Применение helm · • Уравнения Кирхгофа стандартного...
TRANSCRIPT
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский
физико-технический институт (государственный университет)» (Государственный университет)
Факультет общей и прикладной физики
Кафедра физики и технологии наноструктур
Магистерская диссертация по направлению 010600
Прикладные математика и физика:
«Применение аппроксимантов Паде и метода HELM
для определения границ устойчивости электросети с
PQ-басами»
Студент
А.И.Бойко, 828
Научный руководитель
к.ф.-м.н. , Ph.D, А.Я. Дымарский
Москва, 2014
2
Оглавление Обозначения .......................................................................................................................................... 3
Краткое описание .................................................................................................................................. 4
1. Актуальность задачи...................................................................................................................... 5
2. Об устойчивости электросети ....................................................................................................... 6
3. Обзор существующих методов и подходов .................................................................................. 8
3.0.1 Nodal Analysis ......................................................................................................................... 8
3.0.2 Система уравнений перетока ...................................................................................................
3.1 Метод Ньютона-Рафсона ....................................................................................................... 9
3.2 Исследование кривых PV-QV .............................................................................................. 11
3.3 Метод гребнеровского базиса .............................................................................................. 12
4. Метод HELM , общая информация ............................................................................................. 15
4.1 Пример: DC 2-bus...................................................................................................................... 16
4.2 Оптимизация геометрии: метод пучков .................................................................................... 22
4.3 О влиянии обусловленности задачи поиска корней на качество границы .............................. 24
4.4 Пример:DC 3- bus ...................................................................................................................... 30
4.5 Пример:AC 2- bus ...................................................................................................................... 32
4.6 AC 3-bus и общий критерий границы ....................................................................................... 35
4.7 Основной результат: процедура построения границы устойчивости ............................... 39
5. Выводы ......................................................................................................................................... 40
6. Список литературы .................................................................................................................... 41
Приложение А ..................................................................................................................................... 43
Приложение Б ...................................................................................................................................... 44
Приложение В ..................................................................................................................................... 45
Приложение Г ...................................................................................................................................... 47
Приложение Д ..................................................................................................................................... 49
3
Обозначения
• Поверхность ошибок, граница устойчивости, «error surface» - поверхность в
пространстве активных и реактивных мощностей потребления (Pi,Qi), которая
отделяет связную компоненту нуля («разрешенную зону») от «запрещенной зоны»
• Slack bus, генератор – узел, на котором фиксирована амплитуда и комплексная
фаза напряжения
• PQ-bus, PQ-бас, потребитель – узел, на котором фиксирована втекающая активная
и реактивная мощность
• Уравнения Кирхгофа стандартного вида, KCL node-branch analysis – уравнения
Кирхгофа включающие токи, напряжения, источники напряжений и источники
тока.
• Уравнения Кирхгофа в формализме узлов, KCL nodal analysis – уравнения
Кирхгофа включающие только узловые напряжения и источники тока.
• Уравнения перетока, power flow equations – эквивалент уравнений Кирхгофа, в
координатах импедансы-напряжения-инъектируемые и поглощаемые мощности
• Пространство мощностей – конфигурационное пространство потреблений всех
потребителей
4
Краткое описание
Главной задачей данной работы являлось изучить поведение Паде-аппроксимированных
решений уравнений передачи электроэнергии, полученных методом HELM, и предложить
универсальный метод построения границы устойчивости электросети в пространстве
мощностей.
Основной трудностью было найти критерий обнаружения границы устойчивости, который
с одной стороны не требовал бы интенсивных вычислений, а с другой мог работать в
случае большой сети переменного тока.
Основным результатом работы является процедура построения границы устойчивости
(«метод пучков») и её реализация на языке Mathematica, а также анализ сходимости
границы, полученной методом пучков, к ее точному значению для случаев двух и трех
басовых сетей постоянного и переменного тока.
5
1. Актуальность задачи
Трудно переоценить степень использования электросетей во всех отраслях человеческой
деятельности. Такое широкое использование привело к постройке обширной сети
электропередач, которые требуют постоянного регулирования.
И на масштабах магистральных высоковольтных линий особенно остро стоит вопрос об
устойчивости и безопасности режима эксплуатации. Для обеспечения бесперебойной
подачи электроэнергии, особенно в условиях, когда электросеть работает в пиковых
нагрузках, оператору сети нужно уметь оперативно реагировать на опасные изменения
нагрузок в электросети, которые могут привести к рассинхронизации и останову системы.
В настоящее время эта задача частично решается наблюдением за поведением локальных
возмущений и локальным реагированием на них (с исп. компенсаторов реактивной
мощности). Изменение глобальных параметров сети (перезамыкание линий, изменение
генерации) происходит раз в несколько часов, в соответствии с изменением среднего по
временному периоду состояния сети. Но такой подход верен, только если опасные
возмущения не возникли сразу в нескольких узлах сети.
В самом же общем случае для точного предсказания поведения электросети необходимо
предсказывать ее поведение не локально, а глобально, и для этого необходимо уметь
строить любой интересующий участок поверхности ошибок. Данная работа посвящена
применению идей одного из самых современных методов для решения уравнений
перетока электрической энергии - holomorphic embedding load flow (HELM), для
построения границы устойчивости электросети.
