ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ · lg lg lg lg;;;; sin ; cos...

1

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ

(МИИГАиК)

Е.Ю.Баева, Н.А.Билибина

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

по курсу

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ»

Для студентов 3 курса специальности «картография»

Москва 2008

2

Составители: Баева Е.Ю., Билибина Н.А.

Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Ма-

тематическая картография». Для студентов 3 курса специальности «картогра-

фия». – М.: изд. МИИГАиК, 2008, 48 с.

Методические указания разработаны в соответствии с утвержденной про-

граммой курса «Математическая картография», рекомендованы кафедрой карто-

графии и утверждены к изданию Советом картографического факультета.

Методические указания содержат рекомендации по выполнению расчетно-

графической и 3 лабораторных работ по курсу «Математическая картография».

Рис. - 13, табл., - 17, прил. – 1, библиогр. – 4 назв.

Рецензенты: Макаренко А.А., к.т.н., проф. кафедры картографии

Новоселова Л.П., доцент, с.н.с. Института водных проблем РАН

© Московский государственный университет геодезии и картографии, 2008

3

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Математическая картография» изучается студентами специальности

«картография» в 5 и 6 учебных семестрах.

В 5 семестре рассматриваются: общая теория картографических проекций и

отдельные классы проекций (цилиндрические, конические, азимутальные) с их

свойствами.

В данном пособии содержатся указания по выполнению расчетно-

графической работы, которая построена на сравнении двух проекций: нормаль-

ной равноугольной цилиндрической и нормальной равноугольной конической

проекций.

В пособие также включены лабораторные работы:

решение задач по общей теории картографических проекций;

вычисление и построение косой внешней перспективной азимутальной

проекции;

применение методов численного дифференцирования и интегрирования в

математической картографии.

Ко всем лабораторным работам даются примеры.

4

Расчетно-графическая работа

«РЕШЕНИЕ КАРТОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКАХ

КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ»

План работы:

1. Вычислить прямоугольные координаты и построить картографическую

сетку нормальной равноугольной цилиндрической проекции.

2. Вычислить прямоугольные координаты и построить картографическую

сетку нормальной равноугольной конической проекции.

3. На сетках обеих проекций через заданные точки А и В построить линии по-

ложения (локсодромию и ортодромию).

4. Вычислить теоретические значения длин линий положения.

5. Произвести измерения длин линий на сетках обеих проекций.

6. Оформить расчетно-графическую работу.

1. НОРМАЛЬНАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

(ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА)

Задание: Вычислить прямоугольные координаты и построить картографи-

ческую сетку проекции. Параметр проекции β найти из условия сохранения глав-

ного масштаба 1:М0 на средней параллели заданной территории с широтой φk.

Исходные данные для вычислений:

φю – широта южной параллели территории;

φс – широта северной параллели территории;

λз - долгота западного меридиана территории;

λв - долгота восточного меридиана территории;

Δφ – частота картографической сетки по широте;

Δλ – частота картографической сетки по долготе;

1:М0 – главный масштаб карты.

5

Сетка нормальной равноугольной цилиндрической проекции представлена

на рисунке 1.

Рис.1

Формулы проекции:

.e ,tg

tgU

r

;np ;r

nm

y ;Ux

e

k

sinsin)

245(

)2

45(

;0

;ln

;

2

ПРИМЕР:

Возьмем для примера следующие значения исходных данных:

φю =10с.ш.; φс =46с.ш.; λз=0в.д.; λв=24в.д.; φk= (φю + φс)/2=28 с.ш.;

Δφ= Δλ=6; 1:М0=1:25 000 000.

x

y

φk

φc

φю

λз λв

Δφ

Δλ

1:М0

6

1 Вычисление параметра проекции β:

kr

,

rk – радиус параллели (на земном эллипсоиде) с широтой φk, который вы-

бирается из картографических таблиц (см. Приложение).

В данном случае β = 5 635 815 м или в масштабе карты:

мм 225,432625000000

10005635815

М

1000ммм

0

.

2 Вычисление абсцисс х и частных масштабов:

;ln)( Uммx ;)(

)(

мr

мmn

;2np %;100)1n(

nv

%.100)1p(pv

lnU, r – выбираются из картографических таблиц (см. Приложение).

Таблица 1

Φ lnU х

(мм)

хприв=х-хю

(мм)

r

(м)

т=n vn

(%)

p vp

(%)

10 0,1742636 39,28 0,00 6281979 0,897 -10,3 0,805 -19,5

16 0,2811093 63,37 24,09 6132722 0,919 -8,1 0,844 -15,6

22 0,3912628 88,20 48,92 5916585 0,952 -4,8 0,907 -9,3

28 0,5062484 114,12 74,84 5635815 1,000 0,0 1,000 0,00

34 0,6279126 141,55 102,27 5293347 1,065 6,5 1,134 13,4

40 0,7586032 171,01 131,73 4892789 1,152 15,2 1,327 32,7

46 0,9014551 203,22 163,93 4438394 1,270 27,0 1,612 61,2

3 Вычисление ординаты у:

)(мм

y ,

где ρ°=57,2957795°.

Таблица 2

λ 0 6 12 18 24

у(мм) 0.00 23,61 47,21 70,82 94,43

7

По вычисленным координатам х и у на миллиметровой бумаге необходимо

построить сетку проекции Меркатора (Рис.2).

Рис. 2

8

2. НОРМАЛЬНАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ КОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ


ческую сетку проекции. Параметры проекции α и С найти из условия сохранения

главного масштаба 1:М0 на двух параллелях с широтами φ1 и φ2.

Сетка нормальной равноугольной конической проекции представлена на

рисунке 3.






λ0 - долгота осевого меридиана территории;



1:М0 – главный масштаб карты.

Рис.3

9


.

;lglg

lglg

;

;

;

;

;sin

;cos

2211

12

21

2

UrUrC

UU

rr

0 ;np ;r

nm

U

С

constq

y

qx

ю

ПРИМЕР:


φю =10с.ш.; φс =46с.ш.; λз=0в.д.; λв=24в.д.; φ1= 22с.ш..; φ2= 34с.ш.;

Δφ= Δλ=6; 1:М0=1:25 000 000.

1 Вычисление параметров проекции α и С:

1.1 Вычисление параметра α

0,47035180,16992330,2726990

6,72373046,7720711

lgUlgU

lgrlgrα

12

21

.

Значения lg r и lg U выбираются из картографических таблиц по значениям

широт φ1 и φ2.

Контроль: arcsin α = 0, где 0 – широта параллели с наименьшим масшта-

бом длин. В данной проекции эта параллель располагается немного севернее

средней параллели ср =(1 + 2 )/2.

В рассматриваемом случае: arcsin α = 0 =28,06о и ср=28

о. Контроль схо-

дится.

10

1.2 Вычисление параметра С

2211 UrUr

C .

Для контроля параметр С вычисляется дважды (по 1 и 2):

Таблица 3

Значения φ1= 22 φ2= 34

rм

lg U

Uα

Cм

Смм=См1000/М0

5916585

0,16992327

1,2020533

15120704

604,828

5293347

0,27269898

1,3435829

15120704

604,828

Окончательно имеем: С =604,828 мм.

2 Вычисление радиусов параллелей ρ и масштабов m, n, p:

Вычисления приведены в таблице 4.

Таблица 4

lg U

Uα

ρмм=U

Смм

rм

310

0

М

мr

ммr

мм

мм

r

nm

vn

(%)

p=n2

vp

(%)

100

160

220

280

340

400

460

0,07568166

0,12208420

0,16992327

0,21986088

0,27269898

0,32945720

0,39149697

1,0854180

1,1413597

1,2020533

1,2688549

1,3435829

1,4287650

1,5280632

557,231

529,919

503,163

476,672

450,161

423,322

395,814

6281979

6132722

5916585

5635815

5293347

4892789

4438394

251,279

245,309

236,663

225,433

211,734

195,712

177,536

1,0430

1,0161

1,0000

0,9945

1,0000

1,0174

1,0486

+4,30

+1,61

0,00

-0,55

0,00

+1,74

+4,86

1,0879

1,0324

1,0000

0,9891

1,0000

1,0350

1,0997

+8,79

+3,24

0,00

-1,09

0,00

+3,50

+9,97

11

3 Вычисление прямоугольных координат х и у:

Учитывая, что картографическая сетка конической проекции является сим-

метричной относительно осевого меридиана, вычисления прямоугольных коор-

динат можно проводить для половины сетки, включая осевой меридиан (Табл. 5).

По вычисленным координатам строим картографическую сетку нормаль-

ной равноугольной конической проекции (Рис.4).

Таблица 5

λ λо=12о

λ=18о

λ=6о

λ=24о

λ=0о

λ=λ-λо

δ=α(λ-λо)

sin δ

cos δ

0о

0,000000о

0.000000

1,000000

6о

2,822111о

0,049235

0,998787

12о

5,644222о

0,098351

0,995152

q мм 557,231

=10

о

ρ

х

у

557,231

0,00

0,00

0,68

27,44

2,70

54,80

=16

о

ρ

х

у

529,919

27,31

0,00

27,95

26,09

29,88

52,12

=22

о

ρ

х

у

503,163

54,07

0,00

54,68

24,77

56,51

49,49

=28

о

ρ

х

у

476,672

80,56

0,00

81,14

23,47

82,87

46,88

=34

о

ρ

х

у

450,161

107,07

0,00

107,62

22,16

109,25

44,27

=40

о

ρ

х

423,322

133,91

134,42

135,96

12

у 0,00 20,84 41,63

=46

о

ρ

х

у

395,814

161,42

0,00

161,90

19,49

163,34

38,93

Рис. 4

13

3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПОЛОЖЕНИЯ

Задание. На сетках обеих проекций через заданные точки А и В построить

линии положения: локсодромию и ортодромию.

