型 ii 誤差機率的計算 calculating type ii error probabilities

9 - 9 - 11

銘傳應用統計系銘傳應用統計系

型型 IIII 誤差機率的計算誤差機率的計算

Calculating Type II Error PrCalculating Type II Error Probabilitiesobabilities

9 - 9 - 22


檢定力檢定力 Power of TestPower of Test

1. 正確拒絕虛無假設 H0 為偽的機率2. 以 1 - 來來來

3. 以此來決定檢定的適切性4. 受下列因素的影響

母體參數的真實值訂定的顯著水準標準差以及樣本數 n

9 - 9 - 33


檢定力的求解檢定力的求解

9 - 9 - 44



Hypothesis: H0 : H0 : 368 Ha : Ha : < 368

n=25, =15,

=.05

9 - 9 - 55


XX00 = 368= 368

拒絕區拒絕區RejectReject 接受區接受區

Do notDo notrejectreject


Hypothesis:Hypothesis:HH00: : 368 368

HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,

=.05=.05

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525

根據Ｈ根據Ｈ 0 0 畫畫出出 XX 分配分配

9 - 9 - 66


XX00 = 368= 368





HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,

=.05=.05真實情形之母數真實情形之母數 :: 假設假設 11 = 360 = 360

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


9 - 9 - 77


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368

拒絕區拒絕區RejectReject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,

=.05=.05真實情形之母數真實情形之母數 ::假設假設 11 = 360 = 360

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


接受區接受區Do notDo not

rejectreject

9 - 9 - 88


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,

=.05=.05真實情形之母數真實情形之母數 : :

假設假設 11 = 360 = 360

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


9 - 9 - 99


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


假設假設 11 = 360 = 360

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


9 - 9 - 1010


XX11 = 360= 360

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525

根據Ｈ根據Ｈ 1 1

畫出畫出 XX 分分配配

來來來來來來檢定力檢定力1-1-

9 - 9 - 1111


XX11 = 360= 360 363.065363.065

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


065.36325

15645.1368

0

n

ZCV

065.36325

15645.1368

0

n

ZCV

9 - 9 - 1212


022.1

2515

360065.363

1

n

CVZ

022.1

2515

360065.363

1

n

CVZ

11 = 360= 360 363.065363.065

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


假設假設 11 = 360 = 360

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525

= .154= .154

1-1- =.846 =.846



Z Z 表查出表查出

9 - 9 - 1313


檢定力曲線檢定力曲線 Power CurvesPower Curves

9 - 9 - 1414


XX00 = 368= 368





HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


9 - 9 - 1515


XX22 = 362= 362

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525



來來來來來來檢定力檢定力1-1-

9 - 9 - 1616


355.0

2515

362065.363

2

n

CVZ

355.0

2515

362065.363

2

n

CVZ

22 = 362= 362 363.065363.065

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject



HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


假設假設 22 = 362 = 362

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525

= .3632= .3632

1-1- =.636 =.63688




9 - 9 - 1717


XX00 = 368= 368





HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,


= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525


9 - 9 - 1818


645.0

2515

365065.363

3

n

CVZ

645.0

2515

365065.363

3

n

CVZ

33 = 365 = 365363.065363.065

XX00 = 368= 368


Do notDo not

rejectreject

檢定力的求解檢定力的求解Hypothesis:Hypothesis:HH00: : 368 368

HH11: : < 368 < 368

n=25, n=25, =15,=15,

=.05=.05

真實情形之母數真實情形之母數 : :

假設假設 33 = 365 = 365

= .05= .05

來來來來來來 n n ==15/15/2525

= .7422= .7422

1-1- =.2678 =.2678




9 - 9 - 1919


檢定力的求解檢定力的求解Hypothesis: H0 : H0 : 368

Ha : Ha : < 368 n=25, =15, =.05

來來來來來來來來來來來來來來來來來來

來來來來來來來

來來來來來來來來來來來

來來來來來來來來來來來來來來來來來來

來來來來來來來來來來來來來

9 - 9 - 2020



檢定力檢定力PowerPower

所有可能的對立假設值所有可能的對立假設值 PossPossible True Values for ible True Values for 11

單尾單尾 HHaa: : 00

來來來來來來來來來來來來 = 3= 3

6868

9 - 9 - 2121





所有可能的對立假設值所有可能的對立假設值 PossiPossible True Values for ble True Values for 11


單尾單尾 HHaa: : 00 單尾單尾 HHaa: : 00

來來來來來來來來來來來來 = 3= 3

6868

雙尾雙尾 HHaa: : ≠≠ 00



9 - 9 - 2222




檢定力檢定力 PPowerower

所有可能的對立假設值所有可能的對立假設值 PossiPossi

ble True Values for ble True Values for pp11

所有可能的對立假設值所有可能的對立假設值 PossiPossi

ble True Values for ble True Values for pp11

單尾單尾 HHaa: p : p pp00 單尾單尾 HHaa: p : p pp00

來來來來來來來來來來來來 pp == pp00

雙尾雙尾 HHaa: : pp ≠≠ pp00

所有可能的對立假設值所有可能的對立假設值 PossiPossible True Values for pble True Values for p11


同理，在檢定同理，在檢定 HH00 ：： p = pp = p00

9 - 9 - 2323



影響檢定力的因素：影響檢定力的因素：（（ 11 ）樣本大小；若樣本數）樣本大小；若樣本數 nn 越大，則檢定力越大。越大，則檢定力越大。（（ 22 ）顯著水準）顯著水準 αα ；若；若 αα 越大，則檢定力越大。越大，則檢定力越大。（（ 33 ）樣本統計量的選擇；如檢定）樣本統計量的選擇；如檢定 μμ 時，若不採時，若不採 XX ，而，而採採 MedMed ，則，則 ββ 較大，即檢定力較小。較大，即檢定力較小。（（ 44 ）決策法則的選擇；採雙尾、單尾檢定決策法則）決策法則的選擇；採雙尾、單尾檢定決策法則不同，則檢定力不同。不同，則檢定力不同。

