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TRANSCRIPT
線形代数 I第3回 ベクトルの内積
担当: 松野 崇
大学院工学研究科,機械宇宙工学
専攻
前回小テストの答え
a =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷, b =
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷である時、
(1) a+ 2b = ?(2) 2a-b = ?(3) 5 2b+ a( ) = ?
前回小テストの答え
a+ 2b =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷+ 2
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
a+ 2b =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷+
4y6y10x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
a+ 2b =2x + 4y10y
z+10x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
a =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷, b =
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷である時、
前回小テストの答え
2a-b = 22x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷-
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
2a-b =4x8y2z
æ
èççç
ö
ø÷÷÷-
4y6y10x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
2a-b =4x - 2y
5y2z- 5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
a =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷, b =
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷である時、
前回小テストの答え
5 2b+ a( ) = 5 a+ 2b( )a+ 2b =
2x + 4y10y
z+10x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
5 2b+ a( ) = 52x + 4y10y
z+10x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
5 2b+ a( ) = 10x + 20y50y
5z+ 50x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷
a =2x4yz
æ
èççç
ö
ø÷÷÷, b =
2y3y5x
æ
èçççç
ö
ø÷÷÷÷である時、
今回の内容
• ベクトルの内積
内積の表記について
テキスト このスライド
ベクトルの内積の定義
内積: で定義されるスカラー
q ab
テキスト pp.11
a ×b = a b cosq
b cosq
ベクトルの内積の定義
aテキスト pp.11
a ×b = 0
内積: で定義されるスカラーa ×b = a b cosqb
ベクトルの内積の定義
ab
テキスト pp.11
内積: で定義されるスカラーa ×b = a b cosq
110 = e
201 = e
例1 基本ベクトルの内積
テキスト pp.12
1 2× =e e1 1× =e e2 2× =e e
011
内積の基本性質
テキスト pp.12
a ×b = b ×a( )1 2 1 2+ × = × + ×a a b a b a b( ) ( )c c c× = × = ×a b a b a b
分配則の補足説明
テキストにはありません
( )1 2 1 2+ × = × + ×a a b a b a b
q1a
2a
b1 2+a a
式(3.2)の導出
( ) ( )2- = - × -b a b a b a
テキスト pp.11
= × - × - × + ×b b b a a b a a 2= × - × + ×a a a b b b
2 2 2= + - ×a b a b
ベクトルの内積(成分表示)
a ×b = axbx + ayby
平面ベクトルの場合
テキスト pp.11
各成分同士を掛けたものの和
, x xy y
a ba b = = a b
ベクトルの内積(成分表示)
a ×b =
空間ベクトルの場合
テキスト pp.11
各成分同士を掛けたものの和
, x xy yz z
a ba ba b
= = a b
axbx + ayby + azbz
ベクトルの内積(成分表示)
a ×b = axbx + ayby
, x xy y
a ba b = = a b
( )2 2 212× = - - - -a b b a a b
2 2 2 2 - = + - ×b a a b a b
( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 212 x x y y x y x yb a b a a a b b× = - - + - - + - +a b
テキスト pp.11
ベクトルの内積(成分表示)
a ×b = axbx + ayby
, x xy y
a ba b = = a b
1 21 0, 0 1 = = e e
別の証明
1 2
1 2
, x y
x y
a ab b
= += +
a e eb e e
a ×b = axex + ayey( ) × bxex + byey( )a ×b = axbxex ×ex + axbyex ×ey + aybxey × ex + aybyey × ey
1 2
1 2
, x y
x y
a ab b
= += +
a e eb e e
シュワルツの不等式
× a b a b
テキスト pp.13
cosq× =a b a b
例題1
テキスト pp.13
1 12 , 13 1
= - = - a b である時のaとbの為す角
a ×b = a b cosqcosq ×= a ba b
( ) ( )( )1 1 2 1 3 114 3
× + - × + × -=
問題2
テキスト pp.13 問題2
122
= - a
× =a b
211
- = b
1 2 2 1 2 1× - + - × + ×2= -
問題2
テキスト pp.13 問題2
122
= - a
=a
211
- = b
2 21 1 2 2 3× + - + =
問題2
テキスト pp.13 問題2
122
= - a
=b
211
- = b
2 2 22 1 1 6- + + =
問題2
テキスト pp.13 問題2
122
= - a
cosq =
211
- = b
×a ba b
23 6-=
問題3
テキスト pp.13 問題3
122
= - a ,単位ベクトル:長さが1のベクトル
=a ( )22 21 2 2 3+ - + =
問題3
テキスト pp.13 問題3
122
= - a ,単位ベクトル:長さが1のベクトル
=a ( )22 21 2 2 3+ - + =
11 23 2
= - aa
= ×X aX a
問題3
テキスト pp.13 問題3
122
= - a ,単位ベクトル:長さが1のベクトル
cos ×= X aX a
100
= × aa
小テスト
1( ) a ×b = ?
0 10 , 12 2
= = a b
2( ) aとbのなす角度は?