Экономико-математические методы и моделиlib.brsu.by › sites...

1

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Экономико-математические методы имодели

Электронный учебно-методический комплексдля студентов юридического факультета

БрестБрГУ имени А.С. Пушкина

2011

2

Авторы:Марзан Сергей Андреевич — доцент кафедры высшейматематики БрГУ имени А.С. ПушкинаСендер Александр Николаевич — заведующий кафедройматематического моделирования БрГУ имени А.С. Пушкина

Редактор:Сендер Николай Никитич — заведующий кафедройвысшей математики БрГУ имени А.С. Пушкина

Рецензенты:Савчук В.Ф. (содержательная экспертиза) — заведующийкафедрой информатики и прикладной математикиБрГУ имени А.С. ПушкинаКозинский А.А. (программно-техническая экспертиза) — доценткафедры информатики и прикладной математикиБрГУ имени А.С. Пушкина

Предлагаемое учебно-методическое издание направлено на самостоятельное изучениеэкономико-математических методов и моделей. В нем представлены основные разделыэкономико-математических методов и моделей. Упор сделан на изложении теоретических ипрактических аспектов алгоритмов решения экстремальных задач с описанием экономиче-ской интерпретации полученного решения. Использование данного учебно-методическогоиздания, позволит студентам самостоятельно изучать экономико-математические методы имодели, а также овладеть теоретическими знаниями и практическими навыками их реше-ния. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов юридического факультетаспециальностей «Бизнес администрирование» и «Государственное управление и экономи-ка».

3

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Примерный тематический план специальности «Бизнес-

администрирование» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Примерный тематический план специальности «Государ-

ственное управление и экономика» . . . . . . . . . . . . . 17

ЛЕКЦИЯ 1 Основные понятия математического моделиро-вания социально-экономических систем. Этапы и методымоделирования 191.1 Социально-экономические системы, методы их исследова-

ния и моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Этапы экономико-математического моделирования . . . . . 201.3 Классификация экономико-математических методов и мо-

делей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 262.1 Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ЛЕКЦИЯ 3 Графический метод решения задач линейногопрограммирования 37

4

3.1 Алгоритм нахождения оптимального решения . . . . . . . 373.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Практическое занятие 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ЛЕКЦИЯ 4 Симплекс метод решения задач линейного про-граммирования 494.1 Алгоритм нахождения опорного и оптимального решения

задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


ЛЕКЦИЯ 5 Метод искусственного базиса решения задачлинейного программирования 805.1 Алгоритм нахождения оптимального решения . . . . . . . 805.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


ЛЕКЦИЯ 6 Теория двойственности в задачах линейногопрограммирования 886.1 Алгоритм построения двойственной задачи . . . . . . . . . 886.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


5

ЛЕКЦИЯ 7 Двойственный симплекс-метод решения задачлинейного программирования 997.1 Алгоритм нахождения опорного и оптимального решения . 997.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


ЛЕКЦИЯ 8 Транспортная задача 1098.1 Постановка транспортной задачи и методы ее решения . . 1098.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


ЛЕКЦИЯ 9 Целочисленное программирование. Метод Го-мори 1299.1 Постановка задачи целочисленной оптимизации . . . . . . 1299.2 Экономические задачи целочисленного программирования 1339.3 Алгоритм метода Гомори. Геометрическая иллюстрация ме-

тода Гомори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.4 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

ЛЕКЦИЯ 10 Целочисленное программирование. Метод вет-вей и границ 14410.1 Метод ветвей и границ решения задач целочисленного ли-

нейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6

10.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Практическое занятие 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Лабораторные занятия 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

ЛЕКЦИЯ 11 Задача о рюкзаке 16511.1 Постановка задачи о рюкзаке и методы её решения . . . . 16511.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

ЛЕКЦИЯ 12 Задача коммивояжера 17012.1 Постановка задачи коммивояжера и решение методом вет-

вей и границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Практическое занятие 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Лабораторное занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Лабораторное занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ЛЕКЦИЯ 13 Постановка и геометрическая интерпретациязадачи параметрического программирования. Графиче-ское решение задачи 20513.1 Постановка и геометрическая интерпретация задачи пара-

метрического программирования . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2 Графическое решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.3 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7

ЛЕКЦИЯ 14 Постановка и геометрическая интерпретациязадачи параметрического программирования. Аналити-ческое решение задачи параметрического программиро-вания. 21314.1 Постановка и геометрическая интерпретация задачи пара-

метрического программирования. Аналитическое решениезадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

14.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Практическое занятие 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Лабораторное занятие 5,6,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

ЛЕКЦИЯ 15 Матричные игры с нулевой суммой. Решениематричных игр в чистых стратегиях 23015.1 Парные матричные игры с нулевой суммой . . . . . . . . . 23015.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

ЛЕКЦИЯ 16 Решение матричных игр в смешанных страте-гиях. Сведение матричной игры к задаче линейного про-граммирования 23616.1 Решение матричной игры сведением к задаче линейного

программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23616.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8

ЛЕКЦИЯ 17 Решение матричных игр в смешанных страте-гиях. Решение матричных игр в смешанных стратегияхграфическим методом 24217.1 Решение матричной игры графическим методом . . . . . . 24217.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

ЛЕКЦИЯ 18 Решение матричных игр в смешанных страте-гиях. Решение матричных игр в смешанных стратегияхприближенным методом 24518.1 Приближенный метод решения матричных игр . . . . . . . 24518.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Практическое занятие 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Лабораторное занятие 8,9,10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

ЛЕКЦИЯ 19 Модели сетевого планирования и управления.Сетевые графики 26419.1 Правила построения сетевых графиков . . . . . . . . . . . 26419.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

ЛЕКЦИЯ 20 Модели сетевого планирования и управления.Временные параметры сетевого графика 27420.1 Расчет временных параметров графика . . . . . . . . . . . 27420.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

9

ЛЕКЦИЯ 21 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по времени. 28221.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых гра-

фиков по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28221.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Практическое занятие 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ЛЕКЦИЯ 22 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по ресурсам. 29322.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых гра-

фиков по ресурсам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29322.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296


ЛЕКЦИЯ 23 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по стоимости. 30323.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых гра-

фиков по стоимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30323.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307


ЛЕКЦИЯ 24 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в на-туральном выражении. Вычисление коэффициентов пря-

10

мых и полных производственных затрат. Факторная сто-имость 31524.1 Модель межотраслевого баланса . . . . . . . . . . . . . . . 31524.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

ЛЕКЦИЯ 25 МОБ в стоимостной форме. Основные балан-совые равенства 32025.1 Межотраслевой баланс в стоимостной форме . . . . . . . . 32025.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325


ЛЕКЦИЯ 26 Продуктивность матриц. Свойства продук-тивных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Продук-тивность модели Леонтьева 33126.1 Продуктивность балансовой модели . . . . . . . . . . . . . 33126.2 Вопросы и задания для самоконтроля . . . . . . . . . . . . 337

Лабораторное занятие 11,12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Контрольные вопросы для специальности “Бизнес-админист-

рирование” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Контрольные вопросы для специальности “Государствен-

ное управление и экономика” . . . . . . . . . . . . . . . . 345Решенный вариант индивидуальной работы для специ-

альности “Бизнес-администрирование” . . . . . . . . . . 347

11

Решенный вариант индивидуальной работы для специ-альности “Государственное управление и экономика” . 400

Индивидуальные работы для специальности “Бизнес ад-министрирование” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515Индивидуальные работы для специальности “Государствен-

ное управление и экономика” . . . . . . . . . . . . . . . . 520Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

12

Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Вопросы и задания, выносимые на экзамен для специаль-

ности “Бизнес-администрирование” . . . . . . . . . . . . 600Вопросы и задания, выносимые на экзамен для специаль-

ности “Государственное управление и экономика” . . . 602Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

13

Предисловие

Предлагаемый вниманию читателей учебно-методический комплекспредназначен в первую очередь студентам юридического факультетаспециальности «Бизнес администрирование» и «Государственное управ-ление и экономика» хотя значительная его часть может быть использо-вана и студентами других специальностей юридического факультета.

При составлении учебно-методического комплекса автор руководство-вался учебными программами для специальностей 1-26 02 01 «Бизнес-администрирование» и 1-26 02 01 «Государственное управление и эко-номика». В соответствии с указанной программой, на изучение раздела«Экономико-математические методы и модели» отводится 34 часа лек-ций, 10 часов практических занятий и 24 часа лабораторных занятий поспециальности «Бизнес администрирование» и 34 часа лекций и 34 часапрактических по специальности «Государственное управление и эконо-мика».

Учебно-методический комплекс обеспечивает достижение основнойдидактической цели – самообразования. В условиях постоянно возрас-тающего объема научной (а значит и учебной) информации количествочасов, предусматриваемых учебными планами на преподавание дисци-плин, имеет устойчивую тенденцию к сокращению. В этой связи необ-ходимо, чтобы учебные дисциплины преподавались на современном на-учном уровне, полноценно и кратко. При этом глубокое изучение ма-

14

териала студентами возможно только при условии успешной организа-ции самостоятельной работы студентов. Изложение материала в учебно-методическом комплексе приводится в наиболее оптимальной последо-вательности.

При изложении материала приводятся стандартные и специфическиеспособы решения многих задач, с целью обучения на конкретных при-мерах поиску наиболее рационального способа решения. В конце каж-дой лекции приводятся вопросы и задания для самоконтроля с цельюпомочь студентам в проверке усвоения ими теоретического материала.Наряду с примерами, аналогичными решенным на практических заня-тиях, учебно-методический комплекс содержит достаточно большое ко-личество нетривиальных задач, не все из которых могут быть реше-ны в аудитории или самостоятельно, многие задачи окажутся полезны-ми для кружковой работы с наиболее сильными студентами. Учебно-методический комплекс содержит достаточно обширный материал дляконтрольных и индивидуальных работ, а также вопросы для подготовкик экзамену и зачету по разделу «Экономико-математические методы имодели».

15

Примерный тематический план специальности«Бизнес-администрирование»

Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР ЛБВведение 2

1 Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем. Этапы и методы моделирования.

2

I Целочисленное программирование 10 4 81 Постановка задачи целочисленного программирования. Метод

Гомори решения задач целочисленного линейного программиро-вания.

2 2 2

2 Метод ветвей и границ решения задач целочисленного линейногопрограммирования.

2 2

3 Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ. 2 2 24 Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ. 4 2II Параметрическое программирование 6 2 61 Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графиче-

ское решение задачи.2 2 2

2 Аналитическое решение задачи. 4 4III Модели теории игр 8 2 61 Предмет и задачи теории игр. Матричные игры с нулевой сум-

мой. Решение матричных игр в чистых стратегиях.2

2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведение мат-ричной игры к задаче линейного программирования.

2 2 2

3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях графическимметодом.

2 2

4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях приближен-ным методом.

2 2

16

Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР ЛБIV Балансовые модели 8 2 41 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральном выраже-

нии. Вычисление коэффициентов прямых и полных производ-ственных затрат. Факторная стоимость.

2 2 4

2 МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства. 23 Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц. Тео-

рема Фробениуса-Перрона. Продуктивность модели Леонтьева.4

Итого 34 10 24

17

Примерный тематический план специальности«Государственное управление и экономика»

Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПРВведение 1

1 Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем. Этапы и методы моделирования.

1

I Линейное программирование 10 141 Формы записи задачи линейного программирования, экономиче-

ский смысл. Графический метод решения задачи линейного про-граммирования.

2 2

2 Симплекс метод решения задачи линейного программирования. 2 23 Метод искусственного базиса решения задачи линейного про-

граммирования.2 2

4 Построение двойственной задачи линейного программирования.2

25 Двойственный симплекс-метод решения задачи линейного про-

граммирования.2

6 Постановка транспортной задачи и ее решение методом потенци-алов. 2

2

7 Постановка транспортной задачи и ее решение распределитель-ным методом.

2

II Целочисленное программирование 6 41 Основные понятия и сведения из теории графов. Способы зада-

ния графов.2

2 Постановка задачи о рюкзаке и решение ее методом ветвей гра-ниц.

2 2

18

Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР3 Постановка задачи коммивояжера и решение методом ветвей и

границ.2 2

III Модели теории игр 6 41 Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в

чистых стратегиях.2

2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведение мат-ричной игры к задаче линейного программирования.

2 2

3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях графическимметодом.

2 2

IV Основные понятия сетевого планирования и управления 8 81 Основные понятия сетевого планирования и управления. Прави-

ла построения сетевых графиков. 22

2 Расчет временных параметров сетевого графика.3 Оптимизация сетевых графиков по времени. 2 24 Оптимизация сетевых графиков по стоимости. 2 25 Оптимизация сетевых графиков по ресурсам. 2 2V Балансовые модели 3 41 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральном выраже-

нии. Вычисление коэффициентов прямых и полных производ-ственных затрат. Факторная стоимость.

1 2

2 МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства.2

23 Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц. Теоре-

ма Фробениуса-Перрона. Продуктивность модели Леонтьева.Итого 34 34

19

ЛЕКЦИЯ 1Основные понятия математического моделированиясоциально-экономических систем. Этапы и методы

моделирования

1.1. Социально-экономические системы, методы ихисследования и моделирования

Понятие «экономическая система» более или менее сложилось и вшироком смысле трактуется как система общественного производстваи потребления материальных благ. Социальные же аспекты жизни об-щества весьма многогранны и не всегда доступны для детального ана-лиза, моделирования и прогнозирования. Под социально-экономическойсистемой будем понимать сложную вероятностную динамическую си-стему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения ипотребления материальных и других благ.

Основным методом исследования систем является метод моделиро-вания, т.е. способ теоретического анализа и практического действия,направленный на разработку и использование моделей. При этом подмоделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в матери-альной или идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами накаком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемо-го объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управ-

20

ления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е.возможности изучения реального объекта через рассмотрение подобногоему и более доступного объекта, его модели.

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделирова-нии, как и при всяком моделировании, является понятие адекватностимодели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процес-су. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но со-ответствие по тем свойствам, которые считаются существенными дляисследования. Проверка адекватности экономико-математических моде-лей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняеттрудность измерения экономических величин.

1.2. Этапы экономико-математического моделирования

Процесс моделирования, в том числе и экономико-математического,включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъ-ект (исследователь) и модель, опосредующую отношения между позна-ющим субъектом и познаваемым объектом. Выделим следующие шестьэтапов.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественныйанализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы,принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важней-шие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру

21

и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулироватьгипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Этот этап формализа-ции экономической проблемы, т.е. выражения ее в виде конкретных ма-тематических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). По-строение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

3. Математический анализ модели. На этом этапе математиче-скими приемами исследования выявляются общие свойства модели и еерешений. В частности, важным моментом является доказательство су-ществования решения сформулированной задачи. При аналитическомисследовании выясняется единственно ли решение, какие переменныемогут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковытенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономическихобъектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию;в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Математическое модели-рование предъявляет жесткие требования к системе информации; приэтом надо принимать во внимание не только принципиальную возмож-ность подготовки информации требуемого качества, но и затраты наподготовку информационных массивов. В процессе подготовки инфор-мации используются методы теории вероятностей, теоретической и ма-тематической статистики для организации выборочных обследований,оценки достоверности данных и т.д.

22

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгорит-мов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непо-средственное проведение расчетов. Численное решение существенно до-полняет результаты аналитического исследования, а для многих моде-лей является единственно возможным.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этомэтапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и пол-ноте результатов моделирования и применимости их как в практиче-ской деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтомув первую очередь должна быть проведена проверка адекватности моде-ли по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных.

1.3. Классификация экономико-математических методов имоделей

Суть экономико-математического моделирования заключается в опи-сании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Экономико-математические методы следуетпонимать как инструмент, а экономико-математические модели – какпродукт процесса экономико-математического моделирования.

Классификация экономико-математических моделей1. По общему целевому назначению экономико-математические моде-

ли делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении

23

общих свойств и закономерностей экономических процессов, и приклад-ные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа,прогнозирования и управления.

2. По степени агрегирования объектов моделирования модели разде-ляются на макроэкономические и микроэкономические. К первым из нихотносят модели, отражающие функционирование экономики как едино-го целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как пра-вило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

3. По конкретному предназначению, т.е. по цели создания и приме-нения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответ-ствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в ко-торых развитие моделируемой экономической системы отражается че-рез тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптими-зационные модели, предназначенные для выбора наилучшего вариантаиз определенного числа вариантов производства, распределения или по-требления; имитационные модели, предназначенные для использованияв процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

4. По типу информации, используемой в модели, экономико-математи-ческие модели делятся на аналитические, построенные на априорнойинформации, и идентифицируемые,построенные на апостериорной ин-формации.

24

5. По учету фактора времени модели подразделяются на статиче-ские, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, идинамические, описывающие экономические системы в развитии.

6. По учету фактора неопределенности модели распадаются на де-терминированные, если в них результаты на выходе однозначно опреде-ляются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятност-ные), если при задании на входе модели определенной совокупности зна-чений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависи-мости от действия случайного фактора.

7. Экономико-математические модели могут классифицироваться так-же по характеристике математических объектов, включенных в модель,другими словами, по типу математического аппарата, используемого вмодели. По этому признаку могут быть выделены матричные моде-ли, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, моделитеории массового обслуживания, моделисетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.

8. Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическимсистемам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При де-скриптивном (описательном) подходе получаются модели, предназна-ченные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явленийили для прогноза этих явлений (балансовые и трендовые модели). Принормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена иразвивается экономическая система, а как она должна быть устроена и

25

как должна действовать в смысле определенных критериев. В частно-сти, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; дру-гим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.

1.4. Вопросы для самоконтроля

1. Что понимается под социально-экономической системой?2. Назовите основные этапы экономико-математического моделирова-

ния.3. Назовите виды классификаций экономико-математических методов

и моделей.

26

ЛЕКЦИЯ 2Линейное программирование

2.1. Основные понятия и определения

Линейное программирование – область математики, разрабатываю-щая теорию и численные методы решения задач нахождения экстрему-ма (максимума или минимума) линейной функции многих переменныхпри наличии линейных ограничений, т.е. равенств или неравенств, свя-зывающих эти переменные.

Методы линейного программирования применяют к практическимзадачам, в которых:

– необходимо выбрать наилучшее решение (оптимальный план) измножества возможных;

– решение можно выразить как набор значений некоторых перемен-ных величин;

– ограничения, накладываемые на допустимые решения специфиче-скими условиями задачи, формулируются в виде линейных уравненийили неравенств;

– цель выражается в форме линейной функции основных переменных.Значения целевой функции, позволяя сопоставлять различные решения,служат критерием качества решения.

27

Для практического решения экономической задачи математическимиметодами необходимо, прежде всего, составить ее экономико-математи-ческую модель. Исходя из отмеченных выше особенностей задач линей-ного программирования, можно наметить следующую общую схему фор-мирования модели:

1) выбор некоторого числа переменных величин, заданием числовыхзначений которых однозначно определяется одно из возможных состоя-ний исследуемого явления;

2) выражение взаимосвязей, присущих исследуемому явлению, в видематематических соотношений (уравнений, неравенств); эти соотношенияобразуют систему ограничений задачи;

3) количественное выражение выбранного критерия оптимальности вформе целевой функции;

4) математическая формулировка задачи как задачи отыскания экс-тремума целевой функции при условии выполнения ограничений, на-кладываемых на переменные.

Для иллюстрации приведенной схемы рассмотрим пример.

Пример 2.1. Завод производит два вида продукции: велосипеды имотоциклы. При этом цех по сборке велосипедов имеет мощность 100тысяч штук в год, цех по сборке мотоциклов – 30 тысяч. Механическиецеха завода оснащены взаимозаменяемым оборудованием, и одна груп-па цехов может производить либо детали для 120 тысяч велосипедов,

28

либо детали для 40 тысяч мотоциклов, либо любую комбинацию дета-лей, ограниченную этими данными. Другая группа механических цеховможет выпускать детали либо для 80 тысяч велосипедов, либо для 60тысяч мотоциклов, либо любую допустимую их комбинацию. В резуль-тате реализации каждой тысячи велосипедов завод получает прибыль в2 тысячи денежных единиц, а каждой тысячи мотоциклов – 3 тысячиденежных единиц. Найти такое сочетание объемов выпуска продукции,которое дает наибольшую сумму прибыли.

J Обозначим через x1 и x2 соответственно количества велосипедов имотоциклов, выпускаемых заводом в год (в тыс. шт.).

Учитывая возможности сборочных цехов, необходимо потребовать,чтобы

x1 ≤ 100 (2.1)

x2 ≤ 30. (2.2)

Переходя к анализу возможностей механических цехов, следует учи-тывать, что при выпуске обоих видов продукции должно выполнятьсяусловие пропорциональности количества продукции данного вида долепроизводственной мощности, занятой ее выпуском. Если предусматри-вается производство 1000 велосипедов (единицы продукции первого ви-да), то доля занятой производственной мощности механических цеховпервой группы составит 1/120 всей их мощности, принимаемой в дан-ном случае за единицу; на выпуск же x1 тыс. велосипедов потребуется

29

занять 1/120x1 всей мощности. Аналогично для производства x2 тыс.мотоциклов необходимо выделить 1/40x2 всей мощности. Так что дляреализации план (x1, x2) потребуется предусмотреть (1/120x1 + 1/40x2)мощности механических цехов первой группы. Но в производственномпроцессе может быть использована не более чем вся наличная производ-ственная мощность рассматриваемых цехов, следовательно,

1/120x1 + 1/40x2 ≤ 1. (2.3)

Точно так же получим ограничение по производственной мощностимеханических цехов второй группы:

1/80x1 + 1/60x2 ≤ 1. (2.4)

По смыслу задачиx1 ≥ 0, x2 ≥ 0. (2.5)

Любой план (x1, x2), удовлетворяющий ограничениям (2.1) – (2.5),будет допустимым и даст предприятию прибыль (в тысячах денежныхединиц)

f = 2x1 + 3x2. (2.6)

Соотношения (2.1) – (2.6) образуют математическую модель задачи.Итак, математически задача отыскания оптимального плана произ-

водства велосипедов и мотоциклов сводится к определению таких x∗1 иx∗2, удовлетворяющих линейным ограничениям (2.1) – (2.5), которые до-ставляют максимум линейной функции (2.6). I

30

Различные формы записи задач линейного программирова-ния. Общей задачей линейного программирования, заданной в произ-вольной форме записи, называют задачу, в которой требуется максими-зировать (минимизировать) линейную функцию

f(x1, ..., xn) =n∑j=1

cjxj, (2.7)

при условиях:n∑j=1

aijxj ≤ ai0 (i = 1, s), (2.8)

n∑j=1

aijxj = ai0 (i = s+ 1,m). (2.9)

Функцию (2.7) называют целевой, а условия (2.8) – (2.9) – ограниче-ниями задачи.

Задачей линейного программирования, заданной в симметричной фор-ме записи, называют задачу, в которой требуется найти максимум функ-ции (2.7) при условиях (2.8) и условиях

xj ≥ 0 (j = 1, n). (2.10)

Задачей линейного программирования в канонической форме записиназывают задачу, в которой требуется найти максимум функции (2.7)при условиях (2.9), где s = 0, и (2.10).

31

Набор чисел x = (x1, ..., xn), удовлетворяющих ограничениям зада-чи линейного программирования, называется ее планом. Планx∗ = (x∗1, ..., x

∗n), доставляющий максимум (минимум) функции (2.7), на-

зывается оптимальным.Поскольку min f = max (−f), задачу минимизации функции f фор-

мально можно свести к задаче максимизации противоположной функ-ции (−f). Найдя максимальное значение функции −f , его знак нужнозаменить на противоположный. Тем самым определится минимальноезначение исходной функции f .

Переменную xt, не подчиненную условию неотрицательности, можнозаменить парой неотрицательных переменных, приняв xt = x

′

t − x′′

t .

Пример 2.2. Привести к канонической форме записи задачу

f = x1 + x2 → max,x1 − x2 ≤ 1,2x1 + x2 = 2,x1 ≥ 0.

J Переменная x2 не подчинена условию неотрицательности, поэтомузаменим ее разностью двух неотрицательных переменных x′2 и x′′2:x2 = x

′

2 − x′′

2.Чтобы первое ограничение записать в форме равенства, введем в него

неотрицательную переменную x3. В результате данная задача примет

32

каноническую форму:

f = x1 + x′

2 − x′′

2 → max,x1 − x

′

2 + x′′

2 + x3 = 1,

2x1 + x′

2 − x′′

2 = 2,

x1 ≥ 0, x′

2 ≥ 0, x′′

2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

I

Пример 2.3. Привести к симметрической форме записи задачу, за-данную в каноническом виде:

f = −2x1 − x2 − x3 + 2x4 + x5 → max,−2x3 − x4 + x5 = 4,−x2 + 4x3 + 2x4 = 8,x1 + x3 + x4 = 6,xj ≥ 0 (j = 1, 5).

J Исключим из системы ограничений-равенств любые три перемен-ные. В данном случае удобно исключить из первого ограничения x5, извторого x2 и из третьего x1. Учитывая неотрицательность переменных,получаем:

x5 = 4 + 2x3 + x4 ≥ 0,x2 = −8 + 4x3 + 2x4 ≥ 0,x1 = 6− x3 − x4 ≥ 0.

Опустив x5, x2 и x1, приведем к эквивалентным неравенствам. Под-ставив x5, x2 и x1 в целевую функцию, после преобразований получим

33

следующую задачу линейного программирования в симметричной фор-ме:

f = −x3 − x4 → max−2x3 − x4 ≤ 4,−4x3 − 2x4 ≤ −8,x3 + x4 ≤ 6,x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.

I

Пример 2.4. Привести задачу линейного программирования, задан-ную в каноническом виде, к симметричной форме:

f = 2x1 + 3x2 − x4 + 2x5 + 6→ max,3x1 + 9x2 + 5x3 − 2x4 − 2x5 = 7,2x1 − 2x2 − 2x3 + x4 − x5 = 1,9x1 − 8x2 − 7x3 + 3x4 − 4x5 = 3,xj ≥ 0 (j = 1, 5).

J Находим (например, методом Гаусса) общее решение системы огра-ничительных уравнений:

x3 = x1 − 135 x2 + 9

5 ,

x4 = 2x1 − 135 x2 + 14

5 ,x5 = 2x1 + 3

5x2 − 95 .

34

C помощью этих равенств исключаем из целевой функции x4 и x5.Получаем

f = 4x1 +34

5x2 −

2

5.

Остается в полученных равенствах опустить неотрицательные слага-емые x3, x4 и x5 и перейти к эквивалентным неравенствам. В результатеприходим к симметрической форме записи данной задачи:

f = 4x1 +34

5x2 −

2

5→ max,

−x1 + 13

5 x2 ≤ 95 ,

−2x1 + 135 x2 ≤ 14

5 ,−2x1 − 3

5x2 ≤ −95 ,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Общее решение системы ограничительных уравнений можно записатьи в другом базисе, а потому и симметричная форма задачи линейногопрограммирования выразится через инные переменные. I

Свойства решений задач линейного программирования. Рас-смотрим задачу линейного программирования

f =n∑j=1

cjxj → max, (2.11)

35

n∑j=1

aijxj = ai0(i = 1,m), (2.12)

xj ≥ 0 (j = 1, n). (2.13)

Множество K планов задачи (2.11) – (2.13) является выпуклым, т.е.если x1 и x2 – планы задачи, то их выпуклая линейная комбинацияx = λx1 + (1 − λ)x2, где 0 ≤ λ ≤ 1, также является планом задачи.Так как это множество определяется конечной совокупностью линейныхограничений (2.12) и (2.13), его граница состоит из кусков несколькихгиперплоскостей. Множество K может быть либо пустым множеством,либо выпуклым многогранником, либо выпуклой многогранной обла-стью, уходящей в бесконечность. Важное значение имеет приведеннаяниже теорема.

Теорема 2.1. Линейная функция (2.11) задачи (2.11) – (2.12) дости-гает максимального значения в вершине многогранника планов. Еслилинейная функция принимает максимальное значение более чем в од-ной вершине, то она достигает такого же значения в любой точке, явля-ющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.

Чтобы выразить аналитически утверждение второй части теоремы2.1, обозначим через x∗1, . . . , x∗t вершины, в которых f достигает макси-мального значения. Тогда любую точку x∗, в которой f достигает такогоже значения, можно представить в виде x∗ = λ1x

∗1 + . . .+λtx

∗t , где λk ≥ 0

36

(k = 1, t),t∑

k=1

λk = 1, т.е. если f достигает максимального значения бо-

лее чем в одной вершине, то она достигает такого же значения в любойточке ребра или грани, которые определяются этими вершинами.

Можно доказать, что каждому опорному решению системы (2.12)соответствует вершина многогранника планов и, наоборот, каждойвершине многогранника планов соответствует опорное решение си-стемы (2.12). Отсюда следует, что совокупность опорных планов задачилинейного программирования совпадает с системой вершин многогран-ника планов.

Так как число опорных решений системы (2.12) всегда конечно (покрайней мере не больше, чем Cr

n), многогранник планов будет иметьконечное число вершин.


1. Какая функция называется целевой?2. Что называется задачей линейного программирования?3. Какая задача линейного программирования называется задачей,

записанной в канонической форме?4. Какая задача линейного программирования называется задачей,

записанной в симетрической форме?

37

ЛЕКЦИЯ 3Графический метод решения задач линейного

программирования

3.1. Алгоритм нахождения оптимального решения

Графический метод целесообразно использовать для решения задачс двумя переменными, записанных в симметричной форме, а также длязадач со многими переменными при условии, что в их каноническойзаписи содержится не более двух свободных переменных.

В случае двух переменных задачу можно записать в виде:

f = c1x1 + c2x2 → max; (3.1)a11x1 + a12x2 ≤ b1,. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 ≤ bm,

(3.2)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. (3.3)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каж-дое из ограничений (3.2), (3.3) задает на плоскости x1Ox2 некоторуюполуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Но пересечениелюбого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. От-сюда следует, что область допустимых решений задачи (3.1) – (3.3) естьвыпуклое множество.

38

На рисунке 3.1 представлены возможные ситуации, когда область до-пустимых решений задачи линейного программирования – выпуклыймногоугольник (a), неограниченная выпуклая многоугольная область(б), единственная точка (в), прямая линия (г), луч (д), отрезок (е), пу-стое множество (ж).

Перейдем к геометрической интепретации целевой функции. Пустьобласть допустимых решений задачи линейного программирования –непустое множество, например A1A2A3A4A5A6 (рисунок 3.2). Вы-берем произвольное значение целевой функции f = f0. Получимc1x1 + c2x2 = f0. Это уравнение прямой линии. В точках NM целеваяфункция сохраняет одно и то же постоянное значение f0. Считая в ра-венстве (3.1) f параметром, получим уравнение семейства параллельныхпрямых, называемых линиями постоянного значения.

Возникает вполне естественный вопрос: как установить направлениевозрастания (убывания) целевой функции? Найдем частные производ-ные целевой функции по x1 и x2:

∂f

∂x1= c1, (3.4)

∂f

∂x2= c2. (3.5)

Частная производная (3.4), (3.5) функции показывает скорость ее воз-растания вдоль данной оси. Следовательно, c1 и c2 – скорости возраста-

39

О

2x

1x

a

О

2x

1x

б

О

2x

1x О

2x

1x О

2x

1x

в г д

еж

О

2x

1x

О

2x

О

2x

1x1

x

Рисунок 3.1. – Области допустимых решений задач линейного программирования

ния f соответственно вдоль осей Ox1 и Ox2. Вектор −→c = (c1, c2) называ-ется градиентом функции. Он показывает направление наискроейшеговозрастания целевой функции:

c =

(∂f

∂x1,∂f

∂x2

).

Вектор −→−c указывает направление наискорейшего убывания целевойфункции. Его называют антиградиентом. Вектор −→c = (c1, c2) перпен-дикулярен к прямым f = const семейства c1x1 + c2x2 = f .

40

О

2x

1x

5A

4A3A

2A

6A

W

M0F =

N

1min ( )F f A=

C

4max ( )F f A=

1A

Рисунок 3.2. – Геометрическая интерпретация целевой функции

Из геометрической интепретации элементов задачи линейного про-граммирования следует порядок ее графического решения.

1) C учетом системы ограничений строим область допустимых реше-ний Ω.

2) Строим вектор −→c = (c1, c2) наискорейшего возрастания целевойфункции – вектор градиентного направления.

3) Проводим произвольную линию уровня f = f0 (проще провестилинию f = 0, перпендикулярную вектору −→c ).

41

О

2x

1x

C

*

W

*

*

О

2x

1x

C*

W

*

*

a б

О

2x

1x

W

*

¥

*

О1

x

W

*

О1

x

*

*2x

2x

в г

д в

О1

x

*

2x

*

**

C*

W

C

*

Рисунок 3.3. – Оптимальное решение для различных видов ОДР

4) При решении задачи на максимум перемещаем линию уров-ня f = f0 в направлении вектора −→c так, чтобы она касалась областидопустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке) (на ри-сунке 3.2 – до точки A4). В случае решения задачи на минимум линиюуровня f = f0 перемещаем в антиградиентном направлении (на рисунке3.2 – до точки A1).

42

5) Определяем оптимальный план x∗ = (x∗1, x∗2) и экстремальной зна-

чение целевой функции f ∗ = f(x∗).Из рисунка 3.3 видно, что:– для случая (a) оптимальный план единственный;– для случая (б) имеется бесконечное множество оптимальных пла-

нов;– для случая (в,г) целевая функция неограничена (т.е. не имеет ре-

шения),– для случая (д) область допустимых решений состоит из единствен-

ной точки, где целевая функция достигает одновременно и максималь-ного, и минимального значений;

– для случая (е) задача не имеет решения: область допустимых ре-шений есть пустое множество.

Задачу со многими переменными можно решить графически, если вее канонической записи присутствует не более двух свободных перемен-ных, т.е. n− r ≤ 2, где n – число переменных, r – ранг матрицы систе-мы ограничительных уравнений задачи. Чтобы решить такую задачу,систему ограничительных уравнений надо преобразовать к разрешен-ному виду, т.е. выделить некоторый базис переменных. Затем базисныепеременные следует опустить и перейти к эквивалентной системе нера-венств. Целевая функция также должна быть выражена только черезсвободные переменные. Полученную двухмерную задачу решают обыч-ным графическим методом. Найдя две координаты оптимального реше-

43

ния, подставляют их в ограничительные уравнения исходной задачи иопределяют остальные координаты оптимального решения.

Решая графически полученную двухмерную задачу, следует помнить,что на каждой граничной прямой соответствующее неравенство обраща-ется в равенство, поэтому опущенная при образовании этого неравенствабазисная переменная равна нулю. В связи с этим в каждой из вершинобласти допустимых решений по крайней мере две переменные исходнойзадачи принимают нулевые значения.


1. Для какого количества применных применяется графический ме-тод решения задач линейного программирования?

2. Какова геометрическая интерпретация целевой функции?3. Сформулируйте алгоритм решения задачи линейного программи-

рования графическим методом?

44

Практическое занятие 1

Тема: Графический метод решения задач линейного программиро-вания.

Цель: Практическое закрепление графического метода при решениизадач линейного программирования

Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного про-граммирования.

f = 2x1 + 3x2 → max(min)x1 + x2 ≤ 6,x1 + 4x2 ≥ 4,2x1 − x2 ≥ 0,x1, x2 ≥ 0.

J Для построения области допустимых решений строим в системеx1Ox2 соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничныепрямые:

x1 + x2 = 6, x1 + 4x2 = 4, 2x1 − x2 = 0.

Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравен-ства. Для этого вследствие выпуклости любой полуплоскости достаточ-но взять произвольную точку, через которую не проходит соответству-ющая граничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная

45

точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравен-ство выполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В про-тивном случае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. Вкачестве пробной точки часто удобно брать начало координат O(0, 0).Для нашего примера область допустимых решений – множество точекчетырехугольника ABCD (рисунок 1).

О

2x

1x

A

D

C

B

c

0F =minF

maxF

Рисунок 1. – ОДР является множество точек четырехугольника ABCD

Строим вектор −→c = (c1, c2) = (2, 3). Так как он необходим лишь длявыяснения направления возрастания целевой функции, иногда для боль-шей наглядности удобно строить вектор λc (λ > 0). Перпендикулярно к

46

вектору c проводим линию уровня f = 0. Параллельным перемещениемпрямой f = 0 находим крайнюю точку B, в которой целевая функциядостигает максимума, и точку A, в которой достигается минимум. Ко-ординаты точки B определяются системой

x1 + x2 = 6, 2x1 − x2 = 0,

откуда B(2, 4), fmax = f(B) = 16. Точку минимума A находим, решаясистему уравнений граничных прямых

x1 + 4x2 = 4, 2x1 − x2 = 0.

Имеем A(

49 ,

89

), fmin = f(A) = 32

9 . I

Задание 2. Решить графически следующую задачу линейного про-граммирования из n переменных:

f = 8x1 + 4x2 + 2x4 − 16→ max2x1 + x2 + x3 = 28,x2 + x4 = 16,x1 + x2 − x5 = 8,2x1 − 3x2 + x6 = 12xj ≥ 0, (j = 1, 6).

47

J В нашем случае n = 6, а m = 4 и n −m = 2. Приводя известнымспособом, описанный в примере 2.3, систему ограничений-равенств к эк-вивалентной системе неравенств, получаем сначала систему уравнений

x3 = −2x1 − x2 + 28,x4 = 16− x2,

x5 = x1 + x2 − 8,x6 = −2x1 + 3x2 + 12,

а затем систему неравенств2x1 + x2 ≤ 28,x2 ≤ 16,x1 + x2 ≥ 8,2x1 − 3x2 ≤ 12,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

В итоге получаем задачу линейного программирования с двумя неиз-вестными

f = 8x1 + 2x2 − 16→ max2x1 + x2 ≤ 28,x2 ≤ 16,x1 + x2 ≥ 8,2x1 − 3x2 ≤ 12,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

48

О

( )1

( )2

( )3

( )4

C

r

2 4 6 8 10 12 14 16 18

5

10

15

20

25

30

35

15-

10-

5-2-

Рисунок 2. – Оптимальное решение в точке x∗1 = 12, x∗2 = 4

Решение этой задачи представлено на рисунке 2: максимум достига-ется в точке с координатами x∗1 = 12, x∗2 = 4. Используя приведенныеуравнения, находим: x∗3 = 0, x∗4 = 12, x∗5 = 8, x∗6 = 0. Таким образом,x∗(12, 4, 0, 12, 8, 0), fmax = 120. I

49

ЛЕКЦИЯ 4Симплекс метод решения задач линейного программирования

4.1. Алгоритм нахождения опорного и оптимального решениязадачи

Графический способ применим к весьма узкому классу задач линей-ного программирования: эффективно им можно решать задачи, содер-жащие не более двух переменных. Одним из универсальных методовявляется симплекс-метод, называемый также методом последователь-ного улучшения плана.

Пусть задача записана в канонической форме:

f =n∑j=1

cjxj → max, (4.1)

n∑j=1

aijxj = ai0(i = 1,m), (4.2)

xj ≥ 0 (j = 1, n). (4.3)Если задача (4.1) – (4.3) разрешима, то ее оптимальный план совпа-

дает, по крайней мере, с одним из опорных решений (планов) системыуравнений (4.2). Именно этот опорный план и отыскивается симплекс-методом в результате упорядоченного перебора опорных планов. При-менительно к задаче (4.1) – (4.3) упорядоченность понимается в том

50

смысле, что при переходе от одного опорного плана к другому соответ-ствующие им значения целевой функции (4.1) возрастают (не убывают).Поэтому симплекс-метод называют методом последовательного улучше-ния плана. Поскольку общее число опорных планов не превышает Cr

n, точерез конечное число шагов будет либо найден оптимальный опорныйплан, либо установлена неразрешимость задачи.

Решение задачи (4.1) – (4.3) складывается из двух этапов: на первомнаходят какой-либо начальный опорный план x0, на втором – по специ-альным правилам переходят от начального плана x0 к другому, болееблизкому к оптимальному, опорному плану x1, затем к следующемуx2 и так до тех пор, пока задача не будет решена.

Итак, для нахождения начального опорного плана задачи (4.1) – (4.3)можно предложить следующий алгоритм нахождения опорного плана:

1) Записать задачу в форме жордановой таблицы так, чтобы все эле-менты столбца свободных членов были неотрицательными, т.е. выпол-нялось неравенство ai0 ≥ 0 (i = 1,m). Те уравнения системы (4.2), вкоторых свободные члены отрицательны, предварительно умножаютсяна −1. Таблицу 4.1 называют симплексной;

2) Таблицу 4.1 преобразовать шагами жордановых исключений, за-мещая нули в левом столбце соответствующими x. При этом на каждомшаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хо-тя бы один положительный элемент. Строка целевой функции на выборразрешающих столбцов на данном этапе никакого влияния не оказыва-

51

ет. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношенийсвободных членов к соответствующим положительным элементам раз-решающего столбца (такие отношения будем называть симплексными).

Таблица 4.1.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 . . . −xn

0 = a10 a11 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . .0 = am0 am1 . . . amnf 0 −c1 . . . −cn

Заметим, что один шаг жорданова исключения с выбранным разре-шающим элементом (разрешающий элемент находится на пересеченииразрешающей строки и разрешающего столбца) переводит таблицу 4.1 вновую таблицу 4.2 по схеме, состоящей из следующих четырех правил:

1) разрешающий элемент заменяется обратной величиной;2) элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;3) элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий эле-

мент и меняют знаки;4) остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника, т.е.

преобразованный элемент таблицы 4.2 равен разности произведений эле-

52

ментов, расположенных на главной и побочной диагоналях, деленной наразрешающий элемент таблицы 4.1, где главной диагональю этого пря-моугольника называется диагональ, на которой расположены разреша-ющий и преобразуемый элементы, а другая диагональ – побочной.

Сформулированного правила следует придерживаться независимо оттого, в какой вершине прямоугольника расположен разрешающий эле-мент.

В ходе жордановых исключений столбцы под "переброшенными" наверх таблицы нулями (разрешающие столбцы) можно вычеркивать. Под-лежат вычеркиванию и строки, состоящие из одних нулей.

Если в процессе исключений встретится 0-строка, все элементы ко-торой – нули, а свободный член отличен от нуля, то система ограничи-тельных уравнений решений не имеет.

Если же встретится 0-строка, в которой кроме свободного члена, дру-гих положительных элементов нет, то система ограничительных урав-нений не имеет неотрицательных решений.

Если система ограничительных уравнений совместна, то через неко-торое число шагов все нули в левом столбце будут замещены x и темсамым получен некоторый базис, а, следовательно, и отвечающий емуопорный план (таблица 4.2). Чтобы выписать из таблицы компонентыопорного плана, надо положить равными нулю свободные переменные,тогда базисные переменные будут равны соответствующим сво-бодным членам: x1 = b10, . . ., xr = br0, xr+1 = 0,. . ., xn = 0 или

53

x0 = (b10, . . ., br0, 0, . . . , 0). Отвечающее опорному плану x0 значениефункции f равно свободному члену b00, т.е. f(x0) = b00.

Таблица 4.2.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −xr+1 . . . −xn

x1 = b10 b11 . . . b1,n−r. . . . . . . . . . . . . . .xr = br0 br1 . . . br,n−rf b00 b01 . . . b0,n−r

В случае, когда в столбце свободных членов имеются отрицательныечисла, разрешающий элемент выбирают следующим образом:

1) просматривают строку, отвечающую какому-либо отрицательно-му свободному члену, например t-строку, и выбирают в ней какой-либоотрицательный элемент, а соответствующий ему столбец принимают заразрешающий (предполагается, что ограничения задачи совместны);

2) составляют отношения элементов столбца свободных членов к со-ответствующим элементам разрешающего столбца, имеющего одинако-вые знаки (симплексные отношения);

3) из симплексных отношений выбирают наименьшее, оно и опреде-лит разрешающую строку (например, p-строка);

54

4) на пересеченииразрешающих столбца и строки находят разрешаю-щий элемент, с которым и делают шаг жорданова исключения.

Нахождение оптимального опорного плана. Начальный опор-ный план x0 исследуется на оптимальность.

1. Если в f -строке нет отрицательных элементов (не считая свобод-ного члена), – план оптимален.

В самом деле, из таблицы 4.2 видно, что

f = b00 − (b01xr+1 + ...+ b0,n−rxn) ,

откуда следует, что при b01 ≥ 0, ..., b0,n−r ≥ 0 увеличение любой из сво-бодных переменных xr+1, ..., xn вызывает уменьшение f . Следовательно,наибольшего значения f достигает при xr+1 = ... = xn = 0 (отрицатель-ными они быть не могут в силу условия (4.3), т.е. при x0.

Если в f -строке нет также и нулевых элементов, то оптимальный планединственный; если же среди элементов есть хотя бы один нулевой, тооптимальных планов бесконечное множество.

2. Если в f -строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а всоответствующем ему столбце нет положительных, то целевая функцияне ограничена в допустимой области (f →∞). Задача неразрешима.

3. Если в f -строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в каж-дом столбце с таким элементом есть хотя бы один положительный, томожно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптималь-ному. Для этого столбец с отрицательным элементом в f -строке берут

55

за разрешающий (если в f -строке отрицательных элементов несколько,разрешающим выбирают столбец с наибольшим по абсолютной величинеотрицательным элементом); определяют по минимальному симплексно-му отношению разрешающую строку и делают шаг жорданова исклю-чения. Полученный опорный план вновь исследуют на оптимальность.

Описанный процесс повторяется до тех пор, пока не будет найденоптимальный опорный план либо установлена неразрешимость задачи.

Замечание 4.1. Поскольку min f = max (−f), задачу минимиза-ции можно формально заменить задачей максимизации функции −f .Но можно этого и не делать. Признаком оптимальности опорного планазадачи минимизации является отсутствие положительных элементов вf -строке симплекс-таблицы, содержащей опорный план. Вся остальнаявычислительная процедура остается прежней.

Понятие о вырожденном решении. При решении задач линейнойоптимизации мы полагали, что среди элементов правых частей системыограничений нет нулевых элементов. Если же среди базисных неизвест-ных в исходной задаче имеется одна или несколько неизвестных, равныхнулю, или нулевое значение базисной неизвестной получено на каком-то шаге симплексных преобразований, то налицо вырожденная задачалинейной оптимизации. Вырожденность может иметь место при нахож-дении опорного и оптимального решений задачи. Способы ликвидации

56

вырожденности в обоих случаях одни и те же. Рассмотрим, чем "опасна"вырожденность.

Итак, если мы находим опорное решение, то, в соответствии с ал-горитмом, за разрешающий столбец принимаем тот, который содержитотрицательный элемент в строке с отрицательным свободным членом.Разрешающей строкой в этом случае будет та, в которой базисная неиз-вестная равна нулю, так как наименьшее отношение будет равно нулю.Это значит, что величина новой переменной, вводимой в базис, будетравна нулю, и решение в новой симплексной таблице останется неопор-ным. При продолжении процесса нахождения опорного решения строкас нулевым элементом в столбце свободных членов будет оставаться раз-решающей, а изменения будут происходить в наборе базисных и неба-зисных неизвестных, и мы можем прийти к таблице, которая уже была,т.е. может наступить случай зацикливания (возврат к старому базису).

Чтобы избежать вырожденности, а, следовательно, и зацикливания,искусственно припишем нулевому элементу в столбце свободных членовзнак плюс, а разрешающим столбцом будем выбирать тот, в котором на-ходятся два отрицательных элемента: один в строке с отрицательным,а другой в строке с нулевым свободным членом. Тогда согласно обще-му правилу нахождения неотрицательного наименьшего симплексногоотношения, строка с нулевым свободным членом не может быть разре-шающей. Разрешающей будет другая строка, и при расчете элементов

57

новой таблицы вместо нулевого элемента в столбце свободных членовпоявится ненулевое число, т.е. решение будет невырожденным.

Аналогично поступаем с вырожденной задачей и при нахождении оп-тимального решения. В этом случае в качестве разрешающего столбцарекомендуется выбирать тот, в котором находится один отрицательныйэлемент в строке функции, а второй отрицательный элемент – в строкес нулевым свободным членом, которому приписывается знак плюс.

Разрешающая строка находится, как всегда, по наименьшему сим-плексному отношению, не считая строки с нулевым свободным членом.

Если при нахождении опорного или оптимального решения задачиневозможно выбрать разрешающий столбец, в котором был бы отрица-тельный элемент в строке с нулевым свободным членом, то разрешаю-щие столбец и строка находятся по общему правилу и осуществляетсярасчет элементов новой таблицы. После расчета изменится набор базис-ных и небазисных неизвестных, поменяются числа в таблице, и, возмож-но, найдется столбец, в котором будут отрицательные числа: одно – встроке с нулевым свободным членом, а другое – в строке с отрицатель-ным свободным членом, если находится опорное решение; или же одно– в строке функции, а другое – в строке с нулевым свободным членом,если находится оптимальное решение задачи.

Если же снова свободный член в таблице будет отрицательным, топри дальнейших расчетах рекомендуется следить, нет ли зацикливания.

58


1. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана задачи ли-нейного программирования?

2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана задачилинейного программирования?

3. Что такое вырожденное решение задачи?

59


Тема: Симплекс метод решения задач линейного программирования.Цель: Практическое закрепление симплекс метода при решении за-

дач линейного программирования

Задание 1. Найти какой-либо опорный план задачи

f = 3x1 − x2 + 5→ max,x1 + x2 − x3 − x4 = −4;x1 − 2x2 − x3 − x5 = −7;2x1 − x2 + x4 + x5 = 7;xj ≥ 0 (j = 1, 5).

J Задача записана в канонической форме, но два свободных членаотрицательны, поэтому, перед тем как записать задачу в форме таблицы,умножим первое и второе уравнения на −1. В результате все свободныечлены в исходной симплексной таблице 1 положительны.

А теперь будем перебрасывать нули из левого столбца на верх табли-цы. Для первого шага жорданова исключения возьмем разрешающим,например, четвертый столбец (в нем есть положительные элементы).Разрешающая строка определится по минимальному из отношений: 4/1и 7/1. В данном случае min(4/1; 7/1) = 4/1, что соответствует первойстроке, которая и будет разрешающей. Сделав еще два шага жордановых

60

Таблица 1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x4 −x5

0 = 4 −1 −1 1 1 00 = 7 −1 2 1 0 10 = 7 2 −1 0 1 1f = 5 −3 1 0 0 0

Таблица 2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x5

x4 = 4 −1 −1 1 00 = 7 −1 2 1 10 = 3 3 0 −1 1f = 5 −3 1 0 0

исключений (таблицы 2 и 3), приходим к таблице 4, в левом столбце ко-торой уже нет нулей: базис выделен. му соответствует начальный опор-ный план: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 2, x5 = 5 или x0 = (0; 0; 2; 2; 5),f(x0) = 5.

61

Таблица 3.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3

x4 = 4 −1 −1 10 = 4 −4 2 2x5 = 3 3 0 −1

f = 5 −3 1 0

Таблица 4.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x4 = 2 1 −2

x3 = 2 −2 1x5 = 5 1 1f = 5 −3 1

Мы нашли опорный план в базисе x3, x4, x5. Если таблицу 1 преобра-зовывать с другими разрешающими элементами, то получится, вообщеговоря, другой базис, а, следовательно, и другой опорный план. I

62

Задание 2. Найти какой-нибудь опорный план задачи

f = x1 − 3x2 − 2x3 − x4 + 5→ max,4x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 2,2x1 − x2 + x3 − x4 = 3,2x1 − x2 + 5x3 − 6x4 = 1,xj ≥ 0 (j = 1, 4).

J Записав задачу в таблицу 5 и сделав два шага жордановых исклю-чений, замечаем, что во второй строке таблицы 7 все элементы, кромесвободного члена, – нули; получаем 0 = 2.

Таблица 5.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x4

0 = 2 4 −2 −2 3

0 = 3 2 −1 1 −1

0 = 1 2 −1 5 −6

f 5 −1 3 2 1

Следовательно, система ограничительных уравнений несовместна. За-дача неразрешима.

63

Таблица 6.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x3 −x4

0 = 0 0 −12 150 = 2 0 −4 5

x1 = 1/2 −1/2 5/2 −3

f 11/2 5/2 9/2 −2

Таблица 7.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x3

x4 = 0 0 −4/5

0 2 0 0

x1 = 1/2 −1/2 1/10

f 11/2 5/2 29/10

.I

Задание 3. Решить задачу

f = 2x1 + 3x2 → max,

64

3x1 + 2x2 − x3 = 84,3x1 + 13x2 − x4 = 150,xj ≥ 0 (j = 1, 4).

J Записав задачу в виде симплекс-таблицы и сделав два шага жор-дановых исключений с разрешающими элементами, выбранными средиположительных чисел основной части таблиц и соответствующими ми-нимальным симплексным отношениям (таблицы 8 – 10), получаем на-чальный опорный план: x0 = (24, 6, 0, 0). План этот неоптимален, таккак в f -строке содержащей его таблицы 10 имеются отрицательные эле-менты.

Таблица 8.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x4

0 = 84 3 2 −1 0

0 = 150 3 13 0 −1

f 0 −2 −3 0 0

Для очередного шага разрешающим возьмем первый столбец, так какв f -строке ему соответствует наибольший по абсолютной величине от-рицательный элемент (−17/33). В этом столбце только один положи-тельный элемент, он и будет разрешающим. В результате шага получа-

65

Таблица 9.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x3 −x4

x1 = 28 2/3 −1/3 0

0 = 66 11 1 −1

f 56 −5/3 −2/3 0

Таблица 10.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x3 −x4

x1 = 24 −13/33 2/33

x2 = 6 1/11 −1/11

f 66 −17/33 −5/33

ем таблицу 11 с новым опорным планом x1 = (50, 0, 66, 0). При этом вf -строке один из элементов имеет отрицательный знак. Однако в столб-це над этим элементом нет ни одного положительного. Это говорит онеограниченности функции в области допустимых решений. Задача ре-шена.

66

Таблица 11.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x4

x1 = 50 13/3 −1/3

x3 = 66 11 −1

f 100 17/3 −2/3

О

maxf ® ¥

2x

1x

30x =

40x =

566x =

1 23 2 84x x+ =

1 23 13 150x x+ =

0f = 100f =

20x =

c

6x

10x =

Рисунок 1. – Графическое решение задания 3

На рисунке 1 приведено ее графическое решение. Начальный опор-ный план (24, 6, 0, 0) соответствует на рисунке 1 вершине x0 областидопустимых решений. В ней f = 66. После шага жорданова исключенияполучен новый опорный план (50, 0, 66, 0), которому на рисунке отвечает

67

следующая вершина x1. В этой вершине значение функции f возрослодо f = 100. Но и этот опорный план, как видно из рисунка, не явля-ется наилучшим, ибо вспомогательную прямую f = 0 можно смещатьв направлении вектора −→c (в направлении возрастания значений f) какугодно далеко, поскольку область допустимых решений неограничен-на. I

Продемонстрируем на примерах решения задач с производственнымсодержанием наиболее часто используемые в практике приемы преобра-зования моделей и способы рационализации расчетов.

Задание 4. Полосы листового проката длиной 200 см необходиморазрезать на заготовки трех типов: А, Б и В длиной соответственно 57,82 и 101 см для производства 50 изделий. На каждое изделие требуетсяпо 4 заготовки типов А и Б и 5 заготовок типа В. Известны пять способовраскроя одной полосы. Количество заготовок, нарезаемых из одной по-лосы при каждом способе раскроя, приведено в таблице 12. Определить,какое количество полос проката нужно разрезать каждым способом дляизготовления 50 изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими.

