Πτυχιακή - main body - anastasios kamoutsas petros mostratos dimitrios tzatsis

«ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ BEM ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ TAGUCHI»

Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΦΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΛΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Ιούνιος 2015

ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ:

ΜΟΣΤΡΑΤΟΣ ΠΕΤΡΟΣ

ΤΖΑΤΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΚΑΜΟΥΤΣΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ:

ΔΡ.-ΜΗΧ. ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ

ΣΑΓΙΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΜΟΣΤΡΑΤΟΣ ΠΕΤΡΟΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΖΑΤΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ


Σελίδα

1

Ευχαριστίες

Οι συντάκτες εκφράζουν την απεριόριστη εκτίμηση τους προς τους

επιβλέποντες καθηγητές Δρ.-Μηχ. Κωνσταντίνο Στεργίου και υποψήφιο Δρ. Βασίλειο

Σαγιά, για τη συνεχή υποστήριξη τους και μετάδοση κινήτρου καθ’ όλη τη διάρκεια

αυτού του έργου.

Ειδικές ευχαριστίες στον κ. Βασίλειο Σαγιά για την συνεισφορά του στην

εισαγωγή των συντακτών στη BEM, στη μεθοδολογία Taguchi καθώς και στις

μαθηματικές εφαρμογές που απαιτήθηκαν.





Σελίδα

2

Πίνακας περιεχομένων Περίληψη ................................................................................................................................. 7

Κεφάλαιο 1ο: Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων ....................................................................... 8

1.1 Εισαγωγή στη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων .............................................................. 8

1.1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη BEM έναντι της FEM ........................................................ 9

1.1.2 Πλεονεκτήματα της BEM ....................................................................................... 10

1.1.3 Μειονεκτήματα BEM ............................................................................................. 10

1.2 Ιστορική Αναδρομή στη BEM ....................................................................................... 11

1.3 Adaptive Mesh και Error Indicators .............................................................................. 14

1.4 Lagrange στοιχεία για δισδιάστατα προβλήματα ........................................................ 17

Κεφάλαιο 2ο Μεθοδολογία Taguchi ....................................................................................... 19

2.1 Εισαγωγή στην μεθοδολογία Taguchi .......................................................................... 19

2.2 Ορθογωνικές κατανομές .............................................................................................. 20

2.3 Επιλέγοντας μια μεθοδολογία Taguchi ........................................................................ 21

2.4 Φράσεις που Εκθειάζουν τη Μέθοδο Taguchi .............................................................. 22

Κεφάλαιο 3ο: Μεθοδολογία & Εφαρμογή............................................................................. 23

3.1 Εισαγωγή ...................................................................................................................... 23

3.2 Νεα Προσαρμοστική Στρατηγική Βασισμένη στη Μεθοδολογία Taguchi..................... 24

3.2.1 Αρχικές Συνθήκες του Πειράματος ........................................................................ 25

3.2.2 Ο Πίνακας Taguchi Και Η Ορθογωνική Κατατομή .................................................. 26

3.2.3 Η Γεωμετρική Προσέγγιση Κάθε CAD Στοιχείου Σύμφωνα Με Την Ορθογωνική

Κατατομή Και Τις Αρχές Της Προσαρμοστικής Στρατηγικής ........................................... 27

3.2.4 Στρατηγική Υπολογισμού....................................................................................... 35

3.2.5 Πρακτική Εφαρμογή .............................................................................................. 36

3.3 Ο σχεδιασμός των πειραμάτων (Taguchi) στο Minitab ................................................ 37

3.4 Οι Πίνακες που Προκύπτουν για κάθε CAD Στοιχείο .................................................... 38

3.4.1 Response Table – Πρώτο CAD στοιχείο .................................................................. 39

3.4.2 Response Table – Δεύτερο CAD στοιχείο ............................................................... 40

3.4.3 Response Table – Τρίτο CAD στοιχείο .................................................................... 41

3.4.4 Response Table – Τέταρτο CAD στοιχείο................................................................ 42

3.4.5 Response Table – Πέμπτο CAD στοιχείο ................................................................ 43

3.4.6 Response Table – Έκτο CAD στοιχείο ..................................................................... 44

3.4.7 Response Table – Έβδομο CAD στοιχείο ................................................................ 45

3.4.8 Response Table – Όγδοο CAD στοιχείο .................................................................. 46





Σελίδα

3

3.4.9 Response Table – Ένατο CAD στοιχείο ................................................................... 47

3.4.10 Response Table – Δέκατο CAD στοιχείο ............................................................... 48

3.4.11 Response Table – Ενδέκατο CAD στοιχείο............................................................ 49

3.4.12 Response Table – Δωδέκατο CAD στοιχείο .......................................................... 50

3.4.13 Response Table – Δέκατο Τρίτο CAD στοιχείο...................................................... 51

3.4.14 Response Table – Δέκατο Τέταρτο CAD στοιχείο ................................................. 52

3.4.15 Response Table – Δέκατο Πέμπτο CAD στοιχείο .................................................. 53

3.4.16 Response Table – Δέκατο Έκτο CAD στοιχείο ....................................................... 54

3.5 Το Τελικό Πλέγμα Σύμφωνα με τις Ενδείξεις των Πινάκων Signal to Noise .................. 56

3.6 Σύγκριση των Αποτελεσμάτων Στρεπτικής Καταπόνησης του Τελικού Πλέγματος με τις

Αναλυτικές Λύσεις ............................................................................................................. 57

Κεφάλαιο 4ο: Παρατηρήσεις και σχόλια ................................................................................ 60

4.1 Δυσκολίες που Δημιουργήθηκαν κατά την Υλοποίηση ................................................ 60

4.2 Συμπεράσματα ............................................................................................................. 62

4.3 Προτάσεις για μελλοντική εξέλιξη................................................................................ 63

Βιβλιογραφία ......................................................................................................................... 64





Σελίδα

4

Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1.1 Σύγκριση των στρατηγικών μοντελοποίησης .......................................................... 9

Σχήμα 1.2 Πίνακες Συντελεστών για FEM και ΒΕΜ ................................................................ 11

Σχήμα 1.3 Θέση κομβικού σημείου και σχετικές αποστάσεις για σταθερό διακριτοποιημένο

στοιχείο .................................................................................................................................. 14

Σχήμα 1.4 Πρωτότυπα και βελτιωμένα πλέγματα χρήση προσαρμοστικών στρατηγικών .... 16

Σχήμα 2.1 Η παραδοσιακή άποψη της ποιότητας σε σύγκριση με την άποψη του Taguchi .. 19

Σχήμα 3.1 Αρχικό 2D Σχήμα ................................................................................................... 25

Σχήμα 3.2 Αρχικό πλέγμα με αριθμημένα τα CAD elements ................................................. 38

Σχήμα 3.3 Τελικό Πλέγμα (416 Κόμβοι, 238 Στοιχεία) ............................................................ 56





Σελίδα

5

Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 1.1 Μονοδιάστατα στοιχεία Lagrange ..................................................................... 17

Πίνακας 2.1 Ορθογώνιος Πίνακας Taguchi L9 ........................................................................ 20

Πίνακας 2.2 Signal to Noise Ratio........................................................................................... 21

Πίνακας 3.1 Πίνακας Taguchi ................................................................................................. 26

Πίνακας 3.2 Η Ορθογωνική Κατατομή L9 ............................................................................... 27





Σελίδα

6

Κατάλογος Διαγραμμάτων

Διάγραμμα 3.1 Αποτελέσματα Στρεπτικής Τάσης για το Τελικό Πλέγμα ............................... 59





Σελίδα

7

Περίληψη

Τα τελευταία χρόνια εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής είναι η

Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (Μ.Σ.Σ. ή BEM). H BEM είναι μια αριθμητική μέθοδος

για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων που μετατρέπει τις διαφορικές

εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες σε ολοκληρωματικές εξισώσεις.

Χρησιμοποιείται σαν μέθοδος ανάλυσης της συμπεριφοράς των μηχανικών

συστημάτων και των μηχανικών κατασκευών που υποβάλλονται σε εξωτερική φόρτιση.

Η ΒΕΜ έχει κάποια προβλήματα που σχετίζονται με το ποσοστό ακρίβειας που

προσφέρει. Στόχος της παρούσης πτυχιακής εργασίας είναι η ανάπτυξη μιας νέας

μεθοδολογίας, βασισμένη στις υπάρχουσες μεθόδους, ώστε ν’ αυξηθεί η ακρίβεια του

πλέγματος μιας εξεταζόμενης διατομής με την χρήση των λειτουργιών του adaptive

meshing. Πρόκειται ουσιαστικά για μια καινοτόμα μεθοδολογία που θα αντικαταστήσει

τις επαναληπτικές διαδικασίες που χρειάζεται το adaptive meshing με την χρήση

λιγότερων επαναλήψεων, όπως αυτές ορίζονται από τη μεθοδολογία Taguchi.

Χρησιμοποιείται η μεθοδολογία Taguchi ως εργαλείο ποιότητας (quality tool) με

ορισμένους παράγοντες (factors) ώστε να εξαχθεί το βέλτιστο πλέγμα για την

εξεταζόμενη διατομή. Τα factors υποδεικνύουν την χρησιμοποίηση εννέα (9)

διαφορετικών πλεγμάτων, σε κάθε ένα από τα οποία πραγματοποιούνται 16 τεστ, όσες

και οι πλευρές της δεδομένης διατομής.

Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία Taguchi στα εννέα καινούργια πλέγματα

ελαχιστοποιούνται οι τιμές του error indicator που προκύπτουν από την πειραματική

διαδικασία της BEM. Τ’ αποτελέσματα των πλεγμάτων εισάγονται στο υπολογιστικό

πρόγραμμα MiniTab ώστε να βρεθεί η βέλτιστη λύση ως προς την εύρεση της

στρεπτικής τάσης από τα εξεταζόμενα πλέγματα της διατομής.





Σελίδα

8

Κεφάλαιο 1ο: Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων

1.1 Εισαγωγή στη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων

Η Boundary Element Method (BEM) είναι μια αριθμητική μέθοδος για την επίλυση

μερικών διαφορικών εξισώσεων που συναντώνται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη

μηχανική. Παραδείγματα που περιλαμβάνουν αυτή τη μέθοδο είναι η εξίσωση Laplace,

η εξίσωση Helmholtz, η εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης, οι εξισώσεις της δυναμικής και

τυρβώδης ροή, οι εξισώσεις της ηλεκτροστατικής και του ηλεκτρομαγνητισμού καθώς

επίσης και οι εξισώσεις ελαστοδυναμικής.

Μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες σε

ολοκληρωματικές εξισώσεις, οι οποίες μετατρέπονται ώστε να εμπεριέχουν

επιφανειακά ολοκληρώματα. Επειδή παραμένουν μόνο επιφανειακά ολοκληρώματα,

χρησιμοποιούνται επιφανειακά στοιχεία για την εκτέλεση των απαιτούμενων

ολοκληρώσεων.

Η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (BEM) αποτελεί μια τεχνική για την ανάλυση

της συμπεριφοράς των μηχανικών συστημάτων και ιδιαίτερα των μηχανικών

κατασκευών που υποβάλλονται σε εξωτερική φόρτιση. Ο όρος φόρτιση

χρησιμοποιείται με τη γενική του έννοια, αναφερόμενος σε μια εξωτερική πηγή η οποία

παράγει μια μη μηδενική συνάρτηση πεδίου που περιγράφει την απόκριση του

συστήματος (πεδίο θερμοκρασίας, πεδίο μετατόπισης, πεδίο τάσεων, κλπ.) και μπορεί

να είναι θερμότητα, οι δυνάμεις του σώματος, ή ακόμη και μη-ομοιογενής οριακές

συνθήκες, π.χ. διευθέτηση στήριξης.

