航太與系統工程系

流體力學導論

Introduction to Fluid Mechanics

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航太與系統工程系

流體力學範疇

• 研究流體(液體、氣體)於靜止及運動狀態下之科學。

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流體力學定義

• 流體靜力學(Fluid statics)：

– 研究流體處於靜止（或相對平衡）狀態時，作用於流体上的各種力之間的關係。

• 流動力學(Fluid dynamics)：

– 研究流體在運動狀態時，作用於流體上的力與運動要素之間的關係，以及流體的運動特性與能量轉換等。

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流體定義

• 係一種「不論多小之剪力作用下皆會產生連續永久變形」之物質，泛指液體及氣體。

– 固體承受壓力(Compression)、張力(Tension)或剪力(Shear)，先產生彈性變形(Elastic deformation)

，若外力過大，便產生永久形變(Permanent

distortion)。

– 流體承受壓力時會產生彈性變形。流體幾乎不能承受任何張力，而且在剪力作用下必產生永久形變。

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流體的力學特徵• 液體：

– 可保持固定體積，不易壓縮；

• 氣體：

– 不能保持固定體積，易被壓縮。

• 流動性：

– 靜止時剪力的存在導致的連續變形的特性。

• 分子間距(Spacing of molecules)

– 固體液體氣體

– 分子間內聚力(Intermolecular cohesive forces)

– 固體液體氣體 6

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固體之變形量

• 固體變形量取決於其剛性模數(Modulus of rigidity,

G)

• G: 剪應力(Shear stress)與剪應變(Shear strain)的比值 (單位：Pascal, Pa, N/m2)

其中xy：剪應力、F：作用力、A：施力面積、xy=：剪應變, x：橫向位移量、l：初始長度。

/

/

xy

xy

F A FlG

x l xA

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• 流體變形率(Rate of deformation)取決於流體之黏滯度(Viscosity, )

• ：剪應力(Shear Stress)與剪應變率(Rate of shear

strain)的比值 (單位：Pois, Pas, kg/ms2, Ns/m2)

其中 ：剪應變率。

流體之變形率

Pa s

/

/ /

xy xy

xy

F A

x l t du dy

/xy du dy

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連體(Continuum)假設

• 流體的微觀描述

– 分子之間不連續且有空隙，大量分子的無規則運動。

• 連體假設

– 流體是由密集質點構成，内部無間隙的連續介質，此為古典力學之基礎。

• 優點

– 可以利用連續函數的分析方法

– 適用於工程等巨觀的流體力學問題。 9

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連體假設成立之條件

• Knudsen number (Kn)=/L<<1

其中：分子平均自由路徑(Mean free path,

~610-8 m at STP: 1atm, 15.6C)、L：物理問題之特徵長度。

• 以密度為例：

limV V

m

V

V

例如：一粒沙的體積(0.001 mm3)平均含有2.51013個分子 10

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因次與單位

• 解決工程問題之答案必含有單位(Units)。

• 眾多物理量形成因次系統(Systems of dimensions)

– 主要因次：包含若干基礎物理量，如質量(M)、力(F)、長度(L)、時間(t)、溫度(T)等。

– 次要因次：由主要因次組成之物理量。

• 單位即為量度主要因次標準之名稱，例如主要因次長度之單位可為哩、呎、公尺，且各單位間具轉換因子。

– 1 mile=5280 feet=1609 meters

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現行因次及單位系統

• Newton’s second law ( ) relates the four

dimensions, F, M, L, and t.

–

• 流體性質可為純量、向量、張量等形式。

– 純量(僅有大小)：如壓力、密度、溫度。

– 向量(具有大小及方向)：如速度、渦度。

– 張量(具有大小及方向，且每方向有3個分量)：如應力、應變。

F ma

21 N 1 kg m/s

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應力

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

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流體性質及流場• 流體性質，如密度、壓力、溫度、速度、渦度、應力及應變等，均可為時間(t)及空間(x,y,z)之函數，且可以場(Field)之方式描述，如密度場、壓力場、溫度場及速度場等。

• 若流場(Flow Field)中各位置之流體性質不隨時間而變，則稱該流場為定常流場(Steady flow)。

• 流場先天即為三維(Three-dimensional)，但為方便分析起見，可簡化為二維甚至一維流場。

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流場顯像(Flow Visualization)

• 流場型態可以時線(Timeline)、徑線(Pathline)

