مطالبفهرست

1 ............................................................................................ ها ها و سيستم مباحث پيشرفته سيگنال: دهمفصل 2 ................................................................................................................................................................................................ مقدمه 2 ...................................................................................................................................................................... هاي متناوب سيگنال 9 ................................................................................................................................................................. هاي زوج و فرد سيگنال 10 ................................................................................................................................................................... انرژي و توان سيگنال 11 ............................................................................................................................................................. هاي متعامد سيگنال 13 ............................................................................................................................................... هاي خانواده ضربه و پله سيگنال روش محاسبه f (t).................................................................................................................................................... 13 15 ....................................................................................................................................................................... ت ضربهمشتقا 17 ............................................................................................................نمايش يك سيگنال خطي بر حسب تابع شيب 19 .......................................................................................................................................... هاي پله و شيب رابطه سيگنال 20 ........................................................................................................................................................................................ ها سيستم 21 ................................................................................................................................................................ ها توصيف سيستم 22 .................................................................................................................................................... هاي نموي خطي سيستم 23 ......................................................................................................................... پذيري هاي پيشرفته بررسي وارون روش 31 ............................................................................................................................................................................................. خالصه 32 ....................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 51 ........................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 85 ...................................................................................................................................................................................... دآزماييخو

LTI ............................................................................................... 87هاي مباحث پيشرفته سيستم: يازدهمفصل 88 .............................................................................................................................................................................................. مقدمه 88 ........................................................................................................................................................................................ كانولوشن 88 ......................................................................................................... پيوسته به روش تحليلي محاسبه كانولوشن زمان 94 ........................................................................................................................................................................ هاي خطي سيستم 94 ......................................................................................... هاي خطي يافته در سيستم هاي پاسخ ضربه شيفت ويژگي 96 .................................................................................................................... هاي خطي در حوزه فركانس رابطه سيستم 99 ................................................................................................ صيف شده با معادالت ديفرانسيل و تفاضليهاي تو سيستم 99 ..................................................................................................................... معادالت ديفرانسيل خطي با ضرايب ثابت 101 .......................................................................................................................... معادالت تفاضلي خطي با ضرايب ثابت 104 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 105 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 117 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 137 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

139 ................................................................................................... مباحث پيشرفته تبديل فوريه: دوازدهمفصل 140 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه 140 ............................................................................................................................................................... محاسبات تبديل فوريه 140 ............................................................................................................................ محاسبه تبديل فوريه از روي سيگنال 144 ............................................................................................................................ محاسبه سيگنال از روي تبديل فوريه 148 .................................................................................................................................................................... خواص تبديل فوريه 148 ...................................................................................................................................................................... روابط پارسوال 151 .......................................................................................................................................................... تبديل فوريه متناوب 153 .................................................................................................................... هاي موهومي خواص تبديل فوريه سيگنال 154 ....................................................................................................................................... تبديل فوريه حقيقي و موهومي 155 ................................................................................................................................................................. ريه دو بعديتبديل فو 157 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 158 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 190 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 230 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

233 ..................................................................................................... مباحث پيشرفته سري فوريه: سيزدهمفصل 234 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه 234 ................................................................................................................................................................. محاسبات سري فوريه 234 ............................................................................................................... محاسبه ضرايب سري فوريه از روي سيگنال 235 ............................................................................................................... محاسبه سيگنال از روي ضرايب سري فوريه 240 ...................................................................................................................................................................... خواص سري فوريه 240 ............................................................................................... محاسبه ضرايب فوريه بر اساس دوره تناوب غيراصلي 245 .................................................................................................................................................. گسسته دهي زمان مقياس 247 .................................................................................................................................................. گيري و انباشتگي انتگرال 247 ...................................................................................................................................................................... روابط پارسوال 249 ..................................................................................................................................................................... تقارن نيم موج 251 ......................................................................................................................................................... ضرايب فوريه متناوب 252 ................................................................................................................................................................................... دوگاني 254 .................................................................................................................. هاي موهومي خواص ضرايب فوريه سيگنال 254 ..................................................................................................................................... ب فوريه حقيقي و موهوميضراي 257 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 258 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 276 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 305 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

Z ....................................................................................... 307الپالس و تبديلمباحث پيشرفته : چهاردهمفصل 308 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه Z ......................................................................................................................................................... 308رابطه تبديل الپالس و

  

Z .................................................................................................................................................... 308ل الپالس ومحاسبه تبدي 308 ..................................................................................... )طرفهمتناوب يك(متناوب هاي نيمه تبديل الپالس سيگنال 312 ............................................................................................. )طرفهمتناوب يك(متناوب هاي نيمه سيگنال Zتبديل 314 .................................................................................. هاي تواني و عكس آن با استفاده از سري Zمحاسبه تبديل Z ............................................................................................................................. 316رابطه تبديل فوريه با تبديل الپالس و 316 ................................................................................................................................. تبديل الپالس از ديد تبديل فوريه 319 ......................................................................................................................................... از ديد تبديل فوريه Zتبديل Z ............................................................................................................................ 323چند خاصيت مهم در تبديل الپالس و Z .............................................................................................................. 323تبديلگسسته در خاصيت فشردگي زمان 324 ................................................................................................................................................... طرفه يك Zتبديل الپالس و 324 ............................................................................................................................ طرفه يك Zخواص تبديل الپالس و 328 ............................................................................................... هاي توصيف شده با معادالت ديفرانسيل و تفاضلي سيستم 328 .................................................................................................................... معادالت ديفرانسيل خطي با ضرايب ثابت 330 .......................................................................................................................... تفاضلي خطي با ضرايب ثابت معادالت 331 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 332 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 347 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 367 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

369 .................................................. در زمان و فركانس LTIهاي تحليل سيستممباحث پيشرفته : پانزدهمفصل 370 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه LTI ........................................................................................... 370ها در يك سيستم بررسي رابطه كانولوشني بين ورودي 372 ...................................................................................................... طرفه هاي نمايي يك به ورودي LTIهاي تمپاسخ سيس 374 .................................................................................................................................... گسسته پيوسته و زمان فيلترهاي زمان 374 ............................................................................... پيوسته با استفاده از نمودار قطب و صفر تعيين نوع فيلتر زمان 377 .............................................................................. گسسته با استفاده از نمودار قطب و صفر تعيين نوع فيلتر زمان 379 .............................................................................................................................................................. گذر فيلترهاي تمام 379 .............................................................................................................................................. خطيبا فاز FIRفيلترهاي 382 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 383 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 446 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 480 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

483 ........................................................................................... ها و خواص آن هاشناسايي سيستم: شانزدهمفصل 484 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه 484 ..................................................................................................................................................................... هاشناسايي سيستم LTI .............................................................................................................................................. 484هاي شناسايي سيستم 492 ...................................................................................................................... حافظههاي خطي بدونشناسايي سيستم 493 .................................................................................................................... حافظهو بدون LTIهاي شناسايي سيستم