Локсодромия – линия, пересекающая все меридианы под постоянным уг-

лом.

Ортодромия – кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхно-

сти шара.

Исходные данные:

φА, λА - координаты точки А;

φВ, λВ - координаты точки В;

R – средний радиус кривизны, который выбирается из картографических

таблиц (см.Приложение) по значению φср.

ПРИМЕР:


φA =14с.ш.; λA=2в.д.; φB =41с.ш.; λB=22в.д.; R=6 366 255 м.

1 Построение локсодромии

1.1 Построение локсодромии в цилиндрической проекции

Проекция Меркатора обладает свойством локсодромичности, т.е. локсо-

дромия в ней изображается прямой линией.

Нанесем на сетку проекции Меркатора точки А и В по их географическим

координатам. Соединив их прямой линией, получим локсодромию (Рис.2).

1.2 Построение локсодромии в конической проекции

В конической проекции локсодромию можно построить по трем точкам:

точка А, точка В и промежуточная – точка пересечения локсодромии с осевым

меридианом.

Широта пересечения локсодромии с осевым меридианом (φлокс) определяет-

ся по сетке проекции Меркатора путем интерполяции (Рис. 2). Затем эта точка

14

также с помощью интерполяции наносится на осевой меридиан конической про-

екции. Далее все три точки соединяются плавной линией (Рис. 4).

2 Построение ортодромии

Чтобы построить ортодромию, необходимо вычислить географические ко-

ординаты ее промежуточных точек. Для упрощения задачи можно вычислить ко-

ординаты φорт i точек, лежащих на меридианах картографической сетки λi.

С этой целью вначале вычисляется вспомогательный угол u:

,)(ctg)(eccostgctgctgu ABABBA

7,4464212)2ctg(22)2cosec(22tg41ctg14ctgu ,

7,648644u ,

а затем – широта точки пересечения ортодромии с заданным меридианом λi

(Табл. 6):

])sin[(cos iAAiuecutgортtg

.

Таблица 6

λi 6 12 18

φорт 20,7 29,6

36,9

По географическим координатам наносим промежуточные точки ортодро-

мии и, соединяя их, строим линию ортодромии в цилиндрической проекции

(Рис.2).

В конической проекции ортодромия строится так же. Она имеет вид дуги

переменной кривизны. Однако, в мелком масштабе кривизна линии не заметна,

поэтому в конической проекции ортодромия выглядит прямой линией (Рис.4).

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ЛИНИЙ ПО ФОРМУЛАМ

Задание. Вычислить теоретические значения длин линий по формулам.

15

1 Вычисление длины ортодромии (на шаре) σ

)cos(coscossinsincos ABBABA ;

)()( мRм

.

Для рассматриваемого примера:

84684394,0)222cos(41cos14cos41sin14sincos ;

ζ = 32,12996 ;

ζ = 3 570 028 м.

2 Вычисление длины локсодромии (на шаре) s

Сначала вычисляем азимут локсодромии αлокс:

AB

ABлокс

DDtg

)(

,

где D’ – меридиональные части, которые выбираются из картографических

таблиц по широтам точек А и В.

0,650911348842,9172686,48

06)2(22tg локс

,

αлокс = 33,060560.

Длина локсодромии на шаре вычисляется по формуле:

локсAB мRмs

sec)()(

мs 3579581sec 63662552957795,57

1441локс

.

Контроль вычислений: ζ s.

5. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН ЛИНИЙ

Задание. Измерить длину линий на сетках обеих проекций.

16

1 Измерения в конической проекции

Т.к. в конической проекции искажения длин невелики, то измеряем длину

линии в масштабе карты (с точностью до 0,5 мм) и вычисляем ее длину с учетом

масштаба.

Например, длина локсодромии sизм =144,3 мм.

Тогда, м 3607500

1000

25000000144.3

1000

Mss

oизм(мм)

мизм

)(.

Расхождение между вычисленной и измеренной длиной линии не должна

превосходить 2% от теоретического значения, что в данном случае составляет

71,6 км. У нас получилось допустимое расхождение – 28 км.

2 Измерения в цилиндрической проекции

В проекции Меркатора в отличие от конической проекции искажения длин

достигают значительных величин. Поэтому ими нельзя пренебрегать и нужно

учитывать при измерениях. С этой целью измеряемую линию разбиваем на от-

резки, которые расположены приблизительно симметрично относительно соот-

ветствующей параллели (Рис.5.). На рисунке приведен пример разбиения линии

локсодромии.

Измерение длин линий в цилиндрической проекции проводится двумя спо-

собами: с помощью таблицы и с помощью переменного масштаба.

2.1 Измерения с использованием таблицы

Отрезки Δsi измеряем и полученные значения заносим в таблицу 7.

Таблица 7

φi Δsi(мм) ni )(мм

n

s

i

i

16°

22°

28°

34°

40°

18,9

40,1

22,3

43,3

19,5

0,919

0,952

1,000

1,065

1,152

20,56

42,12

22,30

40,66

16,93

∑ 142,57

17

Окончательно имеем:

м 35642501000

25000000142,57

1000

Mss

oизм(мм)

мизм

)(.

Расхождение с вычисленной длиной составляет 15 км, что находится в

пределах допустимого.

Рис.5

18

2.2 Измерения с помощью переменного масштаба

Сначала необходимо построить переменный масштаб (рис 6 а). Он может

быть построен на листе миллиметровой бумаги. Количество горизонтальных ли-

ний на графике переменного масштаба должно соответствовать количеству па-

раллелей. Линия каждой параллели разбивается на отрезки, равные определенно-

му количеству километров на местности. Например, если масштаб изображения

равен 1:25 000 000, это значит, что одному сантиметру на карте соответствует 250

километров на местности. Однако это соотношение выполняется только на глав-

ной параллели с широтой φk= 28. Поэтому разбиваем на отрезки, равные 1 см,

только горизонтальную линию, соответствующую параллели с широтой φk= 28.

На всех остальных параллелях 250 км будет соответствовать отрезкам, равным

1 см ni , где ni – частные масштабы длин вдоль параллелей (см. табл. 8):

Таблица 8

φ 10 16 22 28 34 40 46

n 0,897 0,919 0,952 1,000 1,065 1,152 1,270

1см n

(см)

0,90 0,92 0,95 1,00 1,06 1,15 1,27

Левую часть переменного масштаба разбиваем на дополнительные деления

для удобства измерений. Окончательный вид переменного масштаба представлен

на рис. 6 б.

а б

Рис. 6 – Переменный масштаб

19

Измерения длины линии производим с помощью переменного масштаба,

прикладывая измеряемый отрезок Δsi к соответствующей части переменного

масштаба (у данной параллели). Длины отрезков получаем сразу в километрах

(Рис. 7).

Рис.7

Измерения записываем в виде суммы:

км 358542010255551060525ssn

iiизм

1 .

Длина ортодромии измеряется так же, т.е. с помощью переменного мас-

штаба. Расхождения между измеренными и вычисленными значениями длины

локсодромии допускаются в пределах 2%.

6. ОФОРМЛЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Расчетно-графическая работа оформляется отдельно и должна содержать

следующие разделы:

Титульный лист

1. Нормальная равноугольная цилиндрическая проекция (проекция Меркато-

ра).

1.1 Формулы проекции

1.2 Расчет параметра β

1.3 Таблица прямоугольных координат (Табл.1, 2)

1.4 График изменения масштабов (см. Рис. 8 а).

1.5 Чертеж сетки проекции (Рис. 2)

20

Рис. 8

2. Нормальная равноугольная коническая проекция

2.1 Формулы проекции

2.2 Расчет параметров и С (Табл. 3)

2.3 Таблица прямоугольных координат (Табл.5)

2.4 График изменения масштабов (см. Рис. 8 б)

2.5 Чертеж сетки проекции (Рис. 4)

3. Картометрические работы

3.1 Построение линий положения

3.2 Определение теоретических длин линий положения

3.3 Измерение длин линий положения.

21

Лабораторная работа № 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КАРТОГРАФИ-

ЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Задание: Даны уравнения проекции.

1. Определить ортогональность картографической сетки.

2. Получить формулы частных масштабов длин m, n, a, b, масштаба пло-

щади р, максимального искажения углов w.

3. Определить к какой группе по характеру искажений относится проек-

ция.

4. Построить эскиз картографической сетки.

ПРИМЕР:

Для примера возьмем: x=R, y=Rλ.

Порядок исследований:

Сначала найдем частные производные:

Ry

0;x

0;y

R;x

λ

λ

и коэффициенты Гаусса:

.Rухухh

;0ууххf

;RR0уxg

;R0Rуxe

2

22222

22222

1. Определение ортогональности картографической сетки:

Сетка проекции является ортогональной, если коэффициент Гаусса f=0. В

противном случае сетка проекции не ортогональна, и следует определить угол

между меридианами и параллелями i:

22

eg

hisin

.

В рассматриваемом случае f=0, следовательно, сетка проекции является ор-

тогональной и i = 90o.

2. Получение формул частных масштабов длин m, n, a, b, масштаба пло-

щади р, максимального искажения углов w.

,2

BAb;

2

BAa

;seccosR

hp

;seccosR

gn

;1R

еm

2

где isinmn2nmB;isinmn2nmA 2222 .

Однако, если сетка проекции ортогональна, то экстремальные масштабы

длин а и b совпадают с масштабами длин m и n. В таком случае:

если m>n, то a=m и b=n,

если m<n, то a=n и b=m.