Η μελέτη της συμπεριφοράς των κατασκευών επιτυγχάνεται σήμερα με τη χρήση

ηλεκτρονικών υπολογιστικών συστημάτων. Ο λόγος είναι προφανής, το χαμηλό κόστος

της αριθμητικής μεθόδου έναντι των ακριβών πειραματικών προσομοιώσεων. Η

αριθμητική προσομοίωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μελετήσει μια ευρεία

ποικιλία φορτίσεων και γεωμετριών μιας δομής και για να προσδιοριστεί η βέλτιστη

λύση σχεδιασμού, πριν προχωρήσει στην κατασκευή του.

Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την αριθμητική ανάλυση των δομών κατά τη

διάρκεια των τελευταίων 30 ετών είναι η Finite Element Method (FEM). Με την Μέθοδο

των Πεπερασμένων Στοιχείων ρεαλιστικά προβλήματα της μηχανικής βρίσκουν την

επίλυση τους, με ανάλυση δομικών στοιχείων αυθαίρετης γεωμετρίας, αυθαίρετης

φόρτισης, ποικίλων συστατικών σχέσεων, με γραμμική ή μη γραμμική συμπεριφορά,

σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Δικαιολογημένα, η FEM έχει αποτιμηθεί κατά τα τελευταία

30 χρόνια ως ένα σύγχρονο υπολογιστικό εργαλείο.





Σελίδα

9

1.1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη BEM έναντι της FEM

Η μοντελοποίηση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να είναι

αναποτελεσματική και επίπονη για ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων. Η FEM παρά

τη γενικότητα της εφαρμογής της σε προβλήματα της μηχανικής, μειονεκτεί έναντι της

BEM σε:

1. Διακριτότητα, η διακριτοποίηση με τη FEM πάνω σε ολόκληρο τον τομέα που

καταλαμβάνεται από το σώμα. Ως εκ τούτου, η παραγωγή και ο έλεγχος των

πεπερασμένων στοιχείων εμφανίζουν δυσκολία και είναι επίπονη και

χρονοβόρα διαδικασία, ειδικά όταν η γεωμετρία των σωμάτων δεν είναι απλή,

όπως για παράδειγμα, όταν υπάρχουν οπές, εγκοπές ή γωνίες οπού απαιτείται

υψηλή πυκνότητα πλεγματοποίησης σε αυτές τις κρίσιμες περιοχές.

2. Τροποποίηση, η τροποποίηση του διακριτοποιημένου μοντέλου για να

βελτιωθεί η ακρίβεια της λύσης μπορεί να είναι δύσκολη και απαιτεί πολλή

προσπάθεια και χρόνο, ενώ η BEM ως μέθοδος συνοριακών στοιχείων μειώνει

τον βαθμό της εξίσωσης κατά ένα στοιχείο καθώς μελετάει τις 2 διαστάσεις απο

τις τρείς διαστάσεις, συνεπώς είναι πιο εύκολη η διαδικασία υπολογισμών..

3. Για τα προβλήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις της τέταρτης

ή ανώτερης τάξης οι απαιτήσεις συμμόρφωσης απαιτούν μια τόσο κουραστική

δουλειά που μπορεί να γίνει η FEM ανέφικτη.

4. Μολονότι η FEM υπολογίζει με ακρίβεια τη συνάρτηση του πεδίου, η οποία

είναι ο άγνωστος του προβλήματος, είναι αναποτελεσματική για τον

προσδιορισμό των παραγώγων του. Η ακρίβεια μειώνεται σημαντικά σε

περιοχές μεγάλων κλίσεων. (Κατσικαδέλης, 2002)

Σχήμα 1.1 Σύγκριση των στρατηγικών μοντελοποίησης





Σελίδα

10

1.1.2 Πλεονεκτήματα της BEM

H BEM διαθέτει πολλά πλεονεκτήματα, τα σημαντικότερα από τα οποία είναι:

1. Η Διακριτοποίηση γίνεται μόνο πάνω από το όριο του σώματος, καθιστώντας

την αριθμητική μοντελοποίηση με τη ΒΕΜ εύκολη [βλέπε Σχήμα 1.1(β)]

μειώνοντας τον αριθμό των αγνώστων κατά μία τάξη. Έτσι, μια αναδιαμόρφωση

ώστε να αντικατοπτρίζει τις αλλαγές του σχεδιασμού γίνεται απλή.

2. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική στον υπολογισμό των παραγώγων της

επιφανειακής εξίσωσης (π.χ. ροές, πιέσεις, τάσεις, ροπές). Μπορεί εύκολα να

χειριστεί συμπυκνωμένες δυνάμεις και ροπές, είτε στο εσωτερικό του τομέα

είτε στο όριο.

3. Η BEM επιτρέπει την αξιολόγηση της επίλυσης και των παραγώγων της σε

οποιοδήποτε σημείο του προβλήματος και σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Αυτό είναι εφικτό, διότι χρησιμοποιεί αναπόσπαστη αναπαράσταση της

επίλυσης ως μια συνεχή μαθηματική έκφραση, η οποία μπορεί να

διαφοροποιηθεί και να χρησιμοποιηθεί ως μαθηματικός τύπος. Αυτό είναι

αδύνατο με τη FEM, δεδομένου ότι η επίλυση λαμβάνεται μόνο στα κομβικά

σημεία.

4. Η μέθοδος είναι κατάλληλη για την επίλυση προβλημάτων σε τομείς με

γεωμετρικές ιδιαιτερότητες , όπως ρωγμές. (Κατσικαδέλης, 2002)

1.1.3 Μειονεκτήματα BEM

Στο παρόν στάδιο της ανάπτυξης της, η BEM παρουσιάζει τα ακόλουθα κύρια

μειονεκτήματα:

1. Η εφαρμογή της ΒΕΜ απαιτεί την λεγόμενη Fundamental Solution. Η μέθοδος

δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα των οποίων η Fundamental

Solution είτε είναι άγνωστη είτε δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Όπως είναι, για

παράδειγμα, τα προβλήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με

μεταβλητό παράγοντα. Η μέθοδος είναι προφανές ότι δεν ισχύει για μη

γραμμικά προβλήματα για τα οποία δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Στην

περίπτωση αυτή, ένα μοντέλο ΒΕΜ παράγει επιφανειακά ολοκληρώματα που

μπορούν να υπολογιστούν με την διακριτοποίηση της επιφάνειας, αλλά αυτό,

φυσικά χαλάει τον καθαρό οριακό χαρακτήρα της μεθόδου.

2. Η αλγοριθμική εφαρμογή της ΒΕΜ οδηγεί σε συστήματα γραμμικών

αλγεβρικών εξισώσεων των οποίων οι μήτρες συντελεστών είναι πυκνές και μη

συμμετρικές. Σε ένα μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων, ωστόσο, οι αντίστοιχες

μήτρες είναι κλιμακωτές και συμμετρικές. Αυτό το μειονέκτημα της BEM





Σελίδα

11

αντισταθμίζεται από τις πολύ μικρότερες διαστάσεις των πινάκων της.

(Κατσικαδέλης, 2002)

Κατά τη διάρκεια των τελευταίων ετών, έχει διεξαχθεί έντονη έρευνα σε μια

προσπάθεια να ξεπεραστούν το προαναφερθέντα μειονεκτήματα. Η γενική μορφή των

πινάκων συντελεστών για ένα μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων BEM φαίνεται

γραφικά στο Σχήμα 1.2

1.2 Ιστορική Αναδρομή στη BEM

Μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του ογδόντα, η BEM ήταν γνωστή ως Boundary

Integral Equation Method (BIEM). Η πατρότητα της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων

(ΒΕΜ) θα μπορούσε να αποδοθεί στον Fredholm . Στις αρχές του εικοστού αιώνα, ήταν

ο πρώτος που χρησιμοποίησε το singular boundary ενιαίων εξισώσεων για να βρει τις

άγνωστες boundary quantities για τα προβλήματα της δυναμικής θεωρίας. Στην

πραγματικότητα, η μέθοδος εισήχθη ως ένα μαθηματικό εργαλείο ώστε να

καθοριστούν οι απαραίτητες οριακές συνθήκες για ένα πρόβλημα μαθηματικής φύσης,

και όχι ως μέθοδος επίλυσης του προβλήματος. Στην προαναφερθείσα μέθοδο, οι

άγνωστες συνοριακές ποσότητες έχουν άμεση φυσική ή γεωμετρική σημασία και για

το λόγο αυτό αναφέρονται ως άμεσες ΒΕΜ. Εκτός από αυτήν τη μέθοδο, είχαν

αναπτυχθεί και άλλες φόρμουλες ΒΕΜ, στις οποίες οι άγνωστες συνοριακές ποσότητες

δεν έχουν άμεση φυσική ή γεωμετρική σημασία, με συνέπεια να τους δίνεται η

ονομασία “έμμεση BEM”. Οι Sherman, Mikhlin και Muskhelishvili χρησιμοποίησαν

πολύπλοκες συναρτήσεις για την ανάπτυξη της Boundary Integral Equation Method

προκειμένου να επιλυθούν τα προβλήματα ελαστικότητας του επιπέδου.

Σχήμα 1.2 Πίνακες Συντελεστών για FEM και ΒΕΜ





Σελίδα

12

Οι κλειστές μορφές λύσεων ολοκληρωματικών εξισώσεων ήταν ενιαίες μόνο για

ορισμένα πεδία ορισμού με πολύ απλά γεωμετρικά όρια. Δυστυχώς, το έργο του

Fredholm προηγήθηκε των υπολογιστών, οι οποίοι θα μπορούσαν να κάνουν πράξη τις

ιδέες του. Για το λόγο αυτό, η Boundary Integral Equation είχε παραμεληθεί μέχρι το

τέλος της δεκαετίας του ‘50. Στη συνέχεια, με την έλευση των ηλεκτρονικών

υπολογιστών, η μέθοδος ήρθε ξανά στο προσκήνιο για την επίλυση προβλημάτων

μηχανικής. Αριθμητικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν για την επίλυση των Boundary Integral

Equations και για δύσκολα φυσικά προβλήματα με πολύπλοκη συνοριακή γεωμετρία,

τα οποία δεν θα μπορούσαν να αντιμετωπισθούν με άλλες μεθόδους, λύθηκαν για

πρώτη φορά από την BIEM. Τα πρώτα έργα που έθεσαν τα θεμέλια της BEM ως

υπολογιστική τεχνική, εμφανίστηκαν στις αρχές της δεκαετίας του εξήντα.

Οι Jaswon και Symm χρησιμοποίησαν τις εξισώσεις του Fredholm για να λύσουν

κάποια δισδιάστατα προβλήματα της δυναμικής θεωρίας (potential theory). Τα

πλεονεκτήματα της BEM, τα οποία απαριθμούνται παρακάτω, προσέλκυσαν ερευνητές

και τους παρακίνησαν να αναπτύξουν περαιτέρω την μέθοδο. Οι Rizzo και Cruse

εφάρμοσαν την μέθοδο σε δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα ελαστικότητας,

αντίστοιχα. Οι Rizzo και Shippy επέκτειναν την μέθοδο για ανισοτροπική ελαστικότητα

(anisotropic elasticity), ενώ οι Cruse και Rizzo έλυσαν το ελαστοδυναμικό πρόβλημα. Οι

Ignaczak και Nowacki, εξέφρασαν τις Integral Equations της θερμοελαστικότητας και ο

Mendelson μελέτησε τα προβλήματα ελαστοπλαστικής στρέψης .