J Обозначим через xi количество полос, раскраиваемых j-м способом(j = 1, 5).

Для производства 50 изделий необходимо 4 × 50 = 200 заготовоктипа А, 200 – типа Б и 250 – типа В. Если использовать все способыраскроя, то общее количество заготовок типа А при условии, что I спо-

68

Таблица 12.

Способраскроя

Количество заготовок типаТип А Тип Б Тип В

I 3 − −II 2 1 −III 1 − 1

IV − 2 −V − 1 1

собом раскроено x1 полос, II – x2 полос и т.д., можно выразить суммой3x1 + 2x2 +x3 + 0x4 + 0x5. По условию эта сумма должна равняться 200:

3x1 + 2x2 + x3 = 200. (1)

Аналогично получаются условия по другим типам заготовок:

x2 + 2x4 + x5 = 200, (2)

x3 + x5 = 250. (3)

По смыслу задачиxj ≥ 0 (j = 1, 5). (4)

Чтобы составить целевую функцию, выражающую суммарную вели-чину отходов, подсчитаем сначала величины отходов при раскрое одной

69

полосы по каждому из способов. Отходы от каждой полосы составят приI способе 200− 57× 3 = 29 см, при II способе 200− (57× 2 + 82) = 4 см,при III, IV и V – соответственно 42, 36 и 17 см.

Суммарную величину отходов можно выразить в виде

f = 29x1 + 4x2 + 42x3 + 36x4 + 17x5. (5)

Итак, задача заключается в нахождении решения (x∗1, x∗2, x∗3, x∗4, x∗5)

системы линейных уравнений и неравенств (1) – (5), доставляющего ми-нимум линейной функции (5).

f = 29x1 + 4x2 + 42x3 + 36x4 + 17x5 → min,3x1 + 2x2 + x3 = 200,x2 + 2x4 + x5 = 200,x3 + x5 = 250,xj ≥ 0, (j = 1, 5).

Модель имеет каноническую форму, и все свободные члены положи-тельны, поэтому никаких предварительных преобразований не требу-ется. Записав задачу в симплекс-таблицу типа таблицы 4.1, известнымспособом (см. задание 2 практического занятия 1) находим начальныйопорный план (таблица 13). Он неоптимален, так как в f -строке име-ются положительные элементы (напомним, что рассматривается задачаминимизации!). Выберем разрешающим, например, второй столбец. Раз-

70

решающим элементом в нем будет 3/2, так как

min(200 : 2, 75 : 3/2) = 75 : 3/2.

После шага жорданова исключения приходим к таблице 14, содержащейопорный план x∗1 = (0, 50, 100, 0, 150). Этот план оптимален, ибо в f -строке нет положительных элементов.

Таблица 13.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x3 = 200 3 2

x4 = 75 3/2 3/2x5 = 50 −3 −2

f 11950 100 100

Но в f -строке присутствует нулевой элемент. Это свидетельствует отом, что существует еще один опорный оптимальный план. Найти егоможно, преобразовав шагом жорданова исключения таблицу 14 с разре-шающим столбцом, содержащим нулевой элемент f -строки. Разрешаю-щая строка определяется, как обычно, по минимальному симплексномуотношению. Второй опорный оптимальный план (таблица 15) имеет видx∗2 = (50, 0, 50, 0, 200). Но в таком случае любая выпуклая линейная ком-

71

Таблица 14.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x4

x3 = 100 1 −4/3

x2 = 50 1 2/3

x5 = 150 −1 4/3

f 6950 0 −200/3

Таблица 15.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x4

x3 = 50

x1 = 50x5 = 200

f 6950 0 −200/3

бинация опорных планов x∗1 и x∗2:

x∗ = λx∗1 + (1− λ)x∗2 = λ(0, 50, 100, 0, 150) + (1− λ)(50, 0, 50, 0, 200) =

= (50− 50λ, 50 + 50λ, 0, 200− 50λ),

72

где 0 ≤ λ ≤ 1, также будет представлять собой оптимальный план.Наличие не единственного оптимального плана с практической точки

зрения очень удобно, так как имеется возможность выбрать параметр λс учетом других показателей, характеризующих план, но не нашедшихотражения в целевой функции. По смыслу нашей задачи компоненты оп-тимального плана должны выражаться целыми числами, и это следуетпомнить при выборе λ. I

Задание 5. Предприятие выпускает три вида продукции: I, II, III.Для производства продукции оно располагает ресурсами в следующихобъемах (единиц): комплектующие изделия – 3120, сырье – 3000, ма-териалы – 3150. Расход ресурсов на единицу продукции каждого видапредставлен в таблице 16.

Таблица 16.

Ресурсы Вид продукцииВид I Вид II Вид III

Комплектующие изделия 4 6 8Сырье 2 8 10

Материалы 6 9 4

Прибыль от единицы продукции I вида составляет 240 млн руб., II –210 млн руб. и III – 180 млн руб.

73

Требуется определить производственную программу предприятия, обес-печивающую максимальную прибыль.

J Составим математическую модель задачи. Обозначим через x1, x2,x3 искомые объемы производства продукции, а через f – прибыль пред-приятия от производства и реализации всей продукции, которая с уче-том обозначений определяется следующей функцией:

f = 240x1 + 210x2 + 180x3 → max .

Запишем ограничения по ресурсам:4x1 + 6x2 + 8x3 ≤ 3120,2x1 + 8x2 + 10x3 ≤ 3000,6x1 + 9x2 + 4x3 ≤ 3150.

Объемы производства продукции не могут быть отрицательными, по-этому x1, x2, x3 ≥ 0.

Приведем ограничения задачи к каноническому виду, добавив к ихлевым частям соответствующие положительные неизвестные x4, x5, x6.В результате ограничения запишутся в виде равенств:

4x1 + 6x2 + 8x3 + x4 = 3120,2x1 + 8x2 + 10x3 + x5 = 3000,6x1 + 9x2 + 4x3 + x6 = 3150.

74

Дополнительные неизвестные x4, x5, x6 будут базисными, так как имсоответствуют единичные векторы, которые образуют базис в трехмер-ном пространстве. Разрешив систему относительно базисных неизвест-ных, получим:

x4 = −4x1 − 6x2 − 8x3 + 3120 ≥ 0,x5 = −2x1 − 8x2 − 10x3 + 3000 ≥ 0,x6 = −6x1 − 9x2 − 4x3 + 3150 ≥ 0.

Занесем условия задачи в симплексную таблицу 17

Таблица 17.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3

x4 = 3120 4 6 8

x5 = 3000 2 8 10

x6 = 3150 6 9 4

f 0 −240 −210 −180

Базисное решение задачи в таблице 17 следующее: x1 = x2 = x3 = 0(как небазисные неизвестные), т.е. предприятие продукции не выпускает.Тогда x4 = 3120, x5 = 3000, x6 = 3150. Переменные x4, x5, и x6 означаютколичество неиспользуемых ресурсов. В самом деле, коль продукция не

75

выпускается, то, естественно, ресурсы не используются, и прибыль приэтом равна нулю (f = 0).

Решение задачи опорное, так как базисные неизвестные принимаютположительные значения. Переходим к поиску оптимального решения.

В строке функции наибольший по абсолютной величине (среди отри-цательных) элемент находится в первом столбце, поэтому этот столбецберем за разрешающий.

Разрешающую строку находим по наименьшему симплексному отно-шению

min

(3120

4,3000

2,3150

6

)= min (780, 1500, 525) = 525.

Таблица 18.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x3

x4 = 1020 −2/3 0 16/3x5 = 1950 −1/3 5 26/3

x1 = 525 1/6 3/2 2/3

f 126000 40 150 −20

76

Наименьшее симплексное отношение соответствует 3-й строке, сле-довательно, она будет разрешающей. Рассчитаем элементы новой сим-плексной таблицы 18.

Решение в таблице 18 не является оптимальным, так как в строкефункции имеется отрицательный элемент −20.

В соответствии с алгоритмом выберем разрешающий элемент 16/3 иосуществим еще одно симплексное преобразование.

Таблица 19.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x4

x3 = 191, 25

x5 = 292, 5x1 = 397, 5

f 129825 40 150 −20

Так как в строке функции таблицы 19 нет отрицательных элементов,то оптимальное решение задачи найдено, оно будет следующее:x1 = 397, 5, x2 = 0, x3 = 191, 25, x4 = x6 = 0, x5 = 292, 5, fmax = 129825(млн. руб). I

77

Задание 6. Найти максимум функции f = −12x1 + 5x2 при ограни-чениях:

x2 ≤ 3,3x1 − 5x2 ≤ 0,−2x1 − x2 ≤ −3,−4x1 + x2 ≤ 4,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

J После приведения системы ограничений к каноническому виду инахождения базисных неизвестных имеем:

x3 = −x2 + 3 ≥ 0,x4 = −3x1 + 5x2 ≥ 0,x5 = 2x1 + x2 − 3 ≥ 0,x6 = 4x1 − x2 + 4 ≥ 0,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Заносим условия задачи в исходную симплексную таблицу 20. Так какбазисная неизвестная x4 = 0, то имеем вырожденную задачу, в которойрешение неопорное, ввиду того что x5 = −3.

Находим опорное решение. Чтобы определить разрешающий столбец,просматриваем строку с отрицательным свободным членом и фиксиру-ем в ней отрицательные элементы в первом и втором столбцах, однакоучитывая, что задача вырожденная, за разрешающий столбецберем 2-й, так как в этом столбце и строке с нулевым свободным чле-

78

Таблица 20.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x3 = 3 0 1

x4 = +0 3 −5

x5 = −3 −2 −1

x6 = 4 −4 1

f 0 12 −5

ном стоит отрицательное число −5. Разрешающая строка определена понаименьшему симплексному отношению

min

(3

1,+0

−5,−3

−1,4

1

)= −1.

С разрешающим элементом −1 рассчитываем новую таблицу 21, ре-шение в которой опорное и вырожденное.

Переходим к нахождению оптимального решения. Разрешающим стол-бцом в таблице 21 выбираем 2-й, так как нет других вариантов выбора.Разрешающий элемент находим по наименьшему симплексному отноше-нию

min

(0

1,

15

−5,

3

−1,1

1

)= 0.

79

Таблица 21.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x5

x3 = 0 −2 1

x4 = 15 13 −5

x2 = 3 2 −1

x6 = 1 −6 1

f 15 22 −5

Таблица 22.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x3

x5 = 0 −2 1

x4 = 15 3 5

x2 = 3 0 1

x6 = 1 −4 −1

f 15 12 5

В таблице 22 решение оптимальное. Оно следующее:

x1 = x3 = x5 = 0, x2 = 3, x4 = 15, x6 = 1, fmax = 15. I

80

ЛЕКЦИЯ 5Метод искусственного базиса решения задач линейного


5.1. Алгоритм нахождения оптимального решения

В задачах линейного программирования, где все ограничения явля-ются равенствами или неравенствами типа "≤" (с неотрицательной пра-вой частью), базисные переменные позволяют сформировать начальноеопорное решение. Естественно, возникает вопрос: как найти начальноеопорное решение в задачах линейного программирования, где есть огра-ничения в виде неравенств типа "≥"? Наиболее общим способом построе-ния начального опорного решения задачи линейного программированияявляется использование искусственных переменных. Эти переменные впервой симплексной таблице играют роль базисных переменных, но в по-следующих симплексных таблицах от них освобождаются. Разработантак называемый M -метод нахождения начального опорного решения,который использует искусственные переменные.

Пусть система ограничений имеет видn∑j=1

aijxij ≥ bi, bi ≥ 0, (i = 1,m).

Сведем ее к эквивалентной вычитанием дополнительных переменныхxn+i ≥ 0 (i = 1,m) из левых частей неравенств системы. Получим си-

81

стемуn∑j=1

aijxj − xn+i = bi, bi ≥ 0, (i = 1,m).

Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного ви-да, так как дополнительные переменные xn+i входящие в левую часть(при bi ≥ 0) с коэффициентами, равными −1. Поэтому, вообще говоря,базисный план

x0 =

0, 0, . . . , 0︸︷︷︸n

,−b1,−b2, . . . ,−bm

является недопустимым. В этом случае вводится так называемый ис-кусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имею-щих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные ωi.В целевую функцию переменные ωi вводят с коэффициентом M в слу-чае решения задачи на минимум и с коэффициентом −M для задачина максимум, гдеM – большое положительное число. Полученная зада-ча называетсяM -задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеетпредпочтительный вид.

Пусть исходная задача линейного программирования имеет вид:

f =n∑j=1

cjxj → max(min), (5.1)

82

n∑j=1

aijxj = bi, bi ≥ 0, (i = 1,m), (5.2)

xj ≥ 0 (j = 1, n). (5.3)

Причем ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной.M -задача запишется так:

F =n∑j=1

cjxj − (+)m∑i=1

Mωi, (5.4)

n∑j=1

aijxj + ωi = bi, (i = 1,m), (5.5)

xj ≥ 0 (j = 1, n), ωi ≥ 0 (i = 1,m), (5.6)

где знак "–" в функции (5.4) относится к задаче на максимум. Задача(5.4) – (5.6) имеет предпочтительный вид. Ее начальный опорный план

x0 =

0, 0, . . . , 0︸︷︷︸n

, b1, b2, . . . , bm

.

Если некоторые из уравнений (5.2) имеют предпочтительный вид, тов них не следует вводить искусственные переменные.

Получение оптимального опорного плана исходной задачи основанона следующих утверждениях:

83

1) если в оптимальном плане M -задачи все искусственные перемен-ные ωi = 0 (i = 1,m), т.е. x∗ = (x∗1, . . . , x

∗n, 0, . . . , 0), то план

x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) является оптимальным планом исходной задачи.

2) если в оптимальном плане M -задачи по крайней мере одна из ис-кусственных переменных положительна при любом большом M , то ис-ходная задача не имеет ни одного плана.

3) если M -задача не имеет решения, то и исходная задача неразре-шима.


1. Какого вида должны быть ограничения, чтобы нужно было решатьзадачу линейного программирования методом искусственного базиса?

2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения за-дачи линейного программирования методом искусственного базиса.

84


Тема: Метод искусственного базиса решения задач линейного про-граммирования.

Цель: Практическое закрепление метода искусственного базиса прирешении задач линейного программирования

Задание 1. Решить методом искусственного базиса задачу линейно-го программирования.

f = 3x1 + 2x2 + 3x3 → min2x1 + x2 + x3 ≤ 2,

3x1 + 8x2 + 2x3 ≥ 8,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 1.

J Сведем задачу к каноническому виду. Получим:

f = 3x1 + 2x2 + 3x3 + 0 · x4 + 0 · x5 + 0 · x6 → min2x1 + x2 + x3 + x4 = 2,3x1 + 8x2 + 2x3 − x5 = 8,x3 − x6 = 1,xj ≥ 0 (j = 1, 6).

Первое ограничение имеет предпочтительную переменную, а второеи третье – нет. Поэтому вводим в них искусственные переменные ω1 и

85

ω2. Приходим к M -задаче:

F = 3x1 + 2x2 + 3x3 + 0 · x4 + 0 · x5 + 0 · x6 +Mω1 +Mω2 → min2x1 + x2 + x3 + x4 = 2,3x1 + 8x2 + 2x3 − x5 + ω1 = 8,x3 − x6 + ω2 = 1,xj ≥ 0 (j = 1, 6), ω1, ω2 ≥ 0.

Таблица 1.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x5 −x6 Θ

x4 2 2 1 1 0 0 2/1 = 2

ω1 8 3 8 2 −1 0 8/8 = 1

ω2 1 0 0 1 0 −1 −F 9M −3 + 3M −2 + 8M −3 + 3M −M −M −

Прежде чем составлять первую симплекс таблицу, выразим функциюF через свободные переменные x1, x2, x3, x5, x6. Для этого из огра-ничительных уравнений найдем x4, ω1 и ω2 и полученные выраженияподставим в функцию F . После упрощения будем иметь

F = 3x1 + 2x2 + 3x3 +M(−3x1 − 8x2 − 3x3 + x5 + x6 + 9).

86

Теперь условие M -задачи занесем в симплексную таблицу 1. По ме-ре вывода из базиса искусственных переменных соответствующие имстолбцы можно опускать.

Таблица 2.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x3 −x5 −x6 Θ

x4 1 13/8 3/4 1/8 0 13/4 = 4

3

x2 1 3/8 1/4 −1/8 0 11/4 = 4

ω2 1 0 1 0 −1 1/1 = 1

F 2 +M −9/4 −5/2 +M −1/4 −M −

Таблица 3.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x5 −x6

x4 1/4 13/8 1/8 3/4

x2 3/4 3/8 −1/8 1/4

x3 1 0 0 −1

F 9/2 −9/4 −1/4 −5/2

87

Так как в симплексной таблице 3 все оценки неположительны: ∆j < 0(j = 1, 6), то план оптимален.

Итак x∗ = (0, 3/4, 1, 1/4, 0, 0), f(x∗) = 9/2. I

88

ЛЕКЦИЯ 6Теория двойственности в задачах линейного


6.1. Алгоритм построения двойственной задачи

Постановка двойственной задачи.Каждой задаче линейного про-граммирования можно поставить в соответствие задачу, называемуюдвойственной к исходной. Пусть дана общая задача линейного програм-мирования (исходная задача):

f =n∑j=1

cjxj → max, (6.1)

n∑j=1

aijxj ≤ bi (i = i,m1, m1 ≤ m),

n∑j=1

aijxj = bi (i = m1 + 1,m),(6.2)

xj ≥ 0 (j = 1, n1, n1 ≤ n), (6.3)

где xj произвольного знака при j = n1 + 1, n.Двойственная к ней задача имеет вид:

F =m∑i=1

biyi → min, (6.4)

89

m∑i=1

aijyi ≥ cj, j = 1, n1, n1 ≤ n,

m∑i=1

aijyi = cj, j = n1 + 1, n,(6.5)

yi ≥ 0, i = 1,m1, m1 ≤ m, (6.6)

yi произвольного знака при i = m1 + 1,m.Задача (6.4) – (6.6), двойственная к задаче (6.1) – (6.3), строится по

следующим правилам:1) упорядочивается запись исходной задачи, т. е. если целевая функ-

ция задачи максимизируется, то ограничения-неравенства должны бытьвида ≤, если минимизируется, то вида ≥. Выполнение этих условий до-стигается умножением соответствующих ограничений на −1;

2) если исходная задача является задачей максимизации, то двой-ственная будет задачей минимизации. При этом вектор, образованныйиз коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи,совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойствен-ной задачи. Аналогично связаны между собой векторы, образованные изкоэффициентов при неизвестных целевой функции двойственной зада-чи, и константы в правых частях ограничений исходной задачи;

3) каждой переменной yi двойственной задачи соответствует i-e огра-ничение исходной задачи, и, наоборот, каждой переменной xj прямойзадачи соответствует j-e ограничение двойственной задачи;

90

4) матрица из коэффициентов при неизвестных двойственной задачиAT образуется транспонированием матрицы A = [aij]m×n, составленнойиз коэффициентов при неизвестных исходной задачи;

5) если на j-ю переменную исходной задачи наложено условие неот-рицательности, то j-e ограничение двойственной задачи будет неравен-ством, в противном случае j-e ограничение будет равенством; аналогич-но связаны между собой ограничения исходной задачи и переменныедвойственной.

Так как двойственная задача по отношению к двойственной являетсяисходной, то задачи (6.1) – (6.3) и (6.4) – (6.6) образуют пару взаимнодвойственных задач.

Дадим экономическую интерпретацию пары двойственных задач. Рас-смотрим задачу рационального использования ресурсов. Пусть предпри-ятие располагает ресурсами b1, b2, . . . , bm, которые могут использоватьсядля выпуска n видов продукции. Пусть также известны стоимость еди-ницы j-ro вида продукции cj (j = 1, n) и норма потребления i-го ресур-са (i = 1,m) на производство единицы j-й продукции – aij. Требуетсяопределить объем производства продукции каждого вида xj (j = 1, n),максимизирующий суммарную стоимость

f = c1x1 + . . .+ cnxn. (6.7)

91

При этом расход ресурсов не должен превышать их наличия:a11x1 + ...+ a1nxn ≤ b1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + ...+ amnxn ≤ bm.

(6.8)

Все неизвестные по своему экономическому смыслу неотрицательны:

xj ≥ 0 (j = 1, n). (6.9)

По исходным данным сформулируем другую экономическую задачу(двойственную).

Предположим, что некоторая организация может закупить все ресур-сы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить опти-мальные цены (оценки) y∗i (i = 1,m) на эти ресурсы исходя из естествен-ного условия, что покупающая организация стремится минимизироватьобщую оценку ресурсов. Следует, однако, учитывать и тот факт, что заресурсы покупающая организация должна уплатить сумму, не меньшуютой, которую может выручить предприятие при организации собствен-ного производства продукции.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

F = b1y1 + . . .+ bnyn → min, (6.10)a11y1 + . . .+ am1ym ≥ c1,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1ny1 + . . .+ amnym ≥ cn,

(6.11)

92

yi ≥ 0 (i = 1,m). (6.12)

Здесь F— общая оценка ресурсов. Каждое j-e ограничение из систе-мы (6.11) представляет собой неравенство, левая часть которого равнаоценке всех ресурсов, расходуемых на производство единицы j-го видапродукции, а правая – стоимости единицы этой продукции.

Заметим, что задачи (6.7) – (6.9) и (6.10) – (6.12) образуют симмет-ричную пару взаимно двойственных задач.

Принцип двойственности. Если одна из двойственных задач имеетоптимальное решение x∗ = (x∗1, . . . , x

∗n), то и другая имеет оптимальное

решение y∗ = (y∗1, . . . , y∗m). При этом экстремальные значения целевых

функций задач совпадают, т.е.

n∑j=1

cjx∗j =

m∑i=1

biy∗i .

Если целевая функция одной из задач двойственной пары не ограни-чена, то другая задача не имеет решения.

Из этого утверждения, являющегося в сущности теоремой двойствен-ности, следует, что: 1) для разрешимости одной из двойственных задачнеобходимо и достаточно, чтобы каждая из задач имела хотя бы однорешение; 2) для того чтобы планы x∗ = (x∗1, ..., x

∗n) и y∗ = (y∗1, . . . , y

∗m)

являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необхо-

93

димо и достаточно, чтобы выполнялось равенствоn∑j=1

cjxj =m∑i=1

biyi.

Заметим, что для решения исходной задачи симплекс-методом потре-бовалось бы выполнить не менее двух итераций. Решение же двойствен-ной задачи найдено за одну итерацию. При решении двойственных задачмогут встретиться следующие случаи: 1) обе задачи разрешимы (имеютпланы); 2) области допустимых решений обеих задач пустые; 3) одназадача имеет неограниченную область допустимых решений, вторая –пустую.

Рассмотрим важное следствие, вытекающее из принципа двойствен-ности, которое в литературе формулируется в виде теоремы о дополни-тельной нежесткости.

Теорема 6.1. Если какая-то переменная x∗j (j = 1, n), оптимально-го решения исходной задачи положительна, то j-e ограничение двой-ственной задачи ее оптимальным решением обращается в строгое ра-венство. Если оптимальное решение исходной задачи обращает какое-тоi-e (i = 1,m) ограничение в строгое неравенство, то в оптимальном ре-шении двойственной задачи переменная yi равна нулю.

Эта теорема справедлива для задач симметричной двойственной па-ры. Для задач, заданных в канонической и общей форме, она справед-

94

лива только при ограничениях, имеющих вид неравенств, и при неотри-цательности переменных.


1. Дайте экономическую интерпретацию пары двойственных задач.2. Сформулируйте алгоритм построения двойственной задачи.

95


Тема: Алгоритм построения двойственной задачи.Цель: Практическое закрепление алгоритма построения двойствен-

ной задачи линейного программирования

Задание 1. Построить двойственную задачу к следующей задаче,заданной в общей форме:

f = 2x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 → min,3x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 ≤ 8,x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − 2x5 = 6,x1 + x2 + x3 − x4 ≤ 5,2x1 − 5x2 + x4 + 3x5 ≥ 7,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x4 ≥ 0.

J Упорядочим запись исходной задачи. Так как требуется найти ми-нимум целевой функции, то неравенства в системе ограничений должныбыть записаны с помощью знака ≥. Умножив первое и третье неравен-ства на −1, приведем систему ограничений к виду

−3x1 + 2x2 − x3 − x4 + x5 ≥ −8,x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − 2x5 = 6,−x1 − x2 − x3 + x4 ≥ −5,2x1 − 5x2 + x4 + 3x5 ≥ 7.

96

Двойственная задача будет иметь четыре переменные, так как прямаязадача содержит четыре ограничения.

В соответствии с указанным выше правилом запишем двойственнуюзадачу:

F = −8y1 + 6y2 − 5y3 + 7y4 → max,

−3y1 + y2 − y3 + 2y4 ≤ 2,2y1 + 3y2 − y3 − 5y4 ≤ −1,−y1 + y2 − y3 = 1,−y1 + 3y2 + y3 + y4 ≤ 1,y1 − 2y2 + 3y4 = −2,y1 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0.

Третье и пятое ограничения двойственной задачи записаны в виде ра-венства, так как на соответствующие им переменные x3 и x5 в исходнойзадаче не наложено условие неотрицательности. На переменные y1, y3 иy4 наложено условие неотрицательности в связи с тем, что в исходнойзадаче им соответствуют ограничения в виде неравенств. I

Задание 2. Найти оптимальное решение задачи

f = 4x1 + 2x2 + 3x3 → min4x1 + 3x2 − x3 ≥ 4,5x1 + x2 + 2x3 ≥ 6,xj ≥ 0, (j = 1, 3).

97

J Двойственная задача имеет вид:

F = 4y1 + 6y2 → max4y1 + 5y2 ≤ 4,3y1 + y2 ≤ 2,−y1 + 2y2 ≤ 3,y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.

Решение задачи приведено в таблице 1 и 2.

Таблица 1.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −y1 −y2

y3 = 4 4 5

y4 = 2 3 1

y5 = 3 −1 2

F 0 −4 −6

Оптимальное решение двойственной задачи:

F ∗(y) = 24/5, y∗1 = 0, y∗2 = 4/5, y∗3 = 0, y∗4 = 6/5, y∗5 = 7/5.

98

Таблица 2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −y1 −y3

y2 = 4/5

y4 = 6/5y5 = 7/5

F 24/5 4/5 6/5

На основании соответствия между переменными запишем оптималь-ное решение исходной задачи:

f ∗(x) = 24/5, x∗1 = 6/5, x∗2 = x∗3 = 0, x∗4 = 4/5, x∗5 = 0. I

Заметим, что для решения исходной задачи симплекс-методом потре-бовалось бы выполнить не менее двух итераций. Решение же двойствен-ной задачи найдено за одну итерацию.

99

ЛЕКЦИЯ 7Двойственный симплекс-метод решения задач линейного


7.1. Алгоритм нахождения опорного и оптимального решения

Рассмотрим задачу линейного программирования: найти

f = c1x1 + . . .+ c1xn + c→ min

при ограничениях:xn+1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn + b1 ≥ 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn+m = am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn + bm ≥ 0.

xj ≥ 0, j = 1, n.

Занесем данные задачи в таблицу для обыкновенных жордановыхисключений (таблица 7.1).

Для решения задачи применим обыкновенные жордановы исключе-ния. При использовании двойственного симплекс-метода ее решение на-ходится в два этапа: на первом добиваются неотрицательности коэффи-циентов f -строки, на втором – неотрицательности свободных членов.

Алгоритм двойственного симплекс-метода сводится к следующему.

100

Таблица 7.1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 . . . xn

xn+1 = b1 a11 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . .xn+m = bm am1 . . . amnf = c c1 . . . cn

Этап 1.

1. Просматривают коэффициенты f -строки; если все они неотрица-тельны, то переходят к пункту 1 этапа 2.

2. Если в f -строке имеется отрицательный коэффициент, то выделя-ют столбец, содержащий этот коэффициент.

3. В выделенном столбце отыскивают отрицательное число и содер-жащую его строку принимают за разрешающую. Если в выделенномстолбце нет отрицательных чисел, то задача не имеет решения.

4. Вычисляют двойственные отношения (отношения элементов f -стро-ки к элементам разрешающей строки). Наименьшее из отношений опре-деляет разрешающий столбец (двойственное отношение может быть толь-ко положительным).

101

5. С найденным разрешающим элементом делают шаг обыкновенныхжордановых исключений. Анализ новой таблицы начинают с пункта 1.

Этап 2.

1. Просматривают столбец свободных членов; если все элементы столб-ца неотрицательны, то оптимальное решение достигнуто.

2. Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, тосреди них находят наименьший. Этот элемент определяет разрешающуюстроку.

3. Разрешающий элемент находят по наименьшему двойственному от-ношению. Если в разрешающей строке нет положительных элементов,то задача не имеет решения.

4. С найденным разрешающим элементом делают один шаг обыкно-венных жордановых исключений. Анализ полученной таблицы начина-ют с пункта 1 этапа 2.

Замечание 7.1. Чтобы найти максимум функции, следует произ-вести в задаче замену F (x) = −f(x) и искать минимум полученнойфункции. Искомый максимум функции f(x) равен свободному члену,находящемуся в F -строке симплексной таблицы, взятому с обратнымзнаком.

102


1. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного решения задачидвойственым симплекс методом.

2. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного решения задачидвойственым симплекс методом.

103


Тема: Двойственный симплекс решения задачи линейного програм-мирования

Цель:Практическое закрепление двойственного симплекс метода прирешении задач линейного программирования

Задание 1. Найти двойственным симплекс-методом минимум функ-ции

f = 4x1 − 4x2

при ограничениях x3 = 2x1 − 2x2 + 8 ≥ 0,x4 = −x1 + 4x2 + 10 ≥ 0,x5 = 2x1 + 2x2 − 12 ≥ 0,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

J Занесем условие задачи в таблицу 1. Так как в f -строке имеется от-рицательный элемент (−4), второй столбец считаем выделенным. В этомстолбце находим отрицательное число (−2) и содержащую его первуюстроку считаем разрешающей. Вычисляем наименьшее двойственное от-ношение:

min(4/2,−4/− 2) = 2.

104

Таблица 1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x2

x3 = 8 2 −2

x4 = 10 −1 4

x5 = −12 2 2

f = 0 4 −4

Из двух одинаковых отношений выберем второе. Оно определяет раз-решающий элемент (−2). Делаем один шаг обыкновенных жордановыхисключений и заносим результат в таблицу 2.

Таблица 2.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x3

x2 = 4 1 −1/2

x4 = 26 3 −2

x5 = −4 4 −1

f = −16 0 2

105

В f -строке таблицы 2 все элементы неотрицательные, однако в столб-це свободных членов есть отрицательное число (−4), следовательно,план, записанный в таблице, не является допустимым. Принимаем тре-тью строку за разрешающую. Так как в f -строке есть нуль, имеем слу-чай вырождения. В столбце над нулем в разрешающей строке находитсяположительный элемент (4), следовательно, разрешающим будет пер-вый столбец.

Таблица 3.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x5 x3

x2 = 5

x4 = 29x1 = 1

f = −16 0 2

С разрешающим элементом (4) делаем следующий шаг. Найденныйновый план (таблица 3) является оптимальным.

Значение f(x)min = 16, при x∗1 = 1, x∗2 = 5, x∗3 = x∗5 = 0, x∗4 = 29. I

106

Задание 2. Применяя двойственный симплекс-метод, найти макси-мум функции f = 4x1 + 2x2 при ограничениях

x1 + x2 ≤ 6,x1 ≤ 3,2x1 + x2 ≤ 10,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

JПосле изменения направления оптимизации заданной функцииF (x) = −f(x) и приведения системы ограничений к эквивалентной си-стеме уравнений получим следующую задачу: найти минимум функцииF = −4x1 − 2x2 при

x3 = −x1 − x2 + 6 ≥ 0,x4 = −x1 + 3 ≥ 0,x5 = −2x1 − x2 + 10 ≥ 0,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Занесем условие задачи в таблицу 4.В F -строке имеем два отрицательных элемента (−4) и (−2), следова-

тельно, можно выделить любой из столбцов. Выделим столбец, в кото-ром находится элемент (−4). Здесь три отрицательных элемента, поэто-му в качестве разрешающей можно взять любую строку. Пусть разреша-ющей будет первая. Вычисляем наименьшее двойственное отношение:

min

(−4

−1,−2

−1

)= 2.

107

Таблица 4.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x2

x3 = 6 −1 −1

x4 = 3 −1 0

x5 = 10 −2 −1

F = 0 −4 −2

Таблица 5.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x3

x2 = 6 −1 −1

x4 = 3 −1 0

x5 = 4 −1 1

F = −12 −2 2

Разрешающий столбец соответствует переменной x2. С разрешающимэлементом (−1) сделаем шаг жордановых исключений. В результате по-лучим таблицу 5. Преобразовав ее, придем к таблице 6.

108

Таблица 6.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x4 x3

x2 = 3

x1 = 3x5 = 1

F = −18 2 2

В столбце свободных членов и F -строке таблицы 6 нет отрицательныхэлементов, следовательно, получен оптимальный план: x∗1 = x∗2 = 3,x∗3 = x∗4 = 0, x∗5 = 1 и Fmin = −18. Поменяв знак в значении функции,имеем fmax = 18. I

109

ЛЕКЦИЯ 8Транспортная задача

8.1. Постановка транспортной задачи и методы ее решения

Постановка транспортной задачи. В m пунктах производстваA1, A2, . . . , Am, находится однородный продукт (уголь, картофель и т.д.)в количествах соответственно a1, a2, . . . , am единиц, который должен бытьдоставлен n потребителям B1, B2, . . . , Bn в количествах b1, b2, . . . , bn еди-ниц. Известны транспортные издержки Aij (расходы), связанные с пе-ревозкой единицы продукта из пункта Ai (i = 1,m) в пункт Bj

(j = 1, n). Требуется составить такой план перевозок, который обеспе-чивал бы при минимальных транспортных издержках удовлетворениеспроса всех пунктов потребления за счет распределения всего продукта,произведенного всеми пунктами поставки.

Для разрешимости поставленной задачи необходимо и достаточно,чтобы сумма запасов продукта равнялась сумме спроса на него, т.е.

m∑i=1

ai =n∑j=1

bj. (8.1)

Такую транспортную задачу называют закрытой или задачей c пра-вильным балансом, если же условие (8.1) нарушается, – открытой.

На практике условие (8.1), как правило, не выполняется. Однако прииспользовании рассматриваемых ниже методов решения предполагает-

110

ся, что задача закрытая. Поэтому надо знать, как открытую задачу фор-мально преобразовать в закрытую.

Если суммарный запас продукта превышает общий спрос, т.е.

m∑i=1

ai >

n∑j=1

bj,

то в рассмотрение вводится фиктивный (n + 1)-й пункт потребленияBn+1 со спросом, равным небалансу, т.е.

bn+1 =m∑i=1

ai −n∑j=1

bj,

и одинаковыми тарифами, полагаемыми обычно равными нулю. Теперьусловие разрешимости выполняется, а величина целевой функции оста-ется прежней, поскольку цены на дополнительные перевозки равны ну-лю. При этом грузы, которые должны быть перевезены в пункт Bn+1,фактически останутся в пункте отправления.

Если же общий спрос потребителей больше суммарного запаса про-дукта, то вводится фиктивный (m + 1)-й пункт отправления Am+1 сзапасом продукта

am+1 =n∑j=1

bj −m∑i=1

ai.

111

Тарифы на доставку продукта фиктивным поставщиком полагают,как и в предыдущем случае, равными нулю, что не отразится на целевойфункции.

Для наглядности поместим все данные сформулированной выше за-дачи в таблицу, которую будем называть распределительной или транс-портной. При этом предполагаем, что рассматривается закрытая задача.

Таблица 8.1.

Поставщик Потребитель ЗапасгрузаB1 B2 . . . Bn

A1 c11x11 c12x12 . . . c1nx1n a1

A2 c21x21 c22x22 . . . c2nx2n a2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Am cm1xm1 cm2xm2 . . . cmnxmn am

Потребностьв грузе b1 b2 . . . bn

Составим математическую модель задачи. Целевая функция f , вы-ражающая суммарные транспортные затраты, связанные с реализациейплана X перевозок, запишется в виде

f = c11x11 + c12x12 + . . .+ cmnxmn =m∑i=1

n∑j=1

cijxij → min . (8.2)

112

Переменные xij должны удовлетворять ограничениям по запасам

xi1 + xi2 + . . .+ xin =n∑i=1

xij = ai (i = 1,m) (8.3)

и ограничениям по потребностям

x1j + x2j + . . .+ xmj =m∑i=1

xij = bj (j = 1, n). (8.4)

Поскольку обратные перевозки не предполагаются, то

xij ≥ 0 (i = 1,m), (j = 1, n). (8.5)

Таким образом, математически транспортная задача (8.2) – (8.5) ста-вится следующим образом. Среди множества решений системы линей-ных уравнений (8.3), (8.4) и неравенств (8.5) найти такое реше-ние (x∗11, x

∗12, . . . , x

∗mn), которое доставляет минимум линейной функции

(8.2). Отсюда видно, что транспортная задача является задачей линей-ного программирования и ее можно решать симплекс-методом. Однакоспецифические особенности системы ограничительных уравнений (8.3),(8.4) позволили разработать для транспортной задачи более простые ме-тоды решения.

Эти особенности состоят в следующем:1) коэффициенты при переменных во всех уравнениях равны либо

единице, либо нулю;

113

2) каждая переменная встречается в двух и только двух уравнени-ях: один раз в системе ограничений по запасам и один раз в системеограничений по потребностям;

3) система уравнений симметрична относительно всех переменныхxij.

При решении транспортной задачи будем использовать прием после-довательного улучшения плана, предусматривающий следующие этапы:

1) построение начального опорного плана;2) оценка этого плана;3) переход от имеющегося опорного плана к новому опорному плану

с меньшими транспортными затратами.Ранг системы ограничений транспортной задачи (8.2) – (8.5) равен

m+n−1 (на единицу меньшеm+n за счет связующего условия баланса).Поэтому количество базисных переменных также равно m + n − 1, асвободных mn− (m+ n− 1).

Циклом, или замкнутым контуром, называется последовательностьклеток (i, j) таблицы 8.1 транспортной задачи, в которой каждые две ря-дом стоящие клетки находятся в одной строке или одном столбце, приэтом первая и последняя клетки совпадают. Циклы могут быть самойразнообразной конфигурации, однако количество вершин в них всегдачетно, и повороты линий цикла производятся под прямым углом. Ре-шение транспортной задачи будет ацикличным, если в таблице с этимрешением невозможно построить ни одного цикла, в вершинах которого

114

были бы все занятые клетки, или если для любой свободной клетки таб-лицы можно построить только один цикл, содержащий эту свободнуюклетку, а остальные вершины будут в занятых клетках.

Методы составления исходного опорного плана. Первым ша-гом в решении транспортной задачи является составление исходногоопорного плана, который последовательно улучшается до получения оп-тимального решения. При составлении исходного плана по методу северо-западного угла, первой загружается клетка (1, 1). Если закрывается стро-ка, то следующей загружается клетка (2, 1); если же закрывается стол-бец, то следующей загружается клетка (1, 2). Итак, каждый раз загру-жается клетка, соседняя, либо по строке, либо по столбцу (в зависимо-сти от конкретных данных задачи). Последней будет загружена клетка(m,n). В результате загруженные клетки расположатся вдоль диаго-нали (1, 1)–(m,n), поэтому способ "северо-западного угла" называютеще диагональным способом. Недостатком данного метода является то,что он не учитывает значения элементов Aij матрицы транспортныхрасходов, в результате чего полученное этим методом начальное рас-пределение (начальный план перевозок) может быть весьма далеким отоптимального.

Составление исходного планаметодом минимальных элементов. Пер-вой в распределительной таблице загружается клетка с наименьшимтарифом. Далее загружается клетка той же строки (столбца) со сле-дующим по величине тарифом и т.д. Поскольку при заполнении таб-

115

лицы учитываются величины тарифов, то, как правило, построенныйплан оказывается ближе к оптимальному, нежели построенный спосо-бом северо-западного угла.

После составления исходного плана определяется его вырожденность.Вырождение матрицы наступает тогда, кода при особых условиях даль-нейшее её решение невозможно. В данном типе задач вырождение по-является при числе занятых клеток меньшем, чем (m+ n− 1), где m –число поставщиков, а n – число потребителей. Для сохранения неизмен-ным числа занятых клеток m + n − 1 в свободные клетки помещаютнули, полагая в дальнейшем эти клетки занятыми.

Методы нахождения оптимального плана. Распределительныйметод представляет собой разновидность симплексного метода. Реше-ние транспортной задачи этим методом сводится к следующему. Снача-ла строят опорный план задачи методом "северо-западного угла" илиметодом "минимального элемента".

После того как будет получен начальный опорный план перевозок,для каждой свободной клетки необходимо построить замкнутый контур,который представляет собой совокупность клеток вида

(i1, j1)→ (i1, j2)→ . . .→ (is, js)→ (is, j1),

где i1, i2 . . . is; j1, j2 . . . js – различны.

116

Клетку (i0, j0), для которой xi0,j0 = 0, назовем свободной. Для каждойсвободной клетки существует единственный замкнутый контур, содер-жащий эту свободную клетку, все остальные клетки которого заняты.

Пронумеруем все клетки замкнутого контура, начиная со свободной,которую берем со знаком плюс. Знаки клеток замкнутого контура чере-дуются.

Построив замкнутый контур для свободной клетки, вычисляем ал-гебраическую сумму

∆i0,j0 = ci1,j1 − ci1,j2 + ci2,j2 − ci2,j3 + . . .+ cis,js − ci0,,j0,

где (i0, j0) – свободная клетка. Критерием оптимальности плана будутвсе алгебраические суммы ∆ij ≥ 0.

Наиболее распространенным методом решения транспортной задачи(8.2) – (8.5) является метод потенциалов. По данному опорному плану,у которого число занятых клеток равно m+n−1, каждому поставщикуи потребителю придается число, называемое потенциалом. Потенциа-лы выбираются так, чтобы их сумма для каждой загруженной грузомклетки была равна тарифу перевозки единицы груза. Так, если клетка(i, k) базисная (занятая), то

ui + vk = cik, (8.6)

где ui – потенциал i-го поставщика, vk – потенциал k-го потребителя, cikтариф базисной клетки.

117

Решив систему из m + n − 1 уравнений вида ui + vk = cik, получимзначения потенциалов ui и vk соответственно i-го поставщика и k-го по-требителя. Далее вычислим оценки свободных клеток по формуле

∆ij = cij − (ui + vj). (8.7)

Если для свободных клеток все оценки ∆ij ≥ 0, то полученный опор-ный план перевозок оптимален. При наличии хотя бы одной оценки∆ij ≤ 0 в число базисных вводят клетку, для которой оценка ∆ij мини-мальна. Для такой клетки строится цикл и производится перемещениегруза так, чтобы баланс цикла сохранялся.

30-

20-

( );i k

50+

( );r k ( );r j

( );i j

+

Рисунок 8.1.

Например, цикл имеет вид, показанный на рисунке 8.1, где клетка(i, k) свободная. Свободной клетке условно приписываем знак "+" , то-гда следующей клетке по ходу или против хода часовой стрелки – знак

118

"−" и т.д.; знаки чередуются. В отрицательных вершинах цикла опре-деляем наименьшую загрузку клетки, т.е. min(20, 30) = 20.

Количество груза, равное 20 единиц прибавляем к поставкам в клет-ках со знаком "+" и вычитаем это же количество груза из поставок вклетках со знаком "−". В результате такого перемещения груза балансцикла не нарушается, хотя изменяются загрузки клеток (рисунок 8.2).

10

20

( );i k

70

( );r k ( );r j

( );i j

Рисунок 8.2.


1. Сформулируйте математическую модель транспортной задачи.2. В чем отличие открытой от закрытой транспортной задачи?

119

3. Сформулируйте методы построения опорного плана транспортнойзадачи.

4. Сформулируйте методы нахождения оптимального плана транс-портной задачи.

120


Тема: Транспортная задача и методы ее решенияЦель: Практическое закрепление распределительного метода и ме-

тода потенциалов при решении транспортной задачи

Задание 1. На основании следующих данных (таблица 1) составитьоптимальный план перевозок, при котором транспортные издержки бы-ли бы минимальными.

Таблица 1.

Поставщики Потребители ЗапасыB1 B2 B3

A1 4 1 3 15A2 2 0 1 10A3 3 5 6 15

Потребностьв грузе 12 8 20 40

J Составим план перевозок по правилу "северо-западного угла".

f1 = 12 · 4 + 3 · 1 + 5 · 0 + 5 · 1 + 15 · 6 = 146.

121

Таблица 2.


A1 12 4 3 1 3 15A2

2 5 0 5 1 10A3

3 5 15 6 15Потребность

в грузе 12 8 20 40

Проведем оценку свободных клеток (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2):

∆13 = 3− 1 + 0− 1 = 1, ∆21 = 2− 4 + 1− 0 = −1,

∆31 = 3− 6 + 1− 0 + 1− 4 = −5,∆32 = 5− 6 + 1− 0 = 0.

Из этих вычислений следует, что в клетку (3, 1) необходимо поме-стить груз, равный min(15, 5, 12) = 5. Производим смещение по циклузамкнутого контура для клетки (3, 1); в результате получаем второйплан перевозок (таблица 3).

x11 = 7, x12 = 8, x13 = 0, x21 = 0, x22 = 0, x23 = 10,

x31 = 5, x32 = 0, x33 = 10.

122

Таблица 3.


A1 7 4 8 1 3 15A2

2 0 10 1 10A3 5 3 5 10 6 15

Потребностьв грузе 12 8 20 40

При этом плане значение целевой функции

f2 = 7 · 4 + 5 · 3 + 8 · 1 + 10 · 1 + 10 · 6 = 121.

Проведем оценку свободных клеток (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 2).

∆13 = 3− 4 + 3− 6 = −4, ∆22 = 0− 1 + 3− 1 = 1,∆21 = 2− 3 + 6− 1 = 4, ∆32 = 5− 3 + 4− 1 = 5.

Перспективной клеткой является клетка (1, 3). Смещение чисел, сто-ящих в клетках замкнутого контура для клетки (1, 3), уменьшает значе-ние целевой функции на 28. Смещение значений по замкнутому контуруприводит к новому плану перевозок.

x11 = 0, x21 = 0, x31 = 12, x12 = 8, x22 = 0, x32 = 0,

123

x13 = 7, x23 = 10, x33 = 3.

Таблица 4.


A14 8 1 7 3 15

A22 0 10 1 10

A3 12 3 5 3 6 15Потребность

в грузе 12 8 20 40

При этом плане значение целевой функции

f3 = 12 · 3 + 8 · 1 + 7 · 3 + 10 · 1 + 3 · 6 = 93.

Свободными клетками являются (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2). Оценив их,найдем:

∆11 = 4− 3 + 6− 3 = 4, ∆22 = 0− 1 + 3− 1 = 1,∆21 = 2− 1 + 6− 3 = 4, ∆32 = 5− 6 + 3− 1 = 1.

Дальнейшее уменьшение значения целевой функции невозможно, таккак все значения ∆ij неотрицательны; следовательно, третий план пе-ревозок (таблица 4) со значением целевой функции f3 = 93 являетсяоптимальным. I

124

Задание 2. Проверить выполнение условия баланса и привести транс-портную задачу к виду, где условие баланса выполнено. Затем решить.Матрица стоимости перевозок 3 12 7 15

4 6 8 95 10 6 7

.Вектор запасов A = (120, 85, 75). Вектор заявок B = (90, 70, 60, 80).

Jm∑i=1

ai = 280,n∑i=1

bj = 300,m∑i=1

ai <n∑i=1

bj. Таким образом, задача от-

крытого типа. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика A4 с запа-сом равным 20 и нулевыми тарифами. Составим экономико-математичес-кую модель, обозначив через xij объем поставки i-м поставщиком j-мупотребителю (i = 1, 4, j = 1, 4). Целевую функцию f надо минимизиро-вать. Клетки загружаем методом "северо-западного угла".

Данные задачи можно записать в виде таблицы 5. Загружено клетокm + n − 1 = 4 + 4 − 1 = 7, так что план невырожденный. Для иссле-дования его на оптимальность составляем систему уравнений (8.6) дляопределения потенциалов. Затем по формуле (8.7) определяем оценкисвободных клеток.

u1 + v1 = 3, u1 = 0, v1 = 3,

u1 + v2 = 12, v2 = 12,

125

u2 + v2 = 6, u2 = −6,

u2 + v3 = 8, v3 = 14,

u3 + v3 = 6, u3 = −8,

u3 + v4 = 7, v4 = 15,

u4 + v4 = 0, u4 = −15,

Таблица 5.

Поставщики Потребители ЗапасыB1 B2 B3 B4

A1 90 3 30 −12 ⊕ 7 15 120A2

4 40 ⊕6 – 45 8 9 85A3

5 10 15 6 60 7 75A4

0 0 0 20 0 20Потребность

в грузе 90 70 60 80

∆13 = c13 − (u1 + v3) = 7− (0 + 14) = −7,

∆14 = c14 − (u1 + v4) = 15− (0 + 15) = 0,

∆21 = c21 − (u2 + v1) = 4− (−6 + 3) = 7,

126

∆24 = c24 − (u2 + v4) = 9− (−6 + 15) = 0,

∆31 = c31 − (u3 + v1) = 5− (−8 + 3) = 10,

∆32 = c32 − (u3 + v2) = 10− (−8 + 12) = 6,

∆41 = c41 − (u4 + v1) = 0− (−15 + 3) = 12,

∆42 = c42 − (u4 + v2) = 0− (−15 + 12) = 3,

∆43 = c43 − (u4 + v3) = 0− (−15 + 14) = 1.

Среди оценок есть одна отрицательная, поэтому план неоптимальныйи его следует улучшить, загружая клетку (1, 3). Исследуя этот план наоптимальность, находим потенциалы и оценки свободных клеток.

Таблица 6.

Поставщики Потребители ЗапасыB1 B2 B3 B4

A1 90 3 12 30 7 15 120A2

4 70 6 15 8 9 85A3

5 10 15 6 60 7 75A4

0 0 0 20 0 20Потребность

в грузе 90 70 60 80

127

u1 + v1 = 3, u1 = 0, v1 = 3,

u1 + v3 = 7, v3 = 7,

u2 + v2 = 6, v2 = 5,

u2 + v3 = 8, u2 = 1,

u3 + v3 = 6, u3 = −1,

u3 + v4 = 7, v4 = 8,

u4 + v4 = 0, u4 = −8,

∆12 = c12 − (u1 + v2) = 12− (0 + 5) = 7,

∆14 = c14 − (u1 + v4) = 15− (0 + 8) = 7,

∆21 = c21 − (u2 + v1) = 4− (1 + 3) = 0,

∆24 = c24 − (u2 + v4) = 9− (1 + 8) = 0,

∆31 = c31 − (u3 + v1) = 5− (−1 + 3) = 3,

∆32 = c32 − (u3 + v2) = 10− (−1 + 5) = 6,

∆41 = c41 − (u4 + v1) = 0− (−8 + 3) = 5,

∆42 = c42 − (u4 + v2) = 0− (−8 + 5) = 3,

∆43 = c43 − (u4 + v3) = 0− (−8 + 7) = 1.

128

Отрицательных оценок нет, следовательно, данный опорный план яв-ляется оптимальным, но он неединственный, так как есть оценки равныенулю. Тогда целевая функция для данного случая будет равна

f = 90 · 3 + 30 · 7 + 70 · 6 + 15 · 8 + 15 · 6 + 60 · 7 = 1530. I

129

ЛЕКЦИЯ 9Целочисленное программирование. Метод Гомори

9.1. Постановка задачи целочисленной оптимизации

Под задачей целочисленного программирования понимаетсязадача, в которой все или некоторые переменные должны принимать це-лые значения. В том случае, когда ограничения и целевая функция пред-ставляют собой линейные зависимости, задачу называют целочисленнойзадачей линейного программирования. В противном случае, когда хотябы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной зада-чей нелинейного программирования. Если требование целочисленностираспространяется на часть неизвестных величин задачи, то такая задачаназывается частично целочисленной.

Целочисленное программирование возникло в 50–60-е годы XX векаиз нужд практики – главным образом в работах американских мате-матиков Дж. Данцига и Р. Гомори. Первоначально целочисленное про-граммирование развивалось независимо от геометрии чисел на основетеории и методов математической оптимизации, прежде всего, линейно-го программирования. Однако в последнее время исследования в этомнаправлении все чаще проводятся средствами математики целых чисел.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводит-ся анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике,

130

военном деле и других областях. С появлением ЭВМ, ростом их произ-водительности повысился интерес к задачам такого типа и к математикев целом.

Целочисленным (иногда его называют также дискретным)программированием называется раздел математического программи-рования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые пере-менные накладывается условие целочисленности, а область допустимыхрешений конечна. Огромное количество экономических задач носит це-лочисленный характер, что связано, как правило, с физической недели-мостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с по-ловиной завода, купить полтора автомобиля и т.д. В ряде случаев такиезадачи решаются обычными методами, например, симплексным мето-дом, с последующим округлением до целых чисел. Однако такой подходоправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть все-го объема (например, товарных запасов); в противном случае он можетвнести значительные искажения в действительно оптимальное решение.

Большинство целочисленных задач, таких как задача с неделимо-стями, принадлежит к разряду так называемых трудно решаемых. Этоозначает, что вычислительная сложность алгоритма их точного решениясравнима по трудоемкости с полным перебором вариантов. Получениеих точного решения не может быть гарантировано, хотя для некоторыхзадач данного типа существуют эффективные методы, позволяющие на-ходить точное решение даже при больших размерностях.

131

Для решения целочисленных задач используются следующие методы:1) симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначениях);2) метод отсечения (метод Гомори);3) метод ветвей и границ (в общем случае не обеспечивает получения

точного решения);4) эвристические методы (не обеспечивают получения точного реше-

ния).Последняя группа методов может использоваться в случаях, когда

применение предыдущих методов невозможно или не приводит к успеху.Кроме того, эвристические методы можно использовать для решениязадач любой сложности.

Математическая модель задачи целочисленного программированияпредставлена в виде:

f =n∑j=1

cjxj → max, (9.1)

n∑j=1

aijxj = bi(i = 1,m

), (9.2)

xj ≥ 0(j = 1, n

), (9.3)

xj(j = 1, n

)целые [9, с. 174]. (9.4)

Ограничения (9.2) определяют выпуклую областьOABCD в n-мерномпространстве, как показано на рисунке 9.1.

132

О AE

R¢

H

D C

G

F

B

R

ix

jx

Рисунок 9.1. – ОДР задачи целочисленного программирования

Узлы целочисленной решетки на рисунке 9.1 изображены точками.Такие точки, расположенные внутри области OABCD, являются допу-стимыми решениями задачи целочисленного программирования. Ее оп-тимальные решения всегда располагаются на границе области решений.В данном случае граничные точки не являются даже допустимыми ре-шениями, поскольку ни одна из них не целочисленная. Предположим,что область допустимых решений сужена до выпуклой оболочки допу-стимых целых точек внутри допустимой области. На рисунке 9.1 этавыпуклая оболочка показана затененной областью OEFGH. Эту зате-ненную область можно рассматривать как область допустимых реше-ний некоторой другой задачи линейного программирования. Действи-

133

тельно, если к задаче линейного программирования, определяющей до-пустимую область OABCD, добавить ограничение типа RR’, как пока-зано на рисунке 9.1, то вновь полученная задача будет иметь OEFGHв качестве области допустимых решений. Такая вновь полученная об-ласть обладает двумя важными свойствами: во-первых, она содержитвсе допустимые целочисленные точки исходной задачи линейного про-граммирования (поскольку она является выпуклой оболочкой этих то-чек), во-вторых, все крайние точки новой области – целочисленные. По-этому любое базисное оптимальное решение модифицированной задачилинейного программирования имеет своими компонентами целые чис-ла и является оптимальным решением исходной задачи целочисленногопрограммирования.

