¡ní-a... · 2019-05-09 · 2 obsah obsah
TRANSCRIPT
1
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
fakulta strojní
katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
MODELOVÁNÍ A SIMULACE
TEKUTINOVÝCH SYSTÉMŮ
Milada Kozubková
Jana Jablonská
2017
Ostrava
2
Obsah
OBSAH................................................................................................................................................................... 2
1. MODELOVÁNÍ A IDENTIFIKACE .......................................................................................................... 6
1.1 TEORIE MODELOVÁNÍ .............................................................................................................................. 6
1.2 TVORBA MATEMATICKÉHO MODELU ........................................................................................................ 8
1.3 ELEKTRICKÁ ANALOGIE HYDRAULICKÝCH A PNEUMATICKÝCH ODPORŮ ................................................. 9
1.4 ŘAZENÍ ODPORŮ R, L, C ........................................................................................................................ 10
2. METODY ŘEŠENÍ HYDRAULICKÝCH A PNEUMATICKÝCH OBVODŮ .................................... 13
2.1 PROGRAMY PRO ŘEŠENÍ HYDRAULICKÉHO A PNEUMATICKÉHO OBVODU ............................................... 14
2.2 FLOWMASTER ........................................................................................................................................ 14
2.3 MATLAB ................................................................................................................................................ 16
2.4 FOUNDATION LIBRARY HYDRAULIC+PNEUMATIC, SIMHYDRAULICS .................................................... 19
3. ODPOR PROTI POHYBU ......................................................................................................................... 23
3.1 DEFINICE ODPORU PROTI POHYBU .......................................................................................................... 23
3.2 ZTRÁTOVÝ SOUČINITEL ......................................................................................................................... 23
3.3 EXPERIMENTÁLNÍ URČENÍ ZTRÁTOVÉHO SOUČINITELE .......................................................................... 24
3.4 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU - SIMHYDRAULICS .................................................................................. 28
3.5 VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY - SIMHYDRAULICS ................................................................... 33
4. ODPOR PROTI POHYBU - ODPOR TŘENÍM ...................................................................................... 39
4.1 ODPOR TŘENÍM V POTRUBÍ ..................................................................................................................... 39
4.2 EXPERIMENTÁLNÍ URČENÍ TŘECÍHO SOUČINITELE .................................................................................. 42
4.3 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU - HYDRAULICS ........................................................................................ 44
4.4 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU – PNEUMATIC ......................................................................................... 47
4.5 VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY - JEDNODUCHÉHO POTRUBÍ ...................................................... 52
4.6 SLOŽENÝ POTRUBNÍ SYSTÉM .................................................................................................................. 53
4.6.1 Řešení složeného potrubního systému sériového ........................................................................... 53
4.6.2 Řešení složeného potrubního systému paralelního ........................................................................ 55
4.6.3 Výpočet rozvětvené nebo okruhované sítě ..................................................................................... 56
5. ODPOR PROTI POHYBU - MÍSTNÍ ODPOR ....................................................................................... 63
5.1 EXPERIMENTNÁLNÍ URČENÍ ZTRÁTOVÉHO SOUČINITELE ........................................................................ 63
5.1.1 Koleno 450 ..................................................................................................................................... 63
5.1.2 Clona ............................................................................................................................................. 65
5.1.3 Kohout kulový ................................................................................................................................ 66
5.2 HYRAULICKÉ PRVKY JAKO MÍSTNÍ ODPORY .......................................................................................... 72
5.2.1 Otvor konstantního průřezu (clona) .............................................................................................. 72
3
5.2.2 Lineární hydraulický odpor ........................................................................................................... 73
5.2.3 Redukce ......................................................................................................................................... 74
5.2.4 Koleno ........................................................................................................................................... 75
5.2.5 Otvor proměnného průžezu ........................................................................................................... 76
5.3 PNEUMATICKÉ PRVKY JAKO MÍSTNÍ ODPORY ......................................................................................... 80
5.3.1 Proudění plynu otvorem ................................................................................................................ 80
5.3.2 Pneumatický otvor konstantního průřezu (clona) ......................................................................... 86
5.3.3 Pneumatický otvor konstantního průřezu (ISO 6358) ................................................................... 87
5.3.4 Pneumatický otvor proměnného průřezu ....................................................................................... 92
6. ČERPADLA - HYDROGENERÁTORY .................................................................................................. 94
7. ROTAČNÍ HYDROGENERÁTOR .......................................................................................................... 96
7.1 TEORETICKÝ ROZBOR ............................................................................................................................ 96
7.2 MATEMATICKÝ MODEL HYDROGENERÁTORU ........................................................................................ 96
7.3 ZÁKLADNÍ PARAMETRY ČERPADEL ........................................................................................................ 97
7.4 CHARAKTERISTIKA ČERPADLA ............................................................................................................... 98
7.5 ODSTŘEDIVÉ ČERPADLO V SIMHYDRAULICS ....................................................................................... 101
7.5.1 Polynomická závislost tlakového spádu na průtoku .................................................................... 101
7.5.2 Zadání čerpadla pomocí dvou 1D charakteristik ........................................................................ 107
7.5.3 Zadání čerpadla pomocí dvou 2D charakteristik ........................................................................ 108
7.6 OBVODY S ČERPADLY .......................................................................................................................... 110
7.6.1 Obvod s čerpadlem - tlakový spád .............................................................................................. 110
7.6.2 Obvod s čerpadlem - statická charakteristika ............................................................................. 111
7.6.3 Testování sací výšky čerpadla ..................................................................................................... 113
7.6.4 Řazení čerpadel ........................................................................................................................... 116
8. DYNAMICKÉ ODPORY HYDRAULICKÝCH PRVKŮ V SIMHYDRAULICS ............................. 119
8.1 ODPOR PROTI ZRYCHLENÍ .................................................................................................................... 119
8.1.1 Odpor proti zrychlení u přímočarého pohybu ............................................................................. 119
8.1.2 Odpor proti zrychlení u rotačního pohybu .................................................................................. 119
8.1.3 Hydraulická indukčnost sloupce kapaliny v SimHydraulics ....................................................... 120
8.2 ODPOR PROTI DEFORMACI A HYDRAULICKÁ KAPACITA ........................................................................ 120
8.2.1 Odpor proti deformaci sloupce kapaliny ..................................................................................... 120
8.2.2 Odpor proti deformaci pružiny .................................................................................................... 122
8.2.3 Odpor proti deformaci plynu ....................................................................................................... 123
8.2.4 Kapacita nádrží ........................................................................................................................... 123
8.2.5 Hydraulická kapacita objemu kapaliny v SimHydraulics ........................................................... 124
8.3 ZNAČENÍ HYDRAULICKÝCH ODPORŮ .................................................................................................... 126
8.4 ČASOVÉ KONSTANTY ........................................................................................................................... 126
9. MATEMATICKÝ MODEL SLOUPCE KAPALINY ........................................................................... 129
4
9.1 R-(L+C) ČLÁNEK (TZV. T ČLÁNEK) ..................................................................................................... 129
9.1.1 Numerické řešení - SimHydraulics .............................................................................................. 130
9.2 R-L – ČLÁNEK ...................................................................................................................................... 132
9.2.1 Numerické řešení laminárního i turbulentního proudění ............................................................ 132
9.3 C+(R-L) - LČLÁNEK ............................................................................................................................ 133
9.3.1 Numerické řešení turbulentního proudění ................................................................................... 134
9.4 SYMETRICKÝ T ČLÁNEK ....................................................................................................................... 134
9.4.1 Numerické řešení symetrického T článku .................................................................................... 134
9.5 ČLÁNEK ........................................................................................................................................ 135
9.5.1 Numerické řešení ......................................................................................................................... 135
9.6 SEGMENTOVANÉ POTRUBÍ .................................................................................................................... 135
9.7 SROVNÁNÍ ŘEŠENÍ PRO RŮZNÉ TYPY MODELŮ ...................................................................................... 137
9.8 RYCHLOST ZVUKU V POTRUBÍ .............................................................................................................. 137
10. HYDRAULICKÝ RÁZ ......................................................................................................................... 139
10.1 EXPERIMENTÁLNÍ ZKOUMÁNÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU VE VODĚ. ......................................................... 139
10.2 ŘEŠENÍ METODOU ELEKTROHYDRAULICKÉ ANALOGIE ......................................................................... 139
10.2.1 Okrajové podmínky a fyzikální vlastnosti kapaliny ..................................................................... 141
10.2.2 Vyhodnocení řešení ..................................................................................................................... 142
11. HYDROMOTORY A PNEUMOTORY ............................................................................................. 144
11.1 SIMULACE OBVODU S JEDNOČINNÝM VÁLCEM – PNEUMATICS ............................................................ 144
11.2 SIMULACE OBVODU S HYDRAULICKÝM VÁLCEM – HYDRAULICS ......................................................... 150
12. HYDRAULICKÝ AKUMULÁTOR .................................................................................................... 156
12.1 VÝZNAM AKUMULÁTORU .................................................................................................................... 156
12.2 ODPORY HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU ..................................................................... 156
12.3 MATEMATICKÝ MODEL HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU .............................................. 158
12.4 HYDRAULICKÝ RÁZ S AKUMULÁTOREM ............................................................................................... 161
12.5 DYNAMICKÉ KONSTANTY NĚKTERÝCH AKUMULÁTORŮ ....................................................................... 163
12.6 PRVKY S PŘEVAŽUJÍCÍ KAPACITOU ....................................................................................................... 164
13. LAPLACEOVA A FOURIEROVA TRANSFORMACE, PŘENOSY ............................................. 165
13.1 LAPLACEOVA TRANSFORMACE SPOJITÉ FUNKCE .................................................................................. 165
13.1.1 Definice komplexního čísla a funkcí ............................................................................................ 165
13.1.2 Laplaceova transformace spojité funkce ..................................................................................... 165
13.2 PŘENOS SYSTÉMU ................................................................................................................................ 166
13.3 POZNÁMKY K POČÁTEČNÍM PODMÍNKÁM ............................................................................................. 168
13.4 STABILITA SYSTÉMU ............................................................................................................................ 170
13.5 FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PŘENOSŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ A JEJICH PARAMETRŮ ................................................... 171
13.5.1 Přenos prvního řádu.................................................................................................................... 171
5
13.5.2 Přenos druhého řádu ................................................................................................................... 171
13.6 FOURIEROVA TRANSFORMACE SPOJITÝCH SIGNÁLŮ ............................................................................. 173
13.7 FREKVENČNÍ ANALÝZA V SIMHYDRAULICS ......................................................................................... 174
14. PŘÍLOHY .............................................................................................................................................. 179
14.1 ROVNICE KONTINUITY A BERNOULLIHO ROVNICE ............................................................................... 179
14.2 JEDNODUCHÉ POTRUBÍ ......................................................................................................................... 181
14.3 MĚŘENÍ POMOCÍ LABVIEW .................................................................................................................. 183
14.4 MĚŘENÍ TŘECÍCH ZTRÁT NA VODNÍ TRATI ............................................................................................ 184
14.5 URČENÍ CEJCHOVNÍ KŘIVKY CLONY ..................................................................................................... 192
14.6 URČENÍ MÍSTNÍCH ZTRÁT NA KOLENI ................................................................................................... 197
14.7 MĚŘENÍ CHARAKTERISTIKY ČERPADLA ............................................................................................... 201
14.8 MĚŘENÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU .......................................................................................................... 207
Modelování
6
1. Modelování a identifikace
1.1 Teorie modelování
Teorie modelování spočívá v sestavení modelů s uvažováním dynamiky, přitom přístupy mohou
být následující
matematické modely
experimentální modely
Starší a velmi dobře propracovanou metodou je metoda fyzikálního modelování, založená na
experimentální práci v hydraulické laboratoři, což je velmi významnou složkou výzkumné práce.
Zkoumají se modely nejrůznějších strojů a zařízení, aby se poznaly jejich základní vlastnosti nebo
zjistily a opravily vady, ověřují se teoretické předpoklady návrhu či projektu a velmi často se pokusně
zjišťují vzájemné závislosti zúčastněných veličin. Výsledky získané na modelu se pak aplikují na
skutečné zařízení, tzv. dílo. Prozkoumání jevu na modelu umožňuje také zavést opravné součinitele
do teoreticky odvozených rovnic, jejichž řešení bylo založené na zjednodušujících předpokladech (aby
se matematické řešení usnadnilo nebo zjednodušilo), které se však od skutečných poměrů částečně
odchylují. V některých složitých případech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné, se experimentem
získávají pro praxi potřebné vztahy veličin. Řadu jevů nelze ale fyzikálně postihnout modelem. Týká se
to především řešení přenosu tepla, zvláště typického vysokými teplotami.
Proto se v současné době rozvíjí matematické modelování, resp. matematicko-fyzikální
modelování, které je založeno na aplikaci fyzikálních zákonů, pomocí kterých lze vytvořit matematické
modely mechanických, hydraulických, pneumatických, elektrických a tepelných systémů.
Dílo
Modelování
7
Fyzikální model křídla s odběry tlaku Detail
Matematický model křídla s sítí Rozložení tlaku
obr. 1.1 Dílo, fyzikální model, matematický model
Experimentální identifikace je postup, kdy na základě měření význačných veličin se odhadne
chování systému a na základě zkušeností a identifikačních metod se definuje matematický model.
Simulace slouží ke zkoumání dynamických vlastností soustavy, což zpravidla vede až ke zjištění
časových průběhů řešených veličin. Simulace spočívá ve vytvoření simulačního modelu, který tvoří
matematický model - algebraické rovnice
diferenciální rovnice obyčejné
diferenciální rovnice parciální
Řešení matematického modelu je možné následovně
analyticky – exaktně, užití Laplaceovy transformace pro linearizované případy
numericky – analogové, číslicové (Eulerova metoda, Runge-Kutta, metoda charakteristik,
obecná diferenční metoda)
K simulaci je možno využít obecných programovacích jazyků nebo komerčně vytvořených
programových balíků:
obecné - Pascal, Fortran, Mathcad, Matlab, Dynast, Sipro
Modelování
8
speciální - Simula, Simet, Hyvos, Flowmaster. Matlab-SimHydraulics
Matematické modelování je rychlejší, levnější, umožňuje prověřit řadu variant za různých počátečních
podmínek, ale předpokládá se v co největší míře ověřování s experimentem.
1.2 Tvorba matematického modelu
Při tvorbě matematického modelu se zkoumaný prvek rozkládá na jednodušší části, které jsou
schopné samostatné dílčí činnosti a umožňují popis základními rovnicemi. Tak např. u
hydrogenerátoru jsou to těsnicí mezery, třecí plochy, pohybující se hmotnosti apod. Průtoky, tření,
setrvačné síly apod. se dají vyjádřit základními rovnicemi, známými z mechaniky a proudění. Soustava
všech rovnic tvoří pak matematický model prvku či soustavy. Soustava rovnic obsahuje algebraické i
diferenciální rovnice. Tento postup při tvorbě matematického modelu lze aplikovat na různé systémy, a
to mimo tekutinové též na elektrické, mechanické, tepelné apod. Porovnávají-li se soustavy rovnic
různých systémů, dochází se k poznatku, že matematický popis (model) je v mnoha případech
kvalitativně shodný. To vede k uplatnění poznatků z jednoho oboru v druhém, což se před několika
lety uskutečnilo při řešení dynamiky tekutinových mechanismů, kdy se využily poznatky z teorie
elektrických obvodů. Řešení hydraulických problémů spočívalo v nalezení analogických hydraulických
veličin, které odpovídají elektrickým veličinám, jako jsou např. pro pasivní členy ohmický odpor,
indukčnost a kapacita. Těm v hydraulice odpovídají odpory proti pohybu, zrychlení a deformaci. Na
základě elektrické analogie se začala intenzivně rozvíjet dynamika tekutinových mechanismů.
Přenos energie u hydraulických, pneumatických, mechanických, tepelných a elektrických systémů
je charakterizován dvojicemi parametrů, které se mohou měnit v čase a případně v prostoru. Jsou to:
tlak p a průtok Q u tekutinových mechanismů
síla F a rychlost v u mechanických zařízení s přímočarým pohybem
moment M a úhlová rychlost (případně otáčky n nebo frekvence f ) u mechanických zařízení
s rotačním pohybem
napětí U a proud i u elektrických obvodů
Pro tekutinové mechanismy se aplikují základní zákony, které jsou běžné v mechanice pevných a
tekutých látek (Newton, Euler), podobně v elektrotechnice platí obdobné zákony (Kirchhoff a Maxwel).
V elektrickém obvodu vystupují tři základní pasivní prvky, a to odpor, cívka a kondenzátor.
Neelektrické systémy se dají tak rozložit na základní prvky analogické elektrickému odporu,
kondenzátoru a cívce. Jejich různorodým zapojením vznikají obvody - systémy. Matematický model
systémů se pak odvodí ze základních rovnic pro uvedené tři elektrické prvky a jejich zapojení v
obvodu. S omezením na případy, kdy původní systém se nahrazuje soustředěnými Iineárními prvky,
mohou se zavést komplementámí proměnné v podobě intenzivní veličiny tI a extenzivní veličiny
tE . Na elementu v systému je pak vyjádřen vztah mezi intenzivní a extenzivní veličinou rovnicemi
dttIL
tEdt
tdELtIdttE
CtItERtI
1,
1,. ( 1.2.1)
Modelování
9
V těchto rovnicích vystupují veličiny R , C , L představující v elektrických obvodech ohmický odpor,
kapacitu a indukčnost, pokud intenzivní veličinou je napětí tU , tj. tUtI a extenzivní veličinou
tE je elektrický proud ti , tj. titE . Analogie mezi elektrickými, mechanickými,
hydraulickými, pneumatickými a tepelnými systémy je vyjádřena v Tab. 1.1.
Tab. 1.1
Veličina Systém
intenzivní
tI
extenzivní
tE
odpor
tE
tIR
kapacita
dttEC
tI 1
indukčnost
dttIL
tE 1
elektrický napětí
U
proud
i
odpor ohmický
R
kapacita
C
indukčnost
L
mechanický translační
síla
F
rychlost
v
tlumení
b
konstanta pružiny
cCm
1
hmotnost
mLm
mechanický rotační
moment
M
úhlová rychlost
tlumení
b
konstanta pružiny
cCm
1
moment setrvačnosti
JLm
hydraulický tlak
p
průtok
Q
odpor třecí
4
8
r
lRH
hydraulická kapacita
K
VCH
odpor proti zrychlení
2S
mLH
pneumatický tlak
p
průtok hmotnostní
mQ
odpor třecí
4
8
r
lRP
pneumatická kapacita
RT
V
p
mCP
0
0
odpor proti zrychlení
2S
VLP
tepelný teplotní rozdíl
T
tepelný tok
Q
odpor vedení
SRT
1
přestup
SRT
1
ohřev, ohlazení
QcRT
1
tepelná kapacita
mcCT
neexistuje
1.3 Elektrická analogie hydraulických a pneumatických odporů
Elektrohydraulická analogie umožňuje zkoumat hydraulické prvky, jejich skupiny a systémy pomocí
elektrických obvodů, jejichž přechodové vlastnosti jsou srovnatelné. Při aplikaci elektrohydraulické
analogie je třeba splnit tyto předpoklady:
ze zapojení hydraulických a pneumatických prvků v systému se musí odvodit zapojení prvků
elektrického obvodu
musí být známy fyzikální veličiny v tekutinovém systému a analogické elektrické veličiny je nutno z
nich určit.
V praxi se téměř výlučně používá analogie:
Modelování
10
elelktrické napětí U - tlak p
elektrický proud i - průtok Q .
Na základě uvedené analogie hydraulických veličin Qp, a elektrických veličin iU, jsou
definovány odpory:
Odpor proti pohybu
dQ
pdRH
tedy dQRpd H
di
dU
i
UR ( 1.3.1)
představuje odpory třením a místní při proudění kapaliny.
Odpor proti zrychlení - indukčnost
dt
dQ
pLH
tedy
dt
dQLp H
dt
di
UL ( 1.3.2)
která představuje odpor proti zrychlení. Z hlediska mechaniky jde o vliv setrvačnosti hmoty .
Odpor proti deformaci - kapacita a deformace
dt
pd
QCH
tedy
QdtC
pdt
pdCQ H
1
dt
dU
iC ( 1.3.3)
představuje převrácenou hodnotu odporu proti deformaci (kapaliny, plynu, potrubí, pružiny apod.).
Vd
pd
Q
dt
pd
DH
( 1.3.4)
Poznámka:
Elektrohydraulická analogie pU , Qi má výhodu v tom, že se v obou systémech řadí odpory
stejně, tj. paralelnímu řazení odporů v elektrickém obvodu odpovídá paralelní řazení odporů v
hydraulickém obvodu. Nepřesnost je v analogii elektromotoru a hydrogenerátoru. Elektromotor pracuje
při .konstU a mění se proud i , zatímco hydrogenerátor pracuje při průtoku konstantním, tj.
.konstQ a mění se tlak p . Z tohoto porovnání vyplývá nepřímá analogie QU a ip .
Toto však má nevýhodu v tom, že paralelnímu řazení odporů v hydraulickém obvodu odpovídá sériové
řazení odporů v elektrickém obvodě.
1.4 Řazení odporů R, L, C
Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy
některé odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo
v teorii grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice
bude platit zákon o uzlech a zákon o okruzích.
Zákon o uzlech (zákon zachování hmotnosti resp. rovnice kontinuity) vyjádřený vztahem
Modelování
11
01
n
i
iQ ( 1.4.1)
což je vyjádření rovnice kontinuity, tedy součet průtoků s ohledem na znaménko je roven nule.
Zákon o okruzích (zákon zachování energie resp. Bernoulliho rovnice) je vyjádřen rovnicí
01
n
i
ip ( 1.4.2)
a znamená, že součet tlakových spádů na odporech v jednom okruhu je roven nule.
Q
Q
Q
Q
1
2
3
k
n-1
n
....
.
..
...
(m)
(1)
(2)
(k-1) (k)
(n-1)
(n)1
2
k
n
k-1 n-1 p
p
p
p p
p1
2
k-1
k
n-1
n
obr. 1.2 Bilance průtoků 01
n
i
iQ obr. 1.3 Bilance tlaků 01
n
i
ip
Prvek je často chápán jako jediná součástka (odpor, indukčnost, kapacita). Mnohdy je možné a
výhodné za prvek považovat útvar vzniklý z mnoha součástek a lze hovořit o funkčních blocích, viz
tab. 1.2.
tab. 1.2 Funkční bloky
Dvojpóly
jedna vstupní a jedna výstupní veličina
Q
R v p
Trojpóly
tří vstupní resp. výstupní veličiny
Q Q
Q
1 2
3
Čtyřpóly
čtyři varianty vstupních a výstupních veličin
Q v
p
p Qv
Čtyřpól je nejběžnější kombinace dvou vstupních a dvou výstupních veličin a proto se čtyřpól často
nazývá dvojbran (dvě brány - vstupem jsou dvě dvojice).
Modelování
12
Dva prvky lze vzájemně propojit
paralelně (vedle sebe) seriově (za sebou)
Podobně tři prvky lze propojit pěti způsoby
Pro větší počet prvků množství různých zapojení vzrůstá. Proto je třeba zavést určitý jednoznačný
systém označení větví, uzlů a prvků. Tímto systémem se zabývá teorie grafů využívající maticového
zápisu. Ve složitějších případech se může dojít k soustavám závislých rovnic nebo nedokonale
určeným soustavám. Proto se omezíme na obvody složené z dvojpólů resp. čtyřpólů, což umožní
bezprostředně využít teorii grafů.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
13
2. Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
Tekutinové obvody se skládají z hydraulických a pneumatických prvků a potrubního systému.
Pokud se zabýváme konstrukcí těchto prvků, pak je nutné řešit úplný vícerozměrný systém
pohybových rovnic proudění a rovnice kontinuity. Výsledkem je rozložení tlaků a rychlostí resp.
průtoků v celé řešené oblasti. Přitom musí být zohledněny okrajové podmínky, které řešení významně
ovlivňují.
Klasické tekutinové obvody často propojené dlouhými potrubími jsou tímto způsobem neřešitelné
z důvodu časové náročnosti, proto jsou odvozovány jednodušší modely potrubí a tekutinových prvků,
které svou topologií velmi připomínají elektrické obvody. Také jednotlivé prvky vykazují formálně
analogické vlastnosti. Proto se přistupuje k řešení zjednodušených soustav rovnic v analogii
s elektrickými obvody. Toto zjednodušení s sebou přináší ale řadu problémů s definicí stlačitelnosti
tekutin, tření atd. Přesto je tato metoda zpracovaná do řady komerčních programů. Nejkvalitnějším z
nich je Flowmaster, v současné době byla vyvinuta nadstavba Matlab Simulinku, tj. SimHydraulics a
SimPneumatics.
Výše uvedená soustava rovnic aplikovaná na tekutinové obvody je řešitelná dvojím způsobem:
řešení celého systému rovnic metodou konečných objemů, výsledkem je prostorové rozložení
proudových polí, viz obr. 2.1.
obr. 2.1 Prostorové řešení proudění ve ventilu kolem škrtící hrany.
řešení zjednodušeným přístupem nazývaným elektrohydraulická analogie, což plyne z jisté
podobnosti hydraulických a pneumatických a elektrických obvodů včetně definování odporů
proti pohybu, zrychlení a deformaci. Sloupec kapaliny pak odpovídá elektrickému vedení
včetně problematiky dlouhého vedení. Tedy hydraulické prvky se předpokládají jako funkce
času a jsou nezávislé na prostorové souřadnici, tj. jednorozměrný model a proudění sloupce
kapaliny může být funkcí času a případně navíc jedné prostorové souřadnice. Na obr. 2.2 je
zobrazeno stacionární řešení hydraulického obvodu, proto jsou vyhodnoceny je ve vybraných
bodech číselné hodnoty tlaků a průtoku.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
14
f(x)=0
Vypoc. konfigurace
3.562e+006
Tlakovy spadPSS
S-PS
m3/s
AQ
B
Prutokomer
0.001
Prutok
A B
Potrubi-R
PS S
PS-S
m3/s
PS S
PS-S
Pa
Nadrz
AB
P
Manometr0.001
Konstanta
Kapalina
S TP
Ideal zdroj prutoku
obr. 2.2 Řešení hydraulického obvodu, zobrazení číselných hodnot ve vybraných bodech obvodu.
2.1 Programy pro řešení hydraulického a pneumatického obvodu
2.2 Flowmaster
Flowmaster je systém užívaný širokým okruhem průmyslových odvětví, například v leteckém,
lodním a automobilovém průmyslu, pro usnadnění a zkrácení vývojového procesu termotekutinových
systémů. Flowmaster je rozdělen do několika podskupin. Jsou to jednotlivě zaměřené programy, které
umožňují řešit konkrétní úlohy. Dělí se na kapalinové systémy, tepelné systémy, plynové systémy,
tekutinové systémy.
Poslední jmenovaný program dokáže komplexní řešení systémové simulace včetně závislosti
spojenou s kapalinovými, plynovými a tepelnými systémy. Je vhodný pro návrh nebo simulaci složitých
tekutinových systémů. Má rozsáhlou knihovnu komponentů vytvořených na základě hodnot získaných
empiricky a výzkumem, viz obr. 2.3. Aby se předešlo chybě, jsou nástroje nadefinovány tak, že není
možno propojit nekompatibilní prvky. Je možná vícenásobná simulace a grafické znázornění, viz obr.
2.4.
Tento interaktivní program na analýzu proudění tekutin simuluje jednorozměrné proudění
tekutiny a přestup tepla ve vedení, armaturách a ostatních prvcích. Program je používán
k předpovídání teploty, tlaku a rychlosti toku ve stálých i přechodových podmínkách v grafickém
prostřdí Windows.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
15
obr. 2.3 Ukázka ikon v programu Flowmaster
Programový systém je schopen řešit:
simulace tekutinových systému v jakékoliv složitosti,
tlaky, teploty a průtoky systému,
ustálený stav, přechodový stav a teplotní analýza,
propojení s MATLAB-Simulink pro simulaci a analýzu řídících systémů,
kompatibilita se Simulinkem v úrovni časových kroků,
umožňuje originální vzorkování kompletních systémů.
Flowmaster může vykonávat simulaci v kombinaci s Matlab Simulink a tím je schopen provést
detailní namodelování kompletní tekutiny a řídicího systému. Data z modelu Flowmasteru procházejí
modelem Simulinku v každém časovém kroku. Simulink poté počítá nový řídicí signál, který je
aplikován na model Flowmasteru. Tato spolu – simulace umožňuje vytvářet virtuální modely celých
systémů.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
16
obr. 2.4 Ukázka obvodu v programu Flowmaster
2.3 Matlab
Výpočetní systém MATLAB se během uplynulých let stal celosvětovým standardem v oblasti
technických výpočtů a simulací nejen ve sféře vědy, výzkumu a průmyslu, ale i v oblasti vzdělávání.
MATLAB poskytuje svým uživatelům nejen mocné grafické a výpočetní nástroje, ale i rozsáhlé
specializované knihovny funkcí spolu s výkonným programovacím jazykem čtvrté generace. Knihovny
jsou svým rozsahem využitelné prakticky ve všech oblastech lidské činnosti.
Díky své architektuře je MATLAB určen zejména těm, kteří potřebují řešit početně náročné úlohy
a přitom nechtějí nebo nemají čas zkoumat matematickou podstatu problémů. Více než milion
uživatelů po celém světě využívá možnosti jazyka MATLABu, který je mnohem jednodušší než
například Fortran nebo C jazyk a který skýtá obrovský potenciál produktivity a tvořivosti. Za nejsilnější
stránku MATLABu je považováno mimořádně rychlé výpočetní jádro s optimálními algoritmy, které
jsou prověřeny léty provozu na špičkových pracovištích po celém světě. MATLAB byl implementován
na všech významných platformách (Windows, Linux, Solaris, Mac).
Systém MATLAB nabízí:
rychlé výpočetní jádro,
působivá 2D a 3D grafika,
konfigurovatelné uživatelské rozhraní Matlab Desktop,
velké množství aplikačních knihoven,
programovací jazyk 4. generace,
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
17
objektové programování,
integrace s jazykem Java,
podpora vícerozměrných polí a uživatelsky definovaných datových struktur,
interaktivní nástroje pro tvorbu grafického uživatelského rozhraní,
podpora řídkých matic,
interaktivní průvodce importem dat,
zvukový vstup a výstup, animace,
komunikace s externím přístrojovým vybavením,
výpočetní jádro pro programy psané ve Fortranu a jazyce C,
distribuce nezávislých uživatelských aplikací: překlad do jazyka C, runtime, modul, WWW
technologie,
rozsáhlá tištěná i hypertextová on-line dokumentace.
Simulink je program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy
MATLABu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Poskytuje uživateli možnost
rychle a snadno vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a rovnic. Pomocí
Simulinku a jeho grafického editoru lze vytvářet modely lineárních, nelineárních, v čase diskrétních
nebo spojitých systémů pouhým přesouváním funkčních bloků myší. Simulink nově umožňuje spouštět
určité části simulačního schéma na základě výsledku logické podmínky. Tyto spouštěné a povolované
subsystémy umožňují použití programu v náročných simulačních experimentech. Samozřejmostí je
otevřená architektura, která dovoluje uživateli vytvářet si vlastní funkční bloky a rozšiřovat již tak
bohatou knihovnu Simulinku. Hierarchická struktura modelů umožňuje koncipovat i velmi složité
systémy do přehledné soustavy subsystémů prakticky bez omezení počtu bloků, viz obr. 5.1. Simulink,
stejně jako MATLAB, dovoluje připojovat funkce napsané uživateli v jazyce C. Vynikající grafické
možnosti Simulinku je možné přímo využít k tvorbě dokumentace. Mezi neocenitelné vlastnosti
Simulinku patří nezávislost uživatelského rozhraní na počítačové platformě. Přenositelnost modelů a
schémat mezi různými typy počítačů umožňuje vytvářet rozsáhlé modely, které vyžadují spolupráci
většího kolektivu řešitelů na různých úrovních. Otevřená architektura Simulinku vedla ke vzniku
knihoven bloků, nazývaných blocksety, které rozšiřují základní knihovnu bloků Simulinku a umožnují
použití programu v příslušných vědních a technických oborech. Knihovny je možné rozšiřovat i o
vlastní bloky, vytvořené uživatelem.
Simscape rozšiřuje Simulink o nástroje pro modelování a simulace tzv. "multi-domain" systémů
obsahujících propojení mechanických, elektrických a hydraulických (pneumatických) komponent.
Simscape využívá nový přístup k modelování systémů. Zavádí do simulačních schémat reálné
fyzikální veličiny, jako jsou síly, momenty, napětí, proudy, tlaky, průtoky atd. Podobně jako při montáži
reálného systému, vzniká model v Simscape grafickým propojením bloků, které přímo odpovídají
fyzickým prvkům reálného systému. Bloky se spojují do sítě, ve které spojení mezi elementy
odpovídají přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovat přímo popisem
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
18
jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných matematických vztahů mezi
sledovanými veličinami. Simscape tyto vztahy generuje automaticky. Simscape obsahuje následující
knihovny bloků:
mechanické bloky,
elektrické bloky,
hydraulické bloky,
pneumatické bloky
tepelné bloky.
Tyto bloky umožňují vytvářet uživatelské bloky komplexnějších komponent systému. Využití Simscape
je široké, uplatnění najde v automobilovém průmyslu, letectví, obraně, návrhu průmyslových a
stavebních strojů a podobně
SimHydraulics je nový modelovací nástroj rozšiřující simulační schopnosti Simulinku o
modelování a simulace hydraulických systémů. Umožňuje modelování tzv. "multi-domain" systémů
obsahujících propojení hydraulických a mechanických komponent s použitím přímé analogie s
reálnými prvky systémů. SimHydraulics využívá nový přístup k modelování systémů. Model vzniká
propojením bloků (přímo odpovídajícím fyzickým prvkům skutečných systémů) do sítě, ve které
spojení mezi elementy odpovídá přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy
modelovat přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných
matematických vztahů mezi sledovanými veličinami. SimHydraulics společně s produkty
SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems umožňuje modelování složitých jevů ve vzájemně
propojených hydromechanických a hydroelektrických systémech.
SimMechanics je další z řady tzv. "multi-domain" modelovacích nástrojů, které rozšiřují
simulační schopnosti Simulinku z obecné roviny abstraktních signálových toků do oblasti reálných
fyzikálních veličin jako jsou síly, momenty a pohyby. Dovoluje modelovat složité mechanické soustavy,
které jsou součástí většiny reálných zařízení, jako jsou výrobní a stavební stroje, automobily, letadla,
lékařské přístroje a podobně.
SimElectronics rozšiřuje Simscape o nástroje pro modelování a simulaci elektrických a
elektomechanických systémů. SimElectronic zahrnuje analogové elektronické a elektromechanické
komponenty jako fyzické sítě v multidomain modelovém systému. Poskytuje polovodič, motor, pohon,
snímač, a akční (regulátory) komponenty stejně jako stavební bloky, které umožňují tvorbu vlastních
podsystémů.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
19
2.4 Foundation Library Hydraulic+Pneumatic, SimHydraulics
Program Simulink a programový systém Simscape - Foundation Library Hydraulic+Pneumatic a
SimHydraulics jsou nástavbou známého softwaru MATLAB. S jejich pomocí je uživatel schopen rychle
a poměrně přesně simulovat děj, který se odehrává v daném hydraulickém obvodu. Mezi další
nástroje SimScape patří kromě SimHydraulics také SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems
(všechno je dostupné odděleně). To umožňuje popsat kombinované systémy obsahující hydraulické a
mechanické součásti a uživatel je schopen modelovat komplexně vzájemné působení v
hydromechanických a hydroelektrických systémech.