Όλα τα προαναφερθέντα προβλήματα διέπονται από δευτέρας τάξεως μερικών

διαφορικών εξισώσεων. Ήδη στα τέλη της δεκαετίας του ογδόντα, θα μπορούσε να βρει

κανείς πολυάριθμες δημοσιευμένες βιβλιογραφίες, όπου η ΒΕΜ εφαρμόστηκε σε ένα

ευρύ φάσμα μηχανικών προβλημάτων. Μεταξύ αυτών είναι τα στατικά και τα

δυναμικά, γραμμικά ή μη – γραμμικά προβλήματα της ελαστικότητας, των πλακών και

περιβλημάτων, τα προβλήματα της ελαστοδυναμικής, κυματικής και σεισμικής

μηχανικής, γεωμηχανικής και θεμελιακής μηχανικής, δυναμικής των ρευστών,

μηχανικής θραύσης, ηλεκτρικής ενέργειας και του ηλεκτρομαγνητισμού, θερμικής

αγωγιμότητας, ακουστικής, αεροδυναμικής κ.λπ.. (Κατσικαδέλης, 2002)

Περίπου από το 1980-1990, οι μέθοδοι Galerkin για την διακριτοποίηση των

boundary integral equations αποκτούν μεγαλύτερη σημασία για πρακτικά προβλήματα.

Από μια άποψη η μέθοδος Galerkin είναι ανώτερη από άλλες εναλλακτικές λύσεις

καθώς η σταθερότητα, η συνέπεια και η σύγκλιση της μεθόδου μπορεί να αποδειχθεί

για μια πολύ γενική κατηγορία των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων. Η

προσέγγιση βασίζεται σε μια μεταβολική διατύπωση των boundary integral equations

σε αντίθεση με την κατά σημείο, κλασική προσέγγιση.

Η σημαντική ανακάλυψη της μεθόδου Galerkin για πρακτικά, τρισδιάστατα

προβλήματα επιτεύχθηκε μέσω της ανάπτυξης των αριθμητικών μεθόδων για την





Σελίδα

13

προσέγγιση των ολοκληρωμάτων, προκειμένου να προσδιοριστεί η μήτρα του

συστήματος και μέσω της ανάπτυξης γρήγορων αλγορίθμων, για να αντικαταστήσει

τους non-local (Boundary Integral) operators.

Η μέθοδος Galerkin είναι η προφανής προσέγγιση για προβλήματα τα οποία

είναι συμμετρικά σε σχέση με την ανταλλαγή πηγών και σημείων πεδίου.

Σήμερα η BEM έχει ωριμάσει και έχει γίνει μια ισχυρή μέθοδος για την ανάλυση

των προβλημάτων της μηχανικής και μια εναλλακτική μέθοδος του τομέα. Η μέθοδος

έχει καθιερωθεί από το όνομα ΒΕΜ (Boundary Element Method), η οποία αποδίδεται

στην προσέγγιση που χρησιμοποιείται για την επίλυση των Boundary Integral

Equations. (Sauter & Schwab, 2011)

Το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων της Μεθόδου των Συνοριακών

Στοιχείων (BEM) έχει φυσικά σύνορα που διαμερίζονται σε τμήματα. Κάθε φυσικό

τμήμα αντιπροσωπεύεται από ένα αντίστοιχο numerical partition j. Η ένωση των

στοιχείων είναι αυτό που ονομάζουμε numerical boundary. Χρησιμοποιούμε

ευθύγραμμα στοιχεία στα οποία τα άκρα του κάθε τμήματος συνδέονται με μια ευθεία

γραμμή μήκους που ονομάζεται στοιχείο και έχει συγκεκριμένο μέγεθος. Ένα πλέγμα

που έχει το ίδιο μέγεθος στοιχείων για όλα τα στοιχεία ονομάζεται ενιαίο πλέγμα. Τα

στοιχεία αριθμούνται σύμφωνα με το πρότυπο σύμβασης της BEM: αύξουσα σειρά με

την αριστερόστροφη λογική, κάθε ένα από τα στοιχεία θεωρείται μια συνάρτηση. Αυτές

οι συναρτήσεις υποτίθεται ότι διαφέρουν ως πολυώνυμα τα οποία ονομάζονται

συναρτήσεις μορφής. Ανάλογα με τη σειρά του shape functions σε κάθε στοιχείο, ο

τύπος των στοιχείων που χρησιμοποιείται είναι σταθερή, γραμμική ή ακόμη

υψηλότερης τάξεως.

Στα constant elements, χρησιμοποιούνται συναρτήσεις σταθερού σχήματος,

δηλαδή, οι συναρτήσεις του κάθε στοιχείου θεωρούνται σταθερές. Ένα στοιχείο

αντιπροσωπεύεται από μόνο έναν κόμβο που τοποθετείται στο μέσον του στοιχείου.

Οι κόμβοι αυτοί χρησιμοποιούνται επίσης ως collocation points, δηλαδή, τα σημεία

όπου εφαρμόζεται η ολοκληρωτική εξίσωση.

Στα γραμμικά στοιχεία οι γραμμικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται,

δηλαδή, οι συναρτήσεις κάθε στοιχείου θεωρείται ότι μεταβάλλονται γραμμικά. Στις

άλλες περιπτώσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί τετραγωνική ή ακόμη και υψηλότερης

τάξεως συνάρτηση.





Σελίδα

14

Νέες εξελίξεις στην BEM αποβλέπουν στην αντιμετώπιση τυχόν μειονεκτημάτων

της μεθόδου. Ασχολούνται με πολύπλοκα χρόνο-εξαρτημένα προβλήματα, γραμμικά

προβλήματα για τα οποία η θεμελιώδης λύση δεν είναι γνωστή, καθώς επίσης και μη-

γραμμικά προβλήματα. Για όλα αυτά τα είδη των προβλημάτων η resulting integral

solution περιλαμβάνει ολοκληρωματικά πεδία ορισμού (domain integrals), τα οποία

περιπλέκουν την εφαρμογή της μεθόδου. Οι πιο πολλά υποσχόμενες τεχνικές που

επιτυχώς ξεπέρασαν τις περισσότερες από τις δυσκολίες και ταυτόχρονα διατήρησαν

τον αμιγώς boundary character της BΕΜ, είναι η Dual Reciprocity Method (DRM), η

οποία έχει, ωστόσο, κάποιους περιορισμούς, και η Analog Equation Method (AEM). Η

τελευταία είναι γενική και απαλλαγμένη από τους περιορισμούς της DRM.

(Κατσικαδέλης, 2002)

1.3 Adaptive Mesh και Error Indicators

Το προσαρμοσμένο πλέγμα (adaptive meshing) ορίζεται σαν τις διαδικασίες που

βελτιώνουν με έναν αυτόματο τρόπο το πλέγμα ενός προβλήματος, μέχρι η λύση του

προβλήματος να είναι κάτω από ένα προκαθορισμένο σφάλμα, το οποίο ορίζεται βάσει

της απαιτούμενης ακρίβειας. Αυτή τη στιγμή είναι η καλύτερη μέθοδος ώστε να

περιοριστεί το διακριτό σφάλμα. Ο βασικός στόχος των τεχνικών του adaptive meshing

είναι να περιοριστούν τα σφάλματα σε μια λύση που παρέχεται από την BEM. Το κύριο

κομμάτι μιας τεχνικής του adaptive meshing είναι η adaptive strategy που καθορίζει το

πότε, το που και το πώς θα βελτιωθεί και θα τελειοποιηθεί ένα αρχικό πλέγμα.

Σχήμα 1.3 Θέση κομβικού σημείου και σχετικές αποστάσεις για σταθερό διακριτοποιημένο στοιχείο





Σελίδα

15

Error indicator ονομάζεται η διαδικασία που ποσοτικοποιεί την ακρίβεια του

αποτελέσματος στα τοπικά σφάλματα στοιχείο προς στοιχείο, ουσιαστικά οδηγεί την

adaptive procedure επισημαίνοντας τα στοιχεία που στερούνται σε ακρίβεια. Είναι

πολύ σημαντικό να είναι σωστή η σύνθεσή του καθώς ακόμα και ένα μικρό λάθος σε

αυτή θα έχει καταστροφικές συνέπειες στην ακρίβεια του αποτελέσματος. Για να

ποσοτικοποιηθεί το σφάλμα σε μια λύση χρησιμοποιείται η έννοια των νορμών

σφαλμάτων (error norms). Κομβικό σημείο στον error indicator, που χρησιμοποιείται

στην BEM, είναι οι νόρμες, που ποσοτικοποιούν το σφάλμα βασιζόμενες στις εξισώσεις

των boundary elements. Σε αυτό το σημείο πρέπει να επισημανθεί ότι το error indicator

δεν πρόκειται για σφάλμα αλλά είναι ουσιαστικά η απόκλιση μεταξύ δυο

αποτελεσμάτων που προέρχονται από δυο διαφορετικά πλέγματα για το ίδιο στοιχείο

μιας διατομής.

Όταν καθοριστούν, μέσω του error indicator, ποια στοιχεία πρέπει να βελτιωθούν,

η adaptive strategy επικεντρώνεται σ’ αυτά για να ελαχιστοποιήσει τις επαναλήψεις και

τον χρόνο υπολογισμού που χρειάζεται για να βρεθεί η ακριβής λύση. Τρεις είναι οι

βασικές μέθοδοι που βελτιώνουν ένα στοιχείο :

r-method: Αυτή η μέθοδος δημιουργεί το πλέγμα αναδιανέμοντας τα

υπάρχοντα συνοριακά στοιχεία. Όπου το error indicator είναι υψηλό, τα

συνοριακά στοιχεία μειώνουν το μέγεθός τους και όπου είναι μικρό, το μέγεθος

των οριακών στοιχείων αυξάνεται.

h-method: Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος διύλισης καθώς χωρίζει τα

στοιχεία του προφίλ που πρέπει να βελτιωθεί σε μικρότερα, με την προσθήκη

νέων κόμβων στο προφίλ. Όπου το error indicator είναι υψηλό, η μέθοδος

προσθέτει νέα στοιχεία, προκειμένου να βελτιωθεί η ακρίβεια.

p-method: Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος εμπλουτισμού καθώς αυξάνει

τη σειρά της πολυωνυμικής προσέγγισης για τα στοιχεία που παρουσιάζουν ένα

μεγάλο σφάλμα.

