e-Learning Calculus

지수함수와 로그함수

우리가 일상적으로 사용하는 물건이나 주위에서 볼 수 있는 사물은 그렇게 크지도 않고

또 그렇게 작지도 않은 것들이 대부분이다. 고층 건물의 높이도 [일 킬로미터]를 넘지

않는다. 또, 바늘귀가 아무리 작다고 해도 [일 밀리미터]정도의 크기이다. 그러나 지

구에서 태양까지의 거리는 약 ×이고, 빛이 진공 속을 1년 동안 진행하는 거리

인 1광년은 약 ×라 한다. 반면 작은 세포의 크기는 약 미크론, 곧

정도라 한다. 이와 같이 큰 수와 작은 수를 다룰 때에는 지수와 로그를 이용

하면 편리하다.

또한 지수함수를 이용하여 인구의 증가를 나타내기도 하고, 로그함수를 이용하여 화석의

연대를 측정하기도 한다.

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지수함수

로그함수

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1) 지수와 로그

(1) 지수

◉ 지수의 법칙

임의의 실수 , 와 유리수 , 에 대하여

① × ②

③ ④

⑤ ÷ ⑥

◉ 응용된 지수법칙

･

･

memo

…

2의 제곱근 2의 세제곱근 2의 네제곱근 … 2의 제곱근

…

※ 의 제곱근 ⇔ 번 제곱해서 가 되는 수

예)

예제1 를 간단히 하여라.

풀이 근호형은 지수형으로 바꾸어 풀자.

=

․

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예제2

를 간단히 하여라.

풀이 근호형은 지수형으로 바꾸어 풀자.

=

÷

(2) 로그

로그

◉ 로그의 기본공식

, ≠ , , 이고 는 임의의 실수일 때

① ,

②

③

④

◉ 로그의 밑 변환 공식

, ≠ , , ≠ ,

예제1 , 라고 할 때, 다음 식을 a, b로 나타내어라.

①

②

풀이 ①

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②

◉ 상용로그와 자연로그

･상용로그

상용로그

밑이 10인 로그, 진수가 일 때 밑인 10을 생략하여 으로 표현

･상용로그의 성질

임의의 양수는 항상 ×( ≤ , 은 정수)꼴로 표현 가능하므로

× . 즉, ‘정수+소수’가 된다.

예제2 일 때, 과 값을 구하시오.

풀이

･자연로그

자연로그

밑이 무리수 인 로그, 진수가 일 때 밑인 를 생략하여 으로 표현

･자연로그의 성질

네이피어 로그(Napierian logarithm)라고도 한다.

실수 ⋯ ⋯을 밑으로 하는 로그이다.

<성질> ⑴

⑵

⑶

예제3 일 때, 를 로 나타내어라.

풀이 양변에 를 곱하면 ∙ ,

즉, ∙ ,

±

는 항상 양수이므로

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(3) 다지기

다음 문제를 풀어보자.

1 다음을 간단히 하여라.

(1)

=

(2) × ÷ =

① ② ③

④ ⑤

(3)

=

2 , 라고 할 때, 다음 식을 , 로 나타내어라.

3 일 때, 다음 값을 구하시오.

(1)

(2)

4 자연로그표를 이용하여 의 값을 구하시오.

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2) 지수함수와 로그함수

(1) 지수함수

◉ 지수함수 (단, ≠ ≻ )의 그래프

[ ] [ ] [ ]

[

] [

] [

]

◉ 지수함수 (단, ≠ ≻ )의 성질

⑴ 정의역 : 실수 전체

⑵ (0, 1)을 지난다.

⑶ 일 때 단조증가

일 때 단조감소

지수함수

( , ≠ )

예) …

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(2) 로그함수

◉ 로그함수 ( , ≠ , )의 그래프

[ ] [ ]

[

] [

]

◉ 로그함수 ( , ≠ , )의 성질

⑴ 정의역 :

치역 : 실수 전체

⑵ (1, 0)을 지난다.

⑶ 일 때 단조증가

일 때 단조감소

◉ 와 의 관계

① 와 는 서로 역함수관계이다.

② 와 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.

로그함수

( , ≠ , )

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(3) 다지기

다음 문제를 풀어 보자.