9 - 9 - 2424


單母體假設檢定綜合問題單母體假設檢定綜合問題

9 - 9 - 2525



一、當雷達螢幕上出現不明物，警報單位有下列兩種假設一、當雷達螢幕上出現不明物，警報單位有下列兩種假設及其決定及其決定 1 1 、一切安好，僅雷達螢幕受干擾而已，不拉警報。、一切安好，僅雷達螢幕受干擾而已，不拉警報。 2 2 、敵機來襲，拉警報。、敵機來襲，拉警報。

若型若型Ⅱ錯誤為Ⅱ錯誤為一切安好但拉警報，問虛無假設、對立一切安好但拉警報，問虛無假設、對立假設各代表什麼意義？假設各代表什麼意義？

9 - 9 - 2626


單母體假設檢定綜合問題解答單母體假設檢定綜合問題解答

犯型犯型Ⅱ錯誤為Ⅱ錯誤為當虛無假設當虛無假設為偽時卻接受為偽時卻接受虛無假設。虛無假設。就題意為一切安好但拉警報，故就題意為一切安好但拉警報，故 H0H0 ：敵機來襲：敵機來襲 H1 H1 ：一切安好：一切安好

9 - 9 - 2727



二、在某已知情況中，假設在二、在某已知情況中，假設在 =0.05 下拒絕下拒絕 HH00 ，試回答，試回答下下列各問題並說明理由：列各問題並說明理由：

(a) (a) 在在 =0.02 下，是否拒絕下，是否拒絕 HH00 ？？

(b) (b) 在在 =0.10 下，是否拒絕下，是否拒絕 HH00 ？？ (C) p(C) p 值是否大於值是否大於 0.05 ？？

9 - 9 - 2828



因為顯著水準因為顯著水準越大所對應之拒絕域越大，越大所對應之拒絕域越大，以以 Z Z 檢定之右尾檢定為例：檢定之右尾檢定為例：

0 2.055 Z

.02Reject

0 2.055 Z

.02Reject

0 1.28 Z

.10

Reject

0 1.28 Z

.10

Reject

0 1.645 Z

.05

Reject

0 1.645 Z

.05

Reject

9 - 9 - 2929



故 (a) 對應之拒絕域大於對應之拒絕域即：即：落入落入對應之拒絕域者未必亦落入落入對應之拒絕域，因此在來來來來來

9 - 9 - 3030



(b) 對應之拒絕域小於對應之拒絕域即：即：落入落入對應之拒絕域者必落入落入對應之拒絕域，因此在來來來來

9 - 9 - 3131



(c) 若在來拒絕域 H0

表示檢定統計量值落入表示檢定統計量值落入拒絕域內故等於檢定檢定統計量值或比檢定檢定統計量值更極端之所有可能值之機率，即 p 值必小於

9 - 9 - 3232


單母體假設檢定綜合問題單母體假設檢定綜合問題三、某公司甲生產線生產奶茶，乙生產線生產咖啡，在廣告三、某公司甲生產線生產奶茶，乙生產線生產咖啡，在廣告上都聲稱平均容量不少於上都聲稱平均容量不少於 250cc250cc ，消基會從甲、乙兩條，消基會從甲、乙兩條生生

產線各取產線各取 50 50 瓶飲料檢驗其容量，在瓶飲料檢驗其容量，在 = 0.05 下，下， (a) (a) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc248cc ，標準差，標準差是是 4cc4cc ，而乙生產線生產的咖啡平均容量是，而乙生產線生產的咖啡平均容量是 249cc249cc ，標，標準準差是差是 4cc4cc ，試問那一生產線被發現廣告不實的機會，試問那一生產線被發現廣告不實的機會較較大？為什麼？大？為什麼？

9 - 9 - 3333


單母體假設檢定綜合問題單母體假設檢定綜合問題 (b) (b) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc248cc ，標準差，標準差是是 4cc4cc ，而乙生產線生產的咖啡平均容量是，而乙生產線生產的咖啡平均容量是 248cc248cc ，標，標準準差是差是 3cc3cc ，試問那一生產線被發現廣告不實的機會，試問那一生產線被發現廣告不實的機會較較大？為什麼？大？為什麼？ (c) (c) 若甲生產線生產的奶茶平均容量是若甲生產線生產的奶茶平均容量是 248cc248cc ，標準差，標準差是是 4cc4cc ，而乙生產線生產的咖啡平均容量是，而乙生產線生產的咖啡平均容量是 249cc249cc ，標，標準準差是差是 3cc3cc ，試問那一生產線被發現廣告不實的機會，試問那一生產線被發現廣告不實的機會較較大？為什麼？大？為什麼？

9 - 9 - 3434



H0 : H0 : 250 Ha : Ha : < 250 =.05

aa 甲生產線生產的奶茶，因兩者之標準差相同，而甲生甲生產線生產的奶茶，因兩者之標準差相同，而甲生產產

線生產的奶茶平均容量較小，即比假設值小較多，故被線生產的奶茶平均容量較小，即比假設值小較多，故被

發現廣告不實的機會較大。發現廣告不實的機會較大。 bb 乙生產線生產的咖啡，因兩者之平均容量相同，而乙乙生產線生產的咖啡，因兩者之平均容量相同，而乙生生產線生產的咖啡標準差較小，表乙生產線生產的咖啡容產線生產的咖啡標準差較小，表乙生產線生產的咖啡容量大都集中在量大都集中在 248cc248cc 左右，故被發現廣告不實的機會左右，故被發現廣告不實的機會較大較大