Simulink je systém, který umožňuje modelovat hydraulické systémy tak, jako by se vytvářely
nejdříve konstanty charakterizující kapalinu, hydraulický prvek, odpory, dále algebraické a diferenciální
rovnice pro řešení dle matematického předpisu. Dále se zadávají prvky umožňující grafické
vyhodnocení.
V SimHydraulics se modelují systémy právě tak, jako by se sestavovaly reálné hydraulické
obvody. Symboly použité v modelu jsou založeny na normě ISO 1219 standardních silových kapalin.
Z modelu, který se velice podobá hydraulickému schématu, SimHydraulics automaticky vykonstruuje
rovnice charakterizující chování prvků a automaticky je propojí do systému. Knihovny SimHydraulics
poskytují více než 45 modelů hydraulických a mechanických komponent, včetně modelů pro
hydrogenerátory, hydromotory, akumulátory, ventily a hydraulické vedení. Je možné kombinovat
jednotlivé bloky z knihovny SimHydraulics a vytvořit tak vlastní uživatelský blok, který se pak jako u
Simulinku zahrne do subsystému a parametrizuje.
Program umožňuje:
simulaci systému, který chceme analyzovat,
analyzovat průběhy požadovaných veličin,
snadno modifikovat již navržený systém,
vytvářet uživatelské bloky,
kombinovat hydraulické prvky s prvky mechanickými a elektrickými.
SimHydraulics jako jako nadstavba Simulinku se spouští v matlabovském okně, viz br. 2.5.
Nedříve se nastaví pracovní adresář (modře označené okno) a následně se spustí Simulink ikonou
(červeně označené okno).
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
20
br. 2.5 Spuštění Simulinku
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
21
obr. 2.6 Menu Simulinku
Po spuštění Simulinku se objeví
nabídka základního menu, kde
je možno sledovat v podnabídce
Simulink základní skupiny bloků,
jejichž názvy jsou vypovídající.
Nejčastěji používané bloky
budou
- Commonly Used Blocks (často
užívané bloky)
- Continuous (spojité funkce)
- Math Operations (matematické
operace)
- Subsystems (podsystémy)
- Signal Routing (vstupní
signály)
- Sinks (prvky zobrazení)
- Sources (zdroje)
- User – Defined Functions
(uživatelem definované
funkce)
Po stručném seznámení se s obsahem jednotlivých bloků a Helpem je uživatel schopen
nadefinovat základní vstupní data a vytvořit algebraický vztah pro definici všech hydraulických odporů
a následně vytvořit charakteristiku. Okno pro vytváření nových schémat se otevře pomocí příkazu
z roletového menu File Nové okno, viz obr. 2.6. Sestaví se schéma úlohy pomocí prvků, které jsou
v programu k dispozici tak, aby co nejvíce odpovídalo skutečnému experimentálnímu obvodu.
Jednotlivé prvky se vloží do schématu obvodu, propojí se čarami, které symbolizují přenos výkonu
nebo informace. Bloky mají různé vstupy resp. výstupy, jako je vstup A – bezrozměrný signál, vstup B
– fyzikální signál a hydraulický vstup C.
Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů
22
obr. 2.7 Připojování bloků
Pomocí pravého tlačítka myši lze označené prvky (včetně vedení) kopírovat. Parametry jednotlivých
prvků se nastaví v tabulkách, které se zobrazí po dvojím kliknutí myší na daný prvek.
Odpor proti pohybu
23
3. Odpor proti pohybu
3.1 Definice odporu proti pohybu
Hydraulický odpor proti pohybu zahrnuje odpory při proudění kapaliny, které mohou být
Iaminámí nebo turbulentní. Laminámí odpor odpovídá ohmickému odporu v elektrickém
obvodu, neboť je Iineámě závislý na průtoku. Turbulentní odpor ve vyvinutém stádiu je
kvadraticky závislý na průtoku. To přináší do řešení dynamiky hydraulických obvodů
nelinearitu. Aby bylo možno použít Iineámí teorie obvodů, musí se nelineámí průběh
Iinearizovat. Výsledek s použitou Iinearizací pak platí jen v oblasti, kde nahrazuje nelineámí
průběh s nevelkými odchylkami.
Pro tlakový spád na hydraulickém odporu platí obecně mocninová funkce
nQRp ( 3.1.1)
Odpor proti pohybu je určen vztahem ( 1.3.1) dQ
pdRH
nebo
Q
pRH
.
Mocninný exponent n je konstanta závislá na typu proudění daném
hodnotou Reynoldsova čísla
hvd
Re ,
kde hd je hydraulický průměr (pro potrubí kruhového průřezu je roven průměru), S
Qv je
střední rychlost proudění, je kinematická viskozita. Pro laminární proudění je 1n , tedy
QRp a pak Q
pRRH
[Nsm-5 = kgs-1m-4]. Pro vyvinuté turbulentní proudění je
2n a hydraulický odpor je určen kvadratickou závislostí 2QRp , přitom rozměr
odporu R je [kg.m-7s-2].
3.2 Ztrátový součinitel
Pro odpor proti pohybu je tlakový spád určen vztahem
2
22
2
2
222 SRRQQ
S
vp
, (3.2.1 )
což platí i pro nekruhový průtočný průřez S . Pro kruhový průřez je 42
8
dR
. Součinitel
odporu proti pohybu není obecně konstantou a může se měnit v závislosti na změně
průtoku. Pak může být také takto použit. Lze porovnáním odvodit vztah mezi a R
Odpor proti pohybu
24
RS
SR
2
2
2
2 (3.2.2 )
V případě výtoku zůženou plochou (ventil, clona, odpor při výtoku otvorem, tryska apod.)
se používá častěji inverzní vztah k rovnici (3.2.1 ):
pSQ
2
( 3.2.3)
je tzv. průtokový součinitel a má vztah ke ztrátovému součiniteli. Přitom se dá jednoduše
odvodit z předchozích dvou rovnic:
2
22Q
Sp
pSpSp
SQ
22121 2
Tedy
1 ( 3.2.4)
V SimHydraulics se používá odlišné označení:
Hydraulika SimHydraulics
Ztrátový součinitel K
Průtokový součinitel DC
Toto označení bude nadále používáno vzhledem k aplikacím.
3.3 Experimentální určení ztrátového součinitele
Ztrátové součinitele se určují na daném prvku z tlakového spádu jako funkce průtoku,
nebo naopak z průtoku jako funkce tlakového spádu, fyzikálních vlastností kapaliny a
geometrických rozměrů hydraulického prvku. Tyto závislosti se obecně nazývají statické
charakteristiky.
Jednoduchý hydraulický obvod k určení statické charakteristiky hydraulického prvku bude
tedy sestávat z následujících prvků
zdroj kapaliny (N)
hydraulický prvek (clona (C), koleno 90o (K4), kulový kohout (KK1), zúžení průřezu
potrubí (RH1), rozšíření průřezu potrubí (RH2), velký oblouk (KR, K1, K2),
kompenzační smyčka (KS), ventil přímý (VP) a koleno 45o (K3), potrubí)
nádrž (N)
průtokoměr (C) - clona
tlakoměr pro měření tlakové diference – obrácená U trubice
ventil pro řízení průtoku (KK2)
Odpor proti pohybu
25
Schéma obvodu s řadou seriově řazených prvků je na obr. 3.1.
obr. 3.1 Schématické znázornění zkušebního obvodu
Je zřejmé, že obvod se skládá z řady potrubí, hydraulických prvků a armatur. Všechny tyto
prvky způsobují tlakové ztráty v obvodu. Zjednodušením obvodu, tj. zanedbáním vlivu
některých hydraulických prvků, se experimentální měření může odlišovat od numerického
modelování. Dobře popsané prvky obvodu jsou potrubí s určením třecích ztrát.
Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno
regulovat jak pomocí regulace otáček čerpadla (HG), tak pomocí kulového kohoutu KK2
(podrobnější regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U
trubici nebo diferenčního manometru podle charakteru tlakové ztráty. Měření průtoku
proudění v obvodu je realizováno průtokoměrem nebo pomocí clony a U trubice
zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná průtoku a tudíž rychlosti
proudění.
Pro výpočet ztrátového součinitele je nutné znát tlakovou ztrátu Δp na hydraulickém
prvku, vnitřní průměr d a rychlost proudění v v připojovacím potrubí. Všechny pomocné
neznámé se vypočtou. Při výpočtu postupujeme takto:
Vybere se hydraulický prvek pro měření, změří se tlaková ztráta na prvku Δp (v
případě použití U trubice se měří ztátová výška Δh a přepočítá se na tlakovou ztrátu
Δp. Výpočet se provede pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického
tlaku hgp ).
Současně se měří průtok průtokoměrem nebo clonou, kdy ztrátová výška na cloně
Δhc se přepočítá na průtok rovnicí cejchovní křivky clony baxy (a, b je definované
Odpor proti pohybu
26
pro každou clonu na grafu cejchovní křivky, je třeba zohlednit jednotky výšky a
průtoku). Dosazením za proměnnou x rozdíl ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] y je
pak hodnota průtoku Qv [m3h-1]
Rychlost je dána z rovnice kontinuity 2
4
d
Q
S
QvSvQ
Odpor proti pohybu, ztrátový součinitel a průtokový součinitel se určí následovně (z
Bernoulliho rovnice).
2
2
Q
pRRQp
2
2 2
2 v
pvp
1
Určí se Reynoldsovo číslo (zda jde o turbulentní či laminární proudění), přitom
vdRe typ proudění
Pokud je třeba určit charakteristiku, tak se postup výpočtu opakuje pro další hodnoty
průtoku (alespoň 10) a sestrojí závislost tlakové ztráty na objemovém průtoku
Qfp , diagram Ref , Ref
Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na
průtoku, viz obr. 3.2, a dále jako závislost ztrátového resp. průtokového součinitele na
Reynoldsově čísle, viz obr. 3.3.
obr. 3.2 Příklad závislosti tlaku na průtoku
Odpor proti pohybu
27
obr. 3.3 Příklad závislosti ztrátového a průtokového součinitele na Reynoldsově čísle
Pro určení jediného (průměrného) ztrátového koeficientu se využije metoda regresní
funkce 2RQp . Pro jednoduchost se zvolí formálně substituce Rxy , kde
2Qx
a vyhodnotí lineární regresní funkce procházející nulou, viz obr. 3.4.
obr. 3.4 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky pro
určení koeficientu R .
Při znalosti odporu „R “ odečteného z rovnice regresní funkce lze snadno odvodit
přibližnou hodnotu ztrátového součinitele:
2
2
2
2
SR
SR (3.3.1)
1026574.1 ER
1.639251000
90.00025446*2*1026574.1
2 22
ES
R
781035.063925.1
11
Odpor proti pohybu
28
3.4 Výpočet tlakového spádu - SimHydraulics
Schéma pro výpočet tlakového spádu v SimHydraulics je na obr. 3.5. Výsledkem jsou
číselné hodnoty průtoku a tlakového spádu v oknech Display.
obr. 3.5 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí – nový obr
Obvod sestává z prvků specifikovaných v následujíchích kapitolách.
Základní prvky hydraulického obvodu
Proudění v každém hydraulickém obvodu je dáno pro určitou kapalinu, která se vloží
se svými fyzikálními vlastnostmi do obvodu.
Hydraulická kapalina (Custom Hydraulic Fluid) uvádí vlastnosti
kapaliny pro jednotlivé smyčky obvodu. Každá smyčka v systému je
připojena jen k jednomu bloku hydraulické kapaliny.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic utilities/Custom
fluid)
tab. 3.1 Parametry pro definování kapaliny
Fluid density Hustota 1000 kg.m-3
Kinematic viscosity Kinematická viskozita 0.000001 m2.s-1
Bulk modulus Modul pružnosti 2.109 Pa
Odpor proti pohybu
29
Relative amount of trapped air Rel. množství obsaženého vzduchu při
normálních podmínkách 1.10-12 1
obr. 3.6 Definování parametrů hydraulické kapaliny
Kapalina je do obvodu dopravována čerpadlem nebo jiným způsobem Tyto varianty budou
diskutovány později. Proto bude nyní zjednodušeně definován pouze fiktivně zdroj kapaliny
bez udání způsobu, jak byl získán. Dále jsou definovány další nezbytné prvky, které budou
užitečné pro určení charakteristiky potrubí.
Zdroj kostantního průtoku (Hydraulic Constant Flow Rate Source) slouží
jako náhrada hydrogenerátoru. Je v simulaci použit z důvodu zjednodušení
analýzy. Jedná se o ustálený zdroj průtoku. Hodnota průtoku je dána
konstantou. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic
sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow Rate Source)
Zdroj průtoku (Ideal Hydraulic Flow Rate Source) slouží jako náhrada
hydrogenerátoru. Hodnota průtoku je dána konstantou nebo funkční
závislostí. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic
sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow Rate Source)
f(x)=0
Vypoc. konfigurace
3.562e+006
Tlakovy spad
PSS
S-PS
AQ
B
Prutokomer
0.001
Prutok
A B
Potrubi-R
PS S
PS-S1
PS S
PS-S
Nadrz
AB
P
Manometr
0.001
Konstanta
Kapalina
S TP
Ideal zdroj prutoku
Konstanta (Constant) umožní vkládat číselnou hodnotu, lze vložit také
vektor do hranatých závorek, přitom jednotlivé složky vektoru jsou odděleny
mezerou. Hodnota průtoku je tedy vložena tímto prvkem
(Simulink/Commonly Used Blocks/Constant)
Nádrž (Hydraulic Reference) je prvek, který v hydraulickém obvodu plní
funkci zásobníku kapaliny pro pracovní mechanismus a představuje
Odpor proti pohybu
30
připojení k atmosféře. Má jeden hydraulický vstup.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/
Hydraulic Reference)
Odpor proti pohybu R (Local Resistance) je prvek, který v hydraulickém
obvodu specifikuje místní hydraulický odpor jako je koleno, změna
průtočného průřezu, redukce, potrubí atd.
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Local Hydraulic Resistances/ Local
Resistance)
Průtok je dán rovnicí
pK
AQV
21.
Prvek je zadán následujícími parametry
tab. 3.2 Parametry pro definování kapaliny (parametrizace formulí)
Resistance area A Průtočná plocha m2
Model prameterization Model prametrizace formulí
Pressure coefficient for direct flow
Ztrátový součinitel pro přímé
proudění 1
Pressure coefficient for reverse flow
Ztrátový součinitel pro zpětné
proudění 1
Critical Reynolds number Kritické Reynoldsovo číslo 1
V případě druhého modelu parametrizace je vstupní tabulka následující:
tab. 3.3 Parametry pro definování kapaliny (parametrizace pomocí Re )
Resistance area Průtočná plocha m2
Model prameterization Model prametrizace Re
Odpor proti pohybu
31
Reynolds number vector
Vektor Reynoldsových čísel [-5000 -3000 -1000 1000
3000 5000] 1
Loss coefficient vector Vektor ztrátových
součinitelů [5 2 1.5 1 0.5 0.1] 1
Interpolation method Interpolační metoda Cubic
Extrapolation method Extrapolační metoda From lást point
Pro propojení bodů charakteristiky je možno vybrat 3 interpolační metody a 2 extrapolační
metody
Pro vyhodnocení hydraulických veličin se používají tlakoměry a průtokoměry, které se i
s tímto názvem definují v SimHydraulics. Pro konverzi bezrozměrných veličin na fyzikální
veličiny a naopak se používají tzv. měniče, protože některé vyhodnocovací prvky nejsou
schopny využívat fyzikální veličiny.
Průtokoměr (Ideal Hydraulic Flow Rate Sensor) je ideální průtokový
snímač, přeměňuje průtok kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na
fyzikální signál.
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic sensors and
sources/ Ideal Hydraulic Flow rate sensor)
Manometr (Ideal Hydraulic Pressure Sensor) je ideální tlakový snímač,
přeměňuje tlak kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na fyzikální signál.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/ Hydraulic sensors and
sources/ Ideal Hydraulic pressure sensor)
PS-S Simulink měnič (PS-Simulink Converter ) převádí fyzikální vstupní
signál na bezrozměrný signál Simulinku. Jednotka parametru musí
odpovídat vstupnímu signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/PS-Simulink
Odpor proti pohybu
32
Converter)
Simulink S-PS měnič (Simulink-PS Converter) převádí bezrozměrný
vstupní signál Simulinku na fyzikální signál. Jednotka parametru je přidělena
výstupu fyzikálního signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/ Simulink-PS
Converter)
Display – zobrazí číselnou hodnotu (Simulink/Sinks/ Display)
Data pro spuštění analýzy
Před spuštěním výpočtu je ještě nutné nastavit konfigurační parametry výpočtu. Patří mezi
ně především typ časového kroku. Volí se především pro dnamické úlohy variabilní,
automatický a výpočtová numerická metoda (solver) – ode15s (stiff/NDF) (případně další
stiff metody), což jsou jediné možné numerické metody pro řešení obyčejných
diferenciálních rovnic v hydraulice v SimHydraulics. Ostatní položky jsou přednastaveny
vyhovujícím způsobem a není potřeba je měnit. V tomto okně lze rovněž nastavit čas
výpočtu, který ale lze nastavit i na hlavní liště programu, což je rychlejší, především
v případě, je-li potřeba jej často měnit.
Odpor proti pohybu
33
obr. 3.7 Parametry pro spuštění výpočtu
Výpočet se spustí příkazem Simulink/Simulace/Start.
Výpočtová konfigurace (Solver configuration) je prvek, který definuje
výpočetní zařízení nastavené pro simulaci.
(Simulink/Simscape/Utilities/Solver configuration)
Další prvky budou definovány dle potřeby.
Do obvodu mohou být vloženy také hydraulické prvky, jako jsou kolena, T kusy (prvky
pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony a obecné odpory. Tyto prvky
představují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydraulics definovány a mohou být
využity.
3.5 Výpočet statické charakteristiky - SimHydraulics
Kvalitnějším výsledkem má být statická charakteristika, což je závislost tlakového
spádu na průtoku při proudění tekutiny potrubím nebo daným hydraulickým prvkem obecně
ve tvaru
Odpor proti pohybu
34
2RQp ( 3.5.1)
Odpor proti pohybu R v potrubí je dán pro laminární a turbulentní proudění odlišným
vztahem, přitom odpor proti pohybu pro turbulentní proudění lze pro daný pracovní bod
linearizovat, takto:
12 QRR turblin ( 3.5.2)
Závisí na geometrických faktorech hydraulického prvku, vlastnostech kapaliny případně
ztrátovém součiniteli, což musí být vloženo do systému.
Pro výpočet byl použit stejný obvod jako v předešlé kapitole. Z důvodu získání
charakteristiky je třeba do systému vložit řadu hodnot průtoku. To lze provést zadáním
vektoru hodnot do bloku „constant“ nebo fiktivně lineární (nebo jinou) funkční závislostí na
čase pomocí bloku „Signal Builder“, kde se souřadnicemi dvou bodů taková závislost
nastaví, viz obr. 3.8. Počet složek takto vytvořeného vektoru Q bude dán volbou časového
kroku v simulaci. Počet složek vektoru tlakového spádu bude mít tentýž počet složek. Pro
statickou charakteristiku se pak vytvoří graf, kde hodnotám průtoku se vyberou odpovídající
hodnoty tlaku.
obr. 3.8 Signal Builder pro zadání funkční závislosti průtoku na čase.
Zobrazení charakteristiky je možné přímo ikonou v SimHydraulics, která má ale omezené
možnosti z hlediska vyhodnocení více charakteristik do jednoho grafu. Zcela univerzální
Odpor proti pohybu
35
přístup pro použití i v jiných grafických software, jako je EXCEL apod. bude také vysvětlen.
Použité příkazy jsou následující:
Vytvoření signálu (Signal Builder) - vytvoří se vstupní signál v
závislosti na čase
(Simulink/Sources/Signal Builder)
XY Graph - blok pro vykreslení grafu, horní vstup je použit pro osu x a
dolní vstup pro osu y. Rozsah os je nutno zadávat ručně, nepočítá tedy
automaticky.
(Simulink/Sinks/XY Graph)
Zápis do pracovní oblasti (To workspace) zapisuje vstupy vybraného
pole do hlavní pracovní oblasti Matlabu a najdou se v základním okně
Matlab/Workspace.
(Simulink/Sinks/To Workspace)
V tomto prostoru se mohou závislosti vykreslovat podobně jako
v EXCELu a také do tohoto software exportovat kopírováním.
l
S
d
s
E
lambda
potrubi
ro
K
ni2
kapalina
XY Graph
128*u(1)*u(2)*u(3)/3.14159/u(4)^4
Rlam
Signal 1
Q-zdroj
Q-graf
Dplam-graf
Dplam
Kreslení grafu (Scope) zobrazí časový průběh vybrané veličiny
(Simulink/Sinks/Scope) přímo v Simulinku.
V tomto bloku lze také zapsat data do Workspace, není nutno vkládat
nový blok
Zobrazovací a vyhodnocovací elementy jsou stejné. Obvod sestavený v SimHydraulics při
použití jednoduššího zobrazení charakteristiky je na obr. 3.9.
Odpor proti pohybu
36
obr. 3.9 Obvod pro výpočet statické charakteristiky – užití Graf XY a přenos dat do Excelu
obr. 3.10 Obvod pro výpočet statické charakteristiky – Graf XY
Při použití přenosu dat do Excelu jsou výsledkem kontrolní křivky závislosti tlaku na čase a
průtoku na čase, viz obr. 3.11.
Odpor proti pohybu
37
obr. 3.11 Závislosti průtoku a tlaku na čase
Je vidět, že grafy na obr. 3.9 a obr. 3.10 jsou orientační. Častěji se použije přenosu dat do
prostoru Workspace a dále do Excelu, kde se mohou tvořit libovolné grafy a především
porovnávat s daty z měření. Přenos dat je umožněn ikonou Scope. Dvojím kliknutím se
otevře graf, dvojím kliknutím na druhou ikonu se otevře okno konfiguračních
parametrů, použije se záložka Loggin, zatrhne se Log data to workspace a vloží jméno
proměnné a format Array. Tento formát umožní zapsat vektor o dvou sloupcích, první je
čas a druhý je tlak.
obr. 3.12 Zápis dat do Workspace.
Odpor proti pohybu
38
V základním okně Matlabu se otevře Workspace, dvakrát klikne na jméno proměnné (tlak).
Otevře se tabulka se dvěma sloupci, druhý se prosvětlí jako v Excelu, zkopíruje a vloží do
Excelu. Podobně se přenese průtok případně další počítané veličiny a zobrazí se
charakteristika.
obr. 3.13 Charakteristika hydraulického prvku - Excel
Odpor proti pohybu – odpor třením
39
4. Odpor proti pohybu - odpor třením
4.1 Odpor třením v potrubí
Pro laminární proudění je 1n , tedy RQp a pak Q
pRRH
[Nsm-5 = kgs-1m-4]. Pro
kruhové potrubí je Re
64 , neboli Q
d
lp
4
128
, takže
4
128
d
lRHlam
( 4.1.1)
Pro vyvinuté turbulentní proudění je 2n a hydraulický odpor je určen
kvadratickou závislostí 2RQp , přitom rozměr odporu R je [kg.m-7s-2]. Pro kruhové
potrubí je 52
8
d
lR
. Součinitel tření je závislý na velikosti Reynoldsova čísla a
relativní drsnosti d
k , kde k [m] je absolutní drsnost stěny potrubí
kf Re, resp. Re,f ( 4.1.2)
Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit analyticky, proto musela být stanovena
experimentálně. Pro hladké potrubí ( 0k ) v roce 1913 odvodil Blasius empirický vztah
4 Re
3164,0 (
410.8ReRe k ) ( 4.1.3)
Nikuradse pro hladké potrubí udává podle experimentálních výsledků vzorec
28,0Relog2
1
410.6Re ( 4.1.4)
Součinitel tření v Altšulově vzorci při uvažování drsnosti potrubí je explicitně vyjádřený ve
formě
25.0
Re
1001,0
d
k ( 4.1.5)
Pro oblast, kde je významný vliv drsnosti, bylo různými autory odvozeno několik desítek
rovnic, nejčastěji se však používá vzorec, který odvodil Colebrook - White
Odpor proti pohybu – odpor třením
40
2
27,0Re
51,2log2
1
d
k
( 4.1.6)
Tato rovnice je implicitní a se musí řešit iterací. Proto byly v posledních letech mnoha
autory odvozeny pro explicitní vzorce. Jako příklad je uvedena rovnice odvozená
Churchillem
12
1
5,1
121
Re
88
ba
1616
9,0
Re
3753027,0
Re
7ln457,2
ba
( 4.1.7)
V dostupných software na řešení proudění v potrubí (SimHydraulics) se užívá následující
kombinace vztahů pro určení součinitele tření (Haalandův vztah analogický variantě
Colebrook-White):
laminární proudění Re
64l Re<2000
přechodové proudění lt xx 1 2000<Re<4000
kde 2000
2000Rex
turbulentní proudění 2
11,1
7,3Re
9,6log8,1
1
d
kt Re>4000
( 4.1.8)
Graficky zpracované závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a případně drsnosti
jako parametru byly vyhodnoceny v diagramu autora Nikuradseho, viz obr. 4.1.
Vliv drsnosti potrubí vyšetřoval Nikuradse (v letech 1930 až 1933), Colebrook,
Churchill a další. Absolutní drsnost potrubí k závisí na druhu materiálu, zpracování a
provozních podmínkách (koroze, eroze). Podle zkušeností různých autorů jsou v tab. 4.1
uvedeny drsnosti vybraných materiálů.
tab. 4.1 Absolutní drsnost materiálů potrubí k
Materiál potrubí Původní stav (mm) Korodovaný stav (mm)
Odpor proti pohybu – odpor třením
41
Tažené trubky mosazné, měděné, hliníkové 0,0015 až 0,003 0,003 až 0,1
Bezešvé trubky ocelové 0,04 až 0,1 0,1 až 0,9
Tažené trubky ocelové 0,03 až 0,12 0,12 až 0,9
Svařované trubky ocelové 0,05 až 0,1 0,1 až 0,9
Pozinkované trubky ocelové 0,15 až 0,5 0,5 až 3,5
Vodovodní potrubí po 20-ti a více letech
v provozu
0,6 až 3,0
Skleněné trubky, trubky z plastů 0,001 5 až 0,01
Pryžové hadice 0,01 až 0,03
Betonové potrubí 0,3 až 6,0
Odpor proti pohybu – odpor třením
42
obr. 4.1 Nikuradseho diagram =(Re,)
4.2 Experimentální určení třecího součinitele
Ztrátové součinitele se určují na daném prvku z tlakového spádu jako funkce průtoku,
nebo naopak z průtoku jako funkce tlakového spádu a fyzikálních vlastností kapaliny a
geometrických rozměrů hydraulického prvku. Tyto závislosti se obecně nazývají statické
charakteristiky.
Jednoduchý hydraulický obvod k určení statické charakteristiky např. potrubí bude tedy
sestávat z následujících prvků
zdroj kapaliny (N)
potrubí (např. T1)
průtokoměr (C) - clona
tlakoměr pro měření tlakové diference – obrácená U trubice
kulové kohouty (KK, KK1)
Schéma obvodu je na obr. 4.2.
obr. 4.2 Schéma obvodu pro měření statické charakteristiky. Potřebuji obrázek
Je zřejmé, že obvod se skládá z řady potrubí a hydraulických prvků a armatur jako jsou:
- čerpadlo, které může být nahrazeno v případě statických charakteristik měřeným
průtokem pomocí průtokoměru nebo clony za čerpadlem a její cejchovní křivky
- clona, která je zdrojem ztrátového tlakového spádu
- koleno, redukce, T-kusy, kohouty jsou klasické místní odpory, kde ztrátové součinitele
jsou řadou experimentů kvalitně proměřeny a definovány (kohout je problematický
prvek, jehož odpor závisí na velikosti otevření).
Odpor proti pohybu – odpor třením
43
Všechny tyto prvky způsobují tlakové ztráty v obvodu.
Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno
regulovat jak pomocí regulace otáček čerpadla (HG), tak pomocí kulového kohoutu KK
(plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U trubici
případně manometru. Měření průtoku v obvodu je realizováno pomocí průtokoměru nebo
clony s U trubicí zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná rychlosti
proudění. Postup pro určení tlakového spádu a následně charakteristik je analogický
předešlé úloze. Jediným rozdílem bude, že ze ztrátového součinitele se určí třecí součinitel
takto:
l
d
d
l
Průtokový součinitel pro potrubí nemá smysl definovat. Pro porovnání s experimentem se
určí teoretický součinitel tření dle některého z výše uvedených empirických závislostí (např.
Blasiův vztah pro nízká Reynoldsova čisla). Postup výpočtu se opakuje pro nejméně 10
hodnot průtoku a sestrojí závislost tlakové ztráty třením na objemovém průtoku Qfp
a diagram Ref ,
Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na
průtoku, viz obr. 3.2, a dále jako závislost součinitele tření na Reynoldsově čísle, viz obr. 3.3.
y = 2927,3x1,7207
R2 = 0,9993
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Q v [m3hod
-1]
p
p [P
a]
obr. 4.3 Příklad závislosti tlaku na průtoku
Odpor proti pohybu – odpor třením
44
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Re [1]
[
1]
třecí součinitel pro naměřené hodnoty
spoučinitel tření vypočtený ze vzorce
obr. 4.4 Příklad závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle
4.3 Výpočet tlakového spádu - Hydraulics
Schéma pro výpočet tlakového spádu v Hydraulics je na obr. 4.5. Výsledkem jsou
číselné hodnoty průtoku a tlakového spádu v oknech Display.
Pokud potrubí stoupá do určité výšky, je nutno uvažovat s hydrostatickým tlakem.
Tento tlak snižuje hodnotu tlakového spádu v potrubí.
obr. 4.5 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí
Odpor proti pohybu – odpor třením
45
Obvod sestává z prvků specifikovaných v předešlé kapitole, pouze hydraulický odpor je
zaměněn za potrubí.
Hydraulické potrubí
Hydraulické potrubí (Hydraulic Resistive Tube) je blok pro definici odporu
proti pohybu při proudění v potrubí, přitom zohledňuje i nekruhové průřezy
potrubí. Je možno přidat také ekvivalentní délku pro případ, že se v potrubí
vykytují místní ztráty.
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/
Tlakový spád je dán rovnicí
Sd
llp
d
eq
22
laminární proudění Re
64l Re<2000
přechodové proudění lt xx 1 2000<Re<4000
kde 2000
2000Rex
turbulentní proudění 2
11,1
7,3Re
9,6log8,1
1
d
kt Re>4000
Odpor proti pohybu – odpor třením
46
Pipe internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,01 m
Pipe length Délka potrubí 5 m
Aggregate eguivalent length of local resistances
Ekvivalentní délka místních ztrát
1 m
Internal surface roughness height Drsnost vnitřního
povrchu 1.5.10-
5 m
Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 1
Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní
hranice 4.103 1
Do obvodu mohou být vloženy také hydraulické prvky, jako jsou kolena, T kusy (prvky
pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony a obecné odpory. Tyto prvky
představují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydraulics definovány a mohou být
využity.
Odpor proti pohybu – odpor třením
47
4.4 Výpočet tlakového spádu – Pneumatic
Následující obvod bude řešit tlakový spád na potrubí v systému s proudícím
vzduchem.
obr. 4.6 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí
V dalších kapitolách budou specifikovány vybrané pneumatické prvky obsažené
v knihovně Matlab/Simulink/Simscape/Foundation/Pneumatic, které budou použity v daných
úlohách. Knihovna obsahuje základní pneumatické elementy, zdroje tlaku a snímače
potřebné k simulaci. Většina modelů je založena na následujících předpokladech:
- Plyn je ideální
- Měrné tepelné kapacity (cp, cv) při konstantním tlaku a objemu jsou konstantní.
- Proces musí být adiabatický, tzn. neexistuje žádný přenos tepla s okolím.
- Gravitační účinky lze zanedbat
Použité prvky jsou v dalším textu specifikovány.
Základní prvky pneumatického obvodu
Vlastnosti plynu (Gas Properties) - prvek má jeden port A, který se připojí
v libovolném místě k pneumatickému obvodu. Blok slouží ke specifikaci
plynových vlastností, které jsou považovány za konstantní v průběhu
simulace. Pokud není tento blok připojen k obvodu, jsou na pneumatických
prvcích nastaveny výchozí parametry, které odpovídají základnímu
nastavení (vzduch).
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Elements/)
Nastavení parametrů:
Odpor proti pohybu – odpor třením
48
Postupně se zadává měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku, měrná tepelná
kapacita při konstantním objemu, viskozita plynu (dynamická), tlak okolního plynu,
teplota okolního plynu.
Atmosférická reference (Pneumatic Atmospheric Reference) - blok
poskytuje referenční zdroj plynu nastavený na okolní teplotu a tlak. Při
použití atmosférického referenčního bloku s blokem „Pneumatic Presure
Source“ (zdroj konst. tlaku.), můžeme modelovat ideální zdroj relativního
tlaku, který zvyšuje atmosférický tlak na konstantní výši.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Elements/)
Absolutní reference (Pneumatic Absolutec Reference) - prvek poskytuje
referenční pneumatický port o referenčním absolutním nulovém tlaku
(vakuum) a absolutní nulové teplotě umožňuje počítat absolutní tlak (jako
výstup).
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Elements/)
Snímač hmotnostního průtoku a tepelného toku (Pneumatic Mass &
Heat Flow Sensor) - prvek má celkem 4 porty a to pneumatické porty A a
B, kde A je port na vstupu a B na výstupu. Port G slouží pro vyvedení
fyzikálního signálu hmotnostního průtoku a port Q slouží pro vyvedení
fyzikálního signálu tepelného toku.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sensors/)
Snímač tlaku a teploty (Pneumatic Pressure & Temperature Sensor) -
prvek obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je připojen na vstupu
do bloku a B na výstupu. Port P slouží pro vyvedení fyzikálního signálu
Odpor proti pohybu – odpor třením
49
tlakové diference a port T pro vyvedení fyzikálního signálu teplotní
diference. Blok slouží ke snímání teploty a tlaku mezi dvěma uzly, které
pomocí portu G a Q převádí na fyzikální signály námi měřených veličin.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sensors/)
Pneumatický zdroj hmotnostního průtoku (Pneumatic Flow Rate
Source) - Blok obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je přiveden na
vstup do bloku a B na jeho výstup. Blok slouží k simulaci ideálního
kompresoru se stálým hmotnostním průtokem bez ohledu na rozdíl tlaku
(např. objemové kompresory). Pozitivní směr bloku je z portu A do portu B,
to znamená, že průtok je pozitivní, jestliže proudí z A do B.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sources/)
Řízený pneumatický zdroj hmotnostního průtoku (Controlled Pneumatic
Flow Rate Source) - Blok obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je
připojen na vstup do bloku a B na výstupu z bloku. K bloku je dále přiveden
port pro fyzikální signál F (řídící signál) k nastavení velikosti průtoku.
Tlaková diference je stanovena jako p = pA-pB a je negativní jestliže tlak
zdroje na výstupu je větší než na jeho vstupu.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sources/)
Pneumatický zdroj tlaku (Pneumatic Pressure Source) - blok obsahuje
dva pneumatické porty A a B kde A je přiveden na vstup do bloku a B na
jeho výstup. Blok slouží k simulaci ideálního kompresoru se stálým
rozdílem tlaku bez ohledu na průtok. Blok se používá tehdy, kdy tlak
skutečného zařízení je prakticky nezávislý na zdrojovém průtoku např.
v továrních síťových výstupech nebo velkoobjemových přijímačích.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sources/)
Řízený pneumatický zdroj tlaku (Controlled Pneumatic Pressure Source)
- A je portem na vstupu do bloku a B na jeho výstupu. K bloku je dále
přiveden port pro fyzikální signál F (řídící signál) k nastavení velikosti
tlakové diference (rozdílu tlaku na vstupu a výstupu).