Конкретная вычислительная реализация этого метода является закрытым
запатентованным продуктом компании Gridquant, однако сама идеология метода
применения аппроксимантов Паде для решения уравнений Кирхгофа, может быть
плодотворна для решения задачи обнаружения и построения поверхности ошибок.
В данной работе будут предложен быстрый параллелизуемый алгоритм для построения
границы стабильности электросети («поверхности ошибок»), даны оценки скорости
6
работы, а также проанализированы особенности и границы применимости существующих
подходов к этой проблеме.
2. Об устойчивости электросети
Есть несколько типов неустойчивости в электросетях, и каждая из них в том или ином
смысле означает невозможность самостоятельного возврата отдельных узлов или всей
системы в рабочий режим. Для пользователей электросети это означает невозможность
нормальной перекачки электроэнергии и, в большинстве случаев, отключение
электричества либо повреждение оборудования.
Динамика поведения напряжений в разных точках сети определяется тем фактом, что
генераторы и многие вспомогательные узлы электросетей являются синхронными
электродвигателями переменного тока.
Ток отдачи (и, соответственно, передаваемая мощность) связан с разностью фаз
генератора и потребителя. У синхронного электродвигателя, коим является генератор и
шина потребителя, мгновенное значение фазы напряжения на обкладках прямо связано с
фактической угловой фазой ротора относительно статора. Поэтому динамика перетока
мощности в значительной степени определяется массогабаритными и
электротехническими параметрами самих двигателей.
7
Не уменьшая общности, можно понять природу неустойчивости в электросетях,
рассмотрев 2 узла – генератор и потребитель.
Если они вращаются так, что в каждый момент амплитуда и фаза напряжения на концах
совпадают, то согласно закону Ома, ток по проводу равен нулю, и это тривиальный
случай.
В нетривиальном случае переток мощности имеет место. Рассмотрим ситуацию запуска
генератора. Если сопротивление проводов мало, то амплитуды напряжений на обоих
электродвигателях примерно равны, и переток мощности определяется, в основном,
разностью фаз. Уравнения для такого случая имеют такой вид.
sin[ ]
(1 cos[ ])
n knk nk
nk
n knk nk
nk
E EP
X
E EQ
X
δ
δ
=
= −
С учетом динамических уравнений генератора можно понять, что если потребитель будет
потреблять мощность свыше максимальной, то ротор генератора начнет замедляться и
частота тока начнет падать. Это замедление на первых этапах может быть
незначительным, но оно может драматически повлиять на работоспособность системы.
Если во время замедления относительная разность фаз генератора превысит определенное
критическое значение, то генератор перестанет опережать по фазе шину-потребителя, то с
учетом уравнения перетока он перестанет быть генератором станет потребителем. Это
повлечет за собой дальнейшую рассинхронизацию.
Наиболее опасным сценарием потери устойчивости является каскадный коллапс
напряжений, когда рассинхронизация одного узла, вызванная слишком большим
потреблением мощности, за счет нелинейностей влияет на систему таким образом, что в
другом узле также наступает рассинхронизация, и так далее.
8
3. Обзор существующих методов и подходов
Уравнения тока мощности для электросетей переменного тока в общем случае являются
нелинейными. Однако для стационарных режимов синусоидального тока можно
воспользоваться упрощенной системой в виде комплекснозначных уравнений Кирхгофа.
3.0.1 Матричная формулировка – формализм узлов
Классическая форма уравнений Кирхгофа (“node-branch analysis”) состоит из следующей
системы
ik ik
i jik
ik
I I
V VI
Z
= − =
∑ %
Где iI% - инжектируемые внешними источниками токи в узел i.
Для применения каких-либо машинных методов решения систем уравнений (за
исключением чисто символьных), необходимо записать эту систему уравнений в
матричной форме. Важно упомянуть тот факт, что при матричном подходе к решению
линейной системы задача сводится к задаче обращения матрицы. В классической
формулировке законов Кирхгофа эта матрица будет иметь размер ( )2
b nN N+ , где nN -
количество узлов (nodes) системы, а bN -количество соединений (branches) между узлами.
0Tb N
b s
I E V
EI I
α− ==
,
Где E-матрица инцидентности графа, а α -
ˆ 01
0
TbB B
N sN N
IE
V IE
α×
×
− =
Обращение матрицы занимает 3( )O n операций, что для больших сетей является
лимитирующим фактором скорости решения системы.
9
Естественным образом возникает необходимость в ускорении машинных расчетов, для
чего используется альтернативная эквивалентная формулировка.
Домножим первое уравнение системы на матрицу E , получим
( )TN sE E V Iα =
Такая формулировка называется “nodal analysis” или формализм узлов. Таким образом
размер матрицы системы уменьшается до 2
nN Для метода HELM мы будем использовать
именно её.
3.1 Метод Ньютона-Рафсона: идея
Для инженерных применений в настоящее время чаще всего применяется метод Ньютона-
Рафсона, а также его модификации, такие как методы Newton-GCR или Fast Decoupled
Load Flow. В этой части речь пойдет о том, какие характерные особенности есть у этого
метода, и почему он плохо подходит для нахождения границы устойчивости.
Для того, чтобы понять принципе работы и возможные недостатки метода ньютона-
рафсона для электросетей (многомерного), можно посмотреть на его одномерный случай.