9 - 9 - 3535



cc 在在 = 0.05 下，，拒絕域： z < -z 0.05(=1.645)

，，

甲生產線生產的奶茶容量檢定力為甲生產線生產的奶茶容量檢定力為 0.97060.9706 ，，

乙生產線生產的咖啡容量檢定力為乙生產線生產的咖啡容量檢定力為 0.76120.7612

即甲生產線生產的奶茶容量檢定力較大即甲生產線生產的奶茶容量檢定力較大

表當兩種飲料平均容量均少於表當兩種飲料平均容量均少於 250cc 250cc 時，時，

甲生產線生產的奶茶被發現廣告不實的機會較大甲生產線生產的奶茶被發現廣告不實的機會較大

9 - 9 - 3636



四、某公司宣稱其生產之輪胎壽命為常態分配，且平均壽命四、某公司宣稱其生產之輪胎壽命為常態分配，且平均壽命至少為至少為 3535 千哩，現抽取該公司生產之輪胎千哩，現抽取該公司生產之輪胎 1010 個，得其個，得其平平均壽命為均壽命為 3232 千哩，標準差為千哩，標準差為 3.59 3.59 千哩，試以千哩，試以 = 0.05 = 0.05 檢檢定該公司所宣稱者是否屬實？定該公司所宣稱者是否屬實？

9 - 9 - 3737



HH00: : = 35 = 35

HHaa: : < 35 < 35

= = .05.05

df = df = 10 - 1 = 910 - 1 = 9

Critical Value(s):Critical Value(s):

Test Statistic: Test Statistic:

Decision:Decision:

Conclusion:Conclusion:

在在 = .05= .05 下，拒絕Ｈ下，拒絕Ｈ 00

有充分證據證明該公司所有充分證據證明該公司所宣稱輪胎平均壽命至少宣稱輪胎平均壽命至少 3535千哩有誇大其辭之嫌。千哩有誇大其辭之嫌。

t0-1.729

.05

Reject

t0-1.729

.05

Reject

6426.2

10

59.33532

n

SX

t

6426.2

10

59.33532

n

SX

t

-1.833

9 - 9 - 3838



本題若以本題若以 pp 值檢定法解之：值檢定法解之：

PP 值：值： p( t < -2.2426 ) p( t < -2.2426 ) ，， df = 9df = 9

∵ ∵ p( t < -2.821 ) p( t < -2.821 ) ＜＜ p( t < -2.2426 ) p( t < -2.2426 ) ＜＜ p( t < -2.262 ) p( t < -2.262 )

即即 p( t < -t p( t < -t 0.010.01 ) ) ＜＜ PP 值＜值＜ p( t < -t p( t < -t 0.0250.025 ) )

故故 PP 值＜值＜ 0.025 0.025 ＜＜ αα （（ = 0.05 = 0.05 ））

即在即在 α = 0.05 α = 0.05 下拒絕下拒絕 HH00

6426.2

10

59.33532

n

SX

t

6426.2

10

59.33532

n

SX

t

9 - 9 - 3939



五、五、 33 年前的一次普查中，某一社區有年前的一次普查中，某一社區有 20﹪20﹪ 的家庭屬於低收的家庭屬於低收入入戶，欲了解如今此社區低收入戶之比例是否改變，隨機抽戶，欲了解如今此社區低收入戶之比例是否改變，隨機抽取取 400400戶該社區居民，發現其中有戶該社區居民，發現其中有 7070戶為低收入戶，在戶為低收入戶，在

= 0.05 下試檢定之。

9 - 9 - 4040



HH00: : pp = 0.2 = 0.2

HHaa: : pp 0.2 0.2

= = .05.05

nn = = 400400



Decision:Decision:


Z0 1.96-1.96

.025

Reject H 0 Reject H 0

.025

Z0 1.96-1.96

.025

Reject H 0 Reject H 0

.025

在在 = .05= .05 下不拒絕Ｈ下不拒絕Ｈ 00

並無充分證據證明該社區低收並無充分證據證明該社區低收入戶之比例與入戶之比例與 33 年前不同。年前不同。

25.1

400)2.01(2.0

2.040070

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ 25.1

400)2.01(2.0

2.040070

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ

9 - 9 - 4141




pp 值值 = 2p= 2p （（ Z > 1.25Z > 1.25 ）） = 2 × 0.1056 = 0.2112 > α= 2 × 0.1056 = 0.2112 > α （（= 0.05= 0.05 ））

即在即在 α= 0.05 α= 0.05 下不拒絕下不拒絕 HH00

25.1

400)2.01(2.0

2.040070

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ 25.1

400)2.01(2.0

2.040070

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ

9 - 9 - 4242



六、欲了解某賽車選手對於控制車速之穩定性，故觀察其跑六、欲了解某賽車選手對於控制車速之穩定性，故觀察其跑完一圈所需時間之差異程度，經測試該選手完一圈所需時間之差異程度，經測試該選手 1515 次跑完一次跑完一圈圈平均所需時間為平均所需時間為 58.2358.23秒，且標準差為秒，且標準差為 8.58.5秒，試以秒，試以 α=α=0.050.05 檢定該選手跑完一圈所需時間之標準差是否超過檢定該選手跑完一圈所需時間之標準差是否超過 77秒？秒？

9 - 9 - 4343



H0: H0: σσ22 = 49= 49

Ha: Ha: σσ22 > 49> 49

= = 0.05

df = df = 15 – 1 = 14

SS22 = 72.25



χχ 2 2 = (n-1)s= (n-1)s22/ / σσ2200

= 14×72.25/49= 14×72.25/49 = 20.64= 20.64

Decision:Decision:

