor is robust with respect to smallautonomous perturbations.

In the present report we consider non-autonomous perturbations of regular at-tractors. To be more precise, we study the longtime behavior of the trajectories ofdissipative non-autonomous dynamical processes Uε(t, τ) | t ≥ τ, which tend asε → 0 to the autonomous dynamical semigroup St under the assumption that thislimit semigroup possesses a regular attractor A0. We study non-autonomous glob-al attractors Aε(t), t ∈ R, of the processes Uε(t, τ). The main theorem states thatregularity of global attractors preserves under small non-autonomous perturbations.Besides, non-autonomous regular global attractors remain exponential and robust.

The main results are illustrated for a model non-autonomous wave equation withweak dissipation

∂ttu+ γ∂tu = ∆xu− f(u) + g0(x) + εg(x, t), u|t=τ = uτ , ut|t=τ = pτ , u|∂Ω = 0,

in a bounded domain Ω from R3. Here γ > 0, the nonlinear function f(u) satisfy somegrowth (w.r.t. u) conditions and g(x, t) is a translation compact function (see [4]).

The authors were supported by the Russian Foundation for Basic Research (projectsno. 11-01-00339, no. 12-01-00203) and the Russian Ministry of Education and Science (agree-ment no. 8502).

REFERENCES1. Babin A. V., Vishik M. I., “Regular attractors of semigroups and evolution equations,”

J. Math. Pures Appl., 62, 441–491 (1983).2. Babin A. V., Vishik M. I., Attractors of Evolution Equations, North-Holland, Amsterdam

(1992).3. Temam R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer,

New York (1997).4. Chepyzhov V. V., Vishik M. I., Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer.

Math. Soc., Providence (2002).

319

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON ESTIMATION OF SOLUTIONS OF SCALARFUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

ON SEMIAXIS

Chudinov K. M.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia; cyril@list.ru

We present an approach to the investigation of the asymptotic properties of so-lutions of scalar functional differential equations. The approach is based on ideasrisen from the simplest theorems on differential inequalities. Below we consider somepropositions illustrating the essence of our technique.

Suppose a function f : [0,+∞) × R → R is nondecreasing with respect to thesecond argument, f(·, 0) = 0, a function h : [0,+∞) → [0,+∞) is measurable, andh(t) ≤ t. Further, suppose functions x, y : [0,+∞) → R are absolutely continuous inevery segment of [0,+∞), and almost everywhere satisfy the following equation andinequality respectively

x(t) = f(t, x(h(t))), y(t) ≤ f(t, y(h(t))), t ∈ [0,+∞).

Lemma. Suppose x(t0) = y(t0) for some t0 ≥ 0, and x(t) ≤ y(t) for all t ∈ [0, t0),and x(t1) < y(t1) for some t1 ≥ t0. Then there exists t2 ∈ (t0, t1) such that x(t2) >y(t2).

The following results illustrate the application of Lemma for the investigation ofthe asymptotic properties of solutions of functional differential equations.

Let the function f satisfy the conditions indicated above, let y be the solution ofthe problem

y(t) = f(t, y(t− ω)), t ∈ [0,+∞); y(t) = α > 0, t ∈ [−ω, 0].

Theorem 1. Suppose the function y is decreasing on [0,+∞). Then there existslim

t→+∞y(t) = ξ ≥ 0, and for the solution x of a problem

x(t) = f(t, x(h(t))), t ∈ [0,+∞); 0 ≤ x(t) ≤ α, t ∈ [−ω, 0],

where h is an arbitrary measurable function such that 0 ≤ h(t) ≤ ω, we havelim

t→+∞x(t) = ξ.

Consider the case that y is not decreasing on [0,+∞). Define H = H(α) as theabsolute value of the function y in its first minimum, that is H = −y(t0), wheret0 = inft > 0 | y(t) ≥ 0. Denote by Hn the n-th iteration of the function H.

Theorem 2. Suppose that Hn(α)→ 0 as n→ +∞. Then for the solution x of aproblem

x(t) = f(t, x(h(t))), t ∈ [0,+∞); 0 ≤ x(t) ≤ α, t ∈ [−ω, 0],

where h is an arbitrary measurable function such that 0 ≤ h(t) ≤ ω, we havelim

t→+∞x(t) = 0.

320

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON FREDHOLM-TYPE SOLVABILITYFOR SECOND-ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL

EQUATIONS WITH INTEGRAL CONDITIONS

Darovskaya K. A.

Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russia; k.darovsk@gmail.com

Consider an ordinary differential operator of the second order with a spectralparameter

Au+ λ2u = −a0(x)u′′(x) + a1(x)u′(x) + a2(x)u(x) + λ2u(x) (x ∈ (0, 1))

and integral conditions

Bρu =

1∑k=0

1∫0

hρk(x)u(k)(x)dx (ρ = 1, 2). (1)

Here ai (i = 0, 1, 2) are real-valued functions such that a0 ≥ m > 0 (x ∈ [0, 1])and a0 is sufficiently smooth close to 0 and 1, a1, a2 ∈ C[0, 1], and λ ∈ C.

Weight functions in (1) are real-valued, belong to space L2(0, 1), and for a fixedρ at least one of the functions hρk (k = 0, 1) is not identically equal to zero. Supposethat among four functions hρk (ρ = 1, 2, k = 0, 1) there exists a pair of functions(denote them H1 and H2) which are linearly independent and belong to the Holderspace Cα (α ∈ (1/2, 1]) close to the ends of interval [0, 1].

Our aim is to obtain an a priori estimate of solution for the problem

(A+ λ2I)u(x) = f0(x) (x ∈ (0, 1)),

Bρu(x) = fρ (ρ = 1, 2),(2)

where f0 ∈ L2(0, 1) and fρ ∈ C (ρ = 1, 2).Let us introduce the determinant ∆12 = H1(0)H2(1)−H1(1)H2(0). Further, ωε,q =

γ ∈ C : |arg γ| ≤ ε or |arg γ − π| ≤ ε and |γ| ≥ q, where 0 < ε < π/2.In the Sobolev space W 2

2 (0, 1) and in the space W[0, 1] = L2(0, 1) × C × C weintroduce equivalent norms depending on the spectral parameter:

∥u∥′W 2

2 (0,1)=(∥u∥2

W 22 (0,1)

+ |λ|4∥u∥2L2(0,1)

)1/2,

∥f∥′W[0,1] =(∥f0∥2L2(0,1)

+ |λ|3(|f1|2 + |f2|2

))1/2.

Here f =(f0, f1, f2

)and |λ| ≥ 1.

Theorem. Let ∆12 = 0. Then for any ε ∈ (0, π/2) there exists q > 1 such thatfor λ ∈ ωε,q any function u ∈W 2

2 (0, 1) satisfies the inequality

∥u∥′W 22 (0,1)

≤ C|λ|1/2∥f∥′W[0,1],

where C > 0 does not depend on λ and f .Remark. Theorem immediately implies the Fredholm-type solvability of prob-

lem (2).This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 12-

01-31454).

REFERENCES1. Darovskaya K. A., Skubachevskii A. L., “A spectral problem with integral conditions,”

J. Math. Sci. (New York), 179, No. 3, 437–445 (2011).2. Skubachevskii A. L., “Nonclassical boundary-value problems. I,” J. Math. Sci. (New

York), 155, No. 2, 199–334 (2008).

321

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON STABILIZATION OF SOLUTIONS TO THE CAUCHYPROBLEM FOR PARABOLIC EQUATIONS

Denisov V. N.

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia; vdenisov2008@yandex.ru

On the half-space D = RN × [0,∞), N ≥ 3, consider the Cauchy problem

Lu ≡ ∆u+

N∑i=1

bi(x, t) + c(x, t)u− ut = 0, (x, t) ∈ D, (1)

u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . (2)

We assume that:1) the coefficients of equation (1) are real and satisfy the Holder condition.2) the coefficients bi(x, t) (i = 1, . . . , N) satisfy condition (B): ∃B > 0

supD

N∑i=1

|bi(x, t)| = B.

3) coefficient c(x, t) satisfies condition (C): ∃α > 0 and k, 0 < k < 1/2,

c(x, t) 6 −α2 min(1, r−2k), r =√x21 + . . .+ x2N .

4) the initial function u0(x) is continuous in RN and satisfies the inequality

|u0(x)| 6M expar1−2k, 0 < k < 1/2, a > 0. (3)

We will say that a solution stabilizes at a point x ∈ RN if there exists the limit

limt→∞

u(x, t) = 0. (4)

For the survey of papers on the stabilization of solutions to parabolic equationssee [1, 2].

Theorem. Suppose that a function u(x, t) is a solution to the Cauchy problem(1), (2), the initial function u0(x) satisfies condition (3), the coefficients b1(x, t), . . . ,bN (x, t) satisfy condition (B) and the coefficient c(x, t) satisfies condition (C) for

α2 > B(1− 2k)a, 0 < k <1

2.

Then the limit (4) exist uniformly in x on every compact K in RN .This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 12-

01-00058).

REFERENCES

1. Fridman A., Partial Differential Equation of Parabolic Type, Prentice Hall, EnglewoodCliffs (1964).

2. Denisov V. N., “On the behavior of solutions of parabolic equations for large value oftime,” Russ. Math. Surv., 60, No. 4, 721–790 (2005).

322

Секция “Дифференциальные уравнения”

A KERNEL IDENTIFICATION PROBLEMIN THE SYSTEM OF INTEGRO-DIFFERENTIAL

MAXWELL EQUATIONS

Durdiev D.K.

Bukhara State University, Bukhara, Uzbekistan; durdiev65@mail.ru

We consider the generalized Cauchy problem for the system of Maxwell integro-differential equations [1] for homogeneous anisotropic crystals with zero initial data

∇×H =∂D(x, t)

∂t+ δ(x)δ(t)e, ∇× E = −∂B(x, t)

∂t, (x, t) ∈ R4,

(E,H)|t≤0 = 0. (1)

Here

D(x, t) = ϵE +

t∫0

φ(t− τ)E(x, t)dτ,

B(x, t) = µH +

t∫0

ψ(t− τ)H(x, t)dτ, (2)

E = (E1, E2, E3), H = (H1, H2,H3), D = (D1, D2, D3), B = (B1, B1, B3),

x = (x1, x2, x3), ϵ = (ϵij)3×3 and µ = (µij)3×3 are the permittivity and permeabil-ity matrices, respectively; φ(t) = diag(φ1, φ2, φ3) and ψ(t) = diag(ψ1, ψ2, ψ3) arediagonal matrices representing the memory; e = (1, 0, 0) is unit vector; δ(x) is theDirac delta function. The matrices ϵ and µ in equations (1) are assumed to be knownconstant matrices. Moreover, ϵ is a symmetric positive definite matrix.

The problem in which the vectors of electromagnetic field E(x, t), H(x, t) shouldbe determined from (1), (2) for a given matrix functions φ(t), ψ(t) will be called thedirect problem.

Let E =(E1, E2, E3

)(ν, t), H =

(H1, H2, H3

)(ν, t) be the Fourier image

of(E,H

)(x, t) with respect to x = (x1, x2, x3) ∈ R3, i.e.

Ej(ν, t) =

∫R3

Ej(x, t)ei(x,ν)dx, Hj(ν, t) =

∫R3

Hj(x, t)ei(x,ν)dx,

ν = (ν1, ν2, ν3) ∈ R3, (x, ν) =

3∑λ=1

xλνλ, j = 1, 2, 3.

We pose the following inverse problem: find the functions φ(t) = diag(φ1, φ2, φ3),ψ(t) = diag(ψ1, ψ2, ψ3) occurring in the integral in equations (1), (2) from the infor-mation on the Fourier image E, H of the electric and magnetic fields at an arbitrarytime t ≥ 0 for the values ν = 0 of the Fourier transformation:(

E, H)(0, t) = g(t), g(t) = (g1, . . . , g6). (3)

At the present paper it is shown that if the function g(t) satisfies some conditionsof agreement and smoothness, the solution to inverse problem (1)–(3) is uniquelydefined in the class of a continuously differentiable functions on the intercept [0, T ],where T is any positive fixed number.

REFERENCES1. Landau L. D., Lifshits E. M., Electrodynamics of Continuous Media, Pergamon Press,

Oxford; London; New York; Paris (1960).

323

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

A BOUNDARY VALUE PROBLEMWITH NONLOCAL CONDITIONS

FOR A SECOND ORDER EQUATION OF MIXED TYPE

Farmonov Sh. R.

Ferghana State University, Ferghana, Uzbekistan; farmonovsh@mail.ru

Let Ω be a finite simple-connected domain of the plane xOy, bounded by segmentsAB = (x, y) : x+y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, OB∗ = (x, y) : y = 0, −1 ≤ x ≤ 0, OA∗ =(x, y) : x = 0, −1 ≤ y ≤ 0 and by arcs AA∗ = (x, y) :

√x +√−y = 1, x > 0,

y < 0, BB∗ = (x, y) :√−x+

√y = 1, x < 0, y > 0, and Ω0 = Ω∩ (x, y) : x > 0,

y > 0, Ω1 = Ω ∩ (x, y) : x + y > 0, y < 0, Ω∗1 = Ω ∩ (x, y) : x + y < 0, x < 0,

Ω2 = Ω ∩ (x, y) : x+ y > 0, x < 0, Ω∗2 = Ω ∩ (x, y) : x+ y < 0, y < 0.

Problem A3. To find a function u(x, y) ∈ C(Ω), satisfying the following condi-

tions:1) in the domain Ω0 u is a regular solution of equation

xuxx + yuyy + αux + αuy = 0, 0 < α = const < 1/2; (1)

2) it is a generalized solution of equation (1) from the class R2 [1] in the domainsΩ1, Ω∗

1, Ω2, Ω∗2;

3) gluing conditions are valid:

limy→−0

(−y)αuy(x, y) = − lim

y→+0yαuy(x, y), 0 < x < 1;

limx→−0

(−x)αux(x, y) = − lim

x→+0xαux(x, y), 0 < y < 1;

4) u satisfies boundary conditions:

u(x, y) = φ(x, y), (0, y) ∈ AB;

u(0, y) + u(0,−y) = f(y), 0 ≤ y ≤ 1;

u[x,−(1−

√x)2]− u

[(1−

√x)2,−x

]= p1(x), 1/4 ≤ x ≤ 1;

u[−(1−√y)2, y

]− u

[−y, (1−√y)2

]= p2(y), 1/4 ≤ y ≤ 1;

limy→+0

yαuy(x, y)− limy→+0

yαuy(−x, y) = g(x), 0 < x < 1.

Here φ(x, y), f(t), g(t), pj(t) are given functions such as pj(1/4) = 0, j = 1, 2.The main result is given by the following theorem.Theorem. Let given functions be satisfied to the following conditions:

φ(x, y) = [x(1− x)]εφ(x), φ(x) ∈ C[0, 1], ε > 1 + α; f(t) = Υ

(t−2β − 1

)+ f(t),

f(0) = Υ, f(t) ∈ C(2,γ)[0, 1], γ > 0; pj(t) = (t− 1/4)γ1 (1−t)γ2 pj(t), pj(t) ∈ C[1/4, 1],

γ1 ≥ 2− 4β, γ2 ≥ 4, j = 1, 2; g(t) = t1−αg(t), g(t) ∈ C[0, 1] ∩ L(0, 1), where

Υ =42ββΓ2(β)

2πΓ(2β)

1∫0

φ(t)[t(1− t)]β+ε−1/2dt.

Then there exists solution of the problem A3.The theorem can be proved by the reducing the problem A3 equivalently to a

singular integral equation.

REFERENCES1. Isamukhamedov S. S., Oramov Zh., “On boundary value problems for equations of mixed

type of the second kind with a nonsmooth line of degeneracy” [in Russian], Differents.Uravneniya, 18, No. 2, 324–334 (1982).

324

Секция “Дифференциальные уравнения”

THE QUAD EQUATION WITH A NONSTANDARDGENERALIZED SYMMETRY STRUCTURE

Garifullin R.N.1, Mikhailov A. V.2, Yamilov R. I.3

1Institute of Mathematics with Computer Center USC RAS,Ufa, Russia; rustem@matem.anrb.ru

2University of Leeds, Leeds, United Kingdom; a.v.mikhailov@leeds.ac.uk3Institute of Mathematics with Computer Center USC RAS,

Ufa, Russia; rvlyamilov@gmail.com

The equation

un+1,m+1(un,m − un,m+1)− un+1,m(un,m + un,m+1) + 1 = 0 (1)

has been found in article [1]. It is shown there that equation (1) has two generalizedsymmetries in different directions:

d

dt1un,m = hn,mhn−1,m(anun+2,m − an−1un−2,m), (2)

d

dt2un,m = (−1)n

un,m+1un,m−1 + u2n,mun,m+1 + un,m−1

, (3)

where hn,m = 1− 2un+1,mun,m, an+2 = an. One can see that n is an outer parameterin equation (3), and this equation is really a known (1+1)-dimensional autonomousequation of the Volterra type. In the case of equation (2), we have the essentiallynon-autonomous Itoh–Narita–Bogoyavlensky type equation with two-periodic coeffi-cient an.

We show that equation (3) can be rewrite as the Tsuchida system [2] for odd andeven un,m. We find Lax pairs for equations (1)–(3) in the form:

Ψn+2,m = Nn,mΨn,m, Ψn,m+1 = Mn,mΨn,m,

d

dt1Ψn,m = An,mΨn,m,

d

dt2Ψn,m = Bn,mΨn,m,

where Ψn,m is a vector function, An,m, Bn,m, Nn,m, Mn,m are 2× 2 matrices.We also construct for that discrete equation hierarchies of generalized symmetries

and conservation laws and derive from it two integrable hyperbolic type systems. L−Apair for equation (1) as well as hierarchies of generalized symmetries and conservationlaws are nonstandard.

REFERENCES

1. Garifullin R. N., Yamilov R. I., “Generalized symmetry classification of discrete equationsof a class depending on twelve parameters,” J. Phys. A: Math. Theor., 45, No. 34, 345205(2012).

2. Tsuchida T., “Integrable discretizations of derivative nonlinear Schrodinger equations,”J. Phys. A: Math. Gen., 35, No. 36, 7827–7847 (2002).

325

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

BURSTING EFFECT IN MODELS WITH DELAY

Glyzin S. D.

Demidov Yaroslavl State University, Yaroslavl, Russia; glyzin.s@gmail.com

We propose a new method for modeling the well-known phenomenon of “burst-ing behavior” in neuron systems by invoking delay equations. Namely, we considera singularly perturbed nonlinear difference-differential equation with two delays de-scribing the functioning of an isolated neuron. Under a suitable choice of parameters,we establish the existence of a stable periodic motion with any prescribed number ofspikes on a closed time interval equal to the period length.

It is well known that self-oscillation processes in neuron systems exhibit the phe-nomenon of alternation of pulse bursts (sets of several consecutive intensive spikes)with relatively smooth regions of membrane potential variation. In the literature,this phenomenon is referred to as bursting behavior. Bursting behavior was studiedin numerous works (see, for example, [1] and the bibliography given there). As therule, the mathematical modeling of this behavior is based on singularly perturbedsystems of ordinary differential equations with one slow and two fast variables; undercertain conditions, such systems may possess stable bursting cycles (periodic motionswith bursting behavior). However, we propose an essentially different approach to thesolution of this problem by introducing time delays.

Following [2], for the mathematical model of an individual neuron we will take thedifference-differential equation

u = λ[f(u(t− h))− g(u(t− 1))]u. (1)

Here u(t) > 0 is the membrane potential of the neuron, the parameter λ > 0 charac-terizing the time rate of change of electric processes in the system is assumed large,and the parameter h is fixed and belongs to the interval (0, 1). We assume that thefunctions

f(0) = 1, g(0) = 0; f(u) = −a0 +O(1/u), uf ′(u) = O(1/u),

g(u) = b0 +O(1/u), ug′(u) = O(1/u) as u→ +∞,(2)

where a0 and b0 are positive constants.Our main result is as follows. For any fixed natural number n, one can choose

the parameters h, a0, b0 (appearing in (1), (2)) so that, for all sufficiently large λ,equation (1) will have an exponentially orbitally stable cycle u = u∗(t, λ) of periodT∗(λ), where T∗(λ) tends to a finite limit T∗ > 0 as λ→∞. On a closed time intervalof period length, the function u∗(t, λ) has exactly n consecutive asymptotically high(of order exp(λh)) spikes of duration ∆t = (1 + 1/a0)h, while it is asymptoticallysmall at other times. In other words, under such a choice of the parameters h, a0, b0,bursting behavior is realized.

The author was supported by the Russian government project no. 11.G34.31.0053.

REFERENCES

1. Coombes S., Bressloff P.C., Bursting: The Genesis of Rhythm in the Nervous System,World Scientific Publishing Company, Singapore (2005).

2. Kashchenko S. A., Maiorov V. V., Models of Wave Memory [in Russian], Librokom,Moscow (2009).

326

Секция “Дифференциальные уравнения”

THE DUAL STREAM FUNCTION APPROACHTO LAGRANGIAN COHERENT STRUCTURES

ARISING IN TURBULENCE

Grebenev V.N.1, Oberlack M.2, Frewer M.3

1Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk, Russia;vngrebenev@gmail.com

2Technische Universitat Darmstadt, Darmstadt, Germany;oberlack@fdy.tu-darmstadt.de

3Technische Universitat Darmstadt, Darmstadt, Germany;frewer@fdy.tu-darmstadt.de

There are some numerical and physical experiments which show that in certainregimes the intermediate wavelengths tend to have vorticity aligned with velocity.These experiments on alignment suggest the following oversimplified picture of cer-tain turbulent flows: The fluid evolves between distinct metastable states, one ofwhich is Beltrami-like, i.e. where uB ∥ ωB and another that consists predominantly oftwo-dimensional coherent structures where uB ⊥ ωB . The coherent structures possesslarge shear stresses which cause short wavelength three-dimensional instabilities. Inturn, these instabilities produce short wavelength Beltrami fields that are themselvesunstable and the process cycles. Hence Beltrami fields might play an important rolewhen investigating the various intrinsic mechanisms of a turbulent flow. Despite theirimportance and inherent intricacy, very little is known about the dynamics of Beltra-mi fields apart from their numerical simulation. The present analytical study wantsto throw more light on this subject which will be taken from the perspective of thedual stream function representation for 3D flows. The aim is to gain more insight intothe general topological and geometrical structure of the full solution manifold for 3Dinviscid steady Euler flows of an incompressible fluid. Although only the local struc-ture of this manifold can be probed many practical insights can be extracted whentrying to visualize the solution manifold via the dual stream function representation.

Using the methodology of Lie groups and Lie algebras we determine new sym-metry and equivalence classes of the stationary three-dimensional Euler equations byintroducing potential functions that are based on the so-called dual stream functionrepresentation of the steady state velocity field u(x, y, z) = ∇λ(x, y, z)×∇µ(x, y, z),which itself can only be defined locally. In particular an infinite dimensional Lie alge-bra for Beltrami fields is gained. We show that this Lie algebra generates canonicaltransformations of a Hamiltonian flow for the dual pair of variables λ and µ. It enablesus to make the classification of a two-dimensional Riemannian manifold M2 wherein(λ, µ) presents the local coordinates of M2. Furthermore the local geometry of thismanifold is explored in detail. As a result an infinite set of locally conserved currentsand charges in the context of the conformal field theory is finally observed.

This work was supported by DFG Foundation (grant no. OB 96/32-1) and partially thefirst author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 12-01-00648 a) and by grant of the Government of RF for supporting of scientific investigationsunder the guidance of the invited investigator (grant no. 12.740.11.1430).

327

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON NON-TRIVIAL SOLUTIONS OF A HOMOGENEOUSTWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMFOR A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

Kalenyuk P. I.1,2, Nytrebych Z. M.1, Kohut I. V.1

1Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine;2University of Rzeszow, Rzeszow, Poland;

pkalenyuk@gmail.com, znytrebych@gmail.com, ikohutua@yahoo.com

Problems with multipoint conditions for partial differential equations are known [1]to be generally ill-posed problems. That ill-posedness is mostly connected with theexistence of non-trivial null space of the problem.

In the domain (t, x) ∈ R2 we study the homogeneous problem:[∂2

∂t2+ 2p

(∂

∂x

)∂

∂t+ q

(∂

∂x

)]u(t, x) = 0,

u(0, x) = u(T, x) = 0,

where p(∂∂x

), q(∂∂x

)are any differential polynomials with constant coefficients, T ∈ R,

T > 0.According to the differential-symbol method [2], we shall search for the solutions

of problem (1), (2) in the form as follows:

u(t, x) = φ

(∂

∂ν

)sh[t

√D(ν)]√

D(ν)]exp[−p(ν)t+ νx]

∣∣∣∣∣ν=0

,

where D(ν) = p2(ν)−a(ν), φ(∂∂ν

)is a differential expression with (unknown) symbol

φ(ν), ν ∈ C.We investigate the following cases.1. When D(ν) ≡ D = const = πki, k ∈ Z\0, problem (1), (2) has only trivial

solution.2. For the case when D(ν) ≡ D = const = πki, k ∈ Z\0, we find nontrivial

solutions of problem (1), (2) with arbitrary entire function φ(x) of certain order.3. When D(ν) = const, we specify formulas for constructing nontrivial quasipoly-

nomial solutions of problem (1), (2).Separately, we consider the case when p(ν), q(ν) are arbitrary entire functions.

REFERENCES

1. Ptashnyk B. I., Ill-Posed Boundary Value Problems for Partial Differential Equations[in Russian], Naukova dumka, Kyiv (1984).

2. Kalenyuk P. I., Baranetskyi Ya.Ye., Nytrebych Z. N., Generalized Method of Separationof Variables [in Russian], Naukova dumka, Kyiv (1993).

328

Секция “Дифференциальные уравнения”

OPTIMAL CONTROL OF ONE-DIMENSIONAL WAVEEQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENTS

IN THE SOBOLEV SPACE W l1

Khurshudyan As. Zh.

Yerevan State University, Yerevan, Armenia; asaturkhurshudyan@yandex.ru

Unlike to control problems for wave equation with constant parameters, relativelylittle attention has been devoted to those for wave equation with variable parameters(see e.g. [1–3] and the references cited therein). In [1] such control problem has beenconsidered in L2, while in [2, 3] it has been considered in L1. Here an optimal controlproblem is considered for one-dimensional wave equation with variable coefficients

∂

∂x

[E(x)

∂w(x, t)

∂x

]− ρ(x)

∂2w(x, t)

∂t2= u(t)v(x), x ∈ (0, 1), t ∈ [0, T ], (1)

w(0, t) = u0(t), w(1, t) = u1(t), (2)

to find necessary and sufficient conditions of existence and to determine uo(t) controlfunction optimal in the sense of criterion

κ[u] =

T∫t0

[|u(t)|+

l∑s=1

|Dsu(t)|]dt ≡ ∥u∥W l

1,

where Ds denotes s-th generalized derivative, guaranteeing terminal condition

w(x, T ) ≡ 0,∂w(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=T

≡ 0, x ∈ [0, 1],

for given initial data. Functions u(t), u0(t) and u1(t) are supposed to be compactlysupported in [0, T ], one of which can be considered as control function. The set ofcompactly supported in [0, T ] functions from W l

1[0, T ] is taken as class of admissiblecontrols. Using Fourier generalized integral transform the solution of the problem isreduced to system of moments problem. Then, on the bases of moments problemsolution method outlined in [4] we obtain

uo(t) = uo0δ(t− t0) +l∑

j=1

uojδ(j)(t− tj), t ∈ [0, T ],

where δ(t) is Dirac delta function, δ(j)(t) is its j-th derivative, tjj=0;l ⊂ [0, T ].Theorem. For optimal controllability of system (1), (2) in the sense of W l

1[0, T ]

it is necessary and sufficient, that ρol =l∑

j=1

|uoj | = 0 for all l.

REFERENCES1. Borovskikh A. V., “Boundary control formulas for an inhomogeneous string: I, II,” Differ.

Equ., 43, No. 1, 69–95; No. 5, 656–666 (2007).2. Khurshudyan As. Zh., “On optimal null-finite control of non-homogeneous rod vi-

brations,” in: Applied Mathematics, Informatics, Mechanics, Vol. 1, VSU Publisher,Voronezh, 2012, pp. 393–399.

3. Khurshudyan As. Zh., “On optimal boundary control of non-homogeneous string vibra-tions under impulsive concentrated perturbations with delay in controls,” in: Proc. ofIntnern. Conf. dedicated to 120th anniversary of Stefan Banach, Lviv, 2012, pp. 203–205.

4. Krasovskii N. N., Motion Control Theory [in Russian], Nauka, Moscow (1968).

329

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON THE EXISTENCE OF A STATIONARY MEASUREFOR THE STOCHASTIC SYSTEM

OF THE LORENZ MODELFOR BAROCLINIC ATMOSPHERE ON A SPHERE

Klevtsova Yu.Yu.

Siberian Regional Hydrometeorological Research Institute, Novosibirsk, Russia;yy_klevtsova@ngs.ru

We consider the system of equations of the two-layer quasi-solenoidal Lorenz modelfor a baroclinic atmosphere

∂

∂tA1u+ νA2u+A3u+B(u) = g, t > 0, (1)

on the two-dimensional unit sphere S centered at the origin of the spherical polarcoordinates

(λ, φ), λ ∈ [0, 2π), φ ∈[−π

2,π

2

], µ = sinφ.

Here ν > 0 is the kinematic viscosity, u(t, x, ω) = (u1(t, x, ω), u2(t, x, ω))T is an

unknown vector field and g(t, x, ω) = (g1(t, x, ω), g2(t, x, ω))T is a given vector field,

x = (λ, µ), ω ∈ Ω, (Ω, P, F ) is a complete probability space,

A1 =

(−∆ 00 −∆ + γ

), A2 =

(∆2 00 ∆2

),

A3 =

(−k∆ 2k∆k∆ −(2k + k1 + νγ)∆ + ρ

),

B(u) = (J(∆u1 + 2µ, u1) + J(∆u2, u2), J(∆u2 − γu2, u1) + J(∆u1 + 2µ, u2))T.

Also, γ, ρ, k, k1 ≥ 0 are numerical parameters, J(ψ, θ) = ψλθµ − ψµθλ is the Jacobioperator, and ∆ψ = ((1−µ2)ψµ)µ+(1−µ2)−1ψλλ is the Laplace – Beltrami operatoron the sphere S. A random vector field g = f+η is taken as the right-hand side of (1);here the random external force f(x, ω)=(f1(x, ω), f2(x, ω))T is independent of t andsquare summable in ω and the random vector field η(t, x, ω) = (η1(t, x, ω), η2(t, x, ω))T

is a white noise in t. In [1] it was shown that the Cauchy problem with randominitial data for this system has a unique solution and it was obtained an estimate forthe continuous dependence of the solution on the set of random initial data and anexternal force on a finite interval of variation of variable t. Also, in [2] it was obtainedthe sufficient conditions on the parameters ν, γ, ρ, k, k1 and the right-hand side of(1) for existence of a stationary measure of Markov semigroup which is defined by thesolutions of the Cauchy problem.

The author is grateful to Academician of RAS V. P. Dymnikov and ProfessorV.N. Krupchatnikov for posing the problem.

REFERENCES

1. Klevtsova Yu.Yu., “Well-posedness of the Cauchy problem for the stochastic system forthe Lorenz model for a baroclinic atmosphere,” Sb. Math., 203, No. 10, 1490–1517 (2012).

2. Klevtsova Yu.Yu., “On the existence of a stationary measure for the stochastic systemfor the Lorenz model for a baroclinic atmosphere,” Sb. Math. (to appear).

330

Секция “Дифференциальные уравнения”

BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR FIRST-ORDER HYPERBOLIC SYSTEMS:

REGULARITY, FREDHOLMNESS, BIFURCATIONS,AND DICHOTOMY

Kmit I.

Humboldt University, Berlin, Germany;Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Lviv, Ukraine;

kmit@informatik.hu-berlin.de

We give an exposition of recent results on regularity [1, 2], Fredholm properties[3, 4], Hopf bifurcation [5], and robustness of exponential dichotomies [6] of boundaryvalue problems for general first-order one-dimensional semi(linear) hyperbolic sys-tems. For initial-boundary value problems we show that large classes of boundaryoperators (modeling processes in laser dynamics, population dynamics, and chemicalkinetics) cause an effect that smoothness increases with time. This property is thekey in finding parametrices for hyperbolic problems. We construct parametrices fordissipative periodic problems subjected to reflection boundary conditions and showthat these problems are modeled by Fredholm operators of index zero. The problemof small denominators arising here is prevented by a certain dissipativity conditionformulated in terms of the coefficients of PDEs and reflection boundary coefficients.

Moreover, we state conditions for Hopf bifurcation, i.e., for existence, local unique-ness (up to phase shifts), smoothness and smooth dependence on control parameters oftime-periodic solutions bifurcating from the zero stationary solution. The proof is doneby means of a Lyapunov–Schmidt reduction procedure, where the established Fred-holm property of the linearization is essentially used. It should be noted that, amongothers, the question if a non-degenerate time-periodic solution depends smoothly onthe system parameters is much more delicate for hyperbolic PDEs than in the case ofparabolic PDEs or ODEs.

Finally, we examine robustness of exponential dichotomies of boundary value prob-lems. The boundary conditions are supposed to be of types ensuring smoothing solu-tions in finite time. We show that the dichotomy survives in the space of continuousfunctions under small perturbations of all coefficients in the differential equations.

REFERENCES

1. Kmit I., “Smoothing solutions to initial-boundary problems for first-order hyperbolicsystems,” Appl. Anal., 90, No. 11, 1609–1634 (2011).

2. Kmit I., “Smoothing effect and Fredholm property for first-order hyperbolic PDEs,” in:Pseudo-Differential Operators, Generalized Functions and Asymptotics (Operator The-ory: Advances and Applications, 231), Birkhauser, Basel, 2013, pp. 219–238.

3. Kmit I., Recke L. “Fredholmness and smooth dependence for linear time-periodic hyper-bolic problems,” Differ. Equ., 252, No. 2, 1962–1986 (2012).

4. Kmit I., Recke L. “Periodic solutions to dissipative hyperbolic systems. I: Fredholm solv-ability of linear problems,” arXiv:1108.2882 [math.AP], 18 pages (2013).

5. Kmit I., Recke L. “Periodic solutions to dissipative hyperbolic systems. II: Hopf bifurca-tion for semilinear problems,” arXiv:1302.1414 [math.AP], 48 pages (2013).

6. Kmit I. Ya., Recke L., Tkachenko V. I. “Robustness of exponential dichotomies ofboundary-value problems for general first-order hyperbolic systems,” Ukr. Math. J., 65,No. 2, 1–16 (2013).

331

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

RIGHT-PART STABILITYOF A DELAY DIFFERENCE EQUATION

Kulikov A. Y.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia; stphn@mail.ru

Put N0 = N ∪ 0, ∆N = (n,m) ∈ N20 : n ≥ m. Let Cr be the r-dimensional

complex linear space; Cr×r be the space of r × r complex matrices; lp, 1 ≤ p < ∞,

be the space of functions f : N0 → Cr satisfying the condition∞∑n=0|f(n)|p < ∞ with

norm ∥f∥p =

( ∞∑n=0|f(n)|p

)1/p

; l∞ be the space of bounded functions f : N0 → Cr

with norm ∥f∥∞ = supn∈N0

|f(n)|.

Consider a nonautonomous difference equation with several delays

x(n+ 1)− x(n) +

N∑k=0

ak(n)x(n− hk(n)) = f(n), n ∈ N0, (1)

where ak : N0 → Cr×r, f : N0 → Cr, hk : N0 → N0.The Cauchy function of equation (1) is a matrix function K : ∆N → Cr×r that for

any fixed m ∈ N0 satisfies the equation

K(n+ 1,m)−K(n,m) = −A(n)K(n− h(n),m), n > m,

and the initial conditions K(m,m) = E, K(n,m) = Θ, n < m.

Define an operator K : lp → l∞ by putting (Kf)(n) =n−1∑i=0

K(n, i+ 1)f(i).

It could be easily seen that the stability of equation (1) with respect to the right-hand part is equivalent to the boundedness of the operator K. Moreover, the followingproposition is valid.

Lemma. For any p, 1 ≤ p ≤ ∞, if the operator K acts from the space lp to thespace l∞ then K is bounded.

Theorem 1. The operator K acts from the space l1 to the space l∞ if and onlyif the Cauchy function of equation (1) is uniformly bounded.

Suppose h(n) = maxk∈[0,N ]

hk(n); a(n) =N∑k=0

|ak(n)| if n ∈ N0, a(n) = 0 if n /∈ N0.

We say that equation (1) satisfies the V -condition, if supn∈N0

n∑i=n−h(n)

a(i) <∞.

Theorem 2. Let equation (1) satisfy the V -condition. Then the following state-ments are equivalent:

• for some p, 1 < p ≤ ∞, the operator K acts from lp to l∞;

• for any p, 1 < p ≤ ∞, the operator K acts from lp to l∞;

• the Cauchy function of equation (1) has an exponential estimate.

332

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON SOLUTIONS TO A SINGULAR ANISOTROPICCURVATURE FLOW

Lasica M.

University of Warsaw, Warsaw, Poland; lasica@mimuw.edu.pl

Let γ : Rn → R be convex and one-homogeneous. Further, let Ω be a region in Rnwith regular boundary and n — a consistently chosen field of vectors normal to ∂Ω.Then, weighted curvature κγ of ∂Ω corresponding to anisotropy function γ is definedby

κγ = div∂Ω∇ξγ|ξ=n.

The restricted divergence div∂Ω of a smooth vector field v on ∂Ω may be defined by

div∂Ωv = tr (I− n⊗ n)∇v.

Corresponding generalized curvature flow is now given by vector field v = −κγn. Incase γ(ξ) = ∥ξ∥2 this is the mean curvature flow and in case γ(ξ) = ∥ξ∥1 (in ap-propriate weak formulation) this is the crystalline curvature flow investigated, amongothers, by Mucha and Rybka. An interesting feature of the latter case is formation ofgrowing facets, i.e. flat parts of solution.

The poster will present work in progress on a somehow intermediate case of (one-homogeneous) anisotropy function on R2 given by

γ(ξ) = (ξ1 + a sgn ξ1)2 + (ξ2 + a sgn ξ2)2, 0 < a < 1,

for ξ ∈ γ−1(1). Locally, when ∂Ω is a graph of function y = u(x) this gives rise to asingular parabolic equation of form

ut = (G(ux))x + (F (ux)sgnux)x,

where G′ > 0, F > 0. We will concentrate, beside matters of existence and regularity,on behaviour of facets which in this case is more complicated than in pure crystallinecase (e.g. they might disappear) due to competition between regular and singulardiffusion which is present in this equation.

REFERENCES

1. Mucha P.B., Rybka P., “A note on a model system with sudden directional diffusion,” J.Stat. Phys., 146, No. 5, 975–988 (2012).

2. Mucha P.B., Rybka P., “A caricature of a singular curvature flow in the plane,” Nonlin-earity, 21, No. 10, 2281–2316 (2008).

333

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

FRACTIONAL-ORDER DIFFERENTIAL /DIFFERENCEEQUATIONS AROUND US

Latawiec K. J.1, Stanis lawski R.2, Lukaniszyn M.3

Opole University of Technology, Opole, Poland; 1k.latawiec@po.opole.pl,2r.stanislawski@po.opole.pl, 3m.lukaniszyn@po.opole.pl

The most popular time-domain model of a dynamical system is an ordinary dif-ferential equation (ODE) with the system input u(t), output y(t) and t being thecontinuous time. Both input and output can be either scalar or vector variables, withthe latter case being referred to as a multi-input / multi-output (MIMO) system. Inthe classical well-known case ODE contains ordinary derivatives of input(s) and out-put(s) with the orders of the derivatives being integers. In case of a linear integer-ordersystem the shares of particular derivatives within ODE are weighted by the associatedparameters. The birth of noninteger or fractional-order systems can be traced back to1695 when Leibnitz and L’Hospital communicated to each other on a possibility for aderivative to assume a noninteger / fractional value, e.g. 1/2. However, it is not untilthe 19th century that rigorous mathematical approaches addressed a fractional-orderderivative (FOD) as a result of the wide-spread involvement of prominent mathe-maticians. Consequently, various types of FOD were defined, of which the three mostpopular ones, that is those of Riemann–Liouville, Caputo and Grunwald–Letnikov,have been attracting the research interest until now. In a historical survey, three rep-resentative publications on theory and applications of FOD-based systems can berecalled. The selection of the books and papers in this presentation is by no meanscomplete, in fact there are hundreds of them appearing each month on the FOD-related market. In the first attempt at commenting on a myriad of applications ofFOD in a variety of scientific disciplines, selected general application areas are listed,ranging from electrical / control, mechanical, chemical, civil and computer engineering,through signal / image processing and nanotechnology up to biology, bioengineeringand medicine. Selected FOD application topics are specified and supported with somepublications. These include viscoelasticity, ultra / supercapacitors, diffusion problems,image processing and medicine. Important implementation issues are related with theadvent of computers and the introduction of the Grunwald–Letnikov fractional-orderdifference (GLFD or shortly FD), which is used to model discrete-time dynamical sys-tems but which may face the computational explosion problem. In the second attemptat commenting on application / implementation issues, including our contributions inthe field, two FD-related research problems are specified, that is 1) approximation ormodeling of FD (in order to avoid the computational explosion) and 2) asymptoticstability of FD-based LTI MIMO discrete-time state space systems. Our contributionto the solution of the first problem lies in the introduction of new, effective models ofFD, including finite fractional difference (FFD), normalized FFD (NFFD), adaptiveFFD (AFFD) and finite fractional / Laguerre-based difference (FFLD). The modelsprovide both accuracy and computational efficiency to the solution of the modelingproblem for FD. The solution to the second problem is culminated with the presenta-tion of the authors’ original result that is an ultimate stability criterion for FD-basedLTI discrete-time systems, the long-awaited result paralleling the existing one forcontinuous-time FOD-based systems. The above two effective solutions to the FD-related problems in the analysis of fractional-order LTI MIMO systems are supportedwith selected publications of our group affiliated with the Department of Electrical,Control and Computer Engineering, Opole University of Technology.

334

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON SOME PROBLEM FOR THE SYSTEMSOF EVOLUTION EQUATIONS

Lyubanova A. Sh.

Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia; lubanova@mail.ru

Let Ω be a domain in Rn with a smooth boundary ∂Ω, Ω is the closure of Ω, T isan arbitrary positive real number, QT = (0, T )× Ω and ST = [0, T ]× ∂Ω.

The initial-boundary value problem for the systems of evolution equations

(I + η1M1)u1t +M2u1 = g1(x)U1 +AU2 + f1(t, x), (1)

(I + η2L1)u2t + L2u2 = Bu1 + σ(x, u1) + f2(t, x) (2)

is studied in the cylinder QT in the case that the conditions with respect to the timevariable are given only for one of the unknown functions. Here Li and Mi, i = 1, 2,are linear elliptic differential operators of the second order, I is the identical operator,B is a linear differential operator of the second order; ηj ≥ 0, j = 1, 2, are constants,

Ui(x) ≡T∫0

uidt, i = 1, 2; σ(x, p) is a function of variables x and p; g1(x) and fi,

i = 1, 2, are given functions. It is supposed that either A is linear elliptic differentialoperator of the second order or A = g2(x)I where g2(x) is a known function.

The problem is to find the pair of functions u1, u2 satisfying (1), (2) when alongwith the initial data for the function u1

u1|t=0 = u0(x), x ∈ Ω, (3)

the same function is given at the final moment of time

u1|t=T = uT (x), x ∈ Ω, (4)

and the boundary conditions are taken of the Dirichlet type

uk|ST = βk(t, x), k = 1, 2. (5)

The sufficient conditions of the existence and uniqueness of a weak solution to thisproblem are established in the following cases: 1) η1 = 0, η2 = 0 (parabolic system);2) η1 > 0, η2 > 0 (pseudoparabolic system); 3) η1 > 0, η2 = 0 (mixed system).

The existence and uniqueness of the solution to the problem is proved in twosteps. At the first step we establish the existence and uniqueness of the solution tothe problem (1), (3)–(5) for the first function u1 as an inverse problem of recoveringan unknown integral U2 of the second function u2 as a source function. The secondstep consists of finding the function u2 as the solution of an appropriate problem forthe equation (2) with the boundary data (5) provided that the function u1 and theintegral U2 are known. For parabolic and mixed systems (1), (2) the proofs of thetheorems lean upon the results of [1].

REFERENCES

1. Shelukhin V. V., “A problem with time-averaged data for nonlinear parabolic equations,”Sib. Math. J., 32, No. 2, 309–320 (1991).

335

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

USE OF THE TEST-METHODFOR INVESTIGATION OF STABILITY

OF FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Malygina V. V.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia; mavera@list.ru

We consider linear functional differential equations

x(t) = (Tx)(t) + f(t), t ≥ 0, (1)

where T is a linear bounded regular Volterra operator acting from the space of lo-cally absolutely continuous functions (Dloc) to the space of locally integrable func-tions (Lloc). Initial conditions being given, equation (1) is unique solvable in Dloc forall f ∈ Dloc.

A method for investigation of the stability of solutions of equation (1) is presented.The essence of the method is in the following.

Let us impose on the operator T some additional restrictions defined by a finiteset of parameters. Equations, of the form (1), that satisfy the restrictions constitutea family of equations. Suppose we can select a test equation from the family so thatthe stability of the test equation guarantee the stability of each equation of the family.If the problem of stability investigation for the test equation is effectively solvable,then we obtain sufficient conditions of the stability of all family (1). Moreover, ifwe manage to obtain a criterion of stability for the test equation, then the obtainedcondition of the stability of all the family is sharp.

Let us present examples of equation families for which test equations have beenconstructed and investigated.

Example 1. Equations with constant coefficients and variable delays

x(t) = a0x(t)−n∑k=1

akx(t− rk(t)) + f(t), t ≥ 0,

where 0 ≤ rk(t) ≤ ωk, ak ≥ 0, k = 1, . . . , n, compose the equation family characterizedby the set of parameters aknk=0 and ωknk=1.

In the two following examples integrals are understood in the sense of Riemann–Stieltjes, and r(t, ·) is a monotonically decreasing function with variationρ(t) =

∨t0 r(t, ·).

Example 2. Equations with constant variation

x(t) = ax(t) +

t∫0

x(s)dsr(t, s) + f(t), t ≥ 0,

where r(t, s) = 0 for t > s + ω, and ρ(t) ≡ b, constitute the equation family withparameters a, ω, b.

Example 3. Equations with distributed delay

x(t) =

t∫0

x(s)dsr(t, s) + f(t), t ≥ 0,

wheret∫

h(t)

ρ(s)ds ≤ ω, h(t) = sups ∈ [0, t] : r(τ, ζ) = 0 ∀τ ≥ t ∀ζ ≤ s, constitute

the equation family characterized by the only parameter ω.

336

Секция “Дифференциальные уравнения”

COMPLETE GROUP CLASSIFICATION OF SYSTEMSOF TWO LINEAR SECOND-ORDER ORDINARY

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Meleshko S. V.1, Moyo S.2

1Suranaree University of Technology, Nakhon Ratchasima, Thailand;sergey@math.sut.ac.th

2Durban University of Technology, Durban, South Africa; moyos@dut.ac.za

We give a complete group classification of the general case of linear systems of twosecond-order ordinary differential equations excluding the case of systems which arestudied in the literature. This paper gives the initial step in the study of nonlinearsystems of two second-order ordinary differential equations. It can also be extended tosystems of equations with more than two equations. Furthermore the complete groupclassification of a system of two linear second-order ordinary differential equations isdone. Four cases of linear systems of equations are obtained.

337

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

STABILITY OF LINEARDELAY DIFFERENTIAL SYSTEMS

Mulyukov M. V.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia;mulykoff@gmail.com

Consider a system of two linear autonomous differential equations with delayx(t) +Ax(t) +Bx(t− τ) = f(t), t > 0,

x(ξ) = ψ(ξ), ξ ≤ 0,(1)

where A, B are real 2 × 2 matrices, τ = const > 0, and ψ, f are locally integrablevector functions.

Our purpose is to obtain an effective sharp criterion of the Lyapunov stabilityand the asymptotic one for system (1). Asymptotic properties of its solution aredetermined by the location of roots of the following characteristic quasipolynomialwith five real parameters

F (z) = α+ βe−z + γe−2z + µz + νze−z + z2,

where α = detA, β = det (A+B)− detA− detB = SpASpB − SpAB, γ = detB,µ = SpA, ν = SpB.

The following conditions are equivalent [1]:1) F (z) = (λA1 +λB1 e

−z +z)(λA2 +λB2 e−z +z), where λA,Bi are eigenvalues of matrices;

2) (2β − µν)2 = (µ2 − 4α)(ν2 − 4γ);3) det (AB −BA) = 0;4) the matrices A, B are simultaneously triangularizable by basis transformation.

Thus, if det (AB −BA) = 0 then the stated problem is solved completely. Other-wise the quasipolynomial F can not be essentially simplified. In the paper [2] therewere obtained sharp stability criteria for the systems such that three coefficients of Fare equal to zero. For example, a system

x(t) + ( 0 10 0 )x(t) +

(−b 0−c b

)x(t− 1) = 0

is asymptotically stable if and only if −b2 < c < 2b2 cos b. Thus, for system (1) to bestable it is not necessary to have at least one stable matrix.

Besides, we obtained several sharp stability criteria for the following three-para-metric systems:1) β = γ = 0, here F is the characteristic function of so-called delayed oscillator ;2) µ = ν = 0, this result can be used for stabilization of inverted pendulum;3) µ = β = 0, this system is a linear approximation of Lotka–Volterra populationdynamics model with time delay.

REFERENCES

1. Mulyukov M. V., “On factorization of the characteristic quasipolynomial of a system oflinear differential equations with delay” [in Russian], Izv. VUZ, No. 9, 38–44 (2013).

2. Mulyukov M. V., “On asymptotic stability of two-parameter systems of differential equa-tions with delay” [in Russian], Izv. VUZ (to appear).

338

Секция “Дифференциальные уравнения”

INTERPLAY BETWEEN FLOCKING PARTICLESAND A NON-NEWTONIAN VISCOUS FLUID

Peszek J. P.

University of Warsaw, Warsaw, Poland; j.peszek@mimuw.edu.pl

We will present an interplay between flocking particles and an incompressibleviscous non-Newtonian fluid. The flocking is described by the Cucker–Smale’s flockingmodel, which in our case is associated with the following Vlasov type equation:

∂tf + v · ∇f + divv[F (f)f ] = 0,

where f(x, v, t) is the density of particles that at the time t have position x andvelocity v. The fluid is described by a classic hydrodynamics’ equation

∂tu+ (u · ∇)u+∇π − div S(Du) = 0,

div u = 0,

where u(x, t) and π(x, t) are respectively the velocity and the pressure of the fluid atthe position x and time t. The stress tensor S is given by

S(Du) = |Du|p−2Du

or more generally, it satisfies appropriate growth and coercivity conditions. We willcompare our results to the coupled Navier–Stokes–Vlasov system (see [1]) and Navier–Stokes–Cucker–Smale system (see [2]).

REFERENCES

1. Boudin L., Desvillettes L., Grandmont C., Moussa A., “Global existence of solution forthe coupled Vlasov and Navier–Stokes equations,” Differ. Integral Equ., 22, No. 11–12,1247–1271 (2009).

2. Bae H.-O., Choi Y.-P., Ha S.-Y., Kang M.-J., “Time-asymptotic interaction of flockingparticles and an incompressible viscous fluid,” Nonlinearity, 25, No. 4, 1155–1177 (2012).

339

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON GARDING-TYPE INEQUALITIESFOR DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS

WITH DEGENERATION

Popov V. A.

Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russia; volodimir.a@gmail.com

Differential-difference equations with degeneration in the case where the operatoris a composition of a strongly elliptic differential operator and a degenerate differen-tial operator were studied by Skubachevskii. He proved that such problems can bereduced to nonlocal boundary value problems which have applications to the theoryof plasma [1, 3].

We consider the following differential-difference equations

ARu = −n∑

i,j=1

∂

∂xibij(x)

∂

∂xjRiju = f(x) (x ∈ Q)

with boundary condition

u(x) = 0 (x ∈ Rn \Q),

where Q ⊂ Rn is bounded domain with boundary ∂Q ⊂ C∞, Rij : L2(Rn)→ L2(Rn)are difference operators defined by

Riju(x) =∑h∈M

aijhu(x+ h),

where the set M⊂ Z is finite, aijh ∈ C.Unlike strongly elliptic functional differential equations, smoothness of generalized

solutions to elliptic functional differential equations with degeneration can be violat-ed [1, 3–6]. Moreover, generally speaking, generalized solution of such equation doesnot belong even to the Sobolev spaces of first order.

In this work we obtained Garding-type inequalities for differential-difference equa-tions with degeneration.

The author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 12-01-00524, no. 12-01-31454).

REFERENCES

1. Skubachevskii A. L., Elliptic Functional Differential Equations and Applications,Birkhauser, Berlin (1997).

2. Keldysh M. V., “On some cases of degeneration of elliptic type on the boundary of adomain” [in Russian], Doklady Akad. Nauk SSSR, 77, No. 2, 181–183 (1951).

3. Skubachevskii A. L., “Elliptic differential-difference equations with degeneration” [in Rus-sian], Trudy Moskov. Matem. Obshtsh.; English transl. in Trans. Mosc. Math. Soc., 59,240–285 (1997).

4. Popov V. A., Skubachevskii A. L., “Sectorial differential-difference operators with degen-eration,” Dokl. Math., 80, No. 2, 716–719 (2009).

5. Popov V. A., Skubachevskii A. L., “A priori estimates for elliptic differential-differenceoperators with degeneration,” J. Math. Sci. (New York), 171, No. 1, 130–148 (2010).

6. Popov V. A., Skubachevskii A. L., “Smoothness of generalized solutions of ellipticdifference-differential equations with degeneration near boundaries of subdomains,” Russ.Math. Surv., 66, 1204–1206 (2011).

340

Секция “Дифференциальные уравнения”

ON EXPONENTIAL STABILITYOF A LINEAR AUTONOMOUS DIFFERENTIAL

EQUATION WITH DISTRIBUTED DELAY

Sabatulina T. L.

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia;tsabatulina@gmail.com

We consider a linear autonomous differential equation with distributed delay

x(t) + ax(t) + k

t−τ∫t−τ−h

x(s) ds = f(t), (1)

where a, k ∈ C, τ , h ∈ R+, and f is a locally integrable function.For the first time, conditions of stability for solutions of functional differential

equations were obtained for equations with concentrated delay. Later on, the mostof investigations have been devoted specifically to this type of equations. Up to nowequations with distributed delay have been essentially less studied, results for thembeing usually corollaries of theorems for equations of the common form. Hence knownconditions of stability are generally far from sharpness. Results of works, where equa-tions with distributed delay were specifically investigated, discover essential distinc-tions between the domains of stability for equations with distributed delay and withconcentrated one. Moreover, while studying mathematical models, it is not alwaysreasonable to assume that delay is concentrated, since, in fact, some diffusion of delayoccurs near its mean value.

By applying the Laplace transform, the investigation of equation (1) is reduced [1]to the analysis of the distribution of zeros of the characteristic function

g(p) = p+ a+k

pe−pτ (1− e−ph) (2)

with respect to the imaginary axis. Function (2) is more complicated than the char-acteristic polynomial of the analogous equation with concentrated delay.

We manage to obtain necessary and sufficient conditions of the exponential sta-bility of (1) in terms of parameters of the equation. In the case that a ∈ R, k ∈ C,and τ/h = 0 the boundary of the domain of stability is an unbounded curvilinearcone. Changing the parameter τ/h from 0 to +∞ we see that the top of the cone ismoving along a straight line from the point −2, 2, 0 to the point 0, 0, 0, while thecone itself, being deformed continuously, asymptotically approaches to a right circularcone. One may consider this one-parameter family of cones as the domain of stabili-ty in the four-dimensional space Im(kh2),Re(kh2), ah, τ/h. While ah is increasingfrom 0 to +∞, the domain of stability rises infinitely, its volume rising too; while ahis decreasing from 0 to −2, the domain decreases and turns into a bounded one; forah = −2 the domain shrinks into a single point. In addition, we manage to representthe boundary of the domain of stability as a set of three-dimensional sections withtwo fixed parameters, |kh2| and τ/h.

REFERENCES

1. Bellman R., Cooke K. L., Differential-Difference Equations, Academic Press, New York;London (1963).

341

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

STATE VARIATION IN AN OPTIMIZATION CONTROLPROBLEM FOR A NONLINEAR ELLIPTIC EQUATION

WITH STATES CONSTRAINTS

Serovajsky S. Ya.

Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan; serovajskys@mail.ru

There are two methods of the justification of the optimality conditions. The con-trol is the primary notion for the first method. The state function is the solution ofthe state equation here. Then conditions of optimality can be obtained by means ofthe variation of the control. The state equation is interpreted as the constraint forthe second method. The control and the state are equal right here. This method ispreferable for the optimization problems with state constraints because it is not clearhow we can variate the control to guarantee the validity of the state constraints.

We propose to use the state variation here. The single-valued solvability of thestate equation guarantees the isomorphism between controls set and states set. Sothe state equation can be interpreted as the means of finding the control. Thereforewe can obtain necessary conditions of optimality in the case of the general form ofthe state constraints.

We consider the nonlinear elliptic equation

−∆y + a(x, y) = v

with homogeneous boundary conditions (Dirichlet problem), where v is a control, andy is the corresponding state. The function a satisfies the standard assumptions of themonotonicity, coercivity and degree of the increasing condition here. The boundaryvalue problem has the unique solution in this case. Determine a convex closed subsetY of the space H1

0 (Ω) and the functional

I =1

2

∥∥y − z∥∥2H1

0 (Ω)+χ

2

∥∥v∥∥2H−1(Ω)

,

where z ∈ H10 (Ω) is a given function, χ > 0, and the functions y and v satisfy the

state equation. We have the problem of the minimization of the given functional onthe set of the pairs “control-state” with additional condition y ∈ Y . The solvability ofthis problem is proved.

Using the single-valued solvability of the state equation we propose the state asthe independent parameter, and the control as dependent value characterized by thestate equation. Then we get necessary conditions of optimality in the form of thevariational inequality by using of the state variation on the set Y .

342

Секция “Дифференциальные уравнения”

TWO PROBLEMS ON STABILIZATION OF STATICALLYUNSTABLE SYSTEMS BY VIBRATION

Seyranian A. P.

Lomonosov Moscow State University,Moscow University of Finance and Law, Moscow, Russia;

seyran@imec.msu.ru

A problem of stabilization of a vertical (inverted) position of a pendulum by highfrequency vibration of the suspension point is considered. Small viscous dampingis taken into account, and periodic excitation function describing vibration of thesuspension point is assumed to be arbitrary. A formula for stability region of Hill’sequation with damping near zero frequency is obtained. For several examples it isshown that analytical and numerical results are in good agreement with each other.An asymptotic formula for stabilization region of the inverted pendulum is derived.It is shown that the effect of small viscous damping is of the third order, and takingit into account leads to increasing critical stabilization frequency. The method ofstability analysis is based on calculation of derivatives of the monodromy (Floquet)matrix with respect to parameters.

In 1956 V. N. Chelomei showed that elastic systems can be made more stable byimposing vibration. In particular he came to the conclusion that the elastic columncompressed by an axial force exceeding critical (Euler) value can be stabilized by highfrequency excitation force applied to the end of the column. In this paper formulasfor higher and lower critical frequencies of the column stabilization are obtained. It isshown that unlike high frequency stabilization of an inverted pendulum with vibratingsuspension point the column is stabilized by excitation frequency of the order of themain eigenfrequency of transverse vibrations belonging to some interval.

343

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

SOME RECENT RESULTS IN FIXED POINT THEORYIN INTUITIONISTIC FUZZY QUASI-METRIC SPACES

AND ITS APPLICATIONS

Sharma S.

Government Madhav Science College, Vikram University, Ujjain, India;sksharma2005@yahoo.com

The theory of fuzzy sets has evolved in many directions after investigation of no-tion of fuzzy sets by L.A. Zadeh [1] and is finding applications in wide variety offields in which the phenomenon under study is too complex or too ill defined to beanalyzed by the conventional techniques. In applications of fuzzy set theory the fieldof engineering has undoubtedly been a leader. All engineering disciplines such as civilengineering, electrical engineering, mechanical engineering, robotics, industrial engi-neering, computer engineering, nuclear engineering etc. have already been affectedto various degrees by the new methodological possibilities opened by fuzzy sets. Re-searchers are using applications of fuzzy set in soft computing. There is large numberof authors who studied applications of fuzzy set theory in different engineering branch-es. Medicine, economics, interpersonal communication, psychology, physics, chemistry,biology, ecology, political science, geology, soft computing etc. are fields in which theapplicability of fuzzy set theory was recognized. We will discuss fixed point theory (andits applications in differential equations) in fuzzy quasi-metric spaces / intuitionisticfuzzy quasi-metric spaces. Applications of fuzzy sets will be discussed.

REFERENCES

1. Zadeh L. A., “Fuzzy sets,” Inf. Control, 8, No. 3, 338–353 (1965).

344

Секция “Дифференциальные уравнения”

THE CAUCHY PROBLEMFOR A B-HYPERBOLIC EQUATION

Shishkina E. L.

Voronezh State University, Voronezh, Russia; ilina_dico@mail.ru

Let R+n denote an Euclidean space of points x = (x1, . . . , xn), x1>0, . . . , xn>0 and

the multiindex γ = (γ1, . . . , γn) runs through fixed positive numbers, |γ| = γ1+...+γn.The space Sev(R+

n ) = Sev is the subspace of the Schwartz function space that consistsof functions φ(x) even in each variable x1, . . . , xn.

The weighted spherical mean is denoted by formula (compare with formulasin [1, 2])

Mγr f(x) =

1

|S+1 (n)|γ

∫S+1 (n)

T ryx f(x)

n∏i=1

yγii dS,

where S+1 (n) = x ∈ R+

n : |x| = 1,

T yx f(x) = π−n2

n∏i=1

Γ(γi+12

)Γ(γi2

) π∫0

. . .

π∫0

n∏i=1

sinγi−1 βi

×f(√

x21 − 2x1y1 cosβ1 + y21 , . . . ,√x2n − 2xnyn cosβi + y2n

)dβ.

The constant |S+1 (n)|γ was calculated in [3, p. 20, formula (1.2.5)], whereN = n should

be taken.Following [4] we introduce the operator ∆γ =

∑ni=1Bγi , where Bγi is Bessel

operator: Bγi = ∂2

∂x2i

+ γixi

∂∂xi

, i = 1, . . . , n.The solution of the Cauchy problem

∂2u

∂t2+α

t

∂u

∂t= γu(x, t), α > 0, x ∈ R+

n , t ≥ 0,

u(x, 0) = 0,∂u(x, 0)

∂t= φ(x), φ(x) ∈ Sev,

for 0 < n+ |γ| − α < 3 is given by formula

u(x, t) = Cn(α, γ)

+∞∫0

2F1

(n+|γ|−α

2,n+|γ|−1

2,n+|γ|

2;r2

t2

)Mγr φ(x)rn+|γ|−1dr,

where

Cn(α, γ) = 22|γ|−2−α|S+1 (n)|γ

n∏j=1

Γ2

(γj + 1

2

) Γ(1−α2

)Γ(n+|γ|−α

2

)Γ(

3−n−|γ|2

) .

REFERENCES1. John F., Plane Waves and Spherical Means. Applied to Partial Differential Equations,

Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg; New York (1981).2. Kipriyanov I. A., Zasorin Y. V., “A fundamental solution of the wave-equation with several

variables, and the Huygens principle,” Differ. Equ., 28, No. 3, 383–393 (1992).3. Lyakhov L. N., B-Hypersingular Integrals and Their Applications to the Description

of Kipriyanov Function Classes and to Integral Equations with B-Potential Kernels[in Russian], Lipetsk. Gos. Pedagog. Univ., Lipetsk (2007).

4. Kipriyanov I. A., Singular Elliptic Boundary Value Problems [in Russian], Nauka, Moscow(1996).

345

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

SOME NONLINEAR AND QUASILINEARFUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

OF ELLIPTIC TYPE

Solonukha O. V.

Central Economics and Mathematics Institute RAS, Moscow, Russia;solonukha@yandex.ru

We consider the Dirichlet problem

ARQu(x) = f0(x) (x ∈ Q), u(x) = 0 (x ∈ ∂Q).

HereQ ⊂ Rn is a bounded domain with smooth boundary ∂Q, p ∈ [2,∞),1/p+1/q=1,f0 ∈ Lq(Q), A is given by the formula

Au(x) = −∑

1≤i≤n

∂iAi (x, y, ∂1u, . . . , ∂nu) .

A bounded operator RQ : Lp(Q) → Lp(Q) is given by the formula RQ = PQRIQ,where

Ru(x) =∑h∈M

ahu(x+ h),

ah ∈ R, M ⊂ Zn is finite set of vectors, IQ is the extension operator of functionsfrom Lp(Q) by zero in Rn \Q, PQ is the restriction operator of functions from Lp(Rn)to Q.

We obtain sufficient conditions when ARQ is a bounded, coercive and pseudomono-tone operator. Then the considered problem has a nonempty weakly compact set ofsolutions. We construct an example when A satisfies the ellipticity condition and R ispositive (or accretive), but ARQ does not satisfy the ellipticity condition. Moreover,in quasilinear case, if A satisfies the condition of strong ellipticity and R is accretive,then ARQ is strongly elliptic too.

The author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projectno. 12-01-00524).

REFERENCES

1. Skubachevskii A. L., Elliptic Functional Differential Equations and Applications,Birkhauser, Basel; Boston; Berlin (1997).

2. Dubinskii Yu.A., “Nonlinear elliptic and parabolic equations” [in Russian], Itogi Naukii Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat., Vol. 9, VINITI, Moscow, 1976, pp. 5–130; Englishtransl. in J. Sov. Math., 12, No. 5, 475–554 (1979).

346

Секция “Дифференциальные уравнения”

SOME PROBLEMS OF SPECTRAL GEOMETRYFOR S-NUMBERS

Suragan D.

Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan;suragan@list.ru

In this talk we consider some problems of spectral geometry for s-numbers ofcompact operators. In particular, we give a proof of famous Rayleigh–Krahn–Faberinequality [1] for the first s-number of the mixed Cauchy–Dirichlet problem for theheat equation and discuss similar results for the mixed Cauchy–Robin problem forthe heat equation.

REFERENCES

1. Henrot A., Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators, Birkhauser, Basel(2006).

347

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

CONVERGENCE OF MINIMIZERSIN REGULAR VARIATIONAL PROBLEMS

Sychev M. A.

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;masychev@math.nsc.ru

We show that in regular variational problems weakly convergent sequences ofminimizers in fact converge in C1-norm in compact subsets of an open set of fullmeasure.

348

СекцияФУНКЦИОНАЛЬНЫЕПРОСТРАНСТВАИ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Тезисы 30-минутных докладов

SectionFUNCTION SPACESAND APPROXIMATION THEORY

Abstracts of Invited Lectures

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИНЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА

ABNORMAL PROBLEMSIN NONLINEAR ANALYSIS

Арутюнов А. В.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия; arutun@orc.ru

Излагается общий подход к исследованию тесно связанных между собой необ-ходимых условий экстремума в задачах с ограничениями и теорем об обратнойи неявной функциях в вырожденных (анормальных) точках.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений, имеющую в векторной записивид F (x) = y, где F — гладкое отображение банахова пространства X в другоебанахово пространство (для простоты эти пространства можно считать конечно-мерными). Если точка x0 вырождена, т. е. линейный оператор F (x0) не являетсясюръективным (например, F (x0) = 0), то в точке x0 классическая теорема об об-ратной функции неприменима. В докладе обсуждается это явление вырожденияи предлагаются теоремы об обратной и неявной функциях, которые применимыи в вырожденных точках. Обсуждаются обобщения этих результатов на случайограничений, определяемых выпуклым конусом, теоремы об обратной функциипо направлениям и т. д.

Рассмотрим классическую экстремальную задачу с ограничениями

φ(x)→ min, fi(x) = 0, i = 1, 2, . . . , k, x ∈ X.

Здесь гладкие функции fi задают ограничения, а φ — минимизируемый функци-онал. Пусть x0 — локальный минимум. Известно, что если точка x0 вырождена(анормальна), т. е. градиенты ограничений fi(x0) линейно зависимы, то классиче-ский принцип Лагранжа вырождается (не несет содержательной информации), аклассические необходимые условия второго порядка не выполняются. Обсужда-ется это явление вырождения и излагается теория необходимых условий первогои второго порядков, одинаково содержательная как для вырожденных, так и дляневырожденных задач. Эти результаты являются развитием принципа Лагран-жа.

Классический пример подобной анормальной задачи: является ли заданнаяквадратичная форма неотрицательной (или обращается ли она в нуль) на пере-сечении квадрик? Излагаемая теория позволяет дать ответы на эти вопросы. Всеизлагаемые в докладе результаты являются содержательными и в конечномер-ном случае (даже, если X — трехмерное пространство).

350

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ НУЛЕВОЙ ГЛАДКОСТИTHE SPACES OF FUNCTIONS OF SMOOTHNESS ZERO

Бесов О. В.

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, Россия;besov@mi.ras.ru

Будут определены пространства функций нулевой гладкости и установленытеоремы вложения пространств функций положительной гладкости в такие про-странства. В частности, будет получено уточнение теоремы вложения Соболевадля предельного показателя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бесов О. В. О пространствах функций нулевой гладкости // Мат. сб. 2012. Т. 203, 8. С. 3–16. (Англ. перевод: Besov O. V. On spaces of functions of smoothness zero //Sb. Math. 2012. V. 203, N 8. P. 1077–1090.)

351

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОГРЕШНОСТЬ, ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ ИГАРАНТИРОВАННАЯ ТОЧНОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ

СФЕРИЧЕСКИХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛERRORS, CONDITION NUMBERS, AND GUARANTEED

ACCURACY OF MULTIDIMENSIONAL SPHERICALCUBATURE FORMULAS

Васкевич В. Л.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

vask@math.nsc.ru

Дается оценка практической погрешности многомерной сферической куба-турной формулы при ее действии на произвольный элемент из единичного шаранормированного пространства подынтегральных функций [1]. Полученные оцен-ки применяются при исследовании практической погрешности сферических ку-батурных формул в случае подынтегральных функций из пространств соболев-ского типа на многомерной единичной сфере. Норма функционала погрешности всопряженном соболевскому классу пространстве представляется в виде положи-тельно определенной квадратичной формы от весов кубатурной формулы. Мат-рица этой квадратичной формы находится в явном виде.

Проводится оценка практической погрешности для специальной последова-тельности кубатурных формул по единичной сфере n-мерного пространства. Про-извольная формула из рассматриваемой последовательности конструируется какпрямое произведение весовой квадратурной формулы гауссова типа по мериди-ану (n − 1)-мерной сферы и кубатурной формулы по (n − 2)-мерной сфере вэкваториальной плоскости. При n = 3 в качестве квадратурной формулы по эк-ватору сферы выбирается формула прямоугольников с 2m узлами. Дальнейшиепостроения производятся индукцией по размерности n. Итоговая сферическаякубатурная формула имеет 2mn−1 узлов, положительные веса и точна на всехсферических гармониках до порядка 2m−1 включительно [2]. В процессе оценкипрактической погрешности находится также представление нормы функционалапогрешности в соответствующем соболевском классе. На том же классе находит-ся в явном виде мажоранта числа обусловленности кубатурной формулы.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 12-01-00061, 11-01-00147).

ЛИТЕРАТУРА

1. Васкевич В. Л. Погрешность, обусловленность и гарантированная точность много-мерных сферических кубатур // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, 6. С. 1245–1262.

2. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.

352

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВАИ КВАЗИКОНФОРМНЫЙ АНАЛИЗ

SOBOLEV SPACES AND QUASICONFORMAL ANALYSIS

Водопьянов С. К.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;vodopis@math.nsc.ru

Окончательное решение обобщенной проблемы Соболева [1] о допустимых за-менах переменных для пространств Соболева с первыми производными былополучено сравнительно недавно. Решение этой задачи привело, в свою очередь,к новым постановкам и неожиданным связям с другими разделами анализа, впервую очередь, с квазиконформным анализом. Среди новых задач я выделяюзадачу об описании отображений, индуцирующих ограниченный оператор про-странств Соболева, и задачу об описании свойств отображений, обратных к со-болевским. Решение последней задачи в [2] мотивирует следующее определение.

Отображение f : Ω→ Rn, Ω ⊂ Rn — область в Rn, n ≥ 2, называется отобра-жением с ограниченным коискажением, если f принадлежит классу СоболеваW 1n,loc(Ω), и функция локального коискажения

Ω ∋ x 7→ Kn(x, f) = infk(x) : | adjDf(x)|

nn−1 ≤ k(x)J(x, f)

(1)

принадлежит классу L∞(Ω). (Здесь для n×n-матрицы A символом adjA обозна-чают присоединенную матрицу.)

Отметим, что приведенное определение очень похоже на определение отобра-жения с ограниченным искажением, когда f ∈ W 1

n,loc(Ω) и функция локальногоискажения

Ω ∋ x 7→ Kn(x, f) = infk(x) : |Df(x)|n ≤ k(x)J(x, f)

(2)

принадлежит классу L∞(Ω). Отметим, что основы теории отображений с огра-ниченным искажением были заложены Ю. Г. Решетняком в 60-e годы XX века.

В [2] было доказано, что гомеоморфизм f ∈ W 1n , удовлетворяющий усло-

вию (1), квазиконформен. Возникает естественный вопрос об эквивалентностиусловий (1) и (2) в произвольном случае. В докладе будет показано, как былполучен утвердительный ответ на этот вопрос.

Полученные результаты позволяют рассматривать в вариационных задачахтеории упругости [3, 4] более широкий класс допустимых деформаций.

Работа выполнена при частичной поддержке интеграционного проекта, выполняе-мого совместно СО РАН и ДВО РАН (проект 56), и Совета по грантам Президен-та РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-921.2012.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. О некоторых группах преобразований n-мерного пространства //ДАН. 1941. Т. 32, 6. С. 380–382.

2. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Мат. сб.2012. Т. 203, 10. С. 1383–1410.

3. Ball J. M. Convexity condition and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch.Ration. Mech. Anal. 1976. V. 63, N 4. P. 337–403.

4. Ciarlet Ph. G. Mathematical elasticity. Amsterdam: Elsevier, 1988.

353

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МИНИМАЛЬНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ,ТОЧНЫЕ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ХААРА

MINIMAL CUBATURE FORMULAS WHICH ARE EXACTFOR THE HAAR POLYNOMIALS

Кириллов К. А.1, Носков М. В.2

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;1kkirillow@yandex.ru, 2mvnoskov@yandex.ru

Доклад посвящен построению минимальных формул приближенного интегри-рования, обладающих d-свойством Хаара в одномерном и двумерном случаях,т. е. формул, точно интегрирующих суммы Хаара специального вида (полиномыХаара степеней, не превосходящих заданного числа d), используя наименьшеевозможное число узлов, а также исследованию формул, обладающих d-свойствомХаара.

Приведено описание всех минимальных весовых квадратурных формул, об-ладающих d-свойством Хаара, изложенное в [1]. В двумерном случае получе-ны оценки числа узлов кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара,устанавливающие нижнюю границу, достижимую для числа узлов минималь-ных формул при d = 2, d = 3 и d > 5 [2]; разработан алгоритм построенияминимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара для любогофиксированного целого d > 8 [2].

В одномерном и двумерном случаях на пространствах Sp (p > 1) полученыверхние и нижние оценки нормы функционала погрешности ∥δN∥S∗

pформул при-

ближенного интегрирования, обладающих d-свойством Хаара [3, 4], из которыхследует, что для минимальных и близких к ним формул величина ∥δN∥S∗

pиме-

ет наилучший порядок сходимости к нулю при N → ∞, равный N− 1p , причем

в одномерном случае эти оценки не улучшаемы, а в двумерном случае полу-ченная верхняя оценка является асимптотически неулучшаемой. На простран-ствах Hα (0 < α 6 1) получена верхняя оценка нормы функционала погрешно-сти ∥δN∥H∗

αквадратурных и кубатурных формул, обладающих d-свойством Ха-

ара [4, 5], из которой следует, что для построенных в [1, 2] минимальных формул,так же как и для исследованных И. М. Соболем формул с узлами на Π0-сетках [6],∥δN∥H∗

α= O(N−α lnn−1N), N →∞, где n = 1, 2 — размерность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириллов К. А., Носков М. В. Минимальные квадратурные формулы, точные дляполиномов Хаара // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2002. Т. 42, 6.С. 791–799.

2. Noskov M. V., Kirillov K. A. Minimal cubature formulas exact for Haar polynomials //J. Approx. Theory. 2010. V. 162, N 3. P. 615–627.

3. Кириллов К. А., Носков М. В. Оценки погрешности на пространствах Sp кубатур-ных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Журн. вычисл.математики и матем. физики. 2009. Т. 49, 1. С. 3–13.

4. Кириллов К. А. Об оценках погрешности квадратурных формул, точных для поли-номов Хаара // Вычислительные методы и программирование: новые вычислитель-ные технологии. 2011. Т. 12, 2. С. 94–101.

5. Кириллов К. А. Оценки нормы функционала погрешности на пространствах Hα ку-батурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Журн.СФУ. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5, 3. C. 382–387.

6. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука,1969.

354

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

СОБОЛЕВСКАЯ ТЕОРИЯРЕШЕТЧАТЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ.

ПРОБЛЕМЫ, АЛГОРИТМЫ И ПРИМЕНЕНИЯ

SOBOLEV THEORYOF LATTICE CUBATURE FORMULAS.

PROBLEMS, ALGORITHMS, AND APPLICATIONSРамазанов М.Д.

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; ramazanovmd@yandex.ru

Теорию вычислений “сейчас так же невозможно себе представить без банахо-вых пространств, как и без электронных вычислительных машин” — С.Л.Соболев.

Сергей Львович Соболев дал осуществление идеи симбиоза функционально-го анализа и современной ему вычислительной техники в своих исследованияхот начала 60-х до середины 80-х годов прошлого века — времени его работы вАкадемгородке. Он создал теорию кубатурных формул с узлами на решетках,приближающих точные значения интегралов функций, заданных на многомер-ных областях произвольных форм.

С.Л. Соболев вывел алгоритм построения формул, точность которых соот-ветствовала гладкости m интегрируемых функций, достигая порядка O(N−m

n ),где N — число узлов кубатурной формулы. Константа в оценке порядка точно-сти соболевских формул была наилучшей на классе интегрируемых функций (уС.Л. Соболева это пространства L

(m)2 ), а коэффициенты кубатурной формулы

надо было вычислять только в приграничной области. Это “Кубатурные форму-лы Соболева с регулярным пограничным слоем”. Направление получило развитиев дальнейших теоретических исследованиях, подкрепленных вычислительнымиэкспериментами и применениями к численному решению интегральных уравне-ний в многомерных областях произвольных форм.

Сказалось предвидение С. Л. Соболевым хорошей согласованности разрабо-танной им теории с развитием вычислительной техники — сейчас Многопроцес-сорных Вычислительных Систем с мощностями до десятков тысяч одновремен-но работающих процессоров. Ученики и последователи распространили теориюформул Соболева на другие практически применяемые пространства СоболеваWmp (Ω), усовершенствовали первоначальные алгоритмы, сделав их ненасыщае-

мыми, и реализовали в работающих программах вычисления интегралов по мно-гомерным областям и численного решения интегральных уравнений по этим об-ластям. Реальные параметры работы этих программ: размерность пространств —до десяти, ограниченные области с гладкими и кусочно-гладкими границами, оп-тимальные порядки точности вычисления решений.

Удивительно еще одно предвидение Сергея Львовича Соболева. Оказывает-ся, для кубатурных формул типа соболевских — с ограниченным пограничнымслоем, достижение только порядковой оптимальности гарантирует и асимпто-тическую оптимальность — появление наилучшей константы при оптимальномпорядке оценки функционалов погрешностей этих формул. Список публикацийпо этому направлению сейчас очень велик, и мы ссылаемся только на две моно-графии, содержащие ссылки на многие из этих работ.

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО

РАН, 1996.2. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным погра-

ничным слоем. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009.

355

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ИНФОРМАЦИОННО-СИСТЕМНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬСЛОЖНЫХ КРИТИЧЕСКИХ СИСТЕМИ НЕОБХОДИМОСТЬ ИЗБЫТОЧНОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ ТАКИХ СИСТЕМ

В ФОРМЕ СРЕДЫ РАДИКАЛОВ

INFORMATION SYSTEM SAFETY OF COMPLEXCRITICAL SYSTEMS AND NECESSITY

OF REDUNDANT MODELING THESE SYSTEMSIN THE FORM OF RADICAL MEDIA

Соболева Т.С.1, Чечкин А.В.2

1Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина,Москва, Россия;

2Военная академия ракетных войск стратегического назначенияим. Петра Великого, Москва, Россия; a.chechkin@mail.ru

Рассматриваются системы, предназначенные для решения особо важного клас-са штатных задач. К таким системам предъявляется требование информационно-системной безопасности (ИСБ), т. е. неприемлемости отказов при решении штат-ных задач и недопустимости несанкционированного разрушения системы в про-цессе решения таких задач. Такие системы являются критическими. Как прави-ло, такие системы являются особо сложными системами. Примерами таких слож-ных критических систем (СКС) являются глобальные сетевые системы навига-ции (ГЛОНАС), коммуникационные, банковские, транспортные, энергетические,большие компьютерные системы, военная группировка, производственная фир-ма, фирма-разработчик и другие системы высокой значимости. Математическоемоделирование таких систем требует нового подхода, названного избыточныммоделированием. Избыточное моделирование — это основа интеллектуализацииСКС и призвано обеспечить ИСБ такой системы. Обсуждается тезис о том, чтоизбыточное моделирование необходимо для обеспечения ИСБ СКС и являетсяосновой интеллектуализации СКС в форме нейрокомпьютерной надстройки СКС.

Избыточная модель СКС требует механизма временного отключения ненуж-ных в данный момент элементов модели, чтобы каждый раз использовать тольконеобходимую и достаточную информацию для данной задачи, а не всю имеющу-юся в модели. Для этой цели используются особого рода системы, радикалы .Радикалы должны иметь два состояния, пассивное и активное, тем самым ониявляются нейроподобными системами. Избыточная модель СКС строится вформе среды радикалов-символов. В каждый момент активные радикалы об-разуют частную рабочую сеть, которую называют системоквантом средырадикалов.

Особенности среды радикалов наиболее эффективно реализовываются на базеархитектуры нейрокомпьютера . ИСБ СКС предлагается обеспечивать нейро-компьютерной надстройкой СКС, основанной на избыточной модели СКС в фор-ме среды радикалов. Такая надстройка представляет собой “мозг” СКС, т. е. ин-теллектуальную информационную систему для обеспечения ИСБ СКС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чечкин А. В. Нейрокомпьютерная парадигма информатики // Нейрокомпьютеры:разработка, применение. 2011. 7. С. 3–9.

356

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ КРИВИЗНЫКЛАССОВ ГЛАДКИХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

ERROR OF APPROXIMATION OF CURVATUREFOR CLASSES OF SMOOTH FLAT CURVES

Субботин Ю. Н.

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия;yunsub@imm.uran.ru

В докладе речь пойдет об аппроксимации кривизны плоских гладких кривыхв среднеквадратической метрике подпространствами тригонометрических поли-номов и сплайнов с равномерными узлами и различными краевыми условиями.

Справедлив, например, следующий результат.Теорема. Пусть y = y(x) — 2π-периодическая функция, (r−1)-я производная

которой абсолютно непрерывна, r-я производная удовлетворяет неравенству(1

π

2π∫0

[y(r)(x)]2 dx

) 12

≤ 1, r ≥ 3,

а Sn(x) — частная сумма ряда Фурье функции y(x) = a02 +

∞∑k=1

(ak cos kx+bk sin kx),

т. е. Sn(x) = a02 +

n−1∑k=1

(ak cos kx+ bk sin kx), тогда

(1

π

π∫−π

[K(y, x)−K(Sn, x)]2 dx

) 12

≤ 1

nr−2+

3√

3

4

√2

1

nr−1.

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта, выполняемого совмест-но УрО РАН и СО РАН (проект 12-С-1-1018).

ЛИТЕРАТУРА

1. Габушин В. Н. Оценка кривизны различных классов кривых // Проблемы физико-математического образования в педагогических ВУЗах на современном этапе: Тез.докл. Магнитогорск, 1996. С. 90.

2. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполнойинформации // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1980. Т. 145. С. 152–168.

3. Сазанов А. А. Верхние грани уклонений интерполяционных сплайнов на некоторыхклассах функций // Вычислительные системы. Вып. 81. Новосибирск: Изд-во ИМСО АН СССР, 1979. С. 31–41.

4. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир,1972.

5. Субботин Ю. Н. Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элемен-тами конечномерных подпространств // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. 2012. Вып. 3.С. 41–47.

357

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

SINGULAR NUMBERS OF CORRECT RESTRICTIONSOF NON-SELFADJOINT ELLIPTIC OPERATORS

Burenkov V. I.1, Otelbaev M.2

L.N. Gumilyov Eurasian National University, Astana, Kazakhstan;1burenkov@cf.ac.uk, 2otelbaevm@mail.ru

Let L be an elliptic differential expression of the following form: for u ∈ C∞(Rn)

(Lu)(x) =∑

|α|,|β|≤l

(−1)|α|+|β|Dα(Aαβ(x)Dβu

), x ∈ Rn,

where Aαβ ∈ Cl(Rn) are real-valued functions for all multi-indices α, β satisfying|α|, |β| ≤ l. Moreover, let, for a domain Ω ⊆ Rn, LΩ : D(LΩ) → L2(Ω) be a linearoperator closed in L2(Ω) generated by L on Ω. A restriction A : D(A)→ L2(Ω) of LΩ

is correct if the equation Au = f has a unique solution u ∈ D(A) for any f ∈ L2(Ω)and the corresponding inverse operator A−1 : L2(Ω)→ D(A) is bounded.

Let A and B be compact linear operators in a Hilbert space H. If there exist0 < α < β and c1, c2 > 0 such that for singular numbers sk(A) and sk(B) theconditions c1k−α ≤ sk(A), sk(B) ≤ c2k

−β hold, we say that in the representationC = A+B the operator A is a leading operator and the operator B is a non-leadingoperator.

Theorem 1. Let l, n ∈ N, n ≥ 2, 2l(1− 1

n

)< s ≤ 2l, and Ω be a bounded

domain in Rn with the boundary ∂Ω of class C2l. Moreover, let A and B be correctrestrictions of the operator LΩ such that D(A) ⊆ W 2l

2 (Ω), D(B) ⊆ W s2 (Ω) and the

operators A−1 : L2(Ω) → W 2l2 (Ω), B−1 : L2(Ω) → W s

2 (Ω) are bounded. Then inthe representation B−1 = A−1 + K the operator A−1 is a leading operator and theoperator K = B−1 −A−1 is a non-leading operator.

Theorem 2. Let l, n ∈ N, n ≥ 2, 2l(1− 1n ) < s ≤ 2l and Ω be a bounded domain

in Rn with the boundary ∂Ω of class C2l. Then there exists b > 0 such that thesingular numbers sk(B) of all correct restrictions B of the operator LΩ satisfying thecondition D(B) ⊆W s

2 (Ω) with the bounded inverse B−1 : L2(Ω)→W 2l2 (Ω)

limk→∞

sk(B)k−2ln = b.

Also other related results formulated in [1] will be presented in the talk.

REFERENCES

1. Burenkov V. I., Otelbaev M., “On the singular numbers of correct restriction of ellipticdifferential operators,” Eurasian Math. J., 2, No. 1, 145–148 (2011).

358

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

REDUCTION THEOREMS FOR OPERATORSON THE CONES OF MONOTONE FUNCTIONS

Gogatishvili A.1, Stepanov V. D.2

1Institute of Mathematics, Prague, Czech Republic; gogatish@math.cas.cz2Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russia; stepanov@mi.ras.ru

For monotone operators on the semiaxis reduction theorems are proved on thecones of monotone functions in Lp − Lq setting for 0 < q < ∞, 1 ≤ p < ∞. Thecase 0 < p < 1 is also studied for operators with additional properties. In particular,we obtain criteria for three-weight inequalities for the Hardy-type operators withOinarov’ kernel on monotone functions in the case 0 < q < p ≤ 1.

The research of A. Gogatishvili was partially supported by the grant 201/08/0383 and13-14743S of the Grant Agency of the Czech Republic and RVO: 67985840.

The research of V. D. Stepanov was partially supported by the Russian Foundation forBasic Research (projects 12-01-00524 and 12-01-00554) and by the Far Eastern Branch ofthe Russian Academy of Sciences (projects 12-I-OMN-01 and 12-II-CO-01M-002).

REFERENCES

1. Gogatishvili A., Stepanov V. D., “Operators on cones of monotone functions,” Dokl.Math., 86, No. 1, 562–565 (2012).

2. Gogatishvili A., Stepanov V. D., “Integral operators on cones of monotone functions,”Dokl. Math., 86, No. 2, 650–653 (2012).

3. Gogatishvili A., Stepanov V. D., “Reduction theorems for operators on the cones ofmonotone functions,” J. Math. Anal. Appl., 405, No. 1, 156–172 (2013).

359

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

NONSTANDARD TRENDS IN FUNCTIONAL ANALYSIS

Kusraev A.G.1, Kutateladze S. S.2

1Southern Mathematical Institute, Vladikavkaz, Russia; kusraev@smath.ru2Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;

sskut@math.nsc.ru

This is an overview of some techniques of treating the principal objects of functionalanalysis such as reals, Banach spaces and operators within nonstandard models of settheory.

1. Boolean Valued Prerequisites2. Reals and Boolean Valued Positive Functionals3. Extension and Decomposition of Positive Operators4. Differences and Sums of Lattice Homomorphisms5. Simultaneous Inequalities6. Interaction with Infinitesimals

REFERENCES

1. Kusraev A. G., Kutateladze S. S., Introduction to Boolean Valued Analysis, NaukaPublishers, Moscow (2005).

2. Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S., Infinitesimal Analysis: Selected Topics,Nauka Publishers, Moscow (2011).

360

СекцияФУНКЦИОНАЛЬНЫЕПРОСТРАНСТВАИ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Тезисы 20-минутныхи стендовых докладов

SectionFUNCTION SPACESAND APPROXIMATION THEORY

Abstracts of Short Communicationsand Posters

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НОРМВ СУПЕРРЕФЛЕКСИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ТИПА СОБОЛЕВАGEOMETRIC PROPERTIES OF NORMS

IN SUPER-REFLEXIVE SOBOLEV TYPE SPACES

Агаджанов А. Н.

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия;ashot_ran@mail.ru

Пусть G ⊂ Rn — ограниченная область с достаточно гладкой границей Γ,

α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс, |α| =n∑s=1

αs, aα > 0, 1 < pα < ∞, 1 ≤ rα ≤

R < +∞, q = max|α|≤m

pα. Для m ∈ N обозначим через ∥ · ∥m норму, которая яв-

ляется функционалом Минковского для абсолютно выпуклого и поглощающегомножества

Um =u :

∑|α|≤m

aα∥Dαu∥rαLpα (G) < 1, Dβu∣∣Γ

= 0, |β| = 0, 1, . . . ,m− 1,

где Dαu — обобщенные производные функции u порядка |α|.Определение 1. Банахово пространство

Wmaα, pα, rα, полученное замы-

канием пространства C∞0 (G) по норме ∥ · ∥m, назовем пространством типа Со-

болева порядка m.Определение 2. Банахово пространство X финитно представимо в про-

странствеWmaα, pα, rα, если для любого числа ε > 0 и любого конечномерного

подпространства Yn ⊂Wmaα, pα, rα размерности n (n = 1, 2, . . .) найдется ко-

нечномерное подпространство Xn ⊂ X такое, что d(Xn, Yn) = inf∥T∥∥T−1∥ ≤1 + ε, где точная нижняя грань берется по всем изоморфизмам T между Xn

и Yn [1, 2].

Теорема 1. ПространствоWmaα, pα, rα является суперрефлексивным ба-

наховым пространством, т. е. вWmaα, pα, rα финитно представимыми могут

быть только рефлексивные банаховы пространства.

Теорема 2. Банахово пространствоWmaα, pα, rα вкладывается изометри-

чески в пространство lq.

Следствие. В банаховом пространствеWmaα, pα, rα выполняются нера-

венства Кларксона

∥u+ v∥q′

m + ∥u− v∥q′

m ≤ 2(∥u∥qm + ∥v∥qm)q′−1, если 1 < q ≤ 2,

∥u+ v∥qm + ∥u− v∥qm ≤ 2(∥u∥q′

m + ∥v∥q′

m)q−1, если 2 ≤ q <∞, где1

q+

1

q′= 1.

Таким образом, нормы ∥ · ∥m (m = 1, 2, . . .) являются равномерно выпуклыми иравномерно гладкими [3].

ЛИТЕРАТУРА1. James R. C. Super-reflexive Banach spaces // Canad. J. Math. 1972. V. 24, N 5. P. 896–

904.2. Агаджанов А. Н. Геометрия норм и неравенства в суперрефлексивных банаховых

пространствах // ДАН. 2008. Т. 421, 3. С. 295–298.3. Агаджанов А. Н. О равномерной гладкости пространств Соболева бесконечного по-

рядка // ДАН. 2007. Т. 413, 5. С. 583–586.

362

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВВ ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА

ESTIMATES OF THE LINEAR WIDTHS OF CLASSESIN THE LORENTZ SPACE

Акишев Г.

Карагандинский государственный университет, Караганда, Казахстан;akishev@ksu.kz

Пусть x = (x1, . . . , xm) ∈ Im = [0, 2π)m и θj , qj ∈ [1,+∞), j = 1, . . . ,m. Че-рез L∗

q,θ(Im) обозначим пространство всех измеримых по Лебегу функций f(x),

имеющих период 2π по каждой переменной, и для которых величина

∥f∥∗q,θ =

[ 2π∫0

tθmqm

−1m

[. . .

[ 2π∫0

tθ1q1

−1

1 (f∗1,...,∗m(t1, . . . , tm))θ1 dt1

] θ2θ1

. . .

] θmθm−1

dtm

] 1θm

конечна, где f∗1,...,∗m(t1, . . . , tm) — невозрастающая перестановка функции |f(x)|по каждой переменной xj при фиксированных остальных переменных (см. [1]).

Пусть an(f) — коэффициенты Фурье функции f ∈ L1(Im) по системе функций

ei⟨n,x⟩n∈Zm . Положим ⟨y, x⟩ =m∑j=1

yjxj , δs(f, x) =∑

n∈ρ(s)an(f)ei⟨n,x⟩, ρ(s) = k =

(k1, . . . , km) ∈ Zm : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, . . . ,m. В пространствеL∗p,θ

(Im)

рассматривается аналог класса Никольского – Бесова – Аманова [2]:

S rp,θ,τB =

f ∈

L∗p,θ(I

m) : ∥f∥Srp,θ,τ

B=∥∥2⟨s,r⟩∥δs(f)∥∗p,θ

s∈Zm+

∥∥lτ≤ 1,

где p = (p1, . . . , pm), θ = (θ1, . . . , θm), τ = (τ1, . . . , τm), 1 < pj < ∞, 1 ≤ θj , τj <+∞, j = 1, . . . ,m.

Определенный В. М. Тихомировым [3] линейный поперечник множества W вбанаховом пространстве X обозначается через λM (W,X).

В многомерном случае оценки линейных поперечников для классов Соболе-ва W r

p , Никольского Hrp , Бесова Brp,θ получили Э.М. Галеев, В. Н. Темляков,

А.Д. Изаак, А. С. Романюк, О.В. Федуник, Д. Б. Базарханов. СправедливаТеорема. Пусть 1 < pj ≤ 2 < qj < +∞, 1 < θ

(1)j , θ

(2)j < ∞, 1 ≤ τj ≤ ∞,

j = 1, . . . ,m, и maxjqj < min

j

pjpj−1 , 0 < r1 + 1

q1− 1

p1= . . . = rν + 1

qν− 1

pν<

rν+1 + 1qν+1

− 1pν+1

≤ . . . ≤ rm + 1qm− 1

pm. Тогда для натурального числа M > 1

λM( S rp,θ(1),τB,L

∗q,θ(2)

)≤ CM−

(r1+

12−

1p1

)(logM)

(ν−1)(r1− 1

p1+ 1

2

)+

ν∑j=2

(12−

1τj

)+.

ЛИТЕРАТУРА

1. Blozinski A. P. Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixednorms // Trans. Am. Math. Soc. 1981. V. 263, N 1. P. 146–167.

2. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворя-ющей кратному условию Гёльдера // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, 6. С. 1342–1364.

3. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теориянаилучших приближений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, вып. 3. С. 81–120.

363

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О НЕКОТОРЫХ КРИТЕРИЯХ КОМПАКТНОСТИСЕМЕЙСТВА ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ

ON SOME COMPACTNESS CRITERIA FOR A FAMILYOF VECTOR FUNCTIONS

Аносов В. П.

Новосибирский государственный педагогический университет,Новосибирск, Россия; averi@ngs.ru

Пусть E — банахово пространство с нормой ∥ · ∥. Для гладкой функции v(t)(0 ≤ t ≤ 1) со значениями в E определим (см. [1–3]) нормы

∥v∥pLp =

1∫0

∥v(t)∥p dt,

∥v∥pWαp

=

1∫0

∥v(t)∥p dt+

1∫0

1∫0

∥v(t)− v(s)∥p

|t− s|1+αpdt ds,

где 0 < α < 1, p ≥ 1. Замыкания гладких функций v в этих нормах образуют,соответственно, банаховы пространства

Lp([0, 1], E) = Lp, Wαp ([0, 1], E) = Wα

p .

В докладе доказываются необходимые и достаточные условия компактности се-мейства векторных функций из пространства Lp([0, 1], E) и достаточные условиякомпактности семейства векторных функций из Wα

p ([0, 1], E), а также излагают-ся аналогичные результаты, касающиеся семейства векторных функций многихпеременных. Там же будут аргументированы области применения некоторых по-лученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аносов В. П., Соболевский П. Е. О коэрцитивной разрешимости параболическихуравнений // Мат. заметки. 1972. Т. 11, 4. С. 409–419.

2. Аносов В. П. О коэрцитивной разрешимости абстрактных параболических уравне-ний // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. Новосибирск:Изд-во ИМ СО АН СССР, 1990. С. 123–126.

3. Аносов В. П. О следах функций из абстрактных пространств Л. Н. Слободецкого //Сиб. мат. журн. 1994. Т. 49, 1. С. 974–989.

364

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

О СУПЕРПОЗИЦИИ ОПЕРАТОРОВ ФУРЬЕ – РИССАВ ПРОСТРАНСТВЕ РИССОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

ON SUPERPOSITION OF FOURIER–RIESZ OPERATORSIN THE SPACE OF RIESZ POTENTIALS

Арбузов Э. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;arbuzov@math.nsc.ru

Для ограниченной области Ω ⊂ Rn, вектора a ∈ Rn и вещественного числа τрассматривается произведение интегральных операторов Рисса с осциллирую-щим ядром

Su(x) =

∫Ω

eiτa·y

|x− y|n−α

∫Ω

eiτa·z

|y − z|n−αu(z) dz dy, 0 < α ≤ 1,

где a · y = a1y1 + . . .+ anyn.Показано, что оператор S является сжимающим в пространствах риссовых

потенциалов Lαppα(Rn) [1], и получена оценка его нормы относительно степенипараметра осцилляции τ .

При получении оценок используются свойства дробного интегродифференци-рования по Риссу [1], а также свойства осциллирующих интегралов в лебеговскихпространствах [2].

Операторы данного вида возникают при получении формул типа Карлеманадля решений задач Коши для эллиптических уравнений и систем второго поряд-ка [3] и при решении обратных задач восстановления потенциала [4].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00147).

ЛИТЕРАТУРА

1. Самко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. мат.1976. Т. 40, 5. С. 1143–1172.

2. Stein E. Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality and oscillatory integ-rals. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

3. Арбузов Э. В., Бухгейм А. Л. Формула Карлемана для уравнений Гельмгольца наплоскости // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, 3. С. 518–526.

4. Bukhgeim A. L. Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2008. V. 16, N 1. P. 19–33.

365

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОПТИМАЛЬНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫС ПРОИЗВОДНЫМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХИНТЕГРАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ L

(3)2 (0, 1)

OPTIMAL QUADRATURE FORMULASWITH DERIVATIVES FOR SINGULAR INTEGRALS

IN THE SPACE L(3)2 (0, 1)

Ахмедов Д. М.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан; axmedovdilshod@mail.ru

В настоящей работе методом С. Л. Соболева [1] построена оптимальная квад-ратурная формула вида

1∫0

φ(x)

x− tdx ∼=

N∑β=0

(C0[β]φ[β] + C1[β]φ′[β] + C2[β]φ′′[β]

), (1)

где 0 < t < 1, φ(x) — подынтегральная функция, φ(x) ∈ L(3)2 (0, 1), C0[β], C1[β]

и C2[β] — коэффициенты, [β] = hβ, h = 1N (N = 2, 3, 4, . . .).

Коэффициенты C0[β] и C1[β] соответственно приведены в [2] и [3]. Здесь абсо-лютное значение разности между интегралом и квадратурной суммой миними-зируется по коэффициентам C2[β].

Справедлива следующаяТеорема. В пространстве L(3)

2 (0, 1) оптимальные коэффициенты C2[β] квад-ратурных формул вида (1) определяются формулами

C2 [0] =

h−1

12

[−h

3

6+ 2ht(h− t)− t(h− t)(2t− h) ln

|h− t|t

],

C2 [β] =

h−1

6

[2h2(t− hβ) + (2(t− hβ)3 + h2(t− hβ)) ln |t− hβ|

+(−(t− h(β + 1))3 − h2

2(t− h(β + 1))− 3h

2(t− h(β + 1))2

)ln |h(β + 1)− t|

+(−(t− h(β − 1))3 − h2

2(t− h(β − 1)) +

3h

2(t− h(β − 1))2

)ln |h(β − 1)− t|

],

β = 1, N − 1,

C2 [N ] =

h−1

12

[h36

+ 2h2(t− 1) + 2h(t− 1)2

+ (t− 1)(t− 1 + h)(2(t− 1) + h) ln1− t

|1− h− t|

].

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. Шадиметов Х. М. Оптимальные квадратурные формулы для сингулярных интегра-

лов типа Коши // Докл. АН УзССР. 1987. 6. С. 9–11.3. Ахмедов Д. М. Оптимальные квадратурные формулы типа Эрмита для сингулярных

интегралов в пространстве L(2)2 (0, 1) // Узб. мат. журн. 2012. 2. С. 20–29.

366

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

НЕЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КЛАССОВФУНКЦИЙ СМЕШАННОЙ ГЛАДКОСТИ

A NONLINEAR APPROXIMATION OF FUNCTIONCLASSES WITH MIXED SMOOTHNESS

Балгимбаева Ш. А.

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан; sc_s@mail.ru, balsholpan@yandex.ru

Пусть Lp := Lp(Td), 1 ≤ p ≤ ∞, — пространство 2π-периодических по каждойпеременной функций, суммируемых в степени p на Td, со стандартной нормой∥f | Lp∥; здесь Td := (R2πZ)d — d-мерный тор; T ≡ T1. Рассмотрим одномернуюортонормированную систему полиномов (см. [1]): U (1) ≡ UI(x) | I ∈ D, x ∈ T,где D =

∪n∈N

(D+n ∪D−

n )∪D0, D0 := [0, 1),

D+n :=

I = I+n,k =

[(k + 1

2

)2−n, (k + 1)2−n

), k = 0, 1, . . . , 2n − 1

,

D−n :=

I = I−n,k =

[k2−n,

(k + 1

2 )2−n), k = 0, 1, . . . , 2n − 1

, n ∈ N,

U[0,1) ≡ 1, UI±n,k(x) = 2−n/2e±i2nxUn(±(x−ε2πk2−n)), Un(x) :=

2n−1∑k=0

eikx. d-Мерная

система U (d) (x = (x1, . . . , xd) ∈ Td) определяется как тензорное произведениеодномерных систем U (1) (по x1 ∈ T), . . . , U (1) (по xd ∈ T).

Пусть ℓθ — пространство числовых последовательностей aεss∈Nd0 , ε∈+,−d с(конечной) стандартной нормой ∥aεs∥ℓθ ; ℓθ(Lp(Td)) (Lp(Td; ℓθ)) — пространствофункциональных последовательностей fεs (x)s∈Nd0 ,ε∈+,−d , x ∈ Td, с конечнойнормой ∥fεs | ℓθ(Lp(Td))∥ = ∥∥fεs ∥p∥ℓθ (∥fεs | Lp(Td; ℓθ)∥ = ∥∥fεs ∥ℓθ∥p).

Пусть s = (s1, . . . , sd) ∈ Nd0 и ε = (ε1, . . . , εd) ∈ +,−d (причем если sj = 0,то εj = + и D+

0 ≡ D0); для f ∈ L1 положим

δεs(f) =∑I∈Dεs

fIUI , fI = (2π)−d∫Td

f(x)U I(x) dx,

где Dεs := I = I1 × . . .× Id | Ij ∈ D

εjsj , j = 1, . . . , d.

Определение. Пусть r ∈ Rd+, 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞.I. Пространством SBrpθ(Td) Никольского – Бесова смешанной гладкости называ-ется совокупность всех функций f ∈ Lp с конечной нормой∥∥f | SBrpθ∥∥ =

∥∥2(r,s)δεs(f)| ℓθ(Lp(Td))

∥∥.II. Пространством SF rpθ(Td) Лизоркина – Трибеля смешанной гладкости называ-ется совокупность всех функций f ∈ Lp с конечной нормой

∥f | SF rpθ∥ =∥∥2(r,s)δεs(f)

| Lp(Td; ℓθ)

∥∥.В докладе рассматриваются аппроксимативные свойства “жадных” (greedy)

алгоритмов нелинейного приближения по системе U (d) на единичных шарах про-странств SBrpθ и SF rpθ в метрике Lq, 1 < q <∞, в духе работы [1]. О современномсостоянии теории “жадных” алгоритмов см. [2].

ЛИТЕРАТУРА1. Temlyakov V. N. Greedy algorithms with regard to multivariate systems with special

structure // Constr. Approx. 2000. V. 16, N 3. P. 399–426.2. Temlyakov V. N. Greedy approximation // Acta Numerica. 2008. V. 17. P. 235–409.

367

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОЦЕНКИ КОЛМОГОРОВСКОЙ ε-ЭНТРОПИИКОМПАКТОВ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИЙ (К ПРОБЛЕМЕ К.И. БАБЕНКО)ESTIMATION OF KOLMOGOROV’S ε-ENTROPY

FOR SOME CLASSES OF INFINITELY DIFFERENTIABLEFUNCTIONS (THE BABENKO PROBLEM)

Белых В. Н.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;belykh@math.nsc.ru

Процедура финитизации метрического компакта X — этап вынужденный инеобходимый. И без потери информации не обходится. Соблазн оценить эти по-тери снизу восходит к А.Н. Колмогорову [1] и находит достойную прикладнуюмотивацию у К.И. Бабенко [2]. Важная роль при этом отводится выяснению ха-рактера роста при ε → 0 функции Hε(X) — колмогоровской ε-энтропии. Чембыстрее величина Hε(X) стремится к бесконечности при ε → 0, тем сложнееустроен компакт X. Для компактов X конечной гладкости функция Hε(X) приε→ 0 растёт как (1/ε)β , где β > 0. Причём этот рост тем медленнее, чем выше за-пас гладкости X [2]. Напротив, для компактов X из аналитических функций ростHε(X) характеризуется всего лишь некоторой фиксированной степенью log(1/ε),причём известны и точные результаты [3–4]. Что касается компактов X гладко-сти, промежуточной между конечной и аналитической, то здесь до сих пор небыло никаких результатов, даже для функций одной переменной.

Интерес к наилучшему финитному описанию классов X неаналитическихC∞-гладких функций обозначен в книге [2, с. 270]. Там же и высказана проблемаотыскания главного члена в асимптотической формуле для Hε(X) при ε→ 0.

В докладе указаны асимптотические оценки колмогоровской ε-энтропии ком-пакта бесконечно дифференцируемых функций, вложенного непрерывно в про-странство C непрерывных на конечном отрезке функций [5–7].

Результат основан на новой характеризации классов C∞-гладких функций,апеллирующей к их конструктивному чебышёвскому описанию.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 11-01-00147 a, 12-01-00061 a).

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. О некоторых асимптотических характеристиках вполне ограни-ченных метрических пространств // ДАН. 1956. Т. 108, 3. С. 385–388.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.3. Бабенко К. И. Об энтропии одного класса аналитических функций // Научные до-

клады высшей школы. 1958. 2. С. 9–16.4. Ерохин В. Д. Об асимптотике ε-энтропии аналитических функций // ДАН. 1958.

Т. 12, 5. С. 949–952.5. Белых В. Н. Об асимптотике колмогоровской ε-энтропии некоторых классов беско-

нечно дифференцируемых периодических функций (к проблеме К. И. Бабенко) //ДАН. 2010. Т. 431, 6. С. 731–735.

6. Белых В. Н. Об абсолютной ε-энтропии одного компакта бесконечно дифференци-руемых периодических функций // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, 3. С. 485–501.

7. Белых В. Н. Оценки колмогоровской ε-энтропии компактов бесконечно дифферен-цируемых непериодических функций (к проблеме К. И. Бабенко) // ДАН. 2013 (впечати).

368

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

О СВЕРТКАХ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВАТИПА БЕСОВА ПО БАЗИСАМ

ИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМON CONVOLUTION OF FUNCTIONS OF BESOV TYPE

SPACES IN THE BASES OF MULTIPLICATIVE SYSTEMS

Бокаев Н.А.1, Сыздыкова А. Т.2

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева,Астана, Казахстан;

1bokayev2011@yandex.ru, 2aizhan-syzdykova@yandex.ru

В данной работе рассматриваются свертки функций из пространств Бесовас базисом Прайса. Пусть ψk(x)∞k=0 — мультипликативная система Прайса нагруппе G := x = xk∞k=1, xk − целые, 0 ≤ xk < pk с образующей последова-

тельностью pn∞n=1; m0 = 1, mj =j∏s=1

ps (см. [1]), ⊕ — операция покоординатного

сложения по модулю pk, Es(f)p — наилучшее приближение функции f ∈ Lp[0, 1)(1 < p <∞) полиномами по системе ψk(x)∞k=0.

Определение. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞ и 1 ≤ θ ≤ ∞. Будем говорить, что f ∈Brθ,p(G), если f ∈ Lp[0, 1) и конечна величина

∥f∥Brθ,p(G) = ∥f∥p +

∞∑ν=0

mrθν+1E

θmν (f)p

1θ

, 1 ≤ θ <∞,

∥f∥Br∞,p(G) = ∥f∥p + supνmrν+1Emν (f)p,

которая является нормой. Пространство Brθ,p(G) называется пространством Бе-сова с базисом по системе Прайса [2].

Под сверткой двух функций f, g ∈ Lp(G) будем понимать выражение

(f ∗ g)(x) =

1∫0

f(y)g(x⊖ y) dy.

Теорема 1. Пусть 0 < α, β < ∞, 1 ≤ θ1, θ2 < ∞ и 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ такие, что1r = 1

p + 1q − 1 ≥ 0. Тогда Bαp,θ1(G) ∗Bβq,θ2(G) ⊆ Bα+βr,θ1θ2/(θ1+θ2)

(G).Теорема 2. Пусть 0 < β <∞. Тогда существует функция gβ такая, что

1) gβ ∈ Bβp,θ(G) для любого числа p такого, что 1 ≤ p <∞ и β > 1p′ , где 1

p + 1p′ = 1;

2) Bαp,θ(G) ⊆ gβ ∗Bβp,θ(G) для α > β и 1 ≤ p <∞.Аналоги теорем 1 и 2 для класса Lip(α, p,G) ранее были рассмотрены в рабо-

те [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теорияи применения. М.: Наука, 1987.

2. Смаилов Е. С., Сулейменова З. Р. Теоремы вложения для пространства Бесова помультипликативным базисам Прайса // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН.2003. Т. 243. С. 313–319.

3. Quek T. S., Jap L. Y. Absolute convergence of Vilenkin – Fourier series // J. Math. Anal.Appl. 1980. V. 74. P. 1–14.

369

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОПЕРЕЧНИКИ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СОБОЛЕВАС ВЕСАМИ, ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ФУНКЦИЯМИ

РАССТОЯНИЯ ДО h-МНОЖЕСТВWIDTHS OF WEIGHTED SOBOLEV CLASSES

WHOSE WEIGHTS ARE THE DISTANCE FUNCTIONSTO h-SETS

Васильева А. А.

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; vasilyeva_nastya@inbox.ru

Пусть r ∈ N, 1 < p ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞, Ω ⊂ Rd – ограниченная область,удовлетворяющая условию Джона с параметром a > 0 (см. [1, 2]), g, v : Ω→ R+ —измеримые функции. Положим ∥f∥q,v = ∥fv∥Lq(Ω), Lq,v(Ω) = f : Ω → R |∥f∥q,v <∞,

W rp,g(Ω) =

f : Ω→ R | ∃φ : ∥φ∥Lp(Ω) ≤ 1, ∇rf = gφ

(соответствующую векторнозначную функцию φ будем обозначать ∇rf/g).

Пусть 0 < θ < d, h(t) = tθ, t ∈ (0, 1), Γ ⊂ ∂Ω — h-множество (т. е. существуетконечная мера µ на Rd такая, что suppµ = Γ и для x ∈ Γ, t ∈ (0, 1] выполненоµ(Bt(x)) ≍ h(t); см. [3]); g(x) = (dist(x,Γ))−βg , v(x) = (dist(x,Γ))−βv . Пусть также−βvq + d− θ > 0, δ := r + d

q −dp > 0, β := βg + βv < δ − θ

(1q −

1p

)+.

Теорема. Пусть p ≥ q или q ≤ 2. Предположим, что δd =

δ−βθ . Тогда

dn(W rp,g(Ω), Lq,v(Ω)) ≍ n−min

δd ,δ−βθ

+(

1q−

1p

)+ .

Пусть p > q и q > 2. Обозначим θ1 = δd + min

12 −

1q ,

1p −

1q

, θ2 = qδ

2d , θ3 = δ−βθ +

min

12 −

1q ,

1p −

1q

, θ4 = q(δ−β)

2θ . Предположим, что существует j∗ ∈ 1, 2, 3, 4такое, что θj∗ < min

j =j∗θj . Тогда

dn(W rp,g(Ω), Lq,v(Ω)) ≍ n−θj∗ .

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проекты 12-01-00554, 13-01-00022).

ЛИТЕРАТУРА

1. Решетняк Ю. Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в обла-стях с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, . 6. С. 108–116.

2. Васильева А. А. Поперечники весовых классов Соболева на области, удовлетворя-ющей условию Джона // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2013. Т. 280.С. 97–125.

3. Bricchi M. Tailored Besov spaces and h-sets // Math. Nachr. 2004. V. 263/264. P. 36–52.

370

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ КЛАССАСОБОЛЕВА НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

С ВНЕШНИМ ПИКОМBOUNDARY BEHAVIOR OF THE SOBOLEV CLASS

FUNCTIONS AT THE BOUNDARYWITH AN OUTER CUSP

Васильчик М.Ю.1, Пупышев И. М.2

Новосибирский государственный технический университет,Новосибирск, Россия;

1mikl47@mail.ru, 2iluxa1@ngs.ru

В области G = x = (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x′) ∈ Rn, 0 < x1 < 1, |x′| <

φ(x1) рассматривается пространство Соболева V lp . Предполагается, что l ≥ 1,1 < p < ∞, φ ∈ Cl0([0, 1]), lim

τ→0φ(τ) = lim

τ→0φ′(τ) = 0. Устанавливается, что следы

функций из V lp образуют на границе ∂G0 = x : 0 < x1 < 1, |x′| = φ(x1)

весовое пространство Бесова Bl− 1

pp,κ (∂G0), κ = χ[0,1]

( |x1−y1|minφ(x1),φ(y1)

), x1, y1 ∈ (0, 1).

ДоказанаТеорема. 1) Если F ∈ V lp (G), то существуют следы производных функции F

по единичной внутренней нормали ν (∂kF∂νk

∣∣∂G0

= fk), и справедливы неравенства

∥fk∥Bl− 1p

p,κ (∂G0)≤ C∥F∥V lp , k = 0, 1, . . . , l − 1,

где постоянная C не зависит от функции F .2) Если на ∂G0 определены функции fk ∈ B

l− 1p

p,κ (∂G0), k = 0, 1, . . . , l − 1, тосуществует функция F ∈ V lp(G) такая, что ∂kF

∂νk

∣∣∂G0

= fk и

∥F∥V lp(G) ≤ Ck−1∑k=0

∥fk∥Bl− 1p

p,κ (∂G0),

где постоянная C от функций fk не зависит.

371

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ИЗОМОРФИЗМЫ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВНА ГРУППАХ КАРНО

И КВАЗИИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯISOMORPHISMS OF SOBOLEV SPACES ON CARNOT

GROUPS AND QUASI-ISOMETRIC MAPPINGS

Водопьянов С. К.1, Евсеев Н. А.2

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;vodopis@math.nsc.ru

2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;nikita2.evseev@gmail.com

Пусть D, D′ — открытые связные множества (области) на произвольной груп-пе Карно G (градуированной нильпотентной группе Ли специального вида; груп-па Гейзенберга — простейший пример некоммутативной группы Карно). ГруппаКарно рассматривается как субриманово многообразие с метрикой Карно – Ка-ратеодори. Символ ν обозначает хаусдорфову размерность группы G.

Пусть левоинвариантные векторные поля X1, X2, . . . , Xn образуют базис Лиалгебры Ли группы G. Локально суммируемая функция f : D → R принадлежитклассу Соболева L1

p(D), если она имеет обобщенные производные X1f,X2f, . . .,Xnf в смысле Соболева и конечную полунорму ∥f |L1

p(D)∥=∥∇Lf |Lp(D)∥, где∇Lf=(X1f,X2f, . . . , Xnf) — обобщенный субградиент функции f .

Рассмотрим измеримое отображение φ : D → D′, определенное п. в. в обла-сти D. Если функция f ∈ L1

p(D′) непрерывна, то композиция f φ определена

п. в. на D. Предположим, что f φ ∈ L1p(D) и ∥f φ | L1

p(D)∥ 6 K∥f | L1p(D

′)∥для всех f ∈ L1

p(D′) ∩ C(D′). Тогда отображение

L1p(D

′) ∩ C(D′) ∋ f 7→ φ∗f = f φ ∈ L1p(D) (1)

называется оператором композиции.Предложение. Оператор композиции (1) можно продолжить до ограничен-

ного оператора на все пространство L1p(D

′).Определение. Будем говорить, что отображение φ : D → D′ индуцирует

изоморфизм пространств Соболева L1p(D

′) и L1p(D), если продолжение операто-

ра (1) по непрерывности на L1p(D

′) является изоморфизмом пространств L1p(D

′)и L1

p(D).Определение. Гомеоморфизм Φ : D → D′, D,D′ ⊂ G, из неголономного

класса Соболева W 11,loc(D) называется квазиизометрией, если |DΦ(x)| 6 L и

0 < α 6 |detDΦ(x)| для п. в. x ∈ D, где постоянные L и α не зависят от x.Теорема. Пусть p ≥ 1, p = ν, и D, D′ — области на группе Карно G. Изме-

римое отображение φ : D → D′ индуцирует изоморфизм пространств Соболеваφ∗ : L1

p(D′) → L1

p(D) тогда и только тогда, когда φ совпадает п. в. с некоторойквазиизометрией Φ : D → Φ(D), для которой пространства Соболева L1

p(Φ(D)) иL1p(D

′) неразличимы.При G = Rn и p > n теорема доказана в [1], а при 1 ≤ p < n — в [2].

Доказательство нашей теоремы содержит существенно новые детали.Работа выполнена при частичной поддержке ФЦПК (соглашение 8212).

ЛИТЕРАТУРА1. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Функциональные характеристики квазиизомет-

рических отображений // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 17, 4. С. 768–773.2. Vodopyanov S. К. Composition operators on Sobolev spaces // Complex analysis and

dynamical systems II. Providence: AMS, 2005. P. 327–342. (Contemp. Math.; V. 382).

372

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ПРИБЛИЖЕНИЯСЛОЖНО ВЫЧИСЛИМЫХ ФУНКЦИЙ

НА ПРИМЕРЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОЦЕНОКМЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

STUDYING PECULIARITIES OF APPROXIMATIONOF FUNCTIONS OF HIGH COMPUTATIONAL

COMPLEXITY USING THE EXAMPLE OF FUNCTIONALESTIMATES OF THE MONTE CARLO METHOD

Войтишек А.В.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; vav@osmf.sscc.ru

При решении достаточно широкого класса актуальных прикладных проблемвозникают задачи численного приближения неявно заданных функций, причемполучение отдельных (сеточных) значений этих функций является трудоемким(такие функции мы будем называть сложно вычислимыми). В таких задачахособую роль играют свойства устойчивости используемых численных аппрок-симаций приближаемых функций.

В качестве примера рассмотрим функциональные оценки метода Монте-Кар-ло [1], связанные с приближением решения φ(x) интегрального уравнения Фред-гольма второго рода

φ(x) =

∫k(x′, x)φ(x′) dx′ + f(x)

с заданным ядром k(x′, x) и свободным членом f(x) на некотором компактноммножестве X. Алгоритм аппроксимации функции φ(x) связан с введением сет-ки xi в X, приближением значений φ(xi) (здесь, в зависимости от свойствгладкости функций k(x′, x) и f(x), используются разного рода оценки методаМонте-Карло — локальные оценки, оценки метода сопряженных блужданий, ме-тод полигона частот, векторные оценки и др. [1]) с последующим восполнением,основанном на использовании соответствующего “устойчивого” аппроксимацион-ного функционального базиса.

В “классической” теории функциональных алгоритмов метода Монте-Карлоодной из основных является проблема оптимального сочетания числа узлов сет-ки xi и числа испытаний (траекторий обрывающихся цепей Маркова) в каждомузле; соответствующие асимптотические результаты для равномерных сеток xiполучены в [1]. Однако на практике число узлов сетки xi не может быть слиш-ком большим, и возникает естественная идея использования адаптивных сеток,а конкретнее, сеток, полученных с помощью рандомизированных алгоритмов са-мообучения Т. Кохонена [2]. В данной работе представлены особенности реали-зации и исследования функциональных алгоритмов для случаев равномерных иадаптивных сеток; при этом использованы новые аналитические подходы к опи-санию адаптивных сеток из работы [3].

ЛИТЕРАТУРА1. Войтишек А. В. Функциональные оценки метода Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во

НГУ, 2007.2. Kohonen T. Self-organizing maps. Springer, 2001.3. Войтишек А. В., Хмель Д. С. Аналитический подход к изучению граничного эффек-

та в одномерном рандомизированном численном алгоритме построения адаптивныхсеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, 2. С. 195–208.

373

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДАННЫХ

POSITIVE SPLINE INTERPOLATION

Волков Ю. С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;volkov@math.nsc.ru

В настоящее время сплайны стали основным инструментом для решения боль-шинства задач, связанных с приближением функций. Сюда, конечно, относятсяи задачи интерполяции. Наиболее универсальными являются сплайны невысо-ких степеней минимального дефекта по причине прекрасных аппроксимативныхсвойств и простоты использования. Однако, вообще говоря, квадратические икубические интерполяционные сплайны не наследуют такие геометрические ха-рактеристики как сохранение знака исходной функции и производных. Хорошоизвестно, что даже приближение произвольно гладкой функции может сопро-вождаться нежелательными осцилляциями, если исходные данные взяты недо-статочно “густо”.

В докладе приводятся достаточные условия положительности классическихсплайнов второй и третьей степеней, а также изучается возможность положи-тельной интерполяции положительных данных обобщёнными сплайнами, в част-ности, взвешенными.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-07-00447) и интеграционного проекта, выполняемого совместно СОРАН и УрО РАН (проект 32).

ЛИТЕРАТУРА

1. Волков Ю. С., Богданов В. В., Мирошниченко В. Л., Шевалдин В. Т. Формосохраня-ющая интерполяция кубическими сплайнами // Мат. заметки. 2010. Т. 88, вып. 6.C. 836–844.

2. Волков Ю. С., Шевалдин В. Т. Условия формосохранения при интерполяции сплай-нами второй степени по Субботину и по Марсдену // Тр. Ин-та математики и ме-ханики УрО РАН. 2012. Т. 18, 4. С. 145–152.

3. Мирошниченко В. Л. Изогеометрические свойства и погрешность аппроксимациивзвешенных кубических сплайнов // Вычислительные системы. Вып. 154: Сплайныи их приложения. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995. С. 127–154.

374

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В СРЕДНЕМПОЛИНОМОВ НА КОМПАКТНЫХОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

METRIC PROPERTIES IN THE MEANOF POLYNOMIALS ON COMPACT

HOMOGENEOUS SPACES

Гичев В. М.

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Омск, Россия; gichev@ofim.oscsbras.ru

Полиномом на однородном пространстве M компактной группы Ли G будемназывать функцию, порождающую конечномерноеG-инвариантное подпростран-ство L2(M). Если на M задана G-инвариантная риманова метрика, то полиномыможно определить как линейные комбинации собственных функций оператораЛапласа – Бельтрами. Рассматриваются метрические величины такие, как ме-ры Хаусдорфа множеств уровня, их пересечений, Lp-нормы, число критическихточек и другие. Они зависят от полинома, случайно выбранного в единичнойсфере S из конечномерного инвариантного подпространства E в L2(M) при рав-номерном распределении в S (т. е. для вероятностной инвариантной меры в S).Такой подход принят в математической физике, обычно по отношению к общиммногообразиям или к конкретным классическим, как сфера или тор, и для гаус-совского распределения в E (а не равномерного в сфере, хотя оно тоже рассмат-ривалось). Информацию о результатах можно найти в обзорах [1, 2].

Если M изотропно неприводимо, то на нем имеется лишь одна, с точностьюдо умножения на константу, инвариантная риманова метрика. Поэтому любоеэквивариантное отображение M в риманово G-многообразие является локаль-ным метрическим подобием, локальным диффеоморфизмом и конечно накрыва-ет свой образ. Применяя это к стандартному вложениюM в S и используя методыинтегральной геометрии на сферах, можно вычислить математические ожиданиямногих случайных величин описанного выше типа. Такой подход использовалсяв работе [3] в случае сфер O(n+ 1)/O(n) и для общих изотропно неприводимыходнородных пространств в [4]. Стоит отметить, что этот класс довольно широк ивключает в себя, например, вещественные грассмановы многообразия и простыекомпактные группы Ли.