TI ....................................................................................................................... 494حافظه و هاي بدونشناسايي سيستم 497 ............................................................................................................................................. هاي خطيشناسايي سيستم 503 ........................................................................................................................................................ ها شناسايي خواص سيستم 505 ...............................................................................................................................................................هاي خطي سيستم 507 ................................................................................................................................................... حافظه هاي بدون سيستم 509 ........................................................................................................................................ حافظه بدون هاي خطي سيستم 511 ................................................................................................................................................................. عليهاي سيستم 512 .................................................................................................................................................... وعلي هاي خطي سيستم TI.................................................................................................................................................................... 513هاي سيستم LTI ................................................................................................................................................................ 515هاي سيستم TI ......................................................................................................................................... 522 حافظه و بدون هاي سيستم 525 ...................................................................................................................................... حافظه بدونو LTIهاي سيستم 525 .................................................................................................................................................... و علي LTI هاي سيستم 526 ............................................................................................................................................................... پايدارهاي سيستم 530 ................................................................................................................................................. و پايدار LTIهاي سيستم 531 ....................................................................................................................................................... پذير وارونهاي سيستم 531 ....................................................................................................................................... پذير هاي خطي و وارون سيستم 535 ......................................................................................................................................... پذير و وارون LTIهاي سيستم 539 .......................................................................................... خواص مشخصهاي جديد در يك سيستم با پاسخ به ورودي 540 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 541 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 562 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست 575 ..................................................................................................................................................................................... خودآزمايي

577 .............................................................................................................. بردارياي بر نمونهمقدمه: هفدهمفصل 578 ............................................................................................................................................................................................. مقدمه 578 .................................................................................................................................................................................. برداري نمونه 586 ................................................................................................................... پيوسته هاي زمان گسسته سيگنال پردازش زمان 591 ............................................................................................................................................................................................ خالصه 592 ...................................................................................................................................... هاي كنكورهاي سراسري و آزادتست 605 .......................................................................................................................................................................... تأليفيهاي تست

611 ...................................................................................................................................................... ها پيــوسـت 612 ....................................................................................................................................................... پيوست الف ـ خالصه نكات 640 .................................................................................................................................................................... پيوست ب ـ جداول

دهمفصل

ها و سيستم اه سيگنالمباحث پيشرفته

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 2

مقدمهتر و همچنـين هاي پيچيدهها و بررسي خواص سيستممباحث پيشرفته مربوط به تحليل سيگنالدر اين فصل به

باشد و فرض بر اول و دوم مي هايدر واقع اين فصل مكمل فصل. تعاريف و مفاهيم جديدتري خواهيم پرداختبه 1.اب تسلط كامل دارداين است كه خواننده گرامي، بر مطالب بيان شده در جلد اول كت

هاي متناوب سيگنالكرديم، تساوي كه در فصل اول نيز اشارهطور همان x f (t T) x f (t) به معني متنـاوب بـودن سـيگنال

x f (t) با دوره تناوبT اما تساوي ؛است و بالعكس x f (t) T x f (t) ًبه معني متنـاوب بـودن لزوما x f (t) گوييم سيگنالوقتي مي مثالً . نيستx(t Tبا دوره تنـاوب 2( تـوان گـاه مـي متنـاوب اسـت، آن 3تساوي x (t ) x(t ) 2 x(tگويد اگركه مي را نتيجه گرفت 23 واحد به سمت چـپ انتقـال 3را به مقدار 2(

x(tتوان تساويشود؛ و لزوماً نميدهيم، برابر خودش مي ) x(t ) 2 خواهيم نكتـه حال مي. را نتيجه گرفت 23هـاي مختلـف درس دارد، بيان كنيم كه عالوه بر اينكه كاربرد و استفاده نسبتاً زيادي در قسمترا ديگري مرتبط

.مورد سؤال واقع شودتواند طور خاص نيز مي بهمتناوب باشد، آنگـاه T با دوره تناوب x(t)اگر :84 نكته x f (t) لزومـاً متنـاوب نيسـت، بنـابراين رابطـه

x f (t T) x f (t) تساوي وليباشد؛ لزوماً برقرار نمي x f (t) T x f (t) سـت حتمـاً برقـرار ا. f (t) تواند هر سيگنال دلخواهي باشدمي .

?

x f (t) T x f (t)x(t) x(t T) x(t)

x f (t T) x f (t)

x(t)سيگنال به عنوان مثال sin t با دوره تناوبT 2 متناوب است؛ ولـي بـا فـرضf (t) t ، سـيگنال 2 x f (t) x(t ) sin (t ) 2 متناوب نيست، بنابراين رابطه 2 sin (t ) sin(t ) 2 ولي ،باشدبرقرار نمي 22

طبق تساوي x f (t) T x f (t) ،رابطهsin (t ) sin (t ) 2 توان گفت كـه در واقع مي .برقرار است 22)sin، رابطهازاي هر متناوب است، پس به sinچون ماهيت تابع ) sin( ) 2 برقرار است؛ اگرچـه تـابع

sin( ) ممكن است خود متناوب نباشد. x(t)گاه طبق تعريف،متناوب باشد، آن Tبا دوره تناوب x(t)اگر :اثبات x(t T) باشد كه ميt متغير است

fحال با جايگذاري. توان به جاي آن قرار دادو هر چيزي مي (t) به جاي t رابطـه در دو طرف ايـن تسـاوي، بـه x f (t) T x f (t) كند كه اگر سيگنالدر واقع اين نكته بيان مي. خواهيم رسيدx(t) با دوره تنـاوبT

نمـاييم، جمـع Tآرگومانش را با اگر كل متناوب نخواهد بود، اما لزوماً اگرچهمتناوب باشد، با تغيير آرگومان آن، .گسسته نيز صادق استحالت زمان دراين نكته .، متناوب استx، زيرا ماهيت سيگنالشودبرابر خودش مي

جلـوگيري از بـاال رفـتن منظـور اما بـه . ها در كتاب بيان شده است ها به جهت اهميت آن از نكات و فرمول بعضياثبات د اول، مانند جل 1

. گـردد ارائـه ) ـ پشتيباني كتاب منوي كتاب(در سايت مؤلف د، نهايي كه از اهميت كمتري برخوردار اثباتتصميم گرفته شد حجم كتاب، . مطالعـه نماييـد دريافـت و ها را نيز اثباتتمايل به تسلط بيشتري بر روي مفاهيم اين درس داريد، مند هستيد و عالقهاگر شود توصيه مي

.مفيد واقع گردد ،ر درك بهتر درسدتواند ميها بيان شده است ها و مفاهيمي كه در اثبات روش ،در بعضي مواقع

3 ها ها و سيستم باحث پيشرفته سيگنالم: همدفصل

fيك سيگنال دلخواه و x(t)اگر :85 نكته (t) با دوره تنـاوب T گـاه متنـاوب باشـد، آن x f (t) بـا دوره .هاي ديگري نيز متناوب باشدو البته ممكن است با دوره تناوب خواهد بودمتناوب Tتناوب

f (t) x f (t)

tx(t)نامتناوب سيگنال به عنوان مثال e و سيگنال متناوبf (t) cos t با دوره تنـاوبT 2 را در نظـردر اين صورت سيگنال. بگيريد cos tx f (t) x(cos t) e با دوره تناوبT 2 باشدميمتناوب.