在在 = .05= .05 下，不拒絕Ｈ下，不拒絕Ｈ 00


沒有充分證據證明該選手跑完一沒有充分證據證明該選手跑完一

圈所需時間之標準差超過圈所需時間之標準差超過 77 秒秒。。23.68523.685

rejectreject

0.050.05

9 - 9 - 4444



本題若以本題若以 pp 值檢定法解之：值檢定法解之： χχ 2 2 = (n-1)s= (n-1)s22/ σ/ σ22

0 0

= 14 × 72.25/49= 14 × 72.25/49 = 20.64= 20.64 pp 值值 = p= p （（ χχ 2 2 ＞＞ 20.64 20.64 ），）， df = 14df = 14

pp （（ χχ 2 2 ＞＞ 20.64 20.64 ）＞）＞ pp （（ χχ 2 2 ＞＞ 21.064 21.064 ））即即 pp 值＞值＞ pp （（ χχ 2 2 ＞＞ χχ 2 2

0.10.1 ））

故故 pp 值＞值＞ 0.1 0.1 ＞＞ αα （（ = 0.05= 0.05 ））即在即在 α = 0.05 α = 0.05 下，不拒絕下，不拒絕 HH00

9 - 9 - 4545



七、某公司宣稱其衛生紙之市場佔有率至少為四成，今以七、某公司宣稱其衛生紙之市場佔有率至少為四成，今以

α = 0.05α = 0.05 檢定此問題，假定該公司所生產之衛生紙市檢定此問題，假定該公司所生產之衛生紙市

場佔有率為三成五時所期望的檢定力高達場佔有率為三成五時所期望的檢定力高達 0.990.99 ，試求，試求

出符合此一假檢定之要求所需之樣本為多少？出符合此一假檢定之要求所需之樣本為多少？

9 - 9 - 4646



pp00 = 0.4 p = 0.4 p11 = 0.35 = 0.35

α = 0.05 β = 1 – 0.99 = 0.01α = 0.05 β = 1 – 0.99 = 0.01

zz0.050.05 = 1.645 z = 1.645 z0.010.01 = 2.33 = 2.33

n =n = [([(Zα α ＋＋ Zβ β )/(p)/(p11-p-p00)])]22

故故 n = [(1.645 + 2.33 )/(0.4 – 0.35)n = [(1.645 + 2.33 )/(0.4 – 0.35)]]22

= 536.39= 536.39

應調查應調查 537537 位購買衛生紙之顧客位購買衛生紙之顧客

0.6*0.4 0.65*0.35

)1( 00 pp )1( 11 pp

9 - 9 - 4747



八、一雜誌社宣稱其讀者中至少有八、一雜誌社宣稱其讀者中至少有 25﹪25﹪ 為大學在學生，為大學在學生，今今

隨機抽取隨機抽取 200200 讀者中有讀者中有 4242 位為大學生，試以位為大學生，試以 α = 0.0α = 0.055 檢檢

定之。定之。

9 - 9 - 4848



HH00: : pp = 0.25 = 0.25

HHaa: : pp < 0.25 < 0.25

= = .05.05

nn = = 200200



Decision:Decision:


Z0-1.645

.05

Reject

Z0-1.645

.05

Reject 在在 = .05= .05 下不拒絕Ｈ下不拒絕Ｈ 00

並無充分證據證明該雜誌社讀並無充分證據證明該雜誌社讀者中大學在學中所佔比例少於者中大學在學中所佔比例少於25﹪25﹪

31.1

200)25.1(25.

25.020042

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ 31.1

200)25.1(25.

25.020042

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ

9 - 9 - 4949




pp 值：值： pp （（ z < - 1.31z < - 1.31 ）） = 0.0951 > α= 0.0951 > α （（ = 0.05 = 0.05 ））即在即在 α = 0.05 α = 0.05 下，不拒絕下，不拒絕 HH00

31.1

200)25.1(25.

25.020042

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ 31.1

200)25.1(25.

25.020042

)1(

ˆ

00

0

npp

ppZ

9 - 9 - 5050



九、金牌巧克力之重量標準差為九、金牌巧克力之重量標準差為 1515 克，現隨機抽取克，現隨機抽取 3636 包包，，

得其平均重量為得其平均重量為 106106 克，試以克，試以 α = 0.05α = 0.05 下檢定此牌巧下檢定此牌巧克克

力之平均重量是否大於力之平均重量是否大於 100100 克？克？

9 - 9 - 5151



HH00: : = 100 = 100

HHaa: : > 100 > 100

= = .05.05

n n = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.645

.05

Reject

Z0 1.645

.05

Reject 在在 = .05= .05 情形下拒絕情形下拒絕 HHoo

有充分證據證明此牌巧克有充分證據證明此牌巧克力平均重量大於力平均重量大於 100100克克

4.2

36

15100106

n

XZ

4.2

36

15100106

n

XZ

9 - 9 - 5252




pp 值：值： pp （（ z > 2.4z > 2.4 ）） = 0.0082 < α= 0.0082 < α （（ = 0.05 = 0.05 ））即在即在 α = 0.05 α = 0.05 下，拒絕下，拒絕 HH00