Именно алгоритм целочисленного программирования, который будетописан ниже, реализует методы систематического введения дополни-тельных ограничений с целью сведения исходной допустимой областик выпуклой оболочке ее допустимых целочисленных точек.

9.2. Экономические задачи целочисленногопрограммирования

Значительная часть экономических задач, относящихся к задачам ли-нейного программирования, требует целочисленного решения. К ним от-носятся задачи, у которых переменные величины означают количество

134

единиц неделимой продукции, например распределение производствен-ных заданий между предприятиями, загрузка оборудования, распреде-ление судов по линиям и другие. Рассмотрим некоторые из них.

Задача оптимального использования оборудования. На пред-приятии имеется m видов оборудования (станков) соответственно в ко-личестве bi

(i = 1,m

)единиц. На каждом виде оборудования можно из-

готавливать n видов деталей, которые входят в комплект соответственнов количестве kj

(j = 1, n

)единиц.

Пусть aij – производительность i-го вида оборудования при изготов-лении j-го вида детали. Необходимо составить план выпуска использова-ния оборудования, который обеспечит максимальный выпуск комплект-ной продукции. Обозначим через xij количество i-го оборудования, накотором изготавливаются детали j-го вида. За единицу времени их будетпроизведено aijxij единиц, а на всех видах оборудования:

Zj =m∑i=1

aijxij(j = 1, n

).

Так как в комплект должно входить k деталей, то отношения Zj/kj(j = 1, n

)определяют количество комплектов, которое можно составить

из деталей j-го вида. Количество полных комплектов по всем видам де-талей определяется наименьшим из этих отношений. Для соблюденияусловия полной комплектности, очевидно, должно выполняться равен-

135

ство отношений:

Z1/k1 = Z2/k2 = . . . = Zj/kj = . . . = Zn/kn.

Откуда получаем n− 1 ограничений по комплектности:

Zj/kj = Z1/k1

(j = 2, n

),

m∑i=1

(aijxij −

kjk1ai1xi1

)= 0

(j = 2, n

).

Так как оборудование используется полностью, то получаем еще mограничений:

n∑j=1

xij = bi(i = 1,m

), xij ≥ 0

(i = 1,m; j = 1, n

).

Таким образом, математическая модель задачи оптимального исполь-зования оборудования запишется в виде:

f = min1≤j≤n

1

kj

m∑i=1

aijxij → max,

n∑j=1

xij = bi(i = 1,m

),

m∑i=1

(aijxij − kj

k1ai1xi1

)= 0

(j = 2, n

),

xij ≥ 0(i = 1,m; j = 1, n

)и целые.

136

Задача оптимальной загрузки транспортного средства. Транс-портное средство грузоподъемностью P и вместимостью V загружаетсяn неделимыми различными предметами. Каждый из предметов характе-ризуется весом pj, стоимостью cj и объемом vj

(j = 1, n

). Требуется за-

грузить судно предметами таким образом, чтобы суммарная стоимостьих была максимальной и выполнялись ограничения по грузоподъемно-сти и вместимости.

Обозначим через xj неизвестные параметры задачи, при этом

xj =

1, если j − предмет загружается на транспортное средство j = 1, n,0, в противном случае.

С учетом обозначения математическая модель задачи имеет вид

f =n∑j=1

cjxj → max,

n∑j=1

pjxj ≤ P,

n∑j=1

vjxj ≤ V,

xj ≥ 0(j = 1, n

)и целые.

При составлении модели экономической задачи следует учитывать, что,как правило, невозможно точно выразить в форме уравнений и нера-

137

венств все количественные связи экономического процесса, поэтому при-ходится ограничиваться только основными из них.

Все без исключения количественные связи различных экономическихпроцессов не могут быть выражены в модели по следующим причинам;

1) полная информация о всех факторах, влияющих на данный про-цесс, отсутствует;

2) невозможно количественно соизмерить некоторые факторы;3) с увеличением числа факторов чрезвычайно усложняется модель,

что затрудняет ее практическое применение.Несмотря на это, использование математических методов играет важ-

ную роль в планировании и управлении.

9.3. Алгоритм метода Гомори. Геометрическая иллюстрацияметода Гомори

Метод Гомори основан на применении симплекс-метода и метода от-сечения. Идея его достаточно проста и заключается в следующем.

Сначала находится оптимальное решение задачи целочисленного про-граммирования симплекс-методом. Если полученное решение целочис-ленное, то цель достигнута. Если же оптимальное решение не являет-ся целочисленным, то в условия задачи вводится дополнительное огра-ничение, которое отсекает от области допустимых решений полученноенецелочисленное решение и не отсекает от нее ни одной точки с цело-

138

численными координатами. Далее симплекс-методом решается расши-ренная задача, т.е. находится ее опорное и оптимальное решение. Еслиновое решение не будет целочисленным, то вводится еще одно дополни-тельное ограничение. Процесс построения дополнительных ограниченийи решения задачи симплекс-методом продолжается до тех пор, пока небудет найдено оптимальное целочисленное решение или не будет уста-новлено, что его не существует.

Приведем алгоритм метода Гомори.1. Симплекс-методом находят оптимальный план задачи (9.1)–(9.3)

(таблица 9.1). Если в таблице 9.1 все свободные члены β1, . . . , βm це-лые, то план (β1, . . . , βm, 0, . . . , 0) является оптимальным и для исход-ной задачи (9.1)–(9.4). Если задача (9.1)–(9.3) неразрешима, то и задача(9.1)–(9.4) неразрешима. Если среди свободных членов β1, . . . , βm естьнецелые, о переходят к пункту 2 алгоритма.

2. Среди нецелых свободных членов выбирают, например, тот, кото-рый имеет наибольшую дробную часть. Пусть в нашем случае таковымявляется βk. По строке xjk формируют правильное отсечение в виденеравенства

αk,m+1xjm+1+ αk,m+2xjm+2

+ . . .+ αk,nxjn ≥ βk (9.5)

3. Неравенство (9.5) введением дополнительной неотрицательной це-лочисленной переменной xn+1 преобразовывают в эквивалентное урав-

139

Таблица 9.1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −xjm+1

−xjm+2. . . −xjn

xj1 = β1 α1,m+1 α1,m+2 . . . α1,n

xj2 = β2 α2,m+1 α2,m+2 . . . α2,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .xjk = βk αk,m+1 αk,m+2 . . . αk,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

xjm = βm αm,m+1 αm,m+2 . . . αm,nf = γ0 γm+1 γm+2 . . . γn

нение

αk,m+1xjm+1+ αk,m+2xjm+2

+ . . .+ αk,nxjn − xn+1 = βk (9.6)

4. Расширяют таблицу 9.1 за счет включения в нее дополнительнойстроки для составленного уравнения (9.6) (таблица 9.2), получая темсамым симплексную таблицу для расширенной задачи.

5. Составленную расширенную задачу вновь решают симплекс-мето-дом. Если оптимальный план будет целочисленным, то он и станет ре-шением исходной задачи (9.1)–(9.4). В противном случае возвращаютсяк пункту 2 алгоритма.

140

Таблица 9.2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −xjm+1

−xjm+2. . . −xjn

xj1 = β1 α1,m+1 α1,m+2 . . . α1,n

xj2 = β2 α2,m+1 α2,m+2 . . . α2,n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .xjk = βk αk,m+1 αk,m+2 . . . αk,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

xjm = βm αm,m+1 αm,m+2 . . . αm,nxn+1 = −βk −αk,m+1 −αk,m+2 . . . −αk,nf = γ0 γm+1 γm+2 . . . γn

Если задача разрешима в целых числах, то через конечное число ите-раций оптимальный целочисленный план будет найден.

Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным чле-ном и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее урав-нение не имеет решения в целых числах. В таком случае и исходнаязадача неразрешима в целых числах [9, с. 176–178].

Геометрическая иллюстрация метода Гомори осуществляется с помо-щью графического поля, на которое нанесена целочисленная решетка(рисунок 9.2).

141

1x2

B

K

0 6

6

4

A

2

8

2x

4

(2)

max( )f x

K

D

M

FCE

NL

(1)

(3)

maxf ( )целочисленные

Рисунок 9.2. – Геометрическая иллюстрация метода Гомори

На рисунке 9.2 максимальное значение функции в области допусти-мых решений (четырехугольник ABCD) достигается в нецелочислен-ной точке С. После построения первого дополнительного ограничения,прямая линия которого на рисунок 9.2 проходит через точки Е и F,максимальное значение функции в новой области допустимых решений(многоугольник ABEFD) достигается в нецелочисленной точке F. При

142

включении в систему ограничений второго дополнительного ограниче-ния, прямая которого проходит через точки E и K, максимум функ-ции достигается в нецелочисленной точке Е в области допустимых ре-шений, представленной многоугольником ABEKD. А после включенияв систему ограничений третьего дополнительного ограничения, прямаякоторого проходит через точки L и М, найдено максимальное значениефункции в целочисленной точке N с координатами (2;4) многоугольникаABLNKD.

Нетрудно увидеть, что дополнительные ограничения отсекали толь-ко нецелочисленные точки, и не была отсечена ни одна целочисленнаяточка [4, с 133–134].

В качестве преимуществ метода Гомори можно рассматривать его эф-фективность и точность, т.к. в результате решения получается наиболееоптимальное значение задачи. К недостаткам метода можно отнести:

– трудоемкость (в некоторых задачах для расчета симплексных таб-лиц необходимо производить множество расчетов);

– громоздкость (решение достаточно объемно, т.к. приходится искатьоптимальные значения сначала симплекс-методом, а затем методом от-сечения, который также может применяться несколько раз);

– малая применимость (метод применяется для задач с небольшимколичеством переменных, т.к. при увеличении их числа происходит зна-чительное увеличение трудоемкости вычислений).

143


1. Сформулируйте постановку задачи целочисленной оптимизации.2. Приведите примеры задач, приводящие к целочисленной оптими-

зации.3. Сформулируйте алгоритм Гомори решения задачи целочисленной

оптимизации.

144

ЛЕКЦИЯ 10Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ

10.1. Метод ветвей и границ решения задач целочисленноголинейного программирования

Суть метода и технология его применения заключаются в том, чтосначала в ОДР системы ограничений θ находится оптимальное реше-ние задачи симплекс-методом без учета условия целочисленности (рас-смотрим задачу нахождения максимума функции.). Если в полученномрешении некоторые переменные имеют дробные значения, то выбира-ем любую из дробных переменных и по ней строим два ограничения.В одном ограничении величина переменной меньше или равна наиболь-шему целому числу, не превышающему значения дробной переменной воптимальном решении, а в другом ограничении она больше или равнанаименьшему целому значению, но не меньше значения дробной пере-менной.

Если, например, дополнительные ограничения строить по переменнойx2 = 9/2 (4 ≤ 9/2 ≤ 5), то первое ограничение будет x2 ≤ 4, а второеx2 ≥ 5, этим мы исключаем из ОДР исходной задачи промежуток сдробными значениями неизвестной x2 (4 ≤ x2 ≤ 5). Этот промежутокразбивает ОДР θ на две части: θ1 и θ2 где θ1 – новая ОДР, полученная

145

добавлением к ограничениям исходной задачи дополнительного ограни-чения x2 ≤ 4, а θ2 – добавлением ограничения x2 ≥ 5.

В результате разбиения ОДР θ получены две новые задачи (подзада-чи) линейной оптимизации. Если после их решения полученные значе-ния неизвестных будут не целочисленные, то, сравнив значения функ-ций этих задач, выбираем задачу с большим значением функции и поновой неизвестной с дробным значением строим снова два дополнитель-ных ограничения (третье и четвертое) и разбиваем эту задачу еще надве новые подзадачи. В результате получаем ветви, изображенные нарисунке 10.1.

Ветвление заканчивается нахождением целочисленного решения, ес-ли оно существует. Границами в методе выступают значения функцийзадач каждой ветви. На каждом этапе решения задачи дальнейшемуветвлению (разбиению на новые задачи) подлежит та ветвь (задача), укоторой значение функции больше. Поэтому отдельные подзадачи (вет-ви), у которых значение функции меньше, могут быть отброшены. Од-нако иногда, сравнивая значения функций подзадач, приходится возвра-щаться к ветвям, которые ранее были отброшены, и продолжать даль-нейшее решение от них.

Поскольку множество всех решений задачи ЦЛО конечно, то послеконечного числа разбиений исходной задачи на подзадачи оптимальноерешение будет найдено.

146

Рисунок 10.1. – Схема разбиения задачи на подзадачи целочисленной оптимизации

147


1. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ решения задачцелочисленного программирования.

2. Схематически проиллюстрируйте суть метода ветвей и границ.

148

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7

Тема: Метод Гомори решения задач целочисленного линейного про-граммирования. Метод ветвей и границ при решении задач целочислен-ного линейного программирования.

Цель: Практическое закрепление методов Гомори и ветвей границпри решении задач целочисленного линейного программирования

Задание 1. На производственном участке предприятия необходимоустановить оборудование трех типов. Стоимость единицы оборудованияпервого типа составляет 5 млрд. руб., второго – 3 млрд. руб. и третье-го – 2 млрд. руб. На закупку оборудования предприятие располагаетсредствами в 15 млрд. руб. Площадь производственного участка дляразмещения оборудования составляет 25 м2. Производительность еди-ницы каждого типа оборудования равна соответственно 1 тыс. единиц,2 тыс. единиц и 3 тыс. единиц продукции в смену. Требуется определить,сколько оборудования каждого типа закупать, чтобы получить макси-мальную производительность производственного участка, если извест-но, что для установки единицы оборудования первого типа, с учетомпроходов, требуется 6 м2 площади, второго – 4 и третьего – 3 м2.

J 1. Обозначим через x1, x2 и x3 количество закупаемого оборудо-вания каждого типа. Тогда математическая модель задачи запишется

149

следующим образом:

f = x1 + 2x2 + 3x3 → max6x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 25;5x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 15;xj ≥ 0

(j = 1, 3

)и целые.

Решаем задачу симплекс-методом без условия целочисленности. При-ведем систему ограничений к каноническому виду. Добавим к левымчастям ограничений неотрицательные дополнительные неизвестные x4

и x5: 6x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 25;5x1 + 3x2 + 2x3 + x5 = 15;xj ≥ 0

(j = 1, 3

).

Выразим из системы ограничений базисные неизвестные x4 и x5:x4 = −6x1 − 4x2 − 3x3 + 25 ≥ 0;x5 = −5x1 − 3x2 − 2x3 + 15 ≥ 0;xj ≥ 0

(j = 1, 3

).

Занесем коэффициенты системы ограничений и функции в симплекс-ную таблицу (таблица 1).

Решение в таблице 1 опорное, так как базисные неизвестные при-нимают положительные значения. Переходим к поиску оптимального

150

Таблица 1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 t ≥ 0

x4 = 25 6 4 3 25/3x5 = 15 5 3 2 15/2f = 0 −1 −2 −3

решения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (сре-ди отрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наи-меньшему симплексному отношению

t = min

(25

3;15

2

)=

15

2.

Наименьшее симплексное отношение соответствует второй строке, сле-довательно, она будет разрешающей. Выделим в таблице разрешаю-щий элемент, который находится на пересечении разрешающих строкии столбца.

Рассчитаем элементы новой симплексной таблицы (таблице 2).В таблице 2 получено оптимальное решение:

x1 = 0; x2 = 0; x3 = 15/2; x4 = 5/2; x5 = 0; f = 45/2.

151

Таблица 2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x5

x4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2

x3 = 15/2 5/2 3/2 1/2f = 45/2 13/2 5/2 3/2

Однако это решение не удовлетворяет условию целочисленности, таккак обе базисные переменные получили нецелые значения. Определимиз них ту, которая имеет наибольшую дробную часть:

5/2 = 5/2− [2] = 1/2;

15/2 = 15/2− [7] = 1/2.

Поскольку дробные части у базисных переменных одинаковые, тосформируем правильное отсечение, например, по строке x4.

2. Правильное отсечение в данном случае имеет вид:

−3/2x1 + −1/2x2 + −3/2x5 ≥ 5/2 .

Находим дробные части:

−3/2 = −3/2− [−2] = 1/2;

152

−1/2 = −1/2− [−1] = 1/2;

5/2 = 5/2− [2] = 1/2.

Правильное отсечение принимает следующий вид:

1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 ≥ 1/2.

3. Преобразовываем полученное неравенство в эквивалентное уравне-ние:

1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 − x6 = 1/2,

илиx6 = 1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 − 1/2, (1)

где x6 ≥ 0 и целое.4. На основе таблице 2 составляем таблицу 3 расширенной задачи

путем присоединения строки для уравнения (1).5. Решаем расширенную задачу симплекс-методом. Замечаем, что со-

державшийся в таблице 3 план опорным не является (в столбце сво-бодных членов имеется отрицательный элемент −1/2). Поэтому, преж-де всего, необходимо найти опорный план. Для этого за разрешающийпримем, например, первый столбец и найдем в нем минимальное сим-плексное отношение:

min (15/2 : 5/2; (−1/2) : (−1/2)) = min (3; 1) = 1.

153

Таблица 3.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x5 t ≥ 0

x4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2 −x3 = 15/2 5/2 3/2 1/2 3x6 = −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 1f = 45/2 13/2 5/2 3/2

Таблица 4.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x5 t ≥ 0

x4 = 4 −3 1 0 −x3 = 5 5 1 −2 −x1 = 1 −2 1 1 1f = 4 13 −4 −5

Таким образом, разрешающим будет элемент -1/2. Выполним с нимсимплексное преобразование.

Решение в таблице 4 опорное, переходим к поиску оптимального ре-шения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (сре-

154

ди отрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наи-меньшему симплексному отношению, которое соответствует третьей стро-ке. Рассчитываем новую таблицу.

Таблица 5.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x1

x4 = 4

x3 = 7x5 = 1f = 21 3 1 5

В таблице 5 содержится опорный план, оказавшийся одновременно иоптимальным, и целочисленным. Итак, x∗F = (0; 0; 7) и f ∗F = 21. Значит,предприятию надо закупить 7 единиц оборудования третьего типа. Приэтом из денежных средств останется 1 млрд. руб. (x∗5 = 1), а 4 м2 про-изводственной площади не будут использованы (x∗4 = 4). Максимальнаясменная производительность нового участка будет составлять 21 тыс.ед. продукции. I

155

Задание 2. Найти оптимальное целочисленное решение следующейзадачи методом ветвей и границ

f = x1 + 2x2 → max

при ограничениях 7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,

x1, x2 ≥ 0, целые.

J Для наглядности решение осуществим графическим методом. ОДРзадачи является многоугольникOAВС (рисунок 1). В точке В находитсямаксимальное значение функции: fBmax = 9, 64 при x1 = 2, 42 и x2 = 3, 61.

Поскольку значения неизвестных дробные, то разобьем по неизвест-ной x2 ОДР задачи на две части. Одна будет содержать множество то-чек, у которых x2 ≤ 3, а вторая – у которых x2 ≥ 4. В результатеполучаем две новые задачи линейной оптимизации: 2 и 3 (исходнаязадача имеет 1).

Задача 2 Задача 3f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1, x2 ≥ 0.

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≥ 4,x1 ≥ 0.

156

2

O

B

K C

0 62-4-

6

4

A

2

8

1x

2x

4

0f =

maxf

Рисунок 1. – Графический метод решения задачи

Из рисунка 2 видно, что ни одна целочисленная точка исходной ОДРне потеряна. ОДР задачи 2 является многоугольник OADEC. В точкеЕ с координатами x1 = 2, 86 и x2 = 3 функция достигает максимальногозначения fEmax = 8, 86.

157

2

O

B

D E

C

0 62-4-

6

4

A

2

8

24x =

23x =

1x

2x

4

Рисунок 2. – Промежуточный этап решения задачи

Решение задачи 2 не является целочисленным. Что касается задачи 3, то ее ОДР пустая. Ограничения этой задачи противоречивы, и онане имеет решения.

158

Продолжая решение, разобьем ОДР задачи 2 на два подмножествапо неизвестной x1 = 2, 86. В результате получим две новые задачи 4и 5 с соответствующими дополнительными ограничениями x1 ≤ 2 иx1 ≥ 3.

Задача 4 Задача 5

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1 ≤ 2,x1, x2 ≥ 0.

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1 ≥ 3,x1 ≥ 0.

ОДР этих задач представлены на рисунке 3. ОДР задачи 4 являетсямногоугольник OADFK. Максимальное значение функции достигаетсяв точке F c координатами x1 = 2 и x2 = 3, fFmax = 8. Таким образом,получено целочисленное решение задачи 4.

ОДР задачи 5 является треугольник LMC. Максимальное значе-ние функция достигает в точке L с координатами x1 = 3 и x2 = 2, 8;fLmax = 8, 6. Так как значение функции целочисленного решениязадачи 4 fFmax = 8 меньше fLmax = 8, 6, то дальнейшему разбие-нию на две задачи 6 и 7 подлежит задача 5 по нецелочисленнойнеизвестной x2 = 2, 8. Не проводя дополнительных построений, отме-тим, что ОДР задачи 6 с дополнительным ограничением x2 ≥ 3 не

159

2

O

B

D

E

F L

MK C

0 62-4-

6

4

A

20x =

8

12x =

13x =

24x =

23x =

1x

2x

4

Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи целочисленной оптимизации

существует, а значение функции в оптимальном целочисленном решениизадачи 7 с дополнительным ограничением x2 ≤ 2 равно 7, что мень-ше fFmax = 8. Таким образом, целочисленное решение исходной задачиследующее: x1 = 2, x2 = 3, fFmax = 8. I

160

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 1,2

Тема: Метод Гомори и метод ветвей и границ решения задач цело-численного линейного программирования.

Цель: Практическое закрепление метода Гомори и метода ветвей играниц при работе на компьютере.

Задача 1. Найти оптимальное целочисленное решение задачи:

f = x4 − x5 → minx1 + x4 − 2x5 = 1;x2 − 2x4 + x5 = 2;x3 + 3x4 + x5 = 3;xj ≥ 0

(j = 1, 5

)и целые.

J Введем исходные данные задачи в ЭВМ (рисунок 1).Ввод в ячейку каждого коэффициента при неизвестной заканчивает-

ся нажатием клавиши Enter. Под значения переменных отведем массивВ3:F3. Для удобства вычислений установим их значения, например, рав-ные 1. В массиве H6:H8 запишем знаки равенств, в массив I6:I8 занесемправые части системы ограничений, а в массив G6:G8 – формулы, соот-ветствующие сумме произведений значений переменных на коэффици-енты при этих переменных.

161

=СУММПРОИЗВ(B3:F3;B8:F8)




ИМЯ

Значение

Функция

А B C D E F IH

ПЕРЕМЕННЫЕ

X5

1

1- min

ЗНАК

X3

1

0

X4

1

1

X1

1

0

X2

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

-2

3

2

1

1

- 1

2

3

=

=

=

ОГРАНИЧЕНИЯ

G

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рисунок 1. – Ввод условия задачи целочисленного программирования в Excel

Чтобы сформировать формулу в ячейке G4, щелкнем по кнопке функ-ции на панели инструментов. На экране появится диалоговое окно Ма-стер функций. В полеКатегория выделимМатематические, щелк-нув левой кнопкой мыши по названию этой категории. Переведем курсорв поле Функция и выберем функцию СУММПРОИЗВ, далее щелк-нем по кнопке ОК. На экране отобразится диалоговое окно СУММ-ПРОИЗВ и поле массивов. В строке формул также находится функцияСУММПРОИЗВ. Щелкнем по красной стрелке в поле Массива 1.(На экране исчезнет диалоговое окно.) Выделим массив В3:F3. Нажмемлевой кнопкой мыши по красной стрелке в строке, находящейся нижестроки формул. Диапазон В3: F3 введен в формулу. Переведем мигаю-щий курсор в поле Массива 2 и тоже щелкнем левой кнопкой мыши по

162

красной стрелке в этом поле. Выделим диапазон В4:F4 с коэффициен-тами при неизвестных и щелкнем по красной кнопке, расположенной,как и ранее, в строке ниже строки формул. Массив В4:F4 введен в фор-мулу. Учитывая, что ввод массивов закончен, щелкнем по кнопке ОК.Аналогично вводятся формулы в ячейки G6:G8.

Далее применим команду Поиск решения из меню Сервис, щелк-нув последовательно левой кнопкой мыши по названиям. На экране по-явится диалоговое окно Поиск решения. В поле Установить целе-вую ячейку занесем $G$4, так как именно в ячейке G4 будет вычис-ляться значение функции. Оно, исходя из цели решения задачи, должнобыть минимальным, поэтому после словаРавной выделимМинималь-ному значению. В поле Изменяя ячейки занесем диапазон В3:F3,так как именно эти ячейки отведены под значения вычисляемых пере-менных.

Занесем ограничения задачи в полеОграничения, для чего щелкнемлевой кнопкой мыши по кнопке Добавить. На экране появится диало-говое окно Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейкузанесем диапазон G6:G8, а в среднее поле – равенство, выделив его воткрывшемся окне. В правое поле занесем правые части ограничений,расположенные в диапазоне I6:I8. Смысл указанных действий – левыечасти ограничений должны быть равны соответствующим правым ча-стям. Щелкнем левой кнопкой мыши по кнопке Добавить и внесемограничение для неизвестных: В3:F3=целое и В3:F3>=0.

163

Рисунок 2. – Диалоговое окно Поиск решения

Так как все условия задачи введены, щелкнем по ОК. На экране по-явится диалоговое окно Поиск решения (рисунок 2).

164

ИМЯ

Значение

Функция

А B C D E F IH

ПЕРЕМЕННЫЕ

X5

2

1- min

ЗНАК

X3

1

0

X4

0

1

X1

5

0

X2

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

-2

3

2

1

1

- 1

2

3

2-

=

=

=

1

2

3

ОГРАНИЧЕНИЯ

G

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рисунок 3. – Решение задачи целочисленного программирования средствами Excel

Далее щелкнем по кнопке Выполнить (на экране появится диалого-вое окно Результаты поиска решения). НажимаемОК и видим на экранерезультаты решения (рисунок 3).

Таким образом, x∗F = (5; 0; 1; 0; 2) и f ∗F = −2. I

165

ЛЕКЦИЯ 11Задача о рюкзаке

11.1. Постановка задачи о рюкзаке и методы её решения

Предположим, что задача состоит в отыскании минимума функции fна конечном множестве X. Для успешного применения метода ветвей играниц нужно уметь на подмножествах X1 ⊆ X находить оценку снизудля функции f (при нахождении максимума – оценку сверху). Числоравное нашей оценке функции f на множестве X1, называется границейдля функции f на X1.

Процесс решения задачи методом ветвей и границ проходит по сле-дующему алгоритму:

1) Разбиваем множество X на два подмножества X1 и X2, находимна каждом из них границу f1 и f2;

2) Выбираем множество, на котором оценка минимальна (при поискеминимума), разбиваем его на два подмножества X3 и X4 (этот процессназывается ветвлением), находим на каждом из них границу f3 и f4 (приэтом само это множество исключается из списка подмножеств);

3) На каждом шаге мы имеем разбиение исходного множества X наконечное число подмножеств (на первом этапе это два множества X1 иX2, на втором – три множества и т.д.), для каждого из которых извест-на граница целевой функции f . Повторяем пункт 2 до тех пор, пока в

166

каком-то из получающихся подмножеств не найдется настоящий мини-мум (подмножество будет иметь настолько небольшой размер, что на-хождение минимума будет не очень сложной задачей). Такой минимумтоже является оценкой для множества, только в отличие от остальныхданная оценка является точной;

4) Отбрасываем те подмножества из нашего списка, граница у кото-рых не меньше, чем значение функции f в найденной точке (т.к. в этихподмножествах минимум функции f не может находиться).

5) Если после этого список подмножеств окажется пустым, найденнаяточка и является решением задачи. Если нет, продолжаем алгоритм спункта 2, до тех пор, пока мы либо не отбросим все подмножества какне перспективные, либо не найдем другую точку, в которой значениефункции f еще меньше.

При воплощении этого алгоритма часто используется деревовариантов. Вершинам данного дерева соответствуют множестваX, X1, X2, . . . , Xn и их оценки. Из каждой вершины-множества ду-ги ведут к его подмножествам, получающимся при ветвлении. Если увершины (множества) имеется точная оценка, такую вершину помечаемзвездочкой (в этой вершине далее ветвление не происходит, а ее оценкаиспользуется для прекращения ветвления в тех вершинах, у которыхоценки больше). Примерный вид дерева вариантов представлен на ри-сунке 11.1.

167

0f

1f

2f 2

X

X

1X

3f 3

X4

f 4X

1kf +1kX +*

kf*

1x =K

( )*

1kf x =K

Рисунок 11.1. – Дерево ветвлений задачи о рюкзаке методом ветвей и границ

Таким образом, для того, чтобы решать задачу методом ветвей и гра-ниц, необходимо:

1. Предложить метод ветвления, т.е. разбиения множества всех вари-антов X на подмножества;

2. Для каждого из подмножеств, получающихся при ветвлении ука-зать способ для вычисления границы (оценки целевой функции на дан-ном подмножестве).

168

Отметим, что эффективность применения метода ветвей и границзависит от того, насколько трудоемким является процесс вычисленияоценок, и насколько точными являются оценки, получаемые на каждомшаге. Для облегчения этого процесса обычно ветвление организуют так,чтобы нахождение оценки для всего множества и для его подмножествбыло однотипным. Желательно также, чтобы точность находимых оце-нок повышалась с уменьшением размеров подмножеств. Оценить досто-инства и трудности метода ветвей и границ можно только при рассмот-рении конкретных задач.

Задача о рюкзаке. Имеется n предметов. Вес i-го предмета равенpi, его ценность выражается числом ci. Требуется найти совокупностьпредметов минимального веса при условии, что ценность этой совокуп-ности не должна быть меньше заданного числа C. (Другой вариант за-дачи – найти совокупность предметов максимальной стоимости, вес ко-торой не превосходит P ).

J Введем переменные xi, i = 1, n. Будем считать, что xi = 1 означает,что i-й предмет вкладывается в рюкзак, xi = 0 – не вкладывается. Тогдаматематическая модель задачи запишется так:

f(x) = p1x1 + . . .+ pnxn → min,

т.е. суммарный вес всех предметов в рюкзаке – минимальный,

c1x1 + . . .+ cnxn ≥ C,

169

а суммарная ценность не меньше требуемой, где x1, . . . , xn ∈ 0, 1.Выберем следующий метод ветвления: выбирается некоторая пере-

менная xk, после чего в одной части вариантов полагается xk = 0, а вдругое множество поместим все планы наполнения рюкзака, в которыхxk = 1.

В результате в каждом из случаев получается задача, аналогичнаяначальной, количество переменных при этом уменьшается на 1, и изме-няются целевая функция и неравенство-ограничение.

Для получения оценки снизу будем находить минимум функции f(x)на более широком множестве, чем требуется в задаче: вместо условийx1, . . . , xn ∈ 0, 1 будем использовать условия x1, . . . , xn ∈ [0, 1]. Приэтом получается обычная задача линейного программирования, решениекоторой можно найти даже без применения симплекс-метода. I


1. Сформулируйте математическую модель задач о рюкзаке и двой-ственную к ней.

2. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ для решениязадачи о рюкзаке.

3. К какому классу задач оптимизации относится задача о рюкзаке?

170

ЛЕКЦИЯ 12Задача коммивояжера

12.1. Постановка задачи коммивояжера и решение методомветвей и границ

Постановка задачи. Имеется n городов. Расстояния между любойпарой городов известны и составляют aij (i, j = 1, n, i 6= j). Если пря-мого маршрута между городами i и j не существует, то aij = ∞. Рас-стояния между городами удобно записывать в виде матрицыA = (aij)n×n (таблица 12.1), где aij =∞.

Таблица 12.1.

@@@@

i

j1 2 . . . n

1 ∞ a12 . . . a1n

2 a21 ∞ . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .n an1 an2 . . . ∞

Коммивояжер, выезжая из какого-либо города, должен посетить всегорода, побывав в каждом из них один, и только один раз, и вернуться

171

в исходный город. Необходимо определить такую последовательностьобъезда городов, при которой длина маршрута была бы наименьшей.

Если городам поставить в соответствие вершины графа, а соединя-ющим их дорогам – дуги, то в терминах теории графов задача заклю-чается в определении гамильтонова контура минимальной длины. Га-мильтоновым контуром (по имени английского математика Гамильто-на) называется путь, проходящий через все вершины графа, у которогоначальная вершина совпадает c конечной. Здесь под длиной контурапонимают не количество дуг, входящих в контур, а сумму их длин.

Для записи постановки задачи в терминах целочисленной линейнойоптимизации определим булевы переменные следующим образом:

xij =

1, если коммивояжер переезжает из города i в город j (i, j = 1, n),0, в противном случае.

Тогда задача заключается в отыскании значений переменных xij, ми-нимизирующих функцию

f(x) =n∑i=1

n∑j=1

aijxij (12.1)

при ограничениях

n∑i=1

xij = 1, j = 1, n, (въезд в город j); (12.2)

172

n∑j=1

xij = 1, i = 1, n, (отъезд из города i); (12.3)

ui − uj + nxij ≤ n− 1, (i, j = 1, n, i 6= j). (12.4)

Переменные ui, i = 1, n, могут принимать произвольные значения,однако без всякого ущерба на них может быть наложено условие неот-рицательности и целочисленности.

Легко заметить, что задача целочисленной линейной оптимизации(12.1)–(12.4) эквивалентна задаче коммивояжера. Действительно, усло-вия aii = ∞ исключают в оптимальном решении значения xii = 1, какне имеющие смысла. Ограничения (12.2) требуют, чтобы маршрут вклю-чал только один въезд в каждый город, а ограничения (12.3) – чтобымаршрут включал лишь один выезд из каждого города. Целевая функ-ция (12.1) отражает длину гамильтонова контура. Ограничения (12.4)требуют, чтобы маршрут образовывал контур и проходил через все го-рода.

Решение задачи, описанной только условиями (12.1)–(12.3), не обяза-тельно является контуром, проходящим через все города. В частности,в результате решения задачи (12.1)–(12.3) могут быть получены два иболее не связанных между собой частичных контуров. Для устранениявозможности образования негамильтоновых контуров и служат ограни-чения (12.4).

173

Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.Существуют различные версии метода ветвей и границ решения задачикоммивояжера. Рассмотрим стандартный метод Дж. Литла.

Вначале для множества R всех гамильтоновых контуров определя-ется некоторая оценка снизу (нижняя граница) ϕ(R) их длины. Затеммножество всех гамильтоновых контуров разбивается на два подмноже-ства. Первое подмножество состоит из гамильтоновых контуров, кото-рые включают некоторую дугу (i, j), – обозначим его (i, j), а второесостоит из гамильтоновых контуров, которые не включают эту дугу, –обозначим его

(i, j)

. Для каждого из подмножеств (i, j) и

(i, j)

определяется нижняя граница длины гамильтоновых контуров ϕ(i,j) иϕ(i,j). Каждая новая нижняя граница оказывается не меньше нижнейграницы всего множества гамильтоновых контуров ϕ(R). Среди двух под-множеств маршрутов (i, j) и

(i, j)

выбирается подмножество с мень-

шей нижней границей. Это подмножество снова разбивается на два идля вновь образованных подмножеств находятся нижние границы. Про-цесс разбиения подмножеств аналогичным образом продолжается до техпор, пока не будет выделено подмножество, содержащее единственныйгамильтонов контур. Взаимосвязь подмножеств, полученных в результа-те разбиения, изображается в виде дерева (графа), вершинам которогоприписываются нижние границы.

Получив гамильтонов контур, просматривают оборванные ветви де-рева и сравнивают нижние границы подмножеств, соответствующих обо-

174

рванным ветвям, с длиной полученного гамильтонова контура. Еслинижние границы подмножеств, соответствующих оборванным ветвям,окажутся меньше длины гамильтонова контура, то эти ветви разбиваютпо тому же правилу. Процесс продолжается до тех пор, пока нижниеграницы вновь полученных подмножеств меньше длины гамильтоноваконтура. В результате могут быть получены новые гамильтоновы кон-туры. В этом случае сравниваются длины всех гамильтоновых контурови среди них выбирается контур с наименьшей длиной. Решение зада-чи считается законченным, если нижние границы оборванных ветвей неменьше длины гамильтонова контура. В качестве оптимального выби-рается гамильтонов контур с наименьшей длиной.

Все рассмотренные действия для большей четкости сформулируем ввиде алгоритма.

1. Приводим матрицу расстояний по строкам и столбцам. Находимнижнюю границу всего множества маршрутов:

ϕ(R) = γ =n∑i=1

αi +n∑j=1

βj.

2. Каждый нуль в приведенной матрице условно заменяем на ∞ инаходим сумму констант приведения γ(i,j) = αi + βj. Значения γ(i,j) за-писываем в соответствующие клетки рядом с нулями.

3. Априорно исключаем из гамильтонова контура ту дугу (i, j), длякоторой сумма констант приведения максимальна (исключение дуги (i, j)

175

достигается заменой элемента в aij матрице расстояний на∞. В резуль-тате исключения дуги (i, j) будет образовано подмножество гамильто-новых контуров

(i, j)

.

4. Приводим полученную матрицу расстояний и определяем нижнююграницу ϕ(i,j) подмножества гамильтоновых контуров

(i, j)

.

5. Априорно включаем дугу (i, j) в гамильтонов контур, что ведетк исключению в матрице, полученной после выполнения пункта 2, i-йстроки j-го столбца. Заменяем один из элементов матрицы на∞ (в про-стейшем случае симметричный), чтобы не допустить образования нега-мильтонова контура.

6. Приводим сокращенную матрицу и находим нижнюю границу ϕ(i,j)

подмножества маршрутов (i, j).7. Проверяем размерность сокращенной матрицы. Если сокращенная

матрица размерности 2×2, то переходим к выполнению пункта 9; еслиже размерность матрицы больше, чем 2×2, то – к пункту 8.

8. Сравниваем нижние границы подмножеств гамильтоновых конту-ров ϕ(i,j) и ϕ(i,j) и переходим к выполнению пункта 2. При этом, еслиϕ(i,j) > ϕ(i,j), то разбиению подлежит подмножество

(i, j)

(дальней-

шему анализу подвергается матрица, полученная в результате послед-него выполнения пункта 4). Если же ϕ(i,j) < ϕ(i,j), разбиению подлежитподмножество (i, j) (дальнейшему анализу подвергается матрица, по-лученная после последнего выполнения пункта 6).

176

Разбиение множества гамильтоновых контуров на подмножества со-провождаем построением дерева (рисунок 4).

9. Определяем гамильтонов контур и его длину.10. Сравниваем длину полученного контура с нижними границами

оборванных ветвей. Если длина гамильтонова контура не превышаетнижних границ оборванных ветвей дерева, то задача решена. Если жедлина контура больше нижней границы некоторых ветвей, то, действуяпо алгоритму, развиваем эти ветви до тех пор, пока не получим марш-рута с меньшей длиной или не убедимся, что его не существует.


1. Сформулируйте математическую модель задачи коммивояжера.2. К какому классу задач оптимизации относится задача коммивоя-

жера?3. Сформулируйте алгоритм решения задачи коммивояжера методом

ветвей и границ.

177


Тема: Решение задачи о рюкзаке и коммивояжера методом ветвей играниц.

Цель: Закрепление задачи о рюкзаке и коммивояжера методом вет-вей и границ на примерах.

Задание 1. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно поло-жить набор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью неменее 21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таб-лице 1.

Таблица 1.

, i 1 2 3 4 5Вес, pi (кг) 2 3 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, ci/pi (у.е./кг) 1 2 1 3 2

J Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допус-каем возможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сна-чала наполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большой

178

ценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следую-щим по цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).

Таблица 2.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, ci/pi (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 1 3

xi 1 1 0,75Вес взятой части предмета 3 3 3 9Стоимость взятой части 6 9 6 21

В таблице 2 указана очередность такой укладки. Величина xi указы-вает, какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следу-ющий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоих предметов9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это со-ставляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета – 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.

179

Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Берем самый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добав-ляем следующий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоихпредметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21−16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности пред-мета – 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета 5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Поскольку на самом деле предмет 5 на части делить нельзя, раз-делим все возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором – предмет 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.

1) Не берем предмет 5. Действуем аналогично предыдущему слу-чаю. Теперь после предметов 4 и 2 наибольшую ценность из доступ-ных предметов имеет, например, 3. После его добавления стоимостьрюкзака (9 + 6 + 5 = 20). Недостающая 1 у.е. стоимости может бытьвосполнена за счет 0,5 предмета 1. Итак, получаем, что при отказеот предмета 5 вес рюкзака ценностью не менее 21 у.е. не может бытьменьше, чем 12 кг (таблица 3).

180

Таблица 3.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, ci/pi (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 3 4 2 1

xi 0,5 1 1 1 0Вес взятой части предмета 1 3 5 3 12Стоимость взятой части 1 6 5 9 21

2) Предмет 5 берем обязательно. В этом случае укладку рюкзаканачинаем с обязательных предметов, а затем продолжаем по прежнемупринципу максимальной цены.

12

52) 1x =

9

9

51) 0x =

Рисунок 1. – Дерево ветвлений для 5-го предмета

Укладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета 2. Получаем, что в нашем случае (когда

181

Таблица 4.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 2/3 1 1Вес взятой части предмета 2 3 4 9Стоимость взятой части 4 9 8 21

обязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таб-лица 4).

Посмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x5 = 1 (берем 5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую очередьего. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить на части2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 1).

3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы.

После 5-го и 2-го предмета остается 7 единиц стоимости, которыезаполняем самым ценным предметом 4 (x4 = 7/9). Оценка данногомножества вариантов равна 28/3 (таблица 5).

182

Таблица 5.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 1 79 1

Вес взятой части предмета 3 213 4 91

3

Стоимость взятой части 6 7 8 21

4) Обязательно берем 5-й, но не берем 2-й предмет. После укладки5-го, отбрасывания 2-го и укладки 4-го предметов остатки заполняемчастью предмета 3. Оценка множества вариантов равна 11 (табли-ца 6). Оценим перспективность вариантов. Из всех актуальных оценок(91

3 , 11 и 12) наименьшей является оценка 913 множества с номером 3,

поэтому в первую очередь рассмотрим его (рисунок 2). Напомним, чтов данном случае речь шла о делении на части предмета 4.

5) Берем предметы 5, 2 и 4. В данном случае стоимость уже соста-вит 8 + 6 + 9 = 23. Таким образом, в данном множестве вариантов мынашли точную оценку: берем 2-й, 4-й и 5-й предметы, вес рюкзака приэтом составит 3 + 3 + 4 = 10 кг.

183

Таблица 6.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, ci/pi (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 4 3 1

xi 0 45 1 1

Вес взятой части предмета 4 3 4 11Стоимость взятой части 4 9 8 21

9

9 12

111

93

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =

Рисунок 2. – Дерево ветвлений для 5-го и 2-го предметов

6) Берем предметы 5, 2, не берем предмет 4.Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,

при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг – точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 7).

184

Таблица 7.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 1 1 1 0 1Вес взятой части предмета 2 3 5 4 14Стоимость взятой части 2 6 5 8 21

9

9 12

111

93

10* 14*

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =

45) 1x =

46) 0x =

Рисунок 3. – Дерево ветвлений для 5-го, 2-го и 4-го предметов

185

У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множе-стве 5 (x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже (рисунок 3).

Таким образом, минимальный вес рюкзака составляет 10 кг. Для это-го в рюкзак нужно положить 2-й, 4-й и 5-й предметы, общая стоимостьрюкзака составит при этом 6 + 9 + 8 = 23 у.е. I

Задание 2. Матрица расстояний между пятью городами представле-на в таблице 8. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.

Таблица 8.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5 αi

1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2

J Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ(R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этого

186

в дополнительный столбец (таблица 8) запишем константы приведенияai, i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представленав таблице 9. В дополнительной строке этой матрицы записаны констан-ты приведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам, полу-чим полностью приведенную матрицу (таблица 10).

Таблица 9.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞βj 0 1 0 0 0

Нижняя граница множества всех гамильтоновых контуров R

ϕ(R) = γ =5∑i=1

αi +5∑j=1

βj = 13 + 1 = 14.

Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров отно-

187

Таблица 10.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞βj 0 1 0 0 0

сительно этой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элементами,условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, элементa14 = 0 на∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна 4 (мини-мальному элементу этой строки), а по 4-му столбцу – нулю (минималь-ному элементу этого столбца). Сумма констант приведения

γ(1,4) = α1 + β4 = 4 + 0 = 4

записана в скобках в клетке (1,4). Аналогично вычислены все остальныеконстанты и записаны в соответствующие клетки таблицы. Наибольшаяиз сумм констант приведения, равная 4, соответствует дуге (1,4). Следо-

188

вательно, множество R разбивается на подмножества (1, 4) и (1, 4).Таким образом, мы приступим к образованию дерева (рисунок 4).

( )2,1( )1,4 ( )4,3

14j =

( )

( )

3,5 ,

5,2

( )4,3( )1,4

R

( )2,1

( )2,5

( )2,5( )

( )

3,2 ,

5,1

15j = 17j = 18j = 18j =

18j =18j =18j =18j = 19j =

j = ¥

Рисунок 4. – Дерево ветвлений всех маршрутов задачи

Исключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществ-ляется реальной заменой в матрице из таблицы 10 элемента a14 = 0 на∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение мат-рицы путем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца – 0. В результате приведения матрица расстояний для подмно-жества (1, 4) примет вид, показанный в таблице 11, а нижняя границадлин гамильтоновых контуров этого подмножества

ϕ(1,4) = ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 4 = 18.

189

Таблица 11.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞

Таблица 12.

@@@@

ij 1 2 3 5 αi

2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0βj 0 0 0 0

Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элемен-тов 1-й строки и 4-го столбца таблицы 10. Кроме того, элемент a14 = 0

190

заменяем на∞, чтобы не допустить образования негамильтонова конту-ра (1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 12. Эта матрицадопускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й стро-ке. Константы приведения записаны в столбце αi, и строке βj. Суммаконстант приведения сокращенной матрицы, полученной в результатевключения дуги (1,4) в искомый контур, составит:

γ(1,4) =∑i

αi +∑j

βj = 1 + 0 = 1.

Сокращенная матрица имеет вид таблица 13. Нижняя граница длингамильтоновых контуров подмножества (1, 4)

ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 1 = 15.

Так как после сокращения получена матрица 4×4, переходим к срав-нению оценок ϕ(1,4) и ϕ(1,4). Дальнейшему разбиению (ветвлению) под-лежит подмножество (1, 4), так как его нижняя граница меньше.

Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 13). Максимальная сумма константприведения

γ(4,3) = α4 + β3 = 4 + 0 = 4

соответствует дуге (4, 3). Следовательно, подмножество гамильтоновыхконтуров (1, 4), в свою очередь, разбиваем на два подмноже-

191

ства: (1,4),(4,3) и (1,4), (4, 3). После замены элемента a43 = 0 на ∞(таблица 13) и приведения матрица принимает вид таблицы 14. Нижняяграница длин гамильтоновых контуров подмножества (1,4),(4,3)

ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 4 = 19.

Таблица 13.

@@@@

ij 1 2 3 5

2 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞

Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица13), а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме то-го, исключаем из контура дугу (3,1), чтобы не допустить образованиянегамильтонова контура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 15)допускает приведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения этаматрица имеет вид таблица 16.

192

Таблица 14.

@@@@

i

j 1 2 3 5

2 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞

Сумма констант приведения

γ(4,3) =∑i

αi +∑j

βj = 2 + 0 = 2,

а нижняя граница гамильтоновых контуров (1,4),(4,3)

ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 2 = 17.

Так какϕ[(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ[(1,4),(4,3)] = 19,

дальнейшему ветвлению подлежит подмножество (1,4),(4,3). Все сум-мы констант приведения для клеток с нулями (таблица 16) равны, поэто-му выбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество(1,4),(4,3) на два новых подмножества (1,4),(4,3),(2, 1) и

193

Таблица 15.

@@@@

i

j 1 2 5 αi

2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0βj 0 0 0

Таблица 16.

@@@@

ij 1 2 5

2 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞

(1,4),(4,3),(2,1). После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 17) для которой γ(2,1) = 1.

Нижняя граница подмножества (1,4),(4,3),(2, 1)

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.

194

Таблица 17.

@@@@

i

j 1 2 5

2 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞

Включение дуги (2,1) в контур приводит к исключению 2-й строкии 1-го столбца таблица 16, а также дуги (3,2). Сокращенная матрицаимеет вид таблица 18. Сумма констант приведения этой матрицыγ(2,1) = 1. Приведенная матрица представлена в таблице 19. Нижняяграница подмножества контуров (1,4),(4,3),(2,1)

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.

Таблица 18.

@@@@

i

j 2 5

3 ∞ 05 1 ∞

195

Таблица 19.

@@@@

i

j 2 5

3 ∞ 05 0 ∞

Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (табли-ца 19), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 19 равна нулю. Следовательно, длина гамильтоноваконтура совпадает с нижней границей подмножества (1,4),(4,3),(2,1) иравна 18.

В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 4) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная сгорода 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда го-родов коммивояжером µ = (1− 4− 3− 5− 2− 1).

Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так как

196

имеются подмножества контуров (1,4),(4,3),(2, 1) и (1, 4), нижниеграницы которых также равны 18.

Продолжим ветвление подмножества (1,4),(4,3),(2, 1). Следуя алго-ритму, найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 17. Максимальная сумма, равная∞, приходится на две клетки:(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмно-жество (1,4),(4,3),(2, 1) на два подмножества (1,4),(4,3),(2, 1), (2, 5)и (1,4),(4,3),(2, 1),(2,5). Нижние границы подмножеств:

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 +∞ =∞;

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 + 0 = 18.

Продолжив решение, найдем второй оптимальный гамильтонов кон-тур µ = (1− 4− 3− 2− 5− 1).

Можно найти еще один оптимальный гамильтонов контур, продол-жая развитие ветви, соответствующей подмножеству контуров (1, 4).Применять алгоритм в этом случае следует к матрице, приведенной втаблице 11. I

197

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ 3

Тема: Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.Цель: Закрепление задачи о рюкзаке методом ветвей и границ на

компьютере.

Задача 1. Решить следующую задачу о рюкзаке:

Таблица 1.

, i 1 2 3 4 5Вес, pi (кг) 2 3 5 3 4


Ценность не менее 21

Для решения задачи о рюкзаке в MS Excel 2007 необходимо использо-вать надстройку «Поиск решения», которая находится в закладке «Дан-ные». Для этого необходимо записать математическую модель задачи орюкзаке: ее целевую функцию и ограничения (рисунок 1).

Далее, используя надстройку «Поиск решения», вводим сведения обцелевой функции (ее значение и направление оптимизации). Задаем из-меняемые ячейки (оптимальное решение задачи), которые в процессе

198

просчета компьютером будут изменяться, а также задаем ограниченияна соответствующие переменные. Более наглядно это можно увидеть нарисунке 2.

2

2

5

5

3

9

10

значение целевой функции f(x)=p1x1+p2x2+...+pnxn->min

Решить следующую задачу о рюкзаке

А B G

1

2

3

4

3

6

4

8

15

16

17

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Оптимальное решение задачи

x1 x2 x3 x4 x5

23 >= 21

1 1

ограничения нашей задачи c1x1+c2x2+...+cnxn>=С

суммарная ценность С

0 1 0

C D E F

pi

ci

Рисунок 1. – Математическая модель задачи о рюкзаке на компьютере

После ввода данных нажимаем на кнопку «Выполнить» (рисунок 2)и получаем решение нашей задачи. Оптимальное решение задачи вы-делено серым цветом: единица означает, что предмет кладем в рюкзак,а нуль – не кладем в рюкзак. Оптимальное значения целевой функциивыделено более темным цветом. Более наглядно это можно увидеть нарисунке 3.

199

Рисунок 2. – Ввод сведений об целевой функции и об ограничениях

Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи о рюкзаке

200

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ 4

Тема: Решение задачи коммивояжера методом ветвей границ.Цель: Закрепление задачи коммивояжера методом ветвей границ на

компьютере, используя программу «Salesman».При запуске программы запустится окно, имеющий достаточно про-

стой интерфейс (рисунок 1).

Рисунок 1. – Главный интерфейс

Для того чтобы задать условие задачи необходимо нажать кнопку«Создать», которая выделена на рисунке 2 прямоугольником.

При вводе условия задаются количество городов в задаче коммиво-яжера, а также максимальный вес ребра, выделенные на рисунке 3 за-мкнутыми кривыми.

201

Рисунок 2. – Новое условие

Рисунок 3. – Ввод условия

202

Нажав на кнопку «редактировать условие» в программе можно из-менить условие задачи (рисунок 4).

Рисунок 4. – Редактирование условия

Чтобы добавить или удалить город из условия задачи, достаточнонажать на соответствующие кнопки активного окна «Редактированиеусловия», выделенные замкнутыми кривыми (рисунок 5).

Если нажать на панели главного окна кнопку «обучить», выделен-ную черным прямоугольником, можно пошагово просмотреть решениезадачи (рисунок 6 и 7).

Нажав на кнопку «проконтролировать» главного окна программы«Salesman», можно проверить знания метода ветвей и границ для реше-ния задачи коммивояжера, а также его непосредственное практическоеприменение (рисунок 8).

203

Рисунок 5. – Добавление или удаление городов в условии задачи

Рисунок 6. – Кнопка «обучение»

204

Рисунок 7. – Просмотр промежуточных вычислений задачи

Рисунок 8. – Проверка знаний метода ветвей и границ

205

ЛЕКЦИЯ 13Постановка и геометрическая интерпретация задачи

параметрического программирования. Графическое решениезадачи

13.1. Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования

Задачи параметрического программирования являются обобщениемзадач линейного программирования. Это обобщение состоит в том, чтоданные задач параметрического программирования считают не посто-янными величинами, а функциями, определенным образом зависящимиот некоторых параметров. Если предположить, например, что произве-денная предприятием продукция подлежит хранению, то ее стоимостьбудет складываться из двух частей: 1) постоянной – стоимости продук-ции на момент изготовления; 2) переменной, зависящей от срока хране-ния продукции. Целевую функцию задачи оптимального планированиятакого производства можно выразить через коэффициенты, линейнозависящие от одного параметра, в частности от времени t.

Часто на практике встречаются задачи, в которых значения коэффи-циентов целевой функции известны лишь приближенно. Представив ихв виде линейных функций параметра t, можно изучить поведение реше-ний задач при различных значениях этих коэффициентов. Аналогично

206

можно провести исследование для случая, когда изменяются коэффи-циенты системы ограничений.

Рассмотрим зависимость от параметра t только коэффициентов целе-вой функции. Математически задачу в этом случае ставят следующимобразом: пусть параметр t ∈ [α; β], где α и β – произвольные действи-тельные числа. Необходимо найти для каждого t на отрезке [α; β] свойвектор x∗ = (x∗1; . . . ; x

∗n), максимизирующий функцию

ft =n∑j=1

(cj + djt)xj (13.1)

при условиях: n∑j=1

aijxj ≤ ai(i = 1, m

),

xj ≥ 0(j = 1, n

).