Вычисление вторых моментов — задача более трудная. Для случайных ве-личин ξa(u) =

∫M

|u(p)|a dp и ηa(u) =∫M

(u+(p)a − u−(p)a) dp, где a > 0, u ∈ S,

u+ = maxu, 0, u− = −minu, 0, удается вывести формулы, позволяющие внекоторых случаях найти асимптотику или оценки. Вторая из них измеряет от-клонение от симметричности пространства E (под симметричностью понимаетсяравнораспределенность u+ и u−).

ЛИТЕРАТУРА1. Zelditch S. Local and global analysis of eigenfunctions on Riemannian manifolds //

Handbook of geometric analysis No. 1. (L. Ji et al., eds.) Somerville, MA: Internat.Press; Beijing: Higher Education Press, 2008. P. 545–658. (Adv. Lect. in Math.; V. 7.)

2. Надирашвили Н. С., Тот Д., Якобсон Д. Геометрические свойства собственных функ-ций // Успехи мат. наук. 2001. Т. 56, вып. 6. С. 67-88.

3. Гичев В. М. Несколько замечаний о сферических гармониках // Алгебра и анализ.2008. Т. 20, 4. С. 64-86.

4. Gichev V. M. Metric properties in the mean of polynomials on compact isotropyirreducible homogeneous spaces // Anal. Math. Phys. DOI:10.1007/s13324-012-0051-4.

375

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИНЕЙТРАЛЬНЫМ ПО СВЁРТКЕ ВЕКТОРОМ,

ОПРЕДЕЛЁННЫМ НА ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТАAN OPTIMAL INTERPOLATION METHOD

WITH CONVOLUTION-NEUTRAL VECTOR DEFINEDON A HILBERT SPACE

Грицутенко С.С.1, Королёва К.А.2

Омский государственный университет путей сообщения, Омск, Россия;1st256@mail.ru, 2jokie-ksu@mail.ru

В представленной работе рассматривается оптимальная интерполяция в смыс-ле равномерного распределения ошибки в спектральной области.

Определение 1. Свёрткой двух произвольных векторов пространства Гиль-берта является третий вектор этого же пространства, получаемый из следующегосоотношения:

z(t) = x(t) ∗ y(t) = (x(τ), y(t− τ)).

Определение 2. Нейтральным вектором пространства Гильберта, на кото-ром определена свёртка, называется такой вектор, в отношении которого выпол-няется условие:

x(t) = x(t) ∗ δ(t),где x(t) — любой вектор пространства H.

На базе введённых определений доказываются свойства нейтрального векто-ра, леммы и теоремы [1]. В том числе получены следующие утверждения.

Теорема 1. Если в пространстве Гильберта, в котором определён ортого-нальный базис ni(t) и свёртка, существует нейтральный вектор, то этот векторединствен и может быть вычислен по следующей формуле:

δ(t) = Σni(t)ni(0).

Теорема 2. Если в функциональном пространстве Гильберта H существуетнейтральный вектор δ(t), то в этом пространстве существует полная ортогональ-ная система функций вида δ

(t− 2πn

δ(0)

).

Теорема 3. Если в функциональном пространстве Гильберта H существу-ет нейтральный вектор δ(t), то любой вектор этого пространства может бытьвосстановлен по своими отсчётам при помощи формулы:

x(t) =1

δ(0)

∑x(2πn

δ(0)

)δ(t− 2πn

δ(0)

).

Предложен метод оптимальной интерполяции в смысле равномерного распре-деления среднеквадратичной ошибки интерполяции по спектру нейтральным посвёртке вектором:

x(n+ ∆t) + η(n) =

N/2−1∑k=−N/2

x(n− k)sinπ(k + ∆t)

π ∗ (k + ∆t)wcheb(n)

где x(n) — исходные отсчеты функции в узловых точках; x(n−∆t) — интерполи-рованные отсчеты функции, смещенные относительно исходных на величину ∆t.

ЛИТЕРАТУРА1. Грицутенко С. С. Векторы с фильтрующим свойством в свёрточных алгебрах //

Вестн. ИжГТУ. 2010. 2. С. 146–149.

376

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЛИФТИНГ В ИЗМЕРИМОМРАССЛОЕНИИ БАНАХОВЫХ РЕШЕТОКPOSITIVE LIFTING IN A MEASURABLE

BUNDLE OF BANACH LATTICES

Гутман А. Е.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;gutman@math.nsc.ru

Определение лифтинга (·)∼ : L∞(Ω,X ) → L∞(Ω,X ) классов измеримых се-чений измеримого расслоения X банаховых решеток на пространстве с мерой Ωсопровождается требованием решеточности лифтинга: (u ∨ v)∼ = u∼ ∨ v∼ на Ωдля всех u,v ∈ L∞(Ω,X ) (см. [1, определение 2.2]). Мы покажем, что это требо-вание является избыточным и может быть заменено условием положительности:u∼ > 0 на Ω для положительных u ∈ L∞(Ω,X ).

Лемма. Пусть X — векторная решетка, Y — нормированная решетка, и пустьT : X → Y — такой сюръективный положительный линейный оператор, что длялюбых x1, x2 ∈ X из |x1| 6 |x2| следует ∥Tx1∥ 6 ∥Tx2∥. Тогда T является реше-точным гомоморфизмом.

Доказательство. Поскольку kerT – порядковый идеал X, согласно [2, 18.9]фактор-пространство X := X/ kerT представляет собой векторную решетку от-носительно естественного порядка, а каноническое отображение φ : X → X яв-ляется решеточным гомоморфизмом. Кроме того, ∥·∥

Y T — решеточная полу-

норма на X, а значит, в силу [2, 62.3] пространство X является нормирован-ной решеткой относительно фактор-нормы ∥·∥X , причем ∥·∥X = ∥·∥

Y T , где

T := T φ−1 : X → Y — линейная биекция. Таким образом, оператор T служитположительной изометрией между нормированными решетками X и Y и поэто-му является решеточным гомоморфизмом (см. [3, теорема 1]). Следовательно,оператор T = T φ также является решеточным гомоморфизмом.

Теорема. Пусть X — измеримое расслоение банаховых решеток над про-странством с мерой Ω и (·)∼ : L∞(Ω,X )→ L∞(Ω,X ) — такой лифтинг в измери-мом банаховом расслоении X , что u∼ > 0 на Ω для положительных u ∈ L∞(Ω,X ).Тогда (u ∨ v)∼ = u∼ ∨ v∼ и (u ∧ v)∼ = u∼ ∧ v∼ на Ω для всех u,v ∈ L∞(Ω,X ).

Доказательство. Достаточно фиксировать произвольную точку ω ∈ Ω иприменить доказанную выше лемму к векторной решетке X := L∞(Ω,X ), нор-мированной решетке Y := X (ω) и оператору T : u ∈ X 7→ u∼(ω) ∈ Y , сюръектив-ность которого следует из [4, 4.4.1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ганиев И. Г. Измеримые расслоения решеток и их приложения // Исследования пофункциональному анализу и его приложениям. М.: Наука, 2005. С. 9–49.

2. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz spaces. Vol. I. Amsterdam; London: North-Holland Publishing Co., 1971.

3. Абрамович Ю. А. Об изометриях нормированных решеток // Оптимизация. 1988.Вып. 43 (60). С. 74–80.

4. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных про-странств // Линейные операторы, согласованные с порядком. Новосибирск: Изд-воИМ СО РАН, 1995. С. 63–211.

377

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПРИБЛИЖЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ОПЕРАТОРОВЛУЧЕВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В РЕФРАКЦИОННОЙ ТОМОГРАФИИAPPROXIMATE INVERSION OF THE RAY TRANSFORM

OPERATORS IN REFRACTIVE TOMOGRAPHY

Деревцов Е. Ю.1, Мальцева С.В.2

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;

1dert@math.nsc.ru; 2svetlana.v.maltseva@gmail.com

В последние годы интерес исследователей в области томографии смещается отклассической задачи восстановления функции по ее известному преобразованиюРадона (скалярная томография) к задачам векторной и тензорной томографии,рассматриваемым к тому же в среде с рефракцией [1]. Типичные задачи вектор-ной томографии — это ультразвуковое зондирование потоков жидкости или газа,доплеровская томография, шлирен-томография. Тензорная томография нацеле-на на определение анизотропных свойств сред, микро-объектов, пород в Земле.Термин же “рефракционная томография” относится к средам с рефракцией иподразумевает, что в томографических моделях учитывается эффект искривле-ния луча, с необходимостью возникающий в неоднородных средах, но которымобоснованно пренебрегают в постановках “классической” томографии.

Следует отметить, что, например, в задаче двумерной векторной томографиив качестве данных могут выступать уже два различных типа лучевых преобразо-ваний, каждое из которых обладает нетривиальным ядром. Это обстоятельствокардинально отличает задачи векторной и тензорной томографии от задачи ска-лярной, и требует развития специально разработанных методов [2]. Так, наличиеили отсутствие одного из лучевых преобразований, используемых в качестве дан-ных, напрямую связано с возможностью однозначного восстановления исходноговекторного поля либо лишь его определенной части.

Одним из широко известных способов решения задачи определения функциипо ее известному преобразованию Радона является использование формул обра-щения [3], которые в различных сочетаниях и последовательностях включают всебя такие операторы, как обратная проекция, потенциал Рисса, преобразованияФурье и Гильберта.

В настоящее время не существует строго обоснованных формул обращения,которые в результате давали бы скалярное, векторное или тензорное поле в ре-фрагирующих средах. Возникает вопрос, можно ли для восстановления иско-мых полей воспользоваться известными формулами обращения, заменив в нихиспользуемые операторы другими, построенными с учетом искривления лучей?Мы предлагаем, основываясь на эмпирическом подходе, модификации известныхформул обращения и их всестороннее численное исследование, которое неожи-данно показало хорошие результаты по точности восстановления на тестовомматериале.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: На-ука, 1993.

2. Деревцов Е. Ю. Некоторые задачи нескалярной томографии // Сиб. электрон. мат.изв. 2010. Т. 7. С. 81–111.

3. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир. 1990.

378

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИМЕТОДОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

CONSTRUCTION OF A DIFFERENCE SCHEMEWITH HIGH ORDER APPROXIMATION

FOR THE CONVECTION-DIFFUSION EQUATION BYTHE METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS

Дроздов Г.М.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;drozdoff-grig@ngs.ru

Рассматривается краевая задача в единичном квадрате с границей Γ и с усло-виями Дирихле для уравнения типа конвекции-диффузии:

β(uxx + uyy) + (x− a)ux + (y − b)uy = 0,

u|Γ = v(x, y).

Покроем область решения задачи Ω = [0, 1]× [0, 1] равномерной сеткой с узлами

(xi, yj), где xi = ih, i = 0, 1, . . . , N , yj = jh, i = 0, 1, . . . , N , h =1

N. Построим

разностную схему с точностью O(h6) на тринадцатиточечном шаблоне. Формулусхемы ищем в виде линейной комбинации значений решения в узлах шаблона:

(β(uxx + uyy) + (x− a)ux + (y − b)uy)i,j = c0ui,j + c1ui,j+1 + c2ui+1,j + c3ui,j−1

+ c4ui−1,j + c5ui+1,j+1 + c6ui+1,j−1 + c7ui−1,j−1 + c8ui−1,j+1 + c9ui,j+2

+ c10ui+2,j + c11ui,j−2 + c12ui−2,j +R(h),

где ck (k = 0, 1, . . . , 12) — неопределенные коэффициенты. Предположим непре-рывность всех производных решения по переменным x и y до шестого поряд-ка включительно. Невязку R(h) в правой части раскладываем в ряд Тейлораотносительно центрального узла шаблона. Согласно идеологии построения ком-пактных разностных схем, используя дифференциальные следствия уравненияна достаточно гладком решении, выражаем младшие производные через стар-шие и исключаем из разложения. Приравниваем к нулю коэффициенты передоставшимися производными в разложении. Отсюда получим систему из трина-дцати линейно независимых алгебраических уравнений относительно тринадцатинеизвестных коэффициентов ci. Решая ее, получим единственную схему шестогопорядка аппроксимации. Проведены численные эксперименты по решению зада-чи (β ∼ 10−2) с краевыми условиями, взятыми из точного решения на после-довательности сеток при мельчении шага. Показано, что на гладких решенияхпорядок сходимости схемы совпадает с порядком аппроксимации. Показано, чтосхема шестого порядка имеет существенные преимущества перед схемами второгои четвертого порядков аппроксимации, и при относительно умеренной величинешага сетки дает решение задачи с высокой точностью. Аналогично построенаразностная схема десятого порядка аппроксимации для уравнения Пуассона.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 10-01-00575 a).

ЛИТЕРАТУРА1. Шапеев А. В., Шапеев В. П. Решение эллиптических задач с особенностями по схе-

мам высокого порядка аппроксимации // Вычисл. технол. 2006. Т. 11, 2. С. 84–91.

379

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭЛЛИПТИЧНОСТИПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМELLIPTICITY FOR PSEUDODIFFERENTIALOPERATORS WITH SMALL PARAMETER

Дьяченко Е. О.1, Тарханов Н. Н.2

Университет Потсдама, Потсдам, Германия;1dyachenk@uni-potsdam.de, 2tarkhanov@math.uni-potsdam.de

Один из самых распространенных подходов к зависящим от малого пара-метра эллиптическим псевдодифференциальным уравнениям использует асимп-тотическое приближение Пуанкаре. При этом символ a(x, ξ, ε) понимается какнепрерывная по малому параметру ε ∈ [0, ε0) функция, которая при каждомфиксированном ε определяет некий ПДО Aε : H1 → H2. В этом подходе вырож-денный символ определяется как a0(x, ξ) = a(x, ξ, ε)|ε=0. Далее рассматриваютсявопросы сходимости возмущенных решений к вырожденному по норме H1.

Другой подход основан на алгебраическом представлении символа a(x, ξ, ε)через возмущенную и невозмущенную части и развит в работах Л. Франка иГ. Грубб. При этом с помощью алгебры ПДО с малым параметром обобщаютсянекоторые известные результаты для дифференциальных уравнений с малымили большим параметром.

Оба способа позволяют получить асимптотические решения для значитель-ного круга эллиптических задач физики и техники с малым параметром пристарших производных. Однако в некоторых задачах в областях с каспидальнойграницей (см., например, [1]) классические подходы к асимптотическим разло-жениям применимы не всегда. В этих случаях можно рассматривать малый па-раметр как новую независимую переменную, а символ оператора a(x, ξ, ε) какоператорнозначную функцию от (x, ξ), область значения которой есть операто-ры над функциями от ε. В этой работе предлагается способ построения алгебр стаким символом и рассматриваются возможные применения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dyachenko E., Tarkhanov N. Degeneration of boundary layer at singular points. Potsdam,2012. (Preprint / Institute fur Mathematik der Universitat Potsdam; N 11).

380

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

W lp-РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВС НУЛЬ-ЛАГРАНЖИАНАМИ

W lp-REGULARITY OF SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL

INEQUALITIES WITH NULL LAGRANGIANS

Егоров А.А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;yegorov@math.nsc.ru

Результаты о W 1p -регулярности отображений с ограниченным искажением и

решений эллиптических систем уравнений первого порядка играют важную рольв геометрическом анализе, в частности, в теории устойчивости классов отобра-жений и в их приложениях (см., например, монографии [1–3]). Теоремы, даю-щие в определенном отношении окончательное решение проблемы регулярностис точки зрения теории пространств Соболева решений системы нелинейных диф-ференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка вслучае, когда эта система локально близка к эллиптическим системам линейныхуравнений с постоянными коэффициентами, получены А. П. Копыловым [4].

В данной работе исследуется W lp-регулярность решений v ∈ W l

q,loc(U ;Rm),U ⊂ Rn, 1 < q < p, дифференциальных неравенств с частными производнымипорядка l следующего вида

F (v(l)(x)) ≤ KG(v(l)(x)) для п. в. x ∈ U, (1)

где F : Rmnls → R — непрерывная функция, удовлетворяющая условию F (ζ) ≥cF |ζ|k с некоторой константой cF > 0, G : Rmnls → R — k-однородный нуль-лагранжиан, K ≥ 1. Здесь k, n,m, l ∈ N, 2 ≤ k ≤ minn,m, Rmnls — про-странство симметричных l-линейных отображений из Rn в Rm с нормой |ζ| =sup|ζ(X1, . . . , X l)| : Xj ∈ Rn, |Xj | < 1, j = 1, . . . , l, v(l)(x) — дифференциалпорядка l в точке x ∈ U отображения v, рассматриваемый как элемент простран-ства Rmnls . Установлено, что существуют числа 1 < q = q(K,F,G) < k < p =

p(K,F,G) <∞ такие, что если q > q, то каждое решение v ∈W lq,loc(U ;Rm) нера-

венства (1) принадлежит классу Соболева W lp,loc(U ;Rm) с любым показателем

p < p. Для случая l = 1 этот результат получен в [5].Работа выполнена при частичной финансовой поддержке интеграционного проекта,

выполняемого совместно СО РАН и ДВО РАН (проект 56), и Совета по грантамПрезидента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ(проект НШ-921.2012.1).

ЛИТЕРАТУРА1. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. 2-е изд., перераб.

Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.2. Копылов А. П. Устойчивость в C-норме классов отображений. Новосибирск: Наука,

1990.3. Iwaniec T., Martin G. Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford: Oxford

Univ. Press, 2001. (Oxford Math. Monographs.)4. Копылов А. П. О W l

q-регулярности решений систем дифференциальных уравнений вслучае, когда уравнения строятся на основе разрывных функций // Сиб. мат. журн.2003. Т. 44, 4. С. 749–771.

5. Egorov A. A. Solutions of the differential inequality with a null Lagrangian: regularityand removability of singularities // arXiv:1005.3459.

381

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕСОВОЙОПТИМАЛЬНОЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ

В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА Wm2 (R)

EXISTENCE AND UNIQUENESS OF AN OPTIMALWEIGHTED QUADRATURE FORMULA

IN THE SOBOLEV SPACE Wm2 (R)

Жалолов Икр. И.

Бухарский государственный университет, Бухара, Узбекистан;o_jalolov@mail.ru

В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании и единственно-сти оптимальной квадратурной формулы с равноотстоящими узлами для инте-грирования функции из пространства Wm

2 (R) при целых m [1].Определение. Пространство Wm

2 (R) определяется как замыкание бесконеч-но дифференцируемых функций, заданных в R и убывающих на бесконечностибыстрее любой отрицательной степени, в норме

∥∥f(x) |Wm2 (R)

∥∥ =

∞∫−∞

∣∣F−1[(1 + y2)

m2 F [f(x)](y)

](x)∣∣2 dx 1

2

.

Здесь F и F−1 — прямое и обратное преобразование Фурье:

F [f(x)](y) =

∞∫−∞

f(x)e2πiyx dx и F−1[f(x)](y) =

∞∫−∞

f(x)e−2πiyx dx.

Рассмотрим квадратурную формулу вида

1∫0

p(x)f(x) dx ≈N∑β=0

Cβf(xβ)

с функционалом погрешности ℓN (x) = ε[0,1](x)p(x)−N∑β=0

Cβδ(x− xβ).

Здесь ε[0,1](x) — индикатор отрезка [0, 1], δ(x) — дельта-функция Дирака иp(x) — весовая функция.

Справедливы следующие утверждения.Лемма. Система νm

2(x− βh)Nβ=0 является линейно независимой системой в

пространстве L2(R).Теорема. Оптимальная квадратурная формула, коэффициенты который яв-

ляются решением системы линейных уравненный

∑Cβνm(hα− hβ) =

∞∫−∞

p(y)νm(hα− y) dy, α = 0, 1, . . . , N,

над пространством Wm2 (R) существует и является единственной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

382

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЛОЖЕНИИПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА – ОРЛИЧА

ON OPTIMAL EMBEDDINGOF SOBOLEV–ORLICZ SPACES

Жамсранжав Д.

Монгольский государственный университет, Институт математики,Улан-Батор, Монголия; davaa@mail.ru

Для пространств Соболева – Орлича установлены точные условия вложенияв L∞ и получено конкретное описание оболочки локального роста.

Доказаны следующие теоремы.Теорема 1. Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченное замкнутое множество и T = µn(Ω).

Предположим, что функция Юнга Φ удовлетворяет ∆2-условию. Тогда вложение

WmΦ (Ω) → L∞(Ω)

эквивалентно требованию

1

V (t)

(Tmn − tmn

)∈ LΨ,ν(0, T ),

где Ψ — дополнительная функция Юнга к функции Φ.Теорема 2. Пусть m ∈ N, m < n и

1

V (t)

(Tmn − tmn

)/∈ LΨ,ν(0, T ).

Тогда для функции оболочки локального роста имеет место следующая двухсто-ронняя оценка

EW (t) ∼∥∥∥ 1

V (τ)Fm(t, τ)

∥∥∥Ψ,ν

,

где

Fm(t, τ) =

Tmn − τ mn , t ∈ [0, τ),

Tmn − τtmn −1, t ∈ [τ, T ].

ЛИТЕРАТУРА

1. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. New York: Acad. Press, 1988. (PureAppl. Math.; V. 129.)

2. Jamsranjav D. Local growth envelopes of Sobolev–Orlicz spaces // Mong. Math. J. 2011.V. 15. P. 30–39.

3. Гольдман М. Л., Керман Р. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона иобобщенных пространств Бесова // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2003.Т. 243. С. 161–193.

383

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИЕВ ТЕОРИИ ОТОБРАЖЕНИЙ

С ОГРАНИЧЕННЫМ ИСКАЖЕНИЕМSYSTEMS OF EQUATIONS IN THE THEORY

OF MAPPINGS WITH BOUNDED DISTORTION

Журавлев И. В.

Волгоградский государственный университет, Волгоград, Россия;igor.zhuravlev@volsu.ru

Пусть D — ограниченная область в Rn, n ≥ 2, звездная относительно шара B,B ⊂ D. Пусть K — отображение, определенное в D, со значениями в простран-стве Mn вещественных n × n-матриц. Предположим, что элементы матрицы Kизмеримы и detK(x) > 0 почти всюду в D.

В работе рассмотрена задача о восстановлении дифференцируемого почтивсюду в области D отображения f : D → Rn через коэффициенты K, θ(x, f ′(x))правой части системы

f ′(x) = K(x)θ(x, f ′(x)). (1)

Здесь f ′(x) — матрица Якоби отображения f в точке x, а θ(x, f ′(x)) — значе-ния в точке (x, f ′(x)) функционала θ, определенного на D ×Mn и обладающегоследующим свойством: если непрерывное отображение f принадлежит классуW 1

1,loc(D) и почти всюду в области D выполняется неравенство det f ′(x) > 0, тоθ(x, f ′(x)) > 0 почти всюду в области D и θ(x, f ′(x)) ∈ L1,loc(D).

В силу этого определения, если непрерывное отображение f принадлежитклассу W 1

n,loc(D), det f ′(x) > 0 почти всюду в области D и норма матрицыK/ det1/nK равномерно в D ограничена сверху некоторой постоянной почти всю-ду в области D, то каждое решение f системы (1) является отображением с огра-ниченным искажением [1].

Система (1) переопределена [2, 3]. В работе установлены необходимые и до-статочные условия существования ее решений, описано множество ее решений иданы интегральные представления решений через K, θ с использованием собо-левских интегральных операторов [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Но-восибирск: Наука, 1982.

2. Егоров В. В. Восстановление отображения по матрице Якоби, нормированной одно-родной функцией // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.Информатика. 2007. Т. 7, вып. 2. С. 14–20.

3. Журавлев И. В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Яко-би // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, 5. С. 53–61.

4. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математическойфизике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

384

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙС ПОГРАНСЛОЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

QUADRATURE FORMULAS FOR FUNCTIONSWITH A BOUNDARY-LAYER COMPONENT

Задорин А. И.1, Задорин Н.А.2

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН,Омск, Россия;

1zadorin@ofim.oscsbras.ru, 2nik-zadorin@yandex.ru

Исследуется вопрос построения квадратурных формул для функций с по-гранслойной составляющей. Предполагается, что интегрируемая функция можетбыть представлена в виде u(x) = p(x) + γΦ(x), где регулярная составляющаяp(x) имеет ограниченные производные до некоторого порядка, погранслойнаясоставляющая Φ(x) известна, имеет области больших градиентов, постоянная γне задана. Такое представление имеет решение сингулярно возмущенной краевойзадачи, когда функция Φ(x) соответствует экспоненциальному или степенномупограничному слою. В работе функция Φ(x) рассматривается как функция об-щего вида. Погрешность составных квадратурных формул, основанных на фор-мулах Ньютона – Котеса с 3, 4, 5 равноотстоящими узлами, при наличии быстроменяющейся погранслойной составляющей становится величиной порядка O(h),где h — шаг сетки.

Ставится задача построения квадратурных формул, погрешность которыхне зависит от резких изменений интегрируемой функции в пограничном слое.Построена интерполяционная формула с произвольным числом узлов интерпо-ляции, точная на погранслойной составляющей Φ(x) [1]. Предлагается строитьквадратурные формулы на основе приближения подынтегральной функции по-строенным интерполянтом. Таким образом построены и обоснованы квадратур-ные формулы с двумя, тремя [2], четырьмя и пятью равноотстоящими узлами.Доказано, что погрешность составных квадратурных формул — величина поряд-ка O(hn−1), где n — число узлов построенной квадратурной формулы, на основекоторой строится составная формула на сетке с шагом h. Эта погрешность не за-висит от погранслойной составляющей и ее производных. Проведены численныеэксперименты, подтвердившие полученные оценки точности.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 11-01-00875) и Отделения математических наук РАН (проект 1.3.2,2012).

ЛИТЕРАТУРА

1. Zadorin A. I., Zadorin N. A. Interpolation formula for functions with a boundary layercomponent and its application to derivatives calculation // SEMR. 2012. V. 9. P. 445–455.

2. Задорин А. И., Задорин Н. А. Квадратурные формулы для функций с погранслойнойсоставляющей // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, 11.С. 1952–1962.

385

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МЕТОД С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ РЕШЕНИЯЗАДАЧИ СИНЬОРИНИ

A REGULARIZATION METHOD FOR SOLVINGTHE SIGNORINI PROBLEM

Золотухин А. Я.

Тульский государственный университет, Тула, Россия; zolot_aj@mail.ru

Рассматривается краевая задача [1]−∆u = f в Ω,∂u∂n ≥ 0, u− ψ ≥ 0, ∂u

∂n (u− ψ) = 0 на Γ,(1)

где Ω ⊂ R2 — ограниченная область с достаточно регулярной границей Γ, n —единичный вектор внешней нормали к Γ, f ∈ L2(Ω), ψ ∈ L2(Γ) — заданныефункции.

Вариационная постановка задачи (1) имеет вид [1]J(u) = 1

2

∫Ω

|∇u|2 dΩ−∫Ω

fu dΩ→ min,

u ∈ G.. (2)

Здесь G = u ∈ W 12 (Ω) : γu ≥ ψ п. в. на Γ, γu ∈ W 1/2

2 (Γ) — след функции u ∈W 1

2 (Ω). Ядро билинейной формы a(u, v) =∫Ω

(∇u,∇v) dΩ состоит из постоянных

функций и является одномерным множеством. В [1] установлено, что при условии∫Ω

f dΩ < 0 задача (2) имеет единственное решение.

Численное решение задачи (2) проводилось для прямоугольной области Ωметодом итеративной проксимальной регуляризации в сочетании с методом ко-нечных элементов. Приведём алгоритм этого метода.

1) Зададим последовательность положительных чисел εk такую, что∞∑k=1

εk <

∞, и z0 ∈ G.2) Считая zk известным, находим zk+1 из условий

J(zk+1) + α∥zk −Qzk+1∥2L2(Ω) = infv∈G

(J(v) + α∥zk −Qv∥2L2(Ω)),

∥zk+1 − zk∥W 12 (Ω) < εk+1, где α > 0 — параметр, Q — оператор ортогонального

проектирования W 12 (Ω) на ядро R.

В [2] установлена сходимость алгоритма, когда пункт 2) имеет вид

J(zk+1) + α∥zk − zk+1∥2L2(Ω) = infv∈G

(J(v) + α∥zk − v∥2L2(Ω),

∥zk+1 − zk∥W 12 (Ω) < εk+1.

Обоснование метода решения задачи Синьорини без регуляризации приведенов [3].

ЛИТЕРАТУРА1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.2. Золотухин А. Я., Намм Р.В., Пачина А. В. О линейной скорости сходимости методов

с итеративной проксимальной регуляризацией // Изв. вузов. Матем. 2006. 12.С. 44–54.

3. Namm R. V., Zolotukhin A. Ya. The finite element method for solving Signorini’sproblem // Computational Fluid Dynamics Journal. 1996. V. 4, N 4. P. 509–515.

386

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ НА ОДНОЙТРЕХСТУПЕНЧАТОЙ ГРУППЕ КАРНО ПРИ

МИНИМАЛЬНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ ГЛАДКОСТИA LIOUVILLE THEOREM ON SOME THREE-STEP

CARNOT GROUP UNDER MINIMALSMOOTHNESS ASSUMPTIONS

Исангулова Д. В.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;dasha@math.nsc.ru

Мы рассматриваем группу Энгеля G как модельный пример трехступенчатойгруппы Карно, называемую еще 4-мерной группой Карно K-типа или колмого-ровского типа. Также группа Энгеля изоморфна группе джетов J2(R,R) [1]. Эле-менты группы G можно рассматривать как (x, y, z, w), где x, y, z, w ∈ R. Левоин-вариантные векторные поля X = ∂x, Y = ∂y +x∂z + x2

2 ∂w образуют горизонталь-ное подрасслоение H касательного расслоения, которое своими коммутаторамипорождает все касательное расслоение: [X,Y ] = ∂z, [X, ∂z] = ∂w.

Метрика Карно – Каратеодори d определяется как точная нижняя граньдлин горизонтальных кривых, соединяющих две точки (кусочно-гладкая кри-вая γ называется горизонтальной, если

·γ (t) ∈ H(γ(t))). Размерность по Хау-

сдорфу относительно метрики d обозначается символом ν и равна 7.На группе Энгеля группа гладких 1-квазиконформных отображений M , со-

храняющих ориентацию, образована следующими отображениями [1]:1) левый сдвиг πa(x) = a · x, a ∈ G;2) растяжение δsx = (sx, sy, s2z, s3w), s > 0;3) отражение ι(x, y, z, w) = (−x, y,−z, w).Пусть U — открытое множество в G. Мы называем F : U → G отображением

с ограниченным искажением [2], если(a) F непрерывно открыто и дискретно,(b) F ∈W 1

ν,loc(U,G),(c) существует постоянная K > 1 такая, что неравенство |DhF (x)|ν6KJ(x, F )

выполняется почти всюду в U . Наименьшая постоянная K в этом неравенстве на-зывается (внешним) коэффициентом искажения отображения F и обозначаетсясимволом KO(F ).

Теорема (аналог теоремы Лиувилля). Если F — отображение с ограничен-ным искажением связной области U ⊂ G и KO(F ) = 1, то F равно сужению на Uдействия элемента группы M .

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проект 12-01-31205) и Совета по грантам Президента РФ для поддержкимолодых российских ученых и ведущих научных школ (проект НШ-921.2012.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Warhusrt B. Jet spaces and nonrigid Carnot groups: Ph. D. Thesis. Sydney: Universityof New South Wales, 2005.

2. Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажениемна группах Карно // Мат. труды. 2002. Т. 5, 2. С. 92–137.

387

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЕСОВОЙ КВАДРАТУРНОЙФОРМУЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ L

(2)2 (0, 1)

COEFFICIENTS OF A WEIGHTED QUADRATUREFORMULA IN THE SPACE L

(2)2 (0, 1)

Исмоилов С. И.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан; sardor_ismoilov@mail.ru

В настоящей работе рассматривается задача построение оптимальной квад-ратурной формулы вида

1∫0

xαφ(x) dx ∼=N∑β=0

C[β]φ(hβ) (1)

в пространстве L(2)2 (0, 1) [1]. Здесь φ(x) — подынтегральная функция, C[β] —

коэффициенты, h = 1N , N = 2, 3, 4, . . ., δ(x) — дельта-функция Дирака, ε[0,1](x) —

характеристическая функция отрезка [0, 1], α ≥ 0.Справедлива следующаяТеорема. Оптимальные коэффициенты квадратурной формулы (1) в про-

странстве L(2)2 (0, 1) имеют вид

C[0] =12F

h3[(1 + 6T (N, q−1))hα+4 +W ],

C[β] =12F

h3[6(q + 2)(qβT (β, q−1)− q−βT (β, q))hα+4 + ((β − 1)α+4 + (β + 1)α+4

− 8βα+4)hα+4 − (q + 2)(qβ − q−β)(W + 6T (N, q−1)hα+4)], β = 1, N − 1,

C[N ] =1

α+ 1+

12F

h3

[(1− h)α+4 −WqN − (q − 1)

(1− (α+ 4)(α+ 3)

h2

6

)− 1],

где

W =6

q2N − 1

[hα+4(T (N, q−1)− T (N, q))−

√3

3qN(

1− (α+ 3)(α+ 4)h2

6

)],

T (x, q) =α+4∑i=0

qi

(1− q)i+1∆i0α+4 −

α+4∑p=0

Cpα+4xα+4−p

α+4∑i=0

qx+i

(1− q)i+1∆i0p,

F =1

2(α+ 4)(α+ 3)(α+ 2)(α+ 1), q =

√3− 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

388

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРИМЕНЕНИЕ δ-ФУНКЦИИ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СЛОЖНОГО

СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССАAPPLICATION OF THE δ-FUNCTION FOR OBTAINING

THE DIFFERENTIATION RULE FOR A COMPOUNDRANDOM PROCESS

Карачанская Е. В.

Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск, Россия;EKarachanskaya@mail.khstu.ru

Представление дельта-функции в виде предела некоторой специальной функ-ции позволило построить правило дифференцирования — обобщенную формулуИто – Вентцеля — для сложного случайного процесса, определяемого случайнойфункцией с винеровскими и пуассоновскими возмущениями, удовлетворяющейнекоторому обобщенному стохастическому дифференциальному уравнению Ито(ОУИ), с учетом того, что ее пространственная координата есть также случайныйпроцесс, который является решением другого ОУИ [1].

Дельта-функция рассматривается как предел последовательности экспонент.Поскольку экспонента — бесконечно дифференцируемая функция (нам достаточ-но второй производной), а соответствующая последовательность быстро сходит-ся, такое допредельное представление позволяет применять обобщенную форму-лу Ито без дополнительных замечаний.

Пример формального использования δ-функции при построении стохастиче-ских аналогов задач классической механики на основе уравнений Ито был при-веден в работе [2].

Лемма. Пусть функция f(t;x) ограничена с вероятностью единица для лю-бых t ∈ [0, T ] и удовлетворяет условию Липшица по компоненте x. Тогда имеет

место представление f(t;x) =

∞∫−∞

f(t; y)δ(y−x) dy = limε↓0

∞∫−∞

f(t; y)δε(y−x) dy, где

δε(y − x) =1

ε√

2πexp− (y − x)2

2ε2

.

Свойства δ-функции и ее производных, примененных к ограниченной с веро-ятностью 1 функции, аналогичны свойствам, относящимся к детерминированнымфункциям. Поскольку применение формулы Ито к δ-функции невозможно [3],используются допредельные представления ее производных первого и второгопорядков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубко В. А., Карачанская Е. В. О двух подходах к построению обобщенной формулыИто – Вентцеля. Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2012. (Препринт / ВЦ ДВО РАН; 174).

2. Дубко В. А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальныхуравнений. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1989.

3. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев:Наук. думка, 1968.

389

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕРЫ И СКОРОСТИСХОДИМОСТИ В ЭРГОДИЧЕСКИХ ТЕОРЕМАХ

SPECTRAL MEASURES AND CONVERGENCE RATESIN ERGODIC THEOREMS

Качуровский А. Г.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;agk@math.nsc.ru

Пусть (Ω,F, λ) — пространство с вероятностной мерой, T — его эндоморфизм,т. е. такое отображение T : Ω→ Ω, что для всех A ∈ F множество T−1A принад-лежит F и λ(A) = λ(T−1A). Для f ∈ L1(Ω), ω ∈ Ω, n ∈ N обозначим

Anf(ω) =1

n

n−1∑k=0

f(T kω).

Тогда индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа утверждает существова-ние λ-п. в. предела f∗ = lim

n→∞Anf и справедливость равенства

∫f∗ dλ =

∫f dλ.

Статистическая эргодическая теорема фон Неймана утверждает, что для f ∈L2(Ω) этот предел существует и в L2(Ω).

Скорость сходимости в теореме Биркгофа будем измерять скоростью убыва-ния при n→∞ для каждого ε > 0 величин Pεn = λ

supk≥n|Akf−f∗| ≥ ε

. Скорость

сходимости в теореме фон Неймана есть скорость сходимости ∥Anf−f∗∥22 к нулюпри n→∞.

Как было доказано в [1], оценки скоростей сходимости в эргодических теоре-мах с необходимостью являются спектральными: степенная скорость сходимостив теореме фон Неймана эквивалентна степенной же, с тем же показателем степе-ни, особенности спектральной меры усредняемой функции f относительно рас-сматриваемой динамической системы. При этом оказывается возможным даватьпо спектральным мерам оценки скорости сходимости и в эргодической теоремеБиркгофа. Однако они не всегда уже оказываются точными (даже асимптотиче-ски).

В докладе приводятся полученные докладчиком и его учениками соответству-ющие новые оценки скоростей сходимости в обеих эргодических теоремах (поспектральным мерам, и по их коэффициентам Фурье — так называемым кор-реляционным коэффициентам), часть из которых была опубликована в [2, 3]. Атакже обсуждаются их применения к исследованию конкретных динамическихсистем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // Успехи мат.наук. 1996. Т. 51, вып. 4. С. 73–124.

2. Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эрго-дических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Мат. сб. 2011. Т. 202, 8. С. 21–40.

3. Джулай Н. А., Качуровский А. Г. Константы оценок скорости сходимости в эрго-дической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. мат. журн. 2011.Т. 52, 5. С. 1039–1052.

390

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОДМНОГООБРАЗИЙРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

ON THE INTRINSIC GEOMETRY OF SUBMANIFOLDSOF RIEMANNIAN MANIFOLDS

Копылов А. П.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;kopylov@math.nsc.ru

Предположим, что (X, g) — n-мерное связное гладкое риманово многообразиебез края и Y — его n-мерное компактное связное C0-подмногообразие с непустымкраем ∂Y (n ≥ 2). Рассмотрим метрическую функцию ρY , порожденную внут-ренней метрикой внутренности intY подмногообразия Y следующим образом:

ρY (x, y) = limx′→x, y′→y; x′,y′∈intY

inf[l(γx′,y′,intY )] <∞,

где x, y ∈ Y и inf[l(γx′,y′,intY )] — инфимум длин l(γx′,y′,intY ) гладких путейγx′,y′,intY : [0, 1]→ intY , соединяющих x′ и y′ во внутренности intY подмногооб-разия Y . В связи с изучением этой функции возникают естественные вопросы оботыскании условий, при которых ρY является метрикой, а также о существова-нии геодезических в этой метрике и о взаимосвязи ρY с классической внутреннейметрикой подмногообразия Y многообразия X.

Важнейшие результаты в указанном направлении — это утверждения о том,что если функция ρY конечнозначна, то при n = 2 она является метрикой в Y , ав случае n ≥ 3 (вообще говоря) нет.

В заключение отмечу, что результаты доклада получены совместно с М. В. Ко-робковым.

391

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ДВУХ НЕРАВЕНСТВАХ КОЛМОГОРОВАНА ПОЛУПРЯМОЙ

ON TWO KOLMOGOROV’S INEQUALITIESON THE HALF-LINE

Коробов А. А.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;korobov@math.nsc.ru

В статье [1] методом теории оптимального управления доказаны следующиенеравенства на полупрямой R+ = [0,∞):

∥x(·)∥L∞(R+) ≤ Cq∥x(·)∥2

2+q−1

Lq(R+)∥x(·)∥q−1

2+q−1

L∞(R+), (1)

∥x(·)∥L∞(R+) ≤ C ′q∥x(·)∥

1

2+q−1

Lq(R+)∥x(·)∥1+q−1

2+q−1

L∞(R+). (2)

В (1) и (2) 1 ≤ q < ∞. Там же предложен метод для нахождения наилуч-ших констант Cq и C ′

q, а также — для нахождения функций из пространстваW 2q,∞(R+), для которых неравенства (1) и (2) превращаются в равенства. Здесь

W 2q,∞(R+) — это пространство таких функций x(·) ∈ Lq(R+), что x(·) абсолютно

непрерывна на любом отрезке [a, b] ⊂ [0,∞) и x(·) ∈ L∞(R+). В докладе приq ∈ 2, 4, 6, 8, 10 будет предложен эффективный (с вычислительной точкизрения) алгоритм для нахождения наилучших констант Cq и C ′

q, а также — длянахождения соответствующих экстремальных функций. Этот алгоритм базиру-ется на функции Беллмана для подходящей задачи оптимального управления,которую впервые решил А. Т. Фуллер [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Магарил-Ильяев Г. Г. О неравенствах Колмогорова на полупрямой // Вестн. Моск.ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1976. 5. С. 33–41.

2. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением пе-реключений // Оптимальное управление – 4. М.: ВИНИТИ, 2002. С. 5–189. (Итогинауки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. Т. 90.)

392

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

НЕРАВЕНСТВО КОЛМОГОРОВАДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

THE KOLMOGOROV INEQUALITYFOR THE LAPLACE OPERATOR

Кошелев А. А.

Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия;aakoshelev@gmail.com

Для дважды дифференцируемых функций f многих переменных (m ≥ 2)оператор Лапласа ∆ определяется формулой

∆f =∂2f

∂x21+∂2f

∂x22+ . . .+

∂2f

∂x2m.

На классы менее гладких функций оператор Лапласа и его вторая степень рас-пространяются по схеме Соболева (см., например, [1]).