Οι τρεις αυτές μέθοδοι έχουν κάποια μειονεκτήματα τα οποία τα ξεπέρασαν οι

ερευνητές δημιουργώντας υβριδικά μοντέλα με αυτές τις τρεις μεθόδους. Έτσι

προέκυψαν δυο νέες μέθοδοι, η hp method και η hr method. Η hp method είναι ένας

συνδυασμός διύλισης και εμπλουτισμού των στοιχείων. Επειδή αυτή η μέθοδος δεν

είναι σε θέση να προσδιορίσει τα κρίσιμα στοιχεία, διαιρεί τα κρίσιμα στοιχεία και

αυξάνει τη διάταξη της πολυωνυμικής προσέγγισης στα μη κρίσιμα στοιχεία. Η hr

method είναι στην ουσία μια άλλη προσέγγιση της h method, με τη διαφορά ότι η

ανακατανομή των στοιχείων δεν βελτιώνει το αλγεβρικό ποσοστό σύγκλισης, όπως η

βασική h method. (Miranda-Valenzuela & Karim Heinz, 2002)





Σελίδα

16

Σχήμα 1.4 Πρωτότυπα και βελτιωμένα πλέγματα χρήση προσαρμοστικών στρατηγικών





Σελίδα

17

1.4 Lagrange στοιχεία για δισδιάστατα προβλήματα

Όπως αναφέρεται στη παράγραφο 1.1.2 ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα της BEM

είναι ότι ένα μοντέλο δύο διαστάσεων (2-D) χρειάζεται μόνο να πλεγματοποιηθεί

χρησιμοποιώντας μονοδιάστατα (1-D) στοιχεία στο περίγραμμα (όριο) του μοντέλου,

έτσι τα πεδία των μεταβλητών και η γεωμετρία σε δισδιάστατα προβλήματα

προσεγγίζονται με μονοδιάστατες συναρτήσεις παρεμβολής. (Miranda-Valenzuela &

Karim Heinz, 2002)

Η σειρά των πολυωνύμων Lagrange, τα οποία χρησιμοποιούνται για να

περιγράψουμε το όριο της διατομής, χωρίζεται σε τρεις κύριες κατηγορίες ανάλογα, με

τον βαθμό και τη γεωμετρία τους , όπως φαίνεται στο Πίνακα 1.1 παρακάτω:

Βαθμός

Πολυωνύμου

Γεωμετρία

Γραμμή Τόξο Καμπύλη

1ου Βαθμού

Στοιχείο 11 Στοιχείο 21 Στοιχείο 31

2ου Βαθμού


3ου Βαθμού


Πίνακας 1.1 Μονοδιάστατα στοιχεία Lagrange





Σελίδα

18

Η γενική διατύπωση η οποία καθορίζει την εξίσωση του σχήματος

χρησιμοποιώντας πολυώνυμα Lagrange:

Φk(n) ∏n − n(i)

n(k) − n(i)

NN

i=1,i≠k

(1.1)

Όπου ΝΝ ο αριθμός των κόμβων σε κάθε στοιχείο.

Για τα Στοιχεία 1ου Βαθμού Lagrange:

Φ1(n) =(1 − n)

2

Φ2(n) =(n + 1)

2 (1.2)

Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = 1


Φ1(n) =(n2 − n)

2

Φ2(n) = (1 + n) ∙ (1 − n)

Φ3(n) =(n + n2)

2 (1.3)

Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = 0, n3 = 1


Φ1(n) =(1 − 3n) ∙ (n − 1) ∙ (1 + 3n)

16

Φ2(n) =9 ∙ (1 − 3n) ∙ (1 + n) ∙ (1 − n)

16

Φ3(n) =9 ∙ (1 + 3n) ∙ (1 + n) ∙ (1 − n)

16

Φ4(n) =(3n − 1) ∙ (1 + n) ∙ (1 + 3n)

16 (1.4)

Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = −1

3, n3 = −

1

3, n4 = 1





Σελίδα

19

Κεφάλαιο 2ο Μεθοδολογία Taguchi

2.1 Εισαγωγή στην μεθοδολογία Taguchi

Ο Dr Genichi Taguchi θεωρείται ο κυριότερος υποστηρικτής του robust

parameter design, μιας τεχνικής που εστιάζει στην ελαχιστοποίηση του σφάλματος

στον σχεδιασμό του προϊόντος. Όταν χρησιμοποιείται σωστά η μεθοδολογία του

Taguchi τότε παρέχεται μια αποτελεσματική μέθοδος για την παραγωγή του προϊόντος

με τη βέλτιστη διαχείριση πάνω από μια ποικιλία συνθηκών.

Στο robust parameter design, ο πρωταρχικός στόχος είναι να βρεθούν οι

παράγοντες που θα ελαχιστοποιήσουν τις αποκλίσεις από τον στόχο καθώς

αναπτύχθηκε για τη βελτίωση της ποιότητας των βιομηχανικών προϊόντων. Αφού

διαπιστωθούν ποιοι παράγοντες επηρεάζουν, τότε γίνεται προσπάθεια για εύρεση των

κατάλληλων ρυθμίσεων-κλίμακες για να ελεγχθούν οι παράγοντες που είτε θα

μειώσουν την διακύμανση, είτε θα γίνουν τα προϊόντα λιγότερο ευαίσθητα στις

μεταβολές είτε και τα δύο. Η διαδικασία αυτή σχεδιάστηκε με στόχο να υπάρξει πιο

συνεπής απόδοση. (Peace, 1992)

Σχήμα 2.1 Η παραδοσιακή άποψη της ποιότητας σε σύγκριση με την άποψη του Taguchi





Σελίδα

20

2.2 Ορθογωνικές κατανομές

Για το robust parameter design στην μέθοδο Taguchi χρησιμοποιούνται οι

ορθογωνικές κατανομές (ορθογώνιοι πίνακες), οι οποίες αναλύουν πολλούς

παράγοντες με λίγα τρεξίματα. Η μεθοδολογία του Taguchi είναι μια στατιστική

μέθοδος στην οποία ανάλογα με τον τύπο του ορθογώνιου πίνακα που θα επιλεχθεί θα

βγει το ίδιο αποτέλεσμα με πολύ λιγότερα πειράματα. Για παράδειγμα, σε έναν πίνακα

L9 (3**4) θα τρέξουν 9 πειράματα και θα εξαχθούν τα ίδια αποτελέσματα με το εάν

έτρεχαν 34 = 81 πειράματα.

Το πείραμα πραγματοποιείται εκτελώντας το πλήρες σύνολο των παραγόντων

με κάθε συνδυασμό, όπως ορίζεται σε κάθε σειρά του πίνακα. Παρατίθεται ένα

παράδειγμα ορθογωνικής κατανομής για την ανάλυση του σχεδιασμού του Taguchi.

L9 (3**4)

Αριθμός Πειράματος

Παράγοντας A

Παράγοντας B

Παράγοντας C

Παράγοντας D

1. 1 1 1 1

2. 1 2 2 2

3. 1 3 3 3

4. 2 1 2 3

5. 2 2 3 1

6. 2 3 1 2

7. 3 1 3 2

8. 3 2 1 3

9. 3 3 2 1

Πίνακας 2.1 Ορθογώνιος Πίνακας Taguchi L9

Κάθε στήλη στον ορθογώνιο πίνακα αντιπροσωπεύει ένα ειδικό παράγοντα με

δύο ή περισσότερα επίπεδα. Κάθε σειρά αντιπροσωπεύει το κάθε πείραμα που

περιέχει το επίπεδο των παραγόντων. Οι τιμές των κελιών δείχνουν τις ρυθμίσεις του

παράγοντα για το πείραμα. Από προεπιλογή, οι πίνακες του Minitab χρησιμοποιούν

τους ακέραιους αριθμούς 1,2,3 κ.ο.κ για να εκπροσωπούν τα επίπεδα του παράγοντα.

Ο ανωτέρω πίνακας εμφανίζει τον πίνακα L9 (3**4) για τον σχεδιασμό του

Taguchi. L9 σημαίνει 9 πειράματα και το (3**4) σημαίνει 4 παράγοντες με 3 επίπεδα ο





Σελίδα

21

καθένας. Με έναν πλήρες παραγοντικό σχεδιασμό θα είχαμε να κάνουμε 81

πειράματα. Ο L9 (3**4) πίνακας απαιτεί μόνο 9 πειράματα. Στο παραπάνω

παράδειγμα, φαίνεται ότι τα επίπεδα 1, 2 και 3 εμφανίζονται 3 φορές σε κάθε στήλη.

(Anon., 2005)

Μετά την ολοκλήρωση των πειραμάτων για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων

με τη μέθοδο Taguchi, λαμβάνεται προς εξέταση το Signal to Noise Ratio. Το Signal to

Noise Ratio λαμβάνει υπόψη τόσο τη μέση τιμή όσο και τη μεταβλητότητα,

προκειμένου να προσδιοριστούν τα επίπεδα που αντιμετωπίζουν καλύτερα το θόρυβο.

Έτσι, ο τελικός στόχος του DOE (Design of Experiments) είναι να καθοριστούν τα

επίπεδα των παραγόντων ελέγχου που θα παράγουν την επιθυμητή απόκριση, η οποία

μπορεί να είναι:

Στόχος S/N Ratio τύπος

Smaller the Better (ελαχιστοποίηση) 𝑠

𝑁= −10 log (∑ 𝑦𝑖

2

𝑖

)

Nominal is Best 𝑠

𝑁= 10 log (

�̅�2

𝑠2)

Larger the Better (μεγιστοποίηση) 𝑠

𝑁= −10 log (

1

𝑛∑

1

𝑦𝑖2

𝑖

)

Πίνακας 2.2 Signal to Noise Ratio

2.3 Επιλέγοντας μια μεθοδολογία Taguchi

Πριν την χρήση του Minitab, θα πρέπει να καθοριστεί ποια μεθοδολογία Taguchi είναι

η κατάλληλη για το πείραμα. Ένας σχεδιασμός Taguchi, γνωστός κι ως ορθογώνιος

πίνακας, είναι ένας πίνακας που εξασφαλίζει μια ισορροπημένη σύγκριση των

επιπέδων του κάθε παράγοντα. Σε μια ανάλυση του σχεδιασμού, κάθε παράγοντας

μπορεί να αξιολογείται ανεξάρτητα από όλους τους άλλους παράγοντες.

Όταν επιλέξετε έναν πίνακα θα πρέπει :

Να προσδιοριστεί ο αριθμός των παραγόντων που θα χρησιμοποιηθούν για τα

πειράματα

Να προσδιοριστεί ο αριθμός των επιπέδων για κάθε παράγοντα

Να καθοριστεί ο αριθμός των πειραμάτων που θα εκτελέσουμε

Να προσδιοριστούν περαιτέρω επιπτώσεις όπως το κόστος, ο χρόνος και η

facility availability στην επιλογή του πειράματος





Σελίδα

22

2.4 Φράσεις που Εκθειάζουν τη Μέθοδο Taguchi

‘‘It is a very well thought out and organized handbook, which provides practical and

effective methodologies to enable you to become the best in this competitive world for

product quality.’’

Sang Kwon Kim - Chief Technical Officer

Hyundai Motor Company & Kia Motors Corporation

‘‘Dr. Taguchi has been an inspiration and has changed the paradigm for quality with his

concept of loss function. Robust Engineering is at the heart of our innovation process

and we are proud to be associated with this work.’’

Donald L. Runkle - Vice Chairman and CTO

Delphi Corporation

‘‘The elegantly simple Taguchi theory is demonstrated through many successful case

studies in this excellent book.’’

Don Dees - Vice President, Manufacturing

DaimlerChrysler

‘‘The value of Dr. Genichi Taguchi’s thinking and his contributions to improving the

productivity of the engineering profession cannot be overstated. This handbook

captures the essence of his enormous contribution to the betterment of mankind.’’

John J. King - Engineering Methods Manager, Ford Design Institute

Ford Motor Company

‘‘Digitization, color, and multifunction are the absolute trend in imaging function today.

It is becoming more and more difficult for product development to catch up with market

demand. In this environment, at Fuji Xerox, Taguchi’s Quality Engineering described in

this handbook is regarded as an absolutely necessary tool to develop technology to meet

this ever-changing market demand.’’

Kiyoshi Saitoh - Corporate Vice President, Technology & Development

Fuji Xerox Co., Ltd.

‘‘I was in a shock when I have encountered Taguchi Methods 30 years ago. This book will

provide a trump card to achieve improved ‘Product Cost’ and ‘Product Quality’ with less

‘R&D Cost’ simultaneously.’’

Takeshi Inoo – Executive Director Isuzu Motor Co. , Director East Japan Railroad Co





Σελίδα

23

3 Κεφάλαιο 3ο: Μεθοδολογία & Εφαρμογή

3.1 Εισαγωγή

Πρακτικά, όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο στόχος της παρούσης πτυχιακής

εργασίας είναι να εφαρμοστεί η μεθοδολογία Taguchi ως μια καινοτόμα εκτέλεση της

BEM. Το τελικό αποτέλεσμα θα είναι πολύ ενδιαφέρον επειδή η μέθοδος Taguchi έχει

εφαρμοστεί με επιτυχία στις διαδικασίες παραγωγής του βιομηχανικού τομέα και ο

σκοπός της πτυχιακής εργασίας είναι να εξεταστεί εάν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως

quality tool για την βελτίωση μιας αριθμητικής μεθόδου, η οποία είναι εντελώς

διαφορετική σε σύγκριση με το robust manufacturing.