(13.2)

В выражении (13.1) числа cj и dj известны и постоянны.Остановимся на геометрической интерпретации задачи.Пусть система ограничений (13.2) совместна и определяет выпуклый

многогранник Ω. Уравнениюn∑j=1

(cj + djt)xj = 0 соответствует семей-

ство гиперплоскостей, проходящих через начало координат. Если пара-метру придать некоторое значение t = α0, то гиперплоскость займетвполне определенное положение. Отодвигая ее от начала координат в

207

направлении возрастания функции, получим решение в точке A (рису-нок 13.1). Придадим параметру другое значение t = α1 и снова най-

дем на графике точку оптимума. Гиперплоскостьn∑j=1

(cj + djα1)xj = 0

вследствие изменения параметра t повернется вокруг начала координатна некоторый угол. Отодвинув эту гиперплоскость от начала координа-та, получим оптимальное решение в той же вершине A. Однако значениефункции при t = α1 изменится, так как оно равно взвешенному откло-нению точки A от исходной гиперплоскости. При t = α2 гиперплоскостьбудет параллельна ребру AB. Оптимальное решение в этом случае бу-дет достигаться в любой точке отрезка AB. Увеличивая t дальше (приt > α2), получим оптимальное решение только в вершине B. Для этойвершины будет свой интервал изменения параметра t.

О

1(max)f a

2x

1x

0 (max)f a 2 (max)f a

3(max)f a

4 (max)f a

1 0f a =

0 0f a =

2 0f a =

3 0f a =

4 0f a =

B

C

A

Рисунок 13.1. – Всевозможные решения задачи в зависимости от параметра

208

Из постановки и геометрической интерпретации задачи следует, чтопри различных значениях параметра t оптимальный план может ока-заться не одним и тем же. Поэтому в задаче параметрического програм-мирования требуется не просто найти оптимальное решение, а разбитьотрезок [α; β] на конечное число интервалов, содержащих такие значе-ния t, для которых оптимальное базисное решение задачи достигается водной и той же вершине многогранника Ω.

О

2

0tf =

2x

1x

1

0tf =

C

A

B

Рисунок 13.2. – Значение целевой функции не зависимо от параметра

Если многогранник Ω неограничен, то гиперплоскость ft = 0 принекоторых значениях параметра t может занять такое положение, чтоft (max) окажется неограниченным. Положение гиперплоскостиft1 = 0 (рисунок 13.2) соответствует неограниченному значению функ-ции, а положение гиперплоскости ft2 = 0 – максимальному.

209

13.2. Графическое решение задачи

Пример 13.1. Определить интервал изменения параметра t и найтизначения переменных x1 и x2, при которых максимум линейной функцииft = 4x1 + (2 + t)x2, t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений

2x1 − 5x2 ≤ 10;x1 + x2 ≥ 5;−x1 + x2 ≤ 4;4x1 + 5x2 ≤ 40;x1 ≥ 0;x2 ≥ 0.

J Находим область допустимых решений системы ограничений. ЭтомногоугольникABCD (рисунок 13.3). Придадим параметру самое малоезначение t = 0, тогда получим функцию с постоянными коэффициента-ми

f0 = 4x1 + 2x2.

Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.Далее приравняем ft нулю и найдем уравнение разрешающей прямой

при любом t:

x2 = − 4

2 + tx1.

210

О

( )8maxf

2x

1x

( )3maxf

( )0maxf

80f =

30f =

00f =

A

B

C

D

Рисунок 13.3. – Область допустимых решений задачи

Запишем угловой коэффициент kf этой прямой и исследуем его по-ведение при изменении параметра t:

kf = − 4

2 + t.

При t = 0 его начальное значение kf = −2.Найдем производную углового коэффициента по параметру t:

(kf)′

t =

(− 4

2 + t

)′t

=4

(2 + t)2 .

Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловойкоэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрас-

211

тания:

limt→+∞

kf = limt→+∞

(− 4

2 + t

)= −0.

Так как при t → +∞ угловой коэффициент kf приближается к ну-лю со стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая по-ворачивается против часовой стрелки до предельного горизонтальногоположения. (Напомним, что при вертикальном положении прямой угло-вой коэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямойпротив часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения уг-ловой коэффициент возрастает от 0 до +∞, при дальнейшем вращениипрямой он возрастает от −∞ до 0.)

В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля донекоторого значения максимум функции будет в вершине C. Далее внекоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигатьсяна отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней длявсех больших значений t.

Определим значение параметра t, при котором решение задачи ока-жется на отрезке BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разре-шающая прямая должны быть параллельны, приравняем их угловыекоэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC kBC = −4/5, следо-вательно, − 4

2+t = −45 , откуда t = 3.

212

Итак, при 0 ≤ t < 3 оптимальное решение задачи будет в вершинеC (8, 3; 1, 3), при t = 3 оно достигается на всем отрезке BC, а при 3 <t ≤ 8 – в точке B (2, 2; 6, 2) . I


1. Сформулируйте задачу параметрического программирования.2. Сформулируйте графический метод решения задачи параметриче-

ского программирования.3. Приведите примеры экономических задач, приводящие к парамет-

рической оптимизации.

213

ЛЕКЦИЯ 14Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования. Аналитическоерешение задачи параметрического программирования.

14.1. Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования. Аналитическое

решение задачи

Алгоритм решения задачи (13.1)–(13.2) состоит из двух этапов.Этап I. Параметру t дают фиксированное значение, например

t = α. Этим задача приводится к задаче линейного программирования.Решая эту задачу симплекс-методом, находят вершину, в которой ftдостигает максимума.

Этап II. Определяют интервал изменений параметра t, для кото-рого максимум ft достигается в одной и той же вершине многогранни-ка Ω. Найденный интервал исключают из отрезка [α; β]. Для остав-шейся части отрезка снова решают задачу симплекс-методом, т.е.переходят к этапу I. Решение продолжается до тех пор, пока весьотрезок [α; β] не будет разбит на частичные интервалы.

Подробно алгоритм решения рассмотрим на примере.

214

Пример 14.1. Найти интервалы изменения параметра t на отрезке

[α; β] для которых ft =n∑j=1

(cj + djt)xj достигает максимума в одной и

той же вершине области допустимых решений системы ограниченийn∑j=1

aijxj ≤ ai(i = 1,m

),

xj ≥ 0(j = 1, n

).

J Решим задачу в два этапа.Этап I1. Полагаем t = α. Тогда функция ft будет иметь вид

fα =n∑j=1

(cj + djα)xj (14.1)

Все данные задачи заносим в жорданову таблицу. В строке fα этойтаблицы в каждый столбец записываем число, равное сумме чисел cj иdjα. Кроме того, добавим в таблицу две строки для записи функций ftс произвольным параметром t (таблица 14.1). При этом в предпослед-ней строке записываем коэффициенты cj, а в последней – dj. Чтобыполучить ft, нужно умножить коэффициенты последней строки на t исложить их с коэффициентами предпоследней.

215


HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 · · · −xn

xn+1 = a1

(aij)· · · · · ·xn+m = amfα = 0 c1 + d1α · · · cn + dnα

ft =0 c1 · · · cn0 d1 · · · dn

2. Находим оптимальный план задачи обычным симплекс-методом,подвергая преобразованию и элементы последних двух строк.

Предположим, что план, представленный в таблице 14.2, являетсяоптимальным. Тогда все коэффициенты fα-строки неотрицательны:

pj + qjα ≥ 0.

Поскольку оптимальный план найден, переходим к выполнению дей-ствий этапа II.

Этап II1. Находим значения параметра t, при которых план в таблице 14.2

будет оставаться оптимальным (максимум ft достигается в той же вер-

216


PPPPPPPPPБ.П.С.П.

С.Ч. −xn+1 · · · −xs −xs+1 · · · −xnx1 = b1

(bij)

· · · · · ·xr = brxr+1 = br+1

· · · · · ·xn+m = bn+m

fα = P +Qα p1 + q1α · · · ps + qsα ps+1 + qs+1α · · · pn + qnα

ft =P p1 · · · ps ps+1 · · · pnQ q1 · · · qs qs+1 · · · qn

шине). Для этого необходимо, чтобы все коэффициенты функции ft бы-ли неотрицательны:

p1 + q1t ≥ 0;· · · · · · · · · · ·pn + qnt ≥ 0.

(14.2)

Из системы (14.2) видно, что во всех случаях, кроме qj = 0 (приqj = 0 неравенство pj + qjt ≥ 0 выполняется при любых значениях t;следовательно, на столбец, в котором находится qj = 0, можно не об-ращать внимания), границей изменения параметра t служит отношение−pjqj. Поэтому просматриваем элементы qj последней строки таблицы:

217

если все они больше нуля, переходим к пункту 2; если все они меньшенуля, – к пункту 3; если же среди элементов qj имеются и положитель-ные, и отрицательные, – к пункту 4.

2. Пусть все qj > 0. Среди отношений −pjqj

выбираем наибольшее.Верхней границы в этом случае для t не существует.

Таким образом,

α1 = max

(−pjqj

)≤ t < +∞ = α2.

В интервале [α1; α2) функция ft достигает максимума в той же вер-шине, что и при t = α, следовательно, t ∈ [α1; α2).

3. Пусть все qj < 0. Среди отношений −pjqj

выбираем наименьшее.

Если взять t ≤ min(−pjqj

), то все условия (14.2) будут удовлетворены.

Нижней границы для t в этом случае не существует, поэтому его можноуменьшать бесконечно. Значит,

α1 = −∞ < t ≤ min

(−pjqj

)= α2.

Как и прежде, t ∈ (α1;α2].4. Пусть среди элементов qj имеются как положительные, так и отри-

цательные. Разделим систему неравенств (14.2) на две подсистемы соот-ветственно знакам коэффициентов qj. Тогда из подсистемы неравенств

218

с qj > 0 получим max(−pjqj

)≤ t, а из второй подсистемы qi < 0 бу-

дем иметь t ≤ min(−pjqj

). Следовательно, вся система неравенств (14.2)

будет удовлетворяться, если t будет принимать значения:

α1 = max

(−pjqj

)︸︷︷︸

(qj>0)

≤ t ≤ min

(−pjqj

)︸︷︷︸

(qj<0)

= α2. (14.3)

В этом случае выделенный интервал, в котором функция достигаетмаксимума в той же вершине, что и при t = α, является отрезком,t ∈ [α1; α2].

5. Сравниваем полученный интервал [α1;α2] с заданным [α; β]. Неза-висимо от значения α1 левой границей первого интервала будет α, таккак α1 больше α быть не может. Если α2 ≥ β то весь интервал [α; β] по-падает внутрь интервала [α1;α2] и задача решена. Для любого значенияпараметра t ∈ [α; β] максимум функции ft достигается в одной и той жевершине (рисунок 14.1).

a b

t

1a

2a

Рисунок 14.1. – Случай, когда α2 ≥ β

219

6. Если α2 < β, то в интервале [α;α1] максимум функции ft будетв найденной вершине (рисунок 14.2). Исключаем этот интервал из рас-смотрения и решаем задачу для оставшегося интервала [α2; β]. Для этогопридаем t значение α2 и заменяем строку fα строкой fα2

. В результатезамены получаем новую таблицу (таблица 14.3).

a

t

1a

2a

b

Рисунок 14.2. – Случай, когда α2 < β

За разрешающий столбец в новой таблице примем тот, по которомуопределено значение t = α2 (в этом столбце на пересечении с fα2

-строкойнаходится элемент, равный нулю). Если нули находятся в несколькихстолбцах, то в качестве разрешающего можно брать любой из них.

Разрешающий элемент находим по наименьшему симплексному отно-шению и делаем один шаг модифицированных жордановых исключений.Получаем следующее по порядку оптимальное решение, так как все ко-эффициенты в строке fα2

при преобразовании не изменятся.Для найденного решения снова определяем интервал изменения па-

раметра t, для чего переходим к пункту 1.Если в разрешающем столбце не окажется положительных коэффи-

циентов, то функция ft при t > α2 не ограничена; задача на оставшемсяинтервале [α2; β] решения не имеет.

220


PPPPPPPPPБ.П.С.П. С.Ч. −xn+1 · · · −xs −xs+1 · · · −xn

x1 = b1

(bij)

· · · · · ·xr = brxr+1 = br+1

· · · · · ·xn+m = bn+m

fα2 = P +Qα2 p1 + q1α2 · · · ps + qsα2 ps+1 + qs+1α2 · · · pn + qnα2

ft =P p1 · · · ps ps+1 · · · pnQ q1 · · · qs qs+1 · · · qn

Замечание 14.1. При отыскании оптимального решения для t = α

(при выполнении пункту 2 этапа I алгоритма) может оказаться, чтофункция fα сверху не ограничена. В этом случае в разрешающем столб-це j0 коэффициент fα-строки отрицателен (pj0 + qj0α < 0), а все осталь-ные коэффициенты столбца j0 неположительны.

При значениях t > α на пересечении строки ft и столбца j0 будетэлемент pj0 + qj0t. Нас интересуют значения этого элемента, так как ониопределяют поведение функции при α ≤ t ≤ β. Выберем такое значениеt = t0, при котором коэффициент pj0 + qj0t = 0. Отсюда получаем, чтоt0 = −pj0

qj0.

221

Если значение элемента qj0 ≤ 0, то для всех t ≥ α коэффициентразрешающего столбца в строке ft будет отрицательным (pj0 + qj0t < 0).Следовательно, на всем заданном отрезке [α; β] целевая функция ft неограничена (задача решения не имеет).

Если элемент qj0 > 0, то при α ≤ t < t0 коэффициент, находящийсяв разрешающем столбце и ft-строке, будет отрицательным. Значит и вэтом случае целевая функция не ограничена и задача решения не имеет.

При значении t = t0 коэффициент pj0 + qj0t = 0, а при дальнейшемувеличении t он будет положительным. К отрезку [t0; β] применяем по-следовательно весь алгоритм решения задачи. I


1. Сформулируйте первый этап решения задачи параметрическогопрограммирования.

2. Сформулируйте второй этап решения задачи параметрическогопрограммирования.

222


Тема: Решение задачи параметрического программирования графи-ческим и аналитическим методами.

Цель: Закрепление задачи параметрического программирования гра-фическим и аналитическим методами на примерах и задачах.

Задание 1. Найти решение задачи из примера 13.1 при изменениипараметра t на отрезке [0; 12].

J Полагаем t = 0. Тогда

f0 = 4x1 + 2x2 → max .

Таблица 1.


С.Ч. −x1 −x2

x3 = 10 2 −5x4 = −5 −1 −1x5 = 4 −1 1x6 = 40 4 5f0 = 0 −4 −2

ft =0 −4 −20 0 −1

223

Заносим условие задачи в таблицу 1 и решаем ее симплекс-методом.Опуская подробности, приведем оптимальное решение (таблица 2):x1 = 25/3, x2 = 4/3.

Таблица 2.


С.Ч. −x3 −x6

x4 = 14/3 1/30 7/30x1 = 25/3 1/6 1/6x5 = 11 3/10 1/10x2 = 4/3 −2/15 1/15f0 = 36 2/5 4/5

ft =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15

Определим значения параметра t, при которых оптимальное решениебудет в той же вершине, что и при t = 0.

Так как в последней строке элемент q1 = −2/15 < 0, аэлемент q2 = 1/15 > 0, то для определения значений t, при которыхмаксимум будет достигаться в найденной вершине, подставим соответ-ствующие значения в соотношение (14.3). Получим

−12 =

(− 4/5

1/15

)≤ t ≤

(− 2/5

−2/15

)= 3.

224

Здесь α1 = −12, α2 = 3. Полученный интервал меньше заданного[0; 12], поэтому исключаем его из дальнейшего рассмотрения и решаемзадачу для оставшегося интервала [3; 12]. Для этого даем t значениеt = 3 и вычисляем для него строку f3.

Занесем элементы f3-строки в таблицу 3. Все прочие элементы таб-лицы оставляем без изменений.

Таблица 3.


С.Ч. −x3 −x6

x4 = 14/3 1/30 7/30x1 = 25/3 1/6 1/6

x5 = 11 3/10 1/10

x2 = 4/3 −2/15 1/15f3 = 40 0 1

ft =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15

В первом столбце и f3-строке таблицы 3 находится нуль, поэтому этотстолбец принимаем за разрешающий (при t > 3 на месте нуля первымпоявится отрицательное число, и план перестанет быть оптимальным).Находим разрешающий элемент по наименьшему симплексному отноше-нию и переходим к новой таблице (таблица 4).

225

Таблица 4.


С.Ч. −x5 −x6

x4 = 31/9

x1 = 20/9x3 = 110/3x2 = 56/9f3 = 40 0 1

ft =64/3 −4/3 2/356/9 4/9 1/9

План x1 = 20/9, x2 = 56/9 в таблице 4 оптимален, так как всеэлементы f3-строки неотрицательны. В последней строке все элементыqj > 0, следовательно, применяем соответствующую формулу и опреде-ляем, что

α2 = max

(−−4/2

4/9; −2/3

1/9

)≤ t < +∞ = α3,

т.е. 3 ≤ t < +∞. Так как значение α3 > β, то задача решена.Итак, при 0 ≤ t ≤ +∞ максимальное значение функции достигается

в вершине C (25/3; 4/3), при 3 ≤ t ≤ 12 максимальное значение функ-ции достигается в вершине B (20/9; 56/9) (смотри рисунок 13.3). Призначении t = 3 оптимум достигается в вершинах B и C, а также в ихвыпуклой линейной комбинации. I

226

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 5, 6, 7

Тема: Решение задачи параметрического программирования графи-ческим и аналитическим методом.

Цель: Закрепление решения задачи параметрического программиро-вания графическим и аналитическим методом на компьютере.

Задача 1. Определить интервал изменения параметра t и найти зна-чения переменных x1 и x2, при которых максимум линейной функцииft = 4x1 + (2 + t)x2, t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений

2x1 − 5x2 ≤ 10;x1 + x2 ≥ 5;−x1 + x2 ≤ 4;4x1 + 5x2 ≤ 40;x1 ≥ 0;x2 ≥ 0.

.

J Данную задачу можно решить с помощью программного модуля«PSM». На рисунке 1 можно увидеть главное окно программы «PSM»,которое называется «Mainview». В этом окне мы вводим данные задачи.Вначале вводим коэффициенты при переменных целевой функции. Ко-личество переменных может быть различно и добавлять и удалять пер-менные можно соответственно с помощью кнопок «Добавить перемен-ную» и «Удалить переменную». В выпадающем списке можно выбрать

227

направление оптимизации целевой функции (максимум или минимум) взависимости от условия задачи. Далее ограничения задачи добавляютсяс помощью кнопки «Добавить ограничение». В каждом из ограничениймы вводим коэффициенты при переменных, свободный член, находя-щийся в правой части ограничения и из выпадающего (как и в случаес целевой функцией) списка выбираем тип ограничения: ≤, ≥ и =. Нарисунке 1 видно, что каждое ограничение можно и удалить воспользо-вавшись соответствующей кнопки в главном окне программы.

Рисунок 1. – Ввод условия задачи

Затем нажав на рисунке 1 кнопку «Вычислить» мы перейдем к таб-личной форме записи нашего условия (рисунок 2). Нажав на кнопку«Далее» мы перейдем к последней симплекс таблице (рисунок 3).

228

I

10

5

4

40

0

0

0

-

1-x

2

1

1

4

4

4

0

-

-

-

-

2-x

5

1

1

5

2

2

1

-

-

-

-

-

4-x

0

1

0

0

0

0

0

-

5-x

0

0

1

0

0

0

0

3-x

1

0

0

0

0

0

0

6-x

0

0

0

1

0

0

0

Далее

CП

3

4

5

6

0

БП

x

x

x

x

Z

tZ

Рисунок 2. – Первоначальная симплексная таблица

I

8.33333333333333

4.66666666666667

11

1.33333333333333

35

36

1.33333333333333

3-x

1

0

0

0

0

0

0

6-x

0

0

0

1

0

0

0

4-x

0

1

0

0

0

0

0

5-x

0

0

1

0

0

0

0

3-x

0,166666666666667

0,033333333333333

0,3

0,13333333333333

0,4

0,4

0,13333333333333

-

-

6-x

0,166666666666667

0,233333333333333

0,1

0,066666666666667

0,8

0,8

0,066666666666667-

[ ]0;12

36 1,33333333333333*t

t

Z t

Î

= +

Закрыть

CП

1

4

5

2

0

БП

x

x

x

x

Z

Z

Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи

В результате мы получим оптимальное решение нашей задачи прикаждом конкретном значении параметра t. Оптимальные значения пе-

229

ременных и целевой функции в зависимости от параметра t приведеныв окне «Результаты» (рисунок 3).

После получения оптимального решения, нажав кнопку «Закрыть»мы переходим в главное окно программы, где можно закрыть окно дан-ной программы либо ввести новые данные задачи и получить оптималь-ное ее решение при различных значениях параметра t. I

230

ЛЕКЦИЯ 15Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр

в чистых стратегиях

15.1. Парные матричные игры с нулевой суммой

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Играведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ееучастников принимает такие решения, которые, как он полагает, могутобеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры – это значе-ние некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежнойфункцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическимвыражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру на-зывают игрой с нулевой суммой. Если в игре участвуют два игрока, тоее называют парной. В качестве игрока может выступать как отдельноелицо, так и группа лиц, объединенных общей целью.

Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выби-рает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представ-ление о множестве допустимых ответных решений партнера. В связис этим ни один из игроков не может полностью контролировать по-ложение, так что как одному и другому игроку решение приходитсяпринимать в условиях неопределенности. Непременным остается толькостремление игроков использовать любую ошибку партнера в своих инте-

231

ресах. Игры, в которых оба участника, действуя в строгом соответствиис правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшегодля себя результата, называют иногда стратегическими.

В экономической практике нередко приходится формализовать (мо-делировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один изучастников безразличен к результату игры. Такие игры называют иг-рами с природой, понимая под термином "природа" всю совокупностьвнешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходитсяпринимать решение. В играх с природой степень неопределенности припринятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется этотем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянноожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то "приро-да будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, можетпредпринимать такие ответные действия (будем говорить: реализоватьтакие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны созна-тельному игроку.

Пусть игроки A и B располагают конечным числом возможных дей-ствий – чистых стратегий. Обозначим из соответственно A1, . . . , Am иB1, . . . , Bn. Игрок A может выбирать любую чистую стратегиюAi (i = 1,m), в ответ на которую игрок B может выбрать любую своючистую стратегию Bj (j = 1, n). Если игра состоит только из личныхходов пары стратегий (Ai, Bj) однозначно определяет результат aij –выигрыш игрока A. При этом проигрыш игрока B составляет aij. Ес-

232

ли известны значения aij – выигрыша для каждой пары (Ai, Bj) чистыхстратегий, можно составить матрицу выигрышей игрока A (проигрышейигрока B) (таблица 15.1). Ее называют платежной.


HHHHH

HHHAi

Bj B1, . . . , Bn αi

A1

. . .Am

a11 . . . a1n

. . . . . . . . .am1 . . . amn

α1

. . .αm

βj β1, . . . , βn

В таблице 15.1 приведены числа αi = minjaij – минимально воз-

можный выигрыш игрока A, применяющего стратегию Ai (i = 1,m),и βj = max

iaij – максимально возможный проигрыш игрока B, если он

пользуется стратегией Bj (j = 1, n).Число α = max

iαij = max

iminjaij называют нижней чистой ценой иг-

ры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию – A0i – мак-

симинной. Число α показывает, какой минимальный гарантированныйвыигрыш может получить игрок A, правильно применяя свои чистыестратегии при любых действиях игрока B.

233

Число β = minjβij = min

jmaxiaij называют верхней чистой ценой

игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию B0j – ми-

нимаксной. Число β показывает, какой минимальный гарантированныйпроигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своихчистых стратегий независимо от действий игрока A.

Таким образом, правильно используя свои чистые стратегии, игрок Aобеспечит себе выигрыш не меньше α, а игрок B в результате правильно-го применения своих чистых стратегий не позволит игроку A выигратьбольше, чем β. Ясно, что α ≤ β. Если α = β, то говорят, что игра имеетседловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β.Пару чистых стратегий Ai и Bj, соответствующих α и β, называют сед-ловой точкой матричной игры, а элемент ai∗j∗ платежной матрицы, сто-ящий на пересечении i∗-й строки и j∗-гo столбца, – седловым элементомплатежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своейстроке и максимальным в своем столбце, т.е. aij∗ ≤ ai∗j∗ ≤ ai∗j. Стра-тегии Ai∗ и Bj∗, образующие седловую точку, являются оптимальными.Тройку Ai, Bj, ν называют решением игры.

Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков нахо-дятся в области смешанных стратегий. Смешанной стратегией игрока Aназывают вектор ~p = (p1, . . . , pm), компоненты которого удовлетворяют

условиям pi ≥ 0 (i = 1,m),m∑i=1

pi = 1. Смешанной стратегией игрока B

234

называют вектор ~q = (q1, . . . , qn), где qj ≥ 0 (j = 1, n),n∑j=1

qj = 1, pi и qj –

вероятности, с которыми игроки A и B выбирают свои чистые стратегиив ходе игры. При использовании смешанных стратегий игра приобрета-ет случайный характер, случайной становиться и величина выигрышаигрока A (проигрыша игрока B). Эта величина является функцией сме-шанных стратегий и определяется по формуле:

f(p, q) =m∑i=1

n∑j=1

aijpiqj.

Функцию f(p, q) называют функцией выигрыша или платежной функ-цией. Смешанные стратегии p∗ и q∗ называют оптимальными, если ониобразуют седловую точку для платежной функции f(p, q), т.е. если ониудовлетворяют неравенству f(p, q∗) ≤ f(p∗, q∗) ≤ f(p∗, q). Пользуются идругим определением оптимальных смешанных стратегий: стратегии p∗

и q∗ называют оптимальными, если

minq

maxpf(p, q) = max

pminqf(p, q) = f(p∗, q∗).

Величину f(p∗, q∗) = v называют ценой игры. Поиск оптимальныхсмешанных стратегий начинают с упрощения платежной матрицы. Еслив платежной матрице элементы k-й строки не меньше соответствующихэлементов s-ой строки, т.е. akj ≥ asj (j = 1, n), то говорят, что страте-гия Ak доминирует над стратегией As. Аналогично, если элементы l-го

235

столбца не превосходят соответствующих элементов r-го столбца, т.е.ail ≤ air (i = 1,m), то говорят, что стратегия Bl доминирует над стра-тегией Br. Частным случаем доминирования стратегий является дубли-рование стратегий, когда akj = asj (j = 1, n) или ail = air (i = 1,m).Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий (ими иг-рокам пользоваться заведомо невыгодно) позволяет уменьшить ее раз-мерность, а это упрощает решение игры. Вероятность применения до-минируемых стратегий равна нулю. Оптимальные смешанные стратегииp∗ и q∗ в игре с платежной матрицей [aij]m×n и ценой v остаются опти-мальными и для игры с платежной матрицей [baij + c]m×n (где b > 0)и ценой bv + c. На этом основании платежную матрицу можно всегдапреобразовать так, что ее элементы будут целыми неотрицательнымичислами, а это упрощает расчеты.


1. Назовите виды матричных игр.2. Что называется чистой стратегией игрока?3. Что называется смешанной стратегией игрока?4. Что называется нижней чистой ценой игры?5. Что называется верхней чистой ценой игры?6. Что называется функцией выигрыша?7. Что такое седловая точка и седловой элемент?

236

ЛЕКЦИЯ 16Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведение

матричной игры к задаче линейного программирования

16.1. Решение матричной игры сведением к задаче линейногопрограммирования

Пусть игра задана платежной матрицей (таблица 15.1). Оптимальныесмешанные стратегии p∗ = (p∗1, . . . , p

∗i , . . . , p

∗m) и q∗ = (q∗1, . . . , q

∗j , . . . , q

∗n)

игроков A и B могут быть найдены в результате решения пары двой-ственных задач линейного программирования.

Для игрока A: f =

m∑i−1

xi → min,

m∑i−1

aijxi ≥ 1 (j = 1, n),

xi ≥ 0 (i = 1,m).

. (16.1)

В результате решения задачи (16.1) находят оптимальный векторx∗ = (x∗1, . . . , x

∗i , . . . , x

∗m) и f ∗ = fmin, а затем

v = 1/fmin, p∗i = vx∗i , (i = 1,m). (16.2)

237

Для игрока B: ϕ =

n∑j=1

yj → max,

n∑j=1

aijyj ≤ 1 (i = 1,m),

yj ≥ 0 (j = 1, n).

(16.3)

Решая задачу (16.3), находят оптимальный вектор

y∗ = (y∗1, . . . , y∗j , . . . , y

∗n)

и ϕ∗ = ϕmax, а затем

v = 1/ϕmax, q∗j = vy∗j , (j = 1, n). (16.4)

Поскольку задачи (16.1) и (16.3) образуют пару симметричных двой-ственных задач линейного программирования, нет необходимости ре-шать обе задачи. Получив решение одной из них, достаточно воспользо-ваться соответствием между переменными в канонических записях за-дач

свободные︷︸︸︷x1 . . . xmyn+1 . . . yn+m︸︷︷︸

базисные

базисные︷︸︸︷xm+1 . . . xm+n

y1 . . . yn︸︷︷︸свободные

.

238

И из строки целевой функции последней симплекс-таблицы, содержа-щей компоненты оптимального вектора, выписать значение компонентоптимального вектора двойственной задачи.

Пример 16.1. Решить игру с платежной матрицей: 2 1 03 0 11 2 4

сведя ее к задаче линейного программирования.

J Прежде всего, проверим, не имеет ли игра седловой точки. Нахо-дим:

α = maxi

minjaij = 1; β = min

jmaxiaij = 2.

Так как α 6= β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится. Составляемпо матрице игры задачи:

f = x1 + x2 + x3 → min,2x1 + 3x2 + x3 ≥ 1;x1 + 2x3 ≥ 1;x2 + 4x3 ≥ 1;

(16.5)

239

xi ≥ 0 (i = 1, 3);

ϕ = y1 + y2 + y3 → max,2y1 + y2 ≤ 1;3y1 + y3 ≤ 1;y1 + 2y2 + 4y3 ≤ 1;

(16.6)

yi ≥ 0 (j = 1, 3).

Решим, например, задачу (16.6). После приведения модели к канони-ческому виду дополнительные переменные y4, y5, y6 составят начальныйбазис, а основные переменные y1, y2, y3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 16.1 содер-жащей компоненты оптимального плана

y∗ = (y∗1, y∗2, y∗3, y∗4, y∗5, y∗6) = (1/3, 1/3, 0, 0, 0, 0) и ϕmax = 2/3.

Находим цену игры ν = 1/ϕmax = 3/2 и компоненты q∗j оптимальнойсмешанной стратегии q∗ игрока B:

q∗1 = νy∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q∗2 = 1/2, q∗3 = 0.

Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p∗ игрока A. Вве-дем дополнительные переменные x4, x5 и x6 в ограничения задачи (16.5).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x1, x2 и x3

240


HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −y3 −y4 −y6

y2 = 1/3

y1 = 1/3y5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3

будут свободными. Запишем соответствие между переменными канони-ческих форм рассматриваемых двойственных задач:

свободные︷︸︸︷x1 x2 x3

y4 y5 y6︸︷︷︸базисные

базисные︷︸︸︷x4 x5 x6

y1 y2 y3︸︷︷︸свободные

Учитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 16.1 значения компонент оптимального вектора задачи (16.5):x∗1 = 1/3, x∗2 = 0, x∗3 = 1/3. Находим компоненты p∗i оптимальной сме-шанной стратегии p∗ игрока A:

p∗1 = νx∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p∗2 = 0, p∗3 = 1/2.

241

Итак, решение игры найдено:

p∗ = (1/2, 0, 1/2), q∗ = (1/2, 1/2, 0), ν = 3/2. I


1. Как определяются соответствия между базисными и свободнымипеременными в канонических записях пары двойственных задач?

2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры путем ее све-дения к задаче линейного программирования.

242

ЛЕКЦИЯ 17Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Решение

матричных игр в смешанных стратегиях графическимметодом

17.1. Решение матричной игры графическим методом

При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей2× n и m× 2 целесообразно использовать графический метод решениязадач линейного программирования и свойства оптимальных планов па-ры двойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменнаяположительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ееоптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным пла-ном задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в опти-мальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равнанулю.

Пример 17.1. Произвести возможные упрощения следующей пла-тежной матрицы

3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0

и найти решения игр, используя графический метод решения.

243

J Сделаем несколько упрощений. Так как четвертая и вторая строкаявляются одинаковыми, то можно вычеркнуть любую из них, например,четвертую, третий столбец доминирует над остальными, значит, он яв-ляется не выгодным для игрока, поэтому его вычеркиваем. В результатеполучим: [

3 1 51 5 0

].

Откуда α = max(1, 0) = 1 и β = min(3, 5, 5) = 3, α 6= β, а поэтомудля определения оптимальных смешанных стратегий игроков составля-ем задачи:

f = x1 + x2 → min3x1 + x2 ≥ 1x1 + 5x2 ≥ 15x1 ≥ 1

и

g = y1 + y2 + y3 → max3y1 + y2 + 5y3 ≤ 1y1 + 5y2 ≤ 1

.

Поскольку первая задача содержит две переменные, то ее будем ре-шать графическим методом. В результате получим, что x∗1 = 2/7,x∗2 = 1/7, fmax = 3/7. Используя формулы (16.2), получаем: v = 7/3,p∗1 = 1/3, p∗2 = 2/3.

Определим оптимальную смешанную стратегию q∗ = (q∗1, q∗2, q∗3). В

оптимальном плане исходной задачи x∗1 > 0 и x∗2 > 0, поэтому первое ивторое ограничение двойственной задачи обращаются в равенства. Кро-ме того, третье ограничение исходной задачи при подстановке значения

244

x∗1 обращается в строгое неравенство. Следовательно, в двойственнойзадаче соответствующая ему третья переменная равна нулю, т.е. y∗3 = 0.Для определения остальных двух переменных необходимо решить урав-нение:

3y1 + y2 = 1,y1 + 5y2 = 1.

Откуда находим y1 = 2/7 и y2 = 1/7. Используя формулу (16.4),определяем q∗1 = 2/3, q∗2 = 1/3, q∗3 = 0. Итак, решение игры найдено:

p∗ = (2/3, 1/3, 0, 0); q∗ = (2/3, 1/3, 0, 0); v = 7/3. I


1. Как определяются соответствия между базисными и свободнымипеременными в канонических записях пары двойственных задач?

2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры графическимметодом.

245

ЛЕКЦИЯ 18Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Решениематричных игр в смешанных стратегиях приближенным

методом

18.1. Приближенный метод решения матричных игр

Если точное решение матричной игры оказывается громоздким, мож-но ограничиться приближенным решением. В частности, когда нижняячистая цена игры α мало отличается от верхней чистой цены β, иногдапользуются чистыми максиминной и минимаксной стратегиями, прини-мая их за оптимальные. В противном случае целесообразно использо-вать метод итераций. В основе этого метода лежит предположение, чтоигра состоит из большого количества партий и игроки выбирают своичистые стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающим-ся опытом уже сыгранных партий, обоснованно полагая, что партнери дальше будет действовать так, как он действовал до этого момента.Если каждый игрок имеет единственную оптимальную смешанную стра-тегию, то при неограниченном увеличении числа партий приближенныесмешанные стратегии стремятся к оптимальным стратегиям игроков, асредние выигрыши – к цене игры v. Используя ЭВМ, вычислительнуюпроцедуру можно значительно ускорить и получить решение игры с лю-бой точностью даже при матрицах больших размерностей.

246

Итеративный метод можно рекомендовать для получения прибли-женного плана больших по размеру задач линейного программирования,с тем чтобы этот план преобразовать затем в оптимальный с помощьюболее громоздкой симплексной процедуры.

Проследим за ходом рассуждений игроков, начиная с первой партии,если игра задана платежной матрицей, помещенной в таблице 18.1. Всерезультаты будем записывать в таблице 18.2.


HHHHHH

HHAi

Bs B1 . . . Bs . . . Bt . . . Bn

A1 a11 . . . a1s . . . a1t . . . a1n

. . . . . .Ak ak1 . . . aks . . . akt . . . akn. . . . . .Al al1 . . . als . . . alt . . . aln. . . . . .Am am1 . . . ams . . . amt . . . amn

В первой партии допускаем, что игрок A выбрал некоторую чистуюстратегию Ak (например, максиминную). Запишем в первую строку таб-лицы 18.2 все возможные значения ak1, . . . , akn выигрыша, которые иг-

247

рок А может получить при применении игроком В любой из его чистыхстратегий Bj. ИгрокВ ответит той стратегией, при которой его проиг-рыш будет наименьшим. Эта стратегия соответствует наименьшему изэлементов ak1, . . . , akn. Пусть им будет элемент aks. Тогда наилучшейдля игрока В будет стратегия Bs.


Номерпартии

Игрок A Игрок B Приближенныезначения цены

Стратегия

Накопленныйвыигрыш при

различныхстратегияхигрока B

Стратегия

Накопленныйпроигрыш при

различныхстратегияхигрока A

B1 . . . Bn A1 . . . Am v′

h v′′

h vсрh1 Ak ak1 . . . akn Bs a1s . . . ams v

′

1 v′′

1 vср12 Al bl1 . . . bln Bt b1t . . . bmt v

′

2 v′′

2 vср2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r Ap cp1 . . . cpn Bq c1q . . . cmq v

′

r v′′

r vсрr

Заполнение первой строки таблицы 18.2 завершаем записью значенийвыигрышей a1s, . . . , ams, соответствующих всем возможным стратегиямигрока А. В последние три столбца запишем: v′h – наименьший из накоп-ленных выигрышей игрока А за h партий, деленный на число партий h;v′′

h – наибольший из накопленных проигрышей игрока В за h партий,деленный на число партийh; vср

h – среднее арифметическое v′h и v′′

h –приближенное значение цены игры.

248

Во второй партии игрок A предполагает, что игрок В и в даннойпартии воспользуется стратегией Bs, а поэтому игрок А отвечает стра-тегией, которая обеспечивает ему при стратегии Bs наибольший выиг-рыш. Эта стратегия соответствует наибольшему из элементовa1s, . . . , ams. Пусть им будет, например, элемент als. Тогда наилучшейдля игрока А будет чистая стратегия Al. Во вторую строку таблицы 18.2запишем суммарные значения выигрыша за первую (при стратегииAk) ивторую (при стратегии Al) партии – накопленный выигрыш akj+alj = blj(j = 1, n). В свою очередь игрок В, анализируя суммарные выигры-ши blj игрокаА и предполагая, что игрок А и далее будет пользоватьсястратегией Al, аккумулирующей опыт первых партий (в накопленномвыигрыше), выбирает стратегию Bt, отвечающую blt – наименьшему изэлементов blj. Заканчивая заполнение второй строки таблицы 18.2, запи-сываем накопленный проигрыш игрока В за две партии при различныхстратегиях игрока А: bit = ais + ait (i = 1,m). Заполняем и последниетри столбца: v′h, v

′′

h и vсрh . Аналогично игроки выбирают свои стратегии

в ходе всей игры. Приближенные оптимальные стратегии игроков нахо-дят после прекращения итерационного процесса. Предположим, что онзакончился на r -й партии и за всю игру стратегия Al была использованаm(Ai) раз, а стратегия Bj –m(Bj) раз. Тогда за вероятности применениячистых стратегий принимаются значения частостей:

p∗i = m(Ai) : r(i = 1,m); q∗j = m(Bj) : r(j = 1, n)

249

Приближенное значение цены игры v ≈ vсрr =

(v′

r + v′′

r

)/2.


1. В каких случаях применяется приближенный метод решения мат-ричных игр?

2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры приближен-ным методом.

250


Тема: Решение матричных игр в смешанных стратегиях: сведениематричной игры к задаче линейного программирования, графическим иприближенным методами.

Цель: Закрепление методов графического и приближенного на при-мерах и задачах.

Задание 1. Решить игру с платежной матрицей 2 1 03 0 11 2 4

,сведя ее к задаче линейного программирования.


α = maxi


imaxjaij = 2.

Так как α 6= β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится.

Составляем по матрице игры задачи:

f = x1 + x2 + x3 → min,

251

2x1 + 3x2 + x3 ≥ 1;x1 + 2x3 ≥ 1;x2 + 4x3 ≥ 1;

(1)

xi ≥ 0 (i = 1, 3);

ϕ = y1 + y2 + y3 → max,2y1 + y2 ≤ 1;3y1 + y3 ≤ 1;y1 + 2y2 + 4y3 ≤ 1;

(2)

yi ≥ 0 (j = 1, 3).

Решим, например, задачу (2). После приведения модели к канониче-скому виду дополнительные переменные y4, y5, y6 составят начальныйбазис, а основные переменные y1, y2, y3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 1, содержа-щей компоненты оптимального плана

y∗ = (y∗1; y∗2; y∗3; y∗4; y∗5; y∗6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕmax = 2/3.


q∗1 = νy∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q∗2 = 1/2, q∗3 = 0.

Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p∗ игрока A. Вве-дем дополнительные переменные x4, x5 и x6 в ограничения задачи (1).

252

Таблица 1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −y3 −y4 −y6

y2 = 1/3

y1 = 1/3y5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3

Эти переменные составят начальный базис, а переменные x1, x2 и x3






Учитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 1 значения компонент оптимального вектора зада-чи (1): x∗1 = 1/3, x∗2 = 0, x∗3 = 1/3. Находим компоненты p∗i оптимальнойсмешанной стратегии p∗ игрока A:

p∗1 = νx∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p∗2 = 0, p∗3 = 1/2.

253


p∗ = (1/2; 0; 1/2), q∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. I

Задание 2. Решить игру с платежной матрицей 3 812 19 6

графическим методом.

J В данном случае α = 6, β = 8, т. е. α 6= β, а поэтому для опреде-ления оптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:

f = x1 + x2 + x3 → min,3x1 + 12x2 + 9x3 ≥ 1,8x1 + x2 + 6x3 ≥ 1,

(3)

xi ≥ 0 (i = 1, 3),

ϕ = y1 + y2 → max,3y1 + 8y2 ≤ 1,12y1 + y2 ≤ 1,9y1 + 6y2 ≤ 1,

(4)

yi ≥ 0 (j = 1, 2).

254

Поскольку задача (4) содержит две переменные, то, решая ее графи-чески (рисунок 1), находим: y∗1 = 1/27, y∗2 = 1/9, ϕmax = 4/27. Вычисля-ем ν = 1/ϕmax = 27/4, q∗1 = νy∗1 = 1/4, q∗2 = 3/4.

О

2y

1y

0,1 cmax

A

1 9

0j =

max4 27j =

1 27

Рисунок 1. – Графический метод решения матричной игры

Для того чтобы определить оптимальную смешанную страте-гию p∗ = (p∗1; p

∗2; p

∗3), найдем сначала решение двойственной задачи (3).

В оптимальном плане задачи (4) y∗1 > 0 и y∗2 > 0, поэтому оба ограни-чения двойственной задачи (3) ее оптимальным планом x∗ = (x∗1;x

∗2;x∗3)

обращаются в равенства. Кроме того, значениями y∗1 и y∗2 второе огра-ничение задачи (4) обращается в строгое неравенство. Следовательно, воптимальном плане задачи (3) соответствующая ему вторая переменнаяравна нулю, т.е. x∗2 = 0. Учитывая сказанное, для определения x∗1 и x∗3

255

получаем уравнения 3x1 + 9x3 = 1 и 8x1 + 6x2 = 1, совместное реше-ние которых дает x∗1 = 3/54, x∗3 = 5/54. Вычисляем: p∗1 = 3/8, p∗2 = 0,p∗3 = 5/8.


p∗ = (3/8; 0; 5/8); q∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. I

Задание 3. В матричной игре (таблица 2) получить приближенияцены игры и оптимальных смешанных стратегий, выполнив 20 итераций.

Таблица 2.

HHHHH

HHHAi

Bj B1 B2 B3

A1 4 2 2A2 2 5 0A3 0 2 5

J Поскольку α = 2, β = 4 и, следовательно, α 6= β, то игра не имеетседловой точки, а потому ищем решение игры в области смешанныхстратегий.

Пусть в первой партии игрок А избрал стратегию A1. Выигрыши егопри различных стратегиях игрока B будут равны соответственно 4, 2

256

Таблица 3.



Стратегия



Стратегия



B1 B2 B3 A1 A2 Am v′h v

′′h vсрh

1 A1 4 2 2 B2 2 5 2 2 5 7/22 A2 6 7 2 B3 4 5 7 1 7/2 9/43 A3 6 9 7 B1 8 7 7 2 8/3 7/34 A1 10 11 9 B3 10 7 12 9/4 3 21/85 A3 10 13 14 B1 14 9 12 2 14/5 12/56 A1 10 15 16 B1 18 11 12 7/3 9/3 8/37 A1 18 17 18 B2 20 16 14 17/7 20/7 37/148 A1 22 19 20 B2 22 21 16 19/8 11/4 41/169 A1 26 21 22 B2 24 26 18 7/3 26/9 47/1810 A2 28 26 22 B3 26 26 23 11/5 13/5 12/511 A1 32 28 24 B3 28 26 28 24/11 28/11 26/1112 A1 36 30 26 B3 30 26 33 13/6 33/12 59/2413 A3 36 32 31 B3 32 26 28 31/13 38/13 69/2614 A3 36 34 36 B2 34 31 40 17/7 20/7 37/1415 A3 36 36 41 B1 38 33 40 12/5 40/15 38/1516 A3 36 38 46 B1 42 35 40 9/4 21/8 39/1617 A1 40 40 48 B1 46 37 40 40/17 46/17 43/1718 A1 44 42 42 B2 48 42 42 7/3 8/3 5/219 A1 48 44 52 B2 50 47 44 44/19 50/19 47/1920 A1 52 46 54 B2 52 52 46 23/10 13/5 49/20

или 2. Запишем их в первую строку таблице 3. Игроку B в первой пар-тии выгоднее использовать либо вторую, либо третью стратегию, таккак в обоих случаях его проигрыш будет наименьшим и равняется двум.Условимся в случае равенства выигрышей (проигрышей) при несколь-ких стратегиях брать стратегию с меньшим индексом. Итак, игрок B

257

выберет стратегию B2, при которой он проиграет либо 2, либо 5, либо2 в зависимости от выбора игроком А своей чистой стратегии (смотритаблицу 2). Внесем эти значения в первую строку таблицы 3 и заполнимстроку до конца:

v′

1 = 2/1 = 2, v′′

1 = 5/1 = 5, vср1 = (2 + 5)/2 = 7/2.

Переходим ко второй партии. Предполагая, что игрок B и во второйпартии может воспользоваться стратегией B2, игрок A выберет страте-гию A2, при которой его выигрыш является наибольшим и равняется 5.При стратегии A2 игрок А может выиграть либо 2, либо 5, либо 0. Вовторую строку таблицы 3 записываем выигрыши игрока A в двух пар-тиях, т.е. 4 + 2 = 6, 2 + 5 = 7, 2 + 0 = 2. Игроку B в данной ситуациивыгоднее всего применить стратегию B3, соответствующую наименьше-му проигрышу, равному 2. Записываем во вторую строку его суммарныепроигрыши в двух первых партиях: 2 + 2 = 4, 5 + 0 = 5, 2 + 5 = 7. Впоследние три столбца записываем:

v′

2 = 2/2 = 1, v′′

2 = 7/2, vср2 = (1 + 7/2)/2 = 9/4.

В третьей партии игроку A выгоднее всего применить стратегию A3,а игроку B после этого лучше использовать стратегию B1 и т.д. После20 итераций подсчитываем, сколько раз игроки использовали каждую изсвоих чистых стратегий. Получаем m(A1) = 12, m(A2) = 2, m(A3) = 6,m(B1) = 6 m(B2) = 8, m(B3) = 6. После этого определяем вероятности

258

применения игроками своих чистых стратегий:

p∗1 = 12/20 = 0, 6; p∗2 = 2/20 = 0, 1; p∗3 = 6/20 = 0, 3;

q∗1 = 6/20 = 0, 3; q∗2 = 8/20 = 0, 4; q∗3 = 6/20 = 0, 3.

Таким образом, приближенными оптимальными смешанными стра-тегиями игроков будут:

p∗ = (0, 6; 0, 1; 0, 3) , q∗ = (0, 3; 0, 4; 0, 3) ,

а приближенное значение цены игры

v ≈ vср20 =

(v′

20 + v′′

20

)/2 = 2, 45.

Для сравнения приведем точное решение игры:

p∗ = (19/35; 6/35; 10/35) = (0, 544; 0, 171; 0, 285) ,

q∗ = (9/35; 14/35; 12/35) = (0, 257; 0, 400; 0, 343)

цена игры v = 2, 514. I

259

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 8, 9, 10

Тема: Решение матричных игр в смешанных стратегиях: сведениематричной игры к задаче линейного программирования, графическимметодом и приближенным методом.

Цель: Закрепление решения матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования, графическим иприближенным методом на компьютере.

Задача 1. Решить следующую матричную игру в MS Excel, исполь-зуя надстройку «Поиск решения»

3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5

.Для решения матричной игры (находим стратегии pi) в MS Excel

необходимо использовать надстройку «Поиск решения», которая нахо-дится в закладке «Данные». Для этого необходимо записать математи-ческую модель игры: ее целевую функцию и ограничения (рисунок 1).

Далее, используя надстройку «Поиск решения», вводим сведения обцелевой функции (ее значение и направление оптимизации). Задаем из-меняемые ячейки (оптимальное решение задачи), которые в процессепросчета компьютером будут изменяться, а также задаем ограничения

260

Рисунок 1. – Математическая модель матричной игры для стратегий pi

на соответствующие переменные (на рисунке 2 обведены замкнутымикривыми).

Рисунок 2. – Ввод сведений об ограничениях и целевой функции для стратегий pi

261

После ввода данных нажимаем на кнопку «Выполнить» (на рисун-ке 2 выделено замкнутыми кривыми) и получаем решение наше задачи.Оптимальное решение задачи выделено голубым цветом, а значение це-левой функции – желтым (рисунок 3).

Рисунок 3. – Оптимальное решение матричной игры для стратегий pi

Для проверки решения задачи мы суммируем все стратегии pi, кото-рые, по определению, должны равняться единице, что видно на рисун-ке 3.

262

Рисунок 4. – Математическая модель матричной игры для стратегий qj

Рисунок 5. – Ввод сведений о целевой функции и об ограничениях для стратегий qj

263

Аналогично находятся стратегии qj, которые более наглядно можнопросмотреть на рисунках 4–6.

Рисунок 6. – Оптимальное решение матричной игры для стратегий qj

264

ЛЕКЦИЯ 19Модели сетевого планирования и управления. Сетевые

графики

19.1. Правила построения сетевых графиков

В практике управления большими системами широко применяетсяметод сетевого планирования и управления (СПУ). Методы СПУ былипредложены сравнительно недавно. Так как они разрабатывались в раз-ных странах, возникло несколько их разновидностей: СПУ – в СССР,PERT и СРМ – в США и др.

Метод PERT применяется в планировании научно-исследовательскихи опытно-конструкторских разработок, для которых характерна неопре-деленность в оценке затрат времени, необходимого для выполнения от-дельных операций (работ). Метод СРМ применяется тогда, когда оценкивремени операций детерминированные.

Основой метода СПУ является сетевой график (сетевая модель), от-ражающий(ая) логическую взаимосвязь и взаимообусловленность вхо-дящих в него элементарных операций (работ).

Сетевые графики представляют собой ориентированные графы (ор-графы) без контуров, дугам или вершинам которых приписаны некото-рые числовые значения.

265

В системах СПУ используются следующие наиболее распространен-ные способы построения сетевых графиков:

1) сетевые графики в терминах "дуги-операции" (под операцией по-нимается какая-то работа). В таких графиках вершины, называемые со-бытиями, соответствуют моментам времени начала или окончания однойили нескольких операций, а дуги — операциям;

2) сетевые графики в терминах "дуги-связи" , в которых операцииизображаются вершинами сети, а дуги показывают порядок выполнения(взаимосвязь) отдельных операций.

Каждый из способов построения сетевых графиков имеет как пре-имущества, так и недостатки. Учитывая, что первый способ получилбольшее практическое применение в нашей стране, в дальнейшем сете-вые графики будем рассматривать в терминах "дуги-операции".

В сетевом графике различают три вида событий: исходное, заверша-ющее и промежуточное. Исходное — это такое событие, с которого на-чинается выполнение комплекса операций. Завершающее соответствуетдостижению конечной цели, т.е. завершению комплекса операций. Се-тевые графики с несколькими завершающими событиями называютсямногоцелевыми. К промежуточным относятся все прочие события.

События обозначаются кружками или другими геометрическими фи-гурами. Предполагается, что события не имеют продолжительности инаступают как бы мгновенно.

266

Моментом свершения события считается момент окончания выпол-нения всех входящих в это событие операций. Пока не выполнены всевходящие в событие операции, не может свершиться само событие, а,следовательно, не может быть начата ни одна из непосредственно сле-дующих за ним операций.

Различают три вида операций:1) действительная операция ( ) — процесс, требующий затрат

времени и ресурсов (разработка проекта, подвоз материалов, выполне-ние монтажных работ и т.д.);

2) операция-ожидание ( ) — процесс, требующий только затратвремени (затвердение бетона, естественная сушка штукатурки перед на-чалом отделочных работ, рост растений и т.д.);

3) фиктивная операция ( ), или логическая зависимость, отра-жает технологическую или ресурсную зависимость в выполнении неко-торых операций.

При построении сетевых графиков необходимо соблюдать определен-ные правила:

1) в сети не должно быть событий (кроме исходного), в которые невходит ни одна дуга;

2) не должно быть событий (кроме завершающего), из которых невыходит ни одной дуги;

3) сеть не должна содержать контуров;

267

4) любая пара событий сетевого графика может быть соединена неболее чем одной дугой. Если изобразить одновременно (параллельно)выполняемые три различные операции b, c и d с общими начальным иконечным событиями (рисунок 19.1), то возникает путаница из-за то-го, что различные операции имеют одно и то же обозначение. В этомслучае рекомендуется ввести дополнительные события и соединить их споследующими фиктивными операциями (рисунок 19.2);

5) номер начального события любой операции должен быть меньшеномера ее конечного события;

6) если какие-либо операции могут быть начаты до полного оконча-ния непосредственно предшествующей им операции, то последнюю це-лесообразно представить как ряд последовательно выполняемых опера-ций, завершающихся определенными событиями. Например, если опера-ции c и d могут быть начаты до полного окончания операции, то опе-рацию рекомендуется разбить на элементарные операции b1 b2 и b3 ипредставить выполнение всех операций в виде графика, изображенногона рисунке 19.3.

Для отражения технологической или ресурсной зависимости в вы-полнении операций применяют фиктивные операции. Предположим, чтооперация может выполняться после завершения операций a и b, а опе-рация d – только после завершения операции b. Эта зависимость пред-ставлена на рисунке 19.4, из которого видно, что операция c следуетза операцией a и фиктивной операцией (2, 3). В свою очередь операция

268

52

b

c

d

Рисунок 19.1. – Операции b, c и d с общими начальным и конечным событиями

3

4

2 5

b

d

c

Рисунок 19.2. – Соединение дополнительных событий с фиктивными операциями

(2, 3) следует за операцией b. Тогда в силу транзитивности выполнениеоперации b предшествует выполнению операции c.

Построение сетевого графика начинается с составления списка опе-раций (работ), подлежащих выполнению. Последовательность операцийв списке произвольная. Порядок нумерации операций осуществляется в

269

11

b

2 3 6

4 5

2b

3b

c d

Рисунок 19.3. – Разбиение операций на элементарные

1

2

3

4

a

b

c

d

Рисунок 19.4. – Технологическая или ресурсная зависимость в выполнении операций

соответствии с последовательностью их записи в списке. Перечень опе-раций тщательно продумывается и в зависимости от конкретных усло-вий с какой-то степенью детализируется. Операции, включенные в спи-сок, характеризуются определенной продолжительностью, которая уста-навливается на основе действующих нормативов или по аналогии с ранеевыполнявшимися операциями. Такие временные оценки называются де-

270

терминированными. Если же нормативные данные временных оценокопераций отсутствуют, то определяются вероятностные оценки.