Нас будет интересовать задача о нахождении точной (наименьшей возмож-ной) константы Km в неравенстве Колмогорова

∥∆f∥C(Rm) ≤ Km√∥f∥C(Rm)∥∆2f∥L∞(Rm) (1)

В настоящее время известно большое количество точных неравенств типаКолмогорова для функций одной переменной (см. обзорную статью [2]). Зна-чительно меньше таких результатов получено для функций многих переменных.Неравенство Колмогорова вида (1) изучал О. Кунчев в [3]. Для константы Kmон получил оценку

Km ≤ 2

√m

m+ 2, (2)

при m ≥ 2.Ранее автор получил аналогичную оценку сверху для наилучшей констан-

ты Km из хорошо известной связи неравенства Колмогорова с задачей С. Б. Стеч-кина о наилучшем приближении неограниченного оператора линейными ограни-ченными на классе элементов [4]. На этом пути в работах автора 2008 и 2011годов для случая m = 2, m = 3 оценка (2) была улучшена.

Оценку снизу для наилучшей константы Km можно получить с помощью под-ходящей, отличной от нулевой, функции, воспользовавшись следующей формойнеравенства (1)

Km ≥∥∆f∥C(Rm)√

∥f∥C(Rm)∥∆2f∥L∞(Rm)

. (3)

В докладе рассматриваются свойства аналога идеального сплайна Эйлера(функции Фавара – Ахиезера – Крейна) для второй степени оператора Лапла-са ∆2 и применение его для оценки снизу наилучшей константы Km в (3).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (госзадание 1.1544.2011).

ЛИТЕРАТУРА1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.2. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родствен-

ные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124.3. Kounchev O. Extremizers for the multivariate Landau–Kolmogorov inequality // Multi-

variate Approximation. (W. Haussmann et al., eds.) Akademie-Verlag, 1997. P. 123–132.4. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967.

Т. 1, 2. С. 137–148.

393

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИРАВНОВЕСНОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗАAN APPROXIMATE SOLUTION FOR AN EQUILIBRIUM

ROTATING GAS CLOUD

Куликов И. М.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; kulikov@ssd.sscc.ru

Одной из актуальных, недостаточно изученных и требующих дальнейшегоисследования проблем эволюции звезд является построение равновесных конфи-гураций гравитирующих газовых тел. Такие конфигурации важны для модели-рования газодинамических процессов на этапах образования нейтронных звездили черных дыр, а также для моделирования коллапса и вспышек сверхновых. Внастоящем докладе звезда рассматривается как самогравитирующее газовое об-лако и решается задача построения ее равновесных конфигураций как с учетомвращения, так и без него.

В отсутствии вращения звезда имеет сферическую форму, поверхности посто-янного давления — изобарические поверхности — являются концентрическимисферами, и все газодинамические параметры обладают центральной симметри-ей. В этом случае равновесные конфигурации можно построить аналитически иопределить газодинамические параметры в явном виде. В общем случае задачувращения самогравитирующего газового облака приходится решать численно.

Были получены приближенные решения равновесного вращающегося само-гравитирующего газа. С увеличением угловой скорости ω самогравитирующийгаз принимает форму эллипсоида вращения, полуоси которого можно аппрокси-мировать функциями:

Rx,y(ω) = 2.35 · 10−3 exp(ω/0.15736) + 1.18171,

Rz(ω) = 2.52 · 10−3 exp(ω/0.17686) + 1.03146.

В докладе будет приведено описание численного подхода к получению такихрешений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проекты 12-01-00061, 12-01-31352 мол_а), а также при поддержке Советапо грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущихнаучных школ (проект МК-4183.2013.9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Vshivkov V., Lazareva G., Snytnikov A., Kulikov I., Tutukov A. Hydrodynamical codefor numerical simulation of the gas components of colliding galaxies // The AstrophysicalJournal Supplement Series. 2011. V. 194, N 47. С. 1–12.

394

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В МАНТИИ ЗЕМЛИ

APPROXIMATE SOLUTIONS TO THE HEAT AND MASSTRANSFER PROBLEM IN THE EARTH MANTLE

Лазарева Г. Г.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; lazareva@ssd.sscc.ru

Среди эндогенных механизмов переноса вещества в земной коре и верхнеймантии определяющее место занимают движения, причинами которых являютсягравитационная неустойчивость и тепловые потоки. Одним из проявлений такихдвижений в земной коре является интрузивный магматизм, другим — диапиризм,т. е. всплывание более легкого вещества и погружение более тяжелого. Процессосуществляется при наличии инверсии плотности породы по глубине, т. е. когдав нижней части разреза залегают породы менее плотные, чем в верхней, а прояв-ления его возможны в разных геологических ситуациях и в разных масштабах.Для нахождения параметров процесса плавления в нижней коре и параметровдиапиризма введена нестационарная модель геодинамических течений в прибли-жении слабосжимаемой жидкости. При небольших характерных скоростях гео-динамических процессов (несколько сантиметров в год) для задач такого типахарактерна высокая скорость звука и малое число Маха.

В докладе представлены приближенные решения для нахождения динамикитемпературного поля при всплывании гранитного вещества с учетом сжимаемо-сти и температурной зависимости реологических свойств, позволяющая верновоспроизводить скорость среды. Разработан алгоритм нахождения гипозвуковойскорости течения на основе решения уравнений движения в интегральной форме.Программная реализация численной модели позволяет получать новые резуль-таты по эволюции гравитационно-неустойчивых систем в недрах Земли.

Работа выполнена при поддержке Сибирского отделения РАН (междисциплинарныйпроект 12) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00061).

395

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОДНОЙВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ

С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДОВ ДВОЙСТВЕННОСТИA NUMERICAL ALGORITHM FOR SOLVING SOME

VARIATIONAL PROBLEM IN MECHANICSBY THE DUALITY METHOD

Максимова Н. Н.

Амурский государственный университет, Благовещенск, Россия;knnamursu@mail.ru

Исследуется полукоэрцитивная вариационная задача с недифференцируемымфункционалом (модельная задача механики с трением на границе) [1] J(v) =

1

2

∫Ω

|∇v|2 dΩ−∫Ω

fv dΩ +∫Γ

g|v| dΓ→ min,

v ∈W 12 (Ω),

где Ω — ограниченная область в R2 с достаточно гладкой границей Γ; f ∈ L2(Ω);0 < g ≡ const на Γ.

Численное исследование данной задачи осложнено недифференцируемостьюминимизируемого функционала.

Легко видеть, что задача равносильна следующей задаче [2] J(v, w) =1

2

∫Ω

|∇v|2 dΩ−∫Ω

fv dΩ +∫Γ

g|v − w| dΓ→ min,

(v, w) ∈W 12 (Ω)× L2(Γ); w = 0 на Γ.

Для исследования последней задачи используется метод двойственности, осно-ванный на модифицированном функционале Лагранжа. Введение модифициро-ванного функционала Лагранжа позволяет освободиться от недифференциру-емости минимизируемых функционалов во вспомогательных задачах итераци-онного алгоритма поиска седловой точки. Алгоритм реализуется при конечно-элементной аппроксимации функционалов. Для поиска седловой точки в соот-ветствующих конечномерных задачах используется алгоритм Удзавы и метод,основанный на пошаговом спуске по прямой переменной и подъеме по двойствен-ной переменной.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-90807 мол-рф-нр).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационныхнеравенств. М.: Мир, 1979.

2. Кушнирук Н. Н., Намм Р. В., Ткаченко А. С. Об устойчивом сглаживающем алгорит-ме решения модельной задачи механики с трением // Журн. вычисл. математики иматем. физики. 2011. Т. 51, 6. С. 1032–1042.

396

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОБОБЩЁННАЯ КОРРЕКТНОСТЬ АБСТРАКТНОЙЗАДАЧИ КОШИ

WELL-POSEDNESS OF AN ABSTRACT CAUCHYPROBLEM IN THE SENSE OF DISTRIBUTIONS

Мельников Е. В.

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия;melnikov@omsu.ru

В 1935 г. С. Л. Соболев [1] ввёл понятие корректности задачи Коши в про-странстве функционалов, т. е. понятие корректности в смысле обобщённых функ-ций, или, другими словами, её обобщённой корректности. В 1960 г. Ж. Лионс [2]положил начало исследованиям обобщённой корректности (корректности в смыс-ле распределений) абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве. Он дока-зал, что обобщённая корректность задачи Коши для уравнения (δ′⊗I−δ⊗A)∗u =f , т. е. её однозначная разрешимость и непрерывная зависимость решения от пра-вой части, равносильна порождению оператором A так называемой полугруппы-распределения. Далее теория развивалась, в основном, по трём направлениям:обобщении вида уравнения и расширением классов распределений (см., напри-мер, [3, 4]), а также обобщении основного пространства с банахова до секвен-циально полного локально выпуклого (см., например, [5, 6]). Затем естественновозникла [7] ещё более общая постановка задачи.

Пусть P, U , F — локально выпуклые пространства, β : P×U → F — раздельнонепрерывное билинейное отображение.

Будем говорить, что задача Коши для элемента P ∈ P обобщённо корректна,если выполнены условия:

1) ∀ f ∈ F ∃ !u ∈ U : β(P, u) = f ;2) отображение F ∋ f 7→ u(f) ∈ U непрерывно.

Все предыдущие постановки задачи оказываются частными случаями данной,если мы в качестве F и U берём соответствующие классы векторнозначных иоператорнозначных распределений, а в качестве β — свёртку этих распределений.

Для нового понятия обобщённой корректности справедливы аналоги многихрезультатов для “классических” постановок абстрактной задачи Коши, а их об-ласть применения существенно расширилась.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Задача Коши в пространстве функционалов // ДАН. 1935. Т. 3, 7.С. 291–294.

2. Lions J. L. Les semi-groupes distributions // Portugal. Math. 1960. 7. P. 386–446.3. Chazarain J. Problemes de Cauchy abstraits et applications a quelques problemes

mixtes // J. Funct. Anal. 1971. Т. 6, 10. С. 6–10.4. Fattorini H. O. The Cauchy problem. London: Addison-Wesley, 1983.5. Мельников Е. В. Векторнозначные обобщённые функции и обобщённая коррект-

ность абстрактной задачи Коши. Омск: Омск. гос. ун-т, 1988. 79 с. (Деп. в ВИНИТИ15.03.88, 1994-B88.)

6. Мельников Е. В. Теорема о замкнутом графике и обобщённая корректность аб-страктной задачи Коши // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, 2. С. 180–183.

7. Мельников Е. В. Обобщённая корректность абстрактной задачи Коши // Между-нар. конф. “Колмогоров и современная математика” (Москва, 16–21 июня 2003 г.),посвященная 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова: Тез докл. М.: Изд-воМГУ, 2003. С. 312–313.

397

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОЦЕНКА СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙГОЛОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ В ПОЛИКРУГЕ

A MIXED DERIVATIVE ESTIMATEFOR A HOLOMORPHIC FUNCTION IN THE POLYDISK

Меремеля И. Ю.1, Савчук М. В.2

1Институт математики НАН Украины, Киев, Украина;irameremelya@gmail.com

2Институт подготовки кадров государственной службы занятости Украины,Киев, Украина; savchuk_m@ukr.net

Пусть d — натуральное число, Cd — множество всех упорядоченных наборовz := (z1, . . . , zd) комплексных чисел, Dd := z ∈ Cd : max

1≤j≤m|zj | < 1 — единичный

поликруг и Td := z ∈ Cd : |zj | = 1, j = 1, d — остов поликруга Dd.Пространство Харди H1 := H1(Dd) состоит из всех голоморфных функций

f : Dd → C, для которых

∥f∥1 := sup0<ϱ<1

∫Td

|fϱ| dσ <∞,

где fϱ(w) := f(ϱw), ϱw := (ϱw1, . . . , ϱwd), σ — нормированная мера Лебега на Td.Оценки производных голоморфных функций составляют отдельную группу

экстремальных задач современной геометрической теории функций одной пере-менной. В последнее время наблюдается значительный интерес к аналогичнымисследованиям в случае голоморфных функций многих переменных [1–3].

В данном докладе приводится точная оценка смешанной производной голо-морфной функции из пространства Харди H1 в поликруге Dd.

Теорема. Пусть функция f ∈ H1(Dd), d ∈ N. Тогда для любых z ∈ Dd∣∣∣ ∂d

∂z1 . . . ∂zdf(z)

∣∣∣ ≤ ∥f∥1 d∏j=1

|zj |+√

1 + |zj |2(1− |zj |2)2

. (1)

Равенство в (1) достигается для функции

f(w) =d∏j=1

(1− yjwj)2

(1− zjwj)4,

где yj := zj − ei arg zj (1− |zj |2)/√

1 + |zj |2.Данный результат является распространением известной теоремы А. Макин-

тайра и В. Рогозинского [4] на многомерный случай.

ЛИТЕРАТУРА1. Knese G. A Schwarz lemma on the polydisk // Proc. Amer. Math. Soc. 2007. V. 135,

N 9. P. 2759–2768.2. Anderson J. M., Dritschel M. A., Rovnyak J. Schwarz–Pick inequalities for the Schur–

Agler class on the polydisk and unit ball // Comput. Methods Funct. Theory. 2008.V. 8, N 2. P. 339–361.

3. Chen Zh., Liu Y. Schwarz–Pick estimates for holomorphic mappings from the polydiskto the unit ball // J. Math. Anal. Appl. 2011. V. 376. P. 123–128.

4. Macintyre A. J., Rogosinski W. W. Some elementary inequalities in function theory //Edinb. Math. Notes. 1945. V. 35. P. 1–3.

398

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОБ ОЦЕНКАХ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОЙАППРОКСИМАЦИИ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

ON THE ERROR BOUNDS FOR LOCALAPPROXIMATION BY CUBIC SPLINES

Мирошниченко В. Л.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;Miroshn@math.nsc.ru

Пусть на отрезке [a, b] в узлах сетки ∆: a = x0 < x1 < . . . < xn = b заданызначения функции f(x): fi = f(xi), i = 0, . . . , n. Дополним сетку ∆ узлами x−3 ≤x−2 ≤ x−1 ≤ x0 и xn+3 ≥ xn+2 ≥ xn+1 ≥ xn. Функция

S(x) =n+1∑i=−1

αiBi(x),

где Bi(x) ∈ C2 — кубические нормализованные B-сплайны, а каждый из коэф-фициентов αi явным образом определяется только через несколько значений fkиз окрестности узла xi, называется кубическим локально-аппроксимационнымсплайном (локальной аппроксимацией) [1].

В представленном докладе обсуждаются следующие вопросы.

• Дается обзор известных точных оценок приближения локально-аппроксима-ционными сплайнами при различных вариантах определения коэффициен-тов αi [1–4].

• Приводятся новые результаты об оценках приближения локально-аппрокси-мационными сплайнами, реализующими асимптотически (при стремлениишага сетки к нулю) наилучшее приближение в равномерной метрике куби-ческими сплайнами класса C2 для достаточно гладких функций.

• Изучается задача о возможности построения локальной аппроксимации, ре-ализующей поперечник по Колмогорову в классе W 4

∞.

Изложение материала иллюстрируется численными примерами.Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 11-07-00447) и интеграционного проекта, выполняемого совместно СОРАН и УрО РАН (проект 32).

ЛИТЕРАТУРА

1. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука, 1980.

2. Овчинникова Т.Э. Точные оценки приближения локальной аппроксимации кубиче-скими сплайнами. Формула точная на полиномах первой степени // Вычислитель-ные системы. Вып. 128: Аппроксимация сплайнами. Новосибирск: Изд-во ИМ СОАН СССР, 1988. С. 39–59.

3. Жанлав Т., Мирошниченко В. Л. Аппроксимация функций локально-интерполя-ционными кубическими сплайнами // Вычислительные системы. Вып. 137: При-ближение сплайнами. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1990. С. 3–30.

4. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

399

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

РАСШИРЕННАЯ СОБОЛЕВСКАЯ ШКАЛАAN EXTENDED SOBOLEV SCALE

Михайлец В. А.1, Мурач А. А.2

Институт математики НАН Украины, Киев, Украина;1mikhailets@imath.kiev.ua, 2murach@imath.kiev.ua

Хорошо известна фундаментальная роль пространств Соболева в математи-ческом анализе и теории дифференциальных уравнений. Тем не менее, для ря-да задач образованная ими шкала является недостаточно тонкой. Это приво-дит к необходимости использовать более тонко градуированные шкалы функ-циональных пространств. Среди них особый интерес представляют гильбертовыизотропные пространства Хёрмандера, которые образуют расширенную соболев-скую шкалу (сокр. р. с. ш.) Hφ : φ ∈ RO. Здесь функциональный параметрφ : [1,∞) → (0,∞) пробегает класс всех измеримых по Борелю функций, RO-меняющихся на +∞ по В. Авакумовичу. Это означает, что для некоторых чиселa > 1 и c ≥ 1 верно c−1 ≤ φ(λt)/φ(t) ≤ c для любых t ≥ 1 и λ ∈ [1, a] (числа a и cмогут зависеть от φ).

Р. с. ш. на Rn состоит из гильбертовых функциональных пространств

Hφ(Rn) :=w ∈ S ′(Rn) : ∥w∥2φ :=

∫Rn

φ2(⟨ξ⟩)|(Fw)(ξ)|2 dξ <∞

и определяется на евклидовых областях и гладких компактных многообразияхстандартным образом. (Как обычно, ⟨ξ⟩ := (1 + |ξ|2)1/2, а Fw — преобразованиеФурье медленно растущего распределения w.) В частности, если φ(t) ≡ ts длянекоторого s ∈ R, то Hφ =: H(s) — пространство Соболева порядка s.

Р. с. ш. обладает рядом важных интерполяционных свойств. Она состоит извсех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно пар гильбер-товых пространств Соболева [H(s0),H(s1)], где −∞ < s0 < s1 < ∞. При этомкаждое пространство Hφ, где φ ∈ RO, может быть получено интерполяцией сподходящим функциональным параметром некоторой пары пространств Собо-лева [H(s0),H(s1)]. Кроме того, р. с. ш. замкнута относительно интерполяции сфункциональным параметром.

Эта шкала содержит пространства Hφ =: Hs,φ0 , где φ(t) ≡ tsφ0(t) для некото-рого числа s ∈ R и функции φ0, медленно меняющейся на +∞ по Й. Карамате.Классическими примерами функции φ0 служат логарифмическая функция, ееитерации и их произвольные вещественные степени. Эти пространства образуютуточненную с. ш., которая привязана к соболевской шкале посредством числово-го параметра s, поскольку H(s+ε) ⊂ Hs,φ0 ⊂ H(s−ε) для любого ε > 0.

Благодаря своим интерполяционным свойствам пространстваHφ иHs,φ0 име-ют важные приложения в теории эллиптических операторов и эллиптическихкраевых задач [1–3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хёрмандера, интерполяция и эллипти-ческие задачи. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. [arXiv:1106.3214].

2. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and ellipticproblems // Banach J. Math. Anal. 2012. V. 6, N 2. С. 211–281.

3. Михайлец В. А., Мурач А. А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические опе-раторы // Укр. мат. журн. 2013. Т. 65, 3. С. 368–380.

400

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

О ДИСКРЕТНОСТИ СПЕКТРАНЕПОЛУОГРАНИЧЕННОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРАON DISCRETENESS OF THE SPECTRUM

OF A NON-SEMIBOUNDED DIFFERENTIAL OPERATOR

Муратбеков М. Б.1, Мусилимов Б. М.2, Мусабекова З. Е.3

Таразский государственный педагогический институт, Тараз, Казахстан;1musahan_m@mail.ru, 2bilan45@mail.ru, 3igisinovsabit@mail.ru

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Множество бесконечногладких финитных функций, определенных на R, со значениями в H обозначимчерез C∞

0 (H,R).Рассмотрим дифференциальный оператор

Lu ≡ (−1)mu(2m)(y) + k(y)Au+ ia(y)Aαu+ c(y)u,

где u(y) ∈ C∞0 (H,R), A — положительно определенный самосопряжённый опе-

ратор в гильбертовом пространстве H с вполне непрерывной резольвентой, α ∈[12 , 1], m — целое положительное число, k(y) — кусочно-непрерывная и ограни-

ченная функция в R, k(0) = 0 и yk(y) > 0 при y = 0.Пусть выполнено условие:(i) |a(x)| ≥ δ0 > 0, c(x) ≥ δ > 0 — непрерывные функции в R.Нами доказаны следующие теоремы.Теорема 1. Пусть выполнено условие (i), c(y) — ограниченная функция и

λ = 0 — собственное значение оператора A с конечной кратностью. Тогда непре-рывный спектр оператора L не пуст.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (i). Тогда дискретный спектр операто-ра L не пуст, если справедливо равенство

lim|y|→∞

y+w∫y

c(t) dt =∞.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (i), и пусть A — положительно опре-деленный оператор с вполне непрерывным обратным. Тогда спектр оператора Lдискретен тогда и только тогда, когда

lim|y|→∞

y+w∫y

c(t) dt =∞ или lim|y|→∞

y+w∫y

|a(t)| dt =∞

для любого w > 0.

401

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

УРАВНЕНИЕ МОНЖА – АМПЕРАНА ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ ПОТОКЕTHE MONGE–AMPERE EQUATION

ON A POSITIVE CURRENT

Никитина Т.Н.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия; AANick@yandex.ru

Пусть M — комплексное многообразие и T — положительный поток на M .Пусть u и f — гладкие дифференциальные формы на M . Говорят, что (∂∂u)k = fна T , если (∂∂u)k ∧ T = f ∧ T .

Разрешимость уравнений Монжа – Ампера в случае k = 1 является класси-ческой (см. [1–3]).

Определение [4]. Форма f порядка k называется примитивной на T , еслиk ≤ n и f ∧ ωn−k+1 ∧ T = 0.

Определение. Пусть f ∈ Λp,q(Cn+1). Нормой формы f на T назовем ве-

личину |f |2ω,TσT = cq+pf ∧ f ∧ ωn−q−p ∧ T , где f = f0 ∧ ωp +p∑k=1

fk ∧ ωp−k, а

fk ∈ Λk,q−p+kT — примитивные формы, fk = −τk −k−1∑r=1

(−1)k+rσkr + (−1)kσk0 .

Определение. Пусть u ∈ L2p,q,loc(T ). Говорят, что (∂∂wu)k = f на T , если

f ∈ L2(p+1)k,(q+1)k,loc(T ) и (∂∂u)k−1 ∧ ∂∂(u ∧ T ) = f ∧ T в смысле потоков.

В работе приводится основной технический результат — обобщение тождестваКодаиры – Накано – Хёрмандера.

Теорема. Пусть T ≥ 0 — замкнутый (1, 1)-поток в Cnk+1, и пусть ω =i∂∂|z|2 — кэлерова форма евклидовой метрики в Cnk+1. Пусть φ — плюрисуб-гармоническая функция в Cnk+1, удовлетворяющая i∂∂φ ≥ ω. Тогда для любой∂w-замкнутой (nk−pk, qk)-формы f на T с (q−p)k ≥ 1 существует (n−p−1, q−1)-форма u на T такая, что (∂∂wu)k = f на T и

∫|∂u ∧ (∂∂u)k−1|2ω,TσT e−φ ≤

1((q−p)k−1)

∫|f |2ω,TσT e−φ.

Также имеем версию теоремы для псевдовыпуклой области в Cnk+1 и об-щих кэлеровых метрик. Далее дается версия последней теоремы для некоторыхкомпактных кэлеровых многообразий. Решающую часть в доказательствах иг-рало предложение, которое говорит, что квадратичная форма, определенная как[γ, γ]σT = cq+pγ ∧ γ ∧ T ∧ ωn−q−p, является определенной на пространстве при-митивных (q, p)-форм на T . Это больше неверно для (s, s)-потоков, s ≥ 2, дажеесли они являются строго положительными. Пусть T — (2, 2)-форма в C(p+1)k+2,p ≥ 1, k ≥ 1. Можно показать, что локальная разрешимость для (∂∂u)k на(k(p+ 1), k)-((k, k(p+ 1))-)формах не имеет места для этого выбора T .

Работа выполнена при поддержке гранта СФУ по НМ (проект 45, 2007).

ЛИТЕРАТУРА1. Чирка Е. М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и

их границы. М.: Мир, 1979. С. 122–158.2. Никитина Т.Н. Устранимые особенности на границе и ∂-замкнутое продолжениеCR-форм с особенностями на порождающем многообразии. Новосибирск: Наука,2008.

3. Nikitina T. N. The ∂∂-equation on a positive current // The 14th General Meeting ofEuropean Women in Mathematics: Book of Abstracts. Part II. University of Novi Sad(Serbia), 2009. P. 15–16.

4. Berndtsson B., Sibony N. The ∂-equation on a positive current // Invent. Math. 2002.V. 147. P. 371–428.

402

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙПОВТОРНЫМИ СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНАAPPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONSBY REPEATED DE LA VALLEE POUSSIN SUMS

Новиков О. А.1, Ровенская О. Г.2

1Донбасский государственный педагогический университет,Славянск, Украина; sgpi@slav.dn.ua

2Донбасская государственная машиностроительная академия,Краматорск, Украина; o.rovenskaya@mail.ru

Пусть Sn(f ;x) — частичные суммы ряда Фурье функции f ∈ L. Тогда суммыВалле Пуссена функции f задаются соотношением

Vn,p(f ;x) =1

p

n−1∑k=n−p

Sk(f ;x).

Пусть p1, p2 ∈ N, p1 + p2 < n. Функции f ∈ L поставим в соответствиепоследовательность тригонометрических полиномов

Vn,p1,p2(f ;x) = V(2)n,p (f ;x) =

1

p1

n−1∑k=n−p1

1

p2

k∑m=k−p2+1

Sm(f ;x),

которые будем называть повторными суммами Валле Пуссена [1].Классификация периодических функций на основании преобразования их ря-

дов Фурье с помощью мультипликаторов была предложена А. И. Степанцом вконце прошлого столетия [2]. Она позволяет единым образом классифицироватьширокий спектр функций, в том числе функции малой, ограниченной гладко-сти и бесконечно дифференцируемые. Исследованы вопросы приближения по-вторными суммами Валле Пуссена функций из классов Cψ∞, которые задаютсямультипликаторами ψ(k) =

√ψ21(k) + ψ2

2(k) при условии, что последовательно-сти ψi(k), i = 1, 2, которые определяют указанные классы, стремятся к нулюсо скоростью, не превышающей скорости убывания к нулю степенной функции.Получена асимптотическая формула, обеспечивающая решение известной задачиКолмогорова – Никольского для повторных сумм Валле Пуссена и классов Cψ∞(см. обозначения, например, в [3]).

Теорема. Пусть f ∈ Cψ∞, ψi ∈ M′0 = M0

∩M′, i = 1, 2, p1 ≤ p2, lim

n→∞p2n = 0.

Тогда при n→∞ справедлива асимптотическая формула

E(Cψ∞;V

(2)n,p

)= supf∈Cψ∞

∥∥f(x)−V (2)n,p (f ;x)

∥∥=2

π

∞∫n

ψ2(x)

xdx+

4ψ(n)

π2ln

n

p1+p2+O(1)ψ(n),

где O(1) — величина, равномерно ограниченная относительно n, p1, p2.

ЛИТЕРАТУРА1. Ровенская О. Г., Новиков О. А. Приближение интегралов Пуассона повторными сум-

мами Валле Пуссена // Нелинейные колебания. 2010. T. 13, 1. C. 96–99.2. Степанец А. И. Скорость сходимости рядов Фурье на классах ψ-интегралов // Укр.

мат. журн. 1997. T. 49, 8. С. 1069–1113.3. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. Ч. 1. Киев: Ин-т математики

НАН Украины, 2002.

403

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОПТИМАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЯМИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

OPTIMAL INTERPOLATION BY FUNCTIONSOF SEVERAL VARIABLES

Новиков С.И.

Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,Екатеринбург, Россия; Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Пусть Ω ⊂ Rn (n ≥ 2) — ограниченная выпуклая область с кусочно-гладкойграницей ∂Ω, Ω — ее замыкание, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, ∆ = ∂2/∂x21 + . . . +∂2/∂x2n — оператор Лапласа, U = u ∈ C1(Ω)

∩C(Ω) : ∆u ∈ L∞(Ω), где произ-

водные второго порядка понимаются в смысле Соболева.Для конечного набора вещественных чисел z = zjNj=1 полагаем ∥z∥lN∞ =

max|zj | : j = 1, 2, . . . , N. Пусть

MN∞ =

z : z = zjNj=1, ∥z∥lN∞ ≤ 1

— класс интерполируемых данных, x(s)Ns=1 ⊂ Ω — набор точек интерполяции,

FN (z) =u ∈ U : u

∣∣∂Ω

= 0, u(x(s)) = zs, s = 1, 2, . . . , N

— класс функций, каждая из которых интерполирует фиксированный элементz ∈MN

∞.Задача состоит в исследовании величины

aN∞(Ω) = supz∈MN

∞

infu∈FN (z)

∥∆u∥L∞(Ω), (1)

которая тесно связана с интерполяционной проблемой Фавара и задачами экс-тремальной функциональной интерполяции.

Опираясь на результаты, содержащиеся в [1], установлено, что точная верхняягрань в (1) достигается в одной или нескольких крайних точках множества MN

∞.В качестве Ω автором были выбраны следующие множества:1) Kn

R = x ∈ Rn : |x| < R — шар радиуса R > 0 с центром в началекоординат;

2) Qn = x ∈ Rn : 0 < x1 < 1, . . . , 0 < xn < 1 — единичный n-мерный куб.Для шара величина (1) и некоторые близкие к ней величины изучались в

работах автора [2, 3].В докладе будет идти речь об оценках величины (1) в случае Ω = Q2 (т. е. для

единичного квадрата на плоскости), когда в качестве множества точек интерпо-ляции берется сетка равноотстоящих узлов, расположенных горизонтально нацентральной оси квадрата. Также будут представлены результаты, относящиесяк аналогу величины (1) для всего пространства Rn.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-ваний (проект 11-01-00347 а) и интеграционного проекта, выполняемого совместноУрО РАН и СО РАН (проект 12-C-1-1018).

ЛИТЕРАТУРА1. Holmes R. Geometric functional analysis and its applications. New York; etc.: Springer-

Verlag, 1975.2. Новиков С. И. Интерполяция с минимальным значением нормы оператора Лапласа

в шаре // Збiрник праць Iн-ту математики НАН України. 2008. Т. 5, 1. С. 248–262.3. Новиков С. И. Интерполяция в шаре с минимальным значением Lp-нормы оператора

Лапласа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, 3. С. 258–265.

404

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫШИАРЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙFAST SHEARLET TRANSFORM ALGORITHMS

FOR OBSERVATION DATA PROCESSING

Носков М.В.1, Симонов К.В.2, Кириллова С. В.1, Кадена Л.1

1Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;2Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия;

mvnoskov@yandex.ru, simonovkv@icm.krasn.ru, svkirillova2009@yandex.ru,

ecuadorx@gmail.com

В рамках решения задач анализа пространственных данных рассмотреныпринципы построения быстрого алгоритма дискретного шиарлет-преобразованияданных наблюдений, в основе реализации которого лежат быстрые алгоритмыФурье-преобразования. Следуя работам [1, 2], описано непрерывное шиарлет-преобразование, а затем, посредством дискретизации параметров, дискретноешиарлет-преобразование. Рассмотрены шиарлеты на конусе, такой подход поз-воляет получить хорошее разделение горизонтального и вертикального направ-лений шиарлетов в частотной области.

Отметим, что проблеме разделения изображения на морфологически различ-ные составляющие в последнее время уделяют много внимания в связи с ее зна-чимостью для важных приложений. Успешные вычислительные методики дляэффективного и точного решения этой задачи могут быть применены к широ-кому кругу областей, в том числе к задачам визуализации пространственныхданных для целей диагностики сложных явлений. Сравнительно недавно по-явившаяся система представления пространственных сигналов (изображений),названная шиарлет-системой, явилась эффективным инструментом для анали-за внутренних геометрических черт сигнала. Шиарлет-системы — это системы,порожденные параболическим масштабированием, сдвигом и оператором парал-лельного переноса к исходным пространственным данным наблюдений. Это теже вейвлет-системы, имеющие двоичное масштабирование и параллельный пере-нос функции, однако также включающие характеристику направленности, имеядополнительную “сдвиговую” операцию (анизотропное масштабирование). Этаоперация, фактически, дает более удобный подход для анализа направлений.

Алгоритм дискретного шиарлет-преобразования эффективно реализуется спомощью быстрых алгоритмов Фурье-преобразования. В среде Матлаб, на основерассмотренного алгоритма, показаны возможности шиарлет-преобразования дляанализа, в частности, медицинских изображений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hauser S. Fast finite shearlet transform: a tutorial. 2011. (Preprint / University ofKaiserslautern).

2. Kutyniok G., Guo K., Labate D. Sparse multidimensional representations using anisotro-pic dilation and shear operators // Wavelets and Splines (Athens, GA, 2005). Nashville,TN: Nashboro Press, 2006. P. 189–201.

405

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОБ ОДНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ КВАДРАТУРНОЙФОРМУЛЕ С ПРОИЗВОДНЫМИ

НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКАON AN OPTIMAL QUADRATURE FORMULA

WITH ODD-ORDER DERIVATIVES

Нуралиев Ф. А.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан; nuralievf@mail.ru

Настоящая работа посвящена изучению оптимальной квадратурной формулывида

1∫0

φ(x) dx ∼=N∑β=0

C[β]φ[β] +A(φ′(0)− φ′(1)) +B(φ′′′(0)− φ′′′(1)) (1)

в пространстве L(m)2 (0, 1). Здесь L(m)

2 (0, 1) — пространство функций, обобщенныепроизводные порядка m которых интегрируемы с квадратом [1]. В формуле (1)N ≥ m, h = 1/N , A, B, C[β] — коэффициенты, [β] = hβ, i[0,1](x) — характеристи-ческая функция отрезка [0, 1], δ(x) — дельта-функция Дирака, φ(x) — элементпространства L(m)

2 (0, 1).Нами доказано существование и единственность оптимальной квадратурной

формулы вида (1) в пространстве L(m)2 (0, 1) и показано, что оптимальные ко-

эффициенты рассматриваемой формулы выражаются через корни многочленаЭйлера E2m−4(x) степени 2m− 4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СОРАН, 1996.

406

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТРЕХМЕРНОЙВЕКТОРНОЙ ТОМОГРАФИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯNUMERICAL SOLUTION OF A 3-D VECTOR

TOMOGRAPHY PROBLEM BY THE SINGULARVALUE DECOMPOSITION

Полякова А.П.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;anna.polyakova@ngs.ru

В данной работе рассматривается задача восстановления потенциальной ча-сти трехмерного векторного поля, заданного в единичном шаре, по его извест-ному нормальному преобразованию Радона. Нормальное преобразование Радонавекторного поля w = (w1, w2, w3) определяется формулой:

[R⊥w

](ξ, s) =

∫∫Pξ,s

(w1ξ

1 + w2ξ2 + w3ξ

3)du dv,

здесь Pξ,s — плоскость, перпендикулярная направлению ξ и отстоящая на рассто-яние |s| от начала координат, u, v — координаты локальной системы координат,заданной на плоскости Pξ,s. Поскольку соленоидальная часть векторного поля ле-жит в ядре нормального преобразования Радона, мы можем восстановить лишьего потенциальную часть.

Для решения поставленной задачи предлагается использовать метод сингу-лярного разложения, основная идея которого заключается в следующем: образоператора представляется в виде ряда по базисным элементам с сингулярнымичислами в качестве коэффициентов. Тогда образ обратного оператора будет пред-ставлять собой ряд со схожей структурой, в котором задействованы прообразыэтих базисных элементов и те же сингулярные числа.

В работе построено сингулярное разложение оператора нормального преоб-разования Радона, получена формула обращения и аппроксимации для обратно-го оператора. В исходном пространстве интегрируемых с квадратом векторныхполей, заданных в единичном шаре, ортонормированные базисы строятся с по-мощью полиномов Якоби и сферических гармоник. Используя результат [1], уда-лось показать, что соответствующие ортонормированные базисы в пространствеобразов строятся на основе полиномов Гегенбауэра и сферических гармоник.

Полученное сингулярное разложение легло в основу алгоритма численного ре-шения задачи по восстановлению потенциальной части трехмерного векторногополя по его известному нормальному преобразованию Радона.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Отделения математиче-ских наук РАН (проект 1.3.1), Российского фонда фундаментальных исследований(проекты 11-07-00447, 12-01-31178 мол_а), интеграционного проекта, выполняемо-го совместно СО РАН и УрО РАН (проект 32).

ЛИТЕРАТУРА

1. Louis A. K. Orthogonal function series expansions and the null space of the Radontransform // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15, N 3. P. 621–633.

407

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НА СФЕРЕ,ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

ВРАЩЕНИЙ ТЕТРАЭДРА С ИНВЕРСИЕЙCUBATURE FORMULAS ON THE SPHERE WHICH AREINVARIANT UNDER THE GROUP OF TETRAHEDRAL

ROTATIONS WITH INVERSION

Попов А. С.

Институт вычислительной математики и математической геофизикиСО РАН, Новосибирск, Россия; popov@labchem.sscc.ru

Основы теории кубатурных формул на сфере, инвариантных относительноконечных групп вращений, были заложены С.Л. Соболевым [1]. К настоящемувремени наибольшее распространение получили кубатурные формулы, инвари-антные относительно групп симметрии правильных многогранников. В частно-сти, в [2] был предложен некий алгоритм построения кубатур на сфере, инва-риантных относительно группы вращений тетраэдра с инверсией Th, а в [3] этоталгоритм был использован для поиска всех наилучших (в некотором смысле)кубатур группы Th до 41-го порядка точности n.

В данной работе будет предложен унифицированный по сравнению с рабо-тами [2, 3] алгоритм поиска наилучших кубатур группы Th для сферы. Будутпроведены расчёты по этому алгоритму с целью определить параметры всех наи-лучших кубатур данной группы симметрии для n ≤ 41. При этом для n ≤ 11будут найдены точные значения параметров соответствующих кубатур, а дляостальных n — приближённые, полученные путём численного решения системнелинейных алгебраических уравнений методом ньютоновского типа.

Для n = 3 и n = 7 наилучшие кубатуры группы Th совпадают с наилучшимикубатурами группы октаэдра с инверсией Oh, а для n = 5 и n = 9 — с наи-лучшими кубатурами группы икосаэдра с инверсией Yh. Для всех остальных nнаилучшие кубатуры группы Th содержат меньшее число узлов по сравнению снаилучшими кубатурами групп Oh и Yh. Однако для больших n всё же предпо-чтительнее пользоваться кубатурами групп Oh и Yh, поскольку асимптотическипри одинаковой точности они требуют соответственно в два и пять раз меньшеинформации для хранения в памяти ЭВМ.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 10-01-00427 а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сиб.мат. журн. 1962. Т. 3, 5. C. 769–796.

2. Попов А. С. Кубатурные формулы для сферы, инвариантные относительно группытетраэдра // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1995. Т. 35, 3. C. 459–466.

3. Попов А. С. Наилучшие кубатурные формулы для сферы, инвариантные относи-тельно группы вращений тетраэдра с инверсией // Междунар. конф. по вычисл.математике. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2004. C. 128–131.

408

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОБ АЛГОРИТМАХ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙНОВПЯТОЙ СТЕПЕНИ

ON ALGORITHMS FOR CONSTRUCTINGQUINTIC SPLINES

Примаков С. С.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия;nprist89@mail.ru

Пусть на отрезке [a, b] в узлах равномерной сетки ∆: xi = x0 + ih, i = 0, N ;x0 = a, h = (b− a)/N , заданы значения функции fi = f(xi), i = 0, N . Через S(x)обозначим сплайн пятой степени класса C4, удовлетворяющий условиям интер-поляции S(xi) = fi, i = 0, N , и одному из типов краевых условий: “классические”и двухточечные условия, аппроксимация производных сплайна в предыдущихусловиях с помощью разделенных разностей требуемого порядка точности, усло-вия “not-a-knot”.

Предполагается, что функция f(x) достаточно гладкая и имеет все необходи-мые производные для расчетов. Системы линейных уравнений относительно mi

приводятся к системам с диагональным преобладанием. Это позволяет получитьоценку для различных типов краевых условий:

S(x) = f(x) +h6

6!φi,N (t)f (6)(x) +O(h7), x ∈ [xi, xi+1], i = 0, N − 1,

где функции φi,N (t) зависят от номера интервала и от количества узлов сетки, атакже от типа краевых условий. Причем для оптимальных краевых условий

φi,N (t) ≡ φ(t) =1

2t2(1− t)2(1 + 2t− 2t2).

В случае неравномерной сетки ∆: a = x0 < x1 < . . . < xN = b используетсяалгоритм построения сплайна пятой степени, основанный на разложении его вто-рой производной по B-сплайнам. В качестве краевых условий рассматриваются“классические” условия — задание первой и второй производных сплайна на кон-цах отрезка [a, b], оптимальные условия из случая равномерной сетки, условия“not-a-knot”.

ЛИТЕРАТУРА

1. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука, 1980.

2. Мирошниченко В. Л. О погрешности приближения кубическими интерполяционны-ми сплайнами // Вычислительные системы. Вып. 108. Новосибирск: Изд-во ИМ СОАН СССР, 1985. С. 3–30.

3. Киндалев Б. С. Асимптотические формулы для сплайна пятой степени и их при-менение // Вычислительные системы. Вып. 87. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АНСССР, 1981. С. 18–24.

4. Мирошниченко В. Л. Об интерполяции и аппроксимации сплайнами // Вычисли-тельные системы. Вып. 100. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1983. С. 83–100.

5. Примаков С. С. Асимптотический анализ краевых условий для сплайнов пятой сте-пени // Мат. труды. 2011. Т. 14, 2. С. 173–188.

6. Волков Ю. С. Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполя-ционных сплайнов нечетной степени // Мат. труды. 2004. Т. 7, 2. С. 3–34.

409

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОСТРОЕНИЕ НАИЛУЧШИХ ПО ПОРЯДКУНЕНАСЫЩАЕМЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ

CONSTRUCTION OF THE BEST ORDERUNSATURATED CUBATURE FORMULAS

Рахматуллин Д. Я.

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,Уфа, Россия; rahmdy@gmail.com

Работа посвящена построению наилучших по порядку ненасыщаемых решет-чатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем [1, 2].

Для имеющейся последовательности наилучших решеток можно построитьпоследовательность кубатурных формул, оптимальных по порядку для каждойиз таких решеток.