1 مثالTبا دوره تناوب x(t)سيگنال ؟هستند صحيحلزوماً ) هايا تساوي( تساويكدام . متناوب است 3

)الف x cos (t ) x cos (t) 3 ب( x cos (t) x cos (t) 3 )ج x cos (t ) x cos (t) 2 د( x cos (t) x cos (t) 2

: حلx(t) با دوره تناوبT x(tمتناوب است، بنابراين 3 ) x(t) 3 حال با جايگذاري. باشدميcos t به جاي

t در دو طرف اين تساوي داريم:

cosهمچنين چـون t ـ Tا دوره تنـاوب ب 2 ،متنـاوب اسـتcos (t ) cos (t) 2 باشـد و در نتيجـه مـي x cos (t ) x cos (t) 2 يعني. خواهد بود x cos (t) نيز باT 2 هاي تساويبنابراين . متناوب است

fفرض و با 85و 84توجه به نكات البته اين مثال با .صحيح هستند» ج«و » ب« (t) cos t نيز قابل حل بود.

aهايسيگنال :86 نكتهcos( n )

b aو 2

sin( n )b و 2

aj n

be 2

a( متناوبند b

ر گويا و تا حـد امكـان يك كس غير اين صورت برابـر و در b2ها برابرهر دو فرد باشند، دوره تناوب اين سيگنال bو aاگر. )شده است ساده

b 1.بود خواهد

a ,b

درف ود ره N b 2

N b

aj n

ba acos( n ) , sin( n ) , e

b b

2

2 2

تروص نيا ريغ رد

2.اثبات اين نكته را در حالت خاص، در مثال بعد بيان خواهيم كرد :اثبات 2 مثال

x[n]دوره تناوب سيگنال cos ( n ) 23 .دست آوريد را به 8

sinها سيگنالالبته اين نكته استثنائاتي هم ممكن است دارا باشد كه يكي از آن 1 ( n ) 2

باشد كه دوره تنـاوب آن علـي رغـم اينكـه مي 4در واقع در ايـن مـورد . است 2شود كه دوره تناوب آن برابر آيد، اما با عددگذاري و رسم آن مالحظه ميدست ميبه 4طبق اين نكته برابر

!رسيم ناوب غيراصلي ميدوره تجاي دوره تناوب اصلي، به به ،اين نكتهاستفاده از با ،استثناءkx[nسـيگنال متنـاوب باشـد، Nبا دوره تنـاوب x[n]سيگنال اگرتوان ثابت كرد كه در حالت كلي مي 2 يـا كسـري از آن Nنيـز بـا [

Nيعنيm

.پيوسته لزوماً برقرار نيستزمان در حالت 86همچنين نكته موضوع و اما دقت كنيد كه اين .متناوب خواهد بود

t cos tx(t ) x(t) x cos (t) x cos (t) 3 3

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 4

: حلaازايبه و 86توجه به نكته با bو 3 Nبرابر، دوره تناوب اين سيگنال 8 b اما ما در اينجـا .باشدمي 8

x[n]براي محاسبه دوره تناوب سيگنال. كنيم اين موضوع را دقيقاً اثبات مي cos ( n ) 23 Nبايد كـوچكترين 8

x[nحقيقي و مثبتي كه در رابطه N] x[n] كنيمكند را محاسبه ميصدق مي:

x[n N] x[n] cos (n N) cos( n ) 2 23 38 8

cos n N nN cos( n )

2 2 23 3 3 38 8 4 8

n N nN n k N nN k

2 2 2 23 3 3 3 3 32 28 8 4 8 8 4

Nكند كهعبارت فوق بيان مي nN23 38 Nحـال بايـد بـا سـعي و خطـا، . باشد 2بايد مضربي از nازاي هر به 4

شـود عبـارت اي كـه باعـث مـي Nتـرين تـوان تشـخيص داد كـه كوچـك بـه راحتـي مـي . مناسب را پيدا نمـاييم N nN23 3

8 Nباشد، 2، مضربي از nازاي هر به 4 .است 8

كه هر سيگنالي به فـرم بيان كرديم 6فصل اول و نكته در m

x(t) z(t mT)

اوبحتمـاً بـا دوره تنـT

:خواهيم اين نكته را تعميم دهيمحال مي. متناوب استfگسستهسيگنال زمان اگر :87 نكته (m) وره تناوب با دM سيگنال گاهمتناوب باشد، آنx(t) بـه فـرم كلـي

m

x(t) f (m) z(t mT)

ببا دوره تناوM T متناوب خواهد بود.

x(t)

m

x(t) f (m) z(t mT)

M T

:كنيم، سيگما را باز ميx(t)براي درك بهتر از سيگنال

m

m m m m m

x(t) f (m) z(t mT)

f ( ) z(t T) f ( ) z(t T) f ( ) z(t) f ( ) z(t T) f ( ) z(t T)

2 1 1 22 2 1 1 2 2

z(t) بارت فوق،در ع .تواند هر سيگنال دلخواهي باشددر اين رابطه ميz(t)،TتاT با مضربي از(تاT ( به چپfالبته دامنه آن نيز در( شده داده انتقالو راست (m) با هم هاي حاصل و سپس شكل) ضرب شده استمتناظر

fگسسـته كـه اگـر سـيگنال زمـان كندبيان مي 87نكته . اندشدهجمع (m) بـا دوره تنـاوبM متنـاوب باشـدfيعني( (m M) f (m) شكل حاصل يعني)باشد ،x(t) باM T متناوب خواهد بود.

سيگمايبا باز كردن ه، براي توجيه اين نكتm

x(t) f (m) z(t mT)

داريمصورت زير به:

m m m m M

x(t) f (m) z(t mT) f ( ) z(t) f ( ) z(t T) f (M) z(t MT)

1

1

5 ها ها و سيستم باحث پيشرفته سيگنالم: همدفصل

ــه ــا ك fاز آنج (m) ــا ــت، Mب ــاوب اس fمتن ( ) f (M) ــي ــه م ــوق، جمل ــارت ف ــه در عب ــد و در نتيج باشf (M) z(t MT) ــال ــاً انتقـ ــه دقيقـ ــهيافتـ fجملـ ( ) z(t) ــدار ــه مقـ ــود MTبـ ــد بـ ــع و خواهـ در واقـ

fشكل (M) z(t MT) تكرار شكلf ( ) z(t) از آنجا كه فاصله اين دو شكل برابر. باشد ميMT اسـت، پـس .متناوب خواهد بود MTسيگنال حاصل با دوره تناوب

به فرم كلي زير بـا دوره تنـاوب x[n]نيز برقرار است بدين صورت كه سيگنال گسستهاين نكته براي حالت زمانM N باشدمتناوب مي.