В рассматриваемом варианте сетка проекции ортогональна, поэтому a=n=

sec, b=m=1.

Максимальное искажение углов w можно найти по одной из формул:

ba

ba

2sin

или .2

22

2

1

2

p

nmtg

В данном случаe: .cos1

cos1

1sec

1sec

2sin

ba

ba

3. Определение группы проекций по характеру искажений.

Все проекции по характеру искажений делятся на три группы: равноуголь-

ные, равновеликие и произвольные.

23

Картографическая проекция является равноугольной, если выполняются ус-

ловия: f=0 и m=n.

Картографическая проекция является равновеликой, если р = const, и в ча-

стности, если р = 1.

Во всех остальных случаях картографическая проекция является произволь-

ной по характеру искажений. Однако, среди произвольных проекций выделяется

группа равнопромежуточных проекций, у которых один из экстремальных мас-

штабов длин равен единице, т.е. a = 1 или b = 1. К тому же, если сетка проекции

ортогональна, то проекция будет называться равнопромежуточной вдоль мери-

дианов ( f = 0 и m = 1) или равнопромежуточной вдоль параллелей ( f = 0 и n =

1).

Рассматриваемая проекция является равнопромежуточной вдоль меридиа-

нов.

4. Построение эскиза картографической сетки.

Для того, чтобы построить эскиз сетки, необходимо:

определить вид географического полюса в проекции;

определить симметричность картографической сетки;

найти уравнения меридианов и параллелей в проекции.

4.1 Вид географического полюса в проекции.

Географический полюс Р в проекции может изображаться:

в виде точки ( хР = const; yP=0);

в виде прямой линии ( хР = const; yP=f(λ));

в виде кривой линии ( хР = f(λ); yP= f(λ)).

Полюс в проекции может не изображаться вовсе, если хР = ∞.

Чтобы определить вид полюса в проекции, надо в исходные уравнения х и у

подставить широту полюса Р = π /2.

В рассматриваемой проекции: хР = R π /2; yP = Rλ, т.е. полюс изображается

прямой линией.

24

4.2 Симметричность картографической сетки.

Картографическая сетка проекции может быть симметричной относительно

осевого меридиана и относительно экватора (Рис. 9).

Рис. 9

Условия симметричности сетки относительно осевого меридиана:

Условия симметричности сетки относительно экватора:

Надо отметить, что сетка будет симметричной при одновременном выпол-

нении всех трех условий.

В рассматриваемой проекции картографическая сетка является симметрич-

ной как относительно осевого меридиана, так и относительно экватора.

Уравнения меридианов и параллелей в общем случае имеют вид:

х=0 = 0

х( , λ)= - х(- , λ)

у( , λ)= у(- , λ)

уλ=0 = 0

х( , λ)= х( , -λ)

у( , λ)= - у( , -λ)

х

у

А’( , -λ)

А ( , λ)

А’’(- , λ)

х

- х

у - у

λ=0

=0

25

F1 (x, y, λ)=0 – уравнение меридианов в проекции;

F2 (x, y, )=0 – уравнение параллелей в проекции.

В данном случае:

x=R - уравнение параллелей;

y=Rλ – уравнение меридианов.

Из уравнений видно, что меридианы и параллели имеют вид равноотстоя-

щих прямых линий.

Итак, в данной проекции: географические полюса изображаются прямыми

линиями, картографическая сетка симметрична относительно осевого меридиана

и экватора, меридианы и параллели изображаются равноотстоящими прямыми

линиями. Эскиз сетки представлен на рисунке 10.

Рис. 10

х

у

26

Лабораторная работа №2

ВНЕШНЯЯ ПЕРСПЕКТИВНАЯ АЗИМУТАЛЬНАЯ ПРО-

ЕКЦИЯ С ПОЗИТИВНЫМ ИЗОБРАЖЕНИЕМ


ческую сетку внешней перспективной азимутальной проекции. Землю принять за

шар радиуса R. Вычисления произвести на горизонтальную и наклонную картин-

ную плоскость.

Внешние перспективные азимутальные проекции с позитивным изображе-

нием могут применяться для построения картографической сетки на космических

снимках.

1. Вычисления на горизонтальную картинную плоскость








φ0, λ0 - координаты полюса косой системы Q;

R – радиус земного шара;

Н – расстояние от точки проектирования до картинной плоскости (рис.11).

27

Рис. 11


;2

sin

;p

;zcosRD

H;

)zcosRD(

)RzcosD(H

;zcosRD

asinzsinHRy;

zcosRD

acoszsinHRx

12

12

21

221

).sin(cosasinzsin

);cos(sincoscossinacoszsin

);cos(coscossinsinzcos

;RHD

0

000

000

Порядок выполнения:

Возьмем для примера следующие значения исходных данных (рис.12):

φю =40с.ш.; φс =50с.ш.; λз=-5в.д.; λв=5в.д.; φо= 45; λо = 0; Δφ=

Δλ=5; R= N o= 6 388 945 м; Н = 350 000 м; D = H+R = 6 738 945 м.

Все вычисления заносим в таблицу 9.

K

A A’ R

R

z

Q(o,λo)

D

H

28

28

Таблица 9

N точек cos z sin z cos a sin z sin a D-R cos z X (м) Y(м) p °

1 50,0 -5,0 0,994465 0,088885 -0,056023 385362 515773 -325081 0,73699 0,90824 0,66936 11,95

2 50,0 0,0 0,996195 0,087156 0,000000 374312 520666 0,0 0,81026 0,93505 0,75763 8,20

3 50,0 5,0 0,994465 0,088885 0,056023 385362 515773 325081 0,73699 0,90824 0,66936 11,95

4 45,0 -5,0 0,998097 0,001903 -0,061628 362156 11747,9 -380524 0,89978 0,96643 0,86958 4,09

5 45,0 0,0 1,000000 0,000000 0,000000 350000 0,0 0,0 1,00000 1,00000 1,00000 0,00

6 45,0 5,0 0,998097 0,001903 0,061628 362156 11747,9 380524 0,89978 0,96643 0,86958 4,09

7 40,0 -5,0 0,994133 -0,085095 -0,066765 387481 -491076 -385298 0,72374 0,90327 0,65373 12,67

8 40,0 0,0 0,996195 -0,087156 0,000000 374312 -520666 0,0 0,81026 0,93505 0,75763 8,20

9 40,0 5,0 0,994133 -0,085095 0,066765 387481 -491076 385298 0,72374 0,90327 0,65373 12,67

29

Затем по вычисленным координатам X и Y в выбранном (произволь-

ном) масштабе строим картографическую сетку (рис.12).

30

2. Вычисления на наклонную картинную плоскость


Вычисления производятся для тех же точек, что и в горизонтальной

плоскости.

f – фокусное расстояние объектива фотокамеры;

εо - угол в плоскости главного вертикала между главным оптическим

лучом и нормалью к эллипсоиду;

- угол между осью абсцисс снимка и главной вертикалью – линией

пересечения плоскостей главного вертикала и снимка;

X, Y – прямоугольные координаты точек на горизонтальной плоскости.


;cossin

cos)sincos(sin

oo

oo

HX

HXYfx

.cossin

sin)sincos(cos

oo

oo

HX

HXYfy

ПРИМЕР:


f = 100 мм; о =5°; =10°.

Все вычисления заносим в таблицу 10.

Таблица 10

N точек °

°

X coso –

- H sino

X sino +

+ H coso x (мм) y (мм)

1 50,0 -5,0 483305,4 393620,7 106,58 -102,65

2 50,0 0,0 488180,7 394047,2 122,01 -21,51

3 50,0 5,0 483305,4 393620,7 135,26 60,01

4 45,0 -5,0 -18801,3 349692,0 -24,19 -106,23

5 45,0 0,0 -30504,5 348668,1 -8,62 1,52

31

6 45,0 5,0 -18801,3 349692,0 13,60 108,10

7 40,0 -5,0 -519711,4 305868,1 -189,21 -94,55

8 40,0 0,0 -549189,7 303289,1 -178,33 31,44

9 40,0 5,0 -519711,4 305868,1 -145,46 153,56

Затем по вычисленным координатам х и у строим картографическую

сетку (Рис. 13). Масштаб изображения будет равен: f : H, что в данном

случае составляет 1: 3 500 000.

32

Лабораторная работа № 3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

В КАРТОГРАФИИ

В математической картографии применяются методы интерполяции,

численного дифференцирования и численного интегрирования.

Методы численного дифференцирования применяются для определе-

ния частных масштабов длин и других характеристик проекций по числен-

ным значениям прямоугольных координат, если нет аналитических зависи-

мостей или они имеют сложный вид.

Методы численного интегрирования используются в случаях, когда по

заданным численным значениям частных масштабов или другим характери-

стикам проекции надо определить прямоугольные координаты и недостаю-

щие характеристики.

1. Численное дифференцирование

Методы численного дифференцирования позволяют определить чис-

ленные значения производных по значениям функции. Пусть имеются чис-

ленные значения функции f(t) для девяти значений аргумента t. Для опреде-

ления численных значений производных составляется таблица разностей.

Разности вычисляются между соседними значениями по столбцам, ин-

дексы определяются как среднее арифметическое между индексами величин,

разность которых находится.

Например:

3427fff I

/ , индекс 7/2=(4+3)/2

или

III

/

III

/

IV fff23211

, индекс –1=(-1/2 -3/2)/2.