Метод Ньютона и различные его интерпретации обширно используется для решения
многих типов алгебраических уравнений вида
1( ,..., ) 0nF x x =
Рассмотрим 1-мерный случай.
( ) 0f x =
Итерационный процесс строится таким образом, что для
1
( )
'( )k
k kk
f xx x
f x+ = −
10
Такой метод показывает быструю 2Neε −≈ сходимость для «хороших» функций.
В задачах электроэнергетики же трудностью является то, что в окрестности границы
устойчивости уравнений перетока производная очень велика, так что метод не имеет
надежной сходимости.
В более общем случае системы место первой производной занимает матрица первых
производных kS lJ V= ∂ , но плохая сходимость в окрестности границы устойчивости также
имеет место.
3.2 Метод Ньютона-Рафсона: проблемы сходимости
Уравнения Кирхгофа с PQ-басами квадратичные по напряжениям, и это означает наличие
нескольких решений, удовлетворяющих наперед заданной точнее в пространстве
мощностей.
Как показано в статьях [2],[12] существенный недостаток Ньютона-Рафсона для его
потенциального использования для определения границы устойчивости заключается в
том, что этот метод имеет свойство притягиваться к различным из возможных решений.
Характер этого нерегулярный, фрактальный. Причем медленно сходящийся или не
сходящийся в конкретной точке пространства мощностей метод сам по себе не
гарантирует отсутствия решения. Вот как выглядит карта сходимости в координатах угол-
угол и угол-мощность
11
Никаких четких границ между «зоной сходимости» и «запрещенной зоной» нет, поэтому
метод Ньютон-Рафсона (как и его модификации) не может быть использован для
построения карты устойчивости.
3.3 Исследование кривых PV-QV
При исследовании устойчивости электросети, в силу ограниченной применимости
распространенных математических методов и пакетов для построения полной карты
устойчивости, используются приближенные методики определения устойчивых режимов
потребления.
Для этого фиксируется power factor и поточечно, методом Ньютона строится кривая PV
(“nose curve”) или QV. [16,8,1,2]
Фрактальных характер сходимости тут не имеет значения, так как строится полное
множество решений метода Ньютона с разными затравочными параметрами.
12
По этой кривой можно графически или численно определить границу сходимости, но
такой метод требует решения полной системы уравнений много раз несколько раз для
каждого направления в пространстве мощностей.
3.4 Метод гребнеровского базиса
Для тестирования алгоритма построения границы на базе метода HELM необходимо
иметь некоторый другой референсный способ построения этой границы.
Трудность заключается в том, что построение полной карты устойчивости электросети
само по себе не является стандартной задачей. На настоящий момент не существует
точного метода с вычислительной сложностью менее ( )bNO e для референсного.
Для наших целей воспользуемся методом Гребнеровского базиса, изложенного в статьях
[5][10]. Он плохо масштабируется при росте системы, но для системы маленьких размеров
(до 10 узлов) позволяет получать форму границы очень точно.
Идея метода заключается в следующем. Как было сказано ранее, уравнения для сети с PQ-
басами являются системой нелинейных уравнений на комплексные напряжения, либо
другой эквивалентной формулировкой в виде системы уравнений перетока мощности.
Если говорить более точно, то присутствующие PQ-басы за счет своего соотношения
между током и напряжением *
*( )
ij
iji j
SI
V V=
− всегда дают квадратичную нелинейность. В
13
предельном случае, когда к каждому узлу сети подключен потребитель, наша система
является системой квадратных уравнений на ,l kVx Vy со многими переменными.[13]
kl kl
p P=∑
kl kl
q Q=∑ ,
где
2 0
0 01( , , , )
0 22
0 0
k
lkl k l k l
k
l
Vxc c s
Vxc sp Vx Vx Vy Vy
Vys c c
Vys c
− − − = − − −
2 0
0 01( , , , )
0 22
0 0
k
lkl k l k l
k
l
Vxs b s c
Vxs cq Vx Vx Vy Vy
Vyc s b s
Vyc s
− − − − − = − − − − −
Где
Re[ ]
Im[ ]l l
l l
Vx V
Vy V
==
Для систем полиномиальных уравнений, в частности для таких, как наша система,
существует метод нахождения эквивалентного полинома, такого, что система из всех
решений полинома, полученная переходом к гребнеровскому базису, эквивалентна
решениям исходной системы.
Если среди решений системы присутствуют комплексные корни, то в исходной системе на
одном из узлов стационарные уравнения перетока электроэнергии несовместны, и такое
решения неустойчиво.
Метод исключительно медлителен и имеет более чем экспоненциальную сложность, так
как определение совместности системы в каждой точке пространства мощностей требует
14
заново искать корни эквивалентного полинома порядка 2n . Однако этот метод позволяет
считать границу очень точно. И для 2-бас DC системы область, где все корни
действительные, совпадает с аналитически полученной областью устойчивости.
Из-за проблемы масштабирования метод не подходит для индустриальных применений,
однако позволяет надежно выявить форму границы, и хорошо подходит как референсный
метод для основной задачи данного исследования – формулирования и тестирования
алгоритма на базе метода HELM.