3 مثال

mودن سيگنالمتناوب ب

m

x(t) ( ) (t m)

1 .را بررسي نماييد 2

: حل

mبا مقايسه

m

x(t) ( ) (t m)

1 با فرم كلي 2

m

f (m) z(t mT)

داريم ،:

m(t) , T , f (m) ( ) , Mz(t) 2 1 2 mتوجه كنيد كه j mf (m) ( ) e 1 ر نسبت به متغيm ا دوره تناوببM :حال داريم .متناوب است 2

m

m m

x(t) f (m) z(t mT) ( ) (t m)

1 2

x(t) (t ) (t ) (t) (t ) (t ) 4 2 2 4 هـا هـاي آن يكي در ميان دامنهداده و تقالانتا به چپ و راست 2تا2را (t)كند كه سيگنالعبارت فوق بيان مي

مالحظـه . صـورت زيـر خواهـد بـود شكل حاصل بـه كه مكنيبا هم جمع ها را ضرب نموده و سپس شكل 1را در .ايجاد شده است 4صورت يك سيگنال متناوب با دوره تناوب به x(t)كنيد كه سيگنال مي

Mشكل فوق با دوره تناوب T 2 2 شـوند ميها يكي در ميان با هم يكسان در واقع شكل. متناوب است 4

.شود ضرب مي 2در Tبنابراين دوره تناوب و 4 مثال

دوره تناوب سيگنالm

x(t) cos( m) (t m)

2 برابر كدام گزينه است؟ 23

.متناوب نيست )4 6 )3 3 )2 2 )1

m

x[n] f (m) z[n mN]

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 50

مشـخص اسـت كـه سيسـتم . كنـيم حال با استفاده از رابطه فوق، خواص سيستم را به راحتي بررسي مي]yدار است، زيرا مثالً حافظه ]xبطه اول برابراز ضا 3[ همچنين سيسـتم غيرعلـي اسـت، زيـرا . باشد مي 1[]yمثالً ]3 از ضابطه اول برابرx[ ]1 سيستم . باشد ميTV همچنين . ها روي زمان است است، زيرا شرط

يعنـي . توان ورودي را از روي خروجي بازيـابي كـرد ، ميپذير است، زيرا از همان ضابطه اول سيستم وارون :داريم در واقع. كند اي به خروجي ارسال مي هاي دوم و سوم، اطالعات اضافه ضابطه

nx[ ] , n k

ny[n] x[ ] , n k x[n] y[ n]

nx[ ] , n k

331 3 1 332 3 23

تـوان از روي مـي 3اين موضوع از روي شكل هم مشخص است كه به راحتي با يك فشـردگي بـا ضـريب هـا از همـان ضـابطه اول بـه خروجـي منتقـل دقت كنيد كه وروديِ همه زمـان . دخروجي به ورودي رسي

پذيري سيسـتم فـوق، به عبارت ديگر وارون. هاي دوم و سوم را در نظر نگيريم توانيم ضابطه گردد و مي مي)دقيقاً مانند سيستم )y[n] x [n] .خطي بودن و پايداري سيستم نيز واضح است. باشد مي 3

x[n]مچنين پاسخ به وروديه [n] شود با برابر مي: ( ) ( ) ( )x[n] [n] y[n] [n] [n ] [n ] [n] [n ] [n ] 3 3 31 2 1 2

x[n]پاسخ ضربه سيستم نيز به معني همان پاسخ به ورودي [n] 2و 1هاي باشد و در واقع گزينه مي LTI، تلويحـاً اشـاره بـه »پاسـخ ضـربه «فظ كار بردن ل اما شايد نيت طراح از به. كنند يك چيز را بيان مي

.شود نادرست مي 2نيست، گزينه LTIبودن سيستم بوده كه چون اين سيستم .صحيح است 1گزينه

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 100

sدر واقع sچون ريشه آن برابر كههمان معادله مشخصه است 3 3 دهد كه پاسخ همگن باشد، نتيجه ميميtليبه فرم ك

hy (t) A e 3tx(t)را نيز با توجـه بـه ورودي 2پاسخ خصوصي 1.خواهد بود 1 k e u(t) بـه 2

t :زنيمحدس مي قابلمفرم كلي py (t) Be , t 2

tا جايگذاري پاسخ فوق در معادلهبp py (t) y (t) k e u(t) :خواهيم داشت 23

t t t t t t(Be ) (Be ) k e , t Be Be k e B k 2 2 2 2 2 23 2 3 t :باشد عبارت مقابل ميبنابراين پاسخ خصوصي برابر

py (t) k e , t 2 tازايبهدر نتيجه خروجي كل با خواهد بودبرابر:

t ty(t) A e k e , t 3 21

x(t)هاي منفي،براي زمان. هاي مثبت معتبر استپاسخ فوق براي زمان باشد و بنابراين فقط پاسخ همگن به فرم ميtكلي

hy (t) A e 3 :باشدبه فرم كلي زير ميها ازاي همه زماندر نتيجه پاسخ سيستم مذكور به. خواهيم داشت 2

t t

t

A e k e , ty(t)

A e , t

3 21

32

)yبا اعمال شـرط كمكـي حال بايد ) C مقـادير مجهـول ق، بـه رابطـه فـوA1 وA2 بـا . را تعيـين نمـاييم)yجايگذاري ) C داريمدر ضابطه اول:

( ) ( )y( ) C A e k e A k A C k 3 2

1 1 1

t :آيددست ميبه قابلمصورت بنابراين ضابطه اول به ty(t) (C k)e k e , t 3 2 )yابتدا بايد A2تعيين براي ) را تعيين كنيم.y(t) باشد، زيرا در غيـر ايـن صـورت بـه علـت ميتابعي پيوستهyوجود (t) پـس . سـت طور نيكه اين باشدشامل ضربه بايد در معادله ديفرانسيل، وروديy( ) y( ) C )yباشد و در نتيجه با اعمالمي ) y( ) خواهيم داشت)ضابطه دوم( به رابطه خروجي ،:

( )y( ) y( ) C A e A 3

2 2

3:شود باها برابر ميازاي همه زمانبنابراين خروجي اين سيستم به

t t

t

(C k) e k e , ty(t)

Ce , t

3 2

3

د در درس معـادالت ديفرانسـيل مطالعـه توانيبحث معادله مشخصه و چگونگي تعيين پاسخ همگن معادالت خطي با ضرايب ثابت را مي 1hYتوان اين موضوع را با ديد فركانس پاسخ سيستم نيز توجيه كرد به اين صورت كه تساوينماييد، اما در اينجا مي (s) (s ) 3 بيـان

sكند، پاسخي است كه فقط حـاوي فركـانس دارد تنها پاسخ غيرصفري كه در اين رابطه صدق ميمي 3 باشـد، زيـرا در ايـن صـورتs(ضريب آن tصورتشود و تساوي فوق برقرار خواهد شد؛ پس پاسخ همگن بهدر اين فركانس، صفر مي) 3

hy (t) A e .باشـد مي 3iaكند و در واقع پاسخ همگن شامل عباراتي به فرمهاي معادله مشخصه، فرمت كلي پاسخ همگن را تعيين ميدر واقع ريشه te باشـد مـي

