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Grado: ............... Seccion: ........................ Area: ..................................................
Nombres: ...................................................................................................................Profesor: .....................................................................................................................
INTEGRANDOCOLEGIO ““Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”
IntegrandoIntegrandoIntegrandoIntegrandoInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa Particular
ColegioINTEGRANDO
Av. Berriozabal 312
982 002972INTEGRAN DO
COLEGIO
1
INTE
GRANDO
COLEGIO
SERIES NOTABLES
Son series diferentes de las series aritméticas y series geométricas, pero con una fórmula de resolución conocida.
Alguna de las series notables más conocidas son:
• 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n n2
1+_ i
• 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
• 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = n n n6
1 2 1+ +_ _i i
• 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = n n
21 2+_ i
> H
• 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n(n+1) =
= ( )( )n n n31 2+ +
• 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n(n+1)(n+2) =
= ( )( )( )n n n n4
1 2 3+ + +
• ... ( )n n1 21
2 31
3 41
4 51
11
# # # #+ + + + +
+ =
= nn1+
Donde “n” es el número de término, NO es el último término.
SUMATORIA(S)
Símbolo que nos indica la adición de los términos de nuestra regla de definición, donde:
Propiedades:
• k nki
n
1=
=/ donde “k” es una constante
• ( )ki k ii
n
i
n
1 1=
= =/ /
• ( ... )k i k i k i kn n nn
i
n
0 11
22
1+ + + +- -
=/
= ...k i k i k i kon
i
nn
i
nn
i
n
ni
n
11
1
12
2
1 1+ + + +
=
-
=
-
= =_ _ _i i i/ / / /
• ki ki kii
n
i
m
i m
n
1 01
1= +
=
-
=/ / /
Series notables y sumatorias
INTEGRAND OCOLEGIO
AcademiaINTEGRANDO
Av. Berriozabal 312ColegioIntegrando
“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”MATEMATICAMATEMATICA
2
INTE
GRANDO
ACADE
MIA
Trabajando en clase
Integral
1. En una base cuadrangular se han empleado 400 bolas de billar. ¿Cuántas bolas de billar se han em-pleado en toda la pirámide?
2. Indica el valor de “A” en:
A = ( )k 4k
2
2
7-
=/
3. Calcula el valor de la expresión:
S = k k k2k k k
4
1
33
2
5
3
6+ +
= = =/ / /
PUCP
4. Si: an = ( )n n1
11-+
Halla: a1 + a2 + a3 + ... + a99
(Tipo PUCP 2003 – I)
Resolución:
Reemplazando en la ley de formación tendría-mos:
a 11
21
1 = -
a 21
31
2 = -
a 31
41
3 = -
h
a 991
1001
99 = -
Entonces tendríamos:
...
...
a a a a
11
21
21
31
31
41
991
1001
1 2 3 99+ + + +
= - + - + - + + -
... 99a a a a 1 1001
10021 3 99+ + + + = - =
La suma es 0,99
5. Calcula el valor de:
A = ...21
61
121
201
9301+ + + + +
6. Halla el valor de “S” en:
S = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + … + 22 × 25
7. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 16 filas.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
i h h j
UNMSM
8. Calcula el valor de:
S = 15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + 12 × 4 + … + 1 × 15
Resolución:
Tenemos:
15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + … + 1 × 15
Dándole forma a la serie:
S=(16-1)×1+(16-2)×2+(16-3)×3+…+(16-15)15
S=16×1–12 + 16×2–22 + 16×3–32+ … + 16×15–15
S=16(1+2+3+4+…+15)–(12+22+32+42+…+152)
S=16 215 16
615 16 31# # #-b bl l
S = 1920 – 1240 = 680
9. A Mirtha le preguntaron acerca de su sueldo mensual y respondió: “Mi sueldo se puede expre-sar mediante la siguiente suma:
1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 21 × 23
¿Cuál es el sueldo de Mirtha?
INTEGRAND OCOLEGIO
ColegioINTEGRANDO
Av. Berriozabal 312
982 002972
GRUPOEDUCATIVOGRUPOEDUCATIVO ININTETEGRAGRANNDODO
3
INTE
GRANDO
COLEGIO
Trabajando en clase
Integral
1. En una base cuadrangular se han empleado 400 bolas de billar. ¿Cuántas bolas de billar se han em-pleado en toda la pirámide?
2. Indica el valor de “A” en:
A = ( )k 4k
2
2
7-
=/
3. Calcula el valor de la expresión:
S = k k k2k k k
4
1
33
2
5
3
6+ +
= = =/ / /
PUCP
4. Si: an = ( )n n1
11-+
Halla: a1 + a2 + a3 + ... + a99
(Tipo PUCP 2003 – I)
Resolución:
Reemplazando en la ley de formación tendría-mos:
a 11
21
1 = -
a 21
31
2 = -
a 31
41
3 = -
h
a 991
1001
99 = -
Entonces tendríamos:
...