33

Таблица 11

Аргумент

t

Функция

f

Разности )f(

t

Производная

ft If IIf IIIf IVf Vf VIf

t-4 f-4 )f(t 4

4tf

I

/f

27

t-3 f-3 IIf3

)f(t 3

3tf

I

/f

25

III

/f

25

t-2 f-2 IIf2

IVf2

)f(t 2

2tf

I

/f

23

III

/f

23

V

/f

23

t-1 f-1 IIf1

IVf1

VIf1

)f(t 1

1tf

I

/f

21

III

/f

21

V

/f

21

t0 f0 IIf0

IVf0

VIf0

)f(t0

0tf

I

/f

21

III

/f

21

V

/f

21

t1 f1 IIf1

IVf1

VIf1

)f(t1

1tf

I

/f

23

III

/f

23

V

/f

23

t2 f2 IIf2

IVf2

)f(t2

2tf

I

/f

25

III

/f

25

t3 f3 IIf3

)f(t3

3tf

I

/f

27

t4 f4 )f(t4

4tf

Для определения производных применяются следующие формулы, за-

писанные для аргумента t0:

Формула Ньютона для дифференцирования по диагонали вниз. Форму-

ла используется для определения производных 4t

f , 3t

f , 2t

f .

...ffffff)f( VIV

/

IVIII

/

III

/t

361

2551

241

2331

121

210

(1)

34

Формула Ньютона для дифференцирования по диагонали вверх. Фор-

мула используется для определения производных 4t

f , 3t

f , 2t

f .

...ffffff)f( VIV

/

IVIII

/

III

/t

361

2551

241

2331

121

210

(2)

Формула Стирлинга для дифференцирования по строке. Формула ис-

пользуется для определения производных 1t

f , 0t

f , 1t

f .

...fff)f( VIIII

t

0301

061

00

(3)

где )ff(f I

/

I

/

I

212121

0 ; )ff(f III

/

III

/

III

212121

0 и т.д.

Окончательные значения производных вычисляются по формуле

)f(f

t

t

0

0

,

где - шаг аргумента в радианах.

ПРИМЕР:

Даны прямоугольные координаты псевдоцилиндрической проекции,

требуется найти значения частных масштабов длин вдоль параллелей.

Для псевдоцилиндрической проекции частные масштабы длин вдоль

параллелей определяются по формуле:

cosR

yn , где

y определяется численными методами.

Исходные данные для вычислений

Масштаб карты 1:М0 = 1:10 000 000; радиус Земли R= 6 371 116 м;

широта параллели =0о; y - значения ординат в см (приведены в табл.12).

Таблица 12

30о

40о 50

о 60

о 70

о 80

о 90

о 100

о 110

о

y (см) 29.016 38.682 48.334 57.970 67.582 77.160 86.697 96.177 105.590

35

Составляется таблица разностей:

Таблица 13

Аргу-

мент

Функция

y

Разности

)y(

)y(

y

cosR

yn

Iy

IIy IIIy IVy

30о 29.016 9.6738 55.427 0.8700

9.666

40о 38.682 -0.014 9.6578 55.335 0.8685

9.652 -0.002

50о 48.334 -0.016 -0.006 9.6439 55.255 0.8673

9.636 -0.008

60о 57.970 9.624 -0.024 -0.009 -0.002 9.6255 55.150 0.8656

9.612 -0.010

70о 67.582 9.595 -0.034 -0.0085 0.003 9.5964 54.983 0.8630

9.578 -0.007

80о 77.160 9.5575 -0.041 -0.0115 -0.009 9.5594 54.771 0.8597

9.537 -0.016

90о 86.697 -0.057 0.006 9.5149 54.516 0.8557

9.480 -0.010

100о 96.177 -0.067 9.4439 54.110 0.8493

9.413

110о 105.590 9.3777 53.730 0.8433

Для аргументов = 30о, 40

о, 50

о берутся разности, расположенные по

диагонали вниз и вычисление )( y выполняются по формуле (1).

Например, для = 30о:

9.67380.006)(4

10.002)(

3

10.014)(

2

19.666y )(


о, 110


диагонали вверх и вычисление )y( выполняются по формуле (2).


9.44390.009)(4

10.016)(

3

10.057)(

2

19.480)ω(y λ

36


о, 80


строке и вычисление )( y выполняются по формуле (3).


9.62550.009)(6

19.624)ω(y λ

где

9.612)(9.6362

19.624

Шаг аргумента в радианах: oo / =10 о / 57

о.29578=0.174533.

При вычислении частного масштаба длин вдоль параллелей значение

радиуса Земли следует перевести в сантиметры и в заданный масштаб: R =

63.71116 см.

Численное интегрирование

Методы численного интегрирования позволяют, в частности, опреде-

лить значения функции по численным значениям производных. Пусть име-

ются численные значения интегрируемой функции f(t) для девяти значений

аргумента t. Следует определить интеграл вида:

dt)t(fXt

0

Cоставляется таблица разностей (табл.14).

Редукция определяется по формуле:

...2/12/12/1 72011

121 IVII ff , (4)

где )102/1 (21 IIIIII fff , )(

21

102/1IVIVIV fff .

Величины определяются по формуле:

)f(/// 212121

, (5)

где - шаг аргумента в радианах,

f – значение интегрируемой функции, определяемой как

37

)(21

102/1 fff .

Таблица 14

Аргумент

t f(t)

Разности Редукция

Приращение

Функция

X If IIf IIIf IVf

t-4 f-4

I

/f

27

t-3 f-3 IIf3

I

/f

25

III

/f

25

t-2 f-2 IIf2

IVf2

2X

I

/f

23

III

/f

23

23 /

23 /

t-1 f-1 IIf1

IVf1

1X

I

/f

21

III

/f

21

21 /

21 /

t0 f0 IIf0

IVf0

0X

I

/f

21

III

/f

21

21 /

21 /

t1 f1 IIf1

IVf1

1X

I

/f

23

III

/f

23

23 /

23 /

t2 f2 IIf2

IVf2

2X

I

/f

25

III

/f

25

t3 f3 IIf3

t4 f4

Численные значения искомой функции dt)t(fXt

0

определим по

формулам Коуэлла:

2321 /XX

2110 /XX

(6)

38

……………………

2111 /)n(nnXX

При определении Х возможны два случая:

Если известно начальное значение Х, тогда получают значения функ-

ции в каждой точке.

Если начальное значение не известно, тогда принимают его равным

нулю и получают значения изменения искомой функции относительно на-

чальной точки.

ПРИМЕР:

Даны численные значения частных масштабов длин вдоль меридианов

в цилиндрической проекции, требуется найти прямоугольные координаты и

построить сетку.

Для цилиндрической проекции частные масштабы длин вдоль мери-

дианов определяются по формуле:

.R

xm

Для определения абсцисс требуется определить интеграл:

. mdRx

Ординаты определяются по формуле:

.Ry

Исходные данные для вычислений

Масштаб 1:М0 = 1:20 000 000; радиус Земли R= 6 371 116 м; значения

частных масштабов вдоль меридианов m (приведены в таблице 15).

Таблица 15

15о

20о 25

о 30

о 35

о 40

о 45

о 50

о 55

о

m 1.0353 1.0642 1.1034 1.1547 1.2208 1.3054 1.4142 1.5557 1.7434

39

Шаг аргумента в радианах oo / =5 о / 57

о.29578=0.08727.

Составляется таблица разностей:

Таблица 16

Аргумент

m

Разности Редукция

Приращение Δ Х

Im IIm IIIm IVm

15о 1.0353

0.0289

20о 1.0642 0.0103

0.0392 0.0018

25о 1.1034 0.0121 0.0009 0

1.1290 0.0513 0.0134 0.0027 0.00095 -0.00110 0.0984

30о 1.1547 0.0148 0.0010 0.0984

1.1878 0.0661 0.0166 0.0037 0.0015 -0.00136 0.1035

35о 1.2208 0.0185 0.0020 0.2019

1.2631 0.0846 0.0214 0.0057 0.0024 -0.00175 0.1101

40о 1.3054 0.0242 0.0028 0.3120

1.3598 0.1088 0.0284 0.0085 0.0039 -0.00231 0.1185

45о 1.4142 0.0327 0.0050 0.4305

0.1415 0.0135

50о 1.5557 0.0462

0.1877

55о 1.7434

Ниже приведен пример вычисления Х для аргумента φ = 35°.

Сначала вычисляется редукция по формуле (4):

0.001360.0015720

110.0166

12

1

; где

40

0.0185);(0.01482

10.0166

0.0020).(0.0010

2

10.0015

Потом вычисляется приращение функции Δ по формуле (5):

Δ = 0.08727 (1.878-0.00136) = 0.1035; где

1.2208);(1.15472

11.878

0.08727 = 5 о / 57

о.29578 – шаг аргумента в радианах.

Затем вычисляется Х по формуле (6) путем последовательного при-

бавления приращений:

Х= 0.0984+0.1035=0.2019 .

В заключение вычисляются прямоугольные координаты x, y с учетом

заданного масштаба.

x = RX; y=Rλ/ρ°.

Предварительно значение радиуса R необходимо перевести в милли-

метры и заданный масштаб: R = 318.556 мм.

Значения ординат вычисляются для пяти меридианов, начиная с нуле-

вого. Шаг сетки по долготе такой же, как по широте.

Таблица 16 Таблица 17

х (мм)

y(мм)

25о

0 0о 0

30о 31.35 5

о 27.80

35о 64.32 10

о 55.60

40о 99.39 15

о 83.40

45о 137.14 20

о 111.20

По вычисленным координатам необходимо построить сетку нормаль-

ной цилиндрической проекции.

41

ЛИТЕРАТУРА

1. Бугаевский Л.М. Математическая картография: Учебник для вузов.