.هاي معادله مشخصه هستندريشهها iaكه2 Particular response

در درس مـدارهاي . ت اسـت شود كمـي متفـاو دقت كنيد كه تحليل اين معادالت در اينجا با آنچه در درس مدارهاي الكتريكي بحث مي 3شود و فرض بر اين است هاي مثبت مورد بحث واقع ميالكتريكي، پاسخ معادله ديفرانسيل مربوط به يك مدار الكتريكي معموالً براي زمان

ـ كه مقدار خروجي در لحظه صفر به حالت پايدار رسيده است و در واقع در آنجا معموالً پاسخ را به ت صـفر و صورت مجموع دو پاسـخ حالكه اين بحث نكنيدبنابراين سعي ؛ها اعم از مثبت و منفي مد نظر استگيرند، اما در اينجا خروجي براي همه زمانورودي صفر در نظر مي

!را با بحث تحليل معادالت ديفرانسيل در درس مدار، مرتبط نماييد

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 150

:در نتيجه داريم

A d d

1 1

2 2 4 2 2 4

با توجه به زوج بودن تابع پالس، 4 برابر همـان انتگـرال انتگرال فوق دقيقاً باشد و بنابراين مي 4

.صحيح است 1گزينه در نتيجه .شد 1كه حاصل آن برابر دست آمده از روش قبلي است به 10 مثال

Iمقدار انتگرال. در شكل زير داده شده است x(t)سيگنال X ( j )d

چقدر است؟ 2

1( 14 2( 24 3( 48 4( 8

:حلخـواهيم ايـن با روش ديگري حل شد و ما در اينجـا مـي آنجاكه در باشد ميفصل پنجم 49همان تست اين مثال،

:داريم 1.حل نماييم رابطه تعميم يافته پارسوالانتگرال را با استفاده از

X( ) Y( )d x(t) y( t)dt

2

Iرابطه فوق را با انتگرالحال بايد سمت چپ X ( )d X( ) X( )d

2 سازي كنـيم معادل .

)Yبراي اين كار بايد ) را همانX( ) در اين صورت داريم. در نظر بگيريم:

F t tY( ) X( ) y(t) x(t) y( t) x( t)

1

)Yدر حالت رابطه تعميم يافته پارسوالدر نتيجه ) X( ) شودصورت زير تبديل مي به:

X( ) Y( )d x(t) y( t)dt

2

I X( ) X( )d x(t) x( t)dt

2 X ( )d x(t) x( t)dt

2 2

x(t)، بايد مساحت شكلIبراي محاسبه انتگرال بنابراين x( t) شكل. كنيمرا حسابx(t) x( t) تـوانيم را مـي)xبا ضرب t) درx(t) 2:نماييمصورت زير رسم به

! استفاده كـرد نـه رابطـه پارسـوال رابطه تعميم يافته پارسوالكند و بايد از توجه كنيد كه انتگرال داده شده، با رابطه پارسوال تفاوت مي 1

Xزيرا ( )2 در حالت كلي باX( ) )Xبرابر نيست، مگر اينكه 2 ) حقيقـي دليـل . طـور نيسـت حقيقي باشد كه اتفاقـاً در اينجـا ايـن)Xنبودن ) شد بيان خواهد 109در نكته مثال، در اين.

)xو x(t)حتماً خودتان شكل 2 t) ها را در هم ضرب كرده و به شكل داده شده برسيد را در زير هم كشيده و آن.

sin tsin tA dtt t

2 12 2 4

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 200

:حل

با تغيير متغير :1بررسي گزينه و نوشتنxy (t) x( ) y( t)d

صورت كانولوشن به

:داريم

xy (t) x( ) y( t)d x( ) y( )d x( t) y(t)

:از طرف ديگر داريم yx yx xy(t) y( t) x(t) ( t) y(t) x( t) x( t) y(t) (t) :2بررسي گزينه

F *xx xx(t) x( t) x(t) ( ) X( ) X( ) X ( ) X( ) X( ) 2

)X*حقيقي است، x(t)دقت كنيد كه چون طبق صورت تست، ) X ( ) باشد مي. :3بررسي گزينه

xx xxt t t

( ) (t) x( t) x(t) x(t) x( t) x( ) x( )d x ( )d

2

xحقيقي است، x(t)دقت كنيد كه چون طبق صورت تست، (t) 2 باشد مي. .صحيح است 4گزينه

كدام گزينه نادرست است؟ .14

1( (t)t t

1 1

2( cos t d (t)

1

2 .باشد ديل فوريه آن فقط شامل توابع ضربه ميمتناوب باشد، تب x(t)يا x[n]اگر سيگنال )3 .اگر تبديل فوريه سيگنالي فقط شامل توابع ضربه باشد، آن سيگنال قطعاً متناوب خواهد بود )4 :حل

با توجه به اينكه تبديل فوريه :1بررسي گزينه t

jsgnبرابـر 1 اسـتفاده از بـا همچنـين باشـد و مـي :خاصيت كانولوشن داريم

F Fx(t) X( ) jsgn x(t) (t)t t

121 1 1

x(t)با توجه به اينكه تبديل فوريـه :2بررسي گزينه (t) برابـرX( ) 1 باشـد، رابطـه عكـس مـي :باشد صورت زير مي تبديل فوريه براي اين زوج تبديل فوريه به

F j tx(t) (t) X( ) (t) ( ) e d

11 12

:حال با ساده كردن عبارت فوق داريم

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 250

مشخص است كه اگر ايـن سـيگنال را . در شكل زير را در نظر بگيريد Tبا دوره تناوب اصلي x(t)سيگنالمثالً Tبه مقدار

را در يـك منفـي ضـرب آن )مقـدار ( انتقال دهيم، مثل اين است كه دامنه) يا راست(به سمت چپ 2 .يمنمود

.شودهايي كه تقارن نيم موج دارند، ويژگي خاصي دارد كه در نكته زير به آن اشاره ميرايب فوريه سيگنالض

Tx(t، يعنـي تقارن نيم موج داشـته باشـد x(t)اگر سيگنال :112نكته ) x(t) 2 يـاTx(t ) x(t) 2 هـاي زوج آن باشد و ضـرايب هارمونيـك هاي فرد ميفقط شامل هارمونيك x(t)باشد، آنگاه بسط سري فوريه