Τα βήματα για το σχεδιασμό των πειραμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Taguchi

είναι τα ακόλουθα πέντε :

1. Καθορισμός του στόχου της μεθόδου : Ορίζοντας τον στόχο της μεθόδου,

πρακτικά ορίζουμε μία τιμή-στόχο για το μέτρο της απόδοσης της διαδικασίας.

Προφανώς, ο στόχος της μεθοδολογίας που παρουσιάζεται στην παρούσα

πτυχιακή είναι η ελαχιστοποίηση του local error indicator που υπολογίζεται από

διάφορα πλέγματα του ίδιου αρχικού μοντέλου CAD.

2. Προσδιορισμός των σχεδιαστικών παραμέτρων που επηρεάζουν τη

διαδικασία : Σε αυτό βήμα ορίζονται οι παράγοντες που συνοδεύονται με τα

επίπεδα που θα έχει ο καθένας.

3. Δημιουργία των κατάλληλων ορθογώνιων πινάκων : Μετά από ένα

brainstorming και μια λεπτομερή μελέτη των διαθέσιμων δυνατοτήτων για

προσαρμογή των παραγόντων και των επιπέδων τους διαλέγουμε τον

κατάλληλο πίνακα.

4. Διεξαγωγή των πειραμάτων : Το εργαλείο μέτρησης της μεθοδολογίας είναι το

local error indicator. Επειδή η διαδικασία είναι smaller the better (όσο

μικρότερο, τόσο καλύτερο), η τεχνική Taguchi θα επικεντρωθεί στις

χαμηλότερες τιμές του local error indicator. Έτσι, ο κατάλληλος συνδυασμός των

παραμέτρων κι επιπέδων τους στα πειράματα θα είναι η μικρότερη τιμή της

αναλογίας S/N. Οι τιμές που έχουν υπολογιστεί θα χρησιμοποιηθούν

προκειμένου να δημιουργηθεί το response graph και το S/N Ratio graph.

5. Ανάλυση δεδομένων : Στο τελικό στάδιο θα δημιουργηθεί το τελικό πλέγμα

ακριβώς όπως μας υποδεικνύει η μέθοδος Taguchi, για να μετρηθεί το τελικό

local accuracy για κάθε στοιχείο και το τελικό global accuracy ολόκληρου του

πλέγματος. Έτσι το τελικό αποτέλεσμα θα πρέπει να συγκριθεί με άλλα

θεωρητικά αποτελέσματα προκειμένου να διευκρινιστεί αν το νέο πλέγμα που

δημιουργήθηκε από την μεθοδολογία Taguchi είναι σωστό ή θα πρέπει να

τροποποιηθεί αναλόγως με νέους παράγοντες, νέα επίπεδα κτλ.





Σελίδα

24

3.2 Νεα Προσαρμοστική Στρατηγική Βασισμένη στη Μεθοδολογία Taguchi

Ο τελικός στόχος είναι να εξεταστεί εάν η μέθοδος Taguchi είναι σε θέση να

δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα όταν υλοποιείται με την BEM. Ο στόχος της εφαρμογής

είναι να κρατήσει το δείκτη απόκλισης (local error indicator) όσο το δυνατόν

χαμηλότερα. Ως εκ τούτου, η διαδικασία Taguchi θα ακολουθήσει την λογική «όσο

μικρότερο, τόσο καλύτερο». Έτσι η μέθοδος θα εφαρμοστεί σε γραμμικά και καμπύλα

συνοριακά στοιχεία πρώτου, δευτέρου και τρίτου βαθμού (βλέπε Σχήμα 1.4).

Επιπλέον, να σημειωθεί ότι η πρακτική εφαρμογή της μεθοδολογίας θα

πραγματοποιηθεί μέσω γλώσσας προγραμματισμού Visual Basic for Applications στο

προγραμματιστικό περιβάλλον (API) 3D CAD συστήματος (Autodesk Inventor 2015)

καθώς και σε προγραμματιστικό περιβάλλον υπολογιστικών φύλλων (Excel 2016),

διατηρώντας ανοιχτό τον δημιουργηθέντα κώδικα για δοκιμή αλλά και για μελλοντική

εξέλιξη και περαιτέρω ερεύνα της μεθοδολογίας Taguchi στην BEM.





Σελίδα

25

3.2.1 Αρχικές Συνθήκες του Πειράματος

Η αρχική γεωμετρία (2D σχέδιο-CAD), που θα χρησιμοποιηθεί για την

υλοποίηση της μεθοδολογίας είναι σχήματος Ι, που καταρτίζεται από δεκαέξι

διαφορετικά στοιχεία CAD (βλέπε σχήμα 3.1), αυτό το σχήμα θα πρέπει να

χρησιμοποιηθεί ως το βασικό σχήμα για τα πειράματα που θα καθορισθούν από την

ορθογωνική κατατομή Taguchi.

Σχήμα 3.1 Αρχικό 2D Σχήμα

Φορτία Mt = 900.000 Nmm Mbx = -560.000 Nmm Mby = 250.000 Nmm

Σύμφωνα με τους τύπους του Roark για πίεση και την ένταση (Young, et al.,

2011) ορίζουμε την αρχική κατάσταση του ανωτέρω σχήματος, ως εξής:

Ιt = 1186259.5641 mm4

Ροπές Αδρανείας: Ιxx = 7842164.084 mm4 Iyy = 1580989.688 mm4 Ixy = 0





Σελίδα

26

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όλες αυτές οι τιμές χρησιμοποιούνται ως έχουν.

Δεν υπολογίζονται αυτόματα μέσω του κώδικα που δημιουργήθηκε για αυτή την

πτυχιακή, αλλά και με τον αναλυτικό τρόπο, προκειμένου οι πηγές σφάλματος να

ελαχιστοποιούνται όσο το δυνατόν περισσότερο, γιατί το εστιακό σημείο αυτής της

πτυχιακής είναι η δημιουργία μιας νέας προσαρμοστικής στρατηγικής και ως εκ τούτου

τα εκ των προτέρων σφάλματα αγνοούνται.

3.2.2 Ο Πίνακας Taguchi Και Η Ορθογωνική Κατατομή

Μετά από ένα brainstorming και μια λεπτομερή μελέτη των διαθέσιμων

προσαρμοστικών στρατηγικών (adaptive strategies) από τη βιβλιογραφία οι

παράγοντες και τα επίπεδά τους για τη μέθοδο Taguchi έχουν ως εξής:

Αριθμός Παράγοντα

Παράγοντας Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3

1 Βαθμός Εξίσωσης 1 2 3

2 Αρχικό Μήκος του

Κάθε Στοιχείου 100% 50% 25%

3 Τύπος Κάθε Νέο

Τοπικού Πλέγματος Χονδροειδές Κανονικό Λεπτό

4 Προσανατολισμός

του Νέου Στοιχείου

Συγκέντρωση στα αριστερά

Ισοκατανομή Συγκέντρωση

στα δεξιά

Πίνακας 3.1 Πίνακας Taguchi





Σελίδα

27

Έτσι, το σχέδιο Taguchi Ορθογωνικής κατατομής L9, που θα καθορίσει τα

πειράματα και ως αποτέλεσμα τη διαδικασία και τις επαναλήψεις (κριτήριο διακοπής)

της νέας προσαρμοστικής στρατηγικής, είναι ο ακόλουθος:

Αριθμός Πειράματος

Βαθμός Εξίσωσης

Αρχικό Μήκος του

Κάθε Στοιχείου

Τύπος Κάθε Νέο Τοπικού

Πλέγματος

Προσανατολισμός του Νέου Στοιχείου

1 1 100% Χονδροειδές Συγκέντρωση στα

αριστερά

2 1 50% Κανονικό Ισοκατανομή

3 1 25% Λεπτό Συγκέντρωση στα

δεξιά

4 2 100% Κανονικό Συγκέντρωση στα

δεξιά

5 2 50% Λεπτό Συγκέντρωση στα

αριστερά

6 2 25% Χονδροειδές Ισοκατανομή

7 3 100% Λεπτό Ισοκατανομή

8 3 50% Χονδροειδές Συγκέντρωση στα

δεξιά

9 3 25% Κανονικό Συγκέντρωση στα

αριστερα

Πίνακας 3.2 Η Ορθογωνική Κατατομή L9

3.2.3 Η Γεωμετρική Προσέγγιση Κάθε CAD Στοιχείου Σύμφωνα Με Την Ορθογωνική

Κατατομή Και Τις Αρχές Της Προσαρμοστικής Στρατηγικής

Για το επόμενο βήμα της μεθοδολογίας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η

γεωμετρική και η μαθηματική προσέγγιση του κάθε στοιχείου ανάλογα με την ένδειξη

της L9 ορθογωνικής κατατομής, πάντα με σεβασμό στις θεμελιώδεις αρχές που διέπουν

την προσαρμοστική τεχνική (adaptive meshisng technique). Στα ακόλουθα σχήματα

παραθέτεται η γεωμετρική και η μαθηματική προσέγγιση του κάθε στοιχείου (για κάθε

ένα πείραμα).

όπου �̂� είναι η λύση von Mises που λαμβάνονται από τη standard ανάλυση της

BEM πριν εφαρμοστεί η νέα προσαρμοστική στρατηγική.

και �̃� είναι η λύση von Mises που υπολογίζεται μετά την εφαρμογή τις νέας

προσαρμοστικής στρατηγικής σε κάθε στοιχείο σύμφωνα με τις συνθήκες της L9

ορθογωνικής κατατομής (π.χ. νέα στοιχεία, νέοι κόμβοι, προσανατολισμός, το βαθμό

της εξίσωσης).





Σελίδα

28

Τα σχέδια 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 και 3.8 αντιπροσωπεύουν τη γεωμετρική

προσέγγιση των στοιχείων για τα τρία πρώτα πειράματα της ορθογωνικής κατατομής

L9:

Σχέδιο 3.1: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για τα τρία πρώτα πειράματα

Σχέδιο 3.2: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πρώτο

πείραμα

Σχέδιο 3.3: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Δεύτερο

πείραμα

Σχέδιο 3.4: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τρίτο πείραμα

Σχέδιο 3.5: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για τα τρία πρώτα πειράματα





Σελίδα

29

Σχέδιο 3.6: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πρώτο

πείραμα

Σχέδιο 3.7: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Δεύτερο

πείραμα

Σχέδιο 3.8: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τρίτο πείραμα





Σελίδα

30

Τα σχέδια 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15 και 3.16 αντιπροσωπεύουν τη

γεωμετρική προσέγγιση των στοιχείων για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα της ορθογωνικής

κατατομής L9:

Σχέδιο 3.9: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα

Σχέδιο 3.10: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τέταρτο

πείραμα

Σχέδιο 3.11: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πέμπτο

πείραμα

Σχέδιο 3.12: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έκτο πείραμα

Σχέδιο 3.13: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα





Σελίδα

31

Σχέδιο 3.14: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τέταρτο

πείραμα

Σχέδιο 3.15: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πέμπτο

πείραμα





Σελίδα

32

Σχέδιο 3.16: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έκτο πείραμα

Τα σχέδια 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23 και 3.24 αντιπροσωπεύουν τη

γεωμετρική προσέγγιση των στοιχείων για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα της ορθογωνικής

κατατομής L9:

Σχέδιο 3.17: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα

Σχέδιο 3.18: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έβδομο

πείραμα

Σχέδιο 3.19: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Όγδοο

πείραμα

Σχέδιο 3.20: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση – Ένατο

πείραμα





Σελίδα

33

Σχέδιο 3.21: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα

Σχέδιο 3.22: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έβδομο

πείραμα





Σελίδα

34

Σχέδιο 3.23: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Όγδοο

πείραμα

Σχέδιο 3.24: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση – Ένατο

πείραμα





Σελίδα

35

3.2.4 Στρατηγική Υπολογισμού

1. Ορίζεται η αρχική γεωμετρία και οι οριακές συνθήκες.