– М.: 1998. – 400с.

2. Бугаевский Л.М., Портнов А.М. Методические указания по выпол-

нению лабораторных и курсовой работ по курсу «Картография». Для студен-

тов IV курса специальности аэрофотогеодезия, V курса специальности иссле-

дование природных ресурсов. – М.: МИИГАиК, 1985. – 57с.

3. Вахрамеева Л.А., Бугаевский Л.М., Казакова З.Л. Математическая

картография: Учебник для вузов. – М.: Недра, 1986. – 286 с.

4. Картографические таблицы. – Труды ЦНИИГАиК, вып.132. - М.:

Геодезиздат, 1960. – 260 с.

42

ПРИЛОЖЕНИЕ

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Площадь тра-

Радиус кри- Радиус кри- Средний ра- Длина дуги Длина дуги Величина Величина Мериди- пеции с раз-

φ 0 визны мери- визны перво- диус кривиз- Радиус параллели меридиана параллели lnU lgU анная ностью дол-

диана го вертикала ны часть гот в 1 радиан

M (м) N(м) R (м) r (м) lg r Sm (м) Sn (м) lnU lgU D' P (кв. км)

0,0 6 335 552,9 6 378 245,0 6 356 863,1 6 378 245,0 6,8047012 0,0 111 321,4 0,00000000 0,00000000 0,000 0,0

0,5 6 335 557,7 6 378 246,6 6 356 866,3 6 378 003,8 6,8046848 55 288,1 111 317,2 0,00866835 0,00376462 29,800 352 636,9

1,0 6 335 572,2 6 378 251,5 6 356 876,0 6 377 280,1 6,8046355 110 576,4 111 304,5 0,01733736 0,00752952 59,601 705 247,6

1,5 6 335 596,4 6 378 259,6 6 356 892,2 6 376 074,0 6,8045533 165 864,8 111 283,5 0,02600772 0,01129501 89,408 1 057 806,1

2,0 6 335 630,3 6 378 271,0 6 356 914,9 6 374 385,5 6,8044383 221 153,4 111 254,0 0,03468008 0,01506137 119,221 1 410 286,1

2,5 6 335 673,9 6 378 285,6 6 356 944,0 6 372 214,9 6,8042904 276 442,4 111 216,1 0,04335512 0,01882889 149,044 1 762 661,7

3,0 6 335 727,1 6 378 303,5 6 356 979,6 6 369 562,2 6,8041096 331 731,8 111 169,8 0,05203351 0,02259787 178,878 2 114 906,6

3,5 6 335 789,9 6 378 324,6 6 357 021,7 6 366 427,7 6,8038958 387 021,7 111 115,1 0,06071593 0,02636859 208,726 2 466 994,7

4,0 6 335 862,4 6 378 348,9 6 357 070,1 6 362 811,5 6,8036491 442 312,2 111 052,0 0,06940304 0,03014136 238,590 2 818 900,0

4,5 6 335 944,4 6 378 376,4 6 357 125,0 6 358 714,0 6,8033693 497 603,4 110 980,5 0,07809552 0,03391645 268,473 3 170 596,3

5,0 6 336 036,1 6 378 407,2 6 357 186,3 6 354 135,4 6,8030565 552 895,4 110 900,6 0,08679406 0,03769418 298,376 3 522 057,5

5,5 6 336 137,2 6 378 441,1 6 357 254,0 6 349 076,0 6,8027105 608 188,2 110 812,3 0,09549933 0,04147483 328,303 3 873 257,7

6,0 6 336 247,9 6 378 478,2 6 357 328,0 6 343 536,3 6,8023314 663 481,9 110 715,6 0,10421201 0,04525870 358,255 4 224 170,6

6,5 6 336 368,1 6 378 518,6 6 357 408,4 6 337 516,5 6,8019191 718 776,6 110 610,5 0,11293280 0,04904609 388,234 4 574 770,4

7,0 6 336 497,7 6 378 562,1 6 357 495,1 6 331 017,2 6,8014735 774 072,4 110 497,1 0,12166237 0,05283730 418,244 4 925 031,0

7,5 6 336 636,7 6 378 608,7 6 357 588,1 6 324 038,8 6,8009945 829 369,3 110 375,3 0,13040143 0,05663262 448,287 5 274 926,4

8,0 6 336 785,1 6 378 658,5 6 357 687,3 6 316 581,8 6,8004821 884 667,6 110 245,2 0,13915066 0,06043237 478,365 5 624 430,5

8,5 6 336 942,8 6 378 711,4 6 357 792,8 6 308 646,8 6,7999362 939 967,1 110 106,7 0,14791078 0,06423683 508,480 5 973 517,5

9,0 6 337 109,8 6 378 767,4 6 357 904,5 6 300 234,2 6,7993567 995 268,1 109 959,8 0,15668247 0,06804633 538,635 6 322 161,5

9,5 6 337 286,0 6 378 826,6 6 358 022,4 6 291 344,8 6,7987435 1 050 570,6 109 804,7 0,16546646 0,07186117 568,832 6 670 336,4

10,0 6 337 471,4 6 378 888,8 6 358 146,4 6 281 979,1 6,7980965 1 105 874,7 109 641,2 0,17426346 0,07568166 599,074 7 018 016,5

10,5 6 337 665,9 6 378 954,0 6 358 276,4 6 272 137,8 6,7974156 1 161 180,4 109 469,5 0,18307417 0,07950810 629,363 7 365 175,9

11,0 6 337 869,5 6 379 022,3 6 358 412,6 6 261 821,7 6,7967007 1 216 487,8 109 289,4 0,19189933 0,08334082 659,701 7 711 788,7

11,5 6 338 082,0 6 379 093,6 6 358 554,8 6 251 031,4 6,7959517 1 271 797,1 109 101,1 0,20073967 0,08718013 690,092 8 057 829,3

12,0 6 338 303,5 6 379 167,9 6 358 702,9 6 239 767,8 6,7951684 1 327 108,3 108 904,5 0,20959592 0,09102635 720,538 8 403 271,7

12,5 6 338 533,9 6 379 245,2 6 358 857,0 6 228 031,6 6,7943508 1 382 421,4 108 699,7 0,21846883 0,09487981 751,041 8 748 090,4

13,0 6 338 773,1 6 379 325,4 6 359 016,9 6 215 823,8 6,7934987 1 437 736,6 108 486,6 0,22735913 0,09874082 781,603 9 092 259,6

43

φ 0 M (м) N(м) R (м) r (м) lg r Sm (м) Sn (м) lnU lgU D' P (кв. км)

13,5 6 339 021,0 6 379 408,6 6 359 182,7 6 203 145,0 6,7926119 1 493 053,9 108 265,3 0,23626760 0,10260971 812,228 9 435 753,7

14,0 6 339 277,5 6 379 494,7 6 359 354,3 6 189 996,4 6,7916904 1 548 373,4 108 035,8 0,24519499 0,10648683 842,918 9 778 547,1

14,5 6 339 542,6 6 379 583,6 6 359 531,6 6 176 378,8 6,7907339 1 603 695,2 107 798,1 0,25414206 0,11037250 873,676 10 120 614,2

15,0 6 339 816,3 6 379 675,4 6 359 714,6 6 162 293,2 6,7897424 1 659 019,3 107 552,3 0,26310961 0,11426705 904,504 10 461 929,6

15,5 6 340 098,3 6 379 770,0 6 359 903,2 6 147 740,7 6,7887155 1 714 345,9 107 298,3 0,27209841 0,11817084 935,405 10 802 467,6

16,0 6 340 388,7 6 379 867,4 6 360 097,4 6 132 722,2 6,7876533 1 769 674,9 107 036,2 0,28110927 0,12208420 966,382 11 142 203,0

16,5 6 340 687,4 6 379 967,6 6 360 297,1 6 117 238,8 6,7865554 1 825 006,5 106 766,0 0,29014298 0,12600749 997,438 11 481 110,2

17,0 6 340 994,2 6 380 070,5 6 360 502,3 6 101 291,7 6,7854218 1 880 340,8 106 487,6 0,29920036 0,12994107 1028,575 11 819 164,1

17,5 6 341 309,0 6 380 176,1 6 360 712,9 6 084 882,1 6,7842522 1 935 677,8 106 201,2 0,30828224 0,13388527 1059,796 12 156 339,2

18,0 6 341 631,9 6 380 284,3 6 360 928,8 6 068 011,0 6,7830464 1 991 017,6 105 906,8 0,31738944 0,13784048 1091,105 12 492 610,4

18,5 6 341 962,6 6 380 395,3 6 361 149,9 6 050 679,8 6,7818042 2 046 360,2 105 604,3 0,32652282 0,14180706 1122,503 12 827 952,6

19,0 6 342 301,1 6 380 508,8 6 361 376,3 6 032 889,6 6,7805254 2 101 705,7 105 293,8 0,33568324 0,14578538 1153,994 13 162 340,5

19,5 6 342 647,3 6 380 624,9 6 361 607,7 6 014 641,7 6,7792098 2 157 054,2 104 975,3 0,34487154 0,14977581 1185,581 13 495 749,1

20,0 6 343 001,1 6 380 743,5 6 361 844,3 5 995 937,6 6,7778571 2 212 405,8 104 648,9 0,35408863 0,15377874 1217,267 13 828 153,4

20,5 6 343 362,3 6 380 864,6 6 362 085,8 5 976 778,4 6,7764672 2 267 760,5 104 314,5 0,36333539 0,15779455 1249,055 14 159 528,6