После составления списка операций приступают к процедуре постро-ения сети.

Пример 19.1. Необходимо построить укрупненный сетевой графиквыполнения комплекса операций по реконструкции цеха. Список опера-ций представлен в таблице 19.1. Сетевой график комплекса операцийизображен на рисунке 19.4.

Все операции графика, за исключением фиктивных операций (2, 3) и(5, 6) являются действительными. Числа в скобках, приписанные дугам,означают продолжительность выполнения соответствующих операций.Операции a1 и a2 не опираются ни на какие операции, следовательно, награфике они изображаются дугами, выходящими из исходного события(7), означающего момент начала выполнения комплекса операций. Опе-рации a3, a5 и a6 опираются на операцию a1, поэтому на графике дугиa3, a5 и a6 непосредственно следуют за дугой a1. Событие (2) означа-ет момент окончания операции a1 и начала операций, представленныхдугами, выходящими из этого события. Операция a4 опирается на опе-рации a1 и a2. Графически это условие отражено посредством последо-вательного изображения операций (1, 3) и (3, 4) и введения фиктивнойоперации (2, 3). Событие (3) инцидентно операциям (1, 3) и (2, 3), сле-довательно, моментом свершения события (3) является такой момент,

271

к которому будут выполнены все входящие в это событие операции иможет быть начата операция, отраженная дугой, выходящей из него.Аналогично, с учетом технологии выполнения, изображены на графикеостальные операции. Завершающее событие (9) означает момент окон-чания выполнения всего комплекса операций по реконструкции цеха.Шифры операций (таблица 19.1) состоят из номеров начального и ко-нечного событий и практически в список заносятся после составленияграфика.

События построенного сетевого графика (рисунок 19.5) имеют упо-рядоченную нумерацию. Практически же в исходном сетевом графикеэлементы, как правило, имеют неупорядоченную нумерацию. Поэтомупосле построения графика рекомендуется перенумеровать его элементы.

1

2

3

4 5

6

7 8 9

1(5)a 3(30)a

2 (3)a

11(1)a

10 (8)a

7 (8)a 8(2)a 9 (6)a

5(10)a

4 (16)a

6 (12)a

Рисунок 19.5. – Сетевой график комплекса операций

272


Операция Шифроперации Наименование операции Опирается

на операцииПродолжительность,

дни

a1 (1,2) Подготовительныеработы − 5

a2 (1,3) Демонтаж старогооборудования − 3

a3 (2,6) Ремонтные строительно-монтажные работы a1 30

a4 (3,4) Подготовка фундаментапод новое оборудование a1, a2 16

a5 (2,4) Подготовка к монтажунового оборудования a1 10

a6 (2,5) Электрическиеработы a1 12

a7 (4,5) Монтаж новогооборудования a4, a5 8

a8 (5,7) Подготовка оборудованияк электросети a6, a7 2

a9 (7,8) Наладка и технологическиеиспытания оборудования a8 6

a10 (6,8) Отделочныеработы a3, a6, a7 8

a11 (8,9) Приемка цехав эксплуатацию a9, a10 1

Построение сетевых графиков скоротечных комплексов операций, ко-гда из-за недостатка времени нет возможности производить оптимизаци-онные расчеты, осуществляется с учетом технологических и ресурсныхограничений. Построение графиков нескоротечных комплексов опера-ций, когда достаточно времени для их исследования, выполняется лишьс учетом технологических ограничений. Такой подход обеспечивает ми-

273

нимальную продолжительность выполнения комплекса операций. Послепостроения графика рассчитываются его временные параметры и про-изводится оптимизация по ресурсам или другим показателям, для чегоиспользуются формальные методы оптимизации.

Для разного уровня руководства составляются графики различнойстепени детализации. Так, например, на рисунке 19.5 изображен укруп-ненный сетевой график реконструкции цеха. Для конкретных исполни-телей составляются частные сетевые графики с большей степенью дета-лизации.


1. Какие Вы знаете способы построения сетевых графиков?2. Какие виды операций в сетевом планировани и управлении Вы

знаете?3. Какие правила надо соблюдать при построении сетевых графиков?

274

ЛЕКЦИЯ 20Модели сетевого планирования и управления. Временные

параметры сетевого графика

20.1. Расчет временных параметров графика

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представ-ленного сетевой моделью, оперирующая сторона должна располагатьколичественными параметрами элементов сети. К таким параметрамотносятся: продолжительность выполнения всего комплекса операций,сроки выполнения отдельных операций и их резервы времени. Важней-шим параметром сетевого графика является также критический путь.Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию,следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вер-шина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь – это путь от исходного события доданного.

Следующий за событием путь есть путь от данного события до за-вершающего.

Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую про-должительность во времени. Операции и события, принадлежащие кри-тическому пути, называются соответственно критическими операциями

275

и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций,принадлежащих критическому пути, составляет критическое время tкрвыполнения комплекса операций в целом. На графике критический путь,как правило, выделяется жирной линией.

Расчет параметров сетевого графика может осуществляться различ-ными методами. Рассмотрим один из них.

Предположим, что продолжительности tij, i, j = 1, n, выполненияопераций (i, j) известны и обозначены у соответствующих дуг графика(рисунок 20.1).

11(11)

2(2)

0(0)

4(5)

5(10)

8(8)

1

2

3

4

5

6

71

2

3

4

6

1

2

3

4 13

2(2)

Рисунок 20.1. – Продолжительности выполнения операций сетевого графика

Определим, прежде всего, ожидаемые (ранние) сроки ti свершениясобытий (i) сетевого графика. Исходное событие означает момент на-чала выполнения комплекса операций, следовательно, t1 = 0. Событие

276

(2) свершится, очевидно, спустя 2 единицы времени после свершениясобытия (1), так как время выполнения операции (1, 2) равно 2. Сле-довательно, t2 = t1 + t12 = 0 + 2 = 2. Событию (3) предшествуют двапути: µ1 = (1 − 3) и µ2 = (1 − 2 − 3). Продолжительность первого пу-ти равна 1 единице времени, а второго – 2 единицам времени, так какt12 + t23 = 2 + 0 = 2. Продолжительность второго пути можно найтидобавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени вы-полнения операции (2, 3), т.е. t2 + t23 = 2+0 = 2. Поскольку событие (3)может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в негоопераций, то

t3 = max(t1 + t13; t2 + t23) = max(0 + 1; 2 + 0) = 2.

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), длякоторых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожида-емый срок свершения события (4)

t4 = max(t1 + t14; t3 + t34) = max(0 + 3; 2 + 2) = 4.

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и(7). Значения ti, i = 1, 7, приписаны соответствующим событиям на ри-сунке 20.1.

Общую формулу для нахождения ожидаемых сроков свершения со-бытий можно записать так:

t1 = 0,

277

tj = max>

(i,j)(ti + tij), j = 2, 3, ..., n,

где>

(i, j) – подмножество дуг сети, входящих в событие (j).

Ожидаемый срок свершения события (7) t7 = 11 совпадает с крити-ческим временем (суммарной продолжительностью операций, принад-лежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающегособытия к исходному, выделим операции, принадлежащие критическо-му пути. Из трех операций, входящих в событие (7), tкр = 1 определилаоперация (5, 7), выполнение которой начинается после свершения собы-тия (5) и продолжается 3 единицы времени (t5 + t57 = 8 + 3 = 11).Момент свершения события (5) определила операция (3, 5), таккак t2 + t35 = 2 + 6 = 8. В свою очередь момент свершения события(3, 5) определила операция (2, 3), а события (2) – операция (1, 2). Этиоперации на рисунке 20.1 выделены жирной линией. Таким образом,критический путь µ2 = (1 − 2 − 3 − 5 − 7). Увеличение времени вы-полнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет кувеличению времени выполнения комплекса операций. Увеличение жевремени выполнения или задержка с выполнением некритических опе-раций может не отразиться на сроке свершения завершающего события.Например, время выполнения операции (4, 5) может быть увеличено,или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 единицу времени,

278

и это не отразится на сроке свершения события (5), а следовательно, ивсего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4, 7) может быть отсрочено на 3 еди-ницы времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего накритическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения.Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого гра-фика через t∗i , i = 1, n. Примем, что ожидаемый и предельный срокисвершения завершающего события (n) совпадают (tn = t∗n), тогда пре-дельный срок свершения любого события сетевого графика равен ми-нимальной разности между предельными сроками окончания операций,исходящих из данного события, и временем выполнения соответствую-щих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по фор-муле

t∗n = tn,

t∗i = min<

(i,j)(t∗j + tij), i = 1, n− 1,

где<

(i, j) – подмножество дуг сети, исходящих из события (i).В нашем примере t∗7 = t7 = 11. Определим этот показатель для остав-

шихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно,t∗5 = t∗7 − t57 = 11− 3 = 8. Аналогично t∗6 = t∗7 − t67 = 10. Из события (4)исходят три операции, поэтому

t∗4 = min(t∗5 − t45; t∗6 − t46; t

∗7 − t47) = min(8− 3; 10− 1; 11− 4) = 5.

279

Аналогично находим, что t∗3 = 2, t∗2 = 2, t∗1 = 0 (на рисунке 20.1 пре-дельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критическихсобытий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показыва-ют, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершениесобытий без изменения срока свершения завершающего события. Резерввремени Ri события (i) равен разности между предельным и ожидаемымсроками его свершения:

Ri = t∗i − ti.

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в диа-лектическом единстве со сроками начала и окончания операций: раннийсрок начала выполнения операции (i, j) равен ожидаемому сроку свер-шения события (i) (tр.н.

ij = ti); поздний срок окончания операции сов-падает с поздним сроком свершения ее конечного события (tп.о.

ij = t∗j),поздний срок начала выполнения операции равен разности между пре-дельным сроком свершения ее конечного события и продолжительно-стью (tп.н.

ij = t∗j − tij); ранний срок окончания операции равен суммеожидаемого срока свершения ее начального события и продолжитель-ности (tр.о.ij = ti + tij).

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых па-раметрами tр.н.

ij , tп.н.ij , tр.о.ij , tп.о.

ij . Следовательно, операции, как и события,могут иметь некоторый резерв времени. Различают четыре разновид-

280

ности резервов времени операций: полный, свободный, частный первоговида и частный второго вида.

Полный резерв времени операции Rпij показывает, на сколько можно

сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжитель-ность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события,при условии, что конечное для данной операции событие свершится непозднее своего предельного срока. Величина полного резерва временивычисляется по формуле

Rпij = t∗j − (ti + tij) = t∗j − t

р.о.ij .

Свободный резерв времени операции Rсij показывает, на сколько мож-

но увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения опе-рации (i, j), при условии, что начальное и конечное ее события сверша-ются в ожидаемое время:

Rсij = tj − (ti + tij) = tj − tр.о.ij .

Частный резерв времени первого вида R′ij – это запас времени, ко-торым можно располагать при выполнении операции в предположении,что начальное и конечное ее события свершаются в предельные сроки:

R′ij = t∗j − (t∗i + tij) = tп.н.ij − t∗i .

Частный резерв времени второго вида R′′ij – это запас времени, ко-торым можно располагать при выполнении операции (i, j) в предполо-жении, что ее начальное событие свершится в предельное, а конечное –

281

в ожидаемое время. Для некоторых операций интервал времени междупредельным сроком свершения начального события и ожидаемым сро-ком свершения конечного события может быть меньше их продолжи-тельности. В этом случае R′′ij принимается равным нулю. Определяетсячастный резерв времени второго вида по формуле

R′′ij = max(tj − t∗i − tij; 0).

Найдем резервы времени операции (4,6) сетевого графика (рисунке20.1:

Rg46 = t∗6 − (t4 + t46) = 10− (4 + 1) = 5;

Rc46 = t6 − (t4 + t46) = 5− (4 + 1) = 0;

R′46 = t∗6 − (t∗4 + t46) = 10− (5 + 1) = 4;

R′′46 = max(t6 − t∗4 − t46; 0) = max(5− 5− 1; 0) = 0.


1. Какой путь сетевого графика называется полным?2. Какой путь сетевого графика называется критическим?3. Какие временные параметры сетевого графика Вы знеаете?

282

ЛЕКЦИЯ 21Модели сетевого планирования и управления. Оптимизация

сетевых графиков по времени.

21.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по времени

Оптимизация по времени комплекса операций, представленного се-тевым графиком, сводится к сокращению продолжительности крити-ческого пути. Такая задача возникает тогда, когда критическое времявыполнения комплекса операций превосходит срок Tо, заданный опери-рующей стороной. Естественно предположить, что сокращение временивыполнения комплекса операций требует осуществления определенныхмероприятий или вложения каких-то средств.

В некоторых случаях сокращение может быть достигнуто за счет пе-репланировки сетевого проекта (изменения топологии сети). Так, напри-мер, одновременно выполняемые операции, не лежащие на критическомпути с большими резервами времени, целесообразно выполнять последо-вательно, если такое выполнение допускается технологией. Освободив-шиеся при этом ресурсы можно использовать на критических операциях,что приведет к ускорению их выполнения. Сокращение времени выпол-нения операций возможно также за счет автоматизации и механизации

283

производственных процессов, улучшения организации работ, примене-ния передовой технологии и других мероприятий.

Задачи оптимизации комплекса операций по времени решаются с при-влечением дополнительных средств и с использованием внутренних ре-зервов.

Рассмотрим две постановки задачи оптимизации с использованиемдополнительных средств.

I. Задан сетевой график G(E,−→e ) выполнения комплекса операций,где E – множество событий графика, −→e – множество операций. Времявыполнения каждой операции (i, j) равно tij. Известно, что вложение xijдополнительных средств в операцию (i, j) сокращает время выполненияс tij до t′ij = fij(xij) < tij. Следует, однако, иметь в виду, что насыщениекритических операций ресурсами не беспредельно. Для каждой опера-ции существует минимально возможное время ее выполнения, равноеdij. Требуется определить время начала T н

ij и окончания T оij выполнения

операций, а также размер дополнительно вложенных средств xij в каж-дую из операций (i, j), чтобы общее время выполнения комплекса опера-ций было минимальным; сумма вложенных дополнительных средств непревышала заданной величины B; время выполнения каждой операциибыло не меньше минимально возможного времени dij.

Математически условия задачи можно записать следующим образом:

tкр = T оn−1,n → min; (21.1)

284

∑(i,j)∈−→e

xij ≤ B; (21.2)

T оij − T н

ij ≥ dij для всех (i, j) ∈ −→e ; (21.3)

tij(xij) = T оij − T

yij для всех (i, j) ∈ −→e ; (21.4)

T нjr ≥ T о

ij для всех i, j, r ∈ E; (21.5)

T нij ≥ 0, T о

ij ≥ 0, xij ≥ 0, для всех (i, j) ∈ −→e . (21.6)

Добавив при необходимости фиктивную операцию, выходящую из по-следнего события, целевую функцию любого графика можно записать ввиде выражения (21.1).

Ограничения-равенства (21.4) показывают зависимость продолжитель-ности выполнения операций от вложенных средств. Ограничения (21.5)обеспечивают выполнение условий предшествования операций в соответ-ствии с топологией сети (время начала выполнения каждой операциидолжно быть не меньше времени окончания непосредственно предше-ствующей ей операции).

Критический путь µкр в данной задаче является функцией от объемовдополнительно вкладываемых средств xij.

285

Сформулированная задача относится к классу оптимизационных за-дач и может быть решена методами линейной или нелинейной оптими-зации в зависимости от вида функций fij(xij).

II. Постановка этой задачи отличается от предыдущей тем, что в нейналожено ограничение на общее время выполнения комплекса операций,которое не должно превышать величину Tо (директивное время).

Ставится задача определить значения неизвестных величин xij (объ-емы дополнительно вкладываемых средств в операции (i, j) таким об-разом, чтобы:

– суммарное количество дополнительно привлекаемых средств быломинимальным, т.е.

f(x) =∑

(i,j)∈−→e

xij → min;

– время завершения комплекса операций было не выше заданногосрока Tо, а время выполнения каждой операции (i, j) ∈ −→e – не меньшеминимально возможного времени dij, что выражается соотношениями:

T оn−1,n ≤ Tо;

T оij − T н

ij ≥ dij для всех (i, j) ∈ −→e ;

а зависимость продолжительности выполнения операций от вложенныхсредств выражается соотношениями:

T оij − T н

ij = fij(xij) для всех (i, j) ∈ −→e ;

286

– время окончания любой операции (i, j) сетевого графика было небольше времени начала непосредственно следующей за ней операции(j, r), т.е. для любых смежных операций сети (i, j) и (j, r) должно вы-полняться условие

T оij ≤ T н

jr;

– соблюдалось условие неотрицательности переменных

T нij ≥ 0, T о

ij ≥ 0, xij ≥ 0, для всех (i, j) ∈ −→e .


1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по времени.

2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения за-дачи сетевого планирования и управления по времени.

287


Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка за-дачи и алгоритм оптимизации сетевых графиков по времени

Цель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по времени

Задание 1. Комплекс операций представлен сетевым графиком (ри-сунок 1). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продол-жительность tij, и минимально возможное время dij выполнения опера-ций (дней).

Продолжительность выполнения операций зависит линейно от допол-нительно вложенных средств и выражается соотношением

t′ij = tij(1− kijxij), где k12 = 0, 01; k13 = 0, 02;

k23 = 0, 05; k24 = 0, 03; k35 = 0, 04; k45 = 0, 02.

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. опреде-лить время выполнения каждой операции сетевого графика таким обра-зом, чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным,а сумма вложенных средств B не превышала 12 единиц.

J Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишемцелевую функцию в виде:

tкр = T о56 → min .

288

12;5

20;12

16;10

14;6

10;61 2 3

4

5

6;4

Рисунок 1. – Оптимизация по времени с учетом дополнительных средств задания 1

Запишем ограничения задачи:– сумма вложенных средств не должна превышать наличного их ко-

личества:x12 + x13 + x23 + x24 + x35 + x45 ≤ 12;

– время выполнения каждой операции должно быть не меньше ми-нимально возможного времени:

T о12 − T н

12 ≥ 6; T о13 − T н

13 ≥ 12; T о23 − T н

23 ≥ 5;

T о24 − T н

24 ≥ 6; T о34 − T н

34 ≥ 0; T о35 − T н

35 = 10;

T о45 − T н

45 ≥ 4; T о56 − T н

56 ≥ 0;

– зависимость продолжительностей операций от вложенных средствв виде ограничений-равенств:

T о12 − T н

12 = 10(1− 0, 01x12); Tо13 − T н

13 = 20(1− 0, 02x13);

289

T о23 − T н

23 = 12(1− 0, 05x23); Tо24 − T н

24 = 14(1− 0, 03x24);

T о35 − T н

35 = 16(1− 0, 04x35); Tо45 − T н

45 = 6(1− 0, 02x45);

– время начала выполнения каждой операции должно быть не мень-ше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции(моменты времени T н

12 = T н13 = 0):

T н23 ≥ T о

12; Tн24 ≥ T о

12; Tн35 ≥ T о

13; Tн35 ≥ T о

23;

T н34 ≥ T о

13; Tн34 ≥ T о

23; Tн45 ≥ T о

24; Tн45 ≥ T о

34;

T н56 ≥ T о

35; Tн56 ≥ T о

45;

– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T>ij ≥ 0, xij ≥ 0,

для всех дуг сетевого графика.После решения данной задачи симплексным методом получаем сле-

дующие результаты:

tкр = 30, 425; T о12 = 10; T о

13 = 20; T н23 = 10; T о

23 = 20, 425;

T н24 = 10, 425; T о

24 = 24, 425; T н34 = 20, 425; T о

34 = 24, 425;

T н35 = 20, 425; T о

35 = 30, 425; T н45 = 24, 425; T о

45 = 30, 425;

T н56 = T о

56 = 30, 425; x12 = 0; x13 = 0; x23 = 2, 625; x24 = 0;

x35 = 9, 375; x45 = 0.

290

Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 30,425 дня,необходимо вложить в операцию (2,3) 2,625 единицы подвижных средстви в операцию (3,5) – 9,375 единицы, при этом время выполнения опера-ции (2,3) равно 10,425 дня и операции (3,5) – 10 дням. I

Задание 2. Комплекс операций представлен сетевым графиком (ри-сунок 2). Цифры, приписанные дугам графика, означают соответственнопродолжительность tij и минимально возможное время dij выполненияопераций.

1 2

3

4 514;8 4;3

12;7

10;6

5;3

20;12

Рисунок 2. – Оптимизация по времени с учетом дополнительных средств задания 2

Требуется определить, сколько вложить дополнительно средств в каж-дую операцию, чтобы время завершения комплекса операций не превос-ходило Tо = 26, время выполнения каждой операции было не меньшеминимально возможного времени dij и суммарное количество дополни-тельно вкладываемых средств было минимальным, в предположении,

291

что продолжительность выполнения операций линейно зависит от до-полнительно вложенных средств и выражается соотношением:

t′ij = tij − kijxij, где k12 = 0, 15; k13 = 0, 3; k14 = 0, 1;

k24 = 0, 5; k34 = 0, 3; k45 = 0, 25.

J Целевая функция задачи имеет вид

f(x) = x12 + x13 + x14 + x24 + x34 + x45 → min .

Запишем ограничения задачи:– время завершения комплекса операций не должно превышать ди-

рективное время:T о

45 ≤ 26;


T о12 − T н

12 ≥ 8; T о13 − T н

13 ≥ 12; T о14 − T н

14 ≥ 6;

T о23 − T н

23 ≥ 0; T о24 − T н

24 ≥ 3; T о34 − T н

34 ≥ 7;

T о45 − T н

45 ≥ 3;

– зависимость продолжительности каждой операции от вложенныхсредств (ограничения-равенства):

T о12 − T н

12 = 14− 0, 15x12; Tо13 − T н

13 = 20− 0, 3x13;

292

T о14 − T н

14 = 10− 0, 1x14; Tо24 − T н

24 = 4− 0, 5x24;

T о34 − T н

34 = 12− 0, 3x34; Tо45 − T45 = 5− 0, 25x45;


12 = T н13 = T о

14 = 0):

T н23 ≥ T о

12; Tн24 ≥ T о

12; Tн34 ≥ T о

13; Tн34 ≥ T о

23;

T н45 ≥ T о

14; Tн45 ≥ T о

24; Tн45 ≥ T о

34;

– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T о

ij ≥ 0, xij ≥ 0,для всех дуг сетевого графика.

После решения данной задачи симплексным методом получаем сле-дующие результаты:

x12 = 0; x13 = 20; x14 = 0; x24 = 0; x34 = 16, 667; x45 = 0;

T о12 = 14; T о

13 = 14; T о14 = 10; T н

23 = 14; T о23 = 14;

T н24 = 14; T о

24 = 21; T н34 = 14; T о

13 = 21; T н45 = 21; T о

45 = 26;

fmin(x) = 36, 667.

Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за директив-ное время Tо = 26, необходимо дополнительно 36,667 единицы средств.При этом время выполнения операции (1, 3) сократилось на 6 единиц иоперации (3, 4) – на 5 единиц. I

293


сетевых графиков по ресурсам.

22.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по ресурсам

Рассмотрим частный случай оптимизации комплекса операций по сто-имости. Будем предполагать, что затраты на выполнение отдельных опе-раций находятся в обратной зависимости от продолжительности их вы-полнения. При этой зависимости коэффициент дополнительных затрат(КДЗ) kij для операции (i, j) вычисляется по формуле

kij =c′ij − c′′ijt′′ij − t′ij

, (22.1)

где t′ij – срочный режим выполнения операции (наименьшая продол-жительность), которому соответствуют наибольшие затраты c′ij; t′′ij –нормальный режим выполнения операции (наибольшая продолжитель-ность), которому соответствуют минимальные затраты c′′ij.

КДЗ показывает, насколько увеличится стоимость операции при уве-личении продолжительности на единицу времени.

В случае оптимизации при нефиксированной величине критическо-го пути предполагаем, что сетевой график комплекса операций постро-ен. Для каждой операции установлены оценки на уровне наибольших

294

продолжительностей t′′ij и минимальных затрат c′′ij. Следовательно, про-должительность критического пути будет наибольшей, а стоимость вы-полнения комплекса операций – наименьшей (минимальной). Необходи-мо сократить критический путь до некоторого минимально возможно-го значения при минимальном возрастании стоимости выполнения ком-плекса операций.

В общем случае сетевой график может содержать несколько крити-ческих путей, взаимосвязь между операциями которых может быть до-вольно сложной. Не ограничивая общности изложения сущности подхо-да к решению задачи, рассмотрим более простой случай, а именно: будемполагать, что если график содержит несколько критических путей, тоили они не имеют общих операций, или же имеется одна либо несколькообщих операций для всех критических путей.

При этом предположении алгоритм оптимизации комплекса операцийпо стоимости сводится к следующему.

Предварительный шаг. Определяем коэффициенты дополнительныхзатрат. Используя продолжительность операций t′′ij, находим критиче-ский путь, длину критического пути tкр, полные резервы времени опера-ций Rп

ij сетевого графика и затраты на реализацию комплекса операцийC.

Общий шаг.1. Среди критических находим операцию, для которой КДЗ наимень-

ший. Если найденная операция является общей для всех критических

295

путей или если критический путь один, то она и подлежит сокраще-нию. Если же найденная операция не является для критических путейобщей, однако пути имеют одну или несколько общих операций, то накаждом из них находим операцию с наименьшим КДЗ, суммируем КДЗэтих операций и сравниваем с КДЗ той из общих операций, для которойон наименьший. Если сумма КДЗ операций меньше КДЗ общей опе-рации критических путей, то все эти операции подлежат сокращению.Если же, наоборот, сумма КДЗ операций больше КДЗ общей операции,то сокращению подлежит общая для критических путей операция. Ес-ли критические пути не имеют общих операций, то на каждом из нихнаходится операция с наименьшим КДЗ.

2. Производим сокращение продолжительности этой операции (этихопераций) до тех пор, пока она (они) не достигнет (не достигнут) мини-мальной продолжительности t′ij или не образуется новый критическийпуть (полный резерв одной из некритических операций сети будет равеннулю).

3. Для данного варианта сетевого графика определяем критическийпуть, tкр, Rп

ij и C.4. Проверяем, все ли операции критического пути достигли мини-

мальной продолжительности. Если достигли, действие алгоритма закон-чено, так как сокращение продолжительности некритических операцийувеличивает стоимость выполнения всего комплекса, не влияя на длинукритического пути. Если же не достигли, переходим к пункту 1.

296


1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по ресурсам.

2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения за-дачи сетевого планирования и управления по ресурсам.

297


Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка за-дачи и алгоритм оптимизации сетевых графиков по ресурсам

Цель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по ресурсам

Задание 1. Комплекс операций представлен сетевым графиком (ри-сунок 1). Цифры, приписанные дугам графика, означают продолжитель-ности выполнения операций в нормальном и срочном режимах соответ-ственно. Прямые затраты на выполнение операций следующие:

c′′12 = 160; c′12 = 190; c′′13 = 120; c′13 = 176; c′′24 = 35; c′24 = 95;

c′′25 = 60; c′25 = 84; c′′34 = 72; c′34 = 112; c′′45 = 100; c′45 = 144.

Требуется максимально сократить критический путь при минималь-ном возрастании стоимости выполнения операций.

J Предварительный шаг.Определяем КДЗ операций по формуле (22.1):

k12 = 5; k13 = 7; k24 = 10; k25 = 6; k34 = 8; k45 = 17.

Находим, что при наибольшей продолжительности операций t′′ij кри-тический путь µкр = (1 − 3 − 4 − 5), tкр = 38, резервы времени некри-тических операций Rп

12 = 4, Rп24 = 4, Rп

25 = 14; Rп23 = 6 и стоимость

298

выполнения комплекса операций C = 557. Результаты расчетов зано-сим в таблице 1.

1 2

3

4 5

10;6

12;7

6;414;8

20;12

14;8

Рисунок 1. – Оптимизация комплекса операций по ресурсам

Первый шаг.1. Среди критических операций наименьший КДЗ имеет операция

(1,3): k13 = 7. Так как критический путь один, то она и подлежитсокращению.

2. Сокращаем время выполнения операции (1,3) на величину, равную

min(t′′13 − t′13;Rп12) = min(20− 12; 4) = 4.

3. В результате сокращения операции (1,3) образовалось два крити-ческих пути: µ′ = (1−2−4−5) и µ′′ = (1−3−4−5) c общей операцией(4,5). Продолжительность критического пути уменьшилась на 4 едини-цы: t(1)

кр = 34. Резервы времени некритических операций составляют:

299

Rп23 = 2, Rп

25 = 10 Стоимость выполнения комплекса операций C = 536(данные занесены в соответствующие строки таблица 1). M ′ – достаточ-но большое число, практически можно взять равное бесконечности.

Таблица 1.

Параметры Операции (i, j)

Про

долж

ител

ьнос

тькр

итич

еско

гопу

ти,t к

р

Сто

имос

ть,C(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5)

t′′ij 14 20 0 14 10 12 6

t′ij 8 12 0 8 6 7 4

kij 5 7 M’ 10 6 8 17

tij

Шаг

опти

миз

ации

Предв. 14 20 0 14 10 12 6 38 5571 14 16 0 14 10 12 6 34 5852 10 12 0 14 10 12 6 30 6333 10 12 0 14 10 12 4 28 6674 10 12 0 9 10 7 4 23 757

Rпij

Шаг

опти

миз

ации

Предв. 4 6 6 4 14 0 01 0 0 2 0 10 0 02 0 0 2 0 10 0 03 0 0 2 0 8 0 04 0 0 2 0 3 0 0

Сокращениевремени, ∆t

4 8 0 5 0 5 2

Приращениестоимости, ∆C

20 56 0 50 0 40 34

300

4. Так как критические операции выполняются за время, большее чемt′ij, то переходим ко второму шагу оптимизации.

Второй шаг.1. Из критических операций операция (4,5) является общей для кри-

тических путей µ′ и µ′′, а операции (1,2) и (2,4) выполняются парал-лельно с операциями (1,3) и (3,4). Наименьший КДЗ, равный 5, имеетоперация (1, 2) ∈ µ′, а на пути µ′′ наименьший КДЗ, равный 7, имеетоперация (1,3). Сумма КДЗ этих операций равна 12, что меньше КДЗоперации (4,5), которая является общей для путей µ′ и µ′′. Следователь-но, сокращению подлежат операции (1,2) и (1,3).

2. Операции (1,2) и (1,3) сокращаем на 4 единицы, так как наимень-шая продолжительность операции (1,3) равна 12 и дальнейшее сокра-щение ее невозможно.

3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в соот-ветствующие строки таблицы 1. Значение продолжительности операции(1,3) t13 = 12 выделяем. Критические пути после сокращения операцийсохранились: µ′ = (1− 2− 4− 5) и µ′′ = (1− 3− 4− 5).

4. Учитывая, что не все критические операции выполняются в сроч-ном режиме, переходим к выполнению третьего шага.

Третий шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший КДЗ имеет опе-

рация (1,2). Однако сокращать ее не имеет смысла, потому что умень-

301

шение ее продолжительности не повлияет на длину критического пу-ти, а лишь увеличит стоимость выполнения комплекса операций. Изоставшихся критических операций наименьший КДЗ имеет операция(2,4), которая выполняется параллельно с операцией (3,4). Посколькуk45 = 17 < k24 + k34, то операция (4,5) подлежит сокращению.

2. Операцию (4,5) сокращаем на 2 единицы, так как

min(t′′45 − t′45;Rп25) = min(6− 4; 10) = 2.

Дальнейшее сокращение операции (4,5) невозможно, поэтому при зане-сении данных в таблицу значение t45, равное 4, отмечаем.

3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим в соответ-ствующие строки таблицы 1. Критические пути снова остались прежни-ми. Переходим к четвертому шагу оптимизации.

Четвертый шаг.1. Дальнейшему сокращению подлежат операции (2,4) и (3,4), при-

надлежащие соответственно путям µ′ и µ′′.2. Сокращаем продолжительности операций (2,4) и (3,4) на 5 единиц,

так как

min(t′′24 − t′24; t′′34 − t′34;R

п25) = min(14− 8; 12− 7; 8) = 5.

3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в таб-лицу 1. Дальнейшее сокращение операции (3,4) невозможно, поэтомузначение t34 = t′34 = 7 выделяем.

302

4. Все операции критического пути (1–3–4–5) сокращены до мини-мальных продолжительностей. Следовательно, выполнение алгоритмазакончено. I

303


сетевых графиков по стоимости.

23.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по стоимости

Комплекс операций представлен сетевым графиком G(E,−→e ). Опери-рующая сторона для выполнения комплекса операций располагаетm ви-дами ресурсов в количествах Rs (s = 1,m). Каждая операция комплексахарактеризуется продолжительностью выполнения tij и интенсивностьюr

(s)ij . Под интенсивностью операции (i, j) будем понимать требуемое ко-личество ресурсов для ее выполнения в течение времени tij, например,требуемое количество рабочих или механизмов. Топологически сетевойграфик удовлетворяет технологическим ограничениям (ресурсные огра-ничения при составлении сетевого графика не принимались во внима-ние). Поэтому, прежде чем приступить к выполнению операций сетево-го графика, необходимо определить потребное количество ресурсов покалендарным срокам и сравнить его с наличными ресурсами. Если ока-жется, что в отдельные промежутки времени наличного количества ре-сурсов недостаточно для удовлетворения потребности в них, то ставитсязадача: найти такие календарные сроки начала и окончания операцийсетевого трафика, при которых в любой момент планируемого перио-

304

да было бы достаточно ресурсов для выполнения операций и время за-вершения комплекса было бы минимальным. Для простоты изложенияалгоритма решения задачи рассмотрим случай, когда интенсивности по-стоянные и используется один вид ресурсов. Отметим, что приведенныйниже алгоритм не всегда позволяет найти оптимальное решение задачи,однако часто дает хорошее приближение к нему.

Алгоритм решения задачиПредварительный шаг.Составляем линейную диаграмму (график Ганта) выполнения ком-

плекса операций. На диаграмме каждая операция (i, j) изображаетсягоризонтальным отрезком, длина которого в соответствующем масшта-бе равна времени ее выполнения. Начало каждой операции совпадаетс ожидаемым сроком свершения ее начального события. Определяемпо диаграмме критическое время выполнения комплекса операций tкр икритический путь.

Первый шаг.1. Проецируем на ось времени начало и конец каждой операции и

обозначаем проекцию, выходящую из начала координат, через τ0, а сле-дующую за ней — через τ1.

2. Определяем полные резервы времениRпij операций, расположенных

над промежутком (τ0, τ1). Нумеруем эти операции в порядке возраста-ния их полных резервов. Операции с одинаковыми полными резервамивремени нумеруем в порядке убывания интенсивностей.

305

3. Суммируем последовательно значения интенсивностей операций,расположенных над промежутком (τ0, τ1) в порядке возрастания их но-меров, и сравниваем полученные суммы с заданной величиной ресур-сов R. Все операции, сумма интенсивностей которых не превосходит R,оставляем в первоначальном положении. Если после прибавления вели-чины интенсивности какой-нибудь операции окажется, что суммарноепотребление ресурсов больше R, то эту операцию сдвигаем вправо навеличину рассматриваемого промежутка, переходим к добавлению ве-личины интенсивности следующей операции и так продолжаем до техпор, пока не будут просмотрены все операции, расположенные над про-межутком (τ0, τ1).

Результатом выполнения этого действия является новая линейнаядиаграмма, момент τ1 которой считаем началом оставшейся части ком-плекса операций. Операции (i, j), расположенные над проме-жутком (τ1, τкр), изображаем так, чтобы их начала совпали с новымиожидаемыми сроками свершения событий.

Общий шаг.

Предположим, что выполнено k шагов алгоритма и получена линей-ная диаграмма, момент τкр которой является началом оставшейся частикомплекса операций.

1. Проецируем на ось времени начало и конец каждой операции, рас-положенной над промежутком (τk, τкр), и обозначаем проекцию, бли-

306

жайшую к τk, через τk+1. Таким образом, выделен новый промежуток(τk, τk+1).

2. Определяем полные резервы времени Rпij операций, расположен-

ных над промежутком (τk, τk+1), и нумеруем их. При этом в зависимостиот постановки задачи возможны два случая: 1) операции не допускаютперерыва в выполнении; 2) операции допускают перерывы в их выпол-нении. В первом случае сначала нумеруем операции (i, j), начатые левеемомента τk, согласно возрастанию разностей между полными резервамиэтих операций и длительностями от начала момента до момента τk+1

(длительности операций обозначим через lij). Операции с одинаковымиразностями нумеруем в порядке убывания интенсивностей. Все осталь-ные операции нумеруем в порядке возрастания их полных резервов, а содинаковыми резервами — в порядке убывания интенсивностей. Во вто-ром случае все операции нумеруются согласно предписаниям пункта 2первого шага.

3. Выполняем то же, что и в пункте 3 первого шага. Однако следуетиметь в виду, что если сдвигу подлежит операция (i, j) начатая левееτk, то в первом случае сдвигаем всю операцию, т.е. начало этой опера-ции устанавливаем в момент τk+1, а во втором случае операцию делимна части и первую часть операции — отрезок продолжительностью отначала до τk — оставляем на месте, а вторую часть — от τk до конца —сдвигаем вправо на величину промежутка (τk, τk+1). Части разделенной

307

операции в дальнейшем рассматриваем как самостоятельные операциии присваиваем им соответствующие номера событий.

4. Проверяем, все ли операции комплекса просмотрены. Если все, ре-шение закончено, если нет, то переходим к пункту 1 общего повторяю-щегося шага.


1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по стоимости.

2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения за-дачи сетевого планирования и управления по стоимости.

308


Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка за-дачи и алгоритм оптимизации сетевых графиков по стоимости

Цель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по стоимости

Задание 1. Для выполнения комплекса операций, представленно-го сетевым графиком (рисунок 1), выделено 10 единиц возобновляемыхресурсов (R = 10). Каждой дуге графика приписаны два числа: первое— время выполнения операции в днях; второе — требуемое количестворесурсов. Необходимо определить сроки выполнения операций таким об-разом, чтобы завершить весь комплекс за минимальное время. Операциине допускают перерыва в выполнении.

J Предварительный шаг. Составляем линейную диаграмму (графикГанта) комплекса операций (рисунок 2, а). Построим эпюру потребленияресурса без учета его ограниченности (рисунок 2, б). Из эпюры видно,что в первые четыре дня потребность ресурсов превышает наличное ко-личество на 2 единицы, в 5-й и 6-й день имеется в избытке 3 единицыресурса, в 7-й и 8-й день снова превышается потребность на 2 единицы,в 9-й день спрос равен 10 единицам, а в последующее время имеется визбытке 8 единиц ресурса.

Найдем на диаграмме критический путь: операция (3,5) заканчива-ется позже всех операций в момент времени t5 = 12. Следователь-

309

но, она критическая и tкр = 12. Так как операция (3,5) начинаетсяво время t3 = 8, то найдем операцию с конечным событием (3), ко-торая заканчивается в это же время. Такой операцией является опера-ция (2,3). Следовательно, (2,3) также критическая. Операции (2,3) непо-средственно предшествует критическая операция (1,2). Таким образом,µкр = (1− 2− 3− 5).

2;4

2

1 3 5

4

4;2

6;4

6;3

3;3

3;5

4;5

Рисунок 1. – Оптмизация комплекса операций по стоимости

Первый шаг.1. Проецируем на ось времени начала и концы операций комплекса.

Ближайшая проекция к началу координат τ1 = 4. Рассматриваем про-межуток (τ0, τ1), где τ0 = 0.

2. Над промежутком (τ0, τ1) расположены операции (1, 2), (1, 3) и(1, 4). Полные резервы этих операций равны: Rп

12 = 0, Rп13 = 4, Rп

14 = 3.Нумеруем эти операции по возрастанию полных резервов времени. Опе-

310

рация (1, 2) имеет номер 1, (1,4) – номер 2, и операция (1,3) с наиболь-шим резервом – номер 3.

3. Суммируем последовательно величины интенсивности операций,расположенных над промежутком (τ0, τ1) в порядке возрастания их но-меров, и сравниваем полученные суммы с заданной величиной ресурсаR. Так как интенсивность r12 = 4 < R = 10, то операцию (1,2) оставля-ем на месте. Суммируя величины интенсивности операций (1,2) и (1,4),имеем r12 + r14 = 4 + 3 = 7 < 10. Следовательно, операция (1,4) тожеостается на месте. Добавив к сумме величину интенсивности операции(1,3), имеем r12 + r14 + r13 = 4 + 3 + 5 = 12 > 10. Так как для выполне-ния операции (1,3) на промежутке (τ0, τ1) не хватает 2 единиц ресурса,то операцию (1,3) сдвигаем вправо на величину отрезка (τ0, τ1), т.е. на-чало операции (1,3) устанавливаем в момент τ1 = 4. Результаты сдвигаотражены на новой линейной диаграмме (рисунок 2, в).

4. Так как не все операции комплекса просмотрены, то переходим ковторому шагу.

Второй шаг.1. Начало нового промежутка совпадает с τ1 = 4, а конец τ2 = 6 — с

моментом окончания операций (1,2) и (1,4).2. Операции (1,2) и (1,4) начинаются левее момента τ1 поэтому ну-

меруем их в первую очередь согласно возрастанию разностейRп

12− l12 = 0−6 = −6 и Rп14− l14 = 3−6 = −3. Таким образом, операция

311

(1,2) имеет номер 1, операция (1,4) — номер 2 и операция (1,3) — номер3.

3. Суммируя величины интенсивности операций согласно их нумера-ции и сравнивая с R, получаем, что сдвигу вправо на 2 единицы под-лежит операция (1,3). В результате сдвига получаем новую линейнуюдиаграмму (рисунок 2, г). Время выполнения операций по сравнению сисходным вариантом увеличилось на 2 дня: τ5 = 14.

4. Решение не закончено, переходим к третьему шагу.

Третий шаг.1. Новый промежуток (τ2, τ3). Момент τ3 = 8.2. Над промежутком (τ2, τ3) операций, начатых левее момента τ2, нет,

следовательно, нумеруем операции, лежащие над промежутком по воз-растанию полных резервов: (1,3) – номер 1, так как Rп

13 = 0; (2,3) –номер 2, так как Rп

23 = 2; (4,5) – номер 3, (2,5) – номер 4, так какRп

45 = Rп25 = 5, r45 = 5 > r25 = 3. (Нумерация операций (2,5) и (4,5)

произведена по убыванию их интенсивностей.)3. Так как r13 = 5 < 10 и r13 + r23 = 5 + 4 = 9 < 10, то эти операции

не сдвигаются. Операции (4,5) и (2,5) сдвигаем вправо на 2 единицы, по-тому что добавление величины интенсивности приводит к превышениюR = 10. Новая диаграмма приведена на рисунке 2, д.

4. Переходим к четвертому шагу.

312

Четвертый шаг.1. Момент τ4 = 10.2. Операция (1,3) имеет номер 1, как начатая левее момента τ3 = 8.

Операции (4,5) приписываем номер 2, операции (2,5) – номер 3, так какRп

45 = Rп25 = 3, а r45 = 5 > r25 = 3.

3. Операции (1,3) и (4,5) не сдвигаются, так как r13 = 5 < 10 иr13 + r45 = 10 = R, а операция (2,5) сдвигается вправо на 2 единицы.Новая диаграмма изображена на рисунке 2, е.

4. Переходим к пятому шагу.

Пятый шаг.1. Новый промежуток (τ4, τ5), τ5 = 11.2. Номера операций: (4,5) – номер 1, как начатая левее, (3,5) – номер

2, так как Rп35 = 0; (2,5) – номер 3, так как Rп

25 = 1.3. Все операции, лежащие над промежутком (τ4, τ5), остаются на ме-

сте, потому что r45 + r35 + r25 = 5 + 2 + 3 = 10 = R.4. Так как конец рассмотренного промежутка τ5 = 11 меньше

t5 = 14, то переходим к следующему шагу.

Шестой и седьмой шаг.Выполнив последовательно все действия этих шагов, убедимся, что

количество требуемых ресурсов на промежутках (τ5, τ6) и (τ6, τ7) не пре-восходит имеющихся в распоряжении, таким образом, линейная диа-

313

Îa

0t

t

1t

1

2 4 6 8 10 12 14

11

2

22

2

3

3

33

4

4

4

4

5

55

55

3

Îï

åðàö

èè

Î

â2t

t

1t

1

2 4 6 8 10 12 14

1

2

22

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

55

3

Îï

åðàö

èè

1

Îä

4t

t

3t

1

2 4 6 8 10 12 14

1

1

2

22

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

55

3

Îï

åðàö

èè

Î

e4t

t

5t

1

2 4 6 8 10 12 14

11

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

55

3Î

ïåð

àöè

è

Î

ã3t

t

2t

1

2 4 6 8 10 12 14

11

2

22

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5 5

3

Îï

åðàö

èè

7t6t

Î

á

t

2 4 6 8 10 12 14

9

6

10

12

10R =

R

3

Î

æ

t

2 4 6 8 10 12 14

9

6

1010R =

R

3

Рисунок 2. – Линейная диаграмма (график Ганта)

314

грамма (рисунок 2, е) является решением задачи, время окончания вы-полнения комплекса операций равно 14. Из эпюры потребления ресурса(рисунок 2, ж) видно, что на всем протяжении выполнения комплексаопераций количество используемых ресурсов не превосходит имеющихсяв распоряжении. I

315

ЛЕКЦИЯ 24Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральном

выражении. Вычисление коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат. Факторная стоимость

24.1. Модель межотраслевого баланса

Имеется n отраслей производства. Согласно статистическим даннымизвестно, сколько продукции каждой отрасли используется в других от-раслях в качестве исходных материалов или комплектующих, а также,сколько этой продукции остается для конечного использования. Все этиданные записываются в виде таблицы, в которой:

– каждая строка таблицы соответствует одной из отраслей, выступа-ющей как производитель определенного вида продукции. Для простотыпредполагается, что каждая отрасль производит только один вид про-дукции. Поскольку в реальной жизни такая ситуация встречается до-вольно редко, поэтому при составлении баланса осуществляют переходот хозяйственных отраслей к так называемым чистым отраслям. Этаоперация называется "очищением отраслей";

– первые n столбцов таблицы соответствуют тем же отраслям, ко-торые теперь уже выступают в роли потребителей продукции другихотраслей, используемой для организации своего производства (проме-жуточное потребление);

316

– в предпоследнем столбце таблицы содержится информация о тойчасти продукции отрасли, которая осталась для конечного использова-ния (информацию этого столбца в балансе часто расшифровывают иприводят не только общий объем потребления, но и данные по видампотребителей: домашние хозяйства, государственные учреждения, на-копление, экспорт и т.д.);

– в последнем столбце таблицы записывается общий объем всей про-изведенной отраслью продукции (валовой объем), равный сумме проме-жуточного и конечного потребления.

Обозначим через Π матрицу промежуточного потребления, состоя-щую из первых n столбцов нашей таблицы, Y – столбец конечного ис-пользования, X – столбец валового выпуска. Тогда:Xi – валовой выпуск в i-й отрасли;Yi – объем конечного потребления в i-й отрасли;Πij – объем продукции i-й отрасли, использованной в j-й отрасли.Базисным в теории межотраслевого баланса является следующее пред-

положение: величинаAij = Π/Xj, (24.1)

равная объему продукции i-й отрасли, который используется в j-й от-расли для производства единицы продукции, не зависит от объема про-изводства Xi, а обусловлен технологическими особенностями. Другимисловами, промежуточное потребление Πi в j-й отрасли линейно зависит

317


отраслиПотребители

(промежуточное потребление) Конечныйспрос

Валовыйобъем

1 . . . j . . . n

1 Π11 . . . Π1j . . . Π1n Y1 X1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i Πi1 . . . Πij . . . Πin Yi Xi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n Πn1 . . . Πnj . . . Πnn Yn Xn

от валового выпуска Xi в этой отрасли:

Πj = AXj. (24.2)

При этом матрица A называется матрицей прямых производствен-ных затрат.

Используя операции над матрицами и введенные обозначения, можнозаписать основное балансовое равенство, состоящее в том, что валовойобъем равен сумме промежуточного и конечного потребления:

X = AX + Y, или Y = X − AX = (E − A)X. (24.3)

Полученное равенство позволяет решать задачи планирования следу-ющего характера: известно, что в следующем году структура конечногоспроса Y изменится. Предполагая, что технологии производства оста-

318

нутся прежними (т.е. матрица A не изменится), необходимо найти планвалового выпуска по отраслям.

С точки зрения алгебры эта задача решается просто, если известно,что у матрицы (E − A) существует обратная: B = (E − A)−1 (вопросо том, когда существует эта матрица, будет обсужден позже). В этомслучае решение поставленной задачи находится по формуле:

X = (E − A)−1 · Y = BY. (24.4)

Матрица B называется матрицей полных затрат. Ее элементы Bij

показывают, какое потребуется изменение объема валового выпуска про-дукции в i-й отрасли, обеспечения увеличения конечного спроса j-й от-расли на единицу.

Матрицей полных производственных затрат называют мат-рицу Bполн = B − E. Из (24.4) получаем

BполнY = BY − Y = X − Y = AX.

Таким образом, элементы Bполн i,j матрицы Bполн показывают, какиенеобходимы затраты продукции i-й отрасли для обеспечения единич-ного конечного спроса в j-й отрасли.

Из тождества

(E − A2)B = (E + A)(E − A)(E − A)−1 = (E + A)

получаем равенство

B = E + A+ A2B = E + A+ A2(E − A)−1,

319

откудаBполн = B − E = A+ A2B = A+ A2(E − A)−1. (24.5)

Матрица A2(E − A)−1 называется матрицей косвенных производ-ственных затрат. Таким образом, согласно (24.5), полные производ-ственные затраты равны сумме прямых и косвенных затрат.

Заметим, что до сих пор нам было безразлично, в каких единицахизмерялись объемы продукции в каждой отрасли. Во всем вышеизло-женном можно предполагать, что в каждой отрасли существует свояединица измерения, возможно, никак не связанная с другими отрасля-ми. Поэтому баланс, записанный в таблице 24.1, называют балансом внатуральной форме.


1. Что называется матрицей прямых производственных затрат?2. Что называется матрицей полных производственных затрат?3. Что называется матрицей косвенных производственных затрат?

320

ЛЕКЦИЯ 25МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства

25.1. Межотраслевой баланс в стоимостной форме

В каждой отрасли кроме сырья и исходных материалов для организа-ции производства расходуются и другие ресурсы: изнашивается оборудо-вание, оплачивается труд работников, делаются налоговые отчисления.Все эти и некоторые другие расходы (к которым относят и прибыль, иполученные субсидии (со знаком минус)) образуют добавленную стои-мость, которая обычно выражается в общих для всех отраслей денежныхединицах.

Причину отнесения прибыли к расходам можно прокомментироватьследующим образом. По известной формуле

Прибыль = Доходы− Расходы.

получаем, чтоДоходы = Прибыль + Расходы.

Следовательно, наше предположение о том, что прибыль входит од-ним из слагаемых в расходы не нарушает основного баланса.

Добавленная стоимость компенсируется производителям путем опла-ты потребителями стоимости продукции по определенным ценам. По-скольку здесь имеется ввиду только конечный спрос, то суммарную до-бавленную стоимость L записывают не в последний столбец (в который

321





1 . . . j . . . n

1 A11X1 . . . A1jXj . . . A1nXn Y1 X1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i Ai1X1 . . . AijXj . . . AinXn Yi Xi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n An1X1 . . . AnjXj . . . AnnXn Yn Xn

Добавочнаястоимость L1 = l1x1 . . . Lj = ljxj . . . Ln = lnxn L =

∑Lj

записывалась сумма по всем предыдущим строкам), а в столбец конеч-ного спроса.

Зная величину Lj добавленной стоимости в j-й отрасли, определимLj = ljxj – добавленную стоимость единицы продукции (l1 измеряетсяв денежных единицах за единицу продукции j-й отрасли).

Обозначим через pi стоимость продукции в i-й отрасли. Умноживданные в i-й строке на соответствующую стоимость pi, получим балансв стоимостной форме (все данные в этой таблице 25.2 выражаются вобщей для всех отраслей денежной форме).

Оказывается, если добавленная стоимость во всех отраслях извест-на, то величины pi определяются однозначно (исходя из требования оравенстве доходов и расходов всех отраслей).

322

Действительно, сумма доходов i-й отрасли, полученных от промежу-точного и конечного использования ее продукции, равна piXi. Расходыэтой же отрасли можно вычислить, найдя сумму по j-му столбцу таб-лицы 25.1. Приравняем найденные величины (напомним, что прибыльучитывается в числе расходов в составе добавленной стоимости). Полу-чим:∑

k

pkAkiXi + liXi = piXi, или∑k

pkAki + li = pi для всех i = 1, n.





1 . . . j . . . n

1 p1A11X1 . . . p1A1jXj . . . p1A1nXn p1Y1 p1X1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i piAi1X1 . . . piAijXj . . . piAinXn piYi piXi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n pnAn1X1 . . . pnAnjXj . . . pnAnnXn pnYn pnXn

Добавочнаястоимость L1 = l1x1 . . . Lj = ljxj . . . Ln = lnxn L =

∑Lj

p1X1 . . . pjXj . . . pnXn

В матричном виде эти равенства можно записать в виде:

ATp+ l = p. (25.1)

323

Если вектор l считается известным, вектор стоимостей p можно найтипо формуле:

p = (E − AT )−1 · l. (25.2)

Матрица (E − AT ) получается из матрицы (E − A) транспонирова-нием, поэтому обратные матрицы для них существуют одновременно иесли

B = (E − A)−1, то (E − AT )−1 = BT .

Из формулы (25.1) получим, что

l = p− ATp, откуда lT = pT − pTA,

следовательно,

L =∑

Li =∑

liXi = lT ·X = (pT − pTA)X =

= pT (X − AX) = pTY =∑

piYi.

Таким образом, совокупная добавленная стоимость равна совокупно-му конечному спросу в стоимостной форме. Для таблицы 25.1 это озна-чает, что L является не только суммой всех чисел в строке добавленнойстоимости, но и суммой всех чисел в столбце конечного спроса.

Формально баланс в стоимостной форме отличается от баланса в на-туральном выражении только тем, что в первом случае все данные вбалансе выражаются в одних и тех же единицах измерения, тогда как

324

во втором случае в каждой строке баланса может быть своя единица из-мерения количества продукции. Поэтому над данными баланса в стои-мостной форме мы можем совершать те же операции, что и над даннымибаланса в натуральной форме.

Пусть X∗i = piXi — валовый выпуск в i-й отрасли в стоимостной фор-ме; Y ∗i = piYi — объем конечного потребления в i-й отрасли в стоимост-ной форме; Π∗ij = piΠij — объем продукции i-й отрасли, использованнойв j-й отрасли, в стоимостной форме.

Тогда элементы матрицы прямых производственных затрат в стои-мостной форме будут вычисляться по формуле:

A∗ij = Π∗ij/X∗i = piΠij/piXi = piAij/pj. (25.3)

Определим l∗i = Li/X∗i = li/pi — добавленную стоимость единицы (в

стоимостном смысле) продукции j-й отрасли.Аналогично формуле (25.1) получаем:

∑k

pkA∗kiX

∗i + l∗iX

∗i = X∗i , или

∑k

pkA∗ki + l∗i = 1 для всех i = 1, n.