4.2

36

15100106

n

XZ

4.2

36

15100106

n

XZ

9 - 9 - 5353



十、欲檢定甲公司新上市之十、欲檢定甲公司新上市之 20002000 ㏄小客車在高速公路是㏄小客車在高速公路是否否

平均每公升可跑里程數在平均每公升可跑里程數在 1212 公里以上，今隨機選取公里以上，今隨機選取該該

種車種車 4949 輛，在高速公路上測試，得到平均每公升可輛，在高速公路上測試，得到平均每公升可跑跑

13.513.5 公里，標準差公里，標準差 4.04.0 公里：公里：

（（ aa ）在）在 α = 0.05 α = 0.05 下檢定之。下檢定之。

（（ bb ）若該種車平均每公升可跑里程數之真實值）若該種車平均每公升可跑里程數之真實值 12.512.5 、、 1133 、、

13.5 13.5 或或 1414 公里，分別求其對應之檢定力，並繪檢定公里，分別求其對應之檢定力，並繪檢定

力曲線圖。力曲線圖。

9 - 9 - 5454



（（ aa ）） H0: H0: = 12 = 12

Ha: Ha: > 12 > 12

= = .05.05

n n = = 4949



Decision:Decision:


Z0 1.645

.05

Reject

Z0 1.645

.05

Reject 在在 = .05= .05 情形下拒絕情形下拒絕 HHoo

有充分證據證明該種車平均每有充分證據證明該種車平均每公升可跑里程數在公升可跑里程數在 1212 公里以公里以上上

625.2

49

0.4125.13

n

XZ

625.2

49

0.4125.13

n

XZ

9 - 9 - 5555



（（ bb ））∵ 右尾檢定之拒絕域： ∵ 右尾檢定之拒絕域： X > μX > μ00 + z + zαασ/ σ/

即即 X > 12 + 1.645 × 4/ = 12.94X > 12 + 1.645 × 4/ = 12.94

1 – β(12.5) = p1 – β(12.5) = p （（ X > 12.94 ! μ = 12.5 X > 12.94 ! μ = 12.5 ）） = p= p （（ z > (12.94-12.5)/(4/ ))z > (12.94-12.5)/(4/ ))

= p= p （（ z > 0.77z > 0.77 ）） = 0.2206= 0.2206

1 – β(13.0) = p1 – β(13.0) = p （（ X > 12.94 ! μ = 13.0 X > 12.94 ! μ = 13.0 ）） = p= p （（ z > (12.94-13.0)/(4/ ))z > (12.94-13.0)/(4/ ))

= p= p （（ z > -0.105z > -0.105 ）） = 0.5418= 0.5418

同理，同理， 1 – β(13.5) = 0.83651 – β(13.5) = 0.8365

1 – β(14.0) = 0.96821 – β(14.0) = 0.9682

n

49

49

49

檢定力檢定力 PPowerower

12 12.5 13 13.5 1412 12.5 13 13.5 14 μμ

9 - 9 - 5656



十一、欲檢定十一、欲檢定 H0H0 ：： μ = 3 Haμ = 3 Ha ：： μ ≠ 3 μ ≠ 3

如果可容忍的型如果可容忍的型ⅠⅠ錯誤、型錯誤、型ⅡⅡ錯誤機率分別為錯誤機率分別為

α = 0.05 α = 0.05 、、 β = 0.2β = 0.2 ，其中，其中 ββ係當係當 μμ 之真實值為之真實值為

2.942.94 下所求出的型下所求出的型ⅡⅡ錯誤機率，已知母體標準差錯誤機率，已知母體標準差

σ = 0.18σ = 0.18，試求出樣本數已符合，試求出樣本數已符合 α α 與與 β β 之要求。之要求。

9 - 9 - 5757


HH00 ：： μ = 3 Haμ = 3 Ha ：： μ ≠ 3μ ≠ 3α = 0.05 α = 0.05 、、 β = 0.2β = 0.2 z z 0.0250.025 = 1.96 = 1.96 、、 z z 0.20.2 = 0.84 = 0.84 d = 3 – 2.94 = 0.06d = 3 – 2.94 = 0.06 n= σn= σ22(Z(Zα/2α/2+ Z + Z ββ))22/d/d22 = (0.18) = (0.18)22(1.96 + 0.84)(1.96 + 0.84)22/(0.06)/(0.06)22

= 70.56= 70.56 應取應取 71 71 個樣本個樣本


9 - 9 - 5858



十二、甲工廠聲稱其生產之水管直徑標準差是十二、甲工廠聲稱其生產之水管直徑標準差是 11 公分，現公分，現

由該廠生產之水管抽取由該廠生產之水管抽取 2020條水管，得其標準差為條水管，得其標準差為 1.1.44

公分，在公分，在 α = 0.05α = 0.05 下，檢定甲工廠之聲稱是否值得下，檢定甲工廠之聲稱是否值得

採信？假設水管直徑是常態分配。採信？假設水管直徑是常態分配。

9 - 9 - 5959


H0: H0: σ2 = 1

Ha: Ha: σ2 ≠ 1

= = 0.05

df = df = 20 – 1 = 19

SS = = 1.4



χ 2 = (n-1)s2/ σ20

= 19*1.96/1 = 37.24

Decision:Decision:

在 = .05 下，拒絕Ｈ 0


有充分證據證明甲工廠所宣稱的不值得採信。

rejectreject rejectreject

0.0250.025 0.0250.0258.9065 32.8523


9 - 9 - 6060



本題若以本題若以 pp 值檢定法解之：值檢定法解之： χ 2 = (n-1)s2/ σ2

0

= 19*1.96/1 = 37.24

pp 值：值： 2 p2 p （（ χ 2 > 37.24 > 37.24 ））∵ ∵ pp （（ χ 2 > 38.58 > 38.58 ）） < p< p （（ χ 2 > 37.24 > 37.24 ）） < p< p （（ χ 2 > > 36.19 36.19 ）） 2 p2 p （（ χ 2 > > χ 2 0.0050.005 ）） < p< p 值值 < 2 p< 2 p （（ χ 2 > > χ 2 0.010.01 ））故故 pp 值值 < 0.02 < α( = 0.05 ) < 0.02 < α( = 0.05 ) 即在即在 α = 0.05 α = 0.05 下，拒絕下，拒絕 HH00