、煙線(Streakline)及流線(Streamline)等來顯像。

Streamline 15

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漸縮管內之時線、徑線及煙線

Timeline Pathline

Steakline 16

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流體力學之分類

無黏流黏流

連體流體力學

可壓縮流 不可壓縮流

層流 紊流

內部流 外部流

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無黏流vs.黏流

• 所有真實流體均具有黏滯度(,Viscosity)。

• 黏流(0)：適用於流體與物體邊界之黏滯力不可忽視時之流場，例如鄰近物體表面處之流場。

• 無黏流(0)：適用於流體與物體邊界之黏滯力可忽視時之流場，例如遠離物體表面處之流場。

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• 流體流經圓柱表面之情形：

– D=70 mm,

– Re=1.2103

– Hydrogen bubble method

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可壓流vs.不可壓流• 流體之密度不隨壓力而改變，稱為不可壓流。

• 以馬赫數M=V/c來界定(V：速度、c：音速)：

– M<0.3可視為不可壓流。

– M>0.3視為可壓流。

– M<1為次音速流(Subsonic Flow)

– M>1為超音速流(Supersonic Flow)

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層流vs.紊流

• 層流(Laminar Flow)：流體穩定流動之流場。

• 紊流(Turbulent Flow)：流場具高度擾動(Fluctuation)之流動。

• 以雷諾數(Reynolds number, Re)界定：

– Re<2300可視為層流

– Re>2300為紊流

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圓管層流/紊流摩擦因子之比較

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內部流vs.外部流

• 內部流：完全為固體邊界所包覆之流場。

• 外部流：物體沈浸於無邊流體中之流場。

Internal flow External flow24

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流體的主要物理性質

• 慣性：

–物體保持原有運動狀態的性質。當流體受外力作用使運動狀態發生改變時，流體的慣性引起的對外界抵抗的反作用力稱為慣性力。

• 密度：

–慣性大小的度量，表示單位體積的質量。

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流體的主要物理性質(續)

• 黏滯度：

– 當流體處於運動的狀態下，若流體質點間存在相對運動，則質點間產生内摩擦力(黏滞力)，抵抗其相對運動，這種性質稱為流體的黏滯度。

– 其大小隨流體種類而不同，且隨壓力、溫度而變化。

– 相同條件下液體的黏滯度一般大於氣體的黏滯度。

– 溫度是影響黏滯度的主要因素。當温度升高時，液體的黏滯度减小，但氣體的黏滯度增加。

– 當流體受剪應力，其剪應變率與剪應力大小直接呈正比時，此類流體稱之為牛頓流體(Newtonian Fluid)，亦即其黏滯度為常數。反之，若呈非線性關係，則稱之為非牛頓流體。 26

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流體的主要物理性質(續)

• 可壓縮性：

– 流體因壓力￪，分子間距離￬，體積￬，密度￪。同時壓力撤除後可以恢復原狀的性質。

• 壓縮系數：

– 一定溫度下，壓力增加一個單位，體積的相對缩小率。單位：1/Pa

• 可壓缩流體：

– 流體密度隨壓力變化而不能忽略的流體。

• 不可壓缩流體：

– 流體密度隨壓力變化很小，流体的密度可視為常數的流體。

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流體的主要物理性質(續)

• 熱膨脹性：

– 流體因溫度￪，分子間距離￪，體積￪，密度￬。同時溫度下降後可以恢复原狀的性質。

• 熱膨脹系數：

– 一定壓力下，溫度增加一個單位，體積的相對之膨脹率。單位：1/K或1/C

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流體力學的研究方法

• 實驗方法(實驗流體力學)

– 通過實驗研究流場的特性，並擷取相關訊息。

• 理論方法(理論流體力學)

– 針對流體的物理性質和流動特徵，通過數學建模，利用數學方法求出理論結果。

• 數值方法(計算流體力學, Computational

Fluid Dynamics, CFD)

– 針對流體理論數值模型，通過數值解法求得流場特性及相關訊息。

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舉例說明：M=4, ReD=5106, PWALL=?