2. Εκτελείται η τυπική ανάλυση ΒΕΜ του αρχικού πλέγματος.

3. Υπολογίζεται η τάση στρέψης Τt(i) στα κομβικά σημεία του αρχικού πλέγματος

μέσω της ΒΕΜ.

4. Υπολογίζεται η τάση λοξής κάμψης σb και τα αριθμητικά αποτελέσματα της

ισοδύναμης τάσης Von Mises σvm , για κάθε στοιχείο του αρχικού πλέγματος.

𝜎𝑏 =(Μy ∙ Ix − Μx ∙ Ixy) ∙ x − (Μx ∙ Iy − Μy ∙ Ixy) ∙ y

Ix ∙ Iy ∙ Ixy2

σvm = √σb2 + 3Tt(i)

2

5. Εκτελείται μια τυπική ανάλυση ΒΕΜ του τελικού πλέγματος για κάθε στοιχείο

(i), σε μια local approach στοιχείο προς στοιχείο σύμφωνα με την L9 ορθογωνική

κατατομή (orthogonal array indications).

6. Υπολογίζεται μέσω της ΒΕΜ η στρεπτική τάση Τt(i) στα κομβικά σημεία του

τελικού πλέγματος.

7. Υπολογίζεται η τάση λοξής κάμψης σb και η αριθμητική λύση της Von Mises σvm,

για κάθε στοιχείο του τελικού πλέγματος :

σb =(Μy ∙ Ix − Μx ∙ Ixy) ∙ x − (Μx ∙ Iy − Μy ∙ Ixy) ∙ y

Ix ∙ Iy ∙ Ixy2

σvm = √σb2 + 3Tt(i)

2

8. Επαναλαμβάνονται τα βήματα 5 έως 7, μέχρι ν’ αναλυθούν όλα τα στοιχεία του

νέου πλέγματος σύμφωνα με την διάταξη L9, σε element by element localized

approach.

9. Τώρα όλα τα απαραίτητα 𝒖�̂� και οι 𝒖�̃� λύσεις έχουν υπολογιστεί, όπου �̂� είναι η

λύση Von Mises που λαμβάνονται από την βασική ανάλυση της ΒΕΜ πριν

εφαρμοστεί η νέα προσαρμοσμένη στρατηγική και �̃� είναι η υπολογισμένη

λύση Von Mises μετά τη νέα προσαρμοσμένη στρατηγική που εφαρμόστηκε σε

κάθε στοιχείο.

10. Υπολογίζονται τα local error norms για κάθε στοιχείο (i) του αρχικού και του

τελικού πλέγματος σύμφωνα με κάθε πείραμα της ορθογωνικής κατατομής.

11. Η υπολογιστική στρατηγική συνεχίζεται μέχρι να υπολογιστούν οι τιμές των

local norms.

12. Τα αποτελέσματα εισάγονται στην εξωτερική κατατομή του σχεδίου L9 του

Taguchi.

13. Στη συνέχεια τα αρχικό πλέγμα αντικαθίσταται από το πλέγμα που πήραμε από

τα S/N ratios indicators σε μια λογική οπού το μικρότερο αποτέλεσμα είναι το





Σελίδα

36

προτιμότερο στοχεύοντας στις local error norms values με μια ειδική

προσέγγιση (CAD–στοιχείο με CAD-στοιχείο).

14. Τελικώς προκύπτει το βέλτιστο πλέγμα, όπως αυτό προέκυψε από την μέθοδο

Taguchi.

3.2.5 Πρακτική Εφαρμογή

Η εφαρμογή της προσαρμοστικής στρατηγικής (adaptive strategy) που

παρουσιάζεται στη παρούσα πτυχιακή έγινε μέσω του API ενός σύγχρονου συστήματος

CAD χρησιμοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον του (API-Application

Programming Interface). Με αυτό τον τρόπο η περαιτέρω δοκιμή σε άλλες γεωμετρίες

ή επιπλέον οποιεσδήποτε πιθανές βελτιώσεις της προσαρμοστικής διαδικασίας είναι

πιθανές. Όλα τα αναγκαία αποτελέσματα εξάγονται αυτόματα μέσω του API του

λογισμικού σε αρχεία δεδομένων προκειμένου να επεξεργαστούν ξεχωριστά.

Τέλος πρέπει να σημειωθεί ότι οι πίνακες που προκύπτουν από τη μεθοδολογία

Taguchi δεν υπολογίζονται αυτόματα μέσω του κώδικα, αυτό το κομμάτι της

υπολογιστικής στρατηγικής γίνεται χειροκίνητα από τις πληροφορίες που εξάγονται

από τα αρχεία δεδομένων με την βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού με

ενσωματωμένα εργαλεία Taguchi DOE.





Σελίδα

37

3.3 Ο σχεδιασμός των πειραμάτων (Taguchi) στο Minitab

Σημαντικό εργαλείο για την μεθοδολογία αυτή είναι το Minitab που βοηθά

παρέχοντας τόσο στατικά όσο και δυναμικά αποτελέσματα στα πειράματα.

Η απόκριση σε ένα στατικό πείραμα είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα του

ενδιαφέροντος ότι έχει ένα σταθερό επίπεδο.

Η απόκριση σε ένα δυναμικό πείραμα είναι η χαρακτηριστική ποιότητα του

λειτουργεί σε ένα εύρος τιμών και ο στόχος είναι η βελτίωση της σχέσης μεταξύ

των στοιχείων εισόδου και την ανταπόκριση τους στην έξοδο.

Ο στόχος του πειραματισμού είναι να βρεθεί ο βέλτιστος συνδυασμός των

συντελεστών ελέγχου που επιτυγχάνουν την ιδανική τελική κατάσταση του προϊόντος.

Το Minitab υπολογίζει την απόκριση στους πίνακες, αποτελέσματα γραμμικών

μοντέλων και δημιουργεί κάποια σχέδια που μας δείχνουν πόσο επιδρά ο κάθε

παράγοντας.

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα και τα σχέδια καθορίζονται ποιοι παράγοντες

και ποιες αλληλεπιδράσεις είναι σημαντικές κι έπειτα αξιολογούνται πώς αυτές

επηρεάζουν.

Στις παραμέτρους μπορούν να επιλεγούν τα στοιχεία για τον έλεγχο και τα επίπεδα

τους και μετά να καθοριστεί η κατάλληλη μορφή του πίνακα για αυτούς τους

παράγοντες.

Η εκτέλεση ενός πειράματος (Taguchi) αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1. Ανοίγοντας το Minitab, θα πρέπει να συμπληρωθεί όλος ο προ-πειραματικός

σχεδιασμός. Για παράδειγμα, θα πρέπει να επιλεγούν οι παράγοντες ελέγχου

καθώς και τα επίπεδα τους.

2. Έπειτα γίνεται επιλογή του Create Taguchi Design για να δημιουργηθεί ένας

πίνακας Taguchi (orthogonal array).

3. Αφού δημιουργηθεί ο πίνακας, επιλέγεται το Modify Design για την

μετονομασία των παραγόντων, την αλλαγή των επιπέδων του παράγοντα.

4. Έπειτα, πηγαίνοντας στο Display Design αλλάζουν οι μονάδες στο οποίο το

Minitab θα εκφράζει τους παράγοντες στο φύλλο εργασίας.

5. Εκτελείται το πείραμα για να συλλεχτούν τα αποτελέσματα. Στη συνέχεια,

μπαίνουν τα δεδομένα στο φύλλο εργασίας του Minitab.

6. Χρησιμοποιώντας το Analyze Taguchi Design γίνεται η ανάλυση των

πειραματικών δεδομένων.

7. Παρατηρούμε το Predict Results για την πρόβλεψη S/N αναλογιών και τα

χαρακτηριστικά απόκρισης για επιλεγμένες νέες ρυθμίσεις του παράγοντα.





Σελίδα

38

3.4 Οι Πίνακες που Προκύπτουν για κάθε CAD Στοιχείο

Σχήμα 3.2 Αρχικό πλέγμα με αριθμημένα τα CAD elements

Στην επόμενη ενότητα παραθέτονται οι αναλυτικοί πίνακες που προκύπτουν

από τις ορθογωνικές κατατομές L9. Οι Signal-to-Noise πίνακες που προκύπτουν από τη

μέθοδο είναι ουσιαστικά το κατευθυντήριο εργαλείο για τη προσαρμοστική βελτίωση

και τη δημιουργία του τελικού βελτιστοποιημένου πλέγματος.

Το τελικό πλέγμα δημιουργείται ακριβώς όπως υποδεικνύουν οι ενδείξεις των

πινάκων Signal-to-Noise και στη συνέχεια αναλύονται, προκειμένου να εξεταστεί η

ακρίβεια τους.





Σελίδα

39

3.4.1 Response Table – Πρώτο CAD στοιχείο

Επίπεδο Βαθμός εξίσωσης

Αρχικό μήκος κάθε στοιχείου

Τύπος νέου τοπικού

πλέγματος

Προσανατολισμός των νέων στοιχείων

% 1 -33,22 -34,68 -34,77 -34,78

2 -33,17 -30,35 -30,29 -30,33

3 -34,33 -34,7 -34,67 -34,62 Delta 2,11 4,35 4,48 4,45

Rank 4 3 1 2





Σελίδα

40

3.4.2 Response Table – Δεύτερο CAD στοιχείο

Επίπεδο Βαθμός εξίσωσης

Αρχικό μήκος κάθε στοιχείου


πλέγματος


%

1 -34,92 -34,58 -35,07 -34,88 2 -32,89 -32,69 -32,50 -32,84

3 -34,26 -34,80 -34,50 -34,35

Delta 2,03 2,11 2,57 2,03 Rank 4 2 1 3





Σελίδα

41

3.4.3 Response Table – Τρίτο CAD στοιχείο

Επίπεδο Βαθμός

εξίσωσης Αρχικό μήκος

κάθε στοιχείου


πλέγματος


%

1 -28,15 -30,95 -29,47 -29,35 2 -26,52 -31,42 -33,04 -31,56

3 -36,17 -28,47 -28,33 -29,94

Delta 9,66 2,96 4,71 2,21 Rank 1 3 2 4





Σελίδα

42

3.4.4 Response Table – Τέταρτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -31,64 -36,78 -36,69 -36,74

2 -38,74 -31,35 -31,46 -31,28 3 -34,24 -36,49 -36,48 -36,60

Delta 7,10 5,43 5,23 5,46

Rank 1 3 4 2





Σελίδα

43

3.4.5 Response Table – Πέμπτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -28,59 -35,84 -35,24 -35,53

2 -35,68 -27,69 -27,91 -27,43 3 -34,49 -35,23 -35,61 -35,80

Delta 7,08 8,15 7,71 8,38

Rank 4 2 3 1





Σελίδα

44

3.4.6 Response Table – Έκτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -31,36 -36,75 -36,50 -36,44

2 -38,52 -31,58 -31,56 -31,71 3 -34,94 -36,50 -36,77 -36,69

Delta 7,16 5,18 5,22 4,98

Rank 1 3 2 4





Σελίδα

45

3.4.7 Response Table – Έβδομο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -35,90 -34,85 -35,47 -35,44 2 -36,90 -33,20 -32,65 -33,18