.باشدبرقرار ميعكس اين گزاره نيز 1.برابر صفر است

Tx(t ) x(t) 2 ka 2

Tx(t)ضرايب فوريه دو طرف تساوي :اثبات x(t ) :كنيمرا با توجه به خاصيت انتقال زماني محاسبه مي 2

Tx(t) x(t ) 2

T Tjk ( ) jk( )( ) jk kT Tk k k k k ka a e a a e a e a ( )

2 2

2 2 1

:بنابراين داريم

k k kk k k k ka a ( ) a a ( ) a ( ) 1 1 1 1

)k.كنيمميهاي زوج و فرد تفكيك kحال رابطه فوق را به ازاي ) 1 هاي زوج و فـرد بـه ترتيـب k ازاي به 1 :در نتيجه خواهيم داشت. باشدمي و 2برابر

هـاي از هارمونيـك همچنين منظور .است... و a1،a3،a5يعني... هاي اول، سوم، پنجم و ، هارمونيكهاي فردمنظور از هارمونيك 1

.باشدمي ...و a،a2،a4يعني... هاي صفرم، دوم، چهارم و ، هارمونيكزوج

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 300

:حل)Yابتدا شكل كامل ) كنيم صورت زير رسم مي را به:

)Yتوانيم ميابتدا :روش اول ) صورت زير برحسب را بهX( ) فصل متن درس در 8در مثال شده داده 1:ويسيمدوازدهم بن

F n x[n] ,

Y( ) X( ) X( ) y[n] x[n] x[n]( ),

1 21

n

n :در مثال مذكور، خواهيم داشتدست آمده به x[n]در نتيجه با توجه به

sin

y[ ] x[ ]

2

2 2 2

24 242 2 2 22

سري استفاده كنيم، زيـرا محاسـبه ضـرايب ـ از خاصيت دوگاني تبديلتوانيم در اين روش مي: روش دومبرابر Y(t)اما با توجه به اينكه دوره تناوب. نسبتاً ساده است Y(t)فوريه سيگنال

m 2 2اسـت، 2

:باشد خاصيت دوگاني تبديل ـ سري به صورت زير مي

FSY(t) y[ k] 2

Fy[n] Y( )

]y(را محاسـبه كنـيم Y(t)يعني كافي است كه ضـرايب فوريـه سـيگنال k]2 (،و از روي آنy[n] را

)Yطبق شكل داده شده براي. دست آوريم به )،Y(t) باشدبه شكل زير مي:

استفاده 46توانيم از نكته مي Y(t)براي محاسبه ضرايب فوريه. متناوب است شكل فوق با دوره تناوب

:ناميممي z(t)ته و آن رارا در يك دوره تناوب در نظر گرف Y(t)براي اين كار ابتدا. كنيم

.كرديم فصل دوازدهم حل 8 بود، در مثال 2كه دوره تناوب تبديل فوريه برابراين سؤال را در حالتي 1

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 350

sدر قطبتنها داراي دو x(t)دوسمتي گنالسيگوياي تبديل الپالس .6 ,1 هـاي تبـديل قطـب . باشـد مي 3y(t)الپالس سيگنال x (t) ؟باشدبرابر كدام گزينه مي 2

1( s , 2 6 2( s ,1 9 3( s , , 2 4 6 4( s , ,1 7 9 :حل

با توجه به اينكه در تبديل الپالس، خاصيتي با عنوان ضرب در حوزه زمان نداريم، بايـد از روش مسـتقيم سمتي بودن سـيگنال، و همچنين دو 54و نكته X(s)هاي ابتدا با توجه به قطب. اين تست را حل نماييم

tصورت به x(t)ليفرم ك tx(t) Ae u(t) Be u( t) 3 حال. باشد ميy(t) x (t) :شود با برابر مي 2

t t t t ty(t) x (t) Ae u(t) Be u( t) A e u(t) B e u( t) ABe u(t)u( t) 22 3 2 2 2 6 42

tABeاما با توجه به اينكه جمله u(t)u( t)42 هـاي عبـارت فـوق فقـط در باشـد، قطـب برابر صـفر مـيs , 2 .قرار دارند 6

.صحيح است 1گزينه است؟ صحيحكدام گزينه .7

.تبديل الپالس يك سيگنال فرد حتماً صفري در مبدأ دارد )1 zيك سيگنال فرد حتماً صفري در Zتبديل )2 1 دارد. 2و 1هر دو گزينه )3 كدام هيچ )4

:لحكه تبديل الپالس يك سيگنال فرد، تابعي فرد اسـت و هـر تـابع دانيم مي 52طبق نكته :1بررسي گزينه

، X(s)البته به جهت فرد بودن تابع. قطعاً در مبدأ، صفر دارد X(s)در نتيجه. فرد نيز در مبدأ صفر است .ديگر تابعي فرد نخواهد بود X(s)باشد، وگرنهمرتبه اين صفر بايد فرد

X(z)يك سـيگنال فـرد، در رابطـه Zدانيم كه تبديل مي 58طبق نكته :2بررسي گزينه X(z ) 1 zبا جايگذاري. كند صدق مي 1 داريمدر دو طرف اين تساوي:

X( ) X( ) X( ) 1 1 1 zيك سيگنال فرد حتماً صفرهايي در Zيعني تبديل 1 وz 1 تـوان نشـان داد كـه البته مـي . دارد

.مرتبه اين صفرها بايد فرد باشد .صحيح است 3گزينه

8. x(t) سيگنالي حقيقي و فرد است كه تبديل الپالس آن يعنيX(s) دقيقاً چهار قطب محدود دارد و يكي از ،sها در آن j 1 )Xحداكثر يك صفر داشته باشد و X(s)اگر. قرار دارد 2 ) 11 )X، مقـدار باشـد 16 )2

برابر كدام است؟

1( 265 2( 3

65 3( 665 4( 4

65

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 400

G(z)حال. مدهي قرار مي Y(z)آن، Zطور كامل در دسترس نيست، به جاي تبديل به y[n]از آنجا كه :شود با برابر مي

Y(z) Y(z)G(z) ( z ) Y(z) Y(z) z Y(z)

H(z)

z

1 1

1

1 111 2 211 2

دست به y[n]گيريم تامي Zحال از دو طرف رابطه فوق با استفاده از خاصيت انتقال زماني عكس تبديل :آيد

ng[n] y[n] y[n ] g[ ] y[ ] y[ ] ( ) 11 1 1 11 1 1 12 2 2 2 1.صحيح است 1نه گزي

دانـيم پاسـخ ضـربه مـي .در نظر بگيريد y[n]و خروجي x[n]را با ورودي LTI گسسته يك سيستم زمان .20nازاي به h[n]سيستم N وn 1 براي تعيين. صفر استh[n] ي ـ دانسـتن كـدام دسـته زوج ورود

)85سراسري ( الزم و هم كافي است؟ خروجي هم 1( x[k] وy[k] رايبN مقدار متوالي k 2( x[k] وy[k] برايN2 مقدار متوالي k