В частности, если предположить, что во всех отраслях есть дополни-тельные расходы, т.е. все l∗i > 0, то получаем, что

0 <∑k

A∗ki < 1 для всех i = 1, n. (25.4)

325

Рассмотренная модель межотраслевого баланса носит название моде-ли Леонтьева.


1. Что такое валовый выпуск?2. Что такое конечный спрос?3. Что такое добавленная стоимость?4. Какая модель межотраслевого баланса называется моделью Леон-

тьева?

326


Тема: Построение межотраслевого баланса в натуральной форме.Вычисление коэффициентов прямых и полных производственных за-трат. Построение межотраслевого баланса в стоимостной форме.

Цель: Закрепление понятия межотраслевого баланса в натуральнойи стоимостной форме на примерах и задачах.

Задание 1. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб.стоим.

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой от-расли. Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.

327

J Найдем матрицу прямых производственных затрат. Для этого вос-пользуемся формулой (24.1) где Πij в нашем случае — это есть матрица

1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200

В результате получим следующую матрицу прямых производствен-ных затрат:

0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078

Для вычисления матрицы полных затрат воспользуемся формулойB = (E − A)−1. В результате получим следующую матрицу

328

1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645

Для вычисления величины добавленной стоимости можно воспользо-ваться формулой l∗i = Li/X

∗i , где Li — это есть строка

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253

а X∗i — это есть строка16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

В результате получим вектор l0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146

Теперь вычислим факторную стоимость единицы продукции в каж-дой отрасли по формуле (25.2). Ее можно записать в виде p = BT · l, гдетранспонированная матрица полных затрат будет иметь вид

1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645

329

А вектор l, как уже было получено выше, имеет вид0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146

В результате факторная стоимость (или вектор p) примет вид0,921 0,919 1,000 0,968 0,878 0,982 1,019 0,922 0,874 1,022

Теперь мы можем записать наш межотраслевой баланс в стоимостнойформе, который будет иметь вид (результаты округлены до десятых)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8

ДС 15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253

Теперь остается нам вычислить матрицу прямых производственных иполных затрат в стоимостной форме. Матрица прямых производствен-ных затрат вычисляется по формуле (25.3), где Π∗ij — есть промежуточ-ное потребление в балансе стоимостной формы и имеет вид

1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738

330

А X∗i — есть валовый выпуск в стоимостной форме, который имеетвид (результаты округлены до десятых)

15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8

В результате применения данной формулы получим матрицу прямыхпроизводственных затрат в стоимостной форме

0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078

Матрица полных затрат определяется по формуле B∗ = (E − A∗)−1.В результате вычисления получаем следующий результат

1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645

.I

331

ЛЕКЦИЯ 26Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц.Теорема Фробениуса-Перрона. Продуктивность модели

Леонтьева

26.1. Продуктивность балансовой модели

Рассмотрим вопрос, который не был изучен в предыдущем парагра-фе, касающийся существования матрицы (E − A)−1.

Определение 26.1. Если все элементы матрицы A (вектора B) неот-рицательны, то матрицу A (вектор B) будем называть неотрицатель-ной (неотрицательным) и обозначать этот факт так: A ≥ 0 (B ≥ 0).Вектор B назовем положительным, если все его координаты положи-тельны.

Заметим, что в модели межотраслевого баланса матрица A прямыхпроизводственных затрат по своему экономическому смыслу может бытьтолько неотрицательной.

Определение 26.2. Неотрицательную матрицу A назовем продук-тивной, если для любого неотрицательного вектора Y найдется неотри-цательный вектор X, для которого справедливо равенство X−AX = Y .

Для модели межотраслевого баланса с матрицей A прямых производ-ственных затрат это означает, что любой неотрицательный конечный

332

спрос может быть удовлетворен (т.е. для него найдется соответствую-щий план валового выпуска).

Следующая теорема показывает, что продуктивность матрицыA непо-средственно связана с обратимостью матрицы (E − A).

Теорема 26.1. (критерий продуктивности) Неотрицательная мат-рица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E−A) обра-тима, причем обратная матрица B = (E − A)−1 неотрицательна.

J 1) Пусть существует матрица B = (E − A)−1 ≥ 0. Тогда для каж-дого Y ≥ 0 вектор X = BY — неотрицателен как произведение неот-рицательных матриц и является искомым решением уравненияX − AX = Y . Это и означает продуктивность матрицы A.

2) Пусть матрица A продуктивна. Обозначим через Yk вектор, все ко-ординаты которого равны нулю, за исключением k-й, равной единице.Поскольку для всех k вектор Yk неотрицателен, то по определению про-дуктивности найдется вектор Xk ≥ 0, такой что (E −A)Xk = Yk. Пустьматрица B такова, что для всех k ее k-м столбцом является вектор Xk.Тогда по правилам умножения матриц произведение (E − A)B будетматрицей, составленной из векторов-столбцов Yk, т.е. единичной матри-цей. Таким образом, матрица B является обратной к матрице (E − A),причем все ее столбцы неотрицательны. I

Следствие 26.1. Если матрица A продуктивна, то система нера-венств X − AX ≥ 0 имеет только неотрицательные решения.

333

Следующая теорема играет важную роль в математической экономи-ке. В частности, она оказывается полезной и при исследовании продук-тивности матриц.

Теорема 26.2. (Фробениус, Перрон) Пусть A — произвольная неот-рицательная матрица. Тогда существует собственное значение λA мат-рицы A, такое, что для всех собственных значений λ матрицы A выпол-няется неравенство |λ| ≤ λA. Кроме того, существует неотрицательныйсобственный вектор xA матрицы A, соответствующий значению λA.

Замечание 26.1. Известно, что набор собственных значений у мат-риц A и AT одинаков, к тому же условие A ≥ 0 равносильно условиюAT ≥ 0. Следовательно, λAT = λA. Соответствующий вектор xAT обо-значим через lA.

Определение 26.3. Число λA называется числом Фробениуса мат-рицы A.

Векторы xA и lA называются, соответственно, правым и левым век-тором Фробениуса матрицы A.

Понятие числа Фробениуса позволяет кратко сформулировать усло-вие продуктивности матрицы МОБ.

Теорема 26.3. Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна тогдаи только тогда, когда λA < 1.

334

J Необходимость. Пусть матрица A продуктивна и ее правый илевый векторы Фробениуса равны, соответственно, xAT и lA. По кри-терию продуктивности у системы уравнений X − AX = lA существуетнеотрицательное решение X1 ≥ 0.

Тогда

0 < |lA|2 = (lA)T lA = (lA)T (X1 − AX1) = (lA)T X1 − (lA)T · AX1 =

= (lA)T X1−(AT · lA

)T ·X1 = (lA)T X1−(λA · lA)T ·X1 = (1− λA) (lA)T ·X1.

Векторы lA и X1 неотрицательны, поэтому (lA)T · X1 ≥ 0. Следова-тельно, (1− λA) > 0, т.е. λA < 1.

Достаточность. Если λA < 1, то для всех собственных значений λматрицы A справедливо неравенство λ < 1. I

Лемма 26.1. Следующие свойства эквивалентны:1) все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы;2) при k →∞ выполняется условие Ak → 0.

J Если матрица A неотрицательна и выполняется любое из указан-ных условий, то ряд E+A+A2 + ...+Ak+ ... сходится к неотрицательнойматрице B.

Поскольку суммой ряда E +A+A2 + ...+Ak + ... является матрицаB = (E − A)−1, то у матрицы (E − A) существует обратная матри-ца, являющаяся неотрицательной. Согласно критерию, это доказываетпродуктивность матрицы A. I

335

Доказанная теорема сводит проверку продуктивности матрицы к на-хождению ее числа Фробениуса, т.е. наибольшего по модулю собствен-ного значения. Если матрица A имеет большие размеры, то эта задачаможет оказаться не очень легкой (собственно, как и нахождение обрат-ной матрицы для (E − A)).

Имеются достаточные условия продуктивности, которые позволяютсильно упростить такую проверку.

Теорема 26.4. Если в модели Леонтьева с матрицей A можно удо-влетворить некоторый строго положительный спрос Y0 > 0, то A —продуктивная матрица.

J По условию теоремы существует вектор X0 ≥ 0, такой чтоX0 − AX0 = Y0 > 0. Аналогично доказательству предыдущей теоремы,для левого вектора Фробениуса lA получаем:

(lA)T · Y0 = (lA)T · (X0 − AX0) = (1− λA) · (lA)T ·X0.

Поскольку lA ≥ 0, X0 ≥ 0 и Y0 > 0, то (lA)T · Y0 > 0, (lA)T ·X0 ≥ 0.В результате получаем, что (1− λA) > 0, или λA < 1, что и доказы-

вает продуктивность матрицы A. IСуществует еще один способ оценить величину числа Фробениуса

неотрицательной матрицы.

336

Теорема 26.5. Пусть A ≥ 0, ri – сумма i-й строки, cj – сумма j-гостолбца. Тогда

min ri ≤ λA ≤ max ri, (26.1)

min cj ≤ λA ≤ max cj. (26.2)

J Выберем правый вектор Фробениуса xA для матрицы A так, чтобывыполнялось равенство

∑xi = 1. Тогда

λA = λA ·∑

(xA)i =∑

(λA · xA)i =∑·∑

Aij · (xA)i =

=∑j

(xA)j ·∑i

Aij =∑j

(xA)j · cj

откуда, в силу∑j

(xA)j = 1, немедленно получаем (26.2). Для получения

(26.1) аналогичным образом надо использовать левый вектор Фробени-уса. I

Следствие 26.2. Если у положительной матрицы сумма по каждомустолбцу меньше единицы, то эта матрица – продуктивная.

Таким образом, матрица прямых производственных затрат МОБ, рас-считанная для баланса в стоимостной форме, является продуктивной.

337

26.2. Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какая матрица называется продуктивной?2. Сформулируйте критерий продуктивности матрицы.3. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.4. Что называется числом и вектором Фробениуса?

338

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 11, 12

Тема: Построение межотраслевого баланса в натуральной форме.Вычисление коэффициентов прямых и полных производственных за-трат. Построение межотраслевого баланса в стоимостной форме.

Цель: Закрепление вычисления коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат и построения межотраслевого баланса в стои-мостной форме на компьютере.

Задача 1. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего

1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб. ст. 1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производствен-ных затрат;

б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;

в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;

339

г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;

д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;

е) записать баланс в стоимостном выражении для задачи 10;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производ-

ственных затрат в стоимостном выражении;и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса

на продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса в

натуральном выражении.

Решение пунктов а)–д) с подробными комментариями и вставкой фор-мул для вычисления представлено на рисунках 1–3 соответственно. По-лученные результаты в пунктах а)–д) позволяют построить межотрас-левой баланс в стоимостной форме (пункт е)) и проверить основныебалансовые равенства (пункт ж)), проиллюстрированные на рисунке 4.На рисунках 5 и 6 получены результаты пунктов з), и) и к).

Рисунки 1–6 позволяют без помощи преподавателя студенту само-стоятельно решить данное задание, учитывая еще и тот факт, что подкаждым заданием на рисунках написаны комментарии и формулы изпроведенных лекционных занятий.

340

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

18

19

20

А LIEB C JGD MKF NH XUQO VSD WR T

1

1380

1620

1410

1140

1560

1510

1310

1170

1680

1710

1760

16840

2

1420

1040

1080

1800

1480

1740

1060

1470

1530

1130

1643

15950

3

1150

1330

1740

1060

1690

1440

1310

1720

1250

1480

2061

15540

4

1800

1240

1120

1310

1030

1530

1550

1620

1470

1150

1978

15600

5

1240

1290

1750

1320

1680

1200

1690

1720

1070

1010

1567

16910

6

1240

1440

1560

1460

1080

1130

1750

1600

1220

1160

2157

15450

7

1670

1520

1490

1060

1500

1020

1410

1780

1030

1690

2512

15690

8

1580

1350

1230

1100

1220

1360

1310

1030

1720

1750

2449

16730

9

1320

1520

1010

1190

1690

1160

1250

1170

1520

1050

2216

16440

10

1740

1500

1050

1660

1780

1360

1050

1350

1650

1200

2253

15430

Yi

Спрос

2300

2100

2100

2500

2200

2000

2000

2100

2300

2100

Xi

Всего

16840

15950

15540

15600

16910

15450

15690

16730

16440

15430

0,082

0,096

0,084

0,068

0,093

0,090

0,078

0,069

0,100

0,102

0,089

0,065

0,068

0,113

0,093

0,109

0,066

0,092

0,096

0,071

0,074

0,086

0,112

0,068

0,109

0,093

0,084

0,111

0,080

0,095

0,115

0,079

0,072

0,084

0,066

0,098

0,099

0,104

0,094

0,074

0,073

0,076

0,103

0,078

0,099

0,071

0,100

0,102

0,063

0,060

0,080

0,093

0,101

0,094

0,070

0,073

0,113

0,104

0,079

0,075

0,106

0,097

0,095

0,068

0,096

0,065

0,090

0,113

0,066

0,108

0,094

0,081

0,074

0,066

0,073

0,081

0,078

0,062

0,103

0,105

0,080

0,092

0,061

0,072

0,103

0,071

0,076

0,071

0,092

0,064

0,113

0,097

0,068

0,108

0,115

0,088

0,068

0,087

0,107

0,078

1,658

0,665

0,684

0,708

0,627

0,674

0,713

0,641

0,602

0,732

0,646

1,614

0,668

0,645

0,604

0,658

0,674

0,603

0,590

0,687

0,617

0,601

1,679

0,620

0,618

0,650

0,656

0,579

0,545

0,641

0,589

0,632

0,619

1,617

0,576

0,628

0,614

0,560

0,544

0,666

0,678

0,674

0,728

0,665

1,660

0,670

0,710

0,628

0,632

0,742

0,623

0,641

0,658

0,646

0,583

1,622

0,626

0,587

0,554

0,662

0,620

0,611

0,660

0,658

0,622

0,671

1,659

0,593

0,568

0,652

0,650

0,672

0,726

0,699

0,660

0,701

0,723

1,612

0,597

0,711

0,660

0,656

0,674

0,671

0,601

0,655

0,656

0,635

1,600

0,710

0,629

0,599

0,656

0,619

0,569

0,621

0,665

0,606

0,542

1,645

ЗаданМОБ в натуральном выражении

1. Найтиматрицы коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат

2.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-йотрасли на 10%

3. Выясните,каким должен быть равновесный конечный спрос для увеличении валового выпуска продукции только первой отраслью на 10%.

4. Найти величинудобавленной стоимости на единицу продукции в каждой отрасли

5. Рассчитатьфакторную стоимостьединицы продукции в каждой отрасли МОБ в натуральном выражении.

МОБ в натуральномвыражении

Доб стоим

1. Найти матрицы коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат

Aij=Пij/Xj

матрица Aij прямых производственных затрат

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Рисунок 1. – Полученные результаты пункта а)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

А CB

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

M NJ K LG H ID E F

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1,658

0,646

0,617

0,589

0,678

0,623

0,620

0,650

0,660

0,629

0,665

1,614

0,601

0,632

0,674

0,641

0,611

0,672

0,656

0,599

0,684

0,668

1,679

0,619

0,728

0,658

0,660

0,726

0,674

0,656

0,708

0,645

0,620

1,617

0,665

0,646

0,658

0,699

0,671

0,619

0,627

0,604

0,618

0,576

1,660

0,583

0,622

0,660

0,601

0,569

0,674

0,658

0,650

0,628

0,670

1,622

0,671

0,701

0,655

0,621

0,713

0,674

0,656

0,614

0,710

0,626

1,659

0,723

0,656

0,665

0,641

0,603

0,579

0,560

0,628

0,587

0,593

1,612

0,635

0,606

0,602

0,590

0,545

0,544

0,632

0,554

0,568

0,597

1,600

0,542

0,732

0,687

0,641

0,666

0,742

0,662

0,652

0,711

0,710

1,645

( ) ^ 1B E A- -=

матрица B полных затрат

2.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-й отрасли на 10%

Y* -спрос при увеличении спроса на продукцию

1 отрасли на 10%

X*- равновестный валовый выпуск

X* BY *=

E-единичная матрица

2530

2100

2100

2500

2200

2000

2000

2100

2300

2100

17221,346

16098,519

15681,911

15735,365

17065,833

15593,266

15832,679

16879,501

16591,896

15574,770

Рисунок 2. – Полученные результаты пунктов а) и б)

341

Рисунок 3. – Полученные результаты пунктов в), г) и д)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

А C D E F G H I J K L MB

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Задан МОБ в стоимостном выражении

6. Записать баланс в стоимостном выражении

7. Проверить основные балансовые равенства.

8. Записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственных затрат встоимостном выражении

( )9.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-йотрасли на 10% в стоимостном выражении

10. Сравнить последний результат с 10%-ным увеличениемспроса в натуральном выражении

Баланс в стоимостной форме определяется по формуле: pi*Aij*Xj для каждой ячейки

7. Проверить основные балансовые равенства.

проверка основного балансовогоравенства натурального истоимостного по фо A^(Tрансп)*рм pуле +l=p

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 921

0 919

1 000

0 968

0 878

0 982

1 019

0 922

0 874

1 022

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 921

0 919

1 000

0 968

0 878

0 982

1 019

0 922

0 874

1 022

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1271 533

1489 529

1409 345

1103 773

1370 120

1482 105

1334 900

1078 645

1468 335

1748 102

1760

15516 385

1760

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1308 389

956 241

1079 499

1742 799

1299 857

1707 856

1080 148

1355 221

1337 234

1155 178

1643

14665 420

1643

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1059 611

1222 885

1739 192

1026 315

1484 296

1413 398

1334 900

1585 701

1092 511

1512 977

2061

15532 785

2061

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1658 521

1140 133

1119 480

1268 370

904 630

1501 735

1579 461

1493 509

1284 793

1175 624

1978

15104 257

1978

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1142 537

1186 106

1749 187

1278 053

1475 513

1177 832

1722 122

1585 701

935 190

1032 505

1567

14851 745

1567

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1142 537

1324 025

1559 276

1413 604

948 544

1109 125

1783 263

1475 070

1066 291

1185 847

2157

15164 581

2157

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1538 739

1397 582

1489 308

1026 315

1317 423

1001 157

1436 800

1641 016

900 229

1727 656

2512

15988 225

2512

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1455 813

1241 274

1229 429

1065 044

1071 504

1334 876

1334 900

949 576

1503 295

1788 993

2449

15423 704

2449

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1216 249

1397 582

1009 531

1152 184

1484 296

1138 571

1273 759

1078 645

1328 494

1073 396

2216

14368 706

2216

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1603 237

1379 193

1049 512

1607 248

1563 342

1334 876

1069 958

1244 591

1442 115

1226 738

2253

15773 809

2253

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2119 221

1930 870

2099 025

2420 554

1932 220

1963 053

2038 015

1936 030

2010 220

2146 792

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

15516 385

14665 420

15532 785

15104 257

14851 745

15164 581

15988 225

15423 704

14368 706

15773 809

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yi

Спрос

Xi

Всего

6. Записать баланс в стоимостном выражении

Рисунок 4. – Полученные результаты пункта е), ж)

342

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2331,143

1930,870

2099,025

2420,554

1932,220

1963,053

2038,015

1936,030

2010,220

2146,792

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

А C D E F G H I J K LB

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 075

0 087

0 103

0 093

0 063

0 073

0 118

0 097

0 070

0 078

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 085

0 097

0 070

0 080

0 103

0 079

0 089

0 075

0 092

0 075

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 102

0 087

0 067

0 102

0 099

0 085

0 068

0 079

0 091

0 078

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 096

0 087

0 093

0 064

0 082

0 063

0 090

0 103

0 056

0 108

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 094

0 080

0 080

0 069

0 069

0 087

0 087

0 062

0 097

0 116

0,082

0,096

0,091

0,071

0,088

0,096

0,086

0,070

0,095

0,113

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 089

0 065

0 074

0 119

0 089

0 116

0 074

0 092

0 091

0 079

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 077

0 080

0 118

0 086

0 099

0 079

0 116

0 107

0 063

0 070

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 068

0 079

0 112

0 066

0 096

0 091

0 086

0 102

0 070

0 097

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 110

0 075

0 074

0 084

0 060

0 099

0 105

0 099

0 085

0 078

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 633

0 616

0 662

0 620

0 599

1 622

0 697

0 658

0 584

0 647

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 635

0 621

0 623

0 602

0 635

0 622

0 663

0 630

1 600

0 634

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 102

0 087

0 067

0 102

0 099

0 085

0 068

0 079

0 091

0 078

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 644

0 609

0 643

0 583

0 612

0 603

1 659

0 654

0 562

0 667

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 641

0 601

0 628

0 588

0 598

0 625

0 655

1 612

0 602

0 672

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1 658

0 644

0 669

0 618

0 646

0 664

0 686

0 650

0 626

0 698

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 666

1 614

0 653

0 665

0 644

0 685

0 677

0 674

0 624

0 665

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 658

0 632

0 703

0 635

1 660

0 651

0 722

0 693

0 598

0 663

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 631

0 614

1 679

0 600

0 640

0 646

0 673

0 670

0 590

0 671

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0 674

0 613

0 640

1 617

0 603

0 655

0 692

0 666

0 606

0 654

8.Записать матрицы коэффициентов прямых иполных производственных затрат в стоимостном выражении

Матрицпрямых производственных затрат в стоимостной форме вычисляется по формуле A*ij=П*ij/X*i

Матрица полных затрат в стоимостном выражении получается по форм B*=(E-A*)уле ^(-1)

( )9. Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличенииспроса на продукцию 1-й отрасли на 10% в стоимостном выражении

Y**-спрос при увеличении спроса на продукцию 1 отрасли на 10% X** -равновестный валовый выпуск

X ** B* Y **=

15867,758

14801,978

15674,630

15235,320

14988,610

15305,201

16133,616

15561,532

14501,465

15921,805

Рисунок 5. – Полученные результаты пункта з), и)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17221,376

16098,519

15681,911

15735,365

17065,833

15593,266

15832,679

16873,501

16591,896

15574,770

делим валовый выпуск в стоимостном выражении с 10%-м увеличением

на факторную стоимость, чтобы привести полученный результат к

натуральному виду, откуда видно, что они совпадают

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

17221,376

16098,519

15681,911

15735,365

17065,833

15593,266

15832,679

16873,501

16591,896

15574,770

А C D E F G H I JB

10. Сравнить последний результат с 10%-ным увеличениемспроса в натуральном выражении

Рисунок 6. – Полученные результаты пункта к)

343

Контрольные вопросы для специальности“Бизнес-администрирование”

1. Основные понятия, этапы и методы математического моделирова-ния социально-экономических систем.

2. Основные понятия и сведения из теории графов. Способы заданияграфов.

3. Целочисленное программирование. Метод Гомори решения задачцелочисленного программирования.

4. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решениязадач целочисленного программирования.

5. Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ.6. Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ7. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая

интерпретация задачи. Графическое решение задачи.8. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая

интерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.9. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение мат-

ричных игр в чистых стратегиях.10. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-

тегиях путем сведения к задаче линейного программирования.11. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-

тегиях графическим и приближенным методом.

344

12. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в нату-ральной форме.

13. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стои-мостной форме.

14. Модели межотраслевого баланса. Продуктивность балансовой мо-дели.

345

Контрольные вопросы для специальности “Государственноеуправление и экономика”


2. Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и гра-фический метод решения задачи линейной оптимизации.

3. Линейное программирование. Симплекс метод решения задачи ли-нейной программирования.

4. Линейное программирование. Метод искусственного базиса реше-ния задачи линейного программирования.

5. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Алгоритм построения двойственной задачи.

6. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Двойственный симплекс метод.

7. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана ме-тодом северо-западного угла и минимального элемента. Распределитель-ный метод нахождения оптимального плана.

8. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана ме-тодом северо-западного угла и минимального элемента. Метод потенци-алов нахождения оптимального плана.

9. Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.10. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.

346

11. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение мат-ричных игр в чистых стратегиях.

12. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-тегиях путем сведения к задаче линейного программирования. Решениематричных игр графическим методом.



15. Продуктивность балансовой модели.16. Основные понятия сетевого планирования и управления. Правила

построения сетевых графиков.17. Расчет временных параметров сетевого графика.18. Оптимизация комплекса операций по времени.19. Оптимизация комплекса операций по ресурсам.20. Оптимизация комплекса операций по стоимости.

347

Решенный вариант индивидуальной работы дляспециальности “Бизнес-администрирование”

Задача 1. Решить задачу целочисленного программирования мето-дом Гомори.

На производственном участке предприятия необходимо установитьоборудование трех типов. Стоимость единицы оборудования первого ти-па составляет 5 млрд. руб., второго — 3 млрд. руб. и третьего — 2 млрд.руб. На закупку оборудования предприятие располагает средствами в 15млрд. руб. Площадь производственного участка для размещения обору-дования составляет 25 м2. Производительность единицы каждого типаоборудования равна соответственно 1 тыс. единиц, 2 тыс. единиц и 3 тыс.единиц продукции в смену. Требуется определить, сколько оборудова-ния каждого типа закупать, чтобы получить максимальную производи-тельность производственного участка, если известно, что для установкиединицы оборудования первого типа, с учетом проходов, требуется 6 м2

площади, второго — 4 и третьего — 3 м2.

J 1. Обозначим через x1, x2 и x3 количество закупаемого оборудо-вания каждого типа. Тогда математическая модель задачи запишетсяследующим образом:

f = x1 + 2x2 + 3x3 → max

348

6x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 25;5x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 15;xj ≥ 0

(j = 1, 3

)и целые.

Решаем задачу симплекс-методом без условия целочисленности. При-ведем систему ограничений к каноническому виду. Добавим к левымчастям ограничений неотрицательные дополнительные неизвестные x4

и x5: 6x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 25;5x1 + 3x2 + 2x3 + x5 = 15;xj ≥ 0

(j = 1, 3

).

Выразим из системы ограничений базисные неизвестные x4 и x5:x4 = −6x1 − 4x2 − 3x3 + 25 ≥ 0;x5 = −5x1 − 3x2 − 2x3 + 15 ≥ 0;xj ≥ 0

(j = 1, 3

).

Занесем коэффициенты системы ограничений и функции в симплекс-ную таблицу (таблица 1).

Решение в таблице 1 опорное, так как базисные неизвестные при-нимают положительные значения. Переходим к поиску оптимальногорешения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (сре-ди отрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наи-

349

Таблица 1.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 t ≥ 0

x4 = 25 6 4 3 25/3x5 = 15 5 3 2 15/2f = 0 −1 −2 −3

меньшему симплексному отношению

t = min

(25

3;15

2

)=

15

2.

Наименьшее симплексное отношение соответствует второй строке, сле-довательно, она будет разрешающей. Выделим в таблице разрешаю-щий элемент, который находится на пересечении разрешающих строкии столбца.

Рассчитаем элементы новой симплексной таблицы (таблице 2).В таблице 2 получено оптимальное решение:

x1 = 0; x2 = 0; x3 = 15/2; x4 = 5/2; x5 = 0; f = 45/2.

Однако это решение не удовлетворяет условию целочисленности, таккак обе базисные переменные получили нецелые значения. Определим

350

Таблица 2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x5

x4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2

x3 = 15/2 5/2 3/2 1/2f = 45/2 13/2 5/2 3/2

из них ту, которая имеет наибольшую дробную часть:

5/2 = 5/2− [2] = 1/2;

15/2 = 15/2− [7] = 1/2.

Поскольку дробные части у базисных переменных одинаковые, тосформируем правильное отсечение, например, по строке x4.

2. Правильное отсечение в данном случае имеет вид:

−3/2x1 + 1/2x2 + −3/2x5 ≥ 5/2 .

Находим дробные части:

−3/2 = −3/2− [−2] = 1/2;

1/2 = 1/2− [0] = 1/2;

5/2 = 5/2− [2] = 1/2.

351

Правильное отсечение принимает следующий вид:

1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 ≥ 1/2.

3. Преобразовываем полученное неравенство в эквивалентное уравне-ние:

1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 − x6 = 1/2,

илиx6 = 1/2x1 + 1/2x2 + 1/2x5 − 1/2, (1)

где x6 ≥ 0 и целое.4. На основе таблице 2 составляем таблицу 3 расширенной задачи

путем присоединения строки для уравнения (1).

Таблица 3.

HHHHHHHH

Б.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x5 t ≥ 0

x4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2 −x3 = 15/2 5/2 3/2 1/2 3x6 = −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 1f = 45/2 13/2 5/2 3/2

5. Решаем расширенную задачу симплекс-методом. Замечаем, что со-державшийся в таблице 3 план опорным не является (в столбце сво-

352

бодных членов имеется отрицательный элемент –1/2). Поэтому, преждевсего, необходимо найти опорный план. Для этого за разрешающий при-мем, например, первый столбец и найдем в нем минимальное симплекс-ное отношение:

min (15/2 : 5/2; (−1/2) : (−1/2)) = min (3; 1) = 1.

Таким образом, разрешающим будет элемент −1/2. Выполним с нимсимплексное преобразование.

Таблица 4.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x5 t ≥ 0

x4 = 4 −3 1 0 −x3 = 5 5 1 −2 −x1 = 1 −2 1 1 1f = 4 13 −4 −5

Решение в таблице 4 опорное, переходим к поиску оптимального ре-шения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (сре-ди отрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наи-меньшему симплексному отношению, которое соответствует третьей стро-ке. Рассчитываем новую таблицу.

353

Таблица 5.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x6 −x2 −x1

x4 = 4

x3 = 7x5 = 1f = 21 3 1 5

В таблице 5 содержится опорный план, оказавшийся одновременно иоптимальным, и целочисленным. Итак, x∗F = (0; 0; 7) и f ∗F = 21. Значит,предприятию надо закупить 7 единиц оборудования третьего типа. Приэтом из денежных средств останется 1 млрд. руб. (x∗5 = 1), а 4 м2 про-изводственной площади не будут использованы (x∗4 = 4). Максимальнаясменная производительность нового участка будет составлять 21 тыс.ед. продукции. I

Задача 2. Решить задачу целочисленного программирования мето-дом ветвей и границ.

Найти оптимальное целочисленное решение следующей задачи мето-дом ветвей и границ

f = x1 + 2x2 → max

354

при ограничениях 7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,

x1, x2 ≥ 0, целые.

J Для наглядности решение осуществим графическим методом. ОДРзадачи является многоугольникOAВС (рисунок 1). В точке В находитсямаксимальное значение функции: fBmax = 9, 64 при x1 = 2, 42 и x2 = 3, 61.

Поскольку значения неизвестных дробные, то разобьем по неизвест-ной x2 ОДР задачи на две части. Одна будет содержать множество то-чек, у которых x2 ≤ 3, а вторая – у которых x2 ≥ 4. В результатеполучаем две новые задачи линейной оптимизации: 2 и 3 (исходнаязадача имеет 1).

Задача 2 Задача 3f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1, x2 ≥ 0.

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≥ 4,x1 ≥ 0.

Из рисунка 2 видно, что ни одна целочисленная точка исходной ОДРне потеряна. ОДР задачи 2 является многоугольник OADEC. В точкеЕ с координатами x1 = 2, 86 и x2 = 3 функция достигает максимальногозначения fEmax = 8, 86.

355

2

O

B

K C

0 62-4-

6

4

A

2

8

1x

2x

4

0f =

maxf

Рисунок 1. – Графический метод решения задачи

Решение задачи 2 не является целочисленным. Что касается задачи 3, то ее ОДР пустая. Ограничения этой задачи противоречивы, и онане имеет решения.

356

2

O

B

D E

C

0 62-4-

6

4

A

2

8

24x =

23x =

1x

2x

4

Рисунок 2. – Промежуточный этап решения задачи

Продолжая решение, разобьем ОДР задачи 2 на два подмножествапо неизвестной x1 = 2, 86. В результате получим две новые задачи 4

357

и 5 с соответствующими дополнительными ограничениями x1 ≤ 2 иx1 ≥ 3.

Задача 4 Задача 5

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1 ≤ 2,x1, x2 ≥ 0.

f = x1 + 2x2 → max7x1 + 5x2 ≤ 35,−2x1 + 3x2 ≤ 6,x2 ≤ 3,x1 ≥ 3,x1 ≥ 0.

ОДР этих задач представлены на рисунке 3. ОДР задачи 4 являетсямногоугольник OADFK. Максимальное значение функции достигаетсяв точке F c координатами x1 = 2 и x2 = 3, fFmax = 8. Таким образом,получено целочисленное решение задачи 4.

ОДР задачи 5 является треугольник LMC. Максимальное значе-ние функция достигает в точке L с координатами x1 = 3 и x2 = 2, 8;fLmax = 8, 6. Так как значение функции целочисленного решениязадачи 4 fFmax = 8 меньше fLmax = 8, 6, то дальнейшему разбие-нию на две задачи 6 и 7 подлежит задача 5 по нецелочисленнойнеизвестной x2 = 2, 8. Не проводя дополнительных построений, отме-тим, что ОДР задачи 6 с дополнительным ограничением x2 ≥ 3 несуществует, а значение функции в оптимальном целочисленном решениизадачи 7 с дополнительным ограничением x2 ≤ 2 равно 7, что мень-

358

2

O

B

D

E

F L

MK C

0 62-4-

6

4

A

20x =

8

12x =

13x =

24x =

23x =

1x

2x

4

Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи целочисленной оптимизации

ше fFmax = 8. Таким образом, целочисленное решение исходной задачиследующее: x1 = 2, x2 = 3, fFmax = 8. I

359

Задача 3. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно положитьнабор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью не менее21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таблице 6.

Таблица 6.

, i 1 2 3 4 5Вес, pi (кг) 2 3 5 3 4


J Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допус-каем возможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сна-чала наполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большойценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следую-щим по цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).

В таблице 7 указана очередность такой укладки. Величина xi указы-вает, какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следу-ющий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоих предметов

360

9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это со-ставляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета — 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Таблица 7.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



Берем самый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добав-ляем следующий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоихпредметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21−16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности пред-мета – 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета

361

5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Поскольку на самом деле предмет 5 на части делить нельзя, раз-делим все возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором – предмет 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.

1) Не берем предмет 5. Действуем аналогично предыдущему слу-чаю. Теперь после предметов 4 и 2 наибольшую ценность из доступ-ных предметов имеет, например, 3. После его добавления стоимостьрюкзака (9 + 6 + 5 = 20). Недостающая 1 у.е. стоимости может бытьвосполнена за счет 0,5 предмета 1. Итак, получаем, что при отказеот предмета 5 вес рюкзака ценностью не менее 21 у.е. не может бытьменьше, чем 12 кг (таблица 8).


Укладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета 2. Получаем, что в нашем случае (когдаобязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таб-лица 9).

Посмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x5 = 1 (берем 5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую очередь

362

Таблица 8.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



Таблица 9.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



363

12

52) 1x =

9

9

51) 0x =


его. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить на части2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 4).

3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы. После 5-го и 2-го предметаостается 7 единиц стоимости, которые заполняем самым ценным пред-метом 4 (x4 = 7/9). Оценка данного множества вариантов равна 28/3(таблица 10).

Таблица 10.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 1 79 1


3


364




Таблица 11.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 0 45 1 1



365

9

9 12

111

93

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =


6) Берем предметы 5, 2, не берем предмет 4.

Таблица 12.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



366

Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг — точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 12).

У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множе-стве 5 (x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже (рисунок 6).

9

9 12

111

93

10* 14*

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =

45) 1x =

46) 0x =


367


Задача 4. Матрица расстояний между пятью городами представленав таблице 13. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.

Таблица 13.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5 αi

1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2

J Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ(R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этогов дополнительный столбец (таблица 13) запишем константы приведенияai, i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представ-лена в таблице 14. В дополнительной строке этой матрицы записаны

368

константы приведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам,получим полностью приведенную матрицу (таблица 15).

Таблица 14.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞βj 0 1 0 0 0


ϕ(R) = γ =5∑i=1

αi +5∑j=1

βj = 13 + 1 = 14.

Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров отно-сительно этой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элемента-ми, условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, эле-

369

Таблица 15.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞βj 0 1 0 0 0

мент a14 = 0 на ∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна4 (минимальному элементу этой строки), а по 4-му столбцу — нулю(минимальному элементу этого столбца). Сумма констант приведенияγ(1,4) = α1 + β4 = 4 + 0 = 4 записана в скобках в клетке (1,4). Аналогич-но вычислены все остальные константы и записаны в соответствующиеклетки таблицы. Наибольшая из сумм констант приведения, равная 4,соответствует дуге (1,4). Следовательно, множество R разбивается наподмножества (1, 4) и (1, 4). Таким образом, мы приступим к обра-зованию дерева (рисунок 7).

Исключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществ-ляется реальной заменой в матрице из таблицы 15 элемента a14 = 0 на

370

( )2,1( )1,4 ( )4,3

14j =

( )

( )

3,5 ,

5,2

( )4,3( )1,4

R

( )2,1

( )2,5

( )2,5( )

( )

3,2 ,

5,1

15j = 17j = 18j = 18j =

18j =18j =18j =18j = 19j =

j = ¥


∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение мат-рицы путем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца — 0. В результате приведения матрица расстояний для подмно-жества (1, 4) примет вид, показанный в таблице 16, а нижняя границадлин гамильтоновых контуров этого подмножества

ϕ(1,4) = ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 4 = 18.

Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элемен-тов 1-й строки и 4-го столбца таблицы 15. Кроме того, элемент a14 = 0заменяем на∞, чтобы не допустить образования негамильтонова конту-ра (1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 17. Эта матрица

371

Таблица 16.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞

Таблица 17.

@@@@

ij 1 2 3 5 αi

2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0βj 0 0 0 0

допускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й стро-ке. Константы приведения записаны в столбце αi, и строке βj. Сумма

372

констант приведения сокращенной матрицы, полученной в результатевключения дуги (1,4) в искомый контур, составит:

γ(1,4) =∑i

αi +∑j

βj = 1 + 0 = 1.


ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 1 = 15.


Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 18). Максимальная сумма константприведения

γ(4,3) = α4 + β3 = 4 + 0 = 4

соответствует дуге (4, 3). Следовательно, подмножество гамильтоновыхконтуров (1, 4), в свою очередь, разбиваем на два подмноже-ства: (1,4),(4,3) и (1,4),(4, 3). После замены элемента a43 = 0 на ∞(таблица 18) и приведения матрица принимает вид таблицы 19. Нижняяграница длин гамильтоновых контуров подмножества (1,4),(4, 3)

ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 4 = 19.

373

Таблица 18.

@@@@

i

j 1 2 3 5

2 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞

Таблица 19.

@@@@

ij 1 2 3 5

2 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞

Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица18), а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме то-го, исключаем из контура дугу (3,1), чтобы не допустить образования

374

негамильтонова контура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 20)допускает приведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения этаматрица имеет вид таблица 21.


γ(4,3) =∑i

αi +∑j

βj = 2 + 0 = 2,


ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 2 = 17.

Таблица 20.

@@@@

ij 1 2 5 αi

2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0βj 0 0 0

Так какϕ[(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ[(1,4),(4,3)] = 19,

375

Таблица 21.

@@@@

i

j 1 2 5

2 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞

дальнейшему ветвлению подлежит подмножество (1,4),(4,3). Все сум-мы констант приведения для клеток с нулями (таблица 21) равны, поэто-му выбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество(1,4),(4,3) на два новых подмножества (1,4),(4,3),(2, 1) и(1,4),(4,3),(2,1). После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 22), для которой γ(2,1) = 1.

Таблица 22.

@@@@

ij 1 2 5

2 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞

376


ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.


ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.

Таблица 23.

@@@@

i

j 2 5

3 ∞ 05 1 ∞

Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (табли-ца 24), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 24 равна нулю. Следовательно, длина гамильтонова

377

Таблица 24.

@@@@

i

j 2 5

3 ∞ 05 0 ∞

контура совпадает с нижней границей подмножества (1,4),(4,3),(2,1) иравна 18.

В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 7) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная сгорода 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда го-родов коммивояжером µ = (1− 4− 3− 5− 2− 1).

Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так какимеются подмножества контуров (1,4),(4,3),(2, 1) и (1, 4), нижниеграницы которых также равны 18.

Продолжим ветвление подмножества (1,4),(4,3),(2, 1). Следуя алго-ритму, найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 22. Максимальная сумма, равная∞, приходится на две клетки:

378

(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмно-жество (1,4),(4,3),(2, 1) на два подмножества (1,4),(4,3),(2, 1),(2, 5) и(1,4),(4,3),(2, 1),(2,5). Нижние границы подмножеств:

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 +∞ =∞;

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 + 0 = 18.



Задача 5. Решить графическим методом следующую задачу пара-метрического программирования.

Определить интервал изменения параметра t и найти значения пере-менных x1 и x2, при которых максимум линейной функцииft = 4x1 + (2 + t)x2, t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений

2x1 − 5x2 ≤ 10;x1 + x2 ≥ 5;−x1 + x2 ≤ 4;4x1 + 5x2 ≤ 40;x1 ≥ 0;x2 ≥ 0.

379

J Находим область допустимых решений системы ограничений. Этомногоугольник ABCD (рисунок 8). Придадим параметру самое малоезначение t = 0, тогда получим функцию с постоянными коэффициента-ми

f0 = 4x1 + 2x2.

Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.

О

( )8maxf

2x

1x

( )3maxf

( )0maxf

80f =

30f =

00f =

A

B

C

D

Рисунок 8. – Область допустимых решений задачи

380

Далее приравняем ft нулю и найдем уравнение разрешающей прямойпри любом t:

x2 = − 4

2 + tx1.

Запишем угловой коэффициент kf этой прямой и исследуем его по-ведение при изменении параметра t:

kf = − 4

2 + t.

При t = 0 его начальное значение kf = −2.Найдем производную углового коэффициента по параметру t:

(kf)′

t =

(− 4

2 + t

)′t

=4

(2 + t)2 .

Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловойкоэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрас-тания:

limt→+∞

kf = limt→+∞

(− 4

2 + t

)= −0.

Так как при t → +∞ угловой коэффициент kf приближается к ну-лю со стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая по-ворачивается против часовой стрелки до предельного горизонтальногоположения. (Напомним, что при вертикальном положении прямой угло-вой коэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямой

381

против часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения уг-ловой коэффициент возрастает от 0 до +∞, при дальнейшем вращениипрямой он возрастает от −∞ до 0.)

В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля донекоторого значения максимум функции будет в вершине C. Далее внекоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигатьсяна отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней длявсех больших значений t.

Определим значение параметра t, при котором решение задачи ока-жется на отрезке BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разре-шающая прямая должны быть параллельны, приравняем их угловыекоэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC kBC = −4/5, следо-вательно, − 4

2+t = −45 , откуда t = 3.

Итак, при 0 ≤ t < 3 оптимальное решение задачи будет в вершинеC (8, 3; 1, 3), при t = 3 оно достигается на всем отрезке BC, апри 3 < t ≤ 8 – в точке B (2, 2; 6, 2) . I

Задача 6. Решить аналитическим методом следующую задачу пара-метрического программирования.

Найти решение задачи 5 при изменении параметра t на отрезке [0; 12].

J Полагаем t = 0. Тогда

f0 = 4x1 + 2x2 → max .

382

Заносим условие задачи в таблицу 25 и решаем ее симплекс-методом.Опуская подробности, приведем оптимальное решение (таблица 26):x1 = 25/3, x2 = 4/3.

Таблица 25.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x3 = 10 2 −5

x4 = −5 −1 −1

x5 = 4 −1 1x6 = 40 4 5f0 = 0 −4 −2

ft =0 −4 −20 0 −1

Определим значения параметра t, при которых оптимальное решениебудет в той же вершине, что и при t = 0.

Так как в последней строке элемент q1 = −2/15 < 0, аэлемент q2 = 1/15 > 0, то для определения значений t, при которыхмаксимум будет достигаться в найденной вершине, подставим соответ-

383

Таблица 26.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x3 −x6

x4 = 14/3 1/30 7/30

x1 = 25/3 1/6 1/6

x5 = 11 3/10 1/10

x2 = 4/3 −2/15 1/15

f0 = 36 2/5 4/5

ft =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15

ствующие значения в соотношение (14.3). Получим

−12 =

(− 4/5

1/15

)≤ t ≤

(− 2/5

−2/15

)= 3.

Здесь α1 = −12, α2 = 3. Полученный интервал меньше заданного[0; 12], поэтому исключаем его из дальнейшего рассмотрения и решаемзадачу для оставшегося интервала [3; 12]. Для этого даем t значениеt = 3 и вычисляем для него строку f3.

Занесем элементы f3-строки в таблицу 27. Все прочие элементы таб-лицы оставляем без изменений.

384

В первом столбце и f3-строке таблицы 27 находится нуль, поэтомуэтот столбец принимаем за разрешающий (при t > 3 на месте нуля пер-вым появится отрицательное число, и план перестанет быть оптималь-ным). Находим разрешающий элемент по наименьшему симплексномуотношению и переходим к новой таблице (таблица 28).

Таблица 27.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x3 −x6

x4 = 14/3 1/30 7/30

x1 = 25/3 1/6 1/6

x5 = 11 3/10 1/10

x2 = 4/3 −2/15 1/15

f3 = 40 0 1

ft =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15

План x1 = 20/9, x2 = 56/9 в таблице 28 оптимален, так как всеэлементы f3-строки неотрицательны. В последней строке все элементыqj > 0, следовательно, применяем соответствующую формулу и опреде-

385

ляем, что

α2 = max

(−−4/2

4/9; −2/3

1/9

)≤ t < +∞ = α3,

т.е. 3 ≤ t < +∞. Так как значение α3 > β, то задача решена.

Таблица 28.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x5 −x6

x4 = 31/9

x1 = 20/9x3 = 110/3x2 = 56/9

f3 = 40 0 1

ft =64/3 −4/3 2/356/9 4/9 1/9

Итак, при 0 ≤ t ≤ +∞ максимальное значение функции достига-ется в вершине C (25/3; 4/3), при 3 ≤ t ≤ 12 максимальное значениефункции достигается в вершине B (20/9; 56/9) (смотри рисунок 8). Призначении t = 3 оптимум достигается в вершинах B и C, а также в ихвыпуклой линейной комбинации. I

386

Задача 7. Решить игру с платежной матрицей 2 1 03 0 11 2 4



α = maxi


imaxjaij = 2.



f = x1 + x2 + x3 → min;2x1 + 3x2 + x3 ≥ 1;x1 + 2x3 ≥ 1;x2 + 4x3 ≥ 1;xi ≥ 0 (i = 1, 3);

(2)

387

ϕ = y1 + y2 + y3 → max;2y1 + y2 ≤ 1;3y1 + y3 ≤ 1;y1 + 2y2 + 4y3 ≤ 1;yi ≥ 0 (j = 1, 3).

(3)


y∗ = (y∗1; y∗2; y∗3; y∗4; y∗5; y∗6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕmax = 2/3.

Таблица 29.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −y3 −y4 −y6

y2 = 1/3

y1 = 1/3y5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3

388


q∗1 = νy∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q∗2 = 1/2, q∗3 = 0.

Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p∗ игрока A. Вве-дем дополнительные переменные x4, x5 и x6 в ограничения задачи (2).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x1, x2 и x3






Учитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функ-ции ϕ таблицы 29 значения компонент оптимального вектора задачи(2): x∗1 = 1/3, x∗2 = 0, x∗3 = 1/3. Находим компоненты p∗i оптимальнойсмешанной стратегии p∗ игрока A:

p∗1 = νx∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p∗2 = 0, p∗3 = 1/2.


p∗ = (1/2; 0; 1/2), q∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. I

389

Задача 8. Решить игру с платежной матрицей 3 812 19 6


J В данном случае α = 6, β = 8, т.е. α 6= β, а поэтому для определе-ния оптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:

f = x1 + x2 + x3 → min,3x1 + 12x2 + 9x3 ≥ 1,8x1 + x2 + 6x3 ≥ 1,

(4)

xi ≥ 0 (i = 1, 3),

ϕ = y1 + y2 → max,3y1 + 8y2 ≤ 1,12y1 + y2 ≤ 1,9y1 + 6y2 ≤ 1,

(5)

yi ≥ 0 (j = 1, 2).

Поскольку задача (5) содержит две переменные, то, решая ее графи-чески (рисунок 9), находим: y∗1 = 1/27, y∗2 = 1/9, ϕmax = 4/27. Вычисля-ем ν = 1/ϕmax = 27/4, q∗1 = νy∗1 = 1/4, q∗2 = 3/4.

390

О

2y

1y

0,1 cmax

A

1 9

0j =

max4 27j =

1 27


Для того чтобы определить оптимальную смешанную страте-гию p∗ = (p∗1; p

∗2; p

∗3), найдем сначала решение двойственной задачи (4).

В оптимальном плане задачи (5) y∗1 > 0 и y∗2 > 0, поэтому оба ограни-чения двойственной задачи (4) ее оптимальным планом x∗ = (x∗1;x

∗2;x∗3)

обращаются в равенства. Кроме того, значениями y∗1 и y∗2 второе огра-ничение задачи (5) обращается в строгое неравенство. Следовательно, воптимальном плане задачи (4) соответствующая ему вторая переменнаяравна нулю, т.е. x∗2 = 0. Учитывая сказанное, для определения x∗1 и x∗3получаем уравнения 3x1 + 9x3 = 1 и 8x1 + 6x2 = 1, совместное реше-ние которых дает x∗1 = 3/54, x∗3 = 5/54. Вычисляем: p∗1 = 3/8, p∗2 = 0,p∗3 = 5/8.

391


p∗ = (3/8; 0; 5/8); q∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. I

Задача 9. Решить матричную игру, используя приближенный метод.В матричной игре (таблица 30) получить приближения цены игры и

оптимальных смешанных стратегий, выполнив 20 итераций.

Таблица 30.

HHHHH

HHHAi

Bj B1 B2 B3

A1 4 2 2A2 2 5 0A3 0 2 5

J Поскольку α = 2, β = 4 и, следовательно, α 6= β, то игра не имеетседловой точки, а потому ищем решение игры в области смешанныхстратегий.

Пусть в первой партии игрок А избрал стратегию A1. Выигрышиего при различных стратегиях игрока B будут равны соответственно 4,2 или 2. Запишем их в первую строку таблице 31. Игроку B в первойпартии выгоднее использовать либо вторую, либо третью стратегию, таккак в обоих случаях его проигрыш будет наименьшим и равняется двум.

392

Таблица 31.



Стратегия



Стратегия



B1 B2 B3 A1 A2 Am v′h v

′′h vсрh

1 A1 4 2 2 B2 2 5 2 2 5 7/22 A2 6 7 2 B3 4 5 7 1 7/2 9/43 A3 6 9 7 B1 8 7 7 2 8/3 7/34 A1 10 11 9 B3 10 7 12 9/4 3 21/85 A3 10 13 14 B1 14 9 12 2 14/5 12/56 A1 10 15 16 B1 18 11 12 7/3 9/3 8/37 A1 18 17 18 B2 20 16 14 17/7 20/7 37/148 A1 22 19 20 B2 22 21 16 19/8 11/4 41/169 A1 26 21 22 B2 24 26 18 7/3 26/9 47/1810 A2 28 26 22 B3 26 26 23 11/5 13/5 12/511 A1 32 28 24 B3 28 26 28 24/11 28/11 26/1112 A1 36 30 26 B3 30 26 33 13/6 33/12 59/2413 A3 36 32 31 B3 32 26 28 31/13 38/13 69/2614 A3 36 34 36 B2 34 31 40 17/7 20/7 37/1415 A3 36 36 41 B1 38 33 40 12/5 40/15 38/1516 A3 36 38 46 B1 42 35 40 9/4 21/8 39/1617 A1 40 40 48 B1 46 37 40 40/17 46/17 43/1718 A1 44 42 42 B2 48 42 42 7/3 8/3 5/219 A1 48 44 52 B2 50 47 44 44/19 50/19 47/1920 A1 52 46 54 B2 52 52 46 23/10 13/5 49/20

Условимся в случае равенства выигрышей (проигрышей) при несколь-ких стратегиях брать стратегию с меньшим индексом. Итак, игрок Bвыберет стратегию B2, при которой он проиграет либо 2, либо 5, либо 2в зависимости от выбора игроком А своей чистой стратегии (смотри таб-лицу 30). Внесем эти значения в первую строку таблицы 31 и заполним

393

строку до конца:

v′

1 = 2/1 = 2, v′′

1 = 5/1 = 5, vср1 = (2 + 5)/2 = 7/2.

Переходим ко второй партии. Предполагая, что игрок B и во второйпартии может воспользоваться стратегией B2, игрок A выберет страте-гию A2, при которой его выигрыш является наибольшим и равняется5. При стратегии A2 игрок А может выиграть либо 2, либо 5, либо 0.Во вторую строку таблицы 31 записываем выигрыши игрока A в двухпартиях, т.е. 4 + 2 = 6, 2 + 5 = 7, 2 + 0 = 2. Игроку B в данной ситуациивыгоднее всего применить стратегию B3, соответствующую наименьше-му проигрышу, равному 2. Записываем во вторую строку его суммарныепроигрыши в двух первых партиях: 2 + 2 = 4, 5 + 0 = 5, 2 + 5 = 7. Впоследние три столбца записываем:

v′

2 = 2/2 = 1, v′′

2 = 7/2, vср2 = (1 + 7/2)/2 = 9/4.

В третьей партии игроку A выгоднее всего применить стратегию A3,а игроку B после этого лучше использовать стратегию B1 и т.д. После20 итераций подсчитываем, сколько раз игроки использовали каждую изсвоих чистых стратегий. Получаем m(A1) = 12, m(A2) = 2, m(A3) = 6,m(B1) = 6, m(B2) = 8, m(B3) = 6. После этого определяем вероятностиприменения игроками своих чистых стратегий:

p∗1 = 12/20 = 0, 6; p∗2 = 2/20 = 0, 1; p∗3 = 6/20 = 0, 3;

394

q∗1 = 6/20 = 0, 3; q∗2 = 8/20 = 0, 4; q∗3 = 6/20 = 0, 3.

Таким образом, приближенными оптимальными смешанными стратеги-ями игроков будут:

p∗ = (0, 6; 0, 1; 0, 3) , q∗ = (0, 3; 0, 4; 0, 3) ,

а приближенное значение цены игры

v ≈ vср20 =

(v′

20 + v′′

20

)/2 = 2, 45.

Для сравнения приведем точное решение игры:

p∗ = (19/35; 6/35; 10/35) = (0, 544; 0, 171; 0, 285) ,

q∗ = (9/35; 14/35; 12/35) = (0, 257; 0, 400; 0, 343)

цена игры v = 2, 514. I

Задача 10. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб.стоим.

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

395

Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой от-расли. Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.


1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200


0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078

396


1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645



1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253

а X∗i — это есть строка

16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

В результате получим вектор l

0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146


397

1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8

ДС 15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253


398

1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738


15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8


0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078


399

1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645

.I

400

Решенный вариант индивидуальной работы дляспециальности “Государственное управление и экономика”

Задача 1. Завод производит два вида продукции: велосипеды и мо-тоциклы. При этом цех по сборке велосипедов имеет мощность 100 ты-сяч штук в год, цех по сборке мотоциклов — 30 тысяч. Механическиецеха завода оснащены взаимозаменяемым оборудованием, и одна груп-па цехов может производить либо детали для 120 тысяч велосипедов,либо детали для 40 тысяч мотоциклов, либо любую комбинацию дета-лей, ограниченную этими данными. Другая группа механических цеховможет выпускать детали либо для 80 тысяч велосипедов, либо для 60тысяч мотоциклов, либо любую допустимую их комбинацию. В резуль-тате реализации каждой тысячи велосипедов завод получает прибыльв 2 тысячи денежных единиц, а каждой тысячи мотоциклов — 3 тыся-чи денежных единиц. Найти оптимальный план выпуска велосипедов имотоциклов.