15
4. Метод HELM , общая информация
Пусть есть система комплекснозначных уравнений Кирхгофа
Каждое уравнение этой системы имеет такой вид:
( )*( )
( )*m
mk
km inj mk
SY V I
V= =∑
В оригинальной статье Антонио Триаса, где изложен метод HELM [2] описывается
процедура аналитического продолжения с помощью комплекснозначного
параметра z
( )* ( )*
( ) ( )
( )* * * *
( )
( ) ( )
m m
m m
m
S S z
V V z
V V z V z
→
→
→ =
Так что система уравнений примет вид:
( )*( )
( )* *( )
( )
mk
km mk
z SY V z
V z=∑
Причем 0z = будут соответствовать задаче с отключенными потребителями,
а 1z = исходной задаче.
Наблюдением Триаса является то, что в такой задаче V[z], удовлетворяющее
системе уравнений, должно всегда быть голоморфной функцией z.
Согласно [3], голоморфные функции лучше всего приближаются аппроксимантами
Паде.
1
1
1 2 2
2
( ) ( ) ( ) 2 ( )0 1 2( )
[ / ] ( ) ( ) 2 ( )1 2
...( )
1 ...
nk k k knk
n n nk k kn
b b z b z b zV z
c z c z c z
+ + + +=
+ + + +
16
Такие аппроксиманты также несут информацию о разрезах искомой голоморфной
функции. Согласно [3], c ростом порядка аппроксимации полюса диагонального и
субдиагональных аппроксимантов сходятся к положению разреза.
Необходимый для решения системы аппроксимант Паде 1 2[ / ]n n
( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 0 1 2
[ / ] ( ) ( ) 2 ( )1 2
...( )
1 ...
k k k k nk n
n n k k k nn
b b z b z b zV z
c z c z c z
+ + + +=+ + + +
можно найти, зная коэффициенты ряда Тейлора порядка 1 2n n+ .
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 20 1 2 2( ) ...k k k k k n
nV z a a z a z a z= + + + +
Они находятся, решением искомой системы порядок за порядком, подобно теории
возмущений.
( )** ( ) ( ) 2 ( ) 2
1 2 2( )*
*1 1 0
* *0 1
( ... ),( )
( )
( ,..., )
kk k k n
k nk
m k m
S zS e z e z e z
V z
e e a
e e a a −
≈ + + +
=
=M
0
*
0
k k
Ya
Ya S e
=
=M
Эту процедуру можно проводить как символьно (для порядков <6), так и численно.
4.1 Пример: DC 2-bus
Перед составлением общего метода для нахождения поверхности ошибок, полезно
изучить поведение аппроксимантов Паде на упрощенном примере.
17
Пусть есть всего 2 элемента, генератор (slack bus) и потребитель (PQ-bus), соединенные
проводами. В «физической», а не «электротехнической» формулировке они записываются
как идеальный источник напряжения, резистор и нелинейный элемент
Точное решение уравнений Кирхгофа записывается как
* 2* 2
0 0 2 *0
10
Im[ ]4 Re[ ] 4
Im[ ]( )
2
S ZV V z S Z z
V S ZV z j z
V
S P jQ
± − −= +
= +
Чтобы понять, как ведут себя аппроксиманты Паде, с точки зрения наличия в них
особенностей, полезно посмотреть на графики V(P,Q) для аппроксиманта Паде порядка
[6\6], при z=1
V0=2.0В,
Z=1.0+0.0j Ом
V[6\6][z] =
18
На графиках выше видно, что значение напряжения аппроксиманта Паде (синее) в
окрестности нуля совпадает c верхней ветвью аналитического решения (красное). В
окрестности границы устойчивости аппроксимант Паде перестает совпадать с точным
решением и испытывает разрыв.
Вертикальная асимптота – признак аномального поведения напряжения – может служить
наиболее очевидным кандидатом на роль признака границы устойчивости. Однако, как
показано далее, недостатком этот признака является то, что он работает только в случае
простейшего случая постоянного тока.
Рассмотрим поведение особенностей аппроксимантов Паде, в зависимости от порядка
аппроксимации. Можно видеть, как кривые полюсов (красные) и нулей (синие) в
пространстве PQ сходятся к точной устойчивости границе (зеленая) при роста порядка.
19
Интересен также тот факт, что диагональные аппроксиманты Паде для DC-случая имеют
«цветочную» структуру, связанную с тем, что корни числителя и знаменателя в
окрестности нуля очень близки друг к другу. В этом случае не сами кривые ближайшего
полюса либо нуля сходятся к границе устойчивости, а их огибающая.
Аппроксиманты Паде вида [n/n+1] n=1..5
20
Аппроксиманты Паде вида [n+1/n] n=2..5
21
Диагональные аппроксиманты Паде вида [n/n] n=1..5
22
4.2 Оптимизация геометрии: метод пучков
Для эффективного построения поверхности ошибок, а также для написания программного
обеспечения на этом методе, необходимо уметь перебирать все точки пространства
мощностей, и для них определять совместность уравнений Кирхгофа. И метод HELM по
своему построению имеет одно интересное свойство, позволяющее понизить размерность
пространства перебора мощностей на 1.