21,0 6 343 730,9 6 380 988,2 6 362 332,3 5 957 165,7 6,7750397 2 323 118,4 103 972,2 0,37261272 0,16182365 1280,948 14 489 849,6

21,5 6 344 106,7 6 381 114,2 6 362 583,6 5 937 100,8 6,7735744 2 378 479,5 103 622,0 0,38192155 0,16586642 1312,950 14 819 091,6

22,0 6 344 489,7 6 381 242,6 6 362 839,6 5 916 585,1 6,7720711 2 433 844,0 103 263,9 0,39126280 0,16992327 1345,062 15 147 230,1

22,5 6 344 879,7 6 381 373,4 6 363 100,4 5 895 620,2 6,7705295 2 489 211,8 102 898,0 0,40063743 0,17399462 1377,290 15 474 240,1

23,0 6 345 276,6 6 381 506,4 6 363 365,7 5 874 207,6 6,7689493 2 544 583,0 102 524,3 0,41004640 0,17808089 1409,636 15 800 097,2

23,5 6345680,3 6 381 641,8 6 363 635,6 5 852 348,9 6,7673302 2 599 957,8 102 142,8 0,41949068 0,18218249 1442,103 16 124 776,7

24,0 6346090,7 6 381 779,3 6 363 910,0 5 830 045,5 6,7656719 2 655 336,1 101 753,5 0,42897127 0,18629985 1474,695 16 448 254,3

24,5 6346507,6 6 381 919,1 6 364 188,7 5 807 299,2 6,7639742 2 710 718,0 101 356,5 0,43848918 0,19043343 1507,415 16 770 505,4

25,0 6346930,9 6 382 061,0 6 364 471,7 5 784 111,5 6,7622367 2 766 103,6 100 951,8 0,44804545 0,19458367 1540,267 17 091 505,9

25,5 6347360,6 6 382 205,0 6 364 758,9 5 760 484,3 6,7604590 2 821 492,8 100 539,4 0,45764111 0,19875101 1573,254 17 411 231,4

26,0 6347796,3 6 382 351,0 6 365 050,2 5 736 419,1 6,7586409 2 876 885,9 100 119,4 0,46727724 0,20293592 1606,381 17 729 657,8

26,5 6348238,2 6 382 499,1 6 365 345,6 5 711 917,8 6,7567819 2 932 282,8 99 691,8 0,47695491 0,20713888 1639,650 18 046 760,9

27,0 6348685,9 6 382 649,1 6 365 644,9 5 686 982,0 6,7548819 2 987 683,6 99 256,6 0,48667524 0,21136037 1673,066 18 362 516,9

27,5 6349139,4 6 382 801,1 6 365 948,0 5 661 613,7 6,7529402 3 043 088,3 98 813,8 0,49643934 0,21560087 1706,633 18 676 901,7

28,0 6349598,5 6 382 955,0 6 366 254,9 5 635 814,7 6,7509567 3 098 497,0 98 363,5 0,50624838 0,21986088 1740,354 18 989 891,5

28,5 6350063,2 6 383 110,6 6 366 565,5 5 609 586,9 6,7489309 3 153 909,7 97 905,8 0,51610351 0,22414091 1774,233 19 301 462,6

29,0 6350533,1 6 383 268,1 6 366 879,6 5 582 932,1 6,7468623 3 209 326,5 97 440,5 0,52600594 0,22844148 1808,275 19 611 591,4

29,5 6351008,3 6 383 427,3 6 367 197,2 5 555 852,3 6,7447507 3 264 747,5 96 967,9 0,53595688 0,23276312 1842,484 19 920 254,2

30,0 6351488,6 6 383 588,2 6 367 518,2 5 528 349,6 6,7425955 3 320 172,6 96 487,9 0,54595758 0,23710636 1876,864 20 227 427,6

44


30,5 6351973,8 6 383 750,8 6 367 842,4 5 500 425,8 6,7403963 3 375 601,9 96 000,5 0,55600930 0,24147177 1911,419 20 533 088,2

31,0 6352463,7 6 383 914,9 6 368 169,9 5 472 083,1 6,7381527 3 431 035,4 95 505,9 0,56611334 0,24585990 1946,154 20 837 212,8

31,5 6352958,3 6 384 080,6 6 368 500,4 5 443 323,5 6,7358641 3 486 473,3 95 003,9 0,57627102 0,25027132 1981,074 21 139 778,0

32,0 6353457,4 6 384 247,7 6 368 834,0 5 414 149,1 6,7335302 3 541 915,5 94 494,7 0,58648371 0,25470664 2016,182 21 440 761,0

32,5 6353960,8 6 384 416,4 6 369 170,4 5 384 562,1 6,7311504 3 597 362,1 93 978,3 0,59675278 0,25916644 2051,485 21 740 138,6

33,0 6354468,4 6 384 586,4 6 369 509,6 5 354 564,7 6,7287242 3 652 813,0 93 454,8 0,60707964 0,26365134 2086,986 22 037 888,0

33,5 6354980,0 6 384 757,7 6 369 851,5 5 324 158,9 6,7262510 3 708 268,5 92 924,1 0,61746576 0,26816197 2122,691 22 333 986,5

34,0 6355495,5 6 384 930,3 6 370 195,9 5 293 347,2 6,7237304 3 763 728,4 92 386,3 0,62791260 0,27269898 2158,605 22 628 411,3

34,5 6356014,7 6 385 104,2 6 370 542,9 5 262 131,6 6,7211617 3 819 192,8 91 841,5 0,63842169 0,27726302 2194,732 22 921 139,9

35,0 6356537,5 6 385 279,3 6 370 892,2 5 230 514,6 6,7185444 3 874 661,8 91 289,7 0,64899458 0,28185476 2231,079 23 212 149,9

35,5 6357063,7 6 385 455,4 6 371 243,8 5 198 498,4 6,7158779 3 930 135,3 90 730,9 0,65963286 0,28647491 2267,651 23 501 418,9

36,0 6357593,1 6 385 632,7 6 371 597,5 5 166 085,4 6,7131616 3 985 613,5 90 165,2 0,67033816 0,29112416 2304,453 23 788 924,7

36,5 6358125,6 6 385 811,0 6 371 953,3 5 133 278,0 6,7103948 4 041 096,3 89 592,6 0,68111215 0,29580325 2341,491 24 074 645,2

37,0 6358661,1 6 385 990,2 6 372 311,0 5 100 078,6 6,7075769 4 096 583,7 89 013,2 0,69195655 0,30051291 2378,771 24 358 558,4

37,5 6359199,3 6 386 170,4 6 372 670,6 5 066 489,6 6,7047072 4 152 075,9 88 426,9 0,70287311 0,30525391 2416,300 24 640 642,5

38,0 6359740,1 6 386 351,4 6 373 031,9 5 032 513,6 6,7017850 4 207 572,7 87 833,9 0,71386364 0,31002704 2454,082 24 920 875,6

38,5 6360283,3 6 386 533,3 6 373 394,8 4 998 153,0 6,6988095 4 263 074,3 87 234,2 0,72492999 0,31483309 2492,126 25 199 236,2

39,0 6360828,8 6 386 715,8 6 373 759,2 4 963 410,4 6,6957802 4 318 580,6 86 627,9 0,73607406 0,31967290 2530,436 25 475 702,9

39,5 6361376,4 6 386 899,1 6 374 125,0 4 928 288,4 6,6926961 4 374 091,7 86 014,9 0,74729781 0,32454731 2569,021 25 750 254,1

40,0 6361926,0 6 387 083,0 6 374 492,1 4 892 789,5 6,6895565 4 429 607,6 85 395,3 0,75860325 0,32945720 2607,886 26 022 868,7

40,5 6362477,3 6 387 267,5 6 374 860,3 4 856 916,3 6,6863606 4 485 128,2 84 769,2 0,76999243 0,33440346 2647,039 26 293 525,6

41,0 6363030,2 6 387 452,5 6 375 229,7 4 820 671,6 6,6831075 4 540 653,7 84 136,6 0,78146748 0,33938701 2686,487 26 562 203,7

41,5 6363584,6 6 387 638,0 6 375 600,0 4 784 058,0 6,6797964 4 596 184,1 83 497,6 0,79303058 0,34440880 2726,238 26 828 882,3

42,0 6364140,2 6 387 823,9 6 375 971,1 4 747 078,3 6,6764264 4 651 719,3 82 852,1 0,80468399 0,34946981 2766,300 27 093 540,7

42,5 6364696,9 6 388 010,2 6 376 342,9 4 709 735,1 6,6729965 4 707 259,3 82 200,4 0,81643001 0,35457105 2806,680 27 356 158,2

43,0 6365254,6 6 388 196,8 6 376 715,4 4 672 031,4 6,6695057 4 762 804,2 81 542,3 0,82827103 0,35971354 2847,386 27 616 714,4

43,5 6365813,0 6 388 383,6 6 377 088,3 4 633 969,7 6,6659532 4 818 353,9 80 878,0 0,84020950 0,36489835 2888,428 27 875 189,1

44,0 6366372,1 6 388 570,6 6 377 461,7 4 595 553,1 6,6623378 4 873 908,6 80 207,5 0,85224796 0,37012658 2929,813 28 131 562,1

44,5 6366931,5 6 388 757,7 6 377 835,3 4 556 784,3 6,6586585 4 929 468,1 79 530,9 0,86438901 0,37539938 2971,551 28 385 813,5

45,0 6367491,2 6 388 944,9 6 378 209,0 4 517 666,3 6,6549141 4 985 032,5 78 848,2 0,87663535 0,38071789 3013,650 28 637 923,3