J В математической записи задача имеет вид:f = 2x1 + 3x2 → max,x1 ≤ 100;x2 ≤ 30;1/120x1 + 1/40x2 ≤ 1;1/80x1 + 1/60x2 ≤ 1;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

401

Построим область допустимых решений системы линейных неравенств.В нашем случае такой областью будет многоугольник OABCD (рису-нок 1). Вектор c имеет координаты c1 = 2, c2 = 3 (поскольку векторc нам необходим лишь для выяснения направления, то, сообразуясь смасштабом чертежа, можно для большей наглядности построить векторλc, λ > 0, в данном случае построен вектор 5c).

О 80

2x

1x40

52

100 120

60°

40°30°24° C

D

A B

0y =

maxf

Рисунок 1. – Область допустимых решений системы линейных неравенств

Параллельным перемещением вспомогательной прямой f = 0, пер-пендикулярной к вектору 5c, находим точку C, в которой функция fдостигает наибольшего значения. Решая совместно уравнения гранич-ных прямых BC и CD: x1/120+x2/40 = 1 и x1/80+x2/60 = 1, находимкоординаты точки C: x∗1 = 48, x∗2 = 24 при этом fmax = 168.

Итак, выпускать следует 48 тысяч велосипедов и 24 тысячи мотоцик-лов; максимальная прибыль завода по этим видам продукции составит168 тысяч денежных единиц. I

402

Задачи со многими переменными. Задачу со многими переменнымиможно решить графически, если в ее канонической записи присутствуетне более двух свободных переменных, т.е. n− r ≤ 2, где n — число пере-менных, r — ранг матрицы системы ограничительных уравнений задачи.Чтобы решить такую задачу, систему ограничительных уравнений на-до преобразовать к разрешенному виду, т.е. выделить некоторый базиспеременных. Затем базисные переменные следует опустить и перейтик эквивалентной системе неравенств. Целевая функция также должнабыть выражена только через свободные переменные. Полученную двух-мерную задачу решают обычным графическим методом. Найдя две ко-ординаты оптимального решения, подставляют их в ограничительныеуравнения исходной задачи и определяют остальные координаты опти-мального решения.

Решая графически полученную двухмерную задачу, следует помнить,что на каждой граничной прямой соответствующее неравенство обраща-ется в равенство, поэтому опущенная при образовании этого неравенствабазисная переменная равна нулю. В связи с этим, в каждой из вершинобласти допустимых решений, по крайней мере две переменные исход-ной задачи принимают нулевые значения.

Задача 2. Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и куку-рузы на участках различного плодородия площадью 100 и 200 гектаров.Данные об урожайности приведены в таблице 1. По плану должно быть

403

собрано не менее 1500 центнеров пшеницы и 4500 кукурузы. Цена 1 цент-нера пшеницы 6 денежных единиц, кукурузы — 4 денежные единицы.Критерий оптимальности — максимум валовой продукции в денежномвыражении.

Таблица 1.

КультураУрожайность (ц/га)

участкаУчасток I Участок II

Пшеница 20 15Кукуруза 35 30

J Обозначим через x1 площадь, отводимую под посев пшеницы напервом участке, через x2 — на втором, через x3 и x4 — площади, отводи-мые под посев кукурузы соответственно на первом и втором участках.

Площади выражаются неотрицательными числами, т.е.

xj ≥ 0 (j = 1, 4). (1)

Так как на первом участке планируется x1 гектаров засеять пшеницейи x3 гектаров — кукурузой, то должно выполняться равенство

x1 + x3 = 100. (2)

404

Для второго участка аналогичное условие запишется так:

x2 + x4 = 200. (3)

С первого участка предполагается собрать 20x1, а со второго участ-ка — 15x2 центнеров пшеницы. Всего же необходимо собрать не менее1500 центнеров. Это требование можно выразить записью

20x1 + 15x2 ≥ 1500. (4)

Аналогичное требование к сбору кукурузы приводит к неравенству

35x3 + 30x4 ≥ 4500. (5)

Стоимость пшеницы, которую предполагается собрать с обоих участ-ков, составит 6(20x1 + 15x2) денежных единиц, а общая стоимость вало-вой продукции выразится суммой

f = 120x1 + 90x2 + 140x3 + 120x4. (6)

Таким образом, задача свелась к нахождению решения (x∗1, x∗2, x∗3, x∗4)

системы линейных уравнений и неравенств (1)–(5), максимизирующеголинейную функцию (6).

Составим модель задачи в канонической форме:

f = 120x1 + 90x2 + 140x3 + 120x4 + 0x5 + 0x6 → max,

405

x1 + x2 = 100;x2 + x4 = 200;20x1 + 15x2 − x5 = 1500;35x3 + 30x4 − x6 = 4500;xj ≥ 0 (j = 1, 6).

Теперь в системе ограничительных уравнений выделим какой-либобазис и убедимся, что число свободных переменных не превышает двух.Затем перейдем к эквивалентной системе неравенств. Запишем задачу впреобразованном виде:

f = 38000− 20x1 − 30x2 → max,x3 = 100− x1;x4 = 200− x2;x5 = −1500 + 20x1 + 15x2;x6 = 5000− 35x1 − 30x2.

(7)

Опуская неотрицательные базисные переменные x3, x4, x5 и x6, при-ходим к двухмерной задаче, записанной в симметричной форме:

f = −20x1 − 30x2 + 38000→ max,x1 ≤ 100;x2 ≤ 200;20x1 + 15x2 ≥ 1500;35x1 + 30x2 ≤ 5000;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

(8)

406

Решение задачи (8) приведено на рисунке 2. Напомним, что на каж-дой граничной прямой одна из переменных исходной задачи обращаетсяв нуль. Так, неравенству 20x1 + 15x2 ≥ 1500 соответствует граничнаяпрямая AB с уравнением 20x1 + 15x2 = 1500. Но указанное неравен-ство образовано из третьего уравнения системы (7) путем отбрасыванияпеременной x5, следовательно, на прямой AB x5 = 0.

О

2x

1x

C

A

B

E

D

maxf

20x =

0,5E

50x =

30x =

10x =

*

**

Рисунок 2. – Наибольшее значение функции f

Из рисунка 2 видно, что наибольшего значения функция f достигает вточке A пересечения прямых AB и AE (x2 = 0), поэтому x∗1 = 75, x∗2 = 0.Одновременно в этой вершине x∗5 = 0. Значения других компонентовоптимального плана находим из уравнений (7): x∗3 = 100 − 75 = 25,x∗4 = 200, x∗6 = 2375; при этом fmax = 36 500.

Итак, пшеницу следует посеять только на первом участке и занятьею площадь в 75 гектаров; кукурузу надо посеять на обоих участках,причем на первом — 25 гектаров, а на втором — 200 гектаров. Тогда

407

валовая продукция достигнет (в денежном выражении) максимума исоставит 36500 денежных единиц.

Заметим в заключение, что дополнительные переменные x5 и x6, ко-торые в канонической записи задачи соответственно равны:

x5 = (20x1 + 15x2)− 1500, x6 = (35x3 + 30x4)− 4500,

имеют определенный экономический смысл: это превышение сбора пше-ницы и кукурузы над плановым заданием. При найденном оптимальномсочетании посевов задание по сбору пшеницы будет выполнено (x∗5 = 0),а по кукурузе перевыполнено на 2375 центнеров (x∗6 = 2375). I

Задача 3. Найти какой-либо опорный план задачи

f = 3x1 − x2 + 5→ max,x1 + x2 − x3 − x4 = −4;x1 − 2x2 − x3 − x5 = −7;2x1 − x2 + x4 + x5 = 7;xj ≥ 0 (j = 1, 5).

J Задача записана в канонической форме, но два свободных членаотрицательны, поэтому, перед тем как записать задачу в форме таблицы,умножим первое и второе уравнения на −1. В результате все свободныечлены в исходной симплексной таблице 2 положительны.

А теперь будем перебрасывать нули из левого столбца на верх табли-цы. Для первого шага жорданова исключения возьмем разрешающим,

408

Таблица 2.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x4 −x5

0 = 4 −1 −1 1 1 00 = 7 −1 2 1 0 10 = 7 2 −1 0 1 1f = 5 −3 1 0 0 0

Таблица 3.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3 −x5

x4 = 4 −1 −1 1 00 = 7 −1 2 1 10 = 3 3 0 −1 1f = 5 −1 1 0 0

например, четвертый столбец (в нем есть положительные элементы).Разрешающая строка определится по минимальному из отношений: 4/1и 7/1. В данном случае min(4/1; 7/1) = 4/1, что соответствует первойстроке, которая и будет разрешающей. Сделав еще два шага жордановых

409

исключений (таблицы 3 и 4), приходим к таблице 5, в левом столбце ко-торой уже нет нулей: базис выделен. Ему соответствует начальный опор-ный план: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 2, x5 = 5 или x0 = (0; 0; 2; 2; 5),f(x0) = 5.

Таблица 4.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2 −x3

x4 = 4 −1 −1 10 = 4 −4 2 2x5 = 3 3 0 −1

f = 5 −3 1 0

Таблица 5.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x4 = 2 1 −2

x3 = 2 −2 1x5 = 5 1 1f = 5 −3 1

410

Мы нашли опорный план в базисе x3, x4, x5. Если таблицу 2 преоб-разовывать с другими разрешающими элементами, то получится другойбазис, а, следовательно, и другой опорный план. I

Задача 4. Найти оптимальный опорный план задачи 3.

J Найденный нами в таблице 5 опорный план неоптимален, так какв f -строке присутствует отрицательный элемент (−3). В соответствую-щем ему столбце имеются положительные элементы, поэтому есть воз-можность улучшить план. Для получения нового опорного плана преоб-разуем таблицу 5 шагом жорданова исключения с первым разрешающимстолбцом. Разрешающей будет первая строка, ибо min(2/1; 5/1) = 2/1соответствует именно ей. В результате получаем таблицу 6, содержащуюновый опорный план x1 = (2; 0; 6; 0; 3), которому отвечает большее, чемпрежнему, значение целевой функции: f(x1) = 11. Однако и этот планнеоптимален, так как в f -строке присутствует отрицательный элемент(−5). Сделав еще один шаг со вторым разрешающим столбцом, получимтаблицу 7, в f -строке которой нет отрицательных элементов. Признакоптимальности выполнен. Значит, содержащийся в таблице 5 опорныйплан является оптимальным. Итак, x∗ = (4; 1; 9; 0; 0), fmax = 16. Задачарешена.

Полезно сопоставить приведенное аналитическое решение задачи сграфическим (рисунок 3). Такое сопоставление позволяет наглядно про-

411

Таблица 6.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x4 −x2

x1 = 2 1 −2

x3 = 6 2 −3

x5 = 3 −1 3f = 11 3 −5

Таблица 7.

HHHHH

HHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x5

x1 = 4

x3 = 9x2 = 1f = 16 4/3 5/3

следить за поиском оптимального опорного плана и проникнуть в гео-метрическую суть симплекс-процесса.

На рисунке 3 начальному опорному плану x0 = (0; 0; 2; 2; 5) отвеча-ет точка x0 пересечения прямых x1 = 0 и x2 = 0. Шагу жорданова

412

О

50x =

2x

1x

C

maxf

0f =

30x =

1x

0x

20x =

*

2x x=

40x =

1 22 2x x- =

1 22 2x x- - =

10x =

1 25x x- =

Рисунок 3. – Графическое решение задачи

исключения, преобразующему таблицу 5 в таблицу 6 и приводящему кновому опорному плану x1 = (2; 0; 6; 0; 3), соответствует переход в но-вую вершину x1 области допустимых решений. При этом мы остаемся напрямой x2 = 0, но вместо прямой x1 = 0 попадаем на прямую x4 = 0. Врезультате следующего шага жорданова исключения получили опорныйплан x2 = (4; 1; 9; 0; 0), который оказался оптимальным (в f -строке нетотрицательных элементов). Этот же вывод следует и из рисунка 3: пря-мая fmax параллельная прямой f = 0, пересекает допустимую областьв точке x2 = x∗, в которой f достигает максимума. Процесс улучшенияплана, приведенный в таблицах 5, 6, 7, графически означает движениеиз одной вершины многоугольника решений в другую по направлениюк оптимальной вершине x∗ : x0 → x1 → x∗. I

Задача 5. Полосы листового проката длиной 200 см необходимо раз-резать на заготовки трех типов: А, Б и В длиной соответственно 57, 82

413

и 101 см для производства 50 изделий. На каждое изделие требуется по4 заготовки типов А и Б и 5 заготовок типа В. Известны пять способовраскроя одной полосы. Количество заготовок, нарезаемых из одной по-лосы при каждом способе раскроя, приведено в таблице 8. Определить,какое количество полос проката нужно разрезать каждым способом дляизготовления 50 изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими.

Таблица 8.

Способраскроя

Количество заготовоктипа

Тип А Тип Б Тип ВI 3 − −II 2 1 −III 1 − 1

IV − 2 −V − 1 1

J Обозначим через xi количество полос, раскраиваемых j-м способом(j = 1, 5).

Для производства 50 изделий необходимо 4× 50 = 200 заготовок ти-па А, 200 — типа Б и 250 — типа В. Если использовать все способыраскроя, то общее количество заготовок типа А при условии, что I спо-собом раскроено x1 полос, II — x2 полос и т.д., можно выразить суммой

414

3x1 + 2x2 +x3 + 0x4 + 0x5. По условию эта сумма должна равняться 200:

3x1 + 2x2 + x3 = 200. (9)

Аналогично получаются условия по другим типам заготовок:

x2 + 2x4 + x5 = 200, (10)

x3 + x5 = 250. (11)

По смыслу задачиxj ≥ 0 (j = 1, 5). (12)

Чтобы составить целевую функцию, выражающую суммарную вели-чину отходов, подсчитаем сначала величины отходов при раскрое однойполосы по каждому из способов. Отходы от каждой полосы составят приI способе 200− 57× 3 = 29 см, при II способе 200− (57× 2 + 82) = 4 см,при III, IV и V – соответственно 42, 36 и 17 см.

Суммарную величину отходов можно выразить в виде

f = 29x1 + 4x2 + 42x3 + 36x4 + 17x5. (13)

Итак, задача заключается в нахождении решения (x∗1, x∗2, x∗3, x∗4, x∗5)

системы линейных уравнений и неравенств (9) – (13), доставляющегоминимум линейной функции (5).

f = 29x1 + 4x2 + 42x3 + 36x4 + 17x5 → min,

415

3x1 + 2x2 + x3 = 200,x2 + 2x4 + x5 = 200,x3 + x5 = 250,xj ≥ 0, (j = 1, 5).

Модель имеет каноническую форму, и все свободные члены положи-тельны, поэтому никаких предварительных преобразований не требует-ся. Записав задачу в симплекс-таблицу типа таблицы 4.1, находим на-чальный опорный план (таблица 9). Он неоптимален, так как в f -строкеимеются положительные элементы (напомним, что рассматривается за-дача минимизации!). Выберем разрешающим, например, второй стол-бец. Разрешающим элементом в нем будет 3/2, так как min(200 : 2, 75 :3/2) = 75 : 3/2. После шага жорданова исключения приходим к таб-лице 10, содержащей опорный план x∗1 = (0, 50, 100, 0, 150). Этот планоптимален, ибо в f -строке нет положительных элементов.

Но в f -строке присутствует нулевой элемент. Это свидетельствует отом, что существует еще один опорный оптимальный план. Найти егоможно, преобразовав шагом жорданова исключения таблицу 10 с разре-шающим столбцом, содержащим нулевой элемент f -строки. Разрешаю-щая строка определяется, как обычно, по минимальному симплексномуотношению. Второй опорный оптимальный план (таблица 11) имеет видx∗2 = (50, 0, 50, 0, 200). Но в таком случае любая выпуклая линейная ком-бинация опорных планов x∗1 и x∗2:

x∗ = λx∗1 + (1− λ)x∗2 = λ(0, 50, 100, 0, 150) + (1− λ)(50, 0, 50, 0, 200) =

416

= (50− 50λ, 50 + 50λ, 0, 200− 50λ),

где 0 ≤ λ ≤ 1, также будет представлять собой оптимальный план.

Таблица 9.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x2

x3 = 200 3 2

x4 = 75 3/2 3/2

x5 = 50 −3 −2

f 11950 100 100

Таблица 10.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. −x1 −x4

x3 = 100 1 −4/3

x2 = 50 1 2/3

x5 = 150 −1 4/3

f 6950 0 −200/3

Наличие не единственного оптимального плана с практической точкизрения очень удобно, так как имеется возможность выбрать параметр λ

417

Таблица 11.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −x2 −x4

x3 = 50

x1 = 50x5 = 200

f 6950 0 −200/3

с учетом других показателей, характеризующих план, но не нашедшихотражения в целевой функции. По смыслу нашей задачи компоненты оп-тимального плана должны выражаться целыми числами, и это следуетпомнить при выборе λ. I

Задача 6. Построить двойственную задачу к следующей задаче, за-данной в общей форме:

f = 2x1 − x2 + x3 + x4 − 5x5 → min,3x1 − 2x2 + x3 + x4 − x5 ≤ 8;x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − 2x5 = 6;x1 + x2 + x3 − x4 ≤ 5;2x1 − 5x2 + x4 + 3x5 ≥ 7;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x4 ≥ 0.

418

J Упорядочим запись исходной задачи. Так как требуется найти ми-нимум целевой функции, то неравенства в системе ограничений должныбыть вида ≥. Умножив первое и третье неравенства на (−1), приведемсистему ограничений к виду

−3x1 + 2x2 − x3 − x4 + x5 ≥ −8;x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − 2x5 = 6;−x1 − x2 − x3 + x4 ≥ −5;2x1 − 5x2 + x4 + 3x5 ≥ 7.

Двойственная задача будет иметь четыре переменные, так как прямаязадача содержит четыре ограничения.

В соответствии с указанными выше правилами запишем двойствен-ную задачу:

f = −8u1 + 6u2 − 5u3 + 7u4 → max,

−3u1 + u2 − u3 + 2u4 ≤ 2;2u1 + 3u2 − u3 − 5u4 ≤ −1;−u1 + u2 − u3 = 1;−u1 + 3u2 + u3 + u4 ≤ 1;u1 − 2u2 + 3u4 = −5;u1 ≥ 0, u3 ≥ 0, u4 ≥ 0.

Третье и пятое ограничения двойственной задачи записаны в видеравенства, так как на соответствующие им переменные x3, x5 в исходной

419

задаче не наложено условие неотрицательности. На переменные u1, u3 иu4 наложено условие неотрицательности в связи с тем, что в исходнойзадаче им соответствуют ограничения в виде неравенств.I

Задача 7. Найти двойственным симплекс-методом минимум функ-ции

f = 4x1 − 4x2

при ограничениях x3 = 2x1 − 2x2 + 8 ≥ 0,x4 = −x1 + 4x2 + 10 ≥ 0,x5 = 2x1 + 2x2 − 12 ≥ 0,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

J Занесем условие задачи в таблицу 12. Так как в f -строке имеет-ся отрицательный элемент (−4), второй столбец считаем выделенным.В этом столбце находим отрицательное число (−2) и содержащую егопервую строку считаем разрешающей. Вычисляем наименьшее двой-ственное отношение:

min(4/2,−4/− 2) = 2.

Из двух одинаковых отношений выберем второе. Оно определяет раз-решающий элемент (−2). Делаем один шаг обыкновенных жордановыхисключений и заносим результат в таблицу 13.

420

Таблица 12.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x2

x3 = 8 2 −2

x4 = 10 −1 4

x5 = −12 2 2

f = 0 4 −4

Таблица 13.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. x1 x3

x2 = 4 1 −1/2

x4 = 26 3 −2

x5 = −4 4 −1

f = −16 0 2

В f -строке таблицы 13 все элементы неотрицательные, однако в столб-це свободных членов есть отрицательное число (−4), следовательно,план, записанный в таблице, не является допустимым. Принимаем тре-тью строку за разрешающую. Так как в f -строке есть нуль, имеем слу-

421

чай вырождения. В столбце над нулем в разрешающей строке находитсяположительный элемент (4), следовательно, разрешающим будет пер-вый столбец.

С разрешающим элементом (4) делаем следующий шаг. Найденныйновый план (таблица 14) является оптимальным.

Таблица 14.

HHHH

HHHHБ.П.

С.П.С.Ч. x5 x3

x2 = 5

x4 = 29x1 = 1

f = −16 0 2

Значение f(x)min = 16, при x∗1 = 1, x∗2 = 5, x∗3 = x∗5 = 0, x∗4 = 29. I

Задача 8. В резерве железнодорожных станций А, Б и В находитсясоответственно 100, 150 и 50 порожних вагонов, пригодных для пере-возки зерна. Зерно находится в четырех пунктах, которым требуется75, 80, 60 и 85 вагонов соответственно. Стоимость перегона одного ва-гона со станции А в указанные пункты составляет 6, 7, 3 и 5 денежныхединиц, со станции Б — 1, 2, 5 и 6 денежных единиц, со станции В —

422

3, 10, 20 и 1 денежных единиц соответственно. Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой, можно найти опти-мальный план перегона вагонов со станций в пункты погрузки зерна.

J Составим начальный опорный план. Сопоставляя резерв вагоновв пункте A1 (100 единиц) с заявкой пункта B1 (75 единиц), заключаем,что эту заявку необходимо полностью выполнить за счет пункта A1, т.е.“поставка” для клетки (1;1) x11 = 75 и столбец B1 закрывается (таб-лица 15). Остающиеся 25 вагонов пункта A1 придется запланироватьпункту B2, т.е. “поставка” для клетки (1;2) x12 = 25 и первая строказакрывается. Следующую надо загружать клетку (2;2), поскольку заяв-ка пункта B2 удовлетворена лишь частично. Недостающие 55 вагоновпридется направить из пункта A2, так что x22 = 55 и второй столбец за-крывается. Рассуждая аналогично, загружаем клетку (2;3) “поставкой”x23 = 60 и т.д. Для большей наглядности в таблице 15 индексами при“поставках” указана последовательность заполнения клеток.

Таблица 15.

B1(75) B2(80) B3(60) B4(85)

A1(100) 75 6 25 7 3 5

A2(150) 1 55 2 60 5 35 6

A3(50) 3 10 20 50 1

423

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2 1;3 2;3 2;2 1;2® ® ® ®

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2;1 1;1 1;2 2;2 2;1® ® ® ®

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3;3 2;3 2;4 3;4 3;3® ® ® ®

-+ -

+-

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;4 2;4 2;2 1;2 1;4® ® ® ®

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3;2 2;2 2;4 3;4 3;2® ® ® ®

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3;1 1;1 1;2 2;2 2;4 3;4 3;1® ® ® ® ® ®

-

--+ -

+-

-

+ -

+--

+ -

+-

-

+ -

+

-

-

+

+ -

+-

Рисунок 4. – Графическое решение задачи

Исследуем на оптимальность опорный план, содержащийся в табли-це 15. Циклы и соответствующие им контуры для всех свободных клетоктаблицы 15 приведены на рисунке 4. Учитывая их, находим:

∆13 = c13 − c23 + c22 − c12 = 3− 5 + 2− 7 = −7;

∆14 = c14 − c24 + c22 − c12 = 5− 6 + 2− 7 = −6;

∆21 = 0; ∆31 = 7; ∆32 = 13; ∆33 = 20.

Поскольку оценки свободных клеток (1;3) и (1;4) отрицательны, опор-ный план, содержащийся в таблице 15, не является оптимальным. Дляулучшения плана следует загрузить клетку (1;3) как имеющую наиболь-шую по абсолютной величине отрицательную оценку. В таблице 15 для

424

клетки (1;3) построен контур, по которому определяется

λmin = minчетн.

xij = minчетн.

(60; 25) = 25.

Сдвигая по циклу λ = 25, находим новый опорный план (таблица 16).Исследуем полученный план на оптимальность. Находим оценки сво-

бодных клеток, среди которых отрицательной будет только одна:∆21 = −7.

Таблица 16.

75 6 7 25 3 5

1 80 2 35 5 35 6

3 10 20 50 1

Таблица 17.

40 6 7 60 3 5

35 1 80 2 5 35 6

3 10 20 50 1

Повторяя процедуру загрузки клетки (2;1), находим очередной опор-ный план (таблица 17), который все еще неоптимален (оценка∆14 = −6).

425

Таблица 18.

5 6 7 60 3 35 5

70 1 80 2 5 6

3 10 20 50 1

Заполняя клетку (1; 4) поставкой λ = 35, получаем новый опорныйплан (таблица 18), при котором оценки всех свободных клеток неотри-цательны:

∆12 = 0; ∆23 = 7; ∆24 = 6; ∆31 = 1; ∆32 = 7; ∆33 = 21.

Значит, этот опорный план является оптимальным. Ему соответству-ют минимальные транспортные расходы fmin = 665 денежных единиц.Итак, по оптимальному плану X∗1 со станции А следует направить 5 ва-гонов в первый пункт погрузки зерна, 60 вагонов в третий и 35 вагоновв четвертый; со станции Б в первый пункт необходимо направить 70 ва-гонов, а остальные 80 вагонов — во второй; со станции В все 50 вагоновпридется направить в четвертый пункт.

Среди оценок одна (∆12) оказалась равной нулю. Это свидетельствуето том, что задача имеет неединственный оптимальный план. Чтобы най-ти еще один оптимальный опорный план X∗2 , надо продолжить решениеи загрузить клетку (1;2) поставкой λ = 5 (см. таблицу 18). В результатеполучим таблицу 19 с оптимальным планом X∗2 . Все множество опти-

426

Таблица 19.

6 5 7 60 3 35 5

75 1 75 2 5 6

3 10 20 50 1

мальных планов задачи будет представлять собой выпуклую линейнуюкомбинацию планов X∗1 и X∗2 :

X∗ = λX∗1 + (1− λ)X∗2 =

5λ75− 5λ

0

5− 5λ75 + 5λ

0

6000

35050

,где 0 ≤ λ ≤ 1. I

Задача 9. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно положитьнабор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью не менее21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таблице 20.

J Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допус-каем возможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сна-чала наполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большой

427

Таблица 20.

, i 1 2 3 4 5Вес, pi (кг) 2 3 5 3 4


ценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следую-щим по цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).

В таблице 21 указана очередность такой укладки. Величина xi ука-зывает, какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следу-ющий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоих предметов9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это со-ставляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета — 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Берем самый ценный предмет 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добав-ляем следующий по ценности предмет 2. Суммарная стоимость обоих

428

Таблица 21.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



предметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21−16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6

8 = 0, 75 от стоимости следующего по ценности пред-мета — 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета 5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.

Поскольку на самом деле предмет 5 на части делить нельзя, раз-делим все возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором — предмет 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.

1) Не берем предмет 5.

429

Таблица 22.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



Действуем аналогично предыдущему случаю. Теперь после предме-тов 4 и 2 наибольшую ценность из доступных предметов имеет, на-пример, 3. После его добавления стоимость рюкзака (9 + 6 + 5 = 20).Недостающая 1 у.е. стоимости может быть восполнена за счет 0,5 пред-мета 1. Итак, получаем, что при отказе от предмета 5 вес рюкзакаценностью не менее 21 у.е. не может быть меньше, чем 12 кг (таблица 22).


Укладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета 2. Получаем, что в нашем случае (когда

430

Таблица 23.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



обязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таб-лица 23).

12

52) 1x =

9

9

51) 0x =


Посмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x5 = 1 (берем5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую оче-

431

редь его. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить начасти 2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 5).

3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы.

Таблица 24.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 1 79 1


3


После 5-го и 2-го предмета остается 7 единиц стоимости, которыезаполняем самым ценным предметом 4 (x4 = 7/9). Оценка данногомножества вариантов равна 28/3 (таблица 24).



432


Таблица 25.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4


xi 0 45 1 1


9

9 12

111

93

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =


433


6) Берем предметы 5, 2, не берем предмет 4.

Таблица 26.

, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, pi (кг) 2 3 5 3 4



Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг – точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 26).

У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множе-

434

стве 5 (x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже.

9

9 12

111

93

10* 14*

51) 0x =

52) 1x =

23) 1x = 24) 0x =

45) 1x =

46) 0x =



Задача 10. Матрица расстояний между пятью городами представле-на в таблице 27. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.

435

Таблица 27.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5 αi

1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2

J Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ(R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этогов дополнительный столбец (таблица 27) запишем константы приведенияai, i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представ-лена в таблице 28. В дополнительной строке этой матрицы записаныконстанты приведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам,получим полностью приведенную матрицу (таблица 29).


ϕ(R) = γ =5∑i=1

αi +5∑j=1

βj = 13 + 1 = 14.

436

Таблица 28.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞βj 0 1 0 0 0

Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров отно-сительно этой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элемента-ми, условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, эле-мент a14 = 0 на ∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна4 (минимальному элементу этой строки), а по 4-му столбцу — нулю(минимальному элементу этого столбца). Сумма констант приведенияγ(1,4) = α1 + β4 = 4 + 0 = 4 записана в скобках в клетке (1,4). Аналогич-но вычислены все остальные константы и записаны в соответствующиеклетки таблицы. Наибольшая из сумм констант приведения, равная 4,

437

соответствует дуге (1,4). Следовательно, множество R разбивается наподмножества (1, 4) и (1, 4). Таким образом, мы приступим к обра-зованию дерева (рисунок 8).

( )2,1( )1,4 ( )4,3

14j =

( )

( )

3,5 ,

5,2

( )4,3( )1,4

R

( )2,1

( )2,5

( )2,5( )

( )

3,2 ,

5,1

15j = 17j = 18j = 18j =

18j =18j =18j =18j = 19j =

j = ¥


Исключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществ-ляется реальной заменой в матрице из таблицы 29 элемента a14 = 0 на∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение мат-рицы путем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца – 0. В результате приведения матрица расстояний для подмно-жества (1, 4) примет вид, показанный в таблице 30, а нижняя граница

438

Таблица 29.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞βj 0 1 0 0 0

длин гамильтоновых контуров этого подмножества

ϕ(1,4) = ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 4 = 18.

Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элемен-тов 1-й строки и 4-го столбца таблицы 29. Кроме того, элемент a14 = 0заменяем на∞, чтобы не допустить образования негамильтонова конту-ра (1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 31. Эта матрицадопускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й стро-ке. Константы приведения записаны в столбце αi, и строке βj. Суммаконстант приведения сокращенной матрицы, полученной в результате

439

Таблица 30.

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞

Таблица 31.

@@@@

ij 1 2 3 5 αi

2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0βj 0 0 0 0

включения дуги (1,4) в искомый контур, составит:

γ(1,4) =∑i

αi +∑j

βj = 1 + 0 = 1.

440


ϕ(R) + γ(1,4) = 14 + 1 = 15.


Таблица 32.

@@@@

ij 1 2 3 5

2 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞

Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы ниж-нюю границу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 32). Максимальная сумма константприведения γ(4,3) = α4 + β3 = 4 + 0 = 4 соответствует дуге (4, 3). Следо-вательно, подмножество гамильтоновых контуров (1, 4), в свою оче-редь, разбиваем на два подмножества: (1,4),(4,3) и (1,4),(4, 3). После

441

замены элемента a43 = 0 на ∞ (таблица 32) и приведения матрица при-нимает вид таблицы 33. Нижняя граница длин гамильтоновых контуровподмножества (1,4),(4,3)

ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 4 = 19.

Таблица 33.

@@@@

i

j 1 2 3 5

2 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞

Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица 31),а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме того, исклю-чаем из контура дугу (3,1), чтобы не допустить образования негамильто-нова контура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 34) допускаетприведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения эта матрицаимеет вид таблица 35.

442


γ(4,3) =∑i

αi +∑j

βj = 2 + 0 = 2,


ϕ[(1,4),(4,3)] = ϕ(1,4) + γ(4,3) = 15 + 2 = 17.

Таблица 34.

@@@@

ij 1 2 5 αi

2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0βj 0 0 0

Так какϕ[(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ[(1,4),(4,3)] = 19,

дальнейшему ветвлению подлежит подмножество (1,4),(4,3). Все сум-мы констант приведения для клеток с нулями (таблица 35) равны, поэто-му выбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество(1,4),(4,3) на два новых подмножества (1,4),(4,3),(2, 1) и

443

Таблица 35.

@@@@

i

j 1 2 5

2 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞

(1,4),(4,3),(2,1). После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 36), для которой γ(2,1) = 1.

Таблица 36.

@@@@

ij 1 2 5

2 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞


ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.

444


ϕ[(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ[(1,4),(4,3)] + γ(2,1) = 17 + 1 = 18.

Таблица 37.

@@@@

ij 2 5

3 ∞ 05 1 ∞

Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (табли-ца 38), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 38 равна нулю. Следовательно, длина гамильтоноваконтура совпадает с нижней границей подмножества (1,4),(4,3),(2,1) иравна 18.

В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 8) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная с

445

Таблица 38.

@@@@

i

j 2 5

3 ∞ 05 0 ∞

города 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда го-родов коммивояжером µ = (1− 4− 3− 5− 2− 1).

Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так какимеются подмножества контуров (1,4),(4,3),(2, 1) и (1, 4), нижниеграницы которых также равны 18.

Продолжим ветвление подмножества (1,4),(4,3),(2, 1). Следуя алго-ритму, найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 36. Максимальная сумма, равная∞, приходится на две клетки:(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмно-жество (1,4),(4,3),(2, 1) на два подмножества (1,4),(4,3),(2, 1),(2, 5) и(1,4),(4,3),(2, 1),(2,5). Нижние границы подмножеств:

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 +∞ =∞;

446

ϕ[(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)] = 18 + 0 = 18.



Задача 11. Решить игру с платежной матрицей 2 1 03 0 11 2 4



α = maxi


imaxjaij = 2.


447


f = x1 + x2 + x3 → min;2x1 + 3x2 + x3 ≥ 1;x1 + 2x3 ≥ 1;x2 + 4x3 ≥ 1;xi ≥ 0, (i = 1, 3);

(14)

ϕ = y1 + y2 + y3 → max;2y1 + y2 ≤ 1;3y1 + y3 ≤ 1;y1 + 2y2 + 4y3 ≤ 1;yi ≥ 0, (j = 1, 3).

(15)


y∗ = (y∗1; y∗2; y∗3; y∗4; y∗5; y∗6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕmax = 2/3.


q∗1 = νy∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q∗2 = 1/2, q∗3 = 0.

448

Таблица 39.

HHHHHH

HHБ.П.

С.П.С.Ч. −y3 −y4 −y6

y2 = 1/3

y1 = 1/3y5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3

Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p∗ игрока A. Вве-дем дополнительные переменные x4, x5 и x6 в ограничения задачи (14).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x1, x2 и x3






Учитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 29 значения компонент оптимального вектора задачи (14):x∗1 = 1/3, x∗2 = 0, x∗3 = 1/3. Находим компоненты p∗i оптимальной сме-

449

шанной стратегии p∗ игрока A:

p∗1 = νx∗1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p∗2 = 0, p∗3 = 1/2.


p∗ = (1/2; 0; 1/2), q∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. I

Задача 12. Решить игру с платежной матрицей 3 812 19 6


J В данном случае α = 6, β = 8, т.е. α 6= β, а поэтому для опреде-ления оптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:

f = x1 + x2 + x3 → min,3x1 + 12x2 + 9x3 ≥ 1,8x1 + x2 + 6x3 ≥ 1,

(16)

xi ≥ 0 (i = 1, 3),

450

ϕ = y1 + y2 → max,3y1 + 8y2 ≤ 1,12y1 + y2 ≤ 1,9y1 + 6y2 ≤ 1,

(17)

yi ≥ 0 (j = 1, 2).

Поскольку задача (17) содержит две переменные, то, решая ее гра-фически (рисунок 9), находим: y∗1 = 1/27, y∗2 = 1/9, ϕmax = 4/27. Вы-числяем ν = 1/ϕmax = 27/4, q∗1 = νy∗1 = 1/4, q∗2 = 3/4.

О

2y

1y

0,1 cmax

A

1 9

0j =

max4 27j =

1 27


Для того чтобы определить оптимальную смешанную стра-тегию p∗ = (p∗1; p

∗2; p

∗3), найдем сначала решение двойственной задачи

(16). В оптимальном плане задачи (17) y∗1 > 0 и y∗2 > 0, поэтому оба

451

ограничения двойственной задачи (3) ее оптимальным планомx∗ = (x∗1;x

∗2;x∗3) обращаются в равенства. Кроме того, значениями y∗1 и

y∗2 второе ограничение задачи (17) обращается в строгое неравенство.Следовательно, в оптимальном плане задачи (16) соответствующая емувторая переменная равна нулю, т.е. x∗2 = 0. Учитывая сказанное, дляопределения x∗1 и x∗3 получаем уравнения 3x1 + 9x3 = 1 и 8x1 + 6x2 = 1,совместное решение которых дает x∗1 = 3/54, x∗3 = 5/54. Вычисляем:p∗1 = 3/8, p∗2 = 0, p∗3 = 5/8.


p∗ = (3/8; 0; 5/8); q∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. I

Задача 13. Комплекс операций представлен сетевым графиком (ри-сунок 10). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно про-должительность tij, и минимально возможное время dij выполнения опе-раций (дней). Продолжительность выполнения операций зависит линей-но от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением

t′ij = tij(1− kijxij), где k12 = 0, 01; k13 = 0, 02;

k23 = 0, 05; k24 = 0, 03; k35 = 0, 04; k45 = 0, 02.

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. опреде-лить время выполнения каждой операции сетевого графика таким обра-зом, чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным,а сумма вложенных средств B не превышала 12 единиц.

452

12;5

20;12

16;10

14;6

10;61 2 3

4

5

6;4

Рисунок 10. – График оптbмизации комплекса операций по времени

J Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишемцелевую функцию в виде:

tкр = T о56 → min .

Запишем ограничения задачи:– сумма вложенных средств не должна превышать наличного их ко-

личества:x12 + x13 + x23 + x24 + x35 + x45 ≤ 12;


T о12 − T н

12 ≥ 6; T о13 − T н

13 ≥ 12; T о23 − T н

23 ≥ 5;

T о24 − T н

24 ≥ 6; T о34 − T н

34 ≥ 0; T о35 − T н

35 = 10;

453

T о45 − T н

45 ≥ 4; T о56 − T н

56 ≥ 0;

– зависимость продолжительностей операций от вложенных средствв виде ограничений-равенств:

T о12 − T н

12 = 10(1− 0, 01x12); Tо13 − T н

13 = 20(1− 0, 02x13);

T о23 − T н

23 = 12(1− 0, 05x23); Tо24 − T н

24 = 14(1− 0, 03x24);

T о35 − T н

35 = 16(1− 0, 04x35); Tо45 − T н

45 = 6(1− 0, 02x45);


12 = T н13 = 0):

T н23 ≥ T о

12; Tн24 ≥ T о

12; Tн35 ≥ T о

13; Tн35 ≥ T о

23;

T н34 ≥ T о

13; Tн34 ≥ T о

23; Tн45 ≥ T о

24; Tн45 ≥ T о

34;

T н56 ≥ T о

35; Tн56 ≥ T о

45;

– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T>ij ≥ 0, xij ≥ 0,

для всех дуг сетевого графика.После решения данной задачи симплексным методом получаем сле-

дующие результаты:

tкр = 30, 425; T о12 = 10; T о

13 = 20; T н23 = 10; T о

23 = 20, 425;

T н24 = 10, 425; T о

24 = 24, 425; T н34 = 20, 425; T о

34 = 24, 425;

454

T н35 = 20, 425; T о

35 = 30, 425; T н45 = 24, 425; T о

45 = 30, 425;

T н56 = T о

56 = 30, 425; x12 = 0; x13 = 0; x23 = 2, 625; x24 = 0;

x35 = 9, 375; x45 = 0.

Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 30,425 дня,необходимо вложить в операцию (2,3) 2,625 единицы подвижных средстви в операцию (3,5) — 9,375 единицы, при этом время выполнения опера-ции (2,3) равно 10,425 дня и операции (3,5) — 10 дням. I

Задача 14. Сетевой график комплекса операций изображен на ри-сунке 11. Цифры, приписанные дугам графика, означают продолжитель-ности выполнения операций в нормальном и срочном режимах соответ-ственно.

1 2

3

4 5

10;6

14;6 4;3 5;3

12;520;12

Рисунок 11. – График комплекса операций

Прямые затраты на выполнение операций следующие:

c′′12 = 150; c′12 = 190; c′′13 = 111; c′13 = 175; c′′14 = 30; c′14 = 90;

455

c′′23 = 66; c′23 = 87; c′′24 = 72; c′24 = 112; c′′45 = 89; c′45 = 123.

Требуется сократить критический путь при минимальном возраста-нии стоимости выполнения комплекса операций.

J Предварительный шаг. Определяем коэффициенты дополнитель-ных затрат по формуле:

kij =c′ij − c′′ijt′′ij − t′ij

, k12 = 5; k13 = 8; k14 = 15; k23 = 3; k24 = 40; k45 = 17.

Находим, что при наибольшей продолжительности операций t′′ij кри-тический путь µкр = (1 − 2 − 3 − 4 − 5), tкр = 31, резервы временинекритических операций Rп

13 = 6, Rп14 = 16, Rп

24 = 8 и стоимость вы-полнения комплекса операций = 518. Результаты расчетов заносим втаблицу 40.

Первый шаг.1. Среди критических операций наименьший коэффициент дополни-

тельных затрат имеет операция (2,3): k23 = 3.2. Сокращаем время выполнения операции (2,3) на величину, равную

min(t′′23 − t′23;Rп13;R

п14;R

п24) = min(7; 6; 16; 8) = 6.

3. В результате сокращения операции (2,3) образовались два крити-ческих пути: µ′кр = (1 − 2 − 3 − 4 − 5) и µ′′кр = (1 − 3 − 4 − 5) с об-щими операциями (3,4) и (4,5). Продолжительность критического путиуменьшилась на 6 единиц: t(1)

кр = 25. Резервы времени некритических

456

операций составляют: Rп14 = 10, Rп

24 = 2, а критических — равны нулю.Стоимость выполнения комплекса операций C = 536 (данные занесеныв таблицу 40).

4. Так как критические операции выполняются за время, большее чемt′ij, то переходим ко второму шагу оптимизации.

Второй шаг.1. Критической операцией с наименьшим коэффициентом дополни-

тельных затрат является операция (2,3), для которой k23 = 3. Но этаоперация принадлежит только пути µ′, и уменьшение ее продолжитель-ности не дает желаемого результата. Поэтому на пути µ′′ находим опера-цию с наименьшим коэффициентом дополнительных затрат, которая вы-полняется параллельно операции (2,3). Такой операцией является един-ственная операция (1,3), для которой k13 = 8. Сумма коэффициентовдополнительных затрат k13 + k23 = 11, что меньше k34 = ∞ и k45 = 17,следовательно, сокращению подлежат операции (1,3) и (2,3).

2. Операции (1,3) и (2,3) сокращаем на 1 единицу, так как наименьшаяпродолжительность операции (1,3) равна 5 и дальнейшее сокращение ееневозможно.

3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в строкитаблицы 40. Значение продолжительности операции (2,3) t23 = t′23 = 5выделяем (шрифтом). Критические пути после сокращения операцийсохранились: µ′ = (1− 2− 3− 4− 5) и µ′′ = (1− 3− 4− 5).

457

4. Учитывая, что не все критические операции выполняются в сроч-ном режиме, переходим к выполнению третьего шага.

Третий шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший коэффициент

дополнительных затрат имеет операция (1,2), принадлежащая пути µ′,для которой k12 = 5. Из пути µ′′ выбираем операцию (1,3), котораявыполняется параллельно операции (1,2). Сумма k12 + k23 = 13, чтоменьше k34 = ∞ и k45 = 17. Следовательно, сокращению подлежатоперации (1,2) и (1,3).

2. Сокращаем продолжительности операций (1,2) и (1,3) на 7 единиц,так как min(t′′12− t′12; t

′′13− t′13) = min(14− 6; 19− 12) = 7 и эта величина

меньше полного резерва некритической операции (1,4). Заносим продол-жительности операций в строку третьего шага оптимизации. Дальней-шее сокращение продолжительности критической операции (1,3) невоз-можно, поэтому значение t13 = 12 выделяем жирным шрифтом в табли-це 40.

3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим в соответ-ствующие строки таблицы 40. Критические пути остались прежними:µ′ = (1− 2− 3− 4− 5) и µ′′ = (1− 3− 4− 5).

4. Переходим к четвертому шагу оптимизации.Четвертый шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший коэффициент

дополнительных затрат имеет операция (1,2). Однако сокращать ее не

458

Таблица 40.

Параметры Операции (i, j)

Про

долж

ител

ьнос

тькр

итич

еско

гопу

ти,t

кр

Сто

имос

ть,C(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)

t′′ij 14 20 10 12 4 0 5

t′ij 6 12 6 5 3 0 3

kij 5 8 15 3 40 ∞ 17

tij

Шаг

опти

миз

ации Предв. 14 20 10 12 4 0 5 31 518

1 14 20 10 6 4 0 5 25 5362 14 19 10 5 4 0 5 24 5473 7 12 10 5 4 0 5 17 6384 7 12 10 5 4 0 3 15 672

Rпij

Шаг

опти

миз

ации Предв. 0 6 16 0 8 0 0

1 0 0 10 0 2 0 02 0 0 9 0 1 0 03 0 0 2 0 1 0 04 0 0 2 0 1 0 0

Сокращениевремени, ∆t

7 8 0 7 0 0 2

Приращениестоимости, ∆C

35 64 0 21 0 0 34

имеет смысла, потому что уменьшение ее продолжительности не повли-яет на длину критического пути, а лишь увеличит стоимость выпол-

459

нения комплекса операций. Поэтому сокращению подлежит операция(4,5), для которой k45 = 17.

2. Операцию (4,5), принадлежащую обоим критическим путям, со-кращаем на 2 единицы времени.

3. Рассчитываем параметры сети и заносим их в таблицу. Дальнейшеесокращение операции (4,5) невозможно, поэтому значение t45 = t′45 = 3выделяем жирным шрифтом в таблице 40.

4. Все продолжительности операций критического пути (1–3–4–5)уменьшены до минимальных. Следовательно, выполнение алгоритма за-кончено. I

Задача 15. Для выполнения комплекса операций по ремонту техно-логического оборудования химического предприятия, представленногоследующим сетевым графиком (рисунок 12).

1

2

3 4

3;4 4;4

5;5 4;1

2;3

7;2


в первые три дня выделено 7 единиц ресурсов, в четвертый и пятыйдень – 6 единиц, а в последующее время – 8 единиц. Каждой дуге гра-

460

фика приписаны два числа: первое – временная оценка в днях; второе –интенсивность выполнения операции.

J Необходимо определить сроки выполнения операций таким обра-зом, чтобы завершить весь комплекс за минимальное время. Операциине допускают перерыва в выполнении.

Предварительный шаг.Составляем линейную диаграмму комплекса операций (рисунок 13 а).

Построим эпюру потребления ресурса без учета его ограниченности (ри-сунок 13 б ). Из эпюры видно, что в первые три дня потребность в ресур-сах превышает наличное количество на 4 единицы, в четвертый и пятыйдень – на 8 единиц, а в последующее время ресурсы имеются в избытке.

Покажем как на диаграмме найти критический путь. Операция (3,4)заканчивается позже всех, спустя 9 дней от начала выполнения комплек-са. Следовательно, она критическая и tкр = 9. Операция (3,4) начинаетвыполняться в момент времени t3 = 5. Находим операции с третьим ко-нечным событием, которые заканчиваются в это же время. Таких опера-ции две: (1,3) и (2,3). Следовательно, они также критические. Операции(2,3) непосредственно предшествует критическая операция (1,2). Та-ким образом, µ1

кр = (1− 2− 3− 4) и µ2кр = (1− 3− 4).

Первый шаг.1. Проецируем на ось времени начала и концы операций комплекса.

Определяем, что τ0 = 0 и τ1 = 3.

461

О t

Оп

ерац

ии

0t 1

t2 4 6 8 10

2

2

22

111

1

4

4

4

4

4

3

33

3

5

a

О t

Оп

ерац

ии

2 4 6 8 10 121

t 2t

3

2

22

111

4

1

4

4

3

33

5

в

О t

Оп

ерац

ии

4t 5

t

2 4 6 8 10

2

2

22

11

1

1

4

4

4

4

4

3

33

3

5

д

12 146

t

О t

Оп

ерац

ии

3t 4

t

2 4 6 8 10

2

2

22

11

1

1

4

4

4

4

4

3

33

3

5

г

12 14

О t2 4 6 8 10

2

4

12 14

6

8

10

12

R

Оt2 4 6 8 10

2

4

12 14

6

8

10

R

е

б


462

2. Над промежутком (τ0, τ1) расположены операции (1,2), (1,3) и (1,4).Полные резервы операций (1,2) и (1,3) равны нулю (Rп

12 = 0 иRп

13 = 0), а Rп14 = 2, так как разность между ожидаемым сроком свер-

шения события (4) t4 = 9 и сроком окончания операции (1,4) равна двумдням. Операции (1,2) и (1,3) имеют одинаковые полные резервы, но таккак r13 = 5 > r12 = 4, то операции (1,3) присваиваем номер 1, операции(1,2) – номер 2 и операции (1,4) с наибольшим полным резервом — номер3.

Так как интенсивность r13 = 5 < R = 7, то операцию (1,3) оставляемв первоначальном положении. Сумма интенсивностей операций (1,3) и(1,2) r13 + r12 = 5 + 4 = 9 > R = 7. Следовательно, операцию (1,2)сдвигаем вправо на величину промежутка (τ0, τ1). Сдвиг операции (1,2)влечет за собой сдвиг операций (2,3), (2,4) и (3,4). Результаты сдвигаотражены на новой линейной диаграмме (рисунок 13 в). Операцию (1,4)оставляем в первоначальном положении, так как r13 + r14 = 7 = R.

Второй шаг.1. Начало нового промежутка совпадает с τ1 = 3, а конец τ2 = 5 — с

моментом окончания операции (1,3).2. Операции (1,3) и (1,4) начинаются левее момента τ1 поэтому нуме-

руем их в первую очередь согласно возрастанию разностей

Rп13 − l13 = 3− 5 = −2 и Rп

14 − l14 = 5− 5 = 0.

463

Таким образом, операция (7,3) имеет номер 1, операция (1,4) – номер2 и операция (1,2) – номер 3.

3. На промежутке (τ1, τ2) R = 6, поэтому, суммируя интенсивностиопераций и сравнивая с R, получаем, что сдвигу подлежат операции(7,2) и (7,4). В результате сдвига получаем новую линейную диаграмму(рисунок 13 г). Время выполнения операции по сравнению с исходнымвариантом увеличилось на 5 дней: τ4 = 14.

4. Решение не закончено, переходим к третьему шагу.Третий шаг.1. Новый промежуток (τ2, τ3). Момент τ3 = 8.2. Критическая операция (1,2) получает номер 1, операция (1,4) с

Rп14 = 2 – номер 2.3. Сумма r12 + r14 = 6 < R = 8, следовательно, операции не сдвига-

ются.4. Так как не все операции просмотрены, то переходим к следующему

шагу.Четвертый шаг.1. На той же диаграмме (рисунок 13 г) выделяем новый промежуток

(τ3, τ4).2. Операция (1,4), начатая левее момента τ3, получает номер 1, кри-

тическая операция (2,3) – номер 2 и операция (2,4) – номер 3, так какRп

24 = 2.

464

3. Сдвигу подлежит операция (2,4), начало которой устанавливаем вмомент τ4 (рисунок 13 д ).

4. Переходим к выполнению пятого шага.Пятый шаг.1. Проекции нового промежутка приходятся на моменты τ4 = 10 и

τ5 = 12.2. Операция (1,4) имеет номер 1, (2,4) – номер 2, (3,4) – номер 3.3. Сумма интенсивностей операций r14 + r24 + r34 = 7 < R = 8, сле-

довательно, оставляем их в первоначальном положении. Выполнив ещеодин шаг алгоритма, убедимся, что на оставшемся промежутке (τ5, τ6)достаточно ресурса для выполнения расположенных над ним операций.

Таким образом, линейная диаграмма (рисунок 13 д ) является реше-нием задачи, время окончания комплекса операции равно 14. Из эпю-ры потребления ресурса (рисунок 13 е) видно, что на всем протяжениивыполнения комплекса операций количество используемых ресурсов непревосходит имеющихся в распоряжении.

Задача 16. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой от-расли. Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.

465

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб.стоим.

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430


1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200


466

0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078


1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645



1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253

а X∗i — это есть строка

16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430

В результате получим вектор l

467

0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146


1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8

ДС 15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253

468


1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738


15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8


0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078

469


1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645

.I

470

Индивидуальные работы для специальности “Бизнесадминистрирование”

Вариант 1

1. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомори

f = x1 + 2x2 + 3x3 → max6x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25;5x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 15;xj ≥ 0 j = 1, 3 и целые.

2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границ

f = x1 + 2x2 + x3 → minx1 + x2 + 2x3 ≥ 3;2x1 + x2 ≥ 1;2x2 + 3x3 ≥ 4;xj ≥ 0 j = 1, 3 и целые.

3. Решить следующую задачу о рюкзаке:

, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 2 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 1 7 6 2 4 2

471

Ценность не менее 15.4. Решить следующую задачу коммивояжера:

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 8 4 32 6 ∞ 5 1 33 5 2 ∞ 2 54 1 1 2 ∞ 35 3 6 4 2 ∞

5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методом

ft = (2 + 2t)x1 + (4− 2t)x2 → max, t ∈ [1; 15]x1 + x2 ≤ 6;x2 ≤ 4;2x1 + x2 ≤ 10;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методом

472

ft = (3 + 2t)x1 + (4 + t)x2 + (1− t)x3 → max, t ∈ [1; 5] ;2x1 + x2 ≤ 500;x2 + x3 ≤ 55;x2 ≤ 200;xj ≥ 0, j = 1, 3.

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, све-дя их к парам двойственных задач линейного программирования: 1 4 6

7 2 05 3 2

.8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицы

и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:

−3 2 36 −5 23 0 52 −1 4

.9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр: 1 4 6

7 2 05 3 2

.

473

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1500 1680 1290 1150 1320 1780 1660 1000 1500 2300 168902 1710 1540 1750 1030 1780 1180 1150 1230 1370 1130 2200 160703 1430 1650 1170 1380 1220 1560 1030 1730 1440 1340 2200 161504 1730 1350 1550 1190 1320 1270 1640 1050 1290 1250 2400 160405 1040 1340 1280 1680 1800 1390 1830 1170 1500 1040 2100 161706 1340 1650 1730 1000 1050 1120 1730 1550 1710 1130 2100 161107 1600 1500 1570 1790 1240 1330 1350 1500 1170 1790 2200 170408 1670 1450 1140 1330 1500 1040 1730 1030 1420 1330 2400 160409 1320 1260 1020 1440 1720 1560 1580 1080 1120 1610 2200 1591010 1130 1340 1420 1640 1290 1050 1040 1760 1200 1500 2400 15770

Доб.стоим.

1962 2089 2635 2067 1816 2235 1861 2232 2267 254216890 16070 16150 16040 16170 16110 17040 16040 15910 15770






е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производ-

ственных затрат в стоимостном выражении;

474

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;

к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.