3( x[k] وy[k] برايk 4( كدام هيچ :حل

N

k k

y[n] h[n] x[n] h[k]x[n k] h[k]x[n k]

1

:با باز كردن سيگماي فوق داريم N Ny[n] h[ ]x[n] h[ ]x[n ] h[ ]x[n ] h[ ]x[n ] ( ) 1 1 2 2 1 1 1

]hمجهــول N ايــدب h[n]بـراي تعيــين ]،h[ ]1،h[ ]Nhو... ، 2[ ]1 دســت آوريــم هبــ )1(را از رابطــه. مختلـف بازنويسـي nاتـ Nرا بايد بـراي ) 1(پس رابطه . نياز داريم) 1(رابطه معادله مانند N بنابراين به

ه مجهول مورد نظر را ب Nايجاد شود و با حل اين معادالت، » مجهول Nـ معادله N« كنيم تا يك دستگاهخـواهيم نقطه از خروجـي نيـاز Nنويسي كنيم، به مختلف باز nِتا Nرا براي ) 1(اگر رابطه . دست آوريم

حـال اگـر ايـن . هم الزم است و هم كافي براي محاسبه مجهوالت، نقطه از خروجي Nپس داشتن . داشتN متوالي باشند، بهاز خروجي نقطهN 2 nتـا N زيرا با جايگذاري ؛ورودي نيازمنديماز ينقطه متوال 1

nاز مثالً )1(متوالي در رابطه تاn N 1به ورودي از ،n N 1 تـاn N 1 خـواهيم نيـازه، به نقـاطي از ورودي نقطه از خروجي، متوالي نباشند، بسته به نقاط انتخاب شد Nهمچنين اگر . داشت

تواند بـه عنـوان مي 4گزينه بنابراين . هاي مختلف بايد جداگانه بررسي شودنياز خواهيم داشت و در حالت متأسـفانه هـدف طـراح از طـرح ايـن تسـت بـه ايـن صـورت . پاسخ صحيح اين تست در نظر گرفته شود

!، مشخص نيستغيراستاندارد .صحيح است 4گزينه

بنابراين توصـيه . به، بسيار مفيد باشدهاي مشا توان در درك و تحليل بهتر آن تست و تست هاي مختلف در حل يك تست، مي ارائه روش 1

!هاي اول و دوم و سوم، در واقع يك روش هستند اگرچه روش. شود هر چهار روش را به دقت مطالعه نماييد مي

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 450

:حلnسيگماي

n

y [n]( )

2 yسيگنال Zبرابر تبديل 1 [n]2 درz 1 در نتيجـه ابتـدا بايـد . باشد مي

H( )1 وX ( )2 با توجه به رابطـه ورودي ـ خروجـي . دست آيد را حساب كنيم تا مقدار اين سيگما به 1xهاي سيگنال Zرابطه زير بين تبديل LTIيك سيستم [n]1 وy [n]1 برقرار است :

n n n

n n n

Y (z) X (z)H(z) y [n]z x [n]z h[n]z ( )

1 1 1 1 1

zحال با توجه به اينكه سيستم پايدار است، 1 در ناحيه همگراييH(z) همچنين با توجـه . قرار داردxمحدود بودن به دوره [n]1 ، جـز احتمـاالً بـه (ناحيه همگرايي آن كـل صـفحهz , ( باشـد و در مـيzنتيجه 1 در ناحيه همگراييX (z)1 پس. نيز قرار داردz 1 در ناحيه همگرايي خروجي نيز قـرار

zجايگذاريبنابراين با . خواهد داشت 1 داريم) 1(در دو طرف رابطه:

n n n

n n n

Y ( ) X ( ) H( ) y [n]( ) x [n]( ) h[n]( )

1 1 1 11 1 1 1 1 1

xبا جايگذاري [n]1 وy [n]1 در رابطه فوق داريم:

n

n n

nn

n

y [n]( )

H( ) h[n]( )

x [n]( )

1

1

11 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 3 2

1

:حال از طرف ديگر داريم zY (z) X (z)H(z) Y ( ) X ( )H( ) 1

2 2 2 21 1 1 xبا توجه به اينكه [n]2 محدود است، دورهz 1 حـال بـا جايگـذاري . در ناحيه همگرايي آن قـرار دارد

H( ) 11 nو 2

n

X ( ) x [n]( )

2 21 1 3 1 2 1 :در رابطه فوق خواهيم داشت 3

n

n

y [n]( ) Y ( ) X ( )H( ) ( ) ( )

2 2 2

1 31 1 1 1 3 2 2

.استصحيح 4گزينه باشـد، h(t)اگر پاسخ ضربه سيسـتم برابـر . شده است y(t)برابر x(t)به ورودي LTIپاسخ يك سيستم .8

)hمقدار برابر كدام است؟ 2(

1( 1 2( 2 3( 4(

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 500

t) )ب )e u(t ) ي همهازا بههاي حقيقي ورودي داده شده در اين قسمت، برابردسته (t )

ia (t) e u(t ) , حالت اول نكته است كه مطابقta(t)سيگنال پايـه برابـر . باشديم 138 e u(t) و طيـف آن برابـرA( )

j

1

باشـد كـه در هـيچ مـي 1شـود و قطعـاً هـر سـيگنال دلخـواه را ورودي شناسايي مـي صفر نيست، بنابراين سيستم خطي با اين دسته فركانسي

t)توان بر حسب تركيب خطي از مي )a(t ) e u(t ) )ازاي همه بهنوشت) هاي حقيقي.

sinc )ج (t ) ازاي همه بههاي حقيقي ورودي داده شده در اين قسمت، برابردسته ia (t) sinc (t ) , 138حالت اول نكته است كه مطابق a(t)يگنال پايه برابرس. باشدمي sinc (t) و طيف آن برابر A( )

2 هـاي باشد كـه در فركـانس ميخارج بازه در واقـع شـود و ورودي شناسـايي نمـي برابر صفر است، بنابراين سيستم خطي با اين دسته

a(tتوان هر سيگنال دلخواه را بر حسب تركيب خطي ازنمي ) sinc (t ) نوشت.

j )د te ازاي همه بههاي حقيقي ورودي را بـه حـوزه اما اگر ايـن دسـته . نيست 138ه شكل حالت اول نكته بورودي داده شده در اينجا دسته :اول روش

وروديفركانس ببريم، به دسته iB ( ) ( ) , 2 138كه مطـابق حالـت دوم نكتـه رسيم مي )Bطيف پايه برابر. باشدمي ) ( ) 2 آن برابر و عكس تبديل فوريهb(t) 1 اي باشد كـه در هـيچ لحظـه مي