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sources/)
Pneumatické potrubí - odpor proti pohybu
Potrubí s odporem proti pohybu (Pneumatic Resistive Tube) - prvek
definuje tlakovou ztrátu a tepelnou ztrátu v důsledku viskózního tření podél
úseku potrubí s kruhovým průřezem.
(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Elements/)
Tlaková ztráta se simuluje podle následujících rovnic:
Odpor proti pohybu – odpor třením
50
G
Sd
lll
p
rTpp
h
eq
i
ii 20
32
pro lamReRe
GG
Sd
ll
p
rTpp
h
eq
i
ii 20
2
pro turbReRe
kde G je hmotnostní průtok, r je měrná plynová konstanta pro vzduch a je definována jako
podíl univerzální plynové konstanty (8314,41 J.kmol-1.K-1) a molekulové váhy vzduchu (28,96
kg.kmol-1).
Koeficient tření pro turbulentní proudění je aproximován Haalandovou funkcí:
2
11,1
7,3Re
9,6log8,1
1
d
kt
Reynoldsovo číslo je definováno jako:
hvdRe
V reálném potrubí, je ztrátová kinetická energie v důsledku tření přeměňována na
tepelnou energii. Nicméně množství tepla je velmi malé a proto ho zanedbáváme. Tedy qi =
q0.
Základní předpoklady a omezení použití:
- Plyn je ideální
- Trubka má kruhový průřez
- Proces je adiabatický, tedy nedochází k výměně tepla s prostředím
- Gravitační účinky lze zanedbat
- Průtokový odpor nepřidává žádný tepelný tok.
Odpor proti pohybu – odpor třením
51
Tube internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,01 m
Tube length Délka potrubí 10 m
Aggregate eguivalent length of local resistances
Ekvivalentní délka místních ztrát
0 m
Internal surface roughness height
Drsnost vnitřního povrchu
1.5.10-
5 m
Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 1
Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní
hranice 4.103 1
Výsledkem simulace je tlakový spád vs. hmotnostní průtok. Hmotnostní průtok lze
přepočítat na objemový dle vztahu Gp
rTGQQG
. Pro získání hodnot
hustoty je třeba realizovat blok pro určení hustoty, který není základním výchozím blokem
programu Matlab, ale obsahuje další obvod vykonávající funkci snímače průtoku. Zde se
vyhodnocuje hmotnostní průtok, tlak a teplota. Výsledkem pak je hodnota objemového
průtoku. Na obr. 4.7 je znázorněn obvod pro vyhodnocení objemového průtoku. Je složen ze
dvou větví. Horní větev obsahuje snímač hmotnostního průtoku a tepelného toku, zde je
využito jen měření hmotnostního průtoku G. Spodní větev obsahuje snímač tlaku a teploty,
Odpor proti pohybu – odpor třením
52
tyto hodnoty potom se použijí do stavové rovnice RTp
, ze které se vypočte hodnota
hustoty. Hodnota hmotnostního průtoku se vydělí hodnotou hustoty, poté se výsledná
hodnota vynásobí šedesáti, konečným výstupem z bloku měření je hodnota objemového
průtoku.
obr. 4.7 Subsystém pro určení objemového průtoku
4.5 Výpočet statické charakteristiky - jednoduchého potrubí
Statická charakteristika se řeší obvodem stejným, jako v kap. 3.5. Zobrazovací a
vyhodnocovací elementy jsou stejné. Obvod sestavený v SimHydraulics při použití
jednoduššího zobrazení charakteristiky je na obr. 4.8. Graf statické charakteristik se získá
přenosem dat do EXCELu.
Odpor proti pohybu – odpor třením
53
obr. 4.8 Obvod pro výpočet statické charakteristiky potrubí s přenosem dat do EXCELu
4.6 Složený potrubní systém
4.6.1 Řešení složeného potrubního systému sériového
Řešení základních případů složeného potrubí je možno rozčlenit na tři základní případy. Je to
složené potrubí sériové, paralelní potrubí a sériové potrubí s odběrem množství.
Při sériově řazeném potrubním
systému, viz obr. 4.9, se vychází ze
skutečnosti, že pro daný průtok v potrubí Q
je výsledná ztrátová měrná energie (tlaková
ztráta, ztrátová výška) složeného potrubí
dána algebraickým součtem měrných
energií (resp. tlakových ztrát a ztrátových
výšek) jednotlivých prvků složeného
potrubního systému (platí zákon o okruzích
z teorie el. obvodů), tedy
obr. 4.9 Schéma sériově řazeného potrubního
systému
Odpor proti pohybu – odpor třením
54
21212121
2121 PPPPPP
PPP HHggHppp
YYY
( 4.6.1 )
Podrobněji platí pro potrubí P1 (mezi průřezy 1-2) a potrubí P2 (mezi průřezy 2-3):
P1: 222
21
1
112
212
1
211 v
d
lgh
vpgh
vp
2
21
1
121211
v
d
lhhgpppP resp.
QQkhhgp QP 1211
P2: 222
22
2
223
223
2
222 v
d
lgh
vpgh
vp
2
22
2
232322
v
d
lhhgpppP resp.
QQkhhgp Q 2322
P(1+2):
22
22
2
22
21
1
113221
2121
v
d
lv
d
lhhhhg
ppp PPP
resp.
QQkkhhgppp QQPPP 21312121
Odpor proti pohybu – odpor třením
55
0
1
2
3
4
0.000000 0.002000 0.004000 0.006000 0.008000 0.010000 0.012000 0.014000 0.016000 0.018000
Q [m3s
-1]
p P(1+2)
p P2 p P1
p [MPa]
obr. 4.10 Charakteristika sériově řazeného potrubí
4.6.2 Řešení složeného potrubního systému paralelního
Pro paralelní potrubní systém (dvě
paralelně řazená potrubí) platí rovnice
spojitosti v každém uzlu, tj. součet všech
průtoků do uzlu vtékajících a vytékajících (se
záporným znaménkem) je roven nule:
2121 PPP QQQ ( 4.6.2 )
která je analogií Kirchhoffova zákona u teorie
el. obvodů. Měrná energie, tlak resp. tlaková
výška v daném uzlu je stejná. Pro jednotlivá
potrubí platí opět Bernoulliho rovnice
obr. 4.11 Schéma paralelně řazeného potrubního
systému
P1: 222
21
1
112
212
1
211 v
d
lgh
vpgh
vp
2111221 PQ Qkhhgppp
1
211
Q
Pk
hhgpQ
Odpor proti pohybu – odpor třením
56
P2: 222
22
2
222
222
1
221 v
d
lgh
vpgh
vp
2221221 PQ Qkhhgppp
2
212
Q
Pk
hhgpQ
P(1+2): 2121 PPxP QQQ
2
21
1
21
QQ k
hhgp
k
hhgp
V tomto případě se tedy sčítají charakteristiky jednotlivých potrubí podle průtoku, viz obr.
4.11.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.000000 0.020000 0.040000 0.060000 0.080000 0.100000 0.120000 0.140000 0.160000 0.180000 0.200000 0.220000
Q [m3s
-1]
Q P(1+2)
Q P2
Q P1
p [MPa]
obr. 4.12 Charakteristika paralelně řazeného potrubí
4.6.3 Výpočet rozvětvené nebo okruhované sítě
Potrubní systém je buď
jednoduchý, tvořený jedním potrubím
nebo složený, sestávající z většího počtu
potrubí tvořících obvod obsahující uzly a
větve (viz teorie elektrických obvodů),
případně zdroje kapaliny. Na jobr. 4.13 je
p
h
v U = 0
p 1
1
1
1
2 2
v 1 0
obr. 4.13 Schéma jednoduchého potrubního
Odpor proti pohybu – odpor třením
57
schéma případu jednoduchého potrubního
systému.
systému
Na obr. 4.14 je schématicky
znázorněn složený potrubní systém, kde
je možno identifikovat části rozvětveného
a okružního systému v kombinaci. Řešení
takového systému je matematicky
složitější, využívá se maticového přístupu
k popisu systému a počítačů při
numerickém zpracování. Pro rozvětvenou
nebo okružní síť při izotermickém
proudění pro každou její větev
p0
1A
B
2
37
6
5
4
F
G
H
C
D
8 Diagonála
obr. 4.14 Schéma složeného potrubního systému, tj.
rozvětveného a okružního
musí platit Bernoulliho rovnice. Tak obecně pro větev mezi uzly i a 1i lze napsat:
2
1 iQiiii Qkhhgp ( 4.6.3 )
Pro každý uzel sítě musí platit rovnice kontinuity (uzlová podmínka)
0 iQ ( 4.6.4 )
což je analogie Kirchhofova zákona u elektrických obvodů, přitom průtoky mají znaménko
podle toho, jestli kapalina do uzlu přitéká nebo vytéká.
Pro okružní síť pro každý její okruh musí analogicky platit analogie druhého Kirchhofova
zákona, tj. že součet měrných energií (resp. tlakových diferencí, resp. tlakových výšek)
v jednotlivých větvích postupně sčítaných v jednom smyslu je opět roven nule (okruhová
podmínka):
0 ip ( 4.6.5 )
Celkový počet rovnic, který pro danou síť lze napsat je
kjn (4.6.6 )
kde j je počet větví a k je počet uzlů. Počet okruhů je 1 kjm . Pokud je počet rovnic
relativně malý, je možno výše uvedené systémy řešit analyticky.
Nechť je pro názornost dána okruhovaná síť [11] pro jednoduchost s jedním okruhem,
pěti potrubími a jedním vstupem průtoku 1q a výstupem 3q podle schématu obr. 4.15.
Odpor proti pohybu – odpor třením
58
obr. 4.15 Schéma okruhované sítě s jedním okruhem
Okruh je označený I, uzly jsou označeny číslicemi 1-5 (náhodně) a větve písmenem P
(potrubí) a dvojicí čísel definovaných uzly, které jsou tímto potrubím spojeny, tj. P12, P23,
P34, P45 a P15, přitom pořadí uzlů nesouvisí se směrem průtoku, ten je dán znaménkem.
Pro hledané průtoky v uzlech platí uzlová podmínka, tj.
0:5
0:4
0:3
0:2
0:1
4515
3445
33423
2312
15121
qQQ
QQq
(4.6.7 )
Pro tlakový spád v okruhu platí okruhová podmínka
2
1515
2
4545
2
3434
2
2323
2
12120 QkQkQkQkQkp QQQQQI (4.6.8 )
Rovnici (4.6.7 ) lze zjednodušit tak, že všechny průtoky se vyjádří pomocí 12Q a zadaného
vstupního a výstupního průtoku 1q a 3q
1233445
12323334
1223
12115
QqQQ
QqQqQ
QqQ
Vztahy se využijí v rovnici (4.6.8 )
212115
2
12345
2
12334
2
1223
2
12120 QqkQqkQqkQkQk QQQQQ
Kvadratické dvojčleny se umocní a roznásobí:
Odpor proti pohybu – odpor třením
59
c
QQQ
b
QQQ
a
QQQQQ
Q
QQQQ
qkqkqk
QqkqkqkQkkkkk
QQqqk
QQqqkQQqqkQkQk
2
115
2
345
2
334
12115345334
2
121545342312
2
12121
2
115
2
12123
2
345
2
12123
2
334
2
1223
2
1212
2
2
220
Získala se kvadratická rovnice o je jedné neznámé 12Q , kterou lze vyřešit analyticky:
a
acbbQcbQaQ
20
2
1212
2
12
Ostatní průtoky se určí zpětným dosazením.
V případě složitějšího potrubního systému se dvěma okruhy, viz schéma na obr. 4.16,
se využije výše popsaná metodika, tj. vytvoří se pět rovnic z uzlové podmínky pro průtoky
(stejný počet jako pro jeden okruh, protože počet uzlů je stejný) a dvě rovnice pro tlakové
spády z okruhové podmínky.
obr. 4.16 Schéma okruhované sítě se dvěma okruhy
Tedy rovnice ( 4.6.4 ) bude ve tvaru
0:5
0:4
0:3
0:2
0:1
452515
3445
33423
252312
15121
QQQ
qQQ
QQQ
QQq
251233445
2512323334
251223
12115
QQqQQ
QQqQqQ
QQQ
QqQ
(4.6.9 )
Bylo nutné zvolit dva neznámé průtoky (např. 12Q a 25Q ) a ostatní pomocí nich vyjádřit. Dvě
rovnice pro okruhy jsou následující
Odpor proti pohybu – odpor třením
60
2
2525
2
4545
2
3434
2
2323
2
1515
2
2525
2
1212
0
0
QkQkQkQkp
QkQkQkp
QQQQII
QQQI
(4.6.10 )
Je zjevné, že dosazením průtoků z rovnice (4.6.9 ) se získají dvě kvadratické rovnice o
neznámých 12Q a 25Q . Tyto průtoky lze vypočítat jen numericky. Proto se využije
následující postup spočívající v linearizaci výše uvedených kvadratických rovnic.
Ve větvích potrubní sítě se průtoky rozdělí tak, že v každé uzavřené smyčce je součet
tlakových ztrát roven nule. Protože rozložení průtoků je neznámé, provede se počáteční
odhad těchto průtoků s tím, že platí uzlová podmínka (součet průtoků v uzlu je roven nule).
Součet tlaků v okruzích pro tako odhadnuté průtoku nebude roven nule, tedy nebude
splněna podmínka o okruzích, tj. v každém okruhu bude součet tlakových ztrát roven tzv.
reziduálu p
0 ppi (4.6.11 )
Podle velikosti reziduálu a znaménka je možno posoudit, která větev smyčky a do jaké míry
je předimenzována a naopak. Pro získání správných veličin průtoků a ztrát v úsecích sítě je
nutno korigovat nesprávně dimenzované úseky. Síť se koriguje do té doby, než všechna
rezidua neklesnou pod únosnou mez, tj. pro smyčky je 5.0 dovh m a pro sítě je
1 dovh m. Pro provedení korekce existují různé iterační metody.
Potrubní síť je popsána soustavou algebraických rovnic, z nichž k rovnic je
lineárních dle ( 4.6.4 ) a j rovnic je nelineárních (kvadratických) dle ( 4.6.5 ), přičemž
neznámými jsou průtoky v jednotlivých větvích. Při větším počtu rovnic se pro řešení využije
numerických metod pro řešení soustav algebraických nelineárních rovnic, např. Newtonovy
iterační metody. Při velkém počtu rovnic může úloha pomalu konvergovat, proto se používají
i jiné metody výpočtu, u nichž je rychlost konvergence větší. Jako příklad bude prezentována
metoda Hardy-Cross.
Ve větvích jsou označeny počáteční aproximace průtoků včetně směru a z nich jsou určeny
tlakové ztráty. Rezidua za předpokladu pro všechny smyčky jsou dána dle ( 4.6.5 ):
2
2525
2
4545
2
3434
2
2323
2
1515
2
2525
2
1212
QkQkQkQkp
QkQkQkp
QQQQII
QQQI
Předpokládá se, že při počáteční aproximaci hodnot a směrů průtoků mají rezidua ve všech
smyčkách kladná znaménka. Pak poddimenzované jsou části s pohybem ve směru
hodinových ručiček. Definují se tzv. korekční průtoky, které musí být záporné a směrovány
Odpor proti pohybu – odpor třením
61
proti pohybu hodinových ručiček. Po zavedení korekčních průtoků pro oba okruhy III QQ ,
je možno zapsat následující rovnice:
0
0
2
2525
2
4545
2
3434
2
2323
2
1515
2
2525
2
1212
IIIQ
IIQIIQIIQ
IQIIIQIQ
QQQk
QQkQQkQQk
QQkQQQkQQk
Výrazy v závorkách se umocní a zanedbají se členy obsahující 2IQ , 2IIQ , které při
konvergenci výpočtu konvergují k nule a jejich druhé mocniny jsou tedy zanedbatelné, např.
IQQ
IQIIQIQ
QQkQk
QQQkQQQQkQQk
1212
2
1212
12
2
1212
0
2
12
2
1212
2
1212
2
22
Tím se získá soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé IQ , IIQ :
02
2
022
2525
2525454534342323
2
2525
2
4545
2
3434
2
2323
2525151525251212
2
1515
2
2525
2
1212
QkQ
QkQkQkQkQQkQkQkQk
QkQQkQkQkQQkQkQk
QI
QQQQIIQQQQ
QIIQQQIQQQ
nebo stručněji
022 2525
3
1
QkQQkQp QII
iIiQiII
022 2525
4
1
QkQQkQp QI
iIIiQiIIII
Tato soustava je jednoduchá, pro lepší přehlednost se zapíše ve tvaru
IIIIIIII
IIIIIII
pQbQb
pQaQa
se vyřeší pro neznámé IQ , IIQ eliminací následujícím postupem:
Odpor proti pohybu – odpor třením
62
I
IIIIII
IIIIII
IIIIIII
IIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIII
IIIIII
I
IIIIII
I
IIIIII
a
QapQ
abba
pbpaQ
pbpaabbaQ
paQbaQabpb
pQba
Qapb
a
QapQ
,
Obecně takových rovnic je možno napsat tolik, kolik je smyček v potrubním systému. Počet
rovnic odpovídá počtu neznámých, obecný tvar rovnice je
0...222 rrQrIkkQkmiQmimi QQkQQkQkQp (4.6.12 )
kde mi je číslo smyčky, ,...,rk jsou indexy společných větví sousedních smyček. Pro
vyřešení soustavy lineárních algebraických rovnic pro neznámé miQ se užije maticového
vyjádření, tj. teorie elektrických obvodů a eliminačních nebo iteračních metod řešení
s využitím počítače. Existuje celá řada komerčních programů týkajících se výpočtu
potrubních sítí, které jsou zaměřené na rozvody vody, kanalizace, ústřední topení (s
teplotou) apod.
Odpor proti pohybu - místní odpor
63
5. Odpor proti pohybu - místní odpor
Místní odpor proti pohybu je definován ztrátovým součinitelem. Jeho hodnotu lze
v některých případech odvodit, ale zpravidla je pak korigován experimentálním měřením.
V následující kapitole bude odvozena metodika určení ztrátového součinitele v jednodušších
hydraulických prvcích s konstatntní průtočnou plochou, jako je koleno, clona, redukce apod.
a následně v prvcích s nekonstantním průtočným průřezem jako je kohout, ventil. Teoreticky
je tatokapitola shodná s kap. 3.
5.1 Experimentnální určení ztrátového součinitele
5.1.1 Koleno 450
Typickým prvkem, který se v hydraulických obvodech definuje jako místní prvek, je
koleno. Pro použití v matematických modelech je nutné určit ztrátový součinitel . Při určení
ztrátového součinitele byl využit obvod, který souží k určení ztrátových součinitelů více
prvků, viz obr. 5.1.
obr. 5.1 Obvod pro měření místních ztrát, koleno
Postup měření je shodný s postupem v 3.2 a výpočet pro průtokový součinitel je
následující. Ze změřených hodnot se vytvoří graf závislosti tlaku na průtoku, tedy
charakteristika, viz obr. 5.1.
Odpor proti pohybu - místní odpor
64
obr. 5.1 Charakteristika kolena, tj. závislost tlakové ztráty na průtoku
Pro určení ztrátového koeficientu se využije metoda regresní funkce 2RQpm .
Proložením lineární závislosti se určí odpor R (obr. 5.2) a následně ztrátový součinitel:
2
2
2
2
SR
SR (5.1.1)
obr. 5.2 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky pro
určení koeficientu R .
21.3867839090.00025446*2
**. 1000
100686612
10
Pozn. Na pracovišti byly vytvořeny obvody, kde bylo využito plastových hydraulických prvků
při sestavování převážně metody svařování. Proto vychází zrátový součinitel vysoký
(minimálně o 20% vyšší než udává literatura). Ve výpočtech je pak možno zvýšit tlakový
spád na koleni a tím získat reálnější výsledky z modelování.
Odpor proti pohybu - místní odpor
65
5.1.2 Clona
Clona je používána jako laboratorní i průmyslový průtokoměr založený právě na měření
rozdílu tlaků těsně před a za primárním prvkem průtokoměru. Základní skupinou těchto
průtokoměrů jsou škrtící orgány, mezi které patří clona, dýza, Venturiho trubice, atd. Měření
průtočných vlastností tvarovek a regulačních armatur a jejich cejchování by měl provádět
výrobce. Údaje výrobce bývají mnohdy neúplné a nespolehlivé, proto je často nezbytné
ověřit průtočné vlastnosti daného prvku. Základním předpokladem kvalitního měřícího úseku
je dostatečně dlouhý přívodní úsek, který umožňuje ustálení turbulentního nebo laminárního
proudění ještě před vstupním průřezem měřené armatury. Délka potrubí před a za měřícími
prvky (clonou, dýzou a Venturiho trubicí) se volí podle příslušných předpisů a norem.
Legenda:
v1……..rychlost proudění před clonou
v2……..rychlost proudění za clonou
d……..průměr otvoru škrtícího orgánu (na
obrázku je uvedena normalizovaná clona)
D…….průměr potrubí
ps….…vstupní statický tlak
p1….…snímaný tlak před škrticím orgánem
p2…….snímaný tlak za škrticím orgánem
p…....diferenční tlak (p1-p2)
pz…..trvalá tlaková ztráta
obr. 5.3 Tlakové poměry v okolí škrticího orgánu
obr. 5.4 Vývody tlakové diference.
Z předcházejícího schématu je patrné, že na cloně existuje trvalá tlaková ztráta pz, kterou je
nutné vložit do obvodu, pokud se řeší např. dynamika obvodu (pro měření průtoku se
využívá diferenční tlak p = (p1 - p2), který je dobře čitelný a má potřebný rozsah). Ztrátový
součinitel je určen shodným způsobem, jako ztrátový součinitel na koleni, viz 5.1.1.
Odpor proti pohybu - místní odpor
66
Pozn. Pro určení cejchovní křivky (závislosti průtoku na diferenčním tlaku (p1-p2) ) se do
obvodu vloží další prvek kalibrovaný průtokoměr pro určení průtoku. Cejchovní křivka může
být definována při měření na U trubici závislostí průtoku Q pouze na hc, třeba i v
milimetrech, neboť v koeficientech cejchovní křivky určené regresní rovnicí se toto zohlední.
5.1.3 Kohout kulový
Prvky provádějící jakékoliv škrcení průtoku pracovního media se vyznačují vysokými
hodnotami místních odporů, jsou to například škrtící kohouty, rozváděcí ventily, jednosměrné
ventily, pojistné ventily, přepouštěcí ventily, hydraulické převodníky. Kulový kohout je dnes
velmi rozšířený prvek, tato konstrukce se začala prosazovat až v poslední době s nástupem
technologií umožňujících výrobu přesných koulí a nových těsnících materiálů.
Vlastním uzavíracím orgánem je koule, která má
válcový otvor stejného průměru jako vstupní otvor do
kohoutu, při plném otevření se tedy vytvoří přímý
průtočný kanál, bez významných hydraulických ztrát.
Uzavírání a otevírání nastává po otočení koule až o
900. Kulové kohouty jsou vhodné pro prosté uzavírání
nebo otevírání průtoku.
obr. 5.5 Kulový kohout
Schéma obvodu je stejné jako na obr. 5.1 a postup měření také. Pro měřený kulový
kohout KK1 byly určeny čtyři polohy uzavření, od plného otevření až po čtvrtou polohu před
téměř úplným uzavřením dovolující úspěšné měření. Poloha pátá, tj. zavřeno, je neměřitelná
a odpovídá 90°.
Poloha 1- 0° Poloha 2- 20° Poloha 3- 40° Poloha 4- 60° Poloha zavřeno
obr. 5.6 Kulový kohout
Grafické vyhodnocení měření
Postupem uvedeným v kapitole o určení ztrátového součinitele na koleni se určí pro čtyři
varianty otevření kohoutu čtyři charakteristiky, viz obr. 5.7, které jsou ale dle definice obrácené,
tedy
pSQ
2
Odpor proti pohybu - místní odpor
67
kde Q je průtok škrtícím ventilem, je průtokový součinitel, S je průtočná plocha ventilu a
je měrná hmotnost kapaliny a graficky se jedná o obrácené paraboly. Prakticky lze ale
využít klasickou definici p-Q charakteristiky a metodiku dle kap. 3.2 a určit ztrátový součinitel
a následně průtokový součinitel
obr. 5.7 Charakteristiky p-Q pro různé otevření kohoutu
Určí se čtyři ztrátové součinitele pro tyto čtyři variaty. Podle návodu na určení ztrátového
součinitele pro koleno je možno určit ztrátový součinitel lineární regresí, viz obr. 5.8.
2
1112
2
2
2
SR
SR
SR
Odpor proti pohybu - místní odpor
68
obr. 5.8 Graf pro určení průtokového součinitele
Pro jednotlivá otevření se označí 600,..., a vykreslí tato závislot graficky, viz obr. 5.9.
obr. 5.9 Graf pro určení ztrátového součinitele v závislosti na oteření
Odpor proti pohybu - místní odpor
69
V programu SimHydraulics se takový kohout zadává několika variantami, z čehož pak
vyplyne další upřesnění vstupních dat:
A) maximální průtočná plocha a otevření (By maximum area and opening). Mezi
krajními polohami otevření a zavření je lineární závislost. Tato metoda je nejméně přesná,
nebo vhodná pouze pro polohu otevření a uzavření kohoutu.
B) závislostí průtočné plochy na otevření (By area vs. opening table). Zde se zadává
otevření kohoutu formou vektoru a k němu odpovídající bude i vektor průtočných ploch
příslušných ke každému otevření kohoutu. Dále je nutno definovat průtokový součinitel pro
plné otevření kohoutu.
C) charakteristikou Qfp (By pressure-flow characteristics). Zde je nutné zadat
opět vektor otevření kohoutu, k němu příslušný vektor tlakových spádů na kohoutu a
dvojrozměrný vektor, tedy matici, ve které budou zapsány vektory průtoku pro shodný vektor
tlaků. Podle počtu otevření bude mít matice počet řádků a podle počtu tlakových spádů bude
mít matice sloupců.
ad B) Nejoptimálnější variantou je druhá možnost, tedy závislost průtočné plochy na úhlu
otevření při konstantním průtokovém součiniteli (pro všechny varianty otevření). Jak již bylo
řečeno, pro určení průtokového součinitele je možno pokračovat metodou linearizovaných
grafů 2Qfp . Nechť je kohout zcela otevřený, pak průtočná plocha je maximální a je
rovna průtočné ploše okolního potrubí 0S . Koeficient 0 lze určit ze ztrátového
součinitele určeného z křivky pro plné otevření kohoutu 2
11
SR
2
11
00
0
SR
Tedy průtokový koeficient je určen a je konstantní i pro charakteristiky při částečném
otevření kohoutu. Při definování dalších charakteristik se tedy musí měnit průtočná plocha,
kterou lze určit např. z výkresové dokumentace, kde se nezohlední ztráty z důvodu zavíření
proudu, ale mnohem snažší je použít charakteristiky z experimentu. Další průtočné plochy
pro otevření 200 , 400 a 600 se určí z dalších charakteristik kohoutu, ale průtokový součinitel
bude konstantní, tedy pro otevření 200 platí
0
0
2020
2
20
2
0
2
0
2
20
202
11
2
11
SS
SSR
( 5.1.2)
Odpor proti pohybu - místní odpor
70
Další průtočné plochy se určí analogicky.
Výsledky pro tento ventil je možno shrnout do tabulky
otevření S
0° 1.314430273 0.0002545
20° 1.314430273 0.0001717
40° 1.314430273 0.0000561
60° 1.314430273 0.0000272
obr. 5.10 Hodnoty průtokového součinitele a průtočné plochy pro různé otevření ventilu
Optimální je mít naměřeno více charakteristik pro další otevření ventilu, protože výpočet
bude přesnější.
ad C) Zde je nutné zadat opět vektor otevření kohoutu, k němu příslušný vektor tlakových
spádů na kohoutu a dvojrozměrný vektor, tedy matici, ve které budou zapsány vektory
průtoku pro shodný vektor tlaků. Podle počtu otevření bude mít matice počet řádků a podle
počtu tlakových spádů bude mít matice sloupců. Z měření na kohoutu je první slupec
definován 4 hodnotami otevření, což je počet charakteristik. Počet tlaků je libovolný
Odpor proti pohybu - místní odpor
71
v rozmezí 0 až 8000 Pa. Problém je, že nelze definovat pro malá otevření hodnoty půtoku na
charakteristikách, jak je patrné z obr. 5.11.
Tab. 5.1 Maticový zápis hodnot pro definici kohoutu
Npppp 321
60
40
20
0
N
N
NOO
NNO
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
,603,602,601,60
,403,402,401,40
,203,22,21,20
,03,2,01,0
.
obr. 5.11 Charakteristiky Q-p pro různé otevření ventilu
Tato metoda by byla použitelná pro malý rozsah otevření kohoutu, např. pro 0o, 2o, 4o, 6o, 8o ,
10o , tj pro charakteristiky blízké. Je možné samozřejmě pro definování dalších potřebných
bodů charakteristiky použít regresní křivky, ale pak je otázka, jaký kohout bude definován.
Odpor proti pohybu - místní odpor
72
5.2 Hyraulické prvky jako místní odpory
5.2.1 Otvor konstantního průřezu (clona)
Clona je používána jako průmyslový průtokoměr. Při řešení dynamiky obvodu je nutné
tlakovou ztrátu trvalou tlakovou ztrátu p zohlednit v obvodu. Prvek pro definování trvalé
tlakové ztráty na cloně je následující:
Otvor konstantního průřezu (clona) (Constant Area Orifice) definuje
průtok ostrohranným otvorem (clonou).
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/)
Průtok je dán rovnicí:
cr
cr
ReRepro..2
ReRepro.2
..
pD
AC
psignpAC
QH
DL
D
kde
Q průtok
p tlaková diference
DC průtokový součinitel
A průtočná plocha otvorem
HD hydraulický průměr otvoru
crRe kritické Reynoldsovo číslo
Odpor proti pohybu - místní odpor
73
5.2.2 Lineární hydraulický odpor
Lineární hydraulický odpor (Linear Hydraulic Resistence) definuje obecný
linární nebo linearizovaný místní odpor.
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/)
Lineární odor je definován
RQp
Odpor plyne z Bernouliho rovnice pro laminární proudění, pro turbulentní je nutno jej
linearizovat.
Odpor proti pohybu - místní odpor
74
5.2.3 Redukce
Náhlá změna průřezu - redukce (Sudden Area Change) definuje odpor při
náhlém rozšíření nebo zúžení průřezu
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/ Local Hydraulic Resistances/)
Ztrátové součinitele jsou dány:
75,0
15,0.
L
ScorrSC
A
AKK
kde
SEK ztrátový součinitel při náhlém rozšíření (enlagement) (proudění od A do B)
SCK ztrátový součinitel při náhlém zúžení (contraction) (proudění od B do A)
LSA , malá (small) resp. velká (large) průtočná plocha kolenem
Model parametrizace definuje způsob vyčíslení odporového součinitele (analogie s prvkem
Local Resistance, viz kap. 3.4).
- By semi-empirical formulas – bude použit výše uvedený vztah a ztrátové
součinitele
Odpor proti pohybu - místní odpor
75
- By loss coeff. vs. Re table – vloží se vektor ztrátového součinitele a
odpovídající Reynoldsovo číslo jak pro proudění ve směru rozšíření, tak i
zúžení zároveň.
5.2.4 Koleno
Koleno (Elbow) definuje odpor kolena v závislosti na úhlu a zaoblení
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Local Hydraulic Resistances/)
QQA
Kp22
kde VQ průtok
p tlaková diference
K ztrátový součinitel
A průtočná plocha kolenem
TfK 30 pro úhel 900
51070330142030 .,,TfK pro jiné úhly
kde Tf je třecí součinitel, který se počítá jako pro potrubí
Odpor proti pohybu - místní odpor
76
5.2.5 Otvor proměnného průžezu
Odpor proměnného průřezu (Variable Area Hydraulic Orifice) definuje
odpor prvku (např. ventilu) při různém uzavření ventilu. Blokové připojení A
a B odpovídá hydraulickému vstupnímu a výstupnímu kanálu. Připojením
S (AR) můžeme řídit otevírání a zavírání ventilu.
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Orifices/ nebo
Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/)
cr
cr
ReRepro..2
ReRepro.2
..
pD
AC
psignpAC
QH
DL
D
kde
Q průtok
p tlaková diference
DC průtokový součinitel
A průtočná plocha otvorem
Odpor proti pohybu - místní odpor
77
HD hydraulický průměr otvoru
crRe kritické Reynoldsovo číslo
Průtočná plocha se mění v závislosti na otevření ventilu, tedy na řídícím parametru.
0
0*max
max
hA
hAh
Ah
hA
leak
leak
orxxh *0 , hA
DQ HVRe ,
cr
DDL
CC
Re,
hADH
4
kde
maxA maximální průtočná plocha otvorem
maxh maximální hodnota posunutí
0x počáteční otevření
x řízené posunutí z počáteční pozice
h otevření
or indikátor orientace, který je +1, jestliže posunutí v kladném smyslu otevírá otvor,
-1, jestliže posunutí v kladném smyslu zavírá otvor
leakA průtočná plocha při uzavřeném ventilu
V dialogovém okně si lze vybrat tři druhy parametrizace:
1. Maximální průtočná plocha a otevření (By maximum area and opening)
Odpor proti pohybu - místní odpor
78
Lze experimentálně nebo v závislosti na dostupných datech editovat hodnoty pro maximální
průtočnou plochu ventilu a maximální otevření ventilu.
Maximální průtočná plocha (Orifice maximum area) - zadává se hodnota maximální
průtočné plochy, kterou je možno získat z katalogových listů výrobce nebo se může vypočíst.
Maximální otevření (Orifice maximum opening) - specifikuje maximální otevření, tedy
hodnotu maxh , která se definuje dle parametrů řízení uzavírání.
Orientace otevření (Orifice orientation) – +1 nebo -1
Výtokový součinitel (Flow discharge coefficient) – odhad např. z měření
Počáteční otevření (Initial opening) - parametr určuje počáteční otevření ventilu. Jelikož
potřebujeme, aby byl ventil v jedné z poloh plně otevřen a v druhé uzavřen, ponecháme
implicitně nastavenou hodnotu 0.
Kritické Reynoldsovo číslo (Critical Reynolds number) - jedná se o maximální hodnotu
Reynoldsova čísla pro laminární proudění. Předpokládá se přechod z laminárního proudění
na turbulentní při této hodnotě. Hodnota závisí na geometrických vlastnostech ventilu.
Lekáž (Leakage area) - specifikuje celkovou plochu z eventuálních netěsných spojů při
plném uzavření.
2. Závislost průtočné plochy na otevření (By area vs. opening table)
Odpor proti pohybu - místní odpor
79
Zde se zadává otevření formou vektoru a k němu odpovídající bude i vektor průtočných
ploch, viz kap.5.1.3, obr. 5.10.
Otevření ventilu (Tabulated orifice openings) - zde se vypíší formou vektoru hodnoty od
příslušného zavření 0 až do max. hodnoty (hodnoty, ve kterých se provedlo měření, např.
úhel otevření)
Průtočná plocha (Tabulated orifice area) - pro každou hodnotu ve vektoru pro otevření
se zadá hodnota průtočné plochy opět ve formě vektoru. Počet průtočných ploch musí
odpovídat počtu otevření.
Interpolační metoda (Interpolation Method) - lze vybrat ze tří interpolačních metod,
které slouží pro interpolaci mezi vektorovými hodnotami
Extrapolační metoda (Extrapolation Method) – slouží k extrapolaci vektorových hodnot
mimo definovaný rozsah.
3. p – Q charakteristiky (By pressure-flow characteristic)
Odpor proti pohybu - místní odpor
80
Zadává se pro každou hodnotu otevření p – Q charakteristika. Tedy charakteristika je
dána maticí. Použití této metody má velké omezení zvláště pro definování maximálního
otevření až po úplné uzavření.