...
a a a a
11
21
21
31
31
41
991
1001
1 2 3 99+ + + +
= - + - + - + + -
... 99a a a a 1 1001
10021 3 99+ + + + = - =
La suma es 0,99
5. Calcula el valor de:
A = ...21
61
121
201
9301+ + + + +
6. Halla el valor de “S” en:
S = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + … + 22 × 25
7. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 16 filas.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
i h h j
UNMSM
8. Calcula el valor de:
S = 15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + 12 × 4 + … + 1 × 15
Resolución:
Tenemos:
15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + … + 1 × 15
Dándole forma a la serie:
S=(16-1)×1+(16-2)×2+(16-3)×3+…+(16-15)15
S=16×1–12 + 16×2–22 + 16×3–32+ … + 16×15–15
S=16(1+2+3+4+…+15)–(12+22+32+42+…+152)
S=16 215 16
615 16 31# # #-b bl l
S = 1920 – 1240 = 680
9. A Mirtha le preguntaron acerca de su sueldo mensual y respondió: “Mi sueldo se puede expre-sar mediante la siguiente suma:
1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 21 × 23
¿Cuál es el sueldo de Mirtha?
10. Si la suma de los dígitos del número abc es 9 calcule:
abc cab bcai
n
i
n
i
n
1 1 1+ +
= = =/ / /
(UNMSM 2011 – II)
11. Si: • ... ( )...A n
n1 3 5 7 2 1
2 4 6 8 2n = + + + + + -
+ + + + +
• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n+1)
Halle la media aritmética de A40 y B20
(UNMSM 2007 – II)
UNI
12. Determina la suma de los 100 primeros térmi-nos de la sucesión:
2; 5; 5; 3; 4 ;5; 7; 3; …(UNI 2006 – I)
Resolución:
Juntamos parejas tendremos:
Suma = 256 57
26 7 1575# #- =
13. Calcula el valor de la siguiente serie:
1 + 1 + 4 + 3 + 9 + 5 + 16 + ... 1444444442444444443 100 términos
14. Halla“n”,
Si 2 8184k
k
n1
2=+
=/
Sigo practicando
16. Luis al armar una torre con latas coloca 1 lata en la primera fila, 2 en la segunda, 3 en la tercera, 4 en la cuarta y así sucesivamente. Si va a armar una torre de 20 filas, ¿cuántas latas necesitará?
a) 180 c) 200 e) 240b) 190 d) 210
17. Calcula:
( )2 4 33 2
1x x x
k
n− +
=∑
a) 24200 c) 24800 e) 25600b) 24000 d) 24200
18. Calcula:
( )2 31
kk
n+
=∑
a) n2 b) n2 + n c) n2 + 2n
d) n2 + 3ne) n2 + 4n
19. Calcula el valor de: E = 0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,024
a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5b) 0,2 d) 0,4
20. Calcula: S = 1x19+2x18+3x17+4x16+…+19x1
a) 1280 b) 1330 c) 1440 d) 1680e) 1728
21. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 25 filas.
11 2
1 2 31 2 3 4
1 2 3 4 5N M M M O
a) 2425 c) 3025 e) 3225b) 2925 d) 2225
INTEGRAND OCOLEGIO
AcademiaINTEGRANDO
Av. Berriozabal 312ColegioIntegrando
“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”MATEMATICAMATEMATICA
4
INTE
GRANDO
ACADE
MIA
22. Calcula: “x + y + z”, donde: Sn: suma de los “n” primeros términos
1 3 5 7400
900
+ + + + + + + + +=
=
... ... ...x y zS
S
S
a
b
1 2444 3444
1 24444 34444
cc=12251 2444444 3444444
a) 150 c) 175 e) 105b) 165 d) 167
23. Calcula el valor de la siguiente serie: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 120
a) 440 c) 620 e) 720b) 560 d) 680
24. Calcula:
( )3 23
15
8
20n n
nn+
==∑∑
a) 720 c) 760 e) 820b) 750 d) 780
25. Si:115
135
163
1 0 153+ + + + =... ,M�
Halla la suma de las cifras de “M”.
a) 16 c) 18 e) 23b) 17 d) 20
26. Calcula el valor de la siguiente serie: S = 1 + 9 + 25 + 49 + … + 289
a) 1140 c) 969 e) 928b) 990 d) 980
27. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n Halla “A” en: A = S1 + S2 + S3 + S4 + … + S25
a) 2925 c) 2975 e) 3025b) 2950 d) 3000
28. Halla el valor de:
2 1
3
10k
k
+
=∑
a) 4096 c) 2044 e) 4080b) 2048 d) 1023
29. La suma de “n” números pares consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los “n” siguientes?
a) S + 2n2 c) S + n2 e) (S + n)2
b) S + n d) S2 + n
30. En el siguiente arreglo, calcula la suma de todos los términos denominados por la línea hasta la fila 16.
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 5 4 11 5 10 15 5 1
1 6 15 20 15 6 1
a) 560 c) 640 e) 720b) 600 d) 680