شود و قطعـاً هـر طيـف ورودي ورودي شناسايي ميسيستم خطي با اين دسته 138برابر صفر نيست، بنابراين طبق نكته )Bتوان بر حسب تركيب خطي ازدلخواه را مي ) ( ) 2 )ازاي همه به1.نوشت) هاي حقيقي توان هر سيگنال ورودي دلخواه را بر حسب تركيب خطي سؤال مطرح شده در اينجا اين است كه آيا مي :روش دوم

jاز te )ازايبه طور كه همان. بگيريم توانيم از تبديل فوريه كمكنوشت يا خير؛ براي اين كار مي) حقيقيهايتوان بـا اسـتفاده از رابطـه عكـس تبـديل فوريـه را مي x(t)دلخواه سيگنالدر فصل تبديل فوريه نيز بيان كرديم،

jتركيب خطي از برحسب te ازاي بههاي مختلف نوشت: j tx(t) X( ) e d

1

2

jاز x(t)رابطه فوق در واقع بيانگر تركيب خطي te ازاي به توجه كنيد كـه ( است متغيـرjوروديبنابراين سيستم خطي با دسته. )انتگرال است te )ازاي بهتـوان شـود و مـي شناسايي مي) هاي حقيقي

jرا بر حسب پاسخ به ورودي x(t)پاسخ به هر ورودي دلخواه te و رابطه فوق، محاسبه كرد. cos )هـ t ازاي همه بههاي حقيقي

ورودي را به حـوزه اگر اين دسته همچنين. نيست 138حالت اول نكته ه شكل بورودي داده شده در اين قسمت دستهوروديفركانس ببريم، به دسـته iB ( ) ( ) ( ) , رسـيم كـه بـاز هـم مـي

كنـيم و اسـتفاده نكته مـذكور توانيم از نميمت، بنابراين براي بررسي اين قس. باشدمين 138ق حالت دوم نكته مطابcosاز توان هر سيگنال دلخواه را بر حسب تركيب خطيبايد مستقيماً بررسي كنيم كه آيا مي t )ازاي به هاي

حســب تركيــب خطــي از تــوان هــر طيــف دلخــواه را بــرطــور معــادل آيــا مــينوشــت يــا خيــر؛ يــا بــه) حقيقــي

.سيستم خطي در حوزه فركانس انجام داديمو در بحث رابطه كار را در فصل يازدهمشبيه اين 1

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 550

:آيد دست مي به صورت زير به LTIكانوالو كنيم، رابطه اين سيستم x(t)حال اگر اين پاسخ ضربه را با ورودي

k

k

y (t) x(t) h (t) x(t) (t) (t ) ( ) (t k)

1 1

4

11 1 2

k

k

y (t) x(t) x(t ) ( ) x (t k)

1

4

11 1 2

/ / /y (t) x(t) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) 1 1 2 2 5 3 3 5 4 4 5 را در رابطه فوق جايگذاري نماييـد و خروجـي x(t)حال ورودي. است LTIمشخص است كه سيستم فوق،

yو خروجي x(t)را محاسبه نماييد تا دقيقاً مالحظه كنيد كه چگونه سيستمي با ورودي (t)1 تواند ميLTI Hهمچنين اگر ناحيه همگرايي. باشد (s)1 صـورت را بهRe[s] تـوان رابطـه در نظـر بگيـريم، مـي

Hنيز با استفاده از 2براي سيستم . به دست آورد) البته غيرعلي(مشابهي (s)2 رسيم يم رابطه زيربه: / / /y (t) x(t) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) 2 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4

.صحيح است 3گزينه )89سراسري ( صحيح است؟ زيرگسسته شكل هاي زمانكدام يك از دو گزاره زير در مورد سيگنال .9

.تبديل نمايد y[n]را به x[n]تواندعلي مي LTIيك سيستم ) الف .تبديل نمايد y[n]به ارx[n]تواندپايدار مي LTIسيستم يك) ب كدامهيچ )4 هردو )3 )ب(فقط )2 )الف(فقط )1 :حل

و در واقع از مـا خواسـته شـده 1در اين تست يك زوج ورودي ـ خروجي از يك سيستم مجهول داده شده طور كـه در همان. بودن آن را بررسي نماييم» و پايدار LTI«آن و همچنين بودن» و علي LTI«است كه

بودن سيستم را بررسي كنيم و در صورت LTIمتن درس نيز اشاره شد، در چنين مسائلي بهتر است ابتدا LTI پـس . بودن سيستم، با استفاده از تابع تبديل آن در مورد علي بودن و پايداري آن اظهار نظر نمـاييم

:داريم 151توجه به نكته با x[n] [n ] [n ] [n] X(z) z z , z 22 2 1 2 1Z

y[n] [n ] [n ] Y(z) z z , z 22 1 Z

z (z )Y(z) z z zH(z)X(z) zz z (z ) z

22 2 1

1 112 1 1 1

.زمون كشيده شده بودند، رسم كرديمها را تقريباً به همان صورتي كه در آشكل 1

ها ها و سيستم تجزيه و تحليل سيگنال 600

بـرداري از رابطـه ، در اينجا نيز حداقل فركانس نمونهدر تست قبل انجام داديماما با توجه به استداللي كه :شود زير محاسبه مي

s srad f Hzs

B

1 21 2

196 2 4 8 4196 2 48

.برداري فوق بوده است رسد احتماالً مد نظر طراح، فركانس نمونه به نظر مي .صحيح است 2گزينه

12. x(t) گذر با پهناي باندسيگنالي پايينT1

x(nT)و صادق در 2 , n , , ... 1 2 باشـد مي.X(f )

)84سراسري ( زير را دارا است؟ )هايفرم( ام فرمكد 1( X(f ) (Tf ) 2( X(f ) ( Tf ) 2 3( X(f ) (Tf ) 4( هر سه مورد :حل

sfو فركـانس T، بـا پريـود x(t)كند كه اگر از سيگنالاين تست، در واقع بيان مي T بـرداري نمونـه 1

nها به جز نمونهكنيم، همه نمونه برداري ازيعني با نمونه. شوندبرابر صفر ميx(t) خواهيم داشت:

n n n

x(t) (t nT) x(t) (t nT) x(nT) (t nT) x( ) (t) A (t)

)xحال با فرض اينكه ) A باشد، داريم:

n

x(t) (t nT) A (t)

X(fبراي كسب اطالعاتي در موردحال :گيريم تبديل فوريه مي fدر حوزه ،از دو طرف رابطه فوق، (

ثابت) 1( n n

n nX(f ) (f ) A X(f ) (f ) ATT T T

1

X(fاگرفوق به اين معني است كه رابطه بي ازضرمرا با (Tدهيم و با هم انتقالبه سمت چپ و راست 1

X(fخـواهيم فـرم كلـي حال ما از اين رابطه مـي .جمع نماييم، مقدار ثابتي ايجاد خواهد شد را تعيـين (X(fطبيعتاً. كنيم X(fنهايت مقدار منحصر به فردي نيست و بي ( توان پيدا كرد كه در ايـن رابطـه مي (

.ها را بررسي نماييمتك گزينهبنابراين بايد تك. صدق كندX(f:1بررسي گزينه :باشد، به شكل زير مي1داده شده در گزينه (