При проведении процедуры аналитического продолжения, изложенной в [2], все символы
сопряженных потребляемых мощностей заменяются на:
[ ]
[ ]
(arg )* ,
arg
j zS z S z e
S
θ
θ
−=
=
Для построения карты в пространстве мощностей, для каждого баса наша задача
перебрать все возможные комплексные числа такого вида. Для этого выберем
действующую пару координат, зафиксировав 1S = и arg[ ] 0z = .
Важнейшим наблюдением является то, что для каждого направления в пространстве
мощностей 1{ ,..., }PQNθ θ нужно вычислить коэффициенты аппроксиманта Паде только
один раз. Все остальные аппроксиманты вдоль этого направления могут быть получены
перемасштабированием действительного z. В каждом направлении надо вычислить 2N
коэффициентов Паде, и найти ближайшую к z=0 особую точку получившейся
рациональной функции одного переменного.
Таким образом, вместо перебора всех точек, нужно выпустить из начала координат пучок
лучей. Этот подход позволяет сократить количество операций с множества точек в
пространстве мощностей ( )PQNO M до множества лучей 1( )PQNO M −
, что в
вычислительном смысле означает ускорение примерно в M раз, где M - количество
узлов сетки на одно пространственное измерение (~1000).
23
На графиках ниже можно видеть, как первые 20 порядков Паде (синие) верхней и
нижней субдиагонали сходятся к основному решению (красное)
24
Время построения границы как функция от порядка аппроксимации оказалось
полиномиальным со степенью 1.56( )O N .
Чуть более, чем линейный характер сложности имеет место, так как хоть поиска N корней
полинома требуется чуть более ( )O N , для более высоких порядков необходимо
использовать использовать возрастающую машинную точность, о чем речь пойдет ниже.
Это время потенциально может быть сокращено за счет использования
специализированного, а не общего, алгоритма поиска корней.
Результатом этой части является наблюдение, что с учетом небольшой вычислительной
сложности для цепи постоянного тока можно рассчитать тот или иной кусок границы с
почти произвольно более высокой точностью.
4.3 О влиянии обусловленности задачи поиска корней на качество
границы
При построении границы важной подзадачей является иметь возможность рассчитать
интересующий участок границы с любой наперед заданной точностью. В связи с этим
возникает вопрос об обусловленности задачи.
25
Построение границы устойчивости вышеупомянутым методом пучков подразумевает
вычисление корней многочлена. Как показано в [14],[15], задача нахождения корней
полинома, вообще говоря, является очень плохо обусловленной. Это означает, что
незначительные погрешности в коэффициентах полинома могут давать значительные
погрешности в значении найденного корня. Так же в статьях показан пример, когда для
корней, близко расположенных к другим (для корня iz α= близость к другому jz β=
определяется как α β α− < ) и полинома порядка N, возникшая ошибка корня при
возмущении коэффициентов на 10 N− достигает 1, то есть сравнимо с самим значением
корня.
Из этого можно сделать предположение, что для аппроксиманта Паде порядка [N\N]
нужно вычислять все коэффициенты с точностью в N значащих цифр, иначе
относительная погрешность вычисления корней станет существенно портить форму
границы устойчивости. Причем относительная погрешность для каждого корня будет тем
больше, чем ближе он к остальным.
Этот эффект можно пронаблюдать на результатах численного моделирования
На рисунках ниже изображены контурные карты аппроксимированной функции
напряжения для задачи 2-bus DC в осях PQ. Аппроксимированной границе устойчивости
соответствует ближайшая к началу координат белая линия.
Каждому корню знаменателя соответствует своя темно-синяя полоса. На графиках
погрешность округления фиксирована и равна машинной двойной точности (15 знаков).
26
Порядок [8\8]
Функция V_approx[P,Q] имеет гладкие контуры
Pade [13/13].
27
«рябь» на границе
Можно заметить появление ошибок округления в направлениях около оси абсцисс (где
корни ближе всего друг к другу). Причем у «дальних» от начала координат лепестков
абсолютное значение шума выше
Pade [14/14].
28
Pade [15/15 ]
Pade [20\20].
Видно, как с ростом порядка аппроксимации (и порядка полинома) при фиксированной
точности качество границы падает. Аналогичные результаты можно получить, фиксируя
порядок Паде и уменьшая вычислительную точность.
Важнейшим результатом этой главы является наблюдение, что для порядка Паде [N\N]
необходимо коэффициенты Паде считать с машинной точностью не менее 10 N− , то есть в
N значащих цифр.
Такой подход позволил считать даже сильно нерегулярные границы диагональных
аппроксимантов высокого порядка без видимого машинного «шума». Вот пример
«цветочного» аппроксиманта Паде [60\60]
29
30
4.4 Пример:DC 3- bus
Вычисление аппроксиманта Паде для 3-бас системы является более сложной задачей, чем
для 2-бас, так как для этого случая уже требуется подход общего вида.
Для каждого порядка ряда Тейлора требуется решать линейную систему.