3 -30,63 -35,38 -35,32 -34,81

Delta 6,26 2,18 2,82 2,26 Rank 1 4 2 3





Σελίδα

46

3.4.8 Response Table – Όγδοο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -34,03 -35,44 -34,87 -34,79

2 -32,73 -31,91 -31,70 -32,88 3 -35,24 -34,64 -35,43 -34,33

Delta 2,51 3,53 3,72 1,91

Rank 3 2 1 4





Σελίδα

47

3.4.9 Response Table – Ένατο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -32,32 -34,71 -34,78 -34,81 2 -33,20 -30,41 -30,35 -30,38

3 -34,36 -34,75 -34,74 -34,68

Delta 2,04 4,33 4,43 4,43 Rank 4 3 2 1





Σελίδα

48

3.4.10 Response Table – Δέκατο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -34,92 -34,58 -34,94 -34,87 2 -32,76 -32,70 -32,51 -32,72

3 -34,26 -34,67 -34,50 -34,35

Delta 2,16 1,97 2,43 2,15 Rank 2 4 1 3





Σελίδα

49

3.4.11 Response Table – Ενδέκατο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -28,22 -31,57 -30,17 -30,08

2 -26,55 -31,36 -33,04 -31,38 3 -36,01 -27,84 -27,56 -29,31

Delta 9,46 3,73 5,48 2,07

Rank 1 3 2 4





Σελίδα

50

3.4.12 Response Table – Δωδέκατο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -26,93 -36,41 -36,46 -34,61 2 -38,75 -30,69 -28,88 -30,48

3 -31,98 -30,55 -32,30 -32,57

Delta 11,82 5,86 7,58 4,13 Rank 1 3 2 4





Σελίδα

51

3.4.13 Response Table – Δέκατο Τρίτο CAD στοιχείο





πλέγματος


% 1 -29,95 -35,86 -35,24 -35,53

2 -35,66 -29,05 -29,28 -28,81

3 -34,55 -35,26 -35,64 -35,82 Delta 5,72 6,81 6,37 7,00

Rank 4 2 3 1





Σελίδα

52

3.4.14 Response Table – Δέκατο Τέταρτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -31,31 -36,40 -36,37 -36,44

2 -38,53 -31,20 -31,31 -31,10 3 -34,15 -36,38 -36,30 -36,44

Delta 7,22 5,21 5,07 5,34

Rank 1 3 4 2





Σελίδα

53

3.4.15 Response Table – Δέκατο Πέμπτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -35,86 -34,92 -35,32 -35,66

2 -36,90 -33,01 -32,80 -33,19 3 -30,75 -35,58 -35,39 -34,66

Delta 6,15 2,57 2,59 2,47

Rank 1 3 2 4





Σελίδα

54

3.4.16 Response Table – Δέκατο Έκτο CAD στοιχείο





πλέγματος


%

1 -34,82 -34,36 -34,69 -34,61

2 -32,83 -33,07 -32,86 -33,10 3 -34,34 -34,56 -34,44 -34,28

Delta 2,00 1,50 1,83 1,50

Rank 1 4 2 3





Σελίδα

55

Στα παρακάτω σχέδια φαίνεται αναλυτικότερα η δομή που έχουν τα cad element που συγκροτούν το τελικό πλέγμα:

Σχέδιο 3.25

Σχέδιο 3.26

Σχέδιο 3.27

Σχέδιο 3.28

Σχέδιο 3.29

Σχέδιο 3.30





Σελίδα

56

3.5 Το Τελικό Πλέγμα Σύμφωνα με τις Ενδείξεις των Πινάκων Signal to Noise

Η επιλογή της δομής των στοιχείων του τελικού πλέγματος, έγινε από τους

πίνακες του Minitab (Signal to Noise) βάσει της λογικής smaller the better. Σύμφωνα με

αυτήν, επιλέγουμε τις μικρότερες τιμές του πίνακα για κάθε ένα παράγοντα που

καθορίζει τα νέα στοιχεία. Το τελικό πλέγμα είναι το ακόλουθο:

Σχήμα 3.3 Τελικό Πλέγμα (416 Κόμβοι, 238 Στοιχεία)





Σελίδα

57

3.6 Σύγκριση των Αποτελεσμάτων Στρεπτικής Καταπόνησης του Τελικού

Πλέγματος με τις Αναλυτικές Λύσεις

Σε αυτό το σημείο πρέπει να εξετασθεί το επίπεδο απόδοσης της νέας

προσαρμοστικής στρατηγικής, ο ιδανικός τρόπος θα ήταν η σύγκριση των

διαφορετικών προσαρμοστικών τεχνικών, αλλά αυτή η διαδικασία είναι αρκετά

περίπλοκη λόγω της χρήσης διαφορετικών error estimators που μετρούν διαφορετικές

ποσότητες για να καθοδηγηθούν στην βέλτιστη λύση του πλέγματος, γεγονός που

συνεπάγεται ότι στις περισσότερες περιπτώσεις, μόνο το τελικό προσαρμοσμένο

πλέγμα μπορεί να συγκριθεί.

Ωστόσο, τα αποτελέσματα από το τελικό προσαρμοσμένο πλέγμα της

προσαρμοστικής στρατηγικής που παρουσιάστηκε στην παρούσα πτυχιακή εργασία

μπορούν να συγκριθούν με ακριβείς λύσεις, που σημαίνει λύσεις οι οποίες

υπολογίζονται με την αναλυτική μέθοδο.

Συγκεκριμένα, με τη χρήση των τύπων του Roark για πίεση και την ένταση

(Young, Budynas, & Sadegh, 2011), οι οποίοι παρέχουν ακριβείς και λεπτομερείς

τυποποιημένους πίνακες που μπορούν να εφαρμοστούν για να υπολογίσουμε με

αναλυτικό τρόπο τις τιμές της στρεπτικής τάσης της Αρχικής Γεωμετρίας, προκειμένου

αυτές οι τιμές να χρησιμοποιηθούν ως σημεία αναφοράς στη σύγκριση με τις

στρεπτικές τιμές που λαμβάνονται στα ίδια κομβικά σημεία του τελικού πλέγματος:

Τιμές Θεωρητικού Πλέγματος

Στρεπτική Τάση 𝚻𝐭(𝐐) = 𝟐𝟕, 𝟔𝟗𝟏𝟗𝟑 𝐍/𝐦𝐦𝟐

Στρεπτική Τάση 𝚻𝐭(𝐏) = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟖𝟐𝟑 𝐍/𝐦𝐦𝟐





Σελίδα

58

Τιμές Τελικού Πλέγματος

Στρεπτική Τάση 𝚻𝐭(𝐐) = 𝟐𝟓, 𝟔𝟖 𝐍/𝐦𝐦𝟐

Στρεπτική Τάση 𝚻𝐭(𝐏) = 𝟑𝟎, 𝟒𝟒 𝐍/𝐦𝐦𝟐

Διαφορά % Μεταξύ Q και Κόμβου 209 𝐓𝐭(𝐐) − 𝐓𝐭(𝚱ό𝛍𝛃𝛐𝛖 𝟐𝟎𝟗)

𝐓𝐭(𝐐)

∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟕, 𝟑 %

Διαφορά % Μεταξύ P και Κόμβου 132 𝐓𝐭(𝐏) − 𝐓𝐭(𝚱ό𝛍𝛃𝛐𝛖 𝟏𝟑𝟐)

𝐓𝐭(𝐏)∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖, 𝟕%

Είναι ξεκάθαρο ότι οι διαφορές μεταξύ των θεωρητικών τιμών στρεπτικής τάσης

και των τιμών στρεπτικής τάσης του τελικού πλέγματος που παρέχεται από τη νέα

προσαρμοστική στρατηγική είναι αποδεκτή. Έτσι, μπορεί να ειπωθεί ότι το τελικό

πλέγμα έχει ένα αποδεκτό επίπεδο ακρίβειας.

Προφανώς η νέα προσαρμοστική στρατηγική που παρουσιάζεται στην παρούσα

πτυχιακή, ήταν σε θέση να προσεγγίσει τις θεωρητικές τιμές με ένα παραδεκτό επίπεδο

ακρίβειας, με σημαντική μείωση του αριθμού των κόμβων σε σύγκριση με ένα "τυφλά"

διακριτοποιημένο «λεπτό» πλέγμα.





Σελίδα

59

Τέλος, το διάγραμμα που ακολουθεί παραθέτει τα αποτελέσματα της μέγιστης

στρεπτικής τάσης του τελικού πλέγματος, που διατίθενται για οποιαδήποτε περαιτέρω

συγκρίσεις.

Διάγραμμα 3.1 Αποτελέσματα Στρεπτικής Τάσης για το Τελικό Πλέγμα

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Τt stress





Σελίδα

60

Κεφάλαιο 4ο: Παρατηρήσεις και σχόλια

4.1 Δυσκολίες που Δημιουργήθηκαν κατά την Υλοποίηση

Όπως συμβαίνει συχνά σε κάθε υλοποίηση μιας καινοτόμας μεθοδολογίας

δημιουργούνται διάφορες δυσκολίες στην πορεία. Συνήθως αυτά τα προβλήματα

εμφανίζονται στην πράξη την στιγμή της εφαρμογής.

Ξεκινώντας, ν’ αναφέρουμε ότι η πολυπλοκότητα του σχεδίου ήταν τέτοια που

η αποτύπωση των λεπτομερειών με ακρίβεια καθίσταται αρκετά δύσκολη. Το

συγκεκριμένο πρόβλημα ξεπεράστηκε με την επιλογή του Inventor 2014 «Import

Points» όπου βάζοντας στο excel όλα τ’ απαραίτητα σημεία δημιουργείται το ακριβές

σχέδιο.

Στην συνέχεια έπρεπε να αποτυπωθούν τα σημεία επάνω στο σχέδιο που θα

αποτελούσαν το πλήρες πλέγμα. Το συγκεκριμένο πρόβλημα λύθηκε με τις επιλογές

του Inventor 2014 «rectangular pattern» για τα γραμμικά τμήματα και «circular

pattern» για τα κυκλικά τμήματα του σχεδίου.

Επιπλέον στα κυκλικά τμήματα σε κάθε νέο στοιχείο που δημιουργούνταν

έπρεπε να αποτυπωθεί κι ένα κεντρικό σημείο «-1». Το πρόβλημα επιλύθηκε με το

«circular pattern» που είχε την επιλογή «measure» για τον υπολογισμό του κεντρικού

σημείου στο κάθε νέο στοιχείο.

Επίσης αφού ολοκληρώθηκε ο σχεδιασμός των πλεγμάτων στο Inventor 2014

χρειάστηκε να παρθούν όλες οι συντεταγμένες των σημείων που το αποτελούσαν. Για

το συγκεκριμένο πρόβλημα γράφτηκε σχετικός κώδικας, όπου εφαρμόζοντάς το στο API

του Inventor 2014 και τρέχοντας το, δημιουργούσε ένα αρχείο Excel, το οποίο περιείχε

τις συντεταγμένες των σημείων του πλέγματος.

Το προαναφερθέν αρχείο Excel περιείχε άτακτα κατανεμημένες τις

συντεταγμένες, οι οποίες έπρεπε να ανακατανεμηθούν με τη σωστή σειρά για το κάθε

στοιχείο. Το πρόβλημα επιλύθηκε με την επιλογή της ταξινόμησης του Excel 2013.