Pro praktické použití je dostatečně přesná druhá metoda.
5.3 Pneumatické prvky jako místní odpory
5.3.1 Proudění plynu otvorem
Prvky pneumatické jsou zatím zpracovány pouze na úrovni základních a tedy také
zjednodušených prvků hydraulických a nacházejí se pouze v knihovně
Simulink/Simscape/Foudation library/Pneumatic/. Většina modelů je založena na
následujících předpokladech,:
- Plyn je ideální
- Měrné tepelné kapacity (cp, cv) při konstantním tlaku a objemu jsou konstantní.
- Proces musí být adiabatický, tzn. neexistuje žádný přenos tepla s okolím.
- Gravitační účinky lze zanedbat
U tepelného toku (proudění tepla) do a z otvoru se předpokládá jejich rovnost na základě
následujících hledisek:
- Otvor je ostrohranný a jako takový je charakterizován náhlou změnou navazujícího
prostoru. To znamená, že prakticky všechen dynamický tlak se ztratí v expanzi.
- Ztrátová energie se objeví ve formě vnitřní energie, která zvedne výstupní teplotu a je
velmi blízká teplotě vstupní.
Tyto předpoklady nebudou dále u jednotlivých prvků opakovány.
Odpor proti pohybu - místní odpor
81
POZN.: PROUDĚNÍ PLYNŮ ZÚŽENÍM (Janalík)
Adiabatická změna stavu je v technických aplikacích
velmi častá. Adiabatická stavová změna je popsána
Poissonovou rovnicí
11 konstpkonst
p
Adiabatický děj probíhá v plynu, je-li tento dokonale
tepelně izolován. Pro stav 1 a 2 z předchozí rovnice se
pro poměr tlaků a teplot dostane
1
2
1
2
p
p,
1
1
2
1
2
p
p
T
T
Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění dokonalého plynu pak je
.1212 2
222
1
121 konst
pvpv
(využije se následující:
111 konstkonstddp
konstp
konstkonstdkonstdp
1111 12 )
Pro plyny, které mají v porovnání s kapalinami malou hustotu, se Bernoulliho rovnice upraví
na tvar
.1212
2
22
1
21 konstrT
vrT
v
Neboť platí stavová rovnice Trp
Tr
p.
.
.Zavede-li se rychlost zvuku Tra ..2 ,
potom Bernouilliho rovnice nabývá další tvar
.1212
22
22
21
21 konst
avav
Klidový, nebo také stagnační stav bývá obvykle stavem fiktivním, dá se ale dobře představit
např. jako stav plynu v nekonečně velké nádrži, ze které do sledovaného systému vytéká
tekutina. Druhým příkladem je obtékání těles, kde na jeho obtékaném povrchu je bod s
nulové rychlosti proudu, nebo též stagnační bod.
Odpor proti pohybu - místní odpor
82
Rovnice Saint Vénantova - Wantzelova
Úkolem je odvodit rovnici pro výtokovou rychlost
z Bernoulliho rovnice
0
020
2
1212
pvpv
a stavové rovnice rTp
rT
p
odkud vypočítáme kvadrát výtokové rychlosti
TTcvTTr
vpp
vv p
0
200
20
0
020
2 21
..2
1
2
Další úpravou pro rozdíl kvadrátů rychlostí dostaneme
1
00
0
1
0
0
0
0
2
0
2 11
.21.
1
212
p
pp
p
pTr
T
TTcvv p .
V nádobě je rychlost plynu nulová (vo=0 - stagnační bod), pro výtokovou rychlost
z předcházející rovnice dostaneme rovnici Saint Vénantovu – Wantzelovu
TTr
T
TrT
p
prT
p
ppv o
0
0
0
1
0
1
00
0
1
.21
1
21
1
21
1
2
.
Pro výtok do vakua, kde pe = 0, T = 0, bude výtoková rychlost největší a je dána rovnicí
00
0max
1
..2
1
2rT
pv
.
Poměr výtokové rychlosti a max. rychlosti je dán vztahem
0
1
0max
11T
T
p
p
v
v
.
Poměr kritických veličin k veličinám ve stagnačním bodě.
Když rychlost proudění dosáhne rychlosti zvuku, mluvíme o tzv. kritickém stavu, kdy
všechny stavové veličiny jsou veličinami kritickými. Když položíme a2 = v2 = a*2 = v*2 , po
úpravě pro kritickou rychlost dostaneme
0
00
**
1
.2
1
2
prTav
.
Odpor proti pohybu - místní odpor
83
Dříve odvozené vztahy pro výpočet rychlosti zvuku platí i pro kritický stav
*
*
** .. Tr
pa
. Pak pro poměr tlaků a následně i dalších stavových veličin získáme
velmi důležitý základní vztah
1
0
*
1
2
p
p,
1
2
0
*
T
T,
1
1
0
*
1
2
,
1
2
0
*
0
*
T
T
a
a .
Z těchto rovnic plyne zajímavý
poznatek a sice, že kritický stav
izoentropního proudění ideálního
plynu závisí pouze na jeho
stagnačním stavu. Odvozené
rovnice za týchž podmínek pro
různé plyny jsou závislé pouze na
izoentropickém součiniteli a
tím pouze na počtu atomů
v molekule plynu.
Kritický stav ideálního plynu
Poměr veličin Vzorec Plyn
jednoatomový
Plyn
dvouatomový
Plyn
tříatomový
Součinitel adiabaty κ 1,6667 1,4 1,3333
Tlak p* / p0 0,4871 0,5283 0,539
Teplota T* / T0 0,75 0,8333 0,857
Hustota ρ*/ ρ0 0,6495 0,6165 0,629
Měrný objem v* / v0 1,5396 1,6221 1,5898
Rychlost zvuku a* / a0 0,866 0,9129 0,9258
Odpor proti pohybu - místní odpor
84
Výtok zužující se tryskou
Trubice proměnného průřezu
se obecně nazývá tryska
nebo také dýza. Při proudění
tryskou se vnitřní a tlaková
energie proudící stlačitelné
tekutiny – plynu mění (
transformuje) na energii
kinetickou.
Nechť tekutina vytéká nerozšířenou tryskou z rozměrné nádoby do prostředí s teplotou Te a
tlakem pe, tento tlak se také nazývá protitlak. Výtokový otvor má průřez S2 , a je v něm tlak
p2 , teplota T2 , při čemž T2 ≠ Te a rychlost v2 . Tlak v ústí trysky p2 nemusí být totožný
s tlakem okolí pe . Šrafovaná plocha v p – v diagramu uvádí měrnou technickou práci at ,
která se přemění (transformuje) v kinetickou energii proudící tekutiny ( plynu). Pro kritický
výtok by technická práce byla větší, vyšrafovaná plocha by sahala až k tlaku p*, při výtoku
do vakua by technická práce byla největší.
U nerozšířené trysky se hlavně používá podzvukové rychlosti, tj. pro obor tlakových poměrů
0
*
0
1p
p
p
pe . V uvedeném rozsahu tlakových poměrů je i případ, že p2 = pe. Při
izoentropickém proudění ideálního plynu je výtoková rychlost v2 dána rovnicí Saint
Vénantovou – Wantzelovou
1
0
20
1
0
2
0
02 1.
1
21
1
2
p
pTr
p
ppv ,
hmotnostní průtok se stanoví z rovnice kontinuity ***
222 SvSvQm . Po dosazení do
rovnice spojitosti za rychlost v2 potom hmotnostní průtok je
1
0
22
2
0
02
1
0
2
0
022 1.
1
21
1
2.
p
ppS
p
ppSQm .
Po jednoduché úpravě s využitím stavové rovnice se tato rovnice upraví
Odpor proti pohybu - místní odpor
85
1
0
2
2
0
202
1
0
2
2
0
2002 1
1
21
1
2
p
p
p
prTS
p
p
p
ppSQm .
Při výpočtu rychlosti plynu, stavových veličin nebo průřezu trysky podél osy trubice
v obecném průřezu se nahradí index 2 indexem obecného průřezu. Další úpravu rovnice pro
hmotnostní průtok Qm se může provést s využitím rovnice pro Machovo číslo a rovnice pro
bezrozměrný průřez
11
21
1
2
..
1
0
0
p
p
T
T
Tr
v
a
vMa ,
12
12
* 1
211
Ma
MaS
S.
Hmotnostní průtok Qm dosáhne své maximální hodnoty při Ma = 1, tj. v okamžiku,
kdy se výstupní průřez stane kritickým a tlak rovněž nabude kritické hodnoty - p = pe = p*.
Při libovolných jiných protitlacích pe nemůže hmotnostní průtok Qm přestoupit kritickou a
tím i maximální hodnotu. Pro hmotnostní průtok Qm lze odvodit rovnici
.....1
200
12
1
pSQm
,
kde S
S*
je poměr kritického a obecného průřezu a pro Ma=1 je Ө=1.
Z předcházející rovnice, když Ma = 1 , pro kritický průtok Q*m platí
....
1
200
12
1
*
pSQQ mMAXm
a
1
0
2
0
1
1
*1
2
1
1
2
p
p
p
p
Q
Q
Q
Q ee
mMAX
m
m
m
Pro další výklad bude užitečné graficky znázornit poslední rovnici, tj. stanovit
závislost
0p
pf
Q
Q e
mMAX
m .
Odpor proti pohybu - místní odpor
86
Obr. 6.2 Závislost
0p
pf
Q
Q e
mMAX
m pro vzduch
5.3.2 Pneumatický otvor konstantního průřezu (clona)
Pneumatický otvor konstantního průřezu (Constant Area Pneumatic
Orifice) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou).
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Pneumatic/Pneumatic elements/)
Blok slouží k modelování hmotnostního průtoku ideálního plynu přes ostrohranný otvor.
Průtok je úměrný oblasti (ploše) clony a diferenčnímu tlaku. (rozdílu tlaku před a za clonou).
Podkritický průtok je popsán rovnicí
1
0
2
01
1
2
iii
idp
p
p
p
RTApCG
kde G hmotnostní průtok
DC průtokový součinitel
A průtočná plocha clony
oi pp , absolutní tlak před a za clonou
podíl specificých tepel při konstantním tlaku a průtoku
R měrná plynová konstanta
iT absolutní teplota za clonou
Nadkritický průtok nastane v definovaném kritickém poměru tlaků 1
0
1
2
i
crp
p.
Poté hmotnostní průtok závisí pouze na vstupním tlaku a je počítán
Odpor proti pohybu - místní odpor
87
1
cr
i
idRT
ApCG
Odmocnina má nekonečně velkou hodnotu při nulovém průtoku, což způsobuje numerické
potíže. Proto pro malé tlakové diference pro 999.00 ip
p se tato rovnice za mění za
linearizovanou
0
5.0 ppATkCG iid
kde k je konstanta
Nastavení parametrů:
Jak je patrné, na tomto bloku lze nastavit velikost výtokového součinitele a plochy clony.
Hodnota výtokového součinitele je závislá na geometrických vlastnostech otvoru a obvykle je
k dispozici v učebnicích a technických listech výrobců.
5.3.3 Pneumatický otvor konstantního průřezu (ISO 6358)
Pneumatický otvor konstantního průřezu (Constant Area Pneumatic
Orifice ISO 6358) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou).
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Pneumatic/Pneumatic elements/)
Blok obsahuje pouze dva pneumatické porty A a B. Pozitivní směr bloku je od portu A k portu
B, to znamená, že průtok je pozitivní pokud vede z A do B. Blok Slouží k simulování
(modelování) průtoku ideálního plynu přes ostrohrannou clonu v souladu s normou ISO
6358. Model je popsán následujícími rovnicemi proudění:
Odpor proti pohybu - místní odpor
88
)(
)(1
1
)min(1
0
0
2
0
00
01
režimnadzvukovýbp
pjestliže
T
TCp
režimpodzvukovýbp
pjestliže
b
bp
p
T
TCp
režimárnílap
pjestližeppsign
T
T
p
ppk
G
ii
ref
refi
i
lami
i
ref
refi
lam
i
i
i
ref
i
i
2
11
11
1
b
bCk lam
ref
lam
kde G hmotnostní průtok
lam podíl tlaků při laminárním proudění 999.0;995.0lam
b kritický podíl tlaků za a před clonou, kdy rychlost plynu dosáhne rychlosti
zvuku
C zvuková vodivost [dm3/s*bar], což je poměr mezi hmotnostním průtokem a
součinem vstupního tlaku a hustoty pro standartních podmínkách, když je proudění
nadzvukové,
ref hustota plynu, při kterém je vodivost měřena ( ref =1.185 kg/m3)
refT teplota plynu, při které je vodivost měřena ( refT =293.15 K)
oi pp , absolutní tlak před a za clonou
oi TT , absolutní teploty před a za clonou
Rovnice samotné, parametry b a C a metodika o tom jak měřit tyto parametry
experimentálně tvoří základ pro normu ISO 6358. Hodnoty kritických tlakových poměrů b a
zvukové vodivosti C závisí na konkrétním provedení součásti. Obvykle jsou stanoveny
experimentálně a někdy bývají uvedeny na technických listech součástí. Blok může být také
parametrizován efektivní plochou clony nebo pomocí průtokového koeficientu, namísto
zvukové vodivosti. Pak jsou blokové parametry převedeny na odpovídající hodnotu pro
zvukovou vodivost. Při zadávání efektivní oblasti se používá následující vzorec navržený
Gidlundem:
2128.0 dC
Odpor proti pohybu - místní odpor
89
kde C je zvuková vodivost [dm3/s*bar], d je vnitřní průměr clony [mm]. Efektivní plocha za
předpokladu kruhového průřezu se používá ke stanovení vnitřního průměru d.
Gidlundův vzorec dává vztah mezi kritickým poměrem tlaků a pneumatickým průměrem:
D
db 272.041.0
Tato rovnice není součástí bloku a je nutné určit kritický tlakový poměr přímo.
Je-li clona parametrizována pomocí vodivosti průtokového součinitele Cv (US galon / min při
tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F), pak tento koeficient se přepočítá na efektivní plochu
clony užitím Girlundovy formulace:
VCeA *56986.1
Je-li clona parametrizována pomocí průtokového součinitele Kv (m3 / hod), pak tento
koeficient se přepočítá na efektivní plochu clony užitím Girlundovy formulace:
VCeA *61785.1
kv - faktor Metrický údaj v „normálních litrech za minutu“ (dmn
3/min). Tento údaj se vztahuje na měření, provedená s vodou o teplotě 5 až 30 °C. Faktor kv je roven 1, když při tlakové ztrátě 1 baru proteče ventilem za minutu 1 litr vody teplé 4 °C. Faktory Kv, kv Cv a f jsou porovnávací faktory. Kv - faktor Odpovídá faktoru kv, ale průtok je vyjádřen v m3/h. Cv - faktor Obdoba výše uvedených faktorů, ale vyjádřená v anglosaských jednotkách. Údaje jsou vztaženy na průtok 1 US galonu (3.79 l) vody za minutu při tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F (libra/palec2 = 0.007 MPa při teplotě 15.6 °C). f - faktor Měření za stejných podmínek jako Cv faktor ale s průtokem 1 imperiálního (britského) galonu (4.54 vody za minutu při tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F (libra/palec2 = 0.007 MPa při teplotě 15.6 °C). Poměrný průřez S (mm2) Tento údaj, získaný měřením průtoku vzduchu, představuje ventil nebo celou soustavu prvků, jako plochu otvoru měřicí clony, kterou proteče udaný objem vzduchu. Na obr. jsou uvedeny různé faktory, používané k vyjádření objemu vzduchu, který proteče daným prvkem. V šipkách mezi jednotkami jsou uvedeny násobné koeficienty pro jejich vzájemný převod.
Odpor proti pohybu - místní odpor
90
zdroj SMC training
Nastavení parametrů:
Provádí se v dialogových oknech v závislosti na zvolené specifikaci otvoru.
Clona může být specifikována:
- Podle zvukové vodivosti („Sonic conductance“) – zadáváme hodnotu zvukové
vodivosti otvoru. Jedná se o předdefinovanou metodu
- Efektivní plocha („Efective area“) – zadáváme hodnotu efektivní plochy clony. Tato
hodnota je vnitřně převedena do bloku jako ekvivalentní hodnota zvukové vodivosti.
- Pomocí součinitele Cv nebo Kv („Kv nebo Cv coefficient“) – zadáme příslušnou
hodnotu součinitele. Tato hodnota je vnitřně převedena do bloku jako ekvivalentní
hodnota zvukové vodivosti.
Odpor proti pohybu - místní odpor
91
Dialogové okno bloku pro nastavení pomocí zvukové vodivosti
Dialogové okno pro nastavení pomocí efektivní plochy
Odpor proti pohybu - místní odpor
92
Dialogové okno pro nastavení pomocí Cv koeficientu
Dialogové okno pro nastavení pomocí Kv koeficientu
Další parametry zadávané do dialogového okna:
- Do červeného rámečku zadáváme hodnotu kritického poměru tlaků. Jedná se o
poměr, při kterém dosáhne rychlost plynu rychlosti zvuku.
- Do zeleného rámečku zadáváme tlakový poměr při laminárním proudění. Tato
hodnota může být nastavena v rozsahu 0,995 - 0,999.
- Do fialového rámečku zadáváme teplotu za standardních podmínek. Jedná se o
teplotu plynu, při které byla naměřena zvuková vodivost
- Do oranžového rámečku zadáváme tlak za standardních podmínek. Jedná se o tlak
plynu, při kterém byla naměřena zvuková vodivost.
5.3.4 Pneumatický otvor proměnného průřezu
Pneumatický otvor proměnného průřezu (Variable Area
Pneumatic Orifice) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou). Slouží
k simulování hmotnostního průtoku ideálního plynu přes proměnlivou oblast
Odpor proti pohybu - místní odpor
93
otvoru. Porty A a B jsou vstupní a výstupní pneumatické porty. Plocha
otvoru (clony) je počítána mimo tento blok a je přivedena přes port AR.
Průtok otvorem je úměrný ploše clony a diferenčnímu tlaku.
(Simulink/Simscape/Foudation library/ Pneumatic/Pneumatic elements/)
Samotný popis bloku je identický s blokem předchozím („Constant Area Pneumatic Orifice“).
K výpočtu tedy uplatňují předchozí rovnice.
Nastavení parametrů:
Popis:
- V kolonce označené červeným rámečkem nastavujeme hodnotu výtokového
součinitele, který je závislý na geometrických vlastnostech otvoru a obvykle je
k dispozici v učebnicích a technických listech výrobců.
- V kolonce označené zeleným rámečkem nastavujeme minimální hodnotu průtočné
plochy. Pokud vstupní signál (port AR) poklesne pod tuto hladinu, je plocha
nastavena na tuto hodnotu.
Hydrogenerátor
94
6. Čerpadla - hydrogenerátory
Všeobecně typy čerpadel závisí na způsobu zvyšování energie kapalin, tj. rozlišují se
čerpadla hydrostatická a hydrodynamická.
U hydrostatických čerpadel se mechanická energie se mění na tlakovou energii
tlmech WW
tlmech WW = pohybem pístu ve
válci (sání a výtlak kapaliny)
Hydrostatická čerpadla se dělí na:
rotační čerpadla, dopravující kapalinu točivým pohybem činné části rotoru, rozlišují se
na zubová, vřetenová, lamelová, čerpadla s rotujícími písty, čerpadla s odvalujícím se
pístem.
čerpadla s kmitavým pohybem, která dopravují kapalinu kmitavým vratným pohybem
činné části v tělese čerpadla. Rozdělují se :
podle tvaru činné části na čerpadla pístová, plunžrová, membránová,
vlnovcová, křídlová
podle počtu válců
podle vykonané práce během jednoho dvojzdvihu
podle uspořádání činných částí vyvozujících tlak
podle způsobu rozvodů čerpané kapaliny
podle kinematiky hnacího mechanismu
čerpadla s jiným pohybem, např. hadicová čerpadla.
kombinovaná čerpadla stejného nebo různého konstrukčního provedení, zapojených
za sebou (sériově) nebo vedle sebe (paralelně).
Čerpadla hydrodynamická přeměňují mechanickou energii na kinetickou energii a
následně na tlakovou energii tlkinmech WWW
Hydrogenerátor
95
kinmech WW = v oběžném kole
tlkin WW = v rozváděči
mají menší účinnost
Rotační hydrogenerátor
96
7. Rotační hydrogenerátor
7.1 Teoretický rozbor
y
1
2
pV
2Q
2p
p1
Q1
M
0
Q
p
Z =0
Z =konst
Z =kons
V
V
V
obr. 7.1 Schéma rotačního HG Statická charakteristika HG
V hydraulickým mechanizmech se uskutečňuje převod energie z pevných částí na
sloupec kapaliny prostřednictvím hydrogenerátoru. Označení základních veličin je použito
dle schématu. Statická charakteristika hydrogenerátoru je dána závislostí průtoku Q na
tlakovém spádu p nebo opačně. Jedním ze základních parametrů hydrogenerátoru, který
je dán konstrukcí, je teoretický objem tV . Matematický model regulačního hydrogenerátoru je
určen rovnicemi pro moment hydrogenerátoru M a pohybovými rovnicemi pro průtoky 1Q a
2Q , podobnými rovnicím hydromotoru. Nutno přihlížet ke změně smyslu proudění, což se
projeví ve změně znaménka.
7.2 Matematický model hydrogenerátoru
Pro skutečný průtok hydrogenerátorem platí
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
pZynVQQQ vtzt pkpkynVQQQ tzt 21 ( 7.2.1)
kde 21,kk jsou součinitelé hydraulických ztrát hydrogenerátoru, vnitřní tzv. svodová
propustnost je určena vztahem v
vRp
QZ
1
a teoretický průtok je dán tt ynVQ .
Pro skutečný moment hydrogenerátu platí
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
pknbpV
y
MMM
nt
zt
32
pknbnbMp
Vy
MMM
oct
zt
3
2
12
( 7.2.2)
Rotační hydrogenerátor
97
kde vnitřní tzv. svodová propustnost je určena vztahem Rp
QZ
1
a
332
kV
k t
, 03 k (zjednodušeně lze předpokládat 03 k ), y je parametr nastavení
hydrogenerátoru , i
MM z je moment hydrogenerátoru, což je moment zatížení redukovaný
na hřídel hydrogenerátoru [N.m].
Rovnice pro průtok a moment neregulačním hydrogenerátorem lze souhrnně zapsat
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
pZnVQ t
nbMpkM nc 3
pkpknVQ t 21 2
103 nbnbMpkM c ( 7.2.3)
Výše uvedená soustava je soustavou o neznámých pQ , . K vyřešení je třeba dvě
proměnné volit jako vstupní signál a zbývající dvě spočítat. Tyto dvě veličiny mohou být
definovány jako funkce určené regresí z měření.
7.3 Základní parametry čerpadel
Každé čerpadlo je charakterizováno průtokem Q , který má rozměr udávaný podle
velikosti čerpadla 131113 hm,lmin,ls,sm , otáčkami n 1s , měrnou energií Y 22sm ,
případně dopravní výškou H m , výkonem h
P W , příkonem p
P W , účinností a
kavitačními (sacími) vlastnostmi.
obr. 7.2 – Schéma kola hydrodynamického čerpadla a rychlostní trojúhelníky
Rotační hydrogenerátor
98
Geometrie Tlak
Rychlost Energie
obr. 7.3 Rozložení rychlosti, tlaku a energie v oběžném kole hydrodynamického čerpadla
7.4 Charakteristika čerpadla
Charakteristika čerpadla je křivka závislosti skutečné měrné energie Y (resp.
skutečné dopravní výšky H , tlakového spádu p ) na průtoku Q . K této základní
QY charakteristice se připojují křivky výkonu QPh , účinnosti Qc a měrné
Rotační hydrogenerátor
99
energie pro potrubí QYP , viz obr. 7.4. Charakteristiku čerpadla nelze určit přímo,
protože složité proudění v oběžném kole a difuzoru a především hydraulické ztráty
z geometrických charakteristik a provozních podmínek čerpadla nelze matematicky prozatím
kvantitativně přesně popsat. Rozbor hydraulických ztrát lze však provést kvalitativně.
Dílčí charakteristiky jsou:
měrná energie čerpadla konstnQfY
účinnost čerpadla konstnc Qf
výkon čerpadla konstnh QfP
charakteristika potrubí konstnP QfY
Provozní bod čerpadla cc QY ; je dán průsečíkem závislosti QY a charakteristiky potrubí
QYP .
0
40
80
120
160
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Objemový průtok Q [m3/s]
Mě
rná
en
erg
ie č
erp
ad
la Y
a p
ort
ub
í Y
p
[J/k
g]
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Účin
no
st
čerp
ad
la [
%]
Y
Yp
pracovní bod
obr. 7.4 Charakteristika čerpadla
Charakteristiky čerpadla lze měřit dle návodu v kapitole 14.7.
Příklad 1D charakteristiky čerpadla WILO RS 25/4 230 V PN 10
Údaje o čerpadle, které je používáno v teplovodních topenářských systémech a
laboratorních podmínkách, je možno nálézt v internetu nebo získat měřením. Konkrétně
čerpadlo WILO RS 25/4 má podrobné informace v internetu včetně změřených charakteristik.
Čerpadlo bezúdržbové, mokroběžné topenářské Wilo
Rozteč 180 mm. Napájení 1x230 V/50 Hz. Provozní tlak PN
Rotační hydrogenerátor
100
10. Teplota -10 až 110°C. Max. dopravní výška 4 m. Max.
otáčky 2000 ot/min. Světlost DN 1". Připojení závit G 1 1/2"
(6/4"). Těleso čerpadla z šedé litiny.
Technické parametry:
- Čerpané médium: užitková voda
- Provozní teplota: 20 - 100 °C
- Okolní teplota (max): 40°C
- Provozní max: 10 bar
- Druh napájení: 1~230V/50Hz
- Příkon: 27-32/40-48/56-68 W
- Otáčky: 1200/1650/2000 ot/min
- Potrubní přípojka - šroubení: G 1 1/2" (6/4")
Materiál:
- Těleso: legovaná šedá litina GG 20
- Hřídel: X 40 Cr 13
- Obežné kolo: polypropylén
- Ložisko: grafit
Charakteristiky, tj. křivky dopravní výšky a příkonu závislé na objemovém průtoku pro tři
hodnoty otáček jsou dány graficky, viz obr. 7.5.
obr. 7.5 Charakteristiky čepadla WILO RS 25/4 230 V PN 10 získané z internetu.
Rotační hydrogenerátor
101
7.5 Odstředivé čerpadlo v SimHydraulics
Odstředivé čerpadlo se definuje charakteristikou čerpadla danou
- polynomickou závislostí tlakového spádu na průtoku
- dvěmi 1D charakteristikami p-Q and Pp-Q, vytvořenými tabulkou
závislosti tlakového spádu na průtoku a příkonu na průtoku. Pro
propojení bodů je možno vybrat 3 interpolační metody a 2
extrapolační metody
- dvěmi 2D characteristikami: P-Q-W and N-Q-W — vytvořenými
tabulkou závisloti tlakového spádu P a příkonu N na průtoku Q při
různých úhlových rychlostech W resp. otáčkách. Tlakový spád a
příkon jsou dány dvourozměrnými tabulkami (maticemi). Opět je
možno pro propojení bodů vybrat jednu ze tří interpolačních metod
a dvou extrapolačních metod.
7.5.1 Polynomická závislost tlakového spádu na průtoku
Pokud se použije parametrizační model (Model parametrization) v Menu jako
"Aproximating polynomial", pak musí být známa statická charakteristika čerpadla a pomocí
regrese se proloží obecným kvadratickým polynomem (polynomem druhého stupně
2
210 QaQaap - EXCEL). V Menu se vkládají upravené koeficienty, které
závisejí na otáčkách. Pro další otáčky může být pak charakteristika upravena afinními
vztahy.
Aproximace polynomem je odvozena z Eulerovy čerpadlové rovnice a je dána:
DHLEref pppkp . (7.5.1)
kde refp - tlakový spád na čerpadle v referenčním režimu, charakterizovaný referenčními
otáčkami a hustotou
k - korekční faktor, který zohledňuje prostorové fluktuace, vnitřní tření atd. Je
měřený a je předdefinován jako 1. Má být nastavený na 1, pokud aproximační koeficienty
jsou stanoveny z měření.
Ep - Eulerův tlak
HLp - tlaková ztráta hydraulická z důvodu odporů v kanálech čerpadla
Dp - ztráta způsobená odchylkou průtoku od nominální hodnoty průtoku rychlosti od
profilu mezi lopatkami, průtoku od jeho nominální hodnoty (jmenovitý průtok při maximální
účinnosti)
Rotační hydrogenerátor
102
Eulerův tlakový spád je dán Eulerovou rovnicí, zohledňuje rozměry čerpadla. Pro
dané čerpadlo pracující při konstantních otáčkách a dané kapalině je rovnice dána vztahem:
refrefE Qccp 10 (7.5.2)
kde ref - hustota kapaliny
10 ,cc - aproximační koeficienty
refQ - objemový průtok (delivery) v referenčním režimu
Tlakové ztráty hydraulické jsou
2
2 refrefHL Qcp (7.5.3)
kde 2c - aproximační koeficient.
Tlaková ztráta Dp souvisí s odchylkou rychlosti kapaliny a profilu rychlosti mezi lopatkami a
je dána
23 refDrefD QQcp (7.5.4)
kde 3c - aproximační koeficient
DQ - jmenovitý (návrhový) průtok
Výsledný aproximační polynom je tedy
2
3
2
210. refDrefrefrefref QQcQcQcckp (7.5.5)
Tato charakteristika zohledňuje teoreticky odůvodněné ztráty a je dána čtyřmi koeficienty
3210 ,,, cccc , k , DQ jmenovitým průtokem, hustotou a otáčkami. Pro jiné hodnoty otáček
se užívají afinní vztahy.
Statisticky určená charakteristika je určená z měření (pomocí EXCELu), zohledňuje
všechny výše popsané ztráty a obsahuje tři koeficienty 210 ,, aaa . Je tedy nutné najít vztah
mezi těmito koeficienty a sadou koeficientů zadaných výše. Jednoduchým způsobem jsou
porovnány koeficienty a vyhodnoceny:
2
33
2
3
2
210 2.. QcQQcQcQcQckckp DDref
Po jednoduchých matematických úpravách platí:
2
210
2
3231
2
30 2.. QaQaaQccQQcckQcckp refDDref
Porovnáním koeficientů u mocnin průtoku je
2
300 . Dref Qccka
Dref Qccka 311 2.
Rotační hydrogenerátor
103
322 cca ref
Jsou to tři rovnice, je tedy nutné definovat hustotu ref (1000 pro vodu), jmenovitý průtok
DQ (v katalogových listech bývá uváděn, jinak se musí odhadnou jako např. střední hodnota
pro daný rozsah průtoků), koeficient k (předdefinován je 1) a např. konstantu 3c . Pak lze
odvodit hodnoty zbývajících konstant, které je nutno zadat do menu charakteristiky.
kQc
ac D
ref
12
3
0
0
kQc
ac D
ref
12 3
1
1
3
2
2 ca
cref
(7.5.6)
Pro výpočet musí být určen návrhový průtok QD a koeficient c3.
Koeficient c3
vychází z rovnice pro měrnou energii čerpadla h
ts
p
YY
1
kde sY je skutečná měrná energie čerpadla; tY je měrná energie čerpadle získaná
z Eulerovy rovnice; p je Pfeiderův součinitel, který nabývá hodnot 3.02.0 ; h je
hydraulická účinnost.
Při zanedbání vlivu účinnosti se koeficient c3 se určí pY
Yc
t
s
1
13
Jestliže dosadíme za Pfeiderův součinitel hodnotu 0.25, pak koeficient
8.025.01
13
c
Návrhový průtok QD
se určí pro maximální otáčky a následně se přepočítá pomocí afinních vztahů.
Pro otáčky n = 2000 min-1 se z měření určí hodnoty Q a Yč. Následně se vypočítá hydraulický
výkon čh YQP . Od výrobce se určí závislost příkonu P na průtoku Q a pomocí rovnice
regrese určíme příkon pro naměřené průtoky (viz graf)
99.4985.4673494.31439393 2 QQP . Následně se vypočítá účinnost P
Ph a graf
n = 2000 min-1 Určeno od
výrobce Přepočítaný výkon
Rotační hydrogenerátor
104
Q Ys Ph Q P P η
[m3/s] [J/kg] [W] [m3/s] [W] [W] [%]
7.01·10-4 10.85 7.61 8·10-4 67 67.31 11.30
6.49·10-4 13.07 8.48 7·10-4 67.5 67.08 12.64
6.03·10-4 14.79 8.92 6·10-4 67 66.75 13.37
5.73·10-4 15.89 9.11 5·10-4 65.5 66.45 13.70
5.47·10-4 17.01 9.31 4·10-4 63.5 66.16 14.07
5.11·10-4 18.63 9.52 3·10-4 61 65.67 14.49
4.63·10-4 20.80 9.64 2·10-4 58 64.90 14.85
3.58·10-4 25.38 9.08 1·10-4 54.5 62.69 14.48
2.65·10-4 29.01 7.70 0 50 60.18 12.79
1.11·10-4 34.64 3.84 54.78 7.00
4.15·10-5 37.49 1.56 51.88 3.00
0 38.30 0.00 50.00 0
Návrhový průtok QD = 4.63·10-4 m3/s je při maximální účinnosti η = 14.85%. Pro další otáčky
se návrhový průtok vypočítá pomocí afinních vztahů
1800
2000
1800
2000
Q
Q
n
n
2000
18001063.4 4
2000
18002000,1800,
n
nQQ DD
Otáčky čerpadla 1300 min-1 1500 min-1 1800 min-1 2000 min-1
Konstanta
ρref [kg.m-3] 1000 1000 1000 1000
Hodnoty určené z grafu
a0 [Pa] 21465 27509 35172 41167
a1 [Pa.s.m-3] -4.00E+07 -4.67E+07 -3.90E+07 -3.55E+07
a2 [Pa.s2.m-6] 9.65E+08 1.24E+06 -7.21E+09 -1.06E+10
Rotační hydrogenerátor
105
Hodnoty zvolené
QD [m3.s-1] 0.00030 0.00035 0.00042 0.00046
c3 [Pa.s2.kg-1.m-3] 0.8 0.8 0.8 0.8
Hodnoty vypočítané
c0 [Pa.m3.kg-1] 21.47 27.51 35.17 41.17
c1 [Pa.s.kg-1] 39979 46719 38980 35484
c2 [Pa.s2.kg-1.m-3] -965430 -1244 7206786 10643813
Konstanta souvisí s Pfeiderovým součinitelem, který může být 0.25. Pak konstanta je 3c je
0.8 (vliv konečného počtu lopatek) . Pokud se konstanta 3c volí rovna 0, pak se vztahy
zjednoduší následovně 1000
00
ac ,
1000
1
1
ac
,
1000
2
2
ac
a je patrná přímá
souvislost s koeficienty z naměřené charakteristiky. Do menu se zadají hodnoty dané
tabulkou:
Model parameterizaton By approximating polynom (pomocíaprox. Polynomu)
First approximating coefficient První aprox. koefficient
Pa/(kgm-3)
Rotační hydrogenerátor
106
Second approximating coefficient Druhý aprox. koefficient
Pa.s/kg
Third approximating coefficient Třetí aprox. koefficient
Pa.s2/(kgm-3)
Fourth approximating coefficient Čtvrtý aprox. koefficient
Pa.s2/(kgm-3)
Correction factor Korekční faktor
1
Pump design delivery Návrhový průtok čerpadla
lpm
Reference angular velocity Referenční úhlová rychlost
rpm
Reference density Referenční hustota
kgm-3
Leak resistance Lekáž odpor
Pa/(m3s-1)
Drive shaft torque Kroutící moment na hřídeli
N.m
Torque-pressure coefficient Podíl momentu a tlaku
N.m/Pa
První čtyři řádky jsou vypočtené koeficienty, korekční faktor 1k , jmenovitý průtok (Pump
design delivery), který je dán výrobcem nebo odhadnutý, otáčky (reference angular velocity)
se mohou shodovat s otáčkami při kterých byla naměřena charakteristika (jinak se užijí afinní
vztahy), odpor při ztrátách při lekáži (Leak resistance- je odhadnut, měří se špatně), moment
při nulové rychlosti (Drive shaft torque), který lze určit z příkonové charakteristiky pro dané
otáčky při nulovém průtoku n
PM
p
2 a tlakový koeficient (Torque - pressure coefficient),
který je odhadnut.