( ) ( ) 1 (0) ( 1)( ,.. ; ,..., )PQk k N kY V f S S V V −=
При подстановке конкретных значений S эта система сводится к стандартной задаче
решения линейных систем. Обратную к Y матрицу необходимо вычислить один раз. Так
как для уравнений перетока матрица системы обычно является разреженной, можно
использовать специальные подходы (sparse LU-factorization)
Вот как выглядит сходимость первых 5 порядков метода пучков (синие) в осях 1 2{ , }P P к
«точному» решению (красное)
31
32
4.5 Пример:AC 2- bus
Для сети переменного тока метод еще усложняется, так как аппроксимант Паде перестает
иметь полюса на действительной оси. Полюса z получают добавку к мнимой части,
причем можно заметить, что чем ближе полюс к началу координат (а граница
устойчивости это как раз ближайший полюс), тем меньше эта мнимая добавка.
На форме функции-аппроксиманта это отображается таким образом, что чем ближе полюс
аппроксиманта к началу координат, тем больше значения производной модуля.
33
График модуля аппроксиманта на прямой P=Q. Как можно заметить, функция не
имеет расходимости по модулю
Вот как будут выглядеть полюса и нули в 2-bus AC случае:
34
Эмпирически можно заметить, что в этой задаче ближайший ноль знаменателя всегда
находится очень близко от ближайшего нуля числителя, и за критерий границы
приближенно можно взять ближайший ноль.
Вот график сходимости метода для последовательных 20 порядков диагональной
аппроксимации (синяя) к истинной границе (зеленая).
35
4.6 AC 3-bus и общий критерий границы
В самом общем случае многоэлементной сети переменного тока полюса и нули
аппроксиманта Паде не лежат на действительной оси.
Рассмотрим двух кандидатов на признак границы общего вида
1) Метрика расхождения аппроксимантов Паде соседних порядков
2) Посмотреть на поведение полюсов и нулей аппроксиманта Паде, и извлечь
информацию о границе устойчивости
Вариант 1.
Аппроксиманты Паде возрастающего порядка (без «цветочной структуры») имеют
свойство приближать «точное решение» с монотонно уменьшающейся погрешностью.
Самое важное наблюдение состоит в том, что та или иная форма «аномального»
поведения (будь то разрыв в DC случае, обращение в ноль или осцилляции) начинается у
различных аппроксимантов Паде в разном удалении от конца “nose curve”, причем, чем
выше порядок, тем ближе к границе начинается это аномальное поведение.
Вот пример поведения модулей и фаз последовательных порядков Паде в случае 3-bus AC
36
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5z
-0.4
-0.2
0.2
Vpade
37
Можно заметить, что поведение, похожее на аномальное, начинается c z=0.34.
Очевидно, что различные статистические метрики относительного отклонения чисел,
взятые от аппроксимантов Паде (среднеквадратичное отклонение, медианное отклонение
и др.) должны быть чувствительны к границе.
На графиках выше показано, как ведет себя приведенное стандартное отклонение
сети[8/8] [7 /7] [6/6] [5/5]
0
. V (z) , V (z) , V (z) , V (z)[z]
Std devdev
V
= между 4мя последовательными
порядками Паде. Видно, что оно терпит резкий рост в окрестности z=0.34, а в
логарифмическом масштабе оно обращается в 0 и начинает осциллировать правее
критической точки.
38
Такой подход гипотетически может быть использован для детектирования наступления
границы устойчивости, но решение сопутствующей задачи оптимизации для поиска
необходимой формы особенности функции стандартного отклонения делает этот метод
заведомо более медленным, чем альтернатива.
Вариант 2
Рассмотрим поведение корней числителя и знаменателя.
На графике выше видно, что ближайшие к началу координат корни числителя и
знаменателя имеют среди всех наименьшую мнимую часть и находятся «почти» на
действительной оси, около значения z=0.34, где, как мы установили, должен быть разрыв.
Отсюда возможно предложить такой способ детектирования границы – находить
ближайший к началу координат корень знаменателя и взять его действительную часть.
Если использовать такой критерий
границы, вот как выглядит граница в
осях P1,P2 при Q1=Q2=0.7
39
4 .7 Основной результат: процедура построения границы устойчивости
1) Найти admittance-матрицу Y системы и обратную к ней
2) Выделить интересующее множество направлений в пространстве мощностей,
и спроецировать его на 1PQN − - мерную сетку.
3) Для каждой сеточной точки в пространстве направлений решить
пертурбативно исходную систему уравнений и последовательно найти 2n
коэффициентов рядов Тейлора для каждого из узловых напряжений
4) Для каждого из узловых напряжений найти соответствующий аппроксимант
Паде [n/n]
5) Найти для каждого аппроксиманта Паде множество корней знаменателя, и
взять наименьшую положительную действительную часть – это и будет
предполагаемое место нарушения устойчивости
6) Построить местонахождение всех точек границ в интересующей области
40
5. Выводы
Итак,
• на базе упомянутого в статье [2] метода Helm для вычисления главного значения
напряжений было качественно исследовано поведение аппроксимантов Паде для
вычисления напряжений на узлах электросети
• Был предложен «метод пучков», который переводит задачу из N-мерного
пространства мощностей в N-1 мерное проективное пространство, и допускает
эффективный параллелизм и машинный счет. По результатам исследования, метод
пучков показал свою способность сходиться к истинной границе устойчивости сети
на нескольких простых примерах.
• были рассмотрены несколько кандидатов на признак наступления границы, и
выбраны наиболее быстрые
- ближайший действительнозначный ноль знаменателя или числителя по z
( ( )O n , работает только для DC-сетей)
- действительная часть ближайшего нуля знаменателя (2 4( ) ( )O n O n÷ ,кандидат
на универсальный метод)
• Была в общих чертах исследована обусловленность задачи, и предложен способ
построения границы без ошибок округления.