Ненасыщаемость алгоритма рассматривается в смысле определения К. И. Ба-бенко о ненасыщаемости как о сохранении оптимальных порядков сходимостейдля всех функциональных пространств, являющихся параметрами задачи.

Исследование является развитием статей [3, 4].Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 12-01-31260 мол_а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СОРАН, 1996.

2. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным погра-ничным слоем. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009.

3. Рамазанов М. Д. Новый алгоритм асимптотически оптимальных решетчатых куба-турных формул // Уфимск. мат. журн. 2010. Т. 2, 3. С. 61–80.

4. Рамазанов М. Д. Асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулыс ограниченным пограничным слоем и свойством ненасыщаемсти // Мат. сб. 2013(в печати).

410

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ФУНКЦИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПАС ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХSOBOLEV TYPE FUNCTIONS WITH VARIABLE

CHARACTERISTICS ON METRIC SPACES

Романов А. С.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;asrom@math.nsc.ru

Рассмотрим метрическое пространство (X, d), борелевскую меру µ с носите-лем в X и измеримую функцию p : X → [1,∞). Символом Lp(·)(X,µ) обозначимпространство Лебега с переменным показателем суммируемости [1].

Функцию g : X → [0,∞) называют допустимой для µ-измеримой функцииu : X → R, если существует такое множество E ⊂ X, что µ(E) = 0 и неравенство

|u(x)− u(y)| ≤ d(x, y)(g(x) + g(y))

выполняется для всех точек x, y ∈ X \ E.Для функции u обозначим через D(u) множество всех допустимых функций

и по аналогии с работой [2] пространство соболевского типа с переменным пока-зателем суммируемости M1

p(·)(X, d, µ) определим условием

M1p(·)(X, d, µ) = u ∈ Lp(·)(X,µ) | D(u) ∩ Lp(·)(X,µ) = ∅,

а норму равенством∥∥u |M1

p(·)∥∥ = ∥u | Lp(·)∥+ inf

g∈D(u)∥g | Lp(·)∥.

Пространство M1p(·)(X, d, µ) является банаховым. На евклидовом шаре B ⊂

Rn при достаточно регулярном показателе суммируемости p(x) пространствоM1p(·)(B, | ∗ |,mn), где | ∗ | — евклидова метрика, mn — мера Лебега, совпадает с

пространством Соболева W 1p(·)(B).

Структура пространств M1p(·)(X, d, µ) существенным образом зависит от по-

ведения показателя p(x). В случае, когда функция p(x) является непрерывной,а мера µ удовлетворяет “условию удвоения”, для пространств M1

p(·)(X, d, µ) вы-полняются аналоги теорем вложения, полученных в работе [1]. В случае липши-цевости показателя суммируемости удается доказать аналог теоремы вложения,выполняющейся в евклидовом случае для пространств Соболева W 1

p(·)(G) [3].Теорема. Пусть (X, d) — метрическое пространство с s-регулярной мерой µ,

удовлетворяющей условию удвоения, а показатель p(x) является липшицевым и1 < p− ≤ p(x) ≤ p+ < s. Тогда существует такая постоянная C < ∞, что длявсякой функции u ∈ M1

p(·)(X, d, µ) имеем неравенство ∥u | Lq(·)∥ ≤ C∥∥u | M1

p(·)∥∥,

где q(x) =sp(x)

s− p(x).

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта, выполняемого совмест-но СО РАН и ДВО РАН (проект 56).

ЛИТЕРАТУРА1. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W k,p(x) // Czech. Math. J. 1991. V. 41,

N 4. P. 592–618.2. Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces // Potential Anal. 1996. V. 5,

N 4. P. 403–415.3. Edmunds D., Rakosnik J. Sobolev embeddings with variable exponent // Stud. Math.

2000. V. 143, N 3. P. 267–293.

411

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

НОВЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ СОБОЛЕВСКИХКЛАССОВ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯA NEW APPROACH TO THE DESCRIPTION

OF SOBOLEV CLASSES OF FUNCTIONS ON METRICSPACES AND ITS APPLICATIONS

Романовский Н. Н.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;nnrom@math.nsc.ru

Пусть p > 1, область U ⊂ Rn ограничена и принадлежит классу C, а функ-ция g, которая зависит от n− 1 переменных и определяет локально область U вподходящей ортонормированной системе координат неравенством

xn+1 < g(x1, . . . , xn−1),

удовлетворяет соотношениям[g(x+ hei)− 2g(x) + g(x− hei)h

]+≤ C, i = 1, . . . , n− 1.

Тогда пространство Соболева W 1p (U) совпадает с множеством функций из Lp(U),

для которых конечна величина

[f ]S1p

:= supσ∈Σ

(∑i

infai∈R

∫Ei

(|f − ai|

diam(Ei)

)p) 1p

, (H)

где Σ — множество конечных разбиений U на непересекающиеся измеримые мно-жества Ei. Причем нормы ∥ · ∥W 1

pи ∥ · ∥S1

p:= ∥ · ∥Lp + [·]S1

pэквивалентны.

Приведенное описание пространств Соболева оказывается удобным в рядеслучаев. Например, оно позволяет доказывать теоремы вложения, не используясвойств интегральных операторов (см. [1]). Таким способом можно изучать свой-ства операторов вложения для областей с особенностью (например, в виде пикаили гребня с нулевым углом). Заменой diam(Ei) на diam(Ei)

r, 0 < r ≤ 1, в (H)определение может быть обобщено на случай нецелой гладкости.

Определение также подходит для случая функций, заданных на произволь-ном метрическом пространстве с борелевской мерой. Теоремы вложения могутбыть доказаны даже для случая, когда метрическое пространство не удовле-творяет условию удвоения [1]. Доказывается корректность задачи минимизациифункционала энергии u 7→ [u]Srp при дополнительном условии Pu = f , где P —ограниченный оператор из Srp в некоторое функциональное пространство F (на-пример оператор следа). Наконец, определение может быть обобщено заменойdiam(Ei)

r на произвольную субаддитивную функцию множеств, что позволяетрассмотреть функции переменной гладкости и, предполагая зависимость субад-дитивной функции множеств от ai, на нелинейные функциональные классы, по-лезные при изучении нелинейных уравнений.

Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта, выполняемого совмест-но СО РАН и ДВО РАН (проект 56).

ЛИТЕРАТУРА1. Романовский Н. Н. Классы Соболева на произвольном метрическом пространстве

с мерой. Компактность операторов вложения // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, 2.С. 450–467.

412

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ ДО ИНТЕГРАЛАEXTENSION OF A MEASURE TO AN INTEGRAL

Савельев Л. Я.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;savelev@math.nsc.ru

Рассматриваются векторные меры, являющиеся линейными отображениямиспектральных множеств в векторные пространства. Спектральными множества-ми являются, в частности, полукольца индикаторов множеств. Затрагиваютсяобобщения на абстрактные алгебры и спектральные множества их идемпотентов.Формулируются условия существования линейного продолжения меры на линей-ную оболочку ее области определения. Обсуждаются сложности, возникающиев случае неассоциативных алгебр. Центральной является задача непрерывногопродолжения полученной для данных функции и меры интегральной суммы назамыкание линейной оболочки в данной топологии, согласованной с алгебраиче-скими операциями. Исследуются условия существования непрерывного продол-жения интегральной суммы на замыкание ее области определения и свойстваполученного непрерывного линейного оператора — интеграла данной функциипо данной мере. Обсуждаются некоторые другие способы продолжения меры доинтеграла.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00275).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Ново-сибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2010.

413

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ В УЗЛАХЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ЗНАЧЕНИЯ

ЕЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙCUBATURE FORMULAS CONTAINING THE VALUESOF THE FUNCTION AND THE VALUES OF ITS FIRST

DERIVATIVE AT THE NODES

Санеева Л. И.1, Данзанова В. С.

Восточно-Сибирский государственный технологический университеттехнологии и управления, Улан-Удэ, Россия;

1ili04@mail.ru

Данная работа посвящена построению эрмитовых кубатурных формул длягладких областей, содержащих значения функции и ее производных по направ-лению одной из координатных осей с коэффициентами, зависящими от уравнениягладкой границы.

Пусть выпуклая область Ω имеет гладкую границу Γ = Γ(Ω) ∈ C(m+1) в n-мерном пространстве, любая прямая пересекает границу области не более чем вдвух точках, все пространство En делится на k частей ωj , j = 1, . . . , k, гиперплос-костями параллельными координатным плоскостям, ωj,h = x ∈ ωj , ρ(x,Γ(ωj)) ≤Lh, j = 1, . . . , k, Φj(x) — срезывающие финитные функции, соответствующие об-

ластям ωj ,k∑j=1

Φj(x) ≡ 1 — разложение единицы в n-мерном пространстве (из ра-

бот М. Д. Рамазанова), x = (x′, xn), x′ = (x1, x2, . . . , xn−1), y′ = (y1, y2, . . . , yn−1),β′ = (β1, β2, . . . , βn−1), γ′ = (γ1, γ2, . . . , γn−1), граница Γ(ωj) области ωj выра-жается уравнением xn = λj(x

′). Замена y′ = x′, yn = xn − λj(x′) преобразует

область ωj в область ω′j , Φj(x) в Φj(y), границу Γ(ωj) области ωj в кусок гипер-

плоскости yn = 0 и криволинейный параллелограмм ∆′hβ в куб ∆hβ . В общем

виде функционал погрешности ρ1(x) для области ω1 имеет вид Φ1(x)ρ1(x) =

Φ(x)[1 −

∞∑β′=−∞

hnδ(x′ − hβ′)∞∑

βn=0

m∑σ=0

Bσβn,1(β′)hσδ(σ)(xn − hβn −

[λ1(β′)

h

]h)]

, где

Bσβn,1(β′) = (−1)σmin(m,β)∑s=0

Kσs

min(m,β−s)∑γn=0

Cγn . Коэффициенты вычисляются из сле-

дующих систем уравнений

m∑γj=0

Cγjγαj =

1

α+ 1, α = 0, 1, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , k,

m∑s=0

m∑σ=0

Kσs,1(β1)[Zα](σ) = ηα(β′), α = 0, 1, 2, . . . , (m+ 1)− 1,

где [Zα](σ) означает, что взята производная порядка σ от степени yα и вычисле-на при y = Z. Аналогичные функционалы погрешностей строятся для остальных

областей ωj , j = 2, . . . , k. Установлено, что∫Ω

φ(x) dx ≈k∑j=1

Φj(x)ρj(x). Тем самым,

построена кубатурная формула, содержащая в узлах значения функции и значе-ния ее первой производной для областей с гладкими границами.

414

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ПРОСТРАНСТВА (q, ρ)-ФОРМTHE SPACES OF (q, ρ)-FORMS

Сергеева О. А.

Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия;Okoin@yandex.ru

Пусть открытое множество D ⊂ C конформно эквивалентно единичному кру-гу; G — конечнопорожденная разрывная группа конформных преобразований Dна себя такая, что D/G = F — компактная риманова поверхность рода h ≥ 2;Hom(G,C∗) — группа характеров ρ из G в C∗ = C \ 0 с операцией умножения.

Определение. Измеримой мультипликативной автоморфной формой поряд-ка q с характером ρ ((q, ρ)-формой) на D называется класс эквивалентности из-меримых функций ϕ(z) с условием ϕ(Az)A′(z)q = ρ(A)ϕ(z), A ∈ G, z ∈ D. Приэтом (q, ρ)-форма и (q, 1ρ )-форма считаются ρ-двойственными, а (q1, ρ)-форма и(q2, ρ)-форма — q-двойственными формами для q = q1 + q2.

Для целого числа q ≥ 2, 1 ≤ p ∈ R и ρ ∈ Hom(G,C∗) (q, ρ)-формы ϕ на D, длякоторых ∥ϕ∥p =

∫∫D/G

λ(z)2−pq∣∣ ϕ(z)f1(z)

∣∣p| dz ∧ dz| < ∞, образуют банахово простран-

ство Lpq,ρ(D,G) [2]. Здесь f1 — мультипликативная единица для несущественнойсоставляющей ρ1 характера ρ в разложении Фаркаша – Кра [1].

Теорема 1. Оператор (βq,ρφ)(z) =∫∫D

λ(ζ)2−2q

|f1(ζ)|2 Kq,ρ1(z, ζ)φ(ζ) dζ ∧ dζ, где

Kq,ρ1(z, ζ) = (2q−1)πq−1 i2 kD(z, ζ)qf1(z)f1(ζ), kD(z, ζ) — кернфункция Бергмана,

является ограниченным линейным отображением пространства Lpq(D,G, ρ) в под-пространство голоморфных форм Apq(D,G, ρ), 1 ≤ p ≤ ∞, с нормой ≤ cq = 2q−1

q−1 .Если ρ = ρ1 — несущественный характер, то для φ ∈ Apq(D,G, ρ1) верно βqφ = φ.

Для форм ϕ1 ∈ Lpq,ρ(D,G) и ϕ2 ∈ Lp′

q,ρ(D,G) с условием 1p + 1

p′ = 1 определено

билинейное спаривание [3–5]: (ϕ1, ϕ2)q,ρ,D,G = i2

∫∫D/G

λ(z)2−2q ϕ1(z)ϕ2(z)|f1(z)|2 dz ∧ dz.

Теорема 2. Пусть ρ = ρ1 — несущественный характер, 1 ≤ p < ∞ и 1p +

1p′ = 1. Тогда билинейное спаривание задаёт антилинейный изоморфизм междуAp

′

q (D,G, ρ1) и пространством, сопряжённым к Apq(D,G, ρ1). Кроме того, еслиψ ∈ Ap′q (D,G, ρ1) и линейный функционал l на Apq(D,G, ρ1) соответствуют другдругу при этом изоморфизме, то c−1

q ∥ψ∥q,p′,G,ρ1 ≤ ∥l∥ ≤ ∥ψ∥q,p′,G,ρ1 , где cq = 2q−1q−1 .

Для (q, ρ)-двойственных форм на D вводится другое билинейное спарива-ние [3]: ⟨φ,ψ⟩q1,q2,D,G = i

2

∫∫D/G

µq(z)φ(z)ψ(z) dz ∧ dz, где µq — фиксированный

обобщенный коэффициент Бельтрами класса C(D) для q = q1 + q2, 2 ≤ q ∈ N.Сопряженность операторов двойственности Bhom

C и BordC [3] друг с другом в q-двойственных пространствах голоморфных (q, ρ)-форм устанавливает связь меж-ду билинейными спариваниями в этих пространствах.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 12-01-31256 мол_а).

ЛИТЕРАТУРА1. Farkas H. M., Kra I. Riemann surfaces. Springer-Verlag, 1992. (Grad. Texts Math.; V. 71).2. Сергеева О. А. Банаховы пространства мультипликативных автоморфных форм //

Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, 4. С. 45–63.3. Сергеева О. А. Билинейные спаривания для голоморфных (q, ρ)-форм // Журн.

СФУ. 2011. Т. 4, 1. С. 128–139.

415

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПОЛУЛОКАЛЬНЫЕ СГЛАЖИВАЮЩИЕ СПЛАЙНЫИ ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВSEMILOCAL SMOOTHING SPLINES

AND THEIR APPLICATION FOR COMPUTING TWO-AND THREE-DIMENSIONAL INTEGRALS

Силаев Д. А.1, Коротаев Д.О.2

1Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,Москва, Россия; dasilaev@mail.ru

2Институт автоматизации проектирования РАН, Москва, Россия;dok-home@mail.ru

Построение полулокальных сглаживающих сплайнов (или S-сплайнов) клас-са C0 позволило получить квадратурные и кубатурные формулы высокого по-рядка аппроксимации [1]. S-Сплайн класса Cp состоит из полиномов степени n,у которых p+ 1 первых коэффициентов определяются условиями гладкой склей-ки (до производной степени p), а остальные n− p коэффициентов определяютсяметодом наименьших квадратов по M > m точкам, где m — число точек сеткивнутри каждого полинома. На основе этих сплайнов были построены квадратур-ные и кубатурные формулы для численного интегрирования функций класса Cnв односвязных областях, имеющих кусочно-гладкую границу. В этом случае до-стигается порядок аппроксимации n + 1. В частности, были построены форму-лы 10 и 11 порядка аппроксимации при использовании сплайнов степени n = 9 иn = 10.

Для многомерных областей Н.С. Бахваловым [2] показано, что в некоторомсмысле оптимальными являются методы вычисления интегралов, основанные наметоде Монте-Карло (закон больших чисел), причем точность этих методов в об-щем случае без дополнительных ограничений определяется величиной O(N− 1

2 ),где N — общее число точек, случайно брошенных внутрь области. Стоит за-метить, что реализация качественного генератора случайных чисел, равно какиздержки на отбор точек, попавших внутрь области (особенно в случае сложнойобласти) существенно увеличивает количество затрачиваемых операций в мето-де МК. Для гладких задач, при размерностях 2 и 3 точность полученных на-ми на основе S-сплайнов 9-й степени формул определяется величинами O(N−5)

и O(N− 103 ) соответственно, что существенно лучше методов МК.

Нами были проведены исследования влияния особенностей подынтегральнойфункции и границы на точность вычислений и сравнение эффективности мето-дов численного интегрирования с помощью S-сплайнов с методами типа Монте-Карло для ряда случаев, в том числе для функций класса C0, а также для обла-стей, имеющих негладкую границу. В частности, в некоторых задачах наиболь-шую эффективность демонстрируют гибридные методы.

ЛИТЕРАТУРА1. Силаев Д. А., Коротаев Д. О. О кубатурных формулах высокого порядка аппрок-

симации для широкого класса областей // Математика. Компьютер. Образование:Сб. тр. XVI Междунар. конф. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”,2009. Т. 6. С. 20–38.

2. Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках скорости сходимости квадратурных про-цессов и методов интегрирования типа Монте-Карло // Численные методы решениядифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: На-ука, 1964. С. 5–63.

416

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОБОБЩЕННЫЕ КВАДРАТУРЫ ГАУССА – ЯКОБИGENERALIZED GAUSS–JACOBI QUADRATURES

Скороходов С. Л.

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва, Россия;sskorokhodov@gmail.com

Рассматривается задача о построении квадратурных формул для функцииΨ(t) с интегрируемыми степенными особенностями на границах отрезка [0, 1] инеинтегрируемой особенностью в точке b ∈ (0, 1):

1∫0

tα−1(1− t)β−1(t− b)−γ−1Ψ(t) ≈N∑p

dpΨ(ξp), (1)

где α > 0, β > 0, γ ≥ 0, а интеграл в (1) понимается как предел при ε→ 0 суммытрех интегралов J0, Jε и J1; первый из них берется по отрезку [0, b−ε] веществен-ной оси, второй — по дуге верхней полуокружности t = b+εei(π−φ), φ ∈ [0, π], гдеt — комплексное переменное, а третий — по отрезку [b+ ε, 1]. Интегралы, подоб-ные (1), возникают, в частности, при построении с помощью интеграла Кристоф-феля – Шварца конформного отображения полуплоскости на многоугольную об-ласть G, когда между двумя ее конечными вершинами с растворами внутреннихуглов πα и πβ имеется одна бесконечно удаленная вершина с отрицательнымуглом −πγ. Предполагая далее разложимость функции Ψ(t) в ряд по степеням(t− b)k, задача о построении квадратуры сводится к необходимости вычисленияинтегралов в (1) для k = 0, . . . , 2N +1. С помощью интегрального представлениядля гипергеометрической функции Гаусса F (a, b; c; z) интегралы J0 и J1 в (1) яв-но выражаются через F (a, b; c; z) с аргументом z = 1 − ε/b и z = 1 − ε/(1 − b),соответственно, а интеграл Jε — в виде ряда по степеням ε. Используя анали-тическое продолжение функций F (a, b; c; z) в окрестность особой точки z = 1и развитый в [1] метод регуляризации для явного исключения неограниченнорастущих слагаемых при вычислении суммы J0 + Jε + J1, интеграл (1) был вы-числен явно в виде быстросходящегося разложения по бета-функциям Эйлера ифункциям Гаусса. Имея значения интегралов (1) для функций Ψ(t) = (t−b)k, ис-комые узлы ξp квадратуры далее находились как нули ортогональных на отрезке[0, 1] полиномов с весом ρ(t) = tα−1(1− t)β−1(t− b)−γ−1. Обширные вычисленияпоказали, что все узлы ξp исследуемых квадратур являются комплексными и ле-жат в полуполосе Im ξp > 0, Re ξp ∈ (0, 1), а при увеличении степени N онистремятся к отрезку [0, 1]. Вычислив значения узлов ξp, веса dp находились за-тем из решения линейной системы. Их значения являются также комплексными,причем при возрастании степени N квадратуры значения dp весов движутся поспиралевидным траекториям.

Многочисленные вычисления показали, что погрешность построенных квад-ратур падает экспоненциальным образом с ростом степени N квадратуры. Этопозволяет легко получать в расчетах до 30-ти верных значащих цифр в десятич-ном представлении.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (проект 13-01-00923) и Отделения математических наук РАН (программа 3).

ЛИТЕРАТУРА1. Власов В. И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей: Дис. . . . докт.

физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1990.

417

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРИБЛИЖЕНИЯВ ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА С ВЕСОМ ЭРМИТА

DIRECT AND INVERSE APPROXIMATION THEOREMSIN THE LORENTZ SPACES WITH HERMITE WEIGHT

Смаилов Е. С.

Институт прикладной математики, Караганда, Казахстан;esmailov@mail.ru

Пусть Lp,θ(R; ρ), 1 ≤ p ≤ +∞, 0 < θ ≤ +∞, — пространство Лоренца на R свесом Эрмита ρ(x) = exp−x2/2, x ∈ R. (Мы используем определение простран-ства Лоренца Lp,θ(R; ρ) из [1].) Для f ∈ Lp,θ(R; ρ) определим оператор обобщен-ного сдвига [2, 3]:

Th(f ;x) =1√π

+∞∫−∞

f(x+ y

√e2h − 1

)e−y

2

dy, h > 0.

Величинуωl(f ; δ)Lp,θ(R;ρ) = sup

0≤h≤δ

∥∥(Th − I)lf∥∥Lp,θ(R;ρ)

назовем модулем непрерывности порядка l. Здесь I — тождественный оператор.Наилучшим приближением функции f посредством алгебраических функций вметрике Lp,θ(R; ρ) назовем величину

Eν(f)Lp,θ(R;ρ) = inf∥f − φν∥Lp,θ(R;ρ),

где точная нижняя грань берется по всевозможным алгебраическим многочле-нам φν степени не больше ν.

Теорема 1. Пусть f ∈ Lp,θ(R; ρ), 1 ≤ p ≤ +∞, 0 < θ ≤ +∞. Тогда для всехl ∈ N справедливо неравенство

Em(f)Lp,θ(R;ρ) ≤ Cp,θ,lωl(f ;

1

m

)Lp,θ(R;ρ)

для всех m ∈ N.

Здесь константа Cp,θ,l > 0 зависит лишь от указанных параметров.Теорема 2. Пусть 1 ≤ p ≤ +∞, 0 < θ ≤ +∞ и l ∈ N — фиксированное число.

Тогда существует положительное число Cp,θ,l такое, что для f ∈ Lp,θ(R; ρ) иm ∈ N справедливо неравенство

ωl

(f ;

1

m

)Lp,θ(R;ρ)

≤ Cp,θ,lml

m∑s=0

(s+ 1)l−1Es(f)Lp,θ(R;ρ).

Здесь константа Cp,θ,l > 0 зависит лишь от указанных параметров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.М.: Мир, 1974.

2. Федоров В. М. Некоторые вопросы теории приближений: Дис. . . . канд. физ.-мат.наук. М.: МГУ, 1983.

3. Алексеев Д. В. Приближение функций одной и нескольких действительных пере-менных с весом Чебышёва – Эрмита: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2006.

418

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

О ВЗАИМОСВЯЗИ СПЛАЙНОВ И ВСПЛЕСКОВON THE RELATIONSHIP BETWEEN SPLINES

AND WAVELETS

Стрелков Н.А.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова,Ярославль, Россия; strelkov@uniyar.ac.ru

Исследованы возможности кратномасштабного анализа базисов из функций-всплесков для произвольной масштабирующей функции (в частности, для B-сплайнов). Основные результаты:

1) общая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия для осу-ществления кратномасштабного анализа в случае произвольной масштабирую-щей функции;

2) переформулировка этой теоремы для пространств Соболева в случае, когдамасштабирующая функция является B-сплайном;

3) полное описание семейства базисов из функций-всплесков, порождаемыхэтой масштабирующей функцией;

4) конструктивное построение безусловных базисов из функций-всплесков сминимальной мерой носителей.

419

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ВЛОЖЕНИЯХ Bω1,...,ωn

p1,...,pn,θ(Rn) ⊂ Lq1,...,qn(Rn)

ON THE EMBEDDINGS Bω1,...,ωn

p1,...,pn,θ(Rn) ⊂ Lq1,...,qn(Rn)

Сулейменов К. М.

Университет Туран – Астана, Астана, Казахстан; kenessary@mail.ru

В работе изучается задача о нахождении условий для вложения анизотропныхпространств Никольского – Бесова со смешанной нормой.

Теорема. Пусть даны 1 ≤ pj < qj ≤ ∞ (L∞(Rn) ≡ C(Rn)), 0 < θ ≤ ∞, 0 <βj < kj (j = 1, . . . , n), строго возрастающие модули гладкости ωj(δ) порядка kjтакие, что ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t)t−βj почти убывают на (0, 1]. Пусть Ω(δ) естьсредний модуль гладкости системы ω1, . . . , ωn. Положим q∗ = minq1, . . . , qn <∞, q∗ = 1 при всех qj =∞, и ρ =∞ при 0 < θ ≤ q∗, ρ = θq∗

θ−q∗ при θ > q∗. Тогда

Bω1,...,ωnp1,...,pn,θ

(Rn)⊂Lq1,...,qn(Rn) ⇔ 1∫

0

[Ω(t)

n∏j=1

[1

ω−1j (Ω(t))

]( 1pj

− 1qj

)]ρdt

t

1ρ

<∞.

При p = p1 = . . . = pn, q = q1 = . . . = qn теорема совпадает с теоремой 1 из [1].Следствие. Пусть даны 1 ≤ pj < qj ≤ ∞, j = 1, . . . , n, rj > 0, λj ∈ (−∞,+∞)

и ωj(t) = trj lnλj (1/t). Положим τ ≡ λ1r−11 +...+λnr

−1n

r−11 +...+r−1

n

[1−

n∑j=1

1rj

(1pj− 1qj

)]θq∗

θ−q∗ . Тогда

1) Br1,...,rn,λ1,...,λnp1,...,pn,θ

(Rn) ⊂ Lq1,...,qn(Rn)(min

j=1,...,nqj=q∗<+∞

) ⇔

1 >

n∑j=1

1rj

(1pj− 1

qj

), −∞ < τ < +∞, 0 < θ ≤ +∞,

1 =n∑j=1

1rj

(1pj− 1

qj

), −∞ < τ < 1, 0 < θ ≤ +∞ и τ ≤ 0, 0 < θ ≤ q∗.

2) Br1,...,rn,λ1,...,λnp1,...,pν ,pν+1,...,pn,θ

(Rn) ⊂ Lq1,...,qν ,+∞,...,+∞(Rn)(1<q∗= min

j=1,...,nqj<+∞

) ⇔

1 >

ν∑j=1

1rj

(1pj− 1

qj

)−

n∑j=ν+1

1rjpj

, −∞ < τ < +∞, 0 < θ ≤ +∞,

1 =ν∑j=1

1rj

(1pj− 1

qj

)−

n∑j=ν+1

1rjpj

, −∞ < τ < 1, 0 < θ ≤ +∞ и τ ≤ 0, 0 < θ ≤ q∗.

Если 1 =n∑j=1

1rj

(1pj− 1qj

), τ > 0; 1 =

ν∑j=1

1rj

(1pj− 1qj

)−

n∑j=ν+1

1rjpj

, τ > 0, то вложения

невозможны.Замечание. При λj = 0 следствие совпадает с результатами из § 17 книги [2].

При λj = 0 результаты следствия являются новыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдман М. Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского –Бесова с модулями непрерывности общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В. А. СтекловаАН СССР. 1984. Т. 170. С. 86–104.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функцийи теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

420

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

“КОМПЬЮТЕРНЫЙ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ)ПОПЕРЕЧНИК” В ЗАДАЧАХ

ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗАTHE “COMPUTER (COMPUTATIONAL) WIDTH”

IN NUMERICAL ANALYSIS

Темиргалиев Н.

Институт теоретической математики и научных вычислений, Евразийскийнациональный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан;

ntmath10@mail.ru

Вводится понятие компьютерного (вычислительного) поперечника (К(В)П),в котором оптимизация проводится по вычислительным агрегатам, построеннымпо информации, полученной от функционалов с заданной ошибкой, с одновремен-ным установлением предельной погрешности, сохраняющей порядок восстановле-ния по точной информации. Определение К(В)П иллюстрируется соответствую-щими теоремами для разных математических моделей — функций, производныхи решений уравнений в частных производных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Темиргалиев Н., Шерниязов К. Е., Берикханова М. Е. Точные порядки компьютер-ных (вычислительных) поперечников в задачах восстановления функций и дискре-тизации решений уравнения Клейна – Гордона по коэффициентам Фурье // Совр.пробл. матем. Вып. 17: Математика и информатика, 2. К 75-летию со дня рожденияАнатолия Алексеевича Карацубы. М.: МИАН, 2013. С. 179–207.

2. Темиргалиев Н., Абикенова Ш. К., Жубанышева А. Ж., Таугынбаева Г. Е. Задачидискретизации решений волнового уравнения, численного дифференцирования ивосстановления функций в контексте компьютерного (вычислительного) попереч-ника // Изв. вузов. Матем. 2013. 8. С. 86–93.

421

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О КОНФИГУРАЦИЯХ УЗЛОВ КУБАТУРНЫХФОРМУЛ В ТЕОРИИ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК

ON CONFIGURATIONS OF NODES IN CUBATUREFORMULAS IN THE THEORY OF ANTENNA ARRAYS

Тутатчиков В. С.

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия;vtutatchikov@mail.ru

Рассмотрим вопрос о нахождении диаграммы направленности плоской антен-ной решетки в рамках теории кубатурных формул. Множитель направленностинепрерывной плоской антенны с площадью S имеет вид:

f(θ, φ) =

∫∫S

I(x, y)e[ik sin θ(x cosφ+y sinφ)] dx dy.

Здесь I(x, y) = I(x, y)eiΦ(x,y) — амплитудно-фазовое распределение возбужде-ния, θ — угол между центром раскрыва и направлением на точку приема, φ —азимутальный угол в плоскости антенны.

Множитель направленности плоской дискретной решетки с N одинаковымиизотропными излучателями с координатами (xn, yn) записывается как

fΣ(θ, φ) =S

N

N∑n=1

Ine[ik sin θ(xn cosφ+yn sinφ)].

Сумма fΣ(θ, φ) — приближенное значение двумерного интеграла f(θ, φ), т. е.f(θ, φ) ≈ fΣ(θ, φ). Эта сумма является кубатурной формулой с равными весамина области интегрирования S = 2π× 2π. Выбор узлов (xn, yn) определяет те илииные свойства кубатурных формул. В частности, равные веса характерны для ку-батурных формул, точных на тригонометрических полиномах. При квадратнойрешетке с N = N1 ×N1 узлами кубатурная формула точно интегрирует все три-гонометрические мономы вида e2πipxe2πily, где 0 ≤ p, l ≤ N1. В настоящее времяхорошо развита теория кубатурных формул, точно интегрирующих тригономет-рические мономы, степень которых ограничена в совокупности: p+ l ≤ d, где d —некоторое заданное число. Особый интерес для таких формул представляют ре-шетки узлов вида (xk, yk) =

(kN

; (2m+1)k

N

), где d и N связаны соотношением

N =

2k2 + 2k + 1, d = 2k

2(k + 1)2, d = 2k + 1.

Описанные выше узлы расположены вдоль прямых на “наклонной решетке”и образуют периодические последовательности. Эти узлы можно расположитьвдоль одной прямой, проходящей через начало координат. В этом случае дляприближенного вычисления двумерного интеграла f(θ, φ) используется одномер-ный ряд, суммирование ведется по одной переменной 0 ≤ j ≤ N , что ускоряети упрощает расчеты. Амплитудно-фазовое распределение задается как функцияпеременной j; I = I(j).

ЛИТЕРАТУРА

1. Марков Г. Т., Сазонов Д. М. Антенны. М.: Энергия, 1975.2. Носков М. В., Schmid H. J. Кубатурные формулы высокой тригонометрической точ-

ности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, 5. С. 786–795.

422

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОПИСАНИЕ СЛЕДОВ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВС ОБЩИМИ Ap ВЕСАМИ

DESCRIPTION OF THE TRACES OF SOBOLEV SPACESWITH GENERAL Ap WEIGHTS

Тюленев А. И.

Московский физико-технический институт (государственный университет),Москва, Россия; tyulenev-math@yandex.ru

Пусть 1 < p < ∞, p′ := pp−1 , l, n, d ∈ N, 1 ≤ d ≤ n, δId := (−δ, δ)d. Точку

пространства Rn = Rd×Rn−d запишем как пару (x, y) = (x1, . . . , xd, y1, . . . , yn−d).Положим Tn−d := y ∈ Rn−d : yi > 0, i = 1, . . . , n − d, Tn−d := Tn−d \ Bn−d,Πnd := Rd×Tn−d. Символом W l

p(Πnd , γ) обозначим функциональное пространство

Соболева на Πnd с весом γ ∈ Aloc

p (Rn) (определение класса Alocp см. в [2]) и нормой∥∥f |W l

p(Πnd , γ)

∥∥ =∥∥f |Lp(Tnd , γ)

∥∥+∑|α|=l

∥∥Dαxf |Lp(Ω, γ)

∥∥+∑|β|=l

∥∥Dβy f |Lp(Ω, γ)

∥∥. (1)

Для m ∈ Zd, k ∈ N0 пусть Qdk,m :=d∏i=1

(mi2k, mi+1

2k

)— двоичный куб, Σnk,m :=

Qdk,m × (2−kB \ 2−k−1B) — цилиндрический слой. Символом δB обозначен шаррадиуса δ с центром в начале координат.

Положим γk,m := 2(l+2d)pk∫∫

Σnk,m

γ(x, y) dx dy. Определим пространство обобщен-

но-переменной гладкости Blp(Rd, γk,m) типа Бесова как множество всех функ-ций φ ∈ Lloc

1 (Rd) с конечной нормой

∥∥φ|Blp(Rd, γk,m)∥∥p :=

∞∑k=1

∑m∈Zd

γk,m

[ ∫Qdk,m

∫1

2kId

|∆l(h)φ(x)| dh dx]p

+∑m∈Zd

γ0,m∥φ|L1(Qd0,m)∥p.

Здесь через ∆l(h)φ(x) :=l∑i=0

φ(x+ ih) обозначена разность l-го порядка.

Теорема. Пусть γ ∈ Alocp (Rn), l ≥ n− d. Тогда

Tr |y=0 Wlp(Π

nd , γ) = Blp(Rd, γk,m).

ЛИТЕРАТУРА

1. Тюленев А. И. Характеризация следов весовых пространств Соболева // Тр. МФТИ.2011. Т. 3, 1. С. 141–145.

2. Rychkov V. S. Littlewood–Paley theory and function spaces with Alocp -weights // Math.

Nachr. 2001. V. 224. P. 145–180.3. Haroske D. Schmeisser H.-J. On trace spaces of function spaces with a radial weight: the

atomic approach // Complex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55, N 8–10, P. 875–896.

423

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

МНОГОМЕРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРДИMULTIDIMENSIONAL HARDY INEQUALITIES

Ушакова Е. П.

Вычислительный центр ДВО РАН, Хабаровск, Россия; elenau@inbox.ru

Пусть заданы p, q ∈ (1,∞) и две измеримые неотрицательные весовые функ-ции v(s, t) и w(x, y) на (0,∞)× (0,∞). Рассмотрим неравенство Харди вида

( ∞∞∫∫0 0

[ x y∫∫0 0

f(s, t) ds dt

]qw(x, y) dx dy

) 1q

≤ C( ∞∞∫∫

0 0

fp(s, t)v(s, t) ds dt

) 1p

, (1)

где константа C ≥ 0 наименьшая из возможных и не зависит от произвольнойнеотрицательной функции f . Известны приложения (1) к весовым неравенствамдля преобразования Фурье, Гильберта и максимальной функции (см. [1]).

В случае 1 < p ≤ q < ∞ неравенство (1) было полностью охарактеризованоЭ. Сойером в [1]. В нашей работе найдено достаточное условие для выполне-ния (1) в случае 1 < q < p <∞.

Теорема. Пусть 1 < q < p < ∞. Тогда неравенство (1) выполнено, еслиBv <∞ или Bw <∞, где

Bv=

( ∞∞∫∫0 0

[v(u, z)]1

1−p

[ ∞∞∫∫u z

x y∫∫0 0

[v(s, t)]1

1−p ds dt

q−1

w(x, y) dx dy

] pp−q

du dz

) p−qpq

,

Bw=

( ∞∞∫∫0 0

w(u, z)

[ u z∫∫0 0

∞∞∫∫s t

w(x, y)x dy

1p−1

[v(s, t)]1

1−p ds dt

) q(p−1)p−q

du dz

) p−qpq

.

Более того, C ≤ c1Bv и C ≤ c2Bw, где константы c1, c2 зависят только от p и q.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sawyer E. Weighted inequalities for two-dimensional Hardy operator // Studia Math.1985. V. 82, N 1. С. 1–16.

424

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГОИССЛЕДОВАНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

В МОДЕЛЯХ МАТРИЧНОГО СИНТЕЗАAN EFFICIENT METHOD FOR THE NUMERICALSTUDY OF AUTONOMOUS SYSTEMS IN MODELS

OF MATRIX SYNTHESIS

Фадеев С. И.1, Лихошвай В. А.2, Королев В. К.1, Штокало Д. Н.3

1Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия;2Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск, Россия;

3Институт систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН,Новосибирск, Россия;

fadeev@math.nsc.ru, likho@bionet.nsc.ru, korolev@math.nsc.ru,

shtokalod@gmail.com

Представляемый доклад посвящен численному методу интегрирования авто-номных систем уравнений, представляющих математические модели матричногосинтеза. Эти модели на протяжении многих лет были предметом исследованийв Институте цитологии и генетики СО РАН и Институте математики СО РАН,начиная с работ [1, 2], где сформулированы гипотезы о предельном переходе отрешений систем обыкновенных дифференциальных уравнений к решениям соот-ветствующих уравнений с запаздывающими аргументами. Для важного частногослучая в [2] было дано строгое обоснование предельного перехода, принадлежа-щее Г.В. Демиденко. Наряду с этим нами были разработаны эффективные ме-тоды численного исследования моделей матричного синтеза в достаточно общейпостановке, позволяющие описывать зависимость решения от параметров, вклю-чая предельные свойства модели [3–5].

Эффективность предложенного метода интегрирования связана с максималь-ным учётом вида правых частей рассматриваемых автономных систем, что су-щественно при построении параметрических характеристик моделей с большимчислом уравнений. Это позволило нам проводить численное исследование, имеяв распоряжении компьютер среднего класса. Реальная аппроксимация, высокаяустойчивость и сходимость используемой неявной схемы подтверждена многочис-ленными примерами. Невысокий порядок аппроксимации компенсируется высо-кой экономичностью метода, позволяющего интегрировать систему с достаточномалым шагом.

ЛИТЕРАТУРА1. Лихошвай В. А., Матушкин Ю. Г., Фадеев С. И. Задачи теории функционирования

генных сетей // Сиб. журн. индустр. математики. 2003. Т. 6, 2. С. 64–80.2. Лихошвай В. А., Фадеев С. И., Демиденко Г.В., Матушкин Ю. Г. Моделирование

уравнением с запаздывающим аргументом многостадийного синтеза без ветвле-ния // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, 1. С. 73–94.

3. Фадеев С. И., Лихошвай В. А., Штокало Д. Н. Исследование модели синтеза линей-ных биомолекул с учётом обратимости процессов // Сиб. журн. индустр. математи-ки. 2005. Т. 8, 3. С. 149–162.

4. Штокало Д. Н. О предельном переходе к уравнению с запаздывающим аргументомв модели синтеза вещества с учетом обратимости и стоков // Сиб. журн. индустр.математики. 2009. Т. 12, 2. С. 143–156.

5. Фадеев С. И., Лихошвай В. А., Штокало Д. Н., Королев В. К. Об исследовании ма-тематических моделей матричного синтеза нерегулярных полимеров ДНК, РНК ибелков // Сиб. электрон. мат. изв. 2010. Т. 7. С. 467–475.

425

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХСУММ ФУРЬЕ

THE CONVERGENCE RATE OF THE LINEAR MEANSOF FOURIER SUMS

Фалалеев Л. П., Василина Г.К.1

Институт математики и математического моделирования,Алматы, Казахстан;1v_gulmira@mail.ru

Исследованы аппроксимативные свойства операторов, составленных на базесуммирования Пуассона (A, 1) подпоследовательностей сумм Фурье степенногои экспоненциального типов.

Пусть ur(f, x) — оператор, построенный на базе метода суммирования (A, 1)подпоследовательностей сумм Фурье, имеющих степенной порядок роста

S[1γ ], S[2γ ], . . . , S[Nγ ], . . . ,

где [y] — целая часть y.Пусть f ∈ Hα

p и wp(t) ≤ ctα, 0 < α ≤ 1, c > 0, c = const, wp(t) — модульнепрерывности в Lp, p > 1.

Теорема 1. При r → 1− 0 справедливы оценки (γ ≥ 1, 0 < α ≤ 1)

∥f(x)− ur(f, x)∥Lp =

O((1− r)α), 0 < α ≤ 1

2γ ,

O(√

(1− r) ln 11−r

), α = 1

2γ ,

O(√

1− r), 12γ < α ≤ 1,

причем первая и третья оценки точны по порядку, а при γ = 1 все оценки точныпо порядку.

Для равномерной метрики и класса Зигмунда Zα, 0 < α ≤ 2, третья оценкасправедлива для α ∈

(12γ , 2

], а первые две сохраняются.

Пусть Vr(f, x) — оператор, построенный на базе метода (A, 1) для подпосле-довательностей сумм Фурье с экспоненциальным порядком роста

S[21ε ], S[22ε ], . . . , S[2Nε ], . . . , 0 < ε ≤ 1

2.