1 다음 중 지수함수

의 그래프의 개형으로 올바른 것은?

2 그림과 같은 그래프의 특징으로 잘못 설명한 것은?

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3 다음 중 로그함수가 아닌 것은?

4 [보기]의 그래프와 역함수인 그래프의 개형은?

3) 방정식과 부등식

(1) 지수방정식과 지수부등식

지수방정식 : 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식

≠ 일 때,

⇒

지수부등식 : 지수에 미지수를 포함하고 있는 부등식

일 때 :

⇒

일 때 :

⇒

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예제1 을 풀어라.

풀이

∴

예제2 을 풀어라.

풀이 에서 밑 3은 1보다 크므로

⇒

∴

예제3 지수방정식 을 풀어라.

풀이 밑을 2로 통일한 후 계산한다.

⇒ ∙ ( 로 치환)

⇒

⇒

⇒ or

⇒ or 에서

∴ or

예제4 지수부등식

을 풀어라.

풀이 밑을

로 통일한 후 계산한다.

⇒

∴ 이므로

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(2) 로그방정식과 로그부등식

예제1 를 풀어라.

풀이 이므로

로그의 밑이 같으므로 ∴

(참고 : 을 , 에 대입하여

로그의 진수조건 , 을 반드시 확인해야 한다.)

예제2 를 풀어라.

풀이 라 치환하면

∴ ,

∴ or

에서 or 에서

예제3 를 풀어라.

풀이 양변에 로그를 취하면 ,

라 치환하면

∴ ,

or

에서 or 에서

로그방정식

로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 방정식

(진수) >0, (밑)>0, (밑)≠

⇒

로그부등식

로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식

(진수) >0, (밑)>0, (밑)≠

일 때 : ⇒

일 때 : ⇒

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(3) 다지기

다음 물음에 답하시오.

1 다음 중 지수방정식인 것은?

① ② ③

2 지수방정식 의 해를 구하면?

① ② ③

3 로그방정식 의 해를 구하면?

① ② ③

4

를 풀면?

①

②

③

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◉ 지수법칙

◉ 로그의 뜻과 성질

◉ 지수함수와 로그함수의 그래프

◉ 와 의 관계

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1 × ×을 3의 거듭제곱을 사용하여 바르게 나타낸 것은?

① ② ③

2 을 간단히 하면?

① 0 ② 1 ③ 2

3 로그함수 의 그래프의 개형으로 올바른 것은?

4

을 풀면?

① ② ③

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1) 지수와 로그

1 (1) 4 (2) ② (3) 4

2 ,

3 (1) -1.6676 (2) 5.3324

4 2.4848

p.7 다지기 정답

1 (1)

이므로

위에서 아래를 빼면

(2)

×

÷

∙

∙

∙

∙

∙

∙

(3)

××

2

×

3 (1) ×

(2) ×

4 × ×

2) 지수함수와 로그함수

다지기 정답 p.10

1 ①

2 ③

3 ④

4 ③

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1 ①

의 그래프. 그래프가 단조감소하고 축을 점근선으로 갖는다.

② 의 그래프

③ 의 그래프

④ 의 그래프

2 그림의 그래프는 지수함수 의 그래프이다. 점 (0, 1)을 지난다.

에서 이면 단조증가한다.

3 ① 의 그래프를 축 대칭한 그래프

② 그래프를 축 대칭이동한 의 그래프

③ ①의 그래프를 축으로 대칭이동한 의 그래프

④ 의 그래프

4 [보기]는 지수함수 의 그래프이다. 지수함수의 역함수는 로그함수이므로

의 역함수는 가 된다.

3) 방정식과 부등식

다지기 정답 p.14

1 ③

2 ③

3 ①

4 ②

1 지수방정식이란 지수에 미지수가 있는 방정식을 의미한다.

2 밑을 3으로 같게 한 후 지수끼리 비교하면 , ∴

3 에서

따라서 에서

4

에서 밑을

로 통일하면

밑이

로 0과 1 사이이므로

. 이 때, (진수)>0이므로 정리하면

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퀴즈 퀴즈 정답 p.16

1 ①

2 ②

3 ①

4 ②

1 × × ××

2 ×

3 ② 의 그래프

③ 의 그래프

4

은 0과 1 사이이므로