• Была измерена скорость сходимости метода. В самом быстром случае DC
погрешность метода фитируется как ( ), 1.6nO eγ
ε γ−= =
• Была написана программы на языке Mathematica, который позволяет считать
границу для цепей постоянного или переменного тока разной топологии.
41
6. Список литературы
1. Kundur, stability and control of the power system
2. A. Trias, "The Holomorphic Embedding Load Flow Method", IEEE Power and Energy Society
General Meeting 2011, 22–26 July 2012Stahl paper
3. Power system dynamics: stability and control Jan machowski, Janusz Bialek, James R. Bumby
4. VOLTAGE STABILITY ANALYSIS OF GRID CONNECTED EMBEDDED
GENERATORS, Raj Kumar Jaganathan* and Tapan Kumar Saha , AUPEC 2004
26-29 September 2004, Brisbane, Australia
5. IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. , NO. , APRIL 2014 Voltage multi-stability in
distribution grids with power flow reversal Hung D. Nguyen, Student Member, IEEE, and
Konstantin Turitsyn, Member, IEEE
6. Predicting Failures in Power Grids: The Case of Static Overloads
Michael Chertkov, Feng Pan, Mikhail G. Stepanov Submitted on 3 Jun 2010
7. IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. 15, NO. 4, NOVEMBER 2000 Voltage Stability
Analysis: V –Q Power Flow Simulation Versus Dynamic Simulation Badrul H. Chowdhury, Student
Member, IEEE and Carson W. Taylor, Fellow, IEEE
8. Analysis of ill-conditioned power-flow problems using power-flow problems voltage stability
methodology, Y.Wang, IEEE-proc gen trans dist vol 148 no 5 September 2001
9. The application of the Groebner Basis technique in power flow study
10. Solving the load flow problem using Gröbner basis Antonio Montes, Jordi Castro ACM SIGSAM
Bulletin 01/1995; 29(1):1-13. DOI:10.1145/216685.216686
11. Convergence Region of Newton Iterative Power Flow Method:Numerical Studies Jiao-Jiao Deng
and Hsiao-Dong Chiang Journal of Applied Mathematics Volume 2013, Article ID 509496, 12
pages
42
12. US patent 7519506, Antonio Trias, "System and method for monitoring and managing electrical
power transmission and distribution networks", issued 2009-04-14
13. US patent 7979239, Antonio Trias, "System and method for monitoring and managing electrical
power transmission and distribution networks", issued 2011-07-12
14. J. H. Wilkinson (1984). The perfidious polynomial. Studies in Numerical Analysis, ed. by G. H.
Golub, pp. 1–28. (Studies in Mathematics, vol. 24). Washington, D.C.: Mathematical Association
of America.
15. J. H. Wilkinson (1959). The evaluation of the zeros of ill-conditioned polynomials. Part
I. Numerische Mathematik 1:150-166
16. Voltage instability - the different shapes of the “Nose” Sandro Corsi, Glauco N Taranto
43
Приложение А
2-bus analytic
(*Stuff for symbolic Pade*)
Clear[SZ];
SZ=(P R +X Q)-I(X P-Q R);
R=1;X=0;V0=2;
pades=ParallelTable[ PadeApproximant[vxt,{z,0,{i,j}}], {i,1,5},{j,i-1,i+1}];
pades1=pades/.{z->1};
dp=Denominator@pades1;
ep=Denominator[1/pades1];
44
Приложение Б
2-bus DC
Prec[a_,b_]:=If[a+b>30,a+b,30];
nvxt[P_,Q_,n_]:=SetPrecision[Normal@Series[1/2 (2+ 4 − 4 P z − Q2 z2 ),{z,0,n}],Prec[n,0 ] ];
MaxAngle=3/4 ;
NAngle=100.0000;
plt=Table[
ord1=k;
ord2=k+1;
p=Prec[ord1,ord2] ;
pltPrecise=ContourPlot[4-4 P-Q20,{P,-30,5},{Q,0,10},ContourStyleed];
fiber=ParallelTable[{ ,Quiet@ SetPrecision[ PadeApproximant[
nvxt[SetPrecision[Cos[],p], SetPrecision[Sin[],p],ord1+ord2 ],{z,0,{ord1,ord2}}