Στην συγκεκριμένη πτυχιακή έγινε προσπάθεια να γραφτεί ένας ενιαίος

κώδικας όπου θα τρέχουν όλα τα πειράματα απ’ όλους τους βαθμούς. Το συγκεκριμένο

εγχείρημα απαιτούσε διάφορες τροποποιήσεις στις υπορουτίνες του κώδικα ανάλογα

με τις ανάγκες του πειράματος. Επίσης όλες οι παράμετροι των πειραμάτων θα πρέπει

να έχουν συγκεκριμένες θέσεις μέσα στο Excel.

Η λειτουργία του κώδικα απαιτεί την ύπαρξη βιβλιοθηκών (.dll) οι οποίες

τρέχουν μόνο σε συστήματα 32-bit. Για την καλύτερη προσέγγιση των πειραματικών

τιμών, επεξεργάστηκε κατάλληλα το αρχείο της βιβλιοθήκης (.dll) από single precision

σε double precision. Για να ξεπεραστεί το συγκεκριμένο εμπόδιο υποβαθμίσαμε το





Σελίδα

61

λειτουργικό σύστημα ενός φορητού υπολογιστή σε 32-bit. Η επιλογή του

καταλληλότερου αρχείου (.dll) έγινε μετά από αρκετές δοκιμές.

Για τη σωστή λειτουργία του κώδικα απαιτείται ο υπολογισμός του μήκους όλων

των νέων στοιχείων του πλέγματος. Τα γραμμικά τμήματα υπολογίζονται μέσα από το

κώδικα, τα κυκλικά τμήματα έχουν υπολογιστεί χειροκίνητα με τη βοήθεια του Inventor

2015.

Η πλειονότητα της βιβλιογραφίας που υπάρχει για το θέμα της πτυχιακής

εργασίας είναι στη αγγλική γλώσσα, δυσκολεύοντας την ακριβή απόδοση των τεχνικών

ορολογιών στην ελληνική γλώσσα.

Η ανάγκη να συγχρονίζονται τα αρχεία της πτυχιακή εργασίας και για τα τρία

μέλη της με άμεση πρόσβαση και ενημέρωση ώστε να υπάρχει καλύτερος συντονισμός,

απαιτούσε την χρήση μιας υπηρεσίας Cloud.

Κατά την διάρκεια των δοκιμών παρατηρήθηκε ότι στα πειράματα με το

μεγαλύτερο πλήθος σημείων δεν ήταν δυνατόν να τα διαχειριστεί η BEM. Για να λυθεί

το συγκεκριμένο πρόβλημα χρειάστηκε να μεγαλώσει το εύρος τιμών των κόμβων που

διαχειρίζεται η BEM.

Οι τιμές των ροπών αδράνειας εμφανίζονταν με διαφορετικές τιμές στα

συστήματα των Inventor και Solidworks, όπως και σε διάφορες βιβλιογραφίες με

αποτέλεσμα να οδηγηθούμε στην επιλογή της τιμής που δίνεται από το βιβλίο του

Roarks.

Για να λειτουργήσει σωστά ο κώδικας ήταν απαραίτητο να εισάγουμε τον

αριθμό των νέων στοιχείων που δημιουργούνται. Γι’ αυτό τον λόγο δημιουργήθηκε μια

νεα υπορουτίνα η οποία διαβάζει τον αριθμό των νέων στοιχείων και τα ταξινομεί

ανάλογα.





Σελίδα

62

4.2 Συμπεράσματα

Σε αυτή την πτυχιακή εργασία μελετήθηκε μια νέα μέθοδος, που αποσκοπεί

στην διερεύνηση της λειτουργίας των Quality Tools κατά τη δημιουργία BEM

υπολογιστικού μοντέλου (πλεγματοποίηση). Σκοπός αυτής είναι να εξεταστεί η

αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια της σε σχέση με τις υπάρχουσες μεθόδους και

παράλληλα να ανοίξει τους ορίζοντες της επιστημονικής κοινότητας στην επίλυση

προβλημάτων με παραμφερή προσέγγιση, ακόμα και χρησιμοποιώντας διαφορετικά

εργαλεία ποιότητας.

Η καινοτομία της συγκεκριμένης μεθόδου έγκειται στην χρήση της τεχνικής

adaptive meshing σε συνδυασμό με Quality Tools και συγκεκριμένα την μεθοδολογία

Taguchi. Η χρησιμοποίηση της συγκεκριμένης τεχνικής αποσκοπεί στην ελαχιστοποίηση

των επαναλήψεων με συνέπεια στην οικονομία των απαιτούμενων υπολογιστικών

πόρων. Είναι μια νέα τεχνική που βασίζεται στην χρήση εργαλείων ποιότητας (quality

tools) προκειμένου να βελτιωθεί ένα πλέγμα δεδομένης διατομής, με στόχο να

δημιουργηθεί μια λύση που θα έχει μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτήν που προσφέρει η

ακριβέστερη για την ώρα τεχνική του adaptive meshing. Κλειδί της μελέτης είναι η

ελαχιστοποίηση των απαιτούμενων επαναλήψεων, διατηρώντας όμως το ποσοστό

σφάλματος μέσα στα απαιτούμενα όρια και διερευνώντας τρόπους για την

ελαχιστοποίηση αυτού. Η μέθοδος Taguchi προσφέρει στον χρήστη την δυνατότητα

λιγότερων επαναλήψεων, με αποτέλεσμα την συνολική μείωση του υπολογιστικού

κόστους που χρειάζεται ώστε να δημιουργηθεί ένα υπολογιστικό μοντέλο.

Συγκρίνοντας τ’ αποτελέσματα των τιμών της μέγιστης στρεπτικής τάσης του

θεωρητικού με του τελικού πλέγματος, παρατηρείται ότι υπάρχουν σχετικές

αποκλίσεις. Συνεπώς το νέο τελικό πλέγμα είναι ακριβές, πράγμα που οδηγεί στην

παραδοχή πως η στρατηγική που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία είναι μια

ακριβής προσαρμοστική στρατηγική. Οι μέγιστες τιμές της στρεπτικής τάσης

εντοπίστηκαν στο μέσον του κάθε τόξου, ίσες μεταξύ τους σε μέγεθος λόγω της

συμμετρίας του σχήματος. Η πυκνότητα του τελικού πλέγματος είναι

προσανατολισμένη στην χρησιμοποίηση ελάχιστων στοιχείων, βάσει των μεταβολών

της λύσης σε κάθε πλευρά του σχήματος. Μελλοντική έρευνα στην εφαρμογή της

μεθόδου με βάσει διαφορετικούς παράγοντες και επίπεδα, δύναται να βελτιώσει την

αποδοτικότητά της.





Σελίδα

63

4.3 Προτάσεις για μελλοντική εξέλιξη

Η συγκεκριμένη πτυχιακή εργασία είναι βασισμένη σε έναν κώδικα, ο οποίος

είναι ανοιχτός και προσφέρεται για συνεχή βελτίωση. Οι απαιτήσεις της επιστήμης για

αποδοτικότερες και ελαχιστοποιημένου χρόνου και κόστους λύσεις, δημιουργούν την

ανάγκη για δημιουργία καινοτόμων μεθόδων αλλά και συνεχή εξέλιξη των ήδη

υπαρχόντων. Η στρατηγική που αναπτύχθηκε είναι καινοτόμα και άκρως εξελίξιμη.

Μελλοντική έρευνα μπορεί να γίνει προκειμένου να εμπλουτιστεί ο υπάρχων

κώδικας με υπορουτίνες σε δυο τομείς. Ο ένας είναι η γενικότερη εφαρμογή του σε

διαφορετικές αρχικές γεωμετρίες και διαφορετικού τύπου στοιχείων Lagrange. Ο

δεύτερος είναι στην αυτοματοποίηση ορισμένων σημείων του, που καθυστερούν τον

χειριστή. Παράδειγμα, η εξαγωγή και η αυτόματη ταξινόμηση κατά σειρά των σημείων

της εξεταζόμενης γεωμετρίας. Το παραπάνω, είναι ένα σημείο που θα βελτίωνε σε

μεγάλο ποσοστό το χρονοδιάγραμμα της μεθόδου, καθώς η χειροκίνητη εισαγωγή και

ταξινόμηση των σημείων είναι χρονοβόρα και πάντοτε υπάρχει η πιθανότητα του

ανθρώπινου λάθους. Τυχόν λάθη οδηγούν σε επιπλέον καθυστέρηση, καθιστώντας την

μέθοδο κουραστική για τον χρήστη.

Ακόμη μπορεί να μελετηθεί η χρήση της μεθόδου με διαφορετικούς παράγοντες

και επίπεδα, ώστε να βελτιωθεί η υπάρχουσα στρατηγική. Επιπλέον, μπορεί να

ερευνηθεί η εφαρμογή διαφορετικών Quality Tools, ώστε να ανοιχτούν οι ορίζοντες και

σε νέες λύσεις. Όπως μια μέθοδος εξ΄ αυτών είναι η Response Surface Methodology

(RSM) η οποία ως βασική ιδέα έχει τη χρήση μιας ακολουθίας από σχεδιασμένα

πειράματα ώστε να αποκτηθεί η βέλτιστη απόκριση, αν αυτή η μέθοδος εφαρμοστεί με

ένα δυναμικό τρόπο πρόκειται να παράσχει έναν ορθογώνιο πίνακα L9 που θα έχει

κατεύθυνση για νέα elements ακριβώς στις συντεταγμένες που χρειάζεται περισσότερο

το πλέγμα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα να σχεδιαστεί μια νέα προσαρμοστική

στρατηγική που θα είναι σε θέση να προσδιορίσει τις ζωτικής σημασίας γεωμετρικές

θέσεις ολόκληρου του πλέγματος πριν ακόμα εκτελεστεί ο κώδικας.

Τέλος, μια σημαντική βελτίωση στο κώδικα, θα ήταν η απόδοση του τελικού

πλέγματος με λιγότερους κόμβους και στοιχεία, χωρίς ιδιαίτερη επίδραση στην

ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Αυτό θα έχει σαν απόρροια την μείωση του χρόνου

υπολογισμού των τελικών αποτελεσμάτων, λόγο της μείωσης των στοιχείων που

απαιτούνται.





Σελίδα

64

Βιβλιογραφία

Anon., 2005. Design of Experiments. s.l.:Εκδόσεις Minitab Inc..

Kakuba, G., 2011. The boundary element method : errors and gridding for problems with hot

spots / door. Αϊντχόφεν: Εκδόσεις Technische Universiteit Eindhoven.

Miranda-Valenzuela, J. C. & Karim Heinz, M.-K., 2002. Adaptive meshing with boundary

elements. s.l.:Εκδόσεις Wit Pr/Computational Mechanics.

Peace, G. S., 1992. Taguchi Methods: A Hands-On Approach. s.l.:Εκδόσεις Addison-Wesley.

Sauter, S. & Schwab, C., 2011. Buoundary Element Methods. Βερολίνο: Εκδόσεις Springer.

Taguchi, G., Chowdhury, S. & Wu, Y., 2005. Taguchi’s Quality Engineering Handbook. New

Jersey: Εκδόσεις John Wiley & Sons, Inc..

Young, W., Budynas, R. & Sadegh, A., 2011. Roark's Formulas for Stress and Strain. 8η Έκδοση

επιμ. ΗΠΑ: Εκδόσεις McGraw-Hill Companies, Inc..

Young, W. C. & Budynas, R. G., 2002. Roark’s Formulas for Stress and Strain. 7η Έκδοση επιμ.

ΗΠΑ: Εκδόσεις McGraw-Hill Companies, Inc..

Κατσικαδέλης, Ι., 2002. Boundary Elements Theory and Applications. 1η Έκδοση επιμ.

Οξφόρδη: Εκδόσεις ELSEVIER SCIENCE Ltd.

Πτυχιακή - main body - anastasios kamoutsas petros mostratos dimitrios tzatsis

Documents