Referenční hodnoty souvisí s charakteristikami, které byly při těchto referenčních
hodnotách naměřeny. Ty ale mohou být použity i pro jiné hodnoty otáček čerpadla a hustot a
charakteristiky se přepočtou pomocí afinních vztahů:
Z podrobnosti rychlostních trojúhelníků vyplývají afinní vztahy pro parametry čerpadla,
tj. pro unášivé rychlosti 2u a 2u a pro meridiální rychlosti 2mc a 2mc v závislosti na
otáčkách n a n platí vztahy
n
n
u
u
2
2,
Q
Q
n
n
c
c
m
m
2
2 (7.5.7)
Rotační hydrogenerátor
107
pro dopravní výšku resp. měrnou energii platí
22
22
22
Q
Q
n
n
cu
cu
Y
Y
H
H
u
u (7.5.8)
pro výkon čerpadla
3
n
n
Y
Y
Q
Q
P
P
h
h (7.5.9)
a pro kroutící moment
2
n
n
P
n
n
P
M
M
h
h
k
k (7.5.10)
7.5.2 Zadání čerpadla pomocí dvou 1D charakteristik
Tento nejjednodušší způsob pro zadání charakteristiky je následující. Graf
charakteristiky pro zadání do tabulky se získá měřením z experimentu nebo z katalogového
listu (internet) pro dané čerpadlo. Tento postup předpokládá pouze jednu zadanou
charakteristiku pro jedny otáčky (čerpadlo nemá možnost měnit otáčky), viz obr. 7.6.
výběr typu charakteristiky
referenční otáčky
referenční hustota
vektor průtoku
vektor tlaku
vektor průtoku
vektor příkonu
Rotační hydrogenerátor
108
interpolační metoda
extrapolační metoda
obr. 7.6 Zadání 1D charakteristiky čerpadla
7.5.3 Zadání čerpadla pomocí dvou 2D charakteristik
Třetí varianta předpokládá, že je k dispozici čerpadlo, u kterého je proměřena řada
charakteristik pro různé otáčky měněné přepínačem na čerpadle nebo frekvenčním měničem
(nejméně čtyři charakteristiky). Pak je možno zadat všechny charakteristiky do jednoho menu
dle maticového popisu proměnných, např. matice tlaku pro 4 hodnoty otáček a 8 hodnot
průtoku je definována takto:
4321 nnnn zápis v okně (je to jeden řádek)
8
7
6
5
4
32
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
888281
.
.
.
.
.
242221
14131211
.
ppp
ppp
pppp
[ 8.3 8.8 9.3 9.9 ;
7.8 8.3 8.8 9.4 ;
7.2 7.6 8.2 8.7 ;
6.5 7.0 7.5 8.0 ;
5.6 6.1 6.6 7.1 ;
4.7 5.2 5.7 6.2 ;
3.4 4.0 4.4 4.9 ;
2.3 2.7 3.4 3.6 ; ]
Matice příkonu je definována analogicky. Na obr. 7.7 je příklad zadání charakteristiky.
Rotační hydrogenerátor
109
referenční hustota
vektor průtoku pro tlak
vektor otáček
matice tlaku
vektor průtoku pro příkon
matice příkonu
interpolační metoda
extrapolační metoda
obr. 7.7 Zadání 2D charakteristiky čerpadla
Toto zadání je problematické a je použitelné pouze v případě, že se charakteristiky velmi
málo liší (jako u mistních prvků, viz kap. 5.2.5).
V programu SimHdraulics je možno připravit vyhodnocení charakteristiky. Toto schéma
kopíruje přesně měření charakteristiky čerpadla, která je určena závislostí tlakového spádu
na čerpadle, tj. rozdílu tlaku na výtlaku a sání na objemovém průtoku. Čerpadlo pracuje při
konstantních otáčkách a průtok se mění kulovým kohoutem na konci obvodu. Je zobrazena
v ikoně XY Graf. lze ji také zobrazit využitím Excelu, viz obr. 7.8. Ve schématu je připraveno
čerpadlo pro různé otáčky individuálně. Lze si odladit jejich zadání a tím je mít připraveny pro
použití v dalších aplikacích.
RC
S
uhl. rychlost
tlakS PS
rpm
reference
SPS
p 11200
otacky
SPS
m3/s
S PS
m
T
P
S
cerpadlo 2000
T
P
S
cerpadlo 1650
T
P
S
cerpadlo 1200
XY Graph
f(x)=0
Vypoc. konfigurace
Signal 2
Rizeni prutoku
Q
BA
Q
Prutokomer
Nadrz
P
BA
Manometr
BA
S
Kulovy ventilKapalina
BA
Hydraulic Resistive
Tube 0.5
Rotační hydrogenerátor
110
obr. 7.8 Schéma pro vyhodnocení charakteristiky čerpadla pro otáčky 1200.
7.6 Obvody s čerpadly
7.6.1 Obvod s čerpadlem - tlakový spád
Měření tlakového spádu bylo řešeno pro konstantní průtok na vstupu do obvodu. Tuto
variantu lze použít, pokud nejsou k dispozici žádné informace o charakteristikách čerpadla.
Naopak musí být změřen průtok na vstupu, který není obecně definován údaji na čerpadle,
neboť se mění v závislosti na tlaku, který je dán složitostí obvodu a odpory vložených
hydraulických prvků. Tedy obvod (viz obr. 4.5) pro určení tlakového spádu se opraví tak, že
se zdroj průtoku nahradí čerpadlem:
obr. 7.9 Schéma pro určení tlakového spádu v obvodu s čerpadlem
Čerpadlo je dáno charakteristikou pro 1200 otáček tabelovanou z internetu pro 10 hodnot a vloženou
do menu
Rotační hydrogenerátor
111
obr. 7.10 Menu 1D charakteristiky čerpadla pro 1200 otáček s vyplněnými parametry.
7.6.2 Obvod s čerpadlem - statická charakteristika
Statická charakteristika se určí analogicky předchozí úloze pro více hodnot průtoku, tedy do
předcházejícího obvodu (obr. 7.9) se musí vložit navíc prvek pro řízení průtoku, což je kulový kohout.
obr. 7.11 Schéma obvodu pro určení statické charakteristiky s kulovým ventilem a jeho řízením.
Kulový kohout je určen jednoduchou první variantou zadaní prvku Oriffice with variable area.
Protože obvod a hodnoty tlaku v jednotlivých elementech nejsou zkoumány komplexně, ale zajímá
nás pouze tlakový spád na potrubí, není podstatné definovat odpory na kohoutu pro jednotlivá
Rotační hydrogenerátor
112
otevření. Stačí pouze zajistit jeho uzavírání a tím měnit hodnotu průtoku. Je tedy dán následujícím
menu:
obr. 7.12 Menu parmetrů ventilu.
Uzavírání je pak definováno lineární změnou od nuly do jedničky (maximální otevření je definováno
jako 1). Lineární změna se vytvoří v prvku Signal Builder příkazy Signal/New/Custom a dále
doplněním dvou vektorů, jeden pro čas a druhý pro otevření. Pro lineární závislost stačí dvě hodnoty,
jinak se křivka závislosti tabeluje podrobněji.
obr. 7.13 Definování otevírání ventilu pomocí Signal Builder.
Charakteristika čerpadla nezávisí na obvodu, tj. délce potrubí a dalších odporech v obvodu a je
znázorněna na dalším obrázku
Rotační hydrogenerátor
113
obr. 7.14 Charakteristika potrubí řešená v obvodu s čerpadlem.
7.6.3 Testování sací výšky čerpadla
Sací výška se může testovat na obvodu pro tlakový spád, přitom na sání i na výtlaku bude
vloženo svislé potrubí, u kterého lze snadno měnit délku a zárovň svislou výšku a pak definovat
změnu tlaku na sání a výtlaku. Charakteristika čerpadla udává maximální dopravní výšku a také
tlakévý spád na čerpadle. Pro čerpadlo WILO RS 25/4 230 V PN 10 a otáčky 1200 min-1 je
maximální dopravní výška H=2.1 m a tlakový spád p=20601 Pa pro nulový průtok.
obr. 7.15 Charakteristiky čepadla WILO RS 25/4 230 V PN 10 získané z internetu.
Rotační hydrogenerátor
114
Schéma pro řešení potrubí na sání je na obr. 7.16. Zátěž obvodu za výtlakem je
definována pro jednoduchost také svislým potrubím. Změnou délek obou potrubí je možno
testovat rozumnou délku potrubí na sání. Při testování je vhodný následující postup. Potrubí
na výtlaku se volí dle zadání a potrubí na sání se volí od téměř nulové délky až po maximální
hodnotu, kdy se průtok změní na záporný (čerpadlo začne pracovat v reverzním režimu).
Dále nemá smysl zvyšovat sací výšku.
ls hs ps lv hv pv Dp Q
0.001 -0.001 -9.925 0.001 0.001 9892 9902 0.0002183
0.5 -0.5 -4945 0.001 0.001 6589 11534 0.0001781
1 -1 -9854 0.001 0.001 3411 13265 0.0001281
1.5 -1.5 -14740 0.001 0.001 1313 16053 0.0000793
2 -2 -19620 0.001 0.001 85 19705 0.0000190
2.5 -2.5 -24494 0.001 0.001 -807 23687 -0.0000628
3 -3
0.001 0.001
Při výkonných čerpadlech je třeba ještě sledovat hodnotu tlaku na sání, která může
být pod hodnotou tlaku nasycených par (-98000 Pa , tj. 2360 Pa absolutního tlaku) a může
nastat kavitace.
obr. 7.16 Testování tlakového spádu s ohledem na sání čerpadla.
Rotační hydrogenerátor
115
Na dalších dvou obrázcích je zobrazena hodná kombinace sací výšky a výtlačné výšky a
tlaku na sání a výtlaku . Je vidět, že velikost sloupců odpovídá dopravní výšce a tlakovému
spádu čerpadla.
obr. 7.17 hodnoty geodetické sací a výtlačné výšky. popis os a jednotky
obr. 7.18 Hodnoty tlaku na sání a výtlaku pro příslušné varianty geodetické sací a výtlačné výšky.
popis os a jednotky
Rotační hydrogenerátor
116
7.6.4 Řazení čerpadel
Velmi často je třeba volit provoz čerpadel tak, že dvě nebo více čerpadel čerpá kapalinu do
jednoduchého či složeného potrubí současně. Pokud jsou čerpadla zapojena tak, že kapalina z
výtlačného hrdla jednoho čerpadla jde do sání čerpadla druhého, jedná se o sériové řazení čerpadel
(zapojení za sebou). Při tomto řazení se čerpá oběma čerpadly totéž množství kapaliny Q a měrná
energie Yč se zvětšuje (sčítají se měrné energie resp. dopravní výšky od jednotlivých čerpadel).
Sériové zapojení, které je v průmyslové praxi vcelku zřídka užívané, se však často používá v oblasti
požární ochrany v tom případě, kdy pro dodávané množství nestačí jedno čerpadlo překonat dopravní
výšku. Rovněž je toto řešení využíváno při čerpání vody z velkých hloubek.
Druhou možností je paralelní spojení čerpadel, které pracují do společného výtlačného potrubí. Zde
měrná energie Yč zůstává zachována, zvětšuje se však dopravované množství Q v systému. Paralelní
spojení (spojení vedle sebe) se používá tam, kde jedno čerpadlo nestačí dodat požadované množství
kapaliny, nebo to vyžaduje velká bezpečnost provozu (chladicí čerpadla hutních provozů, napáječky
parních generátorů), a dále při provozech s velkou nerovnoměrností odběrů (vodárny, kanalizace,
protipožární vodovody).
Pro názornost se bude uvažovat práce čerpadel do jednoduché potrubní sítě. Jak při sériovém, tak při
paralelním řazení je možno používat čerpadla s různými charakteristikami, dává se však z hledisek
provozních výhod (obsluha, opravy, náhradní díly) přednost řazení čerpadel stejných typů.
Sériové řazení čerpadel
Problém je možno rozdělit na dva případy a to, jsou-li čerpadla blízko sebe či jsou vzájemně vzdálená.
V obou případech mohou být čerpadla umístěna buď v jedné rovině a nebo může být jedno čerpadlo
vůči druhému situováno s převýšením. Jsou-li čerpadla blízko sebe, je spojovací potrubí P velmi
krátké a soubor tvoří tzv. dvojagregát - obr.
obr. Sériové řazení čerpadel
Rotační hydrogenerátor
117
obr. Charakteristiky dvou identických sériově řazených čerpadel
Mají-li čerpadla stejné charakteristiky, potom společný motor je umístěn mezi oběma čerpadly. Při
sériovém spojení čerpadel, kdy obě čerpadla čerpají stejné množství Q, se sčítají měrné energie resp.
dopravní výšky od jednotlivých čerpadel. Sečtením měrných energii YČ1 a YČ1 se dostane výsledná
charakteristika sériově řazených čerpadel, jejíž průsečík s charakteristikou potrubí dává výsledný
pracovní bod. Pokud uvažujeme čerpadla o různých charakteristikách platí následující vztahy :
čerpadlo 1 IIIČČcQbQaHgY 2
11
čerpadlo 2 IIIIIIČČcQbQaHgY 2
22
výsledná charakteristika pro sériové řazení
IIIIIIIIIČČČČccQbbQaaYYY
2
2121
Paralelní spolupráce čerpadel
V praxi je toto spojení velmi časté. Stejně tak, jako v sériovém spojení, je možno řešit spolupráci při
zanedbání odporů spojovacích potrubí. Grafické řešení je na obr.. Zde jsou uvažována dvě odstředivá
čerpadla, umístěná blízko sebe, která pracují do krátkého spojovacího potrubí. Protože ve spojovacím
bodě musí být tlak stejný, dostane se výsledná charakteristika systému sčítáním obou průtoků při
stejné měrné energii, resp. dopravní výšce.
obr. Paralelní řazení čerpade
Rotační hydrogenerátor
118
obr. Charakteristiky dvou identických paralelně řazených čerpadel
čerpadlo 1 IIIČČcQbQaHgY 1
2111
I
ČIIII
a
YcabbQ
2
41
2
1
čerpadlo 2 IIIIIIČČcQbQaHgY 2
2222
II
ČIIIIIIII
a
YcabbQ
2
42
2
2
výsledná charakteristika pro paralelní řazení
II
ČIIIIIIII
I
ČIIII
a
Ycabb
a
YcabbQQQ
2
4
2
42
21
2
21
Zdroj:zásobování hasivy
Matematický model sloupce kapaliny
119
8. Dynamické odpory hydraulických prvků v SimHydraulics
8.1 Odpor proti zrychlení
Příčinou odporu proti zrychlení je setrvačnost kapaliny nebo setrvačnost pohybujících se hmotností
(píst, pístnice, pružina, apod.).
8.1.1 Odpor proti zrychlení u přímočarého pohybu
Pro zrychlení sloupce kapaliny o délce l
v potrubí o průřezu S je zapotřebí síla
pSF .
Tlakový spád p na délce l je
dt
dQL
dt
dQ
S
m
dt
dv
S
m
S
ma
S
Fp H
2
l
p=p1-p2 V
S v
m
p1 p2
obr. 8.1 Odpor proti zrychlení sloupce
kapaliny
Odpor proti zrychlení neboli hydraulická indukčnost je tedy určena vztahem
4
22kgm
S
l
S
Sl
S
mLH
( 8.1.1)
8.1.2 Odpor proti zrychlení u rotačního pohybu
Odpor proti zrychlení při otáčivém pohybu se odvodí
analogicky z následujících momentových rovnic
dt
dQ
SrJ
dt
dv
rJ
dt
dJJM
11
kde J [kg.m2] je moment setrvačnosti rotujících hmot, tj.
kapaliny, případně částí hydrogenerátoru, hydromotoru,
zátěže atd.), pSrFrM . Objem za jednu otáčku
hydrogenerátoru je rSVt 2 , z čehož 2tV
Sr .
S
r
p1
p2
v
obr. 8.2 Odpor proti zrychlení
Pak moment je roven 2
tpVM
. Porovnáním výrazů pro momenty je tlakový spád
dt
dQJ
Vdt
dJ
Vp
tt
2
22
. Hydraulická indukčnost při otáčivém pohybu je tedy
4
2
kg.m2
J
VL
t
H
( 8.1.2)
Jestliže v obvodu se otáčejí jednotlivé části různými otáčkami, redukuje se moment setrvačnosti na
jeden hřídel, a to zpravidla na hřídel hydromotoru. Pak redukovaný moment setrvačnosti je
Matematický model sloupce kapaliny
120
m
hhredn
niJiJ ,2
, kde J je moment setrvačnosti hmoty otáčející se otáčkami n , mn jsou otáčky
hydromotoru.
8.1.3 Hydraulická indukčnost sloupce kapaliny v SimHydraulics
tlak
AQ
B
prutokomer
prutokk
nadrz2
f(x)=0
Solver
Configuration
PSS
Simulink-PS
Converter
Signal 3
Signal Builder
A B
Resistive Tube
PS S
PS-S1
PS S
PS-S
AB
P
Manometr
S TP
Ideal Hydraulic Flow
Rate Source
A B
Fluid Inertia
Custom HydraulicFluid
Potrubí s hydraulickou indukčností (Fluid Inertia) je blok pro definici odporu
proti zrychlení při proudění v potrubí. Zadává se průtočná plocha a délka
potrubí.
Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/ Fluid Inertia)
8.2 Odpor proti deformaci a hydraulická kapacita
Odpor proti deformaci je určen vztahem V
pDH
, hydraulická kapacita je převrácenou
hodnotou.
8.2.1 Odpor proti deformaci sloupce kapaliny
Pro sloupec kapaliny o průřezu S a délce l se vyjádří odpor proti deformaci nebo hydraulická
kapacita z definice modulu objemové pružnosti kapaliny
241
H
H smkgK
V
DC
p
V
pV
V
K
111
Pro pružné potrubí je třeba uvažovat také odpor proti deformaci potrubí, což lze provést korekcí
modulu objemové pružnosti kapaliny K vztahem
KKs
2 , K
V
K
VC
s
H 2 ( 8.2.1)
Matematický model sloupce kapaliny
121
Pro tenkostěnné potrubí kruhového průřezu platí
Es
Kd
1
1 , což je známo z hydraulického rázu.
E je modul pružnosti materiálu potrubí a s je tloušťka stěny. Hydraulickou kapacitu lze vyjádřit také
v závislosti na rychlosti zvuku, neboť platí
22 aKK
aa t , čili hydraulická kapacita
je
Es
Kd
K
V
a
V
K
VCH 1
22 .
Jestliže tlak v kapalině klesne pod tlak nasycených par (dosáhne se kavitačních parametrů), pak musí
být rovnice upraveny. Kapalina se bude předpokládat jako vícefázová směs kapaliny a plynu o malém
objemovém množství. Modul pružnosti se pak upraví na tvar
n
n
a
n
ak
n
a
a
k
ppn
pK
pp
p
KK
1
/1
/1
1
1
( 8.2.2)
kde kK je modul pružnosti čisté kapaliny
ap je atmosférický tlak
je relativní obsah plynu,
k
g
V
V
gV je objem plynu v kapalině při atmosférickém tlaku
kV objem kapaliny
n je podíl měrných tepel plynu
Hlavním důvodem k uvažování kapaliny jako směsi kapaliny a plynu je zavedení aproximativního
modelu kavitace pro případ, že tlak v systému klesne pod tlak nasycených par kapaliny.
Matematický model sloupce kapaliny
122
0.0E+00
2.0E+08
4.0E+08
6.0E+08
8.0E+08
1.0E+09
1.2E+09
1.4E+09
0.E+00 1.E+06 2.E+06 3.E+06 4.E+06 5.E+06 6.E+06
p [Pa]
K [
Pa
] 0
0.000025
0.00005
0.000075
0.0001
0.0005
0.001
0.005
0.01
0.1
alfa
obr. 8.3 Modul objemové pružnosti v závislosti na tlaku a objemovém obsahu vzduchu.
Při vysokém tlaku je v kapalině malé objemové množství nerozpuštěného vzduchu a nemá praktický
vliv na modul pružnosti. Kavitace je v podstatě termodynamický proces vyžadující vícefázové
proudění, přenos tepla atd., což nemůže být přesně řešeno v SimHydraulics. Ale i tento zjednodušený
přístup je postačující pro řešení hydraulických obvodů. Jestliže je jasné, že v obvodu nenastace
situace, aby tlak klesl pod tlak nasycených par, lze objemový zlomek plynu nastavit přímo jako nulu
(resp. malé číslo, např. 1e-15), což samozřejmě urychlí výpočet.
8.2.2 Odpor proti deformaci pružiny
Kapacita pružiny je určena stejně jako u kapaliny dp
dV
p
VCp
. Změna objemu (stlačení
pružiny x ) je vyvolána pohybem pístu o ploše S , takže xSV . Pro sílu potřebnou na
stlačení pružiny platí vztahy xcpSF , z čehož stlačení je c
pSx
a změna objemu
c
pSxSV
2 . Pak kapacita pružiny se vypočte ze vztahu
c
S
p
VCp
2
, kde c je
konstanta pružiny.
Matematický model sloupce kapaliny
123
8.2.3 Odpor proti deformaci plynu
Pro plynovou pružinu při izotermické změně stavu
( konstT ) platí rovnice 2211 VpVp . Změna objemu je
2
1
2
1121 1
p
pV
p
pVVVV
. Kapacita plynové pružiny
je
2
1
p
V
p
VCp
( 8.2.3)
Pro polytropickou změnu stavu platí nn
VpVp 2211 , tj.
n
p
pVV
1
2
112
. Změna objemu po dosazení je
p2
p1
V2
V1
obr. 8.4 Odpor proti deformaci
plynu
n
p
pVVVV
1
2
1121 1 . Kapacita se odvodí z definice pomocí průtoku
dt
dp
p
p
np
V
dt
dp
dp
Vd
dt
VdQ
n
V2
1
2
1
2
12
2
1
a je definována jako
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
11
np
V
V
V
np
V
p
p
np
V
dt
dp
QC
nV
p
( 8.2.4)
8.2.4 Kapacita nádrží
V hydraulických systémech se může vyskytovat nádrž
s volnou hladinou. Při konečném objemu resp. konečném
průřezu nádoby (ve vodorovné rovině) je nutno uvažovat
pohyb hladiny při rozdílném přítoku a odtoku z nádoby.
Schopnost nádrže pojmout určitý objem kapaliny, případně ho
vydat, představuje akumulační schopnost, která se dá vyjádřit
kapacitou nádrže. Přiteklý objem do nádrže je QdtdV a
po dosazení je SdhQdt . Po úpravě se dostane
QV
p0
h
dh
S
v
obr. 8.5 Kapacita nádrže
dt
dpC
dt
dp
g
S
dt
dhSQ
Kapacita nádrže je
Matematický model sloupce kapaliny
124
g
SC
( 8.2.5)
kde S je vodorovný průřez nádoby.
8.2.5 Hydraulická kapacita objemu kapaliny v SimHydraulics
Kapacitu je možno jej definovat prvkem Constant Volume Chamber. Kapacita jako izolovaný
prvek potrubního systému nemá fyzikálně smysl, pouze v souvislosti s dalšími odpory (alespoň
odporem proti pohybu), takže se používá např. přímo jako potrubí s hydraulickou kapacitou (Hydraulic
Pipeline).
Constant VolumeChamber
Kapacita (Constant Volume Chamber) představuje odpor proti deformaci.
Převrácená hodnota odporu proti deformaci je hydraulická kapacita. Definice
odporu proti deformaci definovaná v SimHydraulics
(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/Constant
Volume Chamber):
pK
VVV c
cf a průtok pak dt
dVQ f
kde Q - objemový průtok do nádrže
fV - objem kapaliny v nádrži
cV - geometrický objem nádrže
K - modul objemové pružnosti kapaliny
p - přetlak kapaliny v nádrži
Stlačitelnost kapaliny a stěn je definována dle následujících parametrů
- nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina bez plynu
- nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem,
Matematický model sloupce kapaliny
125
kapalina bez plynu
- nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina s plynem
- nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem,
kapalina s plynem
Obsah plynu v kapalině se zadává v bloku kapaliny, může být i roven nule.
Potrubí s hydraulickou kapacitou a odporem proti pohybu (Hydraulic
Pipeline) je blok pro definici odporu proti deformaci a pohybu při proudění
v potrubí. Zadávají se parametry jako pro Resistive Tube.
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Pipelines/Hydraulic Pipeline)
Matematický model sloupce kapaliny
126
8.3 Značení hydraulických odporů
Odpory, které se vyskytují při přenosu energie, představují podle lineární teorie obvodů dvojpóly,
pro které platí, že průtoky na vstupu a výstupu jsou stejné a přenosový kanál je dokonale těsný. Pro
základní odpory je zavedeno v hydraulice následující označení, které se trošku liší od značení odporů
v SimHydraulic
R [Nsm-5] odpor proti pohybu
L [kgm-4] odpor proti zrychlení
C
D1
[kg1m-4s-2] odpor proti deformaci
Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy některé
odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo v teorii
grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice bude platit
zákon o uzlech a zákon o okruzích.
V SimHydraulics se objeví trochu odlišné znační odporů, jejich význam ale je stejný.
R [Nsm-5] odpor proti pohybu
tlak
AQ
B
prutokomer
prutokk
nadrz2
f(x)=0
Solver
Configuration
PSS
Simulink-PS
Converter
Signal 3
Signal Builder
A B
Resistive Tube
PS S
PS-S1
PS S
PS-S
AB
P
Manometr
S TP
Ideal Hydraulic Flow
Rate Source
A B
Fluid Inertia
Custom HydraulicFluid
L [kgm-4] odpor proti zrychlení
Constant VolumeChamberConstant VolumeChamber
CD
1 [kg1m-4s-2] odpor proti deformaci
Odpory se budou řadit graficky s tím, že číslování odporů kontrola zapojení sítě se bude
v SimHydraulics provádět automaticky.
8.4 Časové konstanty
Časové konstanty vyjadřují vztahy mezi základními odpory R , L , C a lze z nich odhadnout
dynamické chování hydraulického obvodu. Označují se
R
LTLR
RCD
RTRC
Matematický model sloupce kapaliny
127
RCLRLC TTRCR
LLC
D
LT 2
Lze dosazovat např. hodnoty odporů pro kruhové potrubí a pak tyto konstanty specifikovat. Pro
laminární proudění v kruhovém potrubí lze časové konstanty následněí upřesnit
32128
4 24
2
d
l
d
d
l
R
LTLR
Dd
RCKd
l
K
ld
d
lRC
D
RT
2
22
432
4
128
a
l
KlLCT
D
LC
a z poslední konstanty odhadnout dynamiku děje, tj. dobu běhu vlny. Výraz a
l je polovina doby běhu
vlny u hydraulického rázu.
Příklad
Určete časové konstanty dané paramery potrubí a měřením při proudění vody v tomto potubi.
Hydraulický obvod se stlačitelnou viskózní kapalinou (voda) pro experimentální stanovení
dynamických parametrů a následně odezvy tlaku na skokový vstupní signál je uveden na obr. 8.6.
Obvod je složen z hydrogenerátoru HG, vlastní měřicí trati H, kulového ventilu R, snímačů tlaku a
clony pro měření průtoku C. Pro vyhodnocování jsou využity snímače s elektrickým výstupem a
vyhodnoceny počítačem PC, včetně software pro měření a vyhodnocování veličin. Odpady a svody
jsou odvedeny do nádrže N.
N
UTC HG
C
H
P
V
PC
obr. 8.6 Pohled na měřící zařízení
Matematický model sloupce kapaliny
128
Určení odporu proti pohybu, zrychlení a vlastní frekvencePotrubí
kapalina 1000 kgm-3
kinematická viskozita 1.00E-06 m2s-1
modul pružnosti K= 2.10E+09 Pa
potrubí
poloměr r= 0.0125 m
délka l = 59 m
tloušťka stěny s= 0.006 m
modul pružnosti stěny E= 2.00E+11 Pa
průtočná plocha S = 4.90874E-04 m2
objem V= 2.89616E-02 m3
odpor proti pohybu R= 6.15392E+06 kgs-1m-4
kapacita C= 1.37912E-11
indukčnost L= 1.20194E+08 Ns2m-5
rychlost zvuku a= 1.44914E+03 ms-1
doba běhu vlny T B = 8.14277E-02 s
perioda T = 1.62855E-01 s
frekvence f = 6.14041E+00 s-1
frekvence f = 3.90911E+00 s-1
časové konstanty T LR = 1.95313E+01 s
T RC= 8.48701E-05 s
T LC = 0.040713868 s
Tf
1
S
lL
LCf
2
1
42
128
2 d
l
SR
K
VC
Ka
a
lT B
2
BTT 2
R
LT LR
RCTRC
LCTLC
Matematický model sloupce kapaliny
129
9. Matematický model sloupce kapaliny
K sestavení matematického modelu proudění v potrubí je možno využít teorii dvojbranů (čtyřpólů),
kdy matematický popis spočívá ve vytvoření matematického modelu turbulentního proudění potrubím
pro zadané fyzikální vlastnosti proudící tekutiny, potrubí dané délky, průměru, síly stěny a materiálu a
jeho řešení (SimHydraulics).
Ze všech kombinací sériově-paralelních řazení odporů budou v následujících kapitolách vybrány ty
obvody, které mohou reprezentovat proudění v potrubí a matematické modely, které takto budou
vytvořeny, se nazývají modely se soustředěnými parametry, protože odpory R, L, C jsou soustředěny
do jednoho bodu a neuvažuje se vliv délky potrubí.
K řešení nelineárních rovnic popisujících turbulentní, laminární a přechodové proudění se využije
systém SimHydraulics, který je z hlediska zadávání obvodu a parametrů potrubí a kapaliny uživatelsky
přívětivější.
Jako první model bude popsán model T-článku, který je nejznámější a nejpoužívanější prvek.
Na něm bude vysvětlen přístup k řešení metodou analytickou a numerickým řešením v SimHydraulics.
Další prvky jsou pak již variantami.
9.1 R-(L+C) článek (tzv. T článek)
Nechť je dán obvod, složený z R, L a C
odporů (tzv. T článek). Ze zákonů o okruzích
dle schématu vyplývá
CRLR ppppp
CL pp
Ze zákona o uzlech platí
LC QQQ dt
dQ
dt
dQ
dt
dQ LC
R L
pR pL
pC
D=1/C
Q QL
QC
p
Pro průtoky a tlaky odporech platí vztahy
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
QRp linR 2RQpR
dt
dQLp L
L
dtQC
p CC
1
dtQC
QRp Clin 1
2
2
2
2
dt
QdCR
dt
pdC
dt
dQlin
C
dtQC
RQp C12
2
22
2
2
dt
QdCR
dt
pdC
dt
dQlin
C
Matematický model sloupce kapaliny
130
dt
dQLQRp L
lin QL
R
L
p
dt
dQ linL
QL
R
L
p
dt
QdCR
dt
pdC
dt
dQ linlin
2
2
2
2
2
22
2
2
22dt
QdCRQ
dt
dQCR
dt
pdC
dt
dQC
dt
dQLRQp L 2 2Q
L
R
L
p
dt
dQL
2
2
2
2
2
2
22
QL
R
L
p
dt
dQCR
dt
QdCRQ
dt
pdC
dt
dQ
Po úpravě jsou výsledné rovnice následující
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
pdt
pdLCQR
dt
dQL
dt
QdLCR linlin
2
2
2
2
pdt
pdLC
RQdt
dQL
dt
dQRLC
dt
QdRLCQ
2
2
2
2
2
2
22
Rovnice jsou druhého řádu vzhledem k průtoku i tlaku. Tedy ze zákonů o okruzích a uzlech platí výše
uvedené diferenciální rovnice pro laminární resp. turbulentní proudění, přitom pro laminární nebo
linearizované proudění je lineární a pro turbulentní proudění je nelineární.
9.1.1 Numerické řešení - SimHydraulics
Příklad 9.1.1
Numericky řešte diferenciální rovnici druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými
počátečními podmínkami a danými konstantami. V rovnici se předpokládá, že změna tlaku 0p je
vstupní signál a průtok je hledaná funkce. Vstupní signál je roven skokové změně na hodnotu 0p .
Pro turbulentní proudění nelinearizované se využije programu SimHydraulics shéma připravené pro
výpočet statické charakteristiky s následujícími úpravami:
potrubí (Resistive Tube) se doplní paralelně připojeným blokem kapacity (Constant Volume
Chamber) a sériově blokem indukčnosti (Fluid Inertia).
Zdroj průtoku se nahradí zdrojem ideálního tlaku (Ideal Hydraulic Pressure Source), který je
definován v bloku Signal Builder skokovou funkcí z Pap 0 na kPap 40 v čase
st 01.0 .
V bloku kapaliny je nutno nastavit objem nerozpuštěného plynu (např. 0.05) a teoretický
modul pružnosti vody K=2e9 Pa).
Základní parametry potrubí a proudicí kapaliny jsou dány z minulého příkladu a budou vloženy do
obvodu.:
Parametry kapaliny
kapalina 1000 kgm-3
kinematická viskozita 1.00E-06 m2s-1
modul pružnosti K= 2.10E+09 Pa
Matematický model sloupce kapaliny
131
Parametry potrubí
potrubí
poloměr r= 0.0125 m
délka l= 100 m
tloušťka stěny s= 0.006 m
modul pružnosti stěny E= 2.00E+11 Pa
tlakovy spad
AQ
B
prutokomer1
AQ
B
prutokomer
nadrz2
nadrz1
Q_za_T
To Workspace3
tlakovy_spad_na_T
To Workspace2
Q_za_zdrojem
To Workspace1
f(x)=0
Solver
Configuration
Signal 2
Signal Builder
PSS
S-PS
Q za zdrojem
Q za ventilem
PS S
PS-S2
PS S
PS-S1
PS S
PS-S
AB
P
Manometr1
A B
Linear Hydraulic
Resistance
S TP
Ideal Hydraulic
Pressure Source
A B
Fluid Inertia
Custom HydraulicFluid
Constant VolumeChamber
obr. 9.1 Schéma řešení linearizovaného obvodu Qlin, SimHydraulics
T článek je řešen pro turbulentní proudění s využitím SimHydraulics. Je zřejmé, že lze využí stejné
schéma dle obr. 9.1 pro konstatní odpor proti pohybu. Problém je v určení tohoto linearizovaného
odporu. Ale při harmonickém průtoku je jasné, že se mění rychlost a Reynoldsovo číslo a tudíž také
součinitel tření . Proto je použit obvod s obecnějším modelom potrubí pro turbulentní proudění.
obr. 9.2 Řešení T článku
Matematický model sloupce kapaliny
132
Je možno konstatovat, že v SimHydraulics vytvořený model vystihuje jak laminární tak turbulentní
proudění. Z numerické řešení je možno odečíst periodu, ustálený stav a pod.
Je třeba poznamenat, že řešení nelze konfrontovat s výše popsaným experimentem, tj. se
změřenými průběhy hydraulického rázu. Důvodem je to, že rovnice pro T článek popisuje vztah mezi
vstupním tlakem a vstupním průtokem. Dynamická změna je vyvolána dynamickou změnou tlaku na
vstupu do potrubí. Hydraulický ráz je vyvolán dynamickou změnou na konci potrubí. Navíc průběhy
průtoků nelze odměřit, neboť není k dispozici průtokoměr pro měření dynamického průtoku.