],p]},{,0,MaxAngle,MaxAngle/NAngle}];
df=Dimensions[fiber];
Closestoot[i_]:=Min@DeleteCases[Quiet@NSolve[1/fiber[[i,2]]0,z,eals][[All,1,2]],x_/;x0]
;
Polar=ParallelTable[{fiber[[k,1]],o=Closestoot[k];o},{k,1,df[[1]]}];Cart=ParallelTable[{
SetPrecision[ N@Cos[Polar[[k,1]]] ,p]*Polar[[k,2]] , SetPrecision[N@Sin[Polar[[k,1]]],p]
*Polar[[k,2]]},{k,1,df[[1]]}];
ListLinePlot[Cart,AxesLabel{P,Q},FillingNone]
,{k,2,20}];
Show[plt]
45
Приложение В
3-bus DC
A=({
{-2, 1},
{1, -1}
});
Vsymb={V1[z],V2[z]};
rhs={-V0+S1 z/V1[z],S2 z/V2[z]};
eqs=A.Vsymb-rhs;
Prec[a_,b_]:=If[a+b>30,a+b,30];
fiber=ParallelTable[
{ ,Quiet@ SetPrecision[
pade3busFun[SetPrecision[Cos[],p],0,SetPrecision[Sin[],p],0],p]}
,{,0,MaxAngle,MaxAngle/NAngle}];
ClosestZero[i_]:=Min@DeleteCases[Quiet@NSolve[Denominator[1/fiber[[i,2]]]0,z,eals][[All
,1,2]],x_/;x0];
df=Dimensions[fiber];
46
Polar=ParallelTable[{fiber[[k,1]],o=ClosestZero[k];o},{k,1,df[[1]]}];Cart=ParallelTable[{
SetPrecision[ N@Cos[Polar[[k,1]]] ,p]*Polar[[k,2]] , SetPrecision[N@Sin[Polar[[k,1]]],p]
*Polar[[k,2]]},{k,1,df[[1]]}];
ListLinePlot[Cart,AxesLabel{P1,P2},FillingCenter]]
,{tayord,4,12,2}], 0.000.050.100.150.200.250.300.000.050.100.150.20
]
47
Приложение Г
2-bus AC
A=({
{-2, 1},
{1, -1}
});
Vsymb={V1[z],V2[z]};
rhsC={-V0+Conjugate[S1] z/V1[z],S2 z/V2[z]};
eqsC=A.Vsymb-rhs;
ord1=15;
ord2=15;
MaxAngle=;
NAngle=500;
Prec[a_,b_]:=If[a+b>20,a+b,20];
p=Prec[ord1,ord2] ;
(*p22[P_,Q_]:=SetPrecision[(PadeApproximant[(Normal@SetPrecision[Series[Vfull[P,Q,z,1],{z
,0,ord1+ord2}],p]),{z,0,{ord1,ord2}}]/.{z1}),p];*)
p22fiber[P_,Q_]:=SetPrecision[(Quiet@PadeApproximant[(Normal@SetPrecision[Series[Vfull
[P,Q,z,1],{z,0,ord1+ord2}],p]),{z,0,{ord1,ord2}}]),p];
pltPrecise=ContourPlot[4-4 P-Q20,{P,-30,5},{Q,0,10},ContourStyleed];
fiberC=ParallelTable[{ ,p22fiber[SetPrecision[Cos[],p], SetPrecision[Sin[],p] ]
},{,0,MaxAngle,MaxAngle/NAngle}];
ClosestZeroC[k_]:=Quiet@Min@DeleteCases[DeleteCases[NSolve[
Denominator[1/fiberC[[k,2]] ] ,z][[All,1,2]],x_/;x0],_Complex];
df=Dimensions[fiberC];
48
olarC=ParallelTable[{fiberC[[k,1]],o=ClosestZeroC[k];o},{k,1,df[[1]]}];CartC=ParallelTable[{
SetPrecision[ Cos[PolarC[[k,1]]] ,p]*PolarC[[k,2]] , SetPrecision[Sin[PolarC[[k,1]]],p]
*PolarC[[k,2]]},{k,1,df[[1]]}]; Show[ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
,Quiet@ListLinePlot[CartC,AxesTrue,
AxesLabel{"P","Q"}]]
49
Приложение Д
3-bus AC
A=({
{-2, 1},
{1, -1}
});
Vsymb={V1[z],V2[z]};
lhs=A.Vsymb;
MaxAngle=π/2;
NAngle=10;
ord1=3;
ord2=3;
taymax=ord1+ord2;
fiber3C=Table[
(*seeding parameters*)
V0=2;
S1=Cos[θ]+I;
S2=Sin[θ]+I;
(*building rhs and lhs in a taylor series form*)
rhsCconst={ -V0,0};
rhsCS={S1,S2};
rhsCV={z/V1[z],z/V2[z]};
sC={};
lhsApprox[n_,conds_]:=Normal@Series[lhs,{z,0,n}]/.conds;
50
rhsApprox[maxtaylor_,conds_]:=(Total[Table[ Conjugate[rhsCS]*( (Conjugate[Table[ SeriesCoefficient[rhsCV,{z,0,k}],{k,0,maxtaylor}]] * Table[zk*{1,1},{k,0,maxtaylor}]) [[m]]),{m,1,maxtaylor+1}],1]+rhsCconst)/.conds;
For[k=0,k<taymax,k++,
locvars=(D[Vsymb,{z,k}]/.{z→0});
nextgen=Solve[(Collect[rhsApprox[k,sC]-
lhsApprox[k,sC],z]/.{z→1})�0,locvars][[1]];
sC=Union[sC,nextgen];];a=PadeApproximant[ (Normal@Series[Vsymb,{z,0,taymax-1}]/.sC)[[2]],{z,0,{4,4}}];
l=Min@DeleteCases[Re@NSolve[Denominator[1/a],z][[All,1,2]],x_/;x<0]; {l Cos[θ],l Sin[θ]},{θ,0,MaxAngle,MaxAngle/NAngle}];
ListLinePlot[fiber3C]