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實驗方法

• 設計並建構模型，以進行壁壓之量測。

• 建置風洞(Wind tunnel)設施以滿足實驗所需之流場條件，並提供實驗進行時所需之電能消耗。

• 需考慮類比(Similitude)問題。

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因次分析與類比• 當全尺度原型(full-size prototype)的實驗量測因過於艱難或花費過鉅而不可得時，其折衷之道為在實驗室中透過模型測試來解決。

• 若我們欲透過對於模型的量測來預測原型的行為時，很明顯的我們將無法任意為之，亦即模型流場(model flow)與原型流場(prototype flow)之間必需透過已知的尺度定律(scaling laws)來進行關聯。

• 模型與原型間流動相似之必要條件：– 幾何相似(Geometric similarity)

– 運動相似(Kinematic similarity)：流場型態相似，如速度方向相同，大小呈一定比例。

– 動力相似(Dynamic similarity)：受力種類/形式相同且大小呈一定比例，可經因次分析(Dimensional Analysis)後，求得關鍵受力之無因次(Dimensionless)參數。 32

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理論方法

• 設定假設條件，例如牛頓流體、理想氣體、震波厚度為無窮薄且貼覆於圓柱表面等，從而求得封閉解( Closed-form solution)。

•

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理論方法(續)

•

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數值方法

• 建構計算網格

• 選擇適當統御方程組

• 進行數值離散並求解

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結果比較

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優缺點比較

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結論

• 時至今日，流體力學之發展仍相當倚重實驗觀察，特別是新發現的物理現象。

• 根據實驗發現之物理現象，以理論方式進行分析，並建立其數學模型，將有助於物理現象之進一步解釋及瞭解。

• 對於流體力學，甚至其他科學而言，其發展乃藉由以下途徑進行：

– 實驗觀察建立數學模型利用數學/數值工具求解並與實驗結果比較以驗證/修正數學模型解決/預測問題。

• 隨著電腦軟、硬體設備之進步，數值方法已能與實驗方法並駕齊驅，而相輔相成，以加速科學研究之發展。

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科學研究流程圖

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流體力學之基本定律

• 質量守恆定律(The conservation of mass)

• 動量守恆定律(Newton’s second law of motion)

• 角動量守恆定律(The principle of angular

momentum)

• 能量守恆定律(The first law of

thermodynamics)

• 熱力學第二定律(The second law of

thermodynamics)

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流體受力之情形

• 表面力(Surface Force)：

– 通過直接接觸而作用在流體接觸表面的力；大小與受作用的流體表面積成正比。如固體邊界對流體的摩擦力。

– 應力：單位面積上的表面力，單位：N/m2或Pa。

– 可區分為正向應力(垂直於作用面的應力)及切向應力(

平行於作用面的應力)。

• 物體力(Body Force)：

– 無需接觸即存在之作用力(超距力)，如重力、磁力、電力等。

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流體運動之數學模型

• 複雜之流體運動可分解為移動+線性變形+旋轉+角變形等基本動作。

• 各基本動作均能找出其相應之數學表示式。

• 結合所對應之物理定律(如質量、動量及能量守恆定律)，即可求得描述流體運動之數學模型，稱之為統御方程組(Governing Equations)。 42

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統御方程組-動量守恆定律2

23

22

3

x

y

u u u u p u u vu v w g V

t x y z x x x y y x

w u

z x z

v v v v p u v vu v w g V

t x y z y x y x y y

22

3

z

v w

z z y

w w w w p w u v wu v w g

t x y z z x x z y z y

wV

z z

Navier-Stokes equations

/ /i i i

i i i

mama F F V a F V

V

Body ForceSurface Force-

Normal

Surface Force-

Tangential 43

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統御方程式-質量守恆定律0

u v w

t x y z

統御方程式-能量守恆定律

2 2 2

/ /

/0

2 2, 2 , 2

2 3 3

22 ,

3

xx xy xz x xy yy yz y

xz yz zz z

xx yy

xx xy

u E p u v w q v E p u v w qE

t x y

w E p u v w q

z

u v w u v w u v wE e

x y z x y z

u v w

x y z

, ,

, ,

xz yz

x y z

u v w u v w

y x x z z y

T T Tq k q k q k

x y z

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結論

• 上述方程組，搭配不同之邊界條件可用以描述絕大部分流體運動之動態行為。

• 若需描述更為複雜之流體動態，如燃燒、多相流動、質量傳遞等，需引入適當之模式予以輔助。

• 該方程組為非線性偏微分方程組，大部分情形下難以工程數學技巧求得解答。

• 可將該方程組離散化，利用電腦高速計算之優點，進行數值計算，即為計算流體力學。

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