Hydraulický ráz bude řešen a porovnán s experimentem později.
9.2 R-L – článek
Tento model je velmi často používaný model
pro krátké potrubí i v komerčních software. Pro
sériově řazené odpory R , L , se využije zákon o
okruzích ve tvaru LR ppp .Pro tlakové
R L
pR pL
p
spády na odporech platí vztahy
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
QRp linR 2RQpR
dt
dQLpL
dt
dQLQRp lin
dt
dQLRQp 2
Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze řešit analyticky (nebude se nadále používat z důvodu
sjednocení přístupů k řešení) a Laplaceovou metodou. Numericky se řeší jak lineární tak nelineární
rovnice bez problémů.
Rovnice budou řešeny pro nulovou počáteční podmínku 00 Q a vstupní signál je tlakové
diference p .
9.2.1 Numerické řešení laminárního i turbulentního proudění
Úloha bude řešena jako zjednodušený případ řešení T článku pomocí SimHydraulics s tím, že
prvek definující kapacitu bude vynechán.
Matematický model sloupce kapaliny
133
9.3 C+(R-L) - Lčlánek
Pro sériově-paralelní řazení odporů
R,L,C dle schématu plyne ze zákona o
okruzích
CLR pppp .
Ze zákona o uzlech vyplývá pro tento
obvod
CRL QQQ .
R L
pR pL
p
pC=p
D=1/C
Q QRL
QC
p
Pro průtoky na jednotlivých odporech platí vztahy
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
lin
RRL
R
pQ
R
pQ R
RL
dtpL
Q LRL
1
dt
pdCQC
lin
R
R
p
dt
pdCQ
dt
pdCRQRp linlinR
dtpLdt
pdCQ L
1
L
p
dt
pdC
dt
dQ L
2
2
2
2
dt
pdLC
dt
dQLpL
R
p
dt
pdCQ R
2
dt
pdCQRpR
dtpLdt
pdCQ L
1
L
p
dt
pdC
dt
dQ L
2
2
2
2
dt
pdLC
dt
dQLpL
Pro odvození rovnice se sečtou tlakové spády a získá se diferenciální rovnice
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
QR
dt
dQLp
dt
pdCR
dt
pdLC linlin
2
2
2
2
2
2
2
2
RQdt
dQL
pdt
pdRC
dt
pdRCQ
dt
pdLC
Diferenciální rovnice vyjadřuje závislost průtoku Q a tlakového spádu p , přitom obě veličiny jsou
v derivacích, tedy z hlediska matematického lze volit libovolnou proměnnou (a potřebné derivace) jako
vstupní veličinu a druhou veličinu spolu se zadanými potřebnými počátečními podmínkami řešit.
Matematický model sloupce kapaliny
134
Vzhledem ke komplikovanosti vztahů se analytické řešení nebude uvažovat a další kapitoly se
zabývají již pouze numerickým řešením realizovaným v SimHydraulics.
9.3.1 Numerické řešení turbulentního proudění
Úloha bude řešena metodicky stejně jako T článek pomocí SimHydraulics, případně se upraví typ
vstupního signálu.
9.4 Symetrický T článek
L/2 R/2
pL pR
pC
D=1/C
Q QR
QC
p
pR pL
L/2R/2
Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je rovnicí druhého řádu pro tlak a třetího
řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se již uvádí pouze rovnice pro linearizovaný odpor proti
pohybu odvozená ze schématu a pro turbulentní proudění se již odvození neprovádí.
QRdt
dQL
CR
dt
QdCLR
dt
QdCLp
dt
pdCR
dt
pdCLlin
linlinlin .42422
2
2
2
3
32
2
2
9.4.1 Numerické řešení symetrického T článku
Předpokládá se tlakový vstupní signál ve tvaru skokové funkce, tj. 0p , a průtok je výstupní
hledaná funkce. Schéma řešení v Simulinku je podobné. Při použití odporu proti pohybu Resistive
Tube se ale řeší nelineární tvar rovnic, tj. obecné turbulentní proudění .
Další variantou řešení je průtok jako skokový vstupní signál 0Q a změna tlaku je hledaná
funkce.
Tvar řešení závisí na tvaru vstupního signálu tlaku nebo průtoku (skoková, harmonická a
exponenciální funkce) a na hodnotách konstant R, L, C. Odezvou na skokovou změnu je přechodová
charakteristika.
Příprava schématu pro tento článek je mnohem snažší v SimHydraulics, neboť koeficienty jsou
složité a navíc není třeba přepracovat schéma pro změnu vstupního signálu.
Matematický model sloupce kapaliny
135
9.5 článek
L/2
pL
pC
D=2/C
Q QR
QC
p
pR pL
L/2R
pC
D=2/C
QC
Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je obyčejnou diferenciální rovnicí třetího
řádu pro tlak a čtvrtého řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se opět uvádí pouze rovnice pro
linearizovaný odpor proti pohybu.
QRdt
dQL
dt
QdLCR
dt
QdCL
dt
QdCLRp
dt
pdCR
dt
pdLC
dt
pdLCR
lin
linlinlinlin
2
2
3
32
4
422
2
2
3
32
2416228
9.5.1 Numerické řešení
Numerické řešení je schůdné v SimHydraulics jako v předchozí kapitole.
9.6 Segmentované potrubí
Dělené potrubí (Segmented pipeline): je prvek, který slouží k vedení
pracovního média v systému. Reprezentuje hydraulické potrubí s kruhovým
průřezem rozděleným příčnými řezy jako soubor stejných, sériově zapojených
dílů - soustředných parametrů. Každá část se skládá z odporové trubky, bloku
setrvačnosti kapaliny a stlačitelnosti kapaliny.
(Simulink/Simscape/Simhydraulic/Pipelines/Segmented pipeline)
Pipe internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,025 m
Pipe length Délka potrubí 1000 m
Number of segments Počet segmentů 60 -
Aggregate eguivalent length of
local resistances
Ekvivalentní délka
místních ztrát 1 m
Internal surface roughness
height Drsnost vnitřního povrchu 0,025 mm
Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 -
Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní hranice 4.103 -
Pipe wall type Typ stěny trubky Rigid -
Matematický model sloupce kapaliny
136
Specific heat ratio Měrné teplo 1,4 -
Dělené potrubí se skládá z odporů řazených za sebou dle obr. 9.3. Takovéto sestavení odpovídá
tomu, že v případě jednoho segmentu se bude jednat o symetrický T-článek. Každý další segment je
pak počítán jako tzv. L-článek.
Matematický model sloupce kapaliny
137
obr. 9.3 Skladba děleného potrubí
Výše definovaná úloha je definovaná obvodem v SimHydraulics.
9.7 Srovnání řešení pro různé typy modelů
V následujícím obrázku je vidět rozdíly v řešení při použití klasických T-článků a segmentovaného
potrubí. Varianty řešení jsou definovány modelem s 1 T-článkem a segmentovaným potrubím s 1, 2,
10 a 20 segmenty..
0
0.00002
0.00004
0.00006
0.00008
0.0001
0.00012
0.00014
0.00016
0.00018
0.0002
0 50 100 150 200 250 300
t [s]
Q [
m3s
-1]
Qnelin
1T
2T
10T
20T
obr. 9.4 Zhodnocení tlaků za dlouhým potrubím pro všechny varianty modelů.
Závěrem lze říci, že se zvyšujícím se počtem T článků se zvyšuje přesnost řešení, neboť se
využívá kvalitnější matematický model. Dále se zvyšuje amplituda kmitání a snižuje frekvence. Stejný
počet T článků a segmentů v elementu segmentovaného potrubí dává stejný výsledek, ale výpočet
užitím segmentovaného prvku je časově náročnější. První vlastní frekvence se pohybuje v rozmezí od
20 do 30 Hz.
9.8 Rychlost zvuku v potrubí
Z numerického řešení charakterizovaného harmonickým průběhem lze určit rychlost zvuku. Nechť
perT je perioda harmonického signálu. Pak časová konstanta je dána vztahem
LCT
Doba běhu vlny je
s
Ba
lT
2
Matematický model sloupce kapaliny
138
Pak rychlost zvuku je
perB
sT
l
T
la
42
Rychlost zvuku se měří a její hodnoty pro vybrané kapaliny je v tab. 9.1.
tab. 9.1 Fázová rychlost šíření změn
Fyzikální systém, látka Rychlost šíření (m.s-1)
Světlo ve vakuu 3.108
Elektrický kabel 1,5 až 2,95.108
Železo, sklo 0,5 až 1,25.108
Beton 4.103
Volná vodní hladina 1415
Ocelová trubice s kapalinou, p=50MPa 1100 až 1600
Atmosféra 344
Středotlaké hadice s kapalinou 300 až 550
Vysokotlaké hadice s kapalinou 650 až 800
Umělohmotné trubice s kapalinou 20 až 800
Tepny s krví až 8
Hydraulický ráz
139
10. Hydraulický ráz
Matematické modely pro zkoumání těchto jevů jsou velmi složité, neboť jsou silně závislé na
experimentálně zjištěných datech. Vzhledem ke složitosti celého děje je vhodné zvolit následující
postup
experimentálně definovat typickou úlohu se stlačitelností vody z důvodu definice modulu
pružnosti,
výsledky měření pak využít k definici okrajových podmínek,
vyřešit matematický model,
porovnat výsledky matematického modelu s experimentem.
Po vyřešení těchto testovacích úloh je pak možno přistoupit k modelování kavitace a aerace ve
složitějších geometriích, kde zabývat se podrobným ověřováním výsledků je nemožné.
10.1 Experimentální zkoumání hydraulického rázu ve vodě.
Zařízení pro demonstraci
hydraulického rázu bylo definováno
v předchozím příkladu včetně
geometrických parametrů dlouhého
potrubí a okrajových podmínek.
Průběhy tlaků na počátku potrubí před
a za clonou, uprostřed a na konci
potrubí před ventilem byly snímány do
počítače pomocí programu Labview a
graficky vyhodnoceny, viz. obr. 10.1.
Z grafu lze odečíst periodu děje při
hydraulickém rázu.
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tlak
(pa)
čas (s)
pV
pSTR
pVENT
obr. 10.1 Měřené průběhy tlaku na manometrech pV, pSTR,
pVENT
10.2 Řešení metodou elektrohydraulické analogie
Dle fyzikálního experimentu bylo zvoleno jako zdroj tlakové kapaliny hydrodynamické čerpadlo.
Uzavírání obvodu se zabezpečilo kulovým ventilem s ovládáním, které je definováno řídícím signálem.
Dále jsou ve schématu použity průtokoměry a manometry s grafickým a digitálním textovým výstupem.
Manometry na začátku pV, uprostřed pSTR a konci pKON potrubí jsou rozmístěny ve shodě
s experimentem. Další významné bloky jsou nádrž, hydraulická kapalina pro definování fyzikálních
vlastností kapaliny a bloky pro parametry numerické simulace.
Hydraulický ráz
140
Tvořič signálu (Signal Builder): tento blok slouží k nastavení časového
průběhu otevírání a zavírání ventilu. Čas uzavírání ventilu byl nastaven podle
experimentu, např tuz = 20ms.
(Simulink/Sources/Signal Builder)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Čas [s]
otevřeno
zavřeno
Nejdůležitějším prvkem obvodu je segmentované potrubí, kde vzhledem k turbulentnímu
proudění budou využity odlišné vztahy pro součinitel tření, které se ale vybírají podle rychlosti
v daném místě obvodu a Reynoldsova čísla. Obvod je tedy stejný jako pro proudění vody včetně
subsystémů.
Pro numerické řešení užitím programu SimHydraulics je využije schéma připravené pro výpočet
statické charakteristiky s následujícími úpravami:
Potrubí (Resistive Tube) se vymění za segmentované potrubí (Segmented Pipe), tj. využije se
bloku, který obsahuje potrubí (Resistive Tube), dále se paralelně připojený blok kapacity
(Constant Volume Chamber) a sériově blok indukčnosti (Fluid Inertia), přitom počet segmentů
definuje právě počet těchto prvků. Čím více segmentů se zvolí, tím je přesnější výpočet, ale
také se velmi prodlužuje doba výpočtu a úloha může divergovat z důvodu zaokrouhlovacích
chyb.
Zdroj tlaku je čerpadlo
V bloku kapaliny je nutno nastavit objemový zlomek nerozpuštěného plynu na nulu (např. 1e-15),
neboť obsah plynu v kapalině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti.
Hydraulický ráz
141
Signal 2
zavirani ventilu
RC
S
uhl. rychlost
S PS
rpm
reference
p V
p STR
p S
p KON
SPS
m3/s
S PS
m
f(x)=0
Vypoc. konfigurace
BA
Segmented Pipeline2
BA
Segmented Pipeline1
Scope
QBA
Q
Prutokomer
SPS
PaV SPS
PaSTR
SPS
PaS
SPS
PaK1
NadrzV1
NadrzV
NadrzS
T
V
Nadrz s vyskou hladiny SNadrz
P
BA
ManometrV
P
BA
ManometrSTR
P
BA
ManometrS
P
BA
ManometrKON
BA
S
Kulovy ventil
2000
Konstanta
Kapalina
BA
Clona
T
P
S
Centrifugal Pump
obr. 10.2 Schéma obvodu na řešení hydraulického rázu užitím segmentovaného potrubí.
10.2.1 Okrajové podmínky a fyzikální vlastnosti kapaliny
Okrajové podmínky se definují na konci a začátku potrubí a jsou dány fyzikálním experimentem.
Okrajová podmínka na vstupu do oblasti je dána charakteristikou čerpadla a otáčkami. Změna je
definována uzavřením kulového ventilu, které je řízeno signálem se změnou polohy v čase
odpovídajícím přestavné době. Ventilem je definovaná okrajová podmínka na výstupu, kdy průtok je
změněn skokově z hodnoty ustáleného stavu na nulu a později zpět.
obr. 10.3 Řídící signál pro uzavření a otevření ventilu.
Fyzikální vlastnosti kapaliny jsou dány při atmosférickém tlaku v bloku hydraulické kapaliny.
Hydraulický ráz
142
Fluid density Hustota 1000 kg.m-3
Kinematic viscosity Kinematická viskozita 1.10-6 m2.s-1
Bulk modulus Modul pružnosti 12,4.106 Pa
Relative amount of trapped air
Relativní množství obsaženého vzduchu
0.000001 1
tab. 10.1 Parametry pro definování kapaliny
Modul pružnosti kapaliny byl v daném případě určen z experimentu. Hodnota tohoto modulu pružnosti
je nižší, než se uvádí pro vodu (2,1.109). Hodnota je ovlivněna přítomnosti vzduchu v kapalině.
Bohužel určit tuto hodnotu není snadné. Tedy numerický výpočet bude realizován pro změřenou
hodnotu modulu pružnosti a následně se bude realizovat pro teoretickou hodnotu modulu pružnosti a
pro různé hodnoty objemového zlomku vzduchu. Výsledky se porovnají s experimentem.
10.2.2 Vyhodnocení řešení
Na obr. 10.4 je vyhodnocen průběh tlaků před ventilem, uprostřed potrubí, za čerpadlem a za
ventilem. Je vidět, že průběh tlaku před ventilem je nejvýraznější.
obr. 10.4 Průběhy tlaků před ventilem (žlutá), uprostřed potrubí (fialová), za čerpadlem (modrá), za
ventilem (červená).
Objemový zlomek vzduchu ovlivňuje řešení podobně jako modul pružnosti. V grafu na obr. 10.4 je
zobrazen průběh tlaku pro následující varianty
Hydraulický ráz
143
fyzikální experiment
z měření určený modul pružnosti K=12.4.106 Pa a nulový obsah vzduchu
teoretický modul pružnosti K=12.4.106 Pa a objemový zlomeck vzduchu =0.02
Významným výsledkem simulace je vyhodnocení průběhu rychlosti na začátku potrubí v bodě P1, kde
je opět patrný vliv stlačitelnosti a tudíž je možno pozorovat periodické chování děje.
obr. 10.5 Průběh rychlosti na začátku potrubí.
Rychlost na konci potrubí kopíruje okrajovou podmínku uzavření rozvaděče a tedy skokové změny
rychlosti z ustálené hodnoty na nulu.
Hydromotory
144
11. Hydromotory a pneumotory
V následujících kapitolách bude prověřena funkce hydromotorů a pneumotorů, tj. plnění
jednočinných válců v pneumatickém a hydraulickém obvodu.
11.1 Simulace obvodu s jednočinným válcem – Pneumatics
Simulace plnění bude provedena pro přímočarý motor SMC C92B32-250. Plnění pneumomotoru
bude probíhat pomocí rozváděče SYA 3220-M5, který bude v simulaci nahrazen blokem „Constant
Pneumatic Orifice ISO 6358“, což je průtok otvorem s konstantním průřezem a bude reprezentovat
kanál rozváděče p – A. Clona bude nastavena pomocí změřených hodnot uvedených v Tab. 7.1. Tlak
na zdroji bude nastaven na hodnotu 4,001 bar. Motor bude zatížen závažím o hmotnosti 5,7 kg a 10
kg.
Na obr. 11.1 je schéma měřeného obvodu připraveného v Pneumatics. Pro zjednodušení byly
vytvořeny subsystémy pro přehlednost schématu.
tlak p vstup
rychlost m/s
prutok l/min
poloha m
f(x)=0konfigurace
BA
kanal rozvadece
p-A
1.19
hustota
A B
hadicka_p_A
T
P
B
A
Tlakomer
A R
Subsystem hydromotoru
BA
Pneumatic Pressure
Source
Pneumatic
Atmospheric
Reference1
SPS
PS-S 2
SPS
PS-S 111
SPS
PS-S 11
SPS
PS-S 1
N load -91.8
Mechanical
Translational
Reference1Mass 10
RCS
Load
P
V
C
R
Ideal Translational
Motion SensorQ
G
B
A
Hm. prutok
-K-
Gain
Divide2
Divide
100000
Constant2
Atmospheric
Reference
obr. 11.1 Model obvodu s jednočinným válcem
Obvod je složen z následujících bloků a subsystémů
- Blok „Pneumatic Pressure Source“ (tmavě modrá barva) k nastavení tlaku v obvodu
- Průtokoměr (oranžová barva)
- Tlakoměr na vstupu do systému (zelená barva)
- Subsystém hadičky (červená barva) je definován klasickým odporem proti pohybu (Pneumatic
Resistive Tube) a odporem proti deformaci - kapacitou (Constant Volume Pneumatic
Chamber)
Hydromotory
145
-
- Blok „Constant Area Pneumatic Orifice ISO 6358“ (žlutá barva) reprezentující kanál rozváděče
p – A
- Katalogové hodnoty
- Zvuková vodivost [ l/(s*bar) ] - 0,61
- Kritický poměr tlaků [-] - 0,44
- Změřené hodnoty
- Zvuková vodivost [ l/(s*bar) ] - 0,54
- Kritický poměr tlaků [-] - 0,42
Tab. 11.1 Katalogové a naměřené hodnoty pro rozváděč
- Blok „Mass“ (fialová barva) k nastavení hmotné zátěže
- Blok „Ideal Force Source“ (černá barva) pro nastavení síly působící proti vysunutí pístu
v modelu nastaveno na hodnotu – 56,01 N pro zatížení 5,71 kg a - 98,1 N pro zatížení 10 kg
- Blok „Pneumatic Atmospheric Reference“, „Solver Configuration“
- Subsystém jednočinného válce (světle zelená barva),
obr. 11.2 Subsystém jednočinného válce
Okrajové podmínky a nastavení modelu:
- Zdroj tlaku („Pneumatic Pressure Source“) byl nastaven na hodnotu 4,001bar.
Hydromotory
146
- Nastavení subsystému hadičky p – A je znázorněno na obr. 3.2.10
- Nastavení bloku „Constant Area Pneumatic Orifice ISO 6358“ (žlutá barva) reprezentující
kanál rozváděče p – A
obr. 11.3 Nastevení bloku reprezentující kanál rozváděče p-A
- Nastavení subsystému jednočinného válce
Hydromotory
147
obr. 11.4 Nastavení bloku Pneumatic piston Chamber
Výsledekem simulace je reakce systému na skokovou změnu tlaku na vstupu a je provedeno
porovnání s měřením pro závaží o hmotnosti 5,71 kg. Na obr. 11.5 až obr. 11.7 je vyhodnocen průběh
tlaku před vstupem do pneumatického válce, dále průběh polohy pístnice pneumatického válce,
hodnoty průtoku a rychlost pohybu pístnice.
Hydromotory
148
obr. 11.5 Porovnání průběhů tlaku u experimentu a simulace
obr. 11.6 Porovnání průběhu polohy experimentu a simulace
Hydromotory
149
obr. 11.7 Porovnání průběhu průtoku experimentu a simulace
obr. 11.8 Porovnání průběhu rychlosti experimentu a simulace
Průběh tlaku je zobrazen na obr. 11.6. Na samotný náběh tlaku může mít vliv, jak už bylo popsáno
výše nezahrnutí reakční doby rozváděče, velikost „mrtvého objemu“ válce. Průběh tlaku je ovlivněn
jako v předešlém případě nezahrnutím tlumení koncových poloh, ne zcela přesné nastavení tření a
způsob měření tlaku v simulaci a měření (před válcem experiment, ve válci simulace). Porovnání
průběhu rychlosti obr. 11.8 a polohy obr. 11.6 vykazují uspokojivou shodu. Nepřesnost mohla být
způsobena ze stejných důvodů jako u modelu dvojčinného válce. Porovnání průběhu průtoku je
zobrazeno na obr. 11.7. Průběhy se neshodují ze stejných důvodů, které byly popsány u modelu
dvojčinného válce.
Hydromotory
150
11.2 Simulace obvodu s hydraulickým válcem – Hydraulics
Následující obvod je jistou analogií s tím rozdílem, že je definová pohyb pístníce dvojčinného
hdromotoru. Zdroj energie je definován čerpadlem s konstantním průtokem, změna průtoku je pak
dána rozvaděčem, kde signál S je dán skokovou funkcí a následně modifikován rampovou funkcí, aby
byl ve shodě s reálnou hodnotou signálu. Čtyři potrubí reprezentují hydraulické hadice s nepružnou
stěnou. Odpor ve zpětné větvi reprezentuje místní odpory.
CR
Translational Spring
CR
Translational Damper
simout
To Workspace
Tlak P
Tlak B
Tlak A
Tlak
BA
T
f(x)=0
Solver
Configuration
SPS
Simulink-PS
Converter1
S PS
Simulink-PS
Converter
Signal 2
Signal Builder1
Rychlost
Rampa
Q
Proportional and
Servo-Valve Actuator
BA
Pressure Relief
Valve
Poloha
SPS
PS-Simulink
Converter6
SPS
PS-Simulink
Converter5
SPS
PS-Simulink
Converter4
SPS
PS-Simulink
Converter3
S PS
PS-Simulink
Converter2
SPS
PS-Simulink
Converter1
S PS
PS-Simulink
Converter
TPS
BA
PR
BA
P
Mechanical
Translational
Reference1
Mechanical
Translational
Reference
Mechanical
Rotational Reference
Mass
BA
Local Resistance
P
V
C
R
Ideal Translational
Motion Sensor
RCS
Ideal Angular
Velocity Source
Hydraulic Reference1
Hydraulic Reference
P
BA
Hydraulic Pressure
Sensor2
P
BA
Hydraulic Pressure
Sensor1
P
BA
Hydraulic Pressure
Sensor
BA
Q
Hydraulic Flow Rate
Sensor
B
R
A
C
HM
T
P
S
Fixed-Displacement
Pump
Custom Hydraulic
Fluid
30.3
Constant
BA
Check Valve
BA
B
BA
A
obr. 11.9 Schéma obvodu
V obvodu se vyskytují nové hydraulické prvky, které budou definovány dále.
Hydromotory
151
Hydrogenerátor s konstantním geometrickým objemem (Fixed displacement
pump)
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Bloks/Hydraulic/Pumps and Motors)
Parametry hydrogenerátoru zapsané tabulkou.
K bloku musí byt připojen zdroj otáček, do kterého vstupují požadované otáčky
zadané blokem tvořiče signálu „Signal builder“
Jednočinný přímočarý hydraulický motor (Single-Acting Hydraulic Cylinder)
Simuluje hydraulické zařízení vykonávající sílu v jednom směru.
(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Bloks/Hydraulic Cylinders)
Viskózní tlumení v hydroválci je zadáno blokem Tlumiče, který je popsán rovnicí.
Tlumič (Translational Damper) Tlumič reprezentuje ideální přímočary viskózní
tlumič, zadává se součinitel tlumení.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Mechanical/Mechanical translation
elements/)
b – součinitel viskózního tlumení, v – relativní rychlost
Hydromotory
152
Místo tlumení může být použit blok přesnější, vyjadřující tření Stribeckovým efektem.
Tření (Translational Friction) Tření mezi dvěma pohybující se tělesy je popsáno
jako suma složek Stribeckova, Coulombova a viskózního třeni.
(Simulink/Simscape/Foudation library/Mechanical/Mechanical translation
elements/)
Tření na obr. 11.10 je popsáno jako suma složek Stribeckova, Coulombova a viskózního třeni a je
dáno následující rovnicí.
obr. 11.10 Třecí síla
FT – třecí síla, FC – Coulombovo tření, Fbrk – sila na překonání statického tření FS, cv – koeficient který
je roven 4/vmin, vmin – rychlost, kdy je třecí síla nejmenší, v – relativní rychlost, fv- koeficient viskózního
tření je roven Fv/v.
Obr. 11.11 Zadané hodnoty v bloku tření
Na
Hydromotory
153
Hydromotory
154
Hydromotory
155
Hydraulický akumulátor
156
12. Hydraulický akumulátor
12.1 Význam akumulátoru
Hydraulický akumuláror akumuluje tlakovou energii kapaliny v hydraulických obvodech. Používá se
jako
tlumič tlakových pulzací
jako ochrana proti přetížení
zrovnoměrňuje dodávku energie při nerovnoměrném odběru
nouzový zdroj tlakové energie
Hydraulické akumulátory se rozdělují podle konstrukce na:
pístové akumulátory (závažové, pružinové)
plynové akumulátory (s přímým a nepřímým stykem s kapalinou)
12.2 Odpory hydraulického plynového akumulátoru
Ideální hydraulický akumulátor představuje ideální zdroj tlaku ap o konstantní hodnotě, neboli
01
a
a
a QCt
p. Pro průtok akumulátorem 0aQ musí kapacita akumulátoru splňovat
podmínku K
VCa
0. K dosažení velké kapacity akumulátoru by byl potřebný značně velký
objem akumulátoru 0V .
Skutečný akumulátor má konečný objem a tudíž i kapacitu, která se určí vztahem
n
aa
ap
p
np
VC
1
00
. Pro izotermickou (tj. pomalou) změnu je 1n a u polytropické změny záleží
hodnota koeficientu na rychlosti změny a určuje se experimentem. Ze zkušeností bylo stanoveno
rozmezí exponentu 21 nnn v závislosti na době změny stavu . Mezní hodnoty jsou
18.1
65.11n a
54.2
55.32n . Pomalé změny stavu trvají po dobu až 10 min. Rychlé změny
trvají pod 1 min.
Izoentropicý součinitel 41. (pro dvouatomové plyny) je závislý na teplotě a tlaku plynu. Pro dusík
lze závislost vyjádřit lineární funkcí
t410.7833.103833.04.1 pro 1000 t a 600 p ( 12.2.1)
kde t je teplota ve stupních Celsia a tlak v MPa. Do přetlaku 100 MPa se projevuje nelinearita a při
10 MPa se odchylka exponentu největší ( je o 0,05 až 0.1 menší než vypočtená hodnota dle (
12.2.1)). Do přetlaku 10 MPa se prakticky vliv teploty zanedbává.
Hydraulický akumulátor
157
Obecné schéma membránového akumulátoru je na
obrázku. Je třeba uvažovat hmotnost a tuhost membrány či
pryžového vaku. V případě, že se zanedbává tato hmotnost, pak
při přímém styku kapaliny a plynu odpadá pohybová rovnice.
Pro průtok aQ z akumulátoru platí vztah
dt
dpCQ a
aa , kde kapacita akumulátoru je dána při
polytropické změně vztahem n
aa
ap
p
np
VC
1
11
. Ve vzorci
la
l1
Vk
V1
Va
Sa
V0
p1
pa
Qa
S
p
je 1p statická složka tlaku na počátku děje a 1V odpovídající objem plynu. Při relativně malých
změnách tlaku a průtoku je kapacita akumulátoru konstantní.
Odpor proti pohybu aR se skládá z odporu vaku, odporu kapaliny v nádobě a především
z odporu v hrdle akumulátoru 22 a
aS
R
, neboť v tomto místě je největší rychlost i zrychlení. Pak se
využije vztahu pro odpor proti pohybu u potrubí.
Odpor proti zrychlení se skládá z odporu proti zrychlení pryžového vaku a sedla, dále
z odporu kapaliny v nádobě akumulátoru a hlavně kapaliny v hrdle akumulátoru
S
S
l
l
S
lL a
aa
aa 1 .
Příklad 12.2.1
Řešte dynamické parametry akumulátoru typu 215AGV-1. Tvar akumulátoru je koule o poloměru r =
0,15 m, objem plynu je dán vzorcem pro objem koule 3
03
4rV .
Zadané počáteční parametry jsou:
plnící tlak 0p = 1 MPa (rel.) = 1,1 MPa (abs.)
stlačení na tlak 1p = 2 MPa (rel.) = 2,1 MPa (abs.)
Při stlačení platí pro plyn stavová rovnice nn VpVp 1100 , pro pomalé plnění je adiabatická konstanta
n =1, tj. jedná se o izotermní stlačení, tedy
1
0011100
p
pVVVpVp
Hydraulický akumulátor
158
Dynamická změna je v systému vyvolána skokovou změnou tlaku
z p1 = 2 MPa (rel.) na pa = 10 MPa (rel.). Pro adiabatickou změnu
platí
n
aa
n VpVp 11 1
1
1 Vp
pV
n
a
a
Kapacita akumulátoru při těchto podmínkách je dána vztahem:
1
1
pp
VV
p
VC
a
aa
Místní odpor proti pohybu v hrdle akumulátoru se určuje odlišně
podle toho, zda se jedná o proudění turbulentní nebo laminární,
kdy ale odpor proti pohybu je třeba linearizovat
V2
R
R
turbulentní 2
22
42
2
a
a
a
a
dd
l
SR
,
laminární 42
128
2 a
a
a
ad
l
SR
Odpor proti zrychlení v hrdle akumulátoru je určený vztahem
S
S
l
h
S
lL a
aa
aa 1 nebo
jednodušeji
a
aa
S
lL .
12.3 Matematický model hydraulického plynového akumulátoru
Rovnice vyjadřující průtok a tlakový spád v akumulátoru jsou pak dány vztahem
laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění
a
a
a QCt
p
1resp. dtQ
Cp a
a
a
1 ( 12.3.1)
dt
dQLQRpp a
aaalina 1 dt
dQLQRpp a
aaaa 2
1
Rovnice ( 12.3.1) tvoří matematický model proudění v akumulátoru, kde neznámé veličiny jsou tlak 1p
na vstupu do akumulátoru, ap je tlak nad kapalinou v akumulátoru a aQ je průtok akumulátorem.
Jsou to dvě rovnice o třech neznámých, tedy jedna veličina, tj. tlak 1p , bude zvolena jako vstupní
signál a zbývající dvě se vypočítají.
Hydraulický akumulátor
159
Vzhledem k definicím tlakového
spádu na hydraulických odporech
této rovnici odpovídá schéma
sériového řazení všech tří odporů.
Ra La
pR pL
p=p1
pC
D=1/Ca p=0 p1
Kapacita akumulátoru je dána objemem akumulátoru. Dále je dán plnicí tlak akumulátoru a počáteční
objem kapaliny. Specific heat ratio je poměr měrných tepel při konstantním tlaku a teplotě a pro vzduch
je 1,4. Pokud je tlak na vstupu do akumulátoru větší než plnicí tlak, pak kapalina vtéká do akumulátoru
a naopak.
Akumulátor (Gas-Charged Accumulator) blok akumulátoru ve kterým jsou komory odděleny vakem, membránou nebo pístem. Akumulátor se skládá z předem naplněné plynové komory a komory na tekutinu. Komora na tekutinu je připojena k hydraulickému systému. Stlačitelnost tekutiny, vstupní hydraulický odpor a oddělovací vlastnosti jako setrvačnosti a tlumení nejsou modelovány. Tento proces se v plynové komoře předpokládá polytropický. (Simcape / SimHydraulics / Accumulators)
Hydraulický akumulátor
160
Total accumulator volume Celkový objem akumulátoru 0.008 m3
Minimum gas volume Minimální objem plynu 4e-5 m3
Precharge pressure (gauge) Plnicí tlak 4e4 Pa
Specific heat ratio Specifické teplo 1.4 1
Initial fluid volume Počáteční objem kapaliny 0 m3
Hard – stop stiffness coefficient Pevný - stop tuhosti koeficient 1e10 Pa/m3
Hard – stop damping coefficient Pevný - stop tlumící koeficient 1e10 s·Pa/m6
Parametry, které se zadávají do menu akumulátoru, jsou:
Capacity – objem vzduchu v akumulátoru (zpravidla objem daný geometrií)
Preload pressure – plnicí tlak
Initial volume – objem kapaliny v počátečním stavu (t=0). Tento objem je zpravidla roven
nule, ale významně ovlivňuje řešení. Je optimální v bloku řešiče (f(x)=0) zatrhnout parametr pro
výpočet stacionárního stavu pro čas t=0. Tím je hodnota Initial volume nastavena na hodnotu
odpovídající stacionárnímu stavu.
Matematický model je dán následně
dt
dVQ k
a
0KV pro prpp a
k
pr
AKp
pVV
/1
1 pro prpp
kde KV objem kapaliny
AV kapacita akumulátoru (objem)
p aktuální tlak na vstupu
prp tlak plnicí
k poměr měrných tepel
Q objemový průtok
t čas
Je vidět, že neobsahuje odpor proti pohybu ani zrychlení.
Hydraulický akumulátor
161
12.4 Hydraulický ráz s akumulátorem
Hydraulický ráz je typický dynamický jev, charakteristický periodickou změnou hydraulických veličin
při náhlém uzavření ventilu. Akumulátor je prvek, který slouží k utlumení tlakových špiček, tedy bude
využit v obvodu definovaném v minulé kapitole. Otázkou je, jak velký akumulátor bude použit a kde
bude umístěn. Podrobným rozborem dynamiky se akumulátor umístí do míst s největšími tlakovými
pulzacemi a velikost bude testována.
Dle předchozí kapitoly byl vyřešen obvod s náhlým uzavřením ventilu. Průběhy tlaků byly
vyhodnoceny v bodech, kde byly umístěny snímače. Před ventilem bylo vysledována největší
amplituda periodické tlakové funkce, viz obr. 12.2. Po vložení akumulátoru dle schématu na obr. 12.1
před ventil o parametrech
objem akumulátoru 0.008 m3/s
tlak 4e4 Pa
je možno vidět v druhé části obrázku obr. 12.2. významné tlumení tlakových pulzací ve všech
snímaných bodech. Významně se také změnila frekvence tlakové funkce. Důvodem je změna složení
obvodu, tj. významně se změnil objem obvodu z důvodu akumulátoru a tím kapacita (K
VC ).
Experiment není k dispozici.