9 - 9 - 6161



十三、設環保署欲徵十三、設環保署欲徵 3﹪3﹪ 之空氣污染稅，乃隨機抽取之空氣污染稅，乃隨機抽取 400400名名

機車族調查，若有機車族調查，若有 220220人至人至 260260人贊成課徵空氣污染人贊成課徵空氣污染

稅，則謂有稅，則謂有 60﹪60﹪ 之機車族贊成課徵此稅；之機車族贊成課徵此稅；

（（ aa ）假設全體機車族有）假設全體機車族有 60﹪60﹪贊成課徵此稅，求犯型贊成課徵此稅，求犯型ⅠⅠ

錯誤之機率錯誤之機率 αα 值。值。

（（ bb ）假設全體機車族實際僅有）假設全體機車族實際僅有 48﹪48﹪贊成課徵此稅，贊成課徵此稅，

求犯型求犯型ⅡⅡ錯誤之機率錯誤之機率 ββ 值。值。

9 - 9 - 6262



HH00 ：： p = 0.6 Hap = 0.6 Ha ：： p ≠ 0.6p ≠ 0.6

XX 表所抽取之表所抽取之 400400名機車族中贊成課徵此稅的人數，接受域名機車族中贊成課徵此稅的人數，接受域：： 220 ≦ X ≦ 260220 ≦ X ≦ 260

(a)(a) α= pα= p （拒絕（拒絕 HH00∣ H∣ H00 為真）為真） = 1 - p= 1 - p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為真為真））

= 1 - p= 1 - p （（ 220 ≦ X ≦ 260220 ≦ X ≦ 260 ∣ p = 0.6 ∣ p = 0.6 ））

= 1 - p= 1 - p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= 1 - p= 1 - p （（ -2.04 ≦ z ≦ 2.04-2.04 ≦ z ≦ 2.04 ）） = 0.0414 = 0.0414

4004.0*6.0

6.055.0

4004.0*6.0

6.055.0

4004.0*6.0

6.065.0

4004.0*6.0

6.065.0

9 - 9 - 6363



(b) β= p(b) β= p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽）

= p= p （（ 220 ≦ X ≦ 260220 ≦ X ≦ 260 ∣ p = 0.48 ∣ p = 0.48 ））

= p= p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= p= p （（ 0.8 ≦ z ≦ 6.80.8 ≦ z ≦ 6.8）） = 0.2119 = 0.2119

40052.0*48.0

48.055.0

40052.0*48.0

48.055.0

40052.0*48.0

48.065.0

40052.0*48.0

48.065.0

9 - 9 - 6464



十四、某校為檢定學生患近視之比例是否為十四、某校為檢定學生患近視之比例是否為 66 成，隨機在該校成，隨機在該校

學生中抽取學生中抽取 100100 位，設位，設 XX 表示其中患有近視之人數，若表示其中患有近視之人數，若

50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ，則接受虛無假設，則接受虛無假設 HH00 ：： p = 0.6p = 0.6

（（ aa ）寫出上述檢定的拒絕域。）寫出上述檢定的拒絕域。

（（ bb ）求出該檢定的顯著水準）求出該檢定的顯著水準 αα 。。

（（ cc ）試分別求當）試分別求當 p = 0.56 p = 0.56 、、 0.580.58、、 0.62 0.62 及及 0.64 0.64 時時之檢定力之檢定力

9 - 9 - 6565



（（ aa ）） HH00 ：： p = 0.6 Hap = 0.6 Ha ：： p ≠ 0.6p ≠ 0.6

就題意，若就題意，若 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ，則接受，則接受 HH00

故拒絕域：故拒絕域： X ≦ 49 X ≦ 49 或或 X ≧ 71X ≧ 71

（（ bb ）） α= pα= p （拒絕（拒絕 HH00∣ H∣ H00 為真）為真） = 1 - p= 1 - p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為真）為真）

= 1 - p= 1 - p （（ 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ∣ p = 0.6 ∣ p = 0.6 ））

= 1 - p= 1 - p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= 1 - p= 1 - p （（ -2.14 ≦ z ≦ 2.14-2.14 ≦ z ≦ 2.14 ）） = 0.0324= 0.0324

1004.0*6.0

6.0495.0

1004.0*6.0

6.0495.0

1004.0*6.0

6.0705.0

1004.0*6.0

6.0705.0

連續性修正

9 - 9 - 6666



（（ cc ）） (1)(1) 當真實當真實 p p 值值 = 0.56= 0.56

β= pβ= p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽）

= p= p （（ 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ∣ p = 0.56 ∣ p = 0.56 ））

= p= p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= p= p （（ -1.31 ≦ z ≦ 2.92-1.31 ≦ z ≦ 2.92 ）） = 0.9031= 0.9031

檢定力檢定力 1 - β = 0.09691 - β = 0.0969

10044.0*56.0

56.0495.0

10044.0*56.0

56.0495.0

10044.0*56.0

56.0705.0

10044.0*56.0

56.0705.0

連續性修正

9 - 9 - 6767



（（ cc ）） (2)(2) 當真實當真實 p p 值值 = 0.58= 0.58


= p= p （（ 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ∣ p = 0.58 ∣ p = 0.58 ））

= p= p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= p= p （（ -1.72 ≦ z ≦ 2.53-1.72 ≦ z ≦ 2.53 ）） = 0.9516= 0.9516

