Диференціальні

рівнянняДиференціальні рівняння I-го порядку

- рівняння з відокремлюваними змінними

- однорідні рівняння

- лінійні рівняння

- рівняння в повних диференціалах

Диференціальні рівняння II-го порядку

- лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку

із сталими коефіцієнтами

- лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

із сталими коефіцієнтами

ЗВИЧАЙНІ

диференціальні рівняння

Звичайним диференціальним рівнянням називаютьрівняння, що зв'язує незалежну змінну x, шукану функціюоднієї змінної y = f(x) і її похідні (або диференціали) різнихпорядків:

Порядком диференціального рівняння називається найвищий

порядок похідної - n, що містить рівняння (1).

У цьому рівнянні x – незалежна змінна, y - шукана функція,

y/, y//, y(n) - похідні функції y.

Приклад: y(4) – y + x = 0 - рівняння четвертого порядку.

(1)

Функція y=φ(x, C1,C2,…,Cn), де x – аргумент, C1,C2,…,Cn –

довільні сталі, називається загальним розв'язком

диференціального рівняння n-го порядку, якщо при її

підстановці в рівняння, воно перетворюється в тотожність.

ЗДР

Загальний розв'язок диференціального рівняння, що має вигляд

Φ(x, y, C1,C2,…,Cn)=0, називається загальним інтегралом

диференціального рівняння.

Частинним розв’язком диференціального рівняння називають

розв’язок, одержаний із загального розв’язку (інтегралу) цього рівняння

при підстановці деяких фіксованих значень сталих величин C1,C2,…,Cn .

Ці значення знаходять при, так званих, початкових умовах :

1

)(

10 ,...,', n

n yyyyyy,0xx

розв’язавши відповідну систему рівнянь відносно C1,C2,…,Cn .

Задача знаходження часткового розв'язку диференціального рівняння

при заданих початкових умовах називається задачею Коші.

Основні задачі теорії ЗДР:

1. знаходження диференціального рівняння та початкових умов, які

описують ситуацію або процес, який досліджують;

2. розв'язування заданої задачі Коші або знаходження загального

розв'язку заданого диференціального рівняння.

Приклад 1. (Закон природного зростання).

Закон, за яким швидкість зростання речовини пропорційна кількості

речовини.

Потрібно знайти формулу для визначення кількості речовини у будь-

який момент часу, якщо відомо, що у початковий момент часу t=0,

кількість речовини дорівнювала y0.

Розв'язання. Нехай y(t) – шукана кількість речовини в момент t.

Швидкість зростання речовини є швидкість зміни функції y. Тоді закон

природного зростання:

a>0 – коефіцієнт пропорційності.

За умовою задачі повинна виконуватись рівність:

(1’)

(2’)

Математична модель закону природного зростання речовини –

задача Коші для диф. рівняння першого порядку вигляду (1’) з

початковою умовою (2’).

Рівняння (1’) можна записати у вигляді

ЗДР першого порядку

Звичайним диференціальним рівнянням першого

порядку називаються рівняння виду:

де x - незалежна змінна, y(x) - невідома функція

Загальний розв'язок:

Частинний розв’язок при початкових умовах :

(2) або (3)

0yy 0xx

знаходять розв’язавши рівняння ),( 00 Cxfy відносно С.

),(' yxfy

Приклад: загальний розв'язок:03)( xxy cxxy 2

2

3)(

Зауваження. Немає загального методу знаходження розв'язків

звичайних диференціальних рівнянь.

Рівняння з відокремлюваними змінними

f(x)dx + g(y)dy = 0,

- загальний інтеграл (загальний розв'язок) цього рівняння.

Приклад: Знайти загальний розв'язок рівняння

Згідно з (5)

- загальний розв'язок.

;0)7( 3 dxxxdyey

;0)7( 3 dxxxdye y

02

7

4

24

cxx

e y

Cdyygdxxf )()(

(4)

(5)

0)()()()( 2121 dxyQxQdyyPxP

1)

2)

Діленням на P1(x)Q2(y) це рівняння зводиться до вигляду (4):

0)(

)(

)(

)(

1

1

2

2 dxxP

xQdy

yQ

yP

Зауваження. Рівняння еквівалентне рівнянню

Поділивши його на g(y) і помноживши на dх отримуємо рівняння

Це рівняння - з відокремлюваними змінними. Його загальний інтеграл:

Виразимо у з останнього виразу як функцію х, отримаємо

загальний розв'язок:

Приклад:

де f(x, y) така, що f(tx,ty)=f(x,y).