45,5 6368051,0 6 389 132,1 6 378 582,9 4 478 201,9 6,6511037 5 040 601,8 78 159,4 0,88898975 0,38608334 3056,122 28 887 871,9

46,0 6368610,7 6 389 319,3 6 378 956,6 4 438 394,1 6,6472259 5 096 176,0 77 464,6 0,90145509 0,39149697 3098,974 29 135 639,6

46,5 6369170,1 6 389 506,4 6 379 330,1 4 398 245,9 6,6432795 5 151 755,0 76 763,9 0,91403432 0,39696006 3142,219 29 381 207,2

47,0 6369729,1 6 389 693,3 6 379 703,4 4 357 760,4 6,6392633 5 207 339,0 76 057,3 0,92673052 0,40247395 3185,865 29 624 555,4

45


63,0 6386389,6 6 395 259,3 6 390 822,9 2 903 387,0 6,4629049 6 988 506,8 50 673,7 1,42081379 0,61705158 4884,398 36 133 477,6

63,5 6386841,8 6 395 410,3 6 391 124,6 2 853 618,1 6,4553958 7 044 240,5 49 805,0 1,44017621 0,62546058 4950,961 36 293 908,3

47,5 6370287,5 6 389 880,0 6 380 076,3 4 316 940,4 6,6351760 5 262 927,8 75 344,8 0,93954684 0,40804001 3229,924 29 865 665,1

48,0 6370845,2 6 390 066,5 6 380 448,6 4 275 789,0 6,6310163 5 318 521,5 74 626,6 0,95248656 0,41365965 3274,408 30 104 517,4

48,5 6371401,9 6 390 252,6 6 380 820,3 4 234 309,5 6,6267826 5 374 120,0 73 902,6 0,96555306 0,41933437 3319,327 30 341 093,4

49,0 6371957,5 6 390 438,3 6 381 191,2 4 192 504,8 6,6224736 5 429 723,4 73 173,0 0,97874987 0,42506566 3364,694 30 575 374,6

49,5 6372511,8 6 390 623,6 6 381 561,3 4 150 378,0 6,6180877 5 485 331,6 72 437,8 0,99208060 0,43085513 3410,522 30 807 342,6

50,0 6373064,6 6 390 808,4 6 381 930,3 4 107 932,5 6,6136233 5 540 944,7 71 696,9 1,00554902 0,43670439 3456,823 31 036 979,1

50,5 6373615,8 6 390 992,7 6 382 298,3 4 065 171,2 6,6090788 5 596 562,6 70 950,6 1,01915904 0,44261514 3503,611 31 264 265,9

51,0 6374165,3 6 391 176,3 6 382 665,1 4 022 097,6 6,6044526 5 652 185,3 70 198,8 1,03291470 0,44858915 3550,899 31 489 185,1

51,5 6374712,8 6 391 359,3 6 383 030,6 3 978 714,7 6,5997428 5 707 812,8 69 441,7 1,04682020 0,45462824 3598,703 31 711 719,0

52,0 6375258,1 6 391 541,5 6 383 394,6 3 935 025,9 6,5949476 5 763 445,0 68 679,2 1,06087991 0,46073429 3647,037 31 931 850,0

52,5 6375801,2 6 391 723,0 6 383 757,2 3 891 034,4 6,5900651 5 819 082,0 67 911,4 1,07509837 0,46690929 3695,916 32 149 560,6

53,0 6376341,8 6 391 903,7 6 384 118,0 3 846 743,7 6,5850932 5 874 723,7 67 138,3 1,08948027 0,47315527 3745,357 32 364 833,7

53,5 6376879,8 6 392 083,4 6 384 477,1 3 802 156,9 6,5800300 5 930 370,2 66 360,2 1,10403052 0,47947436 3795,377 32 577 652,0

54,0 6377415,0 6 392 262,3 6 384 834,3 3 757 277,5 6,5748733 5 986 021,3 65 576,9 1,11875421 0,48586878 3845,994 32 787 998,8

54,5 6377947,3 6 392 440,1 6 385 189,6 3 712 108,9 6,5696207 6 041 677,1 64 788,5 1,13365667 0,49234083 3897,225 32 995 857,4

55,0 6378476,4 6 392 616,9 6 385 542,7 3 666 654,4 6,5642700 6 097 337,5 63 995,2 1,14874341 0,49889292 3949,089 33 201 211,1

55,5 6379002,3 6 392 792,5 6 385 893,7 3 620 917,6 6,5588186 6 153 002,5 63 196,9 1,16402021 0,50552755 4001,607 33 404 043,8

56,0 6379524,7 6 392 967,0 6 386 242,3 3 574 901,8 6,5532641 6 208 672,0 62 393,8 1,17949308 0,51224733 4054,799 33 604 339,2

56,5 6380043,5 6 393 140,3 6 386 588,6 3 528 610,6 6,5476037 6 264 346,2 61 585,9 1,19516830 0,51905499 4108,686 33 802 081,4

57,0 6380558,6 6 393 312,4 6 386 932,3 3 482 047,5 6,5418347 6 320 024,8 60 773,2 1,21105243 0,52595338 4163,292 33 997 254,5

57,5 6381069,7 6 393 483,1 6 387 273,4 3 435 216,0 6,5359540 6 375 707,9 59 955,8 1,22715232 0,53294548 4218,639 34 189 843,1

58,0 6381576,8 6 393 652,4 6 387 611,8 3 388 119,6 6,5299587 6 431 395,5 59 133,8 1,24347516 0,54003440 4274,753 34 379 831,8

58,5 6382079,6 6 393 820,4 6 387 947,3 3 340 762,0 6,5238455 6 487 087,4 58 307,3 1,26002844 0,54722339 4331,659 34 567 205,3

59,0 6382578,1 6 393 986,8 6 388 279,9 3 293 146,7 6,5176111 6 542 783,8 57 476,3 1,27682002 0,55451589 4389,384 34 751 948,6

59,5 6383072,0 6 394 151,7 6 388 609,4 3 245 277,3 6,5112518 6 598 484,4 56 640,8 1,29385817 0,56191546 4447,957 34 934 047,0

60,0 6383561,2 6 394 315,1 6 388 935,9 3 197 157,5 6,5047640 6 654 189,4 55 800,9 1,31115151 0,56942587 4507,407 35 113 485,9

60,5 6384045,5 6 394 476,8 6 389 259,0 3 148 791,0 6,4981438 6 709 898,6 54 956,8 1,32870915 0,57705105 4567,766 35 290 250,9

61,0 6384524,9 6 394 636,9 6 389 578,9 3 100 181,5 6,4913871 6 765 612,0 54 108,4 1,34654062 0,58479516 4629,066 35 464 327,8

61,5 6384999,2 6 394 795,2 6 389 895,3 3 051 332,5 6,4844895 6 821 329,6 53 255,8 1,36465596 0,59266255 4691,342 35 635 702,6

62,0 6385468,1 6 394 951,7 6 390 208,2 3 002 248,0 6,4774466 6 877 051,2 52 399,1 1,38306574 0,60065781 4754,630 35 804 361,5

62,5 6385931,6 6 395 106,5 6 390 517,4 2 952 931,5 6,4702534 6 932 777,0 51 538,4 1,40178110 0,60878579 4818,968 35 970 290,9

63,0 6386389,6 6 395 259,3 6 390 822,9 2 903 387,0 6,4629049 6 988 506,8 50 673,7 1,42081379 0,61705158 4884,398 36 133 477,6

46


63,5 6386841,8 6 395 410,3 6 391 124,6 2 853 618,1 6,4553958 7 044 240,5 49 805,0 1,44017621 0,62546058 4950,961 36 293 908,3

64,0 6387288,1 6 395 559,3 6 391 422,4 2 803 628,6 6,4477205 7 099 978,2 48 932,6 1,45988147 0,63401846 5018,703 36 451 570,2

64,5 6387728,5 6 395 706,2 6 391 716,1 2 753 422,5 6,4398729 7 155 719,7 48 056,3 1,47994344 0,64273127 5087,671 36 606 450,4

65,0 6388162,8 6 395 851,2 6 392 005,8 2 703 003,5 6,4318466 7 211 465,0 47 176,3 1,50037680 0,65160536 5157,916 36 758 536,6

65,5 6388590,7 6 395 994,0 6 392 291,3 2 652 375,5 6,4236350 7 267 214,2 46 292,7 1,52119715 0,66064752 5229,491 36 907 816,3

66,0 6389012,3 6 396 134,7 6 392 572,5 2 601 542,3 6,4152309 7 322 967,0 45 405,5 1,54242101 0,66986493 5302,453 37 054 277,6

66,5 6389427,4 6 396 273,2 6 392 849,4 2 550 508,0 6,4066267 7 378 723,4 44 514,8 1,56406596 0,67926521 5376,863 37 197 908,6

67,0 6389835,8 6 396 409,5 6 393 121,8 2 499 276,3 6,3978143 7 434 483,5 43 620,6 1,58615071 0,68885650 5452,785 37 338 697,6

67,5 6390237,4 6 396 543,5 6 393 389,6 2 447 851,2 6,3887850 7 490 247,1 42 723,1 1,60869521 0,69864745 5530,287 37 476 633,3

68,0 6390632,1 6 396 675,2 6 393 652,9 2 396 236,7 6,3795297 7 546 014,2 41 822,2 1,63172073 0,70864730 5609,443 37 611 704,4

68,5 6391019,7 6 396 804,5 6 393 911,5 2 344 436,7 6,3700385 7 601 784,7 40 918,1 1,65525002 0,71886595 5690,330 37 743 900,1