檢定力檢定力 1 - β = 0.04841 - β = 0.0484

10042.0*58.0

58.0495.0

10042.0*58.0

58.0495.0

10042.0*58.0

58.0705.0

10042.0*58.0

58.0705.0

連續性修正

9 - 9 - 6868



（（ cc ）） (3)(3) 當真實當真實 p p 值值 = 0.62= 0.62


= p= p （（ 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ∣ p = 0.62 ∣ p = 0.62 ））

= p= p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= p= p （（ -2.58 ≦ z ≦ 1.75-2.58 ≦ z ≦ 1.75 ）） = 0.9550= 0.9550

檢定力檢定力 1 - β = 0.04501 - β = 0.0450

10038.0*62.0

62.0495.0

10038.0*62.0

62.0495.0

10038.0*62.0

62.0705.0

10038.0*62.0

62.0705.0

連續性修正

9 - 9 - 6969



（（ cc ）） (4)(4) 當真實當真實 p p 值值 = 0.64= 0.64


= p= p （（ 50 ≦ X ≦ 7050 ≦ X ≦ 70 ∣ p = 0.64 ∣ p = 0.64 ））

= p= p （ ≦ （ ≦ z ≦ z ≦ ））

= p= p （（ -3.02 ≦ z ≦ 1.35-3.02 ≦ z ≦ 1.35 ）） = 0.9102= 0.9102

檢定力檢定力 1 - β = 0.08981 - β = 0.0898

10036.0*64.0

64.0495.0

10036.0*64.0

64.0495.0

10036.0*64.0

64.0705.0

10036.0*64.0

64.0705.0

連續性修正

9 - 9 - 7070



當真實值當真實值 p = 0.56 p = 0.56 、、 0.580.58、、 0.62 0.62 及及 0.64 0.64 時之檢定力分別時之檢定力分別為為

0.09690.0969 、、 0.04840.0484 、、 0.0450 0.0450 及及 0.0898 0.0898 表示當真實值越遠離表示當真實值越遠離假設值假設值 0.60.6 時檢定力越強。時檢定力越強。

就本題之檢定法則“即若就本題之檢定法則“即若 50 ≦X ≦7050 ≦X ≦70 ，則接受，則接受 HH00” ” ，並非，並非好的好的

檢定法則，因為雖然如此之法則使顯著水準檢定法則，因為雖然如此之法則使顯著水準 αα （（ = 0.0324= 0.0324 ））值值

甚低，但相對的檢定力也極弱。甚低，但相對的檢定力也極弱。

9 - 9 - 7171



十五、某成衣廠商過去平均每小時生產十五、某成衣廠商過去平均每小時生產 500 500 件成衣，現該廠件成衣，現該廠為為

是增加生產效率，聘請專家設計一套生產流程，從新的是增加生產效率，聘請專家設計一套生產流程，從新的

生產流程中取生產流程中取 36 36 個小時為樣本，平均每小時可生產個小時為樣本，平均每小時可生產 5560 60

件成衣，標準差為件成衣，標準差為 120 120 件成衣：件成衣：

（（ aa ）在）在 α = 0.05 α = 0.05 下檢定新生產流程的有效性。下檢定新生產流程的有效性。

（（ bb ）若在新生產流程下，每小時真實平均生產）若在新生產流程下，每小時真實平均生產 540540件件成衣成衣

，在，在 α = 0.05 α = 0.05 下求型下求型ⅡⅡ錯誤之機率錯誤之機率 ββ 值。值。

（（ cc ）若欲將）若欲將 ββ 值降為約值降為約 0.20.2 ，則，則 αα會增加為多少？會增加為多少？

9 - 9 - 7272


(a) H0: (a) H0: = 500 = 500

Ha: Ha: > 500 > 500

= = .05.05

n n = = 3636



Decision:Decision:


Z0 1.645

.05

Reject

Z0 1.645

.05

Reject在在 = .05= .05 情形下拒絕情形下拒絕 HHoo

有充分證據證明新的生產流程有充分證據證明新的生產流程效率提高了效率提高了

3

36

120500560

n

XZ

3

36

120500560

n

XZ


9 - 9 - 7373


(b) 在 α = 0.05 下，拒絕域： X > 500 + 1.645× = 532.9

β= pβ= p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽） = p= p （（ X ≦532.9 ∣μ= 540X ≦532.9 ∣μ= 540 ）） = p= p （（ z ≦ z ≦ ）） = p= p （（ z ≦ -0.355z ≦ -0.355 ）） = 0.3= 0.3613613


36

120

36

1205409.532

9 - 9 - 7474


(c) ββ = 0.2 = pp （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽） = pp （（ X ≦ x ∣μ= 540X ≦ x ∣μ= 540 ））

= p = p （（ z ≦ z ≦ ））

≒ -0.84

x 523.2≒


36

120540x

36

120540x

9 - 9 - 7575


(b) 在 α = 0.05 下，拒絕域： X > 500 + 1.645× = 532.9

β= pβ= p （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽） = p= p （（ X ≦532.9 ∣μ= 540X ≦532.9 ∣μ= 540 ）） = p= p （（ z ≦ z ≦ ）） = p= p （（ z ≦ -0.355z ≦ -0.355 ）） = 0.3= 0.3613613


36

120

36

1205409.532

9 - 9 - 7676


(c) ββ = 0.2 = pp （接受（接受 HH00∣ H∣ H00 為偽）為偽） = pp （（ X ≦ x ∣μ= 540X ≦ x ∣μ= 540 ））

= p = p （（ z ≦ z ≦ ））

≒ -0.84

x 523.2≒


36

120540x

36

120540x

9 - 9 - 7777


(c) α = pα = p （拒絕（拒絕 HH00∣ H∣ H00 為真）為真） = p= p （（ X > 523.2 ∣μ= 500 X > 523.2 ∣μ= 500 ））