Signal 2
uzavirani
RC
S
uhl. rychlosttlaky
S PS
rpm
reference
2000
otacky/min
T
V
nadrz s hladinou
SPS
m3/s
BA
S
kulovy ventil
BA
clona
T
P
S
cerpadlo
f(x)=0
Vypoc. konfiguraceBA
Seg. potrubi2
BA
Seg. potrubi1
S PS
S-PS zav
QA
Q
BA
Q
PrutokomerA
BA
Q
Prutokomer
SPS
PaV SPS
PaSTR
SPS
PaS
SPS
PaK1
NadrzV1
NadrzV
NadrzSNadrz
P
BA
ManometrV
P
BA
ManometrSTR
P
BA
ManometrS
P
BA
ManometrKON
Kapalina
Akumulator
SPS
1
obr. 12.1 Schéma obvodu s hydraulicky dlouhým potrubím a akumulátorem.
Hydraulický akumulátor
162
obr. 12.2 Náhlé uzavření obvodu - průběhy tlakového spádu v obvodu bez akumulátoru
s akumulátorem před ventilem.
Hydraulický akumulátor
163
Při zařazení akumulátoru na začátek obvodu se utlumení neprojeví, viz obr. 12.3 vlevo. Při umístění
akumulátoru uprostřed se objeví tlumení opět před akumulátorem, za ním (tedy před ventilem) je
zanedbatelné, viz obr. 12.3 vpravo.
obr. 12.3 Náhlé uzavření obvodu - průběhy tlakového spádu v obvodu s akumulátorem na začátku
obvodu za čerpadlem a uprostřed obvodu.
Při zvýšení tlaku např. na hodnotu 4e5 Pa akumulátor není aktivován, neboť tlaky v obvodu jsou při
rázu menší, než je tato hodnota. Dále je možno testovat minimální objem akumulátoru, aby se
zabezpečilo tlumení (z ekonomického hlediska).
12.5 Dynamické konstanty některých akumulátorů
Pro určení dynamických vlastností akumulátorů nejsou od výrobců k dispozici potřebné údaje.
Pro několik vybraných akumulátorů jsou známé jejich parametry z literatury a byly získány na základě
experimentů. Vlastní frekvence a časové konstanty netlumených kmitů jsou dopočítány na základě
známých vztahů
Akumulátory 215AVG-1
Jihlavan
215AVG-25
Jihlavan
TGL10-160
Orsta
TGL25-160
Orsta
p1 [MPa] 2 5 2 5
p2 [MPa] 10 10 10 10
V1 [m3] 0.001 0.0025 0.01 0.025
Ra (lin) [Nm-5s] (1.231.6).107 (11.2).107 (1.31.8).106 2.106
La [Nm-5s2] (45).105 (4.45.1).105 (1.41.9).105 (1.961.98).105
Ca [N-1m5] (0.260.21).10-10 (0.820.72).10-10 (1.71.2).10-10 (9.69,7).10-10
Ta (0.003220.00324) (0.006010.00606) (0.004880.00477) (0.013720.01386)
fa (49.3549.12) (26.5026.26) (32.6233.33) (11.6011.48)
Hydraulický akumulátor
164
12.6 Prvky s převažující kapacitou
Nádoba naplněná kapalinou je definována tak, že se uvažuje zpravidla pouze stlačitelnost kapaliny
a dokonale pružná nádoba. Kapacita je definována jako K
VC N
N .
Přenos
165
13. Laplaceova a Fourierova transformace, přenosy
13.1 Laplaceova transformace spojité funkce
Teorie Laplaceovy a následně Fourierovy transformace je platná pouze pro lineární resp.
linearizované systémy, tedy pro laminární nebo linearizované turbulentní proudění.
13.1.1 Definice komplexního čísla a funkcí
Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru
0)(Im)(Re iaiaa (
13.1.1)
kde 0, jsou reálná čísla. Každé komplexní číslo různé
od nuly lze vyjádřit v goniometrickém tvaru
sincos0 iaeaia i (
13.1.2)
0
20
222
arctgaRe
aImarctg
,aImaRea
Im(a)
r=│a│
ψ
Re(a)
obr. 13.1 Zobrazení komplexního čísla
13.1.2 Laplaceova transformace spojité funkce
Laplaceovým obrazem funkce tx se nazývá funkce komplexní proměnné X(s), daná
integrálem
,0
tdtxesX st
( 13.1.3)
pokud uvedený integrál konverguje (ukáže se, že v některých případech je třeba se z tohoto důvodu
omezit na některé hodnoty s). Funkce tx se nazývá vzor. Často se také označuje txLsX .
Dále budou definovány obrazy jednoduchých často používaných funkcí, které lze integrací snadno
odvodit. Např.
tx txLsX
01
00
tpro
tprotu - jednotkový skok
s
1
t
tttu
0 pro 1
,0 pro 0 -impulz 1
te
s
1
t 2
1
s
Přenos
166
t
sin1
22
1
s
t
sinh1
22
1
s
tcos 22 s
s
tx - první derivace s nul. poč. podmínkami txsL
tx n - n-tá derivace s nul. poč. podmínkami txLsn
dxt
0
s
txL
V tabulkách lze nalézt přehled nejdůležitějších funkcí, které se vyskytují často v aplikacích i s jejich
Laplaceovými obrazy. Obrácené užití takového přehledu dovoluje řešit i inverzní úlohu, tj. vyhledat
k danému Laplaceovu obrazu jeho vzor. Tato úloha je obecně řešitelná též pomocí inverzní
transformace (Riemannův-Mellinův vzorec).
dssXei
tx
ia
ia
st
2
1 ( 13.1.4)
Již nyní je zřejmá výhoda, kterou bude pro aplikace zavedení operátorového počtu. Obecně obtížné
integrování, pro které ani nelze zavést obecná pravidla, je zde nahrazeno dělením Laplaceovým
parametrem s , derivace násobením s . V tomto smyslu připomíná zavedení operátorového počtu
zavedení logaritmů, kdy se násobení a dělení „vzorů“, tedy čísel, nahradí sčítáním a odčítáním jejich
„obrazů“, tedy logaritmů. Inverzní transformaci lze řešit pomocí Laplaceova slovníku přímo,
pomocnými úpravami, tj. rozkladem na parciální zlomky a pak využitím Laplaceova slovníku nebo
numericky.
13.2 Přenos systému
Metody vyhodnocení fyzikálních dynamických dějů popsaných matematickým modelem ve tvaru
diferenciálních rovnic jsou dvojího typu
a) obrazové přenosy - jsou definovány závislosti stavových veličin na čase
přechodová, odezva dynamického systému s nulovými počátečními podmínkami na
vstupní signál ve tvaru skokového signálu, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.
impulzní charakteristika je odezva dynatmického systému při nulových počátečních
podmínkách na vstupní signál ve tvaru Diracova impulzu, viz Chyba! Nenalezen
zdroj odkazů.
b) frekvenční přenosy - jsou definovány závislostí podílu Laplaceových obrazů
výstupního a vstupního signálu na frekvenci, vyšetřují se tzv. frekvenční charakteristiky
systému (tj. amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky). Přesněji jsou definovány
Fourierovými obrazy, což bude vysvětleno později.
Příklad 13.2.1
Přenos
167
Určete přenos linearizované diferenciální rovnice druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými
počátečními podmínkami a danými konstantami.
pLCRdt
pd
RQ
LCdt
dQ
CRdt
Qd
linlinlin
1111
2
2
2
2
( 13.2.1)
Laplaceova transformace se odvodí při použití označení sPtpLsqtQL ,
následovně
sPLCR
sPsR
sqLC
ssqCR
sqslinlinlin
1111 22
LCRs
RsP
LCs
CRssq
linlinlin
1111 22
Přenos pro vstupní tlak je
LCs
CRs
LCRs
R
sP
sqsY
lin
linlinqp 11
11
2
2
Přenos pro vstupní průtok je převrácenou hodnotou
LCs
LC
Rs
CsR
LCRs
R
LCs
CRs
sq
sPsY
linlin
linlin
linpq 1
1
11
11
2
2
2
2
Příklad 13.2.2
Určete graficky přenos ieYYiYYsY ,Im,Re, rovnice uvedené
v příkladu pro T-článek.
a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina
1
1
2
2
sR
LLCs
Rs
R
LC
sP
sqsY
lin
linlin
Přenos
168
obr. 13.2 a) ,ReY b) ,ImY
Velikost přenosu sYsYsY 22 ImRe (absolutní hodnota, resp. amplituda přenosu), viz
obr. 13.3, fáze přenosu sY
sY
Re
Imarctg
-15
-10
-5
0 0
20
40
60
0
2
4
6
8
10
12
14
omega
Laplaceova transformace
beta
abs(Y
)
-15
-10
-5
0 0
20
40
60-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
omega
beta
arc
tg(Y
)
obr. 13.3 Grafické vyhodnocení absolutní hodnoty obecného přenosu nad rovinou ,
13.3 Poznámky k počátečním podmínkám
Obyčejná diferenciální rovnice řešená numericky nebo Laplaceovou transformací vyžaduje zadání
počátečních podmínek. Z předešlého výkladu plyne, že při výpočtu obecného přenosu a frekvenčních
charakteristik je zvykem uvažovat počáteční podmínky rovny nule, což je omezující předpoklad. Proto
se uvažovaný děj, který obsahuje jak stacionární tak nestacionární složku, rozdělí na součet těchto
složek. Nechť p a Q jsou celkové tlaky a průtoky, pak lze psát:
Přenos
169
QQQ
ppp
u
u
( 13.3.1)
up a uQ jsou stacionární neboli časově ustálené veličiny a p a Q jsou dynamické neboli
neustálené, časově závislé veličiny. Pak lze uvažovat počáteční podmínky pro ustálené hodnoty jako
nenulové a pro dynamické hodnoty jako nulové (při vyšetřování dynamiky se ustálená složka neřeší).
Výchozí rovnice se rozdělí na dvě rovnice pro ustálené a neustálené veličiny a řeší se jako izolovaný
systém. Celý postup se pro ilustraci uvádí na příkladu určeném rovnicí
pRQdt
dQL 2
( 13.3.2)
Dosadí se součet ustálené a dynamické složky a upraví:
ppQRQRQRQdt
QdL
dt
dQL
ppQQRdt
QQdL
uuuu
uu
u
22
2
2
( 13.3.3)
Derivace ustálených veličin podle času jsou rovny nule, výraz 2QR je zanedbatelný (druhá mocnina
dynamických odchylek 2Q je mnohem menší než QQQ uu
2resp.2 - je to běžná metoda linearizace)
rovnice se tedy zjednoduší:
ppQQQRdt
QdL uuu
22. ( 13.3.4)
Rovnice se rozdělí na rovnice dynamické a ustálené tak, aby v součtu tvořily výchozí rovnici
uu
u
pRQ
pQRQQd
L
2
2dt ( 13.3.5)
Označme ulin RQR 2 . Pak předchozí soustava bude mít tvar:
uu
lin
pRQ
pQRQd
L
2
dt ( 13.3.6)
Pro takto definovanou diferenciální rovnici jsou počáteční podmínky rovny nule a ustálený děj je
popsaný dle předpokladu. Z důvodu snazšího zápisu se označení s apostrofem nebude používat.
Přenos
170
13.4 Stabilita systému
Soustava je stabilní, jestliže odezva na konečný vstupní signál je také konečná. Nechť soustava
je určena přenosem
sF
sfsY ( 13.4.1)
Nechť sF je tzv. charakteristický polynom. Kořeny polynomu F (nulové body) se nazývají póly
přenosu. Soustava, která je lineární, spojitá, reálná a časově invariantní, bude považována za stabilní
v případě, že kořeny polynomu sF resp. póly přenosu jsou záporné nebo se zápornou reálnou
částí tj.
0 ,0
kkkkk is ( 13.4.2)
Bude-li aspoň jedno číslo ležet na imaginární ose, tj.
0 ,0
kkkkk is ( 13.4.3)
pak v případě, že toto číslo je jednoduché, se soustava bude nazývat soustavou na mezi stability. k
se nazývá vlastní kruhovou frekvencí soustavy, fk 2 , f je vlastní frekvence, jejíž význam
bude zřejmý při rezonanci. Vlastní frekvence se projeví v grafu přenosu jako hodnota rovna
nekonečnu a pro 0 jako hodnota maximální.
Příklad 13.4.1
Určete stabilitu rovnice uvedené v příkladu pro T-článek.
a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina
1
1
1
2
2
2
2
sR
LLCs
Rs
R
LC
RLsLCsR
LCs
sP
sqsY
lin
linlin
linlin
0.2
linlin RsLLCsRprosY2
4112
2,1
LCCRCRs
linlin
Reálná část je záporná, soustava je stabilní, i stabilitu neovlivní.
b) Průtok je vstupní veličina a tlak je výstupní veličina
12
2
LCs
RLsLCsR
sq
sPsY linlin
012LCsprosY iLC
iLC
s 11
2,1
Přenos
171
Reálná část je rovna nule, výstupní signál je netlumený. Imaginární část definuje harmonický signál.
13.5 Fyzikální význam přenosů vyšších řádů a jejich parametrů
V technické praxi se nejčastěji vyskytují přenosy prvního a druhého řádu odpovídající fyzikálnímu
ději, popsanému obyčejnou diferenciální rovnicí prvního nebo druhého řádu. Proto je vhodné se
seznámit s jejich významem a vyhodnocením.
13.5.1 Přenos prvního řádu
Přenos Ts
K
sP
sqsY
1 odpovídá diferenciální rovnici pKQ
dt
dQT , kde T je tzv.
časová konstanta a K je součinitel zesílení. Přechodová charakteristika je dána rovnicí
T
t
ust eQQ 1
kde ustQ je asymptota (ustálená hodnota pro
t ) a může se určit z výchozí diferenciální
rovnice (první derivace pro asymptotu je rovna nule)
pKQust . Časová konstanta se odečte
z přechodové charakteristiky. V počátku souřadnic se sestrojí tečna přechodové charakteristiky, která
protne přímku ustálené hodnoty ustQ v bodě A, jehož souřadnice udává časovou konstantu T .
13.5.2 Přenos druhého řádu
Přenos 2221 sTaTs
K
sP
sqsY
odpovídá diferenciální rovnici
pKQdt
dQaT
dt
QdT 2
2
22
, kde T je tzv. časová konstanta, a je tzv. součinitel
poměrného tlumení a K je součinitel zesílení. Časová konstanta bude definována jako LCT
a součinitel poměrného tlumení C
LRa
2
1 . Pokud se zavede tzv. kruhová frekvence
T
10 ,
pak přenos bude mít tvar
2
0
2
0
2
0
22 2
´
21
´
ssa
K
sTTsa
KsY
sP
sq
( 13.5.1)
T je časová konstanta (není to perioda), a je poměrné tlumení, T
10 je frekvence kruhová.
Přenos charakterizuje periodický nebo aperiodický průběh podle toho, jaké jsou póly přenosu, resp.
kořeny jmenovatele přenosu. Tedy
12
02,1 aas
T
A
y
ys
0 t
Přenos
172
I) pro 1a jsou kořeny reálné, přechodová
charakteristika bude aperiodická
Q
Qs
0 t
II) pro 1a jsou kořeny komplexně
sdružené, přechodová charakteristika
bude periodická, frekvence tlumeného
kmitání je
k
NTT
aa
211
2
0
2
k
Q
Qs
0 t
T
A
A
1
2
Z přenosu lze přímo určit přechodovou charakteristiku jako odezvu na impulzní vstupní signál, viz.
[10].
Na příkladu obvodu RLC se demonstruje určení přenosu a vlastní frekvence jak početně tak graficky.
Příklad 13.5.1
Rovnice T-článku v Laplaceově obrazu je
pdt
pdLCQR
dt
dQL
dt
QdLCR linlin
2
2
2
2
a přenos je určen podílem Laplaceova obrazu výstupní a vstupní veličiny
1
1
1
2
2
2
2
sR
LLCs
Rs
R
LC
RLsLCsR
LCs
sP
sqsY
lin
linlin
linlin
( 13.5.2)
Časová konstanta netlumených kmitů je dána vztahem LCT a poměrné tlumení
C
L
Ra
lin2
1 . Pro určení stability se naleznou póly přenosu, tj.
0.2
linlin RsLLCsRprosY2
4112
2,1
LCCRCRs
linlin
Reálná část je záporná, soustava je stabilní. Diskriminant může být kladný i záporný. Z toho vyplývá,
že
Přenos
173
I) v případě, že 01
2
12
LCCRlin
, jsou kořeny 2,1s reálné, tudíž vlastní frekvence neexistuje,
respektive je nulová.
II) v případě, že 01
2
12
LCCRlin
, jsou kořeny 2,1s komplexně sdružené, vlastní kruhová
frekvence je LCCRlin
1
2
12
.
13.6 Fourierova transformace spojitých signálů
Pro prezentaci spojitých lineárních funkcí je postačující uvažovat zvláštní případ Laplaceovy
transformace – Fourierovu transformaci, která je definovaná pro argument is , tedy parametr
je nulový. Zvláště pro určení přenosu a dalších vlastností z přenosu vyplývajících je tento přístup
vhodný.
Nechť funkce tx je absolutně integrovatelná a tx , tx jsou po částech spojité
v prostoru reálných čísel R, pak funkce-
dtetxiF ti ( 13.6.1)
se nazve komplexním Fourierovým obrazem funkce tx . Funkce tx je tedy originálem
(předmětem).
Zobrazení, které předmětu tx , tR, přiřazuje Fourierův obraz iF dle vztahu ( 13.6.1) se
nazývá Fourierovou transformací a značí se F. Fourierův obraz iF se nazývá též spektrální
funkce nebo spektrální hustota originálu tx a charakterizuje spojité spektrum funkce tx , tR:
hodnota iF tvoří amplitudovou spektrální hustotu,
iFarg (resp. iFarg ) je fázová spektrální hustota, , .
Snadno lze vyhodnotit 22ImRe iFiFiF ,
iF
iF
Re
Im graficky a
získat tzv. amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku.
Příklad 13.6.1
Vyhodnoťte přenos příslušný diferenciální rovnici pro T-článek. Počáteční podmínky průtoku
jsou nulové podle definice přenosu. Tudíž Laplaceův obraz zadané rovnice je
Přenos
174
111
11
1
11
1
1
12
2
2
2
2
2
2
2
sbsa
sac
sR
LLCs
LCsR
sR
LLCs
Rs
R
LC
RLsLCsR
LCs
sP
sqsY
l in
lin
lin
linlin
linlin
Přenos je určen podílem výstupní a vstupní veličiny a jeho amplitudovou a fázovou frekvenční
charakteristiku pro is lze graficky zobrazit.
13.7 Frekvenční analýza v SimHydraulics
SimHydraulics umožňuje metodou linearizace po blocích provést linearizaci obvodu sestaveného
v SimHydraulics a vyhodnotit přenosy, které jsou podle definice aplikovatelné jen na lineární systémy.
Existuje také možnost zpětně se zabývat kvalitou linearizace, tj. linearizovaný systém uložit, vytvořit
obvod analogický původnímu nelineárnímu se shodnými vstupními parametry, jen obvod bude
linearizovaný a porovnat reálné řešení. Pro naše účely bude postačovat grafické vyhodnocení
frekvenčních charakteristik. Postup vyřešení frekvenční analýzy bude aplikován na obvod
s nelineárním T článkem následovně:
určí se polohy vstupního a výstupního bodu v nelineární obvodu, které mohou ležet na
spojnici bloků Simulinku, nikoliv SimHydraulics (testovaný signál musí být bezrozměrný)
vloží se vstupní bod (input), tj. pravým tlačítkem myši se rozklikne spojnice mezi blokem
Signal Builder a převodníkem S-PS, čímž se rozbalí roleta kde se vybere Linearization
Points/Input Point.
Po odkliknutí se vytvoří specifická značka vstupu na spojnici . Podobně se vytvoří výstup,
který musí ležet kdekoliv v obvodě za PS-S převodníkem, v našem případě na zobrazovací
větvi za průtokoměrem1. Značka výstupu je odlišná .
Přenos
175
po nastavení vstupu a výstupu se spustí simulace, ODE15s,
v Tools/Control Design/ Linear Analysis se otevře tabulka Control and Estimation Tools
Manager a spustí Linearize Model.
vytvořený graf lze dále upravovat kliknutím myší (kurzorem) do okna vlevo dole a
z nabídky vybrat např. bode diagram pro amplitudovou a fázovou charakteristiku.
logaritmické osy běžné pro frekvenční analýzu případně další úpravy lze dále vytvořit
kliknutím myší (kurzorem) do okna grafu a z nabídky vybrat Properties (pro rozsah os,
stupnice, barvy atd.), resp. Charakteristics-Peak Response pro určení vlastní frekvence
Přenos
176
Příklad
Vytvořte frekvenční charakteristiky pro obvod prezentující T článek.
tlakovy spad
AQ
B
prutokomer1
AQ
B
prutokomer
nadrz2
nadrz1
Q_za_T
To Workspace3
tlakovy_spad_na_T
To Workspace2
Q_za_zdrojem
To Workspace1
f(x)=0
Solver
Configuration
Signal 2
Signal Builder
PSS
S-PS
Q za zdrojem
Q za ventilem
PS S
PS-S2
PS S
PS-S1
PS S
PS-S
AB
P
Manometr1
A B
Linear Hydraulic
Resistance
S TP
Ideal Hydraulic
Pressure Source
A B
Fluid Inertia
Custom HydraulicFluid
Constant VolumeChamber
obr. 13.4 Obvod T článek s vloženými body vstupu a výstupu
Přenos
177
Bode Diagram
omega (rad/sec)
10-3
10-2
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Ph
ase (
deg
)
10-12
10-11
10-10
10-9
10-8
From: Signal Builder (pt. 1) To: PS-S (pt. 1)
Mag
nit
ud
e (
ab
s)
obr. 13.5 Upravená amplitudová a ftekvenční charakteristika.
Z výsledků je zřejmé, že hodnota vlastní frekvence odpovídá vlastní frekvenci určené z numerického
řešení i z přímého vyčíslení přenosu programem Simulink.
Přenos
178
Literatura:
[1] Angot , A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, Praha: SNTL, 1971
[2] Kubíček,M.: Numerické algoritmy chemicko-inženýrských úloh. SNTL 1983
[3] Ralston,A.: Základy numerické matematiky. Academia Praha, 1973.
[4] Braun, J.-Čížek,V.-Kvasil,HJ.-Novák,M.: Analýzy lineárních obvodů a soustav. SNTL 1973.
[5] Noskievič,J.:Dynamika tekutinových mechanismů. Skripta VŠB Ostrava 1993.
[6] Pochylý František: Dynamika tekutinových systémů. Skriptum, VUT Brno, 1990
[7] Rektorys K. a Kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968
[8] Turza, J.: Dynamika tekutinových systémov. Skriptum VŠDS v Žiline, 1994
[9] Zymák, V.: Dynamika pulzujícího průtoku. PC-DIR spol, s R.O. Brno, 1994
[10] Noskievič, P.: Modelováí a identifikace systémů. MONTANEX a.s. ,1999
[11] Šerek M., Šálek J.: Inženýrské sítě a závlahové stavby, vodohospodářské tabulky. Skripta VUT
Brno, 1979, 181 str.
[12] Miller D. S.: Internal Flow System, BHRA UK, 396 s., ISBN 0-947711-77-5
[13] References[1] Meritt, H.E., Hydraulic Control Systems, John Wiley & Sons, New York, 1967
[14] Holcke, Jan, Frequency Response of Hydraulic Hoses, RIT, FTH, Stockholm, 2002
[15] Kozubková, M. Dynamika 2003.
Přílohy
179
14. Přílohy
14.1 Rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice
Proudění kapalin obecně a tedy i v potrubních systémech je dáno následujícími rovnicemi:
rovnice kontinuity, tj. zákon zachování hmoty 0mdt
d
Navierovy Stokesovy pohybové rovnice vyjadřují rovnováhou sil, kdy setrvačná síla je
rovna součtu hmotnostní (gravitační, odstředivé), tlakové a třecí (viskózní) síly
tps FFFF
0 , resp.
vpavgradv
t
vΔgrad
1.
Tyto rovnice jsou definovány v prostou a mohou být závislé na čase. Potrubní systémy
(hydraulické obvody) jsou specifické v tom, že rovnice jsou definovány v jednorozměrném prostoru,
přitom tento rozměr souvisí s délkou potrubí.
obr. 14.1 Proudová trubice s průřezy 1, 2
Tedy předchozí rovnice se zjednoduší tak, že se uvažuje pouze jeden souřadný směr, vektor rychlosti
má jen jednu souřadnici a tudíž se píše bez indexu a rozměr je označen l :
2
22 1cos
2
1
l
vdl
l
pdladl
l
vdl
t
v
(14.1.1)
Jednotlivé členy výše uvedené rovnice lze popsat fyzikálně takto:
dlt
v
- zrychlující měrná energie v případě neustáleného proudění
dll
v
2
2
1 - kinetická měrná energie
Přílohy
180
dll
p
∂
∂
1 - tlaková měrná energie
dll
v2
2
∂
∂ - ztrátová měrná energie (v důsledku třecích sil)
dUdldla cos - potenciální měrná energie, u které se zavádí tzv. potenciál, jinak
reprezentuje gravitační sílu definovanou zrychlením sklopeným do směru souřadného
systému
Integrací výše uvedené upravené rovnice je
01
2
12
22
Udldll
vdl
l
pdl
l
vdl
t
v
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(14.1.2)
Pro nestlačitelné proudění se bude hustota předpokládat konstantní, pak se vyčíslí integrály pro
průřez 1-2 proudové trubice
01
212
2
1
2
2
12
2
1
2
2
2
1
UUdl
l
vpp
vvdl
t
v
(14.1.3)
Vyčíslení integrálu vyjadřujícího třecí síly je obtížné, proto se prakticky určuje poloempirickými
vztahy a označuje se ze . Představuje práci třecích sil na jednotku hmotnosti proudící tekutiny, což je
rozptýlená (disipovaná) měrná energie, nebo též měrná ztrátová energie spotřebovaná na překonání
hydraulických odporů na úseku 1 – 2 proudové trubice. Tato měrná ztrátová energie zmenšuje
mechanickou energii (tlakovou + kinetickou + polohovou) tekutiny a mění se v teplo.
Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné tekutiny, na kterou působí pouze tíhové zrychlení
ga a tedy ghU (tj. 1212 ghghUU ) má tvar
zeghvp
ghvp
2
222
1
211
22 (14.1.4)
Měrná ztrátová energie ze se může vyjádřit jako násobek kinetické energie 2
2vez nebo tlaková
ztrátová energie z
z
pe , popřípadě ztrátová výška zz ghe . Srovnáním uvedených vztahů se
dostane
2
2vghpgh
pe zzz
zz (14.1.5)
Poslední rovnice vyjadřuje hydraulický odpor tlakovým rozdílem zp , kterému se tradičně říká tlaková
ztráta. Podobně veličina zh , je označena jako ztrátová výška i když nejde o ztrátu, ale nežádanou
přeměnu mechanické energie v tepelnou. Obě veličiny zh a zp jsou mírou rozptýlené (ztrátové)
energie. Součinitel je ztrátový součinitel a závisí na druhu hydraulického odporu či ztráty.
Pravidla pro užití Bernoulliho rovnice
Přílohy
181
Pro praktické použití Bernoulliho rovnice je možno shrnout postup do těchto pravidel:
1. V proudové trubici se zvolí dva průřezy. V jednom průřezu je nutno znát všechny veličiny hvp ,, .
Druhý průřez se volí v proudové trubici v místě, kde je hledaná veličina, přičemž ostatní dvě
veličiny jsou známé.
2. Rozhodne se o způsobu dosazování tlaků, a to jejich absolutní nebo relativní hodnoty, avšak do
jedné a téže rovnice se dosazují oba tlaky shodně.
3. Zvolí se libovolná vodorovná rovina, která se považuje za ekvipotenciální plochu nulového
potenciálu. Zpravidla se volí tak, aby procházela jedním z vybraných průřezů, a to nejčastěji níže
položeným. Polohové výšky se určí ke zvolené vodorovné rovině.
4. Měrná ztrátová energie zz ghe zahrnuje součet všech hydraulických ztrát na úseku mezi
průřezem 1a 2, pro něž se píše Bernoulliho rovnice, a přičte se na té straně rovnice, která platí
pro průřez proudové trubice ve směru proudění vzdálenější.
Nyní se napíše Bernoulliho rovnice a vypočte neznámá veličina.
14.2 Jednoduché potrubí
Pro jednoduché potrubí stálého průřezu, obr. 14.2, platí Bernoulliho rovnice, která porovnává
energii kapaliny, např. na počátku (1) a konci (2) potrubního úseku.
obr. 14.2 Schéma jednoho potrubního úseku
zghghvp
ghvp
2
2
221
2
11
22 ( 14.2.1)
Pokud se předpokládá potrubí konstantního průřezu (jedná se o jedno potrubí), potom při
platnosti rovnice spojitosti ( 21 vv ) se Bernoulliho rovnice zjednoduší na tvar
zghghp
ghp
22
11
2
2
1221 v
hhgpp
c
V rovnici jsou uvažovány ztráty třením i součet ztrát místních . Celkový ztrátový součinitel
Přílohy
182
d
ll
d
l e
c
zahrnuje ztráty třením a všechny ztráty místní (vtok do potrubí, oblouky, armatury apod). Místní ztráty
je možné vyjádřit také pomocí ekvivalentní délky nahrazující místní ztráty
dle
Protože bývá zvykem vyjadřovat charakteristiku potrubí jako závislost tlakového spádu p na
průtoku Q , pak
QQkghQkgh
Qd
hhgppp
c
2
2
2
21221
4
2 ( 14.2.2 )
Tlaková ztráta je úměrná druhé mocnině průtoku 2Q . Pokud by proudění měmilo směr, pak bude
jednoduše tlaková ztráta úměrná výrazu QQ . Je-li uvažována jen třecí ztráta v potrubí, je koeficient
Qk určen vztahem
25
8
d
lkQ
( 14.2.3 )
Tento koeficient se nazývá odpor proti pohybu a často se označuje R v souladu s označním
s elektrickými obvody. Také metoda řešení hydraulických obvodů teoreticky souvisí s elektrickými
obvody a využívá se elektrohydraulické analogie.
Přepočet mezi měrnou energií, tlakovou ztrátou a tlakovou výškou je následující
gHp
Y
( 14.2.4 )
Je-li potrubí vodorovné, pak 0h a závislost Qfp je kvadratická parabola s vrcholem
na svislé ose. Je-li na začátku potrubí zpětná klapka, která brání průtoku v opačném smyslu, potom
charakteristika potrubí ve třetím kvadrantu splyne se zápornou osou p , viz obr. 14.3.
Charakteristika potrubní větve se stoupáním je posunuta ve svislém směru a to o tlak ghp . Při
tlakovém spádu záporném se nastaví průtok v opačném smyslu, pokud ve větvi není zpětná klapka.
Přílohy
183
potrubní úsek vodorovný
potrubní úsek se stoupáním
potrubní úsek se spádem
obr. 14.3 Schéma potrubního úseku vodorovného, se stoupáním a spádem a charakteristiky
Jednoduché potrubí je určeno pro hydraulický výpočet čtyřmi veličinami: délkou potrubí l ,
průměrem potrubí d , spádem h a rychlostí v nebo průtokem Q . Současně jsou známé fyzikální
vlastnosti tekutiny, absolutní drsnost stěny potrubí, třecí součinitel a ztrátový součinitel všech
místních ztrát . Jedna ze čtyř veličin vhdl nebo Q může být určená řešením rovnice (
14.2.2 ), ( 14.2.3 ), při čemž pro třecí součinitel je vhodné volit pro jednoduchost explicitní rovnici.
14.3 Měření pomocí LabView
Práce s externím analogově - digitálním převodníkem, na kterém je napojeno šest snímačů s
napěťovým výstupem.
Na ploše je adresář Měření, kde je předdefinována úloha
ráz spustit
Následuje aktivace programu Labview Signal Express 2009
Licence Dialog Evaluate
Spustí se úloha s předdefinovaným měřením
Jinak lze postupovat takto:
Přílohy
184
Plocha/Measurement & Automation Explorer
Software
Labview Signal Expres 2009 - pravé tlačítko - spustit
Licence Dialog/Evaluate
Tlačítko Add Step přidá měřicí kanál
Add Step - Acquire Signals + DAQmxAcquire + Analog Input + Voltage
Add Chanels to Task ai0-ai5 + Channels Settings + Voltage
Channels Settings
ai0 - rozsah, počet vzorků
:
ai5 - rozsah
Advancet Trigering 10s
Data View
nabídka RUN
Configure Run + Run Project + druhá nabídka for 10 s
Create Snapshot - zatrhnout
Pustí se výpočet RUN, automaticky se zastaví, klikne se SnapShot, levým tlačítkem se přetáhne na
graf, zobrazí se všechny grafy, pravým tlačítkem a příkazem Export se kkopíruje tabulaka dat do
Excelu. HOdnoty jsou ve voltech, dále se použije převod dle zadání snímačů na potřebné jednotky.
14.4 Měření třecích ztrát na vodní trati
Při proudění skutečných tekutin vznikají následkem viskozity třecí odpory, tj. síly,
které působí proti pohybu částic tekutiny. Práce těchto sil způsobuje rozptyl energie, která se
přemění na teplo. Tato energie se nazývá ztrátová.
Na rovných úsecích potrubních systémů závisejí ztráty energie u laminárního
proudění na rychlosti proudění, tj. na velikosti Reynoldsova čísla. V případě turbulentního
proudění může ztráta energie záviset i na vnitřní drsnosti potrubí. Celkově však třecí ztráty
závisejí na délce potrubí a projevují se jako tlakový úbytek.
Zkoumání a vyhodnocování třecích ztrát potrubí je zásadní pro správný návrh jak
samotného potrubního systému, tak čerpadla, které vhání do systému tekutinu určitou
omezenou rychlostí a tlakem, na který je dimenzováno. V extrémním případě by se mohlo
stát, že třecí odpory potrubního systému budou natolik veliké, že čerpadlo „nevytlačí“
tekutinu až do zvoleného místa.
Přílohy
185
Teoretické stanovení třecí ztráty na prvku je obtížné a nepřesné (rovnici pro výpočet
třecího součinitele nelze vyjádřit analyticky), proto je stanovena experimentálně. Pro
experimentální stanovení velikosti třecí ztráty byl vytvořen zkušební obvod, viz obr. 14.4.
obr. 14.4 Zkušební obvod
Popis měřicího zařízení
Zkušební měřicí obvod se skládá z několika typů potrubí, kterými se může rozvádět
např. voda v rodinném domě. Do obvodu je zapojeno hladké potrubí o vnějším průměru 20
mm (T1), 25 mm (T2) a 32 mm (T4) a drsné potrubí o vnějším průměru 25 mm (T3). Všechny
typy potrubí mají stejnou délku l. Dále je do obvodu zapojena nádrž na vodu (N), čerpadlo
(HG), U trubice (UT1 – UT5 a UTC) pro měření rozdílu tlakové energie a spojovací prvky
potrubí. Způsob zapojení je na obr. 14.5 a obr. 14.6. Obvod funguje tak, že čerpadlo nasává
vodu z instalované nádrže a vhání ji do potrubního systému. Potrubní systém je tvořen
potrubím T1, T2, T3 a T4. Postupně je na každém typu potrubí zjišťována tlaková diference
z odběru tlaku pomocí U trubic. Odběrná místa zapojených U trubic jsou na začátku a konci
každého typu potrubí. Z potrubního systému je voda odváděna zpět do nádrže.
Přílohy
186
obr. 14.5 Schématické znázornění zkušebního obvodu
obr. 14.6 Realizovaný obvod
Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno
regulovat jak pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového
kohoutu KK (plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné
U trubici UT1-UT5. Měření rychlosti proudění v obvodu je realizováno pomocí clony a U
trubice zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci na UTC, která je úměrná rychlosti
proudění.