69,0 6391400,3 6 396 931,4 6 394 165,3 2 292 455,2 6,3603009 7 657 558,5 40 010,9 1,67930744 0,72931395 5773,034 37 873 209,5

69,5 6391773,5 6 397 056,0 6 394 414,2 2 240 296,2 6,3503054 7 713 335,6 39 100,5 1,70391908 0,74000265 5857,642 37 999 622,3

70,0 6392139,4 6 397 178,0 6 394 658,2 2 187 963,7 6,3400401 7 769 116,0 38 187,2 1,72911299 0,75094423 5944,253 38 123 128,0

70,5 6392497,8 6 397 297,6 6 394 897,2 2 135 461,8 6,3294918 7 824 899,5 37 270,8 1,75491933 0,76215178 6032,968 38 243 716,7

71,0 6392848,5 6 397 414,6 6 395 131,1 2 082 794,5 6,3186464 7 880 686,1 36 351,6 1,78137062 0,77363943 6123,901 38 361 378,5

71,5 6393191,6 6 397 529,0 6 395 359,9 2 029 965,7 6,3074887 7 936 475,7 35 429,6 1,80850195 0,78542242 6217,172 38 476 103,9

72,0 6393526,8 6 397 640,8 6 395 583,5 1 976 979,7 6,2960022 7 992 268,3 34 504,8 1,83635134 0,79751725 6312,911 38 587 883,5

72,5 6393854,1 6 397 750,0 6 395 801,7 1 923 840,5 6,2841691 8 048 063,8 33 577,4 1,86495998 0,80994182 6411,260 38 696 708,3

73,0 6394173,3 6 397 856,5 6 396 014,6 1 870 552,2 6,2719698 8 103 862,1 32 647,3 1,89437265 0,82271559 6512,374 38 802 569,3

73,5 6394484,4 6 397 960,2 6 396 222,1 1 817 118,9 6,2593833 8 159 663,2 31 714,7 1,92463815 0,83585973 6616,419 38 905 457,9

74,0 6394787,4 6 398 061,3 6 396 424,1 1 763 544,7 6,2463865 8 215 466,9 30 779,7 1,95580977 0,84939739 6723,579 39 005 365,7

74,5 6395081,9 6 398 159,5 6 396 620,5 1 709 833,8 6,2329539 8 271 273,2 29 842,2 1,98794588 0,86335392 6834,055 39 102 284,6

75,0 6395368,1 6 398 254,9 6 396 811,3 1 655 990,2 6,2190578 8 327 082,1 28 902,5 2,02111059 0,87775717 6948,066 39 196 206,6

75,5 6395645,8 6 398 347,5 6 396 996,5 1 602 018,3 6,2046675 8 382 893,4 27 960,5 2,05537452 0,89263781 7065,857 39 287 124,1

76,0 6395914,8 6 398 437,3 6 397 175,9 1 547 922,1 6,1897491 8 438 707,2 27 016,3 2,09081573 0,90802973 7187,695 39 375 029,6

76,5 6396175,2 6 398 524,1 6 397 349,6 1 493 705,8 6,1742651 8 494 523,2 26 070,1 2,12752080 0,92397054 7313,878 39 459 915,9

77,0 6396426,9 6 398 608,0 6 397 517,4 1 439 373,6 6,1581735 8 550 341,5 25 121,8 2,16558612 0,94050210 7444,737 39 541 776,1

77,5 6396669,7 6 398 689,0 6 397 679,3 1 384 929,8 6,1414278 8 606 161,9 24 171,6 2,20511939 0,95767118 7580,642 39 620 603,5

78,0 6396903,6 6 398 767,0 6 397 835,2 1 330 378,5 6,1239752 8 661 984,4 23 219,5 2,24624154 0,97553030 7722,010 39 696 391,7

78,5 6397128,6 6 398 842,0 6 397 985,2 1 275 723,9 6,1057567 8 717 808,9 22 265,6 2,28908893 0,99413869 7869,308 39 769 134,3

79,0 6397344,4 6 398 913,9 6 398 129,1 1 220 970,3 6,0867051 8 773 635,3 21 310,0 2,33381609 1,01356345 8023,069 39 838 825,5

80,0 6397748,8 6 399 048,8 6 398 398,7 1 111 183,2 6,0457856 8 885 293,6 19 393,8 2,42964003 1,05517925 8352,487 39 969 030,9

80,5 6397937,1 6 399 111,5 6 398 524,3 1 056 158,0 6,0237289 8 941 125,4 18 433,4 2,48117171 1,07755918 8529,640 40 029 534,5

47


79,5 6397551,2 6 398 982,9 6 398 267,0 1 166 122,0 6,0667440 8 829 463,6 20 352,7 2,38059915 1,03388107 8183,897 39 905 459,5

81,0 6398116,2 6 399 171,2 6 398 643,7 1 001 050,9 6,0004562 8 996 958,7 17 471,6 2,53546500 1,10113845 8716,287 40 086 965,3

81,5 6398285,8 6 399 227,8 6 398 756,8 945 866,1 5,9758297 9 052 793,5 16 508,5 2,59283719 1,12605488 8913,518 40 141 318,5

82,0 6398446,1 6 399 281,2 6 398 863,7 890 607,8 5,9496865 9 108 629,8 15 544,0 2,65366331 1,15247133 9122,623 40 192 589,8

82,5 6398596,9 6 399 331,5 6 398 964,2 835 280,4 5,9218323 9 164 467,5 14 578,4 2,71839106 1,18058223 9345,140 40 240 774,8

83,0 6398738,2 6 399 378,6 6 399 058,4 779 888,1 5,8920323 9 220 306,4 13 611,6 2,78756089 1,21062231 9582,929 40 285 869,8

83,5 6398870,0 6 399 422,5 6 399 146,2 724 435,2 5,8599995 9 276 146,5 12 643,8 2,86183358 1,24287853 9838,259 40 327 870,8

84,0 6398992,1 6 399 463,3 6 399 227,7 668 926,1 5,8253781 9 331 987,7 11 675,0 2,94202876 1,27770685 10113,950 40 366 774,5

84,5 6399104,6 6 399 500,8 6 399 302,7 613 365,0 5,7877190 9 387 830,0 10 705,2 3,02918039 1,31555632 10413,555 40 402 577,8

85,0 6399207,5 6 399 535,0 6 399 371,3 557 756,2 5,7464444 9 443 673,1 9 734,7 3,12461859 1,35700460 10741,648 40 435 277,5

85,5 6399300,7 6 399 566,1 6 399 433,4 502 104,2 5,7007938 9 499 517,2 8 763,4 3,23009491 1,40281239 11104,248 40 464 871,2

86,0 6399384,1 6 399 593,9 6 399 489,0 446 413,1 5,6497369 9 555 362,0 7 791,4 3,34798154 1,45400990 11509,513 40 491 356,2

86,5 6399457,8 6 399 618,5 6 399 538,1 390 687,4 5,5918294 9 611 207,5 6 818,8 3,48160433 1,51204154 11968,874 40 514 730,5

87,0 6399521,7 6 399 639,8 6 399 580,7 334 931,3 5,5249557 9 667 053,6 5 845,7 3,63583421 1,57902273 12499,077 40 534 992,1

87,5 6399575,8 6 399 657,8 6 399 616,8 279 149,2 5,4458363 9 722 900,2 4 872,1 3,81822278 1,65823308 13126,083 40 552 139,4

88,0 6399620,0 6 399 672,6 6 399 646,3 223 345,3 5,3489769 9 778 747,2 3 898,1 4,04142115 1,75516690 13893,383 40 566 170,9

88,5 6399654,5 6 399 684,1 6 399 669,3 167 524,2 5,2240775 9 834 594,6 2 923,8 4,32914586 1,88012415 14882,507 40 577 085,4

89,0 6399679,1 6 399 692,3 6 399 685,7 111 690,0 5,0480144 9 890 442,2 1 949,4 4,73464143 2,05622864 16276,498 40 584 882,2

89,5 6399693,9 6 399 697,2 6 399 695,5 55 847,2 4,7470013 9 946 290,0 974,7 5,42780692 2,35726659 18659,426 40 589 560,5

90,0 6399698,8 6 399 698,8 6 399 698,8 0,0 ∞ 10 002 137,9 0,0 ∞ ∞ ∞ 40 591 120,0

43429448.0mod

2957795.57

6378245

0066934.02

ма

е

48

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3

Расчетно-графическая работа «РЕШЕНИЕ КАРТОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

НА СЕТКАХ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ» ....................................... 4

1. Нормальная равноугольная цилиндрическая проекция (проекция

Меркатора) ............................................................................................................ 4

2. Нормальная равноугольная коническая проекция ....................................... 8

3. Построение линий положения ...................................................................... 13

4. Вычисление длин линий по формулам ........................................................ 14

5. Измерение длин линий .................................................................................. 15

6. Оформление расчетно-графической работы ............................................... 19

Лабораторная работа № 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕЙ ТЕОРИИ

КАРТОГРАФИЧЕСКИХ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ................... 21

Лабораторная работа №2 ВНЕШНЯЯ ПЕРСПЕКТИВНАЯ

АЗИМУТАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ С ПОЗИТИВНЫМ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ...... 26

1. Вычисления на горизонтальную картинную плоскость .......................... 26

2. Вычисления на наклонную картинную плоскость ................................... 30

Лабораторная работа № 3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО

АНАЛИЗА В КАРТОГРАФИИ ........................................................................... 32

1. Численное дифференцирование ................................................................. 32

2. Численное интегрирование ......................................................................... 36

ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................................... 41

ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................... 42

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ · lg lg lg lg;;;; sin ; cos...

Documents