475

Вариант 2


f = x1 − x2 → maxx1 − 2x2 + x3 = 1;x1 + 3x2 + x4 = 3;xj ≥ 0 j = 1, 4 и целые.


f = 4x1 + 3x2 → max8x1 + 2x2 ≤ 88;x1 ≤ 22;5x2 ≤ 90;xj ≥ 0, j = 1, 2 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2

Ценность не менее 14.

476

4. Решить следующую задачу коммивояжера:

@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 8 4 32 4 ∞ 5 2 33 5 2 ∞ 2 54 1 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞


ft = tx1 + (1 + t)x2 → max, t ∈ [1; 7] ;−3x1 + 4x2 ≤ 12;4x1 + x2 ≤ 8;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.


ft = (1 + t)x1 + (2− t)x2 + (2− 3t)x3 + (1− 2t)x4 → max, t ∈ [1; 20] ;x1 + 2x2 + x3 − x4 ≤ 5;x1 + 2x2 + x4 ≤ 7;x1 + x3 + 2x4 ≤ 3;xj ≥ 0, j = 1, 4.

477

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, све-дя их к парам двойственных задач линейного программирования:

3 5 0 31 3 3 66 3 3 −13 0 7 3

.

8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:

3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0

.

9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр: 3 5 0 31 3 3 66 3 3 −1

.

478


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1030 1300 1310 1230 1180 1200 1550 1250 1600 2300 156602 1390 1700 1180 1450 1170 1180 1760 1660 1600 1420 2500 170103 1040 1540 1370 1590 1640 1630 1440 1110 1540 1770 2100 167704 1490 1100 1010 1720 1480 1730 1140 1610 1500 1490 2100 163705 1680 1340 1660 1230 1030 1620 1730 1190 1360 1480 2500 168206 1030 1770 1110 1720 1240 1540 1260 1440 1160 1730 2400 164007 1060 1770 1470 1740 1010 1800 1190 1750 1390 1340 2100 166208 1370 1350 1680 1620 1660 1480 1710 1810 1360 1770 2400 182109 1180 1800 1480 1820 1400 1450 1010 1840 1640 1260 2500 1738010 1540 1730 1480 1520 1110 1240 1450 1080 1250 1650 2100 16150

Доб.стоим.

4422 3854 4696 4097 4050 4454 3806 4443 4299 370815660 17010 16770 16370 16820 16400 16620 18210 17380 16150








479



480

Вариант 3


f = x4 − x5 → minx1 + x4 − x5 = 1;x2 − 2x4 + x5 = 2;x3 + 3x4 + x5 = 3;xj ≥ 0, j = 1, 5 и целые.


f = 70x1 + 80x2 + 110x3 + 60x4 → maxx1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 30;x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 28;2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 ≤ 50;3x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 45;xj ≥ 0, j = 1, 4 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 3 4 5 6 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 2 8 6 2 4 1


481

4. Решить следующую задачу коммивояжера:@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 6 4 42 4 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 2 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞


ft = (2 + 2t)x1 + (4− 2t)x2 → max, t ∈ [1; 15];x1 + x2 ≤ 6;x2 ≤ 4;2x1 + x2 ≤ 10;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.


ft = (10 + 10t)x1 + (9 + t)x2 + (7− 2t)x3 → max, t ∈ [1; 10];x1 + x2 ≤ 5;2x1 + x3 ≤ 17;x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40;xj ≥ 0, j = 1, 3.

482


−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0

.


5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 2

.

9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:

−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0

.

483


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1780 1660 1670 1810 1450 1500 1660 1530 1180 1210 2400 178502 1660 1500 1350 1120 1350 1410 1560 1460 1130 1550 2100 161903 1660 1550 1500 1220 1450 1460 1710 1590 1230 1120 2400 168904 1640 1510 1190 1460 1170 1460 1520 1460 1320 1320 2400 164505 1170 1750 1430 1350 1410 1340 1730 1270 1360 1050 2500 163606 1020 1140 1600 1130 1410 1530 1790 1330 1760 1280 2100 160907 1820 1020 1130 1620 1530 1480 1330 1610 1050 1460 2100 161508 1620 1180 1700 1700 1780 1380 1710 1680 1370 1080 2100 173009 1110 1790 1620 1700 1010 1610 1570 1280 1720 1680 2500 1759010 1120 1730 1350 1060 1390 1410 1370 1270 1630 1760 2300 16390

Доб.стоим.

4079 4128 3779 3498 4314 4146 4192 3445 4117 398717850 16190 16890 16450 16360 16090 16150 17300 17590 16390








484



485

Вариант 4


f = 3x1 − 2x2 + 3x3 → minx1 + 3x2 − x3 ≥ 10;2x1 + 4x3 ≥ 14;2x2 + x3 ≥ 7;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


f = 2x1 + 3x2 + 4x3 → minx1 + 2x2 + x3 ≥ 20;2x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 50;x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 50;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 4 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 5 3

486


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 4 5 42 5 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 1 2 4 ∞ 45 3 6 4 2 ∞


ft = tx1 + (1 + t)x2 → max, t ∈ [1; 7];−3x1 + 4x2 ≤ 12;4x1 + x2 ≤ 8;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.


ft = (3 + 2t)x1 + (4 + t)x2 + (1− t)x3 → max, t ∈ [1; 5];2x1 + x2 ≤ 500;x2 + x3 ≤ 55;x2 ≤ 200;xj ≥ 0, j = 1, 3.

487


6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5

.


3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5

.

9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5

.

488


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб.стоим.

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430








489



490

Вариант 5


f = 2x1 + x2 + x3 → maxx1 + 2x2 + 2x3 = 16;x1 + x2 ≤ 7;3x1 + 2x3 ≥ 18;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


f = 20x1 + 25x2 + 30x3 + 15x4 → maxx1 + x2 + x3 + 2x4 ≥ 18;2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 ≤ 40;x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 60;xj ≥ 0, j = 1, 4 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 3 4 3 2 3 1

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2


491


i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 5 32 1 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 74 1 2 5 ∞ 45 3 6 3 1 ∞





492

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, све-дя их к парам двойственных задач линейного программирования: 2 0 0

0 3 −2−2 0 3



9 9 2 17 8 9 63 5 7 75 7 1 04 4 5 3

.

9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр: 2 0 00 3 −2−2 0 3

.

493


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 10790 10680 10590 10550 10500 10490 10700 10300 10730 10180 2100 1076102 10670 10800 10690 10040 10800 10220 10660 10660 10360 10610 2300 1078103 10350 10760 10500 10290 10810 10020 10100 10320 10480 10090 2400 1061204 10030 10770 10340 10000 10160 10080 10130 10690 10790 10650 2100 1057405 10180 10740 10570 10070 10140 10050 10480 10730 10050 10330 2300 1056406 10220 10500 10810 10380 10120 10470 10440 10460 10400 10210 2400 1064107 10180 10340 10780 10220 10250 10350 10720 10160 10810 10590 2400 1068008 10040 10180 10650 10290 10620 10170 10110 10180 10470 10530 2400 1056409 10450 10350 10460 10510 10580 10040 10020 10690 10130 10250 2500 10598010 10790 10510 10210 10590 10130 10210 10360 10100 10200 10690 2200 105990

Доб.стоим.

1866 2096 1723 1834 2074 2603 2235 1721 2397 1996107610 107810 106120 105740 105640 106410 106800 105640 105980 105990








494



495

Вариант 6


f = x1 + 2x2 + 3x3 → max6x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25;5x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 15;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


f = x1 + 2x2 + x3 → minx1 + x2 + 2x3 ≥ 3;2x1 + x2 ≥ 1;2x2 + 3x3 ≥ 4;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 2 2 3 7 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 5 3 4 2


496


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 3 4 32 5 ∞ 3 2 23 5 2 ∞ 1 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞




ft = (1 + t)x1 + (2− t)x2 + (2− 3t)x3 + (1− 2t)x4 → max, t ∈ [1; 20];x1 + 2x2 + x3 − x4 ≤ 5;x1 + 2x2 + x4 ≤ 7;x1 + x3 + 2x4 ≤ 3;xj ≥ 0, j = 1, 4.

497


1 0 −12 −1 00 1 3



1 0 8 62 2 7 55 3 1 15 5 2 0

.


1 4 67 2 05 3 2

.

498


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1600 1820 1340 1410 1590 1570 1170 1140 1670 1530 2300 171402 1350 1410 1590 1020 1000 1400 1410 1090 1140 1280 2000 146903 1370 1790 1240 1800 1660 1540 1020 1070 1460 1380 2300 166304 1610 1780 1270 1260 1170 1240 1610 1350 1210 1200 2400 161005 1080 1350 1830 1810 1540 1030 1700 1440 1170 1650 2500 171006 1290 1190 1840 1350 1300 1600 1490 1240 1150 1820 2500 167707 1440 1130 1340 1830 1810 1670 1050 1670 1160 1170 2000 162708 1660 1740 1000 1450 1680 1530 1410 1230 1140 1000 2100 159409 1430 1610 1150 1050 1670 1310 1780 1170 1520 1360 2200 1625010 1280 1170 1390 1020 1160 1040 1650 1420 1160 1680 2400 15370

Доб.стоим.

2139 1925 1949 2277 2498 2210 2485 1891 1874 187917140 14690 16630 16100 17100 16770 16270 15940 16250 15370








499



500

Вариант 7


f = x1 − x2 → maxx1 − 2x2 + x3 = 1;x1 + 3x2 + x4 = 3;xj ≥ 0, j = 1, 4 и целые.


f = 4x1 + 3x2 → max8x1 + 2x2 ≤ 88;x1 ≤ 22;5x2 ≤ 90;xj ≥ 0, j = 1, 2 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 4 4 5 2 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 2 6 6 2 4 3


501


i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 2 4 32 1 ∞ 3 2 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞




ft = (10 + 10t)x1 + (9 + t)x2 + (7− 2t)x3 → max, t ∈ [1; 10];x1 + x2 ≤ 5;2x1 + x3 ≤ 17;x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40;xj ≥ 0, j = 1, 3.

502


−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0



−3 2 3

6 −5 23 0 52 −1 4

.


3 5 0 31 3 3 66 3 3 −1

.

503


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1760 1410 1610 1700 1460 1370 1100 1220 1550 1750 2200 171302 1270 1150 1390 1260 1600 1580 1260 1750 1340 1770 2300 166703 1510 1240 1820 1210 1450 1670 1670 1730 1590 1200 2400 174904 1580 1470 1480 1480 1070 1660 1650 1150 1420 1670 2000 166305 1300 1290 1590 1370 1230 1450 1320 1510 1290 1070 2300 157206 1130 1280 1170 1020 1370 1540 1840 1520 1150 1310 2000 153307 1310 1800 1720 1720 1780 1430 1190 1460 1410 1470 2300 175908 1400 1550 1200 1790 1690 1570 1460 1620 1350 1800 2300 177309 1720 1840 1290 1290 1750 1330 1530 1630 1630 1310 2000 1732010 1650 1240 1350 1100 1230 1650 1520 1310 1610 1790 2100 16550

Доб.стоим.

2125 1773 1713 1359 1433 1278 1229 1475 1955 128317130 16670 17490 16630 15720 15330 17590 17730 17320 16550








504



505

Вариант 8


f = x4 − x5 → minx1 + x4 − x5 = 1;x2 − 2x4 + x5 = 2;x3 + 3x4 + x5 = 3;xj ≥ 0, j = 1, 5 и целые.


f = 70x1 + 80x2 + 110x3 + 60x4 → maxx1 + 2x2 + x3 + 2x4 ≤ 30;x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 28;2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 ≤ 50;3x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 45;xj ≥ 0, j = 1, 4 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2

506


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 2 4 32 1 ∞ 3 3 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 1 6 3 2 ∞





507


1 0 1 −10 1 3 2−1 2 −2 0



3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0

.


−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0

.

508


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 2560 2360 2730 2600 2600 2400 2350 2360 2540 2280 2900 276802 2380 2070 2290 2140 2680 2590 2580 2010 2310 2260 3300 266103 2600 2170 2010 2190 2180 2250 2390 2450 2530 2830 3700 273004 2040 2090 2050 2190 2330 2770 2620 2410 2660 2030 2900 260905 2690 2570 2230 2000 2210 2370 2300 2320 2610 2470 3100 268706 2480 2110 2200 2420 2370 2560 2820 2740 2750 2190 2900 275407 2520 2730 2500 2220 2520 2330 2710 2760 2260 2610 3900 290608 2420 2560 2790 2580 2780 2260 2330 2420 2510 2370 3100 281209 2300 2280 2630 2170 2680 2350 2340 2660 2140 2370 2800 2672010 2100 2320 2320 2110 2130 2580 2810 2230 2640 2030 2900 26170

Доб.стоим.

2194 1999 1799 2357 2179 2471 2530 1892 1940 245827680 26610 27300 26090 26870 27540 29060 28120 26720 26170








509



510

Вариант 9


f = 3x1 − 2x2 + 3x3 → minx1 + 3x2 − x3 ≥ 10;2x1 + 4x3 ≥ 14;2x2 + x3 ≥ 7;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


f = 2x1 + 3x2 + 4x3 → minx1 + 2x2 + x3 ≥ 20;2x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 50;x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 50;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 4 4 5 4 3 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 7 2 3 6 2 4 2


511


i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 3 42 1 ∞ 2 3 13 4 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 3 2 ∞





512


4 1 00 1 40 3 0



5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 2

.9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:

6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5

.

513


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1730 1700 1360 1290 1510 1710 1260 1250 1610 1400 2000 168202 1220 1310 1660 1450 1180 1640 1420 1460 1540 1000 2100 159803 1200 1190 1330 1640 1770 1720 1580 1240 1400 1110 2500 166804 1700 1470 1410 1060 1490 1660 1660 1600 1160 1120 2400 167305 1310 1030 1550 1550 1410 1110 1000 1330 1200 1820 2100 154106 1380 1070 1390 1740 1310 1440 1490 1430 1770 1700 2300 170207 1360 1220 1420 1210 1120 1300 1130 1330 1620 1650 2300 156608 1410 1690 1080 1840 1760 1450 1800 1440 1630 1220 2400 177209 1520 1520 1380 1050 1710 1170 1440 1350 1390 1270 2000 1580010 1720 1670 1740 1180 1030 1680 1380 1060 1290 1470 2300 16520

Доб.стоим.

2500 2930 2607 2831 2210 2998 2370 2285 2011 286316820 15980 16680 16730 15410 17020 15660 17720 15800 16520








514



515

Вариант 10


f = 2x1 + x2 + x3 → maxx1 + 2x2 + 2x3 = 16;x1 + x2 ≤ 7;3x1 + 2x3 ≥ 18;xj ≥ 0, j = 1, 3 и целые.


f = 20x1 + 25x2 + 30x3 + 15x4 → maxx1 + x2 + x3 + 2x4 ≥ 18;2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 ≤ 40;x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 60;xj ≥ 0, j = 1, 4 и целые.


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 3 5 3 2

Стоимость, ci (у.е.) 3 2 6 6 2 5 2

516


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 3 42 2 ∞ 1 2 13 4 2 ∞ 2 64 4 2 3 ∞ 45 1 5 3 2 ∞



6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомft = (1 + t)x1 + (2− t)x2 + (2− 3t)x3 + (1− 2t)x4 → max, t ∈ [1; 20];

x1 + 2x2 + x3 − x4 ≤ 5;x1 + 2x2 + x4 ≤ 7;x1 + x3 + 2x4 ≤ 3;xj ≥ 0, j = 1, 4.

517


1 4 67 2 05 3 2



3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5

.


2 0 00 3 −2−2 0 3

.

518


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1220 1650 1190 1340 1060 1760 1570 1170 1360 1450 2000 157702 1700 1770 1150 1810 1510 1370 1390 1760 1470 1330 2500 177603 1480 1700 1220 1340 1240 1700 1630 1640 1200 1550 2400 171004 1610 1340 1690 1310 1540 1470 1120 1290 1300 1130 2500 163005 1100 1080 1560 1480 1150 1440 1210 1710 1310 1180 2000 152206 1500 1430 1560 1240 1590 1310 1330 1580 1140 1710 2300 166907 1060 1290 1550 1750 1220 1530 1530 1170 1340 1000 2300 157408 1220 1550 1500 1100 1470 1790 1030 1670 1670 1420 2300 167209 1100 1830 1020 1120 1510 1020 1260 1120 1270 1150 2400 1480010 1500 1520 1210 1590 1370 1830 1020 1090 1690 1490 2300 16610

Доб.стоим.

2265 2396 2240 2641 2290 2715 2585 2337 2662 209715770 17760 17100 16300 15220 16690 15740 16720 14800 16610








519



520

Индивидуальные работы для специальности “Государственноеуправление и экономика”

Вариант 1

1. Решить графическим методом следующую задачу линейного про-граммирования

f(x) = 14x1 + x2 → min,x1 + 2x2 ≥ 5;5x1 + x2 ≥ 9;

3x1 + 2x2 ≥ 11;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Предприятие производит продукцию двух видов: P1 и P2. Объемсбыта продукции P1 составляет не менее 60% общего объема реализациипродукции обоих видов. Для изготовления продукции P1 и P2 использу-ется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расходсырья на единицу продукции P1 равен 2 кг, а на единицу продукции P2 —4 кг. Цены продукции P1 и P2 — 25 и 30 ден. ед. соответственно. Опре-делить оптимальное распределение сырья для изготовления продукцииP1 и P2.

3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

f(x) = 2x1 + x2 − x3 − x4 → min;

521

x1 + x2 + 2x3 − x4 = 2;2x1 + x2 − 3x3 + x4 = 6;x1 + x2 + x3 + x4 = 7;xj ≥ 0, j = 1, 4.

4. Цех выпускает три вида изделий. Суточный плановый выпуск: 90ед. изделия I, 70 ед. изделия II и 60 ед. изделия III. Суточные ресурсы:780 ед. производственного оборудования (станки, машины и т.п.), 850ед. сырья (металл и т.п.) и 790 ед. электроэнергии. Их расход на одноизделие указан в таблице.

Ресурсы Расход ресурсов на изделиеИзделие I Изделие II Изделие III

Оборудование 2 3 4Сырье 1 4 5

Электроэнергия 3 4 2

Стоимость изделия I — 7 ден. ед., изделия II — 5 ден. ед., изделияIII — 6 ден. ед. Сколько надо производить изделий каждого вида, чтобыстоимость продукции, выпущенной сверх плана, была максимальной?

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования

f(x) = 2x1 + 10x2 − 2x3 → max;

522

x1 + 2x2 − x3 ≥ 1;2x1 − x2 + 2x3 ≤ 3;xj ≥ 0, j = 1, 3.

6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу ли-нейного программирования

f(x) = x1 + x2 → min;x1 + x2 ≥ 1;−x1 + x2 ≥ 2;−x1 + x2 ≥ −3;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, усло-вие которой дано в таблице:

Поставщики Потребители Запасгруза aiB1 B2 B3 B4

A1 4 3 6 8 40A2 7 6 4 5 120

Потребностьв грузе bj

30 50 45 35 160

523


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 2 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 1 7 6 2 4 2



@@@@

ij 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 8 4 32 6 ∞ 5 1 33 5 2 ∞ 2 54 1 1 2 ∞ 35 3 6 4 2 ∞

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования: 1 4 6

7 2 05 3 2

.

524

11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матри-цы и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:

−3 2 36 −5 23 0 52 −1 4

.12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рису-

нок 1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.

Показатели Операции

Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)

(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 10 20 12 14 0 16 6

10dij 6 12 5 6 0 10 4kij 0,05 0,01 0,02 0,03 − 0,01 0,04

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных па-раметрах операций, заданных в таблице

525

Параметры Операции(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5)

t′′ij 14 20 0 14 10 12 6t′ij 8 10 0 9 6 6 4c′′ij 160 120 − 35 60 72 110c′ij 190 160 − 95 84 114 144

1 2

3

4 514;8 14;8 6;4

10;6

12;720;12

14. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения опера-ции (работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.

1

2

3

4 5

10R =

6;4

4;4

4;3

5;3

6;5

7;6

526


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1500 1680 1290 1150 1320 1780 1660 1000 1500 2300 168902 1710 1540 1750 1030 1780 1180 1150 1230 1370 1130 2200 160703 1430 1650 1170 1380 1220 1560 1030 1730 1440 1340 2200 161504 1730 1350 1550 1190 1320 1270 1640 1050 1290 1250 2400 160405 1040 1340 1280 1680 1800 1390 1830 1170 1500 1040 2100 161706 1340 1650 1730 1000 1050 1120 1730 1550 1710 1130 2100 161107 1600 1500 1570 1790 1240 1330 1350 1500 1170 1790 2200 170408 1670 1450 1140 1330 1500 1040 1730 1030 1420 1330 2400 160409 1320 1260 1020 1440 1720 1560 1580 1080 1120 1610 2200 1591010 1130 1340 1420 1640 1290 1050 1040 1760 1200 1500 2400 15770

Доб.стоим.

1962 2089 2635 2067 1816 2235 1861 2232 2267 254216890 16070 16150 16040 16170 16110 17040 16040 15910 15770








527



528

Вариант 2

1. Решить графическим методом следующую задачу линейного про-граммирования:

f(x) = 54x1 + x2 → min;

x1 + x2 ≥ 4;2x1 + x2 ≥ 6;3x1 + 2x2 ≥ 11;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Процесс изготовления промышленных изделий двух видов P1 и P2

состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках.Время использования этих станков для производства данных изделийограничено 10 часами в сутки. Время обработки одного изделия (в ми-нутах) и прибыль от продажи одного изделия каждого вида указаны втаблице.

Станок Выпускаемая продукция ЛимитвремениИзделие P1 Изделие P2

I 10 5 10II 6 20 10III 8 15 10

Удельнаяприбыль 200 300

529

Найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида, мак-симизирующие прибыль.


f(x) = 2x1 − 6x2 + 3x5 → max;

−2x1 + x2 + x3 + x5 = 20;−x1 − 2x2 + x4 + 3x5 = 24;3x1 − x2 − 12x5 + x6 = 18;xj ≥ 0, j = 1, 6.

4. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед.белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона ис-пользуют три вида корма, представленных в следующей таблице:

Питательныевещества

Количество единиц питательныхвеществ на 1 кг.

Корма 1 Корма 2 Корма 3белки 3 1 1

углеводы 1 2 1протеин 1 6 4

530

Стоимость 1 кг корма первого вида — 4 д.е., второго — 6 д.е., тре-тьего — 5 д.е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий ми-нимальную стоимость и найдите оптимальное решение.

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:

f(x) = 3x1 + 4x2 + 2x3 → min;2x1 + x2 − x3 ≥ 7;3x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 9;x1 − 2x2 − x3 ≤ 5;xj ≥ 0, j = 1, 3.

6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу ли-нейного программирования:

f(x) = 16x1 + 9x2 + 4x3 + 6x4 → max;4x1 + x2 + 3x4 ≤ 2;2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3;xj ≥ 0, (j = 1, 4).

7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, усло-вие которой дано в таблице:

531


A1 6 4 2 7 40A2 8 10 14 12 36A3 16 12 6 13 24


24 20 30 26 100


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 8 4 32 4 ∞ 5 2 33 5 2 ∞ 2 54 1 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞

532

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:

3 5 0 31 3 3 66 3 3 −13 0 7 3

.


3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0

.

12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рису-нок 1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.

533



(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 6 10 12 8 0 6 10

12dij 4 6 5 4 0 3 7kij 0,02 0,04 0,01 0,06 − 0,02 0,05

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных па-раметрах операций, заданных в таблице.


t′′ij 6 4 2 2 6 5 4t′ij 3 2 1 2 4 4 3c′′ij 300 160 70 90 270 260 150c′ij 345 180 90 90 320 290 160

1

2

3

4 5

534


1 2

3

4

5

10R =

3;6

3;4

4;42;4

2;3

2;35;3


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1030 1300 1310 1230 1180 1200 1550 1250 1600 2300 156602 1390 1700 1180 1450 1170 1180 1760 1660 1600 1420 2500 170103 1040 1540 1370 1590 1640 1630 1440 1110 1540 1770 2100 167704 1490 1100 1010 1720 1480 1730 1140 1610 1500 1490 2100 163705 1680 1340 1660 1230 1030 1620 1730 1190 1360 1480 2500 168206 1030 1770 1110 1720 1240 1540 1260 1440 1160 1730 2400 164007 1060 1770 1470 1740 1010 1800 1190 1750 1390 1340 2100 166208 1370 1350 1680 1620 1660 1480 1710 1810 1360 1770 2400 182109 1180 1800 1480 1820 1400 1450 1010 1840 1640 1260 2500 1738010 1540 1730 1480 1520 1110 1240 1450 1080 1250 1650 2100 16150

Доб.стоим.

4422 3854 4696 4097 4050 4454 3806 4443 4299 370815660 17010 16770 16370 16820 16400 16620 18210 17380 16150


535









536

Вариант 3


f(x) = 6x1 − 2x2 → max;x1 − x2 ≤ 1;3x1 − x2 ≤ 6;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Предприятие изготавливает два вида продукции — P1 и P2, котораяпоступает в оптовую продажу. Для производства продукции использу-ются два вида сырья — A и B. Максимально возможные запасы сырьяв сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на еди-ницу продукции вида P1 и вида P2 дан в таблице.

СырьеРасход сырья на единицу

продукции Запассырья, ед.Продукция P1 Продукция P2

A 2 3 9B 3 2 13

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию P1 никогдане превышает спроса на продукцию P2 более чем на 1 ед. Кроме того, из-вестно, что спрос на продукцию P2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д.е. для P1 и 4 д.е. для P2.

537

Какое количество продукции каждого вида должно производить пред-приятие, чтобы доход от реализация продукции был максимальным?


f(x) = 2x1 + 8x2 − 5x3 + 15x4 → max;3x1 − x2 + x3 + 10x4 ≤ 25;x1 + 2x2 + x3 + 5x4 ≤ 10;2x1 + 10x2 + 2x3 − 5x4 ≤ 26;xj ≥ 0, j = 1, 4.

4. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь — 100 ед.,труд — 120 ед., тяга — 80 ед. Хозяйство производит четыре вида про-дукции: Π1, Π2, Π3 и Π4. Организация производства характеризуетсяследующей таблицей:

Продукциязатраты на

единицу продукции

Доход отединицыпродукции

площадь труд тягаΠ1 2 2 2 1Π2 3 1 3 4Π3 4 2 1 3Π4 5 4 1 5

538

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству мак-симальную прибыль и найдите оптимальное решение.


f(x) = x1 + x2 + 2x3 → max;3x1 + 4x2 − x3 = 4;x1 − x2 + 2x3 = 6;2x1 + x3 = 5;xj ≥ 0, j = 1, 3.


f(x) = 88x1 + 80x2 + 148x3 → max;3x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 12;2x1 + x2 + 5x3 ≤ 10;xj ≥ 0, j = 1, 3.

7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, усло-вия которой даны в таблице:

539


A1 8 4 6 2 40A2 4 10 5 6 25A3 6 7 8 5 28A4 10 12 8 9 32


28 32 20 45 125


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 3 4 5 6 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 2 8 6 2 4 1


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 6 4 42 4 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 2 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞

540

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования: −4 −8 −4

−6 0 0−5 −5 0

.11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матри-

цы и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования: 5 2 0 3 4

1 4 6 2 50 4 3 1 2





(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 8 4 3 4 0 7 7

8dij 6 3 1 2 0 4 5kij 0,04 0,03 0,02 0,06 − 0,05 0,01

541


Параметры Операции(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)

t′′ij 6 3 5 2 9 6t′ij 4 2 2 1 6 4c′′ij 1 3 1 3 1 2c′ij 3 5 10 8 4 6

1

2

3

4 5


1

2

3

4 5 6

3;6

20R =

3;4

4;5

3;4

5;5

6;8 4;3 5;6

6;5

542


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1780 1660 1670 1810 1450 1500 1660 1530 1180 1210 2400 178502 1660 1500 1350 1120 1350 1410 1560 1460 1130 1550 2100 161903 1660 1550 1500 1220 1450 1460 1710 1590 1230 1120 2400 168904 1640 1510 1190 1460 1170 1460 1520 1460 1320 1320 2400 164505 1170 1750 1430 1350 1410 1340 1730 1270 1360 1050 2500 163606 1020 1140 1600 1130 1410 1530 1790 1330 1760 1280 2100 160907 1820 1020 1130 1620 1530 1480 1330 1610 1050 1460 2100 161508 1620 1180 1700 1700 1780 1380 1710 1680 1370 1080 2100 173009 1110 1790 1620 1700 1010 1610 1570 1280 1720 1680 2500 1759010 1120 1730 1350 1060 1390 1410 1370 1270 1630 1760 2300 16390

Доб.стоим.

4079 4128 3779 3498 4314 4146 4192 3445 4117 398717850 16190 16890 16450 16360 16090 16150 17300 17590 16390








543



544

Вариант 4


f(x) = 4x1 + 7x2 → max;2x1 + 7x2 ≤ 21;7x1 + 2x2 ≤ 49;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Предприятие выпускает продукцию двух видов: P1 и P2. Использу-ются три вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормырасхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представ-лены в таблице:

РесурсыНорма расхода на единицу

продукции Имеющийся объемресурсаПродукция P1 Продукция P2


Электроэнергия 2 1 20Прибыльна единицупродукции

30 20

Найти оптимальный план выпуска продукции.

545


f(x) = x1 + x2 − x3 − 2x5 → min;x1 − 2x2 + x4 = −3;x3 − 2x4 = 2;3x2 − x4 + x5 ≤ 5;x2 + x5 ≥ −3;xj ≥ 0, j = 1, 5.

4. Изделия трех видов (А, B, C ) вырезаются из стальных листов.Предприятие имеет 150 стальных листов. Каждый лист можно раскро-ить одним из трех способов. Количество изделий, получаемых из одноголиста, и величины отходов для каждого способа раскроя приведены втаблице.

Количествоизделий

Способы раскрояСпособ I Способ II Способ III

A 4 5 2B 1 1 4C 2 1 1

Отходы, см2 20 25 17

Предприятию необходимо раскроить листы таким образом, чтобы от-ходы были минимальны. При этом необходимо выпустить не менее 400

546

изделий A, не менее 250 изделий B и не более 300 изделий C (последнеетребование связано с тем, что спрос на изделия C ограничен).


f(x) = 2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 → min;5x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = 7;x1 + 2x2 − x3 = 3;3x2 − x4 + x5 = 8.


f(x) = 270x1 + 300x2 + 320x3 → min;3x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4;2x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 5;xj ≥ 0, (j = 1, 3).


547

Поставщики Потребители Запасгруза aiB1 B2 B3 B4 B5

A1 9 6 8 11 10 100A2 6 9 13 15 12 80A3 8 7 12 5 9 40

Потребность вгрузе bj

60 50 40 35 35 220


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 4 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 5 3


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 4 5 42 5 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 1 2 4 ∞ 45 3 6 4 2 ∞

548


6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5

.


3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5

.


549



(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 16 12 10 8 0 3 2

6dij 10 7 6 5 0 2 1kij 0,02 0,01 0,06 0,03 − 0,01 0,04



t′′ij 6 11 4 7 9 3 8t′ij 2 6 1 3 4 1 3c′′ij 6 2 4 3 2 5 1c′ij 14 17 13 19 27 7 31

1

2

3

4

5

550


1

2

3

4 5 6

20R =

3;63;4

6;8 4;3 5;6

6;5

4;5

3;4

5;5


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430

Доб.стоим.

1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430


551









552

Вариант 5


f(x) = 3x1 + 2x2 → max;2x1 + x2 ≤ 2;3x1 + 4x2 ≥ 12;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Для производства двух видов изделий A и B используется токар-ное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат временикаждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведе-ны в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждогоиз типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Типоборудования

Затраты времени(станко-часов) на

обработку одного изделия

Общий фонд полезногорабочего времениоборудования (ч)

Изделие A Изделие BФрезерное 10 8 168Токарное 5 10 180

Шлифовальное 6 12 144Прибыль от

реализации одногоизделия (руб.)

14 18

553

Найти план выпуска изделий A и B, обеспечивающий максимальнуюприбыль от их реализации.


f(x) = x1 − 2x2 + 4x3 → min;x1 + x3 + x4 = 1;2x2 + 4x3 + 4x4 = 2;x3 − x4 = 1;xj ≥ 0, j = 1, 4.

4. Из трех продуктов — I, II, III — составляется смесь. В состав смесидолжно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. — веще-ства В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществприведена в следующей таблице:

ПродуктСодержание химического вещества

в единице продукции

Стоимостьединицыпродукции

Вещество A Вещество B Вещество CI 2 1 3 2II 1 2 4 3III 3 1,5 2 2,5

Составьте математическую модель приготовления наиболее дешевойсмеси и найдите оптимальное решение.

554


f(x) = 2x1 − x2 + x3 − 3x4 + x5 → max;x1 − 3x2 + x3 + 2x4 = 5;2x1 + x2 + 2x3 + x4 − x5 ≤ 8;x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x5 ≤ 9;−x1 − 2x2 + x3 − 3x4 − x5 ≥ 4;x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.


f(x) = 2x1 + x2 − x3 − x4 → max;x1 + x2 + 2x3 − x4 ≤ 5;x1 + 2x2 + x4 ≤ 7;x1 + x3 + 2x4 ≤ 3;xj ≥ 0, (j = 1, 4).


555

Поставщики Потребители Запасгруза aiB1 B2 B3 B4 B5 B6

A1 9 3 4 8 10 12 36A2 4 6 7 11 13 9 34A3 5 8 8 4 12 10 32A4 6 12 15 9 6 8 30


20 15 25 27 30 15 132


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 3 4 3 2 3 1

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 5 32 1 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 74 1 2 5 ∞ 45 3 6 3 1 ∞

556


2 0 00 3 −2−2 0 3

.


9 9 2 17 8 9 63 5 7 75 7 1 04 4 5 3

.


557



(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 6 18 10 8 0 10 7

14dij 4 12 6 5 0 7 4kij 0,04 0,03 0,01 0,05 − 0,05 0,02



t′′ij 9 4 6 8 10 11 10t′ij 7 3 4 6 6 5 7c′′ij 3 3 1 8 5 5 6c′ij 11 9 9 28 37 35 33

1

2

3

4

5

6

558


1

2

3

4;7

8;4

6

4;4

15R =

5;6

3

1;4

4

7;3

2,5

2,5

3,7

10,3


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 10790 10680 10590 10550 10500 10490 10700 10300 10730 10180 2100 1076102 10670 10800 10690 10040 10800 10220 10660 10660 10360 10610 2300 1078103 10350 10760 10500 10290 10810 10020 10100 10320 10480 10090 2400 1061204 10030 10770 10340 10000 10160 10080 10130 10690 10790 10650 2100 1057405 10180 10740 10570 10070 10140 10050 10480 10730 10050 10330 2300 1056406 10220 10500 10810 10380 10120 10470 10440 10460 10400 10210 2400 1064107 10180 10340 10780 10220 10250 10350 10720 10160 10810 10590 2400 1068008 10040 10180 10650 10290 10620 10170 10110 10180 10470 10530 2400 1056409 10450 10350 10460 10510 10580 10040 10020 10690 10130 10250 2500 10598010 10790 10510 10210 10590 10130 10210 10360 10100 10200 10690 2200 105990

Доб.стоим.

1866 2096 1723 1834 2074 2603 2235 1721 2397 1996107610 107810 106120 105740 105640 106410 106800 105640 105980 105990



559








560

Вариант 6


f(x) = 2x1 − 6x2 → min;−x1 − x2 ≤ −2;−x1 + x2 ≤ 1;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимовырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовкидвумя способами. Количество получаемых заготовок при данном спосо-бе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов,которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовкиКоличество заготовокпри раскрое по способуСпособ 1 Способ 2

I 2 6II 5 4III 2 3

Величинаотходов (см2) 12 16

561

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует рас-кроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заго-товок при минимальных отходах.


f(x) = −3x1 + x2 + 2x3 → max;2x1 + 2x2 + x3 ≥ 7;−x1 + 3x3 ≤ 2;4x1 + x2 − 2x3 ≥ 4;xj ≥ 0, j = 1, 3.

4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице.

Сырье Продукция вида Запасысырья, ед.Сырьё A Сырьё B Сырьё C

I − 2 − 10II − 5 3 30III 1 1 1 8

Прибыль,ден. ед. 1 2 2

562

Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.


f(x) = 7x1 + 6x2 + 3x3 − x4 → min;2x1 − x2 + 2x3 − 3x4 ≥ 12;−x1 + 2x2 − x3 + x4 ≤ 10;3x1 + 5x2 + 4x4 = 7;x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.


f(x) = 2x1 + 3x2 → min;2x1 + 2x2 ≤ 30;x1 + 2x2 ≥ 10;xj ≥ 0, (j = 1, 2).


563


A1 5 10 15 6 14 13 120A2 14 9 8 12 11 10 60A3 7 12 13 15 9 14 150


45 52 48 55 70 60 330


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 2 2 3 7 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 5 3 4 2


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 3 4 32 5 ∞ 3 2 23 5 2 ∞ 1 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞

564

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования: 1 0 −1

2 −1 00 1 3


цы и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:

1 0 8 62 2 7 55 3 1 15 5 2 0





(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)tij 6 18 10 8 0 6 10

9dij 4 14 5 4 0 4 6kij 0,03 0,05 0,03 0,01 − 0,02 0,04

565


Параметры Операции(1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) (4,6) (5,6)

t′′ij 5 7 3 6 5 11 5 8t′ij 4 3 2 3 3 9 3 6c′′ij 4 8 8 3 10 10 8 2c′ij 5 20 9 12 20 18 12 4

1

2

3 4

5

6


1

2

3

4 5 6

4;8

18R =

11;9

2;1

4;8

10,53;2

9,7

9,4

566


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1600 1820 1340 1410 1590 1570 1170 1140 1670 1530 2300 171402 1350 1410 1590 1020 1000 1400 1410 1090 1140 1280 2000 146903 1370 1790 1240 1800 1660 1540 1020 1070 1460 1380 2300 166304 1610 1780 1270 1260 1170 1240 1610 1350 1210 1200 2400 161005 1080 1350 1830 1810 1540 1030 1700 1440 1170 1650 2500 171006 1290 1190 1840 1350 1300 1600 1490 1240 1150 1820 2500 167707 1440 1130 1340 1830 1810 1670 1050 1670 1160 1170 2000 162708 1660 1740 1000 1450 1680 1530 1410 1230 1140 1000 2100 159409 1430 1610 1150 1050 1670 1310 1780 1170 1520 1360 2200 1625010 1280 1170 1390 1020 1160 1040 1650 1420 1160 1680 2400 15370

Доб.стоим.

2139 1925 1949 2277 2498 2210 2485 1891 1874 187917140 14690 16630 16100 17100 16770 16270 15940 16250 15370








567



568

Вариант 7


f(x) = x1 + x2 → max;x1 − x2 ≥ 1;x1 − x2 ≤ −1;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. На звероферме могут выращиваться лисицы и песцы. Для обес-печения нормальных условий их выращивания используется три видакормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневнополучать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны об-щее количество корма каждого вида, которое может быть использованозверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма

Количество единицкорма для ежедневного

потребленияОбщее количество

кормалисица песец

I 2 3 180II 4 1 240III 6 7 426

Прибыль отреализации однойшкурки (руб.)

16 12

569

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на зверо-ферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.


f(x) = 2x1 − 3x2 + x5 + 2x6 → min;x1 + x2 − 3x4 + 2x6 ≤ 5;2x1 − 3x3 + x4 + x5 ≤ 4;2x1 − x2 + 3x3 − 2x5 ≥ 3;xj ≥ 0, j = 1, 6.

4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице:


I − 1 1 8II 1 1 − 5III − 2 1 12



570


f(x) = 2, 5x1 + 2x2 + 3x3 → min;x1 + x2 + x3 ≤ 6;2x1 − x2 + 3x3 ≥ 9;3x1 + x2 + 2x3 ≥ 11;x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.


f(x) = 5x1 + 6x2 → min;x1 + x2 ≥ 2;4x1 + x2 ≥ 4;xj ≥ 0, (j = 1, 2).



A1 4 3 6 8 40A2 7 6 4 5 120


30 50 45 35 160

571


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 4 4 5 2 4

Стоимость, ci (у.е.) 5 2 6 6 2 4 3


@@@@

ij 1 2 3 4 5

1 ∞ 3 2 4 32 1 ∞ 3 2 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования: −4 −8 −4

−6 0 0−5 −5 0


цы и найти решение игры, используя графический метод решения задач

572

линейного программирования:−3 2 3

6 −5 23 0 52 −1 4

.12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика по вре-

мени.

1 2 3 4

Найдите критический путь на сетевом графике до и после оптимиза-ции и сравните результаты.



(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)tij 14 20 12 16 5

16dij 8 12 7 10 3kij 0,2 0,1 0,4 0,25 0,3

573



t′′ij 6 4 2 2 6 5 4t′ij 3 2 1 2 4 4 3c′′ij 300 160 70 90 270 260 150c′ij 345 180 90 90 320 290 160

1

2

3

4 5


1

2

3

4

5

6

4;6

15R =

4;2

6;43;6

2;92;3

3;5

2;13;3

5;4

574


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1760 1410 1610 1700 1460 1370 1100 1220 1550 1750 2200 171302 1270 1150 1390 1260 1600 1580 1260 1750 1340 1770 2300 166703 1510 1240 1820 1210 1450 1670 1670 1730 1590 1200 2400 174904 1580 1470 1480 1480 1070 1660 1650 1150 1420 1670 2000 166305 1300 1290 1590 1370 1230 1450 1320 1510 1290 1070 2300 157206 1130 1280 1170 1020 1370 1540 1840 1520 1150 1310 2000 153307 1310 1800 1720 1720 1780 1430 1190 1460 1410 1470 2300 175908 1400 1550 1200 1790 1690 1570 1460 1620 1350 1800 2300 177309 1720 1840 1290 1290 1750 1330 1530 1630 1630 1310 2000 1732010 1650 1240 1350 1100 1230 1650 1520 1310 1610 1790 2100 16550

Доб.стоим.

2125 1773 1713 1359 1433 1278 1229 1475 1955 128317130 16670 17490 16630 15720 15330 17590 17730 17320 16550








575



576

Вариант 8


f(x) = 14x1 + x2 → min;

x1 + 2x2 ≥ 5;5x1 + x2 ≥ 9;3x1 + 2x2 ≥ 11;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Предприятие электронной промышленности выпускает две моделирадиоприемников. Каждая модель производится на отдельной техноло-гической линии. Суточный объем производства первой линии — 60 из-делий, второй — 75. На радиоприемник первой модели расходуется 10однотипных элементов электронных схем, второй модели — 8. Наиболь-ший суточный запас используемых элементов равен 800 ед. Прибыль отреализации одного радиоприемника первой и второй моделей — соответ-ственно 3000 и 2000 ден. ед. Определить оптимальные суточные объемыпроизводства первой и второй моделей.


f(x) = 6x1 + x3 − 8→ max;

577

4x1 + x2 + x3 = 8;2x1 − x2 ≤ 2;x1 + x2 − x4 = 2;xj ≥ 0, j = 1, 4.



I 2 1 − 14II 1 1 − 8III − 1 1 3




f(x) = 6x1 + 8x2 → max;

578

2x1 + x2 + x3 = 6;x1 + 3x2 + x4 = 10;x1 + x5 = 5;3x2 + 2x3 + x6 = 12;xj ≥ 0, j = 1, 6.


f(x) = 4x1 + 2x2 → min;x1 + x2 = 1;3x1 − x2 ≥ 2;xj ≥ 0, (j = 1, 2).



A1 8 4 6 2 40A2 4 10 5 6 25A3 6 7 8 5 28A4 10 12 8 9 32


28 32 20 45 125

579


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 4 5 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2



@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 2 2 4 32 1 ∞ 3 3 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 1 6 3 2 ∞


1 0 1 −10 1 3 2−1 2 −2 0

.

580


3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0





(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)tij 10 20 8 16 12

12dij 6 14 5 12 7kij 0,5 0,3 0,6 0,2 0,45


581


t′′ij 6 4 2 2 4 5 4t′ij 3 2 1 2 2 3 3c′′ij 200 160 60 40 270 160 50c′ij 236 200 75 40 290 210 68

1

2

3

4 5


1

23

4 5 6

3;7

3;4

3;3

14R =4;3

4;62;5

6;5

5;4

582


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 2560 2360 2730 2600 2600 2400 2350 2360 2540 2280 2900 276802 2380 2070 2290 2140 2680 2590 2580 2010 2310 2260 3300 266103 2600 2170 2010 2190 2180 2250 2390 2450 2530 2830 3700 273004 2040 2090 2050 2190 2330 2770 2620 2410 2660 2030 2900 260905 2690 2570 2230 2000 2210 2370 2300 2320 2610 2470 3100 268706 2480 2110 2200 2420 2370 2560 2820 2740 2750 2190 2900 275407 2520 2730 2500 2220 2520 2330 2710 2760 2260 2610 3900 290608 2420 2560 2790 2580 2780 2260 2330 2420 2510 2370 3100 281209 2300 2280 2630 2170 2680 2350 2340 2660 2140 2370 2800 2672010 2100 2320 2320 2110 2130 2580 2810 2230 2640 2030 2900 26170

Доб.стоим.

2194 1999 1799 2357 2179 2471 2530 1892 1940 245827680 26610 27300 26090 26870 27540 29060 28120 26720 26170








583



584

Вариант 9


f(x) = 54x1 + x2 → min;

x1 + x2 ≥ 4;2x1 + x2 ≥ 6;3x1 + 2x2 ≥ 11;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. Предприятие выпускае продукцию двух видов: P1 и P2. Использу-ются три вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормырасхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представ-лены в таблице.

РесурсыНорма расхода на единицу

продукции Имеющийся объемресурсаПродукция P1 Продукция P2


Электроэнергия 2 1 20Прибыльна единицупродукции

40 25

585

Найти оптимальный план выпуска продукции.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

f(x) = −2x1 + 3x2 − 6x3 − x4 → min;2x1 + x2 − 2x3 + x4 = 24;x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 22;x1 − x2 + 2x3 ≥ 10;xj ≥ 0, j = 1, 4.



I 3 2 − 18II − 1 1 4III − 2 − 10



586


f(x) = x1 + 2x2 − x3 + x4 → min;2x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4;x1 − 2x2 + x3 − x4 ≥ 6;x1 − x3 ≤ 8;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.


f(x) = 2x1 + 3x2 → min;2x1 + x2 ≥ 3;x1 + x2 = 2;xj ≥ 0, (j = 1, 2).


587

Поставщики Потребители Запасгруза aiB1 B2 B3 B4 B5

A1 9 6 8 11 10 100A2 6 9 13 15 12 80A3 8 7 12 5 9 40

Потребность вгрузе bj

60 50 40 35 35 220


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 4 4 5 4 3 3 4

Стоимость, ci (у.е.) 7 2 3 6 2 4 2


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 3 42 1 ∞ 2 3 13 4 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 3 2 ∞

588


0 1 40 3 0


цы и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования: 5 2 0 3 4

1 4 6 2 50 4 3 1 2





(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)tij 24 18 6 16 8

10dij 20 12 4 14 5kij 0,2 0,4 0,1 0,35 0,5

589


Параметры Операции(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)

t′′ij 6 3 5 2 9 6t′ij 4 2 2 1 6 4c′′ij 1 3 1 3 1 2c′ij 3 5 10 8 4 6

1

2

3

4 5


1

2

3

4 5 6

16R =

6;5

12;6

3;2

3;11

4;3

4;56;4

5;7

4;2

590


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1730 1700 1360 1290 1510 1710 1260 1250 1610 1400 2000 168202 1220 1310 1660 1450 1180 1640 1420 1460 1540 1000 2100 159803 1200 1190 1330 1640 1770 1720 1580 1240 1400 1110 2500 166804 1700 1470 1410 1060 1490 1660 1660 1600 1160 1120 2400 167305 1310 1030 1550 1550 1410 1110 1000 1330 1200 1820 2100 154106 1380 1070 1390 1740 1310 1440 1490 1430 1770 1700 2300 170207 1360 1220 1420 1210 1120 1300 1130 1330 1620 1650 2300 156608 1410 1690 1080 1840 1760 1450 1800 1440 1630 1220 2400 177209 1520 1520 1380 1050 1710 1170 1440 1350 1390 1270 2000 1580010 1720 1670 1740 1180 1030 1680 1380 1060 1290 1470 2300 16520

Доб.стоим.

2500 2930 2607 2831 2210 2998 2370 2285 2011 286316820 15980 16680 16730 15410 17020 15660 17720 15800 16520








591



592

Вариант 10


f(x) = 92x1 + x2 → min;

x1 + 4x2 ≥ 7;4x1 + x2 ≥ 8;3x1 + 2x2 ≥ 11;x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

2. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед.белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона ис-пользуют два вида корма, представленных в следующей таблице:

Питательныевещества

Количество единицпитательных веществ на 1 кг.Корма 1 Корма 2

белки 3 1углеводы 1 2протеин 1 6

Стоимость 1 кг корма первого вида — 4 д.е., второго — 6 д.е. Необхо-димо составить дневной рацион питательности, имеющий минимальнуюстоимость.

593


f(x) = 2x1 − 3x2 + 6x3 + x4 → max;x1 + 2x2 − 4x3 ≤ 20;x1 − x2 + 2x3 ≥ 10;2x1 + x2 − 2x3 + x4 = 24;xj ≥ 0, j = 1, 4.



I 2 1 3 18II 2 − − 10III 4 − 3 24



594


f(x) = 2x1 − x2 + x3 − 3x4 + x5 → max;x1 − 3x2 + x3 + 2x4 = 5;2x1 + x2 + 2x3 + x4 − x5 ≤ 8;x1 + x2 + 3x3 + x4 + 2x5 ≤ 9;−x1 − 2x2 + x3 − 3x4 − x5 ≥ 4;x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.


f(x) = x1 + x2 → min;x1 + x2 ≥ 1;−x1 + x2 ≥ 2;−x1 + x2 ≥ −3;x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.


595


A1 9 3 4 8 10 12 36A2 4 6 7 11 13 9 34A3 5 8 8 4 12 10 32A4 6 12 15 9 6 8 30


20 15 25 27 30 15 132


, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, pi (кг) 3 4 3 3 5 3 2

Стоимость, ci (у.е.) 3 2 6 6 2 5 2


@@@@

i

j 1 2 3 4 5

1 ∞ 1 2 3 42 2 ∞ 1 2 13 4 2 ∞ 2 64 4 2 3 ∞ 45 1 5 3 2 ∞

596


7 2 05 3 2


цы и найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:

3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5





(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)tij 6 22 18 14 10

24dij 4 16 15 10 6kij 0,1 0,15 0,3 0,5 0,2

597



t′′ij 6 11 4 7 9 3 8t′ij 2 6 1 3 4 1 3c′′ij 6 2 4 3 2 5 1c′ij 14 17 13 19 27 7 31

1

2

3

4

5


1

2

3

4 5

6;4

6;5

5;3

4;3

4;4

7;6

10R =

598


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1220 1650 1190 1340 1060 1760 1570 1170 1360 1450 2000 157702 1700 1770 1150 1810 1510 1370 1390 1760 1470 1330 2500 177603 1480 1700 1220 1340 1240 1700 1630 1640 1200 1550 2400 171004 1610 1340 1690 1310 1540 1470 1120 1290 1300 1130 2500 163005 1100 1080 1560 1480 1150 1440 1210 1710 1310 1180 2000 152206 1500 1430 1560 1240 1590 1310 1330 1580 1140 1710 2300 166907 1060 1290 1550 1750 1220 1530 1530 1170 1340 1000 2300 157408 1220 1550 1500 1100 1470 1790 1030 1670 1670 1420 2300 167209 1100 1830 1020 1120 1510 1020 1260 1120 1270 1150 2400 1480010 1500 1520 1210 1590 1370 1830 1020 1090 1690 1490 2300 16610

Доб.стоим.

2265 2396 2240 2641 2290 2715 2585 2337 2662 209715770 17760 17100 16300 15220 16690 15740 16720 14800 16610








599



600

Вопросы и задания, выносимые на экзамен дляспециальности “Бизнес-администрирование”


2. Основные понятия и сведения из теории графов. Способы заданияграфов.

3. Целочисленное программирование. Метод Гомори решения задачцелочисленного программирования.

4. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решениязадач целочисленного программирования.

5. Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ.6. Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ7. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая

интерпретация задачи. Графическое решение задачи.8. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическая

интерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.9. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение мат-

ричных игр в чистых стратегиях.10. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-

тегиях путем сведения к задаче линейного программирования.11. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-

тегиях графическим и приближенным методом.

601



14. Модели межотраслевого баланса. Продуктивность балансовой мо-дели.

602

Вопросы и задания, выносимые на экзамен дляспециальности “Государственное управление и экономика”


2. Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и гра-фический метод решения задачи линейной оптимизации.

3. Линейное программирование. Симплекс метод решения задачи ли-нейной программирования.

4. Линейное программирование. Метод искусственного базиса реше-ния задачи линейного программирования.

5. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Алгоритм построения двойственной задачи.

6. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Двойственный симплекс метод.

7. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана ме-тодом северо-западного угла и минимального элемента. Распределитель-ный метод нахождения оптимального плана.

8. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана ме-тодом северо-западного угла и минимального элемента. Метод потенци-алов нахождения оптимального плана.

9. Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.10. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.

603

11. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение мат-ричных игр в чистых стратегиях.

12. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стра-тегиях путем сведения к задаче линейного программирования. Решениематричных игр графическим методом.



15. Продуктивность балансовой модели.16. Основные понятия сетевого планирования и управления. Правила

построения сетевых графиков.17. Расчет временных параметров сетевого графика.18. Оптимизация комплекса операций по времени.19. Оптимизация комплекса операций по ресурсам.20. Оптимизация комплекса операций по стоимости.

604

Литература

1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и за-дачах / И.Л. Акулич. М. 1986. – 319 с.

2. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М., 1972.– 552 с.

3. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методо-логия / Е.С. Вентцель. – М., 1988. – 206 с.

4. Высшая математика для экономистов / И.В. Гайшун [и др.]. – Минск:БГЭУ, 2005. – 623 с.

5. Дегтярев, Ю.И. Исследование операций / Ю.И. Дегтярев. – М.,1986. – 269 с.

6. Конюховский, П.В. Математические методы исследования опера-ций в экономике / П.В. Конюховский. – СПб., М., Харьков, Минск:Питер, 2000. – 208 с.

7. Костевич, Л.С. Математическое программирование / Л.С. Косте-вич. – Минск : Новое знание, 2003. – 424 с.

8. Кузнецов, А.В. Высшая математика. Математическое программи-рование / А.В. Кузнецов, Н.Н. Холод, Л.С. Костевич; подред. А.В. Кузнецова. – Минск : Вышэйшая школа, 2001. – 351 с.

605

9. Кузнецов, А.В. Руководство к решению задач по математическомупрограммированию / А.В. Кузнецов, Н.Н. Холод, Л.С. Костевич;под ред. А.В. Кузнецова – Минск : Вышэйшая школа, 2001. – 448 с.

10. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математиче-ское программирование / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.В. Куз-нецова, Р.А. Рутковского. – Минск : Вышэйшая школа, 2002. – 447 с.

11. Кузнецов, А.В. Экономико-математические методы и модели /А.В. Кузнецов. – Минск : БГЭУ, 2000. – 103 с.

12. Саати, Т.Л. Математические методы исследования операций /Т.Л. Саати. – М., 1963. – 133 с.

13. Таха, Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха. – М.,СПб., Киев : Вильямс, 2005. – 912 с.

14. Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладныемодели / В.В. Федосеев. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 304 с.

Экономико-математические методы и моделиlib.brsu.by › sites...

Documents