= p = p （（ z > z > ））

= p = p （（ z > 1.16 z > 1.16 ）） = 0.123= 0.123 αα增加為增加為 0.1230.123 由（由（ bb ）（）（ cc ）得）得 α = 0.05 α = 0.05 時，時， β = 0.3613β = 0.3613 β = 0.2β = 0.2 時，時， α = 0.123α = 0.123 即即 ββ降低時降低時 αα 升高升高


36

1205002.523

9 - 9 - 7878



十六、若把審判當作一種檢定（有罪或無罪）的方法，而虛無十六、若把審判當作一種檢定（有罪或無罪）的方法，而虛無

假設為被告是清白的，請問假設為被告是清白的，請問

（（ aa ）犯型）犯型ⅠⅠ錯誤及犯型錯誤及犯型ⅡⅡ錯誤分別代表什麼意義？錯誤分別代表什麼意義？

（（ bb ）若審判標準是「絕不冤枉好人」，請問此種審判）若審判標準是「絕不冤枉好人」，請問此種審判可可

能造成什麼後果？能造成什麼後果？

9 - 9 - 7979



HH00 ：被告是清白的：被告是清白的 Ha Ha ：被告是有罪的：被告是有罪的

（（ aa ）型）型ⅠⅠ錯誤：被告是清白的卻被判有罪錯誤：被告是清白的卻被判有罪

型型ⅡⅡ錯誤：被告是有罪的卻被判無罪錯誤：被告是有罪的卻被判無罪

（（ bb ）若審判標準是「絕不冤枉好人」，即希望犯型）若審判標準是「絕不冤枉好人」，即希望犯型ⅠⅠ錯誤之錯誤之

機率降低，故不輕易判罪，則易導致「縱容壞人」的後機率降低，故不輕易判罪，則易導致「縱容壞人」的後

果。果。

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十七、給定顯著水準十七、給定顯著水準 αα ，若檢定統計量可以在，若檢定統計量可以在雙邊檢定下拒絕檢定下拒絕

虛無假設，請問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水虛無假設，請問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水

準準 αα 在在單邊檢定下拒絕虛無假設？反之，給定顯著水準檢定下拒絕虛無假設？反之，給定顯著水準

αα ，若檢定統計量可以在，若檢定統計量可以在單邊檢定下拒絕虛無假設，請檢定下拒絕虛無假設，請

問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水準問該檢定統計量是否也能以相同之顯著水準 αα 在在雙邊檢檢

定下拒絕虛無假設？定下拒絕虛無假設？

9 - 9 - 8181



以以 α = 0.05α = 0.05 為例為例 z z 0.050.05 = 1.645 z = 1.645 z 0.0250.025 = 1.96 = 1.96

若在雙尾檢定時拒絕虛無假設若在雙尾檢定時拒絕虛無假設

則則 Z > z Z > z 0.0250.025 (= 1.96) Z > z (= 1.96) Z > z 0.050.05 (= 1.645) (= 1.645)

即在相同顯著水準下，若在即在相同顯著水準下，若在雙尾雙尾檢定時拒絕虛無假設，檢定時拒絕虛無假設，

則在則在單尾單尾檢定時檢定時亦必拒絕虛無假設。拒絕虛無假設。

反之，在相同顯著水準下，若在反之，在相同顯著水準下，若在單尾單尾檢定時拒絕虛無假設，檢定時拒絕虛無假設，

則在則在雙尾雙尾檢定時檢定時未必拒絕虛無假設。拒絕虛無假設。

9 - 9 - 8282



十八、檢定十八、檢定 HH00 ：： μ = 250 Haμ = 250 Ha ：： μ > 250 μ > 250

在在 α= 0.05 α= 0.05 下，若欲使下，若欲使 μ = 251μ = 251 的檢定力是的檢定力是 0.800.80 ，而，而已知已知

母體標準差是母體標準差是 2.32.3 ，求樣本數，求樣本數 n n ？？

9 - 9 - 8383



HH00 ：： μ = 250 μ = 250

HaHa ：： μ > 250 α= 0.05 σ= 2.3μ > 250 α= 0.05 σ= 2.3

拒絕域：拒絕域： X > μX > μ00 + Z + Z αασσ/ = 250 + 1.645 × 2.3 // = 250 + 1.645 × 2.3 /

1 – β = p1 – β = p （（ X > 250 + 1.645 × 2.3 / ∣ μ = 251X > 250 + 1.645 × 2.3 / ∣ μ = 251 ））

= p= p （（ z > + 1.645z > + 1.645 ））

= p= p （（ z > (- /2.3) + 1.645z > (- /2.3) + 1.645 ）） = 0.8= 0.8

-0.84 (- /2.3) + 1.645≒-0.84 (- /2.3) + 1.645≒

n 32.67 ≒n 32.67 ≒ 應取樣本數應取樣本數 3333

n n

n

n

3.2251250

n

n

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結論結論

1. 1. 區別各種的假設區別各種的假設 2.2. 假設與檢定的過程假設與檢定的過程3.3. Ｐ值Ｐ值 pp-value-value 的觀念與應用的觀念與應用4.4. 單母體假設與檢定問題的解決單母體假設與檢定問題的解決5.5. 假設的檢定力與應用假設的檢定力與應用

9 - 9 - 8585


關於本課程關於本課程 ......

1.1. 你此堂課學到的最重要的觀念為何你此堂課學到的最重要的觀念為何 ??

2.2. 是否還有相關問題與疑問是否還有相關問題與疑問 ??

3.3. 如何改善今後的學習如何改善今後的學習 ??

請你靜下來想一想並回答下列問題請你靜下來想一想並回答下列問題 ::

型 ii 誤差機率的計算 calculating type ii error probabilities

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