Specifikace použitých prvků
Při realizaci obvodu, viz byly použity tyto prvky:
Clona (C)
Vnitřní průměr clony: 14 mm
Vnitřní průměr potrubí: 18 mm
Výrobce: VŠB
UT1- 5 N
HG
C
KK
K4 KS VP K3
KK1 T1
T4
T3
T2 KK2
KK3
KK4
UTC
Přílohy
187
Potrubí (T4)
Typ: STRO25P16X
Vnější průměr: 32 mm
Vnitřní průměr: 23,2 mm
Délka: 1,104 m
Výrobce: WAVIN Ekoplastik, s.r.o.
Potrubí (T3,T2)
Typ: STRO25P16X
Vnější průměr: 25 mm
Vnitřní průměr: 18 mm
Délka: 1,104 m
Výrobce: WAVIN Ekoplastik, s.r.o.
Potrubí (T1)
Typ: STRO20P16X
Vnější průměr: 20 mm
Vnitřní průměr: 14,4 mm
Délka: 1,104 m
Výrobce: WAVIN Ekoplastik, s.r.o.
Kulový kohout (KK)
Typ: SVEK025XXX
Vnitřní průměr: 18 mm
Výrobce: WAVIN Ekoplastik, s.r.o.
Cejchovní křivka clony
Při použití clony jako měřidla průtoku je nutné znát tzv. cejchovní křivku clony, viz
obr. 14.7, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok, který je této ztrátové
výšce úměrný.
Přílohy
188
y = 0.0916x0.4405
R2 = 0.9971
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 50 100 150 200 250 300 350 400
h c [mm]
Qv
[m3h
-1]
obr. 14.7 Cejchovní křivka clony z obvodu na měření třecích ztrát
Postup měření
Při stanovení třecích ztrát jednotlivého potrubí postupujeme následujícím způsobem:
1. Seznámíme se s obvodem.
2. Vybereme jedno z měřených potrubí T1, T2, T3 nebo T4 a u tohoto potrubí otevřeme
příslušný kohout KK1, KK2, KK3 nebo KK4.
3. Provedeme kontrolu uzavřenosti všech ostatních kohoutů.
4. Připojíme odběry tlaku na začátku a konci měřeného potrubí pomocí hadiček na U
trubici (pomocí U trubice se určuje ztrátová výška, ze které se vypočítá ztráta tlaku).
5. Připojíme odběry tlaku před a za clonou pomocí hadiček na U trubici. (Clona slouží
k určení průtoku v obvodu.)
6. Provedeme kontrolu uzavřenosti všech ostatních odběrů tlaků.
7. Zapneme čerpadlo.
8. Odečteme rozdíly výšek hladin vody Δhp, na U trubici připojené k měřenému potrubí a
rozdíly výšek hladin vody Δhc na U trubici připojené ke cloně.
9. Postupným přivíráním kohoutu KK až do jeho úplného uzavření získáme další
hodnoty výšek hladin Δhp, Δhc a zapíšeme je do tabulky tab. 14.1. Je vhodné provést
maximální počet měření. (Alespoň 10)
10. Postup aplikujeme na všechna měřená potrubí a zapíšeme do obdobných tabulek.
Přílohy
189
Měření
Naměřené
hodnoty
Vypočítané
hodnoty
Δhc
[mm]
Δhp
[mm]
Δpp
[Pa]
Q
[m3h-1]
v
[ms-1]
Re
[1]
vypoč.
[1]
teoret
[1]
1
2
3
….
tab. 14.1 Vzorová tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty
Vyhodnocení měření
Pro výpočet třecích ztrát je nutné znát ztrátovou výšku Δh (tlakovou ztrátu Δp), rychlost
proudění v v potrubí, délku l potrubí a vnitřní průměr d potrubí. Všechny pomocné neznámé
vypočítáme a zapíšeme do tab. 14.1. Při výpočtu postupujeme takto:
1. Vybereme potrubí pro výpočet.
2. Přepočítáme pro měřené potrubí ztrátovou výšku Δhp na tlakovou ztrátu Δpp.
(Výpočet se provede pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku.)
pp hgp
3. Do rovnice cejchovací křivky 4405,00916,0 xy dosadíme za proměnnou x rozdíl
ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice získáme hodnotu
průtoku Qv [m3h-1]
4. Pomocí vypočítané hodnoty průtoku QV vypočítáme z rovnice kontinuity rychlost
proudění tekutiny v potrubí.
2
4
d
Q
S
QvSvQ
5. Nyní vypočítáme ztrátový součinitel tření. Délka každého potrubí je l = 1,104 m.
2.
2
.
2
2 lv
dhg
g
v
d
lh
p
vypočvypočp
6. Vypočítejme Reynoldsovo číslo, z čehož určíme, zda jde o turbulentní či laminární
proudění.
Přílohy
190
vdRe typ proudění
7. Vypočítáme teoretický součinitel tření pouze pro výše určený typ proudění.
- pro laminární proudění dle vzorce: Re
64. teoret
- pro turbulentní proudění v hladkém potrubí podle vzorce: 4.
Re
3164,0teoret
- pro turbulentní proudění v drsném potrubí podle vzorce:
25,0
.Re
1001,0
d
kteoret
kde k = 0,001 mm.
8. Postup výpočtu opakujme pro naměřené hodnoty všech potrubí.
9. Sestrojíme závislost tlakové ztráty třením na objemovém průtoku vp Qfp ,
pomocí regrese stanovíme typ a koeficienty závislosti.
10. Naměřené hodnoty .vypoč se zakreslí do diagramu Ref a pro srovnání se
vyhodnotí součinitel tření .teoret .
Příklad výsledku měření třecích ztrát potrubí T1
Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu
vyhotoveném např. v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí
vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na průtoku, viz obr. 14.8 a dále jako závislost
ztrátového součinitele na Reynoldsově čísle, viz obr. 14.15.
Přílohy
191
y = 2927,3x1,7207
R2 = 0,9993
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Q v [m3hod
-1]
p
p [P
a]
obr. 14.8 Příklad závislosti tlaku na průtoku
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Re [1]
[
1]
třecí součinitel pro naměřené hodnoty
spoučinitel tření vypočtený ze vzorce
obr. 14.9 Příklad závislosti ztrátového součinitele na Reynoldsově čísle
Přílohy
192
14.5 Určení cejchovní křivky clony
Většina průmyslových průtokoměrů je založena právě na měření rozdílu tlaků těsně před a za
primárním prvkem průtokoměru. Základní skupinou těchto průtokoměrů jsou škrtící orgány, mezi které
patří clona, dýza, Venturiho trubice, atd. Měření průtočných vlastností tvarovek a regulačních armatur
a jejich cejchování by měl provádět výrobce. Údaje výrobce bývají mnohdy neúplné a nespolehlivé,
proto je často nezbytné ověřit průtočné vlastnosti daného prvku. Základním předpokladem kvalitního
měřícího úseku je dostatečně dlouhý přívodní úsek, který umožňuje ustálení turbulentního nebo
laminárního proudění ještě před vstupním průřezem měřené armatury. Délka potrubí před a za
měřícími prvky (clonou, dýzou a Venturiho trubicí) se volí podle příslušných předpisů a norem.
Legenda:
v1……..rychlost proudění před clonou
v2……..rychlost proudění za clonou
d……..průměr otvoru škrtícího orgánu (na
obrázku je uvedena normalizovaná clona)
D…….průměr potrubí
ps….…vstupní statický tlak
p1….…snímaný tlak před škrticím orgánem
p2…….snímaný tlak za škrticím orgánem
p…....diferenční tlak (p1-p2)
pz…..trvalá tlaková ztráta
obr. 14.10 Tlakové poměry v okolí škrticího orgánu
obr. 14.11 Vývody tlakové diference.
Pokles tlaku za clonou je způsoben zavířením za clonou, což lze dokladovat podrobných
modelováním proudění programem Fluent, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Také lze odečíst
přesné hodnoty tlaku na stěně a tudíž specifikovat optimální umístění odběrných míst před a za
clonou.
Přílohy
193
obr. 14.12 Detail proudění se zavířením kolem clony a tlaková ztráta
Přílohy
194
obr. 14.13 Statický tlak podél stěny
Navíc lze odečíst skutečné hodnoty tlaku a
na základě toho odhadnou vhodný typ měřidla
tlakové diference. Podrobný návod pro měření
cejchovní křivky je uveden v kapitole 14.5.
Prezentování naměřených a vypočítaných
hodnot je nevhodnější pomocí grafu –
vyhotoveném v programu Excel. Naměřené a
vypočtené hodnoty se vyhodnocují jako
závislost průtoku na tlaku. Podobně se zobrazí
cejchovní křivka měřená na cloně diferenčním
manometrem. Na grafu na Chyba! Nenalezen
zdroj odkazů. je porovnání cejchovních křivek
získaných U-manometrem a diferenčním
manometrem. Z grafu je patrné, že na U trubici
nelze snímat velké tlakové diference.
Na diferenčním manometru můžeme nastavit rozsah do 50 resp. 100 kPa a navíc dosáhnout
vysoké přesnosti měření.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15 20 25 30 35
p [kPa]
Qv [
l.s
-1]
diferenční manometr U-Trubice
obr. 14.14 Cejchovní křivka clony, porovnání U trubice a diferenčního manometru
Měření prokázalo, že tvar cejchovní křivky nezávisí na typu použitého diferenčního manometru,
ale rozsah je větší při použití diferenčního manometru ST3000. Z měření je patrné, že tlakový spád
v těsné blízkosti clony je dosti velký. Clona jako taková nevykazuje v obvodu tak velkou tlakovou
ztrátu. Průběh tlaku v okolí před a za clonou je patrný z Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Cejchovní
Přílohy
195
křivka může být definována při měření na U trubici závislostí průtoku VpočQ pouze na hc třeba i v
milimetrech, neboť v cejchovní křivce dané rovnicí se toto zohlední.
V následujícím příkladu je prezentováno určení cejchovní křivky clony. Měřící trať je obecnější a
skládá se z nádrže N, na kterou je připojeno ocelové potrubí 50 mm. Potrubí je vedeno do čerpadla,
které je poháněné elektromotorem M. Elektromotor je ovládán frekvenčním měničem FM, kterým
měníme otáčky a tím i průtok. Z čerpadla HG je vyveden kousek ocelového potrubí, rovněž 50 mm,
ve kterém je umístěn škrtící ventil ŠV, který lze pro případ poruchy rychle uzavřít (zastavíme proudění
kapaliny v obvodu).
Další část měřícího úseku (od škrtícího ventilu) je tvořena skleněným potrubím T 50 mm, do
kterého jsou postupně vloženy zkoumané prvky pro měření průtoku, tj. Venturiho trubice VT, dýza D,
clona C určené k cejchování pomocí indukčního průtokoměru IP.
K měření diference tlaku se používají buď U-manometry UM nebo pro větší přesnost
diferenční manometry ST3000. Na výstupní části měřícího úseku je umístěn průtokoměr, ze kterého
odečítáme proteklý objemový průtok Qv [l.s-1]. Analogové hodnoty průtoku a tlakové diference na
jednotlivých prvcích jsou přenášeny A/D převodníkem do PC a zpracovávány speciálním programem v
MATLABU.
obr. 14.15 Schéma měřící tratě
Čerpadlo HG se nastaví na maximální otáčky pomocí frekvenčního měniče FM a postupným
snižováním frekvence na FM se snižují otáčky na čerpadle HG a zároveň průtok. Pro každou hodnotu
průtoku se odečtou hodnoty tlakové diference na průřezovém měřidle a průtoku na indukčním
průtokoměru.
Přílohy
196
obr. 14.16 Pohled na měřící zařízení (vodní trať) pro měření průtočných prvků
Závislost průtoku na tlakové diferenci se zobrazí graficky. Pro porovnání byly použity dva typy
měřidel tlakové diference, a to U-trubice a diferenční manometr ST3000 firmy Honeywell, který je
programovatelný v rozsahu 0 až 100 kPa.
Naměřené hodnoty Vypočtené hodnoty
tab.1 Tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty
1. Snížíme hodnotu frekvence a opět odečteme hodnoty tlakových výšek a průtoku. Tento
postup opakujeme nejméně 10x až do dosažení minimálního průtoku.
Vyhodnocení měření
- Vypočítáme ztrátovou výšku na cloně Δhc (rozdíl hladin v U – trubici) ccc hhh 21
- Určíme tlakovou ztrátu cp z rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku cc hgp
- Zakreslíme bod o souřadnici vc Qp , do grafu cvv pQQ
- Celý výpočet, tj. bod 1.-3. je nutné opakovat pro všechny naměřené hodnoty.
- Naměřenými hodnotami proložíme cejchovní křivku, tj. regresní křivku (např. polynom 4.
stupně), viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..
- Do rovnice cejchovací křivky polynomického tvaru čtvrtého řádu. např. rovnice clony
č.
Qv h1c h2c hc pc Qvpoč
[l.s-1] [m] [m] [m] [kPa] [l/s]
1
2
3
….
Přílohy
197
y = -0,0012x4 + 0,0261x3 - 0,2037x2 + 0,9353Δx + 0,4466, R2 = 0,9999 dosadíme za
proměnnou x rozdíl tlaku na cloně cp a výpočtem této rovnice získáme hodnotu průtoku VpočQ
pro všechny naměřené hodnoty, tj
Vpočc Qclonydiagramcejchovníp
Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu –
vyhotoveném v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty se vyhodnocují jako závislost
průtoku na tlaku. Podobně se zobrazí cejchovní křivka měřená na cloně diferenčním manometrem. Na
grafu číslo 3 je porovnání cejchovních křivek získaných U-manometrem a diferenčním manometrem.
Z grafu je patrné, že na U trubici nelze snímat velké tlakové diference. Na diferenčním manometru
můžeme nastavit rozsah do 50 resp. 100 kPa a navíc dosáhnout vysoké přesnosti měření.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15 20 25 30 35
p [kPa]
Qv [
l.s
-1]
diferenční manometr U-Trubice
obr. 14.17 Cejchovní křivka clony, porovnání U trubice a diferenčního manometru
14.6 Určení místních ztrát na koleni
Typickým prvkem, který se v hydraulických obvodech definuje jako místní prvek, je koleno. Při
určení ztrátového součinitele byl využit obvod, který souží k určení ztrátových součinitelů více
prvků, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..
Přílohy
198
obr. 14.18 Obvod pro měření místních ztrát, koleno
Schéma obvodu s výše specifikovanými prvky je na obr. 14.19. Zkušební měřicí obvod se skládá
z prvků, které mohou tvořit například rozvod vody v rodinném domě. Je v něm použito
několik prvků, na kterých dochází k místním ztrátám energie. Jmenovitě to jsou tyto prvky:
clona (C), koleno 90o (K4), kulový kohout (KK1), zúžení průřezu potrubí (RH1), rozšíření
průřezu potrubí (RH2), velký oblouk (KR, K1, K2), kompenzační smyčka (KS), ventil přímý
(VP) a koleno 45o (K3). Dále je obvod tvořen těmito prvky: nádrž na vodu (N), čerpadlo (HG),
U – trubice (UT1 – UT5 a UTC) pro měření rozdílu tlakové energie a spojovací prvky potrubí.
Princip funkce obvoduje, že čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a vhání ji do
potrubního systému. V tomto systému jsou umístěné prvky na nichž je zjišťována tlaková
diference z odběru tlaku před a za každým prvkem pomocí U – trubic připojených na tato
odběrná místa. Z potrubního systému je voda odváděna zpět do nádrže.
Přílohy
199
obr. 14.19 Schématické znázornění zkušebního obvodu
Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno regulovat
jak pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového kohoutu KK2
(plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U trubici
(UT1-UT5). Měření rychlosti proudění v obvodu je realizováno pomocí clony a U – trubice
(UTC) zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci – ta je úměrná rychlosti proudění.
Postup při výpočtech místních ztrát
Příklad postupu výpočtu pro první polohu kulového ventilu pro škrcení průtoku:
- Výpočet průtoku Q z cejchovní rovnice dosazením ztrátové výšky na cloně
453008820
,, chQ [m3s-1, mm]
- Ztrátový tlak mp z odečtené ztrátové výšky mh [mm], hustoty vody 20H a gravitačního
zrychlení g , tj. 1000.20ghp Hmm [Pa, mm, kgm-3, ms-2].
- Ztrátový součinitel se vypočte dosazením ztrátové výšky mh , průtoku Q a gravitačního
zrychlení g do vzorce 2
2
Q
gShm resp.
v
m
Q
Sp
2
2
[1]
- Reynoldsovo číslo Re je
dvRe [1], kde rychlost proudění v potrubí se odvodí z rovnice
kontinuity, použijeme změřený průtok Q a průměr potrubí d , 2
4
d
Qv
[m.s-1]
Pro vyhodnocení se použije následující tabulky pro různé polohy škrtícího ventilu, tedy:
Měřené veličiny Počítané veličiny
Přílohy
200
Δhm Δhc Q Q Q2 Δpm v Re
[mm] [mm] [m3.h-1] [m3.s-1] [m6.s-2] [Pa] [m.s-1] [1] [-]
atd.
Z dané tabulky se vytvoří následující grafické závislosti tlaku na průtoku, viz obr. 5.1.
obr. 14.20 Charakteristika kolena, tj. závislost tlakové ztráty na průtoku
Pro určení ztrátového koeficientu se využije metoda regresní funkce 2RQpm . Pro
jednoduchost se zvolí formálně substituce Rxy , kde 2Qx . Při znalosti odporu „R “
odečteného z rovnice regresní funkce, viz obr. 5.2 lze snadno odvodit přibližnou hodnotu
ztrátového součinitele:
2
2
2
2
SR
SR (14.6.1)
Přílohy
201
obr. 14.21 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky
pro určení koeficientu R .
21.386783901000
90.00025446*2*1006866.1
2
e
14.7 Měření charakteristiky čerpadla
Charakteristika čerpadla je závislost skutečné měrné energie Y (resp. skutečné dopravní
výšky H ) na průtoku Q . K této základní QY charakteristice se připojují křivky výkonu
QPh , účinnosti Qc a měrné energie pro potrubí QYP . K měření měrné energie
resp. dopravní výšky se používají přesné, cejchované tlakoměry, zpravidla kontrolní,
s dvojím, na sobě nezávislým ukazovacím zařízením nebo kapalinové tlakoměry. Měrná
energie (dopravní výška) čerpadla Y [J.kg-1] ( H [m]) je rozdíl celkové energie tíhové
jednotky (1N) dopravované kapaliny, který získá kapalina při průchodu čerpadlem a určí se
ze vztahu
2
22svsv cc
zgpp
gHY
Přílohy
202
kde vp [Pa] přetlak ve výtlačném hrdle čtený na manometru,
sp [Pa] tlak v sacím hrdle čtený na manometru či vakuometru,
12 zzz [m] rozdíl výšek mezi místem měření tlaku vp , sp . Rozdíl je
kladný, je-li odběr ve výtlaku výše jak odběr v sání,
[kg.m-1] měrná hmotnost čerpané kapaliny při dané teplotě. Pro vodu
chladnější než C30 je možno dosadit 1000 [kg.m-1],
vc , sc [ms-1] rychlosti kapaliny v místech měření vp a sp , tj. ve výtlaku a
sání čerpadla. Pokud je sací i výtlačné potrubí stejného
průměru, pak člen 2
22sv cc
je roven nule.
Odběry pro měření tlaků nesmí být v místech, kde se mění směr proudění nebo
průřez. Pro experimentální stanovení m2rn0 energie čerpadla byl vytvořen zkušební obvod.
Popis měřicího zařízení
Zkušební měřicí obvod se skládá z následujících prvků: čerpadlo (HG), nádrž na vodu
(N), sací potrubí SP, výtlačné potrubí VP, clona (C) pro měření průtoku, kulový kohout (K),
piezometrická trubice (PT) pro měření tlaku na sání, U trubice se rtutí (UT) pro měření
rozdílu tlakové energie na výtlaku, obrácená U trubice (UTC) pro měření ztrátové výšky na
cloně a spojovací prvky potrubí. Způsob zapojení je na obr. 14.22 a obr. 14.23.
Princip funkce obvodu: čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a vhání ji do
potrubního systému, odkud voda odváděna zpět do nádrže. Obvod je doplněn potřebnými
tlakoměry.
obr. 14.22 Schématické znázornění zkušebního obvodu
Přílohy
203
obr. 14.23 Realizovaný obvod
Tlak a tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je
možno regulovat pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového
kohoutu (K) (plynulá regulace průtoku). Tlak na sání je odečítán na piezometrické trubici (PT)
a změna tlakové diference na výtlaku je zjišťována na příslušné U trubici (UT). Měření
průtoku v obvodu je realizováno pomocí clony a obrácené U trubice (UTC) zaznamenávající
vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná rychlosti proudění.
Specifikace použitých prvků
Při realizaci obvodu viz obr. obr. 14.23 byly použity tyto prvky:
Nádrž (N)
Objem nádrže: 42 dm3
Výrobce: VŠB-TU Ostrava
Čerpadlo (HG)
Typ: cirkulační čerpadlo
WILO (EA 60/1)
Clona (C)
Vnitřní průměr clony: 14 mm
Vnitřní průměr potrubí: 18 mm
Výrobce: VŠB
Přílohy
204
Potrubí (PS), (PV)
Vnější průměr: 25 mm
Vnitřní průměr: 18 mm
Kulový kohout (K)
Piezometrická trubice (PT)
Výrobce: VŠB
U – trubice (UT, UTC)
Výrobce: VŠB
Cejchovní křivka clony
Při použití clony jako měřidla rychlosti je nutné znát tzv. cejchovní křivku clony, viz obr.
14.24, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok, který je této výšce úměrný. Cejchovní diagram
y = 0.0403x0.4655
R2 = 0.9925
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 100 200 300 400 500 600 700 800
h c [mm]
QV [
dm
3s
-1]
obr. 14.24 Cejchovní křivka clony z obvodu pro měření charakteristiky čerpadla
Postup měření a vyhodnocení charakteristiky čerpadla
Postup měření
Při stanovení charakteristiky čerpadla je vhodné postupovat následujícím způsobem:
Přílohy
205
1. Seznámíme se s obvodem.
2. Připojíme hadičku piezometrické trubice pro odběr tlaku na sání.
3. Připojíme pomocí hadičky U trubici se rtutí na odběr tlaku na výtlaku.
4. Připojíme pomocí hadiček obrácenou U trubici na odběr tlaku před a za clonou pro
určení průtoku.
5. Zkontrolujeme, zda jsou všechny ostatní odběry tlaku zatěsněné – pokud ano
spustíme čerpadlo.
6. Kohout otevřeme na plný průtok.
7. Odečteme rozdíl výšek hladin Δhc na obrácené U trubici připojené ke cloně, tlakovou
výšku hs na piezometrické trubici na sání a rozdíl výšek hladin Δhv (tlaku) na U –
trubici připojené k výtlaku. Pak přivřeme mírně kohout (K). Tento postup odečítání
provádíme s maximálním možným počtem opakování (přivírání kohoutu) až do
úplného uzavření kohoutu (K). Naměřené hodnoty zapíšeme do níže uvedené tab.
14.2.
Měřené veličiny Počítané veličiny
Měření Δhc
[mm]
hs
[mm]
Δhv
[mm]
Qv
[dm3s-1]
ps
[Pa]
pv
[Pa]
Ys
[Jkg-1]
1
2
3
….
tab. 14.2 Vzorová tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty
Vyhodnocení měření
Pro určení charakteristiky čerpadla je nutné znát objemový průtok. Ten lze vypočítat
z průtoku, který je úměrný ztrátové výšce Δhc na cloně. Vyhodnocení naměřených hodnot a
doplnění Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. lze tedy shrnout do následujícího postupu:
1. Do rovnice cejchovní křivky 4655,00403,0 xy , viz obr. 14.24, dosadíme za
proměnnou x rozdíl ztrátovou výšku na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice
získáme hodnotu průtoku Qv [dm3s-1]
Přílohy
206
2. Přepočítáme naměřenou tlakovou výšku na sání hs na tlak ps. Tento výpočet se
provede jednoduše pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku tj. svs hgp
3. Vypočteme tlak na výtlaku dle vztahu, zghgp vvHgv . , kde z je rozdíl výšek
mezi místem měření tlaku vp , sp .
4. Měrná energie se pak určí ze vztahu v
svs
ppY
.
5. Celý výpočet je nutné opakovat pro všechny naměřené hodnoty.
6. Sestrojíme závislost měrné energie na objemovém průtoku vs QfY , pomocí
regrese lze také stanovíme typ a koeficienty závislosti v Excelu (spojnice trendu).
Příklad výsledku měření charakteristiky čerpadla
Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu
vyhotoveném např. v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí
vyhodnocovat jako závislost měrné energie na průtoku, ale je možno vytvořit závislost
dopravní výšky H [m] na průtoku, kde g
YH .
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008
Q v [m3s
-1]
Ys [
Jkg
-1]
obr. 14.25 Příklad závislosti tlaku na průtoku
Přílohy
207
14.8 Měření hydraulického rázu
Při neustáleném proudění kapaliny v potrubí odpovídají všem změnám průtoku i změny
tlaku. Změny tlaku vyvolané hydraulickým rázem mohou dosahovat značných hodnot a
mohou poškodit jak potrubí, tak zařízení instalované na něm. Tyto poruchy mohou vyřadit
celý hydraulický systém a způsobit tak značné materiálové a ekonomické ztráty.
Hydraulický ráz je simulován nejsnadněji na proudění vody v dlouhém potrubí,
připojeném k nádrži, kdy se náhle uzavře ventil. To způsobí náhlé zvýšení tlaku o Δp, které
se pohybuje jako tlaková vlna od místa uzavření A směrem k nádrži B (Chyba! Nenalezen
zdroj odkazů.) rychlostí zvuku as a proběhne po délce potrubí l a zpět k ventilu za dobu
rovnou době běhu vlny T. Tlaková vlna se nebude dále šířit do nádrže, kde je volná hladina.
U nádrže je nyní rozhraní stlačené a nestlačené kapaliny, a proto kapalina začne expandovat
do nádrže B. Kapalina se odpruží a začne se pohybovat nazpět směrem k bodu A, za
odraženou vlnou je tlak jako před rázem. Při expanzi posledních částic v místě uzavření
armatury je snížení tlaku o hodnotu Δp v celé délce potrubí l. Mimo pokles na původní tlak
před rázem dojde ještě v místě uzavření ventilu k poklesu o hodnotu Δp. Tento podtlak se
opět šíří od armatury k nádrži. Zde se opět vlna odrazí a vyrovnává tlak na původní hodnotu.
Při návratu odražené vlny do bodu A dojde opět k počáteční hodnotě tlaku před rázem v celé
délce potrubí l. Tento proces se periodicky opakuje s periodou rovnou dvojnásobku doby
běhu vlny T, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů., Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..
U skutečných kapalin se vlivem vnitřního tření tlakové vlny utlumí až nakonec zaniknou.
Doba běhu rázové vlny pohybující se od armatury k nádrži a zpět se vypočítá ze vztahu:
[s]2
sa
lT
l [m] délka potrubí
as [m.s-1] skutečná rychlost zvuku v kapalině
Popis měřícího zařízení
Zkušební měřicí obvod je tvořen těmito prvky: nádrž na vodu (N), čerpadlo (HG),
clona (C), U – trubice (UTC) pro měření rozdílu tlakové ztráty na cloně, hadice (H), ventil (V),
převodník (P), počítač (PC), snímače tlaku (p1 – p4).
Přílohy
208
Princip funkce obvodu je následující: čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a
vhání ji do systému. Na cloně za čerpadlem se měří ztrátová výška pomocí U-trubice. Na
konci hadice je umístěný ventil, jehož poloha charakterizující uzavírání nebo otvírání, je
snímána do počítače. Celková délka tratě od čerpadla k ventilu je l = 48,4m. V systému jsou
umístěny snímače tlaku, jejichž výstupní analogový signál je převáděn přes analogově-
digitální převodník (karta AD 612 firmy Humusoft) do počítače. Ke zpracování signálu se
používá software Matlab-Simulink. V průběhu měření i po jeho skončení lze zobrazit průběhy
tlaků a polohu ventilu.
obr. 14.26 Hydraulické schéma trati pro měření hydraulického rázu
pozn. tlak p1 není vyhodnocován
Přílohy
209
obr. 14.27 Realizovaný obvod
Specifikace uvedených prvků a snímačů
Nádrž (N)
Objem nádrže: 42 dm3
Výrobce: Valter Špalek-plexi
Čerpadlo (HG)
Typ: cirkulační čerpadlo
WILO RS 25/4 230 V PN 10
Maximální tlakový spád: 10 kPa
Jmenovité otáčky: 1200/1650/2000 ot.min-1
Výrobce: WILO
N
UTC HG
C
H
P
V
PC
Přílohy
210
Snímače (p1 – p4)
Typ: TMG 518 Z3G, použit 3x
Rozsah: (0; 1.105) Pa
Typ: TMVG 567 Z3G
Rozsah: (-1.105; 5.105) Pa
Výstup: (0÷20) mA
Napájení: (12÷36) V
Závit: M12x1,5
Výrobce: CRESSTO Rožnov pod
Radhoštěm
Uzavírací ventil (V)
Typ: kulový kohout DN25
Tlaková třída: ANSI 800
- na ventilu jsou uchyceny 2 mechanické spínače
s kladičkou
- výrobce: MARTECH Hradec Králové
Clona (C)
Vnitřní průměr clony: 20 mm
Vnitřní průměr potrubí: 25,4 mm
Výrobce: VŠB
Zdroj napětí (slouží pro napájení snímačů)
Typ: BK125 (školní stabilizovaný
zdroj)
Napájení: 220V/50Hz
Přílohy
211
Hadice (H)
Typ: MP 20 EPDM
Pracovní tlak 2 MPa
Průměr 25/35 mm
Hmotnost 0,6 kg.m-1
Výrobce: KONEKT Hradec Králové
U – trubice (UTC)
Výrobce: VŠB
Cejchovní křivka clony
Při měření rychlosti proudění kapaliny pomocí clony (obr. 14.28) je nutné znát tzv.
cejchovní křivku clony, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok kapaliny
v potrubí. Rychlost proudění je úměrná tlakovému spádu na cloně.
y = 0,2424x0,433
R2 = 0,9987
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
h c [mm]
Qv
[m3h
-1]
obr. 14.28 Cejchovní křivka clony z obvodu na měření hydraulického rázu
Postup měření
Při měření hydraulického rázu postupujeme následovně:
Přílohy
212
1. Seznámíme se s tratí, na které bude probíhat měření.
2. Připojíme PC a čerpadlo do elektrické sítě a otevřeme uzavírací ventil. Zapneme
zdroj sloužící k napájení snímačů tlaku.
3. Zapneme PC, spustíme program Matlab 6.5.1 a nastavíme adresář
C:\MATLAB6p5p1\work\raz.
4. V programu Matlab spustíme Simulink a otevřeme soubor raz.
5. V programu Excel otevřeme soubor data.xls pro zápis měřených tlaků na snímačích.
6. Spustíme čerpadlo.
7. Na U-trubici odečteme rozdíl hladin Δhc a zapíšeme do tab. 14.3.
8. V souboru ráz spustíme měření ikonou ►. Měření trvá 10s. Provedlo se měření
ustáleného stavu proudění při otevřeném ventilu.
9. V programu Matlab do okna command window napíšeme příkaz „razgraf”
(dohromady), vykreslí se graf průběhu hydraulického rázu pro tři snímače (p2, p3, p4)
a graf doby uzavírání ventilu. V Excelu jsou zároveň ve sloupcích vypsané hodnoty v
pořadí: doba měření, tlaky p2, p3, p4 a signály polohy ventilu. Pomocí zoomu ( )
odečteme dobu uzavírání z grafu tu.
10. Grafy lze uložit: File – Export – zvolíme adresář, kde chceme grafy uložit, zvolíme
příponu obrázku, tzn. *.bmp nebo *.jpg.
11. Dále zjistíme ustálený stav při uzavřeném ventilu
12. Poté provedeme měření pro uzavírání ventilu, tj. otevřeme uzavírací ventil, spustíme
měření a asi po 2 sekundách uzavřeme ručně ventil a vyčkáme, dokud neproběhne
měření
13. Výsledkem jsou 2 měření pro ustálený stav, tj. otevřený ventil a uzavřený ventil a
minimálně 2 měření pro postupné uzavření ventilu, tj pro rychlé uzavírání ventilu a
pro pomalé uzavírání ventilu (cca 2 s).
tab.
14.3
Měření
Naměřené hodnoty stav ventilu Vypočítané hodnoty
Δhc
[m]
tu
[s]
tp
[s] -
Δpc
[Pa]
Q
[m3h-1]
v
[ms-1]
as
[ms-1]
Δp
[Pa]
Přílohy
213
ustálený stav
1 - - otevřen - -
2 - - uzavřen - -
neustálený stav
3 - uzavírání
rychlé
4 - uzavírání
rychlé
5 - uzavírání
pomalé
pozn.: pro výpočty použijeme měrnou hmotnost vody: ρ = 1000 kg.m-3.
Vyhodnocení měření
Pro výpočet hydraulického rázu je nutné znát rychlost proudění v hadici. Tu lze vypočítat
z průtoku potrubím Qv, který je úměrný ztrátové výšce Δhc (rozdílu tlaků Δpc) na cloně.
Vyhodnocení naměřených hodnot a doplnění tab. 14.3 lze tedy shrnout do následujícího
postupu:
1. Do rovnice cejchovní křivky 433,02424,0 xy (viz obr. 14.28) dosadíme za
proměnnou x rozdíl ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice
získáme hodnotu průtoku Qv [m3h-1].
2. Rychlost proudění kapaliny v hadici vypočítáme z rovnice kontinuity:
2
4
d
Q
S
QvSvQ vv
v
3. Z grafu průběhu tlaku při hydraulickém rázu odečteme hodnotu periody jako
vzdálenost dvou sousedních maximálních nebo minimálních výchylek tlaku (pokud
jsme si uložili také soubor naměřených dat do Excelu, lze určit periodu tp z tabulky, tj.
najdeme nejnižší tlak v první vlně a určíme dobu pro tento tlak t1. Pro druhou vlnu a
nejmenší tlak je odečtená doba t2. Rozdíl odečtených časů udává hodnotu periody tp):
Přílohy
214
12 tttp
Doba běhu vlny je dána polovinou periody, tj. 2
ptT
4. Rychlost šíření tlakové vlny vypočítáme z délky potrubí l a z doby běhu vlny:
T
las
.2exp
5. Vypočítáme zvýšení tlaku Δp při hydraulickém rázu pomocí Žukovského vztahu:
vap s .. exp
kde 0vvv je rychlostní diference, v je rychlost proudění kapaliny při
otevřeném ventilu, 0v je rychlost proudění při uzavřeném ventilu (zpravidla nula)
a modul pružnosti ze vztahu
2exp saK
6. Pro teoretické určení stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu najdeme v literatuře
rychlost šíření tlakové vlny v umělohmotné trubici s kapalinou v rozmezí:
1m.s80020 litsa
a modul pružnosti určíme ze vztahu
2litsaK
Doba běhu jedné vlny je:
litsa
lT
.2
Do Žukovského vztahu pro hydraulický ráz dosadíme:
vap lits ..
7. Výpočet proveďte pro krajní hodnoty rychlosti šíření tlakové vlny, tj. 20ms-1 a 800ms-1.
8. Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty.
Přílohy
215
experiment literatura
doba uzavírání ventilu tu [s] - -
skutečná rychlost zvuku as [ms-1]
doba běhu vlny T [s]
modul pružnosti K [Pa]
tlak pro hydraulický ráz Δp [Pa]
Příklad měření hydraulického rázu
Po provedení měření hydraulického rázu dostaneme graf průběhů tlaků, který je na obr.
14.29 a graf uzavírání ventilu tu = 4,2102 - 3,7047 = 0,5055s; obr. 14.30:
obr. 14.29 Hydraulický ráz
Přílohy
216
obr. 14.30 Doba uzavírání ventilu tu = 0,505
Přílohy
217