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними

змінними відносно нової незалежної функції u(x) заміною:

Підставляємо в рівняння y = x·u, y ′ = u + x·u ′, отримаємо

(це - рівняння з відокремлюваними змінними),

- загальний інтеграл рівняння відносно змінних x, u

Однорідні рівняння

),(' yxfy

Приклад:

- загальний розв'язок рівняння

Остаточно, отримаємо загальний розв'язок:

Приклад:

)(ln2 Cxarcctgexy

Лінійні рівнянняДР першого порядку називається лінійним, якщо невідома

функція y(x) і її похідна входять до рівняння у першому

степені, тобто:

де p(x), q(x) - неперервні функції.

Якщо q(x)=0, то рівняння (6) називається лінійним однорідним

диференціальним рівнянням першого порядку.

(6)

Для розв'язання рівняння представимо y(x) в вигляді добутку двох

нових невідомих функцій u(x) і v(x):

y(x) = u(x)v(x).

Тоді

і рівняння (6) матиме вид:

Це рівняння розв'язуємо у два етапи: спочатку знаходимо функцію

v(x) як частинний розв'язок рівняння з відокремлюваними

змінними:

потім знаходимо u(x) з рівняння :

(7)

Приклад:

Розв'язання:

і загальний розв'язок рівняння .

Для знаходження частинного розв'язку, що відповідає

початковим умовам (задача Коші), підставимо в загальний

розв'язок

Розв'язок задачі:

Рівняння в повних диференціалахтак називається рівняння виду

(P(x, y), Q(x, y) - неперервно диференційовані) у випадку,

якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої

функції u(x, y), тобто якщо існує така функція u(x, y), що

Необхідною і достатньою умовою існування такої функції

є умова:

Якщо (8) – рівняння в повних диференціалах, то воно

приймає вигляд du(x, y) = 0. При розв'язанні одержимо

du(x, y(x)) = 0, отже u(x, y(x)) = C, де C – довільна стала.

Співвідношення u(x, y) = C – загальний розв'язок рівняння

в повних диференціалах.

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0. (8)

Для знаходження функції u(x, y) потрібно розв'язати

систему рівнянь

з першого рівняння цієї системи знаходимо:

з точністю до довільної диференційованої по y

функції (ця функція відіграє роль сталої інтегрування;

оскільки інтегрування відбувається по змінній x.

Диференціюємо цю функцію по y і прирівнюємо до виразу,

що стоїть у другому рівнянні системи (тобто ),

отримаємо диференціальне рівняння з якого можна знайти

.

Приклад: знайти загальний розв'язок рівняння

Впевнимося, що це - рівняння в повних диференціалах.

.

ЗДР другого порядку

-- загальний розв'язок рівняння (10).

Деякі типи рівнянь, що допускають пониження

порядку:

1. Рівняння, не містить в явному вигляді невідому функцію та

похідні нижчого порядку.

Рівняння виду

розв'язується послідовним двократним інтегруванням, а саме:

)('' xfy

1)(' Cdxxfy

21)( CxCdxdxxfy

2. Рівняння не містить шукану функцію у

Шляхом підстановки:

у (12), отримаємо рівняння першого порядку відносно функції p(x):

Проінтегруємо це рівняння і знайдемо його загальний розв’язок:

Тоді загальний інтеграл матиме вигляд:

2

2( , )

d y dyf x

dx dx

2

2,

dy d y dpp

dx dx dx

( , )dp

f x pdx

1( , )p p x C

1 2( , )y p x C dx C

(12)

),(' 1Cxpy

Приклад: Понизити порядок рівняння:

Змінна x явно до рівняння не входить, тому вважаємо,

тоді .

Просто поділити на p це рівняння неможливо, оскільки можна втратити

розв'язки

тому розглядають два випадки:

Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го

порядку.

Означення. Диференціальне рівняння другого порядку наз.

лінійним, якщо шукана функція у та її похідні , що

входять у рівняння, мають тільки перший степінь:

(16)

Коефіцієнти: задані функції від

х, або сталі величини, є неперервними для всіх значень х.

Якщо то рівняння (16) наз. лінійним

неоднорідним рівнянням, в іншому випадку- лінійним

однорідним.

,y y

0 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x y a x y a x y f x

0 1 2( ), ( ), ( ), ( )a x a x a x f x

( ) 0,f x

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

другого порядку із сталими коефіцієнтами

22 1, ,

2 4

p pi q

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

другого порядку із сталими коефіцієнтами

)()()()()()()()()'( '

222

'

2

'

111

'

1

* xyxCxyxCxyxCxyxCy

0)()()()( 2

'

21

'

1 xyxCxyxC

)()()()()'( '

22

'

11

* xyxCxyxCy

)()()(')()()()(')(')'( ''

222

'

2

''

111

'

1

* xyxCxyxCxyxCxyxCy

Підставивши отримані співвідношення в (24) отримаємо:

)()(')()(')( 2

'

21

'

1 xfxyxCxyxC

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

другого порядку із сталими коефіцієнтами та

спеціальною правою частиною

(28)

(30)