Теорема 2.

supf∈Lipα

∥f(x)− Vr(f, x)∥C2π = O((1− r) ε2

),

ε

2< α ≤ 1, r → 1− 0.

426

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

РЕШЕНИЕ МНОГОРАЗМЕРНЫХИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

SOLUTION OF MULTIDIMENSIONALINTEGRAL EQUATIONS

Халитов А. Х.

Уфимский государственный авиационный технический университет,Уфа, Россия; airat.halitov@gmail.com

Мы рассматриваем уравнения Фредгольма второго рода

u(x)−∫Ω

K(x, y)u(y) dy = f(x),

записанные для функций n переменных в ограниченной области произвольнойформы, Ω b Rn. Граница области Γ = ∂Ω, функции K(x, y), f(x) и реше-ние предполагаются гладкими, M раз непрерывно-дифференцируемыми по сво-им аргументам. Норма интегрального оператора в пространстве C(Ω) считаетсямалой, чтобы можно было применить метод последовательных приближений,maxx∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy = θ < 1. Тогда существует единственное решение: непрерывная

функция u ∈ C(Ω) такая, что

u(x) = lims→∞

us(x), us(x) = f(x) +

∫Ω

K(x, y)us−1(y) dy, u0 = f(x).

Алгоритм предусматривает приближение интегрального оператора с помо-щью соболевских решетчатых асимптотически оптимальных кубатурных фор-мул [1].

Мы решаем эти уравнения с помощью условно ненасыщаемого алгоритма [2].Для решения данной задачи была написана, отлажена и зарегистрирована па-раллельная программа с использованием библиотеки MPI [3].

Написана программа решения интегральных уравнений другим, ненасыщае-мым алгоритмом. Вычислительными экспериментами было проведено сравнениедвух алгоритмов. Исследовано проявление в вычислительном алгоритме явленияГиббса, которое было теоретически обоснованно в ненасыщаемом алгоритме [4].Проведены вычислительные эксперименты по численному решению интеграль-ных уравнений больших размерностей (n > 4) на областях произвольных форми получены оценки точности, эффективности распараллеливания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СОРАН, 1996.

2. Рамазанов М. Д. Лекции по теории кубатурных формул. Уфа: Изд-во БашГУ, 1973.3. Халитов А. Х. Решение интегральных уравнений по многомерным ограниченным об-

ластям произвольных форм на многопроцессорных вычислительных системах. Сви-детельство 2013612995 от 25.01.2013.

4. Рамазанов М. Д. Асимптотически оптимальные решетчатые кубатурные формулыс ограниченным пограничным слоем и свойством ненасыщаемости // Мат. сб. 2013(в печати).

427

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ОПТИМАЛЬНАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛАВ СМЫСЛЕ САРДА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕA QUADRATURE FORMULA OPTIMAL IN THE SENSE

OF SARD FOR CALCULATINGTHE FOURIER COEFFICIENTS

Шадиметов Х.М.1, Болтаев Н.

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан;

1kholmatshadimetov@mail.ru

Целью настоящей работы является построение оптимальной квадратурнойформулы вида

1∫0

e2πipxφ(x) dx ∼=N∑β=0

Cβφ(hβ), (1)

где Cβ — коэффициенты, h = 1/N ,N ≥ m−1. Функции φ принадлежат простран-ству W (m,m−1)

2 (0, 1). Пространство W (m,m−1)2 (0, 1) состоит из функций φ, для ко-

торых производная φ(m−1) порядка m− 1 абсолютно непрерывна, φ(m) ∈ L2(0, 1)

и1∫0

(φ(m) + φ(m−1))2 dx <∞.

Интегралы вида1∫0

e2πipxφ(x) dx играют важную роль в практике. Поэтому

приближенное вычисление таких интегралов с помощью оптимальных квадра-турных формул вида (1) является важной задачей вычислительной математи-ки [1, 2].

В настоящей работе, пользуясь результатами работы [3], получена следующаясистема для коэффициентов оптимальной квадратурной формулы вида (1)

N∑γ=0

CγG(hβ − hγ) + Pm−2(hβ) + de−hβ =1∫0

e2πipxG(x− hβ) dx, β = 0, N,

N∑γ=0

Cγ(hγ)α =1∫0

e2πipxxα dx, α = 0, 1, . . . ,m− 2,

N∑γ=0

Cγe−hγ =

1∫0

e2πipxe−x dx,

(2)

где G(x) = sign(x)2

(ex−e−x

2 −m−1∑k=1

x2k−1

(2k−1)!

).

Нами исследованы существование и единственность решения этой системы ив случаях m = 1, 2, 3, используя метод Соболева [1, 2], получены явные формулыдля коэффициентов Cγ оптимальных квадратурных формул вида (1), которыеявляются решением системы (2).

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО

РАН, 1996.3. Шадиметов Х. М., Хаeтов А. Р. Вычисление коэффициентов оптимальных квадра-

турных формул в пространствеW (m,m−1)2 (0, 1) // Узб. мат. журн. 2004. 3. С. 67–82.

428

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ОПТИМАЛЬНАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛАВ СМЫСЛЕ САРДА В ПРОСТРАНСТВЕ K2(P3)

A QUADRATURE FORMULA OPTIMAL IN THE SENSEOF SARD IN THE SPACE K2(P3)

Шадиметов Х.М.1, Хаeтов A. Р.2

Институт математики при Национальном университете Узбекистанаим. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан;

1kholmatshadimetov@mail.ru, 2hayotov@mail.ru

В настоящей работе, используя метод С.Л. Соболева [1, 2], построена опти-мальная квадратурная формула вида

1∫0

φ(x) dx ∼=N∑β=0

Cβφ(hβ), (1)

где Cβ — коэффициенты, h = 1/N (N = 2, 3, . . .). Функции φ принадлежат про-странству K2(P3). Пространство K2(P3) состоит из функций φ, для которых вто-

рая производная φ′′ абсолютно непрерывна, φ′′′ ∈ L2(0, 1) и1∫0

(φ′′′ +φ′)2 dx <∞.

Получены явные выражения для коэффициентов оптимальной квадратурнойформулы вида (1) и доказана следующая

Теорема. Коэффициенты оптимальной в смысле Сарда квадратурной фор-мулы вида (1) в пространстве K2(P3) имеют вид

Cβ =

2(1− cos 1)(1− cosh)− h(sin(1− h) + sinh− sin 1)

2(1− cosh) sin 1

−2∑k=1

mk

(λk + λN+1

k

)(sin(1− h) + sinh)−

(λNk + λ2k

)sin 1(

λ2k + 1− 2λk cosh)

sin 1, β = 0, N,

h+2∑k=1

mk

(λβk + λN−β

k

), β = 1, N − 1,

где m1 = A22B1−A12B2

A11A22−A12A21, m2 = A11B2−A21B1

A11A22−A12A21. Здесь

A11 =λ1+λ

N+11

λ21+1−2λ1 cosh

, A12 =λ2+λ

N+12

λ22+1−2λ2 cosh

,

A21 =

(λ1+λ

N+11

)(sin(1−h)+sinh)−

(λ21+λ

N1

)sin 1

λ21+1−2λ1 cosh

−(λ1−λN1

)sin 1

1−λ1,

A22 =

(λ2+λ

N+12

)(sin(1−h)+sinh)−

(λ22+λ

N2

)sin 1

λ22+1−2λ2 cosh

−(λ2−λN2

)sin 1

1−λ2,

B1 = 2(1−cosh)−h sinh2(1−cosh) sinh , B2 = (1−cos 1)(2(1−cosh)−h sinh)

2(1−cosh) ,

λk известны и |λk| < 1.Кроме того, доказано, что оптимальная квадратурная формула вида (1) яв-

ляется асимптотически оптимальной в пространстве L(3)2 (0, 1). Следует отметить,

что полученная оптимальная квадратурная формула точна для тригонометри-ческих функций sinx, cosx и для постоянных.

ЛИТЕРАТУРА1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО

РАН, 1996.

429

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

О ВЛИЯНИИ ВЫБОРА УЗЛОВ ЛАГРАНЖЕВОЙИНТЕРПОЛЯЦИИ НА ПОВЕДЕНИЕ

КОНСТАНТ ЛЕБЕГАON THE INFLUENCE OF THE CHOICE OF LAGRANGE

INTERPOLATION NODES ON THE BEHAVIOROF THE LEBESGUE CONSTANTS

Шакиров И.А.

Набережночелнинский институт социально-педагогических технологийи ресурсов, Набережные Челны, Россия; iskander@tatngpi.ru

В работах [1, 2] для двух классических интерполяционных полиномов Лагран-жа n-й степени получены следующие представления соответствующих им функ-ций Лебега:

λn(t)=sin(n+0,5)t

2n+ 1

[cosec

tn+t

2+

n∑k=1

(cosec

tk−1+t

2+cosec

tk−t2

)] (tk=

2πk

2n+1

), (1)

λ∗n(t) =sinnt

2n

n∑k=1

[cosec(tk−1 + t) + cosec(tk−1 − t)](tk =

π

nk, n ∈ N

). (2)

Узлы интерполяции разбиты на классы T1 = tk | tk = 2πk/(2n+1), k = 1, 2n+ 1,n ∈ N, T2 = tk | tk = πk/n, k = 1, 2n, n = 2m, m ∈ N, T ′

2 = tk | tk = πk/n,k = 1, 2n, n = 2m+ 1, m ∈ N.

В классе T1 содержится нечетное число узлов, в T2 их число кратно четырем,а в T

′

2 узлов четное число, но не кратно четырем. Эти классы и функции Лебе-га (1), (2) позволяют определить нижеследующие новые (точные и приближен-ные) формулы для вычисления констант Лебега λn, λ∗n и изучить существующиемежду ними связи.

Теорема. В случае класса узлов T1 для точного и приближенного вычислениясоответствующих (1) констант Лебега справедливы формулы

λn =1

2n+ 1

[1 + 2

n∑k=1

cosec( (2k − 1)π

4n+ 2

)], λn ∼= 1, 5 + (2/π) lnn (n ∈ N),

если узлы принадлежат классу T2, то для соответствующих (2) констант верныформулы

λ∗n = λ∗2m =1

m

m∑k=1

cosec( (2k − 1)π

4m

)(m ∈ N), λ∗n

∼= 1 + (2/π) lnn,

если же узлы выбраны из класса T′

2, то формулы имеют вид

λ∗n = λ∗2m+1 =1

2m+ 1

[1 + 2

m∑k=1

cosec( (2k − 1)π

4m+ 2

)], λ∗1 = 1, λ∗n

∼= 1 + (2/π) lnn.

ЛИТЕРАТУРА1. Шакиров И. А. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классиче-

ским интерполяционным полиномам // Изв. вузов. Матем. 2011. 10. С. 80–88.2. Шакиров И. А. Новые формулы для фундаментальных характеристик лагранжевой

интерполяции // Современные методы и проблемы теории операторов и гармони-ческого анализа и их приложения: Тез. докл. междунар. науч. конф., посвященнойпамяти Н. К. Карапетянца. Ростов-нa-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. С. 44–46.

430

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛАЗМЫВ КИНЕТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИSIMULATION OF PLASMA DYNAMICSIN THE KINETIC APPROXIMATION

Шваб И. В.1, Медведев С. Б.1, Якункин Н.И.2

1Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия;2Институт вычислительной математики и математической геофизики

СО РАН, Новосибирск, Россия;Schwab_Irina@mail.ru, serbormed@gmail.com, yakunkin@list.ru

Работа мотивирована исследованиями по нагреву и удержанию плазмы в от-крытой магнитной ловушке с электронным пучком ГОЛ-3 (ИЯФ СО РАН). Ос-новные потери плазмы и энергии в таких ловушках происходят при разлете плаз-мы через торцевые магнитные пробки. При этом происходят процессы, аналогич-ные возникающим в сопле плазменных двигателей. Для исследования способ-ности плазменного сопла повышать аксиальный импульс потока плазмы пред-ложена физико-математическая модель физики магнитного сопла, основаннаяна кинетическом описании бесстолкновительной плазмы. Главной задачей моде-лирования являлось воспроизведение эффекта отделения плазменной струи отмагнитных силовых линий. Предложен численный алгоритм, позволяющие эф-фективно и точно проводить учёт осевой симметрии при расчете плотности токана смещенных координатных сетках. Данный подход может быть легко обоб-щен на общий случай криволинейных координат и CIC-ядер для метода частиц.Проведены тесты для сферически симметричных задач с известным аналитиче-ским решением, показывающие изотропность численной схемы. Проведены ис-следования зависимости течения плазмы от начальных параметров. Определеныпараметры сценария ускорения плазмы до супер-Альфвеновской скорости припрохождении магнитного сопла.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-ных исследований (проекты 12-01-00234, 12-01-00061), Сибирского отделения РАН(междисциплинарный проект 105), ФЦП (соглашение от 26.09.2012 8504).

431

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ТЕОРИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

THEORY OF HYPERSINGULARINTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

Эминов С. И.1, Эминова В. С.

Новгородский государственный университет, Великий Новгород, Россия;1eminovsi@mail.ru

Многие задачи теории дифракции и теории упругости описываются уравне-нием вида

1

π

∂

∂τ

1∫−1

( ∂∂t

(a(τ)a(t) ln

1

|t− τ |

))u(t) dt+

1∫−1

K(τ, t)u(t) dt = f(τ), (1)

где a(τ) — гладкая функция, удовлетворяющая условию 0 < a0 ≤ a(τ) ≤ b0 привсех τ , u(t) — неизвестная функция, ядро K(τ, t) является непрерывной функци-ей или имеет логарифмическую особенность. В работе [1] был исследован част-ный случай уравнения (1), когда функция a(τ) постоянна. Исследование урав-нения (1) сводится к изучению гиперсингулярного интегродифференциальногооператора

(Au)(τ) =1

π

∂

∂τ

1∫−1

u(t)∂

∂tln

1

|t− τ |dt, −1 ≤ τ ≤ 1.

Оператор A является симметричным положительно определенным операторомв гильбертовом пространстве L2[−1, 1] и имеет плотную область определенияD(A) [1]. Положительно определенный оператор A имеет ограниченный обрат-ный A−1. В следующей теореме этот результат усиливается.

Теорема 1. Оператор, обратный к положительно определенному операто-ру A, задается формулой

(A−1f)(τ) =1

π

1∫−1

f(t) ln∣∣∣ τ − t1− τt+

√1− τ2

√1− t2

∣∣∣ dt.и является вполне непрерывным в пространстве L2[−1, 1].

Из этой формулы следует, что оператор A−1 является интегральным опе-ратором с логарифмическим ядром. Теорема 1 позволяет доказать следующийрезультат.

Теорема 2. Уравнение (1) эквивалентно уравнению Фредгольма второго родав энергетическом пространстве HA оператора A.

Для приближенного решения уравнения (1) предложен метод Галёркина наоснове полиномов Чебышёва второго рода и доказана теорема.

Теорема 3. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение в энергети-ческом пространстве HA. Тогда приближенное решение, построенное методомГалеркина, сходится к точному решению в пространстве HA.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эминов С. И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехникаи электроника. 1993. Т. 38, вып. 12. С. 2160–2168.

432

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВКУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ

В НЕИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕCALCULATING THE OPTIMAL COEFFICIENTS

OF A CUBATURE FORMULAIN AN ANISOTROPIC SPACE

Юмова Ц. Ж.

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления,Улан-Удэ, Россия; syum@mail.ru

В работе вычисляются коэффициенты кубатурной формулы в неизотропномпространстве Wm

p (En), где 1 < p <∞, m = (m1,m2, . . . ,mn) — неотрицательныйцелочисленный вектор. Пусть hk > 0 — шаги решетки, Nk = [1/hk] — количе-ство узлов решетки вдоль выбранных координатных направлений, ∆σ = x ∈En, 0 ≤ xk < 1 − σkhk — фундаментальный параллелепипед с длинами ре-

бер 1 − σkhk, σk = 1/hk — дробная часть числа 1/hk, m∗ = n/( n∑

k=1

m−1k

),

h = diag(h1h2 . . . hn) — матрица периодов.Узлы кубатурной формулы берем на решетке ньютоновской системы B0 =

γ | γ ∈ En, 0 ≤ γk < Nk, k = 1, . . . , n, лежащими внутри или же на границеобласти Ω, при фиксированных шагах вдоль выбранных координатных направ-лений, определяемых из системы соотношений hm1

1 = hm22 = . . . = hmnn = hm

∗.

Оптимальные коэффициенты формулы для функции φ(x) и ее производных

в sk узлах решетки определяются из равенстваsk∑γk=0

Cαkγk γαkk = 1−σkhk

αk+1 , αk = 0,mk,

при любом значении порядка ρk старшей производной, зависящей от гладко-сти mk вдоль выбранной координатной оси OXk, k = 1, 2, . . . , n.

Беря декартово произведение коэффициентов при значениях функции, ее про-изводных, получим формулу на плоскости:

1−σ1h1∫0

1−σ2h2∫0

φ(x1, x2) dx1 dx2 ≈2∏k=1

sk∑γk=0

ρk∑αk=0

Cαkγk φαkγk.

Наилучшей считается кубатурная формула, имеющая наименьшую норму функ-ционала погрешности. Используя построенные функционалы относительно про-стого вида, учитывающие свойства неизотропного пространства, с узлами, лежа-щими внутри или же на границе области, строим функционалы с регулярнымпограничным слоем суммированием элементарных функционалов погрешностей,как в обычном анализе формулы прямоугольников получаются путем суммиро-вания элементарных формул прямоугольников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.2. Юмова Ц. Ж. Построение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем

на плоскости // Аналитические и численные методы моделирования естественнона-учных и социальных проблем: Материалы IV Междунар. науч.-техн. конф. Пенза:Изд-во ПДЗ, 2009. С. 69–73.

433

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON THE STABILITY OF HIGH ORDER OF ACCURACYDIFFERENCE SCHEMES FOR NONLOCAL BOUNDARYVALUE PROBLEMS WITH SELFADJOINT OPERATOR

Ashyralyev A.1, Yildirim O.2

1Fatih University, Istanbul, Turkey; aashyr@fatih.edu.tr2Yildiz Technical University, Istanbul, Turkey; ozgury@yildiz.edu.tr

In this study, third and fourth order of accuracy absolutely stable differenceschemes are considered for the nonlocal boundary value hyperbolic problem for thedifferential equations in a Hilbert spaceH with selfadjoint positive definite operator A.The stability estimates for the solution of these difference schemes are established.In practice, one dimensional hyperbolic equations with nonlocal boundary conditionsare considered. A numerical method is proposed and results of numerical experimentsare presented in order to verify theoretical statements.

REFERENCES

1. Ashyralyev A., Sobolevskii P. E., New Difference Schemes for Partial Differential Equa-tions (Operator Theory: Advances and Applications, 148), Birkhauser, Basel; Boston;Berlin (2004).

2. Ashyralyev A., Sobolevskii P. E., “Two new approaches for construction of the high orderof accuracy difference schemes for hyperbolic differential equations,” Discrete Dyn. Nat.Soc., 2, No. 1, 183–213 (2005).

3. Ashyralyev A., Yildirim O., “On the numerical solution of hyperbolic IBVP with highorder stable difference schemes,” Bound. Value Probl., 2013, No. 29, 34 pages (2013).

434

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

A FOURTH ORDER OF ACCURACY DIFFERENCESCHEME FOR AN OVERDETERMINED INVERSE

ELLIPTIC PROBLEM

Ashyralyyev Ch.

Gumushane University, Gumushane, Turkey; charyyar@gumushane.edu.tr

We consider the inverse problem of finding a function u and an element p for theelliptic equation

−utt(t) +Au(t) = f(t) + p, 0 < t < T,

u(0) = φ,

u(T ) = ψ,

u(λ) = ξ,

in an arbitrary Hilbert space H with selfadjoint strongly positive definite operator A.A fourth order of accuracy stable difference scheme for the solution of this inverseproblem is presented. Stability estimates for the solution of the fourth order of ap-proximation are obtained. The theoretical statements are supported by the numericalexample.

REFERENCES

1. Ashyralyev A., Sobolevskii P. E., New Difference Schemes for Partial Differential Equa-tions (Operator Theory: Advances and Applications, 148), Birkhauser, Basel; Boston;Berlin (2004).

2. Samarskii A. A., Vabishchevich P.N., Numerical Methods for Solving Inverse Problems ofMathematical Physics (Inverse and Ill-Posed Problems Series), Walter de Gruyter&Co,Berlin (2007).

3. Prilepko A. I., Orlovsky D. G.,Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Math-ematical Physics, Marcel Dekker, New York (2000).

4. Orlovsky D., Piskarev S., “On approximation of inverse problems for abstract ellipticproblems,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 17, No. 8, 765–782 (2009).

5. Ashyralyev A., “On well-posedness of the nonlocal boundary value problem for ellipticequations,” Numer. Funct. Anal. Optim., 24, No. 1–2, 1–5 (2009).

435

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

CANONICAL DOMAINS FOR ALMOST ORTHOGONALQUASI-ISOMETRIC GRIDS

Chumakov G. A.

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;chumakov@math.nsc.ru

A special class of quasi-isometric mappings is discussed for the generation of quasi-isometric regular coordinate systems. The base computational strategy of our ap-proach is that the physical field is decomposed into five nonoverlapping sub-regionswhich are automatically generated by solving a variational problem. Four of theseblocks containing four corners on the boundary of the physical region.

To ensure that the angles of the physical and canonical domains coincide and theconformal modules are the same, the four corner blocks are taken to be geodesic quad-rangles on surfaces of constant curvature, namely, spherical, planar or Lobachevskyplane, depending on the angles of the physical domain. Within each of these blocksa quasi-isometric grid is generated. Orthogonality of coordinate lines holds in thefifth block which is a conformal image of a non-convex polygon composed of severalrectangles on the plane.

We present a robust algorithm of automated construction of the one-parameterfamily canonical domains and prove that, for any physical domain, there exists a uniqueparameter such that the mapping from canonical domain onto physical region is con-formal and has bounded derivative. Application of such a mapping results in a gridinside the physical region that is orthogonal far from the corners.

REFERENCES

1. Chumakov G. A., Chumakov S. G., “Almost orthogonal quasi-isometric grids,” in: IMACSSeries in Computational and Applied Mathematics, Vol. 16, Roma, Italy, 2011, pp. 31–40.

436

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ON ONE EXTENSION THEOREM DEALINGWITH WEIGHTED ORLICZ–SLOBODETSKII SPACE

ON THE BOUNDARY OF A DOMAIN

Dhara R. N.1, Ka lamajska A.2

University of Warsaw, Warsaw, Poland;1rndhara@gmail.com, 2kalamajs@mimuw.edu.pl

Let Ω be a given domain with the sufficiently regular boundary. We prove thatevery function belonging to a certain weighted Orlicz–Slobodetskii space defined onthe boundary of Ω can be extended to a function belonging to a relevant weightedOrlicz–Sobolev space defined on the whole Ω. Analysis of the admitted weights isprovided and no restrictions on generating Orlicz function is required.

REFERENCES

1. Lacroix M.-Th., “Espaces de traces des espaces de Sobolev–Orlicz” [in French], J. Math.Pures Appl., 53, No. 9, 439–458 (1974).

2. Ka lamajska A., Krbec M., “Traces of Orlicz–Sobolev functions under general growthrestrictions,” Math. Nachr., 286, No. 7, 730–742 (2013).

3. Gagliardo E., “Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi difunzioni in n variabili” [in Italian], Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 27, 284–305 (1957).

4. Gossez J.-P., Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (orslowly) increasing coefficients,” Trans. Amer. Math. Soc., 190, 163–205 (1974).

437

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON UNIFORM DOMAINS ON CARNOT GROUPS

Greshnov A.V.

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;greshnov@math.nsc.ru

Let us consider the 3-step canonical Carnot group-algebra G with left-invariantbasis vector fields X, Y , T , Z such that [X,Y ] = − 1

4T , [X,T ] = αT , α is someconstant, and all other possible commutators of X, Y , T , Z are 0. Define the Carnot–Caratheodory metric dc(x, y) on G as the infimum of the lengths of all absolute-ly continuous curves γ(s), s ∈ [0, s0], γ(0) = x, γ(s0) = y, such that γ(s) =a(s)X(γ(s)) + b(s)Y (γ(s)) a.e., where a(s), b(s) are bounded measurable functions,see [1]. The main goal of our talk is to describe a method of construction of boundeduniform domains on the Carnot–Caratheodory space (G, dc), see [2], and to generalizethis method to a more general 3-step canonical Carnot group-algebra.

The author was supported by the integration project SB RAS – FEB RAS (projectno. 56).

REFERENCES

1. Gromov M., “Carnot-Caratheodory spaces seen from within,” in: Sub-Riemannian geom-etry, Birghauser, Basel, 1996, pp. 79–323.

2. Capogna L., Tang P., “Uniform domains and quasiconformal mappings on Heisenberggroup,” Manuscr. Math., 86, No. 3, 267–281 (1995).

438

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

DESIGN AND IMPLEMENTATIONOF THE LINPACK BENCHMARK

FOR SINGLE AND MULTI-NODE SYSTEMSBASED ON INTEL R⃝ Xeon PhiTM COPROCESSOR

Heinecke A.1, Vaidyanathan K.2, Smelyanskiy M.3, Kobotov A.4,Dubtsov R.5, Henry G.6, Chrysos G.6, Dubey P.3

1Technical University of Munich, Munich, Germany;2Intel Corporation, Banglore, India;

3Intel Corporation, Santa Clara, USA;4Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; alexander.v.kobotov@intel.com

5Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; roman.s.dubtsov@intel.com6Intel Corporation, Hillsboro, USA

The race to build the first Exascale system is upon us. The biggest challenge isto deliver high compute and energy efficiency under United States DOE imposedpower budget of 20 MWatts. To meet this challenge, the current trend is to couplecommodity processors with computational coprocessors. Such hybrid systems offerdramatic increases in both compute density, as well as energy efficiency.

In this paper we describe how several flavors of Linpack benchmark are acceleratedon Intel’s Intel R⃝ Xeon PhiTM coprocessor (codename Knights Corner) in both nativeand hybrid configurations. Our native DGEMM implementation takes full advantageof Knights Corner’s salient architectural features and successfully utilizes close to90% of its peak compute capability. Our native Linpack implementation runningentirely on Knights Corner employs novel dynamic scheduling and achieves nearly79% efficiency — the highest published coprocessor efficiency. Our single-node hybridimplementation of Linpack achieves 77% efficiency. Using dynamic scheduling andenhanced look-ahead scheme, this implementation scales to an 140-node cluster, onwhich it achieves 71% efficiency delivering the total performance of 128.7 TFLOPS.

REFERENCES

1. Deisher M., Smelyanskiy M., Nickerson B., Lee W. V., Chuvelev M., Dubey P., “Designingand dynamically load balancing hybrid LU for multi/many-core,” Comput. Sci., 26, No.3–4, 211–220 (2011).

2. Endo T., Nukada A., Matsuoka S., Maruyama N., “Linpack evaluation on a supercom-puter with heterogeneous accelerators,” in: Parallel & Distributed Processing (IPDPS),2010 IEEE International Symposium, IEEE, New York, 2010, pp. 1–8.

3. Fatica M., “Accelerating linpack with CUDA on heterogenous clusters,” in: Proc. of 2ndWorkshop on General Purpose Processing, ACM, New York, 2009, pp. 46–51.

4. Volkov V., Demmel J. W., “Benchmarking GPUs to tune dense linear algebra,” in: Proc.ACM/IEEE Conf. Supercomputing, ACM, New York, 2008, pp. 1–11.

5. Bach M., Kretz M., Lindenstruth V., Rohr D., “Optimized HPL for AMD GPU andmulti-core CPU usage,” Comput. Sci., 26, No. 3–4, 153–164 (2011).

439

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

INTEL R⃝DIRECT SPARSE SOLVER FOR CLUSTERS,A RESEARCH PROJECT FOR SOLVING LARGE SPARSE

SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONSON CLUSTERS

Kalinkin A., Anders A., Anders R.

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; alexander.a.kalinkin@intel.com

This paper describes a direct method based on Cholesky decomposition for solvingthe equation Ax = b with a sparse symmetric matrix A. A positive-definite matrixA can be represented as LLT decomposition. To achieve an efficient work balanceon a large number of processes hereinafter referred to as “multifrontal” approach toCholesky decomposition is proposed for the original matrix.

The multifrontal approach was proposed in the papers [1–4]. The decompositionalgorithm implementation consists of several stages. The initial matrix is first subjectto a reordering procedure [5–7] in order to represent it in the form of a dependencytree. Then the symbolic factorization takes place where the total number of nonzeroelements is computed in LLT . Then a factorization of the permuted matrix in theLLT form is performed [2–3].

This work concerns the Intel R⃝Direct Sparse Solver for Clusters package which usesparallelization approach based on dependency tree and uses MPI for communicationsbetween cluster nodes and using OpenMP directives to use shared memory parallelismavailable within a node. Approaches to MPI-parallelization of Cholesky decompositioncan be found in [1–4]. However, further investigation shows that such algorithms facescaling issues both with respect to the computational time and with respect to theamount of memory used by each process as the total number of processes increases.To solve this problem we propose an algorithm in which “tree” nodes are distributedamong several cluster nodes and data transfers are overlapped with computations.

REFERENCES

1. Amestoy P. R., Duff I. S., Vomel C., “Task scheduling in an asynchronous distributedmemory multifrontal solver,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., 26, No. 2, 544–565 (2005).

2. Amestoy P., Duff I. S., Pralet S., Voemel C., “Adapting a parallel sparse direct solver toarchitectures with clusters of SMPs,” Parallel Comput., 29, No. 11–12, 1645–1668 (2003).

3. Amestoy P.R., Guermouche A., L’Excellent J.-Y., Pralet S., “Hybrid scheduling for theparallel solution of linear systems,” Parallel Comput., 32, No. 2, 136–156 (2006).

4. Amestoy P.R., Duff I. S., “Memory management issues in sparse multifrontal methodson multiprocessors,” Int. J. Supercomput. Appl., 7, 64–82 (1993).

5. Karypis G., Kumar V., “A parallel algorithm for multilevel graph partitioning and sparsematrix ordering,” in: 10th Intern. Parallel Processing Symposium, 1996, pp. 314–319.

6. Karypis G., Kumar V., “A parallel algorithm for multilevel graph partitioning and sparsematrix ordering,” J. Parallel Distrib. Comput., 48, No. 1, 71–95 (1998).

7. Schloegel K., Karypis G., Kumar V., “Parallel multilevel algorithms for multi-constraintgraph partitioning,” in: Euro-Par 2000 Parallel Processing (Lecture Notes in ComputerScience, 1900), 2000, pp. 296–310.

440

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

INTEL R⃝CLUSTER POISSON SOLVER LIBRARY,A RESEARCH PROJECT FOR HETEROGENEOUS

CLUSTERS SUITABLE FOR ATMOSPHEREAND OCEAN RESEARCH

Kalinkin A., Krjukov I.

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; alexander.a.kalinkin@intel.com

A number of papers are devoted to the implementation of the Helmholtz solver fora computer with distributed memory. Among them we want to mention [1] as one ofthe first papers. An algorithm presented in this paper is based on 1D decompositionof the initial domain and an implementation of a distributed version of LU solver for3diagonal matrices. The size of the data transfers between computational nodes in thisalgorithm is significantly lower than in the transposition-based methods. At the sametime, the computational cost is quite significant as one needs to solve three 3diagonalsystems on each process and one 3diagonal system on a master process as comparedwith one 3diagonal system in the method with memory transpositions. In the paper [2]a Helmholtz solver implementation is based on a similar data distribution involvingdata transformation between forward / backward discrete FFT transforms along yand x axis. This approach is similar to [3]. In such approach all processes transferall the data between themselves 2 times. Our experiments show that it is inefficienton the number of processes more than 1024 because the global data transfers becomebottlenecks for the whole algorithm. 2D decomposition significantly improves overallquality of the algorithm because on each data transfer all processes are bundled in√nproc groups with √nproc processes each (nproc — number of processes involved

in the computations). The implementation of this algorithm presented in this paper.This work continues a series of works that devoted to high performance imple-

mentation of a Helmholtz solver on shared and distributed memory machines. In thepaper [3] we compare the performance of a Poisson solver from Intel R⃝Math KernelLibrary (Intel R⃝MKL) [4] with NETLIB Fishpack solver and presented an implemen-tation of Intel R⃝Cluster Poisson Solver Library [5]. In the paper [6] we demonstratedthe performance of Intel R⃝MKL Poisson Solvers with the support of periodic boundaryconditions. This paper studies the implementation of a Helmholtz solver on computerswith distributed memory based on 2D memory decomposition.

REFERENCES

1. Schumann U., Strietzel M., “Parallel solution of tridiagonal systems for the Poisson equa-tion,” J. Sci. Comput., 10, No. 2, 181–190 (1995).

2. Pham M. V., Plourde F., Kim S. D., “Strip decomposition parallelization of fast directPoisson solver on a 3D Cartesian staggered grid,” International Journal of ComputerScience and Engineering, 1, 31–40 (2007).

3. Kalinkin A. A., Laevsky Y. M., Gololobov S. V., “2D fast Poisson solver for high-performance computing,” in: Parallel Computing Technologies (Lecture Notes in Com-puter Science, 5698), 2009, pp. 112–120.

4. Intel R⃝Math Kernel Library, http://software.intel.com/en-us/intel-mkl5. Intel R⃝Cluster Poisson Solver Library, http://software.intel.com/en-us/articles/intel-

cluster-poisson-solver-library6. Kalinkin A., Kuzmin A., “Intel R⃝MKL Poisson Library for scalable and efficient solution

of elliptic problems with separable variables,” in: Collection of Works Intern. ScientificConf. Parallel Computing Technologies, 2012, pp. 336–341.

441

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

ON THE CONTINUITY OF FOURIER MULTIPLIERSON THE HOMOGENEOUS SOBOLEV SPACES W 1

1 (Rd)

Kazaniecki K.1, Wojciechowski M.2

1University of Warsaw, Warsaw, Poland; Krystian.Kazaniecki@mimuw.edu.pl2Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland;

M.Wojciechowski@impan.pl

We consider Fourier multipliers on homogeneous Sobolev space W 11 (Rd). Mea-

surable function m : Rd → R is a Fourier multiplier if operator given by formulaTmf = F−1(m · F (f)) is bounded. The homogeneous Sobolev space W 1

1 (Rd) consistsof those functions on Rd whose distributional derivatives of order one are integrable.The pseudonorm, given by ∥∇f∥1, is a norm on the quotient by a constant functions.Examples of multipliers are the Fourier transforms of bounded measures. HoweverD. Ornstein’s result [1] states that the class of Fourier multipliers is wider than thespace of Fourier transforms of measures. Later A. Bonami and S. Poornima provedthat every Fourier multiplier on W 1

1 (Rd), which is a homogenous function of degreezero, has to be a constant function [2]. While homogeneous multipliers (e.g. Riesztransforms), are the most important, the question of continuity of general multipliersremained open. The aim is to fill this gap. We will show that every Fourier multiplieron W 1

1 (Rd) is a continuous function. In the proof we will use three main ingredients:result from [2], classical DeLeeuw transference theorem and Riesz products.

REFERENCES

1. Ornstein D., “A non-equality for differential operators in the L1 norm,” Arch. RationalMech. Anal., 11, 40–49 (1962).

2. Bonami A., Poornima S., “Nonmultipliers of the Sobolev spaces W k,1(Rn),” J. Funct.Anal., 71, No. 1, 175–181 (1987).

442

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ON THE MORSE–SARD THEOREM, THE N-PROPERTY,AND LEVEL SETS FOR THE SHARP CASE

OF SOBOLEV–LORENTZ MAPPINGS

Korobkov M.V.

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia; korob@math.nsc.ru

In the talk we extend the results of joint papers [1, 2] to the case of vector-valuedmappings. Denote by W k

p,1(Rn,Rd) the space of mappings v : Rn → Rd such that allits distributional derivatives up to order k belong to Lp(Rn), moreover, the derivativesof order k belong to the Lorentz space Lp,1(Rn). For a given m ∈ 1, . . . , n denotek = n−m+ 1, p = n

k .Theorem 1 (N -property). Let m ∈ 1, . . . , n and v ∈ W k

p,1(Rn,Rd). Then for

each ε > 0 there exists δ > 0 such that for any set E ⊂ Rn if Hm∞(E) < δ, thenHm∞(v(E)) < ε. In particular, Hm(v(E)) = 0 whenever Hm(E) = 0.

Here Hm, Hm∞ denote the m-dimensional Hausdorff measure, Hausdorff content,respectively: for any F ⊂ Rn, Hm(F ) = lim

α0Hmα (F ) = sup

α>0Hmα (F ), where for each

0 < α ≤ ∞,

Hmα (F ) = inf∞∑i=1

(diamFi)m : diamFi ≤ α, F ⊂

∞∪i=1

Fi.

Recall, that if f ∈ W k1,loc(Rn), k ≤ n, then ∇f(x) is well-defined for Hn−k+1-

almost all x ∈ Rn, i.e., there exists a set Af such that Hn−k+1(Af ) = 0 and

limr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|∇f(z)−∇f(x)|dz = 0.

Let m ∈ 1, . . . , n. Then, in virtue of n− k + 1 = m, for v ∈W kp (Rn,Rd) there

exists a set Av such that Hm(Av) = 0 and the gradient ∇v(x) is well-defined at allpoints x ∈ Rn \Av. Denote Zv,m = x ∈ Rn \Av : rank∇v(x) < m.

Theorem 2 (Morse–Sard property). If m ∈ 1, . . . , n and v ∈W kp (Rn,Rd), then

Hm(v(Zv,m)) = 0.Corollary (level sets structure). Let v ∈ W k

p,1(Rn,Rm). Then for almost all

y ∈ v(Rn) the preimage v−1(y) is a finite disjoint family of (n − m)-dimensionalC1-smooth compact manifolds (without boundary) Sj , j = 1, . . . , N(y).

In particular cases, for m = n the results were proved in [3], and for m = 1they were established in [1, 2]. These results have application in fluid mechanics (see,e.g., [4]).

The author was supported by a Grant of the President of Russia for support of youngdoctors of sciences (project no. MD-5146.2013.1).

REFERENCES1. Bourgain J., Korobkov M. V., Kristensen J., “On the Morse–Sard property and level sets

of Sobolev and BV functions,” Rev. Mat. Iberoam. 29, No. 1, 1–23 (2013).2. Bourgain J., Korobkov M. V., Kristensen J., “On the Morse–Sard property and lev-

el sets of Wn,1 Sobolev functions on Rn,” J. Reine Angew. Math., (Online first),DOI:10.1515/crelle-2013-0002, March 2013.

3. Kauhanen J., Koskela P., Maly J., “On functions with derivatives in a Lorentz space,”Manuscr. Math., 100, No. 1, 87–101 (1999).

4. Korobkov M. V., Pileckas K., Russo R., “On the flux problem in the theory of steadyNavier–Stokes equations with nonhomogeneous boundary conditions,” Arch. Ration.Mech. Anal., 207, 185–213 (2013).

443

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

A SPACE OF ALMOST PERIODICSOBOLEV–BESICOVITCH FUNCTIONS

AND APPLICATIONS

Lassoued D.

University of Paris I Pantheon-Sorbonne, Paris, France;Dhaou.Lassoued@univ-paris1.fr

In this talk we introduce a Hilbert space (like a Sobolev space) of almost peri-odic Besicovitch functions and a notion of a weak almost periodic solution. Someapplications for this space in the framework of differential equations are given.

REFERENCES

1. Blot J., Lassoued D., “Bumps of potentials and almost periodic oscillations,” Afr. Diaspo-ra J. Math., Special Volume in Honor of Profs. C. Corduneanu, A. Fink, and S. Zaidman,12, No. 2, 122–133 (2011).

2. Blot J., “Oscillations presque-periodiques forcees d’equations d’Euler–Lagrange” [inFrench], Bull. Soc. Math. Fr., 122, 285–304 (1994).

3. Blot J., “Almost periodically forced pendulum,” Funkc. Ekvacioj, Ser. Int., 36, No. 2,235–250 (1993).

4. Besicovitch A. S., Almost Periodic Functions, Cambridge University Press, Cambridge(1932).

444

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

MKL EXTENDED EIGENSOLVER FOR SOLVINGSYMMETRIC EIGENVALUE PROBLEMS

Lukinov V. L.1, Kuznetsov S. V.2

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia;1vitaly.lukinov@intel.com, 2sergey.v.kuznetsov@intel.com

Starting Intel R⃝Math Kernel Library (Intel R⃝MKL) 11.0 Update 2, you can benefitfrom an Extended Eigensolver that provides a robust way to compute eigenvalues andeigenvectors for (generalized) symmetric eigenvalue problems. The Extended Eigen-solver functionality is a set of high-performance numerical routines yielding all theeigenvalues (λ) and eigenvectors (x) within a given search interval [λmin, λmax]. It isbased on the FEAST algorithm, an innovative fast and stable numerical algorithmpresented in [1], which deviates fundamentally from the traditional Krylov subspaceiteration based techniques (Arnoldi and Lanczos algorithms [2]) or other Davidson–Jacobi techniques [3]. The FEAST algorithm is inspired by the density-matrix repre-sentation and contour integration technique in quantum mechanics.

The Intel R⃝MKL Extended Eigensolver numerical algorithm is intended for com-puting eigenpair solutions using conventional (dense) matrix storage and numericallyefficient contour integration technique. The main computational tasks in the algo-rithm consist of solving of a few independent linear systems along the contour andsolving a reduced eigenvalue problem. Let us consider a circle centered in the mid-dle of the search interval [λmin, λmax]. The numerical integration over the circle isperformed using Gauss–Legendre quadrature.

Shared memory parallelism has not been explicitly implemented in ExtendedEigensolver routines within a node, that is, the inner linear systems are currentlysolved one after another. Using the Extended Eigensolver RCI interfaces, it is possi-ble to benefit from parallel execution by providing a threaded inner system solver anda matrix-matrix multiplication routine. Using the predefined Extended Eigensolverinterfaces, parallel execution can be seamlessly obtained with the shared memoryversion of BLAS and LAPACK from Intel R⃝MKL and Intel R⃝MKL PARDISO [4].

This talk presents new efficient sparse eigensolver from Intel R⃝MKL. We provideperformance comparison of the dense and sparse eigensolvers from Intel R⃝MKL. Inparticular, we focus on the comparison of the LAPACK eigensolver with sparse Ex-tended Eigensolver from Intel R⃝MKL.

REFERENCES

1. Polizzi E., “Density-matrix-based algorithms for solving eigenvalue problems,” Phys. Rev.B, 79, No. 11, 115112 (2009).

2. Bai Z., Demmel J., Dongarra J., Ruhe A., Van der Vorst H. (eds.), Templates forthe Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide, SIAM, Philadelphia(2000).

3. Sleijpen G. L. G., Van der Vorst H. A., “A Jacobi–Davidson iteration method for lineareigenvalue problems,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., 17, No. 2, 401–425 (1996).

4. Intel R⃝Math Kernel Library, http://www.intel.com/software/products/mkl

445

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

GENERIC SINGULARITIES OF HARMONICAND BIHARMONIC MAPS

Mazowiecka K. E.

University of Warsaw, Warsaw, Poland; K.Mazowiecka@mimuw.edu.pl

We will review the known results of Hardt–Lin and Almgren–Lieb on singularitiesof harmonic maps from the ball to the sphere, i.e. critical points of the Dirichletintegral E(u) =

∫B3

|∇u|2 dx.

In the second part of the poster we will discuss the conjectures and work in progresson generalization of this problems to biharmonic maps, namely minimizers of func-tional

∫B5

|∆u|2 dx with nonlinear pointwise constraints u(x) ∈ S4.

REFERENCES

1. Almgren F. J., Lieb E. H., “Singularities of energy minimizing maps from the ball to thesphere: examples, counterexamples, and bounds,” Ann. Math. (2), 128, No. 3, 483–530(1988).

2. Hardt R., Lin F.-H., “A remark on H1 mappings,” Manuscr. Math., 56, No. 1, 1–10(1986).

446

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

FUNCTIONS OF SOBOLEV CLASSESON ANISOTROPIC SPACES

Miklyukov V. M.

Independent Scientific Laboratory “Uchimsya LLC”, Yonkers, NY, USA;miklyuk@hotmail.com

Let X be a nonempty set and let r : X ×X → R be a function with the followingproperties:α) r(x, x) = 0 and r(x, y) ≥ 0 for all x, y ∈ X ;β) r(x, y) ≤ r(x, z) + r(z, y) for all x, y, z ∈ X .The pair (X , r) is called an anisotropic space.

Note that we do not assume here the symmetry of the anisotropic metric r, i.e. ingeneral r(x, y) = r(y, x). Sometimes we assume that

r(x, y)→ 0 ⇐⇒ r(y, x)→ 0.

We describe analogues of the Sobolev function classes W lp (see, for example, [1])

on domains in anisotropic spaces [2–4]. Investigations are based on the technologyof modulus of curvilinear arcs families, developed in the theory of quasiconformalmappings (see, for example, [5]). It is the most principal difference from the approachesbased on integral representations techniques [6], capacity techniques [7], or closed toit [8].

Main questions: concepts of Sobolev classes Soblp(X ), embedding theorems (con-ditions of function boundedness, conditions of membership in Lq(X ), estimates ofcontinuity modulus), differentiability at a point (including boundary points), theCaratheodory–Suvorov theory on kernel convergence for sequences of Soblp-homeomor-phisms. For some close results in the case of functions on abstract surfaces see Ch. 3–5in [9].

The principal aim of this investigation is the development of description methodsfor anisotropic mediums and processes therein. For applications see [10].

REFERENCES1. Sobolev S. L., Some Applications of Function Analysis in Mathematical Physics [in Rus-

sian], Izd-vo LGU, Leningrad (1950).2. Miklyukov V. M., “On local approximation of functions in anisotropic spaces,” Bull. Soc.

Sci. Lett. Lodz, LXII, No. 2, 67–80 (2012).3. Miklyukov V. M., “Functions on anisotropic spaces: points of local extremum,” Zb. Pr.

Inst. Mat. NAN Ukr., Kiev, August 2013, 13 pages (in prep.).4. Miklyukov V. M., Functions with Generalized Derivatives on Anisotropic Spaces, 11 pp.,

www.uchimsya.co (2012).5. Ahlfors L. V., Conformal Invariants, McGraw-Hill, New York (1973).6. Besov O. V., Il’in V. P, Nikol’skii S. M., Integral Representations of Functions and Em-

bedding Theorems [in Russian], Nauka, Moscow (1975).7. Maz’ya V. G., Poborchii S. V., Embedding Theorems on Non-Lipschitz Domains [in Rus-

sian], Izd-vo S.-Peterb. un-ta, St. Petersburg (2006).8. Heinonen J., Lectures on Analysis on Metric Spaces (Universitext), Springer-Verlag, New

York; Berlin; Heidelberg; etc. (2001).9. Miklyukov V. M., Functions of Weight Sobolev Classes, Anisotropic Metrics, and Degen-

erate Quasiconformal Mappings [in Russian], Izd-vo VolGU, Volgograd (2010).10. Miklyukov V. M., “Analysis on anisotropic spaces. Problems and perspectives” [in Rus-

sian], in: Materialy VIII Mezinarodni vedecko-prakticka konference “Predni v edeckenovinky-2012,” Dil 10, Matematika, Fyzika, Moderni informacni technologie, PublishingHouse “Education and Science”, s.r.o., Praha, 2012, pp. 13–17.

447

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

DYNAMICALLY SCHEDULED PARALLELIZATIONOF LINEAR ALGEBRA ALGORITHMS

FOR HETEROGENEOUS SYSTEMS

Mozartova N. S.1, Kashevarova T. P.2, Shustrov N. A.3

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; 1Nadezhda.Mozartova@intel.com,2Tamara.P.Kashevarova@intel.com, 3Nikita.A.Shustrov@intel.com

In this work we present a new parallelization method for linear algebra algorithmsthat efficiently utilizes all computational resources of a heterogeneous system con-sisting of a multicore CPU with coprocessors. We will show how this method can beapplied for parallelization of the key linear algebra factorization algorithms (QR, LUand Cholesky) on systems with Intel R⃝ Xeon Phi

TMcoprocessors.

The provided matrix factorization method is based on panel factorization ap-proach. The panel factorization approach shows advantages over communication avoid-ing and tail methods or theirs combination:• no additional computational cost;• no additional memory consumption.The panel factorization approach has the same computational cost and memory

usage with classical LAPACK algorithms. These facts make this approach preferablefor systems with coprocessors. The implementation preserves the LAPACK standardinterfaces and the algorithm can be applied for any matrices.

The implementation of our method is DAG-based and uses panel factorizationkernels that were redesigned and rewritten for new Intel R⃝ Xeon Phi

TMarchitectures.

The proposed novel method provides a high degree of parallelism while minimiz-ing synchronizations and communications. The algorithm enables adaptable work-load distribution between CPUs and coprocessors with the best load balancing. Thisguarantees efficient utilization of all available computational units in heterogeneoussystems. The main features of the algorithm are:• Adaptable data/task distribution on-the-fly between CPUs and coprocessors.• Support of heterogeneous systems with an unlimited number of coprocessors.• Scalability. A system with CPUs and 1 coprocessor shows 2x performance im-

provement and a system with CPUs and 2 coprocessors shows 3x speed-up.• No limitations on matrix sizes.Our algorithm is implemented in the frame of Intel R⃝ MKL LU, QR and Cholesky

factorization routines. The implemented routines detect the presence of Intel R⃝ XeonPhi

TMcoprocessors and automatically offload the computations that benefit from

additional computational resources. This usage model hides the complexity of hetero-geneous systems from the user, allowing ease of use and providing the same API asusual Intel R⃝ MKL routines.

REFERENCES

1. Kuznetsov S. V., “An approach of the QR factorization for tall-and-skinny matrices onmulticore platforms,” in: Proc. 11th Intern. Conf. PARA 2012, Helsinki, Finland (LectureNotes in Computer Science, 7782), Springer-Verlag, 2013, pp. 235–249.

2. Kobotov A., Kuznetsov S. V., “Efficient dynamic parallelization for the QR factorization,”in: Proc. of PARA 2008: 9th Intern. Workshop on State-of-the-Art in Scientific andParallel Computing, 2008.

3. Kurzak J., Dongarra J., “Implementing linear algebra routines on multi-core proces-sors with pipelining and a look ahead,” UT-CS-06-581, LAPACK Working note #178,September (2006).

448

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

KERNEL GLOBAL SMOOTHINGBY UNITARY REDUCTIONS

Novitskii I. M.

Khabarovsk Division of the Institute of Applied Mathematics FEB RAS,Khabarovsk, Russia; novim@iam.khv.ru

The characterization theorems for integral operators on L2-spaces (see [2]) saythat these operators are models for most linear operators in Hilbert spaces; and,therefore, there is a series of important problems in operator theory which can beequivalently reformulated to the class of integral operators. On the other hand, inorder to be analytically usable, an integral model of an operator should have a kernelbeing tractable by means of analytical techniques, and our emphasis in this talk ison bi-Carleman integral operators on L2(R), whose kernels T : R2 → C and twoCarleman functions t(s) = T (s, ·), t′(s) = T (·, s) : R → L2(R) are infinitely smoothand vanish at infinity together with all partial and all strong derivatives, respectively;such kernels are called K∞-kernels. A K∞-kernel is of Mercer type (see [4]) if itsproperty of being infinitely smooth is stable under passage to certain left and rightmultiples of its associated integral operator. The main purposes of the talk are:

(1) To give (see [4]) an expansion theorem in absolutely and uniformly convergentbilinear series concerning the K∞-kernels; the result will extend to a general non-Hermitian setting both Mercer’s and Kadota’s Expansion Theorems (see [1]).

(2) To give (see [4]) a description of families incorporating those bounded operatorson a separable Hilbert space that can be simultaneously transformed by the sameunitary equivalence transformation into integral operators on L2(R), whose kernels areK∞-kernels of Mercer type; the singleton version of this result will imply in particularthat any bi-integral operator on L2(Y, µ) is unitarily equivalent to an integral operatoron L2(R) with such a kernel, and the implementing unitary operator will be found bydirect construction.

(3) To reduce (see [5]) the general linear integral equation of the third kind inL2(Y, µ), with largely arbitrary kernel and coefficient, to an equivalent integral equa-tion either of the second kind or of the first kind in L2(R), with the kernel being thelinear pencil of K∞-kernels of Mercer type; the reduction will be done by mimickingKorotkov’s reduction method (see [3]) but using the unitary equivalence transforma-tion of item (2).

REFERENCES

1. Kadota T. T., “Term-by-term differentiability of Mercer’s expansion,” Proc. Amer. Math.Soc., 18, 69–72 (1967).

2. Korotkov V. B., Integral Operators [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1983).3. Korotkov V. B., Questions of the Theory of Integral Operators [in Russian], Inst. Mat.

Sibirsk. Otdel. Akad. Nauk SSSR, Novosibirsk (1988).4. Novitskii I. M., “Integral operators with infinitely smooth bi-Carleman kernels of Mercer

type,” Int. Electron. J. Pure Appl. Math., 2, No. 1, 43–73 (2010).5. Novitskii I. M., “Kernels of integral equations can be boundedly infinitely differentiable

on R2,” in: Proc. 2011 World Congr. on Engineering and Technology (CET 2011, Shang-hai, China, October 28–November 2, 2011), Vol. 2, IEEE Press, Beijing, 2011, pp. 789–792.

449

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

AN APPROXIMATION OF A BITZADZE–SAMARSKIITYPE INVERSE PROBLEM FOR ELLIPTIC EQUATIONS

Piskarev S. I.

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia; piskarev@gmail.com

This talk is devoted to the numerical analysis of a Bitzadze–Samarskii type in-verse problem for abstract elliptic differential equations with Dirichlet and Neumannconditions. The presentation uses a general approximation scheme and is based onthe C0-semigroup theory and a functional analysis approach.

The author was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 12-01-90401 Ukr_a).

REFERENCES

1. Orlovsky D., Piskarev S., “On approximation of inverse problems for abstract ellipticproblems,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 17, No. 8, 765–782 (2009).

450

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ON THE CONVERGENCE RATEIN THE BIRKHOFF ERGODIC THEOREM

FOR THE PERIODIC LORENTZ GAS

Podvigin I. V.

Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia; ivan_podvigin@ngs.ru

In this talk we deal with the properties of the periodic Lorentz gas that is a well-known dispersing billiard. Recently this system has attracted some attention again.For instance, the exponential decay of correlations was obtained in [1], the largedeviations principle was proved in [2] and the number of visits to balls was studiedin [3].

Let T be the unit 2-torus and D = T \n∪k=1

Bk where Bk ⊂ T denotes a disjoint

convex domain with C3-smooth boundary whose curvature nowhere vanishes. Weconsider the billiard map T which defined by usual way on the collision space Ω =∂D×[−π/2, π/2]. The map T is ergodic under the smooth measure dµ = c cosφdφdr,where (r, φ) are standard coordinates on Ω (i. e. r is the arc length parameter on ∂Dand φ ∈ [−π/2, π/2] is the angle between the directions of the billiard particle motionand the inward normal) and c > 0 is the normalizing constant.

For f ∈ L1(Ω) the Birkhoff ergodic theorem states that ergodic averages

Anf(ω) =1

n

n−1∑k=0

f(T kω), n ∈ N, ω ∈ Ω,

converge µ-almost everywhere to the mean value µ(f) =∫Ω

f dµ. Our main result based

on the technics arising from [4] and the large deviations principle [2] is the estimateof the convergence rate in this ergodic theorem for the periodic Lorentz gas.

Theorem. Let f be a Holder continuous functions on Ω. For any sufficiently smallε > 0 there exists γ(ε) > 0 such that

limn→∞

1

nlnµsup

k≥n|Akf(ω)− µ(f)| ≥ ε = −γ(ε).

In addition, for the characteristic function χE with E ⊂ Ω, µ(∂E) = 0 and anysufficiently small ε > 0 there exist c(ε), γ(ε) > 0 such that the following estimate isvalid

µsupk≥n|AkχE(ω)− µ(E)| ≥ ε ≤ c(ε)e−γ(ε)n, n ∈ N.

The author was partially supported by the Program of Leading Scientific Schools ofRussian Federation (project no. NSh-5998.2012.1).

REFERENCES1. Chernov N. “Advanced statistical properties of dispersing billiards,” J. Stat. Phys., 122,

No. 6, 1061–1094 (2006).2. Rey-Bellet L., Young L.-S. “Large deviations in non-uniformly hyperbolic dynamical sys-

tems,” Ergodic Theory Dyn. Syst., 28, 587–612 (2008).3. Chazottes J.-R., Collet P. “Poisson approximation for the number of visits to balls in

non-uniformly hyperbolic dynamical systems,” Ergodic Theory Dyn. Syst., 33, 49–80(2013).

4. Kachurovskii A. G. “The rate of convergence in ergodic theorems,” Russian Math. Sur-veys, 51, No. 4, 653–703 (1996).

451

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

MKL SPARSE BLAS: PERFORMANCE OPTIMIZATIONSON MODERN ARCHITECTURES

Pudov S. G.

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; sergey.g.pudov@intel.com

Sparse BLAS was integrated into Intelr MKL 8.0 and it was continuously opti-mized for upcoming architectures. MKL Sparse BLAS supports many sparse formatsand is comprised of Fortran-style interfaces. The interfaces are very universal; theysupport a lot of interesting features like usage sparse sub-matrices, etc. Also com-putational kernels make almost no assumptions about sparse data storage except forseveral cases (e.g. solving routines). Current MKL key functionality demonstrates sub-stantial performance results. But this all-mode approach resulted in limited numbersof supported optimization algorithms. It is well known that effective optimizationof sparse computations requires preliminary information about input matrices: themore information is available, the better algorithm can be chosen. This informationis usually time-consuming and cannot be found for every function call. Traditionallycomputations are divided into two steps — analysis and execution — so matrix isanalyzed only once and this information is used in further function calls. For iterativemethods and for algorithms with the same matrix sparsity structure this approachcan provide a lot of benefits.

Hereby current MKL Sparse BLAS universal interfaces come into conflict withoptimizations on modern parallel many-core architectures because they are unableto take into account sparse matrix specifics. To resolve this issue a research projecthas been initiated in MKL for developing new Sparse BLAS interfaces that shouldsupport two-steps execution mode for providing auto-tuning functionality. We mainlyinvestigate SpMV routines as they are most actively used. Several experiments onmodern many-core architectures have been performed. Performance results are verypromising but there are several options for final interface implementation to be chosenbased on customer usage analysis.

452

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

COMPUTABILITY OF THE SOLUTION OPERATORSOF SYMMETRIC HYPERBOLIC SYSTEMS

Selivanova S.V.1, Selivanov V. L.2

1Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia;s_seliv@math.nsc.ru

2A.P. Ershov Institute of Informatics Systems SB RAS, Novosibirsk, Russia;vseliv@iis.nsk.su

We prove computability of the solution operators of symmetric hyperbolic sys-tems [1] in the exact sense of computable analysis [2].

Theorem. Let MA,Mφ > 0, p ≥ 2 be integers, Q = [0, 1]m be the unitary cubein Rm. Then the operator (A,B1, . . . , Bm, φ) 7→ u sending any sequence A,B1, . . . , Bmof symmetric real matrices with A > 0 such that ∥A∥, ∥A−1∥, ∥Bi∥ ≤MA, λ(i)min < 0 <

λ(i)max, and φ ∈ Cp+1(Q) such that

∥∥ ∂φ∂xi

∥∥s≤Mφ,

∥∥ ∂2φ∂xi∂xj

∥∥s≤Mφ, i, j = 1, 2, . . . ,m,

to the unique solution u ∈ Cp(H,Rn) of the Cauchy problemA∂u∂t +

m∑i=1

Bi∂u∂xi

= 0, t ≥ 0,

u|t=0 = φ(x1, . . . , xm),

is a computable partial function from the space (S+×Sm)×Cs(Q,Rn) to CsL2(H,Rn).Here λ

(i)min, λ

(i)max are respectively the minimal and maximal eigenvalues of the

matrix pencil A− λBi; S ⊆ Rn×n is the space of symmetric n× n matrices equippedwith the Euclidean norm, S+ is the space of symmetric positively definite matrices;H is the domain of existence and uniqueness of the considered Cauchy problem; ∥ · ∥sis the sup-norm, ∥ · ∥sL2 is the sup-norm on t and L2-norm on Q.

The proof is based on well-known facts of numeric analysis and of the theory ofPDEs [1, 3, 4], and on the strong constructivizability of the field of algebraic realnumbers [5]. A preliminary weaker version of the theorem above appeared earlierin [6]. Our proofs can be adapted to prove computability of dissipative boundaryvalue problems for symmetric hyperbolic systems and for the wave equation, whichanswers an open question of computable analysis [7].

The authors were supported by the Russian Foundation for Basic Research (projectsno. 12-01-31183 and no. 13-01-00015).

REFERENCES

1. Friedrichs K. O. “Symmetric hyperbolic linear differential equations,” Commun. PureAppl. Math., 7, 345–392 (1954).

2. Weihrauch K. Computable Analysis, Springer, Berlin (2000).3. Godunov S. K., ed., Numerical Solution of Higher-Dimensional Problems of Gas Dynam-

ics [in Russian], Nauka, Moscow (1976).4. Godunov S. K. Equations of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1971).5. Ershov Yu. L. “Numbered fields,” in: Proc. 3rd Intern. Congr. for Logic, Methodology

and Philosophy of Science, 1967, Amsterdam, 1968, pp. 31–35.6. Selivanova S. V., Selivanov V. L. “Computing solution operators of symmetric hyperbolic

systems of PDEs,” J. UCS, 15, No. 6, 1337–1364 (2009).7. Weihrauch K., Zhong N. “Is wave propagation computable or can wave computers beat

the Turing machine?,” Proc. Lond. Math. Soc., 85, No. 2, 312–332 (2002).

453

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

CONSTRUCTION AND APPLICATIONOF THE COLLOCATION AND LEAST RESIDUAL

METHOD FOR SOLVING THE THREE-DIMENSIONALNAVIER–STOKES EQUATIONS

Shapeev V. P.1,2, Vorozhtsov E.V.1

1Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS,Novosibirsk, Russia;

2Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia;vshapeev@ngs.ru, vorozh@itam.nsc.ru

The method of collocations and least residuals (CLR) was previously developed forsolving the two-dimensional stationary Navier–Stokes equations governing the laminarflows of viscous, incompressible fluids, see the work [1] and the bibliography therein. Inthe present work, we extend the CLR method for solving the incompressible Navier–Stokes equations involving three spatial variables. In this method, the 3D Navier–Stokes equations are at first linearized after Newton. Then the solution in each cell ofa uniform spatial rectangular grid is represented as an expansion in a solenoidal basis.Owing to the use of such a basis the continuity equation is satisfied identically so thatit remains to solve only the momentum equations. The substitution of the solenoidalexpansion of the approximate solution in the linearized system of the Navier–Stokesequations gives rise to a system of linear algebraic equations (SLAE), which mustbe satisfied inside each cell at the user-specified collocation points. This system isaugmented by linear algebraic equations following from the matching conditions on thefaces of each grid cell. These conditions ensure the solution continuity. The collocationequations and matching conditions form an overdetermined SLAE. This system issolved by the QR expansion method. The advantage of this expansion over the methodof least squares lies in the fact that the QR expansion method does not increase theSLAE condition number. To accelerate the convergence of the iterations used forthe approximate solution construction we propose a new version of the well-knownmethod, which is based on Krylov’s subspaces. In this version, the correction to thelast iteration is sought in the form of a linear combination of the k foregoing solutionresiduals, 1 ≤ k ≤ 20. The coefficients of this system were found with the aid of theQR expansion method. It is not difficult to show that the pseudo-solutions of thesame system obtained by the method of least squares and by the QR decompositioncoincide in the absence of rounding errors at their computation.

The verification of the developed CLR method was done on the analytic solutionof a three-dimensional test problem. The use of the algorithm based on the Krylov’ssubspaces has enabled us to accelerate the convergence to the stationary solution bythe factors from 11 to 17 depending on the number of employed solution residuals.We further applied our CLR method for the numerical solution of the problem oflid-driven cubic cavity flow. These computations were done for the Reynolds numbersRe = 100 and Re = 1000. In the case of Re = 1000, the computations were carriedout on the grids of 40× 40× 40, 80× 80× 80, and 160× 160× 160 cells. The resultsobtained by the CLR method coincide with the most accurate available solutions.

The authors were partially supported by the Russian Foundation for Basic Research(project no. 13-01-00277).

REFERENCE1. Isaev V. I., Shapeev V. P., “High-accuracy versions of the collocations and least squares

method for the numerical solution of the Navier–Stokes equations,” Comput. Math. Math.Phys., 50, No. 10, 1670–1681 (2010).

454

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ON COMPLETENESS OF THE ROOT FUNCTIONSOF STURM–LIOUVILLE PROBLEMS

WITH DISCONTINUOUS BOUNDARY OPERATORS

Shlapunov A. A.

Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia; ashlapunov@sfu-kras.ru

We consider a Sturm–Liouville boundary value problem in a bounded Lipschitzdomain D of Rn. By this is meant that the differential equation is given by a secondorder elliptic operator A of divergent form in D with the coefficients of the classL∞(D) and the boundary conditions are of Robin type on ∂D:

Au = f in D,Bu = 0 on ∂D.

The first order term of the boundary operator B is the oblique derivative whosecoefficients bear discontinuities of the first kind along a smooth hypersurface on theboundary of D. Applying the method of weak perturbation of compact selfadjointoperators (cf. [1]) and the method of rays of minimal growth (cf. [2], the survey alsocontains a large number of references on the topic), we prove the completeness ofroot functions related to the boundary value problem in Lebesgue and Sobolev spacesof various types generated by Hermitian forms. Also, for the defined spaces, a sharpembedding to the Sobolev–Slobodetskii spaces is proved.

Precisely, our contribution consists in considering non-coercive forms. Indeed, aHermitian form associated with a second order elliptic formally selfadjoint operator Ais usually constructed through a factorization A = C∗C with an overdetermined ellip-tic first order operator C and its formal adjoint C∗. According to the famous Theory ofMicrofunctions by Sato, microlocally any first order operator C with complex-valuedcoefficients can be presented via the Lewy operator or the gradient operator or themultidimensional Cauchy–Riemann operator. The Lewy-type operators go beyondelliptic theory, the holonomic operators like the gradient lead to coercive mixed prob-lems related to A, and the Cauchy–Riemann type operators generate non-coerciveboundary conditions. Thus, it is not fortuitous that non-coercive boundary valueproblems for elliptic differential operators attract attention of mathematicians sincethe middle of the 20th century (see for instance [3]) that resulted in the discovery ofthe subellipticity phenomenon which greatly influenced the development of the theoryof partial differential equations. The use of non-coercive forms enlarges essentially theclass of those boundary conditions for which the root functions of the correspondingmixed problems are dense in the Lebesgue space L2(D). The enlargement allows oneto perturb the boundary conditions by diverse tangential vector fields. In general, welose on regularity of solutions, however, this gap is well motivated by the nature ofproblems (see [4] for further details).

REFERENCES1. Keldysh M. V., “On the completeness of eigenfunctions of some classes of non-selfadjoint

linear operators,” Russian Math. Surveys, 26, No. 4, 15–44 (1971).2. Agranovich M. S., “Spectral problems in Lipschitz domains” [in Russian], Sovrem. Mat.,

Fundam. Napravl., 39, 11–35 (2011); English transl. in J. Math. Sci. (New York), 190,No. 1, 8–33 (2013).

3. Kohn J. J., Nirenberg L., “Non-coercive boundary value problems,” Commun. Pure Appl.Math., 18, 443–492 (1965).

4. Shlapunov A., Tarkhanov N., On completeness of root functions of Sturm–Liouville prob-lems with discontinuous boundary operators [Preprint, No. 3], Institutes fur Mathematikder Universitat Potsdam, Potsdam (2012).

455

Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева

MEASUREMENT ERROR AND DECONVOLUTIONIN SPACES OF GENERALIZED FUNCTIONS

Zinde-Walsh V.

McGill University, Montreal, Canada;Centre interuniversitaire de recherche en economie quantitative, Montreal, Canada;

victoria.zinde-walsh@mcgill.ca

This paper considers convolution equations that arise from classes of modelsin statistics and econometrics that involve classical measurement error and non-parametric regression with errors in variables among others (see e.g., [1, 4]). Thesemodels lead to convolution equations that here are presented in spaces of generalizedfunctions to account for possible singularities in the distribution function and in theregression function or its Fourier transform. The algebraic and differential equationsthat arise for Fourier transforms are studied. A typical system of equations involvestwo unknown functions, g and f and provides (with the function hk(x) = xkg(x)),

g ∗ f = w1;

(hk) ∗ f = w2k, k = 1, . . . , d.

The paper establishes conditions for existence, uniqueness and continuity of thesolutions in the space of tempered distributions [2]. In the statistical applicationsthis makes it possible to consider densities for arbitrary and not only absolutelycontinuous distributions, and to operate with Fourier transforms for sparse supportor polynomially growing regression functions.

Conditions are also given for stochastic convergence of solutions when the knownfunctions, w1 and w2k, k = 1, . . . , d, are random functions.

REFERENCES

1. Meister A. Deconvolution Problems in Nonparametric Statistics (Lecture Notes in Statis-tics, 193), Springer-Verlag (2009).

2. Schwartz L. Theorie des Distributions [in French], Hermann, Paris (1966).3. Sobolev S. L. Cubature Formulas and Modern Analysis, Gordon and Breach Science

Publishers (1992).3. Zinde-Walsh V. “Identification and well-posedness in nonparametric models with in-

dependence conditions,” in: Handbook of Applied Nonparametric and SemiparametricEconometrics and Statistics, Oxford University Press (2013, to appear); arXiv:1209.1588[stat.ME].

456

Секция “Функциональные пространства и теория приближений”

ON OPTIMIZATION OF DENSE LINEAR ALGEBRAALGORITHMS FOR INTEL R⃝ Xeon PhiTM

COPROCESSOR ARCHITECTURE

Zotkevich A. A.

Intel Corporation, Novosibirsk, Russia; Aleksandr.Zotkevich@Intel.com

Today computational coprocessor systems (ex-GPUs) with shared memory pro-vide more and more processing power. In order to utilize the additional processingpower, extra efforts is often required, including learning new programming languages,tools and applying complex tuning of algorithms. However modern coprocessor archi-tectures like Intel R⃝ Xeon Phi

TMenables us to use familiar and standard programming

models to preserve investments in existing code. Particularly, for dense linear algebraIntel R⃝ Math Kernel Library provides a library of deeply optimized routines for XeonPhi

TMlike Cholesky, LU factorization and many others, which enables us to easily

utilize computational capabilities of the coprocessor.Ease of use of Intel R⃝ software for optimization of algorithms for Xeon Phi

TM

makes it possible to achieve a good performance result using simple approaches. Inthis work some of these approaches are considered. Because the main characteristicfeature of coprocessors is greater number of threads while each thread of coprocessoris less powerful than that of a standard CPU, modified techniques often should beimplemented. Certain techniques and differences than those used for CPU are shownin the work.

For example, the correct utilization of BLAS and LAPACK optimized routinesis very important for optimizing the user’s algorithms. In this work the proper rec-ommendations and examples for the correct utilization is provided, including simpleexamples which show how to speed up an algorithm up to ten times.

457

AUTHOR INDEXAbdrakhmanov A. M.. . . . . . . . . . . . . . . . .74Abdrakhmanova A. A. . . . . . . . . . . . . . . . 208Abdrakhmanova R. P. . . . . . . . . . . . . . . . . 74Abdymanapov S. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Abiev N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Abylkairov U. U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Agadzhanov A.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Aizenberg A. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Akhmedov D.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Akhmed-Zaki D. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Akhtaeva N. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Akinshin A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Akishev G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Akysh A. Sh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Al-Delfi J. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Aleksandrov V. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Alekseev G. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Aliev N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Amangaliyeva M. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Anders A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440Anders R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440Andreev V. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 80Andriyanova E. R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Anikonov D. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Anikonov Yu.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Annin B. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Anosov V.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Antontsev S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68, 313Apakov Yu.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Arbuzov E.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365Arutyunov A. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350Arvanitoyeorgos A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Asadova O. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Asanov A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Asanova A. T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Ashyralyev A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Ashyralyyev Ch.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435Averina T.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Ayupova N. B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Babich V. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Badoyan A. D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239Bakytbek M. B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Balakina E. Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Balandin A. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Balgimbayeva Sh.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Barlukova A. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Baydin A.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Baydulov V. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Begehr H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Belmetcev N. F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Belonosov V. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Belov Yu.Ya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 95Belushchenko A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Belyayev Yu.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Belykh V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368Berdyshev A. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Besov O. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Bezrodnykh S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Bibikov P.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Blokhin A.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Bogatyreva E. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Bogovskii M. E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98Bojarski B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Bokayev N.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Boltaev N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Bondar L.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Bondarenko A. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Borel L.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Brizitskii R.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Bugueva T. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Burenkov V. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358Buterin S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Bychkov E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Cadena L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Chebotarev A. Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287Chechkin A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Chechkin G. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Chechkina A. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Chechkina T. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Chemetov N. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Chepyzhov V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Cherevko A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142, 196Chesnokov A. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288Chirkunov Yu.A. . . . . . . . . . . 128, 234, 312Chrysos G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Chudinov K. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Chuesheva N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Chuev N. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Chuiko S. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Chumakov G. A. . . . . . . . . . . . . . . . . 181, 436Chumakova N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181Chupakhin A. P. . . . . . . . . . . . . 92, 142, 196Danaev N.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Danzanova V. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Darovskaya K. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Dastai-ool A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Dauitbek D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Davydov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Davydov P.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Dedok V.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

459

Demidenko G. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Demidov G.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Denisov V. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Denisova T. E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127Derevtsov E.Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Dhara R. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Dobrokhotov S.Yu. . . . . . . . . . . . . . 128, 129Drozdov G.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Dubey P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Dubinskii Ju. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Dubtsov R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439Dumanyan V. Zh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Durdiev D. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Dyachenko E. O.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380Ebel A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Efimova A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Efimova P.N.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135Egorov A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Egorov I. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131, 132Egorshin A. O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Eminov S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Eminova V. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Ershov I.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Evseev N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Fadeev S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . 182, 218, 425Falaleev L. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Falaleev M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Farmonov Sh. R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324Fedorov V. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 277Fedorova Yu.Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Fedoruk M. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Feireisl E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Finogenko I.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Fokin M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Frewer M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Frolenkov I.V. . . . . . . . . . . . . . . 95, 176, 280Gadoev M. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Gaidomak S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Galakhov E. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Garifullin R. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Garipov R. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 115Gichev V.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Gladkov A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Glyzin S. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Godunov S. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41Gogatishvili A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Golovin S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Golubyatnikov V. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Gordevskyy V. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Gordienko V.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120Gordievskikh D. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Grebenev V. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Greshnov A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Grigoryev E. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Grigoryev Yu.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Gritsutenko S. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Gubarev Yu.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Gubkin A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Gukalov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Gutman A.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Gyori I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Hayotov A. R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Heinecke A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Henry G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Hudyakov Yu.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Ilkiv V. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 144Iooss G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Irgashev B.Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Isaev V. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Isangulova D. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Iskakova U. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 154Iskhokov S. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Ismoilov A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Ismoilov S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Ivanov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141Ivanova A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 142Ivanova E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Ivanova N. D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143Jalolov Ikr. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Jamsranjav D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383Jenaliyev M. T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Kabanikhin S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 148Kachurovskii A. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390Ka lamajska A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437Kalenyuk P. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Kaliev I. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Kalinin A.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 271Kalinin S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Kalinkin A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .440, 441Kalmenov T. Sh. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 154Kamynin V. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Kanguzhin B.E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Kaptsov O. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Karabut E.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158, 159Karachanskaya E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . 389Karachik V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Karchevsky A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Kashevarova T. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Kazakov A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149, 150Kazaniecki K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442Kazantsev S. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Keller A.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Khalitov A. Kh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Khankhasaev V.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

460

Kholikov D. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Kholodovskii S. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Khompysh Kh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Khriptun M. D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284Khurshudyan As. Zh. . . . . . . . . . . . . . . . . 329Kirillov K.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Kirillova S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Kitapbaeva B. T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Klevtsova Yu.Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Kmit I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331Kobotov A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Kohut I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Kolpakova E.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Koltunowski O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Kononenko L. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Konovalova D. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Kopylov A. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Kopylova V.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Korobkov M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443Korobov A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Korolev V. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Koroleva K. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Korotaev D.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Korotkova E. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Korshun K. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Koshanov B. D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174Koshelev A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Kosheleva Yu.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Kosmakova M. T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Kostin A. B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Kostrigina O. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Kostrub I.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Kostsov E. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Kotelnikova M. S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Kovrizhkin V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Kovyrkina O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Kozhanov A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Kozhevnikova L. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Kozlov R. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Kozlov V. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Kozlova O. R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Kriger E. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Krivorotko O. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Krivoshapkin A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Krjukov I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441Kucher N.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Kufner A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Kulikov A. Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Kulikov I. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Kurako M.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Kurkina M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Kusraev A. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Kutateladze S. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Kuzhuget A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159Kuznetsov D. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Kuznetsov P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Kuznetsov S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Larkina O. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Lashina E.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 Lasica M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Lassoued D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Latawiec K. J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Latfullin T.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180Lazarev N.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Lazareva G. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Lempert A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Leontiev A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Likhoshvai V. A. . . . . . . . . . . . . . . . . 182, 425Lobanov A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Lomov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Lozhnikov D. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Lukaniszyn M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Lukina G.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Lukinov V. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Lyubanova A. Sh.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335Lyulko N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Makarenko N. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Maksimova N. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Maltseva S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Malygina V.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Mamadaliyev N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187Mamontov A. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Mamontov E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Manakova N.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Marinin I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Martynov V. N.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126Maslov V. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Matevossian H. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Matveeva I. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Mazko A. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Mazowiecka K.E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446Medvedev S. B. . . . . . . . . . . . . 128, 194, 431Megrabov A.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Meleshko S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Melnikov E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397Meredov M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Meredova M. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Meremelia I. Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Mesenev P.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Mestnikova N.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Mikhailets V.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Mikhailov A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Mikhailova A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Mikhailova E. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

461

Mikhailenko B.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Miklyukov V. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447Minenkov D. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Miroshnichenko V. L. . . . . . . . . . . . . . . . . 399Molodkina V. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Moyo S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Mozartova N. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Mukminov F. Kh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Mulyukov M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Murach A.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400Muratbekov M. B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401Musabekova Z. E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401Musilimov B.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401Mussabekov K. S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197Nadyrbekova A. Sh. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Nalimov V. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Nalzhupbayeva G.M. . . . . . . . . . . . . . . . . 199Namm R. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107Namsaraeva G. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Nazarenko S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Nazaruk E. M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235Necasova S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Neshchadim M.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Nesterov P.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Nikitina T. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Nikonorov Yu.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Noskov M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354, 405Novikov D. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Novikov O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Novikov S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Novitskii I.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Nuraliev F. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Nytrebych Z. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Oberlack M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327Oleynik E. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Omelchenko E. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Orazov I. O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Orazova R. S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295Orlov K.Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Oshorov B.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Oshorov Bato B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207Ospanov K.N.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Ostapenko V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . 142, 164Otelbaev M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358Panarin V.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Panov A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Panov E. Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Parfenov A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Pastukhova S. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Pavlov M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Pavlov V. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Penenko A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Penenko V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212, 213Perov A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Pertsev N. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Peszek J. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339Petrenko P. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Petrova M.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Pichugin B. Yu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221Pichugina A. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Pikulin S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Pimanov D. O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Pinigina N.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Piskarev S. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450Pismennyy N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Plaksina I.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Plaksina V.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Plekhanova M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Plotnikov P. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Podgaev A.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Podvigin I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Polyakova A. P.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .407Polyntseva S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Ponomarev D. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Popov A. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Popov N. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Popov S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Popov V. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340Potapova S. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Primakov S. S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .409Prokudin D.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Pudov S. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452Pupyshev I. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Pyatkov S. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Rakhmatullin D.Ya.. . . . . . . . . . . . . . . . .410Rakshaeva E. Zh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Ramazanov M. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Ramazanov M. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Reshetnyak Yu.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Reznikova I. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Rodionov E.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Roitenberg E.Ya.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233Romanenko G. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Romanov A. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411Romanov V. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 234Romanovskii N. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412Romanovskii R. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Rovenska O.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Ruzakova O.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Ruziev M.Kh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Rylov A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Sabatulina T. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Sadybekov M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Safarov J. Sh.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

462

Safiullova R. R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Sagadeyeva M. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239Saks R. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Salieva O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Saneeva L. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Sattarov M.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Savchuk M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Savelev L. Ya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413Sazhenkov S. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Sedipkov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Selivanov V. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453Selivanova S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453Semenko E.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250Sergeeva O. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415Serikbayev A. U.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251Serovajsky S.Ya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Seyranian A. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Sgibnev M. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Shadimetov Kh.M. . . . . . . . . . . . . . 428, 429Shadrina A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Shadrina N. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Shafarevich A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Shakirov I. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Shaldanbaev A. Sh. . . . . . . . . . . . . . 205, 295Shamolin M. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296Shapeev V. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454Sharafutdinov V.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Sharma S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Shcherbakov V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Shepelov M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Shevchenko G. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Shipina T. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Shishkina E. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Shishlenin M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Shlapunov A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Shmarev S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 313Shtokalo D. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Shubin V.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Shukhardin A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Shurina E.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Shustrov N. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448Shvab I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431Shyshkanova G.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .301Siasos P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Silaev D. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Simonov K. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129, 405Sinyavsky A. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Skazka V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Skorokhodov S. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Skubachevskii A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Skvortsova M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Slavskii V.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Smailov Ye. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Smelyanskiy M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Soboleva O. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Soboleva T. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Sokolova A.G.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Soldatova E. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Solonnikov V. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Solonukha O. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Sorokin A. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Sosnov V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Sporyshev M. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Stakheeva O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Stanis lawski R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Starov V. G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Stepanov V. D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Stepanova I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Strap N. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144Strelkov N. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419Subbotin Yu.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357Subbotina N. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Suleimenov K. M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420Sultanov O. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Suragan D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Svetov I. E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Sviridyuk G.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247Sychev M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348Syzdykova A.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Tabarintseva E. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262Talyshev A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Tarasova G. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Tarkhanov N.N.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380Tasevich A. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Telesheva L. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Temirgaliyev N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Tengaeva A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Tereshko D.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Tersenov Ar. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Tikhonova I. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Tkachev D. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Tokmagambetov N.E. . . . . . . . . . . . . . . . 156Tokmantsev T.B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Toland J. F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Tolstonogov A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Trakhinin Yu. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Treskov S. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Tsaritsanskiy A. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Tsyplenkova O. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Tukhtasinov M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Turmetov B.Kh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Tutatchikov V. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422Tyukhtina A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Tyulenev A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

463

Ulyanov S. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Urev M. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Urinov A. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Ushakova E. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Uvarova I. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191, 272Vaidyanathan K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Vasil’chik M. Yu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Vasil’eva A.A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370Vasilieva E.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Vasilina G. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Vasilyev V. B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Vaskevich V. L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Vikhtenko E. M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Vlasov V. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93Vodopyanov E. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Vodopyanov S. K. . . . . . . . . . . . . . . .353, 372Volchkov Yu.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Volkov Yu. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Volokitin E. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Volyans’ka I. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Voronin A. F.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Vorozhtsov E.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454Voytishek A. V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373Weigant W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Wojciechowski M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442Yakunkin N. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431Yakushev I. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308Yamilov R. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Yashima H. F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Yildirim O.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434Yuldasheva A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Yumova Ts. Zh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433Zadorin A. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Zadorin N.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Zagrebina S.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Zakharova T. I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Zamyshlyaeva A.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Zelik S.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Zhiber A. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Zhidkov A. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Zhikov V. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Zhumatov S. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Zhuravlev I. V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Zhuravleva E.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Zikirov O. S.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140Zinde-Walsh V.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456Zolotukhin A.Ya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Zotkevich A. A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457

464

Научное издание

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Международная конференция,посвященная 105-летию со дня рождения

Сергея Львовича Соболева

Новосибирск, Россия, 18–24 августа 2013 г.

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ

Издание подготовлено с использованием пакета AMS-TEX

Подписано в печать 11.07.2013 Формат 70×108 1/16. Печать офсетная.Усл. печ. л. 40,6. Уч.-изд. л. 29,1. Тираж 410 экз. Заказ 46.

Издательство Института математики,пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия.

Отпечатано в ООО “Омега Принт”пр. Академика Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск, Россия.